ÁLGEBRA

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ADMISIÓN *tvitter.com/calapenshko 
 
 
 
El 
—SOLUCIONARIO 
e Y DELOS 
OS EXÁMENES 
 
a 
Ma 
SE AIN MARCOS
S olucionario S an Marcos 
ÁLGEBRA 
DECO 
ÍNDICE 
 
 
1. Leyes de exponentes 2 
2. Leyes de radicales 2 
3. Ecuaciones exponenciales 2 
4. Expresiones algebraicas 3 
5. Polinomios, grados y clases 3 
6. Productos notables El 
7. División algebraica: teoría del resto 6 
8. Cocientes notables y 
9. Factorización 7 
10. Fracciones, MCD, MCM Y 
11. Factorial. Binomio de Newton 8 
12. Ecuación de primer grado 9 
13. Sistema de ecuaciones lineales 9 
14. Sistema de ecuaciones no lineales 12 
15. Ecuación cuadrática 13 
16. Ecuaciones de grado superior 14 
17. Ecuaciones irracionales 16 
18. Inecuaciones 17 
19. Valor absoluto 18 
20. Sistema de inecuaciones 21 
21. Funciones algebraicas 22 
22. Progresión aritmética 26 
23. Progresión geométrica 26 
24. Sucesiones y series er 
25. Logaritmos y función exponencial 27 
26. Máximos y mínimos 31 
27. Conjuntos numéricos (N,Z,Q,|,R,C) 31 
28. Racionalización 31 
29. Programación lineal 31 
Solucionario 32 
 
twitter.com/calapenshko
twitter.com/calapenshko 
Solucionario Física UNMSM 
Hecho en el Depósito Legal de la Biblioteca Nacional del Perú N* 2014-16026 
Editado por Ediciones Millenium 
impreso en: Talleres de Ediciones Millenium 
Prohibida su reproducción total o parcial. Derechos reservados. D.LEG. N”. 822
 
1, LEYES DE EXPONENTES 
 
Pregunta N.* 1 (UNMSM 2009-11) 
si5*%=m y 5*=n, halle (0,04) 72% 
A) min”? Bm%n* cm. 
D) m*.n* E) m*.n* 
Pregunta N.? 2 (UNMSM 2010-1) 
 
Six"= 2 (donde x> 0), halle el valor de la expresión 
A] y . 
ay yA 
2 Y 6x7? 
A) 3 
D) 13/4 
B) 11/4 O 16/5 
E) 16/3 
Pregunta N.* 3 (UNMSM 2013-1) 
 
 
Calcule 
—-1 -1 
is BEA 238) + 
97 1 
(uE) +(-27% 
_4 D) - A o 2 ) 
3 
B) 5 E) - 
A A ANDO 
Pregunta N.* 4 (UNMSM 2009-11) 
 
Si xes un número positivo , tal que 
dba Sie pa Veliz al J A 7 b, 
ÁLGEBRA “¿3 
n
l
 
m
e
a
 
 
"Dios hizo los números naturales, 
el resto es obra del hombre.” 
Leopold Kronecher 
halle la suma de a+ b, 
AJ4 B6 C)J5 D3 E) 7 
Pregunta N.? 5 (UNMSM 2010-11) 
donde k es un número entero no 
Vx +8Úx es 
so gt 
Si x=3 > 
nulo, entonces el valor de 
as ye E z, 
y Ha e B) 3% +3 E) 3? (32 
a) o 32 (32 
 
3. ECUACIONES 
ONO 
Pregunta N.?* 6 (UNMSM 2011-1) 
Resuelva la ecuación 22%* -5(6%)=3 2%, luego 
calcule 5% 
1 1 1 
A) — B) — ) — 
25 5 125 
D) 25 Ej) 125 
Pregunta N.* 7 (UNMSM 2012-1) 
Si (Bx — py => 
1 D) 4 A 1 
04 
B) 3 ES 
 
MA ÓN AO NO 
 
Pregunta N.* 8 (UNMSM 2013-11 Pregunta N.” 13 (UNMSM 2013-1) 
Dada la ecuación Vx y* + xy? =3Y, x > 0, y 
si 2*-2 “? =14, halle E="/x?+9., 
 
 
> 0, 
A)5 B)4 C)3 D)7 E) 6 
calcule el valor de Yxy?. 
Pregunta N.” 9 (UNMSM 2014-1) A) 2 Ja 
Halle el valor de xen la ecuación B) 3 . 
c) 2 twitter.com/calapenshko 
== = a donde a>0 y axl D) 43 
E) 2 
A) 12 B) 10 C) 11 
D) 9 E) 13 PREGUNTA N.* 14 (UNMSM 2014-11) 
 
 Pregunta N.? 10 (UNMSM 2016-11) Calcule el valor de M para Xx = si 
M va+x+Y0a-x 
= ===, 4%x,0>0,b>l. 
halle VE b dl 
A) 2b Bj) b O 5 D) 2ab E) 7 
b?+1 
Six*=1,x>0,x *+le y+x= 4, 
A) 2 de e D) 4 
B) 1 E) y2 
4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS are 
PREGUNTA N.?* 15 (UNMSM 2009-11) 
Si el polinomio 
Prosa nt 2 ot. 
es ordenado y completo, calcule P(1) -P(-1). 
O NO MOE ADA 
 
Pregunta N.? 11 (UNMSM 2010-1) 
Si a+b=1 y ab=w2, simplifique la expresión 
(a+ b%a*+ b?)- (042 912) 
 
 
 
A) a'+1 B) b%+1 C) 1 
D) a+1 E) 0 A) -15 B)-12 C)12 Do El 15 
Pregunta N.” 12 (UNMSM 2011-1) PREGUNTA N.? 16 (UNMSM 2010-I) 
Si m-4p=3 nya= 2 P halle 2 *. Si P(x)+Q(x)=ax+b, Plx) - Q(x)=a 
AS +bx y P(5)=4, calcule P(Q(1)). 
A BE E 
de E A a A) 4/3 B) 1/3 0)5/3 
D) 2/3 E) -48
AO EL CACHIMBO 
 
PREGUNTA N.* 17 (UNMSM 2010-11) 
Sabiendo que f(x+6)=ax+b, f(2)=-14 
y f[-3)=-29, halle el valor de 2a—b. 
AJ 8 
D) 4 
B) -6 Cc) 10 
E) 12 
NE 
 
Sean x,=-1)"+1 y S,=X1 +X9+...+Xp, N € N. 
Halle S101 -S100* 
A) -1 B) 0 
D) -2 
cc) 1 
E) 2 
PREGUNTA N.* 19 (UNMSM 2012-11) 
 
Sean x, y € KE. Si F(x, y)=x? - y?, calcule 
F(3, F(3, 4)). 
A) 40 B) -49 
C) -46 D) -40 
E) -45 
Pregunta N.* 20 (UNMSM 2013-1) 
Si fíx-3) = xé + 1 y h(x + 1) = 4x + 1, 
halle el valor de h(f (3) + h(-1)). 
A) 117 
B) 145 
C) 115 
D) 107 
E) 120 
Pregunta N.? 21 (UNMSM 2014-1) 
El polinomio 
pL)=n + nn 207, 
es ordenado y completo. Halle el grado 
del polinomio p(x). 
AS 
D) 6 
B) 4 cs 
E) 7 
Pregunta N.* 22 (UNMSM 2017-1) 
Si la suma de los coeficientes del polinomio 
Pix = - 3xé+ax+3 es 0, halle el 
polonia ax+b, donde b es la mayor raíz 
de Pi: 
A) -x+3 
D) -x+2 
B) -x+4 C) x+3 
El x+1 
Pregunta N.? 23 (UNMSM 2017-11) 
 
Un artículo es lanzado al mercado y x meses 
después de su lanzamiento el ingreso es 
lx) =x% + 719 + 17x2 + mx +n, el precio 
unitario de venta es P(x) = x2 + ax+b y el 
número de unidades vendidas es 
00) = x2 + bx+ a. Halle m + n, sabiendo 
que el ingreso es el producto del precio unita- 
rio y la cantidad vendida. 
A) 39 D) 
B) 46 C) 36 E) 
49 
64 
¡OD NON 
Pregunta N.? 24 (UNMSM 2010-11) 
Sabiendo que a+b+c=0, ab+ac+bc=-7 y 
abc=-6 
 
1 de 
calcule E +3 5 
18 49 29 
A) 36 B) 36 C) 36 
7 7 
D — E) — 
) 36 6 
Pregunta N.* 25 (UNMSM 2010-11) 
 
Si a(b+c)=—bc y a+b+c=2, entonces el 
valor de a“ +b*+c? es 
A) 4 
Bj) 2 
C) 242 EJ 4Y2
ÁLGEB RA EL CACHIMBO 
 
Pregunta N.* 26 (UNMSM 2010-11) 
Six-x1= 1, (x * 0), entonces los 
valores de x2 + x"2 y x9 - 29 son: 
A) 2y3 D)) 3 y 4 
B)) 2 y 1/2 E)) 4 y 1/4 
C)) 3 y 1/3 
Pregunta N.* 27 (UNMSM 2011-11) 
Asuma la existencia de todas las raíces 
reales, para A, B y C números reales 
adecuados, en la expresión 
 
Halle €. 
2 1 
B) A-B A 
Al 
Pregunta N.*? 28 (UNMSM 2011-11) 
Indique la expresión que se obtiene al simplificar 
Co 
 
_ b b 
es 2-ab 
siendo ab>2. 
2 2 2 
bj 2-- gr 
ab ab 
Pregunta N.*” 29 (UNMSM 2011-11) 
Si Xq € Yg son números reales tal que 
Xy > Vo y satisfacen el sistema de 
ecuaciones 
[xy (x + y)=30 
| x9+y*=35 
halle el valor de xp—Up. 
B) 2 Cc) 1 
E) 4 
A 5 
D):3 
Pregunta N.? 30 (UNMSM 2011-IT) 
Siab=3 y ac+b?=109, calcule el valor de 
a +b?, 
A) 75 B) 60 
D) 120 
Pregunta N.* 31 (UNMSM 2012-1) 
C)80 
E) 90 
Sean a y b números reales positivos. Si 
A y 
(2) + (2) =2, calcule 
b a 
2 2 3 3 
a b a b a b 
== EF + KÑÉ+—b +++. 
b hi p? a? p? a 
po q? 
A) 150 D) 175 
Cy 100 ) 
B) 200 E) 120 
Pregunta N.*? 32 (UNMSM 2012-11) 
Si x e y son números reales que 
satisfacen las ecuaciones 
x+y=dxy =712+y*+xy=133; 
halle el valor de |x—y]. 
A) 13 B)5 C)9 D)7 E) 4 
TAR | 
a A Ú l 
| 
1 
1 IN ld, )]
 
Pregunta N.* 33 (UNMSM 2013-1) 
Si xM + L =2 meZ?*, calcule x97 + xm 
Xx 
A) 4 O 8 D) 2 
B) 6 E) 12 
Pregunta N.? 34 (UNMSM 2017-II) 
La suma de tres números es 21 y la suma de 
sus cuadrados es 179. ¿Cuál es la suma de los 
productos de dichos números tomados de 2 en 
2? 
A) 123 
B) 131 
C) 121 
D) 242 
E) 262 
¡Oe Lele 
TEORÍA DEL RESTO 
 
Pregunta N.? 35 (UNMSM 2010-11) 
¿Qué condición deben cumplir los 
números reales b y c para que el 
polinomio x2 + bx + e sea divisible por 
x- 1? 
AJJb - c = 1 
B)) b+e=-1 
C)b+e=1 
D))c-b=2 
E))b = e = - 
Pregunta N.*” 36 (UNMSM 201 1-1) 
Halle el resto de dividir 
4(3x-7)%-(3x-5)*+8 por x-3, en R[x]. 
A) 32 B) -16 C) -5 
D) 8 E) 12 
MATEMÁTICA ¿2 
Pregunta N.? 37 (UNMSM 2012-11) 
Si p(x)=x%-9 12+27x-27, halle el resto 
dedividir p(x) por x- 3-Y/7. 
A) 7 C) 5 D) 8 
B) 6 E) 9 
Pregunta N.” 38 (UNMSM 2012-ID) 
Al dividir p(x) por (2x —1) y (x+1), se 
obtiene los residuos 6 y 3 
respectivamente. Halle el residuo de 
dividir p(x) por (2x -1)(x+1). 
A) 3x+1 D) 2x-5 
B) 3x-5 €)12x+5 E 5x+2 
Pregunta N.* 39 (UNMSM 2015-1) 
4 3 
Calcule el valor de ksila 2% > +k 
E -— 
división tiene como resto 10. 
A) 2 B) 8 03 
DS E) 4 
Pregunta N.* 40 (UNMSM 2016-11) 
Dados los polinomios P Py =+c y 
Qi =x+1, dondece es ue número real, 
halle la suma de los coeficientes del 
polinomio cocientes del polinomio cociente 
coeficientes del polinomio cociente de 
Pia entre Aix . 
A) c B) -1 Cc) 2 
D) 1 E) -c 
Pregunta N.* 41 (UNMSM 2017-1 
Los residuos obtenidos al dividir el 
polinomio P(x) entre (x-3) y (x +1) 
son 2 y -—2 respectivamente. Determine 
el residuo que se obtiene al dividir el 
polinomio xP(x) entre (x-3)(x+1)
ÁLGEB RA AMOO SAVIO) 
 
Pregunta N.* 45 (UNMSM 2017-1II) 
 A) x+2 
B) 2x+1 Factorice el polinomio x? + x — 10en Z[x] y 
C) x+3 halle la suma de los cuadrados de los 
DI 3x+1 coeficientes del factor irreducible de 
) Sx+ mayor grado. 
E) x+4 
A) 25 
MA ON iS E) 21 
Cc) 30 
PREGUNTA N.* 42 (UNMSM 2014-1) a e 
 
Sada tenor + 128 
2 ? 
halle el coeficiente del quinto término. * +2 10. FRACCIONES, MCD, MCM 
 
 
A) 16 B) 8 C) -16 D) 32 E) -8 Pregunta N.* 46 (UNMSM 2010-11) 
PREGUNTA N.* 43 (UNMSM 2014-11) El producto de tres números reales es 
- n m 900 y la suma de sus inversos 
Si el cociente notable e donde n. me N Pultiplicativos es 1/5. Determine la suma 
xS + y? de los productos de dichos números 
tomados de dos en dos sin repetición. 
A) 160 B)180 C)190 
D)210 E) 170 
tiene solo tres términos en su desarrollo, halle el 
término central. 
A) y? D) -3xy 
Pregunta N.? 47 (UNMSM 2010-11 
E 
B) 24? ) 2 E) xy 
Si el MCM de los polinomios 
Nero: 72M lOlN papada RCA 
y su MCD es x-1, halle la suma de las 
 
Pregunta N.* 44 (UNMSM 2015-11) raíces del polinomio q(x). 
Al factorizar el polinomio A) -3 B) 1 Cc) 8 
Pi =(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)-120, D) 2 E) -2 
se obtiene tres factores irreductibles con Pregunta N.” 48 (UNMSM 2016-11) 
 
coeficientes enteros. Halle la suma de estos - , , 
Dados los polinomios con coeficientes 
tres factores. reales 
A) 2-8x+24 Py ta ++ bx—6 
oe Qu) =2-9+13x-6 
B) x'-6x+21 Se sabe que MCD (Pi: Qi.) E b=r1)(x=r2), 
C) ¿-7x+12 donde r, y rz son números enteros. Halle 
D) x2-8x+12 (b-a). Alem 
A) -15 B) 15 Maui 
E) 2-7x+21 D) 12 E) -7 
(E 53]
ÁLGEB RA EL CACHIMBO 
 
11. FACTORIAL-BINOMIO DE 
NEWTON 
 
FACTORIAL 
Pregunta N.* 49 (UNMSM 2010-11) 
o ALA. 
Si 1314171517161 Y 
halle q — p. 
Aj 110x(17!) 
B) 210x(16!) 
Cc) 110x(16!) 
D) 160x(16!) 
E) 210x(17!) 
Pregunta N.* 50 (UNMSM 2015-1I) 
 
Halle la expresión equivalente a 
2 2 E=Í ” ll m 1+| k , 
n-1 m*-1 k*-1 
mn; kelN. 
A) (n-1)! +(m?-1)! +(k2-1)! 
B) n*!+(m+1)!+(k +1)! 
C) (n-1)!l+m?l+k?! 
D) nl+m?!+k?! 
E) nól+mi+k?! 
Pregunta N.* 51 (UNMSM 2016-11) 
 
La diferencia positiva de los valores de x 
que satisfacen la ecuación (x2 - 5x + 12)! = 
720 es 
A) 1 O 3 D) 5 
B) 2 E) 6 
BINOMIO DE NEWTON 
Pregunta N.* 52 (UNMSM 2009-11) 
Halle el coeficiente de x? en el desarrollo del 
binomio (2x+(2x)7)*?. 
A)330 B) 660 C)1320 Dj) 2640 E) 5280 
Pregunta N.? 53 (UNMSM 2009-11) 
aa) 
halle n (n eN). 
A) 31 C) 29 D) 27 
B) 19 E) 32 
Pregunta N.*? 54 (UNMSM 2010-11) 
Determine el valor de n, sabiendo que el 
desarrollo de (x+ a+ % tiene 524 términos. 
A) 295 B) 305 C) 259 
Dj 209 E) 269 
Pregunta N.* 55 (UNMSM 2010-11) 
Uno de los términos en el desarrollo del binomio 
12 
(«y - y, [Xx ) es mx"y*. Determine el valor de 
"076 6) 
(7) (7) 
Pregunta N.” 56 (UNMSM 2009-11) 
Halle el producto de :S suma de los 
coeficientes de (Dé — 3yP con la. suma de 
los coeficientes de (x+ yt 
A) 15 B)-16 C)j30 D) 
8 
_-18 E) 20
ÁLGEB RA AMOO ANETO) 
 
A) 38m B) 32m C) 42 m 
Pregunta N.*? 57 (UNMSM 2015-11) 
Dj) 36m E) 34m 
Halle el valor numérico del decimotercer 
término del desarrollo de (2x-3y)"% Pregunta N.1 61 (UNMSM 20171) 
Un comerciante obtiene una ganancia de 
$ 5,00 por cada casaca de dama que vende y 
A) 19240 Dj) 29 120 $ 8,00 por cada casaca de varón. Si el núme- 
B) -19 240 E) 14 620 ro de casacas de damas vendidas es 25% más 
que el número de casacas de varones que ven- 
dió y si obtuvo una ganancia total de $11 400, 
¿cuántas casacas de damas vendió? 
12. ECUACIÓN DE PRIMER A) 800 D) 900 
GRADO B) 1000 El. 20 E) 1100 
Pregunta N.* 62 (UNMSM 2017-II) 
cuando x=1; y=1/3. 
C) -29 120 
 
 Pregunta N.” 58 (UNMSM 2011-1) 
Una agencia de viajes ofrece un tour al sur 
de Lima. Primero visitarán la ciudad de Ica y 
recibirá a nuevos soles por cada camisa bien E: ; , 
. p : luego se irán a Chincha, donde pasarán tres 
lavada y pagará b nuevos soles por cada camisa dias más que en lca. Además, descansarán 
mal lavada. Si recibió m nuevos soles en total, dos días en Paracas. La agencia ofrece dos 
Plata dura nueve días y el Paquete Oro dura 
Una joven debe lavar n docenas de camisas; 
12an —m B) m+12an o m-m 
 
 
A) = , b once. ¿Cuántos días, respectivamente, pasarán 
des e ii en Chincha según el Paquete Plata y cuántos 
p, Man E) 12am-n días según el Paquete Oro? 
12a+b a+b A) 5 días y 7 días D) 5 días y 6 días 
B) 6 días y 7 días E) 2 días y 3 días 
C) 4 días y 5 días 
Pregunta N.*? 59 (UNMSM 2016-1) 
El martes, Juan tiene cierta cantidad de 
naranjas para vender durante la semana. MEASJEI=,)00/9= 00 al0 llas 
Cada día siguiente, a Juan le queda para la MMS 
venta un quinto de la cantidad de naranjas 
del día anterior. El viernes, tres días después, Pregunta N.? 63 (UNMSM 2010-II) 
le quedan 10 naranjas. ¿Cuántas naranjas 
tuvo Juan el martes? 
 
