Aula 05 - Transformadas (Laplace e Fourier)

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DESCRIÇÃO
Aplicação dos conceitos da Transformada de Laplace e da Transformada de Fourier.
PROPÓSITO
Compreender as Transformadas de Laplace e Fourier e algumas de suas aplicações.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever os conceitos iniciais da Transformada de Laplace
MÓDULO 2
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Formular a derivação e integração na Transformada de Laplace
MÓDULO 3
Aplicar a Transformada de Laplace
MÓDULO 4
Formular a série e a Transformada de Fourier
TRANSFORMADA DE LAPLACE E FOURIER
MÓDULO 1
 Descrever os conceitos iniciais da Transformada de Laplace
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
CONCEITOS INICIAIS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Para resoluções de alguns problemas matemáticos, existem métodos que transformam os termos originais em outros que
permitem simplificar a solução.
POR EXEMPLO, A RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL É MUITO
MAIS COMPLEXA, NA GRANDE MAIORIA DOS CASOS, DO QUE UMA
EQUAÇÃO ALGÉBRICA. ASSIM, PODE SE BUSCAR UMA
TRANSFORMAÇÃO PARA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL ESTUDADA.
Existe uma metodologia, denominada de Transformadas Integrais, que utiliza uma transformação da equação diferencial em uma
equação algébrica, e após resolver essa equação algébrica, utiliza a transformação inversa para obter a equação da solução
diferencial.
 VOCÊ SABIA
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Essa transformação é obtida pela multiplicação de cada termo da equação diferencial por uma função, que denominamos de
núcleo. A integração desse termo em relação a variável independente da equação.
Analisando de outra forma, isso se assemelha a um procedimento de se obter uma substituição de variável, resolver, e de depois
obter a substituição inversa para alcançar a resposta no domínio da variável inicial.
Esse tipo de transformação é conhecida como Transformadas Integrais, sendo a Transformada de Laplace uma das integrais
mais utilizadas. 
Vamos agora definir a Transformada de Laplace, cuja notação será ℒ.
DEFINIÇÃO
Seja uma função
f(t)
definida para
t ≥ 0
. A Transformada de Laplace da função
f
será definida por:
F(S) = L[F(T)] = ∫∞0E
- STF(T)DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para uma função f(t) que atende algumas particularidades, essa integral imprópria convergirá para certos valores de s, caso em
que se definirá uma função em s chamada de Transformada de Laplace de f, com simbologia F(s).
REPARE QUE O NÚCLEO DA TRANSFORMADA INTEGRAL DE LAPLACE
SERÁ A FUNÇÃO
E − ST
. NÓS MULTIPLICAMOS A FUNÇÃO POR
E − ST
E POSTERIORMENTE INTEGRAMOS DE ZERO ATÉ O INFINITO.
Obs.: Vamos relembrar como se determina uma Integral Imprópria:
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∫∞0E
- STF(T)DT = LIM
Z → ∞
∫Z0E
- STF(T)DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, seu valor será dado pelo valor do limite e ela convergirá se tal valor for um número real.
EXEMPLO 1
Determine a Transformada de Laplace para a função
f(t) = t
, para
t ≥ 0
.
RESOLUÇÃO
Usando a definição
F(s) = L[t] = ∫∞0e
- st t dt
∫∞0e
- stt dt = lim
z → ∞
∫z0e
- stt dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, portanto, calcular a integral
∫z0e − stt dt
Usando integração por partes:
u = t → du = dt
e
dv = e − stdt → v = −
1
s
e − st
Assim,
∫z0e
- stt dt = -
1
s t e
- st
z
0
- ∫z0 -
1
s e
- st dt = -
1
s t e
- st
z
0
-
1
s2
e - st
z
0
∫z0e
- stt dt = -
1
s z e
- sz + 0 -
1
s2
e - sz -
1
s2
=
1
s2
1 - e - sz - sze - sz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
lim
z → ∞
∫z0e
- stt dt = lim
z → ∞
1
s2
1 - e - sz - sze - sz =
1
s2
(1 - 0 - 0) =
1
s2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
[ ] ( ) [ ] [ ]
( ) ( ) ( )
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Assim,
F(s) = L [t] = 
1
s2
, s > 0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Determine a Transformada de Laplace para a função
f(t) = ekt
, com
k
real.
RESOLUÇÃO
Usando a definição
F(s) = L ekt = ∫∞0e
- st ekt dt
∫∞0e
( k - s ) t dt = lim
z → ∞
∫z0e
( k - s ) t dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, portanto, calcular a integral
∫z0e ( k − s ) t dt
∫z0e
( k - s ) t dt =
1
k - s e
( k - s ) t
z
0
=
1
k - s e
( k - s ) z -
1
k - s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
lim
z → ∞
∫z0e
( k - s ) t dtlim
z → ∞
1
k - s e
( k - s ) z -
1
k - s =
∞ , para k ≥ s
1
s - k , para k < s 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
F(s) = ℒ t = 
1
s - k , para s > k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
Determine a Transformada de Laplace para a função
[ ]
[ ]
[ ] {
[ ]
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f(t) =
0, 0 < t ≤ 4
e4t, t > 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Usando a definição
F(s) = L [f(t)] = ∫ ∞0 e
- stf t dt = ∫40 0. e
- stdt + ∫ ∞4 e
4te - stdt
F(s) = ∫∞4 e
( 4 - s ) tdt = lim
z → ∞
∫z4e
( 4 - s ) t dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, portanto, calcular a integral
∫z4e ( 4 − s ) t dt
∫z4e
( 4 - s ) t dt =
1
4 - s e
( 4 - s ) t
z
4
=
1
4 - s e
( 4 - s ) z -
1
4 - s e
( 4 - s ) 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
lim
z → ∞
∫z0e
( 4 - s ) t dt =
∞ , para s ≤ 4
1
s - 4 e
- 4 ( s - 4 ) , para s > 4 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
F(s) =
1
s - 4 e
- 4 ( s - 4 ) , para s > 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PARA GARANTIR A EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE, UMA
CONDIÇÃO NECESSÁRIA É QUE A FUNÇÃO
F(T)
DEVE SEGUIR O COMPORTAMENTO: SER CONTÍNUA POR PARTES EM
TODO INTERVALO
[0, ∞)
.
