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<p>Matemática I Polimodal 5 Análisis 1 Silvia V. Altman | Claudia R. Comparatore Liliana E. Kurzrok de EDUCACIÓN CIENCIA y TECNOLOGÍA PRESIDENCIA de la NACIÓN MATERIAL DE DISTRIBUCIÓN GRATUITA PROHIBIDA SU VENTA EN CASO DE VENTA, DENUNCIAR AL TEL. 0800 999 3672</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 Análisis 1 Dirección editorial Coordinación gráfica Verónica Parada Dario Contreras Diseño gráfico Dirección pedagógica Gabriela Feldman Rosa Rottemberg Natalia Fernández Corrección Dirección de arte Gugliotella Paula Lanzillotti Diseño de signos tipográficos matemáticos Coordinación Natalia Fernández de ediciones Ilustración de Silvana Franzetti tapa e interiores Doma Edición Gráficos Mariela Miguiarra Gabriela Feldman Fotocromía Longseller S.A. EDITORIAL LONGSELLER S.A. Libro de edición Casa Av. San Juan 777 Está prohibida y penada por la ley la re- 515 Altman, Silvia ALT 5 Análisis 1 / Silvia Altman, Claudia producción total o parcial de este libro, Comparatore y Liliana Kurzrok. ed Buenos Aires: Ciudad de Buenos Aires, Argentina en cualquier forma, por medios mecá- Longseller, 2001. Teléfono y fax: (5411) 5031-5400 nicos, electrónicos, informáticos, mag- 112 28 20 cm.-(Libros E-mail néticos, incluso fotocopia y cualquier ISBN 987-550-042-9 www.longseller.com.ar otro sistema de almacenamiento de Comparatore, Claudia II. Kurzrok, Liliana III. - 1. Análisis Obra Completa 987-9481-66-6 información. Cualquier reproducción Queda hecho el depósito que dispone sin el previo consentimiento escrito del la 723 editor viola los derechos reservados, es y constituye un delito.</p><p>Matemática Polimodal 5 Análisis 1 Silvia V. Altman Profesora de Matemática y INSP V. Ganadora del Subsidio para profesores de colegios secundarios, Fundación Antorchas (1994). Docente en escuelas medias. Claudia R. Comparatore Licenciada en Matemática, Universidad Nacional de Buenos Aires. Ganadora del Subsidio para profesores de colegios secundarios, Fundación Antorchas (1994). Docente en escuelas medias y en la Facultad de Ciencias Exactas, Liliana E. Kurzrok Licenciada en Universidad Nacional de Buenos Aires. Profesora de Matemática, ORT Formación docente para profesionales. Becaria de Investigación, CONICET, UBA. Docente en escuelas medias y en la Facultad de Ciencias Exactas,</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 Análisis 1 Cómo leer este libro Problemas Posible resolución Actividades Algo más Al comenzar cada capítulo, y Se presenta un posible camino Se proponen actividades que Se presentan comentarios y para introducir los contenidos, para resolver cada uno de los sirven para verificar la compren- aclaraciones sobre los temas se presentan uno o más pro- problemas propuestos. Permite sión de los contenidos abordados desarrollados. blemas para resolver y discutir confrontar diferentes procedi- y la aplicación de éstos en distin- en grupos, que se identifican mientos y verificar las solucio- tas con el icono nes Se identifica con el icono Problema 1 el de los de el lores d. de al de 1 function es Para Limite de una función en un en que division -2 -2,01 -1.99 c. la en la no en el gráfico de es el de el sur para para de Cómo se lee...? Sabian que...? Textos recuadrados Recordemos que Se ofrece el significado de los Se presentan biografias, reseñas Aqui se incluyen definiciones Se incluye información que utilizados en la página. históricas y datos de interés que para que puedan ser localizadas permite recuperar conocimien- enriquecen los contenidos. rápidamente cuando se necesi- tos anteriores para facilitar la ta comprensión de una nueva in- formación.</p><p>Guía de ejercitación de autoevaluación Incluye actividades orientadas Contiene actividades que pue- a poner en juego todos los con- den ser resueltas al finalizar el ceptos y procedimientos desarro- capitulo para autoevaluar lo llados a lo largo del aprendido. Se incluyen las respuestas al final del CE 1 DE 14 , 4</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 8 Análisis 1 Índice + + 11 Capítulo 1 35 2 61 Capítulo 3 El concepto de Cálculo de 12 Problemas y resoluciones 36 Para comenzar... 62 Problemas y resoluciones 13 de una función en un punto Problemas y resoluciones 63 Asintota horizontal 14 Problemas y resoluciones 43 indeterminado 64 vertical 16 laterales 45 Problemas y resoluciones 65 Problemas y resoluciones 17 Problemas y resoluciones 53 Guía de ejercitación 71 Asintota oblicua 18 Limite infinito 59 de autoevaluación 72 Problemas y resoluciones 20 Problemas y resoluciones 77 Guía de ejercitación 22 Límite de sucesiones 83 Guía de autoevaluación 23 Álgebra de limites 25 Problemas y resoluciones 27 Guía de ejercitación 33 Guía de autoevaluación 2.555555555555 5 5 5 5 8 5 8</p><p>9 85 4 Función impuesto Continuidad 90 Tipos de discontinuidad 86 Problemas y resoluciones Problemas y resoluciones 88 Continuidad de 95 Continuidad de una función una función en un punto en su dominio Algunas funciones 96 Problemas y resoluciones discontinuas en la realidad 98 Teorema de Bolzano Función taxi Corolario del Teorema de Bolzano Teorema de la conservación del signo 99 Problemas y resoluciones 101 Guía de ejercitación 107 Guía de autoevaluación 109 Respuestas</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 Análisis 1 1 El concepto de límite A partir del concepto de podemos analizar el comportamiento de una función tanto en in- tervalos muy pequeños alrededor de un número real (que hasta no pertenecer al dominio) como cuando los valores del dominio aumentan indefinidamente. Esto nos tener una idea más aproximada del gráfico de una 6 6 6 6 2.555555555555 5 5 5 5 5 8 8 8 b a b a a 6 2.555555555555 5 5</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 12 EL CONCEPTO DE LÍMITE 1 No siempre trabajar en Matemática signi- o Problema 1 fica realizar cálculos. Muchas veces es ne- cesario hacer especulaciones con respecto Dada la función f(x) = al comportamiento de una función y justi- ficar las afirmaciones realizadas, lo cual no a. Hallen el dominio de f(x). se reduce a cuentas, sino a razonamientos b. Completen la siguiente tabla: lógicos. x -2,01 -2,0001 -2,00001 -1,99 -1,999 -1,9999 f(x) ¿Sabían que...? ¿Qué ocurre con los valores de f(x) cuando toma valores El estudio del de una función es uno cada vez más cerca de -2? de los primeros temas que incluye una ra- d. Realicen un gráfico aproximado de f(x). ma de la Matemática llamada cálculo. Ella