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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...)
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica,
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional.
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y
principios de las Naciones Unidas.
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país,
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios;
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad,
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales.
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita,
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de
la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y
en los beneficios que de él resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y
materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas,
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único
fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
1
Secundaria
Nombres: _________________________________________________
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Apellidos: _________________________________________________
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DNI: ____________________________________________________
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Institución educativa: _________________________________________
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Correo electrónico: __________________________________________
_________________________________________________________
ÁLGEBRA
Matemática
Delta
IMPRESO EN EL PERÚ / PRINTED IN PERU
La Editorial se hace responsable por el rigor
académico del contenido del texto de acuerdo con
los principios de la Ley General de Educación.
Título de la obra
® MATEMÁTICA DELTA 1, secundaria
Álgebra
© Derechos de autor reservados y registrados
MAURO ENRIQUE MATTO MUZANTE
© Derechos de edición, arte y diagramación
reservados y registrados conforme a ley
DELTA EDITORES S.A.C.
EDICIÓN, 2020
Coordinador de área:
Mauro Enrique Matto Muzante
Diseño, diagramación y corrección:
Delta Editores S.A.C.
Ilustración general:
Banco de imágenes Delta Editores S.A.C.
DELTA EDITORES S.A.C.
Jr. Pomabamba 325, Breña
Tels. 332 6314, 332 6667
Correo electrónico: informes@eactiva.pe
www.eactiva.pe
Tiraje: 4500 ejemplares
Impresión:
FINISHING S.A.C.
Jr. La Maquinaria 160, Chorrillos
Lima - Perú
Tels. 265 3974 251 7191
ISBN N.o 978-612-4354-28-1
Proyecto Editorial N.o 31501051900810
Ley N.o 28086
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú
N.o 2019-10442
PROHIBIDA
LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
LEY DE LUCHA CONTRA LA PIRATERÍA LEY 28289
PUBLICADA EL 20 DE JULIO DE 2004
TÍTULO VII
DELITOS CONTRA LOS DERECHOS INTELECTUALES
CAPÍTULO I
DELITOS CONTRA LOS DERECHOS DE AUTOR
Y CONEXOS
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la
autorización del autor.
Artículo 217.o.- Será reprimido con pena privativa de libertad no
menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa,
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística,
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias,
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior
importe cada uno.
Apertura
En esta sección
encontrarás
temas
novedosos que
propiciarán
sostener
una relación
cercana con la
Matemática.
Se aborda el
desarrollo del
tema, donde
encontrarás las
definiciones
organizadas
siguiendo una
secuencia
didáctica.
Marco
teórico
Conoce tu libro
Tema
93MateMática DELTA 1 - álgebra
7
Ecuaciones lineales
Si el peso del camión es de 975 kg, ¿cuánto pesa su carga?
Ecuación
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que al menos está presente
una variable (incógnita).
Donde:
x es la variable
Ejemplos:
a) 3x + 2 = x – 1
b) x + 12 – 3 = 5
x + 3
5 – 4 = 2
x + 3
5 – 4 = 2
x + 3
5 = 2 + 4
x + 3 = 5(6)
x = 30 – 3
x = 27
Ejemplo:
Dada la ecuación.
4x + 2 = 10
Si x = 2
4(2) + 2 = 10
Luego, 2 es solución de la ecuación.
Para resolver una ecuación, aplicamos el método de transposición de términos.
Ejemplos:
a) Resuelve la ecuación.
Resolución:
Observamos que:
Luego, 27 es la solución de la ecuación.
(El 4 pasa sumando)
(El 5 pasa multiplicando)
(El 3 pasa restando)
Solución de una ecuación lineal
Es aquel valor que toma la incógnita de una ecuación y verifica la igualdad.
1500 kg
5x + 3 = x – 2
Primer
miembro
Segundo
miembro
Lectura de
la balanza
El método de
transposición de
términos consiste
en pasar los términos
de un miembro a
otro con la operación
contraria.
Transposición
+ = –
– = +
× = ÷
÷ = ×
Francisco Vieta
(1540 - 1603)
Fue el primer
matemático que
utilizó letras para
designar las
incógnitas y las
constantes de
las ecuaciones
algebraicas.
Import a nt e
Not a
Título del tema
Para una mejor
organización, los temas
están numerados.
Comentarios
y/o lecturas
que
refuerzan el
desarrollo
del tema
95MateMática DELTA 1 - álgebra
Luego de resolver:
• a3 – 1 = 4
• 2b + 3 = 7
• 2c – 5 = c + 2
Indica el valor de:
M = a + b + c
Determina el triple del valor de x que verifica la
ecuación.
x + 3x – 1 =
5
7
Calcula el valor de x en la ecuación.
7 + 2(2x – (x + 1)) = 1 – 2x
Luego halla M.
M = (x + 2)2 + 4
Encuentra el valor de x en la ecuación.
x + 23 +
x – 2
4 =
x
2 + 1
Halla el valor de x que verifica la ecuación.
Resuelve la ecuación:
3(x – 2) + 4(x + 1) = 19
Luego, indica el valor de x + 2.
Resolución:
• a3 – 1 = 4 ⇒ a = 3(4 + 1) ⇒ a = 15
• 2b + 3 = 7 ⇒ b = 7 – 32 ⇒ b = 2
• 2c – 5 = c + 2 ⇒ 2c – c = 2 + 5 ⇒ c = 7
Nos piden:
M = a + b + c = 15 + 2 + 7 = 24
Rpta. 24
Resolución:
Tenemos:
x + 3x – 1 =
5
7
7(x + 3) = 5(x – 1)
7x + 21 = 5x – 5
7x – 5x = –5 – 21
2x = –26
x = –13
Nos piden el triple de x, entonces:
3x = –39
Rpta. –39
Resolución:
7 + 2(2x – (x + 1)) = 1 – 2x
7 + 2(2x – x – 1) = 1 – 2x
7 + 4x – 2x – 2 = 1 – 2x
4x – 2x + 2x = 1 + 2 – 7
4x = –4
x = –1
Nos piden: M = (x + 2)2 + 4
M = (–1 + 2)2 + 4 = 12 + 4
M = 5
Rpta. 5
Resolución:
Hallamos el MCM de los denominadores:
x + 2
3 +
x – 2
4 =
x
2 +
1
1
MCM(3; 4; 2) = 12
Luego, dividimos entre cada denominador y
multiplicamos.
4(x + 2) + 3(x – 2) = 6(x) + 12(1)
4x + 8 + 3x – 6 = 6x + 12
4x + 3x– 6x = 12 – 8 + 6
x = 10
Rpta. 10
Resolución:
Aplicamos la transposición.
Resolución:
3x – 6 + 4x + 4 = 19
7x – 2 = 19
7x = 19 + 2
7x = 21
x = 3
Piden: x + 2 = 5
Rpta. 5
Rpta. 5
3
+ 6 = 7
x + 3
2 – 1
= 7 – 6
x + 3
2 – 1 = 3(1) ⇒
x + 3
2 = 3 + 1
x + 3 = 2(4) ⇒ x = 8 – 3 = 5
41
2
3
5
6
– 1x + 3
2
3
Ejercicios resueltos
Nombre de la
sección
Algoritmo de
resolución
del problema
planteado.
Preguntas y/o
situaciones
problemáticas
reales o simuladas,
planteadas de
acuerdo al tema.
Ejercicios
resueltos
Se muestran
ejercicios que
están resueltos
didácticamente,
los mismos que
servirán para
el análisis del
estudiante.
3MateMática DELTA 1 - álgebra
Síntesis
Contenido del tema,
que incluye teoremas,
postulados, fórmulas,
propiedades, leyes, etc.,
resumido en organizadores
gráficos para tener un
panorama general del
contenido.
Modela y resuelve
Los problemas con
numeración impar serán
resueltos por el docente,
mientras que los pares serán
resueltos por el estudiante
siguiendo la secuencia
realizada por el educador.
83MateMática DELTA 1 - álgebra
15x2y3
–3xy2
16x3y5
–8xy2
a) a)= =
36n5m8
–9n4m5
35n4m7
–7n2m2
d) d)= =
–24a4b6
6ab5
–12a3b7
3ab3
b) b)= =
16x4 – 8x2
4x
24x2 – 18x3
6x
e) e)= =
–18x3y3z2
–6xy3z
–28x2y4z2
–7xy3z2
c) c)= =
24x3y – 15x2y2
3x2y
24x2y2 – 16xy2
4xy2
f) f)= =
28abc4 – 49abc2
7abc
27abc3 – 18abc2
9abc2
g) g)= =
Efectúa las divisiones. Efectúa las divisiones.1 2
D(x) d(x)
R(x) Q(x)
monomio ÷ monomio
polinomio ÷ monomio
polinomio ÷ polinomio D(x) = d(x)
. Q(x) + R(x)
Divide:
1.° Los signos
2.° Los coeficientes
3.° Las variables
Divide:
Cada término del polinomio entre el monomio
Algoritmo de la división
Dividendo y divisor
completos y ordenados
Dividendo
residuo
divisor
cociente
Coeficientes del
dividendo
repetirsuma por (–a)
en la siguiente
columna
opuesto
de a
Forma:
D(x)
x + a
Esquema:
–a
×
Método de Ruffini
2
1
3 3
Coeficientes del
dividendo
Resultado
de (5)
separa
esquema
Coeficientes
del divisor
cambian de
signo
multiplica
repetir
(4) al (7)
Esquema:
×
÷Divide
Suma
Suma
Método de Horner
4
1
3 8
6
7
2
5
Síntesis
Modela y resuelve
División de
polinomios
Nombre de la
sección
Nombre de la
sección
Espacio para resolver
el problema.
Organizador
visual
Enunciado del
problema o de la
situación planteada.
173MateMática DELTA 1 - álgebra
Practica y demuestra
Sea f una función de A en B.1
Tenemos la gráfica de la función g.2
0 2 4 6 8 10 x
2
4
6
8
y
g
Halla los valores de A, B, C y D, si estos son
enteros.
• g(2) = A • g(B) = 5 • g(C) = 2 • g(10) = D
A A = 6, B = 4, C = 6, D = 5
B A = 4, B = 6, C = 5, D = 8
C A = 6, B = 2, C = 4, D = 5
D A = 6, B = 9, C = 4, D = 6
E A = 4, B = 6, C = 2, D = 8
Dada la función f = {(5 ; 3), (3 ; 7), (5 ; a – 1), (2 ; 5)}.
Encuentra el valor de a.
3
A 2 B 4 C 3
D 6 E 7
Sean las funciones:4
1 •
2 •
3 •
• 1
• 3
• 4
f
2 •
3 •
4 •
• 1
• 2
• 3
g
Calcula el valor de g(f(2)) + f(g(4))
f(3) + g(3)
M = .
Se define f(x) = 3x – 1.
Determina el valor de R = f(f(1)).
5
Sea h la función con regla de correspondencia:
h(x) = ax + 5, y h(x) = ax + 5 y (2 ; 21) un punto que
pertenece a h, halla el valor de a.
6
Encuentra el valor de H = g(4) – g(–1),
si g(x + 3) = x + 9.
7
Dado el conjunto de pares ordenados:
• f = {(1 ; 2), (2 ; 4), (4 ; 4), (5 ; 6)}
• g = {(2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5)}
• h = {(1 ; 2), (1 ; 5), (2 ; 4), (3 ; 9)}
¿Cuáles son funciones?
8
A 2 B 3 C 4
D 1 E 0
A 5 B 6 C 7
D 8 E 4
A 5 B 8 C 6
D 9 E 7
A 2 B 10 C 3
D 5 E 6
A solo f B solo g C f y g
D f y h E todas
Nivel I
Indica el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las
proposiciones:
a. ( ) Dom f = {1; 3; 5} b. ( ) f(3) = 9
c. ( ) Ran f = {4; 6; 8; 9} d. ( ) f(1) = 6
A VFFV B FFVV
C VVFF D FVFV
E FFFV
1 •
3 •
5 •
• 4
• 6
• 8
• 9
A B
Preguntas
planteadas,
estas pueden
ser situaciones
reales o
simuladas. Espacio
para realizar
anotaciones de
resolución.
Alternativas
Nombre de la sección
Test
Esta evaluación incluye
preguntas del contenido de
los temas desarrollados en
la unidad y son de elección
múltiple.
Practica y
demuestra
En esta sección se
plantean preguntas que
han sido organizadas por
niveles de complejidad
y de elección múltiple
en la que el estudiante
demostrará lo aprendido
durante la sesión.
Preguntas y/o
situaciones
problemáticas reales o
simuladas, planteadas de
acuerdo a la unidad.
Número de test
Alternativas
Nombre: n.° de orden: Sección:
133MateMática DELTA 1 - álgebra
A 1 B 2
C 4 D 5
A 34 años B 25 años
C 9 años D 5 años
Indica el valor que verifica la ecuación.
5 Si n es el valor que verifica la ecuación:
(x + 5)2 – (x – 3)2 = 10x + 28
Calcula el valor de M = n + 2.
4 Encuentra el valor de x.
Indica el valor que verifica la igualdad.
4(x – (x – (x – 3))) = x + 3
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Las edades de Marta y Valeria suman 13 años.
Si Marta tiene 10 años, ¿cuántos años tendrá
Valeria en 2 años más?
6
A 2 B 3
C 6 D 5
A S/ 300 B S/ 180
C S/ 150 D S/ 120
En un mes de 31 días, Carlos trabaja 25. Si
durante los días de trabajo gasta S/ 6 diarios en
transportes, ¿cuánto gasta en movilizarse por
razones de trabajo?
Test n.° 3
A 42 B 37
C 19 D 33
x – 3
2 + 2 = 5
A 1 B 3
C 6 D 9
2x + 1
3 – 3
5
+ 1 = 3
4
5MateMática DELTA 1 - álgebra
1
3
2
4
R
es
ue
lv
e
pr
ob
le
m
as
d
e
re
gu
la
rid
ad
, e
qu
iv
al
en
ci
a
y
ca
m
bi
o
Traduce datos
y condiciones
a expresiones
algebraicas y
gráficas.
Operaciones básicas en 8
Números naturales y operaciones en
Conjunto de números enteros
Operaciones con números enteros
Potenciación 21
Definición
Propiedades
Radicación 35
Definiciones
Propiedades
Tipos de radicales
Operaciones combinadas
Polinomios 51
Expresiones algebraicas
Término algebraico
Grado de un polinomio
Valor numérico
Adición y sustracción de polinomios
Multiplicación de polinomios 63
Producto de expresiones algebraicas
Productos notables
División de polinomios 77
División entre expresiones algebraicas
Métodos para dividir polinomios: Ruffini y Horner
Ecuaciones lineales 93
Ecuación
Solución de una ecuación lineal
Planteo de ecuaciones lineales 105
Enunciado verbal y algebraico
Planteo de ecuaciones
Sistema de ecuaciones lineales 119
Método de reducción
Método de sustitución
Método de igualación
Otros casos
Planteo y resolución de sistemas lineales 135
Enunciado verbal y algebraico
Planteo de sistemas lineales
Desigualdades e inecuaciones 149
Desigualdad
Inecuación lineal
Sistema de inecuaciones
Planteo de inecuaciones
Funciones 162
Definiciones
Funciones
Representación de una función
Unidad Competencia y capacidades Contenidos pedagógicos Páginas
Comunica su
comprensión
sobre las
relaciones
algebraicas.
Usa estrategias
y procedimientos
para encontrar
equivalencias y
reglas generales.
Argumenta
afirmaciones
sobre relaciones
de cambio y
equivalencia.
Índice
Abu Abdallah Muhammad ibn Mūsā al-Jwārizmī,
conocido en español como Al-Juarismi, el mismo
que vivió entre 780 y 850 d. C., aproximadamente;
fue un matemático, astrónomo y geógrafo árabe.
Poco se sabe de su lugar de nacimiento y otros
datos sobre su vida; lo que no está en discusión, es el
gran aporte que este matemático le dio a la ciencia
y la influencia que trajo de la cultura árabe e hindú
al mundo occidental.
Al-Juarismi
y el
ingreso
del
al mundo occidental
Su obra principal se tituló «Hisab al-Jabr w’al-Muqabala», que significa «Compendio del cálculo
por restauración y compensación», contiene un profundoestudio de la resolución de ecuaciones
que permitió potenciar la forma de resolver problemas. La palabra al-jabr hace referencia a la
restauración del equilibrio de una ecuación por la trasposición de términos, al pasar sumando a
uno de los miembros un término que está restando en el otro. El vocablo al-muqābala expresa
la compensación o reducción de términos del mismo grado que aparecen en los dos miembros
de una ecuación. Parte de los temas que aborda Al-Juarismi en su obra, es la solución de
ecuaciones lineales o cuadráticas. En su libro, empieza diciendo: Descubrí que las personas
requieren tres tipos de números: unidades, raíces y cuadrados; un dato curioso de esta obra es
que, a diferencia de los textos que manejamos actualmente, Al-Juarizmi no empleaba símbolos
de ninguna clase, sino solo palabras.
Es bueno saber también que la palabra álgebra deriva del vocablo latinizado al-jabr; algoritmo,
de algoritmi, título de la obra en latín Algoritmi de numero Indorum del mismo Al-Juarismi que
significa Algoritmi sobre los números de los indios. La palabra algoritmo es usada frecuentemente
para describir secuencias detalladas y repetitivas de reglas utilizadas en cálculos matemáticos
u otros problemas.
Álgebra
6
Con el tiempo, las obras de
Al-Juarismi se tradujeron al latín.
Al matemático italiano Fibonacci,
también conocido como Leonardo
de Pisa, se le atribuye la divulgación
de los números indoarábigos en
Occidente. Supo de ellos en sus
viajes por los países mediterráneos y
posteriormente los explicó en su obra
Liber abaci (Libro del ábaco).
Desempeños
• Establece relaciones entre datos, relaciones de equivalencia o variación entre dos magnitudes.
Transforma esas relaciones a expresiones algebraicas, a ecuaciones lineales, a desigualdades, a
funciones lineales, a proporcionalidad directa o a gráficos cartesianos.
• Comprueba si la expresión algebraica o gráfica que planteó, le permitió solucionar el problema, y
reconoce qué elementos de la expresión representan las condiciones del problema.
• Expresa, con diversas representaciones, su comprensión sobre la solución de una ecuación lineal y
sobre la solución del conjunto solución de una condición de desigualdad, para interpretar un problema
según su contexto y estableciendo relaciones entre representaciones.
• Interrelaciona representaciones gráficas, tabulares y algebraicas para expresar el comportamiento
de la función lineal y sus elementos para interpretar y resolver un problema según su contexto.
• Establece la relación de correspondencia entre la razón de cambio de una función lineal y la constante
de proporcionalidad para resolver un problema.
• Selecciona y emplea estrategias, como simplificar expresiones algebraicas, solucionar ecuaciones y
determinar el conjunto de valores que cumplen una desigualdad usando propiedades de la igualdad
y de las operaciones; y determinar valores que cumplen una relación de proporcionalidad directa e
inversa entre magnitudes.
• Plantea afirmaciones sobre las propiedades de igualdad, las condiciones para que dos ecuaciones
sean equivalentes o exista una solución posible y las características y propiedades de las funciones
lineales. Las justifica con ejemplos y sus conocimientos matemáticos. Reconoce errores en sus
justificaciones o en las de otros, y las corrige.
Fuentes:
www.bbc.com, www.bbvaopenmind.com, www.tiempo.com
Pasaron varios siglos antes de que el trabajo de Al-Juarismi fuera extensamente conocido. Sin
embargo, sus métodos y las técnicas matemáticas que se desarrollaron gracias a ellos son vitales
en la ciencia y la tecnología de hoy, por no mencionar el comercio y la industria.
Algunos atribuyen como padre del Álgebra a Diofanto de Alejandría y otros a Al-Juarismi;
no obstante, ambos realizaron importantes investigaciones, estudios y tratados que nos han
ayudado a simplificar el duro proceso que se tenía para resolver expresiones algebraicas.
En su libro Science and Islam (2002), el británico Ehsan Masood escribe lo siguiente: Cuando se
trata de números y matemática, el legado (de los eruditos medievales de Oriente Medio) es
enorme e innegable.
7MateMática DELTA 1 - álgebra
8
Tema 1
Operaciones básicas en
Operaciones con números naturales
Operaciones combinadas
Cuando aparecen operaciones combinadas, es necesario seguir la prioridad de los
signos de operación en el siguiente orden:
1.º Si en la expresión aparecen signos de colección, deberá operarse primero la parte
interna.
2.º Se realizan las multiplicaciones y divisiones.
3.º Se realizan las adiciones y sustracciones.
4.º Si en un término aparecen operaciones de multiplicación y división, se evaluará de
izquierda a derecha para evitar posibles errores.
Adición
Operación básica que consiste en combinar o
añadir dos o más grupos de objetos.
Ejemplos:
Calcula el valor de C = 5 + 3(20 – 2 × 6 ÷ 3) – 24 ÷ 3.
Ejemplo:
Resolución:
Realizamos en primer lugar las operaciones entre paréntesis:
C = 5 + 3(20 – 2 × 6 ÷ 3) – 24 ÷ 3 Multiplicamos y dividimos dentro del paréntesis
C = 5 + 3(20 – 4) – 24 ÷ 3 Restamos dentro del paréntesis
C = 5 + 3(16) – 24 ÷ 3 Multiplicamos y dividimos
C = 5 + 48 – 8 Sumamos y restamos
C = 45
12 + 14 = 26
16 – 12 = 4
24 ÷ 4 = 6
5 × 4 = 20
5 veces 4
En 4 grupos 4 grupos de 6
El conjunto de números naturales ( )
Los números naturales, contados en conjuntos de diez y empleando los símbolos 1;
2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 y 0 (los números «en base 10»), fueron introducidos en Europa
por los árabes en el siglo XII. Muchas cosas sobre los números no fueron plenamente
comprendidas en esos tiempos y no fue hasta el siglo XVI que los símbolos tomaron la
forma como los conocemos hoy en día.
Al-Juarismi
Siglo IX
Recu e rda
Not a
Signos de colección
( ): paréntesis
[ ]: corchetes
{ }: llaves
Import a nt e
Propiedad
conmutativa
a + b = b + a
Propiedad
conmutativa
a × b = b × a
adición
multiplicación
Sustracción
Operación matemática que consiste en la
eliminación de objetos de una colección.
Multiplicación
Operación matemática que consiste en repetir una
cantidad de objetos tantas veces como se indica.
División
Operación matemática que consiste en que
teniendo un total de objetos se formen grupos con
igual cantidad de elementos.
9MateMática DELTA 1 - álgebra
Un nuevo conjunto de números
Operaciones con números enteros
1. Adición y sustracción
Se juntan las cantidades de signos iguales; y los de signos contrarios se restan
colocando el signo del que tiene mayor valor absoluto.
Sea a un número natural en la igualdad a + x = 0, observamos que no hay un número
natural x que al sumarse con a se obtenga cero, así que vamos a inventar un número
denominándolo «a con gorro» o ˄a, tal que cualquier número natural a tiene una pareja
˄a con la propiedad:
a + ˄a = 0
Como resultado el conjunto de números se extiende a
...;
˄
3;
˄
2;
˄
1; 0; 1; 2; 3; ...
Queremos que todos los números nuevos se comporten tal como lo hacen los que
ya conocemos, obedeciendo las mismas propiedades. Entonces, ¿cuál debería ser
el significado de ˄a? A primera vista, esto parece un sin sentido, pero si observamos
detenidamente está claro que añadir ˄a objetos debe ser lo mismo que retirar a objetos.
Así, podemos escribir ˄a = –a, donde el signo «menos» significa «retirar» o «sustraer».
Utilizando el signo menos tenemos un nuevo conjunto de números llamados enteros:
= {...; –2; –1; 0; 1; 2; ...}
2. Multiplicación
El resultado de multiplicar dos números con signos iguales es positivo y con signos
contrarios es negativo.
3. División
El cociente de dividir dos números con signos iguales es positivo y con signos
contrarios es negativo.
a) (2)(5) = 10 b) (–3)(–4) = 12
c) (–5)(3) = –15 d) (7)(–2) = –14
a) b) c) d) 82
–9
–3
–15
3
18
–6= 4 = 3 = –5 = –3
a) 4 + 5 + 2 = 11
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
–5 –2 –3
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
–6 +9–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
–7 +3
–1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
4 5 2
b) –3 –2 –5 = –10
c) –6 + 9 = 3
d) 3 – 7 = –4
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos:
En la multiplicación:
(+)(+) = (+)
(–)(–) = (+)
(–)(+) = (–)
(+)(–) = (–)
En la división:
Import a nt e
(+)
(+) =
(+) (–)
(+) =
(–)
(–)
(–) =
(+) (+)
(–) =
(–)
10
Operaciones combinadas con números enteros
Ejemplos:
a) Determina el valor de H.
H = 2 + 4[6 + 3 + 2 × (–6) ÷ 3]
Resolución:
Realizamos las operaciones dentro de los corchetes.
H = 2 + 4[6 + 3 + 2 × (–6) ÷ 3 ] Multiplicamos y dividimos de izquierda a derecha
H = 2 + 4[6 + 3 – 12 ÷ 3]
H = 2 + 4[6 + 3 – 4] Sumamos y restamos
H = 2 + 4[5]
Ahora, eliminamos el corchete:
H = 2 + 4 × 5 Multiplicamos
H = 2 + 20 Sumamos
H = 22
b) Halla el valor de M.
M = –5 + 3[6 – (–8) ÷ 4 × (–2)] – 12 ÷ (–3)
Resolución:
Realizamos las operaciones dentro de los corchetes.
M = –5 + 3[6 – (–8) ÷ 4 × (–2)] – 12 ÷ (–3)
M = –5 + 3[6 – (–2) × (–2)] – 12 ÷ (–3)
M = –5 + 3[6 – (4) ] – 12 ÷ (–3)
M = –5 + 3[2] – 12 ÷ (–3) Multiplicamos y dividimos
M = –5 + 6 – (–4) Sumamos y restamos
M = –5 + 6 + 4
M = 5
c) Calcula el valor de E.
E = –3 + 2[(–16) ÷ 8 × (–4) + 2(2 × 2 – 3 × 3)] – (4 × 2 – 13)(3 – 5)
Resolución:
Evaluamos siguiendo las reglas de operaciones combinadas.
E = –3 + 2[(–16) ÷ 8 × (–4) + 2(2 × 2 – 3 × 3)] – (4 × 2 – 13)(3 – 5)
E = –3 + 2[ (–2) × (–4) + 2( 4 – 9 )] – ( 8 – 13)(3 – 5)
E = –3 + 2[ (8) + 2 (–5) ] – (–5) (–2)
E = –3 + 2[8 – 10] – (–5)(–2)
E = –3 + 2[–2] – (–5)(–2)
E = –3 – 4 – 10
E = –17
Si:
a + (–a) = 0
a = –(–a)
Dos signos menos
son o equivalen a un
signo más.
Obse rva:
11MateMática DELTA 1 - álgebra
Relaciona cada operación con su resultado. Calcula el valor de G.
G = (25 ÷ 5) × 2 – (8 ÷ 2) × 3 – 10
Evalúa E.
E = 2 + 15 ÷ 3 × 2 + 2(–7)
Escribe V si la expresión es verdadera o F si es
falsa.
Determina el valor de A = 8 ÷ 4 × 2 + 4 – 3.
Halla el valor de la expresión L.
L = 12 ÷ (6 × 2) + 3(5 – 2)
a) (–3)(–4) • • 9
b) 7 – 3 × 2 • • 8
c) 4 – 12 • • 12
d) 6 ÷ 2 × 3 • • 1
• –8
a) 4 ÷ 2 × 2 = 1 ( F )
4 ÷ 2 × 2 = 2 × 2 = 4
b) 4 – 3 – 2 = –1 ( V )
c) 3 – 2(2 + 1) = 3 ( F )
3 – 2(2 + 1) = 3 – 2(3) = 3 – 6 = –3
d) (–2)(3) = –6 ( V )
Realizamos las operaciones:
G = (25 ÷ 5) × 2 – (8 ÷ 2) × 3 – 10
G = (5) × 2 – (4) × 3 – 10
G = 10 – 12 – 10
G = –12
Realizamos las operaciones:
E = 2 + 15 ÷ 3 × 2 + 2(–7)
E = 2 + 5 × 2 – 14
E = 2 + 10 – 14
E = –2
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Realizamos las operaciones de izquierda a derecha.
A = 8 ÷ 4 × 2 + 4 – 3
A = 2 × 2 + 4 – 3
A = 4 + 4 – 3
A = 8 – 3
A = 5
Realizamos las operaciones en los paréntesis.
L = 12 ÷ (6 × 2) + 3(5 – 2)
L = 12 ÷ (12) + 3(3)
L = 1 + 9
L = 10
1
2
3
4
5
6
Rpta. 5
Rpta. –2
Rpta. –4
Rpta. –12
Rpta. 10
Encuentra el valor de E.
E = 5 – 3(4 ÷ 2 + 3 × 2 – 5)
Determina el valor de M.
M = 8 – 5(6 ÷ 2 + 3 × 4 + 7 – 12)
Realizamos las operaciones dentro del corchete.
E = 5 – 3(4 ÷ 2 + 3 × 2 – 5)
E = 5 – 3(2 + 6 – 5)
E = 5 – 3(3)
E = 5 – 9
E = –4
Realizamos las operaciones dentro del corchete.
M = 8 – 5(3 + 12 + 7 – 12)
M = 8 – 5(10)
M = 8 – 50
M = –42
Resolución:
Resolución:
7
8
Ejercicios resueltos
Rpta. –42
12
Halla el valor de R.
R = 5 – 2[7 × 2 – 4(5 × 5 – 20 ÷ 5 – 3 × 6) – 4]
B = 4 + 5(1) + 4 + 5(1)
B = 18
C = 4(1) + 3(2) + 1 + 2 + 1
C = 14
Nos piden:
A + B + C = 14 + 18 + 14
A + B + C = 46
4
4
1
1 11
11
1
1
1
1
1
1
1
1 1 2
2
2
12
Determina el valor de B.
B = 18 ÷ 6 × 2 + 8 × 2 ÷ 4 + 2(5 × 3 – 5 × 2) – 7
9
10
Reduce la expresión.
A = 12 – 2{3 + 2[5 – 3(4 ÷ 4 × 2 – 3)] – 4[3× 4 – (2 × 2 + 3)]}
Resolución:
A = 12 – 2{3 + 2[5 – 3(1 × 2 – 3)] – 4[3 × 4 – (4 + 3)]}
A = 12 – 2{3 + 2[5 – 3(2 – 3)] – 4[3 × 4 – (7)]}
A = 12 – 2{3 + 2[5 – 3(–1)] – 4[12 – 7]}
A = 12 – 2{3 + 2[5 + 3] – 4[5]}
A = 12 – 2{3 + 2[8] – 4[5]}
A = 12 – 2{3 + 16 – 20}
A = 12 – 2{–1}
A = 12 + 2
A = 14
11
B = 18 ÷ 6 × 2 + 8 × 2 ÷ 4 + 2(5 × 3 – 5 × 2) – 7
B = 3 × 2 + 16 ÷ 4 + 2(15 – 10) – 7
B = 6 + 4 + 2(5) – 7
B = 6 + 4 + 10 – 7
B = 20 – 7
B = 13
Efectuamos las operaciones en paréntesis y
corchetes.
R = 5 – 2[7 × 2 – 4(5 × 5 – 20 ÷ 5 – 3 × 6) – 4]
R = 5 – 2[7 × 2 – 4(25 – 4 – 18) – 4]
R = 5 – 2[7 × 2 – 4(3) – 4]
Ahora reducimos el corchete:
R = 5 – 2[14 – 12 – 4]
R = 5 – 2[–2]
R = 5 + 4 = 9
Resolución:
Resolución:
Calcula la suma de perímetros de las figuras.
(Perímetro: medida del contorno de una figura).
Resolución:
Hallamos el perímetro de cada figura.
A = 3 + 2 + 2 + 2 + 1 + 4
A = 14
2
2
2
4
1
3
12
1u
A CB
Rpta. 13
Rpta. 9
Rpta. 14 Rpta. 46
13MateMática DELTA 1 - álgebra
Calcula el valor de M.
M = 2 – 4 – 9 ÷ 3
Resolución:
Calcula el valor de N.
N = 3 – 5 – 6 ÷ 3
Resolución:
Halla el valor de A.
A = 18 ÷ 3 + 4 – 3
Resolución:
Números enteros
Efectuamos
formado por
{...; –2; –1; 0; 1; 2;...}
Operaciones
Adición/Sustracción Multiplicación División
De dos números
con signos:
• Iguales es
positivo.
(+)(+) = (+)
(–)(–) = (+)
• Contrarios es
negativo.
(–)(+) = (–)
(+)(–) = (–)
De dos números con
signos:
• Iguales es positivo.
(+)
(+) = (+);
(–)
(–) = (+)
• Contrarios es negativo.
(–)
(+) = (–);
(+)
(–) = (–)
Operaciones combinadas
Se aplica la regla:
1.º ( ); [ ]; { } Signos de colección
2.º ×; ÷ Multiplicamos y dividimos
de izquierda a derecha
3.º +; – Finalmente, sumamos y
restamos
1 2
3 4 Halla el valor de B.
B = 18 ÷ 2 + 5 – 4
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Modela y resuelve
Síntesis
• Iguales se juntan.
• Contrarios se
restan colocando
el signo del que
tiene mayor valor
absoluto.
Cantidades de
signos:
14
Determina el valor de R.
R = 5 – 3[4 × 3 ÷ 6 – 1]
Resolución:
Encuentra el valor de P.
P = 8 × 3 ÷ 6 – 9 ÷ 3
Resolución:
Calcula el valor de E.
E = 3 + 2[16 ÷ 4 – 6 ÷ 3]
Resolución:
5 6
7 8
9 10
11 12
Encuentra el valor de Q.
Q = 6 × 4 ÷ 8 – 4 ÷ 2
Resolución:
Determina el valor de P.
P = 6 – 2[6 × 2 ÷ 4 – 2]
Resolución:
Calcula el valor de F.
F = 7 + 2[15 ÷ 3 – 6 ÷ 2]
Resolución:
Halla el valor de M.
M = 15 ÷ 5 × 3 + 2(5 – 3)
Resolución:
Halla el valor de N.
N = 12 ÷ 4 × 3 + 3(4 – 2)
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
15MateMática DELTA 1 - álgebra
Halla el valor de E.
E = 42 ÷ 7 × 2 + 8 × 3 ÷ 4 – 2(5 × 4 – 4 × 3) + 7
Resolución:
Encuentra el valor de A.
A = 24 ÷ 6 × 4 – 24 ÷ (6 × 4) + 5
Resolución:
Calcula el valor de M.
M = 3 – 2[16 ÷ 4 – 2(4 × 2 × 6 ÷ (3 + 5))]
Resolución:
13 14
15 16
17 18
19 20
Encuentra el valor de B.
B = 28 ÷ 7 × 2 – 28 ÷ (7 × 2) + 3
Resolución:
Determina el valor de S.
S = 7 – 3[12 ÷ 4 – 5 × 2 + 1]
Resolución:
Determina el valor de R.
R = 8 – 2[15 ÷ 5 – 6 × 3 + 2]
Resolución:
Calcula el valor de A.
A = 5 – 2[18 ÷ 6 – 2(6 × 2 × 3 ÷ (4 + 5))]
Resolución:
Halla el valor de T.
T= 36 ÷ 9 × 2 + 6 × 3 ÷ 9 – 3(7 × 3 – 7 × 2) + 5
Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
16
Encuentra el valor de M.
M = [8 ÷ 2 × 4 – 2(2 – 5)][8 × 2 ÷ 4 – 2(3 – 5)]
Resolución:
Calcula el valor de L.
L = 2 – 5[(–15) ÷ 5 × (–3) – 2(6 – 8)] – (12 – 4 × 5)(1 – 6)
Resolución:
21
25 26
22
23 24
Encuentra el valor de A.
A = [12 ÷ 3 × 2 – 3(3 – 5)][9 × 2 ÷ 6 – 4(2 –3)]
Resolución:
Determina el valor de T.
T = 2 – 5[(–16) ÷ 8 – 2(3 × (–2) × 6 ÷ (1 – 7))]
Resolución:
Determina el valor de R.
R = 1 – 3[(–8) ÷ 4 – 2(2 ×(–4) × 3 ÷ (1 – 4))]
Resolución:
Calcula el valor de R.
R = 1 – 3[(–18) ÷ 6 ×(–3) –3 (5 – 8)]–(15 – 4 × 3)(2 – 5)
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
17MateMática DELTA 1 - álgebra
Teniendo en cuenta queel perímetro es la
medida del contorno de una figura. Responde las
preguntas, respecto a las figuras:
a) ¿Qué figura tiene mayor perímetro?
b) ¿Cuánto suman los perímetros?
c) Si las figuras representan terrenos y tenemos
64 m de cerca, ¿cuántos metros de cerca
sobraría o faltaría para cercar ambos?
Resolución:
Teniendo en cuenta que el perímetro es la
medida del contorno de una figura. Responde las
preguntas, respecto a las figuras:
a) ¿Qué figura tiene mayor perímetro?
b) ¿Cuánto suman los perímetros?
c) Si las figuras representan terrenos y tenemos
80 m de cerca, ¿cuántos metros de cerca
sobraría o faltaría para cercar ambos?
Resolución:
Fig. C
1 m
Fig. B
1 m
27 28
Fig. A
1 m
Fig. D
1 m
Rpta. Rpta.
18
Encuentra el valor de E.
E = 6 × 4 ÷ 2 – 9 ÷ 3
Determina el valor de A.
A = 8 ÷ 4 + 3 – 2
Practica y demuestra
Relaciona.
1. –2 + 6 a. 6
2. (–3) × (2) b. –4
3. (–24) ÷ (–4) c. 8
4. 7 – 11 d. –6
e. 4
A 1a; 2b; 3c; 4e
B 1e; 2d; 3a; 4b
C 1b; 2a; 3d; 4e
D 1c; 2e; 3a; 4d
E 1d; 2a; 3b; 4e
Encuentra los valores de A y B.
A = –9 + 3
B = –3 + 9
Luego, indica la relación correcta.
A A es mayor que B.
B A es menor que B.
C A es igual a B.
D No se puede determinar.
E No use esta opción.
Halla el valor de M.
