Função Inversa: Condição para Existência

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7. Función inversa
“Cuando se habla sobre el aprendizaje y las ciencias, la gente no piensa en las mujeres.”
Wang Zhenyi (1768-1797)
7.1 Introducción
Pensamos en una función numérica f como proceso que a cada elemento x de un conjunto
A le hace corresponder exactamente un elemento y de un conjunto B.
x g(x) f (x)
f
Pensaremos a la función inversa como el proceso que permita volver para atrás a la f .
x g(x) f (x)
g
Utilizando la composición de funciones, ambos procesos quedan coordinados como sigue
x f (x) x
f g
g ◦ f
¿Siempre podremos encontrar un proceso inverso? Es decir, ¿existirá un proceso g que
deshaga lo que hizo f ? En tal caso, debería cumplirse que
g( f (x)) = x.
� Ejemplo 7.1 En el caso de la función lineal f (x) = a x + b podemos razonar de la siguiente
manera:
“El proceso f consiste en tomar a x, multiplicarlo por a y luego, a ese número sumarle
b. Por lo tanto, el proceso inverso g deberá ser tomar al número, restarle b y al resultado
dividirlo por a”.
En símbolos,
g(x) =
x − b
a
.
Comprobamos que g es el proceso inverso de f .
g( f (x)) = g(ax + b) =
(ax + b) − b
a
=
ax
a
= x.
�
2 Capítulo 7. Función inversa
� Ejemplo 7.2 Con la función f (x) = x2, podemos decir que f es el proceso de tomar un
número y elevarlo al cuadrado. Entonces el proceso inverso g debería ser tomar ese
número y calcularle la raíz cuadrada. Pero en este caso nada nos impide (o nos obliga)
a tomar la raíz cuadrada positiva o la raíz cuadrada negativa.
Por ejemplo, si tomamos x = 3 calculamos f (3) = 9. Lo mismo si tomamos x = −3
y calculamos f (−3) = 9. El proceso inverso debería arrancar con 9 y devolver alguno
de los valores iniciales: 3 o −3. No puede devolver los dos valores a la vez porque en
ese caso no cumpliría la definición de función.
No es posible encontrar un proceso inverso de f que sirva para todos los x.
�
Si una función f tiene un proceso inverso (o como se dice propiamente, una función
inversa) g, entonces para todos los x deberá cumplirse que
g( f (x)) = x.
Y considerando dos números a y b tales que f (a) = f (b), y aplicando g a ambos miembros
tendremos
g( f (a)) = g( f (b))
y, por lo tanto, a = b. Esto nos dice que si f tiene una función inversa, entonces f no puede
tomar el mismo valor en números distintos.
Definición 7.1.1 Las funciones que a cada par de números distintos en su dominio les
asignan valores distintos se denominan inyectivas o uno a uno.
O sea, una función f es inyectiva o uno a uno si dados x1 , x2 en su dominio entonces
f (x1) , f (x2).
Gráficamente, una función es inyectiva, si cada recta horizontal corta a la gráfica de f en a
lo sumo un punto.
x
y f (x) = x3
x
y
g(x) = x2
Figura 7.1: La función f (x) = x3 es uno a uno pero la función g(x) = x2 no lo es.
C Entonces, si una función tiene una función inversa, es inyectiva. Recíprocamente, si una
función f es inyectiva, tiene una función inversa g, cuyo dominio es exactamente la
imagen de f . Dado un y en la imagen de f , la función inversa g le asigna el único x del
dominio de f tal que f (x) = y.
Recordemos que la imagen de f está formada por
Im( f ) = {y : y = f (x) para algún x en el dominio de f }.
7.1 Introducción 3
Todo va bien si f es uno a uno en su dominio. ¿Pero qué pasa si no lo es? Por lo que vimos,
no tendrá una función inversa que sirva para todos los valores x de su dominio. Sin embargo,
si podemos restringir el dominio de f a un conjunto más pequeño, donde f sí sea uno a uno,
entonces podremos obtener allí una inversa para f .
� Ejemplo 7.3 Volviendo a la función f (x) = x2, vemos que f tiene inversa en el intervalo
[0,+∞). Concretamente, g(x) =
√
x es su función inversa. También tiene una inversa
en el intervalo (−∞, 0] cuya expresión es h(x) = −
√
x. �
La última cuestión que mencionaremos es la siguiente: si una función tiene una inversa en
cierto subconjunto A de su dominio, entonces esa inversa es única (¿por qué?). De manera que
es legal ponerle un nombre asociado a f . Se acostumbra designar a la función inversa de f
como f −1.
Vamos a resumir lo que hemos dicho acerca de las funciones inversas:
Lamentablemente se utiliza una
simbolización ambigua que pue-
de llevar a confusión. Tendremos
que tener en cuenta que
f −1 ,
1
f
.
Definición 7.1.2 Sea f una función numérica. Sea A un subconjunto del dominio de f .
Diremos que f tiene una inversa en A (o que f es invertible en A) si existe una función
f −1 tal que
f −1( f (x)) = x para todo x perteneciente a A.
Teorema 7.1.1 — Condición para la existencia de inversa. La función f es invertible en A sí
y sólo sí es uno a uno en A.
Hacemos las siguientes observaciones:
En la práctica, si la función tiene una expresión y = f (x), encontrar la inversa implica
despejar la variable x en función de la variable y. En el Ejemplo 7.1 de la función lineal
tenemos que
y = ax + b
y − b = ax
y − b
a
= x.
Que determina la expresión de la función inversa:
f −1(y) =
y − b
a
.
Muy pocas veces podremos hacer este procedimiento tan sencillo cuando estén involu-
cradas funciones más complejas. Por lo tanto, nos dedicaremos a estudiar existencia de
la función inversa y conocer sus propiedades de continuidad, derivabilidad, gráfica, etc.
a partir de las propiedades de la función f .
De la misma forma, es bastante complicado mostrar que una función f es uno a uno
en cierto conjunto. Puesto que eso es lo mismo que mostrar que cada valor de x está
determinado unívocamente por f (x), lo cual tendría que hacerlo otra vez expresando x
en función de y. Daremos entonces otras condiciones más sencillas de comprobar, que
nos permitan asegurar que nuestra función es uno a uno en cierto conjunto A.
Actividad 7.1 En cada uno de los casos siguientes, las funciones f y g están dadas por una
tabla de valores. Determinen si alguna de ellas es una función uno a uno.
�
x 1 2 3 4 5 6
f (x) 1.5 2.0 3.6 5.3 2.8 2.0
x 1 2 3 4 5 6
g(x) 1.0 1.9 2.8 3.5 3.1 2.9
4 Capítulo 7. Función inversa
Actividad 7.2 Analicen cada una de las funciones f cuyas gráficas se encuentran en la
Figura 7.2 y determinen, en cada caso, si se trata o no de funciones uno a uno. �
x
y
Gráfica I
x
y
Gráfica II
x
y
Gráfica III
x
y
Gráfica IV
Figura 7.2: Gráficas para la Activi-
dad 7.2.
Actividad 7.3 Indiquen cuáles de las siguientes funciones son uno a uno en sus dominios.
Justifiquen en cada caso (la justificación puede ser gráfica o analítica). En caso que no sea
uno a uno en su dominio, determinen al menos dos subconjuntos del dominio donde la
función sí lo sea. En todos los casos, den una expresión para la función inversa.
a) f (x) = 7x + 1 b) f (x) =
1
x
c) f (x) = x2 − x + 1 d) f (x) =
1
x2
e) f (x) = x2 f ) f (x) =
x − 1
x + 1
�
Como habrán sospechado a partir de las actividades anteriores, puede concluirse que una
función es uno a uno en un intervalo si comprobamos que es creciente o decreciente en ese
intervalo. Y esa comprobación puede hacerse estudiando el signo de la derivada. Podemos
enunciar entonces el siguiente resultado:
Teorema 7.1.2 Sea f una función derivable en un intervalo I (de cualquier forma). Entonces
a) si f ′(x) > 0 en I, entonces f es invertible en I
b) si f ′(x) < 0 en I, entonces f es invertible en I.
Actividad 7.4 Analicen los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones de la
Actividad 7.3 y comparen con las respuestas que dieron en cada caso. �
7.2 Propiedades de la función inversa
7.2.1 Gráficas
Supongamos que tenemos una función f que es invertible en un intervalo I. Sea f −1 su
función inversa.
La gráfica de f −1 es el conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas son de la forma
(x, f −1(x)). Pero si y = f −1(x), entonces x = f (y). Por lo tanto los puntos de la gráfica de f −1
son de la forma ( f (y), y). Esto es, cada punto de la gráfica de f −1 proviene de un punto de la
gráfica de f con las coordenadas permutadas. En forma gráfica:
x
y Recta y = x
x
x
y
y
Figura 7.3: El punto (x, y) es simétrico del punto (y, x) respecto de la recta y = x.
7.2 Propiedades de la funcióninversa 5
Por lo tanto, la gráfica de f −1 es la simétrica de la gráfica de f respecto de la recta y = x.
� Ejemplo 7.4 A continuación presentamos dos funciones con sus respectivas inversas en los
dominios correspondientes.
x
y Recta y = x
f (x) =
1
x2
.5 1 1.5 2 2.5
.5
1
1.5
2
2.5
x
y Recta y = x
f −1(x) =
1
√
x
.5 1 1.5 2 2.5
.5
1
1.5
2
2.5
La función f (x) =
1
x2
en el intervalo (0, 3). Su inversa f −1(x) =
1
√
x
.
x
y Recta y = xf (x) = x2
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
x
y Recta y = x
f −1(x) =
√
x
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
La función f (x) = x2 en el intervalo [0, 6]. Su inversa f −1(x) =
√
x.
�
6 Capítulo 7. Función inversa
Actividad 7.5 Utilicen la gráfica de la función en el sistema de ejes cartesianos de la
izquierda para hacer la gráfica de su función inversa en el sistema de ejes cartesianos de la
derecha.
a)
x
y
x
y
b)
x
y
x
y
�
7.2.2 Continuidad
A continuación enunciaremos un resultado que nos da información, bajo ciertas condiciones,
sobre la continuidad de f −1.
Teorema 7.2.1 Sea f una función uno a uno y continua en un intervalo cerrado I, y sea J el
intervalo imagen de I por f . Entonces su función inversa f −1 es continua en J.
7.2.3 Derivabilidad
Supongamos que f es una función derivable en un intervalo abierto I, y supongamos que
f ′ > 0 en I. Sea f −1 su función inversa y sea a un número cualquiera de I. Queremos calcular
la derivada de f −1 en el valor f (a).
La pendiente de la recta secante a la gráfica de f −1 que pasa por los puntos ( f (a), a) y
( f (x), x) es:
f −1 ( f (x)) − f −1 ( f (a))
f (x) − f (a)
=
x − a
f (x) − f (a)
=
1
f (x)− f (a)
x−a
.
Sobre esta base consideramos que
Teorema 7.2.2 — Teorema de la Función Inversa. Si f es una función derivable en un intervalo
abierto I tal que f ′(x) > 0 para todo x en el intervalo. Entonces f −1 es derivable en todo b
tal que b = f (a), con a ∈ I. Además se cumple(
f −1
) ′
(b) =
1
f ′(a)
El teorema es válido también en
el caso que f ′(x) < 0 en el inter-
valo. La fórmula para calcular la
derivada de la función inversa es
igual. Demostración Para determinar si la función inversa f
−1 es derivable en algún valor b de
la forma b = f (a) estudiamos el límite del cociente incremental
7.2 Propiedades de la función inversa 7
lı́m
y→b
f −1(y) − f −1(b)
y − b
=
Considerando que f es continua en el intervalo podemos considerar y = f (x) y tomar
x → a sustituyendo
= lı́m
x→a
x − a
f (x) − f (a)
= lı́m
x→a
1
f (x)− f (a)
x−a
=
1
f ′(a)
.
Por lo tanto (
f −1
) ′
(b) =
1
f ′(a)
C Usando la notación de Leibniz para las derivadas podemos escribir, bajo las hipótesis
del teorema
df −1
dy
=
1
d f
dx
,
o, con la convención de y = f (x) versus x = f −1(y) entonces
dx
dy
=
1
dy
dx
� Ejemplo 7.5 Consideremos la función f (x) = −x3 − x2 + 1. Cuando derivamos obtenemos
f ′(x) = −3x2−2x = −x(3x+2). Estudiando los intervalos de positividad y negatividad
de la función f ′(x) podemos afirmar que f ′(x) es negativa en el intervalo (0,+∞).
La función f es invertible en ese intervalo.
Dado que f (0) = 1, su inversa estará definida en el intervalo (−∞, 1). Además,
f ( 12 ) =
5
8 y f
′( 12 ) = −
7
4 . Podemos calcular entonces, sin conocer la fórmula de la
función inversa
( f −1)′( 58 ) =
1
f ′( 12 )
=
1
− 74
= −
4
7
.
x
yf (x) = −x3 − x2 + 1
1
2
5
8
m = − 74
y
x
f −1(y)
5
8
1
2
m = − 47
�
8. Comportamientos asintóticos
“Ella era la tía Re, una especie de hada que llegaba cada dos años llena de regalos, desde los Estados
Unidos, hasta que regresó a Buenos Aires, para desempeñarse como profesora en la Facultad de Farmacia y
Bioquímica. . . Era una mujer con un carácter muy,pero muy fuerte. Ella solía contar con tono risueño que
una vez el Dr. Houssay le dijo, para elogiarla, que era ’una mujer de pelo en pecho’.”
Dra. Lidia Costa , en referencia a la Dra. Rebeca Gerschman (1903 - 1986)
8.1 Asíntotas verticales
En varias oportunidades hemos mencionado y trabajado con funciones con comportamiento
asintótico verticales. Los ejemplos fueron las funciones potencias
f (x) =
1
xn
para n ≥ 1,
y las funciones homográficas
f (x) =
ax + b
cx + d
donde c y d no pueden ser 0 a la vez, y debe ser ad − bc , 0.
x
y
a
Gráfica I
x
y
a
Gráfica II
x
y
a
Gráfica III
x
y
a
Gráfica IV
Figura 8.1: Comportamientos asin-
tóticos verticales.
Actividad 8.1 En las gráficas de la Figura 8.1 se presentan varias opciones de compor-
tamientos asintóticos verticales. Marquen con las opciones a), b), c) y/o d) según lo
siguiente:
a) lı́m
x→a+
f (x) = +∞ b) lı́m
x→a+
f (x) = −∞
c) lı́m
x→a−
f (x) = +∞ d) lı́m
x→a−
f (x) = −∞
�
Actividad 8.2 Unan cada gráfica de la Figura 8.1 con su correspondiente fórmula:
Gráfica I f (x) = 1
(x − a)2
Gráfica II g(x) = − 1
x − a
Gráfica III h(x) = 1
(x − a)3
Gráfica IV r(x) = − 1
(x − a)4
�
El comportamiento asintótico vertical hace referencia a un comportamiento de la función
para valores de x que se acercan un número fijo a. En el Módulo 4 presentamos la noción de
límite para una función numérica
lı́m
x→a
g(x) lı́m
x→a+
g(x) lı́m
x→a−
g(x)
para calcular, por ejemplo, el valor de la derivada mediante el cálculo del límite del cociente
incremental. Pero en algunas situaciones esos límites de la forma x → a o x → a+ o x → a−
no existen: los valores de f (x) no tienden o no se aproximan tanto como se quiere a ningún
número.
2 Capítulo 8. Comportamientos asintóticos
En el caso de los comportamientos asintóticos lo que sucede es que los valores de f (x)
se hacen cada vez más grandes y positivos creciendo cada vez más sin tener ningún “techo”. O
también se hacen cada vez más grandes y negativos disminuyendo cada vez más sin tener un
“piso”.
Para comportamientos asintóticos verticales utilizamos la misma notación compacta
incorporando los símbolos +∞ y −∞ para describir el comportamiento de los valores de f (x).
x
y
a d
x → a+ y f (x) → −∞
x
y
c a
x → a− y f (x) → +∞
x
y
c a
x → a− y f (x) → −∞
Figura 8.2: Ejes coordenados para la
Actividad 8.3
f (x) → +∞ ⇐⇒ Los valores f (x) se hacen grandes y positivos indefinidamente.
f (x) → −∞ ⇐⇒ Los valores f (x) se hacen grandes y negativos indefinidamente.
x
a d
y
+∞x
f (x)
a+ ←− x
Figura 8.3: Representación gráfica de una función tal que lı́m
x→a+
f (x) = +∞.
Actividad 8.3 Analicen las gráficas de la Figura 8.3 y realicen en los ejes cartesianos de la
Figura 8.2 las representaciones correspondientes a los diferentes casos planteados.
�
Resumimos a continuación las definiciones que usaremos para comportamientos asin-
tóticos verticales. Son cuatro definiciones, una para cada una de las situaciones descriptas
previamente.
Definición 8.1.1 — lı́m
x→a+
f (x) = +∞.
Dada una función f definida, al menos, en un intervalo de la forma (a, d), decimos
lı́m
x→a+
f (x) = +∞
si los valores f (x) se hacen grandes y positivos de manera indefinida, siempre que los
valores de x están suficientemente cerca de a (por la derecha).
Definición 8.1.2 — lı́m
x→a−
f (x) = +∞.
Dada una función f definida, al menos, en un intervalo de la forma (c, a), decimos
lı́m
x→a−
f (x) = +∞
si los valores f (x) se hacen grandes y positivos de manera indefinida, siempre que los
valores de x están suficientemente cerca de a (por la izquierda).
8.1 Asíntotas verticales 3
Definición 8.1.3 — lı́m
x→a+
f (x) = −∞.
Dada una función f definida, al menos, en un intervalo de la forma (a, d), decimos
lı́m
x→a+
f (x) = −∞
si los valores f (x) se hacen grandes y negativos de manera indefinida, siempre que los
valores de x están suficientemente cerca de a (por la derecha).
En ninguna de estas definiciones
es necesario que la función es-
té definida en x = a. Al igual
que sucede con los límites con
los que ya hemos trabajado, el
comportamiento asintótico verti-
cal depende exclusivamente de
los valores cercanos a x = a (cer-
canos por la derecha o por la
izquierda).
Definición 8.1.4 — lı́m
x→a−
f (x) = −∞.
Dada una función f definida, al menos, en un intervalo de laforma (c, a), decimos
lı́m
x→a−
f (x) = −∞
si los valores f (x) se hacen grandes y negativos de manera indefinida, siempre que los
valores de x están suficientemente cerca de a (por la izquierda).
Definición 8.1.5 — Asíntota vertical.
En cualquiera de los casos anteriores se dice que la recta vertical x = a es una asíntota
vertical de la gráfica de la función.
También se dice que la función presenta un comportamiento asintótico vertical en x = a.
C Remarcamos la siguiente observación para afianzar el trabajo algebraico que viene a
continuación.
En todos los casos anteriores, los límites no existen. O sea, no dan como resultado un
número real. Los símbolos +∞ y −∞ son sólo símbolos que abrevian el comportamiento
asintótico vertical encontrado y no se puede operar con ellos. No pueden aplicarse las
Propiedades 4.4.1 de suma, resta, multiplicación o división tal cual las conocemos del
Módulo 4. En la siguiente sección presentaremos algunas nuevas propiedades que nos
permitirán determinar límites que involucren operaciones algebraicas.
8.1.1 Propiedades algebraicas de los límites infinitos
En los casos con los que hemos trabajado anteriormente la presencia de asíntotas verticales
proviene de funciones racionales en las que el numerador es una constante distinta de 0 y el
denominador se acerca a 0.
� Ejemplo 8.1 Considerando la función f (x) =
1
x
y el estudio de x → 0+ y x → 0−.
Cuando consideramos x → 0+ es porque pensamos que x toma valores muy pequeños,
cercanos a cero y positivos. Por otro lado, si x → 0− es porque pensamos que x toma
valores muy pequeños, cercanos a cero y negativos. La fracción
1
x
es un número grande
y su signo depende de la regla de los signos entre el numerador y el denominador.
Si x → 0+ entonces
>0︷︸︸︷
1
x︸︷︷︸
x>0
→ +∞ Si x → 0− entonces
>0︷︸︸︷
1
x︸︷︷︸
x<0
→ −∞
lı́m
x→0+
1
x
= +∞ lı́m
x→0−
1
x
= −∞
�
4 Capítulo 8. Comportamientos asintóticos
� Ejemplo 8.2 Analizaremos lı́m
x→2
−3x
x2 − 4x + 4
.
Dado que el denominador tiende a 0 cuando x → 2, no podemos aplicar la propiedad
del cociente para límites. Para x cerca de 2 se tiene que −3x está cerca de −6 mientras
que el denominador es un número pequeño cercano a 0.
Por lo tanto, el límite no existe y la función
f (x) =
−3x
x2 − 4x + 4
presenta en x = 2 un comportamiento asintótico vertical.
Para avanzar en el desarrollo necesitamos conocer qué signo tiene el denominador; que
en este caso se trata de un trinomio cuadrado perfecto
−3x
x2 − 4x + 4
=
→−6 (para x → 2)︷︸︸︷
−3x
(x − 2)2︸ ︷︷ ︸
>0 (para x , 2)
Concluimos entonces que, tanto para x → 2+ o para x → 2−, se tiene
lı́m
x→2−
−3x
x2 − 4x + 4
= −∞ y lı́m
x→2+
−3x
x2 − 4x + 4
= −∞
�
x
y
2
Figura 8.4: Comportamiento asin-
tótico vertical de la función
f (x) =
−3x
x2 − 4x + 4
.
x
y
−1
Figura 8.5: Comportamiento asin-
tótico vertical de la función
g(x) =
3 − x
x2 − x − 2
.
� Ejemplo 8.3 Analizaremos lı́m
x→−1
3 − x
x2 − x − 2
.
Para x cercano a −1 el numerador 3 − x está cerca de 4 (son valores positivos). En
cambio, el denominador x2 − x − 2 tiende a 0 para x → −1. Por lo tanto el límite no
existe y la función g(x) =
3 − x
x2 − x − 2
presenta un comportamiento asintótico vertical
en x = −1.
Estudiaremos qué sucede cuando x → −1+ y x → −1−.
Factorizando el denominador usando las raíces x1 = −1 y x2 = 2 se tiene que
x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2).
Podemos analizar sus intervalos de positividad y negatividad como hicimos en el
Módulo 6 con el Teorema del Valor Intermedio usando algún valor de prueba.
−1 2
+ + + + − − − − −
Para x → −1+ se tiene que x2 − x − 2 < 0 por lo tanto
lı́m
x→−1+
3 − x
x2 − x − 2
= −∞
8.1 Asíntotas verticales 5
Para x → −1− se tiene que x2 − x − 2 > 0 por lo tanto
lı́m
x→−1−
3 − x
x2 − x − 2
= +∞
�
� Ejemplo 8.4 Analizaremos lı́m
x→3
x2 − 4x + 3
x − 3
En este caso, para x → 3 tanto el numerador como el denominador tienden a 0. Por
lo tanto no podemos asegurar que exista un comportamiento asintótico vertical. De
hecho, factorizando el numerador usando las raíces x1 = 3 y x2 = 1 se tiene
x2 − 4x + 3
x − 3
=
(x − 3)(x − 1)
x − 3
para x , 3︷︸︸︷
= x − 1
Por lo tanto,
lı́m
x→3
x2 − 4x + 3
x − 3
= lı́m
x→3
x − 1 = 2
La función
h(x) =
x2 − 4x + 3
x − 3
no tiene un comportamiento asintótico vertical en x = 3. Tiene una discontinuidad
evitable.
�
x
y
3
Figura 8.6: Discontinuidad evitable
de h(x) =
x2 − 4x + 3
x − 3
.
Actividad 8.4 Estudien los siguientes límites y determinen los comportamientos asintóticos
verticales en el caso que los hubiera.
a) lı́m
x→0
x2 + 5
x2
b) lı́m
x→−1
√
x2 + 1
x + 1
c) lı́m
x→2
x + 2
x2 − 4
d) lı́m
x→1
x3 − 1
x2 − 5x + 4
�
Como ya mencionamos, los límites que no existen no tienen reglas algebraicas claras
tal como las aplicamos con los límites que sí existen. Sin embargo existen las siguientes
propiedades. Las propiedades mencionadas en
el teorema también son válidas
en el caso x → a− para funcio-
nes definidas, al menos, en un
intervalo de la forma (c, a).
Teorema 8.1.1 Para dos funciones f y g definidas, al menos, en un intervalo de la forma
(a, d); y L un número real
Respecto a la suma
a) Si lı́m
x→a+
f (x) = +∞ y lı́m
x→a+
g(x) = +∞ entonces lı́m
x→a+
f (x) + g(x) = +∞.
b) Si lı́m
x→a+
f (x) = −∞ y lı́m
x→a+
g(x) = −∞ entonces lı́m
x→a+
f (x) + g(x) = −∞.
c) Si lı́m
x→a+
f (x) = +∞ y lı́m
x→a+
g(x) = L entonces lı́m
x→a+
f (x) + g(x) = +∞.
d) Si lı́m
x→a+
f (x) = −∞ y lı́m
x→a+
g(x) = L entonces lı́m
x→a+
f (x) + g(x) = −∞.
6 Capítulo 8. Comportamientos asintóticos
Respecto al producto
a) Si lı́m
x→a+
f (x) = +∞ y lı́m
x→a+
g(x) = +∞ entonces lı́m
x→a+
f (x).g(x) = +∞.
b) Si lı́m
x→a+
f (x) = −∞ y lı́m
x→a+
g(x) = −∞ entonces lı́m
x→a+
f (x).g(x) = +∞.
c) Si lı́m
x→a+
f (x) = +∞ y lı́m
x→a+
g(x) = −∞ entonces lı́m
x→a+
f (x).g(x) = −∞.
d) Si lı́m
x→a+
f (x) = +∞ y lı́m
x→a+
g(x) = L (L > 0) entonces lı́m
x→a+
f (x).g(x) = +∞.
e) Si lı́m
x→a+
f (x) = −∞ y lı́m
x→a+
g(x) = L (L > 0) entonces lı́m
x→a+
f (x).g(x) = −∞.
C Los ítems c), d) y e) respecto al producto pueden adaptarse intercambiando o cambiando
+∞ −∞
o
L > 0 L < 0
.
En estos casos cambiarán las conclusiones a +∞ o −∞ según la regla de los signos para
la multiplicación.
C En el Teorema 8.1.1 no se detallan propiedades referidas a la resta o la división de
funciones porque en esos casos se utilizan las igualdades
f (x) − g(x) = f (x) +
(
− g(x)
)
f (x)
g(x)
= f (x).