Halle el conjunto de valores reales de m para los 
 
A) 1250 B) 1500 C) 1750 cuales el sistema 
D) 1350 E) 1400 
omx-2y=5 
Pregunta N.? 60 (UNMSM 2016-1) |-8x+(m-Dy=1 
Un alambre de 48 m se corta en tres tiene solución única. a, 
partes; la segunda pieza mide tres veces la AJ R D) R-(2;3) 
longitud de la primera y la tercera mide B) 1-2;3) E) (-2) 
cuatro veces la longitud de la segunda. C) 43) 
¿Cuánto mide la tercera pieza? 
| 9 |
ALGEB RA EL CACHIMBO 
 
 
 
Pregunta N.* 64 (UNMSM 2011-1) A) S/. 800.00 3 
Si el par (1; a) es solución del sistema: B) S/. 960.00 3 
dj =k C) S/. 920.00 “ 
Oo 
5x+y=k-2 D) S/. 840.00 3 
Halle el valor de a. E) S/. 940.00 o 
A) 2 B) 5 C) -2 D) -5 E) 1 Pregunta N.? 68 (UNMSM 2012-11) 3 
Pregunta N.* 65 (UNMSM 2011-11) SixXo, Yo Y Zo son tres números reales que - 
El sistema de ecuaciones lineales satisfacen el sistema de ecuaciones > 
x+y+z=2 2. y+3z=5 o 
ax+by+z=4a 3x+ y+ z =0 
o+fy+a=0 x+3y+2z=6 
tiene la solución única (xo, Yo, Zo) donde halle el valor de xf +yó +25. 
Yp=0. Halle la relación correcta entre a y a. 
A)4 Bp2 C)12 D)6 E) 8 
A) dau=a+w D) aa=2a+20a 
C) Sau=a+u 
B) 200=a+0 E) aau=da+4a Pregunta N.* 6
9 (UNMSM 2012-11) 
Roberto compró libros y cuadernos por 
Pregunta N.* 66 (UNMSM 2012-1) S/.8 y S/.5 cada uno, respectivamente, 
pagando un total de S/.59; y Alberto 
compró las mismas cantidades de libros y 
cuadernos, cuyo costo fue de S/.5 y S/.8 
Si el siguiente sistema de ecuaciones tiene 
solución única 
 
 
erkyeres cada uno, respectivamente. pagando en 
EA total S/.71. Halle el número total de 
"ky +21 artículos comprados por ambos. 
halle los valores reales de k. 
A) 10 C) 14 D) 16 
A) ke R-(2+1) D) ke R-1-1) Bj) 20 E) 22 
B) keR E) ke R-(0) 
C) ke R-11) Pregunta N.” 70 (UNMSM 2013-1) 
Pregunta N.* 67 (UNMSM 2012-1) Si el par (x,, y1) con x=y, es la única 
solución del sistema lineal 
Una playa de estacionamiento, de forma b 11 
rectangular, tiene un área de 1200 mf? y MAY ES a+b 
puede atender, diariamente, un máximo de cx-dy=1; d* ce, halle el valor de d-=c 
100 vehículos, entre autos y camiones. Si la 1 0 A 
región rectangular reservada para cada auto A) 11 B) -11 C) 1 D) -10 E) 12 
es de 10 m? y para cada camión es de 20 mé, ¿m0 a 
siendo la tarifa diaria de S/. 8.00 por auto y 
S/. 15.00 por camión, ¿cuál sería la máxima 
recaudación diaria? 10 
 
SOLUCIO 
Pregunta N.*? 71 (UNMSM 2013-1) 
 
Si se verifican simultáneamente las ecuaciones 
3Ix+y+4 = 0,3x-z+2=0 y 32y+2=0, 
halle el valor de: 
 
(x + y)? ad (y +2)? ss (2 +xJ9 
Z x y 
A) 24 
B) 3 
C) -27 
D) 3 
E) 18 
Pregunta N.? 72 (UNMSM 2013-1) 
La figura representa balanzas enequilibrio, 
en las que se han colocado pesas cónicas, 
cúbicas, cilíndricas y esféricas, de igual peso 
en cada clase. Determine el enunciado 
verdadero. 
A) Una cúbica pesa menos que una cilíndrica. 
B) Dos cúbicas pesan igual que una esférica. 
C) Dos cúbicas pesan más que una esférica. 
D) Una esférica pesa más que dos cúbicas. 
E) Tres cúbicas pesan igual que una esférica. 
Pregunta N.” 7. (UNMSM 2015-11) 
Halle el conjunto solución del sistema de 
ecuaciones lineales en las variables x, y, z. 
ox-2y+z=1 
2x-3y-z=2 
=x+y+2z=-1 
A) ((1; 0; 0)+t(5;3; 1)/teR) 
B) ((1; 0; 0)) 
 ÁLGEBRA [a 
D) ((1; 0; 0)+t(5; 1;1)/teR) 
E) ((1; 0; 0)+t(5; 1;3)/teR) 
Pregunta N.* 74 (UNMSM 2016-11) 
Dado el sistema 
3x+2y =m+2 
2x- 3y = 2m-1 
¿qué valor debe tomar m para que el valor 
de x sea el doble del valor de y en el 
sistema? 
A) 3/2 
B) 2/5 
Cc) 2/3 
D) 5/3 
E) 4/3 
Pregunta N.* 75 (UNMSM 2016-11) 
Dado el sistema 
ox+y=0 
2y+2=-5 
=x+z=-3 
 
halle el valor de x+y+z. 
A)1 B)0 C)2 D)-1 E) -2 
Pregunta N.* 76 (UNMSM 2017-I) 
Dado el sistema de ecuaciones en x e y, 
2x + ky =-k 
x-y=1 
¿qué valores debe tomar k para que el sistema 
tenga infinitas soluciones? 
A) 2 
B) 1 
O 5 NS 
D) 1 MAS o [TO a 
C) t(5; 3; 1)) 11 |
ÁLGEB RA AMOO INTO 
 
Pregunta N.? 77 (UNMSM 2017-11) 
Un restaurante tiene m mesas de 4 sillas, n 
mesas de 6 sillas y p mesas de 8 sillas. El día 
de la inauguración se llenaron todas las mesas 
con 152 comensales, al día siguiente se usaron 
TA n+ , 
> it 3 HE mesas y en el tercer día se usaron 
m n + E 
+ ÓN E mesas. ¿Cuántas mesas tiene el 
restaurante si se sabe que el segundo y tercer 
día usaron 11 y 9 mesas, respectivamente, 
y no agregaron ninguna mesa desde la 
inauguración? 
A) 26 
B) 24 
C) 28 
D) 32 
E) 30 
Pregunta N.* 78 (UNMSM 2017-11) 
Una fábrica de productos alimenticios tiene 
dos tipos de camiones. Los camiones tipo Á 
tienen 20 m? de espacio refrigerado y 40 mY no 
refrigerado, y los camiones tipo B tienen 30m9 
de espacio refrigerado y 30m? no refrigerado. 
¿Cuántos camiones de cada tipo debe 
emplear la fábrica para transportar 900m* de 
productos refrigerados y 1200m* de productos 
no refrigerados? 
A) 10de A y25 de B 
B) 15deA y 20 de B 
C) 15 de A y 10 de B 
D) 35deAy5deB 
E) 20de A y 15 de B 
Pregunta N.? 79 (UNMSM 2017-11) 
La municipalidad ofrece una tarifa especial 
de S/ 0,5 en los buses de un nuevo corredor 
vial durante la primera semana. La demanda 
de pasajeros es máxima por cada bus y estos 
tienen capacidad para 120 pasajeros. A partir 
de la segunda semana se aprecia que, por cada 
incremento de S/ 0,5 en la tarifa del pasaje, 5 
pasajeros dejarían de usar cada bus. 12 E) 
Halle la ecuación que determina la 
relación entre el precio del pasaje p y la 
demanda de pasajeros q por cada bus. 
A) 20p+110=q 
B) 20p + q=130 
C) 10e+115=q 
D) 10p+g=125 
E) 30p+q=135 
RA AI aos 
NO LINEALES 
 
Pregunta N.? 80 (UNMSM 2010-1) 
Si x e y son números enteros positivos que 
satisfacen las ecuaciones 
Xy 
Y E x+y = 
xy-x-y=9, halle el valor de 13x+9u. 
A) 105 B) 104 Cc) 103 
Dj 102 E) 106 
Pregunta N.*? 81 (UNMSM 2011-11) 
La suma, el producto y el cociente de dos 
números son iguales a K. Halle K. 
 
A) 0 B) > cy 1 
D) - E) “> 
Pregunta N.” 82 (UNMSM 2012-11) 
Si 
x/% 4 yl = 30 
Ea _yV4_ 24 
Halle el valor de Yx - —L 
4 Vx ) 27/5 So o 
B) 80/9 Eo op 
C) 92 LD 
D) 82/3 
83/9
ÁLGEB RA 
Pregunta N.*? 83 (UNMSM 2014-T) 
 
Xx Z om BM Y Si = 
Xx +y "X+ZO yz 
=5s, donde m, n, s 
MANO 0 O 
Cia alo Halo 
 
Pregunta N.” 86 (UNMSM 2016-11) 
 
son números positivos con m * A halle el Halle el valor de k, de modo que las raíces 
valor de z. 
A) 3mns 
mn + ms =- ns 
B) 2mns 
mn + ms -—ns 
C) dmns 
mn + ms — ns 
D) mms 
2 (mn + ms - ns) 
E) mas 
3(mn + ms — ns) 
ox
ys
ua
de
¡e
9/
u1
09
"1
93
31
M]
 
Pregunta N.* 84 (UNMSM 2014-1) 
 
Dado el sistema de ecuaciones, 
determine el valor de x. 
1,11 
x y 12 
1,11 
yz 20 
1,11 
x z 15 
A) 15 B) 20 C) 60 
D) 30 E) 25 
Pregunta N.” 85 (UNMSM 2016-11) 
Sean x e y dos números positivos que 
satisfacen las condiciones 
e 
Vx - yy =8 
determine el valor de yx + y. 
A) 10 B) /8 C) 9 
D) 418 E) 410 
de la ecuación (x+1)(x+2) -(k+2)(x+2)=0 
sean iguales. 
A) B) -1 C) -3 
D) -4 E) 1 
Pregunta N.” 87 (UNMSM 2009-11) 
Si las ecuaciones 
x-kx+10=0 y x“-(k+1)x+12=0 
tienen una raíz común, la suma de las raíces no 
comunes es 
A) 9 B) 13 C)8 
D) 11 E) 10 
Pregunta N.” 88 (UNMSM 2010-11) 
 
Para que en la ecuación px"+10x-2=0, una de 
las raíces sea 1/8, el valor de p debe ser 
A) 64 
D) 69 
B) 48 C) 36 
E) -1/3 
Pregunta N.? 89 (UNMSM 2011-11) 
 
A) x+(p*-2q)x+g?=0. 
B) -(2q-3p*)x+q=0. 
C) 2-(2p-3q%x+p*=0. 
D) -(2p-q*)x+p=0. 
E) +[2q-p*)x+q*=0. 
Pregunta N.? 90 (UNMSM 2012-11 
Si la suma de los cuadrados de tres números 
impares, positivos y consecutivos es 155, halle 
la suma de los tres números. 
A) 21 
B, 43 O31 ts 
ICAO 
 
EL CACHIMBO 
 
 
 
Pregunta N.* 91 (UNMSM 2012-11) Pregunta N.? 95 (UNMSM 2016-11) 
Si una raíz de la ecuación 
(n+ 1)02+ 2x)=(n+3)(3x+5) Si (a — 1, a) es el conjunto solución 
es la inversa aditiva de la otra, halle el valor de la ecuación 2x% - (P + 3) x - P + 5/4, 
de n. halle el producto de todos los posibles 
A) -6 B)-7 C)7D)5 E) 6 valores de P. 
Pregunta N.2 92 (UNMSM 20141) % ? 
B) 8 
En la ecuación ax “+bx+c=0 donde Os 
ax*0yczx0, una de las raíces es el 
D) 14 
p? 
doble de la otra. Halle ac Ej) -10 
Pregunta N.” 96 (UNMSM 2016-11) 
A) 2,5 B) 3,55 C) 4,5 D) 1,5 E) 5,5 
Las raíces de la ecuación 2x“-bx+c=0 
Pregunta N.* 93 (UNMSM 2015-1) suman 6 y el producto de las raíces de la 
Si a y b son las raíces de x+14x -1=0; c ecuación 
y d son las raíces de x+17x+2=0, halle bx? de ES = 0 es 4. 
el valor de abc+bcd+cda+dab. 4 
A) 17 Halle la suma de las raíces de ambas 
B) -45 ecuaciones si se sabe queb+*0ycx0. 
Cc) -11 A) -10 B) -2 Cc) 2 
D) -28 D) 8 E) 10 
E) 31 
 
IA ao NADO ANDO 
Pregunta N.? 94 (UNMSM 2015-1) SUPERIOR 
Las raíces de la ecuación AXÉ+Bx+C=0, Pregunta N.* 97 (UNMSM 2011-1) 
donde A + 0, son r y s. Halle el valor de P 
para que las raíces de la ecuación 14+Px Sta, bye son mlees de la ecuación 
+0=0 sean r 2 y sé. 
 
x-pxé+qx=r=0 donde r +0, halle el valor de 
 
 
ee 2_ 
A) PA B) A E 
A A a y e 
B*-2C a? +2pr a? -2 a? -2p 
AAA A) AA 
2AC - B? 20 - B? Pd OS 
o y 15 
14 |
 
PREGUNTA N.* 98 (UNMSM 2011-1) 
Sea a 2 +/5. Indique el polinomio cuya raíz es 
al, 
A) x2+45x+1 
B) x*-2x+2 
COC) +. 2x4 4/5 
DI) x*+.Bx+ 12 
E) 2-14x+9 
Pregunta N.” 99 (UNMSM 2012-1 
Si las cuatro raíces de la ecuación 
x*-30+(m+1)2=0 están en progresión 
aritmé-tica, halle la suma de los valores de m. 
A) -10 B) -2 C) 8 D 2 E) 18 
Pregunta N.” 100 (UNMSM 2012-IT) 
Si la gráfica de la función real 
f)=é-x+b corta el eje X, en el único 
punto (a; 0), indique las relaciones 
correctas que cumplen a y b. 
A) la 28 ,p- al1-a?) 
243 B) |a|> ba (a? -1) 
Cc) [al><:b=al1-a?) 
D) [al<¿:b=ala?-1) 
E) la]> ES, b=al1-a?) 
Pregunta N.* 101 (UNMSM 2013-11) 
Sia, b y n son números enteros positivos 
y la solución positiva de la ecuación bx"-1- 
a=0es 
15 | 
1,1/n . JA (2+ b) , halle: y? 
NE] 
2/2 
a + B) c) 
o) E 
P
a
]
 
E) 
Pregunta N.* 102 (UNMSM 2013-11 
Con el valor de n obtenido de la igualdad 
gn+l ¿3n+2 ¿3n+3 ¿gn+ = 120, 
halle la suma de las raíces de la ecuación 
x3 (27 +1)x?-n=0. 
A) O B) 2 
D) 3 
Ni 
E) -2 
Pregunta N.* 103 (UNMSM 2016-1) 
Halle la suma de las raíces del polinomio 
de menor grado con coeficientes 
racionales, sabiendo que 3 y 
2 + vb son raíces de dicho polinomio, 
donde b es un número racional, pero /b 
no. 
A) 5+vb 
D) -5-yb 
Pregunta N.* 104 (UNMSM 2016-1) 
B) -7 O 7 
E) 5 
 
Dos cuerpos se mueven sobre el mismo 
camino en función del tiempo de acuerdo a 
las relaciones 
py ()=3P +3 +2é -1+2 
polt)= 35+2+72-81+5 *' eJ0jál 
Siendo py(t)y polt) los espacios recorridos 
en el tiempo £ (en metros y segundos 
respectivamente). Si al cabo de cledo: 
1 
 
tiempo recorren la misma distan: la, halle 
esta distancia. E Ñ 10010 
A) 9m B) 7m C) 8,5 m 
D) 6m E) 11m 
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
Pregunta N.* 105 (UNMSM 2016-11) 
a By 
Bra 
yrab 
la ecuación cúbica 1%-5x+6=0. 
Halle D = ¿sia P y y son las raíces de 
 
C) -1 
E) 3 
A) 1 B) 2 
D) 0 
Pregunta N.* 106 (UNMSM 2017-1I) 
Sea el polinomio P(x)= x3 — 6x? +11x — 6 tal 
que una de sus raices es 3. ¿Cuál es la suma de 
las otras raíces? 
A) 2 
B) 0 
a 3 
DJ 3 
ES 
Pregunta N.* 107 (UNMSM 2017-1 
Dada la ecuación 
(t-1)4+4(t-1)9+11(t-1)2+14(t-1)-8=0, 
halle la suma de sus raíces reales. 
A) 2/2 
B) -2/2 
C) 0 
D) 247 
E) -247 
NAAA RANGO 
Y DE GRADO SUPERIOR 
 
Pregunta N.* 108 (UNMSM 2011-11) 
Sean x e y dos números positivos. 
E x—y 
si [E a/z 1, halle a 
16 
8 15 
Al y Dl 
13 Ej 2 
B) 16 8 
Pregunta N.*? 109 (UNMSM 2013-1) 
Halle la suma de las soluciones reales de 
la ecuación 
5 2 5 
3-9 1)% +(x-1)% =0. 
A)1B)7C)6D)9E)5 
SISTEMA DE INECUACIONES 
DE GRADO SUPERIOR 
Pregunta N.* 110 (UNMSM 2014-1) 
Dado el sistema de ecuaciones 
¡E = y? 16x 
y?-1=5(x-1) 
si: x40 y x>y, halle el valor de la expresión 
 
pai E 
A) FT 
B) A 
C) -% 
D) -% 
E -Á
18. INECUACIONES 
Pregunta N.? 111 (UNMSM 2009-II) 
Juan vendió 1000 libros y le quedó más de la mitad 
de los que tenía al inicio. Luego vende 502 libros y 
le queda por vender menos de 500 libros. ¿Cuántos 
libros tenía Juan al inicio? 
A) 2005 B) 2001 
D) 2007 
C) 2002 
E) 2003 
Pregunta N.* 112 (UNMSM 2010-1D) 
De un concurso de baile se retiraron 20 
participantes y quedaron más de la tercera 
parte del total. Si se hubieran retirado 5 más, 
quedarían menos 7 participantes. ¿Cuántos 
participantes había inicialmente? 
Aj) 34 Bj) 30 C) 32 
D) 33 El. 31 
Pregunta N.* 113 (UNMSM 2014-11) 
Roberto tiene menos de cinco caballos, pero 
tres caballos más que Pedro. Si Pedro tiene 
un caballo menos que Juan, halle el número 
total de caballos. 
A) 6 B) 5 C) 8 
D) 9 E) 7 
INECUACIONES DE 
SEGUNDO GRADO 
Pregunta N.*” 114 (UNMSM 2011-1) 
 
Sib>0,04<b y se, determine 
vb +a, 
A) 2a 
D) 2vVab 
B) 3a C) 2b 
E) 2 
 
ÁLGEBRA TT 
Pregunta N.* 115 (UNMSM 2011-11) 
Halle el conjunto de los números reales 
x, tal que la suma del número x y su 
inverso multiplicativo sea mayor que 2. 
A) lxeRíx>0nx=>=1) 
B) (tx eR/x> 15) 
C) fx eR/x< 1) 
D) (x eR/x<-1) 
E) (x eR/xz=0) 
Pregunta N.? 116 (UNMSM 2011-11) 
Halle el mayor número real r que satisface 
la relación r < 2 + 4x+6, Vx e R. 
A) -2 B) 2 Cc) 0 
D) 1 E) -1 
INECUACIONES CON 
IRRACIONALES, DE GRADO 
SUPERIOR 
Pregunta N.* 117 (UNMSM 2011-11) 
Halle el conjunto solución de la 
inecuación 2**42%-4_1)<2*-16. 
A) (1,16) D) (2, 8) 
C) (0,4 
B) (0, 16) 1 E (4, 64) 
Pregunta N.* 118 (UNMSM 2013-11) 
Halle la suma de las soluciones enteras 
de la inecuación 
2 
ES 29 
x*-1 ¿a 
AJ5 BJ1 CO DJ4 EJ3 
y
IÓN EL CACHIMBO 
 
Pregunta N.? 119 (UNMSM 2016-11) IO NO JRO LLO 
 
Si se sabe que el conjunto solución de la 
inecuación 
3Ix-2 
2x-3 
determine mine el valor de b-a. 
a 3 
6 
3 
2 
 < O es un intervalo de la forma (a; b), 
5 
B) 6 C) 
D) E) 
(o
0|
 t
o 
to
] 
un
 
Pregunta N.* 120 (UNMSM 2017-1) 
Halle el conjunto solución de la inecuación 
£ el, 
X 
A) R-][0;2> 
B) R-(-0%3] 
C) <-=02> 
D) R-<l;¡2> 
E) (-a;5) 
Pregunta N.* 121 (UNMSM 2017-11 
Sean a,b,x,y números reales tales que 
al+b? =4 . x2+y? =8. Halle el mínimo valor 
que puede tomar la expresión F=ax+by 
A) -6 
B) -4/2 
C) 
D) 
E) -2-2/3 
_16 
3 
13 
2 
18 
Pregunta N.* 122 (UNMSM 2010-1) 
Dada la ecuación 
 
2 sy e halle la 
2 2 
suma de sus soluciones. 
3 3 11 
A)-1 B)-2 €) - - Pc ) ) ) 4 D) a E) z 
Pregunta N.* 123 (UNMSM 2010-11) 
Halle el conjunto solución de la ecuación 
(Jx]+1994-5=+2 > (Jxp+n” 
A) a o (4 +=) 
» (39 
Cc) (4; + 00) 
Pregunta N.? 124 (UNMSM 2010-11) 
Halle el conjunto solución de la ecuación 
13x+2| -|x-1|=2x+3 
A) (1; +0) 
a [5 +) Ir
ÁLGEBRA ¡AMOO 000 
 
D) -3jo[t+=) 
E) fx +=)-(5| 
Pregunta N.* 125 (UNMSM 2011-11) 
Halle la suma de los valores de x que 
satisfacen la ecuación 
21x+3]-3|x-6|+|x-15|=x+6 
A) -3 D) -15 
B) -7 E) 18 
Cc) 10 
Pregunta N.* 126 (UNMSM 2012-1) 
Si el conjunto solución de la inecuación 
laa » AMP 
2 a 
 
es <-«, alu[b, + o>, halle (b - a). 
A) 2 ) a 4 D) 5 
B) 6 E 7 
Pregunta N.* 127 (UNMSM 2012-1T) 
Halle el conjunto solución de la inecuación 
Ix| +? > 0 
A) (1; 0) U (0; ao) 
B) (-1; 0) u (1; 00) 
C) (9; -1) U (0; 00) 
Pregunta N.” 128 (UNMSM 2012-11 
Halle el valor solución de la inecuación: 
Ji8el> 43 
A) <-1;1> 
B) <-3;3> 
D) (-1; 0) u (0; 1) 
E) (00; 0) U (0; 00) 
D) <-1;0> 
E) <5,1> 
Pregunta N.* 129 (UNMSM 2013-11) 
Halle el conjunto solución de la inecuación 
dx-1|+Ix-2).(1-x|-12-x)>x?%-6 
A) <-28] D) [3,0> 
B) [-1;3] E) <-—x,-1] u [3,0> 
C) <-<,l] 
Pregunta N.” 130 (UNMSM 2013-ID) 
Halle el conjunto solución de la 
 
 
 
 
 
 
inecuación 
x2+2 8 <15, parax > 0. 
Xx 
5 5+423 
8) El 2 
B) 25/21 pa 
( a" 2 
25-421 a (232,5) 
1 D) (1 ] E 
0 pa] 
: 2 
Problema N.* 131 (UNMSM 2014-1) 
 
Halle la suma de las soluciones enteras de las 
a [hs 
ecuaciones 5D), A yl A 7 
Le 
[1 2-5x+15| -2+8| =|3x+9], papa esco 
A) 16 
19
aci EL CACHIMBO 
 
 
B) 25 2d 1 2 
C) 30 A) 9 B) 4 C) 2 
D) 31 
E) 32 D) y2-2 E) 1 
2 2 
Problema N.* 132 (UNMSM 2014-11) 
Problema N.* 136 (UNMSM 2017-11) 
 si 2 "Y donde m y n son constantes 
1 +Inx] 1 +|myl Halle el conjunto solución de la 
e ' . . siguiente inecuación. 
positivas, determine la expresión equivalente 
aP(x; y)=m y —m*y-néx+n. + 2x2|x+11+2 2lx+1/+2 0 
Ix+11é-4 - 
A) mn -(m+n)x+n? 
B) n2é-(m+n)x-1 
A] <a, 2>u<2,+0> 
B) <-3,1> 
C) nP1-(m+n)x + mnx? ] C) R-(-2,0) 
D) <-9,3>uU<l,+0> 
D) nimx? -(m+n)x +2] E) R-(31) 
E) mné-(m+n)x+1 
Problema N.* 137 (UNMSM 2017-11) 
Problema N.* 133 (UNMSM 2014-11) Sean m y n números reales positivos tales que 
Para todo x en el conjunto solución de la MX%n, soÉ, el. Halle el valor de x 
inecuación |1 — x|< 1, indique el intervalo al en la ecuación |mx+p] = |nx+ q]. 
que pertenece 1 — 2x. 
 
A) ZP 
m> mn 
A) 10,2) B) (4,0) C) (0,4) g pta 
D) (2,2) E) (-3,1) men 
e p+q 
Problema N.* 134 (UNMSM 2015-11) m-=n 
=+ 
El intervalo [a; b] es el conjunto solución de D) a 
la inecuación |14x-16-2 1%] <2x+2. Ey - p+q 
Halle a+b. mA 
A) 4 B) 8 Cc) 10 
D) 14 E) 12 
Problema N.* 135 (UNMSM 2015-11) 
Si Ja|?+ |b]2=1 y (a+b)?=2, halle el valor E 
de Jab. : 
20
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
IED 
NAAUNal0l 
 
DE PRIMER GRADO 
Pregunta N.? 138 (UNMSM 2010-11) 
Si x ( e0; 7), entonces encuentre la 
suma de los extremos del intervalo al 
que pertenece: 
5-x 
x+3 
Ap 22/15 B) 28/15 C)) 8/8 
D) 1/6 E) -1/6 
Pregunta N.* 139 (UNMSM 2010-II) 
Determine el menor valor entero que puede 
asumir x si satisface simultáneamente las 
inecuaciones 
y-3x-2=<0 
y-x-1>0 
Ay —2 B) -1 
E) O 
Cc) 1 D) 2 
Pregunta N.* 140 (UNMSM 2013-11) 
¿Cuál es el 
sistema de YA 
inecuaciones 
cuyo 6 - 
conjunto 
solución está 4- 
representado 
por la región 
triangular 
sombreada 
en la figura? 
 
