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Introducción
a las
MATEMÁTICAS
UNIVERSITARIAS
Contenido
CAPÍTULO 1
CAPÍTULO 2
CAPÍTULO 3
PRÓLOGO IX
Lógica simbólica y teoría de conjuntos 1
1.1 Introducción 1
1.2 Proposiciones 1
1.3 Tablas de verdad y tautologías 2
1.4 Cuantificadores 4
1.5 Argumentos lógicos 4
1.6 Prueba directa 4
1.7 Contraejemplo 5
1.8 Prueba por contraposición (contrapositiva) 5
1.9 Prueba por contradicción 5
1.10 Conjuntos 5
1.11 Diagramas de Venn-Euler 7
1.12 Leyes de álgebra de conjuntos 8
1.13 Cardinalidad 9
Problemas resueltos 10
Problemas propuestos 18
Soluciones 24
Teoría de los números reales 27
2.1 Introducción 27
2.2 Operaciones aritméticas en el conjunto de los números reales 27
2.3 Exponentes y radicales 29
2.4 Expresiones algebraicas 30
2.5 Valor absoluto 34
2.6 Propiedades del valor absoluto 35
Problemas resueltos 35
Problemas propuestos 42
Soluciones 54
Funciones lineales y cuadráticas 59
3.1 Introducción 59
3.2 Relaciones 59
3.3 Funciones y sus propiedades 61
3.4 Función lineal 61
3.5 Ecuaciones y desigualdades lineales 62
3.6 Sistemas de ecuaciones lineales 64
3.7 Función cuadrática 67
3.8 Ecuaciones y desigualdades cuadráticas 68
3.9 Sistemas de ecuaciones cuadráticas 70
V
Introducción
a las
MATEMÁTICAS
UNIVERSITARIAS
Piotr Marian Wisniewski
Universidad de Adam Mickiewicz, Poznañ, Polonia
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, Campus Ciudad de México
Ana Laura Gutiérrez Banegas
Instituto Tecnológico Autónomo de México
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, Campus Ciudad de México
Revisión técnica:
Guadalupe Martínez Hernández
Departamento de Ciencias Básicas
División Ciencias Básicas e Ingeniería
Universidad Autónoma Metropolitana- Azcapotzalco
MÉXICO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRID
NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SANTIAGO
AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI
SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO
Gerente de producto: Javier Reyes Martínez
Supervisor de edición: Felipe Hernández Carrasco
Supervisor de producción: Zeferino García García
INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 2003, respecto a la primera edición por
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S. A. de C. V.
A subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.
Cedro Núm. 512, Col. Atlampa
Delegación Cuauhtémoc
06450 México, D. F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736
ISBN 970-10-3904-1
6789012345
Impreso en México
09876531024
Printed in México
Este libro se terminó de imprimir y encuadernar
en el mes de septiembre de 2005
en Impresora y Encuadernadora
Progreso, S. A. de C. V. (IEPSA), Calz. de San Lorenzo 244;
09830 México, D.F.
VI CONTENIDO
CAPÍTULO 4
CAPÍTULO 5
CAPÍTULO 6
CAPÍTULO 7
Problemas resueltos 72
Problemas propuestos 88
Soluciones 111
Polinomios 127
4.1 Introducción 127
4.2 Polinomio de una variable 127
4.3 Ecuaciones algebraicas 127
4.4 Desigualdades algebraicas 129
4.5 Sistemas de ecuaciones algebraicas 130
Problemas resueltos 131
Problemas propuestos 139
Soluciones 152
Funciones potencia, exponencial
y logarítmica 167
5.1 Introducción 167
5.2 Función de potencia 167
5.3 Ecuaciones y desigualdades con radicales 168
5.4 Función exponencial 170
5.5 Ecuaciones y desigualdades exponenciales 171
5.6 Función logarítmica 172
5.7 Logaritmos 172
5.8 Ecuaciones y desigualdades logarítmicas 173
Problemas resueltos 175
Problemas propuestos 184
Soluciones 201
Sucesiones 219
6.1 Introducción 219
6.2 Definición de una sucesión 219
6.3 Sucesiones y sus propiedades 221
6.4 Inducción matemática 223
6.5 Elementos de la teoría de conteo 224
6.6 Teorema del binomio 227
6.7 Sucesión aritmética 230
6.8 Sucesión geométrica 231
Problemas resueltos 232
Problemas propuestos 261
Soluciones 289
Funciones trigonométricas 303
7.1 Introducción 303
7.2 Definiciones y propiedades de las funciones trigonométricas 303
7.3 Identidades trigonométricas 307
7.4 Ecuaciones y desigualdades trigonométricas 311
Problemas resueltos 315
Problemas propuestos 345
Soluciones 361
CONTENIDO VIl
CAPÍTULO 8
CAPÍTULO 9
CAPÍTULO 10
CAPÍTULO 11
CAPÍTULO 12
Geometría analítica 385
8.1 Introducción 385
8.2 Recta 385
8.3 Circunferencia 388
8.4 Elipse 390
8.5 Hipérbola 392
8.6 Parábola 394
Problemas resueltos 397
Problemas propuestos 414
Soluciones 420
Introducción al cálculo diferencial 431
9.1 Introducción 431
9.2 Definiciones básicas 431
9.3 Función compuesta 433
9.4 Función inversa 433
9.5 Límite de una función 435
9.6 Continuidad 440
9.7 Derivada de una función 442
9.8 Extremos de una función 444
9.9 Construcción de gráficas 447
Problemas resueltos 449
Problemas propuestos 466
Soluciones 487
Introducción al cálculo integral 503
10.1 Introducción 503
10.2 Integral indefinida 503
10.3 Técnicas de integración 504
10.4 La integral definida y sus aplicaciones 506
Problemas resueltos 507
Problemas propuestos 519
Soluciones 525
Introducción a la probabilidad 533
11.1 Introducción 533
11.2 Experimento aleatorio, espacio muestral, evento y espacios
de probabilidad finitos 533
11.3 Fundamentos axiomáticos de la teoría de probabilidades 535
11.4 Regla multiplicativa y probabilidad condicional 536
11.5 Eventos independientes 538
11.6 Ensayos de Bernoulli 539
11.7 Variables aleatorias 540
11.8 Valor esperado y varianza de la variable aleatoria 541
Problemas resueltos 542
Problemas propuestos 552
Soluciones 561
Geometría plana 569
12.1 Introducción 569
12.2 Paralelas y polígonos 569
12.3 Triángulos rectángulos 575
VIII CONTENIDO
CAPÍTULO 13
12.4 Círculos 577
12.5 Áreas 580
Problemas resueltos 589
Problemas propuestos 618
Soluciones 629
Geometría en el espacio 635
13.1 Introducción 635
13.2 Poliedro 635
13.3 Prismas 636
13.4 Pirámides 638
13.5 Conos 641
13.6 Cilindros 643
13.7 Esfera 645
Problemas resueltos 647
Problemas propuestos 678
Soluciones 684
ÍNDICE ANALÍTICO 691
Prólogo
Nada hay más práctico que una buena teoría.
EMMANUEL KANT
Conocimientos sólidos en matemáticas permiten a los estudiantes un mejor desem-
peño en cursos más avanzados. Por ello, el presente libro surge como una respuesta
a la necesidad de reforzar los conocimientos de precálculo. Los autores elaboramos
este texto con base en la experiencia que hemos adquirido impartiendo cursos de
matemáticas superiores.
El contenido y el nivel del libro están orientados hacia estudiantes de cualquier
especialidad que deseen reforzar, además, los conocimientos de áreas como álgebra,
trigonometría, geometría analítica y análisis matemático. O bien, para aquellas per-
sonas que requieran una herramienta que les ayude en la presentación de exámenes
de admisión en instituciones de educación superior.
La obra no es de utilidad y apoyo sólo para los estudiantes, sino también para
los profesores, ya que cuenta con amplia gama de ejercicios, desde los elementales
hasta los de mayor grado de complejidad.
El presente libro se ha preparado para un curso introductorio de matemáticas.
Puede servir para dicho curso o como complemento de cualquier publicación com-
parable. Asimismo, es posible usarlo como complemento de textos y cursos de pre-
cálculo, lo mismo que para estudiar por cuenta propia.
Empieza con un capítulo de lógica y teoría de conjuntos, al que le sigue uno
sobre la teoría de los números reales y una revisión completa de álgebra. El tercer
capítulo trata sobre las funciones lineales y cuadráticas, así como la solución de
ecuaciones y desigualdades. De esta forma se conecta con otro capítulo sobre
polinomios. En el quinto capítulose revisan las funciones trascendentales: funcio-
nes potencia, exponencial y logarítmica. Después viene un capítulo sobre sucesio-
nes. El séptimo capítulo contiene los principales conceptos de trigonometría y las
funciones trigonométricas. En el capítulo subsecuente se analizan los principales
conceptos de geometría analítica. El noveno y el décimo capítulos ofrecen elemen-
tos básicos de cálculo diferencial e integral. En el capítulo once se explican los fun-
damentos de probabilidad. Los dos últimos capítulos presentan los conceptos y las
definiciones básicas de geometría plana y del espacio.
Cada capítulo empieza con una breve introducción, donde se exponen los te-
mas a tratar y la importancia de éstos en la vida real. Posteriormente se dan defini-
ciones, principios y teoremas, que vienen acompañados de ejemplos. A esto le si-
guen las secciones referentes a los problemas resueltos y propuestos.
Los problemas resueltos sirven para ilustrar y ampliar la teoría, ya que permi-
ten entender aquellos puntos sin cuya explicación el lector se "perdería", a la vez
que constituyen una reafirmación de los conceptos básicos para lograr un aprendi-
zaje efectivo. Los problemas propuestos son útiles para ejercitar los conocimientos
X PRÓLOGO
adquiridos. Al final de cada capítulo se incluyen las aplicaciones en distintas áreas
como son ingeniería, negocios, humanidades y ciencias sociales.
Esperamos que este libro sea acogido con interés por las distintas instituciones
de educación media superior y superior, así como que sea un recurso didáctico en el
camino del aprendizaje y reforzamiento de las matemáticas.
PlOTR WISNIEWSKI
ANA LAURA GUTIÉRREZ
Ciudad de México
Julio de 2002
Lógica simbólica
y teoría de conjuntos
La lógica es el estudio de los métodos y los principios usados para distinguir el co-
rrecto razonamiento del erróneo. El razonamiento es un tipo especial de pensa-
miento en el cual se realizan inferencias; es decir, en el que se derivan conclusiones
a partir de premisas. La lógica, al igual que las matemáticas, estudia las relaciones
abstractas formales. Por ejemplo, "Todos los hombres son mortales. Sócrates es un
hombre. Por lo tanto, Sócrates es mortal". En realidad no importa Sócrates ni los
hombres ni su mortalidad. Lo que sí queremos es mostrar la relación entre las pro-
posiciones.
EJEMPLO 1.1
DEFINICIÓN 1.1
Una proposición en lógica es un enunciado que puede ser falso o verdadero, pero
no ambas cosas. La conclusión de un razonamiento es la proposición que se afirma
con base en otras proposiciones.
Premisas Si soy presidente, entonces soy famoso.
Yo no soy famoso. Conclusión
Por tanto, no soy presidente.
DEFINICIÓN 1.2
Una proposición simple es aquella que no es posible descomponer en dos proposi-
ciones. Se denotan con letras minúsculas: p, q, r, s...
DEFINICIÓN 1.3
Sea p una proposición, entonces ~p ("no p", "no es cierto que p") es la negación
de p.
1
1.1 INTRODUCCIÓN
1.2 PROPOSICIONES
2 CAPÍTULO 7 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos
EJEMPLO 1.2
EJEMPLO 1.3
Determine si las siguientes proposiciones simples son verdaderas o falsas:
1. 3 + 8 es mayor que 2 + 1 0
Proposición falsa.
2. Mario Vargas Llosa es un escritor peruano.
Proposición verdadera.
3. Es más fácil el estudio de la música que el de las matemáticas.
No es proposición, pues no se puede establecer su veracidad.
DEFINICIÓN 1.4
Una proposición compuesta se forma relacionando dos o más proposiciones sim-
ples mediante conectivos lógicos como son: y, o, si... entonces..., si y sólo si, entre
otros.
Las siguientes definiciones son proposiciones compuestas:
DEFINICIÓN 1.5
Proposición conjuntiva Resulta de unir dos proposiciones mediante el conectivo
conjunción (se lee como "p y q"). La conjunción es verdadera si
ambas, p y q son verdaderas; en cualquier otro caso, es falsa.
DEFINICIÓN 1.6
Proposición disyuntiva Surge de unir dos proposiciones con el conectivo disyun-
ción (se lee como "p o q"). La disyunción, es verdadera si p, q o
ambas son verdaderas, y es falsa sólo si p y q son falsas.
DEFINICIÓN 1.7
Proposición condicional Es el resultado de unir dos proposiciones mediante el
conectivo condicional ("si p entonces q"), donde p es la hipótesis (o
antecedente) y q es la conclusión (o consecuente). La proposición condicional es
falsa si la hipótesis es verdadera y la conclusión falsa.
DEFINICIÓN 1.8
Proposición bicondicional Es consecuencia de juntar dos proposiciones con el
conectivo bicondicional ("p si y sólo si q"). Esta afirmación se considera
verdadera precisamente cuando p y q poseen los mismos valores de verdad (es de-
cir, cuando p y q son ambas verdaderas o ambas falsas).
Sea p: "Berlín es la capital de Alemania", y q: "Alemania es un país europeo". Construya
las siguientes proposiciones:
No es cierto que Berlín es la capital de Alemania
Berlín es la capital de Alemania y Alemania es un país europeo
Berlín es la capital de Alemania o Alemania es un país europeo
Sólo Berlín es la capital de Alemania o sólo Alemania es un país europeo
Si Berlín es la capital de Alemania, entonces Alemania es un país europeo
Berlín es la capital de Alemania si y sólo si Alemania es un país europeo
DEFINICIÓN 1.9
Una tabla de verdad es una representación gráfica que sirve para determinar la
verdad o falsedad de una proposición compuesta dada. En ella se presentan todos
1.3 TABLAS DE VERDAD Y TAUTOLOGÍAS
Tablas de verdad y tautologías
los posibles valores de las proposiciones simples que la conforman. Se denotan con
V las proposiciones verdaderas y con F las falsas.
V V F V V V V
V F F F V F F
F V V F V V F
F F V F F V V
EJEMPLO 1.4
DEFINICIÓN 1.10
Una tautología es una proposición compuesta cuyos valores de verdad son verdade-
ros en todos los casos de la tabla de verdad. Si todos los valores de verdad son falsos,
a la proposición se le llama contradicción.
Construya la tabla de verdad de las siguientes proposiciones y determine si es una tauto-
logía o una contradicción:
1.
p q
V V V V
V F V V
F V V V
F F F V
Es una tautología.
p q ~q
V V F V F F
V F V F V F
F V F V F F
F F V V F F
Es una contradicción.
TEOREMA 1.1
Las leyes de la lógica son aquellas proposiciones que son tautologías. Sean p, q y r
proposiciones.
Principio de identidad:
Propiedad idempotente:
Ley de la doble negación:
Razonamiento directo:
Razonamiento indirecto:
Ley del medio excluido:
4 CAPÍTULO 7 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos
A una palabra o una frase que indique cuántos objetos cumplen con determinada
propiedad se le llama cuantificador.
Los cuantificadores se clasifican como:
a) Existenciales: "existe", "algún", "por lo menos uno", entre otros.
b) Universales: "para todo", "ninguno".
Proposición Negación
Existencial (existe)
Universal (para todo)
Algunos Ningún
Ningún Algunos
Todos Algunos no...
Algunos no... Todos
EJEMPLO 1.5 Escriba la negación de cada uno de los siguientes enunciados:
1. Todos los números son enteros.
Negación: Algunos números no son enteros.
2. Ninguno de mis compañeros es extranjero.
Negación: Algunos de mis compañeros son extranjeros.
La demostración formal de argumentos permite comprobar la validez o no validez
de un argumento. Para la lógica matemática, la validez de un argumento no depen-
de de su contenido, sino exclusivamente de su forma. Para llevar a cabo las demos-
traciones se requiere que los argumentos adopten la forma de una proposición con-
dicional:
DEFINICIÓN 1.11
Una prueba es directa si, de todos los posibles casos en los que la hipótesis p es válida, se
verifica que la conclusión q es verdadera y se obtiene de los pasos anteriores.
Ley de transitividad:
Ley de la contrapositiva:
Silogismo disyuntivo:
Ley de contradicción:
Leyes de reducción:
Leyes distributivas:
Leyes asociativas:1.4 CUANTIFICADORES
1.5 ARGUMENTOS LÓGICOS
1.6 PRUEBA DIRECTA
Conjuntos 5
DEFINICIÓN 1.12
Un contraejemplo es cuando se demuestra que la proposición es falsa dando un
ejemplo donde la hipótesis p es verdadera y la conclusión q es falsa.
DEFINICIÓN 1.13
Como es equivalente a su contrapositiva, entonces se prueba directamente
que
EJEMPLO 1.6
DEFINICIÓN 1.14
En este tipo de pruebas se supone que la proposición que se quiere probar es falsa
y que esto implica una contradicción. Es decir, es falsa. O sea, se cumple que
Demuestre por contradicción que si se colocan 100 bolas en nueve cajas, alguna contiene
12 o más bolas.
SOLUCIÓN
Sea p = 100 bolas en nueve cajas y q = al menos una caja contiene 12 bolas o más.
Entonces
~q = todas las cajas contienen cuando más 11 bolas
100 bolas en nueve cajas y cada una con 11 bolas; por tanto, tenemos 99 bolas, lo
cual contradice la afirmación de que tenemos 100.
EJEMPLO 1.7
Un conjunto es una colección o lista de objetos bien definidos. Los objetos que
conforman un conjunto se denominan elementos. Se acostumbra emplear letras
mayúsculas para representar conjuntos y letras minúsculas, para los elementos.
Los siguientes son ejemplos de conjuntos:
1. Un conjunto de todos los canales de TV abierta de la Ciudad de México.
2. Un conjunto de los números primos entre 10 y 20.
3. Un conjunto de las letras que forman la palabra Alemania.
1.7 CONTRAEJEMPLO
1.8 PRUEBA POR CONTRAPOSICIÓN
(CONTRAPOSITIVA)
1.9 PRUEBA POR CONTRADICCIÓN
1.10 CONJUNTOS
6 CAPÍTULO 1 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos
EJEMPLO 1.8
EJEMPLO 1.9
EJEMPLO 1.10
EJEMPLO 1.11
DEFINICIÓN 1.15
Si A es un conjunto cualquiera y x es un elemento de dicho conjunto, la notación
significa que "x pertenece o es elemento del conjunto A". Para denotar que x no es
elemento de A, se escribe
Para describir o definir un conjunto existen dos formas:
i) Por enumeración, cuando se listan los elementos que constituyen el conjunto.
ii) Por comprensión, cuando se proporciona la regla que identifica sus elementos.
Describa el conjunto:
E = {todos los números naturales que son múltiplos de 3}, por enumeración y por compren-
sión:
1. Por enumeración: E = {3, 6, 9, 12, . . . )
2. Por comprensión: E =
DEFINICIÓN 1.16
El conjunto vacío es el conjunto que carece de elementos. Se denota como,
DEFINICIÓN 1.17
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Un conjunto A es subconjunto de un conjun-
to B si todo elemento de A es un elemento de B. Se denota por
Observaciones:
i) Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
ii) El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.
DEFINICIÓN 1.18
Se dice que el conjunto A es un subconjunto propio de 5, si B tiene al menos un
elemento más que el conjunto A. Se denota como
Sean A = {l, 2, 3} y B = {l, 2, 3, 4}. Como todos los elementos de A son elementos de B y B
tiene un elemento más que A, entonces se establece que (“A es un subconjunto propio
de B").
DEFINICIÓN 1.19
Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si todo elemento de A es elemento de B y todo
elemento de B es elemento de A.
Si A = {1, 2, 3} y B = {3, 1, 2}, entonces A = B.
DEFINICIÓN 1.20
Se le llama conjunto universo a aquel que contiene todos los elementos que intere-
san en una situación determinada. Se denota usualmente con U.
Si A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 6, 8}, C - {5, 7, 9} son los conjuntos que interesan, entonces el
conjunto universo es U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
EJEMPLO 1.12
Diagramas de Venn-Euler 7
1.10.1 Operaciones entre conjuntos
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera.
DEFINICIÓN 1.21
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que están en
A o en B o en ambos. Es decir,
DEFINICIÓN 1.22
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que
están en A y en B. Esto es,
DEFINICIÓN 1.23
Si entonces A y B son disjuntos (mutuamente excluyentes).
DEFINICIÓN 1.24
La diferencia entre A y B es el conjunto de todos los elementos que están en A, pero
no en B. Es decir,
DEFINICIÓN 1.25
El complemento del conjunto A es el conjunto de todos los elementos de U que no
están en A. Entonces, Ac = U-A.
DEFINICIÓN 1.26
La diferencia simétrica entre A y B es el conjunto de todos los elementos que están
en A o en B, pero no en ambos. Es decir,
DEFINICIÓN 1.27
Dos conjuntos A y B son comparables si son no comparables si
hay un elemento de A que no esté en B y viceversa.
Dados U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}, A = {a, b, c, d, e}, B = {d, e, f, g},C = {i, j, k},
encuentre los siguientes conjuntos:
Los diagramas de Venn-Euler ofrecen un método gráfico para representar los con-
juntos y sus relaciones. Los siguientes diagramas de Venn-Euler ilustran las opera-
ciones analizadas en el apartado 1.10.1.
1.11 DIAGRAMAS DE VENN-EULER
8 CAPÍTULO 1 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos
A y B son comparables Ay Bno son comparables
1.12 LEYES DE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
Leyes de idempotencia:
Leyes asociativas:
Leyes conmutativas:
Leyes distributivas:
Leyes de identidad:
Leyes de complemento:
Leyes de De Morgan:
Cardinalidad 9
DEFINICIÓN 1.28
La cardinalidad de un conjunto A es el número de elementos distintos que contiene.
Esto lo denotaremos como n(A).
DEFINICIÓN 1.29
Un conjunto A es finito si su cardinalidad es un número natural determinado. Un
conjunto A es infinito si el proceso de contar sus elementos no termina.
DEFINICIÓN 1.30
Si A es un conjunto, entonces el conjunto formado por todos los subconjuntos de A se
denomina conjunto potencia de A, el cual se denota por P(A).
TEOREMA 1.2
Si A es un conjunto con cardinalidad n(A), entonces P(A), el conjunto potencia de A,
tendrá 2n (A) elementos.
EJEMPLO 1.13
EJEMPLO 1.14
TEOREMA 1.3
Sean A, B y C conjuntos arbitrarios finitos y n{A), n(B), n(C), las cardinalidades res-
pectivas; entonces se satisfacen las siguientes fórmulas:
Sea el conjunto K = [a, b, c], entonces n(K) = 3. Se deduce también que el número de
subconjuntos que se llegarían a formar son 23 = 8, siendo el conjunto potencia:
Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8), C = {1, 3, 5); determine
SOLUCIÓN
Para ello, se determinan las cardinalidades de cada conjunto:
Si se usan las fórmulas del teorema 1.3, obtendremos:
1.13 CARDINALIDAD
10 CAPÍTULO 7 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos
1.1 Obtenga la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:
SOLUCIÓN
a)
p q ~P
V V F V
V F F F
F V V V
F F V V
p q
V V V V V
V F V F V
F V V F V
F F F F F
P q ~p
V V F V V
V F F F F
F V V V F
F F V V F
P 1
V V V V V V V
V F F F V F V
F V F V F F V
F F V V V V V
Problemas resueltos
Problemas resueltos 11
V V F F V V V V V
V F F V F V F F V
F V V F F F V F V
F F V V V V V V V
V V F F V F V
V F F V F F V
F V V F V F V
F F V V V V V
V V F F V V V
V F F V F F V
F V V F V V V
F F V V V V V
Demuestre que las siguientes proposiciones son tautologías: 1.2
SOLUCIÓN
Por tanto, es una tautología.
Sí es una tautología.
Escriba las negaciones de las siguientes proposiciones: 1.3
a) Todos los reptiles son venenosos.
b) Algunas noticias son deprimentes.
c) Ningún mexicano es exitoso.
SOLUCIÓN
a) Algunos reptiles no son venenosos.
b) Ninguna noticia es deprimente.
c) Algunos mexicanos son exitosos.
¿Es verdadera la proposición 1.4
SOLUCIÓN
La proposición es verdadera.
12 CAPÍTULO 1 ■ Lógica simbólica y teoría efe conjuntos
1.5
1.6
¿Es verdadera la proposición
SOLUCIÓN
Para además, la función cuadrática siempre toma valores positivos.
Entonces la proposición es verdadera si (0, 4); y falsa si
Encuentre que para los conjuntos arbitrarios A, B y C se cumple:
SOLUCIÓN
a) Se debe comprobar que para cualquier x,
Para ello:con lo que queda demostrado.
b) Se debe llegar a que para cualquier x:
Entonces:
lo cual significa que la igualdad b) es verdadera.
c) Para afirmar que es su
ficiente comprobar que la proposición es una tau-
tología.
Construyendo la tabla de verdad, se obtiene:
p q
V V V V V V
V F F F F V
F V V F V V
F F V F V V
De esta manera se concluye que la igualdad c) es verdadera.
d) Si:
para cualquier x:
lo cual significa que la igualdad d) es verdadera.
13 Problemas resueltos
e) Con:
se comprueba que para cualquier x:
lo cual quiere decir que la igualdad es verdadera.
f) Se tiene que:
se ha concluido que para cualquier x:
son iguales. es decir, los conjuntos
Sean A = Encuentre: 1.7
SOLUCIÓN
Como
por ello
Como
luego
Sean, A = 1.8
Demuestre que
SOLUCIÓN
Para el conjunto A:
Para el conjunto B:
Se tiene que:
14 CAPÍTULO 1 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos
Para el conjunto C:
Finalmente:
Sean A = 1.9
SOLUCIÓN
Para el conjunto A, que representa una función cuadrática con valores no positivos,
debe ser:
Para el conjunto B:
Entonces,
1.10 Dado K = {1, 2, 3, 4}, calcule el número de subconjuntos que se pueden
formar e indique también cuáles son.
SOLUCIÓN
Se concluye que n{K) = 4; por tanto, el número de subconjuntos es 24 = 16. Con esto
se determina el conjunto potencia:
Con el diagrama de Venn-Euler, determine las cardinalidades siguientes: 1.11
SOLUCIÓN
a) n{A) = 31
b) n(B) = 35
c) n(C) = 40
d) = 15
e) n(B - C)
f) n =16
g) n( -0 = 5
Problemas resueltos 15
16 CAPITULO 1 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos
1.12 En una pequeña ciudad árabe con 300 habitantes, 110 son hombres, 120 son
musulmanes y 50 son hombres musulmanes. Calcule el número de habitan-
tes que:
a) son mujeres
b) son mujeres musulmanes
c) son mujeres no musulmanes
SOLUCIÓN
Sean los conjuntos:
U = {habitantes de la ciudad árabe}
A = {hombres}
B = {musulmanes}
= {hombres musulmanes}
Se determinan las cardinalidades y se dibuja el diagrama de Venn-Euler corres-
pondiente:
n(U) = 300
n(A) = 110
n(B) = 120
n( ) = 50
De acuerdo con el diagrama:
a) son mujeres: n(Ac) = 190
b) son mujeres musulmanes: = 70
c) son mujeres no musulmanes: = 120
1.13 Se realizó una encuesta a 1 600 individuos entre los 20 y los 35 años de
edad para conocer sus preferencias musicales. Los resultados son los
siguientes:
801 Jazz
900 Rock pop
752 Heavy metal
435 Jazz y rock pop
398 Jazz y heavy metal
412 Rock pop y heavy metal
310 Jazz, rock pop y heavy metal
Indique el número de aquellos que:
a) Prefieren un solo género musical
b) Prefieren exactamente dos géneros musicales
c) Prefieren al menos un género musical
d) Prefieren cuando mucho dos géneros musicales
SOLUCIÓN
Sean:
U = {personas entre los 20 y los 35 años de edad}
J = {personas que prefieren jazz}
P = {personas que prefieren el rock pop}
M = {personas que prefieren el heavy metal}
Problemas resueltos 17
Se determinan las cardinalidades y se realiza el diagrama de Venn-Euler co-
rrespondiente:
n(U) = l 600
n(J) = 801
n(P) = 900
n(M) = 752
1.14
Resolviendo:
a) Prefieren un solo género musical: 893.
b) Prefieren exactamente dos géneros musicales: 315.
c) Prefieren al menos un género musical: 1 518.
d) Prefieren cuando mucho dos géneros musicales: 1 290.
Una agencia de viajes ha preguntado a 180 de sus clientes sobre sus desti-
nos favoritos en Europa. Los resultados son los siguientes:
57 prefieren España
77 prefieren Alemania
45 prefieren España y Alemania
10 prefieren España, pero no Alemania ni Polonia
28 prefieren España y Alemania, pero no Polonia
90 prefieren otros países
19 prefieren Alemania y Polonia
Calcule el número de clientes que prefieren como destino turístico a Polonia.
SOLUCIÓN
Sean:
U = {clientes de una agencia de viajes)
E = (clientes que prefieren viajar a España)
A = {clientes que prefieren viajar a Alemania)
P = {clientes que prefieren viajar a Polonia)
Se determinan las cardinalidades y se realiza el diagrama de Venn-Euler corres-
pondiente:
n(U) = 180
n(E) = 57
n(A) = 77
n( = 45
10 CAPÍTULO 1 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos
Resolviendo:
Clientes que prefieren como destino turístico a Polonia: n(P) = 22.
1.15 Obtenga la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:
1.16 Demuestre que las siguientes proposiciones son tautologías:
1.17 ¿Son verdaderas las siguientes proposiciones?:
1.18 La proposición
sea verdadera?
1.19 Encuentre el número M N tal que la proposición
1.20
1.21 Demuestre que para los conjuntos arbitrarios A y B:
Problemas propuestos
es falsa.
sea verdadera.
Escriba la negación de la siguiente
Problemas propuestos 19
1.22 Indique que para los conjuntos arbitrarios A, B y C:
1.23 Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Encuentra las condiciones que deben cumplir
para que se verifiquen las relaciones:
1.24 Sean A el conjunto de los números en forma el conjunto de los
números pares; esto es, A = {1, 5, 9, ... } y B = {2, 4, 6, ...). ¿Son A y B mutuamente
excluyentes?
1.25 Sean A el conjunto de los números naturales divisibles entre 6, B el conjunto de los
números naturales divisibles entre 2 y C el conjunto de los números naturales
divisibles entre 5. Encuentre:
1.26 Sean A el conjunto de los números de la forma el conjunto de los
números de la forma Encuentre el conjunto B — A.
1.27 Sean A el conjunto de números impares y B el conjunto de los números de la forma
Determine
1.28 Sea A el conjunto de números impares y B el conjunto de los números de la forma
. Encuentre
1.29 Sean A el conjunto de los números de la forma el conjunto de los
números pares. ¿Qué relación hay entre A y B?
1.30 Determine en qué condiciones son verdaderas las igualdades:
20 CAPÍTULO 7 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos
Sean Calcule 1.31
Encuentre Sean 1.32
Sean Calcule 1.33
Determine 1.34 Sean
Sean A y B dos conjuntos arbitrarios. Verifique si es verdad que: 1.35
Encuentre: 1.36 Sean los conjuntos
1.37 Sean Realice las siguientes
operaciones:
Sean 1.38 Encuentre:
1.39 Calcule B - A si se sabe que
1.40 Encuentre B -A si se sabe que
1.41 Sean
Determine B-A.
1.42 Dé con el conjunto para los conjuntos:
1.43 Encuentre el conjunto
Problemas propuestos 21
1.44 Halle el conjunto (A u B) n C, si:
1.45 Indique el conjunto si:
1.46 Considere el conj unto universa! U y tres subconj untos del mismo, A, B y C, de acuerdo
con la siguiente figura:
1.47
1.48
1.49
Dibuje:
De una encuesta aplicada a 60 estudiantes de una universidad, se supo que 9 son de
origen latino, 36 son de maestría y 3 son de maestría de origen latino. Determine el
número de:
a) Estudiantes de maestría y que son de origen latino o satisfacen ambas caracte-
rísticas.
b) Estudiantes de maestría y que no son de origen latino.
c) Estudiantes que ya tienen maestría y que son de origen latino.
En una batalla combatieron 270 soldados. El número de los que perdieron un ojo,
una pierna o un brazo es el siguiente:
90 perdieron un ojo
90 perdieron un brazo
90 perdieron una pierna
30 perdieron un ojo y un brazo
30 perdieron un ojo y una pierna
30 perdieron un brazo y una pierna
10 perdieron un ojo, un brazo y una pierna
Determine el número de soldados que:
a) Perdieron al menos dos partes de su cuerpo
b) Perdieron exactamente una parte de su cuerpo
c) Están ilesos
En una investigación de mercado para conocer qué periódico prefieren leer en el
Distrito Federal, se realizó una encuesta a 145 adultos; los resultados son los si-
guientes:
59 leen El Universal
83 leen Reforma22 CAPÍTULO 7 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos
1.50
1.51
1.52
21 leen Reforma y Excélsior, pero no leen El Universal
15 leen Excélsior y El Universal, pero no Reforma
12 leen Reforma y El Universal, pero no Excélsior
13 leen exclusivamente Excélsior
41 leen Reforma y Excélsior
Determine el número de personas que:
a) Leen sólo el periódico Reforma.
b) Leen otros periódicos diferentes a los mencionados.
Se revisó el uso de suelo de 48 edificios de la colonia Del Valle. Los usos que tienen
dichos edificios son:
35 son para oficinas
8 son de uso comercial y para oficinas, pero no habitacional
6 son exclusivos de uso habitacional
5 son únicamente para oficinas
16 no son de uso habitacional
10 tienen los tres usos de suelo
Todos tienen al menos un uso de suelo
Determine el número de edificios que:
a) Exclusivamente tienen uso de suelo comercial.
b) Tienen uso de suelo comercial y habitacional, pero no de oficinas.
c) Tienen uso de suelo habitacional y de oficinas, pero no comercial.
En un concurso de pasteles participaron 70 personas con sus respectivas creacio-
nes. Los principales sabores de dichos pasteles fueron:
32 de chocolate
10 sólo de chocolate
12 de chocolate y fresa
15 de fresa y nuez
5 de fresa y nuez, pero no de chocolate
13 sólo de nuez
12 no eran de sabor de chocolate, fresa o nuez
Calcule el número de pasteles que:
a) Eran sólo de fresa
b) Eran de nuez
c) Tenían los tres sabores
Se hizo una encuesta a 150 diputados para conocer su aprobación a propuestas del
Poder Ejecutivo:
63 aprobarán la ley indígena
66 aprobarán la reforma fiscal
65 aprobarán la reforma educativa
22 aprobarán la ley indígena y la reforma fiscal
25 aprobarán la reforma fiscal y la reforma educativa
23 aprobarán la ley indígena y la reforma educativa
10 aprobarán las tres.
Indique el número de diputados que:
a) Aprobarán la ley indígena y la reforma fiscal, pero no la reforma educativa.
b) No aprobarán la ley indígena, pero sí la reforma fiscal y la reforma educativa.
c) No aprobarán ninguna de las tres propuestas.
Problemas propuestos 23
1.53
1.54
1.55
En una empresa se realizó un estudio para conocer el sexo, el estado civil y el nivel
de estudios de los empleados. Los resultados son los siguientes:
317 son hombres 316
son casados
25 son mujeres casadas sin profesión 72
son hombres casados sin profesión 83 son
hombres profesionistas y solteros 15 son
mujeres profesionistas y solteras 125 son
hombres casados y profesionistas 49 son
mujeres solteras sin profesión
Calcule el número de:
a) Hombres solteros sin profesión.
b) Mujeres profesionistas casadas.
c) Profesionistas.
Un grupo de 700 alemanes visita México. Las rutas turísticas que realizaron fueron:
379 viajaron a Cancún
419 viajaron a Acapulco
260 viajaron a Los Cabos
102 fueron a Los Cabos, pero no a Cancún ni a Acapulco
92 fueron a Acapulco, pero no a Cancún ni a Los Cabos
110 fueron a Cancún, pero no a Acapulco ni a Los Cabos
80 visitaron Cancún y Los Cabos
60 visitaron los tres destinos
Encuentre el número de alemanes que visitaron:
a) Exactamente uno de los lugares.
b) Al menos un destino.
c) Cuando mucho dos playas.
d) A lo más un lugar.
Se hizo una entrevista a 885 personas sobre su equipo favorito de fútbol soccer. Se
encontró lo siguiente:
600 siguen al Guadalajara
400 apoyan al América
620 prefieren a Pumas
195 apoyan al Guadalajara y al América
190 apoyan al América y a Pumas
400 apoyan al Guadalajara y a Pumas
Si todos los entrevistados apoyan a uno de estos tres equipos, determine el número
de aficionados que apoyan a los tres equipos.
24 CAPÍTULO 7 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos
1.15 a)
p q ~P ~q
V V F F F
V F F V V
F V V F V
F F V V V
b)
p q ~P
V V F V F F
V F F F F F
F V V F F F
F F V F F F
c)
p q ~P ~q
V V F F V F V V V
V F F V F F F F V
F V V F F F F F V
F F V V F V V V V
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
Se deja como ejercicio al lector.
a) Falso
b) Verdadero
c) Falso
d) Falso
<?) Verdadero
/) Verdadero
g) Falso
h) Verdadero
Debe ser Por
ejemplo, M = 10.
Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.
Soluciones
Soluciones 25
1.24 Sí.
1.25 a)
b)
c)
d)
e)
f)
8)
h)
i)
j
1.26
1.27
1.28
1.29
1.30
1.31
1.32
1.33
1.34
Indicación: Se debe demostrar que: 1.35
Para esto es suficiente comprobar que la siguiente proposición
es una tautología.
Sean A 1.36
Sean A 1.37
26 CAPÍTULO 7 ■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos
1.46
1.47
1.48
1.49
1.50
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
Se deja como ejercicio al
lector.
a) 42
b) 33
c) 18
a) 70 soldados
b) 200 soldados
c) 80 soldados
a) 30 personas
b) 22 personas
a) 3 edificios
b) 4 edificios
c) 12 edificios
a) 8 pasteles
b) 43 pasteles
c) 10 pasteles
a) 12
b) 13
c) 16
a) 37
b) 94
c) 317
a) 304
b) 287
c) 651
d) 353
50 aficionados
1.38
1.39
1.40
1.41
1.42
1.43
1.44
1.45
Teoría de los números
reales
En este capítulo se desarrolla la teoría de los números reales. Se presentan, también,
propiedades y leyes de los números, que proporcionan las herramientas básicas ne-
cesarias para el entendimiento de ciertos conceptos algebraicos.
EJEMPLO 2.1
El conjunto de los números reales se establece como resultado de un proceso
gradual de aplicación de los conjuntos que se reseñan a continuación:
i) Números naturales: que se utilizan para contar y se denomi-
nan también números enteros positivos.
ii) Números enteros: es el conjunto de todos los
números naturales con sus inversos (negativos) y el cero.
iii) Números racionales: es el conjunto formado por todos los números que se
pueden escribir en la forma donde p y q son enteros y Es decir, los
números racionales tienen representaciones decimales periódicas (repetitivas).
Por ejemplo:
iv) Números irracionales:" es el conjunto de los números que no pueden ser ex-
presados en la forma. Es decir, estos números tienen representaciones no
periódicas infinitas. Por ejemplo:
v) Números reales: es la unión de los números racionales e irracionales.
Demostremos que
Supongamos que es un número racional; esto es donde no
tienen divisores comunes.
Entonces, Esto quiere decir que p2 es par y por consiguiente p es par:
esto es, p =2K para algún número natural K. Por lo tanto, 4K2 - 2q2
2K2 = q2
27
2.1 INTRODUCCIÓN
2.2 OPERACIONES ARITMÉTICAS EN EL
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
28 CAPITULO 2 ■ Teoría de los números reales
Lo anterior muestra que q2 es par y por lo tanto q también lo es. Entonces, son pares tanto
p como q en contradicción con lo supuesto de que p y q no tienen divisores comunes. Esta
contradicción nos demuestra que no es racional.
Relación entre los conjuntos de números:
Las cuatro operaciones fundamentales del álgebra y la aritmética son:
i) Suma La suma, o adición, de dos números a y b se representa por a + b. Por
ejemplo, 3 más 2 igual a 5 se escribe 3 + 2 = 5
ii) Resta La resta, sustracción o diferencia, de un número b de otro a se representa
por a - b. Por ejemplo, 6 menos 2 igual a 4 se escribe 6 - 2 = 4
iii) Multiplicación El producto de dos números a y b es otro número c y se repre-
senta como a × b = c. Por ejemplo, 3 × 2 = (3)(2) = 6
iv) División Cuando se divide un número a entre otro b distinto de cero, el co-
ciente se representa como a -s- b, a : b o en donde a recibe el nombre de
dividendo y b, el de divisor. La expresión también se denomina fracción,
siendo a el numerador y b el denominador.
Propiedades de los números reales
Sean a, b,
i) Propiedad conmutativa de la suma: a + b = b + a
ii) Propiedad conmutativa de la multiplicación: ab = baiií) Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c - a + (b + c)
iv) Propiedad asociativa de la multiplicación: (ab)c = a(bc)
v) Propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac
vi) Propiedad del neutro aditivo: a + 0 = a
vii) Propiedad del inverso aditivo: a + (-a) = 0
viii) Propiedad del neutro multiplicativo: a x 1 = a
ix) Propiedad del inverso multiplicativo:
Leyes de los signos de la multiplicación
i) El producto de dos números del mismo signo es positivo.
ii) El producto de dos números de signo contrario es negativo.
Exponentes y radicales 29
Orden de las operaciones
EJEMPLO 2.2
• Efectuar primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
• Efectuar sumas y restas de izquierda a derecha.
• Si hay varios símbolos de agrupamiento —como paréntesis (), corchetes [ ] o
llaves {}—, uno dentro de otro, primero se efectúan las operaciones de los sím
bolos interiores y luego los exteriores.
Aplicando las propiedades de los números reales, simplifique:
TEOREMA 2.1
Para toda y para toda m, n racionales,
DEFINICIÓN 2.1
EJEMPLO 2.3 simplifique:
2.3 EXPONENTES Y RADICALES
30 CAPÍTULO 2 ■ Teoría de los números reales
EJEMPLO 2.4 Represente como potencia de 2 las expresiones siguientes:
Aplicando la regla que, se tiene
Aplicando la propiedad d) del teorema 2.1, se obtiene
Aplicando el teorema 2.1, queda
EJEMPLO 2.5 Simplifique:
Aplicando las propiedades de los exponentes (el teorema 2.1), se tiene:
Aplicando la propiedad c) y e) del teorema 2.1, se obtiene:
2.4 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
DEFINICIÓN 2.2
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras que representan
números (variables) cualesquiera.
Por ejemplo,
DEFINICIÓN 2.3
Un polinomio es una expresión algebraica de más de un término. Por ejemplo:
Expresiones algebraicas 31
EJEMPLO 2.6
EJEMPLO 2.7
EJEMPLO 2.8
a) 7x3y4 es un monomio, ya que sólo consta de un término.
b) 2x + 3y es llamado binomio, por constar de dos términos.
c) 3x2 + 4x - 2 recibe el nombre de trinomio, pues es una expresión algebraica de
tres términos.
DEFINICIÓN 2.4
Términos semejantes son aquellos que sólo se diferencian en su coeficiente. Por
ejemplo, -2xy, 4xy son términos semejantes, mientras que ab2,3a2b3 no lo son.
Operaciones con expresiones algebraicas
1. Suma Se efectúa agrupando los términos semejantes.
Sume:
2. Resta Se lleva a cabo efectuando la suma de la expresión del minuendo con el
inverso aditivo del sustraendo, la cual se obtiene cambiando el signo de todos
sus términos.
Reste:
3. Multiplicación Hay tres casos:
i) Producto de dos o más monomios. Para realizarlo se aplican las leyes de los
exponentes del teorema 2.1.
ii) Producto de un monomio por un polinomio. Se efectúa multiplicando el
monomio por todos y cada uno de los términos del polinomio y sumando
los productos.
iii) Producto de un polinomio por un polinomio. Se multiplican todos y cada
uno de los términos de un polinomio por todos y cada uno de los términos
del otro y sumando los productos obtenidos.
Multiplique:
a)
Aplicando las propiedades conmutativa y asociativa, queda:
De acuerdo con las leyes de los signos y los exponentes del teorema 2.1 se deduce:
b)
Aplicando la propiedad distributiva, se obtiene:
32 CAPÍTULO 2 ■ Teoría de los números reales
EJEMPLO 2.9
c)
Se aplica la propiedad distributiva:
Utilizando las leyes de los signos y los exponentes del teorema 2.1 se logra:
Sumando términos semejantes:
4. División Hay dos casos:
i) Cociente de dos monomios. Se efectúa determinando el cociente de los
coeficientes y aplicando el teorema 2.1 para los factores literales.
ii) Cociente de dos polinomios. Se logra con los siguientes pasos:
a) Se ordenan los términos de los polinomios en orden decreciente por
sus exponentes.
b) Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor,
con lo que resulta el primer término del cociente.
c) Se multiplica el término del cociente por cada uno de los términos del
divisor y se resta del dividendo, con lo que se obtiene un nuevo divi
dendo.
d) Con el dividendo de c) se repiten las operaciones de los pasos b) y c)
hasta obtener un residuo de grado menor que el del divisor.
e) El resultado se expresa como
cociente +
Divida:
1.
2.
Por tanto
Productos notables
Son productos de polinomios que aparecen frecuentemente y conviene recordar
para hacer más rápida y segura la manipulación algebraica:
Expresiones algebraicas 33
EJEMPLO 2.10
EJEMPLO 2.11
Factorización
Los factores de una expresión algebraica dada son dos o más expresiones algebraicas
que, multiplicadas entre sí, originan la primera.
Para factorizar se utilizan las fórmulas i-ix del apartado anterior. De la misma
manera en que leídas de izquierda a derecha dan el producto, cuando esto sucede de
derecha a izquierda constituyen la factorización.
Desarrolle:
1.
Aplicando el producto notable ii:
2. (5a-9)2
Aplicando el producto notable iii:
(5a-9)2 = (5a)2-2(5a)(7)+(9)2 =25a2-90a + 81
3. (x-1)3
Aplicando el producto notable vii:
(x-13) =x3 -3x2 +3x-1
4.
Aplicando el producto notable i:
5. (2x + l)(4x2-2x + l)
Aplicando el producto notable ix:
(2x + 1)(4x2 -2x + 1)=(2x)3 +13 =8x3 +1
Factorice:
1. 8x3 y6 - z3
Aplicando la fórmula viii:
8x3y6 - z 3 = (2xy2 )3 - (z)3 = (2xy2 - z)(4x2y4 + 2xy2z + z2)
2. 2ax - 4bx + ay- 2by
Obteniendo el factor común por parejas, se obtiene:
(2ax-4bx)+(ay-2by) = 2x(a-2b)+ y(a-2b) = (a-2b)(2x + y)
34 CAPÍTULO 2 ■ Teoría de los números reales
Obteniendo el factor común por parejas, se obtiene:
Aplicando la fórmula i:
2.5 VALOR ABSOLUTO
DEFINICIÓN 2.5
El valor absoluto de a, denotado por se define como:
Geométricamente, el valor absoluto de a es la distancia del origen al punto a.
EJEMPLO 2.12 Calcule el valor absoluto de -5 y 5.
DEFINICIÓN 2.6
Una desigualdad denota que una cantidad real o expresión es mayor o menor que
otra.
Signos de desigualdad.
1. a > b significa que "a mayor que b" o, bien, que a - b es un número positivo.
2. a < b significa que "a menor que b" o, bien, que a - b es un número negativo.
3. a > b significa que "« mayor o igual que b" o, bien, que a - b es un número no
negativo.
4. a < b significa que "a menor o igual que V o, bien, que a - b es un número no
positivo.
EJEMPLO 2.13 Representación en forma de desigualdad, en forma de intervalo y en forma gráfica de des-
igualdades:
Desigualdad Intervalo
Problemas resueltos 35
2.6 PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
entonces: Sea a, b,c
(aplica también para
(aplica también para
(desigualdad triangular)
Problemas resueltos
Realice las siguientes operaciones (sin calculadora): 2.1
SOLUCIÓN
Denotando con x la expresión:
Efectúe las siguientes operaciones (sin calculadora): 2.2
36 CAPITULO 2 ■ Teoría de los números reales
SOLUCIÓN
Denotando con x la expresión:
Lleve a cabo las siguientes operaciones (sin calculadora): 2.3
SOLUCIÓN
La simplificación debe ser 34.06-33.81 =
Denotando con x la expresión:
Calcule el número cuyo 4% es igual a: 2.4
SOLUCIÓN
Denotando con x al número buscado, el valor de la expresión es igual a
entonces:
Calcule: 2.5
Problemas resueltos 37
SOLUCIÓN
Realice la siguiente operación: 2.6
SOLUCIÓN
Se tiene que:
Simplifique la expresión: 2.7
SOLUCIÓN
Se tiene que:
Realice la operación: 2.8
SOLUCIÓN
Se tiene que:
38 CAPÍTULO 2 ■ Teoría de los números reales
Simplifique la expresión: 2.9
SOLUCIÓN
Se tiene que:
Simplifique la expresión: 2.10
SOLUCIÓN
Se tiene que:
2.11 Simplifique la expresión w y calcule el valor para dados a, b.
40 CAPÍTULO 2 ■ Teoría de los números reales
Demuestre que la suma es un número natural. 2.15SOLUCIÓN
Se puede observar que:
En forma parecida, entonces:
2.16 Factorice:
SOLUCIÓN
2.17 Calcule el valor de las siguientes expresiones para x dado:
SOLUCIÓN
Sea
Se puede observar que
Problemas resueltos 41
Entonces:
2.18 Demuestre que si a + b + c = 0, entonces a3 + b3 + c3 = 3abc.
SOLUCIÓN
Se tiene que:
2.19 Si se sabe que calcule x4 + y4 +z4
SOLUCIÓN
Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad x + y + z = 0, se obtiene
Otra vez, elevando al cuadrado la última igualdad se obtiene:
Ahora, elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad
finalmente, se obtiene que
Encuentre el siguiente conjunto 2.20
SOLUCIÓN
Se deben ver 4 casos:
En cada uno se obtiene un subconjunto; la suma de éstos es un cuadrado con
vértices (-1, 0); (0,1); (1, 0); (0, -1).
44 CAPÍTULO 2 ■ Teoría de los números reales
Calcule el número cuyo: 2.23
a) 5% es igual a 14
b) 0.2% es igual a
c) 128% es igual a 512
d) p% ws igual a a.
2.24 Determine el número cuyo 1.31% es igual a:
Indique el número cuyo 1.2% es igual a: 2.25
Calcule: 2.26
2.27 Multiplique:
Problemas propuestos 45
Demuestre que: 2.28
2.29 Simplifique:
48 CAPITULO 2 ■ Teoría de los números reales
Problemas propuestos 49
2.32 Factorice:
Demuestre que: 2.33
Simplifique de tal manera que no aparezcan radicales en el denominador: 2.34
52 CAPÍTULO 2 ■ Teoría de los números reales
2.44 Simplifique:
Problemas propuestos 53
2.45 Demuestre que para todos las siguientes relaciones son verdaderas:
2.46 Demuestre la identidad:
2.47 Resuelva las desigualdades:
2.48 Calcule:
2.49 Simplifique:
Soluciones 55
2.29
2.30
2.31
2.32
56 CAPÍTULO 2 ■ Teoría de los números reales
2.33 Se deja como ejercicio al lector.
2.34
2.35
2.36 al 2.41 Se dejan como ejercicios al lector.