 RELEMBRANDO
{
( )
[ ]
{
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Lembre-se de que ser contínua por partes é ser contínua no intervalo, a não ser, possivelmente, em alguns pontos finitos. Assim,
ela pode até conter, por exemplo, um número finito de salto de descontinuidade, que continuará ser contínua em cada uma de suas
partes.
O que a função não pode ter é um intervalo de descontinuidade dentro do seu domínio. Essa é apenas uma condição necessária,
mas não é suficiente. Para a Integral de Laplace existir, a Integral Imprópria além de existir, tem que convergir.
Se analisarmos o integrando, teremos e – st f t , assim a função
f(t)
não pode divergir mais rápido do que a convergência da função e – st, para quando tende ao infinito. Se isso acontecer, o
integrando sempre convergirá.
Por isso, uma condição suficiente para existência da Transformada de Laplace é que |f(t)| < Ce - kt, em que
C
e
K
são números reais. A função será de ordem exponencial se atender a tal condição, garantindo, assim, a convergência nos
intervalos em que essa condição existe.
TEOREMA DA EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
SE A FUNÇÃO
F(T)
É CONTÍNUA POR PARTES PARA
T > 0
E DE ORDEM EXPONENCIAL À MEDIDA QUE
T → ∞
, ENTÃO, EXISTIRÁ A TRANSFORMADA DE LAPLACE
L[F(T)]
.
São exemplos de funções que possuem Transformadas de Laplace: 1, ktn, sen(kt), cos(kt), ekt , entre outras.
( )
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PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Vamos, agora, citar algumas propriedades da Transformada de Laplace. Essas propriedades podem ser demonstradas pela
definição da Transformada. E caso seja do seu interesse,podem ser encontradas nas obras de referência deste conteúdo.
LINEARIDADE
A Transformada de Laplace é uma transformação linear, assim, atende a propriedade da Linearidade.
L k1f1(t) + k2f2(t) = k1L f1 t + k2L f2 t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Exemplo:
Obtenha a Transformada de Laplace da função
f(t) = senh(kt)
, com
k
real.
Solução:
Lembre-se de que senh(kt) =
ekt - e - kt
2
Usando a propriedade da linearidade
 L[senh(kt)] = L
ekt - e - kt
2 =
1
2 L e
kt - 
1
2 L e
- kt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No exemplo anterior, já obtivemos a Transformada de Laplace da função
ekt
. Assim,
L[senh(kt)] =
1
2
1
s - k -
1
2
1
s - ( - k )
L[senh(kt)] =
1
2
( s + k ) - ( s - k )
( s - k ) ( s + k ) =
k
s2 - k2
, s > k.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TRANSLAÇÃO DA TRANSFORMADA
Se a Transformada da função
f(t)
é conhecida,
F(s)
, então, podemos obter facilmente a Transformada de Laplace da função
g(t) = ektf(t)
[ ] [ ( )] [ ( )]
[ ] [ ] [ ]
( ) ( )
( )
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, sendo
k
uma constante. Para isso, utilizaremos a propriedade da translação:
L ektf t = F s - k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Exemplo:
Obtenha a Transformada de Laplace da função
emtsenh(kt)
, com
k
em reais.
Solução:
No exemplo anterior, obtivemos
L[senh(kt)] = F(s) =
k
s2 - k2
, para s > k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
L emtsenh kt = F s – m =
k
( s - m ) 2 - k2
, para s - m > k → s > m + k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PROPRIEDADE E MUDANÇA DE ESCALA
Se a Transformada da função
f(t)
é conhecida,
F(s)
, então, podemos obter facilmente a Transformada de Laplace da função
g(t) = f(kt)
, sendo
k
uma constante.
Para isso, utilizaremos a propriedade da translação:
L f(kt) =
1
k F
s
k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Exemplo:
Obtenha a Transformada de Laplace da função
[ ( )] ( )
[ ( ) ] ( )
[ ] ( )
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f(t) = 5t
.
Solução:
Em exemplos anteriores, obtivemos
F(s) = L [t] = 
1
s2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da mudança de escala. Se
f(t) = 5t então L 5t =
1
5 F
s
5 =
1
5 
1
s
5
2
=
5
s2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aqui também poderia ser utilizada a Linearidade
L 5t = 5 L t = 
5
s2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
A função degrau unitário é definida por
u t - t0 =
0, t < t0
1, t ≥ t0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
t0
o ponto onde a função dá um salto de descontinuidade.
[ ] ( ) ( )
[ ] [ ]
( ) {
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Vamos determinar a Transformada de Laplace de
u(t − t0)
e de
u(t– 1)e2t
.
RESOLUÇÃO
TRANSFORMADA DE LAPLACE
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Formular a derivação e integração na Transformada de Laplace
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DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO NA TRANSFORMADA DE
LAPLACE>
DERIVAÇÃO NA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Vamos estudar as propriedades da Transformada de Laplace que envolve a derivação e a integração. Iniciaremos com a
Transformada de Laplace da derivada de uma função, propriedade de grande aplicação na solução de equações diferenciais.
TRANSFORMADA DE LAPLACE DA DERIVADA DA FUNÇÃO
F(T)
:
Seja a função
f(t)
com Transformada de Laplace
F(s)
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.
L [F'(T)] = ∫ ∞0 F' T E
- STDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando integração por partes
U = E - ST → DU = - S E - STDT
DV = F'(T)DT → V = F(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
∫∞0 f' t e
- stdt = e - stf t
∞
0 - ∫
∞
0 - s e
- stf t
∫ ∞0 f' t e
- stdt = - f(0) + s∫ ∞0 e
- stf t dt
ℒ[f'] = - f(0) + sℒ[f] = sF(s)– f(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repetindo, sucessivamente, esse procedimento, obtemos
ℒ[f''] = s2F(s) - sf(0) - f'(0)
ℒ[f'''] = s3F(s) - s2f(0) - sf ' (0) - f'' 0
. . .