1
g(x)
C Respecto de la suma no están contemplados, bajo ningún aspecto, los casos donde los
términos sumados presentan comportamientos asintóticos distintos. O sea, los casos
lı́m
x→a+
f (x) = +∞ y lı́m
x→a+
g(x) = −∞
deben ser tratados de manera particular sin que pueda establecerse ninguna regla
o propiedad específica. Cada situación podrá tener resultados diversos según las
particularidades de las funciones intervinientes.
C Respecto al producto no están contemplados, bajo ningún aspecto, los casos donde
alguno de los factores tiende a 0. O sea, los casos
lı́m
x→a
f (x) = ∞ y lı́m
x→a
g(x) = 0
deben ser tratados de manera particular sin que pueda establecerse ninguna regla
o propiedad específica. Cada situación podrá tener resultados diversos según las
particularidades de las funciones intervinientes.
8.2 Asíntotas horizontales 7
� Ejemplo 8.5 Consideremos los siguientes límites:
a) lı́m
x→0+
1
x
+
1
x2
b) lı́m
x→0−
1
x
+
1
x2
Dado que lı́m
x→0+
1
x
= +∞ y también lı́m
x→0+
1
x2
= +∞ podemos concluir que
lı́m
x→0+
1
x
+
1
x2
= +∞
Sin embargo, lı́m
x→0−
1
x
= −∞ y lı́m
x→0−
1
x2
= +∞, que son dos comportamientos asintóticos
verticales diferentes por lo que no es posible usar ninguna de las propiedades del
Teorema 8.1.1 respecto a la suma.
Para calcular el límite debemos operar con la expresión hasta que podamos sacar alguna
conclusión. En este caso, podemos sumar las fracciones
1
x
+
1
x2
=
x + 1
x2
e identificar que se trata de un cociente donde el numerador tiende a 1 (que es positivo)
y el denominador tiende a 0con valores también positivos. Por lo tanto,
lı́m
x→0−
1
x
+
1
x2
= +∞
�
x
y
Figura 8.7: Comportamiento asin-
tótico vertical de la función
f (x) =
1
x
+
1
x2
Actividad 8.5 Decidan cuales de los siguientes límites pueden calcularse utilizando las
propiedades del Teorema 8.1.1 y cuáles no.
• En los casos que se pueda usar alguna de las propiedades, indiquen explícitamente
cuál/es se utiliza/n y calculen el límite.
• En los casos que no se pueda usar ninguna de las propiedades, operen adecuadamente
para poder luego calcular el límite.
a) lı́m
x→1
(x − 1).
1
x − 1
b) lı́m
x→4
2(x − 4) +
3
x − 4
c) lı́m
x→0+
1
x
+
1
x3
d) lı́m
x→2+
2
x − 2
−
x
x − 2
e) lı́m
x→0
x.
1
x3
f ) lı́m
x→0
x3.
1
x
�
8.2 Asíntotas horizontales
Otros límites que involucran los símbolos +∞ y −∞ son los de la forma
lı́m
x→+∞
f (x) lı́m
x→−∞
f (x).
En estos casos se considera que la variable independiente x irá tomando valores cada vez
más grandes y positivos (x → +∞); o podrá tomar valores cada vez más grandes y negativos
(x → −∞). De modo que nos interesa conocer cómo se comportan los valores de f (x).
8 Capítulo 8. Comportamientos asintóticos
Por ejemplo, en la Figura 8.8 presentamos dos ejemplos particulares en los que:
• Gráfica I: f (x) → L, siendo L un número real.
• Gráfica II: f (x) → +∞; o sea, los valores de f (x) se hacen grandes y positivos.
x
y
c
f (x)y
L
x −→ +∞
Gráfica I
x
y
c
+∞x
f (x)
x −→ +∞
Gráfica II
Figura 8.8: Dos ejemplos para comportamientos de lı́m
x→+∞
f (x).
Estudiaremos estos, y otros comportamientos, para x → +∞ o para x → −∞
Definición 8.2.1 — lı́m
x→+∞
f (x) = L.
Dada una función definida en algún intervalo de la forma (c,+∞) diremos que
lı́m
x→+∞
f (x) = L
siempre que los valores f (x) estén aproximándose al número L, tan cerca como querramos,
tomando a x con valores grandes y positivos.
8.2 Asíntotas horizontales 9
Definición 8.2.2 — lı́m
x→+∞
f (x) = +∞.
Dada una función definida en algún intervalo de la forma (c,+∞) diremos que
lı́m
x→+∞
f (x) = +∞
siempre que los valores f (x) se hagan grandes y positivos a medida que los valores de x
van tomando valores grandes y positivos.
Actividad 8.6 ¿Cómo correspondería definir los siguientes casos?
lı́m
x→+∞
f (x) = −∞
lı́m
x→−∞
f (x) = +∞ lı́m
x→−∞
f (x) = −∞ lı́m
x→−∞
f (x) = L
Enuncien las definiciones de los 4 casos anteriores y realicen las representaciones gráficas
correspondientes.
�
Definición 8.2.3 — Asíntota horizontal.
En los casos que lı́m
x→+∞
f (x) = L o lı́m
x→−∞
f (x) = L, se dice que la recta horizontal
y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de la función.
También se dice que la función presenta un comportamiento asintótico horizontal para
x → +∞ (o para x → −∞).
Existen situaciones en las que los
comportamientos para x → +∞
o x → −∞ no se corresponde
con ninguno de los casos presen-
tados en esta sección. Por ejem-
plo, casos oscilatorios que desa-
rrollaremos más adelante con las
funciones trigonométricas.
� Ejemplo 8.6 La función f (x) =
1
x
cumple que
lı́m
x→+∞
1
x
= 0 y lı́m
x→−∞
1
x
= 0
La única asíntota horizontal de la gráfica de la función es la recta y = 0.
�
� Ejemplo 8.7 La función g(x) = x2 cumple que
lı́m
x→+∞
x2 = +∞ y lı́m
x→−∞
x2 = +∞
Los valores de x2 se hacen grandes y positivos, tanto para valores de x grandes y
positivos como para x grandes y negativos. La gráfica no presenta comportamiento
asintótico horizontal.
�
8.2.1 Propiedades algebraicas de los límites para x → +∞ o x → −∞
Los límites para x → +∞ o x → −∞ tienen las mismas propiedades algebraicas que los
límites para x → a en en los casos de f (x) → L. O sea, en los casos que los límites existen:
se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir (salvo que el denominador tienda a 0). Cuando
alguno, o ambos, de los límites da como resultado +∞ o −∞ el comportamiento es similar al
descripto en el Teorema 8.1.1.
10 Capítulo 8. Comportamientos asintóticos
Teorema 8.2.1 Dadas f y g definidas en un intervalo de la forma (c,+∞) se tiene
Respecto a la suma
a) Si lı́m
x→+∞
f (x) = +∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = +∞ entonces lı́m
x→+∞
f (x) + g(x) = +∞.
b) Si lı́m
x→+∞
f (x) = −∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = −∞ entonces lı́m
x→+∞
f (x) + g(x) = −∞.
c) Si lı́m
x→+∞
f (x) = +∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = L entonces lı́m
x→+∞
f (x) + g(x) = +∞.
d) Si lı́m
x→+∞
f (x) = −∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = L entonces lı́m
x→+∞
f (x) + g(x) = −∞.
Respecto al producto
a) Si lı́m
x→+∞
f (x) = +∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = +∞ entonces lı́m
x→+∞
f (x).g(x) = +∞.
b) Si lı́m
x→+∞
f (x) = −∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = −∞ entonces lı́m
x→+∞
f (x).g(x) = +∞.
c) Si lı́m
x→+∞
f (x) = +∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = −∞ entonces lı́m
x→+∞
f (x).g(x) = −∞.
d) Si lı́m
x→+∞
f (x) = +∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = L (L > 0) entonces lı́m
x→+∞
f (x).g(x) = +∞.
e) Si lı́m
x→+∞
f (x) = −∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = L (L > 0) entonces lı́m
x→+∞
f (x).g(x) = −∞.
Las propiedades mencionadas en
el teorema también son válidas
en los casos x → −∞.
C Los ítems c), d) y e) respecto al producto pueden adaptarse intercambiando o cambiando
+∞ −∞
o
L > 0 L < 0
.
En estos casos cambiarán las conclusiones a +∞ o −∞ según la regla de los signos para
la multiplicación.
C En el Teorema no se detallan propiedades referidas a la resta o la división de funciones
porque en esos casos se utilizan las igualdades
f (x) − g(x) = f (x) +
(
− g(x)
)
f (x)
g(x)
= f (x).
1
g(x)
C Y hacemos la misma observación que para el Teorema 8.1.1 para las propiedades
respecto de la suma dado que no están contemplados, bajo ningún aspecto, los casos
donde los términos sumados presentan comportamientos asintóticos distintos. O sea, los
casos
lı́m
x→+∞
f (x) = +∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = −∞
o, respecto del producto, los casos alguno de los factores tiende a 0
lı́m
x→+∞
f (x) = ∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = 0.
Estos casos deben ser tratados de manera particular sin que pueda establecerse ninguna
regla o propiedad específica. Cada situación podrá tener resultados diversos según las
particularidades de las funciones intervinientes.
8.2 Asíntotas horizontales 11
� Ejemplo 8.8 Comportamiento en el infinito de una función polinomial.
Para una función polinómica de la forma
f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0
haremos lo siguiente: sacar factor común el factor anxn (sabiendo que an , 0):
f (x) = anxn
(
1 +
an−1
an
1
x
+ · · · +
a1
an
1
xn−1
+
a0
an
1
xn
)
.
El factor entre paréntesis se comporta de la siguiente manera
1 +
an−1
an
1
x︸ ︷︷ ︸
tiende a 0 cuan-
do x → ±∞
+ · · · +
a1
an
1
xn−1︸ ︷︷ ︸
tiende a 0 cuan-
do x → ±∞
+
a0
an
1
xn︸︷︷︸
tiende a 0 cuan-
do x → ±∞︸ ︷︷ ︸
tiene a 1 cuando x → ±∞
Por lo tanto, para la función polinómica tenemos
lı́m
x→±∞
f (x) = lı́m
x→±∞
anxn.
El comportamiento asintótico para x → +∞ o para x → −∞ de las funciones
polinómicas está determinado exclusivamente por el comportamiento del término de
mayor grado anxn.
�
Actividad 8.7
a) Repitan el procedimiento del Ejemplo 8.8 para la función f (x) = −5x5+2x4− x3+1.
b) El comportamiento de una función polinómica para x → ±∞ depende de dos cosas:
el signo del coeficiente an y si el exponente n es par o impar. Completen la siguiente
tabla:
lı́m
x→+∞
anxn lı́m
x→−∞
anxn
n par an < 0
n par an > 0
n impar an < 0
n impar an > 0
c) Calculen los siguientes límites
a) lı́m
x→+∞
−7x4 + 2x − 1 b) lı́m
x→−∞
−x3 − x2 + 3
c) lı́m
x→−∞
√
2 x6 + x7 d) lı́m
x→+∞
x2 + x
�
12 Capítulo 8. Comportamientos asintóticos
� Ejemplo 8.9 Comportamiento en el infinito de una función racional.
Para funciones racionales f (x) =
p(x)
q(x)
donde p(x) y q(x) son funciones polinómicas
realizaremos el procedimiento del Ejemplo 8.8 en el numerador y en el denominador
lo que nos permitirá calcular por ejemplo
lı́m
x→±∞
−2x2 + x − 1
x3 + 3
de la siguiente manera
Para el numerador: −2x2 + x − 1 = −2x2
(
1 +
1
−2x
−
1
−2x2
)
.
Para el denominador: x3 + 3 =x3
(
1 +
3
x3
)
.
Por lo tanto, considerando que x → ±∞
−2x2 + x − 1
x3 + 3
=
−2x2
(
1 + 1
−2x −
1
−2x2
)
x3
(
1 + 3
x3
) = −2
x︸︷︷︸
tiende a 0
.
tiende a 1︷ ︸︸ ︷(
1 +
1
−2x
−
1
−2x2
)
(
1 +
3
x3
)
︸ ︷︷ ︸
tiende a 1
O sea, lı́m
x→±∞
−2x2 + x − 1
x3 + 3
= 0. La gráfica de la función f (x) =
−2x2 + x − 1
x3 + 3
presenta
una asíntota horizontal en la recta y = 0.
�
Actividad 8.8 Calculen los límites para x → +∞ y para x → −∞ de las funciones:
a) f (x) =
2x + 3
5x + 7
b) g(x) =
x + 1
x2 + 3
c) r(x) =
1 − 12x3
4x2 + 12
d) m(x) =
7x3
x3 − 3x2 + 6x
e) w(x) =
2x5 + 3
−x2 + x
f ) p(x) =
x4
x3 + 1
�
Actividad 8.9 Con un procedimiento similar al realizado para funciones racionales es
posible calcular límites donde la potencia de x no sea entera o sea negativa. Siempre
corresponde “sacar factor común” la potencia más grande de x.
a) lı́m
x→+∞
2
√
x + x−1
3x − 7
b) lı́m
x→−∞
3√x − 5
√
x
3√x + 5
√
x
c) lı́m
x→+∞
2x5/3 − x1/3 + 7
x8/5 + 3x +
√
x
�
9. Modelos exponenciales. Primera parte
“Cuando se habla sobre el aprendizaje y las ciencias, la gente no piensa en las mujeres.”
Wang Zhenyi (1768-1797)
9.1 Modelos exponenciales
En este módulo introduciremos algunos modelos relacionados con las denominadas
funciones exponenciales y logarítmicas en contextos de las ciencias biológicas o de las
ciencias químicas. Las funciones exponenciales y logarítmicas permitirán modelar los
siguientes procesos (físicos - químicos - biológicos):
Crecimiento y decrecimiento continuo de una población
El primer modelo que consideraremos, por ser el más sencillo y simple, se refiere a la
reproducción bacteriana. Este proceso se denomina fisión binaria y en él, cada bacteria se
divide en dos. En condiciones ambientales y de alimentación adecuadas, las bacterias pueden
reproducirse muy rápidamente, requiriendo pocos minutos. Sin embargo, en un cultivo de
bacterias, es frecuente que la fisión binaria no se realice en forma sincronizada entre todas las
bacterias presentes, de modo que sólo una parte (una fracción) del total de bacterias presentes
en el cultivo realiza la división en cada instante de tiempo t (medido en alguna unidad de
medición).
Figura 9.1: Cultivo de bacterias.
Métodos de conteo para medir el tamaño
de una población bacteriana:
Conteo directo por microscopio usando
portaobjetos especiales (cámaras de con-
teo o cámaras de conteo electrónicas). No
permite distinguir entre células vivas y
muertas.
Conteo indirecto (recuento de placas):
se diluye la muestra en un diluyente no
tóxico. Si se coloca en un medio adecua-
do, cada unidad viable crece y forma una
colonia que se puede contar (UFC) y el
número de UFC se relaciona con la can-
tidad de bacterias viables en la muestra.
http://textbookofbacteriology.
net/kt_toc.html
El modelo más sencillo para estudiar el crecimiento de una población de bacterias considera
como hipótesis central que en cada instante de tiempo t, la porción de bacterias que se duplica
es siempre la misma. Si consideramos como N(t) la función que determina el tamaño (en
alguna unidad de medida) de la población en función del tiempo t (en alguna unidad de medida)
se tendrá
N ′(t)︸︷︷︸
Velocidad de crecimiento
= k .N(t)︸ ︷︷ ︸
La constante k representa
la proporción de población
que se divide.
La constante k se denomina tasa de reproducción relativa de la población. Podemos
contemplar situaciones más abarcativas al considerar poblaciones en las que puede aumentar
la cantidad de individuos por nacimientos o por inmigración de nuevos individuos; o puede
disminuir por muertes o por emigración.
N ′(t) = a.N(t)︸ ︷︷ ︸
Nacimientos
+ b.N(t)︸ ︷︷ ︸
Inmigración
− c.N(t)︸︷︷︸
Muertes
− d.N(t)︸ ︷︷ ︸
Emigración
N ′(t) = (a + b − c − d)N(t)
N ′(t) = k .N(t) (9.1)
La tasa de reproducción relativa k es la suma/resta de los distintos aportes que hacen variar
la cantidad de población.
Concentración de una sustancia en un proceso químico. Cinética química.
La concentración de una sustancia que reacciona en un proceso químico de primer orden
varía según pasa el tiempo. En estos casos se considera que la velocidad con la cuál se produce
esta variación es proporcional a la concentración de la sustancia. O sea,
d[A]
dt
= −k[A] (9.2)
donde consideramos [A] como la concentración de la sustancia A y siendo k la tasa de
reacción (constante) del reactivo A. La concentración [A] se toma en alguna unidad de medida
correspondiente; como por ejemplo: concentración molar, normalidad, %P/P , %P/V .
http://textbookofbacteriology.net/kt_toc.html
http://textbookofbacteriology.net/kt_toc.html
2 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
Decaimiento de una sustancia radiactiva
En forma similar, en un proceso de decaimiento radiactivo se considera que la cantidad
de una sustancia radiactiva disminuye a una velocidad que es proporcional a la cantidad de
sustancia
dN
dt
= −kN(t) (9.3)
donde N(t) representa la cantidad de sustancia radiactiva en función del tiempo; y k es la tasa
de decaimiento de la sustancia.
Las tres ecuaciones anteriores (9.1), (9.2) y (9.3) tienen la misma forma al considerar una
constante k y una función derivable f (x) que cumple
f ′(x) = k . f (x) (9.4)
La existencia de una función que cumpla la ecuación (9.4) la aceptaremos según el siguiente
teorema.
Teorema 9.1.1—Funciones exponenciales. Dado a > 0 (un número real fijo y positivo), existe
una función continua y derivable cuyo dominio es todo R llamada función exponencial de
base a, que denotaremos por
f (x) = ax
y que tiene las siguientes propiedades: a y b son números positivos; x e y son números
cualquiera:
ax+y = ax .ay ax.y = (ax)y (a.b)x = ax .bx
Esta función cumple la ecuación (9.4); o sea, para alguna constante k se tiene
f ′(x) = k . f (x)
9.2 Funciones exponenciales
Actividad 9.1 Considerando la función exponencial f (x) = ax , respondan.
a) Suponiendo que n ∈ N y m ∈ Z, con m , 0. Completen:
an = a.a . . . a︸ ︷︷ ︸
n-veces
a−1 =
a−n = a1/n =
am/n =
b) Considerando a = 2; o sea f (x) = 2x , completen la siguiente tabla:
x 3/4 0 3 0.1 1.25 −2.3 1 10
2x por definición 23/4
2x según el exponente 4
√
23
2x aproximando ≈ 1.68
�
9.2 Funciones exponenciales 3
Los valores de la función f (x) = 2x pueden calcularse para cualquier número x fraccionario
de manera similar a cómo se resuelve la Actividad 9.1. Para completar todos los números reales
faltaría evaluar en los valores de x irracionales. Por ejemplo, si consideramos x = π haremos,
3 < π < 4 =⇒ 23 < 2π < 24
3.1 < π < 3.2 =⇒ 23.1 < 2π < 23.2
3.14 < π < 3.15 =⇒ 23.14 < 2π < 23.15
3.141 < π < 3.142 =⇒ 23.141 < 2π < 23.142
pudiendo seguir este procedimiento indefinidamente. Aceptaremos (sin demostralo) que el
número 2π está bien definido como aquel que se encuentra comprendido en todos los intervalos
2p/q < 2π < 2P/Q
siempre que p/q y P/Q sean números fraccionarios con
p
q
< π <
P
Q
. En particular, usando la
última fila de los cálculos anteriores tenemos
8.8213 < 2π < 8.8274.
Un procedimiento similar se usará para calcular ax para cualquier base a > 0 y cualquier
otro exponente x irracional.
La Figura 9.2muestra las gráficas de algunas funciones exponenciales y = ax con diferentes
valores de la base a.
x
y
10x
1x
4x 2x
(
1
2
)x ( 1
4
)x
(1.5)x
Figura 9.2: Gráficas de las funciones y = ax para valores de a = 14,
1
2, 1, 1.5, 2, 4 y 10.
• Todas las gráficas pasan por el punto (0, 1) porque a0 = 1 para a , 0.
• Para a , 1 la imagen de ax es el intervalo (0,+∞).
• Si 0 < a < 1, f (x) = ax es una función decreciente de x.
Si x1 < x2 entonces ax1> ax2
• Si a = 1, f (x) = 1 es una función constante de x.
• Si a > 1, f (x) = ax es una función creciente de x.
Si x1 < x2 entonces ax1< ax2
x
y
(0, 1)
a) f (x) = ax con 1 < a
x
y
(0, 1)
b) f (x) = 1x
x
y
(0, 1)
c) f (x) = ax con 0 < a < 1
4 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
9.3 Funciones logarítmicas
Si a > 0 y a , 1, la función exponencial f (x) = ax es una funcióncreciente o decreciente
en todo R, y por lo tanto es uno a uno (recordar la prueba de la recta horizontal).
Definición 9.3.1 — Función logaritmo. Se denomina logaritmo con base a (a > 0 y a , 1)
a la función inversa de la función exponencial f (x) = ax . Se escribe loga(x). Por lo tanto
loga(x) = y ⇔ a
y = x.
El dominio de la función loga(x) es el intervalo (0,+∞).
Se dice y es el logaritmo de x en base a.
En otras palabras, y = loga(x) es la respuesta a la pregunta
¿Qué número y cumple que x = ay?
� Ejemplo 9.1 Como 23 = 8, 21/2 =
√
2, 2−1 =
1
2
tenemos que
log2(8) = 3, log2(
√
2) =
1
2
, log2
(
1
2
)
= −1.
Además, log2(−3) no existe porque no existe ningún número y para el cual 2
y = −3
(2y es siempre positivo).
Tampoco existe log−3(2) porque y = log−3(2) tendría que ser algún número real que
satisfaga (−3)y = 2, y no se encuentra definida la exponencial para bases negativas.
�
Como se vio en el Módulo 8, la gráfica de la función loga(x) es la reflexión de la gráfica
de la función f (x) = ax con respecto a la recta y = x. La Figura 9.3 muestra el caso a > 1.
x
y Recta y = xax
loga(x)
(0, 1)
(1, 0)
Figura 9.3: Gráficas de las funciones f (x) = ax y f −1(x) = loga(x) en espejo respecto a la
recta y = x. Caso con a > 1.
9.3 Funciones logarítmicas 5
Propiedad 9.3.1 Si x e y son números positivos, r un número real cualquiera entonces
• loga(x.y) = loga(x) + loga(y) • loga
(
x
y
)
= loga(x) − loga(y)
• logb(x) =
logc(x)
logc(b)
• loga(x
r ) = r loga(x)
La Figura 9.4 muestra las gráficas de y = loga(x) para varios valores de la base a. Como
logb(1) = 0, las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0).
x
y
log10(x)
log2(x)
log1/2(x)
log1/3(x)
log3(x)
Figura 9.4: Gráficas de las funciones y = loga(x) para valores de a = 2, 3, 12 ,
1
3 y 10.
Veamos algunos ejemplos de resolución de ecuaciones con exponenciales y logaritmos
para practicar las propiedades.
� Ejemplo 9.2 Resolvemos la ecuación 2x
2+x−4 = 4 usando que la logaritmo en base 2 es la
función inversa de la función exponencial de base 2. También tenemos en cuenta que
ambos términos de la ecuación son positivos.
2x
2+x−4 = 4⇐⇒ x2 + x − 4 = log2(4) ⇐⇒ x
2 + x − 4 = 2⇐⇒ x2 + x − 6 = 0
Hay dos soluciones x1 = 2 y x2 = −3 (resolver la ecuación cuadrática del final). �
� Ejemplo 9.3 De manera similar resolvemos la ecuación log3(2x − 7) = 2. En este caso
tenemos que considerar desde el comienzo que no se aceptan soluciones tales que
2x − 7 ≤ 0. Con esto en el tintero resolvemos
log3(2x − 7) = 2⇐⇒ 2x − 7 = 3
2 ⇐⇒ 2x = 16⇐⇒ x = 8
El valor x1 = 8 es válido como solución porque cumple 2x1 − 7 = 9 > 0. �
6 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
Desigualdades (con exponen-
ciales y logaritmos)
Para resolver desigualdades se
puede operar de manera similar
pero teniendo en cuenta que las
funciones exponenciales y loga-
rítmicas son crecientes o decre-
cientes según sea la base mayor
o menor que 1.
Si la base es mayor que 1, la de-
sigualdad se mantiene; si la base
es menor que 1, la desigualdad
se invierte.
� Ejemplo 9.4 Resolvemos la desigualdad log4(x − 1) < 1. Debemos considerar que el
conjunto de validez de la desigualdad está determinado por los x tales que x − 1 > 0.
log4(x − 1) < 1
La base es 4 > 1︷︸︸︷
⇐⇒ x − 1 < 41 ⇐⇒ x < 5
Debemos considerar ahora que los valores x buscados deben cumplir x > 1 y x < 5.
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad son los x tales que 1 < x < 5.
�
Actividad 9.2 Determinen los dominios naturales de las siguientes funciones.
a) f (x) =
1
4x − 1
b) g(x) =
1
log2(x)
c) h(x) =
√
5x − 3
�
9.4 Derivada de ax y definición de e
De acuerdo al Teorema 9.1.1, las funciones exponenciales f (x) = ax son derivables en
todo R y cumplen la ecuación fundamental
(ax)′ = k .ax (9.5)
para alguna constante k. Será una constante distinta según la base de la función exponencial
f (x) = ax . La constante k está asociada a la base de la función exponencial
En la Sección 9.1 se presentó a
la constante k en diferentes si-
tuaciones de modelos exponen-
ciales asociándola, por ejemplo,
como la tasa de reproducción
relativa de una población o la
tasa de decaimiento de una sus-
tancia radiactiva.
Teorema 9.4.1 — Número e y derivada de ax . Existe un número positivo, denominado e, tal
que la función exponencial f (x) = ex cumple que k = 1. O sea,
(ex)′ = ex
Para cualquier otro número a > 0 se tiene (ax)′ = loge(a).a
x .
El número e es irracional: no
puede escribirse como fracción
entre dos números enteros. Su
valor aproximado es
e ≈ 2.718281828459045
Demostración Asumiremos como válida la existencia del número e (no haremos la
demostración).
Reescribimos ax usando la igualdad a = eloge (a) y elevando a la x ambos lados
a = eloge (a)
ax =
(
eloge (a)
)x
= eloge (a)x
y usando la regla de la cadena en el miembro de la derecha obtenemos
(ax)′ =
(
eloge (a)x
) ′
= loge(a)e
loge (a)x = loge(a)a
x
Definición 9.4.1 — Función logaritmo natural ln(x). El logaritmo con base e se llama loga-
ritmo natural y se escribe
ln(x) = loge(x)
.