Soluciones 57
2.42
2.43
2.44
2.45 Indicación. Se va a demostrar b viendo cuatro casos:
En el caso 1 se tiene:
En el caso 2 se tiene:
En el caso 3 se tiene:
, entonces
En el caso 4 se tiene:
De esto se concluye que la desigualdad b es verdadera para todos
Se deja como ejercicio al lector. 2.46
58 CAPÍTULO 2 ■ Teoría de los números reales
2.47
2.48
2.49
Funciones lineales y
cuadráticas
Una ecuación es una proposición de igualdad entre dos expresiones algebraicas.
Esto hace que la ecuación sea la herramienta más importante del álgebra, ya que en
la resolución de problemas se involucran distintos tipos de ecuaciones. En el pre-
sente capítulo se revisa cuidadosamente la lógica de la resolución de ecuaciones.
DEFINICIÓN 3.1
Una relación es una correspondencia entre un conjunto de partida y otro conjunto
llamado conjunto de llegada, de manera que a cada elemento del conjunto de parti-
da le corresponden uno o más elementos del conjunto de llegada.
Nosotros estudiaremos relaciones entre conjuntos de números.
DEFINICIÓN 3.2
Una función es una relación a la que se añade la restricción de que a cada valor del
conjunto de partida le corresponde uno y sólo un valor del conjunto de llegada.
59
3.1 INTRODUCCIÓN
3.2 RELACIONES
60 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
El conjunto de partida se llama conjunto de la variable independiente y el con-
junto de llegada se llama conjunto de la variable dependiente.
DEFINICIÓN 3.3
Se le llama dominio de una función al conjunto de todos los valores que toma la
variable independiente, x. El conjunto de todos los valores correspondientes de
y =f(x), la variable dependiente, se conoce como rango o imagen.
EJEMPLO 3.1 Indique dominio y rango (imagen) de las siguientes funciones:
EJEMPLO 3.2
El dominio está compuesto por todos los valores x que pueden ser sustituidos en la
expresión entonces se requiere que
DEFINICIÓN 3.4
Si tomamos como conjunto de partida el conjunto de los números reales repre-
sentados por un eje horizontal y como conjunto de llegada también
representados por un eje vertical, los puntos del plano P(x, y) tales que y = f(x)
representan un lugar geométrico que llamaremos gráfica de la función y = f(x).
Represente gráficamente la función
Función lineal 61
EJEMPLO 3.3
DEFINICIÓN 3.5
Si una función f(x) satisface que f(-x) = f(x), para todo número x de su dominio,
entonces f(x) se denomina función par y su gráfica es simétrica respecto al eje y. Si
una función/(x) satisface f(-x) = -f(x), para todo número x de su dominio, entonces
f(x) se denomina función impar y su gráfica es simétrica respecto al origen.
Analice si las siguientes funciones son pares o impares.
1.
Por tanto, f(x) es par.
2.
Portanto, f(x) es impar.
DEFINICIÓN 3.6
Se dice que una función f(x) es creciente sobre un intervalo I si f(x1) <f(x2), siempre
que x1 < x2 en I. Se considera que una función f(x) es decreciente sobre un intervalo
I, si f(x1) > f(x2), siempre que x1 < x2 en I.
DEFINICIÓN 3.7
La función f(x) se conoce como periódica si existe un número positivo k, tal que
f(x + k) = f(x) para todos los valores x.
DEFINICIÓN 3.8
La función y = f(x) definida por la ecuación y = ax + b, donde a y b son constantes y
recibe el nombre de función lineal.
Se sabe que la gráfica de la función lineal es una línea recta (no vertical),
con pendiente a y ordenada al origen igual a b.
DEFINICIÓN 3.9
Un número c es un cero de una función y = f(x) si f(c) = 0.
3.3 FUNCIONES Y SUS PROPIEDADES
3.4 FUNCIÓN LINEAL
62 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
EJEMPLO 3.4 Demuestre que el valor de * es un cero de la función indicada:
Se sustituye el valor de x en y:
Por tanto, es un cero de la función.
2.
Se sustituye el valor de x en y. y Por
tanto, x = -12 es un cero de la función. Observaciones:
a) Un cero de la función y = f(x) es una solución o raíz de la ecuación y = f(x) = 0.
b) Cuando se resuelve una ecuación, las soluciones o raíces que se determinan son los
ceros de la función.
c) La gráfica de y = f(x) cruza al eje x en cada cero de la función.
EJEMPLO 3.5
Para resolver una ecuación es necesario ejecutar en ella operaciones que produzcan
ecuaciones equivalentes y más sencillas (dos ecuaciones son equivalentes si tienen
el mismo conjunto de soluciones). Para ello se utilizan los siguientes teoremas:
TEOREMA 3.1
Propiedades de la igualdad. Si a,b, y a = b, entonces
i) Propiedad de adición: a + c = b + c
ii) Propiedad de sustracción: a-c-b-c
iii) Propiedad de multiplicación: ac = bc, c ≠ 0
iv) Propiedad de división:
TEOREMA 3.2
Si una ecuación se modifica utilizando cualquiera de las propiedades del teorema
3.1, entonces la ecuación resultante es equivalente.
Resuelva: 3x-2(2x-5)= 2(x+3)-8
Se suprimen los signos de agrupamiento: 3x-2(2x-5)= 2(x+3)-8
Se combinan los términos semejantes: 3x-4x + 10= 2x + 6-8
-x + 10 = 2x-2
Propiedad de sustracción: -x +10-10=2x- 2 - 1 0
-x = 2x-12
Propiedad de sustracción: -x – 2x = 2x - 12 - 2x
-3x = -12
3.5 ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES
Ecuaciones y desigualdades lineales 63
TEOREMA 3.3
Cualquier ecuación que pueda expresarse en la forma ax + b = 0 recibe el nombre de
ecuación lineal o ecuación de primer grado. Cualquier ecuación de esta forma,
Con tiene siempre una sola solución,
TEOREMA 3.4
Propiedades de las desigualdades. Si entonces:
i) a + c < b + c
ii) a-c < b -c
iii) ac < bc si c es positivo
ac > bc si c es negativo
Cuando se invierte el signo de cada desigualdad, cuando "<" se sustituye por
y cuando ">" se hace por se cumplen propiedades parecidas.
EJEMPLO 3.8 Resuelva y represente gráficamente 3(x-2)+ 2 < 4(x + 1)
Se simplifican ambos miembros: 3x - 6 + 2 < 4x + 4
3x - 4 < 4x + 4
Propiedad de división:
EJEMPLO 3.6 Resuelva
Se multiplica cada uno de los términos por (x - 2):
Se suprimen los signos de agrupamiento: Se
combinan términos semejantes: Utilizando el
teorema 3.1 se tiene:
x = 2 no puede ser solución de la ecuación original. Observe que se ha obtenido una
solución falsa porque en el primer paso se aplicó la propiedad iii) del teorema 3.1 con
c = 0.
EJEMPLO 3.7 Resuelva
Se debe recordar que el valor absoluto se define como
Entonces,
64 CAPITULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
Utilizando las propiedades del teorema 3.4:
Representación gráfica:
EJEMPLO 3.9 Indique el conjunto solución de
Se debe recordar que entonces:
3.6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Forma general de un sistema lineal:
Resolver este tipo de sistemas significa determinar todos los pares ordenados
(x, y) de números reales que satisfagan ambas ecuaciones simultáneamente. Para
ello se utilizan tres métodos:
1. Método de sustitución
2. Método de eliminación
3. Regla de Cramer (determinantes)
3.6.1 Método de sustitución
a) Se usa una de las ecuaciones para despejar una incógnita y dejarla en función de
la otra.
b) Se sustituye la ecuación obtenida en a) en la otra ecuación, llegando así a una
ecuación con una incógnita. Posteriormente se resuelve esta ecuación.
c) Se sustituye el valor determinado en b) en la ecuación obtenida en a) y se des-
peja la incógnita.
EJEMPLO 3.10 Resuelva el sistema de ecuaciones:
Sistemas de ecuaciones lineales 65
Se despeja y de la primera ecuación:
Se sustituye ésta en la segunda ecuación: 3x + 4(l-2x)= 14
Sustituyendo x = -2 en la primera ecuación, se tiene y = l-2(-2) = 5
Por lo tanto, la solución es el par ordenado (-2, 5).
3.6.2 Método de eliminación
a) Se multiplica una o más de las ecuaciones por aquellos números que hacen que
el coeficiente de una de las incógnitas en una de las ecuaciones sea el opuesto
del coeficiente correspondiente en la otra ecuación.
b) Se suman las ecuaciones para eliminar una de las incógnitas y luego se despeja
la incógnita que queda.
c) Se sustituye el valor determinado en b) en una de las ecuaciones originales y se
despeja la incógnita restante.
EJEMPLO 3.11 Resuelva el sistema de ecuaciones:
Por tanto, la solución es el par ordenado (2, -3).
• Posibles resultados obtenidos por los métodos de sustitución y eliminación:
i) Solución única, por ejemplo, (1,2).
ii) No existe solución cuando se obtiene una proposición falsa como 0 = 7.
iii) Infinitas soluciones cuando se obtiene la proposición 0 = 0, ya que se trata de una
identidad. (Es decir, una igualdad que se satisface para todos los valores de x.)
CRAMER, GABRIEL (1704-1752).
Matemático suizo, profesor de ma-
temáticas y filosofía en Ginebra, fue
admitido en la Academia de Berlín
y en la Royal Socicty. La conocida
regla de Cramer, que sirve para la
resolución de determinantes y está
incluida en su Introducción al aná-
lisis de las curvas algebraicas (1750),
la descubrió con Colin MacLaurin
(1698-1746) probablemente en
1729, cuando estaba escribiendo el
Tratado de álgebra, que fue publi-
cado en 1748, dos años después de
su muerte.
3.6.3 Regla de Cramer
TEOREMA 3.5
La solución (x, y) de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Se multiplica la segunda ecuación por 4:
Se suman las ecuaciones:
Se sustituye x = 2 en una de las ecuaciones originales:
66 CAPITULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
Resultados posibles por la regla de Cramer:
iv) Solución única si
v) Ninguna solución cuando se obtiene
vi) Infinitas soluciones cuando se obtiene
EJEMPLO 3.12 Resuelva mediante la regla de Cramer:
SOLUCIÓN
Sea D
Por tanto:
TEOREMA 3.6
Regla de Cramer para tres ecuaciones con tres incógnitas. Dado el sistema:
entonces:
EJEMPLO 3.13 Resuelva:
Sea D
Función cuadrática 67
Por tanto:
3.7 FUNCIÓN CUADRÁTICA
DEFINICIÓN 3.10
La función y = f(x) definida por la ecuación y = ax2 + bx + c, donde a ≠ 0, b y c son
constantes y x e recibe el nombre de función cuadrática.
La gráfica de la función cuadrática es una parábola con el eje de simetría para-
lelo al eje vertical. La parábola abre hacia arriba cuando a > 0 y hacia abajo cuando
a < 0. El punto de intersección de la parábola con su eje de simetría recibe el nom-
bre de vértice.
Propiedades de
i) Eje de simetría de la parábola:
y es el valor mínimo si es el valor máximo de ii)
donde
iii) Vértice de la parábola:
68 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
EJEMPLO 3.14 Determine el eje de simetría, el valor máximo o mínimo de y, así como el vértice de
y = 12x - 2x2.
SOLUCIÓN
Sean a = -2, b = 12, c = 0; entonces:
i) Eje de simetría:
ií) Como a < 0, entonces el valor máximo es
iii) Vértice V(3; 18)
3.8 ECUACIONES Y DESIGUALDADES
CUADRÁTICAS
DEFINICIÓN 3.11
Una ecuación cuadrática con una incógnita x es cualquier ecuación que se puede
escribir en la forma ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
Resolver una ecuación cuadrática o de segundo grado es hallar los valores de x
que la satisfacen. Dichos valores reciben el nombre de soluciones o raíces de la
ecuación dada.
Observaciones:
a) La ecuación se dice completa si
b) Si se tiene una ecuación in-
completa.
Métodos de resolución de las ecuaciones
cuadráticas
1. Raíz cuadrada
2. Factorización
3. Completar trinomio cuadrado perfecto
4. Fórmula general
3.8.1 Método de la raíz cuadrada
Este método se aplica exclusivamente cuando la ecuación cuadrática está incomple-
ta de la forma
EJEMPLO 3.15 Resuelva
Se tiene
3.8.2 Método de factorización
Este método consiste en descomponer en factores la ecuación y utilizar la siguiente
propiedad de los números reales:
Ecuaciones y desigualdades cuadráticas 69
EJEMPLO 3.16
Si a y b son números reales, entonces a - b - 0 a = 0 v b = 0.
Resuelva x2 -5x + 6 = (x-3)(x-2)=Q. Resolviendo este
sistema de ecuaciones se tiene que:
EJEMPLO 3.17
3.8.3 Método de completar el trinomio
cuadrado perfecto
Para completar el cuadrado en una expresión cuadrática de la forma x2 + bx, se
suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, o sea,
Resuelva 2x2-4x-3 = 0-
Primero se divide la ecuación entre el coeficiente de x2:
Se completa el trinomio cuadrado perfecto:
3.8.4 Fórmula general
EJEMPLO 3.18
Sea la ecuación ax2 + bx + c = 0, entonces las soluciones se obtienen por me-
dio de:
donde Δ es el discriminante y
i) Si Δ > 0, se tienen dos soluciones reales
ii) Si Δ = 0, hay dos soluciones iguales reales
iii) Si Δ < 0, no existen soluciones reales
Resuelva 3x2 - 5x + l = 0
Utilizando la fórmula general, a = 3,b > = -5,c = 1. Entonces:
Δ = (-5)2 - 4(3)(1) = 13 > 0; por ende, se tienen dos soluciones reales.
DEFINICIÓN 3.12
Si es una ecuación bicuadrática. Para resolver este tipo
de ecuaciones, se realiza un cambio de variable x2 = t; de esta manera, se tiene una
ecuación de la forma: at2 + bt + c - 0, que se resuelve por los métodos anteriores.
DEFINICIÓN 3.13
Una desigualdad cuadrática con una variable es cualquier desigualdad que se pueda
escribir en la forma
70 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
EJEMPLO 3.19
Para resolver este tipo de desigualdades, se deben seguir los siguientes pasos:
a) Dejar uno de los lados de la desigualdad igual a 0.
b) Descomponer en factores la expresión cuadrática.
c) Determinar los ceros o puntos críticos de cada factor.
d) Analizar los signos para cada uno de los factores.
é) Determinar el intervalo donde se cumple la desigualdad dada.
TEOREMA 3.7
Si a > 0 entonces la expresión ax + b es negativa a la izquierda de su punto crítico y
es positiva a la derecha del mismo.
Determine el conjunto solución de x2 ≥ x + 6.
Se pasan los términoshacia la izquierda: x2 – x – 6 ≥ 0
Se factoriza el lado izquierdo: (x -3)(x + 2) ≥ 0
Se determinan los puntos críticos: x =3, x =-2
Se analizan los signos:
VIETA, FRANCISCO (1540-1603).
Nace en Fontenay-le-Comte y mue-
re en París. La más espectacular de
sus virtudes: su capacidad para des-
cifrar enigmas, lo llevó a descifrar las
claves utilizadas por el rey Felipe II
de España. Tomó las matemáticas
como diversión; a pesar de ello, ela-
boró un gran trabajo en álgebra y tri-
gonometría. Fue el primero en usar
letras para simbolizar incógnitas y
constantes en las ecuaciones alge-
braicas. Isagoge in artem analiticam
(1591) se considera el primer libro
de álgebra escrito con la notación ac-
tual. Por tal razón se le llama el pa-
dre del álgebra moderna. También
fue aficionado a la geometría; él cal-
culó el número pi con una aproxima-
ción correcta de 10 decimales.
EJEMPLO 3.20
Como (x — 3)(x + 2)≥ 0, entonces ambos factores deben tener el mismo signo (así, su
producto es positivo) y esto sólo se cumple cuando
TEOREMA 3.8
Teorema de Viete'a. Sea entonces se cumple
que:
, donde x1, x2 son las raíces o soluciones de la ecuación.
3.9 SISTEMAS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
Algunos casos se pueden resolver fácilmente:
Caso 1 Una ecuación lineal y una cuadrática. El método apropiado para resolver
este tipo de sistemas de ecuaciones es el de sustitución. Se despeja una de las varia-
bles de la ecuación lineal y se sustituye en la cuadrática.
Resuelva el sistema de ecuaciones:
De la segunda ecuación se despeja y:
Sistemas de ecuaciones cuadráticas 71
Sustituyendo este resultado en la primera ecuación, se obtiene:
Sustituyendo estos valores en la segunda ecuación, se tiene que:
Caso 2 Dos ecuaciones cuadráticas que sólo contienen los términos cuadrados de
las incógnitas. Las ecuaciones generales, en este caso, son de la forma:
Este sistema se puede resolver mediante el método de eliminación.
EJEMPLO 3.21 Resuelva el sistema de ecuaciones:
Utilizando el método de eliminación, se tiene:
Sustituyendo el resultado anterior en la primera ecuación, se obtiene:
Cada par
es una solución del sistema.
Caso 3 Todos los términos que contienen a las incógnitas son de segundo grado:
EJEMPLO 3.22 Resuelva
Como primer paso, se deben eliminar las constantes, para obtener una ecuación de segundo
grado para las incógnitas x y y.
72 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
Factorizando este resultado, queda
Igualando cada factor a cero, se obtienen dos ecuaciones lineales:
Eligiendo la primera ecuación cuadrática, se forman dos sistemas de ecuaciones del caso 1:
Resolviendo, resulta para cada sistema de ecuaciones:
Observación
En este caso también se puede sustituir en ambas ecuaciones donde y después
eliminar la incógnita x calculando el valor de t.
Problemas resueltos
Resuelva la siguiente ecuación: 3.1
SOLUCIÓN
Para se tiene
Para
Para identidad
Para
Finalmente, se obtiene la solución que o cualquier número
Resuelva las siguientes desigualdades: 3.2
SOLUCIÓN
Para la desigualdad es siempre verdadera. Para la
desigualdad dada es Para es
una desigualdad sin soluciones. La desigualdad es verdadera para todos
Al presentar la desigualdad dada en la siguiente forma es posible
observar que todos números cumplen con ella.
Para y para
Finalmente,
Problemas resueltos 73
Haga la gráfica de la función para 3.3
SOLUCIÓN
para
De la definición del valor absoluto se tiene: para
para
para
la gráfica es:
Resuelva la siguiente desigualdad: 3.4
SOLUCIÓN
Resuelva el sistema de desigualdades: 3.5
SOLUCIÓN
Debemos encontrar el conjunto solución de cada una de las desigualdades y des-
pués buscar la intersección de estos conjuntos. Se tiene que:
Resuelva en forma gráfica la siguiente desigualdad: 3.6
SOLUCIÓN
Debemos trazar dos gráficas en el mismo sistema de coordenadas:
para
para
para
para
74 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
Se tiene:
Finalmente,
Resuelva las siguientes ecuaciones, con respecto a x: 3.7
SOLUCIÓN
a) Al simplificar, la ecuación queda de la siguiente forma:
la raíz de esta ecuación es Para Para
existen infinitas soluciones, en tanto que para no hay
solución.
b) Al suponer que la ecuación dada se transforma en
Ahora observamos que:
para en la ecuación hay una raíz
para existen infinitas soluciones
c) Para la ecuación tiene una raíz
Para no hay solución.
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: 3.8
un número dado
número dado
Problemas resueltos 75
los números dados
SOLUCIÓN
tiene la solución a) Para por tanto, el sistema
Para se obtiene el sistema con solución
el sistema tiene b) Vemos que para k = 0 en el sistema sí hay solución. Para
Para solución sólo si la solución es:
mientras que en en el sistema no hay solución porque
el caso el sistema presenta infinitas soluciones.
c) Despejando de la primera ecuación y sustituyendo este
valor en las dos ecuaciones restantes, se obtiene
el sistema (*) tiene la solución única Para
y de la primera ecuación del sistema dado
tema (*) no tiene solución; en consecuencia, el sistema dado tampoco tiene
solución. Para a = 0 el sistema tiene infinitas soluciones y para cualquier z,
d) Al sumar ambos lados de las ecuaciones, se obtiene:
Al restar esta ecuación de cada ecuación del sistema, se obtiene:
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: 3.9
76 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
SOLUCIÓN
entonces el sistema tiene solución a) Se tiene que
única. Hay que calcular y se obtiene:
b) Se tiene que
entonces y el sistema tiene solución única: Si
entonces en este caso
no la hay y si el sistema tiene infinitas soluciones;
esto es: cualquier par satisface el sistema.
3.10 es un par ¿Para qué valor de m la solución del sistema
de números reales con signos opuestos?
SOLUCIÓN
La solución del sistema es para Los números x,y tienen signos
opuestos
3.11 ¿Para qué valor de m el punto de intersección de las rectas del sistema
pertenece a la recta
SOLUCIÓN
Al resolver el sistema se obtiene para
El punto pertenece a la recta si y sólo si
se cumple que:
3.12 ¿Para qué valor de m la solución del sistema es un par
(x; y)tal que se cumple
Problemas resueltos 77
SOLUCIÓN
La solución del sistema es
Para un par cumple la condición
3.13 es un par (x; y) Para qué valor de m la solución del sistema
tal que se cumple:
SOLUCIÓN
La solución del sistema es
a)
b) Se tiene que:
entonces la condición equivale a la alternativa de los siguientes
sistemas
¿Para qué valor de m el punto de intersección de las rectas del sistema 3.14
pertenece al rectángulo con vértices
78 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
SOLUCIÓN
Al resolver el sistema se obtiene para El
punto pertenece al rectángulo ABCD si las coordena-
esto es que: das (x; y) cumplen el sistema de desigualdades
La desigualdad es verdadera si y desigual-
Entonces se tiene que dad
3.15 Resuelva el sistema de ecuaciones y verifique la exis-
tencia de soluciones en dependencia de los parámetros a y m.
SOLUCIÓN
Se tiene que
entonces
Para Ahora podemos con- y si
cluir que el sistema tiene:
1. Solución única
2. Infinitas soluciones
3. No tiene solución
Problemas resueltos 79
3.16 Resuelva las siguientes ecuaciones:
SOLUCIÓN
Al sustituir
se obtiene Regresan-
do a la variable x se tiene
Al sustituir se obtiene:
Regresando a la
Aun- variable x se tiene
que la ecuación tiene solución, pero las raíces no pertenecen
al conjunto:
3.17 Encuentre los coeficientes a, b, c del trinomio cuadrático
se sabe que la suma de las raíces es igual a 8, la suma de las inversas de las
y que para x = 0 el valor de y es de 24. raíces es igual a
SOLUCIÓN
De las fórmulas de Viete'a se tieneque:
Esto implica que
80 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
una función dada. Demuestre que si 3.18 Sea
entonces
SOLUCIÓN
De las condiciones del ejercicio, se tiene que
entonces la función dada es y esto es
3.19 Demuestre que si entre los coeficientes de las ecuaciones x2 + px + q = 0 y
x + mx + n = 0 existe la relación mp = 2(n + q), entonces por lo menos una
de estas ecuaciones tiene solución.
SOLUCIÓN
Si en ambas ecuaciones no hay solución entonces se cumple que:
pero por lo que
es una contradicción, lo cual sig-
nifica que por lo menos una de las ecuaciones tiene solución.
3.20 ¿Para qué valor de m la ecuación tiene dos raí-
ces con signos opuestos?
SOLUCIÓN
La ecuación dada tiene dos raíces con signos opuestos si y sólo si:
(la ecuación cuadrática)
(el producto de las raíces es negativo).
De estas condiciones, deducimos que
3.21 Si se sabe que x + y = 1, calcule el valor mínimo de w = x3 + y3.
SOLUCIÓN
Se tiene
para entonces w alcanza valor mínimo igual a
3.22 Demuestre que para toda x < 0 se cumple la desigualdad
SOLUCIÓN
Para x < 0 se tiene La última desigualdad
es verdadera para todos entonces también es verdadera para x < 0
3.23 Demuestre que para cualquier número a se cumple la desigualdad
Problemas resueltos 81
SOLUCIÓN
Se tiene que lo cual
es verdadero para todo valor de a
3.24 ¿Para qué valor de m la desigualdad es
verdadera para todos
SOLUCIÓN
Las condiciones se cumplen si:
3.25 ¿Para qué valor de m la ecuación tiene cuan-
do mucho una raíz?
SOLUCIÓN
entonces la ecuación dada no es cuadrática, sólo lineal; 1. Si Si
en este caso, la única solución es x = 4.
entonces la ecuación dada es cuadrática y tiene cuando 2. Si
mucho una raíz si:
Finalmente, tomando en cuenta 1 y 2, se obtiene que:
tiene raíz co- ¿Para qué valor de m la ecuación 3.26
mún con la raíz de la ecuación mx + 3 = 0?
SOLUCIÓN
La ecuación cuadrática La ecuación mx + 3 = 0 tiene solución
tiene solución si La solución de la ecua-
ción mx + 3 = 0 es también raíz de la ecuación cuadrática dada; esto es, se cumple
Al resolver:
entonces, finalmente, pero se obtiene
tiene ¿ Para qué valor de m la ecuación 3.27
dos diferentes raíces reales con signos iguales?
82 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
SOLUCIÓN
Para que en la ecuación cuadrática haya dos raíces diferentes con signos iguales
se deben cumplir las siguientes condiciones:
3.28 ¿Para qué valor de m las raíces xl y x2 de la ecuación
-x2 + mx - m2 + 2m -1 = 0 cumplen que xx + x2 = xl · x2 +1 ?
SOLUCIÓN
La ecuación cuadrática tiene dos raíces que cumplen las condiciones del ejercicio,
3.29 ¿Para qué valor de m la diferencia entre las raíces de la ecuación
2x2 - (m + 1) x + (m - 1) = 0 es igual a producto de estas raíces?
SOLUCIÓN
Podemos observar que si entonces la ecuación tiene solución para
todos Al resolver la ecuación, se obtienen
Pero sabemos que
Ahora calcularemos
Finalmente:
3.30 ;Para qué valor de m las raíces de la ecuación
cumplen que
SOLUCIÓN
La ecuación tiene raíces reales si y sólo si:
Observamos que:
se obtiene la ecuación
Problemas resueltos 83
¿Para qué valor de m las raíces distintas xx y x2 de la ecuación
(m + l)x2 -2x + m-í = 0 pertenecen al intervalo (0; 2)?
3.31
SOLUCIÓN
La ecuación dada cumple las condiciones del ejercicio si la gráfica de la función
es la siguiente:
Esto es, si se cumplen:
3.32 Dibuje la gráfica de la función y resuelva la desigualdad
SOLUCIÓN
De la definición del valor absoluto:
para
para
esto es,
84 CAPITULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
para
para
Entonces,
3.33 Dibuje la gráfica de la función y determine el número de
soluciones de la ecuación según los valores del parámetro m.
SOLUCIÓN
De la definición del valor absoluto,
para
para
La ecuación tiene tantas soluciones como puntos comunes entre
las gráficas esto es, si:
1. m < -8 la ecuación (*) no tiene solución.
2. m = -8 la ecuación (*) tiene una solución.
la ecuación (*) tiene dos soluciones.
la ecuación (*) tiene tres soluciones.
la ecuación (*) tiene cuatro soluciones.
3.34 Los números x1 y x2 son las raíces de la ecuación
Encuentre la función y trace la gráfica de
SOLUCIÓN
Se tiene que:
pero entonces:
Problemas resueltos 85
3.35 ¿Para qué valor de m las raíces x1 y x2 de la ecuación
(m-2)x2 +2(2m-3)x + 5m - 6 = 0
satisfacen la desigualdad
SOLUCIÓN
El ejercicio tiene solución si y sólo si:
3.36 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
3.37
SOLUCIÓN
Suponemos que el sistema tiene solución (x, y). Despejando x de la segunda ecua-
ción en términos de y, sustituimos x = -1 - 2 y x = -1 - 2y en la primera ecuación,
con lo que obtenemos una ecuación que sólo contiene a y; esto es:
Entonces x1 = Una comprobación, muestra que los pares (-1; 0) y
son soluciones del sistema. Es muy importante comprobar siempre las
soluciones de cualquier sistema no lineal para cerciorarse de no incluir raíces
extrañas.
Resuelve el sistema de ecuaciones:
La gráfica de la función
86 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
3.38
3.39
3.40
SOLUCIÓN
Despejando y de la segunda ecuación en términos de x, sustituimos y = x + m en
la primera ecuación, con lo que obtenemos una ecuación que sólo contiene a x;
estoes, 2mx+m2+1 = 0.
Si entonces
La comprobación muestra que el par
encontrado es solución del sistema.
Si m = 0, entonces el sistema no tiene solución.
¿Para qué valor de el sistema
tiene sólo una solución?
SOLUCIÓN
Suponemos que el sistema tiene solución (x, y). Despejando x de la segunda ecua-
ción en términos de y, sustituimos x = m - y en la primera ecuación y obtenemos
una ecuación que sólo contiene a y; esto es Esta ecuación
tiene una solución si y sólo si:
Para estos valores de m se tienen los pares para m, y para m2
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
SOLUCIÓN
Si el par (x, y) satisface el sistema, entonces Para en el sistema
no hay solución. Si r = 1 entonces . De esta manera quedan dos solucio-
nes (0;-l) y (0; 1). Parar > 1, de la condición 2x2 = r2 - 1, se obtienen dos valores de
x y a cada valor de x corresponden dos valores de y. Se tiene entonces las
siguientes cuatro parejas:
. Cada uno de estos pares satisface el
sistema dado.
Tres grifos llenan un depósito en 20,30 y 60 minutos, respectivamente. Calcu-
le el tiempo que tarda en llenarse dicho depósito cuando se utilizan los 3
grifos simultáneamente.
SOLUCIÓN
Sea t el tiempo necesario en minutos.
En 1 minuto se llena una parte del depósito.
Por tanto
Problemas resueltos 87
3.41 Un hombre recibe un ingreso de $730 anualmente, con dos inversiones que
suman $20 000. Una inversión paga 4% y la otra 3.5% anual. ¿Cuáles son
los montos de cada inversión?
SOLUCIÓN
Sea x la cantidad invertida a 4% e y la cantidad invertida a 3.5%.
Entonces, se establecen las siguientes ecuaciones (recuerde que el interés se calcula
como tasa de interés por monto):
3.42
3.43
El cociente intelectual (IQ) de una persona se obtiene dividiendo su edad
mental (EM) entre su edad cronológica (EC) y multiplicando por 100, es
decir, Si la escala de IQ en un grupo de niños de 12 años es
¿cuál es la variación de la edad mental de dicho grupo?
SOLUCIÓN
Se sustituye en la desigualdad:
Resolviendo:
Un camino de concreto será construido alrededor de un jardín de 30 X 48
pies. Si el área del camino representa 35% del área del jardín, encuentre el
ancho del camino.
Resolviendo con la regla de Cramer:
SOLUCIÓN
Sea x el ancho del camino.
Área del jardín:
Área del camino:
Resolviendo por fórmula general:
Por tanto, el ancho del camino es de 3 pies.
88 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
3.44 Si se dispara un objeto perpendicularmente desde el suelo, con unavelo-
cidad inicial de 160 ft/seg, su distancia d, en pies, respecto del suelo, al final
de t segundos (sin tomar en cuenta la resistencia del aire), está dada por
Encuentre el tiempo transcurrido para el cual
SOLUCIÓN
Se establecen los puntos críticos y se analizan los signos:
El producto debe ser negativo, por lo que los factores tendrán signos distintos;
entonces:
Problemas propuestos
3.45 Resuelva las siguientes ecuaciones:
Problemas propuestos 89
3.46 Resuelva las siguientes desigualdades:
90 CAPITULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
3.47 Resuelva las siguientes ecuaciones:
3.48 Resuelva las siguientes desigualdades:
3.49 Haga las gráficas de las siguientes funciones:
Problemas propuestos 91
Resuelva los siguientes sistemas de desigualdades: 3.50
Resuelva las siguientes ecuaciones con incógnita x: 3.51
92 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
Problemas propuestos 93
3.52
3.53
3.54
3.55
3.56
3.57
3.58
3.59
Resuelva la ecuación: ¿Qué condición debe cumplir el pará-
metro m para que la raíz de la ecuación pertenezca al intervalo x< 1?
Resuelva la ecuación:
¿Qué condición debe cumplir el
parámetro m para que la raíz de la ecuación pertenezca al intervalo -1 < x < 1 ?
Resuelva la ecuación: ¿Qué condición debe cumplir el pará-
metro m para que la raíz de la ecuación pertenezca al intervalo -1 < x < 0?
Resuelva la ecuación: ¿Qué condición debe cumplir
el parámetro m para que la raíz de la ecuación pertenezca al intervalo x < 2?
Resuelva la ecuación: ¿Qué condición debe cumplir
el parámetro m para que la raíz de la ecuación pertenezca al intervalo -2 < x < 0?
Resuelva la ecuación: ¿Qué condición debe cumplir
el parámetro m para que la raíz de la ecuación pertenezca al intervalo x < mi
Resuelva la ecuación: ¿Qué condición debe cumplir el pará-
metro m para que la raíz de la ecuación pertenezca al intervalo x > 2m?
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones usando determinantes:
3.60 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
94 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Problemas propuestos 95
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
96 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: 3.61
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
Problemas propuestos 97
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
98 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
x)
y)
z)
3.62 ¿Para cuáles valores del parámetro m el sistema de ecuaciones
tiene solución única?
3.63 ¿Para cuáles valores del parámetro m el sistema de ecuaciones
tiene solución única?
3.64 ¿Para cuáles valores del parámetro m el sistema de ecuaciones
tiene solución única?
3.65 ¿Para cuáles valores del parámetro m el sistema de ecuaciones
tiene solución única?
3.66 Haga la gráfica de las siguientes funciones:
Problemas propuestos 99
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
i)
3.67 Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas:
a) 7x2=175
b)
c) 33x2 - 495 = 0
d) 25x2 + 750 = 0
e) a 2 x 2 - b 2 = 0
f) a2x2+c2=0
g) (a3-l) x2- (a2+a + l) = 0
h) 4.5x2 = 27 x
i) (4x-3) (4x + 3)+3(3x - 5)+ 24 = 0
j) (x - b)2 = b2
k) (x-a)2 + (x-b)2 -a2 = b2
1) (3x + 8)2 -4(2x +3)2 + (5x-2)(5x + 2)-24 = 0
m) (ax2 +bx + c)2 -(ax2 +bx-c)2 =0
n) (x3-a3)-(x3+a3)-(x + a)(x - a) = 0
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v) (2X + 3)(3x + 4)(4x + 5)-(2x-3)(3X~4)(4x - 5) = 904
w)
100 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
x)
y)
z)
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas completas: 3.68
a) x2+7x + 12 = 0
b) 5x2-12x + 4 = 0
c) 4x2-12x + 9 = 0
d) x2-4x + 7 = 0
e) 25x2+30x-7 = 0
f) 3x2-10x-8 = 0
g)
h) 14.7x2-67.64x-297.76 = 0
i) 6x2+3.2x -1.5 = 0
j) 2.3x2 + 13.696x + 11 = 0
k) x2 -11mx - 60m2 = 0
l) (m2 - n2 )x2 - 4mnx = m2 - n2
m) x2 - (a2 + b2 )x = (a2 +b2)x- (a4 - 2a2 b2 + b4)
n) x2 -x(a-b)= 6a2 +13ab + 6b2
o)
p)
q)
r) (x + 5)2 +(x-2)2-2(x - 5)(x + 5)=x2 + l l x + 29
s) (2x-1)(3x-2)(4x - 3)-(x + 1)(3x + 2)(8x - 15) = 36
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
3.69 Resuelva las siguientes ecuaciones:
a) (3x - 8)2 - (4x - 6)2 + (5x - 2)(5x + 2) = 96
b) (2x – 7)2 + (3x - 5)2 + (4x - 9)(4x + 9) = 2(64 – 29x)
c) 10(x-2)+19 = (5x-1)(1 + 5x)
Problemas propuestos 101
Resuelva las siguientes ecuaciones: 3.70
102 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
f)
g)
h)
i)
j)
k)
1)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
3.71 Resuelva las siguientes ecuaciones:
a) x4 - 10x2 + 9 = 0
b) x4-17x2+16 = 0
c) (x2 -9)(x2 -16)=15x2
d) x4-3(x2- 1)=7(x2 - 3)
e) x4-8(x2 - l) + 4 = 0
f) (x2 - 16a)2-2(x2 - 16a) - 63 = 0
g) (x2 + x + l)(x2 + x + 2)-12 = 0
h) x4-13x2 + 36 = 0
i) x4-12x2 + 33 = 0
Problemas propuestos 103
j) x4-7x2-144 = 0
k) x4-17x2+30 = 0
l) 4x4-37x2+9 = 0
m) 4x4-17x2+4 = 0
n) 5(x2 -3x + 4)2 +30x{x2 -5x + 4) + 100 = 0
o) x6-9x3+8 = 0
p) x8+15x4-16 = 0
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
X)
y)
z)
3.72 Resuelva las siguientes desigualdades:
a) x2+2x-8>3x-8
b) -x2+6x-5<3x-
c)
d)
e) x2 > x
f) 2x2 -7x:+3>X-
g)
h)
i)
j) x2-3x + 2 < 0
k)
1) -x2+4x-4<0
m)
n) x4-12x2+32<0
o)
p) 9x2 – 4 > 0
q) -x2 + 3x – 2 > 0
r) (3x-l)2 - 4(2-x)2 > 0
s) 4x > 5x2
t)
u)
v)
104 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
w)
x)
y)
z)
Resuelva las siguientes ecuaciones: 3.73
a)
b)
c)
d)
e)
3.74 Resuelve las siguientes ecuaciones: (a, b, c - números dados)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
1)
m)
n)
o)
Problemas propuestos 105
3.75 Determine para qué valor de m las siguientes desigualdades son verdaderas para
todos
a) x2 + 3x-m + 2>0
b) 2x2 -3x+m-3>0
c) 5x2 -6x+3m-l> 0
d) -x2+3x + m-5<0
e) -2x2 -x + 2m-3<0
f) -3x2+2x-l-4m<0
g) x2 -3{m + l)x-3m + \l<Q
h) x2 -3mx + 6>0
i) 3x2-(m-l)x + 3>0
j) -x2 +(2m-l)x + 5<0
k) mx2 +5x + 4>0
1) (\+m)x2 +3x + l>0
m) (m-l)x2-5x + 6< 0
n) mx2 -(l + m)jf + l >0
o) (m-l)x2 +mx + 2>0
p) x2 -mx + m + 3>0
q) (3m-5)x2-(2m-l)x (3m-5)>0
r) (m2-l)x2+2(m-l)x + 2>0
s) (5-m)x2+2(l~m)x + 2(l-m)<0
t) (m-4)x2-(2-m)x + 0.5m + 1 >
u) (2m-3)x2 +(6-m)x +
v)
3.76 Encuentre para qué valor de m las siguientes ecuaciones tienen dos raíces reales
diferentes:
a) x2 -8x-4m = 0
b) 2x2 -3x + l-w = 0
c) 3x2 +4x + 2-5m = Q
d) (2m + l)x2+x-4 = 0
e) (4m + 3)x2+5x+3 = 0
f) (m + 3)x2 -2mx + m + 5 = 0
p)
q)
r)
s)
106 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
3.77
3.78
3.79
3.80
3.81
g) mx2 +4x-2m + l = 0
h) mx2 -(2m + \)x-m+1 = 0
i) mx2 +4mx+m + 3 = 0
j) 2m~ x +3mx + m-5 = 0
k) x2 +(m-l)x + 2m + 19 = 0
l) (m + l)x2 +(m + 2)x + 2 = 0
Para qué valor de m las siguiente ecuaciones tienen dos raíces reales diferentes con
signos negativos:
a) (m-\)x2-2mx+m-2 = 0
b) x2 -2(m-2)x-4m = 0
c) (m-l)x2 -2(m + l)x + m-2 = Q
Para qué valor de m las siguientes ecuaciones tienen dos raíces reales diferentes
con signos positivos:
a) x2 -mx + 2m-3 = 0
b) x1 -2x + í = 2xm + m2
c) (m + 1)x2 -4mx+m + l = 0
d) (m-2)x2-2(m + 3)x+m-l = 0
Para qué valor de m las siguientes ecuaciones tienen dos raíces reales diferentes
con signos diferentes:
a) x2 +(m + 5)x + 2m + 7 = 0
b) 2x -mx-m + 6 = 0
c) (m - 1)x2 +2mx + 3m-2 = 0
Para qué valores de m las siguientes ecuaciones tienen dos raíces reales iguales:
a) x1-2mx + 2m2+m-6 = 0
b) x2 -2(2m-3)x + m-l = 0
c) (2m-l)x2-(m + l)x + m-4 = 0
d) x2 -
- 2mx = -4
e) x2+mx - 2m + 5 = 0
f) 3x2 +mx + m-2 = 0
g) mx2 +3x-2 = 0
h) (m + 1)x2 -4x + 7 = 0
i) mx2 -(m + l)x + l = 0
j) (m- 1)x2 +2mx + 2m + 3 = 0
k) mx +3mx-m + 4 = 0
Para qué valor de m las siguientes ecuaciones tienen dos raíces reales diferentes
con signos iguales:
a) x2+(m-5)x +
b) x2+2mx + 4m-3 = 0
Problemas propuestos 107
3.82
3.83
3.84
3.85
3.86
3.87
3.88
3.89
3.90
3.91
3.92
3.93
3.94
3.95
c) x2 -mx + 3m-5 = 0
d) x + 2mx+m + 2 = 0
e) (m + l)x2 -4mx + 2m + 3 = 0
f) (m + 2)x2 +6mx + 4m-1 = 0
¿Para qué valor de m en la ecuación x2 +mx + 4 = 0 se cumple que
¿Para qué valor de m las raíces x1 y x2, de la ecuación x2 - 2(m-1)x+m2 - m - 4 = 0
cumplen que
¿Para qué valor de m las raíces x1 y x2, de la ecuación 8(m + l)x2 - 8mx + 3m -2 = 0
cumplen que
¿Para qué valor de m las raíces x1 y x2 de la ecuación cumplen
que
¿Para qué valor de m las raíces x, y x2, de la ecuación x2 +(m - 1)x + (m + 2)2 =0
cumplen que x1 + mx2 =0?
¿Para qué valor de m las raíces x1 y x2, de la ecuación x2-(7m + l)x + (m + l)2 =0
cumplen que x1 - x2= m(x1 + x2)?
¿Para qué valor de m las raíces x1 y x2, de la ecuación (m - 2)x 2 - 7(m -1 )x + 12m - 3 = 0
cumplen que
¿Para qué valor de m las raíces x1 y x2, de la ecuación (2m - 3)x2 +4mx + m - 1 = 0
cumplen que -mxt · x2 < x1 + x2 ?
¿Para qué valor de m las raíces x1 y x2, de la ecuación x2 +(2-3m)x + 2m2 -5m-3
= 0 cumplen que
¿Para qué valor de m las raíces x1 y x2, de la ecuación (2m + 1)x2 - (m + 1)x + 2m + 1= 0
cumplen que
¿Para qué valor de m las raíces x1 y x2, de la ecuación 4mx2 - 4(1 - 2m)x + 9m -8 = 0
cumplen que
¿Para qué valor de m las raíces x1 y x2,de la ecuación (3m-1)x2 -(2m-1)x +
2m-1 = 0 cumplen que 2x2 = 3xx ?
¿Para qué valor de m las raíces x1 y x2, de la ecuación x -(3-m)x + 6-m = 0 cum-
plen que x2-3x1 =9?
¿Para qué valor de m las raíces x1 y x2, de la ecuación x2 -(2m-1)x + 3m-6 = 0
cumplen que x2 = 2x1 +3?
108 CAPITULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
3.96
3.97
3.98
3.99
3.100
3.101
3.102
3.103
¿Para qué valor de m las raíces x1 y x2, de la ecuación (m - 4)x2 - 2(m + 1)x+m + 3 = 0
cumplen que
¿Para qué valor de m las raíces x1 y x2, de la ecuación mx2 +2(m- 1)x +m = 0 cum-
plen que
¿Para qué valor de m las raíces x1 y x2, de la ecuación cumplen
que
¿Para qué valor de m las raíces x1 y x2, de la ecuación mx2 -(m-3)x+ 1 = 0 cum-
plen que
Demuestre que para los números positivos a, b es verdadera la desigualdad
Demuestre que para los números positivos a, b, c es verdadera la desigualdad
Demuestre que para los números positivos a, b, c es verdadera la desigualdad
a2 +b2 +c2 ≥ ab + ac + bc
Construya una ecuación cuadrática cuyas raíces sean:
3.104
Encuentre los coeficientes a, b, c del trinomio f(x) = ax2 +bx + c, si se sabe que
f (3) = 0 y para x = 1 f logra un máximo igual a 12.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Problemas propuestos 109
3.105
3.106
3.107
3.108
3.109
3.110
3.111
Encuentre los coeficientes a, b, c del trinomio f(x)=ax +bx + c si se sabe que
f(5) = 5 y para x = 3f logra un mínimo igual a 11.
¿Para qué valor de m la desigualdad x2 - 2(m + 1)x + 2m2 + 3m -1 > 0 es verdadera
para todos
¿Para qué valor de m la desigualdad (m-2)x2 -3x+mx + 1>0 es verdadera para
todos
¿Para qué valor de m la desigualdad (m2 +4m-5)x2 -2(m-1)x + 2 > 0 es verdade-
ra para todos
¿Para qué valor de m la desigualdad (m2 + 5m - 6)x2 -(m- l)x - 2 < 0 es verdadera
para todos
¿Para qué valor de m la desigualdad (m2 - 1)x2 + 2(m - 1)x + 2 > 0 es verdadera para
todos
Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación x2 + x - 1 = 0 y sea ¿Para qué
valor de m la desigualdad es verdadera para todos
3.112 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
110 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
3.113
3.114
3.115
3.116
3.117
3.118
3.119
3.120
3.121
Una persona camina a una velocidad de 4 km/h. Diez horas después una segunda
persona emprende el mismo camino con una velocidad de 9 km/h. ¿A qué distancia
del punto de partida logra alcanzar a la primera?
¿Cuántos gramos de plata a 72% pura y de plata 84.8% pura deben mezclarse para
obtener 8 gramos de plata 80% pura?
Si una empresa produce CD, su función de costos es C = 300+ 1.5x, donde x es el
número de CD producidos en una semana, y su función de ingresos es I = 2x, donde
x es el número de CD vendidos en una semana. ¿Cuántos CD debe vender esta
empresa para obtener ganancias? {Nota: para obtener ganancias se requiere que
I>C.)
Un rectángulo está inscrito en un círculo de radio r. Encuentre las dimensiones del
rectángulo si su perímetro es
En una fábrica se pagan $888 diarios por concepto de sueldo a 205 trabajadores. Si
el sueldo promedio para un hombre es de $4.85 y para una mujer es de $3.60, en-
cuentre el número de hombres y el número de mujeres que trabajan en ella.
Una inversión de $45 000 produce un ingreso anual de $1 625. Una parte del monto
está invertido a 3.5% y la otra parte a 3.75%. Encuentre los montos invertidos a
cada tasa.
Una tarjeta de 24 cm de largo y 12 cm de ancho fue impresa con un margen de
ancho igual, de tal manera que el área impresa cubre la mitad del área de la tarjeta.
Encuentre la medida del margen.
¿Cuáles son las dimensiones de un piso rectangular cuya área es de 28 m2 y cuyo
perímetro es de 66 m?
Dos trenes, A y B, parten de un mismo punto y recorren un trayecto rectilíneo con
velocidades medias de 30 y 50 km/h, respectivamente. Sabiendo que B parte 3 horas
después de A, encuentre el tiempo y la distancia del recorrido hasta que se encuen-
tran.
1)
m)
n)
o)
p)
q)
Soluciones 111
Soluciones
3.45 a)
b) x = 0.880
c) x = 5
d) x = 7
e) x = 1
f ) x = 1
p) x = \
q) x = -l
r) x = A
s) x = 5
t) x = 8
u) x = 3
h) x = 0
i) x = 0.2
j) x = 0.808
k) x = 2
1) x = 0
3.46
b) x>7>
c) x < 3
e) x > 2
k) x > 2
1) x < 3
3.47 g) No hay solución
h) No hay solución
i) x = 2.5
k) x = -7 v x ≥ 1
1) x = ±2 v x = ±8
m) x = 5 v x = -3 e) x = 2
f) x1=-4; x2=2
3.48
3.49
112 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
b)
c)
d)
e)
Soluciones 113
f)
g)
h)
i)
114 CAPITULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
3.50
h) No hay solución
i) d)
e) No hay solución
3.51 a) x = m n) x =4a
b) o)
c) x = 5a
d) x = a + 2b
p)
q)
e)
r)f)
g) s)
t) x = c
u) x = 4m h)
v)i)
w)j)
x)k)
y)l)
z) m)
3.52
3.53
3.54
3.55
3.56
3.57
3.58
3.59 a) x = -1 ,y = 9
b) x = 8 , y = -7
Soluciones 115
3.60
116 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
3.61
3.62
3.63
3.64
3.65
3.66
Soluciones 117
c)
d)
e)
f)
118 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
g) Indicación
h)
i)
j)
Soluciones 119
3.67 a) x1 = -5, x2 = 5
o) x¡ =a-b, x 2 = b - a
p) xx = -a, x 2 = a
q) xx = O, x2 = 4.2
r) No hay solución
s) x, = -5, x2 = 5
d) No hay solución.
f) No hay solución.