ℒ f ( n ) = snF(s) - sn - 1f(0) - sn - 2f ' (0) - … - sf ( n - 2 ) 0 - f ( n ) 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa maneira, obtivemos a fórmula para a Transformada de Laplace da derivada de qualquer ordem para uma função. Vejamos
alguns exemplos:
EXEMPLO 4
Obtenha a Transformada de Laplace da função
t2
, sabendo que a Transformada de Laplace da função
( )
( )
( ) [ ( )] ( ) ( )
( ) ( )
( )
[ ] ( ) ( )
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t4
vale 
24
s5
:
RESOLUÇÃO
Seja a função
f(t) = t4
. Sabe-se que
f ′ (t) = 4t3
e
f ′ (t) = 12t2
Assim,
L [f''] = L 12 t2 = 12 L t2
L [f''] = s2F(s) - sf(0) - f ' (0) = s2
24
s5
- s. 04 - 4. 03 =
24
s3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
12 L t2 =
24
s3
→ L t2 =
2
s3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 5
Obtenha a equação na variável de Laplace que auxiliará no cálculo da equação diferencial y’’ + 2 y’ + 3y = 0, sabendo que y(0) = a
e y’(0) = b, com
a
e
b
reais:
RESOLUÇÃO
Usando a propriedade
L [f'] = sF(s)– f(0)
L [f''] = s2F(s) - sf(0) - f' 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Função
f(t) = y
Aplicando a Transformada de Laplace nos termos da esquerda, sabe-se que a Transformada de Laplace do termo da direita vale 0.
L [ y’’ + 2 y’ + y ] = L [y’’] + 2 L [ y’] + L[y]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( )
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= s2Y(s) - s y(0) - y '(0) + 2 s Y s – 2y 0 + Y s = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Transformando em uma equação algébrica
s2 + 2s + 1 Y(s) = (s + 2)y(0) + y '(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
Y(s) =
( s + 2 ) y ( 0 ) + y ' ( 0 )
s2 + 2s + 1
=
( s + 2 ) a + b
s2 + 2s + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Estudaremos no próximo módulo a Transformada inversa que permitirá sair de
Y(s)
e obter a solução da Equação Diferencial Ordinária — EDO.
 ATENÇÃO
A Transformada de Laplace só permite solucionar problemas de valores iniciais, isto é, que forneçam as condições na origem.
Caso as condições forem dadas em outros pontos, devemos usar a substituição de variável para transformar nas condições na
origem.
Vamos analisar, agora, o que acontece se derivarmos a Transformada de Laplace.
Seja a Transformada de Laplace
F(s)
da função
f(t)
:
F(S) = ℒ F T = ∫ ∞0 E
- ST F(T) DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos derivar ambos os lados em relação a variável
s
:
DF
DS (S) =
D
DS ∫
∞
0E
- STF T DT = ∫∞0
D
DS E
- ST F T DT
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
[ ( )]
( ( ) ) ( ) ( )Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
DF
DS (S) = ∫
∞
0 - 1 T E
- ST F T DT = ∫∞0 - 1 TF T E
- ST DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
DF
DS (S) = L ( - 1)
1T F T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Derivando mais uma vez,
D2F
DS2
(S) =
DF
DS ∫
∞
0(-1)E
- STTF T DT = ∫∞0
DF
DS E
- ST (-1)TF T DT
D2F
DS2
(S) = ∫∞0(-1)T E
- ST (-1)TF T DT
D2F
DS2
(S) = ∫∞0( - 1)
2T2 E - ST F T DT
D2F
DS2
(S) = ℒ ( - 1)2T2 F T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalRepetindo-se os passos, prova-se que
DNF
DSN
(S) = L ( - 1)NTN F T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
[ ( )]
( ( ) ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
[ ( )]
[ ( )]
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Pode-se, então, dizer que
L TNF T = ( - 1)N
DNF
DSN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PORTANTO, SE MULTIPLICARMOS A FUNÇÃO PELA FUNÇÃO
TN
, DERIVAMOS A TRANSFORMADA DE LAPLACE EM UMA ORDEM
N
.
Vamos analisar os exemplos a seguir:
EXEMPLO 6
Obtenha a Transformada de Laplace da função
f(t) = t3 :
RESOLUÇÃO
Poderíamos achar essa Transformada por meio da definição da Transformada de Laplace. Nessa solução, usaríamos várias vezes
a integração por partes, mas existe um caminho mais simples:
Poderemos considerar a função
f(t) = t3 = t3.1
e obter a Transformada de Laplace de
f(t) = 1
.
Usando a definição
F(s) = L 1 = ∫ ∞0 e
- st dt
∫∞0e
- st dt = lim
z → ∞
∫z0e
- st dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, portanto, calcular a integral
[ ( )]
[ ]
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
∫z0e − st dt :
∫z0e
- st dt =
1
- s e
- st
z
0
= -
1
s e
- sz +
1
s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
lim
z → ∞
∫z0e
- st dt = lim
z → ∞
1
s 1 - e
- sz =
-∞ , para s < 0
1
s , para s > 0 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, vamos usar a propriedade:
L tnf t = ( - 1)n
dnF
dsn
L t3. 1 = ( - 1)3
d3F
ds3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
F(s) = 
1
s → F
'(s) = -
1
s2
→ F ''(s) =
2
s3
→ F '''(s) = -
6
s3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
L t3. 1 = ( - 1)3
d3F
ds3
=
6
s3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTEGRAÇÃO NA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Aqui, faremos um raciocínio análogo para as propriedades envolvendo a integração, iniciando com a integração da Transformada
de Laplace.
Seja a Transformada de Laplace
F(s)
da função
f(t)
:
F(S) = ℒ F T = ∫ ∞0 E
- ST F(T) DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos integrar ambos os lados em relação a variável
[ ]
( ) {
[ ( )]
[ ]
[ ]
[ ( )]
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
s
∫∞SF(S)DS = ∫
∞
S∫
∞
0E
- ST F(T) DTDS
∫∞SF(S)DS = ∫
∞
0F(T) ∫
∞
SE
- ST DS DT
∫∞SF(S)DS = ∫
∞
0F(T)
1
T E
- STDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
∫∞SF(S)DS = L 
1
T F T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, pode se dizer que
L
1
T F T = ∫
∞
S F(S)DS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
POR ISSO, SE CONHECERMOS A TRANSFORMADA DE
F(T)
PODEMOS OBTER A TRANSFORMADA DE 
1
T F T POR MEIO DE UMA
INTEGRAÇÃO DE
F(S)
[ ]
[ ( )]
[ ( )]
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
. SE DESEJARMOS A TRANSFORMADA DE 
1
T2
F(T), INTEGRAREMOS DUAS
VEZES E, ASSIM, SUCESSIVAMENTE.
Confira os exemplos a seguir:
EXEMPLO 7
Obtenha a Transformada de Laplace da função g t = 
1
t :
RESOLUÇÃO
Já calculamos a Transformada de Laplace de
f(t) = 1
.