C Luego se tiene que
eln(x) = x para x > 0 ln(ex) = x para todo x
9.5 Derivada del logaritmo 7
� Ejemplo 9.5 Ejemplos de derivadas de funciones exponenciales.
d
dx
(2x) = loge(2) 2
x = ln(2) 2x
d
dx
(4x) = loge(4) 4
x = ln(4) 4x
d
dx
(3x) = loge(3) 3
x = ln(3) 3x
d
dx
(πx) = loge(π) π
x = ln(π) πx
�
Las siguientes expresiones son
distintas entre sí
ex
2
, (ex)2
Por convención se considera
ex
2
= e(x
2).
Actividad 9.3 Calculen las derivadas de las siguientes funciones.
a) f (x) = e3x b) g(x) = ex
2
c) h(x) =
ex + 1
ex − 1
d) m(x) = x2ex e) p(x) = ex 2x f ) q(x) = x3 + 3x
�
Actividad 9.4 Determinen los valores estacionarios de las funciones de la Actividad 9.3. �
9.5 Derivada del logaritmo
Calcularemos la derivada de la función logarítmica f (x) = loga(x). En primer lugar, según
lo visto en el Módulo 8, podemos afirmar que la función es derivable en todo su dominio
porque es la función inversa de g(x) = ax (que ya vimos es derivable y además su derivada es
siempre positiva o siempre negativa). Partiendo entonces de la igualdad
a f (x) = x,
podemos derivar (todas las funciones involucradas son derivables) ambos miembros de la
igualdad
d
dx
[a f (x)] =
d
dx
[x] =⇒ ln(a) a f (x) f ′(x) = 1.
Podemos despejar f ′(x)
f ′(x) =
1
ln(a) a f (x)
=︸︷︷︸
a f (x)=x
1
x ln(a)
Teorema 9.5.1 — Derivada de funciones logarítmicas.
Las funciones logarítmicas f (x) = loga(x) son derivables en todo x ∈ (0,+∞) y además
f ′(x) =
1
x ln(a)
En particular
d
dx
[ln(x)] =
1
x
para todo x > 0
8 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
Actividad 9.5 Calculen las derivadas de las siguientes funciones
a) f (x) = ln(3x) b) g(x) = ln(x5) c) h(x) = ln(x) + x
d) m(x) =
x
ln(x)
e) t(x) =
ln(x)
x
f ) q(x) = x3 ln(x)
g) p(x) = ln(x4 + 2x3 − 1) h) x(y) = ln(3 − y2) i) f (w) = ln
(
3w − 1
1 + 4w
)
�
Actividad 9.6 Den los intervalos de crecimiento/decrecimiento de f (x) = x ln(x). �
Actividad 9.7 [Derivación logarítmica] En varias ocasiones puede ser complicado y
trabajoso calcular la derivada de funciones que involucran productos, cocientes o potencias.
Esta tarea puede ser simplificada mediante los logaritmos. Por ejemplo, para calcular la
derivada de la función
f (x) = xx
aplicamos ln(x) a ambos lados de la igualdad y aplicamos las propiedades de los logaritmos
de la siguiente manera:
f (x) = xx
ln ( f (x)) = ln (xx)
= ↓ (aplicando propiedad del logaritmo)
ln ( f (x)) = x ln(x)
Y a continuación derivamos con respecto a x a ambos lados de la igualdad
(ln ( f (x)))′ = (x ln(x))′
(regla de la cadena) ↓ = ↓ (regla del producto)
1
f (x)
f ′(x) = ln(x) + x.
1
x
= ln(x) + 1
y luego despejamos f ′(x)
1
f (x)
f ′(x) = ln(x) + 1
f ′(x) = f (x) (ln(x) + 1)
f ′(x) = xx (ln(x) + 1)
Calculen las derivadas de las siguientes funciones
a) f (x) = x(e
x ) b) (x2 + 3)3x+1 c) h(x) = x−x
�
9.6 Modelos exponenciales. Segunda parte 9
9.6 Modelos exponenciales. Segunda parte
Sabemos entoncesque las funciones exponenciales f (x) = ax cumplen con la ecuación
(ax)′ = k .ax
Otras funciones, similares, que también cumplen la ecuación y que permiten trabajar con
modelos exponenciales tales como los presentados en la Sección 9.1 son de la forma
f (x) = C.ekx = C.ax
donde hemos considerado que ek = a, o en forma equivalente k = ln(a).
De esta manera, los modelos exponenciales quedan determinados por dos parámetros: C y k.
• La constante k se denomina tasa de reproducción relativa porque es el cociente entre
la velocidad con la que se desarrolla el proceso (por ejemplo: el crecimiento poblacional)
y la cantidad neta que se estudia (por ejemplo: la cantidad de individuos).
k =
velocidad del proceso
cantidad neta
=
f ′(x)
f (x)
• La constante C se denomina cantidad inicial dado que si consideramos a x = 0 como
el instante inicial del proceso entonces
f (0) = C.ek.0 = C.1 = C
� Ejemplo 9.6 La población mundial fue de 2560 millones en el año 1950 y de 3040 millones
en el año 1960. Asumimos que el crecimiento de la población puede estudiarse con un
modelo exponencial, ¿cuál fue la tasa de reproducción relativa?
Proponemos que P(t) = C.ekt determina la cantidad de individuos (en millones de
habitantes) contando t en años a partir de 1950; o sea, t = 0 es el instante inicial:
C = P(0) = 2560
Por otro lado, para determina la población mundial en el año 1960 corresponde evaluar
P(10) debiéndose cumplir
3040 = 2560ek10
que representa una ecuación para la determinar la tasa de reproducción relativa de
la población mundial. La resolvemos
3040 = 2560e10k
3040
2560 = e
10k
ln
(
19
16
)
= 10k
1
10 ln
(
19
16
)
= k
k ≈ 0.017185
Evaluando en t = 68 podemos estimar la población en el año 2018,
P(68) = 2560e0.017175×68 ≈ 8236.6
Estimamos que en la actualidad hay 8236.6 millones de habitantes en el planeta.
¿Pueden corroborar esta predicción en internet?
�
10 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
� Ejemplo 9.7 En un proceso de decaimiento radiactivo se denomina vida media de una
sustancia al tiempo requerido para que la sustancia decaiga, desde una cantidad inicial
de materia, hasta la mitad. Por ejemplo, la vida media del radio-226 es de 1560 años.
¿Cuál es la tasa de decaimiento de la sustancia?
Si consideramos una cantidad inicial de 100 mg de Radio-226, entonces sabemos que
1560 años después tendremos, por decaimiento radiactivo, 50 mg de sustancias.
Proponemos el modelom(t) = 100.ekt considerando a t el tiempo (en años) transcurrido
y m(t) la cantidad de sustancia (en mg). Podemos plantear, según la información de la
vida media, que
m(1560) = 50
y usar la ecuación para determinar k, la tasa de decaimiento de la sustancia
m(1560) = 50
100e1560k = 50
e1560k =
1
2
1560k = ln
(
1
2
)
k =
1
1560
ln
(
1
2
)
k =
− ln(2)
1560
La tasa de decaimiento del Radio-226 es k =
− ln(2)
1560
≈ −4.44325 × 10−4.
�
Actividad 9.8 Una población de protozoos se desarrolla con una tasa de reproducción
relativa de 0.7944 de individuos por día. En el día inicial, la población contaba con 2
miembros. Determinen el tamaño de la población al sexto día. �
Actividad 9.9 En los intestinos humanos habita de manera habitual la bacteria escherichia
coli. Una célula de esta bacteria se divide en 2 células cada 20 minutos. Considerando que
la población inicial de un cultivo es de 60 células.
a) Encuentren la tasa de crecimiento relativa de la población.
b) Encuentren una expresión para la función que determina el tamaño de la población
al minuto t.
c) Encuentren el número de bacterias en la población luego de 8 horas.
d) ¿En qué momento la población alcanza un tamaño de 20000 bacterias?
�
Actividad 9.10 La vida media del cesio-137 es de 30 años. Comenzando con una muestra
de 100 mg.
a) Encuentren la cantidad de sustancia que queda luego de t años.
b) ¿Qué cantidad de sustancia queda luego de 100 años?
c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que quede 1 mg?
�
Actividad 9.11 Es posible estimar la edad de un objeto antiguo (como huesos, muebles,
tablas) mediante el método de datación radiométrica. En algunas circunstancias se utiliza
9.7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos 11
la sustancia Carbono-14 porque se encuentra presente en los organismos vivos. Mientras un
organismo está vivo, intercambia constantemente sus átomos de carbono con el ambiente,
y la proporción entre Carbono-14 y Carbono-12 (isótopo estable del elemento Carbono) es
la misma que en la atmósfera. Cuando el organismo muere el decaimiento radiactivo del
Carbono-14 hace que la relación relativa respecto al Carbono-12 vaya disminuyendo en
relación a la presente en la atmósfera.
Se ha encontrado un fragmento de un pergamino que tiene el 74% de Carbono-14/Carbono-
12 respecto del Carbono-14/Carbono-12 en la atmósfera. Considerando que la vida media
del Carbono-14 es de 5730 años aproximadamente, estimen la edad del fragmento de
pergamino hallado.
�
9.7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos
9.7.1 Comportamientos asintóticos
Para estudiar los comportamientos asintóticos de las funciones exponenciales y logarítmicas
trabajaremos con las funciones f (x) = ex y g(x) = ln(x).
x
y
f (x) = ex
Figura 9.5: Gráfica de la función
f (x) = ex .
x
y
g(x) = ln(x)
Figura 9.6: Gráfica de la función
g(x) = ln(x).
Actividad 9.12 Completen con valores correspondientes utilizando la información de las
Figuras 9.5 y 9.6.
a) lı́m
x→+∞
ex = b) lı́m
x→−∞
ex =
c) lı́m
x→+∞
ln(x) = d) lı́m
x→0+
ln(x) =
�
Actividad 9.13 Tachen lo que no corresponda en cada caso.
a) La función f (x) = ex tiene un comportamiento asintótico horizontal / vertical para
x → −∞. La recta y=0 / x=0 es una asíntota horizontal / vertical.
b) La función g(x) = ln(x) tiene un comportamiento asintótico horizontal / vertical
para x → 0+. La recta y=0 / x=0 es una asíntota horizontal / vertical.
�
En el Módulo 7 desarrollamos técnicas para el cálculo de límites de la forma
lı́m
x→+∞
√
x + 3x2 − 1
x + 3x9 + 9
lı́m
x→−∞
x1/3 + x2/5
x + 3x1/5
para de determinar los comportamientos asintóticos de funciones racionales y algebraicas.
En esta sección trabajaremos con situaciones similares pero en las que intervienen funciones
exponenciales y logarítmicas.
En el caso de cocientes de polinomios, o de funciones potencias, pudimos resolver la
situación comparando los grados de los polinomios o los índices de las potencias. En el
caso de funciones exponenciales o logarítmicas utilizaremos los siguientes resultados (sin
demostrarlos).
Teorema 9.7.1 — Comparación de crecimientos. Sea r > 0. Entonces,
a) lı́m
x→+∞
xr
ex
= 0 b) lı́m
x→+∞
xr
ln(x)
= +∞
O sus equivalentes
a) lı́m
x→+∞
ex
xr
= +∞ b) lı́m
x→+∞
ln(x)
xr
= 0
12 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
C El Teorema 9.7.1 establece que, para x → +∞, los valores de e
x crecen mucho más
rápidamente que los valores de xr de modo que el cociente
xr
ex
tiende a 0. En los libros,
esta situación se suele escribir como
xr � ex para x → +∞
Por el contrario, los valores de ln(x) crecen de manera muy lenta respecto a xr de modo
que el cociente
xr
ln(x)
tiende a +∞. Se escribe
ln(x) � xr para x → +∞
C Los comportamientos para las funciones exponenciales o logarítmicas de la forma
general ax o loga(x) se estudian mediante las igualdades
ax = eln(a)x loga(x) =
ln(x)
ln(a)
Definición 9.7.1 — Órdenes de magnitud. Si f y g son dos funciones que cumplen
lı́m
x→+∞
f (x) = +∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = +∞
se dice que f (x) tienen mayor orden de magnitud que g(x) para x → +∞ en el caso que
lı́m
x→+∞
f (x)
g(x)
= +∞
Se escribre g(x) � f (x) para x → +∞.
9.7.2 Límites asociados a cocientes incrementales
Otros dos límites básicos que involucran a las funciones ex y ln(x) son los siguientes
Teorema 9.7.2 — Cocientes incrementales. Se tiene que
a) lı́m
x→0
ex − 1
x
= 1 b) lı́m
x→1
ln(x)
x − 1
= 1
Demostración Si consideramos la función f (x) = ex y calculamos su derivada en x = 0
usando la definición (con el cociente incremental) obtenemos
f ′(0) = lı́m
x→0f (x) − f (0)
x − 0
= lı́m
x→0
ex − e0
x
= lı́m
x→0
ex − 1
x
Pero sabemos que f ′(x) = ex . Por lo que f ′(0) = e0 = 1.
Actividad 9.14 Realicen la demostración del segundo límite del Teorema 9.7.2. �
Los seis límites resumidos en los Teoremas 9.7.1 y 9.7.2 se consideran básicos desde
el punto de vista de que con ellos es posible calcular otros con funciones exponenciales
o logarítmicas de base diferente a e; o que se presentan con operaciones algebraicas entre
ellas, junto con funciones polinómicas, funciones con raíces, racionales, etc. Existen una gran
variedad de técnicas de cálculo de límite desarrolladas para estudiar los comportamientos
asintóticos de las funciones o para estudiar los comportamientos cerca de sus discontinuidades.
No lo hemos dicho explícitamente hasta ahora, pero dado que ax y loga(x) son funciones
derivables en todo su dominio podemos afirmar también que son continuas y por lo tanto, los
límites que se refieran a x → x0, con x0 un elemento del dominio, se calculan por simple
evaluación.
9.7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos 13
� Ejemplo 9.8 Podemos calcular lı́m
x→2
ln(x) − ex
x2
por evaluación.
lı́m
x→2
ln(x) − ex
x2
=
ln(2) − e2
4
Ya que la función f (x) =
ln(x) − ex
x2
es continua en x = 2. Consideramos aquí que
es un cociente de funciones continuas en x = 2 donde el denominador no se anula.
Además, ln(x) − ex es continua para todo x > 0. �
� Ejemplo 9.9 ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 2x = x10? Como ya mencionamos en el
Módulo 5, si graficamos con alguno de los softwares usuales las funciones f (x) = 2x y
g(x) = x10 se obtiene una gráfica similar a la que presentamos en la Figura 9.7. Allí se
observa que hay dos intersecciones entre las gráficas, lo que equivale a 2 soluciones de
la ecuación 2x = x10. Sin embargo, dado que
lı́m
x→+∞
2x
x10
=︸︷︷︸
2x=ex ln(2)
lı́m
x→+∞
ex ln(2)
x10
=︸︷︷︸
u = x ln(2)
x =
u
ln(2)
lı́m
u→+∞
(ln(2))10
eu
u10
=︸︷︷︸
(∗)
+∞
(∗): Usando que u10 � eu para u→ +∞ y que (ln(2))10 es positivo.
También debemos mencionar que la sustitución que realizamos u = x ln(2) tiene
en cuenta que
x → +∞⇐⇒ u→ +∞
Concluimos que x10 � 2x para x → +∞ y por lo tanto, la gráfica de 2x debe
volver a cruzarse con la gráfica de x10 para algún valor de x suficientemente grande y
positivo.
�
x
y
1
2
−1 1
y = 2x
y = x10
Figura 9.7: Gráficas de las funciones
f (x) = 2x y g(x) = x10.
x
y
f (x) = x ln(x)
Figura 9.8: Gráfica de la función
f (x) = x ln(x).
� Ejemplo 9.10 Estudiaremos el lı́m
x→0+
x ln(x).
En primer lugar notamos que para x → 0+ se tiene x︸︷︷︸
→0
. ln(x)︸︷︷︸
→−∞
y por lo tanto no es
posible utilizar las propiedades de los límites enunciadas en el Módulo 7.
Realizamos la sustitución u = 1x de modo que x → 0
+ ⇐⇒ u→ +∞ y
x ln(x) =
1
u
ln
(
1
u
)
=︸︷︷︸
ln(u−1)=− ln(u)
−
ln(u)
u
Por lo tanto lı́m
x→0+
x ln(x) = lı́m
u→+∞
−
ln(u)
u
= 0 porque ln(u) � u para u→ +∞.
La función f (x) = x ln(x) no tiene una asíntota vertical en x = 0. �
14 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
� Ejemplo 9.11 Estudiaremos el lı́m
x→−∞
x2 − ex .
En primer lugar notamos que para x → −∞ se tiene x2︸︷︷︸
→+∞
− ex︸︷︷︸
→0
y por lo tanto si es
posible aplicar las propiedades de límites enunciadas en el Módulo 7. Obtenemos
lı́m
x→−∞
x2 − ex = +∞.
La función f (x) = x2 − ex no tiene un comportamiento asintótico horizontal para
x → −∞.
�
Actividad 9.15 Estudien, calculen y determien la presencia de comportamientos asintóticos
señalados a continuación.
a) lı́m
x→+∞
x2 − ex b) lı́m
x→−∞
ex − x3 c) lı́m
x→−∞
xex
d) lı́m
x→+∞
x3 + ex
ex −
√
x
e) lı́m
x→0+
x3 ln(x) f ) lı́m
x→0+
xe1/x
g) lı́m
x→0−
xe1/x h) lı́m
x→+∞
x
(
e1/x − 1
)
i) lı́m
x→1+
x
ln(x)
j) lı́m
x→1−
x
ln(x)
k) lı́m
x→0+
ln(x)
x
�
9.8 Modelos Semilog
Una técnica muy utilizada para trabajar con modelos exponenciales f (x) = ax es la
utilización de una escala logarítmica en el eje vertical. Si consideramos un modelo exponencial
de la forma f (x) = Cekx , conC > 0 y definimos una nueva función g(x) = ln ( f (x)) obtenemos
que:
g(x) = ln ( f (x)) = ln
(
Cexk
)
= ln(C) + ln
(
ekx
)
= ln(C) + k x ln(e) = ln(C) + k x
La función g(x) resulta lineal y su gráfica tiene pendiente k y ordenada al origen ln(C).
Recíprocamente, si g(x) = b + k x es una función lineal, al definir f (x) = eg(x) obtenemos
un modelo exponencial
f (x) = eg(x) = eb+kx = ebekx
que representa un modelo exponencial con cantidad inicial eb y tasa de crecimiento k.
Utilizaremos esta equivalencia para explorar los modelos exponenciales en contextos de
las ciencias biológicas o químicas.
9.8 Modelos Semilog 15
t V(t)
1 76.0
4 53.0
8 18.0
11 9.4
15 5.2
22 3.6
Tabla 9.1: Datos V(t) (carga viral en
plasma) respeto a t (en días) luego de
comenzar el tratamiento con ABT-
538.
t V(t) ln (V(t))
1 76.0 4.33
4 53.0 3.97
8 18.0 2.89
11 9.4 2.24
15 5.2 1.65
22 3.6 1.28
Tabla 9.2: Datos V(t) y ln (V(t)) se-
gún la Tabla 9.1.
� Ejemplo 9.12 En 1995, un artículo científico describió los efectos de una proteína (ABT-538)
sobre el virus de inmunodeficiencia humana HIV-1. En Tabla 9.1 y en la Figura 9.9 se
presentan los valores de la carga viral V(t) en el plasma (medido en copias de ARN por
mL) en un paciente luego de t días de haber comenzado el tratamiento con ABT-538.
1 4 8 11 15 22
76
53
18
9.4
5.23.6
t - Días de tratamiento
V
-C
ar
ga
vi
ra
le
np
la
sm
a
Figura 9.9: Datos correspondientes a la Tabla 9.1.
La distribución de los puntos en la Figura 9.9 sugiere que es adecuado un modelo
exponencial V(t) = Cekt considerando que k debe ser negativo porque debe ser una
función decreciente.
Definimos g(t) = ln (V(t)) = ln(C)+ k x de modo que obtenemos los nuevos valores
en la Tabla 9.2 y en la Figura 9.10.
1 4 8 11 15 22
4.33
3.97
2.89
2.24
1.65
1.28
t - Días de tratamiento
ln
(V
)
Figura 9.10: Datos correspondientes a la Tabla 9.2.
Mediante el software Desmos obtenemos el modelo lineal que mejor ajusta los
datos de la Figura 9.10 según el criterio del Error cuadrático medio.
16 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte
Figura 9.11: Ajuste de los datos de la Figura 9.10 con el software Desmos.
Obtenemos que k ≈ −0.15 y b ≈ 4.31. Por lo tanto el modelo exponencial
f (t) = ebekt = e4.31e−0.15x = 74.44e−0.15t
�
Actividad 9.16 La Tabla 9.3 presenta los resultados de un experimento que involucra el
parásito de la malaria. El tiempo t está medido en días y N es el número de parásitos por
microlitros en sangre.
t N ln(N)
1 228
2 2357
3 12750
4 26661
5 372331
6 2217441
7 6748400
Tabla 9.3: Datos de N (cantidad de parásitos por microlitro en sangre) respeto a t (en días).
a) Completen la Tabla 9.3 con los datos de ln(N).
b) Usando el software Desmos o algún otro, determinen el modelo semi-log asociado
según el criterio el ECM y el modelo exponencial para los datos de la cantidad de
parásitos por microlitro en sangre del experimento.
c) ¿Cuánto se estima, según el modelo propuesto, que será la cantidad de parásitos de
la malaria por microlitros en sangre al día 10?
�
9.8 Modelos Semilog 17
Actividad 9.17 En un estudio médico, los investigadores midieron la concentración en
sangre de alcohol (BAC) de 8 adultos masculinos (en mg/mL) luego de consumir 30 mL de
etanol (correspondiente a 2 bebidas alcohólicas estándar). Se presentan los datos obtenidos
en la Tabla 9.4.
t (horas) BAC (mg/mL) ln(BAC)
1 0.33
1.25 0.29
1.5 0.24
1.75 0.22
2 0.18
2.25 0.15
2.5 0.12
Tabla 9.4: Valores de BAC (concentración de alcohol en sangre - en mg/mL) respeto a t
(en horas).
a) Completen la Tabla 9.4 con los datos de ln(BAC).
b) Determinen el modelo semi-log asociado según el criterio el ECM y el modelo
exponencial para los datos de la concentración de alcohol en sangre del experimento.
c) ¿En qué momento, según el modelo propuesto, la concentración de alcohol en sangre
estará por debajo los 0.1 mg/mL?
�
10. Funciones trigonométricas
“asdfasdfasdfasdfasdf.”
Wang Zhenyi (1768-1797)10.1 Funciones seno y coseno
En este módulonos ocuparemos, en primer lugar, de las funciones trigonométricas.
θ sen(θ) θ cos(θ)
Son funciones donde la variable independiente θ se refiere a la medida de un ángulo θ
(medido en radianes); y donde los valores de las funciones, sen(θ) y cos(θ) se calculen con las
relaciones trigonométricas usuales.
La primera observación que hacemos en el estudio de las funciones trigonométricas se
refiere a que son funciones cuyos valores se repiten cada cierto intervalo de la variable
independiente. En el caso particular de las funciones sen(θ) y cos(θ) los valores se repiten
cada 2π.
sen(θ + 2π) = sen(θ) cos(θ + 2π) = cos(θ)
Durante todo el curso usaremos
principalmente la medición de
ángulos en radianes.
Recuerden que π radiantes equi-
vale a 180◦ sexagesimales. La
conversión del resto de los ángu-
los, de un sistema al otro, se hace
por proporción directa.
π rad ≡ 180◦
1 rad ≡
(
180
π
)◦
π
180 rad ≡ 1
◦
Los valores de las funciones sen(θ) y cos(θ) están determinados por las coordenadas del
punto sobre la circunferencia unidad (la circunferencia de radio 1 centrada en el origen)
como se muestra en la Figura 10.1.
x
y
x2 + y2 = 1
x
y
r =
1 θ radianes
(x, y) = (cos(θ), sen(θ))
Figura 10.1: Circunferencia unidad.
Las coordenadas del punto determinan los valores de las funciones trigonométricas.
Actividad 10.1 Completen la Tabla 10.1 con los valores de las funciones trigonométricas
sen(θ) y cos(θ) en los ángulos más usuales comprendidos entre 0 y 2π. �
θ 0 π6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6 π
7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6 2π
sen(θ)
cos(θ)
Tabla 10.1: Valores de las funciones sen(θ) y cos(θ) en los ángulos más usuales comprendidos entre 0 y 2π.
2 Capítulo 10. Funciones trigonométricas
Las gráficas de las funciones sen(θ) y cos(θ) se presentan en las Figuras 10.2 y 10.3.
Actividad 10.2 Utilicen las gráficas de las Figuras 10.2 y 10.3 para corroborar los valores
calculados de la Tabla 10.1. �
x
y
π
6
π
3
π
4
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6 2π
1
−1
1
2
− 12
√
2
2
−
√
2
2
−
√
3
2
√
3
2
Figura 10.2: Gráfica de la función sen(x) en el intervalo [0, 2π].
x
y
π
6
π
3
π
4
π
2
2π
3
3π
4
5π
6 π
7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6
2π
1
−1
1
2
− 12
√
2
2
−
√
2
2
−
√
3
2
√
3
2
Figura 10.3: Gráfica de la función cos(x) en el intervalo [0, 2π].
Actividad 10.3 Las funciones sen(θ) y cos(θ) pueden tomar valores positivos o negativos
según el cuadrante al que pertenezca el ángulo θ. Completen la Tabla 10.2.
Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV
sen(θ) positiva
cos(θ) positiva
Tabla 10.2: Positividad y negatividad de las funciones sen(θ) y cos(θ).
�
10.1 Funciones seno y coseno 3
Al considerar la periodicidad de las funciones trigonométricas, la gráfica que tenemos
en el intervalo [0, 2π] se copia en los intervalos (de longitud 2π) siguientes y anteriores para
ocupar todo el eje horizontal como se ve en las Figuras 10.4 y 10.5.
θ
sen(θ)
−3π −2π π π 2π 3π 4π 5π
Período 2π
1
Figura 10.4: Gráfica de la función sen(x) en todo R.
θ
cos(θ)
−3π −2π π π 2π 3π 4π 5π
Período 2π
Figura 10.5: Gráfica de la función cos(x) en todo R.
Las funciones trigonométricas cumplen las siguientes identidades básicas.
Por convención se escribe
cos2(θ) = (cos(θ))2
= cos(θ). cos(θ)
que es diferente a
cos(θ2) = cos(θ.θ)
1
sen
(θ
)
cos(θ)
x
y
Figura 10.6: Identidad principal.