M) X X = -2a, x2 = 2a
v) J C ,=-2 , x 2 = 2
vf) jfi = —kl, x2 = kl
x) xx = -1, x2 =1
y) xt =-(a + b), x2 =(a + b)
z) Xl=-2,x2=2
h) x1 = 0, x2 = 6
j) x1 = 0, x2 = 26
k) x1 =0, x2 =a + b
l) x1= 0, x2=0
3.68 a) x1 = -4, x2= -3
d) No hay solución
e) x1=-1.4, x2=0.2
f) x 1 =-3 ,x 2 =4
h) x1 = 2.75, x2 - 7.36
k) x1 = -4m, x2 = 15m
m) x1=(a-b)2, x2=(a + b)2
u) x1 =-a, x2 =-b
120 CAPÍTULO 3 ■ Funcioneslineales y cuadráticas
w) x1 = -1.8a, x2 = 0.5a
y) x1 = 2m – n, x2 = 2n-m
z) x 1 =5 .2 , x2 = 10
a) x1 = -2, x2 = 2
b) x1=-3, x2=3
3.69
d) No hay solución
e) x1=-5, x2=5
f) x1 =-16, x2 =4
g) x1 = -5, x2 = 9
h) x1=-7, x2=-5
i) x1 =-12, x2=-2
j) x1 = 3, x2 = 4
s) x1 =-3, x2 = 8
w) x1 = 4, x2 = 1
m) x1 = -2.6, x2 = 5
n) x1 = 1.6, x2 = 4
y) No hay solución
3.70
l) x = 3
m) x1 = 1.4, x2 =3
p) x1 = 4, x2 = 5
q) x1 = x2 = 4
r) x1 = x2 = -2
h) x = 8
i) x1 = -4, x2=9
u) x1=8, x2=10
v) x1 = -15, x2 = 6
a) x1 = 1, x2 = -1, x3 = -3, x4 = 3
b) x1 = 1, x2 = -1, x3 = -4, x4 = 4
c) x1 = 2, x2 = -2, x3 = -6, x4 = 6
3.71
Soluciones 121
3.72
3.73
122 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
y para 3.74 Para
no hay solución
no hay solución Para
Para
Soluciones 123
3.75
3.76
3.77
3.78
124 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
3.79
3.80
3.81
3.82 m = -4, m = 2
3.83 m¡ = -2, m, = 1, m3 = 3
3.84
3.85
3.86
3.87
3.88
Soluciones 125
3.89
3.90
3.91
3.92
3.93
3.94
3.95
3.96
3.97
3.98
3.99
Se dejan como ejercicio al lector 3.100 al 3.102
3.103
3.104
3.105
3.106
3.107
3.108
3.109
3.110
3.111
126 CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
3.112
No hay solución
Soluciones infinitas
3.113
3.114 3 gr de plata al 72%; 5 gr de plata al 84.8%
Más de 600 CD. 3.115
3.116
3.117 120 hombres, 85 mujeres
$25 000 invertidos a 3.5% y $20 000 invertidos a 3.75% 3.118
3.119 2.30 cm
3.120 Altura: 32.13m; base: 0.87 m
3.121 Después de 7.5 horas después de la partida de A, a 225 km del punto inicial se
encuentran los trenes
Polinomios
En el presente capítulo se revisan las funciones polinomiales, que son las funciones
básicas en matemáticas, ya que están definidas sólo en términos de suma, resta y
multiplicación. En las aplicaciones frecuentemente es necesario trazar la gráfica y
encontrar (o aproximar) sus raíces.
Una expresión de la forma Q(x) = anxn + an-1xn-1 +... +a0, donde
a0 ,a1 , . . . ,an son constantes, es llamada polinomio de grado n.
EJEMPLO 4.1 Determine el grado de los siguientes polinomios:
a) Q(x)=5 Polinomio de grado 0.
b) Q(x)= 5x2 + 8x-1 Polinomio de grado 2.
c)
Polinomio de grado 3.
La ecuación anxn +an – 1 xn-1 +. . . + a0 = se conoce como ecuación
polinomial de grado n.
DEFINICIÓN 4.1
El valor de r que satisface la ecuación polinomial Q(r) - 0 es llamado cero, raíz o
solución de la ecuación.
EJEMPLO 4.2 Una raíz de la ecuación Q(x) = 3x3 -2x3 -5x-6 = 0 es x = 2, ya que
Q(2) = 3(2)3 - 2(2)2 - 5(2) -6 = 24- 8 - 10-6 = 0.
127
4.1 INTRODUCCIÓN
4.2 POLINOMIO DE UNA VARIABLE
4.3 ECUACIONES ALGEBRAICAS
128 CAPÍTULO 4 ■ Polinomios
EJEMPLO 4.3 ¿Es x = -2 un cero del polinomio Q(x) = x3 + 2x2 - x - 2 ?
Se sustituye el valor de x en Q(x), es decir:
Q(-2) = (-2)3 + 2(-2)2 -(-2)-2 =-8+ 8 + 2-2 = 0
por tanto, x = -2 es raíz de Q(x).
EJEMPLO 4.4 ¿Es x = -1 una raíz de la ecuación Q(x)=x3 -7x-6=0?
Sustituyendo x = -1 en Q(x), se tiene:
Q(-l) = -1 + 7-6 = 0
por tanto, x = -1 es una raíz de Q(x).
TEOREMA 4.1 (Teorema Fundamental de Álgebra)
Toda ecuación algebraica de grado n tiene cuando mucho n raíces diferentes.
COROLARIO
Toda ecuación racional entera de grado n tiene exactamente n raíces.
TEOREMA 4.2
Si el polinomio Q(x) de grado n tiene n raíces x1,x2, . . . ,xn , entonces se puede escribir
como:
Q(x) = an (x – x1) (x – x2) ... (x – xn)
EJEMPLO 4.5 Determine el número de raíces de las siguientes ecuaciones:
a) x7 -3x5 +2 = 0 tiene 7 raíces
b) 2x3 +5x2 -14x - 8 = 0 tiene 3 raíces
TEOREMA 4.3 (Teorema del Residuo)
Si son polinomios, entonces existen dos polinomios W(x) y R(x)
únicos, tales que Q(x) = W (x) · P(x) + R(x), donde R(x) = 0 o el grado de R(x) es
menor que el grado de P(x).
TEOREMA 4.4 (Teorema del Factor o Bézout)
Un polinomio Q(x) tiene un factor o divisor (x-r) si y sólo si Q(r) = 0.
Si un factor (x-r) aparece m veces en la factorización de Q(x), entonces r es una
raíz de multiplicidad m de la ecuación Q(x) = 0.
EJEMPLO 4.6 Sea (x-1) un binomio, indique si es factor de los siguientes polinomios:
a) Q(x)=x3+4x2-8x + 3
Como (x - 1) es un binomio, es fácil ver que x = 1 es su raíz.
Aplicando el teorema 4.4, se tiene que, como Q(1)= 0, entonces (x -1) es factor del
polinomio y x = 1 es un cero del polinomio.
b) Q(x) = -x3 +5x2 +8x + 2
Como (x-1) es un binomio; por tanto, x = 1.
Aplicando el teorema 4.4, como Q(1) = 14≠0, entonces (x - l) no es factor del
polinomio.
TEOREMA 4.5
Todo polinomio Q(x) de grado n con coeficientes reales se puede expresar como
producto de polinomios lineales y cuadráticos irreducibles sobre
Desigualdades algebraicas 129
TEOREMA 4.6
un polinomio con coeficientes enteros y Sea
es una raíz racional de Q{x), donde/? y q no tienen factores primos
comunes, entonces p divide a aa y q divide a a,,.
COROLARIO
Las raíces enteras de Q(x) son divisores de an.
EJEMPLO 4.7 Encuentre las raíces
Se tiene que Aplicando el teorema de Bézout, el polinomio Q(x)
se divide entre Esto es, se divide entre el producto de los binomios
Por tanto:
4.4 DESIGUALDADES ALGEBRAICAS
Una desigualdad expresa que una cantidad o una expresión es mayor o menor que
otra.
EJEMPLO 4.8 Resuelva
SOLUCIÓN
por tanto, la raíz de cada uno de los bino-
mios es:
Con ellos se traza la gráfica correspondiente:
La desigualdad se satisface cuando ambos factores tienen el mismo signo o cuando uno de
ellos vale cero. Lo primero ocurre cuando x está a la izquierda de -2 o a la derecha de 3; lo
segundo, en los puntos críticos. Así,
EJEMPLO 4.9 Resuelva
SOLUCIÓN
Se puede observar que y se tiene:
Se determinan los puntos críticos; siendo éstos:
diente:
y se traza la gráfica correspon-
130 CAPITULO 4 ■ Polinomios
La desigualdad se satisface cuando los factores tienen signos contrarios o cuando el numera-
dor vale cero. Lo primero ocurre cuando x está entre 0 y 4/7; lo segundo, en el punto crítico
del numerador. Así,
Las aplicaciones matemáticas requieren algunas veces del trabajo simultáneo de
más de una ecuación con varias variables; esto es, de un sistema de ecuaciones. Un
método para resolver sistemas de ecuaciones es el método de sustitución.
4.5.1 Método de sustitución
Se compone de los siguientes pasos:
1. Resolver una de las ecuaciones para una variable u en términos de otra varia
ble v.
2. Sustituir la expresión de u encontrada en el paso 1 en la otra ecuación, con lo
que se obtiene una ecuación sólo en términos de v.
3. Encontrar las soluciones de la ecuación en v obtenida en el paso 2.
4. Sustituir los valores de v encontrados en el paso 3 en la ecuación del paso 1 para
encontrar los valores correspondientes de u.
5. Verificar cada par de soluciones (u, v) encontradas en el paso 4 en el sistema
dado.
Observación: Los sistemas de ecuaciones con 3 variables se resuelven eliminando
una variable en dos cualesquiera de las ecuaciones y a continuación eliminando la
misma variable en las otras dos.
EJEMPLO 4.10.
EJEMPLO 4.11
SOLUCIÓN
Si (x, y) es una solución del sistema, entonces la variable y en la ecuación y = 2x +3 debe
satisfacer la condición y = x2. Luego se sustituye x2 por y en y = 2x + 3:
Entonces, sustituyendo los valores de x encontrados en las ecuaciones originales, se tiene
que:
Comprobando estos valores en la segunda ecuación, se llega a los mismos resultados. Por
tanto, las soluciones del sistema son (-1, 1) y (3, 9).
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
4.5 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
Resuelva el
Problemas resueltos 131
SOLUCIÓN
Se aplicará el método de eliminación para obtener un sistemade dos ecuaciones con dos
incógnitas. Es decir, utilizando la primera y segunda ecuaciones, se elimina x:
Ahora, tomando la primera ecuación y la tercera, se elimina nuevamente a la variable x:
-3(x-y + 3z = 4)
3x-y + 5z = 14
2y-4z = 2
y-2z = l
Con las ecuaciones que se han obtenido, se llega a un sistema de dos ecuaciones lineales con
dos incógnitas. Trabajando con este nuevo sistema el resultado es:
Se sustituye el valor de z en cualquiera de las ecuaciones con dos incógnitas para obtener el
valor de y:
Sustituyendo los valores de y, z en cualquiera de las ecuaciones del sistema original, se obtie-
ne x:
Así, la solución del sistema es x = 2, y = 7, z = 3, o bien, (2, 7, 3).
4.1 Encuentre los coeficientes a, b, c del polinomio Q(x) = x + ax + bx + c, si
se sabe que los números -1,1 y 3 son raíces del mismo.
SOLUCIÓN
Se tiene que Q(-1) = Q(1) = Q(3) = 0, entonces se obtiene un sistema de ecuaciones
con tres incógnitas a, b, c:
De la primera ecuación, despejando c y sustituyendo en las dos siguientes ecuaciones,
se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas; resolviendo este sis-
tema, finalmente se llega a: a = -3, b = -1, c = 3.
4.2 Encuentre el residuo R(x) de la división (x3 -x2 -5x + 1) ÷(x-2).
SOLUCIÓN
Este ejemplo se puede resolver de dos maneras. La primera es dividir los polinomios y
obtener R(x):
Problemas resueltos
132 CAPÍTULO 4 ■ Polinomios
La segunda es aplicar el teorema 4.3 en el cual
Se tiene:
esto es:
¿Para qué valor de a el polinomio se divide 4.3
entre
SOLUCIÓN
El polinomio se divide entre el binomio si y sólo si el residuo de la
división es igual a cero; esto es, si Q(1) = 0. Entonces:
¿ Para cuáles valores de a y b el polinomio se divide 4.4
entre
SOLUCIÓN
Para encontrar los valores a, b se debe dividir el polinomio
entre y exigir que para toda
De esta manera, se obtiene un sistema de ecuaciones con dos incógnitas a, b:
Factorice el polinomio 4.5
SOLUCIÓN
Se tiene que Aplicando el teorema de Bézoul, el polino-
se divide entre Esto es, se divide entre el producto mio
de los binomios
Al dividir el polinomio ya no
se puede factorizar; finalmente:
Resuelva la ecuación 4.6
SOLUCIÓN
Las raíces enteras de esta ecuación pueden ser los números ±1. ±2, ±3, ±6. Sea
Problemas resueltos 133
4.7
Q(l)=l-7-6 = -12
Q(-l) = -l + 7-6 = 0
Q(2) = 8-14-6 = -12
Q(-2) = -8 + 14-6 = 0
Q(3) = 27-21-6 = 0
De esta manera se encuentran tres raíces x1 = - l, x2 = - 2, x3 = 3 y la ecuación de
grado 3 puede tener cuando mucho tres raíces reales, entonces el procedimiento se
termina.
Observación Al encontrar la primera raíz de la ecuación xl = -1 se puede dividir x3 -
7x - 6 entre x + 1 y obtener: x3 - 7x - 6 = (x + 1)(x2 - x - 6), luego se encuentran
fácilmente las raíces de la ecuación cuadrática x2-x-6 = 0. Este procedimiento se
conoce como "Reducción del grado de la ecuación".
¿Para cuáles valores a, b el número 2 es raíz de multiplicidad dos de la ecuación x3 +
4x2 + ax + b = 0 ?
SOLUCIÓN
Por el teorema de Bézout se tiene que, al dividir el polinomio x3 + 4x2 + ax + b entre
(x-2)2, se obtiene R(x)= (a + 28)x + b-32. Para toda debe ser
4.8 Resuelva la ecuación
SOLUCIÓN
Es fácil verificar que el lado izquierdo de la ecuación es una función par; esto es, si
x0 es raíz de la ecuación también -x0 es raíz de la ecuación. De la definición de valor
absoluto:
Se revisa ahora sólo el caso x > 0 (x = 0 no es raíz de la ecuación). Se tiene que
4.9
Para cualquier entonces la ecuación posee exactamente dos
raíces positivas xt =1 y x2 =3. Pero, como la función del miembro izquierdo es
par, entonces las raíces negativas son los números opuestos de x1 y x2, es decir,
x3 = -1 y x4 = -3
Resuelva la ecuación x4 -2x3 -x2 -2x +1 = 0
SOLUCIÓN
Sea una ecuación de grado cuatro de la forma a4x4 +a3x3 +a2x2a1x + a0 =0; si a0 = a4
y a1 = a3, entonces se dice que la ecuación es simétrica. Este tipo de ecuación se
puede convertir en una ecuación cuadrática, haciendo la sustitución
Para esto, se divide la ecuación dada entre x2 y se obtiene:
esto es:
134 CAPÍTULO 4 ■ Polinomios
Regresando a la variable x:
es decir,
Finalmente, se obtiene:
ya que la ecuación no tiene soluciones en los números reales.
4.10 Resuelva la siguiente desigualdad
SOLUCIÓN
entonces Q(x) se divide entre el
se divide
entonces la desigualdad dada equivale a
4.11 Resuelva la siguiente desigualdad
SOLUCIÓN
Al factorizar el polinomio
Ordenando las raíces del polinomio Q{x) en orden creciente
colocan estos valores en el eje y se verifica el signo en todos los intervalos:
para obtener el siguiente resultado:
4.12 Resuelva la siguiente desigualdad:
SOLUCIÓN
El dominio de esta desigualdad es el conjunto En el con-
junto D se forma una secuencia de desigualdades equivalentes:
Pero
Problemas resueltos 135
Ordenando las raíces del polinomio Q{x) en orden creciente
colocan estos valores en el eje y se verifica el signo en todos los intervalos:
para obtener el siguiente resultado:
Resuelva la siguiente desigualdad:
El dominio de esta desigualdad es el conjunto En el con-
4.13 Resuelva el sistema de ecuaciones
SOLUCIÓN
Suponga que el sistema de ecuaciones tiene solución (x, y). De la segunda ecua-
ción se puede establecer y sustituir en la primera ecuación, con lo que
se obtiene Los valores corres-
pondientes de Es muy fácil
verificar que cada uno de los siguientes pares de números (-1, -5), (1, 5), (-5, -1),
(5,1) es una solución del sistema de ecuaciones dado.
4.14 Resuelva el sistema de ecuaciones
SOLUCIÓN
Al sustituir
por tanto, el sistema de ecuaciones queda como sigue:
Despejando de la primera ecuación v = u2 -13 y sustituyendo en la segunda, se
obtiene u3 + u2 -13u - 28 = 0. La única raíz de esta ecuación es u = 4, porque en el
trinomio u2 +5u + 7 no hay soluciones reales. Entonces, v = u2 -13 = 3; regre-
sando a las variables x, y, se llega a:
con dos soluciones: x1 =1,y1 = 3 v x2 = 3, y2 =1
4.15 Resuelva el sistema de ecuaciones
SOLUCIÓN
Este sistema se puede representar de la siguiente forma:
con solu- Se realizan las sustituciones
ción u = 12, v = 12.
Retornando a las variables x, y se llega al sistema
Con solución
136 CAPÍTULO 4 ■ Polinomios
4.16
SOLUCIÓN
Si (x, y, z) es solución del sistema, entonces:
(x + y + z)3 =1,(x + y + z)(x2 +y2 +z2)=1
Por tanto,(x+ y + z)3 +2(x3 +y3 + z3)-3(x + y+z)(x2 + y2 +z2) = 0
Al simplificar se obtiene, xyz = 0
Si x = 0, entonces se tiene
Si y = 0 o z = 0, en forma análoga, se obtiene que (0, 0, 1) y (1, 0, 0) o (0, 1, 0) y
(1, 0, 0) satisfacen el sistema dado.
Finalmente, x1 = 0, y1 = 0, z1 = 1; x2 = 0, y2 = 1, z2 = 0; x3 = 1, y3 = 0, z3 = 0
4.17 Resuelva el sistema de ecuaciones
SOLUCIÓN
De la tercera ecuación se despeja xz = y2 - 11; al sustituir en la segunda ecuación,
4.18 Resuelva el sistema de ecuaciones
4.19
SOLUCIÓN
Al multiplicar la tercera ecuación
por xyz resulta:
La segunda ecuación se multiplica por x, obteniendo:
x2(y + z)+xyz = 27x
pero de la primera ecuación se establece y+ z = 9 - x,xyz = 27. Por lo tanto, se
llega a la siguiente ecuación:
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
Resuelva el sistema de ecuaciones
nos queda:
Ahora se tiene que lo cual implica que
Problemas resueltos 137
SOLUCIÓN
Al dividir la primera ecuación entre la segunda y la tercera, se obtiene:
4.20 Un área dada de 100 unidades cuadradas debe representarse como la suma
de dos cuadrados cuyos lados están en proporción Determine las lon-
gitudes de los lados.
SOLUCIÓN
Sean x, y los lados de los cuadrados. Primero se establece el sistema de dos ecua-
ciones:
4.21
Se sustituye la segunda ecuación en la primera, para tener una ecuación con sólo
una incógnita; es decir:
Según el contextodel problema no tiene sentido un resultado negativo; por tanto,
sólo se acepta y = 8. Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, se llega a que:
Por ello, los lados deben medir 6 y 8 unidades
El producto de dos números es 4 y la suma de sus cuadrados es 8. Determi-
ne los números.
SOLUCIÓN
Sean x, y los números dados, entonces se establece el sistema de dos ecuaciones:
De la primera ecuación se despeja y y se sustituye en la segunda ecuación:
Sea u = x2; por tanto:
Deshaciendo el cambio de variable.
Por tanto, los números que cumplen con estas condiciones son (-2, -2)v(2, 2).
138 CAPÍTULO 4 ■ Polinomios
4.22 La diferencia de dos números es igual a su producto y la suma de sus recí-
procos es 5. Determine los números.
SOLUCIÓN
Estableciendo las ecuaciones, se llega al siguiente sistema de dos ecuaciones:
De la primera ecuación:
Sustituyendo el resultado anterior en la segunda ecuación:
4.23 Un pedazo rectangular de lámina tiene un área de 216 cm2 y se desea cons-
truir una caja abierta. Para ello, se cortan cuadrados de 2 cm en cada esquina
y se doblan después los lados hacia arriba. Si se desea que la caja tenga un
volumen de 224 cm3, ¿cuál debe ser el tamaño de la lámina? (Vea la figura.)
SOLUCIÓN
Se establece la ecuación del área (base por altura):
Área:
Se establece la ecuación del volumen (área de la base por altura):
Sustituyendo estos valores en la primera ecuación para obtener el valor de y, se
tiene que:
Por tanto, las dimensiones de la lámina para hacer la caja sin tapa son 12 X 18 cm.
Por tanto, los números que se buscan son
Problemas propuestos 139
4.24 Una caja de cartón tiene una base cuadrada y cada uno de los lados de la
base mide una longitud de x cm, como se muestra en la figura. La longitud
total de los 12 lados de la caja es de 144 cm. Determine las dimensiones de
la caja de cartón si se desea que el volumen sea de 1 600 cm3.
SOLUCIÓN
Se sabe que 8x + 4y = 144. De esta ecuación se despeja la variable y:
El volumen de un prisma rectangular se calcula multiplicando el área de la base
por la altura; es decir:
Se pide que el volumen sea de 1 600 cm3; por tanto:
Se llega a una ecuación polinomial de grado 3; resolviendo esta ecuación, se tiene
que:
Dependiendo del contexto del problema, sólo se aceptan las raíces positivas. Sus-
tituyendo éstas en la primera ecuación:
4.25 Dado el polinomio Q(x), calcular Q(-l), Q(0) y Q(l) si:
Problemas propuestos
140 CAPÍTULO 4 ■ Polinomios
4.26 Encuentre los coeficientes a y b, si se sabe que:
4.27 Encuentre los coeficientes a, b y c si se sabe que:
Dados dos polinomios Q1 y O2, encuentre los siguientes polinomios: 4.28
¿Cuáles son los valores de los coeficientes a y b, si los polinomios Q y P son iguales? 4.29
Divida los siguientes polinomios: 4.30
Problemas propuestos 141
4.31 Encuentre el residuo R(x) si se dividen los siguientes polinomios Q(x) y P(x):
Encuentre el residuo R(x) al dividir el polinomio Q(x) entre x2 - 1, si se sabe que
Q(-l) = 4 y Q(l)=0.
4.32
Encuentre el residuo R(x) al dividir el polinomio Q(x) entre x2 - 4, si se sabe que
Q(-2) = 0 y Q(2) = 3.
4.33
Encuentre el residuo R(x) al dividir el polinomio Q(x) entre x2 - x - 2, si se sabe que
Q(-l) = 2 y Q(2) = -3.
4.34
4.35 Encuentre el residuo R(x) al dividir el polinomio Q(x) entre si se sabe
que Q(2) = 5 y Q(3)=0.
4.36 Encuentre el residuo R(x) al dividir el polinomio Q(x) entre si se sabe que
4.37 Encuentre el residuo R(x) al dividir el polinomio si se sabe
4.38 Resuelva las siguientes ecuaciones:
142 CAPÍTULO 4 ■ Polinomios
4.39 Resuelva las siguientes desigualdades:
Resuelva las siguientes desigualdades: 4.40
4.41 Resuelva la siguiente ecuación respecto de x:
4.42 Encuentre el conjunto de todos los valores del parámetro m para la siguiente ecua-
ción:
tiene por lo menos una solución positiva.
4.43 ¿Cuál debe ser el valor de a, para que el polinomio
se divida entre
4.44 Demuestre que, independientemente del valor de parámetro p, el polinomio:
tiene raíz entera.
Problemas propuestos 143
4.45 Los números 3 y 5 son las raíces del polinomio
se sabe que la suma de todos los coeficientes de este polinomio es igual a 864, re-
suelva la siguiente desigualdad:
4.46 ¿Para cuáles valores de los parámetros m, b y k los polinomios
son iguales?
4.47 a) ¿Cuál es la relación entre p y q si existe un número m tal que
b) Demuestre que si m es el raíz de multiplicidad 2 del polinomio
c) ¿Para cuál valor de q el polinomio tiene raíz de multiplici-
dad 2? Calcule esta raíz.
4.48 Encuentre el residuo R(x) de la división del polinomio Q(x) entre el polinomio
4.49 Calcule la suma de los coeficientes y el coeficiente a0 de los siguientes polino-
mios:
4.50 Demuestre que las raíces del polinomio
4.51 Encuentre el polinomio Q(x) grado 3 con las siguientes raíces:
4.52 Demuestre que el número 2 es una raíz de multiplicidad 3 del polinomio:
4.53 Demuestre que el número -2 es una raíz de multiplicidad 3 del polinomio:
Demuestre que los números 1 y 2 son raíces de multiplicidad 2 del polinomio: 4.54
144 CAPÍTULO 4 ■ Polinomios
Resuelva las siguientes ecuaciones: 4.55
donde x es natural.
si se sabe que p,
4.56 Resuelva la siguiente desigualdad:
4.57 Resuelva las siguientes desigualdades:
4.58 Cuáles números enteros satisfacen las siguientes desigualdades:
4.59 Resuelva las siguientes ecuaciones:
4.60 ¿Cuáles relaciones se cumplen entre los coeficientes a, b, c y d de la ecuación
son raíces de éste?
4.61 Dos diferentes raíces del polinomio Q(x)= x2 +ax + b son también raíces del poli-
nomio Calcule los coeficientes ay b. Para los coefi-
cientes ya establecidos, resuelva la desigualdad
Problemas propuestos 145
4.62 Los polinomios
son iguales. Calcule los números a, b y c.
4.63 ¿Para cuáles valores del parámetro m la ecuación:
tiene tres diferentes raíces reales?
4.64 Se sabe que los números 2 y 3 son raíces de la ecuación:
Encuentre m y n y también la tercera raíz.
Se sabe que los números 1 y 2 son raíces de la ecuación: 4.65
Encuentre a y b.
se divide entre los binomios El polinomio 4.66
. Calcule los coeficientes m y k. Para los coeficientes ya establecidos, resuelva
la desigualdad
se divide Encuentre los valores a y b tales que el polinomio 4.67
entre
Encuentre los valores p y q, tales que el número 3 es una raíz de multiplicidad dos
del polinomio:
4.68
4.69 Resuelva las siguientes ecuaciones:
146 CAPÍTULO 4 ■ Polinomios
4.70 Encuentre los números p y q, tales que el polinomio se divida
entre el trinomio
4.71 ¿Para cuáles valores de a y b el polinomio se divide
entre el trinomio
4.72 ¿Cuáles deben ser los valores de a y b para que el polinomio:
se divida entre el trinomio
4.73 ¿Para cuáles valores de a y b el polinomio:
se divide entre el trinomio
4.74 Dado el polinomio
¿que relación existe entre m y n si se sabe que se divide entre
4.75 Resuelva las siguientes desigualdades:
Problemas propuestos 147
4.76 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
148 CAPÍTULO 4 ■ Polinomios
Problemas propuestos 149
4.77 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
150 CAPÍTULO 4 ■ Polinomios
4.78 Resuelva el sistema de dos ecuaciones:
4.79 Encuentre todos los valores del parámetro m para los cuales, el sistema de dos
ecuaciones
tiene exactamente una solución.
Problemas propuestos 151
4.80 Resuelva el sistema de dos ecuaciones:
4.81 Resuelva el sistema de n ecuaciones:
4.82 Resuelva el sistema de tres ecuaciones:
4.83 Resuelva el sistema de dos ecuaciones:
4.84 Encuentre todos los valores positivos x,y, que satisfacen el siguiente sistema de dos
ecuaciones:
donde
Resuelva el siguiente sistema dedos ecuaciones: 4.85
4.86 Un analista de mercados realiza un proyecto para un fabricante de extractores de
jugos y determina que si la empresa produce y vende x extractores anualmente, la
Determine para que utilidad total (en pesos) es
valores de x, el fabricante ni gana ni pierde; esto es, cuando
Un grupo de 100 pumas es llevado a una reserva. Al principio la población de pu-
mas crece rápidamente, pero eventualmente los recursos alimenticios disminuyen y
el número de animales comienza a decrecer. Suponga que el número de pumas
4.87
¿Cuándo podría ex- después de t años está dado por
tinguirse la población, es decir, para que valores de t es
La diferencia de dos números es 2 y la suma de sus cuadrados es 10. Determine los
números.
4.88
152 CAPÍTULO 4 ■ Polinomios
4.89
4.90
4.91
La suma de dos números es 7 y la diferencia de sus cuadrados es 21. Determine los
números.
El producto de dos números es 10 y la diferencia de sus cuadrados es 21. Determine
los números.
La suma de dos números es igual a su producto y la diferencia de sus recíprocos es
3. Determine los números.
La suma de a y 5 es 10. ¿Cuál es la razón entre a + b y 4.92 La razón entre a y b es
a - b ?
4.93 El perímetro de un rectángulo es de 16 cm, y su área de 15 cm cuadrados. ¿Cuáles
son las dimensiones de este rectángulo?
4.94 Hay que encerrar un área de 52 pies cuadrados mediante dos cuadrados cuyos la-
dos están en razón de 2:3. Determine los lados de los cuadrados.
Los perímetros de dos círculos suman 12 n centímetros y las áreas suman cen- 4.95
tímetros cuadrados. Determine los radios de los círculos.
4.96 Un ganadero dispone de 300 m de cerca para encerrar 4 500 m2 en forma de dos
cuadrados adyacentes, con lados de longitudes x, y. Determine estas dimensiones.
(Véase la figura.)
Soluciones
4.25
4.26
Soluciones 153
4.27
4.28
4.29
4.30
4.31
Para cualquier tenemos que: 4.32
donde
obtenemos el siguiente sistema de Al sustituir
ecuaciones:
154 CAPÍTULO 4 ■ Polinomios
finalmente:
4.33
4.34
4.35
4.36
4.37
4.38
4.39
Soluciones 155
4.40
4.41 1. Si a = 0, entonces la siguiente ecuación es
tenemos que:
Resolviendo (*); tenemos finalmente:
4.42 Tenemos que:
lo cual significa que la ecuación Q(x) debe tener por lo menos una solución positi-
va. Esto es, que se deben cumplir las siguientes condiciones:
Obtenemos:
esto es: El polinomio se divide entre 4.43
156 CAPÍTULO 4 ■ Polinomios
Al factorizar el polinomio Q(x), tenemos: 4.44
lo cual significa que para cualquier p una de las raíces es x = 1
entonces presentaremos el polinomio en la siguiente Si 3 y 5 son dos raíces de 4.45
forma:
tenemos que
Sabiendo que la suma de todos los coeficientes de cualquier polinomio es
Entonces el polino- igual a
se escribe como: mio
finalmente:
4.46
4.47
y debemos despejar a
donde el polinomio es de grado 4.48 Sea
y el polinomio el polinomio es de grado
es de grado cuando mucho 2; esto es,
De las condiciones del ejercicio tenemos:
Las soluciones del sistema (*) son entonces existe un nú-
mero infinito de residuos
4.49 La suma = 0;
La suma = 0:
La suma = 1;
La suma = -1;
La suma = -1;
Al sustituir tenemos que 4.50 ;n forma parecida,
4.51
4.52 Demuestre que se divide entre pero no entre
Demuestre que 4.53 se divide entre pero no entre
Soluciones 157
4.54 Demuestre que Q(x) se divide entre pero no entre
4.55 Factorizando el polinomio tenemos:
Entonces:
Factorizando el polinomio tenemos
Entonces:
c) Se sabe que entonces
lo cual significa que la ecuación no tiene solución
Tenemos que:
la ecuación no tiene soluciones reales;
4.56 Debemos encontrar las raíces del polinomio Q(x), al ordenarlas, tenemos
Ahora representaremos nuestro po-
linomio de la siguiente forma:
y construimos "la tabla de signos":
y de manera inmediata obtenemos la solución
158 CAPÍTULO 4 ■ Polinomios
4.57
4.58 No existen.
y todos naturales mayores que 3
4.59
multiplicidad de 3,
4.60
4.61 Al dividir debemos obtener R(x) = 0; esto es:
4.62 Podemos presentar el polinomio Q(x) de la siguiente forma:
Soluciones 159
4.63 La ecuación dada se puede escribir de la siguiente manera:
Una de las raíces de esta ecuación es cero, entonces:
Ahora la ecuación Q(x) = 0 tiene dos
raíces diferentes, no nulas si se cumple lo siguiente:
tenemos que: 4.64 Si ponemos
finalmente:
4.65
4.66
4.67
4.68
4.69
160 CAPÍTULO 4 ■ Polinomios
Indicación:
Indicación: sustituir
4.70
4.71
4.72
4.73
4.74
4.75
Soluciones 161
4.76
Indicación: se deben introducir nuevas incógnitas:
Indicación: Debemos presentar la primera ecuación de la siguiente forma:
Indicación: empleando la relación
debemos presentar la primera ecuación en la forma:
donde
Indicación: sustituir
(8 soluciones)
Indicación: sustituyamos en la primera
ecuación, al dividir el numerador y denominador entre y2; los resultados obte-
nidos debemos usarlos en la segunda ecuación
(8 soluciones)
162 CAPÍTULO 4 ■ Polinomios
4.77
(8 soluciones)
(6 soluciones).
4.78 Tenemos
Soluciones 163
pero , entonces el sistema equivale a:
Ahora, sustituyendo en la primera ecuación obtenemos:
Es fácil verificar que la única raíz de esta ecuación es z = 4, lo que implica que
es la única raíz de la primera ecuación del sistema. De la segunda ecuación
del sistema se llega a que la solución es
4.79 es solución del sistema; entonces, despejando de la segunda ecuación
y sustituyendo en la primera, obtenemos
Ahora, la ecuación cuadrática tiene exactamente una solución si y sólo si
esto es:
4.80 Se deben analizar 3 casos (teniendo en cuenta el valor absoluto):
Caso 1: Si entonces:
Este sistema tiene exactamente una solución en (-1,0), la cual cumple la condición
de que x < y.
Caso 2: Si x = y, el sistema tiene solución si y sólo si la segunda ecuación tiene
solución, es decir, Entonces:
Caso 3: Si x > y de forma análoga al caso 1 obtenemos la solución (1,0)
4.81 Al sumar todas las ecuaciones del sistema, obtenemos:
De esto, tenemos:
lo que nos lleva a que:
164 CAPÍTULO 4 ■ Polinomios
Observemos que si una incógnita es igual a cero, entonces las dos restantes también
son ceros; esto es, x = y = z = 0 es una de las soluciones. Supongamos ahora que
4.82
analicemos los inversos de las ecuaciones, es decir,
Multiplicando cada ecuación por 2 y sumándolas, obtenemos:
Al restar las ecuaciones, obtenemos: 4.83
Sustituyendo este resultado en cualquiera de las ecuaciones,
4.84 Sabemos que:
entonces, al sustituir obtenemos:
sustituyendo en la segun- Despejando f en la primera ecuación:
da ecuación:
Es fácil verificar que s = a + b es la raíz de la ecuación (*). Tenemos:
Al dividir el polinomio
mos:
obtene-
Ahora podemos buscar las raíces de la ecuación:
Soluciones 165
donde:
la raíz s2 no cumple las condiciones de que x > 0,y> 0. Supongamos que s2 > 0,
entonces esto es:
la última desigualdad es falsa. Entonces la única solución de la ecuación (1) es s =
a + ¿.Tenemos:
4.85
4.86
4.87
4.88
4.89
4.90
4.91
4.92
Las dimensiones del rectángulo son 5 X 3 cm 4.93
Las dimensiones de los lados de los cuadrados son 4 y 6 pies, respectivamente 4.94
Los radios de los círculos son 2 y 4 cm, respectivamente 4.95
4.96
Funciones potencia,
exponencial y logarítmica
En este capítulo se presentan las funciones exponencial y logarítmica. Tales funcio-
nes son llamadas trascendentales, ya que no se pueden definir sólo en términos de
suma, resta, multiplicación, división y potencias racionales de una variable x. Son de
la mayor importancia en matemáticas y tienen aplicaciones en casi todos los campos
del saber.
Es aquella en la que la variable independientees proporcional a una potencia de la
variable independiente.
f(x) = xa, donde a es una constante cualquiera.
5.2.1 Comportamiento de la función f(x)=xa
Se consideran tres casos:
i) a = n, donde n es un entero positivo,
La forma general de la gráfica de f(x) = xn depende de si n es par o impar. Si n
es par, entonces f(x) = xn es una función par, por lo que su gráfica se comporta
de manera similar a la parábola y = x 2. Si n es impar, entonces f(x) = xn es una
función impar, cuya gráfica se comporta de manera similar a la de y = x3:
167
5.1 INTRODUCCIÓN
5.2 FUNCIÓN DE POTENCIA
168 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
que es una hipérbola Su gráfica representa la ecuación
equilátera con los ejes coordenados como asíntotas:
donde n es un entero positivo,
La función es una función raíz. Para valores pares de n el do-
minio es por lo que la gráfica de es similar a la de la rama
superior de la parábola La gráfica de para n impar
similar a la de y su dominio es
5.3 ECUACIONES Y DESIGUALDADES
CON RADICALES
Sean L(x) y P(x) expresiones con radicales.
TEOREMA 5.1 (Método de análisis antiguo)
Al resolver la ecuación o desigualdad radical para
se puede aplicar el siguiente método:
Nota: En este método siempre se debe verificar si las soluciones cumplen con la
ecuación y eliminar raíces falsas.
EJEMPLO 5.1 Resuelva la siguiente ecuación:
Si x es raíz de la ecuación dada; entonces, según el método de análisis antiguo, también es
raíz de la ecuación:
Ecuaciones y desigualdades con radicales 169
De la misma manera, se cumple que:
Es fácil demostrar que xx satisface la ecuación dada y que x2 no, porque no existe.
EJEMPLO 5.2 Resuelva la siguiente desigualdad:
EJEMPLO 5.3 Resuelva el sistema de dos ecuaciones:
Al elevar al cuadrado la primera ecuación, se tiene:
Al sustituir x + y = 2, nos queda:
esto es: entonces de donde
y se obtienen dos sistemas de ecuaciones:
Entonces:
Pero no es solución del sistema de ecuaciones, porque no cumple la primera ecuación.
Por otro lado:
Finalmente, las soluciones del sistema de ecuaciones son pares
EJEMPLO 5.4 Resuelva el sistema de dos ecuaciones:
170 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
Al resolver la segunda ecuación:
Al sustituir xy = 36, se obtiene:
no satisface la segunda ecuación; entonces, la solución El par
5.4 FUNCIÓN EXPONENCIAL
Una función exponencial es una función de la forma:
donde k es una constante cualquiera, es la base. El dominio de/es el
conjunto de todos los números reales.
la función es creciente, esto es, si Si
decreciente.
EJEMPLO 5.5 Ordene en forma ascendente los siguientes números, esto es,
La función crece; entonces,
Se puede representar cada número como potencia de 2 y se obtiene:
y finalmente:
Representando cada número como potencia de 3, se obtiene:
el resultado es,
Ecuaciones y desigualdades exponenciales 171
5.5 ECUACIONES Y DESIGUALDADES
EXPONENCIALES
donde Las ecuaciones y desigualdades que contienen términos de la forma
, son llamadas exponenciales.
EJEMPLO 5.6 Resuelva las siguientes ecuaciones:
Se representa la ecuación como potencia de 2. Esto es:
Entonces Se observa que
Se tiene, para
EJEMPLO 5.7 Resuelva las siguientes desigualdades:
172 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
5.6 FUNCIÓN LOGARÍTMICA
se denota y define de la si- La función logarítmica base a, donde
guíente manera:
es decir, el loga, x es el número al que hay que elevar a para obtener x.
El dominio de la función es
Si a > 1 la función es creciente, esto es, si para
1 es decreciente, esto es si
5.7 LOGARITMOS
Propiedades
Sean M.
Ecuaciones y desigualdades logarítmicas 173
TEOREMA 5.2
Sean
EJEMPLO 5.8 Como 32 = 9, el logaritmo de 9 en base 3 es 2, es decir, 2 = log3 9.
EJEMPLO 5.9 log2 8 es un número x al que se debe elevar la base 2 para obtener 8; es decir, 2X = 8, x
= 3. Por tanto, log2 8 = 3.
EJEMPLO 5.10 Aplique las propiedades de los logaritmos para reexpresar
5.8 ECUACIONES Y DESIGUALDADES
LOGARÍTMICAS
Las ecuaciones y desigualdades que contienen términos de la forma loga x, donde
son llamadas logarítmicas. Para resolverlas se deben transformar las
expresiones utilizando las propiedades, hasta lograr logaritmos de la misma base.
Luego se plantean las ecuaciones o desigualdades correspondientes. Es importante
comprobar si las soluciones encontradas satisfacen la ecuación original.
EJEMPLO 5.11 Resuelva las siguientes ecuaciones:
Se analizan los valores admisibles de x (o el dominio):
Entonces, las raíces deben pertenecer al intervalo Aplicando las propieda-
des de logaritmos:
Para x > 0:
174 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
Al sustituir
finalmente,
Es evidente que entonces:
Al dividir ambos lados de la ecuación entre 52x, se obtiene:
Al sustituir
finalmente,
Para x > 0, se aplican logaritmos de base 5 en ambos lados de la ecuación:
Al sustituir log5 x = t:
por último,
Se sabe que para Al sustituir
Deshaciendo el cambio de variable, se obtiene:
EJEMPLO 5.12 Resuelva las siguientes desigualdades:
Primero se debe establecer el dominio:
Para base 2 > 1, la función lo-
garítmica es creciente, lo cual significa que Entonces:
Se debe suponer que Entonces:
Pero como el dominio es x > 1, finalmente,
Problemas resueltos 175
El dominio es Z) Aplicando propiedades de la función logarítmica:
Al sustituir 2x =u, y al hacer los cálculos pertinentes, se
obtiene:
por la condición, u > 4, el resultado es:
En este caso, el dominio es D En el intervalo (0, 1), la des-
igualdad dada equivale a que es falsa para todos
En el intervalo la desigualdad dada equivale a Finalmente:
Problemas resueltos
5.1 Indique cuál de los números x o y es mayor si:
la función crece; entonces, x < y Como
, la función crece; entonces, x > y. Como
la función decrece; entonces, Como
5.2 Determine a cuál intervalo (0,1) o pertenece el número a si:
entonces la función exponencial crece para Se tiene que
Se tiene que 1.1 > 2/3, entonces la función exponencial decrece para
entonces la función exponencial crece para Se tiene que 1.41
176 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
Verifique si el número x es positivo o negativo si: 5.3
La función crece (2 > 1) y 8.71 > 1; esto es, que x > 0.
La función crece (2 > 1) y 0.314 < 1; esto es, que x < 0.
La función decrece (0.27 < 1) y 1.13 > 1; esto es x < 0.
Resuelva las siguientes ecuaciones: 5.4
Se puede reescribir la ecuación de la siguiente forma:
al sustituir, se tiene
Al deshacer el cambio de variable:
Para al sustituir se tiene
Ahora:
Al sustituir
finalmente,
Se reescribe la ecuación como:
Problemas resueltos 177
Al dividir ambos lados entre 5x > 0, queda:
Resuelva las siguientes desigualdades: 5.5
Al sustituir en la desigualdad:
Al dividir ambos lados de la desigualdad en-
tre 3X > 0, queda:
Haga la gráfica de la función 5.6 para
entonces:
178 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
5.7 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
Al sustituir se tiene el sistema:
Resolviendo este sistema en el conjunto de los números reales positivos, se
obtiene u = 9 y w = 2; finalmente, x = 2 y y = 1.
Indique cuál es el dominio D de las siguientes funciones: 5.8
Se debe suponer que:
Entonces:
Se debe suponer que:
finalmente:
Se deben analizar dos casos:
En cada caso, siempre habrá que tener que final-
mente:
Problemas resueltos 179
Usando la definición de logaritmo, calcule x si: 5.9
Se tiene:
(no cumple las condicio-
nes),
Se debe suponer que:
Se tiene:
esta raíz cumple con las suposiciones anteriores.
5.10 Calcule x sin usar calculadora:Aplicando la fórmula se tiene:
entonces
donde a es un número 5.11 Calcule x si se sabe que
dado.
Aplicando la fórmula para
nos da:
Entonces:
180 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
Haga la gráfica de la función 5.12
El dominio de esta función es
Se tiene:
5.13 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
En la segunda ecuación se aplica logaritmo de base 2 en ambos lados. Así,
al sustituir Pero, se obtiene el siste-
ma de ecuaciones equivalente al sistema dado:
Entonces se tienen los siguientes sistemas de ecuaciones:
5.14 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
Problemas resueltos 181
Al suponer se puede sustituir
Al aplicar la fórmula el sistema de
ecuaciones queda de la siguiente manera:
Finalmente:
5.15 Resuelva la siguiente desigualdad:
El dominio del radical es
Para cada el lado izquierdo de la desigualdad es positivo y el lado
derecho, negativo; entonces, ningún número en el intervalo satisface
la desigualdad dada y se debe buscar la solución en el intervalo
Para este intervalo se aplica el teorema 5.1:
Se obtiene:
5.16 Resuelva la siguiente ecuación:
entonces la ecuación dada equivale a Como
De las raíces de est tenemos
ecuación, sólo una: satisface la condición
de las raíces de esta ecuación, Para
Las soluciones de la ecuación original por lo que sólo
son:
182 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
5.17 Demuestre que la siguiente desigualdad
no tiene solución.
SOLUCIÓN
Esta desigualdad puede tener solución si
Resolviendo:
Pero entonces no hay solución.
5.18 Se invierte una cantidad de 2 000 euros a una tasa de interés de 9% anual.
Determine el tiempo necesario para que este monto se duplique si el inte-
rés es: a) compuesto semestralmente; b) compuesto continuamente.
SOLUCIÓN
a) Si un capital P está invertido a una tasa de interés r, compuesto n veces al año,
durante un periodo de t años, entonces el monto A de la inversión está dado por:
sustituyendo en la fórmula anterior: Sea
Aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación:
b) Si un capital P fue invertido a una tasa de interés r compuesto continuamente
durante un periodo de t años, entonces el monto A de la inversión está dado por:
Problemas resueltos 183
sustituyendo en la fórmula anterior: Sea
Tomando logaritmos en ambos lados de la ecuación:
años
5.19 La población del mundo en 1995 era de 5 700 millones y la tasa de creci-
miento estimada, de 2% anual. Si la población tiene un crecimiento
exponencial a dicha tasa, ¿cuándo se duplicará la población?
SOLUCIÓN
Como la población tiene un crecimiento exponencial, entonces después de t años
se define como: donde Po es la población inicial y r, la tasa de creci-
miento.
Por tanto:
Utilizando logaritmos en la ecuación:
Si la población mantiene esta tasa de crecimiento, entonces se duplicará en 34.66
años después de 1995.
5.20 El polonio-210 tiene una vida media de 140 días. Suponga que una muestra
de esta sustancia tiene una masa de 300 mg.
a) Determine la masa que queda después de 1 año.
b) ¿Cuánto tardará la muestra en desintegrarse hasta que quede una masa
de 100 mg?
SOLUCIÓN
Se sabe que si m0 es la masa inicial de una sustancia radiactiva con vida media h,
entonces la masa m(t) que queda al tiempo t está dada por
Primero se determina r, a partir de la vida media (después de t tiempo queda sólo
la mitad de la masa original):
Por ende,
Después de un año, se tiene que t = 365 días, entonces:
Se requiere que m(t) = 100 mg; entonces, sustituyendo:
5.21 El terremoto de San Francisco, en 1989, tuvo una intensidad de 7.1 en la es-
cala de Richter. Si la magnitud del terremoto de 1906 fue de 8.3 en la misma
escala, ¿cuántas veces fue más intenso el de 1906 con respecto al de 1989?
184 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
SOLUCIÓN
es la in- Richter definió la magnitud de un terremoto como donde
tensidad del terremoto y S, la intensidad de un terremoto "estándar" (amplitud de
un micrón).
si se sabe que Entonces: Se pide determinar
Por tanto, 16 veces.
Problemas propuestos
5.22 Resuelva las ecuaciones siguientes:
5.23 Construya la gráfica y determine el dominio, la imagen y los intervalos de creci-
miento y decrecimiento de las siguientes funciones:
Problemas propuestos 185
5.24 Resuelva las siguientes ecuaciones y desigualdades:
5.25 Resuelva las siguientes ecuaciones:
186 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
5.26 Resuelva las siguientes desigualdades:
5.27 Resuelva las siguientes ecuaciones:
Problemas propuestos 187
5.28 Resuelva los siguientes sistemas de dos ecuaciones:
188 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
5.29 Complete la siguiente tabla:
5.30 Resuelva las siguientes desigualdades:
Problemas propuestos 189
5.31 Resuelva las siguientes ecuaciones:
5.32 Resuelva las siguientes ecuaciones:
190 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
5.33 Resuelva las siguientes ecuaciones:
5.34 Resuelva las siguientes ecuaciones:
Problemas propuestos 191
5.35 Resuelva las siguientes desigualdades:
Resuelva la siguiente desigualdad: 5.36
5.37 Una de las soluciones de la ecuación
Encuentre el intervalo pertenece al intervalo (a, b), donde
192 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
Encuentre el número de puntos comunes de las gráficas de las siguientes funciones: 5.38
según el valor de los parámetros k y m
5.39 ¿Para cuáles valores del parámetro m la función
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: 5.40
5.41 Calcule:
Problemas propuestos 193
5.42 Encuentre x, si
Calcule: 5.43
194 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
5.44 Encuentre el dominio de las siguientes funciones
5.45 Construya la gráfica y determine el dominio, la imagen y los intervalos de creci-
miento y decrecimiento de las siguientes funciones:
Problemas propuestos 195
5.46 Resuelva en forma gráfica las siguientes ecuaciones:
5.47 Cuál es el signo de los siguientes números:
5.48 Para cuáles valores de a y b son verdaderas las siguientes fórmulas:
5.49 Resuelva las siguientes ecuaciones usando la definición de logaritmo:
5.50 Resuelva las siguientes desigualdades:
Resuelva las siguientes ecuaciones: 5.51
196 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
5.52 Resuelva las siguientes ecuaciones:
5.53 Resuelva las siguientes ecuaciones:
5.54 Resuelva las siguientes desigualdades:
Problemas propuestos 197
5.55 Indique el conjunto de los puntos (x, y) del plano cartesiano para los que se
cumple:
5.56 ¿Cuántas raíces tiene la ecuación dependiendo del parámetro a?
5.57 Para cuáles valores del parámetro m la ecuación tiene dos raí-
que cumplen la condición ces
5.58 Resuelva la siguiente desigualdad:
5.59 Resuelva la siguiente desigualdad:
Resuelva la desigualdad: 5.60
Encuentre todos los valores del parámetro k para los cuales la desigualdad 5.61
tiene por lo menos una solución.
5.62 Resuelva la desigualdad
Resuelva la desigualdad 5.63
Dada la función 5.64
a) resuelva la desigualdad
b) resuelva la ecuación
c) ¿para cuáles valores del parámetro a la ecuación f(x) = log4 a tiene dos raíces
diferentes?
las raíces de la ecuación 5.65 ¿Para cuáles valores del parámetro
están dentro del conjunto de soluciones de la desigualdad
198 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: 5.66
5.67 ¿Para cuáles valores del parámetro m las siguientes ecuaciones tienen dos raíces
diferentes?
5.68 Si se sabeque calcule log2 10 y log2 2.5
5.69 Si se sabe que calcule log6 16
Problemas propuestos 199
5.70 Si se sabe que log12 27 = a, calcule log6 16
5.71 Si se sabe que calcule
5.72 Si se sabe que calcule
5.73 Si se sabe que calcule
5.74 A cuál intervalo pertenece el número a, si se sabe que:
5.75 Cuál de los números es mayor:
Resuelva las siguientes ecuaciones: 5.76
200 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
5.77 Resuelva las siguientes desigualdades:
entonces 5.78 Demuestre que si
5.79 Demuestre que si t satisface la ecuación:
entonces la desigualdad
es verdadera para cualquier valor de x.
Indicación: Las raíces de la ecuación son Es fácil de verificar que
las desigualdades son verdaderas para
cualquier valor de x.
5.80 Demuestre que:
Demuestre que 5.81
para
Soluciones 201
5.82 Demuestre que si a > 1 y m, n > 0, entonces:
5.83 Una persona invierte una cantidad de 10 500 euros a una tasa de 4.5% anual, com-
puesto continuamente. Determine:
a) ¿cuál es el monto que recibirá al cabo de 2 años?
b) ¿cuánto tardará para que el monto total sea de 20 000 euros?