F s = 
1
s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo
g(t) =
1
t =
1
t . 1,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como:
L
1
t f t = ∫
∞
s F(s)ds
ℒ
1
t = ℒ
1
t 1 = ∫
∞
s
1
s ds = [lns]
∞
s = ∞ - lns = ∞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, essa Integral Imprópria não existe, pois não deu como resultado um número real.
Desse modo, não existe Transformada de Laplace da função
g(t) =
1
t
.
Por fim, vamos aproveitar e ver uma propriedade que ainda não foi vista, que determina a Transformada de Laplace da integração
de uma função
f(t)
. Assim:
ℒ ∫ t0f(w)dw = ∫
∞
0 ∫
t
0f(w)dw e
- stdt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando integração por partes:
( )
( )
[ ( )]
[ ] [ ]
[ ] ( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
u = ∫ t0f(v)dv → du = f t dt
dv = e - stdt → v = -
1
s e
- st
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
∫∞0 ∫
t
0f(w)dw e
- stdt = -
1
s e
- st∫ t0f(v)dv
∞
0
- ∫∞0 -
1
s e
- st f t dt
∫∞0 ∫
t
0f(w)dw e
- stdt = 0 +
1
s ∫
∞
0e
- stf(t)dt = 
1
s F s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, a propriedade nos diz que
L ∫ t0f(w)dw =
1
s F s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare, portanto, que basta dividir a Transformada de Laplace de
F(s)
por
s
que se obtém a Transformada da integral de uma função.
EXEMPLO 8
Sabendo que a Transformada de Laplace de f(t) = cos (2t) vale F(s) =
s
s2 + 4
. Determine a Transformada da função 
f(t) = sen (2t).
RESOLUÇÃO
Sabe-se que
∫ t0cos(2t)dt =
1
2 sen 2t
t
0
=
1
2 sen(2t)
L ∫ t0cos(2t)dt =
1
s F(s),
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo
F(s)
a Transformada de
cos(2t)
L ∫ t0cos(2t)dt = L
1
2 sen 2t =
1
2 L [sen(2t)] =
1
s . 
s
s2 + 4
=
1
s2 + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( ) [ ] ( ) ( )
( ) ( )
[ ] ( )
[ ]
[ ]
[ ] [ ( )]
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Então,
L[sen(2t)] =
2
s2 + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos obter a solução do problema de valor inicial dado pela equação y’– y = 0 com y(0) = 1.
RESOLUÇÃO
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando a propriedade da derivada, isto é, L [f'] = s F(s) – f(0)
L [ y’ – y ] = L [ 0] = 0 
sY(s) - y(0) - Y(s) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
Y(s) =
y ( 0 )
s - 1 =
1
s - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já sabemos que 
1
s - 1 é a transformada de Laplace da função
et
Assim,
y(t) = et
.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Aplicar a Transformada de Laplace
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
TABELA DA TRANSFORMAÇÃO DE LAPLACE E SUAS
APLICAÇÕES
TABELA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Até aqui, definimos a Transformada de Laplace e aprendemos a obter as Transformadas de diversas funções. No entanto, existem,
na literatura, tabelas que já apresentam as Transformadas das principais funções matemáticas, não sendo necessário, às vezes,
calculá-las. Neste módulo, vamos analisar como aplicar a Tabela das Transformadas, bem como definiremos a Transformada
Inversa de Laplace.
FUNÇÃO TRANSFORMADA
1
1
s
tn
n !
sn + 1
ekt
1
s - k
sen(kt)
k
s2 + k2Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
cos(kt) s
s2 + k2
senh(kt)
k
s2 - k2
cosh(kt)
s
s2 - k2
ewtsen kt
k
( s - w ) 2 + k2
t sen(kt)
2ks
s2 + k2
ewtcos kt
s
( s - w ) 2 + k2
t cos(kt)
s2 - k2
s2 + k2
tn - 1ekt
( n - 1 ) !
1
( s - k ) n
 n ≥ 1
1
2k3
sen(kt) - ktcos(kt)
1
s2 + k2 2
t
2k sen(kt)
s
s2 + k2 2
∫ t0
t
2n L
- 1 1
s2 + k2
n
dt
1
s2 + k2 n + 1
t
2n L
- 1 1
s2 + k2
n
s
s2 + k2 n + 1
u t – t0 
e - t0s
s
u t – t0 f t – t0 e
- t0s F s
u t – t0 f t e
- t0s F s + t0
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
[ ( ) ] ( )
[ ( ) ] ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
 Tabela - Transformadas de Laplace / Elaborada por Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
FUNÇÃO TRANSFORMADA
k1f(t) + k2g(t) k1F(s) + k2G(s)
f’(t) sF(s) – f(0)
f’’(t) s2F(s) - sf(0) - f '(0)
f ( n ) ts2F(s) - sn - 1f(0) - … - f ( n - 1 ) (0)
∫ tof(t)dt
F ( s )
s
∫ tkf(t)dt
F ( s )
s -
1
s ∫
k
of(t)dt
ektf t F(s – k )
tnf(t) (-1)n
dnF
dsn
(s)
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela - Propriedades das Transformadas de Laplace / Elaborada por Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
Vejamos alguns exemplos:
EXEMPLO 9
Obtenha a Transformada de Laplace de:
h t = 4 cos 3t + 8 e2t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Visualizando a tabela das Transformadas de Laplace, observamos que
L cos kt =
s
s2 + k2
e L ekt =
1
s - k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
( )
( )
( ) ( )
[ ( )] [ ]
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
L cos 3t =
s
s2 + 9
e L e2t =
1
s - 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da linearidade
L 4 cos 3t + 8 e2t = 4 L cos 3t + 8 L e2t =
= 4
s
s2 + 9
+ 8
1
s - 2 =
4s ( s - 2 ) + 8 s2 + 9
s2 + 9 s - 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 10
Obtenha a Transformada de Laplace de:
g(t) = ∫ t0∫
t
0cosh(t)dtdt :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
O enunciado pede a Transformada da função, que é obtida integrando-se duas vezes a função
cosh(t)
.
