Álgebra 2

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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
2
secundaria
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Matemática
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Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la 
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el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, 
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grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier 
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y 
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios 
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
Apertura
En esta sección 
encontrarás 
temas 
novedosos que 
propiciarán 
sostener 
una relación 
cercana con la 
Matemática.
se aborda el 
desarrollo del 
tema, donde 
encontrarás las 
definiciones 
organizadas 
siguiendo una 
secuencia 
didáctica.
Marco 
teórico
Conoce tu libro
Tema
163MateMática DELTA 2 - álgebra
Relaciones
11
La FIFA organiza las eliminatorias de la CONMEBOL 
(Confederación Sudamericana de Fútbol) o CSF 
para el campeonato mundial.
¿Cuál sería el fixture de la eliminatoria?
¿Cuántos enfrentamientos en total tendrá la 
eliminatoria?
Par ordenado
Es un conjunto de dos elementos donde se distingue un primer elemento y un segundo 
elemento denotado por:
 (a ; b)
Conceptos previos
Ejemplo:
• Son pares ordenados: (–7 ; 1)(2 ; 15)
• No es par ordenado: {3; 2}
Igualdad de pares ordenados
Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus respectivas componentes son 
iguales.
(a ; b) = (c ; d) ↔ a = c ∧ b = d
Ejemplo:
Si (7 ; 3b –1) = (2a + 3 ; 5), halla el valor de M = ab.
Resolución:
Por la propiedad de pares ordenados:
 (7 ; 3b –1) = (2a + 3 ; 5)
2a + 3 = 7
 2a = 4
 a = 2
3b – 1 = 5
 3b = 6
 b = 2
Piden el valor de M = a . b = 2 . 2 = 4
Producto cartesiano
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, definimos el producto cartesiano de A por B como 
el conjunto de todos los pares ordenados (a ; b) donde el primer elemento se toma de 
A y el segundo de B. Es decir:
A × B = {(a ; b) / a ∈ A ∧ b ∈ B} 
El producto cartesiano se puede determinar de diferentes maneras, entre ellas tenemos 
el diagrama del árbol, el diagrama sagital y el diagrama cartesiano.
primer elemento segundo elemento
Import a nt e
Not a
Import a nt e
(a ; b) (b ; a)
Relación: es 
el resultado 
de comparar 
dos cantidades 
expresadas en 
números.
Fuente: RAE
A × B ≠ B × A
El producto 
cartesiano de A por 
A, es decir, A × A se 
denota por A2.
Título del tema
Para una mejor 
organización, los temas 
están numerados.
Comentarios 
y/o lecturas que 
refuerzan el 
desarrollo del tema
152
1
2
3
4
5
6
Resuelve la inecuación
Resolución:
2x + 5
3 + 1 < 5.
Despeja la variable:
2x + 5
3 < 5 – 1
2x + 5 < 3(4)
2x < 12 – 5 ⇒ x <
7
2
3 7
2
4
x ∈ 〈–∞ ; 
7
2
〉
Rpta. 〈–∞ ; 
7
2
〉
Rpta. C.S. = [3 ; 9]
Rpta. 〈–∞ ; 5] ∪ [11 ; +∞ 〉
Resuelve la inecuación x2 + 27 ≤ 12x.
Resolución:
Tenemos: x2 – 12x + 27≤ 0
x –9
x –3
(x – 9)(x – 3) ≤ 0
P.C.: x – 9 = 0 ; x – 3 = 0
 x = 9 x = 3
+ – +
3 9
P(x) ≤ 0 ↔ x ∈ [3 ; 9] 
Resuelve la inecuación x2 + 55 ≥ 16x.
Resolución:
Tenemos: x2 – 16x + 55 ≥ 0
 x –11
 x –5
 (x – 11)(x – 5) ≥ 0 
P.C.: x – 11 = 0 ; x – 5 = 0
 x = 11 x = 5
+ – +
5 11
P(x) ≥ 0 ↔ x 〈–∞ ; 5] ∪ [11 ; +∞ 〉
Indica el menor valor entero de x.
Resolución:
Multiplicamos por el MCM(2; 4; 5) = 20
Rpta. 21
Rpta. {–3; –1}
x
2
+
x
4
+
x
5
+ 1 < x
x
2
+
x
4
+
x
5
+ 120 < 20(x)
10(x) + 5(x) + 4(x) + 20(1) < 20x
 19x – 20x < –20
 –x < –20
 × (–1): x > 20
19 20 21
El menor valor entero de x es 21.
Halla el conjunto solución de la igualdad. 
|2x + 5| = |x + 4|
Resolución:
Sabemos que: |x| = |a| → x = a ∨ x = –a
Entonces:
2x + 5 = x + 4 ∨ 2x + 5 = –x – 4
2x – x = 4 – 5 2x + x = –4 – 5 
 x = –1 3x = –9
 x = –3Luego: C.S.= {–3; –1}
Rpta. 34
Calcula la suma de los valores enteros de x que 
verifican la inecuación.
x
2 – 1 ≤ 4
Resolución:
Sabemos que: |x| ≤ a ⇒ –a ≤ x ≤ a
Entonces: –4 ≤ x2 – 1 ≤ 4
+ 1 : –3 ≤ x2 ≤ 5
× 2 : –6 ≤ x ≤10
Los valores enteros de x:
x = {–6; –5; –4;...; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Piden:
S = – 6 – 5 – 4 – ...+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 
S = 7 + 8 + 9 + 10 = 34
Ejercicios resueltos
Nombre de la 
sección
Algoritmo de 
resolución 
del problema 
planteado.
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas 
reales o simuladas, 
planteadas de 
acuerdo al tema.
Ejercicios 
resueltos
se muestran 
ejercicios que 
están resueltos 
didácticamente, 
los mismos que 
servirán para 
el análisis del 
estudiante.
3MateMática Delta 2 - álgebra
Síntesis
Contenido del tema, 
que incluye teoremas, 
postulados, fórmulas, 
propiedades, leyes, etc., 
resumido en organizadores 
gráficos para tener un 
panorama general del 
contenido.
Modela y resuelve
Los problemas con 
numeración impar serán 
resueltos por el docente, 
mientras que los pares serán 
resueltos por el estudiante 
siguiendo la secuencia 
realizada.
120
Síntesis
Modela y resuelve 
2
4
1
3
Ecuaciones 
cuadráticas
Forma
Ax2 + Bx + C = 0; A ≠ 0
Solución Propiedades de las raíces
Factorización Fórmula
Aspa simple 
Agrupación 
Identidades
x = –B 
B2 – 4AC
2A
 Discriminante
 = D = B2 – 4AC
Reconstrucción de una 
ecuación de raíces x1 y x2
x2 – Sx + P = 0
Donde: S = x1 + x2 ∧ P = x1 . x2
1. Suma de raíces : x1 + x2 =
–B
A
2. Producto de raíces: x1 . x2 = 
C
A
Recuerda
(x1 + x2)
2 – (x1 – x2)
2 = 4x1 . x2
Raíces simétricas 
(opuestas) x; –x
Suma: 0
B = 0
Raíces recíprocas
(inversa multiplicativa) x; 
1
x
Producto:1
A = C
Resuelve la ecuación x2 = –3x. Resuelve la ecuación x2 = 11x.
Resolución: Resolución: 
Resolución: Resolución: 
Desarrolla la ecuación 4x2 = 9. Desarrolla la ecuación 9x2 = 16.
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Nombre de la 
sección
Nombre de la 
sección
Espacio para resolver 
el problema.
Organizador 
visual
Enunciado del 
problema o de la 
situación planteada.
110
5
6
7
8
Practica y demuestra
1
4
2
3
Nivel I
Indica si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
( ) Si x + 5 = 3 x = 2
( ) La ecuación 3x + 6 = x – 2, es lineal
( ) {(2 ; 1)} es la solución de
( ) x = 4 es la solución de 2x – 3 = 9 – x
x + y = 3
x – y = 2
 A VFVF B FFVV C VVFF 
 D FVFV E FFVV
Relaciona la ecuación con el valor que la verifica.
I. 2(x – 1) = x + 1
II. x
2
 + 1 = 3
III. 2 + x
3
 = 4
IV. 2x – 5 = 1 – x
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
 A Ia; IIb; IIIc; IVe B Ib; IIe; IIIc; IVa
 C Ib; IIa; IIId; IVe D Ic; IIe; IIIa; IVd 
 E Ib; IIc; IIIe; IVa
Resuelve la ecuación x – [–(x + 1) – 4 – x] = 11. 
 A {–1} B {2} C {0} 
 D {1} E {3}
Determina el valor de x que verifica la ecuación.
x + 1
32 + = 5
 
 A 5 B 6 C 9 
 D 7 E 8
 A 10 B 9 C 7 
 D 11 E 12
Resuelve la ecuación.
x + 2
3
x + 1
2+ = x
 A {7} B {8} C {9} 
 D {6} E {5}
Indica el valor de x que verifica la ecuación.
x – 3
2 + 1
5 + 6 = 7
Halla el valor de x en el sistema.
3x + 2y = 10
 2x – y = 9
 A –1 B 4 C –2 
 D 5 E 6
Resuelve el sistema.
 4x + y = 14
3x – 2y = 5
 A {(1 ; 4)} B {(2 ; 3)}
 C {(2 ; 1)} D {(3 ; 2)} 
 E {(2 ; 4)}
Preguntas 
planteadas, 
estas pueden 
ser situaciones 
reales o 
simuladas.
Espacio 
para realizar 
anotaciones de 
resolución.
AlternativasNombre de la sección
Test
Esta evaluación incluye 
preguntas del contenido de 
los temas desarrollados en 
la unidad y son de elección 
múltiple.
Practica y 
demuestra
En esta sección se 
plantean preguntas que 
han sido organizadas por 
niveles de complejidad 
y de elección múltiple 
en la que el estudiante 
demostrará lo aprendido 
durante la sesión.
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas reales o 
simuladas, planteadas de 
acuerdo a la unidad.
Número de test
Alternativas
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 4
191MateMática DELTA 2 - álgebra
Relaciona cada inecuación con su conjunto 
solución.
Determina el conjunto solución de la inecuación
x
4 + 
x
3 – 
x
2 > x – 11, si x es positivo.
Halla el número de valores enteros que verifican 
la desigualdad.
(x – 4)(3x – 4) < 2(x – 4)
Si M = {2; 5; 2; 3; 6; 2} y N = {1; 4; 2; 1}, ¿cuántos 
elementos tendrá M × N?
Si (n ; n) = (3x – 9 ; x + 7), calcula el valor de A.
A = 
n
5
5
4
Luego de resolver la inecuación x2 + 1 ≤ 4x, 
encuentra el mayor valor entero que puede tomar 
la variable x.
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
6
A Ib; IIe; IIIc; IVa B Ie; IId; IIIc; IVb
C Ib; IIe; IIId; IVa D Ie; IIa; IIId; IVb 
A 1 B 2
C 3 D 4
I. x2 > 9 
II. x2 < 9
III. |x + 3| < 6
IV. –4x < –12 
a. 〈–∞ ; 3〉
b. 〈3 ; +∞ 〉
c. 〈–9 ; 3〉
d. 〈–3 ; 3〉
e. 〈–∞ ; –3〉 ∪ 〈3 ; +∞ 〉
A 0 B 1
C 4 D 2
A 0 B 1
C 2 D 3
A 12 B 9
C 6 D 2
A [0 ; 12〉 B 〈0 ; 12]
C 〈0 ; 12〉 D [1 ; 12〉
4
5MateMática Delta 2 - álgebra
1
3
2
4
R
es
ue
lv
e 
pr
ob
le
m
as
 d
e 
re
gu
la
rid
ad
, e
qu
iv
al
en
ci
a 
y 
ca
m
bi
o
Traduce datos 
y condiciones 
a expresiones 
algebraicas y 
gráficas.
operaciones básicas en 8
El conjunto de números racionales ( )
Operaciones con números racionales
Número racional como decimal
Operaciones combinadas
potenciación 23
Definiciones
Propiedades
Operaciones combinadas
polinomios 37
Definiciones
Polinomios
Operaciones con polinomios
productos notables 53
Productos de binomios
Identidades de Legendre
Binomio al cubo
Trinomio cuadrado perfecto
división algebraica 68
Métodos para dividir polinomios
Teorema del resto
Factorización 84
Factor primo
Métodos para factorizar
ecuación lineal y sistema de ecuaciones lineales 99
Definiciones
sistema de ecuaciones lineales
Métodos para resolver sistemas lineales
ecuación cuadrática 113
Análisis de las raíces
Propiedades de las raíces
Raíces especiales
planteo de ecuaciones 128
Enunciado verbal
Enunciado algebraico
desigualdades e inecuaciones 147
Definiciones
sistema de inecuaciones
Planteo de inecuaciones
relaciones 163
Conceptos previos
Tipos de relaciones
Funciones 176
Definición previa
Propiedades
Funciones especiales
unidad competencia y capacidades contenidos pedagógicos páginas
Comunica su 
comprensión 
sobre las 
relaciones 
algebraicas.
Usa estrategias 
y procedimientos 
para encontrar 
equivalencias y 
reglas generales.
Argumenta 
afirmaciones 
sobre relaciones 
de cambio y 
equivalencia.
Índice
y su método
para dividir
Luego, Ruffini fue elegido catedrático de Elementos de Matemáticas en 1791. Sin embargo, 
Ruffini no era solo matemático. También, en 1791, obtuvo la licencia para ejercer la 
medicina en Módena.
Algunos años más tarde, Napoleón Bonaparte fundó la República Cisalpina, en la que se 
sugiere a Ruffini formar parte del consejo; este, al negarse a pronunciar el juramento de 
fidelidad a la República, fue apartado de la docencia y cargos públicos.
Al verse en esta nueva situación, Ruffini asumió que si ya no podía enseñar Matemática, 
podría dedicarle más tiempo a su profesión de médico y a sus pacientes. Así, ejerció la 
medicina durante 6 años, hasta la caída del dominio napoleónico, año en que fue restituido 
a su puesto por las tropas austriacas y retornó a las aulas a dar clases de matemáticas 
aplicadas en la Escuela Militar.
Durante el año 1814 lo nombraron rector de la Universidad de Módena, y en 1816, presidente 
de la Sociedad Italiana «Dei Quaranta». Un año más tarde, durante la epidemia de tifus, 
contrajo esta enfermedad, la misma que lo acompañó hasta el día de su muerte el 9 de 
mayo de 1822. 
Paolo Ruffini nació el 22 de septiembre 
de 1765 en Valentano (actualmente en 
Italia), fue hijo de Maria Francesca Ippoliti 
y el médico Basilio Ruffini. Estudió Medicina, 
Matemática, Filosofía y Literatura en la 
Universidadde Módena, donde se graduó 
en 1788. Tuvo como profesores a Luigui Fantini 
en Geometría y a Paolo Cassiani en Cálculo. 
Desde un año antes, empezó a dictar clases de 
Matemática en la misma universidad.
Ruffini
Polinomios
6
Desempeños
• Establece relaciones entre valores desconocidos y las transforma a expresiones algebraicas, a 
ecuaciones lineales, a inecuaciones, a funciones lineales con expresiones fraccionarias o decimales.
• Comprueba si la expresión algebraica o gráfica (modelo) que planteó le permitió solucionar el 
problema, y reconoce qué elementos de la expresión representan las condiciones del problema: 
datos, términos desconocidos, relaciones de equivalencia entre dos magnitudes.
• Expresa, con diversas representaciones, su comprensión sobre la solución de una ecuación lineal y 
sobre el conjunto solución de una desigualdad, así como su comprensión de las diferencias entre una 
proporcionalidad directa e inversa, para interpretarlas y explicarlas en el contexto de la situación.
• Selecciona y combina recursos, estrategias heurísticas y el procedimiento matemático para simplificar 
expresiones algebraicas usando propiedades de la igualdad y propiedades de las operaciones, 
solucionar ecuaciones e inecuaciones lineales, y evaluar el conjunto de valores de una función lineal.
• Plantea afirmaciones sobre las propiedades que sustentan la igualdad o la simplificación de expresiones 
algebraicas para solucionar ecuaciones e inecuaciones lineales que descubre; también sobre las 
diferencias entre la función lineal y una función lineal afín. Justifica la validez de sus afirmaciones 
mediante ejemplos y sus conocimientos matemáticos.
Fuentes:
biografiasyvidas.com, buscabiografias.com, matesfacil.com, uptc.edu.co, rtve.es
El método de Ruffini
Paolo Ruffini es conocido por los 
matemáticos por ser el descubridor del 
método que lleva su nombre, el mismo 
que permite hallar los coeficientes del 
polinomio que resulta de la división de 
un polinomio por el monomio x – a.
Otra de sus grandes contribuciones a la Matemática fue la demostración de la imposibilidad 
de la solución general de las ecuaciones algebraicas superiores al cuarto grado, aunque 
cometió ciertas inexactitudes que serían corregidas por el matemático noruego Niels 
Abel. En aquella época, todo el mundo –incluido el matemático Lagrange– creía que 
las ecuaciones de quinto grado podían resolverse por radicales. Sin embargo, Ruffini 
aseguró todo lo contrario, basándose en la teoría de grupos siguiendo y superando a 
Lagrange en el uso de permutaciones.
La mayoría de los matemáticos de su época ignoraron a Ruffini, pues se adelantó 
a su tiempo con una demostración para la que no estaban preparados, incluido 
Lagrange. Además se anticipó a la teoría de grupos, desarrollada más tarde 
por Galois.
Entre sus obras destacan Teoría general de la ecuación general de grado 
superior al cuarto y Reflexión en torno a la solución de la ecuación algebraica 
general.
(3x3 – 5x2 + 2) : (x – 2)
Cociente = 3x2 + x + 2 Resto = 6
Multiplicamos
Sumamos ambas filas
Al faltar el 
coeficiente en x, 
ponemos 0
 3 –5 0 2
2 6 2 4
 3 1 2 6•
7
8
Tema 1
Operaciones básicas en 
Es todo número que puede representarse como la división de dos números enteros, 
es decir, una fracción común a
b
 con numerador a y denominador b diferente de cero.
Operaciones con números racionales
El conjunto de números racionales ( )
Import a nt e
Las fracciones 
homogéneas tienen 
denominadores 
iguales.
Las fracciones 
heterogéneas tienen 
denominadores 
diferentes.
 = 
a
b / a ∈ Z, b ∈ Z – {0}
Ejemplos:
a) –34
Es la división de dos 
enteros, entonces es 
racional.
b) 
Se puede escribir como 
24
10
, entonces es racional.
2,4
c) 
Es la división de dos 
enteros, entonces es 
racional.
d) 
El valor de p no puede 
escribirse como una 
división de enteros, 
entonces NO es racional.
p
e) 
Se puede escribir como 
3
1
, entonces es racional. f) 
No está definido, entonces 
NO es racional.
1
7
3 30
¿Sa bía s qu e.. .?
Re cu e rda
 es la inicial de la 
palabra quotient 
(cociente, en inglés).
a
b
Numerador
Denominador
Adición / Sustraccion
Para realizar adición y/o sustracción en Q, se debe tomar en cuenta el denominador.
• Con el mismo denominador, se suman y/o restan los numeradores.
 Ejemplos:
x
y ±
z
y =
x ± z
y
• Con denominadores diferentes, se busca un denominador 
común. Luego, se suman y/o restan los numeradores.
 Ejemplos:
a) 5
3
+ 1
3
– 4
3
=
5 + 1 – 4
3
=
2
3
b) 2
7
– 3
7
+ 8
7
=
2 – 3 + 8
7
=
7
7
= 1
a) 7
2
+ 2
3
= 7 × 3 + 2 × 2
2 × 3
= 25
6
Multiplicación
• Cuando se multiplican números racionales, se multiplican los 
numeradores y los denominadores.
 Ejemplos:
x
y ±
z
w =
xw ± zy
yw
a
0
, no está definido b)
8
5
– 3
4
=
8 × 4 – 5 × 3
5 × 4
=
= 21 + 4
6
=
17
20
32 – 15
20
a) 9
2
. 8
3
=
9 . 8
2 . 3
= 12
b) 12
25
. 10
18
=
12 . 10
25 . 18
=
=
3 . 4
1 . 1
=
4
15
2 . 2
5 . 3
x
y
. z
w =
xz
yw
La constante 
matemática pi (p)
su valor es:
p = 3,141592.....
Se llaman:
9MateMática Delta 2 - álgebra
Import a nt e
Re cu e rda
División
Cuando se dividen números racionales en forma horizontal, se 
invierte el divisor y se multiplica.
Ejemplos:
x
y ÷
z
w =
x
y
. w
z dividendo
x
y ÷
z
w
divisora)
9
2
÷
6
5
= 9
2
=
3 . 5
2 . 2
=
15
4
b)
5
6
.
5
3
÷
25
9
= 5
3
=
5 . 9
3 . 25
=
1 . 3
1 . 5
9
25
. =
3
5
Cuando se dividen números racionales en forma vertical, se 
multiplican los extremos y este se divide entre el producto de los 
medios.
Ejemplos:
a) 8
30
=
4 . 15
8 . 30
=
1
4
=
1 . 1
2 . 2
15
4
b) 15
16
=
45 . 24
15 . 16
=
9
2
=
3 . 3
1 . 2
24
45
x
y
z
w
=
xw
yz
Obse rva
xy
a ÷
x2
a =
xya
axx =
y
x
a2b
xy
ab2
y2
=
aabyy
xyabb =
ay
bx
Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que solo puede 
ser de tres tipos, exacta, periódica pura y periódica mixta.
Número racional como decimal
Exacta
La parte decimal tiene un número finito de cifras, expresión «finita» o «terminal».
Ejemplos:
a) 2
5
= 0,4 b) 1
125
= 0,008
Periódica pura
Toda la parte decimal se repite indefinidamente.
Ejemplos:
a) 1
11
= 0,090909... = 0,09 b)
2
3
= 0,6666... = 0,6
Periódica mixta 
Tiene parte decimal exacta y parte decimal que se repite.
Ejemplos:
a) 1
30
= 0,033333... = 0,03 b)
11
90
= 0,1222... = 0,12
Responde:
De los siguientes números, cuáles son racionales:
a) 0,45 decimal exacto, se puede escribir como: 
45
100
=
9
20
 entonces es un número 
racional.
b) 0,1234567... decimal no periódico, entonces NO es un número racional.
c) 0,23333... decimal periódico mixto, se puede escribir como: 23 – 2
90
=
21
90
=
7
30
; 
entonces es un número racional. 
Fracción generatriz
Transformación de 
un decimal a fracción
• Decimal exacto
cifras significativas
0,ab = 
ab
100
dos cifras 
decimales
tantos ceros 
como cifras
decimales
• Decimal periódico 
puro
cifras periódicas
0,ab = 
ab
99
dos cifras
periódicas
tantos nueves
como cifras 
periódicas
• Decimal periódico 
mixto
cifras significativas 
menos cifras no 
periódicas
0,abc = 
abc – a
990 
tantos nueves como cifras 
periódicas, seguidas de 
tantos ceros como cifras 
decimales no periódicas.
10
1 . 1
3 . 2
13
5
Operaciones combinadas
Cuando aparecen operaciones combinadas, es necesario seguir la prioridad de los 
signos de operación en el siguiente orden:
1.° Se realizan las multiplicaciones y divisiones.
2.° Se realizan las adiciones y sustracciones.
3.° Si en un término aparecen operaciones de multiplicación y división, se evaluará de 
izquierda a derecha.
4.° Si en la expresión aparecen signos de colección, deberá operarse primero la parte 
interna, de acuerdo a los pasos anteriores. 
Calcula el valor de
3
5
M = +
2
3
÷
5
6
×
10
4
Resolución:
Tenemos:
3
5
M = +
2
3
÷
5
6
×
10
4
Evaluamos la división.
3
5
M = +
.
2
3
×
6
5
×
10
4
Evaluamos la multiplicación.
3
5
M = +
2 . 6 . 10
3 . 5 . 4
= 3
5
+
1 . 1. 10
1 . 5 . 1
3
5
M = +
10
5
=
.
Al final, sumamos las fracciones 
homogéneas.
Determina el valor de
7
2
A = +
1
2
1
6
+
4
3
1
4
1
8
Resolución:
Tenemos:
7
2
A = +
1
2
1
6
+
4
3
1 . 2
4 . 2
1
8
Evaluamos el paréntesis interior, luego 
de buscar fracciones homogéneas.
7
2
A = +
1
2
1
6
+
4
3
2 – 1
8
7
2
A = +
1
2
1
6
4 . 1
3 . 8
+ =
7
2
+
1
2
1
6
+
7
2
A = +
1
2
1 + 1
6
=
7
2
+
1 . 2
2 . 6
A = 
7 . 3
2 . 3
+
1 . 1
1 . 6
=
21 + 1
6
=
22
6
=
11
3
Multiplicamos, dentro del paréntesis.
Sumamos, dentro del paréntesis.
Multiplicamos
Al final, sumamos y reducimos.
Import a nt e
Signos de colección
( ) : paréntesis
[ ] : corchetes
{ } : llaves
Obse rva
Homogeneizar:
4
5
; 3
4
; 2
3
1. Buscamos el 
menor número 
que contiene a los 
denominadores 
(Mínimo común 
múltiplo)
MCM(5; 4; 3) = 60
2. Buscamos 
que todos los 
denominadores 
sean 60 (en este 
caso) multiplicando 
al numerador 
y denominador 
por una misma 
cantidad en cada 
fracción.
4 . 12
5 . 12
; ;3 . 15
4 . 15
2 . 20
3 . 20
48
60
45
60
40
60
; ;
Ejemplo 2 
Ejemplo 1 
11MateMática Delta 2 - álgebra
Encuentra el valor de R.
R = 
1
3
1 +
5
3
+
5
2
1
2
+ 1
Resolución:
Tenemos:
R = 
3
3
5
3 +
1
2
+ 1
3
+ 2
2
5
2
=
3 + 1
3
5
3
+
1 + 2
2
5
2
5
2
Homogeneizamos (denominador y 
numerador) para sumar fracciones.
R = 
5 . 3
3 . 4
+
2 . 3
2 . 5
=
3
5
+
5
4
R = 5 . 5
4 . 5
+ 3 . 4
5 . 4
37
20
= =
25 + 12
20
Multiplicamos extremos, este dividimos entre 
el producto de los medios para luego reducir.
Al final, homogeneizamos fracciones para 
sumarlas.
Halla el perímetro de la figura (lados en centímetros).
3
2
2
5
1,7
0,3
3
4
7
5
Resolución:
Sabemos que el perímetro es la suma de las medidas de todos los lados.
P = 32 + 1,7 +
7
5 +
3
4 +
2
5 + 0,3
P = 3 . 2
2 . 2
+
3
4
+
7
5
+
2
5
+ 17
10
+
3
10
=
6 + 3
4 +
7 + 2
5
+
17 + 3
10
P = 
9 . 5
4 . 5
+
9 . 4
5 . 4
+
20 . 2
10 . 2
MCM(4; 5; 10) = 20, buscamos que los denominadores 
sean 20.
P = = = 6,05 cm 
45 + 36 + 40
20
121
20
Obse rva
En:
f =
todos los términos 
(dos en el 
numerador y dos 
en el denominador) 
tienen como factor 
común a: n
Entonces:
n . b + n . c
n . d – n . e
f =
f =
nb + nc
nd – ne
b + c
d – e
Ejemplo 3 
Ejemplo 4 
12
A = 1 +
1
2 – 1
1 + 
3
2
2 – 
1
L = 2 . ÷
Determina el valor de A.
Halla el valor de L.
Resolución:
Tenemos:
Resolución:
Tenemos:
A = 1 + 1
2 – 1
1 + 
3
2
2 – 
1
2 . 2
2
3
2
= 1
2 Primero reduce el denominador.
1
1
1
1
1
n
1
a
1
2
1
a
a
1
1
a
1
n
= 
= 
= 
= 
= 
1 . 2
1 . 1
a . 1
1 . 1
1 . 1
n . a
= 2 
• f =
• h =
Luego, realiza producto de 
extremos sobre producto de 
medios.
A = 1 +
1
2 – 11 + 2
= 1 +
1
1
–
2 +
2 . 3
3
1
3
1
3
= 1 +
1
5
3
1
A = 1 +
1 . 3
1 . 5
1 . 5
5
3
5
8
5
3
8
3
4
= +
+
L = 1 . 7
7
3
7
10
7
=+
L = 1
1
7
3
+
L = 1 1 . 3
1 . 77
3
1
1 = 1 ++
=
Obse rva
.L =
1
+ 1
3
2 . 3
3
4
3
3
4
+
Ejemplo 5 
Ejemplo 6
13MateMática Delta 2 - álgebra
 Determina el valor de A + B.
7
9
–
2
9
+
4
9
A =
2
3
. 9
4
B =
Resolución:
Tenemos:
7
9
–
2
9
+
4
9
A =
7 – 2 + 4
9
 = =
9
9
= 1
B =
2
3
. 9
4
=
2 . 9
3 . 4
1 . 3
1 . 2
= =
3
2
A + B = 1 + 
3
2
2 + 3
2
= =
5
2 5
2
 Encuentra el valor de la expresión R.
Rpta. 
 Halla el valor de S.
Resolución:
3
5
+
1
2
÷ ×
3
4
6
5
S =
Tenemos: 3
5
+
1
2
÷ ×
3
4
6
5
S = Producto y división de 
izquierda a derecha
3
5
+
1
2
× ×
4
3
6
5
 = Simplificamos para multiplicar
3
5
 = +
1 . 4 . 1
1 . 1 . 5
=
3
5
+
4
5
3 + 4
5
 = =
7
5
Rpta. 
 Calcula el valor de R.
R =
4
3
4
3
2 +
2 –
Resolución:
Tenemos:
R =
4
3
+
2 . 3
3
4
3
–
2 . 3
3
 =
2 . 3 + 4
2 . 3 – 4
 =
10
2
= 5
Rpta. 5
Homogeneizamos las fracciones; 
luego, simplificamos.
Multiplicamos y sumamos
Resolución:
Buscamos el MCM(2; 3; 6) = 6 de los 
denominadores para homogeneizarlos:
3
2
–
1
3
+
7
6
R = 2 –
R =
2 . 6
6
–
3 . 3
2 . 3
–
1 . 2
3 . 2 +
7
6
 =
12 – 9 – 2 + 7
6
 =
8
6
=
4
3
Rpta. 
4
3
 Indica el valor de E.
E =
1
2
1
3
1
2
+ 1 + 1+ 1
Resolución:
Tenemos:
E =
1
2
=
1
2
=
1
2
=
1
2
1
3
1
2
2
2
+ + 1+ 1
1
3
1 + 2
2
+ 1+ 1
1 . 3
3 . 2
+ 1+ 1
1
2
+ 1+
2
2
=
1
2
3
2
+ 1 =
3
4
+
4
4
=
3 + 4
4
=
7
4
Rpta. 
7
4
 Descubre el valor de M.
M =
1
2
1 +
1
3
1 –
1
4
1 +
1
5
1 –
Resolución:
Tenemos:
M =
1
2
+
2
2
1
3
–
3
3
1
4
+
4
4
1
5
–
5
5
=
2 + 1
2
3 – 1
3
4 + 1
4
5 – 1
5
=
3
2
2
3
5
4
4
5
= 1
Rpta. 1
1 4
5
2
3
6
Ejercicios resueltos
7
5
14
 Determina el valor de H.
Resolución:
Tenemos:
H =
4
3
÷ +
8
6
2
3
1
. 3
1
3
H =
4
3
÷ +
8
6
2
3
1 3
. 1
1
31
=
4
3
. 6
8
+
1 . 1
2 . 3
. 3 . 3
1 . 1
 =
1 . 2
1 . 2
+
3
2
=
5
2 Rpta. 
5
2
 Halla el denominador de la fracción equivalente a M.
M =
2
a
+
2
3a
–
1
6a
Resolución:
Buscamos el MCM(a; 3a; 6a) = 6a, de los 
denominadores para homogeneizarlos:
M =
6 . 2
6 . a
+
2 . 2
2 . 3a
– 1
6a
 =
12 + 4 – 1
6a
 =
15
6a
=
5
2a
Luego, el denominador es 2a.
Rpta. 2a
 Calcula el perímetro de la figura (medidas en cm).
1,1
2,4
5
2
2
3
1
3
2
5
Resolución:
Tenemos:
E = 2,4 + 
5
2
 + 1,1 + 
2
3
 + 
2
5
 + 
1
3
 
 = 3,5 + 
5
2
 + 
2
5
 + 
2 + 1
3
 = 
7
2
 + 
5
2
 + 
2
5
 + 
3
3
 = 
7 + 5
2
 + 
2
5
 + 1 = 7 + 
2
5
 = 
7 . 5
5
 + 
2
5
 = 
37
5
 cm
Rpta.
37
5
 Reduce H.
H =
x – 1
x + 3
+
2x + 16
2x + 6
3x + 6
3x + 9
+
Resolución:
Simplificamos:
H =
x – 1
x + 3
+ +
2(x + 8)
2(x + 3)
3(x + 2)
3(x + 3)
 =
x – 1
x + 3
+
x + 8
x + 3
+
x + 2
x + 3
 =
x – 1 + x + 8 + x + 2
x + 3
=
3x + 9
x + 3
=
3(x + 3)
x + 3
= 3
Rpta. 3
 Encuentra el valor de E.
E = 
1
2
1 +
1
4
1 +
1
6
1 +
1
8
1 +
1
2
1 –
1
4
1 –
1
6
1 –
1
8
1 –
Resolución:
Tenemos:
E = 
1
2
2
2
+
1
4
4
4
+
1
6
6
6
+
1
8
8
8
+
1
2
2
2
–
1
4
4
4
–
1
6
6
6
–
1
8
8
8
–
 = 
3
2
5
4
7
6
9
8
1
2
3
4
5
6
7
8
= 9
Rpta. 9
 Indica el valor de la expresión E. 
E = 1 +
2 + 
1
1 – 1
2
1
Resolución:
Realizamos operaciones:
E = 1 +
2 + 
1
1 – 1
2
1 = 1 +
2 + 
1
1
1
1
2
= 1 + 1
2 + 2 
 = 1 +
1
4
= =
4 + 1
4
5
4
Rpta. 
5
4
7
8
9
10
11
12
cm
15MateMática Delta 2 - álgebra
Modela y resuelve 
Síntesis
Operaciones 
básicas en Q
Operaciones
Adición/Sustracción
Se busca un denominador común, luego 
suma y/o resta los numeradores.
Multiplicación
Se multiplican los numeradores y los 
denominadores.
División
Se invierte el divisor y se multiplica.1.o ( ); [ ]; { } signos de colección
2.o × ; ÷ multiplicación y división (de izquierda a derecha)
3.o + ; – sumas y restas
x
y
z
w
± = xw zyyw
x
y
z
w
. = xzyw
x
y
z
w
÷ =
x
y
w
z
.
a
b
a
b
Donde:
a ∈ Z
b ∈ Z – {0}
Numerador
Denominador
Fracción
• Operaciones combinadas
 Determina el valor de P. Determina el valor de A.
Resolución: 
5
3
P = – +
7
3
14
3
3
5
A = – +
7
5
14
5
Resolución: 
 Halla el valor de E. Halla el valor de N.
Resolución: 
12
15
E = ÷
6
5
15
6
N = ÷
10
9
Resolución: 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
1
3
2
4
16
 Encuentra el valor de T. Encuentra el valor de E . 
Calcula el valor de R. Calcula el valor de V.
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
Resolución: Resolución:
T =
1
4
+ –
5
8
3
2
E =
1
3
+ –
1
2
5
6
Determina el valor de R. Determina el valor de S.
S = + 2
4
5
. 10
6
÷
4
3
R =
4
3
5
6
+ 3
5
V =
3
2
1
4
+ 23
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
5 6
7 8
9 10
+ 1
5
6
. 18
14
÷
5
7R =
17MateMática Delta 2 - álgebra
Halla el valor de E. Halla el valor de R.
 Reduce A. Reduce A.
 Efectúa N. Efectúa A.
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
E = +
2
31 +
2
32 –
2
2
1
R = +
2
32 +
2
31 –
2
1
2
A = ÷
1
3
÷ 2 +
3
2
9
4
×
2
3
A = ÷
1
2
÷ 3 + 5
3
10
9
×
4
3
Resolución:
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
11 12
13 1415 16
A = 1 – 1 + 1 –
1
3
1
3
1
3
N = 1 + 1 – 1 +1
2
1
2
1
2
18
 Encuentra el valor de L. Encuentra el valor de A.
 Descubre el valor de L.
 Determina el valor de C.
 Descubre el valor de E.
 Determina el valor de R.
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
L = 2 + 12 –
2
5 +
3
10
– 23 A = 1 +
2
3 –
1
2 + –
5
6
2
5
E = +x – 1x + 3
3x + 12
3x + 9 +
2x + 12
2x + 6 L = +
x + 3
x – 4
2x – 16
2x – 8 +
3x – 21
3x – 12
C = 
1 + 15 1 +
1
6 1 +
1
7 1 +
1
8
1 – 15 1 –
1
6 1 –
1
7 1 –
1
8
R = 
1 + 17 1 +
1
8 1 +
1
9 1 +
1
10
1 – 17 1 –
1
8 1 –
1
9 1 –
1
10
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
17
21 22
18
19 20
19MateMática Delta 2 - álgebra
 Halla la suma del numerador y denominador de la 
expresión reducida.
 Halla la suma del numerador y denominador de la 
expresión reducida.
23
25
24
26
Calcula el perímetro de la figura (medidas en 
metros).
Calcula el perímetro de la figura (medidas en 
metros).
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
1,3
2
3
5
4
3
2
4
5
1,2
6
5
1,4
3
5
3
2
2,1
5
4 2
3
7
5
M = 
1
4 +
1
21 +
1 – 1 2
31 +
Y = 
5
3 +
1
31 +
1 – 1
2
31 –
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
20
Practica y demuestra
Nivel I
6 Relaciona cada operación con su respuesta.
I. 32– +
7
2
II. 54 +
7
4
III. 4 × 32
IV. 43
÷ 1
6
a. 8
b. 2
c. 1
d. 3
e. 6
 A Ic; IId; IIIb; IVa B Ie; IId; IIIa; IVb
 C Ib; IIa; IIId; IVe D Ib; IId; IIIe; IVa 
 E Id; IIa; IIIb; IVe
3 Ordena en forma ascendente los resultados.
E = 32
5
2 +
7
2 O =
4
3
8
3+
L = 353 
. . 15
9 V =
3
2
3
4
÷
 A L-O-V-E B V-E-L-O
 C V-O-L-E D L-E-V-O 
 E O-V-E-L
4 Calcula el valor de H.
 A 
2
3 B 
4
3 C 
5
6
 D 
1
3
 E 3
2
1
2
H = +
1
3
–
1
6
 