 
 
 A 
 
A] x<6,x<yx24+y 
B) x26,x<y x+y<4 
C) x<6,x2>y,x+y24 
D) x<6,x<y,x—-y>-4 
E) x<6,x<y0O< x+y<4 
Pregunta N.* 141 (UNMSM 2014-II) 
Resolviendo el sistema en 2: 
7+x<3y 
x+52>2y 
4d>y 
calcule x+y. 
A) 3 B) 4 
C)5 D)6 E) 2 
Pregunta N.* 142 (UNMSM 2015-11) 
Halle la región determinada por el conjunto 
solución del siguiente sistema de 
inecuaciones. 
* +y<5 
z>0 
| y>0 
A) Región exterior al triángulo de vértices 
(0; 0), (0; 5), (5; 0) 
B) Región interior al triángulo de vértices 
(0; 0), (0; 5), (5; 0) 
C) El triángulo de vértices (0; 0), (0; 5), (5; 0) 
D) El primer cuadrante 
E) Región por encima de la recta definida por 
x+y=5 
PreguntaN.? 143 (UNMSM 2015-11) 
En el gráfico, la región sombreada 
representa la solución de «un sistema. de 
inecuaciones. Indique el sistema, (10 
LA] p 
e $ a as LAA 
al 7 
 
ÁLGEBRA MONO INE 0) 
 
Y A) -26 Bj) -29 C) 30 
y =x D) 15 E) -12 
Pregunta N.? 147 (UNMSM 2011-1) 
La tabla adjunta muestra parte del 
(1,0) dominio y rango de una función lineal f. 
 
 
clara 8 | b 
A) ys<x,0<x<1,0<ysl fo) | 10 a 28 | 37 
B) y>x,1>x>0,1>y>0 
C) y>x,1>x>0,1>y>0 
D) x+y>0,1>x>0,1>y>0 A) 30 B) 25 C) 40 D) 45 E) 35 
E) x+y<20,x=0,y>0 
 
La suma de a y b es 
Pregunta N.*” 148 (UNMSM 2011-II) 
Pregunta N.* 144 (UNMSM 2016-1 
Y ( ) La suma de las coordenadas de los 
 
 
Halle la suma de los enteros que verifican puntos de intersección de las gráficas 
simultáneamente las inecuaciones: , e 
de las funciones f y q, definidas en el 
c4dx-—5 3 conjunto de los números reales 
=x+ fo =2-2x+3 
= _X 
O ab Mo3tl es 
A) 31/4 B) 31/3 C) 41/4 
A) 20 Bj) 19 C) -18 D) 41/3 E) 33/4 
D) -21 Ej 22 
Pregunta N.? 149 (UNMSM 2011-11) 
OE — Seaf:(-2,7]>R la función definida 
 
por f(x) =5 —|x-1 |. Halle elrango de 
f. 
Pregunta N.* 145 (UNMSM 2010-1) A) (2, 1) 
DEFINICIÓN, DOMINIO Y RANGO 
Halle el rango de la función f(x)=- 4+2x, E) Eta | a Es y C) (2, 6] 
sabiendo que su dominio es igual al D) [1,5] 
conjuntos de los números reales. E) (-1,2] 
A) (-0:07 B)(=o1) C) (-0;0) . 
. 
D) (0; co) E) (o; 1] Pregunta N.* 150 (UNMSM 2011-11) 
Sif R > R es una función DT 
Pregunta N.* 146 (UNMSM 2010-11) que satisface las condiciones Ie 
Kay==2y4g==4, hala Sea f(x) una función, cuyo gráfico es una recta. 
800 =Í hm +Í- 1) Si 1(4)=7 y 1(3)=1, determine f(-2). 
22
CIA TN 
A) 9) = 2 +4x+1 
16 
B) 49, = A +4x 
C) 8 = A —-4x 
D) gi = e +4x-1 
8 8 
E) 31%) =-¿ +2 + 
Pregunta N.*? 151 (UNMSM 2012-1) 
Si los puntos (0,0) y (1,-9) pertenecen a la 
oráfica de la función cuadrática f(x) =m(x -2*-p, 
halle m+p. 
A) 10 
D) 18 
B) 16 C) 12 
E) 15 
Pregunta N.* 152 (UNMSM 2012-1) 
Halle el mínimo valor de la función 
2 
169 = sI e RR. 
vz Y2 
a 5 
Bl c) 6 y2 
3 A 
Pregunta N.” 153 (UNMSM 2014-I) 
Dada la función 
1d= 3x(Yx +1+ 1) 
parax+*0 y x*-2, halle fl10%) 
1 
A A 
01 +1+1 
B) 
D
i
n
 
E (x +1) Dl DE Yx +14 1) 
AMOO IO iO) 
 
al 
)y 
A 1 
) 000 101% +1 
1 
E — 
) 27 
Pregunta N.* 154 (UNMSM 2014-11) 
x+4 
 Sea f:[-1; 2] > R definida por f¡., = +2 
Halle la suma de los elementos enteros del 
rango de f. 
A)5 B)1 C)6D)2E)4 
Pregunta N.* 155 (UNMSM 2016-1) 
¿A cuál de las siguientes funciones 
corresponde el siguiente cuadro de valores? 
 
 
 
 
 
 
x Flx) 
23 | 
0 3 
1 6 
2 9 
A) Fb)=9+1 
B) Flx)="+3 
C) Flx)=-3x+6 
D) Flx)=2-7 
E) F(x)=3x+3 
Pregunta N.” 156 (UNMSM 2016-1) 
Determine el dominio de la siguiente función 
real de variable real 
 
 
SOLUCION: 
B) (-F:2]U 13; +00 > 
Cc) <-0;2]U IZ; +00 > 
D) (oo; -SJut2, Ls 
E) (=00¡- 2)u ($5 +00) 
CLASES DE FUNCIONES 
PREGUNTA N.?* 157 (UNMSM _2011-IT) 
Halle el área de la región determinada por el gráfico 
de la relación R=|(x, y)eR?/Lx1* y? /1=x2). 
A) 3 u? B) r u? C) 41 u? 
D) = u? E) 2n u? 
Pregunta N.*? 158 MSM 2011-11 
Halle el área de la región limitada por el 
gráfico de la relación 
R=((x y) € R?/x= ly] w x=5). 
A) 20 u? 
B) 30 u? 
C) 25 u* 
D) 15 u? 
E) 12,5 u* 
Pregunta N.* 159 (UNMSM 2011-11) 
Sea la función real f(x)=x? +1 con x20. Si g es 
la función inversa de f, halle g(3). 
3/2 
B) 2/3 
43 +1 
42 
D) 
Y3 3 C) 
24 | 
 ÁLGEBRA e 
Pregunta N.* 160 (UNMSM 2014-1) 
Halle la suma de los valores enteros 
de n tal que el gráfico de la función 
fo) =9WÉ - 6nx+n+12 no interseca al 
eje de las abscisas. 
A)5 B)-3 C)3 DO E) 1 
Pregunta N.* 161 (UNMSM 2015-11) 
Halle la suma de las coordenadas del 
punto de intersección de las gráficas de 
las funciones, 
Y= fi =2%90 43-2%, xER 
y=9p) =4-4:2%,x E R. 
A) 2 B) 3 
D) 6 
Cc) 1 
E) 7 
Pregunta N.* 162 (UNMSM 2015-1) 
Dada la función f;,, =+5,xER, 
halle la función inversa de f. 
A) dx-5,x* 5 
B) Yx+5, xeR 
C) %x-5, xeR 
D) dx+5, x>-5 
E) Yx-5, x* R 
Problema N.? 163 (UNMSM 2015-11) 
Dadas las funciones reales 
Íix3 =(x — 12, 
x+lix>-1 
81x) = cal Rk-—kx=-1 
de las ordenadas de los puntos de 
intersección. GAO 19 
A) 4 B) 5 o 8 
D) 3 E) 10
ÁLGEBRA ¡AMO OA II 
 
Problema N.” 164 (UNMSM 201 6-1) 
Si R es el conjunto de los números reales y 
se tiene los siguientes conjuntos: 
A=((x; y) e R?/xP4+y2>5%) 
B=((x; y) e R?/y>x) 
¿cuál de los siguientes gráficos representa 
AnB? 
 
A) 1 
D) IV 
B) 1 Cc) IM 
E) V 
Problema N.” 165 (UNMSM 2016-11) 
Miguel dibujó la gráfica de una función f, la cual 
está formada (de izquierda a derecha) por la 
recta y = x +3 con x <-1 y los segmentos AB y 
BC. Halle la suma de las soluciones que tiene la 
ecuación f (f (x)) = O 
 
 
e 
A) 10 O 12 D) -6 
B) 3 E) -16 
Problema N.* 166 (UNMSM 2017-1) 
Dada la función f(x) = 3-|x-2] W x e R, 
determine el intervalo máximo donde la 
función es decreciente. 
A) <-=;2] 
B) [24 wm > 
C) <5¡+ m> 
D) <2;+0> 
E) <-—=;3] 
Problema N.* 167 (UNMSM 2017-1 
Sea la función f: [-1;5] —> R definida por 
x2—=dx,-1<x<5 
5558 f(x) =35 gx 
Determine en cuál de los siguientes intervalos 
la función f es inyectiva. 
A) [0,4] 
B) [4,8] 
C) [-1,8] 
D) [1,5] 
E) [0,8] 
Problema N.* 168 (UNMSM 2017-I 
En una determinada empresa se-fabrican X 
unidades de un artículo y la función utilidad. 
en miles de soles, es dada por = A 
Ulx) = -x? +10x-16, Determine. la lidad 
máxima de la empresa. 
25
ÁLGEBRA ¡AMO NOA IO 
 
S/ 18000 
5/11 000 
S/ 9000 
S/ 7000 
S/ 12 000 
Problema N.* 169 (UNMSM 2017-11) 
Sean f(x) =x% y a[x) funciones de variable real. 
Si g es una función tal que 
flalx)) =x9-6x? + 12x-8, halle a(2x + 1). 
A) 2x+2 
B) 2x-1 
C) 2x+1 
D) 2x 
E) 2x-2 
Problema N.* 170 (UNMSM 2017-11 
El camino recorrido por una persona se 
representa por la gráfica de la función f(x) = 
3|x-2|] +7, con x e [-1,6] en el plano XY. 
Si cada unidad en los ejes X e Y representa 1 
km, halle la distancia recorrida una sola vez 
por esta persona. 
A) 7/10 km 
B) /58 km 
C) 24/29 km 
D) 54/10 km 
E) 1045 km 
22. PROGRESIÓN ARITMÉTICA 
Problema N.* 171 (UNMSM 2010-1) 
En la siguiente progresión aritmética, m 
es un entero positivo. 
sia ¿113 
(n+1) términos (3n+1) términos 
mr, 
¿Cuál es el máximo valor de n—-m? 
A) 112 B)21 C) 79 
D) 100 E) 50 26 
Problema N.* 172 (UNMSM 2011-11) 
Si el segundo y el noveno término de 
una progresión aritmética son Y y 28, 
respectivamente, halle el vigésimo 
término de dicha progresión. 
A) 64 B) 61 C) 58 
D) 53 E) 57 
Problema N.* 173 (UNMSM 2013-11 
Las edades de 6 hermanos, cuya suma es 
108, se encuentran en progresión 
aritmética. Si hace 4 años la edad del 
cuarto hermano era el triple de la del 
menor, ¿qué edad tenía el mayor cuando 
nació el menor de ellos, «si sus 
nacimientos coinciden en el día y el mes? 
A) 20 B) 28 €) 32 D) 24 E) 22 
23. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 
Problema N.* 174 (UNMSM 2009-11) 
La suma de tres números positivos que 
forman una progresión geométrica es 
igual a 35. Si a estos números les 
restamos 1, 2 y 8, respectivamente, los 
nuevos números forman una 
progresión aritmética. Determine la 
suma de los cuadrados de los números 
originales. 
A)635 B)517 C)525 
D) 475 E)565 
Problema N.* 175 (UNMSM 2010-11) 
La suma de los n primeros términos de una 
n+1 
Halle 7? progresión geométrica es 21- OT: 
veces la cuarta parte del sexto término de esta 
progresión. JN pr 
A) 30 a 3 DAR C) 2(3 
B) 3 ) 23) E) 3(2%) 
 
ICI EL CACHIMBO 
 
 
 
 
 
24. SUCESIONES Y SERIES Problema N.* 180 (UNMSM 2016-11) 
Problema N.* 176 (UNMSM 2010-1) Sea 
: m—3r 211 _" 1-5 si al 1 1 1 
S 77-617 %)=7*"", calcule el valor S= 3x6 + 6x9 + 9x12 +... + 300x303 
de la expresión 
7 z z halle el valor de S. 
E —————_——+ 
iri—=r) (1-r)j(2-r) (48 —r)(49—r) dE 10 
A 01 3 DJ 309 
A) 7/5 B) 87/98C) 45 4 O 309 100 
D) 48/49 E) 49/50 B) 303 El 309 
Problema N.* 177 (UNMSM 2011-11) A 
25. LOGARITMOS Y FUNCION 
Si la suma de los dígitos del número abe AAN 
 
 
 
 
es 9, calcule 
Aa DEFINICIÓN, COLOGARITMO, 
Z,obe + 2,00b + Y, bea. ANTILOGARITMO 
A) 909 n Problema N.* 181 (UNMSM 2012..) 
B) 989 n Sip,q,reR”,y 
C) 969 n ; ; ; 
D) 979 n = + + +1, 
E) 999 n log, (pq)+1 log¿(pr)+1 log, (qr)+1 
Problema N.* 178 (UNMSM 2016-11) halle el valor de E. 
A) 1 B) 15 a) 2 
En la sucesión D) 3/5 EJ 3 
ay = -1, as=0, az=5, ag=14, as =27,.... 
! Problema N.* 182 (UNMSM 2012-1) 
 halle a93 
A) 780 C) 679 D) 660 Si x=1l08, 37 81, halle el valor de x. 
B) 779 E) 656 3 
7 
Problema N.* 179 (UNMSM 2016-11) Y 3 
 
Sea 1l; 4; 9: 16; ... la sucesión de los cuadrados B) a 
de los enteros positivos. Si el número 8?” es o) q 
un término de esta sucesión, ¿cuál es el 7 
término de la sucesión que sigue después de 4 ; 
310 D) 3 : 
A) (841 B) (8 Cc) (8% E 
544312 512 E) D) (8"+1) E) (8%+1 3 
27
ÁLGEBRA AMOO DO 
 
Problema N.* 183 (UNMSM 2012-11) 
Si . 
M =10g yz V2 +log ¡5 2+l0g37 2 +10 2+...+ 
+log 295 2 
halle el valor de M. 
A) 231 D) 222 
Bao AP E) 215 
Problema N.” 184 (UNMSM 2012-11) 
Halle el valor de 
M=in(5 +2) +m(3)+...+ (100) 
A) -3In110 
B) -3In101 
C) -n(1x2x...x101) 
D) -3In(1x2x...x101) 
E) -In101 
A
 
Problema N.* 185 (UNMSM 2012-11) 
Si x=logo(loga4(logg64)), halle el valor de 
3g1+x y 31-x 
A) 6 B) 7 
Cc) 8 D) 10 
E) 9 
ECUACIONES LOGARÍTMICAS 
Problema N.? 186 (UNMSM 2009-11) 
Halle la suma de las raices de la ecuación 
log +log,4-3=0. 
A) 5 B 4 Cc 8 
D) 6 E) 7 
Problema N.* 187 (UNMSM 2010-11) 
Halle el producto de los valores de x que 
satisfacen la ecuación 
28 
log*sx-5logx+6=0 
A) 12 
D) 32 
B) 6 C) 30 
E) 5 
Problema N.* 188 (UNMSM 2011-11) 
Si 2(4*)-3(2%) -20=0, 
halle el valor de log,(4*). 
A) 2 B3 043 
D) 8 E) 16 
Problema N.* 189 (UNMSM 2011-1l 
si 2Y+145.2Y=12, halle 2(y+1) 
A) log23 
B) 3log»5 
C) log29 
D) 7log77 
1 
Problema N.* 190 (UNMSM 2012. 
Halle el producto de las soluciones de 
la ecuación 
y B+log y)=1p6 
A) 10% D) 10% 
B) 10% Cc) 10 E) 103 
Problema N.* 191 (UNMSM 2015-11) 
Silog,x +log; x+ log ¿x= 8, halle log_2. 
Z 
a 5 Do) + 
B) , E) 42
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
Problema N.” 192 (UNMSM 2016-1 
Halle la suma de los cuadrados de las 
soluciones de la ecuación 
log» (xé-4x+7)=logo(x-2)+2; x>2 
Aj 25 B) 34 C) 41 
D) 29 E) 20 
Problema N.* 193 (UNMSM 2016-11) 
 
Halle la suma de las soluciones de la 
ecuación 1 +logx+log(x-—1)=log60 
A) 1 B) 3 C) 2 
D) 5 E) 4 
Problema N.* 194 (UNMSM 2017-1) 
Un estudio sobre plantas de cierta región 
geográfica determinó que, en terrenos 
de x m? de área, el promedio de especies 
encontradas es y; cuando log y se graficó en 
función de log x, el resultado fue una línea 
recta dada por 
log y = log(11, 2) -log3op + Hlogx 
¿Cuál es el promedio de especies encontradas 
en un área de 256 m*? 
A) 17920 
B) 15900 
C) 16820 
D) 17290 
E) 18900 
SISTEMA DE ECUACIONES, 
INECUACIONES LOGARÍTMICAS Y 
FUNCIÓN EXPONENCIAL 
Problema N.” 195 (UNMSM 2009-11) 
Halle el dominio de la función f, definida por 
2x-3 
fíix)= in >) 
 
 
A) R-[-5;: 8) D) R-[(-5; 8] 
B) R-(5; 8] E) R-[-3; 7) 
C) R-(5; 8) 
Problema N.? 196 (UNMSM 2010-1) 
Sea a un número real positivo diferente de 
1. Halle el valor de y que satisface el 
sistema de ecuaciones 
a +Y=16, a Y=1/4, 
A) log,6 B) log,64 
D) log, 16 
C) log, 4 
E) log,8 
Problema N.* 197 (UNMSM 2011-1) 
Halle los valores de x que satisfacen la ecuación 
slogx?-5x+15) - qlogx25 
A) 2y4 C) 3y4 
D) 2y3 E) 2y5 
Problema N.* 198 (UNMSM 20141-1) 
Los números positivos x e y satisfacen el sistema 
B) 3y5 
 
Pa y=0 
logax—log3 y=2 
Halle x+4. 
a) 2 B 3 3 
4 4 2 
D) 1 E 4 
5 
Problema N.* 199 (UNMSM 2011-11 
Seaf: R > R una función definida por 
+ 2109 a), 
l=x) 2" Ll+x 
ES 1+4 
donde a>0y ax 1, cuyo dominio e es 
un intervalo pS 
E E a) Halle p=g. 
p 
ko) = 5log,a al 
+21 a 
g "Sa 
29
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
Problema N.* 203 (UNMSM 2017-1) 
 
 
A) 5 B) -2 Cc) 1 
D) 3 E) 4 El número de bacterias presentes en un cultivo 
después de t minutos está dado por 
Problema N.* 200 (UNMSM 201 1-11) Q(t) = 2500ek! 
La suma de los cuadrados de dos donde k es una constante positiva. Si después 
números reales positivos es 11 y la de 15 minutos hay 5000 bacterias, ¿cuántas 
- a 
diferencia de 'sús logaritmos; en base 10, bacterias habrá al cabo de una hora y media: 
es 1/2. Determine el producto de dichos A) 80000 
números. B) 150000 
A) /11B) 10 C) V/7 e DE 
D) J10 E) 10 a 
E) 180000 
Problema N.” 201 (UNMSM 2044-11) Problema N.* 204 (UNMSM 2017-1) 
Halle el conjunto solución de la inecuación La presión atmosférica p varía con la altitud h 
sobre la superficie de la Tierra. Para altitudes 
log y (x?+2x 8) <-4, E por encima de los 10 kilómetros, la presión p 
 
2 en milímetros de mercurio está dada por 
A) (-0,-9) u (1, +02) p = 760€e-0.125h 
B) (-oo, -4) u (2, +00) donde h está en kilómetros. ¿A qué altitud la 
C) (->,-6) u (4, +02) presión será 190 milímetros de mercurio? 
D) (-e, -7) u (1, +09) A) 71n6 km 
E) (-c, -1) u (5, +09) B) 81n8 km 
á C) 8In4 km 
Problema N.? 202 (UNMSM 2016-1) D) 81n6km 
 
Si el crecimiento de bacterias en un cultivo E) 9ln4 km 
de duraznos en el tiempo t es representado e o +1 p Problema N.* 205 (UNMSM 2017-1) 
por la función f(t)=3 , determine el 
intervalo de tiempo para que el crecimiento 
sea menor o igual a 1 
3 
 
Se coloca ken uma cámara de 
enfriamiento una sustancia química y r 
horas después de estar en la cámara, se 
calcula su temperatura T en grados 
centígrados, según el modelo 
1. 3 1. 5 A. 8 
Al= =<=| Ble= =| 0 |=: <= r 
L = La ] 6 S Tm=75+a(2)% . Si la temperatura 
ox
ys
ua
de
¡e
9/
u1
09
'1
93
1M
3 
5 
inicial de la sustancia era de 450 *C, ¿al 
15 [2 a cabo de cuántas horas su temperatura será 
2 [5 3 El 2 2 igual a 15602 Y ya ) 
A) 12 LIO 
C) 15 
B) 8 E) 9 
30
 