Visualizando a tabela das Transformadas de Laplace, observamos que
L cosh kt =
s
s2 - k2
→ L cosh t = 
s
s2 - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
L ∫ tof(t)dt =
F ( s )
s ,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
então
L ∫ t0∫
t
0f(t)dtdt =
1
s
F ( s )
s =
F ( s )
s2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas F(s) =
s
s2 - 1
Assim,
L ∫ t0∫
t
0f(t)dtdt =
F ( s )
s2
=
1
s s2 - 1
[ ( )] [ ]
[ ( ) ] [ ( )] [ ]
( )
( ) ( )
[ ( )] [ ( )]
[ ]
[ ]
[ ] ( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 11
Determine a Transformada de Laplace para a função
f(t) =
0, t < 2
t4, t ≥ 2
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
A função representa uma função multiplicada por um degrau que inicia em
t = 2
.
Analisando a tabela, obtemos
L tn =
n !
sn + 1
→ L t4 =
4 !
s4 + 1
=
24
s5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
L u t – t0 f t = e - t0s F s + t0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
L u t – 2 f t = e - 2s 
24
( s + 2 ) 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TRANSFORMADA INVERSA
Como já analisamos, a Transformada de Laplace permite transformar uma variável, usando uma transformação integral. A
pergunta é:
COMO FAZER A TRANSFORMAÇÃO INVERSA PARA QUE, APÓS A
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA, OBTENHAMOS A RESPOSTA NA
VARIÁVEL ORIGINAL?
{
[ ] [ ]
[ ( ) ( )] ( )
[ ( ) ( )]
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Existem algumas formas de se fazer isso. Neste módulo, analisaremos juntos o procedimento, por meio da observação da tabela
de Transformadas de Laplace, se for o caso, com o método das frações parciais.
Representaremos a Transformada inversa pelo símbolo ℒ - 1.
Logo,
L - 1 F S = F T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Antes de aplicarmos a teoria nos exemplos, vamos ver algumas propriedades da Transformada Inversa, que podem ser úteis:
A
LINEARIDADE:
L - 1 k1 F1 s + k2 F2 s = k1 L
- 1 F1 s + k2 L
- 1 F2 s
B
DESLOCAMENTO:
L - 1 F s – k = ekt L - 1 F s
C
L - 1 s F s = 
d
dt L
- 1 F s
D
L - 1
F ( s )
s = ∫
t
0L
- 1[F(s)]dt
[ ( )] ( )
[ ( ) ( ) ] [ ( )] [ ( )]
[ ( )] [ ( )]
[ ( )] [ ( )]
[ ]Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
As propriedades das letras C e D garantem que, ao se verificar a inversa, podemos desconsiderar os termos s que multiplicam ou
dividem, para depois apenas derivar ou integrar, respectivamente, a função inversa obtida:
E
L - 1[F(ks)] =
1
k f
t
k
F
L - 1
dnF
dsn
s = ( - t)nL - 1 F(s)
Assim, para determinarmos a inversa de uma derivada devemos obter a inversa da função e depois multiplicar pelo fator
( − t)n
. As demonstrações dessas propriedades podem ser analisadas nas referências deste conteúdo.
Vejamos, agora, um exemplo de aplicação direta da tabela:
EXEMPLO 12
Determine a função
f(t)
, sabendo que
F(s) =
5s
s2 + 64
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Analisando a tabela Transformadas de Laplace, verifica-se que existe uma função que tem Transformada 
s
s2 + 64
, que é a função
cos(8t)
.
Pela linearidade
L - 1 5 F1 s = 5 L
- 1 F1 s 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
f(t)
( )
[ ( )] [ ]
[ ( ) ] [ ( )]
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
será 5 cos (8t)
Poderíamos também fazer por outro caminho
F(s) =
5s
s2 + 64
= 5 s 
1
s2 + 64
=
5
8 s
8
s2 + 64
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que
L - 1
8
s2 + 64
= sen 8t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
L - 1 sF s =
d
dt L
- 1 F s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
L - 1
8s
s2 + 64
=
d
dt sen(8t) = 8cos(8t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela linearidade
L - 1
5
8 F1 s =
5
8 L
- 1 F1 s = 5cos 8t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nem sempre esses termos são a resposta que procuramos, necessitando, às vezes, de uma manipulação matemática.
EXEMPLO 13
Determine a função
f(t)
, sabendo que
F(s) =
( s - 1 )
s2 - 2s + 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Observando o numerador, verifica-se que existe um descolamento
s– 1
.
Assim, vamos ver se o denominador aparece também com esse fator:
s2 - 2s + 2 = s2 - 2s + 1 + 1 = (s - 1)2 + 1
[ ] ( )
[ ( )] [ ( )]
[ ]
[ ( )] [ ( )] ( )
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
F(s) = G(s – 1) =
( s - 1 )
( s - 1 ) 2 + 1
L – 1 G s – k = ekt L – 1 G s
L – 1 G s – 1 = et L – 1 G s = et L - 1 
s
s2 + 1
= et cos t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Nos problemas mais complexos, necessitaremos usar o método das frações parciais, que já aprendemos quando estudamos
métodos de integração. Por meio das frações parciais, podemos transformar uma fração em várias parcelas e depois tentar
associar cada uma à Transformada Inversa que se encontra na tabela.
FRAÇÕES PARCIAIS
O método de frações parciais é um método de fatoração de polinômios que transforma um polinômio de certo grau, em uma
sucessão de multiplicações de polinômios de menor grau.
O MÉTODO SE INICIA FATORANDO O POLINÔMIO DO
DENOMINADOR,
Q(X)
, EM FATORES LINEARES DO TIPO (X - P), P REAL, E FATORES
QUADRÁTICOS IRREDUTÍVEIS DO TIPO
AX2 + BX + C
, SENDO
A
,
B
[ ( )] [ ( )]
[ ( )] [ ( )] [ ] ( )
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
E
C
REAIS E A2 - 4BC < 0.
Existe um teorema da álgebra que garante que sempre será possível fazer essa fatoração. Os fatores lineares correspondem às
raízes reais do polinômio
Q(x)
e os fatores quadráticos irredutíveis às raízes complexas conjugadas do polinômio
Q(x)
.
Dividiremos o método em quatro casos:
Q(X) APENAS COM RAÍZES REAIS SEM MULTIPLICIDADE
Seja o polinômio
Q(x)
de grau
n
, que apresenta apenas n raízes reais sem multiplicidade.Para esse caso, após a fatoração de
Q(x)
, ele será transformado em um produto de fatores lineares diferentes entre si:
Q(x) = k x - α1 x - α2 … x - αn ,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com
k
real e
α1
,
α2
,
…
,
αn
raízes reais.