M = 4 – 3 + 6 ÷ 3
3
2
1
Nivel I 5
6
7
8
Halla el valor de M.
M = (–15) ÷ 3 + (–2) × (–4)
Calcula el valor de H.
H = 12 ÷ 4 ×(–3) + 12 ÷ [4 × (–3)]
A –18 B –9 C –10
D –8 E –4
A 2 B 5 C 1
D 3 E 4
A 8 B 10 C 6
D 12 E 9
4 Calcula el valor de N.
N = 7 – 11 + 2(18 ÷ 6)
A 2 B 3 C 4
D 5 E 6
A 2 B 4 C 6
D 3 E 5
A 2 B 3 C 4
D 5 E 1
19MateMática DELTA 1 - álgebra
9
10
11
12
Determina el valor de Q.
Q = 3 – 4[6 + 8 ÷ 4 × (–2)] + 2
A –3 B 2 C 1
D –1 E –4
A 9 B –21 C 21
D –30 E –19
A 8 B –10 C –6
D –12 E –18
13
Determina el valor de A.
A = 19 – 5 × 2 + 4 – 7 + 6 ÷ 2 + 8 – 5 × 2 + 18 ÷ 2
A 7 B 8 C 16
D 10 E 11
Encuentra el valor de L.
L = 4 – 3[2 × 4 – 5(4 × 4 –18 ÷ 6 – 5 × 2) + 3]
14
15
16
A 25 B 16 C 18
D 20 E 22
Halla el valor de M.
M = 5 – 3[12 ÷ 3 – 4(3 × 2 × 5 ÷ (2 + 4))]
A 49 B 43 C 39
D 53 E 62
17 Calcula el valor de T.
T = 42 ÷ 7 × 2 + 12 × 4 ÷ 6 – 2(5 × 3 – 5 × 2) + 1
A 11 B 15 C 13
D 12 E 14
Nivel II
Encuentra el valor de A.
A = (15 ÷ 5) . 3 – (12 ÷ 2) . 3 – 12
Indica el valor de R.
R = 3 – 5[2 – 3(7 – 9) – 5]
A 12 B 14 C 16
D 11 E 15
Halla el valor de A.
A = 32 ÷ 8 × 2 – 32 ÷ (8 × 2) + 5
A 34 B 2 C 36
D 39 E 31
Calcula el valor de S.
S = 19 – 5[48 ÷ 8 – 7 × 2 + 5]
20
Indica la verdad (V) o falsedad (F) de las
proposiciones.
( ) Estos países en total fabricaron 70 millones
de autos.
( ) El primero fabricó 20 millones más que el
último.
( ) Los seis últimos fabricaron tanto como el
primero.
( ) El segundo fabricó tanto como los cuatro
últimos.
A VVVV B FFVV C FVFV
D VFVF E FVVV
Miguel tiene un dispositivo de almacenamiento
de 16 000 Mb (megabytes); si se sabe que una
canción ocupa 4 Mb (4 megabytes) y un episodio
de su anime favorito en HD ocupa 1200 Mb,
entonces:
• Puede almacenar ______ canciones en el
dispositivo.
• Si ya tiene almacenado 8 episodios de su
anime favorito, entonces puede almacenar
________ canciones.
• Si quiere almacenar 400 canciones y 15
episodios de su anime favorito, le faltaría
________ Mb.
A 2000; 1000; 1600
B 4000; 3200; 600
C 2000; 800; 2000
D 4000; 1600; 3600
E 8000; 1200; 1600
Teniendo en cuenta que el perímetro es la
medida del contorno de una figura. Responde las
preguntas, respecto a la figura:
* La figura tiene _____ m de perímetro.
* Si la figura representa los límites de un terreno
y tenemos 90 m de cerca, _______________
_____ m para cercar el terreno.
A 50; sobraría; 10
B 120; faltaría; 40
C 60; sobraría; 30
D 100; faltaría; 10
E 70; sobraría; 20
18
19
20
A 232 B 264 C 258
D 246 E 272
Encuentra el valor de E = V + A, si:
V = 3 + 5(1 + 3) + 42 ÷ 7 × 2
A = 3 – 5(1 – 3) – 42 ÷ 7 × 2
A 34 B 36 C 38
D 40 E 42
1.º China: 22 millones
2.º EE. UU.: 11 millones
3.º Japón: 10 millones
4.º Alemania: 6 millones
5.º Corea del Sur:
5 millones
6.º India: 4 millones
7.º Brasil: 4 millones
8.º México: 3 millones
9.º Tailandia: 2 millones
10.º Canadá: 2 millones
Halla el valor de A = L + C, si:
L = 10 – 2[18 ÷ 9 × 2 – 3(4 × 4 – 3 × 3)]–(6 × 4 – 18)(3 – 5)
C = 10 – 2[18 ÷ (9 × 2) – 3 × 4 × 4 + 3 × 3]+(4 × 6 – 18)(3 – 5)
21
22
2 m
Determina el valor de M.
M = [12 ÷ 2 × 3 – 3(1 – 6)][10 × 2 ÷ 5 – 2(1 – 3)]
23
Nivel III
El año pasado los diez países que más autos
fabricaron en el mundo fueron:
A 154 B 148 C 130
D 135 E 162
Tema
21MateMática DELTA 1 - álgebra
Ejemplos:
a) 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
b) 33 = 3 × 3 × 3 = 27
c) (–3)2 = (–3)(–3) = 9
d) (–2)5 = (–2)(–2)(–2)(–2)(–2) = –32
e) (–1)9 = (–1)(–1)(–1)(–1)(–1)(–1)(–1)(–1)(–1) = –1
f) –34 = –(3 × 3 × 3 × 3) = –81
g) –42 = –(4 × 4) = –16
h) –53 = –(5 × 5 × 5) = –125
Definiciones
Exponente cero
b0 = 1b0 = 1 ; si b ≠ 0
Ejemplos:
a) 60 = 1 b) (–2)0 = 1
c) (5 × 3)0 = 1 d) (73)0 = 1
Exponente uno
b0 = 1b1 = b
Ejemplos:
a) 21 = 2 b) 151 = 15
4 factores
exponente
bn = p
base potenciaDonde
n ∈ +
bn = b × b × b ×... × b
n factores
Es la operación que permite encontrar la cantidad llamada potencia (p). Consiste en
multiplicar una cantidad llamada base (b) las veces que indique otra cantidad llamada
exponente (n).
Es decir:
Recu e rda
Ley de signos
(+)par = (+)
(–)par = (+)
(+)impar = (+)
(–)impar = (–)
∈ : pertenece
+: enteros positivos
Import a nt e
Se le e
Potenciación
Obse rva qu e
(–3)2 ≠ –32
(–3)(–3) –(3 . 3)
9 –9
10 000 = 104
2000 = 2 × 1000
2000 = 2 × 103
número
de ceros
2
22
Exponente negativo
; si b ≠ 0
Ejemplos:
a) 2–3 =
1
23 =
1
2 × 2 × 2 =
1
8
b) (6)–2 =
1
63 =
1
6 × 6 =
1
36
c) (–3)–2 =
1
(–3)2 =
1
(–3)(–3) =
1
9
d) –4–2 =
–1
42 =
–1
2 × 2 =
–1
16 =
1
16
Exponentes sucesivos
bm = bm = b r
n p q
Import a nt e
1
b–n = b
n
Propiedades
Multiplicación de bases iguales
Ejemplos:
a) 23 × 22 = 23 + 2 = 25
b) 52 × 53 × 5 = 52 + 3 + 1 = 56
c) 32 × 3–1 = 32 + (–1) = 32 – 1 = 31
d) 6–2 × 63 × 6 = 6–2 + 3 + 1 = 62
bn . bm = bn + m
Recu e rda
a1 = a
a0 = 1
1
0
= No definido
(bm)n ≠ bmn
Ejemplos:
0
5
3
0
0
1
a) 52 = 52 = 51 = 5
b) 92 = 92 = 9 2 = 9 × 9 = 81
Nota: (03 = 0)
b–n =
1
b
n
=
1
bn
23MateMática DELTA 1 - álgebra
Obse rva
b
b
b
n
m
n m
−
+=
24 × 34 = (2 × 3)4 = 64
1n = 1; n ∈ +
División de bases iguales
; siendo b ≠ 0
Ejemplos:
a)
3
3
3
7
3
7 – 3 4= 3= b)
12
12
12= = 12
51
49
51 49 2−
c) 7
7
7
5
3
5 3 2= 7=− d)
8
8
8
6
2
6 6 22 8
−
− −( ) + =8 8= =
Potencia de una multiplicación
(ab)n = an . bn
Ejemplos:
a) (2 × 5)3 = 23 × 53
b) (3 × 4 × 5)6 = 36 × 46 × 56
c) (2 × 7 × 9)4 = 24 × 74 × 94
Potencia de un cociente
Ejemplos:
a) b)
c) d)
Potencia de potencia
Ejemplos:
a) (23)4 = 23 × 4 = 212 b) (52)5 = 52 × 5 = 510
c) (310)2 = 310 × 2 = 320 d) ((73)2)5 = 73 × 2 × 5 = 730
; siendo b ≠ 0
(bn)m = (bm)n
103
53
3
= = 23
10
5
a
b
a
b
n n
n
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
3
5
3
5
2 2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
10
9
10
9
5 5
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
5
7
5
7
3 3
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
1
6
1
6
4
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
b
b
b
n
m
n = m−
b bn
m n m( ) = .
24
Indica la suma de todos los valores que faltan.
• 3 .34 = 37
• = 54
• ( 4 )–2 = 44
• (33 . 5 ) = 36 . 58
Resolución:
• 3 . 34 = 33 + 4 = 37
• = 53 – (–1) = 53 + 1 = 54
• ( 4 )–2 = 4(–2)(–2) = 44
• (33 . 5 ) = (33)2 . (5 ) 2 = 36 . 58
Piden: 3 + 3 – 2+ 4 + 2 = 10
5
5
51
4
−
=
3
–2
24
1
2 Calcula el valor de A.
A = 22 . 2–3 . 25
Resolución:
Tenemos:
A = 22 . 2–3 . 25
A = 22 – 3 + 5
A = 24
A = 2 . 2 . 2 . 2
A = 16
3 Determina el valor de L.
Resolución:
Reducimos.
Multiplicación de bases iguales
L == 7
7
7
7
3 + 2
7 + 1
+ 5 10
8
División de bases iguales
L = 710 – 8 = 72
L = 7 . 7 = 49
Rpta. 49
4 Halla el valor de G.
G = ( )15
25
3
Resolución:
Tenemos:
Potencia de una multiplicación
División de bases iguales
G = 33. 53 – 2
G = 33. 51
G = 3 . 3 . 3 . 5
G = 135
Rpta. 135Rpta. 16
Rpta. 10
5
5
51
4
−
=
3
Ejercicios resueltos
4
( )
= =G 15
25
3 . 5
5 . 5
G = 3
3 . 53
52
L =
L =
73 . 72 . 75
73 . 72 . 75
77 . 7
77 . 71
25MateMática DELTA 1 - álgebra
Calcula el valor de B.
5 Encuentra el valor de E.
E = 74 .
2
7
3
Resolución:
Tenemos:
E = 74 .
2
7
3
Potencia de un cociente
E = 74 .
2
7
3
División de bases iguales
E = 74 – 3 . 23
E = 7 . 23
E = 7 . 2 . 2 . 2
E = 56
6
9 Encuentra el valor de .
Resolución:
Tenemos esta posibilidad (no es la única):
10 Calcula el valor de N.
N = 210 – 10 . 322 – 18 . 58 – 8 . 712 – 12
N = 20 . 34 . 50 . 70 = 1 . 3 . 3 . 3 . 3 . 1 . 1 = 81
8 Halla el valor de A.
A = 13
–2
+ 19
–1
+ 7
2–1
Resolución:
Tenemos:
A =
3
1
2
+ 91
1
+ 7
1
2
A = [32 + 9 + 7]
1
2
A = [9 + 9 + 7]
1
2
A = [25]
1
2 = 5
2 . 12 = 51 = 5
7 Determina el valor de R.
R =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
− −1
4
2 1
Resolución:
Tenemos:
R =
− −
R 1
4
2 1
2
1
( )= = =
−
R 1
4
4 2
1
2
1
2 2
1
2
R = 22
.
= 21 = 2
1
2
B =
(23 . 52)
2
(2 . 5)4
B =
(23 . 52)
2
(2 . 5)4
B =
26 . 54
24 . 54
B = 26 – 4 . 1
B = 22 . 1
B = 2 . 2 = 4
Rpta. 4
Rpta. 2
Rpta. 56
Rpta. 5
Rpta. 8
Rpta. 81
Potencia de una multiplicación
División de bases iguales
Resolución:
Tenemos:
H = 12 6
36
3
2
.
H = 27 – 4 . 34 – 4 = 23 . 30
H = 2 . 2 . 2 . 1 = 8
H = =
26 . 33 . 21 . 31 26 + 1 . 33 + 1
24 . 34 24 . 34
H = =
(12)3 . (6) (23 . 3)3 . 2 . 3
(36)2 (22 . 32)2
N =
(6)10 . (25)4 . (21)12
(14)4 . (35)8 . (54)6
N =
(2 . 3)10 . (52)4 . (3 . 7)12
(2 . 7)4 . (5 . 7)8 . (2 . 33)6
N =
210 . 310 . 58 . 312 . 712
24 . 74 . 58 . 78 . 26 . 318
N =
210 . 310 + 12 . 58 . 712
24 + 6 . 74 + 8 . 58 . 318
N =
610 . 254 . 2112
144 . 358 . 546
Resolución:
Tenemos:
=
210 . 322 . 58 . 712
210 . 712 . 58 . 318
26
Se tienen los datos de los animales más grandes
del mar, tierra y aire:
Peso
(kg)
Largo / alto
ballena azul
elefante africano
cóndor andino
180 000
4500
15
30 (largo)
3 (alto)
12 . 10–1 (cuerpo)
• El peso de una ballena azul equivale al peso de
A elefantes africanos.
• El peso de un elefante africano equivale al peso
de B cóndores andinos.
• Si el peso promedio de una persona es 60 kg,
el peso de C personas equivalen al peso de
una ballena azul.
Encuentra los valores de A, B y C.
14
12 Reduce.
J =
22 22(22)2
2 2
(22)2(2–2)(22)(–2)
2
(2–2)–4
1
2
Resolución:
Tenemos:
J =
22 22(22)2
2 2
(22)2(2–2)(22)(–2)
2
(2–2)–4
1
2
J =
22 22 . 24
2 2
24 . 2–2 . (22)4 . 28
1
2
J =
22 26
2 2
24 . 2–2 . 28 . 28
1
2
J =
22 . 212
2
24 – 2 + 8 + 8
1
2
J =
22 + 12
2
218
1
2
J =
214
2
218
1
2
⇒
J =
228
218
1
2
J = [228 – 18]
1
2
J = [210]
1
2
= 210 .
1
2
= 25
J = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
13 Halla el perímetro de la figura, sabiendo que el
perímetro es la medida del contorno de una figura.
Resolución:
Nos piden:
P = 12 . 2–1 + 60 . 6–1 + 36 . 4 –1 + 108 . 3–2 + 105 . 5–1+
1
5
–1
P =
12
21
+
60
61
+
36
4
+
108
31
+
105
51
+
5
1
–1
P = 6 + 10 + 9 + 12 + 21 + 5
P = 63
Resolución:
Nos piden:
A =
180 000
4500
=
2 . 9 . 104
5 . 9 . 102
=
2 . 91 – 1 . 104 – 2
5
A =
2 . 1 . 100
5
=
200
5
= 40
B =
4500
15
=
3 . 15 . 100
5
= 300
C =
180 000
60
=
18 . 104
6 . 101
= 3 . 103 = 3000
60 . 6–1 u
105 . 5–1 u
12 . 2–1 u
108 . 3–2 u
36 . 4–1 u
11 Determina el valor de M.
M =
[(300 000)2 . 1000–1]3
270 000 000 000
Resolución:
Tenemos:
M =
(3 . 105)2 . (103)–1
3
27 . 1010
M =
32 . 1010 . 10–3
3
33 . 1010
M =
36 . 1030 . 10–9
33 . 1010
M = 36 – 3 . 1030 – 9 – 10
M = 33 . 1011
M = 27 . 1011
Rpta. 27 . 1011 Rpta. 63 u
Rpta. 40; 300; 3000Rpta. 32
1
5
–1
u
27MateMática DELTA 1 - álgebra
Escribe verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.
a) –32 = 9 ( )
b) 2 . 23 = 43 ( )
c) (–2)2 = 22 ( )
d) (32)3 = 36 ( )
3 4
2 Escribe verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.
a) –24 = –16 ( )
b) 3 . 23 = 63 ( )
c) (–3)2 = –32 ( )
d) (43)2 = 49 ( )
Calcula el valor de M.
M = 54 . 5–3 . 5
Resolución:
Calcula el valor de I.
I = 75 . 7–4 . 7
Resolución:
Rpta. Rpta.
Exponente Propiedades
Entero positivo
Cero
Uno
Entero negativo
b0 = 1; b ≠ 0
bn = b × b × b × b × ... × b
b–n = " b ≠ 0
1
bn
n factores
b1 = b
bn . bm = bn + mMultiplicación de bases iguales
División de bases iguales
(ab)n = an . bn
a
b( (
a
b
n n
n=
(bn)m = bn . m
Potencia de una multiplicación
Potencia de una división
Potencia de potencia
Potenciación
bn
bm
= bn – m
Síntesis
1
Modela y resuelve
28
Reduce la expresión S.
Resolución:
Halla el equivalente de E.
E = (5–2)–1 . (52)3 . 5–7
Resolución:
Determina el valor de G.
Resolución:
9 10
11 12
5 6
7 8
Determina el valor de U.
Resolución:
Halla el equivalente de L.
L = (3–3)–2 . (32)4 . 3–10
Resolución:
G = 10
3 . 10–5 . 107
104
S =23 . (22)
4. 2
25 . (22)3
56 . (52)3. 5
55 . (52)4
Reduce la expresión F.
Encuentra el valor de P.
P = (5–3)2 . 54 . (5–1)–3
Resolución:
Encuentra el valor de I.
I = (4–2)4 . 44 . (4–2)–3
Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
F =
Resolución:
U = 8
3 . 8–6 . 87
83
29MateMática DELTA 1 - álgebra
Calcula el valor de N.
N = (23)2 + 232
Resolución:
13
17 18
19 20
14
15 16
Calcula el valor de O.
O = 232 – (23)2
Resolución:
Determina el valor de Z.
Z =
− −1
27
3 1
Resolución:
Determina el valor de A.
A =
− −1
81
4 1
Resolución:
Reduce la expresión.
C = −
−
3 2
3
1
6
3
Resolución:
Reduce la expresión.
R = −
−
4 2
5
1
10
2
Resolución:
Halla el valor de I.
Resolución:
Halla el valor de J.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
I = + +2 2 22 2 2
2 1 0
I = + +3 3 32 2 2
2 1 0
30
Encuentra el valor de T.
T = + + ⎥
− −1
3
1
5
1
2 1 2
Resolución:
Efectúa y determina el valor de M.
M = N = + +
− − −
− −
1
2
1
3
1
4
1
2
1
3
1
4
1 1 −1
Resolución:
21 22
23 24
25 26
Encuentra el valor de E.
E = + +
− −1
4
1
7
2
2 1 2
Resolución:
Calcula el valor de H.
Resolución:
Calcula el valor de A.
Resolución:
Efectúa y determina el valor de N.
− −1 1
N = + +
− − −
⎞
1
3
1
4
1
5
1
2
1
3
1
2
⎟
1
Resolución:
A =
156 . 124 . 510 . 63
1011 . 313 . 54
H =
154 . 149 . 303
216 . 353 . 803
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
31MateMática DELTA 1 - álgebra
27 28
Responde:
a) ¿Cuántas veces la distancia de la Tierra al
Sol equivalen a la distancia de la Tierra a la
estrella Alfa Centauro?
b) ¿Cuántos viajes de ida y vuelta de la Tierra al
Sol equivalen a la distancia de la Tierra a la
estrella Wolf359?
c) Si una nave espacial puede viajar
300 000 000 km en un año, ¿en cuántos años
llegaría a la estrella Barnard?
Resolución:
29 Responde:
a) ¿Cuántas veces la distancia de la Tierra al Sol
equivalen a la distancia de la Tierra a la estrella
Wolf359?
b) ¿Cuántos viajes de ida y vuelta de la Tierra al
Sol equivalen ala distancia de la Tierra a la
estrella Barnard?
c) Si una nave espacial puede viajar
300 000 000 km en un año, ¿en cuántos años
llegaría a la estrella Alfa Centauro?
Resolución:
30
Halla el valor de L.
L = N =
Resolución: Resolución:
(200 0002 . 3003)2 (700 0002 . 2003)2
6 000 0004 140 000 0004
Tu profesor de álgebra ha calculado las distancias aproximadas a las estrellas más cercanas.
• De la Tierra al Sol: 150 000 000 km
• De la Tierra a Alfa Centauro: 45 000 000 000 000 km
• De la Tierra a Barnard: 60 000 000 000 000 km
• De la Tierra a Wolf359: 75 000 000 000 000 km
30 000 = 3 . 10 000 = 3 . 10 4
Número de ceros
Recu e rda
Halla el valor de N.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
32
Practica y demuestra
Completa.
1. 3
3
3
2
1− =
2. (22 . 3) = 24 . 3
3.
Luego, halla el valor de M = a + b + c + d.
Encuentra el valor de N.
a
d
b c
1
4
5
6
7
8
2
3
1
3C =
− −
5
6 1
A 3 B 81 C 1
D 9 E 27
A 8 B 10 C 9
D 11 E 12
A 81 B 3 C 9
D 27 E 1
A 25 B 50 C 10
D 5 E 1
Halla el valor de C.
A 3 B 15 C 25
D 5 E 9
A 5 B 25 C 1
D 10 E 15
Simplifica T.
Calcula el valor de N.
N =
1
2
–3
+
1
2
–2
+ 1
A 20 B 15 C 25
D 18 E 16
A 234 B 250 C 244
D 260 E 255
T = 2
4 . 217 . 231
2–13 . 2–5 . 210
Nivel I
23 . 25 . 2
= 2
24 . 22
52 . 53 . 5
I =
5–1 . 56
N = (3
2 · 53)
2 · 34
(3 . 5)6
B
factores
=
3 . 3 . 3 . ... . 3
3 . 3 . 3 . ... . 3
factores
29
32
Reduce B.
Determina el valor de I.
Calcula el valor de V.
V = 34 . 3–5 . 33
33MateMática DELTA 1 - álgebra
Indica el valor de R.
R = 24 . 3–1 + 36 . 2–2
Indica el valor de Q.
Encuentra el valor de L.
9
10
11
12
13
14
15
16
1
5
1
4
1
3
Q = + +
0 –1 –2
2 1P = + ( ) ( )2 3
8
1
4
2
– –
Determina el valor de Z.
Z = 12 . 6–1 – 32 + (–2)4
L = + +2 2 2
2
5 6 4
3
A 16 B 17 C 18
D 15 E 19
A 9 B –23 C 11
D 13 E –19
A 15 B 14 C 13
D 12 E 16
A 12 B 14 C 16
D 11 E 15
El exponente de 5 que resulta al efectuar E.
E = 52
4
. (5–2)4
A 4 B 6 C 8
D 16 E 125
Halla el valor de N.
N = 36 . 3–2 + (–3)3 – (35 . 6)0
A 32 B 12 C 16
D –24 E –20
Calcula el valor de P.
A 78 B 81 C 85
D 87 E 89
Determina el valor de H.
. .H = 5
3
3
5
9
7 5
. .H = 5
3
3
5
9
7 5
.
A 75 B 15 C 50
D 25 E 9
Nivel II
.. .H = 5
3
3
5
9
7 5
34
Efectúa
Un grupo de alumnos ha medido las distancias de
la Tierra a la Luna, al Sol y a Marte, obteniendo
estos resultados.
Distancia de la Tierra a:
Luna: 382 000 000 m
Marte: 229 200 000 000 m
Sol: 152 800 000 000 m
• La distancia de la Tierra a Marte es ______
veces de la distancia a la Luna.
• La distancia de la Tierra al Sol es ________
veces de la distancia a la Luna.
22
21
23
A 12 B 16 C 8
D 6 E 24
Indica la verdad (V) o falsedad (F) de las
proposiciones.
( ) 200 000 = 2 . 105
( ) 3 . 107 = 3 000 000
( ) 1 500 00050 000 = 300
( ) 10 000 000 000 = 1010
Dados los valores de:
Se cumple que:
A El valor de A es el doble de B.
B El valor de B es el doble de A.
C Los valores de A y B son iguales.
D La suma de A y B es 20.
E El producto de valores de A y B es 50.
A B= =
75 45
15
1
5
4 3
10
–2 2
–1
.
indica la mitad de M.
Halla el valor de E.
Calcula el valor de a.
(3a)4 . (3–2)3 = 310
Encuentra el valor de S = I + R.
I = 5
3 . 57
(52)4
∧ R = (5
3)4
36 . 312
17
18
19
2 2
5 2
4
E = )
( ) .2 2
3 2
22 2
–5
–
. (
A B C
D E
2 5 4
3 6
A 64 B 15 C 13
D 12 E 34
A 4 B 16 C 1
D 2 E 8
M =
2n + 2 – 3 . 2n + 1 + 2n + 3
2n – 1
; luego,
20
Nivel III
A 300; 400 B 600; 400
C 600; 200 D 400; 600
E 300; 200
A VFVV B FFVV C VVFV
D VFVF E VFFV
∧
MateMática DELTA 1 - álgebra
Tema
35
Radicación
Para hallar el valor de x, ¿qué operaciones debemos realizar?
La radicación es la operación que permite calcular un número b denominado raíz, que
elevado a una potencia igual al índice n del radical, resulta el radicando a. Es decir:
Definiciones
Exponente fraccionario
Para todo a entero y n entero positivo (" a ∈ ∧ n ∈ +)
Valor absoluto de a(|a|): significa el valor positivo de a.
Ejemplos:
a) 25 = 5, porque 52 =25 b) –8
3
= –2, porque (–2)3 = –8
c) 64
3
= 4, porque 43 = 64 d) –4 = no existe en
Ejemplos:
a) 9
1
2 = 9 = 3 b) 4
3
2 = 43
2
= 4
2 3
= 23 = 8
c) 64
1
3 = 64
3
= 4 d) 36
3
= 3
6
3 = 32 = 9
e) 81
1
4 = 81
4
= 3 f) (–8)
2
3 = (–8)2
3
= (–8)
3 2 = (–2)2 = 4
g) (–32)
1
5 = –32
5
= –2 h) 215
5
= 2
15
5 = 23 = 8
Ejemplos:
a) 53
3
= 5 b) (–3)5
5
= –3
c) 34
4
= |3| = 3 d) (–5)2 = |–5| = 5
8
x
6
a c
b
En un triángulo rectángulo se cumple:
an = b ⇔ bn = a
Donde:
n ∈ +
Donde:
n ≠ 0
ann
a ; si n es impar
|a|; si n es par=
Valor absoluto
|2| = 2
|–3| = 3
|–6| = 6
|11| = 11
Términos de
radicación
an = b
índice
radicando
raíz
Recu e rda
3
Import a nt e
(+)
(–)
(+)
(–)
= (+)
= (–)
= (+)
= ∃
impar
impar
par
par
¿Sa bía s qu e.. .?
Se lee:
∃ : existe
∃ : no existe
" : para todo
⇔ : si y solo si
Obse rva
c = a2 + b2
a
m
n = n am n am = n am
36
Ejemplos:
a) 3 2 2 = 3
. 2
2 =
6 2 b) 5 3 7 = 5
. 3 . 2
7 =
30
7
c) 5 3 6 = 5
. 3
6 =
15
6 d)
8 3 55 = 8
. 3
5
5 = 24 5
5
e) 7 3 10 = 7
. 3
10 =
21
10 f )
4 7 3 311 = 4
. 7 . 3
3
11 = 84 3
11
Ejemplos:
a)
3
4
= 3
4
= 3
2
b) 5
2
=
3
4
c) 3
5
3
=
3 5
3 3
d)
7 11
7 3
= 4
11
16
e) 4
11
16
=
4 11
4 16
=
4 11
4 24
=
4 11
2 f )
3 250
3 2
= 3
250
2
= 3 125 = 5
Propiedades
Raíz de un producto
Raíz de un cociente
Raíz de raíz
a . b = .n an bn
Ejemplos:
a) 5 . 2
3
= 5
3
. 2
3
b) 3 . 12 = 3 . 12 = 36 = 6
c) 3 . 7
4
= 3
4
. 7
4
d) 5
3
. 25
3
= 5 . 25
3
= 5 . 52 =
3
53
3
= 5
e) 7 . 3 . 2 = 7 . 3 . 2 f) 5 . 2 . 10 = 5 . 2 . 10 = 100 = 10
g) 4 . 33
5
= 4
5
. 33
5
h) 3
4
. 23
4
= 3 . 23
4
= 3 . 8
4
= 24
4
i) 24
3
= 8 . 3
3
= 8
3
. 3
3
= 2 . 3
3
j ) 2
5
. 32
5
= 2 . 32
5
= 2 . 9
5
= 18
5
; para: b ≠ 0
¿Sa bía s qu e.. .?
El símbolo de la
radicación , es
una variación de la
letra r, primera de
la palabra radix que
significa raíz.
Fue introducida por
Christoph Rudolf.
Import a nt e
La radicación solo
es distributiva
con respecto a la
multiplicación y
división.
Para:
n ∈ ∧ n ≥ 2
0
n
= 0
1
n
= 1
Obse rva
Se lee:
Raíz cuadrada
x x
2
=
Se lee:
Raíz cúbica
x
3
n a
b
=
n a
n b
m n a = m
. n
a
37MateMática DELTA 1 - álgebra
Tipos de radicales
Radicales semejantes
Son aquellos radicales que tienen igual índice y radicando.
Ejemplos:
a) 3 5
4
; –2 5
4
; 5 5
4
son radicales semejantes
b) 7 2
3
; 13 5
5
; –11 6
2
no son radicales semejantes
c) 4 3; 15 3; –9 3 son radicales semejantes
Los radicales semejantes se pueden reducir con sumas y restas.
Ejemplos:
a) M = 3 2 + 5 2 – 2 2
Resolución:
M = 3 2 + 5 2 – 2 2
M = (3 + 5 – 2) 2
M = 6 2
b) E = 5 3
3
– 7 3
3
+ 11 3
3
Resolución:
E = 5 3
3
– 7 3
3
+ 11 3
3
E = (5 – 7 + 11) 3
3
E = 9 3
3
Ejemplos:
Operaciones combinadas con números enteros:
a) Halla el valor de P.
P = 5 – 3[32 – 12 ÷ 4 × 3 + 9]
b) Reduce la expresión M.
M = 8 + 4 2 – 3 2
Operaciones combinadas
Cuando aparecen operaciones combinadas, es necesario seguir la prioridad de los
signos de operación en el siguiente orden:
1.º Si en la expresión aparecen signos de colección, deberá operarse primero la parte
interna.
2.º Se realizan las potencias y radicales.
3.º Se realizan las multiplicaciones y divisiones evaluando de izquierda a derecha.
4.º Se realizan las sumas y restas.
Resolución:
Dentro de los corchetes:
P = 5 – 3[32 – 12 ÷4 × 3 + 9] Potenciación y radicación
P = 5 – 3[9 – 12 ÷ 4 × 3 + 3] Multiplicación y división de izquierda a derecha
P = 5 – 3[9 – 9 + 3] Suma y resta
P = 5 – 3[3] Ahora la multiplicación
P = 5 – 9 Finalmente la resta
P = –4
Resolución:
Observamos que: 8 = 4 . 2 = 4 . 2 = 2 2
Entonces: M = 2 2 + 4 2 – 3 2
M = (2 + 4 – 3) 2
M = 3 2
Import a nt e
En las operaciones
combinadas se
efectúa:
1.° ( )n ; n
2.° × ; ÷
3.° + ; –
Obse rva
4 + 3 × 22
4 + 3 × 4
4 + 12 = 16
primero
segundo
tercero
n an . b = n an . n b
n impar = a . n b
n par = lal . n b
38
¿Sa bía s qu e.. .?
Algoritmo
Conjunto ordenado y
finito de operaciones
que permite hallar
la solución de un
problema.
N = r . b ⇒ r = Nb
bʹ =
r + b
2 ∧ r' =
N
bʹ
Ejemplo:
Halla la raíz
cuadrada de 40.
40 = 10 × 4
bʹ =
10 + 4
2 = 7
⇒ rʹ =
40
7 = 5,71
b =
7 + 5,71
2 = 6,35
⇒ r = 406,35 = 6,3
Método babilónico
3.º Se resta al primer grupo el cuadrado del valor hallado
en el paso anterior (en este caso 22 = 4), y se baja el
grupo marcado a la derecha.
4.º En la parte inferior derecha se escribe el doble de la
parte destacada. Observa que 4 es el doble de 2.
6.º Se sube el valor de n a la parte superior del espacio
destacado, escribiéndolo a continuación de la cifra
que había ya en el mismo.
Se baja el otro grupo, en este caso 21 del lado del 5 y
se procede como en los pasos cuarto, quinto y sexto.
7.º Si no hay más grupos, se ha hallado la raíz cuadrada
del número.
Observa: 52 es el doble de 26.
2.º Se busca el cuadrado perfecto menor y que más
se aproxime a este último grupo y se extrae su raíz
cuadrada.
En nuestro caso este valor es 4 (más próximo a 6), y
su raíz es 2.
6 81 21 2
6 81 21 2
–4
2 81
6 81 21 2
–4
2 81
4 2 × 2
6 81 21 26
–4
2 81
–2 76
5 21
4 6 × 6
Luego:
La raíz cuadrada de 68 121 es 261. Pues 261 × 261 = 68121.
6 81 21 2
–4
2 81
–2 76
5 21
4 6 × 6
6 81 21 261
–4
2 81
–2 76
5 21
0
–5 21
4 6 × 6
52 1 × 1
5.º Encuentra un valor n que añadido al encontrado
en el cuarto paso y multiplicado por el mismo n sea
aproximado a 281, pero menor que el valor encontrado
en el tercer paso; resta y baja el grupo marcado a la
derecha.
Separamos la cifra de la derecha de 281 dividimos
28 ÷ 4 = 7, este es el posible valor de n , multiplica
47 × 7 = 329, el resultado es mayor que 281; cuando
el resultado es mayor que el número, disminuye en la
unidad el posible valor de n; entonces n = 6.
Entonces: 6 × 46 = 276
Luego se resta: 281 – 276 = 5
Raíz cuadrada de un número natural
Para calcular la raíz cuadrada de un número natural seguimos la siguiente regla:
1.º Separa las cifras del número en grupos de dos,
empezando por la derecha, el último grupo
puede tener una o dos cifras.
Halla: 68121
último grupo primer grupo
6 81 21
Ejemplo:
39MateMática DELTA 1 - álgebra
Determina el valor de R. Indica la suma de todos los valores que faltan.
Escribe verdadero (V) o falso (F).
( V ) –8
3
= –2
( F ) 16
4
= 4
( F ) –4 = –2
( V ) 27
3
= 3
Halla el valor de T.
T = 4
3
. 2
3
Calcula el valor de S.
S = 8
2
3 + 1
Encuentra el valor de E.
E =
3 3 (–2)2 + 10
3 2
a) 210
5
= 2
b)
3 5 = 12 5
c) 4 . 5
3
= 4 . 5
3
d) 4
5
16
=
4 5
Resolución:
Completamos:
a) 210
5
= 2
b)
3 5 = 12 5
c) 4 . 5
3
= 4 . 5
3
d) 4
5
16
=
4 5
Piden:
2 + 4 + 3 + 2 = 11
2
2
3
4
Resolución:
Tenemos:
T = 4
3
. 2
3
Raíz de un producto
T = 4 . 2
3
T = 8
3
= 2
Resolución:
Tenemos:
R = 4
3
. 10
3
5
3
Potencia y raíz de un producto
R = 4 . 105
3 = 405
3 ⇒ R = 8
3
= 2
Resolución:
Tenemos:
S = 8
2
3 + 1 Exponente fraccionario
S = 82
3
+ 1 Recuerda am
n
= a
n m
S = 8
3
2
+ 1 Evaluamos la raíz
S = 22 + 1 Evaluamos la potencia
S = 4 + 1 Finalmente la suma
S = 5
Resolución:
Realizamos operaciones:
E =
3 3 (–2)2 + 10
3 2
E =
3 3|–2| + 10
3 2
E =
3 3 . 2 + 10
3 2
E = 3
6 + 10
2
E = 3
16
2
= 3 8 = 2
Recuerda: an
n
= |a|, para n par
5
6
R =
4
3
. 10
3
5
3
1
2
3
4
Ejercicios resueltos
Rpta. 2
Rpta. VFFV
Rpta. 11
Rpta. 2
Rpta. 5
Rpta. 2
40
Halla el valor de E.
E = 27
3
+ 2 . 8 + 1
Determina el valor de H.
H =
50 + 18 – 8
2
Calcula el valor de C.
C = 9 – 4[42 – 2( 27
3
+ 35 × 32 ÷ 34 – 4 × 6)]
Encuentra el valor de P.
P = 16 – 3[(8 ÷ 4)3 – 3123 ] + 100
Halla el valor de Q.
Q = 103 ÷ [(10 ÷ 5)3 × 4 – (13 – 8)2 + 27
3
]2 – 81
ONEM 2004 - Nivel 1 - Fase 1
Los ingresos I (en miles de soles) de una empresa
dependen del precio de venta unitario de cierto
producto c (en soles) según la relación:
I(c) = 10 + 2 49 – c
cuando c varía entre 0 y 49.
a) ¿Cuánto es el ingreso cuando el precio unitario
es de 24 soles?
b) Si el precio unitario aumenta en 9 soles,
¿cuánto es el ingreso?