abarca el cálculo infinitesimal, el diferencial y el integral. Problema 1 En este libro nos abocaremos al estudio a. La función f(x) es una función Para hallar el del cálculo infinitesimal. dominio, debemos tener en cuenta que la división no puede La palabra cálculo significa piedra pequeña y fue incorporada por los romanos dado realizarse si el denominador es cero. Entonces, + 2 que ellos utilizaban piedras pequeñas para Luego, Por lo tanto, Dom hacer sus cuentas. La palabra infinitesimal b. Completemos la siguiente tabla: se utiliza debido a que el estudio del se refiere al cálculo de lo infinitamente -2,01 -2,0001 -1,99 -1,999 -1,9999 pequeño, llamado también infinitésimo. f(x) -4,01 -4,0001 -3,99 -3,999 -3,9999 Observamos que a medida que toma valores más próxi- toma valores cada vez más cercanos a -4. Esto ¿Cómo se se escribe matemáticamente de la siguiente manera: lim f(x) = L: el cuando tiende a lim se lee: el límite de f(x) cuando tiende a -2 es -4. de f(x) es L o el límite de f(x) cuando tiende a es L. d. Para graficar f(x), analicemos su expresión: Si consideramos la función solamente difieren en pues f(-2) no existe y g(-2) Observe- mos que en la simplificación, si no consideráramos estaríamos diciendo que f(-2) = -4 y eso no es cierto. El gráfico de f(x) es, entonces, como el gráfico de g(x) excep- to en donde para señalar la diferencia utilizamos un vacio": 1 Ver Libro 2, capítulo 2.</p><p>13 que...? 3 El primero que utilizó la palabra límite 2 fue el matemático y astrónomo escocés 1 James Gregory (1638-1675). -2 -1 1 2 3 4 5 Él solamente utilizó el límite para anali- -1 zar progresiones y series. -2 Gregory estudió en la Universidad de -3 Padua y fue profesor de en la Universidad de St. Andrews y en la de Edimburgo. En 1667 escribió La verda- Observemos en el gráfico de f(x) que a medida que x toma va- dera área del circulo y de la hipérbola, lores próximos a -2, f(x) toma valores cada vez más próximos donde calculaba las áreas por medio de a -4. Sin embargo, el punto (-2; -4) no pertenece a la gráfica, aproximaciones de series convergentes debido a que -2 no pertenece al dominio de f(x). o divergentes (términos que él mismo que tienden a infinito, método precursor del cálculo Límite de una función en un punto En 1663, en su obra Avances de la expuso la cons- Llamamos límite de una función f(x) cuando tiende a trucción del telescopio reflector, que un valor al valor, L, al que se acerca f(x) cuando x toma luego realizó Newton. valores cada vez más cercanos a se escribe: lim f(x) L. ¿Cómo se E: épsilon. delta. Continuemos analizando el gráfico de f(x). 3 2 1 6 -2+6 -3 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 Tomemos un intervalo abierto cualquiera en el eje y alrededor de -4. A este intervalo se lo llama entorno de como puede tomarse simétrico respecto de -4, dicho intervalo puede ser donde E es un número real positivo. Como vemos en el gráfico, en el eje existe un entorno de -2, que también puede tomarse simétrico respecto de -2; por ejem- plo: donde es un número real positivo, que ve- rifica que para cualquier en este entorno de -2, salvo quizás para -2, sus imágenes se encuentran en el entorno de -4.</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 14 EL CONCEPTO DE LÍMITE Análisis 1 que ? Notemos, además, que por más pequeño que sea E, siempre Si bien las variables en Matemática pue- será posible encontrar un que verifique la condición que den nombrarse como uno guste, los mate- enunciamos en el párrafo anterior. máticos suelen usar algunas letras para nombrar ciertas cosas. Por ejemplo, para un número natural utilizan la letra n. Para Conclusión nombrar una cantidad que puede hacerse Decir que f(x) equivale a decir que tan pequeña como se quiera, utilizan la le- tra E (épsilon). El primer matemático en utilizarla fue Agustin Louis Cauchy, que, en 1921, en Cours d'Analyse, escribió: Observemos que la función f(x) no existe en sin em- "Denotemos con E a un número tan pe- bargo, existe el de f(x) cuando tiende a -2. queño como querramos..." En otras palabras, hablar del límite en no significa calcular la También allí utilizó la letra (delta) para imagen de la función en sino averiguar qué sucede con las hablar de un intervalo pequeño, pero que depende del anterior. imágenes cuando toma valores cada vez más cercanos a Agustin Louis Cauchy nació el 21 de agos- to de 1789 en Paris, Francia. Fue pionero Cuando queremos indicar que toma valores cada vez en el estudio del análisis y la de gru- más cercanos a decimos que tiende a y escribimos pos. También investigó sobre la conver- gencia y la divergencia de las series infini- Cuando queremos indicar que f(x) toma valores cada vez tas, la probabilidad y la física matemática. Trabajó como ingeniero militar y en 1810 más cercanos a L, decimos que f(x) tiende a Ly escribimos llegó a Cherbourg para trabajar junto a L. Napoleón en la invasión a Inglaterra. En 1813, retornó a por pedido de Laplace y Lagrange. Trabajó en la Facultad Problema 2 de Ciencia de Paris, el Colegio de Francia y Consideren el siguiente gráfico de f(x) y determinen: la Escuela Politécnica. Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal adquiere bases sóli- a. El dominio de f(x). tomo los conceptos de función, de = lim = lim f(x) = y de continuidad en la forma actual o casi actual, adoptando el concepto de límite como punto de partida del análisis. 5 Cauchy produjo 789 escritos, pero fue de- 4 saprobado por la de sus colegas. 3 Falleció el 23 de mayo de 1857 en Sceaux 2 (cerca de París), Francia. -2 -1 3 4 5 6 8 9 10 -1 -3 Problema 2 a. observar el gráfico, vemos que f(x) está definida para todos los valores de excepto para = 2. Por lo tanto, Dom b. Notemos, analizando el gráfico, que si tiende a 0, entonces, f(x) tiende a 2, con lo cual lim f(x) = 2.</p><p>15 Miremos nuevamente el gráfico y analicemos el límite de f(x) cuando tiende a 2. Deducimos que 1. Consideren la función f(x) = x-3 lo tanto, lim f(x) = -3. a. Hallen el dominio de f(x). x-2 Analicemos ahora qué ocurre con la función cerca ex=8. Si tomamos valores de próximos a 8, pero todos ellos meno- res que 8, observamos que f(x) tiende a 1. En cambio, si los valo- res cercanos a 8 son todos mayores que 8, f(x) tiende a 4. La b. Completen la siguiente tabla: pregunta que nos hacemos es, entonces, ¿cuál es el límite de f(x) cuando x tiende a 8, 1 ó 4? Para decidirlo utilicemos la defi- 3,01 3,0001 2,99 2,99999 nición de límite. f(x) Si en el eje y tomamos un entorno de 1 con, por ejemplo, vemos que no es posible encontrar un entorno de 8 de tal Simplifiquen, si es posible, la expre- sión de f(x) para cualquier valor de Si manera que para cualquier x de este entorno, sus imágenes no es posible, expliquen por qué. estén en el entorno de 1. Entonces, 1 no es el Y 5 4 d. Realicen un gráfico aproximado 3 de f(x). 