Assim, a função
( )( ) ( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
f(x) =
P ( x )
Q ( x ) =
P ( x )
k x - α1 x - α2 … x - αn
=
A1
x - α1
+
A2
x - α2
+ … +
An
x - αn
,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com
A1
,
A2
,
 . . . 
,
 An
reais.
Cada raiz real
αj
corresponderá a uma parcela do tipo 
Aj
x - αj
.
Os valores de
A1
,
 A2
,
 . . .
,
 An
serão obtidos colocando-se o lado direito com o mesmo denominador e igualando-se
P(x)
com o numerador que se obterá na direita.
Veja o exemplo a seguir:
5x + 2
x2 - 2x - 3
=
5x + 2
( x + 1 ) ( x - 3 ) =
A
( x + 1 ) +
B
( x - 3 ) =
A ( x - 3 ) + B ( x + 1 )
( x + 1 ) ( x - 3 )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos, então, escrever
5x + 2
( x + 1 ) ( x - 3 ) =
A ( x - 3 ) + B ( x + 1 )
( x + 1 ) ( x - 3 )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma vez que os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores
5x + 2 = A(x - 3) + B(x + 1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos reescrever da seguinte forma
5x + 2 = (A + B)x - 3A + B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Igualando os fatores, temos
5x = (A + B)x
2 = - 3A + B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solucionando o sistema, temos: A =
3
4 e
B = 6
Q(X) APRESENTA RAÍZES REAIS COM MULTIPLICIDADE
Neste caso, o polinômio
Q(x)
de grau n terá apenas raízes reais, porém, algumas sem e outras com multiplicidade. Lembre-se de que multiplicidade é o
número de vezes que a mesma raiz aparece no polinômio.
Após a fatoração de
Q(x)
, ele será transformado em um produto de fatores lineares elevados à sua multiplicidade.
Q(x) = k x - α1
r1 x - α2
r2… x - αn
rn,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com
k
real,
α1
,
α2
,
…
,
αn
, reais e
r1
,
r2
,
{
( ) ( ) ( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
…
,
rn
naturais diferentes de zero. O número
rj
corresponde à multiplicidade da raiz
αj
.
O raciocínio é análogo ao caso anterior. Toda raiz real
αj
sem multiplicidade, ou que seria sinônimo, de multiplicidade
1(r = 1)
, será transformada em uma parcela do tipo 
Aj
x - αj
.
Toda raiz real
αi
com multiplicidade
(r ≠ 1)
será transformada em r termos do tipo:
B1
x - αj
+
B2
x - αj
2
+ … +
Br
x - αj
r
, com B1, B2, …, Br reais
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após a transformação de f(x) =
P ( x )
Q ( x ) na soma de parcelas que foram definidas, a solução segue os mesmos passos do primeiro
caso.
Q(X) APRESENTA RAÍZES COMPLEXAS SEM MULTIPLICIDADE
Neste caso, o polinômio
Q(x)
de grau n terá pelo menos um par de raízes complexas sem multiplicidade. Lembre-se de que na álgebra as raízes complexas
aparecem em pares (complexos conjugados).
Assim,
Q(x)
, após a fatoração, apresentará, para cada par de raízes complexas sem repetição, um termo do tipo
(ax2 + bx + c)
, com
b2 − 4ac
, que são fatores quadrados irredutíveis, isto é, não podem ser transformados no produto de dois fatores lineares.
( )
( ) ( ) ( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Cada par de raízes complexas terá uma parcela associada do tipo 
Ax + B
ax2 + bx + c 
 com
A, B
,
a, b
e
c
reais.
As raízes reais com ou sem multiplicidade, que podem aparecer, seguem o raciocínio dos itens anteriores. Os demais passos são
idênticos aos casos apresentados.
Q(X) APRESENTA RAÍZES COMPLEXAS COM MULTIPLICIDADE
Neste caso, o polinômio
Q(x)
de grau n terá pares de raízes complexas repetidas, isto é, com multiplicidade
r
. Desse modo,
Q(x)
, após a fatoração, apresentará para cada par de raízes complexas com multiplicidade
r
um termo quadrático irredutível elevado a sua multiplicidade, ou seja,
(ax2 + bx + c)r
, com
a
,
b
e
c
reais e
r
natural maior do que
1
.
Cada par de raízes complexas com multiplicidade
r
estará associada a uma soma de parcelas do tipo
Ax + B
ax2 + bx + c 
+
Cx + D
ax2 + bx + c 2 
+ … +
Ex + F
ax2 + bx + c r 
( )
( ) ( ) ( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
r
a multiplicidade do par de raízes.
As demais raízes reais e complexas que aparecerem sem multiplicidade seguem os termos vistos nos casos anteriores. Os demais
passos são idênticos aos apresentados.
Vejamos um exemplo de Transformada Inversa usando frações parciais:
EXEMPLO 14
Determine a função cuja Transformada de Laplace vale 
3s - 2
s3 + s2 + 4s + 4
.
RESOLUÇÃO
Vamos usar o método de frações parciais para desenvolver melhor o quociente
3s - 2
s3 + s2 + 4s + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obtendo as raízes do denominado
Q x = s3 + s2 + 4s + 4 = s + 1 s2 + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, usando o método das frações parciais
3s - 2
s3 + s2 + 4s + 4
=
A
s + 1 +
Bs + C
s2 + 4
3s – 2 ≡ A s2 + 4 + (Bs + C)(s + 1) = As2 + 4A + Bs2 + Bs + Cs + C
3s – 2 ≡ A + B s2 + (B + C)s + 4A + C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
A + B = 0
B + C = 3
4A + C = - 2
→ 4A + (3 + A) = - 2 → A = - 1 → B = 1 → C = 2
3s - 2
s3 + s2 + 4s + 4
=
- 1
s + 1 +
s + 2
s2 + 4
=
- 1
s + 1 +
s
s2 + 4
+
2
s2 + 4
L – 1
3s - 2
s3 + s2 + 4s + 4
= L – 1
- 1
s + 1 + L
– 1 s
s2 + 4
+ L – 1
2
s2 + 4
L – 1
3s - 2
s3 + s2 + 4s + 4
= - e - t + sen(2t) + cos(2t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( ) ( )
( )
( )
{
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Obtenha a solução da equação diferencial y’’ + 2y’ + y = et ou y(0) = y’(0) = 0.