Propiedad 10.1.1 — Propiedades de las funciones sen(θ) y cos(θ).
Continuidad: Las funciones son continuas en todo R.
Identidad principal: sen2(θ) + cos2(θ) = 1
Los valores están acotados: −1 ≤ sen(θ) ≤ 1 − 1 ≤ cos(θ) ≤ 1
Simetrías: sen(−θ) = − sen(θ) cos(−θ) = cos(θ)
Suma y resta:
sen(θ1 ± θ2) = sen(θ1) cos(θ2) ± cos(θ1) sen(θ2)
cos(θ1 ± θ2) = cos(θ1) cos(θ2) ∓ sen(θ1) sen(θ2)
Desplazamiento: sen(θ + π2 ) = cos(θ)
No desarrollaremos las demostraciones de estas propiedades pero haremos algunos
comentarios y comparaciones como guías.
En primer lugar, para ángulos en el primer cuadrante, la identidad principal se deduce del
teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo de la Figura 10.6 dado que la hipotenusa
mide 1 unidad de longitud.
Respecto a las simetrías, en la Figura 10.7 se presenta la relación entre los valores de la
función cos(θ) en ángulos opuestos.
4 Capítulo 10. Funciones trigonométricas
x
y
θ
−θ
θ
cos(θ)
θ−θ
Figura 10.7: Relación entre los valores de la función cos(θ) en ángulos opuestos θ y −θ.
Actividad 10.4 ¿Cómo realizarían un diagrama similar a la Figura 10.7 para analizar la
simetría de la función sen(θ)? Utilicen la Figura 10.8.
x
y
θ
sen(θ)
Figura 10.8: Relación entre los valores de la función sen(θ) en ángulos opuestos θ y −θ.
�
Por último, en la Figura 10.9 se presenta la relación de desplazamiento que relaciona los
valores sen(θ + π2 ) y cos(θ).
x
y
θ
θ + π2
cos(θ)
se
n(
θ
+
π 2
)
θ
cos(θ)
sen(θ)
θ θ + π2
Figura 10.9: Relación entre los valores de la función sen(θ + π2 ) y cos(θ).
10.2 Transformaciones de las gráficas sen(x) y cos(x) 5
10.2 Transformaciones de las gráficas sen(x) y cos(x)
Definición 10.2.1 — Forma general de las funciones trigonométricas. La forma general de
las funciones trigonométricas es
f (x) = A sen(ω(x − φ)) + c g(x) = A cos(ω(x − φ)) + c (10.1)
en donde utilizamos a x como variable independiente.
En todos los desarrollos anterio-
res utilizamos como variable in-
dependiente a θ porque conside-
ramos necesario diferenciar los
diagramas con ejes coordenados
x-y donde θ se representa como
el ángulo, y los diagramas con
ejes coordenados θ- f (θ) donde
se representaron las relaciones
funcionales.
Describiremos las constantes A, ω, φ y c presentes en la definición 10.1.
Amplitud:
Representa un cambio en los valores máximos y mínimos de las funciones. Para los casos
A sen(x) A cos(x)
los valores máximos y mínimos son A y −A.
Si A es positivo, la amplitud es A y se cumple que
−A ≤ A sen(ω(x − φ)) ≤ A − A ≤ A cos(ω(x − φ)) ≤ A
Si A es negativo, la amplitud es −A. La gráfica debe reflejarse también respecto al eje x.
Ver Figura 10.11.
x
y
y = sen(x)
y = 2 sen(x)
y = 12 sen(x)
−π π 2π
1
2
1
2
Figura 10.10: Gráficas de las funciones sen(x), 2 sen(x) y 12 sen(x).
x
y
y = sen(x)
y = −2 sen(x)
Figura 10.11: Reflejo respecto al
eje x en el caso de A < 0.
Valor promedio c:
x
y y = cos(x) + 2
π 2ππ2
1
2
3
Figura 10.12: Gráfica de la función
cos(x) + 2 en [0, 2π].
Representa el promedio entre los valores máximos y mínimos que toma la función. En
el caso más sencillo, las funciones f (x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen valores máximos y
mínimos iguales a 1 y −1 (respectivamente). Por lo tanto el valor promedio es 0. Gráficamente,
el valor de c representa una traslación en sentido vertical en c unidades de la gráfica. Por
ejemplo,
h(x) = cos(x) + 2
tiene un valor promedio c = 2; la gráfica de h(x) se obtiene trasladando la del cos(x) en 2
unidades hacia arriba y sus valores máximos y mínimos de la función son 3 y 1 respectivamente.
Ver Figura 10.12.
Período
2π
ω
:
El cociente
2π
ω
(para ω > 0) determina el tamaño del intervalo de periodicidad de las
funciones f (x) y g(x).
Para ω > 0, las funciones f (x) y g(x) tienen período 2π
ω
de modo que
f (x) = f
(
x +
2π
ω
)
g(x) = g
(
x +
2π
ω
)
6 Capítulo 10. Funciones trigonométricas
x
y
y = sen(x)y = sen(2x)
y = sen( 12 x)
π 2π 3π 4π
1
Figura 10.13: Gráficas de las funciones sen(2x), sen( 12 x) y sen(x).
Desplazamiento de la fase φ:
El valor de φ produce un desplazamiento de la gráfica. Si φ es positivo el desplazamiento
se produce hacia la derecha. Si φ es negativo el desplazamiento se produce hacia la izquierda.
x
y
y = sen(x − π3 )
y = sen(x)
π 2ππ3
1
Figura 10.14: Gráfica de la función sen(x − π3 ) en [
π
3 ,
7π
3 ].
x
y
3π
4
π
2−
π
4
1
3
4
Figura 10.15: Gráfica de la función
3
4 cos(2x +
π
2 ).
En la siguiente gráfica se representan los cuatro elementos mencionados: A, c, ω, φ.
x
y
c Valor promedio c
c + A
c −A
φ
Desplazamiento φ
φ + 2πω
Período 2πω
Amplitud A
Figura 10.16: Gráfica de la función f (x) = A sen (ω(x − φ)) + c. Caso A > 0.
10.3 Función trigonométrica tan(x) 7
� Ejemplo 10.1 Determinaremos la amplitud, el período y el desplazamiento de la función
f (x) = 34 cos(2x +
π
2 )
y realizaremos su gráfica.
Para ello, re-escribimos la función en la forma general sacando factor común 2 en la
expresión 2x + π2 = 2(x +
π
4 ) para tener
f (x) = 34 cos
(
2(x + π4 )
)
= 34 cos
(
2(x − (− π4 ))
)
.
Por lo tanto, obtenemos que la amplitud es 34 , elperíodo es
2π
2 = π y eldesplazamiento
de la fase es de π4 hacia la izquierda. La gráfica de la función se presenta en la
Figura 10.15. �
Actividad 10.5 Realicen la gráfica de las siguientes funciones determinando sus elementos.
a) f (x) = sen(3x) b) g(x) = − cos(2x)
c) h(x) = cos(x − π4 ) d) m(x) = 2 sen(3x + π)
�
Actividad 10.6 Determinen la forma general de las siguientes funciones que se presentan
en forma gráfica.
a) b) c)
d) e) f )
�
10.3 Función trigonométrica tan(x)
Otra función trigonométrica utilizada es la función tangente tan(x) = sen(x)
cos(x)
que, en
la circunferencia unidad, representa la ±longitud (+ o − según el cuadrante) del segmento
vertical como se muestra en la Figura 10.17. x
y
θ
ta
n(
θ
)
Figura 10.17: Circunferencia unidad.
Se diferencia principalmente de las funciones sen(x) y cos(x) porque su período es más
corto y porque su dominio ya no es todo el conjunto de números reales.
El dominio de la función tan(x) está determinado por todos los números reales que no
8 Capítulo 10. Funciones trigonométricas
anulan el denominador. Por lo tanto debemos excluir a todos los x tales que
cos(x) = 0.
Esta ecuación tiene infinitas soluciones de la forma π2 + kπ siendo k ∈ Z.
Por lo tanto el
Dom(tan(x)) = R −
{
π
2 + kπ : k ∈ Z
}
.
En cuanto al período, se tiene que
tan(x + π) =
sen(x + π)
cos(x + π)
=
− sen(x)
− cos(x)
=
sen(x)
cos(x)
= tan(x).
El intervalo principal donde se grafica la función tangente es (− π2 ,
π
2 ). Dado que
lı́m
x→
π
2
sen(x) = 1 y lı́m
x→
π
2
cos(x) = 0
y
lı́m
x→−
π
2
sen(x) = −1 y lı́m
x→−
π
2
cos(x) = 0
se concluye que tan(x) tiene asíntotas verticales en las rectas x = π2 y x = −
π
2 . Y recordando
la Tabla 10.2 tenemos
lı́m
x→
π
2
−
tan(x) = +∞ y lı́m
x→−
π
2
+
tan(x) = −∞
La gráfica de la función tan(x) en todo su dominio se presenta en la Figura 10.18.
x
tan(x)
3π
2
π π 2π− π2
π
2
5π
2
3π
Período π
Figura 10.18: Gráfica de la función tan(x) en todo su dominio.
10.4 Derivada de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x) 9
10.4 Derivada de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x)
Para estudiar la existencia de la derivada de la función sen(x) utilizamos la definición y las
Propiedades 10.1.1 (la propiedad de la suma y resta)
d sen(x)
dx
= lı́m
∆x→0
sen(x + ∆x) − sen(x)
∆x
= lı́m
∆x→0
sen(x) cos(∆x) + cos(x) sen(∆x) − sen(x)
∆x
= lı́m
∆x→0
[
sen(x) cos(∆x) − sen(x)
∆x
+
cos(x) sen(∆x)
∆x
]
= lı́m
∆x→0
sen(x)
[
cos(∆x) − 1
∆x
+ cos(x)
sen(∆x)
∆x
]
= lı́m
∆x→0
sen(x) lı́m
∆x→0
cos(∆x) − 1
∆x
+ lı́m
∆x→0
cos(x) lı́m
∆x→0
sen(∆x)
∆x
Para que el último paso sea válido necesitamos saber que los cuatro límites involucrados
existen (porque propusimos aplicar las propiedades algebraicas del límite). Dos de estos límites
son sencillos de calcular:
lı́m
∆x→0
sen(x) = sen(x) y lı́m
∆x→0
cos(x) = cos(x)
porque tanto el sen(x) como el cos(x) son constantes con respecto a ∆x.
D
θ
O A
B
x
y
1
C
Figura 10.19: Comparación entre las
tres áreas mencionadas en el desa-
rrollo.
El
lı́m
∆x→0
sen(∆x)
∆x
no puede calcularse por evaluación. Encontraremos su valor utilizando un argumento geométrico.
Supongamos, en primer lugar, que θ se encuentra entre 0 y π/2. La Figura 10.19 muestra un
sector de un círculo con centro O, ángulo θ y radio 1 y dos triángulos (el tríangulo OBA y el
OAD). El valor del área de ese sector circular es mayor al valor del área del triángulo OBA y
menor que el área del triángulo OAD.
Área del triángulo OBA ≤ Área del sector circular AOB ≤ Área del triángulo OAD
Respecto al inciso b), se calcu-
la el área de un sector circular
de ángulo θ tomando proporción
directa:
Círculo completo de radio r:
2π → π × r2
Sector de ángulo θ:
θ →
θ × π × r2
2π
=
θr2
2
Calculamos las áreas mencionadas:
a) El triángulo más pequeño tiene una base que mide |OA| = 1 y una altura que mide
|CB| = sen(θ). Luego su área es
1 × sen(θ)
2
.
b) El área de un sector circular de ángulo θ se calcula por proporción directa:
θ
2
.
c) La base del triángulo más grande también mide |OA| = 1 pero su altura mide |AD| =
tan(θ) =
sen(θ)
cos(θ)
. Luego su área es
1
2
sen(θ)
cos(θ)
.
Obtenemos
sen(θ)
2
<
θ
2
<
1
2
sen(θ)
cos(θ)
.
Como sen(θ) > 0 para 0 < θ < π/2, si multiplicamos por
2
sen(θ)
a cada miembro de la
desigualdad tenemos que
1 <
θ
sen(θ)
<
1
cos(θ)
,
o, en forma equivalente (dado que son todos términos positivos),
cos(θ) <
sen(θ)
θ
< 1.
10 Capítulo 10. Funciones trigonométricas
Sabemos que lı́m
θ→0
1 = 1 y que lı́m
θ→0
cos(θ) = 1. Ambos límites existen y son iguales.
Concluimos (usando el Teorema 10.4.1 del Sandwich que enunciamos a continuación) que
lı́m
θ→0+
sen θ
θ
= 1.
x
y
f (x)
h(x)
a
L
g(x)
Figura 10.20: Teorema del Sand-
wich.
Teorema 10.4.1 — Teorema del Sandwich. Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) cuando x es cercana a a
(excepto posiblemente en x = a) y
lı́m
x→a
f (x) = lı́m
x→a
h(x) = L
entonces lı́m
x→a
g(x) = L.
El Teorema del Sandwich, que a veces recibe el nombre de Teorema de Contracción o de
Compresión, se ilustra en la Figura 10.20. No lo demostraremos. Nos dice que si g(x) está
atrapada entre f (x) y h(x) cerca de a, y si f y h tienen el mismo límite L en a, entonces g es
forzada a tener el mismo límite L en a.
Con un razonamiento muy similar para valores θ → 0− se obtiene que
lı́m
θ→0+
sen θ
θ
= lı́m
θ→0−
sen(θ)
θ
.
Luego,
lı́m
θ→0
sen(θ)
θ
= 1.
El límite
lı́m
θ→0
cos(θ) − 1
θ
tampoco puede calcularse por evaluación. Lo haremos de la siguiente manera:
lı́m
θ→0
cos(θ) − 1
θ
= lı́m
θ→0
(
cos(θ) − 1
θ
)
.
(
cos(θ) + 1
cos(θ) + 1
)
= lı́m
θ→0
cos2(θ) − 1
θ (cos(θ) + 1)
= lı́m
θ→0
− sen2(θ)
θ (cos(θ) + 1)
= − lı́m
θ→0
sen(θ)
θ︸ ︷︷ ︸
→ 1
(ya lo calculamos)
.
sen(θ)
cos(θ) + 1︸ ︷︷ ︸
→ 0
(se calcula por
evaluación)
= (−1).
(
0
1 + 1
)
= 0.
Retomando el cálculo de la derivada que estábamos realizando,
f ′(x) = lı́m
∆x→0
sen(x) lı́m
∆x→0
cos(∆x) − 1
∆x
+ lı́m
∆x→0
cos(x) lı́m
∆x→0
sen(∆x)
∆x
= (sen(x)).0 + (cos(x)).1 = cos(x).
Hemos demostrado la fórmula para la derivada de la función seno:
Teorema 10.4.2 — Derivada de la función sen(x). La función sen(x) es derivable en todo R y
d
dx
sen(x) = cos(x)
10.4 Derivada de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x) 11
� Ejemplo 10.2 Calculamos la derivada de la función f (x) = x2 sen(x) utilizando el Teorema
10.4.2 y la regla del producto.
d
dx
[x2 sen(x)] =
d
dx
(x2). sen(x) + x2
d
dx
(sen(x)) = 2x sen(x) + x2 cos(x)
�
Siguiendo el mismo camino que usamos en la demostración del Teorema 10.4.2 se puede
demostrar
Teorema 10.4.3 — Derivada de la función cos(x). La función cos(x) es derivable en todo R y
d
dx
cos(x) = − sen(x)
Actividad 10.7 Realicen la demostración del Teorema 10.4.3. �
La función g(x) = tan(x) también se puede derivar para x en su dominio usando la
definición de derivada, pero es más sencillo en este caso usar la regla del cociente para derivarla
aprovechando que ya conocemos la derivada de las funciones sen(x) y cos(x):
d
dx
(tan(x)) =
d
dx
(
sen(x)
cos(x)
)
=
d
dx (sen(x)) cos(x) − sen(x)
d
dx (cos(x))
(cos(x))2
=
cos(x) cos(x) − sen(x) (− sen(x))
(cos(x))2
=
cos2(x) + sen2(x)
(cos(x))2
=
1
cos2(x)
= sec2(x)
Tomando como base las funcio-
nes sen(x), cos(x) y tan(x) se de-
finen tres nuevas funciones
Secante: sec(x) =
1
cos(x)
Cosecante: cosec(x) =
1
sen(x)
Cotangente: cot(x) =
cos(x)
sen(x)Teorema 10.4.4 — Derivada de la función tan(x). La función tan(x)es derivable en todo su
dominio y
d
dx
(tan(x)) = sec2(x)
Actividad 10.8 Determinen el dominio de las funciones sec(x), cosec(x) y cot(x). �
Actividad 10.9 Hallen, usando las reglas de derivación, la derivada de las siguientes
funciones:
a) g1(x) = sec(x) b) g2(x) = ex cos(x)
c) g3(x) = x + cos(x) d) g4(x) = sen(a + x3), a ∈ R constante
�
Actividad 10.10 Indiquen para que valores de x la gráfica de las siguientes funciones tienen
una recta tangente horizontal.
a) f (x) = x + sen(x) b) g(x) = ex cos(x)
�
12 Capítulo 10. Funciones trigonométricas
Actividad 10.11
a) ¿En qué intervalos es creciente f (x) = x − 2 sen(x)? Con 0 ≤ x ≤ 2π
b) ¿En qué intervalos es cóncava hacia abajo g(x) = 2x−2 tan(x)? Con−π/2 < x < π/2.
�
10.5 Límites que involucran funciones trigonométricas
Ya hemos estudiado y calculado los siguientes límites
lı́m
θ→0
sen(θ)
θ
= 1 (10.2) lı́m
θ→0
cos(θ) − 1
θ
= 0 (10.3)
En esta sección calcularemos algunos límites que involucran algunas de las funciones tri-
gonométricas e identificaremos algunos comportamientos asintóticos horizontales y verticales.
Para estar atentos y atentas
sen(3x) , 3 sen(x)
� Ejemplo 10.3 Calculemos el lı́m
x→0
sen(3x)
x
.
lı́m
x→0
sen(3x)
x
= lı́m
x→0
sen(3x)
x
3
3
= lı́m
x→0
3
sen(3x)
3x
= lı́m
u→0
3
sen(u)
u
= 3 lı́m
u→0
sen(u)
u
= 3.1 = 3
Realizamos la sustitución u = 3x observando que x → 0⇐⇒ u→ 0 para re-escribir
el límite original como un límite de la forma 10.2 que ya sabemos cuanto vale. �
x
y
Figura 10.21: Gráfica de la función
sen
( π
x
)
en el intervalo (0,+∞).
� Ejemplo 10.4 Investiguemos el lı́m
x→0
sen
( π
x
)
.
Dado que no podemos calcular el límite evaluando en x = 0 analizaremos el
comportamiento de la función f (x) = sen
( π
x
)
cerca de x = 0 (en x = 0 no está
definida). Si evaluamos la función en algunos valores pequeños de x, obtenemos
f (1) = sen(π) = 0 f (1/2) = sen(2 π) = 0
f (1/3) = sen(3 π) = 0 f (1/4) = sen(4 π) = 0
f (0.1) = sen(10 π) = 0 f (0.01) = sen(100 π) = 0
Por otro lado, si calculamos f (0.001) = f (0.00001) = 0. En base a eso alguien
podría estar tentado a pensar que el lı́m
x→0
sen
( π
x
)
= 0 pero esa respuesta no es correcta.
Observemos que aunque f (1/n) = sen(n π) = 0 para todo n entero, también es cierto
que f (x) = 1 para infinitos valores de x cercanos a 0. En la Figura 10.21 podemos ver
la gráfica de la función.
La línea entrecortada cerca del eje-y indica que los valores del sen(π/x) oscilan
infinitamente tomando valores entre −1 y 1 cuando x se acerca a 0. Como los valores
de f (x) no se aproximan a un número fijo cuando x se aproxima a 0 decimos que
lı́m
x→0
sen
( π
x
)
no existe.
�
10.5 Límites que involucran funciones trigonométricas 13
� Ejemplo 10.5 Calculemos ahora el lı́m
x→0
x sen
(
1
x
)
.
Este límite tampoco puede calcularse por evaluación. Pero, a diferencia del Ejemplo 10.4
la función tiene un factor x delante
x︸︷︷︸
→0
. sen
(
1
x
)
︸ ︷︷ ︸
Varía entre -1 y 1
.
De modo que los valores de x. sen
(
1
x
)
se irán acercando a 0 si x → 0. Lo desarrolla-
remos usando el Teorema del Sandwich, multiplicando por x (positivo o negativo) a
todos los miembros de la desigualdad
−1 ≤ sen
(
1
x
)
≤ 1
obteniendo
−x ≤ x sen
(
1
x
)
≤ x si x > 0
−x ≥ x sen
(
1
x
)
≥ x si x < 0.
Tanto en el caso en que x > 0 y x < 0, los valores de la función x sen
(
1
x
)
se
encuentran acotados por arriba y por abajo por funciones que tienden a cero cuando x
se acerca a cero, es decir
f1(x) ≤ x sen
(
1
x
)
≤ f2(x)
con lı́m
x→0
f1(x) = 0 y lı́m
x→0
f2(x) = 0, y entonces por el Teorema del Sandwich
podemos asegurar que
lı́m
x→0
x sen
(
1
x
)
= 0.
En la Figura 10.22 podemos ver la gráfica de la función f (x) = x sen
(
1
x
)
. Tiene
una discontinuidad evitable en x = 0. Podemos definirla como f (0) = 0 para que
resulte una función continua en todo R.
f̃ (x) =

x sen
(
1
x
)
si x , 0
0 si x = 0.
�
x
y
Figura 10.22: Gráfica de la función
x sen
( π
x
)
en el intervalo (0,+∞).
Definición 10.5.1 — Límites oscilantes. Los casos similares al presentado en el Ejemplo
10.4 se denominan límites oscilatorios y corresponden a discontinuidades inevitables de
las funciones.
14 Capítulo 10. Funciones trigonométricas
Actividad 10.12 Calculen los siguientes límites.
a) lı́m
x→0
cos(x) + 3
tan(x) + 3
b) lı́m
x→0
sen(7x)
4x
c) lı́m
x→0
tan(x)
2x
d) lı́m
x→π
x − π
sen(x − π)
e) lı́m
t→0
sen2(3t)
t2
�
Actividad 10.13 Prueben que el lı́m
t→0
t4 cos
(
2
t
)
= 0. ¿Cómo corresponde re-definir la función
g(t) = t4 cos
(
2
t
)
para que resulte continua en todo R? �
10.6 Funciones trigonométricas inversas
Dado que ninguna de las 3 funciones sen(x), cos(x) y tan(x) es una función 1-1 en
sus respectivos dominios se definen las funciones trigonométricas inversas tomando sub-
intervalos como se detalla a continuación.
Las fórmulas presentadas para
las derivadas de las funciones tri-
gonométricas inversas se dedu-
cen de lo aprendido en elMódulo
7.
Definición 10.6.1 — Funciones trigonométricas inversas. Se definen las siguientes funciones
como las inversas de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x).
Función Función inversa
sen(x) : [− π2 ,
π
2 ] −→ [−1, 1] arc sen(x) : [−1, 1] −→ [−
π
2 ,
π
2 ]
cos(x) : [0, π] −→ [−1, 1] arc cos(x) : [−1, 1] −→ [0, π]
tan(x) : (− π2 ,
π
2 ) −→ R arctan(x) : R −→ (−
π
2 ,
π
2 )
La función arctan(x) es derivable en todo su dominio
d
dx
arctan(x) =
1
1 + x2
para x ∈ R
Las funciones arc sen(x) y arc cos(x) no son derivables en todo su dominio. Se tiene que
d
dx
arc sen(x) =
1
√
1 − x2
para x ∈ (−1, 1)
d
dx
arc cos(x) =
−1
√
1 − x2
para x ∈ (−1, 1)
Actividad 10.14 Realicen las gráficas de las funciones arc sen(x), arc cos(x) y arctan(x)
considerando que son funciones inversas (repasar el Módulo 8). �
11. Integrales
“asdfasdfasdfasdfasdf.”
Wang Zhenyi (1768-1797)11.1 Área debajo de la gráfica de una función positiva
Comenzaremos poniendo atención al problema de calcular el área debajo de la gráfica de
una función f positiva y sobre el eje x desde x = a hasta x = b.
x
y
y = f (x)
x = a x = b
Área S
Figura 11.1: Área debajo de la gráfica y = f (x) sobre el eje x en el intervalo [a, b].
La región que nos interesa se escribe en forma de conjunto como
S =
{
(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)
}
Según sea la función, podremos resolver el problema utilizando las fórmulas para calcular
áreas de figuras geométricas conocidas.
� Ejemplo 11.1 Si realizamos la gráfica de la función f (x) = 4 obtenemos la Figura 11.2a
x
y
y = 4
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
(a) Gráfica de la función f (x) = 4.
x
y
y = 4
1 4
S
(b) Rectángulo S cuya base es el intervalo [1, 4].
Figura 11.2: Gráfica de la función f (x) = 4 y rectángulo debajo de la gráfica considerando como base el intervalo [1, 4].
La región debajo de la gráfica de f (x) = 4 en el intervalo [1, 4] es un rectángulo que
se representa en la Figura 11.2b. Su basemide 3 unidades y su alturamide 4 unidades.
Por lo tanto,
Area(S) = 3 unidades × 4 unidades = 12 unidades2
�
2 Capítulo 11. Integrales
� Ejemplo 11.2 Si realizamos la gráfica de la función f (x) = 2x obtenemos la Figura 11.3a
x
y
y = 2x
-1 1 2 3 4 5 6
(a) Gráfica de la función g(x) = 2x.
x
y
y = 2x
-1 1 2 3 4 5 6
S
(b) Triángulo S cuya base es el intervalo [0, 2].
Figura 11.3: Gráfica de la función g(x) = 2x y triángulo debajo de la gráfica considerando como base el intervalo [0, 2].
La región debajo de la gráfica de g(x) = 2x en el intervalo [0, 2] es un triángulo que
se representa en la Figura 11.3b. Su basemide 2 unidades y su alturamide 4 unidades.
Por lo tanto,
Area(S) =
2 unidades × 4 unidades
2
= 4 unidades2
�
Actividad 11.1 Determinen el área de la región S correspondiente a las siguientes funciones
en los intervalos indicados.
a) f (x) = 3 en el intervalo [0, 2] b) g(x) = 12 en el intervalo [2,
7
3 ]
c) h(x) = x en el intervalo [0, 2] d) m(x) = x + 1 en intervalo [1, 3]
e) p(x) =
{
3 si x < 3
x si x ≥ 3 en el intervalo [0,4]
�
En el caso general, donde la forma de la región S tiene tramos curvos o irregulares, se
requiere utilizar estrategias de aproximación que garanticen un resultado cada vez más preciso
del valor del área buscada.