2 3 2 1 o 1 2 -5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 De la misma manera, si tomamos en el eje y un entorno de 4 con = tampoco es posible encontrar un entorno de 8 que verifique la definición de límite. Por lo tanto, 4 no es el 2. Determinen para qué valores de se verifica que 5 4 7 2 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 16 EL CONCEPTO DE LÍMITE Análisis 1 3. A partir de la observación de los si- Por lo tanto, no existe el limite de f(x) cuando tiende a 8. guientes gráficos de funciones, calcu- Sin embargo, si sólo tomamos valores de menores que 8 y len, si es posible, lim f(x). Si no es posi- muy cercanos a él, el límite (por la izquierda) es 1, y si sólo to- ble expliquen por qué. mamos valores de mayores que 8 y muy cercanos a él, el te (por la derecha) es 4. A estos límites se los llama límites a. laterales. Se escriben lim f(x) = 1 y lim f(x) = 4. -5 2. 5 Límites laterales -5 Decimos que f(x) tiende a P cuando tiende a por la izquierda si a medida que toma valores cada vez más cercanos a pero menores a él entonces, f(x) toma valores cada vez más próximos a P. escribimos: Decimos que f(x) tiende a S cuando x tiende a por la b. derecha si a medida que toma valores cada vez más cercanos a pero mayores a él (x > entonces, f(x) to- 5 4 ma valores cada vez más próximos a S. escribimos: 2 -2 5 Los límites anteriores se llaman límites laterales por -5 izquierda y por derecha, respectivamente. Los límites laterales no siempre coinciden. En el problema 2, los límites cuando tiende a 8 por izquierda y por derecha no coin- ciden; entonces, el cuando x tiende a 8 no existe. Sin em- bargo, los límites laterales coinciden, y son iguales al cuando x tiende a o cuando tiende a 2. En el primer caso, los c. límites laterales valen 2 y en el segundo caso valen -3. 2 Es importante destacar que el hecho de que los límites laterales cuando tiende a coincidan no significa que pertenezca al -6 -4 -2 2 2 4 6 8 dominio de la -2 Conclusión Decimos que una función f(x) tiene límite cuando X tiende a si y sólo si los límites por izquierda y por derecha en coinci- den. o sea:</p><p>17 o Problema 3 4. Observen el gráfico de f(x) y calculen, Una fábrica de planchas de madera tiene una máquina que cor- si existe, lo indicado. Justifiquen sus res- ta dichas planchas de forma rectangular, todas del mismo gro- puestas. son y la misma superficie, 1 pero de diferentes medidas. a. Si una de las medidas de las planchas es de 10 cm, ¿cuál 5 4 será la otra? 3 b. Si una de las medidas de las planchas es de 2 cm, ¿cuál será la otra? -5 -2 -1 1 2 3 4 6 c. Completen la siguiente tabla donde A es una de las medidas de la plancha y Les la otra. 1 0,01 0,00001 0,00000001 d. ¿Qué sucede con L a medida que A es cada vez más chico? e. Completen la siguiente tabla: lim f(x) = 100 100 000 000 f. ¿Qué sucede con L a medida que A es cada vez más grande? f. lim f(x) Problema 3 g. A A L I. f(4) L Sabemos que las planchas son todas rectangulares y tienen 1 de superficie, con lo cual entonces, = a. Si A mide 10 cm, la otra medida será de 0,1 cm. b. Si A es de 2 cm, L mide 0,5 cm. Completemos la siguiente tabla: 1 0,01 0,00001 0,00000001 L (en cm) 1 100</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 18 EL CONCEPTO DE LÍMITE Análisis 1 5. Grafiquen una función f(x) cuyo d. Notemos que a medida que A tiende a 0 por la derecha dominio sea R y que carezca de limite cuando x tiende a -8. (dado que A > 0), la cuenta que permite calcular L, L = por resultado un número cada vez mayor. En otras palabras, cuando A tiende a cero por la derecha, A es cada vez más grande y, entonces, decimos que tiende a infinito. Esto se escri- be A Analicémoslo gráficamente: M 6. Realicen el gráfico de una función f(x) cuyo dominio sea R y que carezca de limite cuando x tiende a 8 y cuando 6 x tiende a - 5, pero que tenga cuando tiende a 3. Cuando tomamos en el eje y cualquier valor M > 0, podemos encontrar un entorno de 0, por la derecha, de tal manera que para todos los A en este entorno, la imagen de mayor que M. Esto sucede para cualquier valor que elijamos de M por más grande que sea. Si en lugar de tomar una función sólo definida para valores positivos tomamos la función dominio R {0}, al considerar en el eje y cualquier valor M > 0 podemos encontrar un entorno de 0 en el eje tal que |f(x)| > M. Límite infinito Decimos que una función f(x) tiende a infinito cuando tiende a si a medida que toma valores cada vez más próximos a toma valores cada vez más grandes. En este caso, escribimos: lim f(x) estamos diciendo que AM M</p><p>19 e. Completemos la siguiente tabla: 7. Determinen si son verdaderas o falsas las siguientes Justifiquen A (en cm) 100 sus respuestas utilizando gráficos: 0,01 0,001 0,00001 0,00000001 a. Si f. Observemos en la tabla que a medida que A toma valores cada vez mayores (tiende a más infinito), entonces, L tiende a 0. Esto se escribe lim A Analicémoslo gráficamente: E N Al tomar en el eje y un entorno cualquiera de 0, podemos en- c. Si-2 Dom no existe lim f(x) contrar en el eje un N lo suficientemente grande para que las imágenes de todos los mayores que N se encuentren en el entorno elegido de 0. Decimos que una función f(x) tiende a un número L cuando tiende a si a medida que toma valores cada vez más grandes, f(x) tiende a L. En este caso escribi- mos: d. Si no existe -2 Dom f estamos diciendo que Notemos que en algunos casos hablamos de infinito y no dis- tinguimos entre más y menos infinito. Cuando ponemos 8 (sin signo), estamos suponiendo que pue- de ser o Si en algún caso debe distinguirse, le coloca- remos el signo correspondiente. e. Si lim f(x) existe = -2 Dom f</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 20 EL CONCEPTO DE LÍMITE Análisis 1 Problema 4 8. Para la función f(x) cuyo gráfico es Y Observen los siguientes gráficos y determinen los límites pedidos. 