26. MÁXIMOS Y MÍNIMOS 
Problema N.*” 206 (UNMSM 2011-11) 
¿Cuál es el menor semiperímetro que 
puede tener un rectángulo de área 357 
cm? si la medida de sus lados, en 
centímetros, son números enteros? 
A) 58 cm D) 28 cm C) 17 
B) 51óm y «Ein E) 38 cm 
Problema N.* 207 (UNMSM 2013-1) 
Halle el máximo número entero, menor o igual 
que la expresión 
E= Y43+x+43-x, x e [-3,3). 
3 D) 0 
2 E) 4 
A) 
B) C) 1 
27. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
(N,Z,Q,1,R,C) 
Problema N.* 208 (UNMSM 2012-11) 
Si a>0 y b<0, halle el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
L ab<ab? 
II. [ab3| = -ab? 
IM. YVab?=-bY/a 
A) FVW D) VVV 
B) VVF E) UFV 
C) FVF 
Problema N.* 209 (UNMSM 2016-11) 
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son 
verdaderas para todo aeK, a=0? 
L a+tb>2 
a 
ÁLGEBRA €. 
1 IL a+=>=<2 
al 
IL a+1>2 
a 
M al-a>2 
A) Solo ll ) Solo CG) Solo! D) UyH 
B) IyIV E) IyIl 
28. RACIONALIZACIÓN 
Problema N.* 210 (UNMSM 2015-11 
Racionalice y simplifique, luego, indique el 
denominador. 
3 
15+8/5-3/7-/35 
A) 18 B) 30 C) 21 
D) 24 E) 36 
NON 
Las restricciones pesqueras impuestas 
por el Ministerio de Pesquería obligan a 
cierta empresa a pescar como máximo 
2000 — toneladas de bonito y 2000 
toneladas de corvina; además, en total, 
las capturas de estas dos especies no 
pueden pasar de las 3000 toneladas. Si la 
utilidad por la venta del bonito es de 1000 
soles/ton y por la venta de la corvina es de 
1500 soles/ton, determine 
cuántas toneladas de cada tipo debe 
pescar y vender la empresa para obtener el 
máximo beneficio. 
A) 2000 de bonito, 1000 de corvina 
Bj) 1500 de bonito, 1500 de corvina 
C) 1000 de bonito, 2000 de corvina 
D) 1200 de bonito, 1600 de corvina 
E) 900 de bonito, 2000 de corvina 
31
 
SOLUCIONES 
Y qa +A BAMA u=x +1 Y =, 
=(1É+ 3/1), (0441) =(2u0+ wm 
Ó 
=p o y = (2 +2 + 25 1)" 5 
att 
¿sa=d linVp0) = Jlimt0) 
Alim L(= Y loz const, lim fx) = 
u /o4, Fx) = log, [limplx)),c=const_ li 
ÁLGEBRA E 
32 
 
AT AMOO IAA:LO 
 
SOLUCIONARIO 
A A 2 
 
 
Referencias 29 2 ay 
Definición y teoremas de la potenciación: 1 65 
* Exponente entero negativo: ee 4_ 4 _ 13 
521 > 521 8-3 a á 
52 25 1 
R ta: | 
* Multiplicación de potencias con la misma base: p 
pex. t2_ gx 
* Potencia de potencia: peras 
(5 4=5%, (5 =5% yl -1 a 
a? E bos os at NE 
Análisis y procedimiento M = 4 E 
-x+2z (4) 2 +(-27)3 
Si N=(0,04) +2 entonces N= 00 ] 1 
100 + ] E 403 —MHLE —x 42 an Ez 9 3 pa 9 pa 4 No 35) > Na(52)* MG 1iW 1113 
(Da) 73 5 
2x-4z _ Elx dz => N=1(5) => N=5%:'5 Rpta: (EY 
2 
> N=(5*) -(5z)* 4 
A Six es un número positivo, tal que 
Como 5*=m y 5*=n entonces N=m*n* o Je e TO BAY 2) 32 
? 233) q32) ">" 
Por lo tanto, (0,047 **%=m?-n"* hallar la suma de a + b. 
Resolución: 
Rpta: Del dato: 
O A. 
xd =x% == q=— 
6 
7:3-31=3(9 M5 29) 
7:31= 7 WE 
Resolución: =>3Il=3% 
| Si xY =2 donde x>0 
» 
 
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
a E 
ro. 0 
p 38 1 a+b= 6 
a+b=5 
Rpta: a 
2,4 
Por dato e-= 32 
Vx + Y = 8 Pa, (3202 
e 
ge lg2óa 1) 
Rpta: 
[E 
22+2_ 5(6x)- 32x+2=0 
4(2X)24+4(2Xx3X)- 9(2X x3X)-9(3X)2 
4x2 (2%43%)-9 x 3X(2%4 3%) =0) 
(2% + 3)(4x 2% -9x3*)=0 
 
 
o O 
a (-1) o 3x-1 —3x=1 
27 81 gi 
=(3x-1)%+1=(4-1)*+? 
a H=roys tar yal 
3 3 
Rpta: a 
PALAS 14 
PP 27=14 
913 )010 
8 
.(que 8 
Y=l6=2>x=4 
Reemplazando: E = 4) +9 
E =5 
Rpta: 
=0 
De la ecuación se obtiene: 
aa 8 
4.3 * 
a —a 
la cual se reduce a: 
abBlar=a?. (at -a9) 
ab. gi= art. gll 
donde: 
al q all = 244 4 ar 
allat+1) = aX(ad+1) 
a 
> Bpto: 11 
 
IRC TiÓN EL CACHIMBO 
 
E E 
Six =1 => y=0; Análisis y procedimiento 
ademásx+y=4 => x=4 Nos piden el valor de xy?. 
Reemplazamos A partir del dato 
 
Rpta: Elevamos al cuadrado 
a UN 
[LEyraay? ] = (3xy) 
a+b=1, ab=w2 Byte? 
a b 
(ab + bal + bb) -(22 de 22) Factorizamos xy? 
ab AS +1) =9 7 
ab 4 (abj? + (baje + potb _ (22 4 22) 
 
 
 
 
 
boa a b xy"+1=9 
a+ b+224+22-22-22=1 xy?=8 
Rpta: 
des Luego, lo que nos piden 
A y? =U8 =2 
Análisis y procedimiento ena: 
Damos forma al dato para que aparezca a. , 
M= Ja+x+yfa—=x. x= 2ab 
m-=á4p=3n data Ja =x > b?+1 
m-p=3n+3p Propiedad de proporciones 
m-p=3(n+p) M+1_yYa+x 
m. s M-1 Ya-x 
47 (m+ 1) _AR+xX 
a=3 (m-1)? a-x 
Nos piden (M+ 1) -(M-D* _x_ 2b 
2228 (m+1)2+(m-0? a p+1 
A = : 2 > M=b> 
M*+1 b"+1M 4 
 
ATI EL CACHIMBO 
=> | fín)=a(n-6)+b 
 
Si el polinomio P(x) = nxM+5 + (n +1)x" Analizamos los datos: 
+64 (n + 2)x+7 +... esordenadoy ) 
completo, calcular P(1) - P(-1). + _fQ)=-14 
Resolución: a(-4)+b=-14 > -da+b=-14 (I) 
Como es ordenado y completo: n +5 =0 
=>n=-5 
luego: . f(3)=-29 
PO) = -5-4x- 3 - 2x*- x' a(-9)+b=-29 => -9ai+b=-29 (1) 
P(1) = -15 
Prtp-$ Al resolver (1) y (11), se obtiene a=3; b=-2 
Por lo tanto: NEP DR 
P(1) - P(-1) = -12 AR 
=2(3)-(-2)=8 
Pp a Rpta: 
A 
 
 
 
Plx) +01(x) =ax+ b 
P(x) -Qlo) =bx+ a Análisis y procedimiento 
Se pide: valor de $111 -S100 
Sumando Restando De los datos: 
Aj A [a E x,=(-1)"+1 
Dato: P(5)=4 S =X FX9+xX3 + ...X ne N. 
(a +b)6 4 para n=101 > S101=1+x2+xX3+ +. X100X101 
P(5) = A =4 >a+ B=S para n=100 > S1p0=X1+X2+xX3+ ... X100 |- 
0 Si01-S100= X101 
y 
P[Q(1)) =P la -b1(1-1) Sin-=Sio=ED'"+1=0 
z Rpta: a 
 
N 4 
sp. MERO+D a+b e Calculo del valor numérico 
2 2 2 3 D s 
e la reala de correspondencia 
di F(3;4) = 3?- 4?=9-16=-7 
Por tanto: 
Análisis y procedimiento F(3;F(3;4))=F(3;-7)=3*-(-7)*=9.49=-40 
De la condición -. F(3;F(3:4))=-40 ps 
f(x + 6) = alx) + b , al hacer el cambio de variable A O 
L_-6 3 SIIC la 
x+6=n, tenemos
 
ÁLGEBRA a 
Calculamos : f(3) A h(-1) Por dato 
10) =Pb) QU) > x9474+1H%+mx+n= pbé+ax 
+ Evaluamos:x=6 ta 
en f: (3)=62+1=37 a) 
Sea x=1: 25+m+n=(a+b+1) ...(a1) 
+ Evaluamos x = -2 Él 
E - — - a mega 
AN +actb)d+bxta)=9+(a+b)8+..=4+ 7% 
Luego : h(f(3) +h(-1))=h(37+(-7))=h(30) i 
Finalmente evaluamos x = 29 en h: 
h(30) = 4(29) + 1 = 117 
¿. h(£(3) + h(1)) = 117 
Rpta: Rpta: 
Datos: a+b+c=0 
a+b=7; reemplazando en (0): 
25+m+n=[(7+ 1) 23m+*n=39 
(1) 
Análisis y procedimiento abtactbe=3 (11) 
Como el polinomio abe==6 (11) 
p)=n0 a+ 1 +2 +7, E 
es ordenado y completo, además, los Piden el valor de + Ez 
a c 
exponentes de la variable x están en forma 
ascendente, entonces 
nO abtac+be_-7 , 1,1,1_7 
poa abc -6. cba 6 
Luego, pb)=-5-4x-3É-2P 
Por lo tanto, el grado del polinomio p(xj es 4. 
Al dividir Il con Il se obtiene 
Elevamos al cuadrado y desarrollamos el trinomio 
cuadrado 
| Rpta: (Ey) (2,2,28
-(2] 
ltd a O E 
a? E E > ab ac be] 36 
> coef. de P(x) =1+a=0 
a=-1 nal 
abe 
Reemplazando en P(x) a E 
P(x) =(x-3)(x?—1) Según el dato l, a+b+c=0. 
donde x= 3-= b (mayor raíz) Por lo tanto, A m 
Nos piden: a? be e abc) 36 | 
. —=X +3 1. 1 1 49 : 
 
; A Rpta: (Ey) a po 36 
y
AN EL CACHIMBO 
 
x 
Recordemos el desarrollo de un trinomio al = Los valores son 3 y 4. 
cuadrado. Rpta: 
eey+zli=>l + y +22 +2 (xy +xz+ yz) 27. 
a 
Análisis y procedimiento 
Tenga en cuenta que 
Datos: * Binomio al cuadrado 
a(b+c)=-bc (1) (a + bjé=a? + 2ab+b? 
a+b+c=2_ (11) * Diferencia de cuadrados 
Piden el valor de a?+b2+c*, a“—b*=(a+b)(a-b) 
Elevamos al cuadrado en el dato Il. 
Análisis y procedimiento 
2_92 
(a+b+cjP=2 Se pide el valor de C en 
a+ bi+ o +2(ab+ac+bc)=4 
NA -JB = VA+JC ¡YA —yC 
> ai+bi+co4+2* alb+c) +be - 2 
 
 
 
—bc...dato (1) Elevamos al cuadrado m.a.m. 
2,.,2,.2 E 
O IRTE q pr, NEO 
. Ar bi+ 4 2 2 
Rpta: (EY y [SEO [Ao] 
a 2 
PAP 
Dato x-x=1. JÁ -VB= MÁ - AS 
Elevando al cuadrado: 
(os A 
124 E 2 == “. C=A-B 
x Rpta: E 
xy a 
Plevando al cuño: Recuerde algunas identidades y productos 
(x SS z ] o notables. 
D NE | mo . 
os 1 3 1 y 4 * Identidad de Legendre: prota tdo
 
A ae - z y * Diferencia de cuadrados: (x+y) (x-y) e? V 
?-—-3(1)=1 38 
| 
pi E
ALGEBRA AO AiO 
 
Análisis y procedimiento Piden 
simplificar la expresión M. 
ao 
a b a b M= 
2-ab 
Aplicamos la segunda identidad de 
Legendre en el numerador. 
pal) 
_ 4-aób? 
ab(2—ab) 
Luego, factorizamos la diferencia de 
cuadrados. 
m - 2+ab) (2-4b) 
- ab(2ab) 
M = ah 1 Rpta: 
29. 
xy (hc +y)=30 (a) 
A+y=35 (Pp) 
3(a)+(8): (<+y)=125 
=>x+y=5 (0) 
En (a) 
xy=0 (y) 
De0 yy, x=3=x v y=2=yg 
“Xp Yy=1 
Rpta: 
30. 
Recuerde el desarrollo de algunos productos 
notables. 
(y 2xy+y 
ty => +3 y +3xy2+ y 
Ó 
ey i=4+y*+3xy(x+y) 
Análisis y procedimiento 
Piden el valor de a?+b?. 
Datos 
ab=3 
ac+b*=19 
De acuerdo a los datos, podemos 
determinar el valor de a+b y luego, en 
dicho valor, debemos hallar lo requerido. 
(a+b)?=a?+b*+ 2ab 
(a+bJ= 19 + 2(3)=25 
=> a+b=5 v a+b=-5 (nose obtiene alternativa) 
1.7 
Consideraremos 
a+b=5 
2.0 (a+bJ"=a*+b*+3ab(a+b) 
5 =a4+b943 (3) (5) 
a+b*=80 
a - hb 
b a 
a=b 
En el problema: 
 
 
 
Sn 
39
ALGEBRA EL CACHIMBO 
 
Reemplazando e igualando a cero el numerador: 
x?2+bx+c=0 
 
De (2): 
(1+y + xy) +y - xy) = 133 E 
ql 1) => > .b+e=-1l 
ta Luego: x + y + vxy = 19.........(3) a 
Sumando (1) + (3) => x+y = 13 
En (3): xy = 36 En toda división de la forma Plx)+(Ax+B), el 
Resolviendo: x=4 a y=09 residuo es igual al valor numérico de P(x) cuando 
Y -B 
x=9 Aa y=4 Sr TY 
“la-y|= 5 
Rpta: ([EY| Análisis y procedimiento 
Piden hallar el resto 
33. En la división algebraica 
La igualdad: 4(3x- 7% -(3x-5) +8 
x-3 
mm ¿bs 2, . 
«Mm Aplicando el teorema 
se verifica cuando x"=1 x-3=0 
Entonces: mn _ m3, a x=3 
(x Luego reemplazando en el dividendo cuando 
3m LE 13 1 9 x=3, se obtiene el residuo 
xom 19 R(x)=4(3(3)-7)-(3(3)-5)"+8 
Rpta: Rx) = go Ñ yy 8 
CUA Rx) =8 
Rpta: 
(a+b+0)2=212 O 
al + b? +02 + 2(ab + bc + ac) =441 37. 
179 + 2l(ab + bc + ac) = 
Por identidades 
(ab + bc + ac) =131 3 
pos p(x) = (x-3) 
qa Luego — p(x) + (1-3 - V7) 
35 =3x-3- 7 = 0 
x=3+V7 
2 
bars, => p(34+V7) = = (3+/7-3) - ES AS 
Para que cumpla la condición entonces: p(3 +17) =71 Ll AE OO) a 
x-1=0 UA 
 
x=1 40 |SoLuc 
 
2 
Pp) + (+1) => R =3 ..P(1) =3 
Si D= dq + R 
Pp) = A D)A+1)g00 + Ar+B....(0) 
Six=1 => A+B=6>A+2B = 12...(1) 
2 2 
Si p(0)+(Qx1)>R=6 HE) =6 
x=-1>-A+B =3 >-A+B=3...(11) 
Sumando 3B = 15 = B=5 
“A =2 
Luego: R = 2x +5 
Respuesta 
2x+5 Rpta: 
39. 
Análisis de los datos o gráficos 
Resto de la división es: 10 
e X-x-x+k 
División: =—————_— 
x-2 
Operación del problema 
Por el teorema del resto: x - 2 = O 
E NA 
Reemplazamos x = 2 en el dividendo: 
2-2-2+K=10 
16-8-2+K=10 
6+K=10 
Conclusiones y respuesta 
K=10-6 
Rpta: (3 
K=4 
41 
 
 ÁLGEBRA on 
Po=5"+c 
Q00m=x+1 
Por el teorema del resto 
P(x) + 
QU) x+1 
Por la identidad fundamental de la división 
 —= Residuo =c-1 
P(x)=Q(0) qua) + e-l 
Cociente Residuo 
Parax=1 => P(10)=0Q(0)q(1)+c-1 
> £+1=200+£-1> q(1) =1 
Es lo 
que 
piden 
Rpta: 
Pe). - P(3) = x-3 > resto = P(3) = 2 
Po) =PRUSS a = resto = P[-1) = -2 
Por algoritmo de Euclides 
Para 
Para 
xP(x) = (x-3)(x+ 1)0(x)+ax+b 
x=3 —=>3a+b=6 
x==1 =>-a+b=2 
a=1Ab=3 
'. Resto =x+3 
Rpta:
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
Considere que el desarrollo del cociente notable. FACTORIZACIÓN 
 
 
 
 
de Pm) = (13) (1-4) (1-3) (16) - 120 
A, pn Pa) = (4 - 9x + 18)? - 9x + 20) - 120 
laforma 24 b , donde n es un número impar, es 
] ida Sea” - 9% +18 =a 
ñn ñ 
A _ A a E O > P=a(a+2)- 120 
l ] P = a? + 2a- 120 
a =10 
Análisis y procedimiento á >< 12 
Del cociente notable 
14 Sie Aa P = (a - 10Ka + 12 x"+128_ (x)+2" a +2 a ( M ) 
 
x242 — (x2)+2 a+2 > Pía) = (7 - 9x + 8) (1? - 9x + 30) 
Xx -1 
Entonces el cociente tiene 7 términos. X >< -8 
al 42? 
 =a0- aorta > (2) +0*(2)2-a%2) +at2)* al2P+2 PG) = (x- 1) (x - 8) (7 - 9x + 30) 
te: quinto término Ki" 
Tres factores irreductibles 
 
 
 
 
Luego t;=a*(2)'=16a*=16(x*)?=16x* hn 
- Tx +21 
ta: (MR 
Por lo tanto, el coeficiente del quinto término es 16. “e a 
Rpta: (Ey 
Por divisores 
EA 
: ZN 9 binomios 
Por propiedad 3.27 = 1 ¡ 30 
m=6 x=2 2 ¡o 10 
La división es 1 2 10 
dé : 
+ 
E =(x-2)02+2x+5) 
y factor pri grad Luego a actor primo mayor o 
31,2 os piden 4 
= =-— e A 
1=B 1107) 12+25+5?=30 a do A 
=> T, = =D $ MU 
13 Rpta: (EY) 
42 |
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
aia 
Sean los números reales a; b y e 
Por dato: abc = 900 ...(1) 
E: yd 2 
a b 5 
[ab+ac+ be] 
...(2) 
1 
+ — 
€ 
Piden: 
Operando en (2): 
ab+ac+ bc 1 
abe 9 
Usando (1): LERIAL- E 
Luego: ab + ac +be =900x +=180 
Rpta: 
po) = Prrt--2 
pa) = +21 + )(x-1) 
MCM =x 4-5 +4 
MCM = (+ 2)1-2)x + Ma-1) 
MCD = x-1 
Por propiedad 
poo) + quí) = MCD - MCM 
142) DAT qu) = 
2 AD AS 
q() = (1-1)(x-2) 
quí) = -31+2 
Suma de raices = 3 
Rpta: 
48, 
Factorizando Q(x) 
Q() = (x-1)(x-2)(2x-3) 
las PR(P(0) = +11; 2; 3; 6) 
como MCD(P(1); QU) = (2- r,)(x - r,) 
“1 =lA r, =2 
Evaluando en 
Pa) =4-21% + ad + bx-6 
r=1=>a+b =7 
r”=2=> 2a+b=3 
Resolviendo: a = 4; b = 11 
“b-a=15 
Cd R 
Recordemos: propiedad de proporciones: 
 
A A 
“bd Th 
se cumple: 
ae _ qe 
b+d h-f 
La serie se puede escribir: 
moon - p _ a 
131. 1l4x]1381 15x14x]31 16x15x14 x 121 
 
 
 
1714 7 15x14 — 16x15x14 
mi -+n Y 
a-p 
15. “muay Por 
Propiedad) 
A. 
15 J5x14x15 
(por dato) 
Despejando: 
q-p=210x17! a 
50. 
Record 1 7! 
> 
cordar: = —_—_—_—_=
 
6) 6!x(7-6)! 
n 
En general: ] =n 
n-1 
Por lo tanto 
n ] me pk? 
E= + + | 
n-1 me -1 2 
E=n!+m14+ e! 
 
CAT EL CACHIMBO 
 
m Desarrollo del binomio cantidad detérminos 
: (x+a) =x+a 2=1+1 
(+a)j =P +2ax+a? 3=2+1 2 = 
Sr + 12]! =b: at=d+ata+lax+a 4=3+1 
2 = xX-5x+6=0 . . 
si 3 Se observa que la cantidad de términos se obtiene 
5 NA 9 como el exponente del binomio aumentado en 
uno. 
x=3 vv x=2 
1 2 Para el caso (x-+ grata la cantidad de términos 
Nos piden es 2n+5+4+1=524, por dato. Rpta: 
X¡—Xpo = 1 “. n=259 
Rpta: 
 
55 Sea: 
1 Ordenando (2s + 20 oe 
To = CR (29 (2x) e 
dl Tra = pe ey y 2 
Ti + EE 20 2 met lts 
Conclusión: 4 = EX —=, K =4 The. = cie Ei “X 2 Y 3 
o k 12+2k 
Coeficiente: Cl! - 2% = 2640 mx*y8 =C]2.(-1)* Ea y 3 
Rpta: ji 
del 
53. 2 
k 
30 ge. y a _ 960 2 
k=0 k=6 
20 Rpta: a a m=G2 (3) 8 
k=0 
2n 96. 2n 7 92 
2 ¿)? > 22 -3yY 0 Plx, y) =[2*-3y)” = Y de Coef. = P(1, 1) 
2x25 23, 22n _, pn=29 Y de Coef. = -1 
vu a Qlx, y =(x+y* => Y de Coef. = Qí1, 1) 
SN 
Y de Coef. = 16 
Por las caracteristicas que presenta el E > l AN ! | " ] 
problema; es decir, es operativo y tiene en :. P de Coef.(P)x 2 de Coef. (Q) any] a 
su desarrollo cierta formación, aplicamos el 2 
método de razonamiento inductivo. 
 