Resolución:
Resolución:
Tenemos:
E = 27
3
+ 2 . 8 + 1
E = 27
3
+ 2 . 8 + 1
E = 27
3
+ 16 + 1
E = 3 + 4 + 1
E = 8
Resolución:
P = 16 – 3[(2)3 – 312
2 . 3
] + 100
P = 4 – 3[(2)3 – 3
12
6 ] + 10
P = 4 – 3[8 – 32] + 10
P = 4 – 3[8 – 9] + 10 = 4 – 3(–1) + 10
P = 4 + 3 + 10 = 17
Resolución:
Q = 103 ÷ [(2)3 × 4 – (5)2 + 27
3
]2 – 81
Q = 103 ÷ [8 × 4 – 25 + 3]2 – 9
Q = 103 ÷ [32 – 25 + 3]2 – 9
Q = 103 ÷ [10]2 – 9 = 103 – 2 – 9 = 10 – 9 = 1
a) I = 10 + 2 49 – 24
I = 10 + 2 25
I = 10 + 2 . 5
I = 10 + 10 = 20 mil soles
b) Si c = 24 + 9 = 33
I = 10 + 2 49 – 33
I = 10 + 2 16
I = 10 + 2 . 4 = 10 + 8 = 18 mil soles
Resolución:
Reducimos los radicales:
H = 25 . 2 + 9 . 2 – 4 . 2
2
H = 25 . 2 + 9 . 2 – 4 . 2
2
H = 5 . 2 + 3 . 2 – 2 . 2
2
H = (5 + 3 – 2) . 2
2
H = 6 . 2
2
= 6
Resolución:
C = 9 – 4[42 – 2( 27
3
+ 35 × 32 ÷ 34 – 4 × 6)]
C = 3 – 2[16 – 2(3 + 35 + 2 – 4 – 4 × 6)]
C = 3 – 2[16 – 2(3 + 33 – 4 × 6)]
C = 3 – 2[16 – 2(3 + 27 – 24)]
C = 3 – 2[16 – 2(6)]
C = 3 – 2[16 – 12]
C = 3 – 2[4]
C = 3 – 8
C = –5
7
8
9
10
11
12
Rpta. 20 mil y 18 mil soles
Rpta. 8
Rpta. 6
Rpta. 1
Rpta. 17
Rpta. –5
41MateMática DELTA 1 - álgebra
9
32
• = 4
• =
• =
•
Halla el valor de M en: Halla el valor de E en:
Resolución: Resolución:
a
412
3
Si M = a + b + c + d.
7
6b
724
3 . 11 5
5
3
c
d
11
5
5
= 9
715
3
= 7•
•
•
• 527
3
r
3
= 5
13
5n
= 13
20
5 . 177 = 5
s
177
Si E = m + n + s + r.
Rpta. Rpta.
Propiedades
Operaciones combinadas
Se aplica la regla:
1.° ( ) ; [ ]; { }
2.° ( )n ; n
3.° × ; ÷
4.° + ; –
Exponente
Fraccionario
Donde:
n ≠ 0
Donde:
|a| es el valor positivo de a.
Potenciación y
radicación
Multiplicación y
división de izquierda
a derecha
Finalmente, sumas
y restas
Primero resuelve la
parte interna de los
signos de colección
Raíz de una
división
Raíz de una
multiplicación
Raíz de
raíz
a ; si n es impar
|a|; si n es par
=
=
a . b
n
= a
n
. b
n1.
2.
3.
Radicación
m
Síntesis
21
Modela y resuelve
m
am
n
an
an
n
a anm m n= .
n a
b
=
n a
n b
42
Calcula el valor de T = +
Determina el valor de C = 27 + 4. Determina el valor de H = 9 + 3.
Resolución: Resolución:
3 4
Resolución:
8
Encuentra el valor de E = 81 + 27 .
3
Resolución:
5
Evalúa O.
O = 5
3
. 25
3
Resolución:
9
Encuentra el valor de I = 64 + 8
3
Resolución:
6
Evalúa P.
P = 4
3
. 16
3
Resolución:
10
Calcula el valor de S = +
Resolución:
7
2
3
3
2
(–4)2 53
3
433 (–3)2
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
43MateMática DELTA 1 - álgebra
15
17
13 14
16
18
11 Halla el valor de
Reduce C. Reduce D.
Encuentra el valor de Encuentra el valor de
12 Halla el valor de
Determina el valor de A. Determina el valor de B.
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
26
43C = 39
36
D =
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.80
4
P =
54
16
5
. 20
5
10
5A =
312 + 2.
3
F =212 + 1.
3
E =
B = 20
4
. 8
4
10
4
H =
53
40
3
44
Halla el valor de I = 8 + 18 – 2. Halla el valor de H = 27 + 12 – 3.
Calcula el valor de G = 21 + 36
3
Rpta.
Calcula el valor de H =
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
19
2221
Reduce la expresión G.
G = 16 – 8
3
[32 + 25(36 ÷ 6 ÷ 3 – 3)]
23 Reduce la expresión J.
J = 125
3
– 4[42 + 16(18 ÷ 3 ÷ 2 – 4)]
24
Determina el valor de H.
H = 27
3
– 2[3 9 – 2(18 ÷ 3 × 6 – 52)]
25 Determina el valor de E.
E = 8
3
– 3[3 16 – 2(24 ÷ 6 × 2 – 42)]
26
20
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
13 + 273
45MateMática DELTA 1 - álgebra
Rpta.
Encuentra el valor de M.
M = 54 ÷ [(15 ÷ 5)2 × 2 – 8
3
+ 32] – 64
Encuentra el valor de E.
E = 43 ÷ [(9 ÷ 3)2 × 2 – 125
3
– 32] – 16
La velocidad de un móvil V (m/s) que depende del
tiempo t (en segundos) está representada por la
relación:
V(t) = 8 + 3 2t + 10
a) ¿Cuál es su velocidad cuando el tiempo es
3 s?
b) Diez segundos después, ¿cuál es su
velocidad?
c) ¿Cómo cambia la velocidad entre el minuto 13
y el minuto 27?
La velocidad de un móvil V (m/s) que depende del
tiempo t (en segundos) está representada por la
relación:
V(t) = 12 + 4 2t + 9
a) ¿Cuál es su velocidad cuando el tiempo es
8 s?
b) Doce segundos después, ¿cuál es su
velocidad?
c) ¿Cómo cambia la velocidad entre el minuto
20 y el minuto 36?
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
27
29 30
28
Rpta.
Rpta. Rpta.
46
Calcula el valor de A = 328
7
+ 5.
A 8 B 9 C 14
D 15 E 11
Halla el valor de A.
A =
Encuentra el valor de L.
L= 8 . 2 + 3
Determina el valor de E = 4 + 9 + 16 .
Calcula el valor de H.
H = 4
3
2 + 2
1
2
3
Practica y demuestra
Halla x.
x = 245
35
Reduce la expresión A.
A = 80
5
4
5
6
7
8
15
3
. 18
3
10
3
9
A 6 B 10 C 12
D 8 E 15
A 5 B 6 C 7
D 9 E 11
A 6 B 7 C 5
D 8 E 9
A 2 B 4 C 6
D 16 E 8
A 2 B 4 C 5
D 3 E 6
A 2 B 4 C 1
D 8 E 16
Encuentra el valor de E = V + A.
V = 2 . 4 . 8
2
A = 54
6
Nivel I
Determina el valor de N.
27 +381 + 25N =
A 20 B 15 C 19
D 17 E 18
A 5 B 7 C 9
D 6 E 8
47MateMática DELTA 1 - álgebra
A 2 B 3 C –3
D –4 E 4
A 15 B 10 C 14
D 8 E 13
A 3 2 B 4 2 C 5 2
D 2 2 E 2
En la operación: a × b – c = 5
a, b y c son elementos del conjunto:
A = {1; 2; 3; 4; 16; 25}
Halla el valor de: M = a + b + c.
En la siguiente operación, cada cuadradito puede
ser reemplazado por el signo de adición (+) o por
el signo de multiplicación (×):
25 4 9
¿Cuál de los siguientes números no puede ser el
resultado de la operación?
10
11
Calcula el valor de N = 18 + 8 – 2.12
Calcula el valor de H.
H = 63 ÷ [(6 ÷ 3)2 + 49 – 25]2 + 0
5
+ 2(32 – 7)
Encuentra el valor de N.
N = 1
5
+ 3[ 9 + 2 ( 0 + (6 ÷ 3)2)]
Halla el valor de P.
P = 25 – 9[(8 ÷ 4)3 – 49 + (4 – 2)2]
Determina el valor de A = 13
15
16
14
A 10 B 11 C 21
D 30 E 13
A 6 B 7 C 21
D 8 E 9
A 5 B 2 C 6
D 4 E 3
A 30 B 32 C 36
D 34 E 35
A 8 B 10 C –10
D 2 E –12
Encuentra el valor de A – B.
A = 52((–2)3 + 16) – 3 . 42 ÷ 6
B = 52(–23 + –64
3
) – 3 . 42 ÷ 6
Determina el valor de A.
A = 64
3
– 9[(6 ÷ 3)3 – 27
3
] + 23 – 1
3
17
18
A 100 B 0 C 200
D 180 E 216
Nivel II
1 + 5 + 16.
48
A 3 B –18 C 8
D –10 E –22
Efectúa.
H = 103 ÷ 102 + 20
3
× 2 ÷ 5
3
– 125
3
C = 5 – 2 32 + 42 + 0
3
Luego, indica la relación correcta.
La altura de un adolescente (en centímetros) entre
los 10 y 15 años está indicada por la relación:
H(x) = 12 13x – x + 9
donde, x es la edad en años. ¿Cuál es la altura de
Carlos, si tiene 13 años?
19
20
3
Halla el valor de R = A ÷ D + I – C × A + L.
A = (–3)2 + 25 C = 6
3
24
D = 1
5
+ (–2)3
3
L = C + 27
3
I = 2A – 6 . 24
21
Si la distancia D (en kilómetros) del centro del
planeta al satélite está expresado por:
D(t) = 1000 9t2 + 64
donde t (en horas) es el tiempo.
¿Cuál es la distancia del satélite al centro de la
Tierra, cuando t = 2?
Las velocidades de dos móviles V (m/s) que
dependen del tiempo t (en segundos) están
representadas por las relaciones:
Móvil (1): V(t) = 7 + 2 3t + 1
Móvil (2): V(t) = 6 + 3 2t – 1
• Para t = 8, la velocidad del móvil (1) es de
m/s.
• Para t = 13, la velocidad del móvil (2) es de
m/s.
23
Nivel III
La gráfica muestra el desplazamiento de un satélite
en la órbita terrestre en sus doce primeras horas:
22
t = 0h
D
t = 12h
A 12 000 km B 3629 km
C 17 000 km D 10 000 km
E 8000 km
A C = 2H + 1 B 2 – H = C
C H + C = 0 D C . H = 35
E 2C = H + 3
A 152 cm B 148 cm
C 156 cm D 158 cm
E 142 cm
A 17; 13 B 12; 45
C 17; 21 D 45; 21
E 17; 45
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 1
49MateMática DELTA 1 - álgebra
A VFVF B FFVV
C VFFV D VFFF
Halla el valor de N = 16 ÷ 4 + 3 × 2 – 5.
5 Indica si la operación es verdadera (V) o falsa (F).
( ) 23 · 53 = 103
( ) (56) = 0
( ) 2 · 32 = 62
( ) 23 + 22 = 25
4 Determina el valor de P.
P = 3 – 5{1 + 2[4 – 3(6 ÷ 3 × 2 – 7)] – 3[5 × 2 –(2 × 3 + 1)]}
Encuentra el valor de T = 2 – 5(6 – 4 × 2) – 12.
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
–17A
–9C
13B
–12D
Calcula el valor de E = (23)2 – (32)2.6
A 2 B 4
C 5 D 3
A –2 B 0
C 4 D 8
A –3 B –6
C –12 D –1
Indica el doble del valor de M.
M = 8 – 15 + 7 – 12 ÷ 2
A –77 B –82
–91 –87C D
50
3–5
34
Reduce la expresión M.
M = (4–2)3 · 423 · 4
Indica si la operación es verdadera (V) o falsa (F).
7 10
11
129
8
16A
4C
64B
1D
VFVFA
VFFVC
FFVFB
FFFFD
Indica si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
( ) = –2
( ) = 9
( ) 8 = 2 2
( ) 2
3
. 4
3
= 2
(–2)4
4
312
6
A VFVF B FFVV
C FVVV D FVFV
Halla el valor de M = A + B – C – D.
A =
B =
236
12
(–2)4
4
Encuentra el valor de R.
R = 5 + 9
3
Determina el valor de A.
A = 82 + 62
( ) 2 · 3–1 =
( ) 4 · 16 = 25
( ) = 39
( ) (2 )–6 = 2–3
2 · 31
1
(–4)3
3
3 12
C =
D = .
3
1
8A
6C
10B
12D
1A
2C
5B
4D
10A
11C
12B
14D
Tema
51MateMática DELTA 1 - álgebra
Polinomios
Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de números (coeficientes) y letras
(variables) enlazadas por las diferentes operaciones aritméticas.
Ejemplos:
a) A(r) = πr2
b) P(x) = 2x3 + 5x + 7
c) Q(x; y) = 3x4 + 2xy3 – 9y2
Ejemplos:
a) 3x2y3; –5x3y2; 7x2y2 No son términos semejantes
b) 11x4y3; 7x4y3; –x4y3 Son términos semejantes
c) 8x2y5; 3y5x2; 42x2y5 Son términos semejantes
Ejemplos:
a) Identifica las partes del siguiente término algebraico:
M(x; y) = –11x3y2
b) Calcula el valor de m + n si los siguientes términos son semejantes:
A(x; y) = 2x3y5 ; B(x; y) = 7xnym
Término algebraico
Es la mínima expresión algebraica, está formada por el producto de números
(coeficientes) y letras (variables).
Términos semejantes
Dos o más términos son semejantes si presentan las mismas variables con exponentes
iguales.
¿Es posible sumar 7 libros más 5
personas?¿Por qué?
René Descartes
(1596 - 1650)
¿Sa bía s qu e.. .?
René Descartes
fue quien comenzó
la utilización de las
últimas letras del
alfabeto (x, y ∧ z)
para designar
las cantidades
desconocidas.
Import a nt e
La representación
simbólica nos
permite reconocer
cuáles son las
variables de una
expresión.
P(x) = x2 + xy + y2
variable: x
– 3x2y3
exponentes
variables
signo
coeficiente
Resolución:
Observamos que: Coeficiente = –11
Parte literal = x3y2
Resolución:
El término x3y5 es semejante a 7xnym
Entonces : n = 3 ∧ m = 5
Nos piden: m + n = 5 + 3 = 8
4
52
Import a nt e
Se puede sumar
o restar términos
solo cuando son
semejantes.Recu e rda
En un polinomio el
exponente es entero
positivo.
Obse rva
Si solo especifican
grado, se entiende
que es el grado
absoluto.
Ejemplo:
Reduce la siguiente expresión M = 5x – 2x + 7x – 3x.
Ejemplos:
a) M(x; y) = 4xy3; es un monomio
b) Q(x; y) = 2x3 – 4xy2 + 6y4; es un trinomio
c) A(x; z) = 4x3z – 7xz; es un binomio
d) P(x) = 3x – 5 + 7x2 – 2x5 + x7; es un polinomio de 5 términos
En el polinomio:
Reducción de términos semejantes
Para reducir dos o más términos semejantes sumamos o restamos los coeficientes
(según indique el signo) con la misma parte literal.
Polinomios
Es la expresión algebraica cuyos exponentes de las variables son números enteros
positivos. De acuerdo al número de términos que tiene el polinomio, recibe los siguientes
nombres:
• Si tiene un solo término : Monomio
• Si tiene dos términos : Binomio
• Si tiene tres términos : Trinomio
• Si tiene n términos : Polinomio de n términos
Grado de un polinomio
Grado relativo (G.R.): Es el mayor valor del exponente de una variable.
Ejemplos:
Grado absoluto (G.A.):
• De un monomio: Es la suma de los exponentes de sus variables.
• De un polinomio: Es el mayor grado absoluto de los términos del polinomio.
Ejemplo:
Dado el polinomio: P(x; y) = 5x2y7 + 9x8y – x6y4
Halla el valor de H = G.R.(x) + G.R.(y) + G.A.(P)
Luego: H = 8 + 7 + 10 ⇒ H = 25
Resolución:
P(x; y) = 5x2y7 + 9x8y1 – x6y4
Resolución:
Tenemos M con términos semejantes, entonces:
M = 5x – 2x + 7x – 3x
M = (5 – 2 + 7 – 3)x ⇒ M = 7x
P(x; y) = 5x3y2
Q(x; y) = 3x4y3
⇒ G.A.(Q) = 7
P(x; y) = 5x2y5 + 11x5y4 – 4x6y2
⇒ G.A.(P) = 9
E(x; y) = 2x3y4 – 7x5y + 9x2y6G.R.(x) = 3G.R.(y) = 2
G.R.(x) = 8
G.R.(y) = 7
G.A.(P) = 10
G.R.(x) = 5
G.R.(y) = 6
P(x) = 5x4 + 3x2 – 7x + 5nombre del polinomio
mayor
exponente
variable coeficientes
grado
4 + 3 = 7 2 + 5 = 7 5 + 4 = 9 6 + 2 = 8
53MateMática DELTA 1 - álgebra
Valor numérico
Es el número que resulta luego de reemplazar las variables del polinomio por números.
Sustracción de polinomios
Para restar polinomios, cambia de signo al polinomio sustraendo y luego reduce sus
términos semejantes.
Ejemplo:
Sean los polinomios:
M(a) = 5a2 + a – 3 ∧ N(a) = 3a2 – 5a + 11
Halla: M(a) – N(a)
Operaciones con polinomios
Adición de polinomios
Para sumar polinomios, sumamos sus términos semejantes.
Ejemplo:
Sean los polinomios:
P(x) = 3x2 – 7x + 5 ∧ Q(x) = 4x2 + 3x – 8
Halla: P(x) + Q(x)
Ejemplo:
Sea el polinomio:
P(x) = 3x2 – 7x + 5
Halla el valor de P(2).
Resolución:
Tenemos: P(x) = 3x2 – 7x + 5
Entonces: P(2) = 3 . (2)2 – 7 . 2 + 5
P(2) = 3 . 4 – 7 . 2 + 5
P(2) = 12 – 14 + 5 = 3
Resolución:
Nos piden: P(x) + Q(x) = 3x2 – 7x + 5 + 4x2 + 3x – 8
P(x) + Q(x) = (3x2 + 4x2) + (–7x + 3x) + (5 – 8)
P(x) + Q(x) = 7x2 – 4x – 3
Resolución:
Nos piden: M(a) – N(a) = 5a2 + a – 3 – (3a2 – 5a + 11)
M(a) – N(a) = 5a2 + a – 3 – 3a2 + 5a – 11
M(a) – N(a) = (5a2 – 3a2) + (a + 5a) + (–3 – 11)
M(a) – N(a) = 2a2 + 6a – 14
Import a nt e
Sustracción
M – S = D
Donde:
M : minuendo
S : sustraendo
D : diferencia
54
Grado relativo
a x
Grado relativo
a y
Grado absoluto
7
1
3
4
–7Coeficiente
Respecto al monomio.
M(x; y) = –7x3y4
Relaciona:
Sea el polinomio:
P(x) = 3x + 4
Indica el valor de verdad de las proposiciones:
(V) P(1) = 7
(F) P(0) = 3
(V) P(5) = 19
(V) P(–1) = 1
Dado el polinomio.
P(x) = 2x2 – 3x + 5
Calcula el valor de M = P(1) + P(0).
Resolución:
Tenemos: P(x) = 2x2 – 3x + 5
Para: x = 1: P(1) = 2 . 12 – 3 . 1 + 5
P(1) = 2 . 1 – 3 . 1 + 5
P(1) = 2 – 3 + 5 = 4
x = 0: P(0) = 2 . 02 – 3 . 0 + 5
P(0) = 5
Para: M = P(1) + P(0)
M = 4 + 5 = 9
Rpta. 9
Reduce el polinomio P.
P(x; y) = 4x2y – 5xy2 + 3x2y + 7xy2 – 5x2y
Resolución:
Juntamos los términos semejantes:
P(x; y) = 4x2y + 3x2y – 5xy2 – 5x2y + 7xy2
P(x; y) = (4 + 3 – 5)x2y + (–5 + 7)xy2
P(x; y) = 2x2y + 2xy2
Rpta. 2x2y + 2xy2
Encuentra el grado del polinomio P.
P(x) = 3(x3)2 – 2x3 . x – 3x + 4
Resolución:
Tenemos:
P(x) = 3(x3)2 – 2x3 . x – 3x + 4
P(x) = 3x3 . 2 – 2x3 + 1 – 3x + 4
P(x) = 3x6 – 2x4 – 3x + 4
Luego, el mayor exponente de x (grado) es 6.
Rpta. 6
Sean los polinomios P y Q.
P(x) = 3x + 2 ∧ Q(x) = x + 3
Descubre el valor de E = P(2) + Q(1).
Resolución:
Tenemos:
P(x) = 3x + 2
x = 2: P(2) = 3 . 2 + 2
P(2) = 6 + 2 = 8
Q(x) = x + 3
x = 1: Q(1) = 1 + 3 = 4
Nos piden: E = P(2) + Q(1)
E = 8 + 4 = 12
Rpta. 12
Si los términos:
4nxn + 1y5 ∧ 7x6ym
Son semejantes, determina el valor de A = n + m.
Resolución:
Tenemos los términos semejantes:
4nxn + 1y5 ∧ 7x6ym
Entonces: n + 1 = 6 ⇒ n = 5
m = 5
Piden: A = n + m
A = 5 + 5 = 10
Rpta. 10
En el polinomio:
P(x; y) = 5x3y2 – 3x4y – x2y5
Si: A = grado relativo a x
B = grado relativo a y
C = grado absoluto de P
Halla el valor de H = A + B + C.
Resolución:
Del polinomio:
P(x; y) = 5x3y2 – 3x4y1 – x2y5
Nos piden: A + B + C = 4 + 5 + 7 = 16
Rpta. 16
G.R.(x) = 4
G.R.(y) = 5
G.A.(P) = 7
1
2
3
4
5
6
7
8
Ejercicios resueltos
55MateMática DELTA 1 - álgebra
Sean los polinomios:
P(x) = 3x3 + x; Q(x) = 2x2 – x; R(x) = 3x3 – 5x
Determina el valor de A = P(x) + Q(x) – R(x).
Resolución:
Nos piden:
P(x) + Q(x) – R(x) = (3x3 + x) + (2x2 – x) – (3x3 – 5x)
P(x) + Q(x) – R(x) = 3x3 + x + 2x2 – x – 3x3 + 5x
P(x) + Q(x) – R(x) = (3x3 – 3x3) + 2x2 + (x – x + 5x)
P(x) + Q(x) – R(x) = 2x2 + 5x
Rpta. 2x2 + 5x
En una ciudad la cantidad de agua que se consume
en el mes de abril está determinada por la expresión
A(x) = x3 + 2x2 – x + 4, en el mes de mayo por
M(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 5 y en el mes de junio por
J(x) = x3 + 3x2 + 2x + 1.
a) ¿Cuál es el consumo de agua en la ciudad en
los meses de abril, mayo y junio?
b) ¿Cuál es la diferencia del consumo entre mayo
y abril?
c) Determina si el consumo de mayo es igual al
consumo de abril junto a junio.
Resolución:
Nos piden:
a) H(x) = A(x) + M(x) + J(x)
Ordenamos para reducir términos semejantes.
b) E(x) = M(x) – A(x)
Hallamos:
–A(x) = –(x3 + 2x2 – x + 4)
–A(x) = –x3 – 2x2 + x – 4
Ordenamos para reducir términos semejantes:
c) M(x) = A(x) + J(x)
Hallamos: A(x) + J(x)
Su consumo en los tres meses es 4x3 + 4x.
La diferencia es: x3 – 7x2 + 4x – 9
Como:
M(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 5
Decimos que M(x) y A(x) + J(x) no son iguales.
+
A(x) = x3 + 2x2 – x + 4
M(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 5
J(x) = x3 + 3x2 + 2x + 1
H(x) = 4x3 + 0x2 + 4x + 0
M(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 5
–A(x) = –x3 – 2x2 + x – 4
E(x) = +x3 – 7x2 + 4x – 9
A(x) = x3 + 2x2 – x + 4
+J(x) = x3 + 3x2 + 2x + 1
E(x) = 2x3 + 5x2 + 1x + 5
Halla el grado del monomio E.
E(x) = x
m + 3 . xn + 5
xm + n . x2
Resolución:
Reducimos la expresión:
E(x) = x
m + 3 . xn + 5
xm + n . x2
E(x) = x
m + 3 . xn + 5
xm + n . x2
E(x) = xm + 3 + n + 5 – (m + n + 2)
E(x) = xm + 3 + n + 5 – m – n – 2
E(x) = xm – m + n – n + 3 + 5 – 2
E(x) = x6
Rpta. Es de grado 6
Rpta. 4x3 + 4x; x3 – 7x2 + 4 – 9; no
En una ciudad cuando el consumo de agua
es mayor de 40 m3 su costo está dado por la
expresión C(x) = 5x – 133, en soles, donde x
representa el consumo.
a) ¿Cuánto pagó una familia que consumió 48 m3
el mes pasado?
b) Si este mes su consumo aumentó en 5 m3,
¿cuánto pagará?
Resolución:
a) Sabemos: C(x) = 5x – 133
Para x = 48: C(48) = 5 . 48 – 133
C(48) = 107
Pagó 107 soles.
b) Consumo del mes actual: 48 + 5 = 53
Sabemos: C(x) = 5x – 133
Para x = 53: C(53) = 5 . 53 – 133
C(53) = 132
Pagará 132 soles.
Rpta. S/ 107 y S/ 132
+
Producto de bases iguales
Cociente de bases iguales
Finalmente
En el exponente:
Términos semejantes
9 12
1011
56
Modela y resuelve
Síntesis
Dado Q(x; y) = 7x4y12 + 3x10y3 – 11x8y11, completa:
a) Las variables del polinomio son:
b) El polinomio tiene términos.
c) El término con mayor coeficiente de Q es:
d) El grado relativo a x es:
e) El grado relativo a y es:
f) El grado absoluto de Q es:
Dado el monomio M(x; y) = –9x2y7.
Completa:
a) Las variables del monomio son:
b) El coeficiente del monomio es:
c) La parte literal de M es:
d) El grado relativo a x es:
e) El grado absoluto de M es:
f) El grado relativo a y es:
Dado P(x; y) = 5x3y8 – 13x6y7 + 11x8y2, completa:
a) Las variables del polinomio son:
b) El polinomio tiene términos.
c) El término con mayor coeficiente de P es:
d) El grado relativo a x es:
e) El grado relativo a y es:
f) El grado absoluto de P es:
1
3 4
Dado el monomio E(x; y) = 3x5y3.
Completa:
a) Las variables del monomio son:
b) El coeficiente del monomio es:
c) La parte literal de E es:
d) El grado relativo a x es:
e) El grado absoluto de E es:
f) El grado relativo a y es:
2
Expresiones algebraicas
Polinomios
GradoPor su número de términos
Valor
numérico
Adición
sustracción
Términos semejantes
G.R.
Monomio Polinomio
G.A.
Exponente de
la variable.
Monomio
Binomio
Trinomio
Polinomio
de n términos
Mayor exponente
de la variable.
Reduce sumando o restando
los términos semejantes.
exponentes
enteros positivos
Tienen igual parte literal
(variables y sus respectivos
exponentes iguales)
Variable del
polinomio cuando
sus variables son
reemplazadas con
números.
Suma de
exponentes.
Mayor suma de
exponentes.
57MateMática DELTA 1 - álgebra
Sea M(x; y) = 7x5y4 + 3x2y7 – 2x4y8 – xy4,
calcula el valor de A.
G.A.(M) + G.R.(y)
G.R.(x)
A =
Sea E(x; y) = 11x10y2 – 5x8y6 – 7x2y8 + 2xy5,
calcula el valor de A.
G.A.(E) + G.R.(x)
G.R.(y)
A =
Halla el grado de M(x) = P(x) + Q(x).
P(x) = 2x3 – 3x + 7
Q(x) = 3x2 – x + 3
5
7
Halla el grado de M(x) = A(x) + B(x).
A(x) = 5x4 – 3x2 + 8
B(x) = 3x2 – 2x + 5
6
8
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Encuentra la expresión equivalente a P(x) .
P(x) = 3x – (2 – (x – (2 – x)))
Encuentra la expresión equivalente a M(x).
M(x) = 2x – (3 – (x – (5 – x)))
9 10
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
58
Sean los polinomios P y Q.
P(x) = 3x2 + x + 2
Q(x) = 3x + 1
Determina el valor de Q(P(1)).
Sean los polinomios P y Q.
P(x) = 2x2 + 3x – 1
Q(x) = 4x – 1
Determina el valor de Q(P(1)).
11 12
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Dado P(x + 2) = x2 + x + 1, calcula el valor de P(3).
Si el grado del monomio M(x) = (n + 4)x2n – 7 es 3,
halla el coeficiente de M.
Si el grado del monomio P(x) = (n + 5)x2n – 4 es 2,
halla el coeficiente de P.
Dado Q(x + 1) = x2 + 3x + 2, calcula el valor de Q(2).15 16
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
13 14
59MateMática DELTA 1 - álgebra
Encuentra el valor de M = P(Q(2)), dados los
polinomios P y Q.
P(x + 1) = 5x + 3
Q(x – 1) = 3x + 2
En la tabla, se muestra el consumo mensual de
electricidad en los condominios A y B.
En la tabla, se muestra el consumo anual de
electricidad en los condominios C y D.
a) Calcula el consumo total en los tres meses
de cada condominio.
b) En estos tres meses, ¿cuál es la diferencia
de consumo de los condominios?
a) Calcula el consumo total en los tres años de
cada condominio.
b) En estos tres años, ¿cuál es la diferencia de
consumo de los condominios?
Condominio A Condominio B
M1 2x3 + 3x2 – 4x – 7 x3 + 2x2 – 5x + 7
M2 x3 + 4x2 – 5x + 3 3x3 – 4x2 + x + 3
M3 3x3 – x2 – 2x + 4 2x3 – x2 + 7x + 9
Condominio C Condominio D
A1 4x3 – 5x2 + 2x + 11 2x3 + 3x2 – 2x + 9
A2 2x3 + 3x2 – 7x – 5 3x3 – 3x2 + 5x – 1
A3 3x3 – 2x2 + x + 6 4x3 – 4x2 – 6x + 7
Encuentra el valor de P = N(M(1)), dados los
polinomios M y N.
M(x – 2) = 3x – 1
N(x + 2) = 4x + 3
17
19 20
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
18
60
Sea P(x) = 3x + 7, calcula el valor de P(2).
A 15 B 13 C 12
D 9 E 10
Dado el monomio A(x; y), indica el valor de verdad
(V) o falsedad (F) de las proposiciones.
A(x; y) = 2nx2y3
( ) Las variables son: n, x e y.
( ) El coeficiente es 2n.
( ) El grado relativo a x es 3.
( ) El grado absoluto de A es 5.
Indica el grado del monomio H(x).
Relaciona:
1. Grado relativo
de x
2. Coeficiente
3. Monomio
4. Trinomio
a. Tiene 3 términos
b. Siempre tiene signo
c. Mayor exponente de x
d. Siempre tiene exponentes
e. Tiene un término.
Indica la expresión equivalente a P(x).
P(x) = 2x – (x + (x – (2 – x)))
Dado el polinomio P(x; y) = 5x7y5 – 8xy10 – x6y9,
encuentra el valor de M = G.A.(P) – G.R.(y).
Si P(x) = 3x2 – 4x + 7, halla el valor de P(2).A 1d; 2b; 3b; 4a B 1c; 2b; 3e; 4a
C 1b; 2a; 3d; 4e D 1c; 2e; 3a; 4d
E 1d; 2b; 3e; 4a
A VFFV B FFVV C VVFF
D FVFV E FFFV
A 2 – x B 1 – x C 2x – 4
D x – 1 E 3
A 15 B 5 C 12
D 6 E 8
A 9 B 11 C 10
D 13 E 12
A 2 B 3 C 4
D 5 E 6
x3. x5. x
x4
H(x) =
1
4
5
6
7
2
3
Practica y demuestra
Sea P(x) = 2x2 + x – 4, determina M = P(0) + P(1).
Calcula el valor de M(x) = E(x) + B(x).
E(x) = 2x2 + 3x – 4
B(x) = 3x2 – 3x + 7
Sea P(x) = 3x + 5, encuentra el valor de M = P(P(0)).
A 3x2 + 3x + 7 B 5x2 + 3
C x2 + 6x – 11 D x2 + 3
E 5x2 + x – 3
A 15 B 25 C 20
D 18 E 23
A –3 B –4 C –1
D 3 E –5
8
9
10
Nivel I
61MateMática DELTA 1 - álgebra
Dado los polinomios:
P(x; y) = 5x8y5 + 7x5y10 – 2xy
Q(x; y) = 2x3y9 – 5x7y8 – xy2
Relaciona:
1. Grado de P
2. Grado de Q
3. G.R.(x) en P
4. G.R.(y) en Q
Dado los polinomios:
P(x) = 5x – 3
Q(x) = 3x – 2
Indica si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
( ) P(0) = 3
( ) Q(2) = 4
( ) P(1) = Q(1)
( ) Q(0) = –2
a. 7
b. 8
c. 9
d. 10
e. 15
Determina el valor de M = P(P(2)), sabiendo que
P(x) = 5x – 4.
Si el coeficiente de M(x; y) = (n + 2)x4n – 1y6 – n
es 5, halla el grado de M.
A 1a, 2e, 3d, 4a B 1e, 2d, 3b, 4d
C 1a, 2c, 3d, 4e D 1e, 2e, 3b, 4c
E 1a, 2e, 3c, 4b
A FVFV B VFVF C VVFF
D FFVV E FVVF
A 34 B 30 C 26
D 28 E 32
A 12 B 10 C 13
D 14 E 15
12
14
13
11
Dados los polinomios P y Q, calcula Q(x) – P(x).
P(x) = 2x – (x – (x + 3))
Q(x) = 3x – (x – (x + 2))
A 1 – x B x – 1 C 2x + 2
D 5x + 5 E 0
15
Calcula el valor de P(Q(2)), dados los polinomios
P y Q.
P(x – 1) = 5x – 3
Q(x + 3) = 3x + 5
A 15 B 10 C 18
D 12 E 17
16
Encuentra el valor de M(2).
P(x) = 2x2 + x – 3
Q(x) = x – 5
M(x) = P(x) + 2Q(x – 1)
A –5 B –2 C –1
D –4 E –3
17
24. Si el coeficiente de M(x; y) = 2(n + 3)xn – 2y2n + 1,
es 14, halla el grado de M.
A 9 B 8 C 10
D 14 E 11
18
El crecimiento poblacional de una bacteria está
representado por
C(t) = C0 . 2
donde C0 es el tamaño inicial de la población en
el tiempo t (en horas). Si la población inicial es de
200 bacterias, ¿cuál será la población en 5 horas?
A 400 B 600 C 1200
D 800 E 1000
19
Nivel II
62
A El valor de P(0) es 1
B El valor de Q(1) es –5
C El valor de M(–2) es 0
D El valor de P(1) es 9
E El valor de M(0) es igual al valor de Q (0)
Sean:
P(x – 1) = x3 + 2x – 3
Q(x + 2) = x2 + x – 7
M (x + 1) = P(x) + Q(x + 2)
Indica la proposición correcta.
A 28 B 30 C 22
D 24 E 26
Dado P(x; y) = 3x2y8z5 + 5x5y2z3 – x4y7z3,
entonces:
• El grado de P es A.
• El grado relativo a x es B.
• El grado relativo a y es C.
Determina el valor de:
M = A + B + C
20
21
Los ingresos anuales de un deportista están
representados por:
• Año 1: 2x3 + 4x2 + x + 6
• Año 2: 3x3 + 5x2 – 3x + 1
• Año 3: 3x3 – 3x2 + 6x – 5
Calcula el valor de M = P(Q(R(2) – 1)), si:
P(x + 3) = 2x3 + x2 – x + 4
Q(x + 1) =x3 + 2x2 + 3x + 4
R(x + 1) = x2 + 2x – 1
En las tablas, se muestran los consumos
mensuales de agua y electricidad de dos ciudades.
Ciudad
A Agua Electricidad
Abril 7x2 + 3x + 9 2x4 + 3x3 + 5x2 – 2x + 4
Mayo 5x2 – x + 12 3x4 – 2x3 – 3x2 – 2x + 5
Junio 9x2 – 4x + 10 x4 + 3x3 + 4x2 + 2x – 9
Ciudad
B Agua Electricidad
Abril 5x2 + 4x – 7 3x4 + 2x3 – 5x2 – 2x + 4
Mayo 7x2 – x + 10 x4 + 5x3 – 3x2 + 5x + 3
Junio 8x2 – 3x + 12 2x4 – 3x3 + 4x2 – 3x – 9
En los tres años su ingreso es P(x), el año 2 ganó
Q(x) más que el año 3.
Entonces:
Si A(x) es la diferencia de consumos totales
(meses: abril, mayo y junio) de agua entre las
ciudades A y B. E(x) es la diferencia de consumos
totales de electricidad entre las ciudades A y B.