2 -2 2 3 5 6 8 10 -2 calculen los siguientes límites: a. lim f(x) = b. f(x) = = = b. lim f(x) c. lim x-5 Problema 4 d. lim f(x) = En estos casos, observamos que no es lo mismo que tienda a e. lim f(x) = Al analizar los gráficos f. lim a. Expliquen el motivo de sus respuestas. Analicemos los límites de los ya que estos casos no fueron estudiados hasta este momento. Para el límite del a., en el gráfico podemos observar lo siguiente: Si tomamos en el eje y cualquier valor M > 0, podemos encon- trar un N > 0 de tal manera que para cualquier menor que -N su imagen será mayor que M.</p><p>21 Para el límite del d., en el gráfico podemos ver lo siguiente: 9. Para cada uno de los siguientes gráficos, analicen el limite de la función Y cuando x tiende a y cuando x tiende M a. Y 1 3 2 1 Si tomamos en el eje y cualquier valor 0, podemos encon- trar un N > de tal manera que para cualquier que sea mayor -2 -1 1 2 3 -1 que N su imagen será mayor que M. Decimos que una función f(x) tiende a infinito cuando b. tiende a más infinito, y escribimos lim f(x) = si a Y medida que toma valores cada vez más grandes, |f(x)| 3 toma valores cada vez más grandes. 2 > 0, M 1 Decimos que una función f(x) tiende a infinito cuando 1 2 3 tiende a menos infinito, y si a -1 medida que x toma valores negativos cada vez más chicos, |f(x)| toma valores cada vez más grandes. > M c. Y Decimos que infinito cuando tiende a infinito, y escribimos lim f(x) = 00, si a medida que toma valores cada vez más grandes, |f(x)| toma valores 3 cada vez más grandes. 2 > |f(x)| > M 1 -2 -1 1 2 3 Problema 5 -1 -2 Consideren las siguientes sucesiones: -3 Calculen qué ocurre en cada caso cuando n tiende a más d. Y infinito. 3 Problema 5 2 1 Como las sucesiones son funciones cuyo dominio son los -2 -1 1 2 5 números naturales con el cero, podemos considerar al estudio -1 de sus límites como un caso particular de todo lo trabajado -2 con anterioridad. -3 En el caso de la sucesión cuando n tiende a más infinito, 3n tiende a más infinito y también tiende a más infinito, o sea, lim</p><p>MATEMÁTICA 5 22 EL CONCEPTO DE LÍMITE Análisis 1 10. Determinen cuáles de las siguientes La sucesión = es una función con base sucesiones convergen, cuáles divergen y cuáles oscilan. Justifiquen sus res- mayor que 0 y menor que 1. Su gráfico es el siguientes puestas. 1 11.7 15 20 25 A partir de la observación del gráfico, podemos determinar que Analicemos el caso de Esta sucesión también se puede escribir como 1 si n es par -1 si n es impar Su gráfico es el siguiente: o 5 10 15 20 Si tomamos a 1 como y consideramos un entorno de 1 con, por ejemplo, no podemos encontrar en el eje un de tal manera que si n es mayor que N, esté en el entor- no de 1. Lo mismo ocurre si tomamos a -1 como Por lo tanto, no existe el límite de Cn cuando n tiende a más infinito. Límite de sucesiones Decimos que una Una sucesión diverge Una sucesión oscila no existe el cuando n tiende a más En el problema 5, a, diverge, b, converge a cero oscila. Ver Libro capitulo 3.</p><p>23 Álgebra de límites Algo más... a. Si lim f(x) y g(x) son números reales, entonces: Teorema (del sándwich) El límite de la suma de f(x) y g(x) es igual a la suma de los Si f(x), g(x) y h(x) son tres funciones límites de f(x) y de g(x). o sea: tales que g(x) f(x) h(x) para todos los x en un entorno alrededor de Decir que lim f(x) = R significa que a medida que toma valo- y si además se verifica res cada vez más próximos a las imágenes por f(x) resultan que valores cada vez más cercanos a R. = Q, entonces que toma valores cada Este teorema también es válido cuando vez más próximos a toma valores cada vez más cerca- tiende a Consideremos, por ejemplo, Por lo tanto, si toma valores cada vez más próximos a entonces: 2x+3 y utilicemos el teorema toma valores cada vez más cercanos a anterior para calcular el límite cuando o sea: lim = = tiende a Para todo x>0 se cumple De igual manera se puede analizar el limite de las demás ope- además, si tomamos 3, raciones. resulta: El límite de la resta de f(x) y g(x) es igual a la resta de los 2x+3 2x tes de f(x) y de g(x). Es decir: = El del producto de f(x) es igual al producto de los límites sea: entonces, por el teorema El límite del cociente de f(x) y g(x) es igual al cociente de los límites de f(x) y de g(x), siempre que el límite del denominador sea distinto de cero. Es decir: Si la función g(x) = [f(x)]" con está definida en un en- torno alrededor de entonces: si si Si</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 24 EL CONCEPTO DE LÍMITE 1 11. Demuestren las siguientes b. lim f(x) = = Q, con entonces: propiedades de límites: a. lim Si lim f(x) = entonces, cuando toma valores cada vez más cercanos a f(x) toma valores cada vez más grandes. Además, g(x) = Q, entonces, g(x) se acerca cada vez más a Q cuando tiende a Luego, cuando x tiende a f(x) + g(x) tiende a b. lim la suma entre un número cada vez más grande y un número cada vez más cercano a Q, lo cual da por resultado un número cada vez más grande. Es decir: = (1) = entonces, cuando x tiende toma lim valores negativos cada vez más chicos, y al sumarle un número cada vez más cercano a Q, el resultado es un número negativo y cada vez más chico. sea: lim = (2) Por lo tanto, de (1) y (2) deducimos que cuando tiende a 12. Considerando que lim es un número cada vez mayor en módulo, o sea, by = números reales distintos de cero, determinen los siguientes límites: = 8 a. lim Esta propiedad se puede razonar de la misma manera que en el caso anterior. # 0, = +00, al multiplicar un número que es cada vez más f(x) lim grande por un número cada vez más cercano a Q, el resultado será cada vez mayor en módulo, con lo cual lim [f(x) g(x)] = = al multiplicar un número negativo cada vez más chico por un número cada vez más cercano a O, el resulta- do será cada vez mayor en módulo. El signo que corresponde al resultado del límite cumple la regla de los signos respecto de los signos de los límites de f(x) y de g(x).