44
 
Sea el binomio (2x-3y)**. Su término 
general está dado por 
Tr =D “epa gy) 
Si k=12 
> Tia = (1% cl$12x)*3y 
| 
Tia =(+D) 7 12 e) (3y) 
¿1618 x1413x 121 (23 43y)? 
DATA ASA 
> T¡¿=1820(2)Y3y)* 
Finalmente, el valor numérico de T¡z cuando x=1 
A = — Es 
2>=3 
1820(2(1)* [3(2 ) = 29120 
Sea N.? de camisas mal lavadas: x 
Total de camisas a lavar: n¿,. =12n unid. 
Ordenamos los datos en el siguiente cuadro: 
es
] 
Rpta: 
 
 
De a 
camisas | cfcamisa 
mal 
mtos x —-S/.b —xb 
 
bien 
12n-x Sa (12n-x)a lavados 
 
Recibió m=(12n-x)]a—xb 
m=12na-ox-xb 
x(a+b)=12an-=m 
_12an—m 
 
Rpta: O 
q. 
Final Martes Miércoles Jueves Viernes 
=0-0 W=s=ex MN xx 71 5 5 3 
-.x = 1250 naranjas. Rel: 
 
a. 12x | 
AB C D 
AB+BC+CD=48 
x+3x+121=48 
16x=48 
x=3m 
Piden: CD=12x 
. CD=36 m 
n.” de casacas de varones = Xx 
n.* de casacas de damas= Ex 
Del enunciado 
8x+5(7x)=11400 
x =800 
n.? de casacas de damas = 1000 
Rpta: 
62. 
Ica x días PLATA ORO 
Chincha x+3 días + 2x+5=9 —2x+5=11 
Paracas 2 x=2 > Ñ ¡ 3 
2x+5 Chincha: 5 [Chincha 6 
Rpta.: 5 días y 6 días 
 
.> a+b A 0 
CÓÉA===___—_—_—, 
 
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
¡EA 
mx -2y =5 
—3x + (m-1)y =1 
Tiene solución única. 
mi -m3+6 
m-m-6%0 
lo de m +2 
(m-3)lm+2)+ 0 
 
 
C.V.R.: R-(-2,3) 
Rpta. | R-(-2:3) | Rpta: 0 
TN 
Si la solución es (1, a). 
Reemplazando en el sistema: 
3-a=k sd 
S+a=k-2 ..(2) 
Restando (2)-(1): 2+2a =- 
Za=-4 
ad= — 
q 
Siy¿=0 
>x+2=2 ... 1) 
ax +z=éa ...(11) 
(11) — (1): (a - 1)x = 4a-2 
ax+z=0 ... (TI 
 
 
(1) — (ID): (a —a)< = 4a 
 
 
x= 2 (6) 
a -— a 
> (A) = (B) . Lom=a+a 
| Rpta: (EJ 
Se debe cumplir que: 
A, +0 
lk 1 
k 1 klx*0 
O -k 1 
Efectuando: 2-10 
(k+ 1)/(k-1)=0 
ks*lnAkz=1 
«ke R-—[+1) 
Rpta: 
67. 
 
Autos Camiones Totales 
Cantidad —x y x+y<100 
Área 10 20 10x+20y= 1200 
Recaudación: |[R = 8x + 15y 
 
 
 
 
De la figura: 
(0:60) R=900 
(80:20) R=640+300 = 940 meno! 
(100;0) R=800 
 
 
SOLUCION: 
TM 
Se tiene: (1) 3 2+y+32=5 
293 => %r +3iy+32=0 
Restando: -Tx-2y =5 ....(0) 
QA => 6r+2y+2z =0 
(3) => x+3y+22=6 
Restando: —x+y=6 .....(B) 
De (0) y (B) > x=-1 Ay=1 
En (2) => 3(-1) + 1+2=0 
z=2 
Luego 
Xx + ta = El =6 
Respuesta 6 
Rpta: 
je 
Dado los datos 
Costo 
 
 
 
 
por Cant. e 
unidad 
ROBERTO 
Libros 8 x= A 
Cuadernos 5 ox iMh = 35 
10 59 
ALBERTO 
Libros 5x3 = 15 
Cuadernos 8 xD = 56 
10 71 
10 + 10 = 20 
Rpta: 
rias 
Reemplazando la solución (x,: y,) en el 
sistema y, además, x, = y; 
pe 
+ (d- cx, =-1 
 ÁLGEBRA O 
 
a+b 
E =.11 
d-e 
Rpta: 
71. 
Del dato: 
JAY eii Al 
DEL 
E A. 
Hacemos: 
a - P+y: dz=-4 > z=-1 
en p: [x =-1],1 en a: [y =-1 
 
 
Reemplazando en lo pedido: 
ca ta? ta? A + A + A 24 
Rpta: 
De los datos: 
Cono= Cubo + Esfera ..............(1) 
Esfera = Cilindro + Cubo .........(2) 
2 CONOS= D CUDOS aiccccoroconcaiónasoo (9) 
. De (3): sie Cono = 5k 
Cubo = 2k 
« En (1): Esfera =3k 
* En (2): Cilindro =2k 
Rpta.: Dos cúbicas pesan más que 
una esférica. 
 
IÓN AMOO 00 
 
73 E 
E 
-1 1 2-1 
= 
2 111 
A E 
b+h -1 210 
se =f 
para PO 
x=1+5 
(x, y, 23 = (1,0, 0) + 1(5,3, 1) 
C.S. = ((1,0, 0) + 21(5, 3, 1/ 1 €R) 
76. 
Como el sistema tiene infinitas 
soluciones, se cumple 
2-Xk-"Xk_4_ 
SS E AS 
Rpta: (8) 
PA 
Mesas Sillas 
m —> 4 
n > 6 
fp > 8 
Rpta: Dato: 4m+6n+8p=152(primer día) 
EN 
Del sistema lineal 3x+2y=m>+2 
2x-3y=2m-1 
— 
|3
 tqr5= 11 (segundo día) 
m n,P._ £ a. 9 (tercer día) 
Reduciendo se obtiene el sistema 
Del dato x=2y; reemplazando en función de “y”: 
3(2y)+2y=m+2 > 8y=m+2 
2(2y4)-3y=2m-1 =y=2m-1 
a m+2 2 
= — + Dividiendo 8 1 m=3 
Rpta: 
4 o 
2y+2=>3 ....(2) 
=r+z=-3 ....(3) 
Hacemos 
(Ec.1)x3; (Ec.2) x(-1) a (Ec.3) <2 
T DES ar+3y=0 |y 
-2y-2=5 
-211+22=-6 
—_—_—— 
x+y+2=-1 
Rpta: sa 
3m + 2n+3p= 66 
3m + 6n + 2p = 108 
2m+3n+4p=76 
Resolviendo: 
n=12 
p=6 
m=8 
Total = 26 mesas 
Rpta: 
 
 
 
 
Refrigerado | No refrigerado 
A 20 40 
B 30 30 
Total 900 1200 
y l Ll 
Del texto Ñ 
20x+ 30y = 900 Bal a 
PO 
40x + 30y =1200 .......
ÁLGEBRA ¡AMOO iiO 
 
Resolviendo 
x= 15 
y=20 
Rpta.: 15 de A y 20 de B 
Rpta: O 
r4B 
Según los datos: 
1% semana: S/. 0,5 
SS 9=0,5+0,5x]... (1) 
adicionales: S/. 0,5+0,5x 
pasajeros en . pasajeros en . E 
la 18% semana! 120 > la “x” semana * 120—5x 
[q=120-5x]... (11) 
De (1) y (II): q+10p=125 Rpta: 
80. 
En la 1.* ecuación EY - a 
6x 
Se tiene: a+r1=2>320 +2 =5a 
2a? -5a+2=0 
eS a — 
Luego: a=2 v a=1/2 
X+HY _ x+y_1 
Nes E Y Ne a 
x+y=24dx vw 4x+4y=06x 
HA 
Se pide el valor de K. 
Del enunciado 
II 
_íAAKÁ 
a+b=axhe?l 
A E 
De l tenemos 
a+b-axb=0 
a(1-b)=-b 
=b 
"1-b 
K 
ob 
b-1= 
a 
De Il tenemos 
axbé=a 
b*=1 
b*-1=0 
(b+1)(b-1)=0 
b=-1 w b=1=" 
De l: 
bx1 
Luego 
1 
b=-1 a a== nea 
1 
K=axb= --= Rpta: 2 e 
y 
Resolución 
3 y y 14 = JO Sumando 
li yla = 24 miembro a 
9:34 = 54 miembro 
34 = 97 px 3 elevemos 
al cuadrado: 
donde: Vx = 9. Enlo pedido: 
y=23x 2y=x «Las E 80 e n= Vx q 9-5 Rpta: (E) 
En la 2.* ecuación: —= 
23x-24x-9=0 v 2y=3y-9=0 as 
a 8 Inviertiendo las ecuaciones: 
ut (2y+3)(y - 3)=0 
y=3 y ya 3H aL 
“x=0 
Rpta: 1lylcld 
:.18x + Oy =13(6) + 9(3)=105 1 *9* 49 yz os
Odd EL CACHIMBO 
 
13 Lp d 
zZ XxX n 
Sumando: 2(2+1+1)=L 4141 
x y z) m n s 
1,1,--1(1,1,1 
yz TO 
L 
m 
so La + t+h)- E 
Zz 2 5 m 
1 _mn+ms-—ns 
z 2mns 
Rpta: 
Sumando las tres ecuaciones (miembro a 
miembro) 
E 1 -) 5+3+4 
2] =+=+-= |= ——_—— 
60 
De (2) 
(Vx -/y)'=8 
x+y-2./xy = 64 
18 de(1) 
50 
3 x+y=100 
“px + y =10 
Rpta: 
Análisis y procedimiento 
Factorizamos la ecuación 
(x+1)(x+2)- (k+2)(x+2)=0 
(x+2)(x+1-(k+2))=0 
(x+2) vw (x+1-(k+2))=0 
x=-2 v xo=k+1 
como tiene raices iguales 
X1=X9 => -2=k+1 
h=-3 Rpta: 
yA 
* Raíz de una ecuación 
+ Teoremas de Cardano para una ecuación 
cuadrática 
Sea wa +bx+c=0 ; a%0, de raíces x¡ A Xo 
suma de raices 
 
Xy ex al Pa 
Análisis y procedimiento 
Sea a la raíz común de las ecuaciones Y Xo A Xz 
las no comunes 
-kx+10=0 > CS=(a y xo) 
x-(k+1)x+12=0 > CS=(0 y xa) 
reemplazamos la raíz común (0) en cada ecuación 
y luego restamos
ÁLGEBRA 
 
o2—ka+10=0 
Pa o 
a-2=0 
a=2 
Usando el teorema de Cardano 
(producto de raices) 
* -kx+10=0 
* -(k+1)x+12=0 
3 0x=12 > 2x3=12 
x3=6 
yl Xp +X3= 11 
1 px" +10x-2=0 sea X= g 
Reemplazando en la ecuación cuadrática: 
Rpta: 0 
Rpta: 
EL CACHIMBO 
Sir y sson las raices reales distintas de 
É- px+q=0, entonces la ecuación 
cuyas raíces son e y s? es 
F 
En la ecuación x*- px + q =0 E Jraces 
5 
Por propiedad: l. r+s=p ll. rs=q 
La ecuación ha formar es 14 - Sx+P=0 (a) 
donde S=+s? n P=?s=0g? 
Elev. 1. al cuadrado: +2rs+s% = pÉ 
1 
En (a) 
x? — (p?- 2q)x+g? =0 
Xx + (2q -p?)x+g*=0 
Rpta: B 
90. 
Sean los números impares, positivos y 
consecutivos. 
X= 2x4 2 
Dato: (x-2)%+x?+(x+2)= 155 
Operando: 2x2 + 22) +x2=155 
3x2=147 
x=7 
Los números son: 5;7;9 
Se pide la suma: 21 Rpta: 
91. 
(a+ 14 + 2n + 1)x =3(1 + 3)x + S(n + 3) 
Transposición 
(+ 1 + (n-Tx-5(n +3) =0 
Si una raíz es inverso aditivo de la otra 
Rpta: a 
=>-i-Y=0 
n=-7 
51
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
92. 
Sean las raíces: (1 y 201 
Por Cardano 
+ 20.= E Pa 0+20=-- o A 
C 
(a)Q0)=- 
2 
b c 20? =2|-2| =2 (3) 
2 
ac 2 
wo 
e 
Aplicamos el teorema de Cardano en cada 
ecuación cuadrática. 
e xÉ+14x-1 =0); a y b son las raíces 
Entonces a+b=-14; ab=-1 
e xé4+17x+2=0; c y d son las raíces 
Entonces c+d=-17; ed=2 
Luego 
abc+ bed+cda+dab =-c+2b+2a-d 
=-(c+d)+2(a+b) 
=-(-17)+2(-14) 
= 17-28 
=-11 
 abc+bcd+cda+dab =-11 
Rpta: 
r y s son raíces de Ad+Bx+C =0; A%0 
Por Cardano 
P r+s= E 
A 
- gm E 
A 
r” y s son raíces de +Px+0 =0 
Por Cardano 
r+s=-P 
> (r+s) -2rs =-P 
2 2 
> (2) al p> -2AC-B" 
A A A? 
Rpta: 0 
De la ecuación: 
2x2 - (p+3)x-p + > =0 
CS = (la; 1-1) = (x1; x2) 
 
Xx] - X= 1 
Jo+3?-4.2.5-p) 
RX] X2= 2 
Igualando 
p? + 14p-5=0; 
luego, el producto de valores de “p” es -5. 
Rpta: 
A 22 br+c=0 =>r,+r, =6 
b 
EN =406 
o b =]32 
bx? - 3cx pde => XX, =d4 
c 
> == 
4 
= C = 16 
Reemplazando x,+ Xx, E 
3 b 
ze =4 
b 
 
| Fr+x + x= 10 
 
Rpta: B 
 
52
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
 
Ey Ja 
De la ecuación: raíces Como están en PA y son raíces de una 
as bicuadrada; éstas son: 
X -px+qx-r=0 —b -3a, -a, a y 3a 
Se Además: (3a )(3a)+(-a:(a)=-30 
Por propiedades: -10a2=-30 
l) a+b+c=p a?=3 ...(1) 
También: 
ID) ab+ac+bc=q a 
aba (a) (a (30)(3 a)=(m+1)* 
91 *%= (m+1)?...(2) 
Piden: k= ++ (1) en (2) 93 2=(m+17 
ar b? ce m+1=+9 >m=-10 v m=8 
(bc)? +(ac)? 4 (ab)? ¿. Suma de valores de m: - 2 1 
=> k= Rpta: 
(abo* 
100. 
Elevando (II) al cuadrado: EN 
 
 
Como G; n eje X=( (a; 0)): unitario, (ab)?+(bc)?+(ac)?+ pestes Al 
o entonces x=a es una raíz de fa =-=x+ b, 
Zabcla+b+c)=q Luego, fia,=0: a”—a+b=0 
Reemplazando: además, (x—a) es una factor algebraico de f. 
(ab)"+(bc)*+lac)i"=g"2rp Luego Jpj*be-aJ es exacta, entonces yy =(0-0)*Q1g 
Aplicamos la regla de Ruffini para hallar q,,;;. 
q” -2p 
A. k= —— 1.0 -1 b 
r a a a Pa 
ps l a «-1|aA-a+rb 
98. 
Sea a = 2 +5 
a?=74+2010=x, A xo =7-2W10 
> qu =é+ax+(a-1) a Riy=a -a+b=0 
Luego, f; =(x-a) Lé+ax+a?-1) 
Como f tiene una sola raíz real: a (un solo 
x?-14x+9=0 punto de corte con el eje X), entonces 
q) é+ax+a?-1 debe tener sus dos 
Rpta.: x* -14+9=0 | Rota: raíces no reales, por lo tanto, 
su discriminante es negativo: A < O. 5 
 
 
 
SOLUCION: 
Es decir 
A=a?-4(a-1)<0 > -3a2+4<0 
> 3é>4 > at das e 
2/3 2 
lal> = —lal>» —= 
43 3 
— 
Además 
a-a+tb=0 > b=a-a” 
> b=a(1-a?) 
2/3 : b=a(1-a”) lal > 
Rpta: 
¡NOAA 
De la ecuación 
hHi-=1l-=g3= 0 
+1 
Resolviendo: Y = y » 
Igualando con el dato: 
 
a 1 l 
—=+==2+= 
b b b 
b 1 
Entonces: —=—=> a = 2b 
a 2 
Epa a 2 2 
Rpta: 
GB ag 
>3814+34343*) = 120 
A, 
120 
120 
 
 
 ÁLGEBRA €”. 
Reemplazando tenemos 
r-2=0 
Por Cardano: Suma de raíces = 2 
Rpta: 
x, = 3 
Xx, =2 + vb 
también 
x, =2- Vb 
xx +x+13=7 
Rpta: a 
0 
Como tienen espacios iguales: P,, (1)=P, (1). 
O S O 4LO142 == RIIIE 
 
 
 
P-SÉ+7T1-3=0 
Factorizando: 
1 -5 7 -3 
II, rr «43 
| 1.4 3l|0 
 
(14 -41+3) =0 
(r-DéM-3) =0 
Como 1 e (0; 3) > 
Py (11) = 3()+3(01)+2(1) - 142 
Py) =3+3+2-1+2 
P..=9 (1) 
Rpta: A] 
+ 
mm _ "n_ 30 E 
>3Y=1>3=1l>|in=0 54 |
ÁLGEBRA ¡AMO OA IIA 
 
Efectuando 
D = 3aBy - (a7+83+y) 
como: a+P+y =0=>0%+8+y= 30y 
Luego: D = 3afy- 3apy = 0 
Rpta: 5) 
De la ecuación: 
S- 6xé+11x-6=0; CS =([x1; xo; Xx3) 
se nota x1 +xo+xX3=0 
Dato: x¡=3 —. x2+x3=3 
De la ecuación: 
Rpta: 
(t-1)4+4(t-1)9+11(t-1)4+14(t-1)-8=0 
Factorizando por el método del aspa doble 
especial: 
[(t-1)2+2(t-1)+8][(t-1)2+2(t-1)-1]=0 
(12+7)(14-2)=0. 
La ecuación tiene 2 raíces reales que son: 
t¡=y2 A to=-42. 
Entonces, la suma de raíces reales es: t¡ +t2=0 
e 
Ed 
dy VYáx 
2Ny y 
Cambio de variable 
a 3 
. Za 
a? -3=2a 
y 
al-2a+3=0 
a —3 
a +1 
 
rs 
y y 
x-y_9-1_8 
x 9 9 
Rpta: (EY 
2 
[
a
 
- -9Xx - 193 +(x-1Kkx-1? = 
Factorizando 
2 
a ha-9)+x-1|=0 
>70-)+x-1 = () 
q0-9) =1-x 
Sx - 45 =3-3x 
8x = 48 
x=6 
-. Suma de soluciones: 7 
Rpta: 
Del sistema : 
rs 
Y I4 A = BÉ conos (2) 
Reempl. (2) en (1) 
x(x2+16) = y(5x2) 
x2 + 16 = 5xy
ÁLGEBRA ¡AMO NOOOAl cuadrado : 
Xx + 32x24+256 = 25x2(5x2-4) 
31x% - 33x?- 64 =0 
(31x2 - 64)(x2 + 1)=0 
4 1 
Dando : x?= SF — y? =8 
64 _ 196 
E= LL bos 
66 31 
Rpta: a 
Del enunciado, sea el número de libros que 
Juan tenía al inicio: x. 
19 Juan vende 1000 libros => queda (x — 1000) 
libros Por dato: 
gn 1000>> = mitad del n? de libros. (1) 
2” Luego vende 502 libros > queda (x- 1502) libros 
Por dato: 
x-1502 < 500 (1) 
De (1): x>2000 y de (II): x < 2002 
= 2000 < x <2002 
Por lo tanto el número de libros: 2001 
Rpta: a 
112. 
Sea x el número de participantes inicialmente (x 
EX”) 
De las condiciones se plantea: 
. x-20>5 > x>30 (1) 
e x-20-5<7 > x<32 () 
Luego, de (1) y (11) 
30 < x < 32 
> x=31 
Rpta: 56 
Sean 
R: número de caballos de Roberto 
P: número de caballos de Pedro 
d: número de caballos de Juan 
donde (R; P¿ Ji cZ*. 
Se sabe que KR < 5 y R=P+3. 
> P+3<5 
P<2iPe Z* 
=> P=1 y R=4 
Además 
P=J-1 
1=J-1 
J=2 
> P+R+J=7 
Por lo tanto, el número total de 
caballos es 7. 
Rpta: | a 
Análisis y procedimiento 
Nos piden Vb +a 
Datos: 
b>0 (1) 
ad<b > -Vb<a<wvb (1) 
De la condición 
a+ vb 
2./b 
ls 
NN
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
comob>0 = 24b>0 
 
 
2/b < a+ vb 
Análisis y procedimiento 
vb <a (II) Nos piden el mayor número real r que 
cumpla que 
De (11) y (111) pa 
reox?+4x+6 :VYxeR 
< Jb Lx) 
eS > a=yP A 
a>vb Entonces, el mayor valor de r es el mínimo 
valor de f;,;. 
Luego, reemplazamos en la expresión pedida. Procedemos a completar cuadrados en fa 
mba para luego minimizarla. 
A] 
= a+a 109 =Lé+4x+4)+2 
” de 2 2a Rpta: O fo) =(x+2) +2 
y El mínimo valor de f,,,= (x+ 2)? +2=2 
¡e mínimo valor 
es O 
Análisis y procedimiento Por lo tanto, el mayor valor de r es 2. 
De la condición Rpta: [E 
a 
x 
INECUACIONES 
 
1 
x+-2>0 De la inecuación 2:+4(2x-4 _ 1)< 2X- 16 
se obtiene 22 — 2:+4_ 2x4+16<0 
2 -2x+1_y (259-1727) +16<0 
e 
Xx x 
2 -16 
(xD 2* ><, 
x 2-2 - Ma 
2=16 => x=4 
de donde (x-1)? > 0; xx 1 2=1=>x=0 
1 
—> 0 + E E 
=> x>0 0 4 
x e (0; 4) 
lxeR /x>01xx1) Rpta: (9) 
Respuesta 
Rpta: (E 
ixeR/x>0Axx1) 57
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
2 
 
 
 
x—x-6 2 
———— £ Se] =<O 
x*-1 > 
LA 
- E0 (x 3x+2) y Xx 
(x+1x-1) 
ANY DY Y 
2 1 1 3 0 2 
CS: x E R-—[0,2) 
x e (22; -D)u 4; 3] 
Rpia: (EY) 
Suma de valores de x =-Z + Z +3 7 
Suma de valores de x = 3 ES 
Wa; b; x; y e E se cumple: 
 
 
 
"a B (a? + b2). (x2 + y2) > (ax + by)? 
Ii Según los datos: ad+bi=4 » x2+y2=8 
3x-2 Reemplazando: (4)(8) > (ax + by)? 
2r-3 +0 Efectuando: — 432 <ax + by< y 32 
EE 3 Nos piden el mínimo valor de: 
Restricción: 1 +— 
2 F=ax+by 
Puntos críticos: 2 y 3 Emnin= -4/2 
3" 2 Rpta: 
+ E + e 
< O- O de Edd 
== 1.3. + 
3 2 Si: (X+ L] =m 
2.31 p 
CS - E > ' La ecuación es: 
TP 
a b 2m -7m+ 6=0>(2m-3)(m-—2)=0 
 
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
lx 7=22% =5 
2 
i) + 2= => Xy = 2 + ¿]=2 
Aeolución =l- 28 
Obs: x*0 => x|+1>1 
=-1-1=-2 
Rpta: 
po 
[Lo
 
i
u
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luego 2x? -5x+2>14 
2x" =5x-=12>0 
mel 
x -4 
(2x +3)(x -4)>0 
- | y | . 
EZ 
CS.=x € Hu (4; 00) 
Rpta xe (=-5)u da 00 ) 
p 2 
Rpta: (EY) 
IA 
Bx+2l- lx-1|=2x+3 
Bx+21l li. 11 Ecuación 
Il [es-83/-3702 |-x+1 |-3x-2)-(-x+1) =2x +3 
TW | es: [3x42 |eox+1 [[Bx +2) [-x+1) =2x +3 
IM | lio) [3x+2 | x-1 [Bx+2)=(x=1)=2x+3 
Dell): 
x<2/13 n -2x-3=2x-3 
x<2/13 5 -á4dx=6 
x<2/3 5 x=-—3/2 
x=-3/2 mu 
DelI1): 
-2(3£2x<1 a 4x+1=2x+3 
—2/3<x<1 a» 2x=2 
—2/33x<1 apa x=1 
xeUd a ES 
Del 111): 
x2la 2x4+43=2x4+3 
x2l.A xeR 
x e [l; oo) y 
C.S.=SP, USP, U SP, 
z C.S.=Í- Jul; 00) 
 
 
Cs.=|-3) vÍ1; 0) 
Rpta: ([5) 
Rpta. 
 