Entonces:
A A(x) = 10x2 – 2x + 2
E(x) = x2 – 2x + 15
B A(x) = x2 – 2x + 15
E(x) = 2x2 – 2x – 2
C A(x) = x2 – 2x + 12
E(x) = 5x2 – 2x + 4
D A(x) = 3x2 + 2x + 46
E(x) = 2x2 + 2x – 2
E A(x) = x2 – 2x + 16
E(x) = 10x2 – 2x + 2
A 4 B 5 C 6
D 7 E 8
A P(x) = 6x3 + 12x2 + 10x + 12
Q(x) = 2x2 + 3x – 4
B P(x) = 8x3 + 12x2 + 4x + 12
Q(x) = 2x2 + 9x – 4
C P(x) = 2x3 + 6x2 + 10x + 6
Q(x) = 2x2 – 3x + 5
D P(x) = 8x3 + 6x2 + 4x + 2
Q(x) = 8x2 – 9x + 6
E P(x) = 8x3 + 4x2 + 6x + 12
Q(x) = 2x2 – 6x + 9
24
23
22
Nivel III
Tema
63MateMática DELTA 1 - álgebra
Halla el área del rectángulo
a) (3xy2)(5x2y3) = (3)(5)x1 + 2y2 + 3 = 15x3y5
b) (–4x3y)(–2x2y3) = (–4)(–2)x3 + 2y1 + 3 = 8x5y4
c) (6x3y4)(–7xy5) = (6)(–7)x3 + 1y4 + 5 = –42x4y9
d) (–9x2yz3)(2xy2z5) = (–9)(2)x2 + 1y1 + 2z3 + 5 = –18x3y3z8
a) 3x(4x2 + 5x – 2) = 3x(4x2) + 3x(5x) + 3x(–2)
= 12x3 + 15x2 – 6x
b) 4x2(5x3 – 3x + 7) = 4x2(5x3) + 4x2(–3x) + 4x2(7)
= 20x5 – 12x3 + 28x2
c) 5x3y(3xy + 2x2y – 4) = 5x3y(3xy) + 5x3y(2x2y) + 5x3y(–4)
= 15x4y2 + 10x5y2 – 20x3y
(x + 3)(x2 + 4x – 5) = x(x2 + 4x – 5) + 3(x2 + 4x – 5) Distributiva: 2
= x(x2) + x(4x) + x(–5) + 3(x2) + 3(4x) + 3(–5) Distributiva: 1
= x3 + 4x2 – 5x + 3x2 + 12x – 15 Reducimos términos semejantes
= x3 + 7x2 + 7x – 15 Tenemos el producto
Ejemplos:
Ejemplos:
(Axnym)(Bxayb) = (AB)xn + aym + b
Producto de monomios
Multiplica los coeficientes (parte numérica), luego la parte literal.
Producto de monomio por polinomio
Se aplica la propiedad distributiva y se multiplica monomio por monomio.
Producto de polinomio por polinomio
Para multiplicar polinomio por polinomio se aplican las propiedades distributivas, luego
multiplicamos los monomios.
Resolución:
Dividimos el rectángulo
Se observa: (x + 5)(x + 2) = x2 + 2x + 5x + 10 = x2 + 7x + 10
2
5
x
x
2x 2 . 5
5xx . x
2x2(4x5 – 3x3 – 2x + 7) = 2x2(4x5) + 2x2(–3x3) + 2x2(–2x) + 2x2(7)
= 8x7 – 6x5 – 4x3 + 14x2
Recu e rda
Import a nt e
Propiedad
distributiva
1. a(b + c) = ab + ac
2. (b + c)a = b a + ca
Para multiplicar:
(a + b)(c + d)
recuerda PEIU
P: primeros [ac]
E: externos [ad]
I : internos [bc]
U: últimos [bd]
Obse rva
x = α + βbn . bm = bn + m
5
Multiplicación de polinomios
x + 2
x + 5
64
Ejemplos:
a) (x + 4)(x + 9) = x(x + 9) + 4(x + 9)
= x2 + 9x + 4x + 36
= x2 + 13x + 36
Si los polinomios tienen exponentes consecutivos, podemos multiplicar de esta manera:
Sea P = (2x2 + x – 3)(2x + 1)
Entonces:
Sea un cuadrado de lado x + y.
Se observa que: (x + y)2 = x2 + xy + yx + y2 = x2 + 2xy + y2
Binomio diferencia al cuadrado
a) (x + 2)2 = x2 + 2(x)(2) + 22 = x2 + 4x + 4
b) (a + 2b)2 = a2 + 2(a)(2b) + (2b)2 = a2 + 4ab + 4b2
c) (2x + 3)2 = (2x)2 + 2(2x)(3) + 32 = 4x2 + 12x + 9
a) (x – 3)2 = x2 – 2(x)(3) + 32 = x2 – 6x + 9
b) (2a – b)2 = (2a)2 – 2(2a)(b) + b2 = 4a2 – 4ab + b2
c) (x – 2y)2 = (x)2 – 2(x)(2y) + (2y)2 = x2 – 4xy + 4y2
Binomio suma al cuadrado
c) (x + 2)(x2 + 3x – 2) = x(x2 + 3x – 2) + 2(x2 + 3x – 2)
= x3 + 3x2 – 2x + 2x2 + 6x – 4
= x3 + 5x2 + 4x – 4
b) (x + 3)(x – 7) = x(x – 7) + 3(x – 7)
= x2 – 7x + 3x – 21
= x2 – 4x – 21
Ejemplos:
Ejemplos:
Productos notables
Son multiplicaciones conocidas en las que no se realizan operaciones previas de la
multiplicación; entre ellas tenemos a:
x + y
x + y (x + y)2
y
yx
xy
y2
x2
y
x
x
x = α + β(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
x = α + β(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
Obse rva
Identidades de
Legendre
•
•
ab . cd
U: bd
D: ad + bc
C: ac
Ejemplo:
24 × 31 = 744
U: 4 × 1 = 4
D: 2 × 1 + 4 × 3 = 14
C: 1 + 3 × 2 = 7
Import a nt e
(a + b)2 + (a – b)2
2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2
4ab
Obse rva
Ejemplo 1
Ejemplo 2
ab2 = (a2)(2ab)(b2)
312 = 9 6 1
562 = 3 1 3 6
1.° U = 12 = 1
2.° D = 2 . 1 . 3 = 6
3.° C = 32 = 9
U : 62 = 36
D : 3 + 2 . 5 . 6 = 63
C : 6 + 52 = 31
UM : 3 = 3
CDU
2x2 + x – 3
1(2x2 + x – 3)
2x(2x2 + x – 3)
2x2 + x – 3+
4x3 + 2x2 – 6x
4x3 + 4x2 – 5x – 3
2x + 1×
65MateMática DELTA 1 - álgebra
a
a b c
b
c
Producto de suma por diferencia
Producto de binomios con término común
Tenemos:
se observa la equivalencia: (x – y)(x + y) = x2 – y2
x2 – y2 (x – y)(x + y)
y y
yy
x
x x
y
y
x
x
x – y x – y
x
a) (x – 2)(x + 2) = x2 – 22 = x2 – 4
b) (a – 6)(a + 6) = a2 – 62 = a2 – 36
c) (2n – 3)(2n + 3) = (2n)2 – 32 = 4n2 – 9
a) (x + 3)(x + 5) = x2 + (3 + 5)x + (3)(5) = x2 + 8x + 15
b) (n – 3)(n + 4) = n2 + (–3 + 4)n + (–3)(4) = n2 + 1n – 12
c) (a – 3)(a – 4) = a2 + (–3 – 4)a + (–3)(–4) = a2 – 7a + 12
a) Efectúa:
M = (a + b + c)2
Tenemos:
M = ((a + b) + c)2 binomio suma al cuadrado
M = (a + b)2 + 2(a + b) . c + c2
M = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
M = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos:
También:
Luego:
a
a b c
b
c a . c
a . b
a . a
b . c
b . b
b . a
c . c
c . b
c . a
(a + b + c)2 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
x = α + β(x – y)(x + y) = x2 – y2
x = α + β(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Ejemplo:
E = 5432 – 5412
Entonces:
• S: 543 + 541
• D: 543 – 541
Luego:
E = 1084 . 2
E = 2164
Obse rva
ab . cb
U: b2
D: (a + c)b
C: ac
Ejemplo:
32 × 42 = 1344
U: 22 = 4
D: (3 + 4) . 2 = 14
C: 1 + 3 × 4 = 13
UM: 1
Obse rva
66
b) Sea A(x) = 2x2 – 3x + 1
B(x) = x – 2
Halla AB.
c) Efectúa:
M = (x + y)2 – (x – y)2
d) Efectúa:
R = (x + y)2 + (x – y)2
e) Efectúa:
S = (x + y)4 – (x – y)4
Resolución:
Entonces:
A . B = (2x2 – 3x + 1)(x – 2)
A . B = x(2x2 – 3x + 1) – 2(2x2 – 3x + 1)
A . B = 2x3 – 3x2 + x – 4x2 + 6x – 2
A . B = 2x3 – 7x2 + 7x – 2
Resolución:
Tenemos:
M = (x + y)2 – (x – y)2
M = x2 + 2 . x . y + y2 – (x2 – 2 . x . y + y2)
M = x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2
M = 4xy
Resolución:
Tenemos:
R = (x + y)2 + (x – y)2
R = x2 + 2 . x . y + y2 + (x2 – 2 . x . y + y2)
R = x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2
R = 2x2 + 2y2
R = 2(x2 + y2)
Resolución:
S = [(x + y)2] – [(x – y)2]2
S = [(x + y)2 – (x – y)2][(x + y)2 + (x + y)2]
S = 4xy . 2(x1 + y2)
S = 8xy(x2 + y2)
También:
Identidad de Legendre
Identidad de Legendre
Identidad de Legendre
Obse rva
2x 2x
= 4(2x) = 24
+ –3
x
3
x
3
x
2 2
–
5
5
52
2
2+
+
–
2
2 2
2(
(
((
(
(+
= 2
= 2(5 + 2)
= 14
x = α + β(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
x = α + β(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
x = α + β(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
x = α + β(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
2x2 – 3x + 1
x – 2
–4x2 + 6x – 2
2x3 – 3x2 + x
2x3 – 7x2 + 7x – 2
×
67MateMática DELTA 1 - álgebra
Relaciona:
Determina el equivalente de H.
H = (–3x2)(5x3 + 4x2 – 2)
Si a + b = 5 y ab = 3, halla el valor de M = a2 + b2.
Encuentra el valor de H.
H =
( 5 + 3)2 + ( 5 – 3)2
( 8 + 2)2 – ( 8 – 2)2
Dados los productos:
Efectúa N.
N = (2x + 5)(3x – 1)
Efectúa P.
P = (x + 4)(x + 2) – x(x + 3)
(2x2)(–3x)
(–3x3)(2x)
(–6x2)(2x2)
(4x2)(–3x3)
(–3x2) (4x)
–12x4
–6x4
–12x3
–12x5
–6x3
Resolución:
Tenemos:
H = (–3x2) . (5x3 + 4x2 – 2)
H = (–3x2)(5x3) + (–3x2)(4x2) – 3x2(–2)
H = (–3)(5)x2 + 3 + (–3)(4)x2 + 2 – 3(–2)x2
H = –15x5– 12x4 + 6x2
Rpta. –15x5 – 12x4 + 6x2
Resolución:
Tenemos:
N = (2x + 5)(3x – 1)
N = 2x(3x –1) + 5(3x – 1)
N = (2x)(3x) – (2x)(1) + 5(3x) + 5(–1)
N = 6x2 – 2x + 15x – 5
N = 6x2 + 13x – 5
Rpta. 6x2 + 13x – 5
Resolución:
Recordamos: (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Entonces:
( 5 + 3)2 + ( 5 – 3)2 = 2( 52 + 32)
= 2(5 + 3)
= 16
( 8 + 2)2 – ( 8 – 2)2 = 4 8 . 2
= 4 8 . 2
= 4 . 4 = 16
Luego: H = 1616 = 1
Rpta. 1
a) (–3x2y)(5xy5) = axbyc
b) 2x3(7x2 – 3x – 1) = 14xd – ex4 –f x9
Calcula el valor de M = a + b(c – d + (e – f . g)).
Resolución:
Tenemos:
a) (–3x2y1)(5x1y5) = (–3)(5)x2 + 1 . y1 + 5
= –15x3y6
Entonces: a = –15; b = 3; c = 6
b) 2x3(7x2 – 3x – 1) = (2x3)(7x2) – (2x3)(3x) – (2x3)(1)
= 14x5 – 6x4 – 2x3
Entonces : d = 5; e = 6; f = 2; g = 3
Nos piden: M = –15 + 3(6 – 5 + (6 – 2 . 3))
M = –15 + 3(1 + 0) = –12
Rpta. –12
1 5
6
7
2
3
4
Resolución:
Recordamos: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Si a + b = 5 ⇒ (a + b)2 = 52
a2 + 2ab + b2 = 25
M + 2 . 3 = 25 ← (ab = 3)
M = 25 – 6 = 19
Rpta. 19
Resolución:
Tenemos:
P = (x + 4)(x + 2) – x(x + 3)
Recordamos: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
P = x2 + (4 + 2)x + 4 . 2 – x . x – 3x
P = x2 + 6x + 8 – x2 – 3x
P = 0x2 + 3x + 8
P = 3x + 8
Rpta. 3x + 8
Ejercicios resueltos
68
Efectúa N.
N = (a + b + 2c)(a + b – 2c)
Halla el valor de A, si x + 1x = 53.
A = x – 1x
Determina el valor numérico de N, para x = 2020.
N = (x + 4 )(x + 2) + 1
María prepara alfajores para (2x2 + x + 1) personas,
(3x3 – x2 – 4x + 5) para cada uno, si ya tiene
6x5 + x4 – 6x3 + 7x2 + 3x + 5 alfajores:
a) ¿Cuántos alfajores le sobran?
b) Si el número de personas aumenta en x + 3,
¿cuántos alfajores más debe preparar?
Resolución:
Tenemos:
N = [(a + b) + 2c][(a + b) – 2c]
Recordamos: (x + y)(x – y) = x2 – y2
Entonces:
N = (a + b)2 – (2c)2
N = a2 + 2ab + b2 – 4c2
Resolución:
N = (x + 4)(x + 2) + 1
N = (x2 + (4 + 2)x + 4 . 2 + 1
N = x2 + 6x + 9
Observamos: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Entonces: N = x2 + 2 . x . 3 + 32
N = (x + 3)2
N = x + 3
Para: x = 2020
N = 2020 + 3 = 2023
Resolución:
a) El número de alfajores que necesita es:
b) Si aumenta (x + 3) personas, necesita:
(2x2 + x + 1) + (x + 3) = 2x2 + 2x + 4
Le sobra:
6x5 + x4 – 6x3 + 7x2 + 3x + 5
(6x5 + x4 – 6x3 + 5x2 + x + 5)
2x2 + 2x + 0
Faltan:
6x5 + 4x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 20
(6x5 + x4 – 6x3 + 7x2 + 3x + 5)
3x4 + 8x3 – 9x2 – 9x + 15
x + 1x x –
1
x 4x
. 1x
2 2
=–
Reemplazamos:
Luego: A = 7
Rpta. 7
Rpta. 2023
Rpta. a2 + 2ab + b2 – 4c2
532 – A2 = 4 . 1
53 – 4 = A2
49 = A
Resolución:
Tenemos:
E = (x + a)(x – a)(x2 + a2) – [x2 – a2]2 – 2a2x2
E = (x2 – a2)(x2 + a2) – [(x2)2 – 2x2 . a2 + (a2)2] – 2a2x2
E = (x2)2 – (a2)2 – x4 + 2a2x2 – a4 – 2a2x2
E = x4 – a4 – x4 – a4
E = –2a4
Rpta. –2a4
Suma por diferencia
Suma por diferencia
Binomio al cuadrado
Efectúa E.
E = (x + a)(x – a)(x2 + a2) – (x2 – a2)2 – 2a2x2
3x3 x2 – 4x + 5
2x2 + x + 1
3x3 x2 – 4x + 5
3x4 x3 4x2 + 5x
6x5 –2x4 8x3 10x2
6x5 x4 6x3 5x2 x 5
3x3 x2 4x 5
2x2 2x 4
12x3 4x2 16x 20
6x4 2x3 8x2 10x
6x5 2x4 8x3 10x2
6x5 4x4 2x3 2x2 6x 20
Rpta. a) Le sobran: 2x2 + 2x
b) Debe preparar: 3x4 + 8x3 – 9x2 – 9x + 15
8
9
10
11
12
Resolución:
Recordamos: (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Entonces:
+
––
–
–
–
– + ++
–
+
–
––
–
+––
–– +
––++
+
+
+
+
–
+
×
×
Tenemos:
Tiene
Necesita
Sobra
Luego:
Aumentado
Tiene
Debe preparar
69MateMática DELTA 1 - álgebra
Efectúa M = A + R + I + A, si:
• A = (–2x)(–3x3)
• R = (6x2)(2x2)
• I = (–2)(5x4)
Efectúa P = A + U + L + A, si:
• A = (3x2)(–2x3)
• U = (8x3)(2x2)
• L = (–2)(–4x5)
Resolución: Resolución:
2
Rpta. Rpta.
Monomio por
monomio
Productos notables
Monomio por
polinomio
Polinomio por
polinomio
Multiplicación de polinomios
1.º Multiplica los coeficientes.
2.º Multiplica las variables.
1.º Aplica la propiedad distributiva:
a(b + c) = ab + ac.
2.º Multiplica los monomios.
1.º Aplica la propiedad distributiva.
2.º Multiplica los monomios.
3.º Reduce términos semejantes.
Binomio al cuadrado
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Identidades de Legendre
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Suma por diferencia
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Binomios con término común
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Síntesis
Desarrolla P.
P(x) = 3x(5x2 – 4x + 1)
Desarrolla Q.
Q(x) = 2x(6x4 + 3x – 1)
Resolución: Resolución:
3 4
Rpta. Rpta.
Modela y resuelve
1
70
Si x + y = 4 ∧ xy = 5, halla el valor de M = x2 + y2.
Efectúa R(x) = (2x – 1)(x + 3). Efectúa M(x) = (3x + 2)(x – 1).
Si a + b = 5 ∧ ab = 2, halla el valor de T = a2 + b2.
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
5 6
7 8
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
5
d) Z = 129 × 131 + 1
Aplicando productos notables, efectúa:
a) M = 342 + 622
d) Y = 121 × 119 + 1
c) R = 43 × 63
b) A = 3252 – 3242
12. Aplicando productos notables, efectúa:
a) E = 432 + 512
9 10
M =
A =
R =
Y =
c) I = 54 × 24
b) L = 4232 – 4212
E =
L =
I =
Z =
71MateMática DELTA 1 - álgebra
Determina el valor de H.
H = ( 7 + 5)2 + ( 7 – 5)2
Determina el valor de L.
L = ( 11 + 2)2 + ( 11 – 2)2
Calcula el valor de T.
T = ( 18 + 2)2 – ( 18 – 2)2
Calcula el valor de R.
R = ( 20 + 5)2 – ( 20 – 5)2
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
13 14
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
11 12
Desarrolla L = (x + 4)(x + 2) – (x + 3)2. Desarrolla M = (x + 6)(x + 2) – (x + 4)2.
Reduce T = Reduce S =
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
15
17 18(x2 + 1)(x + 1)(x – 1) + 1. 16 + (a2 + 4)(a + 2)(a – 2).
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
16
72
c) I = a2 + b2
c) N = x2 + y2
Efectúa A = (x + 5)2 – (x + 3)2 – 4x. Efectúa L = (x + 4)2 – (x + 1)2 – 2x.
Resuelve E(x) = (x3 – x + 5)(2x2 + x – 2). Resuelve M(x) = (x3 + 2x – 3)(3x2 + 2x – 1).
Resolución: Resolución:
19
21
20
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
22
Sea a + b = 5 ab = 3, halla:
a) E = a – b
Sea x + y = 6 xy = 2, halla:
a) M = x – y
b) A = x2 – y2
b) M = a2 – b2
23 24
M = E =
A =
M =
N =
I =
d) U = x4 + y4
d) L = a4 + b4
U = L =
Resolución: Resolución:
73MateMática DELTA 1 - álgebra
En una ciudad el número de habitantes está dado
por H(x) = 2x2 – x + 1, si la cantidad de agua que
consume cada habitante en un mes es:
C(x) = 2x3 + 3x2 – x + 1.
a) Halla la cantidad de agua potable que consume
la ciudad.
Resolución:
Resolución:
b) Si llegan 3x – 2 habitantes más a la ciudad,
calcula el nuevo consumo de agua en la
ciudad.
En una ciudad el número de habitantes está dado
por H(n) = 2n2 + n – 1, si la cantidad de energía
eléctrica que consume cada habitante en un mes
es E(n) = 3n3 + n2 – 2n + 3.
a) Halla la cantidad de energía eléctrica que
consume la ciudad.
Resolución:
Resolución:
b) Si llegan 3n – 1 habitantes más a la ciudad,
calcula el nuevo consumo de energía eléctrica
en la ciudad.
25 26
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
74
Descubre el valor de N = 3522 – 3512.
A 630 B 1206
C 603 D 352
E 703
Calcula el valor de N(x) = 5x2(x + 2 – x2).
A 5x3 + 10 – x4 B 5x3 + 10x2 – 5x4
C 5x2 + 10x – x3 D x3 + 10x – 5x4
E x2 + 2x – x3
Determina el valor de M = (3x + 2)(2x – 3).
A 3x2 – 5x – 3 B 6x2 + 5x – 6
C 6x2 – 13x – 6 D 6x2 – 5x – 6
E 6x2 – 6x
3
6
1
Halla el valor de F, si F = ( 5 – 1)( 5 + 1).
Encuentra el valor de K(x) = (4x – 5)(4x + 5).A 4x2 – 25 B 4x2 + 5
C 16x2 – 25 D 16x2 + 25
E 4x2 – 5
Indica el valor de M(x) = (x – 3)2 + x(x + 6).
A 9 B x2 + 6
C 2x2 D 3x2 + 6
E 2x2 + 9
A 6 B 3 C 4
D 5 E 2
Practica y demuestra
2
4
5
Si se sabe que n + m = 7 y m . n = 3, determina el
valor de R = n2 + m2.
Calcula la expresión equivalente de A(x).
A(x) = (3x + 2)2 – (3x – 2)2
Halla el valor de E.
E = ( 11 + 3)2 + ( 11 – 3)2
8
9
7
A 24x B 6x
C 12 D 9x2 + 4
E 12x
Encuentra el valor de E = a2 + b2, si a – b = 5 ∧ ab = 4.
A 44 B 28 C 14
D 33 E 66
A 49 B 52 C 45
D 46 E 43
A 25 B 17 C 33
D 21 E 29
10
Nivel I
75MateMática DELTA 1 - álgebra
Indica el valor de L.
L =
( 17 + 7)2 + ( 17 – 7)2
( 18 + 2)2 – ( 18 – 2)2
11
A 1 B 2 C 3
D 4 E 6
Calcula el valor de R = (x + 7)(x + 5) – (x + 6)2.
Halla el valor de F = (2x + 3)(2x – 5) – 4x(x – 1).
Determina el valor de H = a + a2 + b2 + b, si
a + b = ab = n.
Descubre el valor de A = 23422 – 23402.
13
14
15
12
Luego de desarrollar Q, indica un término.
Q = (2a3 + 4b2)(2a3 – 4b2) – (2a + b2)2
Encuentra el valor de P =
Descubre el valor de E = a + b, si a2 + b2 = 17 ∧
a – b = 3.
16
17
18
(n4 + 3)(n4 – 3) + 9 .
4
Desarrolla y reduce R.
R = (x +1)(x – 1)(x2 + 1)(x4 + 1) + 1
19
Nivel II
A 4682 B 5286 C 8946
D 7374 E 9364
A n B n4 C 0
D n2 E 1
A 4 B 8 C 3
D 5 E 6
A –16b4 B 15b4 C 16b4
D –17b4 E 0
A 1 B –1 C x4
D x8 E x16
A 71 B 2 C –5
D 1 E –1
A –15 B –11 C 11
D 0 E 15
A n2 + 3n B n2 – n C n2 + n
D n2 – 3n E n2 + 2n
76
El lado de un cuadrado es a + b y el de otro
cuadrado es a – b. Teniendo en cuenta que el
área de un cuadrado es lado al cuadrado, indica la
verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones.
( ) El área de un cuadrado es a2 + b2.
( ) La diferencia de áreas de los cuadrados es
4ab.
( ) La suma de áreas de los cuadrados es
2(a2 + b2).
( ) Si el perímetro de un cuadrado es cuatro
veces su lado, entonces la suma de los
perímetros de los cuadrados es 4a.
En una ciudad A el número de habitantes está dado
por H(x) = 3x2 – 2x – 1, si la cantidad promedio (en
litros) de agua que consume cada habitante en un
mes es A(x) = 3x3 + x2 – 2x – 1.
Calcula la cantidad de agua potable (en litros) que
consume la ciudad en un mes A.
20
21
A 9x5 + 3x4 – 10x3 + 4x + 1
B 9x5 – 3x4 – 12x3 + 3x + 1
C 9x5 – 2x4 – 10x3 + 3x + 1
D 9x5 – 3x4 – 11x3 + 4x + 1
E 9x5 + 3x4 + 11x3 – 4x + 1
Determina el valor de E.
E = ( 5 + 24 + 5 – 24 )2
Halla el valor de (a + b + c + d)(a + b – c – d).22
23
A 6 B 8 C 10
D 12 E 14
A a2 + b2 + c2 + d2 – 2ab + 2cd
B a2 – b2 – c2 + d2 + 2ab + 2cd
C a2 + b2 + c2 + d2 – 2ab – 2cd
D a2 + b2 – c2 – d2 + 2ab – 2cd
E a2 – b2 – c2 – d2 – 2ab + 2cd
Nivel III
Si a + b = 3 y ab = 3, halla el valor de L = a4 + b4;
luego, indica lo correcto.
24
A L es un número par
B L es un entero positivo
C L es un múltiplo de 5
D L es un número natural impar
E L es un número negativo
A VVVV B FFVV C FVFV
D VFVF E FVVF
Tema
77MateMática DELTA 1 - álgebra
6
División de polinomios
Halla la base B del rectángulo si su área es
A = x3 + 6x2 + 14x + 15 y su altura es H = x + 3
¿Qué operación matemática se debe
realizar para hallar la base?¿Cómo
realizamos esta cuando tenemos variables?
H
B
División de monomio entre monomio
Para dividir monomios:
1.° Divide los signos usando la regla de signos.
2.° Divide los coeficientes.
3.° Divide las variables aplicando la teoría de exponentes.
Ejemplo:
Divide:
División de polinomio entre monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada término del polinomio entre
el monomio.
Ejemplos:
a) Calcula el cociente de .
División de polinomio entre polinomio
Al dividir dos polinomios D(x) llamado dividiendo y d(x) llamado divisor, se obtienen
otros dos polinomios, Q(x) llamado cociente y R(x) llamado residuo, donde se cumple:
b) Calcula el cociente de .
Resolución:
Dividimos cada término del polinomio entre el monomio.
Resolución:
Dividimos cada término del polinomio entre el monomio.
Resolución:
Divide: signos coeficientes variables
= (–) = 2 = x3 – 2y2 – 1 = x1y1
6xy2 – 9x2y + 12x2y2
3xy
–4a3b2 + 12a2b4 – 24a5b3
–4a2b2
6xy2
3xy
–4a3b2
–4a2b2
9x2y
3xy
12a2b4
–4a2b2
12x2y2
3xy
24a5b3
–4a2b2
–
+
+
–
= 2y – 3x + 4xy
= a – 3b2 + 6a3b
(–)
(+)
12
6
x3y2
x2y1
Luego: A = –2xy
A =
–12x3y2
6x2y
D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)
Dividir (del latín
dividere) es partir
o separar algo en
partes.
Reglas de signos:
¿Sa bía s qu e.. .?
Donde:
D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)
Dividendo
Residuo Cociente
D(x)
R(x)
d(x)
Q(x)
Divisor
= (+)
= (+)
= (–)
= (–)
(+)
(+)
(–)
(–)
(–)
(+)
(+)
(–)
Recu e rda
(Algoritmo de la división)
78
Métodos para dividir polinomios
Método de Ruffini
El método de Ruffini se utiliza cuando el divisor es un polinomio de primer grado de
la forma (x ± a).
Ejemplos:
a) Divide el polinomio (4x3 + 2x2 – 4) entre (2 + x)
b) Divide el polinomio (–2x3 + x4 – 3x – 4) entre (x – 3).
c) En la división (3x3 + x – 4x2 – n) ÷ (x – 2) el resto es 8, halla el valor de n.
Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios dividendo y divisor.
(4x3 + 2x2 + 0x – 4) ÷ (x + 2)
Esquema de Ruffini
Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios dividendo y divisor.
(1x4 – 2x3 + 0x2 – 3x – 4) ÷ (x – 3)
Esquema de Ruffini
Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios dividendo y divisor.
(3x3 – 4x2 + x – n) ÷ (x – 2)
Esquema de Ruffini
Luego: Q(x) = 4x2 – 6x + 12; R(x) = –28
Luego: Q(x) = 1x3 + 1x2 + 3x + 6
R(x) = 14
Luego: 8 = –n + 10 ⇒ n = 2
El valor de n es 2.
3.o 2.o 1.o T.I.
4 2 0 –4
+ + +
–2 –8 12 –24
× 4 –6 12 –28
Opuesto del término
independiente del
divisor d(x)
Escribe los coeficientes del
dividendo D(x) con sus signos.
Residuo
2
Coeficientes del
cociente
Suma los elementos de esta columna
y multiplica por el valor obtenido en el
paso 2. Repite el proceso.
Baja el coeficiente, multiplica por el valor
obtenido en el paso anterior. Escribe el
resultado en la siguiente columna.3 4
1 –2 0 –3 –4
+ + + +
3 3 3 9 18
× 1 1 3 6 14
1
2
3 4
3 –4 1 –n
+ + +
2 6 4 10
× 3 2 5 –n + 10
1
2
3 4
1
Grado:
Mayor exponente
de la variable en un
polinomio.
Polinomio
completo y
ordenado: Términos
con exponentes
consecutivos.
Paolo Ruffini
Italia: 22/9/1765
Italia: 9/5/1822
Recu e rda
Not a
(4)(–2) = –8 ⇒ 2 – 8 = –6
(–6)(–2) = 12 ⇒ 0 + 12 = 12
(12)(–2) = –24 ⇒ –4 – 24 = –28
79MateMática DELTA 1 - álgebra
Método de Horner
El método de Horner se utiliza para dividir polinomio cuyos divisores sean de grado
mayor o igual a uno.
Ejemplo 1
Calcula el cociente y el residuo de
6x5 – 4x3 – 5x4 – 7x2 + 3
2x3 – 3x2 – 2
Resolución:
• Ordenamos y completamos los polinomios
• En el esquema de división:
6x5 – 5x4 – 4x3 – 7x2 + 0x + 3
2x3 – 3x2 + 0x – 2
2 6 –5 –4 –7 0 3
+3
0
+2
En columna los
coeficientes
del divisor d(x),
el primero con
su signo y los
restantes con el
signo opuesto.
Separamos con una línea vertical tantas columnas
como el grado del divisor a partir de la última columna. 3
2 Coeficientes del
cociente
Coeficientes del
residuo
divisor de grado 3
Coloca los coeficientes
del dividendo D(x) con su
respectivo signo. 1
William G. Horner
Reino Unido
1786 - 1837
Si la división:
D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)
Es exacta, entonces:
R(x) ≡ 0
fila
columna
Import a nt e
Not a
÷ 6 4 2 + + +
2 6 –5 –4 –7 0 3
+3 9 0 6
0 6 0 4
+2 3 0 2
× 3 2 1 2 4 5
Multiplica este resultado por los coeficientes
del divisor con el signo cambiado, y coloca los
productos en las columnas siguientes.
Suma los números de cada columna para
obtener los coeficientes del residuo.
Suma los elementos de la columna, divide el resultado entre el primer
coeficientedel divisor y coloca el resultado en la parte inferior del gráfico.
Repite los pasos 4 y 5.
5
4
6
7
6 ÷ 2 = 3 ⇒ (3)(+3) = 9
(3)(0) = 0
(3)(+2) = 6
Luego: –5 + 9 = 4 ⇒ 4 ÷ 2 = 2
⇒ (2)(+3) = 6
(2)(0) = 0
(2)(+2) = 4
Después: –4 + 0 + 6 = 2 ⇒ 2 ÷ 2 = 1
⇒ (1)(+3) = 3
(1)(0) = 0
(1)(+2) = 2
Por último: –7 + 6 + 0 + 3 = 2
0 + 4 + 0 = 4
3 + 2 = 5
• Luego, el proceso del esquema anterior es:
80
Ejemplo 2
Calcula el cociente y el residuo de la división:
÷ 6 0 –4 2 + +
2 6 3 –7 0 5 4
–1 –3 3
1 0 0
2 –2
–1 1
× 3 0 –2 1 2 5
2
3
1
Repetimos pasos 4 y 5
6
Resolución:
Del algoritmo de la división:
D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)
Donde:
• Dividendo: D(x) = 6x5 + 3x4 – 7x3 + 5x + 4
Completando el D(x):
D(x) = 6x5 + 3x4 – 7x3 + 0x2 + 5x + 4
• Divisor: d(x) = 2x2 + x – 1
En el esquema de la división:
Luego:
Q(x) = 3x3 + 0x2 – 2x + 1 = 3x3 – 2x + 1
R(x) = 2x + 5
6x5 + 3x4 – 7x3 + 5x + 4
2x2 + x – 1
4
5
El algoritmo de la
división está dado por:
El algoritmo
constituye un
método para
resolver un problema
mediante una
secuencia de pasos
a seguir.
¿Sa bía s qu e.. .?
Re cu e rda
D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)
En una división de polinomios completos y ordenados en forma decreciente, el cociente
Q(x) y residuo R(x) también son completos y ordenados.
Entonces:
2.° 1.° T.I.
• Coeficientes del cociente: 3 2 1 Q(x) = 3x2 + 2x + 1
2.° 1.° T.I.
• Coeficientes del residuo: 2 4 5 R(x) = 2x2 + 4x + 5
Propiedades de grados
El grado del polinomio cociente es el grado del polinomio dividendo menos el grado del
polinomio divisor. En el ejemplo 1 de la página anterior: 5 – 3 = 2
El grado del polinomio residuo es el grado del polinomio divisor menos uno.
En el ejemplo 1 de la página anterior: 3 – 1 = 2
81MateMática DELTA 1 - álgebra
Encuentra los valores desconocidos.
Halla el cociente.
(12x3y + 9x2y2 – 6xy3) ÷ (3xy)
Calcula el cociente.
(4x3 + x – 5) ÷ (x + 1)
Determina el cociente y residuo de la división.
(2x3 + x4 – x + 4) ÷ (x2 – 1 + x)
Descubre la altura h del triángulo si se conoce su
área.
A = 6x3 – 4x2 + 2x
Encuentra el resto de la división.
(3x4 + 4x3 + 5x – 2) ÷ (x + 2)
Resolución:
Completamos:
Resolución:
Tenemos:
Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios:
(4x3 + 0x2 + 1x – 5) ÷ (x + 1)
Esquema de Ruffini.
Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios:
(x4 + 2x3 + 0x2 – 1x + 4) ÷ (1x2 + 1x – 1)
Esquema de Horner.
Resolución:
Tenemos:
Entonces:
Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios:
(3x4 + 4x3 + 0x2 + 5x – 2) ÷ (x + 2)
Esquema de Ruffini.
Luego: Q(x) = 4x2 – 4x + 5
Rpta. 4x2 – 4x + 5
Entonces: Q(x) = 3x3 – 2x2 + 4x – 3
R(x) = 4
Rpta. 4
Luego: Q(x) = 1x2 + 1x + 0 = x2 + x
R(x) = 0x + 4 = 4
Rpta. Q(x) = x2 + x
R(x) = 4
Luego, calcula el valor de E.
Nos piden:
Rpta. 3
Rpta. 4x2 + 3xy – 2y2 Rpta. 3x
2 – 2x + 1
A + B + C
m + n – 1
–3 + 12 + 6
3 + 3 – 1
15
5
E =
E = = = 3
12x3y + 9x2y2 – 6xy3
3xy 2(6x
3 – 4x2 + 2x)
4x
12x3
4x
8x2
4x
4x
4x
12x3 – 8x2 + 4x
4x
B . h
2
2A
B
h
4x
12x3y
3xy
9x2y2
3xy
6xy3
3xy
Q =
h =
h = – + = 3x2 – 2x + 1
=
A = ⇒ h =
Q = = 4x2 + 3xy – 2y2+ –
–6xy4
Ay
= 2xyn•
–6xy4
–3y
= 2xy3•
Bx2y5
3xy2
= 4xym•
12x2y5
3xy2
= 4xy3•
–12x2y4
–2xy3
= Cxy•
–12x2y4
–2xy3
= 6xy•
4 0 1 –5
–1 –4 4 –5
× 4 –4 5 –10
3 4 0 5 –2
–2 –6 4 –8 6
× 3 –2 4 –3 4
÷ 1 1 0
1 1 2 0 –1 4
–1 –1 1
1 –1 1
0 0
× 1 1 0 0 4
1
2
3
4
5
6
Ejercicios resueltos
82
Halla el cociente de la división. Descubre el valor de n si la suma de coeficientes
del cociente de (xn + xn – 1 + x + 5) ÷ (x – 1), es 42.
Encuentra el valor de a + b de manera que el
polinomio P(x) = x3 + ax + b sea divisible por (x – 1)2.
Halla n + m si la siguiente división deja por
resto –27x – 11.
Determina el cociente de la división.
Calcula el valor de n, si en la siguiente división el
residuo es 30.
(x4 + x3 + x2 + n) ÷ (x – 2)
Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios:
(2x5 – 3x4 + 0x3 – 11x2 + 0x + 5) ÷ (x2 – 2x – 1)
Esquema de Horner:
Resolución:
Aplicamos el método de Ruffini, luego completamos
y ordenamos los polinomios:
Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios:
(1x3 + 0x2 + ax + b) ÷ (x2 – 2x + 1)
Esquema de Horner:
Resolución:
Aplicamos el método de Horner, luego
completamos y ordenamos los polinomios:
Tenemos: 1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 3 = 42
(n – 2) veces
Entonces: 1 + 2(n – 2) + 3 = 42
1 + 2n – 4 + 3 = 42
2n = 42 ⇒ n = 21
Rpta. 21
Luego: a – 1 + 4 = 0 ⇒ a = –3
b – 2 = 0 ⇒ b = 2
Nos piden: a + b = –3 + 2 = –1
Rpta. –1
Como el polinomio P es divisible entre el divisor, el
residuo es 0.