Por ejemplo, para determinar el área de la hoja de roble de la Figura 11.4 utilizaremos las
grillas pintadas sobre ella. La cuadrícula de la Grilla 1 se separa cada 1 cm. En la Grilla 2, la
separación es de medio centímetro.
Grilla 1
11.1 Área debajo de la gráfica de una función positiva 3
Grilla 2
Figura 11.4: Grilla sobre la hoja de roble para estimar su área.
Actividad 11.2
a) Completen la Tabla 11.1 determinando:
• E : cantidad de cuadrados que se encuentran completamente dentro de la hoja.
• M: cantidad de cuadrados que intersecan parcialmente la hoja.
E M M + E
Grilla 1
Grilla 2
Tabla 11.1: Estimación del área de la hoja de roble usando las grillas de la Figura 11.4.
b) El área de los cuadrados de la Grilla 1 es de 1 cm2 y el área de los cuadrados de
la Grilla 2 es de 0.25 cm2. Calculen el área ocupada por los cuadrados E y el área
ocupada por la suma de los cuadrados E + M y completen.
Grilla 1: ≤ Área de la hoja ≤
Grilla 2: ≤ Área de la hoja ≤
�
Para estimar mejor el área de la hoja correspondería reducir el tamaño de la grilla y re-
contabilizar los cuadrados completamente contenidos en la hoja y los cuadrados parcialmente
contenidos en la hoja. En la Figura 11.5 se presenta una tercera cuadrícula con una Grilla 3
con una separación de 0.125 cm que nos permitirá realizar una nueva estimación del área de la
hoja.
Grilla 3: (0.125)2 × E cm2 ≤ Área de la hoja ≤ (0.125)2 × (E + M) cm2
Figura 11.5: Grilla 3 con una separación de 0.125 cm en la cuadrícula.
4 Capítulo 11. Integrales
Usaremos un procedimiento similar al anterior para estimar el área S debajo de la gráfica
de una función positiva como nos propusimos al comienzo del Módulo.
En este caso, usaremos rectángulos para estimar el área debajo de la parábola y = x2 desde
x = 0 a x = 1. Ver Figura 11.6.
10
x
y y = x2
S
Figura 11.6: Área debajo de y = x2 en el intervalo [0, 1].
Dividiremos el área S en 4 franjas verticales S1, S2, S3 y S4 de igual ancho como en la
Figura 11.7 y aproximaremos cada franja con un rectángulo con la misma base y la misma
altura que cada franja.
0
x
y y = x2
1
4
S1
1
2
S2
3
4
S3
1
S4
0
x
y y = x2
1
4
1
2
3
4
1
1
(
3
4
)2
(
1
2
)2(
1
4
)2
x
y
1
4
1
2
3
4
1
1
(
3
4
)2
(
1
2
)2(
1
4
)2
Figura 11.7: Subdivisión en cuatro franjas verticales para estimar el área S.
Cada rectángulo tiene una base que mide 14 y sus alturas son
(
1
4
)2
,
(
1
2
)2
,
(
3
4
)2
y 1.
Si tomamos R4 como la suma de las áreas de estos rectángulos obtenemos
R4 = 14 ·
(
1
4
)2
+ 14 ·
(
1
2
)2
+ 14 ·
(
3
4
)2
+ 14 · (1)
2 = 1532 = 0.46875
Por lo tanto, el área de la región S cumple
S < 0.46875
0
x
y y = x2
1
2
3
4
1
(
3
4
)2
(
1
2
)2(
1
4
)2
Figura 11.8: Rectángulos más peque-
ños.
Si utilizáramos rectángulos más pequeños como los de la Figura 11.8 que tienen la misma
base pero cuyas alturas están determinadas por los valores de la función en el borde izquierdo
de cada sub-intervalo (el primero de los rectángulos queda “chato” de altura cero). La suma de
las áreas en este caso queda
L4 = 14 · (0)
2 + 14 ·
(
1
4
)2
+ 14 ·
(
1
2
)2
+ 14 ·
(
3
4
)2
= 732 = 0.21875
con lo que
0.21875 < A < 0.46875
11.1 Área debajo de la gráfica de una función positiva 5
Podemos repetir el proceso con un mayor número de rectángulos verticales como en la
Figura 11.9 que tiene 8 franjas.
0
x
y y = x2
0
x
y y = x2
Figura 11.9: Subdivisión en ocho franjas para estimar el área S.
Calculando la suma de las áreas de los rectángulos de la izquierda (L8) y la suma de las
áreas de los rectángulos de la derecha (R8) obtenemos
0.2734375 < A < 0.3984375
En la Tabla 11.2 se presentan los resultados (hechos con una computadora) de la suma de
los rectángulos izquierdos y derechos para sub-divisiones de n rectángulos.
n Ln Rn
10 0.285 0.385
20 0.30875 0.35875
30 0.3168519 0.3501852
50 0.3234 0.3434
100 0.32835 0.33835
1000 0.3328335 0.3338335
Tabla 11.2: Estimación del área de S
usando gran cantidad de rectángulos.
0
x
y n = 10 L10 = 0.285
0
x
y n = 30 L30 ≈ 0.3169
0
x
y n = 50 L50 = 0.3234
0
x
y n = 10 R10 = 0.385
0
x
y n = 30 R30 ≈ 0.3502
0
x
y n = 50 R50 = 0.3434
Figura 11.10: El área S estimada con una gran cantidad de rectángulos izquierdos y derechos.
De la Figura 11.10 y la Tabla 11.2 parece que a medida que n crece (haciendo más
sub-divisiones) obtenemos mejores aproximaciones del área de S de tal forma que podemos
proponer
Área de S = lı́m
n→+∞
Ln = lı́m
n→+∞
Rn
6 Capítulo 11. Integrales
En esta situación, tratándose de la función f (x) = x2 es posible calcular el valor del
área buscada en forma exacta trabajando en forma analítica con las expresiones de Ln y Rn.
Mostraremos que
Área de S = lı́m
n→+∞
Ln = lı́m
n→+∞
Rn =
1
3
Demostración Comenzamos con los rectángulos que usan el borde de la derecha que nos
permite obtener (sumando las áreas de todos ellos) Rn. Cada rectángulo tiene base de
longitud 1n y la altura se obtiene evaluando la función en cada uno de los valores
1
n ,
2
n , . . .,
n
n por lo que
Rn =
1
n
·
(
1
n
)2
+
1
n
·
(
2
n
)2
+ · · · +
1
n
·
(
n − 1
n
)2
+
1
n
·
(n
n
)2
=
1
n3
(
12 + 22 + 32 + · · · + n2
)
Para continuar necesitamos una fórmula que permita calcular la suma que está entre
paréntesis y que presentamos a continuación (puede demostrarse usando el Principio de
Inducción) (
12 + 22 + 32 + · · · + n2
)
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
por lo que
Rn =
1
n3
·
n(n + 1)(2n + 1)
6
=
(n + 1)(2n + 1)
6n2
=
2n2 + 3n + 1
6n2
Ahora debemos tomar el límite (recordar el Módulo 8)
lı́m
n→+∞
Rn = lı́m
n→+∞
2n2 + 3n + 1
6n2
= lı́m
n→+∞
2n2
(
1 + 32n +
1
2n2
)
6n2
= lı́m
n→+∞
1
3
(
1 + 32n +
1
2n2
)
=
1
3
Un procedimiento similar permite ver también que lı́m
n→+∞
Ln =
1
3
.
Aplicaremos el mismo procedimiento a una función cualquiera (positiva) subdividiendo la
región S en n franjas verticales S1, S2, . . ., Sn del mismo ancho
x
y
y = f (x)
a x1 x2 x3 · · · xi xi+1 · · · xn−1 b
La longitud del intervalo [a, b] es b − a y el ancho de cada franja es
∆x =
b − a
n
Quedan determinados n sub-intervalos
[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], . . . , [xn−1, xn]
11.1 Área debajo de la gráfica de una función positiva 7
donde x0 = a y xn = b. Los bordes de la derecha de cada intervalo están dados por
x1 = a + ∆x
x2 = a + 2∆x
x3 = a + 3∆x
...
Aproximamos el área de cada franja por rectángulos verticales de ancho ∆x y altura f (xi)
(la altura de cada rectángulo es el valor de la función en el borde de la derecha de cada
intervalo) y sumamos las áreas para obtener
Rn = f (x1)∆x + f (x2)∆x + · · · + f (xn)∆x
xxi−1 xi
Figura 11.11: La altura de los rectángulos está determinada por el valor de la función en el
borde derecho de cada intervalo.
En la Figura 11.12 se presenta una secuencia de n = 2, n = 4, n = 8 y n = 12 intervalos de
tal manera que se considera que Rn se aproxima cada vez más al valor del área de S a medida
que n→ +∞.
x
y
y = f (x)
a x1 b x
y
y = f (x)
a x1 x2 x3 b x
y
y = f (x)
a b x
y
y = f (x)
a b
Figura 11.12: Divisiones con n = 2, n = 4, n = 8 y n = 12 subintervalos para determinar el área de la región S.
Definición 11.1.1 — Área debajo de la gráfica de una función continua y positiva. El área de
la región S formada por los puntos debajo de la gráfica de una función continua y positiva
para valores de x ∈ [a, b] está determinada por
lı́m
n→+∞
Rn = lı́m
n→+∞
f (x1)∆x + f (x2)∆x + · · · + f (xn)∆x
donde se considera a xi como el borde derecho del subintervalo [xi−1, xi]. Y donde
∆x = xi − xi−1 es la longitud de cada subintervalo (todos miden lo mismo).
El mismo valor del área se obtiene considerando Ln usando los bordes izquierdo de cada
subintervalo
lı́m
n→+∞
Ln = lı́m
n→+∞
f (x0)∆x + f (x1)∆x + · · · + f (xn−1)∆x
8 Capítulo 11. Integrales
Y en general,el mismo valor se obtiene usando un valor cualquier x∗i (denominado valor
de prueba) dentro de cada subintervalo
Área de S = lı́m
n→+∞
f (x∗1)∆x + f (x
∗
2)∆x + · · · + f (x
∗
n)∆x
Usando la notación de Σ se escribe
Área de S = lı́m
n→+∞
n∑
i=1
f (x∗i )∆x
Actividad 11.3 Considerar la función f (x) = e−x en el intervalo [0, 2].
a) En la Figura 11.13 se representa la gráfica de f . Incorporen allí los rectángulos
correspondientes a R4 y L4.
x
y
y = e−x
0 211
2
3
2
Figura 11.13: Gráfica de la función f (x) = e−x en el intervalo [0, 2].
b) Calculen las áreas de R4 y L4; y realicen una estimación del área debajo de la curva
de la función f en el intervalo [0, 2].
c) Realicen el mismo procedimiento para calcular R8 y L8 usando la misma Figura
11.13 y mejoren la estimación del inciso anterior.
�
11.2 Distancia recorrida y posición de un móvil
t (horas)
v(t) (km/h)
2 5
15
20
Figura 11.14: Gráfica de la función
velocidad de Alicia.
Actividad 11.4 Consideren las siguientes situaciones y respondan las consignas
a) Lucas realiza un viaje en bicicleta por una ruta a una velocidad constante de 20
km/h durante 5 horas. ¿Qué distancia recorrió Lucas?
b) Alicia realiza un viaje en bicicleta. El gráfico de la Figura 11.14 representa la
velocidad vs. el tiempo de Alicia durante su trayecto que duró 5 horas. En realidad,
la función velocidad de Alicia durante el trayecto es continua (sin saltos) pero
simplificamos la situación en t = 2 debido a que Alicia aceleró de 15 km/h a 20
km/h en un momento muy breve. ¿Qué distancia recorrió Alicia en total?
11.2 Distancia recorrida y posición de un móvil 9
c) Nicolás realizó un viaje en bicicleta hacia el norte en una ruta a una velocidad
constante de 12 km/h durante 2 horas, luego dió la vuelta y viajó hacia el sur a
una velocidad constante de 20 km/h durante 1 hora. Consideramos que la velocidad
viajando hacia el norte es positiva y la velocidad viajando hacia el sur es negativa.
Asumiendo que el cambio de la velocidad de Nicolás al dar la vuelta se hace en un
momentomuy breve, ¿cuál de las gráficas de la Figura 11.15 representa correctamente
la velocidad de Nicolás durante sus 3 horas de viaje? Expliquen el motivo de la
elección.
t (hs)
v(t) (km/h)
1 2 3
10
20
t (hs)
v(t) (km/h)
1 2 3
10
20
t (hs)
v(t) (km/h)
1 2 3
10
20
−20
Figura 11.15: Para elegir la función velocidad de Nicolás.
d) En la Figura 11.16 se representa la función velocidad durante el viaje que Andrea
realizó primero hacia el norte, luego hacia el sur y luego de nuevo hacia el norte
por una ruta. Los valores entre paréntesis de la figura son los valores de las áreas
sombreadas.
t - (horas)
v(t) - (km/h)
1 2 3
10
20
−10
(10)
(14)
(19)
Figura 11.16: Gráfica de la velocidad de Andrea.
Completen los espacios en blanco según corresponda. Expliquen cómo lo calcularon.
A) En la primera hora de viaje Andrea recorre km al norte.
B) En la siguiente hora Andrea recorre km al sur; su posición
respecto al punto donde comenzó el viaje es de km al sur.
C) A la 3 horas, Andrea se encuentra a km al norte del punto donde
comenzó su viaje; porque en la tercer hora realizó 19 km al del
punto de comienzo del viaje.
�
10 Capítulo 11. Integrales
Consideraremos el problema general de determinar la posición de un objeto que se mueve
describiendo una trayectoria curvilínea y la distancia que recorre el objeto durante un período
de tiempo. En el Módulo 4 presentamos la velocidad instantánea de un móvil como la derivada
de la posición respecto al tiempo
v = p′ =
dp
dt
= lı́m
∆t→0
∆p
∆t
O sea, si conocemos la posición de un objeto en cada instante de tiempo entonces podemos
determinar su velocidad en cada instante mediante la derivada de la posición.
En esta oportunidad consideraremos el problema inverso que consiste en determinar la
posición de un objeto conociendo su velocidad. Esta situación requiere los siguientes acuerdos
• El movimiento del objeto se realiza en una única dirección como si fuera el movimiento
de un auto en una ruta que avanza o retrocede pero no se mueve hacia los costados.
• Se requiere fijar un sentido de referencia que indica hacia dónde estamos considerando
el avance y el retroceso del móvil.
• Si velocidad es positiva, el movimiento del objeto se realiza en sentido positivo del
sistema de referencia elegido.
• Si la velocidad es negativa, el movimiento del objeto se realiza en sentido contrario al
sentido positivo del sistema de referencia.
•
Posición inicial
•
Posición final
Dirección de refe
rencia del movim
iento
Velocidades posi
tivas
Velocidades nega
tivas
Si la velocidad del objeto se mantiene constante durante todo el trayecto entonces la
distancia recorrida se determina de manera sencilla como
Variación de la posición = velocidad × Variación del tiempo
∆p = v × ∆t
Pero si la velocidad cambia durante el recorrido entonces no es tan sencillo determinar la
posición del objeto.
� Ejemplo 11.3 En general, el tablero de un auto tiene varios instrumentos medidores. Uno
de ellos muestra la velocidad del auto en cada instante (el velocímetro); y otro cuenta
los kilómetros recorridos (el cuentakilómetros u odómetro). En esta situación no hay
velocidades negativas en el velocímetro; las velocidades que marca el velocímetro
son positivas y van hacia adelante respecto del auto. Pero lo que sucede es que en el
auto en que viajamos se ha roto el cuentakilómetros por lo que no podemos saber el
kilometraje que vamos haciendo durante el trayecto. Por lo tanto decidimos tomar nota
de la velocidad marcada en el velocímetro cada 5 segundos durante un período de 30
segundos. Presentamos los datos recopilados en la siguiente tabla
Tiempo (en segundos) 0 5 10 15 20 25 30
Velocidad (en km/h) 67 70 69 65 61 55 53
11.2 Distancia recorrida y posición de un móvil 11
Para hacer consistente la recopilación de los datos debemos hacer una conversión
de unidades considerando que 1 km/h equivale aproximadamente a 0.28 m/s.
Tiempo (en segundos) 0 5 10 15 20 25 30
Velocidad (en m/s) 18.6 19.4 19.2 18.1 16.9 15.3 14.7
Durante cada intervalo de tiempo de 5 segundos la velocidad no cambia mucho por
lo que podemos suponer que la velocidad se mantiene constante en cada intervalo de
5 segundos.
En el primer intervalo que dura 5 segundos la velocidad se considera constante
18.6 m/s por lo que el auto avanza
18.6 m/s × 5 s = 93 m
En el segundo intervalo, que también dura 5 segundos, la velocidad se considera
constante 19.4 m/s por lo que el auto avanza
19.4 m/s × 5 s = 97.5 m
En forma similar podemos calcular, de manera aproximada, la cantidad de metros
que avanzó el auto en todo el trayecto que duró 30 segundos (no incluimos las unidades
para simplificar la expresión):
(18.6 × 5) + (19.4 × 5)+(19.2 × 5) + (18.1 × 5)+
+ (16.9 × 5) + (15.3 × 5) + (14.7 × 5) = 611 metros
Seguramente podríamos lograr una mayor aproximación en nuestros cálculos si las
lecturas del velocímetro fueran cada 2 segundos. O con intervalos más cortos.
�
Las cuentas realizadas en el Ejemplo 11.3 se parecen mucho a las cuentas que realizamos
en el problema del área debajo de la gráfica de una función positiva. Cada intervalo de tiempo
y la velocidad que se considera constante en dicho intervalo se asocia a cada rectángulo en la
gráfica de la velocidad en función del tiempo como se representa en la Figura 11.17.
t
(segundos)
v(t)
(m/s)
18.6 19.4 19.2 18.1
16.9
15.3
El área de cada rectángulo
equivale a los metros recorridos
por el auto en el trayecto
de 5 segundos.
18.1 m/s × 5 s = 90.5 metros
0 5 10 15 20 25 30
Figura 11.17: Subdivisión en 6 intervalos de 5 segundos.
12 Capítulo 11. Integrales
0
Figura 11.18: Objeto sostenido por
un resorte.
� Ejemplo 11.4 Consideremos un objeto enganchado a un resorte que cuelga del techo de tal
manera que se produce un movimiento exclusivamente vertical. Podemos considerar
que el sentido positivo del movimiento se produce hacia arriba y el sentido negativo
del movimiento se produce hacia abajo. Ver Figura 11.18.
En la Figura11.19 se representa la velocidad v(t) de un objeto sostenido por un resorte
desde el techo que se mueve durante un lapso de tiempo de t = 0 hasta t = 2π.
t
v(t)
Figura 11.19: Velocidad de un objeto sostenido por un resorte desde el techo.
Subdividimos el intervalo [0, 2π] en pequeños intervalos para considerar allí que la
velocidad es constante. Pero considerando que el área de los rectángulos debajo del
eje horizontal corresponden a velocidades negativas por lo que corresponden a un
movimiento hacia abajo.
t
v(t)
�
Actividad 11.5 En la Figura 11.20 se representa la velocidad de un objeto enganchado a un
resorte que cuelga del techo y que se mueve en un lapso de tiempo de t = 0 hasta t = 5.5
segundos considerando que el sentido del movimiento positivo se refiere hacia arriba. Las
cantidades entre paréntesis representan el valor del área de la región correspondiente.
t - (seg)
v(t) - (cm/seg)
0 1.5 4.7 5.5
(10)
(20)
(6)
Figura 11.20: Velocidad (cm/seg) vs. tiempo (seg).
11.3 Patogénesis 13
a) ¿Cuántos metros subió el objeto en el primer intervalo de 0 a 1.5 segundos?
b) ¿Cuántos metros bajó el objeto en el intervalo de 1.5 a 4.7 segundos? Respecto a la
posición inicial, ¿se encuentra arriba o debajo? ¿A qué distancia?
c) ¿Cuántos metros subió el objeto en el intervalo de 4.7 a 5.5 segundos? Respecto a la
posición inicial, ¿en qué posición se encuentra?
�
La situación general se considera de la siguiente manera:
La cantidad v(t) tiene unidades
de velocidad y ∆t tiene unidades
de tiempo que, en el caso que
sean compatibles se tiene
p =
[longitud]
[tiempo]
× [tiempo]
= [longitud]
Definición 11.2.1 — Desplazamiento de un objeto. Si p(t) representa la posición de un objeto
y v(t) la velocidad del objeto (que consideraremos funciones continuas) que se mueve
en sentido uni-dimensional, habiendo fijado un sentido positivo para el movimiento y
considerando que se toma un intervalo de tiempo desde t = a (instante inicial) hasta t = b
(instante final), se determina la posición del objeto al final del recorrido por
p(b) = p(a) + lı́m
n→+∞
v(t∗1)∆t + v(t
∗
2)∆t + · · · + v(t
∗
n)∆t︸ ︷︷ ︸
Desplazamiento resultante hacia atrás o hacia adelante
(11.1)
tomando t∗n algún valor de prueba en cada subintervalo de tiempo de tamaño ∆t.
También escribimos la ecuación 11.1 usando la notación ∆p = p(b) − p(a) de la forma
∆p = lı́m
n→+∞
v(t∗1)∆t + v(t
∗
2)∆t + · · · + v(t
∗
n)∆t (11.2)
con la misma consideración de tomar t∗n algún valor de prueba dentro de cada subintervalo
de tiempo de tamaño ∆t.
11.3 Patogénesis
Figura 11.21: Sarpullido del saram-
pión en el pecho de bebé.
El sarampión es una infección del sistema respiratorio muy contagiosa causada por un
virus. A pesar de que el 80% de la población mundial está vacunada sigue siendo una de las
mayores causas de muerte en todo el mundo. Se denomina patogénesis al modo en que se
origina y desarrolla una enfermedad a lo largo del tiempo. En el caso del sarampión, el virus
entra a través del tracto respiratorio y se replica allí antes de expandirse al torrente sanguíneo y
luego a la piel. En una persona que no tiene inmunidad al sarampión, el sarpullido usualmente
aparece a los 12 días de comenzada la infección. El virus alcanza un pico de densidad en la
sangre alrededor del día 14. Luego, la cantidad de virus decrece muy rápidamente en unos
pocos días hasta que alcanza la respuesta inmune. Este proceso se representa en la Figura 11.22
t (días)
f (t)
N
úm
er
o
de
cé
lu
la
si
nf
ec
ta
da
s
po
rm
L
de
pl
as
m
a
sa
ng
uí
ne
o
500
1000
0 10 − 11 12 17 − 18 21
Entrada
del virus
Comienza
la infección
Aparecen los
síntomas
Termina
la infección
Desaparece
el virus
Figura 11.22: Curva de la
patogénesis del sarampión.
J. M. Hefferman et al.,
An In-Host Model of Acute Infection:
Measles as a Case Study
Theoretical Population Biology (2008)
La función f (t) de la Figura 11.22 determina el número de células infectadas por mL de
plasma sanguíneo en cada instante. La aparición del sarpullido (síntoma típico del sarampión)
14 Capítulo 11. Integrales
se desarrolla después de que el sistema inmune estuvo expuesto a una cierta cantidad de
infección . Esta cantidad de infección está determinada por la cantidad de células infectadas
por mL del plasma sanguíneo por la duración en tiempo que las células están expuestas a la
infección.
Si la cantidad f (t) se mantiene constante en un intervalo de tiempo entonces
Cantidad de infección = Densidad de células infectadas × intervalo de tiempo
= f × ∆tt (días)
f (t)
12
t (días)
f (t)
12
Figura 11.23: Determinación de la
cantidad de infección como el área
debajo de la gráfica de f (t).
En el caso general, donde f (t) no es constante hacemos subdivisiones en pequeños
intervalos de tiempo en los que la variación de f (t) es muy pequeña y sumamos la cantidad
de infección en cada subintervalo
f (t∗1)∆t + f (t
∗
2)∆t + · · · + f (t
∗
n)∆t
tomando algún valor t∗i en cada intervalo de longitud ∆t como en la Figura 11.23 de modo que
tomamos subdivisiones cada vez más pequeñas de tal manera que
Cantidad de infección = lı́m
n→∞
f (t∗1)∆t + f (t
∗
2)∆t + · · · + f (t
∗
n)∆t
C La cantidad f (t) tiene unidades de densidad y ∆t tiene unidades de tiempo por lo que
Cantidad de infección = Unidad de densidad × Unidad de tiempo
11.4 La integral definida
Tomamos como base los problemas:
La suma
n∑
i=1
f (x∗i )∆x que apa-
rece en la Definición 11.4.1 se
llama suma de Riemann por el
matemático Bernhard Riemann
(1826–1866).
• El área debajo de la gráfica de una función continua y positiva en un intervalo [a, b].
• La posición de un objeto que se mueve uni-dimensionalmente conociendo su velocidad
y conociendo la posición inicial.
• La cantidad de infección en la patogénesis de una enfermedad.
Definición 11.4.1 Si f es una función definida para a ≤ x ≤ b, dividimos el intervalo [a, b]
en n subintervalos de igual longitud ∆x = (b − a)/n. Sean a = x0, x1, x2, ..., xn = b los
bordes de esos intervalos y sean x∗1, x
∗
2, ..., x
∗
n valores cualesquiera en esos subintervalos,
con x∗i en el intervalo [xi−1, xi]. Entonces la integral definida de f desde a hasta b es∫ b
a
f (x) dx = lı́m
n→+∞
f (x∗1)∆x + f (x
∗
2)∆x + · · · + f (x
∗
n)∆x
= lı́m
n→+∞
n∑
i=1
f (x∗i )∆x
siempre que ese límite exista. Si el límite existe, se dice que f es integrable en [a, b].
x
y
y = f (x)
x = a x = b
∫ b
a
f (x)dx
Figura 11.24: La integral definida
de f en el intervalo [a, b].
C El símbolo
∫
se llama signo de integral. Es una especie de S alargada.
dx se usa como símbolo auxiliar
para indicar la variable
independiente x.
Borde derecho del intervalo de integración.
Borde izquierdo del intervalo de integración
11.4 La integral definida 15
C La integral definida
∫ b
a
f (x) dx es un número. La variable x se considera auxiliar y
no cumple ningún papel concreto. Es más, se puede usar cualquier letra como variable y
el valor de la integral es el mismo∫ b
a
f (x) dx =
∫ b
a
f (r) dr =
∫ b
a
f (t) dt .