5
 A 2 B 5 C 6
 D 3 E 1
Halla el valor de R.
R = 2 . .
3
5
25
6
. 9
15
2 Descubre el valor de x.
x = .23
4
5
÷ 2
5
 A 
5
2 B 
4
3 C 
3
4
 D 
2
3 E 
5
3 7 Determina el valor de
indica la mitad de su valor.
 A 3 B 1 C 5
 D 2 E 4
N = 45
3
2+
3
10– + 2; luego,
1 Indica si la operación es verdadera (V) o falsa (F).
 A VFVF B FFVV C VVFF
 D FVFV E FFVV
2
3 +
5
2 =
7
5( )
( )
( )
( )
4
3 –
1
2 =
5
6
3
4
. 1
6 =
1
12
5
2
÷ 3
4 =
10
3
8 Luego de reducir H = 34 +
2
5
1
6 ; podemos afirmar:
 A El valor de H está entre 1 y 2. 
 B El valor de H está en 2.
 C El valor de H está entre 2 y 3. 
 D El valor de H es 1.
 E El valor de H está entre 0 y 1.
21MateMática Delta 2 - álgebra
Nivel II9
10
11
12
13
14
15
16
Encuentra el valor de G.
G = 13 +
2
3
. 3
4 ÷
3
4
 A 1 B 2 C 
1
3
 D 
2
3
 E 3
Descubre el valor de M.
M = 12 +
1
2
3
2 –
2
3
 A 
5
6 B 
1
2 C 
3
8
 D 
4
5
 E 
11
12
Calcula el valor de M. 
M = 131 +
1
21 +
 A 
1
2 B 2 C 
3
2
 D 
5
2 E 3
Halla el valor de L.
L =
1
2
+ 1
1 –
1
2
+ 2
 A 3 B 4 C 2
 D 5 E 1
Determina el valor de A.
A = 121 –
1
31 +
1
41 –
 A 
1
8 B 
1
4 C 
4
3
 D 
3
4 E 
1
2
Encuentra el valor de E.
E = 
2
5
 + 
1
2
 – 
2
3 
 + 
1
10 
 A 
2
3 B 
1
3 C 
3
5
 D 
4
15
 E 
3
10
Calcula el valor de H.
2 + 13H =
3 – 13
+ 42
1
 D 
1
4 E 
3
4
 A 1 B 
1
8 C 
2
3
Descubre el valor de L.
 A 
5
2 B 
7
3 C 
4
3
 D 
8
7 E 
7
6
L = 23 +
1
3 1 +
1
3
1
2 + 1
22
18
19
20
21
22
23
24
17 Halla el numerador reducido de A.
A = 43 2 +
3
2 + 1 –
1
3
1
2
 A 4 B 5 C 3
 D 6 E 7
Determina el valor de M.
M =
5
4 ÷ ÷
3
2 × +
2
3
1
5
5
9
 A 
17
3 B 
8
3 C 
9
2
 D 
7
2 E 
10
3
Encuentra el valor de L = 12
1
2
1
2 + 1+ 1 + 1;
 A 
3
2 B 
5
4 C 
15
8
 D 
11
4 E 
13
8
luego, indica los dos tercios de L.
Reduce la expresión ; luego,A = 3x +
5
2x
– 1
4x
 A 2x B 8x C 3x
 D 6x E 4x
indica su denominador.
Descubre el valor de R.
 A 
5
3 B 
3
5 C 5
 D 15 E 18
R =
1 + 12 1 +
1
3 1 +
1
4 1 +
1
5
1 – 12 1 –
1
3 1 –
1
4 1 –
1
5
Calcula el valor de A.
 A 1 B x + 1 C 2
 D x – 1 E 3
Halla el valor de P.
P = 1 + 1 11 +
1 – 1
3
 A 
5
3 B 
3
2 C 
2
3
 D 
7
5 E 
7
3
Determina el valor de H.
H = 1 +
2 + 13
2 – 1
1 – 1
3
 D 
11
3 E 
11
3 
 A 
17
3 B 
13
6 C 5
Nivel III
A = x – 3x + 1 +
2x + 14
2x + 2 +
3x – 3
3x + 3
Tema
23MateMática Delta 2 - álgebra
Potenciación
2
Los átomos son muy pequeños; los tamaños típicos 
son alrededor de 100 pm (diez mil millonésima parte 
de un metro = 10–10 m).
¿Sería cómodo hacer cálculos con cantidades muy 
grandes o muy pequeñas sin expresarlas como 
potencia?
Potenciación
Es la operación que permite encontrar la cantidad llamada potencia P dadas las 
cantidades b (base) y n (exponente).
bn = P
bn = b × b × b × ... × b
n factores
Definiciones
Exponente entero positivo
Si b es cualquier número real y n es un número entero positivo, entonces la enésima 
potencia de b es:
Ejemplos:
a) 53 = 5 . 5 . 5 = 125 b) –35 = –3 . 3 . 3 . 3 . 3 = –243
3 factores 5 factores
c) (–2)4 = (–2)(–2)(–2)(–2) = 16
4 factores
d)
2
3
–
3
= =
2
3
– .
2
3
–8
27
– .
2
3
–
3 factores
Exponente cero
Si a es un número real diferente de cero, elevado al exponente cero, entonces el 
resultado es 1.
 a0 = 1; a ≠ 0
Ejemplos:
a) 340 = 1 b) 
c) (–7)0 = 1 d) –90 = –1 
3
5
0
= 1
 Exponente entero negativo
 Si b es un número real diferente de cero y n es un número entero positivo, entonces:
b–n = ; b ≠ 0
1
b
n
=
1
bn
Ejemplos:
a) 3–2 =
1
3
2
=
1
3
. 1
3
=
1
9
c) = 23 = 2 . 2 . 2 = 8
1
2
–3
b) (–5)–3 =
1
–5
–1
125
1
–5
1
–5
=
d)
2
3
–
–2
=
3
2
–
2
=
3
2
–
3
2
– =
9
4
(+)par = +
(–)par = +
(+)impar = +
(–)impar = –
• 24 = 16
• (–2)4 = 16
• 23 = 8
• (–2)3 = –8
Recu e rda
Obs e rva
24
 Exponentes racionales
 Si n es cualquier entero positivo, entonces la raíz enésima principal de a se define 
como:
an = r, significa rn = a
Para cualquier exponente racional 
m
n donde m y n son enteros y n > 1, definimos:
b
m
n = ( bn )m = bm
n
Ejemplos:
a) 9
1
2 = 9 = 3 
c) 125
1
3 = 125
3
 = 5
b) 4
3
2 = ( 4)3 = 23 = 8
d) 32
–1
5 = 1
32
1
5
= 1
32
5 = 
1
2
Propiedades
Multiplicación de potencias de bases iguales
bm . bn = bm + n
Ejemplos:
a) 34 . 35 = 34 + 5 = 39
c) 1
2
2
. 1
2
6
=
1
2
2 + 6
=
1
2
8
b) 42 . 4–3 . 45 = 42 – 3 + 5 = 44
d) –1
3
4
. –1
3
3
= –1
3
4 + 3
= –1
3
7
División de potencias de bases iguales
bm
bn
= bm – n ; b 0
Ejemplos:
a)
26
24
= 26 – 4 = 22 = 4
c)
x5
x2
= x5 – 2 = x3
b)
57
5–2
= 57 – (–2) = 59
d)
b–2
b–5
= b–2 – (–5) = b3
Potencia de una multiplicación
(a . b)n = an . bn
Ejemplos:
a) (4 × 3)3 = 43 × 33
c) (3 × 2)–4 = 3–4 × 2–4
b) (2 × 3 × 5)4 = 24 × 34 × 54
d) (x . y . z)5 = x5 . y5 . z5
Obse rva
Import a nt e
(+)
(–)
(+)
(–)
impar
impar
par
par
= (+)
= (–)
= (+)
= ∃ R
b
n = b
n m m
Not a
5n × 2n = (5 × 2)n 
 = 10n
25MateMática Delta 2 - álgebra
Potencia de potencia
(bn)m = bn . m
Ejemplos:
a) (34)5 = 34 . 5 b) ((52)–2)3 = 52 . (–2) . 3 = 5–12
c) ((2)2)–2 = 22 . (–2) = 2–4 d) ((x2)–4)–1 = x2 . (–4)(–1) = x8
Potencia de una división
a
b
n
=
an
bn
; b 0
Ejemplos:
a) b)4
5
3
=
43
53
x
y
4
=
x4
y4
c) d)3
5
6
=
36
56
2
w
n
=
2n
wn
Exponentes sucesivos
bnm
p
 = bn
q
 = ar
Ejemplos:
a) 350
1
 = 35
0
 = 31 = 3 b) x30
4
 = x3
0
 = x1 = x
c) 1227
0
 = 122
1
 = 122 = 144 d) y23
40
 = y2
31
 = y23 = y8
Raíz de un producto
a . b = .n an bn
a) 9 . 25 = 9 . 25 = 3 . 5 = 15
b) –8 . 27 =
3
–8
3 . 27
3
= (–2) . 3 = –6
Raíz de un cociente
a
b
n = a
n
b
n
Ejemplos:
Ejemplos:a) 259
5
3
= 25
9
=
b) 8116
3
2
= =4 81
4
16
4
Import a nt e
103
23
=
10
2
3
= 53
Obse rva
a
n
 . b
n
 = a . b
n
a
b
n=a
n
b
n
26
Raíz de raíz
n m p
a =
n . m . p
a
b) x5 = x5
3 . 2
= x5
63
d)
3
Ejemplos:
a) 81 = 81
2 . 2
= 81
4
c) 25 = 25
2 . 3 . 2
= 25
123 4 xy
3 . 2 . 4
xy= = xy
24
Operaciones combinadas
Cuando aparecen operaciones combinadas, es necesario seguir la prioridad de los 
signos de operación en el siguiente orden:
1.° Si en la expresión aparecen signos de colección, deberá operarse primero la parte 
interna.
2.° Se realizan las potencias y radicales.
3.° Se realizan las multiplicaciones y divisiones evaluando de izquierda a derecha.
4.° Se realizan las adiciones y sustracciones.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Determina el valor de
Calcula el valor de M.
Resolución:
Tenemos: H = 5
2
– 1
2
16
9
÷ +2
4 – 3 + 2
1
1
3
H = 
5
2
– 1
2
4
3
. 1
8
+ +
1
3
=
5
2
– 1
2
1 . 1
3 . 2
1 . 2
3 . 2
H = 
5
2
– – =
1
2
1 + 2
6
=
5 . 2
2 . 2
1 . 1
2 . 2
10 – 1
4
=
9
4
H = 
5
2
–
1
2
16
9
÷ +
24
23 . 2–2
1
3
9
4
M = 2–1 – (–2) . 3 – + 33 – 4 – (–2) . 2
. 2
1
2
÷
M = 
2–1
2–2
. 3 – +
1
2
9
4
÷
33
34 . 3–2
M = 2 . 3 – + 3 . 
1
2
2
3
. 2
M = 6 – 5 = 1
M = 6 – + 2
1
2
5
2
. 2 = 6 – . 2
.
27MateMática Delta 2 - álgebra
1
2
3
4
5
6
Indica la suma de todos los valores que faltan. Reduce la expresión R.
5
53
5
53
= 54
= 54
x3
x3
8
8
x3
x3
=
=
(a3) = a–6
(a3) = a–6III.
II.
I.
III.
II.
I.
Resolución:
Completamos:
7
4
–2
Efectúa E.
E = 
x10 . y12 . z6
x8 . y–4 . z5
Resolución:
Reducimos bases iguales.
Piden: 7 + 4 + (–2) = 11 – 2 = 9
E = 
x10
x8
. y
12
y–4
. z
6
z5
 = x10 – 8 . y12 – (–4) . z6 – 5 = x2 . y16 . z1
Rpta. x2 . y16 . z
Rpta. 9
Reduce E.
Resolución:
Tenemos:
E = 
310
3 . 81
= 
310
3 . 34
= 
310
31 . 34
= 
310
31 + 4
 = 310 – 5 = 35
Rpta. 35
R = x
3
4
 . x2
4
x–5
4
R = x
34 . x2
4
x–5
4
Resolución:
Tenemos:
= 
x3 . x2
x–5
4
x3 + 2 – (–5)
4
= 
= x10
4
 = x5
Rpta. x5
Halla el valor de N.
N = 
2
3
–2 2
+ +
4
9
–1
–1
7
4
Resolución:
Tenemos:
= 
9
4
+
9
4
+
7
4
= 
9 + 9 + 7
4
=
25
4
= 
25
4
= 
5
2 5
2
Rpta.
Calcula el valor de M.
M = 27–9
–2–1
Resolución:
Realizamos operaciones:
M = 
1
27
1
27
1
9
1
2
= 
1
9
= 
1
27
3 = = 
Rpta.
1
3 1
3
N = 
3
2
2
+ +
9
4
1 7
4
1
2
1
2
1
2
E =
3 × 3 × 3. ... × 3
3 + 3 + 3 + ... + 3
10 factores
81 veces
E =
3 × 3 × 3. ... × 3
3 + 3 + 3 + ... + 3
10 factores
81 veces
1
27
1
3
Ejercicios resueltos
28
218 . 1036 . 10–24
210 . 1012
[26 . 1012 . 10–8]3
210 . 1012
[(23 . 106)2 . (104)–2]3
1024 . 1012
7 10
11
12
8
9
Determina el valor de H.
98 + 18 – 8
8
H = 
Resolución:
Tenemos:
Rpta. 4
H = 
49 . 2 + 9 . 2 – 4 . 2
4 . 2
= 
49 . 2 + 9 . 2 – 4 . 2
4 . 2
7 . 2 + 3 . 2 – 2 . 2
2 . 2
= 
(7 + 3 – 2) . 2
2 . 2
= 
8 . 2
2 2
= = = 4
8
2
Encuentra el valor de L.
L = 
[(8 000 000)2 . 10 000–2]3
1 024 000 000 000 000
Resolución:
Tenemos:
L = 
= = 218 – 10 . 1036 – 24 – 12
= 
= 28 = 256
Rpta. 256 
Halla el valor de G.
G = 
63 . 95 . 43
1084
Resolución:
Tenemos:
G = 
(2 . 3)3 . (32)5 . (22)3
(22 . 33)4
= 
23 . 33 . 310 . 26
28 . 312
= 23 + 6 – 8 . 33 + 10 – 12 
= 21 . 31 = 6 
Rpta. 6 
Realiza la operación A.
A = 46 ÷ [(12 ÷ 6)4 × 3 – (13 – 7)2 + 64
3 ]2 – 49
Resolución:
Tenemos:
A = 46 ÷ [(2)4 × 3 – (6)2 + 64
3 ]2 – 49
 = 46 ÷ [16 × 3 – 36 + 4]2 – 7
 = 46 ÷ [48 – 36 + 4]2 – 7
 = 46 ÷ [16]2 – 7
 = 46 ÷ [42]2 – 7
 = 46 – 4 – 7 = 16 – 7 = 9
Rpta. 9
Reduce R.
(((xy)3y)2x)5
((x2y)3y)8
R = 
Resolución:
Tenemos:
R = 
(((x1y1)3y1)2x1)5
((x2y1)3y1)8
= 
((x3y3y1)2x1)5
(x6y3y1)8
= 
(x6y6y2x1)5
(x6y3y1)8
(x6 + 1y6 + 2)5
(x6y3 + 1)8
= 
= 
x7 . 5y8 . 5
x6 . 8y4 . 8
= x35 – 48 . y40 – 32 = x–13y8 = 
Rpta. 
y8
x13
y8
x13
Reduce la expresión V.
V = x3 . x2 
3
. x3 
V = x3 . x2 
3
. x3 
Resolución:
Tenemos:
= x3 . x2 
3
.
2 3 2
x3
2
= 
2
x3 .
2 3
x2 .
3 2 x3
2
= x3
2
 . x2
6
 . x3
12
= x
3
2 . x
2
6 . x
3
12 = x
3 . 6
2 . 6 +
2 . 2
6 . 2
3
12+
= x
18 + 4 + 3
12 = x
25
12 = x25
12
Rpta. x25
12
29MateMática Delta 2 - álgebra
3 4
2
Síntesis
1
Modela y resuelve 
Cero
Entero negativo
Fraccionario
Potenciación
Exponente Propiedades
Entero positivo
b0 = 1; b ≠ 0
b–n = 
1
bn ; b ≠ 0
bn . bm = bn + m
Multiplicación de 
bases iguales
División de bases 
iguales
(ab)n = an . bn
(bn)m = bn . m
Potencia de una 
multiplicación
Potencia de 
potencia
Potencia de una 
división
bn = b × b × b × b × ... × b
n factores
= bm
n donde
n ≠ 0
bn
bm = b
n – m
=ab
n an
bn
Operaciones 
combinadas
Raíz de una 
multiplicación a . b = .
n an bn
Raíz de una 
división
a
b
n =
an
bn
m n
a =
n . m
a
Raíz de 
raíz
1.° ( ); [ ]; { }
2.° ( )n; n
3.° × ; ÷
4.° + ; – 
Primero parte interna de los signos de colección
Potenciación y radicación
Multiplicación y división de izquierda a derecha
Finalmente, sumas y restas
b
m
n
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
( ) ab–2 =
1
ab2
( ) x2
6
= x1
3
( ) x
3
x–2
= x5
( ) –42 = 16
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
( ) xy–3 =
x
y3
( ) x3
12
= x1
3
( ) 
a5
a–3
= a2
( ) –52 = –25
Calcula el valor de H. Calcula el valor de O.
Resolución: Resolución: 
H =
56 . 53 . 5–3
25
47 . 43 . 4–5
16O =
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
30
9 10
11 12
5 6
7 8
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Halla el valor de L.
L = 64 + 64
3
Halla el valor de A.
A = 81 + 125 
3
Determina la expresión equivalente a C.
C = (3–2)3 . (33)4 . (35)–1
Determina la expresión equivalente a R.
R = (2–3)3 . (25)2 . (2–2)–1
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Encuentra el valor de M. Encuentra el valor de P.
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
M = 36
3 . 60
3
803
P = 12
4 . 40
4
30
4
Reduce E. Reduce E.
E = 
((a2b)3b)2
(a3 . b2)3
E = 
((x3y)2x)3
(x2 . y3)2
31MateMática Delta 2 - álgebra
13
17 18
19 20
14
15 16
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Calcula el valor de N. Calcula el valor de A.
N =
16
9
–2–1
A =
8
27
–3–1
Efectúa H. Efectúa O.
H =
2n + 1 + 6 . 2n
2 . 2n
O =
3n + 1+ 12 . 3n
3 . 3n
Halla el valor de Y.
 Y = 232 – 231 + 230
Halla el valor de E.
 E = 223 – 222 + 221 – 220
Reduce la expresión S. Reduce la expresión T.
S = x
3
3
x6
. x
x
3 T =
a5
4
a8
.
a
a3
32
21 22
23 24
25 26
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Determina el valor de R. Determina el valor de A.
Encuentra el valor de M. Encuentra el valor de M.
M = 35
3 . 126
283 . 152 . 64
Calcula el valor de R. Calcula el valor de N.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
M = 20
6 . 215
355 . 123 . 62
R = 35
–2 –1
+ +94
7
9
0,5
R = 16 
4
 – 2 65
5
6
2
.
3
A = 54
–2 –1
– +258
1
25
0,5
N = 27
3
 – 10 35
5
3
4
.
3
33MateMática Delta 2 - álgebra
Rpta. 
27 28
¿Cuánto tiempo en minutos demoraría el viaje del 
Halcón Milenario (a su velocidad máxima), de la 
Tierra a la estrella Alfa Centauro?
29 30
Rpta. Rpta. 
Reduce y halla el valor de S. Reduce y halla el valor de F.
x2S = x3 x
3 4.. n3F = n2 n3
3 4..
El carguero ligero YT-1300 fue uno de los diseños más famosos de la Corporación de Ingeniería Corelliana. El 
ejemplo más notable de este modelo era el Halcón Milenario, un YT-1300 modificado capitaneado por Han 
Solo. Esta nave puede alcanzar una velocidad de 1,5c. Si tenemos las distancias aproximadas a las estrellas:
• De la Tierra a Alfa Centauro : 45 000 000 000 000 km.
• De la Tierra a Barnard : 60 000 000 000 000 km.
• De la Tierra a Wolf359 : 75 000 000 000 000 km.
Si el HalcónMilenario viajara a su velocidad 
máxima de la Tierra a la estrella Wolf359, ¿cuánto 
tiempo demoraría en segundos?
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. 
distancia = velocidad × tiempo 
1c = 3 . 105 km/s
34
5
6
7
8
Practica y demuestra
1
4
2
3
Nivel I
Indica si la operación es verdadera (V) o falsa (F).
( ) 3 . 23 = 63 
( ) 27 = 3 3 
( ) 34 + 32 = 36 
( ) 5
3
 . 25
3
= 5
 A VFVF B FFVV C VVFF
 D FVFV E FFFV
 A Ia; IId; IIId; IVc 
 B Ie; IId; IIIa; IVb
 C Ib; IIa; IIId; IVe
 D Ia; IId; IIIb; IVe 
 E Ic; IIb; IIIb; IVc
Relaciona cada operación con su respuesta.
I. 42–1
a. 2
II. 612
6
b. 12
III. 3 × 22
c. 1
16
IV. 4
2–1
e. 8 
d. 36 
Determina el valor de M.
M = 4 . 8 . 2
5
27
 A 1 B 4 C 16
 D 8 E 2
Calcula el valor de R.
R = 2
5
–2
+ 4
3
–1
+ 3
 A 7 B 10 C 8
 D 9 E 6
Reduce E.
E =
2 × 2 × 2 × ... × 2
2 + 2 + 2 + ... + 2
10 factores
32 veces
 A 8 B 16 C 32
 D 4 E 64
Halla el valor de N.
 A 512 B 36 C 128
 D 48 E 64
N = 10
5
55
+ ((2–2)
1
3 )–6
Encuentra el valor de Q.
 A 
5
2 B 
13
2 C 
11
2
 D 
17
2 E 
7
2
Q = 5 . 6 . 8
15
+ 27
3
4
Descubre el valor de M.
 A 14 B 15 C 16
 D 81 E 13
M =
36 + 2 . 35 – 34
34
35MateMática Delta 2 - álgebra
9
10
11
12
13
14
15
16
Nivel IIDetermina el valor del exponente de x, luego de 
reducir S.
S = x 
. x . x . ... . x
x2 . x2 . x2 . ... . x2
48 factores
10 factores
 A 8 B 4 C 6
 D 5 E 10
Indica el doble del valor de P.
P = 15 . 6–1 + 2
3
–2
– (–2)3
 A 10 B 20 C 8
 D 30 E 15
H = 
Calcula el valor de H.
 A 1 B 2 C 3
 D 4 E 5
61 +
3
12 – 27
3
Halla el valor de a para que B sea 5.
 A 5 B 8 C 6
 D 9 E 7
B =
2a + 1 + 3 . 26
2a
 Si I = 40 000 000 000 y Z = 0,00005, encuentra el 
valor de L. 
 L = I . Z2
 A 10 B 0,1 C 1
 D 4 E 100
Descubre el valor de M.
M = 
1
4
–2 –2
–1
+
1
9
+
1
6
–1 –2
–1
 A 
1
6 B 
1
3 C 
1
5
 D 
1
4 E 2
Simplifica A.
A =
(xx + 1)y
xy
xy
 A 1 B x C x–1
 D x2 E x
Determina el valor de L.
 A 1 B 2 C 4
 D 8 E 12
2m + 3 . 4m + 2n
8m – 2 . 16n + 2
L =
1
x
36
17
21
22
23
24
18
19
20
Calcula el valor de A.
 A 3 B 4 C 6
 D 9 E 12
A =
63 . 95 . 43
1084
Halla el valor de E.
E = (16–4–2
–1
)–2–1
 A 2 B –2 C 
1
2
 D 
1
4
 E 4
Encuentra el valor de Z.
Z = 1 – 
1
6
1
2
50
2
32
3–1
+
–2
– 2(–2)3
0
 A – 6 B 12 C 10
 D 4 E 8
Si el exponente de x al reducir F es 2, descubre 
el valor de a.
F = x
3
xa
3
x2
 A 12 B 8 C 6
 D 10 E 4
Nivel III
Simplifica y determina el valor de T.
Indica cuántas proposiciones son incorrectas.
• x4
1
2
 = x2
• x =x x3
4
• (xa
b
)
c
 = xc . a
b
• –a3
3
 = –a
 A una B tres C dos
 D cuatro E ninguna
T = 20
2 . 32 . (213)2
45 . 123 . 982 . 49
 A 20 B 10 C 50
 D 30 E 120
Si se sabe que abc = 4, calcula el valor de Q.
a bQ = . b c . c a
 A 7 B 9 C 11
 D 8 E 10
El USS Enterprise NCC-1701 es una nave del 
universo de Star Trek, tiene una velocidad máxima 
de 9 Warp, si conocemos las equivalencias:
1 Warp = 2,5 . 104 c (velocidad de la luz) 
1 c = 3 . 108 m/s (metros por segundos) 
1 año luz = 9 . 1015 m
En cuánto tiempo viajando a velocidad máxima 
llegará a la galaxia de Andrómeda, si esta dista 
del planeta Tierra 2,7 . 106 años luz.
Nota: distancia = velocidad × tiempo
 A 5 . 104 horas. B 106 horas
 C 2 . 105 horas D 105 horas 
 E 3 . 106 horas
MateMática Delta 2 - álgebra
Tema
37
Polinomios
3
María compra 8 manzanas y 6 naranjas, 
Elena compra 7 naranjas y 5 peras, 
Lorena compra 8 peras y 4 manzanas. 
¿Cómo podemos sumar lo comprado?
René Descartes
Francia: 1596 
Suecia: 1650
¿Sa bía s qu e.. .?
René Descartes, 
fue quien comenzó 
la utilización de las 
últimas letras del
alfabeto (x, y ∧ z) 
para designar 
las cantidades 
desconocidas.
Import a nt e
La notación 
algebraica nos 
permite reconocer 
cuáles son las 
variables en una 
expresión.
P(x) = x3 + xy + y3
Una expresión algebraica es una combinación de números (coeficientes) y letras 
(variables) enlazadas por la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y 
radicación, pero un número limitado de veces.
Ejemplos:
a) V(r) = 1,25pr3 Expresión algebraica de variable r
b) P(x) = 2x5 + 6x – 9 Expresión algebraica de variable x
c) Q(x; y) = –3x5 + 5xy2 + 16y4 Expresión algebraica de variables x e y
d) A(x) = 1 + x + x2 + x3 + .... No es una expresión algebraica, porque tiene infinitos términos
Definiciones
Término algebraico 
Es la mínima expresión algebraica, está formada por el producto de números 
(coeficientes) y letras (variables).
– 6x2y3
exponentes
variables
signo
coeficiente
variable
A(x; y) = 2x2 + xy + y4
variables
Obse rva
M(x; y) = –4x3y5
Coeficiente: –4
Parte literal: x3y5
Términos semejantes 
Dos o más términos son semejantes si presentan las mismas variables con exponentes 
iguales.
a) –15x5y7 ; 1x7y5 ; 3x5y5 No son términos semejantes
b) 19x3y6 ; –6y6x3 ; 33x3y6 Son términos semejantes
c) 10x2y5 ; 3y5x2z ; 42x2y5w No son términos semejantes
Ejemplo:
Calcula el valor de a . b si los siguientes términos son semejantes: 
P(x; y) = 12x7y2b – 1z2; Q(x; y) = 7x3a – 2y9z3
Resolución:
Si P(x; y) y Q(x; y) son semejantes, tienen igual parte literal (exponentes de sus 
respectivas variables son iguales).
Entonces: 3a – 2 = 7 ∧ 2b – 1 = 9
 a = 3 b = 5
Nos piden: a . b = 3 . 5 = 15
38
Reducción de términos semejantes
Para reducir dos o más términos semejantes sumamos o restamos los coeficientes 
(según indique el signo) con la misma parte literal.
Ejemplo:
Reduce la siguiente expresión H(x) = 3x3 – 5x + 6x2 – x + x3 – 4x2.
Resolución:
Juntamos los términos semejantes:
H(x) = 3x3 + 1x3 + 6x2 – 4x2 – 5x – 1x
H(x) = (3 + 1)x3 + (6 – 4)x2 + (–5 – 1)x
H(x) = 4x3 + 2x2 – 6x
Polinomios
Es aquella expresión algebraica finita, formada por uno o más términos, ligados entre 
sí por operaciones de suma y/o resta, cuyos exponentes de las variables son números 
enteros positivos.
En el general:
P(x) = a0x
n + a1x
n – 1 + ... + an – 1x + an ; a0 ≠ 0 
nombre del 
polinomio
mayor 
exponente
variable coeficiente
principal
grado
término
independiente
Donde: a0; a1; ... ; an son coeficientes del polinomio.
Definiciones
1. Si a0 = 1, entonces P(x) es llamado mónico.
2. Si a0 = a1 = ... = an – 1 = an = 0, entonces P(x) es llamado polinomio idénticamente nulo.
3. Si los exponentes son consecutivos, entonces P(x) es llamado completo y ordenado 
(creciente o decreciente).
Propiedades
1. Suma de coeficientes: a0 + a1 + ... + an – 1 + an = P(1)
2. Término independiente (T. I.): an = P(0)
Ejemplos:
Sean los polinomios:
a) P(x) = 1x4 – 2x3 + x2 – 5x + 7
El polinomio es mónico: a0 = 1
Es de grado 4: el mayor exponente es 4.
Es completo y ordenado: exponentes consecutivos. 
Su término independiente es 7.
b) Q(x) = 3x5 + 3x4 – x2 + 17
El polinomio no es mónico: a0 ≠ 1 
Es de grado 5: el mayor exponente es 5. 
No es completo pero sí ordenado.
Su término independiente es 17.
c) R(x) = 3x2 + 9x4 – x6 + 11
El polinomio no es mónico: a0 ≠ 1(a0 = –1) 
Es de grado 6: el mayor exponente es 6.
No es completo ni ordenado.
Su término independiente es 11.
Recu e rda
Se reducen 
términos solo si son 
semejantes.
En un polinomio 
los exponentes son 
enteros positivos
Polinomio con:
• Un término: 
Monomio 
 4xy3
• Dos términos: 
Binomio
 4x3 – 7xy
• Tres términos: 
Trinomio
 2x3 – 4xy2 + 6y4
• Con n términos: 
Polinomio de n 
términos. 
3x – 5 + 7x2 – 2x5 + x7
Import a nt e
El número de 
términos de un 
polinomio completo 
es igual a su grado 
más uno.
Obse rva
Exponentes 
consecutivos desde 
el mayor hasta el 
T. I. (completo y 
ordenado en forma 
decreciente).
P(x) = 2x3 + x2 – 4x1 + 7x0
Exponentes 
consecutivos desde 
el T.I. hastael mayor 
(completo y ordenado 
en forma creciente).
P(x) = 2x0 + 3x1 – x2 + x3
39MateMática Delta 2 - álgebra
Valor numérico (V.N.)
Es el número que se obtiene luego de reemplazar las variables del polinomio por números.
Ejemplo 1
Sea el polinomio: R(x) = x3 + 3x2 – 6x – 7 
Halla el valor de: R(2)
Resolución:
Tenemos: R(x) = x3 + 3x2 – 6x – 7
Entonces: R(2) = (2)3 + 3(2)2 – 6(2) – 7 = 8 + 3 . 4 – 12 – 7
 R(2) = 8 + 12 – 12 – 7 = 1
Ejemplo 2
Sea el polinomio: P(x; y) = 3xy2 + 5x2y – 5xy + 1 
Halla el valor de: P(2; 1)
Resolución:
Tenemos: P(x; y) = 3xy2 + 5x2y – 5xy + 1
Entonces: P(2; 1) = 3 . 2 .12 + 5 . 22 . 1 – 5 . 2 . 1 + 1 = 6 + 5 . 4 – 10 + 1
 R(2; 1) = 6 + 20 – 10 + 1 = 17
Grado de un polinomio
Grado relativo (G.R.) 
Es el mayor valor del exponente de una variable.
Ejemplo:
P(x; y) = 5x5y7 G.R.(x) = 5G.R.(y) = 7 Q(x; y) = 2x
2y3 – 5x7y + 11x5y5 G.R.(x) = 7G.R.(y) = 5
Grado absoluto (G.A.) 
- De un monomio: Es la suma de exponentes de sus variables.
- De un polinomio: Es el mayor grado absoluto de los términos del polinomio.
A(x; y) = 7x5y4
 ⇒ G.A.(A) = 9
B(x; y) = 3x2y7 + 7x7y6 – 13x9y2
 ⇒ G.A.(B) = 13
5 + 4 = 9 2 + 7 = 9 7 + 6 = 13 9 + 2 = 11
 Dado el polinomio: P(x; y) = 15a4x3y9 + 9y10x5 – x12y.
 Halla M = G.R.(x) + G.R.(y) + G.A.(P)
 Resolución:
 P(x; y) = 15a4x3y9 + 9y10x5 – x12y
G.R.(x) = 12
G.R.(y) = 10
G.A.(P) = 153 + 9 10 + 5 12 + 1
Luego: M = 12 + 10 + 15 ⇒ H = 37
Polinomios idénticos
Dos polinomios P(x) y Q(x) son idénticos cuando tienen los mismos valores numéricos 
para cualquier valor que se asigne a sus variables. Es decir:
V.N.[P(x)] = V.N.[Q(x)] ⇒ P(x) ≡ Q(x)
Ejemplo:
Encuentra el valor de a + b + c, si 2x2 – 3x + 1 ≡ a(x + 1)2 + b(x + 1) + c 
Resolución:
En los polinomios idénticos hacemos que x = 0
Entonces: 2 . 02 – 3 . 0 + 1 = a(0 + 1)2 + b(0 + 1) + c 
 0 – 0 + 1 = a + b + c ⇒ a + b + c = 1
Import a nt e
Sea:
P(x) = 3x +5
Si: x → x + 1
P(x + 1) = 3(x + 1) + 5
Si: x → x2 
P(x2) = 3x2 +5
De safío
P(x; y) = 2n2x3y4z5
- ¿Es de grado 14?
- No, es de grado 7 
- ¿Por qué?
Not a
Si:
P(x) Q(x) 
axn + b = cxn + d
Entonces:
a = c b = d
Los coeficientes de 
los términos con igual 
grado son iguales.
40
Polinomios homogéneos
Un polinomio es homogéneo cuando sus términos tienen igual grado.
Ejemplos:
a) 3x2y4 – 5x6 + 2x5 y Sus términos tienen grado 6, entonces es homogéneo. 
 2 + 4 = 6 = 5 +1
b) 5x3y5 – 7x6y2 + 2x4y4 Sus términos tienen grado 8, entonces es homogéneo.
 3 + 5 = 6 + 2 = 4 + 4Import a nt e
(+)(+) = (+) 
(–)(–) = (+)
(–)(+) = (–) 
(+)(–) = (–)
Operaciones con polinomios
Adición y sustracción de polinomios
Para sumar o restar polinomios, reducimos sus términos semejantes. 
Ejemplo:
Sean los polinomios:
P(x) = 2x2 – 5x + 3; Q(x) = 3x2 + 5x – 9; R(x) = 5x2 + 2x – 5
Determina: P(x) + Q(x) – R(x)
Resolución:
Piden: P(x) + Q(x) – R(x) = 2x2 – 5x + 3 + 3x2 + 5x – 9 – (5x2 + 2x – 5) 
 P(x) + Q(x) – R(x) = 2x2 – 5x + 3 + 3x2 + 5x – 9 – 5x2 – 2x + 5 
 P(x) + Q(x) – R(x) = 0x2 – 2x – 1 = –2x – 1
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de monomios 
Multiplicamos los coeficientes (parte numérica), luego la parte literal.
Ejemplo:
(–5x2y)(7x3y2) = (–5)(7)x2 + 3y1 + 2 = –35x5y3
Multiplicación de polinomio por polinomio
Se aplica la propiedad distributiva, luego multiplicamos los monomios.
Ejemplos:
Desarrolla (x2 – x + 2)(x + 2).
(x2 – x + 2)(x + 2) = x2(x + 2) – x(x + 2) + 2(x + 2)
 = x2(x) + x2(2) – x(x) – x(2) + 2(x) + 2(2) 
 = x3 + 2x2 – x2 – 2x + 2x + 4 
 = x3 – x2 + 4
Desarrolla (2x – 5)(x3 + 3x – 8).
(2x – 5)(x3 + 3x – 8) = 2x(x3 + 3x– 8) – 5(x3 + 3x – 8)
 = 2x(x3) + 2x(3x) + 2x(–8) – 5(x3) – 5(3x) – 5(–8) 
 = 2x4 + 6x2 – 16x – 5x3 – 15x + 40 
 = 2x4 – 5x3 + 6x2 – 31x + 40
a)
b)
Recu e rda
bn . bm = bn + m
Propiedad distributiva
a(b ± c) = ab ± ac
41MateMática Delta 2 - álgebra
1
2
3
4
5
6
Dado el polinomio P(x) = 2x3 + x4 – 2x2 + 6 – x.
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
( V ) El polinomio es mónico.
 El coeficiente principal es 1(1x4).
( F ) La suma de coeficientes es 7.
 P(1) = 2 + 1 – 2 + 6 – 1 = 6.
( V ) El término independiente es 6.
 P(0) = 0 + 0 – 0 + 6 – 0 = 6.
( F ) P(x) es de grado 3.
 El mayor exponente es 4.
( F ) Es idénticamente nulo.
 Los coeficientes tendrían que ser iguales a 
cero.
Rpta. VFVFF
Si los términos 3axa + 3b y7 ; 5bx9y2a + 1
son semejantes, determina el valor de M = 2a – b.
Resolución:
Si los términos son semejantes, tienen igual parte 
literal:
a + 3b = 9 (1)
2a + 1 = 7 (2)
De (2): 2a = 7 – 1 ⇒ a = 3
En (1): 3 + 3b = 9 ⇒ b = 2 
Nos piden: M = 2(3) – 2 = 6 – 2 = 4
Rpta. 4
Sea F(x) = 2x + 1x – 1 , halla el valor de A = F(F(2)).
Resolución:
Tenemos:
2x + 1
x – 1F(x) = 2 . 2 + 1
2 – 1 F(2) = =
5
1 = 5
Entonces: A = F(F(2)) = F(5)
Para: x = 5
Para: x = 2
2x + 1
x – 1F(x) = 2 . 5 + 15 – 1 F(5) = =
11
4
Luego: A = F(5) = 114
Rpta. 114
Si el polinomio
 P(x) = 2xa – b + 3 – 3xb – c + 1 + 7xc – 2
es ordenado y completo en forma ascendente, 
calcula el valor de H = 2a – 3b + 4c.
Resolución:
Tenemos el polinomio completo y ordenado en 
forma ascendente:
P(x) = 2xa – b + 3 – 3xb – c + 1 + 7xc – 2
Entonces:
• c – 2 = 2 ⇒ c = 4
• b – c + 1 = 1 ⇒ b – 4 + 1 = 1 ⇒ b = 4
• a – b + 3 = 0 ⇒ a – 4 + 3 = 0 ⇒ a = 1
Nos piden: H = 2(1) – 3(4) + 4(4) = 6
0 1 2
Rpta. 6
Sea P(x – 2) = x3 – x2, reduce la expresión E.
 E = 
P(–1) + P(1)
P (0)
Resolución:
Tenemos: P(x – 2) = x3 – x2
• x – 2 = –1 ⇒ x = 1: P(1 – 2) = 13 – 12 ⇒ P(–1) = 0
• x – 2 = 1 ⇒ x = 3: P(3 – 2) = 33 – 32 ⇒ P(1) = 18 
• x – 2 = 0 ⇒ x = 2: P(2 – 2) = 23 – 22 ⇒ P(0) = 4
Entonces: E = 0 + 184 =
9
2
Rpta. 9
2
Dada la identidad en x, encuentra el valor de nm. 
 11x – 1 ≡ n(x – 2) + m(2x + 3)
Resolución:
Tenemos polinomios idénticos (tienen igual valor 
numérico)
x = 2 : 11 . 2 – 1 = n(2 – 2) + m(2 . 2 + 3)
 21 = n . 0 + m . 7 
 3 = m
x = 1 : 11 . 1 – 1 = n(1 – 2) + 3(2 . 1 + 3) 
 10 = n(–1) + 15
 n = 15 – 10 = 5 
Piden: n . m = 5 . 3 = 15
Rpta. 15
Ejercicios resueltos
42
7
8
9
10
11
12
Si el polinomio
 P(x) = (a – b + 1)x2 + (b – 2c + 1)x + c – 2
Es idénticamente nulo, descubre el valor de M.
M = a + b + c
Resolución:
Un polinomio idénticamente nulo tiene todos los 
coeficientes cero.
Entonces:
c – 2 = 0 ⇒ c = 2
b – 2c + 1 = 0 ⇒ b = 2(2) – 1
 b = 3
a – b + 1 = 0 ⇒ a = (3) – 1
 a = 2
Piden: M = 2 + 3 + 2 = 7
Rpta. 7
Sea H(x – 1) = 2x – 1 ∧ F(x + 1) = 2x + 3. 
Determina el valor de M = F(H(2)).
Resolución:
Tenemos: H(x – 1) = 2x – 1
x – 1 = 2 ⇒ x = 3: H(x – 1) = 2x – 1
 H(3 – 1) = 2 . 3 – 1
 H(2) = 5
Entonces: M = F(H(2)) = F(5)
 F(x + 1) = 2x + 3 
x + 1 = 5 ⇒ x = 4 : F(4 + 1) = 2 . 4 + 3
 F(5) = 11 
Luego: M = F(5) = 11
Rpta. 11
Si el término independiente del polinomio
P(x + 1) = x2 – 3x + 2n, vale 3n + 5. 
Halla la su suma de coeficientes de dicho polinomio.
Resolución:
Término independiente de P(x): P(0) = 3n + 5 
x + 1 = 0 ⇒ x = –1 : P(–1 + 1) = (–1)2 – 3 (–1) + 2n
 3n + 5 = 1 + 3 + 2n 
 n = –1
Piden:
Suma de coeficientes de P(x): P(1)
x + 1 = 1 ⇒ x = 0 : P(0 + 1) = 02 – 3(0) + 2(–1)
 P(1) = 0 + 0 – 2 = –2 
Rpta. –2
Calcula el valor de n, de tal manera que la 
siguiente expresión:
 P(x; y) = xn – 6 + xy
n
5 + 5x11 – n 
sea un polinomio.
Resolución:
En un polinomio los exponentes son enteros 
positivos o cero, entonces:
n – 6 ≥ 0 ⇒ n ≥ 6 
 n = {6; 7; 8; 9; 10; ...} 
n
5
: n es múltiplo de 5 ⇒ n = {5; 10; ...}
11 – n ≥ 0 ⇒ 11 ≥ n ⇒ n ≤ 11
 n = {0; 1; 2; ... ; 10; 11}
Luego: n = 10
Rpta. 10
Encuentra la sumade los coeficientes del 
siguiente polinomio:
G(x – 1) = (3mx – 4m)2 + (3x – 4)2m + x2 + 4
Sabiendo que es el cuádruple de su término 
independiente.
Resolución:
Dato: G(1) = 4G(0). Tenemos: 
G(x – 1) = (3mx – 4m)2 + (3x – 4)2m + x2 + 4
x – 1 = 1 ⇒ x = 2: G(1) = (2m)2 + (2)2m + 22 + 4
x – 1 = 0 ⇒ x = 1: G(0) = (–m)2 + (–1)2m + (–1)2 + 4
Entonces:
4m2 + 22m + 4 + 4 = 4(m2 + 1 + 1 + 4)
4m2 + 22m + 8 = 4m2 + 24 ⇒ 22m = 22 . 2 ⇒ m = 2
Piden: G(1) = 42 + 22 . 2 + 22 + 4 = 40
Rpta. 40
Sea f(x) = ax + b un polinomio lineal tal que f(1) = 5 
y f(3) = 7. Descubre el valor de f(12).
Resolución:
Tenemos: f(x) = ax + b
x = 1: f(1) = a . 1 + b ⇒ a + b = 5
 b = 5 – a (1) 
x = 3: f(3) = a . 3 + b ⇒ 3a + b = 7 (2)
(1) en (2): 3a + 5 – a = 7 ⇒ a = 1 
En (1) : b = 5 – 1 ⇒ b = 4 
Luego: f(x) = x + 4
Piden: f(12) = 12 + 4
 f(12) = 16
Rpta. 16
43MateMática Delta 2 - álgebra
Síntesis
Modela y resuelve 
Polinomios
Grado Valor numérico (V.N.) Especiales
Términos semejantes
G.R.
Monomio Polinomio
G.A.
Exponente de 
la variable.
Mayor exponente 
de la variable.
Se suman o restan
Valor del polinomio cuando sus 
variables son reemplazadas con 
números.
Suma de 
exponentes.
Mayor suma de 
exponentes.
exponentes 
enteros positivos
Suma de coeficientes de P(x): P(1)
Término independiente de P(x): P(0)
Tienen igual parte literal (variables y 
sus respectivos exponentes iguales)
Ordenado 
completo
Exponentes 
consecutivos 
hasta/desde 
CERO
Homogéneo Términos de 
igual grado
Idénticos Igual valor numérico
Idénticamente
nulo
Coeficientes 
igual a cero
3
5
4
6
21 Dado el polinomio P(x) = (2x2 – x + 1)(3x2 + 2) + 5.
Entonces:
Dado el polinomio Q(x) = (4x2 – x + 2)(2x2 + 3) + 1.
Entonces:
• El grado del polinomio es 
• El término independiente es 
• La suma de coeficientes es
• El coeficiente principal es 
• El grado del polinomio es 
• El término independiente es 
• La suma de coeficientes es
• El coeficiente principal es 
Dado el polinomio P.
P(x; y; z) = 5x4y6z2 – 3x5y4z7 + 8x3y5z4w4
Entonces:
Si P(x) = 3x2 – 2x + 1, indica el valor de P(3).
Dado el polinomio P.
P(x; y; z) = 3x7y6z4 – 11x3y7z3 + 6x2y4z5w5
Entonces:
Si Q(x) = 4x2 – 3x + 2, indica el valor de Q(2).
• Grado relativo a x es 
• Grado relativo a z es 
• Grado relativo a y es
• Grado absoluto es
• Grado relativo a x es 
• Grado relativo a z es 
• Grado relativo a y es
• Grado absoluto es
Rpta. Rpta. 
44
9
11
13
10
12
14
8
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
7 Dado el polinomio Q(x) = (2x – 3)(x + 5), determina 
el término independiente de Q(x).
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Dado el polinomio M(x) = (3x – 5)(x + 2), determina 
el término independiente de M(x).
Resolución:
Halla el grado del polinomio P.
P(x) = 5(x3)4 – 3x5 . x4 + 3x9 – 2
Halla el grado del polinomio Q.
Q(x) = 3x – 4(x4)2 – 7x4 . x5 + 7x6
Si P(x) = 2x2 – x + 5, encuentra el valor de P(P(2)). Si H(x) = 2x2 – 3x + 1, encuentra el valor de H(H(2)).
Si el polinomio P(x) = 2xa – 2 + 3xb – 1 + 4xc – 3 + 5 
es completo y ordenado, calcula el valor de abc.
Si el polinomio P(x) = 7 + 3xa – 2 + 5xb – 1 – 11xc – 3 
es completo y ordenado, calcula el valor de abc.
45MateMática Delta 2 - álgebra
15
17
19
16
18
20
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Descubre el valor de E(3).
A(x) = 2x – 5
V(x) = x2 – 4x + 7
E(x) = V(x – 2) + A(x)
Descubre el valor de L(2).
Z(x) = 3x – 2
I(x) = x2 – 2x + 6
L(x) = I(x – 1) + Z(x)
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Dada la identidad en x: 4x + 22 = a(x + 3) + b(3x – 1), 
determina el valor de (a + b).
Dada la identidad en x: 5x + 11 = a(x + 4) + b(2x – 1), 
determina el valor de (a + b).
Si el término independiente del polinomio P es 
4n + 6 y P(x + 3) = x2 – 5x + n. 
Halla la suma de coeficientes de dicho polinomio.
Si el término independiente del polinomio Q vale 
4n + 7 y Q(x + 2) = x2 + 3x + n. 
Halla la suma de coeficientes de dicho polinomio.
46
23
25
24
26
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
21 22Si el G.A.(F) = 15 y G.R.(x) = 2, calcula el 
coeficiente del monomio.
 F(x; y) = m(n + 1)xm – ny2m + n
Si el G.A.(M) = 9 y G.R.(y) = 2, calcula el coeficiente 
del monomio.
M(x; y) = a(b + 2) xa + by2a – b
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Sea el polinomio P(x) = x2 + 7, encuentra el valor 
de E.
Sea el polinomio H(x) = x2 + 3, encuentra el valor 
de A.
E = 
P(x + 1) – P(x – 1)
2x
A = 
H(x + 2) – H(x – 2)
4x
Descubre la suma de valores de n, de tal manera 
que la siguiente expresión P(x; y) sea un polinomio.
Descubre la suma de valores de a, de tal manera 
que la expresión Q(x; y) sea un polinomio.
P(x; y) = x
n
3 + xy
n
2 + 5x13 – n Q(x; y) = 3x
a
5 + 5xy
a
2 – 7y22 – a
47MateMática Delta 2 - álgebra
29 30
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
27 28Si el polinomio P(x) = ax + b es tal que
P(1) = 5; P(–1) = 9, determina el valor de P(P(4)).
Si el polinomio P(x) = ax + b es tal que
P(2) = 1; P(–1) = 10, determina el valor de P(P(3)).
Resolución: Resolución: 
Sean los polinomios P y Q; de tal manera que 
P(x) Q(x), halla el valor de ab.
P(x + 1) = x2 + ax + b
Q(x – 1) = x2 + 3x ‒ 5
Sean los polinomios A y C; de tal manera que 
A(x) B(x), halla el valor de mn.
A(x + 1) = x2 + 2x + 7
B(x – 1) = x2 + mx + n
Resolución: Resolución: 
48
2
3
4
Practica y demuestra
1
5
6
7
Nivel I
Dado el polinomio D(x) = x4 – x5 + 3x3 – 3 + x2 + 7x, 
indica el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las 
proposiciones: 
( ) El polinomio es mónico.
( ) El grado del polinomio es 5.
( ) El término independiente es 3.
( ) La suma de coeficientes es 8.
 A VFVF B FFVV C VVFV
 D FVFV E FFFV
Relaciona correctamente. 
P(x; y; z) = 3x2y3z – 7x5y2z3 + 8xy5z2w4
I. Grado relativo a x a. 3
II. Grado absoluto b. 5
III. Grado relativo a z c. 6
IV. Grado relativo a y d. 10
 e. 12
 A Ib; IIe; IIIa; IVc 
 B Ic; IId; IIIa; IVb 
 C Ib; IIe; IIIb; IVe
 D Ib; IId; IIIa; IVb 
 E Ic; IIe; IIIb; IVc
Si P(x) = 2x2 + x – 4, indica el valor de M. 
M = P(1) + P(–1)
 A –2 B 4 C 2
 D –4 E 0
Dado el polinomio P(x; y) = 7x9y5 – 12xy12 – 9x6y10, 
halla el valor de M = G.A.(P) – G.R.(y).
 A 4 B 7 C 16
 D 12 E 9
Calcula el valor de A(x) = 3E(x) – 2C(x).
E(x) = 2x2 + 3x + 5
C(x) = 3x2 – 3x – 2
 A 3x2 + 3x + 7 B 15x + 19
 C 14x + 16 D 12x2 + 11 
 E 2x2 + x – 3
Encuentra el grado del polinomio P. 
P(x) = 2(x2)3 – 3x2 . x3 + 5x4 – 7
 A 4 B 3 C 5
 D 7 E 6
Si P(x) = x2 – 4x + 4, determina el valor de A. 
A = P(P(4))
 A 1 B 4 C 3
 D 16 E 2
Descubre el valor de R = P(Q(–1)) + 5,
si P(x) = 3x2 – 5x + 1 ∧ Q(x) = 3x + 5.
 A 5 B 8 C 3
 D 2 E 4
Si el polinomio P(x) = 3xa + 4xb + 7xc – 1, es 
completo y ordenado en forma creciente, indica 
el valor de B. 
B = a + b + c
 A 6 B 4 C 3
 D 5 E 2
8
9
49MateMática Delta 2 - álgebra
11
12
13
15
16
14
17
10
Nivel II
En el polinomio homogéneo
P(x; y) = 3x2ya – 1 + 7x5y2 – 11xb + 2y3, halla el 
valor de N = 2a – b.
 A 12 B 8 C 14
 D 4 E 10
Calcula el coeficiente del monomio
A(x; y) = 3(a + b)xa + 2yb – 5, si el grado absoluto 
es 5.
 A 6 B 18 C 24
 D 36 E 48
Dado el polinomio
P(x) = 3xa – 5 + 2xb – a + 2 – 5xc – b – 3
completo y ordenado en forma decreciente, 
encuentra el valor de N.
N = a + 2b + c
 A 24 B 26 C 28
 D 30 E 32
Respecto a los polinomios: 
Q(x; y) = 3x3 – 2x2y + 5xy2 – 3y3
P(x) = (x2 + 1)(x + 3)
Indica el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las 
proposiciones:
( ) Grado P(x) = Grado Q(x; y).
( ) El polinomio Q(x; y) es homogéneo.
( ) El término independiente de P(x) es 3.
( ) El grado relativo a x de Q(x; y) es 2.
 A VVFF B FFVV C VVVF
 D FVFV E FFFV
Si P(x – 1) = x2 + x – 3, descubre el valor de H.
H = P(1) + P(–2)
 A 1 B 0 C 2
 D ‒2 E 3
Determina elcoeficiente del monomio 
A(x; y) = m(n + 1) xm – n y2m + n, si el G.A.(A) = 15 
y G.R.(x) = 2.
 A 10 B 20 C 15
 D 18 E 24
Halla el valor de H = a + 2b – c, si se cumple que 
3x2 + 5x + 2 = (a – 2)x2 + (b + 3)x + c.
 A 9 B 11 C 1
 D 7 E 5
Si el polinomio P(x; y) = 2xm – 3y5 + 3x2yn + 2 se 
reduce a un monomio, calcula el valor de E.
E = m + n
 A 7 B 8 C 10
 D 12 E 5
50
19
20
21
Determina el valor de Q(3), si P(x) = x2 – 5 y
Q(x – 2) = P(x) + x – 1.
 A 25 B 5 C 16
 D 20 E 24
El término independiente del polinomio P(x) es 5. 
Si P(x + 1) = x2 – 2x + n, descubre la suma de 
coeficientes de dicho polinomio.
 A 1 B 0 C 2
 D 3 E 5
Nivel III
Halla el valor de n, de tal manera que la siguiente 
expresión:
P(x; y) = xn – 7 + xy
n
4 + 5x11 – n, sea un polinomio.
 A 12 B 10 C 15
 D 8 E 6
18 22
23
24
Si el polinomio P es idénticamente nulo, encuentra 
el valor de H = a + 2b + c + d.
P(x) = (a – b)x3 + (b + 2)x2 + (3c – 12)x + d – 5
 A 5 B 3 C 6
 D 4 E 7
Sea el polinomio f(x) = (x – 5)2 + 31; calcula el 
valor de M.
 A 10 B –10 C 5x
 D 5 E –10x
M = 
f(x) – f(x + 10)
2x
Sean los polinomios P(x + 1) = x2 + ax + 4, 
Q(x – 1) = x2 + bx + c, de tal manera que 
P(x) Q(x). Determina el valor de H.
H = a + b + c
 A 0 B 2 C 4
 D 6 E 10
Sea el polinomio P(x) = ax + b, tal que P(1) = 2 y 
P(–2) = –7. Encuentra el valor de P(3).
 A 8 B 9 C 7
 D 10 E 12
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 1
51MateMática Delta 2 - álgebra
Encuentra el valor de S.
S = 17 + 
3
2 – 
11
14 – 
5
14
S = 2 × 2 × 2 × ... × 22 + 2 + 2 + ... + 2
Halla el perímetro de la figura (medidas en metros). 5
4 Luego de reducir P, determina el valor de P–1 + 3.
 P = 
1
32 –
1
52 –
2
91 –
14
Calcula el valor reducido de M. 
 M = 
2x + 10
2x + 14
 + 
x + 5
x + 2
 + 
3x + 15
3x + 18
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
0A
2C
1B
3D
Descubre el valor de H.6
A 74 B 
1
2
C 3
5
 D 1
A 32 B 8 
C 16 D 64 
A 2 m B 4 m
C 6 m D 8 m
A 1 B 2
C 3 D 4
A 0 B 1
C 2 D 3
Reduce S.
1
2
2,7
1,3
3
2
11
7
3
7
12 factores
128 veces
H = 21 + 2
3
5 + 16
52
Dado P(x) = 
x – 1
x + 3
, halla el valor de P(P(2)).
7 10
11
129
8
Dado el polinomio:
P(x; y; z) = 3x3y4z2w2 + 3x2y6z3w4 – 3x4y5z4w5
A = Grado absoluto de P 
B = Grado relativo a z 
C = Grado relativo a y 
Calcula el valor de M = A + BC.
Dado el polinomio P(x; y) = 3x4y2 – 2x5y6 + 11x2y8, 
determina el valor de T. 
T = G.A.(P) + G.R.(x)
Sea P(x) = x2 – 3x + 2 y P(x + 3) = ax2 + bx + c; 
calcula el valor de S.
S = a + b + c
Simplifica y encuentra el valor de F. 
F = 
1252 × 272 × 16
152 × 253 × 64
Por curiosidades de la vida, María observó que 
su edad era el triple del valor de M. ¿Qué edad 
tiene María?
 