Luego: –n – 2 + 6 – 34 = –27 ⇒ n = –3
m + 3 – 17 = –11 ⇒ m = 3
Nos piden: n + m = –3 + 3 = 0
Rpta. 0
Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios:
(6x5 + 9x4 – 5x3 + 1x2 + 9x + 3) ÷ (2x2 + 3x – 1)
Esquema de Horner:
Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios:
(1x4 + 1x3 + 1x2 + 0x + n) ÷ (x – 2)
Esquema de Ruffini:
Luego: Q(x) = 2x3 + 1x2 + 4x – 2 = 2x3 + x2 + 4x – 2
R(x) = 0x + 3 = 3
Rpta. 2x3 + x2 + 4x – 2
Luego: Q(x) = 3x3 + 0x2 – 1x + 2 = 3x3 – x + 2
R(x) = 2x + 5
Rpta. 3x3 – x + 2
Entonces: n + 28 = 30 ⇒ n = 2
Rpta. 2
2x5 – 3x4 – 11x2 + 5
x2 – 2x – 1
6x5 + 9x4 – 5x3 + x2 + 9x + 3
2x2 + 3x – 1
x4 – 4x3 + 6x2 – (n + 2)x + m + 3
x2 + 2x + 1
1 1 1 0 n
2 2 6 14 28
× 1 3 7 14 30
1 1 0 0 ... 0 1 5
1 1 2 2 ... 2 2 3
× 1 2 2 2 ... 2 3 8
÷ 2 1 4 –2
1 2 –3 0 –11 0 5
+2 4 2
+1 2 1
8 4
–4 –2
× 2 1 4 –2 0 3
÷ 1 2
1 1 0 a b
2 2 –1
–1 4 –2
× 1 2 0 0
÷ 1 –6 17
1 1 –4 6 –n – 2 m + 3
–2 –2 –1
–1 12 6
–34 –17
× 1 –6 17 –27 –11
÷ 6 0 –2 4
2 6 9 –5 1 9 3
–3 –9 3
+1 0 0
3 –1
–6 2
× 3 0 –1 2 2 5
7
8
9
10
11
12
83MateMática DELTA 1 - álgebra
15x2y3
–3xy2
16x3y5
–8xy2
a) a)= =
36n5m8
–9n4m5
35n4m7
–7n2m2
d) d)= =
–24a4b6
6ab5
–12a3b7
3ab3
b) b)= =
16x4 – 8x2
4x
24x2 – 18x3
6x
e) e)= =
–18x3y3z2
–6xy3z
–28x2y4z2
–7xy3z2
c) c)= =
24x3y – 15x2y2
3x2y
24x2y2 – 16xy2
4xy2
f) f)= =
28abc4 – 49abc2
7abc
27abc3 – 18abc2
9abc2
g) g)= =
Efectúa las divisiones. Efectúa las divisiones.1 2
D(x) d(x)
R(x) Q(x)
monomio ÷ monomio
polinomio ÷ monomio
polinomio ÷ polinomio D(x) = d(x)
. Q(x) + R(x)
Divide:
1.° Los signos
2.° Los coeficientes
3.° Las variables
Divide:
Cada término del polinomio entre el monomio
Algoritmo de la división
Dividendo y divisor
completos y ordenados
Dividendo
residuo
divisor
cociente
Coeficientes del
dividendo
repetirsuma por (–a)
en la siguiente
columna
opuesto
de a
Forma:
D(x)
x + a
Esquema:
–a
×
Método de Ruffini
2
1
3 3
Coeficientes del
dividendo
Resultado
de (5)
separa
esquema
Coeficientes
del divisor
cambian de
signo
multiplica
repetir
(4) al (7)
Esquema:
×
÷Divide
Suma
Suma
Método de Horner
4
1
3 8
6
7
2
5
Síntesis
Modela y resuelve
División de
polinomios
84
Halla el cociente y residuo.
(x3 + 2x2 – 4) ÷ (x + 1)
Calcula el cociente y residuo de la división.
(2x4 – x3 + 2x2 + 12) ÷ (x + 2)
Halla el cociente y residuo.
(x3 + x2 + 3) ÷ (x – 1)
Determina el cociente y residuo de la división.
(x4 + x3 + 5) ÷ (x2 – x + 1)
Calcula el cociente y residuo de la división.
(3x4 – 5x3 – x – 3) ÷ (x – 2)
Determina el cociente y residuo de la división.
(x4 + 2x3 + 2) ÷ (x2 + x + 1)
3
6
4
7
5
8
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
Resolución: Resolución:
Q(x) =
Q(x) = Q(x) =
Q(x) =R(x) =
R(x) =
R(x) =
R(x) =
R(x) =
Q(x) = Q(x) = R(x) =
85MateMática DELTA 1 - álgebra
Encuentra el resto de la división.
Halla el valor de m en la división exacta (resto
igual a cero).
(x4 – 4x3 – 3x + m) ÷(x – 4)
Encuentra el resto de la división.
En la división (x5 – 12x3 – 15x2 + a) ÷ (x – 4), el
resto es 18. Calcula el valor de a.
Halla el valor de n en la división exacta (resto igual
a cero).
(x4 – x2 – 2x3 – 3x + n) ÷ (x – 3)
En la división (x5 – 15x3 – 14x + a) ÷ (x + 4), el
resto es 12. Calcula el valor de a.
9
12
10
13
11
14
Resolución:Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
(4x4 – 5x2 + 5x – 1)
(2x2 + x – 1)
(4x4 + 5x2 – 2x + 5)
(2x2 – x + 1)
86
Determina la suma de coeficientes del cociente.
(2x6 – 2x4 + 3x3 – 3x – 1) ÷ (x3 + 2)
Encuentra el valor de m + n en la división exacta.
(6x5 + 4x3 + 2x4 + 13x2 + mx + n) ÷ (3x2 + x – 4)
Determina la suma de coeficientes del cociente.
(2x6 + 2x4 + 5x3 – 8x + 3) ÷ (x3 + 2)
Halla m + n, si 3x + 2 es el resto de la división.
(4x5 + 7x3 – 4x4 + 7x2 – mx + n + 5) ÷ (2x2 – x + 3)
Encuentra el valor de a + b en la división exacta.
(6x5 + 5x3 – 2x4 – 18x2 + ax + b) ÷ (3x2 – x – 2)
Halla a + b, si 4x + 2 es el resto de la división.
(4x5 + 3x3 + 8x2 + ax + b + 5) ÷ (2x2 + x + 3)
15
18
16
19
17
20
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
87MateMática DELTA 1 - álgebra
Si el residuo de
Sea Q(x) el cociente y R(x) el residuo de la división
Si el residuo dees igual al residuo de
Determina H(x) = Q(x) + 3R(x).
es igual al residuo de
, calcula el valor de a. , calcula el valor de a.
12x5 – 3x4 + 8x2 – 2x3 – 6 – 3x
3x3 + 2 + x
3x4 + x2 – 2
x + 1
Sea Q(x) el cociente y R(x) el residuo de la división
Determina E(x) = Q(x) + 2R(x).
12x5 – 4x4 + 17x2 + 8x3 – 6x + 1
2x3 + 3 + x
3x4 + x2 – 1
x – 1
x3 – 2x2 + a
x – 2
x3 – x2 + a
x + 2
21
23
22
24
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
88
Practica y demuestra
Relaciona:
Del siguiente esquema de Ruffini:
Calcula el cociente y el residuo de la división.
Luego de dividir
Indica el resto de .
Determina el cociente de .
Halla la suma de los números que debes escribir
en los recuadros vacíos.
a. 4xy
b. –2y
c. –2xy
d. –4y
e. 2xy
2 –2
6
1× 9
A 1b; 2c; 3d; 4e B 1c; 2a; 3e; 4a
C 1b; 2d; 3a; 4e D 1b; 2a; 3d; 4e
E 1d; 2b; 3e; 4a
A x + 2 B x – 1
C 3x + 1 D 2x + 1
E 2x – 1
A Q(x) = 2x2 + x + 2; R(x) = 2
B Q(x) = 2x2 – x + 1; R(x) = 1
C Q(x) = 2x2 + x – 1; R(x) = 2
D Q(x) = 2x2 + 2x + 1; R(x) = 1
E Q(x) = 2x2 – x + 2; R(x) = –1
A 3x2 + x + 3 B 3x2 + 2x – 1
C 3x2 – 2x + 1 D 3x2 + x – 3
E 3x2 – x + 2
4xy2
–2xy
1.
–24x2y3
–6xy2
2.
–36x2y4
9x2y3
3.
32x3y5
16x2y4
4.
2x3 + 3x2 – x + 3
x + 2
2x4 – 4x2 + 7x3 – x – 1
x + 4
3x3 – 11x2 + 7x + 3
x – 3
1
3
5
2
4
6
resto.
indica el
A 10 B 21 C 17
D 13 E 15
A 2 B 3 C 4
D 5 E 1
6x4 – 5x3 + 9x – 2x2 – 1
3x2 + 2x – 1
A 9 B 12 C 11
D 15 E 8
A 2 B 0 C –1
D 3 E 4
Descubre el residuo de .
Halla el cociente y el resto de la división.
A Q(x) = 2x2 + x + 1; R(x) = x2 – x + 5
B Q(x) = x2 – x – 2; R(x) = 2x2 – x – 4
C Q(x) = 2x2 + x – 2; R(x) = 4x2 – 3x + 5
D Q(x) = x2 + x – 2; R(x) = x2 – 3x + 4
E Q(x) = 2x2 + 2; R(x) = – 4x2 + 3x + 5
8
9
Encuentra el residuo de la división.7
x5 + 1
x – 1
2x5 – 13x3 – 5x4 – 2x + 5x2 + 3
x – 4
6x4 + 2x5 – 2x2 + x + 1
3x2 + x3 – x – 2
Nivel I
89MateMática DELTA 1 - álgebra
Calcula las alturas de los rectángulos de áreas
iguales a A(x) = 12x3 – 9x2.
A H1 = 12x – 9; H2 = 4x2 – 3x
B H1 = 3x2 – 4x; H2 = 4x – 3
C H1 = 12x2 – 9; H2 = 12x – 9
D H1 = 4x2 – 3x; H2 = 12x – 9
E H1 = 4x2 – 3x; H2 = 12x2 – 9x
Divide (x3 – x2 – 17x + 33) ÷ (x – 3); luego, indica
el cociente.
A x2 – 2x – 11 B x2 + 4x – 2
C x2 + 3x – 9 D x2 + 2x – 11
E x2 – 3x – 7
H1
3x
H2
x2
11
10
15x3y – 25x2y2
5xy
= 3x – 5xy( )
32x3y3 – 8x2y2
4x2y
= 8xy2 – 2y( )
18xy2 – 12x3y2
–6xy2
= 3 + 2x2( )
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda
en la división:
12
Encuentra el valor de n + m si la división
tiene como residuo 70x.6x
3 + 4x2 + nx + m
x2 – 3x + 1
14
A 3x3 + 4x2 + 2x – 1
B 3x3 – 4x2 + x – 1
C 3x3 – 2x2 + 4x – 1
D 3x3 + 4x2 – x – 1
E 3x3 – x2 + 4x – 1
En una ciudad, la cantidad de agua potable está
determinada por la expresión:
M(x) = 6x5 – 5x4 + 4x3 – 9x2 + x – 2. Si el número
de habitantes está dado por E(x) = 2x2 + x + 2;
donde x es el tiempo. Halla la cantidad de agua
que le corresponde a cada habitante.
16
Si la división exacta, descubre el valor de E = nm.
6x5 + 2x4 – 11x3 + 5x2 + nx – m
2x2 – 3
15
A 40 B 36 C 32
D 28 E 42
A 22 B 18 C 42
D 12 E 32
A VVF B VFV C FVF
D FFV E VFF
A 2 B 7 C 1
D 5 E 3
Del siguiente esquema de Horner:
Determina la suma de los números que debes
escribir en los recuadros vacíos.
13
4 –4 8
–1
2
4
3
1 –2
–4
2× –14 4 5
Nivel II
90
Tenemos:
I. El término independiente del cociente es 1.
II. El resto de la división es x + 4.
III. El valor de (b + c + d) es 6.
Son correctas:
Si Q(x) es el cociente y R(x) es el residuo de
En la división exacta
M(x) = Q(x) + R(x)
valor de A = m + 6.
12x5 + 12x4 + 11x3 – 4x + 1
(2x + 1)2
x4 + 7x2 + mx + 16
x + 2
17
18
Descubre el valor de F = n + m; si 2x + 5 es el
residuo de la división.
El resto de la división de es
2x + 4. Encuentra el valor de R = n + m.
4x3 + 8x5 + m – nx
–1 + 2x + 2x2
20
19
A 30 B 16 C 40
D 36 E 42
A 5 B 6 C 3
D 7 E 8
A 5 B 8 C 4
D 6 E 9
, calcula M(x).
Q(x) es el cociente y R(x) el residuo de
Además, H(x) = Q(x) + 2R(x).
Halla el valor de H(2).
12x5 + 6x4 + 17x2 – 17x3 + 14x – 13
3x3 – 2x + 5
21
A 18 B 15 C 22
D 21 E 25
A Solo I B I y II C Solo III
D II y III E Todas
Sobre la división por el método de Horner
3 1 d –6 5 3
2
a
b
–1c
2 –1
–2 1
4 f
1 e21 g h
22
Si el resto de es igual al resto
x4 + 2x3 – x2 + 2
x – 1
A x3 + 3x2 – 2x – 1 B x3 – 2x2 – 3x + 1
C x3 + 2x2 – x – 3 D x3 + x2 – 2x – 2
E x3 + 3x2 – x – 2
23
A 3x3 + 4x + 1 B 3x3 + 2x2 + 2x – 1
C 3x3 + 4x2 – x + 3 D 3x3 + 2x2 + 5
E 3x3 + 1
,
Nivel III
, halla el
x4 – x3 – 7x2 + 6
x – n
de
calcula el cociente x
5 + x3 + 3x2 + n
x + 1
de ;
12x4 – x3 – 2x2 + nx – m
4x2 – 3 + x
.
Nombre: n.° de orden: Sección:
91MateMática DELTA 1 - álgebra
A 2x2 + 9 B 4x2 – 12x + 9
C 4x2 + 9 D 4x2 + 6x + 9
A 3 – 2x B 2x – 3
C 5 D 2x + 1
Si P(x) = 3x2 – 4x + 7, calcula el valor de P(2).
5 Efectúa H.
H(x) = (2x – 3)2
4 Encuentra el valor de M(1; 2).
M(x; y) = 2x2y + 3xy
Si P(x) = 3x – 1 y Q(x) = 4x + 7, halla el valor de
Q(P(2)).
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Reduce H.
H = (x – 2)2 – (x – 1)2
6
A 9 B 11
C 10 D 13
A 5 B 23
C 27 D 31
A 17 B 19
C 28 D 31
Dado P(x – 2) = 7x + 3, determina el valor de
M = P(2).
Test n.° 2
A 7 B 8
C 12 D 10
92
Indica (C) si la proposición es correcta e (I) si es
incorrecta:
( ) (a – b)2 = (b – a)2
( ) (a – b)2 + (a + b)2 = 2(a2 + b2)
( ) (a – b)2 – (a + b)2 = 4ab
( ) (a + c)(a + b) = a2 + (b + c)a + bc
Efectúa R.
R = (3x + 2)(3x + 4) – (3x + 1)2
7 10
11
129
8
x + 3A
3x + 8C
x + 1B
12x + 7D
A CCII B CCCC
C CIIC D CCIC
Calcula el cociente de L.
A 2x2 – x – 1 B x2 + 2x – 3
C 2x2 + x – 1 D x2 + x – 2
2x4 – x3 + 2x2 + 3
x2 – x + 2
L =
Halla el cociente de la división.
A 2x3 + x2 + 2x – 5
B 2x3 – 3x2 + x – 3
C 2x3 + x2 – 2x + 1
D 2x3 – x2 + 2x – 1
4x5 – 8x4 + 9x3 – 9x2 + 8x – 6
2x2 – 3x + 1
2A
x + 1C
0B
x – 3D
2A
6C
–5B
–2D
Determina el residuo de .x
6 + 1
x2 + x + 1
Encuentra el valor de n si el restode la división
es 4.2x
3 + x2 – 17x + n
x + 3
Tema
93MateMática DELTA 1 - álgebra
7
Ecuaciones lineales
Si el peso del camión es de 975 kg, ¿cuánto pesa su carga?
Ecuación
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que al menos está presente
una variable (incógnita).
Donde:
x es la variable
Ejemplos:
a) 3x + 2 = x – 1
b) x + 12 – 3 = 5
x + 3
5 – 4 = 2
x + 3
5 – 4 = 2
x + 3
5 = 2 + 4
x + 3 = 5(6)
x = 30 – 3
x = 27
Ejemplo:
Dada la ecuación.
4x + 2 = 10
Si x = 2
4(2) + 2 = 10
Luego, 2 es solución de la ecuación.
Para resolver una ecuación, aplicamos el método de transposición de términos.
Ejemplos:
a) Resuelve la ecuación.
Resolución:
Observamos que:
Luego, 27 es la solución de la ecuación.
(El 4 pasa sumando)
(El 5 pasa multiplicando)
(El 3 pasa restando)
Solución de una ecuación lineal
Es aquel valor que toma la incógnita de una ecuación y verifica la igualdad.
1500 kg
5x + 3 = x – 2
Primer
miembro
Segundo
miembro
Lectura de
la balanza
El método de
transposición de
términos consiste
en pasar los términos
de un miembro a
otro con la operación
contraria.
Transposición
+ = –
– = +
× = ÷
÷ = ×
Francisco Vieta
(1540 - 1603)
Fue el primer
matemático que
utilizó letras para
designar las
incógnitas y las
constantes de
las ecuaciones
algebraicas.
Import a nt e
Not a
94
Resolución:
Tenemos: 5(x + 3) – 7 = 3(1 – x) + 21
5x + 15 – 7 = 3 – 3x + 21
5x + 8 = 24 – 3x
5x + 3x = 24 – 8
8x = 16 ⇒ x = 2
El valor que verifica la igualdad es 2.
Resolución:
Tenemos:
(x + 3)2 – 5 = (x – 4)2 + 16
x2 + 2 . x . 3 + 32 – 5 = x2 – 2 . x . 4 + 42 + 16
x2 + 6x – x2 + 8x = 16 + 16 – 9 + 5
14x = 28
x = 2
El valor que verifica la igualdad es 2.
3(x + 5) + 2(x) = 6(x) + 6(1)
3x + 15 + 2x = 6x + 6
5x + 15 = 6x + 6
5x – 6x = 6 – 15
–x = –9 ⇒ x = 9
El valor de x que verifica la igualdad es 9.
Resolución:
Tenemos: x + 52 +
x
3 =
x
1 +
1
1
MCM(2; 3) = 6
Elimina los paréntesis.
Hallamos el MCM de los denominadores.
Desarrollamos el binomio al cuadrado.
Este número se divide por cada denominador y el
resultado se multiplica por su respectivo numerador.
Transponemos variables al primer miembro
y constantes al segundo.
Reduce términos.
Despeja la variable y transpón términos.
b) Calcula el valor de x en:
5(x + 3) – 7 = 3(1 – x) + 21
d) Halla el valor que verifica la igualdad:
(x + 3)2 – 5 = (x – 4)2 + 16
c) Determina el valor de x en:
x + 52 +
x
3 = x + 1
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Obse rva
95MateMática DELTA 1 - álgebra
Luego de resolver:
• a3 – 1 = 4
• 2b + 3 = 7
• 2c – 5 = c + 2
Indica el valor de:
M = a + b + c
Determina el triple del valor de x que verifica la
ecuación.
x + 3x – 1 =
5
7
Calcula el valor de x en la ecuación.
7 + 2(2x – (x + 1)) = 1 – 2x
Luego halla M.
M = (x + 2)2 + 4
Encuentra el valor de x en la ecuación.
x + 23 +
x – 2
4 =
x
2 + 1
Halla el valor de x que verifica la ecuación.
Resuelve la ecuación:
3(x – 2) + 4(x + 1) = 19
Luego, indica el valor de x + 2.
Resolución:
• a3 – 1 = 4 ⇒ a = 3(4 + 1) ⇒ a = 15
• 2b + 3 = 7 ⇒ b = 7 – 32 ⇒ b = 2
• 2c – 5 = c + 2 ⇒ 2c – c = 2 + 5 ⇒ c = 7
Nos piden:
M = a + b + c = 15 + 2 + 7 = 24
Rpta. 24
Resolución:
Tenemos:
x + 3x – 1 =
5
7
7(x + 3) = 5(x – 1)
7x + 21 = 5x – 5
7x – 5x = –5 – 21
2x = –26
x = –13
Nos piden el triple de x, entonces:
3x = –39
Rpta. –39
Resolución:
7 + 2(2x – (x + 1)) = 1 – 2x
7 + 2(2x – x – 1) = 1 – 2x
7 + 4x – 2x – 2 = 1 – 2x
4x – 2x + 2x = 1 + 2 – 7
4x = –4
x = –1
Nos piden: M = (x + 2)2 + 4
M = (–1 + 2)2 + 4 = 12 + 4
M = 5
Rpta. 5
Resolución:
Hallamos el MCM de los denominadores:
x + 2
3 +
x – 2
4 =
x
2 +
1
1
MCM(3; 4; 2) = 12
Luego, dividimos entre cada denominador y
multiplicamos.
4(x + 2) + 3(x – 2) = 6(x) + 12(1)
4x + 8 + 3x – 6 = 6x + 12
4x + 3x – 6x = 12 – 8 + 6
x = 10
Rpta. 10
Resolución:
Aplicamos la transposición.
Resolución:
3x – 6 + 4x + 4 = 19
7x – 2 = 19
7x = 19 + 2
7x = 21
x = 3
Piden: x + 2 = 5
Rpta. 5
Rpta. 5
3
+ 6 = 7
x + 3
2 – 1
= 7 – 6
x + 3
2 – 1 = 3(1) ⇒
x + 3
2 = 3 + 1
x + 3 = 2(4) ⇒ x = 8 – 3 = 5
41
2
3
5
6
– 1x + 3
2
3
Ejercicios resueltos
9696
Resuelve e indica el valor de 2x. Calcula el valor de x que verifica la ecuación.
x – 5 = x + 42 –
x
5
Despeja x en la ecuación.
(x – a)2 = (x + a)(x – 1) – a(3x – 2)
Encuentra el valor de x en la ecuación.
Halla el valor que verifica la ecuación.
(x + 3)2 – 4x = (x + 2)(x – 2) + 7
Determina el valor de n, si el valor de x es 6.
Resolución:
Tenemos:
x + 3
3 +
x
3 –
x – 1
3 = 2
x + 3 + x – x + 13 = 2
x + 43 = 2
x = 2 . 3 – 4
x = 2
Luego: 2x = 2(2) = 4
Rpta. 4
Resolución:
Hallamos el MCM de los denominadores:
MCM(2; 5) = 10
Multiplicamos ambos miembros por 10:
10(x – 5) = 5(x + 4) – 2(x)
10x – 50 = 5x + 20 – 2x
10x – 5x + 2x = 20 + 50
7x = 70
x = 10
Rpta. 10
Resolución:
Desarrollamos:
x2 – 2 . x . a + a2 = x2 – x + ax – a – 3ax + 2a
x2 – 2ax + a2 = x2 – x – 2ax + a
x2 – 2ax – x2 + x + 2ax = a – a2
x = a – a2
Rpta. a – a2
Rpta. 8
Resolución:
Tenemos:
6 + n5 + 4 = 3(3 – 1)
6 + n5 = 6 – 4
6 + n = 5(2)
n = 10 – 6
n = 4
Rpta. 4
Resolución:
Tenemos:
(x + 3)2 – 4x = (x + 2)(x – 2) + 7
x2 + 2 . x . 3 + 32 – 4x = x2 – 22 + 7
x2 + 6x + 9 – 4x = x2 – 4 + 7
x2 + 6x – 4x – x2 = –4 + 7 – 9
2x = –6
x = –3
Rpta. –3
Resolución:
Tenemos: x = 6
Entonces:
3
3
3
2
3
+ 2
+ 2 = 2(3)
= 6 – 2
= 6 – 3
+ 1 = 3
2x + 4
5 + x
2x + 4
5 + x
2x + 4
5 + x
2x + 4
5 + x = 3(4)
2x + 4 = 5(12 – x)
2x + 4 = 60 – 5x
2x + 5x = 60 – 4
7x = 56 ⇒ x = 8
6 + n
5 + 4
3
+ 1 = 3
x + n
5 + 4
3
2
+ 2
+ 3 = 6
2x + 4
5 + x
7
8
9
10
11
12
x + 3
3 +
x
3 = 2 +
x – 1
3
97MateMática DELTA 1 - álgebra
x
2
x
3
x
4
x
5
• 3x – 5 = 4 ⇒ x = • 2x – 3 = 5 ⇒ x =
• 2(x + 1) = 6 ⇒ x = • 2(x – 1) = 8 ⇒ x =
• 3x – 3 = 2x + 1 ⇒ x = • 4x – 1 = 3x + 2 ⇒ x =
• – 3 = 1 ⇒ x = • – 2 = 1 ⇒ x =
• 3 + = 5 ⇒ x = • 2 + = 4 ⇒ x =
Resuelve. Resuelve.1
Halla el valor de x que verifica la ecuación.
2(x + 5) – 3 = x + 4.
4
2
Indica el valor de x que verifica la ecuación.
2(x – 1) – (x – 4) = 9
5
Halla el valor de x que verifica la ecuación.
2(x + 3) – 4 = x + 7.
3
Indica el valor de x que verifica la ecuación.
2(x – 2) – (x – 3) = 7
6
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
+ = –
– =+
× = ÷
÷ = ×
Ecuaciones
lineales
Solución Valor que verifica la igualdad
TransposiciónIgualdad con
variable
Síntesis
Modela y resuelve
98
Calcula el valor de x en 5 + 2(x – (3 – x)) = 15. Calcula el valor de x en 4 + 3(x – (2 – x)) = 10.
Encuentra el valor de x. Encuentra el valor de x.
Resuelve la ecuación. Resuelve la ecuación.
2x + 5
3
– 1 = 4 3x + 5
2
– 3 = 4
x – 1
3
x
3
= 3+
x – 4
2
x
2
= 5+
7
11
8
12
Determina el valor que verifica la ecuación.
5 + 2(x – 3) = 3 – (x – 5)
9
13
Determina el valor que verifica la ecuación.
6 + 2(x – 5) = 5 – (x – 3).
10
14
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
Resolución:Resolución:
Resolución: Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
99MateMática DELTA 1 - álgebra
Halla el valor que verifica la ecuación.
5 – 2(x – (2x – 1)) = 6 – x
Halla el valor que verifica la ecuación.
2 – 3(x – (2x – 3)) = 8 – 2x
Calcula el valor que verifica la igualdad. Calcula el valor que verifica la igualdad.
4
x + 5
3
+ 2
+ 2 = 5
3
x + 5
2
– 1
+ 1 = 3
15
18
16
Determina el valor que verifica la igualdad.
x + 2
x – 1
4
5
=
19
17
Determina el valor que verifica la igualdad.
x + 3
x – 2
5
6=
20
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
100
Encuentra el valor que verifica la igualdad.
x + 2
3
x – 2
2
+ = x – 1
Encuentra el valor que verifica la igualdad.
Resuelve la ecuación.
x – 1
3
x + 2
2
+ = x – 1
x + 4
3
x – 2
6
x
4
– = + 1
Resuelve la ecuación.
x + 2
3
x – 1
6
x – 1
4
– = + 1
Halla el valor de x. Halla el valor de x.
2x – 1
3
2
5
+ 5
+ 1
+ 3 = 4
3x + 6
2
4
2
+ 3
+ 5
– 1 = 3
21
24
22
25
23
26
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
Resolución:Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
101MateMática DELTA 1 - álgebra
Despeja x en la igualdad.
(x + 2)(x + m) = (x + m)2 – m(x + 2)
Indica el doble del valor de x.
Despeja x en la igualdad.
(x + 3)(x + n) = (x + n)2 – n(x + 6)
x + 4
3
2
3
+ 1
+ 4
+ 3 = x
Indica el doble del valor de x.
x + 4
2
2
3
– 1
+ 4
+ 4 = x
27
29
28
30
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
102
Practica y demuestra
Determina el valor de x.
(2x + 5) – (x – 3) = (x + 7) – (1 – x)
Halla el valor que verifica la igualdad.
3(2x – 5) = 2(x – 1) + 3
Calcula el valor de x.
4 + 2[x – (2 – x) + 3] = 18
1
2
3
A 2 B 3 C 4
D 5 E 6
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A 2 B 5 C 4
D 3 E 6
Halla el valor de x.
Descubre el valor de x.
Determina el valor que verifica la igualdad.
x + 2
3
3 – x
3
= 5–
x + 3
2
– 1
3 + 2 = 3
x – 1
3
– 2
4 + 1 = 2
5
6
7
A 6 B 2 C 3
D 4 E 5
A 21 B 19 C 15
D 23 E 11
A 9 B 10 C 8
D 12 E 6
Encuentra el valor de x.
2x – 3
5
= 1
4
A 4 B 2 C 3
D 12 E 6
Resuelve .
A 3 B 18 C 6
D 27 E 9
8
Nivel I
2
x
3
x
4
x
1
3
+ + =
103MateMática DELTA 1 - álgebra
Indica el doble del valor de x.
2(x – (x – 6)) = 3(x – 4)
Despeja m en la igualdad.
am + n = 3(n + 1)
A m =
3n + 1
a B m =
3n – 1
a
C m =
2n + 3
a D m =
2n – 3
a
E m =
n + 3
a
9
10
A 3 B 8 C 6
D 12 E 16
Calcula el valor de x en .
Indica el valor que verifica la ecuación.
x – 1
3
x – 2
5
– = 1
x + 4
2
x
3
+ = 711
12
A 4 B 2 C 3
D 12 E 6
A 2 B 7 C 3
D 9 E 5
Nivel II
Descubre el valor de x.
x + 1
2
x
3
x + 3
6
+ – = x – 3
15
Encuentra el doble del valor de x.
Indica el valor que verifica la igualdad.
3(x – (x – (x – 2))) = 2(x – (x + 6))
x – 2
x – 1
5
4
=
13
14
A –3 B –4 C –2
D –6 E –12
A –2 B –1 C –3
D 2 E 5
A 9 B 7 C 11
D 14 E 13
Determina el valor que verifica la igualdad.
(x + 4)(x – 3) = (x – 2)(x + 1)
16
A 2 B 7 C 3
D 9 E 5
104104
Indica la mitad del valor de x.
x + 1
3
x
4
x – 2
6
++ = x – 2
17
A 4 B 16 C 8
D 12 E 6
Halla el doble del valor que verifica la ecuación.
x + 2
x + 3
x – 4
x – 5
=
Despeja n.
(n – 2)(n + a) = (n – a)2 + n(3a – 4)
A n =
2a + 1
2
B n =
2a2 – a
2
C n =
a2 + 2
2
D n =
2a – 1
2
E n =
a2 + 2a
2
18
19
A 2 B 4 C 3
D 1 E 6
¿Cuánto es el doble de x?
(x + 3)2 + (x – 1)2 = 2(x + 1)(x – 3)
En la ecuación:
Calcula el valor de n; si el valor de x es 6.
2x + n
5
2
2
+ 3
+ 5
+ 2 = x
21
22
A –2 B –3 C –6
D –1 E –4
A 2 B 4 C 3
D 6 E 1
Si n es el valor que verifica:
Calcula el valor de M = (n – 5)2 – 1.
x + 2
3
x + 1
2
3x – 1
4
+ = + 4
Indica la verdad (V) o falsedad (F) de las
proposiciones.
( )
2x – 1
3
+ 2 = 5 ⇒ x = 5
( ) 3 +
x – 5
2
= 5 ⇒ x = 7
( )
x – a
3
– 2a = a ⇒ x = 10 + a
23
24
A VFV B FFV C FVF
D VFF E VVV
A 2 B 1 C 3
D 8 E 5
Indica el triple del valor de n.
3n + 1
2
4
3
+ 3
+ 7
+ 2 = 5
20
A 2 B 12 C 3
D 9 E 6
Nivel III
Tema
105MateMática DELTA 1 - álgebra
8
Planteo de ecuaciones lineales
Lista de precios
Artículo Cantidad Precio (S/)
01 cuaderno de dibujo unidad 12,00
02 cuaderno cuadriculado docena 48,00
03 cuaderno rayado decena 30,00
04 lapicero docena 24,00
05 borrador decena 20,00
06 tajador unidad 5,00
07 regla unidad 3,00
Enunciado verbal y algebraico
Planteo de ecuaciones
Miguel va a la librería para comprar 3 cuadernos cuadriculados, 4 cuadernos rayados,
5 lapiceros, 2 borradores, un tajador y 3 reglas.
• ¿Cuánto gastó?
• Si paga con cuatro billetes de S/ 20, ¿cuánto recibe de vuelto?
Observa:
El doble de tu edad,
aumentado en 14 es
igual a 38
2x + 14 = 38se transforma a
Variable y número relacionados
por operaciones aritméticas
Lenguaje verbal Lenguaje algebraico
Pasos para resolver un problema:
1.° Comprender el problema
• Lee detenidamente el enunciado.
• Identifica los datos conocidos y las incógnitas.
2.° Plantear el problema
• Elige las operaciones y anota el orden en que se deben realizar.
• Expresa las condiciones del problema mediante ecuaciones.
3.° Resolver el problema y verificar
• Resuelve las operaciones en el orden establecido.
• Resuelve la ecuación planteada y comprueba.
4.° Redactar la respuesta
• Escribe la respuesta pedida en el problema.
Traduce los enunciados del lenguaje verbal al lenguaje algebraico.
A. Dos enteros consecutivos: x; x + 1
B. El triple de un número: 3x
C. El doble de un número, más 10: 2x + 10
D. El exceso de un número con respecto a 2: x – 2
E. El doble de la edad que tuve hace cuatro años: 2(x – 4)
F. La diferencia de un número con 15: x – 15
¿Sa bía s qu e.. .?
Tablillas
babilónicas
Papiros
Los problemas y
las recreaciones
matemáticas han
formado parte de
todas las culturas en
todas las épocas.
Las encontramos en
las tablillas babilónicas
escritas desde el año
290 a. C. hasta el
año 300 a. C. En
el papiro de Rhind
escritos en el siglo
XVI a. C. en Egipto.
También los que
aparecen en el
libro chino: El Jiu
Zhang Suan Shuo
o Nueve capítulos
sobre el arte de la
Matemática del siglo
II a. C.
106
Ejemplo 1
En una canasta hay 45 manzanas distribuidas en tres bolsas. La primera tiene 8
manzanas menos que la tercera y la segunda tiene 5 más que la tercera. ¿Cuántas
manzanas tiene la segunda bolsa?
Ejemplo 2
Tú tienes el triple de figuritas que yo tengo; pero si tú me dieras 8 figuritas, solo tendrías
el doble de las que yo tendría. ¿Cuántas figuritas tenemos entre los dos?
Not a
Algunas
expresiones se
relacionan con las
operaciones.
+: aumentada
–: exceso
×: de, del, veces
÷: es a
=: como, es, era
Resolución:
1.° Comprendemos el problema
Número de manzanas en la tercera bolsa: x
En la segunda, 5 más que en la tercera: x + 5
En la primera, 8 menos que en la tercera: x – 8
2.° Planteamos el problema
El total de manzanas en las tres bolsas es 45
Entonces:(x – 8) + (x + 5) + x = 45
3.° Resolvemos el problema y verificamos
Tenemos: x – 8 + x + 5 + x = 45
3x – 3 = 45
3x = 48
x = 16 (Hay 16 manzanas en la 3.a bolsa)
4.° Redactamos la respuesta
En la 2a: x + 5 = 16 + 5
= 21
Entonces en la segunda bolsa hay 21 manzanas.
Resolución:
1.° Comprendemos el problema
Número de figuritas: yo : x
tú : 3x
Si tú me dieras 8 figuritas: yo tendría: x + 8
tú tendrías: 3x – 8
2.° Planteamos el problema
Solo tendrías el doble de las que ahora tendría:
3x – 8 = 2(x + 8)
3.° Resolvemos el problema y verificamos
Tenemos: 3x – 8 = 2x + 16
3x – 2x = 16 + 8
x = 24
Entonces: yo : 24
tú : 3 . 24 = 72
4.° Redactamos la respuesta
El número de figuritas que tenemos entre los dos es 96 figuritas.
Entre los dos: 24 + 72 = 96
107MateMática DELTA 1 - álgebra
Traduce del lenguaje verbal al lenguaje
algebraico o del lenguaje algebraico al lenguaje
verbal, según corresponda.
a) La suma de dos números consecutivos.
x + (x + 1)
b) 4x + 30
El cuádruple de un número aumentado en 30.
c) El doble de un número excede a 20.
2x – 20
d) x2 + 13
El cuadrado de un número aumentado en 13.
e) Cuatro veces un número.
4x
f) x + 2x + 5
Un número más su doble, más 5.
g) Un número excede en 12 a 20.
x – 12 = 20
Si al triple de la edad de Carla se le restan 4 años,
se obtiene 11 años. Halla la edad de Carla.
Resolución:
Edad de Carla: x
triple de la edad de Carla: 3x
le restamos 4 años: 3x – 4
obtenemos 11 años: 3x – 4 = 11
Luego:
3x = 11 + 4
3x = 15
x = 5
Rpta. La edad de Carla es 5 años.
Si el triple de un número, disminuido en 20 es igual
al doble del mismo, aumentado en 10. Encuentra
el número.
Resolución:
Número: x
triple de un número, disminuido en 20: 3x – 20
doble del número, aumentado en 10: 2x + 10
Luego:
3x – 20 = 2x + 10
3x – 2x = 10 + 20
x = 30
Rpta. El número es 30.
De un libro de 284 páginas, Eduardo está leyendo
15 páginas por día. Si lleva leyendo dos semanas,
¿cuántas páginas le faltan leer?
Resolución:
Número de páginas del libro: 284
Páginas por leer: x
Páginas leídas.
• Por día:15
• Número de días: 2 semanas = 14 días
Entonces:
x + 15 . 14 = 284
x + 210 = 284
x = 74
Rpta. Le faltan leer 74 páginas.
Resolución:
Tenemos:
Altura (h): 3x – 4 = 2x + 4
x = 8
Luego:
altura (h): 2(8) + 4 = 20
base (b): 3(8) + 5 = 29
Nos piden el perímetro: 2p
2p = 2(b + h)
2p = 2(20 + 29)
2p = 98
Rpta. El perímetro es 98 unidades.
Determina el perímetro del rectángulo.
La suma de tres números consecutivos es 54,
calcula el doble del menor.
Resolución:
Tenemos tres números consecutivos:
Primer número: x
Segundo número: x + 1
Tercer número: x + 2
La suma de tres números consecutivos es 54.
x + x + 1 + x + 2 = 54
3x + 3 = 54
3x = 54 – 3
x = 17
Nos piden el doble del menor.