Si la función f es positiva y continua entonces∫ b
a
f (x) dx = Área debajo de la gráfica de f y sobre el eje x en el intervalo [a, b]
como en la Figura 11.24 tal como se desarrolló en la Sección 11.1.
x
y
A1
A2
A3
Figura 11.25: La integral definida
como área neta entre la gráfica de f
y el eje x en el intervalo [a, b].
Si los valores de la función f son tanto positivos como negativos, como en la Figura 11.25,
entonces se consideran las regiones debajo del eje x con un aporte negativo de sus áreas y
las regiones sobre el eje x con aportes positivos de sus áreas, de modo que la suma de ellas
representa el área neta entre la gráfica de la función f y el eje x.∫ b
a
f (x) dx = Área neta entre la gráfica de la función f y el eje x.
Por ejemplo, en la Figura 11.25 corresponde calcular∫ b
a
f (x)dx = A1 − A2 + A3
Cuando se estudia el movimiento de un objeto mediante las funciones posición, p(t), y
velocidad,v(t), se tiene que
∆p = p(b) − p(a) =
∫ b
a
v(t)dt
Si f (t) es la función de patogénesis de una infección (describe la cantidad células infectadas
por unidad de volumen) entonces ∫ b
a
f (t) dt
determina la cantidad de infección en el intervalo de tiempo [a, b].
Aunque hemos definido la
∫ b
a
f (x)dx dividiendo el intervalo [a, b] en subintervalos de
igual longitud, hay situaciones en las que conviene trabajar con intervalos de distinta longitud.
Por ejemplo, hay experimientos biológicos en donde los datos son recolectados en tiempos
que no son igualmente espaciados. También se define en este caso la integral definida si la
longitud de los intervalos tiende a 0 en el proceso del límite.
Teorema 11.4.1 — Existencia de la integral definida.
Si f es continua en [a, b], o si f tiene solo un número finito de discontinuidades tipo salto,
entonces f es integrable en [a, b].
Es decir, la integral definida
∫ b
a
f (x)dx existe.
En las condiciones del Teorema 11.4.1, se puede asegurar que la función f alcanza un
valor máximo y un valor mínimo en cada sub-intervalo correspondiente a la Suma de Riemann.
En algunos libros se utilizan los valores xmini y x
max
i para indicar donde la función alcanza sus
valores mínimos y máximos (respectivamente) en los sub-intervalos. Las sumas de Riemann
asociadas a dichos valores se denominan usualmente Sumas inferiores y Sumas superiores.
16 Capítulo 11. Integrales
Si f es integrable en [a, b], entonces el límite de la Definición 11.4.1 existe y da el mismo
valor sin importar la elección de los puntos xi . Para simplificar el cálculo de la integral
generalmente se toman los valores xi como el borde derecho de los intervalos. Entonces,
x∗i = xi y la definición de la integral se simplifica como sigue.
Teorema 11.4.2 Si f es integrable en [a, b], entonces∫ b
a
f (x) dx = lı́m
n→+∞
n∑
i=1
f (xi)∆x
donde ∆x =
b − a
n
, y xi = a + i ∆x.
Los problemas del área debajo de la gráfica de una función, del desplazamiento de un objeto
móvil o de la determinación de la cantidad de infección son tres ejemplos de una clase más
amplia de problemas similares que estudian el cálculo de una cantidad total mediante la suma
sobre pequeños subintervalos en los que intervienen funciones que se suponen constantes allí.
• El área total debajo de la gráfica de una función positiva se considera como la suma de
las áreas de pequeños rectángulos dado que se estima que la función es constante en
cada pequeño intervalo.
• La distancia total recorrida por un objeto se calcula como la suma de pequeñas distancias
calculadas en pequeños intervalos de tiempo bajo el supuesto de que la velocidad es
constante en cada uno de ellos.
• La cantidad de infección acumulada por una infección se calcula como la suma de la
cantidad de células infectadas por unidad de volumen acumuladas en un período de
tiempo.
Otros problemas similares en los que intervienen funciones que se pueden suponer
localmente constantes son la densidad de una sustancia, la concentración de una solución, la
magnitud de una fuerza, entre otros.
x
y x2 + y2 = 1
1
1
Figura 11.26: Gráfica de la fun-
ción f (x) =
√
1 − x2 en el intervalo
[0, 1].
x
y y = x − 1
1 3
A2
A1
Figura 11.27: Gráfica de la función
g(x) = x − 1 en el intervalo [0, 3].
� Ejemplo 11.5 Evaluemos las siguientes integrales interpretando cada una de ellas en
términos de áreas.
a)
∫ 1
0
√
1 − x2 dx b)
∫ 3
0
(x − 1) dx
a) Como f (x) =
√
1 − x2 ≥ 0, podemos interpretar a esta integral como el área
bajo la curva y =
√
1 − x2 de 0 a 1. Pero como y2 = 1 − x2, obtenemos que
x2 + y2 = 1, que muestra que la gráfica de f es el cuarto de circunferencia con
radio 1 de la Figura 11.26. Por lo tanto,∫ 1
0
√
1 − x2 dx =
1
4
π 12 =
π
4
.
b) La gráfica de y = x − 1 es la recta con pendiente 1 que se muestra en la
Figura 11.27. Calculamos la integral como la diferencia de las áreas de los
triángulos:∫ 3
0
(x − 1) dx = A1 − A2 =
1
2
(2.2) −
1
2
(1.1) = 1.5
�
11.4 La integral definida 17
Actividad 11.6 Estimen la integral definida de la función g cuya gráfica se presenta en la
Figura 11.28 usando 6 subintervalos: tomando los bordes derechos de cada intervalo, luego
tomando los bordes izquierdos de cada intervalo y luego tomando los valores medios de
cada intervalo.
Figura 11.28: Gráfica de la función g.
�
Actividad 11.7 Durante el test de una nueva droga, los investigadores miden la concentración
de la droga en el plasma sanguíneo cada 10 minutos. Los valores promedio se presentan
en la Tabla 11.3 donde t se mide en minutos y C se mide en µg/mL. Estimen, usando los
bordes izquierdos y derechos, la integral
∫ 100
0
C(t)dt.
t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
C(t) 0 1.3 1.8 2.2 2.4 2.5 2.4 2.3 2.0 1.6 1.1
Tabla 11.3: Concentración C de la nueva droga medida en intervalos de 10 minutos.
�
Actividad 11.8 La Figura 11.29 muestra la velocidad de un auto frenando en una carretera.
Estimen la distancia que recorre el auto antes de detenerse.
t
(segundos)
v (km/h)
0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Figura 11.29: Velocidad del auto mientras va frenando.
�
18 Capítulo 11. Integrales
Actividad 11.9 En un estudio sobre el metabolismo del ácido salicílico (SA) se modela la
concentración de SA mediante la función C(t) = 11.4te−t donde t se mide en horas y C se
mide en µg/mL. Usando valores de la derecha del intervalo con 8 subintervalos estimar∫ 4
0
C(t)dt.
�
11.4.1 Propiedades de la integral definida
Cuando se define la integral definida se toma a < b para que tenga sentido el intervalo
[a, b]; sin embargo aceptaremos a partir de ahora las siguientes propiedades que se consideran
válidas para cualesquiera valores de a y b
Propiedad 11.4.3 — Propiedades de la integral definida.
Considerando f y g funciones continuas se tiene que
a)
∫ b
a
f (x)dx = −
∫ a
b
f (x)dx
b)
∫ a
a
f (x)dx = 0
c)
∫ b
a
c dx = c(b − a), para cualquier constante c
d)
∫ b
a
[ f (x) + g(x)] dx =
∫ b
a
f (x) dx +
∫ b
a
g(x) dx
e)
∫ b
a
c f (x) dx = c
∫ b
a
f (x) dx, para cualquier constante c
f )
∫ b
a
[ f (x) − g(x)] dx =
∫ b
a
f (x) dx −
∫ b
a
g(x) dx
g)
∫ c
a
f (x) dx +
∫ b
c
f (x) dx =
∫ b
a
f (x) dx, para cualquier constante c
La Propiedad b) se refiere a que el área de un segmento se toma como 0 dado que la
base es un intervalo de la forma [a, a]. La Propiedad c) dice que la integral de una función
constante f (x) = c es la constante por la longitud del intervalo. Si c > 0 y a < b, se interpreta
gráficamente dado que c(b − a) es el área del rectángulo sombreado de la Figura 11.30.
x
y
f (x) = c
c
a b
Figura 11.30: Área del rectángulo
debajo de la funcion f (x) = c.
x
y
y = f (x)
a bc
∫ c
a
f (x)dx
∫ b
c
f (x)dx
Figura 11.31: El intervalo se sub-
divide en [a, c] y [c, b].
Las Propiedades d), e) y f ) se refieren a cómo se comporta la integral definida con las
operaciones algebraicas entre funciones de suma, resta y multiplicación por una constante.
Coloquialmente, en el caso de la suma: “la integral definida de una suma de funciones es la
suma de las integrales definidas”. En forma similar para la resta y para la multiplicación por
una constante. Se deducen de operar correctamente con los límites para n→ +∞ sabiendo
que existen. Por ejemplo,
∫ b
a
[ f (x) + g(x)] dx = lı́m
n→∞
n∑
i=1
[ f (xi) + g(xi)]∆x
= lı́m
n→∞
[
n∑
i=1
f (xi)∆x +
n∑
i=1
g(xi)∆x]
= lı́m
n→∞
n∑
i=1
f (xi)∆x + lı́m
n→∞
n∑
i=1
g(xi)∆x
=
∫ b
a
f (x) dx +
∫ b
a
g(x) dx.
La Propiedad e) se puede demostrar en forma análoga y dice que la integral de una constante
por una función es la constante por la integral de la función. En otras palabras, una constante
11.4 La integral definida 19
(pero sólo una constante) se puede pasar al frente de un signo de integral.
La Propiedad f ) se demuestra al escribir f − g = f + (−g) y usar las Propiedades d) y e)
con c = −1. En cuanto a la Propiedad g), tomando el caso particular en que a ≤ c ≤ b, se
propone interpretarla según la Figura 11.31.
x
y
y = f (x)
y = g(x)
a b
Figura11.32: Comparación entre las
integrales de f y g en el intervalo
[a, b] siendo f ≥ g ≥ 0.
x
y
∫ b
a
f (x)dx
a b
m
M
Figura 11.33: Función acotada en el
intervalo [a, b] con m ≤ f (x) ≤ M .
Propiedad 11.4.4 — Propiedades de monotonía de la integral definida.
a) Si f (x) ≥ 0 para a ≤ x ≤ b, entonces
∫ b
a
f (x) dx ≥ 0.
b) Si f (x) ≥ g(x) para a ≤ x ≤ b, entonces
∫ b
a
f (x) dx ≥
∫ b
a
g(x) dx.
c) Si m ≤ f (x) ≤ M para a ≤ x ≤ b, entonces
m(b − a) ≤
∫ b
a
f (x) dx ≤ M(b − a).
La Propiedad a) dice que las áreas son positivas. La Propiedad b) dice la integral definida
respeta el orden entre funciones (ver Figura 11.32). Por último, en la Figura 11.33 se ilustra la
Propiedad c) para el caso donde f (x) ≥ 0. Si f es continua podríamos tomar m y M como los
valores mínimo y máximo absolutos de f en el intervalo [a, b]. En este caso la Propiedad c)
dice que el área bajo la gráfica de f es mayor que el área del rectángulo con altura m y menor
que el área del rectángulo con altura M .
� Ejemplo 11.6 Usaremos las propiedades d) y e) para calcular
∫ 1
0
(2 + 3x2) dx.
∫ 1
0
(2 + 3x2) dx =
∫ 1
0
2 dx +
∫ 1
0
3x2 dx =
∫ 1
0
2 dx + 3
∫ 1
0
x2 dx
Sabemos también por la propiedad c) que
∫ 1
0
2 dx = 2(1−0) = 2 y que
∫ 1
0
x2 dx =
1
3
(recordar página 6). Por lo tanto∫ 1
0
(2 + 3x2) dx = 2 + 3
1
3
= 2 + 1 = 3.
�
� Ejemplo 11.7 Sabiendo que
∫ 10
0
f (x) dx = 17 y
∫ 8
0
f (x) dx = 12 podemos operar usando
la Propiedad g) para obtener
∫ 10
8
f (x) dx.
∫ 8
0
f (x) dx +
∫ 10
8
f (x) dx =
∫ 10
0
f (x) dx
y entonces∫ 10
8
f (x) dx =
∫ 10
0
f (x) dx −
∫ 8
0
f (x) dx = 17 − 12 = 5.
�
20 Capítulo 11. Integrales
� Ejemplo 11.8 Usemos la Propiedad c) para estimar
∫ 1
0
e−x
2
dx.
Como f (x) = e−x
2
es una función decreciente en [0, 1] (chequear usando la derivada), su
valor máximo absoluto es M = f (0) = 1 y su valor mínimo absoluto es m = f (1) = e−1.
Entonces, por la Propiedad c),
e−1(1 − 0) ≤
∫ 1
0
e−x
2
dx ≤ 1(1 − 0)
e−1 ≤
∫ 1
0
e−x
2
dx ≤ 1.
Como e−1 ≈ 0.3679, podemos afirmar que 0.3679 ≤
∫ 1
0
e−x
2
dx ≤ 1.
�
x
y
0 1
1
e−1
Figura 11.34: Gráfica de la función
f (x) = e−x
2
en el intervalo [0, 1]. Actividad 11.10 Escriban la siguiente expresión para que quede de la forma
∫ b
a
f (x)dx
(con un único símbolo de integral).∫ 2
−2
f (x)dx +
∫ 5
2
f (x)dx −
∫ −1
−2
f (x)dx
�
Actividad 11.11 Si
∫ 5
1
f (x)dx = 12 y
∫ 5
4
f (x)dx = 3, encuentren
∫ 4
1
f (x)dx. �
Actividad 11.12 Encuentren los valores de las siguientes integrales. Deberán usar las
propiedades conocidas y las gráficas de las funciones involucradas.
a)
∫ 3
−1
(1 + 3x)dx b)
∫ 1
0
(2 − x2)dx
�
Actividad 11.13 Encuentren
∫ 5
0
f (x)dx siendo f (x) =
{
3 si x < 3
x si x ≥ 3
�
Actividad 11.14 Consideren f la función cuya gráfica se presenta en al Figura 11.35.
Ordenen las siguientes cantidades de menor a mayor.
a)
∫ 8
0
f (x)dx b)
∫ 3
0
f (x)dx c)
∫ 8
3
f (x)dx d)
∫ 8
4
f (x)dx
�
Figura 11.35: Gráfica de la fun-
ción f .
Actividad 11.15 Usando las propiedades de monotonía verifiquen que
2 ≤
∫ 1
−1
√
1 + x2dx ≤ 2
√
2
�
12. Teorema Fundamental del Cálculo
“asdfasdfasdfasdfasdf.”
Wang Zhenyi (1768-1797)12.1 Antiderivadas
A continuación recopilamos las derivadas de las funciones que desarrollamos anteriormente.
F(x) F ′(x) F(x) F ′(x)
xa
(para cualquier a ∈ R) ax
a−1
ex ex
ax
(para a > 0)
ax ln(a)
ln(x) 1
x
loga(x)
(para a > 0)
1
x ln(a)
sen(x) cos(x)
cos(x) − sen(x)
tan(x)
1
cos2(x)
arc cos(x) −
1
√
1 − x2
arc sen(x)
1
√
1 − x2
arctan(x) 1
1 + x2
Derivando Derivando
En todos los casos debe considerarse el
dominio de las funciones y sus deriva-
das tal como se detalló en los módulos
anteriores. Por ejemplo, recordar que las
funciones exponenciales están definidas
y son derivables en todo R. En cambio,
la función xa con a = 12 está definida en
el intervalo [0, +∞) y es derivable sólo
en el intervalo (0, +∞).
Decimos, por ejemplo que
f (x) = 3x2 es la derivada de F(x) = x3
El proceso inverso se denomina antiderivada.
Decimos que
F(x) = x3 es una antiderivada de f (x) = 3x2
Y aquí debemos remarcar que este proceso inverso no es único (nunca). Porque existen
una cantidad infinita de funciones que son antiderivadas de f (x) = 3x2.
F1(x) = x3
F2(x) = x3 + 1
F3(x) = x3 + π
F4(x) = x3 − 3
...
FC(x) = x3 + C
f (x) = 3x2
2 Capítulo 12. Teorema Fundamental del Cálculo
Podemos decir que cualquier función de la forma
Fc(x) = x3 + C
(donde C puede ser cualquier número real) es una antiderivada de la función f (x) = 3x2 en
todo R.
Definición 12.1.1 Una función F(x) de dice antiderivada o primitiva de la función f (x)
en un intervalo (un intervalo que puede ser de cualquier forma) si F ′(x) = f (x).
C No todas las funciones tienen una antiderivada en cualquier intervalo. La existencia o
no de las antiderivadas estará condicionada a las propiedades de la función (incluyendo
el dominio que se esté considerando).
Sin embargo, si una función f tiene alguna primitiva en algún intervalo, entonces
necesariamente tendrá una cantidad infinita de primitivas (por lo detallado más arriba)
que se pueden construir sumando cualquier constante C.
El siguiente teorema dice un poco más. Dice que todas las antiderivadas de una función
(en el caso que exista alguna) son exclusivamente de la forma en que se construyen
sumando alguna constante C.
Teorema 12.1.1 Si F es una antiderivada de f en un intervalo (de cualquier forma), entonces
todas las antiderivadas de f en el mismo intervalo son de la forma
FC(x) = F(x) + C
para cualquier constante C.
x
y
Figura 12.1: Varias antiderivadas de
la función f (x) = 3x2.
SiH(x) es una función tal queH′(x) = 0
para todo x ∈ (a, b) entonces tomando
x2 y x1 ∈ (a, b) se tiene, usando el
Teorema del Valor Medio, que existe x̃
en el intervalo (a, b) tal que
H(x2) − H(x1) = H
′(x̃)︸︷︷︸
=0
(x2 − x1)
Por lo tanto
H(x2) − H(x1) = 0
O sea, H(x2) = H(x1). Y por lo tanto
H es una función constante.
Si F(x) y G(x) son dos antiderivadas de la función f (x) en el mismo intervalo (a, b)
entonces
H(x) = F(x) − G(x)
es una función derivable en el intervalo (a, b) y
H ′(x) = F ′(x) − G′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b)
por lo tanto H(x) debe ser una función constante (ver el recuadro del margen)
H(x) = C =⇒ F(x) = G(x) + C
� Ejemplo 12.1 Si consideramos f (x) = sen(x) entonces F(x) = − cos(x) es una antiderivada
de f (x) en todo R. De modo que el conjunto completo de funciones antiderivadas de
f (x) en todo R será de la forma
F(x) = − cos(x) + C
�
� Ejemplo 12.2 La función f (x) =
1
x
está definida en el conjunto (−∞, 0) ∪ (0,+∞). Deter-
minaremos las antiderivadas de f (x) en cada uno de los intervalos (−∞, 0) y (0,+∞)
(lo haremos en cada intervalo por separado).
En el intervalo (0,+∞) sabemos que la función F(x) = ln(x) es una antiderivada de
f (x) por lo tanto las antiderivadas en el intervalo (0,+∞) son de la forma
FC(x) = ln(x) + C
12.1 Antiderivadas 3
En el intervalo (−∞, 0) no podemos usar la misma función ln(x) porque las funciones
logarítmicas no están definidas para valores negativos de x. Sin embargo, podemos
tomar G(x) = ln(−x) que sí está definida para x < 0 y además cumple
G′(x) =
d
dx
(ln(−x)) =︸︷︷︸
Regla de
la cadena
1
−x
.(−1) =
1
x
Por lo tanto G(x) es una antiderivada de f (x) definida en el intervalo (−∞, 0).
Todas las demás antiderivadas de f (x) en ese intervalo serán de la forma
GC(x) = ln(−x) + D
�
Conociendo una antiderivada particular de una función en un cierto intervalo, podemos
determinar todas sus posibles antiderivadas. Según las reglas de derivación y las derivadas de
las funciones desarrolladas en módulos previos tenemos que
f (x) F(x) f (x) F(x)
k . f (x) k .F(x)
f (x) + g(x) F(x) + G(x)
xa
(para a , −1)
1
a + 1
xa+1
ex ex
ax
(para a > 0)
1
ln(a)
ax
1
x
ln(|x |)
cos(x) sen(x)
sen(x) − cos(x)
1
cos2(x)
tan(x)
1
√
1 − x2
arc sen(x)
1
1 + x2
arctan(x)
Una antiderivada
particular
Una antiderivada
particular
(*)
(**)
Encontrar antiderivadas en casos más complejosrequiere técnicas o procedimientos que
desarrollaremos en las próximas secciones. Las reglas marcadas con (*) permiten usar las
propiedades de la derivada con la suma y con el producto por un número para determinar
las antiderivadas en el caso de combinaciones lineales entre funciones. Por ejemplo,
F(x) = x3 + 2 arctan(x) − 4 cos(x) es una antiderivada de f (x) = 3x2 +
2
1 + x2
+ 4 sen(x)
En cuanto a (**) usamos la notación |x | para escribir de forma compacta la función
Valor absoluto de x = |x | =

x si x ≥ 0
−x si x < 0
4 Capítulo 12. Teorema Fundamental del Cálculo
según lo desarrollado en el Ejemplo 12.2. De modo que se resumen cómo queda determinada
una antiderivada particular en cada caso
1
x
ln(x)
ln(−x)
en el intervalo
(0,+∞)
en el intervalo
(−∞, 0)
� Ejemplo 12.3 Las funciones F(x) = arc sen(x) y G(x) = − arc cos(x) son dos antiderivadas
de f (x) =
1
√
1 − x2
en el intervalo (−1, 1). Se puede verificar la afirmación anterior
simplemente calculando F ′(x) y G′(x).
De acuerdo al Teorema 12.1.1 debe existir una constante C tal que
F(x) = G(x) + C para todo x ∈ (−1, 1).
arc sen(x) = − arc cos(x) + C
arc sen(x) + arc cos(x) = C para todo x ∈ (−1, 1)
Evaluando en x = 0 queda
arc sen(0) + arc cos(0) = C
0 +
π
2
= C
por lo que se tiene la siguiente identidad trigonométrica entre estas funciones inversas
arc sen(x) + arc cos(x) =
π
2
�
� Ejemplo 12.4 Existe una cantidad infinita de funciones que son antiderivadas de f (x) =
ex + 3 cos(x) − 4x8 en todo R. Sin embargo, hay una sola F(x), antiderivada de f (x)
en todo R, que cumple F(0) = 4.
Sabemos que todas las antiderivadas de f (x) tienen la forma
FC(x) = ex + 3 sen(x) −
4
9
x9 + C
que cumplen
FC(0) = e0 + 3 sen(0) −
4
9
09 + C = 1 + 0 + 0 + C = 1 + C
Por lo tanto, si resolvemos 1 + C = 4 debe ser C = 3; y obtenemos que la única
antiderivada en todo R que en x = 0 vale 4, resulta ser F3(x) = ex + 3 sen(x) −
4
9
x9 + 3.
�
12.2 Cálculo de integrales definidas 5
Actividad 12.1 Determinen, en cada caso, la única antiderivada de la función que cumpla
con la condición que se solicita. Indiquen el dominio de validez correspondiente.
a) F ′(x) = 1 − 6x con F(0) = 8 b) F ′(x) = 8x3 + 12x + 3 con F(1) = 6
c) F ′(x) = 6
√
x + 5x3/2 con F(1) = 10 d) F ′(x) = 2x −
3
x4
con F(1) = 3
e) F ′(x) = sen(x) + cos(x) con F(0) = 4 f ) F ′(x) = 2ex−3 cos(x) con F(π) = 0
�
12.2 Cálculo de integrales definidas
En el Módulo 11 calculamos integrales definidas como un límite de sumas de Riemann
para determinar el valor del área comprendida entre la gráfica de una función positiva y el
eje x, también para estudiar el movimiento de un objetivo según su velocidad, y también para
determinar la cantidad de infección asociada a la patogénesis de una enfermedad infecciosa. El
siguiente teorema relaciona el cálculo de las integrales definidas con el cálculo de antiderivadas.
Teorema 12.2.1 — Regla de Barrow. Si f es una función continua en [a, b] entonces∫ b
a
f (x)dx = F(b) − F(a)
donde F(x) es cualquier antiderivada de f (x) en el intervalo [a, b].
Se utiliza regularmente la notación: F(b) − F(a) = ∆F = F(x)
����b
a
Por ejemplo, en el Módulo 11 vimos, usando sumas de Riemann, que∫ 1
0
x2 dx = 13
Tomando F(x) = 13 x
3 como una antiderivada de f (x) = x2 en el intervalo [0, 1] tendremos,
según el Teorema 12.2.1, el mismo resultado∫ 1
0
x2 dx = F(x)
����1
0
= F(1) − F(0) = 13 1
3 − 13 0
3 = 13
El Teorema 12.2.1 es consistente con lo desarrollado en el Módulo 11 cuando expresamos
∆p = p(b) − p(a) =
∫ b
a
v(t) dt
considerando que p′(t) = v(t). O sea, la función posición de un objeto en movimiento es una
antiderivada de la función velocidad del objeto.
Demostración Dividimos el intervalo [a, b] en subintervalos de tamaño ∆x =
b − a
n
tomando los puntos x0(= a), x1, . . ., xn(= b). Tomando F(x) una antiderivada cualquiera
de la función f (x) en el intervalo [a, b] escribimos
F(b) − F(a) = F(xn) − F(x0)
= F(xn) −F(xn−1) + F(xn−1) + · · · F(x3) − F(x2) + F(x2) − F(x1) + F(x1)︸ ︷︷ ︸
Sumamos y restamos varios términos de la forma F(xi ) con 1 ≤ i ≤ n − 1
−F(x0)
=
n∑
i=1
F(xi) − F(xi−1)
6 Capítulo 12. Teorema Fundamental del Cálculo
Considerando que F(x) es continua y derivable en cada intervalo [xi, xi−1] podemos afirmar
que (Teorema del Valor Medio) en cada subintervalo existe un valor x∗i tal que
F(xi) − F(xi−1) = F ′(x∗i )(xi − xi−1) = f (x
∗
i )∆x
por lo tanto
F(b) − F(a) =
n∑
i=1
f (x∗i )∆x
Tomamos límite para n → +∞ en ambos lados de la igualdad. El miembro de la
izquierda es constante respecto de n y el miembro de la derecha corresponde a las sumas
de Riemann de la función f (x) por lo que
F(b) − F(a) = lı́m
n→+∞
n∑
i=1
f (x∗i )∆x =
∫ b
a
f (x)dx
� Ejemplo 12.5 Calcularemos
∫ 3
0
exdx.