 
25A
15C
20B
60D
4 añosA
8 añosC
6 añosB
10 añosD
24A
32C
8B
16D
0A
4C
2B
6D
24A
37C
30B
52D
2A
6C
4B
8D
M = 
+ +
72
32 5018
Tema
53MateMática Delta 2 - álgebra
Productos notables
4
Son multiplicaciones conocidas en las que no se realizan operaciones previas de la 
multiplicación, entre ellas tenemos:
Obse rva
Producto de binomios con término común
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Tenemos:
x + b
x + a
(x + a)(x + b)
x b
x
a
x2 bx
ax ab
Ejemplos:
a) (x + 4)(x + 7) = x2 + (4 + 7)x + (4)(7) = x2 + 11x + 28
b) (y – 2)(y + 5) = y2 + (–2 + 5)y + (–2)(5) = y2 + 3y – 10
c) (n – 5)(n – 9) = n2 + (–5 – 9)n + (–5)(–9) = n2 – 14n + 45
x2 + (a + b)x + ab
Binomio suma al cuadrado
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Sea un cuadrado de lado x + y.
x + y
x + y
y
x
y x
y2
xy
xy
x2
Se observa que: (x + y)2 = x2 + xy + xy + y2 = x2 + 2xy + y2
Ejemplos:
a) (x + 5)2 = x2 + 2(x)(5) + 52 = x2 + 10x + 25
b) (2n + 3m)2 = (2n)2 + 2(2n)(3m) + (3m)2 = 4n2 + 12nm + 9m2
Binomio diferencia al cuadrado
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
Ejemplos:
a) (x – 2)2 = x2 – 2 . x . 2 + 22 = x2 – 4x + 4 
b) 2a – b2 = (2a)
2 – 2 . 2a . 
b
2 + 
b
2
2
= 4a2 – 2ab + b
2
4
ac × bc 
= (ab)[(a + b)c](c2)
Ejemplo:
32 . 42 = 1344
U : 22 = 4
D : (3 + 4) . 2 = 14 
C : 1 + 3 . 4 = 13 
UM: 1 = 1
Import a nt e
ab2 = (a2)(2ab)(b2)
Ejemplo 1
 CDU
212 = 441
U: 12 = 1 
D: 2 . 2 . 1 = 4 
C: 22 = 4
Ejemplo 2
672 = 4489
U : 72 = 49
D : 4 + 2 . 6 . 7 = 88 
C : 8 + 62 = 44 
UM : 4 = 4
2
54
Producto de suma por diferencia
(x – y)(x + y) = x2 – y2
Tenemos:
Se observa la equivalencia: (x – y)(x + y) = x2 – y2
y
x
y
x
x2 – y2 (x – y)(x + y)
x
y
y
x
x – y
x y
xy
x – y
Ejemplos:
a) (x – 5)(x + 5) = x2 – 52 = x2 – 25
b) (n2 – 6)(n2 + 6) = (n2)2 – 62 = n4 – 36
c) (3a – 7)(3a + 7) = (3a)2 – 72 = 9a2 – 49 
Identidades de Legendre
(x + y)2 – (x – y)2 = 4xy (x + y)2 + (x – y)2 = 2(x2 + y2)
Tenemos:
R = (x + y)2 – (x – y)2
R = x2 + 2 . x . y + y2 – (x2 – 2 . x . y + y2)
R = x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2
R = 4xy
Tenemos:
P = (x + y)2 + (x – y)2
P = x2 + 2 . x . y + y2 + (x2 – 2 . x . y + y2)
P = x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2
P = 2x2 + 2y2
Binomio suma al cubo
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Sea un cubo de lado x + y.
También:
x3
3x2y 3xy2
y3
y
x
x y
y
x
Se observa que: (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Ejemplos:
a) (x + 2)3 = x3 + 3x22 + 3x22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8
b) (2a + 3)3 = (2a)3 + 3(2a)23 + 3(2a)32 + 33 = 8a3 + 36a2 + 54a + 27
(x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)
Obse rva
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Ejemplo:
E = 13652 – 13632
Entonces:
E = 2728 . 2
1365 + 1363
1365 – 1363
E = 5456
Not a
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Ejemplo:
F = 3072 – 2932
F = (300 + 7)2 – (300 – 7)2
F = 4 . 300 . 7 = 8400
55MateMática Delta 2 - álgebra
Binomio diferencia al cubo
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Sea un cubo de lado x – y.
(x – y)3
x – y
y
x – y
x
x
y
x
x – y
y3
x – y
y
x – y
x
x
x
x – y
(x – y)3 + y3 + 3xy(x – y) = x3 ⇒ (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Ejemplos:
a) (x – 3)3 = x3 – 3x2 . 3 + 3x . 32 – 33 = x3 – 9x2 + 27x – 27
b) (3a – 1)3 = (3a)3 – 3(3a)21 + 3(3a)12 – 13 = 27a3 – 27a2 + 9a – 1
También: (x – y)3 = x3 – y3 – 3xy(x – y)
Producto de binomio por trinomio
(x + y)(x2 – xy + y2) = x3 + y3 (x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3
Tenemos:
A = (x + y)(x2 – xy + y2)
A = x(x2 – xy + y2) + y(x2 – xy + y2)
A = x3 – x2y + xy2 + yx2 – xy2 + y3
A = x3 + y3
Tenemos:
B = (x – y)(x2 + xy + y2)
B = x (x2 + xy + y2) – y(x2 + xy + y2)
B = x3 + x2y + xy2 – yx2 – xy2 – y3
B = x3 – y3
Ejemplos:
a) (x + 2)(x2 – 2x + 4) = x3 + 23 = x3 + 8
b) (a – 3)(a2 + 3a + 9) = a3 – 33 = a3 – 27
Trinomio al cuadrado
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
(x + y + z)2 x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
z
y
x
x y z
z
y
x
x y z
xz
xy
xx
yz
yy
xy
zz
yz
xz
Obse rva
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) 
Ejemplo:
x3 + 23 = (x + 2)(x2 – 2x + 42)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Ejemplo:
n3 – 13 = (n – 1)(n2 + n . 1 + 12)
 = (n – 1)(n2 + n + 1)
56
Import a nt e
a
n
 . b
n
 = a . b
n
Ejemplos:
a) (x + y + 2)2 = x2 + y2 + 22 + 2xy + 2x . 2 + 2y . 2 = x2 + y2 + 4 + 2xy + 4x + 4y
b) (a + b + 1)2 = a2 + b2 + 12 + 2ab + 2a1 + 2b . 1 = a2 + b2 + 1 + 2ab + 2a + 2b
c) (x – y + 3)2 = x2 + (–y)2 + 32 + 2x(–y) + 2x . 3 + 2(–y)3 = x2 + y2 + 9 – 2xy + 6x – 6y
Ejemplo 1
Si a2 + b2 + c2 = 20 ∧ ab + ac + bc = 8, calcula el valor de M.
M = (a + 2b)2 + (b + 2c)2 + (c + 2a)2
Resolución: 
Tenemos:
M = (a + 2b)2 + (b + 2c)2 + (c + 2a)2
M = a2 + 2 . a . 2b + (2b)2 + b2 + 2 . b . 2c + (2c)2 + c2 + 2 . c . 2a + (2a)2
M = a2 + 4ab + 4b2 + b2 + 4bc + 4c2 + c2 + 4ca + 4a2
M = 5a2 + 5b2 + 5c2 + 4ab + 4ac + 4bc
M = 5(a2 + b2 + c2) + 4(ab + ac + bc) 
M = 5(20) + 4(8) = 132
Ejemplo 2 
Sea P(x) = (x + 1)(x – 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1), halla el valor numérico de P(x) para 
x = 4 + 15 – 4 – 15 .
Resolución:
Tenemos:
P(x) = (x + 1)(x – 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
P(x) = (x3 + 1)(x3 – 1) = x6 – 1
También:
x = 4 + 15 – 4 – 15 Elevando al cuadrado
x2 = ( 4 + 15 – 4 – 15 )2 = 4 + 152
 – 2 4 + 15 . 4 – 15 + 4 – 15
2
 
x2 = 4 + 15 – 2 (4 + 15)(4 – 15) + 4 – 15 = 8 – 2 16 – 152 = 8 – 2(1) = 6
Piden: N = P(x) = (x2)3 – 1, cuando: x = 4 + 15 – 4 – 15
N = (6)3 – 1 = 216 – 1 = 215
57MateMática Delta 2 - álgebra
1
2
3
4
5
6
Rpta. VVFFF Rpta. 2
Indica si la equivalencia es verdadera (V) o falsa (F).
( V ) (x – 4)(x + 4) = x2 – 16
( V ) (x + 2)(x + 5) = x2 + 7x + 10
( F ) (x – 3)(x – 1) = x2 – 4x – 3
 x2 + (–3 – 1)x + (–3)(–1) = x2 – 4x + 3
( F ) (a – 3)(a + 3) = a2 – 6
 a2 – 32 = a2 – 9
( F ) (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 3
 x3 + 3x2 . 1 + 3x . 12 + 13
 x3 + 3x2 + 3x + 1
Desarrolla.
•	 (4x	–	5)2 = (4x)2 – 2(4x)(5) + 52
 = 16x2 – 40x + 25
•	 (5a	–	2)(5a	+	3)	=	(5a)2 + (–2 + 3)(5a) + (–2)3
 = 25a2 + 5a – 6 
•	 (a2 + 3)2 + (a2 – 3)2 = 2[(a2)2 + 32]
 = 2[a4 + 9]
 = 2a4 + 18
•	 (5	+	2a)2 – (5 – 2a)2 = 4(5)(2a) 
 = 40a
•	 (2a	+	1)3 = (2a)3 + 3(2a)21 + 3(2a)12 + 13
 = 8a3 + 12a2 + 6a + 1
Determina con productos notables.
a) E = 12452 – 12432
b) L = 6052 – 5952
c) I = 4502 . 4498
Resolución:
a) E = 12452 – 12432
 = (1245 + 1243)(1245 – 1243)
 = 2488 . 2 = 4976
b) L = 6052 – 5952
 = (600 + 5)2 – (600 – 5)2
 = 4 . 600 . 5 = 12 000 
c) I = 4502 . 4498
 = (4500 + 2)(4500 – 2)
 = 4500
2 – 22
 = 20 250 000 – 4
 = 20 249 996
Halla el valor de E.
 E = 
(2x + y)2 – (2x – y)2
4xy
Resolución:
Según Legendre, sabemos que:
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Entonces:
(2x + y)2 – (2x – y)2 = 4(2x)(y)
Luego: 
E = 
8xy
4xy = 2
Si x + y = 7 ∧ xy = 2, calcula el valor de: 
a) L = x2 + y2
b) M = x3 + y3
Resolución:
a) Tenemos: x + y = 7
 ( )2 : (x + y)2 = 72 
 x2 + 2xy + y2 = 49 
 x2 + y2 = 49 – 2(2)
 L = 45
b) Tenemos: x + y = 7
 ( )3 : (x + y)3 = 73
 x3 + y3 + 3xy(x + y) = 343
 x3 + y3 + 3 . 2 . 7 = 343
 M + 42 = 343 
 M = 301 
Rpta. 301
Rpta. 45
Reduce la expresión F.
n3 – 27
n2 + 3n + 9
F = + n
2 – 36
n – 6
Resolución:
Sabemos que:
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
a2 – b2 = (a + b)(a – b) 
n3 – 33
n2 + 3n + 9
F = + 
n2 – 62
n – 6
(n – 3)(n2 + 3n + 9)
n2 + 3n + 9
= + 
(n – 6)(n + 6)
n – 6
= n – 3 + n + 6 = 2n + 3
Rpta. 2n + 3
Ejercicios resueltos
Rpta. 4976
Rpta. 12 000
Rpta. 20 249 996
58
7 10
11
12
8
9
Rpta. –27
Encuentra el valor del cuadrado de x.
 x = 3 + 8 – 3 – 8
Resolución:
Piden:
x2 = ( 3 + 8 – 3 – 8 )2
 = ( 3 + 8)2 – 2( 3 + 8 . 3 – 8) + ( 3 – 8)
2
 = 3 + 8 – 2 32 – 8 + 3 – 8
 = 6 – 2 1
 = 4
Rpta. 4
Si x2 + 5x + 3 = 0, descubre el valor de N en la 
expresión.
 N = (x + 6)(x + 3)(x + 2)(x – 1)
Resolución:
Tenemos: x2 + 5x = –3 
También:
N = (x + 6)(x – 1)(x + 3)(x + 2) 
Recuerda: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab 
Entonces:
N = (x2 + (6 – 1)x + 6(–1))(x2 + (3 + 2)x + 3 . 2)
 = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6)
Reemplazando:
N = (–3 – 6)(–3 + 6) 
 = (–9)(3) 
 = –27
Si x + y = 4 ∧ xy = 1, determina el valor de N.
 N = x2 – y2
Resolución:
Piden: N = x2 – y2 = (x + y)(x – y)
Sabemos que: 
 (x + y)2 – (x – y)2 = 4xy
Entonces: 42 – (x – y)2 = 4 . 1
 16 – 4 = (x – y)2
 (x – y)2 = 12
 (x – y) = 12 = 4 . 3 = 4 . 3
 (x – y) = 2 3
Luego:
N = 4(2 3)
N = 8 3
Rpta. 8 3
Si a + b = 6 ∧ a2 + b2 = 20, halla el valor de E. 
E = a3 + b3
Resolución:
Tenemos: a + b = 6
( )2 : a2 + 2ab + b2 = 36 
 20 + 2ab = 36 ⇒ ab = 8
( )3 : a3 + b3 + 3ab(a + b) = 216
 E + 3 . 8 . 6 = 216
 = 216 – 144
 = 72
Rpta. 72
Si ab +
b
a = 2, ¿cuánto es el valor de H?
 
7a2 + 3ab
ab + b2
H = 
 
Resolución:
Tenemos
a
b +
b
a = 2 ⇒ 
a2 + b2
ab
 = 2
 a2 + b2 = 2ab 
 a2 – 2ab + b2 = 0
 (a – b)2 = 0 ⇒ a = b
Luego: 7a
2 + 3aa
aa + a2
7a2 + 3a2
a2 + a2
H = = 
 H = 10a
2
2a2
 = 5
Rpta. 5
Calcula el valor de H; si x3	=	8,	x	≠	2.
(x + 1)2
(x + 4)(x – 2)
H = 
Resolución:
 x3 – 23 = 0
(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0
•	x	=	2		(No se cumple por dato)
 x2 + 2x + 4 = 0
 x2 + 2x = –4
Piden: 
x2 + 2 . x . 1 + 12
x2 + (4 – 2)x + 4(–2)
H = 
x2 + 2x + 1
x2 + 2x – 8
= 
–4 + 1
–4 – 8
= = –3
–12
= 1
4
Rpta. 1
4
59MateMática Delta 2 - álgebra
3 4
2
Síntesis
1
Modela y resuelve 
Completa la tabla. Completa la tabla.
Productos notables
Legendre
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
4
5
6
7
8
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
1 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
3 (a + b)(a – b) = a2 – b2
2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
x + 2 x – 3
x – 2
x + 2
x + 5
x + 7
F1
F2
F3
F4
×
C1 C2
x – 1 x + 3
x + 1
x – 1
x – 3
x + 5
F1
F2
F3
F4
×
C1 C2
Desarrolla.
H = (n – 2)3
Desarrolla.
E = (a + 1)3
Resolución: Resolución: 
Rpta. Rpta. 
60
7 8
9 10
5 6Resuelve.
a) (2x – 3)2
b) (4x – 5)(4x + 5)
c) (2x + 3)(2x + 5)
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Resuelve.
a) (3a + 2)2
b) (5x – 2)(5x + 2)
c) (3x + 1)(3x + 4)
Desarrolla M.
M = (x + 1)3 + (x – 1)3
Desarrolla N. 
N = (a + 1)3 – (a – 1)3
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Aplicando productos notables, efectúa.
a) E = 4252 – 4242
Aplicando productos notables, efectúa.
a) E = 5322 – 5312
b) V = 9082 – 8922 b) V = 8092 – 7912
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
61MateMática Delta 2 - álgebra
11
15 16
12
13 14
Rpta. Rpta. 
Calcula H. Calcula T.
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Rpta. Rpta. 
3
2
+
x
3
2 23
2
–– x
3
H = 
x
5
+
5
2
2 2x
5
−−
5
2
T = 
Determina el valor de K.
K = ( 11 + 7)2 + ( 11 	‒	 7)2
Determina el valor de N.
N = ( 13 + 5)2 + ( 13 	‒	 5)2
Halla el valor de R.
R = (2a + 4)(2a + 2) – (2a + 3)2
Halla el valor de T.
T = (2n + 6)(2n + 2) – (2n + 4)2
Rpta. Rpta. 
62
17 18
19 20
Resolución: 
Resolución: Resolución: 
Resolución: 
Reduce la expresión N. Reduce la expresión T.
x3 – 8
x2 + 2x + 4
x2 – 9
x – 3
N = +
x3 + 1
x2 – x + 1
x2 – 4
x + 2
T = +
Rpta. Rpta. 
Sea x + y = 6 ∧ xy = 3.
Efectúa.
Sea a + b = 5 ∧ ab = 2.
Efectúa.
a) E = x – y a) M = a – b
b) L = x2 + y2 b) V = a2 + b2
c) A = x3 + y3 c) L = a3 + b3
Rpta. Rpta. 
63MateMática Delta 2 - álgebra
21 22
23
25
24
26
Resolución:
Resolución:
Resolución:Resolución:
Resolución:
Resolución:
Si x2 + 3x + 1 = 0, halla el valor de H.
H = (x + 5)(x + 4)(x – 1)(x – 2)
Si x2 + 4x + 2 = 0, halla el valor de T.
T = (x + 5)(x + 6)(x – 1)(x – 2) 
Rpta. Rpta. 
Calcula el valor de R. Calcula el valor de Q.
Rpta. Rpta. 
R = 206 + + 206 – 
2
245 + + 245 – 
2
Q =
Si xy + 
y
x = 2, encuentra el valor de M. Si 
a
b + 
b
a = 2, encuentra el valor de N. 
Rpta. Rpta. 
4x2 + 5xy
3xy – y2
M =
5a2 – ab
ab + b2
N =
64
27 28
29 30
Resolución: 
Resolución: Resolución: 
Resolución: 
Si x3 = y3 ∧ x ≠ y, determina el valor de A. Si a3 = b3 ∧ a ≠ b, determina el valor de M.
(x – y)2
xy
(a + b)2
ab
Rpta. Rpta. 
Si x + 1
x
 = 4, halla el valor de: Si a + 1
a
 = 6, halla el valor de:
a) E = x – 
1
x a) V = a – 
1
a 
b) M = x3 – 1x3 
b) E = a3 – 1
a3
 
Rpta. Rpta. 
A = M =
65MateMática Delta 2 - álgebra
 A 1 B 2 C 3
 D 4 E 5
5
6
7
8
9
Practica y demuestra
1
4
2
3
Nivel I
Indica si la operación es correcta (C)o incorrecta (I).
( ) 732 = 5329 
( ) 51 × 31 = 1571 
( ) 132 – 122 = 1 
( ) 104 × 96 = 1600 
 A CICI B CIIC C CCII
 D ICIC E CIII
 De los desarrollos:
 I. (1 + x)(1 – x) = x2 – 1
 II. a3 – 1 = (a – 1)(a2 + a + 1) 
 III. (2 + x)2 = 4 + 2x + x2
 IV. (n + 1)3 = n3 + 1 + 3(n + 1)n
 V. (x + 1)(x – 3) = x2 + 2x – 3
 ¿Cuáles son incorrectos?
 A II y IV B I, III y IV
 C I, II y V D I, III y V
 E I, III
Descubre el valor de E = (x + 2)2 – 2(x + 1)2 + x2.
 A 3 B 2 C 4
 D 5 E 1
 Determina el valor de R.
 R = ( 5 + 1)( 5 – 1) + ( 7 – 1)( 7 + 1)
 A 12 B 16 C 10
 D 15 E 11
 A 3 B 2 C 4
 D 6 E 1
Reduce la expresión A.
A = 
(2x + y)2 – (2x – y)2
(x + y)2 – (x – y)2
Si x + y = 5 ∧ xy = 2, calcula el valor de A.
A = x2 + y2
 A 1 B 3 C 2
 D 5 E 7
Si x + y = 3, xy = 2; encuentra el valor de M = x – y.
Reduce la expresión E.
E = ( 15 + 3)2 + ( 15 – 3)2
 A 18 B 36 C 12
 D 26 E 48
Si a – b = 5 ∧ ab = 1, halla el valor de P. 
P = a3 – b3
 A 125 B 135 C 150
 D 110 E 140
66
10 14
15
16
17
11
12
13
Nivel II
Si x + 1x = 3, descubre el valor de H.
H = x2 + 
1
x2
 A 9 B 7 C 12
 D 11 E 6
Dada la condición a + 
1
a = 5, determina el valor 
de E.
E = a3 + 
1
a3
 A 125 B 90 C 115
 D 110 E 120
El cuadrado de la suma de dos números es 10 y la 
suma de sus cuadrados es 6. Calcula el producto 
de dichos números.
 A 4 B 3 C – 2
 D 2 E 1
Indica si la equivalencia es correcta (C) o 
incorrecta (I).
( )
x
y
y
x+
x
y
y
x– =
x2
y2
y2
x2
–
( )
a
b
b
a
a2
b2
b2
a2+
2
= +
( )
x
y
x
y
y
x
y
x+ –
2 2
+
( )
a
b
a3
b3
b
a
+
3
= + 3+
b3
a3
a
b
b
a
+
 A CICI B CIIC C CCII
 D ICIC E CIII
= 4
Reduce la expresión H.
H = (x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)(x – 1) + 1
4 
 A x B x8 C x2
 D 1 E x4
Efectúa E.
E = (a + b + c)(a + b – c)
 A a2 – 2ab + b2– c2 
 B a2 – 2ab + b2 + c2 
 C a2 – 2ab – b2 – c2 
 D a2 + 2ab + b2 – c2
 E a2 + 2ab + b2 + c2
Encuentra el valor de P.
P = 7 + 40 + 7 – 40 
2
 A 12 B 23 C 16
 D 18 E 20
Reduce M = (xn + 8)(xn + 2) – (xn + 3)(xn + 7); 
luego, indica el doble de su valor.
 A –6 B –5 C –12
 D 20 E –10
67MateMática Delta 2 - álgebra
18
19
20
21
22
23
24
Simplifica la expresión B.
B = x
3 – 8
x – 2
x2 – 16
x + 4
 A x2 + x + 8 B x2 – x + 8 
 C x2 + 3x D x2 + x
 E x2 + 3x + 8
Halla el valor de L.
1 + 3 . 5 .17 . 257 L = 4
 A 2 B 16 C 4
 D 32 E 8
Si el volumen de un cubo es
V(x) = x3 + 6x2 + 12x + 8, descubre el área de una 
de las caras de dicho cubo.
 A x2 + 2x + 1 B x2 – 1 
 C x2 + 4x + 4 D x2 + 4
 E x2 – 2x + 4
Determina el valor de H, si (a + b)2 = 4ab. 
 A 1 B 6 C 2
 D 8 E 3
Nivel III
Si x2 + 2x + 5 = 0, calcula el valor de R.
R = (x + 5)(x + 7)(x – 3)(x – 5)
 A 1000 B 6000 C 800
 D 400 E 200
Siendo n > 0, encuentra el equivalente simplificado 
de E.
 A n B n + 1 C 2n
 D 2n – 1 E n – 1
E =
(n + 1)4 – (n – 1)4
(2n + 1)2 – (2n – 1)2
– 1
Si a2 + b2 = 6; además, a4 + b4 = 30, halla el valor 
de P.
P = a
4
b2
+ b
4
a2
 A 42 B 54 C 542
 D 65 E 72
H =
2a2 + 4ab
3a2 – ab
68
Tema 5
Halla el área de la base de la piscina, si 
su volumen es 2x3 + 7x2 + x + 20 y su 
altura es x + 4.
¿Qué operación matemática realizaremos 
para hallar lo pedido?
¿Cómo la desarrollaremos cuando 
tenemos variables?
¿Sa bía s qu e.. .?
Dividir (del latín 
dividere) es repartir 
en partes iguales.
División de un polinomio por un monomio
Para realizar esta operación, dividimos cada término del polinomio entre el monomio.
Ejemplo:
Calcula el cociente de la división 
12x4y3 – 8x5y + 14x6y2
2x3y
.
Resolución:
Dividimos cada término del polinomio entre el monomio.
12x4y3
2x3y
– + = 6xy2 – 4x2 + 7x3y
8x5y
2x3y
14x6y2
2x3y
División de un polinomio por un polinomio
Al dividir dos polinomios D(x) llamado dividendo y d(x) llamado divisor, se obtienen 
otros dos polinomios Q(x) llamado cociente y R(x) llamado residuo, donde se cumple:
D(x) d(x) 
R(x) Q(x)
D(x)	≡	d(x)	.	Q(x)	+	R(x)
Propiedades de grados
1. El grado del cociente es el grado del dividendo menos el grado del divisor:
 o[Q] = o[D] – o[d]
2. El grado máximo del resto es el grado del divisor disminuido en 1.
 o[R]máx = 
o[d] – 1
Ejemplo:
Halla el grado del cociente y el grado del residuo sabiendo que es máximo en la división. 
 
3x7 + 2x5 + x4 – 7x2 + x – 1
x3 + 3x2 – x – 2
Resolución:
•		El	grado	del	cociente	es	o[Q] = o[D] – o[d] = 7 – 3 = 4
•		El	grado	del	resto	como	máximo	es	o[R]máx = 
o[d] – 1 = 3 – 1 = 2
Recu e rda
Para dividir monomios
A =
–18x7y4
6x4y
1.° Dividimos 
coeficientes
–18
6
= –3
2.° Dividimos variables
x7y4
x4y1
= x3y3
Luego, A = –3x3y3
(+)
(+) = (+)
(–)
(+) = (–)
(–)
(–) = (+)
(+)
(–) = (–)
División algebraica
Dividendo
Residuo Cociente
divisor
69MateMática Delta 2 - álgebra
Métodos para dividir polinomios
Para realizar una división entre polinomios, el dividendo y divisor deben ser completos 
y	ordenados.	Los	métodos	más	usados	son	el	de	Ruffini	y	el	de	Horner.
Método de Ruffini
Este método se utiliza cuando el divisor es un polinomio de primer grado de la forma 
x ± a. 
Ejemplo 1
Divide el polinomio (x5 – 4x3 + 16x2 – 1) entre (x + 3).
Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios dividendo y divisor. 
(x5 + 0x4 – 4x3 + 16x2 + 0x – 1) ÷ (x + 3)
Esquema	de	Ruffini.	
Luego: Q(x) = x4 – 3x3 + 5x2 + x – 3 
 R(x) = 8
 5o 4o 3o 2o 1o T.I.
1 0 –4 16 0 –1
+ + + + +
–3 9 –15 –3 9
1 –3 5 1 –3 8
Opuesto del término 
independiente del 
divisor d(x).
Escribe	los	coeficiente	
(con sus signos) del 
dividendo D(x).
Residuo
1
2
Coeficientes	del	
cociente
Suma los elementos de cada 
columna y multiplica por el valor 
del paso 2. Repite el proceso.
Baja	el	coeficiente,	multiplica	por	el	
valor del paso anterior. Escribe el 
resultado en la siguiente columna.3 4
–3
×
Ejemplo 2
Divide el polinomio (3x3 + x4 – 5x – 6) entre (x + 2).
Resolución: 
Completamos y ordenamos los polinomios dividendo y divisor. 
(1x4 + 3x3 + 0x2 – 5x – 6) ÷ (x + 2)
Esquema	de	Ruffini.	
1 3 0 –5 –6
 + + + +
–2 –2 –2 4 2
 × 1 1 –2 –1 –4
1
2
3 4
Luego: Q(x) = 1x3 + 1x2 – 2x – 1 
 R(x) = –4
¿Sa bía s qu e.. .?
Paolo Ruffini
Italia 
(1765 -1822)
Vivía una vida con 
filosofía.	
Ruffini	era	un	
hombre tranquilo 
que se tomaba la 
vida	con	filosofía	
por lo que asumió 
su separación de 
la docencia de una 
forma positiva. Si 
no podía enseñar 
Matemáticas, tenía 
más tiempo para 
dedicarse a la 
medicina y a sus 
pacientes.
70
Método de Horner
Este método se emplea para dividir polinomios cuyos divisores sean de grado mayor 
o igual a uno. 
Ejemplo:
Calcula el cociente y el residuo de la división.
Resolución:
• Ordenamos y completamos los polinomios.
• En el esquema de división.
6x5 + 7x3 – 10x4 + 4x2 + 10 – 11x
2x3 + x + 3
6x5 – 10x4 + 7x3 + 4x2 – 11x +10
2x3 + 0x2 + x + 3
1
 2 6 –10 7 4 –11 10
–0
–1
–3
En columna los 
coeficientes	
del divisor d(x), 
el primero con 
su signo y los 
restantes con el 
signo contrario
Separamos con una línea vertical tantas columnas 
como el grado del divisor. 3
2 Coeficientes	del	
cociente
Coeficientes	del	
residuo
divisor de grado 3
Colocamos	los	coeficientes	
del dividendo D(x) con su 
respectivo signo.
William G. Horner
Reino Unido
(1786 - 1837)
¿Sa bía s qu e.. .?
Cuando cumplió 
14 años, se convirtió 
en maestro auxiliar 
de su colegio y, 
4 años más tarde, en 
su director.
En 1809 se trasladó 
a Bath, donde fundó 
su propio colegio.
2 –1 3 
7
2
 + + +
–1
 2 –1 1 –2
 × 2 –2 4 
3
2
1
2
3 4
Ejemplo 3
Halla el cociente de dividir (4x3 – 2x2 + 6x + 7) entre (2x + 1).
Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios dividendo y divisor, luego de dividirlos 
entre 2: (2x3 – 1x2 + 3x + 72 ) ÷ (x + 
1
2 )
Esquema	de	Ruffini
Luego:para	tener	el	resto	final,	multiplicamos	por	2:	2	. 32 = 3
Q(x) = 2x2 – 2x + 4 
R(x) = 3
2
Sabemos:
D(x) = (ax + b) . Q(x) + R(x)
Import a nt e
Entonces:
D(x)
a =
ax + b
a . Q(x) 
+
R(x)
a
D(x)
a =
b
ax +
. Q(x) 
+
R(x)
a
71MateMática Delta 2 - álgebra
 ÷ 6 –10 4 + + +
 2 6 –10 7 4 –11 10
 0 0 –3 –9
–1 0 5 15
–3 0 –2 –6
 × 3 –5 2 0 2 4
Multiplica	este	resultado	por	los	coeficientes	
del divisor con el signo cambiado, coloca los 
productos en las columnas siguientes.
Sumamos los números de 
cada columna y obtenemos los 
coeficientes	del	residuo.
Sumamos los elementos de la columna, dividimos el 
resultado	entre	el	primer	coeficiente	del	divisor	y	colocamos	
el resultado en la parte inferior de la columna.
Repetimos los pasos 4 y 5
4
5 6
En la división de polinomios completos y ordenados en forma decreciente, los polinomios 
cociente Q(x) y residuo R(x) también son completos y ordenados. Entonces:
•		Coeficientes	del	cociente:	32
o
; –51
o
; 2 T.I. Q(x) = 3x2 – 5x + 2
•		Coeficientes	del	residuo		:	02
o
; 21
o
; 4 T.I. R(x) = 0x2 + 2x + 4
fila
columna
Import a nt e
Re cu e rda
Si la división:
D(x) = d(x) . Q(x) + R(x),
es exacta, entonces:
R(x) = 0
T.I.: Término
 independienteTeorema del resto (o teorema de René Descartes)
Se aplica para hallar el residuo en una división sin efectuarla.
Teorema:
En toda división de la forma D(x) ÷ (ax + b), su resto es igual al valor numérico del 
polinomio dividendo D(x) cuando x = – b
a
; es decir: R(x) = D(– b
a
).
Ejemplo 1 
Halla el resto de la división 3x
5 – 2x + 6
x + 1
.
Resolución: 
1.° Igualamos el divisor a cero: x + 1 = 0 ⇒ x = –1.
2.° Determinamos el valor numérico del dividendo, para este valor de x.
 R(x) = D(–1) = 3(–1)5 – 2(–1) + 6 
 R(x) = D(–1) = 3(–1) + 2 + 6 = –3 + 2 + 6 = 5
Ejemplo 2
Halla el resto de la división 2x
3 – 3x2 + 3x + 6
x + 2
.
Resolución:
1.° Igualamos el divisor a cero: x + 2 = 0 ⇒ x = –2.
2.° Determinamos el valor numérico del dividendo, para este valor de x.
 R(x) = D(–2) = 2(–2)3 – 3(–2)2 + 3(–2) + 6 = 2(–8) – 3(4) – 6 + 6 = –28
72
1
2
3
4
5
6
Determina el cociente de la división.
2x4 + 5x3 + x2 + 3x + 4
x + 2
Resolución:
El divisor es de la forma (x + a), por lo que elegimos 
el método de Ruffini.
Los polinomios D(x) y d(x) son completos y 
ordenados, entonces:
Esquema de Ruffini.
Luego: Q(x) = 2x3 + 1x2 – 1x + 5 
 R(x) = –6 Rpta. 2x3 + x2 – x + 5
Rpta. –4
Rpta. –5
2 5 1 3 4
–2 –4 –2 2 –10
2 1 –1 5 –6
Al dividir x
5 – x4 + 4x3 – 7x + 2
x2 + 2x + 2
como cociente y de resto R(x). Halla el valor de 
Q(1).
Resolución:
Dividimos con el método de Horner, luego de 
completar y ordenar el D(x) y d(x).
1 1 –1 4 0 –7 2
–2 –2 –2
–2 6 6
–16 –16
20 20
1 –3 8 –10 –3 22
Piden Q(1) (Suma de coeficientes del cociente) 
⇒ 1 – 3 + 8 – 10 = –4
Encuentra el resto de la división.
(x2 + x + 1)2(3x – 1) + 2x + 1 
x + 1
El divisor es de la forma (ax + b), por lo que 
elegimos el método del resto.
1.° x + 1 = 0 ⇒ x = –1
2.° R(x) = D(–1)
 R(x) = [(–1)2 + (–1) + 1]2[3(–1) – 1] + 2(–1) + 1 
 = [1 – 1 + 1]2[–3 – 1] – 2 + 1
 = (1)2(–4) – 2 + 1 = –4 – 2 + 1 = –5
Rpta. 3
Rpta. 1
Rpta. 2
Al dividir
2x4 – 4x3 – x2 + 7x – n – 2
x – 2
como resto 3n, calcula el valor de n + 1.
Resolución:
Como el divisor es de la forma (x + a), elegimos el 
método de Ruffini. Esquema de Ruffini.
2 –4 –1 7 –n – 2
2 4 0 –2 10
2 0 –1 5 –n + 8
Por dato: 3n = R(x) ⇒ 3n = –n + 8 
 4n = 8 ⇒ n = 2
Piden: n + 1 = 2 + 1 = 3 
Al dividir 4x
5 – 5x3 – 5x2 + 8
x3 – 2
ax2 + bx + c. Descubre el valor de a + b + c.
Resolución:
Dividimos por el método de Horner, luego de 
completar y ordenar el D(x) y d(x).
1 4 0 –5 –5 0 8
0 0 0 8
0 0 0 0
2 0 0 –10
4 0 –5 3 0 –2
Luego: R(x) = 3x2 + 0x – 2 = ax2 + bx + c
x = 1: R(1) = 3 – 2 = a + b + c ⇒ a + b + c = 1
Determina el término independiente del cociente 
en la división.
3x4 – 2x3 – 3x2 + 8x – 1
3x – 2
Resolución:
Aplicamos el método de Horner.
3 3 –2 –3 8 –1
2 2
 0
–2
 4
1 0 –1 2 3
Luego: Q(x) = 1x3 + 0x2 – 1x + 2
Piden : Q(0) = 2
Ejercicios resueltos
, se obtiene
, se obtiene Q(x)
, el resto es
Resolución:
73MateMática Delta 2 - álgebra
7 10
11
12
8
9
Halla el resto de
Resolución:
Aplicamos el método de Horner, luego de 
completar y ordenar el D(x) y d(x).
Luego: R(x) = 8x – 2
3x5 – 2x4 + 3x3 + 2x + 6
x2 + 2
.
Encuentra el residuo de la división.
x6 – (4 + 2)x4 – 3x – 2 2 
x – 2 – 1
Resolución:
El divisor es de la forma (x + a), por lo que elegimos 
el método de Ruffini, luego de completar y ordenar 
el D(x).
Resolución:
Observa que:
( 2 + 1)( 2 + 1) = 2 + 2 2 . 1 + 1 = 3 + 2 2
( 2 + 1)( 2 – 1) = ( 2)2 – 12 = 2 – 1 = 1 
Luego: R(x) = 4
1 0 –4 – 2 0 0 –3 –2 2
2 + 1 2 + 1 3 + 2 2 1 2 + 1 3 + 2 2 4 + 2 2
1 2 + 1 –1 + 2 1 2 + 1 2 2 4
 1 3 –2 3 0 2 6
 0 0 –6
–2 0 4
0 6
0 –8
3 –2 –3 4 8 –2
Calcula el resto en la división.
(x – 1)(x + 2)(x – 3)(x + 4) 
x2 + x + 2
Resolución:
Tenemos: (x – 1)(x + 2)(x – 3)(x + 4) 
x2 + x + 2
(x2 + x – 2)(x2 + x – 12)
x2 + x + 2
Hacemos: x2 + x = n
(n – 2)(n – 12)
n + 2
Aplicamos el teorema del resto.
1.° n + 2 = 0 n = –2
2.° R(x) = D(–2) = (–2 – 2)(–2 – 12) = (–4)(–14) = 56
Rpta. 8x – 2
Rpta. 4
Rpta. 56
Si x
5 + 3x4 + 4x3 + 5x2 + nx + m
x2 + 2x + 1
Descubre el valor de n + m.
Resolución:
Dividimos por el método de Horner.
 1 1 3 4 5 n m
–2 –2 –1
–1 –2 –1
–2 –1
–4 –2
1 1 1 2 0 0
Luego: n – 1 – 4 = 0 ⇒ n = 5 
 m – 2 = 0 ⇒ m = 2
Piden: n + m = 5 + 2 = 7
Determina el cociente de la división.
x3 + (3 – a)x2 + (4 – 3a)x + 5 – 4a
x – a
Resolución:
Dividimos por el método de Ruffini.
1 3 – a 4 – 3a 5 – 4a
a a 3a 4a
1 3 4 5
Luego: Q(x) = 1x2 + 3x + 4
 R(x) = 5
En la división 
3x5 – x4 + ax3 + 9x2 + bx + c
x3 – 3x + 2
; se 
obtuvo un cociente cuya suma de coeficientes es 
3 y un residuo igual a 2x – 1, halla el valor de abc.
Resolución:
Dividimos por el método de Horner.
Tenemos:
3 – 1 + a + 9 = 3 ⇒ a + 9 = 1 ⇒ a = –8 
b + 2 + 3(1) = 2 ⇒ b = –3
 c – 2(1) = –1 ⇒ c = 1
Piden: a . b . c = –8 . (–3) . 1 = 24
 1 3 –1 a 9 b c
 0 0 9 –6
 3 0 –3 2
–2 0 3(a + 9) –2(a + 9)
3 –1 a + 9 0 2 –1
Rpta. 7
Rpta. x2 + 3x + 4
Rpta. 24
, es exacta. 
74
Síntesis
Modela y resuelve 
21
Polinomio ÷ Monomio
Polinomio ÷ Polinomio
Dividimos cada término del polinomio entre 
el monomio.
Polinomios dividendo y divisor completos y 
ordenados en forma decreciente.
Método de Ruffini Método de Horner
Coeficientes del 
dividendo
repetirMultiplica 
por (–a) en 
la siguiente 
columna
opuesto 
de a
Forma:
D(x)
x + a
Esquema:
–a
×
2
1
3 3
Coeficientes del 
dividendo
Resultado 
de (4)
separa 
esquema
Coeficientes 
del divisor
cambian de 
signo
multiplica
repetir 
(4) al (7)
Esquema:
×
÷Divide
Suma
Suma
7
1
3 8
5
6
2
4
Teorema del resto
1 Igualamos el divisor con cero: ax + b = 0 ⇒ x = –ba
D(x)
ax + b
Forma: 2
 El resto es el valor numérico del dividendo: r(x) = D( –ba )
División 
algebraica
D(x) d(x)
R(x) Q(x)
D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)
Algoritmo de la divisiónDividendo
residuo
divisor
cociente
Determina el cociente. Determina el cociente.
Resolución: Resolución: 
3x3 + 4x2 + x – 1 
x + 2
2x3 + 4x2 – 5x – 1
x + 3
Rpta. Rpta. 
75MateMática Delta 2 - álgebra
3 4
7
5
8
6
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: Resolución: 
Halla la suma de coeficientes del cociente. Halla la suma de coeficientes del cociente.
x4 – 3x3 – 6x2 + 7x – 1
x – 4
x4 – 3x3 – 6x2 – 18x – 5 
x – 5
Encuentra el resto de la división. Encuentra el resto de la división.
2x3 – x2 + 3x – 4 
x2 + x + 1
2x3 + x2 – 3x – 5 
x2 – x + 2
Calcula el cociente de la división. Calcula el cociente de la división.
2x5 – 3x4 – 11x2 + 5 
x2 – 2x – 1
3x5 – 4x4 – 2x2 + 5
x2 – 2x + 1
Rpta. 
Rpta.Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
76
11
13
12
14
10
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
9
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Calcula el término independiente del residuo. Calcula el término independiente del cociente.
6x4 + x3 + x2 + 7x – 10 
2x2 + x – 2
6x4 + x3 + 2x2 + 2x – 3 
3x2 + 2x – 1
Rpta. Rpta. 
Halla el residuo de la división. Halla el residuo de la división.
x5 – 20x3 – 100x – 80
x – 5
x5 – 8x3 + 6x – 2 
x – 3
Encuentra el residuo de la división. Encuentra el residuo de la división.
4x4 – 12x3 + 7x2 – 7x + 4 
2x – 1
9x4 – 12x3 + 3x2 – 6x + 4 
3x – 1
77MateMática Delta 2 - álgebra
15
17
16
18
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Determina el valor de E = Q(1) + R(0); si Q(x) es el 
cociente y R(x) el residuo en la división.
Determina el valor de M = Q(0) + R(1); si Q(x) es el 
cociente y R(x) el residuo en la división
6x4 + 2x5 – 2x2 + x + 1
3x2 + x3 – x – 2
5x4 + 3x5 – 10x3 + 7x2 – 2
2x2 + x3 – 2x + 3
Si la división 15x
3 + 29x2 – 2nx – 3m
3x2 + 4x – 5
, es exacta; 
calcula el valor de S = 2n + m.
Si la división 15x
3 + 4x2 – ax + 2b
3x2 + 2x – 5
, es exacta; 
calcula el valor de N = a + 2b.
78
21 22
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
19 20
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Si el resto de la división es 3x – 2, halla el valor 
de a + b.
Si el resto de la división es 2x + 5, halla el valor 
de n + m.
6x5 – 7x4 + 3x3 + 5x2 + ax + b
2x2 – x + 1
6x5 + 7x4 – 9x3 – 4x2 + nx + m
3x2 + 2x – 1
Determina el resto de la división. Determina el resto de la división.
x15 + 2x9 + 3x6 – x3 + 5 
x3 – 2
x12 + 2x8 + 3x6 – 4x2 – 3
x2 + 2
79MateMática Delta 2 - álgebra
25 26
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
23 24
Resolución: Resolución: 
Encuentra el resto de la división. Encuentra el resto de la división.
x6 + 2x5 – 2 3x4 – 2 3x3 + 2x2 + 1 
x – 3
x6 + 2x5 – 2 2x4 – 2x3 + 2x2 + 3
x – 2
Resolución: Resolución: 
Indica el valor de (a + b), si la división es exacta. Indica el valor de (n + m), si la división es exacta.
2x4 + ax2 + bx – 12
x2 + 3x – 4
3x4 + nx2 + mx – 15 
x2 + 2x – 3
80
29 30
Rpta. Rpta. 
27 28
Resolución: Resolución: 
Resolución: Resolución: 
Encuentra el residuo de la división. Encuentra el residuo de la división.
(2x + 1)(3x + 1)(4x + 1)(6x + 1) + 36x2 
12x2 + 7x
(x + 1)(3x + 1)(2x + 1)(6x – 1) + 12x2 
6x2 + 5x
Rpta. Rpta. 
En la división algebraica la suma de coeficientes 
del cociente es 10, calcula el residuo; si a ≠ 0.
En la división algebraica la suma de coeficientes 
del cociente es 10, calcula el residuo; si n ≠ 0.
3ax3 + (2a – 3)x2 + 6x + 4
ax – 1
4nx3 + (3n + 4)x2 + 5x + 6
nx + 1
81MateMática Delta 2 - álgebra
2
3
Practica y demuestra
1
4
5
6
Nivel I
7
8
Luego de completar el esquema:
 A VFVF B FVVV C FVVF
 D FVFF E FFFV
Indica si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
( ) El término independiente del cociente es 5.
( ) El resto es 10.
( ) El dividendo es x + 3.
( ) La suma de coeficientes del dividendo es 8.
2 –5
6
3
–2
Halla el cociente y el residuo de la división.
x4 – 2x3 – x2 + 4x + 5 
x + 1
 A Q(x) = x3 – 2x2 + x + 2; R(x) = 3 
 B Q(x) = x3 – 3x2 + 2x + 2; R(x) = 3 
 C Q(x) = x3 + 2x2 + x – 1; R(x) = 2
 D Q(x) = x3 – 3x2 + 2x – 1; R(x) = –3 
 E Q(x) = x3 – 2x2 – 2x + 2; R(x) = –1
Determina el resto de la división.
6x5 + 2x4 – 7x3 + 8x2 + 7x – 9 
2x3 – x + 3
 A 2x – 1 B x2 + 3x – 2
 C x2 + 2x – 3 D 3x – 2
 E 2x – 3
Indica el resto de .
x7 + 2x – 4
x + 1
 A –3 B –1 C –2
 D –7 E 5
Calcula el residuo de la división.
 A 4 B 6 C –2
 D 2 E –4
3x9 – 5x6 + 2x2 – 2
x – 1
Encuentra el término independiente del cociente.
3x5 – x3 + 6x2 + 3
3x2 + 2
 A 3 B 2 C 4
 D –1 E 1
Indica el resto de la división.
x4 + 4x3 + 6x2 – 7x + 2
x2 + 2x + 1
 A 1 + 11x B 1 – 11x
 C 10x – 2 D 4x – 1
 E 1 – 10x
Halla la suma de coeficientes del cociente de la 
división.
6x5 + 9x4 – 5x3 + x2 + 9x + 3 
2x2 + 3x – 1 
 A 3 B 6 C –2
 D 5 E 4
 