5.84 Se invierte una suma de 1 000 marcos durante 4 años y se calcula un interés com-
puesto semestral. Si el monto recibido es de 1 435.77 marcos, ¿a qué tasa se in-
virtió?
5.85 La población de ratones en una pequeña ciudad crece exponencialmente. La po-
blación actual es de 180 ratones y la tasa de crecimiento relativo es de 18% anual.
Determine:
á) la población después de 5 años.
b) el número de años necesarios para que la población de ratones llegue a 500.
5.86 Si 550 mg de un elemento radiactivo se desintegran hasta 300 mg en 72 horas, deter-
mine la vida media del elemento.
5.87 El terremoto de la ciudad de México de 1985 tuvo una magnitud de 8.1 en la escala
de Richter. El terremoto de 1976 en Tangshan, China, fue 1.26 veces más intenso.
¿Cuál fue la magnitud del terremoto de Tangshan?
5.88 En los estados centrales de México el área A (en km2) afectada por un temblor está
relacionada con la magnitud M del movimiento telúrico mediante la fórmula:
M = 2.7 log (A + 14 000)-6.6
Si un temblor tiene una magnitud de 6.5 en la escala de Richter, estime el área A de
la región que sentirá el movimiento telúrico.
5.89 Una taza de café tiene una temperatura de 90°C y se coloca en una habitación una
temperatura de 15°C. Después de 10 minutos, la temperatura del café es de 60°C.
Determine:
a) la temperatura del café después de 15 minutos.
b) ¿en cuánto tiempo se habrá enfriado el café hasta 20°C?
donde Ts es la Nota Utilice la Ley de Enfriamiento de Newton
temperatura ambiente y Do es la diferencia entre la temperatura inicial y la am-
biental.
Soluciones
5.22
202 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
5.23 Función Dominio Imagen Crece Decrece Figura
Soluciones 203
204 CAPITULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
5.24
5.25
No hay solución
5.26
No hay solución
5.27
Soluciones 205
Indicación: Sustituir
Indicación: Sustituir
1 para b = 0 y todas x > 0
Indicación:
5.28
Indicación:
206 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
5.29 Función Dominio Imagen Crece Decrece
5.30
5.31
5.32
5.33
Soluciones 207
5.34
5.35
Indicación: Se debe resolver esta desigualdad analizando dos casos:
Indicación: Introducir una nueva variable
5.36
5.37
5.38 Las gráficas de las funciones tienen tantos puntos comunes como diferentes solu-
ciones tiene el sistema de ecuaciones:
donde t > 0, se tiene la ecuación cuadrática de la variable t: Al sustituir
208 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
para la cual: donde
Entonces se deduce que:
entonces
Las gráficas tienen un punto común P = (0, 0).
entonces la ecuación (*) tiene dos raíces. En este caso, hay
dos posibilidades:
y la ecuación (*) tiene sólo una entonces
raíz y las gráficas de estas funciones, un punto común.
en la ecuación (*) entonces
hay dos raíces positivas y las gráficas tienen dos puntos comunes.
5.39 Se observa que la función f(x) es par, por lo tanto, si tiene una sola raíz sólo puede
ser x = 0. Se debe escoger m, de tal manera que:
5.40
Indicación: Sustituir
5.41
5.42
Soluciones 209
5.43
5.44
5.45 Función Dominio Imagen Crece Decrece Figura
210 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
Soluciones 211
5.46
5.47 a) negativo
b) positivo
c) positivo
5.48
5.50
Indicación: Se deben ver dos casos:
5.51
212 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
No existe
5.52
5.53
5.54
5.55
Soluciones 213
5.56 Tiene dos raíces reales si existen dos raíces reales iguales si y no
cuenta con raíces reales si
5.57
5.58 Se tiene:
5.59 Se observa que para
crece en su dominio. Al to- Esto significa que la función
mar en cuenta I, II y III, se reescribe la desigualdad en la siguiente forma:
5.60
La desigualdad logarítmica tiene solución sólo si k > 0, al suponer que 5.61
en la cual hay La desigualdad dada equivale a la siguiente
tiene por lo por lo menos una solución si la función
menos un valor no positivo; esto es, si:
.Aplicando la propiedad de los La desigualdad dada tiene solución si 5.62
logaritmos obtenemos:
Aplicando logaritmo con base 2 en ambos lados de la desigualdad: 5.63
214 CAPÍTULOS ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
Al sustituir se obtiene
esto es,
5.64
no existe solución
5.65
Las raíces de la ecuación están dentro del conjunto
5.66
Soluciones 215
5.67
5.68 Indicación: como resultado se tiene que
5.69 Se tiene
5.70
5.71
5.72
5.73
5.74
5.75
5.76
216 CAPÍTULO 5 ■ Funciones potencia, exponencial y logarítmica
Indicación:
5.77
5.78 Indicación:
5.79 Se deja como ejercicio al lector
5.80
Cambiando la base se obtiene Al sustituir 5.81 queda
ahora es suficiente demostrar que para
5.82 pero es fácil demostrar que esto sig-
nifica que
5.83 a) 11 488.83 euros
b) 14.32 años
5.84 r = 9.25%
Soluciones 217
5.85
a) 443 ratones
b) 5.67 años
5.86 82.83 horas
5.87 8.2
5.88 57 097.09 km2
5.89
a) 49.85°C
b) 53 minutos, aproximadamente
Sucesiones
Una sucesión se concibe como un conjunto de sucesos consecutivos. La idea princi-
pal de representar algunos fenómenos como sucesiones o secuencias es considerar-
los como son: conjunto discreto de eventos (no continuos). Las aplicaciones de las
sucesiones se usan en diversos campos: matemáticas financieras, demografía, inge-
niería y física.
Con frecuencia se maneja una sucesión para definir una serie, considerando
ésta como la suma de los elementos de una sucesión.
EJEMPLO 6.1
Una sucesión es una función/cuyo dominio es el conjunto de los números naturales
mientras que el rango son los elementos llamados términos de la sucesión.
Al valor f(n) para se le llama n-ésimo término de la sucesión, que se
denota por an en tanto que la sucesión se denota por {an}.
Si el dominio de una función/es un conjunto finito de números naturales, en-
tonces a la sucesión se le llama sucesión finita. Si el dominio es un conjunto infinito
de números naturales, entonces se conoce como una sucesión infinita.
Algunas sucesiones se expresan mediante una fórmula de recurrencia, es decir,
una fórmula que define cada término en función de los anteriores.
Encuentre el término general de una sucesión cuyos primeros cinco términos son:
a) 7,8,9, 10, 11, ...
b) 2,-4,8,-16,32,...
SOLUCIÓN
a) Ya que estos términos son enteros consecutivos, una solución es Si
se quiere que el dominio de la sucesión sean todos losnúmeros naturales, entonces otra
solución es
b) Cada uno de estos términos se puede escribir como el producto de una potencia de 2
y una potencia de -1:
Si se elige que el dominio sean todos los números naturales, entonces la solución es
219
6.1 INTRODUCCIÓN
6.2 DEFINICIÓN DE UNA SUCESIÓN
220 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
EJEMPLO 6.2 Haga una lista de los primeros siete términos de la sucesión dada por:
SOLUCIÓN
es una fórmula de recurrencia que se usa para generar los términos de una
sucesión con los términos anteriores. Por supuesto, al iniciar es necesario proporcionar los
términos ordenados para manejar la fórmula. La sucesión en este ejemplo es muy famosa en
la historia de las matemáticas, donde es conocida como "Sucesión de Fibonacci". Recibió ese
nombre en honor al célebre italiano Leonardo Fibonacci.
una sucesión infinita. Sea FIBONACCI, LEONARDO (1170-
1240), también llamado Leonardo
Pisano, fue un matemático italiano
que recopiló y divulgó el conoci-
miento matemático de clásicos
grecorromanos, árabes e indios, y
que realizó aportaciones en los cam-
pos matemáticos del álgebra y la
teoría de números. Nació en Pisa,
una ciudad comercial donde apren-
dió las bases del cálculo de los ne-
gocios mercantiles. Cuando tenía 20
años, se fue a Argelia, donde empe-
zó a aprender métodos de cálculo
árabes, conocimiento que incremen-
tó en viajes más largos. Fibonacci
utilizó tal experiencia para mejorar
las técnicas de cálculo comercial que
conocía y para extender la obra de
escritores clásicos como los mate-
máticos griegos Diofante y Euclides.
Escribió sobre la teoría de nú-
meros, problemas prácticos de ma-
temáticas comerciales y geodesia,
problemas avanzados de álgebra y
matemáticas recreativas. Sus escri-
tos sobre matemáticas recreativas,
que a menudo exponía como rela-
tos, se convirtieron en retos men-
tales clásicos en el siglo xm. los
cuales entrañaban la suma de se-
ries recurrentes como la que él
descubrió. A cada término de esta
serie se le denomina número de
Fibonacci (la suma de los dos nú-
meros que le preceden). También
resolvió el problema del cálculo del
valor para cualquiera de los núme-
ros de la serie. Pisa, en 1240, le
concedió un salario anual como
reconocimiento de la importancia
de su trabajo y como agradecimien-
to por el servicio público prestado
a la administración de la ciudad.
DEFINICIÓN 6.1
Se dice que la sucesión es creciente
DEFINICIÓN 6.2
Se dice que la sucesión es decreciente
DEFINICIÓN 6.3
es no decreciente Se dice que la sucesión
DEFINICIÓN 6.4
es no creciente Se dice que la sucesión
EJEMPLO 6.3 Demuestre que la sucesión es creciente.
SOLUCIÓN
Se tiene entonces:
se concluye que la sucesión es creciente. Como
DEFINICIÓN 6.5
Una sucesión se considera monótona si es no decreciente o no creciente. Si la
sucesión es creciente o decreciente se dice que es estrictamente monótona.
Sucesiones y sus propiedades 221
EJEMPLO 6.4 ¿Es la sucesión monótona? Sea
SOLUCIÓN
Se tiene que:
Entonces:
para para
Esto significa que la sucesión no es monótona.
DEFINICIÓN 6.6
Se dice que la sucesión está acotada
EJEMPLO 6.5 Demuestre que la sucesión está acotada.
SOLUCIÓN
Se debe demostrar que existe un número M, tal que todos los términos de la sucesión cum-
píen Pero y si se sustituye entonces la
sucesión está acotada.
DEFINICIÓN 6.7
Se dice que el número a es el límite de una sucesión tal que
y se representa como
En otras palabras, el número a es el límite de una sucesión si una vez elegi-
do el número se puede encontrar el número tal que a partir de éste todos los
términos de la sucesión pertenecen al intervalo
EJEMPLO 6.6 Usando la definición de límite de una sucesión, demuestre que
SOLUCIÓN
Se tiene porque Sea
entonces, El valor puede ser cualquier número
no menor de por ejemplo, se tiene lo cual significa que
a partir del 1001-ésimo término, todos los términos de la sucesión pertenecen al
intervalo
Si existe se dice que la sucesión converge.
es monótona y acotada, entonces es convergente. Si una sucesión
6.3 SUCESIONES Y SUS PROPIEDADES
TEOREMA 6.1
cuando nes Si f es una función de una variable real tal que
un número natural, entonces
222 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
TEOREMA 6.2
son sucesiones (Leyes de los límites para sucesiones convergentes.) Si
es una constante, entonces: convergentes con
TEOREMA 6.3
para todo y existe un entero tal que Si
entonces
TEOREMA 6.4
entonces Si
DEFINICIÓN 6.8
lo cual se representa como Se dice que la sucesión diverge a
DEFINICIÓN 6.9
Se dice que la sucesión diverge lo cual se representa como
Son verdaderas las siguientes implicaciones:
Se pueden demostrar las siguientes igualdades:
donde c es una constante
Inducción matemática 223
EJEMPLO 6.7 Calcule
SOLUCIÓN
6.4 INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Se entiende por inducción la generalización de conceptos a partir de casos o hechos
particulares. En matemáticas se usa un método especial de prueba llamado induc-
ción matemática para probar ciertos tipos de afirmaciones.
TEOREMA 6.5
(Principio de la inducción matemática.) Sea Pn un enunciado asociado con cada
número natural n; suponga que se satisfacen las siguientes condiciones:
a) P1 es verdadera.
b) Para cualquier número natural k, si Pk es verdadera, implica que Pk + 1 también
es verdadera, entonces la expresión Pn es verdadera para todo número natu-
ral n.
EJEMPLO 6.8 Demuestre que para todos los naturales n:
SOLUCIÓN
Hay que demostrar que
1. Se comprueba que P1 es verdadera:
Así, P1 es verdadera.
2. Se supone que Pk es verdadera y se debe demostrar que Pk t 1 es verdadera. De Pk se
deduce que:
224 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
Se demostró que Pk + 1, es verdadera, por eso se concluye que Pn es verdadera para todo
número natural n.
6.5.1 Principio aditivo y principio multiplicativo
Existen dos principios básicos de conteo a partir de los cuales se deducen las fórmulas
y técnicas del análisis combinatorio. Son los siguientes:
EJEMPLO 6.9
• Principio multiplicativo Si una tarea consiste de n pasos distintos, otra consis-
te de m pasos distintos y ambas no son excluyentes, sino que se llegan a realizar
juntas o en sucesión, entonces el número total de pasos (o maneras) diferentes
en que pueden efectuarse las dos es de n · m.
Naturalmente, este principio se generaliza fácilmente para más de dos tareas.
Aquí, tarea significa un tipo cualquiera de procedimiento, proceso u operación.
• Principio aditivo Bajo las mismas premisas del principio anterior, si las dos
tareas en cuestión no pueden hacerse juntas ni en sucesión, por tratarse de ta-
reas mutuamente excluyentes, entonces el número total de maneras en las que
sí se realizan ambas es de n + m.
Cuatro carreteras principales unen la ciudad X con la ciudad Y y tres carreteras principales
unen la ciudad Y con la ciudad Z. Determine el número de formas de realizar un viaje de
la ciudad X a la ciudad Z pasando por la ciudad Y.
SOLUCIÓN
Como existen cuatro formas de realizar la primera tarea (ir de la ciudad X a la Y), y para
cada una de estas formas hay tres maneras de efectuar la segunda (ir de la ciudad Y a la
Z), el principio de multiplicación dice que hay 4*3 = 12 de ir de la ciudad X a la Z pasando
por Y.
EJEMPLO 6.10 Telepizza ofrece 3 opciones de ensalada, 20 clases de pizza y 4 postres diferentes. ¿Cuántas
comidas de tres platillos se pueden pedir?
SOLUCIÓN
Hay 3 formas de elegir una ensalada, seguidas de 20 de seleccionar una pizza de 4 de elegir
un postre, de modo que por el principio de multiplicación existen 3 * 20 * 4 = 240 maneras de
escoger una comida de tres platillos.
6.5.2 Factorial de un entero no negativo
EJEMPLO 6.11
El producto de los enteros positivos de 1 a n, inclusive, se representa por el símbolo
n!, que se lee "n factorial", es decir,
Determine si cada unade las siguientes expresiones es verdadera o falsa:
a) 9! = 9 · 8 · 7 · 6 · 5!
b) (5!) · (4!)=20!
6.5 ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONTEO
Elementos de la teoría de conteo 225
SOLUCIÓN
a) Verdadera, porque
b) Falsa, porque
c) Falsa, porque
d) Verdadera, porque
6.5.3 Permutaciones
Una permutación (también llamada ordenación o variación) es un arreglo de todos
o parte de un número de objetos, en un orden definido y sin repetirlos.
El número total de permutaciones de los n objetos tomando r de ellos a la vez
viene dado por el producto de todos esos r factores, es decir:
En caso de que r = n, es decir, que se trate de permutaciones de n objetos, to-
mando todos ellos a la vez, se acostumbra simplificar la notación, por lo que se
escribe únicamente Pn. Así tenemos que Pn-n!
EJEMPLO 6.12 ¿De cuántos modos se pueden ordenar 9 libros en una repisa?
SOLUCIÓN
Aquí debemos cambiar el orden de los 9 libros. Entonces existen 362 880 maneras
de hacer esto.
EJEMPLO 6.13 Determine el número de formas en que un presidente, un vicepresidente y un secretario se
pueden elegir de entre un comité de 10 personas.
SOLUCIÓN
El problema equivale a determinar la cantidad de permutaciones de 10 objetos distintos,
considerando 3 a la vez (el orden de los 3 puestos es importante); por tanto, el número de
maneras de elegir los 3 puestos del comité de 10 miembros está dado por
6.5.4 Permutaciones con repetición
Es posible también que los objetos que van a permutarse puedan repetirse; en tal
caso, usaremos la notación nRr. La fórmula para el cálculo es mucho más sencilla:
EJEMPLO 6.14 Un señor escribió 5 cartas y las lleva al correo, donde encuentra 4 buzones, en cualquiera de
los cuales puede depositar los sobres. ¿De cuántas maneras diferentes es posible hacerlo?
226 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
SOLUCIÓN
Cada una de las 5 cartas puede ir en cualquiera de los 4 buzones; esto es, de un conjunto de 5
elementos (cartas) estamos formando conjuntos de 4 elementos (buzones), que se pueden
repetir (las cartas pueden ir en el mismo buzón); por tanto,
4 R 5 = 45 = 1 024
6.5.5 Combinaciones
Las combinaciones de n objetos (o cosas), tomando r de ellos a la vez, representan el
número de subconjuntos diferentes de tamaño r que se pueden hacer con esos n
objetos. A diferencia de lo que ocurre con las permutaciones, en las combinaciones
el orden de aparición de los objetos es irrelevante.
Las combinaciones son numéricamente una fracción de r! de las permutaciones,
toda vez que de cada combinación se desprenden r! permutaciones distintas que,
vistas como combinaciones, son sólo una.
En otras palabras, las permutaciones de n en r divididas entre r! tienen que ser
iguales a las combinaciones de n en r. En símbolos, esto quedaría así:
De manera más general, es posible afirmar que una combinación de r objetos
seleccionados de un conjunto de n objetos distintos puede considerarse una parti-
ción de los n objetos en dos subconjuntos que contienen, respectivamente, los r ob-
jetos que se seleccionan y los (n - r) objetos que se dejan.
EJEMPLO 6.15 Hay que formar una subcomisión de 4 miembros a partir de una comisión de 10. Determine
el número de formas de hacerlo.
SOLUCIÓN
Como el orden en que se elijen los miembros de la subcomisión no es importante, el número
de formas de elegir la subcomisión está dado por la cantidad de combinaciones de 10
objetos considerando 4 a la vez; esto es, existen:
modos de elegir esa subcomisión.
6.5.6 Permutaciones con objetos
indistinguibles
En ocasiones estamos interesados en permutar ciertos objetos de los cuales hay
algunos que, si bien son diferentes objetivamente hablando, para fines prácticos los
consideramos como si fuesen iguales o idénticos. Este tipo de objetos se conocen
como indistinguibles. Ejemplos típicos de objetos que consideramos indistinguibles
en la práctica son: los carros del supermercado, las monedas del mismo valor o de-
nominación, los ejemplares de un mismo libro de una biblioteca, las letras repetidas
de alguna palabra, etcétera. Lo que tienen en común los objetos indistinguibles es
que no nos preocupa si nos cambian uno por otro del mismo tipo; para el caso, es
igual.
Teorema del binomio 227
El número de permutaciones distinguibles de n objetos de los cuales nx son de un
tipo, n2 son de un segundo tipo, ...,nk son de un &-ésimo tipo, y n1 +n2 + . . . + nk -n es:
EJEMPLO 6.16 Determine el número de permutaciones que es posible formar con todas las letras de la
palabra GUADALAJARA.
SOLUCIÓN
Hay 11 objetos (letras). Sin embargo, 5 de éstos son idénticas (cinco letras A); por tanto, se
tiene que el número de permutaciones requeridas está dado por
6.6 TEOREMA DEL BINOMIO
Si n es un número natural y calculamos multiplicando término por término,
cada uno será el producto de las x y las y, donde una x o una y provenga de cada uno
de los factores Por ejemplo, la expansión
produce términos de la forma Sus coeficientes son
1,3,3 y 1, en tanto que el coeficiente de por ejemplo, es el número de
modos en que escogeríamos los dos factores que proporcionan las y. De la misma
el número de modos en que elegiríamos el manera, el coeficiente de
factor que proporciona la y; los coeficientes de son
En general, si n es un numero natural y si multiplicamos término por
término el coeficiente de el número de formas en las que elegiríamos
los r factores que proporcionan las y. Es por esto que nos referimos al símbolo
como un coeficiente binomial.
A continuación enunciaremos el teorema del binomio:
para cualquier número natural n.
El cálculo de los coeficientes binomiales a menudo se simplifica mediante el
uso de las propiedades siguientes:
se verifica la igualdad: • Para dos enteros no negativos cualesquiera n y r
228 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
se verifica: • Para cualquier entero positivo n y para r
EJEMPLO 6.17
Pruebe que
SOLUCIÓN
EJEMPLO 6.18 Determine
SOLUCIÓN
entonces: Para obtener utilizamos el hecho de que
y de la misma manera:
EJEMPLO 6.19 Simplifique:
SOLUCIÓN
EJEMPLO 6.20 donde calcule Si se sabe que
Teorema del binomio 229
SOLUCIÓN
Debemos encontrar las soluciones de la ecuación para n naturales mayores o
iguales a 6. Tenemos:
Entonces, sólo finalmente, debemos calcular:
EJEMPLO 6.21 Investigue si en el desarrollo de hay un término proporcional a x o un número
proporcional a x2, sin desarrollar la potencia.
SOLUCIÓN
El término (i + l)-ésimo de desarrollo es de la siguiente forma:
Ahora, verifiquemos si existe tal entero de manera que el término
es en la forma En el primer caso se debe cumplir la ecuación:
Entonces el séptimo término del desarrollo es proporcional a x. Este término es igual a
En el segundo caso se habrá de cumplir que:
lo cual significa que no existe un término proporcional a x2.
EJEMPLO 6.22 Encuentre x, si se sabe que el quinto término de desarrollo de la potencia
es igual a 18 200.
SOLUCIÓN
El quinto término de desarrollo de
Esto es:
230 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
EJEMPLO 6.23 Demuestre que para los enteros se cumple:
SOLUCIÓN
entonces: Se tiene que
6.7 SUCESIÓN ARITMÉTICA
DEFINICIÓN 6.10
Una sucesión . se conoce como sucesión aritmética (progresión aritmé-
tica) si existe una constante d, llamada diferencia común, tal que
Esto es:
para cada
TEOREMA 6.6
El n-ésimo término de una sucesión aritmética se determina como:
para cada
TEOREMA 6.7
La suma de los primeros n-elementos de una sucesión aritmética se calcula según la
fórmula:
donde
EJEMPLO 6.24 Calcule la suma de los 50 primeros números impares.
SOLUCIÓN
Los números impares forman una sucesión aritmética en la que El n-ésimo
término es Por tanto, el 50-ésimo entero im-
par es
Aplicando el teorema 6.7, obtenemos:
Sucesión geométrica 231
EJEMPLO 6.25 ¿Cuántos términos de la sucesión aritmética 5,7, 9, ... hay que sumar para obtener 572?
SOLUCIÓN
Se pide determinar n cuando Sn= 572. Tenemos que a = 5, d = 2 y Sn =572. Aplicando el
teorema 6.7, se obtiene:
Como n es el número de términos en esta suma sólo se acepta que n = 22.
6.8 SUCESIÓN GEOMÉTRICA
DEFINICIÓN 6.11
Una sucesión es llamada sucesión geométrica (progresión geométri-
ca), si existe una constante r, conocida como razón común, tal que
Esto es: para cada
TEOREMA 6.8
El n-ésimo término de una sucesión geométrica se determina como:
para cada
TEOREMA 6.9
La suma de los primeros términos de una sucesión geométrica se calcula según la
fórmula:
TEOREMA 6.10
está La suma de una sucesión geométrica infinita que cumple la condición
dada por:
EJEMPLO 6.26 Determine la suma de los 5 primeros términos de la sucesión geométrica: 1, 0.7, 0.49,
0.343, ...
232 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
SOLUCIÓN
con lo La suma que se requiere es la de una sucesión geométrica con
que se obtiene:
EJEMPLO 6.27 Calcule la suma de la sucesión geométrica infinita
SOLUCIÓN
el resultado es: Aplicando la fórmula correspondiente con
Problemas resueltos
son monótonas: Verifique si las siguientes sucesiones 6.1
SOLUCIÓN
Observemos que
Entonces,
lo cual significa que la sucesión es decre-
ciente.
Problemas resueltos 233
Vemos que A partir de la sucesión va a tener elemen-
tos positivos y negativos (debido al factor entonces, no es monó-
tona.
Todos los elementos de la sucesión son positivos; entonces,
la sucesión es creciente.
Para todo entonces la sucesión es decreciente.
una sucesión decreciente. ¿Qué se puede decir sobre la monotonía 6.2 Sea
de la sucesión
SOLUCIÓN
Tenemos entonces:
Esto implica que la sucesión ss creciente si y decreciente si
Demuestre que las siguientes sucesiones son crecientes: 6.3
SOLUCIÓN
esto es: En cada caso debemos demostrar que para todos
234 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
son decrecientes: Demuestre que las siguientes sucesiones 6.4
SOLUCIÓN
En cada caso debemos demostrar que para todo esto es:
Demuestre que la sucesión está acotada. 6.5
SOLUCIÓN
Vamos que entonces sólo se habrá de demostrar que la relación
es verdadera. Pero si sustituimos M = 4
en (*), tenemos que la sucesión está acotada.
Demuestre que el número a es el límite de una sucesión usando la defi- 6.6
nición de límite de una sucesión:
Problemas resueltos 235
SOLUCIÓN
un número cualquiera. Al resolver la desigualdad Sea
obtenemos Sea
Para todos los naturales se cumple la desigualdad (*),
lo cual significa que
un número cualquiera. Al resolver la desigualdad Sea
obtenemos Sea
Para todos los naturales se cumple la desigualdad (*);
esto significa que
un número cualquiera. Al resolver la desigualdad Sea
obtenemos Sea
Para todos los naturales se cumple la desigualdad (*); esto significa que
un número cualquiera. Al resolver la desigualdad Sea
obtenemos
Para todos los naturales se cumple la desigualdad (*); y esto
significa que
Demuestre que la sucesión es creciente y acotada. 6.7
SOLUCIÓN
entonces, Tenemos
Demostremos ahora que todos los elementos de esta sucesión pertenecen al inter-
La desigualdad valo esto es, se cumple
es también ver- verdadera para todo n natural. La desigualdad
dadera para todo n natural. Entonces la sucesión dada está acotada.
Calcule los siguientes límites: 6.8
236 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
SOLUCIÓN
una sucesión. ¿Para cuáles valores del parámetro p 6.9 Sea
se cumple que
SOLUCIÓN
Si p -1 = 0, entonces la condición no se
cumple.
entonces Si
finalmente, tenemos:
Problemas resueltos 237
6.10 Verifique si la sucesión es monótona y calcule donde
SOLUCIÓN
Aplicando la fórmula obtenemos
Para verificar si es monótona, debemos investigar el signo de la diferencia
6.11 una sucesión para la cual Demuestre Sea
que:
SOLUCIÓN
Aplicando la fórmula tenemos
Esta fórmula se puede demostrar usando la inducción matemática.
6.12 Demuestre (usando inducción matemática) que para todo son ver-
daderas las siguientes igualdades:
SOLUCIÓN
es verdadera.
Se supone que es verdadera:
y habrá que demostrar que
es verdadera.
238 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
Demostración:
Al sumar en Pk a ambos lados (& + 1)3, obtenemos:
pero
entonces, Pk + 1 es verdadera, lo cual
significa que la expresión Pn es verdadera para todo número natural n.
es verdadera.
Se supone que Pk es verdadera:
y habrá que demostrar que
es verdadera.
Demostración:
Al sumar en Pk a ambos lados 4k + 1, obtenemos:
pero
entonces, es verdadera, lo cual signi-
fica que la expresión es verdadera para todo número natural n.
Demuestre (usando la inducción matemática) que para todo las si- 6.13
guientes expresiones:
es divisible entre 5
es divisible entre 9
es divisible entre 10
SOLUCIÓN
es verdadera.
Se supone que Pk es verdadera:
y habrá que demostrar que donde
verdadera. donde
Demostración:
Al multiplicar Pk a ambos lados 42, obtenemos:
donde
entonces, es verdadera, lo cual significa que la expresión
Pn es verdadera para todo número natural n.
Problemas resueltos 239
es verdadera.
Se supone que Pk es verdadera:
y habrá que demostrar que donde
es verdadera. donde
Demostración:
Tenemos:
donde entonces, es verdadera, lo cual significa que la
expresión Pn es verdadera para todo número natural n.
es verdadera.
Se supone que Pk es verdadera:
y habrá que demostrar que donde
es verdadera. donde
Demostración:
Tenemos:
donde entonces, Pk + 1 es verdadera, lo cual significa que la
expresión Pn es verdadera para todo número natural n.
6.14 Demuestre (usando la inducción matemática) que para todo
SOLUCIÓN
es verdadera.
Se supone que Pk es verdadera:
y habrá que demostrar que
es verdadera.
Demostración:
Al multiplicar ambos lados de Pk por {a + b), obtenemos:
porque
entonces, Pk + 1 es verdadera, lo que significa que la expresión Pn es verdadera
para todo número natural n.
240 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
Demuestre (usando la inducción matemática) que para todo el poli- 6.15
nomio se divide entre el trinomio
SOLUCIÓN
se divide entre entonces, P1 es verdadera. Se supone que
es verdadera:
se debe demostrar que se divide entre
se divide entre
Demostración:
Tenemos:
Sabemos que se
divide entre como producto de dos factores; en-
tre los cuales cada uno de ellos se divide entre Entonces se divide
entre
6.16 Demuestre (usando la inducción matemática) que para todo es ver-
dadera la siguiente igualdad:
es verdadera.
Se supone que Pk es verdadera:
y se debe demostrar
que
es verdadera.
Demostración:
Tenemos:
entonces Pk + 1 es verdadera lo cual significa que la expresión Pn es verdadera para
todo número natural n.
6.17 Demuestre (usando inducción matemática) que para todo es
verdadera la siguiente desigualdad:
Problemas resueltos 241
6.18 Un fabricante ofrece un modelo de computadora personal con las siguien-
tes características: disco duro de 10 o 20 Gbytes, memoria RAM de 64 o 128
Mbytes, procesador Pentium III o Celeron. ¿ Cuántas opciones existen para
la adquisición de este equipo de cómputo?
SOLUCIÓN
Para el disco duro hay dos opciones: 10 o 20 Gbytes. En cuanto a la memoria
RAM, también se manejan dos opciones: 64 o 128 Mbytes. Por último, el procesa-
dor presenta dos opciones: Pentium III o Celeron.
Por tanto, aplicando el principio multiplicativo, se tiene: 2*2*2 = 8 opciones posi-
bles para la adquisición de este equipo de cómputo.
6.19 Un banco requiere generar cheques, a los que les incluirá un número de
folio de cuatro dígitos, que no debe iniciar con cero ni tener cifras repetidas.
¿Cuántos números diferentes se generarán? Los dígitos disponibles son 0,
1,2,3,4,5,6,7,8,9.
SOLUCIÓN
Debido a que el primer dígito no podrá ser el cero, éste sólo tiene 9 opciones. El
segundo, también, ya que en esta posiciónsí será posible usar cero. El tercer dígito
sólo cuenta con 8 opciones. El último, 7. Aplicando el principio multiplicativo, nos
queda 9 · 9 · 8 · 7 = 4 536.
6.20 ¿De cuántas maneras diferentes se puede responder un examen bajo cada
una de las siguientes condiciones?
a) Con 5 preguntas de opción múltiple y tres opciones para cada una.
b) Con 5 preguntas de opción múltiple, tres opciones para cada una y ocho
preguntas de falso-verdadero.
SOLUCIÓN
es verdadera.
Se supone que Pk es verdadera:
y habrá que demostrar que
es verdadera.
Demostración:
De Pk, tenemos que
Al sumar a ambos lados de la desigualdad
obtenemos:
esto es,
entonces Pk+1 es verdadera; esto significa
que la expresión Pn es verdadera para todo número natural
242 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
SOLUCIÓN
a) Responder de manera sucesiva las 5 preguntas es un proceso de 5 etapas. La
primera pregunta puede ser respondida de tres formas. Del mismo modo, cada
una de las otras preguntas podría ser respondida de tres maneras. Por el
principio multiplicativo, el número de modos para responder el examen es:
3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35 = 243
b) Responder el examen puede considerase un proceso de dos etapas. Primero
responderemos las preguntas de opción múltiple y después las de falso-verda
dero. Las de opción múltiple podrían ser contestadas de 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35 = 243
formas. Cada una de las preguntas falso-verdadero cuenta con dos opciones,
de modo que el número total de maneras de responder las ocho preguntas es:
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 28 = 256. Por el principio multiplicativo, el número de for-
mas en que todo el examen sería respondido es:
(3 · 3 · 3·3·3) · (2·2·2·2·2·2·2·2) = 35 -28 =243-256=62 208
6.21 ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4,5,
si ninguna cifra puede repetirse?
SOLUCIÓN
Para armar un número tenemos que llenar de manera sucesiva las posiciones - - -
con cifras diferentes. Por tanto hay un proceso de tres etapas. Para la primera posi-
ción elegiremos cualquiera de las cinco cifras. Después que llenamos esa posición
con alguna cifra, llenaremos la segunda con cualquiera de las cuatro cifras restan-
tes. La tercera posición se ocupa con cualquiera de las tres cifras que aún no han
sido utilizadas. Por el principio multiplicativo, el número total de números de tres
cifras es:
5·4·3 = 60
6.22 Un político envía un cuestionario a sus electores para determinar sus in-
quietudes acerca de seis importantes problemas nacionales: desempleo,
ambiente, impuestos, tasas de interés, defensa nacional y seguridad social.
El encuestado debe seleccionar los cuatro problemas que más le interesen
y ordenarlos por su importancia asignándoles los números 1,2,3 o 4, con el
1 indicando el de mayor interés y el 4 el de menor interés. ¿De cuántas
maneras puede responder el cuestionario un ciudadano?
SOLUCIÓN
Un encuestado ordena cuatro de los seis problemas. Así, consideraremos una res-
puesta como un arreglo ordenado de seis elementos tomando cuatro cada vez,
donde el primero es el problema con nivel 1, el segundo el de nivel 2 y así suce-
sivamente. Entonces hay un problema de permutación y el número de posibles
respuestas es:
6.23 Si un club tiene 12 miembros, ¿cuántos comités de 4 miembros se pueden
formar?
Problemas resueltos 243
SOLUCIÓN
El orden no es importante, ya que no importa cómo sean acomodados los miem-
bros del comité. Sólo tenemos que calcular el número de combinaciones de 12
miembros tomados de 4 en 4; esto es:
6.24 ¿Cuántas manos de póquer se pueden extraer de una baraja común de 52
cartas?
SOLUCIÓN
El orden en que se extraen las 5 cartas no es importante. El número de formas de
extraer una mano de póquer de una baraja estándar de 52 cartas está dado por el
número de combinaciones de 52 objetos considerados 5 a la vez; esto es:
6.25 Encuentre el número de comités de 5 personas con un presidente determi
nado que pueden ser seleccionadas de entre 15 personas.
SOLUCIÓN
El presidente se puede escoger en 15 formas; después de ello, los otros 4 en el
comité se elegirían entre las 14 personas restantes (orden no importa); esto es:
6.26 Una caja contiene 7 bolas negras y 5 rojas. Encuentre el número de formas
en que pueden obtenerse dos bolas de la caja si:
a) Éstas son de cualquier color.
b) Éstas deben ser del mismo color.
SOLUCIÓN
a) Hay que escoger 2 bolas cualquiera entre 12, es decir, hay formas para
hacerlo. Esto es:
b) Hay 21 formas para elegir 2 de 7 bolas negras y para elegir 2 de
las 5 negras. Por el principio aditivo en total hay, 21 + 10 = 31 formas.
6.27 La comunicación en un edificio se encuentra soportada por siete líneas de
comunicación que son: 4 líneas de voz, 2 de datos y una mixta. ¿Cuántas
comunicaciones se pueden crear con estas siete líneas?
SOLUCIÓN
Debemos ordenar las 7 líneas pero, entre éstas, 4 son del tipo A y 2 son del tipo
diferente de A, entonces tenemos permutaciones con repeticiones y el número de
comunicaciones posibles que se pueden crear es de:
244 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
6.28 Un gerente responsable del área de soporte a usuarios tiene a su cargo el
siguiente personal: 3 individuos para requerimientos en telecomunicacio-
nes, 6 para atención telefónica a usuarios, 5 encargados de dar soporte a la
seguridad y el acceso a redes. Por un proyecto, necesita cubrir un turno con:
2 personas para atención a telecomunicaciones, 4 para atención telefónica a
usuarios, 3 encargados de la seguridad y el acceso a redes. ¿De cuántas for-
mas integraría dicho turno?
SOLUCIÓN
Se presentan las siguientes combinaciones:
Para las necesidades de telecomunicaciones se tiene:
para atender las
necesidades de atención telefónica: y para aquellas de seguridad y acceso
a redes Por el principio multiplicativo, existen
formas de integrar el turno.
6.29
6.30
Demuestre que
SOLUCIÓN
Se tiene que
entonces.
Resuelva la siguiente ecuación:
SOLUCIÓN
Debemos suponer que Ahora:
entonces sólo hay una única solución
Problemas resueltos 245
6.31 Calcule la suma de todos los números naturales pares no mayores que 200.
SOLUCIÓN
Los números 2, 4, 6, ..., 200 forman una sucesión aritmética con a1 =2, d = 2 y
Entonces, La suma es
6.32 Encuentre 4 números impares consecutivos para los cuales la suma de sus
cuadrados es mayor en 48 a la de los cuadrados de los números pares que se
encuentran entre ellos.
SOLUCIÓN
Sean los números buscados. Estos números forman una sucesión arit-
mética con la diferencia común d = 2. Según lo planteado:
Pero entonces:
los números son: -9, -7, -5, -3 o 3, 5, 7, 9.
6.33 Resuelva la ecuación 2 + 7 +12 H— + x = 245.
SOLUCIÓN
Tenemos que entonces, obtenemos el siguiente
sistema de dos ecuaciones:
entonces x = 47 es la única respuesta.
6.34 El tercer término de una sucesión aritmética es igual a y el sexto
Encuentre esta sucesión. ¿Cuántos términos debemos su-
mar a partir del primero para que la suma sea 14 650?
SOLUCIÓN
Tenemos que:
Aplicando la fórmula obtenemos la ecuación
con solución, para Entonces
= 14 650 para « = 100.
Un cilindro de 102 dm3 está lleno de agua. En el primer minuto se extraen
5 dm3 de agua y en cada siguiente minuto la cantidad disminuye en 0.25 dm3.
¿Después de cuántos minutos el cilindro está a la mitad de su capacidad?
6.35
246 CAPITULO 6 ■ Sucesiones
SOLUCIÓN
De las condiciones del ejercicio tenemos que el volumen de agua que se extrae del
forma una sucesión aritmética con cilindro cada vez
representa en qué minuto se extrae el agua. Esto implica que donde
Pero:
la solución es n = 17 minutos. Aplicando la restricción
6.36 Demuestre que si los números a2 , b 2 y c forman una sucesión aritmética
entonces los números hacen lo mismo con
una sucesión aritmética.
SOLUCIÓN
Tenemos que
Al restar las ecuaciones del sistema, obtenemos
6.37 Determine cuántostérminos tiene una sucesión aritmética para la cual se
cumple que
SOLUCIÓN
entonces la su-
cesión tiene 16 términos.
Demuestre (usando la inducción matemática) que si los números 6.38
forman una sucesión aritmética y ninguno es igual a cero , entonces:
Problemas resueltos 247
SOLUCIÓN
es verdadera
Se supone que es verdadera:
se debe demostrar que
es verdadera.
Demostración:
Al sumar en Pk a ambos lados obtenemos:
entonces es verdadera, lo cual significa
que la expresión es verdadera para todo número natural
de los primeros n términos de una sucesión aritmética es igual a 6.39 La suma
la suma de los primeros m términos de esta sucesión Demuestre
que
SOLUCIÓN
Tenemos que Esto significa que:
Por otra parte:
al sustituir obtenemos
for- 6.40 ¿Para qué valores de x los números log 2 , log
man una sucesión aritmética?
SOLUCIÓN
Se debe cumplir que A partir de la definición de las sucesiones
aritméticas, tenemos log
sustituir obtenemos
Demuestre (usando la inducción matemática) que si los números 6.41
forman una sucesión aritmética, y todos son mayores que cero, en-
tonces:
248 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
SOLUCIÓN
es verdadera.
es verdadera: Se supone que
se debe demostrar que:
es verdadera.
Demostración:
Al sumar en ambos lados obtenemos:
entonces es verdadera, lo cual
significa que la expresión es verdadera para todo número natural
6.42 Las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo forman una sucesión
con una diferencia común de 2. Calcule el área de la circunferencia inscrita
en el triángulo.
SOLUCIÓN
Tenemos que:
Entonces el área de la circunferencia es igual a
Problemas resueltos 249
6.43 Sean números suponga que los números
forman una sucesión aritmética. Demuestre que
SOLUCIÓN
De las condiciones del ejercicio:
Aplicando las propiedades de los logaritmos, obtenemos:
6.44 Encuentre todos los valores del parámetro a para los cuales existe un valor
tal que los números (en este orden) forman
una sucesión aritmética.
SOLUCIÓN
De la propiedad de una sucesión aritmética:
Sustituyendo obtenemos:
con: Al sustituir otra vez nos queda la ecuación
lo cual significa que (*) tiene dos raíces con signos opuestos (el pro-
sólo ducto de las raíces es negativo). Entonces,
esto es que
La ecuación (**) tiene raíces positivas si:
250 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
Los números x e y que satisfacen el sistema de las ecuaciones: 6.45
son el segundo y el sexto términos de una sucesión aritmética creciente.
¿Cuántos términos debemos sumar, a partir del primero, para que la suma
de ellos sea 165?
SOLUCIÓN
con lo cual la sucesión crece, entonces: La solución del sistema es
6.46 Tres números positivos forman una sucesión geométrica. La suma de estos
Encuentre los números. números es igual a 26 y la de sus inversos es
SOLUCIÓN
Tenemos que:
al sustituir este resultado en la primera ecuación obtenemos:
Entonces, y los
números buscados son: 2, 6, 18 o 18, 6, 2.
6.47 Encuentre una sucesión geométrica en la cual la suma de los 3 primeros
números es igual a 3.5 y la suma de los cuadrados de estos números es 5.25.
SOLUCIÓN
De las condiciones del ejercicio:
Elevando ambos lados de la primera ecuación al cuadrado y dividiendo las
ecuaciones, obtenemos:
Problemas resueltos 251
Aplicando la igualdad obtenemos:
pero entonces:
las raíces de esta ecuación son: Las sucesiones buscadas son:
6.48 La suma de 3 números que forman una sucesión geométrica es igual a 62.
La suma de los logaritmos base 10 de estos números es 3. Encuentre los
números.
SOLUCIÓN
Tenemos que:
al sustituir este resultado en la primera ecuación, obtenemos:
Entonces, y los números buscados son: 2, 10, 50 o
50, 10, 2.
6.49 Una sucesión geométrica finita tiene un número par de términos. La suma
de todos los términos es 3 veces más grande que la de los términos que
ocupan los lugares impares. Encuentre la razón común r de esta sucesión.
SOLUCIÓN
Sean los números que forman una sucesión geométrica con la
razón común r. Tenemos que:
Pero entonces:
Encuentre los 5 primeros elementos de una sucesión geométrica en la cual
a2 = 4 y a5 - 32.
6.50
SOLUCIÓN
De una propiedad de las sucesiones geométricas:
252 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
Entre los números 32 y 500 inserte 2 números x e y, de tal manera que la 6.51
sea geométrica. sucesión
SOLUCIÓN
Tenemos que
6.52 Encuentre los 4 números que forman una sucesión geométrica si se sabe
que la suma del primero y el último es 36 y la de todos es 60.
SOLUCIÓN
De las condiciones del ejercicio:
La raíz no cumple las condiciones; entonces. Hay dos sucesio-
nes: 32, 16, 8, 4 y 4, 8, 16, 32.
Encuentre la suma: 6.53
SOLUCIÓN
Al multiplicar ambos lados de por a, obtenemos
Calculando la diferencia:
podemos obtener
Tenemos esto es: para
para entonces
6.54 Dada una sucesión con término general
Demuestre que es una sucesión geométrica
¿Para cuáles valores de p, decrece?
SOLUCIÓN
a) Al suponer que calcularemos la razón
= constante = r, entonces es una sucesión
geométrica.
Problemas resueltos 253
b) Una sucesión geométrica decrece si:
6.55 El primer término de una sucesión geométrica es igual a 2. La suma de los
primeros 8 términos es 5 veces más grande que la de los cuatro primeros.
Calcule el noveno término de esta sucesión.
SOLUCIÓN
De las condiciones del ejercicio, tenemos: esto es:
6.56 La suma de los tres números, que forman una sucesión geométrica, es igual
a 62. La suma de los logaritmos (de base 10) de estos tres números es 3.
Encuentre esta sucesión.
SOLUCIÓN
Sean los números que forman una sucesión geométrica. Entonces:
Observamos que la razón común es r = 5, y obtenemos:
6.57 Cuatro números forman una sucesión geométrica. El producto de los
logaritmos (de base 10) del primer número y del cuarto es -8 y el de
los logaritmos del segundo y el tercero es 0. Encuentre estos números.
SOLUCIÓN
los números que forman una sucesión geométrica. De las con- Sean
diciones del ejercicio:
254 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
Al resolver esta alternativa, obtenemos los números buscados:
En una sucesión geométrica, dados los términos 6.58
calcule
SOLUCIÓN
Observemos que si:
entonces
para
Aplicando las propiedades de una sucesión geométrica:
Entonces,
finalmente para
obtenemos:
encuentre 6.59 En una sucesión geométrica
SOLUCIÓN
encontramos que De
Entonces:
Demuestre que 4 términos de una sucesión geométrica cuyos 6.60
subíndices cumplen la condición están relacionados de la for-
ma
Problemas resueltos 255
SOLUCIÓN
Tenemos:
6.61 Entre los números 3 y x inserte el y, de tal manera que los números 3, y, x
formen una sucesión aritmética. Si y se disminuye en 6, entonces los núme-
ros 3, y - 6 y x forman una sucesión geométrica. Encuentre x e y.
SOLUCIÓN
De las condiciones del ejercicio:
esto es, debemos resolver el sistema de dos ecuaciones
6.62 El número a es la raíz de la ecuación 2log (2a-4)-log (9-a) = 2 log3 y b
es el valor de la expresión Calcule x e y, de tal
manera que:
a) a, x, b forman una sucesión aritmética.
b) a, y, b forman una sucesión geométrica.
SOLUCIÓN
Al resolver la ecuación logarítmica obtene-
mos a = 5. El valor de la expresión es 45:
6.63 La suma de los tres números que forman una sucesión aritmética es 15. Si se
disminuye el segundo número en 1 y los dos restantes números no cambian,
entonces forman una sucesión geométrica. Encuentre los números que for-
man la sucesión aritmética.
SOLUCIÓN
Sean a, b, c los números que forman una sucesión aritmética, entonces los números
a, b - 1, c forman una sucesión geométrica. De las propiedades de las dos sucesio-
nes tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
finalmente, nos quedan estas sucesiones aritméticas: 8, 5, 2 o 2, 5, 8
6.64 La suma de tres números que forman una sucesión geométricaes 93. Los
mismos números son primero, segundo y séptimo términos de una sucesión
aritmética. Encuentre estos números.
256 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
SOLUCIÓN
Sean a, b, c números que forman una sucesión geométrica, denotemos como
a los elementos de la sucesión aritmética; esto es,
Entonces:
con lo que obtenemos:
Las sucesiones resultantes son: 31, 31, 31 o 3, 15, 75.
La suma de tres números, que forman una sucesión aritmética, es igual a la 6.65
menor raíz de la ecuación log Si estos
números los aumentamos en 2,7 y 24, respectivamente, obtenemos núme-
ros que forman una sucesión geométrica. Encuentre estos números.
SOLUCIÓN
Sean a, b, c tres números que forman una sucesión aritmética y a + 2,
b + 1, c + 24 los que forman una sucesión geométrica. Se sabe que a + b + c = S,
donde S es la menor raíz de la ecuación dada. Al resolver la ecuación logarítmica,
obtenemos entonces, S = 6. Ahora:
6.66 La suma de los tres primeros números que forman una sucesión geométrica
es 35. Si se disminuye el primer número en 2, el segundo en 3 y el tercero en
9, obtenemos los 3 números de una sucesión aritmética. Encuentre estas
sucesiones y para cada una de ellas calcule 51().
SOLUCIÓN
Sean a, b, c los tres primeros números que forman una sucesión geométrica y
a - 2, b - 3, c - 9 los que forman una sucesión aritmética. De las condiciones del ejer-
cicio:
Esto significa que Ahora calculemos los tres pri-
meros términos de la sucesión aritmética
Problemas resueltos 257
lo cual significa que Entonces, aplicando fórmu-
las para tanto en caso de una sucesión geométrica como de una aritmética,
obtenemos:
6.67 Los números a, b, c forman una sucesión aritmética mientras que b, c, d
forman una sucesión geométrica. Si se sabe que a + b + c = 12 y
para b + c + d = 19, calcule
SOLUCIÓN
De las condiciones del ejercicio:
6.68 Calcule la suma de las siguientes sucesiones geométricas infinitas:
SOLUCIÓN
258 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
Calcule la suma de una sucesión geométrica infinita en la cual 6.69
donde es el elemento del conjunto
es el dominio de la función
SOLUCIÓN
entonces, Ya sabemos que
Aplicando la definición del valor absoluto, obtenemos:
El dominio de la función es:
finalmente, Entonces,
Resuelva la siguiente desigualdad: 6.70
SOLUCIÓN
Supongamos que tenemos Pero para que exista
la suma de una sucesión geométrica infinita se debe cumplir que:
Ahora:
Problemas resueltos 259
Finalmente:
6.71 Se sabe que la suma de los términos de una sucesión geométrica infinita es
de 4 y la de los cubos de éstos es igual a Encuentre los primeros cinco
términos de esta sucesión.
SOLUCIÓN
Según las condiciones del ejercicio:
porque la razón común r debe cumplir la condición Después tenemos
Los cinco primeros términos de la sucesión son:
6.72 ¿Para cuáles valores de x existe la suma de la siguiente sucesión geométrica
infinita
SOLUCIÓN
Tenemos: La suma de una sucesión geométrica infinita se da si
y sólo si Esto significa que se debe cumplir que:
6.73 Represente el decimal repetitivo 1.02(37)... como el cociente de dos en-
teros.
SOLUCIÓN
Tenemos:
a partir del segundo elemento de esta suma los términos forman una sucesión geo-
métrica infinita con entonces la suma de esta sucesión es
igual a:
Finalmente,
6.74 Encuentre todas las raíces de la ecuación
260 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
SOLUCIÓN
Con esta condición: La suma de la ecuación se da si
6.75 Resuelva la ecuación
SOLUCIÓN
Tenemos: con la condición La suma de
esta sucesión geométrica infinita es
6.76 En un triángulo equilátero con lado de longitud a se conectan los puntos
medios de cada uno de sus lados, con lo que se forma un triángulo y así
sucesivamente.
a) Demuestre que el perímetro de los triángulos forman una sucesión geo-
métrica y calcule su suma.
b) Demuestre que el área de los triángulos forman una sucesión geomé-
trica y calcule su suma.