Dado que F(x) = ex es una antiderivada de ex en el intervalo [1, 3] podemos calcular∫ 3
0
exdx = F(3) − F(0) = e3 − e0 = e3 − 1 ≈ 19.085
�
x
y
A
0 π2
Figura 12.2: Área comprendida entre
la gráfica de la función cos(x) en el
intervalo [0, π2 ].
x
y
A1
A2
0 2 3
Figura 12.3: Área comprendida entre
la gráfica de la función f (x) = x2 −
2x en el intervalo [0, 3].
� Ejemplo 12.6 Determinaremos el valor del área comprendida entre la gráfica de la función
cos(x) y el eje x en el intervalo [0, π2 ].
Dado que la función f (x) = cos(x) es positiva en el intervalo [0, π2 ] y que F(x) = sen(x)
es una antiderivada de f (x) en el intervalo se puede calcular
Área =
∫ π
2
0
cos(x)dx = F( π2 ) − F(0) = sen(
π
2 ) − sen(0) = 1
�
� Ejemplo 12.7 Determinaremos el valor del área comprendida entre la gráfica de la función
f (x) = x2 − 2x y el eje x en el intervalo [0, 3].
El área que queremos determinar se puede obtener sumando las áreas A1 y A2 (ver
Figura 12.3). En el caso de A1, como la función es negativa en el intervalo (0, 2), y
usando F(x) = 13 x
3 − x2 como antiderivada de f (x) en el intervalo [0, 3] sabemos que
A1 = −
∫ 2
0
(x2 − 2x)dx = − [F(2) − F(0)] = −
(
1
3 2
3 − 22
)
+
(
1
3 0
3 − 02
)
=
4
3
Y en el caso de A2, como la función es positiva en el intervalo (2, 3)
A2 =
∫ 3
2
(x2 − 2x)dx = F(3) − F(2) =
(
1
3
33 − 32
)
−
(
1
3
23 − 22
)
= −
8
3
+ 4 =
4
3
El área de la región será 43 +
4
3 =
8
3 .
�
12.3 Integral indefinida 7
Actividad 12.2 Calculen las siguientes integrales definidas
a)
∫ 2
−1
(x3 − 2x)dx b)
∫ 5
−2
6dx c)
∫ 4
1
(5 − 2t + 3t2)dt
d)
∫ 1
0
x4/5dx e)
∫ 8
1
3√xdx f )
∫ 2
1
3
t4
dt
g)
∫ 2π
0
cos(θ)dθ h)
∫ π/4
0
sec2(t)dt i)
∫ 9
1
2
x
dx
j)
∫ −1
−3
2
x
dx k)
∫ 1
0
10xdx l)
∫ √3/2
1/2
6
1 + t2
dt
�
12.3 Integral indefinida
Para continuar introduciremos una notación propia y específica para las antiderivadas que
facilitará el trabajo. La notación usada tradicionalmente es∫
f (x)dx
para indicar la determinación de antiderivadas de la función f (x) de manera general. O sea,
F(x) =
∫
f (x)dx ⇐⇒ F ′(x) = f (x)
Remarcamos la diferencia entre el doble uso del símbolo
∫
tanto para lo que denominamos
integral definida como con lo que denominamos integral indefinida.
Integral definida Integral indefinida∫ b
a
f (x)dx
∫
f (x)dx
Un número real que se obtiene como
límite de las sumas de Riemann para la
función f (x) en el intervalo [a, b].
El conjunto de funciones antiderivadas
de f (x). O sea, las que al derivarlas dan
f (x).
Por ejemplo,∫ 1
0
x2dx =
1
3
Por ejemplo,∫
x2dx = 13 x
3 + C
Con esta notación escribimos la Tabla 12.1 con las primitivas de las funciones usuales.
∫
xn dx =
1
n + 1
xn+1 + C
para n , −1∫
ex dx = ex + C∫
ax dx =
1
ln(a)
ax + C∫
1
x
dx = ln(|x |) + C∫
cos(x)dx = sen(x) + C∫
sen(x)dx = − cos(x) + C∫
1
cos2(x)
dx = tan(x) + C∫
1
√
1 − x2
dx = arc sen(x) + C∫
1
1 + x2
dx = arctan(x) + C
Tabla 12.1: Tabla de primitivas o
integrales indefinidas.
La relación ∫ b
a
f (x)dx = F(b) − F(a)
siendo F(x) cualquier primitiva de f (x) en el intervalo [a,b] generaliza lo que mencionamos
para el caso de la posición de un móvil y su relación con la velocidad∫ b
a
v(t)dt = p(b) − p(a)
8 Capítulo 12. Teorema Fundamental del Cálculo
Más generalmente, consideraremos a cualquier magnitud física, química o biológica que se
corresponda con una función de F(x) de R (o algún subconjunto de R) en R donde la variable
independiente es el tiempo “t” de tal manera que
∆F = F(b) − F(a) = variación de F en el intervalo de tiempo [a, b]
F ′(t) = velocidad instantánea de F en el instante t
∫ b
a
F ′(t)dt = Límite de las sumas de Riemman de F ′(t) en el intervalo [a, b]
F(b) − F(a) =
∫ b
a
F ′(t)dt
Figura 12.4: Cerveza fluyendo de un
tanque a otro.
� Ejemplo 12.8 En un proceso de elaboración de cerveza casera se trasvasa el líquido de un
recipiente a otro a una velocidad de V ′(t) cm3/seg.
La integral definida ∫ 5
0
V ′(t)dt = ∆V
representa la variación en cm3 del volumen de cerveza que se produjo entre los
instantes t0 = 0 y t1 = 5 segundos.
�
Actividad 12.3 En cada caso, indicar qué representa la integral definida planteada:
a) Si w′(t) es la velocidad de crecimiento en cada instante t de un niño en kilos/año.
¿Qué representa
∫ 10
5
w′(t)dt?
b) En una reacción química, la velocidad de reacción es la derivada de la concentración
[C](t) del producto que está reaccionando. ¿Qué representa
∫ t2
t1
d
dt
[C](t)dt?
c) Se comienza con 100 abejas las cuales aumentan a una velocidad de n′(t) abejas por
semana. ¿Qué representa la expresión 100 +
∫ 120
0
n′(t)dt?
�
Actividad 12.4 Una colonia de bacterias incrementa su tamaño a una velocidad de 4.05× 6t
bacterias por hora. Considerando que inicialmente la población tuvo 46 bacterias, encuentren
el tamaño de la población 4 horas más tarde. �
Actividad 12.5 La función f (t) = −t(t − 21)(t + 1) modela la patogénesis del sarampión en
un individuo infectado en función del tiempo t medido en días. Determinar la cantidad de
infección que hay en el individuo desde el día 0 (entrada del virus al cuerpo) hasta el día
12 (aparición de los síntomas). �
12.4 Teorema Fundamental del Cálculo 9
12.4 Teorema Fundamental del Cálculo
El Teorema 12.2.1 permite calcular la integral definida de una función continua a través
de alguna antiderivada. Pero, ¿existen siempre antiderivadas? El Teorema Fundamental del
Cálculo que se presenta a continuación define una función de manera explícita que cumple
ser una antiderivada de la función original bajo la condición de que se trate de una función
continua.
Teorema 12.4.1 — Teorema Fundamental del Cálculo. Si f es una función continua en un
intervalo [a, b] entonces la función F(x) definida por
F(x) =
∫
a
x
f (t) dt para a ≤ x ≤ b (12.1)
es una antiderivada de la función f (x) en el intervalo [a, b]. O sea, F ′(x) = f (x) para
cualquier x ∈ [a, b]
En términos de la Actividad 12.1, la función F(x) definida por la ecuación 12.1 es la
única antiderivada de f (t) que cumple F(a) = 0.
La función F(x) se define como la integral definida de la función f (t) en el intervalo
[a, x]. De modo que la variable x (variable independiente de F) representa el borde derecho en
el que se calcula la integral definida. Para cada valor de x fijo,∫
a
x
f (t) dt
es un número real; de modo que haciendo variar x en el intervalo [a, b] se obtienen los distintos
valores de F(x). x
y
y = f (x)
a bx
Área
Figura 12.5: Área debajo de la gráfi-
ca de la función f (x) sobre el eje x
en el intervalo [a, x].
x
y
y = f (x)
a bx x + ∆x
Figura 12.6: Área debajo de la gráfi-
ca de la función f (x) sobre el eje x
en el intervalo [a, x].
Si f (t) es positiva en el intervalo [a, b] entonces F(x) =
∫ x
a
f (t) dt representa el valor del
área debajo de la gráfica de la función f en el intervalo [a, x] como se ve en la Figura 12.5.
En este caso, si quisiéramos calcular la derivada de F(x) en algún x deberíamos evaluar
lı́m
∆x→0
F(x + ∆x) − F(x)
∆x
Si ∆x > 0, entonces F(x + ∆x) − F(x) representa el área sombreada en la Figura 12.6: el
área debajo de la gráfica de la función f en el intervalo [x, x + ∆x]. Para valores pequeños de
∆x, se puede aproximar con el área del rectángulo de base ∆x y altura f (x)
F(x + ∆x) − F(x) ≈ f (x)∆x
o sea,
F(x + ∆x) − F(x)
∆x
≈ f (x)
y tomando límite para ∆x → 0+ se obtiene
F ′(x) = lı́m
∆x→0+
F(x + ∆x) − F(x)
∆x
= f (x)
Un razonamiento similar sirve para el caso que ∆x < 0 y en el caso general que f (x) no
sea positiva.
El Teorema Fundamental del Cálculo se escribe, en la notación de Leibniz como
d
dx
∫ x
a
f (t)dt = f (x)
en el caso que f (t) sea continua.
10 Capítulo 12. Teorema Fundamental del Cálculo
� Ejemplo 12.9 Consideremos f (x) = ex
2
. Esta función es continua en todo R por lo tanto,
por el Teorema 12.4.1 la función
F(x) =
∫ x
0
et
2
dt
es derivable en todo R y además F ′(x) = ex
2
.
Para complejizar la situación podemos tomar otra función g(x) = x3 + 5 de tal manera
de componerlas en las dos opciones posibles
(F ◦ g)(x) o (g ◦ F)(x)
En el primer caso es
(F ◦ g)(x) = F (g(x)) =
∫ x3+5
0
et
2
dt
y por lo tanto
(F ◦ g)′(x) = F ′(g(x)).g′(x) = e(x
3+5)
2
.3x2
En el segundo caso es
(g ◦ F)(x) = g (F(x)) =
(∫ x
0
et
2
dt
)3
+ 5
y por lo tanto
(g ◦ F)′(x) = g′(F(x)).F ′(x) = 3
(∫ x
0
et
2
dt
)2
.ex
2
�
Actividad 12.6 Usen el Teorema Fundamental del Cálculo para calcular las derivadas de las
siguientes funciones.
a) g(x) =
∫ x
1
1
t3 + 1
dt b) g(x) =
∫ x
3
et
2−tdt
c) g(y) =
∫ y
2
t2 sen(t)dt d) g(r) =
∫ r
0
√
x2 + 4dx
e) g(x) =
∫ 0
x
cos(t2)dt ⇐ Usar la propiedad
∫ b
a
f (x)dx = −
∫ a
b
f (x)dx
f ) g(x) =
∫ 1/x
2
arctan(t)dt ⇐ Revisar el Ejemplo 12.9
g) g(u) =
∫ tan(u)
0
√
t +
√
tdt h) g(x) =
∫ 0
ex
sen3(t)dt
�
12.5 Métodos de integración 11
12.5 Métodos de integración
Ya vimos que una integral definida es un número real que surge al tomar el límite de
ciertas sumas de Riemann. El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que una integral
definida de una función continua puede calcularse fácilmente si somos capaces de encontrar
una antiderivada de la función. En general, encontrar antiderivadas resulta más difícil que
encontrar derivadas. Sin embargo, es importante poder hallar antiderivadas y es por eso que
aprenderemos algunas técnicas para calcularlas.
Hasta ahora hemos podido encontrar antiderivadas de funciones que reconocemos clara-
mente como derivadas. Pero no hemos visto todavía fórmulas que nos permitan hallar integrales
indefinidas como la siguiente∫
2x
√
1 + x2 dx. (12.2)
12.5.1 Regla de sustitución
En esta sección comenzaremos a desarrollar técnicas más generales para encontrar
antiderivadas. La primera técnica de integración que desarrollaremos se obtiene al invertir el
proceso que llamamos regla de la cadena.
Para hallar la integral 12.2 usamos una estrategia de resolución de problemas que consiste
en cambiar o sustituir la variable:
Cambiamos de la variable x a una nueva variable u
En este caso, tomaremos como u al radicando que se encuentra dentro de la raíz en 12.2:
u = 1 + x2.
Entonces
du
dx
= 2x. Utilizamos la notación de Leibniz porque nos permite “manipular” las
expresiones du y dx como si fueran expresiones algebraicas separadas de modo que queda
du
dx
= 2x ⇐⇒ du = 2x dx
Los símbolos dx y du se denomi-
nan generalmente diferenciales.
La forma general de los diferen-
ciales proviene de escribir
df
dx
= f ′(x)
equivalente a
df = f ′(x)dx
Reacomodando la integral 12.2 tenemos∫
2x
√
1 + x2 dx =
∫ √
1 + x2 2x dx =
∫
√
u du =
∫
u1/2 du
=
2
3
u3/2 + C =
2
3
(1 + x2)3/2 + C.
Comprobamos el resultado obtenido calculando la derivada usando la Regla de la cadena:
d
dx
[
2
3
(1 + x2)3/2 + C
]
=
3
2
.
2
3
(1 + x2)3/2−1 2x = 2x (1 + x2)1/2 = 2x
√
1 + x2.
En general, este método funciona para integrales que podamos escribir en la forma∫
f (g(x)) g′(x) dx.
Observemos que si F ′(x) = f (x), entonces∫
F ′(g(x)) g′(x) dx = F(g(x)) + C ⇐⇒
d
dx
[F(g(x))] = F ′(g(x)) g′(x).
Con el “cambio de variable” o “sustitución” u = g(x), obtenemos∫
f (g(x)) g′(x) dx=
∫
f (u) du.
12 Capítulo 12. Teorema Fundamental del Cálculo
Teorema 12.5.1 — Regla de sustitución. Sea g : I → J, donde I y J son dos intervalos. Si
g′(x) es continua en I y f es continua en J, entonces∫
f (g(x)) g′(x) dx =
∫
f (u) du ⇐ Para integrales indefinidas
Y para cualesquiera a, b pertenecientes a I∫ b
a
f (g(x))g′(x)dx =
∫ g(b)
g(a)
f (u)du ⇐ Para integrales definidas
Hemos demostrado la regla de
sustitución para integración usan-
do la regla de la cadena para de-
rivación. Observemos que si u =
g(x), entonces du = g′(x) dx.
En los siguientes ejemplos veremos varias maneras de calcular integrales indefinidas e
integrales definidas utilizando la regla de sustitución. Principalmente, en el caso de integrales
definidas, los ejemplos se desarrollan de manera diferente en cada instancia:
• Aplicar la regla de sustitución para integrales definidas calculando g(a) y g(b).
• Calculando en primer lugar una primitiva de la función involucrada, con la Regla de
Sustitución para integrales indefinidas, y luego con ella, aplicar la Regla de Barrow.
� Ejemplo 12.10 Encontremos, usando la regla de sustitución,
∫
x3 cos(x4 + 7) dx.
Sustituimos u = x4 + 7, como du = 4x3 dx, que, salvo por el factor constante 4
que aparece multiplicando, el resto se encuentra presente en la integral. Así, usando
x3 dx =
1
4
du y la regla se sustitución, tenemos que∫
x3 cos(x4 + 7) dx =
∫
cos(u)
1
4
du =
1
4
∫
cos(u) du
=
1
4
sen(u) + C
=
1
4
sen(x4 + 7) + C.
Observar que en el último paso hemos regresado a la variable original x. �
Cuando se usa una sustitución en
una integral definida, debemos
poner todo en términos de la nue-
va variable u, no sólo x y dx sino
también los límites de integra-
ción. Los nuevos límites son los
valores de u que corresponden a
x = a y x = b.
� Ejemplo 12.11 Calculemos la integral
∫ 4
0
√
2x + 1dx usando la regla de sustitución para
integrales definidas.
Usando la sustitución u = 2x + 1,
1
2
du = dx. Para hallar los nuevos límites de
integración vemos que:
cuando x = 0, u = 2.0 + 1 = 1 y cuando x = 4, u = 2.4 + 1 = 9.
Por lo tanto,∫ 4
0
√
2x + 1dx =
∫ 9
1
1
2
√
u du
=
1
2
2
3
u3/2
����9
1
=
1
3
(93/2 − 13/2) =
26
3
.
�
12.5 Métodos de integración 13
La regla de la sustitución logra transformar una integral relativamente complicada en una
integral más sencilla. En el Ejemplo 12.10, transformamos la integral
∫
x3 cos(x4 + 7) dx
por la integral más sencilla
1
4
∫
cos(u) du.
La principal dificultad con la regla de la sustitución es la de encontrar una sustitución
apropiada. En ocasiones, llegaremos a la sustitución correcta después de varios intentos, no es
un asunto trivial, es por eso que si la sustitución no funciona tenemos que intentar otra.
� Ejemplo 12.12 Encontraremos, usando una sustitución conveniente,
∫
x
√
1 − 4x2
dx.
Al tomar u = 1 − 4x2, du = −8xdx, se tiene − 18 du = xdx, y luego se tiene que∫
x
√
1 − 4x2
dx = − 18
∫
1
√
u
du = −
1
8
∫
u−1/2du
= − 18 2 u
1/2 + C = − 14
√
1 − 4x2 + C
�
En este ejemplo, primero calcula-
mos la integral indefinida y luego
usamos la Regla de Barrow.
� Ejemplo 12.13 Calculemos
∫ 1
−2
e6xdx.
En primer lugar determinaremos una primitiva de e6x en el intervalo [−2, 1]
desarrollando la integral indefinida
∫
e6xdx =
1
6
∫
eudu = 16 e
u + C = 16 e
6x + C.
Hemos usado la sustitución u = 6x, con lo que du = 6dx, y 16 du = dx.
Para calcular la integral definida usamos una de las primitivas encontradas: 16 e
6x de
modo que ∫ 1
−2
e6xdx = 16 e
6x
����1
−2
= 16 e
6 − 16 e
−12
�
� Ejemplo 12.14 Calculemos
∫
tan(x)dx. Si reescribimos a la tan(x) como
sen(x)
cos(x)
,∫
tan(x)dx =
∫
sen(x)
cos(x)
dx.
Si hacemos la sustitución u = cos(x), tenemos que −du = sen(x)dx. Luego,∫
tan(x)dx =
∫
sen(x)
cos(x)
dx = −
∫
1
u
du
= − ln(|u|) + C = − ln(| cos(x)|) + C.
�
14 Capítulo 12. Teorema Fundamental del Cálculo
� Ejemplo 12.15 Para calcular la
∫ e
1
ln(x)
x
dx usaremos la sustitución u = ln(x) porque
du =
1
x
dx.
Cuando x = 1, u = ln(1) = 0 y cuando x = e, u = ln(e) = 1. Por lo tanto,
∫ e
1
ln(x)
x
dx =
∫ e
1
ln(x)
1
x
dx =
∫ 1
0
udu =
u2
2
����1
0
=
1
2
.
�
Actividad 12.7 Calculen las siguientes integrales usando la sustitución que se indica
a)
∫
e−xdx tomando u = −x.
b)
∫
x3(2 + x4)5dx tomando u = 2 + x4.
c)
∫
x2
√
x3 + 1dx tomando u = x3 + 1.
d)
∫
cos3(θ) sen(θ)dθ tomando u = cos(θ).
�
Actividad 12.8 Calculen las siguientes integrales indefinidas. Deben analizar qué sustitución
es conveniente realizar en cada caso. Utilicen los ejemplos anteriores para analizar las
opciones posibles.
a)
∫
x sen
(
x2
)
dx b)
∫
x2(x3 + 5)9dx
c)
∫
(ln(x))2
x
dx d)
∫
ex cos(ex)dx
e)
∫
sen(
√
x)
√
x
dx f )
∫
x2
x3 + 1
dx
g)
∫
sen(θ)
cos2(θ)
dθ h)
∫
arctan(x)
1 + x2
dx
�
Actividad 12.9 Calculen las siguientes integrales definidas utilizando alguna sustitución
adecuada.
a)
∫ 1
0
cos(πt/2)dt b)
∫ 1
0
(3t − 1)50dt
c)
∫ 4
1
e
√
x
√
x
dx d)
∫ 4
2
x
1 − x2
dx
�
12.5 Métodos de integración 15
12.5.2 Integración por partes
Elmétodo de integración por partes se basa en la regla de derivación de un producto de
funciones. Si f y g son funciones derivables, entonces
d
dx
[ f (x)g(x)] = f (x)g′(x) + g(x) f ′(x)
Usando la notación para integrales indefinidas esta ecuación se convierte en∫
[ f (x)g′(x) + g(x) f ′(x)] dx = f (x)g(x)
o bien, ∫
f (x)g′(x) dx +
∫
g(x) f ′(x) dx = f (x)g(x).
Reacomodando la ecuación llegamos a que∫
f (x)g′(x) dx = f (x)g(x) −
∫
g(x) f ′(x) dx
Teorema 12.5.2 — Regla de integración por partes. Si f y g son funciones cuyas derivadas
son continuas en un intervalo I entonces
∫
f (x)g′(x) dx = f (x)g(x) −
∫
g(x) f ′(x) dx ⇐ Para integrales indefinidas
Y para cualesquiera a, b pertenecientes al intervalo I
∫ b
a
f (x)g′(x) dx = f (x)g(x)
����b
a
−
∫ b
a
g(x) f ′(x) dx ⇐ Para integrales definidas
Usando la notación de diferenciales se escribe la fórmula de integración por partes de la
siguiente manera: sea u = f (x) y v = g(x), entonces du = f ′(x)dx y dv = g′(x)dx, y
∫
f (x)︸︷︷︸
u
g′(x)dx︸ ︷︷ ︸
dv
= f (x)︸︷︷︸
u
g(x)︸︷︷︸
v
−
∫
g(x)︸︷︷︸
v
f ′(x) dx︸ ︷︷ ︸
du∫
u dv = uv −
∫
v du
El método de integración por partes requiere la presencia de un producto de dos
expresiones, una de las cuales es f (x) y la otra es g′(x). Nos corresponde a nosotros (los que
estemos tratando de calcular la integral) decidir cuál de las dos expresiones es f (x) (que luego
deberemos derivar) y cuál es g′(x) (a la que debemos calcular una antiderivada).
f (x) f ′(x) g(x)
∫
g(x)
Derivando
Calculando
una primitiva
16 Capítulo 12. Teorema Fundamental del Cálculo
� Ejemplo 12.16 Encontremos
∫
x sen(x) dx usando el método de integración por partes.
Tomamos como f (x) = x y como g′(x) = sen(x).
Luego, como f ′(x) = 1 y g(x) = − cos(x),∫
x sen(x)dx = f (x) g(x) −
∫
g(x) f ′(x) dx
= x(− cos(x)) −
∫
(− cos(x))1dx
= −x cos(x) +
∫
cos(x)dx
= −x cos(x) + sen(x) + C
Verificamos que hallamos bien la primitiva derivando (usamos la regla del producto):
(−x cos(x) + sen(x) + C)′ = − cos(x) + x sen(x) + cos(x) + 0 = x sen(x)
�
C Al usar la fórmula de integración por partes transformamos la integral original en una
parte que ya está “integrada” y otra integral nueva con la esperanza que sea más sencilla
que la anterior.
En el Ejemplo 12.16, empezamos con
∫
x sen(x)dx y lo expresamos en términos de
una integral
∫
cos(x)dx que se calcula usando la tabla de primitivas 12.1.
Si nuestra elección inicial hubiese sido f (x) = sen(x) y g′(x) = x, entonces tendríamos
f ′(x) = cos(x) y g(x) = 12 x
2, de modo que la integración por partes queda∫
x sen(x)dx = sen(x)
x2
2
−
1
2
∫
x2 cos(x)dx
Si bien la fórmula está bien utilizada, la nueva
∫
x2 cos(x)dx es una integral más difícil
de calcular que la original. Cuando se decide sobre una opción para f (x) y g′(x), por lo
general tratamos de escoger que f (x) sea una función que se haga más sencilla cuando
se derive (o al menos no más complicada) mientras g′(x) se pueda integrar fácilmentepara obtener g(x).
� Ejemplo 12.17 Calculemos ahora
∫ e
1
ln(x)dx usando la fórmula de integración por partes
para integrales definidas con la notación u y v. En este caso no tenemos muchas
opciones, llamamos: u = ln(x) y dv = dx. Así, du =
1
x
dx y v = x.
Al integrar por partes,∫ e
1
ln(x)dx = x ln(x)
����e
1
−
∫ e
1
x
1
x
dx = e ln(e) − 1 ln(1) −
∫ e
1
1 dx
= e − x
����e
1
= e − (e − 1) = 1
En este ejemplo, la integración por partes es efectiva porque la derivada de la
función f (x) = ln(x) es más sencilla que f (x). �
12.5 Métodos de integración 17
� Ejemplo 12.18 — Doble integración por partes. Encontremos
∫
t2etdt. Observemos en este
caso que t2 se hace más sencilla cuando la derivamos y que et no cambia cuando la
derivamos o integramos, por lo que tomaremos
u = t2 dv = etdt =⇒ du = 2tdt v = et
y la integral queda
∫
t2etdt = t2et − 2
∫
tetdt (12.3)
En 12.3 nos sigue apareciendo una integral para resolver,
∫
tetdt, que si bien no
es una integral que podamos resolver usando la tabla de primitivas, podemos calcularla
usando nuevamente integración por partes. En este caso, tomaremos u = t y dv = etdt.
Luego tenemos que du = dt, v = et , y∫
tetdt = tet −
∫
etdt = tet − et + C.
Si reemplazamos eso en la ecuación 12.3∫
t2etdt = t2et − 2
∫
tetdt
= t2et − 2(tet − et + C)
= t2et − 2tet + 2et + C1 donde C1 = −2C.
�
� Ejemplo 12.19 — Integrales cíclicas. Calculemos ahora
∫
ex sen(x)dx.