82
Nivel IIIndica el término lineal del cociente en la división.
x3 – x + 6
x – 2
 A x B 2x C –x
 D 4x E 3x
Indica el resto de la división.
5x6 – 3x4 + x2 + 3
x2 + 1
 A 0 B –6 C –4
 D –8 E –2
Determina el valor de n en la división exacta.
3x3 – 8x2 + 8x + n 
x – 2
 A –4 B –8 C –2
 D 6 E 8
Sean Q(x) el cociente y R(x) el residuo de la 
división. Calcula el valor de N(x) = Q(x) + R(x).
 A 3x3 – 4x – 4 B 3x3 + 4
 C 3x3 + 4x + 4 D 3x3 + 6
 E x3 + 2x + 3
6x5 + 3x4 – 7x3 + 5x + 4
2x2 + x – 1 
9
13
14
15
16
10
11
12
Indica la suma de coeficientes del resto.
4x6 – 2x4 – 7x3 – 9x + 10
x3 + 2 
 
 A 30 B 40 C 35
 D 45 E 25
Completa el esquema.
 A VVFF B VFFF C FVVF
 D VVVF E VVVV
Luego, indica si la proposición es verdadera (V) 
o falsa (F).
( ) La suma de coeficientes del cociente es 9.
( ) El resto es 5x + 2.
( ) El divisor es 2x2 + 4x – 3.
( ) La suma de coeficientes del dividendo es 8.
2
–3
6 –4
12 –9
16 –12
8 –6
8
2 5
Si el resto de la división es 5,2x
3 – 7x2 + nx – 1
x – 3
encuentra el valor de n.
 A 2 B 4 C 5
 D 6 E 7
Si la división 6x
3 – 11x2 + 6x – (a – 5)
3x – 1
halla el valor de a.
es exacta,
 A 6 B –2 C 3
 D –3 E 1
83MateMática Delta 2 - álgebra
17
21
22
23
24
18
19
20
En la división exacta, determina el valor de 
E = nm.
6x5 + 2x4 – 11x3 + 5x2 + nx – m 
2x2 – 3
 A 32 B 36 C 42
 D 28 E 40
Calcula el valor de n + m, si la división tiene como 
residuo 70x.
6x3 + 4x2 + nx + m
x2 – 3x +1 
 A 22 B 42 C 12
 D 32 E 18
Encuentra el valor de m + n, si la división es exacta.
15x5 + 11x4 – 12x3 – 2x2 + mx + n
3x2 + x – 1 
 A 5 B 4 C 3
 D 6 E 7
Dada la división algebraica de residuo 
R(x) = 3 – 2x, halla el valor de a + b + c.
 A –1 B 5 C 20
 D 10 E 30
Nivel III
Al dividir P(x) entre (x2 – ax + 3), se obtiene como 
cociente a (mx2 + nx + 4) y como resto a (bx + 6). 
Descubre el término independiente de P(x).
 A 15 B 18 C –20
 D –12 E 10
Determina el valor de a + b de manera que el 
polinomio P(x) = x3 + ax + b sea divisible por (x – 1)2.
 A –1 B –2 C –5
 D 5 E 1
Calcula el resto de la división.
 A 24 B 15 C 56
 D 42 E 35
(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)
x2 – 5x – 1
Dada la división exacta, encuentra el valor de 
a + b.
 A 6 B 9 C 12
 D 8 E 10
x5 + 2x3 + 2x2 – 3x + a
x2 + b3x5 – 2x4 + 10x3 + ax2 – bx + c
x3 – 2x – 1
84
Tema 6
Factorización
Ambos resultados son iguales porque representa la misma área:
 polinomio x . y + z . y = (x + z)y producto de factores
Factorización un polinomio es la transformación del mencionado polinomio en un 
producto	de	factores	primos	con	coeficientes	enteros.
Ejemplos:
a) x3 – 8 = x3 – 23 Diferencia de cubos
 x3 – 8 = (x – 2)(x2 + x . 2 + 22) Producto de factores primos 
b) x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1) Producto de factores primos
Expresa algebraicamente el 
área del rectángulo.
Expresamos el área del 
rectángulo de dos formas:
M Ny
x z
1.a Forma: Suma del área M y el área N
 Área = Área M + Área N
 = x . y + z . y
2.a Forma: Aplicamos la fórmula de área
 Área = base × altura
 = (x + z)y
Factor primo
Es aquel polinomio no constante (con variable) que es divisible entre sí mismo y la 
unidad, es decir, no se puede descomponer.
Ejemplos:
a) En el polinomio:
 P(x; y) = 3 . x . y2 . (x + 4) . (y – 3)2 
 Los factores primos son: x; y; x + 4; y – 3
b) Sea el polinomio factorizado:
 Q(x; y) = 2 . x2 . y3 . (x2 + 1)5 . (y – 1)2 . (x + 3y)
 Los factores primos son: x; y; x2 + 1; y – 1; x + 3y
Métodos para factorizar
Método del factor común
Para extraer el factor común monomio, se saca el mayor número que está contenido 
en los coeficientes dados (MCD), luego se sacan las letras comunes con los menores 
exponentes, finalmente se divide cada uno de los términos del polinomio entre el 
monomio común y losresultados se escriben dentro de un signo de agrupación.
Ejemplos:
a) P(x; y) = x2y – xy2 + xy
 = xy(x – y + 1), factores primos: {x; y; x – y + 1}
b) Q(a; b) = 2a3b2 + 8a2b2 – 4a4b
 = 2a2b(ab + 4b – 2a2), factores primos: {a; b; ab + 4b – 2a2}
Recu e rda
Número primo:
Es un número natural 
mayor que 1 y tiene 
únicamente dos 
divisores distintos: el 
mismo y la unidad.
Import a nt e
MCD (Máximo común 
divisor). 
Mayor número que 
divide exactamente a 
dos o más números.
El número de factores 
primos se obtiene 
contando los factores 
que se encuentran 
como base de cada 
potencia.
85MateMática Delta 2 - álgebra
Método de agrupación
En algunos casos los factores comunes se consiguen agrupando términos en forma 
conveniente; luego, se procede a su factorización. 
Ejemplos: 
a) E(x; y) = xy + ay + bx + ab
 = x(y + b) + a(y + b)
 = (y + b) (x + a)
 Factores primos: 2
 y + b; x + a 
b) H(x; y) = x2 – 3xy + 4x – 12y
 = x(x – 3y) + 4(x – 3y)
 = (x – 3y)(x + 4)
 Factores primos: 2
 x – 3y ; x + 4 
Método de identidades
Realizaremos el proceso inverso de la multiplicación algebraica. Se utilizan los 
principales productos notables.
Diferencia de cuadrados
a2 – b2 = (a + b) . (a – b)
Ejemplos:
a) R(x) = 4x2 – 9
 R(x) = 22x2 – 32 
 R(x) = (2x)2 – 32 
 R(x) = (2x + 3)(2x – 3) 
b) T(x) = x4 – 1
 T(x) = (x2)2 – 12
 T(x) = (x2 + 1)(x2 – 12)
 T(x) = (x2 + 1)(x + 1)(x – 1) 
Trinomio cuadrado perfecto (TCP)
a2 2ab + b2 = (a b)2
Ejemplos:
a) A(x) = x2 + 6x + 9
 A(x) = x2 + 2 . x . 3 + 32 
 A(x) = (x + 3)2 
b) E(n) = 4n2 – 4n +1
 E(n) = (2n)2 – 2(2n)(1) + 12
 E(n) = (2n – 1)2
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) . (a2 – ab + b2)
Ejemplos:
a) F(a) = 1 + a3
 F(a) = 13 + a3
 F(a) = (1 + a)(12 – 1 . a + a2)
 F(a) = (1 + a)(1 – a + a2)
b) H(n) = n3 + 27
 H(n) = n3 + 33
 H(n) = (n + 3)(n2 – 3 . n + 32)
 H(n) = (n + 3)(n2 – 3n + 9) 
Diferencia de cubos
a3 – b3 = (a – b) . (a2 + ab + b2)
Ejemplos:
a) M(x) = x3 – 8
 M(x) = x3 – 23
 M(x) = (x – 2)(x2 + x . 2 + 22)
 M(a) = (x – 2)(x2 + 2x + 4)
b) N(a) = 8a3 – 1
 N(a) = (2a)3 – 13
 N(a) = (2a – 1)((2a)2 + (2a)(1) + 12) 
 N(a) = (2a – 1)(4a2 + 2a + 1)
Obse rva
La factorización es 
útil para realizar 
con mayor rapidez 
algunas operaciones.
Ejemplo 1:
Calcula.
N = 212 . 124 – 212 . 24 
N = 212(124 – 24) 
N = 441 × 100
Ejemplo 2:
Calcula.
A = 242 – 8 × 24 + 42 
A = 242 – 2 × 24 × 4 + 42 
A = (24 – 4)2
A = (20)2 
A = 400
86
P(x; y) = (pxn + rym)(qxn + sym)
Método de aspa simple
Se utiliza para factorizar trinomios de la forma:
P(x; y) = Ax2n + Bxnym + Cy2m
pxn
qxn
rym
sym
2.°
1.°1.°
3.°
1.° (pxn)(qxn) = Ax2n
 (rym)(sym) = Cy2m
2.° (pxn)(sym) + (qxn)(rym) = Bxnym
Regla:
1.° Se descomponen los extremos y se colocan las cantidades una debajo de la otra, 
respectivamente; multiplicadas en forma vertical deben reproducir los términos 
indicados.
2.° La suma de los productos en aspa debe reproducir el término central. Si no se 
obtiene el mencionado término, se tendrá que descomponer de otra manera los 
extremos.
3.° Después de obtener el término central, los factores se obtienen escribiendo los 
términos descompuestos «en forma horizontal».
Ejemplo 1
Factoriza P(x) = x2 – 7x – 18
Resolución:
P(x) = x2 – 7x – 18
 x –9
 x 2
P(x) = (x – 9)(x + 2)
Ejemplo 2
Factoriza R(x; y) = 12x2 + 25xy + 12y2
Resolución:
R(x; y) = 12x2 + 25xy + 12y2
 3x 4y
 4x 3y
R(x; y) = (3x + 4y)(4x + 3y) 
1.° (x)(x) = x2
 (–9)(2) = –18
2.° (x)(2) + (x)(–9) = –7x 
1.° (3x)(4x) = 12x2
 (4y)(3y) = 12y2
2.° (3x)(3y) + (4x)(4y) = 25xy 
Recu e rda
Cuando un polinomio 
no se puede 
factorizar, se dice 
que es un polinomio 
primo. 
Por ejemplo:
•	 x2 + 1
•	 x	+	2y
•		x3 + 3
•	 x	+	7
87MateMática Delta 2 - álgebra
1
3
4
5
6
Factoriza aplicando factor común.
a) P(x; y) = 2x2y + 3xy3 + 4x2y2
1.° Variables comunes con sus menores 
exponentes.
 2.° Divide cada término entre el factor común.
 P(x; y) = xy(2x + 3y2 + 4xy)
b) Q(a; b) = 15a2b + 5a3b2 – 25a4b3
 1.° Halla el MCD de los coeficientes.
2.° Variables comunes con sus menores 
exponentes.
 3.° Divide cada término entre el factor común.
 Q(a; b) = 5a2b(3 + ab – 5a2b2)
c) H(x; y) = 18x2y3 – 24x5y2 + 12x3y4
 H(x; y) = 6x2y2(3y – 4x3 + 2xy2)
2 Factoriza aplicando agrupación de términos.
a) f(x; y) = ax + bx + ay + by
1.° Busca grupos iguales
 f(x; y) = ax + bx + ay + by 
 f(x; y) = x(a + b) + y(a + b) 
2.° Factoriza el grupo común 
 f(x; y) = (a + b)(x + y)
b) A(x; y) = 6xy + 4x + 9y + 6
1.° Busca grupos iguales
 A(x; y) = 6xy + 4x + 9y + 6 
 A(x; y) = 2x(3y + 2) + 3(3y + 2) 
2.° Factoriza el grupo común 
 A(x; y) = (3y + 2)(2x + 3)
Calcula aplicando la factorización.
a) M = 92 . 34 + 92 . 56
 = 92(34 + 56)
 = 92(90) = 8280
b) R = 53 . 142 – 53 . 42
 = 53(142 – 42)
 = 53(100) = 5300
c) F = 37 . 132 + 37 . 23 – 37 . 55
 = 37(132 + 23 – 55)
 = 37(100) = 3700
d) J = 64 . 33 + 86 . 33 + 64 . 67 + 86 . 67
 = 33(64 + 86) + 67(64 + 86)
 = (64 + 86)(33 + 67)
 = (150)(100) = 15 000
Factoriza aplicando identidades.
a) H(n) = n2 – 25
 Diferencia de cuadrados: 
 a2 – b2 = (a + b)(a – b) 
 H(n) = n2 – 52 = (n + 5)(n – 5) 
b) R(x) = 8x3 + 1
 Suma de cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
 R(x) = (2x)3 + 13
 = (2x + 1)((2x)2 – (2x)1 + 12)
 = (2x + 1)(4x2 – 2x + 1) 
c) N(a) = a6 – 8
 Diferencia de cubos: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
 N(a) = (a2)3 – 23 
 = (a2 – 2)((a2)2 + a2 . 2 + 22) 
 = (a2 – 2)(a4 + 2a2 + 4)
Factoriza aplicando el método de aspa simple.
a) P(x) = x2 + 5x + 6
 x + 2 
 x + 3
 P(x) = (x + 2)(x + 3)
b) H(x; y) = 2x2 + 7xy + 6y2
 2x + 3y
 x + 2y 
 H(x; y) = (2x + 3y)(x + 2y) 
c) M(a; b) = 6a2 – 13ab + 6b2
 3a –2b
 2a –3b
 M(a; b) = (3a – 2b)(2a – 3b)
Factoriza el polinomio A(x; y) e indica el número de 
sus factores primos.
 A(x; y) = x3y2 + xy4 – x4y – x2y3 
Resolución:
Tenemos:
A(x; y) = x3y2 + xy4 – x4y – x2y3
 = xy[x2y + y3 – x3 – xy2]
 = xy[y(x2 + y2) – x(x2 + y2)]
 = xy(x2 + y2) . (y – x)
Factores primos: {x; y; x2 + y2; y – x}
Número de factores primos: 4
 Rpta. 4
Ejercicios resueltos
88
 Factoriza el polinomio M(a; c) e indica el término 
independiente de un factor primo.
 M(a; c) = –a2 – b2 + c2 + 2a – 2b + 2c + 2ab 
 Resolución:
 Tenemos: 
 M(a; c) = c2 – a2 + 2ab – b2 + 2a – 2b + 2c 
 = c2 – (a2 – 2ab + b2) + 2a – 2b + 2c 
 = c2 – (a – b)2 + 2(a – b + c) 
 = (c + a – b)(c – a + b) + 2(a – b + c) 
 = (a + c – b)(c – a + b + 2)
 Piden el término independiente de un factor primo 
Entonces: –b ∨ b + 2
9
8
7 Indica la suma de factores primos. 
 P(a; b) = (a + b)2 + n(a + b) – 2n2
 Resolución:
 Tenemos un trinomio de grado par, entonces 
aplicamos aspa simple:
 P(a; b) = (a + b)2 + n(a + b) – 2n2 
 a + b 2n 
 a + b –n
 P(a; b) = (a + b + 2n)(a + b – n) 
 Piden la suma de factores primos:
 E = a + b + 2n + a + b – n 
 = 2a + 2b + n
 Si S(x; y) es la suma de factores primos del 
polinomio P(x; y) = 9x4 – 37x2y + 4y4, determina 
S(1; 2).
 Resolución:
 Tenemos un trinomio de grado par, entonces 
aplicamos aspa simple:
 P(x; y) = 9x4 – 37x2y + 4y4
 9x2 –y2 
 x2 –4y2
 P(x; y) = (9x2 – y2)(x2 – 4y2)
 = ((3x)2 – y2)(x2 – (2y)2)
 = (3x + y)(3x – y)(x + 2y)(x – 2y)
 Entonces: S(x; y) = 3x + y + 3x – y + x + 2y + x – 2y 
 = 8x
 Piden: S(1; 2) = 8(1) = 8
 Factoriza el polinomio H(x) y luego indica la suma 
de coeficientes de sus factores primos.
 H(x) = x6 – x2 – 8x – 16
 Resolución:Tenemos: 
 H(x) = x6 – (x2 + 8x + 16) 
 = (x3)2 – (x2 + 2 . x . 4 + 42) 
 = (x3)2 – (x + 4)2 
 = (x3 + x + 4)(x3 – x – 4)
 Piden: 
 E = 1 + 1 + 4 + 1 – 1 – 4 = 2
Rpta. 2a + 2b + n
Rpta. 8
Rpta. 2
 Halla la suma de coeficientes de un factor primo. 
 P(x) = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) + 1
 Resolución:
 Tenemos:
 P(x) = (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) + 1 
 = (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) + 1
 Hacemos: x2 + 7x + 10 = n 
 P(x) = (n)(n + 2) + 1 
 = n2 + 2n + 1
 = (n + 1)2
 Ahora: n = x2 + 7x + 10 
 P(x) = (x2 + 7x + 10 + 1)2 
 = (x2 + 7x + 11)2
 Factor primo: x2 + 7x + 11
 Piden la suma de coeficientes: 1 + 7 + 11
12
10
Rpta. –b ∨ b + 2
11 Factoriza el polinomio P(x) y luego indica el 
número de factores primos.
 P(x) = x4 + 3x3 + 2x2 + 3x + 1
 Resolución:
 Tenemos:
 P(x) = x4 + 2x2 + 1 + 3x3 + 3x 
 = (x2)2 + 2(x2)1 + 12 + 3x3 + 3x
 = (x2 + 1)2 + 3x(x2 + 1)
 = (x2 + 1)(x2 + 1 + 3x)
 Factores primos: x2 + 1; x2 + 3x + 1 
 Número de factores primos: 2
Rpta. 2
Rpta. 19
89MateMática Delta 2 - álgebra
Síntesis
Modela y resuelve 
2
4
1
3
Factorización
Factor común Agrupación Identidades Criterio de 
aspa simple
1.o MCD de los 
coeficientes.
2.o Variables 
comunes con 
sus menores 
exponentes.
Se buscan grupos 
convenientes 
(iguales).
• a2 – b2 = (a + b)(a – b)
• a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
• a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 
• a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
• a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Trinomio:
ax2 + bx + c
Factoriza aplicando factor común. Factoriza aplicando factor común. 
a) P(x) = 5x3 + 2x2 – x4
b) Q(x; y) = 12x3y2 + 16x2y3– 20x2y2 
c) M(a; b) = 14a4b3 – 18a2b4 – 10a3b5
a) M(x) = 3x4 + 5x5 – x3
b) A(x; y) = 16x2y2 + 32x3y3 – 24x4y4 
c) L(a; b) = 12a3b3 – 15a5b5 – 9a4b7
Calcula aplicando factorización. Calcula aplicando factorización.
a) H = 23 . 142 + 23 . 58
b) P = 63 . 94 + 63 . 32 – 63 . 26
a) L = 32 . 137 + 32 . 63
b) B = 39 . 69 + 39 . 43 – 39 . 12
Resolución: Resolución: 
Resolución: Resolución: 
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
90
6
8
10
5
7
9
Factoriza por diferencia de cuadrados. Factoriza por diferencia de cuadrados. 
Factoriza por suma de cubos. Factoriza por suma de cubos.
a) H(x) = x2 – 49 a) M(x) = x2 – 100
b) J(a) = 4 – a2 b) L(n) = 9 – n2
Resolución: Resolución: 
Factoriza por diferencia de cubos. Factoriza por diferencia de cubos.
a) R(x) = x3 – 27
a) F(x) = x3 + 216
a) D(x) = x3 – 125
a) E(x) = x3 + 64
b) H(z) = 8 – z3 b) N(y) = 27 – y3
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
b) Q(y) = 1 + y3 b) G(a) = 8 + a3
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
91MateMática Delta 2 - álgebra
12
14
16
11
13
15 Indica el número de factores primos de P.
P(x) = x8 – 1
Indica el número de factores primos de Q.
Q(a) = a16 – 1
Resolución: Resolución: 
Si F(x) es la suma de factores primos del polinomio 
P(x) = 2x2 – x – 6, determina el valor de F(2).
Si H(x) es la suma de factores primos del polinomio 
F(x) = 3x2 – 7x – 6, determina el valor de H(3).
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Factoriza por aspa simple. Factoriza por aspa simple.
a) T(x) = x2 + 3x – 10 a) L(x) = x2 + 2x – 8
b) R(x) = x2 – 5x + 6 b) H(x) = x2 – 5x – 6
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
92
18
20
22
17
19
21 Calcula el número de factores primos de E.
E(a; b) = a12 – a8b4 – a4b8 + b12
Calcula el número de factores primos de P.
P(x; y) = x9 – x6y3 – x3y6 + y9
Resolución: Resolución: 
Luego de factorizar P(x; y), halla la suma de sus 
factores primos.
P(x; y) = (3x + 2y)2 – (x + y)2
Luego de factorizar E(x; y), halla la suma de sus 
factores primos.
E(x; y) = (4x + y)2 – (2x – y)2
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Indica la suma de términos independientes de los 
factores primos.
P(a) = a2 + ab + 2a + b + 1
Indica la suma de términos independientes de los 
factores primos.
H(x) = x2 + nx + 4x + 2n + 4
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
93MateMática Delta 2 - álgebra
23
25
27
24
26
28
Indica el número de factores primos de H.
H(x) = x3 + x2 – 64x – 64
Determina A(x), si es la suma de factores primos 
del polinomio P(x) = (x + 5)3 – 8.
Reduce e indica el valor de F.
Indica el número de factores primos de E.
E(a) = a3 + a2 – 36a – 36
Determina S(z), si es la suma de factores primos 
del polinomio Q(z) = (z + 4)3 – 27.
Reduce e indica al valor de A.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
x2 + 5x + 6
x2 – x – 6
2x2 – 19x + 9
2x2 – 7x + 3
F = +
x2 + 4x + 3
x2 + 5x + 6
2x2 + 9x + 9
2x2 + 7x + 6
A = +
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
94
 A Id; IIb; IIIc; IVa 
 B Ia; IId; IIIa; IVb 
 C Id; IIe; IIIa; IVc
 D Ia; IIe; IIIa; IVd 
 E Id; IIb; IIIa; IVc
2
3
Practica y demuestra
1
4
5
6
Nivel I
7
8
9
Indica si las equivalencias son verdaderas (V) o 
falsas (F).
 A VFVF B FFVF C FFVV
 D FVFV E FFFV
( ) x3 + 2x2 + x = x(x2 + x)
( ) 4x2 + 2y = 4(x2 + y)
( ) 2xy2 + 2x2y + 4xy = 2xy(y + x + 2)
( ) x2 + 2x + 3 = (x + 3)(x + 1)
Relaciona cada polinomio con su transformación 
a producto.
I. x2 – 4
II. x2 – x – 6
III. x2 + 4x + 4
IV. x2 + 4
a. (x + 2)2
b. (x + 3)(x – 2)
c. x2 + 4
d. (x + 2)(x – 2)
e. (x – 3)(x + 2)
Luego de factorizar H(x; y), indica un factor primo. 
H(x; y) = xy – bx + ay – ab
 A y – a B y + b 
 C x + y D x + b
 E x + a
Halla la suma de factores primos de S(x) = 25 – x2.
 A 2x B 2x – 10
 C 2x + 10 D 10
 E 0
Indica un factor primo.
P(x) = 2ab + ax + 2bx + x2
 A x + 2a B x + b
 C x – 2b D x – a
 E x + 2b
Luego de factorizar H(z), calcula la suma de 
coeficientes de un factor primo.
H(z) = z3 + 27
 A 3 B 7 C 9
 D 13 E –2
Indica un factor primo de E. 
E(a) = a2 – 2a – 8
 A a + 4 B a – 2 
 C a + 8 D a – 4
 E a – 1
Dado el polinomio F(x; y), encuentra la suma de 
factores primos. 
F(x; y) = (3x + y)2 – (x + 3y)2
 A 2y B 2x 
 C x – y D x + y
 E 2x + 2y
Sea f(x) la suma de factores primos del polinomio 
P(x) = 12x2 – x – 6, determina f(2).
 A 6 B 11 C 17
 D 15 E 13
95MateMática Delta 2 - álgebra
10 14
15
16
17
11
12
13
Indica un factor primo de P(x).
P(x) = 12x2 + 19x – 18
 A 3x + 2 B 2x – 6
 C 4x + 3 D 3x – 2
 E 6x – 1
Si A(x) es la suma de factores primos de
P(x) = 3x2 + 4x – 4, halla el valor de A(2).
 A 5 B 2 C 9
 D 7 E 8
Indica el perímetro del cuadrado, si A(x) representa 
su área.
A(x) = x4 + 4x2 + 4
 A 4x2 + 2 B 4x2 + 8
 C x2 + 4 D 2x2 + 4
 E x2 + 2
Nivel II
Indica si los polinomios están transformados 
correctamente (C) a producto, de lo contrario 
marca incorrecto (I).
( ) x3 – 125 = (x – 5)(x2 – 5x + 25)
( ) x2 + 3x – 10 = (x + 5)(x – 2)
( ) x2 – 81 = (x – 9)(x + 9)
( ) 1 + 2x + x2 = (1 – x)2
( ) x4 + 2x2 + 1 = (x2 + 1)2
( ) 216 + x3 = (6 + x)(x2 + 6x + 36)
 A IICCII B CCICCC
 C IICICI D CCCICI
 E ICCICI
Si f(x; z) es la suma de factores primos de 
P(x; z) = 6x2 – 11xz – 10z2, indica f(x; z).
 A 5x – 3z B 3x – 5z
 C 6x + 7z D 2x + z
 E x – 3z
Indica un factor primo de A. 
A(m; n) = m2 – n2 + 2n – 1
 A m – n + 1 B m + n 
 C m + 1 D m + n + 1
 E m – n – 1
 A (x + 1)(2x + 1)(x2 + x + 1) 
 B (x – 1)2(2x – 1)(x2 – x + 1) 
 C (x + 1)(2x – 1)2(x2 + x + 1) 
 D (x – 1)(2x + 1)2(x2 + x + 1)
 E (x + 1)2(2x – 1)(x2 – x + 1)
Factoriza el polinomio M(x).
M(x) = 2x5 + x4 – x3 + 2x2 + x – 1
Indica uno de los factores primos del polinomio P(x). 
P(x) = x5 – 8x2 – x – 8, es:
 A x + 1 B x2 + x +1 
 C x2 + 1 D x3 + 2
 E x – 2
96
Indica el factor primo que más se repite al 
factorizar P(x).
P(x) = x2(x + 7) + 2x(x + 7) + x + 7
 A x + 7 B x + 1 C x + 8
 D x + 3 E x
Si A(x) y B(x) representan el área de los 
rectángulos mostrados, determina la medida del 
lado común (con variable x).
Indica la suma del numerador y denominador 
reducido de R.
A(x) = 2x2 + x – 6 B(x) = 4x2 – 9
A x + 2 B 2x + 3 C 2x + 4
D 2x – 3 E x + 4
A 2x – 6 B x + 1 C 2x+ 3
D x – 3 E 3x + 1
Si f(x) = ax + 2 es un factor algebraico del polinomio 
P(x) = (ax)2 + (ab)x – 2b, evalúa el valor de f b
a
.
 A 1 B 3 C 0
 D 12 E 2
19
20
21
22
23
24
Nivel III
18 Factoriza el polinomio P(x; y) e indica un factor 
primo. 
P(x; y) = 2x4 + 2xy3 – 3y4 – 3x3y
 A x – y B 2x + 3y 
 C x2 – xy + y2 D 3x – 2y
 E x2 + xy + y2
Luego de factorizar el polinomio P(x), indica la 
proposición incorrecta. 
P(x) = x4 + 3x3 + 2x2 + 3x + 1
A P(x) tiene dos factores primos. 
B La suma de coeficientes de un factor 
primo es 5.
C Un factor primo de P(x) es x2 + 1.
D P(x) tiene tres factores primos. 
E La suma de factores primos de P(x) es
 2x2 + 3x + 2.
Factoriza el polinomio N(a; b; c).
N(a;	b;	c)	=	(a	+	b	+	c)(ab	+	ac	+	bc)	‒	abc
 A (a + b)(c – b)
 B (a + b)(b – c)(c – a) 
 C (a + c)(b – a)
 D (a + b)(b + c)(a + c)
 E (a – b)(b – c)(a – c)
4x2 – 9
2x2 – x – 6
x2 – 2x – 3
x2 – 5x + 6
R = –
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 2
97MateMática Delta 2 - álgebra
Encuentra el valor reducido de S.
S = 7(32 + 2)(34 + 4)(38 + 16) + 2568
Determina el valor de P.
P = ( 5 + 2 )2 + ( 5 ‒ 2 )2
5
4 Si x2 – 2x – 25 = 0; descubre el valor de T.
T = (x + 3)(x + 4)(x – 5)(x – 6)
Halla el cociente de la división.
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Encuentra el cociente de la división.6
A 47 B 42
C 39 D 18 
A 14 B 12
C 10 D 8
A Q(x) = x3 + 2x2 + x + 2 
B Q(x) = x3 + 2x2 + 2x – 1 
C Q(x) = x3 + 2x2 – 2x + 1 
D Q(x) = x3 + 2x2 – x + 1
A Q(x) = 4x2 + x + 3 
B Q(x) = 4x2 + 2x – 1 
C Q(x) = 4x2 – 2x + 1 
D Q(x) = 4x2 – x + 2
A 14 B 10
C 12 D 8
La suma de dos números es 7 y su producto es 5; 
calcula el valor de la suma de sus cuadrados de 
dichos números.
x – 4
–2x3 + x4 – 9x2 + 5x + 2
x – 1 + 2x2
8x4 – x2 + 2x3 + 3
A 3 B 5
C 7 D 9
98
Luego de factorizar el polinomio P(x), calcula el 
valor de f(2), si f(x) es el factor primo de mayor 
suma	de	coeficientes	de	P(x)	=	x2 – 64.
7 10
11
129
8
Indica un factor primo de Q. 
Q(x) = x2 – xy + y – 1
Halla la suma de coeficientes de un factor primo 
del polinomio P(x).
P(x) = x3 – 2x2 + 5x – 10
Encuentra la suma de coeficientes de todos los 
factores primos del polinomio P(x).
P(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1
Determina el resto de la división. 
x + 3
x3 + 2x2 – 5x + 1
Si Q(x) es el cociente y R(x) el residuo de la 
división, descubre el valor de H = Q(1) + R(0). 
4x2 + x + 3
8x5 + 14x4 + 5x3 + 16x2 + 3x + 2
7A
5C
8B
9D
6A
7C
1B
2D
3A
6C
5B
11D
3A
9C
6B
10D
y – 1A
x + 1C
y + 1B
x – y + 1D
2A
5C
6B
7D
Tema
99MateMática Delta 2 - álgebra
Ecuación lineal y Sistema de 
ecuaciones lineales
7
Ecuación 
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que al menos está presente 
una variable (incógnita).
Los problemas, las adivinanzas y las recreaciones 
matemáticas han formado parte de las culturas en todas 
las épocas, entre ellas las tablillas mesopotámicas 
(2100 a. C. - 300 a. C.). Existen tabillas cuneiformes 
relacionadas con las matemáticas, en las que se 
encuentran problemas de ecuaciones como la siguiente:
Si se multiplica el largo por el ancho se obtiene un área 
de 600. Cuando se multiplica por sí misma la diferencia 
entre el largo y el ancho, y ese resultado se multiplica 
por 9, da una superficie equivalente al cuadrado del 
largo. ¿Cuáles son el largo y el ancho?
Donde:
x es la variable (incógnita)
x
2
Primer 
miembro
Segundo 
miembro
+ 5 = +x3
1
2
Ecuación lineal
En esta ecuación en la que el exponente de la variable es uno y tiene la forma:
ax + b = 0 ; a ≠ 0
Ejemplos:
a) 5x – 3 = x – 2 Ecuación lineal
b) x + 12 – 3 = 5x
2 Ecuación no lineal
c) (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 Identidad, verifica para todo valor de la incógnita, ecuación no lineal
d) 5 – x – 13 = 2 Ecuación lineal
Solución de una ecuación 
Es el valor que toma la incógnita de una ecuación y verifica la igualdad.
Ejemplos:
a) Dada la ecuación: x + 3
2
 – 5 = 1
 Si x = 9 ⇒ 9 + 32 – 5 = 
12
2 – 5 = 6 – 5 = 1 Luego, 9 es solución de la ecuación.
b) Dada la ecuación: x3 + 
 x – 1
2 = x – 2
 Si x = 9: 93 + 
 9 – 1
2 = 9 – 2 ⇒ 3 + 
8
2 = 7 ⇒ 3 + 4 = 7
 Luego, 9 es solución de la ecuación.
Francisco Vieta
(1540 - 1603)
Considerado como 
uno de los principales 
precursores del 
álgebra.
Fue el primer 
matemático que 
utilizó letras para 
designar las 
incógnitas y las 
constantes de 
las ecuaciones 
algebraicas.
¿Sa bía s qu e.. .?
100
Solución de una ecuación lineal
Para resolver una ecuación, aplicamos el método de transposición de términos.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resuelve la ecuación
x + 4
2 – 1
5
+ 1 = 3
Resolución:
x + 4
2 – 1
5 + 1 = 3 ⇒
x + 4
2 – 1
5 = 3 – 1
x + 4
2 – 1 = 5(2) ⇒
x + 4
2 = 10 + 1
x + 4
2 = 11 ⇒ x + 4 = 2(11)
x = 22 – 4 ⇒ x = 18
Luego x = 18 es la solución de la ecuación.
Calcula el valor de x en x + 65 +
x
2 + x = + 7.
x
4
Resolución:
Tenemos: x + 65 +
x
2 + x = + 7
x
4
MCD(5; 2; 4) = 20
4(x + 6) + 10(x) + 20(x) = 5(x) + 20(7) 
 4x + 24 + 10x + 20x = 5x + 140
 34x – 5x = 140 – 24 ⇒ 29x = 116 ⇒ x = 4 
Hallamos el MCD de los denominadores
Este número se divide por cada denominador y el 
resultado se multiplica por su respectivo numerador.
Sistema de ecuaciones lineales
Es un conjunto formado por dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Su 
solución verifica todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplos:
a) Sistema lineal con 2 variables
3x – 5y = 18
 4x + y = 1
x + 2y – 3z = 8
 x – 2y + z = –4
2x + 3y – z = 9
C.S. = {(1 ; –3)}
b) Sistema lineal con 3 variables
C.S. = {(1 ; 2 ; –1)}
Verificando:
C.S. = {(1 ; –3)} ⇒ x = 1; y = –3
3(1) – 5(–3) = 3 + 15 = 18
4(1) + (–3) = 4 – 3 = 1
Verificando:
C.S. = {(1 ; 2 ; –1)} ⇒ x = 1; y = 2; z = –1
(1) + 2(2) – 3(–1) = 1 + 4 + 3 = 8
(1) – 2(2) + (–1) = 1 – 4 – 1 = –4
2(1) + 3(2) – (–1) = 2 + 6 + 1 = 9
El método de 
transposición de 
términos consiste 
en pasar los términos 
de un miembro a 
otro con la operación 
contraria.
 Transposición
+ = –
– = +
× = ÷
÷ = ×
Not a
MCD (Máximo 
común divisor) 
de dos o más 
números es el mayor 
número entero que 
los divide en forma 
exacta.
Recu e rda
Conjunto solución 
(C.S.)
Si:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
⇒ C.S. = {(x ; y)}
Import a nt e
Par ordenado
El valor de x que verifica la igualdad es 4.
101MateMática Delta 2 - álgebra
Se busca obtener una ecuación con una sola variable.
Algunos métodos para resolver sistemas lineales
Método de reducción
Consiste en buscar que la incógnita que se desea eliminar tenga el mismo coeficiente 
(con signos diferentes) en ambas ecuaciones. Se suman estas ecuaciones y nos queda 
una ecuación con una incógnita (variable).
Ejemplo:
Resuelve 5x – 3y = 11 (1)
 2x + y = 11 (2)
Resolución:
Observación:
Como la variable y es la que tiene en este caso menores coeficientes y signos diferentes, 
es la que vamos a eliminar.
Entonces, la ecuación (2) la multiplicamos por 3.
 5x – 3y = 11
 6x + 3y = 33
 11x = 44 ⇒ x = 4
2(4) + y = 11 ⇒ y = 3En (2):
(2) × 3:
(1) :
Entonces, el conjunto solución es: C.S. = {(4 ; 3)}
Método de sustitución
Consiste en despejar de una de las ecuaciones, una de las incógnitas y sustituirla 
(reemplazarla) en la otra ecuación.
(+)
Ejemplo:
Resuelve 5x + 3y = 11 (1)
 x – 2y = 10 (2)
Resolución:
De (2) Despejamos x: x = 10 + 2y 
 sustituimos el equivalente de x en la ecuación (1):
 5(10 + 2y) + 3y = 11
 50 + 10y + 3y = 11 ⇒ 13y = –39 ⇒ y = –3
En (1): 5x + 3(–3) = 11 ⇒ 5x = 20 ⇒ x = 4
Entonces, el conjunto solución es: C.S. = {(4 ; –3)}
Método de igualación
Despejamos la misma variable en ambas ecuaciones, luego las igualamos.
Ejemplo:
Halla el conjunto solución del sistema: 3x + y = 17 (1)
4x – y = 18 (2)
Resolución:
Despejamos y de ambas ecuaciones:
De (1): y = 17 – 3x
De (2): 4x – 18 = y 
(2) = (1): 4x – 18 = 17 – 3x ⇒ 4x+ 3x = 17 + 18 
 7x = 35 ⇒ x = 5
En (1): 3(5) + y = 17 ⇒ y = 17 – 15 ⇒ y = 2
Entonces, el conjunto solución es: C.S. = {(5 ; 2)}
Observa:
Es conveniente despejar la variable 
con menor coeficiente.
Observa:
Elegimos la ecuación (2) porque es 
más fácil despejar una incógnita.
Carl Friedrich 
Gauss
30 de abril 1777 
23 febrero 1855
Gauss, considerado 
«el príncipe de los 
matemáticos», fue 
un matemático 
y físico alemán 
que contribuyó en 
muchos campos, 
entre ellos, el 
álgebra.
Not a
102
Otros casos
Es importante observar lo que piden calcular, en algunos casos llegaremos a la 
respuesta con pocas operaciones.
Ejemplo 1
Halla el valor de x + y si
5x + 2y = 23 (1)
4x + 7y = 40 (2)
Resolución:
Nos piden calcular el valor de x + y. 
Tenemos:
(1): 5x + 2y = 23
(2): 4x + 7y = 40
 9x + 9y = 63
÷9: x + y = 7
+
Piden: x + y = 7
Ejemplo 2
Al resolver el sistema
Ejemplo 3 
Calcula el valor de T = m + n, si {(–4 ; 3)} es el conjunto solución del sistema
 mx + 5y = –5 (1)
 –4x + (n – 1)y = 7 (2)
Resolución:
Reemplazamos los valores de x e y.
En (1): m(–4) + 5(3) = –5
 –4m = –20
 m = 5
En (2): –4(–4) + (n – 1)(3) = 7
 (n – 1)3 = 7 – 16
 n – 1 = –3
 n = –2
Piden: T = m + n = 5 + (–2) = 3
El valor de T es 3.
4x + 3y = 26 (1)
2x + ny = 34 (2)
Se halla que y es el triple de x, determina el valor de A = x + y + n
Resolución:
En (1): 4x + 3(3x) = 26 
 13x = 26 ⇒ x = 2
Luego: y = 3x ⇒ y = 3 . 2 ⇒ y = 6
En (2): 2 . 2 + n . 6 = 34 
 6n = 34 – 4 ⇒ n = 5
Piden el valor de:
A = x + y + n ⇒ A = 2 + 6 + 5 = 13
Observa:
La solución de un sistema con dos 
variables es un par ordenado:
(x ; y) = (–4 ; 3)
Entonces:
x = –4 y = 3
Observa:
Los coeficientes de las variables 
suman 9.
Recu e rda
Incógnita
Cantidad 
desconocida que es 
preciso determinar 
en una ecuación o 
en un problema para 
resolverlos.
Fuente: RAE
Observa:
Por dato del problema: y = 3x.
Entonces, reemplazamos todas las 
variables y.
103MateMática Delta 2 - álgebra
1
2
3
4
5
6
Resuelve y halla el valor de H = 2x – 1.
x – 3[1 – 2x – (2 – x)] = –5
Resolución:
Tenemos:
 x – 3(1 – 2x – 2 + x) = –5 
 x – 3(–1 – x) = –5 
 x + 3 + 3x = –5
 4x = –5 – 3
 x = –2
Piden: H = 2x – 1
 H = 2(–2) – 1 = –5
Rpta. –5
Resuelve el sistema de ecuaciones.
 x = 2y + 3
4x + y = 21
Resolución:
Tenemos: x = 2y + 3 (1)
 4x + y = 21 (2)
Observa que la variable x está despejada en (1), 
por lo que aplicamos el método de sustitución:
(1) en (2): 4(2y + 3) + y = 21
 8y + 12 + y = 21
 9y = 21 – 12 ⇒ y = 1
En (1): x = 2(1) + 3 ⇒ x = 5
Luego: C.S. = {(5 ; 1)}
Rpta. {(5 ; 1)}
Calcula el valor de N = xy, dado el sistema de 
ecuaciones. 
 5x + 3y = 34 (1)
 2x – y = 7 (2)
Resolución:
La variable y es la que tiene signos diferentes, por 
lo tanto, es la que vamos a eliminar. Entonces:
(1) : 5x + 3y = 34
(2) × 3: 6x – 3y = 21
 11x = 55 ⇒ x = 5 
En (1): 5(5) + 3y = 34
 3y = 34 – 25 
 y = 3
Piden: xy = 5 . 3 = 15
Rpta. 15
Resuelve
x + 5
2
– 1
3
+ 4 = 5.
Resolución:
Tenemos una ecuación lineal en la que aplicamos 
transposición, entonces: 
x + 5
2
– 1
3 = 5 – 4 ⇒
x + 5
2 – 1 = 3(1)
x + 5
2 = 3 + 1 ⇒ x + 5 = 2(4)
Luego: C.S. = {3}
x = 8 – 5 
x = 3
Rpta. {3}
Determina el valor de N = 3a – 2b, si {(4 ; –2)}, 
es el conjunto solución del sistema:
 ax + 3y = 14 (1) 
2x + (b – 1)y = 2 (2)
Resolución:
Reemplazamos los valores de x e y.
En (1): a(4) + 3(–2) = 14
 4a = 14 + 6
 a = 5
En (2): 2(4) + (b – 1)(–2) = 2
 8 – 2b + 2 = 2
 10 – 2 = 2b ⇒ b = 4
Piden: N = 3(5) – 2(4) = 15 – 8
El valor de N es 7.
Rpta. 7
Encuentra el valor de n, si el valor de x es el triple 
del valor de y en el sistema:
3x – 2y = 3n – 7 (1)
 2x + y = n + 3 (2)
Resolución:
Tenemos: x = 3y
En (1): 3(3y) – 2y = 3n – 7
 7y = 3n – 7
En (2): 2(3y) + y = n + 3
 7y = n + 3
Luego: 3n – 7 = n + 3 
 2n = 10 ⇒ n = 5
Rpta. 5
Ejercicios resueltos
104
7 10
11
12
8
9
Resuelve e indica el doble del valor de x.
Resolución:
Buscamos el MCM(10; 5; 4) = 20, multiplicamos y 
simplificamos a todos los términos por este valor.
Entonces:
2(x + 2) + 4(x – 3) + 5(x) = 20(x) – 20(4) 
 2x + 4 + 4x – 12 + 5x = 20x – 80
 80 – 8 = 20x – 11x 
 9x = 72 ⇒ x = 8
Piden: 2x = 2(8) = 16
x + 2
10 +
x – 3
5 +
x
4 = x – 4
Halla el valor que verifica la ecuación.
2x – 4
5 + 4
2
+ 4 = x
Resolución:
Aplicando el criterio de transposición tenemos:
2x – 4
5 + 4
2
= x – 4
2x – 4
5 + 4 = 2(x – 4) ⇒
2x – 4
5 = 2x – 8 – 4
2x – 4 = 5(2x – 12)
2x – 4 = 10x – 60
60 – 4 = 10x – 2x
56 = 8x ⇒ 7 = x
Luego, el valor que verifica la igualdad es 7.
Calcula el valor de x.
3
x
4
x
+ = 12
– = 2
2
y
2
y
Resolución:
Aplicamos el método de reducción:
(1) :
(2) × 2:
3 + 4
x = 14 ⇒ 7 = 14x
+
x = = 714
1
2
Rpta. 12
3
x
2
x
+ = 12
– = 1
2
y
1
y
 (1)
 (2)
Rpta. 16
Rpta. 7
Determina el valor de xy.
x
5
z
3= = – 1
2x + y – z = 32
y + 1
2 (1)
(2)
Resolución:
De (1): x5
z
3= = – 1 = k
y + 1
2
x = 5k
y = 2k – 1
z = 3(k + 1)
Sustituimos en (2):
2(5k) + (2k – 1) – 3(k + 1) = 32
 10k + 2k – 1 – 3k – 3 = 32 
 9k = 32 + 4
 k = 4 
Piden: xy = (5k)(2k – 1) = 20 . 7 = 140
2x + y – z = 9 (1)
 3x + 2z = 11 (2)
 x – 2z = 1 (3)
Resolución:
Resolviendo por reducción (2) y (3):
(2) + (3): 4x = 12 ⇒ x = 3 
En (2): 3(3) + 2z = 11
 2z = 11 – 9 ⇒ z = 1 
En (1): 2(3) + y – (1) = 9
 y = 9 – 6 + 1 
 y = 4
Dado el sistema, descubre el valor de N = xyz.
Encuentra el valor de y.
Resolución:
Observamos que los coeficientes de las variables 
son iguales, entonces:
(1) + (2) + (3): 7x + 7y + 7z = 49
 ÷ 7: x + y + z = 7 (4)
(1) – (4) : 4y = 8 ⇒ y = 2
(2) – (4) : 4x = 16 ⇒ x = 4
(3) – (4) : 4z = 4 ⇒ z = 1
Piden: x . y . z = 4 . 2 . 1 = 8
x + 5y + z = 15 (1)
5x + y + z = 23 (2)
x + y + 5z = 11 (3)
Rpta. 140
Rpta. 4
Rpta. 8
105MateMática Delta 2 - álgebra
3 4
2
Síntesis
1
Modela y resuelve 
Resolución: Resolución: 
Ecuación lineal
Forma
Solución
Transposición
+ = –
– = +
× = ÷
÷ = ×
ax + b = 0; a ≠ 0
Valor que verifica la igualdad.
Igualdad con variable
Sistema de ecuaciones
Método de reducción
1.° Busca una variable con igual 
coeficiente y signos diferentes.
2.° Suma miembro a miembro 
ambas ecuaciones.
3.° Resuelve la ecuación.
Método de igualación
1.° Despeja la misma variable en 
ambas ecuaciones.
2.° Iguala las ecuaciones 
obtenidas.
Método de sustitución
1.° Despeja una variable en una 
ecuación.
2.° Sustituye esta variable en la 
otra ecuación.
C.S. = {(x ; y)}
Conjunto solución
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2 
Conjunto de ecuaciones
Halla el valor de x que verifica la ecuación.
2(x – 5) + 7(2 – (x – 2)) = x
Halla el valor de x que verifica la ecuación.
3(x – 5) + 4(2 – (x – 3)) = 1
Resolución: Resolución: 
Resuelve la ecuación. Resuelve la ecuación.
x + 2
3 +
x – 1
2 = x – 1
x + 3
4 +
x + 1
3 = x – 1
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
106
7 8
9
11
10
12
5 6
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:Resolución:
Resolución:
Determina el valor de y en el sistema lineal. Determina el valor de x en el sistema lineal.
Resolución: Resolución: 
3x + 2y = 25
 2x – y = 12
2x + 3y = 16
 x + 2y = 9
Calcula el valor de x en el sistema lineal. Calcula el valor de y en el sistema lineal.
5x + y = 14
x – 2y = 5
3x + 2y = 19
 2x – y = 15
Encuentra el valor de x + y en el sistema. Encuentra el valor de x + y en el sistema.
5x + 2y = 17
 x + 4y = 7
6x + 5y = 40
2x + 3y = 16
Descubre el valor de y en el sistema lineal.
4x – 3y = 17 
 x = 5 + y 
Descubre el valor de y en el sistema lineal.
5x – 2y = 21 
 x = 3 + y 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
107MateMática Delta 2 - álgebra
13
17 18
14
15 16
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Halla el valor de z que verifica la igualdad. Halla el valor de a que verifica la igualdad.
z – 2
5
z
3+ =
z + 3
10
– 2 a – 2
3
a
4+ =
a + 2
5 + 2
Resolución: Resolución: 
Determina el valor de N = 2x + y. Determina el valor de H = x + 3y.
x
2 =
y + 1
3
x + 2y = 22
x
3 =
y + 1
2
x + 2y = 26
Calcula el valor de y.
2
x
1
y+ = 8
1
y
3
x+ = 11
Calcula el valor de x.
1
x
2
y+ = 11
3
y
1
x+ = 13
Rpta. 
Rpta. 
Rpta.
Rpta. 
Rpta. 
Rpta.
108
19 20
21
23
22
24
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Encuentra el valor de x + y, dado el sistema. Encuentra el valor de x + y, dado el sistema.
 3x + y = 27
2x – 3y = 18
 2x – y = 7
3x + 4y = 27
Resuelve Resuelve
x – 1
3
+ 4
2
+ 4 = x.
x + 1
3
+ 5
4
+ 6 = x.
Descubre el valor de z en el sistema lineal. Descubre el valor de y en el sistema lineal.
x + y + 2z = 15 
 2x – y = 1
 x + y = 5
x + 2y + z = 3
 x – z = 5 
 2x + z = –2
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
109MateMática Delta 2 - álgebra
=
25 26
27
29
28
30
Resolución:
Resolución:
Resolución:Resolución:
Resolución:
Resolución:
Halla el valor de x que verifica la igualdad. Halla el valor de x que verifica la igualdad.
1
2
1
2
x
2
– 1 – 1 – 1 = 3 1
3
1
2
x
3
– 1 – 4 – 1 = 2
Determina el valor de x + y + z. Determina el valor de x + y + z.
x
3
y – 1
2
= =
z
5
– 1
2x + y – z = 8
x
2
y + 2
3 =
z
4 + 1
2x – y + z = 13
Calcula el valor de N = (a + b + c)2. Calcula el valor de H = (x + y + z)2.
a + 2b + c = 14
a + b + 2c = 19
2a + b + c = 15
x + 3y + z = 12
x + y + 3z = 10
3x + y + z = 8
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
110
5
6
7
8
Practica y demuestra
1
4
2
3
Nivel I
Indica si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
( ) Si x + 5 = 3 x = 2
( ) La ecuación 3x + 6 = x – 2, es lineal
( ) {(2 ; 1)} es la solución de
( ) x = 4 es la solución de 2x – 3 = 9 – x
x + y = 3
x – y = 2
 A VFVF B FFVV C VVFF 
 D FVFV E FFVV
Relaciona la ecuación con el valor que la verifica.
I. 2(x – 1) = x + 1
II. x
2
 + 1 = 3
III. 2 + x
3
 = 4
IV. 2x – 5 = 1 – x
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
 A Ia; IIb; IIIc; IVe B Ib; IIe; IIIc; IVa
 C Ib; IIa; IIId; IVe D Ic; IIe; IIIa; IVd 
 E Ib; IIc; IIIe; IVa
Resuelve la ecuación x – [–(x + 1) – 4 – x] = 11. 
 A {–1} B {2} C {0} 
 D {1} E {3}
Determina el valor de x que verifica la ecuación.
x + 1
32 + = 5
 