SOLUCIÓN
a) Se calculan los perímetros de cada triángulo equilátero:
Por tanto, la sucesión geométrica que se forma es:
donde
Entonces, sustituyendo en la fórmula de la suma de una sucesión geométrica
infinita, se obtiene:
b) Se determinan las áreas de cada triángulo equilátero:
Problemas propuestos 261
Por tanto, la sucesión geométrica que se forma es:
donde
Entonces, sustituyendo en la fórmula de la suma de una sucesión geométrica
infinita, el resultado es:
Problemas propuestos
6.77 Enumere los primeros cinco términos de la sucesión especificada por:
262 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
Encuentre el término general de una sucesión cuyos primeros términos son: 6.78
Problemas propuestos 263
6.79 Encuentre el término general de una sucesión dada por la siguiente fórmula de
recurrencia:
Demuestre que las siguientes sucesiones 6.80 son crecientes:
264 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
son decrecientes: Demuestre que las siguientes sucesiones 6.81
Problemas propuestos 265
6.82 Analice si las siguientes sucesiones son monótonas o no:
donde es una sucesión con elementos positivos
para n par
para n impar
una sucesión creciente. Qué se puede decir sobre la monotonía de la suce- 6.83 Sea
sión
266 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
Qué se puede decir sobre la monotonía de una sucesión 6.84 si:
Usando la definición de límite de una sucesión, demostrar que el número a es el 6.85
límite de la sucesión
Problemas propuestos 267
6.86 Calcule los siguientes límites:
6.87 Calcule los siguientes límites:
268 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
Calcule los siguientes límites: 6.88
6.89 Calcule los siguientes límites:
Problemas propuestos 269
6.90 Calcule los siguientes límites:
270 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
6.91 Calcule los siguientes límites:
6.92 Calcule los siguientes límites:
Problemas propuestos 271
6.93 Dé como ejemplo dos sucesiones
6.94 Dé como ejemplo dos sucesiones
Dé como ejemplo dos sucesiones 6.95
272 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
Se sabe que Calcule 6.96
6.97 calcule: Si se sabe que
tiene Determine para cuáles valores del parámetro p, la sucesión 6.98
un limite igual a:
6.99 Demuestre que si entonces existe una n, tal que
6.100 Se sabe que Calcule
Calcule para cuáles valores del parámetro p, la sucesión tiene lí- 6.101
mite igual a:
Problemas propuestos 273
6.102 Si se sabe que calcule:
6.103 Si se sabe que calcule:
6.104 Sea una sucesión. ¿Para cuáles valores del parámetro p se
cumple, que
6.105 Verifique si la sucesión ss monótona y calcule donde
6.106 una sucesión. ¿Para cuáles valores del parámetro p se Sea
cumple que donde x es el mayor número que cumple la desigualdad
6.107 una sucesión. ¿Para cuáles valores del parámetro p se cum- Sea
donde x es la mayor raíz de la ecuación ple que
son verdaderas Demuestre (usando la inducción matemática) que para todo 6.108
las siguientes igualdades:
274 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
las siguientes 6.109 Demuestre (usando la inducción matemática) que para todo
expresiones cumplen la condición indicada:
es divisible entre 6
es divisible entre 30
es divisible entre 6
es divisible entre 6
es divisible entre 9
es divisible entre 6
es divisible entre 3
es divisible entre 3
es divisible entre 4
es divisible entre 7
es divisible entre 14
es divisible entre 133
es divisible entre 11
Demuestre (usando la inducción matemática) que para todo 6.110 se cum-
ple la siguiente desigualdad:
Problemas propuestos 275
6.111 Demuestre (usando la inducción matemática) que para todo se cum-
ple la siguiente desigualdad:
6.112 Demuestre (usando la inducción matemática) que para todo se cum-
ple la siguiente desigualdad:
6.113 Demuestre (usando la inducción matemática) que para todo se cum-
ple la siguiente desigualdad:
6.114 Demuestre (usandola inducción matemática) que para todo, se cum-
ple la siguiente desigualdad:
6.115 Demuestre (usando la inducción matemática) que para todo se cum-
ple la siguiente desigualdad:
6.116 Demuestre (usando la inducción matemática) que para todo se cumplen las
siguientes desigualdades:
6.117 Si en una encuesta se clasifica a las personas en 5 categorías según su estado civil
(soltero, casado, divorciado, viudo, unión libre), 2 según su sexo (masculino, femeni-
no), 2 según su nacionalidad (mexicana, extranjera) y 4 según la ocupación (estu-
diante, oficios del hogar, profesionista, negocio propio), ¿de cuántas maneras pue
de clasificarse a alguien?
6.118 ¿Cuántos manteles se harán si se utilizan 5 trozos de tela, y de ellos 2 son de algo
dón y 3 de poliéster?
6.119 En una fiesta se reparten números a los asistentes para sortear 3 regalos especiales.
Se colocan en una bolsa un total de 15 números que participan en la rifa. De éstos
se seleccionarán 3 que serán los ganadores. ¿De cuántas maneras es posible selec-
cionar los números?
6.120 En una competencia de motos acuáticas, en la que participan 20 hombres, se otor-
garán un trofeo, una medalla de oro y $10 000 al primer lugar; una medalla de plata
y $3 000 al segundo, y una medalla de bronce y $1 000 al tercero, ¿de cuántas for-
mas es posible hacerlo?
6.121 El ITAM otorga una beca completa a la persona que obtenga la mayor calificación
en la prueba de admisión de cada trimestre y una beca de 50% a quien obtenga el
276 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
segundo mejor puntaje. Si el 25 de noviembre de 2000.50 aspirantes presentaron la
prueba, ¿de cuántas maneras es posible asignar las becas?
6.122 En un supermercado se asignan códigos a los productos para controlar el inventa
rio. Cada código está formado por las letras x e y. ¿Cuántos códigos de tres elemen-
tos se pueden formar?
6.123 ¿Cuántos arreglos diferentes de cuatro elementos es posible formar utilizando los
símbolos Θ, Ψ, Φ?
6.124 Si el disco de una computadora falla de 2 formas, la memoria de 5 formas y el soft
ware de 3, ¿de cuántas formas en total puede fallar la máquina?
6.125 ¿Cuántas formas de alinear los siguientes carros para una carrera existen, si cuatro
son de la misma marca; 6 son de una diferente a la anterior, pero iguales entre sí, y
2 más son iguales entre sí, pero diferentes a los anteriores?
6.126 ¿De cuántas formas es posible ordenar las letras de la palabra PIOTR?
6.127 Como parte de un programa de control de calidad se eligen cuatro chips al azar de
un lote de 100 unidades producidos por el fabricante. ¿De cuántas maneras es posi-
ble elegirlos?
6.128 La Dirección de Vinculación cuenta con los siguientes tipos de diplomados: 6 eje
cutivos, 4 de alta gerencia y 3 de especialización. ¿De cuántas maneras puede un
alumno elegir una clase del diplomado ejecutivo, una del diplomado de alta geren
cia y una del de especialización?
6.129 ¿De cuántas formas podré vestirme para una fiesta si tengo en mi clóset 3 camisas,
4 pantalones y 2 pares de calzado?
6.130 ¿De cuántas maneras es posible sentar 10 personas en un banco si hay 4 sitios dis-
ponibles?
6.131 Se colocan en fila, 5 fichas rojas, 2 blancas y 3 azules, ¿cuántas posibles formas de
ordenarlas existen?
6.132 ¿Cuántas palabras es posible formar con las letras que conforman la palabra
POPOCATEPETL?
6.133 Una empresa ha decidido crear un equipo de trabajo para desarrollar la estrategia
de lanzamiento de su nuevo negocio, el cual está conformado por un gerente, un
líder de proyecto y dos asistentes. Si después de consultar a recursos humanos, la
empresa sabe que dispone de 9 personas que podrían ocupar dichos puestos, ¿de
cuántas maneras sería posible formar el equipo?
6.134 Vicente Fox ha preparado un plebiscito para determinar sus inquietudes acerca de
6 importantes problemas nacionales: desempleo, medio ambiente, impuestos,
Chiapas, pobreza y deuda externa. Los ciudadanos deben seleccionar los 4 que más
le interesen y ordenarlos por su importancia de manera descendente. ¿De cuántas
formas es posible responder el plebiscito?
6.135 Una empresa de publicidad decide elaborar una encuesta para medir la aceptación
de un jabón en el mercado. La encuesta consta de 30 preguntas de acuerdo o des-
acuerdo. ¿De cuántas formas puede responder un consumidor?
6.136 Procter & Gamble ha lanzado al mercado un nuevo pañal especial de reuso para
bebés. Sin embargo, sus asesores creen que es demasiado caro en comparación con
los de la competencia, por lo que quieren determinar si las mamas lo comprarían en
Problemas propuestos 277
estas condiciones. Para ello, han decidido hacerles una serie de preguntas (10) don-
de las únicas respuestas posibles son SI o NO. ¿De cuántas formas es posible que
una madre responda a esta serie de preguntas?
6.137 En una agencia automotriz, se quieren estacionar 8 diferentes autos modelo 1998; 5,
1997 y 3 del 2000. Determine cómo es posible estacionarlos si:
a) no importa el arreglo
b) se ponen a la izquierda los modelos 1998, al centro los 1997 y a la derecha los
2000
c) se agrupan juntos los modelos del mismo año
6.138 Una camarera limpia 10 cuartos por día. Si varía su recorrido, ¿de cuántas maneras
puede realizar su trabajo?
6.139 La CURP (Clave Única de Registro de Población) consta de 8 dígitos seguido de 3
letras. ¿Cuántas diferentes claves es posible emitir?
6.140 Para apostar en un casino se cuenta con una de cada una de las siguientes fichas:
$500, $100, $50, $20, $10, $5 y $1. ¿Cuántas diferentes apuestas se pueden realizar?
6.141 Un gimnasio de la ciudad de México necesita enviar 6 representantes de su equipo
de trabajo a un seminario; para ello, se seleccionará entre las 15 personas más efi-
cientes. ¿Cuántas posibles elecciones existen para la representación?-
6.142 En la final del campeonato latinoamericano de aeróbicos, los semifinalistas son
representantes de México, Panamá, El Salvador y Costa Rica. Deben seleccionarse
3 para la final, ¿de cuántas maneras puede hacerse?
6.143 En un congreso internacional se decide colocar 10 banderas de los países partici
pantes, pero la del anfitrión se pone 2 veces. ¿De cuántas formas distintas es posible
alinear las banderas detrás de la mesa principal del congreso?
6.144 Una escuela ofrece planes de estudio con áreas de especialización en las siguientes
materias: biología (3), química (2), matemáticas (4) y economía (2). Si se elige un
curso por materia, ¿cuántos planes de estudio es posible elaborar?
6.145 Un gerente general debe elegir a un gerente de ventas y un subgerente de área de
entre 5 empleados, ¿de cuántas maneras lo puede hacer?
6.146 Un chip electrónico responde a impulsos eléctricos on/off. Para emitir una respues-
ta, pasa por 8 puntos de prueba, ¿cuántas respuestas recibiría?
6.147 Un vendedor debe organizar brigadas de tres promotores para atender las tiendas
de su región. Tiene 12 promotores. ¿De cuántas maneras logrará hacerlo?
6.148 Si de 6 números positivos y 8 negativos se eligen 4 al azar (sin sustitución) y se
multiplican. ¿Cuántos números positivos diferentes es posible formar?
6.149 El gerente de una pequeña planta desea asignar trabajadores para el primer turno.
Para ello cuenta con 15 que sirven como operadores de producción, 8 que se des-
empeñan como personal de mantenimiento y 4 como supervisores. Si el turno re-
quiere 6 operadores, 2 trabajadores de mantenimiento y 1 supervisor, ¿de cuántas
maneras es posible integrarlo?
6.150 Si cuatro matrimonios compraron 8 lugares para un concierto, determine de cuán
tas formas diferentes pueden acomodarse si se sientan:
278 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
a) sin restricciones
b) por parejas
c) todos los hombres se sientan juntos, a la derecha de las mujeres
6.151 ¿De cuántas maneras es posible colocar a 3 hombres y 3 mujeres en una mesa re-
donda si no se imponen restricciones?
6.152 Los expertosen caractereología dicen que el temperamento está relacionado con 3
aspectos: emotividad, actividad y resonancia. Existen también no emotividad, no
actividad y no resonancia, ¿de cuántas formas diferentes se puede catalogar el tem-
peramento de una persona?
6.153 Una señora tiene en su clóset las siguientes prendas: 2 pantalones, 4 blusas, 2 zapa-
tos, 2 collares, ¿con cuántas maneras de combinar su ropa cuenta esta señora?
6.154 Hay 6 canicas en una bolsa: 3 verdes, 1 roja y 2 amarillas. Se saca una a la vez y
se coloca junto a la anterior. ¿Cuántas distintas formas de acomodar las canicas
existen?
6.155 En un torneo deportivo participan 8 países, ¿de cuántas maneras diferentes puede
quedar conformado el cuadro de medallas (oro, plata y bronce)?
6.156 En una urna se tienen 5 canicas de colores diferentes: blanco, negro, azul, verde y
roja. Se va sacando una canica a la vez y se anota en un tablero su color y la posición
en que salió; una vez hecho esto, se vuelve a introducir la canica en la urna y se
repite la operación hasta haber extraído 3 canicas. ¿Cuántas posibles formas de
sacar las tres canicas hay?
6.157 ¿Cuántos números distintos de 7 cifras se pueden formar con el sistema binario?
6.158 ¿De cuántas maneras un sindicato local elegiría entre sus 25 miembros un presi-
dente y un vicepresidente?
6.159 Un cuestionario para un estudio de mercado consta de 8 preguntas, cada una de las
cuales puede responderse de tres maneras. ¿De cuántas formas es posible respon-
derlas?
6.160 Un producto se arma en tres etapas. En la primera hay 5 líneas de armado; en la
segunda 4, y en la tercera hay 6. ¿De cuántas maneras puede moverse el producto
en el proceso de armado?
6.161 Una tienda de artículos electrodomésticos tiene en existencia 8 clases de refrigera
dores, 6 de lavadoras y 5 de hornos de microondas. ¿De cuántas formas es posible
elegir dos artículos de cada clase para una barata?
6.162 Un consultorio médico ha citado a 8 personas para su atención hoy. ¿De cuántas
maneras es posible formar a los pacientes si todos llegaran al mismo tiempo?
6.163 En un concurso de belleza quedaron 6 finalistas, de las cuales se elegirán 3: el pri-
mer puesto será Miss Universo, el segundo Mis Mundo y el tercero Miss Simpatía.
¿De cuántas maneras es posible elegirlas?
6.164 Calcule:
Problemas propuestos 279
6.165 Encuentre el término de desarrollo de la potencia con el
factor igual a
6.166 En el desarrollo encuentre el coeficiente asociado con la potencia
6.167 En el desarrollo encuentre el coeficiente asociado con la potencia
En el desarrollo encuentre el coeficiente asociado con la potencia 6.168
6.169 En el desarrollo encuentre el término que no tiene
6.170 En el desarrollo encuentre el término que no tiene
6.171 Demuestre que:
6.172 Encuentre el quinto término del desarrollo de binomio
donde Encuentre el treceavo término del desarrollo de binomio 6.173
encuentre el término que no tiene x En el desarrollo 6.174
en el cual a y b 6.175 Encuentre el término de desarrollo del binomio
aparecen en la misma potencia
280 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
6.176 se cumple que Demuestre que para
6.177 es igual a 200, Si el cuarto término de desarrollo del binomio
calcule
6.178 Demuestre que para
6.179 ¿ A qué potencia n debemos elevar el binomio (a + x) para que el coeficiente rela-
cionado con la potencia sea igual a
6.180 ¿Determine cuáles de las siguientes sucesiones son aritméticas
6.181 Encuentre la sucesión aritmética es decir, el primer término y la diferencia
común d, si se sabe que:
Problemas propuestos 281
6.182 Resuelva las siguientes ecuaciones en las cuales el lado izquierdo es la suma de los
términos de una sucesión aritmética:
6.183 Entre el 24 y el 56 inserte siete números de tal manera que todos formen una suce-
sión aritmética.
6.184 Entre el 142 y el 1 066 inserte cinco números de tal manera que todos formen una
sucesión aritmética.
6.185 ¿Cuál es la relación entre a1 y d en una sucesión aritmética en la que se cumple
que
6.186 Demuestre que si los números a, b, c forman una sucesión aritmética, entonces:
6.187 Encuentre todos los números naturales n, tales que
6.188 Halle una sucesión aritmética en la cual la suma de los primeros n términos es
igual a n para todo
6.189 Ubique el décimo término de una sucesión aritmética si se sabe que la suma de
sus primeros n términos está dada por la fórmula para todo
6.190 Encuentre una sucesión aritmética si se sabe que la suma de n términos está
dada por la fórmula para todo
6.191 Si los números log forman una sucesión aritmética, calcule x.
6.192 ¿Para cuáles valores de la sucesiónes aritmé-
tica?
6.193 Calcule el quinto término de una sucesión aritmética si se
sabe que
6.194 Cuatro números forman una sucesión aritmética con diferencia común d = 3. ¿Cuá-
les son los números si se sabe que el producto de ellos es igual a 880?
6.195 Cuatro números forman una sucesión aritmética. Encuéntrelos si se sabe que la
suma de los dos primeros es igual a 5 y el producto de los dos últimos es igual a p.
Hacer los cálculos correspondientes para s = 60 y p = 75.
282 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
forman una sucesión aritmética. Calcule Los números 6.196
¿Para cuáles valores del parámetro m, las raíces de la ecuación 6.197
forman una sucesión aritmética? Encuentre estas raíces.
¿Cuál debe ser la relación entre p y q para que en la ecuación sean 6.198
cuatro las raíces que forman una sucesión aritmética?
6.199 ¿Para cuáles valores del parámetro m, las soluciones (x, y, z) del sistema de ecua-
ciones
forman una sucesión aritmética? Encuentre estas soluciones.
6.200 son los tres primeros términos de una Los números
sucesión aritmética. Encuentre
6.201 Si se sabe que los números forman una sucesión arit-
mética, calcule para cuales valores de x la sucesión crece.
6.202 Determine cuáles de las siguientes sucesiones son geométricas:
Encuentre los cinco primeros términos de una sucesión geométrica si se sabe que: 6.203
6.204 Entre el 3 y el 24 inserte dos números de tal manera que se obtengan cuatro térmi-
nos consecutivos de una sucesión geométrica.
6.205 Entre el 96 y el 3 inserte cuatro números de tal manera que se obtengan seis térmi-
nos consecutivos de una sucesión geométrica.
6.206 Entre el 1 y el 4 inserte tres números de tal manera que se obtengan cinco términos
consecutivos de una sucesión geométrica.
6.207 Entre el 24 y el 0.375 inserte cinco números de tal manera que se obtengan siete
números, los cuales formen una sucesión geométrica.
6.208 Tres números forman una sucesión geométrica. Su suma es igual a 126 y el produc-
to es 13 824. Encuentre estos números.
6.209 Demuestre que donde son las sumas de los
n, 2n, 3n primeros términos de una sucesión geométrica.
6.210 Demuestre que si los números positivos forman una sucesión geo-
métrica, entonces
6.211 En una sucesión geométrica creciente la suma de los 2n primeros términos es igual
a 63 y la de los 3n primeros términos es de 511. Encuentre Sn
6.212 Demuestre que si los números positivos a,, a2, a} forman una sucesión geométrica,
entonces log a1, log a2, log a3, son parte de una sucesión aritmética.
6.213 En una sucesión geométrica a1+a5=51 y a2 +a6 = 102. ¿Para cuáles valores de n
la suma S,, = 3 069?
6.214 Sea una sucesión geométrica. Demuestre que:
6.215 Los números a y b son las raíces de la ecuación y c y d son las raíces
de la ecuación . La sucesión es una sucesión geométrica
creciente. Encuentre A y B.
Problemas propuestos 283
284 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
6.216 Sea {a,,} una sucesión geométrica. Demuestre que una sucesión
geométrica.
6.217 Calcule
6.218 Calcule
6.219 En una sucesión geométrica Encuentre la razón co-
mún.
6.220 ¿Para cuáles valores del parámetro m las soluciones (x,y, z) del sistema de ecuaciones
forman una sucesión geométrica? Encuentre la solución.
6.221 ¿Para cuáles valores del parámetro m, las soluciones (x, y,z) del sistema de ecuaciones
forman una sucesión geométrica?
6.222 ¿Para cuáles valores de x, los números forman una su-
cesión geométrica?
6.223 Los números a1 a2, a3, ..., an forman una sucesión geométrica. Si se sabe que
calcule
6.224 En una sucesión geométrica se sabe que La sucesión
está dada por la formula donde Encuentre r si se sabe que
6.225 El volumen de un paralelepípedo rectangular es de 64 mi Los bordes forman una
sucesión geométrica y la suma de ellos es de 21 m. Encuentre las longitudes de los
bordes.
6.226 Los bordes de un paralelepípedo rectangular forman una sucesión geométrica. Calcu-
le los tamaños de los bordes si se sabe que el volumen de la figura es de 729 cm3 y el
área de su superficie lateral es de 189 cm2.
6.227 Los números a, b, c forman una sucesión aritmética y se sabe que a + b + c = 15. Los
números a + l, b + 4 , c + 19 son parte de una sucesión geométrica. Encuentre estos
números.
6.228 Los números a, b, c forman una sucesión aritmética y se sabe que a + b + c = 21, en
tanto que los números a - l, b - 4,c-3 son parte de una sucesión geométrica. En-
cuentre cuáles de estos números forman una sucesión aritmética.
Problemas propuestos 285
6.229 Tres números enteros forman una sucesión geométrica con una razón común ente-
ra. Sí se aumenta la menor de ellas en 9, entonces estos números forman una suce-
sión aritmética. Encuentre estos números.
6.230 Cuatro números forman una sucesión geométrica. Si se disminuye el primer núme-
ro en 2, el segundo en 3, el tercero en 9 y el cuarto en 25, entonces forman una
sucesión aritmética. Encuentre estos números.
6.231 De los cuatro números a ,b,c, d, los tres primeros forman una sucesión geométrica
y los tres últimos una sucesión aritmética. Encuentre estos números si se sabe que
a + d = 14 y b + c = 12
6.232 Los números a, b, c forman una sucesión aritmética y se sabe que a + b + c = 9. Los
números a2,b-l,c-l son parte de una sucesión geométrica. Encuentre estos nú-
meros.
6.233 Los números a, b, c forman una sucesión geométrica y se sabe que a2 + b2 + c2 = 91.
Los números a + 2 , b + 5 , c + 4 son parte de una sucesión aritmética. Encuentre es
tos números.
6.234 Los términos extremos de una sucesión aritmética son -3 y 45. Encuentre la suma
de esta sucesión si se sabe que los términos segundo, tercero y sexto forman una
sucesión geométrica.
6.235 La suma de 10 términos de una sucesión aritmética es igual a 155. El primero de
estos términos es la razón común de alguna sucesión geométrica en la cual el pri-
mer término es la diferencia común de la sucesión aritmética. La suma de los dos
primeros términos de la sucesión geométrica es 9. Encuentre estas sucesiones.
6.236 Resuelva las siguientes ecuaciones:
286 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
6.237 ¿Para cuáles valores de x existe la suma igual a 0.8 de la siguiente sucesión geomé-
trica infinita?
6.238 Determine para cuáles valores de x existe la suma de las siguientes sucesiones geo-
métricas infinitas:
6.239 Resuelva las siguientes desigualdades:
Problemas propuestos 287
6.240 Represente los siguientes decimales repetitivos como el cociente de dos enteros:
6.241 La suma de los tres primeros términos de una sucesión geométrica infinita es igual
a 6 y la suma S de todos los términos es ¿Para cuáles naturales n se cumple la
condición
6.242 Resuelva la siguiente desigualdad:
una sucesión geométrica infinita con 6.243 Sea
a) ¿Para cuáles valores de x los términos primero, segundo y cuarto forman una
sucesión aritmética?
b) ¿Para cuáles valores de x los términos tercero y cuarto son senos y cosenos del
mismo ángulo?
6.244 Encuentre la suma de una sucesión geométrica infinita en la cual el primer término
y la razón común
288 CAPITULO 6 ■ Sucesiones
6.245 En un cuadrado con longitud de lado a se conectan los puntos medios de cada uno
de sus lados con lo que se forma un cuadrado y así sucesivamente.
a) Demuestre que el perímetro de los cuadrados forma una sucesión geométrica
y calcule su suma.
b) Demuestre que el área de los cuadrados forma una sucesión geométrica y cal-
cule su suma.
6.246 Sea un cuadrángulo convexo con área S. Se conectan las mitades de cada uno de sus
lados para formar así un nuevo cuadrángulo convexo y así sucesivamente. Demues-
tre que las áreas de cada uno de estos cuadrángulos convexos son parte de una
sucesión geométrica y calcule su suma.
6.247 En un cuadrado con longitud de lado a se inscribe una circunferencia, dentro de la
cual se mete un cuadrado y así sucesivamente.
a) Demuestre que los perímetros de las circunferencias forman una sucesión geo-
métrica y calcule su suma.
b) Demuestre que las áreas de las circunferencias forman una sucesión geométri-
ca y calcule su suma.
6.248 En un triángulo equilátero con longitud de lado a se inscribe una circunferencia,
dentro de la cual se mete un triángulo equilátero y así sucesivamente.
Soluciones 289
a) Demuestre que los perímetros de las circunferencias forman una sucesión geo-
métrica y calcule su suma.
b) Demuestre que las áreas de las circunferencias forman una sucesión geométri-
ca y calcule su suma.
6.249 En un cuadrado con longitud de lado a se inscribe un cuadrado, de tal manera que
los vértices pertenecen a los lados del primer cuadrado divididos en proporción 1:2.
En este segundo cuadrado se inscribe de la misma manera otro cuadrado y así suce-
sivamente. Demuestre que las áreas de cada uno de estos cuadrados forman una
sucesión geométrica y calcule su suma.
6.250 En un cubo con lado a se inscribe una esfera y dentro de la esfera se forma un cubo
y así sucesivamente.
a) Demuestre que las áreas de los cubos forman una sucesión geométrica y calcu-
le su suma.
b) Demuestre que los volúmenes de los cubos forman una sucesión geométrica y
calcule su suma.
6.251 En una esfera con radio R se inscribe un cilindro que, si se corta transversalmente,
forma un cuadrado. Después, dentro del cilindro se forma una esfera y así sucesiva-
mente.
a) Demuestre que las áreas de las esferas forman una sucesión geométrica y calcu-
le su suma.
b) Demuestre que los volúmenes de las esferas forman una sucesión geométrica y
calcule su suma.
Soluciones
6.77
290 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
6.78
6.79
6.80 Indicación: Demuestre que para todo
Indicación: Demuestre que para todo 6.81
6.82 a) no es monótono
b) no es monótono
c) es creciente
d) es decreciente
e) es creciente
f) no es monótono para
g) no es monótono para
h) es creciente
i) no es monótono
j) no es monótono
k) no es monótono
a) es creciente
b) es decreciente
6.83
c) es creciente si para todo
d) es decreciente si para todo
e) es creciente
f) no es monótono
6.84 a) es creciente
b) es decreciente
c) es creciente
d) no es monótono
e) es creciente
f) es decreciente
Indicación: 6.85
Soluciones 291
Indicación:
Indicación:
Indicación:
6.86
6.87
6.88
6.89
6.90
292 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
6.91
se cumple lo siguiente Indicación: Para
se cumple lo siguiente Indicación: Para
6.92
Indicación:
Indicación:
Indicación:
Indicación:
Indicación:
Por ejemplo: 6.93
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Soluciones 293
6.94 Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
6.95 Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
6.96
6.97
6.98
no existe p
tiene límite 1, entonces, según la definición de límite, Si la sucesión 6.99y en caso especial Esta condición se cumple para todo
Queda
294 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
6.100
6.101
6.102
6.103
6.104
la sucesión es decreciente; 6.105
la sucesión es creciente;
6.106
6.107
Se dejan como ejercicio para el lector 6.108 al 6.116
6.117
6.118
6.119
6.120
6.121
6.122
6.123
6.124
6.125
Soluciones 295
6.126
6.127
6.128
6.129
6.130
6.131
6.132
6.133
6.134
6.135
6.136
6.137
6.138
6.139
6.140
6.141
6.142
6.143
6.144
6.145
6.146
6.147
6.148
6.149
6.150
6.151
6.152
6.153
296 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
6.154 60
6.155 336
6.156 125
6.157 128
6.158 600
6.159 6 561
6.160 120
6.161 4 200
6.162 40 320
6.163 120
6.164
6.165
6.166 12
35 6.167
6.168 35
6.169 70
5 005 6.170
6.171 Se deja como ejercicio al lector
6.172
6.173
6.174
6.175 esto es, en el décimo término a
y b aparecen en la misma potencia
Se deja como ejercicio al lector 6.176
Soluciones 297
6.177 Se tiene que
6.178 Indicación: Para demostrar a) y b) podemos observar que
6.179 No existe n porque los coeficientes son enteros
6.180
6.181
6.182
6.183 28,32,36,40,44,48,52
6.184 136,130,124,118,112
6.185
6.186 Indicación:
6.187 M=3
6.188
6.189
6.190 no es una fórmula para la suma de n términos de una sucesión aritmética
6.191
6.192
6.193
298 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
6.194
6.195
6.196
6.197
6.198
6.199
6.200
6.201
6.202 Sucesiones geométricas:
6.203
Soluciones 299
6.204
6.205
6.206
6.207
6.208
6.209
6.210
6.211
De la ecuación se tiene que
6.212
6.213
6.214 Se deja como ejercicio al lector
6.215 A = 2, B = 32
6.216 entonces
tiene to- Si r = 1 o entonces la sucesión es constante y la sucesión
dos los términos iguales a cero.
6.217 y para Para
6.218
1 la suma es igual a 4« y para x para
la suma es igual a 2«
300 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
6.219
6.220
6.221
6.222
6.223
6.224
6.225
6.226
6.227
6.228
6.229
6.230
6.231
6.232
6.233
6.234
6.235
6.236
Soluciones 301
6.237
6.238
6.239
6.240
302 CAPÍTULO 6 ■ Sucesiones
6.241
6.242
6.243
6.244
6.245
6.247
6.248
6.249
6.250
6.251
Funciones trigonométricas
La palabra trigonometría se derivó de los vocablos griegos trigonon (triángulo) y
metria (medición). En este capítulo se presentan las funciones trigonométricas y
luego se analizan sus gráficas. Posteriormente se estudian métodos para resolver
triángulos oblicuos mediante la ley de senos y la ley de los cosenos.
303
7.1 INTRODUCCIÓN
7.2 DEFINICIONES Y PROPIEDADES
DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DEFINICIÓN 7.1
Un radián es la medida del ángulo central de una circunferencia que determina un
arco de longitud igual al radio del círculo.
Un grado (1o) es el ángulo formado por de una rotación completa. Por
tanto, 360° = radianes.
Para hacer la conversión de grados a radianes se utiliza la siguiente fórmula:
Análogamente, para convertir radianes en grados:
EJEMPLO 7.1 Encuentre la medida exacta del ángulo en grados:
EJEMPLO 7.2 Encuentre la medida exacta del ángulo en radianes:
304 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
Si es un ángulo medido en radianes y (x, y) son las coordenadas de un punto
sobre un círculo de radio r, entonces las funciones trigonométricas del ángulo se
definen como:
7.2.1 Valores especiales de las funciones
trigonométricas
7.2.2 Gráficas de las funciones trigonométricas
DEFINICIÓN 7.2
El periodo básico de las funciones sen x y cos x es mientras que para las funcio-
nes tan x y cot x es
Definiciones y propiedades de las funciones trigonométricas 305
TEOREMA 7.1
Si k es cualquier entero, entonces:
I. Fórmulas para los ángulos negativos
Función sen x y cos x
Dominio:
Rango:
2. y = cos x
Función tan x y cot x
mientras que para cot x, Para tan x el dominio es
donde
306 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
3. y = tan x
4. y = cot x
7.2.3 Fórmulas de cofunciones
Identidades trigonométricas 307
Argumento Función tan x Función cot x
7.3 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Las identidades trigonométricas son muy importantes, ya que pueden utilizarse para
relacionar cualquier función trigonométrica con alguna otra.
I. Básicas
II. Pitagórica
III. Identidades para la suma y resta
308 CAPITULO 7 ■ Funciones trigonométricas
IV. Identidades para el ángulo duplo
V. Identidades para el ángulo triple
VI. Identidades para la transformación de suma a producto
Para cualquier
VII. Identidades para la transformación de producto a suma
Para cualquier
Identidades trigonométricas 309
VIII. Otras identidades
IX. Identidades de ángulo mitad
EJEMPLO 7.3 Representar en forma de producto las siguientes expresiones:
a) 1 - 2 cos x + cos 2x
Tenemos que:
entonces:
310 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
b) 1 + sen x
y aplicando la fórmula Cambiando 1 por nos
queda:
1 + sen x =
c) sen x + sen 2x + sen 3x
La expresión sen3x + sen x cambia según la fórmula
sen x + sen y = 2 sen 2 sen 2x cos x, entonces:
sen x + sen 2x + sen 3x = sen 2x + 2sen 2x cosx = 2sen 2x Poniendo por
y aplicando la fórmula cos x + cos y = 2 cos obtenemos:
finalmente:
sen x + sen2x + sen3x = 4sen2x cos
d) l-sen x + cos x
De
y de sen x + sen y:
pero 1 - sen x + eos x =
Al aplicar la fórmula sen (x- y) = sen x cos y- cos x sen y a la
obtenemos: diferencia
1 - sen x + cos x =
EJEMPLO 7.4 Demuestre que
Se tiene que
Aplicando las fórmulas sea x + sen y = 2 sen obtenemos:
Ecuaciones y desigualdades trigonométricas 311
7.4 ECUACIONES Y DESIGUALDADES
TRIGONOMÉTRICAS
Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene expresiones trigonométricas.
A menudo se hallan soluciones aplicando técnicas semejantes a las usadas para
ecuaciones algebraicas.
TEOREMA 7.2
EJEMPLO 7.5 Resuelva la desigualdad
SOLUCIÓN
La desigualdad tiene sentido si
para obtener: podernos sustituir Sabiendo que
EJEMPLO 7.6 tiene solución? ¿Para cuáles valores del parámetro a la ecuación
SOLUCIÓN
tenemos que De la fórmula
312 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
EJEMPLO 7.7 Resuelva las siguientes ecuaciones:
c) sen 2x - tan x = 0
d) 1- tanx = cos2x
DEFINICIÓN 7.3
Un triángulo oblicuo es aquel que no contiene un ángulo recto. Vea la figura:
Ecuaciones y desigualdades trigonométricas 313
TEOREMA 7.3
(Ley de senos). Si ABC es un triángulo oblicuo, entonces:
LAZARE, CARNOT (1753-1823), na
ció el 13 de mayo de 1753 en Nolay,
Francia, y murió el 2 de agosto de
1823 en Magdeburg, Alemania. Se
graduó de la Escuela de Ingeniería
en Méziéres en 1773. En 1778 escri-
bió un ensayo sobre las máquinas
en general para obtener un premio
en una competencia. Dicho ensayo
que se publicó en 1783. trata sobre
la mecánica y diversas áreas de
ingeniería. En 1787 se hizo
miembro de la Academia de Djon.
Fue electo a la Asamblea
Legislativa en 1791 y a la
Convención Nacional en 1792. En
1794, bajo la dirección de Carnot y
Monge, se estableció la Escuela
Politécnica. En 1797 se publicaron
sus famosas Reflexiones sobre la
metafísica del cálculo infinitesimal.
En ese mismo año y a consecuencia
de la situación política de Francia,
huyó hacia Suiza. Al siguiente año.
retornó a Francia, convirtiéndose en
el ministro de Guerra de Napoleón.
Carnot es mejor conocido como
geómetra. En 1801 publicó De la
Correlation des figures géométrie, en
el cual intentó poner geometría pura
en un conjunto universal. Demostró
que algunos de los teoremas de los
elementos euclidianos se pueden
establecer en un solo teorema. En
1803, publicó Géométrie deposition,en el cual detectó magnitudes que
primero fueron utilizadas sistemá-
ticamente en geometría. Su obra
maestra militar, De la déjense des
places fortes, fue publicada en 1809.
Después de la derrota de Napoleón
en Waterloo. Carnot fue exiliado, lle-
gando a Magdeburg en noviembre
de 1816. Los intereses de Carnot se
tornaron hacia el motor de vapor
con el primer motor que llegó a
Magdeburg en 1818.
Si se conocen los valores de dos de los lados y un ángulo opuesto a uno de ellos
o, bien, dos ángulos y cualquier lado, entonces se utiliza la ley de senos para encon-
trar los ángulos o lados fallantes.
EJEMPLO 7.8 En un triángulo equilátero ABC se tiene el segmento AD, donde D
es un punto entre BC. Calcule la tangente de) ángulo DAB. si se sabe que la razón del
área
del triángulo ADB con la del ADC es Vea la figura:
Se sabe que la razón de áreas es: Esto significa que DB:DC- 2:3, entonces
Utilizando la ley de senos para el triángulo DAB:
Si se conocen los valores de dos de los lados y el ángulo entre ellos o, bien, los valores de los tres
lados, entonces se utiliza la ley de cosenos, para encontrar los ángulos o el lado faltante.
TEOREMA 7.4
Ley de cosenos (Carnot). Si ABC es un triángulo oblicuo, entonces:
EJEMPLO 7.9 Se tiene un triángulo equilátero. Uno de sus lados se divide en tres partes iguales y los
puntos de división se conectan con el vértice opuesto, en tanto que dicho ángulo es dividido
en tres. Calcule cos α, cos β y determine cuál de los ángulos es más grande. Vea la figura:
314 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
SOLUCIÓN
Al denotar el lado del triángulo como a y el segmento CD como x, utilizando la ley de
cosenos para el triángulo ADC:
TEOREMA 7.5
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de las longitudes de dos
lados cualesquiera y el seno del ángulo entre ellos.
EJEMPLO 7.10 Calcule el área del triángulo ABC con a = 2.2,6 = 1.3 y j = 43.2°.
SOLUCIÓN
Dado que y es el ángulo entre los lados a y b, se puede usar el teorema 7.5 directamente:
Utilizando nuevamente la ley de cosenos, es posible determinar
es decir: De la misma forma, sacamos
entonces Como
Problemas resueltos 315
Problemas resueltos
Encuentre el valor de si se sabe que donde 7.1
SOLUCIÓN
De las condiciones del ejercicio, se tiene:
mientras que Entonces:
Aplicando la fórmula obtenemos la solución:
Demuestre que para cualquier número se cumple la siguiente 7.2
ecuación:
SOLUCIÓN
De las condiciones El lado izquierdo de esta ecuación es
la suma de una sucesión geométrica infinita con el primer término
Entonces:
la ecuación ¿Para cuáles valores del parámetro 7.3
tiene solución?
316 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
SOLUCIÓN
Con las restricciones
de los cosenos, obtenemos
Entonces se deben cumplir las siguientes condiciones para (*):
De las soluciones de la ecuación escoger aquellas 7.4
para que se cumpla la condición
SOLUCIÓN
Aplicando
podemos presentar nuestra ecuación en la siguiente forma:
Si suponemos que Pero debemos
verificar para cuáles elementos de conjunto se cumple que
Tenemos Es decir, sólo para x = 0 se cumple la con-
dición de este ejercicio.
Encuentre las soluciones de la ecuación eos2x + sen x = 1, que pertenecen
al conjunto de las soluciones de la siguiente desigualdad: log x (x + 2) < 2
7.5
SOLUCIÓN
Denotando el
conjunto de las soluciones de la desigualdad como
como al conjunto de las soluciones de ecuación trigonométrica, tenemos:
De las condiciones del ejercicio obtenemos que esto es:
Calcule la raíz negativa más grande de la ecuación 3 + 2 sen x + cos 7.6
SOLUCIÓN
Aplicando las siguientes identidades cos
Problemas resueltos 317
es posible reemplazar nuestra ecuación con la siguiente:
Entonces, es la raíz negativa más grande.
Resuelva la siguiente ecuación: 7.7
SOLUCIÓN
la ecuación la podemos presentar Aplicando
en la siguiente forma:
Esto es:
Resuelva la ecuación 7.8
SOLUCIÓN
Tenemos que:
Entonces nuestra ecuación equivale a:
donde
Resuelva la ecuación 7.9
SOLUCIÓN
tenemos: Si suponemos que
Ahora obtenemos que:
318 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
Se puede ver la solución en la siguiente gráfica:
Resuelva la siguiente desigualdad: 7.10
SOLUCIÓN
Si suponemos que nos da:
Entonces la desigualdad equivale al siguiente sistema:
7.11 Dada la función demuestre que si
entonces
SOLUCIÓN
7.12 Resuelva la ecuación donde
Problemas resueltos 319
SOLUCIÓN
Tenemos que entonces la ecuación es
de la siguiente forma:
7.13 ¿Para cuáles valores del parámetro a la ecuación
tiene soluciones?
SOLUCIÓN
Al suponer obtenemos que
Podemos observar que si:
la ecuación (*) no tiene solución
lo cual equivale a que:
7.14 Simplifique:
SOLUCIÓN
entonces Tenemos que tan
Sabemos que
entonces:
320 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
calcule 7.15 Si se sabe que sen x + cos x
SOLUCIÓN
a) De la condición sen x + cos x tenemos que
b) Se sabe que al restar ambos lados; obte-
nemos:
Aplicando los incisos a y b, tenemos
Sin usar tablas, determine: 7.16
SOLUCIÓN
Problemas resueltos 321
y al sustituir
tenemos que sen
d) Vamos a resolver este ejercicio en dos maneras:
I. De cos x cos y tenemos que:
resulta que:
entonces:
Al multiplicar y dividir la expresión por y entre 8 · sen 20°, obtenemos: II.
entonces:
7.17 Calcule sen x si se sabe que tan
SOLUCIÓN
entonces:
Calcule si se sabe que sen 7.18
SOLUCIÓN
De esto, obtenemos:
entonces,
En forma parecida, obtendremos:
322 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
7.19 Demuestre que cos x + cos
SOLUCIÓN
Entonces,
7.20 calcule cos Si se sabe que sen x + sen y = a y cos x + cos y
SOLUCIÓN
para cos (x + y), obtenemos Al aplicar la fórmula
Dividiendo el nume-
rador y denominador entre De la
suposición;
7.21 Si se sabe que tan calcule tan x
SOLUCIÓN
7.22 Verifique que las siguientes expresiones son identidades:
Problemas resueltos 323
SOLUCIÓN
7.23 Demuestre que si entonces:
SOLUCIÓN
entonces Si Tenemos:
De esto:
Simplifique la expresión 7.24
SOLUCIÓN
tiene 7.25 ¿Para cuáles valores del parámetro k la ecuación cos
solución?
SOLUCIÓN
324 CAPITULO 7 ■ Funciones trigonométricas
¿Para cuáles valores del parámetro k la ecuación 7.26
tiene solución?
SOLUCIÓN
La ecuación dada equivale a la siguiente:
el lado izquierdo es igual a cero, mientras el lado derecho es igual
luego
entonces Si
7.27 Encuentre la solución de la ecuación si se sabe que k es la raíz
de la ecuación
SOLUCIÓN
La solución de la ecuación entonces
son los números entonces
Resolviendo la ecuación tenemos que:
donde finalmente donde
7.28 ¿Para cuáles valores de se cumple la ecuación
SOLUCIÓN
La solución de la ecuación es el conjunto de números de x, tales que
el resultado es:
7.29 Resuelva la ecuación
SOLUCIÓN
donde Tenemos que nos que-
donde
Problemas resueltos 325
7.30 Resuelva la ecuación
SOLUCIÓN
Al sustituir nos queda
La ecuación no tiene raíces, entonces sólo
donde
7.31 Resuelva la ecuación sen x + cos x = 1
SOLUCIÓN
entonces donde finalmente:
donde
7.32 Resuelva la ecuación
SOLUCIÓN
Al dividir ambos lados entre y cambiando obtenemos
Entonces, donde Nos queda:
donde
Resuelva la ecuación sen x + cos x + tan x + cot x = 7.33
SOLUCIÓN
Debemos suponer que cos
Al sustituir tenemos
lo cual implica que
Pero
entonces sólo sen x + cos x
7.34 Resuelva la ecuación
SOLUCIÓN
entonces el dominio de la ecuación es Sabemos que
En el conjunto D tenemos las siguientes equivalencias:
326 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
Regresan- Al sustituir obtenemos
do con la variable x nos da:
luego: Pero siempre se cumple que
7.35 Demuestre quepara cualquier se cumple la siguiente desigualdad:
SOLUCIÓN
donde p es tal, que
Ahora: tan
porque los valores de la función seno pertenecen al intervalo [-1; 1]
Resuelva la desigualdad 7.36
SOLUCIÓN
Veamos dos casos:
la desigualdad es verdadera para todos a) Si cos
b) Si cos x>0 elevamos ambos lados de la desigualdad al cuadrado para ob-
tener Al sustituir nos queda la siguien-
te desigualdad: la cual es verdadera para esto
es, sen pero tales desigualdades no hallan soluciones en el
intervalo
7.37 Resuelva la desigualdad 2 cos 2x +1 < 0 para
SOLUCIÓN
7.38 Resuelva la desigualdad para
SOLUCIÓN
Podemos transformar la desigualdad de la siguiente forma:
Problemas resueltos 327
Para tenemos que entonces es suficiente resolver la des-
igualdad 1-tan x > 0. En el intervalo dado la desigualdad se cumple para
que observamos en la gráfica:
7.39 Resuelva la desigualdad
SOLUCIÓN
Tenemos que:
7.40 Resuelva la desigualdad
SOLUCIÓN
La desigualdad dada equivale a:
Esto lo vemos en la siguiente gráfica:
328 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
Resuelva la siguiente desigualdad: 7.41
SOLUCIÓN
7.42 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
SOLUCIÓN
Observamos que:
Entonces nos queda el siguiente sistema:
¿Para cuáles valores de a el siguiente sistema de ecuaciones 7.43
tiene solución?
SOLUCIÓN
Al sumar las ecuaciones obtenemos y al restar:
Para que haya solución se debe cumplir que:
Problemas resueltos 329
7.44 Resuelva la siguiente ecuación:
SOLUCIÓN
encontra- Aplicando las fórmulas
mos la ecuación Para todos dividiremos am-
bos lados entre sen 2x, con lo que obtenemos:
7.45 Resuelva la ecuación sen 3x - senx = sen2x
SOLUCIÓN
7.46 Resuelva la ecuación
SOLUCIÓN
Es posible reescribir la ecuación dada de la siguiente forma:
Ahora observemos que
Finalmente:
7.47 Resuelva la desigualdad
SOLUCIÓN
obtenemos Al sustituir (porque
que vemos en la siguiente gráfica:
330 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
para Resuelva la ecuación 7.48
SOLUCIÓN
Al sustituir donde a > 0, tenemos que:
esto es, que
entonces la solución es Pero
7.49 Demuestre que la función es positiva en su dominio.
SOLUCIÓN
Esto es, El dominio de la función es
entonces:
luego:
El dominio de la función
Resuelva la siguiente ecuación: 7.50
SOLUCIÓN
Problemas resueltos 331
Al resolver la segunda ecuación podemos
observar que
entonces obtenemos:
tenemos: y para
7.51 Encuentre el conjunto de x, tales que:
SOLUCIÓN
esto es: Se debe cumplir que
332 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
halla valor mínimo? la expresión 7.52 ¿Para cuáles valores de
SOLUCIÓN
la expresión al-
canza su valor mínimo si
7.53 ¿Para cuáles valores de alas raíces de la ecuación
cumplen la condición
SOLUCIÓN
Debe ser que
Esto es:
7.54 ¿Para cuáles valores de x la expresión
tiene sentido? donde
SOLUCIÓN
La expresión tiene sentido si se cumplen las siguientes condiciones:
y finalmente
7.55 Sin usar calculadora demuestre que:
Problemas resueltos 333
SOLUCIÓN
Usando inducción matemática demuestre que: 7.56
SOLUCIÓN
Debemos demostrar que para todos se cumple
entonces la fórmula es ver- Para k = 1 tenemos que
dadera.
334 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
Supongamos que si k = m entonces, la fórmula es verdadera; esto es,
Debemos demostrar
esto es: que es verdadera para
De nuestra suposición:
entonces:
Se ha demostrado la validez de esta fórmula para todo
Problemas resueltos 335
7.57 Sean los ángulos de un triángulo que cumplen la siguiente condi-
ción:
Calcule el ángulo
SOLUCIÓN
Entonces pero
del sistema 7.58 Elimine
SOLUCIÓN
1. Implique la igualdad
2. Implique la igualdad
Finalmente tenemos:
para
336 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
7.60 Calcule el tamaño de las diagonales de un rombo con área S y con ángulo
agudo x. Vea la figura:
Un triángulo equilátero se corta con una recta, y se forma un triángulo y un
trapezoide cuya área es 15 veces la del triángulo. Determine la tangente del
ángulo a. Véase la figura:
7.59
SOLUCIÓN
Sean ABC un triángulo equilátero y x el segmento de recta determinado por A'C.
Utilizando la ley de senos para el triángulo Se concluye que
A'B'C, tenemos:
Como sen (x + y) = sen x cos y - cos x sen y, entonces:
Por tanto,
De esto se obtiene que:
D
Problemas resueltos 337
SOLUCIÓN
Sean AC = Como el triángulo AOB es rectángulo, se sabe que:
El área de un rombo se calcula de la siguiente forma:
Sustituyendo el resultado obtenido en la primera ecuación, nos queda:
7.61 Se tiene un triángulo isósceles con un ángulo recto y uno de los catetos de
longitud a. Calcule la medida de los segmentos que bisectan al ángulo opues-
to. Vea la figura:
SOLUCIÓN 1
Sea el triángulo ABC, cuyos ángulos de los vértices A o B miden 45°.
El triángulo ACD es un triángulo rectángulo; por ende,
Utilizamos la identidad trigonométrica para obtener:
Por tanto,
SOLUCIÓN 2
Del punto D se traza una recta perpendicular al segmento AB, con lo que se forma
los triángulos rectángulos ACD y AED. Sea DE = x. Utilizando el triángulo BED
tenemos:
Finalmente se llega a que
338 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
La distancia de A a cada uno de Un punto A está dentro de un ángulo de 7.62
Encuentre la distancia los lados que determinan al ángulo son 2 y
de A al vértice del ángulo. Vea la figura:
SOLUCIÓN
Sea x la distancia entre el punto A y el vértice O del ángulo. Sea AC = 2 y AB =
Del triángulo OBA tenemos:
y del triángulo OCA:
Igualando estos resultados, nos queda:
Utilizando la identidad trigonométrica de diferencia de ángulos, se llega a
entonces Como
Sustituyendo en la primera ecuación, el resultado es:
7.63 Se tiene una circunferencia cualquiera. La cuerda divide la circunferencia
en razón de 1:2. ¿En qué razón divide al área de dicha circunferencia? Vea
la figura:
Problemas resueltos 339
SOLUCIÓN
Sabemos que El ángulo central a formado por AOB determina un arco de
1/3 de la circunferencia; por tanto, Para hallar el área S1 calculamos el
área del sector circular menos el área del triángulo AOB, es decir,
La superficie S2 la tomamos como
7.64 En un triángulo oblicuo la razón de la longitud de dos lados es A: y el ángulo
que forman es de 60°. Encuentre los valores de la tangente de los ángulos
restantes. Vea la figura:
SOLUCIÓN
Sabemos que a = kb. Utilizando la ley de senos, se tiene que:
Se conoce que entonces sen
Igualando estos dos resultados, nos queda: Por otro lado,
340 CAPITULO 7 ■ Funciones trigonométricas
Análogamente, obtenemos que tan
por ende. entonces De la misma manera, si Si
luego con lo que se llega a que
En conclusión. El resul-
tado es un triángulo rectángulo con ángulos agudos de 30° y 60°.