 
2Lx + 31- 3lx - 61 + lx -15|=x +6 
Por puntos criticos 
—o 3 6 15 +00 
Ll x<-3>x=-15 
Il 3<x<6>x=1 
TM 6<x<15>x=11 
IV, x>15 =>x = 3 (no satisface la igualdad) 
¿. CS=[-15, 1, 11) 
 
Y de los valores de x =-3 
 
Rpta: 
59
 
ÁLGEBRA 
Se observa: 
(+) 
(+ 11-34 PB), 
(x1-023 Ñ 
(+) 
0 
Reduciendo factores positivos: | x + 1|-3= 0 
=|x+1|2=3 
por teorema: 
[x+1[2>230x+1>3Vx+1<-3 
Ssx=2Vx<-4, luego: 
ES =<- 00; -4]U[2; + 00 > 
Identificando con el dato: b=2 A a=-4 
=b-a=6 
Rpia: (EJ) 
Six>=0 
S1i+e>0 
xQ? +1) > 0, luego x > 0....(0) 
 
Si x<0 
Só-x>0 
xé-1)>0 x,=0 
xa+Da-1)> 0 /1=-1 
x=1 
FYY+ — comox<0 
-1 0 1 
tal Mor (B) 
(a) U (PB) => xx el, 0) U (0, a) 
Rpta: (Ey 
60 
AMOO OO 
 
Despejamos: 
|19x]| < 19 
19.|x] < 19 
|x| <1 
“. xe<-1;1> 
(b—11+Je=2p()=11-P=2) 2-6 
(y E >pP 
Rpta: (Ey 
 
Efectuando 
P-2-3<0 
a-3Aa+1<0 
Luego 
C.S. = [-1; 3] 
Respuesta 
C.S. = [-1; 3] 
Rpta: 
IB varor assoturo 
15< 12 +2-8<15 
Xx 
244 <23+2 
X 
1 Y 
(+) <a 
x 
(1+l+5][x+2-5)<0 
Xx Xx 
Positivo 
Como: x>0 
e-5x+1<0
 
 
S-V21 5421 
2 2 
os- (342, a 
2 192 
Rpta: [([-4 
LL 6-36 Ss | 
(a) 
de (a):A<0=>a>0 
[x2-5x+15-x2+8|=/3x+9] 
|-5x+23|=/|3x+9| 
por teorema: 
-Ox+23=3x+9 v -5x+23=-3x-9 
x=7/4 y 
IL. |x-4/45|x-4|+6=0 
factorizando: 
(|x-4|-2)(|x-4]-3)=0 
|[x-4|=2 v |x-4| =3 
x=2VWx=6|: x=7VWx= 1] 
Suma de soluciones enteras de ambas: 32 
Rpta: 
 
 
132. 
nx _ 1+|nx] 
— = ——— >0 
my 1+|mx| 
nx x 
Luego: —>0 => —>0 
my y 
Así: |x| =]y] 
Efectuando: nx =my 
nx 
CAT 
Reemplazando 
p(x, y) = ml1 -(M+N)X + mn? | 
q 61 
A, 
ÁLGEBRA 3 
|l=x| <1 
Por teorema 
 
lal <besb>0a-b<a<b 
 
 
=l<l-x<l 
=H; -2<x<0 
xX2.-4<-2r<0 
+1. -3<1-2r<1 
>2(1-20€ (3; 1) 
Respuesta 
(3; 1) 
Rpta: 
|2x%-14x+16|<2x+2 
22>ld-T+8|<x+1 
D x+120>x2>-1 
Luego: -x-1< 12-71+8 <x+1 
>-x-1<12-71+8 
0<1-6x+9 
(x-3)>0 
xeR... (0) 
>-7x+8<x+1 
-8x+7<0 
(x-Tix-1) <0 pan 
x,=1 
1<x<7...(B) 
De (a) y (B) 
sixe la; b] 
>1x€6[1; 7] 
-a+b=8 
Rpta:
OA 
 
pe 
Análisis y procedimiento 
Nos piden el valor de Vab. 
Datos: 
e la +lbó=1 > al+b?=1 
+ (a+b)=2 
al+b9+20b=2 > ab= 
1 
1 2 EN A 
a E 2 
1 
Rpta: 
¡EIA 
Resolviendo: 
(x+1)|-1)? 
Praia o 
Ix+1|%1 >x*0 5 x%-2 
< ] 
—00 -2 
[x+1|<-2 y |[x+1|>2 
—_—_—_—— 
Absurdo x+1<-2 v x+1>2 
x<-3 v x>1l 
q __—_—_—_—_— 
xe <-0; -3I>U<l; +0> 
Rpta: (9) 
¡E 
sta 
m n 
mx+p>0Anx+gq<0 
Oo — — 
+ = 
Reemplazando en la ecuación 
| mx + p [F| nx + q | 
o? A] 
+ e 62 
EL CACHIMBO 
mx+p=-nx-q 
 
 
 
 
 
XxX = P+*9A 
m-+n 
Rpta: 
INECUACIONES 
Del dato: 
Dex<?7 O<x<?7 
7 <-x<0 3=<x+3<10 
DEBIRES 1, 1_1 
10 x43 3 
Reemplazando: 
E, 
10 x+3 3 
1 <y< 5. 
5 3 
mb Suma extremos: $_ 1 Es 22 
3.5615 
 
22 | Rpta: 
Rpta. 15 p 
 
- E 2 +0 
Sistema de inecuaciones 
Y -3x-2<0 | Restamos miembro 
Y O a miembro 
-2x-1<0 
-2x= 1 
x>- 
El menor valor entero que puede asumir 
x es 0, Roto:
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
Reemplazando en (au) y (BB) 
Del gráfico: A 
"lx>1 
SL 
Luego: x + y = 4 
Respuesta: x+y=4 
Rpta: a 
 
 
 
142. 
Separando... 
| Yi 3 x>0 
La yo e : 
E e. y>0 
NO». 
x x (5, 0) t 
6 a Xx (0, 0) ” 
J y Y 
x<6 A x2y A x+y24 Respuesta 
Región interior al triángulo de vértices 
Rpta: xS6,x2y, x+y24 (0, 0),(0,5), (5, 0) 
Rpta: Rpta: 
 
Análisis de los datos o gráficos Programación lineal 
Del gráfico se deduce: 
T7+x<3uy E 
x+5>2y q 
4>y 0<x<1 
0<y<l 
Hallar: x + y 
Se tiene que resolver en Z. Apia: 93 OE 0SyS1 
Operación del problema Rpta: 
Volviendo a escribir: 
a < —7 ... (a) 3 >x>-8.6 
-2y> 
*- 2929. (Bl ME +5 >1<25,6 
4 
(a) + (-1).(B): y < -2 86 <x<-5,6 
y> 2 J enteros 
a : GOES 6 E Como: y < 4; entonces: y = 3 > ) Suma = 21 RPta: 
63 -
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
Aumentando y restando 1: 
> flx)==x" +2x-1+1 
f(x) =-(x 14 +1 
Luego se cumple que: (x-1)? > 0 
Mult. por(-1) =-(x-1)*< 0 
Aument. (1) > 1-(x -1f <1 
— 
f()<1 
Ran(f)= (=a% 1] Rpta: 
f(x) = es una función de 1.* grado 
Na =ac+b 
Sifi4)=7 => 4a+b=7 7/, 
Sifl3)=1 => 3a+b=1 
a=6; b=-17 
> flx)=6x-17 
f(-2)=6(-2)-17 => f(-2) =-29 
Rpta: 
Sea la función: 
f(x) =mx+n 
f(2)=10 => 2m+n=10 
 
 Rpta. | - 29 
ets 
FUNCIONES 
fo) = 2 -2x+3 
glx) =3+2 => fl) = al) 
x -2x+3=>5+22x* -5x+2=0 
XA == — , = 173 Y 
Xp _ 2 , Yo _ 
1 9 
las coordenadas: (> 2) (2, 3) 
$ de coordenadas = z 
Análisis y procedimiento 
a
j
o
 
Rpta: O 
Se pide el rango de f¡.,=5-|x=1|. 
Del dato 
f:(-2,1]>R 
=2<x<7 
=1l: -3<x-1<6 
ll: 0O<|x-1|<6 
x(-1):-6<-|x-1| <0 
f(3)=28 => 8m+n=28 +5: -1<5-lk-11<5 
m=3 A n=4 -15 fx) ES 
fix) =3x+4 Re=(L1,5] 
f(5)=a > 3-5+4=a >a=19 "to: (Y) 
f(b)=37 > 3:b+4=37 >b=11 
a+ b=30 Rpta: a 
64
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
FUNCIONES 
Sea flx)=ax?+bx+c 
f1)=a+b+c=2 
fl-1)=a-b+c=-2 
$(2)=4a+2b+c=-4 
De (u)-(8), b=2 
De (a) Y (1), a==3 y E= 3 
a(x)=fflx+1)+f(x-1) 
a(x)=2a(é +1)+2(bx)+2c 
glx)=- 18,2 +4x 
 
 
 
 
 
Rpta.: g(x) =- 19,244 
 
 
¡e A 
Funciones 
(a) Factorizando el numerador: 
al 
(8) e ALT +11) 
(Y) YA) 
Se reduce f(x): 
3 
_Yi+1 -1 f(x) = Se 
Á su vez: f(x)= e 
Es 16)=3 Función constante. 
 
 
 
 
 
 
 
Luego: f(1010)=2 Rpta: 
Rpta: 3 
En el punto (0, 0) x+4 
£(0)=m(0-2)2p=0 => 4m-p=0 fu) = q € [-1,2] 
4m=p |..(0) Del dominio 
En el punto (1, -9) -lExr<2 
$(1)=m(1-2)2-p=-4g =m-p=-9 1Sx+24 
m-p=9 ..(B) 1> 1 > 1 
Reemplazando (au) en (f): x+2 4 
m-éám = -9 > 1 
_3m=-9=> | m=3 p=12 3 
“m+p=15 321453 
Rpta: x+2 2 
> Ran f = a] 
2 
De f(x) = 8% "xl x e R 
Completando cuadrados en el exponente: 
 
-. Suma valores enteros: 5 
Rpta: 
 
 
 
á A AO 264 3-4|x]=3[IxP-21x15) + (923) |=3(1x 3)3 EEN Del cuadro: 
El mínimo valor se obtiene haciendo: y E , 
2 | -3 
|xl-3=0 o |3 
d s — fin 2 83 -V8*-29-L 1 [6 
Rpta: (Mel . . 65 Si: Fx) =axr+b 
 
 
SoLUCIC 
Luego: 
Reemplazando: -2a + 3 = -3 
Luego: 
 
F(-2)= -3 >-2a+b = 3 
F(0) = 3 >[b = 3] 
2 6 (023) 
ex 520 
3 
3E-5x-2 > 0 
ajo SH x==1/3 
x —2 == x=2 
Fx) = 3x + 3 
Recuerde las siguientes gráficas. 
Rpta: Ba | x 
Análisis y procedimiento 
Nos piden el área de la región 
limitada por las gráficas. 
dun LA 
PS 
ÁLGEBRA €. 
X 
x=0 | las abcisas en (5: 0) 
YI x=|y] ] 
 
recta perpendicular » 
x=5 y ly|=x=5 
7 7) 7 S S 55) ei ponto de 
LY SN ( : A 
—0 e. 2 +00 
3 
E (0-3 U [2;+00) 
1 
De y2|]ry<Y1=x?, la gráfica es 
-1 
Se sabe que 
a 300 _ aro (90%) 1 
3602 300 
TO2 
> ÁA=—u 
4 
 
Y 
[SA 
1 
 
(5; 0) X 
Rpta: (5; 5) las 
a 
 
Finalmente 
base y altura 
Area de la región _ 10-5 _ 95 ¡12 
sombreada 9 
De la función: 
y == pr 
Despejando 
(1? x=». py-1 
Rpta: 
66 
» y=5 0Y=-3 
Rpta:
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
Luego 
PY y = dx 1 
81) = Vx -1 
2 gg) = V2 
Rpta: 
Ubicación de incógnita 
Tenemos que encontrar la suma de valores de 
n. 
Análisis de los datos o gráficos 
F(x)=9x2 — 6nx + n + 12, 
no interseca al eje de abscisas. 
Operación del problema 
Entonces la discriminante del trinomio tendra 
que ser menor que cero(a <0) 
A= (-6n)? - 4(9)(n + 12)<0 
A = 36n? - 36(n + 12) <0 
Aa =n*=p=l12=<0 
(n-4)n+3)<0 
9-0 
-=3 4 
n= (-2, -1, 0, 1, 2, 3) Suma 
de divisores enteros: 3 
Rpta: 
Operación del problema 
Tenemos: f(x) = a(x) 
22+t1430+2=4-4+2* 
2+2*4+7+2*-4=0 
a EZ -1 
Dx KO dá 
(2 + 2- 1)(2* + 4) =0 
(Aspa simple) 
Eliminamos 2x + 4 (siempre es 
positivo) 2 + 2*-1 =0 
1 
2=— 
2 
Conclusiones y respuesta 
Entonces: 2* = 27 
Finalmente: x = -1 > g(x) = 2 
El punto de intersección (-1; 2) 
Suma de coordenadas: -1 + 2 = 1 
Rpta: 
0 =X3+5;x6e R 
Vemos que Ran(f) = E > Dom(f")= E 
y=x+5 
Despejando x en términos de y 
P=y-5 9173 =F0) 
x <> y, tenemos: f(x) = Ix-5Sixe R 
Respuesta 
Ix-5:x€ E 
Rpta: e 
17 Análisis de los datos o gráficos 10) = 2%) 
y = f(x) =2%*+1+3 +2 xER 
y =qgl(x) =4-4+*2:xeR 
Si: f(x) = a(x) => Puntos de intersección 
67 
x2-1: (r-1=x+ 1 
>x=0Dx=3 
x<-l: 1-D?=-x-1 
>re
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
Intersección: 
(03 ROM y 6 A3)) 
(0; 1) y (3: 4) 
Suma de ordenadas 1+4 = 5 
Rpta: 
IEA 
FUNCIONES 
A=((x, y) €? /114+y?> 5) 
YA 
 
 
 
 
 
3 Xx 
B=((x, y) e R?*/y>x) 
YA 
> 
X 
AnB 
z As. > 
, ¡5 
Respuesta Rpta: (EE 
ta: [Ma 
Gráfico (1) PE 
¡A 
Del gráfico 
x+3 eE] 
y=f(x) =3-x+1 "Ll 
«-1 32=x>1 
Entonces 
x+6 x<-d 
fíb)=4 x O=x<1 
x-2 2<x2<3 
la suma de soluciones de f(f(x)) = O es -6 
Rpta: 0 
Graficando 
yA 
 
 
 
Es decreciente cuando x e [2,+u0] 
Rpta: a 
¡YA 
Graficando 
yA 
MO nnnnconacanacicnononnsnacinenenesss 
 
uno de los intervalos para que la función sea 
inyectiva es [4,8] 
Rpta: 
68
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
Funciones Resolución: 
Función cuadrática Com mst men 
De la función utilidad en miles de soles es asa 
Uy = —x + 10x - 16 “mt an 
Ulxy = 9 = (x= 5)? 33 está ubicado en el lugar n+3. 
La utilidad máxima será > t,¿¿=m+r(n+2)=33 .......(l) 
Umáx = 9000 h 3n+1 
- E uego: ¿ Ep x Rota: (E Pa? RARO 
rr To y T 
(3n+2)r=80 
Funciones n=106, r=1/4 
Función compuesta En (1): m=6 
Si fi => F(9í,)=[9,.) 7 Para que n-m sea máximo, n debe ser 
A 3 máximo y m mínimo. 
como Hal , n-m=100 
igualando [g;,)?=[x-2)" => Qyx =x-2. Rpta: 
Nos piden g¡2x+1)=2x-1 
Rpta: LE 
SUCESIONES 
Datos: t, = 7 y ty = 28 
Funciones ' , 
Función valor absoluto 1 uu a lg -- lag 
F(x)=3/x-2]+7; x e [-1,6] 7rrorr 28 
vértice = (2,7) ty =(9-2)r 
para x=-1 > F(-1) = 16 28-71 = Tr 
para x=6 > F(6) = 19 r=3 
y Finalmente 
(6,19) -t, = (20-9)-3 (1,16) 5% do tap lg = (20-9) 
ty - 28 = 33 
(2,7) ty = 61 Rpta: (5 
Xx 
173. 
d, =3/10 
d, = 4/10 Edades 
d, +d¿= 7/10 a; (a+r)(a+2r); (a +3r); (a +4r); (a +5r) 
Rpta.: 7/10 km Rpia: (Ey pn 
 
ÁLGEBRA ¡AO OIDO 
 
(D... Suma = 60 + 15r = 108 
7a -1 
(1)... (a+2r-4)=3Ka -4) >a=r+4 A 
Reemplazando en (1) 
6(r + 4) +15r = 108 
 
Reemplanzdo: 
DRA 1.1. 1 1 
+ + ++ 
a=8: a+5r= 208 1x2 2x3 3x4 49x50 
Si menor = 0 => Mayor = 20 ARRAR e 
9 50 
Rpta: (Ey) sE 49 
Rp: (8 50 a Rota: (8 
 a 
 
 
Sié) = 21 Obsorvación: Tenga en cuenta la siguiente 6 ==> : 
p E tor =Sj6- Sis) propiedad 
de sumatorias. 
36 
= 21 Er E 
nn 
se y Ya =nla) 
¡=1 
36 3? : 
Sp" 7 75 Análisis y procedimiento 
Nos piden 6 7 
pat x7-3 
E E 
E 
P Y abc + Y cab + Y bca 
3%x(7-3) 3%x4 Elo isla 
 == $ 
Del dato, la suma de los dígitos del número abc 
 
 
ÓN es 9, 
Fea: a+b+c=9 
5 1 (3x4 á Luego, considerando la propiedad en la expresión 
q a $ ] =3 pedida, tenemos que lo que nos piden es igual a 
n(abc) +n(cab)+n(bca) 
Rpta: (EN 
a nlabe+cab+bca] 
| 
176. 
Resolución: 
Cambiando TF por a; 
q 3r E 67) E qior 
Se obtiene: 
en 
ION EL CACHIMBO 
 
De los datos, se tiene 
 
 
a+tb= 31 +1 +5 +9 +13 
Za= HA +4 +4 +4 
Rpta: (E 
Dado la sucesión: 1; 4; 9; 16:...: 81% 
Se observa 
l: 4: 0: 16;...: 81 
bb. de dl y 
mar a;...; (83) 
Va 
El término 
siguiente sería: (8% + 1) 
Respuesta 
(85+1) Rpta: 
180. 
o A 1 1 
3x6 6x9 '9x12 "* 300x303 
multiplicando por 3 
3 3 3 3 
3S=3x6*6x0*9x12 "* 300x303 
AR ÍA ia 
_E SA 
35=37 303 
51004, 
181. 
Rpta: B 
Resolución 
Por propiedad log, b=1 
En E: 
1 1 1 
= + + + 
log, (pq)+log,r log, (pr)+log,q log, lqr)+log, p 
1 1 1 
E= + - 
log, pqr log, pgr log, pqr 
+1 
E= 109 pq r+108 yq, 9 +108 pop P+1 
Por propiedad: 
E=l0g,, y (Pqr) +1 
E=1+1 .. E=2 
Rpta: 
Logaritmos 
Recordando las propiedades: 
m _ IT m_ m log pa = + Jogya log, po = 
En nuestro caso: =—_ E 
x = log, (3/34) = log,-1(3*.34%) = log aL 
' q 
Logaritmos 
Por propiedades: 
M = log ¿v2 + log,2? + log,2? + lo,2* 
+ ...+log,2% 
M=1+2+3+4+..+20 
M = 20(Q0+1) > M= 10021) 
2 
Rpta: O M = 210 
Logarítmos 
Por propiedad: 
ml 8) (3) .(29] 
Luego operamos:
 
mon E A 
2 810 
m=in(¿ 1) =in101D=-3in101 
Rpta: 
Propiedades de los logaritmos 
x=log,(log,(log¿64))... 
AE 
x=l0g,(log,2) 
x=logy2* 
", x=-1 
Luego nos piden: 
31+x431:231-1431-(-11230, 32 
=1+9=10 
ÁLGEBRA 3 
Por lo tanto, x¡+x2=6 
Respuesta 
La suma de raices de la ecuación es 6. 
Rpta: 
log",x —5log ,x+6=0 
log ,x >< -3 
log ¿Xx -—2 
(lbg,x -3)(log, x-2)=0 
bgax=3 4 log,x=2 
x=)D* x=2* 
x,=8 x¿=4 
El producto es: 32. Rpta: 0 
Rpta: ECUACIONES EXPONENCIALESSe tiene la ecuación 
oir 
=> 2logyx+log,4-3=0 
Multipliquemos por logyx. 
2(logyx)? + log,4 - logyx — 3logyx=0 
> 2(logyx)? - 3logyx + 1=0 
=> 2(logwx) — 3logax + 1=0 
2(log4x) | 1 
(logax) A 
> (2logyx-1)(logy-1)=0 
=> logax=1/2 vw logyx=1 
> x=44 y x=4 
X1 =2 y x2=4 
214%)- 3(2%)-20=0 
2(2%) SÍ +5 
(2*) A 
PH x y 2 22 
xef 
xa=g 
Luego, log,(4)= log,16=4 
Rpta: 
ojo 
Análisis y procedimiento 
Nos piden 
2(y+1) 
72
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
 
Del dato tenemos 
22v+145-2Y=12 
2(20+5(2%)-12=0 
2(2") -3 >» 2=32 
1(2*) +4 => 2*=-4(Ay) 
Luego 
2"=3/2 
2Y+*1=3 > log3=y+1 
x2: 2(y+1)==2log,3=l0g9 
Rpta: 
Tomando logaritmos en ambos miembros: 
logy(*+104) = log10% 
(5+logy)(logy)= -6 
Factorizando: 
2 = 
(logy) +5(logy)+6 =D logy =3 V logy = -2 
logy 3 O 3 2 
yi = 107? v y2=10 
o O 
. Producto de soluciones = y.y» = 10% 
Rpta: 
Logaritmos 
Log»x — logsx +2logox = 8 
2logox = 8 
logox = 4 
¿. log,2 = 4 
Rpta: 0 
De la ecuación: 
log,(+*-4x+7) = log,(x-2)+2l0g,2, 
para x > 2. 
Por propiedades 
log,(1*-4x +7) = log,4(1-2) 
4. x+7 = 418 
*-8+15 =0> (1-31-5) =0 
SNE 
E =5 
1=3x=5 
 
Edo cuadrados = PHS = 34. 
Rpta: 
| 
LOGARITMOS 
logx + logíx - 1)= log60 — log10 
log(? -x) = log6 
ox = 6 
x=3 
x= -2 (no cumple) 
Rpta: a 
Q-3Da +2) = o! 
“ solox = 3 
194. 
logy = log Fé - log 102 + logx 
logy = log LE EZ+ y logx 
logy = log 2 + log 10% + log /x 
 
logy = log(1120 yx) 
>y=11204x 
x=256 : y=1120(16)=17 920 
Rpta:
ÁLGEBRA AMOO OO 
 
Hallar el dominio de la función f, definida Por propiedad: 
 