 A 5 B 6 C 9 
 D 7 E 8
 A 10 B 9 C 7 
 D 11 E 12
Resuelve la ecuación.
x + 2
3
x + 1
2+ = x
 A {7} B {8} C {9} 
 D {6} E {5}
Indica el valor de x que verifica la ecuación.
x – 3
2 + 1
5 + 6 = 7
Halla el valor de x en el sistema.
3x + 2y = 10
 2x – y = 9
 A –1 B 4 C –2 
 D 5 E 6
Resuelve el sistema.
 4x + y = 14
3x – 2y = 5
 A {(1 ; 4)} B {(2 ; 3)}
 C {(2 ; 1)} D {(3 ; 2)} 
 E {(2 ; 4)}
111MateMática Delta 2 - álgebra
9
12
13
14
15
Encuentra el valor de M = x + 2y, luego de resolver 
el sistema lineal.
 A 22 B 18 C 24 
 D 26 E 20
11 Resuelve la ecuación y luego indica como 
respuesta la mitad del valor de x.
x
6
x
20
x
12+ + = 6
 A 10 B 18 C 30 
 D 15 E 20
x
2 =
y
3
4x – y = 15
10 Resuelve y luego indica el valor de x + y. 
 A 10 B 12 C 15 
 D 9 E 11
3x – 2y = 13
7x + 4y = 65
Calcula el valor de n, si {9} es la solución de la 
ecuación de variable x.
 A 5 B 6 C 4 
 D 2 E 3
x + 1
5 + 
x – n
3 = n + 1 
Nivel II
Relaciona cada sistema con su solución.
I.
2x + y = 5
 x – y = 1
a. {(1 ; 3)}
b. {(2 ; 1)}
c. {(1 ; 2)}
d. {(2 ; 2)}
e. {(3 ; 1)}
II.
3x + y = 5
 x + y = 3
III.
2x – y = 5
 y + x = 4
IV.
x + 2y = 7
 x – y = –2
Resuelve la ecuación y luego indica el valor de x – 1.
2x – 1
3 + 1
2 + 3 = x
 A 3 B 4 C 5 
 D 6 E 7
En la ecuación, indica el doble del valor de x. 
(x + 5)2 + 4 = (x + 3)2
 A –5 B 10 C 4 
 D –10 E –8
16 Descubre el valor de x + 3y en el sistema.
 A 26 B 28 C 30 
 D 32 E 35
x – 2
3
=
2x – y = 17
y
5
+ 2
 A Ic; IIb; IIIa; IVe B Ib; IIc; IIIe; IVa 
 C Ia; IIc; IIId; IVe D Ib; IIa; IIId; IVb 
 E Ia; IIa; IIIb; IVe
112
20
21
22
23
24
17
18
19
Nivel IIIDetermina el valor de x en el sistema.
 A 3 B 1 
3
 C 1 
2
 
 D 4 E 2
2
x +
1
y = 7
1
x +
2
y = 8
Indica la solución de la ecuación.
 A {12} B {2} C {3} 
 D {8} E {6}
2 + =
2 + x
3
1
2 +
3 + x
6
1
Halla el valor de xy en el sistema.
 A 8 B 9 C 15 
 D 12 E 18
5x + 3y = 27
3x + 4y = 25
Encuentra el valor de a + b, si {(–2 ; 4)} es el 
conjunto solución del sistema.
 A 5 B 7 C 6 
 D 8 E 9
3x + ay = 10
ax + by = 4
 A 4 B 5 C 3 
 D 6 E 2
En el sistema de ecuaciones, el valor de x es el 
doble de y. Calcula el valor de n. 
2nx – 3y = 63
 4x + ny = 42
Encuentra el conjunto solución de la ecuación.
a
b
(x – a) + (x + b) = –x; a 0; b 0b
a
 A {a} B {b} C {a + b} 
 D {a2 + b2} E {a – b}
Descubre el valor de x en el sistema.
 A 5 B 9 C 6 
 D 10 E 8
x + 2y – z = 18
 y + 3z = 10
 y – 4z = 3
Resuelve e indica el valor de N = x2 + y2 + z2. 
x + 4y + z = 19
4x + y + z = 16
x + y + 4z = 25
 A 28 B 36 C 32 
 D 38 E 42
Tema
113MateMática Delta 2 - álgebra
Ecuación cuadrática
8
Son aquellas ecuaciones que adquieren la forma:
Ecuación cuadrática
La aplicación común de una 
ecuación cuadrática es la 
descripción del movimiento de 
proyectiles, desde una pelota de 
tenis, de baloncesto, de fútbol 
(por ejemplo al realizar un tiro 
libre), hasta el propio cuerpo de 
un atleta al dar un salto.
Ax2 + Bx + C = 0
Donde: Ax2: Término cuadrático
Bx : Término lineal
C : Término independiente
Se debe cumplir que: A ≠ 0
Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces o valores que verifican la igualdad, 
las que obtendremos aplicando los dos métodos siguientes:
Por factorización
Consiste en factorizar por el método apropiado y luego se iguala cada factor a cero, 
despejando en cada caso el valor de la variable.
Ejemplos:
a) Halla el conjunto solución de x2 + 4x = 0.
 • Factorizamos por agrupación: x(x + 4) = 0
 • Igualamos cada factor a cero: x1 = 0 ∨ x + 4 = 0 ⇒ x2 = –4
 • Conjunto solución: C.S. = {–4; 0}
b) Halla el conjunto solución de x2 – 16 = 0
 • Factorizamos por identidades: x2 – 42 = 0
 (x + 4)(x – 4) = 0
 • Igualamos cada factor a cero: x + 4 = 0 ∨ x – 4 = 0
 x1 = –4 x2 = 4
 • Conjunto solución: C.S. = {–4; 4}
c) Halla el conjunto de 3x2 – 7x – 6 = 0
 • Factorizamos por aspa simple: 3x2 – 7x – 6 = 0
 3x 2
 x –3
 (3x + 2)(x – 3) = 0
 • Igualamos cada factor a cero: 3x + 2 = 0 ∨ x – 3 = 0
 x1 = –
2 
3
 x2 = 3 
 • Conjunto solución: C.S. = {– 23
; 3}
Forma práctica
x2 – 16 = 0
 x2 = 16
 x = ± 16
 x = ± 4
Ecuación cuadrática
Completa:
Ax2 + Bx + C = 0
Incompleta: 
Ax2 = 0
Ax2 + Bx = 0 
Ax2 + C = 0
Obse rva
La ecuación 
cuadrática y la 
solución de estas 
tienen origen antiguo, 
ya que se conocieron 
algoritmos para 
resolverla en 
Babilonia y Egipto.
¿Sa bía s qu e.. .?
114
Por fórmula
Las raíces de la ecuación de segundo grado:
 Ax2 + Bx + C = 0
se obtienen mediante la fórmula: x = 
–B ± B2 – 4AC
2A
Denominaremos discriminante: ∆ = B2 – 4AC
Ejemplo:
Halla el conjunto solución de x2 – 4x + 2 = 0.
Dado que no se puede factorizar, aplicamos la fórmula.
Identificando coeficientes: 1x2 – 4x + 2 = 0 ⇒ A = 1; B = –4; C = 2
Entonces:
x = 
–B ± B2 – 4AC
2A
⇒ x = 
–(–4) ± (–4)2 – 4 . 1 . 2
2 . 1
⇒ x = 4 ±
2
16 – 8
⇒ x = ⇒ x = 
4 ±
2
8 4 ± 2 2
2
⇒ x = 2 ± 2
Luego: C.S. = {2 – 2; 2 + 2}
En la ecuación cuadrática Ax2 + Bx + C = 0 de coeficientes reales y discriminante 
∆ = B2 – 4AC. Se cumple: 
Análisis de las raíces
Si ∆ > 0
La ecuación Ax2 + Bx + C = 0 tiene 2 raíces reales y diferentes.
Ejemplo:
Luego de analizar las raíces de la ecuación x2 – 3x – 4 = 0, determina cuál es la mayor raíz.
Resolución: 
Analizamos con el discriminante: ∆ = B2 – 4AC
 A = 1; B = –3; C = –4 ⇒ ∆ = (–3)2 – 4(1)(–4) 
 ∆ = 25 
Buscando la mayor raíz, como es positivo el discriminante entonces podemos 
determinarlo: x2 – 3x – 4 = 0 
 x –4 
 x 1 
 x – 4 = 0 ˅ x + 1 = 0
 x = 4 x = –1 ∴ Mayor raíz: 4
Si ∆ = 0
La ecuación tiene 2 raíces reales e iguales (solución única).
Ejemplo:
Determina el valor de m si la ecuación cuadrática tiene solución única.
 x2 – 7x + m = 0
• Como tiene solución única: ∆ = 0
 49 – 4m = 0 ⇒ 49 = 4m ∴ m = 
49
4
 
Recu e rda
Raíz: es el valor que 
verifica la ecuación 
cuadrática, para esta 
siempre son dos.
Conjunto solución 
(C.S.): conjunto 
de valores que 
verifican la ecuación 
cuadrática, a lo más 
tiene dos elementos.
¿Sa bía s qu e.. .?
∆: es la letra griega 
delta mayúscula.
115MateMática Delta 2 - álgebra
Si ∆ < 0
La ecuación cuadrática tiene 2 raíces no reales y diferentes.
Ejemplo:
Resuelve la ecuación x2 + x + 1 = 0; x ∈ R y determina cuál es la mayor raíz.
Resolución:
Analizamos con el discriminante: ∆ = (1)2 – 4(1)(1)
 ∆ = 1 – 4
 ∆ = –3 
Como la ecuación tiene soluciones no reales pero x ∈ R, concluimos que el C.S. = ∅.
Propiedades de las raíces
Sea la ecuación Ax2 + Bx + C = 0; A ≠ 0 de raíces x1; x2.
Se cumple:
Suma de raíces
x1 + x2 = 
–B
A
Ejemplos:
a) Halla la suma de las raíces en la ecuación 2x2 – 5x + 3 = 0.
 Observa que A = 2; B = –5; C = 3
 Luego: x1 + x2 = 
–B
A
 ⇒ x1 + x2 = 
–(–5)
2 ⇒ x1 + x2 = 
5
2
b) Halla la suma de las raíces en la ecuación 3x2 + 7 = 12x + 2.
 Primero compara con cero: 3x2 – 12x + 5 = 0.
 Observa que A = 3; B = –12; C = 5
 Luego: x1 + x2 = 
–B
A
 ⇒ x1 + x2 = 
–(–12)
3 ⇒ x1 + x2 = 
12
3
 = 4
Producto de raíces
x1 . x2 =
C
A
Ejemplo:
Halla el producto de raíces en la ecuación 2x2 – 5x + 3 = x – x2 + 7.
Primero, compara con cero: 3x2 – 6x – 4 = 0 
Observa que A = 3; B = –6; C = –4
Luego: x1 . x2 = 
C
A
 ⇒ x1 . x2 = 
–4
3
Import a nt e
En una ecuación 
cuadrática, para 
resolver o aplicar 
propiedades, primero 
debemos comparar 
con cero y reducirla.
116
Raíces especiales
Raíces simétricas (opuestas)
x ; –x x1 + x2 = 0 ⇒ B = 0
Ejemplo:
Si las raíces de la ecuación 2nx2 + (3n – 9)x + 6 = 0 son simétricas, determina el valor 
de n.
Resolución:
Observa que: 
A = 2n; B = 3n – 9; C = 6 
Como las raíces son simétricas: B = 0, entonces 3n – 9 = 0 ⇒ n = 3
Raíces recíprocas (inversas multiplicativas)
x ; 1x x1 . x2 = 1 ⇒ A = C
Ejemplo:
Si las raíces de la ecuación (2n – 1)x2 + (5n + 12)x + 3n – 7 = 0 son recíprocas, 
determina el valor de n.
Resolución:
Observa que A = 2n – 1; B = 5n + 12; C = 3n – 7. Como las raíces son recíprocas: 
A = C, entonces: 2n – 1 = 3n – 7 ⇒ n = 6
Sea la ecuación Ax2 + Bx + C = 0; A ≠ 0 de raíces x1; x2, si estas son:
Import a nt e
Re cu e rda
Inverso aditivo de a:
 –a
Propiedad:
a + (–a) = 0
Inverso multiplicativo
de a: 1a
Propiedad
a × 
1
a = 1
Diferencia de raíces
Ejemplo:
Halla la diferencia de raíces en la ecuación x2 – 4x + 2 = 0.
Resolución:
Observa que A = 1; B = –4; C = 2.
Luego:
x1 – x2 = ± 8 
x1 – x2 = ±2 2
x1 – x2 = ±
B2 – 4AC
A
x1 – x2 = ±
(–4)2 – 4(1)(2)
1
La diferencia de 
raíces se puede 
obtener usando 
la equivalencia de 
legendre.
(x1 + x2)
2 – (x1 – x2)
2 = 4x1x2
117MateMática Delta 2 - álgebra
Ejemplo:
Reconstruye las ecuaciones cuadráticas cuyas raíces son: x1 = 2; x2 = 8.
Sabemos: x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0 
Entonces: x2 – (2 + 8)x + 2 . 8 = 0
 x2 – 10x + 16 = 0
Ecuaciones reductibles a cuadráticas
Existen ecuaciones no cuadráticas, que al resolverlas se convierten en cuadráticas.
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación 
3x + 3
x – 1
 = 
x + 3
x – 2
. Observa que es una ecuación fraccionaria x ≠ 1; x ≠ 2
 Resolución:
 Multiplicamos en aspa:
 (3x + 3)(x – 2) = (x + 3)(x – 1) Desarrollamos
 3x2 – 6x + 3x – 6 = x2 – x + 3x – 3 Reducimos términos semejantes
 3x2 – 3x – 6 = x2 + 2x – 3 Comparamos con cero
 2x2 – 5x – 3 = 0 Tenemos una ecuación cuadrática, aplicamos aspa simple
 (2x + 1)(x – 3) = 0 
 2x + 1 = 0 ⇒ x = –
1
2 ∨ x – 3 = 0 ⇒ x = 3
 C.S. = {–
1
2
; 3} 
Ejemplo 2
Resuelve la ecuación x + x – 2 = 4. Observa que es una ecuación con radical 
Resolución:
Despejamos el radical:
x – 2 = 4 – x Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad 
 x – 2 = (4 – x)2 Desarrollamos el binomio al cuadrado
 x – 2 = 16 – 8x + x2 Comparamos con cero
 0 = x2 – 9x + 18 Tenemos una ecuación cuadrática, aplicamos aspa simple
 0 = (x – 6)(x – 3)
 x – 6 = 0 ⇒ x = 6 ∨ x – 3 = 0 ⇒ x = 3 
Verificamos en la ecuación inicial:
x = 6: 6 + 6 – 2 = 6 + 4 = 6 + 2 = 8 No verifica la igualdad, x = 6 no es solución
x = 3: 3 + 3 – 2 = 3 + 1 = 3 + 1 = 4 Verifica la igualdad, x = 3 es solución 
Import a nt e
Cuando se resuelva 
ecuaciones 
fraccionarias, verifica 
que el denominador 
sea diferente de cero.
Cuando una ecuación 
se resuelve elevando 
al cuadrado, 
es posible que 
se introduzcan 
soluciones extrañas, 
por lo que se debe 
verificar en la 
ecuación inicial.
Reconstrucción de la ecuación
Teniendo como datos las raíces x1 y x2 ,la reconstrucción de la ecuación cuadrática se 
efectúa reemplazando en la siguiente expresión:
x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0
 C.S. = {3}
118
1
2
3
4
5
6
Resuelve las ecuaciones. 
a) x2 – 64 = 0
 Factorizamos por diferencia de cuadrados. 
 x2 – 82 = 0 ⇒ (x + 8)(x – 8) = 0
 Cada factor primo lo igualamos con cero: 
 • x + 8 = 0 ⇒ x = –8
 • x – 8 = 0 ⇒ x = 8
 ∴ C.S. = {–8; 8} 
b) x2 = 6x
 Movemos los términos al primer miembro.
 x2 – 6x = 0
 Factorizamos por factor común.
 x(x – 6) = 0
 Cada factor primo igualamos con cero: 
 x = 0 ∨ x – 6 = 0 ⇒ x = 6
 ∴ C.S. = {0; 6}
Efectúa la ecuación. 
6x2 + 3 = 11x
Resolución:
Comparamos a cero y ordenamos, para luego 
factorizar por el método de aspa simple.
 6x2 – 11x + 3 = 0 
 3x –1
 2x –3 
 (3x – 1)(2x – 3) = 0
• 3x – 1 = 0 ⇒ x = 1
3
• 2x – 3 = 0 ⇒ x = 32
∴ C.S. = 
Rpta. 
Determina el valor de n en la ecuación cuadrática, 
sabiendo que una de sus raíces es 2. 
 2x2 – (n + 2)x + 4 = 0
Resolución:
Sabemos que su raíz es el valor que verificala 
igualdad, entonces: x = 2.
 2(2)2 – (n + 2)(2) + 4 = 0
 8 – 2n – 4 + 4 = 0
 8 = 2n
 4 = n
Rpta. 4
Resuelve la ecuación. 
(x – 2)(x – 4) = 15
Resolución:
Desarrollamos, luego comparamos con cero para 
factorizar por aspa simple.
x2 + (–2 – 4)x + (–2)(–4) = 15
 x2 – 6x + 8 – 15 = 0 
 x2 – 6x – 7 = 0
 x 1
 x –7
 (x + 1)(x – 7) = 0
• x + 1 = 0 ⇒ x = –1
• x – 7 = 0 ⇒ x = 7
∴ C.S. = {–1; 7}
Rpta. {–1; 7}
Rpta. {–8; 8} 
Rpta. {0; 6} Calcula la suma y producto de las raíces de la 
ecuación.
 2x2 + 6x – 15 = 0
Resolución:
Observa que A = 2; B = 6; C = –15. 
Sabemos que:
 S = x1 + x2 = 
–B
A
=
–6
2 = –3
 P = x1 . x2 = 
C
A
 = 
–15
2
Luego, la suma es –3 y el producto –15
2
 
Rpta. –3; –15
2
Halla el discriminante de la ecuación. 
(x + 5)(x – 2) = 2(x + 1)
Resolución:
Desarrollamos, luego comparamos con cero y 
ordenamos. 
 x2 + (5 – 2)x + 5(–2) = 2x + 2
 x2 + 3x – 10 – 2x – 2 = 0
 x2 + x – 12 = 0
Observa que:
A = 1; B = 1; C = –12
Sabemos que: ∆ = B2 – 4AC
 ⇒ ∆ = 12 – 4(1)(–12)
 ∆ = 1 + 48 = 49
Rpta. 49
Ejercicios resueltos
1
3
3
2 1
3
3
2
119MateMática Delta 2 - álgebra
7 10
11
12
8
9
Resuelve la ecuación. 
x2 – 6x + 4 = 0
Resolución:
No es posible factorizar por aspa simple. 
Observa que A = 1; B = –6; C = 4.
Sabemos que:
x = 
 –B ± B2 – 4AC
2A
–(–6) ± (–6)2 – 4(1)(4)
2(1)
=
= 6 ± 
36 – 16
2
=
6 ± 4 . 5
2
6 ± 2 5
2
= = 3 ± 5
Rpta. {3 + 5; 3 – 5}
Rpta. 15
Rpta. – 12 ; 
2
3
Encuentra el valor de H = a2b + ab2, si {a; b} es el 
conjunto solución de la ecuación. 
x2 – 3x + 5 = 0
Resolución:
Piden: H = ab(a + b)
Observa que A = 1; B = –3; C = 5.
Sabemos:
 x1 + x2 = 
–B
A ⇒ a + b = 
–(–3)
1 = 3
 x1 . x2 = 
C
A ⇒ a . b = 
5
1 = 5
 H = 5(3) = 15
Resuelve la ecuación.
x = 16 + 
1
3x
Resolución:
El MCM(6; 3x) = 6x
Entonces multiplicamos por 6x a ambos lados de 
la ecuación: 
 6x . x = 6x . 16 + 
1
3x
 6x2 = x + 2
 6x2 – x – 2 = 0
 (3x – 2)(2x + 1) = 0
• 3x – 2 = 0 ⇒ x = 23 
• 2x + 1 = 0 ⇒ x = – 12
 C.S.= – 12 ; 
2
3
Rpta. 2x2 – 7x + 3 = 0
Forma la ecuación cuadrática de coeficientes 
enteros con raíces 3 y 1
2
.
Resolución:
Sabemos que: x2 – Sx + P = 0.
S = 3 + 
1
2
 = 6 + 1
2
 = 
7
2
P = 3 . 
1
2
 = 
3
1
 . 
1
2
 = 
3
2
 
Reemplazamos: x2 – 7
2
x + 
3
2
 = 0 
Con coeficientes enteros, entonces:
×2 : 2x2 – 7x + 3 = 0
Rpta. {4}
Resuelve la ecuación.
 x + 2x + 1 = 7
Resolución:
Tenemos: 2x + 1 = 7 – x
( )2 : 2x + 1
2 = (7 – x)2
 2x + 1 = 49 – 14x + x2
 0 = x2 – 16x + 48
 0 = (x – 12)(x – 4)
• x – 12 = 0 ⇒ x = 12
• x – 4 = 0 ⇒ x = 4
Comprobamos:
x = 12: 12 + 2 . 12 + 1 = 12 + 25 = 17
x = 4 : 4 + 2 . 4 + 1 = 4 + 9 = 7
Luego, el valor que verifica es x = 4.
Rpta. 3
En la ecuación 9x2 – 18x + 2n + 2 = 0, una de las 
raíces es el doble de la otra; descubre el valor de n.
Resolución:
Por dato: C.S. = {r; 2r} 
Tenemos: 9x2 – 18x + 2n + 2 = 0 
Observa que: A = 9; B = –18; C = 2n + 2 
Sabemos:
x1 + x2 = 
–B
A ⇒ r + 2r = 
–(–18)
9 ⇒ 3r = 2 ⇒ r = 
2
3
x1 . x2 = 
C
A ⇒ r . 2r = 
2n + 2
9
 
 2 
2
3 = 
2n + 2
9
 ⇒ 
8
9 = 
2n + 2
9
 
 8 – 2 = 2n ⇒ 3 = n
2
120
Síntesis
Modela y resuelve 
2
4
1
3
Ecuaciones 
cuadráticas
Forma
Ax2 + Bx + C = 0; A ≠ 0
Solución Propiedades de las raíces
Factorización Fórmula
Aspa simple 
Agrupación 
Identidades
x = –B 
B2 – 4AC
2A
 Discriminante
 = D = B2 – 4AC
Reconstrucción de una 
ecuación de raíces x1 y x2
x2 – Sx + P = 0
Donde: S = x1 + x2 ∧ P = x1 . x2
1. Suma de raíces : x1 + x2 =
–B
A
2. Producto de raíces: x1 . x2 = 
C
A
Recuerda
(x1 + x2)
2 – (x1 – x2)
2 = 4x1 . x2
Raíces simétricas 
(opuestas) x; –x
Suma: 0
B = 0
Raíces recíprocas
(inversa multiplicativa) x; 
1
x
Producto:1
A = C
Resuelve la ecuación x2 = –3x. Resuelve la ecuación x2 = 11x.
Resolución: Resolución: 
Resolución: Resolución: 
Desarrolla la ecuación 4x2 = 9. Desarrolla la ecuación 9x2 = 16.
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
121MateMática Delta 2 - álgebra
5 6
9
11
7
10
12
8
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Halla el conjunto solución de la ecuación.
2x2 + 5x – 12 = 0
Halla el conjunto solución de la ecuación.
3x2 – 10x – 8 = 0
Determina el valor de n, si 3 es una raíz de la 
ecuación x2 + 2x – (2n + 1) = 0.
Determina el valor de n, si 2 es una raíz de la 
ecuación 3x2 + (2n – 1)x + 2 = 0.
Si a y b son raíces de la ecuación x2 + 2x – 9 = 0,
encuentra el valor de H = 3a + 3b.
Si a y b son raíces de la ecuación 2x2 + 6x – 13 = 0,
encuentra el valor de N = 4a + 4b.
Si a y b son raíces de la ecuación 2x2 + 5x + 10 = 0, 
calcula el valor de M = (2a)(3b).
Si a y b son raíces de la ecuación 3x2 + 7x – 9 = 0, 
calcula el valor de R = (4a)(2b).
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
122
15
17
16
18
1413
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Halla la mayor raíz de x2 + 7 = 6x. Halla la menor raíz de x2 = –1 – 4x.
 
Determina el conjunto solución de la ecuación. 
10x2 = 36a2 – 2ax
Determina el conjunto solución de la ecuación.
24x2 + 16bx = 30b2
Rpta. 
Rpta. 
Rpta.
Rpta. 
 Siendo {a; b} las raíces de la ecuación x2 + 3x + 4 = 0, 
encuentra la ecuación cuadrática de C.S. = {a + b; ab}. 
Siendo {m; n} las raíces de la ecuación x2 + 5x + 7 = 0, 
encuentra la ecuación cuadrática de C.S. = {m + n; mn}. 
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
123MateMática Delta 2 - álgebra
19
21
23
20
22
24
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Calcula el valor de H = (n + 2)(m + 2), si n y m son 
las raíces de la ecuación 2x2 – 3x – 8 = 0. 
Calcula el valor de E = (a + 3)(b + 3), si a y b son 
las raíces de la ecuación 3x2 – 5x + 12 = 0. 
Halla el valor de E = a + 3bb ;
 si ab +
2b
a = 3. Halla el valor de Q = 
x + 2y
y ;
 si xy +
3y
x = 4. 
 