2x = 34
Rpta. La cantidad pedida es 34.
3x – 4 2x + 4
3x + 5
1
2
3
4
5
6
Ejercicios resueltos
108
Las edades de María y Lorena suman 45, si María
tiene 18 años, ¿cuántos años tendrá Lorena dentro
de 8 años?
Resolución:
Tenemos:
Edad de María: 18
Edad de Lorena: x
Las edades de María y Lorena suman 45:
18 + x = 45 ⇒ x = 45 – 18
x = 27
Edad de Lorena: 27
Dentro de 8 años: 27 + 8 = 35 años
Rpta. 35 años.
El número de monedas que tengo en ambas manos
es 52; si el número de monedas que tengo en la
mano derecha es 7 más que el doble de lo que
tengo en la mano izquierda. ¿Cuántas monedas
tengo en la mano derecha?
Resolución:
Número de monedas en:
• La mano izquierda: x
• La mano derecha: 2x + 7
• En ambas manos: 52
Entonces: x + 2x + 7 = 52
3x = 52 – 7 ⇒ x = 15
En la mano derecha tenemos: 2x + 7 = 2(15) + 7
Rpta. 37 monedas.
Una persona tiene S/ 250 y otra S/ 100. El primero
ahorra diariamente S/ 3 y el segundo S/ 2, ¿cuánto
tiempo debe transcurrir para que el dinero del
primero sea el doble que el del segundo?
Resolución:
Después de x días:
• La primera persona: 250 + 3 . x
• La segunda persona: 100 + 2 . x
el del primero sea el doble que el del segundo:
250 + 3x = 2(100 + 2x)
250 + 3x = 200 + 4x
250 – 200 = 4x – 3x
50 = x
Rpta. Debe transcurrir 50 días.
Resolución:
Observamos:
3x + 20° + 2x + 4° + x = 180°
6x = 180° – 24°
x = 26°
La medida del ángulo A es: 3(26°) + 20° = 98°
Rpta. 98°
Calcula la medida del ángulo A en el triángulo.
Alberto compró un block de 100 hojas para sus
pruebas y usa 6 hojas para matemática, 4 para
lenguaje y 2 para ciencias sociales. Si ha tenido
4 pruebas de matemática, 3 de lenguaje y 3 de
ciencias sociales, ¿cuántas hojas le quedan?
Resolución:
n.° de hojas que quedan: x
n.° de hojas usadas en:
Matemática: 4 pruebas, 6 hojas cada prueba
Lenguaje: 3 pruebas, 4 hojas cada prueba
Ciencias sociales: 3 pruebas, 2 hojas cada prueba
Entonces:
x + 4 . 6 + 3 . 4 + 3 . 2 = 100
x = 100 – (24 + 12 + 6)
x = 58
Rpta. Le quedan 58 hojas.
Resolución:
Observamos:
3x + 1 + 2x – 5 + x + 3 + 2x – 3 + x + 2 + 4x – 1 = 88
13x – 3 = 88 ⇒ 13x = 91
x = 7
Rpta. El valor de x es 7.
Halla el valor de x si el perímetro de la figura es
88 cm.
2x – 5
2x – 3
x + 2
4x – 1
3x + 1
x + 3
3x + 20°
2x + 4°
x
A
B
C
7
8
9
10
11
12
109MateMática DELTA 1 - álgebra
1
3
2
4
Síntesis
Modela y resuelve
El doble de la edad de Roberto, aumentado en
13 años es 41. Halla la edad de Roberto.
El triple de la edad de Ángel, aumentado en
6 años es 48. Halla la edad de Ángel.
Traduce al lenguaje algebraico:
a) Dos números pares consecutivos: (x es par)
b) El triple de un número, más 20:
c) El exceso de un número sobre 14:
d) La mitad de un número:
e) El cuadrado de un número, menos 30:
f) Un número es dos veces 15:
Traduce al lenguaje algebraico:
a) Dos números impares consecutivos: (x es par)
b) El triple de un número, menos 30:
c) El exceso de un número sobre 32:
d) La tercera parte de un número:
e) El cuadrado de un número, menos 20:
f) Un número es tres veces 10:
Resolución: Resolución:
Rpta.Rpta.
Planteo de
ecuaciones
lineales
Identifica los datos del problema
Traduce al lenguaje algebraico
Resuelve la ecuación planteada
Observa lo pedido en el problema
Comprender el problema1
Plantear el problema2
Resolver el problema3
Redactar la respuesta4
110
Un rectángulo tiene un largo que es el cuádruplo
de su ancho. Si su perímetro es de 120 cm, ¿cuál
es el largo?
Un rectángulo tiene un largo que es el triple de su
ancho. Si su perímetro es de 160 cm, ¿cuál es la
medida del largo del rectángulo?
Un cuaderno cuesta S/ 4 y un caja de lapiceros
S/ 12. Si por 6 cuadernos y 4 cajas de lápices
pago con dos billetes de S/ 50, ¿cuánto recibo de
vuelto?
La suma de tres números pares consecutivos es
igual a 42. ¿Cuál es el número más grande de los
tres?
Un cuaderno cuesta S/ 3 y un caja de lápices S/ 8.
Si por 8 cuadernosy 6 cajas de lápices pago con
cuatro billetes de S/ 20, ¿cuánto recibo de vuelto?
La suma de tres números impares consecutivos
es igual a 27. ¿Cuál es el menor número de los
tres?
5
7
9
6
8
10
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
111MateMática DELTA 1 - álgebra
Elena le da S/ 15 al mes a cada uno de sus 4 hijos.
¿Cuánto gasta al año?
La Sra. María va a comprar 12 bebidas de S/ 6 y
una botella de vino de S/ 32. Si tiene un cupón de
descuento de S/ 10, ¿cuánto tiene que pagar por
su compra?
Liliana le da S/ 18 al mes a cada uno de sus
3 hijos. ¿Cuánto gasta al año?
Un ring cuadrado de 8 m de lado se desea cerrar
con 3 vueltas de cordel. ¿Cuánto cordel se
necesita?
La Sra. Sara va a comprar 10 bebidas de S/ 7 y
una botella de vino de S/ 36. Si tiene un cupón de
descuento de S/ 12, ¿cuánto tiene que pagar por
su compra?
Un ring cuadrado de 10 m de lado se desea
cerrar con 4 vueltas de cordel. ¿Cuánto cordel se
necesita?
11
14
12
15
13
16
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
112
El número de monedas que tengo en ambas
manos es 43; si el número de monedas que tengo
en la mano derecha es 5 menos que el triple de
lo que tengo en la mano izquierda, ¿cuántas
monedas tengo en la mano derecha?
El número de billetes que tengo en ambas manos
es 44; si el número de billetes que tengo en la
mano izquierda es 4 menos que el doble de lo
que tengo en la mano derecha, ¿cuántos billetes
tengo en la mano izquierda?
Determina la medida del lado menor del polígono,
si su perímetro es 99 cm.
Determina la medida del lado mayor del polígono,
si su perímetro es 82 cm.
2x – 2
2x – 5
3x + 2
3x – 2
3x
3x + 2
x + 2
2x – 2
3x – 2
2x + 1
x + 2
3x
3x
2x + 3
17
19
18
20
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
113MateMática DELTA 1 - álgebra
Rosario ahorró S/ 860 en tres meses. El segundo
mes ahorró el doble que el primero y el tercer mes
el triple que el primero, menos S/ 40. ¿Cuánto
ahorró el segundo mes?
Lorena ahorró S/ 600 en tres meses. El segundo
mes ahorró el doble que el primero, más S/ 60 y el
tercer mes el triple que el primero. ¿Cuánto ahorró
el segundo mes?
21 22
Resolución: Resolución:
Calcula la medida del menor ángulo en el triángulo
de la siguiente figura.
Calcula la medida del mayor ángulo en el triángulo
de la siguiente figura.
3x + 5°
5x – 30°
2x – 5°
B
A
C
4x + 15°
3x – 25°
3x – 10°
B
C
A
23 24
Resolución: Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
114
Encuentra el área de un terreno rectangular, cuyas
dimensiones (en metros) están indicadas en la
siguiente figura.
Encuentra el área de un terreno rectangular,
cuyas dimensiones (en metros) están indicadas
en la siguiente figura.
Un taxista cobra S/ 30 por tarifa mínima y luego
S/ 2 por cada 200 metros de recorrido. Un segundo
taxista no cobra tarifa mínima, pero cobra S/ 3 por
cada 200 metros. ¿Qué distancia debo viajar para
que ambos taxistas me cobren lo mismo?
Un taxista cobra S/ 60 por tarifa mínima y luego
S/ 1 por cada 300 metros de recorrido. Un segundo
taxista no cobra tarifa mínima, pero cobra S/ 4 por
cada 300 metros. ¿Qué distancia debo viajar para
que ambos taxistas me cobren lo mismo?
5x – 5
4x + 3
2x – 12x – 1
5x – 3
5x – 3
2x + 3x + 7
25
27
26
28
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
115MateMática DELTA 1 - álgebra
Se sabe que:
Distancia (km) = velocidad (km/h) × tiempo (h).
Si Luis sale de Chiclayo hacia Lima con velocidad
de 70 km/h, en Lima hace una parada para luego
dirigirse a Tacna con velocidad de 84 km/h,
¿cuánto tiempo duró su parada en Lima, si todo el
viaje lo realizó en 30 horas?
Rutas nacionales
Carlos presenta su trabajo de Rutas Nacionales que pasan por nuestra capital, Lima, y las principales ciudades en
su recorrido, indicando la distancia en kilómetros (aproximado) desde Lima.
PE - 1N
Carretera
Panamericana
Norte Lima
Lima
Lima
Huacho
Ica
Chimbote
La Oroya
Trujillo
Tarma
Chiclayo
Camaná
La Merced
Piura
Ilo
Tumbes
Tacna
km 0
km 0
km 0
km 150
km 300
km 430
km 180
km 560
km 240
km 770
km 960
km 320
km 980
km 1140
km 1260
km 1260
PE - 1S
Carretera
Panamericana
Sur
PE - 22
Carretera
Central
Se sabe que:
Distancia (km) = velocidad (km/h) × tiempo (h). Si
María sale de Tarma hacia Ica con velocidad de
90 km/h, en Ica hace una parada para luego
dirigirse a Tacna con velocidad de 80 km/h,
¿cuánto tiempo duró su parada en Ica, si todo el
viaje lo realizó en 25 horas?
29 30
Rpta. Rpta.
Resolución: Resolución:
116
Practica y demuestra
Relaciona:
¿Cuál de las siguientes expresiones representa el
perímetro de un rectángulo de lados x, x + 3?
¿Cuál es la edad de José, si se sabe que el doble
de su edad, más 5 años es lo mismo que 31 años?
Un cuaderno cuesta S/ 5 y una caja de lapiceros
S/ 10. Si por 5 cuadernos y 3 cajas de lápices
pago con dos billetes de S/ 50, ¿cuánto recibo de
vuelto?
a. 2(x + 3)
b. (x) + (x + 1) + (x + 2)
c. 2x + 3
d. (x) + (x + 2) + (x + 4)
e. 2x – 3
A 1a; 2d; 3c; 4b B 1c; 2b; 3e; 4d
C 1b; 2a; 3d; 4e D 1c; 2e; 3a; 4d
E 1e; 2b; 3e; 4a
1. El doble de un número, aumentado en 3
2. La suma de tres números consecutivos
3. El doble de un número excede a 3
4. La suma de tres números pares consecutivos
1
2
3
4
A 11 B 26 C 31
D 15 E 13
A 2x + 3 B x(x + 3) C 4x + 6
D 4x + 12 E 2(x + 6)
A S/ 30 B S/ 45 C S/ 40
D S/ 60 E S/ 25
Iván tiene S/ 900 menos que Carlos. Si entre
ambos tienen un total de S/ 5500, ¿cuánto dinero
tiene Iván?
Si al quíntuplo de un cierto número se le resta 16,
se obtiene el triple del mismo número, ¿cuál es el
número?
La suma de tres números consecutivos es 96,
¿cuál es el menor de estos números?
5
6
7
A 8 B 9 C 16
D 4 E 2
A S/ 3200 B S/ 2800 C S/ 4100
D S/ 2300 E S/ 3500
A 30 B 31 C 32
D 33 E 34
Ocho lápices cuestan S/ 84. Si dos de ellos tienen
el mismo precio y cuestan S/ 2 más que cualquiera
de los otros seis. ¿Cuál es el valor de 5 lápices de
los más económicos?
En un peaje de la carretera se cobra S/ 27 por
vehículo incluyendo al chofer y adicionalmente
S/ 2 por cada pasajero. ¿Cuántas personas iban
en un vehículo que pagó S/ 101?
8
9
A 36 B 37 C 38
D 39 E 40
A S/ 12 B S/ 10 C S/ 60
D S/ 50 E S/ 40
Nivel I
117MateMática DELTA 1 - álgebra
El perímetro de un rectángulo es 150 cm. Si el
largo es el doble del ancho, ¿cuál es la medida
del largo del rectángulo?
Josefina tiene S/ 30 000 en su billetera. Paga a
3 personas igual cantidad de dinero y realiza
una compra de S/ 5000. Si le quedan S/ 10 000,
¿cuánto dinero pagó a cada una de las personas?
A S/ 5000 B S/ 8333
C S/ 11 667 D S/ 15 000
E S/ 12 600
10
11
A 60 cm B 50 cm C 30 cm
D 25 cm E 40 cm
A 5x + 2 = 3x + 5
B 5x + 10 = 3x + 5
C 5x + 2 = 3x + 15
D 5x + 10 = 3x + 15
E 5x + 2 = 3x + 10
Julio quiere resolver el siguiente problema
utilizando ecuaciones: Si un número se multiplica
por 5 y se le suma 2, se tiene el mismo resultado
que si a ese número se le agrega 5 y esa suma se
triplica. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones debe
utilizar?
13
Halla el valor de x.
Vincent tiene el doble de dinero que Carlos, si
entre ambos quieren comprar una pelota de
S/ 100 Vincent debería tener el doble de dinero
que tiene. ¿Cuánto dinero tiene Carlos?
Alan ahorró S/ 720 en tres meses. El segundo
mes ahorró el doble que el primero y el tercer mes
el triple que el primero. ¿Cuánto ahorró el primer
mes?
Elisa tiene en su cuenta de ahorros S/ 125. Cada
mes su padre le deposita S/ 62 y ella retira S/ 46.
¿Cuánto dinero tendrá al cabo de un año?
3x – 20°
x + 56° 2x
14
15
16
17
A 24° B 22° C 30°
D 38° E 26°
A S/ 120 B S/ 144 C S/ 240D S/ 480 E S/ 320
A S/ 10 B S/ 20 C S/ 30
D S/ 40 E S/ 50
A S/ 317 B S/ 325 C S/ 286
D S/ 306 E S/ 332
Se necesita cercar un terreno rectangular que
tiene 25 m de largo y 13 m de ancho. ¿Cuántos
metros de alambre se usarán, si se cerca con 7
vueltas?
12
A 38 m B 76 m C 16 cm
D 532 m E 608 m
Nivel II
118
Para tener S/ 500 en billetes de S/ 20 me faltan 3
billetes. ¿A cuántos billetes de S/ 10 equivale el
dinero que tengo?
22
A 46 B 48 C 45
D 44 E 47
En tres días Miguel ganó en total S/ 1477. Si cada
día ganó el doble de lo que ganó el día anterior,
¿cuánto ganó el segundo día?
En la balanza de la figura, se indica el peso de los
cubos A, B, C, D, E. Si los cubos grandes pesan
igual y los cubos chicos pesan igual, entonces
si el cubo A pesa 18, ¿cuáles de las siguientes
proposiciones son verdaderas?
I. B + D + E = 36
II. A + C = 30
III. A + B + C = 54
kg
72
A B DC E
23
24
A S/ 211 B S/ 420 C S/ 422
D S/ 840 E S/ 644
Los ángulos de un triángulo son A, B y C. Si la
m A (medida del ángulo A) es el doble de la
m C; y la m C es el triple de la m B, menos
10°. Entonces:
I. El mayor ángulo es A.
II. El ángulo C mide menos de 50°.
III. El ángulo B mide 21°.
Son ciertas:
21
A Solo I B Solo II C I y III
D II y III E Todas
A Solo I B Solo II C I y III
D II y III E Todas
Una persona tiene S/ 600, va al supermercado y
gasta la mitad en frutas y verduras y un tercio del
resto en leche. ¿Cuánto dinero le sobra?
Luis tendrá dentro de 15 años el doble de la edad
que tenía hace 3 años. ¿Cuántos años tendrá Luis
dentro de 5 años?
19
20
A 18 B 15 C 21
D 26 E 28
Luis ha comprado 4 docenas de lapiceros a S/ 15
cada docena. Si hace paquetes de 3 lapiceros y
los vende a S/ 6, ¿cuál es la ganancia total?
18
A S/ 30 B S/ 36 C S/ 42
D S/ 24 E S/ 60
A S/ 100 B S/ 200 C S/ 300
D S/ 150 E S/ 250
Nivel IINivel III
Tema
119MateMática DELTA 1 - álgebra
9
Sistema de ecuaciones lineales
Algunos métodos para resolver sistemas lineales
Se busca obtener una ecuación con una sola incógnita.
Un sistema de ecuaciones es un conjunto formado por dos o más ecuaciones con dos
o más incógnitas. Su solución es común a todas ellas.
Ejemplos:
a) El sistema:
3x – 2y = 4
x + 2y = 4
b) El sistema:
x + y – z = 2
x – y + z = 0
x + 2y – z = 5
¿Cuánto pesan una bolsa de azúcar y una de arroz?
Método de reducción
Consiste en buscar que la incógnita que se desea eliminar tenga el mismo coeficiente
(con signos diferentes) en ambas ecuaciones. Se suman estas ecuaciones y nos queda
una ecuación con una incógnita.
Ejemplos:
a) Resuelve:
3x – 2y = 13 (1)
x + 3y = 8 (2)
Resolución:
Observación:
Como la variable x es la que tiene en este caso menores coeficientes, es la que
vamos a eliminar.
Entonces, la ecuación (2) la multiplicamos por –3.
(1) : 3x – 2y = 13
(2) × (–3): –3x – 9y = –24
–11y = –11 ⇒ y = 1
En (2): x + 3(1) = 8 ⇒ x = 5
Entonces: C.S. = {(5 ; 1)}
Sistema lineal con 2 incógnitas
Sistema lineal con 3 incógnitas
kg
30
kg
25
Carl Friedrich Gauss
30 de abril de 1777
23 febrero de 1855
Gauss, fue un
matemático y
físico alemán que
contribuyó en
muchos campos,
entre ellos, el
álgebra.
Si un sistema tiene 2
incógnitas entonces
las soluciones
estarán dadas por
pares ordenados
(x ; y)
Método de
reducción o
Método de Gauss
Import a nt e
Not a
(+)
120
b) Sea el sistema de ecuaciones:
5x + 3y = 31 (1)
2x – y = 8 (2)
Halla el valor de H, sabiendo que: H = x . y
Resolución:
Observación:
Como la variable y es la que tiene signos diferentes, es la que vamos a eliminar.
Entonces, la ecuación (2) la multiplicamos por 3.
(1) : 5x + 3y = 31
(2) × (3) : 6x – 3y = 24
11x + 0 = 55
x = 5
En (1) : 5(5) + 3y = 31
3y = 31 – 25 ⇒ y = 2
Nos piden: x . y = 5 . 2 = 10
Método de sustitución
Consiste en despejar de una de las ecuaciones, una de las incógnitas y sustituirla
(reemplazarla) en la otra ecuación.
Ejemplos:
a) Resuelve:
2x – 3y = 3
x + 2y = 5
Resolución:
De (2) : Despejamos x: x = 5 – 2y
Reemplazamos en la ecuación (1):
2(5 – 2y) – 3y = 3
10 – 7y = 3
– 7y = –7 ⇒ y = 1
En (2) : x + 2(1) = 5 ⇒ x = 3
Entonces, el conjunto solución es C.S. = {(3 ; 1)}
b) Luego de resolver el sistema:
3x + 4y = 22 (1)
x + 2y = 8 (2)
Halla el valor de E = x(y – 1)
Resolución:
Despejamos x en la segunda ecuación
De (2) : x = 8 – 2y
Reemplazamos en la otra ecuación:
En (1) : 3(8 – 2y) + 4y = 22
24 – 6y + 4y = 22
24 – 22 = 6y – 4y
2 = 2y ⇒ y = 1
En (2) : x + 2(1) = 8 ⇒ x = 6
Piden: E = x(y – 1) = 6(1 – 1) = 0
Observa:
Elige la ecuación donde es más fácil
despejar una variable.
Observa:
Es conveniente despejar la variable
con coeficiente igual a la unidad.
+
Despejar significa
separar, por medio
de cálculo, una
incógnita de las
otras cantidades
que la acompañan
en una ecuación.
Fuente: RAE
Not a
La incógnita
es la cantidad
desconocida
que es preciso
determinar en una
ecuación o en un
problema para
resolverlos.
Fuente: RAE
¡At e n ción!
121MateMática DELTA 1 - álgebra
Método de igualación
Despejamos la misma variable en ambas ecuaciones, luego las igualamos.
Ejemplos:
a) Halla el conjunto solución del sistema:
x + 3y = 23 (1)
x + 5y = 37 (2)
Resolución:
Despejamos x en ambas ecuaciones:
De (1) x = 23 – 3y
De (2) x = 37 – 5y
Igualamos: (1) y (2)
23 – 3y = 37 – 5y
5y – 3y = 37 – 23
2y = 14 ⇒ y = 7
En (1) : x + 3(7) = 23
x = 23 – 21 ⇒ x = 2
Entonces, el conjunto solución es {(2 ; 7)}
Otros casos
Es importante observar lo que piden calcular, en algunos casos llegaremos a la
respuesta con pocas operaciones.
Ejemplos:
a) Calcula el valor de x + y si:
4x + 9y = 17 (1)
9x + 4y = 22 (2)
Resolución:
Nos piden calcular el valor de x + y.
Tenemos:
(1) : 4x + 9y = 17
(2) : 9x + 4y = 22
13x + 13y = 39
(÷13) : x + y = 3
Entonces: x + y = 3
b) Resuelve.
5x + y = 24 (1)
9 = 2x + y (2)
Resolución:
Despejamos y en ambas ecuaciones:
De (1) y = 24 – 5x
De (2) 9 – 2x = y
Igualamos: (1) y (2)
9 – 2x = 24 – 5x
5x – 2x = 24 – 9
3x = 15 ⇒ x = 5
En (1) : 5(5) + y = 24
y = 24 – 25 ⇒ y = –1
Entonces, el conjunto solución es {(5 ; –1)}
Observa:
Los coeficientes de las variables
suman 13.
¿Sa bía s qu e.. .?
Los nueve
capítulos sobre el
arte matemático
(China), es un
tratado matemático
que se cree fue
recopilado alrededor
del siglo II a. C., de
autor anónimo. Está
escrito en nueve
capítulos ligados a la
vida real.
Capítulo 8:
La disposición
rectangular.
Numeración
con varillas,
problemas con
múltiples variables,
resueltos según un
principio similar a
la eliminación de
Gauss.
+
Observa:
Los coeficientes de la variable x son la
unidad, por lo cual será fácil despejar
esta variable.
122
b) Halla el valor de x – y en el sistema de ecuaciones:
7x + 4y = 24 (1)
6x + 5y = 19 (2)
Resolución:
Tenemos:
(1) : 7x + 4y = 24
(2) × (–1) : – 6x – 5y = –19
x – y = 5
Piden: x – y = 5
c) Alresolver el sistema:
7x – 3y = 3 (1)
6x + ny = 36 (2)
Se tiene que y es el doble de x, entonces, ¿cuál es el valor de n?
Resolución:
Tenemos:
En (1) : 7x – 3(2x) = 3
x = 3
En (2) : 6x + n(2x) = 36
Pero x = 3
6 . 3 + n . 2 . 3 = 36
6n = 36 – 18
n = 3
El valor de n es 3.
d) Si el conjunto solución del sistema:
ax + 7y = –6 (1)
4x + (b + 1)y = 32 (2)
es {(5 ; –3)}. Halla el valor de N = 2a + b
Resolución:
Reemplazamos los valores de x e y.
En (1) : a(5) + 7(– 3) = –6
5a = –6 + 21
a = 3
En (2) : 4(5) + (b + 1)(–3) = 32
20 – 3b – 3 = 32
17 – 32 = 3b
b = –5
Piden: N = 2a + b = 2(3) + (–5) = 1
El valor de N es 1.
Observa:
Los coeficientes de las variables
se diferencian en uno.
Observa:
Por dato del problema:
y = 2x
Entonces reemplazamos todas las
variables y.
Observa:
La solución de un sistema con dos
variables es un par ordenado:
(x ; y) = (5 ; –3)
Donde:
x = 5 ∧ y = –3
+
E1
¿Sa bía s qu e.. .?
Otros métodos para
resolver sistemas de
ecuaciones son:
• Método gráfico
E2
(x ; y)
E1 : a1x + b1y = C1
E2 : a2x + b2y = C2
• Método de Gauss
(Reducción)
a1x + b1y = C1z = d1
a2x + b2y = C2z = d2
a3x + b3y = C3z = d3
Entonces:
a4x + b4y + C4z = d4
b5y + C5z = d5
C6z = d6
123MateMática DELTA 1 - álgebra
Halla el valor de x . y en:
2x + y = 8 (1)
x – y = 1 (2)
Resolución:
Aplicamos el método de reducción:
(1) + (2) : 2x + y + x – y = 8 + 1
3x = 9
x = 3
En (1) : 2(3) + y = 8
y = 8 – 6
y = 2
Se pide el valor de:
x . y = 3 . 2 = 6
Rpta. 6
Calcula el valor de x . y en:
2x + y = 7 (1)
y = x + 4 (2)
Resolución:
Aplicamos el método de sustitución:
(2) sustituimos en (1)
2x + (x + 4) = 7
3x = 7 – 4
x = 1
En (2) : y = (1) + 4
y = 5
Nos piden el valor de:
x . y = 1 . 5 = 5
Rpta. 5
Dado el sistema lineal:
3x + 2y = 7 (1)
x – 2y = 5 (2)
Determina el valor de N = x . y.
Resolución:
Aplicamos el método de reducción:
(1) + (2) : 3x + 2y + x – 2y = 7 + 5
4x = 12
x = 3
En (1) : 3(3) + 2y = 7
2y = 7 – 9
y = –1
Nos piden el valor de:
N = x . y = 3 . (–1) = –3
Rpta. –3
Luego de resolver el sistema lineal:
5x – 3y = 9 (1)
x + 3y = 9 (2)
Encuentra el valor de x + y.
Resolución:
Aplicamos el método de reducción:
(1) + (2) : 5x – 3y + x + 3y = 9 + 9
6x = 18
x = 3
En (2) : (3) + 3y = 9
3y = 9 – 3
y = 2
Nos piden el valor de:
x + y = 3 + 2 = 5
Rpta. 5
Descubre el valor de x – y.
5x + 2y = 16 (1)
x – 2y = 8 2)
Resolución:
Aplicamos el método de reducción:
(1) + (2) : 5x + 2y + x – 2y = 16 + 8
6x = 24
x = 4
En (1) : 5(4) + 2y = 16
2y = 16 – 20
y = –2
Nos piden el valor de:
x – y = 4 – (–2) = 4 + 2 = 6
Rpta. 6
Halla el valor de x . y.
3x + 2y = 17 (1)
x + y = 6 (2)
Resolución:
Aplicamos el método de sustitución:
De (2) : x + y = 6
y = 6 – x
sustituimos en (1)
3x + 2(6 – x) = 17
3x + 12 – 2x = 17
x = 17 – 12 ⇒ x = 5
Luego: y = 6 – (5)
y = 1
Nos piden el valor de:
x . y = 5 . 1 = 5
Rpta. 5
1
2
3
4
5
6
Ejercicios resueltos
124
Luego de resolver el sistema lineal:
5x – 2y = 9 (1)
y + 3 = 2x (2)
Calcula el valor de M = x(y – 2).
Resolución:
Aplicamos el método de sustitución:
De (2) : y = 2x – 3
En (1) : 5x – 2(2x – 3) = 9
5x – 4x + 6 = 9
x = 3
Luego: y = 2(3) – 3
y = 3
Nos piden el valor de:
M = 3(3 – 2) = 3 . 1 = 3
Rpta. 3
11. Halla el valor de n, en el sistema, si x = y.
4x – ny = 5 (1)
nx + y = 20 (2)
Resolución:
Tenemos: y = x
En (1) : 4x – nx = 5
En (2) : nx + x = 20
4x – nx + nx + x = 20 + 5
5x = 25
x = 5 ⇒ y = 5
En (2) : n(5) + 5 = 20
5n = 20 – 5
n = 3
Rpta. 3
12. Si el conjunto solución del sistema lineal es
{(6 ; 2)}. Calcula el valor de a + b.
2x + ay = 22 (1)
ax + by = 36 (2)
Resolución:
Si el C.S. es (6 ; 2), entonces: x = 6, y = 2
En (1) : 2(6) + a(2) = 22
2a = 22 – 12
a = 5
En (2) : (5)(6) + b(2) = 36
30 + 2b = 36
2b = 6
b = 3
Nos piden:
a + b = 5 + 3 = 8
Rpta. 8
Determina el conjunto solución del sistema.
3x + 2y = 25 (1)
5x – y = 33 (2)
Resolución:
Aplicamos el método de reducción:
(1) : 3x + 2y = 25
(2) × 2 : 10x – 2y = 66
13x = 91
x = 7
En (1): 3(7) + 2y = 25
2y = 25 – 21
y = 2
Luego, el C.S. = {(7 ; 2)}
Rpta. {(7 ; 2)}
Descubre el conjunto solución.
7x + 2y = 41 (1)
2x + 7y = 31 (2)
Resolución:
Aplicamos el método de reducción:
(1) × 7 : 49x + 14y = 287
(2) × (–2) : –4x – 14y = –62
45x = 225
x = 5
En (1) : 7(5) + 2y = 41
2y = 41 – 35
y = 3
Entonces, el C.S. = {(5 ; 3)}
Rpta. {(5 ; 3)}
Encuentra el valor de xy.
5x – 2y = 24 (1)
4x – 3y = 22 (2)
Resolución:
Aplicamos el método de reducción:
(1) × 3 : 15x – 6y = 72
(2) × (–2) : –8x + 6y = –44
7x = 28
x = 4
En (1) : 5(4) – 2y = 24
20 – 24 = 2y
–2 = y
y = –2
Luego: x . y = 4(–2) = –8
Rpta. –8
+
+
+
+
7 10
11
12
8
9
125MateMática DELTA 1 - álgebra
Síntesis
Modela y resuelve
Halla el valor de xy en el sistema lineal.
Calcula el valor de y en el sistema lineal.
Halla el valor de xy en el sistema lineal.
Calcula el valor de y en el sistema lineal.
2x + y = 7
x – y = 2
x + y = 3
x = y – 1
x + y = 5
2x – y = 4
x + y = 4
x = y – 2
1
3
2
4
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Sistema de ecuaciones lineales
Método de reducción
1.° Busca una variable con igual coeficiente y signos diferentes.
2.° Suma miembro a miembro ambas ecuaciones.
3.° Resuelve la ecuación.
1.° Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones.
2.° Se igualan las ecuaciones y se resuelve.
Método de sustitución
Método de igualación
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Conjunto de ecuaciones
C.S. = {(x ; y)}
Conjunto solución
1.° Despeja una variable en una ecuación.
2.° Sustituye esta variable en la otraecuación y se resuelve.
126
Determina el conjunto solución.
Encuentra el conjunto solución.
x + 2y = 6
3x – 2y = 10
2x – y = 7
x = y + 3
Determina el conjunto solución.
Halla el valor de xy.
3x + 2y = 11
x – 2y = 1
5x + 2y = 22
x + 2y = 6
Encuentra el conjunto solución.
2x – y = 5
x = y + 2
5
8
6
9
7
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Halla el conjunto solución en el sistema lineal.
2x + y = 9
3x + y = 14
Rpta.
Resolución:
10
127MateMática DELTA 1 - álgebra
Calcula el valor de x.
2x – y = 4
x + 1 = 2y
Determina el valor de x + y en el sistema lineal.
5x + 3y = 21
3x + 5y = 19
Determina el valor de x + y en el sistema lineal.
3x + 2y = 24
2x + 3y = 21
11
13 14
Rpta.
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Calcula el valor de y.
2x + 3y = 1
y = 3x + 4
12
Resolución:
Rpta. Rpta.
Encuentra la suma de los elementos de la
solución que verifica el sistema lineal.
Encuentra la suma de los elementos de la solución
que verifica el sistema lineal.
y = 3x – 4
x = y – 2
x = 2y – 4
y = x + 3
1615
Resolución: Resolución:
128
Rpta.
Halla el valor de x en el sistema.
3x = 2y
2x + y = 14
17
Resolución:
Luego de resolver el sistema lineal: Luego de resolver el sistema lineal:
Calcula el valor de E = x(y – 1). Calcula el valor de H = y(x – 2).
5x + 3y = 31
3x + 5y = 25
3x + 2y = 18
2x + 3y = 17
19 20
Rpta. Rpta.
Resolución: Resolución:
Rpta.
Halla el valor de x en el sistema.
5x = 2y
2x + y = 18
18
Resolución:
129MateMática DELTA 1 - álgebra
Al resolver el sistema de ecuaciones por el
método de reducción, tenemos:
3x + 2y = 19 (1)
2x – y = 8 (2)
Tenemos:
(1) : 3x + 2y = 19
(2) × 2: 4x – B y = C
D x = 35
x = E
En (1) : 3(E) + 2y = 19
2y = 19 – F
y = G
Indica el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las
proposiciones:
( ) El valor de C es 15
( ) El valor de B = G = 2
( ) Se cumple: D = E
( ) El valor de F es 15
A C.S. = {(1 ; 3)} B C.S. = {(2 ; –1)}
C C.S. = {(3 ; 2)} D C.S. = {(1 ; 7)}
E C.S. = {(3 ; 1)}
+
Halla el valor de x.
Encuentra el valor de x + y.
Determina el conjunto solución del sistema de
ecuaciones.
Resuelve.
x = 2y + 5
x = y – 3
Luego, indica el valor de y.
Resuelve.
x + 2y = 5
x = y + 2
Luego, calcula el valor de M = x + y.
2x + y = 10
2x – y = 2
2x + y = 7
x + 2y = 8
2x – y = 5
3x + y = 10
1
3
4
5
6
2
A VFFV B FFVV C VVFF
D FVFV E FFFV
A 2 B 3 C 4
D 5 E 6
A 2 B 3 C 4
D 5 E 6
A 2 B –8 C –2
D 5 E 1
A 2 B 3 C 4
D 5 E 1
Practica y demuestra
Nivel I
130130
Luego de resolver:
Luego de resolver:
Encuentra el valor de N = x + y.
Determina el valor de N = x – y.
2x + 5y = 11
5x + 2y = 17
3x + 4y = 10
2x + 5y = 9
9
10
A 2 B 3 C 5
D 1 E 4
A 2 B 3 C –2
D –1 E 1
A C.S. = {(2 ; 3)} B C.S. = {(2 ; 5)}
C C.S. = {(1 ; 4)} D C.S. = {(5 ; 2)}
E C.S. = {(5 ; 1)}
Calcula el conjunto solución del sistema de
ecuaciones lineales.
Dadas las ecuaciones:
3x + 2y = 21
x + 1 = 2y
Halla el valor de y.
x + 5 = 2y – 3
y – 1 = 2x
11
12
A 1 B 3 C 4
D 5 E 6
Dado el sistema lineal:
x + 3y = 13
y = x + 3
Calcula el valor de E = x + y.
8
A 2 B 7 C 4
D 5 E 6
A C.S. = {(–1 ; 4)} B C.S. = {(4 ; –1)}
C C.S. = {(2 ; 5)} D C.S. = {(5 ; 2)}
E C.S. = {(4 ; 3)}
Halla el conjunto solución del sistema.
x + 4y = 13
x – 4y = –3
7
131MateMática DELTA 1 - álgebra
Relaciona cada sistema con los valores que lo
verifican.
A 1b, 2e, 3d, 4c B 1e, 2c, 3a, 4a
C 1b, 2e, 3d, 4c D 1e, 2b, 3a, 4c
E 1e, 2b, 3d, 4a
a. x = 4; y = 1
b. x = 2; y = 3
c. x = 4; y = 2
d. x = 1; y = 4
e. x = 3; y = 2
x + y = 5
x – y = 1
1.
2x + y = 7
2x – y = 1
2.
x + y = 5
x – y = 3
3.
x + 2y = 8
x – 2y = 0
4.
13
Nivel II
Determina el valor de xy.
Halla el conjunto solución.
Resuelve.
Luego, indica el valor de x . y.
3x + 2y = 11
x + 2y = 1
2x + 3y = 18
x + y = 8
5x – 2y = 19
3x – y = 11
A C.S. = {(3 ; 2)} B C.S. = {(3 ; –1)}
C C.S. = {(5 ; –2)} D C.S. = {(5 ; 2)}
E C.S. = {(–2 ; 3)}
15
16
17
Encuentra el valor de y.
x + 2y = 7
x – y = 1
14
A 2 B 3 C 4
D 6 E 1
A –6 B –3 C –10
D –8 E –12
A 15 B 8 C 16
D 10 E 12
Dado el sistema lineal:
Calcula el valor de H = 2x + y.
3x – 2y = 1
3x + y = 13
18
A 11 B 10 C 12
D 9 E 7
132
Si {(4 ; –2)} es el conjunto solución del sistema:
ax + 3y = 6
2x – by = 18
Determina el valor de a + b.
Indica el conjunto solución del sistema.
2x + 5y = 17
3x + 4y = 15
nx + 3y = 40
4x + ny = 45
En el sistema lineal:
Encuentra el valor de n, si x = y.
23
24
Luego de resolver, calcula el valor de x.22
A 3 B 6 C 4
D 5 E 2
A {(2 ; 2)} B {(1 ; 3)} C {(4 ; 1)}
D {(3 ; 1)} E {(1 ; 5)}
A 2 B 3 C 4
D 5 E 1
2x = 5y
3x + y = 17
Encuentra el valor de x . y.