</p><p>25 13. Demuestren la siguiente propiedad 0, entonces, como de Si lim f(x) = entonces, para ne R+ por la propiedad anterior deducimos que es lim [f(x)]" = too y = = 0, entonces, g(x) f(x) lim = corresponde la multiplicación de dos números a f(x) que son cada vez mayores en módulo, con lo cual entonces: para n es [f(x)]" = y 14. Sabiendo que lim f(x) = C números reales distintos de cero, R, es una sucesión cualquiera determinen los siguientes tal que lim = R. a. lim = Para demostrar esta propiedad, se requiere un análisis más exhaustivo de la definición de "limite", que excede lo necesario para este curso. b. Observemos que en todas las propiedades del álgebra de tes si X, en lugar de tender a tiende a infinito, el razona- miento es análogo al que hemos realizado. Por lo tanto: Todas las propiedades del álgebra de límites son válidas aun si tiende a infinito. Problema 6 Algo más... Encuentren, si existen, los siguientes límites: Si P(x) es un polinomio, entonces, a. lim sen b. sen Luego: + Problema 6 a. Analicemos el gráfico de la función f(x) = sen = Por lo tanto, lim P(x) = De igual manera podemos demostrar que si P(x) y Q(x) son dos polinomios, La función toma los valores que van desde -1 a 1 infinitas veces. entonces: Supongamos que lim f(x) = R, con entonces, por la propie- = dad d. del álgebra de límites, es lim = R para toda sucesión que verifique lim</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 26 EL CONCEPTO DE LÍMITE Análisis 1 15. Demuestren que si P(x) y Q(x) son Consideremos, por ejemplo, las sucesiones y dos polinomios y 0, entonces: sucesiones tienden a infinito cuando n tiende a más infinito. Con lo cual debería ser lim = R Pero = = sen Entonces, lim = 0 1, con lo cual debería ser R=1 R=0, y esto es absurdo. Por lo tanto, no se cumple la propiedad d. del álgebra de limites. Esto quiere decir que no existe el límite de 16. Analicen la existencia de los siguien- sen cuando tiende a infinito. tes límites: a. Conclusión Las funciones periódicas (no constantes) no tienen límite cuando tiende a infinito. b. Observemos la gráfica de la función b. lim c. lim cos = A medida que tiende a infinito, f(x) tiende a cero. Pero ¿cómo podemos deducir esto de la fórmula de la función? lim Si tiende a a 0. Además, las imágenes de d. la función sen son los valores entre -1 y 1. Luego, si a esos valores los multiplicamos por un valor cada vez más cercano a cero, el resultado se aproximará cada vez más a cero. o sea: Conclusión Si f(x) = 0 y el conjunto imagen de g(x) está incluido en el intervalo (a, b), entonces, lim 0.</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 Análisis 1 GE 1 GUÍA DE EJERCITACIÓN El concepto de 27 1. Observen el gráfico de f(x). Si es posible, completen en los lugares indicados; si no es posi- ble, expliquen por qué. o a. f(-6) = lim f(x) = lim f(x) = b. f(0) = = lim f(x) = lim f(x) = c. f(4) = lim f(x) = lim f(x) = d. f(6) = lim f(x) = = lim f(x) = e. f(10) = lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = 2. Grafiquen dos funciones distintas que verifiquen que lim f(x) lim f(x), 2 e Dom f y f(2) = lim f(x). 3. Dibujen el gráfico de una función f(x) que cumpla lim f(x) = lim f(x) 3 f(2) = 5.</p><p>ALUMNO CURSO FECHA MATEMÁTICA LIBRO 5 Análisis 1 GE 1 GUÍA DE EJERCITACIÓN El concepto de límite 4. Realicen el gráfico de una función f(x) que verifique que lim y que 2 E Dom f. 5. Dibujen el gráfico de dos funciones distintas en las cuales se cumpla que el límite cuando tiende a sea distinto del límite cuando x tiende a 6. Grafiquen una función f(x) que simultáneamente verifique lo siguiente: 7. Sabiendo m, ny p son números natu- rales distintos de cero, determinen los siguientes límites justificando los pasos realizados: g(x) a. lim = h(x) f(x) b. lim Vg(x) c. lim =</p><p>ALUMNO CURSO FECHA MATEMÁTICA LIBRO 5 Analisis 1 GE 1 GUÍA DE EJERCITACIÓN El concepto de limite 29 d. lim f(x) e. lim = 8. Indiquen si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Para las que sean verda- deras, analicen por qué, y para las que sean falsas, den un ejemplo donde no se cumpla la a. Si lim es un número real, entonces, lim f(x) y lim g(x) son números reales. b. Si lim lim f(x) son números reales, entonces, lim g(x) es un número real. c. Si lim y lim f(x) son números reales, entonces, lim g(x) es un número real. d. Si lim es un número real y lim f(x) 0, entonces, lim g(x) es un número real.</p><p>ALUMNO CURSO MATEMÁTICA LIBRO 5 Análisis 1 GE 1 GUÍA DE EJERCITACIÓN El concepto de 9. Grafiquen la función (parte entera de x). Observando el gráfico calculen, si es posible, los siguientes Si no es posible, expliquen por a. lim f(x) = b. lim f(x) = lim f(x) = d. lim f(x) e. lim f(x) = nez f. lim f(x) = 10. Determinen cuáles de las siguientes sucesiones convergen y cuáles no. Justifiquen sus respuestas. 1 b. b, = + 1 1 11. Calculen los valores de a y b, con b 0, si se verifica que lim lim g(x) 7. Justifiquen los pasos realizados.</p><p>ALUMNO CURSO FECHA MATEMÁTICA LIBRO 5 Análisis 1 GE 1 GUÍA DE EJERCITACIÓN El concepto de 31 12. Determinen los siguientes considerando que lim con a y b números reales, a > 0, a * a. lim [f(x).g(x)] = b. lim = f(x) lim g(x) = d. e. lim f. lim = g. lim = 3 h. lim f(x)-g(x) = g(x) 13. Hallen los valores de a y con si se verifica que f(x) lim = 0 y lim Justifiquen los pasos realizados. g(x)</p><p>ALUMNO CURSO Analisis 1 GE 1 GUÍA DE EJERCITACIÓN El concepto de limite 14. Encuentren, si existe, la fórmula de una función f(x) que verifique que lim f(x) = 3 y Justifiquen su respuesta. 15. Realicen el gráfico de una función f(x) que verifique simultáneamente que D = (0; 16. Consideren la siguiente 1 2 3x-1 si a. Grafiquen f(x). b. Calculen los siguientes i. lim f(x) lim f(x) lim f(x) lim f(x) = lim</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 Análisis 1 GA 1 GUÍA DE AUTOEVALUACIÓN El concepto de 33 1. Observar el gráfico de f(x) y calcular, si existe, lo indicado. Y 2 1 -3 1 2 3 4 5 6 7 lim f(x) = c.f(5)= lim f(x) = lim lim f(x) = d. .f(6)= lim f(x) = lim f(x) lim f(x) = e.f(7)= lim f(x) = lim f(x) lim f(x) = 2. Si lim 3f(x)-2g(x) = 7 y lim f(x) = 5, hallar lim g(x). f(x) 3. Si lim = 256 8, calcular lim</p><p>ALUMNO CURSO MATEMÁTICA LIBRO 5 Analisis GA 1 GUÍA DE AUTOEVALUACIÓN El concepto de 4. Graficar una función que carezca de límite cuando tiende a pero que tenga cuando x tiende a 5. Realizar el gráfico de una función para la cual no existe el limite cuando x tiende a pero que posea limite cuando tiende a 2. 