Determina la menor solución de la ecuación.
x + 53 =
4
x
Determina la mayor solución de la ecuación.
z + 52 =
6
z
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
124
25
27
29
26
28
30
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Encuentra el valor de P, siendo a un valor que 
verifica la igualdad x2 – 5x + 1 = 0. 
a2 + 1
a + 3
3P =
Encuentra el valor de B, siendo n un valor que 
verifica la igualdad x2 – 10x + 3 = 0.
n2 + 3
2n + 4B =
Indica el valor que verifica la ecuación. Indica el valor que verifica la ecuación. 
x – 1 = 3x + 15x – 14 = x – 4
Calcula el valor de n, si una raíz de la ecuación 
x2 + (n + 1)x + 8 = 0 es el doble de la otra.
Calcula el valor de k, si una raíz de la ecuación 
x2 – (5k + 2)x + 27 = 0 es el triple de la otra. 
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
125MateMática Delta 2 - álgebra
2
3
Practica y demuestra
1
4
5
6
Nivel I
7
8
9
Dada la ecuación 2x2 – 8x = 0, indica si las 
proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F).
( ) La ecuación tiene una raíz.
( ) La suma de las raíces es 4.
( ) Una raíz es 0.
( ) Un valor que verifica la ecuación es –4.
Relaciona cada ecuación con su mayor raíz.
I. x2 = 1
II. x2 = 5x
III. x2 = 0
IV. (x + 1)(x – 2) = 0
a. –1
b. 0
c. 1
d. 2
e. 5
 A Ia; IIe; IIIb; IVa B Ic; IIe; IIIb; IVd
 C Ia; IIb; IIId; IVa D Ic; IIe; IIIc; IVd
 E Ia; IIb; IIIb; IVa
Indica la menor raíz de la ecuación.
x2 + 2x – 15 = 0
 A5 B 1 C 3
 D –3 E –5
 A VFVF B FFVV C VVFF
 D FVVF E FFVV
Indica la mayor raíz de la ecuación.
x2 = x + 12
 A –6 B –4 C 4
 D 3 E 6
Determina el valor de n, si 1 es un valor que 
verifica la ecuación 3x2 + (n + 1)x – 1 = 0. 
 A –3 B 1 C 2
 D –1 E –2
 A 12 B –12 C 5
 D 6 E –6
Calcula la suma de raíces de la ecuación. 
2x2 + 12x – 5 = 0
Indica el menor valor de x en la ecuación. 
12x2 + 5x = 3
 A 
2
3
 B 
3
4 C 
1
4
 D 
1
3
 E 1
Halla el discriminante de la ecuación.
x2 + 2x – 1 = 0
 A 6 B 7 C 8
 D 12 E 10
Encuentra el valor de n, si una de las raíces de la 
ecuación x2 – nx + 6n – 3 = 0, es igual a 3.
 A –1 B –2 C 2
 D 3 E 4
126
Nivel II
10 14
15
16
17
11
12
13
Sea {a; b} el conjunto solución de la ecuación 
3x2 – 5x + 9 = 0. Descubre el valor de N = a2b + ab2.
 A 3 B 6 C –
5
3
 D 5 E 9
Determina la ecuación cuadrática cuyas raíces son 
–3 y 5, y cuyo coeficiente de segundo grado es 1.
Calcula el valor de E = 1a
1
b+ ; si a y b son las 
raíces de la ecuación x2 – 5x – 10 = 0. 
 A –2 B 2 C – 1
2
 D 
1
2 E 1
Indica si las proposiciones son verdaderas (V) o 
falsas (F).
( ) En la ecuación –x2 + 4x + 6 = 0, la suma 
de sus raíces es 4.
( ) La ecuación x2 + 5x + 1 = 0, tiene raíces 
simétricas.
( ) En la ecuación –2x2 + 5x – 8 = 0, el 
producto de sus raíces es 4.
( ) La ecuación 2x2 + 5x + 2 = 0, tiene raíces 
recíprocas.
 A VFVF B FFVV C VFVV
 D FVVV E FFFV
Si n es la solución común de las ecuaciones:
• x2 – x – 6 = 0
• x2 – 5x + 6 = 0
Indica la ecuación cuadrática de coeficiente 
principal uno y C.S. = {n; 2n}.
Resuelve las ecuaciones, y luego indica como 
respuesta la suma de todas las soluciones.
• 2x2 + 3x – 5 = 0
• 3x2 + 2x – 7 = 0
 A –11
3
 B –11
4
 C – 17
6
 D –13
6
 E – 9
2
Determina el valor de n, si en la ecuación
(3n – 1)x2 + 7 = 4nx la suma de sus raíces es 3
2
.
 A 2 B 4 C –2
 D 3 E 5
Resuelve la ecuación cuadrática en x y luego 
indica una raíz.
x2 – 2ax = 6ab – 3bx
 A 2a B –2b C 6a
 D ab E 3b
 A x2 + 2x – 8 = 0 B x2 + 8x – 15 = 0
 C x2 + 2x + 15 = 0 D x2 – 2x – 15 = 0
 E x2 – 8x – 15 = 0
 A x2 + 2x – 8 = 0 B x2 + 8x – 15 = 0
 C x2 + 2x + 15 = 0 D x2 – 2x – 15 = 0
 E x2 – 8x – 15 = 0
127MateMática Delta 2 - álgebra
18
21
22
23
24
19
20
Encuentra el producto de las raíces de la 
ecuación x2 – (2n – 1)x + n2 + 5 = 0, si la suma 
de sus raíces es 3. 
 A 7 B 9 C 12
 D 8 E 10
Indica la menor raíz de la ecuación.
x2 – 6x + 1 = 0
Los rectángulos mostrados tienen áreas iguales, 
si estas son más de 20 u2, descubre el perímetro 
de un rectángulo.
 A 22 u B 26 u C 36 u
 D 14 u E 32 u
x + 7
x – 2
2x – 1
x – 1
Si la ecuación cuadrática x2 + ax + b – 1 = 0, 
tiene como conjunto solución a {a – b; a + b – 3}, 
encuentra el valor de R = a2 + b2.
 A 1 B 2 C 3
 D 4 E 6
Halla el conjunto solución de x + 4x + 1 = 5.
 A {2; 12} B {2; 8} C {12}
 D {2} E { }
Determina el valor de n, si en la ecuación 
10x2 – 4(n + 1)x – 6 + n = 0 la suma de raíces es 
el doble del producto.
 A 4 B –6 C –8
 D –12 E 6
Calcula la ecuación cuadrática de coeficiente 
principal uno y C.S. = {2ab; 3a + 3b}, siendo a y b 
raíces de la ecuación x2 + 4x + 5 = 0.
Nivel III
 A 3 + 2 2 B –3 – 2 2
 C 3 – 2 2 D 3 – 2
 E –3 + 2 2 A x2 ‒ 2x – 20 = 0 B x2 + 2x – 120 = 0
 C x2 + 5x + 60 = 0 D x2 + 3x + 80 = 0
 E x2 + 12x + 90 = 0
128
Tema 9
Planteo de ecuaciones
Para resolver un problema mediante ecuación lineal, sistema lineal o ecuación 
cuadrática se debe:
1.o Comprender el problema:
	 •		Lea	detenidamente	el	enunciado.
	 •		Identifica	los	datos	conocidos	y	las	incógnitas.
2.o Plantear el problema:
	 •		Elija	las	operaciones	y	anota	el	orden	en	que	se	deben	realizar.
	 •		Expresa	las	condiciones	del	problema	mediante	ecuaciones.
3.o	 Resolver	el	problema	y	verificar:
	 •		Resuelve	las	operaciones	en	el	orden	establecido.
	 •		Resuelve	la	ecuación	o	sistema	de	ecuaciones	planteada	y	comprueba.
4.o Redactar la respuesta:
	 •		Escribe	la	respuesta	pedida	en	el	problema.
Enunciado verbal y algebraico
Observa:
Ejemplo:
Traduce	los	enunciados	del	lenguaje	verbal	al	lenguaje	algebraico.
a)	 La	suma	de	tres	números:	x	+	y	+	z
b)	 La	suma	de	tres	números	consecutivos:	x	+	(x	+	1)	+	(x	+	2)
c)	 El	exceso	de	mi	edad	(x)	sobre	tu	edad	(y):	x	–	y
d)		 Mi	edad	(x)	excede	a	tu	edad	(y)	en	5:	x	–	y	=	5
e)	 Un	número	(x)	menos	30:	x	–	30	
f)	 Hace	dos	años,	mi	edad	(x)	era	el	triple	de	tu	edad	(y):	x	–	2	=	3(y	–	2)
g)		 N	veces	mi	edad	(e):	N	×	e
h)	 El	dinero	que	tengo	en	a	billetes	de	S/	10	y	b	de	S/	20:	a	.	10	+	b	.	20
i)	 Mi	edad	(x)	aumentada	en	su	mitad:	x	+	 12
 x
j)	 Manuel	tiene	S/	32	más	que	el	triple	de	Luis:	M	=	3L	+	32
Ejemplos:
•		Tengo	doce	billetes	de	S/	50		⇒		Total	=	12	×	50,	tengo	S/	600.
•		Compro	quince	libros	a	S/	40	cada	uno		⇒		Total	=	15	×	40,	gasto	S/	600.
Importante
El	cuadrado	de	tu	
edad	excede	al	triple	
de	la	misma	en	160.
x2	–	3x	=	160Se transforma a
Variables	y	número	relacionados	
por operaciones aritméticas
Lenguaje verbal Lenguaje algebraico
Total	=	(cantidad)	×	(valor	unitario)
Aquí	un	problema	
de	hace	2000	a.	C.,	
encontrado en las 
tablillas	dejada	por	
los babilonios:
«He sumado el 
área	y	el	lado	de	
un	cuadrado	y	
he obtenido 3/4. 
¿Cuánto mide el 
lado del cuadrado?».
Ecuación universal
Total
Recu e rda
¿Sa bía s qu e.. .?
(cantidad)	× valor unitario
129MateMática Delta 2 - álgebra
 Ejemplo 1
	 La	suma	del	doble	de	la	edad	de	Frida	y	el	triple	de	la	edad	de	Lucrecia	es	86	años,	si	
la	edad	de	Frida	excede	a	la	edad	de	Lucrecia	en	13	años,	¿cuántos	años	tiene	Frida?	
 Resolución:
1.o Comprender el problema:
	 Edad	de	Frida:	x	
	 Edad	de	Lucrecia:	y
2.o Plantear el problema:
	 La	suma	del	doble	de	la	edad	de	Frida	y	el	 triple	de	la	edad	de	Lucrecia	es	86	
años:
	 2x	+	3y	=	86
	 la	edad	de	Frida	excede	a	la	edad	de	Lucrecia	en	13	años:	x	–	y	=	13
3.o	 Resolver	el	problema	y	verificar:
	 Tenemos:		2x	+	3y	=	86		(1)
	 																						x	–	y	=	13		(2)
 De (2):			x	–	13	=	y
	 En	(1):			2x	+	3(x	–	13)	=	86
	 																2x	+	3x	–	39	=	86
	 																																5x	=	125		⇒		x	=	25
4.o Redactar la respuesta:
	 La	edad	de	Frida	es:	25	años
Observa:
En	 la	 ecuación	 (2)	 por	 los	 coeficientes	 de	
las	 variables	 es	 fácil	 despejarlos,	 por	 lo	 que	
aplicamos el método de sustitución.
 Ejemplo 2
	 En	un	examen	de	100	preguntas,	la	nota	de	Nicole	ha	sido	520.	Si	cada	acierto	vale	8	
puntos	y	por	cada	error	le	restan	2	puntos,	¿cuántas	respuestas	ha	acertado	y	cuántas	
ha	fallado;	sabiendo	que	ha	contestado	todas?
 Resolución:
1.o Comprender el problema:
	 Número	de	respuestas	acertadas:	x	
	 Número	de	respuestas	falladas:	y
2.o Plantear el problema:
	 Un	examen	de	100	preguntas:	x	+	y	=	100
	 La	nota	ha	sido	520.	Si	cada	acierto	vale	8	puntos	y	por	cada	error	 le	restan	2	
puntos:	x(8)	+	y(–2)	=	520
3.o	 Resolver	el	problema	y	verificar:
	 Tenemos:													x	+	y	=	100		(1)
	 																									8x	–	2y	=	520
 ÷ 2 : 	4x	–	y	=	260		(2)
 (1)	+	(2):		x	+	y	+	4x	–	y	=	100	+	260
	 																																		5x =	360
	 																																				x =	72
	 En	(1):		72	+	y	=	100		
																													y	=	28
 Comprobamos la solución:
 (1):												72	+	28	=	100
 (2):		8	.	72	–	2	.	28	=	520
4.o Redactar la respuesta:
	 Ha	acertado	en	72	preguntas	y	ha	fallado	en	28	preguntas.
Observa:
En	 las	 ecuaciones	 (1)	 y	 (2)	 la	 variable	 y	 tiene	
coeficientes	de	signos	diferentes	y	valores	iguales,	
por	lo	que	aplicamos	el	método	de	reducción.
¿Sa bía s qu e.. .?
El	tratado	
matemático chino 
elaborado alrededor 
del	siglo	II	a.	C.	está	
ligado	a	la	vida	real.
1.	 Fangtian	-	Áreas	
de campos.
2.	 Sumi	-	Mijo	y	arroz.	
Intercambio	de	
bienes.
3.	 Cuifen	-	
Distribución 
proporcional.
4.	Shaoguang	-	El	
menor	largo.
5.	 Shanggong	-	
Volumen de sólidos 
de varias formas.6.	 Junshu	-	Impuesto	
equitable.
7.	 Yingbuzu	-	
Excedente	y	déficit.
8.	 Fangcheng	-	
La	disposición	
rectangular.
9.	 Gougu	-	Base	y	
altura.
Tablas de edades
Hace 
n años Presente
A a	–	n a
B b	–	n b
Presente Dentro de m años
A a a	+	m
B b b	+	m
Obse rva
Los nueve capítulos 
sobre el arte 
matemático
130
Ejemplo 3
El	señor	Wiles	dispone	de	un	terreno	en	forma	rectangular	de	42	metros	de	largo	y	36	
metros	de	ancho.	Él	desea	tener	en	la	parte	posterior	un	jardín	en	forma	triangular	y	en	
el	resto	del	terreno	va	a	construir	su	casa.	En	el	plano	mostrado,	M	es	el	punto	medio	
del	lado	correspondiente.	¿Cuál	debe	ser	el	valor	de	x	para	que	el	área	de	la	casa	sea	
el	séxtuplo	del	área	del	jardín?
Resolución:
1.o Comprender el problema: 
	 Base	del	rectángulo:	42	
	 Altura	del	rectángulo:	36	
	 Base	del	triángulo:	x
	 Altura	del	triángulo:	18	(M	es	punto	medio)
2.o Plantear el problema:
	 área	del	rectángulo:	AR	=	42	.	36		(1)
	 área	del	triángulo:	AT	=	 x	.	182 (2)
 área	de	la	casa:	AR	–	AT
 el	área	de	la	casa	sea	el	séxtuplo	del	área	del	jardín:	AR	–	AT	=	6(AT) 
3.o	 Resolver	el	problema	y	verificar:	
 Tenemos: 
	 AR	–	AT	=	6(AT)		⇒		AR	=	7(AT)	
	 																											42	.	36	=	7 
x	.	18
2
	 Luego:	
	 7	.	9x	=	42	.	36		⇒		x	=	 42	.	36
7	.	9
 
																																							x	=	6	.	4	
																																							x	=	24
4.o Redactar la respuesta:
	 El	valor	de x	debe	ser	24	m.
Recu e rda
b
h
Área	=	b	.	h
Rectángulo
Triángulo
h
b
h
b
Área	=	
b . h
2
42 m
jardín
36	m
x
M
131MateMática Delta 2 - álgebra
	 Una	cantidad	de	S/	5200	se	paga	con	billetes	de	
S/	100	y	S/	20.	¿Cuántos	billetes	se	han	dado	de	
S/	100	si	los	billetes	de	S/	20	son	8	más	que	los	de	
S/	100?
 Resolución:
	 Número	de	billetes	de	S/	100:	x
	 Número	de	billetes	de	S/	20		:	y
	 los		billetes		de		S/	20	son	8	más	que	los	de	S/	100:	
y	=	x	+	8
	 Una	cantidad	de	S/	5200:	x(100)	+	y(20)	=	5200
		 																																												÷	20:		5x	+	y		=	260
	 Entonces:	y	=	x	+	8		(1)
	 									5x	+	y	=	260				(2)
 (1) en (2):		5x	+	x	+	8	=	260	
	 																														6x	=	252
	 																																x	=	42	
	 Son	42	billetes	de	S/	100.
1
2
3
4
	 Plantea	 mediante	 un	 sistema	 las	 siguientes	
situaciones:
a)	 Un	pantalón	y	una	camisa	cuestan	S/	260.	El	
pantalón	cuesta	S/	20	más	que	la	camisa.
b)	 El	equipo	de	natación	ganó	12	medallas	entre	
oro	y	plata.	Se	sabe	que	las	de	plata	fueron	el	
doble	que	las	de	oro.
Resolución:
a)	 Precio	de	un	pantalón:	x
	 Precio	de	una	camisa:	y
	 Un	pantalón	y	una	camisa	cuestan	S/	260:
	 x	+	y	=	260		(1)
	 El	pantalón	cuesta	S/	20	más	que	la	camisa:		
	 x	=	y	+	20				(2)
b)	 Número	de	medallas	de	oro:	x
	 Número	de	medallas	de	plata:	y
	 las	de	plata	fueron	el	doble	que	las	de	oro:
	 y	=	2x								(1)
	 El	equipo	de	natación	ganó	12	medallas	entre	
oro	y	plata:	
	 x	+	y	=	12		(2)
	 En	un	rectángulo	el	largo	excede	al	ancho	en	4	cm.	
Si	el	perímetro	es	56	cm,	halla	su	área.	
 Resolución:
	 largo	excede	al	ancho	en	4	cm:
	 																			x	–	y	=	4
	 El	perímetro	(suma	de	todos	los	lados)	es	56	cm:	
2x	+	2y	=	56
	 Entonces:								x	–	y	=	4				(1) 
	 																				2x	+	2y	=	56
	 ÷	2	:																	x	+	y	=	28		(2)
 (1)	+	(2):										2x	=	32		⇒ 	x	=	16	
	 En	(2)			:				16	+	y	=	28		⇒ y	=	12	
	 Piden	el	área	del	rectángulo:
	 x	.	y	=	16	.	12	=	192
ancho:	y
largo:	x
Rpta. 192	cm2
 Determina la suma de medidas de los menores 
ángulos	de	los	triángulos:
 Resolución:
 Se observa: 
																	x	+	y	+	3y	+	x	+	20° =	180°
	 																													2x	+	4y	=	160°
	 																						÷	2:			x	+	2y	=	80°		(1)
	 2x	–	y	+	3x	+	2x	+	y	+	40°	=	180°
	 																																					7x	=	140°	
																																														x	=	20°		(2)
 (2) en (1):		20° +	2y	=	80°
	 																											2y	=	60°		⇒ y	=	30°
 Ángulos:		Fig.	1:	50°;	90°;	40°	
	 																Fig.	2:	60°;	10°;	110°
	 Piden:	40°	+	10°	=	50°
Rpta. 42 billetes
Rpta. 50°
3x 2x	–	y
2x	+	y	+	40°
Figura 2
Ejercicios resueltos
x	+	y
3y
Figura 1
x	+	20°
132
	 En	un	estacionamiento	de	vehículos	motorizados	
se	 cuentan	 100	 vehículos	 entre	 motos	 y	
automóviles.	 Si	 se	 cuentan	 316	 llantas	 en	 total,	
¿cuántas	motos	hay	en	el	estacionamiento?
 Resolución:
	 Números	de	motos:	x
	 Número	de	automóviles:	y
	 se	cuentan	100	vehículos:	x	+	y	=	100
	 se	 cuentan	 316	 llantas	 en	 total:	 2x	 +	 4y	 =	 316	
(cada	moto	tiene	2	llantas	y	cada	automóvil	4)	
	 Entonces:
	 										x	+	y		=	100		(1) 
	 							2x	+	4y	=	316
	 ÷	2:			x	+	2y	=	158		(2)
	 Luego:
 (2)										:				x	+	2y	=	158	
 (1)	×	(–1):				–x	–	y	=	–100
	 																												y	=	58
	 En	(1):								x	+	58	 =	100
	 																											x	 =	42
	 En	el	estacionamiento	hay	42	motos.
86
5 7	 Actualmente	 la	 edad	de	Martín	 es	 el	 triple	 de	 la	
edad	de	José,	pero	hace	4	años	la	edad	de	Martín	
era	el	cuádruple	de	la	edad	de	José.	¿Cuál	es	la	
edad	actual	de	Martín?
 ONEM	2014	-	Primera	fase	-	Nivel	1
 Resolución:
	 Edad	de	Martín:	x
	 Edad	de	José:	y
	 Edad	de	Martín	es	el	triple	de	la	edad	de	José:	
	 x	=	3y
 Hace cuatro años:
	 Edad	de	Martín:	3y	–	4
	 Edad	de	José:	y	–	4	
	 Edad	 de	Martín	 era	 el	 cuádruple	 de	 la	 edad	 de	
José:	3y	–	4	=	4(y	–	4)
	 										3y	–	4	=	4y	–	16
	 								–4	+	16	=	4y	–	3y
	 Entonces:	y	=	12
 Piden:
	 x	=	3y 
	 x	=	3	.	12	=	36	
	 La	edad	de	Martín	es	36	años.
Rpta. 36	años
Rpta. 42 motos
+
	 En	 un	 examen,	 cada	 respuesta	 correcta	 vale													
4	puntos;	cada	respuesta	incorrecta	vale	–1	punto.	
Si	Mariana	responde	las	50	preguntas	del	examen	
y	ha	obtenido	110	puntos,	¿cuántas	preguntas	ha	
respondido	correctamente	y	cuántas	ha	fallado?
 Resolución:
	 Número	de	respuestas	correctas:	x
	 Número	de	respuestas	incorrectas:	y
	 Las	50	preguntas	del	examen:	x	+	y	=	50
	 Ha	 obtenido	 110	 puntos,	 si	 cada	 respuesta	
correcta vale 4 puntos; cada respuesta incorrecta 
vale	–1	⇒	4x	–	1y	=	110
 Tenemos:
	 																			x	+	y	=	50				(1)
	 																	4x	–	y	=	110		(2)
 (1)	+	(2):									5x	=	160	
	 																								x		=	32
	 En	(1):						32	+	y	=	50
																																y	=	18
	 Luego:
	 Respondió	32	preguntas	correctas	y	18	incorrectas.
	 En	mi	último	viaje	compré	20	cajas	de	bombones,	
cada	 una	 contenía	 12	 bombones.	 Para	 regalar	
algunos	 bombones	 a	 mis	 amigos	 y	 familiares	
realicé	el	siguiente	procedimiento:	abrí	 todas	 las	
cajas	y	de	cada	una	saqué	2	o	3	bombones.	Si	
en	 total	saqué	47	bombones,	¿de	cuántas	cajas	
saqué	3	bombones?
ONEM	2013	-	Primera	fase	-	Nivel	1
 Resolución:
	 n.°	de	cajas	de	las	que	sacó	2	bombones:	x	
	 n.°	de	cajas	de	las	que	sacó	3	bombones:	y
	 compré	20	cajas	de	bombones:
	 x	+	y	=	20						(1) 
	 Si	en	total	saqué	47	bombones:
	 2x	+	3y	=	47		(2)
 Piden el valor de y, por el método de sustitución:
 De (1):		x	=	20	–	y
	 En	(2):		2(20	–	y)	+	3y	=	47
	 															40	–	2y	+	3y	=	47
	 																																	y	=	7
	 Luego,	de	7	cajas	retiré	3	bombones.
Rpta. 32	y	18
Rpta. 7
133MateMática Delta 2 - álgebra
12
10
9 11 Vincent ordena sus canicas formando un cuadrado 
y	 ve	 que	 le	 sobran	 15	 canicas.	 Si	 coloca	 una	
canica	más	por	cada	 lado	observa	que	 le	 faltan	
6	canicas	para	completar	el	cuadrado.	¿Cuántas	
canicas tiene Vincent?
 Resolución:
	 Número	de	canicas:	T	
 Tenemos:
x
x
T	=	x	.	x	+	15		(1)
x	+	1
x	+	1
T	+	6	=	(x	+	1)(x	+	1)		(2)
 (1) en (2):	x2	+	15	+	6	=	(x	+	1)2 
	 																							x2 +	21	=	x2	+	2x	+	1
	 																														20	=	2x		⇒		x	=	10	
	 En	(1):	T	=	10	.	10	+	15
	 												T	=	115	
	 Vincent	tiene	115	canicas.
Rpta. 115
	 De	 un	 saco	 de	 arroz	 se	 han	 vendido	 2
5
 de su 
peso	durante	la	mañana	y	1
3
 del resto por la tarde, 
¿cuántos kilogramos	tenía	el	saco	si	quedan	36	kg?
 Resolución:
	 Observa	que	el	 total	y	 lo	que	queda	 lo	vamos	adividir	entre	5	y	3,	como	MCM(5;	3)	=	15,	decimos	
que	el	número	de	kilogramos	en	el	saco	es	15x.	
	 Entonces:
	 											Tenemos					–					Vendemos					=					Queda
	 Mañana:	15x																2
5
(15x)	=	6x															9x
	 Tarde				:	9x																		1
3
(9x)	=	3x																	6x
	 en	el	saco	quedan	36	kg:						6x	=	36
	 																																																x	 =	6
	 Luego:	
	 												15x	=	15	.	6	=	90
	 El	saco	tenía	90	kg	de	arroz.
Rpta. 90	kg
	 Dentro	de	10	años	 la	edad	de	Alejandro	será	el	
doble de la de Ana. Si hace 2 años la edad de 
Alejandro	 era	 el	 triple	 de	 la	 de	 Ana,	 calcula	 la	
suma de las edades actuales de ambos.
 Resolución:
	 Elaboramos	la	tabla:
	 Dentro	 de	 10	 años	 la	 edad	de	Alejandro	 será	 el	
doble	de	la	de	Ana:	x	+	10	=	2(y	+	10)
	 																																								x	=	2y	+	10
	 hace	2	años	la	edad	de	Alejandro	era	el	triple	de	la	
de	Ana:	x	–	2	=	3(y	–	2)		⇒		x	=	3y	–	4	
	 Entonces:
	 																		x	=	2y	+	10		(1)
	 																		x	=	3y	–	4				(2)
 (2)	=	(1):			3y	–	4	=	2y	+	10	
	 																									y	=	14
	 En	(1)	:						x	=	2(14)	+	10
	 																		x	=	38
	 Piden:	x	+	y	=	38	+	14	=	52
Hace 2 años Presente Dentro de10	años
Alejandro x	–	2 x x	+	10
Ana y	–	2 y y	+	10
Rpta. 52	años
	 A	 una	 reunión	 asistieron	 110	 varones	 y																												
194	mujeres	 entre	 solteras	 y	 casadas.	 Se	 sabe	
que	 el	 número	 de	 varones	 casados	 fue	 igual	 al	
número	de	mujeres	solteras;	además	el	número	
de	mujeres	casadas	fue	igual	al	triple	del	número	
de	 varones	 solteros.	 ¿Cuántas	mujeres	 solteras	
asistieron a la reunión?
 Resolución:
	 Número	de	varones	solteros:	x	
	 Número	de	varones	casados:	y
	 Esquema:
 Por dato:
	 x	+	y	=	110				(1)
	 3x	+	y	=	194		(2)
 (2)	–	(1)	:		2x	=	84
	 																			x	=	42
	 En	(1)	:					42	+	y	=	110		⇒		y	=	68
	 Asistieron	68	mujeres	solteras.
Varones Mujeres
solteros x y
casados y 3x
Rpta. 68
134
Síntesis
Modela y resuelve 
2
4
1
3
Ecuación	
universal Total	=	(cantidad)	×	(valor	unitario)
Planteo de 
ecuaciones
Identifica	los	datos	del	problema.Comprender el problema1
Traduce	al	lenguaje	algebraico.Plantear el problema2
Resuelve la ecuación o sistema de ecuaciones planteadas.Resolver el problema3
Observa lo pedido en el problema.Redactar la respuesta4
Traduce	al	lenguaje	algebraico: Traduce	al	lenguaje	algebraico:
a)	 El	exceso	de	A	sobre	B	es	5:
b) Mi edad es la mitad de tu edad:
c)	 La	suma	de	tres	números	pares	consecutivos	
es 42:
d)	 El	cuadrado	de	un	número,	más	20:
e) Vincent tiene el doble de la edad de Alan 
aumentado	en	5	años:
f)	 Dos	veces	lo	que	tengo	es	lo	que	tienes:
a)	 El	exceso	de	M	sobre	7	es	N:
b) Mi edad es un tercio de tu edad:
c)	 La	suma	de	tres	números	impares	consecutivos	
es 33:
d)	 El	cuadrado	de	un	número,	menos	30:
e)	 Claudia	 tiene	 el	 triple	 de	 la	 edad	 de	 Eva	
disminuido	en	7	años:
f)	 Lo	que	tengo	es	el	triple	de	lo	que	tienes:
El	 doble	 de	 un	 número,	 más	 el	 triple	 de	 su	
consecutivo	es	28,	¿cuál	es	el	número?
Resolución: 
El	 triple	 de	 un	 número,	 más	 el	 doble	 de	 su	
consecutivo	es	32,	¿cuál	es	el	número?
Resolución: 
Rpta. Rpta.
135MateMática Delta 2 - álgebra
6
8
10
5
7
9
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Mariana tiene en su cuenta de ahorros S/ 242. Cada 
mes	su	padre	 le	deposita	S/	86	y	ella	retira	S/	58.	
¿Cuánto	dinero	tendrá	al	cabo	de	año	y	medio?
Hace cinco años la edad de Marisa era el triple de 
la	edad	de	Rocío.	Si	sus	edades	suman	58	años,	
¿cuántos años tiene Marisa?
María	Paula	ha	recorrido	los	34 de la distancia entre 
dos	 ciudades.	 Si	 le	 falta	 16	 km	 para	 llegar	 a	 su	
destino, ¿cuánto es la distancia entre las ciudades?
Pablo	tiene	en	su	cuenta	de	ahorros	S/	538.	Cada	mes	
su	padre	le	deposita	S/	74	y	él	retira	S/	42.	¿Cuánto	
dinero	tendrá	al	cabo	de	un	año	y	dos	meses?
Hace seis años la edad de Paola era el doble de la 
edad	de	Hortensia.	Si	sus	edades	suman	48	años,	
¿cuántos años tiene Paola?
Kimberly	ha	recorrido	 los	 25 de la distancia entre 
dos	 distritos.	 Si	 le	 falta	 18	 km	 para	 llegar	 a	 su	
destino, ¿cuánto es la distancia entre los distritos?
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
136
12
14
16
11
13
15
Un	hotel	 tiene	habitaciones	dobles	y	simples.	Si	
en	total	hay	64	habitaciones	y	92	camas,	¿cuántas	
habitaciones	dobles	hay	en	el	hotel?
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
El	hotel	«La	Noche»	tiene	habitaciones	simples	y	
triples.	Si	en	total	hay	48	habitaciones	y	80	camas,	
¿cuántas	habitaciones	triples	hay	en	el	hotel?
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Se	paga	una	deuda	de	S/	760	con	20	billetes	de	
S/	20	y	S/	50.	¿Cuántos	billetes	son	de	S/	20?
Se	paga	por	un	TV	de	S/	520	con	40		billetes	de	S/	10		
y		S/	20.	¿Cuántos	billetes	son	de	S/	20?
Carmen	y	María	tienen	juntas	S/	1500.	Si	Carmen	
tiene	el	doble	de	lo	que	tiene	María,	¿cuánto	tiene	
María?
Ada	y	Bárbara	tienen	juntas	S/	1400.	Si	Ada	tiene	
el	 triple	 de	 lo	 que	 tiene	 Bárbara,	 ¿cuánto	 tiene	
Bárbara?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
137MateMática Delta 2 - álgebra
18
20
17
19
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Juan,	por	4	kilogramos	de	plátanos	y	7	kilogramos	
de	 manzanas	 paga	 S/	 29.	 Si	 Roberta,	 en	 la	
misma	 tienda,	por	un	kilogramo	de	plátanos	y	4	
kilogramos	de	manzanas	paga	S/	14,	¿cuánto	se	
paga	por	un	kilogramo	de	plátanos	y	un	kilogramo	
de	manzanas?
Salvador,	 por	 7	 kilogramos	 de	 naranjas	 y																									
5	kilogramos	de	uvas	paga	S/	46.	Si	Anna	Mary,	en	
la	misma	tienda	por	3	kilogramos	de	naranjas	y	un	
kilogramo	de	uvas	paga	S/	14,	¿cuánto	se	paga	por	
un	kilogramo	de	naranjas	y	un	kilogramo	de	uvas?
Alannis	desea	enviar	por	avión	18	cajas	(el	doble	
de	pequeñas	que	de	grandes);	el	pago	total	por	las	
cajas,	incluyendo	los	gastos	de	envío	e	impuestos,	
es	S/	240.	Si		el		flete		de		una		caja		grande		cuesta	
S/	4	más	que	el	de	una	caja	pequeña,	¿cuál	es	el	
costo	del	flete	de	cada	tamaño	de	caja?
Stephany	desea	enviar	por	correo	24	cajas	(el	triple	
de	pequeñas	que	de	grandes);	el	pago	total	por	las	
cajas,	incluyendo	los	gastos	de	envío	e	impuestos,	
es	S/	174.	Si	el	 flete	de	una	caja	grande	cuesta	
S/	5	más	que	el	de	una	caja	pequeña,	¿cuál	es	el	
costo	del	flete	de	cada	tamaño	de	caja?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
138
22
24
21
23
Resolución: Resolución: 
Determina el área de la casa, si con 44 m de malla 
podemos	cercar	el	patio	(ver	figura).
Nota:	 Para	 el	 cerco	 del	 patio,	 no	 considerar	 la	
parte	que	colinda	con	la	pared	de	la	casa.
16	m
Casa
2a
x
24 m
Patio
a
a
Vereda
2x
4 m
a
Casa
30	m
20	m
3a Patio
x a
a
Vereda 5	m
3x
Determina	el	área	del	patio,	si	con	54	m	de	malla	
podemos	cercar	el	patio	(ver	figura).
Nota:	 Para	 el	 cerco	 del	 patio,	 no	 considerar	 la	
parte	que	colinda	con	la	pared	de	la	casa.
Resolución: Resolución: 
Miguel	tiene	una	copiadora	que	le	costó	S/	8000		y	
Leonardo	tiene	otra	copiadora	que	le	costó	S/	5000.	
Cada	año,	la	máquina	de	Miguel		pierde	S/.	400	de	
su	valor	y	cada	año	la	máquina	de	Leonardo	pierde	
S/	200	de	su	valor.	¿Dentro	de	cuántos	años	 las	
máquinas	tendrán	el	mismo	valor?
Joaquín	tiene	una	copiadora	que	le	costó	S/	6000	
y	Alberto	tiene	otra	copiadora	que	le	costó	S/	4800.	
Cada	año	 la	copiadora	de	Joaquín	pierde	S/	280	
de	 su	 valor	 y	 cada	 año	 la	 copiadora	 de	Alberto	
pierde	S/	80	de	su	valor.	¿Dentro	de	cuántos	años	
las copiadoras tendrán el mismo valor?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
139MateMática Delta 2 - álgebra
25
27
26
28
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
En	 un	 colegio,	 el	 director	 ordena	 a	 sus	 alumnos	
formando	un	cuadrado	y	ve	que	sobran	14	alumnos.	
Entonces	 aumenta	 un	 alumno	 más	 a	 cada	 lado	
y	 ve	 que	 le	 faltan	 15	 alumnos	 para	 completar	 el	
cuadrado.	¿Cuántos	alumnos	hay	en	el	colegio?
Los	soldados	de	un	cuartelse	ordenan	formando	
un	 cuadrado	 y	 sobran	 18	 de	 ellos.	 Entonces	
aumentan	 un	 soldado	más	 a	 cada	 lado	 y	 ahora	
faltan 13 soldados para completar el cuadrado. 
¿Cuántos	soldados	hay	en	el	cuartel?
En	un	colegio,	los	estudiantes	están	matriculados	
en	dos	niveles:	200	en	el	nivel	primario	y	140	en	
el	 nivel	 secundario.	 Se	 sabe	 que	 el	 número	 de	
varones	del	nivel	primario	es	el	triple	del	número	de	
mujeres	 del	 nivel	 secundario;	 además	el	 número	
de	mujeres	del	nivel	primario	es	igual	a	la	mitad	del	
número	de	varones	del	nivel	secundario.	¿Cuántas	
mujeres	están	matriculadas	en	el	nivel	secundario?
A	un	concurso	de	Matemática	asisten	202	alumnos	
de	colegios	particulares	y	150	de	colegios	estatales.	
Se	 sabe	 que	 el	 número	 de	 varones	 de	 colegios	
particulares	es	el	doble	del	número	de	mujeres	de	
colegios	estatales;	además	el	número	de	mujeres	
de	 colegios	 particulares	 es	 igual	 al	 número	 de	
varones	de	colegios	estatales.	¿Cuántas	mujeres	
de	colegios	particulares	asisten	al	concurso?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
140
29 30Luis,	que	cursa	el	segundo	de	secundaria,	debe	
consumir	por	día	750	mg	de	vitamina	C,	850	mg	
de	fósforo	y	2400	g	de	calorías.	Un	determinado	
día	 consume	 solo	 plátano,	 mandarina	 y	 uva,	
¿cuántas	frutas,	de	cada	una,	consumió	en	el	día	
según	la	tabla?
María,	que	cursa	el	segundo	de	secundaria,	debe	
consumir	por	día	250	mg	de	vitamina	C,	500	mg	
de	calcio	y	2400	g	de	calorías.	Un	determinado	día	
consume	solo	plátano,	mango	y	sandía,	¿cuántas	
frutas,	de	cada	una,	consumió	en	el	día	según	la	
tabla?
Tabla nutricional de las frutas
El	grupo	de	ciencias	de	tu	colegio	elabora	la	siguiente	tabla	nutricional	de	algunas	frutas
Frutas (1 unidad) Mandarina Mango Papaya Pera Sandía Plátano Uva
Calorías	(g)
Calcio	(mg)
Fósforo	(mg)
Vitamina	C	(mg)
45
25
20
30
60
15
20
5
35
20
15
60
55
9
10
5
30
5
10
5
90
10
30
10
60
15
15
5
Resolución: Resolución: 
Rpta. Rpta.
141MateMática Delta 2 - álgebra
2
3
Practica y demuestra
1
4
5
6
Nivel I
El	perímetro	de	un	rectángulo	es	32	cm.	Si	el	largo	
es el triple del ancho, ¿cuánto mide el área del 
rectángulo?
Relaciona.
I.			9	veces	n,	más	1
II.		20	veces	n	
III.		9	veces	la	suma	de	n	y	1
IV.		El	exceso	de	n	sobre	20
a.	n	–	20
b.	20n
c.	9n	+	1
d.	9(n	+	1)
e.	20n	+	n
 A 	 Ia;	IIb;	IIIe;	IVc	
 B 	 Ic;	IIb;	IIId;	IVa
 C 	 Ia;	IId;	IIIe;	IVc	
 D 	 Ic;	IIe;	IIIb;	IVa	
 E 	 Ia;	IIb;	IIId;	IVc
La	suma	de	cuatro	números	pares	consecutivos	
es	60,	indica	el	mayor	de	ellos.
 A 12 B 	 18	 C 14
 D 	 20	 E 	 16
La	diferencia	de	dos	números	es	28	y	la	suma	de	
los	mismos	es	218.	Indica	el	mayor	de	ellos.
 A 	 89	 B 	 125	 C 	 93
 D 123 E 	 95
Determina	el	valor	de	M	=	x	 .	y,	si	 	ABCD	es	un	
cuadrado.
 A 	 6	 B 12 C 	 8
 D 	 9	 E 	 10
 A S/ 24 B 	 S/	28	 C 	 S/	30
 D S/ 32 E 	 S/	36
 A 32 cm2 B 42 cm2 C 	 36	cm2
 D 	 54	cm2 E 	 48	cm2
B C
A D
3y	–	x 10
x	+	2y
Dos	 libros	 y	 tres	 cuadernos	 cuestan	 S/	 66;	 si	
4	 cuadernos	 cuestan	 lo	 mismo	 que	 un	 libro,	
¿cuánto	cuesta	un	libro	y	un	cuaderno?
142
9
10
11
12
En	una	granja,	entre	gallinas	y	conejos	se	cuentan	
42 animales. Si en total se ha contado 132 patas, 
¿cuántos	conejos	hay	en	la	granja?
Elena	tiene	tres	veces	lo	que	tiene	Maura;	si	Elena	
le	da	S/	18	a	Maura,	entonces	tendrían	la	misma	
cantidad. ¿Cuánto dinero tienen entre las dos?
Se observa el plano de una casa.
Hace	cinco	años	la	suma	de	las	edades	de	María	
y	 su	hermana	era	 12	años;	 si	 la	 edad	de	María	
excede	a	la	de	su	hermana	en	6	años,	¿qué	edad	
tiene	María?	
 A 12 años B 14 años
 C 	 15	años	 D 13 años
 E 	 9	años
 A 	 26	 B 24 C 21
 D 	 18	 E 	 16
 A S/ 82	 B S/ 60	 C S/ 68
 D S/ 75	 E S/ 72
Se tiene 33 m de malla para cercar el patio. 
Entonces	no	es	cierto	que:
Nota:	 Para	 el	 cerco	 del	 patio,	 no	 considerar	 la	
parte	que	colinda	con	la	pared	de	la	casa.
Casa
12
 m
20	m 2x
x
Vereda 4 m
Patio
 A 	 El	valor	de	x	es	5	m.	
 B 	 El	área	de	la	vereda	es	40	m2.
 C 	 El	área	del	terreno	es	360	m2. 
 D 	 El	área	de	la	casa	es	200	m2.
 E 	 El	área	del	patio	no	se	puede	determinar.
7
8
Se	tiene	S/	129	en	36	monedas	de	S/	5	y	de	S/	2.	
¿Cuántas	monedas	son	de	S/	5	y	cuántas	son	de	
S/ 2, respectivamente?
 A 	 17	y	19	 B 	 15	y	21
 C 	 21	y	15	 D 	 19	y	17
 E 	 18	y	18
Un caminante ha recorrido los 23 de la distancia 
entre	dos	pueblos.	Si	le	falta	12	km	para	llegar	a	su	
destino, ¿cuánto es la distancia entre los pueblos?
 A 32 km B 	 39	km
 C 	 36	km	 D 	 45	km
 E 42 km
143MateMática Delta 2 - álgebra
13
14
15
Nivel II
Los		ángulos		de		un		triángulo		son		A,	B	y	C.	Si	
la m 	A	(medida	del	ángulo	A)	es	el	doble	de	la	 
m 	C;	y	la	m	 C es la diferencia de la mitad de 
la m 	B	y	20º, entonces:
I.			El	mayor	ángulo	es	A.
II.		El	ángulo	C	mide	menos	de	45º.
III.	El	ángulo	B	mide	más	de	70º.
Son ciertas:
Bruno	tiene	una	máquina	que	 le	costó	S/	10	000		
y	César	tiene	una	máquina	que	le	costó	S/	6700.	
Cada	año	la	máquina	de	Bruno	pierde	S/	500	de	
su	valor	y	cada	año	 la	máquina	de	César	pierde	
S/	200	de	su	valor.	¿Dentro	de	cuántos	años	 las	
máquinas	tendrán	el	mismo	valor?
ONEM	2015	-	Primera	fase	-	Nivel	1
Laura	y	su	hija	Julia	tienen	entre	las	dos	S/	880.	Al	
ir	de	compras	Julia	gasta	S/	80	y	Laura	el	doble,	
ahora	Laura	 tiene	el	 triple	de	 lo	que	 tiene	Julia.	
¿Cuánto	dinero	tiene	ahora,	Laura?
 A 13 B 	 7	 C 	 8
 D 14 E 11
 A 	 S/	152	 B 	 S/	184	 C 	 S/	276
 D 	 S/	125	 E 	 S/	138
 A 	 S/	640	 B 	 S/	520	 C 	 S/	240
 D 	 S/	480	 E 	 S/	560
 A 	 Solo	I	 B 	 Solo	II	 C 	 I	y	III
 D 	 II	y	III	 E Todas
16
17
18
José	y	Mario	trabajan	en	la	misma	oficina	y	tienen	
el mismo sueldo básico. Además, a cada uno le 
pagan	la	misma	cantidad	por	cada	hora	adicional	
de	 trabajo.	 En	 el	 mes	 de	 marzo	 José	 trabajó	
6	 horas	 adicionales	 y	 su	 sueldo	 fue	 S/	 2570,	
mientras	que	Mario	 trabajó	 11	horas	adicionales	
y	 su	 sueldo	 fue	S/	 2670.	 ¿Cuánto	 fue	 el	 sueldo	
de	José	en	el	mes	de	abril,	si	en	ese	mes	trabajó	
3 horas adicionales?
ONEM	2014	-	Segunda	fase	-	Nivel	1
En	cuatro	días,	José	Antonio	ganó	en	total	S/	1035.	
Si	 cada	día	 ganó	el	 doble	 de	 lo	 que	ganó	el	 día	
anterior,	¿cuánto	ganó	el	segundo	día?
 A 	 S/	2510	 B 	 S/	2520
 C 	 S/	2530	 D 	 S/	2570
 E 	 S/	2550
El	triple	de	la	edad	de	Juana	junto	al	doble	de	la	
edad	de	Elvira	es	111	años	y	el	doble	de	la	edad	
de	 Juana	 junto	 al	 triple	 de	 la	 edad	 de	 Elvira	 es			
104	años.	Halla	la	suma	de	las	edades	(en	años)	
de	Juana	y	Elvira.
 A 	 37	 B 	 45	 C 	 39
 D 	 47	 E 43
144
Nivel III
21
19 22
23
24
20
Al	 ser	 preguntado	Ángel	 por	 su	 edad,	 contestó:	
Si	al	doble	de	mi	edad	 le	quito	17	años,	 tendría	
lo	que	me	faltan	para	tener	100	años,	¿qué	edad	
tiene	Ángel?
Por	 17	 cuadernos	 y	 3	 plumones	 se	 ha	 pagado	
S/	71	y	en	una	segunda	compra	de	 los	mismos	
artículos	 a	 los	 mismos	 precios,	 se	 ha	 pagado	
S/	 21	 por	 4	 cuadernos	 y	 5	 plumones.	 ¿Cuánto	
dinero	se	paga	por	un	plumón	y	un	cuaderno?
Claudia	tuvo	trillizos	a	los	26	años.	Si	actualmente	
las	edades	de	los	cuatro	suman	82	años,	¿cuánto	
es	la	edad	de	cada	trillizo?
 A 	 17	años	 	 B 	 39	años
 C 	 52	años	 	 D 	 71	años
 E 	 61	años
 A 12 años B 13 años
 C 14 años D 	 15	años
 E 	 16	años
Roberto,	 hace	 5	 años	 tenía	 la	mitad	 de	 la	 edad	
actual	 de	 Sandro,	 su	 hermano	mayor.	 Si	 dentro	
de	5	años	 la	edad	de	Sandro	 será	un	cuadrado	
perfecto	menor	que	40,	calcula	la	edad	actual	de	
Roberto.
Aclaración:	Un	 cuadrado	perfecto	 es	 un	 número	
de la forma k2,	donde	k	es	un	número	entero.
ONEM	2015	-	Segunda	fase	-	Nivel	1
 A 	 7	años	 	 B 	 15	años
 C 4 años D 12 años
 E 	 20	años
Un comandante dispone sus tropas formando un 
cuadrado	y	ve	que	le	quedan	fuera	36	hombres.	
Entonces	 pone	 un	 hombre	más	 en	 cada	 lado	 y	
ve	 que	 le	 faltan	 75	 hombres	 para	 completar	 el	
cuadrado.	¿Cuántos	hombres	hay	en	la	tropa?
 A 	 S/	6	 B 	 S/	5	 C 	 S/	7D 	 S/	8	 E 	 S/	9
 A 	 55	 B 	 61	 C 	 100
 D 	 3000	 E 	 3061
 A 	 150	cm	 B 	 120	cm
 C 	 130	cm	 D 	 140	cm
 E 	 160	cm
La	 cabeza	 de	 un	 pescado	mide	 20	 cm,	 la	 cola	
mide	 tanto	 como	 la	 cabeza	 más	 medio	 cuerpo	
y	el	cuerpo	mide	tanto	como	la	cabeza	y	la	cola	
juntas.	¿Cuál	es	la	longitud	del	pescado?
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 3
145MateMática Delta 2 - álgebra
Indica	el	valor	que	verifica	la	igualdad.
Resuelve el sistema.
Encuentra	el	valor	de	x. Resuelve	 (x	–	2)(x	+	1)	=	10,	 luego	 indica	una	
solución.
5
4 Determina	 la	 suma	 de	 cuadrados	 de	 a	 y	 b,															
si	{(a	;	b)}	es	el	conjunto	solución	del	sistema.
Halla	la	mayor	raíz	de	la	ecuación.
6x2	–	13x	+	6	=	0
1
2
3
Marca	con	una	X	la	alternativa	que	corresponda	a	la	respuesta.
6
A 	 26		 B 32
C 22 D 	 18
A 	 {(5	;	2)}		 B 	 {(4	;	1)}
C 	 {(3	;	2)}	 D 	 {(4	;	4)}
A 	 8	 B 34
C 	 64	 D 	 125
A 	 6	 B 
3
2
 