2x3 por f(x) = qu — ) 
Resolución: 
i)] Primero: 
2x-3 
x+5 
 >0> x6 (ox; 5)u (3:40) 
ii) Segundo: 
2x-3 2x-3 
In 20 >1 al 255 
20>x6 (-0;-5)ul8, +00) 
 
x-8B 
x+5 
Domif): 
 
imii 
= (o; -5)U[8; +00) 
Dom(f)= R- [-5; 8) 
 
Rpta. | R-[-5; 8) 
 
Rpta: (Ey 
Resolución: 
Dividiendo las ecuaciones: 
aer 16 < Pra Bor ja * = 64 
Aplicando log en base a: 
> log,a”=log 64 
Por propiedad: 3y=l0q,4 
3y = 3log,4 
y=log 4 
 
 Rpta. | y =log,4 
 
plogx(x2-5x+15) a 95 log x3 
Luego: 
5109 2 <5+15) E 5/08: 2 
Se tiene: 
log, (4 -5x+15)=log, 9 
Aplicando propiedad: —x?-5x+15=9 
x-5x+6=0 
Factorizando: —(x-3)(x-2)=0 << -3 ¿= 
 
 
e — 1 
Rpta.:| 2y3 Rpta: 
Análisis y procedimiento 
Dado el siguiente sistema, para x e y números 
positivos, piden el valor de x+y. 
2log3x+2log3y=0 (1) 
logyx—log»y=2 (11) 
Resolvemos el sistema: 
En (1) 
log3x+log3y=0 
log3(xy)=0 
=> xy=1 (e) 
En (11) 
logax—log9y=2 
=)-2 092 |* 
sy sa (B) 
v 
De (a) y (B), se tiene ,é=4 > x=2 (x>0) y al 
reemplazar tenemos y=1/2 
Rpta:
ÁLGEBRA ¡AMOO OO 
 
INECUACIONES 
fix) existe sobre Re 
l+x E)» 
a >Dra 
l-x l+x 
dx+1 
l+4x 
 )»o 
comoa > 0, as1 
x+1 
x-1 
 
x+1 
Sxecclba E EA 1» y 4 4” 
1 e: SxEel 4 » 
Dominio de N==z 1; 
p-q=3 
Rpta: 
Luego, p=4 A q=1 .. 
Rpta.: 3 
Definición de logaritmos 
log,N=x + b=N 
x>0;b>0 a bx=1 
Propiedad de logaritmos 
log, M-log,N=10gp ++ 
Análisis y procedimiento 
Sean los números reales positivos a y b. 
Del enunciado 
loga-logb=5 
(1) 
Además, en el dato se tiene que 
a?+b*=11 
a b . ¿a b_11 
+ (ab): br 
a ab 
11 
De (1): 410 + + 
1 
10 
2 ab= 10 
Piden el conjunto solución de: 
Rpta: 
log, LÉ +2x-8)< 4 
Z 
Operación del problema 
1 > log, (x? +2x - 8)< Alog, > 
2 2 
log, (x2 +2x - 8)< log, 16 
2 
(x? +2x-8)>0 1 x? + 2x-8> 16 
PO
 
 
x2 +2x-8> 16 
x? +2x-24>0 
(x + 6)(x- 4) > 0 
 «MU 
6 4 
 
Conclusiones y respuesta 
C.S. = (—o; 6) U (4; 00) 
Rpta: a 
fo <3 
q4-21+1 < 3 1/4 
(1-1) < 1/4 
-112<t-1<12 
1/2 <1<3/2 
te[1/2; 3/2] 
Rpta: 
75
ÁLGEBRA EL CACHIMBO 
203. 206. Análisis y procedimiento 
Dato: 5000 = 2500 el5k Se tiene el rectángulo: 
 
 
>el5k=29 b 
En 90 minutos: entonces Q(90) = 2500 ek il 
=2500(e15)0 
_ 6 
= 2500(2) dondearbeZ;a<b 
= 160 000 Del dato 
Apla: ax b=357=3x7X17 
2 Adecuando los | | yb 
POE 2 factores: E 
1 357 ——> 358 
YE as] a 119: ——= 122 
P=760e 8 7 51 —=» 58 
| 17 21 — 38 
190=e 8 Nos piden: (a+b) sr. 
Ln4=2 De los 
4 casos: (a+b),,¡ =38 
Rpta: 
h =8Ln4 Pp 
205, Transformando E: E = Y 6+2v9-x* 
Del dato, formaremos E: 
7 3<x<3 cl 313 
a) 0/3 ES 
pena 30 6<6+249-x*<12 
450 =75 + A(5) Ve<vV6+24V9-x? < /12 
A = 375 E TS 
reemplazando 
156 = 75 + 375(2) 
39 (28 
($) = (5) 
“r=9 
76 
Entonces: 6 <E<y12 
puese="3 Máximo número 
entero menor a E 
a 6 2 
Rpta.: 2 Rpta:
 
 SOLUCION Y ÁLGEBRA daa 
yO A 8B-4515+417) 
áe a 
De los datos: 
El denominador es 24 
L b<0<a—»=bi<a? A D | 
Multiplicando por ab : 
_ 211. 
ab? > ab 
alb <abi...... (uy Programación lineal 
Mo laból==abÍ cnica y FPreeremaeción Raco! = Bonito: x 
m. Vab?=Vad62=Va lbl=-b/a “ovina: y 
pia (yy Restricciones: 
Respuesta: VVV x< 2000 
y<2000 
Rpta: x+y< 3000 
U(x;y) = 1000x + 1500y 
 
0) 
Por MA > MG 5% (1000:2000) 
24 ( 
a 2 a? L 2 > 2000 
a“+ 2, 2 2 (verdadero) 
a 
Rpta.: Solo | Rpta: 
La utilidad máxima para x = 1000 a y = 2000. 
Rpta.: 1000 de bonito, 2000 de 
corvina. 3 
15+54/5 347 —J/35 
”- a 
Factorizando: — 
3 3 
5(3+45)-V7(3+ 45) (3+ 1515-47) 
Racionalizando: 
33/5154 V7) ,_ 381518447) 
EAST 00 
 
77
ÁLGEBRA ¡AMO NO O 
 
¡SAN MARCOS TE ESPERA! 
 
 
A TÓN AMOO 00) 
AA 
a Xx 
MEE 
que ingresarán 
79
 
ARCA TN AMOO O 
SAN MARCOS, LA 
DECANA DE AMÉRICA, 
TE ESPERA. 
 
 
TOMADO EL SÁBADO 16 DE SEPTIEMBRE 
DEL 2017 
ÁREAS A, By D 
Pregunta 212 
El número N de presas consumidas en 
un periodo de tiempo por cierta especie 
depredadora de una reserva ecológica está 
dado por 
2 
N=—* 
41 2x + 20 
donde x es la densidad de presas, es decir, x es 
el número de presas por unidad de área. ¿Cuál 
es la densidad de presas para un depredador 
de esta especie, si consume 20 presas en cada 
periodo de tiempo? 
 
A) 45 D) 41 
B) 37 Ep 1Sl E) 39 
Resolución 212 
Ecuaciones 
Ecuación cuadrática 
Del enunciado 
N=20 
20x2 _ 
20x +41 0 
> x2-40x-41=0 
x=41 vx=-1 
Rpta.: 41 
Pregunta 213 
Rpta: 
En un parque, usando una cuerda de 34 
metros, un jardinero diseña un rectángulo cuya 
diagonal mide 13 metros. Si las longitudes 
de sus lados, en metros, son a y b, halle la 
diferencia positiva de los cuadrados de a y b. 
A) 187 D) 255 
B) 105 C) 128 E) 119 
 
Resolución 213 
Ecuaciones 
Planteo de ecuaciones 
 
 
b 13 
a 
2(a +b) =34 
a+b=17... (a) 
Por Pitágoras 
al+b%=134 ... (B) 
Reemplazando a en f 
(17-b)2+b%= 13% 
b=12 vb=5 sib=5,a=12 
Reemplazamos en q Por la pregunta 
sib=12,a=5 a=12 , b=5 
Rpta.: a“-b?=119 
Rpta: 
La función f está definida para todos los 
números reales positivos y cumple 
Pregunta 214 
3£(x) + 21/2800, = 4x0. 
Calcule f(5) , 
A) -668 C) 648 D) -568 
B) 368 E) -468 
Resolución 214 
Funciones 
Funciones 
Valor numérico 
x=5 => 3 fi5y+2 fí300)=20 
x=300 => 3 fizo0) +2 f(5)=1200 
Resolviendo el sistema: 
=-468 
6) Rpta.: -468 Rpta:
EA 
 
Pregunta 215 
Halle el conjunto solución de 
Yx+13<3+y4-x. 
A) [-13; 4) 
B) F12;4) 
C) [-13; 3) 
Resolución 215 
Inecuaciones 
D, |-12; 
E) (-13; 
) 
Inecuaciones racionales 
i). CV. A=[-13; 4] 
ii) Elevando al cuadr 
x+13<9+6/4-x +4-x 
x<3y dx 
+) -13%x350:x<3y4-x 
e a 
—xeR 
S¡=[-13; 0> 
..)0<x<4:x2<9(4-x) 
—-12<x<3 
S¿=[0; 3> 
“.C.5S.=s5 Uso= [-13;0>U [0,3 > 
¿E.5.=[13,3> 
Rpta: (E) 
TOMADO EL DOMINGO 17 DE 
SEPTIEMBRE DEL 2017 
ÁREAS C y E 
Pregunta 216 
Rpta.: [-13,3 > 
En un cultivo de bacterias, el número T de 
horas transcurridas y el número N de bacterias 
al cabo de T horas están relacionados por 
i
a
 
t
u
 
a
l
 
 
logí(N) = log(4)+Tlog(5). 
Si han transcurrido seis horas, ¿cuántas 
bacterias habrá en el cultivo? 
A) 12500 C) 62500 D) 72500 
592 500 B) 312500 E) 
Resolución 216 
Logaritmos Ecuaciones 
logarítmicas 
De la ecuación: 
log(N) = log(4.51) 
>N = 451 
Para T =6 
N = 4.5% 
. N = 12500 
Rpta.: 12 500 Rpta: 
Pregunta 217 
En su viajea Madrid, Ramiro va al 
supermercado y paga un total de 156 euros 
por 24 litros de leche, 6 kg de jamón y 12 litros 
de aceite. El necesita saber el precio de cada 
artículo para organizar su presupuesto. Sabe 
que 1 litro de aceite cuesta el triple de 1 litro 
de leche, y 1 kg de jamón cuesta igual que 4 
litros de aceite más 4 litros de leche. Si luego 
decide comprar 1 kg de jamón, 1 litro de aceite 
y 1 litro de leche, entonces gastará ___ euros. 
A) 20 a 30 D) 18 
Bj 24 E) 22 
Resolución 217 
Ecuaciones 
Planteo de ecuaciones 
Leche: L 
Jamón: y 
Aceite: A 
Del enunciado: 
241 +6J+12A = 156 ........... (a)
AAA 
 
Datos: 
« AZ3K 
k K 
*J=4A+4 
=> y = 16K 
Reemplazamos en (a) 
K=1 
> L=1; A=3; J=16 
De la pregunta: 
J+A+L=20 Rpta: (8) 
Pregunta 218 
Sea au y [P las raices de un polinomio mónico 
p(x) de segundo grado tal que a + PB = 2n+1, 
al + p2 = (2n + 1)? — 2n(n + 1), n > 3. 
Entonces, el polinomio es 
A) plx)=x* - (2n+1)x + n(n +1). 
B) plx)=x? - (2n+ 1)x - n(n-1). 
C) p(x)=x*- (2n+1)x + n(n+1)2. 
D) píx)=x? - (2n + 1)x - n(2n-1). 
E) p(x)=x? -— (2n + 1)x + 2n(n-1). 
Resolución 218 
Polinomio 
Polinomio 
Sea el polinomio p(x) = x2 —sx + p 
donde: 
S= a+ pP=2n-1 
P= a.B = 
(a+ Br? - (02 +82 _ (2n- 1)2-1(20 1)? 2n(n+1) 
Z 2 
P= nin+1) 
2. plx)= x2-(2n+1)x+n(n+1) 
Rpta.: p(x)= 2-(2n+1)x+n(n+1). 
 
Pregunta 219 
Sea x e E — (0). Halle el conjunto solución de 
la inecuación Vlx2—x1-]x P < Ax]. 
3 4 ae a. >» 
B) (0;5] Er (02 
Resolución 219 
Inecuaciones 
Inecuaciones con valor absoluto 
*C. A. 
l2=x/-]xP>0 A |x|>0 
(Ilx-11/-]|x))>0 YxER-(0) 
+ Ix-1|-|x]>0 
(2x-1)-1)>0 
CM.A = (00; 5| -(0) 
Resolviendo la inecuación: 
Ix?=x]-]x[? <]x] 
px 11Ix1-1)<0 
+ |x-1l|-|x)-1<0 
hx-11<1|x]+1 
Ix-11<|x]+1-1| 
Por propiedad 
(x)(-1) <0 
Entonces x € (0; + 09) 
Rpta. 
x € (=00;3] n(0;+ 0) 
Entonces 
1 
x € (0;-3] 
Rpta.: (0;5] Rpta:
SALI 
 
SAN MARCOS 2018-11 
TOMADO EL SÁBADO 17 DE MARZO DE 
2018 
ÁREAS A, By D 
Pregunta 220 
Una lancha recorre un tramo de 72 km de un río 
de la selva en cuatro horas, a favor de la corriente, 
y recorre el mismo tramo de regreso en seis horas, 
en contra de la corriente. Si las velocidades de 
la lancha y la corriente se mantienen constantes, 
calcule la velocidad de la corriente. 
A) 4,0 km/h D) 3,0 km/h 
B) 25kmmM 9 20m am 
Resolución 220 
Ecuaciones 
Planteo de ecuaciones 
Del enunciado: 
+ Velocidad del rívo=R km/h 
* Velocidad de la lancha=V km/h 
Planteando las ecuaciones: 
(V+R).4=72 ...(01) 
(V-R)J6=72 ...(P) 
De (a) y (BP) al resolver se tiene: 
Y=15 km/h y EKH=3 km/h Rpta: (D] 
Pregunta 221 
En una tienda compré cuadernos anillados por 
un total de S/ 328.00. Si hubiese comprado 
cuadernos sin anillar que costaban cada 
uno S/ 4,5 menos, habría comprado cuatro 
cuadernos más y gastado solo S/ 320. ¿Cuánto 
costó cada cuaderno anillado? 
A) S/32,80 D) s/ 10,25 
C) S/ 16,40 
B) S/20,50 y E) S/16,00 
Resolución 221 
Ecuaciones 
Planteo de ecuaciones 
Caso |: Cuadernos anillados 
Precio total=S/ 328.00 
Precio unitario='S/ p 
Número de cuadernos= q 
p.q= 328... au 
Caso ll: Cuadernos sin anillar 
Precio unitario = S/ p-4,5 
Número de cuadernos = q +4 
Precio total = S/ 320 
(p-4,5).(q+4)=320... B 
De las ecuaciones « y f, se tiene p=20,5 A q=16. 
/. El costo de cada cuaderno anillado es S/ 20,50. 
Rpta.: S/ 20,50 Rpta: a 
Pregunta 222 
Un objeto, a cierta temperatura inicial, es 
colocado en un ambiente refrigerante. A los 
20 minutos de ser colocado, el objeto tiene 
una temperatura de 40 *F y, 20 minutos 
más tarde, tiene una temperatura de 20 *E 
Si la temperatura T en *F se obtiene según 
el modelo T(t)= Ae'*! , siendo t el tiempo en 
minutos, ¿a qué temperatura inicial se puso el 
objeto en el ambiente refrigerante? 
A) 60*F D) 
Cc) 72*F 
B) 160*F E) 
Resolución 222 
80 “F 
100 %F 
Funciones 
Función exponencial 
La temperatura está dada por: Ty =A.e 
* — Alos20 minutos: t=20 min a T¡20,-=40 PF 
Reemplazando en la función: [40 = ae ...(01) 
+ 20 minutos más tarde: 
t=40 min a Tíqo=20 *F 
Reemplazando en la función: [20 = At (5) 
 
 
 
 
AI | 
 
Dividiendo (a)+(B) 2=e20.k 
Tomando el logaritmo neperiano: Ln(2) =20K 
Reemplazando en (a): 40=A.e Mmi2) >, A=80 
La temperatura inicial será para: t=0 
T(0)=80 Rpta.: 80 “E Rpta: 
Pregunta 223 
Halle el rango de la función 
 
4 
at) = 2% x e R-(1,-1) 
1=x 
A) (00; -2)U| y, +00) 
B) [2,+00) 
C) o,-2)U(1, +00) 
D) (-o,- 1)UuÍ2, +00) 
E) (=00,- DU(S, +00) 
Resolución 223 
Funciones 
Rango de una función 
De la función 
24+x0 
1-x? 
 y > 
Despejando 
4 4 Y-yx*=2+x 
4 y72 
y+1 
Al resolver la inecuación: 
y=2 > 0) —>=y € <-o-1> y [2;+0> 
a 
Rpta: (15 
TOMADO EL SÁBADO 18 DE MARZO DE 
2018 
ÁREAS C y E 
 
 Rg= <-09-1> U [2;+0> 
Pregunta 224 
Miguel es un vendedor que está evaluando dos 
alternativas en relación con el salario que le 
ofrecen: un sueldo fijo mensual de S/ 1000 más 
el 5 % de las ventas o un sueldo fijo mensual 
de S/ 800 más el 10 % de las ventas. Estas dos 
propuestas se pueden representar como dos 
funciones lineales de las ventas del mes, cuyas 
gráficas se intersecan en un punto P ¿A qué 
valor de ventas corresponde este punto? 
A) S/ 3000 D) S/ 4000 
C) S/ 4200 
B) S/ 2800 E) S/ 3600 
Resolución 224 
Funciones 
Función lineal 
Precio de venta: 
Función salario: EN = 
 
P%x + (sueldo fijo) 
 
 
 
Caso 1: 
F1(x) =5%x + 1000 
Fi (x) = 20 + 1000 
Caso 2: 
Fo(x) = 10%kx + 800 
 
Falx) = 37 y +800 
 
F1 y Fo se intersecan en P 
F1(x) =F2(x) 
29 +1000= 3% 2 +800 
Resolviendo: x = 4000 
*. El precio de venta es S/4000. Rpta: 
Pregunta 225 
En un estudio de mercado se determinó que se 
venden 130 docenas de un producto a un precio 
unitario de S/ 14 y que, por cada incremento de 
S/ 1 en el precio unitario, se venden 5 
docenas menos.
AN | 
 
Si p es el precio unitario de venta, determine el 
ingreso por la venta de este artículo en función 
del precio p= 14. 
A) —60p? + 2400p 
B) —60p*+1800p 
C) -48p?+2400p 
D) -56p*+ 1800p 
E) —60p*+3000p 
Resolución 225 
Función 
Venta: 
Número de artículos = 130 docenas = 1560 
Preciounitario =S/ 14 
Variación de la venta: 
Número de artículos = 1560 — 60x 
Preciounitario=p=14+x —>x=p-14 
Siendo el ingreso “I” se tiene: 
| = (1560-60x)p 
Reemplazando:x =p-14 
[| = [1560-—60(p-14)]p 
Reduciendo: 
| =-60p* + 2400 Rpta: 
Pregunta 226 
La suma de los coeficientes del polinomio 
Xx + ax? + bx + 3b- 2a es -21, y su término 
independiente es -24. Calcule la suma de las 
raíces negativas del polinomio. 
A) -12 s O -6 D) -8 
B) -4 E) -9 
Resolución 226 
Ecuaciones 
Plx)=x9+ax2+bx+3b-2a 
Datos: suma de coeficientes: P(1)=-—.21 
 
término independiente: P(0)=-24 
De los datos: 
P(0)=3b-2a=-24 
P(1)=1+a+b+3b-2a=-21 
(5 - 2a=- 24 
db-a=- 22 
Al resolver el sistema: 
se tiene: b=—4 1 a=6 
Plx) =x9 + 6x2 —4x—24 
Factorizando: 
Plx)=(x+6)(x+2)(x—2) 
raices: —6; —2; 2 
*. suma de las raíces negativas: —-6-2=-8 
Rpta: 
Pregunta 227 
El conjunto solución de 
x2+5x+1<2x2+6x-1<4x2+11-4 
es <-,a>u <b, +0 >. Halle a+b. 
A) 3 B)-2 C)2 D)-3 E) 0 
Resolución 227 
Inecuaciones 
Del sistema: x2+5x+1<2x2+6x-1<4x2+11x 
—d Se tiene: 
e x24+5x+1<2x2+6x-1 
x2+x-2>0 
e 2x2+6x-1<d4x2+11x-4 
2x2+5x-3>0 
Al resolver las inecuaciones se tiene: 
xe<—0w; -2>uU <l; +0>4 
kE <—00; -3>u<); + 1 > 
Luego el conjunto solución: 
cs=<-—e; —-3> U <l¡+0w > 
De la condición: a=-3 4 b=1 
.a+tb=-2 Rpta:
AE AAA 
 
SAN MARCOS 2019-1 
TOMADO EL SÁBADO 15 DE 
SEPTIEMBRE DE 2018 
ÁREAS A, B y D 
Pregunta 228, TEMA: FUNCIONES 
La población de cierto tipo de bacterias se 
obtiene según el modelo P(t)= kA!, t e [0,5]; 
donde P (t) representa el número de bacterias 
después de t horas, donde (k,Aj< R*. Si la 
población inicial era de 100 bacterias (t = 0) 
y, dos horas después, había 400 bacterias,¿cuántas bacterias habrá después de dos horas 
más? 
A) 2800 
cy 200 Pl 320 
B) 800 E) 1600 
Resolución 
Del enunciado: 
t=0: Pio)= 100 
K=100 
t=2: Pi2)=400 
100A2=400 
A=2 
La población está modelada por P(t)= 100.2*. 
Para t=4: 
Pig) = 100.2* 
Pig) = 1600 
La población de bacterias en 4 horas es 
1600. 
Rpta.: 1600 
Pregunta 229, TEMA: ECUACIONES 
Un comerciante textil alquila un total de 19 
máquinas, entre remalladoras, bordadoras y de 
coser, a 80, 50 y 60 dólares, respectivamente, 
y obtiene un total de 1240 dólares semanales. 
Si aumentara en 20 dólares el alquiler de cada 
remalladora, en 10 dólares el alquiler de cada 
remalladora, en 10 dólares el alquiler de 
cada máquina de coser y disminuyera en 10 
dólares el alquiler de cada bordadora, 
obtendría un total de 1420 dólares a la 
semana. ¿Cuántas máquinas bordadoras 
alquila semanalmente? 
 