7.65 Una circunferencia está inscrita en un trapecio, uno de cuyos lados mide 10,
con ángulos de 30° y 60°, con respecto a la base. Calcule la longitud de la
base menor. Vea las figuras:
SOLUCIÓN
Hay dos casos:
Caso 1. Analizando la figura de la izquierda vemos que: H = 10 sen 60°
Para inscribir una circun-
ferencia en un trapecio es necesario y suficiente saber si las sumas de los lados
opuestos son iguales. Entonces:
Caso 2. Análogamente, se analiza la figura de la derecha de ella se obtiene:
En este caso, la base del trapecio se
calcula así:
Por tanto, la medida de la base del trapecio es:
7.66 Demuestre que si son ángulos de un triángulo que cumplen con
entonces éste es un triángulo rectángulo.
SOLUCIÓN
Utilizando la ley de senos tenemos que:
De allí, se deduce que:
Por tanto,
que es la relación de los catetos en un triángulo rectángulo.
Problemas resueltos 341
7.67 Compruebe que si los lados a, b, c de un triángulo cumplen conentonces el ángulo a es dos veces más grande que el ángulo
Dado entonces pues se sabe que Hay
que demostrar que Para ello, utilizamos la ley de los senos:
de donde establecemos que:
Con los resultados anteriores sustituimos:
Además,
Utilizando identidades trigonométricas, nos queda:
Igualando este resultado con (*), se llega a que:
Tomando en cuenta que luego:
7.68 En un triángulo isósceles ABC se trazan las mediatrices de los vértices A, B,
C, de tal manera que sean perpendiculares. Encuentre la tangente del ángulo
ACB. Vea la figura:
SOLUCIÓN
Como el triángulo ABC es isósceles, entonces la mediatriz CCX es perpendicular
a AB. Los triángulos CBiB y CAXA son congruentes, luego AA¡ = BB¡. El punto O
342 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
es el centro de gravedad del triángulo ABC; por el teorema de las mediatrices en
El triángulo AOB es rectángulo, un triángulo isósceles:
bisecta al ángulo AOB. en tanto que el segmento
Entonces, por ende,
son: Se deduce que los ángulos del triángulo
Utilizando la ley de senos:
Con la identidad trigonométrica para diferencia de ángulos, obtenemos que:
Igualar estos resultados nos lleva a que:
Por último, si aplicamos identidades trigonométricas de ángulos dobles:
7.69 La temperatura mínima T (en °C) esperada en Bremen, Alemania, se pue-
de calcular mediante en donde / está en días, con
t = 0, correspondiente al 1 de enero. ¿Durante cuántos días del ano la tem-
peratura mínima esperada será de 4°C?
SOLUCIÓN
Para resolver este problema hay que establecer la siguiente ecuación trigonométrica:
Ésta nos ayudará a determinar que los ángulos que cumplen con sen son
Además, en ella se establecen dos ecuaciones:
Por tanto, los días que se espera con una temperatura mínima de 4°C son el 30 (30
enero) y el 152 (1 junio) del calendario.
7.70 Una embarcación pesquera emplea un equipo de radar para detectar un
banco (cardumen) de peces que está a 2 km al este de la embarcación, el
cual se mueve en dirección N51° a razón de 8 km por hora. Vea la figura:
Problemas resueltos 343
a) Si el barco navega a 20 km/h, ¿en qué dirección debe moverse para
interceptar el cardumen?
b) ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a donde está el banco?
SOLUCIÓN
La figura anterior debe representarse como un triángulo oblicuo, es decir:
a) La distancia es igual a velocidad por tiempo; por ende, a = 20t y b = 8t
Entonces
Aplicando la ley de senos, nos queda:
Por tanto, la dirección hacia la que debe navegar la embarcación es 90° -
14°58' = 75°42' norte.
b) Lo que debe determinarse para conocer la respuesta es la distancia entre los
puntos B y C. Para ello se calcula el ángulo = 180° - (39° +14°58') = 126°42'
Por la ley de senos, concluimos que:
7.71 La portezuela trasera de un auto mide 42 pulgadas de largo. Hay que fijar
un soporte, que mide 24 pulgadas cuando está extendido por completo, tan-
to a la portezuela como a la carrocería, de modo que cuando la portezuela
se abra del todo el soporte quedará en posición vertical y dejará un espacio
libre de 32 pulgadas, como se ilustra en la figura. Calcule las longitudes de
los segmentos TQ y TP.
344 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
SOLUCIÓN
La figura anterior puede ser representada de la siguiente forma:
Lo primero que se determina es la distancia entre los puntos T y H, para lo cual
hay que aplicar la ley de cosenos, que es:
Lo anterior nos lleva a que por semejanza de triángulos, se establezcan las propor-
ciones siguientes:
7.72 Desde la Tierra, el ángulo determinado por la Luna llena es de 0.518°. Si se
sabe que la distancia de la superficie terrestre a la superficie lunar (AC) es
de 236 900 millas, ¿cuál será el radio de la Luna? Vea la figura:
Problemas propuestos 345
SOLUCIÓN
De entrada, hay que establecer el diagrama correspondiente:
Posteriormente, para encontrar la respuesta, hay que considerar el triángulo supe-
rior, para lo cual se utiliza la ley de senos:
Problemas propuestos
calcule cos 2x. 7.73 Si se sabe que
7.74 Calcule si se sabe que
Calcule si se sabe que 7.75
Demuestre que si tan entonces 7.76
entonces 7.77 Demuestre que si
entonces 7.78 Demuestre que si
Trace la gráfica de las siguientes funciones: 7.79
346 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
7.80 Demuestre que si entonces:
7.81 Demuestre que si x + y + z = 0, entonces tan x + tan y + tan z = tan x tan y tan z.
entonces 7.82 Demuestre que si
7.83 Demuestre que
7.84 Si se sabe que sen x + sen y = a y cos x + cos y = b, calcule sen (x + y).
Demuestre que para cualquier es verdadera la ecuación 7.85
7.86 Verifique que las siguientes expresiones son identidades:
7.87 Represente en forma de producto las siguientes expresiones:
Problemas propuestos 347
Simplifique las siguientes expresiones 7.88
348 CAPÍTULO 7 ■ Fundones trigonométricas
7.89 Si se sabe que tan x + cot x = 2, calcule:
Verifique si existe una tal que: 7.90
Problemas propuestos 349
7.91 Calcule las siguientes cantidades mostrando el procedimiento:
7.92 Resuelva las siguientes ecuaciones:
7.93 Resuelva estas ecuaciones:
350 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
7.94 Resuelva las siguientes ecuaciones:
7.95 Resuelva las ecuaciones:
Problemas propuestos 351
7.96 Resuelva las desigualdades:
352 CAPÍTULO 7 ■ Fundones trigonométricas
7.97 Resuelva el sistema de ecuaciones:
7.98 Resuelva la ecuación
7.99 Resuelva la ecuación
7.100 Resuelva la ecuación
7.101 Resuelva la ecuación
7.102 Resuelva la desigualdad:
7.103 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
Problemas propuestos 353
7.104 Resuelva el siguiente sistema de desigualdades:
Resuelva las siguientes desigualdades: 7.105
¿Para cuáles valores de en la ecuación 7.106
hay dos raíces diferentes?
7.107 Resuelva las siguientes ecuaciones:
¿Para cuáles valores de la ecuación tiene dos raí- 7.108
ces diferentes?
7.109 ¿Para cuáles valores de se cumple la desigualdad
7.110 ¿Para cuáles valores de se cumple la desigualdad
se cumple la siguiente desigualdad doble: Demuestre, que para toda 7.111
354 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
Encuentre el valor mínimo de x que cumple las siguientes condiciones: 7.112
tiene la ecuación 7.113 ¿Para cuáles valores de
dos raíces diferentes?
7.114 Resuelva la siguiente desigualdad:
7.115 Resuelva la ecuación
donde q es la raíz de la ecuación: 7.116 Resuelva la desigualdad
7.117 Resuelva la desigualdad:
donde p es la raíz mayor de la 7.118 Resuelva la ecuación
mientras q ecuación
7.119 Resuelva la ecuación
7.120 Resuelva la desigualdad
7.121 ¿Para cuáles valores de se cumple la igualdad
7.122 ¿Cuál es la relación entre m y n si se sabe que
7.123 Encuentre el dominio de las siguientes funciones:
Problemas propuestos 355
7.124 Determine cuáles de las siguientes son funciones impares, pares o ninguna de
las dos:
7.125 Determine para cuáles valores de a y b la función
7.126 Encuentre el periodo básico de las siguientes funciones:
356 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
¿Para cuáles valores del parámetro a de las siguientes ecuaciones existe solución? 7.127
Verifique si las siguientes funciones son iguales: 7.128
Problemas propuestos 357
7.129 Encuentre el dominio de las siguientes funciones:
7.130 Dados calcule:
7.131 Calcule:
358 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
si se sabe que
si se sabe que sen
si se sabe que
si se sabe que
si se sabe que
si se sabe que
si se sabe que
si se sabe que
7.132 Si se sabe que calcule
Demuestre que sen si se sabe que 7.133
7.134 Sean los ángulos de un triángulo y a, b, c las longitudes de los lados opuestos.
Llene la siguiente tabla:
7.135 Trace la gráfica de las siguientesfunciones, para
Problemas propuestos 359
7.136 Encuentre los valores de las tres funciones trigonométricas faltantes, si se sabe que:
7.137 Calcule:
7.138 La población de conejos fluctúa en periodos cíclicos de 10 años. Suponga que el
número de conejos en el instante t (en años) está dado por
¿Para qué valores de t la población de conejos será de 4 500?
360 CAPITULO 7 Funciones trigonométricas
7.139 Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 64°, un poste de luz inclinado a un
ángulo de 9o en dirección opuesta arroja una sombra de 21 pies de largo a nivel del
suelo. Calcule la longitud del poste. (Vea la figura.)
7.140 Dos automóviles salen de una ciudad al mismo tiempo, circulando en carreteras
rectas que difieren 84° en dirección. Si viajan a 60 y 45 km/h, respectivamente, ¿a
qué distancia aproximada estarán al cabo de 20 minutos?
7.141 Un diamante de béisbol tiene cuatro bases que forman un cuadrado y están a 90
pies una de otra; el montículo del lanzador está a 60.5 pies del plato. Calcule la
distancia del montículo a cada una de las otras tres bases.
7.142 Un barco navega en el océano y recorre una costa recta. En la costa hay dos faros
que están separados 120 km. Se determina que el ángulo A es de 42°3' y el ángulo B
de 68°9'. Calcule cuál es la distancia más corta del barco a cada uno de los faros. Vea
la figura.
7.143 Una antena de 125 m está instalada en la ladera de una montaña con una inclina-
ción de 32° con la horizontal. Debe colocarse un cable guía desde la parte superior
de la antena y anclarse en un punto 55 m ladera abajo de la base de la antena.
Determine la longitud del cable. (Vea la figura.)
Soluciones 361
Soluciones
7.73
7.74
entonces 7.75
7.76
7.77
y finalmente De la misma manera
7.78
7.79
362 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
Soluciones 363
364 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
Soluciones 365
366 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
7.80
El denominador según el inciso a) es igual a
Finalmente, tenemos
7.81 Tenemos que entonces
7.82
7.83
7.84
Soluciones 367
7.85
7.86
7.87
368 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
Soluciones 369
7.88
7.89
7.90
7.91 y así su-
cesivamente
y así suce-
sivamente
Indicación: 7.92
370 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
7.93
Soluciones 371
Indicación: 7.94
Indicación:
Indicación:
372 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
7.95
No hay soluciones
No hay soluciones
7.96
Soluciones 373
7.97
7.98
7.99
7.100
7.101
374 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
7.102
7.103
obte- Al dividir ambos lados de la primera ecuación entre
nemos que
en la segunda ecuación obtenemos que eos Al sustituir
La segunda ecuación la podemos presentar en la siguiente forma:
y sustituimos este resultado
en la primera ecuación para obtener:
7.104
7.105
7.106
7.107
7.108
7.109
Soluciones 375
7.110 pero para
entonces, y para
7.111 pero
entonces
A pesar de que nuestra desigualdad doble es verdadera.
7.112 pero como ,entonces Sustituyen-
obtenemos do los valores y verificando última condición
7.113
7.114
7.115
7.116
7.117
7.118
7.119
7.120
7.121
7.122
7.123
376 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
7.124 a) Impar
b) Impar
c) Impar
d) Ninguna
e) Par
f) Impar
g) Impar
h) Par
i) Impar
j) Par
k) Par
l) Impar
m) Ninguna
n) Par
o) Impar
7.125
Soluciones 377
7.127
Indicación: la ecuación tiene raíces si se cumple lo siguiente:
Indicación: use las formulas
Tiene solución para cualquier valor
Indicación: 7.128
donde 7.129
, donde
donde
378 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
donde
donde
donde
donde
donde
donde
donde
7.130
7.131
Soluciones 379
7.132
7.133 Indicación: debemos observar que
También se cumple que:
7.134
7.135
380 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
Soluciones 381
382 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
Soluciones 383
7.136
384 CAPÍTULO 7 ■ Funciones trigonométricas
7.137
7.138
7.139 32.9 pies
7.140 a = 23.71 km
7.141 La distancia del montículo a la primera y tercera bases es de 63.71 pies, mientras
que la distancia a la segunda base es de 66.77 pies.
7.142 La distancia menor es 86.62 km al faro B
7.143 161.047 m de cable
Geometría analítica
En geometría analítica, las figuras geométricas se analizan mediante la introducción
de sistemas de coordenadas, utilizando ecuaciones y fórmulas. Es decir, dada una ecua-
ción, se traza la gráfica de la curva que la representa y viceversa: dada una curva se
determina la ecuación correspondiente.
En este capítulo se aplicarán métodos con sistemas coordenados para diversos
lugares geométricos en el plano.
DEFINICIÓN 8.1
8.1 INTRODUCCIÓN
8.2 RECTA
La distancia entre cualesquiera dos puntos en un pla-
no coordenado es:
DEFINICIÓN 8.2
El punto medio de un segmento determinado por los puntos
DEFINICIÓN 8.3
La recta se define como el lugar geométrico (gráfica) de los puntos tales que si se
toman dos, cualesquiera de ellos, la razón entre la diferencia de las ordenadas y la
constante. Analíticamente, diferencia de las abcisas es constante; esto es:
una recta es una ecuación lineal o de primer grado con dos variables.
DEFINICIÓN 8.4
La pendiente m de una recta es la tangente del ángulo de inclinación, es decir,
385
386 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
TEOREMA 8.1
Una recta que pasa por los puntos donde tiene pen-
diente:
Observación
1. Si las ordenadas de los puntos son iguales, la recta es paralela al eje x y su pen-
diente es cero.
2. Si las abscisas de los puntos son iguales, la recta es paralela al eje y y su pendien-
te es infinita.
EJEMPLO 8.1 Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
TEOREMA 8.2
Formas de la ecuación de la recta:
a) Punto-pendiente. La ecuación de la recta que pasa por el punto P(x1,y1), cuya
pendiente sea raes: y – y1 = m(x – x1).
b) Pendiente-ordenada al origen. La ecuación de la recta con pendiente m que
intersecta al eje y en el punto (0, b) es: y = mx + b.
c) General. Una ecuación lineal o de primer grado, con variables x y y, es de la
forma Ax + By + C = 0, donde A,B, C son constantes arbitrarias. De esta mane-
ra,se determina la pendiente como m= y la ordenada al origen, como
Al sustituir en la fórmula:
Al sustituir en la fórmula:
Al sustituir en la fórmula:
Recta 387
EJEMPLO 8.2 Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos K(2,3) y L(3,-2).
SOLUCIÓN
Se calcula la pendiente:
Se sustituye en la ecuación de la recta (punto-pendiente) utilizando el punto K o el punto
L y la pendiente m obtenida:
EJEMPLO 8.3
EJEMPLO 8.4
EJEMPLO 8.5
Determine la pendiente m y la ordenada al origen si la ecuación de la recta es 3x + 2y = 7.
SOLUCIÓN
Se tiene la ecuación en su forma general; por tanto, esta ecuación se escribe en su forma
pendiente-ordenada al origen:
Así, se llega a que m =
TEOREMA 8.3
Dos rectas no verticales distintas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales,
es decir, ml = m2 .
TEOREMA 8.4
Dos rectas no verticales distintas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus
pendientes es -1. Es decir,
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (2, -3) y es paralela a la recta que une los
puntos (4, 1) y (-2, 2).
SOLUCIÓN
Se determina primero la pendiente con las coordenadas de los puntos dados:
Como se requiere una recta paralela, la pendiente es la misma. Se sustituye en la ecuación
punto-pendiente cony el punto (2,-3):
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (-2, 3), que es perpendicular a la recta
2x – 3y + 6 = 0.
SOLUCIÓN
Se sabe que de lo que se deduce que
Como se pide la ecuación de una recta perpendicular, entonces
388 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
Sustituyendo en la ecuación de la recta punto-pendiente, con el punto dado y con la pen-
diente determinada, se tiene:
TEOREMA 8.5
a la recta La distancia del punto es:
Distancia
La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular
trazado del punto a la recta; ésta es la distancia más corta entre ellos.
EJEMPLO 8.6 Calcule la distancia del punto a la recta
SOLUCIÓN
Sustituyendo en la fórmula del teorema 8.4:
Distancia
8.3 CIRCUNFERENCIA
DEFINICIÓN 8.5
La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan
de un punto fijo llamado centro.
Circunferencia 389
TEOREMA 8.6
Formas de la ecuación de una circunferencia:
a) Forma ordinaria. Sea el centro C con coordenadas (h, k) y radio r, entonces la
ecuación de la circunferencia es:
b) Forma general. Toda circunferencia se puede expresar por medio de la ecuación
que completando a un trinomio cuadrado perfec-
to da:
así el centro es C y el radio
la circunferencia es real.
la circunferencia es imaginaria.
la ecuación representa al punto
EJEMPLO 8.7 Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el punto (2, 3) y cuyo radio es
igual a 4.
SOLUCIÓN
Se sustituye en la ecuación ordinaria de la circunferencia:
(Forma ordinaria)
Se desarrollan los binomios al cuadrado, para obtener la forma general de la circunferencia:
(Forma general)
EJEMPLO 8.8 Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen y que pasa por el
punto #(-3, -4).
SOLUCIÓN
Se debe determinar, primeramente, la medida del radio. El radio es la distancia entre el
centro y cualquier punto sobre la circunferencia; entonces:
Sustituyendo en la ecuación ordinaria de la circunferencia:
Forma general:
EJEMPLO 8.9 Determine qué representa la ecuación
390 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
SOLUCIÓN
Se identifican las incógnitas:
D = -2,E = -4, F = l
D2 + E2 - 4F = (-2)2 + (-4)2 - 4(1) = 16 > 0
Por tanto, la ecuación general representa una circunferencia con centro en (1,2) y r = 2.
DEFINICIÓN 8.6
El lugar geométrico de los puntos, cuya relación de distancias a un punto y una recta
fijos es constante, recibe el nombre de sección cónica o simplemente cónica.
El punto fijo es llamado foco de la cónica; la recta fija, directriz, y la relación
constante, excentricidad.
Las secciones cónicas se clasifican en tres categorías, según su forma y sus pro-
piedades:
1. Elipse.
2. Hipérbola.
3. Parábola.
DEFINICIÓN 8.7
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus
distancias a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se conocen como focos.
8.4 ELIPSE
Nomenclatura:
vértices del eje mayor
vértices del eje menor.
focos.
centro de la elipse.
lado recto.
Propiedades:
Por definición:
Eje mayor:
Eje menor:
Distancia focal:
Elipse 391
Excentricidad:
Lado recto:
TEOREMA 8.7
Formas de la ecuación de una elipse:
Forma ordinaria. Ecuación de la elipse con centro en C(h,k) y ejes paralelos a
los ejes coordenados:
Eje mayor paralelo al eje x:
Eje mayor paralelo al eje y:
Forma general. Toda elipse se puede expresar por medio de la ecuación
Ax + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, siempre y cuando A y C sean del mismo signo.
Completando trinomios cuadrados perfectos, el resultado es:
siendo el centro
la elipse es real.
la elipse es imaginaria.
la ecuación representa al punto
EJEMPLO 8.10 Determine la ecuación de la elipse si se sabe que LR = 3, b = 3, C(0, 0) y el eje mayor es
paralelo al eje y.
SOLUCIÓN
Para tener definida la ecuación de una elipse son necesarias las coordenadas del centro y los
valores de a y b. Del dato de lado recto se obtiene a:
Sustituyendo en la ecuación ordinaria de una elipse vertical:
(Forma ordinaria)
(Forma general)
EJEMPLO 8.11 el eje menor mide 6 y Encuentre la ecuación de una elipse horizontal con centro en
el lado recto,
392 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
SOLUCIÓN
Del dato del eje menor se establece que el eje menor
Del lado recto, se encuentra a:
Se sustituye en la ecuación ordinaria de una elipse horizontal:
EJEMPLO 8.12 Determine qué representa la ecuación
SOLUCIÓN
Identificando cada una de las constantes:
se concluye que la ecua- Sustituyendo estos datos en
representa al punto ción
8.5 HIPÉRBOLA
DEFINICIÓN 8.8
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia a dos
puntos fijos llamados focos es una cantidad constante.
Nomenclatura:
distancia focal
eje real
eje imaginario
lado recto
centro de la hipérbola
asíntotas
Hipérbola 393
Propiedades:
Por definición:
Eje real:
Eje imaginario:
Distancia focal:
Excentricidad:
Lado recto:
TEOREMA 8.8
Formas de la ecuación de una hipérbola:
Forma ordinaria. La ecuación de la hipérbola con centro en C(h,k) y sus ejes
paralelos a los ejes coordenados:
Eje real paralelo al eje x:
Ecuaciones de las asíntotas:
Eje real paralelo al eje y:
Ecuaciones de las asíntotas:
Forma general. Toda hipérbola se puede expresar por medio de la ecuación
siempre y cuando A y C sean de distinto signo.
Completando trinomios cuadrados perfectos, se tiene:
representa una hipérbola.
la ecuación representa dos rectas que se intersectan.
EJEMPLO 8.13 Determine la ecuación de la hipérbola con centro C(3, 6), a = 6, c = 8 y eje focal paralelo
al eje y.
SOLUCIÓN
Para definir la ecuación ordinaria de la hipérbola es necesario tener las coordenadas del
centro y los valores de a y b.
Se utiliza la propiedad (e):
394 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
Se sustituyen estos valores en la ecuación ordinaria de una hipérbola vertical:
(Forma ordinaria)
(Forma general)
EJEMPLO 8.14 Encuentre la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en F(7, 1), F'(-5, 1) y el eje real
mide 6.
SOLUCIÓN
El centro de la hipérbola es el punto medio de los focos; entonces:
La distancia del centro a uno de los focos es c; por ende, c = 6.
Del dato del eje real, se obtiene a:
Se utiliza la propiedad
Como los focos están alineados horizontalmente, se sustituyen estos valores en la ecuación
ordinaria de una hipérbola horizontal:
(Forma ordinaria)
(Forma general)
EJEMPLO 8.15 Determine qué representa la ecuación
Se identifican las constantes:
Sustituyendo
representa dos rectas que se intersectan. Para Por tanto, la ecuación
determinar las ecuaciones de las rectas es necesario completar trinomios cuadrados perfec-
tos y factorizar:
8.6 PARÁBOLA
DEFINICIÓN 8.9
La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Parábola 395
Nomenclatura:
a) F: foco
b) d: directriz
c) V: vértice de la parábola
d) LR: lado recto
e) DF: parámetro (distancia de la directriz al foco)
Propiedades:
a) Por definición:
b)
c) Parámetro
d) Lado recto:
e) Excentricidad:
TEOREMA 8.9
Forma ordinaria de la ecuación de la parábola con vértice en V(h, k) y eje de sime-
tría paralelo a alguno de los ejes coordenados:
a) Eje de simetría paralelo al eje x y concavidad hacia la derecha:
( y – k )2=4p (x - h)
b) Eje de simetría paralelo al eje x y concavidad hacia la izquierda:
(y - k)2 =-4p (x-h)
c) Eje de simetría paralelo al eje y y concavidad hacia arriba:
(x-h)2 =4p(y-k)
d) Eje de simetría paralelo al eje y y concavidad hacia abajo:
(x - h)2=-4p (y - k)
396 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
EJEMPLO 8.16
EJEMPLO 8.17
EJEMPLO 8.18
DEFINICIÓN 8.10
Forma general de una parábola:
a) Parábolacon eje de simetría horizontal:
Cy2 + Dx + Ey + F = 0
b) Parábola con eje de simetría vertical:
Ax2 +Dx + Ey + F = 0
Determine la ecuación de la parábola si el vértice se localiza en V(-2, 4) y el foco en
F(-2, 6).
SOLUCIÓN
Se calcula la distancia del vértice al foco: ρ = 2.
Tanto el vértice como el foco están alineados verticalmente, pero el foco está por arriba del
vértice; por tanto, la parábola tiene su eje de simetría horizontal y su concavidad hacia
arriba:
(Forma ordinaria)
(Forma general)
Encuentre la ecuación de la parábola, cuyo foco está en (6, 2) y la directriz es y = 8.
SOLUCIÓN
Como la directriz es horizontal, entonces el eje de simetría es vertical. El foco está por
debajo de la directriz y la concavidad es hacia abajo.
El vértice es el punto medio entre la directriz y el foco: V(6, 5) y p = 3. Por tanto:
(Forma ordinaria)
(Forma general)
Indique qué representa la ecuación x2 +4x-8y + 36 = 0.
SOLUCIÓN
Se completa el trinomio cuadrado perfecto:
Se tiene la ecuación de una parábola vertical con la concavidad hacia arriba y el vértice en
(-2, 4).
TEOREMA 8.10
La ecuación general de segundo grado con dos variables es de la forma
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx + Ey + F = 0
cuyos términos de segundo grado son: Ax2 + Bxy + Cy2.
En este trinomio se le llama discriminante a la expresión Δ = Β2- 4AC y sirve para
identificar la clase de cónica a la que corresponde dicha ecuación de acuerdo con las
siguientes reglas:
i) Si Δ < 0, puede ser una elipse.
ii) Si Δ < 0, A = C, Β - 0, puede ser una circunferencia.
iii) Si Δ = 0, puede ser una parábola.
iv) Si Δ > 0, puede ser una hipérbola.
Problemas resueltos 397
EJEMPLO 8.19 Determine qué representan las siguientes ecuaciones:
por tanto, representaría una elipse.
por tanto, representaría una hipérbola.
por tanto, representaría una parábola.
Problemas resueltos
Calcule la distancia entre las rectas 8.1
SOLUCIÓN
Se busca un punto que pertenezca a una de las rectas.
un punto es (0, 2). entonces, Sea
Se calcula la distancia del punto (0, 2) a la recta, es decir:
Distancia =
Calcule el área del triángulo cuyos vértices son 8.2
398 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
SOLUCIÓN
El área de un triángulo se calcula como Método 1
Cálculo de la base: es la distancia entre dos puntos: en este caso, pueden
tomarse KL:
Cálculo de la altura: la altura es la distancia desde el punto J a la recta KL.
Se determina primeramente la recta que pasa por KL:
por tanto:
Utilizando la fórmula de la distancia de un punto a una recta, se tiene:
Distancia
Área del triángulo:
Método 2 Utilizando determinantes, el área de un triángulo, conociendo las co-
ordenadas de los vértices, se calcula como:
Por tanto:
Encuentre las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por: 8.3
Problemas resueltos 399
Nota: La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos
iguales y cualquier punto de la bisectriz está siempre a la misma distancia
de las dos rectas que forman el ángulo.
SOLUCIÓN
Se deben determinar dos bisectrices; por tanto:
i) Distancia de Ρ a la recta (1) = distancia de Ρ a la recta (2)
ii) Distancia de P' a la recta (1) = -distancia de P' a la recta (2)
8.4 Dado el triángulo J(-1, 4), K(1, 2) y L(3, -2), encuentre:
a) La ecuación de la mediana del lado JK.
b) La ecuación de la altura, considerando a JK como base.
c) La ecuación de la mediatriz del lado KL.
SOLUCIÓN
a) La mediana es la recta que une el punto medio de un lado con el vértice
opuesto, por lo que se calcula el punto medio de JK:
Se determina la pendiente de Pm y L:
Por tanto, la ecuación de la mediana es:
b) La altura es la perpendicular a la base que pasa por el vértice opuesto.
Como la base es JK, entonces se determina la pendiente:
Por tanto, la ecuación de la altura es:
c) La mediatriz es la recta perpendicular que pasa por el punto medio del seg-
mento KL, entonces se calcula el punto medio de KL:
Se determina la pendiente de KL:
400 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
Por tanto, la ecuación de la mediatriz es:
8.5
Determine la ecuación de la recta cuya pendiente es m = y que pasa
por el punto de intersección de las rectas 2x + 3y -7 = 0 y x - y - l = 0.
SOLUCIÓN
El punto de intersección se obtiene al resolver el sistema de ecuaciones formado
por las rectas dadas:
8.6
Sustituyendo este valor en cualquiera de las rectas, se obtiene que x = 2. Por ende,
el punto de intersección es P(2, 1).
Utilizando estas coordenadas y la pendiente se determina la ecuación de
la recta:
Determine la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que es
tangente a la recta 3x + 4y +15 = 0.
SOLUCIÓN
Se debe determinar el radio de esta circunferencia; para ello, se calcula la
distancia de un punto (centro) a una recta (la tangente a la circunferencia):
8.7 Encuentre la ecuación de la circunferencia con radio 2, que es tangente
a las rectas x = 2, y = -1, y que se localiza arriba y a la derecha de dichas
rectas.
Por tanto, la ecuación de la circunferencia con centro en (0,0) y r = 3, es:
Problemas resueltos 401
SOLUCIÓN
Primero se deben determinar las coordenadas (h, k) del centro. Los puntos
de tangencia de la circunferencia con las rectas son (h, -1) y (2, k). Como estos
puntos pertenecen a la circunferencia, entonces cumplen con la ecuación
(x-h)2 + (y-k)2 = 4. Sustituyendo las coordenadas en dicha ecuación, se tiene:
8.8
Como la circunferencia está por arriba de y = -1, entonces k = 1, y como está a la
derecha de x = 2, entonces h = 4. El centro está en C(4, 1). Por tanto, la ecuación
de la circunferencia es:
Encuentre la ecuación de las circunferencias de radio 4 con centro sobre la
recta 4x + 3y + 7 = 0 y que sean tangentes a 3x + 4y + 34 = 0.
SOLUCIÓN
De los datos que se dan se sabe que r = 4, C(h, k). Como el centro está sobre
4x + 3y + 7 = 0, entonces se sustituyen las coordenadas:
402 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
El radio es igual a la distancia del centro a la recta tangente
tanto:
por
Distancia
Sustituyendo (1) en (2):
Finalmente, se obtienen las ecuaciones de las circunferencias que se piden:
Determine la ecuación de la circunferencia que contiene al punto (-1, -8) y
que es tangente a 3x - 4y - 4 = 0 en el punto (0, -1).
8.9
SOLUCIÓN
La recta que es perpendicular a la tangente de la circunferencia pasa por el centro.
Así, se debe determinar la recta perpendicular:
La recta que pasa por (0, -1) y con
Como C(h, k) pertenece a esta recta, entonces
Se sabe que la mediatriz determinada por dos puntos de la circunferencia pasa
también por el centro, entonces: sean (0, -1) y (-1, -8) los puntos sobre la circun-
ferencia. Se determina la mediatriz:
Punto medio:
Pendiente de dichos puntos:
La ecuación de la mediatriz es:
Como C(h, k) pertenece a esta recta, entonces
Para encontrar las coordenadas del centro, se resuelve el sistema de ecuaciones
con (1) y (2):
Problemas resueltos 403
Radio: Se calcula la distancia entre el centro y cualquiera de los puntos sobre la
circunferencia:
Por último, se establece la ecuación de la circunferencia con C(3, -5) y r = 5
Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 2),
(5,4) y (3, 8).
8.10
SOLUCIÓN
Como estos puntos pertenecen a la circunferencia, entonces se afirma que cum-
plen la ecuación x2 + y2 + Dx + Ey + F= 0. Sustituyendo cada uno de los puntos en
la ecuación general de la circunferencia, se obtiene un sistema de 3 ecuaciones:
Por el método de eliminación:
Ecuaciones (1) y (2): Ecuaciones (1) y (3):
Ecuaciones (4) y (5): Sustituyendo Ε en
Sustituyendo E y F en
8.11 Encuentre la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos P(x, y),
tales que la suma de sus distancias a (5, 3) y a (4, -2) sea 6.
SOLUCIÓNSe calculan las distancias {x, y) de cada uno de los puntos:
404 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
Se resuelve la ecuación con radicales:
Aplicando el teorema 8.10, se tiene:
Por tanto, el lugar geométrico es una elipse.
8.12 Encuentre la ecuación de la elipse que pasa por los puntos (0,1), (1, -1),
(2,2) y (4,0), cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados.
SOLUCIÓN
Se establece un sistema de ecuaciones sustituyendo cada uno de los puntos en la
ecuación general de una elipse: x2 +Cy2 + Dx + Ey + F = 0.
Despejando F de (4): F = -16 - 4D y sustituyendo en las otras ecuaciones, se tiene:
Utilizando el método de eliminación:
Ecuaciones (5) y (6): Ecuaciones (6) y (7):
Ecuaciones (8) y (9):
Sustituyendo D en (4):
Problemas resueltos 405
Sustituyendo D en (8):
Sustituyendo en (5):
Por tanto, la ecuación de la elipse es:
8.13 Encuentre las ecuaciones de las rectas que pasan por (5,1) y son tangentes
SOLUCIÓN
Se buscan las rectas que cumplan con
Sustituyendo lo anterior en la ecuación de la elipse:
Como la elipse y la recta sólo deben tener un punto en común, entonces:
Por tanto, una de las rectas que es tangente a la elipse dada y pasa por el punto
(5, 1) es:
La otra recta que cumple con estas condiciones es la recta vertical χ = 5.
406 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
8.14 Determine el lugar geométrico de los puntos P(x, y), tales que el produc-
to de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos (-3, 1) y
(3, 5) es igual a 4.
SOLUCIÓN
Se determinan las pendientes del punto (x, y) a cada punto (-3, 1) y (3, 5) y se
multiplican:
Representa la ecuación de una hipérbola horizontal con C(0, 3):
8.15 Determine el lugar geométrico de los puntos P(x, y), tales que el producto
sea igual a de sus distancias a las rectas
SOLUCIÓN
Se determina el producto de las distancias de un punto a una recta:
Representa la ecuación de una hipérbola horizontal con
8.16 Encuentre el lugar geométrico de los puntos P(x, y), cuya distancia al punto
fijo (1, 4) sea igual a de la distancia a la recta 5x -1 = 0.
Problemas resueltos 407
SOLUCIÓN
Distancia entre dos puntos:
Distancia de un punto a una recta: Distancia
Se establece la relación entre la distancia de un punto a una recta y la distancia
entre dos puntos:
que es la ecuación general de una hipérbola.
8.17 Demuestre que la diferencia de las distancias del punto de la hi-
pérbola a los focos es igual a la longitud del eje real.
SOLUCIÓN
Primero se deben determinar las coordenadas de los focos:
es la ecuación ordinaria de una hipérbola hori-
zontal con C(0, 0).
Por tanto,
Entonces, las coordenadas de los focos son F(5, 0), F'(-5, 0)
Calculando la diferencia de las distancias del punto a los focos:
Se sabe que la longitud del eje real es:
8.18 Determine la ecuación de la recta tangente a la parábola x2 = -5 y en el
punto (5, -5).
SOLUCIÓN
Recta que pasa por (5, -5):
Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación de la parábola, se tiene que:
Para resolver esta ecuación de segundo grado habrá de tomarse en cuenta que
la recta y la parábola sólo deben tener un punto en común; por tanto:
408 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
Finalmente, la ecuación de la recta que pasa por el punto (5, -5) y es tangente
a la parábola x2 = -5y es:
8.19 Determine la ecuación de la parábola, con eje de simetría paralelo al eje y y
que pasa por los puntos (1,1), (2,2) y (-1,5).
SOLUCIÓN
Como se trata de una parábola vertical, entonces la ecuación general de la pará-
bola es x2 +Dx + Ey + F = 0. Sustituyendo cada uno de los puntos, se forma el
sistema de ecuaciones:
Utilizando el método de eliminación:
Ecuaciones (1) y (3): Ecuaciones (2) y (3):
Ecuaciones (4) y (5):
Sustituyendo en (4):
Sustituyendo en (1):
Finalmente, se tiene que la ecuación general de la parábola es:
Encuentre la(s) ecuación(es) de la parábola cuyo lado recto es el segmento
entre (2,-2) y (2,6).
8.20
SOLUCIÓN
Como el lado recto es vertical, entonces las parábolas son horizontales, es decir,
cumplen con la ecuación:
Problemas resueltos 409
Como el lado recto es la distancia entre dos puntos, entonces:
Por tanto:
Como (2, -2) y (2, 6) pertenecen a la parábola, entonces cumplen con la ecuación
ordinaria anterior y se establece un sistema de ecuaciones para determinar h y k.
Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones para hallar h:
8.21 Sea la ecuación de la parábola x2 = 4py. Encuentre las coordenadas de todos
los puntos P(x, y) que intersectan a la parábola con la recta que pasa por
(0,0) y tiene pendiente m 0.
SOLUCIÓN
Como la recta pasa por el punto (0, 0), entonces tiene como ecuación a
y = mx. Sustituyendo esto en la ecuación de la parábola:
Por tanto, los puntos donde la recta y = mx intersecta a la parábola x2 = 4py son
(0, 0) y (4pm, 4pm2).
410 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
8.22 Determine las coordenadas de todos los puntos de intersección de las pará-
bolas x2 = 4py, y2 = 4px.
SOLUCIÓN
De x2 = 4py se despeja
Se sustituye en la ecuación de la segunda parábola:
Por tanto, los puntos de intersección son (0, 0) y (4p, 4p).
8.23 El costo variable de fabricar una mesa es de $8 y los costos fijos son de $250
al día. Determine cuál será el costo total de fabricar x mesas al día y cuál el
de fabricar 100 mesas al día.
SOLUCIÓN
Sea x el número de mesas producidas al día y sea C el costo diario; entonces,
C = 8x + 250.
Si x = 100, entonces C = 8(100) + 250 = 1 050.
El costo por fabricar 100 mesas es de $1 050.
8.24 A una compañía le cuesta $95 producir 10 unidades de cierto artículo al día
y $180 producir 25:
a) Determine la ecuación de costos, suponiendo que es lineal. Indique cuá-
les son el costo variable y el costo fijo.
b) ¿Cuál es el costo de producir 20 unidades al día?
SOLUCIÓN
a) Sea x el número de unidades producidas al día y y el costo de producción. Los
datos se pueden representar como coordenadas de puntos: (10, 95), (25,180).
Problemas resueltos 411
Como la ecuación de costos es lineal, entonces se debe determinar la ecuación
de la recta que pasa por los puntos mencionados; entonces la pendiente es:
y la ecuación de la recta:
donde el costo fijo es de $115 y el costo variable es de por unidad.
b) Si x - 20, entonces:
Por tanto, el costo de producir 20 unidades sería de $228.33.
8.25 La órbita del cometa Halley tiene una excentricidad de 0.97 y un semieje
mayor de 2 885 millones de km. Si la órbita es elíptica, deduzca una ecua-
ción para ella.
SOLUCIÓN
Se sabe que:
y que:
Además,
Por tanto, la ecuación de la órbita del cometa Halley es:
8.26 Se tiene un salón con techo elíptico. Si la longitud del salón es de 50 m y la
altura de la bóveda es de 20 m, ¿dónde se deben ubicar las personas para
que sus ondas de sonido se reflejen? (La propiedad de reflexión de la elipse
establece que lo que se emite en un foco sólo se recibe en el otro foco.)
412 CAPITULO 8 ■ Geometría analítica
SOLUCIÓN
Se establece un sistema de coordenadas rectangulares, de tal manera que el centro
de la elipse coincida con el origen; así, la ecuación de la elipse correspondiente es:
Se sabe que a = 25, b = 20.
Por tanto,
Las personas deben situarse a 15 m del centro del cuarto.
Se ubican dos grabadoras en los puntos A y B, los cuales están a 300 pies de
distancia. Un sonido que provienen de un punto Ρ se oye a 0.20 segundos
en Β antes que en A. Localice las posibles posiciones de Ρ (Nota: La veloci-
dad del sonido es aproximadamente 1 100 pies/seg).
8.27
SOLUCIÓN
De la fórmula de velocidad, se obtiene que Ρ se encuentra aproximadamente a
(1100)(0.20) = 220 pies más cerca de Β que de A.
Por tanto,
El punto Ρ describe una hipérbola.
Problemas resueltos 413
8.28 El físico Ernest Rutherford descubrió que cuando se disparan partículas a
hacia el núcleo del átomollega un momento en que éstas son repelidas del
núcleo, describiendo trayectorias hiperbólicas. Una partícula se dirige hacia
el origen siguiendo la recta y llega a 3 unidades de distancia respec-
to del núcleo. Encuentre la ecuación de la trayectoria.
8.29
SOLUCIÓN
Como las partículas describen trayectorias hiperbólicas, siguiendo a la recta
dicha recta es la asíntota de la hipérbola.
Se sabe que la ecuación de una asíntota de la hipérbola horizontal es
Como a 3 unidades del núcleo es repelida la partícula, este punto representa un
vértice del eje real; entonces, a = 3
Sustituyendo en la ecuación ordinaria de una hipérbola horizontal, se tiene:
El espejo de un telescopio tiene la forma de un paraboloide de 20 cm de
diámetro y una profundidad de 2.5 cm. ¿Qué tan lejos del centro del espejo
se acumulará la luz? (Nota: La propiedad de reflexión de las parábolas esta-
blece que cuando se reciben ondas o rayos paralelos al eje de simetría, éstos
se reflejan en la parábola concentrándose sólo en el foco.)
414 CAPITULO 8 ■ Geometría analítica
SOLUCIÓN
Se establecen los datos en un sistema de coordenadas rectangulares, de tal manera
que el vértice de la parábola coincida con el origen. La ecuación de la parábola
en este caso es:
Como la parábola pasa por el punto (10, 2.5), entonces:
que es la distancia del centro al foco. Por tanto, la luz que ingrese se acumulará a
10 cm del centro del espejo.
Los cables que sostienen un puente colgante adquieren una forma parabólica.
Las torres que sostienen los cables están separadas 600 m y son de 80 m de
altura. Si los cables tocan la superficie de la carretera a la mitad de la dis-
tancia de las torres, encuentre la altura del cable a 150 m del centro.
8.30
SOLUCIÓN
Se reproducen los datos en un sistema de coordenadas rectangulares, de tal ma-
nera que el vértice coincida con el origen.
La ecuación de esta parábola es x2 = 4py.
Como el punto (300, 80) pertenece a la parábola, entonces:
Se pide determinar la altura del cable cuando se está a 150 m del centro, entonces
el punto es (150, y). Sustituyendo en la ecuación de la parábola y despejando y:
y la altura es de 20 m.
Problemas propuestos
Calcule la distancia entre los puntos: 8.31
Problemas propuestos 415
8.32 Determine cuál de los puntos es el más cercano a Ρ
8.33 Calcule el perímetro de los triángulos cuyos vértices son:
8.34 Demuestre.que los puntos 7(1, 6) K(2, 3) L(4, 5) son los vértices de un triángulo
equilátero.
8.35 Si la longitud de un segmento es 10 y las coordenadas de uno de sus extremos es
K(8,10), determine la(s) ordenada(s) del otro extremo si se sabe que su abscisa
es 2.
8.36 Compruebe, usando pendientes, que los siguientes triángulos son rectángulos:
8.37 Compruebe por medio de pendientes que los siguientes puntos están en línea recta:
8.38 Encuentre la ecuación de las rectas que pasan por los puntos indicados:
8.39 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (-5, -2) y:
a) Es paralela a la recta que pasa por (3,7), (-1,2)
b) Es perpendicular a la recta que une a los puntos (4,1), (-2,2)
8.40 Ubique el punto de intersección de las rectas:
Determine los vértices del triángulo cuyos lados son: 8.41
416 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
8.42
8.43
8.44
8.45
8.46
8.47
8.48
8.49
8.50
Halle el valor de Κ para que satisfaga la condición indicada:
a) Kx - 3y = 10 y es perpendicular a y = 2x + 4
b) 2Kx + y + 2-K = 0 y pasa por(-l,2)
c) 4x + Ky = 5 y es paralela a 4x - 2y = 5
d) Kx – y - 3K + 6 = 0y tiene ordenada al origen en 5
La recta de ecuación 3x - 2y + 1 = 0 está a la mitad de dos rectas paralelas que
distan 8 unidades. Encuentre la ecuación de dichas rectas.
Sea el triángulo con vértices en los puntos: J(-2, -3) K(6,1) L(4,5), determine las
coordenadas del
a) circuncentro (punto de intersección de las mediatrices)
b) ortocentro (punto de intersección de las alturas)
c) baricentro (punto de intersección de las medianas)
Calcule el área de los triángulos cuyos vértices son los puntos:
a) (1,4) (3,0) (-1,-2)
b) (1,3) (4, -6) (-3,1)
Determine la distancia del punto indicado a la recta cuya ecuación es dada:
a) 5x-y + 3 = 0 y P(-l,5)
b) 2x + 9v - 4 = 0 y P(0,4)
c) 5x - 12y - 26 = 0 y P(0,0)
Determine la ecuación de la circunferencia con centro y radio indicados:
Indique la ecuación de la circunferencia cuyos puntos determinan un diámetro:
a) (-4,5) (-3,7)
b) (5,-1) (0,-8)
c) (-1,1) (2,3)
Determine la ecuación de la circunferencia que satisfaga las siguientes condiciones:
a) C(0,0) y tangente a x + y-3 = 0
b) C(-l, 2) y tangente a x - 2y + 4 = 0
c) C(-l, -3) y que sea tangente a la recta 3x + 4y -10 = 0
d) Pasa por (2,3) y (3,6), y es tangente a 2x + y-2 = 0
Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:
a) A(-2,1) B(l,3) C(2,0)
b) D(-3,-3) E(-2,2) F(l,0)
c) G(2,-l) H(0,-2) I(2,4)
Problemas propuestos 417
8.51
8.52
Determine la ecuación de la circunferencia, si:
a) Pasa por A(3,2) y 5(7,8), y su centro está sobre la recta χ - y - 5 = 0
b) Pasa por K(5,0) y L(l, -2), y su centro está sobre 5x + 2y - 9 = 0
Indique qué representan las siguientes ecuaciones. Si es una circunferencia, señale
el centro y el radio:
8.53
8.54
8.55
Determine la ecuación de la circunferencia, si:
a) Pasa por P(-2,2) y por los puntos de intersección de x2 +y2 +3x-2y~4 = 0 y
x2+y2-2x-y-6 = 0
b) Pasa por P(3, 1) y por los puntos de intersección de x2 +y2 -x-y-2 = 0 y
x2+y2+4x-4y-8 = 0
Encuentre el valor de Κ para que:
a) La circunferencia x2 + y2 - 8x + 10y + Κ = 0 tenga radio igual a 7
b) La longitud de la tangente trazada desde el punto (5, 4) a la circunferencia
x2 + y2 + 2Ky = 0 sea igual a 1 Determine la ecuación de la elipse que
satisfaga las siguientes condiciones:
eje mayor horizontal de longitud 10, eje menor igual a 6
eje menor igual a 10
Focos directrices:
y extremos del lado recto e
longitud del eje mayor igual a 8
pasa por Ρ
pasa por Ρ
418 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
Trace las gráficas: 8.56
8.57 Determine qué representa cada una de las siguientes ecuaciones. Si es una elipse,
indique el centro y longitud de los ejes:
Encuentre el lugar geométrico de todos los puntos (x, y), tales que la suma de sus
distancias a los puntos fijos (-3,2) y (2,2) es igual a 9.
8.58
8.59 Localice el lugar geométrico de los puntos (x, y), tales que la suma de sus distancias
a los puntos fijos (1, -3) y (1,2) es igual a 7.
8.60 Encuentre la ecuación de la hipérbola que cumpla las siguientes condiciones:
la ecuación de una de sus asíntotas es 4x - 3y = 0
El eje conjugado tiene sus extremos en (6,3) y (-4,3), en tanto que un vértice
del eje real está en A(1, 10)
y uno de sus vértices en Las asíntotas están en
y tiene centro en el origen La hipérbola horizontal pasa por
8.61 Determine si la ecuación dada es una hipérbola o un par de rectas que se intersectan;
si es una hipérbola, trace la gráfica:
Problemas propuestos 419
8.65
8.66
8.67
8.68
La demanda de un producto es de 50 unidades si el precio es de $15 y de 30 unida-
des cuando el precio es de $21. Encuentre la ecuación de la demanda, suponiendo
que es lineal, y el precio por unidad cuando la demanda es de 25 unidades.
En 1870, la temperatura promedio en Bremen Alemania, era de 11.8°C. Esta tem-
peratura, aumentando a una tasa constante, alcanzó los 13.5°C en 1969. Determine
la ecuación de la temperatura en °C en términos del tiempo t (en años), donde t = 0
corresponde a 1870. ¿En qué año se tuvo una temperatura promedio de 12.5°C?
Los costos fijos para producir cierto artículo son de $8 610 y los costos variables
son de $3 por unidad. Si el productor vende cada uno en $6, entonces:
a) Encuentre el punto de equilibrio.
b) Determine el número de unidades que deben producirse y venderse almes
para obtener una utilidad de $1 000 mensuales.
Una puerta tiene una cerradura como se muestra en la figura. Deduzca una ecua-
ción para la circunferencia de la cerradura si se sabe que su radio es de 2.5 mm.
8.69 La Tierra se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol, siendo éste uno de sus
focos. Si el afelio (la distancia más grande entre el Sol y la Tierra) es de 94.56 millo-
nes de millas y el perihelio (la distancia más corta entre el Sol y la Tierra) es de
91.45 millones de millas, ¿cuál es la excentricidad de la órbita?
8.62 Dibuje las hipérbolas
Encuentre sus puntos de intersección.
8.63 Demuestre que la diferencia de distancias del punto de la hipérbola
a sus focos es igual a la longitud del eje real.
8.64 Indique qué representan las siguientes ecuaciones de segundo grado:
420 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
8.70
8.71
8.72
8.73
8.74
8.75
Un dispositivo para el tratamiento de cálculos renales es de forma elipsoide. Este
dispositivo tiene una altura de 15 cm y un diámetro de 18 cm. Si mediante ondas
energéticas emitidas en el foco se destruyen los cálculos renales (propiedad de re-
flexión de la elipse):
a) Encuentre la distancia del vértice al foco.
b) ¿Qué tan lejos del vértice debe colocarse el cálculo renal?