C 
1
6
 D 	 –5
A 	 5	 B 	 16
C 	 8	 D 24
A 	 –	1	 B 	 –	2
C 	 0	 D 	 –	3
1
2
x
3
–	2 +	1	=	4
2x	+	y	=	12
		x	–	y	=	3
5x	+	2y	=	31
		x	+	4y	=	17
146
Si	 las	edades	de	mis	cuatro	hijos	son	números	
impares	consecutivos	y	los	tres	menores	suman	
45	años,	¿qué	edad	tiene	el	mayor	de	mis	hijos?
7 10
11
129
8 De	un	saco	de	azúcar	se	han	vendido	 los	4
9
 de 
su	 peso	 durante	 la	 mañana	 y	 1
3
 del resto por 
la	 tarde,	 ¿cuántos	 kilogramos	 tenía	 el	 saco	 si	
quedan	20	kg?
Descubre	el	valor	de	M	=	x	.	y,		si	ABCD	es	un	
cuadrado.
Indica	la	solución	común	de	las	ecuaciones.
20	cm2A
44 cm2C
30	cm2B
48	cm2D
2A
–2C
11B
4D
30	kgA
45	kgC
37	kgB
54	kgD
13 añosA
15	añosC
18	añosB
19	añosD
169A
12C
49B
6D
				x2	+	x	–	6	=	0
2x2	–	3x	–	2	=	0
A 	 –3	 B 2
C 
1
2
 D 3
Calcula	el	valor	de	E	=	n2	–	5,	si	la	diferencia	de	
las	raíces	de	la	ecuación	x2	–	nx	+	2	=	0	es	1.
El	 perímetro	 de	 un	 rectángulo	 es	 32	 cm.	 Si	 el	
largo	es	el	triple	del	ancho,	¿cuánto	mide	el	área	
del	rectángulo?
B C
A D
3x	+	2y 13
5x	–	y
13
Tema
147MateMática Delta 2 - álgebra
Desigualdades e inecuaciones
10
Si las medidas de los lados 
de la pizarra rectangular son 
valores enteros, ¿cuáles son las 
medidas de esta, si su área es la 
menor posible?
Desigualdad
Es una relación de orden (comparación) entre dos números, mediante los símbolos 
<; >; ≤; ≥.
Ejemplos:
4 < 7 ; 25 > 
4
11 ; –5 < –3 ; 3 ≥ 3
Intervalos
Es el conjunto de números que están comprendidos entre dos extremos, pueden ser:
Nombre Notación deintervalo
Notación de
desigualdad Gráfica
In
te
rv
al
o 
ac
ot
ad
o Intervalo abierto 〈a ; b〉 a < x < b
Intervalo cerrado [a ; b] a ≤ x ≤ b
Intervalos
semi abiertos
〈a ; b] a < x ≤ b
[a ; b〉 a ≤ x < b
In
te
rv
al
os
no
 a
co
ta
do
s
〈a ; +∞〉 x > a
[a ; +∞〉 x ≥ a
〈–∞ ; b〉 x < b
〈–∞ ; b] x ≤ b
12 – x
x + 7
a < b se lee:
a es menor que b
a > b se lee:
a es mayor que b
a ≤ b se lee:
a es menor o igual 
que b 
a ≥ b se lee:
a es mayor o igual 
que b
Not a ción
Import a nt e
Acot a r
a ≤ b ↔ a < b ∨ a = b
a ≥ b ↔ a > b ∨ a = b
Para que estas 
sean verdaderas es 
suficiente que se 
verifique una de las 
condiciones.
Condicionar la 
extensión de un 
conjunto.
Fuente: RAE
Propiedades
1. Si a ambos miembros se les suma o resta el mismo 
número, la desigualdad se mantiene.
2. Si a ambos miembros se les multiplica o divide 
el mismo número positivo, la desigualdad se 
mantiene.
3. Si a ambos miembros se les multiplica o divide el 
mismo número negativo, el sentido del símbolo se 
invierte.
Si a > b ⇒ a ± c > b ± c
Si a < b ∧ c > 0 ⇒ 
ac < bc
a
c <
b
c
Si a < b ∧ c < 0 ⇒ 
ac > bc
a
c <
b
c
a b
a b
a b
a b
a
b
a
b
148
Inecuación lineal
Forma general: P(x) = ax + b 0 a ≠ 0 
Consideramos: a > 0
ax + b < 0 ⇔ ax < –b ⇔ x < 
–b
a –b
a
x ∈
x ∈
–∞ ; –b
a
Ejemplos:
a) Resuelve la siguiente inecuación:
x + 4
3
– 2 < 1 
x + 4
3 < 3 
5 〈–∞ ; 5〉
x + 4 < 9
x < 5
b) Resuelve la siguiente inecuación:
Observa:
Despejamos la variable aplicando transposición.
x + 3
2 +
>x
5
x
3 + 7
30 > 30 x + 32
x
5+
x
3 + 7
15(x + 3) + 6(x) > 10(x) + 30(7)
 15x + 45 + 6x > 10x + 210
 21x – 10x > 210 – 45
 11x > 165
 x > 15
Observa:
El MCM(2; 5; 3) = 30, multiplicamos ambos 
miembros por 30.
Luego despeja la variable x.
15
x ∈ 〈15 ; +∞〉
Dado a ∈ Q
a es positivo, si y solo 
si a > 0
a es negativo, si y 
solo si a < 0
Obse rva
Import a nt e
Para resolver una 
inecuación lineal 
debemos dejar la 
variable en un solo 
lado del símbolo de 
la desigualdad y las 
constantes en el otro.
Criterio de los puntos de corte
Es utilizado para analizar la variación de los signos de los factores lineales en una 
multiplicación indicada.
Ejemplo:
Sea P(x) = (x – 5)(x + 3)
Hacemos: x – 5 = 0 ∧ x + 3 = 0, entonces las raíces del polinomio son 5 y –3, ubicamos 
en la recta. 
III II I
–3 5
Recu e rda
Punto cerrado
 ≤ o ≥
[ ]
〈 〉 
] [
Punto abierto
< o >
Se forman tres intervalos. Analicemos el signo de P(x) en cada intervalo.
Si x ∈ I
Si x ∈ II
Si x ∈ III
(x + 3) (x – 5)× P (x)=
es positivo
es positivo
es negativo
es positivo
es negativo
es negativo
es positivo
es negativo
es positivo
De forma práctica + – +
–3 5
Entonces:
P(x) > 0 ↔ x ∈ 〈–∞ ; –3〉 ∪ 〈5 ; +∞〉 (zonas con signo +)
P(x) < 0 ↔ x ∈ 〈–3 ; 5〉 (zonas con signo –)
Import a nt e
Si la discriminante 
D = b2 – 4ac
es positiva, el 
polinomio 
cuadrático es
factorizable con 
coeficientes reales.
149MateMática Delta 2 - álgebra
Inecuación cuadrática
Forma general: P(x) = ax2 + bx + c 0 a ≠ 0
Para resolver una inecuación cuadrática, seguimos los siguientes pasos:
1.o Compara con cero la expresión (todos los términos al primer miembro).
2.o Busca que el coeficiente principal sea positivo (a > 0).
3.o Factoriza (transforma a producto).
4.o Iguala todos los factores primos con cero y ubica estos puntos en la recta numérica 
(criterio de puntos de corte).
5.o Observa la desigualdad para tomar los intervalos positivos o negativos.
Ejemplo 1
Resuelve la inecuación P(x) = x2 – 5x – 14 < 0.
Resolución:
1.o En la inecuación todos los términos están en el primer miembro, ya está comparada 
con cero.
2.o El coeficiente principal es positivo.
3.o Factorizamos por aspa simple: (x + 7)(x – 2) < 0
4.o Hacemos: x + 7 = 0 y x – 2 = 0, entonces las raíces del polinomio son –7 y 2.
5.o P(x) < 0 ↔ x ∈ 〈–7 ; 2〉 
 ∴ C.S. = 〈–7 ; 2〉
+ – +
–7 2
+ – +
–7 2
Ejemplo 2
Resuelve la inecuación: (x + 4)(x – 3) + (x – 1)2 ≥ 4.
Resolución:
1.o x2 + x – 12 + x2 – 2x + 1 – 4 ≥ 0 desarrollamos y reducimos en el primer miembro
 2x2 – x – 15 ≥ 0
2.o El coeficiente principal es positivo.
3.o (2x + 5)(x – 3) ≥ 0 ⇒ 2x2 – x – 15 ≥ 0 
 2x 5
 x –3
Import a nt e
∩
Se lee: intersección
A ∩ B
Significa: elementos 
comunes de A y B.
El símbolo ⇔
Se lee: Si y solo si, 
es la implicación 
doble, la condición 
necesaria y 
suficiente.
4.o Puntos de corte: 2x + 5 = 0; x – 3 = 0, entonces: x = –
5
2
; x = 3
5.o P(x) ≥ 0 ⇒ x = 〈–∞ ; –
5
2
] ∪ [3 ; ∞〉
 ∴ C.S = 〈–∞ ; –
5
2
] ∪ [3 ; ∞〉 
+ – +
– 5
2
3
+ – +
– 5
2
3
150
Sistema de inecuaciones
Si tenemos dos o más inecuaciones, el conjunto solución (C.S.) es la intersección de 
todas ellas.
Ejemplo:
Resuelve el sistema de inecuaciones: 5x – 3 < 2x + 8 ∧ 3x + 7 ≥ x – 1
Resolución:
Resolvemos las inecuaciones:
5x – 2x < 8 + 3
 3x < 11
 x < 
11
3
 
3x + 7 ≥ x – 1
 2x ≥ –8
 x ≥ –4÷ 3: ÷ 2:
Buscamos la intersección:
Entonces: C.S. = [–4 ; 
11
3
〉
– 4
Planteo de inecuaciones
Ejemplo:
La edad de Elvira es tal que su mitad aumentada en 4 es mayor que 30, pero su quinta 
parte disminuida en 1 es menor que 10. Halla la edad de Elvira, si esta es par.
Resolución:
1.o Comprender el problema: 
 Edad de Elvira: x
2.o Plantear el problema:
 Su mitad aumentada en 4 es mayor que 30: 
x
2
 + 4 > 30
 Su quinta parte disminuida en 1 es menor que 10: x
5
 –1 < 10
3.o Resolver las inecuaciones:
 Tenemos:
 • 
x
2
 + 4 > 30 • x
5
 – 1 < 10
 
x
2
 > 26 ⇒ x > 52 x
5
 < 11 ⇒ x < 55
 ⇒ x = {53; 54}
4.o Redactar la respuesta:
 La edad de Elvira es 54 años.
Teorema:
proposición 
demostrable 
lógicamente 
partiendo de 
axiomas, postulados 
o de otras 
proposiciones ya 
demostradas.
Fuente: RAE
De f i n ición
11
3
–4 11
3
151MateMática Delta 2 - álgebra
Valor absoluto
El valor absoluto de un número x se denota como |x| y se define del siguiente modo:
|x| =
 x; x ≥ 0 
–x; x < 0
Ejemplos:
a) |3| = 3, porque 3 > 0 b) |–5| = –(–5) = 5, porque –5 < 0
Ecuaciones con valor absoluto
Sean x y n expresiones algebraicas, se cumplen los siguientes teoremas:
Ejemplo: Ejemplo:
Resuelve: Resuelve:
|2x – 3| = 7 |3x – 5| = |x + 1|
Resolución: Resolución:
7 ≥ 0 ∧ (2x – 3 = 7 ∨ 2x – 3 = –7) 3x – 5 = x + 1 ∨ 3x – 5 = –x – 1
 x = 5 x = –2 x = 3 x = 1 
∴ C.S. = {–2 ; 5} ∴ C.S. = {1 ; 3}
Inecuaciones con valor absoluto
Sean x y n expresiones algebraicas, se cumplen los siguientes teoremas:
Observa:
|x| ≤ n ↔ n > 0 ∧ (–n ≤ x ≤ n)
1. |x| ≥ 0
2. |x| = |–x|
3. |x|2 = x2
4. x2 = |x|
Si:
|x| < a ∧ a < 0 
→ C.S. = ∅
Ejemplo:
|x| < –5
–5 < 0 → C.S. = ∅
Prop i eda de s
Import a nt e
Ejemplos:
a) |x – 1| < 4 b) |x + 3| ≤ 6
 –4 < x –1 < 4 –6 ≤ x + 3 ≤ 6
 –3 < x < 5 –9 ≤ x ≤ 3
 ∴ C.S. = 〈–3 ; 5〉 ∴ C.S. = [–9 ; 3]
Ejemplos:
a) |x + 2| > 5
 ⇔ x + 2 < –5 x + 2 > 5
 x < –7 x > 3
 ∴ C.S. = 〈–∞ ; –7〉 ∪ 〈3 ; +∞〉
 b) |x – 3| ≥ 4
 ⇔ x – 3 ≤ –4 x –3 ≥ 4
 x ≤ –1 x ≥ 7 
 ∴ C.S. = 〈–∞ ; –1] ∪ [7 ; +∞〉
Si:
|x| > a ∧ a < 0 
→ C.S. = 
Ejemplo:
|x| > –8 
–8 < 0 → C.S. = 
Import a nt e
Si |x| > |a|
→ x2 > a2
→ (x + a)(x – a) > 0
Observa:
|x| n ↔ x ≤ –n ∨ x ≥ n
Otros casos
Resuelve la inecuación:
|x + 5| < |x + 1| Como ambos miembros son positivos (propiedad 1), elevamos al cuadrado.
Resolución:
|x + 5|2 < |x + 1|2 → (x + 5)2 < (x + 1)2 Por la propiedad 3, desarrollamos
 x2 + 10x + 25 < x2 + 2x + 1
 8x < –24 → x < –3
∴ C.S. = 〈–∞ ; –3〉 
1. |x| = n ↔ n ≥ 0 ∧ (x = n ∨ x = –n) 2. |x| = |n| ↔ x = n ∨ x = –n
1. |x| < n ↔ n > 0 ∧ (–n < x < n )
2. |x| > n ↔ x < –n ∨ x > n
152
1
2
3
4
5
6
Resuelve la inecuación
Resolución:
2x + 5
3 + 1 < 5.
Despeja la variable:
2x + 5
3 < 5 – 1
2x + 5 < 3(4)
2x < 12 – 5 ⇒ x <
7
2
3 7
2
4
x ∈ 〈–∞ ; 
7
2
〉
Rpta. 〈–∞ ; 
7
2
〉
Rpta. C.S. = [3 ; 9]
Rpta. 〈–∞ ; 5] ∪ [11 ; +∞ 〉
Resuelve la inecuación x2 + 27 ≤ 12x.
Resolución:
Tenemos: x2 – 12x + 27≤ 0
x –9
x –3
(x – 9)(x – 3) ≤ 0
P.C.: x – 9 = 0 ; x – 3 = 0
 x = 9 x = 3
+ – +
3 9
P(x) ≤ 0 ↔ x ∈ [3 ; 9] 
Resuelve la inecuación x2 + 55 ≥ 16x.
Resolución:
Tenemos: x2 – 16x + 55 ≥ 0
 x –11
 x –5
 (x – 11)(x – 5) ≥ 0 
P.C.: x – 11 = 0 ; x – 5 = 0
 x = 11 x = 5
+ – +
5 11
P(x) ≥ 0 ↔ x 〈–∞ ; 5] ∪ [11 ; +∞ 〉
Indica el menor valor entero de x.
Resolución:
Multiplicamos por el MCM(2; 4; 5) = 20
Rpta. 21
Rpta. {–3; –1}
x
2
+
x
4
+
x
5
+ 1 < x
x
2
+
x
4
+
x
5
+ 120 < 20(x)
10(x) + 5(x) + 4(x) + 20(1) < 20x
 19x – 20x < –20
 –x < –20
 × (–1): x > 20
19 20 21
El menor valor entero de x es 21.
Halla el conjunto solución de la igualdad. 
|2x + 5| = |x + 4|
Resolución:
Sabemos que: |x| = |a| → x = a ∨ x = –a
Entonces:
2x + 5 = x + 4 ∨ 2x + 5 = –x – 4
2x – x = 4 – 5 2x + x = –4 – 5 
 x = –1 3x = –9
 x = –3
Luego: C.S.= {–3; –1}
Rpta. 34
Calcula la suma de los valores enteros de x que 
verifican la inecuación.
x
2 – 1 ≤ 4
Resolución:
Sabemos que: |x| ≤ a ⇒ –a ≤ x ≤ a
Entonces: –4 ≤ x2 – 1 ≤ 4
+ 1 : –3 ≤ x2 ≤ 5
× 2 : –6 ≤ x ≤10
Los valores enteros de x:
x = {–6; –5; –4;...; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Piden:
S = – 6 – 5 – 4 – ...+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 
S = 7 + 8 + 9 + 10 = 34
Ejercicios resueltos
153MateMática Delta 2 - álgebra
7 10
11
12
8
9
Rpta. –8
Rpta. 9
Rpta. 〈–∞ ; a – b〉
 Resuelve la inecuación en x.
 a(x – a) + b(x + b) > 0, si a < b < 0
 Resolución:
 Desarrollamos para despejar la variable aplicando 
propiedades.
 ax – a2 + bx + b2 > 0
 ax + bx > a2 – b2
 Recuerda a2 – b2 = (a + b)(a – b)
 x(a + b) > (a + b)(a – b)
 Si a < b < 0, entonces a + b < 0
x <
(a + b)(a – b)
(a + b)
x < a – b
a – b
x ∈ 〈–∞ ; a – b〉
 Determina el número de enteros que verifican la 
inecuación. 
 (x + 3)(x – 5) < 2(x + 3)
 Resolución:
 Comparamos con cero para factorizar
 (x + 3)(x – 5) – 2(x + 3) < 0
 (x + 3)(x – 5 – 2) < 0
 P:C: x + 3 = 0 ; x – 7 = 0
 x = –3 x = 7
+ – +
–3 7
Enteros para x = {–2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} 
Número de enteros: 2 + 1 + 6 = 9
 Encuentra el mayor valor entero de x que verifica 
la inecuación.
2x + 3
3
+
x
2
+
1
4
< x
Resolución:
Multiplicamos por MCM(3; 2; 4) = 12 
4(2x + 3) + 6(x) + 3(1) < 12(x) 
 8x + 12 + 6x + 3 < 12x
 14x – 12x < –15
 2x < –15 ⇒ x < –152
–15
2
–8 –7
El mayor valor entero de x es –8.
Rpta. Juan tiene 6 hijas.
Rpta. 24
 Halla la suma del mayor y menor valor entero de x 
que satisfacen la inecuación.
 (3x + 2)2 > (3x – 2)2 + x2
 Resolución:
 Tenemos: 
 (3x)2 + 2 . 3x . 2 + 22 > (3x)2 – 2 . 3x . 2 + 22 + x2
 12x > –12x + x2 ⇒ 0 > x2 – 24x 
 Entonces: x(x – 24) < 0
 P.C.: x = 0 ; x = 24
+ – +
0 24
Enteros: x = {1; 2; 3;...; 22 ; 23} 
Piden: 1 + 23 = 24
 Resuelve x2 + 9 ≥ 8x.
 Resolución:
 Tenemos: x2 – 8x + 9 ≥ 0
 Observa que: a = 1; b = –8; c = 9
P.C.: x =
 –b ± b2 – 4ac
2a
P.C.: x = =–(–8) ± 
(–8)2 – 4 . 1 . 9
2 . 1
8 ± 64 – 36
2
Rpta. 〈–∞ ; 4 – 7] ∪ [4 + 7 ; +∞〉
+ – +
4 – 7 4 + 7
 Juan dispone de S/ 200 para ir al cine con sus 
hijas de los cuales S/ 50 gasta en bebidas. Si 
compra entradas de S/ 20 le sobraría dinero pero 
si compra entradas de S/ 25 le faltaría dinero. 
¿Cuántas hijas tiene Juan?
 Resolución:
 Dinero para entradas: 200 – 50 = 150
 Número de hijas: x
 20(x + 1) < 150 25(x + 1) > 150
 x + 1 < 7,5 x + 1 > 6
 x < 6,5 x > 5
5 6 6,5 7
P.C.: x = =
8 ± 
2
8 ± 2 7
2
= 4 ± 74 . 7
∧
154
2
Síntesis
1
Modela y resuelve 
Desigualdades e inecuaciones
Si a < b ⇒ a ± c < b ± c
ax + b < 0
ax + b > 0
Despejamos la variable 
aplicando propiedades.
Resuelve las inecuaciones e indica los 
valores comunes (intersección).
Si a < b ∧ c > 0
Si a < b ∧ c < 0
1.
2.
3.
Propiedades
Forma Solución
Sistema de inecuaciones
Inecuación lineal Inecuación cuadrática
<
>
a
c
a
c
b
c
b
c
⇒ ac < bc; 
⇒ ac > bc; 
Todos los términos al primer 
miembro (compara con cero).
1.º
Busca que el coeficiente principal 
sea positivo.
2.º
Factoriza.3.º
Iguala cada factor primo con cero
y ubica estos en la recta numérica.
4.º
Indica los intervalos que
verifican la inecuación.
5.º
Valor absoluto
Definición Propiedades InecuaciónEcuación
|x| =
 x; x ≥ 0
–x; x < 0
1. |x| ≥ 0
2. |x| = |–x|
3. |x|2 = x2
4. x2 = |x| 
• Si |x| = a ∧ a ≥ 0 
 ⇒ x = a ∨ x = –a
• Si |x| = |a|
 ⇒ x = a ∨ x = –a
• Si |x| < a ʌ a > 0
 ⇒ –a < x < a
• Si |x| > a
 ⇒ x > a ∨ x < –a
Completa la tabla. Completa la tabla.Enunciado Desigualdad
x es menor que 21
x es mayor que 32
x es al menos 25
x es cuanto mucho 42
x es como mínimo 32
x es como máximo 34
x no es mayor que 18
x no es menor que 8
x es mayor que 5 pero 
menor que 12
x es mayor que su doble 
disminuido en 12
Enunciado Desigualdad
z es menor que 15
z es mayor que 25
z es al menos 5
z es cuanto mucho 18
z es como mínimo 12
z es como máximo 54
z no es mayor que 12
z no es menor que 28
z es mayor que 2 pero 
menor que 15
z es mayor que su triple 
disminuido en 28
155MateMática Delta 2 - álgebra
7 8
4
6
3
5
Resolución: Resolución: 
Determina la suma de valores enteros de x. Determina la suma de valores enteros de x.
Halla el mayor valor entero de x que verifica la 
inecuación.
Resolución:
Resolución:
3x + 5
2 – 4 < 7
Halla el mayor valor entero de x que verifica la 
inecuación.
2x + 7
3
+ 2 < 8
Resolución:
Resolución:
Calcula el menor valor entero de x que verifica la 
inecuación.
Calcula el menor valor entero de x que verifica la 
inecuación.
x
2 + 3 + 6
x
4
x
2
– 1 < 5
x
3 + 2 + 4
x
5
x
3 + 1 < 2
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
156
11 12
13 14
9 10
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Encuentra el conjunto solución de la inecuación.
 x2 < 9x
Encuentra el conjunto solución de la inecuación.
 x2 < –12x
Resolución: Resolución: 
Resuelve la inecuación x2 > 5x + 24. Resuelve la inecuación x2 > 4x + 45.
Halla el intervalo que representa los valores de 
y = 3x + 4, si –3 < 2x + 5 < 7. 
Halla el intervalo que representa los valores de 
y = 5x – 2, si –2 < 3x + 4 < 13. 
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
157MateMática Delta 2 - álgebra
15
19 20
16
17 18
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: Resolución: 
Calcula el menor valor entero de x. Calcula el menor valor entero de x.
x
2
+
x
3
+
x
4
> 26
x
3
+
x
2
+
x
9
≥ 34
Resuelve la inecuación.
x + 1
2 + <
x + 1
3
x + 1
4
Resuelve la inecuación.
x – 3
5 + >
x – 3
2
x – 3
4
Efectúa la inecuación y determina el C.S.
(x + 5)(2x + 1) ≥ 7(x + 5)
Efectúa la inecuación y determina el C.S.
(x + 4)(3x – 1) > 8(x + 4)
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
158
21 22
23
25
24
26
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Indica la suma de soluciones.
|3x – 5| = |x + 7|
Indica la suma de soluciones.
|4x + 5| = |x – 4|
Resuelve la inecuación.
12x + 4 ≤ (x + 5)(2x –1)
Resuelve la inecuación.
3x – 2 ≤ (x – 2)(2x – 3)
 
Efectúa la inecuación.
(x + 7)2 – 21 < 4(x + 7)
Efectúa la inecuación.
(x – 6)2 – 18 < 7(x – 6)
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
159MateMática Delta 2 - álgebra
27 28
29 30
Resolución:
Resolución:Resolución:
Resolución:
Resuelve la inecuación x2 + 6 ≤ 6x.
 
Resuelve la inecuación x2 + 23 ≤ 10x.
Luciana adquirió cierto número de polos para 
venderlos en esta temporada. Antes de fin de mes, 
vende la sexta parte; de esta manera, le quedan 
más de 90 polos. Sin embargo, si hubiera vendido 
35 polos, le quedarían menos de 80. ¿Cuántos 
polos adquirió Luciana en total?
 
Elena adquirió cierta cantidad de camisas para 
venderlas. Antes de fin de semana, vende la 
quinta parte; de esta manera, le quedan más de 
80. Sin embargo, si hubiera vendido 42 camisas, 
le quedarían menos de 64. ¿Cuántas camisas 
adquirió Elena en total?
 
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
160
5
6
7
8
Practica y demuestra
1
4
2
3
Nivel I
Indica si las proposiciones son verdaderas (V) o 
falsas (F).
( ) x2 < 4 → x < 2 
( ) |x| = 4 → x = {–4; 4}
( ) –2x ≥ –6 → x ≥ 3
( ) |x| = –2 → C.S. = ∅
Resuelve la inecuación y luego indica el mayor 
valor entero del conjunto solución.
x + 3
2
– 1 < 4
 A 9 B 6 C 5
 D 7 E 8
 A VFVF B FFVV C VVFF
 D FVFV E FVVV
Resuelve la inecuación x2 + 3x – 28 < 0.
 A 〈–4 ; 7〉 B 〈4 ; 7〉
 C 〈–7 ; – 4〉 D 〈–7 ; 4〉 
 E 〈–7 ; 0〉
Al hallar el conjunto solución de –2 < 2x + 4
3
≤ 6,
es cierto que:
 A El menor valor entero de su C.S. es –5.
 B Su C.S. tiene 5 valores enteros.
 C Cero es parte de su C.S. 
 D El mayor valor entero de su C.S. es 6. 
 E No tiene soluciones enteras.
Luego de resolver x2 – 2x – 35 ≥ 0, indica el 
conjunto solución de la inecuación. 
 A 〈–∞ ; –7] ∪ [5 ; +∞〉
 B 〈–∞ ; –5] ∪ 〈7 ; +∞〉
 C 〈–∞ ; –7] ∪ [–5 ; +∞〉
 D 〈–∞ ; 5〉 ∪ 〈7 ; +∞〉 
 E 〈–∞ ; –5] ∪ [7 ; +∞〉
Resuelve la ecuación.
 |x – 5| = 3
 A {8} B {0 ; 8} C {2}
 D {2 ; 8} E { }
Calcula el número de valores enteros que verifica 
la inecuación x2 ≤ 25.
 A 10 B 9 C 11
 D 8 E 12
Determina la cantidad de valores enteros que 
verifican la inecuación.
 A 17 B 18 C 16
 D 19 E 15
x
2
+ 2 ≤ 4
161MateMática Delta 2 - álgebra
9
10
11
12
13
14
15
Nivel II
Descubre la suma de soluciones. 
|3x – 2| = |x + 6|
16
Luego de resolver
 A 11 B 12 C 13
 D 14 E 15
se obtiene x < a; encuentra el valor de a.
x
2
+ +
x
3
x
4
– 1 < x,
Resuelve la inecuación (2x + 1)(x – 3) < x + 5.
 A 〈–4 ; 1〉 B 〈–2 ; 3〉
 C 〈–3 ; 2〉 D 〈–1 ; 4〉 
 E 〈–4 ; –1〉
Indica la suma de valores enteros que verifican la 
inecuación 5x + 3 ≥ 2x2.
. .
Una pareja de esposos dispone de S/ 450 para 
ir al teatro con sus hijos. Si compran entradas de 
S/ 40 les sobraría dinero pero si compra entradas 
de S/ 45 les faltaría dinero. ¿Cuántos hijos tiene 
dicho matrimonio?
 A 11 B 10 C 8
 D 9 E 7
 A 5 B 7 C 4
 D 8 E 6
 A –1 B 3 C –5
 D –4 E 5
Resuelve la inecuación y halla el mayor valor 
entero que toma x.
(2x + 1)(3x – 1) ≤ (3x + 2)(2x – 3).
 A –2 B 2 C –1
 D 1 E 0
Calcula la suma de valores enteros que verifican 
la inecuación 3x – 5 < 2x + 7 < 4x + 1.
 A 45 B 64 C 48
 D 60 E 56
Resuelve |3x + 1| < x + 2.
 A – 34 ; 
1
2 B – 
3
2 ; 
1
4
 C – 1
4
 ; 3
2
 D – 12 ; 
3
4 
 E – 1
8
 ; 3
162
20
21
22
23
24
17
18
19
Nivel IIIResuelve el sistema, luego; indica un valor de x.
 x2 – 36 < 0 
 A –10 B –6 C –7
 D –9 E –3
Indica el mayor valor entero que verifica la 
inecuación.
x + 5
2
+
x – 3
3
– 3 <
x
4
+
x – 1
6
 A 3 B 4 C 2
 D 5 E 6
Determina el conjunto solución del siguiente 
sistema.
 x2 + 2x – 15 ≥ 0 
 x2 + 5x – 14 < 0
 A 〈2 ; 1] B 〈–7 ; –5]
 C [3 ; 5] D 〈–7 ; –2〉 
 E [–5 ; 2]
El lado de un cuadrado mide (x – 10) cm, 
donde x es entero. Encuentra el área de dicho 
cuadrado, sabiendo que su valor es menor que el 
semiperímetro de dicho cuadrado.
Resuelve la inecuación (x – a)2 < (x – b)2, si a < 0 < b.
 A x < a + b2 B x > 
a + b
2
 C x < b – a2 D x > 
b – a
2
 E x < a – b2
Encuentra el conjunto solución de la siguiente 
inecuación en la variable x. 
 A [a + b ; +∞〉 B 〈–∞ ; a + b]
 C 〈–∞ ; a + b〉 D 〈–∞ ; a – b] 
 E [a – b ; +∞〉
x 
b
+ b 
a
≥
x 
a
+
a 
b
, 0 < a < b 
Resuelve la inecuación ab(x2 + 1) + (a2 + b2)x ≥ 0, 
si b < a < 0.
 A 〈–∞ ; – a
b
] ∪ [- b
a
 ; +∞〉
 B 〈–∞ ; – b
a
] ∪ [ a
b
 ; +∞〉
 C 〈–∞ ; a
b
] ∪ [ b
a
 ; +∞〉 
 D 〈–∞ ; – 1
b
〉 ∪ [– 1
a
 ; +∞〉 
 E 〈–∞ ; – b
a
] ∪ [– a
b
 ; +∞〉
Lady compró cierto número de artículos de los 
cuales vendió 70, y le quedaron más de la mitad 
de artículos. Al día siguiente, le devolvieron 
6 artículos y luego, vendió 36, después de lo cual 
le quedaron menos de 42 artículos. ¿Cuántos 
artículos compró Lady, inicialmente?
 A 140 B 142 C 130
 D 141 E 143
 A 16 cm2 B 9 cm2 C 4 cm2
 D 1 cm2 E 25 cm2
x
5
+
x + 8
2
+ 5 ≥ –8 – x
Tema
163MateMática Delta 2 - álgebra
Relaciones
11
La FIFA organiza las eliminatorias de la CONMEBOL 
(Confederación Sudamericana de Fútbol) o CSF 
para el campeonato mundial.
¿Cuál sería el fixture de la eliminatoria?
¿Cuántos enfrentamientos en total tendrá la 
eliminatoria?
Par ordenado
Es un conjunto de dos elementos donde se distingue un primer elemento y un segundoelemento denotado por:
 (a ; b)
Conceptos previos
Ejemplo:
• Son pares ordenados: (–7 ; 1)(2 ; 15)
• No es par ordenado: {3; 2}
Igualdad de pares ordenados
Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus respectivas componentes son 
iguales.
(a ; b) = (c ; d) ↔ a = c ∧ b = d
Ejemplo:
Si (7 ; 3b –1) = (2a + 3 ; 5), halla el valor de M = ab.
Resolución:
Por la propiedad de pares ordenados:
 (7 ; 3b –1) = (2a + 3 ; 5)
2a + 3 = 7
 2a = 4
 a = 2
3b – 1 = 5
 3b = 6
 b = 2
Piden el valor de M = a . b = 2 . 2 = 4
Producto cartesiano
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, definimos el producto cartesiano de A por B como 
el conjunto de todos los pares ordenados (a ; b) donde el primer elemento se toma de 
A y el segundo de B. Es decir:
A × B = {(a ; b) / a ∈ A ∧ b ∈ B} 
El producto cartesiano se puede determinar de diferentes maneras, entre ellas tenemos 
el diagrama del árbol, el diagrama sagital y el diagrama cartesiano.
primer elemento segundo elemento
Import a nt e
Not a
Import a nt e
(a ; b) (b ; a)
Relación: es 
el resultado 
de comparar 
dos cantidades 
expresadas en 
números.
Fuente: RAE
A × B ≠ B × A
El producto 
cartesiano de A por 
A, es decir, A × A se 
denota por A2.
164
Ejemplo:
Sean A = {–1; 3; 5} y B = {2; 4}. Halla A × B. 
Resolución:
Por el diagrama sagital
A B
–1 .
3 .
5 .
. 2
. 4
Por el diagrama del árbol
A B A × B
2 (–1 ; 2)
4 (–1 ; 4)
–1
2 (3 ; 2)
4 (3 ; 4)
3
2 (5 ; 2)
4 (5 ; 4)
5
Por el diagrama cartesiano
4
2
– 1 3 5
A
B
Entonces:
A × B = {(–1 ; 2), (–1 ; 4), (3 ; 2), (3 ; 4), (5 ; 2), (5 ; 4)}
Relación binaria
Se llama relación binaria entre los elementos del conjunto A y los elementos del 
conjunto B, a todo subconjunto R del producto cartesiano A × B.
R : A → B ↔ R ⊂ A × B
Si (a ; b) ∈ R, se escribe a R b y se lee «a está en relación con b».
Ejemplo:
Si A = {2; 4; 5; 8} y B = {1; 3; 6; 7}, algunas relaciones de A en B son:
R1 = {(2 ; 3), (4 ; 6), (5 ; 3), (8 ; 7)} 
R2 = {(2 ; 6), (4 ; 7), (5 ; 1), (4 ; 1)}
Dominio de una relación
El dominio de una relación es el conjunto de todas las primeras componentes de los 
pares ordenados que pertenecen a la relación. Se denota Dom(R).
Dom(R) = {a ∈ A / b ∈ B, (a ; b) ∈ R}
Rango de una relación
El rango de una relación es el conjunto de todas las segundas componentes de los 
pares ordenados que pertenecen a la relación. Se denota Ran(R).
Ran(R) = {b ∈ B / a ∈ A, (a ; b) ∈ R}
Ejemplo 1
Sea la relación R = {(1 ; 5), (2 ; 3), (1 ; 4), (3 ; 4), (6 ; 6)}, entonces:
Dom(R) = {1 ; 2 ; 3 ; 6} y Ran(R) = {3 ; 4 ; 5 ; 6}
Import a nt e
Not a
Prop i eda d
n(A × B) 
Se lee:
Cardinal de A × B 
Significa:
Número de elementos 
del producto.
n(A × B) = n(A) × n(B)
En el par ordenado
(a ; b)
a: abscisa
b: ordenada
Recu e rda
El símbolo:
 