En este caso, si bien ni ex ni sen(x) se vuelven más sencillas cuando las derivamos,
escogeremos u = ex y dv = sen(x)dx de todas formas. Entonces du = exdx y
v = − cos(x), de modo que la integración por partes nos da∫
ex sen(x)dx = −ex cos(x) +
∫
ex cos(x)dx. (12.4)
En 12.4 nos aparece ex cos(x)dx que no resulta más sencilla que la original pero al
menos no es más difícil. Lo que haremos será integrar nuevamente por partes pero esta
vez usamos u = ex y dv = cos(x)dx. Entonces du = exdx, v = sen(x), y
∫
excos(x)dx = ex sen(x) −
∫
ex sen(x)dx (12.5)
A primera vista, parece como si no hubiéramos logrado nada porque hemos llegado
a
∫
ex sen(x)dx, que es donde empezamos. Sin embargo, si ponemos la ecuación 12.5
en la ecuación 12.4 tendremos
18 Capítulo 12. Teorema Fundamental del Cálculo
∫
ex sen(x)dx = −ex cos(x) + ex sen(x) −
∫
ex sen(x)dx.
Reagrupando
∫
ex sen(x)dx, nos queda
2
∫
ex sen(x)dx = −ex cos(x) + ex sen(x),
por lo tanto,
∫
ex sen(x)dx =
1
2
ex[− cos(x) + sen(x)] + C.
�
� Ejemplo 12.20 — Farmacocinética de la aspirina. La función
C(t) = 32t2e−4.2 t
modela la concentración promedio de aspirina en bajas dosis en el torrente sanguíneo
según datos extraídos de 10 voluntarios en una investigación. La variable t está medida
en horas y C está medida en µg/mL. Utilizaremos integración por partes para calcular∫ 2
0
C(t)dt que representa la droga disponible en el cuerpo al trancurrir 2 horas.
Observemos que cuando derivamos t2 se vuelve más simple. No sucede lo mismo con
e−4.2 t . Por lo tanto, proponemos llamar
u = 32t2 dv = e−4.2 tdt =⇒ du = 64t v = − 14.2 e
−4.2 t
Luego∫ 2
0
32t2e−4.2 tdt = −
32
4.2
t2e−4.2 t
����2
0
−
∫ 2
0
−
64
4.2
te−4.2 tdt
= −
32
4.2
4e−8.4 +
64
4.2
∫ 2
0
te−4.2 tdt
La integral que obtuvimos,
∫ 2
0
te−4.2 tdt, debe ser resuelta nuevamente con inte-
gración por partes con u = t y dv = e−4.2 tdt, tenemos que du = dt y v = −
1
4.2
e−4.2 t
y por lo tanto,∫ 2
0
te−4.2 tdt = −
t
4.2
e−4.2 t
����2
0
+
1
4.2
∫ 2
0
e−4.2 tdt
= −
2
4.2
e−8.4 +
1
4.2
[
e−4.2 t
−4.2
] ����2
0
= −
2
4.2
e−8.4 −
e−8.4 − 1
(4.2)2
.
Si reemplazamos este valor obtenemos que∫ 2
0
C(t)dt = −
32
4.2
4e−8.4 +
64
4.2
(
−
2
4.2
e−8.4 −
e−8.4 − 1
(4.2)2
)
≈ 0.855159
�
12.5 Métodos de integración 19
Actividad 12.10 Calculen usando el método de integración por partes. En los casos de
integrales indefinidas, verificar siempre las primitivas obtenidas derivando la respuesta.
a)
∫
x cos(5x)dx b)
∫
x2 ln(x)dx
c)
∫ π
0
x sen(3x)dx d)
∫
arctan(x)dx
e)
∫ 9
4
ln(x)
√
x
dx f )
∫
2x cos(x)dx
g)
∫ 1
2
ln(x)
x2
dx h)
∫
(ln(x))2dx
�
12.5.3 Integración por fracciones simples
El método de integración por fracciones simples se utiliza para calcular las integrales
definidas o integrales indefinidas de funciones racionales
f (x) =
polinomio
polinomio
considerando siempre intervalos en los que la función sea continua.
En estos casos, se toma como base tres funciones racionales, las más simples, cuyas
primitivas se determinan usando la tabla de primitivas 12.1. Considerando n > 1
∫
1
x
dx = ln(|x |)+C
∫
1
xn
dx =
1
1 − n
1
xn−1
+C
∫
1
x2 + 1
dx = arctan(x)+C
O más generalmente, a cualquier número real, y b > 0
(I)
∫
1
x + a
dx = ln(|x + a|) + C (II)
∫
1
(x + a)n
dx =
1
1 − n
1
(x + a)n−1
+C
(III)
∫
1
x2 + b
dx = 1√
b
arctan
(
x
√
b
)
+ C (IV)
∫
x
x2 + a
dx = 12 ln(|x
2 + a|) + C
Estas últimas integrales indefinidas se calculan por sustitución. En (I) y (II) corresponde
tomar u = x + a; en (III) corresponde tomar u = x√
b
; y en (IV) se toma u = x2 + a.
El método consiste en “descomponer” funciones racionales más complejas como com-
binaciones lineales de estas fracciones simples. El método es netamente algebraico, en el
sentido que se busca manipular algebraicamente las expresiones para encontrar expresiones
equivalentes que puedan integrarse fácilmente con estas fracciones simples.
No desarrollaremos el método en su completitud que contempla todas las maneras en que
se puede factorizar un polinomio según las multiplicidades de sus raíces.
20 Capítulo 12. Teorema Fundamental del Cálculo
� Ejemplo 12.21 Para encontrar
∫
x3 + x
x − 1
dx debemos, en primer lugar, determinar la forma
estándar de la función racional f (x) = x
3 + x
x − 1
dado que el grado del polinomio del
numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador.
Realizando la división entre los polinomios x3 + x con x − 1 obtenemos
x3 + x
x − 1
= x2 + x + 2 +
2
x − 1
Por lo tanto,∫
x3 + x
x − 1
dx =
∫ (
x2 + x + 2 +
2
x − 1
)
dx
= 13 x
3 + 12 x
2 + 2x + 2 ln(|x − 1|) + C
�
� Ejemplo 12.22 Para calcular
∫
x2 + 2x − 1
x3 + x2 − 2x
dx ya tenemos la función en su forma estándar
porque el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del
denominador. Factorizaremos el denominador,
x3 + x2 − 2x = x(x2 + x − 2) = x(x − 1)(x + 2)
Como quedaron 3 factores distintos proponemos descomponer en 3 fracciones:
x2 + 2x − 1
x3 + x2 − 2x
=
A
x
+
B
x − 1
+
C
x + 2
en las que faltaría determinar los valores de las constantes A, B y C. Existen varios
métodos para determinar estos valores. En nuestro caso multiplicaremos la ecuación por
el denominador completo x(x − 1)(x + 2) (es más sencillo si se encuentra factorizado)
x2 + 2x − 1 = A(x − 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x − 1)
y expandiendo todo lo posible el miembro derecho (son varias cuentas usando las
propiedades distributivas y agrupando los x2, x y los términos independientes)
x2 + 2x − 1 = (A + B + C)x2 + (A + 2B − C)x − 2A
Esta última ecuación representa una igualdad entre el polinomio: los coeficientes
correspondientes a los distintos monomios deben coincidir. O sea, corresponde resolver
el siguiente sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas
1 = A + B + C
2 = A + 2B − C
−1 = −2A
Resolvemos este sistema (no hacemos las cuentas) y obtenemos
A = 12, B =
2
3 y C = −
1
6
12.5 Métodos de integración 21
que nos permite plantear la igualdad
x2 + 2x − 1
x3 + x2 − 2x
dx =
1/2
x
+
2/3
x − 1
+
−1/6
x + 2
Por lo tanto∫
x2 + 2x − 1
x3 + x2 − 2x
dx =
∫ (
1/2
x
+
2/3
x − 1
+
−1/6
x + 2
)
dx
= 12 ln(|x |) +
2
3 ln(|x − 1|) −
1
6 ln(|x + 2|) + C
�
�Ejemplo 12.23 Para calcular
∫ 4
2
2
(x − 1)(x2 + 1)
notamos primero que la función
2
(x − 1)(x2 + 1)
es continua en el intervalo [2, 4]. Utilizaremos 3 fracciones de la siguiente forma
2
(x − 1)(x2 + 1)
=
A
x − 1
+
Bx
x2 + 1
+
C
x2 + 1
donde quedan para determinar el valor de las constantes A, B y C.
La presencia del factor x2 + 1 (cuadrático sin raíces reales) nos indica la necesidadde
usar dos fracciones distintas para él. Multiplicando ambos miembros por (x−1)(x2+1)
queda
2 = A(x2 + 1) + Bx(x − 1) + C(x − 1)
por lo que se debe cumplir que 2 = (A + B)x2 + (C − B)x + A − C
O sea, 
0 = A + B
0 = C − B
2 = A − C
Las soluciones de este sistema son A = 1, B = −1 y C = −1; por lo que
2
(x − 1)(x2 + 1)
=
1
x − 1
+
−x
x2 + 1
+
−1
x2 + 1
La integral se calcula entonces como∫ 4
2
2
(x − 1)(x2 + 1)
dx =
∫ 4
2
(
1
x − 1
−
x
x2 + 1
−
1
x2 + 1
)
dx
= ln(|x − 1|) − 12 ln(|x
2 + 1|) − arctan(x)
����4
2
≈ 0.268056
�
Actividad 12.11 Calculen las siguientes integrales estudiando en primer lugar la forma
estándar y luego descomponiendo en fracciones simples.
a)
∫
x
x − 1
dx b)
∫
2
x2 + x
dx c)
∫
x
x2 + x − 2
dx
d)
∫
x2
x + 4
dx e)
∫
x3 + x + 1
x2 + 1
dx
�
13. Integrales Impropias
“asdfasdfasdfasdfasdf.”
Wang Zhenyi (1768-1797)13.1 Integrales impropias
Cuando se define la integral definida
∫ b
a
f (x)dx en el Módulo 11 se consideran funciones
f definidas en el intervalo finito [a, b] que denominamos integrables (Definición 11.4.1). El
Teorema 11.4.1 plantea que es posible calcular integrales definidas para funciones continuas
en un intervalo [a, b] o que presentan una cantidad finita de discontinuidades de tipo salto. En
este módulo extenderemos el concepto de integral definida a los casos en que:
El intervalo en consideración sea infinito. O sea, de la forma
[a,+∞) (−∞, b] (−∞,+∞)
La función no sea continua en el intervalo [a, b] presentando algún comportamiento
asintótico vertical.
Cualquiera de los dos casos anteriores, o sus combinaciones, se llamarán integrales
impropias. Tienen mucha importancia y se usan con frecuencia, por ejemplo, en el área de
probabilidades y estadística al estudiar distribuciones de probabilidades.
13.2 Integrales impropias de funciones continuas en intervalos infini-
tos.
Comenzaremos desarrollando como ejemplo la función f (x) =
1
x2
y la función g(x) =
1
x
en el intervalo [1,+∞).
x
y
Figura 13.1: Gráfica de f (x) =
1
x2
.
� Ejemplo 13.1 Consideremos como primer ejemplo la función f (x) =
1
x2
que es continua
en el intervalo [1,+∞). Presentamos su gráfica completa en la Figura 13.1 y la porción
correspondiente a [1,+∞) en la Figura 13.2 marcando allí la región S que está debajo
de la gráfica de la función, sobre el eje x y a la derecha de la recta vertical x = 1.
x
y f (x) =
1
x2
1 2 3 4 5
Región S
Figura 13.2: Región S comprendida entre la gráfica de f (x) = 1
x2
, el eje x y a la
derecha de x = 1.
2 Capítulo 13. Integrales Impropias
La región S se extiende hacia la derecha en forma infinita y nunca termina.
Consideraremos intervalos finitos que comienzan en x = 1 y terminan en algún valor
real mayor que 1. Por ejemplo, podemos considerar los intervalos de la forma [1, 2],
[1, 3], [1, 5] o más grandes
[1, 100] [1, 1000] [1, 1010] ... etc
En cualquier caso estamos considerando una porción del intervalo completo [1,+∞)
como se representa en la Figura 13.3.
2 x
y
1 3 4 5
∫ 2
1
1
x2
dx
4 x
y
1 2 3 5
∫ 4
1
1
x2
dx
5
x
y
1 2 3 4
∫ 5
1
1
x2
dx
Figura 13.3: Porciones de la región S considerando los intervalos [1, 2], [1, 4] y [1, 5].
Definiremos la función integral tal como lo hicimos en el Teorema Fundamental
del Cálculo del Módulo 12 (Teorema 12.4.1)
F(B) =
∫ B
1
1
x2
dx
que representa el área debajo de la gráfica de la función f (x) y encima del eje x en
el intervalo [1, B]; y luego veremos cómo se comporta cuando agrandamos el intervalo
hacia la derecha con B→ +∞.
Calculamos la integral
F(B) =
∫ B
1
1
x2
dx =
∫ B
1
x−2dx =
x−1
−1
����B
1
=
B−1
−1
−
1−1
−1
= −
1
B
+ 1
13.2 Integrales impropias de funciones continuas en intervalos infinitos. 3
y luego calculamos el límite lı́m
B→+∞
F(B)
lı́m
B→+∞
F(B) = lı́m
B→+∞
−
1
B︸︷︷︸
→0
+1 = 1 (13.1)
El valor 1 que obtuvimos en 13.1 representa el valor del área de la región S.
�
x
y
Figura 13.4: Gráfica de g(x) =
1
x
.
� Ejemplo 13.2 Utilizaremos el mismo procedimiento anterior para estudiar el área de la
región S debajo de la gráfica de la función g(x) =
1
x
, encima del eje x y hacia la
derecha de x = 1. Presentamos su gráfica completa en la Figura 13.4 y la región S en
la Figura 13.5. La función g(x) =
1
x
es continua en el intervalo [1,+∞).
x
y
g(x) =
1
x
1
Región S
Figura 13.5: Región S comprendida entre la gráfica de f (x) = 1
x
y el eje x y a la
derecha de x = 1.
Definiremos la función integral para determinar el área de la región debajo de la
gráfica de g(x), encima del eje x en el intervalo [1, B].
F(B) =
∫ B
1
1
x
dx = ln |x |
����B
1
= ln |B | − ln |1| = ln B
y luego calculamos el límite
lı́m
B→+∞
F(B) = lı́m
B→+∞
ln B = +∞ (13.2)
En esta oportunidad el límite 13.2 no existe; no obtuvimos un valor real que pueda
representar el área de la región S. �
Los ejemplos anteriores muestran la manera que utilizaremos para extender la noción de
integral definida a casos en los que el dominio de integración es un intervalo infinito. En ambos
casos trabajamos con el intervalo [1,+∞) pero podríamos contemplar casos similares para
abarcar dominios de la forma genérica
(−∞, b] [a,+∞) (−∞,+∞)
4 Capítulo 13. Integrales Impropias
x
y
a
Figura 13.6: Integral impropia de la
forma
∫ +∞
a
f (x)dx.
x
y
b
Figura 13.7: Integral impropia de la
forma
∫ b
−∞
f (x)dx.
Definición 13.2.1 — Integrales impropias de funciones continuas en intervalo infinito.
a) Si f (x) es continua en el intervalo [a,+∞) se define la integral impropia∫ +∞
a
f (x)dx = lı́m
B→+∞
∫ B
a
f (x)dx (13.3)
Ver Figura 13.6.
b) Si f (x) es continua en el intervalo (−∞, b] se define la integral impropia∫ b
−∞
f (x)dx = lı́m
A→−∞
∫ b
A
f (x)dx (13.4)
Ver Figura 13.7.
Estas integrales impropias se dicen convergentes cuando los límites 13.3 o 13.4
existen (da un número real). Caso contrario se dicen divergentes.
Teorema 13.2.1 Las integrales impropias de la forma∫ +∞
1
1
xr
dx
son convergentes para los casos que r > 1 y divergentes para los casos r ≤ 1.
Demostración La demostración se realiza usando directamente la definición observando
que las funciones f (x) =
1
xr
son continuas en el intervalo [1,+∞). El caso r = 1 ya fue
desarrollado en el Ejemplo 13.2. Por eso sólo nos enfocaremos en los casos en que r , 1.
Calculamos la función integral correspondiente y luego el límite para B→ +∞
F(B) =
∫ B
1
1
xr
dx =
∫ B
1
x−rdx =
x−r+1
−r + 1
����B
1
=
B−r+1
1 − r
−
1
1 − r
lı́m
B→+∞
F(B) = lı́m
B→+∞
→ 0 (si r > 1)
→ +∞ (si r < 1)︷ ︸︸ ︷
B−r+1
1 − r
−
1
1 − r
=

1
r − 1
si r > 1
+∞ si r < 1
Actividad 13.1 Determinen cuáles de las siguientes integrales impropias son convergentes
o divergentes. En los casos que sean convergentes, calcular su valor.
a)
∫ +∞
1
1
√
x
dx b)
∫ −3
−∞
1
x3
dx c)
∫ +∞
0
e−xdx
d)
∫ +∞
1
ln(x)
x
dx e)
∫ +∞
0
xe−xdx
�
13.3 Integrales impropias de funciones con discontinuidades asintóticas verticales. 5
13.3 Integrales impropias de funciones con discontinuidades asintóti-
cas verticales.
Para extender la noción de integral impropia en los casos de funciones que poseen disconti-
nuidades de tipo asintótica vertical utilizaremos un procedimiento similar. Desarrollaremos
como primer ejemplo la función f (x) =
1
x2
en el intervalo [0, 1].
x
y
1.5
Figura 13.8: En el intervalo [.5, 1].
x
y
1.2
Figura 13.9: En el intervalo [.2, 1].
x
y
10+ ← A
Figura 13.10: En el intervalo [A, 1].
� Ejemplo 13.3 La función f (x) =
1
x
es continua en el intervalo (0, 1] y tiene un comporta-
miento asintótico vertical en x = 0. Nos interesa la región R que se encuentra debajo
de la gráfica de la función f , sobre el eje x y con base en el intervalo [0, 1] como se
representa en la Figura 13.11.
x
y
f (x) =
1
x
1
Región S
Figura 13.11: Región S comprendida entre la gráfica de f (x) = 1
x
, el eje x y con base
en el intervalo [0, 1].
En este proceso consideraremos intervalos más pequeños pero de la forma [A, 1]
para valores con 0 < A < 1; calcularemosla integral definida en ese intervalo y luego
haremos A→ 0+.
F(A) =
∫ 1
A
1
x
dx = ln |x |
����1
A
= ln |1| − ln |A| = − ln |A|
lı́m
A→0+
F(A) = lı́m
A→0+
− ln |A|︸︷︷︸
→−∞
= +∞
Al igual que en el Ejemplo 13.2 obtenemos que el límite no existe y por lo tanto
no es posible asignar un valor al área de la región S comprendida debajo de la gráfica
de la función f (x), el eje x y con base en el intervalo [0, 1]. �
6 Capítulo 13. Integrales Impropias
En el ejemplo anterior se desarrolló un caso de integrales impropias con un compor-
tamiento asintótico vertical por la derecha. De manera similar se desarrollarán integrales
impropias con comportamiento vertical por la izquierda. La siguiente definición es similar a
la propuesta en la Definición 13.2.1 y contempla estas situaciones.
x
a
y
b
Figura 13.12: Integral impropia con
comportamiento asintótico vertical
por derecha.
x
b
y
a
Figura 13.13: Integral impropia con
comportamiento asintótico vertical
por izquierda.
Definición 13.3.1 — Integrales impropias de funciones con comportamientos asintóticos ver-
ticales.
a) Si f (x) es continua en el intervalo (a, b] se define la integral impropia∫ b
a
f (x)dx = lı́m
A→a+
∫ b
A
f (x)dx (13.5)
Ver Figura 13.12.
b) Si f (x) es continua en el intervalo [a, b) se define la integral impropia∫ b
a
f (x)dx = lı́m
A→b−
∫ A
a
f (x)dx (13.6)
Ver Figura 13.13.
Estas integrales impropias se dicen convergentes cuando los límites 13.5 o 13.6
existen (da un número real). Caso contrario se dicen divergentes.
Teorema 13.3.1 Las integrales impropias de la forma∫ 1
0
1
xr
dx
son convergentes para los casos que r < 1 y divergentes para los casos r ≥ 1.
C La demostración es similar a la realizada para el Teorema 13.2.1. Debe calcularse la
función integral F(A) y luego calcular el límite para A→ 0+ considerando los casos
que r < 1, r > 1 y r = 1 (este caso corresponde al Ejemplo 13.3).
Actividad 13.2 Determinen cuáles de las siguientes integrales impropias son convergentes
o divergentes. En los casos que sean convergentes, calcular su valor.
a)
∫ 1
0
1
√
x
dx b)
∫ 0
−1
1
x3
dx c)
∫ e
0
ln(x)dx
d)
∫ 2
1
1
3√2 − x
dx
�
Las definiciones 13.2.1 y 13.3.1 son las primeras definiciones que permiten extender la
noción de integral definida e involucran las situaciones más sencillas. Podremos extender la
noción de integral impropia para casos más generales que contemplen situaciones “mixtas”
con dos o más casos del estilo 13.2.1 o 13.3.1 a la vez y que se considerarán también como
integrales impropias. Algunos de estos casos son los siguientes:
a)
∫ +∞
0
1
x2
dx b)
∫ +∞
−∞
1
1 + x2
dx c)
∫ 1
−1
1
x
dx
13.3 Integrales impropias de funciones con discontinuidades asintóticas verticales. 7
x
y
Figura 13.14: Integral impropia∫ +∞
0
1
x2
dx.
x
y
Figura 13.15: Integral impropia∫ +∞
−∞
1
1 + x2
dx.
x
y
1
−1
Figura 13.16: Integral impropia∫ 1
−1
1
x
dx.
Caso a): Se trata de un intervalo infinito [0,+∞) pero además, la función f (x) = 1
x2
tiene
un comportamiento asintótico vertical en x = 0 por derecha. Para analizar la convergencia de
la integral impropia deberemos tomar algún valor cualquiera mayor que 0, por ejemplo c = 1,
y estudiar la convergencia de las integrales impropias separadas∫ 1
0
1
x2
dx y
∫ +∞
1
1
x2
dx
Si ambas integrales integrales son convergentes entonces la integral impropia completa también
lo es. Si alguna es divergente entonces la integral impropia completa también lo es. La primer
integral es divergente (Teorema 13.3.1); por lo tanto también es divergente la integral impropia∫ +∞
0
1
x2
dx
Caso b): La función g(x) = 11+x2 es continua en todo R (no tiene comportamientos
asintóticos verticales) pero se trata del intervalo infinito hacia ambos lados (−∞,+∞). Para
analizar la convergencia de la integral impropia deberemos tomar un valor cualquiera, por
ejemplo c = 0, y estudiar la convergencia de las integrales impropias separadas∫ 0
−∞
1
1 + x2
dx y
∫ +∞
0
1
1 + x2
dx
Si ambas integrales integrales son convergentes entonces la integral impropia completa también
lo es. Si alguna es divergente entonces la integral impropia completa también lo es. Estudiamos
la primera integral impropia calculando la función integral
F(A) =
∫ 0
A
1
1 + x2
dx = arctan(x)
����0
A
= arctan(0) − arctan(A) = − arctan(A)
y calculando el límite (recordar la gráfica de la función arctan(x))
lı́m
A→−∞
F(A) = lı́m
A→−∞
− arctan(A) = π2
por lo que la integral impropia es convergente. De manera similar se puede estudiar la segunda
integral impropia resultando también convergente. Podemos concluir que la integral impropia
completa es convergente y además su valor es la suma las integrales impropias separadas∫ +∞
−∞
1
1 + x2
dx =
∫ 0
−∞
1
1 + x2
dx +
∫ +∞
0
1
1 + x2
dx =
π
2
+
π
2
= π
Caso c): Es un intervalo finito [−1, 1] pero la función h(x) = 1x tiene un comportamiento
asintótico vertical en x = 0 que se encuentra en el interior del intervalo. Para analizar la
convergencia de la integral impropia deberemos tomar x = 0 (la discontinuidad asintótica de
la función) y analizar la convergencia de las integrales impropias separadas∫ 0
−1
1
x
dx y
∫ 1
0
1
x
dx
En acuerdo a los Teoremas 13.2.1 y 13.3.1, ambas integrales impropias son divergentes. Por lo
tanto, la integral impropia completa también lo es.
Actividad 13.3 Determinen cuáles de las siguientes integrales impropias son convergentes
o divergentes. En los casos que sean convergentes, calcular su valor.
a)
∫ +∞
0
e
√
x
√
x
dx b)
∫ +∞
−∞
xe−x
2
dx c)
∫ 1
0
1
x ln(x)
dx
�
	Modulo7 - 1er-2019.pdf
	7 Función inversa
	7.1 Introducción
	7.2 Propiedades de la función inversa
	7.2.1 Gráficas
	7.2.2 Continuidad
	7.2.3 Derivabilidad
	Modulo8 - 1er-2019.pdf
	8 Comportamientos asintóticos
	8.1 Asíntotas verticales
	8.1.1 Propiedades algebraicas de los límites infinitos
	8.2 Asíntotas horizontales
	8.2.1 Propiedades algebraicas de los límites para x+ o x-
	Modulo9 - 1er-2019.pdf
	9 Modelos exponenciales. Primera parte
	9.1 Modelos exponenciales
	9.2 Funciones exponenciales
	9.3 Funciones logarítmicas
	9.4 Derivada de ax y definición de e
	9.5 Derivada del logaritmo
	9.6 Modelos exponenciales. Segunda parte
	9.7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos
	9.7.1 Comportamientos asintóticos
	9.7.2 Límites asociados a cocientes incrementales
	9.8 Modelos Semilog
	Modulo10 - 1er-2019 - comentada.pdf
	10 Funciones trigonométricas
	10.1 Funciones seno y coseno
	10.2 Transformaciones de las gráficas sen(x) y cos(x)
	10.3 Función trigonométrica tan(x)
	10.4 Derivada de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x)
	10.5 Límites que involucran funciones trigonométricas
	10.6 Funciones trigonométricas inversas
	Modulo11 - 1er-2019 - comentada.pdf
	11 Integrales
	11.1 Área debajo de la gráfica de una función positiva
	11.2 Distancia recorrida y posición de un móvil
	11.3 Patogénesis
	11.4 La integral definida
	11.4.1 Propiedades de la integral definida
	Modulo12 - 1er-2019 - comentada.pdf
	12 Teorema Fundamental del Cálculo
	12.1 Antiderivadas
	12.2 Cálculo de integrales definidas
	12.3 Integral indefinida
	12.4 Teorema Fundamental del Cálculo
	12.5 Métodos de integración
	12.5.1 Regla de sustitución
	12.5.2 Integración por partes
	12.5.3 Integración por fracciones simples
	Modulo13 - 1er-2019.pdf
	13 Integrales Impropias
	13.1 Integrales impropias
	13.2 Integrales impropias de funciones continuas en intervalos infinitos.
	13.3 Integrales impropias de funciones con discontinuidades asintóticas verticales.