6. Considerar la siguiente función: 7x + 2 si < o x 4x + 1 + 4 a. Graficar f(x). b. Observando el gráfico, = lim lim lim f(x) II. f(1) lim f(x) =</p><p>ALUMNO CURSO FECHA MATEMÁTICA I LIBRO 5 Análisis 1 2 Cálculo de límites Muchas veces el cálculo de los de las dis- tintas funciones se facilita si se conocen las dife- rentes estrategias algebraicas que existen para realizar este cálculo. A partir de estas estrate- gias, se pueden calcular limites sin necesidad de confeccionar tablas ni realizar gráficos. -1 -1 -2 -1 -3 -4 89 123</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 36 CÁLCULO DE Una vez que construyeron herramientas Para comenzar... que les permiten resolver los ejercicios de manera más económica, no olviden, al En el capítulo anterior, nos propusimos entender qué significa aplicarlos, verificar en cada paso que lo calcular el límite de una función en un valor en infinito. que están haciendo sea Nuestra tarea, ahora, es encontrar formas de calcular límites sin necesidad de confeccionar tablas ni realizar gráficos. ¿Sabian que...? o Problema 1 El matemático que utilizó por primera vez Calculen los siguientes el fue John Wallis en su obra Arithmetica Infinitorum, publicada en a. lim 1 1656. x-1 John Wallis nació en Ashford, Inglaterra, 5x+3 5x+3 en De niño era muy buen alumno y lim = lim = x-1 a los trece años se lo consideraba en con- diciones de a la Sin embar- go, en 1631 y 1632, concurrió a una escue- Problema 1 la en Essex, donde se perfeccionó en grie- go, latin y hebreo. Alli también estudió ló- a. Para calcular el límite pedido, utilizaremos uno de los límites gica. No tuvo contacto con la Matemática, 1 porque en esa época esta materia no era que hemos calculado en el capítulo considerada importante en las escuelas prestigiosas. Su primer contacto con esta Observemos que en medida que tiende a 1,x-1 ciencia fue a través de su hermano, quien durante unas vacaciones le enseñó las re- tiende a cero y, entonces, es la división entre 1 y un nú- x-1 glas de la mero cada vez más próximo a cero. Es decir, debemos dividir el En 1632, en el Emmanual College de Cambridge y obtuvo el bachillerato en entero en partes cada vez más pequeñas, o sea que tendremos arte. Como por ese entonces no había en Cambridge ninguna persona que pudiera cada vez más partes. Entonces: 1 x-1 dirigir sus estudios de Matemática, tomó Si el en lugar de ser 1, es cualquier otro número cursos de ética, metafísica, as- tronomia y medicina, entre Wallis real distinto de cero, y el denominador es cualquier función que a los origenes del cálculo y fue tiende a 0, el razonamiento es análogo al que hemos realizado. el matemático inglés con más influencia antes de Newton. Conclusión 1 fue un historiador de la Matemática, ya que su obra Treatise Si lim f(x) = entonces, para cualquier número real k distinto on Algebra incluye material de cero se verifica que Falleció en Oxford, Inglaterra, en Esta conclusión también se cumple cuando tiende a infinito.</p><p>37 b. Para calcular lim observemos que si x tiende a 3, al ¿Cómo se x-3 x-1 tiende a restarle 1,x-1 tiende a 2. Utilizando la propiedad del álgebra de límites que dice que el límite de la división entre dos funcio- 1. Hallen los límites indicados: nes es la división de los límites de cada una de ellas (siempre que el límite del denominador no sea 0), obtenemos: a. lim lim 1 lim 1 = x-3 = lim 1 = 1 2 x-1 lim - 1 2 x-3 x-1 x-3 c. Con un razonamiento similar al que utilizamos en el b. 5 b. lim = lim 5x+3 2x-6 calculamos x-1 { 5x-15 5x+3-18. Six-3 x - 1 5x+8 Por lo tanto: c. lim = 5x+3 lim = = 18 = 9 lim 5x+3 = 9 lim x-1 5x+3 d. Para calcular lim observemos que 6x+9 x-1 d. lim = x-28 7x+ 3 1 { 5x + 3 -8 si - 1 - En este caso, cuando x tiende a 1, el numerador tiende a 8 y el denominador tiende a 0. Entonces, no podemos utilizar e. lim la propiedad del álgebra de que usamos en los ítem b. y Sin embargo, podemos realizar un razonamiento similar al empleado en el a. 5x+3 En , cuando x tiende a 1, el numerador tiende a un nú- x-1 f. lim = mero distinto de 0, en este caso 8, y el denominador tiende a 0. Entonces, tenemos números cada vez más próximos a 8 que se dividen por números cada vez más pequeños. Por lo tanto, obtenemos por resultado números cada vez mayores en mó- 5x+3 dulo. Podemos decir, entonces, que lim = 8 g. lim x-1 x-1</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 38 CÁLCULO DE LÍMITES Análisis 1 2. Obtengan el valor de los siguientes Este razonamiento lo podemos utilizar para cualquier cociente donde el numerador es una función que tiende a un número distinto de 0 y el denominador es una función que tiende a 0. a. 5 + 3 Conclusión 2 Si lim f(x) = k, donde k es un número real distinto de cero, y = 0, entonces, lim g(x) 1 b. lim Esta conclusión también es válida cuando tiende a infinito. o Problema 2 Hallen los siguientes límites: a. lim 1 = -3 c. lim x-1 3 b. lim = x-1 Problema 2 d. a. En el capítulo 1, dedujimos que lim 1 = 0. Utilizando este calculemos lim 1 x-1 - Por lo tanto, si a 1 lo dividimos cada vez en más partes, el re- 1 e. lim sultado es cada vez más chico. o sea: x-1 Si el numerador en lugar de ser 1 es otro número y el denomi- nador es cualquier función que tiende a infinito, el razona- miento es análogo al que hemos hecho. f. lim Conclusión 3 Si lim f(x) = entonces, para cualquier número real k se verifica que lim k Esta afirmación también se cumple si x tiende a</p><p>39 b. Para calcular lim analicemos el de la función gráfico 3. Calculen estos x-1 1 una función exponencial y 0,5 es x a. lim = x2+3 mayor que 0 y menor que 1, su gráfico es el siguiente: o 2 5 1 b. lim = -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 Observamos que cuando toma valores positivos cada vez 1 10 mayores, g(x) tiende a 0. Luego, en 0,5*+3 el numerador c. lim = + 3 x-1 tiende a 3 y el denominador tiende a infinito, cuando tiende a más infinito. Entonces, tenemos un número cada vez más cercano a 3, que se divide cada vez en más partes. Por lo tanto, 6 d. lim el resultado será un número cada vez más próximo a Es decir: x-1 También podemos realizar el mismo razonamiento cuando el 7x+2 numerador es cualquier función que tiende a un número y el e. lim = 1 denominador es una función que tiende a infinito. Conclusión 4 Si lim f(x) = k, donde k es un número real, = oo, Vx f. lim = 1 lim Esta afirmación también es válida cuando tiende a Problema 3 Calculen los siguientes límites. En todos los casos, a es un número real positivo distinto de 1. a. b. c. lim</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 40 CÁLCULO DE LÍMITES Análisis 1 Problema 3 4. Resuelvan los límites indicados: La forma del gráfico de la función es distinta si a es a. lim 5* + 2 = mayor que 1 o si a está entre 0 y Sia>1,el gráfico de f(x) es aproximadamente el siguiente: 1 b. lim En el gráfico, podemos observar lo siguiente: lim Para resolver estos límites debemos considerar que si a* será un número cada vez d. mayor, o sea, como entonces, Luego, como 1, es un número cada vez más grande e. lim el gráfico de f(x) es aproximadamente el 1 - Observando el gráfico, deducimos que y = Para calcular estos límites analiticamente, cuando debemos realizar un razonamiento similar al que hicimos para Ver Libro 3.