RESOLUÇÃO
SOLUÇÃO EQUAÇÃO DIFERENCIAL
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 4
 Formular a série e a Transformada de Fourier
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
SÉRIE E TRANSFORMADA DE FOURIER
SÉRIES DE FOURIER
A série de Fourier é uma série trigonométrica e de grande aplicação na aproximação de funções periódicas. Neste módulo,
estudaremos como calcular os termos da série e como aproximar uma função por meio da série de Fourier.
 VOCÊ SABIA
Para funções não periódicas, a série de Fourier se torna uma Transformada Integral denominada de Transformada de Fourier, que
pode ser utilizada nas soluções de problemas em várias áreas da Ciência e da Engenharia.
VOCÊ JÁ CONHECE A SÉRIE TRIGONOMÉTRICA?
Seja
an
uma sequência e x um número real. A série trigonométrica será uma série de funções do tipo
SN(X) = ∑
N
0ANCOS(NX) + BNSEN NX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com sua soma dada por
S(X) = ∑∞0ANCOS(NX) + BNSEN NX
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( )
( )
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 SAIBA MAIS
O nome trigonométrica vem do fato de que as funções de x que se encontram nos termos da série são funções trigonométricas em
seno e cosseno.
Repare que a série trigonométrica será uma série periódica, pois tanto a função seno quanto a função cosseno são periódicas.
Vamos, agora, definir uma série trigonométrica que convergirá para funções definidas no domínio
[– π, π]
. Esta será a série de Fourier.
F(X) = ∑∞0ANCOS(NX) + BNSEN NX =
A0
2 + ∑
∞
1ANCOS(NX)+ BNSEN NX
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Seus coeficientes, denominados de coeficientes de Fourier, são determinados pelas seguintes equações:
A0 =
1
Π ∫
Π
- ΠF(X)DX
AN =
1
Π ∫
Π
- ΠF(X)COS(NX)DX, N ≥ 1
BN =
1
Π ∫
Π
- ΠF(X)SEN(NX)DX, N ≥ 1
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RESSALTA-SE QUE ESSA SÉRIE CONVERGIRÁ PARA UMA FUNÇÃO
F(X)
NO INTERVALO
[– Π, Π]
, DESDE QUE ESSA FUNÇÃO SEJA CONTÍNUA POR PARTES ATÉ A SUA
SEGUNDA DERIVADA. REPARE QUE ESSA SÉRIE SE REPETE A CADA
( ) ( )
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PERÍODO DE
X = 2Π
. ASSIM,
SN(X) = SN(X + 2KΠ)
E
S(X) = S(X + 2KΠ)
, COM
K
INTEIRO.
As equações dos coeficientes de Fourier podem ser encontradas nas obras de referência deste conteúdo.
EXEMPLO 15
Seja a função
f(x) = x
no intervalo de
[– π, π]
. Determine a série de Fourier para essa função
f(x)
.
RESOLUÇÃO
Determinando os coeficientes
a0 =
1
π ∫
π
- πf(x)dx =
1
π ∫
π
- πxdx =
1
π
x2
2
π
- π
= 0
an =
1
π ∫
π
- πf(x)cos(nx)dx =
1
π ∫
π
- πxcos(nx)dx = 0
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Veja que o integrando é uma função ímpar, por isso, as duas integrais resultaram no valor zero
bn =
1
π ∫
π
- πf(x)sen(nx)dx =
1
π ∫
π
- πxsen(nx)dx =
2
π ∫
π
0xsen(nx)dx
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Resolvendo por integração por partes
[ ]
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u =
2
π x → du =
2
π dx
dv = sen(nx)dx → v = -
1
n cos nx
bn =
2
π ∫
π
0xsen(nx)dx =
2
π x -
1
n cos nx
π
0
-
2
π ∫
π
0 -
1
n cos nx dx
bn =
2
π -
x
n cos nx
π
0
+
2
π
- 1
n2
sen nx
π
0
bn = -
2
π
π
n cos(nπ) = -
2
n cos nπ
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O cos(nπ) terá valor de
1
para
n
par e
– 1
para
n
ímpar. Então, podemos colocar na seguinte fórmula:
bn = ( - 1)
n + 1 2
n , para n ≥ 1
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Logo, a série de Fourier será:
f(x) = ∑∞1 ( - 1)
n + 1 2
n sen nx
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Repare que é uma série ímpar, pois
f(x) = x
também é ímpar.
No entanto, podemos definir uma série de Fourier para qualquer outro intervalo de convergência diferente de
[– π, π]
. Considere uma função definida agora no período
T0
, assim, iremos criar uma série de Fourier para o domínio de -
T0
2 ,
T0
2 . Vamos definir a frequência
f
como o inverso do período f =
1
T0
 e
( )
[ ( ) ( )] ( ) ( )
[( ) ( )] [ ( )]
( )
( )
[ ]
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w = 2πf
.
Assim, a série de Fourier será dada por
F(X) = ∑∞0ANCOS(NWX) + BNSEN NWX =
A0
2 + ∑
∞
1ANCOS(NWX) + BNSEN NWX
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Com coeficientes de Fourier dados por
A0 =
2
T0
∫ T0 / 2- T0 / 2
F(X)DX
AN =
2
T0
∫ T0 / 2- T0 / 2
F(X)COS(NWX)DX , N ≥ 1
BN =
2
T0
∫ T0 / 2- T0 / 2
F(X)SEN(NWX)DX, N ≥ 1
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Se usarmos a definição de seno e cosseno pelas exponenciais:
COS(NWX) =
EJNWX + E - JNWX
2 E SEN(NWX) =
EJNWX - E - JNWX
2J
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Sendo
j
a unidade imaginária
j2 = – 1
.
Podemos, então, representar a série, substituindo as expressões acima, obtendo
( ) ( )
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F(X) =
A0
2 +
1
2 ∑
∞
1 AN - JBN E
JNWX +
1
2 ∑
∞
1 AN + JBN E
- JNWX
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Tal série será igual a cada período de
T0
, sendo, por isso, utilizada para aproximar funções periódicas, pois, a cada período, a série dará os mesmos valores.
 ATENÇÃO
Um ponto importante: os coeficientes representam as amplitudes dos senos e dos cossenos, enquanto o valor de w representa as
frequências ou períodos dos senos e dos cossenos.