Un puente es construido sobre un río de 200 m de ancho. El arco del puente es
semielíptico y debe construirse de tal manera que un barco menor a 50 m de ancho
y 30 m de alto pase seguro a través del arco.
a) Determine la ecuación del arco del puente.
b) Aproxime la altura del arco a la mitad del puente.
Un faro tiene la forma de un paraboloide. Si la fuente de luz está colocada a 2 m de
la base en el eje de simetría y la abertura es de 5 m de diámetro, ¿cuál es la profun-
didad del faro?
El ingreso mensual por la venta de q unidades de cierto artículo está dado por
I = 120q - 0.1q2 pesos. Determine el número de unidades que deben venderse cada
mes con el propósito de obtener el ingreso máximo. Indique el ingreso máximo.
Un radiotelescopio tiene un reflector parabólico con el foco a 100 pies arriba del
vértice. Un pequeño reflector hiperbólico, 90 pies arriba de la parábola y con uno
de sus focos coincidentes con el de la parábola, refleja ondas radiales a su otro foco,
que está a 20 pies del vértice de la parábola. Encuentre las medidas del eje transver-
sal y del eje conjugado (imaginario) de la hipérbola.
Un barco navega con un curso a 100 millas y en forma paralela a una costa "recta".
El barco envía señales a dos estaciones, .Λ y B, de la guardia costera, que distan 200
millas entre sí. A través de la medición de la diferencia en tiempo de recepción de la
señal se determina que el barco está a 160 millas más cerca de Β que de A. ¿Dónde
está el barco?
Soluciones
8.31
8.32
8.33
el 8.34 La distancia JR = la distancia LJ pero son diferentes a la distancia KL
triángulo no es equilátero.
Soluciones 421
8.35
8.36 α) Triángulo rectángulo
b) Triángulo rectángulo
c) Triángulo rectángulo
8.37 a) Puntos colineales
b) Puntos colineales
8.38
8.39
8.40
8.41 (2, 2), (1,-2), (3,1)
8.42
8.43 3x-2y+ 21 = 0, 3x- 2y-19 = 0
8.44
8.45
422 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
8.46
8.47
8.48
8.49
8.50
8.51
8.52
Soluciones 423
b) No existe representación
c) P(1,-3).
d) (x + 1)2+(y - 4)2 =9
e) (x + 3)2+y2 =4
424 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
g) (x + 2)2+y2=4
h) No hay ningún punto cuyas coordenadas satisfagan la ecuación
i) No hay ningún punto cuyas coordenadas satisfagan la ecuación
8.53
8.54
8.55
8.56
Soluciones 425
426 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
8.57
Elipse:
Elipse:
Soluciones 427
8.58 Elipse de ecuación: 56x2 +81y2 + 56x - 324y-796 = 0
8.59 Elipse de ecuación: 49x 2 + 24y2 – 98x - 426y- 239 = 0
8.60
a) Elipse: 8.61
b) Rectas que se intersectan:
428 CAPÍTULO 8 ■ Geometría analítica
Elipse:
Rectas que se intersectan:
Elipse:
Soluciones 429
8.62 Puntos de intersección: (-2, 3), (-2, 1), (1, 1), (1, 3)
8.63 Se deja como ejercicio al lector
8.64 a) elipse
b) parábola
c) hipérbola
d) elipse
é) elipse
/) elipse
g) hipérbola
precios: $22.5 8.65 Ecuación:
8.66 a) Ecuación: y = 0.01717*+ 11.8
b) Año 1910
8.67 a) 2 870 artículos
b) 3 204 artículos
x2 + y2 ~3y-4 = 0 8.68
8.69 e = 0.0167
a) 3 cm
b) 27 cm
8.70
8.71
0.78125 m 8.72
600 unidades; $36 000 8.73
Eje transversal = 100 pies; eje conjugado = 66.3325 pies 8.74
Coordenadas (155.5, 100) 8.75
Introducción al cálculo
diferencial
El cálculo diferencial es una de las ramas más importantes de las matemáticas. Su
objetivo fundamental es desarrollar métodos matemáticos para cuantificar, descri-
bir y pronosticar los cambios que surgen en un mundo en constante movimiento. El
cálculo diferencial se usa ampliamente en ciencias, economía, medicina e informá-
tica.
431
9.1 INTRODUCCIÓN
9.2 DEFINICIONES BÁSICAS
DEFINICIÓN 9.1
Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada valor x de un
conjunto llamado dominio un único valor y = f(x) de un segundo conjunto llamado
rango o imagen.
EJEMPLO 9.1 Determine el dominio D de cada una de las siguientes funciones:
SOLUCIÓN
exista, χ debe ser diferente de cero, por lo que: Para que
Por tanto:
EJEMPLO 9.2 Determine el rango (imagen) de las siguientes funciones:
432 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
SOLUCIÓN
a) Despejando x, se tiene:
La expresión Por tanto, existe si
b) Despejando x, se obtiene:
Es decir, existe si Por lo que
DEFINICIÓN 9.2
Si una función satisface f(-x) = f(x), para todo número χ en su dominio, entonces f
se denomina función par y su gráfica es simétrica con respecto al eje y.
EJEMPLO 9.3 es una función par. La función
DEFINICIÓN 9.3
Si f satisface f(-x) = -f(-x) para todo número x en su dominio, entonces f se conoce
como función impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen.
EJEMPLO 9.4 es una función impar. La función
DEFINICIÓN 9.4
Una función f es inyectiva (es uno a uno) si y sólo si se satisface la siguiente propie-
dad:
entonces son elementos del dominio. Si donde
Función inversa 433
EJEMPLO 9.5 Indique si las siguientes funciones son funciones inyectivas:
SOLUCIÓN
Para tenemos
lo cual significa que la función f(x) es in-
vectiva.
Para tenemos:
lo cual significa
que la función f(x) no es inyectiva.
9.3 FUNCIÓN COMPUESTA
DEFINICIÓN 9.5
Dadas dos funciones f(x) y g(x), se define la función compuesta (f ° g)(x) como:
(f o g)(x) = f(g(x)).
Esto es, se parte de un valor de x en el dominio de g, se calcula su imagen u =
g(x) y luego se evalúa la función f en el valor f(u). El resultado es una nueva
función h(x) = f(u) = f(g(x)).
El dominio de la función compuesta (f o g)(x) es el conjunto de todas las x que
están en el dominio de g, cuya imagen g(x) pertenece al dominio de f(x).
EJEMPLO 9.6 determine (f ° g)(x) y (g ° f)(x). Sea
SOLUCIÓN
9.4 FUNCIÓN INVERSA
DEFINICIÓN 9.6
Una función g es la inversa de la función f si f(g(x)) — x para toda x en el dominio
de g, y g(f(x)) = x para toda χ en el dominio de f.
La función g se denota por (se lee "inversa de f "). Por supuesto que,
TEOREMA 9.1
Una función tiene inversa si y sólo si es inyectiva.
434 CAPÍTULO 9 ■ introducción al cálculo diferencial
Estrategia para hallar la inversa de una función
1. Analizar, mediante el teorema 9.1, si la función dada y = f(x) tiene inversa.
2. Despejar χ en función de
3. Intercambiar χ y y. La ecuación resultante es
la imagen de / . 4. Definir como dominio de
5. Verificar que
EJEMPLO 9.7 Hallar la función inversa de
SOLUCIÓN
La función tiene inversa por ser creciente en todo su dominio. Para encontrar la inversa,
hacemos y = f(x)y despejamos χ en términos de y:
Podemos verificar este resultado como El dominio de es la imagen de
sigue:
Funciones trigonométricas inversas
e imagen de manera que con dominio
y rango con dominio de manera que
Límite de una función 435
con dominio y rango de manera que
La gráfica de la función inversa 2s el reflejo de la gráfica de con
respecto a la recta y = x. Por ejemplo:
AGUSTÍN-LOUIS CAUCHY (1789-
1857), matemático francés, que rea-
lizó notables trabajos en las más
diversas ramas de las ciencias. En
análisis adoptó métodos rigurosos,
todavía seguidos en la actualidad,
y creó la teoría de las funciones
analíticas. Es autor de más de 700
memorias. En una memoria de 1812
desarrolló la teoría de determinan-
tes en la forma que actualmente
conocemos y usó por primera vez
la palabra determinante. En 1821
publica el clásico Cours d'analyse,
donde aparece el teorema que lle-
va su nombre.
9.5 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
DEFINICIÓN 9.7
(Cauchy)
Escribimos
luego decimos: "el límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L" si es posible
acercar en forma arbitraria los valores de f(x) a L (tanto como deseamos cam-
biando ε), siempre que se elija una x lo bastante cerca de a, pero no necesariamente
igual a a.
EJEMPLO 9.8 Demuestre que
un número cualquiera, pero ya predefinido. A continuación debemos encontrar un Sea
número tal que
siempre que
entonces se tiene que cumplir que
siempre que
436 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
entonces: Observe que si es posible definir una constante positiva C, tal que
haciendo que por lo que se puede lograr que Definiremos ese
número C de manera que χ esté en algún intervalo centrado en 3. De hecho, como sólo nos
interesan los valores de χ cercanos a 3, cabe suponer que χ esté de 3 a una distancia menor
que 1; esto es. así, es una elección Por ello,
adecuada de la constante. Pero ahora se presentan dos restricciones para I χ-3 I, que son:
Para estar seguros que ambas desigualdades queden satisfechas, definimos :omo el menor
de los dos números esto es, Ahora comprobemos que el elegido es
adecuado.
luego de manera que Sea
Así, queda demostrado que
TEOREMA 9.2
Sean η un número entero, k una constante y f(x), g(x) funciones. Entonces,
EJEMPLO 9.9 Calcule los siguientes límites:
TEOREMA 9.3
Límite de una función 437
EJEMPLO 9.10 Resuelva los siguientes límites:
SOLUCIÓN
sustituyendo tenemos que si
entonces
DEFINICIÓN 9.8
(Límites laterales)
Escribimos
luego decimos que el límite izquierdo de f(x), cuando χ tiende a a, es igual a L, si es
posible aproximar los valores de f(x) a L tanto como queramos, escogiendo χ lo
bastante cerca de a, pero menor que a.
De manera análoga, si hacemos que χ sea mayor que a obtendremos el límite
por la derecha de f(x) y cuando χ tiende a α es igual a L, entonces:
EJEMPLO 9.11 Demuestre que
SOLUCIÓN
tal que: deseamos encontrar un número Sea
siempre que siempre que
siempre que
Ahora comprobemos que es adecuado. Dado sea
lo cual demuestra que entonces Si
TEOREMA 9.4
438 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
EJEMPLO 9.12 Determine los siguientes límites:
DEFINICIÓN 9.9
Sea f una función definida a ambos lados de a, excepto tal vez en el mismo a. Entonces,
significa que los valores de f(x) pueden hacerse grandes (tan grandes como se quie-
ra) tomando x suficientemente cerca de a, pero distinto de a. En otras palabras, para
cada número positivo Μ hay un número correspondiente δ, tal que f(x) > Μ siem-
pre que
DEFINICIÓN 9.10
Sea f una función definida a ambos lados de a, excepto tal vez en el mismo a. Entonces,
significa que los valores de f(x) pueden hacerse grandes en valor negativo, toman-
do χ suficientemente cerca de a, pero distinto de a. En otras palabras, para cada nú-
mero negativo Ν hay un número correspondiente δ, tal que f(x) < N, siempre que
0 < \x - a\ < δ.
Sea
entonces se puede determinar que Como no
existe.
Límite de una función 439
DEFINICIÓN 9.11
La recta x - a es llamada asíntota vertical de la curva y = f(x) si por lo menos una de
las siguientes afirmaciones es verdadera:
DEFINICIÓN 9.12
Sea f una función definida en algún intervalo Entonces:
significa que los valores de f(x) se pueden acercar a L si x se incrementa lo suficien-
te. En otras palabras, para toda ε > 0 hay un número correspondiente Ν (ε) positivo,
tal que | f(x)- L | < ε, siempre que x > Ν.
DEFINICIÓN 9.13
Sea f una función definida en algún intervalo Entonces:
significa que los valores de f(x) se pueden acercar arbitriariamente a L haciendo
que x sea negativa y lo bastante grande. En otras palabras, para toda ε > 0 hay un
número correspondiente Ν (ε) negativo, tal que | f(x) - L | < ε siempre que x < Ν.
DEFINICIÓN 9.14
La recta y = L es llamada asíntota horizontal de la curva y = f(x) si se cumplen
cualquiera de las dos siguientes condiciones:
SOLUCIÓN
Aplicando el teorema 9.3, se tiene: Para resolver este tipo de límites,
se utiliza sólo el término de mayor exponente, tanto del numerador como del denominador.
Es decir, podemos usar la siguiente regla:
EJEMPLO 9.13 determine: Sea
Por tanto, f(x) tiene una asíntota vertical en χ = 2.
EJEMPLO 9.14 Determine
440 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
Por ello, y = 0 es la asíntota horizontal. en nuestro caso, tenemos que
DEFINICIÓN 9.15
entonces la recta Si existen los límites
la recta será será asíntota oblicua a la derecha de
una asíntota horizontal derecha.
entonces la recta Si existen los límites
la recta será será asíntota oblicua a la izquierda de
una asíntota horizontal izquierda.
La gráfica de una función y — f(x) no puede tener más de una asíntota derecha
(oblicua u horizontal) ni más de una asíntota izquierda (oblicua u horizontal).
9.6 CONTINUIDAD
DEFINICIÓN 9.16
Una función f(x) es continua en a si se cumplen las tres condiciones siguientes:
está definida (es decir, a está en el dominio de f).
Existe
Si no se cumple al menos una de las tres condiciones anteriores, se dice que / es
discontinua en a.
Si la función f es continua para todos los valores de x que pertenecen al interva-
lo (c, d), entonces f es continua en (c, d).
DEFINICIÓN 9.17
Se dice que f es continua en x = a por la derecha (por la izquierda) si:
está definida
Existe
DEFINICIÓN 9.18
Se considera que f es continua en el intervalo cerrado [c, d] si lo es en el intervalo
abierto (c, d), así como por la derecha en x — c y por la izquierda en x = d.
Continuidad 441
DEFINICIÓN 9.19
(Propiedades de las funciones continuas)
Si las funciones f y g son continuas en x - a, entonces las funciones
lo es en entonces Si g es continua en x = a y
TEOREMA 9.5
Si / es continua en el intervalo cerrado [c, d] y b es cualquier número entre f(c) y
f(d), entonces existe un valor x0 que pertenece al intervalo [c, d], tal que f(x0) - b.
EJEMPLO 9.15 Indique si la siguiente función es continua:
SOLUCIÓN
Se deben probar las tres condiciones:
Como se concluye que la función h(i) es continua.
EJEMPLO 9.16 Demuestre que es continua en el intervalo [-2, 2].
SOLUCIÓN
es continua en
Por tanto, h(x) es continua en el intervalo [-2,2].
DEFINICIÓN 9.20
Si existe pero la función no está definida en enton-
ces se dice que / tiene en a una discontinuidad eliminable, pues si f fuese redefinida
en x = a, de tal manera que f(a) = L, entonces f sería continua en x = a.
DEFINICIÓN 9.21
entonces se trata de una discontinuidad escalonada. Si
442 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
DEFINICIÓN 9.22
se dice que es una discontinuidad infinita. Si
EJEMPLO 9.17 determine el tipo de discontinuidad en x = 2. Sea
SOLUCIÓN
Se calculan los límites unilaterales de la función en x = 2.
Por tanto, como se trata de una discontinuidad escalonada.
EJEMPLO 9.18 continuapara toda x? ¿Para qué valor de a es
SOLUCIÓN
Se necesita que:
9.7 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
DEFINICIÓN 9.23
Sea f(x) una función definida y continua en el intervalo (a, b). La derivada de f(x)
se define como: denotada por
si este límite existe. En tal caso se dice que f(x) es diferenciable en
Derivada de una función 443
EJEMPLO 9.19 Determine la derivada de:
SOLUCIÓN
Interpretación geométrica de la derivada
Sea f(x) una función derivable en xa, entonces f'(x0) = m es la pendiente de la recta
tangente a la curva en el punto (x0, f(x0))- La recta perpendicular a la recta tangente
en el punto (x0, f(x0)) se conoce como normal y su pendiente es
TEOREMA 9.6
(Regla de la cadena)
Sean y = f(u) y u = g(x) dos funciones que determinan una función compuesta (f
o g)(x) - (f(g(x))). Si g es diferenciable en x y f es diferenciable en u = g(x),
entonces f o g es, diferenciable en x y se cumple:
TEOREMA 9.7
(Reglas de derivación)
Sean u - f(x) y ν = g(x) funciones diferenciables, entonces:
444 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
DEFINICIÓN 9.24
El ángulo α entre las curvas C1 y C2 en el punto de intersección Ρ es el ángulo entre
las rectas tangentes a C1 y C2 en P. Si las pendientes de C1 y C2 son
m1 y m2, entonces:
9.8 EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
DEFINICIÓN 9.25
Sea f definida sobre un intervalo I, se dice que:
f es creciente sobre I si para todas
f es decreciente sobre I si para todas
f es estrictamente monótona sobre I si es creciente o decreciente sobre I
TEOREMA 9.8
(Teorema de monotonía)
Sea / una función continua en I y diferenciable en todo punto interior de I.
entonces f es creciente en I.
entonces f es decreciente en I.
Extremos de una función 445
EJEMPLO 9.20 Determine en qué intervalos la función f(x) = x2 -4x + 2 es creciente y decreciente.
SOLUCIÓN
Se determina la derivada de la función:
f'(x) = 2x-4
a) Para sacar el intervalo donde la función es creciente, se resuelve (mediante el teore-
ma 9.8):
b) Para conocer el intervalo donde la función es decreciente, se resuelve (mediante el teorema
9.8):
DEFINICIÓN 9.26
Sea x0 un punto del dominio de f, se considera que:
i) f(x0) es el valor máximo de
ii) f(x0) es el valor mínimo de
iii) f(xo) es un valor extremo de f si es un máximo o un mínimo.
TEOREMA 9.9
(Puntos críticos)
Sea f definida en un intervalo I que contiene al punto x0. Si f(x0) es un valor extremo,
entonces x0 debe ser un punto crítico:
i) Un punto frontera en I.
ii) Un punto estacionario de f (f'(x0) = 0)
iii) Un punto singular de f en el que f'(x0) no existe
EJEMPLO 9.21 Encuentre los valores máximos y mínimos de f(x) = -2x3 + 3x2 en el intervalo
SOLUCIÓN
Puntos frontera:
Puntos estacionarios: se calcula la derivada de la función:
Por tanto, los puntos críticos son:
Se evalúa la función en cada uno de estos puntos:
(valor máximo)
(valor máximo)
(valor mínimo)
446 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
EJEMPLO 9.22
EJEMPLO 9.23
EJEMPLO 9.24
DEFINICIÓN 9.27
Sea f una función diferenciable sobre I. Si f" es creciente sobre I, f es cóncava
hacia abajo; si f" es decreciente sobre I, f es cóncava hacia arriba.
TEOREMA 9.10
(Concavidad)
Sea f una función dos veces diferenciable sobre I.
i) entonces f es cóncava hacia arriba en I.
ü) entonces f es cóncava hacia abajo en I.
Determine en qué intervalos es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo la función
SOLUCIÓN
Se determinan la primera y la segunda derivada, de acuerdo con el teorema 9.7:
Con el teorema 9.10, se determina la concavidad de la función:
Concavidad hacia arriba:
Concavidad hacia abajo:
DEFINICIÓN 9.28
Sea f continua en x0. Se dice que (x0, f(x0)) es un punto de inflexión de la gráfica de
f si f es cóncava hacia arriba de un lado de x0 y cóncava hacia abajo del otro.
Encuentre los puntos de inflexión deg(x) = x3 - 12x.
Se determina la segunda derivada y se iguala a cero:
Como el signo de g"(x) cambia en cero, el único
punto de inflexión es P(0, 0).
TEOREMA 9.11
(Prueba de la primera derivada para extremos locales)
Sea f una función continua sobre un intervalo I = (a, b) que contenga al punto
crítico x0.
i) Si entonces f{x0)es un máximo
local.
i i) Si entonces f(x()) es un mínimo lo-
cal.
iii) Si f'(x) tiene el mismo signo a ambos lados de x0, entonces f'(x) no es un extre-
mo local de f.
Sea f(x)=x2 – 6x + 5 definida en el intervalo Determine los intervalos donde la
función es creciente y decreciente.
Construcción de gráficas 447
Para trazar la gráfica de una función se deben obtener sus rasgos característicos.
Para ello, es conveniente seguir los pasos que se enumeran a continuación:
1. Hallar el dominio de la función.
2. Analizar si la función es par, impar o ninguna de estas dos.
3. Hallar las intersecciones de la gráfica con los ejes de coordenadas.
4. Investigar la continuidad de la función y hallar sus asíntotas.
5. Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los extremos
de la función.
6. Hallar los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo, así como los pun-
tos de inflexión.
SOLUCIÓN
De acuerdo con el teorema 9.11:
Entonces, el punto crítico es
Por tanto, x = 3 es un mínimo local.
TEOREMA 9.12
(Prueba de la segunda derivada para extremos locales).
Sea f(x) una función que tiene primera y segunda derivadas en cada punto del
intervalo (a, b) que contiene a x0. Suponga que f'(xo) = 0:
entonces es un máximo local de f.
entonces es un mínimo local de f.
EJEMPLO 9.25 Determine los máximos y mínimos locales de la función
SOLUCIÓN
Se determinan los puntos críticos con la primera derivada:
Usando el teorema 9.12 se determina si los puntos críticos son máximos o mínimos lo-
cales:
ss un máximo local igual a
es un mínimo local igual a
9.9 CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS
448 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
EJEMPLO 9.26 Trace la gráfica de
SOLUCIÓN
1. Dominio de la función:
2. Analizar si la función es par, impar o ninguna de estas dos:
la función es par y esto significa que Como
la gráfica es simétrica respecto al eje OY.
3. Hallar las intersecciones de la gráfica con los ejes de coordenadas:
4. Investigar la continuidad de la función y hallar sus asíntotas:
La función es continua para todo
5. Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los extremos de la
función:
Puntos críticos:
6. Hallar los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo, así como los puntos de
inflexión.
Puntos de inflexión:
7. Gráfica:
Problemas resueltos 449
Problemas resueltos
Calcule el dominio de las siguientes funciones: 9.1
SOLUCIÓN
Entonces se debe resolver el sistema
de dos desigualdades:
Entonces se debe resol-
ver el sistema de tres desigualdades:
Entonces se debe resolver el sistema de cinco desigualdades:
Indique el dominio y la imagen de cada una de las siguientes funciones: 9.2
450 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
SOLUCIÓN
La fórmula da un valor real de y para toda χ en el intervalo
Más allá de este dominio,
es negativo y su raíz cuadrada no es un número real. Los valores de
varían de 0 a 1 en el dominio dado, lo mismo que sus raíces. La imagen de
No se puede da un valor real de y para toda χ excepto La fórmula
dividir un número entre cero. Entonces, La ima-
gen de el conjunto de los recíprocos de todos los números reales dis-
tintos a cero, es precisamente el conjunto de todos los números reales distin-
tos a cero; esto es,
La fórmula da un valor real de y sólo si. esto es.
La imagen es porque cada número
nonegativo es la raíz cuadrada de algún otro número (es la raíz cuadrada de
su propio cuadrado).
En la fórmula la cantidad no puede ser negativa. Es decir,
elconjunto de to- La imagen es
das las raíces cuadradas de números no negativos.
Especifique si la función dada es par, impar o ninguna de las dos: 9.3
SOLUCIÓN
entonces la función
no es par ni impar
entonces la función es impar
esto significa que la función es par
Verifique si la función es una función inyectiva en el intervalo 9.4
SOLUCIÓN
se tiene Sea
porque
para cualquiera su inverso no pertenece al interva-
Problemas resueltos 451
lo cual significa que la función dada es inyectiva en el intervalo lo
Para se tiene que y al mismo tiempo
lo cual significa que la función dada
no es inyectiva en el intervalo
Demuestre que la función es inyectiva en su dominio y en- 9.5
cuentre su función inversa.
SOLUCIÓN
Para se tiene Sea
esto significa que la función dada es inyectiva en el intervalo (- ; + ). Entonces,
ahora se puede buscar la función inversa. Se tiene que
entonces la función inversa es
Sean Calcule 9.6
SOLUCIÓN
a) Para calcular la función compuesta se evalúa la función g en
por tanto,
b) Para calcular la función compuesta se evalúa la función
por tanto,
Encuentre la función inversa para las siguientes funciones: 9.7
SOLUCIÓN
se tiene que Para
en el intervalo y la función dada es inyectiva y proyecta el intervalo
se tiene: pero para
452 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
entonces, la función inversa es de la siguiente forma:
y lo proyecta en el inter- b) La función cos2 x es inyectiva en el intervalo
se tiene Pero para toda valo
entonces la función inversa es
de la siguiente forma:
Calcule los siguientes límites: 9.8
SOLUCIÓN
Sea entonces Se tiene que:
entonces Se tiene que: Sea
Problemas resueltos 453
Para toda x 1, se tiene que
entonces:
entonces se tiene que:
para toda entonces:
para toda entonces, se tiene que:
Pero entonces: para toda
entonces,
no está definida en el punto Se puede presen- La función
tar la función f(x) en forma de dos cocientes; esto es,
La función es continua en el punto
454 CAPÍTULO 9 ■ introducción al cálculo diferencial
La función h(x) tiene límites laterales diferentes:
se obtiene,
Encuentre los puntos de discontinuidad de la función 9.9
SOLUCIÓN
Se tiene que entonces:
en los puntos se deben calcular los siguientes límites:
Esto significa que no es continua en el punto pero sí lo es en el punto
Entonces el único punto de discontinuidad es
9.10 Determine si es continua la siguiente función
SOLUCIÓN
El dominio de
para
para
para
Esto significa que es continua en los intervalos y ade-
mas en el punto x = 0, porque:
entonces el único punto de discontinuidad es no está definida en este
punto].
Problemas resueltos 455
9.11 Para cuáles valores de p las siguientes funciones son continuas:
para
para
para
para
SOLUCIÓN
Para toda la función es continua. Pero, la función
entonces la función dada es continua en
el punto
Para toda De ahí, se tiene que 0 entonces
entonces, la función dada es continua en el punto
9.12 Encuentre los valores de los parámetros a y b para los cuales la función
para
para
para
es continua para toda
SOLUCIÓN
Se tiene que entonces la función
es continua en el punto
Se tiene que entonces la fun-
ción es continua en el punto
456 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
La función f(x) es continua para toda
9.13 Calcule las derivadas de las siguientes funciones, usando la definición de la
derivada:
en el punto
en el punto
en el punto
SOLUCIÓN
Problemas resueltos 457
9.14 Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
SOLUCIÓN
Se tiene
Aplicando la fórmula se tiene y al final
queda
Suponiendo que χ 0, se puede dividir el numerador entre el denominador
y se obtiene Ahora ya es posible calcular la
derivada de y. Se tiene:
458 CAPÍTULO 9 ■ introducción al có/cu/o diferencial
d) La función y se presenta como potencia de la variable x; esto es,
la derivada es
e) Al dividir el numerador entre denominador y cambiando raíces por potencias
ahora la de la variable x se obtiene
derivada de y es igual a
f) Cambiando las raíces por potencias de la variable χ se obtiene:
ahora la derivada de y es igual a
g) Aplicando la fórmula para derivar el producto de dos funciones, se obtiene
h) Aplicando la fórmula para la derivada del cociente de dos funciones, nos
queda:
i) Ésta es una función compuesta; esto es
donde entonces, Se obtiene que la
entonces Se tendrá: Sea
nalmente;
m) Se trata de una función compuesta; esto es:
donde entonces se obtiene que:
n) Ésta también es una función compuesta; esto es:
donde entonces se obtiene que:
Problemas resueltos 459
Se tiene que entonces:
se obtiene:
Si calcule 9.15
SOLUCIÓN
Entonces:
b) Ahora se debe calcular la segunda derivada Se tiene:
entonces,
Calcule la derivada de segundo orden para las siguientes funciones: 9.16
460 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
SOLUCIÓN
Escriba la ecuación de la tangente a la curva en el punto ,4(2;-6). 9.17
SOLUCIÓN
Se sabe que entonces es la pendiente Sea
de la tangente en el punto A(2; -6) y la ecuación de la tangente es:
¿Qué ángulo forman entre sí las siguientes curvas en el pun- 9.18
to de intersección?
SOLUCIÓN
Se le llama ángulo entre dos curvas al ángulo que forman las tangentes a estas
curvas en el punto de intersección. El punto de intersección de las curvas dadas es:
Las derivadas de estas funciones en el punto A(\\ 1) son
iguales a y son. al mismo tiempo, las pendientes
de las tangentes a estas curvas. Entonces, el ángulo entre las tangentes se
calcula usando la fórmula: En nuestro caso:
9.19 Demuestre que la función es creciente para toda
SOLUCIÓN
Al calcular la derivada de f(x) se obtiene pero
cual significa que f(x) crece para toda
9.20 Demuestre que la función f(x) - 3 sen x - 5x + 3 es decreciente para toda
SOLUCIÓN
Al calcular la derivada de se obtiene pero
entonces, lo cual significa que decrece para toda
Problemas resueltos 461
9.21 Determine los intervalos de decrecimiento y crecimiento de las funciones
SOLUCIÓN
Al calcular la derivada se obtienen los intervalos de
monotonía
1. Para se tiene que por consiguiente, la función
decrece en este intervalo.
2. Para se tiene que por consiguiente, la función
crece en este intervalo.
b) En este caso, χ = -2 es el punto descontinuidad de la función f(x). La derivada
es igual a y la función f{x) decrece en los intervalos
c) Al calcular la derivada se obtienen cuatro intervalos de mo-
notonía:
se tiene que 1. Para por consiguiente, la función
crece en este intervalo.
2. Para se tiene que y, por consiguiente, la función
decrece en este intervalo.
3. Para se tiene que por consiguiente, la función
decrece en este intervalo.
4. Para se tiene que por consiguiente, la función
crece en este intervalo.
De esta forma, la función f{x) crece en el intervalo (- ; -1), decrece en el (-1; 1)
y vuelve a crecer en el intervalo (1; + ).
9.22 Verifique si las siguientes funciones tienen puntos extremos:
SOLUCIÓN
Se iguala esto es, Se tiene que calcular la derivada de
para y se obtiene el valor crítico Como
es un punto mínimo de la función
El mismo resultado se obtiene verificando el signo de la
lo cual significa segunda derivada en el punto crítico
que en este punto hay un mínimo de
462 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
Para determinar el ca- Se tiene
rácter del extremo se calcula la segunda derivada Co-
es un punto máximo de la función el punto mo
por lo que 1 es un punto De la misma manera:
mínimo de la función
Se tiene que para toda x, en- Sea
posee en los puntos un máximo igual a tonces la función
En este caso y la derivada Para tenemos
se cumple que y para es iguala cero para Pero para
entonces la función dada tiene en un punto mini-
en este caso, Para mo
entonces en la función no hay extremos en esos intervalos.
Se tiene que para toda entonces la
función dada no tiene extremos.
9.23 Determine los máximos (M) y mínimos (m) absolutos de las siguientes fun-
ciones en los intervalos que se indican:
en el intervalo
en el intervalo
en el intervalo
SOLUCIÓN
a) Para encontrar el valor mínimo y el valor máximo de la función f(x) en un
intervalo [a; b] se deben seguir los siguientes pasos:
Calcular el dominio de esto es,
Verificar
Calcular los valores
Verificar si existen extremos de f(x) en el intervalo [a; b] y calcular los
valores
De los números escoger el valor mínimo (m) y el
valor máximo (M).
Se tiene que:
Problemas resueltos 463
Entonces para
y para
Se obtiene que para la función posee el valor mínimo
m = 4 y el valor máximo es igual a Μ = 13
b) Se tiene que Esto significa que no
hay extremos en Sucede que para
El resultado es: para
la función tiene el valor mínimo m = -12 y el valor máximo
es igual Α Μ = 2
Se tiene que
Se obtiene que para. la función posee el valor
minimo m = -48 y el valor máximo es igual a Μ = 80
Encuentre el valor del parámetro m si 9.24 Sea
se sabe que las diferentes raíces de la ecuación cumplen la condi-
ción
SOLUCIÓN
Se tiene que es de la siguiente for- y la ecuación
La ecuación cumple condiciones del ejercicio si: ma:
Si se sabe que el punto P(-2; 12) es un punto de inflexión de la gráfica de la 9.25
función encuentre los restantes puntos de
inflexión.
SOLUCIÓN
De las condiciones del ejercicio:
entonces,
lo cual significa que el segundo punto de inflexión
si se sabe que el 9.26 Encuentre los ceros de la función
punto A (2; 5) pertenece a la gráfica de f(x) y que la pendiente de la tangen-
te en el punto A es igual a la raíz de la ecuación
SOLUCIÓN
Al resolver la ecuación exponencial, se obtiene que χ = -9. De las condiciones del
ejercicio:
464 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
Entonces:
de multiplici-
dad 2
¿Para cuáles valores de los parámetros a y b la función 9.27
tiene extremo igual a 2 para χ - 1?
SOLUCIÓN
Las condiciones del ejercicio se cumplen si:
Trace la gráfica de la función 9.28
SOLUCIÓN
Para dibujar la gráfica de una función se deben obtener sus rasgos característicos.
Para ello, es conveniente seguir los pasos que se enumeran a continuación:
1. Hallar el dominio de la función.
2. Analizar si la función es par, impar o ninguna de estas dos.
3. Encontrar las intersecciones de la gráfica con los ejes de coordenadas.
4. Investigar la continuidad de la función y hallar sus asíntotas.
5. Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los extremos
de la función.
6. Buscar los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo, así como los
puntos de inflexión.
En nuestro caso, se tiene:
y la función es par; esto significa que es suficiente investigar la función dada en el
Los extremos son: intervalo
No hay punto de inflexión. Las asíntotas oblicuas son:
Es cómodo presentar todos los resultados en una tabla
Problemas resueltos 465
y, finalmente, la gráfica
9.29 Un agricultor tiene 100 m de alambre con el cual planea construir dos co-
rrales idénticos. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que se puede ce-
rrar para tener el área máxima?
SOLUCIÓN
Maximizar área:
sujeta a perímetro:
Se obtiene el punto crítico:
Se calcula la segunda derivada para determinar si el punto crítico es máximo o
mínimo:
por lo tanto, es un punto máximo.
Las medidas del terreno deben ser:
Se quiere hacer una caja sin tapa cortando cuadrados iguales de las esqui-
nas de un cartón de 12 × 12 cm y doblando sus lados. ¿De qué tamaño
deben ser los cuadrados para obtener el volumen máximo?
9.30
466 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
SOLUCIÓN
Maximizar
Entonces,
Se obtienen los puntos críticos:
Se determina si es un máximo mediante la segunda derivada:
es un punto máximo.
es un punto mínimo.
Por tanto, las dimensiones de los cuadrados deben ser de 2 × 2 cm.
Problemas propuestos
9.31 Encuentre el dominio de las siguientes funciones:
Problemas propuestos 467
9.32 Indique el dominio y la imagen de cada una de las siguientes funciones:
468 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
Especifique si la función dada es par, impar o ninguna de las dos: 9.33
Verifique si la función es inyectiva en el intervalo: 9.34
9.35 Verifique si las siguientes funciones son inyectivas en un intervalo dado:
en el intervalo
en el intervalo
en el intervalo
en el intervalo
en el intervalo
Problemas propuestos 469
9.36 Encuentre una fórmula para la inversa de la función:
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para.
9.37 para las siguientes funciones: Determine
470 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
Calcule los siguientes límites: 9.38
Problemas propuestos 471
9.39 Calcule los siguientes límites:
Calcule los siguientes límites: 9.40
472 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
Problemas propuestos 473
9.41 Para las siguientes funciones, cuáles son los puntos de discontinuidad:
474 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
para
para
9.42 Diga si son continuas las siguientes funciones:
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
9.43 Sea
para
para
¿Cómo se debe elegir el número a para que la función f(x) sea continua?
9.44 Para las siguientes funciones, calcule los límites laterales en el punto x0 y verifique
si existe el límite en este punto:
para
para
Problemas propuestos 475
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
9.45 Usando la definición de la derivada, calcule:
Calcule la derivada de las siguientes funciones, usando la definición de la derivada: 9.46
476 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
9.47 Calcule la derivada de las siguientes funciones:
Problemas propuestos 477
478 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
Problemas propuestos 479
480 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
Calcule la derivada de segundo orden de las siguientes funciones: 9.48
9.49 Calcule el valor de la derivada de segundo orden en el punto dado:
9.50
9.51 Escriba la ecuación de la tangente a las curvas en los puntos que se indican:
Problemas propuestos 481
9.52 ¿En qué punto la tangente a la parábola es paralela al eje de las abscisas?
9.53 Escriba la ecuación de la recta perpendicular a la tangente de la curva
en el punto (2; 1).
9.54 Indique el o los puntos de la curva donde la recta tangente
es horizontal.
9.55 , Indique el o los puntos de la curva donde la pendiente de la
recta tangente es igual a -2.
9.56 ¿En qué punto la tangente a la parábola es paralela a la recta
9.57 Qué ángulo forman entre sí las siguientes curvas en el punto de intersección:
9.58 Demuestre que las siguientes funciones son crecientes para toda
482 CAPÍTULO 9 ■ introducción al cálculo diferencial
9.59 Demuestre que las siguientes funciones son decrecientes para toda
9.60 Encuentre los intervalos en los cuales las siguientes funciones son crecientes:
Problemas propuestos 483
9.61 Encuentre los intervalos en los cuales las siguientes funciones son decrecientes:
484 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
9.62 Encuentre los intervalos de decrecimiento y crecimiento de las siguientes funcio-
nes:
9.63 Determine los extremos de las siguientes funciones:
Problemas propuestos 485
9.64Determine los máximos (M) y mínimos (m) absolutos de las siguientes funciones
en los intervalos que se indican:
en el intervalo
en el intervalo
en el intervalo
en el intervalo
en el intervalo
en el intervalo
en el intervalo
en el intervalo
en el intervalo
en el intervalo
en el intervalo
486 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
9.67
9.68
9.69
9.70
9.71
9.72
Encuentre dos números positivos cuya suma sea 20 y su producto sea máximo.
Un rectángulo tiene dos vértices en el eje χ y otros dos sobre y = 12- x2 con y > 0.
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo con área máxima?
Un volante debe contener 50 cm2 de material impreso con 4 cm de margen arriba y
abajo, y 2 cm a los lados. ¿Cuáles serán sus dimensiones para que gaste menos pa-
pel?
Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que se
puede inscribir en un cono circular recto dado.
Una compañía estima que puede vender 1 000 unidades por semana si pone en
$3.00 el precio unitario, pero que las ventas semanales subirían 100 unidades por
cada $0.10 que disminuya el precio. Si χ es el número de unidades vendidas a la
semana (x > 1 000), encuentre:
a) La función precio.
b) El número de unidades y el precio correspondiente que maximice el ingreso
semanal.
c) El máximo ingreso semanal.
Suponga que en cierta ruta una aerolínea transporta 8 000 pasajeros al mes, cada
uno de los cuales paga 50 pesos. La aerolínea quiere incrementar la tarifa; sin em-
bargo, el departamento de mercadotecnia estima que por cada incremento de 1
peso en la tarifa, perderá 100 pasajeros. Determine el precio de la tarifa que maximiza
los ingresos.
en el intervalo
en el intervalo
en el intervalo
en el intervalo
¿Para cuáles valores del parámetro m la función 9.65
no tiene extremos?
9.66 Trace la gráfica de las siguientes funciones:
Soluciones 487
Soluciones
9.31
9.32
488 CAPITULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
9.33
9.34
9.35
9.36
Soluciones 489
9.37
9.38
9.39
9.40
490 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
9.41
la función es continua para toda
la función es continua para toda
la función es continua para toda
9.42 a) continua para toda
b) continua en el intervalo el punto de descontinuidad es
c) continua en el intervalo el punto de descontinuidad es
d) continua para toda
é) el punto de descontinuidad es
f) el punto de descontinuidad
g) no es continua en los puntos
h) el punto de descontinuidad
9.43 a = -2
Soluciones 491
9.44
Función Límite LímiteLímite
No existe
No existe
No existe
No existe
No existe
No existe
9.46
se dejan de ejercicio para el estudiante. Los incisos del
9.47
492 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
Soluciones 493
494 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
el signo + corresponde al caso
En el caso En el caso la deri-
vada no existe.
Soluciones 495
496 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
9.48
9.49
9.50
9.51
Soluciones 497
9.52
9.53
9.54
9.55
9.56
9.57 En el punto .4(1; 1) el ángulo es de 8°09' y en el punto S(2; 4) el ángulo es de
4°24'
En el punto .4(1; 1) el ángulo es de 36°52'
En el punto A(3; 2) el ángulo es de 12°31'
En el punto el ángulo es de 18°26' y en el punto el ángulo es
En el punto el ángulo es de 0o y en el punto Β el ángulo es de 90°
En el punto el ángulo es de
En los punto el ángulo es de 63°26'
Se deja como ejercicio al lector 9.58
9.59 Se deja como ejercicio al lector
9.60
498 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
9.61
Soluciones 499
9.62 crece para decrece para
crece para decrece para
crece para decrece para
crece para decrece para
crece para decrece para
crece para decrece para
crece para decrece para
crece para decrece para
crece para decrece para
crece para decrece para
crece para decrece para
crece para decrece para
crece para decrece para
crece para decrece para
crece para decrece para
crece para decrece para
decrece para
crece para
crece para decrece para
crece para decrece para
decrece para crece para
crece para decrece para
9.63
no hay extremos
500 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
no hay extremos
es la raíz de la ecuación
no hay extremos
9.64
Soluciones 501
9.65
9.66
502 CAPÍTULO 9 ■ Introducción al cálculo diferencial
9.67 10,10
9.68 4x8
9.69 9 χ 18 cm
Radio: 9.70 donde b es radio del cono y α es la altura del cono
9.71
b) χ = 2 000 unidades y precio unitario de $2.00
c) Ingreso = $4 000
9.72 Precio: 65 pesos.
Introducción
aI cálculo integral
En el capítulo anterior se trató el cálculo diferencial; en éste se revisará el proceso
inverso. Se trata ahora de encontrar cuál es la función, si se conoce su derivada; a
dicha función se le llama antiderivada o integral indefinida. Asimismo, la integral
definida en un intervalo permite determinar el área bajo la curva. El cálculo inte-
gral tiene sus aplicaciones en economía, negocios, finanzas, demografía, estadística,
ciencias sociales e ingeniería.
DEFINICIÓN 10.1
La función F se llama antiderivada de / en el intervalo /, si La nota-
ción para una antiderivada es:
Observación: No toda función f tiene antiderivada.
TEOREMA 10.1
(Regla de potencias)
Si n es un número racional cualquiera, excepto -1, entonces:
503
10.1 INTRODUCCIÓN
10.2 INTEGRAL INDEFINIDA
Si n = 0, entonces:
504 CAPÍTULO 10 ■ Introducción al cálculo integral
TEOREMA 10.2
(Linealidad de la integral)
dos funciones que tienen antiderivadas y sea k una constante. En- Sean
tonces:
EJEMPLO 10.1 Encuentre la antiderivada de:
10.3 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
TEOREMA 10.3
(Teorema de sustitución)
Para encontrar se puede sustituir Entonces:
Reglas de integración
una función diferenciable, k una constante y entonces: Sea
Técnicas de integración 505
EJEMPLO 10.2 Determine las siguientes integrales:
TEOREMA 10.4
(Integración por partes)
Sean funciones diferenciables, entonces:
EJEMPLO 10.3 Resuelva:
En esta integral se debe utilizar el teorema 10.4, ya que las reglas de integración y el
teorema 10.3 no pueden aplicarse, independientemente de cuál sea la elección de M;
entonces:
506 CAPÍTULO 10 ■ Introducción al cálculo integral
10.4 LA INTEGRAL DEFINIDA
Y SUS APLICACIONES
DEFINICIÓN 10.2
Sea f una función que ha sido definida en un intervalo [a, b]. Entonces la integral
definida, o de Riemann, de f entre a y b es el valor de:
TEOREMA 10.5
(Teorema fundamental del cálculo)
Sea f una función continua en [a, b] y sea f una antiderivada de f en dicho intervalo,
entonces:
EJEMPLO 10.4 Calcule:
Problemas resueltos 507
DEFINICIÓN 10.3
El área total bajo la curva se calcula como:
EJEMPLO 10.5 Encuentre el área de la región comprendida entre
SOLUCIÓN
Problemas resueltos
Dadas dos funciones f(x) y f(x), verifique que la función f(x) es una anti- 10.1
derivada de la función f(x) para toda
SOLUCIÓN
si se cumple La función f(x) es una antiderivada de la función f(x) para toda
la condición F\x) = /(*); entonces:
508 CAPÍTULO 10 ■ Introducción al cálculo integral
Calcule las siguientes integrales indefinidas: 10.2
SOLUCIÓN
Problemas resueltos 509
10.3 Calcule la integral en cada caso:
510 CAPÍTULO 10 ■ Introducción al cálculo integral
SOLUCIÓN
entonces: Se tiene que
Se tiene que
entonces:
Se tiene que entonces:
Se tiene que
entonces:
Se tiene que
entonces:
Se tiene que entonces:
Se tiene que
10.4 Calcule las siguientes integrales:
Problemas resueltos 511
SOLUCIÓNy tenemos: Se determina que
y resulta: Se determina que
entonces se determina u = eos χ y tenemos:
Sea u = sen x, entonces:
Calcule las siguientes integrales mediante la integración por partes: 10.5
512 CAPÍTULO 10 ■ Introducción al cálculo integral
SOLUCIÓN
Analizando la última integral, se observa que se tiene de nuevo la integral
original; por lo tanto, ya no se sigue integrando, sino que se establece la
siguiente ecuación:
Calcule las siguientes integrales definidas: 10.6
Problemas resueltos 513
SOLUCIÓN
La función es continua en el intervalo entonces se tiene
Aplicando la definición del valor absoluto, se tiene que:
y las rectas Encuentre el área determinada por la curva 10.7
SOLUCIÓN
El área A de la figura dada es igual a:
514 CAPÍTULO 10 ■ Introducción al cálculo integral
y el eje χ en el intervalo Encuentre el área determinada por 10.8
SOLUCIÓN
Encuentre el área determinada por la curva y las rectas 10.9
SOLUCIÓN
Se tiene que:
Problemas resueltos 515
10.10 Encuentre el área determinada por la curva la recta
SOLUCIÓN
10.11 Encuentre el área determinada por la curva y las rectas
SOLUCIÓN
y las rectas 10.12 Encuentre el área determinada por la curva
516 CAPÍTULO 10 ■ Introducción al cálculo integral
SOLUCIÓN
Encuentre el área determinada por las curvas 10.13
SOLUCIÓN
Se tiene que:
10.14 Encuentre el área de la figura f, la cual está dada por las siguientes des-
igualdades:
SOLUCIÓN
Por definición del valor absoluto, se tienen los siguientes cuatro casos:
Problemas resueltos 517
entonces:
Encuentre el área determinada por la curva y la recta 10.15
SOLUCIÓN
entonces se tiene que: Sea
Encuentre el área de la figura F, la cual está dada por las siguientes des-
igualdades:
10.16
518 CAPÍTULO 10 ■ Introducción al cálculo integral
SOLUCIÓN
10.17 Encuentre el área entre las curvas
SOLUCIÓN
para entonces Por tanto, se tiene:
10.18 Un estudio indica que dentro de χ meses la población de un cierto pueblo
estará creciendo a un ritmo de personas por mes. /Cuánto crecerá
la población durante los próximos cuatro meses?
SOLUCIÓN
Sea Ρ el número de personas del pueblo, entonces Como se nos
pide encontrar el número de personas, esto se traduce a:
40 personas
Problemas propuestos 519
10.19 Los promotores de la Feria Internacional del Libro en Frankfurt, Alema-
nia, estiman que t horas después de la apertura, a las 9:00 hrs., los visitantes
estarán entrando a un ritmo de personas por hora.
¿Cuánta gente entrará entre las 10:00 hrs. y el mediodía?
SOLUCIÓN
Sea Ρ el número de visitantes, entonces Se debe inte-
grar está función para obtener el número de personas que entran entre la hora 1
y la hora 3:
1 220 personas
Problemas propuestos
Dadas dos funciones es una antiderivada 10.20 verifique que la función
de la función para toda
10.21 Calcule las siguientes integrales indefinidas:
520 CAPÍTULO 10 ■ Introducción al cálculo integral
10.22 Calcule la integral en cada caso:
Problemas propuestos 521
Calcule las siguientes integrales: 10.23
522 CAPÍTULO 10 ■ Introducción al cálculo integral
10.24 Calcule las siguientes integrales:
10.25 Calcule las siguientes integrales definidas:
Problemas propuestos 523
Calcule las siguientes integrales definidas: 10.26
Encuentre el área determinada por la parábola 10.27
y las rectas Encuentre el área determinada por la curva 10.28
y las rectas Encuentre el área determinada por la curva 10.29
524 CAPÍTULO 10 ■ Introducción al cálculo integral
Encuentre el área determinada por la curva el eje x. 10.30
y el eje x. 10.31 Encuentre el área determinada por la curva
y el eje x. 10.32 Encuentre el área determinada por la curva
y las rectas x= -2, 10.33 Encuentre el área determinada por la curva
10.34 Encuentre el área determinada por la parábola y las rectas
10.35 Encuentre el área determinada por la parábola y la recta
10.36 Encuentre el área determinada por las parábolas
10.37 Encuentre el área determinada por las parábolas
10.38 Encuentre el área determinada por las parábolas
10.39 Encuentre el área determinada por las parábolas
10.40 Encuentre el área determinada por la curva
10.41 Encuentre el área determinada por las curvas
10.42 así como Encuentre el área determinada por las parábolas
por la recta y — 4x.
10.43 Encuentre el área de la figura / , la cual está dada por las siguientes desigualdades:
Soluciones 525
10.44 Encuentre el área determinada por la parábola
a) a es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto
el número de raíces reales del
polinomio
b) a es la mayor raíz de la ecuación
y c es la raíz de la ecuación
10.45 Dada la curva las rectas donde m > 1:
a) Exprese el área determinada por la curva y las rectas dadas como una función
f(m) de la variable m.
b) Calcule
10.46 Encuentre el área determinada por la curva y la recta para
10.47 Suponga que la velocidad v(t) de un cohete t segundos después del despegue es
Determine la distancia que recorre el cohete en el tiempo
segundos.
10.48 Suponga que la función de costo marginal de un fabricante de carteras es
pesos por unidad de producción x, donde χ se mide en unidades de
100 carteras. Encuentre el costo total de producir 6 unidades adicionales si actual-
mente se producen 2.
10.49 En una cierta población, la demanda de gasolina está creciendo exponencialmente
a un ritmo de 5% por año. Si la demanda actual es de 4 millones de litros por año,
¿cuánta gasolina se consumirá durante los próximos 3 años?
10.50 La función de densidad de probabilidad para la duración de llamadas telefónicas
en una empresa es donde χ es la duración en minutos de una llama-
da seleccionada al azar. ¿Qué porcentaje de llamadas duran 2 minutos o menos?
10.51 Encuentre la ganancia de los consumidores para la curva de demanda
p(x) = 50 - 0.06x2 al nivel de ventas de 20.
10.52 Suponga que se deposita diariamente dinero en una cuenta de ahorros a una razón
anual de $1 000. Si la cuenta paga 6% de intereses compuestos continuamente, calcu-
le la cantidad de dinero en la cuenta después de 5 años.