</p><p>41 Conclusión 5 5. Hallen estos límites: Analicemos X. Como esta función es la también los gráficos son distintos si a es mayor que 1 o si a está entre 0 y 1. Analicemos el gráfico de g(x) para a > 1: Y Luego, observamos que lim Para comprobar esto analiticamente despejamos en g(x). Como la conclusión 5, esto e. lim la conclusión 5, esto ocu- entonces, el gráfico de g(x) es el siguiente: 4 En el gráfico, podemos observar que Ver Libro 2, 3.</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 42 CÁLCULO DE LÍMITES Análisis 6. Calculen, si existen, los siguientes Verifiquemos estos límites limites. Para aquellos que no existan, justifiquen por qué. y como por la conclusión 5, to sucede solamente a. lim log, (x-3) la conclusión 5, esto Conclusión 6 b. lim lim lim In(2x+8) = o Problema 4 d. lim Hallen los siguientes limites: = e. b. lim = = f. Problema 4 a. Analicemos este lim x-1 x-1 g. lim log,(5-x) Cuando tiende a 1, tanto el numerador como el denomina- dor de la función tienden a Considerando sólo el numerador, podríamos decir que una h. lim log = expresión que tiende a cero dividida por otra que tiende a un número da por resultado 0. Consideremos ahora sólo el denominador. Podríamos decir que si a una expresión que tiende a un número la dividimos i. lim log, (x-3) por otra cada vez más próxima a cero, el resultado es un nú- mero cada vez más grande y, por lo tanto, el es infinito. Entonces, límite es cero, infinito o algún otro número distinto de cero? Este límite está</p><p>43 Límite indeterminado 7. Indiquen cuáles de los siguientes límites están, en principio, indetermi- Decimos que un está indeterminado cuando en un nados y expliquen por comienzo no podemos determinar cuál es su resultado. te dependerá de cada caso. a. lim Que un límite esté indeterminado en un principio no significa que no pueda calcularse, sino que no está terminado. Hay que realizar algunas operaciones para lograr determinar su resul- tado. La primera de las indeterminaciones es la división de una fun- b. lim ción que tiende a cero por otra que también tiende a cero. Conclusión 7 f(x) Si lim f(x) = lim es indetermi- g(x) nado. c. lim Esta conclusión también se cumple cuando x tiende a infinito. Calculemos lim Para ello realizamos una tabla de x-1 valores: d. lim 0,99 0,999 0,9999 1,0001 1,001 1,01 1,99 1,999 1,9999 2,0001 2,001 2,01 Como podemos observar en la tabla, parece ser que el debería dar 2. Pero ¿por qué no podría dar por resultado 2,0000001, que también es un número? e. lim x2-16 Por lo tanto, sólo con una tabla de valores no podemos deter- minar cuál es el límite. Trabajemos entonces con la expresión de la función: lim = lim x-1 x-1 (x-1) 1</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 44 CÁLCULO DE LÍMITES 1 8. Calculen estos Pudimos "salvar la indeterminación" cambiando la fórmula de la función por otra equivalente en todos los valores del a. lim = dominio. Es decir que las expresiones y + 1 son equi- x-1 valentes excepto para Observen que para obtener la expresión equivalente factoreamos los polinomios y luego simplificamos. Esta simplificación es válida porque si tiende a b. lim = 1, entonces, toma valores cada vez más cercanos a 1, pero no 3x2 9x - 120 es igual a 1 y, por lo b. Para resolver lim veamos qué ocurre con el x-2 numerador y el denominador de la función cuando x tiende a 2. h Six-2 = lim Tanto numerador como denominador son funciones que tien- den a cero, o sea que estamos ante la presencia de una indeter- Para salvarla, vamos a simplificar la expresión factoreando los polinomios del numerador y 9. Si tienen que resolver el de una - función racional donde el numerador del denominador. yel denominador tienden a cero, ¿es siempre posible factorear numerador y Como 2 es raíz de ambos polinomios, podemos dividir en forma denominador, y simplificar? ¿Por qué? exacta los dos polinomios por x-2. - Para ello usamos la regla de 1 -5 6 3 2 2 -6 2 1-30 3 1 1 0 15</p><p>Ver Libro página 24. 45 Calculemos ahora 10. Hallen el valor de los limites x-5 indicados: En este caso, también el numerador y el denominador tienden a. lim = 36-x2 a cero, cuando tiende a 5. Estamos en presencia de una inde- terminación. Pero aquí el numerador no es un polinomio que podamos factorear. Por lo tanto, simplifiquemos la expresión de la función: x-5 b. lim = multiplicamos dividimos por el conjugado del numerador = lim = Problema 5 lim = Calculen los límites: a. lim = b. lim = = d. lim x-10 - d. = Problema 5 Para calcular el límite planteado en a., analicemos la función e. lim considerando por separado el numerador y el denominador. Si x toma valores cada vez más grandes en módulo, entonces, el resultado de también es cada vez mayor. Luego, si lo dividimos por cualquier número, el resultado será cada vez mayor en Con este razonamiento, estamos dicien- do que el límite debería dar</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 46 CÁLCULO DE LÍMITES Análisis 11. Resuelvan los siguientes Consideremos ahora sólo el denominador. Si toma valores cada vez más grandes en módulo, entonces, el resultado de a. lim = 5x2 + 3x + 14 también será cada vez más grande. Luego, si dividimos cualquier número por otro que en módulo es cada vez mayor, el resultado será cada vez más cercano a Con es- te razonamiento estamos diciendo que el límite debería dar Estamos, entonces, ante la presencia de una nueva indeterminación. 7 b. lim = Conclusión 8 Si = 00 = entonces, lim f(x) lim indeterminado. Esta conclusión también es válida cuando tiende a Para poder calcular el buscamos una expresión equiva- Saquemos factor común (la mayor po- lim = tencia de x) en el numerador y en el denominador: lim = lim Observemos que como tiende a infinito, por la conclusión 4, 7x-38 resulta que tienden a 0. Por lo tanto, el nu- merador tiende a 3 y el denominador tiende a 5. Entonces, 5 Analicemos el límite planteado en b. utilizando el mismo razonamiento que en a. Como tiende a infinito, tanto el numerador como el denominador de tienden a infinito. Estamos, entonces, ante la misma indeterminación que en a. Para salvarla saquemos factor común (la mayor potencia de x) en el numerador y en el denominador: = = lim</p><p>47 Luego, cuando tiende a infinito, el numerador tiende a 7 Algo más... denominador tiende a 0. Por lo tanto, utilizando la conclusión Para resolver 2 resulta que: observemos que el numerador es un polinomio de grado 2 y el denominador es un polinomio de grado 3. Entonces, en