 
 
 
 
Ap7 B4 C)6 D)5 E] 8 
Resolución 
Del enunciado se tiene: 
yd ; Costo 
Máquinas [Cantidad | Costo $ Sipeato $ 
Remalladoras X 80 100 
Bordadoras y 50 40 
De coser Z 60 70 
TOTAL 19 1240 1420 
Formando las ecuaciones: 
x+y+z=19 
80x +50y+60z = 1240 
100x+40y+70z = 1420 
Al resolver, y =4 
Rpta.: 4 
Pregunta 230. TEMA: ECUACIONES 
Con respecto a las raíces del polinomio 
p(x)=x9-7x+ m, m e E, se sabe que una raíz 
es positiva e igual al doble de otra. Halle la 
suma de los cubos de todas las raíces de este 
polinomio. 
ye D) -9 A) -24 C) -21 ) 
B) -18 E) -15 
Resolución 
x1=05 x9=20; x3=P 
Del polinomio se tiene: 
e x¡+x9+x3=0>8$=-30u 
* xx Xo+x9x3+x3x3=-7 >a=1
DAA 
 
Entonces: 
x=1 x3=2 x3=-3 
Por lo tanto: xi + x3+ x3 =- 18 Rpta.: -18 
Pregunta 231. DESIGUALDADES 
Con un rollo completo de alambre es posible 
cercar un terreno de forma cuadrada. Si con 
la misma cantidad de alambre se puede cercar 
un terreno de forma rectangular, con un lado 6 
metros mayor que el otro lado y de área 
mayor o igual a 40 m2, ¿cuántos metros puede 
medir, como mínimo, el perímetro del terreno 
de forma cuadrada? 
 
 
 
 
A) 24 C) 20 Dj) 28 
B) 32 E) 30 
Resolución 
TF L 
| 
H—=x 
Perímetro (cuadrado) =4x 
F O 
y 
ll ¡0 
h y+0 
Área=y(y+6) 
Perímetro (rectángulo) ==4.y+12 
Del enunciado, perímetros iguales: 4x=4y+12 
y=x-3. 
Además: 
vly+6)=40 
(x-3).[(x+3) > 40 
x2>49>x>7 
Xmín=7 
. El perímetro mínimo del cuadrado es 28m 
 
ÁREAS C y E 
Pregunta 232 
Un comerciante compró cierta cantidad entera 
de kg de arroz, luego vendió 38 ka y le quedó 
más de la mitad de lo que había comprado. Al 
día siguiente, logró vender 15 kg y le quedó, 
finalmente, menos de 25 kg. ¿Cuántos kg de 
arroz compró el comerciante inicialmente? 
A) 81 
B) 80 
C) 78 
D) 77 
E) 75 
Resolución 
Desigualdades 
Cantidad de arroz="“x" kg (xe 2 *) 
vendió=38 kg 
quedó=(x-38) kg 
De la condición: x-38>7 
x>76 ... (1) 
Al día siguiente: 
vendió=15 kg 
quedó=(x-53) kg 
De la condición: x-53<25 
x<78 ... (11) 
De (I) a (II) 
x= 77 
*. Inicialmente compró 77 kg de arroz. 
Rpta.: 77
Ea 
 
Pregunta 233 
Un escolar gastó cierta suma de dinero para 
comprar un maletín, un lapicero y un libro. 
Si el costo de los útiles fuese > A y z 
de los precios originales, respectivamente, el 
gasto sería 8 soles; en tanto que si el costo 
fuese 5, $ Y E de los precios originales, 
respectivamente, el gasto sería 12 soles. 
¿Cuántos soles gastó dicho escolar? 
Aj 48 
B) 56 
C) 65 
D) 60 
E) 54 
Resolución 
Sistema de ecuaciones 
Sean los costos 
Maletín: a 
Lapicero: b 
Libro: e 
Gastó a+b+c. 
Suposición 1: L+i+é- (1) 
Suposición 2: 2-+-2+-+<=12... (2) 
(1) x 20: 2a+5b+4c=160 
(2) x 24: 6a+3b+4c=288 
8a+8b+8c=448 
a+b+c=56 
/. Gastó S/56. 
+ 
Rpta.: 56 
Pregunta 234 
Dado el conjunto 
M= fx e R*/3logx-log32 = 2109 (5), 
determine el número de elementos de M. 
A) 4 
B) 1 
Cc) 0 
D 3 
E) 2 
Resolución 
Logaritmos Ecuaciones 
logarítmicas 
De la ecuación 
3.logx -log32 =2.109(X.) 
2 
3.logx -log32 =2.logx-2.10g2 
logx=log32 -log4 
logx=l0g8 
x=8 
M=(8) 
/. El número de elementos del conjunto M es 1. 
Rpta.: 1 
Pregunta 235 
Se tiene un sólido compacto, con forma de 
un paralelepípedo rectangular recto, cuyas 
dimensiones de su base son (a+2)cm y 
(3a+.2) cm. Si su altura mide (a +3) em y su 
volumen es 160 cmd, determine el perímetro 
de su base en centímetros. 
A) 48 
B) 24 
C) 32 
Dj) 16 
E) 40
A Ed 
 
Resolución 
Ecuaciones Ecuaciones 
polinomiales 
Sea el paralelepípedo: 
 
(a+3)cm 
 (a+2) cm 
(3a+2) cm 
Datos: Volumen=160 cm? 
(3a+2)(a+3)(a+2)=160 
Luego de resolver para aeKE, la única solución 
será a=2. 
Luego: 
Periímetropas.=2(a+2+3a+2) 
Perimetropaso=2(4a+4) 
Perimetropas.=214( 
Períimetropase=24 cm 
Rpta.: 24
ÁLGEBRA 2019-II 
ÁREAS A, By D 
Pregunta 236 
Dos números consecutivos no negativos 
tienen la siguiente propiedad: el cuadrado de 
su producto excede en 90 al doble del cubo 
del menor de ellos. ¿Cuánto suman dichos 
números? 
A) 7 
B) 11 
C) 9 
D) 13 
E) 5 
Rpta: 
Resolución 
Ecuaciones 
Planteo de ecuaciones 
Dos números consecutivos no negativos: x; x+1. 
Del dato: 
[x.(x+1)2]2-90=2.(x3) 
Al resolver: 
x2.(x+1)2-2.x9=90 
x2 (x2+1)=90 >3x=3 
Luego, los números son 3 y 4. 
. La suma de dichos números es 7. 
Rpta.: 7 
Pregunta 237 
Un comerciante vende tres variedades de 
quinua: roja, negra y amarilla. Los precios de 
cada kilogramo de estas variedades de quinua 
son S/18, 5/20 y S/10 respectivamente. Al 
finalizar el día, vendió un total de 40 ka de 
quinua y el importe por todo lo vendido fue de 
S/576. Si el número de kilogramos vendidos 
de quinua roja menos los de quinua negra 
es la quinta parte del número de kilogramos 
vendidos de quinua amarilla, ¿cuántos 
kilogramos se vendió de la quinua que tuvo 
mayor demanda? 
Aj) 24 
Bj) 18 
cl) 22 
D) 20 
El 12 
Resolución 
Sistema de ecuaciones 
Planteo de ecuaciones 
Del enunciado se tiene 
 
Cantidad | Precio |Importe 
 
 
 
 
Quinua roja X 18 18x 
Quinua negra y 20 20y 
Quinua amarilla z 10 10z 
Total 40 576 
del cuadro se tiene 
x+y+z=40 
18x + 20y + 10z = 576 
5x - 5y =Z 
Al resolver el sistema tenemos: 
x=12 
y=8 
z=20 
nos piden la cantidad de quinua que tuvo mayor 
demanda. 
Quinua amarilla = 20 kg 
Rpta.: 20
 
Pregunta 238 
Un móvil se desplaza a velocidad constante 
desde el punto M hasta el punto N, siguiendo 
el recorrido dado por la gráfica de la función 
fix) =5-|x-4], x€ [0, 9]. Si las coordenadas 
de M y N son (0, f(0)) y (9, f(9), halle la 
distancia recorrida por el móvil sabiendo que x 
se mide en kilómetros. 
A) 10/2 km 
B) 9/2 km 
C) 842 km 
D) 642 km 
E) 1242 km 
Resolución 
Funciones 
Funciones básicas 
De la función: F(x)=5— |x—4/; xe[0; 9] 
 
0 | A 9 [a 
Del gráfico, la distancia recorrida por el móvil 
será: 
d,=442+4? =4/2 
dy / 7787 =5/2 
Luego: 
d¡ +do= 442 +52 
Distancia es: 9/2 
Rpta.: 9/2 km 
Pregunta 239 
Se coloca 4 kilogramos de una sustancia en un 
recipiente con agua y, cada minuto, se diluye 
el 19% de la cantidad de esta sustancia. Si la 
cantidad de sustancia no diluida, al cabo de 
t minutos, está dada por la función Q(t), en 
kilogramos, halle una expresión equivalente 
para Q (4) 
A) 3(0,9)' 
B) 4/0,19)2 
Cr) 2 0.817 
Dj) 4(0,81)' 
E) 4(0,9) 
Resolución 
Funciones 
Funciones exponenciales 
Del enunciado, se nota que la cantidad no 
diluida tiene la forma: 
Qi = K.a! 
i) inicio: t=0 
Qi) =4>K=4 
li)t=1 
Qi) = K.a 
ya 
81%.(4) = 4a > a=0,81 
La cantidad no diluida es 
Qíy =4.(0,81)' 
Nos piden 
L 
2 
Qt) = 4.(0,9) Rpta.: 4(0,9)'
 
ÁREAS C y E 
Pregunta 240 
El domingo pasado, un museo recibió cierto 
número de visitantes. Hasta el mediodía lo 
habían visitado 42 personas y en la tarde 
asistió el resto, que era más de las tres quintas 
partes del número total de visitantes. Después 
del mediodía hasta las 4:00 p. m., 31 personasvisitaron el museo, y los que lo visitaron 
después de las 4:00 p.m. fueron menos de 
34 personas. ¿Cuántas personas visitaron el 
museo después del mediodía? 
A) 62 
B) 60 
C) 65 
D) 66 
E) 64 
Resolución 
Desigualdad 
Planteo de ecuaciones 
EE A I. Número total de visitantes ="x 
IL. Hasta el mediodía 
número de visitantes = 42. 
De la condición 
x-42> =() > ac 10) 
IIl.. Después del medio día hasta las 4:00 p.m. 
número de visitantes = 42 +31 =73 
IV. Después de las 4:00 p.m. 
x-73<34 > (8) 
De (a) y (PB) se tiene x = 106. 
Luego, el número de personas que visitó el 
museo después del mediodía es 
106-42 = 64. 
Rpta.: 64 
Pregunta 241 
Si M es el menor número entero que satisface 
la desigualdad 
-12+2x-—2 <M, para todo x e R, halle el 
valor de M* — 6M + 9, 
A) 16 
B) 9 
C) 4 
D) 1 
E) 25 
Resolución 
Desigualdades 
Teorema del trinomio positivo 
De la desigualdad: 2423 <M; VxER 
Se tiene x2-2x+ 2 +M>0; vxeKE. 
Como la desigualdad se verifica para todo valor 
xER 
a=(-2P-4.(1)(5+M)< 0 
M>-32 
2 
luego, el menor valor entero de M es M=-1. 
Nos piden M?-6M+9=16. 
Rpta.: 16 
Pregunta 242 
Jaime tiene una pequeña empresa dedicada 
a fabricar polos. Su ingreso semanal en soles 
está determinado por la función 1(x)= ax? + bx, 
donde x representa el número de polos 
vendidos en una semana. Si se venden 120 
polos en una semana, el ingreso es de S/5760; 
además, la venta de 300 polos semanales 
genera el ingreso máximo. Halle el ingreso que 
se obtiene en una semana en la que se venden 
200 polos. 
A) S/8000 
B) S/7800 
C) S/8200 
D) S/8500 
E) S/7500
 
Resolución 
Funciones 
Función cuadrática 
Ingreso semanal en soles: l(x)=a.2+b.x 
Número de polos vendidos por semana: “x” 
i) arax=120 > 1(120)=5760 
Entonces [14 400a+120b=5760]... (2) 
 
 
li) ara x=300 > 1(300) =ingreso máximo 
E y Entonces |300 = 2a ..(B) 
 
 
Al resolver (a) y O se tiene a= 5 b=60. 
iii) Nos piden eso para x=200. 
1(200)=(--)).(200)2+(60)(200) 
1(200) =8000 soles 
Rpta.: S/8000 
Pregunta 243 
La administración de un hotel adquirió un 
total de 200 unidades entre almohadas, 
mantas y sábanas, por lo que gastó un total 
de 7500 soles. El precio de una almohada fue 
16 soles; el de una manta, 50 soles; y el de 
una sabana, 80 soles. Además, el número de 
almohadas compradas fue igual al número de 
mantas sumado con el número de sábanas. 
¿Cuántas unidades más de almohadas que de 
sábanas compró? 
A) 70 
B) 30 
C) 100 
D) 40 
E) 50 
Resolución 
Sistema de ecuaciones 
Planteo de ecuaciones 
Del enunciado 
 
 
 
 
 
 
 
Cantidad | Precio Gasto 
Almohadas Xx 16 16x 
Mantas y 50 50 y 
Sábanas z 80 80 z 
Total 200 7500 
Del cuadro; se tiene: 
[x+y+z=200 
116x+50y+80z=7500 
|IX=Y+Z 
Al resolver el sistema, se tiene: 
=100; y=70; z=30 
Nos piden: x-z=70 
Rpta.: 
70 
 
ÁLGEBRA 2020. 95 
ÁREAS: A, By D 
Resolución 245 
Pregunta 244 
Funciones 
Un paciente necesita 65u de proteínas y 45u de 
carbohidratos, y ha encontrado en el mercado 
dos tipos de alimentos: el del tipo A que Q(0)=12 
contiene 3u de proteína y 2u de carbohidratos, Q(t)= do Q(O) 
y el del tipo B que contiene 4u de proteínas 4 
y 3u de carbohidratos. Si el paciente compra Q()=3 
ambos tipos de alimentos, ¿cuántos alimentos 
Función exponencial 
del tipo B compró? 0()=12 (273 =3 
eS 293=97? 
E) E t=6 horas 
Cc) 10 o Rpta.: Rpta: pta.: 6 e le a 
PREGUNTA 246 
Resolución 244 
Un fabricante de muebles paga a los carpinteros 
Sistema de ecuaciones un salario de S/950, más S/300 por cada mue- 
 
 
 
 
Planteo ble terminado. Si el gasto mensual de uno de los 
Tipo de carpinteros es S/2100, ¿cuántos muebles, como 
ieñto Proteínas [Carbohidratos [Cantidad mínimo, debe terminar al mes para cubrir sus 
A 3 9 $ gastos? 
B d 3 y AJ4 B) 3 
Total. 05 45 Ccy2 D) 5 
e +4y=65 _x=15;y=5 Resolución 
2x+3y=45 Tema: INECUACIONES 
. Rpta: 
Rpta.: 5 pa Sean: x muebles 
Pregunta 245 Sueldo= 950+300x 
El tecnecio radiactivo es utilizado para 
contrastar imágenes de órganos internos, y su 
cantidad ()(t) en miliaramos va disminuyendo Dato: 950+300x > 2100 
de acuerdo con el tiempo “t" en horas de 
Gasto= 2100 
23 aplicación, según el modelo matemático 12:2x3,8 
Q()= 129. ¿Después de cuántas horas de 6 e 
inoculado el tecnecio quedará la cuarta parte Xmín( y= 4 
de la cantidad inicial? 
A) 
B) 
C) 
D) 
Debe terminar como mínimo 4 muebles. 
Rpta: 
D
o
 
q
> Ed IS 
Pregunta 247 
Se preparan dos variedades de dulces. La primera 
requiere para su elaboración medio kilo de azú- 
car rubia y 8 huevos, y será vendida a 5/8. La 
segunda necesita 1 kilo de azúcar rubia y también 
8 huevos, pero será vendida a 5/10. Solo se dis- 
pone de 10 kg de azúcar rubia y 120 huevos. Si 
se logra vender todo lo que pueden preparar con 
estos suministros, ¿cuál es el ingreso máximo que 
se puede obtener? 
A) 5/140 B) 5/130 
Cy 5/150 Dy 5/120 
Resolución 
Tema: PROGRAMACIÓN LINEAL 
Sean dos tipos de dulces: A y B 
 
 
 
Tipo A Tipo B 
Azúcar rubia 1/2 1 
Huevos 8 8 
Función Objetivo: F(x; y)= 8x+10y 
¿A+ys10 a. 
8x+8y<120 ...Z, 
 
x, y20 
Y 
P(0; 10) QUO; 5) 
. > R(15; 0) > Z, L, 
Hallando Q 
Li+y<10 
2 x= 10 
=> 
x+y= 15 y=35 
F. Objetivo 
F(x; y)= 8x+10y 
P: F(0; 10)= 100 
Q: FC0; 5)= 130 > Máximo 
R: F(15; 0)= 120 
Respuesta 
S/130 Rpta: 
ÁREAS: C y E 
Pregunta 248 
Cierto día asistieron a un teatro solo adultos y 
niños: en la función de la mañana asistieron 11 
adultos y 6 niños, con una recaudación total 
de S/ 135, y por la tarde asistieron 16 adultos y 
12 niños, con S/ 216 de recaudación. ¿Cuál es 
el precio de la entrada de un niño? 
A) S/9 
B) S/6 
O $7 
D) S/8 
Resolución 248 
Ecuaciones 
Planteo de ecuaciones 
Precio de la entrada de un adulto: 
Precio de la entrada de un niño: y 
* — Del enunciado: 
11x+6y = 135 
IN 12y =216 
* Resolviendo al sistema: 
x= 9;y=6 
/. Precio de la entrada de un niño es 6 soles. 
Rpta.: S/6 Rpta:
ea LIS 
 
Pregunta 249 
En pruebas de una dieta experimental para 
palomas, se determinó que el peso promedio 
dado en gramos de una paloma fue, según las 
estadísticas, una función lineal del número de 
días “d” después que se inició la dieta, donde 
0O<d<45. Si el peso promedio de una paloma al 
inicio de la dieta fue 73 gramos y 30 días después 
fue 523 gramos, determine el peso promedio, en 
gramos, de una paloma al cabo de 15 días. 
Aj 148 
B) 298 
C) 261 
D) 163 
Resolución 249 
Funciones 
Función lineal 
Del enunciado 
Sea la función lineal f(d) =ad+b; 0< d <45 
De los datos: 
Si d=0 —> f(0)=73 
a(0)+b=73 «=> b=73 
Si d=30 —> 1(30)=523 
a(30)+73=523 
a=15 
Luego, la función que modela el peso promedio 
en función al número de días será: 
f(d)=15d+73; O<d <45 
Se pide el peso promedio al cabo de 15 días; es decir: 
f(15)=15(15)+73 
f(15) =298 
-. El peso promedio será de 298 g 
Rpta.: 298 Rpta: (EJ 
97 
Se conoce que la población de ranas R, 
calculada en miles, en una determinada 
región depende de la población de insectos | 
en millones. La población de insectos l, a la 
vez, depende de la altura h de la capa de agua 
producto de las lluvias dada en milímetros. Si 
la población de ranas está dada por 
Pregunta 250 
R(I) =65+.,/ ue y la población de insectos 
por I(h) = 43h + 7,5, estime la población de 
ranas cuando la altura de lluvia acumulada sea 
de 1,5 milimetros. 
Aj) 68000 
B) 74000 
C) 67000 
D) 69000 
Resolución 250 
Funciones 
Función lineal 
Del enunciado, dada las funciones: 
R()=65+/%22 ; 1h)=43h+7,5 
Se pide la población de ranas (R) para una altura 
de lluvia acumulada de 1,5 mm 
En l: 
1(1,5)=43(1,5)+7,5 
1(1,5)=72 
Luego: 
r(72)=65+ / 62 
R(72)=65+ JE —= R(72)=68 
Finalmente, para una altura de lluvia acumulada 
de 1,5 mm, la población de ranas será 68 000 
Rpta.: 68 000 Rpta: 
Pregunta 251 
Un colegio decide realizar un viaje de 
promociónde 510 personas, para lo cual 
contrata una empresa de transporte. La
Pe Ed 
 
empresa le ofrece buses con capacidad de 40 
y 25 pasajeros, al precio de S/250 y S/200, 
respectivamente. Si para la fecha programada 
del viaje de promoción la empresa dispone de 
15 conductores, halle el costo mínimo que se 
pagaría para realizar dicho viaje. 
A) S/3000 
B) S/3300 
C) S/3450 
D) S/3250 
Resolución 251 
Programación lineal 
Programación lineal 
Del enunciado 
Buses ¡Capacidad Precio (S/) o pe 
A 40 | 250 | Xx 
B 25 . 200 | y 
Total 510 15 
Del cuadro tenemos: 
* Función objetivo: 
Clx:y) = 250x+200y 
+ Restricciones 
40x + 25y = 510 
x+y=15 
x20y=0 
+ Graficando 
 
 
Evaluando C(x;y) en los vértices del gráfico: 
costo mínimo: C(9,6) =3450 soles, 
Rpta.: S/3450 Rpta: Me 
J
 
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CLAVES DE ÁLGEBRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1/A|46/B/91/B/|136/0|181|C 
2 |1D[47/|C|92/C|/137/D|182/A 
3/|A[48/B| 93 |C|138/A/183|6B 
4 |Cj49/E| 94 1D/139/E|184] B 
S/JE[/50/D|/|95/C/|140/B/185]/D 
6|A[S1I|A| 96 |E/141/B/|186/D 
7 |CI/52/D| 97 |B/142/B/|187|D 
8 |A[|53|C| 98 |E|143|A/|188|C 
91 C154] C 1997] B 1447 D 168917 C 
10/E/55|E|[100/E/|145|E/190/A 
11|C/56/B/|101/0/146/B/|191]D 
12/D/57/D|/102/B/147/4/|192] 6 
13/|E/58|A/|103|C|148/A|193/6B 
14/B/|/59|A4/|104/A/149|D/|194] A 
15/B/|60|D|105/|D|150|B/|195/|A 
16|D/61/B/106/D/151/E|196]/|C€ 
17/A[62|D|107/C/|152|C/197/D 
18|B/63/D/|108/|4/153/B/|198]|C 
19/D/64|C|109|B/|154|A/|199/|D 
20|A[65|B|110/B/|155/E/|200|D 
21/B/66/A4/[/111/B/156|D|201/C 
221A[67|A|112]E/|157/|D|202]/|€ 
23|A[|68|D|113/E|158/|C/|203|C 
24|B/|69/B|114|A/|159/|E/204|C 
25/A 1701 A[115] A/| 160] C/205]/ E 
26|D[71/A|116/B|161/C|206| E 
27/B/|72|C/117/C|162|C|207]6 
28/B|73/A4/|118/]E/163|B/208/D 
29/1|C1741C[/119/B/164]| B| 209/ C 
30/C/75/D/120|A/|165|D|210|D 
3171 C 176] E [1210 B 1661 B [21 C 
32/|B|77/A4/[|122/B/|167|6B 
33|D|78/|B|123|A/|168|C 
34|B/|79/|D|/124/|D/169|B 
35/B/|80/A4|125/A/|170]| A 
36/D|B81/E[|126/B/|171]0D 
37//A|82/B|127|A/|172|B 
38|C/83/|B/128]|A/|173|A 
39/|E/84/B/|129/|B/|174]|C 
40|D[/B85|A[130/B|175|A 
41|C[/|86|C|131/E|176|E 
42/|A/87|D/|132/C|177]|E 
43|A/88/|B|133|E|178/|6 
44|E/|89|E|134/|B/|179|D 
45/|C|90/A|135/C/|180|E€ 
 
 
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