Soluciones
sí lo es; en tanto que para el inciso g, no Para los incisos 10.20
10.21
526 CAPÍTULO 10 ■ Introducción al cálculo integral
Soluciones 527
10.22 Indicación:
Indicación:
Indicación:
Indicación:
Indicación:
10.23
528 CAPÍTULO 10 ■ Introducción al cálculo integral
10.24
10.25
10.26
10.27
10.28
Soluciones 529
10.29
10.30
10.31
10.32
10.33
10.34
10.35
10.36
10.37
10.38
10.39
530 CAPÍTULO 10 ■ Introducción al cálculo integral
10.40
10.41
10.42
10.43
10.44
10.45
10.46
Soluciones 531
10.47 38.7 m
10.48 1 185.75 pesos
10.49 12.94 millones de litros
10.50 63.21%
10.51 Ganancia = 320 (Indicación: la ganancia de los consumidores se calcula como
10.52 $5 830.98 (Indicación: Los intereses compuestos continuamente describen una fun-
ción exponencial, es decir, Pe", donde Ρ es el depósito inicial, i es la tasa de interés
y t es el tiempo.)
Introducción
a Ιa probabilidad
La teoría de la probabilidad es un modelamiento matemático del fenómeno del
azar o aleatoriedad. Si una moneda se lanza al aire puede caer en cara o en cruz,
pero no se sabe cuál de estas posibilidades ocurrirá en un solo lanzamiento. Denota-
mos por n el número de veces que se repite el experimento de lanzar la moneda y
sea m el número de veces que aparece cara. Entonces la razón denominada
frecuencia relativa, resulta estable a largo plazo y se aproxima al valor También
en forma deductiva, suponiendo que la moneda está perfectamente equilibrada, se
llega al valorEs decir, la probabilidad de que la moneda caiga hacia un lado es
igual a la probabilidad de que caiga del otro, de donde la probabilidad de obtener
cara es una en dos, lo que significa que la probabilidad de que caiga cara en un
lanzamiento es Aunque el resultado específico en cualquier lanzamiento no se
conoce, el comportamiento a largo plazo sí está determinado. Este comportamiento
estable a largo plazo del fenómeno aleatorio constituye la base de la teoría de pro-
babilidad.
DEFINICIÓN 11.1
Un experimento aleatorio es una representación imaginaria de un proceso cuyo
resultado o resultados dependen del azar y, por tanto, están fuera de cualquier posi-
ble control determinista.
DEFINICIÓN 11.2
Se le llama espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados posibles
de un experimento aleatorio. Puede ser un conjunto finito o infinito y a menudo se
denota por la letra griega Ω.
533
11.1 INTRODUCCIÓN
11.2 EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO
MUESTRAL, EVENTO Y ESPACIOS DE
PROBABILIDAD FINITOS
534 CAPÍTULO 17 ■ Introducción a la probabilidad
DEFINICIÓN 11.3
Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Los eventos pueden
combinarse para formar eventos nuevos utilizando las diversas operaciones de con-
juntos:
i. es el evento que ocurre si y sólo si A ocurre o Β ocurre (o ambos)
ii. es el evento que ocurre si y sólo si A ocurre y Β ocurre
iii. el complemento de A, es el evento que ocurre si y sólo si A no ocurre
Los eventos A y Β se denominan mutuamente excluyentes si son disjuntos, es
decir, si se denomina algunas veces el evento imposible o nulo).
En otras palabras, A y Β son mutuamente excluyentes si éstos no pueden ocurrir en
forma simultánea.
La "probabilidad" de un evento es un valor numérico real que se le asigna a
dicho evento y que de algún modo indica qué tan verosímil debe considerarse. Si A
es un evento, entonces la probabilidad de A suele denotarse mediante P(A).
DEFINICIÓN 11.4
Suponga que Ω es un espacio muestral finito y que las características físicas del
experimento sugieren que a los diversos resultados del experimento le han sido
asignadas probabilidades iguales. Un espacio Ω como ése, donde a cada punto se le
asigna la misma probabilidad, se denomina espacio equiprobable finito. Específica-
mente, si Ω tiene n elementos entonces a cada punto en Ω le es asignada la probabi-
lidad y a cada evento A que contiene m puntos se le asigna la probabilidad
En otras palabras:
EJEMPLO 11.1 Se lanza una moneda 3 veces y se observa el resultado de cada lanzamiento. Describa un
espacio muestral, determine el número de puntos muéstrales y determine los siguientes
eventos:
a) A = {una cara y dos cruces}
b) Β - {al menos dos caras}
c) C = {todas caras}
d) D = {cara en el primer lanzamiento}
SOLUCIÓN
Puesto que son tres lanzamientos, seleccionamos un punto muestral como una terna, tal como
(Ca, Ca, Cr), en donde cada componente es Ca o Cr. Por el principio básico de conteo, el
número total de puntos muéstrales es 2 · 2 · 2 = 8. Un espacio muestral es: Ω = {(Ca, Ca, Ca),
(Ca, Ca, Cr), (Ca, Cr, Ca), (Cr, Ca, Ca), (Cr, Cr, Ca), (Cr, Ca, Cr), (Ca, Cr, Cr), (Cr, Cr, Cr)}.
Entonces:
a) A = {(Ca, Cr, Cr), (Cr, Ca, Cr), (Cr, Cr, Ca)}
b) Β = {(Ca, Ca, Ca), (Ca, Ca, Cr), (Ca, Cr, Ca), (Cr, Ca, Ca)}
c) C = {(Ca, Ca, Ca)}
el) D = {(Ca, Ca, Ca), (Ca, Ca, Cr), (Ca, Cr, Ca), (Ca, Cr, Cr)}
EJEMPLO 11.2 De una baraja normal de 52 cartas, se sacan 2 al azar sin reemplazo. Si A es el evento que
una de las cartas sea un dos y la otra un tres, encuentre P(A).
Fundamentos axiomáticos de la teoría de probabilidades 535
SOLUCIÓN
Podemos hacer caso omiso del orden en el que se sacan las cartas. Como nuestro espacio
muestral es Ω, seleccionamos al conjunto de todas las combinaciones de las 52 cartas toma-
das de dos en dos. Por tanto, Ω es equiprobable y n(Ω) Para encontrar n(A) notamos
que, como hay 4 palos, un dos y un tres pueden ser sacados de 4 formas cada uno. Por tanto,
un dos y un tres tal vez sean sacados de 4 · 4 maneras, de modo que:
Aunque el término "probabilidad de un evento" no se define en forma explícita,
queda establecido indirectamente de acuerdo con los siguientes tres axiomas:
AXIOMA 1 Si A es un evento cualquiera, entonces la probabilidad de A, denota-
da por P(A), es un número real no negativo y no mayor que 1, es
decir,
AXIOMA 2 Si A y B son dos eventos ajenos (es decir, mutuamente
excluyentes), entonces
AXIOMA 3 Si Ω denota el espacio muestral, entonces Ρ(Ω.) = 1.
A partir de estos axiomas se prueban otras proposiciones (teoremas y coro-
larios). A continuación se mencionan algunos teoremas básicos cuyas demostracio-
nes son elementales:
TEOREMA 11.1
Si es el conjunto vacío (evento imposible), entonces -
TEOREMA 11.2
Para cualquier evento A de un espacio muestral, -
TEOREMA 11.3
Para cualesquiera dos eventos A y Β de un espacio muestral se verifica la igualdad
COROLARIO
Si A, Β y C son tres eventos cualesquiera de un espacio muestral Ω, entonces
TEOREMA 11.4
entonces
TEOREMA 11.5
Si A = B, entonces P(A) = P(B).
11.3 FUNDAMENTOS AXIOMÁTICOS
DE LA TEORÍA DE PROBABILIDADES
536 CAPÍTULO 11 ■ Introducción a la probabilidad
TEOREMA 11.6
Para dos eventos cualesquiera A y B, se tiene
EJEMPLO 11.3 Calcule la probabilidad P(A) si se sabe que
SOLUCIÓN
obtenemos la ecuación cuadrática con incóg- Si sustituimos que
nita p. Tenemos:
EJEMPLO 11.4 Demuestre que para cualquier evento A, B, C, se tiene:
SOLUCIÓN
entonces:
También se cumple que:
Finalmente:
11.4 REGLA MULTIPLICATIVA Y PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Con frecuencia ocurre que la probabilidad de un suceso puede verse afectada por el
conocimiento de otro suceso, cuyo resultado influye en el primero. Esta idea condu-
ce al concepto de la "probabilidad condicional" de eventos, la cual se define a conti-
nuación:
DEFINICIÓN 11.5
Para cualesquiera dos eventos A y Β (no vacíos), se define la probabilidad condicio-
nal de Β dado A mediante la relación multiplicativa
Como la intersección de conjuntos es conmutativa, ello es equivalente a escribir:
Regla multiplicativa y probabilidad condicional 537
TEOREMA 11.7
(Regla multiplicativa)
Es posible generalizar la regla multiplicativa dada por la definición anterior para
más de dos eventos; por ejemplo, para tres eventos A, Β y C se tendría:
EJEMPLO 11.5
EJEMPLO 11.6
Suponga que en el estante de una biblioteca hay 8 libros de física iguales (mismo autor,
edición y título), excepto que 4 de ellos están a la rústica y los otros 4 están empastados (o
encuadernados). Considere que en forma sucesiva vienen 3 lectores y cada uno de ellos
pide a la bibliotecaria un ejemplar de ese libro para llevar a casa. Si ella los elige al azar,
¿cuál es la probabilidad de que al primero le toque empastado, al segundo a la rústica y al
tercero también a la rústica?
SOLUCIÓN
Es claro que si denotamos por A, Β y C, respectivamente, a esos tres eventos y aplicamos
la fórmula recién expuesta, la solución será:
Un maestro lanza dos dados sobre la mesa, mira los números que salieron y los cubre con
la mano para que sus alumnos no los puedan ver. Entonces les pregunta lo siguiente:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los dados muestre un 4 y el otro un 5?
b) Suponga que el maestro proporciona a sus alumnos la información de que en uno de
los dados salió el 5. Conociendo ese dato, ¿cuál es entonces la probabilidad de que el
otro dado muestre el 4?
SOLUCIÓN
Los dados son distinguibles, por lo que podemos llamarlos "dado 1" y "dado 2". Si en el 1 sale
η y en el 2 sale m, entonces escribimos (n, m), donde η y m son cualesquiera números del 1 al
6. Entonces el espacio muestral Ω consiste de 36 posibles parejas ordenadas de este tipo, es
decir, Ω = {(1,1), (1,2),..., (6,6)}. Si E es el evento que un dado muestre un 4 y otro dado un
5, entonces Ε = {(5,4), (4,5)}.Para hallar la probabilidad de este suceso Ε se divide el número
de casos favorables (2) entre el número total de casos (36). Por tanto, la respuesta a la primera
pregunta es: probabilidad de que un dado muestre un 4 y el otro un 5:
Ahora bien, para el inciso b) los alumnos saben que en uno de los dos dados salió el 5. Esta
información reduce el espacio muestral al siguiente conjunto: A = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5),
(5, 5), (6, 5), (5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)}. Es decir, de los 36 elementos originales de Ω
ahora el espacio muestral se ha reducido a los 11 elementos del conjunto A. Nótese que son
11 y no 12, porque doble 5 sólo hay uno. Luego, sabiendo que en un dado salió un 5, la
probabilidad de que salga un 4 en el otro dado es el cociente del número de elementos de
Ε = {(5,4), (4,5)} entre el número de elementos de A, es decir: Los restantes 25
elementos de Ω ya no tienen que ser tomados en cuenta porque se tiene la certeza de que
no ocurrieron. Equivalentemente podríamos haber resuelto el inciso b) mediante la fórmula:
Sean los eventos A = {En uno de los dos dados salió el 5} y Β = {En uno de los dados salió
el 4}. Entonces, por tanto:
EJEMPLO 11.7 En un grupo de 36 estudiantes universitarios hay 9 que dominan el idioma inglés, 4 que
dominan el francés y 2 que dominan ambos idiomas (ya contados entre los anteriores). Se
selecciona un alumno al azar en ese grupo y se comprueba que domina el inglés. ¿Cuál es
la probabilidad de que domine el francés?
538 CAPÍTULO 11 ■ Introducción a la probabilidad
SOLUCIÓN
Sean los eventos I = {domina el inglés) y F = {domina el francés). Para un alumno cualquiera
del grupo se tendrá
Nótese que el conocimiento previo de que el estu- Entonces,
diante dominaba el inglés aumentó la probabilidad de que dominara ambos idiomas de
porque el espacio muestral se redujo a los 9 que dominan el inglés, por lo cual los a
restantes 27 alumnos no necesitaron ser considerados.
11.5 EVENTOS INDEPENDIENTES
DEFINICIÓN 11.6
Por definición, a dos eventos A y Β no vacíos se les llama independientes si ocurre
Es claro que cualquiera de estas dos igualda-
equivale a escribir des implica a la otra, ya que
Por consiguiente, es lo mismo decir que dos eventos A y Β son independientes si y
sólo si se cumple la relación
EJEMPLO 11.8 Se lanzan 3 monedas al aire para ver si caen águila (a) o sol (s). Sea A el evento: {en las 3
monedas sale el mismo signo); B, el evento: {por lo menos una de las monedas muestra
águila} y C: {por lo menos salen dos águilas}. Determine si A y Β son independientes. Lo
mismo para Β y C, y para A y C.
SOLUCIÓN
El espacio muestral tiene 8 elementos: Además,
Claramente, así que A y Β no son indepen-
dientes.
Por otra parte, Entonces:
Como luego A y C sí son independientes.
El lector deberá comprobar como ejercicio que Β y C no son independientes.
EJEMPLO 11.9 Si A es el evento {Brasil gana la próxima Copa del Mundo de Fútbol} y Β es el evento
{mi tía María tuvo resfriado anoche}, determinar si se trata:
a) de eventos independientes
b) de eventos ajenos (o excluyentes).
SOLUCIÓN
En efecto, son eventos independientes, pero es un error típico pensar que se trate de con-
juntos ajenos, puesto que sí tienen intersección. De hecho, su intersección es el conjunto
{Brasil gana la próxima Copa del Mundo de Fútbol y además mi tía María tuvo resfriado
anoche}.
Ensayos de Bernoulli 539
Si se tiene una urna con esferas de dos colores, cada vez que se extrae una esfera se
anota el color, se le vuelve a meter a la urna y se hace un ensayo con reposición, o
con reemplazamiento (también llamado "ensayo de Bernoulli"). Este tipo de ensa-
yos representa una variedad de situaciones en las que se tienen pruebas repetidas
independientes con sólo dos resultados posibles, llamados "éxito" y "fracaso". Pue-
den ser incluso esferas de varios colores. Para cada color decimos que hay dos resul-
tados posibles, a saber: "ese color particular" y "los demás colores".
Los ensayos de Bernoulli están estrechamente relacionados con los coeficien-
tes de la expansión de un binomio a la potencia η (coeficientes binomiales). En el
capítulo 6 ya se examinó el teorema del binomio.
EJEMPLO 11.10 Suponga que se lanza un dado ordinario cinco veces. Determine la probabilidad de que
exactamente en tres de esos cinco lanzamientos salga el 6.
JACQUES (JAKOB) BERNOULLI
(1654-1705), suizo, de familia de
origen belga, perteneció a una fa-
milia de matemáticos. Trabajó en
Matemáticas y Astronomía en con-
tra de la opinión de sus padres, que
preferían que se dedicase a la Teo-
logía y a la Filosofía. En su obra
más conocida, Ars Conjectandi pu-
blicada ocho años después de su
muerte, revisa trabajos anteriores
sobre probabilidad, en particular
estudios de Leibniz. Describe, ade-
más, la Ley de los Grandes Núme-
ros, como una interpretación de la
probabilidad en términos de fre-
cuencias relativas. Para ello enun-
cia y utiliza la Distribución Bino-
mial.
SOLUCIÓN
Por comodidad, denotemos por S al evento "sale el 6" (éxito) y por Ν al evento "no sale el 6"
(fracaso). Denotemos los cinco lanzamientos del dado por , en donde cada
una de las x¡ es igual a S, o bien, a N. Una típica ocurrencia de tres éxitos y dos fracasos sería
por ejemplo: (S, S, N, S, N). Para este caso específico, la probabilidad de que ello ocurriera
sería (por ser eventos independientes):
Pero éste es sólo un caso específico en donde los tres éxitos ocupan los lugares primero,
segundo y cuarto. ¿De cuántas maneras se podrían colocar tres éxitos en los cinco espacios?
Evidentemente son maneras, cada una de las cuales tiene idéntica probabilidad =
Por tanto, la probabilidad de que salgan exactamente tres veces el 6 y dos veces
cualquier otro número es igual a:
Naturalmente, nuestro experimento sería totalmente equivalente a meter 1 esfera blanca
(éxito) y 5 negras (fracasos) en una caja y entonces hacer 5 extracciones consecutivas con
reposición. La probabilidad de que exactamente 3 veces saliera la esfera blanca sería igual a
0.03215.
Tomando este ejemplo como modelo, se puede enunciar:
TEOREMA 11.8
Si un experimento aleatorio consiste de η ensayos repetidos independientes, de los
cuales sólo hay dos tipos que son: "éxito" (con probabilidad individual igual a p) y
"fracaso" (con probabilidad igual a q), entonces la probabilidad de que en η ensayos
se obtengan exactamente k éxitos y n - k fracasos está dada por:
EJEMPLO 11.11 Suponiendo que la probabilidad de que un bebé que nace sea varón es de — calcule la
probabilidad de que los siete hijos de un matrimonio sean dos varones y cinco mujeres.
11.6 ENSAYOS DE BERNOULLI
540 CAPÍTULO 11 ■ Introducción a la probabilidad
SOLUCIÓN
Aplicando el teorema se tendrá: si el "éxito" es ser hombre, o bien.
si el "éxito" es ser mujer. Naturalmente, ambos enfoques conducen al mismo
resultado:
EJEMPLO 11.12 Si un jugador de baloncesto sabe por experiencia que encestará aproximadamente 70% de
los tiros libres que lance, calcule la probabilidad de que en una serie de seis tiros libres
enceste entre dos y cuatro, inclusive.
SOLUCIÓN
El éxito es encestar el tiro, luego (probabilidad de un fracaso). En este caso,
Por tanto:
11.7 VARIABLES ALEATORIAS
DEFINICIÓN 11.7
Si Ω es un espacio muestral con una medida de probabilidad y X es una función con
valor real definida en los elementos de Ω, entonces X se denomina variable alea-
toria.
Esto significa que una "variable aleatoria" es propiamente una función que asigna
un número real a cada evento de un espacio muestral. Se acostumbra usar letras
mayúsculas (usualmente Χ, Y, Ζ, Τ, W) para denotar variables aleatorias.
Las variables aleatorias discretas son aquellas cuyo intervalo de valores es finito
o numerable; por ejemplo: el número de tamales que venden en una fonda cada
día, o el número de huevos que pone una ciertagallina por mes, o el número de
accidentes de tránsito que se registran cada semana en un municipio.
DEFINICIÓN 11.8
El conjunto es la probabilidad con la
cual X toma el valor es llama-
do función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X.
EJEMPLO 11.13 En una lotería se venden 200 boletos, entre ellos dos son ganadores por $1 000, ocho por
$500, diez por $200, veinte por $100 y sesenta por $10. Sea X una variable aleatoria que
representa la ganancia de un jugador. Encuentre la distribución de probabilidad de la
variable aleatoria X.
SOLUCIÓN
Las probabilidades de que un jugador gane alguno de los premios son:
Valor esperado y varianza de la variable aleatoria 541
y así sucesivamente. El resultado lo podemos presentar en una tabla:
11.8 VALOR ESPERADO Y VARIANZA
DE LA VARIABLE ALEATORIA
DEFINICIÓN 11.9
Si X es una variable aleatoria discreta que puede asumir los valores . con
probabilidades de respectivamente, su valor esperado (o media o primer
momento) se define como sigue:
DEFINICIÓN 11.10
El segundo momento de la variable aleatoria X, representado ροΓμ2, es el valor espe-
rado de X2, es decir, μ2 = E(X ). Evidentemente, el primer momento de una va-
riable aleatoria no es otra cosa que su media o valor esperado; esto es: μ ι = Ε(Χ ) = μ.
El segundo momento es igual a
DEFINICIÓN 11.11
La varianza de la variable aleatoria X con distribución de probabilidad
es el número
EJEMPLO 11.14 Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad dada por la siguiente
tabla:
Calcule la media y la varianza para la variable aleatoria X.
SOLUCIÓN
La media es igual a:
y la varianza igual a:
EJEMPLO 11.15 Se lanza un dado equilibrado. Si salen 2, 3 o 5, el jugador gana ese número en pesos, pero
si salen 1, 4 o 6, el jugador pierde ese número en pesos. Encuentre el valor esperado de la
ganancia del jugador.
542 CAPÍTULO 11 ■ Introducción a la probabilidad
SOLUCIÓN
Las compensaciones posibles para el jugador y sus probabilidades respectivas son las si-
guientes:
Los números negativos se refieren al hecho de que el jugador pierde. Entonces el valor espe-
rado del juego es el siguiente:
Por tanto, el juego es desfavorable para el jugador, puesto que el valor esperado es negativo.
11.1 Se lanzan dos monedas y se observa el resultado para cada una de ellas.
Determine un espacio muestral para este experimento.
SOLUCIÓN
Un resultado posible es una cara (C) en la primera moneda y una cara en la
segunda, lo que se puede indicar por la pareja ordinada (C, C). Del mismo modo,
se indica una cara en la primera moneda y sol (S) en la segunda por (C, S). Un
espacio muestral es:
Q = {(C, C), (C, S), (S, C), (S, S)j
11.2 Una urna contiene cuatro canicas: una roja, una azul, una negra y una blan
ca. Se saca una canica al azar, se anota su color y se regresa a la urna. Des
pués se saca otra vez una canica de manera aleatoria y se anota su color.
Describa un espacio muestral para este experimento y determine el núme
ro de puntos muéstrales.
SOLUCIÓN
En este experimento se dice que las dos canicas son sacadas con reemplazo. Su-
ponga que R, A, Ν y Β denotan sacar una canica roja, azul, negra o blanca, respec-
tivamente, entonces nuestro espacio muestral consiste en los puntos muéstrales
RB, ΑΝ, ΒΒ y así sucesivamente, donde por ejemplo el evento RB representa el
resultado de que la primera canica es roja y la segunda blanca. Hay cuatro posi-
bilidades para la primera extracción y, ya que la canica se regresa, cuatro posibi-
lidades para la segunda extracción. Por el principio básico de conteo, el número de
puntos muéstrales es de 4 · 4 = 16.
11.3 Se lanzan un par de dados y se observan los números que aparecen hacia
arriba. Describa un espacio muestral.
SOLUCIÓN
Se entiende que los dados son distinguibles, como si uno fuera rojo y el otro verde.
Cada dado puede caer de seis maneras, de modo que es posible tomar un punto
muestral como un par ordenado en el que cada componente es un entero entre 1
y 6. Por ejemplo, (3, 6) , (1, 5) y (5, 1) son tres puntos muéstrales diferentes. Por
el principio básico de conteo, el número de puntos muéstrales es de 6 · 6 = 36.
Problemas resueltos
Problemas resueltos 543
11.4
11.5
El gerente de un cine registra el número de personas que asisten a la fun-
ción de las 3 p.m. El cine tiene capacidad para 500 personas.
a) ¿Cuál es un espacio muestral adecuado para este experimento?
b) Describa el evento A de que menos de 50 personas asistan a dicha fun-
ción.
c) Describa el evento Β de que el cine esté a más de la mitad de su capaci-
dad en dicha función.
SOLUCIÓN
a) El número de asistentes a la función puede variar desde 0 hasta 500; por lo
tanto, un espacio muestral para este experimento es Ω = ¡ωο,ω],ω3,...,ω5Οϋ},
donde o)k es el evento al que asistieron /c-personas en la función, por tanto:
El inspector de un distrito escolar urbano ha estimado las probabilidades
relacionadas con las calificaciones de un examen realizado a todos los estu-
diantes de este distrito. Los resultados aparecen en la siguiente tabla:
Si se elige un alumno al azar, indique la probabilidad de que su calificación
sea:
a) Mayor de 400
b) Menor o igual a 500
c) Mayor que 400, pero menor o igual a 600
SOLUCIÓN
Se observa que los eventos A, B, C, D, Ε y F son mutuamente excluyentes, en-
tonces:
a) La probabilidad de que la calificación del estudiante sea mayor de 400 está
dada por:
b) La probabilidad de que la calificación del estudiante sea menor o igual a 500
está dada por:
11.6
c) La probabilidad de que la calificación del estudiante sea mayor de 400, pero
menor o igual a 600 está dada por:
Se extrae una carta de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de
que sea un as o una espada?
Calificación (.v) Probabilidad Evento
544 CAPÍTULO 11 ■ Introducción a la probabilidad
SOLUCIÓN
Sea A el evento de que la carta extraída sea un as y Β una espada. Entonces
Además, los eventos A y Β no son mutuamente excluyen-
tes; de hecho, el evento es el de que la carta extraída sea un as de espadas.
En consecuencia, El evento de que la carta extraída sea un as o
con probabilidad dada por: una espada es
11.7 Dados calcular:
SOLUCIÓN
Para los incisos d) y e), se usan las leyes de Morgan (capítulo 1); con lo que
se tendrá:
11.8 De un grupo de 100 alumnos universitarios del último año, 60 estudiaron
biología, 20 geología y 10 astronomía. 15 biología y geología, 7 biología
y astronomía, y 3 geología y astronomía. Tres de los estudiantes cursaron
las tres materias. Si se selecciona al azar un estudiante del último año, ¿cuál
es la probabilidad de que éste haya estudiado por lo menos una de estas
materias?
Problemas resueltos 545
SOLUCIÓN
Sean B: el evento "el estudiante estudia biología"
G: el evento "el estudiante estudia geología"
A: el evento "el estudiante estudia astronomía"
Entonces, se tiene:
11.9 En México, la probabilidad de que un directivo sea egresado de una univer-
sidad privada o de que tenga maestría es de 60%. Si la probabilidad de que
sea egresado de una universidad privada es de 20% y la de que tenga maes-
tría es de 50%, ¿cuál es la probabilidad de que un directivo al azar sea
egresado de una universidad privada y tenga maestría?
SOLUCIÓN
Sea A el evento de que un egresado sea de una universidad privada y B el evento
que tenga maestría, entonces P(A) = 0.2 y P(B) = 0.5. Además, los eventos A y Β
no son mutuamente excluyentes; de hecho, el evento es el evento que un
directivo sea egresado de una universidad privada y tenga maestría con una pro-
babilidad Se sabe también que 0.6; con ello se obtiene:
11.10 Un estudiante tiene que aprobar un examen de matemáticas y otro de físi-
ca. La probabilidad de que apruebe matemáticas es de 0.4 y de que apruebe
por lo menos un examen es de 0.6. Calcular la probabilidad de que aprue-be física si se sabe que la probabilidad de que apruebe ambos exámenes es
de 0.1.
SOLUCIÓN
Sean los eventos A = {el estudiante aprueba matemáticas} y Β = {el estudiante
aprueba física}. Se tiene: 0.1; luego
entonces:
11.11 Los ahorradores de una pequeña población tienen tres bancos: A, Β y C.
Supóngase que 60% de las familias de la ciudad depositó sus ahorros en el
banco A, 40% en el Β y 30% en el C. También que de algunos habitantes,
por su tipo de actividad, 20% tienen sus cuentas en A y B; 10% en A y C;
20% en B y C, y 5% en los tres bancos. ¿Qué porcentaje de las familias de la
ciudad manejan sus cuentas en al menos uno de los tres bancos?
SOLUCIÓN
Aplicando la fórmula
donde los eventos A, B, C representan a los ahorradores
en el banco A, Β y C, respectivamente, se tiene .
0.2 - 0.1 - 0.2 + 0.05 = 0.85, lo cual significa que 85% de las familias de la ciudad
manejan sus cuentas en al menos uno de los tres bancos.
11.12 En un exhibidor del departamento de aparatos de sonido de una tienda hay
100 casetes en blanco, de los cuales se sabe que 10 están defectuosos. Si un
cliente elige seis de estas cintas, determine la probabilidad de que
a) dos estén defectuosas
b) al menos una esté defectuosa
546 CAPÍTULO 7 7 ■ Introducción a la probabilidad
SOLUCIÓN
a) Existen formas de elegir un conjunto de seis cintas de las cien, lo cual da
que es el número de resultados en un espacio muestral asociado con el
experimento. Ahora se observa que hay maneras de escoger un conjunto
de dos cintas de las diez defectuosas y de elegir un conjunto de cuatro no
defectuosas de las noventa en buenas condiciones. Por principio de multipli-
cación, existen formas de elegir dos cintas defectuosas y cuatro no
escoger seis cintas, de defectuosas; por tanto, la probabilidad del evento
las cuales dos estén defectuosas) está dada por:
b) Sea Β el evento de que ninguna de las cintas seleccionadas esté mal. Entonces
proporciona el evento de que al menos una lo este, pero por la regla de
complemento Para calcular P(B), existen formas de
elegir un conjunto de seis cintas en buen estado; por tanto:
11.13 Se lanza un par de dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los nú-
meros que caen hacia arriba sea 7 si se sabe que uno de los números es un 5?
SOLUCIÓN
Sea A el evento de que la suma de los números que caen hacia arriba sea 7 y sea
Β el evento de que uno de los números es un 5. Entonces se tiene que:
de modo que Por tanto:
Así, la probabilidad de que la suma de los números que caen hacia arriba sea 7,
dado que uno de los números es un 5, es:
11.14 En un estudio realizado por una universidad se determinó que de cada 1 000
nuevos alumnos, 600 son hombres y 400 mujeres. 50 hombres y 4 mujeres de
este grupo sufrían de daltonismo. Se escoge un alumno al azar de este gru-
po, ¿cuál es la probabilidad de que sea un hombre?
SOLUCIÓN
Sea D el evento de que un sujeto elegido al azar sea daltónico y sea Η el evento
de que el sujeto sea del sexo masculino. Como 54 de los 1 000 sujetos sufren
Problemas resueltos 547
daltonismo, se puede considerar La probabilidad de que un
sujeto sea hombre dado que es daltónico es:
Hay 300 estudiantes de último año en una escuela; de ellos, 140 son hom-
bres. Se sabe que 80% de los hombres y 60% de las mujeres tienen licencia
de conducir. Si se elige al azar un estudiante del último año, determine cuál
es la probabilidad de que:
11.15
a) Sea hombre y tenga licencia para conducir.
b) Sea mujer y no tenga licencia para conducir.
SOLUCIÓN
a) Sea Η el evento de que el estudiante sea hombre y L el evento de que tenga
licencia para conducir. Entonces, y P(L | H) = 0.8. Ahora bien, el
evento de que el estudiante elegido al azar sea un hombre y tenga licencia
para conducir es por la regla multiplicativa, la probabilidad de que
este evento ocurra está dada por:
b) Sea Μ el evento de que el estudiante sea una mujer y L como antes. Entonces
es el evento de que el estudiante no tenga licencia para conducir. Se tiene
El evento de que el estudiante elegido
por la al azar sea una mujer y no tenga licencia para conducir es
regla multiplicativa, la probabilidad de que este evento ocurra está dada por:
Encuentre un ejemplo de y los dos eventos A y Β para los cuales se veri- 11.16
fique que:
SOLUCIÓN
Entonces:
11.17 Una caja tiene 7 canicas rojas y 3 blancas. Se sacan tres de la caja, una des-
pués de otra. Encuentre la probabilidad de que las dos primeras sean rojas
y la tercera sea blanca.
548 CAPÍTULO 11 ■ Introducción a la probabilidad
SOLUCIÓN
puesto La probabilidad de que la primera canica sea roja (evento A) es P(A)
que hay 7 rojas entre 10 canicas. Si la primera canica es roja, entonces la probabili-
puesto que quedan 6 rojas dad de que la segunda sea roja (evento B) es P(B)
entre las 9 restantes. Finalmente, si las primeras 2 son rojas, entonces la probabili-
dad de que la tercera sea blanca (evento C) es P(C) puesto que hay 3 blancas
entre las ocho restantes en la caja. Por la regla multiplicativa, se tiene:
11.18 Para parejas de casados que viven en una cierta ciudad, la probabilidad de
que el esposo vote en alguna elección es de 0.21; la de que la esposa lo haga,
de 0.28, y la de que ambos voten, de 0.15. Determine cuál es la probabilidad
de que:
a) al menos un miembro de la pareja de casados vote
b) vote una esposa, dado que su esposo lo hace
c) vote un esposo, dado que su esposa no lo hace
SOLUCIÓN
Sean //el evento: "Esposo vote en elección" y Μ el evento "Esposa vote en elección".
De las condiciones del ejemplo:
Entonces:
11.19 Con base en su experiencia, un médico ha recabado la siguiente informa-
ción relativa a las enfermedades de sus pacientes: 5% cree tener cáncer y lo
padece; 45% cree tener cáncer y no lo padece; 10% no cree tener cáncer,
pero lo padece; por último, 40% cree no tenerlo y no lo padece. Calcular la
probabilidad de que:
a) un paciente tenga cáncer
b) un paciente tenga cáncer cuando cree no padecerlo
c) un paciente crea tener cáncer y no lo padezca
d) un paciente crea que tiene cáncer y sí lo padezca
SOLUCIÓN
Sean A el evento "El paciente cree tener cáncer" y Β el evento "El paciente tiene
cáncer".
Entonces:
Pero son mutuamente
excluyentes, entonces De la misma manera
se obtiene que
Problemas resueltos 549
Con base en lo anterior:
11.20 Cuatro amigos (Alberto, Beatriz, Carmen y Dante) se sientan alrededor de
una mesa a jugar el siguiente pasatiempo: cada uno de ellos lanzará un dado,
por turnos; el primero que saque el número uno ganará y se llevará de pre-
mio una fina vajilla para té importada de China y donada por la mamá de
uno de ellos. Alberto tira primero, luego Beatriz, etcétera. Nótese que en
teoría, el juego podría durar indefinidamente, pero eso es inverosímil. Calcule
las respectivas probabilidades que tiene cada uno de los cuatro amigos de
ganar el juego.
SOLUCIÓN
Sea p la probabilidad de que Alberto gane el juego. Por el momento p es una
incógnita y se tratará de determinar su valor tomando en cuenta las condiciones
del problema. Si Alberto inicia el juego tirando el dado y le sale un número
diferente de uno (la probabilidad de que ello ocurra es entonces Beatriz
puede hacer de cuenta que ella "acaba de iniciar el juego". Por tanto, la proba-
bilidad de que Beatriz gane el juego, dado que Alberto no sacó el uno es igual a
Por otra parte, si Alberto no saca el uno ni tampoco Beatriz (la probabilidad
de que esto ocurra es entonces Carmen puede hacer de cuenta que el
juego acaba de iniciarse. De aquí que la probabilidad de que Carmen gane el
juego, condicionada a que ni Alberto ni Beatriz sacaron el uno, es Por
el mismo argumento, la probabilidad de ganar el juego para Dante es igual a
Como por fuerza alguno de los cuatro va a ganar el juego, entonces:
Resolviendo esta ecuación de primer grado, se halla que
Habiendo despejadola incógnita p, entonces tenemos las si-
guientes probabilidades:
Jugador Probabilidad
550 CAPÍTULO 11 ■ Introducción a la probabilidad
son indepen- Sean encuentre 11.21
dientes.
SOLUCIÓN
Si A y Β son independientes, entonces
11.22 Se lanza tres veces una moneda. Sea A el evento que en el primer lanza-
miento aparece cara, Β el evento que por lo menos aparezcan dos caras y C
el evento en el que todos los resultados son iguales. ¿Son los eventos A, Β y
C independientes de dos a dos?
SOLUCIÓN
Los eventos A, Β y C son independientes dos a dos si:
Se tiene
Las probabilidades de
obtener cara o sol son iguales Ahora, calculamos:
entonces los
eventos A y C, y Β y C son independientes, pero A y Β no son independientes.
11.23 Suponga que 20% de las copias de un libro no pasan una prueba de calidad.
Si se toma una muestra aleatoria de 15 libros. ¿Cuál es la probabilidad de
que exactamente 2 no pasen la prueba?
SOLUCIÓN
Se tiene que:
11.24 Se realizó un estudio entrevistando a mujeres: 90% admitió que nunca ha-
bía leído la revista Vogue. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra
aleatoria de 3 mujeres, menos de 2 hayan leído la revista?
SOLUCIÓN
11.25 Suponga que la probabilidad de que una partícula emitida por un material
radioactivo penetre en cierto campo es de 0.01. Si se emiten 10 partículas,
¿cuál es la probabilidad de que sólo una de ellas penetre en el campo?
SOLUCIÓN
Problemas resueltos 551
11.26 Demuestre que para los ensayos de Bernoulli con 0.5 se tiene:
SOLUCIÓN
entonces:
de esta manera, queda demostrada la parte derecha de la desigualdad. Para la
parte izquierda:
11.27 En la producción de un lote grande de dispositivos electrónicos se cree que
son defectuosos. Si se selecciona al azar una muestra de cuatro, encuen-
tre la probabilidad de que no más de uno sea defectuoso.
SOLUCIÓN
Sea X una variable aleatoria discreta con función de distribución dada por
la siguiente tabla:
11.28
Calcule la media y la varianza para la variable X.
SOLUCIÓN
11.29 Sea X una variable aleatoria discreta con función de distribución dada por
la siguiente tabla:
calcule Si se sabe que
SOLUCIÓN
Se sabe que:
552 CAPÍTULO 11 ■ Introducción a la probabilidad
11.31 A un lector se le pide que lea y clasifique tres tipos de informaciones R, N, C, de
acuerdo con su preferencia. ¿Cuál es el espacio muestral para este experimento?
11.32 Los reporteros de un periódico pueden escoger una de 3 secciones donde se les
publicará su información. Ellos no tienen preferencia especial por qué sección los
publicará, ni los editores de las secciones por que reportero escribió la nota. Los 3
reporteros llegan a la redacción y eligen las secciones. ¿Cuál es el espacio muestral
para este experimento?
11.33 El experimento consiste en dividir los puntos del primer dado lanzado entre los
puntos del segundo. ¿Cuál es el espacio muestral para este experimento?
11.34 Cuál es el espacio muestral para los siguientes experimentos aleatorios:
a) Se tiene una caja con 10 esferas de color blanco y 10 de color negro. Se extraen
una tras otra y se anota su color. El procedimiento continúa hasta extraer de
forma consecutiva dos de color blanco o más de cuatro esferas
b) Lanzar dos dados distinguibles y observar los números que resultan
c) Lanzar dos dados no distinguibles y observar los números que resultan
11.35 En el castillo hay un cuarto de armas con 5 espadas y 5 armaduras de 5 caballeros.
A medianoche hay un combate y los caballeros deben vestirse y salir a pelear. ¿Cuál
es la probabilidad de que salgan con las armaduras y espadas correspondientes?
11.36 De una caja que contiene 15 tarjetas numeradas del 1 al 15, se sacan tres al azar.
Encuentre la probabilidad de cada evento en el que:
a) los tres números sean par
b) al menos un número sea impar
c) el producto de los tres números sea par
11.37 Se alinean al azar 8 bolas de color negro y 2 de color rojo. ¿Cuál es la probabilidad
de que las 2 bolas de color rojo queden juntas?
11.38 En una montaña hay 5 rutas para subir a la cima y 5 para bajar de la cima. ¿Cuál es
la probabilidad de que se encuentren 2 conocidos si uno sube y el otro baja?
Sea X una variable aleatoria discreta con función de distribución dada por
la siguiente tabla:
11.30
a) Calcule si se sabe que
b) Calcule la media y la varianza para la variable X.
SOLUCIÓN
Problemas propuestos
Problemas propuestos 553
11.39 En una escuela preparatoria se gradúan 100 alumnos, de los cuales 54 estudiaron
matemáticas, 69 historia y 35 ambas materias. Si se selecciona aleatoriamente uno
de estos estudiantes, encuentre la probabilidad de que
a) se haya dedicado a matemáticas o historia
b) no haya cursado ninguna de estas materias
c) haya estudiado historia, pero no matemáticas
11.40 Suponga que debe seleccionarse un comité de 12 personas aleatoriamente elegidas
entre un grupo de 100. Determine la probabilidad de que 2 personas concretas, A y
B, estén en el mismo equipo.
11.41 Las probabilidades de que un vendedor de automóviles venda en una semana cero,
uno, dos, tres, cuatro, cinco o más vehículos son 0.05, 0.10, 0.18, 0.25, 0.20 y 0.22,
respectivamente. Determine la probabilidad de que:
a) venda tres o más automóviles en una semana
b) venda tres o menos automóviles en una semana
11.42 Si se seleccionan al azar 3 libros de un estante que contiene 5 novelas, 3 libros de
poemas y 1 diccionario, determine la probabilidad de que
a) se tome el diccionario
b) se elijan dos novelas y un libro de poemas
11.43 Un paquete de 6 focos trae dos piezas defectuosas. Si se seleccionan 3 para su uso,
calcule la probabilidad de que ninguno tenga defectos.
11.44 Suponga que 4 clientes dejan su respectivo sombrero en el guardarropa de un res-
taurante y que esos sombreros les son devueltos aleatoriamente al marcharse. De
termine la probabilidad de que ningún cliente reciba su sombrero.
11.45 Las probabilidades de que una persona olvide enviar por correo una carta, descui-
de la colocación de una estampilla o ambos son 0.25,0.20 y 0.05, respectivamente.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona olvide enviar por correo una carta o
descuide la colocación de una estampilla?
11.46 Una caja contiene 20 unidades de cierto producto electrónico, de las cuales 4 están
defectuosas y las 16 restantes, en buenas condiciones. Se seleccionan aleatoriamente
4 unidades. Encuentre la probabilidad de que:
a) las cuatro unidades vendidas sean defectuosas
b) entre las cuatro unidades vendidas dos estén en buen estado y dos defectuosas
c) se venden al menos tres unidades defectuosas
11.47 Se sacan 6 zapatos de una fila compuesta por 10 izquierdos idénticos y 7 derechos
idénticos, que complementan los pares. Calcule la probabilidad de obtener:
a) tres pares
b) dos pares
11.48 Dado un grupo de 5 hombres y 10 mujeres, si se dividen al azar estas personas en
cinco grupos de tres miembros, ¿cuál es la probabilidad de que en cada grupo haya
un hombre?
11.49 Tres hombres y 4 mujeres van a sentarse en una fila. Encuentre la probabilidad de
que:
a) los hombres y las mujeres se sienten de forma alterna
b) todas las mujeres se sienten juntas
c) los extremos sean ocupados por hombres
554 CAPÍTULO 11 ■ Introducción a la probabilidad
11.50 Una secretaria, que escribió a máquina 4 cartas y 4 sobres, por descuido insertó las
cartas al azar dentro de los sobres. Encuentre la probabilidad de que
a) ninguna carta entró en el sobre correcto
b) al menos una carta entró en el sobre correcto
c) sólo una carta entró en el sobre correcto
d) tres cartas entraron en los sobres correctos
11.51 Se seleccionarán entre las personas de 3 subgerencias a 3 comisionadas para asistir
a un congreso en Nuevo León la próxima semana. Si hay 8 personas en la subgerencia
de mercado nacional, 4 en la subgerencia de logística y5 en la subgerencia de desa-
rrollo exterior, ¿cuál es la probabilidad de que vaya 1 persona de cada subgerencia?
11.52 Un atleta olímpico en México tiene una probabilidad de que se clasifique a las
finales de 0.95; de obtener medalla, de 0.6, y de ambas, de 0.2. ¿Cuál es la probabi-
lidad de que gane medalla si se clasificó a las finales?
11.53 Un funcionario tiene 2 invitaciones para representar a su país en reuniones inter-
nacionales. La seguridad de que vaya a Washington D.C. es de 85% y de que vaya a
Montreal, de 10%. Determine la probabilidad de que:
a) por lo menos vaya a un viaje
b) vaya a un viaje
11.54 La consultoría administrativa y la consultoría financiera son las más comunes entre
las que requieren las empresas. La primera es contratada entre 10% de las empre-
sas; la segunda, entre 15%, entre tanto que 3% de las empresas contrata ambas.
¿Cuál es la probabilidad, de que una empresa escogida al azar tenga al menos un
tipo de consultoría contratado?
11.55 Una empresa necesita aportaciones de sus socios para 2 proyectos. La probabilidad
de que los socios aporten al proyecto de pago anticipado de deuda es de 30% y que
aporten para expansión de capacidad productiva es de 60%. La probabilidad de
que aporten para ambos es de 8%. Cuál es la probabilidad de que:
a) aporten al menos en un proyecto
b) aporten a la expansión, si ya aportaron al pago anticipado de deuda
c) aporten al pago anticipado de deuda, si ya aportaron a la expansión
d) se apruebe la expansión, dado que no se aprobó el pago anticipado de deuda
e) se apruebe el pago de deuda dado que no se aprobó la expansión
11.56 El examen de reclutamiento que debe contestar un candidato ofrece 4 soluciones
posibles en opción múltiple. Suponga que la probabilidad de que el candidato sepa
la respuesta a la pregunta es de 0.8 y la de que tenga que contestar al azar es de 0.20.
Además la probabilidad de seleccionar la respuesta correcta al azar es de 0.25. Si el
candidato contesta correctamente la pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que real
mente sepa la respuesta correcta?
11.57 Una acción es seleccionada de una lista de 60,40 de las cuales tienen un rendimien-
to anual de 10% o más. Determine cuál es la probabilidad de que la acción pague
un dividendo anual
a) de 10% o más
b) menos de 10%
11.58 Un estudiante responde, de manera aleatoria, cada pregunta de un examen de 10
preguntas de falso-verdadero. Si cada pregunta tiene un valor de 10 puntos, calcule
la probabilidad de que el estudiante obtenga
a) 100 puntos
b) 90 o más puntos
Problemas propuestos 555
11.59 Encuentre la probabilidad de que se le reparta un full en un juego de poker. Un
full tiene 3 cartas de una clase y 2 de otra. Exprese su respuesta utilizando el símbo-
lo
11.60 El número de aviones en las flotillas de 5 aerolíneas líder que tienen teléfonos a
bordo aparece en la siguiente tabla:
Línea aérea Número de aviones
con teléfono
Tamaño de la
flotilla
A 50 295
Β 40 325
C 31 167
D 29 50
Ε 25 248
a) Si se elige al azar un avión de la línea A, ¿cuál es la probabilidad de que tenga
teléfono?
b) Si se elige al azar un avión de todas las flotillas de las cinco aerolíneas, ¿cuál es
la probabilidad de que traiga teléfono?
11.61 Se intentan introducir al mercado dos nuevos tipos de consultoría. El primero se
cree que tendrá una aceptación de 50% y el segundo de 75%, ¿cuál es la probabili-
dad de que ambos sean aceptados por el mercado?
11.62 Una urna contiene 2 canicas azules y 2 blancas. Si se sacan sin reemplazo de manera
aleatoria dos canicas, encuentre la probabilidad de que la segunda sea blanca, dado
que la primera es azul.
11.63 Después de una corrida inicial de producción de un nuevo estilo de escritorio metá-
lico, un técnico de control de calidad encontró que 40% de los escritorios tuvieron
un problema de alineación y 10% tuvieron tanto un defecto en el trabajo de pintura
como un problema de alineación. Si se selecciona aleatoriamente un escritorio de
esta corrida con un problema de alineación, ¿cuál es la probabilidad de que tam-
bién tenga un defecto en el trabajo de pintura?
11.64 Una compañía de artículos para computadoras colocará un anuncio de su nuevo
módem en una revista de computación. La compañía cree que el anuncio será leído
por 32% de los lectores de la revista y que 2% de aquellos que lean el anuncio
comprarán el módem. Encuentre la probabilidad de que un lector de la revista lea
el anuncio y compre el módem.
11.65 Una encuesta fue levantada entre los consumidores de refrescos de cola para ver
cuál de dos marcas prefieren. Se encontró que a 45% le gustó la marca A, a 40% le
gustó la marca Β y a 20% le gustaron las dos marcas. Suponga que una persona de
la encuesta es seleccionada aleatoriamente, determine cuál es la probabilidad
de que:
a) le haya gustado la marca A, dado que le gustaba la marca Β
b) le haya gustado la marca B, dado que le gustaba la marca A
11.66 Si una carta se saca de manera aleatoria de una baraja de 52, encuentre la probabi-
lidad de que sea un rey, dado que es de corazones.
11.67 Si se tira un dado, encuentre la probabilidad de obtener un número menor que 4, si
se sabe que el número obtenido es impar.
556 CAPÍTULO 11 ■ Introducción a la probabilidad
11.68 Si se lanza tres veces sucesivas una moneda, encuentre la probabilidad de obtener:
a) exactamente dos cruces, dado que el segundo lanzamiento fue cruz
b) exactamente dos cruces, dado que el segundo lanzamiento fue cara
11.69 La probabilidad de que el evento "Luis vive 20 años más" es 0.8, y la probabilidad
del evento "Ana vive 20 años más" es 0.85. Suponga que ambos eventos son inde-
pendientes y determine la probabilidad de que
a) Luis y Ana vivan 20 años más
b) al menos uno de ellos viva 20 años más
c) exactamente uno de ellos viva 20 años más
11.70 Una empresa requiere que cada aspirante realice una prueba de aptitud con 90%
de precisión. Calcule la probabilidad de que la prueba sea precisa para
a) los siguientes tres aspirantes examinados
b) al menos dos de los siguientes tres aspirantes examinados
11.71 Una urna contiene 3 canicas rojas, 6 blancas y 9 verdes. Se sacan dos canicas aleato-
riamente con reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que tengan el mismo color?
11.72 Se lanzan dos dados, uno rojo y otro verde. Encuentre la probabilidad de que el
dado rojo dé 4 y el verde un número mayor que 4.
11.73 Un examen de opción múltiple contiene cinco problemas. Cada problema tiene
cuatro opciones para la respuesta, pero sólo una de ellas es correcta. Suponga que
un estudiante elige al azar la respuesta a cada problema. Si las selecciones son inde-
pendientes, calcule cuál es la probabilidad de que el estudiante
a) tenga exactamente cuatro respuestas correctas
b) obtenga al menos cuatro respuestas correctas
c) obtenga tres o más respuestas correctas
11.74 Se lanzan dos dados. Calcule la probabilidad de que la suma de puntos obtenidos
sea igual a cuatro, si se sabe que el valor absoluto de la diferencia de los números
obtenidos es igual a dos.
11.75 Antes de las elecciones, las probabilidades de triunfo de cada uno de los cuatro
candidatos eran las siguientes: que ganara X, 0.4; que ganara Y, 0.2; que ganara Z,
0.3; que ganara T, 0.1. Calcule las probabilidades de triunfo de cada uno de los can
didatos si se sabe que Y no ganará.
11.76 De una baraja de 52 cartas se sacan dos sin reemplazo. Calcule la probabilidad de
que la segunda carta sea as si se sabe que la primera es menor que ocho.
11.77 Se lanzan tres dados. Calcule la probabilidad de que la suma de los números obte-
nidos sea mayor que diez si se sabe que la suma en los dos primeros dados es cinco.
11.78 En una urna hay b bolas blancas y c negras. De la urna se sacan dos bolas, una por
una sin reemplazo. Calcule la probabilidad de que en la segunda extracción salga la
bola negra si se sabe que la primera