Observe que para
T0 = 2π
, temos
w = 1
e a série geral se transforma na série para uma função no período de
[– π, π].
O QUE ACONTECE SE O PERÍODO
T0
TENDER AO INFINITO?
Teremos uma função de período infinito, o que significa se tratar de uma função não periódica. Neste caso, a série de Fourier vai
se tornar a Transformada de Fourier. Podemos, portanto, dizer que a série é um caso particular da Transformada de Fourier
quando
f(t)
for periódica, desde que a função
f(t)
atenda determinadas condições.
POR ISSO, DIZ-SE QUE A SÉRIE É EMPREGADA EM FUNÇÕES
PERIÓDICAS E A TRANSFORMADA SERÁ EMPREGADA PARA QUALQUER
( ) ( )
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FUNÇÃO, MESMO AS NÃO PERIÓDICAS.
Vamos estudar agora a Transformada de Fourier.
TRANSFORMADAS DE FOURIER
Assim como a Transformada de Laplace, a Transformada de Fourier é uma Transformada integral.
 EXEMPLO
Ela permite tornar uma equação diferencial lineares de coeficientes constantes em equações algébricas. Enquanto a série de
Fourier é bastante utilizada para sinais periódicos, a Transformada de Fourier pode ser aplicada em um grupo de funções, não
periódicas, bem amplo.
A Transformada de Fourier irá decompor uma função em um somatório de senos e cossenos de diferentes amplitudes, frequência
e fases.
Seja uma função
f(t)
contínua, a Transformada de Fourier de
f(t)
será definida por
ℱ F T = F W = ∫ ∞- ∞ F(T)E
- JWTDT
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Sendo a Transformada inversa de Fourier definida por
ℱ – 1 F W = F T =
1
2Π ∫
∞
- ∞ F(W)E
JWTDW
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LEMBRE-SE DE QUE
[ ( )] ( )
[ ( )] ( )
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E - JWT = COS(WT) - JSEN WT
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EXEMPLO 16
Determine a Transformada de Fourier para a função
f(t) =
e - kt, t ≥ 0
0, t < 0
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com
k > 0.
RESOLUÇÃO
ℱ f t = F w = ∫ ∞- ∞ f(t)e
- jwtdt
F(w) = ∫∞0e
- kte - jwtdt = ∫∞0e
- ( k + jw ) tdt = -
1
k + jw e
- jwt
∞
0
=
1
k + jw
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Uma forma de analisar, é que a Transformada de Fourier transforma uma função
f(t)
no domínio do tempo, para uma função
F(w)
no domínio da frequência. Não iremos apresentar matematicamente como a série se torna a Transformada, ou vice-versa.
FICA O CONCEITO DE QUE QUANDO O PERÍODO
T0
TENDE AO INFINITO E O NÚMERO DE TERMOS N DA SÉRIE CRESCE
INFINITAMENTE, O SOMATÓRIO VIRA UMA INTEGRAL E A SÉRIE SE
CONVERTE NA TRANSFORMADA DE FOURIER.
Para se existir uma Transformada de Fourier, basta que a integral imprópria que a define apresente como valor um número real,
isto é, seja convergente.
Vejamos algumas propriedades da série de Fourier (Considere que
F(w) = ℱ[f(t)])
( )
{
[ ( )] ( )
[ ]
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:
LINEARIDADE
DESLOCAMENTO NO TEMPO
MUDANÇA DE ESCALA
LINEARIDADE
ℱ k1f(t) + k2g t = k1F w + k2G w
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DESLOCAMENTO NO TEMPO
ℱ[f(t - k)] = e - jkwF w
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MUDANÇA DE ESCALA
F[kf(t)] =
1
| k | F
w
k
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EXEMPLO 17
Determine a Transformada de Fourier para a função g t = e - k | t | , com
k > 0
.
RESOLUÇÃO
No exemplo anterior, obtivemos a Transformada da função
F(t) =
e - kt, t ≥ 0
0, t < 0
→ F(w) =
1
k + jw
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Repare que podemos definir a função
g(t)
desse exemplo em função da função
[ ( )] ( ) ( )
( )
( )
( )
{
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g(t) =
e - kt, t ≥ 0
ekt, t < 0
→ g(t) = f(t) + f(- t)
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Usando as propriedades linearidade
ℱ [ g(t) ] = ℱ [ f(t)] + ℱ [ f(– 1)]
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Usando a propriedade da mudança de escala para ℱ [ f(– 1)] = F(– 1 )
ℱ g t = G w = F w + F – w =
1
k + jw +
1
k - jw =
2k
k2 + w2
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Derivada:
F[f'(t)] = jwF[f(t)]
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Observe que a Transformada da derivada é a Transformada da função multiplicada pelo fator
jw
.
Para sucessivas derivadas
ℱ f ( n ) (t) = (jw)nℱ[f(t)]
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MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos resolver a equação diferencial y’’– y = e - | t | , utilizando a Transformada de Fourier:
RESOLUÇÃO
SOLUÇÃO EQUAÇÃO DIFERENCIAL
{
[ ( ) ] ( ) ( ) ( )
[ ]
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VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Apresentamos o conceito das Transformadas Integrais, denominadas de Laplace e Fourier. Vimos a definição e os conceitos
iniciais da Transformada de Laplace, bem como as propriedades da Transformada de Laplace relacionadas à derivação e
integração.
Além disso, vimos a Transformada de Laplace inversa e a utilização das tabelas das Transformadas e, por fim, a série e a
Transformada de Fourier, com algumas aplicações. Após adquirir tais conhecimentos, você está apto a resolver os problemas de
Transformada de Laplace e de Fourier.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ÇENGEL, Y.; PAUL III, W. J. Equações Diferenciais. Porto Alegre: Mc Graw Hill Education, 2012. 
cap. 8, p. 440-507.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo, Volume 4. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013. cap. 9, p. 149-173.
HALLET H. et al. Cálculo, a uma e a várias variáveis. 5. ed. São Paulo: LTC, 2011. cap. 10, p.478-490
KREIDER, D.; OSTBERG, D.; KULLER, R. Introdução a Análise Linear – Equações Diferenciais. Rio de Janeiro: Ao Livro
Técnico, 1983. Cap 5., p. 204-263.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise:
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Transformadas de Laplace e Transformadas de Fourier e suas aplicações.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
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