Se lee: existe
165MateMática Delta 2 - álgebra
Ejemplo 2
Dados A = {–1; 0; 2} y B = {1; 4}, determina el dominio y el rango de la relación 
R: A → B definida por R = {(x ; y) ∈ A × B / y = x + 2}.
Resolución:
Determinamos el producto cartesiano:
A × B = {(–1 ; 1), (–1 ; 4), (0 ; 1), (0 ; 4), (2 ; 1), (2 ; 4)}
De este conjunto tomamos los pares que cumplan con la regla de correspondencia: 
y = x + 2
⇒ R = {(–1 ; 1), (2 ; 4)} 
Luego: Dom(R) = {–1; 2} y Ran(R) = {1; 4}.
Tipos de relaciones
Sea el conjunto A para el cual se define la relación R.
Relación reflexiva
R: A → A es reflexiva ↔ { a ∈ A → (a ; a) ∈ R}
Ejemplos:
Dado el conjunto A = {2; 3; 4; 6} y R : A → A
 R = {(2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (6 ; 6)}
R es reflexiva pues tenemos que:
• Para 2 ∈ A → (2 ; 2) ∈ R • Para 3 ∈ A → (3 ; 3) ∈ R
• Para 4 ∈ A → (4 ; 4) ∈ R • Para 6 ∈ A → (6 ; 6) ∈ R
Relación simétrica
R: A → A es simétrica ↔ { (a ; b) ∈ R → (b ; a) ∈ R}
Ejemplos:
a) Dado el conjunto A = {1; 3; 5; 6} y R: A → A
 • R = {(1 ; 1), (3 ; 6), (1 ; 5), (6 ; 3), (5 ; 1)} 
 Vemos que: (3 ; 6) ∈ R ∧ (6 ; 3) ∈ R
 (1 ; 5) ∈ R ∧ (5 ; 1) ∈ R, entonces R es simétrica.
 • R = {(3 ; 1), (5 ; 6), (6 ; 5), (1 ; 6)}
 Vemos que: (3 ; 1) ∈ R pero (1 ; 3) R, entonces R no es simétrica.
b) La relación por «x es hermano de y» es simétrica, porque si «x es hermano de y» 
entonces, «y es hermano de x». 
Relación reflexiva
Relación simétrica
Relación transitiva
A
. a
. b
. c
A
a .
A
a .
b .
Import a nt e
166
 Relación de equivalencia
 Una relación R: A ↔ A es de equivalencia si y solo si se verifican las siguientes 
propiedades.
 I. (a ; a) ∈ R, a ∈ A, es reflexiva.
 II. Si (a ; b) ∈ R → (b ; a) ∈ R, es simétrica.
 III. Si (a ; b) ∈ R ∧ (b ; c) ∈ R → (a ; c) ∈ R, es transitiva.
Ejemplo 1
Para el conjunto A = {1; 3; 5} definimos la relación R: A → A como
R = {(1 ; 1), (3 ; 3), (5 ; 5), (1 ; 3); (3 ; 1)}, verifica si es de equivalencia
Resolución:
Observamos en R que:
I. Tiene entre sus elementos a todos los pares de la forma (a ; a), donde a ∈ A.
 Es decir, R es reflexiva.
II. Tiene como elementos dos pares de la forma (a ; b), (b ; a), donde a ∈ A y b ∈ B. Es 
decir, R es simétrica.
III. R también es transitiva, dado que:
 (1 ; 1) ∈ R ∧ (1 ; 3) ∈ R → (1 ; 3) ∈ R
 (3 ; 3) ∈ R ∧ (3 ; 1) ∈ R → (3 ; 1) ∈ R
 Por lo tanto, R es una relación de equivalencia.
Ejemplo 2
La relación de igualdad R = {(a ; b) ∈ A × B / a = b } es una relación de equivalencia, 
porque se verifica siempre:
I. a = a, es reflexiva.
II. a = b → b = a, es simétrica.
III. a = b y b = c → a = c, es transitiva.
Recu e rda
El símbolo ∀
Se lee: para todo
Relación transitiva
R: A → A es transitiva ↔ {[(a ; b) ∈ R ∧ (b ; c) ∈ R] → (a ; c) ∈ R}
Ejemplo:
Dado el conjunto A = {1; 2; 4; 7} y R: A → A
• R = {(1 ; 2), (2 ; 4), (1 ; 4), (7 ; 2), (7 ; 4)} 
Vemos que: (1 ; 2) ∈ R ∧ (2 ; 4) ∈ R → (1 ; 4) ∈ R
 (7 ; 2) ∈ R ∧ (2 ; 4) ∈ R → (7 ; 4) ∈ R
Entonces R es transitiva
• R = {(2 ; 4), (4 ; 5), (7 ; 1), (2 ; 7)}
Vemos que: (2 ; 7) ∈ R ∧ (7 ; 1) ∈ R; sin embargo (2 ; 1) R.
Entonces R no es transitiva.
167MateMática Delta 2 - álgebra
1
2
3
4
5
6
 Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4}; B = {2; 3; 4; 5}. 
Determina el número de relaciones de A en B.
 • R1 = {(2 ; 5), (3 ; 2), (4 ; 1), (1 ; 3)}
 • R2 = {(4 ; 2), (3 ; 2), (2 ; 2), (1 ; 5)}
 • R3 = {(1 ; 3), (3 ; 2), (4 ; 4), (2 ; 3)} 
 Resolución:
 Debemos observar que los primeros elementos 
pertenezcan al conjunto A y los segundos 
elementos pertenezcan al conjunto B.
R1: No es relación de A en B, porque en el par 
ordenado (4 ; 1), 1 no pertenece a B.
 R2: Es relación de A en B.
 R3: Es relación de A en B.
 Si (2x + y ; 10) = (11 ; 3y + 1), encuentra el valor 
de E = xy.
 Resolución:
 Tenemos: (2x + y ; 10) = (11 ; 3y + 1)
 Entonces: • 3y + 1 = 10
 3y = 9
 y = 3
 • 2x + y = 11
 2x = 11 – 3
 x = 4
 Piden el valor de xy: 4(3) = 12
 Dados los conjuntos: A = {3; 5; 7; 9} y B = {1; 2; 3},
 halla el producto de A × B.
 Resolución:
 Por el diagrama sagital:
 A × B = {(3 ; 1), (3 ; 2), (3 ; 3), (5 ; 1), (5 ; 2), (5 ; 3), 
 (7 ; 1), (7 ; 2), (7 ; 3), (9 ; 1), (9 ; 2), (9 ; 3)}
A B
3
5
7
9
1
2
3
Rpta. 2
Rpta. 12
 Si A = {x ∈ N / 3 ≤ x < 7}, B = {x ∈ N / –2 < x ≤ 7},
 calcula el cardinal de A × B.
 Resolución:
 Determinamos por extensión los conjuntos:
 A = {3; 4; 5; 6} → n(A) = 4
 B = {–1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} → n(B) = 9
 Sabemos que:
 n(A × B) = n(A) × n(B)
 n(A × B) = 4 × 9 = 36
 Descubre el dominio de R, si A = {3; 5; 7}, 
 B = {1; 2; 4} y R = {(a ; b) ∈ A × B / a + b = 7}.
 Resolución:
 Hallamos A × B:
 A × B = {(3 ; 1), (3 ; 2), (3 ; 4), (5 ; 1), (5 ; 2), (5 ; 4),
 (7 ; 1), (7 ; 2), (7 ; 4)} 
 Escogemos todos los pares que cumplan a + b = 7 
 R = {(3 ; 4), (5 ; 2)}
 Luego:
 Dom(R) = {3; 5}
Según la gráfica, determina el valor de a + b.(6 ; 9)
(3 ; b)(–9 ; 3)
(a ; –6)
 Resolución:
• Como (–9 ; 3) y (3 ; b) pertenecen a la misma 
recta horizontal, sus ordenadas son iguales, 
entonces 3 = b.
• Como (6 ; 9) y (a ; –6) pertenecen a la misma 
recta vertical, sus abscisas son iguales, 
entonces 6 = a.
Piden:
a + b = 6 + 3 = 9
Rpta. 36
Rpta. {3; 5}
Rpta. 9
Ejercicios resueltos
168
7
10
8
9 Encuentra el valor de n(R), si B = {2; 4; 6; 8} y 
 R = {(a ; b) ∈ B × B / a ≥ 2b}.
 Resolución:
 Determinamos B × B y luego R.
 Diagrama del árbol:
R = {(4 ; 2), (6 ; 2), (8 ; 2), (8 ; 4)}. Luego n(R) = 4
B B a ≥ 2b
 2 2 ≥ 2(2)
 4 2 ≥ 2(4)
 6 2 ≥ 2(6)
 8 2 ≥ 2(8)
 2 4 ≥ 2(2)
 4 4 ≥ 2(4)
 6 4 ≥ 2(6)
 8 4 ≥ 2(8)
 2 6 ≥ 2(2)
 4 6 ≥ 2(4)
 6 6 ≥ 2(6)
 8 6 ≥ 2(8)
 2 8 ≥ 2(2)
 4 8 ≥ 2(4)
 6 6 ≥ 2(4)
 8 8 ≥ 2(4)
2
4
6
8
 Se sabe que A = {–1; 1; 2; 4} y B= {–2; 0; 1; 4}, halla 
el valor de M . N, si M es la suma de elementos del 
dominio y N es la suma de elementos del rango de 
la relación:
 R = {(a ; b) ∈ A × B / a + b = 2}
 Resolución:
 Determinamos A × B y luego R.
 Por el diagrama sagital:
 Los pares que cumplen con: a + b = 2 
 R = {(1 ; 1), (2 ; 0), (4 ; –2)}
 • Dom(R) = {1; 2; 4} 
 M = 1 + 2 + 4 = 7
 • Ran(R) = {1; 0; –2} 
 N = 1 + 0 – 2 = –1
 Piden: M . N = 7(–1) = –7
Rpta. –7
Rpta. 4
A B
–1
1
2
4
–2
0
1
4
 Calcula el Ran(R), si A = {x / x ∈ N; 2 < x ≤ 8} y 
R = {(a ; b) ∈ A × A / (a + b) es par; a > b}.
 Resolución:
 Tenemos A = {3; 4; 5; 6; 7; 8}
 Determinamos A × A, luego R.
 Diagrama cartesiano:
A
8
7
6
5
4
3
3 4 5 6 7 8
a > b
a + b: par
 ⇒ R = {(5 ; 2), (6 ; 4), (7 ; 3), (7 ; 5), (8 ; 4), (8 ; 6)}
 Luego:
 Dom(R) = {5; 6; 7; 8}
 Sea A = {3; n; 4} con n(A) = 3. Se define en A la 
relación R = {(3 ; a), (b ; b), (3 ; b), (5 ; 3), (c ; c)}, 
con n(R) = 5, sabiendo que R es de equivalencia, 
descubre el valor de a + b + c.
 Resolución:
 Tenemos:
 A = {3; n; 4} con n(A) = 3 ⇒ n ≠ 3; n ≠ 4
 R = {(3 ; a), (b ; b), (3 ; b), (5 ; 3), (c ; c)}
 R es de equivalencia ⇒ R es reflexiva, R es 
simétrica y transitiva. 
 • Simétrica
 (5 ; 3) ∈ R ⇒ (3 ; 5) ∈ R
 (3 ; b) = (3 ; 5) ⇒ b = 5
 (b ; b) = (5 ; 5)
 • Reflexiva
 x ∈ A ⇒ (x ; x) ∈ R
 (3 ; a) = (3 ; 3) ⇒ a = 3
 (c ; c) = (4 ; 4) ⇒ c = 4
 Piden: a + b + c = 3 + 5 + 4 = 12
Rpta. {5; 6; 7; 8}
Rpta. 12
169MateMática Delta 2 - álgebra
Relaciones
Par ordenado Producto cartesiano Relación R: A → A
Reflexiva
 a ∈ A → (a ; a) ∈ R
Simétrica
 (a ; b) ∈ R → (b ; a) ∈ R
Transitiva
(a ; b) ∈ R ∧ (b ; c) ∈ R
→ (a ; c) ∈ R
Equivalencia
Si R es reflexiva, 
simétrica y transitiva.
A × B = {(a ; b) / a ∈ A ∧ b ∈ B}
Propiedad
n(A × B) = n(A) × n(B)
Relación binaria
R = {(a ; b) ∈ A × B / b = R(a)}
Dom(R) = {a ∈ A / ∃ b ∈ B, (a ; b) ∈ R}
Ran(R) = {b ∈ B / ∃ a ∈ A, (a ; b) ∈ R}
Regla de
correspondencia
(a ; b)
Donde:
a: primera componente
b: segunda componente
Propiedad
Si: (a ; b) = (c ; d)
→ a = c ∧ b = d
Síntesis
Modela y resuelve 
2
4
1
3
Si (2x + 5 ; 7) = (9 ; 1 – 3y). Determina el valor 
de xy.
Si (3x + 2 ; 7) = (11 ; 1 + 2y). Determina el valor 
de xy.
Resolución: Resolución: 
Resolución: Resolución: 
Halla el valor de x, si (5x – 1 ; x – 9) = (n ; n). Halla el valor de x, si (4x + 2 ; x – 7) = (a ; a).
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
170
5 6
9
11
7
10
12
8
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Si A = {1; 2} y B = {3; 4; 5}, calcula A × B. Si M = {0; 1} y N = {4; 6; 8}, calcula M × N.
Si N = {2; 4} y M = {1; 3; 5}, descubre M × N. Si A = {5; 7} y B = {2; 4; 6}, descubre B × A.
Sea A = {2; 2; 3; 3; 4} y B = {4; 4; 5; 5; 5}, encuentra 
el cardinal de A × B. 
Sea A = {1; 1; 2; 3; 1; 2; 4} y B = {1; 2; 3; 3; 3}, 
encuentra el cardinal de A × B.
Determina el dominio y el rango de R.
R = {(4 ; 5), (–2 ; 1), (3 ; 1), (4 ; 2), (–1 ; 3)}
Determina el dominio y el rango de R.
R = {(–3 ; 7), (–1 ; 4), (2 ; 7), (–1 ; 3), (1 ; 4)}
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
171MateMática Delta 2 - álgebra
13 14
15
17
16
18
Resolución: Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Según la gráfica mostrada, halla el valor de xy. Según la gráfica mostrada, halla el valor de ab.
(x ; –1)
(–3 ; y)
(–1 ; 3)
(4 ; 1)
(2 ; 6)
(6 ; 4)
(a ; –2)
(–6 ; b)
Si A = {x ∈ / 1 < x ≤ 6} y B = {x ∈ / –3 < x < 9}, 
calcula el cardinal de A × B.
Si M = {x ∈ / 1 ≤ x < 8} y N = {x ∈ / –4 ≤ x < 8}, 
calcula el cardinal de M × N. 
Sea A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} y R = {(a ; b) ∈ A2 / a < b},
descubre el cardinal de R.
Sea B = {0; 1; 2; 3; 4; 5} y R = {(x ; y) ∈ B2 / x ≥ y},
descubre el cardinal de R.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
172
21
23
22
24
2019
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Sea A = {3; 7; 10; 18; 22}; B = {1; 2; 3; 7} y 
R = {(a ; b) ∈ A × B / a = 3b + 1}. Calcula la suma de 
los elementos del dominio de R.
Sea A = {4; 5; 9; 15; 21}; B = {1; 3; 5; 9} y
R = {(x ; y) ∈ A × B / x = 2y + 3}. Calcula la suma 
de los elementos del rango de R.
Si A = {5; 9; 13; 16} ∧ R = {(a ; 3a + 1), (2b – 5 ; b)}. 
Determina el máximo valor de a + b, si R es una 
relación de A en A.
Si B = {3; 6; 11; 20} ʌ R = {(a ; 4a – 1), (3b + 2 ; b)}. 
Determina el máximo valor de a + b, si R es una 
relación de B en B.
Dados los conjuntos A = {6; 7; 8}, B = {3; 5; 9} y la 
relación R ={(x ; y) ∈ A × B / 11 ≤ x + y ≤ 15}.
Halla la suma de los términos del rango de R.
Dados los conjuntos A = {5; 6; 8}, B = {2; 4; 7} y la 
relación R = {(a ; b) ∈ A × B / 8 ≤ a + b ≤ 12}.
Halla la suma de los términos del dominio de R.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
173MateMática Delta 2 - álgebra
2
3
Practica y demuestra
1
4
5
6
Nivel I
7
8
Sean los conjuntos A = {2; 4; 5; 6; 8}, 
B = {1; 3; 4; 5; 7} y las relaciones:
 A I y III B II y IV 
 C Solo III D Solo II 
 E Todas
I. R = {(2 ; 7), (4 ; 3), (5 ; 1), (6 ; 8)} 
II. R = {(2 ; 1), (8 ; 4), (5 ; 3), (6 ; 7)} 
III. R = {(2 ; 5), (6 ; 3), (7 ; 4), (8 ; 3)} 
IV. R = {(2 ; 5), (4 ; 3), (5 ; 1), (7 ; 8)} 
Indica qué relaciones R de A en B son correctas.
Si (3a + b ; 5) = (11 ; 2b + 1), determina el valor 
de a . b.
 A 9 B 12 C 6
 D 15 E 8
Si (n ; n) = (3x + 5 ; x – 1), calcula el valor de
M = x2 + 3.
 A 12 B 15 C 6
 D –6 E –3
Halla el cardinal de R, si A = {2; 4; 6}, B = {3; 5; 7} 
y R = {(a ; b) ∈ A × B / a < b}.
 A 4 B 7 C 5
 D 8 E 6
Si A = {x ∈ / 3 < x ≤ 8} y B = {x ∈ / –2 ≤ x < 5}, 
encuentra el cardinal de A × B.
 A 24 B 28 C 32
 D 35 E 40
Según la gráfica mostrada, descubre el valor de 
a + b.
(–6 ; 6)
(–2 ; a) (6 ; 2)
(b ; –4)
 A –2 B 8 C 0
 D –4 E –1
Dado el conjunto A = {1; 2; 3}, determina la suma 
de elementos del rango de R. 
R = {(a ; b) ∈ A × A / a + b ≤ 4}
 A 3 B 5 C 4
 D 6 E 7
La relación R está definida en el conjunto A = {7; 8; 9},
siendo R = {(7 ; 7), (8 ; 8), (9 ; 9), (7 ; 8), (8 ; 9), (9 ; 8)}. 
¿Qué propiedad o propiedades cumple R?
A Reflexiva
B Simétrica
C Transitiva
D Reflexiva y simétrica
E Reflexiva y transitiva 
174
Nivel II9
13
14
15
16
10
11
12
Sea B = {1; 2; 3; 4} y R = {(a ; b) ∈ B2 / b < a}, 
calcula el cardinal de R.
 A 8 B 9 C 7
 D 4 E 6
 A VVVV B FFVV C FFVF
 D FFFV E FVVV
Si A = {x / x es impar menor que 15} y 
R = {(a ; b) ∈ A × A / a < b}, entonces R será:
 A reflexiva 
 B simétrica 
 C transitiva
 D reflexiva y simétrica 
 E reflexiva y transitiva
Sea A = {1; 2; 3; 4; 5} y R = {(x ; y) ∈ A2/ x + y ≠ 6}, 
halla n(R).
 A 25 B 20 C 22
 D 16 E 18
Sea A un conjunto no vacío y R es una relación 
definida en A, tal que:
R = {(a ; a), (b ; b), (a ; b), (b ; a)} es reflexiva. 
Además, la suma de los elementos del dominio es 
22 y la diferencia de los mismos es 2. 
Encuentra el producto de los elementos de A.
 A 144 B 120 C 132
 D 150 E 112
Sobre la relación R = {(a ; b) ∈ × / a b + 2}, 
indica si la proposiciónes verdadera (V) o falsa (F).
( ) R es de equivalencia.
( ) R es transitiva.
( ) R es simétrica.
( ) R es reflexiva.
Si R es una relación en A = {2; 3; 9}, tal que 
R = {(a ; b) ∈ A × A / b + 1 ≤ a2}, descubre el 
cardinal de R.
 A 4 B 7 C 5
 D 8 E 6
Determina el número de elementos de la relación 
R = {(a ; b) ∈ × / a < b ∧ a > 3 ∧ b < 10}.
 A 15 B 12 C 13
 D 10 E 7
Sean A = {1; 2; 3; 7}, B = {4; 6; 8; 9} y la relación 
R = {(a ; b) ∈ A × B / a + b es par}. Calcula n(R).
 A 5 B 6 C 9
 D 8 E 10
175MateMática Delta 2 - álgebra
Nivel III17
21
18
19
20
Dado A = {4; 7; 5; 13} y R = {(a ; 2a – 1), (3b – 2 ; b)}. 
Halla el máximo valor de a + b, si R es una relación 
de A en A.
 A 10 B 12 C 8
 D 9 E 13
Sea A = {8; 10; 12; 14; 16}, B = {3; 5; 7; 11} y
R = {(a ; b) ∈ A × B / a = 2b + 2}, encuentra la suma 
de los elementos del dominio de R.
 A 32 B 36 C 38
 D 40 E 30
Sea B = {2; 3; 4; 5; 6; 7} y R = {(a ; b) ∈ B2 / b > a}, 
descubre el cardinal de R.
 A 20 B 12 C 18
 D 15 E 16
Dados los conjuntos A = {3; 4; 5}, B = {2; 4; 6} 
y la relación R = {(x ; y) ∈ A × B / 7 ≤ x + y ≤ 9}, 
determina la suma de los términos de los pares 
ordenados que pertenecen a dicha relación.
 A 25 B 36 C 32
 D 20 E 40
Calcula n(R), si A = {x / x ∈ ; 0 < x ≤ 10} y
R = {(a ; b) ∈ A × A / (a + b) es impar, a < b}.
 A 23 B 24 C 25
 D 27 E 26
 A VVVV B FFVV C FVFV
 D VVVF E FVVV
Indica si las proposiciones son verdaderas (V) o 
falsas (F).
( ) La relación a es padre de b es simétrica.
( ) La relación x ≤ y en los números naturales 
es reflexiva.
( ) La perpendicularidad entre rectas de un 
plano es una relación de simetría.
( ) La relación R = {(a ; b) ∈ 2 / a = b} es una 
relación de equivalencia.
Dado el conjunto A = {2; 5; 8} se define la relación 
R de A en A tal que:
R = {(b ; b}, (5 ; 5), (b + 6 ; 8), (c ; x), (x ; c)} es 
reflexiva y simétrica, donde x es impar. 
Encuentra el valor de b + c + x.
 A 10 B 11 C 12
 D 15 E 14
Sea A = {n ∈ / 0 < n < 9} es una relación en
R = {(x ; y) ∈ A2 / x + y ≤ 7}, halla la suma de 
elementos del rango de R.
 A 36 B 63 C 84
 D 52 E 21
22
23
24
176
Tema 12
Funciones
Obse rva
R = Q ∪ I
Conjunto de números reales
La unión del conjunto de los números racionales () y el conjunto de los números 
irracionales ( ) forman un nuevo conjunto que se denomina «conjunto de los números 
reales» y se denota así:
Definición previa
Las funciones forman parte de 
nuestras actividades cotidianas; 
por ejemplo, llegar a tiempo al 
colegio depende de la velocidad, o 
situaciones más complejas como el 
aumento del nivel del mar debido al 
deshielo polar en 120 años.
Observa
 ⊂ ⊂ ⊂ 
•	 El	conjunto	de	los	racionales	está	formado	por	los	números	que	pueden	escribirse	
como una división de enteros.
•	 El	 conjunto	 de	 los	 números	 irracionales	 está	 formado	 por	 los	 números	 que	 no	
pueden	escribirse	como	una	división	de	enteros.	Entre	ellos	tenemos	a	los	radicales	
inexactos, las constantes matemáticas y decimales que no tienen fracción generatriz.
 Ejemplos:
 3 ; 5 ; p; 0,1234567......
5
3
4
10
3
2
; 6; 0,4;a) b) c)6 =
6
1
0,4 =
Ejemplos:
¿Sa bía s qu e.. .?
La letra N es la inicial 
de la palabra número 
(o natural). La letra 
Z es la inicial de la 
palabra zahl, que 
significa	número	en	
alemán. La letra Q es 
la inicial de la palabra 
quotient (cociente en 
inglés). Y la letra R es 
la inicial de la palabra 
real.
a
b
/ a ∈ Z ∧ b ∈ Z – {0}Q =
C
am
bi
os
 d
e 
ni
ve
l d
el
 m
ar
 (c
m
)Aumento reciente 
del nivel del mar
La recta numérica real o recta real es una recta geométrica que nos permite ordenar a 
los números reales.
La recta numérica real
3
–3 –2 –1 0 1 2 3
p2
positivos
negativos
177MateMática Delta 2 - álgebra
Una función de A en B es un conjunto de pares ordenados (x ; y), tal que para cada 
elemento x ∈ A le corresponde un solo elemento y ∈ B.
Función
Dominio: conjunto de valores que puede 
tomar x (variable independiente).
Dom(f) = {1 ; 2 ; 6 ; 8}
Rango: conjunto de valores que puede 
tomar y (variable dependiente).
Ran(f) = {6 ; 8 ; 9}
1.
2.
6.
8.
. 2
. 6
. 8
. 9
.15
A Bf
Dominio
De las correspondencias, analiza si cada una es o no función.
f no es función porque un elemento del conjunto de 
salida, (3), no está relacionado.
g es función porque más de un elemento de salida 
está relacionado con un único elemento de llegada.
h no es función porque un elemento del conjunto 
de salida, (2), está relacionado con dos elementos.
Como en una función los elementos de salida están relacionados con un único elemento, 
estos no se repiten.
Import a nt e
(a ; b) ≠ (b ; a)
El	conjunto
A = {2; 3; 2; 3; 4; 5}
Se escribe:
A = {2; 3; 4; 5}
Los elementos 
repetidos se escriben 
una sola vez.
2.
3.
5.
7.
. 5
. 6
. 7
. 8
A B
f
1.
3.
5.
7.
. 5
. 6
. 7
. 8
A B
g
2.
4.
6.
8.
. 5
. 6
. 7
. 8
A B
h
Rango
Ejemplos:
Sean las correspondencias:
a) f = {(2 ; 4), (4 ; 6), (6 ; 8), (8 ; 1)} f es función, los primeros componentes no se repiten.
b) g = {(2 ; 3), (3 ; –1), (2 ; 8), (5 ; 2)} g no es función, el primer componente (2) se repite.
c) h = {(0 ; 3), (1 ; 2), (3 ; 7), (1 ; 2), (5 ; 3)} h es función, el par repetido se escribe una sola vez,
 entonces los primeros elementos no se repiten.
178
Ejemplo 2
Dada la función f = {(–2 ; 3), (3 ; –2), (5 ; 7), (–5 ; 6), (7 ; 1)}. Halla f(f(3)) y f(f(5)).
Resolución:
Se tiene:
Dom(f)= {–2; 3; 5; –5; 7} y Ran(f) = {3; –2; 7; 6; 1} 
(–2 ; 3) ⇒ f (–2) = 3
( 3 ; –2) ⇒ f (3) = –2
( 5 ; 7) ⇒ f (5) = 7
(–5 ; 6) ⇒ f (–5) = 6
( 7 ; 1) ⇒ f (7) = 1
(x ; y) = (x ; f(x)) 
Observa:
•	f(f(3))	=	f(–2)	=	3
•	f(f(5))	=	f(7)	=	1
Ejemplo 3
Se	define	la	función	f	:	{1;	3;	5;	6;	8}	→ B / y = f(x) = 4x – 7. Indica el rango de la función.
Resolución:
Evaluamos	el	dominio	con	la	regla	de	correspondencia	(tabulación).
Entonces:	Ran(f)	=	{–3;	5;	13;	17;	25}
x 1 3 5 6 8
y 4(1) – 7–3
4(3) – 7
5
4(5) – 7
13
4(6) – 7
17
4(8) – 7
25
Ejemplo 4
Sean f(x – 3) = 3x – 7 y g(x + 2) = 5x + 4. Determina g(f(x)).
Resolución:
En:	f(x	–	3)	=	3x	–	7
 x – 3 = n ⇒ x = n + 3 Luego: f(n + 3 – 3) = 3(n + 3) – 7 ⇒ f(n) = 3n + 2
En:	g(x	+	2)	=	5x	+	4
 x + 2 = n ⇒ x = n – 2 Luego: g(n – 2 + 2) = 5(n – 2) + 4 ⇒ g(n) = 5n – 6
Entonces:	g(f(x))	=	g(3x	+	2)
 g(3x + 2) = 5(3x + 2) – 6 = 15x + 10 – 6 = 15x + 4
Prop i eda d
(x ; y)
(x ; f(x))
Si:
(3 ; 6) ⇒ f(3) = 6
Sean los pares ordenados (a ; b) y (a ; c) que pertenecen a la función f, entonces: b = c. 
Ejemplo 1
Sea la función g = {(2 ; 5), (1 ; a – b), (2 ; 2a + b), (6 ; 5), (1 ; 4)}. 
Halla el valor de a . b.
Resolución:
Se observa que: 2a + b = 5 (1) 
 a – b = 4 (2) 
(1) + (2): 3a = 9, en (1): 2(3) + b = 5 
 a = 3 b = –1
Piden: a . b = 3 . (–1) = –3
Propiedad
Ate n ción
Si:
(a ; b) ∧ (a ; c) ∈ f 
⇒ b = c
179MateMática Delta 2 - álgebra
Sea una función f: A → B / y = f(x), f es una función real de variable real si A y 
B con regla de correspondencia y = f(x). La variable x recibe el nombre de variable 
independiente o preimagen; y la variable y o f(x) es la variable dependiente o imagen.
Ejemplos:
a) f: → / y = 4x + 6 b) g: → / y = x2 + 2x – 8
Función real de variable real
Funciones especiales 
Función constante
f: → / y = f (x) = k 
•	Dom(f)	=	
•	Ran(f)	=	{k}
y
x
k > 0
k
y
x
k < 0
k
Not a ción
f: A → B / y = f(x)
Donde:
f: nombre de la 
función
A: conjunto de salida
B: conjunto de 
llegada
y: regla de 
correspondencia
Función lineal afín
f: → / y = f(x) = mx + b, m ≠ 0
•	Dom(f)	=	
•	Ran(f)	 =	
y
b
x
Gráfica de una función lineal afín.
Para	graficar	una	función	lineal	se	debe	tabular	dos	puntos.
Ejemplos:
a)		Grafica	f(x)	=	–2x	+	8.
 Resolución:
 Tabulamos: y = –2x + 8
x
x
y
y
0
0
8
b
(0 ; 8)
(4 ; 0)4 0
0
y
8
4 x
Observa:
Ubicamos los puntos(4 ; 0) y 
(0 ; 8) en el plano cartesiano y 
graficamos	la	función.
Import a nt e
Plano cartesiano
Eje	x	(abscisas)
Eje	y	(ordenadas)
y
y
II
cuadrante
I
cuadrante
III
cuadrante
IV
cuadrante
– bm
– bm
Para	esta	gráfica:
b > 0 ∧ m > 0
180
b) Dada la función f: [–3 ; 5〉 → / y = f(x) = –2x + 7.
 Determina el rango de f.
 Resolución:
 Tenemos: –3 ≤ x < 5 El	conjunto	de	salida	es	el	dominio	de	la	función.
 × (–2) : 6 ≥ –2x > –10 Buscamos y a partir del dominio.
 + 7: 13 ≥ –2x + 7 > –3 
 Luego: –3 < y ≤ 13
 ∴ Ran(f) = 〈–3 ; 13]
Función identidad 
Es	aquella	función	lineal	afín	f(x)	=	mx	+	b,	donde	m	=	1	y	b	=	0.
f: → / y = f(x) = x
•		Dom(f)	=	
•		Ran(f)	=	 
Observa:
•		Siempre	 pasa	 por	 el	 origen	
de ordenadas.
•	 Su	gráfica	es	la	recta	que	es	
bisectriz de los cuadrantes 
 I y III.
y
x
f(x) = x
Ejemplo:
Sea f(x) = (x – 2)(x + m) – (x + 2)2 + n – 1 una función identidad, halla m . n.
Resolución:
Función identidad: f(x) = x
Desarrollando: f(x) = x2 + (m – 2)x – 2m – (x2 + 4x + 4) + n – 1
 f(x) = (m – 6)x – 2m + n – 5
Por	definición	de	función	identidad:
m – 6 = 1 ∧ –2m + n – 5 = 0
 m = 7 ⇒ –2(7) + n – 5 = 0
 n = 19
∴ m . n = 7 ∙ 19 = 133
181MateMática Delta 2 - álgebra
 Halla el valor de ab, si el conjunto de pares 
ordenados representa una función.
 f = {(2 ; 3), (3 ; a – b), (2 ; a + b), (3 ; 1)}
 Resolución:
	 En	 una	 función	 si	 los	 primeros	 elementos	 son	
iguales, sus segundos elementos son iguales.
	 Entonces:		 a	+	b	=	3	 (1)
 a – b = 1 (2)
 (1) + (2): 2a = 4 ⇒ a = 2
	 En	(1): 2 + b = 3 ⇒ b = 1
 Piden: a . b = 2 . 1 = 2
 Rpta. 2
1
2
3
4
6
5
 De las correspondencias:
 f = {(3 ; 4), (5 ; 7), (2 ; 4), (11 ; 4), (3 ; 3)}
 g = {(5 ; 7), (2 ; 1), (1 ; 3), (3 ; 4), (4 ; 8)}
 h = {(–1 ; 3), (3 ; 7), (–2 ; 5), (6 ; 6), (8 ; 6)}
 r = {(2 ; 3), (3 ; 3), (4 ; 2), (5 ; 3), (2 ; 3)}
 ¿Cuántas son funciones?
 Resolución:
 Un conjunto de pares ordenados es una función 
cuando los primeros elementos son diferentes, 
esto indica que a cada primer elemento le 
corresponde un único segundo elemento. 
	 Entonces:
 f no es función porque se repite 3: (3 ; 4), (3 ; 3)
 g es una función
 h es una función
 r es función porque los pares (2 ; 3) son iguales 
por lo que se escribe una sola vez en el conjunto.
 Rpta. Hay 3 funciones.
 Dada la función 
 f = {(3 ; 5), (2 ; 3), (5 ; 4), (4 ; 2), (7 ; 3)}. 
 Determina:
 a) Dominio y rango de la función
 b) H = f(f(f(7))) + f(f(4))
 Resolución:
 a) Dom(f) = {3; 2; 5; 4; 7} 
 Ran(f) = {5; 3; 4; 2}
 b) Se observa:
	 	 •		f(3)	=	5	 		•		f(2)	=	3	 					•		f(5)	=	4
	 	 •		f(4)	=	2	 		•		f(7)	=	3	
 H = 4 + 3 = 7
	 Grafica	la	función	f	definida	por	f(x)	=	–4x	+	5.
 Resolución:
 Tabulamos: y = –4x + 5
(0 ; 5)
( 54 ; 0)
y
5
x
 Calcula el valor de M = f(g(5)),
 si f(x + 2) = 4x + 5 y g(x + 3) = 5x – 3.
 Resolución:
 Tenemos:
	 •	 g(x	+	3)	=	5x	–	3
 x + 3 = 5 ⇒ x = 2
 g(2 + 3) = 5(2) – 3 ⇒ g(5) = 7
 ⇒ M = f(g(5)) = f(7)
	 •	 f(x	+	2)	=	4x	+	5
 x + 2 = 7 ⇒ x = 5
 f(5 + 2) = 4(5) + 5 ⇒ f(7) = 25
 Luego: M = f(7) = 25
Encuentra	el	valor	de	f(7),	si	la	función	lineal	f	está	
representada por: 
 Resolución:
 Sabemos que f(x) = y = ax + b, tenemos:
 (1 ; 3) f(x): 3 = 1 ∙ a + b (1)
 (2 ; 8) f(x): 8 = 2 ∙ a + b (2)
 (2) – (1): 5 = a
	 En	(1): 3 = 5 + b ⇒ b = –2
 Luego: f(7) = 5(7) – 2 = 33
Rpta. 25
Rpta. 33
A Bf
1. .3
2. .8
3. .13
9. .43
5
4
x y
0 5
054
Ejercicios resueltos
182
 Resolución:
 Sea la función constante: g(x) = k 
	 Entonces:
 g(13) = g(17) = g(7) = g(2020) = k
 Luego:
11
12
8
9
7 10 Halla la suma de los elementos enteros del rango 
de la función.
 f: [–4 ; 3〉 → R / y = f(x) = –2x + 5
 Resolución:
 Tenemos: 
 –4 ≤ x < 3 
 × (–2) : 8 ≥ –2x > –6
 + 5 : 13 ≥ –2x + 5 > –1
 Luego: –1 < f(x) ≤ 13 
	 Elementos	enteros	del	rango.
 Ran(f) = {0; 1; 2; 3; 4; ...; 12; 13}
 Piden:
 S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 13 = 13 ∙ 142 = 13 ∙ 7 = 91
Determina el valor de H = g(2020) + 3, siendo g(x) 
una función constante, que cumple la siguiente 
igualdad.
g(13) + g(17)
g(7) – 3
= 3
k + k
k – 3
= 3
2k = 3(k – 3) ⇒ 2k = 3k – 9 ⇒ k = 9 
 Piden:
 H = g(2020) + 3 = 9 + 3 = 12
 Si f(2x + 3) = 4x2 + 10x + 7, calcula f(x).
 Resolución:
 Hacemos: 
 2x + 3 = n ⇒ x = n – 3
2
	 Entonces:
 f(n) = 4 n – 3
2
n – 3
2
2
+ 10 + 7
 = 4 + 5(n – 3) + 7
(n – 3)2
4
 = n2 – 6n + 9 + 5n – 15 + 7
 = n2 – n + 1
Hacemos: x = n
⇒ f(x) = x2 – x + 1
	 Encuentra	el	rango	de	la	función	h.
 h : {–2; –1; 0; 3; 4} → / h(x) = –x2 + 2x + 7 
 Resolución:
	 Evaluamos	para	el	dominio:	
 x y = –x2 + 2x + 7
 –2 –(–2)2 + 2(–2) + 7 = –4 – 4 + 7 = –1
 –1 –(–1)2 + 2(–1) + 7 = –1 – 2 + 7 = 4
 0 –(0)2 + 2(0) + 7 = –0 + 0 + 7 = 7
 3 –(3)2 + 2(3) + 7 = –9 + 6 + 7 = 4
 4 –(4)2 + 2(4) + 7 = –16 + 8 + 7 = –1
 Luego:
 Ran(h) = {–1; 4; 7}
A	partir	de	la	gráfica,	halla	f(–5).	
 Resolución:
 Tenemos: y = f(x) = –x + n
 (–a ; c = 3) f(x): 3 = –(–a) + n
 3 = a + n (1)
 (3a ; b = –1) f(x): –1 = –(3a) + n (2)
 (1) – (2) : 4 = 4a ⇒ a = 1 
	 En	(1) : 3 = 1 + n ⇒ n = 2
 Luego: f(–5) = –(–5) + 2 = 7
y
y = 3(–a ; c)
y = –1
x
(3a ; b)
y = f(x) = –x + n
La	función	g	se	define	como:
g(x) = 
 –x + 6 ; x < –1
 5 ; –1 ≤ x < 6
 2x – 7 ; x ≥ 6 
	 Determina	E	=	g(g(–2))	+	g(g(1)).
 Resolución:
 –2 < –1: g(–2) = –(–2) + 6 = 8
 8 ≥ 6 : g(8) = 2(8) – 7 = 9
 ⇒ g(g(–2)) = g(8) = 9
 –1 ≤ 1 < 6: g(1) = 5
 –1 ≤ 5 < 6: g(5) = 5
 ⇒ g(g(1)) = g(5) = 5
	 Luego:		E	=	9	+	5	=	14
Rpta. 91
Rpta. {–1; 4; 7}
Rpta. 7
Rpta. 14
Rpta. 12
Rpta. x2 – x + 1
183MateMática Delta 2 - álgebra
Síntesis
Modela y resuelve 
2
4
1
3
Resolución: Resolución: 
Funciones
f asigna a todo elemento de A un único 
elemento de B
Si (a ; b) ∧ (a ; c) ∈ f ⇒ b = c
Propiedad
Definición
Dominio: conjunto de valores que puede tomar x.
Rango: conjunto de valores que puede tomar y.
f: A → B / y = f(x)
Nombre de la función
Regla de
correspondencia
Conjunto
de salida
Conjunto
de llegada
Función lineal
f: R → R / y = f(x) = mx + b
Función constante
f: R → R / y = f(x) = k
Dada la función:
f = {(2 ; 5), (4 ; 1), (5 ; 3), (3 ; 6), (1 ; 1)}
Dada la función:
g = {(1 ; 3), (7 ; 2), (8 ; 3), (5 ; 7), (4 ; 1)}
Determina: Determina:
a) Dom(f) =
b) Ran(f) =
c) f(f(5)) =
d) Suma de elementos del rango:
a) Dom(g) =
b) Ran(g) =
c) g(g(4)) =
d) Suma de elementos del rango:
Del siguiente diagrama: Del siguiente diagrama:
Calcula el valor de Calcula el valor deH = . 
F(1) + G(F(3))
G(2) + F(G(2))
 
H = .
g(5) + h(g(3))
h(2) + g(h(6))
 
1
2
3
2
5
3
4
2
1
F G
1
3
5
2
4
6
4
3
2
g h
Funciones especiales
Rpta. Rpta. 
184
6
8
10
5
7
9
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Si f = {(1 ; 5), (2 ; b), (1 ; a), (3 ; a + 1), (b ; a)} es 
una función, halla el valor de M = f(3) + f(b).
Si g = {(4 ; 9), (2 ; n), (4 ; m), (5 ; m + 1), (n ; m)} es 
una función, halla el valor de A = g(5) + g(n).
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Encuentra	el	valor	de	b	–	a,	dada	la	función	g.
g = {(2 ; a2), (3 ; 9), (2 ; 9), (3 ; a + b), (a ; 5)}
Encuentra	el	valor	de m – n, dada la función f.
f = {(5 ; n2), (2 ; 11), (5 ; 4), (2 ; n + m), (n ; 7)}
Determina el dominio de la función h.
h = {(3 ; 3a – b), (b ; 7), (a ; 11), (3 ; 5), (a ; 5a + b)}
Determina el dominio de la función g.
g = {(1 ; 4a + b), (b ; 5), (a ; 8), (1 ; 10), (a ; 2a – b)}
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
185MateMática Delta 2 - álgebra
12
14
16
11
13
15
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Se define la función f: [–3 ; 5] → R / f(x) = 5x + 2, 
calcula el número de elementos enteros del rango 
de la función.
Se define lafunción f: [–1 ; 3] → R / f(x) = 7x – 4, 
calcula el número de elementos enteros del rango 
de la función.
Sea la función h: A → R / h(x) = 4x – 2, halla la 
suma de elementos enteros del dominio de la 
función, si Ran(h) = [–22 ; 10].
Sea la función f: A → R / f (x) = 5x – 9, halla la suma 
de elementos enteros del dominio de la función, si 
Ran(f) = [–29 ; 1].
Sea f(x + 3) = x2 + x – 4 ∧ g(x – 1) = 3x + 1, 
encuentra	el	valor	de	E	=	g(f(5)).
Sea g(x + 4) = x2 + 2x – 7 ∧ h(x + 2) = 2x + 7, 
encuentra el valor de M = h(g(7)).
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
186
18
20
22
17
19
21
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Sea f(x) una función constante, determina el valor 
de f(–3), si:
f(–5) + f(7)
f(–1) – 3
= 4
Sea h(x) una función constante, determina el valor 
de h(1872), si:
h(25) + h(31)
h(41) + 4
=
3
2
Calcula el rango de la función g.
g: {–2; –1; 3; 4; 5} → R / g(x) = x2 + 4x + 1
Calcula el rango de la función f.
f: {–2; –1; 1; 2; 3} → R / f(x) = x2 + 3x – 2
Sea g(x + 3) = x2 + 5x – 6, halla g(2x – 1). Sea h(x + 4) = x2 + 6x + 10, halla h(2x + 1).
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
187MateMática Delta 2 - álgebra
24
26
23
25
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Resolución: 
Encuentra,	de	la	gráfica,	el	valor	de	a	+	b	+	c.
y
x
–2
y = f(x) = 3x + b
(a ; c) y = g(x)= –b
Encuentra,	de	la	gráfica,	el	valor	de	a	+	b	+	c.
y = g(x) = –2b
y
y = f(x) = –3x + b
–1
(a ; c)
x
 
Grafica la función f definida por: Grafica la función h definida por:
Rpta. Rpta. 
f(x) = 
 –x + 4 ; x < 0
 4 ; 0 ≤ x < 5
	2x	–	6	 ;	x	≥ 5
h(x) = 
 –x + 2 ; x < –2
 4 ; –2 ≤ x < 2
 –x + 6 ; x ≥ 2
188
2
3
4
Practica y demuestra
1
5
6
7
8
9
Nivel I
Dada la función f = {(3 ; 4), (2 ; 5), (1 ; 4), (5 ; 3)}, 
indica si las proposiciones son verdaderas (V) o 
falsas (F).
( ) La suma de elementos del rango es 16.
( ) Dom(f) = {1; 2; 3; 5}.
( ) f(f(5)) = 3.
( 	)	 El	cardinal	del	rango	de	f	es	3.
Dado f = {(2 ; 3), (3 ; 4), (4 ; 1), (5 ; 2), (1 ; 6)}, 
calcula el valor de H = f(f(2)) + f(f(f(3))).
 A 5 B 10 C 6
 D 7 E 8
 A VFVF B FFVV C VVFF
 D FVFV E FFFV
 A 3 B 8 C 5
 D 85 E 
7
5
Del	diagrama	que	se	muestra,	halla	el	valor	de	E.
F(1) + G(F(1))
F(3) +G(F(3))
E	=
1
3
2
2
3
5
5
3
2
F G
De la siguiente función:
f = {(1 ; 1 + b), (3 ; ab), (1 ; 7), (4 ; 6), (3 ; 6)}, 
encuentra el valor de a – b.
 A –3 B –5 C 1
 D –5/2 E –4
Determina el valor de H = a2 + b2, dada la función 
f = {(3 ; 4), (2 ; a – 4b), (2 ; 1), (ab ; b2), (3 ; a – b)}.
 A 26 B 20 C 10
 D 13 E 4
Descubre el producto de elementos del rango de 
la función f = {(7 ; 3), (b ; a + 3), (3 ; 3), (b ; 7), (5 ; a)}.
 A 92 B 84 C 115
 D 76 E 42
Sea f(x) = x2 + 1 y g(x + 1) = 3x – 12, calcula el 
valor de M = g(f(–3)).
 A 12 B 18 C 15
 D 25 E 23
Se define la función f: [2 ; 6] → Z / f(x) = 5x – 9, 
indica el cardinal del rango de la función.
 A 18 B 19 C 22
 D 21 E 20
Se define la función g: A → R / g(x) = 3x – 1.
Si Ran(g) = [5 ; 11], halla la suma de los elementos 
enteros del dominio de g.
 A 5 B 0 C 9
 D –1 E 5
189MateMática Delta 2 - álgebra
10 14
15
16
17
11
12
13
Dado el conjunto A = {x ∈ R / –2 < x < 4}, se define 
f: A Z	/	f(x)	=	–2x	+	5.	Encuentra	el	rango	de	la	
función.
 A Ran(f) = {–3; –2; –1; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} 
 B Ran(f) = {–1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
 C Ran(f) = {–3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
 D Ran(f) = {–2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
 E Ran(f) = {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} 
Si f(x) = x2 – 4x + 5 y g(x + 3) = 4x + 5, determina 
el valor de M = g(f(g(2))). 
.
 A –1 B 2 C 3
 D 1 E –2
Descubre el valor de H = 3g(5) – g(2) + 5, siendo g 
una función constante, y además se cumple que:
 A 18 B 20 C 21
 D 25 E 17
g(–3) + 2g(4)
g(–8) – 2 = 4
Sea f(x + 4) = x2 + 4x – 5, calcula el valor de f(x).
A f(x) = x2 + 4x + 8 
B f(x) = x2 – 4x – 5 
C f(x) = x2 + 8x + 5
D f(x) = x2 – 8x – 10 
E f(x) = x2 + 4x – 5
Nivel II
Halla la función lineal o afín que pasa por los 
puntos P(6 ; –1) y Q(3 ; 5).
La gráfica de la función lineal f(x) = ax + b es como 
se	muestra	en	la	figura.	Encuentra	el	valor	de	ab.
y
x
4
a – 4
 A 4 B 6 C 8
 D 9 E 12
Observa la gráfica y determina el valor de a + b.
y
x
f(x) = y = 5
g(x) = y = –x + 2
(a ; b)
 A 2 B –3 C 1
 D 3 E 4
Descubre una función lineal f(x) = ax + b, tal que 
f(3) = –2 y f(–3) = 4f(1).
 A f(x) = –5x + 13
 B f(x) = –2x + 4
 C f(x) = –x + 1 
 D f(x) = –3x + 7
 E f(x) = –4x + 10
 A y = –2x + 13 B y = –2x + 20 
 C y = –2x + 9 D y = –2x + 11 
 E y = –2x + 7
190
 A –1 B –2 C 2
 D 5 E 4
Siendo h(x) = nx – n + 6, halla h(–1) sabiendo que 
la gráfica de la función h pasa por el punto (3 ; –4).
 A 6 B 8 C 12 
 D 10 E 16 
18 22
23
24
19
20
Si f(g(x)) = 12x – 13 y f(x) = 4x + 7, calcula el valor 
de A = g(2) + f(–1). 
Si f(x) = ax + 3, a < 0, x ∈ [1 ; 3]; además, 
Ran(f) = [b ; 1], determina el valor de a + b.
La gráfica de la función f(x) = 2x + 5, no pasa por el:
A III cuadrante 
B IV cuadrante 
C III y IV cuadrante
D II cuadrante 
E I y III cuadrante
Nivel III
Encuentra	el	valor	de	a	+	b	+	c,	a	partir	del	gráfico	
de las funciones g y f.
21
 A 4 B 5 C 6
 D 7 E 8
y
x
f(x) = y = x + 1
(a; b)
3
g(x) = y = –3x + c
 A –2 B –5 C –3 
 D –6 E –4 
La función h se define como:
 A 40 B 29 C 44
 D 52 E 36
Calcula	el	valor	de	E	=	h(h(–2))	+	h(h(–5)).
Sea el conjunto B = {x + 2 ∈ Z / –6 ≤ 2x – 3 < 4} y 
la función f: B → R / y = f(x) = x2 – 8x + 6, descubre 
la suma de elementos de su rango.
 A –32 B –32 C –25
 D –30 E –35
 –2x + 2 ; x < –3
 8 ; –3 ≤ x < 4
 3x – 10 ; x ≥ 6
h(x) =
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 4
191MateMática Delta 2 - álgebra
Relaciona cada inecuación con su conjunto 
solución.
Determina el conjunto solución de la inecuación
x
4 + 
x
3 – 
x
2 > x – 11, si x es positivo.
Halla el número de valores enteros que verifican 
la desigualdad.
(x – 4)(3x – 4) < 2(x – 4)
Si M = {2; 5; 2; 3; 6; 2} y N = {1; 4; 2; 1}, ¿cuántos 
elementos tendrá M × N?
Si (n ; n) = (3x – 9 ; x + 7), calcula el valor de A.
A = 
n
5
5
4
Luego de resolver la inecuación x2	 +	 1	 ≤	 4x,	
encuentra el mayor valor entero que puede tomar 
la variable x.
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
6
A Ib; IIe; IIIc; IVa B Ie; IId; IIIc; IVb
C Ib; IIe; IIId; IVa D Ie; IIa; IIId; IVb 
A 1 B 2
C 3 D 4
I. x2 > 9 
II. x2 < 9
III. |x + 3| < 6
IV. –4x < –12 
a. 〈–∞ ; 3〉
b. 〈3 ; +∞ 〉
c. 〈–9 ; 3〉
d. 〈–3 ; 3〉
e. 〈–∞ ; –3〉 ∪ 〈3 ; +∞ 〉
A 0 B 1
C 4 D 2
A 0 B 1
C 2 D 3
A 12 B 9
C 6 D 2
A [0 ; 12〉 B 〈0 ; 12]
C 〈0 ; 12〉 D [1 ; 12〉
192
Indica la suma de elementos del dominio de la 
función g.
g = {(5 ; a + b), (a ; 5), (3 ; 7), (5 ; b + 2), (2 ; 5)}
b
a 5
f(x) = 2x – 5
g(x) = c – 3x
7 10
11
129
8 Encuentra	el	valor	de	A	=	f(2)	+	f(4),	siendo	f	una	
función constante, y además se cumple que: 
f(34) + 3f(26)
f(11) + 2 = 3
Calcula el valor de a + b + c, a partir del gráfico 
de las funciones f y g. 
Descubre el cardinal de A × B.
5A
11C
8B
14D
2A
6C
5B
7D
5A
10C
8B
12D
17A
10C
8B
12D
22A
14C
18B
10D
A = {x2 – 1 ∈ Z	/	–2	≤	x	≤	3}
B = {x ∈ Z / –2 < x < 4}
A 43 B 50
C 65 D 74
Si A = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} y R = {(a ; b) ∈ A2 / a2 – 2 < b}, 
halla el cardinal de R.
Sea la función f(x) = x2 + 2 y g(x + 2) = 3x – 1, 
determina el valor de P = g(f(–2))
EL ACUERDO NACIONAL
El 22 de julio de 2002, los representantes de las 
organizaciones políticas, religiosas, del Gobierno y de la 
sociedad civil, firmaron el compromiso de trabajar, todos, 
para conseguir el bienestar y desarrollo del país. Este 
compromiso es el Acuerdo Nacional.
El Acuerdo persigue cuatro objetivosfundamentales. 
Para alcanzarlos, todos los peruanos de buena voluntad 
tenemos, desde el lugar que ocupemos o el rol que 
desempeñemos, el deber y la responsabilidad de decidir, 
ejecutar, vigilar o defender los compromisos asumidos. 
Estos son tan importantes que serán respetados como 
políticas permanentes para el futuro.
Por esta razón, como niños, niñas, adolescentes o 
adultos, ya sea como estudiantes o trabajadores, 
debemos promover y fortalecer acciones que garanticen 
el cumplimiento de esos cuatro objetivos que son los 
siguientes:
1. Democracia y Estado de Derecho
 La justicia, la paz y el desarrollo que necesitamos los 
peruanos solo se pueden dar si conseguimos una 
verdadera democracia. El compromiso del Acuerdo 
Nacional es garantizar una sociedad en la que los 
derechos son respetados y los ciudadanos vivan 
seguros y expresen con libertad sus opiniones a partir 
del diálogo abierto y enriquecedor; decidiendo lo mejor 
para el país.
2. Equidad y justicia social
 Para poder construir nuestra democracia, es necesario 
que cada una de las personas que conformamos esta 
sociedad, nos sintamos parte de ella. Con este fin, el 
Acuerdo promoverá el acceso a las oportunidades 
económicas, sociales, culturales y políticas. Todos los 
peruanos tenemos derecho a un empleo digno, a una 
educación de calidad, a una salud integral, a un lugar 
para vivir. Así, alcanzaremos el desarrollo pleno.
3. Competitividad del país
 Para afianzar la economía, el Acuerdo se compromete 
a fomentar el espíritu de competitividad en las 
empresas, es decir, mejorar la calidad de los productos 
y servicios, asegurar el acceso a la formalización de las 
pequeñas empresas y sumar esfuerzos para fomentar 
la colocación de nuestros productos en los mercados 
internacionales.
4.	 Estado	eficiente,	transparente	y	descentralizado
 Es de vital importancia que el Estado cumpla con sus 
obligaciones de manera eficiente y transparente para 
ponerse al servicio de todos los peruanos. El Acuerdo 
se compromete a modernizar la administración pública, 
desarrollar instrumentos que eliminen la corrupción o 
el uso indebido del poder. Asimismo, descentralizar 
el poder y la economía para asegurar que el Estado 
sirva a todos los peruanos sin excepción.
Mediante el Acuerdo Nacional nos comprometemos a 
desarrollar maneras de controlar el cumplimiento de 
estas políticas de Estado, a brindar apoyo y difundir 
constantemente sus acciones a la sociedad en general.
LEY DEL 25-02-1825 LEY DEL 25-02-1825
LOS SÍMBOLOS DE LA PATRIA
BANDERA NACIONAL ESCUDO NACIONAL
D
el
ta
 e
di
to
re
s®
2
ÁLGEBRA
Secundaria
Resuelve problemas de cantidad
La serie Matemática responde a los estándares educativos nacionales 
e internacionales. Cumple con los indicadores pedagógicos actuales 
establecidos por el Ministerio de Educación.
La estructura de sus contenidos posibilita el desarrollo del pensamiento 
abstracto en los estudiantes del nivel secundario. 
El texto responde al enfoque centrado en la Resolución de problemas, 
el cual promueve y facilita que los estudiantes logren las siguientes 
competencias:
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio
Matemática
Delta