4x + 3y = 7
x + 2y = –2
19
A –10 B 12 C 15
D –15 E –12
20
A 7 B 8 C 9
D 10 E 12
6x – y = 11
5x – 2y = 8
Halla el valor de xy.21
A 2 B 3 C 4
D 6 E 1
Nivel III
Nombre: n.° de orden: Sección:
133MateMática DELTA 1 - álgebra
A 1 B 2
C 4 D 5
A 34 años B 25 años
C 9 años D 5 años
Indica el valor que verifica la ecuación.
5 Si n es el valor que verifica la ecuación:
(x + 5)2 – (x – 3)2 = 10x + 28
Calcula el valor de M = n + 2.
4 Encuentra el valor de x.
Indica el valor que verifica la igualdad.
4(x – (x – (x – 3))) = x + 3
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Las edades de Marta y Valeria suman 13 años.
Si Marta tiene 10 años, ¿cuántos años tendrá
Valeria en 2 años más?
6
A 2 B 3
C 6 D 5
A S/ 300 B S/ 180
C S/ 150 D S/ 120
En un mes de 31 días, Carlos trabaja 25. Si
durante los días de trabajo gasta S/ 6 diarios en
transportes, ¿cuánto gasta en movilizarse por
razones de trabajo?
Test n.° 3
A 42 B 37
C 19 D 33
x – 3
2 + 2 = 5
A 1 B 3
C 6 D 9
2x + 1
3 – 3
5
+ 1 = 3
134
Determina el valor de .
7 10
11
12
8
2A
4C
3B
5D
–2A
0C
–1B
1D
23A
37C
17B
54D
11 añosA
20 añosC
16 añosB
31 añosD
Tres números impares consecutivos son tales
que su suma excede al doble del mayor en 35.
Halla el menor de los números.
Encuentra el valor de y.
Miguel tendrá en 8 años el doble de la edad que
tenía hace 3 años. ¿Cuántos años tedrá Miguel
dentro de 6 años?
{(1 ; 2)}A
{(2 ; 1)}C
{(3 ; 4)}B
{(7 ; 5)}D
2A
6C
4B
8D
Halla el conjunto solución del sistema.
Indica el doble del valor de x.
x
y
2x + y = 5
3x – y = 5
x + 3y = 2
x – 3y = 8
4x – 3y = 10
3x – 2y = 8
2x + 5y = 9
y = 3x – 5
9
Tema
135MateMática DELTA 1 - álgebra
10
Planteo y resolución de sistemas
lineales
Luis, quien cursa el primero de secundaria,
debe consumir cada día 75 mg de vitamina
C y 1074 g de calorías. Un determinado día
consume solo mangos y plátanos, ¿cuántas
frutas de cada tipo debe consumir para
alcanzar lo que se ha propuesto cada día?
Enunciado verbal y algebraico
Observa:
Traduce los enunciados del lenguaje verbal al lenguaje algebraico:
a) La suma de dos números: x + y
b) El exceso de mi edad sobre tu edad: x – y
c) El doble de un número excede en 2 a otro: 2x – 2 = y
d) Hace dos años, mi edad era el doble de tu edad: x – 2 = 2(y – 2)
e) El dinero que tengo en billetes de S/ 10 y S/ 20: 10x + 20y
f) El área de un rectángulo de base b y altura h: A = b . h
g) Juan tiene S/ 32 más que el dinero que tengo : x + 32Tabla nutricional de las frutas
Frutas Caloríasc/ 100 g
Calcio
(mg)
Fósforo
(mg)
Vit. C
(mg)
Mandarina 45 25 45 30
Mango 58 15 58 5
Papaya 35 20 35 60
Pera 55 9 55 5
Sandía 30 10 30 6
Plátano 90 9 90 10
Uva 65 14 65 4
El triple de tu edad,
más el doble de mi
edad es 45.
3x + 2y = 45
se transforma a
Variables y número relacionados
por operaciones aritméticas.
Lenguaje verbal Lenguaje algebraico
El problema
siguiente apareció
por primera vez
en un tratado de
álgebra de Al-Karkhi,
de Bagdad, que
vivió a principios del
siglo XI.
Los dos
camelleros:
Camellero A: Si tú
me das un camello,
tendremos el mismo
número de camellos.
Camellero B: Si tú
me das un camello,
yo tendré el doble
que tú. Decidme;
doctos matemáticos,
¿cuántos camellos
tiene cada uno?
¿Sa bía s qu e.. .?
136
Importante
Cuando se tiene cantidad y valor unitario:
Total = (Cantidad) × (Valor unitario)
• Tengo diez billetes de S/ 20 ⇒ Total = 10 × 20, tengo S/ 200
• Compro veinte libros a S/ 30 cada uno ⇒ Total = 20 × 30, tengo S/ 600
Ejemplos:
a) La suma de las edades de Julia y Esther es 45 años y la edad de Julia excede a la
edad de Esther en 9 años. ¿Cuántos años tiene Julia?
Resolución:
1.° Comprendemos el problema.
Edad de Julia: x
Edad de Esther: y
2.° Planteamos el problema.
La suma de las edades de Julia y Esther es 45 años: x + y = 45
La edad de Julia excede a la edad de Esther en 9 años: x – y = 9
Ecuación universal
Total =
Recu e rda
Tabla de edades
Hace
n años Presente
A a – n a
B b – n b
Presente Dentro de m años
A a a + m
B b b + m
Obse rva
(Cantidad) × Valor unitario
Planteo y resolución de sistemas lineales
Para resolver un problema, se realiza los siguientes pasos:
1.° Comprende el problema
• Lee detenidamente el enunciado.
• Identifica los datos conocidos y las incógnitas.
2.° Plantea el problema
• Elige las operaciones y anota el orden en que se deben realizar.
• Expresa las condiciones del problema mediante ecuaciones.
3.° Resuelve el problema y verifica
• Resuelve las operaciones en el orden establecido.
• Resuelve el sistema de ecuaciones planteadas y comprueba que la solución
verifique el sistema de ecuaciones.
4.° Redacta la respuesta
• Escribe la respuesta pedida en el problema.
1.° Comprende
2.° Plantea
3.° Resuelve
4.° Responde
Import a nt e
137MateMática DELTA 1 - álgebra
b) En un examen de 60 preguntas, la nota de Nicole ha sido 432. Si cada acierto vale
17 puntos y por cada error le restan 4 puntos, ¿cuántas respuestas ha acertado y
cuántas ha fallado; sabiendo que ha contestado todas?
Resolución:
1.° Comprendemos el problema.
Número de respuestas acertadas: x
Número de respuestas falladas: y
2.° Planteamos el problema.
Un examen de 60 preguntas: x + y = 60
La nota ha sido 432, si cada acierto vale 17 puntos y por cada error le restan 4
puntos: x(17) + y(–4) = 432
3.° Resolvemos el problema y verificamos.
Tenemos: x + y = 60 (1)
17x – 4y = 432 (2)
(1) × 4 : 4x + 4y = 240
(2) : 17x – 4y = 432
(1) + (2) : 21x = 672
x = 32
En (1) : 32 + y = 60 ⇒ y = 28
Comprobamos la solución:
(1) : 32 + 28 = 60
(2) : 17 . 32 – 4 . 28 = 432
4.° Redactamos la respuesta.
Acertó 32 respuestas y falló en 28 respuestas.
Es en el álgebra
egipcio que aparece
por primera vez
en la historia,
el simbolismo
matemático. En el
papiro de Rhind
se representa el
signo + con dos
piernas caminando
de derecha a
izquierda (manera
en que escribían
los egipcios), y el
signo – con un par
de piernas yendo en
sentido opuesto.
¿Sa bía s qu e.. .?
+
–
3.° Resolvemos el problema y verificamos.
Tenemos: x + y = 45 (1)
x – y = 9 (2)
(1) + (2) : 2x = 54
x = 27
4.° Redactamos la respuesta.
La edad de Julia es 27 años.
138
1. Traduce del lenguaje verbal al lenguaje algebraico
o del lenguaje algebraico al lenguaje verbal, según
corresponda.
a) El producto de dos números.
x . y
b) 3x + y
El triple de un número, más otro número.
c) El doble de un número excede en 3 a otro.
2x – 3 = y
d) x2 + y2
La suma de cuadrados de dos números.
e) Mi edad es cuatro veces tu edad.
y = 4x
f) 2x + 3y + 4
El doble de un número más el triple de otro, más 4.
g) El exceso de un número sobre otro es 10.
x – y = 10
La suma de dos números es 32 y la diferencia de
los mismos es 20, halla la mitad del menor.
Resolución:
Número mayor: x
Número menor: y
La suma de dos números es 32: x + y = 32
La diferencia de los mismos es 20: x – y = 20
Luego:
x + y = 32 (1)
x – y = 20 (2)
(1) + (2) : 2x = 52
x = 26
En (1) : 26 + y = 32
y = 6
Nos piden:
y
2 =
6
2 = 3
Rpta. La mitad del número menor es 3.
3. La suma del triple de un número con el doble de
otro es 29. Si el primero excede en 3 al segundo,
halla la suma de dichos números.
Resolución:
Primer número: x
Segundo número: y
La suma del triple de un número con el doble de
otro es 29: 3x + 2y = 29
El primero excede en 3 al segundo: x – 3 = y
Tenemos:
3x + 2y = 29 (1)
x – 3 = y (2)
(2) en (1) : 3x + 2(x – 3) = 29
3x + 2x – 6 = 29
5x = 35
x = 7
En (2) : 7 – 3 = y
y = 4
Nos piden: x + y = 7 + 4 = 11
Rpta. La suma de dichos números es 11.
En un examen de álgebra la nota más alta excede
a la más baja en 8. Si estas dos calificaciones
suman 30, ¿cuál fue la nota más baja?
Resolución:
Nota más alta: x
Nota más baja: y
La más alta excede a la más baja en 8: x – y = 8
Las dos calificaciones suman 30: x + y = 30
Luego:
x – y = 8 (1)
x + y = 30 (2)
(1) + (2): 2x = 38
x = 19
En (2): 19 + y = 30
y = 11
Rpta. La nota más baja es 11.
1
2
3
4
Ejercicios resueltos
139MateMática DELTA 1 - álgebra
Luis tiene S/ 210 en billetes de S/ 10 y S/ 20. Si
en total tiene 15 billetes, ¿cuánto dinero tiene en
billetes de S/ 20?
Resolución:
Número de billetes de S/ 10: x
Número de billetes de S/ 20: y
En total tiene 15 billetes: x + y = 15
Luis tiene S/ 210: x(10) + y(20) = 210
Tenemos:
x + y = 15 (1)
10x + 20y = 210 (2)
(2) ÷ 10 : x + 2y = 21 (3)
(1) × (–1) : –x – y = –15 (4)
(3) + (4) : y = 6
Nos piden:
Dinero en billetes de S/ 20
Total = (6)(20) = 120
Rpta. Tiene S/ 120 en billetes de S/ 20.
En un corral hay pavos y conejos. Si se contaron
54 cabezas y 184 patas, ¿cuánto es el número de
pavos?
Resolución:
Número de pavos: x
Número de conejos: y
Se contaron 54 cabezas: x + y = 54
Se contaron 184 patas: x(2) + y(4) = 184
Luego:
x + y = 54 (1)
2x + 4y = 184 (2)
(2) ÷ 2 : x + 2y = 92 (3)
(1) × (–1) : –x – y = –54 (4)
(3) + (4) : y = 38
En (1) : x + 38 = 54
x = 16
Rpta. El número de pavos es 16.
8. Un agricultor vende papas en sacos de tres tamaños
diferentes: grandes, medianos y pequeños. Dos
sacos grandes tienen el mismo peso que tres
sacos medianos. Dos sacos medianos tienen el
mismo peso que tres sacos pequeños. ¿Cuántos
sacos pequeños tienen el mismo peso que 32
sacos grandes?
ONEM 2014 - Segunda Fase - Nivel 1
Resolución:
Número de sacos grandes: x
Número de sacos medianos: y
Número de sacos pequeños: z
Dos sacos grandes tienen el mismo peso que tres
sacos medianos: 2x = 3y
Dos sacos medianos tienen el mismo peso que
tres sacos pequeños: 2y = 3z
n sacospequeños tienen el mismo peso que 32
sacos grandes: nz = 32x
Tenemos:
2x = 3y (1)
2y = 3z (2)
nz = 32x (3)
(1) × (2) × (3) :
2x . 2y . nz = 3y . 3z . 32x
4nxyz = 9 . 32xyz
n = 72
Rpta. 72 sacos pequeños tienen el mismo peso
que 32 sacos grandes.
Luego:
x + y = 18 (1)
y = 28 – 2x (2)
(2) en (1) : x + 28 – 2x = 18
28 – 18 = 2x – x ⇒ x = 10
En (2) : y = 28 – 2(10)
y = 8
Rpta. El lado menor del rectángulo mide 8 m.
2(x + y) = 36
(÷2): x + y = 18
x 2x
y – 3y
2(y – 3 + 2x) = 50
(÷2): y – 3 + 2x = 25
y = 28 – 2x
El perímetro de un rectángulo es 36 m. Si el lado
mayor se duplica y el lado menor disminuye en 3 m,
el nuevo perímetro sería 50 m. Halla el lado menor
del rectángulo.
Resolución:
Lado mayor: x
Lado menor: y
5
6
7
8
140
9. En un almacén de vehículos usados se cuentan
80 vehículos entre motos y automóviles. Si se
cuentan 220 llantas en total, ¿cuántas motos hay
en el almacén?
Resolución:
Número de motos: x
Número de automóviles: y
Se cuentan 80 vehículos: x + y = 80
Se cuentan 220 llantas en total: 2x + 4y = 220
(cada moto tiene 2 llantas y cada automóvil 4 llantas)
Entonces:
x + y = 80 (1)
2x + 4y = 220 (2)
Luego:
(2) ÷ 2 : x + 2y = 110 (3)
(1) × (–1) : –x – y = –80 (4)
(3) + (4) : y = 30
En (1) : x + 30 = 80
x = 50
Rpta. En el almacén hay 50 motos.
Roberto compra una TV. 3D en S/ 5200 con 100
billetes. Si los billetes son de S/ 100 y S/ 20,
¿cuántos billetes son de S/ 100?
Resolución:
Número de billetes de S/ 100: x
Número de billetes de S/ 20: y
Son 100 billetes: x + y = 100
Una TV. 3D en S/ 5200: x(100) + y(20) = 5200
(÷20): 5x + y = 260
Entonces:
x + y = 100
y = 100 – x (1)
5x + y = 260 (2)
(1) en (2) : 5x + 100 – x = 260
4x = 160
x = 40
Rpta. Son 40 billetes de S/ 100.
Resolución:
Área del jardín: a
Área de la casa sea el quíntuple del jardín: 5a
Pero:
Área del triángulo:
a =
x . 24
2
⇒ a = 12x (1)
Área del rectángulo:
a + 5a = 30 × 24 (2)
De (2): 6a = 30 . 24
a = 120
De (1): 120 = 12x
10 = x
Rpta. El valor de x es 10.
12. Carmen dispone de un terreno en forma rectangular
de 30 metros de largo y 24 metros de ancho. Si
desea tener en la parte posterior un jardín en forma
triangular y en el resto del terreno va a construir su
casa, ¿cuál debe ser el valor de x para que el área
de la casa sea el quíntuple del área del jardín?
Dentro de 15 años la edad de Pedro será el doble
de la de Juana: x + 15 = 2(y + 15)
x = 2y + 15
Hace 6 años la edad de Pedro era el triple de la de
Juana: x – 6 = 3(y – 6) ⇒ x = 3y – 12
Entonces:
x = 2y + 15 (1)
x = 3y – 12 (2)
(2) = (1) : 3y – 12 = 2y + 15
y = 27
En (1) : x = 2(27) + 15
x = 69
Nos piden: x + y = 69 + 27 = 96
Rpta. x + y = 96
10. Dentro de 15 años la edad de Pedro será el doble
de la de Juana. Si hace 6 años la edad de Pedro
era el triple de la de Juana, calcula la suma de las
edades de ambos.
Resolución:
Elaboramos una tabla:
Hace
6 años Presente
Dentro de
15 años
Pedro x – 6 x x + 15
Juana y – 6 y y + 15
24 m
jardín
30 m
x
casa
9 11
10
12
141MateMática DELTA 1 - álgebra
La suma de dos números es 24 y la diferencia de
los mismos es 16, halla el mayor de ellos.
La suma de dos números es 29 y la diferencia de
los mismos es 13, halla el menor de ellos.
Traduce al lenguaje simbólico:
a) La diferencia de dos números es 8:
b) Mi edad es el triple de tu edad:
c) y excede a x en 12:
d) y es dos veces x:
e) Juan tiene el doble de figuritas que Luis:
f) La edad de Liz es la cuarta parte de la edad
de Rosa.
Traduce al lenguaje simbólico:
a) La diferencia de dos números es 5:
b) Mi edad es el doble de tu edad:
c) x excede a y en 18:
d) x es tres veces y:
e) Carlos tiene el triple de figuritas que Alan:
f) La edad de Lorena es la tercera parte de la
edad de María:
1
3
2
4
Rpta. Rpta.
Resolución: Resolución:
Identifica los datos del problema
Traduce al lenguaje algebraico
Resuelve el sistema de ecuaciones planteado
Lee lo pedido en el problema
Comprende el problema1
Plantea el problema2
Resuelve el problema3
Redacta la respuesta4
Planteo
y resolución
de sistemas lineales
Síntesis
Modela y resuelve
142
La edad de Ana es el triple que la de Rocío. Si
ambas edades suman 64 años, ¿cuál es la edad
de Ana?
Juan y Luis tienen juntos S/ 120. Si lo que tiene
Juan es el triple de lo que tiene Luis, ¿cuánto tiene
cada uno de ellos?
La edad de Cecilia es el doble que la de Elena. Si
ambas edades suman 48 años, ¿cuál es la edad
de Elena?
Manuel y José tienen juntos S/ 150. Si lo que tiene
Manuel es el doble de lo que tiene José, ¿cuánto
tiene cada uno de ellos?
6
7
5
8
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
La suma de dos números es 28, si uno es el triple
del otro, calcula la diferencia de los números.
La suma de dos números es 27, si uno es el doble
del otro, calcula la diferencia de los números.
9 10
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
143MateMática DELTA 1 - álgebra
Un libro y tres cuadernos cuestan S/ 17; tres libros
y un cuaderno cuestan S/ 27, ¿cuánto cuestan un
libro y un cuaderno?
Un libro y dos cuadernos cuestan S/ 20; dos libros
y un cuaderno cuestan S/ 28, ¿cuánto cuestan un
libro y un cuaderno?
1211
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Emilia tiene el triple de la edad de Carla, si sus
edades suman 40, ¿cuántos años tenía Emilia
hace 8 años?
Elena tiene el doble de la edad de Roberta, si sus
edades suman 36, ¿cuántos años tenía Elena
hace 6 años?
13 14
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Tres libros y dos cuadernos cuestan S/ 56, si dos
cuadernos cuestan lo mismo que un libro, ¿cuánto
cuesta un libro?
15
Resolución:
Rpta.
En una granja entre patos y conejos, se cuentan
20 cabezas y 64 patas. ¿Cuántos conejos hay en
la granja?
16
Resolución:
Rpta.
144
Determina el perímetro del rectángulo. Determina el perímetro del rectángulo.17 18
y + 2
2x + 3
yx + 4
2y + 1
x + 3
y + 3x
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Hace cuatro años mi edad era el cuádruple de tu
edad, en la actualidad mi edad es el triple de tu
edad. ¿Cuántos años tengo?
Hace diez años mi edad era el triple de tu edad,
en la actualidad mi edad es el doble de tu edad.
¿Cuántos años tengo?
19 20
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
145MateMática DELTA 1 - álgebra
Miguel Ángel dispone de un terreno en forma
rectangular de 40 metros de largo y 36 metros de
ancho. Desea tener en la parte posterior un jardín
en forma rectangular y en el resto del terreno va
a construir su casa. En el plano mostrado, M es
el punto medio del lado correspondiente. ¿Cuál
debe ser el valor de x para que el área de la casa
sea el cuádruple del área del jardín?
Pablo Picasso dispone de un terreno en forma
rectangular de 42 metros de largo y 30 metros de
ancho. Desea tener en la parte posterior un jardín
en forma rectangular y en el resto del terreno va
a construir su casa. En el plano mostrado, M es
el punto medio del lado correspondiente. ¿Cuál
debe ser el valor de x para que el área de la casa
sea el quíntuple del área del jardín?21 22
36 m MM 30 m
jardín
jardín
40 m
42 mx
x
casa casa
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
146
Practica y demuestra
Relaciona:
1. x es cuádruple de y:
2. La suma de tu edad y
la mía es 20 años:
3. x es un cuarto de y:
4. x excede a y en 20:
La diferencia de dos números es 15 y la suma de
los mismos es 19. Halla el número menor.
La suma de dos números es 45, si uno es el
cuádruple del otro, calcula el menor de ellos.
La suma de las edades de Lorena y Elizabeth es
42 años. Si Lorena tiene el doble de la edad que
tiene Elizabeth, ¿cuántos años tiene Lorena?
a. x – y = 20
b. x + y = 20
c. x = 4 + y
d. x = 4y
e. x = y/4
A 1e; 2c; 3d; 4b B 1d; 2b; 3e; 4a
C 1b; 2a; 3d; 4e D 1d; 2a; 3e; 4b
E 1c; 2b; 3e; 4a
A 14 años B 20 años
C 28 años D 30 años
E 36 años
1
2
3
4
A 17 B 1 C 15
D 2 E 10
A 36 B 24 C 18
D 12 E 9
Carmen y María tienen juntas S/ 2400. Si Carmen
tiene la tercera parte de lo que tiene María,
¿cuánto tiene María?
Roberto tiene la mitad de la edad de Julio. Si la
suma de sus edades es 96 años, ¿cuántos años
tiene Julio?
El doble de la edad de Pedro es la edad de
Manuela. Si sus edades suman 48 años, ¿cuántos
años tenía Manuela hace 10 años?
Entre gallinas y conejos tengo 13 animales. Si en
total he contado 42 patas, ¿cuántos conejos tengo?
A 32 años B 24 años
C 36 años D 64 años
E 72 años
A 32 años B 28 años
C 22 años D 16 años
E 6 años
5
6
8
7
En un curso hay 40 asistentes. Si hay 10 mujeres
más que el doble de varones, entonces determina
el número de mujeres.
9
A 8 B 5 C 10
D 3 E 6
A 8 B 10 C 20
D 30 E 36
A S/ 600 B S/ 1800 C S/ 1200
D S/ 1600 E S/ 2100
Nivel I
147MateMática DELTA 1 - álgebra
Actualmente la edad de Martín es el triple de la
edad de José, pero hace 4 años la edad de Martín
era el cuádruple de la edad de José. ¿Cuál es la
edad actual de Martín?
ONEM 2014 - Primera fase - Nivel 1
Luis en 5 años más tendrá a años. Manuel hace
3 años tenía b años. ¿Cuál será la suma de sus
edades en 10 años más?
El doble de la edad de Liz junto a la edad de
Mayra es 43 años y el doble de la edad de Mayra
junto a la edad de Liz es 41 años. Calcula la suma
de las edades de Liz y Mayra.
En un rectángulo el largo excede al ancho en 2 cm.
Si el perímetro es 44 cm, halla su área.
13
10
12
11
A a + b + 10 B a + b + 8
C a + b + 18 D a + b + 12
E a + b + 2
A 24 años B 25 años
C 26 años D 27 años
E 28 años
A 50 cm2 B 80 cm2 C 60 cm2
D 120 cm2 E 90 cm2
A 24 B 12 C 18
D 32 E 36
La diferencia de dos números es 15. Si al mayor
le restamos el doble del menor, se obtiene 8.
¿Cuánto es la suma de los números?
Se desea comprar 48 llantas para 17 vehículos
entre autos y motos. Si no sobran ni faltan llantas,
¿cuántas motos hay?
Observa las balanzas.
Determina el peso n de la balanza.
15
16
17
Un libro y 2 cuadernos cuestan S/ 28; si 5 cuadernos
cuestan lo mismo que un libro, ¿cuánto cuesta un
libro?
14
kg
33
kg
n
kg
37
x
x
xx xy
y
yy
y
y
y
x
A 17 B 21 C 18
D 20 E 19
A 5 B 7 C 9
D 10 E 12
A 25 B 31 C 27
D 33 E 29
A S/ 10 B S/ 20 C S/ 30
D S/ 40 E S/ 50
Nivel II
148
A 36 litros B 39 litros
C 32 litros D 38 litros
E 42 litros
A y = 2 – 3x B x = 3y – 2
C y = 3x – 2 D x = 2 – 3y
E y = 3x + 2
Los ángulos de un triángulo son A, B y C. Si la
m A (medida del ángulo A) es el doble de la
m C, menos 10°; y la m B es el triple de la
m C, menos 20°. ¿Cuál es la alternativa correcta?
El señor Zavala dispone de un terreno en forma
rectangular de 36 metros de largo y 24 metros
de ancho. Él desea tener en la parte posterior un
jardín en forma triangular y en el resto del terreno
va a construir su casa. En el plano mostrado, M
es el punto medio del lado correspondiente. ¿Cuál
debe ser el valor de x para que el área de la casa
sea el quíntuple del área del jardín?
Compré una computadora en S/ 2180 y pagué con
52 billetes, todos ellos de S/ 50 y S/ 20. ¿Cuántos
soles tengo solo con los billetes de S/ 20?
Un barril de 80 litros de capacidad está lleno
de agua. Si se retira una cantidad de agua que
excede a lo que queda en 4 litros, ¿cuántos litros
quedan en el barril?
Luis tiene x soles y Antonio tiene y soles. Si
Antonio tiene 2 soles menos que el triple de lo que
tiene Luis, indica la expresión correcta.
Juan tiene S/ 42 más que Luis. Si Juan le da
S/ 2 a Luis, este tendría la mitad de lo que tiene
Juan. ¿Cuánto tienen entre los dos?
En mi último viaje compré 20 cajas de bombones,
cada una contenía 12 bombones. Para regalar
algunos bombones a mis amigos y familiares
realicé el siguiente procedimiento: abrí todas las
cajas y de cada una saqué 2 o 3 bombones. Si
en total saqué 47 bombones, ¿de cuántas cajas
saqué 3 bombones?
ONEM 2013 - Primera fase - Nivel 1
ONEM 2014 - Primera fase - Nivel 1
22
24
23
18
21
20
19
36 m
A El menor ángulo es A.
B El ángulo C mide menos de 30°.
C El ángulo B mide 125°.
D El menor ángulo mide 35°.
E El mayor ángulo mide 90°.
24 m M
jardín
x
casa
garaje
dormitorio
A. de servicio
suite
sala
cocina
A 7 B 8 C 10
D 11 E 13
A S/ 240 B S/ 320 C S/ 280
D S/ 560 E S/ 1090
A 30 m B 24 m C 18 m
D 25 m E 26 m
A S/ 116 B S/ 102 C S/ 124
D S/ 134 E S/ 114
Nivel III
Tema
149MateMática DELTA 1 - álgebra
Desigualdades e inecuaciones
Thomas Harriot
1560 - 1625
Matemático inglés,
creador de los
símbolos < (menor
que) y > (mayor que).
Obse rva
Dado a ∈
• a es positivo, si y
solo si a > 0
• a es negativo, si y
solo si a < 0
¿Sa bía s qu e.. . ?
Import a nt e
Para resolver una
inecuación lineal
debemos dejar la
variable en solo un
lado del símbolo de
la desigualdad y las
constantes en el otro.
Desigualdad
Inecuación lineal
¿Podemos determinar
el peso del objeto, si
este es un valor entero
positivo?
Es una relación de orden entre dos números.
Relación de orden Significado
a > b a es mayor que b
a < b a es menor que b
a ≥ b a es mayor o igual que b
a ≤ b a es menor o igual que b
Es una desigualdad donde existe por lo menos una incógnita, esta puede tomar
diferentes valores que se agrupan en el conjunto solución.
Ejemplos:
a) Resuelve:
2x – 5 < 7; x ∈ Z
2x < 12
x < 6
b) Resuelve:
3x – 1 ≥ 8; x ∈ Z
3x ≥ 9
x ≥ 3
Propiedades
1. Si a ambos miembros se les suma o resta el
mismo número, la desigualdad se mantiene.
2. Si a ambos miembros se les multiplica o divide
el mismo número positivo, la desigualdad se
mantiene.
3. Si a ambos miembros se les multiplica o divide el
mismo número negativo, el sentido del símbolo
se invierte.
x + 12 < 34
C.S. = {...; 1; 2; 3; 4; 5}
C.S. = {3; 4; 5; 6; 7; ...}
símbolo
primer miembro segundo miembro
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
...
...
...
...
Si a < b ⇒
∧ c > 0
ac < bc
<
a
c
b
c
Si a < b ⇒ a + c < b + ca – c < b – c
Si a < b ⇒
∧ c < 0
ac > bc
>
a
c
b
c
50 kg 46 kg
11
150
Sistema de inecuaciones
Planteo de inecuaciones
Si tenemos dos o más inecuaciones, el conjunto solución (C.S.) es la intersección de
todas ellas.
Ejemplo:
Resuelve en el conjunto de los enteros: 2x – 3 < 7 ∧ 3x + 7 ≥ 1.
Resolución:
Resolvemos las inecuaciones
2x – 3 < 7 3x + 7 ≥ 1
+ 3 : 2x < 10 – 7 : 3x ≥ – 6
÷ 2 : x < 5 ÷ 3 : x ≥ – 2
Ejemplo:
La edad de Elizabeth es tal que su tercera parte aumentada en 3 es mayor que 8, pero
su doble disminuida en 4 es menor que 30. Halla la edad de Elizabeth.
Resolución:
1.° Comprendemos el problema.
Edad de Elizabeth: x
2.° Planteamos el problema.
Su tercera parte aumentada en 3 es mayor que8: x3 + 3 > 8
Su doble disminuida en 4 es menor que 30: 2x – 4 < 30
3.° Resolvemos las inecuaciones.
Tenemos: x3 + 3 > 8
(–3) : x3 > 5
(×3) : x > 15
x = {16}
4.° Redactamos la respuesta.
La edad de Elizabeth es 16 años.
Buscamos la intersección:
Entonces: C.S. = {–2; –1; 0; 1; 2; 3; 4}
–3 –3–2 –2–1 –10 01 12 23 34 45 56 6... ...
–3 –2 –1 0
elementos comunes
1 2 3 4 5 6... ...
2x – 4 < 30
(+ 4) : 2x < 34
(÷ 2) : x < 17
Import a nt e
∩
se lee: intersección
A ∩ B
Significa: elementos
comunes de A y B.
Recta numérica
Es un gráfico
unidimensional
de una línea en la
que los números
enteros son
mostrados como
puntos especiales
marcados, que
están separados
uniformemente.
Está dividida
en dos mitades
simétricas por el
origen, es decir el
número cero.
151MateMática DELTA 1 - álgebra
Dada la inecuación:
–3 < 2x – 5 ≤ 9
¿Qué expresiones son correctas?
I. El menor valor entero de x es 3.
II. El número de elementos enteros del conjunto
solución es 6.
III. El máximo valor entero de x es 8.
Resolución:
Tenemos:
–3 < 2x – 5 ≤ 9
+5 : 2 < 2x ≤ 14
÷2 : 1 < x ≤ 7
x = {2; 3; 4; 5; 6; 7}
Luego, observamos los valores de x:
I. El menor entero es 3. No es correcto
II. El número de enteros es 6. Es correcto
III. El mayor entero es 8. No es correcto
Rpta. Solo II es correcta.
Determina el número de valores enteros de
M = 3x – 5, cuando –3 < 2x + 1 < 7.
Resolución:
–3 < 2x + 1 < 7
–1: –4 < 2x < 6
÷2: –2 < x < 3
Luego:
×3: –6 < 3x < 9
–5: –11 < 3x – 5 < 4
Entonces:
M = {–10; –9; –8; –7; ...; 0; 1; 2; 3}
El número de valores enteros de M es:
10 + 1 + 3 = 14
Rpta. 14
Dada la inecuación:
2(x + 5) – 3(x + 1) < 1 – 4x
Indica el mayor entero que la verifica.
Resolución:
Efectuamos la inecuación:
2x + 10 – 3x – 3 < 1 – 4x
2x – 3x + 4x < 1 + 3 – 10
3x < –6
÷3 : x < –2
En los enteros:
x = {...; –5; –4; –3}
El mayor entero: –3
Rpta. –3
Halla la suma de los dos mayores valores enteros
de x que verifican la inecuación.
5 – 2x3 ≥ –7
Resolución:
Efectuamos la inecuación:
× 3 : 5 – 2x ≥ –21
– 5 : –2x ≥ –26
÷(– 2) : x ≤ 13
En los enteros:
x = {...; 11; 12; 13}
Nos piden la suma de los dos mayores:
12 + 13 = 25
Rpta. 25
Resuelve la inecuación, si x ∈ Z.
x + 23 +
x – 1
2 + 1 < x
Resolución:
Observamos que MCM(2; 3) = 6
× 6 : 2(x + 2) + 3(x – 1) + 6(1) < 6(x)
2x + 4 + 3x – 3 + 6 < 6x
2x + 3x – 6x < –4 + 3 – 6
– x < –7
× (–1) : x > 7
Luego:
C.S. = {8; 9; 10; 11; ...}
Rpta. {8; 9; 10; 11; ...}
Encuentra el número de valores enteros que
satisfacen las inecuaciones.
2(x + 5) – 7 < 9 (1)
x + 14 ≥ 2(4 – x) (2)
Resolución:
De (1) : 2(x + 5) – 7 < 9
2x + 10 – 7 < 9
2x < 9 – 10 + 7 ⇒ x < 3
De (2) : x + 14 ≥ 2(4 – x)
x + 14 ≥ 8 – 2x
x + 2x ≥ 8 – 14
3x ≥ –6 ⇒ x ≥ –2
Luego:
C.S. = {–2; –1; 0; 1; 2} Piden número de valores.
Rpta. 5
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4... ...
1
2
3
4
5
6
M
Ejercicios resueltos
152
Calcula la suma de valores enteros que verifican
la inecuación.
x + 3 < 3x – 1 < 2x + 7
Resolución:
Tenemos:
x + 3 < 3x – 1 ∩ 3x – 1 < 2x + 7
x – 3x < –1 – 3 ∩ 3x – 2x < 7 + 1
–2x < –4 ∩ x < 8
x > 2 ∩ x < 8
En el conjunto de los enteros:
x = {3; 4; 5; 6; 7}
Nos piden: 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25
Rpta. 25
Si m, n y p son números enteros positivos diferentes
entre sí, indica el menor valor que puede tomar A.
A = m + n – p
m > 6 , n > 12 , p < 9
Resolución:
Nos piden el menor valor de:
A = m + n – p
Dado los conjuntos de enteros positivos:
m = {7; 8; 9; ...}
n = {13; 14; 15; ...}
p = {1; ...; 6; 7; 8}
Luego:
Amin = 7 + 13 – 8 = 12
Rpta. 12
Encuentra la suma de los valores enteros que
verifican las inecuaciones.
–5(x – 3) ≤ 20
5 – 2 – x3 < 7
Resolución:
Tenemos:
–5(x – 3) ≤ 20 ∧ 5 – 2 – x3 < 7
÷(–5) : x – 3 ≥ –4 –5 : –(2 – x)3 < 2
+ 3 : x ≥ –1 ×3 : –2 + x < 6
+2 : x < 8
En el conjunto de los enteros:
x = {–1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
Nos piden: –1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27
Rpta. 27
Si vendiera los 23 de mis cuadernos, me quedarían
más de 11; pero si vendiera los 34 de los mismos,
me quedaría menos de 9. ¿Cuántos cuadernos
tengo, si es el mayor posible?
Resolución:
Número de cuadernos: x
x – 23 . x > 11 ∧ x –
3
4 . x < 9
3x – 2x > 33 4x – 3x < 36
x > 33 x < 36
En el conjunto de los enteros:
C.S. = {34; 35}
El mayor valor posible de x es 35.
Rpta. Tengo 35 cuadernos.
Halla el menor valor entero de x.
(x + 5)2 > (x + 3)(x + 4) + 4
Resolución:
Tenemos:
x2 + 2 . x . 5 + 52 > x2 + 4x + 3x + 3 . 4 + 4
10x – 4x – 3x > 12 + 4 – 25
3x > –9
x > –3
En el conjunto de los enteros:
x = {–2; –1; 0; 1; 2; ...}
Nos piden el menor valor de x: –2
Rpta. –2
x = {4} ⇒ largo: 3; ancho: 2
Nos piden el perímetro del rectángulo:
P = 3 + 2 + 3 + 2 = 10
Rpta. 10
Resolución:
Tenemos:
2x – 6 > 0 ∧ x – 1 > 0 ∧ x – 1 > 2x – 6
2x > 6 x > 1 x – 2x > –6 + 1
x > 3 –x > –5
x < 5
En los enteros:
Determina el perímetro del rectángulo (ver figura)
de lados enteros, siendo su largo mayor que su
ancho. (Perímetro: medida del contorno de una
figura)
–1 0 1 2 3 4 5 6... ...
2x – 6
x – 1
7
8
9
10
11
12
• Para que A sea mínimo
tomamos los menores valores
para los sumandos y el mayor
valor para el que esta restando.
153MateMática DELTA 1 - álgebra
Completa la tabla: Completa la tabla:
Enunciado Desigualdad
x es menor que 12
x es al menos 20
x es a lo más 17
x es como mínimo 10
x es como máximo 30
x es mayor que 5 pero
menor que 12
x es un número entero
positivo
x es menor que su doble
disminuido en 16
Enunciado Desigualdad
x es menor que 15
x es al menos 12
x es a lo más 32
x es como mínimo 21
x es como máximo 42
x es menor que 10 pero
mayor que 8
x es un número entero
negativo
x es mayor que su doble
aumentado en 4
1 2
3 Halla el menor valor entero de x que verifica la
inecuación.
> 3
x + 8
2
4 Halla el mayor valor entero de x que verifica la
inecuación.
x + 6
3 < 4
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Desigualdades e inecuaciones
Desigualdad
Relación de orden
a > b
a < b
a ≥ b
a ≤ b
1. Si a < b ⇒ a ± c < b ± c
ax + b < 0
ax + b > 0
Despeja la variable
aplicando propiedades
Resuelve las inecuaciones e indica los
valores comunes (intersección).