el numerador y en el denominador, Analicemos el límite del en lugar de sacar factor común (la máxima potencia de x), podemos sacar Observemos en el numerador y factor común Luego: 5x Luego, dónde tiende la resta entre 3x2 y 5x? Ten- dería a cero si la resta fuera entre dos números iguales. Sin embargo, no es un número, sino que significa que el resul- tado es en módulo cada vez más grande. Por lo tanto, ésta es una nueva indeterminación. Esta indeterminación también se presenta entre 5x2 si lim Conclusión 9 lim f(x) = entonces, es indeterminado. Esta afirmación también se cumple si tiende a Entonces, cuando x tiende a infinito, el numerador tiende a 3 y el denominador Luego, podemos escribir = x(3x-5) Como éste es un sigue tendiendo a infinito, con lo cual, producto entre expresiones que tienden a infinito cuando por la conclusión 4, resulta que: tiende a infinito, entonces, 5x tiende a infinito. Por lo tanto, para el límite del item resulta que Por lo tanto, no es necesario sacar como factor común la mayor potencia de 8 Si tenemos que calcular Otra vez el numerador y el denominador tienden a infinito. polinomios de grado m Salvemos esta indeterminación de la misma manera que lo respectivamente, podemos sacar, tanto hicimos en b.: saquemos factor común la mayor potencia en el numerador como en el denomina- de x) en el numerador y en el denominador. dor, factor común y en ambos ca- resolvemos el = lim</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 48 CALCULO DE LÍMITES Analisis I 12. Calculen estos Luego, el numerador tiende a cero y el denominador tiende a 7. Por lo tanto, a. lim Analicemos el En este caso, también numerador y denominador tienden a infinito si tiende a infinito. Para salvar la indeterminación, saquemos factor común dentro de la raíz y apliquemos la b. lim 4x-2 propiedad distributiva de la radicación respecto de la multipli- cación: lim = lim = Para x tendiendo a infinito, el limite de es V6. Luego, si calculamos , tendríamos resuelto el pedido. 13. ¿Es cierto que positivo, por lo tanto, Entonces: lim = = para cualquier función f(x)? Justifiquen su respuesta. negativo, por lo tanto, |x| Entonces: = -1=-1 o Problema 6 Resuelvan los siguientes límites: ¿Cómo se lee... ? a. lim = Por lo tanto. d. Si</p><p>49 Problema 6 Algo más... a. Analicemos el primer límite: lim Consideremos: Ahora bien, podemos pensar que si elevamos el número 1 a cualquier potencia, el resultado será siempre 1. Pero no esta- Los límites que en principio están mos elevando el 1, sino un número cada vez más cercano a él. indeterminados son Si - entonces, por la conclusión 5, si la base es un núme- ro menor que 1, el límite será cero y si la base es mayor que 1, el límite será más infinito. Entonces, ¿cuál será el resultado del límite? En principio, este límite está indeterminado. haciendo un razonamiento similar al anterior, tam- lim bién resulta que el limite está indeterminado. Estos limites también están indetermi- Conclusión 10 nados en un comienzo si tiende a Si lim es indeter- infinito. Algunas de estas indeterminaciones minado. son tratadas en este libro. Las restantes requieren un estudio que abordaremos Esta afirmación también es válida si X tiende a en el Libro 6. En el capítulo 3 del Libro 3, dijimos que lim (número neperiano). Esta definición puede extenderse a lim Para resolver los límites restantes, usaremos esta definición. b. Calculemos Para ello, cambiamos la variable; si tiende a cero, entonces, t tien- de a infinito. Por lo tanto: = e. c. Analicemos lim Como tiende a infinito cuando tiende a infinito, para utili- zar la definición del número e hace falta que figure en el ex- ponente. Para ello, vamos a multiplicar y dividir por en el exponente:</p><p>MATEMÁTICA I LIBRO 5 50 CÁLCULO DE LÍMITES Análisis 1 14. Resuelvan los limites indicados: = = lim = a. lim + 1 2x = Luego, por la definición del número e: b. lim 7x+2 Además: = Entonces: c. lim d. Si lim f(x) = entonces, lim o Problema 7 Calculen los siguientes límites: sen d. a. lim = b. lim sen (5x) 2x [f(x)] c. = d. lim sen (x2-1) = f(x) x-1 Problema 7 15. Demuestren que para cualquier a. Observemos el gráfico de la función sen X: número real k distinto de se cumple lo lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2</p><p>51 Vemos que Algo más... sen Analicemos el gráfico de la función Luego, en el numerador tiende a 0 y el denominador trigonométrica también tiende a 0, con lo cual estamos nuevamente ante una indeterminación. Debemos encontrar una manera de determinar el limite. Analicemos gráficamente la definición de sen y la circunferencia trigonométrica, o sea, que tiene radio 1. A Observamos que para cualquier número real Calculemos lim sen D Como vemos en el gráfico, no es posible encontrar un valor al cual se acerque la función cuando - Por lo tanto, no x 0 C B El ángulo está existe lim sen medido en radianes. Analicemos ahora el gráfico de g(x) En este gráfico, podemos observar que si es el arco, en el o triángulo rectángulo OBA resulta En este caso, observamos en el gráfico triángulo rectángulo OCD es sen = que lim cos x = para cualquier número real y que no existe lim Además, en la circunferencia trigonométrica, podemos obser- var que para valores de pertenecientes al intérvalo se verifica que Luego: Si dividimos toda la desigualdad por sen X, que es positivo sen Pero 1</p><p>MATEMÁTICA LIBRO 5 52 CÁLCULO DE LÍMITES Análisis 1 16. Hallen el valor de los siguientes Si tiende a cero por la derecha resulta tg a. lim = 1. Entonces, está entre dos funciones que = sen tienden a 1 y, por lo tanto, también tiende a 1.0 sea, lim = 1, con lo cual también lim sen Si tiende a cero por la izquierda consideramos 4x entonces, t tiende a 0 por la derecha. Luego: = = = lim Conclusión 11 c. lim sen Utilicemos esta conclusión para calcular los de los item d. lim sen (x-1) Para calcular lim , f(x) consideremos t = f(x). Se verifica Por lo tanto: lim e. lim x-3 = d. x-1 Como - utilizar la conclusión 11 debe figurar en el denominador. Para ello, multiplicamos y dividimos lim sen lim = x-1</p><p>MATEMÁTICA I LIBRO 5 Análisis 1 GE 2 GUÍA DE EJERCITACIÓN Cálculo de límites 53 1. Las funciones f(x), g(x) y h(x) están definidas de R en Ry, además, a. Calculen, si es posible, los siguientes Si no es posible, expliquen por qué. I. lim II. lim = 5-f(x) III. lim = 3 b. Indiquen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o Justifiquen sus respuestas. 1 I. lim = II. lim f(x-2)-5 III. lim 1 - 1</p>