2. Si a < b ∧ c > 0 ⇒
3. Si a < b ∧ c < 0 ⇒
Propiedades
Forma Solución
Sistema de inecuaciones
Inecuación lineal
ac < bc
ac > bc
<
>
a
c
a
c
b
c
b
c
Síntesis
Modela y resuelve
154
5 Resuelve la inecuación, si x ∈ Z.
x – 5
3 + 1 < 8
6 Resuelve la inecuación, si x ∈ Z.
x + 4
3 – 2 < 5
7 8Calcula la suma de los dos menores valores
enteros que satisfacen la inecuación.
Calcula la suma de los dos menores valores
enteros que satisfacen la inecuación.9 Determina el número de enteros que verifica la
inecuación.
–3 < 2x – 5 < 9
10 Determina el número de enteros que verifica la
inecuación.
–1 < 3x + 5 < 26
x – 5
2 < x + 1
x + 3
2 < x + 4
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
155MateMática DELTA 1 - álgebra
¿Cuántos valores enteros satisface la siguiente
desigualdad?
Sea –1 < x < 4, encuentra los valores enteros que
toma N, si N = 2x – 9.
¿Cuántos valores enteros satisface la siguiente
desigualdad?
Halla la suma del mayor y menor valor entero que
verifican la inecuación.
–3 < 2 – x ≤ 2
Sea –2 < x < 3, encuentra los valores enteros que
toma M, si M = 3x + 7.
Halla la suma del mayor y menor valor entero que
verifican la inecuación.
–5 < 4 – x < 7
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
3
5
2
3
x
15< <
2
7
1
2
x
14< <
11 12
1413
15 16
156
Resuelve la inecuación. Resuelve la inecuación.
Indica el mayor valor entero que verifica la
inecuación.
(x + 2)2 < (x + 3)(x – 1) + 5
Indica el menor valor entero que verifica la
inecuación.
(x + 3)2 > (x + 2)(x + 1) + 13
x + 6
5
3x – 1
2
+ < x
x + 2
3
2x + 1
5
+ ≥ x – 1
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
17 18
19 20
157MateMática DELTA 1 - álgebra
Si a, b y c son números enteros positivos diferentes
entre sí, indica el menor valor que puede tomar N.
N = a + b – c
a > 6, b > 35, c < 5
Calcula la suma de valores enteros que verifican
las inecuaciones, si a < 0.
a(2x + 1) < ax + 5a ∧ 2
4
(x + 3) – x + 2
3
< 2
Si a, b y c son números enteros positivos diferentes
entre sí, indica el mayor valor que puede tomar M.
M = a – b + c
a < 7, b > 42, c < 20
Calcula la suma de valores enteros que verifican
las inecuaciones, si n < 0.
n(3x – 1) < nx + 9n ∧ 1
3
(x + 6) + x + 1
2
> x + 1
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
21 22
23 24
158
El número de huevos que hay en un cesto es tal
que su doble disminuido en 10 es mayor que la
quinta parte del total aumentado en 35, pero si se
rompen tres, la mitad del resto es menor que 12.
¿Cuántos huevos hay en el cesto?
El número de monedas que hay en una bolsa es
tal que su quíntuple aumentado en 20 no excede a
75 y su séxtuplo disminuido en 8 es mayor que 46.
Determina el número de monedas, si esta es par.
El número de naranjas que hay en un cesto es
tal que su mitad disminuido en 5 es mayor que la
tercera parte del total, pero si se malogran 5, la
tercera parte del resto es menor que 9. ¿Cuántas
naranjas hay en el cesto?
El número de plumones que hay en una cartuchera
es tal que su triple aumentado en 12 no excede a
75 y su doble disminuido en 8 es mayor que 30.
Determina el número de plumones, si este es
impar.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
25 26
27 28
159MateMática DELTA 1 - álgebra
Relaciona:
1. x es menor que 35
2. x es como máximo 20
3. x es como mínimo 35
4. x es mayor que 20
Sobre la desigualdad en los enteros:
3 ≤ x < 7
Indica el valor de verdad.
( ) El menor valor que verifica x es 3.
( ) El mayor valor de x es 7.
( ) Cuatro valores enteros verifican la inecuación.
( ) La suma de los números enteros que verifican
la inecuación es 18.
Si a es el máximo valor entero que verifica x y b es
el mínimo valor entero que verifica y en:
x + 5 < 9
y – 2 ≥ 1
Entonces, se cumple que:
a. x ≥ 35
b. x ≤ 20
c. x > 35
d. x < 35
e. x > 20
1
2
3
A 1d; 2b; 3a; 4e B 1c; 2b; 3e; 4a
C 1b; 2a; 3d; 4e D 1c; 2e; 3a; 4d
E 1d; 2b; 3e; 4a
A El valor de a + b es 5.
B El valor de a es menor que el valor de b.
C El valor de a – b es 1.
D El valor de a es igual al valor de b.
E El valor de a es mayor que el valor de b.
A VFFV B FFVV C VFVV
D FVFV E VVVV
Indica el menor valor entero que verifica la
inecuación. x – 4
3 ≥ 2
Resuelve la inecuación.
2x + 3
7
– 2 ≥ 1
Calcula el menor valor entero que verifica la
inecuación.
2x + 3
3
– 1 > 2
Halla la suma del mayor y menor valor entero que
satisface la inecuación.
–9 ≤ 2x + 1 < 7
Resuelve la inecuación y determina el conjunto
solución en los enteros.
2x – 5 ≤ 9
3(x + 2) ≥ 9
A C.S. = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
B C.S. = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
C C.S. = {2; 3; 4; 5; 6}
D C.S. = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
E C.S. = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
A 8 B 11 C 12
D 9 E 10
A x < 9 B x ≥ 8 C x > 7
D x ≤ 8 E x ≥ 9
A 2 B 5 C 3
D 1 E 4
A 1 B 2 C –3
D –2 E –1
4
5
6
7
8
Nivel I
Practica y demuestra
160
Indica la suma de los dos mayores números
enteros que verifican la inecuación.
El número de caramelos que hay en una bolsa
es como mínimo 15 y su triple es menor que 51.
¿Cuál es la mayor cantidad de caramelos que
puede haber en la bolsa?
12
Encuentra la suma de elementos enteros que
verifican la inecuación.
–2 ≤ 1 – 3x
4
< 1
Indica la cantidad de valores enteros que verifican
la inecuación.
3 ≤ 2x – 3
5
< 7
Resuelve la inecuación e indica el valor de verdad
de las proposiciones.
–4 ≤ 3x – 1
4
< 5
( ) El máximo valor entero que toma x es 7.
( ) El número de valores enteros que verifican la
inecuación es 12.
( ) El mínimo valor entero que verifica la
inecuación es –5.
Halla la suma de los dos menores valores enteros
que verifican la inecuación.
Determina el mayor valor entero de x que verifica
la inecuación.
(x + 1)2 < (x + 2)(x – 1)
Encuentra el número de valores enteros que
satisfacen las inecuaciones.
2(x + 3) – 7 < 13
3(9 – x) + 1 ≤ 49
13
14
15
16
x + 3
2
– 1
3
+ 2 ≥ 5
18
A 35 B 33 C 36
D 37 E 34
A –5 B –3 C –1
D –4 E –2
A 5 B 7 C 6
D 8 E 4
A 16 B 17 C 15
D 13 E 14
A 3 B 9 C 5
D 1 E 7
A 8 B 10 C 9
D 12 E 11
A 17 B 14 C 16
D 18 E 15
A VVV B VFV C FFV
D FVV E FFF
9
10
Calcula la suma de números enteros que verifican
la inecuación.
x + 2 < 2x + 5 < x + 7
A –1 B –2 C –3
D 3 E 4
17
Calcula el menor valor entero de x que verifica la
inecuación.
11
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
Nivel II
x + 7
2
x + 2
5
– ≤ 4
x + 5
4
x – 1
2
– ≤ x
161MateMática DELTA 1 - álgebra
Calcula el valor entero de x.
Encuentra la suma de enteros que verifican la
inecuación.
x + 1
2
+ 1 < 2(x + 1)
3
< x – 3
4
+ 6
Resuelve la inecuación, si a < b.
ax + b
2
+ b < bx + a
2
+ a
Un número entero es tal que su triple aumentado en
cinco es menor que 53, pero su doble aumentado
en diez es mayor que 38. Halla el valor del número
entero.
El doble de la edad de Lorena aumentado en 8 es
menor que 34, pero el triple de su edad disminuido
en 10 es mayor que 23. ¿Cuántos años tiene
Lorena?
22
23
24
20
19
A 10 años B 13 años
C 11 años D 14 años
E 12 años
A x < 2b + 2 B x < 2b
C x > 2b D x > 2b + 2
E x < b + 2
Determina el valor de x en la inecuación.
ax + a < a(2b + 3); a < b < 0
21
x zy
x x
x
z 10
y
z
7 y
A x < 3 B x > 3
C x < –3 D x > –3
E x > 0
A 45 B 30 C 40
D 51 E 56
A 14 B 15 C 16
D 17 E 13
A 6 B 7 C 8
D 9 E 5
Nivel III
162
Tema
Muchos modelos matemáticos se describen mediante el concepto de funciones; como
en el gráfico, que indica la relación del número de latidos por minuto en el tiempo que
dura la práctica de un atleta.
Definiciones
primer elemento segundo elemento
Funciones
Peter Gustav
Lejeune Dirichlet
1805 - 1859
Alemania
Se le atribuye la
definición formal
moderna de una
función.
A × B B × A
n(A × B) = n(A) × n(B)
n(A × B)
Se lee:
Cardinal de A × B
Significa:
Número de elementos
del producto.
Import a nte
(a ; b) (b ; a)
01:0000:00
BPM
02:00 03:00 03:30
minutos
195
185
176
167
154
147
129
114
Par ordenado
Es un conjunto de dos elementos ordenados denotado por:
(a ; b)
Ejemplos:
a) Son pares ordenados: (2 ; –1), (–5 ; 7)
Igualdad de pares ordenados:
(a ; b) = (c ; d) a = c b = d
b) Si (2 ; b – 3) = (a – 1 ; 5), halla el valor de M = a . b
Resolución:
En la igualdad de pares ordenados:
a – 1 = 2 a = 3 b – 3 = 5 b = 8
Luego: M = a . b = 3 . 8 = 24
Producto cartesiano
Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano es el conjunto de todos los pares
ordenados (a ; b) donde el primer elemento se toma de A y el segundo de B.
A × B = {(a ; b) / a ∈ A ∧ b ∈ B}
Ejemplo:
Sean A = {1; 2; 3} y B = {4; 5}. Halla A × B.
Resolución:
Diagrama sagital
Entonces:
A × B = {(1 ; 4), (1 ; 5), (2 ; 4), (2 ; 5), (3 ; 4), (3 ; 5)}
5
4
B
1 2 3
A
Diagrama cartesiano
12
¿Sa bía s qu e.. .?
1.
2.
3.
A
.4
.5
B
163MateMática DELTA 1 - álgebra
Como en una función los elementos de salida están relacionados con UN ÚNICO
elemento, estos no se repiten.
Ejemplos:
Sean las correspondencias:
a) f = {(2 ; 4), (3 ; 6), (7 ; 8), (8 ; 9)}
f es función porque los primeros elementos no se repiten.
b) g = {(1 ; 5), (3 ; –2), (1 ; 3), (5 ; 7)}
g no es función porque el primer elemento (1) se repite.
c) h = {(0 ; 3), (1 ; 2), (3 ; 7), (1 ; 2), (5 ; 3)}
h es función porque el par repetido se escribe una sola vez, entonces los primeros
elementos no se repiten.
Propiedad
Sean los pares ordenados (a ; b) y (a ; c) que pertenecen a la función f, entonces: b = c
Ejemplo:
Sea la función: f = {(3 ; 6), (1 ; 2a – 1), (3 ; 2a + b), (1 ; 7)}. Halla el valor de ab.
Resolución:
Tenemos: f = {(3 ; 6), (1 ; 2a –1), (3 ; 2a + b), (1 ; 7)}
Luego: 2a – 1 = 7 a = 4 2a + b = 6 b = 6 – 2(4) b = –2
Nos piden: a . b = 4(–2) = –8
Funciones
Dados dos conjuntos A y B, una función es una regla de correspondencia que asigna a
todo elemento x de A un único elemento y de B.
Dominio: conjunto de valores que
puede tomar x (variable independiente).
Dom(f) = {1; 2; 3; 4}
Rango: conjunto de valores que puede
tomar y (variable dependiente).
Rango(f) = {3; 6; 7; 9}
De las correspondencias:
1. .5
2.
3.
4.
.6
.7
.8
f no es función
porque un
elemento del
conjunto de
salida (2) no está
relacionado.
g es función
porque todo
elemento de
salida está
relacionado
con un único
elemento de
llegada.
1. .5
2.
3.
4.
.6
.7
.8
A B
f
A B
g
A B
h
1.
2.
3.
4.
.5
.6
.7
.8
A B
k
1.
2.
3.
4.
.5
.6
.7
.8
h es función
porque todo
elemento de
salida está
relacionado
con un único
elemento de
llegada.
k no es función
porque un
elemento del
conjunto de
salida (1) está
relacionado con
dos elementos
de llegada.
Import a nt e
f: A B / y = f (x)
Donde:
f: Nombre de la
función
A: Conjunto de
salida
B: Conjunto de
llegada
y: Regla de
correspondencia
Recu e rda
El conjunto
A = {2; 3; 2; 3; 4; 5}
Se escribe:
A = {2; 3; 4; 5}
Los elementos
repetidos se escriben
una sola vez.
Prop i eda d
Si:
(a ; b) ∧ (a ; c) f
b = c
Dominio
Rango
1.
2.
3.
4.
.3
.6
.7
.9
.11
fA B
164
Representación de una función
La empresa ANDOENBICI cobra 3 soles por alquiler de bicicleta, más un sol por cada
hora adicional. Representa la función alquiler que depende del tiempo, si los usuarios
alquilan máximo por 5 horas.
Resolución:
Identificamos las variables:
x : número de horas que se alquila una bicicleta; y: costo total de alquiler
1.° Representamos en una tabla:
0 1 2 3 4 5
3 + 1(0) 3 + 1(1) 3 + 1(2) 3 + 1(3) 3 + 1(4) 3 + 1(5)
Número de
horas
Costo
x
y
2.° Escribimos el conjunto de pares ordenados:
f = {(0 ; 3), (1 ; 4), (2 ; 5), (3 ; 6), (4 ; 7), (5 ; 8)}
3.° Fórmula: y = f(x) = 3 + 1x
4.° Graficamos la función:
Ejemplo:
Dada la función:
f = {(–1 ; 3), (1 ; –2), (2 ; 5), (5 ; 3), (7 ; 1)}. Halla M = f(5) + f(1)
Resolución:
Tenemos:
Dom f = {–1; 1; 2; 5; 7} ∧ Ran f = {3; –2; 5; 1}
Sabemos:
(–1 ; 3) f(–1) = 3
(1 ; –2) f(1) = –2
(x ; y) = (x ; f(x)) (2 ; 5) f(2) = 5
(5 ; 3) f(5) = 3
(7 ; 1) f(7) = 1
Evalúamos: M = f(f(2)) + f(f(7))
Entonces: M = f(5) + f(1)
M = 3 + (–2) = 1
8
7
6
5
4
3
2
1
10 2 3 4 5
Costo
Número
de horas
Recu e rda
Si (x ; y) ∈ f
Entonces:
x: preimagen
y: imagen
(x ; y) = (x ; f(x))
Si (3 ; 6) f(3) = 6
Import a nt e
165MateMática DELTA 1 - álgebra
Sea f una función de A en B. La función h con regla de correspondencia:
h(x) = ax2 + 4, pasa por el punto (2 ; 16). Halla el
valor de h(4).
Se define la función:
f: {–1; 0; 2; 3} B / f(x) = 2 – 3x. Encuentra la
suma de elementos del rango de la función f.
Tenemos: h(x) = ax2 + 4
Para (2 ; 16): 16 = a . 22 + 4
12 = 4a a = 3
Nos piden:
h(4) = 3 . 42 + 4
h(4) = 3 . 16 + 4
h(4) = 48 + 4
h(4) = 52
Rpta. 52
Tenemos:
x 2 – 3x = y
–1 2 – 3(–1) = 5
0 2 – 3(0) = 2
2 2 – 3(2) = –4
3 2 – 3(3) = –7
Luego:
Ran(f) = {–7; –4; 2; 5}
Nos piden: –7 – 4 + 2 + 5 = –4
Rpta. –4
Resolución:
Resolución:
4
5
• 2
• 3
• 5
• 6
• 7
f
1 •
2 •
4 •
5 •
6 •
A B
Indica el valor de verdad de las proposiciones.
( V ) Dom(f) = {1; 2; 4; 5; 6}
( V ) f(f(2)) = 2
( F ) Ran(f) = {2; 3; 5; 6; 7}
Ran(f) = {2; 5; 6; 7}
( F ) f(f(1)) = 6
f(f(1)) = f(5) = 7
Rpta. VVFF
Dada las funciones:
f = {(3 ; 4), (5 ; 7), (6 ; 6), (7 ; 8), (8 ; 4)}
g = {(1 ; 3), (4 ; 5), (5 ; 6), (6 ; 5), (7 ; 8)}
Calcula:
2
f(3) + f(g(5))
g(f(8)) + g(6)H =
Resolución:
Observamos que: g(5) = 6
f(8) = 4
Entonces:
f(3) + f(6)
g(4) +g(6)H =
También: f(3) = 4 ; f(6) = 6
g(4) = 5 ; g(6) = 5
Luego:
4 + 6
5 + 5
H = = 10
10
= 1
Rpta. 1
Dada la función:
f = {(3 ; 1), (4 ; x + 2y), (3 ; 2x – y), (4 ; 8), (5 ; 7)}
Determina el valor de x . y.
3
Resolución:
Recordamos:
Si: (a ; b) (a ; c) f b = c
Entonces: x + 2y = 8 (1)
2x – y = 1 (2)
De (1): x = 8 – 2y
Reemplazamos x en (2): 2(8 – 2y) – y = 1
16 – 5y = 1 y = 3
Reemplazamos y = 3 en (1): x + 2(3) = 8 x = 2
Nos piden: x . y = 6
Rpta. 6
1
Sea g(x + 4) = 2x – 1, f(x – 2) = 3x – 1. Calcula el
valor de S = f(3) + g(f(1)).
Resolución:
Tenemos:
f(x – 2) = 3x – 1
x = 5: f(5 – 2) = 3 . 5 – 1 f(3) = 14
x = 3: f(3 – 2) = 3 . 3 – 1 f(1) = 8
Entonces:
S = 14 + g(8)
En: g(x + 4) = 2x – 1
x = 4; g(4 + 4) = 2 . 4 – 1 g(8) = 7
Luego:
S = 14 + 7 = 21
Rpta. 21
6
Ejercicios resueltos
166
Si f(x) = 2x + 5, resuelve:
f(x + 3) + f(x – 1) = 34
Resolución:
Tenemos: f(x) = 2x + 5
x x + 3 : f(x + 3) = 2(x + 3) + 5
x x – 1 : f(x – 1) = 2(x – 1) + 5
Luego:
2(x + 3) + 5 + 2(x – 1) + 5 = 34
2x + 6 + 5 + 2x – 2 + 5 = 34
4x + 14 = 34
x = 5
Rpta. 5
9Determina el valor de a . b, si en la figura se tiene
las gráficas de las funciones f y g.
7
y
x
g(x) = –2x + 8 f(x) = –2x2 + ax + 8
b
3
Resolución:
Tenemos el punto común (3 ; b):
En g: b = –2(3) + 8
b = 2
En f: b = –2 . 32 + a . 3 + 8
2 = –18 + 3a + 8
12 = 3a
a = 4
Piden: a . b = 4 . 2 = 8
Rpta. 8
Resolución:
Tenemos:
En g(x) = 2x + 3 ; x < 2
x = –1: g(–1) = 2(–1) + 3 g(–1) = 1
x = 1 : g(1) = 2(1) + 3 g(1) = 5
En g(x) = x – 5; x 2
x = 3 : g(3) = 3 – 5 g(3) = –2
Luego: M = g(1) + (–2)
M = 5 – 2 = 3
Rpta. 3
Halla el valor de M = g(g(–1)) + g(3).
Se define la función g como:10
g(x) =
2x + 3 ; x < 2
x – 5 ; x 2
La función f pasa por los puntos (3 ; 1), (–2 ; 11),
si la regla de correspondencia es f(x) = ax + b,
encuentra el valor de f(5).
11
Resolución:
Tenemos:
f(x) = ax + b
(3 ; 1) : 1 = a . 3 + b (1)
(–2 ; 11): 11 = a(–2) + b (2)(2) – (1): 10 = –5a a = –2
En (1) : 1 = –2(3) + b b = 7
Luego: f(x) = –2x + 7
Nos piden: f(5) = –2(5) + 7
f(5) = –3
Rpta. –3
En un laboratorio la función crecimiento poblacional
C de una bacteria en el tiempo (en minutos) es:
C(t) = a . 2
t
10, si 10 minutos después de iniciado el
experimento la población era de 60, ¿cuál será la
población de dicha bacteria en una hora?
8
Resolución:
Tenemos:
C(t) = a . 2
t
10
(10 ; 60): 60 = a . 2
10
10
60 = a . 2
a = 30
Luego:
(60 ; C): C = 30 . 2
60
10
C = 30 . 26
C = 30 . 64
C = 1920
Rpta. 1920
167MateMática DELTA 1 - álgebra
Modela y resuelve
En un distrito del interior del país se han tomado distintas mediciones de la temperatura a lo largo de un día de abril.
Estas vienen reflejadas en la gráfica:
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
14
18
22
26
Hora del día
Te
m
pe
ra
tu
ra
(°
C
)
Completa la siguiente tabla:
Hora del día 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Temperatura (°C)
Completa:1
a) ¿Qué horas son de mayor temperatura?
b) ¿Entre qué horas la temperatura sube?
c) ¿Entre qué horas la temperatura constante es
menor?
2 Completa:
a) ¿Qué horas son de menor temperatura?
b) ¿Entre qué horas la temperatura baja?
c) ¿Entre qué horas la temperatura constante es
mayor?
f: A B / y = f(x)
Notación
Nombre de la función
Conjunto
de salida
Conjunto
de llegada
Regla de
correspondencia
Par ordenado
(a ; b)
segundo
elemento
primer
elemento
Funciones
f asigna a todo elemento de a un único elemento de b
Definición
Si (a ; b) (a ; c) f b = c
Dominio: Conjunto de valores que puede tomar x
Rango: Conjunto de valores que puede tomar y
Propiedad
Síntesis
168
La función f se representa en la gráfica.3 La función f se representa en la gráfica.4
En la función:
f = {(3 ; 4), (5 ; a – 3), (2 ; b), (5 ; 2), (2 ; 4)}. Halla
el valor de ab.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
5 En la función:
f = {(3 ; 4), (5 ; m + 1), (3 ; n), (5 ; 2), (7 ; 6)}. Halla
el valor de mn.
6
En la función:
f = {(1 ; 3), (2 ; 5), (3 ; 4), (5 ; 4)}
Calcula:
a) Dominio de la función:
b) Rango de la función:
c) N = f(1) + f(3)
d) M = f(f(2))
7
2 4 6
1
2
3
4
5
6
1 3 5 7 8
X
Y
2 4 6
1
2
3
4
5
6
1 3 5 7 8
X
Y
Determina el valor de E.
E = f(2) + f(f(6))
Determina el valor de E.
E = f(7) + f(f(5))
En la función:
f = {(2 ; 5), (3 ; 6), (5 ; 5), (6 ; 9)}
Calcula:
a) Dominio de la función:
b) Rango de la función:
c) N = f(2) + f(6)
d) M = f(f(3))
8
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
0 0
169MateMática DELTA 1 - álgebra
Sea la función g definida por g(x) = 3x + 2.
Encuentra el valor de H.
H = g(–1) + g(g(1))
Sea la función g definida por g(x) = 2x + 5.
Encuentra el valor de E.
E = g(–2) + g(g(1))
9 10
Sea la función g definida por g(x) = 2x + 3, con
dominio {1; 3; 4, 7}, determina el rango de g.
11 Sea la función g definida por g(x) = 4x + 1, con
dominio {0; 2; 3, 4}, determina el rango de g.
12
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Sean las funciones:13 Sean las funciones:14
1 •
3 •
4 •
5 •
• 2
• 4
• 5
• 6
f g
2 •
4 •
5 •
6 •
• 1
• 3
• 5
• 6
f(g(4)) + g(f(3))
f(3) – g(2)
Halla el valor de H.
H =
1 •
2 •
3 •
5 •
• 2
• 4
• 5
• 6
f g
2 •
3 •
5 •
6 •
• 1
• 3
• 4
• 5
f(g(3)) + g(f(5))
f(2) – g(3)
Halla el valor de E.
E =
Rpta. Rpta.
Resolución: Resolución:
170
Sea la función:
f = {(3 ; x + 3y), (1 ; 4), (y ; 9), (3 ; 16), (1 ; 2x – y)}
Calcula el Dom (f) Ran (f).
15 Sea la función:
g = {(2 ; 2x + 3y), (1 ; 10), (x ; 9), (2 ; 3), (1 ; 3x – y)}
Calcula el Dom (g) Ran (g).
16
Rpta. Rpta.
Resolución: Resolución:
Se define la función f como:17
4 – x ; x < 0
–1 ; 0 x < 5
x – 3 ; x 5
f(x) =
Encuentra el valor de H.
f(f(3)) – f(f(8))
f(f(4) +7)
H =
Rpta.
Resolución:
Sea f(x + 3) = x2 – x + 2; g(x – 2) = 2x + 4 – 2.
Encuentra el valor de M.
M = f(1) + g(f(5))
18
Rpta.
Resolución:
171MateMática DELTA 1 - álgebra
Dada la gráfica de la función f. Dada la gráfica de la función f.
Sea la función f definida por f(x) = ax + b, que pasa
por los puntos (–2 ; 9) y (3 ; –1). Halla el valor
de f(4).
Sea la función f definida por f(x) = ax + b, que pasa
por los puntos (–3 ; 11) y (2 ; –4). Halla el valor de
f(5).
x
y
x
y
a) Determina el valor de A.
f(4) + f(f(–6))
f(0) + f(–4)
A =
b) Indica los valores de x para los cuales se
cumple que f(x) = 0.
a) Determina el valor de H.
f(–4) + f(f(6))
f(0) + f(–5) + 1
H =
b) Indica los valores de x para los cuales se
cumple que f(x) = 0.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución: Resolución:
19 20
21 22
172
En la figura se muestra las gráficas de las
funciones f y g.
En la figura se muestra las gráficas de las
funciones f y g.
23 24
La presión (P) varía con la profundidad (h)
mediante la relación P(h) = ah + b. La presión en
la superficie del mar es 5 unidades de presión y a
los 35 pies de profundidad es de 40 unidades de
presión. ¿A qué profundidad se encuentra un buzo
que soporta 30 unidades de presión?
25 La presión (P) varía con la profundidad (h) mediante
la relación P(h) = ah + b. La presión en la superficie
del mar es 2 unidades de presión y a los 30 pies
de profundidad es de 22 unidades de presión.
¿Cuántas unidades de presión soporta un buzo que
se encuentra a una profundidad de 18 pies?
26
x
y
x
y
b
–2 3
g(x) = ax + 3
f(x) = cx2 – 3 f(x) = cx2 + 12 g(x) = ax + 4
b
–2 2
Calcula el valor de N.
N = a . b . c
Calcula el valor de M.
M = a . b . c
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
173MateMática DELTA 1 - álgebra
Practica y demuestra
Sea f una función de A en B.1
Tenemos la gráfica de la función g.2
0 2 4 6 8 10 x
2
4
6
8
y
g
Halla los valores de A, B, C y D, si estos son
enteros.
• g(2) = A • g(B) = 5 • g(C) = 2 • g(10) = D
A A = 6, B = 4, C = 6, D = 5
B A = 4, B = 6, C = 5, D = 8
C A = 6, B = 2, C = 4, D = 5
D A = 6, B = 9, C = 4, D = 6
E A = 4, B = 6, C = 2, D = 8
Dada la función f = {(5 ; 3), (3 ; 7), (5 ; a – 1), (2 ; 5)}.
Encuentra el valor de a.
3
A 2 B 4 C 3
D 6 E 7
Sean las funciones:4
1 •
2 •
3 •
• 1
• 3
• 4
f
2 •
3 •
4 •
• 1
• 2
• 3
g
Calcula el valor de g(f(2)) + f(g(4))
f(3) + g(3)
M = .
Se define f(x) = 3x – 1.
Determina el valor de R = f(f(1)).
5
Sea h la función con regla de correspondencia:
h(x) = ax + 5, y h(x) = ax + 5 y (2 ; 21) un punto que
pertenece a h, halla el valor de a.
6
Encuentra el valor de H = g(4) – g(–1),
si g(x + 3) = x + 9.
7
Dado el conjunto de pares ordenados:
• f = {(1 ; 2), (2 ; 4), (4 ; 4), (5 ; 6)}
• g = {(2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5)}
• h = {(1 ; 2), (1 ; 5), (2 ; 4), (3 ; 9)}
¿Cuáles son funciones?
8
A 2 B 3 C 4
D 1 E 0
A 5 B 6 C 7
D 8 E 4
A 5 B 8 C 6
D 9 E 7
A 2 B 10 C 3
D 5 E 6
A solo f B solo g C f y g
D f y h E todas
Nivel I
Indica el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las
proposiciones:
a. ( ) Dom f = {1; 3; 5} b. ( ) f(3) = 9
c. ( ) Ran f = {4; 6; 8; 9} d. ( ) f(1) = 6
A VFFV B FFVV
C VVFF D FVFV
E FFFV
1 •
3 •
5 •
• 4
• 6
• 8
• 9
A B
174
En la función f = {(a ; x + y), (b ; x – y), (a ; 5), (b ;1)}.
Halla el valor de N = xy.
Completa la siguiente tabla, siendo y = –2x + 5.
x –1 L 4 Z 1
y 7 –1 I 9 A
13
A L = 2; I = –3; Z = –2; A = 3
B L = 3; I = –5; Z = –2; A = 3
C L = 2; I = –3; Z = –2; A = 3
D L = 3 ;I = –3; Z = –2; A = 3
E L = 3; I = –3; Z = –2; A = 2
Determina el valor de M = f(g(2)), si f(x + 3) = 2x – 1;
g(1 – x) = 3x + 4.
16
A 2 B –5 C –9
D –7 E 1
17
La función g se define con g(x) = ax2 + 4.
Si (3 ; 40) pertenece a la función, encuentra el
valor de a.
18
Sea la función f con regla de correspondencia:
f(x) = 3x + 2 y Ran f = {8; 14; 17}. Halla el dominio de f.
19
ADom f = {2; 3; 5} B Dom f = {2; 4; 5}
C Dom f = {2; 3; 4} D Dom f = {3; 4; 5}
E Dom f = {1; 3; 5}
A 3 B 6 C 5
D 8 E 4
A 3 B 2 C 4
D 6 E 5
Si el dominio de la función g con regla de
correspondencia g(x) = 3x + 4, es el conjunto:
A = {2; 5; 7}, encuentra la suma de elementos del
rango de g.
14
A 54 B 52 C 56
D 49 E 57
Si la recta y = mx + b pasa por los puntos (4 ; 7) y
(5 ; 5), calcula el valor de m + b.
15
A –2 B 5 C 7
D 15 E 13
Nivel II
Nivel III
En la igualdad de pares ordenados:
(2 ; a + 2b) = (a – b ; 5)
Calcula el valor de N = a . b + 2.
9
A 3 B 6 C 4
D 8 E 5
Sea la función f = {(1 ; 2), (3 ; 6), (4 ; 8), (5 ; 7)}.
Determina el valor de M.
10
En la función:
f = {(1 ; b), (2 ; a), (3 ; 4), (4 ; 5)},
si f(2) = 5 y f(b) = 4. Indica el rango de f.
11
A Ran f = {1; 2; 3; 4}
B Ran f = {4; 5}
C Ran f = {3; 4}
D Ran f = {3; 4; 5}
E Ran f = {2; 4; 5}
A 1 B 4 C 6
D 9 E 16
Halla a . b en el conjunto de pares ordenados.
f = {(2 ; 4), (3 ; a + b), (5 ; 6), (3 ; 8), (2 ; a – b)}
12
A 12 B 10 C 8
D 9 E 6
M =
f(3) + f(4)
f(5)
2
Nombre: n.° de orden: Sección:
175MateMática DELTA 1 - álgebra
Antonio tiene a soles y Mauricio b soles, indica
la expresión matemática equivalente a: Si Antonio
le da x soles a Mauricio, ambos tedrían la misma
cantidad.
5 En una granja entre pavos y cerdos, se cuentan
25 cabezas y 70 patas. ¿Cuántos pavos hay en
la granja?
4
Calcula el perímetro del rectángulo de la figura.
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Resuelve la inecuación.6
A 46 u B 48 u
C 52 u D 56 u
A 40 B 43
C 42 D 44
Dado 2 < x – 3 ≤ 5, encuentra la suma del mayor
valor entero con el menor valor entero que toma M.
M = 3x + 1
Eliza tiene cuatro veces el dinero que tiene Carmen,
si Eliza le da S/ 15 a Carmen entonces tendría la
misma cantidad, ¿cuánto tienen entre las dos?
Test n.° 4
A S/ 48 B S/ 60
C S/ 50 D S/ 75
A a – x = b B a + b = 2x
C a – x = b + x D a – b = 2x
A 5 B 10
C 15 D 20
x + 3
2
– 1 < 4
A x < 3 B x < 7
C x > 3 D x > 7
y + 6
x + 5 y – 2
3x + 3
176
Se define la función f como: f(x) = 2x – 1.
Determina el valor de N = f(1) + f(3).
7 10
11
12
8
5A
7C
6B
8D
3A
2C
5B
6D
–7A
–8C
–11B
–10D
27A
25C
28B
33D
Halla el menor valor entero que verifica la
inecuación.
–3(2x – 5) + 1 ≤ 56 – 2x
Sean: f(x + 2) = x + 5; g(x – 2) = x + 3. Calcula
el valor de M.
Encuentra la suma de los enteros menores de
8 que verifican la inecuación.
(1 ; 6)A
(–1 ; 6)C
(2 ; 8)B
(3 ; 10)D
18A
34C
48B
72D
¿Por qué punto pasa la función f definida por
f(x) = 3x + 2.
En la figura, se tiene las gráficas de las funciones
f y g.
Halla el valor de ab.
9
(x – 3)2 < x2 + 21
y
x
4
f(x) = 2x2 – 8
g(x) = ax + 12
b
f(6)
g(4)M =
EL ACUERDO NACIONAL
El 22 de julio de 2002, los representantes de las
organizaciones políticas, religiosas, del Gobierno y de la
sociedad civil, firmaron el compromiso de trabajar, todos,
para conseguir el bienestar y desarrollo del país. Este
compromiso es el Acuerdo Nacional.
El Acuerdo persigue cuatro objetivos fundamentales.
Para alcanzarlos, todos los peruanos de buena voluntad
tenemos, desde el lugar que ocupemos o el rol que
desempeñemos, el deber y la responsabilidad de decidir,
ejecutar, vigilar o defender los compromisos asumidos.
Estos son tan importantes que serán respetados como
políticas permanentes para el futuro.
Por esta razón, como niños, niñas, adolescentes o
adultos, ya sea como estudiantes o trabajadores,
debemos promover y fortalecer acciones que garanticen
el cumplimiento de esos cuatro objetivos que son los
siguientes:
1. Democracia y Estado de Derecho
La justicia, la paz y el desarrollo que necesitamos los
peruanos solo se pueden dar si conseguimos una
verdadera democracia. El compromiso del Acuerdo
Nacional es garantizar una sociedad en la que los
derechos son respetados y los ciudadanos vivan
seguros y expresen con libertad sus opiniones a partir
del diálogo abierto y enriquecedor; decidiendo lo mejor
para el país.
2. Equidad y justicia social
Para poder construir nuestra democracia, es necesario
que cada una de las personas que conformamos esta
sociedad, nos sintamos parte de ella. Con este fin, el
Acuerdo promoverá el acceso a las oportunidades
económicas, sociales, culturales y políticas. Todos los
peruanos tenemos derecho a un empleo digno, a una
educación de calidad, a una salud integral, a un lugar
para vivir. Así, alcanzaremos el desarrollo pleno.
3. Competitividad del país
Para afianzar la economía, el Acuerdo se compromete
a fomentar el espíritu de competitividad en las
empresas, es decir, mejorar la calidad de los productos
y servicios, asegurar el acceso a la formalización de las
pequeñas empresas y sumar esfuerzos para fomentar
la colocación de nuestros productos en los mercados
internacionales.
4. Estado eficiente, transparente y descentralizado
Es de vital importancia que el Estado cumpla con sus
obligaciones de manera eficiente y transparente para
ponerse al servicio de todos los peruanos. El Acuerdo
se compromete a modernizar la administración pública,
desarrollar instrumentos que eliminen la corrupción o
el uso indebido del poder. Asimismo, descentralizar
el poder y la economía para asegurar que el Estado
sirva a todos los peruanos sin excepción.
Mediante el Acuerdo Nacional nos comprometemos a
desarrollar maneras de controlar el cumplimiento de
estas políticas de Estado, a brindar apoyo y difundir
constantemente sus acciones a la sociedad en general.
LEY DEL 25-02-1825 LEY DEL 25-02-1825
LOS SÍMBOLOS DE LA PATRIA
BANDERA NACIONAL ESCUDO NACIONAL
1
ÁLGEBRA
Secundaria
La serie Matemática responde a los estándares educativos nacionales
e internacionales. Cumple con los indicadores pedagógicos actuales
establecidos por el Ministerio de Educación.
La estructura de sus contenidos posibilita el desarrollo del pensamiento
abstracto en los estudiantes del nivel secundario.
El texto responde al enfoque centrado en la Resolución de problemas,
el cual promueve y facilita que los estudiantes logren las siguientes
competencias:
Matemática
Resuelve problemas de cantidad
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio