Trigonometr¡a - Fundamentos y Aplicaciones (2)

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Printed in Perú - Impreso en Perú.
Impreso en los talleres gráficos de Racso Editores en Mz J, lote 42, Urb. La Floresta de 
Naranjal I, SMP.
Primera Edición en Español
Copyright © 2018 por Félix Aucallanchi Velásquez.
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier método de publicación 
y/o almacenamiento de información, tanto del texto como de logotipos y/o ilustraciones 
sin autorización escrita de los autores y el editor. Caso omiso se procederá a denunciar al 
infractor a INDECOPI de acuerdo a la Ley N° 26905, su modificatoria Ley N° 30447 y del 
Código Penal vigente.
TRIGONOMETRÍA
Fundamentos y Aplicaciones
Primera Edición
SERIE DE LIBROS Y 
COMPENDIOS 
CIENTÍFICOS
COLECCIÓN
RACSO
La realización contó con la colaboración de los siguientes especialistas:
Sandra García Fernández
Diseño de Carátula
Supervisión General
Dr. Juan Carlos Sandoval Peña
Supervisión de la Edición
Adolfo Chahuayo Tito
Primera Edición en Español.
Copyright © 2018 por Félix Aucallanchi Velásquez.
Juan Carlos Sandoval Peña 
Uriel Aspilcueta Pérez
Marcelina Reyes Antonio
Sandrita Harline Tarrillo Dávila 
Maribel Alpiste Pacheco
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú, amparado en la Ley N° 26905, y su 
modificatoria Ley N° 30447. Elaborado por Racso Editores EIRL, Calle Pira 650, Urb. El Parque 
Naranjal, Los Olivos, Lima, Perú.
El libro Trigonometría Fundamentos y Aplicaciones, para estudiantes de nivel básico y superior, 
es una obra colectiva que ha sido concebida, formulada y diseñada por el departamento de 
Ediciones de RACSO EDITORES, bajo la dirección de Félix Aucallanchi V.
La realización gráfica del libro Trigonometría Fundamentos y Aplicaciones ha sido efectuada por 
las siguientes diagramadoras:
PRESENTACIÓN
En esta edición los cambios se pueden visualizar en las aplicaciones de los temas a desarrollar 
y que presentamos al inicio de cada capítulo. Esta forma de iniciar los contenidos guardan una 
correlación entre el tema y su utilidad en ios diferentes campos de la Ciencia, Tecnología y 
Sociedad.
Siguiendo nuestro sentido de mejorar la calidad de nuestros textos hemos elaborado el 
presente libro titulado Trigonometría Fundamentos y Aplicaciones para formar parte de una 
nueva colección de libros de matemática preuniversitaria que reemplaza a la anterior titulada 
Colección Racso.
Nuestra visión de la enseñanza de las ciencias está dirigida a poner en uso lo que se aprende 
en ciencia pero no solo para incrementar nuestro conocimiento y aprender ciencia para saber 
más ciencia sino para aprenderla y mejorar la vida del hombre a través de la tecnología pero 
con responsabilidad social.
En el caso particular de la Trigonometría, esta es un área de la Matemática Básica cuyo 
aprendizaje y enseñanza se realiza con el propósito de poner en manos de los estudiantes de 
secundaria una herramienta que les permita comprender otras áreas de las ciencias básicas 
como la Física y la misma Matemática.
Los futuros estudiantes universitarios de las especialidades de ciencias e ingeniería encontrarán 
en la Trigonometría una importante herramienta mediante la cual la ciencia analiza situaciones 
de la realidad en donde se requiere determinar una variedad de magnitudes como distancias, 
pendientes, ángulos, componentes de vectores, cantidades escalares, etc. o describir el 
comportamiento de algunas variables que involucran a las funciones trigonométricas.
Un par de temas que merecen especial atención son: la Teoría de Ecuaciones y Funciones 
aplicadas a la Trigonometría. En ellas el estudiante se ve ante la necesidad de aplicar sus 
conocimientos matemáticos de Álgebra para la comprensión de dichos temas pero teniendo 
en cuenta que las variables son arcos trigonométricos cuyo conjunto admisible de valores son 
números reales restringidos.
No podemos dejar de mencionar dos temas que se constituyen en un reto en el ámbito de la 
preparación preuniversitaria: las Funciones Trigonométricas Inversas y las Inecuaciones Trigo­
nométricas. Ambas se retroalimentan, una requiere de la otra y resultan muy útiles al momento 
de resolver situaciones contextualizadas en las que las variables guardan ciertas restricciones.
En esta edición, hemos incluido lecturas complementarias a cada tema. En ellas hemos elegido 
una breve historia de la matemática vinculada al tema que se presenta y en otros casos 
presentamos algunas aplicaciones que merecen resaltarse en el progreso de la ciencia.
Una educación matemática actual no puede realizarse como si la tecnología actual y disponible 
no existiera. Este aspecto de nuestra realidad la hemos considerado en esta edición y la hemos 
incluido en muchas lecturas a lo largo de las presentaciones de cada tema. En la mayoría de 
casos acudimos a los softwares y apps gratuitos para smartphones.
Nuestra experiencia en la docencia nos ha permitido conocer, en el campo, a la educación 
escolar en el nivel de secundaria, la preparación preuniversitaria y, en estos últimos años, la 
cátedra en el nivel universitario, este aspecto de nuestra vida académica favorece nuestra 
propuesta.
Hasta pronto.
Dr. Félix Aucallanchi Velásquez
Para concluir, quiero manifestar mi complacencia por las iniciativas que vienen tomando las 
universidades privadas en cuanto se refiere a redefinir el perfil del profesional que desean 
formar, lo que los ha conducido a redefinir el perfil del alumno que desean que ingresen en 
ellas, todo a la luz del proceso de certificación universitaria en que se encuentran trabajando. 
Esto a su vez ha obligado a modificar la estructura y contenido del examen de ingreso, en los que 
ahora las preguntas ya no solo se elaboran para establecer el nivel de conocimientos de parte 
del postulante, sino, reconocer las habilidades que éstos poseen ante situaciones problémicas 
contextualizadas. Sin duda, este cambio contribuirá a mejorar el proceso de selección de los 
postulantes, así como a la propia preparación preuniversitaria. Espero que lo mismo ocurra 
con el resto de universidades nacionales. A los profesionales que se dedican a la preparación 
preuniversitaria les aguarda la tarea de adecuación, adaptación y superación ante estas nuevas 
condiciones académicas. Buena suerte.
No puedo pasar por alto el reconocimiento que merecen, de nuestra parte hacia ellos, los 
promotores de colegios, centros preuniversitarios privados y directores de los centros 
preuniversitarios de las distintas universidades a lo largo y ancho del Perú, quienes por su 
oportuna decisión optaron por revisar, primero, nuestras obras y luego emplearlas como 
material de clase o de complemento en sus bibliotecas. A ellos nuestro profundo y sincero 
agradecimiento por tal oportunidad.
Sirvan estas líneas para agradecer la preferencia de los miles de lectores que confiaron en 
nuestro trabajo, y que por ello los recomendaron a las siguientes generaciones. Muchos de 
aquellos lograron alcanzar sus objetivos y nos complace ser reconocidos en variados eventos 
académicos, por muchos profesionales, entre los cuales están quienes utilizaron nuestras 
obras. .
Nada nos ha detenido, el entusiasmo no se ha agotado, por el contrario hemos encontrado la 
forma de mejorar nuestras obras, y la palabra clave ha sido la capacitación, es decir, hemos 
continuado estudiando la especialidad a la que nos hemos dedicado desde hace más de 
35 años para afinarla y actualizarla, además de perfeccionar nuestra didáctica con cursos de 
postgrado: Diplomados, Maestrías y Doctorados. Todo ello nos ha convertido en profesionales 
de la educación capaces de elaborar obras que respondan a la exigencia de una educación de 
calidad por parte de los que utilizan nuestros textos.
Los colaboradores que han participado en esta edición, son profesionales de la educación 
que poseen un perfil definido y común: Son ingenieros o licenciados en ciencias, son además 
licenciados en educación matemática, física o química, son diplomados en didáctica de su 
especialidad, sonmagísteres en el área de investigación educativa y a la fecha la mayoría de 
ellos son doctorandos, además de ser docentes cuya experiencia laboral la han desarrollado 
en las más prestigiosas instituciones educativas en tres niveles de educación: secundaria, 
preuniversitario y universitario. Un equipo así consolida nuestra labor editorial y nos da la 
confianza de producir textos de calidad.
Este equipo labora en coordinación permanente con nuestra casa editorial y es el grupo de 
profesionales que tiene a su cargo los talleres de capacitación que realizamos para tratar temas 
educativos y presentar nuestras obras.
AL PROFESOR
Trigonometría Fundamentos y Aplicaciones, es un texto elaborado con el propósito de que los 
docentes encuentren en él un complemento para la elaboración de su material educativo asi 
como una guía para diseñar sus actividades de enseñanza aprendizaje.
Las principales y permanentes dificultades que encuentran los docentes en la elaboración de sus 
materiales es la selección de problemas para la realización de sus clases, talleres, seminarios, 
prácticas calificadas, tareas, etc. El texto ha sido elaborado para que el docente encuentre aquí 
un oportuno y eficaz recurso.
La trigonometría es una parte de la matemática cuya enseñanza requiere de saberes previos en 
„ Álgebra, Funciones y Geometría. Sin duda se trata de una ciencia cuya enseñanza demanda de 
mucha creatividad de parte del docente para diseñar sus actividades pedagógicas, lo cual a su vez 
requiere de un dominio de las ciencias afines indicadas y de modernas estrategias didácticas.
En esta obra el docente encontrará que el texto se ha dividido en tres partes: La teoría y 
enunciados de problemas resueltos, La resolución de problemas y Los enunciados de problemas 
propuestos.
Podría sorprender, a primera vista, que no hay razón para separar los enunciados de los problemas 
de sus respectivas resoluciones, sin embargo, sí las tenemos. Investigaciones educativas hechas 
sobre este aspecto demuestran que la mayoría de los estudiantes que leen los problemas, no 
los intentan si la resolución se encuentra al pie, perdiéndose de este modo la posibilidad de 
desarrollar habilidades matemáticas en el estudiante.
En Trigonometría como en cualquier otra área de la matemática, es limitado el número de 
problemas que se proponen a los estudiantes y que tienen la característica desercontextualizados, 
es decir, ser suficientemente reales. En este texto hemos dado una adecuada cabida a este tema 
en situaciones problémicas que revelan la intención de plasmar constructivamente nuestra 
concepción pedagógica y la tendencia actual de la enseñanza de las ciencias.
En el texto se incluyen temas que van más allá de la formación e información escolar, sin embargo 
y si usted lo cree conveniente, puede desarrollarse una parte o el íntegro de los mismos sin poner 
en riesgo su comprensión y conexión con el resto de los temas. Todo esto pasa por la generosidad 
del tempo que se le destine a su enseñanza.
En trigonometría existen temas específicos en los que se requiere bastante claridad y precisión 
en los conceptos y definiciones, por lo que se constituyen muchas veces en aspectos que 
provocan controversia. En ellos hemos puesto especial énfasis y cuidado, y son: Circunferencia 
Trigonométrica, Ecuaciones Trigonométricas, Inecuaciones Trigonométricas, Límites y Derivadas 
Trigonométricos, entre otros.
Los enunciados de los problemas han sido cuidadosamente redactados para poder identificar 
claramente qué habilidad matemática se pretende desarrollar con cada uno de ellos: Calcular, 
Demostrar, Identificar, Visualizar, Resolver, Aproximar, Algoritmizar, Definir, etc. Enseñar 
matemática es solo un pretexto para desarrollar habilidades y convertir a las personas en seres 
. competentes, por ello proponemos aprender una matemática para la vida. Al respecto es 
conveniente revisar los trabajos del cubano Dr. Delgado Rubí del ISPJAE.
Las resoluciones se han elaborado trazando la estrategia más adecuada, de este modo el estudiante 
puede reconocer qué pasos se han propuesto seguir para llegar a establecer la solución, y no 
jugamos con él al gato y al ratón, es decir, la resolución no le resultará inesperada, si no será una 
consecuencia lógica de un plan previamente diseñado.
-■ En las lecturas hemos tenido el cuidado de seleccionar temas actuales y pertinentes, en muchos 
de ellos aplicaciones tecnológicas y siempre citando la fuente de información en señal de respeto 
a los derechos autorales.
Esperamos que esta forma de presentación del texto logre satisfacer su exigente selección de 
materiales educativos.
AL ESTUDIANTE
: Teoría, número del capítulo y número de página.| ~__ | 1
| 437 | : Resolución de problemas, número del capítulo y número de página 
| 877 | : Problemas Propuestos, número del capítulo y número de página.
Esperando que hayas comprendido el mensaje, te deseamos ¡Buena suerte!
Los libros de la Colección Fundamentos y Aplicaciones, son una apuesta por el desarrollo de 
las ciencias en nuestro país, por el desarrollo de nuestros pueblos y por el crecimiento cultural 
de nuestra nación. Postulamos que una educación de calidad pasa por muchos aspectos, entre 
otros una adecuada condición para el estudio, la selección de la institución educativa, de buenos 
profesores y de buenos materiales educativos. En este último rubro se encuentra nuestra 
propuesta bibliográfica.
Trigonometría Fundamentos y Aplicaciones, es el último de una serie de textos que se vienen 
publicando y mejorando desde hace casi 20 años y con relativo éxito. Este texto presenta el curso 
de Trigonometría de un modo práctico, es decir, mostrando su aspecto aplicativo a través de 
situaciones problémicas concretas y actualizadas.
¿Qué requieres saber para aprender, comprender y aplicar los conceptos, definiciones y teoremas 
de la Trigonometría? Sería extenso recordarte todo lo que se supone has aprendido hasta ahora, 
pero en la medida que hayas desarrollado una cultura matemática se hará más comprensible esta 
importante área de la ciencia, sin embargo, vale la pena puntualizar aspectos que deben merecer 
una permanente atención y evocación y son: Álgebra, Funciones y Geometría.
De lo primero necesitas recordar los campos numéricos y sus propiedades, de lo segundo la 
capacidad de traducir situaciones concretas en expresiones matemáticas así como sus propiedades, 
de lo tercero debes recordar que el nivel de correspondencia entre dos o más elementos se 
puede expresar por una regla y de lo último la capacidad de visualizar y modelizar los cuerpos 
a través de figuras. Puesto que nos asiste la autoridad intelectual y profesional, adquirida por 
nuestra capacitación y por el ejercicio de su aplicación, es que hemos creído conveniente dividir 
este texto, es decir todos los capítulos, en tres partes:
1. Teoría, Problemas Modelos, Estrategias de Resolución y Enunciados de Problemas Resueltos. 
Aquí encontrarás, en cada capítulo, un resumen teórico de todo el tema, una adecuada selección 
de problemas modelos resueltos que te permitirá reconocer la forma de presentación de los 
mismos y cómo es que se plantean sus resoluciones. Asimismo te detallamos, en un cuadro aparte, 
las estrategias que recomendamos para la resolución de problemas del tema. Luego observarás 
los enunciados de una vasta selección de problemas para que los intentes por tu cuenta. Te lo 
repito, esta forma de presentación la encontrarás hasta terminar con el último capítulo.
2. Resolución de Problemas. En esta segunda parte encontrarás las resoluciones de cada uno 
de los problemas que leiste e intentaste en la primera parte. Nos interesa que desarrolles tu 
capacidad de argumentar, por ello las resoluciones se presentan bien fundamentadas, al punto 
que tú puedas continuar con la resolución si acaso el método no es el mismo que tu empleaste 
en tus intentos.
3. Enunciados de Problemas Propuestos. En esta última parte encontrarás una batería de 
problemas de cada tema,seleccionados adecuadamente y en un nivel progresivo de dificultad.
Cada una de estas partes las puedes identificar por el pie de página con los siguientes códigos:
CONTENIDO Resoluciones
1 12 258 774
2 23 274 778
3 32 288 784
4 41 302 788
5 50 315 794
6 59 328 798
(Razones 70 343 803
84 362 808
de9 Arcos 92 386 812
101 407 816
109 421 820
117 437 824
123 447 829
130 462 833
137 478 838
144 494 842
151 514 846
166 542 856
183 584 862
206 653 868
224 691 872
234 710 877
-15 Transformaciones de Producto a Sumas o 
Diferencias
Razones Trigonométricas de ángulos en el Plano 
Cartesiano
11 Identidades Trigonométricas del Arco Doble
12 Identidades Trigonométricas del Arco Mitad
13 Identidades Trigonométricas del Arco Triple
14 Transformaciones de Sumas o Diferencias a 
Productos
Problemas
Propuestos
Teoría y 
Enunciados
16 Sucesiones y Series Trigonométricas
17 Funciones Trigonométricas
18 Funciones Trigonométricas Inversas
19 Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
20 Resolución de Triángulos Oblicuángulos
21 Estudio de la Trigonometría con Números 
Complejos
22 Límites y Derivadas Trigonométricos
7 Circunferencia Trigonométrica 
Trigonométricas de Números Reales)
8 Identidades Trigonométricas
Identidades Trigonométricas 
Compuestos
10 Reducción al Primer Cuadrante
Sistemas de Medida Angular
Longitud de Arco
Razones Trigonométricas de Angulos Agudos
Resolución de Triángulos Rectángulos
Razones Trigonométricas en Situaciones 
Contextualizadas
Esta obra está dedicada a los 
estudiantes que intentan forjarse 
un mejor destino en circunstancias 
que incluso no les son favorables.
r
f
to
s
¡stí’&edad
i
s-
7 
h
UiBtrL . .x_____
En estos últimos 80 años, las radiocomunicaciones han 
permitido desarrollar a los pueblos más rápidamente que en 
m 3000 años de navegación marítima, 
i La comunicación vía satélite se hace 
por métodos de triangulación elemental y su 
J explicación la encontramos en nuestro conoci- 
i miento de la trigonometría. Este método permite 
! posicionar objetos sobre la superficie terrestre.
La trigonometría ha permitido resolver las limitaciones de la fíp.
eometría Euclidiana. Por ejemplo ha contribuido con la...______Cs
plana, y que ha quedado resuelta midiendo ' 
la longitud de arco de circunferencia máxima que i 
contiene a dichos lugares. j x
_ - ■ ** 5
______
J-
. Para la determinación de ángulos horizontales y verticales se > 
utiliza el teodolito. Estos aparatos están calibrados en grados 
' sexagesimales y en radianes y permiten [ 
. ~ - \identificar puntos del terreno ubicados en ’ 
un mismo plano horizontal o en planos paralelos. El r 
conocimiento de tales lugares facilita la proyección | 
de las construcciones.
geometría Euclidiana. Por ejemplo ha contribuido con la
geografía, sobre todo, para determinar 
la distancia entre dos puntos geográficos 
de la superficie terrestre, la que como sabemos 
no es i'
1.1. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
a: ángulo de valor positivo (a > 0) p: ángulo de valor negativo (P < 0)
Es aquel ángulo trigonométrico en el cual el rayo vuelve a su posición inicial por primera vez.
O
m Z lo > 0 'm Z lo < 0A,B A.B
1.2. SISTEMAS ANGULARES
Para la medición de ángulos, tenemos tres sistemas llamados:
Sistema Sexagesimal (Inglés) ; Sistema Centesimal (Francés)
Sistema Radial o Circular (Internacional)
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RAO SO12
Cuando la rotación se realiza en sentido antihorario (O), 
la medida del ángulo generado es de signo positivo, en cam- 
tio cuando la rotación se realiza en sentido horario (O), la 
medida del ángulo es de signo negativo. En general la medida 
del ángulo trigonométrico toma cualquier valor real.
Nota.- Por convención al ángulo nulo se le considera ángulo trigonométrico, a pesar que no se 
genera de una rotación.
1.1A Angulo de una vuelta (Z lo)
Definición.- Es aquel ángulo que se genera por la rota­
ción de un rayo al rededor de un punto fijo llamado vértice (la 
rotación se realiza sobre un mismo plano) desde una posición 
inicial (lado inicial), hasta una posición final (lado final).
i wm
M a n gula r
1.2A Sistema Sexagesimal (Sistema inglés)
Su unidad de medida es el grado sexagesimal (Io), que se define como:
1° = m / lo = 360°
Equivalencias: Io = 60 minutos sexagesimales = 60'
1' = 60 segundos sexagesimales = 60" Io = 3 600"
El empleo de estas unidades se denota así: a° + b' + c" = a° b’c"
ls = m Z 1c = 400®
Equivalencias:
ls= 10 000s
1.2C Sistema Radial (Circular o Internacional)
Tiene como unidad de medida al radián (1 racf), que se define así:
m ¿ Id = 2 n rad ■ (n = 3,1416)1 rad =
Interpretación geométrica del radián
CONCLUSIONES:
i) 360° = 400® = 2 nrad i) 180° = 200® = Tirad
9° = 10g nrad =180° 200gnradO bien:
1.3. RELACIÓN NUMÉRICA ENTRE LOS TRES SISTEMAS
B
a = S° = C8 = Rrad
O A
Sistemas de Medida Angular
Geométricamente 1 rad, es la medida de un ángulo central, en 
el cual la longitud del arco subtendido es igual a la longitud del radio 
de la circunferencia, tal como se indica en la figura.
1.2B Sistema Centesimal (Sistema francés)
Su unidad de medida es el grado centesimal (ls), que se define:
mZlt>
2rt
mZlo 
400
1® = 100 minutos centesimales = 100m
fftZlu
360
S = número de grados sexagesimales 
C = número de grados centesimales 
R = número de radianes
lm = 100 segundos centesimales = 100s
El empleo de estas unidades se denota así: x® + ym + zs = x®ymzs
C = 10*o bien: S = 9*
Donde * es una constante de proporcionalidad.
1.4. CUADRO COMPARATIVO DE LOS TRES SISTEMAS
1° = 60’
r = 60" eos 3 600 S360°
l° = 3 600"
c4008 10 000 clm= 100s 100C
R 2 Tirad 
EQUIVALENCIAS
180° = u rad
90° = rad
22° 30' = 60°— rad
rad 360° = 2n rad36° =
14 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■®i RACSO
>> IDITO1ÍI
s
180
Tt* 
20
S
(grados 
sexagesimales)
(grados 
centesimales)
p- v
R =S C 180 200
n
3-
7C 
2
K
T
= R
n
Siendo S, C y R los números que representan las medidas sexagesimal, centesimal y 
radial de un mismo ángulo, los se relacionan de la siguiente forma:
S R
180 n
S C 
~9 ~10
■S&"'
_c_ = A 
200 st
135° = rad4
75°= ^rad
&
18 = 10 0005
270° = ~ rad120° = -y- rad
OiW
18°=^
67° 30' = rad 
O
15°= -—-rad
72° = -y rad
45° = v rad 4
30° = 4 rad 
O
300° -y5- rad
150° = rad
O
l8=100ra
54°=-§-rad 225°= ^y-rad
4
2^)=T
f rad
(20°-x)
(60°-x)-3x
A partir de esto se observa que:
(20° - x) - 2x + (40° - x) - 3x + (60° - x) = 360°
- 8x 240° x = -30°
PROB. 3
a-x
-0/
Este gráfico nos muestra que:
(a-x) +(-P) = 180°
a - P - 180°
PROB. 2
-ad
%/ad
(20°-x)
(60°-x)3x
N =
Sistemas de Medida Angular
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
[ RESOLUCIÓN
X
''a
PROB. 1
Según la figura, expresar x en términos de a y p.
De la figura que se muestra, determinar el 
valor del ángulo x.
Expresando todos los ángulos en radianes:
35
\2x
(40°-x) ¿2
Gradeamos los ángulos en sentido antihorario 
y construimos el ángulo a -x.
Gradeando los ángulos en un solo sentido 
(sentido antihorario), tendremos:
E = 3
\-2x
(40°-x)XZ
Reducir la siguiente expresión:
90°+5rad + 100s 
E = -------=--------------
30°+50s + ~~rad
PROB. 4
Siendo: S y C los números de grados 
sexagesimales y centesimales respectiva­
mente y R el número de radianes de un 
mismo ángulo, reducir:
C . S +/? 2Ó + l8 + /?
C-S + R
~rad -i—rad + ^rad 
^rad + ^rad + -^rad 
o 4 12
171°x' 12" = 171°53'12"
x = 53Finalmente:Se sabe que: S = 9ft ; C = 106 y R =
N =Luego:
N = 1N =
PROB. 5
Calcular el valor de x en :
171° x' 12" = 3 rad
Sabemos que: I rad = 57° 17' 44”
171°x'12" =3 (57° 17'44")Luego:
Luego 5 grados N equivale a:
C = 10 k ; R =
16 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■ffllRACSO
JflDITOlBI
[resolución
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
20
PROB. 6
Se sabe que 25 grados en un sistema "N" 
equivalen a 60 grados sexagesimales ¿A 
cuántos radianes equivalen 5 grados ”N"?k + R 
k + R
kn
20
171°x' 12” = 171° 51’ 132”
’F+íz-
A continuación procedemos a efectuar la 
suma de minutos, deduciéndose que :3) Si la condición del problema incluye a los números S, C y R (convencionales), 
se recomienda reemplazarlos por las siguientes relaciones:
2) Cuando los ángulos trigonométricos estén expresados 
deben transformar todos a un solo sistema.
25 grados "N" < > 60°
5 grados "N" < > x
Sacando quinta a la condición inicial, 
encontramos que:
5 grados "N" o 12°
A continuación, transformamos dicho ángulo 
a radianes, obteniendo:
en diferentes'sistemas, se
Á + A + r 
2 2 
10/J-9A + R
1) Ante situaciones problémicas en donde se presenten ángulos orientados (ángulos 
trigonométricos), éstos se deben graficar en un solo sentido, de preferencia en 
sentido antihorario (positivo)
n
15 rad
] 2o n rad- _ rt_ d 
180° 15
S = 9k ;
Enunciados de Problemas v
con Resolución
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
M =
f3x»
A)2tt + 0 B)2tt
términos de “a”.
C
a A
07.- De la figura mostrada, calcular “x”
(5-llx)*
27x“
x-41
A)-2 B)-l C)5 D)4 E)3
y‘i
D)2400
E) 1800■o-
Sistemas de Medida Angular 17,«5Skl
A) a+360°
B) a + 180°
C) 2a-360°
D) 36O°-a
E) 180°-a
01.- De la figura mostrada, expresar x en térmi­
nos de G.
A) -1/2
B) -3/2
C) l/2
D) 3/2
E) 1
A) n/3
B) ?tí2
C) 7t/4
D) 3n/4
E) 7t/5
120°
05.- Del gráfico mostrado, calcule:
20+y
4oy 
yÓx+10° 
C-A—T-rfir
06.- De la figura mostrada determine: “x + y" 
en radianes.
08.- Del gráfico mostrado a qué es igual: 1Ox - 9,y
A) 1 100
B) 360
C) 280
03.- De la figura mostrada, determinar “x”
A) 15°
B) 20°
Q 25°
D) 30°
E) 45°
04.- De la figura mostrada, evaluar el ángulo “x”.
A) 40“
B) 20° 
0-2(7
D) -50°
E) -10°
Qrt-0 D)0 E)-2ti-0
02.- De la figura mostrada, determine “x” en 
fi nnc rio
2n .
~3rad
3x + 20°&
5y*/
Calcula:A) 3,34
C)llA) 7 B)5 D)-2 E)-3B)2,6 a
10 = (x-x*)radC) 4,2832
D) 1,7431
E) 2,1406 D)30° E)12°
g ---- m
A) 10a + 90 = 0 D C) 14A) 10 B) 12 D) 16 E) 18
B) 18O0-cot = O C
C) 2OOP + 07t = O O Ba°D) 38O0 = 7t(a-0)
AE)900P = 7t(90 + 5a) calcular: M =
CONVERSIONES
A)1 B)2 C) D) E)311.-Evaluar:
.10M =
A) 3 B)5 C)7 D)9 E)ll
A) 0,5298 B) 0,4326 C) 0,3524
D) 0,2836 E) 0,1620
A) P < a < 0 B) 0 < P < a C) a < P < 0
D)0<a<P E) a < 0 < p
A) 0,8543 rad B) 0,7265 rad13.-Convertir: Io 15'a radianes.
C) 0,6326 rad D) 0,5214 rad
E) 0,4318 rad
FrP 18 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos XÍ4 RACSO 
ID1TOIII
1
3
1 
2
09.- En la figura mostrada, calcular (en rad) el 
valor del ángulo a para que el ángulo 0 sea 
máximo.
Prad
- a0e be" de' ;
17.- Sabiendo que:
b + d +5 +e 
a + c + 4
1S+2S +3’+4» +...+ 2005* 
1°+2°+3°+4°+... + 2005“
(I-2)-
18.- Se tiene un ángulo en el sistema 
sexagesimal cuya medida es de 16°15'36". De­
terminar su equivalente en el sistema radial 
considerando 7t =3,14.
12.- Dadas las siguientes medidas angulares: 
a = 0,5236 rad ; P = 3Os5Om ; 0 = 27°25' 
ordenar de menor a mayor. Utilizar: 7t = 3,1416.
B)^rad
D) 2^0 rad
A) 188 rad c) Í44 rad
E) 196 rad
19.- La medida de un ángulo en el sistema 
sexagesimal es de 36°15'45". Calcule dicho án­
gulo en el sistema radial. Considere 7t =3,14.
10.- En la figura mostrada, si OB y OC trisecan 
al ángulo AOD entonces la expresión inco­
rrecta es:
7115.- Si se verifica que: rad < > x° y'z" ;
(x, y, z 6 N). Calcular el complemento de: 
(x + y - z)°.
A) 83° B)60° C)53°
16.-Si se cumple que: 37,98° o AB B0 ; 
determinare! valor de: M = A2-B“
14.- Al convertir 7t/50 rad al sistema sexagesi­
mal se obtiene A° B'.
B-2A 
M —----------B-10A
20.-Si:
A) 50 B)40 C) 30 D)20 E) 10
A) 160 D)130 E) 120
M =
D)R2 E)2RC)2VRA) VR B)R
A)tE B)^ C)TE
W - 13 ,+
se obtiene:
A) 8 B)7 C)6 D)5 E)4
; a, b e IR+
términos
C) 36" D) 18" E) 54"
Sistemas de Medida Angular 19
^/Í80
V n
24.- Si S y C son los números que representan 
la medida de un ángulo en los sistemas con­
vencionales, éstos verifican: (« + b)2 + 8ab
1 Sab
¿Cuál es el menor valor del ángulo en el siste­
ma sexagesimal?
A) 1" B) 18"
4c + Js
-Jc + Js 
Jc-Js
D)(lO)a E)(^jA)n° B)g)
a + b + c = 63, ^y'z' =a°b'c" + c°a'b" + b°ca" 
x~ yentonces al calcular: W =------ se obtiene:z
Calcular la medida del ángulo en el sistema 
sexagesimal.
A) 50 B)40 C)30 D) 20 E) 10
28.- Al sumarlos números de(") y ('")quedan 
la medida de un ángulo se obtiene 367 400. 
Encontrar dicho ángulo en el sistema radial.
A>óó
ci —} 4360B) 5200A) 711 6840
B) 20
B) 150 C)140
26.- La media armónica de los números que 
representan la medida de un ángulo en grados 
sexagesimales y centesimales es igual a 36 ve­
ces el cuadrado de la media geométrica de las 
mismas. Halle el ángulo en radianes que sa­
tisface la condición dada.
D>3áo E)^o
27.- El número que representa la medida de un 
ángulo en grados centesimales mas el triple 
del número que representa la medida del mis­
mo en grados sexagesimales es 37/tt veces el 
cuadrado del número que representa su medi­
da en radianes. ¿Cuál es la medida del ángulo 
no nulo en radianes?.
D) —
25.- La mitad del número que expresa la medi­
da en grados sexagesimales de un ángulo ex­
cede en 52 al quíntuplo de su medida en 
radianes. Calcule dicho ángulo en grados 
centesimales, considerando n = 22/7.
MEDIDAS ANGULARES RELACIONADAS
21.- Sabiendo que: SR = RC, donde: S, C y R 
son los números que representa la medida de 
un ángulo en los sistemas: sexagesimal, 
centesimal y radial; calcular:
7ir 9rt c. 1 ln
C) 20 D) 20 E) lÓ
29.- Se tiene un ángulo trigonométrico positi­
vo, tal que el producto de sus números de mi­
nutos sexagesimales y centesimales es igual a:
22. - Los números S y C que representan la 
medida de un ángulo en grados sexagesimales 
y grados centesimales están relacionados por:
a 7t
s = x+- ;C = X+-
Calcule la medida de dicho ángulo en radianes.
p.rr n. 5n2 p. 7 re
A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) TÓÓ
23. - Si S y C son los números que representan 
la medida de un ángulo en el sistema 
sexagesimal y centesimal, entonces al calcular.
, es: calcule el valor de R.
A) ti/2 B)7t/3 C)7t/9 D) ti/90 E) 7t/3OA) 350 B)200 C)150 D) 100 E)50
B)A)
D)
W =
A) 5 Q 3 D)2 E)1B)4
10S + 3C + R = 2403,1416
B) C)
D)2ti E)ti
6m + 5n = 7ti/ 12 ;mS + n .C — 207?
calcular: “m/ri”
C) D) E)B)A)
¿^iiiAcso 
B D IT O > 11
34.- Siendo S, C y R los números convencio­
nales, y verificándose que:
31.- La suma de los (") y ("') de un ángulo es 
33400. Determinar dicho ángulo en el sistema 
radial.
35.- Siendo S, Cy R los números convencio­
nales, se sabe que estos verifican:
Si además: 7t= 3,1416, calcular la medida del 
ángulo dado en radianes.
3
5
5
3
2
3
calcule en radianes el valor mínimo que puede 
tomar la medida de dicho ángulo.
6
S
_9_
10
10
9
efe)'
20 xísSií) 
3CJ
60—719
71
Vc2-S2
32.- Si S, C, R son los números que represen­
tan la medida de un ángulo en los sistemas 
convencionales, determinar:
33.- Si S, Cy R representan el número de gra­
dos sexagesimales, centesimales y radianes 
que mide un ángulo, éstos verifican:
36.- La semidiferencia de los números que re­
presentan la medida de un ángulo en grados 
centesimales y sexagesimales es a 7 veces su 
producto como su suma es a 133 veces el nú­
mero que representa la medida de ese ángulo 
en radianes. Encontrar la medida de dicho án­
gulo en el sistema radial.
aC-20R A 
JtS —120R J= 326.
30.- Si a y b son valores que representan el 
número de (') y (') de un ángulo respectiva­
mente, entonces el valor de la expresión:
B># O —30
C)f
72000
7T
E) 180
DI — ’ 40
C) -71-- -1 3600
20 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
39.- Si S, C y R representan el número de gra­
dos sexagesimales, centesimales y radianes
36000
TI2
7t2 
72000
37.- Si “/?” es el número de radianes de un 
ángulo, que verifica la siguiente igualdad:
1__
’R-l ’ 
calcular la medida de dicho ángulo en el siste­
ma sexagesimal.
C)i°
7 71
20 371
D)t EjTo
B)2
_ 4«-16¿W =---- -—
D
«(?)■
D>fe)‘
38.- Si los números Sy Crepresentan las medi­
das de un ángulo en los sistemas sexagesimal y 
centesimal respectivamente, y se verifica que:
x2(C - S) = x4 - x2 + 1 , x > 0 ;
que mide un ángulo y que verifican: 43.- De la figura mostrada,determine “x”.
A'
'la
calcular el ángulo en radianes.
x‘
it/3 rad
B C
C) 120A) 108 B)123 D) 127 E) 130
Calcule dicha medida, si además se cumple:
A) 5n/4,3 ,6
■•(1) B) 4tt/5
C) 4tt/3
D)3tt/5
E) 5ti/6 CB E DE) 100°B)20° C)409 D)90°A) 10°
ÁNGULOS EN FIGURAS GEOMÉTRICAS
A) 6
8x°B)7
C)8
D) 9
A) CE)10
A) 2/13A)5tt/9
B) 1/15B) 7ti/8
C)3/2OC)7t/3
D)2/25D)7rt/9
EJ7/12CBE)5n/4
Sistemas de Medida Angular
20RS
9zt
41.- Determine la medida en radianes, del án­
gulo desigual de un triángulo isósceles en el 
que cada uno de los ángulos de la base es 
cuatro veces la medida del ángulo desigual.
C_
10
S
9
7t
9
12R(C-S)
5ti
162SCR
7t
42.-De la figura mostrada, se tiene que BD y 
CD son bisectrices del Z B y Z C respectiva­
mente. Determine: ni Z D en radianes.
44.- El triángulo ABC es equilátero donde AD 
y AE dividen el ángulo “A” en tres ángulos 
congruentes. Determine “a + [3" en radianes.
45.- De la figura determine el valor de “x”:
B
.8
=y---(2)
180
E)^
40.- La medida de un ángulo expresado por 
los números convencionales, verifica que:
yS“=xC2
A 9
A
C)^ D)ifAX 57t T»> 1 571 a>t B)~T
E) j
46.- De la figura mostrada, calcular: 
■ 2x - y 
M=-------
y
B)f C) J D) l
Q 13n/36
D)3n/31
DAE)5tt/39
&RACSO 
iditoiii
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos22&
El número a, que se obtiene como la razón de la longitud de la circunferencia al diámetro, 
tan familiar a todos los estudiantes, hace ya muchos años, ha sido calculado nada menos 
que con 707 cifras exactas. Esta hazaña de cálculo fue realizada por W. SHANKS (1 873), 
y aunque en la actualidad este número de cifras ha sido largamente superado, ocurre que 
estas 707 cifras figuran grabadas a lo largo del friso circular en que se apoya la cúpula del 
"Palnis de la Decouverte". Para ninguna aplicación práctica con p son necesarias tantas 
cifras, bastando usualmente los valores aproximados 3,14 ; ó 3,1416 ; ó 22/7.
48.- En la figura mostrada determine la medida 
del mayor ángulo interior en radianes.
50.- En un hexágono los ángulos interiores a, 
b, c, d, e,f están en progresión aritmética, tal 
q\ief<e<d<c<b<a. Si la medida del mayor 
es 125°, calcular la medida del menor ángulo 
en radianes.
A)^ E)^D)^
B) 145
E) 160m
C)^
B) —U> 36
119tr
M 180
D)1 36
A) ’ 180
m 121ttE)w
49.- Los valores que expresan las medidas de 
los ángulos inteinos de un cuadrilátero en el 
sistema M, están en progresión aritmética. Sa­
biendo que el menor de ellos mide 5 grados M, 
encontrar la medida del mayor ángulo intemo 
en dicho sistema, si se sabe que 50 grados 
centesimales equivale a 40 grados M.
A)140M B) 145M C)150M
D)155m
A------
De todos modos, como regla mnemotécnica para recordar las 32 primeras cifras, se puede 
acudir a los siguientes versos, originales del ingeniero R. Nieto París, de Colombia:
Soy n, lema y razón ingeniosa 
de hombre sabio, que serie preciosa 
valorando, enunció magistral.
Por su ley singular, bien medido 
el grande orbe por fin reducido 
fue al sistema ordinario usual.
Si se sustituye cada palabra por el número de letras que la forma , obtendremos el 
siguiente desarrollo decimal para re: ti = 3,1415926535898932384626433832795...
B___
47.- En la figura mostrada determine el ángulo 
A en radianes.
A) llrc/18
B) 12n/59
[o.
z *
o
~ i
'•
Syo'cíeaad
hacia lugares desconocidos.
/
La orientación de su aguja se rige por la posición que 
adquiere el imán en una circunferencia que ha sido 
dividida en ángulos trigonométricos, las mismas que 
permiten definir un rumbo determinado.
'W
f *
s>
Í
El estudio del Cosmos encuentra en la trigonometría una 
/ valiosa herramienta para la medición de distancias astronómicas.
Un importante recurso se encuentra
en la definición del ángulo trigonométrico y de ñ \ ( 
la longitud de arco correspondiente aplicados r 5 
por el telescopio Hubble para determinar la §
posición de los cuerpos celestes. . JF: \ 5
T---- *■'»"»
Los mecanismos de transmisión de movimiento tienen un ' 
comportamiento que se puede explicar mediante el uso de las 
-Z leyes físicas del movimiento de rotación 
así como de las características que verifican 
los círculos y en particular las longitudes de arco de 
las zonas de contacto en los engranajes...
i
’ La invención de la brújula ha sido un gran aporte para la 
humanidad, en particular para la realización de las expediciones
í
MEDICIÓN DEL RADIO TERRESTRE
r
R
Como 7o entra unas 50 veces en los 360 grados, 
multiplicó 50 por 800 igual a 40000 km de perí­
metro o circunferencia. Dividiendo esta longitud 
por el número «71», obtuvo el diámetro que es 
igual a: 2R = 13 100 km y así resulta que el radio 
R = 6 550 km. El valor exacto es de: 6445 km, 
que indica un cálculo de dicha medida con un 
error del 1%.
Los sabios de la Grecia antigua no compartían la ¡dea de sus antepasados de que la Tierra era 
un disco sostenido por cuatro elefantes subidos a una enorme tortuga marina. Más bien creían 
que el planeta era esférico, una idea postulada hacia 500 a. C. por los seguidores de Pitágoras, 
que consideraban la esfera como la forma perfecta.
Al astrónomo griego Eratóstenes se atribuye el haber medido por primera vez la circunferencia 
terrestre en el año 230 a. C. Razonó así: si el planeta es una esfera, entonces la línea que une 
dos lugares cualesquiera forzosamente es un arco. Si lograba medir la longitud de éste como 
una proporción de 360 grados (una circunferencia completa), obtendría una medida a partir de 
la cual podría calcular la circunferencia total.
Eratóstenes:(275-194 a. C.) geógrafo, matemático, astrónomo, poeta y filósofo griego nacido 
en Cirene. Fue discípulo de Aristón de Chios de Lisaninas de Cirene y de Calimaco y 
contemporáneo de Arquímedes y Apolonio. Dijo Montucla que fue un hombre excepcional, 
que sobresalió en todos los géneros del saber humano, pues fue notable como orador, poeta, 
anticuario, matemático y filósofo por lo que algunos le dieron el nombre de Pentatlos, que se 
aplicaba a los atletas que vencían en las cinco luchas de los juegos olímpicos.
Parece que vivió en Atenas hasta que por su fama, en tiempo de Tolomeo, este le llamó a 
Alejandría y le puso al frente de la famosa biblioteca de aquella ciudad, siendo muy probable 
que le encargara a sí mismo de la construcción de las grandes armillas de que se sirvieron 
durante muchos años los astrónomos de la escuela de Alejandría.
Habiendo comprobado que en Alejandría el día del solsticio de verano el sol no distaba del 
cénit más que la quincuagésima parte de circunferencia del gran círculo de la esfera, adoptando 
la cantidad de 252 000 estadios como la-longitud total del meridiano. El estadio egipcio tenía 
300 codos, por lo que puede calcularse en unos 40 000000 m la referida longitud.
Para medir la distancia de Alejandría a Siena envió un servidor, que fue contando los pasos. Esa 
distancia es de unos 800 km aproximadamente.
El ángulo «a» lo calculó en base a la altura de la torre en Siena y el largo de la sombra proyectada, 
justo cuando en Alejandría el sol caía vertical mente, es decir, al medio día. Dicho ángulo es de 
7o, que es el mismo que forman los dos radios terrestres en el centro de la Tierra.
Con estos datos razonó así: Si para un ángulo de 
7° la distancia es s = 800 km, ¿cuánto será para 
los 360° correspondiente a toda la circunferencia 
de la Tierra?
2.1. SECTOR CIRCULAR
Es una porción de círculo limitada por dos radios y un arco comprendido entre ellos.
Z AOB ... ángulo central
r — OA ... longitud del radio
2.2. LONGITUD DEL ARCO (/)
r
Grad l
r0 < 6<2til = e.r
Fórmula Especial: De la fórmula anterior se deduce:
2.3. ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR (5)
El área de una región circular se puede determinar, utilizando las siguientes fórmulas:
r
Qrad S l
r
Nota.- En las fórmulas mostradas, el ángulo central debe estar expresado en radianes.
Longitud de Arco 23
29
e = a
mAB ... longitud de arco
Un arco de circunferencia es una porción de ella que es 
subtendida por un ángulo central y cuyalongitud depende 
directamente de la medida del ángulo que lo subtiende y del 
radio de la circunferencia a la que pertenece, así:
t íi d d e j
s= e¿. = Lz:
3 2 2
2.4. ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR (Sr)
2.5. APLICACIONES MECÁNICAS
2.5A Número de vueltas (n)
Z, =Z2 0,r. — 02ro
n =
“n” vueltas
r,
d
>1 =>2 ®lrl ~ ®2r2
0j = 02 =>
2.5B Transmisión de Movimientos eje común
| 24 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos -^4RACSO 
IDlTOBiae/l
d 
2nr
Siendo: r = radio de la rueda que gira 
n = número de vueltas que da la rueda 
Zc = longitud recorrida por el centro de la rueda
Los sistemas mecánicos que permiten trans­
mitir movimientos pueden ser debido a un 
contacto entre sus elementos o unidos a tra­
vés de una faja o un eje.
Si una rueda de radio r se desplaza, sin 
resbalar, una distancia d sobre una superficie, 
el número n de vueltas que habrá dado en 
dicho recorrido está dado por:
Cuando la superficie es curva, el número 
de vueltas viene dado por:
2.5B1 Engranajes.- Las longitudes de arco, 
definidas por el contacto entre dos poleas o 
piñones, son iguales. Esto se denota así:
2.5B2 Poleas.- Las longitudes recorridas por cual­
quier punto del borde de las poleas son iguales 
a la longitud recorrida por un punto de la faja.
2.5B3 Transmisión por un eje.- Los ángulos 
centrales barridos son iguales, es decir:
A +-
ST= 2 Jh
^1 _ ¡2
ri r2
PROB. 1
★ ★★★★★★★★★★★★★.★★★ir
Graficamos:
B
s30 rrí
120°
O 30 m A
120°
Luego:
.v = 20 itm
C
S
PROB. 2
/|C = y .15 rn, = ; pero:
Longitud de Arco
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
b) Conociendo el radio y el ángulo central en 
radianes calculamos el área del sector circular:
Dado un sector circular de ángulo central 120° 
y radio 30 m, se pide:
a) El valor de la longitud del arco que lo limita.
b) El área del sector circular comprendido.
La figura muestra la rueda de un coche de 
una montaña rusa, cuyo radio mide «r». Si éste 
es liberado en A, y de desplaza (sin resbalar)
hasta el punto C, calcule el número de vueltas 
que da la rueda durante su recorrido.
Recordemos que en el juego mecánico de la 
montaña rusa, el recorrido se ha diseñado de 
manera que los coches nunca se desprendan 
del riel que los conduce, con lo que está 
garantizado que las ruedas puedan girar en 
contacto con aquél.
La línea de trazos muestra la trayectoria que 
describe el centro de la rueda en todo su 
recorrido, de manera que si solo hay rodadura, 
se deberá cumplir que el número de vueltas 
está dado por:
6c
2rt. 15r
^'j(30m)2
= 2
2n .= -yrad
El ángulo central (120°) lo expresamos en 
radianes, es decir:
a) x = . 30m
120° izu . 180o 2rr .
1
S = 300 Ttm2
Perímetro = 8 m
/2c = %.25r
Del gráfico: R
Perímetro = 2R + LLuego: Lnl
Donde deducimos que:
R... (1)L = 8 - 2Rn2 =
Usando la siguiente relación tendremos:
... (2)R.L = 8
77-p — n | + t?2 ==’>
nT = 10 vueltas
Luego :
PROB. 3
R -2
R -2
Finalmente: R = 2 m
DE RESOLUCIÓN 
F 26~| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO 
BDITOkBS
RESOLUCIÓN
iiM1'.
R(8 - 2R) = 8
2R2 - 8R + 8 = 0
R2.4R + 4 = 0
Reemplazando (1) en (2) obtenemos:
8R -2R2 = 8
_ 15
“ 4
_ 25
“ 4
El área de un sector circular es de 4m2, su 
perimetro es de 8 m. Calcular el radio del círculo.
Finalmente, el número total de vueltas que 
da la rueda es:
Area del sector circular : Asc
^15r
2n.r
^.25r
2it.r
3) El número de vueltas que da una rueda sobre una pista, se determina mediante 
el recorrido que realiza su centro respecto de la superficie sobre la cual realiza su 
rodadura. Esta relación sólo se verifica si la rueda no resbala sobre la superficie.
n - >2C
n2~ 2n.25r
4m2
ASC = V = 4
 15 . 25 40
nT- 4 + 4 - 4
1) Para calcular la longitud de un arco de un sector circular necesariamente el 
ángulo central debe, estar expresado en radianes, de lo contrario, se tiene que 
convertir previamente.
2) Cuando se determina el área de un sector circular, el ángulo central debe estar 
expresado en radianes, y luego de acuerdo a los datos utilizar una de las fórmulas 
dadas del área.
con Resolución i
LONGITUD DE ARCO
ba
aC) lOOc/M
A) B)~7T
D)
A
B
BO
O
A)ti(3 + V2)
B)7t(5 + V2)
C)7t(3-V2)
D)ti(4-^) O c O, B
Calcular: M =
E)ti(4 + V2 ) + 4V2
C) 2A) 1 B)-l D)-2 E) 0
Longitud de Arco 27
A)688 cm
D)240 cm
V.—■ .. -TJ. --CT «T*?? -'.. Al UUJ- -- - .Enunciados de Problemas
04.- De la figura mostrada, encontrar “x” en 
términos de “a” y “b”.
03.- En la figura mostrada, AOB es un sector 
circular, BDC es una semicircunferencia de 
centroO,, OA ± DOi,mZAOB=45“,O1B=4. 
Calcule el perímetro de la región sombreada.
02.- Del gráfico adjunto, se tiene un sector 
circular AOB siendo O, A y B centros de los 
arcos AB, OR y OQ respectivamente. Deter­
minar: M = Lg + Lg , si: AO = BO = 6 cm.
A) 71/4 cm
B) 71/2 cm
C) 3ti/2 cm
D) ncm
E) 2n cm
01.- Calcular la longitud del arco que subtiende 
un ángulo central de 171° 53' 12" en un sector 
circular cuyo radio mide 40 cm. (Considerar: 
1 rad = 57° 17'44").
B)120cm
E) 480 cm
a+b
a2+b2 m 2ab
a-b a+b
a2+b2 t-x 2a2E)_r
05.- En la figura mostrada, BOC y AOD son 
sectores circulares, OA = Lg, AB = L¡s. De­
terminar la medida del ángulo central (0 > 0) en 
radianes.
A) V3/7I
B) 7t/4
C) 71-1/7
D) (V5 -l)/2
E) 2-J5
06.- Con la ayuda de la siguiente figura:
A) 7t/40 B) it/20 C) Ti/10 D) 71/5 E) tü/3 '
A
N
D)
O BM
E)
B) 1/4 C) 3A) 2
A) 3tt C) 9tt E) 15ttB) 5n P) 1271A, ,B
R
O
B
E
D
A) 16 B) 8 D) 2 E) 1
A C O
medida del ángulo central es
Calcule el área del sector.
28| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■Si RACSO 
BDtTOIll
07.- Un móvil se desplaza con movimiento uni­
forme sobre un arco de circunferencia cuyo 
diámetro mide 100 m. Si en 20 i recorre un 
arco subtendido por un ángulo de 50®, ¿cuál 
es su rapidez en m/sl
A) 5ti/8 B)7t/3 C) 2ti/5 D) 3ti/7 E) ti/4
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 60
12.- Determine el perímetro de la región 
sombreada en la figura, donde “O” es el cen­
tro del arco ÁB y “M” es el centro del arco 
ÍÍB. Además se sabe que: AN = MB = 2 41 .
B) ( 2 42 + 7t
C) (2j2 +7t)
11.- En un sector circular de radio 73 6/7 , la
O
¿>8(5¿>)m
(15¿)m
5V2
2 71
10.- Se tiene un sector circular en el que si du­
plicamos el ángulo central y el radio, obtene­
mos un nuevo sector de área “A”. Si el área del 
primer sector circular es “B”, evalúe: A/B.
C)4
15.- En la figura mostrada, AOB es un cuarto 
de circunferencia, siendo AB = 3 42 m. Cal­
cular (en m2) el área de la región sombreada.
08.- En la figura mostrada, AOB y EOF son 
sectores circulares cuyas áreas están en la re­
lación de 16 a 1. Determine en qué relación 
están las longitudes de los arcos EF y AB.
-2V2 +71
A) 2 -ñ + 71 + 71
77+^77
14.- En la figura AOB es un sector circular, 
AO J. OB , AO = OB = 8 cm\ C, D y E son 
puntos de tangencia. Calcule el área de la re­
gión sombreada en cm2.
A) 77(64 72 -26]
B) 77(82 72 - 34]
C) 77(128 72 -176]
D) 71(136 42 +12]
E) 77(152 72 -138]
13.- En cierta zona de un parque de diversio­
nes se ha instalado una regadera a ras del piso; 
la cual tiene un alcance máximo de 6 m. Des­
pués de girar 150°; se barre en la superficie, 
un sector circular cuya área (en m") es:
D) 2/3 E) 1/2
09.- En la figura mostrada, se cumple que: 
R(0R + L) = 80
Calcule el área del sector circular AOB.
L
Qrad/^
A
m Z AOC = 2a
m Z COD = 3a
m Z DOB = 4a
A B
A) 25.
Si
B) 4
0 rad OC) 6D
D) 8
BE) 10
21.- De la figura mostrada, calcule “0” (en rad^.
C
A
:30oO
B O
D
TRAPECIO CIRCULAR
0 rad
D) 6B) 10 C) 8 E)4A) 12
1 29 |Longitud de Arco
B) 1
C) 1/3
D) 1/4
E) rt/3
19.- Siendo “S", “C" y “R” los números que 
expresan la medida de un ángulo en los siste­
mas sexagesimal, centesimal y radial, se pide 
calcular: “0”
A) 71/10
B) 10/71
C) 2/tt
D) 7t
E) 4/tc
23.- En la figura mostrada, determine el valor 
de “L" si la región sombreada tiene un área de 
20 in~.
20.- De la figura mostrada, determinar el área 
de la región sombreada:
O M B
A) rt/3 B) 7t/4 C) 2ti/3 D) 3ti/4 E) 5ti/2
16.-A partir de la figura, calcular “0” si se 
sabe que: 13S| = 7S2. Considerar 7t = 22/7.
A) 1/2
18.- En la figura mostrada, AOB y OCD son 
sectores circulares, OA = 3OD. Calcule la re­
lación entre el área del trapecio circular ABCD 
y el área del sector circular DOC.
si el área del trapecio circular ABCD es de 5 in .
A) 1/4 rad
B) 1/2 rad
C) 1 rad
D) 1/3 rad
E) 1/5 rad
22,- De la figura mostrada, calcular el área de 
la región sombreada:
A) 0r2
B) 20r2
C) 30r2
D) 40r2
E) 50r2
17.- Si el área del sector circular AOB es 3ti, 
determine la longitud del arco CD. Además 
se sabe que: AC = BD = 2
A) 571/3
B) 4n/3
C) 7t
D) 2ti/3
E) ti/3
A) Im
B) 3 ni
C) 5 m
D) 7 ni
E) 9 ni
C
B) 4 C) 6 D) 8 E) 10A) 2
A
C D) E)
O
D
B
26.- El perímetro de un,sector circular mide 6
... An o _____1\ 1-
C) 3A) 1 B) 2 D) 4 E)5
27.- Determinar el área máxima de un trape­
cio circular cuyo perímetro es “p".
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO 
IDITOBBI30
24.- En la figura mostrada se verifica que:
2.OA = ABy OC es bisectriz del Z BOD. 
Determinar: S-dS¡.
A) 4,25
B) 3,75
C) 3,15
D) 2,55
E) 1,35
APLICACIONES MECÁNICAS
28.- En la figura mostrada:
a = 210-40* , b = 7x2-30x.
Si el área del trapecio circular tiene valor mí­
nimo, entonces la medida de su ángulo cen­
tral en radianes es:
AlA) trr2
L(R-r)
2rtRr
UR-r) 
r(R + r)
ni y su área es de 2 m~. Calcular (en rad) la 
medida del mayor ángulo central que verifica 
estas condiciones.
RlB) 360r C) 180r
E) nR
«4
C) nL2
B)T
D) 26R
7 itr
B1 /?2
B) nLr
30.- Una bicicleta que tiene ruedas de radio 
“r” recorre una pista circular de radio “R”, pla­
na y horizontal; determinando sobre ésta un 
ángulo 9o. Determinar el número de vueltas 
que dará una de sus ruedas.
A)^
E)p2
31.- Sobre una pista circular plana y horizon­
tal se desplaza un atleta con una rapidez de 
17,6 km/h y recorre un arco que subtiende un 
ángulo de 56° en 36 segundos. Calcule (en ni) 
el diámetro de la circunferencia, si: 7t = 22/7.
29.- En la figura mostrada determinar el nú­
mero de vueltas que da la rueda de radio r al 
desplazarse, sin resbalar, por el arco AB = L:
O
25.- En la figura mostraba, AOB y COD son 
sectores circulares, en donde: AC = BD = x , 
OC = OD = 2’, = (^+ 2) y L® = (x - 1)
Calcule el área del trapecio circular ABCD.
A) 15/2
B) 17/2
C) 21/2
D) 23/2
E) 25/2
A) 3/4 B) 1/4 C) 1/2 D) 3/5 E) 1/6
C
B90 cm1
D)5 E)6B) 3 C)4
8 mm
B
E) 376B) 175 C) 267 D) 295A) 125
D) 6C)5 E) 7D)80 E) 100C) 60B) 40A) 20
E) 9D) 8
31Longitud de Arco OI
12.
manivela
Á 5 m
37.- En la figura mostrada se sabe que n es el 
número de vueltas que da la rueda de radio r 
(r = 1 m) al ir del punto A hasta el punto E 
sobre la superficie indicada. Se pide determi­
nar el valor de: 44 n. Asumir que: 7t = 22/7.
C 5 m D Z' ~\pA) 2
34.- ¿Qué distancia recorre el bloque si se gira 
lá manivela un ángulo de 0 rad. Se sabe tam­
bién que: r, = 6 , r2 = 9 , r3
36.- Determine el número de vueltas que dará 
la rueda de radio 2 cm, al desplazarse desde 
“A” hasta tocar la pared vertical (7t = 22/7).
A) 3
B) 5
C) 7
D) 9
E) 11
39.- Si una rueda de radio "6o" se mantiene 
fija y otra rueda de radio "a", puede girar al­
rededor de ella. ¿Cuántas vueltas dará la rue­
da pequeña si parte y llega al mismo punto 
por primera vez?
A) 3 B) 4
40.- Calcular el número de vueltas que da la 
rueda de radio bn al recorrer el perímetro de 
un triángulo si el perímetro de este es de 44 m. 
Considerar 7t = 22/7.
A) 5 B) 6 C) 7
A) 360 B) 300 C) 270 D) 240 E) 240
32.- En el sistema mostrado, el disco A gira
> 90°. Asimismo se sabe que: r. = 3, rB = 5, =
1. Calcule la medida del ángulo que gira el dis­
co C.
38.- Los radios de las ruedas de una bicicleta 
son 20 cm y 70 cm respectivamente. Calcular 
(en m) el espacio recorrido por dicha bicicleta, 
si se sabe además que la diferencia del número 
de vueltas que dieron cada una de las ruedas para 
recorrer el espacio anterior fue 100. (n = 22 / 7).
A) 174 B) 175 C) 176 D) 177 E) 178
A) 18° B) 27° C) 36° D)54°E)62°
33.- Los radios de las ruedas de una bicicleta, 
son entre si como 3 es a 4. Calcular el número 
de vueltas que da la rueda mayor cuando la 
menor gire 8tt rad.
35.- Dos ruedas de radios R y r, tal que: R > r, 
recorren la misma longitud L. Si la diferencia 
del número de vueltas de la menor y la mayor
es , entonces al evaluar: ¿y , se obtiene: 87tr k
-w------ 
-5-
'r rr
í
o
lcsoRa[ .RaooRnooR- 
teso Racso Rj eso
!
U;. 
p ¿
s._
¡N’
O . '_____ j
v<h
H
¡q 
i__
l
-,'i¿i't‘JI - -■ 1 j
/ En física, específicamente en óptica, el modelo matemático 
que permite explicar el fenómeno de refracción de la luz,
\ ¡N
\sj ®
y = iluminación
7 = intensidad luminosa 
d = distancia
^.;cos() ;
d
-------- -r’Z^
<nfraK;*q»«i i
El teatro requiere emplear una adecuada iluminación. Los 
faros luminosos, controlados por computadora, generan «conos 
de luz» que iluminan determinados sectores 
del escenario, los mismos que cumplen con la 
ley de iluminación de D'Alembert, que incluye la razón 
trigonométrica coseno.
ST’ 
L
fifi J,ÍU«n'RaeSo,Racso'R¿,cM'R.HÓ,í seso Racso Racso Racso Racso Rae > Riera Rano Riese Racso Rao<U
1 
propuesto por Willebrord Snell (1580-1626),
incluye el uso de la razón trigonométrica i X?
llamadaseno. ^0 3¡u _ ,
n, ■ sen 9, = n2 • sen 02 r A \
'x? K \ 1
Donde «n» es el índice de refracción del medióy«0»el l \ A 1 
ánguloqueforma un rayo luminosocón la normal. (NN1) *
Tecrfelogíaj^
(' *-°s astrónomos han encontrado en la trigonometría, en
V T1' particular en las razones trigonométricas, una valiosa 
herramienta para determinar la ¡——
- Ádistancia de los cuerpos celestes I 
\ próximos,a la tierra, permitiendo con ello 
S? elaboracxla configuración del-sistéma 
planetario, sólar, Ips proyectos dé\viajes r. 
espaciales, etc.
L'- ■
Í/F 1
6
\
3.1. DEFINICIONES DE LAS R.T. DE ÁNGULOS AGUDOS
B
SECANTEa
A b C
a2 + b2 = c2c > a ; c > b Teorema de Pitágoras
3.2. PROPIEDADES
sen a. esc a = 1 esc a = sen a =
eos a. sec a = 1 sec a = eos a =
tan a. cot a = 1 tan a = —
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ÍÍ4RACS0
IDITOKBi32
1 
eos a
1 
esc a
1 
sec a
1 
sen a
-e Á n au ÍS^Aqu C1 os)"
Hipotenusa 
Cat Opuesto
3.2B Razones Trigonométricas Recíprocas
Si a es un ángulo agudo, se cumple que:
Sea a un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, tal como se muestra en la figura, 
entonces se definen:
3.2APropiedad Fundamental
Los valores de las Razones Trigonométricas (R.T.) de los ángulos agudos no dependen de 
la longitud de los lados que la forman, sino de la medida del ángulo definido por ellos.
’ 7 ’ .
b eos a = —a sen a = —
CaL Opuesto
CaL Adyacente
CaL Adyacente 
Hipotenusa
CaL Opuesto 
Hipotenusa
Hipotenusa 
CaL Adyacente
COt“ = -
c 
csc a = —a
cota= i
* .: ■. , L.-tete’-tetei J/Áte .. ' .L "te:.:te’:c:-;J
tan a = 
b
COSENO Z>
sec“= K
1
cot a
íi e s^Er ¡ q ó n6m é tr i ¿a s
sen a = eos p tan a = cot p sec a = esc P
3.2D Razones Trigonométricas de 30°, 60°, 45°, 37° y 53°.
Se obtienen a partir de los siguientes triángulos notables en donde: k e R+
53°'fe0 5*, 3Jtk k
a
37°
4*
30° 37° 60°Notación
sen
sec
esc
Tk 82° (V6-V2>k
(r¡6 + ^2)k24 k
63° 30’k 2k
kte
Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos 33
Sobre la base de los triángulos anteriores se pueden construir otros, de relativa 
importancia, para obtener de ellas sus Razones Trigonométricas.
%
45° 53°Razón Trigonométrica 
seno
coseno 
tangente 
cotangente 
secante 
cosecante
137*72=18° 30’r
3k
,45o
*
3/5 
4/5 
3/4 
4/3
5/4 
5/3
4/5
3/5 
4/3 
3/4 
5/3
5/4
eos
tan
cot
1/2
a/2 
z/3/3
2^373 
~~2
v>2/2 
V2/2 
1 
1
V2
5372 = 26° 30L
2k
a/3/2
1/2
a/3/3
2 
2^/3
4572 = 22° 30’ 
3¡2 + >¡2k
3.2C Razones Trigonométricas de Ángulos Complementarios (Co-razones)
Si a y P son dos ángulos complementarios (a + P = 90°), entonces se cumplirá que:
Tk
—íll-------
PROB. 1
tan
0,75tan a
c) tan 2a
3
a) Si tan a = 0,75 =
4-x
x2 = 25 3
x2 = 9 + 16+x2-8xx = 5
A C48x = 25
Luego: sen a = eos a =
Luego:
tan a = 3
sec a = esc a =
PROB. 2
Si se cumple que:
sen (x - 40°) sec (2x + 10o) = 1
tan (3y + 10°) cot (2y + 30°) = 1
B
calcule: E =3
I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos J^iRACSO 
JJlDITOIU
RESOLUCIÓN
Si a es un ángulo agudo, tal que:
, obtenga los valores de:
a) Todas las razones trigonométricas de a.
b) tan aJ2
3
4
5
4
3
5
5
3
4
5
Aplicando Pitágoras en el triángulo rectángulo 
sombreado.
3
5 + 4
25 
8
a
2
sen(x-10°) + cos(y + 40°) 
tan(x + 5°) + cot(y + 25°)
b) A partir del triángulo anterior construimos 
un nuevo triángulo en donde figure a/2. 
Entonces se tendrá que:
c) En base al primer triángulo construimos 
un triángulo en su interior donde figure el 
ángulo 2a.
-i
4 cot a = -o
24 tan 2a = -y
1 = =1
3 
tan 2a =
x2 = (3)2 + (4 - x)2
3 
’ 4-25.
8
75 3
100. “ 4
Entonces por Pitágoras : x2 = (4)2 + (3)2
B
tan (3y + 10o) = tan (2y + 30°)★★★★★★★★★★★★★★★★★★
De la primera relación se obtiene:
= 1
y = 20°
Finalmente: E =
(x-40°) + (2x+ 10°) 90°
x = 40°=> 3x=120°
De la segunda relación se desprende que:
= 1
DE RESOLUCIÓN
Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos 35
RESOLUCIÓN
T3 |
Esta igualdad se verifica cuando los ángulos 
son complementarios, luego:
Esta igualdad se verifica si los ángulos son 
iguales, luego:
3y + 10° = 2y + 30°
sen 30°+eos60° 
tan45°+cot45°
b-H 
1+1
=> sen(x-40°)
2) Cuando una razón trigonométrica es igual a su respectiva co-razón trígono- 
métrica, inmediatamente se debe asumir que la suma de sus ángulos es 90°.
3) Toda vez que una razón trigonométrica de cierto ángulo es igual a la misma 
razón trigonométrica de otro ángulo, entonces se debe afirmar que dichos ángulos 
son iguales (pero esto ocurre solo cuando se trata de ángulos agudos)
4) Ante la presencia de las razones trigonométricas de los ángulos de 30°, 60°, 45°, 
37° y 53°, debemos utilizar sus respectivos triángulos notables de dichos ángulos.
5) Si se tiene el valor de una razón trigonométrica de un ángulo agudo, y se desea 
calcular los valores de las razones trigonométricas del ángulo mitad o del ángulo 
doble, se procede a realizar construcciones geométricas adecuadas.
E=1
tan (3y + 10°) . tan(2y + 30o)
sen(x-40°). cos(2x + 10°)
eos (2x + 10°)
1) Cuando un ángulo es agudo, y se conoce una de sus 6 razones trigonométricas, 
es inmediato el cálculo de los valores de las razones trigonométricas restantes, 
simplemente construyendo un triángulo rectángulo ubicando a continuación uno 
de los ángulos agudos, e identificando sus lados, de acuerdo con la razón 
trigonométrica dada, y finalmente aplicamos el teorema de Pitágoras.
Enunciados de Problemas
con Resolución
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS
CA) 124
A) 1/2 B)1 C)2 D) 1/3 E) 3
B) 142
C)168
D) 186
BA 5 DB) 1/2 C)1 E)4A) 1/4 D)2 E)210
B
B)2 C)3A)1 D)4 E)5
A C
2 sen A = esc C
Calcular: W = tan C -
B
A) 1/8 B) 1/4 C) 1/2 D)1 E)2
E) 73A) 5/3 B)5 C)4/3 D) 3/4
C)3 D)1A) 1/2
36 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO 
1 D I T 011 >
02.- En el triángulo rectángulo ABC (A = 90°), se 
sabe que: cot C + cot B = 4; entonces al calcular 
F = 16 sen B.sen C.cos B.cos C se obtiene:
08.- A partir de la figura mostrada, determine 
el valor de: M = cot a - tan 0, si: AB = CD.
D) 2+ 75
E) 3- 72
07.- En la figura mostrada m Z ACB=90°, AC = b, 
BC = a, AB = 2Job ,a<b. Calcule: tan 9.
C
E) 1/3
A) 72 + 75
B) 2- 73
C) 73 - 72
tan 0 =
cot~A
2
03.- Se tiene un ángulo agudo “0” tal que:
21
20
1
Calcular el valor de: M = — sen 0 + 4 eos 0
04.- En un triángulo rectángulo ABC se sabe 
que: m Z ABC = 90°. En este triángulo se veri­
fica que:
01.- De un triángulo rectángulo ABC, se cumple: 
tan A + tan C = 2. Calcular el valor de:
M = esc A . esc C
06.- En la figura mostrada, m Z ABC = 90° , 
m Z CAB = a, m Z CDB = 0 , DB = 3, CB = a. 
Además : tan a + tan 0 = 77. Encontrar el 
valor de a:
A
B)2
05.- Calcula la secante del mayor ángulo agu­
do de un triángulo rectángulo sabiendo que 
sus lados están en progresión aritmética.
A) 140 C)166 D)174 E) 182B) 158
A) D)
M = si: AD = DC
B
A) 711717
A D C 0971717 EA)1 B) 1/2 02 D)3 E) 1/3
D)
E)
15.- En la figura mostrada ni Z ABC = 90°. Si:
tan A
entonces al calcular x se obtiene :
A C
A) 5
C
B)4
C)A) B)
C)3 a
D)2
D) E) A Bc
E)1
R.T. RECÍPROCAS
16.- Calcular el valor de:
C)ó73 M
E)16 73D)8 73 B) 713 D) 75A) 13 C) 5 E)3
Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos
09.- El perímetro de un rectángulo es de 492 m 
y su diagonal forma con la base un ángulo 
cuya cotangente es 1,05. Calculedicha diago­
nal (en m).
3
4
JL
15
b
a
en términos de «a» y «b».
B
10.- A partir de la figura, calcule el valor de: 
2.sen0 
cosa.cosfJ ’
b + 4ab 
■Jba-b2
5375 TtL
360
25ttL
53
b + ^2ab 
i¡2ab-b2
I (4cos36°+9sen54o)sec36°
V cotl8°.cot72°
b + -JaJ>
a + 4ba
12.- En un paralelogramo los lados adyacen­
tes miden 8 ni y 16 ni. Si el ángulo comprendi­
do entre dichos lados mide 60°, determinar la 
longitud de la menor diagonal.
12x
-pj- y 10(6c - b) = b - c
14.- En la figura mostrada, ABCD es un cuadra­
do de lado L y E es punto medio de AD. Calcu­
le la longitud del arco BC aproximadamente.
11.- En el gráfico mostrado, se sabe que: 
AD = CD = a; AB = b.
Exprese cot j
C)f
473B) —
13.- El perímetro de un triángulo rectángulo es 
132 u, y Iji suma de los cuadros de sus lados 
es 6 050t< . Calcule la tangente del menor án­
gulo agudo.
Rt 7nLB) 25
E)|
17.- Calcular el valor de “x" que verifica:
(sen A)
Calcular el valor de sen A.
A) 3/5 B) J2 /2 C) 1/5 D) 75 /2 E) 1/3siendo x un ángulo agudo.
A) 15" B) 12.5“ C) 16° D)37“ E)25“
18.- Si se verifica que:
A) 15
sen(5(f + .y) - cos(40° - x) + tan(.r + 1 O")-tan(x+40°) = 1
B)18
C)21
D)24 CAA) 1 B)2 C)3 D)4 E)5
E)27
sen (a + y) - eos (85“-y-z) = 0 ... (1)
tan 2a . tan 3z = 1 ... (2) calcular: M = eos 69 + tan (50 - 5“)
Calcular: M = tan(2A +11°) - tan (x + z) A) 1/2 B)1 Q3/2 D)2 E)5/2
A) 3/4 B) 1/5 C)7/9 D)1 E)7/12
20.- Sabiendo que:
A = tan 1° . tan 2°. tan3“... tan 45“
B = tan 46“. tan 47°. tan 48°... tan 89°
,2
A) 3 C) 1/2B)2 E)1 • Calcular:
A) 75 C) 75 /3 D) 1/2B)1 E) 1/321.-Si: M =
R. T. DE ÁNGULOS NOTABLES
A) b/a B)2 C)2a/b D) 3b!a E)a/b
Además: O es centro de la circunferencia.
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos38
22.- En el triángulo rectángulo ABC, recto en 
B, se verifica que:
19.- Siendo x, y, z ángulos agudos que se rela­
cionan así:
26.- De ¡a figura mostrada, calcular: “tan 0”, si 
se sabe que:
25.- Sabiendo que se verifican las siguientes 
relaciones:
1 + M
Simplificar:
sec(3x-15“)
<1* RACSO
I O IT O H |
a¿(senl0“-l) + a2 -¿2cos80° 
a¿(cos80°+l) + a2 + />2senl0°
24.- Sabiendo que 0 es un ángulo agudo y que: 
esc (0 + 20°) = 2 tan 10“.sen 20“.sec 70°. tan 80°
23.- A partir de la figura mostrada, calcule “x” 
si:AD = DC y sen (39°- 0) = eos (14° + 30).
senl0°+sen20°+... + sen80° 
eos 10“+cos20“+... + eos 80“
i(cosC) + (cosC)(scnA,= ^
7t
a + b = ~ rad6
mZOCB = 37“
Determinar: M = sec 3x + cot2 —
3 
D = tan (10° + 2c+ — d)
Calcular: M = (A.B)2. tan ^A.B.-^J
D) 1/3
sen (5a + 2b + c) = eos (20“ - 3a) ...(1)
eos (4<7 + e) = eos (40° + e) ... (2)
31.-Al calcular:A) 1/3
B)2/5
O WC)3/7
D)5/4 Se obtiene:
CBE)2/3 C)3A) 5 B)4 D)2 E)1
27.- De la figura mostrada, calcular: tan 9. 32.- Sixes igual a 15°, entonces al calcular:
:ot24x, se obtiene unW =
número de la forma
B) 18 C)6 D)22 E)35A) 25
D) V3 /5 E) 2/3 33.-De la figura mostrada, calcular el valor de:B)3/4 C) 4/3A)1
M = tan(20 - 30°), cot 028.- Si ABCD es un cuadrado, calcular: “tan x"
BCBA) 11/19
B) 21/25
E
C) 13/16
D) 14/19
A)1DAE)5/12
= 4 eos 60° - x
A) 1/3 BE)5D)-3C)3B)-2A)1
B) 41
DC)3 V2 .a
D) 41 /2 cMCalcular: A
E)3
E)12B)8 C)6 D)10A) 4
Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos 39
30.- Si se cumple que:
sec 0 = tan260° + sen 30°, donde 0 es agudo
_n. 
E
34.- En la figura mostrada ABC es un triángu­
lo rectángulo isósceles, donde D es punto 
medio de BE . Calcule : cot a.
e\
C
D) J3 E)3/4
45 .tan 0 +
tan24x+ cos23x 
sen 2x
| cot330°-6.sen60°+csc245°
cot45o.sen260°+V3.csc60°-^
4
29.-Calcular el valor de “x” si: 
2x(sec 45°-sen 45°)sec60
y . Evaluar a + 3
A 14
B)2 C)V3/3
MISCELÁNEA tan {a + b) — V343.- Si: tan (a - b) = 1
Calcular: a--b
A)1 B)3 C)5 D)7 E)9
44.- En la figura: ¿ Cuál es el valor de "a" ?.A) 0.6 B) 0,5 C) 0,4 D) 0,7 E) 0,8
D
A)1 B)2 C)3 D) 1/2 E) 1/3 b
D)5° C
38.- Si: tan (2x + 25°) = coi (5a - 5o).
A) 4 73 B)6 D) 12 E) 12 ,/3C)6Determinar "x" (agudo)
A) 10° D) 40° E)45°
39.- Calcular a en:
tan (x + 41 °). tan (2.x - 31 °) = 1
A) 26.3° B)26°30’ C)26°40’
B) 300/73
D) 30’40'
C)400/73 x
40.- Si:
A
entonces el valor de x es:
E)175 B C--
El valor del mayor ángulo agudo es:
E = , para 0 = 30° es:
A) 15° B) 20° C) 25° D) 35° E) 45°
A) 10/3 C) 5/6B) 3/2 D) 1/2 E)2/3
1
A) 20° B)30° C)40’. D)5 0°
40 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ¿SiRACSO 
J>lDtTOlll
36.- En un triángulo isósceles ABC (AB = AC) 
se sabe que: eos A = 0,6. Calcular tan B.
35.- Los lados de un triángulo rectángulo es­
tán representados por tres números en pro­
gresión aritmética. Calcular el coseno del me­
nor ángulo agudo.
\30° 
60°n
A B
4—2V3—4-
B)20°
E)30°
30°
E)6Ó°
C) 30°
A) 36° E)35°
46.- El valor de la expresión: 
cot220 + sec20 
sec 20
45.- ¿Cuál es la distancia x en la figura?
„D-f
I col I-
B) 30° C)45° D)20°
0)250^
a/3 A)240
41.-Si: cot 2x-tan 3y = 0 ,y, 2x-y=10°
42.-Calcular : a + P , si:
sen a - eos 2P = 0 a sen 3 . esc 4a
5x-96°j 
37.- Si: sen 3x = eos 75°, calcular "x" (agudo)
A) 10° B) 15° C)20° D)5° E)30°
ie>¿o
Q
O
Los teodolitos modernos, llamados estación total, permiten 
notnrm¡ñor ilrxc v/artiz-olíic xz kxz->ri Tz-xrxf-i I nc* \
/•
había podido
rrrc ‘Tt.-c
¡CAP.
r
r Cuando una pelota rebota sobre un piso plano, la dirección de S 
los movimientos, definidos por «a,» y <a2», están relacionados Vjg 
' mediante razones trigonométricas: N
Así, por ejemplo, fue posible medir la 
distancia de los planetas respecto de la 
tierra y a partir de ello establecer la 
influencia de estos sobre nosotros.
7
\
Donde «e> es
«p» es el coeficiente de rozamiento entre el
niso v la nelota. S'jrl \ . ■»
a, ,
1
I
l Lj
'r.
> Ruso Rano Ruso Raso Raso Rano Ruso Raso Raso Raso Rano Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Rj» 
icm Raso RasoRaso Racso Raso Raso Racso Raso Raso Racso Racso Raso Raso Raso Racso Racso Racso Raso Raso Racso Racso Raso Racso Racso Raso I
Sragafa»
determinar ángulos verticales y horizontales, f
\ r > S utilizando un microprocesador electrónico 
también miden distancias mediante la aplicación de 
razones trigonométricas como reV serio, coseno o 
tangente. * V
iniíifc I r-
./ La aparición de la Trigonometría, con sus razones trigono­
métricas, impulsó la solución de problemas que la Geometría de
■ ----- —• entonces no I ' ’
1 resolver.
■* i
taneq-jx
tana2 + p
el coeficiente de restitución y ¡t
pisoy la pelota.
¿EXISTEN SOLO 6 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS?
ver cos'(0) = 1 + cos(0)
cover sen(0) = 1 - sen(0)c) Coverseno:
d) Covercoseno:
semiver cos(0) = ver cos(0)/2
semicover sen(0) = cover sen(0)/2
semicover cos(0) = cover cos(0)/2
En la siguiente imagen se muestran las 
seis que más se usan actualmente (las seis 
más conocidas y sobrevientes) junto con 
el verseno, el coverseno, la exsecante y la 
excosecante:
Históricamente se han tenido en cuenta otras razones trigonométricas de las seis conocidas 
actualmente y que por algunas razones dejaron de ser importantes. Veamos algunas de 
ellas:
g) Semicoverseno:
h) Semicovercoseno:
cover cos(0) = 1 + sen(0) 
semiver sen(0) = ver sen(0)/2
a) Verseno: ver sen(0) = 1 — cos(0)
Esta fue una de las razones trigonométricas más importantes (aparecía en algunas 
de las primeras tablas trigonométricas), pero fue perdiendo «nombre» poco a poco y 
ahora prácticamente no se usa.
b) Vercoseno:
Casi nada, ¿verdad? Seguro que para la gran mayoría de vosotros estas razones trigono­
métricas son totalmente nuevas, al igual que ocurrirá con las dos últimas que os voy a 
presentar:
i) Exsecante: exsec(0) = sec(0) - 1
La exsecante, aunque ya prácticamente no se usa, fue muy importante en agrimensura, 
astronomía y trigonometría esférica.
j) Excosecante: excosec(0) = cosec(0) - 1
e) Semiverseno:
El semiverseno (haversin en inglés) era muy conocido y muy utilizado en navegación 
por formar parte de la fórmula del semiverseno para el cálculo de la distancia entre 
dos puntos de una esfera dada las longitudes y las latitudes de los mismos.
f) Semivercoseno:
í .. Si? i.
4.1. DEFINICIÓN
4.2. TEOREMAS
4.2A TEOREMA 1. Conocida la Hipotenusa (m) y un ángulo agudo (a). Fig. (a)
4.2B TEOREMA 2. Conocido un ángulo agudo (a) y su cateto adyacente (m). Fig. (a)
4.2C TEOREMA 3. Conocido un ángulo agudo (a) y su cateto opuesto (rn). Fig. (a)
m tan am sena m
m cot amm eos a
F¡S- (c)Fig. (b)Fig. (a)
En general.- En cualquier triángulo rectángulo, se tiene:
Incógnita = (Dato) • R.T. (Z) R.T. (Z)Donde:
Resolución de Triángulos Rectángulos
Resolver un triángulo rectángulo es determinar la longitud de sus lados y la medida de 
sus ángulos agudos, para lo cual deben ser conocidos al menos un lado y un ángulo agudo.
En la resolución de triángulos rectángulos se presentan tres casos los que se resuelven 
por medio de un determinado grupo de teoremas.
Siendo: Incógnita: El lado del triángulo rectángulo que se desea calcular.
Dato: Es el lado del triángulo rectángulo que se conoce.
R.T.: Es la razón trigonométrica que corresponde al dividir la incógnita entre el dato.
Incógnita 
Dato
1
. - .... ... ... . .. . .... .. - • -• • - .... (
fe s'fflü c i on-:d ézTri á na tilos 
^3iR jetadlos/ <
4.3. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
s = sen a
—JLS.
3 sen 0 + sen 0 = 3 eos $ + 2 sen 0PROB. 1
1.- Si ABCD es un cuadrado, calcule: 2 sen 0 3 eos 0
col 02
Luego:tan 0 + cot 0
PROB. 2
En el nuevo gráfico: AD = PQ
*
12
3
A 3 sen 0 En la nueva figura, se observa que:
rrn 421 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO l D l T o m
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Está determinado por el semiproducto de dos de sus lados, multiplicado por el seno del 
ángulo comprendido por dichos lados.
En la figura: ABCD es un cuadrado, demuestre 
que: p + r
mn 
2
C 
sen0
B 
ZT
Q r
I 
.CN J
c
13tan 0 + cot 0 = “g"
=> tan 0 = -I =í
sen0 _ 3
cos0 — 2
18 
ri” r
P sen 0 D
PR = QS
Entonces:
p sen a + r sen a = q sen a + t sen a
p + r = q + t
a
q. ar n
En el triángulo sombreado:
RP
h — m sen a
Área A =Luego:
PROB. 3 Área A =
DE RESOLUCIÓN 
Incógnita = dato (lado) x R.T. (Z agudo)
Resolución de Triángulos Rectángulos .TV 43
RESOLUCIÓN
ESTRATEGIAS
n
A
jz
D
2) Una vez que identificamos al triángulo rectángulo con 
ángulo, se aplica la siguiente técnica.
Sean m y n los lados del triángulo y a el ángulo 
comprendido.
Dos lados de un triángulo rectángulo miden 
myn. Calcula el área de su región triangular. 
Si además se sabe que el ángulo comprendido 
entre dichos lados es «a».
C 
TZ
B
ZT
basexaltura
2
nxm sen a
2
en los cuales se conozca mínimamente 
ángulos agudos.
un par conocido: lado y
1) Tratar de buscar triángulos rectángulos 
uno de sus tres lados y uno de sus
h sen a = — m
Q 
TJ
q sen a I
I
ZJ
P sen a \ 
al\, 
Si \ 
-n «r 
s
______ Ersen a
Finalmente: Área A = —sen a
Enunciados de Problemas v
con Resolución
TEOREMA 1
A) 3a.b + a eos a a
B)2/3
B)b - a eos a a
C) 1/3bC)b + a sen a
D)3/2
D) b - a sen a CE) 1/2
E) b + 2a sen a
A BA)msen 0 D) m(sen 0 + eos 0)
B) meos 0 E) 2rn sen 0
C) /«(sen 0 - eos 0)
03.- Calcular «x» en la figura:
A) 12 75
E)12V3
D) a sen Q + b eos 0A) a - b sen 0
E) a sen 0 - b eos 0B) a eos 0 + b sen 0
C) a eos 0 - b sen 0
1 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ¿íá RACSO
JP BDITOklt
06.- En la figura la longitud del segmento PS 
y RT es L y la segmento TS es k. El valor de 
k está dado por:
02.- En un triángulo rectángulo se conoce uno 
de los catetos «//i» y el ángulo opuesto «0». 
Calcularla altura relativa a la hipotenusa.
04.- En la siguiente figura, G es el baricentro del 
triángulo ABC; AD = BD y 3 sen a - eos a = 3. 
Calcular la tangente del ángulo DCG.01.- Dada un banderín, como muestra la figu­
ra, calcular <«».
05.- La figura muestra un cuadrado cuya área 
es 64 m2 y tal que PC = BP. Calcular AM si 
AP = 6 in.
A) L (sen 0 - sen a) T
A) D)
B) L (sen a + sen 0)
SC) L (sen a . sen 0) Bj E)
D) L (sen a - sen 0)
Qp C)RE) L (sen a + sen 0)
A
A) Rsen 0
B) R sen 0/2
C) 2R eos 0 b aD) R eos 0/2
CBE)2/? sen 0
D)R(M+1)
C
A) 18
P B B)15A
D) 3 eos a - 4 sen aA) 3 eos a + 4 sen a C)12
E) 4 cot a - 3 seo aB) 4 eos a+3 sen a D)9
C) 4 eos a - 3 sen a E)6
TEOREMA 2
B
. tan 0
CDA
Resolución de Triángulos Rectángulos
11.- Si ABCD es un cuadrado ni Z EBA = 53°, 
ni Z DCE = a, ni Z BEA = 90°. calcular:
pq eos a 
q- p sen a
pq eos a 
p-qsen a
pq sen a 
q + p eos a
pq sen a 
p + q eos a
P<1 
p sen a + q eos a
B2 + ¿>2
W= 5V10 .cosa.
B)( ).eos 0
07.- En la circunferencia de radio R se ha ins­
crito el triángulo ABC con AB - AC. Si la me­
dida del ángulo BAC es 0, entonces la longi­
tud del lado BC es:
10.- En la figura mostrada se cumple: AB = BC=R 
y sen2a + eos a = M, determinar: PQ.
ABC y PBD son sectores circulares 
concéntricos.
12.- Las bases de un trapecio isósceles son B 
y b. Si los lados no paralelos forman con la 
base mayor un ángulo 0, hallar el área del tra­
pecio.
B
A) RM B)R/M
E)RM208.- En la figura mostrada, calcular el valor de 
“x". Si: AC = 4 y ni Z BPC = 53°.
«m
1 
D C
C)R(M-l)
09.- De la figura mostrada, ni Z ABC = 90°, 
ni Z CBD = a ; AB = p ; BC = x ; BD = q. 
Calcule x.
A) 72 -1 C) +1B)272 + 1
D)2,/2 -1 E) 72 +2
17.- En la figura mostrada se verifica que:
mZCBE = mZDCE = p , «iZDAE = 0
z2a\
CA E
•O
es un cua-
C)1 E)3A)-2
R = tan x - 2 tan (.r - y)
A) 0,5
B)1
C)l,5
D)2 A ED
E)2,5
RACSO 
jy I O IT O X 11Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos46
c
D)2
A) 273
B) 710
C) 77
D) 272
E) 75
A 
B)-l
B2 —¿?2
4
j tan 0
15.- En la figura mostrada se cumple:
AB = CD. m Z BAD = P y m Z ACD = a, 
calcular: cot a - tan P
Calcule tan 0 en términos de alguna razón tri­
gonométrica de p.
A) sen3p
B) cos2p
C) tan3p
D) cot2p
E) sec4p
18.- Si ABCD es un cuadrado, ni Z DFA = a, y 
además E es punto medio de BC; calcular el 
valor de: sec a.
D) (
E) tan 0
B¿> nC) —.sen 0
19.- En la figura mostrada ABCD 
drado. Determinare! valor de:
16.- En la figura mostrada, m Z ABC = 90°, 
m Z DCB = m Z CAB = a, AD = 2 BC. Calcu­
le: tan a.
C
14.- La altura de un cono circular recto es h y 
el ángulo de abertura es 2a. Hallar en función 
de h y de a, el radio de la esfera circunscrita.
A) 0,5 h sen- a
B) 0.5 h eos" a
C) 0.5 h tan- a
D) 0,5 /i sec' a
E) 0.5 h esc- a
13.- En un triángulo ABC, recto en B. la me­
diana CM y el cateto BA forman un ángulo 0, 
entonces tan 0 es:
A) 2 tan Á B)2cotÁ C)2tanC
D) tan Á + tan C E) 2(tan C + cot Á )
m Z ABC = m Z AEB = 90°,
TEOREMA 3
20.-En la figura, halle AB en términos de R y 0.
A) R tan 0 (esc 0+1)
B) Rcot 0 (esc 0+1)
C) R tan 0 (sec 0+1)
D) Rcot 0 (sec 0+1)
E) R tan 0 (esc 0-1) A B
21.- En la siguiente figura: AB =a, 2AB = DC.
Calcular el área del triángulo EFG.
D
A
2a
a
24.- De la figura, calcular “x”, si: AC = CD.
CB A) a tan 0F
B) 2a tan 0
C) a cot 0
D) 2a cot 0E) (tan a - cot a) D
E) 2a sec 0
F
E B
CM
A) D) D
E) «(cot a + tan P)B)
C)
Resolución de Triángulos Rectángulos 47
23.- Una circunferencia con centro en O está 
inscrita en un triángulo ABC. Si la distancia 
de O al vértice A del triángulo es la media pro­
porcional entre las distancias del mismo pun­
to O a los otros dos vértices, entonces la rela­
ción que se establece entre los ángulos deí 
triángulo es:
22.- En la figura mostrada, determinar “x”, si: 
NC = «, ni Z ABM = a y «i Z MCN = p.
B
B ir 1L
A
A
a sec P 
cot P - tan a
a esc P 
tan a-cot P
«secP 
tan a-cot P
a esc P 
cot a - tan P A
25.- En la figura mostrada BDEF es un cuadra­
do. Si además: ni Z DBA = a, ni Z BCA = P; 
calcule: cot p.
A) esc2 a - cot a
B) tan2 a + sec a
C) cot2 a - esc a
D) sen2 a + tan a
E) sec2 a + tan a C
2a- C) tan a.. a1 , _. 2a2A) -¡v tan a B) —rr cot a1 o 43
a2D) Tí? (tan a + cot a)lo
26.- En la figura mostrada determinar “x” en 
términos de “r” y “0"
C . sen
C)sen2 y = eos y
B . sen "2
C . eos y
C 
sen 2
A) sen2 y = sen y
E) sen2 y = sen y
B) sen2 y = eos y
D) sen2 y = sen y
C 
eVX
c 
■sen 2
A)
A
B)
B)
C)
D) C B
D) E) r tan 0
27.- En la figura mostrada se cumple que:
OB = AB = OC = CD. Calcular: “cot 0”
M =
A) 73/3 A
A) B) C)0 2
B
1
D) E)
D) 73 +1
O cE) Jí
A) 45°
B)37°
C)30°M = 2cos0 + cot0.
D)6(rA)1 A N
E)53°B)2
C)3
M
D)4
A) 4 sen 0
E)5 O B) 8 sen 20
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
C)2cos 20
29.- De la figura mostrada se sabe que: D) 5 sen 0
A 4 O 4m Z BCA = m Z ADC = 90°; m Z ABC = a. E) 3 eos 20
■'1 48 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO>> 1DITOM11
B) 273 -1
C) 75 -1
Si además el área de la región triangular ADC 
es k, calcule el área de la región triangular ABC.
32.- En la figura mostrada, evaluar el área de la 
región triangular AOB en términos de 0.
k_
2
E) k tan2 a
30.- A partir de la figura mostrada, se pide de­
terminar M, si:
2
3
3.
2
1 
3
1 
4
T
X
1
rese 0 
sec 0-1
rcot 0 
esc 0 +1
rcot 0 
esc 0-1
r tan 0
esc 0 + 1
k_
2
C) ¿sec2 a
A) k esc2 a
33.- Si ABCD es un cuadrado donde: CD = 3ED 
y además: m Z BEA = 0 ; calcular esc 0.
eos2 a
B
sen2 a
28.- En la figura se muestra un afeo de circun­
ferencia, donde: AM = BN. Determine el valor 
de:
31.- De la figura, calcular “0”, si se sabe que: 
S = área de una región triangular.
c E D
A) 3 E
B)2
CC)1
AB D) 1/2 D
E) 1/3
bA) 5
B)4
B)A)
C)3
D,
D)2 C) D)
E)1
E)
; AB = t ; BD = «»iZBDC = 0
A) 2
Calcule el área de la región sombreada.
B)1
A C)3
D) 1/2
E) 1/3
C) 2 ab sen2 0. eos 0 B
D) 2 ab sen 0.cos~ 0
CD E
Resolución de Triángulos Rectángulos 49
38.- En la figura ABCD es un cuadrado, M y N 
son puntos medios. Determinar «cot 0».
_____ b2_____
3(cota + cotP)
_____ b2_____
3(cota-cotp)
_____ b2_____
2(csca-csc P)
_____ b2____
2(cot a + cot P)
_____ b2_____
6(csca-cot P)
37.- Determinar el área de la región triangular 
de la figura:
C B
35.- En la figura mostrada se sabe que:
34. - En la figura mostrada, ni Z ABC = 90°, 
ni Z BCA = ni Z DAB = a. Asimismo se sabe 
que el área de las regiones triangulares ABD y 
ADC son equivalentes. Calcular el valor de:
W = eos 2 a . esc2 a
A
C)4F
A)^0
r> 7160
E ~Í2—
36.- En la figura mostrada, ABCD es un rectán­
gulo. Si: AD = 4CD, CE = CD, m Z BFA = a; 
calcule: W = 73 + 7tana
B)^l
B) ab sen 0.cos 0
D)^H5
10
A) y ab eos2 0
E) | ab sen2 0
ffiZABD = mZAED = mZBCE = 90° ;
Sociedad
■
líMedir una distancia vinculada al ángulo de elevación o > 
depresión le permite al topógrafo medir los desniveles de un 
' terreno o de algún punto
. particular de un proyecto. ,
■wi Las alturaso profundidades se miden
■ T resolviendo el triángulo rectángulo que 
j se puede formar con los datos.
I X '
/ El ángulo de elevación es muy útil para determinar la altura de 1 
los objetos. Cuando fue posible tomar datos de las alturas o ' 
desniveles de un terreno se dio 
pase a una nueva disciplina 
llamada hipsografía, del término griego, 
«hypsos> (altura).
-y La localización de los objetos, personas, lugares, etc., son de
■ mucha ayuda en la actualidad. Estas son determinadas por 
técnicas que, mediante 
softwares, logran emplear los 
datos hipsográficos e imágenes. Uno 
de ellos es Google Maps.
Ü3 •
•H
5.1. ÁNGULOS VERTICALES
a: es la medida del ángulo de elevación
5.2. ÁNGULO DE OBSERVACIÓN
Üneá visual
0: ángulo de observación en el P.V. <j>: ángulo de observación en el P.H.
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ^iRACSOJ|iDiroin50T5
P: es la medida del ángulo de depresión
tíM-
Se denominan así a aquellos ángulos agudos, uno de cuyos lados se ubica sobre la línea 
horizontal mientras que el otrose localiza en el mismo plano vertical, por encima o por debajo 
de aquella, llamándose: ángulo de elevación y ángulo de depresión, respectivamente.
Es el ángulo formado por dos líneas visuales que definen un campo de observación 
respecto de un observador. Este ángulo puede ubicarse en cualquier plano: en un plano verti­
cal (P.V.), en un plano horizontal (P.H.), y en cualquier otra orientación.
i
____«"üKea visual
_______Línea Horizontal
n___
Línea visual
Nota: El ángulo de observación está comprendido entre 0o y 180°
_ ___
ofi eni q o hárrfé t ríe as;
^^sWu aó ¡ <an té x tu al i za d a s
Línea Horizontal
zL
5.3. ÁNGULOS HORIZONTALES
N <JV
O E
’S
N
NENO
,45° EO
45‘
SESO s
Razones Trigonométricas en Situaciones Contextualizadas
5.3B Direcciones NE, NO, SE y SO
(Ñor Este, Ñor Oeste, Sur este y Sur Oeste respectivamente)
Para definir un rumbo o dirección de movimiento se toma como referencia cualquiera de 
los puntos cardinales.
Son aquellos ángulos que se encuentran en un mismo plano horizontal. Estos ángulos 
están constituidos por las denominadas direcciones cardinales: este (E), oeste (O), norte (N) 
y sur (S).
5.3A Rumbo o Dirección
Es la dirección considerada o trazada en el plano horizontal, y principalmente cualquiera 
de las comprendidas en la rosa náutica.
E
x Punto de 
referencia
S
magnéticas, una excelente referencia en las cartas 
marinas en la que se mostraba la dirección de los 
ocho vientos principales. Las más antiguas rosas de 
los vientos de las que se tiene noticias son las que 
aparecen en las cartas de navegación del siglo XIII 
manejadas por los navegantes españoles e italianos. 
En ellas, los ocho puntos cardinales aparecían 
marcados con las iniciales de los principales vientos, 
si bien en ocasiones —como puede observarse en la 
rosa que aparece en la imagen— el punto cardinal 
Este aparecía señalado con una cruz, en tanto que el 
Norte lo hacía con una flor de lis. A partir de la 
expansión del uso de la brújula, la rosa de los vientos 
pasó a convertirse en una herramienta auxiliar de 
aquélla. [Enciclopedia Encarta, Madrid, 2004\.
5.3C Rosa Náutica o Rosa de los Vientos
También conocida como rosa de la aguja, fue antes de la generalización de las brújulas
Punto de 
referencia 
O\,
PROB. 1
****■**★*★*★*★★★★*♦
Elaboramos el gráfico correspondiente:
f’(9Ó°’-é)
■k-k’k'k-k'kic-k-k-k'k-k ititUt
h\
+
Se observa que : x cot a = d + x cot p
x cot a-x cot p = d Se sabe que:
x(cot a - cot P) = d distancia = velocidad x tiempo
...CUx = v . I
Pero: x = h cot 0 - h tan 0
x = h (cot 0 - tan 0) ... (2)PROB. 2
Reemplazando (1) en (2):
fi(cot 0 - tan 0) = v . t
v =
■ 52 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos -Sai RACSO
IDITOÍII
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Desde un punto en tierra se observa la cumbre 
de una montaña con un ángulo de elevación 
a. Si la distancia del punto de observación a la 
falda de la montaña es «d», exprese la altura 
de la montaña respecto al nivel del suelo en 
términos de a, P y d, siendo P la pendiente de 
la falda de la montaña.
Desde un avión que vuela horizontalmente y 
en línea recta, a una altura «h»km, es ubicado 
en tierra un punto bajo un ángulo de 
depresión 0. Luego de «r» horas, este punto 
es visto nuevamente con un ángulo de 
depresión igual al complemento del anterior. 
Si el avión no ha pasado por encima del punto
mencionado, exprese la velocidad del avión 
en km/h en términos de h, t y 0. Se sabe que 
la velocidad del avión es constante.
h cot 9 
h tan 9 .
d 
cot a-cot p
xía Xp ri
-4 d $-x cot (5-4- 
-4------- x cot a------- 4-
y (cot 0 - tan 0)
N
S3x = 2j3+xj3tan 30° =
x =
AB2 + AP2 = BP273 + 1
«■-’5’(s)
DE RESOLUCIÓN 
Razones Trigonométricas en Situaciones Contextualizadas 53
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
ESTRATEGIAS
2)
3)
sur de A, la elevación es de 30°. Si la torre 
tiene 75 m de altura, calcular la distancia 
comprendida entre A y B.
PROB. 3
Un reflector situado al ras del suelo ilumina 
un monumento bajo un ángulo de 30°. Se 
traslada el reflector a 2 m más cerca del 
monumento y éste se ve bajo un ángulo de 
45°. ¿Cuál es la distancia del monumento al 
segundo lugar de iluminación?
PROB. 4
La elevación de una torre desde un punto A 
al Oeste de ella es 60° y desde un punto B al
2- J3
3- 73
T
75 m.
x2+^- = 752(3)
x = 50 76
1) Lea e interprete adecuadamente el enunciado del problema.
Elabore un gráfico indicando en él los datos reconocidos del enunciado.
Centralice su trabajo en triángulos rectángulos.
4) Resuelva dichos triángulos rectángulos
En el triángulo mayor: 60° a 30o, tendremos: 
x _ 73 
2 + x 3
Racionalizando, obtendremos:
273 3 + 73 2(373+3)
3-73'3 + 73 6
Trasladando los datos a un gráfico como el 
mostrado, reconocemos que:
AP = 75 cot 60° = A BP = 75 cot 30° = 75 -Js
Aplicando el teorema de Pitágoras en el 
triángulo rectángulo sombreado, obtendremos:
752
3 
x2 = 752(3-1)
Enunciados de Problemas v
con Resolución
j•••■ ■
ÁNGULOS VERTICALES
A) H eos 2a
B) H sen 2a
B) 10 m C) 9 m D) 8 niA) 6 ni E)4m C) H esc 2a
D) H sec 2a J
E) H cot 2a
A)2(Vó + 72) D) 7ó - -Jl
B)2(7ó -72) E)2(V2 + 76) E) 5/6A) 1/2 B)3/4 C) 2/3 D) 1/5
C) 76 + 72
C) 3,448 niB) 3,223 mA.)'3,M4m
E) faltan datosD) 4,483 ni
■®i RACSO 
piOtTOlllProblemas de Trigonometría y cómo resolverlos« • 54
----------------—----------------------- .. . ■_______ . ..." .. .. .. : '
¿i Imagen
05.- Desde un punto a nivel del suelo un ob­
servador divisa una estatua con su pedestal 
de 5 ni y 4 m respectivamente. El ángulo de 
elevación de la cabeza de la estatua es el do­
ble del ángulo a la parte superior del pedestal 
o pie de la estatua. ¿Cuál es el valor de la tan­
gente del mayor ángulo de elevación?
03.- Los ángulos de elevación de la cúspide 
de una torre, vistos desde 2 puntos situados 
en línea recta con el pie de la torre son de 45° y 
30° respectivamente, si la distancia entre los 
puntos de observación es de 60 ni, la altura de 
la torre (en ni), es:
06.- El diámetro aparente (ángulo de observa­
ción) del sol es aproximadamente 32’. ¿A qué 
distancia del ojo debe colocarse una moneda 
de 30 nim de diámetro para poder tapar exacta­
mente al sol?. Considere que tan 16’ = 0,00465.
01.- Desde la parte superior e inferior del se­
gundo piso de un edificio de cuatro pisos igua­
les, se observa una piedra en el suelo y a una 
distancia de 9 ni con ángulos de depresión 
«P» y «0» respectivamente. Desde la parte más 
alta del edificio la depresión angular para la 
piedra es «a». Si se conoce que:
tan a - tan P - tan 0 = 1/4
La altura del edifico es:
D)^
U) 60
04.- En la figura mostrada. ¿A qué distancia se 
encuentra el globo respecto del lago?
(p Globo 
Tl^d1 
H?p \ 1
I H n
Ah -
A)S B) 75-1
E)—60
C)-^= 
1-75
02.- Un observador aprecia dos puntos que 
están en una misma vertical bajo ángulos de 
elevación y de depresión de 30° y 15° respec­
tivamente. Si la distancia del observador al no
,. - i, 475cambiar mas alto es —y ni.
¿Cuál es la distancia del observador al otro 
punto?
A) 13 B) 11
B) 951,11.7» C) 961,1 kmA) 3185 km
D)917 km E) 5 516 km
A) 8/» B) 10/» C) 12/» D)14/» E)16/h
C)2 34O/»
A) 0,5 B)0,55 C)0,6 D)0.4 E)0,7
B) 12 C) 13 E) 15A) 11 D) 14
A) 4 B)5 C)6 E)8D)7
Razones Trigonométricas en Situaciones Contextualizadas
B)2 320/»
E)2 36O/»
A) 2 300/»
D)2 366/»
09.- Una mosca que está en el suelo observa 
un pajarillo con un ángulo de elevación de 
45°. Para llegar donde está el pajarillo, la mos­
ca describe una trayectoria curva de un cuar­
to de circunferencia de modo que en un punto 
de su recorrido observa al pajarillo con un 
ángulo de elevación de 37°. ¿A qué altura (en /») 
se encuentra la mosca en dicho punto?. El pajarillo 
está a una altura de 2,5 /// respecto del piso.
10.- Desde un avión se observa un punto en 
tierra con un ángulo de depresión “a”. Cuan­
do el avión se desplaza horizontalmente una 
distancia igual al triple de la altura a la que se 
encuentra, el nuevo ángulo de depresión para 
el mismo punto es “ 90° - a”. Calcular:
M =tan2a + cora
11.- Desde un punto en tierra se observa la 
altura de una torre con un ángulo de eleva­
ción de 37°. Si la visual en dicho lugar mide 
20///, ¿qué distancia horizontal (en ///) deberá 
acercarse un observador, hacia la torre, para 
que el nuevo ángulo de elevación tenga por 
tangente 2?
13.- Un pescador situado a 600 /» sobre el ni­
vel del mar observa una lancha con un ángulo 
de depresión “a”. Seis minutos después ob­
serva en la misma dirección a la lancha pero 
ahora con un ángulo de depresión “0”. Calcu­
lar la rapidez de la lancha en km/h, si:
tan a = V3 + 1 y tan 0 = V5 - 1
08.- Desde un globo que está en la vertical 
que cae sobre un camino recto, los ángulos de 
depresión de dos piedras consecutivas, 
indicadoras de los kilómetros, miden 45° y 60°. 
Calcular la altura del globo.
07.- Un lugar de la provincia de Santiago tiene 
una latitud 30°. ¿A qué distancia respecto del 
eje de la tierra se encuentra, si el radio terres­
tre mide 6 370 km?
55]
C)10 D)9 E) 5
12.- Un alumno de -Jl /// de altura, observa la 
parte superior de una torre de alta tensión con - 
un ángulo de elevación de 60°. ¿Cuánto deberá 
retroceder el alumno para observar la misma to­
rre pero con un ángulo de elevación de 30°, si la 
altura de la torre es de 6 Jh m?.
A)5 B)6 C)7 D)8 E)9
14. - El asta de una bandera está colocado ver­
ticalmente en lo alto de una vivienda. A 36 m 
de distancia de la parte baja de ¡a vivienda se 
observa la punta del asta y la parte superior 
de la vivienda con ángulos de elevación de 
53“ y 37" respectivamente. Calcule (aproxima­
damente) la longitud del asta (en //i).
A) 13 B) 18 C)19 D)21 E)23
15. - Un avión que vuela en línea recta y hori­
zontalmente antes de pasar sobre 2 puntos en 
tierra “A” y “B” los observa con ángulos de 
depresión “a" y “0" respectivamente. Cuan­
do está sobre “A" es visto desde “B” con 
un ángulo de elevación “0”. Si : cot a = 1/3 
y cot 0 = 1/2. determinar “tan 0”.
A)2 B)4 C)6 D)8 E) 10
16. - Una antena de radio de 15 m de longitud 
se encuentra en la azotea de un edificio.
Desde un punto del plano horizontal que pasa 
por la base del edificio las elevaciones angula­
res de la parte superior e inferior de la antena 
son a y 0 respectivamente. Si: tan a = 0,76 y 
tan 0 = 0,19, determinar (en /») la altura del 
edificio.
B)40RPM
D)60RPM E)70RPM
E) 16 sen 20D) 8 sen 20
A) 60 B)50 C)40 D)30 E)20
D)60° E)75°A) 15° B) 30°
D)S30°0;20A)S37°O;20
E) S45°O ; 20B)S53°O;20
C)S45°O; 10
A) 10 B)20 C)30 D)40 E)50
ÁNGULOS HORIZONTALES
C) 17 D)20 E)25A) 10 B)15
A) 45° B)ll”15’ C)47°15’
D)56°15’ E) 15°15’
: 56 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
17.- Un poste de longitud “x”, está inclinado 
60° respecto a la vertical. El foco del poste es 
observado por 2 personas que se encuentran 
ubicadas a los dos lados de éste y lo obser­
van con ángulos de elevación “0” y “ 90° - 0”. 
Si la separación entre dichas personas es de 
16 m, calcular “x” en términos de “0”.
19.- Una persona observa un objeto que está 
en caída libre vertical, con un ángulo de eleva­
ción de 60°. Luego de un momento lo vuelve a 
observar con un ángulo de elevación de 30°. 
Si en la primera observación, el objeto, se en­
contraba a 60 m de altura, ¿a qué altura (en m) 
se encontraba en la segunda observación?
18.- Una persona sube una cuesta y cuando 
llega a la cúspide, se da cuenta que la altura a 
la cual se encuentra es la mitad del camino 
recorrido. Calcular el ángulo de elevación con 
el cual se observa a la cúspide, desde la base 
de la cuesta.
25.- Desde una estación de control A se ob­
serva a otra estación B en la dirección N0E a 
una distancia L. Desde la estación B se obser­
va una tercera estación C en la dirección N20E 
a una distancia también igual a L. ¿En que di­
rección se encuentra la estación A respecto 
de la estación C?
C)45°
20.- Una persona en A se encuentra al este de 
la otra persona en B, si la persona en B se
desplaza en la dirección N ~ NE y la persona 
en A en la dirección NO, se encuentran en el 
punto P. Calcular ¿cuánto mide el ángulo APB?.
23.- Un auto recorre 40 km en la dirección 
N53°O, luego recorre 40 -J2 km en la direc­
ción SO y finalmente recorre 60 km en la direc­
ción este. Determine en qué dirección y a qué 
distancia (en km) se encuentra el auto respecto 
a su posición de partida (aproximadamente).
21.- Si desde un carrousel observas a un ami­
go en la dirección oeste en la situación más 
cercana y al cabo de 0,15 segundos ¡os obser-
24.- Desde un faro se observa dos barcos con 
direcciones ESE y NNE. Si la distancia que 
hay entre los dos barcos es aproximadamente 
10 (¿2 + J2 ) km, y desde el segundo barco se 
observa al primero en la dirección SE, calcular 
(aproximadamente en km) la diferencia de las 
distancias del faro a los 2 barcos.
22.- Un niño sale de su casa y hace el siguien­
te recorrido: 20 m al norte, 40 m al este y una 
cierta distancia al SO, hasta ubicarse al este 
de su casa. ¿A qué distancia (en m) de ella se 
encuentra?
vas en dirección NO. Calcular el número de 
vueltas que da el carrousel por cada minuto.
A)30RPM B)40RPM C)50RPM
Sugerencia: 2 sen 0 eos 0 = sen 20.
A) sen 20 B) 2 sen 20 C) 4 sen 20
A) 2 B) 1/3 C)4 D) 1/4 E) 1/2
O
N
C)A) D) E)
A)135° D)60° E)120°
A)SSE B)S75°E C)E40°S
D)N60°E E)ESE
QFFFA)FVF B)WF
D)FFV E)FW
A) 45° B)30° C)70° D)80° E)15(r
SITUACIONES TRIDIMENSIONALES
C)40A) 20 B) 13 D) 14 E)25
Razones Trigonométricas en Situaciones Contextualizadas
33.- Desde lo alto de un acantilado se observa 
en la dirección 0(90“- a)S a una boya bajo un 
ángulo de depresión de 45° y en la dirección- 
EaS a un bote con un ángulo de depresión de 
30°. Si la distancia que separa a la boya y el 
bote es 80 ni, determinar (en ni) la altura del 
acantilado.
7t
3
71
8
_n
2112
29.- Jorge y Giovanna, cogidos de las manos, 
se encontraban conversando. Al despedirse 
Jorge se dirige en la dirección Oeste caminan­
do rectilíneamente 200 ni, pero Giovanna lo 
hace rectilíneamenteen la dirección N 63° 30'E 
una distancia de 100-^5 m. Ella olvidó dar un 
mensaje a Jorge, por lo cual decide darle el 
encuentro caminando rectilíneamente en la di­
rección S(90° - 0)0 hasta encontrarlo. Se pide 
determinar cot 0, aproximadamente.
C)45°B)225°
B)SE~S
1 1
SE~SyN — NE se obtiene:
1 
E)N-NO
28.- Dos personas se ubican una frente a otra 
en la línea Este - Oeste. Si éstas se desplazan 
en rectilíneamente en las direcciones N70°E y 
O10°N respectivamente hasta encontrarse, de­
termine el menor ángulo formado por las di­
recciones de sus movimientos.
26.- Dos embarcaciones parten de un puerto 
con movimientos rectilíneos, el primero con di­
rección N0E y el segundo con rumbo S2[3E. 
Cuando el primero recorre 4 km, el segundo 
recorre 4,2 km. La distancia que los separa es 
de 5,8 km. Encontrar el ángulo P en radianes.
27.- Una lancha sale de un puerto con movi­
miento rectilíneo en la dirección SE. Luego de 
un tiempo “r” de recorrido se desvía y conti­
nua rectilíneamente por la dirección N15°O, 
hasta equidistar del puerto y del punto de des­
vío. ¿En qué dirección se encuentra la lancha 
respecto del puerto?.
30.- ¿Cuál es la dirección opuesta a la direc-
1 
ciónNE -E?4
32.- Para las siguientes proposiciones deter­
mine la verdad (V) o falsedad (F):
a) El mayor ángulo formado por las direccio­
nes SO y SSE es 305°
b) El menor ángulo formado por las direccio­
nes ENE y ONO es 135°.
c) El menor ángulo formado por las direccio­
nes ESE y NNO es 90°
71
1
D)NE-N
C)SO^O1A) N-NE
E)O^N
B)S^O
31.- Al calcular el mayor ángulo formado por 
las direcciones:
D)O|
A)S| c)s|o
A) 1/2 B)4/5 C)2/3 D) 1/3 E) 1/5.
C)2seca
E) 2 esc a
A) 45 m B) 40 ni C)43m
D)5O»i E) 43 ni
C)2j3
A)5m B)4m Cfíin D)2m E) 1 m
B)5V2A) 3 77 C)7 J3
D)(3V2 - Ij.tanGA)(l- V2).tan0
E)2V7D)2-V5
E)(2v/2 - Ij.tanGB) (,/2 + l).tan 0
C)(V2 - Ij.tanG
[ i'<. | 58 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ¿Sí RACSO
}|lDlTOltl
A) V3
D) í/5
B)2V2
E) i/2
35.- Un avión desciende rectilíneamentecon 
una inclinación a. en la dirección Este - Oeste. 
Si un observador ve al avión primero hacia el 
NE y luego hacia el N con ángulos de eleva­
ción iguales al complemento de a, entonces al 
calcular sec a se obtiene:
37.- Una persona de 1,80 ni de altura se en­
cuentra al sur de un poste luminoso de altura 
“H" ni y a una distancia de "a” ni, de tal mane-
36.-Dos edificios AB y CD tienen la misma 
altura. Una persona de ubica entre dichos edi­
ficios de tal manera que su posición está en la 
línea recta AC que une sus bases. Dicha per­
sona observa el extremo B con un ángulo de 
elevación de 60°, si luego de caminar rectilínea­
mente 3 <2 ni en una dirección perpendicular 
a la recta AC observa los extremos B y D con 
ángulos de elevación de 45° y 30° respectiva­
mente, entonces la distancia de su posición ini­
cia] al extremo C es:
40.- Una avión cae con un ángulo de inclina­
ción “a” debajo de la horizontal en la direc­
ción EO. Calcular el valor de la tan a para que 
un observador vea el avión primero hacia el 
NEy luego hacia el norte con el mismo ángulo 
de elevación “0”
39.- Un niño de 1 m de estatura observa un 
foco de luz que se encuentra sobre un poste 
en la dirección N18°E, con un ángulo de ele­
vación cuya tangente es 2/3; luego se des­
plaza 20 ni en la dirección N71°E y vuelve a 
observar al poste ahora en la dirección N72°O. 
Hallar la longitud de la sombra del niño en su 
posición final.
38.- Desde 2 puntos A y B ubicados al sur u 
este de un edificio, se observa la parte supe­
rior del mismo con ángulos de elevación de 
45° y 53° respectivamente. Hallar la distancia 
entre el punto B y el edificio, si la distancia 
entre el punto A y la parte superior del edificio 
es 60 Jl ni.
ra que la proyección de su sombra tiene una 
longitud de 7,20 ni. Si camina rectilíneamente 
hacia el Oeste, de tal manera que su distancia 
hacia la parte inferior del poste es de “y” ni y la 
proyección de su sombra tiene como medida 9 
m; se pide determinar: x/y.
34.- Un observador se encuentra ubicado al 
sur de una torre de alta tensión y visualiza el 
extremo superior de aquella con un ángulo de 
elevación a. Asimismo otro observador se en­
cuentra en la dirección OaN respecto a la an­
terior y al Oeste de la torre visualizando el ex­
tremo superior de ésta con un ángulo de ele­
vación p. Calcule cot P en términos de una 
razón trigonométrica de a.
A) sen2 a B)tan2a
D) cot" a
i
■4
Ax
-A Gij,
Vo
4 o/t (y - ■ e
^oaeaad
.•
le conoce como meridiano de origen o 
meridiano cero, adoptado por un acuerdo 
internacional, desde el 1 de enero de 1885, como 
origen para medir la longitud y, también, como la línea 
base para establecer los husos horarios a nivel mundial.
■ir
?
' El movimiento armónico simple puede ser descrito como la 
proyección de un movimiento circunferencial uniforme. La 
posición del móvil 
está determinada por 
el radiovectoryelánguloque ?■ 
este forma con una — 
referencia. z-
V
El meridiano de Greenwich es el meridiano que pasa por el 
■ antiguo Real Observatorio de Greenwich, al este de Londres. Se
ni
x(t)
«t/A
Tec^sfegíáffi^
En ingeniería eléctrica se utihzan los fasores que, al mismo'^t.1 
modo de los vectores, presentan un valor y un ángulo ’ 
trigonométrico variable. Su aplicación reduce la f 
-.complejidad de los cálculos ya queconsideran solo 
los ángulos reducidos al primer cuadrante. * ^..Z. "
&
EL PLANO CARTESIANO
y
y=mx+b
(y-h) = afr-kfirb
k
h V(k-,h)
Adaptado de http://masdehistoria.blogspot.com/2010/03/el-plano-cartesiano
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que 
se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la 
vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y). El punto donde se cortan recibe el nombre de 
origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan 
por sus coordenadas o pares ordenados. Éste es el nuevo tema de Matemáticas que hemos 
empezado esta semana. Después de conocer qué es exactamente un plano cartesiano, qué 
utilidades puede tener en la vida cotidiana, cómo se puede aplicar a la organización de un 
sinfín de actividades de muchas áreas y disciplinas del saber, surge la pregunta.
¿Quién inventó el plano cartesiano?
Como siempre, el primer paso es buscar en los diccionarios que tenemos en nuestra mesa. Son 
variados, de diferentes editoriales, unos más antiguos que otros, pero todos valen para saber lo 
que queremos.
La respuesta no se deja esperar: el plano cartesiano se atribuye a René Descartes, filósofo, 
matemático y científico francés. El diccionario establece que Descartes es considerado el 
pionero de la Filosofía Moderna.
Esta información nos amplía algunas cosas que ya sabemos: que la Filosofía nace en la Antigua 
Grecia en torno al siglo VI a. C. y que navega por la Historia como un cuerpo único de cono­
cimiento hasta que, en el siglo XVII se sientan las bases de la Filosofía Moderna de la mano, 
entre otros, de Descartes.
René Descartes nace el 31 de marzo de 1596 cerca de Poitiers, en Francia. Hijo de jurista, 
su madre muere al año de su nacimiento durante el parto de un hermano que tampoco 
sobrevivió.
Él y sus dos hermanos fueron educados por su abuela, pues su padre se ausentaba largas 
temporadas por razón de su trabajo en el Parlamento de Bretaña y acabó dejando atrás a sus 
hijos al contraer nuevas nupcias con una doncella inglesa.
A los 18 años ingresa en la Universidad de Poitiers obteniendo su licenciatura en 1616. 
Descartes fue siempre un alumno sobresaliente. Fundamentó su pensamiento filosófico en la 
necesidad de tomar un «punto de partida» sobre el que edificar todo el conocimiento.
En su faceta matemática que le lleva a crear la 
geometría analítica, también comienza tomando 
un punto de partida: dos rectas perpendiculares 
entre sí, que se cortan en un punto denominado 
«origen de coordenadas», ideando así las deno­
minadas coordenadas cartesianas.
Son conocidas las ecuaciones de:
a) La recta: y = mx + b
b) La parábola: (y - h) = a(x - k)2
Ambas ecuaciones tienen sus representaciones 
gráficas en el plano cartesiano.
http://masdehistoria.blogspot.com/2010/03/el-plano-cartesiano
6.1. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
II C
x
IVC
y
(*;y)
i
X
0
x"d
d > 0
P(x;y)
xo O
La denominación de radio vector, se debe a que este elemento matemático tiene origen
(0 ; 0), dirección (del origen al punto) y módulo (la distancia OP = r).
Razones Trigonométricas de Ángulos en el Plano Cartesiano
O
IHC
En el plano se identifican cuatro cuadrantes denotados 
y ubicados según como se muestra en la figura.
Axioma. A cada punto del plano cartesiano le 
corresponde uno y solo un par ordenado.
6.IB Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano
Es la longitud del segmento de recta que existe entre 
dos puntos de un plano cartesiano, y está dada por:
6.1C Radio Vector (r)
Es la distancia que hay desde el origen de coordenadas 
hasta un punto (x; y) cualquiera del plano.
Es aquel sistema formado por dos rectas numéricas una 
horizontal llamada eje de abscisas (x) y la otra vertical llama­
da eje de ordenadas (y), que se cortan perpendicularmente, 
en un punto llamado origen de coordenadas, formando un 
plano en el que cualquier punto está plenamente ubicado 
por un conjunto llamado par ordenado.
Par Ordenado.- Es el conjunto formado por dos números 
reales de la forma (x ; y), caracterizados por el orden de sus 
elementos: x es el primer elemento (abscisa) e y es el 
segundo elemento (ordenada) .
2 
+y
¡fuí os e n ¡ él PI a n ó !C a rt'és ¡ano 
..........................
: \ i /
fx> 0 
ty<0
x< 01 
y>oj
x< 01 
y<0)
d = V(x2-xi)2+(y2-yi)2
cas^e^
I^Ex. \ j/ • 1 í i l I z—'x I I > I i z^x ^^x ■ z“"X ^^x
ci i ci r taiiu ven lcoicli iü
----- ------ -
r= Ví^2
6.1A Ubicación de un punto en el sistema de coordenadas
Un punto se ubica en el plano cartesiano cuando se conoce su respectivo par ordenado. 
y
Aíx^y,)6.ID División de un segmento en una razón dada (r).
B(x,; y2)
M(x; y I
X = A(x,; y2)
6.1 E Coordenadas del baricentro de un triángulo
Y
C(x3;y3)
X
Conocidas las coordenadas de los vértices de un triángulo, el área de la región triangular
limitada por ella se determina a partir del siguiente determinante:
Y* A(x3;y3)
i s X
Cuyo resultado es:
6.2. ÁNGULOS EN UN SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
6.2A Ángulo en posición normal
RACSO
IDITOkliProblemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Nota.- Queda claro que el valor asociado a esta matriz (el determinante), es el área de la 
región triangular. Esta técnica nos permite determinar el área de una región poligonal.
i) 
i¡) 
iii)
Conocidas las coordenadas (x,; y p, (x2; y2), (x3 ;y3) 
de los vértices de un triángulo, se puede determinar las 
coordenadas del baricentro de dicho triángulo, a partir de:
1 
1
1
Vi 
y, 
y.
x,
X2
X,
X! + rX2
Xj+X2+X3
3
Sea: -j^¡| = r , donde «r» es el valor de la razón 
(comparación) de las longitudes de dos segmentos 
ubicados en una misma recta. Si A y B son conocidos, 
las coordenadas del punto M vienen dadas por:
Es aquel cuyos elementos están plenamente determinados en un plano cartesiano, de 
modo que :
Su vértice es el origen del sistema de coordenadas.
Su lado inicial es el semi eje positivo de las abscisas.
Su lado terminal nos indicará el cuadrante al cual pertenece el ángulo.
qG(x;\
-JírB(xJ;y3)
Bfciyi)
S = U2l(x¡.y2 + x2.y3 + x3.y,) - (x,.y3 + x3.y2 + x2.y1)j
s4
y= Xlígz.
y 3
6.1F Área de una región triangular
ayAY
a.
PX X
Pe IVC; P>0
y y y y
180°
X X
y y y y •.
X X
-180° -540°
Z cuadrantal = 90° n ; V n e ZEn general:
o bien
6.2C Ángulos Coterminales
X
a y P son coterminales 0 y <¡> son coterminales
Razones Trigonométricas de Ángulos en el Plano Cartesiano
ae IC ; a < 0
6.2B Ángulo Cuadrantal
90°
450°
x
270°
X---- x
360°
x
Son aquellos ángulos en posición normal que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado 
final sin considerar sus correspondientes sentidos de rotación ni su medida.
Z cuadrantal = ; V k é Z
61~|
Z7 x 
-90°
Es aquel ángulo en posición normal cuyo lado final se encuentra sobre un semieje. Por 
convención se ha establecido que los ángulos cuadrantales no pertenecen a ningún cuadrante. 
Por ejemplo:
6.3. DEFINICIONES DE LAS R.T. DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
cot a =sen a = = y
r sec a =eos a =
P(x;y)
tan a = esc a =
r = v/x2 + y2
6.4. PROPIEDADES
1C: (+)
(+)
R.T.
sen
ND = valor no definido
sec
CSC
ii) R.T.(a) = R.T.(P)
-S1RACS0
fP IDITOKBI
(+)
c
Si dos ángulos son coterminales sus razones trigonométricas 
serán iguales.
sen
esc
eos
sec
tan 
cot
todas 
las R.T.
—1
(+)
ordenada y
abscisa x
r
7
_ y.
r
eos
tan
cot
360°
0
1
0 
ND
1 
ND
ÁNGULO CUADRANTAL
90°
1
~0~
ND
0
ND
1
ordenada 
radio vector
radio vector 
ordenada
abscisa 
ordenada
0°
0
1
0
ND
1 
ND
180°
2_
4__
0
ND 
-1 
ND
abscisa 
radio vector
270°
-1
0 
ND
0 
ND
-1
6.4B Valores de las R.T. de los ángulos cuadrantales
A partir de las definiciones anteriores se pueden deducir los valores del siguiente cuadro:
Sea a un ángulo en posición normal tal que su lado final pasa por el punto P(x ; y). Se 
definen las razones trigonométricas de a, de la siguiente manera:
|y ________________________ _________________________
6.4C Propiedades de los Ángulos Coterminales
Sean a y p dos ángulos coterminales, entonces se cumple que:
i) a - P = n x 360° ; V n e Z La diferencia de dos ángulos coterminales es un número entero 
de vueltas de 360° .
62 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
6.4A Signos de las Razones Trigonométricas
Todas las Razones Trigonométricas son (+)
I1C: Seno y Cosecante son (+), las demás son (-)
IIIC: Tangente y Cotangente son (+), las demás son (-)
IVC: Coseno y Secante son (+), las demás son (-)
x
y. i' radio vector r_ 
abscisa x
,q»
PROB. 1 sen 0
tan 0 3
sec 0
PROB. 2
Por la fórmula del punto medio:
P(11 ; 8)
= 4 6
P(4 ;-3)
0
B(10; 1)
P(x;y)
A(-2; -7)
>4
6
r = 7(4)2 + C-3)2 a r = 5
10,y|
X e
e r
¿P(4; -3)
Entonces: sen 0 sen 0 =Del gráfico deducimos:
'] 63 |Razones Trigonométricas de Ángulos en el Plano Cartesiano
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Dado los puntos A(-2; 7) y B( 10; 1), si P(x; y) es 
el punto medio del segmento AB, por donde 
pasa el lado final de un ángulo en posición 
normal 0, se pide:
a) Ubicar el punto P(x ; y) en el sistema de 
coordenadas rectangulares.
b) Calcule los valores de las 6 R.T. del ángulo 0.
11 — 
(6; 8)
_8_
10
4
5
3
Z__y (5-o) 
1—5—I
T
8
-2 + 10
2
V/
(5; 0D
Dado que el ángulo 0 no se encuentra en 
posición (vértice del ángulo (5 ; 0)], 
trasladaremos su vértice u(5 ; 0) al origen de 
coordenadas. La traslación del segmento VP 
se realiza en forma paralela así:
y = z3 
r 5
y = = -3
= y = 
X 4
= r = 5 
x 4
COS 0 = — = 4 
r a
b) A continuación calculamos la longitud del 
radio vector. r= jx2 + y2
esc 0 = — = 
y -3
Obtener el sen 0, a partir de la siguiente figura:
coto = — = 
y -3
------ 1
p
7(11; 8) 
xz
PROB. 3 y
e
e
P(-12; -5)
P(-3;4)y—ny
(-12; 5)
0 0
0 P(-12; -5)
tan 0 = entonces:
DE RESOLUCIÓN: 
el sistema
-SiRACSO 
IDITOtlt
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
estrategias
. Rotar 90°. . Rotar 180°.
. Trasladar el vértice del ángulo al origen del sistema de coordenadas cartesianas.
y 
0
4
"3
PROB. 4
De la figura que se muestra, calcule cot 0.
.y
0
Como el ángulo 0 no se encuentra en posición 
normal, tenemos que expresarlo en posición 
normal, haciendo rotar 180° en sentido horario 
el radio vector OP.
Dado que el ángulo 0 no está en posición 
normal, lo hacemos rotar 90° en sentido 
horario, hasta que su lado inicial coincida con 
el eje de abscisas. En estas condiciones se 
obtiene el gráfico inferior:
A partir de los datos 
mostrados en la 
figura, obtenga tan 0.
una escala adecuada para ubicar los puntos en
1) Para determinar el cálculo de cualquier razón trigonométrica en un sistema de 
coordenadas cartesianas debemos conocer las coordenadas de un punto del lado 
final del ángulo en posición normal, (de este modo el lado final queda definida por 
su origen y dicho punto)
2) Es necesario tomar 
cartesiano.
3) Para el cálculo de las razones trigonométricas necesariamente el ángulo tiene 
que estar en posición normal.
4) Cuando el ángulo no se encuentra en posición normal, hay tres posibilidades:
. A 4 tan 0 = ^2
64 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Como el ángulo ya está en posición normal,
COt 0 = 
D
903-
4 (
:3
P(-4;-3)^
Enunciados de Problemas
con Resolución
R.T. DE UN ÁNGULO EN P. NORMAL
A) 40 B)-15 C)22 D)-35 E) -43 A)-3 B)2 C)-l D)-2 E)0
C) D) E)2
A) 1,75
B) 150
L.2
Q 2,25 x
D)0,75
A) 1 B)0,75 C) 0,50 D)0,45 E)-2
E) 1,25 •
A) 3
055 D)65 E)75A) 3,5 B)4,5
B)4
OI
D)5
(tan 0 - sec 0)calcular el valor de: M E)2
E) V2B)1 C)2A)-l D) 1/2
Razones Trigonométricas de Ángulos en el Plano Cartesiano
01.- Si el lado final de un ángulo en posición 
normal “0” pasa por el punto M(6; -4), calcu­
lar el valor de: E = V37 esc 0 + cot 0
5_ 
2
seca
65 |
02.- Si el lado final de un ángulo en posición 
normal cuya medida es a pasa por el punto 
(-2; 3), calcular:
08.- En la figura mostrada OA = OB, BC = CD. 
Determinar: M = 5 tan 0 - 6 cot 0, si el punto D 
es (-5 ; -4).
06.- Si “a” es un ángulo en posición normal 
del cuarto cuadrante, el cual verifica:
bl------Vna z- ,7'4°(Vcosa j = (sec a) ;
calcular: M = 7 eos a + 3 cot a
3tt
04.-Si: — <x<2n ; y:
-0,25 = sen x + , + sen3x + ... ; 
calcular: W = J2 (secx + cotx).
03.- Si: 9 tan2a - 16 = 0 ; y: 7y< a < 4n; 
entonces al calcular W = esc a + cot a , se 
obtiene:
b4
SITUACIONES GRÁFICAS
07.- Las ecuaciones de las rectas mostradas 
en la figura son:
L|:x + 3y = -7 a ,L2: 5x+2y = 4.
Determinar el valor de: W = tan a + sec2a
A) y
05.- Si: sen 0 = ‘3 ‘ "¡5 ' 35 ’ - y cos ® 
"n "términos 
/TI+i 
3n+l
W=^
csca
7_
2
A) 1/3
B)2
A) 1,0
C)-23B)2.5
D) 1/403,0 x
E)3/2D)4,0
E)l,5
PROBLEMAS CONDICIONALES
E)5A)-ll B)-9 0-7 D)3
j = -2|x|
W = tan a +cota
A) 2 B)-3 0-2 D)3 E)4
A) 17/23 I?
DB)-85/42
O 15/29 x
A) O CAMBIAR SOLUCION
D) 12/31
B) J2
BE)-23/27e
O-i ~oci 15.- Dadas las siguientes condiciones:
♦D) 1/2 I) tan a < O
E)3
Calcular: W = 5 eos a - 4 cot a
' 66 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■^l^cso
09.- En la figura mostrada, si AB = BC = CD, 
encontrar el valor de: W = tan 0 - tan 0.
11.- En la figura mostrada “O” es el centro de 
la circunferencia y además: OA = AB = BC. 
Determinar: M = cot 6 + <10 tan 0
13.- El lado final de un ángulo a en posición 
normal pasa por el baricentro del triángulo 
PQR cuyos vértices son: P(-l; -5), Q (4; 3), 
R(6;-10). Calcule: W = 5(sen a - eos a)
= 0
T6
J A
II) eos a > O
III) 22csc“
sen P
14.- En la figura mostrada se sabe que: BC = CD, 
37°
ni Z OAB = -y y las coordenadas del punto 
B son (- 3; - 6). Si además: m Z AOD = a, sien­
do a un ángulo en posición normal, calcular:
12.- De la figura mostrada, calcular “cot 0”; si: 
DP = PC.
-(0,25)1,25
10.- En la figura mostrada se tiene la gráfica 
de: y = -2| x|; donde a y P son ángulos en 
posición normal. Calcula el valor de:
W = -4= sec a- y[5 
v5
C)4 E) 8A) 1 B) 2 D) 6
SIGNOS DE LAS R.T.
17.- De acuerdo con las siguientes condiciones:
I) |sen 0| = sen 0
II) sen 0 - -Jcos <¡> - sen 0 > 0
Determinar el valor de: M esc 0 + cot 0 Determinar el signo de W, si:
W = tan 0 + cot <J>.A) 1/2 B)-l C)-2 D)-l/2 E) 1/3
A) Es siempre positivo.18.- Sabiendo que:
B) Es siempre negativo.I) |cos P| = - eos P
C) No es posible determinar el signo.II) |cot P| = cot P
D) Falta mayor información.III) |sec P| = 2
E) W es nulo.Calcular: W = sen p. tan p.
C)-l,0 E)2,5A)-2,0 B)-l,5 D)2,0
signo de: M = tan
A)(-) B)0 E)N.A
FF1 671Razones Trigonométricas de Ángulos en el Plano Cartesiano
II) |cos 0| = - eos 0
III) |tan0| = l,3
19.- Si se verifica que:
I) |csc a| = - esc a
II) |sec a| = sec a
III) |csc a - cot a| = k
Calcular: sec a. (a es positivo y menor que 
una vuelta)
16.- A partir de las siguientes condiciones:
I) tan0>O
II) sen O < O
III) |cos 0| >2/3
Calcular “sen 0” cuando eos 0 sea máximo.
22.- A partir de las siguientes condiciones:
I) 0 6 (0o ; 360°)
II) |sen 0| = - sen 0
III) esc 0 . eos 0 > 0
Determine el signo de M, si:
20.- Si 0 y 0 representan la medida de dos 
ángulos en posición normal positivos y me­
nores que una vuelta, cuyos lados finales se 
ubican en diferentes cuadrantes, tal que:
I) n/2<0<<t>
D) —E)-l
a
tan — = esc a - cot a
21.- Si a 6 (0; ít) ; 0 e ( n; 2n), determine el 
(2tt + a\ 0
—~— + esc —l 2 J 2
C)± D)(+)
k2
A) B) 2.21 C) 1
di-^4? i+¿2
1+z-2
B)B) k2
k2
C) I+P"
_ . ‘-tan2MSugerencias: cosa =-------- \—e
1 + tan2
I 2 I
E)-2B)0 C)1 D)2A)-l
M = sen . cot
B)0A)(+) C)±
M =
E)3/2A) 2 B)-la) sen 0/2 b) tan 20/3 c) sec 0/4
A) + ; + ; + B)-;+;+ C) + ;-; +
D) + ; + ; - E)-;+;-
C= Jcosa + cosp + sen©
AY
C)2 E)3A)1 B)-l D)-2P(a;i)
R.T. DE ÁNGULOS COTERMINALES
A) 15/4
B)7/2
C)5/4A)(+) B)0 C)± D)(-) E)N.A
D)3/4
R.T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES
E)2
A) 240“ B)260° C) 300° D)320“ E)340°
W = cosía + P + 0)Calcular:
m 68 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
23.- Si “0” es un ángulo positivo y menor a 
una vuelta tal que: sen 0 < 0 y cot 0 < 0; deter­
mine el signo de:
0
3
0
4
términos de a y b.
A) a + b/b 
B'lb/a
C) a/b
D) b/2a
E) 2a!b
32.- Sean a y P dos ángulos coterminales tal 
que: a > p. Si además el doble del menor es a 
la suma de ellos como 13 es a 23, calcule la 
medida del mayor si está comprendida entre 
U00“yl300°.
XSjt KACSO
1 D 1T 011 ■
A = ,/tana + senp + cos9 , B = ,/cotp - cosa
eos P = VsenG - Vsena
25,-Si: V-secO <0< V-sen9 ;determinarel 
signo de: M = tan 0 + cot 0 . eos 0. (0: es no 
cuadrantal)
26.- Siendo a, P, 0 ángulos cuadrantales dis­
tintos, mayores o iguales que 0° pero menores 
o iguales que 270° y además cumplen:
29.- Siendo a , P y 0 ángulos cuadrantales; 
calcular: M = A + B + C, donde: (a, P y 0 6 [0 
;27t»
30.- En la figura se cumple que: sen a = -15/17. 
Determinar: M = tan a + tan 0 + tan (a - 0)
AY
31.- Determinar el menor de 2 ángulos coter­
minales, si la suma de ellos es 1320° y el mayor 
está comprendido entre 900° y 1 200°.
A) 2 B) 1 C)0 D)-l E)-2
27.-Si la expresión: M = V0-2 + V4-0 es 
real, calcular: R = sen 0 + tan 0 + eos 0; cuando 
“0” es un ángulo cuadrantal.
. sec^ + 45°j
D)(-) E)N.A
28.- Siendo “a” y “0” ángulos cuadrantales 
positivos y menores de una vuelta que verifi­
can: sen a = tan 0 + 1; calcular el valor de:
sen2a + sen3a 
tan (0/4)
C)-l/2 D) 1/2
e x
24.- Si los puntos P y Q son simétricos res­
pecto al eje Y exprese: H = |cot 0| + |cot a|, en
A) 1 288° B) 1 198° C) 1 188°
A) 83Vó3
D) 1 298° E) 1 260°
E)-
38.- Calcular:
R =C)576°
A) 0 B) 0,5 C) 0,25 D) 1 E) 1,25
39.-Si:
A)-1800° B)-1700° C)-1600°
siendo: 3tt/ 2 < a < 2n.
D)-1500° E)-1400°
El valor de cot a - eos a es:
MISCELÁNEA
E) V7
(sec P - esc P) , es:M =
B) - YA
X
a
L.F.12A) 15 B) C) D) E) 19
A)0 C)3/4B)1 E)2D) 1/2
Razones Trigonométricas de Ángulos en el Plano Cartesiano 69T6
i 
Vó
A)634°
D)428°
B)603°
E)415°
' 34.- Si la medida de dos ángulos coterminales. 
negativos son proporcionales a los números 7 
y 5; y además la diferencia de sus medidas 
está comprendida entre 540° y 900°, determi­
nar la medida del mayor.
R.
<8
1
VÍ3
L.F.
(2a,a)
86 
63^63
40.- Del gráfico mostrado, calcular: 
"sen2 a + eos2 0"
33.- Si la medida de dos ángulos coterminales 
positivos son proporcionales a los números 2 
y 7, y además la diferencia de sus medidas 
está comprendida entre 1 200° y 1 500°; calcu­
lar la medida del menor.
36.- Si a es un ángulo ubicado en el primer 
cuadrante y, sen a = 0,25. ¿Cuál es el valor de 
esc a + cot" a ?
B)-4y
8’B) 63
C)-27
21 C) 19
19 M 15 21
57.- Si a es un ángulo del tercer cuadrante, tal 
que: ->/l + cot2a = 8, calcular (8 sec a)3
A)-y
c)4=V63
35.- Si tan p = 1,5 . siendo P un ángulo del 3“ 
cuadrante, el valor de la expresión:
D)--C= 
3-763
1/2 V*
= (cosa)'sen“
A) -|
D>Í
\ 5(-4;-a\<f
a2 sen " + 2ai>cos0 - b2 sen 
(a-b)2 cos720° + 4a¿>
f- ~l* *1
■ ? Los contadores Geiger permiten medir í el-nivel' \
■' ü
fe 
í
z El invento de la circunferencia trigonométrica abrió las puertas 
para muchas aplicaciones científicas. Una de ellas es el círculo
no Rae» Rae» Raen Rae» Rae» Rae» Raen Raen Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Raen Rae» Rae» Rae» Rae» Raso Rae» Rae» Rl 
Ra“°“““ R*“° *«• R*®0 “•«»1
en Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Raen Rae» Rae» Raen Rae» Raen Rae» Raen Raen Rae» Rae
de Mohr, en mecánica de sólidos, 
para establecer una relación entre los . 5
momentos de inercia de cualquier cuerpo con 
el de otro redondo. SB
]..
i.
' / Determinados alimentos han adoptado la ¡dea de círculo £ 
í trigonométrico para establecer sus precios. Así por ejemplo, en * 
determinados fast food, las pizzas las valorizan '' 
en términos de una pizza circular que les sirve de 
base, al que le atribuyen radio unitario. Todas las demás se 
cotizan según el radio sea el doble, triple o mitad.
■ 
d^i
Tj’' radiactividad de algún lugar. Su principio de funcionamiento se \ 
" basa en hacer incidir un haz de
Y c> \ radiación sobre una,»placa circular
3é<rádio unitario?-' co.mo un'. círculo 
trigonométrico, y contabilizar los puntos de
J
V'
7.1. CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA (C.T.)
1
(0; 0) X
En consecuencia su ecuación será : C.T.
7.2. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
eje de tangentes
y = i eje de cotangentes
0
Py = l:
7.3. LOS NÚMEROS REALES SOBRE LA C.T.
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■ÉStRACSO70O
Es una circunferencia que posee las siguientes características:
i) Su centro es el origen del sistema de coordenadas.
ii) Su radio es igual a la unidad* (r = 1) ___(
El estudio de las R.T. de números reales se efectúa a partir de las características que 
posee la circunferencia unitaria, más conocida como circunferencia trigonométrica (C.T.)
eje de Tangentes 
eje de Cotangentes
í 9 °™'rre t ricas xle:Núm’eros Reales)
..y
B(0; 1)
__ x
A(1; 0)
A'(-l; 0)/ 
a Y
P(x;y)
B'(0; -1)
* En general las circunferencias cuyo radio posee una longitud determinada, pueden convertirse 
en circunferencias trigonométricas si dicha longitud se constituye en un equivalente unitario. 
Por ejemplo una circunferencia de 3,5 m de radio se convierte en una circunferencia 
trigonométrica si hacemos: 3,5 m = 1 u, donde u es una nueva unidad de longitud.
En matemática es importante desarrollar la habilidad de aproximar. Empecemos esta 
tarea haciendo las siguientes aproximaciones: rr = 3,14 , entonces: 2n = 6,28 ; tt/2 = 1,57; 3tV2 
= 4,71. A continuación nos proponemos elaborar un gráfico en el que estos números 
aproximados sean ubicados sobre la circunferencia trigonométrica:
; ri ci n;e t n c x I e _N ú n Ye ro fíiR ° °1
■ .—.¿-■i -V '•?>.. ' ..■Si'ls.'t-- 7. i-i S i-..
rs Y
bk.X&áL’XX;.-.vaá
Toda circunferencia trigonométrica tiene los siguientes elementos:
A(1 ; 0): origen de Arcos
A’(-l ; 0): origen de Suplementos
B(0 ; 1): origen de Complementos
P(x ;y): extremo del Arco a
x = 1:
AY
X2 + y2 = 1 x2 + y2 = 1
3,14'JL x x%,282n
4,713x/2
2
3 x
6
4 5
7.4. REPRESENTACIÓN DE LAS R.T. CON SEGMENTOS DIRIGIDOS EN LA C.T.
7.4A Seno
Si: a e R
x2 + y2 = 1
sena
sena
-1 1 00
7.4B Coseno
Si: a e R =>
eos a
Circunferencia Trigonométrica 71n |
/cosa
Si ahora tomamos como referencia los números reales: 0; 
1,57; 3,14; 4,71 ; 6,28 , entonces se puede predecir la ubicación 
aproximada de los números enteros 1; 2; 3; 4; etc. Es necesario 
reconocer que cualquier número real ubicado sobre la C.T., define 
sobre ésta un arco en radianes.
El coseno de cualquier número real (arco) en la C.T. está representado por la abscisa del 
extremo del arco.
_________ 00
máximo
y
1,57
,y 
n/2
El seno de cualquier número real (o arco) en la C.T. está representado por la ordenada 
del extremo del arco.
Si asumimos válidas nuestras aproximaciones, observamos 
que ambos gráficos son equivalentes . En forma análoga se 
pueden ubicar los números reales negativos sobre la C.T.
> | -J < sen a ¿ 1J 
mínimo máximo
| -1 < eos a < 1J
/ \ 
mínimo máximo
,.y
- ~^x2 + y2 = 1
,.y
ct____
-oo z^-1mínimo
.y
—U
x2 + y2 = 1
a e R - (2n + 1) it/2 ; V n e Z
a.
tan a e R
* La tangente no tiene máximo ni mínimo
x2 + y2 = 1
7.4D Cotangente
a g R - (m) ; V n e Z*y
cot a e R
La cotangente no tiene máximo ni mínimo.
x2 + y2 = 1
7.4E Secante
a e R - (2n + 1) rt/2 ; V n 6 Z
sec aS -1 sec a > 1v
a. x2 + y2= 1
sec a seca*
00
7.4F Cosecante
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos72 fíe RACSOy? IDITOKK
eje de 
cotangentes
eje de 
tangentes
1
Mínimo
Relativo
sec
< P
7.4C Tangente
La tangente de cualquier número real (arco) en la C.T. está representada por la ordenada
La secante de un número real (arco) está representada por la abscisa del punto de 
intersección del eje x con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco.
La cosecante de un número real (arco) está representada por la ordenada del punto de 
intersección del eje y con la recta tangente trazada por el extremo del arco.
cota
La cotangente de un número real (arco) en la C.T. está representado por la abscisa del 
punto de intersección del eje de cotangentes con la prolongación del radio que pasa por el 
extremo del arco.
- ” 
Máximo
Relativo
del punto de intersección del eje de tangentes con la prolongación del radio que pasa por el 
extremo del arco.
|y
a g R - (n n) ; V n e Z
esc a -1
esc a esc a
00
7.5. RELACIONES AUXILIARES (seno verso, coseno verso y exsecante)
vers a = 1 - eos a
0 < vers a 2ae R
a
¡sena vers a
vers a 00-00
0 < cov a < 2VaeR =>
cova
00-00
7.5C Exsecante o Externa!
Matemáticamente la exsecante de un número real (arco) se define así:
exsec a = sec a - 1
Circunferencia Trigonométrica
1
7.5A) Seno verso o verso
Matemáticamente el verso de un número real (arco) se define así:
esc ai!
2 
máximo
1
Mínimo
Relativo
7.5B) Coseno Verso o Coverso
Matemáticamente el coverso de un número real (arco) se define así:
cov a = 1 - sen á
J) 
mínimo
mínimo
2 
máximo
-1
Máximo
Relativo
a¡¿ Tcov
/cosa
En la circunferencia trigonométrica está representado mediante el segmento dirigido 
desde el pie del seno hasta el origen de arcos.
x2 + y2 = 1
En la circunferencia trigonométrica está representado como el segmento dirigido desde 
el pie del coseno hasta el origen de complementos.
+y
X2 + y2 = 1
a
exseca í -2 v exsec a £ O
exseca
ao
PROB. 1
h =
y
9a) La longitud del segmento OM. Pz
b) El área de la región triangular AOP.
£
1
Donde: |sen9| = sen6 ; |cos0| = -cos0
h =
b) Área =
Sa) En el gráfico se puede reconocer que:
Es AOM - EsAHP:
sen 9
74 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos íBi RACSO
IDtTOIII
RESOLUCIÓN
De la circunferencia trigonométrica mostrada, 
se pide expresar en términos de 9:
Aplicando las definiciones de seno y coseno 
en la C.T., tendremos:
M 
h
h = 1
|sen9| 1 + [ eos 0 [
cds
exsec a
-2 
máximo relativo
sen 0
1 - eos 9
|sen0| 
1 +1eos 01
(base) (altura) 
2
(l)(|sen0|)
2
exsec a
0
mínimo relativo
H O
'|cos 8|
,y
- + y2 = i
s= 2
En la circunferencia trigonométrica está representada como el segmento dirigido desde 
el origen de arcos hasta el extremo de la secante.
a e R - (2n + 1) rt/2 ; V n e Z
PROB. 2 PROB. 3
sen 6 ; sen 2 ; cosC3,5) ; [an(l)
Veamos:
/
2
tanly
;en2
3.
sen6
3,5’ cos3,5
A’(-l ; 0)
x
*
(eos <¡>; sen $) B’(0;-l)
tan 1,5 > sen 2 > sen 6 > eos 3,5
Y ordenando en forma ascendente será:
cos(3,5) ; sen 6 ; sen 2 ; tan (1,5)
PROB. 4
Si eos 9 e
de valores que puede asumir el sen 9.
Circunferencia Trigonométrica 75
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
1
Resolveremos recurriendo a la identificación 
de las coordenada de cada vértice del 
triángulo. Empezaremos reconociendo que 
dos de los vértices están ubicados en los 
propios ejes coordenados: A’ y B’.
En la circunferencia trigonométrica mostrada, 
descubra una relación para el área de la región 
sombreada en términos de <j>.
En vista que no son fácilmente identificables 
una base y su altura correspondiente, el cálculo 
del área se hará aplicando el método de las 
coordenadas, cuyo algoritmo es como sigue:
En atención a la longitud y signo de cada 
segmento, se puede establecer las siguientes 
relaciones de orden:
Ordenar en forma descendente los siguientes 
números reales:
sen <j>
YA
L5
determine el intervalo
Aprovechando la habilidad de las apro­
ximaciones, lo que haremos es ubicar los 
números reales: 6 ; 2 ; (3,5) y (1) sobre la 
circunferencia trigonométrica. Es recién a 
partir de dichas ubicaciones que trazamos los 
segmentos dirigidos que corresponden a 
cada R.T. de la lista dada.
rz 
6
-1 -
eos ó' 
0 X-í
-1 ><0
S = - ^ .(1 + sen <[> + eos <¡>)
S = ^ . [ (-sen <}> - eos <¡> + 0) - (1 + 9 + 9)]
S=|.
y
<1/2
X
<1/2
De este análisis se puede establecer que:
sen 0 e
DE RESOLUCIÓN: 
Área sombreada = (M-N)
(x2;y2)
H+)(+)
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos -^^ACSO76’V'l
RESOLUCIÓN
ESTRATEGIAS
Ubicamos los arcos cuyo coseno es -1/2, de 
este modo reconocemos que existen hasta 
cuatro posibles valores para 0. Recordando 
que el radio de la C.T. es uno, los valores de 
los segmentos dirigidos que representan a los 
senos de dichos arcos se deducen por 
aplicación del teorema de Pitágoras.
x¿ii.
X&.
~Ñ"
■Xl* ' 
■Xl?) 
•x3y4 
■x4y,_
M
Xl?,
W3 
; ~2 
!-73 
W 2
V2JX 
__
-V3!
2w 
injK
-1 < sen 0 <- o < sen 0 < 1
1) Graficar la línea trigonométrica correspondiente respetando su ubicación en el cuadrante 
asignado así mismo su magnitud angular debe obedecer a la información dada.
2) Para calcular longitudes y áreas en la circunferencia trigonométrica se debe 
considerar las medidas de sus magnitudes como segmentos positivos, en cuyo caso 
se recomienda trabajar con sus valores absolutos.
3) Un método para el cálculo de una región sombreado limitada por un polígono 
de «n» lados es el «método de las coordenadas» que corresponde al siguienteesquema:
Enunciados de Problemas
W con Resolución
LÍNEA TRIGONOMÉTRICA SENO
01.- Si 0 e IIIC , determinar la variación de:
es:
B)[l;2] C) [0; 1]
D)[l ;3]
A) [1; 3] B) [1;2] C) [0; 2] D) [2;5] E) [4;5]
C)<0;3>
.determinar
A) [ sen 1; 2] B)[-senl; 0] C) [-sen 1; 1]
E) [ sen 2; 42 JD) [ sen 1; 3J
A) 1 B)2
05.- Sabiendo que: a) sen
que puede tomar M, si:.v 6
B)0A)-l C)2 D)-3
06.- Si: .v 6
Circunferencia Trigonométrica
04.- Teniendo en cuenta que: .v e 
se pide calcular el valor mínimo de:
W = 1 + sen |2.v|
08.- Sabiendo que: 0 e
el rango de valores que toma “M”, si: 
M = sen (2 tan 0+1)
A) 72
D) 43/2
B)<0; 72)
E)(0; 42/2)
calcular la suma del máximo y mínimo valor 
71 . _7t ~l 
6’ 4J
E)-2/5
A)(-l;^ B)(-l;3) Q(0;l) D)(0;2) E)(l;3>
tr tr
i ’ 4
09.- Dadas las siguientes condiciones: 
a-41 
2
A)(l;2) B)g;2^ C)(l;3) D)(0;l) E)(-l;2)
02.-Si: 30° < 0 < 150°, calcular la variación 
de: M = 2 sen 0 + 3
y además se verifica que:
E) <-!;!>
07.- Determinar la variación de:
W = -senx- 71 - 2 sen x eos x -cosx 
si:x£ <7t;57t/4)
A) (0; 43 >
D) <0; 3 42 )
41-1 < eos x < - ; entonces la variación de
W = sen
A)[l;4]
x-2 x+1
03.- Sabiendo que: sen 0 = —-— + ; don­
de 0 e IVC, determinar el intervalo de valores 
que puede asumir “x”.
5-3sen0
W=^—
C)0 D)3 E)-3
M = 4 sen'x -1; se pide
, , ptr 1
b)x£ — ;3tt
Determinar el máximo valor de “a”.
B)V3 0-73
E) 43 + 42
LÍNEA TRIGONOMÉTRICA COSENO
está definidos así: x G
A) [1/4; 2] B) [-3/4:0] C)[-3/4;2]
D) [3/5;2] E)[3/4;3]
B) [72 ;2]A)[l;2] C)[-l;2]
D)[-72;l] E)[72;4]
< ba <
A)-l B)0 D)3 E)-3 W = cos( sen20 + 2 sen 0)
A) eos 3-1 B)2cos(-3) C) -eos 3 + 2/3
D)eos 3 E) eos 3 + 1/3I. eos 1 > eos 3
n. |cos 4| > eos 5
III. eos 2 < eos 3
M
A)WF B)FVF C)VFF
) B)[7; + °o) C) (-■»;-!]
D)VW EJFFV
D)[l ;3> E) [4; + o=>
13.- Determinare! intervalo de variación de W:
LIN.TRIG.: TAN-COT-SEC-CSC
si se sabe que: 0 G IVC.
sec 0 =
B)
A)D) E)
que: 0 G
A) < 0; 1) B) <-2 ;0> C) ( 1 ;2> D) <3; 4) E) < 2; 3)
~J 1 78 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos KACSOPlDItOtlI
12.- Identifica los valores de verdad o false­
dad de las siguientes proposiciones:
11.- Determine el valor de “a + b” si se verifica 
la siguiente desigualdad:
10.- Calcular el intervalo de valores para M:
M = 1 + eos X + cos'x
15.- Sabiendo que x es un arco cuyos valores 
5ir 
T
18.- Si: 0 G [0; 7t/4], calcular la variación de 
“m”en:
(H) E)(5;l)
14.- Teniendo en cuenta que: 0 G I C, se pide 
determinar el intervalo de variación de W, si:
cosa + 3 
2cosa -1
4»i-3 
2
:j , se pide 
determinar el intervalo de variación de W:
A) [8 ; + °<>
7cos0-3
2
C) 2
17.- Determine algún intervalo de variación de 
la expresión:
16.- Determine algún mínimo valor de la expre­
sión:
'5.272+3' 
4’ 4
'_2.1\
15’5/
7T
W = |2 eos (|x| - — )|
19.- Determine la variación de si se sabe
P^]ycsc20=-^- 
|_4 2j 7 n + 1
cosO + 3
W=---- -----COS0 +1
3 - 2cos0 
w=-^
A)[0;2] A)
C)<-2;0>
E)[0;6]
, entonces todos los
C)3 D)-3A) 2 B)-2 E)1
sec 0
ÁREAS EN LA C. T.
, entonces la variación de
es:
P
C)<-2;-l>
x
Aa
Q B
Circunferencia Trigonométrica 79o I
A)(O;1)
D)<-1;1>
B)(0;3>
E)<-l;0>
y
B
A)(l;3)
D)(-1;O>
B) sen a
C) sen2a
D) sen2a. cosa
E) 2cos2a
2/71 4-1 
3
b)B;2]
A)[-|;o)
24.- Si: 0 6 IIC y esc <$> = - 
la variación de: “ esc2 <j>”.
20.- Si |2 - V3 tan x| < 1, entonces todos los 
valores de “x” en ( 0; 7t) que verifican la desi­
gualdad se encuentran comprendidas en:
C) [‘2;2)
B)<-3;1)
E)<-1;1>
22.- Calcular el intervalo de “x” para que se 
verifique la igualdad:
x + 3
---- - , donde: 0 e IIC.x + 2
21.- Si sec x =
valores de “„i” que no verifican la igualdad se 
encuentran comprendidos en:
A) (-2; 4) B)<-3;1> C)(-2;3>
D)(-2;l>
b4M
d)[-4;V2) e>HH)
23.-Si: x 6 ^;2^
W = 1 - 2 |sec-y|
B)<-3;-l)
E)(-4;-2>
27.- A partir de la siguientes condiciones:
i) exsec x = f-covy
ii) 7<y<9
iii) 5<x<7,
se pide calcular el valor de: V = x + 2y.
A)3rr B)5rt Q4ti D)5rt E)7n
c> [4;3]
28.- En la circunferencia trigonométrica mos­
trada, mÍBP' = a, PQ ± A’A . Calcular el 
área de la región sombreada BPA'Q.
A) cos2a
26.- Si a y P son las medidas de dos ángulos 
independientes, entonces se pide calcular la 
suma del máximo y mínimo valor de la siguien­
te expresión:
W = 5 vers(a) - 4 cov(P)
A>[í;í]
senO + 2
---- -—“ ; determinarsenO + 1
25.- Encontrar todos los valores de “x” que 
no verifican la igualdad.
3x+2
esc 0 = —---- r2x+ 3
D) E) -
A) 2cos0
B)-3cos0/2
C) 2sen0/3
D) 3sen0.cos0/2
C.T.
E)
A) -sen 0 eos 0
B)sen 0 eos 0
B) (sen 0 . eos 0)
A)
B) senO (1 + cos0)
C)eos0(1+ sen0)
S.
D)
E)
CSC0 B)-
D) seo2 0 csc0
A) B)
: 80 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos •Síracso
C) -(sen 0 . eos 0)
D) -(eos" 0)
E) (sen2 0.cos 0)
C) 2sen 0 eos 0
D) sen3 0
E) 3cos2 0
seo2 0 csc0sen0 + eos0
2
sen 0. eos 0
. 2
sen 0 +eos 0
2
sen 0-eos 0 
“~2
sen0-cos0
2
29.- En la C.T. mostrada, se pide calcular el 
área de la región sombreada, si: m ABP = 0.
31.- En la circunferencia trigonométrica mos­
trada se cumple: mABP = 0. Determinar el 
área de la región sombreada.
34.- En la circunferencia trigonométrica se sabe 
que: /ni? = 0, PQ _L RS , AQ _L A'A . De­
terminar el área de la región sombreada. Suge­
rencia: sen" 0 + eos2 0=1
33.- En la circunferencia trigonométrica mos­
trada se cumple m A B A'P = 0. Calcular el área 
de la región sombreada.
30.- En la circunferencia trigonométrica mos­
trada determinar el área de la región 
sombreada, si m A BP =0.
A)-(sen2 0)
O^ C) -|
E) 2sec2 0 csc0
A>i
|cos0 (1 - sen0)
32.- En la circunferencia trigonométrica mos­
trada se cumple m AP = 0. Determinar el área 
de la región sombreada.
y sen0 (1 + cos0)
y cos0 (1 + sen0)
A) (tan 0 - cosO)
B) (cot 0 + sen0)
C)
D)
E) (tan 0 + sen0)E)[2;4]
39.- En la circunferencia trigonométrica mos-
A)2/7
B) 1/3
C)2/5 C) sen a.tan a
D)3/4
E) 1/4
R
A) 2/7B)
B) 1/4
A71 AC) C)3/7
P D)5/4
D) a
E)3/8
E) 2 sen a
Circunferencia Trigonométrica 81
35.- En la circunferencia trigonométrica se cum­
ple m A B P =0, calcular la variación del área
37.- En la circunferencia trigonométrica mos: 
trada.míp' = a, AR -L A'A . Calcule el área 
de la región sombreada RTO.
,y
B
B
sena 
sena+1
3 sen a 
2sena-l
A 
1
trada.mABM = a, PM ± MR ; PB ± BR . 
Evaluar el área de la región triangular POR:
36.- En la circunferencia trigonométrica se sabe 
que: /nAP = 0, QB' 1 BB'; ÁT 1 AA . 
Evaluar el área de la región triangular ORQ.
/A
38.- En la circunferencia trigonométrica mos­
trada se cumple que: m ABP =0. Calcular el 
área de la región sombreada si se sabe que 
“P” es un punto de tangencia.
yk
IB
de la región sombreada, si: 0 e
A) [|;3]
B) [l;2]
.751 
' [ 2 ’ 2 J
D)[l;3]
_L sena
2' sena-1
D) - tan a. csc2a
E) cot a. sec2a
40.- En la circunferencia trigonométrica mos­
trada, míp" = 0, PQ ± AA'; A'R = RB. Si el área 
de la región triangular RQB' es de la forma S = 
M + N eos 0 + T sen 0, entonces el valor de M 
+ N + T es:
(cot 0 - COS0)
(tan 0 - cos0)
A) - eos a . csc2a
B) eos a . csc2a
., senaA)-------- r. cosa-1
A)
B)
E)
I.
MISCELÁNEA
47.- De la figura mostrada calcular:
III. tan 27°>cot27° M =
A)FW B)WF QWV D)FFF E)FVF
A)1
BB)3
I. sen 3 > sen 4
C)2
II. sen 4> sen 5
D)4III. sen 3 > sen 6
U-«)A)VW B)WF C)VFV D)FW E)FFV E)5
A) 2 sen 0 B) 2 eos 0 C)-
B)FFV C)FFF D)FVF E)FW
D) E)
1' 82 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
44.- Indique verdadero (V) o falso (F) según 
como corresponda:
I. |cos2| > |cos 3|
II. sen 290° +eos 290°>0
43.- Identifique la veracidad o falsedad de las 
siguientes proposiciones:
46.- En una circunferencia trigonométrica se 
it
verificaque: — <jC] <jc2<tc.
Indicar la verdad (V) ó falsedad (F) de las si­
guientes proposiciones:
III. |sen 1| < |sen 3|
A)VFF
cot X] < cot x,
A)FFF B)FFV C)FVF D)VFF E)FW
tan Xj > tan x2 
n. |cos x2| < |cos Xj | 
m.
l + sen0
COS0
-y 
(0;¿) 
\(¿1) 
(ajhjxf
1 - sen 0 
2cos0
ac+bd+1 
ef
II. esc 40°<sec 40°
I. eos 25° < sen 25°
48.- En la circunferenciatrigonométrica mos­
trada se cumple, m AP = 0. Determinarla lon­
gitud del segmento BQ.
Sugerencia: sen(-0) = -sen 0; cos(-0) = eos 0
1 + CQS0\ 
senO /
42.- Analice la verdad (V) o falsedad (F) de las 
siguientes proposiciones:
45.- Siendo: 7t < x, < x, < 3rt/2, señalar la ver­
dad (V) ó falsedad (F) de las siguientes propo­
siciones:
I. sec X] < sec x,
D. esc x¡ > esc x2
III. |sec Xj | > |sec x2|
A)WV B)FVF C)FFV D)FFF E)VFF
, siendo: m ABP = 0.
41.- En la circunferencia trigonométrica mostra­
da se tiene: ni AP" = a. PQ X OA ; SM X OU, 
SU X OU ,»iZPOT = 90°. Calculare! área de 
la región triangular QSU.
32 sen a
■^seca
3
C) - 2 tan a
D) --^cota
32 eos a
Q
A) 1 + sen 0 + eos 0
B) 1 - sen 0 + eos 0W = seo a - tan a.
C) 1 + sen 0 - eos 0
A) 6 D) 1 - sen 0 - eos 0
B)5 E) 1 - 2 sen 0 + eos 0
C)4
D)3
E)2
P,
4 *xP.
M
xO lA A) (-eos 0 ; -eos 0)
B) (-sen 0 ; sen 0)
C) (-sen 0 ; -eos 0)
D) (sen 0 ; -eos 0)C)A) B)
E) (sen 0 ; eos 0)
D) E)
Circunferencia Trigonométrica
49.- En la circunferencia trigonométrica 
mostrada se sabe que: m AP = a. además se 
verifica que: OQ = QA. Se pide calcular:
52.- En la circunferencia trigonométrica mos­
trada se cumple que: ni A B P =0. Calcular ¡as 
coordenadas del punto “M”.
M, 
p4
B
y o
o
,7
B
xB
51.- En la circunferencia trigonométrica mos­
trada se pide calcular -Jl PM, si: m ABP =0.
2cos0
1-3 sen 0
cosO 
l-cos0
sen 0 
1-COS0
CQS 0 
1-sen 0
2cos0 
l+sen0 ■
MZ—-p- —
4- P-.
50.- En la circunferencia trigonométrica mos­
trada, calculare! valor de OM si: mA BP =0
'O
o
\J
■
a-4
i '
J
ír
>7 h
>
3-- :3
/ El movimiento de los proyectiles exige conocer la velocidad 
/ la gravedad y los ángulos de tiro. La expresión que da el alcance 
 ."i —■ logrado presenta términos
 trigonométricos que en ocasiones 
incluyen razones de ángulos compuestos.
.ffiísSSíSfSS’íSá; Un adecuado conocimiento de las l 
identidades trigonométricas permite 
analizar adecuadamente las distintas 
:SW^jggS opciones de los movimientos. *
_________\ \ ia, 
o iecrr®i£>'gícj|^|
. El peritaje policial de los disparos por armas de fuego requiere 
— del empleo de unos aparatos llamados péndulos balísticos.
\\*c_, \EI principio dé funcionamiento de estos consiste en 
mover un cuerpo maciso.impactado por el proyectil que lo 
desplaza desde una posición vertical hasta una posición 1 
inclinadaycuyasucesiónformaánguloscompuestos. - r
f Vs •; • • • ■ . • : V
------ 1~ ~í.
■f. i ■ - ■
La humanidad ha podido servirse de la luz artificial gracias a la 1
transmisión de la energía por medio de voltajes alternos. El f
conocimiento científico que está detrás de esta 
tecnología solo fue posible gracias al conocimiento 
adquirido de las razones trigonométricas y de sus identidades. |
' !
8.1. DEFINICIÓN
Aquí presentamos un resumen de las identidades trigonométricas fundamentales:
iijldentidades por cocientei) Identidades Pitagóricas
iv) Identidades Auxiliaresiii) Identidades Recíprocas
PITAGÓRICAS RECÍPROCAS AUXILIARESCOCIENTE
sen2 a + eos2 a = 1 tan a + cot a = sec a esc a
sec2 a + esc2 a — sec2 a esc2 a
sec2 a - tan2 a =1
.2
sen6 a + eos6 a = 1 - 3 sen2 a eos2 a
.2
(1 ± sen a ± eos a)2 = 2(1 ± sen a)(l ± eos a)
Nota.-
a2 + b2 = c2a sen x + b eos x = cSi:
a
Entonces: senx b
b
■fj*RACSO 
IDITOkllProblemas de Trigonometría y cómo resolverlos84T8
I
i 
csca = 'i£in¡'
sen4 a + eos4 a = 1 - 2 sen2 a eos2 a
1sec a =-------eos a
1 
cota=
sen a 
tana=-E¿TE'
eos a 
cota =
esc2 a - cot2 a =1
Son igualdades entre expresiones trigonométricas, las cuales se verifican para todo valor 
admisible de la variable angular. Las Identidades Trigonométricas fundamentales se agrupan 
en identidades pitagóricas, por cocientes, recíprocas y auxiliares. En términos operativos, las 
identidades expresan igualdades entre razones trigonométricas que permiten reducir 
expresiones trigonométricas. Las identidades trigonométricas son múltiples, y se utilizan 
adecuadamente según el tipo de situación problémica que se enfrente.
; W 7 w?
© I-
= ; cosx = | ; tanx = £ c o
Luego de simplificar y reducir, tendremos:PROB. 1
Demostrar que: k =
,2
= 2 tan2 x k = cscx
PROB. 3
Si se cumple que:
= X |cotx + cscx + 11 ,
calcula el valor de X.
= X|cotx + cscx + 11= 2 tan2*
= X|colx + cscx + 11PROB. 2
Reducir la expresión: k -
= X|cotx + cscx+ 11
Expresando en senos y cosenos: = X | cot x + esc x + 11
X|cotx + cscx + 11k = J2
Identidades Trigonométricas
resolución
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Transformamos el primer miembro para 
obtener el segundo miembro:
Multiplicando dentro del radicando al 
numerador y denominador por (1 + cosx), 
se tiene:
* = -L- senx
[(l + senx)(l + cosx) 
(l-cos2x)
(l + senx)(l + cosx) 
(l-cosx)(l + cosx)
secx + cscx
1 + tanx
(senx + cosx) 
cosx senx
(cosx + senx) 
cosx
sen2
2(l + senx)(l + cos x) 
2.senzx
1 ll + senx-t-cosxl 
¡2 I senx | ~
"■ . ■' 1 X
PKOBLBMS MttaOS ’
11 +senx
V 1-cosx-
(senx + cosx)2 -1 
cot x-senx cosx
x + cos2x + 2senxcosx-l 
c°sx _senxcosx 
senx
l + 2senxcosx-l 
cosx -sen2 xcosx 
senx
(1 + senx + cosx)2 
2sen2x
cosx senx
I + senx 
cosx
2senxcosx.senx
cosx(l-sen2x)
2sen2x 
eos2 x
cosx
cosx senx
■J7 eos 0 = tan2 0 - 1
X = 7 =
=>
PROB. 4
■J7 eos 0 + 1 = tan2 0 ,
Finalmente:
t*****ik****i*i ★★★'A
k = 6
Del dato despejamos:
DE RESOLUCIÓN 
la parte
íjiRACSO ■ 
BDITOM1S
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos86-lid
RESOLUCIÓN
ESTRATEGIAS
72 Elevando al cuadrado:
7 eos2 0 = tan4 0 - 2 tan20 + 1
obtenga el valor de:
k = tan6 0 - tan4 0 - tan2 0
Sabiendo que se cumple la siguiente 
condición:
tan6 0-tan4 0-tan2 0 = 6 
k
se parte del miembro más complicado para
■V- (tan4 e - 2 tan2 0+1) 
eos 0
7 = se c2 0 (tan4 0 - 2 tan2 0+1)
7 = (1 + tan2 0)(tan4 0 - 2 tan2 0 + 1)
Efectuando y ordenando como sigue, 
tendremos:
7 = tan40 - 2 tan20 + I + tan60 - 2 tan40 + tan20
-yj . |cscx + cotx + 11 = X |cscx + cotx + 11
—1_ + cosx + senxl _ x| cotx+cscx + 11 
senx senx senx]
1) Para efectuar una demostración, 
llegar al segundo miembro.
2) En muchos problemas es recomendable expresar en función de senos y cosenos, 
pero no significa que siempre se realice dichos cambios.
3) Es conveniente realizar artificios, de tal manera que se obtengan identidades 
conocidas, para beneficio propio del problema.
4) En el caso de problemas condicionales se sugiere trabajar tanto en 
condicional (dato) como en la parte problémica (incógnita)
_L = 72
72 2
DEMOSTRACIONES
01.- Demostrar que:
= 2 - sen x
SIMPLIFICACIONES
02.- Demostrar que:
11.-Simplificar:
= 2 eos x
M =
E)0A)1
12.- Reducir:
íc2x + csc2x - 1 = cot6x
A) tan2* B) cot2 C)cos2x D)2 E)105.- Demostrar:
13.-Simplificar::n2.
tanx + 1>s4.
B) sen*A) sen x.cos x
08.- Demostrar que:
E) sec x.csc xD) tan x.csc x
14.- Identificar la expresión mas reducida para:
M
09.- Demostrar que:
C) esc xB) secx
4 sec2x - 2
E)cot x
87Identidades Trigonométricas
./i. '
1 1
1 + sena + 1-sena
A) tan x.csc 2x
D) sen x.cot2x
• ...... ....... — r-, . .
Enunciados de Problemas u
:n2x
senx
1 + cosx
06.- Demostrar: tan2x - sei
(senx - cosx +1 )(senx + cosx -1) 
1-cosx
1-cosx
senx
tan2x .sei
secx.cscx - tanx 
esex
cosx + senx.tanx
senx.secx
cotx + esex 
cosx +1
1 + senx + eos 2x
1 + senx
csc2x - 2cotx 
cotx-1
C) cos2x
secx.cscx-cotx A2 
secx I
con Resolución
sec2x + 2tan.x 
M =
- (1 + sen2a) - 2 tan2a =
= cos’a
03.- Demostrar que:
(I- senx +cosx)2 = 2(1- senx)(l +cosx)
M
B)sec2xC) csc2x D)-l
E
04.- Demostrar que: 
cot4x . csc'x - cot2x. csi
07.- Demostrar que:
sen8x + cos8x = 1 - 4sen2x .cos2x + 2sen4xco:
(tanx + secx
M = ■ —:1 senx +1
10.-Demostrar que:
cot2x.( l+cos2x)+tan2x.( l+sen2x) =
= 2sec2x.csc2x- 5
1 - senx 1 + senx
"i + "t1 + senx 1 - senx
22.- Reducir:
.2is6x) - — (eos2;
M =
A)-l B)2 C)1 D)-2 E)0
23.- Reducir:
M
C) cot x. sec x
B)esc xE) tanx
E)sec x
24.- Reducir:
secx + cosx - 2
M =D) 1/3A) 2 B)1 C)4 E)3
18.- Simplificar la expresión:
C)4 E)3A) 1 B)2 D)-l
• 26.-Si:
determinar:A) 2 B)4 C)5 D)-l E)3
A)2 D)5 E)120.-Simplificar:
27.-Si:
M =
calcular: M = m esc x + n sec xB)0 C)3 D)4 E)2A)1
A)-2 B)-4 C)5 D)-l E)3
= k2, k>028.-Si:
D)-20-1 E)2B)0A) 1
p-m 88 J Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos áji RACSO
JP IDITOltl
1 — cosx 
tanx
A) tan4x
D) sec5x
A) 2cot x
D) cos2x
A) tan x
D) cos2x
B)3cos x
E) tan3x
25.- Reducir:
M = vers2x + cov2x + 2(sen x + eos x)
A) cot x
D) sen x. secx
versx
cos2x
!x - sen2x)'
15.-Simplificar:
(1 -cosx).cscx
cosx
tanx — senx
tan4x + sen4x - tan4x.sen4x 
(tanx + senx)(tanx - senx)
1 + tanx + secx
1 + cotx + esex
versx —covx 
cos3x
C)2sen3x.
3
B)8
1
D>4
1
C>5
16.- Reducir:
M = sec x(csc x - 1) + eos x(sec2x - esc x) 
B) tan2;
PROBLEMIZACIÓN CONDICIONAL 
sen20 + sen 0=1
M = cos40 + cos20
11
A)6
cosx
1 + senx
1 - sen 2x 
cosx + senx.cosx
C) sen3x
19.- Simplificar la expresión:
W = sec6x - 3tan2x.sec"x - tan6x + 2 tan x.(sec 
x- tanx).(cscx+ 1)
21.-Simplificar:
vers(x).[3-exsec x] + 2 + exsec x
W= 3-2cosx
cot6x+ 3csc2x.cot2x + l
M tan6x+3sec2x.tan2x + l
B) sen x. cot5x C) sec x. cot3x
E) cot6x
1 + sen x 1 + cos x 
1-cos x + 1-sen x
M = — (sen6x + co:
17.- Simplificar la expresión:
sec2x + cos2x-2 sec2x + cos2x + l
W=------------------ — ------------ --------—----- . ------ secx + cosx+ 1
B)3 Q4 
sen3x + sen x = m 
cos3x + eos x = n
1
4
34.-Si:determinar: M = 1 - sen x - eos x sec x = a + esc x
determinar: M tan x + cot x - 1
Además se sabe que: x 6 IIC , a > 1
B) 73a2+ 1a2 + 1A)
E)-V«2 + i2a2 -1D)
35.-Si: tan a-esc a 1 ,
calcular: W = (esc a - eos a)(l + cot a)
C)A) 3(1 - k) B)-(l+*)
B)3 C)4 D)-5 E)1A) 2
D) E)
30.-Si:
determinar:
E)8C)5 D)9A) 3 B)4
C)B)
37.- Si: tan a - sen a = I , calcular:
W = sec a. esc a - sen a + eos a
E)2C)3 D)4A)0 B)1
32.- Si se cumple:
calcular:
B)A)
W = eos x . cot x + 2 sen x
E)±3D)-5C)4B)±2A)-2
40.-Si:
k.33.- Si: calcular:
entonces calcular: A) J2
B)-2senx C)3tanxA) - 2 cot x
E) tanxD) - 2 tan x ...(2) ■
Identidades Trigonométricas
cot x + eos x = 1,
W = cot x + esc x
M = sen4x + cos4x
W = esc x + sen3x
is6x
2m-l 
m
2m + l 
m
A)-2 B)2 C)4
38.- Si: sen x - cos'x + sei 
calcular:
W = sec2x + csc2x + 2 sec x . esc x
D)-l E)-3
:n3x = 0, entonces
2m
D) m~3 
3m
2>/3
B) k
sen x - vei s x 
sen vers x
D’-2T
29.- Si: sen4x + cos4x = k , entonces calcular:
W=(senx+cos3x)2+(senx-cosx)2+(cosx+sen3x)2
E) — 3k
2m
36.-Si: k > 0, se verifica que: ¿+—S 2, cal­
cular el mínimo valor de:
5E)-^D>~7i
:c"j> =
|d + ¿)
B)5t/3 C)2-«/2 D) 1 E)3 V2
41.-Si: sen4a = 2 eos4 a + a . csc4a ...(1) 
b sec’a = cos6a + 4 sen'a
W = k-k~'
|(1 -k)
sen x + eos x = 72
A)f B) |
31.-Si: 2sec2x - csc2y = 1, entonces calcular: 
W = 2sec“_v - csc2x
cos4x-sen4x 
cos8x-sen8x 
M = 1 + sen6x + co: A)0 B) 1 C)2 D)8 E)-2
39.- Si: sen2x + csc2x = 7, entonces calcular:
calcular: a + b. 47.- Determinar “»i” en la siguiente identidad:
B)2 C)4 D)3 E)1A) 9
42.- Sabiendo que se verifica:
C) 5sen xB)2cos xA) tan x
E)3tan xD) -cot x
48.-Si: exsecx + tanx+ l=a,«^0,calcule el valor de ni.
calcular:cot xB)3 C)-l D)5 E)4A)2
43.- Si se cumple que:
= 2 +
D) 3(n-l)
Q ótana
C) tan 0 -1B) cot 0 - 1A) 2sen 0-1
= tan'n - tan2Z>, D) 2tan 0 + 1 E) sec 0 + 1
entonces calcular: eos x
A) cot a . tan b B) 2cos a . sec b O tan b
D) sen a . tan b E) eos a . tan b
45.- Sabiendo que: E)5A) 2 B)3 OI D)-4
ELIMINACIÓN DE ARCOS= 4 + sec x ,
calcule: sen x + esc x.
B)A)
•••(I)
46.- Calcule el valor de “ m ” si:
C)a~b =1
A) 3 B)4 C) 2 D)-2 E) 1
j 90 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos -®*RACSO 
IDlTOkl*
a 
senx
1-/H 
secx
b 
cosx
3
2
5
3
2ar ’
tan 2x 
secx -1
secx + tanx
secx - tanx
secx - tanx
secx + tanx
cot 2x 
esex -1
5
D>2
tan ¿>\2 
tan x /
49.- Calcular “x”, a partir de:
(x + cov 0)2 + vers'0 = (exsec 0)2 ;x> 0 a e IC
entonces calcule el valor de k.
A) 3csc2a B) - csc2a
D) -4sec2a E) 4cot"a
2a
B)^I
2
A)^I
51.- Determinar una expresión independiente 
de la variable angular “x”, si se sabe que se 
verifican las siguientes condiciones:
c)p4
eos x(3 + tan x-2 sec2x)
2 tan x +1
o-| •
1 
senx. cosx = ~
A) ab~= a - b B) a~ + b~ = 3ab
D) 2ab = a2 + b~ E) ab = a + b
tan x+cot x+m sec3x + csc3x 
tan x + cot x + 2 (secx + esex)3 ’
= m + nim. cot’m.
„_2 E) y
(2-cos2ot)(l + sec2ct) 
l + 2tan 2a
, , , sen x-sen3x+sen5x-sen7xcalcular: M =------------- i-------- 5--------eos x-cos x+cos x-cos x
44.-Si: -\sen x
1 + sen4x
50.-Si: -------- 4— =tanx1 + eos x
A) Jp~jq C) Jpq
2
57.- Sabiendo que:
m senx- n cosx = ni + 1 ...(1)
C)25 D)4 E)16
tanxsenx cosx
E)-2
59.-Si:
B)-2 C)3 D)4 E)1
A) 2nui
...(1)
2
calcular el valor de: A
A) 2 B)3 C)5 D)0 E)1
Identidades Trigonométricas 91T8
55.- A partir de las condiciones:
p cos2x . sen x = q ... (1)
p sen2x. eos x = r. . . (2)
n sen x + m eos x = n + 1 ... (2) 
determine el valor de: E = ni + n + 1
tanx. (1- cosx) = 4<; ...(2) 
determinar una expresión equivalente para:
N = p2- q2
e)277
1 + senx 
ni = -------------
1-senx
n = (tan x + secx- l)z ... (2)
0)2^7^
52.- Si se sabe que se verifican las siguientes 
condiciones:
1 + sen4x = a cos2x . sen2x ... (1)
2 - cos4x = b sen2x . cos2x... (2)
determinar el valor de: F = (b - a)2 
A)9 B)3
60.- Si se sabe que: x e (o; , y además:
+ q2
B)Z>(l-a2)'
E)(l-a2)2
tan3x + tan5x = ni3 ... (1)
cot3x + cot5x = n8 ... (2) 
identificar el equivalente de: S = ni2 + n2
B) ni + n C)2 D) ni3 n5 E) ni n
A) 2 B)0 C)3 D)4
58.- Si: sen2x- cos2x = a ... (1) 
tan4x - cot4x = b ... (2)
determinar el equivalente de: S = 8a(a2 + 1) 
A) a{ 1 - b2)2 B) b( 1 - a2)2 C) (1 - b2)2 
D)a(l+Z>2)2
53. -Si:
a b c
se pide identificar la expresión equivalente de:
V = a2(a2 + ¿2)
Á)a2b2 B)b2c2 C)2ab2c D)4 E)3
54. - Si se verifican las siguientes condiciones:
a( 1 + tan2x) = (1 - tanx)2 ■••(1)
(1 -cotx)2 = (h- l)(l+cot2x) ...(2)
se pide calcular el valor de : A = b - a
A)1
B) yjp2-q2
encontrar una expresión independiente de «x»
A) pVr2=(r2+y)3
B) r2+ q2=(p2 + q2')3
C) r2-q2=(2r2 + p2)3
D) p3q2 = (p2 + r2)3
E) 4pqr = (p2 + 2q2)3
56.-SÍ: tanx.(1 + cosx) = 4p ...(1)
rw
J
/
A
¿o
I
Resultante
Onda 2
F
«B»!
Ondal
• Raoo Rae» Raso Raso Raso Raso Rae» Rae» Rae» Rao* Raso Rae» Rae» Raso Raes» Raso Rm
í ■ ■
í-
t. ■ :**"
fe
rt :'zf
«AWl
^^¿•sarT1
La superposición de ondas de agua a la salida del Amazonas al 
. ' Atlántico produce una elevación de agua que genera una onda
'I--------------:---------------------- de i
existencia permite surfear a muchos
/ El movimiento pendular puede ser descrito por la ecuación de 
su posición angular que viene dado por una suma de ángulos:
V
■jL
Jd._——i----1
, , , ,...............
lll I tt V
y
ü?
%' CV|UipV»3 MC 3UI
yestudio de la
• •; * v ■ \¡nterferencia¿es • 
\ posible'aplicando una,,
V superposición de ondas y
V estas ,requieren de la 
! api icación de identidades 
I trigonométrica^'
'■ ■ I
d
¡Sociedad
retorno llamada pororoca. Su
bañistas. La superposición de ondas produce 
un atractivo turístico para veraneantes.
0 = 0O sen(rot + <j>) sU
.,,u .-/0
Donde «0O» indica la amplitud angular, «o» la frecuencia i. t 
angular, «t» el tiempo y «|>» indica la posición angular S
■^Tecnelogig^^
■ El ruido provocado por la interferencia de señales en los'', 
equipos de sonido puede dañar nuestra capacidad auditiva. El
. _j l: - J _ I _ —— ——■—------------ --------------------------------------------------------------------------t=s —------------—
interferencia es
’P.ci
9.1. R.T. DE LA SUMA DE DOS ARCOS
sen (a + P) = sen a . eos P + eos a . sen P
tan (a + P) =
9.2. R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ARCOS
sen (a - P) = sen a . eos p - eos a . sen p
tan (a - P) =
9.3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA DE TRES ARCOS
tan (a + P + 0) =
9.4. IDENTIDADES AUXILIARES
2) sen (a + P) sen (a - P)
4) tan a + tan P = 5) tan a - tan P =
•fiiRACSO 
1OITOHI
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos92
sen (a + P + 0) = sen a-cos P-cos 0 + sen P-cos a-cos 0 + sen 0.cos a-cos p - sen cesen P-sen 0 
eos (a +p + 0) = eos a-cos p.cos 0 - eos a-sen p.sen 0 - eos p.sen a.sen 0 - eos 0.sen a.sen p
sen(a + P) 
eos a eos p
tan a + tan P + tan 0 - tan g tan P tan 0 
1 - (tan a. tan p + tan a tan 0 + tan p tan 0)
eos (a + P) = eos a . eos p - sen a . sen P 
tan a + tan p
1 - tan a. tan P
eos (a - P) = eos a . eos P + sen a . sen P 
tan a - tan p
1 + tan a. tan p
sen(a-P) 
eos a eosP
1) Si: a + P = 0 => tan a + tan P + tan 0 tan a tan P = tan 0
sen2 a - sen2 P 3) eos (a + P) eos (a - P) = eos2 a - sen2 P
7) 1 - tan a tan P =6) 1 + tan a tan 3 =
9) cot p - tan a =8) tan a + cot p
10) a senx±í> cosx = -Ja2 + b2 sen (x + <¡>) Siendo: tan 0
12) cot a + cot 3 =
13) cot a-cot 3 =
14) tan a - tan 3 - tan(a - 3) tan a tan 3 = tan (a - 3)
9.5. IDENTIDADES CONDICIONALES
i)
ii) senx + cosx = V2 sen (x + 45°)
2 sen (x ± 60°)
¡v) Si: x + y + z = kn V k e Z
tan x + tan y + tan z = tan x tan y tan z
cot x. cot y + cot x. cot z + coty.cotz = 1
Razones Trigonométricas en un triángulo rectángulo: 75° - 15°
sen 75° =
<-^/2
tan 75° = 2 + V3
V6 4- ^2
cot 75°
Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos
= b 
a
4H.+42
4
sen(P-ct) 
sena sen3
eos (3-a) 
sen3 cosa
eos (a-3) 
eos aeos 3
eos (3 +a) 
sen 3 cosa
eos (a + 3) 
cosacos3
sen(a + 3) 
sena sen311) -Va2 + í>2 < a sen x ± b eos x <
iii) senx+V3 cosx
eos 75° =
Si: a + 3 = 45° => tan a + tan 3 + tan a tan 3 = 1
PROB. 1 PROB. 2
Calcula el máximo valor de: Simplifique la siguiente expresión:
k = 5 sen(x + 37°) + -Jí cos(x - 45°) E = tanx + tan 2x + tan 3x tanx tan 2x
Desarrollando como sigue: Se observa que: (x + 2x) = 3x
tan (x + 2x) tan 3x
= tan 3x
Luego efectuamos como sigue:Simplificamos, obteniendo:
tanx + tan 2x = tan 3x - tan 3x tan x tan 2x/; = 4 sen x + 3 eosx + eosx + senx
Finalmente:k = 5 sen x + 4 cosx
E = tan 3x
PROB. 3
Como:
5
= eos 0 sen x + sen 0 eos x
Si: mZACB = 37°
= sen (0 + x)Luego:
k = VáT sen (0 + x)Finalmente:
k = VSTSu máximo valor será:
[ 'f'j 94 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos - '.4 RACSO
|flt>!TOll|
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
k
Vil
k 
Vil
Tomando tangente en ambos miembros, 
obtendremos:
En la figura que se muestra, calcule tan x, 
siendo M y N puntos medios de lados AB y BC 
respectivamente.
k = 5(senx eos 37° + eos x sen 37°) + J2 (eos 
x eos 45° + sen x sen 45°)
tanx + tan2x 
1-tanx tan 2x
tan x + tan 2x + tan 3x tan x tan 2x
E
A continuación dividimos ambos miembros 
entre VÜ:
k 5 , 4~= = —¡= sen x 4—eos x
V41 Vil V41
A = 5 sen x. + 5 eos x. + V2 eos x +
V2 sen x
=> 25 tan x = 18
PROB. 4
Calcula el valor de:
k = eosy eosz
Se observa que: 9 = x + y, aplicando propiedad.
=> tan x + tan y + tan 0 tan x tan y = tan 0
= tan a - tan 0Se sabe que:
Pero: tan 08
Luego: 8
k = 0=> 16 tanx + 6 + 9 tanx = 24
DE RESOLUCIÓN 
^2+ b2Debemos recordar que:
cot x - cot ytan x - tan y
7^ 95 |Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
estrategias
sen(y—x) 
~ sen x sen y
' 1; un determinado ángulo
diferencia de otros dos ángulos cuyas razones
sen(x-y) 
eos x eos y
sen(g-p) 
eos a eos 0
Haciendo un trabajo análogo tendremos:
k = tan x - tan y + tan y - tan z + tan z - tan x
1) Para hallar el valor de alguna razón trigonométrica, de 
se debe descomponer en una suma o t'f 
trigonométricas sean conocidas.
2) En figuras geométricas se debe buscar un ángulo exterior en un triángulo, para 
luego aplicar la propiedad siguiente:
Si: x + y = z => tan x + tan y + tan z tan x tan y = tan z
3) Para encontrar máximos y mínimos de expresiones de la forma: 
k = a sen x ± b eos x
tany=| ;
18
tanX= 25
= 1
tan x + tan x
A kmfti = - Ja2+ b2
i = i8 2
4) Cuando se tienen sumatorias de expresiones trigonométricas, se debe reemplazar 
por diferencias, para que se simplifiquen, para ello se debe tener en cuenta que:
sen(x-y) sen(y-z) sen(z-x) 
eos x eos y + eos y eos z eoszeosx
Enunciados de Problemas
con Resolución
SENO, COSENO DE ARCOS COMPUESTOS
01.-Si:
sen(A + y) . sen(x - y) = a ... (1)
cos(a + y). cos(r - y) = b ... (2)
C)3A)1 B)2 D) 1/2 E)3/2
02.- Calcular:
08.- Eliminar los arcos “,v”e“y” de las condiciones:
A) 3 B)2 C)1 D)0 E)0,5 sen x + sen y = ni ...(1)
eos x + eos y = n
C)-V2 D) V2 E) V3A)0 B)05
04.- Reducir: B) 2p =mn
TAN, COT DE ARCOS COMPUESTOSB) sen/>
E)1
A)1 E)2C)eos a
10.- Simplificar: W = tan 2a + tan a +
C) tan 3a
í 96 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
A) sen a
D)sen2¿
A)sen a
D) cos'a
06.- Si: a + y = 30°. entonces al calcular
W = sen'y + cos'a - sen y .eos a, se obtiene:
eos (x - y) = p 
A) 2(l+p) = m2+n2
A) tan a
D) 2 tan 3a
B) tan 2a
E)cot a
1 
cotA + coty 
D)l,5
V2 sen a + eos x = —- 
8
C)sen2a
...(3)
D) 2p = m2 - n2
E) 2(1 -p) = m2 + n2
05.-Simplificar:
cos2(a + p) - 2cos a.cos p.cos(a + P) + cos2p
B)sen2a
E)eos2 P
■>/3sen50°-cos50° 
sen25°-cos25°
tan 3a
eos 2a
C) 2p = m - n
Determinar el valor de: M = 16 sen +
A) 1/2 B)2 C)4/3 D) 1/4 E)3/4
07.- Eliminar los arcos “a" e “y” de las condiciones:
M=§en'(n + b) - 2 sen(« + 6).cos n.sen b + 
sen'h
M = (sen 18° + eos 12°)' + (sen 12° + eos 18°)2
eos a . sen y = c ... (3)
A) a2 = b~ - c~ B) «' = />' + c~ C) a~ — be 
D)(l+a)2 = Z>2 + 4c2 E) (1-«)2 = Z>2 + 4c2
7t
09.- Si: a + y = —; Calcular:
M =------- —— -
taire + tany
B)0 C)0,5
03.-Reducir: M
A)1 B)2 C)3
W
A) O B) 1/2 0-1/2 D)1 E)-l
A)1 B)0 00,5 D) tan A E) tan B
A) k B)
Determine: 21.-Si: N
A) 1/3 B) 1/2 Q 3/2 D) 2/3 E)3/4 M = tan 63° - tan 63° - Jí tan 63°.tan 63°
14.-Calcule:
A)1 B)2 03 D)4 E)6
AJO IDENTIDADES ESPECIALESB)0,5 OI D) 1,5 E)2
22.- Calcule el valor mínimo de la expresión:
W = n(sen x - eos x) + ¿(sen a- + eos x)W =
cj V«2+¿2A) ab Q)a + b
AJO B)1 01,5 DJ2 E)2,5
E)-^2(a2 + ¿2)D) 1/2 ab
23.-Simplificar:
AJI B) 1,5 C) 2 D)2,5 E)3
W =
1
Determinar: “tan 2x” AJI BJ2 CJ-1/2 D) 1/4 E) 1/2
A) a B) -a/b C)b D)b/a E'ía/b
24.- Reducir: M =
18.- Si: tan calcular
B) V2A) .75 D)1
Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos 97
16.-Calcule:
W=cot254°(l - tan29°) + cot 8 l°(tan 9° + 4 tan 36°)
12.- Si: 4 tan (x - y) + 3 sec x.csc x - 4 tan x, 
entonces al calcular cot x.cot y se obtiene:
20.- Sean tan p y tan q las soluciones de la 
ecuación
(x- l)(¿2.x+ 1) = 2¿ , ¿e R-{-l;0}
Calcule: tan(p + q) en términos de “k”.
i
11.-Simplificar:
2tanA + 3tanB - tanC - tanA.tanBt anC 
tanA + 4tanB - 2tanC - 2tanAtanBtanC 
con la condición A + C = B
/ 5ir ) cot — + al28 J
d a + b] ■>(a-b\ sen-[-^|-sen-[ —)
cos(« - />) — cos(¿z + b)
tan 21°+ tan 24°+ tan 21°.tan 24°
DJ4 EJ5
19.- Si: sen(a - P) = 3 cos(P - a); cot(a + P) = 
0,5; entonces al calcular tan(2a) se obtiene:
of
.tan 44°
-J3
sen238°-sen28°
cos238°-sen28°
17.-Si: tan(x + y + z) = — — Atan(x-y-z) 
a-b
15.- Calcular:
>Í3 - x/3cot65°+cot80°-cot80°.cot65°
1 + cot65°—J3cot800.cot65°—J3cot80°
i + l
Calculare! valor de: “N.M2"
W= 73 (1 - tan 5°. tan 10°) + (1 + tan 10°). 
tan5°+ (1 + tan 5°). tan 10°
O^ D)|
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 3/2 E) 3/4 
13.- Si: tan2x + 2 tan2x. tan2y = 1 + sec2y , 
tan (x - y) = 3
M = tan(x + y)
25.- Calcular el valor aproximado de:
M =
A)
26.-Simplificar: H)
w =
B) tan b C) tan(a + b)A) tan a
32.- Sabiendo que:
D) tan(a - b) E) -tan(a + b)
= 2 sen (x + z)27.- Si: tanx = cos(a + b); tany = cos(a - b).
Calcular: M = eos x. eos z
A)0 B) 1 C) 1/3 D) 1/2 E)l/4
E)2,5B)0 C)0,5 D)2A)1
SITUACIONES GRÁFICAS28.-Si: tanx + tan y = m . sen (x + y) ...(1)
33.- De la figura mostrada, calcule “x”tan y + tan z = n . sen (y + z) ... (2)
Si: BD = 3,ED = 5,CE = 4tan z + tan x = p . sen (z + x) ■ ■ • (3)
Determinar: M = eos x . eos y . eos z A
C) mnpB) mp
x
E) mn
CD EB
C)0A)1 B) 1/2 D)2 E) 1/4
30.- Exprese W como un producto, donde:
B
A
C) 1/4B) 1/3 E) 1/6A)1
98 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ARACSO 
IDITOlll
7
3
31.- En una circunferencia, con centro en el ori­
gen del sistema y de radio «z»; se cumple que:
x sen 0 + y eos 0 = z
A) 6
B) óV2
C) 8V2
D) 10-72
E) 12-72
2sen 10°+2-73cos 10°+3cos70° 
sen255°-sen218°
2cot(x+ y).cosacosb 
sen2a+ sen2b
x + 2y
2
Determine: M = -J2 ■ sen
C
D) 1/2
29.- Si cot 76° = a [cot 38° - cot 52°], entonces 
el valor de “a” es :
W = tan 19° + lan33° + tan38°-tan 19°.tan 33°.lan38°
A) esc 19°.csc 33°.csc 38°
C)¿ D)^ E)-^
34.- De la figura mostrada, determinar: “tan
0”, si: AD = BD = EC = 1 y BE = 2
E) sec 19°.sec 33°.sec 38°
C) sec 33°.sec 38°
B) esc 33°.csc 38°
B)f
D) sec 19°.sec 33°
(taño + tanb).(cot<7 + cotb) 
(tana - cota) + (tanb - cotb)
sen(x-y) 
cosx.cosy
C)^ D)
sen(y + z) 
+ cosy.cosz
E)^ 
z
A) (mnpy''2
D) (mnp)1/2
M X
A) 2
calcular: W =
A) 4/3 B
B)7/3
B
OC)3/4
D)3/7
DE)4/5
CA
A) 1/11 B)2/ll C) 11/3 D)3/ll E)ll/2
BA) 20°
M
D)40°
CA
E)3tr
A)-4/3 B
B)-10/9 E)C) D)A)
C)-2/3
D)-5/9
E)-20/9
C
D
Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos 99
3
7
3
7
A
3
7
9
Q 25°
C
B)45°
A
E F l 
A
38.- En la figura mostrada, ABCD es un cua­
drado, BC es el diámetro de la semicircunferen­
cia, OE es el diámetro de la circunferencia ins­
crita en la semicircunferencia, ni Z. BDF = a. 
Determinar: cota
guio, PT = TQ = 5QU 
Determine: tan 0.
40.- En la figura mostrada, AB = 2, BC = 6, CD 
= JÍ3 , m Z CED = a. Calcular: cot a.
C
drado BE = 
Calcular: sec 0.
B
35.- El triángulo ABC es rectángulo isósceles. 
Calcular “tan 0”, Si: AM = MN = NB.
D) —65O —M 65 E)—65
A) 25
24
' f E
36.- Si el triángulo ABC es isósceles (AB = BC). 
Determine el máximo valor de “0” si: AM = MB.
37.- De la figura mostrada, PQRS es un rectán- 
|üR,mZSTU = 0.
39.- En la figura mostrada se tienen tres dis­
cos tangentes exteriormente de radios r¡ = 1h, 
r-, = 9 u, r3 = 4 u. Calcular: sen 0.
41.- En la figura mostrada, ABCD es un cua- 
|EF, BF = FC ,m Z EAF = 0.
B)|
Calcular:46.-SÍ: A + B + C= 180°.
B)
W = tan A + tan B + tan C - tan A.tanB.tan C
C)1 D)l,5 E)2B)0,5A)0E)D)
47.- Si: x + y + z = rt/2
cotx - tan y = m, coty - tan z = n, cot z- tanx = p
Determinar: M = m tan x + n tan y + p tan z
B)2 C)3 D)4 E)mA)1
48.-Si:x + y + z = 180°,
0.además: sen x + eos y . eos z
EC D
= 3,P = /»ZCAD = mZAED,mZABE = 90°.
C) -tan xB) 2 tanxA) tan x
Calcular: sen p.
E E) tan x - 1D) tan x + 1
D
C se obtiene.W =
BA
D)-2 E)-lA)0 B)1 C)2
IDENT. TRIG. DE SUMA DE 3 ARCOS
44.-Sabiendoque: x + y + z = 90°. Calcular:
B)klm C)
D) E)
D)33C)3 E)4A)1 B)2
51.- Si: A + B + C = 7t, calcular:
45.-Si: A + B + C
W =Calcule:
W = tan A.tan B + tan B.tan C + tan A.tan C
C)1 D)-l E)-2B)2A) 3
A)0 B)05 C)1 D)2 E)3
i 1001 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSOyl 1DITOIU
sen(x + y + z) 
cos(x-y + z)
cos(y-z) 
cosy.cosz
cos(x-z) 
cosx.cosz
'223
13
226
13
'187
13
0,5 klm 
k + l + m
2 klm 
k + l + m
klm 
k+l + m
B
A) 1
B) 2,5
C) l,5
D) 2
E) 3 
43.- En la figura mostrada, BC = 1, CD = 2, DE
42.- En la figura mostrada, BC = 1, CD = 2, DE 
= 3, m Z BÁC = m Z DAE; m Z ABE = 90°. 
Calcule: AB.
49.-Si: tanx = 2;tany = 4 ; tanz = 3, entonces 
al calcular:
Calcular: M = tan x. tan y. tan z, en termino de 
“tan x”
= 90°
sen2(B + C)-cos2B-cos2C 
cos(B + Q.cosB.cosC
A) aLLÍLA) J3 i/Í85 M 13
A)-^- 
A' m + l
A) 4 B) C) ¿ D) £ E) 50.- En un A ABC, si tan A + tan B = k\ tan A 
+ tan C = 1; tan B + tan C = m\ k, 1 y m e R, 
entonces al calcular sec A.sec B.sec C se ob­
tiene:
cos(x-y)
M = ~cosx.cosy
tA-E>
O
4
y = A sen(coí + $)
t
o O
, ■ V
rj
O;
1
A sen 4>,'
♦ 
<ü
K\ ’
A
< xr
f.
Los técnicos que trabajan con ondas de radio o-telefonía
, celular deben determinar los puntos del territorio en donde las X
ondas logren tener, generalmente, | “ ~~ ~ '
, , "¿jXuna interferencia constructiva. Esto lo
hacen determinando previamente la diferencia
' de fase de las ondas participantes^, «'
c 1 e d a d
í Z Aunque nunca sabemos porqué una señal de teléfono móvil se 
,----..... .... ... ------- -------------------......
^kesÉM
dd-..... ■
%4
u-ZZ
■BIS. muI
c,ea?-a á#S\
aspectos: distancia, calidad de 
equipo, potencia de la señal o
lí®iZ]rZ® :í'IE)CG3 estructura metálica que la rodea. Solo las i 
ondas que sortean los obstáculos y que , 
llegan a un punto con una diferencia de ! 
fase múltiplo de 2n logran establecer la f 
correcta comunicación.
» ^4* te
W 
mrp neto _ . _
/ I
/ La reducción del ángulo al primer cuadrante de una función 1 
/ trigonométrica es el paso previo que permite identificar el ángulo ’ 
de fase de una 
vibración senoidal. 
Cuando se conoce este 
ángulo entonces es posible 
describirla^ .friediante un 
fasor (representación gráfica 5 
de un núrpero complejo). k
TecnofegíaJ^
. x \una interferencia c< 
hacen determinando previai
M:-
Z'>' hace muy débil ésta está determinada por una variedad de 
5^* ' ——■ -»*'*-*/-*y—éí-xr' • r-4 r r'f's r-sz—i f I ío/4 rlz
\ (
ó Rmso Racso Raso Rmso Racso Raso 1> Raso Rano Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Rase Raso Raso Raso Raso Raso 1
ÁNGULO DE REFERENCIA Y REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
eR =
b) O
2255
0r = 45°
d) f)e)
3105
0r = 55°/eR = 50°
-235°
g)
400°0r = 4O°/ 0R = 60° <480°
Ejemplos:
a)
eR = x
h)
400°= 180°(+2) + 40° -480° = 180°(-3) + 60°
\79r = 60»
I e |, sí o° < | e | < 90° 
180° - | 9 |, si 90° < | 0 | < 180° 
|0 |-180°, si 180°<|9| <270° 
360°- | 0 |, si 270° < | 0 | < 360°
El ángulo de referencia, denotado Í6mo «0R», de un ángulo trigonométrico «0» en posición 
normal, es el ángulo agudo positivo que forma el lado final de este con el eje «x».
Para los propósitos de reducción de una razón trigonométrica de un ángulo «0» al primer 
cuadrante se requiere identificar el ángulo de referencia correspondiente pues siempre se 
cumplirá que:
Razón trigonométrica de «0» = ± Razón trigonométrica de «0R»
De acuerdo con esta definición el ángulo de referencia de un ángulo «0» es siempre positivo 
y su medida depende de la medida del ángulo dado. Para determinar «0R» se debe tener en 
consideración la medida del ángulo «9» dado.
a) Si 0 < 1 vuelta
b) Si 0 > 1 vuelta, se procede a expresar «9» en la forma de: 0 = 180° n ± x, donde n e Z y 
0° < x < 90°, en tal caso se tendrá que:
/ \eR = 40° 
,40° \
r-
10.1. CASO (I): ÁNGULOS POSITIVOS MENORES QUE 360°
PROPIEDADES
R.T. (90° ó 270° ± a) = ± COR.T (a)
R.T. (180° ± a) = ± R.T (a)
R.T. (360° - a) = ± R.T (a) ..j
10.2. CASO (II): ÁNGULOS MAYORES QUE 360°
R.T.(n x 360° ± a)
10.3. CASO (III): ÁNGULOS NEGATIVOS
Es «unciente convertir el ángulo negativo en positivo siguiendo los teoremas siguientes:
- a < 0Supongamos que: a > 0
tan (-a) = -tan aeos (-a) = eos a
esc (-a) = -esc acot (-a) = -cot a sec (-a) = sec a
Reducción al Primer Cuadrante 101T10
Es suficiente con dividir el ángulo que se desea reducir entre 360°. A continuación se 
toma la misma función trigonométrica al residuo, así:
Tener en cuenta que los signos ± del segundo miembro se eligen de acuerdo al cuadrante 
donde se encuentre el ángulo que se está reduciendo y la función trigonométrica a este se le 
aplique. Considerar a ángulo agudo con el fin de ubicar con facilidad el cuadrante.
sen (-a) = -sen a
........... - ...
....................................................................
i
PXL/1vFyri!rh^tfCüa amtp
Son técnicas que se realiza para obtener los valores de las R.T. de cualquier ángulo por 
otros equivalentes pero cuyos ángulos se ubiquen en el primer cuadrante. Para el estudio de 
reducción al primer cuadrante, se presentan los siguientes casos:
■ ■■ ■■ ■ ■ ■ m
R.T. ± (a) ; n e Z
sBedttion
p
10.4. CUANDO EL ÁNGULO SE EXPRESA EN RADIANES
La reducción se procede aplicando las reglas siguientes:
R.T. (*% ± a) = ± R.T. (a)
R.T. [(2n + l)a/2 ± a] = ± COR.T(a)
VkeZ
En general: R.T.(2fert ± a) = R.T.(± a)
(2* + l>j ikn2kit ‘ klli XX
(2k + 1W2(4¿ + 3)?t/2
10.5. ÁNGULOS RELACIONADOS ENTRE SÍ
10.5A Ángulos Complementarios
R.T.(x) = co-R.T. (y)Si: x + y = rt/2 , se cumple:
10.5B Ángulos Suplementarios
Si: x + y = rt , se cumple: R.T.(x) = ± R.T. (y)
¿a RACSO 
IDlTOkllProblemas de Trigonometría y cómo resolverloswE3
,y
(2* + l)n/2
Recuerde lo siguiente (V k e Z)
,y
(4* + l)n/2
A
PROB. 1
Calcular N =
Aplicando reducciónal primer cuadrante:
N = N =
Luego de reemplazar los valores notables, tendremos:
N =
12 2
PROB. 2
Calcular: E =
Reduciendo al primer cuadrante:
E =
Al aplicar los casos II y III, tendremos:
E = finalmente:
E = -2
PROB. 3
Calcule: S = eos 10° + eos 20° + eos 30° + ... + eos 160° + eos 170°
Se observa que los ángulos que están equidistantes suman 180° y se sabe que si:
Reducción al Primer Cuadrante 103
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
TIO
cos(360°-600) + cos(1800-60°) + sen(90°+60°) 
sen(360°-30°) + cos(180° + 60°) + tan(90°+ 45°)
______ sen30°+cos60°+tan45°______
- sen 30°-(-cos 60°) - cot(2x 360+ 45°)
eos 300°+eos 120°+ sen 150° 
sen 330°+ eos 240°+ tan 135°
sen750°+cosl500°+lanl665° 
sen(-l 50°) - cos(-120°) + cot(-765°)
cos60°—cos60°+cos 60° 
-sen 30°-cos 60°-cot45°
sen(2x360°+30°) + cos(4x360°+60°) + tan(4x360°+225°)
- sen 150°-cos 120°-cot765°
N=^
E= í-b -1
1 
2
1_1
x + y = 180° eos x = -eos y
0° + CQi :0° + eos 30° + ... -cojS = co: !0° - co;Luego: 0°
S = 0
PROB. 4
-x)
Reducir: R =
Escribiendo apropiadamente «R», tendremos:
2R =
R =
+ tanx
- sen x
R = R = eos x
DE RESOLUCIÓN
R.T.(2 kn ± a) = R.T.(±a) ; V k e Z
^104| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos KACSO 
1DITOKII
RESOLUCIÓN
ESTRATEGIAS
3) Cuando un ángulo se expresa en radianes, se busca un valor par de n, de tal 
manera que se puede aplicar el siguiente teorema:
senx 
tanx
sen(57t -x) + eos j '21 + xj + sen(87t 
tan(45n + x) - cot ■ ' - x) + tan(48n+ x)
sen(4n+7t-x) + cos^rt -2 + x j + sen(8rr - x) 
tan(447i + n + x) - cot (12ti + 2 -x) + tan(487i + x)
Al aplicar el caso III, en el paso anterior, nos queda:
Finalmente aplicamos el primer caso, obteniendo:
senx + cosff-x) 
tan x - tan x + tan x
D cosx=> R = sen x.-------senx
2) Si observamos que dos ángulos suman 180°, significa que la suma de sus 
cosenos es igual a cero o bien sus senos son iguales.
1) Cuando un ángulo no es agudo, se recomienda aplicar reducción al primer 
cuadrante para determinar R.T. de ángulos agudos.
sen(n - x) + cosí- + x sen(-x) 
tan(n + x) - cot^ - x j
7tt
25ñ
2
Enunciados de Problemas
con Resolución
CASOS DE REDUCCIÓN El valor del producto R.S es:
D) cot75° E)1
06.- Reducir: A - B siendo:
C) tan A
B = eos
D) 2 E) 3
03.- El valor de la siguiente expresión: D) -eos (x - y) E) -sen (x - y)
07.-Simplificar:
D)2 E)-2
E) -tan2;
^-a
A) sen asen
D) cot a E) esc a
A) (+)(+)(-) B) (-)(+)(-) Q (-)(+)(+)
D) (-)(-)(+) E) (+)(-)(+)
05.- Sea R eos 810° + cot425° W
S = (sen 450°) (tan 785°)
Reducción al Primer Cuadrante
A)cot A
D) -tan A
B) -cot A
E) seo A
32rt 22tt ; sen —. cot —
Ol.-Si:
csc(90°- A) - xeosA col (90°- A) = sen (90°- A)
El valor dexes:
W =
sen(it
tan(13ít + x)tan(
: j.sec(3n: - a).sen a)
cos(-40tt + a)
B) eos a C) tan a73rt 
cotTÓ"
52tc 25tc sen • eos
(n)
»-(S)
09.-Simplificar:
-x).cot(x-
sen(7t+x).cos + xj+cos(x - jt).sen ( 
csc(it+x).secí4^ + x
A)tanx B)cotx
D) cot2;
^j.cos(x-36rt)
17E).cos2(^ + x)
A = sen (H4+X) . sen (33^ + yj
B) 1 + tan 65°A) 1 +cot65°
tan
W= —
-2057t j
’3n
C) tan2x
C) (tan65°)2
sen(yf) + sen 
cos(n)+
04.- Hallar el signo de las expresiones 
trigonométricas, en el orden dado:
Es igual a:
A)0 B) 1 C)-l
(555+ x) .eos (775 +y)
A)sen(x + ,v) B) eos (x + y) C)-eos (x+ >0
02.- Calcular:
eos 1° + eos 2° + eos 3°+...+eos 179° + cos 180°
A)-2 B)-l C) 1
08.-Simplificar: 
5tt
2
1171
2
A) O B)0,5 013 D)-l E)1 15.- Reducir:
M =
W =
C) coi 6
11.-Si:
tan
B)42 C)-4A) k D)k- 1
9cot(72tt — a).sen
17.- Calcule:
además: ae IIC, Calcule:
A) O B)1 C)2A) 30 B)31 C)-30 D)28 E)-31
12.-Simplificar: 18.-Si: = k ;
W =
Calcular: W = en
términos de k.A)1
13.- Si: n e Z, calcular el valor de: A) k B) -k E)
A) O B)1 00,5 D)2 E)-l
14.- Si “x” e “y" son complementarios , M =
0 G ( —71; - ti/2) y se cumple:
C)2A) 0,5 B)1 D)U E)0
20.- Determinar el valor de:
,2
Determinar el valor de “0”: M =
O oB)1
f^T|lO6| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO^JBDITOBU
A)sen 0
D) -eos 0
B) tan 0
E)eos 0
X 
k
B) cot a
E) -tan2a
tan 0 =
10.-Simplificar:
cot(19957t-0).cos(239^ + ej 
sec(O - 8047t).sen^0 -161
sen(x+ 2y).tan(2x+ 3y) 
cos(2x + y).tan(4x + 3y)
cos(3000°) + cos(2000°) 
cos(300°) + cos(200°)
vers(-107t + x) 
cov(-x + 13-^j
E) O
sen(A + 3B + 2C) 
sen(B -C)
W = eos (159^)
16.-Si:4.sen(55|-0)
A) tan a
D) -cot2 a
C)42 D)p-
k+1
E> —
M = sen jjwt-(-!)" 11] .csc(n7t + (-l)n.^j 19.- Si los ángulos internos de un triángulo ABC 
están en progresión aritmética (A < B < C). 
Reducir:
+ sec^242^j -sen^!25yj
D)-l E)-2
sen420°.cos240°.tan405° 
sen210°.cos225°.tan5 70°
sen(180°- ct).cos(a-90°).tan(1260°+ a) 
cos(540°- a).tan(36O°+ a)sen(450°+a)
C) cot2 a
cos(3000°)-cos(2000°)
cos(300°)-cos(200°)
cos(B + 2A + 3C) 
cos(B - C)
A)-y
^37 + aj cot( 175n - a).sen(8O9tt + a)
B)-?
4.eos (77^ + 0)
Calcular: W = (sen 0 + eos 0)2 en términos de k.
371 r» 771 o 8,1 C)'T D)-Io E)-n
cov(a'-27tü) 
vers (-x + 23^j 
B)2 C)-2 D)-l
M = 2V5 cot a + esc a.
A)j E)^
TI.- Calcular el valor de:
W
A) 0,5 OUB)1 D)-0,5 E)0A) tan 10° B) tan 30° C) cot 10“
28.-Si:x + y 180° y + z = 270°' E) tan 20°
Calcular:
M +(tan x - tan y)(cot y + tan z)
eos 10° + eos 30° + eos 50°+ ... + eos 170°
A)1 B)2 Q-l D)0 E)-3C) V3/2A) 1/2 B)0 D)1 E)2
29.- Simplificar la expresión:23.- Si: A + B + C= 180°.
M =Hallar:
A) sen A.sen B.sen C D) cot A.cot B.cot C A)0 B)0,5 C)1 D) 1,5 E)2
B) eos A.cos B.cos C E) sec Asee B.sec C
30.- Si: ese a
C) tan A.tan B.tan C
A) B) C) D)0tan
31.- Reducir:
M = + tan(A + B + 2C). cot (A + B)
A)0 B)0,5 Q1.5 D)2 E) 1
A) 0,5 Q-l D)l,5 E)0B)1
26.- Si: x + y = 7t, simplificar:
Reducir: M
A)0 B)1 C)2 D)-2 E) -1
A) 0,5 E)0B)1 D)-0,5 33.- ¿En qué tipo de triángulo ABC se cumple:
sec(A + 2B + 2C) = csc(2A + 2C + 3B) ?
Reducción al Primer Cuadrante T1oE¡
24.- Qué relación existe entre a y b; sabiendo 
que:
32.- Si: sen a = eos (3 + 9), «a» y «3 + 0» son 
ángulos agudos
Determinar el valor de “m” que hace que ay fi 
sean suplementarios •
CASOS PARTICULARES DE REDUCCIÓN
22.- Calcular el valor de:
1 
2
d
2
d 
4
sen(A + B) 
senC
senx + cosy 
seny - senz
tan(230°+x) + tan(50“+x) 
cot(40°-x)
tan(a + 3 + 26) 
cot(2a + 23 + 30)
________ 1________
tan A + tan B + tan C
6tt + 3a - 2¿>2a-3b 
8
.. sen xM =------- +sen y
)=°
i E) 1/6
D) cot 20°
21.-Simplificar:
sen(2540°) + 2cos3(1910°) 
cos(2680°) + 2sen3 (2630°)
tt 3rr 5tr 7tt
M = eos — + eos — + eos — + eos —
O O O o
3 sen 2x 
sen 2y
2m +1 m + 2
- ----- r ; csc 3 =------r 2m -1 m -1
; +cot
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/5
25.- En un triángulo ABC. Simplificar: sen 120°+sen 140°+sen 160°+...+sen260°
M =---------------------------------------------------cos20°+cos30°+cos40°+...+eos 170°
2 tan-i
COt y
Q1.5
E)|
B) isóscelesA) escaleno
C) equilátero D) obtusángulo
37.- Reducir:
E) rectángulo col
Usando el gráfico:
M =
e a
AJO B)1 C)-2 DJ-l EJ-3
BJ0.5 D)2 E)1AJO 0-1SITUACIONES GRÁFICAS
38.- De la figura mostrada, calcule:
W = a tan 0 - 2b.
A)R A) a
B) R sen 0 B)Z> 0
C) R eos 0 x
Q-a
D) R sec 0
D)-«¿> P(a;¿)xE) R tan 0
E)-¿
36.- De la figura mostrada, calcular tan 0.
39.- De la figura mostrada, determinar: 13 sen a.
AJI
7 B)3
O x04
a
P(12; -5)D)2B)1 O2>/5 D)3>/5 E)-^
E)5
f 1081 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos áSi RACSO 
1DIT01B»
34.- Si A. B y C son los ángulos de un triángu­
lo. Simplificar:
cos(B + C) 
cosA
cos(A + B) 
cosC
cos(A + C) 
cosB
G'l 
2
35.- Determinar BM de la figura en términos 
de R y 0:
a>4
%, sena M =---- —
senü
4M
<-feO ¿fe) ©-tefe
t
.45“
O
r-TSa.
í í
L/2
i
Tí
l
Parábola de 
seguridad
¡A-
i»
U
l*oo R*o* R*eu> R*oa R*oo Rao* R*cso Raes* R*oo Rao* R*e*o R*<*o R*c*o R*cso Rao* 1
—* R“'“R““ “““ "*í“ “*?' “"T “o Racso Rabo Racso Raso RacsoRacso Racen Rmk Rkw Racso Racso Rauo Racso km» iu«i irr1?,?',’
I
>-----------------------
/ El alcance máximo en un tiro parabólico se ha podido (• 
determinar mediante la demostración de una ecuación física que '
incluye un ángulo doble al empleado enel tiro. Es gracias a esta ecuación que se logra L
establecer que el ángulo deliro para el logro del ? 
máximo alcance es 45°. V
2 k' . • o
lmáx = ^ [sen(2a)] -+ a = 45“ [\\ ’
? crfc I o g í
Las regaderas en las canchas de fútbol se instalan de modo que >» ' 
logren lanzarelagua lomásalejadoposible, i n " '
/ i ...
í El alcance máximo (L = v¿/g) en un tiro parabólico fue utilizado
ÍJ
’i-
por los alemanes en la 2da guerra mundial para lanzar sus í 
’ bombas hacia
Inglaterra.
Los ingleses utilizaron sus 
conocimientos referidos 
al mismo tema para deter­
minar la ecuación de la 
parábola de seguridad.
VALORES EXACTOS DE RT USANDO LA FÓRMULA DEL ANGULO DOBLE
Ejemplo.- Si sen 0 = — , siendo < 0 < rt , determine el valor exacto de:
5
En esta relación se sabe que: sen 0 . . . (2)
n
Sabiendo que:
... (3)Y recordando que el coseno se define como:
Finalmente reemplazamos (2) y (3) en (1):
2
Observación:
Adaptado de: Álgebra y Trigonometría, de Sullivan, Editorial Pearson, México, 2006.
1-18
25
Sabiendo que sen(20) = , cabe la posibilidad de utilizar la identidad pitagórica:
sen2(20) + cos2(20) = 1 -> cos(20) = ±Vl - sen2 20
Pero en esta expresión no hay forma de reconocer a priori el signo de cos(20), en conse­
cuencia es preferible emplear la fórmula del ángulo doble para el coseno.
cos(20) = ^
sen(20) = -||
eos 0 = — —> r
sen(20) = 2(|)(-|)
b) De la fórmula del ángulo doble para el coseno se tiene:
cos(20) = 1-2 sen2 0 ... (4)
Puesto que tenemos el valor de sen 0 = |, reemplazamos en (4):
cos(20) = 1-2(|j2 =
Debemos determinar «eos 0», para lo cual elaboramos un 
esquema del ángulo «0» en posición normal donde debemos 
considerar la condición: < 0 < n , lo cual significa que el
ángulo «0» está en el IIC.
sen 0 = 1 = — 
5 r
Por comparación reconocemos que y = 3 y r= 5. Del triángulo rectángulo formado se 
puede determinar la abscisa «x», la misma que, por su ubicación, será de signo negativo. 
Para calcular su valor aplicamos el Teorema de Pitágoras: 
r2 = x2 + y2 -> x = ±7?V -> x = -V5<132
2
a) sen(20) b) cos(20)
a) De la fórmula del ángulo doble para el seno se tiene:
sen 20 = 2 sen 0 eos 0 . . . (1)
= 3
5
-> x = -4
eos 0 =
.................................................... ■
h=ízd
sen 2a = 2 sen a eos a
Si: n = 2
mH. 1. RELACIONES FUNDAMENTALES
eos 2a = cosza - sen2a tan 2a =sen 2a = 2 sen a.cos a
2 sen2a = 1 - eos 2a Triángulo del ángulo doble
2 cos2a = 1 + eos 2a
sen 2a = 2 tan a
eos 2a =
1 - tan2 a
Identidades Trigonométricas del Arco Doble 109T11
A partir de aquí, haciendo el cambio de 0 por a es decir (0 = a), se obtienen las razones 
de los arcos dobles, así:
sen(a + 0) = sen(a + a) = sen a eos a + eos a sen a
; ■
i-:
l-tan2a
l + tan2a
2 tan a
l + tan2a
2 tan a
1 - tan2a
Desarrollando el binomio, e igualando las partes reales y partes imaginarias se obtienen: 
sen 2a = 2 sen a eos a a eos 2a = cos2a - cos2a
11.2. RELACIONES AUXILIARES
Se obtienen a partir de las razones fundamentales con la ayuda de las identidades 
trigonométricas, así:
En el capítulo anterior se estudiaron las identidades de las razones trigonométricas de la 
suma y diferencia de dos arcos, así por ejemplo:
sen (a + 0) = sen a eos 0 + eos a sen 0
7 ..... HA | ¡
ti teraffiil áíl es. Tri gó&ométri.cas—irf:-i 1—1
Otra forma interesante de deducir las relaciones de los arcos dobles es aplicando números 
complejos (fórmula de Abraham de Moivre 1 667-1 754), que se verá en el Cap. 22:
(eos a + i sen a)n = eos na + i sen na
=> (eos a + i sen a)2 = eos 2a + i sen 2a
tan a + cot a = 2 esc 2 a cot a - tan a = 2 cot 2a
PROB. 1
Sabiendo que tan x = 1/2, determina: eos 2x 5
c)tan 2*b) eos 2*a)sen 2x
c) tan 2* =
Utilizando el triángulo adjunto, se tiene:
tan 2x =
2 tan x
PROB. 2
Determine el valor de x en la figura:
1-tan2*
4
a) sen 2x = ,2
2
sen 2x = 5
b) eos 2x = De la figura propuesta se tiene:
eos 2x =
= 3. , pero: tan a=>
iio I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos Ííl HACSOI D l T O * ■ t
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
= 6
x
= 2
íll 
,2
’-ffl
lana 
1-tan2 a
sen6 a +
2 tan*
o
1 - tan *
= | = fI 5
O
2 tan*
91 + tan *
2 tana 
1-tan2 a
’+ffl
]4
>4
—1— = 4
’4 5
i . 21-tan x
2 1 + tan x
. O 6tan 2a = —
—!— = —>4 3
sen4 a + eos4 a = eos 4a
8 sen4 a = 3 - 4 eos 2a + eos 4a
eos6 a = eos 4a
8 eos4 a = 3 + 4 eos 2a + eos 4a
2 1
Luego:
= 3 = 3=>
=> 2E = 12 sen 2x + 5 eos 2* + 7.2
Pero:
Finalmente:
=> -13 < 12 sen 2* + 5 eos 2x < 13
-6<2E<20 =>
Emáx = I»
DE RESOLUCIÓN
Í?11111Identidades Trigonométricas del Arco Doble
RESOLUCIÓN
ésirategiasj 
=>2E= 1 -cos2x + 6(1 + eos 2*) + 12 (sen2x)
2E = 1 - eos 2* + 6 + 6 eos 2x + 12 sen 2x
Se tiene, luego de multiplicar «2» a cada . 
miembro:
2E = 2 sen2* + 6.2 eos2 x + 12.2 sen x eos x
PROB. 3
Calcular el máximo valor de:
E = sen2* + 6 cos2x + 12 sen * eos *
2*2
*2—4
12 = jc2
2*2
*(*2 -4)
2*2 = 3x¿- 12
x = 3 - 4 eos 2x + eos 4x
x = 2V3
-13 + 7 < 12 sen 2*+ 5 eos 2*+ 7 <13 + 7 
2E
,-3. <E< 10. 
mínimo máximo
- V(12)2+(5)2< 12 sen 2* + 5 eos 2*<V(12)2 +(5)2
* - 3
X
2 eos2 x = 1 + eos 2x1 - eos 2x
8 sen4
8 eos4 x = 3 + 4 eos 2x + eos 4x
Puesto que:
< a sen * ± b eos * <
Utilizando:
2 sen2* = 1 - eos 2* ... (*)
2 eos2* = 1 + eos 2*... (*)
2 sen * eos * = sen 2* ... (*)
1) Es recomendable expresar los ángulos dobles en función del ángulo simple.
2) Sise tiene el valor de la tangente del ángulo simple, y se desea calcular los valores de 
las razones trigonométricas de sus respectivos ángulos dobles, se utiliza el triángulo del 
ángulo doble.
3) Cuando se tiene senos o cosenos a la potencia cuadrada o potencia cuarta (sen2 x ; 
eos2 x ; sen4 x ; eos4 x), se debe degradar (bajar la potencia a la unidad), utilizando las 
siguientes identidades.
2 sen x =
_ = 3.
,2 X
Enunciados de Problemas7/
>
'i
RELACIONES FUNDAMENTALES C)-eos 2xA)eos x
01.- Simplificar: W D)eos 2x
B) eos 2x. C) 2cos 2xA) eos x
07.- Simplificar:
B) sen 4a
A) eos 4x B)eos 2x
E) ese 4a
D) eos2 4.v E) 2 eos 4x
03.- Reducir:
M = 2
M = sen 2x
C)sen 2xA)sen x B) -sen 2x
A) 0 ■ B) 1 C) 0.5 D)-l E) 2
D)eos 2x E) -eos 2x
09.- Reducir:04.- Simplificar: W
M
A) C)
A)sen 2x B) C)
E)
D) sen2 2x E)05.- Reducir:
,s2
B) 2 eos xA)eos x C)eos 2x
A) tan 14° B) cot 14° C) cot 7o
E)-eos 2xD) 2 eos 2x
D) tan 7o E)2 tan 7°
06.- Reducir:
11.- Si: sen x < eos x, simplificar:
M =
W = eos 2x - (sen x + eos x). Vl~sen2x
I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
1
4
1 
4
A) sen 2a
D)sen"a
B) -eos x
E) eos" 2x
1 
4
3 + eos 4x - 8 sen4x
1
2
í?ÍRACSO
IDtTOlll
:n4x)2 - 1
C) eos2 2x
x.sen4x + sen2x.co:>s4x:n x - co:
B) -jsec2a
D) .sen" a
M = cos6x - sei
D) 3cos 2x E) 4 eos 2x 
02.- Reducir: M = 2(cos4x - sei
08.- Simplificar:
2 tan3x 
sec2x
tanx cotx
(l + tan2x)2 + (l + cot2x)2
1 + cos2a 
l-cos4a
cosx senx
secx(l +tan2x) cscx(l + cot2x)
sen3x + cos3;
senx + cosx
cot" a
l + tan2^-2a
W~ l-tan2(^-2a
C) ese 2a
. ese"a
con Resolución ' &
sen 2x
. sen 2xe-
CAMBIAR SOLUCION lO^Simplificar:
W = cot 7° - 2 cot 14°gs
- sec2x . sen 2x, x , 1 e 2
x sen 2x
A) 1 B)-1 E) O A) O B) 1 C) 2 E) 4C) 2 D) -2 D) 3
M = 2
A) 2 B) 1 C) 0,5 D) 1,5 E) 4
A)eos 0 C)B)
17.- Si:
D) COS2 0
halle el equivalente de: W=———
A) ptr B) q/r C) r/q D) r!p E) p.q
A) 2 VI .secx
B)2-VI ■ CSC X Calcular: M = eos 2x + 3
A) 0 B) 0,5 C) 1 D)3 E) 2
esc x
W = eos 2a - 12 VI sen 2a
E)2-JI eos2 j .sen E) 0,5B) 6 C)4 D) 2A) 8.secx
20.- Si:PROBLEMAS CONDICIONALES
14.- Si: Calcular: esc 4x
7sen4a + cos4a
Calcule: ni - n - p
C) 5 D) 0 E) 2A) 1 B) 3 D)
15.- Si: (1 + sec 2x)(I + sec 4x)(l + sec 8x)
21.- Si: sen 2x == A. tan(Bx). cot(Cx)
; siendo: B > 0 a C > 0Calcular:
Identidades Trigonométricas del Arco Doble 113
19.- Si: 4 sen a - 3 VI eos a = 5, entonces 
calcular:
12.- Escribir la siguiente expresión en térmi­
nos de eos 0.
A sen 2x + B eos 2x+C=p.tan2x + q tan x + r=0
2A halle el equivalente de: W = ——— 
B + C
(f)-c°s(x +
B
A + C
i)
i)
m2
2m + l
C°S(l)
C°S(l)
.eos (x+^secx
= ni + n eos 2a + p eos4a
= A.cosn(|) , calcule el
secx
eos x - sen x = ~— 2m
D)2-JI eos
Ej cos20
C1 2m-M 2/n-lA) g - »i + l B>2^1
E) 2/zz-l
tan n n
" 2sen2f -cos2I
JyCOS 0 COS 0
18.- Si se sabe que:
eos 2x = 1 - 8 eos2 ■£■ + 8 eos4 ■j'2 4
13.- Si: W = 1 + sen x + eos x + tan x, enton­
ces una expresión equivalente de factores para 
W será:
16 S' 1-COSS) 
16-- Si: ----------- 7-T
i-cos^)
valor de VA :
—t= , calcular: V3
W = sen6x + cos6x
C)2VI COS
27.-Si: tan 2x = 8 eos2* - cot x
C)B) D)A) E)
Calcule: M = 2 sen 4x - 1
COSA'
22.- Si: E)0A) 0,5 B) 1 C)l,5 D)2
7?!
E = m eos 2x + n sen 2x- - tan (3tt + a:) = 2k,28.-Si: tan
D) m2B)-n C) -m E) mA) n
calcular: W = sec 4% - eos 4x
23.-SÍ: A =
W =
29.-Si: sec2a-
B)-<-A) k E)
24.- Si: eos x. eos y = sen a
E)1AJO B)04 C)15 D)2
Calcular: 30.- Si se cumple: 2 - sec2x = 3 tan x
B)eos aA) sen a C) sen 2a
Calcular: cot 4x
D) eos 2a E) -sen 2a
A) B) C) E)
31.- Si: 14x = 7t .entonces al calcular:
W W
Se obtiene:A) B)- D) E)
A) V2 B)2->/2 C)-2a/2
26.- Si: eos D)3V2 E)4a/2
32.-Calcular el valor aproximado de:W = sen
,2B)A-2- 1A) k2 C) k2 + 1
M = 49
E)-2á-2 + 1D) 2k2
BJ2345 CJ3497 D)2453 E) 1875A) 1578
n4 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■fe RACSOÍOITOUI
sen22° 
cos8°
3
2
5
9
3
4
7
9
senx
= —— , a qué es igual:
1 
2
7
9
1 
4
1 
k
4
5
3
8
13
12
13
5
5_
13
5
12
2x
5
sec2p = 2
Calcular: M =
tana 
sen2a
tanp 
sen2p
1
1 + V2senx
2-j2cosx 
sen2x
1
—, calcular:
sen x . sen y = eos a 
sen2(x - y) en términos de a.
d4
7k2
1
1 - VJsenx
E)^-
; H-l
cos22° 
sen8°
( 7T xA
—+ — = k. calcular l4 5J.
C) 2*~
2 k2-\
D)|j
2tan 2a 
(1 + tana)2
cos|2x-15—l 1?
C)-|
c>4
25.- Si: sen f —+ x'l =
117 J
1 + sen2a
--------- — .calcular: 
l-cos2a
33.- Calcule el valor de la expresión: 39.- ¿Cuál es la variación de la expresión:
?
A) [0 ; 2>A) 0 B) [0 ;3> C)<0;2]B) 0,5 C) 2 D) 4 E) 8
34.- Calcular el valor de la expresión:
D) (0 ; 4] E)[0 ; 4)
40.- ¿Cuál es la variación de la expresión:
A) 3 B) C) D) 1 E) A)<0;l> B) (-1 ; 0)
E) <-!;!>D) [-1 ; 1]35.- Calcular el valor de la expresión:
IDENTIDADES AUXILIARES
41.- Si: esc a = 4, calcular
A) 1 C) E)
M =36.- Calcular el valor de la expresión:
M E)A) 0 B) 1 C) D)
A) 0 B) 0,5 C) 2 D) 3 E) 1
k.42.- Si: tan37.- Calcular el valor de la expresión:
M = eos 5°. sen 5° -(1 + sen 40°)(l - sen 40°)
Wcalcular:
A) 0 C) 1B) D)-l
A) k C)B)
VARIACIÓN DE EXPRESIONES
m, xe ( 0 ; rt/2)
Calcular: J/n + 2 .sen 2*eos x
E) 2B) 0,5 C) 1 D) 1,5A) 0
A) C) E)B) D)
Identidades Trigonométricas del Arco Doble
1
2
1 
3
1 
4
1 
4
1 
4
3 
4
1 
4
2 
k
1 
4
1 
3
X 
2
3
2
1
8
X
2
16
16
1
+ 2
. sen2(^)
38.- Calcula el valor máximo de la expresión: 
W = eos5* . sen x- sen5* .
8 + 2/ 
—+ -1 4 4/
1
D)i
1
B)?
I
43.- Si: tan2* + cot”.
W = tan 0 - tan 20 + tan20.tan 20, si 0 e (-
C) [-l;0]
M=(1+cost)(1+cos y)(1+cos t)(1+cosl)
37t
2C°ST
(v) +tan(ff) =
Vl + cos40° 
sec45° . sec 20°
4 tt 4 3rrsen - + sen -
n 7n 5n Un
W = tan — - tan — + tan— -tan —
HidWíldH
1 1
D> F E) ¥
w= l-c°s4*
1 - cos2*
W =
1 n2c°s-
r: 1E)- 2
7n’
8
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
44.- Si: = A + B eos 4x ,
a-*(2A-+1)-
Calcular: “A + B”
C)A) 0 B) 0,5 C)-l D) -0,5 E) 1
D) E)45.- Si se cumple: = ni
Calcular: M 3 - eos 4a
A) m
B) 30° y 60° C) 40° y 50°
E) 10° y 80°
A) 0 B) 0,5 C) 1 D) 1,5 E) 2
SITUACIONES GRÁFICAS
A) 4 cm
47.- En la figura mostrada:
B) 5 cm
AD = -Jl DC= V3, C) 6 cm
m Z BCE = m Z ECD, D) 7 cm
ni Z EAD = 45° , E) 9 cm
Calcular: cot a.
DA C
116 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos KACSO
IOITOBII
A) 20° y 70°
1
B) - ni
cos4a - sen4A 
cos8x-sensx
co^A-sen8v 
cos2v
D) 45° y 45°
2ab 
"a^l?
ab
2ab
46.- En la siguiente identidad halle: A - B
8(sen6A + cos6.v) = A + B eos 4a
2
C) - ni D) - m
48.- Si los lados de un rectángulo son ay b 
(a > b), entonces al calcular la tangente del 
ángulo agudo que forman sus diagonales se 
obtiene:
49.- Si en un triángulo rectángulo sus catetos 
tienen por medida sen 20° y 1 + eos 20°, en­
tonces la medida de sus ángulos agudos se­
rán:
R1 2ab 
B)
A XA> b
4
E) - ni
50.- En la figura mostrada, AB = 3 cm, CD = 
7 cm, m Z BAC = 2a, ni Z ADB = q, ni Z 
BAD = m Z BCD = 90°. Calcular: BD .
m Z ADB = 90° y ni Z ABD = a.
n
4
..V
*
c
x
GtJ.
verticalS^
°/l
LLiL
> Racso Rao» Raoo Raoo Rncso Raso Raso Raso Raso Rano 1
■■
AO
'í
■
M
[?
'
^'\á/2 
"* 7 a/2
' r<¿i> ■
r 1
Bj
Br*w»Ifcw»*-”*
13
Nuestro conocimiento sobre el equilibrio de cuerpos debido a I
la simetría de los sistemas físicos permite que se puedan j
aprovechar para la diversión en los r
juegos mecánicos. En los sistemas 
físicos simétricos en equilibrio siempre están | 
presentes las funciones trigonométricas del ! 
ángulo medio.
I
éfeO ¿tea Gfiaaá ____
-■— '
/ La ubicación del Centro de Gravedad (G) de un cuerpo [•
/ homogéneoy simétrico es un punto ubicado en el eje o plano de '
--------—-------- simetría correspondiente. Para el caso
deunavarillaenformadearcoconradio '1
«R» y abertura «a» (rad) se determina mediante la ? ,
ecuación: \ %
„ _Rsen(a/2) Z* **¿¿4.' \
N Xc-R-ta72F K ' 1 *
Te en’® I o g i
' El reloj de péndulo es uno de los instrumentos más icónicos^S 
que evocan el interés del hombre de saber medir el paso del 
^¿4’ tiempo en casa, trabajo, escuela^. 1
\ El movimiento pendular se explica porque este se ve ,
V afectado por una componente del peso mg sen(a/2), ■
V donde, «a»,es la desviación angular respecto de la 
verticai.Xz z
; . V' r^
I*.
DEDUCCIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ANGULO MITAD
MP = sen x
OP = eos x
ON = 1
y OH = sen
Luego trabajando en el triángulo rectángulo NPM, donde aplicamos el teorema de Pitágoras:
NM2 = NP2 + MP2
De donde:
Efectuando: ...(1)±.eos
A continuación, utilizando identidades trigonométricas fundamentales, tendremos:
,2
sen2^ = 1-(. . . . (2)
Finalmente, en el triángulo rectángulo NPM:
... (3)tan
En forma análoga tenemos:
. . . (4)
Sandoval, IC. (2008). Trigonometría Superior. Logos
Con ayuda de la circunferencia trigonométrica 
podemos deducir las siguientes longitudes’:
x:
2
><
2
sen x 
1 + eos x
1 + eos x 
sen x
1 - eos x 
sen x
f¡ + eos x
2
1 - eos x
2
(1 + eos x)2 + sen2x2 eos A)2
1 + eos x
2
cot | = CSC X + cot X
sen2 = 1 - eos2 4 = 1-
2 2
NH = HM = cos-j
4 cos24 = 2+2 eos X
2
sen2 i + eos2 - = 1
taní =
C°’l =
1 + eos x j
2 / sen = ±-
El triángulo MON es isósceles, de donde ZMNP = y . Trazando OH ± NM, se puede de­
ducir, en el triángulo rectángulo NOM, que:
y = esc x - cot x
Utilizando las identidades de los arcos dobles tendremos:
2sen20 = 1 - eos 20 2cos20 = 1 + eos 20
De tal manera que si hacemos: 20 = a , entonces:
1 - eos a
Si se despeja sen se obtienen las relaciones de los arcos mitad.a eos
m12.1. RELACIONES FUNDAMENTALES
sen eos
tan cot
El signo ± depende del cuadrante donde se encuentre y la función que a este se le aplique.
12.2. FÓRMULAS RACIONALIZADAS
se obtienen:
tan = esc a - cot a cot = esc a + cot a
Identidades Trigonométricas del Arco Mitad 117T12
(X
2
a 
2
a
2
a
2
1 - eos a
2
a
2
a 
2
a
2
CL 
2
a
2
£□
11+eos oT
V 1 - eos a
2 sen2y 2 eos2 = 1 + eos a
/1 -cos^T
V 1 + eos a
II + coser
V 2
a.
_2_
cos^
cos^ 
ycotf
senf
sen
Teniendo en cuenta que tan y =
MZ.
PROB. 1
<2-<2
<2+'/2
PROB. 2
♦) sen = += sen < x < 2n , calcule:2 ’ 2
c) tana) sen b) eos
= ±
Escogemos el signo (+) dado que e IC
e IIC
= ±
a) sen
sen
Escogemos el signo (+) dado que e IC
b) eos
eos
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos Si RACSO 
1D1TO1IIpF]l18
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
De los resultados anteriores, deducimos el 
triángulo notable mostrado en la figura.
7t
8 i
71
8
3n
4
' n '
A
2
n
8
2
2
x_
2
JC
2
x
2
x_
2
2Z?2 
~2
<2-^2
2
t/2 + ^2
2
1 -cosx
2
1 +COSX
2
Primero tenemos que ubicar el cuadrante 
donde se encuentra x/2.
< x < 2n
Zz
2
f =
•) eos = eos
o
1-cos^
_____4.
2
= . (I V4 2
eos 5 = 
o
sen =
O
Calcular: sen -g- y eos
1 + cosí 
2
o. 1 3ttSi: eos x =
c) tan
PROB. 3
Simplifica:tan2
PROB. 2
******************Calcule:
Utilizando la fórmula racionalizada tendremos:a) tan 15o b) cot 22° 30’
c) tan 18° 30’ d) tan n/8
Se sabe que: esc x- cot x
esc x + cot x
Luego:
a) tan 15° = esc 30° - cot 30° = 2 - V3
b) cot 22° 30’ = esc 45° + cot 45° = V2 + 1 Finalmente:
DE RESOLUCIÓN 
tan = CSC x - cot X CSC X + cot X
Identidades Trigonométricas del Arco Mitad
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
ESTRATEGIAS
X
2
2
 ll-cosx
- V
|H
l + cosx U1 + -1
f - cot l = 42 - 1
+ csc32+csc64
c) tan 18° 30’ = esc 37° - cot 37° =
1) Para aplicar las fórmulas del ángulo mitad, primero tenemos que ubicar el 
cuadrante al cual pertenece el ángulo mitad, para que de esa manera podamos 
asignar su signo.
cot# + csc#
cotá+cscá
E = cot128
4 =.J1 = .^
2 V3 3
_ . xE = cot g-
d) tan = esc
cot-4r + csc-4
64 64
COtÍ28
COt— + CSC^ + CSC-j^r + CSC 7^ + CSC
X + CSC-g +CSCÍ6
COt y =
tan =
cot j =
2) En ángulos mitad es recomendable utilizar las fórmulas racionalizadas para 
evitamos de los radicales, estas fórmulas racionalizadas son:
Enunciados de Problemas
> con Resolución
RELACIONES FUNDAMENTALES
B)Z> D) abA) a
01.- Si: ; xe IC, 06.- Dada la siguiente identidad:
calcula el equivalente de W.A)0 B)O,5 C)1 D)l,5 E)3
A) sen x B) 2 senx C) 4 sen x02.- Reducir:
D) eos x E) 2 eos x
M = 07.-Si: cotx = 0,75 , xe IIIC,
A) sec x B)cscx C) 2 sec x
calcular:
D) senx E) 2 esex
03.- Reducir:
08.- Calcular:
2 sen
E)2,5A)1 B)0,5 C)l,5
04.-Si: csc2x-cot2x
09.-Simplificar:
W
W esc 2x + 2 cot x - 3 tan x
A) 5 cot 2x B)cot 2x C) 3 cot2x
D) cot x E) 2 cot 2x
05.-Si: sen x =
10.- Reducir:
calcule:
f^120| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO 
■ O I T O * 1 S
secx -1 
secx + 1
í-
= esc 4x + cot 4x
secx + 1 
secx-1
(1 + sen x + eos x)2+ (1 - sen x+eos x)2= W.cot
1
= —, calcular:
1 
eos X = — 
o
secx.cot — 
2
D)2
23
cot
M=----
calcular: 4 eos —
C) — m25 D) —;25
x
W = eos 2x - tan —
(cos^.tan x - sen~) + l,parax = 30°.
A)a/3 B)2>/3 C)^ D)^ E)^
FÓRMULAS RACIONALIZADAS
2ab
' a>b ’XelC'
o§
E>lB)|
B>5
tan
A)|
—.cosx+ 2cos2—.tanx 
2 2
tan20°+cot40°
M — ------------------cot20°-cot40°
D)|A)|
C) eos 3*B)eos 2xA) eos xE)-0,25D)-03A) 1 B)0,5 C)0¿5
D) eos 8* E)eos 4x11.-Simplificar:
A) tan x
A) co* B)sen* C) 1 D)0 E)cot* E) 2 cot xD) cot x
19.-Simplificar:12.-Simplificar: M tan
A) eos* C)sec*B) cot*
W =
D) ese.* E) sen *
A)0 B)2 C)0,5 D)1 E)l,5
20.- Calcula: tan 7°30’. tan 2*.
A) Vó +Vi+ x/2+ 2 B)Vó + V3-V2 + 2A)0 B)0,5 C)1 D)2 EJ1.5
C)Vó-V3+V2-2 D)yÍ6-y/l-j2+2
E)V6 + V3+V2-214.-Simplificar:
21.- Calcule el valor aproximado de:
A)0 B)0,5 C)l,5 D)1 E)-l tan(9°)
A)x/5- 1 + x/5 + 2>/5 B)V5 + l+Ví + Vs
(1 + sen*)
D)>?5- l + V5-2>/5C)V5 + l-v/5 + 2^W =
E)V5 +1 + V5-2V5
A)0 C)0,5 D)l,5 E)2B)1
PROBLEMAS CONDICIONALES16.- Reducir:
calcule:
A) 2,5 B)0,5 C)l,5 D)2 E)3C) cot
23.- Calcule el valor de la expresión:17.-Reducir:
2
M = cos22* -
Identidades Trigonométricas del Arco Mitad 121T12
i
8
eos* 
.1-cos*
cot---- tan—
2 2
csc2* + cot2*
2 
tan * + coi *
D) cot yj
18.- Simplificar: W = esc 2* + cot 4* + ese 4* 
B) tan2* C) cot2*
l+cos*\ 
eos* )
13.-Simplificar:
W = tan(f)
A) cot 32 - cot*
E) cot64
X X
M = eos ~ + sec — 4 4
22.- Si se cumple: tan — + tan — = 2 ese ~ ,
4 o Z
W = cot - 2 eos2 . cot x
X X
M = CSC X + ese — + ese ~2 4
— + 2 sen2 — . cotx
+ esc— + ese 77o lo
1 * csc*---- tan—
.4 2 2M= 1 x 
— tan—+ cot* 
2 2
cotEr-tanlCT w=------------csc40°+cot40°
B) cot'ig
15.-Simplificar:
COSX
X
16
C)1B)0,5 D)l,5 E)2A) O y sec
tan(45° - x) = m.24.-Si:
D) -tan - sec+ sec
calcular: E = sec 2x + tan 2x
E) 2 (tanB) tan + sec+ sec
C) ni2 E)2mA)m
C) + sec
25.- Si: esc x - cot x = sen 0,
, siendo sen 0 > 0 ;31.- Si: k sen = eos
calcular:
-CSC0 seráp = 2
D)l,5 E)3A) 0,5 B)2 C)1
C) k-k'xB) k + k'xA) 7(*2-í'2)26.- Determine el valor de:
M = (tan 10° + 2 cot 20°)(sec 70° - cot 20°) ’kTk''E)
C)l,5 D)2 E)2,5B)05A)1
27.- Si: sen x + m eos x = m.
B) m~ C) ni A)E)
D
B)
C)
D)
AC B
E) rad29.- Si:
eos 8x.cos óx.sec 2x = csc(Ax) - ese (Bx),
calcular tanx.calcule:
C) VÍÓ +3B) VIÓA) 1
C)05 D)1 E)l,5A)2 B)0
D) VVÓ + 3 E) VÍO -3
30.-Expresar: tan
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO 
IDITOkll
JB
A
0
2
0
2
ct
2
7t
8
a
2
l + sen0 
sen20
D) -Jk + k~l
SITUACIONES GRÁFICAS
/rt-a\ .|—4— I en función de: tan
E)eSCy
X 
calcular: cot —
D)A 
ni~
sec2 4 + cos2 6
M =
32.- En la figura mostrada, AB = 2 CD, ni Z 
CAD = m Z CDB = 0, m Z ACD = 90°. Determi­
ne la medida del ángulo “0”
2 
cot^-csc0 + l
33.- Si sen 4x = 0,6 , siendo 0 < x < ^,
a
2
ct
2
2 J
^(tan
10 W
? rad 
o
B) — ni
A)¿; B>'»2 C)„t D)¿v E)^ 
28.- Si la ecuación: x2 - (2 esc a)x +1 = 0, 
calcule una de sus raíces.
B)sen^ C)cos^
y rad
D) secy
A) tan
A) -tan y 
a 
2
oc
2
/
-
o.-
o
JU
50^i Racso Rae» Rae» Rae» Rae» Rae»Rac»l
R
4>/3
arquitectura desde hace mucho ' 
tiempo. Las paredes ganan espacio 
hacia arriba mediante las cúpulas las 
mismas que se estructuran en base a la 
trisección angular.
1 2 '
1
Una importante aplicación de la trisección de ángulos y de la >3 
'£■/ trigonometría que las atiende se puede apreciar en la '«j
T3T-’
v 1
■'
í*
JV
£2PV
que muestra grañ creatividad.
__ R
\ ' í ; ■ La matemática y la trisección de ángulos en particular han^t;
;\y contribuido a resolver situaciones técnicas y ambas han
' \\ ->' permitido que varias ramas de jr-'' ~ —
técnica como ed diseño o?*f.
/' La trisección del ángulo es uno de los problemas clásicos de 
las matemáticas de la antigua Grecia. El problema consiste en 
encontrar 
un ángulo 
cuya medida sea un 
tercio de otro ángulo 
dado,' utilizando 
únicamente regla y 
compás.
2 sen x • eos 2x
M
Alsina, C. y Nelsen, R. (2006). Math made Visual. Classroom Resource Materials. MAA
De la misma forma en los triángulos MDN y NCB, conociendo sus hipotenusas (1) podemos 
calcular sus catetos.
DEMOSTRACIONES GRÁFICAS DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
DEL ÁNGULO TRIPLE
Con ayuda de la resolución de triángulos rectángulos podemos deducir diversas identi­
dades trigonométricas, en esta oportunidad deduciremos las identidades trigonométricas 
seno y coseno del ángulo triple.
En base al rectángulo ABCD, se elige un punto «N» sobre CD de modo que MN = NB = 1. 
De este modo ZNMB = ZNBM. Como consecuencia de esta congruencia se establece 
que: ZABM = ZDNM = x, por cuya razón se verifica que ZM = ZB = 2x. En el triángulo 
rectángulo BAM, la hipotenusa mide «2 eos 2x», en consecuencia, sus catetos serán:
2 sen x • eos 2x y 2 eos x • eos 2x
En el QABCD podemos observar que: BC = AD, es decir:
sen 3x = sen x + 2 sen x ■ eos 2x . . . (1)
De donde se deduce una fórmula especial como: sen 3x = sen x(1 + 2 eos 2x)
Luego expresando en términos de «sen x» la expresión (1), tendremos:
sen 3x = sen x + 2 sen x(1 - 2 sen2 x) = sen x + 2 sen x - 4 sen3 x 
Finalmente: sen 3x = 3 sen x - 4 sen3 x
Asimismo, de la figura se puede afirmar que: DN + NC = AB, de donde se deduce que: 
eos x + eos 3x = 2 eos x • eos 2x
Despejando «eos 3x», se tiene: eos 3x = 2 eos x-cos 2x - eos x
Finalmente: eos 3x = eos x(2 eos 2x - 1) (Fórmula especial)
Si dicho resultado lo expresamos en términos de «eos x», tendremos:
eos 3x = eos x[2(2 eos2 x - 1) - 1] = eos x(4 eos2 x - 3)
De donde: eos 3x = 4 eos3 x - 3 eos x
j 1
Por complejos:
13.1. RELACIONES FUNDAMENTALES
Se tienen las 3 relaciones principales:
tan 3a =
13.2. RELACIONES AUXILIARES
f^123|Identidades Trigonométricas del Arco Triple
Desarrollando el binomio al cubo, luego igualando las partes reales e imaginarias se obtiene: 
eos 3a = 4 eos3 a - 3 eos a sen 3a = 3 sen a - 4 sen3a
Al igual que en arco doble o arco mitad, en arco triple también las relaciones 
fundamentales se obtienen aplicando las identidades de los arcos compuestos o bien con la 
fórmula de De Moivre en números complejos así:
m
Se obtienen a partir de las relaciones fundamentales con ayuda de arcos dobles e identidades.
= 4 cos3a - 3 cós a
sen 3a = sen (2a + a) = sen 2a eosa + eos a sen a 
sen 3a = 2sen a eos a . eos a + (l - 2 sen2a) sen a 
sen 3a = 2sen a (1 - sen2 a) + sen a - 2 sen3a 
sen 3a = 2sen a - 2sen3 a + sen a - 2 sen3a 
sen 3a = 3sen a - 4sen3a
(eos a + i sen a)3 = eos 3a + i sen 3 a
sen 3a = 3 sen a - 4 sen3a eos 3a
3 tan a - tan3a 
1-3 tan2a
^Identidades Trigonométricas - : 
é. Í ¿¡ÜíSzljXt• 7 Zlj
4 sen3a = 3 sen a - sen 3a 4 cos3a = 3 eos a + eos 3a
sen 3a = sen a (2 eos 2a + 1) eos 3a = eos a (2 eos 2a - 1) 
sen 3a = 4 sen a.sen(60" - a), sen (60° + a) 
eos 3a = 4 eos a.cos(60o - a), eos (60° + a) 
tan 3a = tan a.tan(60° - a), tan (60° + a)
Nota: sen 18° = eos 36° =
HZ
PROB. 1
Calcule: a) 4E = 4 sen 10° sen(60°- 10°)sen (60° + 10°)
a) eos 111° b)sen 159°
a)cos 111 ° = eos 3 (37°) = 4 cos337°- 3cos 37°
b) 4P = 4 eos 20° eos (60° - 20°) eos (60° + 20°)
eos 111°
4P = eos 3(20°) = cos60°
eos 111° =
2
c) Q = tan 5° tan (60° - 5°) tan(60° + 5°)eos 111° =
Q = tan 3(5°)= tan 15°b) sen 159° = sen 3(53°) = 3sen 53° - 4sen3 53°
Q = 2 - 73
PROB. 3
sen 159° = Determine el valor de:
sen 159° = K =
PROB. 2
Calcular:
a) E =sen 10° sen 50° sen 70°
K =
¿Si KACSO
BDITORII
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
44
125
Multiplicando numerador y denominador 
por 4, así:
44
‘ 125
75+1
4
J5-1
4
4 sen310°+ 4 eos3 20° 
4(senl0° + cos20°)
A continuación aplicamos una de ¡as 
relaciones auxiliares:
sen3l 0°+cos320° 
senl0° + cos20°
12 256
5 125
256 300
125 ' 125
rflsr\ '
4P = -i
4E = sen 3 (10°) = sen 30°
b) P =cos 20° eos 40° eos 80°
c) Q = tan 5° tan 55° tan 65°
1241 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
= 3K-4(Í) =
300 256
125 ' 125
4E= |
P= 8
E=i
sen 159°
Luego: cot 0 =
K =
B
Finalmente simplificamos, obteniendo:
40°
K DK =
a
PROB. 4 CA a cot 0
tan 0 =
B
Escribiendo en términos de tangentes:
tan 0 = tan 10° tan 50° tan 70°
Finalmente tiene la forma:
tan 10° tan (60°-10°) tan (60° +10°)tan0
CA H
tan 0 = tan 3(10°) tan 0 = tan30°
0 = 30° x = 20°
En el Es AHB: cot 20° =
DE RESOLUCIÓN 
4 eos3 x 3cos x + eos 3x
de las relaciones auxiliares presentes a situaciones problémicas
Identidades Trigonométricas del Arco Triple
RESOLUCIÓN
ESTRATEGIAS
4 sen3x =3sen x - sen 3x
2) Utilizar las fórmulas anteriores en forma apropiada.
 3(senl0° + cos20o)
4(senl0° + cos20°)
3 
4
ncot 10° 
acot0cot4O°
cot20°cot40° 
cot 10°
cot 10° 
cot20°cot40°
_ZL 
H
3senl0° + 3cos20°
4(senl0° + cos20°)
10S-——'
1 Í0°
a cot 10°
3) Aplicar cada una 
específicas.
K 3senl0°-sen30° + 3eos20° + eos60° 
4(senl0° + cos20°)
De la figura que se muestra calcule la medida 
del ángulo x.
=> a cot 0 cot 20° cot 40° = a cot 10°
1) Al igual que ángulos dobles, cuando se tenga potenciación cúbica, se debe 
degradar, es decir bajar al exponente de 3 a I, aplicando las identidades siguientes:
Enunciados do Problemas
con Resolución
RELACIONES FUNDAMENTALES A)1 B)2 C)-2 D)-l E)3
01.-Simplificar: 06.- Simplificar:
W =W =
A) 0,5 esc x C) 2 esc xB)cscxA)1 B)2 Q 3 D)4 E)6
D) 3 esc x E) 6 esc x02.- Simplificar:
W = 4 eos x . cos(60° + x). cos(60° - x)
07.-Si:
A) eos 3x B) eos 2x C)eos 3x
calcular: M 16 sen 6xD) eos 4x E) eos 6x
A) 10 B) 12 Q 15 D)ll E)1603.- Simplificar:
08.-Si:W
calcular: tan 3x
A) B) O D) E)
04.- Simplificar la expresión:
W = tan x .
A) tan 9o B) tan 18° O 2 tan 18°B) tan 2xA) tan x C) cotx
E) -tan 3xD) tan 3x
10.-Si:05.-Simplificar:
calcular: tan 6x
W = A) 4/3 B)3/4 Q 1/2 E)2/3D)-l/2
f 126~| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos Si RAC.S0 
^>10170*11
2.
11
B) cot3x
E) 4 cot3x.
A) 4 + cot3x
D) 3 cot3x
C) 2 cot3x
sec3x 
sec 3x
3cosx + cos3x 
3senx-sen3x
l-cos2x
l + cos2x
1 + secx + cos2x.secx 
tanx + 2senx + sen3x.secx
tt 
= 4 , 0 <x < — ,
entonces una expresión equivalente para W 
será:
sen3x.cscx 
0,75-sen2x
_____ 8 tan x 
sec 2x ' tan 2x
sec2x-4 
3sec2x-4
sen3x + sen 3x 
sen x
75 sen x + eos x =---- ,
2
D) 2 tan 9o E) tan 36°
3 tan2x + 6 tan x - 1 = 2 tan3x,
+ sec2x
H B>n C)H D) H 
09,-Si: W = 4 - 8 sen29° - 3 sec 18°,
cos3x-cos3x 
eos x +
RELACIONES AUXILIARES
A) cot x B) cot C) 2 cot x
11.- Calcular el valor aproximado de la expresión:
W = tan 9° + tan 27° + tan 63° + tan 81 ° D) tan E) 2 tan
AJ475 B) 75 CJ275 DJ375 EJ675
12.- Calcule el valor aproximado de la expresión:
AJO B)1 CJ-2 D)2 E)1
A) 72 B)75 CJ273 DJ275 E) 75
19.- Calcule el valor de la expresión:
13.- Calcule el valor de:
W = tan 10°(3 eos 10°-2 sen 10°. eos 70°)
W = eos 380°.cos 140°.cos 260°
AJI B) 1/4 C) 1/6 D) 1/8 E) 1/2
A) 1/8 B) 1/2 D) 1/8C) 1/4 E) 1/16
PROBLEMAS CONDICIONALES
14.- Calcule el valor de:
:250°.
A) 16 B) 18 CJ42 D) 36 EJ64
sen 3x.cot x + eos 3x.tan x
15.- Calcular el valor de:
Calcula: A + B.
M = D)6B)2 C)3 E)4AJI
A) 1/4 B) 1/2 C) 1/8 D) 1/16 E) 1/32 21.-Si se cumple: sec2x =
16.- Simplificar:
calcular: eos 4x
B) 1/2 C) 72/2 D)0 E)73/3W = . tan 3x AJI
A) tan x C) tan 6xB) tan 3x 22.-Si:
D) tan 8x E) tan 9x
17.-Simplificar: DJ2/3 EJ-7/9
+ 3 cot
b sec x = 4 cos2x - 3, calcular: “a2+ b2"
Identidades Trigonométricas del Arco Triple wlS
20.- En la siguiente igualdad, se tiene una iden­
tidad trigonométrica:
x
2
3x
2
x
2
x
2
csc220°
W =
2cos6x+ 1 
2cos6x-l
sen3x-senx
senx
4senx
1+ 2cosx
Asén4x+ Bcos2x 
senx + cosx
cos3x 
cosx
M = 3 sec210°. sec'
krt
,x* — ,ke Z
18.- En la siguiente identidad, determine el va­
lor de M:
= ~, al calcular W = eos 4x, se
sen3x 
senx 
obtiene:
sen3x
M+ --------senx
A) 1/3 BJ-1/3 CJ-2/3
23.- Si: a esc x = 3 - 4 sen2.
sen 22°.sen 82°.sen 38° 
cos412°-sen412°
tan72°+tan36°\V = -------------------
cot72°+cot36°
30.- Si: cot x = k.cot 3x,B)0 C)0,5A)-2 D)-l E)2
calcular:24.- Si:
C)V3 E)-j3 A) kA)1 B)2 D)-l
25.-Si:
calcular: W = -eos 6x »).
calcular sen(x + 30°).
= (x3-3x+l)2 , A)
entonces el valor de “x” es:
E)
A) 2 eos a B)eos a C)sen a
D) 2 sen a E)3 sen a 32.-Si: 3 sen 2x +2 eos 2x = 2; 0<x<
cos3xsen3x calcule: tan 3x27.- Si:
secx - cosx
calcula: “cot2x”
A) m/2 B) tn/3 C)m/4 D) í?i/6 E) 2/m
28.-Si: sen x + eos x = k.
33.- Si: tan(x+ 15°) = , calcular: tan 3xcalcular: W = eos 3x - sen 3x
C) 2k-3k3
29.- Si: tan2<j> - 75 tan <¡> -1 = 0, calcular: tan 6<f>
Io
E) A)0 B)0,5 C)1 D)l,5 E) -2
128 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■SlRACSO 
IDITOkll
B)3A-2?
E)3¿-4¿3
A) k
D) 3k - k3
22^5
35
V6+V2
4
-j6-y/2
4
31.-SÍ: tanx= (2 + VJ). tan
1 
sen(60° - x) = ~ ,
E)-¿
„ esex
W=-------csc3x
A)-á
E) 2*-l
A) 41
47
C)^
M 729
D)«
65
C) —M 37B)^
D)||
D)¿
A) 37
33E>f
E) 121
136
C)^
C)^
B) 76Zo
D)lh£ 
’ 35
B) 2
A)f 34.- Calcule el valor de la expresión:
W= (vr-6senl0° ) . sec 80'
C) —? 46
D) u> k-l
C>F1
+ -------------- = m,esex - senx
26..S1:1Z£2^
1 -cos3a
sen3x + sen3x 1
---- ----------3- = — , calcular: tan x 
cos3x-cos x 2
A) tan 120°D)2 ' E)V2A)1 B)03 C)l,5
. B) tan 240°36.- Calcular el valor de:
C) tan 30°
sen 50°M =
D) tan 54°
E) tan 21°A)
41.- En la figura mostrada, calcular: “x"
E)
37.- Calcular el valor de:
D)2,5 E)3A)1 B)2 C)15
CDA
38.- Calcular el valor de:
mZEAD = 27
Z CED = 57 + x ,ni ZBCE=xM
/n ZADE = 90
C)04 D) 1,5 E)3A)1 B)0
E)3(F39.- Si a * b, eliminar el arco “x” de:
E
D
C
SITUACIONES GRÁFICAS
BA
Identidades Trigonométricas del Arco Triple
• 35.- Calcule el valor de la expresión:
W= 2eos 160°.(2sen20°- l)(2sen20°+ 1)
A) 61 u
B) 61,15 u2
C) 63,25 h2
D) 54,16«2
E) 59,53 «2
A) b2 - a2 = ab
B) 8b2 -a2 =ab
C) 8b2 - lab = a2
... (2)
D) 8b2-la2 = ab
■ E) 6a2 - 8b2 - ab
(3cos65°-4sen3 25°) 
sen270°-sen220°
V6+V2
4
A) 10° B)20° C)15° D)25°
42.- De la figura mostrada, BC = 3, CD = 4, 
ni Z B AC=m Z CAD=m Z DAE; ni Z ABE=90. 
Determine el área de la región triangular 
ABE.
Vi + 6cos20°
2cos20°
a 
calcule: — 
b
D) 24
25
4cosl8°-3secl8°
M= tan 18°
B)f o4
(a + 6)tanx = (<r - b~) tan 3x ...(1) 
a sen2* = b eos 6x
40.- En la figura mostrada:
ni Z EAD = 7 , ni Z ECB = 53
»iZABE = 67 , ÁC1BD, 
ED = a , EC = Z> ,
Si: mZBAE = 54 ,
_s._
;Éíí:e,iíi.c¡a:
La comunicación matemática se ha visto favorecida por el r
a».
o
Derives
I es el casode los 
semáforos. Imagínate un día por 
las calles del centro de la ciudad con 
los semáforos paralizados.
L....... 
*’‘Vr^k
E5! ÍPiJ
E39EU3 
ii ■ isaa
I
JU* xcu'Wx - *«.’ i» tb -1. i.’c’a» xJx.
=» j»»’xt»!1 »Zx -pl-cx»’xi'cox1 xxa xix -pl- 2c~’x• cu"l'e«?xn«
» Jn“* xcsí1 Wx - Ji co*11 - 2c»f* x« cm* nraxíi,
=» «¿r -|ror*iB»»/«-2Jc«’«niiir • |<m*iúA
=» J«‘ «•? jUx - -fcu*«(- ■■ */x) ♦ 2je«* 1(- u til) - fcu* <(- m xt>)
Su
Dttaifraaqw
Jm’«u* - - j«’A • 2p‘Ai - - -I»1 ♦2«|n’ -1«* »ft
r ■ •
' S "
hí^saasgs
L«íídSSK:
... •:" - ' 7TZMM—Hffl
siclá>'
-
Z^La^ comunicación matemática se ha visto favorecida por el 
/ proceso de simplificación de términos. En este aspecto la 
transformación de sumas o ’ 
restas a producto ha tenido 
una notable contribución. K'-
A^~-: '
r,lf t // La invención de muchos artefactos ha sido de gran utilidad 
para la simplificación de nuestras vidas. Tal
i‘ ■
I-------- —---- ------- ge N
'! Las calculadoras científicas y los softwares, son una > 
contribución, de los tecnólogos, a la simplificación de nuestras
’ tareas de cálculo.^■J...■ -««..
\
Ellas procesan información mediante
rutinas de gran simplificación
Las relaciones que permiten realizar dichas transformaciones provienen de:
sen (a + P) = sen a eos p + eos a sen P
sen (a - P) = sen a eos P - eos a sen p
eos (a + p) = eos a eos P - sen a sen p
eos (a - P) = eos a eos p + sen a sen
a + p = A a-p = B
De manera que: a =
Por ejemplo si sumamos sen (a •+ P) + sen (a - P) , tendremos:
2sen a eos p ... (**)
Sustituyendo (*) en (*•), obtenemos:
) íI eos r
sen A + sen B = 2 sen
sen A - sen B = 2 eos
| 130 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos Racs oT44
sen (a + P) + sen (a - P) = sen a eos P + eos a sen P + sen a eos P - eos a sen P 
sen (a + P) + sen (a - P)
Si sumamos y/o restamos miembro a miembro sen(a + P) con sen (a - P) y eos (a - P) con 
(a + P) y haciendo cambios de variables convenientes, como:
A + B
2
A + B 
2
A + B 
2
Es frecuente encontrar situaciones que involucran razones trigonométricas senos y/o 
cosenos de ángulos (arcos) diferentes, cuya simplificación o tratamiento, requiere de la 
habilidad de saber transformar las expresiones de sumas o restas a producto.
A+B A - B
p=Ap... (*)
sen A + sen B = 2sen (■
rnn /vi n<
ormacipnes deS unías 
ifermiasaTP rodiictós
En forma análoga se obtienen las otras relaciones. Si Ay B son dos ángulos cualesquiera, 
se cumplen las siguientes transformaciones:
eos A + eos B = 2 eos
eos A - eos B = -2 sen 2
14.1. RELACIONES DE TRANSFORMACIÓN CONDICIONADAS
sen A + sen B + sen C = 4 eos . eos2
eos A + eos B + eos C = 4 sen sen sen
A)
PROB. 1 K = 2 eos 60
Si: 36 0 = n; calcule:
Pero como: 369 — n
K =
K = J3
PROB. 2
K =
Encuentre el valor de:
K =
Transformaciones de Sumas o Diferencias a Productos '
RESOLUCIÓN
T14¡SJ
Agrupando convenientemente, para luego 
transformar a producto.
En un triángulo ABC se cumple aplicando las relaciones de transformaciones, y teniendo 
en cuenta que A + B + C = 180° se obtiene:
A + B 
2
1
t •sen f .sen §
sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4 sen A. sen B . sen C 
eos 2A + eos 2B + eos 2C = -4 eos A. eos B . eos C - 1
(cosí 00 + cos20) + (cos80 + cos40) 
(cos40 + cos 20)
cos20 + cos4O + cos89 + coslO0 
eos 40 +eos 20
2 eos 69 eos 49 + 2 eos 60 eos 29 
(cos49 + cos20)
PROB
N sen40° + sen20° sen50° +senl0° 
" eos 40° +eos 20° eos 50° +eos 10°
• eos y
■ 3
+ 1
Luego K = 2cos g’ = 2 ¡ ,
_ 2cos6Q(cos4<>t~C5s26J~
-(ees4üTrcos2oJ-
p =
Transformando a producto
Al simplificar obtenemos:
N = P = cot 40 + tan 20
Utilizando arco mitadAl simplificar obtenemos:
N = 2tan30°N = tan 30° + tan 30°
P = esc 40Finalmente:
Pero: 40 =0 =
P = cscl8° =40= 18°
PROB. 3
Reemplazando su valor numérico tendremos:
P =
P = +
P =
Transformando a producto:
P = V5 + 1
P =
DE RESOLUCIÓN 
¿SiRACSO 
ffiDtrotuProblemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
ESTRATEGIAS
n
40
1 = 4
V5:n Vs-i
4
Jí- 
lO
sen 60-sen 20
eos 20-eos 60
senl40-senlO0 
eos 140 +eos 100
cos40sen20
sen40sen20
4(75 + 1) 
(V5-1)(V5 + 1)
2) Cuando se tiene sumas o diferencias de varios senos o cosenos, se agrupa 
convenientemente, para luego transformar a producto.
3) Para transformar a productos no interesa el orden de los ángulos (si uno es mayor 
o menor que el otro), es suficiente con aplicar las propiedades de transformación.
1 
senl8°
1) Cuando se tiene una suma o una diferencia de dos senos o dos cosenos, se debe 
transformar a producto.
cos!20sen20
cosl20cos20
Si 0 = ~ , determinar el valor de: 40
2sen30°cosl0° 2sen30°cos20°
2cos30°cosl0° 2cos30°cos20°
2cos4Osen20 2sen29cosl20
-2sen40sen(-20) 2cosl20cos20
=> P = cot 40 + esc 40 - cot 40
Enunciados de Problemas
con Resolución
xru::
TRANSFORMACIONES A PRODUCTO
01.- Reducir:
C)sen xB) 2cosxA)eos x
D) 2 sen x E)cos 2xA)cot x C)cot 4xB) cot 2x
07.- Transformar a producto:D)cot 5x E) cot lOx
sen x + sen 7x + 2 sen 3x + 2 sen 5xM02.- Reducir:
A) 2 sen 2x cot x . sen 3x
M B) 2 sen 2x . cot 3x . sen 6x
C) 2 sen 4x . cot x . eos 3x•D)0,5 E)2C)0
D) 2 sen 4x . cot 2x . sen 3x03.- Simplificar:
E) 2 sen 4x cot x . sen 3x
M
08.- Calcular: W =
D)l,5 E)V3B)V2 C)2A)1 D)0 E)2A) 1
D)2 E)-0,5A)0 B)1 C)0,5 A)1
05.- Reducir:
10.- Calcule el valor de la expresión:
M =
W =
A) tan x B) tan y
A) 1/4 B) 1/2 C)1 D)0 E)-l/4D) tan x + tan y E) tan x. tan y
Transformaciones de Simias o Diferencias a Productos
09.- Calcule:
W = eos210° + sen220° - sen 20°.cos 10°
cos(45°+x) -cos(45°-x) 
sen(120°+x) -sen(120°-x)
A)V2 B) 1
______2(sen 2x + sen 2 y)
1 + cos 2x + cos 2v + cos(2x-2y)
C) tan x - tan y
1,5 + V3sen2x 
(cos2x + -jj.tan(x + 30°)
2sen50°-l 
tan35°+cot35°
D)-| E)3/4
c)-|
eos12°+sen30°+cos84° 
cos24°+sen42°
Q-|B)1
04.- Reducir:
W = eos 10 x + eos 8x + 6 cos22x + 3 eos 2x - 3
- 8 cos^x-cos x
06.-Simplificar:
w (tan 2x+cot x-4 cos2x)(sen 3x-senx) 
[2 sen x(sen x+ eos x)-1]2
eos 15x +1Ocos 1 Ox + cos5x
M=----------------------------------senl 5x + lOsen 1 Ox + sen5x
11.- Halle “m” de la identidad: D) -2 sen 2A . sen 2B . sen 2C
E) 4 eos 2A . eos 2B . eos 2C
A)1 B)5 C)3 D)2 E)0,5
12.- Calcular el valor de:
M = eos 20° + eos 100° + eos 140°
A)0 B)0,5 C)1 D)-l E)-0,5
13.- Determinar el valor de “M” si:
19.-Si: = P eos 5x + Q,
= M . eos 4x + 1 calcular de : P + Q
A)1 B)2 C)3 D)4 E)0,5 A)0 C)2 D)3 E)32>B)1
14.- Calcular el valor de: 20.-Si: sen x + sen y - a
eos x + eos y = b.
para a = 10®M =
calcular: sen (x + y)
A) 2 B)-2 C)-l D)0 E)1
PROBLEMAS CONDICIONALES
D) E)
21.-Si:calcule: W =
A)0 B)J C)-l D)0^> E)-0í
16.-Si: 22.-Si:
A) k
A)0 B)0,5 C)-l D)-0,5 E)117.- Si: A + B + C = 7t, expresar como producto:
W = sen 4A + sen 4B + sen 4C
23.-Si: , calcular:
A) 4 sen 2A . sen 2B . sen 2C
B) 2 sen 2A . sen 2B . sen 3C
C) -4 sen 2A . sen 2B . sen 2C A) k
j 134 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
 sen mx 
sen x
P. cos(Qx). cosR(Sx) = eos 8x + eos 4x - 4 sen2x 
+ 2, determine el valor de: (P + Q) - (R + S)
Íí* RACSO 
IDITOlll
sen5x + senóx + sen7x 
serrv + sen2x + sen3x
cos8x-cos7x 
cos3x-cos2x
eos a + sen b 
sen o + cosh
senct + sen5a + sen9a 
cosa + cos5a + cos9a
sen4x + senóx 
sen2x
sen 23a-sen 7a 
sen 2a + sen 14a
sen5x
sen3x
ab 
a2 +b2
2ab 
b2 + a2
= k, calcular: tan 2 j
cos47°-cos73° 
sen43°+senl7° "
15.-Si a=^,
E)^
■ . tan4x"'.calcular:
O—7 niB) —7 ni
ni -1 +1
D)l±*u,l-k
3 + k
D>3^
0^7
a-b
E) 1 + k
’l + kc>7
D)|
B>1
B)|
W = tan 32°
A)~ ' m
1
18.-Si: tanx=reducir:
sen5x + sen3x
M = --------------------cos5x + cos3x
24.- Si: A + B + C = 7t, calcular “M” de:
A) O B)0,5 C)-O,5 D)1 E)-l
31.-Si:
W = sen(x + 20°) + sen(x- 50°) ,xe [0; 360°],A) 2 B)4 C)1 D)8 E)0,5
A) 105° B) 120? C)110° D) 108° E)115°
EXPRESIONES EQUIVALENTES
27.-Si: tanO =
determinar: sen 0 , si 0 e IIIC E) 4 secx. sen (x +
A) tan 10° B) tan 20° C) tan 30°
E) tan 40°
34.- Expresa como un monomio:
C)73cot40°29.- Si “0” y <]> son las raíces de la ecuación:
A) a
1135|Transformaciones de Sumas o Diferenciasa Productos
m 
n
determine un valor de “x” que maximice dicha 
expresión.
32.- Si: W = 4 sen x + sec x, determine una 
expresión equivalente de W en factores.
35.- Si: W = 3 + 73 , determine una expresión 
trigonométrica equivalente para W.
M = 1 + 4 eos 20°
A) 73 B)73cotlO°
D)73cot40° E)73.cot20°
2cos20°-cos40° 
sen40°
B) 4 esc x sen íx + p-1. cos^x-y-j
O».(SjS)
a sen x + b. eos x = c, calcular W = tan
E,oo,(^)
“‘(-i)D) 4 sec x . sen í x + j
D) tan 35°
A B 
sen A + sen B - sen C = M . sen — . sen — .
C ¿ 2
eos y
ñ)cos(x-ñ)
33.- Si: W = 4 sen 40° - 73 , determine una 
expresión equivalente de W.
^u2-».2
E)»2 + ,»2
26.- Si: senx+ sen y = m; cosx + eos y = n; 
ni * 0, n 0. Calcular: W = cos(x + y)
C)4 cotx. sen(x + -~j . cos(x--p)
D) eos2 E) 2 eos2
B)-|
A) 4 eos x sen (x + -p). cos(x-p)
BA^oty
A)„ B)^ C)
30.-Si: sen 5x+ sen 3x+ senx = M sen5x+ N 
sen x + P sen x, calcular : W = P - N - 2M
U}u2-m2
D>oo.(^)
C)j
C)sen2aA) eos y
senA.sec—F (senB + senC).tan— 
W =
o4 D)^ e)-^
28.- Si:^ec(x + a) + sec(x- a) = 2 secx, calcu­
lar: cos'x en termino de “a”
B) 2 eos
A
2.
25.-Si: A + B+ C = 7t, simplifica:
A , „
2 '
senB-senC
B) cot y
SITUACIONES GRÁFICAS
D
B
ECA
C)
D
W =
37.- Factoriza:
C
D) 2 Vi eos 38° eos7°
1Z
A)1 B) C)
38.- Eliminar el arco “x" de:
A) c(n + c) = b(b + c) D) c(a - c) = b(b + c)
BB) c(« + ¿) = b(a - c) E) c(a + c) = b(b - c)
C) c(c + a) = b(b + c)
39.- Elimine el arco “x” de:
= m + senx ...(1)
C A
= n - eos x
C)k2sen 2x
C)(2-y/2)n=m
P^136| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO
^PIDITOUS
sen*
c
B) 2^6 sen 15° 
D)VÍsen75° 40.- En la figura mostrada, AB = CD, AC = 3, BD = 4, m ZL E AB = a, m Z ECD = 0.
sen5x
a
A) 2 V5 eos 38°
T a + e Calcule: sen 2
c°s(x + |)
B)(2 + V2)n =m
D) (2 + Vi )n = m
E) (2 - Vi )n - m
\')yÍ2n = m
latero, m Z DAE=x, m Z EAB = 3x, BE J. CA ; 
DC ± CA ; AB = AD = k. Determine el área de 
la región sombreada, en términos de «k» y «x».
36.- Si: W = 1 + eos 2x + eos*, determine una 
expresión equivalente de W en factores:
1 + sen 14° + eos 14°
A) Vó sen 75°
C)Vósen 15°
E) 2 Vó sen 75°
A
— C) - 2 ; 4
42.- En la figura mostrada, ABCD es un cuadri-
E) 4 eos x. eos (f + f). cos(f-^)
D) 4cos x eos ( 2 +
B
E)|d4
sen3x 
b
E)|
B) V5 eos 38° eos 7° E) 2 V2 . eos 38°. eos 7°
C) V3 eos 38° eos 7°
D
A) k sen32x B) 2k sen32x
D) 2k2 sen32x E) £2.sen32x
D>i
B) 4 sen x eos., . xA) 4 eos x eos
C) 4cos x eos ( 2 ~ 6 )
A)| B)f C)|
41.- De la figura mostrada, DC = 2 CB, calcular:
tan(^-y)
csex-cotx
y = 2A sen(kx) • cos(a>t) <-> y = y, + y2 ;
II
Ifc _ z
■
• Raso Raso 1 ■ Rasol Racso!
/ La superposición de ondas viajeras de igual amplitud y 
/ frecuencia moviéndose en direcciones contrarias da lugar a una 
onda resultante llamada onda estacionaria. Esta es de igual 
frecuencia que las ondas componentes cuya amplitud es el doble.
■
i
1
de dos factores como la suma o diferencia de estos es aplicada en
> - ■ 4 i
a Tiaai
’ V 
\\
y4 = A sen(/cx — <ot)
.
muchas situaciones laborales cuando un 
experto (el producto) es reemplazado por dos 
especialistas (los sumandos). En muchos casos esta I 
operación puede resultar menos eficiente.
■ j Conocerlacomposicióndeondasapartirdelaondarésultante Aj: 
. V r le permite a la industria de la música poder acoplar sonidos o \ 
recuPerar segmentos de la obra 
cuando ocurren pérdidas involun­
tarias. Esta técnica evitaJargas y tediosas 
sesiones acústicas. — z'
1 v • - A *I
____________ f
; /' Latécnicadetransformarunaexpresiónenformadeproducto
?í;
DE UNA SERIE TRIGONOMÉTRICA A UNA SERIE ARITMÉTICA
Sea la sumatoria:
2 sen xE = 1 - eos 2x + eos 2x - eos 4x + eos 4x - eos 6x + ... + cos(2n - 1 )x - eos 2nx
2 sen xE = 1 - eos 2nxSimplificando apropiadamente, obtenemos:
Y según la fórmula del ángulo doble, tenemos:
Finalmente hemos logrado establecer que:
E = sen x + sen 3x + sen 5x +...+ sen(2n-1)x =
sen xxx
Luego la sumatoria quedaría como:
logramos la siguiente sumatoria:
Que es una famosa serie aritmética.
Collecter by ¡oyel, L. (1961). Summation oí series. Dover publications, inc. New York
Multiplicamos ambos miembros por <2 sen x», obtenemos:
2 sen xE = 2 sen2 x + 2 sen 3x sen x + 2 sen 5x sen x + ... + 2 sen(2n - 1 )x sen x
Pero sabemos que: 2 sen x-sen y = cos(x - y) - cosfx + y) que aplicado a dicha sumatoria 
se obtiene:
sen2 nx 
sen x
A partir de aquí haremos el siguiente supuesto: los ángulos son números reales, o arcos en 
radianes, muy pequeños, por lo que se cumple que:
Y al simplificar «x»
2 sen xE = 2 sen2 nx
_2 2
X = x + 3x + 5x +... + (2n - 1)x =------
x
1 4- 3 4-5 4-... 4-(2n - 1) = n2
A continuación, se calcula la sumatoria de senos de «n» ángulos que se encuentran en 
progresión aritmética, utilizando transformaciones de productos de senos y cosenos como 
veremos más adelante.
E = sen x 4- sen 3x 4- sen 5x 4- ... 4- sen(2n - 1 )x
 sen2 nx 
sen x
W
eos (a + P) = eos a eos p - sen a sen p
Se obtienen sumando o restando senos con senos y cosenos con cosenos, así por ejemplo:
sen (a + P) + sen (a - p) = sen a eos p - eos a sen P
2 sen a eos P = sen (a + P) + sen (a - P)Es decir:
En forma similar se deducen las otras relaciones de transformación:
Sean x e y dos ángulos cualesquiera, se cumple las siguientes transformaciones:
2 sen x . eos y = sen (x + y) + sen (x - y)
2 eos x . sen y = sen (x + y) - sen (x -y)
2 eos x . eos y = eos (x + y) + eos (x - y)
2 sen x . sen y = eos (x - y) - eos (x + y)
Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias 137
Al igual que en las transformaciones de sumas o diferencias a productos, también es 
importante las transformaciones de productos a sumas o diferencias, se obtienen a partir de:
sen (a + P) = sen a eos p + eos a sen p
, 77 s.
.J_í7\j4';'' ’ ■ IMS í5
J. I iLLWjH/. ’ 
¿T=ransformaG.ionésde Producto - >
SumasWD: :-----
sen (a - P) = sen a eos P - eos a sen P
eos (a - p) = eos a eos p - sen a sen p
PROB. 1
K = eos 3x sen x - eos 4x sen 2x + eos 5x sen xReducir a su mínima expresión:
***********************************************
Multiplicando por 2 ambos miembros, luego transformando a sumas o diferencias:
2K = 2 eos 3x senx - 2cos 4x sen 2x + 2 eos 5x sen x
2K = sen 4x- sen 2x - (sen 6x - sen 2x) + sen 6x - sen 4x
Al efectuar como sigue tendremos:
2K = sen 4x - sen 2x - sen 6x + sen 2x + sen 6x - sen 4x
2K = 0
K = 0Finalmente:
PROB. 2
Calcule:
**t***tiOiH:***ittiít*****ír***t*i*tiOt*OOtiiO'i
Pero:
.^íracso
IO1TOI1I
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
2L
7
n
7
6n sen-y
. 6 re _ _
2 sen y .W
2 sen y .W = sen y^
2 sen y .W = sen yy 4-sen-yy -senyy + senyí ..senyy
+ eos yy + eos -y-
Multiplicando por 2 sen y a ambos miembros:
j 38 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
sen y =
2senycosy + 2cos yy sen y + 2005^ sen
W = eos y
67Í
7
Luego tendremos:
Finalmente:
PROB. 3
; calcule el valor de "P".4 eos x.cos 3x + 1 =De la siguiente igualdad:
*********************************************
Multiplicando a ambos miembros por sen x.
2. sen 2x eos 3x + sen x - sen (Px)Luego:
sen (Px)sen 5x - sen x + sen xTransformando a sumas:
sen 5x = sen Px
Al comparar obtenemos:
DE RESOLUCIÓN
Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias 139
RESOLUCIÓN
ESTRATEGIAS
TI5
2) Necesariamente para realizar la transformación, debe llevar 
Si no tiene hay que multiplicar.
n 
7
sen(Px) 
senx
2. 2senxcosx eos 3x + senx = sen (Px) 
sen2x
un coeficiente 2;
1) Cuando hay productos de 2 senos o 2 cosenos o un seno con un coseno, se 
debe transformar a sumas o diferencias.
2 sen y . W = sen
3) En las transformaciones a sumas o diferencias, no interesa cual de los ángulos 
es el mayor o menor, es suficiente-con aplicar convenientemente las fórmulas de 
transformación de producto a suma o diferencia.
W= |
■_ _ 2
Enunciados de Problemas
con taoludíSn
APLICACIONES DIRECTAS 06.- Simplificar:
01.-Simplificar:
W = A)0 B)-l/2 D)1 E)-lC) 1/2
C)sec 2xB)esc 3xA) sec 3x
E)sec 4xD)esc 2x
A) 2° B)3° C)4° D)5° E)6°
PROBLEMAS CONDICIONALES08.- Si: eos A = eos B. eos C ,
reducir:
A) tan2 (y) B)tan2(®j
E)tan2(f)
D)16cos°x
09.- Si 60x=7rt, calcular el valor aproximado de:
04.-Simplificar: M = + eos 6x
W = tan(x + y) -
A)eos x B) eos 2x C)eos 3x
D) eos 4x E)eos 6x
05.-Reducir: 10.- Si: sen 7x = 2 sen x, calcular:
M = 2 eos 6x + 2 eos 4x + 2 eos 2x - sen 7x.csc x W = eos 2x + eos 4x + eos 6x
B) 1 C)0 D)0,5A)-l E)-05
A)0 B)-l C)1 D) 1/2 E)-l/2
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■^RACSO
IDtTOXUT15B3
A)sen 3x
D) sen2x
E) 32cos6x
2cos3x - cos2x.cosx + cosx 
8cos4x-6cos2x
2senl5x.senx
2cosl0x + l secx.seny 
cos(x+ y)
C) tan
«7 . /A + B^ . ÍA-B^ w=tan^-j -ta4—j
07.- Encontrar el valor de: “a”, si:
eos 12°. eos 60°.sec 72°- eos 24° = 
sen2ot.cosa
sen3a
D)tan (y)
03.- Reducir aun monomio la siguiente expre­
sión:
W = 2 eos x. (eos 5x + 5 eos 3x + 10 eos2 x)
A)sen63x B)4sen4x C)8cos4x
02.- Reducir a un monomio la siguiente expre­
sión:
W = sen 3x(3 sen 3x- sen 9x+ 4 sen 3x.cos23x)
B) 4 sen23x C) sen2 3x
E) 4 sen2 x
.. 44 17 44 117 r., 131A) u7 B) 44 C) 17 D) E) 53
1 sen7x
W = —------- - - eos 2x - 2 eos 5x.cos x2 senx
M + N + P + Qes:entonces el valor de:EJOAJI CJ0.5 DJ-0,5BJ-l
CJ-l DJO.5 EJ-0,5AJO B)1
, entonces dicho trián­
gulo es: ÉJ4AJO B)1 CJ2 DJ3
B) equilátero C) rectánguloA) isósceles
D) acutángulo E) oblicuángulo
A) tan 10° B) tan 15° C) tan 20°
= sen
EJ0.5BJ2 C)4 DJO
14.-Si: tan 3x = 2, calcular 0-1/2 D) 1/2 EJ-lAJO B)1
W = (eos 3x + 2 eos x)(sen 3x - 2 sen x)
AJO oí DJ2/5 EJ-lB) 1/5
DJ sen 3x.sec xA) sen 5x.sec x
15.-Si: E) sen 5x.sen xB) sen 5x.csc x
CJ sen 3x.csc xcalcular: W = sen(3x + a). csc(x - a):
EJ5A) 3/2 BJ5/2 07 DJ3 VALOR NUMÉRICO
23.-Calcular:
A) m C)2»t-1.B)2»i C) 1/2 E)1AJO BJ-l DJ-1/2
D)2(l+»i) E) 2(l-»i) 24.- Calcule el valor de:
senx + seny
17.-Si: M =
O O EJ-05AJI BJ-l DJO.5
AJO BJ-1/2 C) 1/2 0)1 EJ-l
Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias
22.- Si:W = 4 eos 3x . cosx + 1, entonces una 
expresión equivalente de W en factores será:
7t
7
12.- Si en un triángulo ABC se cumple:
,f A") 
sen B. sen C = eos I
20.- Si: W = 2 eos 10°.sec 20° - 43 , entonces 
una expresión equivalente de W será;
2sen40° (sen50°-2sen 10°.cos40") 
sen80°-sen20°
sen(x+y) = 3’tan 1 = P’tan Í = Q’ 
entonces al calcular: P.Q se obtiene:
E) tan 35°
11.- Si: tan(a + 0) + tan(a-0) = 2, calcular:
M = sen 4a - sen220
entonces W es igual a:
AJI
D) tan 25°
21.-Si: Psen25°-Q sen21° = cos 16°.cos 13° - 
cos 59°.cos 20°, entonces al calcular: P + Q se 
obtiene:
W = cot 19° - V2 sen 26°.csc 19°
tanx l + cos2x 
tana “ l + sen2x’
19.- Si: M sen x + N sen 3x + P sen 5x = 8 
sen x. entonces el valor de: M + N + P es:
y(W-i),
13.-Si:
eos 4^ . tan Qf- + 2 sen
16.- Si: eos x . eos y . eos z = m; x + y + z = 271, 
entonces al calcular W = sen2x + sen2y + sen'z, 
se obtiene:
18.-Si:
32 sen6x = M + N eos 2x + P eos 4x + Q eos 6x,
6ir
7
25.- Calcular el valor de:
M
A) tan a B) tan 3o C) tan 2a
para: D) tan 5a E) tan 7a
DJ-1/3 E)3 32.- Reducir:
- 2 eos 2a - 2 eos 4a - 2 eos 6a
A)sen a C) tan aB) ese a
A) O B)-2 C)1 D)2 E)-l D)1 E)-l
27.- Calcule el valor de la expresión: 33. Calcular: eos 6o. eos 42°. eos 66°. eos 78°
W A) O E) 1/8B)1 C)-l D) 1/16
34.- Al simplificar la expresión:
B)3/4 Q-l/4A)1
sen 6° . sen 54° . sen 66°, obtenemos:
D)-3/4 E) 1/4
C)sen 18°B) 2 sen 6°
D)2sen 12°
M = 3 eos 4x + 4 sen 3x . sen x
35.-Hallar:
A) -3/2 B) 1/2 0-1/2 D)0 E)3/2
sen 40°.sen 80° + sen 80°.sen 160° + sen 160'
29.-Si: tan x =
A)1 C)3/4 E)0B)3/2 D)3/8
calcule un valor de "x" 36.- Simplificar:
E)40°
OA)
E) -(sen A - sen B)
íj 142 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■Síracso 
BOITOkll
senx 
sen 4x30.- Una expresión en términos de sen A y sen B, equivalente a
7t
27
Io 
.sen 320°
+ sen2B)
E =
D) 32°
73cos20°-sen40°
1 + sen 10°
sen x 
sen 2x
sen 7 a 
sen a
senx 
sen 2x
= ^senl5x.sen6x + ycos21x ,
sen'B
+ sen'B
sen'A
1
M = — . sec 80° - 2 sen 70°
senx
E) senx
sen 50°.sen 10°+ sen 610°.sen 130°- sen 
430°.cos280°
28.- Determine el mínimo valor de la expresión 
M definida por:
A)sen 12°
31.- Simplificar:
sen 2a.sena + sen 4a.sena + sen 7a.sen 2a 
sena.eos 2a + sen 2a.eos 5a + sena.cos 8a
sen 3x 
sen4x
37.- Si: a - b = 15°, ¿cuál de las siguientes expre­
siones es equivalente a: eos b (sen a + eos a)
A) 1/2 B) 1/3 C)-l/2
26.- Calcule el valor de:
sen (A + B) sen (A - B) es:
A) sen'A - sen'B D) -(sen'A
B) sen'A
C) sen'B -
senx
B)'sen2x
A) 10° B)I8° C)20°
MISCELÁNEA
senx
D)’ sen4x
B) V5-1
C) V3Í eos 2¿ + 39.- Reducir:+ 1
C) |scn3x|
calcular: 32 sen
A) 6 B) 8 C) 10
Cuando: 0 =
Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias
A) (eos 2b + \Í3sen2b)
. B) (^3 cos2/> + sen 26 + V3)
71
30
39
2
D) 12
,Jsenx(sen 3.r + sen.r)
B) |sen2x|
E) |cos3x|
40.-Si: eos 0 = 0,75
Cuando Neper se encontraba enfrascado en el estudio de las sucesiones para luego 
deducir sus famosos logaritmos, le visitó John Craig , médico del rey Jaime VI de Escocia, 
y le habló del uso que se hacía en Dinamarca del método de prostafairesis. Por aquella 
época comenzaron a aparecer diversos tipos de identidades trigonométricas por toda 
Europa, como resultado de un menor énfasis en los cálculos de resolución de triángulos, 
y mayor en cambio en las relaciones funcionales de tipo analítico. Entre estas identida­
des estaba un grupo de fórmulas conocidas como las "Reglas de Prostafairesis", es decir, 
fórmulas que permitían convertir un producto de funciones circulares en una suma o 
una diferencia (de donde les venía el nombre de prosthaphaeresis, palabra griega que 
significa suma y resta).
A) [senx|
D) |cos2.r|
c>4i
E)7ñl
sen 2 b
2
D) (eos 2b + y/3 sen 2b)
E) ~ (sen 26 + >/3cos 2b)
38.- Determine el valor de la siguiente ex­
presión:
N = 4sen0 ■ sen40 • sen60 + 2 sen0
0. sen
E) 11
f
V
o
Maestreo
) Racsó Rano Rae» Ríe» Rae» Raao Rae» Raeso Rae» Rae» Rae» Rk» Racw Rm» Ra<» Rían Raeso Raao Rae» RññRaeoRáooRac» Rioa 1». 
leso Rae» Rot» Rae» Rae» Rae» Rano Rae» Raco Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» Rae» I
Frecuencia de maestreo 8 KHz 
(8.000 muestras/s)
A..T- 
' < í
rQ»
Ancho de banda: 
300Hza3400Hz 
«HRV 
Señal analógica
/ La invención de los teléfonos analógicos fue un importante 
\ avance de las comunicaciones. A principios del siglo XXI se ha ,
i e da dí'"*
1 ‘■■á
I
I
/ Las series de Fourier son series de términos seno y coseno que 
! surgen en la tarea práctica de representar funciones periódicas 
generales. Como aplicación 
constituyen una herramienta ~ 
muy importante en la solución 
problemas en los que intervienen 
ecuaciones diferenciales ordinarias y ,S 
parciales.' y,'j s "r-
Te en ® I o gi
J En” electrónica, los circuitos alimentados con corrientes^ 
periódicas no senoidales, pueden modelarse como si; se tratara 
de una serie de Fourier. La ventaja es i ~ ~
,\que con pocos términos se puede llegar a 
un resultado de gran exactitud tanto las que están 
definidas solo en ún intervalo,de tiempo dado 
' como las que son periódicas. y
dado lugar a una revo- •
lución tecnológica que
nos ha conducido a los teléfonos t 
móviles digitales. En la invención i 
se debieron aplicar los principios ! 
matemáticos que rigen a la Serie 
de Fourier.
__
■'i1
> L
16.1. SUMATORIAS
sen x + sen (x + r) + sen(x + 2r) + + sen(u) =
eos x + eos (x + r) + cos(x + 2r) + ... + cos(u) =
Siendo:
u = x + (n - 1) rVerificándose que:
j 144 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ^|RACS0T16
n = Número de términos 
x = Primer ángulo
“•(4a)
r = Razón aritmética del ángulo 
u = Último ángulo
sen^ 
Sen(í) 
«en^j
(i)
■ >*r
_ „ n
----2n + l
2n 
cos 2h+T
í
l
■ - J
■
S^;Ü
..............~ ~ ~— ■.......................................................... ............................................
111 (mi '¡ 1' i ' Sucos tones ,y S.eri es
n= +1 ,así:
f2n-l> 
|^2m + 1 J”~ 
f 2h S 
^2„ + l J71-
1
2 .....i
cos „ 71 , + cos „-2” r + eos „^7t. + ... + cos 2n+l 2m+1 2n+l
4n , 6n
+ cos2ñ+l+ cos2^71 +••• + «>»
El trabajo con sumas de números es frecuente en múltiples problemas que deben enfrentar 
a diario los especialistas de diversas ramas del conocimiento, y para su determinación se 
trabaja desde el punto de vista teórico en la obtención de expresiones compactas, no obstante 
las facilidades que brindan las aplicaciones de la Ofimática (Automatización, mediante sistemas 
electrónicos, de las comunicaciones y procesos administrativos en las oficinas ), con vistas a 
evitar errores provenientes de la captación de datos.
Tomando en cuenta el amplio espectro de aplicaciones que pueden ser beneficiadas 
con este tipo de resultado, en el presente trabajo se realiza una recopilación de las propiedades 
de las sumatorias que figuran en la literatura, posterior a lo cual se proponen y demuestran otro 
conjunto particularmente relevante cuando se trabaja con funciones de variable discreta cuyos 
intervalos de variación son uniformes en todo el dominio de la función. En muchas situaciones 
problémicas donde se presenta una serie de sumas o productorias, éstas deben reducirse en 
otras equivalentes más sencillas, para lo cual es recomendable tener en cuenta dos sumatorias 
y productorias de senos y de cosenos, como las más importantes.
•'"(V)
16.2. PRODUCTORIAS
1
PROB. 01
Calcular el valor de: a) Analicemos el numerador de la fracción:
,+ sen (2n - l)xN = senx + sen 3x + sen 5x + E = eos
Aplicando la fórtnula de sumatorias, tal que:
N = . sen
. sen (nx)N =
+ cos(2ñ - l)xD = eos x + eos 3x 4- eos 5x +.
Aplicando la fórmula de sumatorias, tal que:
r = 2x
PROB. 02
.eos
Calcular el equivalente de:.
.eos (nx)D
cosx + cos3xcos5x + 
Sucesiones y Series Trigonométricas
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Esta expresión tiene la forma de una serie 
telescópica, por lo cual se reduce a:
b) Ahora analicemos el denominador de la 
fracción:
nn •sen r
7t
7
 sen(nx) 
senx
.... • J2n + 1
2n + l “
2n
7
+ 2sen —.
7
(2n-l)x'
2
+ sen(2n -1) 
+ cos(2n-1).
x + (2n-l)x
2
sen(nx)
senx
sen(¥)
Hzfí 
sen(¥)
2" ..
cos 2^71
6n
4- COS-7-
4it
4- COS~
COS^ 
7
2ti 3n 
cos2n + l cos2« + l •
rm 1
• •COS 2„ + l “ 2n
5 71 3n 5n4-sen — -sen — 4-senn-sen —3n =sen— -sen
 1
.eos— 4- 2sen —.eos —
7 7 7
senx 4- sen3x 4- sen5x. 
K =
n = n ; u = (2n - 1 )x => r = 2 x
sen
D = -----
n = n ; u = (2n - 1 )x
n 2tc 3rc
sen 2/14-1 sen 2n + l sen2n + l ••
Multiplicando ambos miembros por ^2seriy^
2seny . E = - sen y
2sen^.E= 2sen —
7 7
E=1
K =
cos(nx)
- cot 0esc 0
K = tan nx
esc 20 = cot 0 - cot 20
03.- Hallar la suma de la serie:
S = esc 0+ esc 20 + esc 40 +, 0
0
CSC 0
DE RESOLUCIÓN 
ai
el siguiente.
Entonces:
-bn
 an; podemos su-
Haciendo: Pan
tan . tan . tan . tan
f 146 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RESOLUCIÓN
ESTRATEGIAS
1 
senO
Desarrollando el numerador de la expresión y 
simplificando, encontramos que:
 V2n + I 
2n
Un => 1 - u, -u2 u3 .... Un => 1 - u„
3) Cuando se tenga una productoria de tangentes de ángulos consecutivos, se 
aplicará lo siguiente:
2n 
2n + l
3n 
2n + l
nn 
2n + ¡
n
2n + l
donde: n = número de términos
2) Para simplificar una productoria como: P = a¡ . a¡ ■ a¡ 
gerir la siguiente estrategia.
 + bn+l
- cot 2"'1
+csc 2"'1
csc 40 = cot 20 - cot 40
i i
cot 2n'2
Sn= “I +,a2 +, a3 +........+ an,
= O7 - Di + -o-> + b4 - bi +
Sn=bn+|-b1
a esta serie se le denomina «Serie telescópica»
*^5).sen(nx) 
senx 
sen(nx).
senx , 0 cot-
Generamos una serie telescópica, tal que:
senH) 
senO.sen-^ 
2
sen 2
sen-^ 
2
s = cot |
CSC 2"'1 0 0 - cot 2"'1 0
1) Para calcular la suma: Sn = a( + a¡ + + an no existe un método general, 
pero uno de los muj pocos casos en que es posible calcular su valor es r' 
Si an se puede expresar en la forma: an = bn + ( - bn
inundados de Problemas
con Resoludón
05.- Identifica la expresión equivalente de:SUMATORIAS
01.- Reducir:
W = sen x + sen 3x + sen 5x + ...+ sen 35x
A) sen“(12x) C)sen2(18x)B) 12 esc x
02.- Indicar una expresión equivalente de:
W = eos x + eos 3x + eos 5x + . .. + eos 45x E)
06.- Reducir la siguiente suma:A) B) 2 sen 23x. esex
C) 2 sen 24x. esc 4x D) 8 sen 2 Ix. esc 6 x
E)
03.- Calcular el valor de: D) E)
W = sen 2° + sen 4° + sen 6o + ... + sen 540°
07.- Calcular el valor de M, si:
C)sen49°A) tan 9° B).cot 1°
D)3sen4 9° E)-4cot29°
04.- Determinar el valor de:
A) 3 B)-2 C)-3 D) 1/3 E)-l/2. + sen
08.-Calcular el valor de:
A) B) C)
A) 3/4 B)7/4 C)7/6 D)4/9 E)5/9
£^147]Sucesiones y Series Trigonométricas
. 'i: —.s ..
33a
15
13
2
n
4
/i
2
f8-V5
4
I5-J5
2
V10-2V5
4
E) sen2( 12x) . CSC XD) sen2( 18x) . esex
cot26
a 2rr 3a 
W = sen — + 2sen — + 3sen — + .
10a lia 12a
lOsen -yy + 1 Isen y. + 12sen yy
C) I2cot-y
C)
A)2coty
E)
->71 •> 2n 3tcM = sen“y +sen“— +sen" —
D) ^ + V3
8
2a 4a 2a 6a
M = eos—.eos — + eos—.eos— +
4a 6a
+ eos — .eos —
B) 6tan y
12 ■ sen 46x. esc x
. sen 48x . esc 12x
W = sen75
D) 8tan $ 
O
7 71 o 371 2
M = eos" — + eos" — + eos" — + .
n n 11
... + cos2(2/i - 1) ~
5n 9k+ sen yj + sen yy + • ■
13.- Determinar el valor de M:
A)21/16 B) 1/6 C)2/7 D)3/5 E)2/9
10.- Evaluar la suma de la serie finita:
A)-l B)3 C)-3 D)5 E)-4
14.- Hallar la suma de la serie:
S = esc 0 + esc 2 0 + esc 40 + ... + esc 2" 1 0A) cos(n + l)a-
A) cot 2’1 0 + cot 20
B) sen(/i + l)a-
B)cot 2’1 0-cot2"'1 0
C) cot 3’‘0-cot 3" ‘1 0C)
D) cot2-1 0-cos2'"'0
D)
E) cot 2'
E) 15.- Calcule el valor de:
R = tan x + tan 2x + tan 4x11.- Encontrar la suma de la serie finita:
cuando: 7 x = ntan -+■ + ..
C)(V7)A)0 B)-l
D) -(V2) E)-(V7)
16.- Calcular la suma de la siguiente serie:
sen x + sen 3x + sen 5 x + ... + sen (2 n - 1)x2"
A) B) C)
D)
17.- Calculare! valor de:
eos 10° + eos 30° + eos 50°+ ... + eos 170°12.- Calcular:
A) 1/2 B)0 C)-l E)3D)1- sen
■ ! }! 148 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos á&RACSO
í O IT O » 11
ÓK
W = sen4 y
tan(/i-l)a 
sena
lan(n-l)a 
cosa
tan(» + l)a 
sena
tan(/i + 2)a 
cosa
tan(/i - l)a 
sena
tan(n - l)a 
sena
tan a 
sen a
tan a
sen a
sen2 nx 
sen x
eos2 nx 
senx
sen2 nx 
cosx
eos2 nx 
cosx
N = sec a . sec 2a + sec 2a. sec 3a + ...
... + sec na. sec(n + l)a
A)¿r
l"'1 0 - cot 2"‘‘ 0
4 2tt 4 3tt 
+ sen — + sen —
1 
4
2tr 4tt
W = sen — + sen —
C) T^Ttany^r -2" tanx
D) yrrcoty^f-2"cotx
tan-7- + 2 tanx 2"
,, 2n 4tt 6ttM = sec — + sec — + sec —
D)^- 
6 4
A> B) ¿
2 1 2
E) ■^’cot^r -2 tanx
X
23 +....+
1 X
2n-l tan 2„
B) y7Tcotyr-2cotx
R = tan 4 + 4- tan 
2 2 92
sennx
1 sen x
09.- Determinare] valor de W, si:
2tt
7
2"
22
D)A)
E)B)A) 22,5 B)30 C)45 D)45,5 E)60
19.-El valor de: C)
2Í180°\,s U ) ,es:
6a
A)0 B)90 C)45 D)89,5 E)91
A)-11/2 B)-10/2 C)-ll/3
20.- Calcular:
E)-l 1/5D)-13/2
A)0 B)1 C)
21.- Determinar:
A)0 E)B)1 D)
22.-Simplifica:
E =
A) tan U20 - tan Uo B) tan U19 - tan Uo
E)-l/2A)0 C)-l D) 1/2B)1C) tan U19 - tan U, D) tan U,o- tan U,
E) tan U20
23.- Calcular:
C) 1/4 D) -3/4 E)1A) 3/4 B)4/3
PRODUCTORIAS
D)-l E)A)1 B)
24.-Reducir:
A) B) C)
Sucesiones y Series Trigonométricas
5
4
7
4
1 
4
26.- Una semicircunferencia de radio a se divi­
de en n arcos iguales, calcular la suma de las 
distancias de los distintos puntos de sección 
a cada uno de los extremos del diámetro.
27.- Calcular la siguiente sumatoria:
eos x+ eos (120° - x) + eos (120° + x)
28.- Calcular la siguiente sumatoria:
E = eos x. eos (120° - x) + eos x. eos (120° + x) 
+ eos (120° - x) eos (120° + x)
1
2
1
2
I eos" (x) + eos" (120° -x) + eos" (120° +x) 
n=l
C)«(cot^-3
2"tan x 
tan2°x
tan x 
tan2nlx
3(2 +eos 3x)
4
(3 +eos 2x)
4
(2 +eos 3x)
4
3(2+eos 3x)
4
(3+cos3x)
4
E)2«(cot^-1)
18.-Hallar el valor de:
E = sen2 1° + sen2 2° + sen2 3° + ... + sen2 90°
BXrfeot^-1)
2n+1 tan x 
tan2n+1x
2 71 2 2 71
eos y + eos —
2?:, 4n . 6n , 8ti eos -y + eos -y + eos -y + eos -y
2tt 4ti 6tieos y + eos y + eos y
o-í
9 371 
+ eos"—
d4
D)fl(cotE-2j
25.- Calcular:
COSyy+2cos-yy +3cos JJ + .. .+10COS -pp
29.- Determine el valor del producto:
(1- tan2x)(l- tan^xXl-tan^x) (1- tan22"’x)
A)«(c°t^-2)eos U,,) .cosU|9
E = cos2^j +cos2(|j +. ..+ co:
• c4
sen(U!-U0) sen (U20-U19)
cosUj.cosUq ”
E) 4
7t
2n
2tc
9
ir
4/t
7t
4n
4n
9
E)D)
30.- Calcular el valor de W, si: 36.- Reducir el siguiente producto finito:
E)0B)6 C) 12 D)1A) 3 B)sen nxA)eos nx
E)D)
2"
37.- Calcule:
C)5 D)6
C) 1/4 D) 1/8 E) 1/16A) 1 B) 1/2
32.- Calcular el valor de: 38.- Calcular el valor de:
M
A) 1/8 B)2/3 C) 1/6 D)3/8 E)5/6
A) V19
E)^
A)2/5 B)-l/8 C)3/5 D) 1/7 E)-2/7
39.- Calcular:
34.- Determinar una expresión equivalente de:
K = (2cos x -1 )(2cos 2x - 1 )(2cos 4x - 1)
A) B)
D)5 E)2B) 3 C)7A)1
C) D) 40.- Indica el equivalente de:
E)
35.- Calcular el valor de:
RACSO
ypaoiToaii
J 150 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
7t
7
n_
7
Tt
7
n
3
n
5
3
I 
n=l
>59
' A) 3
22n tan x 
tan2nx
2cos 3x +1 
2cosx-l
4cos 4x +1 
2cos x +1
8cos 4x + l 
2cos x-1
3cos 3x -1 
2cosx-l
2cos 8x + l 
2cos x +1
sen x
2nsen — 2»
2tü 3a 4n. COS y . COS y . eos y
1 3tt .sen
xcos^-
C) sen
n 3n 5n sen .sen .sen ^g
B) ¿sen
D) 65 sen
A) ¿ sen
ex 1E) 34 sen
. COSy
.sen yy .sen yy senyy
l + cos(2n-l)y 
l + cos^p
sen x 
2" eos 4
1 7t 2n 3n 4rt
W = — .tan — .tan — .tan — . tan —
C) 27
33.-Evaluar la expresión:
n 3n 5tt 
M = eos — ■ eos — . eos — D>^
’l + cos^' 1 + cos^'
AxV2 Dx>/2 
A) 2& B) 2g
sen x
M 2n
B>^
8
C)^
C) 25
B)^
B) 23
2ntl tan x 
tan2nlx
31.- Determinar el valor de:
rt 4n 5nW = sen — . sen ~ . sen —
.COS y .COS yP = eos y
P = sen
x eos 8
COSy
X• COS4cos|
o>f
Los ecógrafos son aparatos que convierten las señales
__
Los delfines emiten sonidos que sirven para comunicarse o g
1 
i
!
'1
senoidales de sonido, enviadas a un feto, en señales eléctricas 
' que son posibles de visualizar en la ■ ».
r 
í ■
*
i para cazar. Estos sonidos se han podido estudiar por medio de ' J
!l ondas senoidales y hoy ya es posible
reproducir estos sonidos para comunicamos 
con ellos. La modelación matemática de este 
fenómeno se hace posible mediante la aplicación de 
funciones trigonométricas.
/ Las funciones trigonométricas han contribuido a elaborar 
I teorías que explican el movimiento oscilatorio. Así, por ejemplo,
Y
LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SON PERIÓDICAS
sen(x + p) = sen x
/WA. cos(x + p) = eos Xsec(x + p) = sec x
csc(x + p) = esc x
(n + 1)TO T 2T 3T nT
Adaptado de Taylor, H. y Wade, T. (1976). Trigonometría contemporánea. Limusa
Obsérvese que algunas de las funciones trigonométricas son periódicas puesto que las 
igualdades se satisfacen con k = 2n o con k = 4rt o con k = n(2tt), donde «n» es cualquier 
entero. Se puede demostrar que el mínimo número positivo «p» que satisface es T = 2n:
sen(x + 2itk) = sen x 
cos(x + 2nk) = eos x 
tanfx + nk) = tan x
cot(x + ttfc) = cot x 
sec(x + 2nk) = sec x 
csc(x + 2nk) = esc x
Para cualquier valor de «x» en el dominio respectivo, es p = 2tt. Esto es, el período de 
las funciones sen x, eos x, sec x y esc x, es 2rt. En cuanto a las funciones tan x y cot x, de 
inmediato se deduce de las igualdades señaladas que su periodo es p = rt.
Entre algunas aplicaciones del uso en la vida diaria acerca de la periodicidad de las 
funciones trigonométricas tenemos: los movimientos vibratorios, el sonido, el flujo de 
corriente alterna, los electrocardiogramas, entre otras.
Sea F = {(x; y)|y= F(x)} una 
función cuyo dominio «D» es 
un subconjunto de R. Si existe 
un número real k * 0 tal que:
F(x + k) = F(x) para todo x e D
Una de las características, quizá la más importante, de las funciones trigonométricas y que 
más han contribuido a que éstas sean aplicables, es la denominada propiedad «periódica» 
u «oscilatoria». El estudio de esa propiedad es el tema que abordaremos.
lili
_. 
Se dice de «F» que es una función periódica si F(x) = F(x + p), donde «p» se llama el periodo 
de F(x). Por otro lado, para cualquier «x» en el dominio correspondiente de la función 
trigonométrica «F», y para cualquier entero «n», se cumple que:
y = F.T(x)
Esto es: F = {(x; y)/x, ye R ; y = F.T.(x)}
17.ID Función Impar
yi
f
y*
*2
R^isi|Funciones Trigonométricas
i) -x e Dr
ii) f(-x)=-f(x)
17.1 A Dominio de una F.T. (Df)
Son los valores que toma la primera 
componente en una función. (Se encuentra 
sobre el eje x).
17.1B Rango de un F. T. (Rr)
Son los valores que toma la segunda 
componente en una función. (Se encuentra 
sobre el eje y).
17.1C Función Par
Una función fes par, 
si V x e Df:
i) -x e Dr
ii) f(-x) = /lx)
Nota: La gráfica de toda función par es simétrica 
respecto al eje y.
17.1E) Función Creciente
Una función f es creciente en un 
intervalo I de su dominio, si VX! , x2 e 1 se 
cumple:
Una función f es 
impar, si Vxe Df.
Nota : La gráfica de toda función impar es 
simétrica respecto al origen del sistema de 
coordenadas.
f (xj) < f (x2) , siempre quexj <
cas—
Es un conjunto no vacío de pares ordenados (x ; y), tal que para todo valor de la primera 
componente (corresponde un valor angular expresado en radianes"), le corresponde un único 
valor obtenido mediante una evaluación de la función, que se denota así:
r. 4 M ; ■■■
En el estudio de las funciones trigonométricas, la característica que más resalta es la 
periodicidad, es decir, la característica fundamental de las funciones trigonométricas es que 
todas ellas son periódicas, pues se repiten de idéntica forma en intervalos iguales. Muchos 
fenómenos de la naturaleza son periódicos, como por ejemplo:
Las estaciones del año, las 24 horas del día, los latidos del corazón, etc.
Se debe tener en cuenta que toda función trigonométricas tiene una representación 
gráfica especifica. Asimismo se debe tener en cuenta que toda función tiene gráfica, pero que 
no toda gráfica representa a una función.
17.1. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA C ¡
17.1G) Funciones Periódicas
f
/(x,)
f (xt) > f(x2) , siempre quex, < x2
/(x2)
F = {(x ; y)/y = sen x ; x e R)
17.2A) Representación gráfica
T = 2n sen(lex)Si: f
17.3 FUNCIÓN COSENO
F = {(x ; y)/y = eos x ; x e R)
17.3A) Representación gráfica
F = eos (kx~) => Tz =Si:
-j 52 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
i) Vx a (x + T)e Df
ii) <(x + T) = f(x) ; T * 0
Es función impar en todo su dominio, Crecien­
te en el 1C y IVC , Decreciente en el IIC y IIIC
17.3B) Análisis de la gráfica
Dominio: Dfe R a Rango: Rfe [-1 ; 1 ]
Periodo:T = 2n
Es función par en todo su dominio, creciente 
en el IIIC y IVC, decreciente en el 1C y IIC
Donde “T” es el periodo de la función. 
(El menor valor).
y,
/ÍXj)
2rt
1*1
*1 X2
17.2 FUNCIÓN SENO
nx2) -
X| x2
17.1F) Función Decreciente
Una función f es decreciente en un 
intervalo 1 de su dominio, si Vx,,x2e 1 se 
cumple:
17.2B) Análisis de la gráfica
Dominio: Dfe R a Rango: Rze (-1 ; 1]
Periodo: T = 2n
Una función í cuya regla de correspon­
dencia es y = í (x), se dice que es periódica, si:
t — 2rr
f~ 1*1
17.4 FUNCIÓN TANGENTE
17.4B) Análisis de la gráfica
Dominio: Dfe R -(2n + l)7t/2;ri6 Z
Periodo:T = nRango:
0 ?!
F = tan (ftx) => T/=if[Si:
*T = n
17.5 FUNCIÓN COTANGENTE
yl y = cotx
T = n
0
F = cot (ftx)Si:
i< T^-«->¡
17.6 FUNCIÓN SECANTE
{(x ;y~)/y = secx ;x e R - (2n + 1 )rt/2 ; n e Z}F
17.6B) Análisis de la gráfica17.6A) Representación gráfica
TI
Rango:
1
*x1:
Si: F = sec (ftx)
k- T = 2n
153 {Funciones Trigonométricas
Rfe R
Es una función impar en todo su dominio, es 
creciente por intervalos.
-K 
7
’T
i"
17.5B) Análisis de la gráfica 
Dominio: D,e R- (nn) ; n e Z 
Rango: Rfe R a Periodo: 
Es una función impar en todo su dominio, es 
decreciente por intervalos.
F = {(x; y)/y = tan x; x e R - (2n + 1 )n/2 ; n e Z }
17.4A) Representación gráfica
F = {(x; y)/y = cot x; x e R - (mt) ; n e Z }
17.5A) Representación gráfica
, y = tan x
'"I ’fl
T —T'- |/t|
Dominio: Dfe R - (2n + l)n/2 ; n e Z
Rz e R - (-1 ; 1) Periodo: T = 2tt
Es una función par en todo su dominio, es 
creciente en el 1C y 11C, es decreciente en el 
llICylVC.
I1 1 *1 1ll t ll I
/¡y = sfecx |\ |
, z~r' I I \ l
lili 
l l i i
—¿ „! fe! •
___ /_l_______ I _J¿I______I
3ni
t —
f " Rl
Í2ic x
17.7 FUNCIÓN COSECANTE
17.7A) Representación gráfica
■i
o
2rr
- te T = 2n
IR
de
R,6(-2;2)
=> f(x) = 2cosxb) /(x) =
154 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos -®ÍRACSO
yP IDITOail
RESOLUCIÓN
ICI
a) Determine su dominio
b) Evalúe su rango
c) Elabore su gráfico
d) Determine su periodo
e) Discriminar si es par o impar.
n+-^t 
-I....71...
c) Gráfico:
y,,
2
Pero-1 < cosx<l AX^fcn =>-1<cosx<1
=> - 2 < 2 eos x <2 => - 2 < f (x) < 2
Para que la función esté definida en todos los 
Reales, necesariamente sen x * 0, entonces:
sen x * 0 => x * Zrrt; Vft e Z , luego:
a) Dze R-{*n}; Vite Z 
2>efíxcosx
PROB. 1
Dada la
F = {(x ; y)/y = esc x; x e R - (ntt) ; n e Z}
17.7B) Análisis de la gráfica
Dominio: Dfe R - (mt) ; n e Z
Rango: Rz e R - (-1 ; 1> Periodo: T = 2rt
Es una función impar en todo su dominio, es 
creciente en el 1IC y 1IIC, es decreciente en el 
IC y IVC.
^1 f
^)=sen2x 
senx
d) Su periodo es T =2rr
e) La gráfica f (x)= es simétrica res­
pecto el eje Y, luego es una función par (pues 
toda función par es simétrica respecto al eje 
y, mientras que las funciones impares son 
simétricas respecto al origen.
Si: f = esc (/rx) => Tf = ~~
función f, cuya regla 
„ , sen2x correspondencia es: r(x) = senx
; V n e Z
d) <x)= tan|x|+cor |x|
i i
1) Si x> O
2) Six<0 X
O
DE RESOLUCIÓNo,
RF]155|Funciones Trigonométricas
resolución
i -4^:
PROB. 2
Dada la función f, cuya regla de corres­
pondencia es: f (x) = tan |x[ + cot |x|.
a) Calcule los puntos donde fno está definida.
b) ¿Es periódica la función?, si lo fuera 
determine dicho periodo.
c) Obtenga el Rango de la función
d) Elaborar su gráfica.
3) Si x = 0
Para dar respuesta a las preguntas, elaboramos 
la gráfica:
a) Se observa que, x no está definida en:
En primer lugar analicemos |x|:
=> f(x) = tanx +cotx
=> f (x) = 2csc 2x
=> f (x) = tan x - cot x
=> f (x) = -2csc 2x
=> f (x) no está definida.
" TT ■ '7TT 
k/Í ht I i 3iy/2 ¡2n 
WTW
1) Analice la existencia de la función
2) Obtenga los valores que no definen a la función
3) Elabore el gráfico de la función
4) Vea si la gráfica es Simétrica respecto al eje "y" o es Simétrica respecto al origen 
para asegurar si es la función par o impar- respectivamente.
5) Cuando la variable de la función trigonométrica está afectada por valor abso- 
luto (1x1), analice qué ocurre cuando x>0,x=0ax<0
6) Para determinar el dominio se recomienda analizar todas las restricciones posi­
bles de la expresión dada.
7) Para determinar el rango se recomienda transformar la expresión dada hasta 
quedar en términos de una F.T. Luego reconstruir la función a partir del dominio 
de la F.T. obtenida.
0,f ,rt;3n/2;2n;.... = ™
Los puntos donde A (x) no está definida son en:
rm 
2
b) Sí es periódica, de periodo: T = 2n
c) Viendo la figura Rf e R - (-2 ; 2)
> con Resolución
. ' — —... A.— X*. iVU'.Á-.'.
03.- Sea la función/definida por:DOMINIO DE LAS F.T.
01Sea la función/definida por:
fM Determine su dominio:
determine el dominio de f.
02.- Sea la función/, definida por:
+ eos 2x
/« =
,V keZdetermine el Dominio de la función/
, V 1 e Z
,V ke Z
B)
,V ¿e Z
C) V ke z
,Vte Z
V ke ZE)
Fn- !■?] 156 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■Í&RACSO 
yPlDITORll
05.- Determine el dominio de la función /defi­
nida por:
04.- Determine el dominio de la función /defi­
nida por:
Enunciados de Problemas
senx + eos* + tanx 
| sena-1
/x) = Vtanx-1 + 7-^3 -tanx
fíx) = 3 tan ^3x +
kitA) R- ke Z • B)R- y, ke Z
kytC)R- y , ke Z D)R- y, ke Z
Z'TT
C)R- y, V ke Z
kiLE) R - y , V k e Z
D)R- y, V ke Z
E)R- y , ke Z
B)R- y, V ke ZZ'TTA) R - y , V k e Z
sen2x- — ,
4
^ + k7t,^ + k7t], V ke Z
A) r- + l-7t,—+ fatl, V ke Z
L 6 6 J
D) + + V ke Z
^j + kn.y + btj.
cosx-cos5x
/«=----------cosx-cos3x
D)R-(3*+ l)y
B)R-(3¿+ 1)^
C)R-(3*+l)|
E)R-(3A+l)j
A)R-(3*+ l)y
A)
B)
C)
f(x)
D)
E)
flx) = 3 tan 5x - 2
y kE Z
y ke Z
A)R- {x/x
,V ke Z
y ke Z
y kez
C)
r ^157,Funciones Trigonométricas
11.- Determine el rango de la función f, defini­
da por:
= ^(2Jt + l);te z|
= ^(2k +k);k e zjB)R- (x/x
3 
senx -1
E)^
C)R-|x/x = ^(2¿+l);¿e zj
+ + V ke Z
|j + *n;5 + *nj, V ke Z
|j + ltn;2 + ilnj, V ke Z
|j + Á.-7t;^ + ¿7/j, V ke Z
[ó+*7t;2 + *71]’ V *e Z
06.- Delimitar el dominio de la función/defini­
da por:
10.- Evalúe el dominio de la función/definida por: 
f(x) = -Jl sec4 j.
08.- Encontrar el dominio de la función/defi­
nida por:
flX) = V2(tanx + cotx) - 4 , si x e (0; 2rí)
D)
1
| secx | -1 cscx |
B)R-y. Vite Z
D)R- y, Vite Z
Z-jr
A)R- -y, V kE Z
C)R- -y , V ke Z
E)R- y, V kE Z
D) R- |x/x = y(2¿+ 1);Á:e z|
E) R-|x/x = y (2¿+ !);/: e z| 
RANGO DE LAS F.T.
E)R-(2*+ l)y
09.- Determine el dominio de la función/defini- 
da por:
A)R-(2lt+ l)y
B)R-(2*+l)^j 3X + S
D)R-(5*+ l)y|
C)R-(2*+ l)yj
07.- Evalúe el dominio de la función/definida 
por:
fkx) = -Jsenx + Vcosx + -Jtanx , si:xe [0; 2n]
C)(-2;-l]12.- Si el dominio de la función/definida por: B)<-5;-l]A)(-4;-3]
determine el rango de/:
/>) = cos2x + 4 eos x + 7
C)[7;3]B) [5; 12]A) [4 ; 1]
E)[4; 12]D) [2; 10]
, determine el rango de/.
A-v)=
B)<-V3; 73)
D)<-V5; 75)C) <-72; 72)
C){7t)D){l] E)(0) EX-77; 77)
19.- Sea la función/definida por:
A) [0; 1] B)[0;2] C)[0;3]
A)[-l;2) B)[-l;8) C) [-1; 1)D) [0:4] E)[0;5]
D)[-l;3) E)[-l;6)
A) B)[0; 1/2] C)[0; 1/3]
D) [0; 1/4] E) [0; 1/5]
21.-Sea/la función definida por:
/to =
158~| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos •fiiRACSO 
IDiTOBIl
15.- Determine el rango de la función/defini­
da por:
evaluar el rango de la función:
A) [0; 1/4)
flx) = 4 COS2(71a) - 4 cos(Ttx),X 6 i ¡ ;3^ 
determine el rango de/fx)
/« =
encontrar el rango de/:
A){-1) B){^}
14.- Sea/una función definida por: 
/a) = sen'x + 3|sen x|, 
determine el rango de/:
senx + sen2x + sen3x 
sen2x
encontrar el rango de la función/:
18.- Sea la función /definida por: 
cos2x 
cosx-senx
A) (-71 ; Tí)
71 senv] -1 
senx -1
cos2x 
|senx|-l
A)(2;2] B)(2;2] C)^]
D)(5;f] E)(2;|]
13.- Sea/una función definida por:
D)|J;+OO^ E)[|;+~^
16.- Evaluar el rango de la función/definida por:
D)<-2;-7] E)<-6;-3]
17.- Encontrare! rango de la función /definida 
por:
20.- Sea la función/definida por:
f[x) = sen4x . cos2x + sen’x. cos4x,
cosx + 2
ÁV)=^77T
5 + 2senx
A') = 3
A) (-1 ; 1) (1 ; 7) B) <-1 ; 2> O < 1 ; 4>
C)(-l;3> u <1 ;6> D)(-l;l)u(l;5>
D)[3; + °o> E)[4; + ~)
+ 3
A)(4;5] C)[4;5)B)[4;5]
D)<2;5] E)<2;4)
A) B)
23.- Sea f una función definida por:
C) D)
determine el rango de la función.
E)
28.- Evaluar el rango de la función/definida por:
/(x) = tan x + cot x, si x e
C)(2;4>
/(x) = tan4 x + 4 tan2x + 7
29.- Sea la función/definida por:
A) [9; + °°> B)[3; + «o) C)[2; + oo>
flx) = eos x. tan x,
D) [7; + ~> E) [5 ; + ~>
C)<-2; 1)
C)(->/6-3;-V3 - 1> D)(-^5 -3;-V2 -1> A) {-3.2} B){-2;1) C){-2;2)
E)(-V2 -3;- 5/4 - 1) D)(-5;5) E){-2;7}
1591Funciones Trigonométricas.
24.- Evaluar el rango de la función/definida 
por:
E)(-l; l> u(l;3>
22.- Si: ate (n; 37t/2), determine el rango de la 
función/definida por:
25.- Determine el rango de la función/defini­
da por:
27.- Encontrar el rango de la función/defini­
da por:
26.- Delimitar el rango de la función /definida 
por:
A) [2; 4)
D) [2; 8]
B)<2;4]
E)[2;4]
2-72.273-1
2 ’ 2
2-V7,2>/3-l
2 ’ 4
2-5/2.25/3-!
3 ’ 3
2-5/4.25/3-1
2 ’ 10
(1 + tan.r)2 
1+ tan2x
2-5/3.25/3-1
5 ’ 2
a . 3tt
12 ’ 8
flx) = |tanx| + |senx| , si: |x| < — ,
A) 0;^ C) 0;^
E)0;^D) 0;^
... . . . /5n . 4ít\f(x) = tanx + cosa, stxe (-4- z ~y)
/(x) = 2 senx-3 tanx, sixe
AX-5/Í -3;- V5 - 1> BX-5/2 -3;- 5/3 -1>
B) 0;^
C)[2; + oo)
/(x) = (tan x - cot x)2
A)[0; + ~) B)[l; + <»}
determine D^n Ry.
A)(-4;l> B)<-3;1>
D)(-l;l> E)<-0;l>
30.- Determine el rango para la función/defi­
nida por:
f{x) = |sen x|. esc x + |csc x| sen x
31.- Para la función definida por:
C)Rf={3)
A) x = 65°30’ B) x = 64°30’ C) x=63°30’
D)xe 62’30’ E)x=61°30’
C) [3; + ~)
D) [2; + ~> E) [l; + °o)
A) 10 B)9 C)8 E)6D)7
/to = A)-4B)-3 C)-2 E)0D)-l
D)-
A)4
A)-15 B)-16 C)-17 D)-18 E)-19
fix) = sen x + tan x, si x G
A)-2
A) 14 B)13 C)12 D)ll E) 10
p 7! 160 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
35.- Identificar el máximo valor de la función f 
definida por:
J[x) = (3 - sen x)(3 + sen x) + 1
40.- Calcule el valor mínimo de la función/ 
definida por:
39.- Sea la función /definida por:
/(x) = tan2x + 2 tan x, 
determine el valor mínimo de/.
38.- Determine el valor máximo de la función/ 
definida por:
/(x) = (4 - tan x)(2 + tan x)
33.- Determine el valor máximo de la función/, 
definida por:
VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LAS 
F.T.
A) 3/2 B)4/2 C)5/2 D)6/2 E)7/2
37.- Sea la función/definida como:
/(x) = 35 - tan2x + 4 tan x, x G [0°; 90°], 
identificar la medida del ángulo “x”, para ob­
tener el valor máximo de la función.
/(x) = sen4x + cos4x,
encontrar el valor de “m + M”
36.- Si “m" y “M” son los valores mínimo y 
máximo respectivamente de la función/defini- 
da por:
B)-l C)0 D)1 E)2
42.- Determine el valor mínimo de la función/ 
definida por:
/(x) = sen x + cot x + Vsenx-1 +cscx.
fí.x) = tanx-cotx, sixe
B)3 C)2 D)1 E)0
41.- Encontrar el valor mínimo de la función/ 
definida por:
/ 1/(x) = secx - cscx, si xG
determine: Df r> Rg.
A)[5; + ~> B)[4; + ~>
E)-fB)-f
senx - 2
l+|senx-2|
A)-| B)-| C).1- D)-|
34.- Sea/la función definida por:
flx) - 2 sen 7x. eos 3x - sen 4x - 5,
encontrar: /máx + 2/lnin.
determine el rango.
A)Rf={l) B)Rf={2)
D)Rf={4) E)Rf={5)
32.- Sean las funciones/ y g definidos por:
/(x) — sen( Jx2 -1) y g(x) = |ex - sec x|,
A)1 B)5 E)3C)2 D)0
PERÍODO DEF.T
fí.x) = sen 2
A)2n B)3ft C)6n E)24rtD)12ir
f (x) = sen x.cos x.tan x.cot x.sec x.csc x
44.- Sea la función/definida por:
6)7? Qti2
evaluar el período mínimo de/:
j(x) = sec2x + sec x.csc x + csc2x + ~
0)7? E)n
g(x) = sena(Z>x - ait)
GRÁFICAS DE LAS F.T.
f(x) = Vsen2x-sen4xE)26B) 18 C)22 D)24
46.- Sea/ la función definida por:
fix) = cos( 7t eos x),
evaluar el período mínimo de la función/.
tt/2 7t
B)Vtt C)2 D)5 E)7t
rr
1/2
rt/2 n
161Funciones Trigonométricas T17
F 
i
Tlfl 
y
43.- Determine el período mínimo de la fun­
ción /definida por:
49.- Calcule el período mínimo de la función/ 
definida por:
50.- Esbozar el gráfico de la función/definida 
por:
2x
9
F 
2
F 
i
C)
■q
771. 7t .14n 
A) 2 > 4■ 2
,-,571.71. 12tc
M 2 ’ 4 ’ 3
9n ti 1 17T
B)T- 4 ’ 3
-.97171 1471
E>T;4;~
48.- Calcule el período mínimo de la función/ 
definida por:
n, Ó7t. 7t . lOtr 
’ 2’3’ 3
A)
0
71“A)f
X X
+ sen — + sen —3 4
C)f
, í 3x 
c) /i(x) = esc ~
6x 
/x) = 3 sen 3x + eos — + 1
n
B)
0
b) sW = sec10(4x)
B)^ E)-^SC)-
2^
a)/x) = tan15
B)y
A)j by-v n v-7y *-'/2
47.- Calcule el período de las siguientes fun­
ciones:
D)ti E)j
n tt
son respectivamente: ~ y — .Además 'ay b 
por números impares”
A) 16
A)f B)^5 C)f D)^ x., ~
45.- Determine "a + b" si el periodo mínimo de 
las funciones:
/x) = cosb(ax + bu)
D) 
0
A)E) O O
F
B)
B)2/5 C)3/5A) 1/3 D)2/3 E)4/5
Q 0
-2
D)T¡
B) E) I i ¡ ¡í
E) ;2nO
C) _3-----
intersecta al eje X si x e ( 0; 3rt)?
A) 6 B)7 C)8 D)9 E) 10
¿S1RACS0
IDITOkll
-2
F
1 —
51.- El punto P(.V| ; la + b) pertenece al sinus­
oide y el punto Qfr-, ; a - b) pertenece al
tt
cosí nusoide. Si además: a, +x2 = calcular:
53.- Indicar el gráfico correspondiente a la fun­
ción /definida por:
52.- Esbozar la gráfica de la función f defini­
da por:
54.- ¿En cuántos puntos la gráfica de la fun- 
ción/definida por:
Jx -4|cosa|,
F
2
F
i
F
2
F
3
F 162¡ Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
a + b 
M = r a-b
fix) - |tan x. eosaj - I-—2--I 
| cosa |
’ISAP a) frt-t-i
sen3a-senx
/I-v) =---------------sena
y = Asen Bx + C
2
x
| 3n¡C) 4 puntosA) 2 puntos B) 3 puntos
T = 6rr
+ 2+ 2
+ 2+ 2
x
'iñ
y = Al + B eos x
B) 1 2x
re 1
21.
nJ2
E) 12C)4A) 3 B)6
F
i? y = 3sen
D) 2n X
0
n
C)4rar2
163Funciones Trigonométricas T17
55.- Determine en cuántos puntos, la gráfica 
de la función/definida por:
J[x) = 2 |cos jc| - |sec x|,
x e (0 ; 2rt) intersecta al eje X.
D) 5 puntos E) 6 puntos
56.- Grafique la función/definida por: 
fl.x) = |sen x| + senx
57.- Determine la regla de correspondencia del 
gráfico mostrado:
A) 8 raí2
D)3ra<2
0l
-1
D)8
59.- Determine el área de la región sombreada 
del gráfico adjunto:
0
2
F
2 -x
y
6 —
3
ir ■
I
2rT
C)
-2
F 
2 -
E) f 
0
E) 4 sen + 2
58.- Del gráfico mostrado, determine: “2A - B”
r
1/2
A) -
-3/2
i j.
4ít¡
B)6ra2
E)5ra<2
A) 4 sen y
C) 4 sen y D) 4 sen y
B) 4 sen y
60.- Determine el área de la región sombreada: ,\y
y = tan 4x
E)
<3
0 C)
-V3
(2n± l);//6 ZA)
MISCELÁNEA
(2/i ± l);ne ZB)
61.- Seaf la función definida por:
f[x) sen x.cos x,
I)
A) (-1 ;5> B)<-I ;3> C)(-l;6>n) r
D)<-1;1> E)(-l;8>
DI) Posee periodo mínimo igual a 2rr 65.- A partir de la funciónf definida por:
A)FW B)VFF C)VVF D)FFV E)VFV
7W =
determine su rango.
A)(-l;l)u<0;2) D)<-l;0)u(0;2)
B)<-l;0>u(0; 1) E)(-l; l)u(0;3)
C) <-1; 0) u (0; 5)D)-4A)-?^ x
í:J-a|l64| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ^RACSO|>1DITOUI
62.- Para la función/definida por: 
fix) = tanx.|cot x| , 
determine la gráfica.
63.- Determine los valores de “x" para los 
cuales la función/no se encuentra definida, 
donde:
cosx.cotx
| cot.v | ’
Xx) = sec(2x + ^ + CSc(2x + y)
indicar verdadero con (V) o falso con (F) de 
las siguientes proposiciones:
./=[-|;|]vxe(0;7t/4>
Es creciente enxe (0; —) 
\ 4/
D) y 75 h2 E) y 4Í u2
B) j 73 «2 C) f V3 u2A) y >/3 u2
(3/i ± 1);//e Z E)y
■y (2//± l);/ie Z D)j
C)^(2n±L);ne Z .
64.- Dada la función/ definida por:
/(.r) = (eos |.v|) |sen x.csc x| 
determine su rango.
la
E)
flx) = 3 tan x - 2 sen 2x,
flx) = V|senx|-|cosx| no está definida?
A)xg D)xe
71/6I.
n. 5ti/6
m.C)xe
C) Solo III
D)IyIIl E) Todas/x) = cot x - tan x,
E)<-l;7t>
Funciones Trigonométricas 165T17
67.- ¿Para qué valores de “x” en 
función f, definida por:
determine todos los posibles valores de 
para el cual la función siempre es
37t. 5ti \
.4’4/
68.- Sea la función/definida por:
3tt . 5ti 1 
. 2 ’ 2 J
7t 7t 
72'2,
positiva.
66.- ¿Para qué valores de “x” en 
función /definida por:
/x) = tan2x - 3, es no negativa?
- [tí)
»(• [H
o(-M] - [H
1j [?'?)
(ítMtí)
r tt 77ti
Hs-r- la 1.4 4 J
determine todos los posibles valores de x 6 
(0; 7t). Identificar los valores de x 6 (0; 7t) para 
los cuales/es siempre positiva:
A)xe^\
D)xe(o;|)
3n. 5tt~1 
. 3 ’ 3 J
B)xe
69. - Sea la función/definida por:
/x) = |csc x| - |sec x|, 
determine todos los posibles valores de x e 
(0; 7t) para el cual la función no es negativa. 
A)xe(ftj]o[^;«)
C) xe
D) xe ^0;^] u [y
E) xe(°;5p[^;7t)
70. - Sea la función/definida por:
C)xG
14 4
(i?)-(¥‘«)
A) Solo I B) Solo II
LoJ
¿9_ o
Subyace en las herramientas utilizadas la 
trigonometría y con ella las funciones 
trigonométricas inversas. Como ejemplo el 
horno microondas, el surtidor de agua, las 
máquinas físicas estacionarias, etc.
w
A
costo 
\i ¿5 3
¡Anta oara ? \ 
determinar ángulos e- incluso el análisis de .
■ ; mA
-'X
;; i~5| ;<5q
El beneficio que ha producido la tecnología de los viajes 
espaciales es inmenso y se debe en gran medida a la matemática VÍC: 
queestáinvolucradaenella.
_______ ____________ 'EassESESE.
• \
Tecn®Iogíy— jj
' Para la geolócalización de los objetos móviles; como se hace ' 
en la cabina de la torre de control de un aeropuerto, los técnicos
' deben hacer uso de las
, 7 j.;, ■. coordenadas polares de los 
aviones y resolver; los casos en 
donde la apertura de Un trayecto
I pasa por determinar uno o varios
I ángulos valiéndose de las funciones
I trigonométricas inversas,..^
X Hasta antes de descubrir los alcances de la trigonometría los i 
■y matemáticos reconocían que no era posible determinar la ' 
medida de cualquier ángulo. Gracias 
a las funciones trigonométricas inversas 
se adquirió una poderosa herramienta para *
variables dependientes de esto¿- X r.
’
» jg - ir
■A-i.
$
18.1. CONCEPTOS PRELIMINARES
18.1 A) Función InyectivaUna función Ase llama inyectiva si y solo si V x, ,x2e Dom f, se cumple:
18.IB Características de la Gráfica de una Función Inyectiva
18.1C Función Inversa
18.ID Obtención de una Función Inversa
Df. - Rt Rp “ Df
18.1E Obtención de la Gráfica de una Función Inversa
j 166 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos íjiRACSO
IDITOKIIT18
Es un conjunto de pares ordenados donde existe una correspondencia biunívoca entre 
las primeras y segundas componentes (Relación uno a uno)
Toda gráfica de una función inyectiva es cortada en un solo punto por cualquier recta 
horizontal (recta paralela al eje x)
Dada una función f biyectiva, la función inversa f * se obtiene intercambiando x por y a y 
porx, verificándose que:
Dada la gráfica de una función A, para obtener la gráfica de su respectiva función inversa 
f* se procede de la siguiente manera.
En el capítulo anterior se estableció que una función asigna a cada elemento del dominio, 
una y solamente una imagen, que desde luego puede ser común a varios o a todos los elementos 
del dominio. Si la función tiene además la propiedad de que la imagen es exclusiva, o sea, que 
cada imagen en el recorrido es de un solo elemento del dominio, se dice entonces que está 
función establece una correspondencia biunívoca o biyectiva entre los elementos del dominio 
y del recorrido. Cuando tal es el caso, se puede definir una nueva función conocida como 
función inversa, respecto a la función original, cuyo recorrido sea el dominio de la primera y 
viceversa.
I
Si una función f es biyectiva, es decir, es univalente y suryectiva, entonces existe su 
función inversa y se denota por/* of1.
Ax-j) = f(x2) =» Xj = x2
|í5u ración esilrigonom etr cas-<
A: .....; ;
i») La gráfica reflejada es la gráfica de la función f*.
FUNCIÓN DOMINIO RANGO
[-rV2; n/2] [-1 ; i]y = sen x
[-1 ; 11[0;n]y = eos x
y = tanx <-nZ2 ; nZ2> R
y = cotx <O;rt> R
[0 ; rr/2> U (rs/2 ; n] R-<-l ; 1)y = sec x
[-rr/2 ; 0) U <0 ; tt/2] R-(-l ; 1)y = esex
18.2 NOTACIÓN PARA UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA
0 = f.t'(n)are f.t(n)f.Z(0) = nSea: 0
Entonces: Si: y = f.t(x) =» x = are f.t (y)
y = are f.t.(x)Luego:
18.3 FUNCIÓN ARCO SENO
y = are sen x
Rango: x
0
-rc/2
Funcioy.es Trigonométricas Inversas J167
i) Se traza la recta y =x(recta que es eje de simetría entre/y/*).
ii) Se refleja la gráfica f respecto al eje de simetría.
r
Las funciones trigonométricas por ser periódicas no son 
univalentes, sin embargo al restringir sus dominios, se logra 
que sean inyectivas. Dichas restricciones se muestran a 
continuación:
Dominio: Dfe [-1; 1 ]
Rfe [-f,|]
Función Creciente
y|
rr/2
7 y = are senx
I
“u 
I
I
Funcioy.es
18.4 FUNCIÓN ARCO COSENO
y = are cosí
Dominio: Dfe [-1; 1]
Rfe |0;n]Rango:
= are eos x
Función Decreciente
^x
-1 0 1
18.5 FUNCIÓN ARCO TANGENTE
y = are tan x y = are tan x
Dominio: Dfe R
rt/2
Rango:
0 x
Función Creciente
-n/2
18.fi FUNCIÓN ARCO COTANGENTE
y = are eot x
Dominio: Dfe
Rango: R(e <0 ; 7i>
y = are eot x
rt/2Función Decreciente
0 x
58.7 FUNCIÓN ARCO SECANTE
y = are sec x
Dominio: Df e R - (-1 ; 1)
Rfe |0;n/2)u(n/2 ;rt]Rango:
Función Creciente: V xe(-~; -1)
V x e 11;Función Creciente:
-1 0 1 x
|pyjffil68 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
..y
rt ...
..y 
n
¡y = Are secx
.1_____--------------------------
Rfe (-fif)
:'^2
18.8. FUNCIÓN ARCO COSECANTE
y = are cae x
Dominio: Dfe R -<-l ; 1)
Rango:
-li i!o
V xe [1 ; ~]Función Decreciente: -ir/2
18.9. PROPIEDADES
18.9A F.T.(0) = n => are F.T.(n) = 0
; ' ■
; si: x e [0 ; n]
tan(arc tan x) = x ; si: x e R
; si: x 6 (0 ; n)are cot (cotx)cot(arc cot x) = x ; si: x e R
sec(arc sec x)
esc (are esc x) =
18.9D FTI de Variables Negativas
are cot (- x) = ir - are cot xare sen (-x) = - are sen x
are sec (- x) = ir - are sec x
are esc (- x) = - are esc xare tan (-x) = - are tan x
are sen x + are eos x = n/2 ; x e [-1 ; 1 ]
are eos x = are sec (1/x) ; -1 Sx S 1 - {0}are tan x + are cot x = ir/2 ; x e K
are tan x = are cot (1/x) ; x >0are sec x + are esc x = nJ2 ; x 6 R - [-1 i 11
are tanx = are cot (1/x) - ir; x <0
Funciones Trigonométricas Inversas 1WI169
si:xe [-1 ; 1]
cos(arc eos x) = x ; si: x e [-1 ; 11
are eos (-x) = ir - are eos x
are sec (sec x) = x
18.9B F.T.[arc ET.(n)J = n <=> n e DFTI
Rfe l-s/2 ; 0)u>(0 ;iV2]
Función Decreciente: V x e (-~ ; -1 ]
18.9C are F.T.[F.T.(0)1 = 0 «=> 0 6 RFTI
Es decir:
sen(arc sen x) = x ;
are eos (eos x)
are tan (tan x) = x ; si: x e (-7t/2 ; ti/2)
are sen (sen x) = x ; si: x e [-it/2 ; n/2J
18.9D Identidades Aditivas y Recíprocas de FT.l.
are sen x = are esc (1/x) ; -1 Sx < 1 - {0}
x ; si: x e R - (-1 ; 1) are sec (sec x) = x ; si: x e [0 ; n] - {it/2}
x ; si: x e R - (-1 ; 1) are esc (esex) = x ; si: x e [-it/2 ; tt/2] - {0}
y
y = Are esc X
Donde:
k = 0 ; si xy < 1
k = 1 ; si xy > 1 a x > 0 ; y > 0
k = -1 ; si xy > 1 a x < 0 ; y < 0
PROB. 1 PROB. 2
Resuelva la ecuación:Resuelva la siguiente ecuación:
are sen 2x = are cosxare senx + are eos (x2 -1) = 77
★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★ ★★★★★★★★★★★★★★★★ir
a = P
sen a =2x
x = x2- 1
sen a = 2x eos a = x
Pero: sen2 a + eos2 a = 1
(2x)2 + (x)2 = 1
4x2 + x2 = 1 5x2 = 1
La única solución que satisface es:
-1 <X< 1 A-l <x2-l < 1Puesto que:
-1 <x< 1 a0< x2<2
fiiRACSO
^^■OtTORBt
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
WEI
1-75
2
x + y 
1-xy
Es decir:
-1 <x< 1 a (-72 < x<0 vx< 75 )
Aplicando la identidad aditiva, se puede 
afirmar que:
Para ver cuál es la solución, lo hacemos a 
través de sus gráficas:
75
5
75
5
1 + 71-(-1)4 
2(1)
1 + 75
2
1±75
2
18.9F Identidad Aditiva Especial
are tan x + are tan y = are tan + kit
oresen2x = are eos x 
“ I
eos P =x
_ 1-75
X 2
x2=|
Y
1 Aplicando la identidad aditiva especial:
N + kntan
1 X0
y
r ■
Como: => k = 0
eje x. Luego la solución es x
Luego: N = tan
PROB. 3
N = tan
Calcula:
' NN = tan
IWWÍ® ] DE RESOLUCIÓN
los puntos de intersecciones, y de
are tanx + are tany = are tan
Funciones Trigonométricas Inversas 171
RESOLUCIÓN
T18
4) Siempre que sea pertinente, sustituya are tan x + are tg y, reemplace por su 
equivalente:
73
161
OrC,an@)+0]
-1¡__ i,
are sen; 2x L
are tanl - . V
Se observa que hay solo un punto de 
intersección, y está en la parte positiva del
5
3) Hacer las gráficas correspondientes, para ver 
esa manera ver las soluciones.
$
arctan-^]
i------------
[are tan y + are tan
I — xy I
r (73 aN = tan arctan ‘+ kn
I \161J
1) Hacer cambios de variables a los arcos, enseguida trazar triángulos rectángulos 
y aplicar el teorema de Pitágoras.
2) Tener en cuenta los rangos y los dominios de las funciones trigonométricas 
inversas, de forma que estén adecuadamente definidas.
J._7_ 'l 
7 24 
__LV_7_ 
7 24
J y = are eos x
Para determinar el valor de k aplicamos la regla:
1 7 1 ,
7 x 24 “ 24 < 1
Enunciados de Problemas
DOMINIO DE LAS F.T. INVERSAS
D) 1/2 E)3/4
05.- Seaf una función definida por:
f(x) = 3 are sen
02.- Sea la funciónf definida por :
A)[-l ;5/3] B) [1/4; 5/3] C)[l;-5/3]
D) [5/3; 1] E)[1; 1/3]
delimite el dominio de la función:
D)
03.- Sea f una función definida por :
C)J[x) = 2 are sen
D)
B) <-l ; + l> C)[-2;l]A) [-1; 1J
E)[2;-3]D) [-2; 2]
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos rfiáRACSO
JF 1DITOUI
x-1
2
04.- ¿Para qué valor de “x” la función/defini­
da por:
n
8 ’
con tesotadón
/[x) = ■Jarcsenx — arecosx
06.- Encontrar el dominio de la función/defi­
nida por:
7t 3
/x) = — + — are sec (4x - 3)
b,[H]
e>[H]
u[';+°°)
E) (-00 ; Ij u[l ;+°°)
D’(H
(i'2] ®[f;2 A) u<+! ;+~>
A) [H]
B) (■“
B)[Í=2^] C)[4;l]
01.- Sea / una función definida por:
1 ,------- n
f (a) = — .are sen -J3x -1 + — ,
determine el dominio de la función.
( 3x -1 "] n
I —~ I + are tan(x - 2) + —, 
determine el dominio de la función:
f 2x-t-Q 
+ 3 are eos I I,
encuentra el dominio de la función:
Jt—H aresenx o
fix) = —------------- , no está definida?
-----arecosx 
3
A) 2/3 B) 1/3 C)2/5
C)<-o»;-3] O [-73 ; 73 ]o[3;+~)
D) <-°° ; -2] kj [- 73 ; 73 ] u [2 ; +~)
E)(-~;-5] o[-73 ; 75 ] u[3 ; H
B) ; 4-0°
A)
B) -oo
D) -OO
E)/(x) = are sec (VSx2 -1)
E){-1;3}
RANGO DE LAS F. T. INVERSAS
A) (-oo; -3] u [- 73 ; 75 ] u [2 ; +==)
B) (-oo; -2) u [- 75 ; + 75 ] u (2 ; +<*>)
Funciones Trigonométricas Inversas
08.- Identifica el dominio de la función /defini­
da por:
10.- Delimite el dominio de la función/definida pon 
/(x) = are sec (8x + 3) + are csc(5x - 2)
3
5 ;
12.- Sea/una función definida por.
/(x) = 2 are sen(2x - 1) + 3 are sen (3x+ 1), 
determine el rango de la función.
A){f} B){f} C){f} D){^} E){í}
07.- Sea la función/definida por:
/» = 2 are sec ( x + — ¡. 
delimite el dominio de la función:
13.- Sea la función / definida por:
/(x) = («re sen x)2 + 4 |«rc sen x| - 2it, 
determine el rango de la función.
i
-oo;-^
3
4 -+°°
+ ;+°°
09.- Determine el dominio de la función/defi- 
nida por:
/(x) = are esc (2x2 - 7)
11.- Encuentra el dominio de la función/defi­
nida por:
/(x) = are esc x + are sen x + are tan x
A){-1;1) B)(l;2} C)(-2;-l}
D){-3;1)
7t2
D)
2 ’
D)
f (x) = are cot
B)
/(x) = are eos x + are cot x
B)
encontrar el rango de la función.
A)
f (x) = (are tan x )(arc cot x) , si: x > 1E)
A) D)
B) E)
C)A)
r Vlfl 741 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos íSl RACSO
^■DITOBCl '
20.- Identificar el rango de la función f defini­
da por:
15.-Sea f una función definida por: 
f(x) = — +2 are eos -fx , 
identifique el rango de la función.
7t
2
' x2
1 + x2
7t 3tc
4 ; 4
B)[-2n;^] C) [
B)(t ;7C] c>(
7t2
.00 • -------
’ 16
* r -A) I 2ti~
F^-^i ciF--— L4 ’ 4 J ^[2’2.
;2ti^
n2
3rt. Ttl
2 ' 3 J
7I2
■°°; 15
21.- Determine el rango de la función/defini- 
da por:
7C 71
4 ; 4
e>[H]
37t2
-oo • --------
’ 15
D)[
371.7t
2 ’2
■»[M]
»>[
Tti . 5tt 1
A) LI’TJ
16.-Sea la función/definida por: 
f(x) = 2 are tan(x2 + 2x + 2),
.. F71 ■771A) [7’4j
B>[M
E<^)
14.- Sea f una función definida por:
7t 
f(x) = 2 are sen x + are eos x + ~
delimitar el rango de la función.
“5;fl c)[
D) [2
17.- Sea f una función definida por:
7T
f(x) = — + 2 are tan x, x e ( 0 ; 1 ]
determine el rango de la función.
. F7t.l25n
A) L 3 ’ 360 .] =>[?^
271
-°°;I6
]
9 7t2
-271. T
7t 7t
,_2 ’4
E) -2ti
71 2
-00 • ------
’ 16
18.- Determine el rango de la función /defini­
da por:
/(x) = are cot (senx + eos x)
C)[^;27t]
c)[f
Fn. 120711 F7?-12571 "I
1.4’ 360 J L4’ 365 J
19.- Delimitar el rango de la función f defini­
da por:
A)
B)
£E)
A) [1 ;+°°) B)<-1 ; + l> C) [-!; + !)
D)<-1; 1> E) (1 ; +<*>)
DOMINIO Y RANGO DE LAS F. T. INVERSAS
fM
A)
bAei 1751Funciones Trigonométricas Inversas
24.- Determine el dominio y rango de la fun- 
ción/definida por:
A) {-l;l}y{ít}
B) {-3;l}y{7t)
C) (l;3)y{n}
’7n. rt
12 ’ 12.
26.- Sea la función/definida por:
,, . 1
J 4
determine el dominio y rango de la función.
n . 7tt 
.12’ 12.
3 re 
+ T-,
2rt 
T;7t 1 (~ + x/(x) = 7 •arc cos 4 4 V
/(x)= |jztrcsen(2^3) + ||
7ti]
3k
T ;7t
[-MMfrñ.
28.- Establezca el dominio y rango de la fun­
ción /definida por:
/(x) = arc sen(-x) + arc cos(-x) + arc esc (-x) 
+ arc sec(-x)
D) {-l;l}y(37i}
E) {-2;1} y {271}
22.- Encontrar el rango de la función/defini­
da por:
/(x) = arc secfsen x + cos x)
A)[l;2]y[f;^]
B)[-3;2]y [f:^]
E)[r3]y[n;S
r0. *1,,rz.«i[u, 3 JVJ L 4 .2J
23.- Hallar el rango de la función/definida por: 
/(x) = esc (arc sec x)
[0; 4 ] u [t;71
D)
B) [|;1] y [
C) [|;l]y[
A) Ry [0;j )
B) Ky [0;|)
C) Ry [o~)
C)[-6;-2]y(^;^)
27.- Determine el dominio y rango de la fun­
ción /definida por:
arc cot(x- 1) - — 6 I
D) Ry [0;^)
E) Ry [o;^Q
D)[-6;2}y 
LO o
A) {-l;4]y [o;
B) [l;4]y [0;y]
C) [-l;3]y [0; j]
25.- Sea la función/definida por: 
2 71
/(x) = • are sen(3x - 2) + ,
determine el dominio y rango de la función.
E)[-3;2]y|j;j]
D) [-4;l]y [();|]
E) [-3;+2]y [o; j ]
A){1 ; 1) y
33.- Determine el valor de:
B){-1 ; 3} y
C) {-1; 1} y A) 2/5 B)3/4 C)4/3
D) {-2 ; 1} y
E) {-!;!} y + 2
A) D) -T-
A)(-~;- 36.- Calcular el valor de:
M .= cot
3’'
A)1 B)2 E)5C)3C)(
D)
A) 2 B)1 C)3 E)5D)4
PROPIEDADES DE LAS F.T. INVERSAS M = cot
31.- Determine el valor de:
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
+ nrctan( 1)
B) C)
A) 1
F : r 1761 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
29.- Determine el dominio y rango de la fun­
ción /definida por:
f(x) = are sen x + are sec x + 1
7
9
_5.
12
37.- Determine el valor de:
M = 3 cos(2 are eos ■Ju'S )
32.- Calcular el valor de:
M = eos [are tan(- V3) + are sen 1]
15
7t
7t
6
M =
) y u (rt;
9k n; g
rn n/esen —l 2 )
«rccos(-l)
30.- Determine el dominio y rango de la fun­
ción /definida por:
1
/(x) = — are esc (3x) + 7t
+ 3}
í * IM = tan | 7t + 2 are tan —
D) 1/2 E) 1/5
9rtl
í^tan^n] ]
D)4
38.- Determine el valor de:
1 r i— n— are tan cos(2 are sen V7/30 ) r
(—.3 ] >-■ [
(?■ 
(? 
íí
I?
B1 —B) 2
35.- Evaluar M, si se sabe que:
f ( 2,11 1 M = are eos sen - — j
C)f D)f
4 ] ° [ 3;+o°) y (I;n) u
A) f Rli2B) 2 E)f
39.- Encontrare! valor de:
M = sen2 are eos, — + eos2 are sen, —
l ’8J l *8J
B)2 C)3 D)4 E)5
D)| E)A)ll
34.- Hallar el valor de:
M = are sen (sen 5) + are cos(cos 6)
A) 1 B)-2 C)3 D)2 E)-l
3nE)“6
7T \ / 7t\
3
1
3
46.- Determine el valor de M, si:40.- Evaluar M si se sabe que:
2are eos
M =
B) 1/2 C) 1/3 D)2/3 E)3A)1 C)2Z3 D) 1/4 E) 1/3A) 3/5 B)5/4
41.- Encontrar el valor de: 47.- Calcular el valor de W, si:
M = sen[2 are tan(cos (2 are tan -J5 ))]
W = are tan - are tan
A) C) E)
D)B) E)42.- Calculare! valor de:
are sen x48.-Si:
A) 10 B)20 D)40 E)50C)30
C)B)A)43.- Identificare! valor de:
M = cos E)D)
49.- Determine el valor de:
M =
E)5C)3 D)4A)1 B)2
44.-Evaluar M, si:
D)2 E)4A)1 B)3 C)0
M
45.- Reducir la siguiente expresión:
A) 3 B)2 C)5 E)0D)1
+ are co:
M are tan
E)5A) 2 C)1 D)4B)3 A)x B)2r C)-x D)-2x E)3x
Funciones Trigonométricas Inversas lia ES
J2
2
12
13 10
5
13
50.- Si se cumple que:
are tan x + are tan y + are tan z = 7t, 
determinar el valor de M:
n
3
7t
5
n
4
1 —arcsei 
4
an
2(a-b)
tan(2arc sen x + arc eos x) 
tan(2arc sen x + 3a re eos x)
x+ y + x+2xyz 
x + y + z
1 - sen2x - cos2x 
l-sen2x + cos2x
an 
(a-b)2
V2+1
V2-1
an
2(a+b)
an 
(a + b)
a
are eos x b '
determine una expresión para are sen x.
f 12 I
M= 13sen arelan — + 17cos
n
51.-SÍ: 0<x< ~ .reducirla expresión:
1 1 1 
are sen — + are eos — -are tan —
8 
arccot —
-12D) 13B) 15
E)f
C)f
- sen4 í 3 are sen —
b>T
are tanJ 2 1 o are sen -y- 1-3 sen
4 eos2 (
M = cos4Í 3árceos —
'2] _____ x .3 I 
are tan(2-/2)
A)
2 tan2
+arctan(l)
mt 
(a + Z>)2
M=-------- ) x
1 í n
2 \2J
are cos^j
52.- Determine el valor de:
W =
7t“ — 27L«rc eos X +M =
D)5 E)-lA) 2 B)-3 C)1
D)7t/3B)tt/2 C)3n E)rtA) 2n 58.- Evaluar W, si:
53.- Calcular el valor de M:
W = sec2
E)5B)2 C)3 D)4A)1
0 = are eos ~ + are eos ------
y su correspondiente restricción.A)
55.- Si se verifica que: A) 4 are sen x , si x 6
B) 2 are sen x, si x 6
determine el valor de: “sen.v”
C)3 D)4 E)5B)2A)1
C) 4 are sen x, si x e
M D) 2 are sen x, si x e
are tan
E) 3 are sen x, si .r e
fe)D) are tan 60.- Determine la expresión equivalente de:
W = 2 are eos X,
C) are cos(2a - 1) , si x 6 [ 1; 0]57.- Calcular:
^Í78| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos P.ACSO IDtTOtll
1
3 ’
59.- Determine la expresión equivalente de:
W = are cos(8x4 - 8x2 + 1),
asimismo su respectiva restricción.
A) are cos(x2 - 1) , si x 6 10; 11
B) «rccos(2x’+1) ,sixe |0; 1]
71
3
71are sen x----
2
I *. are sen x----V 2
1 
/r + n + l
54.- Determine el valor de 0, si:
1 
G — itr c wa y • ~
( "
B) are tan 1 ?+2 I
C) are tan
E)«retan (^)
E)^
A) «re tan (^j)
o;4
cot(3«rc eos x + 2arc sen x) 
cot(3«rc eos x + 4«rc sen x)
«fe
"fe
B>Mm
127
E)M12l
115
C)Mí25
D)Mif
AXX,135A) M 120
C)f
•fe]
«fe]
3 
are cot ~ - are cot 3
56.- Determine la siguiente suma: 
1 1 1 
are tan — + are tan ~ + are tan ~ +.
ti2 — 2tl«re eos x + -
are tan x + are sen(x -1)
x = are tan 1 + are tan + are tan —2 3
471
7
65.-Evaluar W, si:C)arecos(2x- 1) ,sixe [l;0]
66.-Reducir la expresión:
<0 = 5 eos are tan + cot are
A) are tan
sen
B) are tan
67.- Determinar el valor de:C) are tan
0 = tan(3 are tan 5) - cot(3 are cot 5)
B)0 C)3 D)2 E)4A)1D) are tan
68.- Si se sabe que:
E) are tan
a = are sec
62.- Calcular el valor de a: el valor de a es:
a = are cot C)
A) 3-rt C)4-2nB)4-7t
E)4 + 2rtD)4 + 7t
63.- Encontrar el valor de 0, si: C) are tan
0 = are ese (ese 8) - are sec(sec 2)
C) 27t-10A)7t-10 B) 3tt-10
E)7t+9D) 371+10
64.- Determinar el valor de P:
M =
A)2rt-2 B)7t+2 C)7t-2
A) 1/3 B)3/2 E) 1/5D)3ti-2 E) 2ti+2
Funciones Trigonométricas Inversas iwaEJ
61.- Encontrar la expresión equivalente de:
W = 3 are tan x, 
asimismo su respectiva restricción.
5
13
_7_
24
+ Vó sen(arc sec (- 5))
7t
3
3x-x3 
l-3x2
2X-X3
l + 3x
cot2 - tan2
2
3x + x2 
1-3X3
2x-x3 
l + 3x2
3x-x3 
l-3x2
P = are cot (cot 4) + are sec(sec 6)
•74
A>T
D) Y E)^
C)B) 5 22D)• si |x| <
D)O 137t
• si |x| <
.Si|x|<4
,si|x|<^
E)^A A p\ 1A)T3 B)^~
,si|x|<^
W=are cot (-1) + — .are sec(- J1) + 3 are csc(2)D) arecos(2x + 1) ,sixe(l;l]
E) arecos(2x2-1) , si x g [0; 1 ]
69.- Determinar W, si:
W = are cot(3) + «re cot(7) +are cot( 13)
(1) B)arctan(|)
E) are tan j
sec4 -16sec2 py + 20 ,
A) are tan j
D) are tan
70.- Simplificar M, si:
<717'l areseq-----" 4 J
( 8 1arelar» —" 15J
C) 1/2 D) 1/4
B)f.. KA) 2
SITUACIONES GRÁFICAS 74.- Resolver la inecuación:
71.- Bosquejar el gráfico de:
C)xe <~; 3]
A)
A) x e ; -1 ] [ J2 ; +°°)
B)xe (-°o;-1]c(V2 ;+“)D) E)
C) x 6 (-<x>; y¡2 ] VJ [ 1 ; +<*>)
72.- Identificar el gráfico de:
D) x e (-00; 1 ] u [ Jz. ■ +oo)
/(a) E) x e (-00; -2] u [ Jz ;
76.- Resolver la inecuación:
A)-----. ------- C)
D) E)
B)xe
y C)xG
D)xe
A)3rat2 B)9nií2 C)4rai2 D)5tih2 E)2ra<2
180 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO
IDITOKI1
73.- De la figura mostrada determine el área de 
la región sombreada:
1
* ;+- 
V2
F‘l
; +°°]
V2 
~T;+°°
7t|
are tanx+ —
75.- Determinar el conjunto solución parax: 
are sec(x) - are csc(x) > 0
are tan(x) - are cot(x) < 0
A) x6(-~;1> D)xe<-~;1]
B) xe(-~;2> E)xe(-°°;3)
tt
are sec(2x) > ~
77.- Del gráfico mostrado determine la regla 
‘de correspondencia para «y».
-.,1
! x
-i
-4
X 7t
y = 4 . are eos — - ~T2 4
C)
D)
E)
79.- Sea la funciónf definida por:
A)
B)
16
16
i)D)
MISCELÁNEAE)
16
80.- Sea la función/definida por:
determine el máximo valor def.T
A) rt/3 B)2ti/4 C)ti/4 D)it/2 E) 2ti/3■x
T
y = A.. áre eos (B c + C)'+ D---- !
A)7t/2 B)ti/3 C)ti/6 D)ti/5 E)ti/4
A) 1/3 B)3/4 C) 1/5 D)2/3 E) 1/2
A)
Funciones Trigonométricas Inversas 181T18
'8
determine el punto en el cual la gráfica de f 
interceda al ejex.
81.- Determine el valor máximo de la función f 
definida por:
f(x) = are cot(tan2x + cot2x - 1)
s/8
I
3?t
4
,<y
n!á_
5ir
4
3tt
' 16
5ir 
' 4
5ir
' 4
5tü
+ T
(!
(I
_3:
41 / i
I /-—>y = 4 • are
1
■»(!“)
C>(H
E’(H
____L
-T
f Cj) = larc sen(2x - 1) + y.
A’(H
82.- Resolver: are eos ( x) + are eos x = y
„ „ ( 2x 1
f(x) = are tan I - ----- - I.
!1¡2 
ien(Bx+¡C) + D
f8x + n.5n
\5X+5) 16
78.- Del gráfico mostrado determine la regla 
de correspondencia.
árceos (f + y)
Í-arceos (2 2)
3 lx 1\
2 • are eos I 2^" 2 /
(K
j.árceos
I'arceos (f’l)
7— .are sen 
o
4) - — 3/ 16
7 .are sen 
o
7 .are sen 
o
.are sen 
O
3C) g .are sen
83.- Determine el valor de “x” en la igualdad :
calcular:C)3/4 D)8/3 E)4/5A) 3/8 B)5/3
1884.- Determine el valor de “x” si:
E)4B)2 C)0A)1
are tan x + are tan =arc sen x 90.- Resolver:
+ are eos x
D)5 E)3A) 2 B)1 C)4
[1; V2)85.- Resolver la ecuación:
C)xe (-V2 ; 1]
are tan
D)x6 <-V2 ;-l]
C)3A)1 B)2
E)xe <-V2 ; 1]
86.- Resolver para x: are cos(x) = 7t. esc (y)
91.-Si:xe [-1; 1], determine el máximo valor de:
B)2 0-1 D)-2 E)3A)1
87.- Calcular el valor de “x”, si: y
A)it/2 B)tt/3 C)n/6 D)n/5 E)n/4
92.- Resolver la siguiente inecuación:
88.- Si se verifica la igualdad:
A)xe <-=-=;!]
= 3x.are cot cot x.cot .cot E)xe <-°°;3]
entonces, ¿qué valores puede tomar “x”?.
A) x e 1 ; y D)xe (o;|)
E)xe (3;ít)
C)xe (2;n)
182 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
B) xg <-oo ; 2]
C) xe (-“>; 1)
are sen(cos x + eos 2x) 
^C0t^2x + 75
D)3
3
are eos — + 2 are cot 2 = are esc x
n y-x
<D [-V2 ;1>
id [1; -Jl)
SJ [1 ; V2)
7t
3+x
B)xe (yji ;-l] u
7t
3 are tan x - —4
89.- Si se cumple que:
are sen {cos(arc tan[cot(arc sec (esc x))])) = —,6
05
A) ¿4
W =
are tan
are tan (cot[arc sen -]2x ]) = —
= are sec -
1 D)4 E)5
B)xe(-|;0
3n
2 are tan x + are cot x < — 4
D) x e (-“; 2)
1 1y + are tan are csc|x| > are sec|x| 
A)xe {-sÍ2 ;-l] id [1 ; V2)
24 20 23 25
B) 25 C) 24 D) 21 E) 21
1\ sen a, + T2 sen a2 = W
i<sz
o
inecuación:
tan 9 < pe
i Rano Rasa Rae» Rae» Rae» Rae» Rano Rae» Raen Rae» Raen Raen1
Donde «|ie» es el coeficiente de rozamiento 
entre los neumáticos y el pavimento.
I
i
■
1
¿Sociedad
La inclinación «9», respecto de la vertical, para que el 
| motociclista no resbale en las curvas debe satisfacer la siguiente
7/“2
■<1
^7'/
r \
Te en ® I o gísj^
Los técnicos utilizan un prisma transparente para determinar el 
valor de los índices de refracción de los materiales. Tal proce- 
dimiento aplica la fórmula^.
n n Sen(^' \ 
y jen(i)
Donde, en.múchos casos, la medida de 
«9» no se conoce, generándose una 
ecuación trigonométrica.
__ . __
/El equilibrio de los cuerpos plantea la necesidad de descom- 
í poner rectangularmente a las fuerzas. En ocasiones son los 
ángulos las incógnitas y 
por tanto se recurre a la solu­
ción de ecuaciones trigonométricas 
para determinarlos.
- A A
—.....IIIII ¿ >
RESOLUCIÓN TRIGONOMÉTRICA DE ECUACIONES CÚBICAS
Esta expresión se puede escribir así: O ...d)
Despejando como sigue tendremos: sen 0 + . . . (2)
Eliminando «m» nos queda: sen 30 =
Resolución.- Empezamos determinando el signo que asume «D», así: D
0
sen30Utilizando la fórmula del triple y despejando, tendremos:
Igualando coeficientes: y
V5-1
2ii) k = 1:
2iii) k = 2:
sen 30
4
30 = kit + (-1)k • -
m = 2>/2
sen 30
= 2.
4 m3
)=°
 sen 30
4
sen0+O
La teoría de las ecuaciones muestra que la resolución de cualquier ecuación cúbica puede llevarse a 
la forma x3 + ax + b = O. En ciertos casos bajo determinadas condiciones la solución se obtiene muy 
convenientemente por Trigonometría.
El método trigonométrico de resolver la ecuación cubica de la forma x3 + ax + b = 0, obedece a los 
siguientes pasos:
1. Dada la ecuación de la forma: x3 + ax + b = 0 se toma los números «a» y «b» de la ecuación y se
calcula el número «D», así: , .3 . .2
°-(j) •(!)
2. Si el número «D» es positivo o igual a 0, se resuelve la ecuación por el método algebraico.
3. Si «D» es negativo, se sigue el método trigonométrico realizando el cambio de variable: x = m sen 0 
en la ecuación cúbica, y obtenemos:
m3 sen3 0 + am sen 0 + 6 = 0
sen3 0
sen 30
6 3 n /T sen 30 4 V2
m2 4 4 2
Ecuación trigonométrica, cuya solución es: 30 = kit + (-1)k • -> 0 = ky + (-1)k • yj
Finalmente las tres raíces de la ecuación cúbica, de la forma x = m sen 0, son:
0 = O Í + (-D° y^=y^ = 15o -> x, = 2>/2 sen 15° = =
e = 1- + (-1)'-—=- = 45° -> x2 = 2>/2 sen 45° = 2x/2(J=| =
3 12 4 \j2l
0 = 2 S + (-1)2-—= —= 135° -> x, = 2^2 sen 135° = 2^2f —j =
3 12 4 3 \421
Thompson, ). (1975). Trigonometría. Unión Tipográfica editorial hispano americana. México
&)sen0+(¿)=
Igualmente podemos utilizar la fórmula del ángulo triple: sen 30 = 3 sen 0-4 sen3 0 
Sen30-g)
4. Comparando coeficientes de (1) y (2) se obtiene:
m
kb/2)2
(a/3)3
5. Finalmente podemos calcular los valores de «0» y de ellos obtener las raíces de la ecuación.
A manera de ilustración, calcularemos las raíces de la siguiente ecuación: x3 - 6x + 4 = 0.
=(■!) +(1) =-8+4=-4
Finalmente «D» es negativo y en consecuencia podemos aplicar el método trigonométrico.
Hacemos: x = m sen 0 y reemplazando en la cúbica tendremos: sen3 0 - )
-(■^■jsen 0 +
4
m3
i) k = 0:
■ «
19.1. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES (E.T.E.)
F.T.(ax + b) = cToda ecuación trigonométrica de laforma:
Se denomina ecuación trigonométrica elemental, donde:
i) a, b, c e R ; a * 0 ; c e Ran F.T.
ii) (ax + ó): arco ; x: la variable angular
i) sen (ax + í>) = c
(ax + b) = 2 kn ± are eos (c) ; fe e Zii) eos (ax + b) = c
(ax + í>) = feit + are tan (c) ; fe e Ziii) tan (ax + í>) = c
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas 183TI9
Una ecuación se llama algebraica, si cada una de las funcionas contenidas en f(x) yg(x) 
son algebraicas (racional o irracional), donde además una de estas funciones puede ser 
constante. Una ecuación se llama trascendente, si por lo menos una de las funciones contenidas 
f(x) og(x) no es algebraica.
Una ecuación trigonométrica es de tipo trascendente, cuando cada una de las funciones 
contenidas en/(x) og(x) son funciones trigonométricas de la forma Az. (ax + ó), en donde los 
términos a, b e R, (a * 0).
Las ecuaciones trigonométricas son igualdades de expresiones trigonométricas, que se 
verifican para ciertos valores de su variable angular.
Si se tienen dos funciones fyg con una misma variable x, tal que: A(x) - g(x), se denomina 
ecuación con una incógnita, donde x es la variable llamada incógnita, y los valores que toma x 
se denomina solución de la ecuación.
19.2. RESOLUCIÓN DE LAS E.T.E.
=> (ax + ó) = fen + (-l)k.arc sen (c) ; fe 6 Z
í®ürafeionfes!:fe
gbíi o itifef rícas
- \ ' 4 ••
5 raecu aci o rafes— 
métricas/ (
/ ñg®
Si se tienen desigualdades de la forma: A.Zt(x) > A.Z2(x) v f.t}(x') < f.t2(x~) ;
se denominan inecuaciones trigonométricas. Para que esta relación se constituya en 
ecuación o inecuación trigonométrica, la variable debe encontrarse afectada por algún operador 
trigonométrico.
19.3. SOLUCIÓN PRINCIPAL
Es la menor solución no negativa que satisface a la ecuación trigonométrica.
19.4. RESOLUCIÓN DE LAS ECUAC. TRIGON. EN SU FORMA GENERAL
19.5. INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Son desigualdades de la forma:
19.6. RESOLUCIÓN DE LAS INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
F^184| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ÍJiRACSO>> IDITOHI
Resolver una ecuación trigonométrica, consiste en reducirla , hasta obtener otra de la 
forma de una ecuación trigonométrica elemental y luego solucionarla.
Para resolver una inecuación trigonométrica, primero se debe calcular las coordenadas 
de los puntos de intersección igualando dichas funciones.
En el gráfico mostrado se observa que:
i) En los puntos A, B, C: f — g
ii) En el intervalo (a ; b): f < g
iii) En el intervalo (i> ; c): f > g
i) f.tjCx) + f.t2(x) > 0 v f.tj(x) + f.t2(x) < 0
También pueden ser de la forma:
ii) f.t|(x) + f.t2(x) > 0 v f.t](x) + f.t2(x) < 0
PROB. 1
Resuelva la ecuación:
2 sen x + cot x = esc x
'k-kicX'k-k-kXir'k-k'frir'k'k-k-k'k
* (2*+1)ti/2
De esta relación está claro que:
x* kit ; k e Z (*)senx* 0
Efectuando operaciones, se tiene:
2 sen2x + eos x = 1
2(1 - cos2x) + cosx = 1=>
= 032 - 2cos2x + eos x = 1=>
2cos2 x + eos x + 1 = 0=> => tan
Resolviendo se obtiene:
= kn + n/4cosx = -1/2 cosx = 1 3
PROB. 3
Pero de acuerdo con (*) se sabe que:x * ftn
x = 2fctr, no es solución
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
i 
senx
PROB. 2
Resolver la ecuación:
En primer lugar hay que analizar si la ecuación 
está o no definida para algunos valores de la 
variable angular. Esto lo determinamos 
transformando a senos y cosenos:
x
32senx+ = senx
(tan j-1)2
l + sen6x 
, sec2x ■i . esc 2x; Vxg [0 ; n]
c r eos 6x = I-
Calcule la suma de soluciones de la siguiente 
ecuación:
x — 3 kit +
Luego, en la ecuación dada, aplicamos la 
identidad pitagórica de la sec2x, así:
x*(2¿ + l)"y ; VAe Z
En primer lugar las funciones sec y y tan 
deben estar definidas, lo cual requiere que:
x = 2 kit ± 4?
«s
1 + tan2 - 2 tan j = 0
sec2 - 2 tan = 0
tan — 1
eos y *0
=> x = 2Zí7t ± ; x = 2 kit; VfteZ
f -1 = 0
★★★★★★★★★★★★★★★★★★
eos 6x =
> 0=> eos
sen 2x* 0eos 2x * 0
Luego:Es decir: 22
Entonces: eos 6x =
Graficando las funciones de cada miembro:
sen 2x eos 6x = eos 2x+ sen 6x eos 2x
sen 2x eos 6x - eos 2x sen 6x = eos 2x
sen(2x - 6x) = eos 2x
sen(-4x) = eos 2x
1
-sen 4x = eos 2x
-2sen 2x cos2x = eos 2x
0 x
Como: eos 2x * 0
-1-2 sen 2x = 1 sen2x = -1/2
xe [0; re]Dado que: => 2xe [0;2n]
Esto requiere hacer:
3x = 2Att+PROB. 4
Resuelva la siguiente inecuación:
x =
sen 2x +senx > eos 2x + cosx; Vxe [0; jt]
186 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos íalRACSO
BD1TOI1I
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
719
l + sen6x
1
cos2x t
Expresamos todo en términos de seno y 
coseno y tendremos:
De aquí se deduce que los valores no 
admitidos son:
3n
2
Transformando a producto cada miembro de 
la inecuación, se obtiene:
3x
2
lltt 
12
n
4
6
2kn
3
X_ 
2
x_ 
2
x
2
x
2
71
2
x_
2
1 
sen2x
3x sen ~2 co:
3x 3xsen~2~ > cos~2"
3x
> eos ~2 ■ c2¡
3x> eos ~2 eos
Según la figura, la solución es (x|;x2), 
calculemos: x} ax2.
3x 3x sen ~2~ = eosc 7tt , 117tSuma - 12 + 12 -
„ , 3x f(x) = sen ~2
2x^-2-
„ 3x2sen-2~ eos
cos2x(l + sen6x) 
sen2x
„ 3x> 2cos -y eos
g(x) = cos
Luego las soluciones son:
x* V* e Z
\ / 
i á I \j/ I
3x
T =*" +
3x , tan-^ = 1
, , 3x g(x) = cos~2"
<4s 
13 
t
f(x) = sen-^
-------1
e [0;?]
“1
X=> sen^- eos
De acuerdo con la condición, se tiene que:
x€ [0 ; n] =>
7n
12
PROB. 6
*2 =
Determinar x en el sistema:
2
PROB. 5
De la ecuación (1). se deduce que:
xtkn ,k e ZCOt X A CSC X => 2x + 2y = n2
Por reducción al 1C se puede establecer que:
(3)eos 2x = - eos 2y
Reemplazando (3) en (2):
- eos 2y
Pero: Pero:
Efectuando:
Factorizando: (sen x - 3)( 2 sen x - 1) 0 Factorizando nos queda:
i) senx - 3 = 0 eos y (2 eos y - 1) = 0
(No puede ser)senx = 3
ii) 2senx -1 = 0 y = 2ftn ± rr/22 0 0eos y
Luego:x=> 6
, V *6 Z
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Como intervienen las funciones cotangente 
y cosecante las restricciones son:
=> 3(1 - sen2x) + 5 sen2x = 7 sen x
2 sen2x - 7 sen x + 3 = 0
Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:
3 cot2x +5 = 7 esc x
Igualando a cero cada factor, analizamos 
teniendo en cuenta la condición dada:
5rr 
6
Como: sen2x * 0, podemos simplificarlo:
3 cos2x + 5 sen2x = 7 senx 
cos2x = 1 - sen2x
7 senx 
sen2x
2sen2^ =
1 - eos y = - eos 2y 
: eos 2y = 2 cos2y-1
1- cosy = - (2 cos2y - 1)
2 cos2y - eos y = 0
°p=i
2 sen2 = eos 2x ... (2)
1 senx = 5
- (i'8?) x+y = 5
x = S
x + y= 5
Nuestra estrategia consistirá en obtener una 
ecuación en términos del arco «y», para lo 
cual haremos las siguientes transformaciones:
kit +(-Dk.f
-2-y
X — -2kn ó x = rt -
i -
Como en el problema anterior, nuestra 
estrategia consistirá en elaborar una expresión 
en términos del seno, por lo cual apelaremos 
a las identidades trigonométricas. Veamos:
3cos2x + 5sen2x 
sen2x sen2x
x'~ 6
2 sen x eos 2x + sen x - sen x > 0ii) 2 eos y - 1 = 0 2
senx. eos 2x > 0 ...(1)
... (*)y = 2/rn ±
0 < x < rr => 0 < sen x < 1Por condición:
Reemplazando en (1) tenemos:
eos 2x > 0
De la C.T. se observa que:
PROB. 7
Resolver la inecuación trigonométrica:
sen 3x - senx >0, si: x e < 0 ; n)
n/2t t i x i * *
(+)Del arco triple tenemos:
(+)sen x(2 eos 2x + 1) - sen x > 0
DE RESOLUCIÓN
^iRACSO'. P; ’ 188 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RESOLUCIÓN
1) La ecuación tiene que estar definida en el campo de los números reales.
2) Obtenga los valores donde la variable no está definida, para no tomarlos 
conjunto solución.
n
3
4) Si 
con
3rr
T
; 2n^
0.
2n
rt
3
Reemplazamos (*) en (1):
en el
3) Reducir a su mínima expresión a la ecuación hasta obtener de la forma:
f.t (ax + b) - c
se trata de una inecuación es necesario graficar las funciones para visualizar 
facilidad el conjunto solución.
x=5
=> eos y = 4
2X e ^0; u
- 2kn ó x = - 2krt
O
2 ’ (2tol±§)
Í4O
j
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
B)A) D)7t
D)
eos 2.* - 1 + tan x = 0
y determine la mayor solución negativa.
6
B) 4
0
C)
tan x > 0
ros]Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas
07.- Determine un conjunto solución de: 
sen 5x + sen 3x + sen x + 4 sen2.* -3 =
n
3
7t
3
7t
3
7t
6
Enunciados de Problemas
E) [kn - 'ukn
= 1
(í7t + ^)u<-
con Resolución
02.- Determine el conjunto de solución de la 
ecuación trigonométrica:
04.- Resolver la siguiente ecuación trigono­
métrica:
03.- Determine un conjunto solución de:
3 cos2x - sen 2x - sen2* = 0, si:
1 + eos x = — . sen2*
05.- Resolver la siguiente ecuación trigono­
métrica:
sen3.*.
3
E)~5~D) “
C)yA)f B) 3
S'i'.t .O-. --.
06.- Resolver la ecuación trigonométrica:
cos3x cos2*
sen* tan.*
A) D) Ut A)-j
08.- Determine el conjunto solución de:
sen x . sen 3x - sen 2x . sen 4x = 0
C>-? E)-f
A)217t + (-l)k^
B)4
B) (31:-1)2
E)to+(-l)k.^
E)*f
B)(4m+l)|
D)-f
E) kit +
C)tat + (-l)k.S
B)2fot+(-l)k. j
E)(4m-1) |
D)(2Á+1)|
C)(4m-1)2
C)(2<-l)2
A)(4m+ 1)^
^■n+(-l)k. j
C)^
D)(2m+1)2
A)to + j
01.- Determine el conjunto solución de:
4 sen2 + 3 tan x = 2
A) (4k- l)|
B)ht-j
E)(4¿-1)|
D)to-S
eos x - sen x . cos3x = ~
4
09.- Resolver la ecuación trigonométrica:
D)A)
D)
E)B)
C)
11.- Determine el conjunto soluciónde:
eos 4a + 2 sen 2a + 3 = 0
A) 2kn± 3
E)217t±
17.- Resolver la ecuación trigonométrica:
13.- Determine el conjunto solución de:
J 19tf| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ¿i* RACSO 
IDITOklt
>kn
7t
4
16.- Determine el conjunto de solución de la 
ecuación:
)k?
71
3
_n
12
kit 
2
’kf
eos2 - X j - eos2 + a)
sen3x
senx
senÓA
sen2A
2 
cos2a
8a/2
1 + 72
10.- Determine el conjunto solución de la ecua­
ción trigonométrica:
~ 2
B)y + (-l)k. |
C)- — ? 8
(-l)k
E)y
A)^ B) 3
cos3x
--------= 4 eos 4x cosx
D) yy
E)to±
A) + |<-l)k
^+ (-!)'
C) y+ (-!)'
B) y + 
*+
B) y+ (-!)'
C) 21-71 ± -^ +
D) E)
B)to± 2
r~*\ kit ■ i .k 71
C) y + (-l) y
14.- Determine el conjunto solución de:
(sen 2x + 73 eos 2a)2 - 5 = eos -2x)
D)^-2(-l)k
. . 2171 1’71A) -y B) y
E)y+ 2(-l)k
D) Iti ± jC) y - |(-l)k
12.- Determine el conjunto de solución de la 
ecuación trigonométrica:
5 sen4x + 6 sen2x . cos2x + 5 cos4x = 4
73 sen x + eos x = 42
C)17t±-^
a x ^-71 f * x k 7L
cosóx csc 2x + —— cos2x
E)yy +(-l)k.2 
J o
^(121-7)
B) (1+1)^
D) (21-1)^
C)(l+l)|
A) kit ± ?
O
B) 21-Tt ±?
O
y(121 + 7)
D)^ + (-l)ky
A) (21-+1)2
E) (21-1)2
D) 2171 ±2
2(41 + 3)
2(121 + 7)
15.- Determine el conjunto solución de:
|sen 2x| + 2 = 2(|sen x| + |cos xj)
71
+ 3
5(41-3)
O
Ej-y + j-D.y
a x . < k 71A) -y + (-l) y
B) C)
la siguiente función
sen 2x + 2 eos 2x . sen x = 0
A) C) D)
25.- Resolver la ecuación trigonométrica:
2 eos 4x. eos 3x+2 sen 5x. sen 2x=cos 4x+cos 2x
A) Air + are sen (-j)
+ «rccot
21.- Determine el conjunto solución de:
D)rt E)A)4n B)3tt C)2rt
eos 3rt
C)B)E)C)
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas TTj 191
J5
2
18.- Resolver la ecuación trigonométrica: 
cos4x - sen4x -1=0
y determine la suma de las soluciones com­
prendidas en [0; 2n].
22.- Determine la suma de las soluciones en: 
x e [ 0; 2n), de la ecuación:
23.- Determine la suma del menor ángulo posi­
tivo y el mayor ángulo negativo que verifica:
eos 2x - eos x - sen x = 0
27.- Determine la suma de las 2 menores solu­
ciones positivas de la ecuación:
28.- Determine la suma de soluciones en 
[0; 7t] de la ecuación:
kn
4
7t
6
n
8
— C) —8 -1 2
24.- Determinar la menor solución positiva de 
la ecuación trigonométrica:
n
8
7t
2
7t
9
ít
8
7t
2
7t
2
1 + cotx
1 - tanx
D) y -
senx = 73 cosa - 1
kn 3rt
B)T'T
kn 3rt
J 2 ‘ 8
x
2 sen x = tan —
eos x = 1/2 eos 5x - eos 9x
E) —10
A)^
E)y
B)y C)
D) 150
A)f
A) y
E) 80A)f
+ 8
DI $11
B) 3
E)
D) —U) 10
A)fRt ^5B) 3 D)^
B)^
19.- Resolver 
trigonométrica:
1 - sen x = — . eos2.
D) kn + are tañí -y
y determine la suma de las dos menores solu­
ciones positivas.
.'¿IB) 15 -45
C) y + are sec j
E)f
kn 2*7t ... .c) y D) — E) kn
kn 3rtE)t + t
A)f
26.- Resolver la ecuación trigonométrica:
sen3A' 7t 2?r 3k 4tt
-------- + 1 = tan — .tan — .tan — .tan —senx 9 9 9 9
A)*
E)¿|
A)(Z:-1)2 B)(4¿+1)| 0(4*-1)^
E)(4*-l)^D)(4*-l)^
20.- Determine el conjunto solución:
3+75 sec x + tan x =--------
2
B)*2 + are eos (^)
1
2
8n
15
B) 2n C) 3n E) 5nA)7t D) 4tt
2sen2x + V2 - eos x = sen 3x
3 tan x + tan
E)4D)3A)0 B)1
E)5D)4
31.- Resolver la ecuación trigonométrica:
tan 2x + tan x = sen 3x . sec x
E)4D)1
; si x e [0; 7t]
E)5A)1 B)0
A) 3 B)2 C)4 D)0 E)1
E)6A) 2 C)0 D)4
C)3B)2 D)4A)1 E)5
3 tan x = cot x
D)5 E)7C)6A) 3 B)4C)3 D)9B)8 E)5A) 1
SiRACSO
^lOITOKII
29.- Resolver la ecuación trigonométrica:
6 cot2x - 4cos"x = 1
tan 3x + tan x = 4 sen x y determine la dife­
rencia de soluciones en el intervalo de (0; 7t).
>x - sen‘x = eos 4x
30.- Resolver la ecuación trigonométrica:
(5-a)-2 = 0
y determine el producto de sus soluciones 
comprendidas en (0; 71).
35. - Determine el número de raíces que se ob­
tienen al resolver la ecuación trigonométrica:
1 + eos 12x = 2 eos 8x, síxe [0;rt/2]
A)0 B)2 C)4 D)6 E)7
36. - Determine el número de soluciones si x 
e ( 0 ; ti) en la ecuación trigonométrica:
Sen(x + ^)
C)2
32.- Determine el número de soluciones en 
|^0; yj de la ecuación:
sen 5x + eos 2x = sen x - 2 sen2x + 1
B)1
41.- Determine el número de soluciones que 
se obtienen al resolver la ecuación trigonomé­
trica:
40.- Si xe (0; 7t), determine el número de raí­
ces que se obtienen al resolver la ecuación 
trigonométrica:
vers(x) + ex - sec(x) = eos x - 2 sen x
34.- Determine el número de soluciones sixe 
[0,47t] en ecuación:
4n
A)V
A) —18
71"
E>36
O—36
3nB) 17
A) 3 B)5 C)2
39.- Determine el número de raíces que se ob­
tiene al resolver la ecuación trigonométrica
eos 2x = 2 sen" - x j
C)3 D)4
C) —M 10
A) 1 B)2 C)3
38.- Si: x e ( -7t; 7t), determine el número de 
raíces que se obtiene al resolver la siguiente 
ecuación trigonométrica.
y determinar la suma de soluciones compren­
didas en ( 0; 7t)
y determine el número de soluciones compren­
didas en [0; 7t]
4tt-
D>^5-
33.- Resolver e indicar el número de solucio­
nes para xe de:
cos"5.
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
sen 3x = 8 sen3x, si: x 6 (0; 2rr)
2tt 2rt
e>t
37.- Resolver la ecuación trigonométrica:
sen3x . sen 3x + cos3x . eos 3x = eos 2x
tan 3x + cot x = tan x + cot 3x, si: x e (ti; 2tt)
A)1 B)2
+ tan 2x = 2
48.- Resolver la ecuación trigonométrica:
A) 3 B)5 C)6 D)4 E)7
C)B) D) E)
(1 + eos x) . cov x = (1 + sen x). vers x,
B) C) D) E)
D) 1/3 E)5/2B) 1/2 C)4A) 3
SISTEMAS DE ECUACIONES2 sen x - -j'3
B) ...(1)
C)-Ice
E)
E)D)46.- Resolver la ecuación:
51.- Resolver el sistema de ecuaciones:
sen x + eos x = 1
B)
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas 193Tie
sen 2x + cos2x = - 1
y determine la menor solución positiva.
y determine el cociente entre la mayor y menor 
solución si xe [0;2tt].
44.-Si: xe 
ción trigonométrica:
7t
3
n
6
7t
6
n
6
n
2
2 
senx=seny. .. (2)
n
3
n
5
n
2
ÍTt.471.571 
12’ 3 ’ 6
;0; , resolver la siguienteecua-
Í7t.7t.27tl 
14’3’ 3 í
71
x + y= 2
7t
5
45.- Determine las soluciones en ( 0; 7t) de la 
siguiente ecuación trigonométrica:
2 sen3x - V3
50.- Resolver el sistema de ecuaciones: 
x + y= -x
ri 37t.27t
J 17 ’ 13
C) — c?16
sen2x =
D)f E) —15
, _ . 13tttan 5x . tan 3x = tan —¡~4
y determine la menor solución positiva.
C)3 D)4 E)5
43.- Resolver la ecuación trigonométrica
tan(^-x)
y determine el número de soluciones compren­
didas en <0; 2tt)
47.- Determine las soluciones positivas y me­
nores de una vuelta de la ecuación:
( + 1) senx +( -Ji - 1) cosx= ^2
B) *+ktt
6’*71
4
A>Z
A)?
A) 2
D) —U) 12 4
y-Ice
T-. 7t. 3tt
E) 6’T
B) 21-2ti 
a)16’15
. . 7t. 2ti
A) 6’T
42.- Determine el número de soluciones que 
se obtiene al resolver la ecuación 
trigonométrica:
49.- Resolver la ecuación trigonométrica:
sen2 x(2 eos x + sen x) = sen3x - eos3»
- kn ±A)
-2kn ±E)B)
+ kn ±C) , y = (24-l)
52.- Resolver el sistema:
55.- Resolver el sistema:
53.- Resolver el sistema:
x-y = -
tan x + tan y = 2
Indica el conjunto solución de «y».
■■ (1)
... (2)sen x . sen y
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos «1 RACSOIDtTOltl
z->\ ^7t i / i\k tc 3tí 
0-4+(4) 6 +T
Dt ■ ( 1 -A. 2 . — D) 4 +(_1) 6 + 12
. 2
8
. 2
8
. 2
8
. 2
8
2 
4
n
3
2
3
7t
3
2
2
2
4
2
2
2
2
2
3
2
2
D)2A7t+(-l)k-(-y)
71 
x-y=2 ■
2
x-y=l ...d)
tan x = (2 + -Jí ) . tan y ... (2)
A) y = kn + are sen 1 y j +
B) y = kn + are cot Q j
C) y = kn + are tan >
D) y = kn + are eos j
E) y = kn + are tan j 
56.- Resolver el sistema:
a x ^71 . z i \k 71 71
’6 + 3
r> x ^-71 z i \k 7C 71B) 2 +(-l) 6 + 12
D) 2 -kn±^
J o
senx
e indique un conjunto solución de “y”:
A)^ m ^2B) 5
E)^5D)^2
B)2fat+(-l)k(-f)
z~»\ kTt 71
C)T' 8
J 371+ KTI ± -g-
7t
+ 2
E)^+(-l)'
3tt ,, 
x-y= — --.(i)
3tan a . eos y = —
C)2¿7t+(-Dk-(|)
54.- Resolver el sistema:
E)x=(4Z:-3)2,
¿ -..(2)
Indica el conjunto solución de «y».
Ajto+C-l/-^)
E)3ta+(-l)k-(-^)
y = (4¿+ 1)^
A)x = (¿-1)^,
y = («-i)|
B)x = (3i-1)^,
D)x = (4¿ + 3)^,
y = (2£+ 1)2
y = (k+ 1)^
C)x =(24-3)2
7t 
2-d)
x-y=| ...(1)
...(1)
... (2)eos X + eos > = 1-..(1)
Da como respuesta el conjunto solución de «x».
sen 3y . eos 2x = ... (2)
+ 2Í7t + 2Á7TA) B)
E) + 2¿7tD) + 2frtt
B) 4 +16 + (-l) .12
eos 2x + eos 2y = 0 ... (2)
+ (-!)' D) (3A+1)A) (A-l)
E)(3i+ 1)
C) (k+ 1)
sen x + sen y = 1... (2),
indicar un conjunto de solución para «x»:
A)4¿rt B)2¿n C)fat
59.- Resolver el sistema:
E)*7tA)2fat
60.- Resolver el sistema:
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas
57.- Determine un conjunto solución para “x” 
del sistema:
n 
4
7t
3
7t
2x-3y=~
4
2tr 
x+y =
62.- Determine los valores que puede tomar 
“x”del sistema:
2 «
4 ‘ 3
5 2L
4 ' 12
x + y= | ...(1)
z~»\ 7C , «»k 7Ü C)T-j+(-l)
7t 7t
4 ‘ 6
a\ Azi — 4./ nk —A) 2 ’ 8 ’ 6
'E)^-f+(-l)k.^ 
J O 1Z
58.-Resolver el sistema:
D)
r>\ k.TL 7C f > sk 7C
D) 4 ’16+(’1) 6
.. 2Atc ti
A) —+4
D)2Jt7l+y
B)(2A+1) + j
x + y = 2n... (1)
sen2x + sen2^ = 0 ... (2)
D)^ E)^
63.- Dadas las siguientes ecuaciones, deter­
mine un conjunto solución para “x + y”:
76
senx+ seny = ... (1)
J2
eos x + eos y = —- ... (2)
7t 
8
61.- Resuelva e indique un conjunto de solu­
ción para “x” del sistema:
2trx + y=y ... (1)
rt n_
4 ’ 12
C)to + ^
A)2fcrt + y
E)fai-^
B)*n-j
D)
B)~2 C) 4
C)3fat-^
R. 2kn _n
B) 5 + 12
E)¿7t--y
7t
COSX 1
cosy = 2 ’'' (2)
Indicar el conjunto solución para «y».
y -2ht
68.- Resolvere! sistema:
tanar + coty = 2... (1)
cotA + tany = 2 ... (2) ,
e indicar un conjunto solución para “a"
... (1)
A) 2kit ± R)2kn±
D)Árt±
66.- Resolver el sistema:
C) D)
E)
D) 2kn -are tan j
tan y... (2)
B).r
C)x = 26
-| 95 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
12
7t
8
71
4
4ti
23 'y
RACSO
IDlTOklt
77 
eos x = — . sen y
B) kit + are tan
tan (5-.) =
A) 2kit -arelan
77- are eos —— 
4
C) kit -«retan
E) kit + are tan (-i-j 
67.- Resolvere! sistema:
tan ,v + tan y = 1+ 75 ...(1) 
cot A’. tan y = J3
65.- Dado el sistema:
sen a + sen y = 1 ...(1)
4 eos .v. eos y = 3 ... (2),
ir 
a + 2v=2
71 
talque:O<y< — ; determine: (.v + y)
C)(*-l)^
determine la expresión general de arcos (.v + y) 
que verifican el sistema.
_ 3n 
“23
70.- Si: x,y e ^0;^ ’ resü'vcr e' sistema:
71 
x-y=g...(l)
37t 7t
= 25;y=20
B)*7t- 2 
E)*7t-2
A)kit -
DMn+f 
O
69.- Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
tan ,v + tan y = 1 
4 
tan(A + y)= -
indicar un conjunto solución para y.
n 771A)x=ü’y=24
C)ÁTt+^
c. 57t 7t
E^= 24’->’=24
B)A7t+6
C) 2kn±j
E) kit - t
7t 77
■7 + a re eos —— 5 4
B)y
A) (2A+1)2
E)*7T±f
71+ are sen -p
D)(2A + 1)2
, TID) kit + y
7t V77T - are eos ——2 4
A)^
E) (2*-l)|
C) kit-^
64.- Determine un conjunto de solución para 
“a” del sistema:
sen4A- - cos4y =1 ... (1)
sen"A- + cos2y =1 ... (2)
5it 3it
D)'v= 26;-v=26
B)(A+ 1)2
7t 3+ are sen
A) kit -2
75.- Resolver el sistema:
x-y
■ ■ (2),
.. (2)
si:xG
A) E)B) C) D)
A)x =
donde 0, x G
D) 4
B) x =30°, y = 60°
D)x = 16o, y = 74°
E) x = 24°, y = 66°
A) D) E)B) 77.-Resolverel sistema:
l--(l)tan x. tan y
sen x. eos y
■■(2) ,
B) D) E)A)
B)
C) D)
E) eos x . sen 2y = a ...(2)
pT?jl97~|Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas
7t
4
7t
4
71
6
71
5
7t
4
7t
8
7t
5
7t
6
7t
8
71
6
7t
3
7t
8
sen*:
+ are sen j 
+ are sen j
fi . A 
3 4
1
sen x. sen y = — ... (2)
C)x=2;y=-f
71.- En el siguiente sistema de ecuaciones, 
determine la primera solución positiva dex.
? B> ? C> J D> i
72.- Dado el sistema de ecuaciones:
D)x=
7t
determinar “y", si: 0 < y < x < —
C) —M 12
B)x= j ;y
78.- Si: x , y G res°lver e* siguiente 
sistema e indicar como respuesta: “2x + y”.
senx . eos 2y = «*+1 ...(1)
sen2x + sen2y = .
4
= 1
=z
C)x = 37°,y = 53°
sen2y - sen xE)£ + S 
5 + 4
73.- Si: x, y G ^0; , resolver el sistema:
sen 2x+ sen 2y = J2 ... (1) 
sen(x + y) = 1 ... (2)
Indica el valor de «y».
--•y4 'y
A) x = 45°, y = 45°
74.- Si x, y G ^0;^ , determinar “y” del si­
guiente sistema:
A)®. «
>2 4
E)x = -j;y
73 
5 
+ are sen | j 
+ are sen (y)
76.- Si: x, y G 10; , resolver el sistema:
1 -...(1)
12 cosy - sen x = — ■■■(-)
A) - are sen
1senx. seny = — ... (1)
1 eos x. eos y = ~ .
2 -...(1)
3 eos x. sen y = ~ .
x + y = 0...(l)
x + sen2y = 1 ... (2), 
^0; , indique el valor de “x”
C)- + -M 3 + 4
C)f
82.- En el siguiente sistema de ecuaciones:0
sen x. sec y = 1...(1) B) D) E)
A) C)
■•(1)D) E) sen x. sen y
■■(2)
2 sen x. sen y = —- ... (1)
2
2 eos x . eos y ■ • ■(2) E)155°
INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS, y
■ y
A)xe
C)xe
A)x = 37°, y=53°
D)xg
E)xg
198 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos SiRACSO
IDtTOkia¿hrL
B)125° C)105°
84.- Determine el conjunto solución de:
sen 6x < 5 sen 3x
2
3
3
5
4
3
71
6
5tt
6
7t
3
571
12
A-7t . 7t 
. 3 ’4
12
D)165°A) 145°
83.- Si: x , y, z son ángulos positivos que perte­
necen al intervalo ¡ 0; y j, determine: x+y+z,si:
V2
4 ’
/ A ti . 3ti 
\ 3 ’ 4
E)x = ^;y = O
jit . kn
1 3 ,
C)x = O;y = -^
A)x = y;y B)x = -^;y
sen x. sen y = 7
D) x = - j ; y = -j
sen x . sen z = i
A)x=^
C)x=5
sen y . sen z = .
B)y v
7t
— <x + y <Tt, ¿a que es igual “xly"?
_ 2
“ 4
“ 6
_ T. 
~ 4
= 5
= !
81.-Si:x,ye ^0;^, resolver el sistema:
2 senx+3 tany = 4 73 ...(1)
6 sen x - tan y = 2 75 ... (2)
B)xe
E)x=^,y
C)x= 45° , > = 30°
D)x= 30° , y = 60°
E)x= 30° , y = 74°
4 ...(2),
D)x= j ,y
B)x= | ,y
tanx 73+ 1 
tan>> = TJ-i
Icn. n , 21.-71 
.4’6 3 .
3<:7t. ti . 21:71 
. 5 ’5 5 .
A)f
B)x = 60° , y = 60°
x - y = ••• (2),
79.-Si:x,ye .calcular el valor de “y” 
en el siguiente sistema:
2ti 
9
71 7t _ 71 571
6 v4 2 V 12
80.-Si: x, ye (0; 7t/2), resolvere! sistema:
76
2
= 72
2
B)xe
C)xe
A)
A)xe
B)ie
C)xe
D)xs
E)xe
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas 199T19
7ti 
‘ 5
_3ti
77t
5
7t
5n.lln\ 
.12’ 12/
si:xe <0;27t)
/7t.37t\ /47t.57t'
\3’T/^\T’T
/a;2L\ /S.;5n' 
\4’2/u \3 3 ,
/27t.47t\ /47t.57l\
E)xe\T’T/u\T’T/
87.- Resolver la inecuación trigonométrica: 
sen26x + 2 sen23x > 2,
si:xe ^0;^.
A)XG[ó;t]4'
D) xe[f;f]^
E) xe[^;^]u[ff;
B)x6fe;ó]<J[§:4)
n.5n\
.2’12/
571.2% \
.9'3/
5rt. 7rt\
.12’12/
88. - Determinar el conjunto solución de:
|senx + >/3 cosx| < 1
((2k-l) ^;(6¿-l)
B) ((2k-l) ^;(3i-l)
C) ((*-l)-|;(3*-1)
D) ((2Á-1)-|;(6* + 1)-^
E) ((2¿-l)j;(6¿ + l)-j^
89. - Resolver la inecuación trigonométrica:
cos2x - 2 eos x < 0, si: x e [-2rt; 0]
A) xE [-2jt;-3^u^;0]
B) xe
3tt\ / 71. 37tl
90.- Resolver la inecuación trigonométrica:
eos 7x < eos 3x, si: x e
85. - Determine el conjunto solución de:
sen 3x + sen 7x < 2 sen 5x
A)xe(^^ + ^)
/kn . 7t , 5A7t\ 
\ 6 ’3 6 /
/3kn.37t 2kn\
\ 5 ’ 5 5 /
¡kTt.2n . 2kn\ .
D) X6\T’T+—/
E) xe +
86. - Resolver la inecuación trigonométrica:
4 sen2x + 2( %/3 - -J2 ) senx- Vó >0,
E)xe
Bjxe
C) x e
D)xG
D)fot±
E)xe
A)xe
A) X 6
Bjxe
C) xe
C)xe
5 E)xe
A)xg Bjxe
4 ’ 6
C)xe DjxeA)xe 3 ’12
Cjxe
Djxe Ajxe
[ 200 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos íji RACSO 
1DITOBBIw
f 714 n8
sen3.x
senx
tan(3x+?)
[j + frt; + kit]
sen 3x . sen3x - eos 3x . cos3x >
sec2x - 2tan x < 4
4
Bjxe (~-kit;
C) ±
cos3x
--------- <2
cosx
/kit. n kn\ 
\4 ’6 + 3/
’kit. it . kit\ 
,3’123/
r-, rc- / kit. 1t , klt\E)XG +
96.- Determine el conjunto solución de:
tan4x + 8 tan3x + 2 sec2x - 8 tan x - 1 < Q
a \ kit A) -4- ± B)f ±
ly + lat- 2k+/cit\ u l^+kit;^- + kit
\4 4 / \2 6 ¡
93.- Determine el conjunto solución de:
l%-kit;% + 2kit\u l% + ht;^- + ktt 
\8 4 / \2 6 1
+ kit; ~ + knj u - kit; ~ + kit
^ + kit;^ + kit^ ^kit^+kn
% + kit\ u (%-kit;^- + kit\ 
z / \z o /
' kit. 7t , kit' 
, 4 ’6+ 9 ,
'kit. 7t .fot'
,6’6 3,
' n kit. 5it 3ht1 
,12 2’12 5 ,
7t r-. fot tt
6
94.- Determine el conjunto solución de:
(^arc tan A + kit; are tan-| + kitj 
B)x6 (are tan-i-fot; are tan-| + for^
arccoti-fot; are cot-| + fot^ 
D) x e (are cot i + kit; are cot^ + kit^
are cot j + kit; are cot + kitj 
95.- Determine el conjunto solución de:
a)A6
91.- Determine el conjunto solución de:
2rt
eos 2x - eos— < 0
r^-/c7t; ^+fotlL4 6 J
D) xe ^j-A-rt; -^5 +tul
E) xg F^ + krt; ^? + fot"lL4 5 J
92.- Determine el conjunto solución de:
B)xe
C)xe
D)xe
E)xe
<0, si:xe (0;2?t)
A)ie
positiva, si x 6 (0; 7t)
B)xs -{7t}
C)xs )
D)xs C)xe
E)x£ } D)xe
A) xe B) xs
C) XE D) XE
_/W>g(x) ?
E)xE
- {"}- {7t} B)xEA)xe
C)xe }D)xe
/(*) =
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas 201T19
99.- Determine los posible valores de “x” para 
que la función:
f (x) = |sen x| y g(x) = 1 + eos x ;
en donde: x 6 (0; 2rt), entonces, ¿ para qué 
valores de “x” se verifica:
a.. 5tt ' 
.4’19,
2L-5rt’ 
.12’ 12.
K.37T 
.3’2 ,
. 3a
.2’ 2,
'n. 3a'
.2’2,
'-ZL-Ií’
.10’ 16,
7t
3
’rt. 5a'
.6’13,
'Stc. 9tc ' 
.17’25,
1 
senx|-||x|
se encuentre definida, si xe [-ti; a]
/a.5a\ , tnr
X . 3a' 
,2’ 2 ,
98.- Resolver la inecuación trigonométrica:
cot 2x +tanx< 2, si:xE \ÍJ
' ir 51a. 5a la\
.24' 12 ’ 24 2 /
97.- Resolver la inecuación trigonométrica:
cosx + cotx
esex
A) xe AJ ^0;^
B) xe u (o-,^
C) xe (-^;o) U (o;^)
D) xe o (o,^
E) xe ("■J’-t) u
100.- Determine los posibles valores de “x” 
para que la función:
f (x) = sen x - sen 2x + sen 3x sea siempre
E)xe
’_2L + ^- . Á7t'
.24 2 ’ 24 2,
e)xe
101.-Si:
' a la . a . la 
,20 ’ 2 ’ 4 2 ,
A) xg (y*71)
B) xe (o^)
_ZL 4. , kn\
J8 2 ’ 18 2 /
102;- Resolver la inecuación trigonométricas:
sen2x + 73 eos 2x< 0, si: re [0; 7t]
D) xe
II)xG {0;7t}I)xg
> 0 ; si: xG [0; 2rt]
IV) .ve {27t}
- sen (tt/2 - x) > 0, si: x e (2n; 4rt)
A)
II)xG
A)xe
105.- Resolver la inecuación trigonométrica:
sen 2x + eos 2x + sen x - eos x < 1,
2021 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
A) Sólo I 
■D) Ninguna
B) IyII C) III y IV
E) Todas menos II
'5n. 4k'
.6’3,
'27t. 4a
.5’5,
2ir.57r 
.5’6,
B) I y II C) III y IV
E) Todas menos II
B) I y II C) III y IV
E) Todas menos II
_9n..7r 
.5’9,
cos3x. eos
104.-SÍ: x G ( 0: 2rt), resolver la inecuación 
trigonométrica e indicar la afirmación correcta:
107. - Resolver la inecuación trigonométrica e 
indicar el intervalo solución:
108. - Resolver la inecuación trigonométrica:
sen4x > cos4x, si x e [-271; -7t]
III)xe[|;^]
A) II y III
D) Ninguna
I)xe(°;^
IID-vefe;^)L o z /
A) I. II y IV
D) Ninguna
D>'« (s;í)
eos 2x - 2 sen" - x j
I)xe[o;|] ]
IV) xe
4 sen"x + 2( - 1). senx- -Ji <0
7n. 5ir\ 
3 ’' 3 /
B)xe
B)xe ( 
D)xg(
'_7a. 1 l?t\ 
. 3 ’’ 8 /
/-Zl- 4n\C)a6 \ 4 ’ 9 /
si:xe
\4 4/
O,e
E)xe 9 ’12y
I03.-Resolver la inecuación trigonométrica e 
indicar la afirmación correcta:
109.- Si: x e resolver la inecuación 
trigonométrica e indicar el intervalo solución: 
3x - sen3x . sen3x < —, 
O
B)«e
106.- Resolver la inecuación trigonométrica e 
indicar la afirmación correcta:
sen2x + cos22x > 1, x g [0; ti]
B)
D) E) D)
IV) .re
C)xe
D)jtg
>0
B)xe
A) xe D)xeC)xe
E)xe \4 4 /
B) xe
C) ate
D) xe
>0
sen(2rtx) - cos(27tr) > 0,
E)
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas
114.- Si: x e [0; 2n), resolver la siguiente 
inecuación trigonométrica:
' ir . 5a' 
,12'12,
a. 3ir'
,4’4,
'a. 3a
.4’4,
’3a. 5m\ 
.4’4/
B) IyII C)IIIyIV
E) Todas menos III
113.- Si: x e (0; 2a). resolver la inecuación 
trigonométrica e indicar la afirmación correcta:
ai/1 -3\ 
A>\8'8/
115.- Si: x e (0; 270, resolver la inecuación 
trigonométrica e indica el intervalo que define 
el conjunto solución:
IDxe(0;í)
c> (i;l)
I).re 2a)
IIDxe
A) Sólol
D) Ninguna
112.- Si: x e ^0;-^) , resolver la inecuación 
trigonométrica e indica el intervalo que define 
el conjunto solución:
|sen^| <lcos-íl’sl:xG
C) \
\5 7 /
sen(3x) - cos(3x) + 2 
V2senx -1
sen3x-V5 
cos2x + 3cosx + 2
\ (i / Tí . 2—\ 
\ 3’ 3/ U \ 3 ’ /
A>->e (J.t)
icos 2x - y) (sen x + eos x - ) < 0
A)^;2a) -{7t)
(i-i) B’íri)
110.- Resolver la inecuación trigonométrica: 
sen3.r cos3x /' cos\ -16’si:J:e (o;2/
A) xe (0;f]u[^;í)
B) xe u r^;£)
E)xe (°>f)
111.-Resolver la inecuación trigonométrica:
A) ( 7t; 2n) B) <7t;27t)
D)
C>H)
E)
C)a6
B)x£ < 0; 7C> - {j}
tan'x - ( -Jí + 1) . tan x + -J3 <0
122.- Al resolver la inecuación trigonométrica:
A)
- tan 2x > 0 , si: x 6 ( 0; n)
D)
Son verdaderas:
C) IHylVA) Sólol B) ly II
Son verdaderas: E) TodasD) Ninguna
^^RAXSO204 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlosT19
118.- Si: a 6 ( 0; 7t), resolver la inecuación 
trigonométrica e indica el intervalo que define 
el conjunto solución:
tan3x
------- +1 <0tanx
A) Sólo I
D) Ninguna
116.- Indique el intervalo solución de la si­
guiente inecuación trigonométrica:
sen3x
l-cos2x
B)(o;^
se afirma que:
TT.
n^e\T’T/
B)(o;^)
(H E)H)
119.- Si: re ( 0; 2jt), al resolver la inecuación 
trigonométrica, se afirma que:
(tan x - 1 )2(tan2x - 3) < 0,
III) xe (y:2") IV)xe{2;^}
III)xe(^;2^
D>(ü) E)(°'f)
121.- Resolver la inecuación trigonométrica:
|tanx|> l,si:xe (0;7t)
A)x£ - {2} B)xe <0;7t)-{77}
I)xe(0;^)
A) (o;|)
II)xe(^;«)
tan y > 1 - cot x, si: x e (0; tt)
<0, si:xe [0; 2tt]
117.- Resolver la inecuación trigonométrica e 
indicar el intervalo solución:
E>” (rí)' {?}
B) HylV OBIylV
E) Todas menos IV
C)x6 (o;3^ -
A>*e (0;t) - fé}
120.- Si: x 6 ¿0;-^), resolver la inecuación 
trigonométrica e indica el intervalo que define 
el conjunto solución:
E)x6 (ó;4) '{A
123.- Al resolver la inecuación trigonométrica:
D)xeC)xe
se afirma que:
Son verdaderas:
C) I y III
I)xe(0;7t)
si:xe (0; 2n), se afirma que:
<0
C) I y II
>c2x> , si: xe <0; 7i>
C) D)
sec x + eos x < 0, si: x e [0; 2rt]
126.- Resolver la inecuación trigonométrica:
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas 205T19
125.- Resolver la inecuación trigonométrica, 
e indicar el conjunto solución:
sec2x - csi
B) Solo II
E) Todas
B) Todas
E)IyIII
A) I y II .
D) Ninguna
Son verdaderas:
A) I y II
D) Ninguna
4 
vers4x
lll)xe(f;*)
127.- Resolver la inecuación trigonométrica:
1 + tan2x< 4 cos2x, si: x e (0; 2rt) 
e indicar la afirmación correcta:
A) Sólol
D) Ninguna
128.- Si: x e ( 0; 2rt), al resolver la inecuación 
trigonométrica, se afirma que:
Son verdaderas:
A) Sólo I 
D) Ninguna 
129.- Si: x 6 [0; 27t], resolver la inecuación 
trigonométrica e indicar el intervalo solución:
IV)xe(o;|)
B)IyII C)IIIyIV
E) Todas menos I
TV)xe{^}
lOrt ,lln j
9 ' 9 J
c rilrt.l3n’E)xe [-g-z-p-
5titanx + cot x < tan , si: x 6 (0; 2rt)
tan2x——
3 
Vó -senx+2cosx
A)xe ^;2n
I)xe<0;7t> II)xe^;2n
IH)xe
sen x . tan x + eos x < 2 , si: x 6 ; 2rt^
«[?■-?] -®
“■"(i-4)
B)ByIV C) I,IIyIII 
E) Todas menos II
II)xe(f;f)
124.- Al resolver la inecuación trigonométrica: 
sec2x-(Vó +2).secx + 2>/2 <0,
íff
Z
i‘ <Sz,
O
1
'.j
iRasol
:
i‘>y
‘
<
* 
»
T, 
sen a
"í
!•/ ■V-.ilt '.
La agrimensura o medición de tierras es una actividad que 
& tiene milenios de aplicación. Ella se ha visto favorecida por la
'.cálculo ha permitido desarrollar la tecnología 
’randes telescopios^ \
i
>• ■
r2 t3 
sen p sen 6
que se obtiene al resolver un triángulo. 
—•r~w—~—
JTecrfetlogía^j
' La Astronomía no hubiera podido plasmar sus investigaciones'.!! 
sin la importante ayuda de la Trigonometría y, en particular, la \
' resolución de triángulos. Tal apoyo de r---------------------------'
l 'I
Trigonometría que le ha permitido efectuar 
cálculos matemáticos para la medición de áreas 
aplicando sencillas relacionestrigonométricas a partir de 
datos de campo y teodol¡tos. '> -i4
■■
| >--------------- 7
/ El Teorema de Lamy permite estudiar el caso del equilibrio de ft* TTv.
¡ una partícula sometida a la acción de tres fuerzas concurrentes.
Tal equilibrio se logra cuando las fuerzas
satisfacen la siguiente relación: ~ " k
A, B, C: medida de los ángulos internos del triángulo ABC. c b
a, b, c: longitudes de los lados del triángulo ABC.
CB2p: perímetro del triángulo ABC. 2p = a + b + c a
p: semiperímetro
A
CB
R: circunradio del triángulo ABC
20.1. LEY DE SENOS (TEOREMA DE SENOS)
ÍSá RACSO 
Wp IDtTOBIiProblemas de Trigonometría y cómo resolverlos1 206
OS—
- » "•'» | I | | i i " 7 - v : •••
K^S'ó1ucMirbetTriá.rigu c: TW H .. O; .! •
lí
En todo triángulo ABC se verifica que «sus lados son directamente proporcionales a los 
senos de sus respectivos ángulos opuestos y la constante de proporcionalidad es igual al 
diámetro de la circunferencia que circunscribe a dicho triángulo».
r: inradio del triángulo ABC ra: exradio relativo al lado a 
rb: exradio relativo al lado b 
rc: exradio relativo al lado c
En este capítulo desarrollaremos la capacidad de resolver triángulos, pero no desde el 
punto de vista geométrico, si no más bien utilizando las propiedades trigonométricas que éstas 
poseen. La razón de este tratamiento se debe a que existen muchas situaciones problémicas 
que se solucionan con menos complejidad aplicando las definiciones trigonométricas, lo cual 
nos invita a descubrir y establecer nuevos teoremas para nuevos campos de aplicación. Es 
bastante conocida la aplicación del teorema de senos o ley de senos, así como también el 
teorema de cosenos o ley de cosenos para triángulos, es a partir de estos teoremas y con la 
ayuda de los temas anteriormente vistos como: identidades trigonométricas, transformaciones 
trigonométricas,... etc, se deducen nuevas relaciones de gran importancia, los que nos permitirán 
resolver no solamente triángulos si no, en general, todo tipo de polígonos planos.
Sea el triángulo ABC, donde: A
a + b + c 
p ~ 2
o bien
De donde: c = 2R sen Cb = 2R sen Ba = 2R sen A
20.2. LEY DE COSENOS (TEOREMA DE COSENOS)
B a
De donde:
■
20.4. LEY DE TANGENTES (TEOREMAS DE TANGENTES)
Atan
cB
Resolución de Triángulos Oblicuángulos 1 207
b-c 
b + c
a-c 
a + c
H b eos C C 
a-------------- F
a-b 
a + b
A-C)
2 J
tanf A-tB;
; eos B = a 
C:...-; í 2ac . :
En todo triángulo se cumple que: “La diferencia de dos de los lados es a su suma, como 
la tangente de la semidiferencia de sus respectivos ángulos opuestos es a la tangente de la 
semisuma de los mismos"
En todo triángulo se cumple que: “Uno de los lados es igual 
a la suma de las proyecciones de los otros dos respecto al primer 
lado"
sen A - sen B ~ sen C ~ 2R
eos C = «*. +,
cosA ^^ o2 J
20.3. LEY DE PROYECCIONES (TEOREMA DE LAS PROYECCIONES)
' a = b eos C + c eos B | 
b = a eos C + c eos B
c = a eos B + b eos A •
En todo triángulo se cumple: “El cuadrado de uno de los lados es 
igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble del 
producto de éstos multiplicado por el coseno del ángulo opuesto al 
primeriado".
a1 = b2 + c2 - 2bc . eos A b2 = a2 + c2 - 2ac . eos B 
c2 = a2 + b2 - 2ab . eos C
B c eos B-f------
h- a _b •' ' c ?sen A sen B sen C
20.5. R.T. DE LOS SEMIÁNGULOS
2
p(p-i>)
20.6. SEMIPERÍMETRO (p), INRADIO (r) Y EXRADIO (7?)
r = 4 R sen
De estas relaciones se deducen los inradios:
20.7. MEDIANA DE UN TRIÁNGULO ABC
4 ma = b2 + c2 + 2 be eos A
4 m2 = a2 + b2 + 2 ab eos C
CM
«b =
CB M
208 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO lotToan
c
2
A = Ip(p-a) 
be
A 
2
B- 
2
C \píp-c)
íp-a'flp-c'i 
ac
(p-b)(p-c) 
be
sen£= /(p-°Xp-<>)Sen 2 V ab
B
20.8. BISECTRIZ INTERIOR DE UN TRIÁNGULO
sen^ =
tan A |(P-^)(P_£)
2 V p(p-«)
2 ac ------. eos a + c
2ab 
°c=-^b-COS
l> = . COS* b + c
tanB = Kp-a)(p-c)
2 V PÍP-b)
C /(p - a) (p -b) tan — =./------ ;—2 V p(p-c)
r = (p - a) tan A
cos|= /PÍPiÉ)
2 V ac
C 
(p - c) tan y
C 
sen y
C eos y
B 
sen-2
A eos y
p = 4 R cos^ <
r, = 4 R sen y
. „ C rc = 4 R sen y
(p - í>) tan
r„ = P tan
A 
2
. „ Brb = 4 R sen
C COSJ
C eos y
B 
2
C rc = p tan y
eos —
rb = p tan ®
sen A
4 mb = a2 + c2 + 2 ac eos B
e°sy
B cos-2
B cosy
A eos cos
20.9. BISECTRIZ EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO
«a =
«é =
20.10. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
B Ca
S = 2R2 sen A sen B sen C S =p.r
S = - a)(p - b)(p - c)
S = ra (p - a) S=rb(p-b) S=rc(p-e)
s = S=rarbrcP
Si: =<i>sen a
B. C
AA O
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
B 
2
a
s
2ab 
|«-b|‘
S = y/h^hf^h^R sen 45°
Siendo: «S» Área de la región triangular
20.11. ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
2 be 
ib-C|
A + C , B 4- D , —2“ =<i> v -g- =0
• ... • ... . —.• . ,
=> S = Jlp - a)(p - b)(p - c)(p - d) - abed cos2<¡>
_ abe
S= ~4R
c ab ~S = sen C
.. be .S = -j- sen A
A sen y
tan ycoty tan y
S = p(p - a) tan
sen f
sen
S = sen B
S = r2cot cot
S = p(p - b) tan y S = p(p - c) tan y
S =p2 tan
 (AC)(BD)
5 " 2
20.12. PARA CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLES
Si se cumple que:
ó $ = 90°
Luego:
S = V(p - a)(p - - c)(p - d)
(Teorema de Ptolomeo)(AC) (BD) = ac + bd
20.13. PARA CUADRILÁTEROS CIRCUNSCRIPTIBLES
CSe cumple el Teorema de Pitot:
a + c = b + d
p = a + c
Luego: S = -Jabcd sen <|> DA d
20.14. PARA CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLES Y CIRCUNSCRIPTIBLES
S = 'abcd
Siendo: «S» Área de la región cuadrangular.
d
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■Síi RACSO 
IDITOtlii sn
Para éstos cuadriláteros ó = 90° . y se llaman 
Bicéntricos. Luego:
\
\
\
I
I/ y 
7d
A
A + C = 180° B + D = 180°
b~^%
En este tipo de cuadriláteros se cumple que:
«El producto de sus diagonales es igual a la suma de los productos de sus lados opuestos», así:
ó p = b + d
re
1/ '
At—
a) Las medidas de los tres lados.
b) El valor del coseno del mayor ángulo.
c) El área de la región triangular.
d) La medida del inradio
e) La medida del circunradio.
Por ley de senos:Elaboramos una gráfica:
Xn)2a(n-1),
2a BA
...(*)= n - 1 cosa =
Pero por ley de cosenos:sen 3a
sen 3a = 2 sen a
sena (2cos2a + 1) = 2sena
=> 2cos2a = 12cos2a + 1=2
a = 30°cos2a = 1/2 Reemplazando (*) en (••), tendremos:
Luego:
a) A = 60° ; B = 30° y C = 90°
b) El triángulo es rectángulo.
= (n + 4)
PROB. 2 (n + 1)2 = (n + 4) (n - 1)
n = 5n2 + 2n + 1 = n2 + 3n - 4
Resolución de Triángulos Oblicuángulos 211iwi
RESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
Apliquemos la ley de senos:
a_______ 2o
sena
PROB. 1
Se tiene un triángulo ABC, en el que su lado 
mayor es el doble del menor, y su menor 
ángulo es la tercera parte del mayor.
a) Calcular la medida de los tres ángulos del 
triángulo ABC.
b) ¿Qué clase de triángulo es?
(n + 0 
2sgrrtxcosa
•(n + 1)2
(n-1)
n + 1 
2(n-l)
n + 1
2 eos a
=>n(n+ 4) =>
n-1 
serrá
(n - l)2 = (n+1)2 +(n)2 - 2 (n + 1) (n) cosa
=> 2n(n + l)cos a = (n+1)2 - (n-l)2 + n2
2n(n + l)cos a = 4n + n2
Los lados de un triángulo son números 
enteros y consecutivos. Si su mayor ángulo es 
el doble del menor, determine:
a, 
(n + 1)
(n + 1) _ n-1 
sen 2a sena
^(n + ,)Jí^%=4n + n2
^n(n + l)2 
=* (n-1)
Luego el triángulo es así:
3a,2a a
cA 6
a) a = 5 ; í> = 6 ; c = 4
b) (6)2 = (4)2 + (5)2 - 2 (4)(5) eos B
16 + 25-3640 eos B
,2a40 eos B = 5
eos B = 1/8
c) Cálculo del área (S)
S = ,/p(p-a)(p-b)(p-c) ;p
2 sen 2a eos a = sen 5a
=» PP =
Transformando a sumas el primer miembro:
sen 3a + sen a = sen 5a
sen a = sen 5a - sen 3a
S = Transformando a producto el 2do. miembro
sena = 2cos 4a sena => 1 = 2cos 4a
d) Se sabe que: S =pr
a = 15°
PROB. 4
15R = 5 x 6 x 4
15R = 15x8 R = 8
PROB. 3
CB M
| 212^ Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSOfP IDITOKC1
RESOLUCIÓN
T20
A partir de la figura que se muestra, calcule la 
medida del ángiho a.
15 5 + 6 + 4
4 4R
= 15.
2
 a+b+c
2
sen 2a 
sena
sen 5a
sen 2a
5 + 6 + 4
2
a,
m
J1 
r = ~2U
Aplicando la ley de senos (la proporcio­
nalidad en dos triángulos que tienen los 
mismos lados).
\2a
3a\ 
m
e) Se sabe que: S =
S= ~r-</7 u24eos 4a = 1/2 => 4a = 60°
Al resolver el siguiente triángulo donde AM 
es mediana; el ángulo x es:
115 5 3 7
2 2 2 2
2sen acosa sen 5a
sena sen 2a
... (II)
cotx = 43Finalmente:
De donde: x = 30°
DE RESOLUCIÓN 
la relación de lados y ángulos, se aplica la
respectivos ángulos
p = 4R eos sen
eos
S = 2R2 sen A sen B sen Ceos
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
RESOLUCIÓN
ESTRATCGIAS
En el AABM aplicamos el Teorema de los 
Senos:
A 
2
C 
2
C
2
C
2
m n 
sen 15° - senx
C
2
2) En 
ley de
3) Si­
són
m = 
n
4?
2
sen30° _
sen(45° + x)
eos x +senx 
senx
sen 15° 
senx
sen(45 4- x) 
sen x
 sen30° 
sen 15°
desea calcular sus
CCOSy
c = 2R senC
m 
sen30°
ao C rb = 4K sen~2 eos
m sen 15° 
n senx
Igualando (1) y (II), tendremos:
B 7 eos B sen7r = 4RsenJ7
Desarrollando el sen de (45° + x) y 
efectuando como sigue, deducimos :
)
cot x +1 = 43 + 1
A cosy
1) Cuando en un triángulo se conocen sus tres lados y se 
ángulos, se aplica ley de cosenos.
un triángulo cuando se conoce 
senos.
se tienen dos triángulos de lados iguales, los senos de sus 
proporcionales.
4) En cualquier triángulo, tanto sus lados, perímetro, inradio; área, se expresan 
en función del circunradio y los ángulos. Así:
a - 2R senA ; b = 2R senB
ra = 4Rsen 7~ B 7cos
A ' 
~2C0S
rb = 4R sen®
_____ n
sen(135°-x)
sen 30° o-.
sen(45° + x)
AAMC: aplicamos el Teorema de los Senos:
con Resolución
LEY DE SENOS
01.- En un AABC se cumple:
BC = a , AC = b , AB = c ;
calcula:
A) ab B) ac
C)2 D)3 E)4A)0 B)1
B
M
D) 1/3 E) 1/4A) 1/2 B)1 C)2
A C
E)53°A) 30° C)60° D)45°
D) E)
M =
A) 12° B) 14° C) 15° D)20° E)30° A)¿ E)«-¿B)c C) D) a
8
214 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■Sií P.ACSO 
tDITOMll
senA 
senB
03.- Dos de los ángulos interiores de un trián­
gulo miden 20 y 60 los lados opuestos miden 
4 y 8 respectivamente, determine el valor de 0.
04.- De la figura mostrada, determine el valor 
de: tan
09.- En un A ABC, se cumple que: BC = 20, 
AC = 30 y m Z A = 37°. Determine “ eos 2B”.
1 
2
07.- En un AABC, se cumple: BC = a, AC = b, 
AB = c, mZB - m ZC = 90° y b + c = a , 
determinar: m ZK.
i
[ÍJ
B)37°
¿>cosB + c.cosC 
cos(B - C)
a
M= - b
02.- En la figura mostrada determine el valor 
de a:
08.- En un AABC, de lados: BC = a, AC = b y 
AB = c, reducir:
E) ~^- 
' 100
C)—M 50
B)^
jFl
' 100
D) — ’ 100
C)^A)f
B ’ 50
Enunciados de Problemas
05.- En un AABC se cumple:
BC = a , AC = b y AB = c, 
reducir: M = abc.se-n C.(cot A + col B)
C)c3 D)¿>3 E)«3
1 . are sen y
1C) are eos y1A) are eos y
1. are eos -r4
B) are eos y
06.- En un AABC se cumple: BC = a, AC = b, 
AB = c, reducir:
¿senB - csenC
2o.sen(B -C)
B) 18° C) 13“ D)2(F E)10“
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/5 E) 1/6
M = (a - b) sen C + (b - c) sen A + (c - a) sen B
A)-l B)1 C)0 D)2 E)-2
? LEY DE COSENOS
A) isósceles B) rectángulo
C) obtusángulo D) acutángulo
A)>/35 B)T7 C)VÍ9 D)V17 E)VÜE) equilátero
A)sen 0 B)sen 20 C)sen 40
D)sen 30 E) sen 50
E)90P
C)80“ D) 120“ E)60“
A)1 B) 1/2 C)2 D) 1/3 E)3
E)V2D)V3A)1 B)2 C)3
21.- En un AABC se cumple:A) 1/2 B)5 C)2 D)4 E) 1/4
y además:
B
determine:
A) 1/3 B) 1/2 C) 1/4 D) 1/5 E) 1/6
A D C
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
b 
cosB
c 
cosC
17.- En un A ABC se cumple: AC = 2 Jí , AB 
3 -Jí y mZ A = 60°, determine el lado BC.
14.- En un AABC, se cumple: BC = a, AC = b, 
AB = c y además R. tan A. tan B . tan C =2, 
donde R es el circunradio, determine:
M = a.sec A+ b.sec B + c.sec C
15.- De la figura mostrada determine el valor 
de“0”, si AB=CD
10.- Dado un triángulo ABC, si el ángulo “B” 
es el triple del ángulo “C” y AB = 5, AC = 7, 
determine: “ eos 2C”
18.- En un A ABC se cumple AB = eos 30, 
AC = eos 0 y m ZA = 40, determine BC.
16.- En un AABC se cumple: BC = a, AC = b y 
AB = c, reducir:
c-a 
+ Tb + c
BC = a , AC = b, AB = c 
3( a2 - ¿2 - c2 ) = 2bc,
A) 45“ B)37“ C)60° D)53“
A) 15“
A) 30“ B)45“
19.- En un AABC de lados a, b, y c se cumple: 
3a = 7c y 3b = 8c, determine la medida del án­
gulo A.
11.- ¿En qué tipo de triángulo ABC, de lados 
BC = a, AC = Z>, AB = c, se cumple que:
a
cosA
20.- En un AABC se cumple: BC = a, AC = b,
AB = c y además: a2 - ¿2 - c2 = — be, determine
A
el valor de tan — .
2 A eos -
12.- En un AABC, se cumple: BC = a, AC = b, 
AB = c y además:
eos A cosB cosC c 
abe a.b ’
determine la medida del ángulo C.
13.- En un AABC se cumple BC = a, AC = b, 
AB = c, reducir:
senA + senB
M=----------------senB + senC
A) 45° B)60° C)90° D) 120° E)135°
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/6 E)l/8
E)21A) 9 B) 12 C)18 D)15
E) Z>2-c2
A) -Jl C) -JiB)-75
D)2V2 E)2V3
C)150° D)90° E)12(T
LEY DE TANGENTES
120°
2x- 1 2x+l
2x + 3 A) 3/5 B)9/25 C)4/5 D) 16/25 E)9/16
A) 2 B)1 C)3 D)4 E)0,5
AB
tan
A) 3 B)5 C)7 E)2D)1
M =A)5/ll B) 11/5 C)ll/3 D)3/ll E)ll
A)-1/3 B) 1/4 Q 1/2 D) 1/5 E) 1/7
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO 
*0170*11
T20EQ
A) be
D)¿2 + c2
24.- Determine el mayor ángulo de un triángu­
lo cuyos lados son proporcionales a 7,8 y 13.
33.- En un A ABC se cumple BC = a, AC =.i, 
AB = c, además: b = Se. Reducir:
29.- Los lados en un triángulo son 3 números 
consecutivos y el ángulo mayor es el doble 
del menor, determinar el perímetro de dicho 
triángulo.
30.- En un AABC se cumple: BC = a, AC = b,
75,
28.- En un AABC, se cumple: BC = a, AC = b, 
AB = c y además: a4 + ¿4 + c4 = 2a~(b~ + c2), 
determinar la medida del ángulo A.
A) 60° B) 105°
A-B
2
22.- En un AABC, se cumple: BC = a, AC = b, 
lab
AC = c, además: (a + b + c)(a+ b - c) = ——, 
determine el valor de: “eos C”
26.- En un AABC se cumple: BC = a , AC = b, 
AB = c y se cumple que: a + b = -J2 c, deter­
minar el valor de “1 +cos C”
31.- En un AABC se cumple: BC = a, AC = i, 
A B 1
AB = c además: tan — =1 y tan — = — , deter-
a-b
mine el valor de: M =-----r .a + b
25.- De la figura mostrada, determine el valor 
de “x”.
/B'l 
AB = c y d. eos I 2 I 
determine el perímetro de dicho triángulo
23.- En un AABC, se cumple: AC = b, BC = a, 
AB = c, determinar: M = a(b eos C - c eos B), 
en términos de los lados “b” y “c”
B)2b2 C)c2-b2
32.- En un AABC se cumple: BC = a, AC = b, 
f A + B)
c, a = 4b además: tan 2 I +
C 
= 8, determine el valor de: cot y.
í'B-C'l <B + C>| tan ------- - tan -------l 2 J l 2 J
A cot — 
. 2
27.- En un A ABC se conocen: BC = 8, AC = 7 
y ni Z B = 60°, determine el valor de: -Js cot C.
C) — ac
vi* ac
A) F
c2 D)-^- 
' lab
A) 2 B)3 C)5 D)7 E)4
C) V2 D) -J3 E) V5A)1 B)2
A) V5 (a2 - Z>2 + c2) D) V3 (a2 + ¿>2-c2)
tan(A- B).
B) -J2 (a2 + b2 + c2) E) -J3(.a2 + b2 + c2)
A)V2 B)2>/2 C)3V3
C) -J3(a2 + b2 + c2')
D)3y/2 E)4-V3
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
LEY DE PROYECCIONES
M = . sec C
C)2V3 .k2
A)1 B)2 C)0,5 D)3 E) 1/3
M = .sec C
A)sec B B)sec C C)esc A
A) 60° B)30°. C)90° E)12(FD)esc B E)sen A
2
M =
A)-l B)1 C)0,5 D)-0,5 E)0
Resolución de Triángulos Oblicuángulos 120 gQ
A) k2
D) -J3 .k2
36.- En un A ABC, se cumple: BC = a, AC = b, 
AB = c, reducir:
34.- En un AABC se cumple: BC = a, AC = b, 
AB = c y además: b . cot B = (2c - b) cot A, 
determine:
a -c.cosB 
c-n.cosB
D)45°
n - c.cosB 
b
37.- En un AABC, de lados BC = a, AC = by 
AB = c, reducir:
40.- En un A ABC acutángulo se cumple:
BC = a , AC = b , AB = c ; 
simplificar:
M = be. Vi + eos 2A +
Vi + eos 2C.35.- En un AABC, se cumple: BC = a, AC = b, 
AB = c, m ZC = 60° y a = 3b, determinar:
38.- En un AABC, se cumple: BC = a, AC = b y 
AB =c, reducir:
c.cos(A + C) + fc.cos(A + B)
a
42.- En un AABC se cumple: el área (S) de 
dicha región triangular es 90 V3 cm2 y los se­
nos de los ángulos A, B, C son proporciona­
les a los números 5; 7; 8, determine la medida 
del ángulo B.
41.- En un AABC se cumple: los ángulos inte­
riores de dicho triángulo son proporcionales a 
los números 1,2,3 y la diferencia de longitudes 
entre el lado mayor y el lado menor es “2A”, 
determine el área de la región triangular ABC.
B) -J1 .k2
E)2V2 J?
ac.Vl + cos 2B + ab.
¥9
39.- En un AABC, se cumple BC = a, AC = b, 
AB = c y además: a~ + b~ +c2= 10, calcular:
M = be. eos A + ac . eos B + ab eos C
e>uA.!
43.- En un A ABC se cumple: los lados son 
tres números impares consecutivos y uno de 
sus ángulos mide 120°, determine el área de la 
región triangular en /T.
A)^«2 B)^„2
D)-^«2
M = (fzf) -tan(
44.- En un AABC se cumple:
4S = (p - a)(p -b) + p.(p- c) A) 7 V3 cm2
D) 12-73 cm2 E) 16 -72 cm2
49.- En un AABC; calcule:
A) 60° ó 120° C) 20° ó 160°
D)90° E)30“ó 170°
4S.tan ab,
A) abe B)a C)b Hs)a+b+cD)c
50.- En un AABC, calcule:
B)3 + -73 W = , en términos del áreaC)2- V2A) 2
D)2- -73 E)2+ -75
A)0,5S B)2S C) 3 S D)4S E)S
51.- En un AABC, calcule:
W = 2S(cot B + cot C) ,
A) S3 B)2S3 C)4S3 D)8S3 E)0,5S3
A) 2a2
47.- En un AABC, calcule:
52.- En un AABC se cumple:
W = en términos del S = a eos A + b eos B + c. eos C ,
A)2R.r C)0.5RrB)Rr
A) 0,5 B)1 C)l,5 D)2 E)25
D)3Rr E)0,2R.r
53.- En un AABC se cumple:
p 218 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■fliRACSO 
yP IDITOail
b2 
tanB
donde S es el área de la región triangular ABC 
y p es el semiperímetro, determine la medida 
del ángulo C.
46.- En un AABC, calcule:
W = a~b2c2.sen A sen B sen C
donde S es el área de la región triangular ABC, 
determine el circunradio (R) respecto a dicho 
triángulo.
en términos de los lados a, b y c de dicho trián­
gulo si además el circunradio (R) mide 1 cm.
determine el área de la región triangular.
B) 14-75 c/n2 C) 16 75 c/n2
en términos del área (S) de la región triangular 
ABC. en términos del lado donde S es el área de 
la región triangular ABC.
B)3a2 C)4a2 D)a2 E)6n2
c2 
tanC ’
a eos A + b eos B + c. eos C =
(¿2 -c2).senBsenC 
2sen(B -C)
(S) de la región triangular ABC.
B) 45° ó 135°
2
R ’ 
donde R es el circunradio, determine el área de 
la región triangular en p".
W = —— + 
tan A
ab be ac
circunradio (R) y el inradio (r), donde a, b, y c 
son los lados de dicho triángulo.
y la media 
c es 2 V 91 ,
48.- En un AABC, se cumple la longitud del
/m circunradio (R) es 13-y cl" 
geométrica de sus lados a, b y
45.- En un AABC se cumple:
C 
2
donde S es el área de la región triangular ABC, 
C
determinar el valor de: tan .
A) -Jl n2A) 0,5 B)0,25 C)3 D)2
54.- En un AABC, calcule: D)0^V7„i2 E)4-/7 ni2
A) 2 B)4 C)5 D)3 E)1A) 2 B)1 C)l,5 D)2,5 E)3
60.- En un AABC se cumple:
E)90f
C) 0,5 VS
W =
r-, 213 c-r 2V71 cmD) VtT cm2
62.- En un A ABC, calcule:
A)
A) S. p C)2S.p
D) S. p E)S. p'
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
55.- En un AABC se cumple: S = p . (p - a), 
donde es el área de la región triangular ABC y 
p es el semiperímetro de dicho triángulo, de­
termine la medida del ángulo A.
_S
R
B) -?S 
E)4-7s
donde a,b, y c son las longitudes de los lados 
de dicho triángulo, determine el área de la re­
gión triangular.
B)32m2
E) 68 n2
A) 60° B)45° C)75° D)30°
59.- En un AABC se cumple:
a2.cot A + b2. cot B + c2. cot C = 4,
el circunradio R = 10 m, determine el área de la 
región triangular en ABC.
A) 16 m2
D)64m2
56. - En un AABC se cumple: a sen B + A sen A = c, 
donde a, by c son las longitudes de los lados 
de dicho triángulo, determine la longitud del 
lado “c” en función del área (S) de la región 
triangular ABC.
A)2-?S
D)3-7s
57. - En un AABC, calcule:
n.sec A + fc.secB 
csc2A.csc2B ’
en términos del área (S) de la región triangular 
ABC y el circunradio (R).
■ 61.- En un A ABC se cumple: las cotangentes 
de sus ángulos interiores son proporcionales 
a 3,5,7 y dicho triángulo está inscrito en una 
circunferencia cuya región circular tiene un 
área de 90 7t cm', determinar el área de la re­
gión triangular ABC.
C) 128 m2
E)I/r2
C)^M R D>f
3 
cot A + cot B = 1 ; eos C = — ;
C)2UM 16
ABC 
W = tan — . tan — . tan — ,
en términos del semiperímetro p y el área S de 
la región triangular ABC.
B)S.p2
C)3-/7m2B)2>/7 m2
58.- En un AABC los ángulos de dicho trián- 
7t 2tt 4ti
guio miden — , — y —; asimismo el 
circunradio mide 4 m, determine el área de la 
región triangular.
B)17
E)5f
.,13
A)Í6
A B B C A C tan — .tan — + tan—.tan — + tan—.tan— 
w 2 2 2 2 2 2
ABC tan—.tan—.tan — 
2 2 2
si el perímetro es igual a cuatro veces el radio 
de la circunferencia inscrita a dicho triángulo.
63.- En un AABC, calcule:
+ tan
en términos del inradio (r)
A)0,5r B)r C)l> D)2r E)2,5r
donde S es el área de la región triangular.
D)2,5 E)3A)1 B)l,5 C)2
A) 2k C)k D)4A- EJO.5Á-
65.- En un AABC se cumple:
A) D)
B) E)
C)
A) 2 B) 1/3 C)3 D) 1/2 E)4
71.- En un AABC se cumple:
(rb-'aXrc-ra) = 2-rb'rc’
A) 0,5¿ B)¿ C)2k D) 3k E)2,5¿
67.- En un AABC, calcule:
A) acutángulo B) rectángulo
W = , en D) isóscelesC) equilátero
E) escaleno
220 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■®ÉRACSO
JF lOtTOlll
b + c = 2a, donde a, b, c son las medidas de los 
lados de dicho triángulo, determine el área de 
la región triangular ABC en términos del lado 
“a” y la medida de su ángulo opuesto A, res­
pecto a dicho lado.
A 
2
A
2
2
W =
be ac
términos del inradio (r).
senA 
cosB.cosC
cosB.cosC
cosA
senB
cosA cosB
cos(B-C) 
sen A
cosB.cosC 
senA
CSC2(Í] 
ab
69.-En un AABC, se cumple:
el lado BC es igual a 2 \Í2 cm, las mediatrices
de los lados AB y AC son PS y SM , deter­
mine el área de la región triangular PSM en 
términos de los ángulos A, B, y C.
donde r.d, rb y rc son las longitudes de los ra­
dios de las circunferencias exinscritas, deter­
mine que tipo de triángulo es:
A>¿
3a2D) —7—. cot o
64.- En un AABC se cumple:
ABC r
cot —+cot —+ cot —= ky el inradior= -J3 p,
determine el área de la región triangular ABC 
en p2.
B)~
b>7A) 7
c, 3a2 , E) ——. tan
66.- En un AABC se cumple:
4k 2
ra ‘ rb + rb rc + ra-rc = — ,A'>0,dondera, 
rb, rc son las longitudes de los radios de las 
circunferencias exinscritas y reí inradio, de­
termine el área de la región triangular ABC.
D>r
+ tan2^).S2
i4 B+(nh)2.sen4-| ’
r.r. +rh.rr 
70.-En un AABC, calcule: W=-——------,2bc
donde ra, rb , rc son las longitudes de los ra­
dios de ¡as circunferencias exinscritas y r el 
inradio respecto a dicho triángulo.
COtf
B)3¿p2
68.- En un AABC, calcule:
(tan2^ + tan2B 
(¿>c)2.sen4 4-+(ac)2 .sen'
W= A------Bcot^.cot-B
1
E)7
a +b + c 
A
2
77.- En un AABC se cumple:
A) 0,5 B)2 E)0,25C)1 D)3
C)A) be B)
E)D)
A)eos B C)eos A
D) sen A
E) V2C)l,5 D)2A) 0,5 B)1
W =
13,
A) 3/4 B)4/3 C) 1/2 D)2/3 E)3/2
D)7 E)9B)3 C)5A)1
80.- En un AABC se cumple:
A)14cm C)15 cmB) 14,09 cm
V)15S9cm E) 16,09 cm
2 sen
C)2¿c
• „ 1 1 1E)~+ t + - ' a beD)
Resolución de Triángulos Oblicuángulos 221T20
75.-En un AABC se cumple: el lado mayor y 
menor miden 26 cm y 10 cm, además sus ángu­
los están en progresión aritmética, determine 
una de las medianas de dicho triángulo.
A)í> + c 
D)2Vh?
B)i-c
E)-7¿c
(fc-c)2 
2bc
a + b + c 
abe
73.- En un AABC , calcule:
r-r„ + 2R 
2R
determine la longitud de la mediana relativo al 
lado “a" (mj en términos de los lados y “c”.
en términos de los lados a, b y c de dicho 
triángulo, si k, q, t son las longitudes de las 
. bisectrices interiores para sus respectivos
ángulos A, B, y C.
W =---- —----- en términos de alguna razón
trigonométrica, si res el inradio, rb es el exradio 
y R el circunradio.
B)cosC
E) sen B
LÍNEAS NOTABLES
78.- En un AABC se cumple:
R2.sen3A + 2S.cos A = sen A , 
donde S es el área de la región triangular ABC 
y R es el circunradio, determine la longitud de 
la mediana relativa (ma) al lado “a”.
la longitud de la mediana relativa al lado “a” 
es media proporcional entre las longitudes de
los lados “b" y “c”, determine W = sen" 
función de los lados de dicho triángulo.
B 
2 +
(fe + c)2 
Abe
72.- En un AABC , calcule:
W = , donde ra, rb son las longi­
tudes de los radios de las circunferencias 
exinscritas y r la longitud del inradio; además 
rc = 2cm y c-4cm.
76.- En un AABC se cumple:
(b + c)2 
be
74.- En un AABC, calcule:
in2 + /»b + m2
— 2 ^2 + 2 > donde ma, mb, mc son las 
longitudes de las medianas de dicho triángulo.
(b-c)2
4cb
B)a + c
79.- En un AABC se cumple:
1 A 1 A
¿.eos -j + ~ seny
donde ky q son las longitudesde la bisectriz 
interior y exterior respectivamente del ángulo 
A, determine el lado “c” si b > c.
C)l + 1 b + c
1 C
7 eos 2 '
.. 1 1^ñ + b
W=Í A 1. eos -y + n . eos
~2 en
la,
A) 0,5 B)2 D) 1,5 E)3C)1
A)sen A B)eos A C) tan A
D) sec A E)cot A
87.- En un AABC se cumple:
B) 90° y 30° C) 110°y 10°A) 100° y 20°
D) 108° y 120° E)105°yl5°
A) a + b = 2c B) a + c = Ib C)b-c = 2a
D) a- b — 2c E) b + c = 2a
88.- En un AABC, calcule:
W rb-A) 2S B)0,5S C)3S D)2,5S E)S
84.- En un AABC , calcule:
W =
B)¿ C)c E)2Z>A) a D)2a
89.- En un A ABC, calcule:
W =A) 10 B)20 C)15 D)8 E)4
85.- En un AABC , calcule:
W = pfr.cot A + ra.cot B] - n.ra.cot B,
A)sec B B)cscC C) sen C
D)esc B E)esc A
CUADRILÁTEROS
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ÍÍ4 RACSO
JF IDITOIIIT20^l
5_
2
en términos de las longitudes de los lados de 
dicho triángulo, donde rb es la longitud del ex­
radio respecto al lado b.
83.- En un AABC, calcule:
W = 2R . r sen A + r2 . esc A + r2. cot A , 
en términos del área (S) de la región triangular 
ABC, donde R es el circunradio y r es el inradio 
respecto a dicho triángulo.
81.- En un AABC se cumple: la bisectriz ex­
terior relativa al lado “c” mide J2 + 1 cm; m 
Z A - m Z B = 45°, determine el valor de la 
bisectriz interior relativa al mismo lado en cm.
82.- En un AABC se cumple: la medida del án­
gulo A es 60° y la longitud de la bisectriz inte­
rior (Va) es media proporcional entre los seg­
mentos que determina sobre el lado BC, deter­
mine la medida de los ángulos B y C.
en términos de la longitud del lado “c”, donde . 
p es el semiperímetro r la longitud del inradio 
y ra es la longitud del exradio.
R 
si: — =
rb = 3r, donde rb es exradio y r es el inradio, 
determine cuál es la relación entre los lados 
a,b y c de dicho triángulo.
90.- Sea ABCD un cuadrilátero, O el punto de 
intersección de las diagonales AC y BD. Si las 
áreas de las regiones triangulares AOB , BOC
abc.ra
S.(p-b)(p-c) '
ra('b + '¿)cscA
'ir(''a + rc>
donde ra, rb , rc son las longitudes de los ra­
dios de las circunferencias exinscritas.
A) 4c2 B)3c2 C)2,5c2 D)c2 E) sL
86.- En un AABC , calcule:
facot4 =:
donde ra es el exradio, determine el valor de:
r 
esc A - — a
y además a, b, c son las longitudes de los 
lados, ra es la longitud del exradio y S es el 
área de la región triangular.
+ tan^tan y
M =A) 10 B) 12 E)15C) 18 D)2O
A) 1/2 B)2 C)1 D) 1/4 E)4
A) 13 B)13t/5 C)V5 D)6 E)6^5
,dondeS
100.- En un paralelogramo se cumple:A) 3/5 B)-3/5 C)5/79 D)3/ll E)-5/7
C) u2 C)absen aA)V2n2 B)V3 u2
D)ij2u2
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
94.- Se tiene un cuadrilátero inscriptible de 
a= l.b = 2,c = 3 y d = 4, determine el coseno 
del ángulo formado por los menores lados.
92.- Los lados de un cuadrilátero inscriptible 
son 3,5,6 y 8 c/n, determine: “29 sen a”, sien­
do “a” el menor ángulo agudo que forman las 
diagonales.
95.- Se tiene un cuadrilátero bicéntrico ABCD 
de lados AB = sen 0, CD = tan 0, BC = eos 0 y 
AD = cot 0, determine el área de dicha región 
cuadrangular.
91.- En un cuadrilátero ABCD se cumple: AB 
= 7n, AC =20 u y AD = 25 «. Si AD es diámetro 
de la circunferencia, determine la medida del 
lado BC.
y COD son 1,2 y 4 m2 respectivamente, deter­
mine el área de la región triangular AOD.
A) lm2 B)3m~ C)2m2 D)4/«2 E)5m2
97.- Si en un cuadrilátero inscriptible ABCD 
de lados AB = a, BC = b, CD = c y AD = d, se 
cumple:
a + c = b + d, determine el valor de:
98.- Se tiene un cuadrilátero circunscriptible 
ABCD de lados AB = a, BC = ¿, CD = c y AD = 
d, demostrar que:
la medida de sus diagonales son 2a y 2b y la 
medida de uno de sus ángulos agudos es “a”, 
determine el área de dicho paralelogramo, si 
a > b.
99.- Si ABCD es un cuadrilátero circunscrip­
tible que cumple: AB = a, BC = b, CD = d y AD 
= d, demostrar que:
■Jabcd
(<?¿ + ¿c)senA
(p-q)(p-¿)
(p-W(p-c)
A) ab B) ab eos a
D) ab tan a E) (a" + b2y). tan a
A 
tan y =
E) "2
96.- Se tiene un cuadrilátero inscriptible ABCD 
de lados AB = a, BC = b, CD = c y AD = d, 
demostrar que:
93.- Los lados de un cuadrilátero circuns­
criptible ABCD miden AB = 12 u, BC = 25 uy 
CD = 52 «, determine eos (A + C) sabiendo que 
el área de la región cuadrangular es 650 u2.
i— B i— D
■Jab .sen — = -Jcd sen —
D)-i^
B D fB + DA 
ab . sen — . esc — . senl I
S es el área de la región cuadrangular.
E)’bA)’b C) — ;18
7 i
Aei("' + “) <Á>,
o
Xc
■ z
9
R
leas
i
«y
<3gra°(fl?Effia?s©^
j^'p^Tc-ía^
/ Las vibraciones en general se estudian mediante su despla- foí 
zamiento «x» el mismo que se puede reconocer como la parte rg 
real del número complejo. En la fórmula \ 
deEulersetiene:
X
La distribución de energía eléctrica es de la forma 5 = P + iQ, 
donde «P» es la potencia real que consumimos y <Q» es la
;i®
r~4
.1
i
..
1
z = A cosícot + a) + íA sen(a>t + a)
«> (Real) Complejo
Y según la fórmula de Eule.r^ z =
vgtJecn®iB9',a*
' El fasor es el vector giratorio dado por el número complejo. SeTX
. i leutilizaparaladescripcióndelaimpedancia(Z)énelanális¡sde 
circuitos eléctricos donde la resistencia i ~~~ ~
\ , ^7\«R» de un conductor (la. parte real) se
adicionaron otros pos tipos de resistencias (la
\? parte compleja) debido a la inducdóji eléctrica
(Xc) o magnética (XJ.--
h: '
'•> n'-v 4 ?
¡SScrciedad~ íw
potencia compleja, es ésta la '
que tiene que ver con la potencia
empleada en el transporte. En la factura del |
servicio eléctrico que llega a tu casa se 1
.
21.1. DEFINICIÓN
; i= V^í}
,2z = x -iy: conjugando de z , y que verifica la propiedad:
Del gráfico se observa que: y A Im(z) (eje imaginario)
,2
plano z
x Re(z) (eje real)
Representación polar de z (z * 0)
9 = argumento de z (Arg z)r: módulo o magnitud de z
0 < Arg z < 2n -n < Arg z < n
9 = arg z = Arg z + 2An; k e z=»
La representación polar o trigonométrica se suele denotar así:
eos 9 + i sen 9 = cis 9
j 2241 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos -Sil RACSO
BDITOkia721
Donde: Re(z) -x: parte real del complejoz
Im(z) = y: parte imaginaria del complejo z.
212. REPRESENTACIÓN POLAR O TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO [QQl
Si: z = x + iy = (x; y), puede representarse como un vector en el plano complejo (o plano 
de Gaüss).
i - unidad imaginaria que satisface la propiedad.
i2 = (9 ; 1) (9 ; 1) = (-1 ; 0) v i2 = -1
|z| = |x + iy| = -Jx2 + y2 : módulo del complejoz
x = r eos 9 ; y = r sen 9. luego:
z = r (eos 9 + i sen 9)
s tud ¡ o d s 13 -Tr ¡ ,c¡ o n o m c t m 3 — i 
^cop; N ume ro sjC o m p I e j o s
c = {(x ; y)/z = x + iy ; x ,y e R
21.4. EXPONENCIAL COMPLEJA
ez = ex + iy = ex (eos y + i sen y)
Está notación conduce a:
21.5. TEOREMA DE DEMOIVRÉ
(eos 0 + i sen 0)n = eos nQ + i sen nO ; n e Z
Fórmulas de Euler
cosz =
Estudio de la Trigonometría con Números Complejos 225
De Moivre fue francés de nacimiento. Al trasladarse a Inglaterra, hizo 
amistad con Newton y con Halley, y se dedicó a dar clases particula­
res de matemáticas. En 1697 fue elegido miembro de la Royal Society, 
y poco después de las Academias de París y Berlín. Su trabajo tuvo 
gran importancia en el desarrollo de las matemáticas actuales y en la 
aplicación del recién creado Cálculo Infinitesimal y el Cálculo de 
Probabilidades. A pesar de su reconocido talento nunca pudo ingre­
sar a la cátedra universitaria. Su obra titulada Miscellanea analytica es 
importante tanto para la teoría de las probabilidades como para la 
Trigonometría, proponiendo su conocido teorema:
( eos 0 +sen 0 ) n = eos nO +i sen nf)
Y asi mismo propuso :
ely = eos y + iseny ; |e,y[ = 1
lz e
21.3. REPRESENTACIÓN EXPONENCIAL DEL COMPLEJO z
-lz - e
2i
-lz + e
2
(cosO±senO)n = COS 2<i”±0 ± I.sen 2*rc±0
z = rei0
lz e senz = ----
PROB. 1
sen2+ cos2z =
Dado el complejo z/z = x + iy
sen2+ cos2z
2 sen z eos z
b) sen 2z =
sen 2z =
(2)sen 2z =
De donde:
sen 2z = (sen z) (eos z) (2)z + z = 2 r eos 0
sen 2z = 2 sen z eos zosea:
,-¡o c) sen 3z =eos 0 =
En forma análoga se deduce que:
sen 0 = ,[e2“+e-^+ i]sen 3z =
e/z
Luego: sen z = ;eos z=
[ (e“ - e’fe)2+31sen 3z =
,2 .2
e'za) sen2+ cos2z =
sen 3z =
sen2 +
226 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RESOLUCIÓN
b) sen 2z
c) sen 3z = 3 sen z - 4 sen3z
z + z = r(ef8+e'í0)
2 r eos 0 = r (e10 + e',0)
Demuestre que: 
a) sen2z + cos2z = 1
Í2z e
iz e
cos2z =
(e,z)3-(C-,z)3
2/
(e,z+g-,z)2-(efe-e-fe)2
4
éz-é
2i
(eiz-é
-^SACSO
-e~‘2z
2i
(efe+e-fe)(e"-e
2i
2
e'°+e
2
e'z-é
2i
+ e-° 
2/
-fe)2 , (elz + e~lz)2
4
2
2
-e~3iz 
2¡
(eiz -e sen 3z = -----
4(efa)(e-;-~) = ,
4
e‘°
eiz-é
2i
(eíz)2-(e-íz)2sen 2z = -—
sen2 z + eos2 z = 1
e3íz
Si: z = x + iy, podemos expresar en la forma 
polar y forma exponencial respectivamente.
z = r(cos 0 + i sen 0) ; z = re'°
Puesto que: z = r(cos 0 - i sen 0) ; z = re '°
2 
(2/)2+3eiz-e-iz
2¡
éz-e->z
2i
eiz -e~iz
2i
eiz-e-iz
2i
•^2,\e^+eiz.e-iz+e
[(senz)2(-4) + 3]sen 3z =
zi " z2 ~
= 72 (20Z1 ' z2
PROB. 2
a) Z| + z2 b)z, -z2 c)zj .z2
e) z2 + z3d)Z|/z2
Z|. z2 — 2
2
Z] + z2 = (1 + 0 + (1 ■ 0
b) Z| - z2 = (1 + í) + (1 - 0 => Z1 - z2 = 2í
= (■
e
e)ztz| = (1 +02.(l - O3(2)
zx+ z2 = (eostt/4)(2) z2.z23 = (1 + 02(l-02(l-0
z2-z3 = [(1 + 0(l-012(l-0Z1 +z2
Estudio de la Trigonometría con Números Complejos 227
RESOLUCIÓN
T21
Sean los complejos:
z2 = 42 e’™74, calcule:
Sin embargo también pueden estar 
expresados en su forma exponencial, así:
42eM4+J2eM4
z2= V2e"“'' => z2 = 1-í
a) Para sumar o restar complejos es conve­
niente que deben estar expresados en su 
forma cartesiana o binómica, luego:
A 
z2
z2
sen 3z = (sen z) (3 - 4 sen2 z)
sen 3z = 3 sen z - 4 sen3 z
Z1 = 1+f2 4-2/ = 0 + 2í 
z2 2 2
(1 +O2 
1 + /2
Z1 = 
z2
42QeM4-é
_e-m/4 
~2Í
42ein'4
J2e-M4
72 f 41 (2)
= eos $ + i sen = 0 + i
_ einJA
Z\ + z2 ~ 
zx+z^j2^4+e^4} 
m/A +e~m/A 
2
=i z2=> Zj + z2 = 2
Z| = 1+ i
= 72eW4 =>
Primeramente expresemos z, a z2 en sus 
formas cartesianas y exponencial.
=. z,= 72e1W
Zj - z2 = 72 (sen n/4)(20 
z1 - z2= 72 (72/2) (20 
z, - z2 = (20
C) Z|.Z2 = (1 4-0(1-0 
z.. z, = 1 - i2
z(. z2 = 2
z1.z2 = (-^eí"/4)(72e-W4)
eiz-e'iz
2i
puesto que en dicho campo se cumple que:zi-zl = (1-í2)2(l-0 = 4(1-0
-1 <cosx< 1
o también:
z3 = 2V2e‘,3n/4
Multiplicado: z2.z2 = 4^2 e^.e'3"74
cosz = sen z =
z2.z3 = 4j2e’W4
Luego: = 2 =>
z2 ,z¡ = 4v2 [cos(-rt/4) + isen(-n/4)]
ix = Ln(2 ± 73 )=>
Es decir:
DE RESOLUCIÓN 
eos 0
2281 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO «OITOI.il
RESOLUCIÓN
ESTRATEGIAS
Luego, la validez de la ecuación dada se 
encuentra en el campo de los números 
complejos además se sabe que:
De hecho esta es una ecuación que no 
pertenece al campo de los números reales,
x = -i Ln (2 ± 73 )
cuenta las relaciones siguientes:
ei0-e-°
2i
x, = -i Ln (2 + 73 ) 
x2 = -i Ln (2 - 73 )
z2=72eW4
ztz23 = 472 ^ -í^ = 4(1-0
03.- Resolver: cosx = 2
e'x
iz e_ +_!
2
1) Para realizar sumas de números complejos, éstos deben estar expresados en su 
forma cartesiana.
2) Para realizar productos o divisiones de números complejos, estos deben estar 
expresados en su forma exponencial.
3) Si se realizan potencias de números complejos, éstos deben estar expresados en 
su forma exponencial.
4) Para demostrar cualquier identidad trigonométrica la teoría de los niímeros 
complejos es una nueva vía para su ejecución.
5) Toda ecuación trigonométrica que no está en el campo de los reales, es
solucionado por complejos, teniendo en - '
_ ei0+e-°
2
+ eix = 4
ix e +e
2
=> (e“)2+ 1 = 4(eíx) => (eíx)2- 4(e/x) +1=0
=> (e“)2. 4(e«) + 1+4 = 4 => (e“. 2)2 = 3
=> eíx - 2 = ± 73 => e‘x = 2 ± 73
iz -iz e -e
2i
= z\=1e™
/\ sen 0 =
72
2
OITOI.il
Enunciados de Problemas
con Resolución
FORMA POLAR
01.- Determine el valor de:
40
Z =
A
A)1 B)2 E)5C)3 D)4
02.-Si: Z = 1 + í>/3 , determine el valor de Z6.
A) 62 D) 68 E) 65B)70 C)64
Z =
M= 77(-i/3 ,Z6 + 8Z4)determine:
A) 5 B)4 C)3 D)2 E)1
04.- Dada las condiciones: C)A)
■■■ (1)= -l
E)D)
Z = eos 20 + i sen 20 ; — < 0 < — ... (2)
FORMA EXPONENCIAL
08.- Determine el mayor valor de la expresión:
M =
B)2A) 1 C)3 D)4 E)505.- Sea:Z = r , determine:
¿'^229|Estudio de la Trigonometría con Números Complejos
71
4
71
4
71
4
71
4
7t
6
B)3>/2.cis
A) 5 VJ.cis
C)5>/5cis
D)5-/2.cis
03.- Sea el número complejo:
Tó + TT
2
1 + 731' 
1-73/
73.Z.Z
Z + Z Sab a2 -b2
lab 
a2-b2
2ab 
a2-b2
5ab 
a2-b2
ab 
2-b2
06.-Sean: Zj = 2 + z a Z2 = 3 + z, 
determine: Z¡.Z2 en su forma Polar.
71 .72)-------Fr-----
2
B) — a
E) 2 v'2 .cis
25E) 6
3tt 
mg(Z), si: 7t < «rg(Z) < —
D)^A)^ B)n E) —12
B) 4
C) —12
C)f D)
Re(Z3 + Z2 + Z) +1 
2cos0
. t ¡e , si: Z = e
a + bi 
07.- Si se cumple: -----—a-bi 
“tan a”
= e'a, determine:
2
1
64
71
2 '
71
- --------------------------- ’ 4
determine el valor de “0".
,(¡Z)2 36.- Si se cumple que:
C)e5 E)e3D)e = A. cos(Ba + P),
33.- Sea:
determine: "A + B”
A) 5 B)4 C)3 D)2 E) 1
1 + ísen— -eos— 37.- Si se cumple:
= A + B eos 20 + C.cos 40,
determine:
A) 5 B)4 D)2 E)1
34.- Simplificar:
1 + e'
38.- Sea: Z
e
M [1- determine: |Z|
C) 2 esc 30A) 5 eos 30 B) 4 eos 40A)M = csc0 ; 06 <0;ti/2>
D) 2 eos 20 E)3cot20B)M = cot0 ;0e(O;7t/6)
C) M = esc 0 ; 06 ( 0; 7t/9) 39.- Sea: Z = determine la parte
D) M = eos 0 ; 06 <O;7t/4> real de Z.
E)1E) M = esc 0 ; 06 ( 0; rr/5) A)-1/2 B)-I/4 C)-l D) -5/2
REGIONES SOMBREADAS
35.- Sea: Z =
si:
determine el valor de “0”.
A) y «2 B) 7 u2
C) D) E)
E) i “2
232~| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
cos(4a + p) - isen(4a + p) 
cos2a-/sen2a
donde: Z = -J5 e'° , 
Determine: |W| 
A) e2 B) e 3
16
5n
16
n_
3
sen40-icos40 
sen40 + ícos40 ’
cos(4ct + P) + t'sen (4ct + P) 
eos 2a + ísen2a
(l + ei2°)4 
e¡40
0
i
0 ’
2
KACSO 
BDITOKB1
40.- Determine el área de la región R del plano 
’ complejo definido por:
R= |ze C/Z. Z < 1 A0<«rg (Z)< |
32.-Sea: W = e(
l + ei(~3x)
•i6fl 7T
— ,O<0< 4
D) l n2
B-C 
M = —— A
C)3
A) —16 B) 11
«rg(Z) = y,
3n
~ <G<2n ,
l + e~i2e>| 
l-e-i20
■¡20 + ei48 + ei
>¡2e + l
Bjcot^
eD) esc g E)sen 2
A)eos C)cot|
0 = are tan — .
0 01 + isen —+ cos— 
z________ 2.
-_6. 2
determine: |Z|
2 ti <arg
m-1A)2
R={Ze C/1 <| Z| <2,0<arg(Z3) <3rt}
C)T“2
Z = 4^2 + Í.4V2
\)2yH>U B)3>/3 u2 C) V3 u2D)^»2 E)^«2
D)-2u2 E)2V2«2
Im(Z)
Re(Z)
, Z3
ubicados en el plano complejo.
< arg (Z) < 7t D)|(7 + 2>/3)H2A) (7 + 2^3 )u2
E) j u2
C) j(2 + 7/3 )u2
< arg (Z) < 7t
ET^233~|Estudio de la Trigonometría con Números Complejos
R =
43.- ¿A qué conjuntos de números complejos 
corresponde la región sombreada R.?
41.- Determine el área de la región sombreada 
R, definida por:
7t
2
71
2
7t
2
¡71/2 = e
44.- Determine el área de la región R del plano 
complejo definido por:
R = {Ze C/(Z+ 1)(Z + 1)<1
(¿Z2)<37t)
45.- Determine el área de la región triangular 
potencial cuyos vértices son las raíces cúbicas 
del número complejo:
E) jze C/|Z + 2|<2,
, Z2 = 4eW6
A) |ze C/|Z|<2<2,
C) jze C/|Z + 2|<2,
B) |zg C/|Z + 2|<2,
D) |zeC/|Z + 4| <2 ,
B) y u
B) (f)«2 C) (■
47.- Determine el área de la región triangular 
cuyos vértices son:
Zj = 2ein/3
^)«2A) 2u2 B) tu/2C) 2ti u D) " «2 E)
42.- Determine el área de la región sombreada 
por:
46.- Determine el área de la región sombreada 
de la región:
R = (Z e C/|Re(Z)| + |b/i(Z)| < 1}
A) 9h2 B)6«2 C)4k2 D)2h2 E)3h2
E) (^)i/2
Ze C/|Z|e [2;4]A(7rg(Z3)
D) (^)u2
j <arg(Z)<^ ¡
-j <arg(Z)<j
k ^¡3
4
Apl
. .. o c i o d 3 d
------------- -- r-<—r-w»--rr--.2y¿eJJ|
La infraestructura moderna debe ser suficientemente resistente 
i 1 a los movimientos telúricos. Esta tecnología ha sido posible 
gracias al conocimiento 
matemático que subyace 
en ella y los principios físicos 
referidos a los movimientos oscila­
torios amortiguados.
niy’ !
< fI
■ t ' ■ i ' ■ i ' - > ■ ■ i . r ■ • i ■ • i - i ■ ■ ■ i■ j ■ . i ■ . i ■ -■■>'?
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i.
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L r % 
■ vr,
jm\t 1
• ¿
I ,
/ La derivación de las principales funciones reales de variable 
/ real, entre ellas las funciones trigonométricas y sus inversas, 
permitió, como una nueva aplicacióndel Teorema del Valor Medio, probar las 
identidades trigonométricas más usuales y, en 
general, mejorar sustancialménte el conocimiento 
de las funciones trigonométricas y sus ¡ove
N \xv yfl
ecnelogíaj^^
El estudio de lás vibraciones se inicia modelando la posiciór?X« 
de úna partícula como x = A senítot + <f>), cuya derivada es la \
velocidad v= Aro cos(rot+r|>)_y
f¿.\la derivada rjé ^es la acele- í A ,
ón áA,-Aro2 sen(cót + rfj. El taladro qs g V
’ velocidad v.?= Aro cosfrot+rjrjjr
f, .r, \ a, ,,p- i
ración á.A,-Aro2 sen(cót + fj. El taladro es 
una de aplicación de este conocimientól
22.1. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS
Si:
lím g(x) = /entonces:
22.IB Límites Trigonométricos Fundamentales
= 1
are sen xDe donde: = 1= 1
22.1C Teorema
Vx 6 R diferente de cero, se verifica:
I. II.= P = P
22.ID Propiedades
; sM*o
;VneZ+
^^RACSOProblemas de Trigonometría y cómo resolverlosT22E3
lím f(x) = lím h (x) = l, 
x->c x->c
V. lím |/(x) ]n = 
x—>a
IV. lím c = c, siendo «c» una constante 
x—>a
I. lím (/(x) +s(x)] = lím f{x) + lím g(x) 
x—>a x—»a x—>a
II. lím [/(x) .g(x)] = lím f(x) . lím g(x) 
x-ía x->a x—xa
lím lím 
x >0
lím f(x) 
lím gM 
x —>a
senpx 
x
tan px
x
22.1 A Teorema de la función intermedia o teorema del sandwich
Si las funciones f, g y h están definidas en 
algún intervalo abierto 1, donde está contenido el 
número c, excepto posiblemente el c mismo, y que: 
f(x)<g(x)</r(x) V xe I, para lo cual x*c, entonces:
lím
lím senx 
x—>o x
qn 
lím /’(x) 
,x —*a J
VI. lím nJfW = n/ lím f(x) ; V ne Z+ ;(n > 2) 
x->a - vx->a
lím tanx = j 
x—>0 X
'srr* iti i te.sy Do r i yod os
i q ó n o rn ,é t r i c á s
III. lím = 
x-aa gW
lím are tan x 
x->0 X
22.1 E El número e
1 + 1/x > 0 x*0x*0
Bajo estas condiciones los dominios de fyg serán:
; Dg = {■dí=
■ y
e
f
Luego podemos afirmar que:
= e
El número e es irracional, y su valor aproximado es: e = 2,7182
22.2. DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
tan ¡3 =
Límites y Derivadas Trigonométricas 235
Y sus correspondientes gráficas son:
■ y
Para que fyg estén definidas en el campo de las reales, las bases de dichas potencias 
deben ser positivas y diferentes de la unidad, es decir:
tan a = lím 
h-»0
Las propiedades V y VI tienen la condición de que si n es par, lím f(x) > 0 
x-»a
lím (1 + l/x)x = e 
X->±“>
i 1
I
-i-
f(x+ h)-/(x) 
h
f(x + lí)- f(x) 
h
Observemos la gráfica de la función f, asimismo observemos la recta tangente (T) trazada 
por el punto A(x ; f (x)).
De la figura se observa que:
Si hacemos que h tienda a cero 
(h —> 0), en el límite ocurre lo 
siguiente:
u (0;+~) ;-i) o
lím (l + x)’^x 
x—>0
Sean las funciones fyg cuyas reglas de correspondencias son:
f(x) = (1 + x)l/x a gW = (1 + l/x)x
(0; + ~)
es la derivada de la función f (x) respecto
Si: y = f(x)
Nota.- La derivada de una función es otra función, siempre que la función sea derivable.
mT = f’(c)
22.2A Teorema
Si una función í es diferenciable en c, entonces f es continua en c.
Nota: Las funciones f (x) g(x) = eos x. son continuas V x e Ksenx
22.2B Teoremas
f'(x) (derivada)y = f (x) (función)
f(x) = c f' (x) = 0 ; V c constante
f(x) = xn ; V x e Racionales
f' (x) = c.g’ (x) ; V c constantef (x) = c.g (x)
f (x) = u(x).i?(x) f(x) = u’(x) + ir’(x)
/■(x) =
f (x) = Ln x PM 1/x
236 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
La interpretación geométrica de la derivada es que 
su valor coincide con el valor de la pendiente de la recta 
tangente en un punto de una curva. En la gráfica, si f(x) 
es la función y Tes la recta tangente en el punto (c/(c)), 
:uya pendiente esm ¡ en diebo lugar, se verificará que:
Si éste existe, direntos que lím ■ 
h-»0 
a x, y se denota como /'(.v) , es decir:
f'M - lím 
h-»0
f(x + /r)-/’(x) 
h
f(x + h')-f(x') 
h
■Si RACSO 
IO IT O « 11
f(x) = u(x).u(x)
f (x) = e’
f' (x) = u’.v + v’.u 
u’u-u’u
f'(x) = e*
f'M = nxn-'
f'Mf (x) = are f.t(x)
Y = f f (x)y = f t (x) f(x) = are sen (x) f’W =
f(x) = senx f ’ (x) = eos x
r(x) = -f(x) = are eos (x)
f(x) = cosx f’(x) = -senx
f (x) - are tan (x) f’M =f' (x) = sec2xfM = tanx
f’(x) = -csc2xf (x) = cotx f(x) = are cot (x) f(x) = -
f (x) = sec x f' (x) = sec x tan x
f (x) = are sec (x)
f (x) = ese x f’M = -ese x cotx
f(x) = are ese (x)
22.2E Teorema 1
C'*)’(x) =
22.2F Teorema 2
= f ’(?(*))-íM
22.2G Teorema 3
Si fes una función diferenciable deu, y u es una función diferenciable enx, tenemos que:
Límites y Derivadas Trigonométricas 237•S.
1
22.2C Derivada de las funciones trigono­
métricas
Si f es una función inyectiva y diferenciable, y f* es su correspondiente función invers 
entonces f* será diferenciable, siempre que f no tome el valor de cero, y se verificará que
Si g es diferenciable en x, y f es diferenciable en g(x), la composición (fog) es diferenciable 
en x, entonces se verifica:
22.2D Derivada de las funciones trigono­
métricas inversas
1
T^x2
i
VHx2
i
1 +x2
“x «u "x
r(x)-------1-----
|x| -Vx2- 1
f' (x) =-----1-----
|x| Vx’TT
22.3. REGLA DE LA CADENA PARA LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Sea f(x) = f.t"(u(x)) una función derivable, entonces se verifica que:
f’M
Según esta regla se tendrá que:
(are sen u)'
(sen u)’ eos ilu' (are eos u)’
(eos u)’ -sen u.u'
(are tan u)’
(tanu)’ sec2 u.u'
(are cot u)’(coi u)’ -esc2 u.u’
(sec u)’ sec u.tan u.u’ (are sec u)’ .u’
(esc u)’ -CSC u.cot u.u'
(are esc u)’ .u’
22.4. LA DIFERENCIAL
y*
Qf (x + fr)
f (x + h) - f (x)
~a
x
(x + h)
Según la figura, para «h» muy pequeño (h -i 0) se puede afirmar que:
f(x + ft) - flx) ~ h.f’(x)
bf = f(x + tí) ■ fto
f 238 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos <74 RACSO 
BDITOK1I
Nota. La expresión f (x + ñ) - f (x) recibe el nombre de incremento o variación de f 
desde x hasta (x + h), y se denota por A f:
P(x;/(x))
Q((x + h) ; f (x + h)) 
f
Uh tan a(x;/(x)) 
—h
i 
|u|a/u\T
1
|zr iVZr^T
= n f.tn‘,(u(x)) . f.t ’(u(x)) . u’(u{x))
—1---- .u'
1 +u2
-4=-“’ VT^J2
__L_.u’ 
1 + u2
J=.u- 
1 -u2
df - f' (x)A xA f = f(x + A x) - f(x) ;También se suele denotar/? = Ax, luego:
Cuando Ax es muy pequeño (Ax = 0), A/y de df son aproximadamente iguales Af = df.
f(x + Ax) = flx) + f'(x) Ax
S22.4. REGLA DE L’ HOSPITAL
22.5. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN
Sea f una función cuya gráfica es como la que se muestra, observándose que:
B
A
x
xs X7x2 X3 *4 *Sxl
22.6. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
f ’(x) > 0 ; V x e {a ; b)
Y-
m(-)
m(+)
.m(-)m(+).
Función decrecienteFunción creciente
Límites y Derivadas Trigonométricos T22®
El producto h . f(x) se denomina diferencial en x con incremento h y se denota por df.
df=hf'(x) .
Teorema: Si f es una función derivable en (a ; b), entonces la función fes estrictamente 
creciente en (a ; í>), si:
Se aplica para determinar límites, siempre y cuando éstos sean de las formas 
llamadas formas indeterminadas.
En A, B, C, D, E, F y G las pendiente son nulas, 
es decir = 0
En B, D y F hay máximos
En A, C, E y G hay mínimos
En B y D los máximos son relativos
En F el máximo es absoluto
En A, C y E los mínimos son relativos
En G el mínimo es absoluto
0,~ 
0
K F
VMt
„ f'(x) lim , = 
x-x, g M
.. f(x) f(x) lím , < = lím < 
x—xz x—>a 8 00
PROB. 1
Calcule el límite de:
sen3x
, evaluando
3(1) = 3
= u
, evaluando:
Derivamoa al numerador y denominador:
senx
evaluando:
= 2(1)2 = 2
24o| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO
RESOLUCIÓN
2cos2x
1
3.cos3x
1
Si se evalúa cada expresión en x = 0, se 
obtienen indeterminaciones de la forma 0/0.
Nuevamente derivamos al numerador y 
denominador:
0
0
lím
x—>0
c) lím
x—*0
b) lím
x-»0
b) lím
x->0
lím 
x->0
c) lím
x-»0
= lím 
x->0
c) lím
x-»0
lím 
x->0
= lím
x—»0
= 4 lím 
X—»0
= 2 lím cos2x = 2(l) = 2 
x->0
= lím
x—>o
í
b) lím
x-X>
a) lím 
x-»0
sen ux
■ x
0 + 2sen2x 
2x
sen2x 
x
sen3itx 
x3
l-cos2x
X2
3sennx-sen3nx
*3
l-cos2x 
x2
3sennx-sen37tx 
x3
3sennx-sen3rtx 
x3
3senrtx-(3sen7tx-4sen37tx 
x3
4 sen3 rtx 
x3
lím =3 lím = 3(1) = 3 
x-»0 x 3x->0 OX
lím 
x->0
2sen2x 
x2
a) lím —-— =3 lím , ' ; lím<> lím
x—>0 X x_,q OX x_,0 3x->0
ígsenM =/ /,-msenx)2 
( x2 J l*-»0 x J
 4 lím 
x-»0
lím f. 
x->0 (
límx-»o [ x¿ J
a) lím sen evaluando 77 .
x—»o x 0
Derivando tanto al numerador como al 
denominador, se tendrá:
f = 47t3rifm^“T 
J Lx->0 nx J
Cuando se tienen límites de la forma 77 ; — ; u 00
oo.O a 0.~; también se puedenaplicar derivadas 
sucesivas (regla de L’Hospithal). Veamos:
sennx '3
= 4[rt]3 = 4n3
= 2 lím
x-»0 ' x /
sen3x
3x
sen3x
3x
sen3x
x
sen3x
x
función £ /'(x), y resolverla ecuación f’(x) = 0.
Evaluando:
f’(x) = eos 2x = 0 =» 2x = (2ft + l)y
Derivando:
x =
Evaluando:
Nuevamente derivando:
f ”(x) = - 2 sen 2x
es máximo4. Volvemos a derivar
es mínimo
2 x—>o
es máximo
Evaluando se tiene:
PROB. 2
x =
Su gráfica seria:
/(x) = sen x eos x
TA(x) =sen x eos x =
-►o
fM
2
mínima
Límites y Derivadas Trigonométricos 241
RESOLUCIÓN
Entonces se deduce que: 
a) f es máximo en:
Calculamos los valores críticos de la función f, 
para lo calculamos la primera derivada de 1
0
0
Apliquemos ahora el criterio de la segunda 
derivada como sigue:
Para obtener los máximos o mínimos relativos, 
se debe calcular la segunda derivada de la 
función /: f ”(x), y luego resolver la ecuación:
ttlim 
x-íO
1 
2
.7t.3n.5rt.77t.
■■4 '4’4'4 •-
lím
x—»0
rt lím 
x->0
-2 < 0
|x87tcosnx^3ncos37tx
[ Xx2
2senxcosx
2
3sen3nx-sen7tx
cos7tx-cos3rtx 
x2
I -rtsenrtx + 3nsen3rLr
\ 2x
Calcule los valores de x, donde la función f es 
máximo y mínimo, usando el criterio de la 
segunda derivada:
■ 4(9(i)- 15=4(8)=4n3
: = sen 2x 
máximo
t-
x = (2ft + 1)^6 z
 ¿ lím
2 x->0
„ , ' r~T
i mínima
n2 l¡m p7ICOS37tX-7tCOS7Dt'j _
n3 i(m /9cos3nx-cos7tx 
T x->0 \ 1
r i . 0Evaluando : q
x=^ ;^;^;...;(4ft+l)^ :/teZ
1 o = 2 sen 2x
7 t (x) = sen x eos x 
máximo /
i. /
•»-------------r ■
! >\! !
«! K \ 3n!
y: \T!
_____i-_____
b) fes mínimo en:
; -4^; -; (4* + 3) 5 ; k e z 4'4'4> ’ 4 ’
5n
4
3n
4
DE RESOLUCIÓN
límA = m
los posibles
2421 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos SjiRACSO
1DITOI1I
ESTRATEGIAS
una función f es cóncava 
cualquier intervalo I, si
una función f es cóncava 
cualquier intervalo I, si
si f '(x) < 0 ; para a < x < b
5) El criterio de la segunda derivada 
fl’(x) > 0
i) La gráfica de 
hacia arriba en 
fl’(x) > 0.
ii) La gráfica de 
hacia abajo en 
f (x) < 0.
iii) Si fl' (x) = 0, significa que los valores 
de x que solucionan la ecuación son los 
puntos (x ; f(x)) donde la gráfica cambia 
de curvatura (llamados puntos de 
inflexión).
6) Si f es una función tal que fl(c) = 0, 
y tal que su segunda derivada f’(x) exista 
en un intervalo abierto que contiene a ■ 
<c», entonces:
i) Si fl’(x) > 0, entonces f(c) es un 
mínimo relativo.
ii) Si f”(c) < 0, entonces f(c) es un 
máximo relativo.
7) Para graficar a una función seguir los 
pasos siguiente:
a) Calcule los puntos críticos, para ello 
resuelva la ecuación: f ’(x) = 0.
b) Calcule los puntos de inflexión, para 
ello resuelva fl’(x) = 0.
c) Calcule el signo de fl y f” en cada uno 
de los intervalos, así como también ver si 
la función es creciente o decreciente.
d) Con toda información de a, b y c 
realice la gráfica de f en el sistema de 
coordenadas cartesianas (sistema xy)
1) En el cálculo de límites (especialmente 
límites trigonométricos), se debe tener en 
cuenta que:
lím^enx = 1 A lfm¿Snmx
x x
x—*0 x -> 0
2) En el cálculo de límites, si al evaluar 
se obtienen de la forma ~ ; se 
deben aplicar las derivadas sucesivas, 
evaluando en cada derivada que se 
realice hasta obtener un número real.
3) Si se tiene una función: y = f (x) 
al calcular la primera derivada fl(x) , y 
luego resolver la ecuación:
f’(x) = 0
lo que estamos obteniendo son 
máximos o posibles mínimos.
4) El criterio de la primera derivada nos 
indica lo siguiente:
i) Si f tiene máximo o mínimo, entonces:
f ’ (c) = 0 o f ’(c) no existe
ii) Si f cambia de signo de (-) a (+) en c, 
entonces f(c) es un mínimo relativo de f.
iii) Si fl cambia de signo (+) a (-) en c, 
entonces f(c) es un máximo relativo de f.
iv) Si f ’ no cambia de signo en c, f(c) no 
es máximo ni mínimo relativo de f.
v) f es estrictamente creciente en el 
intervalo (a ; b)
Si: f ’ (x) > 0 ; para a < x < b
vi) f es estrictamente decreciente en el 
intervalo (a ; b)
Enunciados de Problemas
? con Resolución
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS C)3A) 1 B) 2 D) 4 E)5
A) 1/2 B) 5 C) 7t D) 3 E)2 B) 4 C)6A) 1 D) 0 E)2
02.- Calcule: lím 08.- Calcular:
A) sen x B)eos x C) h
E)
D) esc x E)2 eos x
09.- Calcular: lím 
x->003.- Calcule: límlím 
A—>fl
A) 0 B) 15 C)5 D) 10 E)3
C)
10.- Calcular: lím
A)-l
04.- Calcule: lím 11.- Calcular: lím
A) 3 B) 0 C) 2 D)- 3 E)-2B) 1 C) E)D)
2) 12.- Calcule: lím
05.-Calcule: lím
B) C) D)
06.- Calcule: lím 
A—>0 B) 2ti C) 02A)0 D) ?t/2 E)7t
El 2431Límites y Derivadas Trigonométricas
01.-Calcule: lím = 
o->"
1
3
sen3x 
/"o senx-sen2x
1 
2
1
4
__ x3 +1
-1 senil-x2)
3
2
13.- Calcular: lím
2
3 i
12
1 - sen —
2
7t-X
lím
scn(2cos0) 
COS0
sen2« 
2a
(0 + 4)ien(7t0) 
02-16
sen(x-2) 
x’-8
sen2x-sen2<i 
x2-«2
x-sen2x 
n ---------- —>0 x + sen3x
07.- Calcule: lím
A—>rt
sen3x
D)lí>
.. sen 
lim -----
a —>0
sen(.v + /?) —senx
lím ---------- ;-------------
h->0 h
* x sen a 
A) —
Vi + sertv - Vi - senx
B)
la
(sen3.v)(sen5x)
(x-x3)2
E) ^n-
2(1
E)-|
0-1
A)-|
E)-|D>-I
A)-5
D) 2 a
c4
B)f
E)Ja4
C)l
A) 4 B) 3 C)0 D)1 E)2
23.- Calcular: límlím 
x->0
A) 4 B)0 C) 2 D) 1 E)3B) C)
D)
16.- Calcule: lím
25.- Calcular: límC)B)A)
A) 4 B) 3 C) 2 E) OD)1
17.- Calcule:
26.- Calcular:
A) O B)1 C) 2 D) 3 E) 4
D)
27.- Calcule:A) B) C) D) E) A.senA
19.- Calcular: lím
28.- Calcule:B) E)
A)4 B)1 C)O E)3D)2
20.- Calcule: lím 29.- Calcular:un -----»~7=-1-Va
A)-3 B) -2 C)-lA) B) 71 D) 1 E)2C) 2 D) O E) 2tt
30.- Calcule:21.- Calcule: límun 
:->0
A) -4 B)-3 C) -2 E) 1D)-lA) C) D) E)
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos -QiRACSO 
Í o i r o 111*22 E3
1
4
3
7
1 -cos3a 
t->o 1-cos4a
3
4
1 
6
3
2
7t
4
4
3
9
16
1
2
1 
9
1 
3
1 
2
7t
2
7t
2
18
lím
co(t)
O.senO 
e-.o l-cos20
cosa-cos2a
1 - COSA
1-cos8a 
sen8x
sen2x
cosa + cos3a
1 +senA
1 + cos2a
a — 3a
1 - 2cosa
n2 + m2
2
A2
1 - COSÓA
I-cos(I-cosa)
A4»i~ -n~
2
n2-m2
2
3
8
22.- Calcular: lím 
■ n 
3
A) V3 B)V7 C)-sÍ3 D)V5 E)V7
1 + sen a - cosa 
lím ---------------------
x->o 1 - senA - cosa
24.- Calcular: lím 
x-»0
14.- Calcule: lím 
x-»0
A) V
i-x n±mE) —
D>1U
1 + cos(tta) 
Si a2-2a + 1
3sen(rtr) - sen(3nx) 
x
D)l^
A)f
E)^
lím 
X-90
lím 
X-90
18.-Calcule: lím 
j->0
A2 
lím T / 
x->o 1-vcosx
15.- Calcule: lím 
x-*0
C)-^¿ D)-^
(2-Vcos a -eos a) 
A2
E)|
A)|
o|B)|
B4
lím
A)-^
cos(mA)-cos(nA)
A2
B)l
E>i
D)|
38.- Calcule:31.- Calcule:
O D)B)A)E)D)
39.- Calcule:32.- Calcule: límun 
->0
A) O B) 1 C) 2 E) 4D) 3 E)C) D)B)
33.- Calcule: lím 40.- Calcule:
B) E) 1 E) OC) 2 D) 1A) 4 B) 3
34.- Calcule:
41.- Calcule:
E)C) D)B)A)
A) cos(A + 2C) D) cos(A + B)
42.- Calcule:B) cos(A + 2C) E) cos(A + B + 2C)
C) cos(A + C)
E)C) D)A) B)
35.- Calcule:
43.- Calcule:
C)V D)-^ E)^ E) 2C)-l D) 1A) -3 B)-2
36.- Calcule: 44.- Calcule:
B)-V2 C)
D)-l
,237.- Calcule: 45.- Calcule:
A) E)D) A) B) C) D) E)
Límites y Derivadas Trigonométricas T22BH
3
4
1 
3
1 
4
1 
2
5
6
1 
4
5
2
4
7
tan(l + cosx) 
cos(tan.r)-!
1 
2
3
9
3
2
3
4
1 
8
2
4
.8
3
2
9
1 
3
1 
3
lím 
B-tC
1 
5
1 
9
1 
8
2
5
1 
8
1 
2
1 
6
1 
9
7t
3
7t
2
lím
X—> —
lím
-5
lím 
r_,s
Z/"'o
lím (sec x - tanx) 
x-»|
xsen(sen 2x)
™o l-cos(sen4x)
■Ji - V2 + C0SX 
sen23x
sen.v - cos.v
1 - tan.v
(1-senx)3
(l + cos2x)3
tanx + tan2.r
cosa + cos2x
3sen2x 
x.tan4x
tanx - serte 
P
lím 
x-»0
1 
2
lím
C) —16
A)-f
71“A)f
sen(A + B).cosB - sen(A + C).cosC 
sen(B — C)
sen2x + 2sen 2x - 2senx 
cosx- eos 2x
(tanx + colv - csca) 
secx -1
B’ i!>
A>32 B>á
B).S^
B)
E)^
l-cos\ 
lím 5— x—>0 tan x
A)^ B)
lím 
x->0
lím 
x->0
lím — .tanl 
x->o x !
2 o sec jf-ztanx
1 + eos 4x
C)-i
E>-i
c)| d4A)i
o 4
3
2
'3
108
2
108
(?)7C 
4
7C
6
46.- Calcule: lím
eos x
C)A) 0 B) a D) 2a E)
47.- Calcule:
D) (ex - eos x)
C)-1B) D) 2 E) 1A)
48.- Calcule:
C)1
49.- Calcule: lím 
A-»0
C) 3 D) 4B) 2 E) 5A) 1
/í„i (1 -x).tan50.- Calcule:
C) E)B) D)A)
A) cos(sen (sen x). eos (sen x) . eos x
B) cos(sen (sen x) . eos (eos x)
C) sen(sen (sen x) . eos (sen x) . eos x
D) cos(sen (eos x). eos (sen(cos x))
E) cos(sen(sen x)) . eos (sen x). eos x
, si: y = sen2(3x + 1) - 3
D) 3 sen (6x - 3)
E) 3 sen (6x + 2)
C) -2 sen (3x + 2)
íaií/.cso
IDITO1IIProblemas de Trigonometría y cómo resolverlos
B) eos (3x + 2x + 1). (6x + 2)
C) eos (3x2 + 2x + 1). (6x + 2)
D) cos( 3x2 + 2x + 1 ).( 6x + 4)
E) sen(2x + 1) . (6x + 2)
2
5
4
7 E) cos(ex ) .(ex - eos x)
53.- Sea: y = 3 sen4(sen x + 5) + 1,
A) 2 sen (3x + 2)
B) 3 sen2 (6x + 5)
6 
71
3 
71
8
71
5 
71
2 
71
a
3
x.tanx.secx 
r”o (1 + x2).sec3x-l
/lili 7-------------------<-»o 2arccosx-n
2tanx - nrcsenx 
senx
X 71
52.- Sea: y = sen(e - sen x) + eos ~.
A) eos ex - sen x. ex -
B) (eos ex - sen x) . (ex - eos x)
C) (eos x - sen x).( ex + eos x)
lím _______ lan(ox)
.v”o (l-cos(nx) + x)(sec(ox))
dy
54.-Sea: y = sen(sen (senx)); evalúa:
dy
determine: —dx
A) 6 sen4(sen x + 5) . (eos x))
B) 12 sen(sen3 x + 5) . (eos x)
C) 7 sen3(sen x + 5 . eos x)
D) 12 sen3(sen x + 5) . cos(sen x + 5)(cos x)
E) 10 sen4(sen x + 5) . (eos x)
DERIVADAS DE FUNCIONES 
TRIGONOMÉTRICAS
51.- Calcule: , si: y = sen (3x2 + 2x + 1)
dy
Calcule: -7- dx
A) sen 3x2 . (6x + 2)
D4 E)|
dy
55.- Determine: — dx
A) j
2 B)A)
C) sec2(/zz (x2)) . 2x D)
A) -sen
60.- Sea: y 3 tan(x" + sen x) - I,
B) -sen
. sen 2x
(x2+l)-5; .
58.- Determine: si: y = tan (sen x) + 1
59.- Sea: y = tan (In (x"))
247,Límites y Derivadas Trigonométricas
n 
?’
1 
x
2
. tan (In (x2))
. sec2(/zz (x2))
. sec (In (x2))
Calcula: -r- dx
dv
determine: ~¡-dx
A) sec(2 + sec'x) . tan(2x+tan x) . (x+tan x)
B) sec(2x+tan x) . tan(2x+tan x) . (2 + sec'x)
C) sec(2x + sec'x). tan(2x+tan x). (2 + sec'x)
. sen2x
e)7
¿y
dx ’
A) sec'((sen x).(cos x) D) sec2(cosx). senx
B) sec2(sen x).cos x E) sec2(sen x . eos x)
C) sec2(sen x) . eos" x
dvdeterminar: -j-dx
A) 12x. tan(3x2 + 1) - 2x (x4 - 7). esc2 (x2 + 1)
B) 2x3. (cot(x2+ 1) - 2x (3x4 - 7)). esc2 (x2+ 1)
C) 12x3. sec(x2+ 1) - 2x (3x4 - 7). cot2 (x2+ 1)
D) 2x (3x4- 7). esc2 (x2+ I) - 12x3. cot(x2+ 1)
E) 12x3. cot(x2+ 1) - 2x (3x4 - 7). esc2 (x2+ 1)
7t
62.- Sea: y = sec(2.v + tan a) - — ,
o
56. -Sea: y - eos (y + sen2 xj
. dydeterminar: -j-dx
(y+ sen2 x). sen 2x
(y + sen2xj. sen 2x
C) eos (y + sen2 x)
D) sen ('y + sen 2xj
E) -sen + sen 2 x j. sen 2x
57. - Sea: y = 4 cos3(2x + 5) - 7, determine: 
dx
A) - 24 cos2(2x + 6) . sen 2x + 5
B) 24 cos3(2x + 5) . sen (2x + 4)
C) - 24 cos'(2x + 5) . sen (2x + 5)
D) 24 cos2(2x + 5) . sen (2x + 2)
E) -24 eos(x -2) . sen (2x- 5)
+ csc2(io)
. esc\ln (x2))
2
dv 
determine: ~dx
A) (3 sec2x(x2 + sen x))(2v + eos x)
B) (x2 + sen x)(2x + eos x))
C) (3 tan2(x2 + sen 2x))(x + sen x)
D) (x2 + sen x)(x + eos x)
E) (3 tan2x)(2x + eos x) 
61.- Sea: y = (3x4 - 7) . cot
A)
B)
D)
E)
determine:
2
A)
C) -3 E)
65.- Sea la función/, definida por: C) D)
E)
A)
E)
69.- Sea: y = are cos( Vi —a2 )DERIVADA DE F. T. INVERSAS
B)A)
E)
248 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■SiRACSO 
e o i t o »11
D) sec"(2A+tan .v) . tan(2A+tan a) . (1 + secar)
E) sec(2 + tan a) . tan(2 + tan a) . (2 + sec2ar)
64.- Determine: ab , si: /(a) = a eos a + b, 
además se cumple:
2
2
2
IJ.
2
’jk -5n' 
.12’12.
A
2 ’
7t
+ i
:n"A -
-•Ji + x2 — x.arc eos x
(1-A2)3'2
¿í) ■
l-*2 + a.<7re eos A
(1-x2)3'2
3 
y/1 - ln2x
1
.Vi - ln2x
4 
y¡l-(lnx')2
__
/T72
C){f}
¿3) =
B){^}571 . 71.12 13
”>{?}
-y¡2- x2 + x.arc eos x
l-x2
fíx) = sei
C)-^ 
Vi-A
D) —
1-
7
■sll-ln2x
68.- Sea: y = eos (are sen Jx )- 1, x e (0; 1), 
dy
determine: dx
-> dy
63.- Sea: y = esc (sen a - a") + 1 -.determine: —
A) -csc(sen ,v- a") . cot(sen a" - .v) . (eos a - 2)
B) -csc(sen a - a2) . cot(sen a - a") . (sen a - 2x)
C) -csc(sen a- a2) . cot(sen a - a*) . (eos a - 2a)
D) esefsen a"- a) . cot(sen a - a') . ( sen a - 2)
E) -csc(sen a- a2) . cot(sen a - a") . ( eos a - 2)
dv 
determine: -7- dx
^x ^Tx E)fx
b)~ r2 — 
x.yll-ln~x
67.- Sea: y = are sen (In x) + are sen 
dx
determine los valores de a- e (0; ti) de modo 
que/'(x) = °
D)-lA)^ B)-^
•J5-X2 + x.arccosx 
(1-A2)3'2
-(8 - a2 ) + x.arc eos a
Vi-A2
7t .---- aresenx
66.-Sea: y= ~ , —,ag (-1; 1),
74.- Sea: y = are tan (-J4x? -1)
determine:
A) B) C)
A) O-
E)
E)
,2x
determine:
A) O B) 1 C) 2 D) 3 E)4 A) B)
C)
E)
B) 76.- Sea: y = tan
C) D)
A) B)
E)
E)73.- Sea: y = are tan (2x - 5) - are esc (4),
77.- Sea: y = are cot( -J2x2 —l ) -
A) B)
A) B) C)D) l
D) E)
Límites y Derivadas Trigonométricas
1
2x2-10x+26
1 
:.V4 x2 -1
1 
2x-10 + 13
1
V4x2 -1
cosx
D) l + (senx)2
dx
n
8 ’
1 
x.V2x2 +1
1 
2>/4x2-l
3 cosx
1 + 9 sen 2 x
(//i2).2arcsen3t
Vl-9x2
COS2X
l + 9senx
1 
X.yj4x2 +1
¿»2.2arcscn3j
Vi +9x2
1 
2x-10x-13
■Jl-e'
-1 
2y/x-x2
-1 
(1-x)3'2(1-x2)3
(1-x2)2
3
X- X2
. 1 
V2x2-1
1 
x.V2x2-l
71.- Sea: y = are eos (<?x) + are eos
3 cosx 
1 + 3sen2 x
70.- Sea: y = are eos Jx - are tan (3), x e <0; 1), 
Vy 
dx
dydetermine: —
dx
3 cosx 
1 + 9sen2 x
(/n2).2aresen3x
Vi - 3x2
¿/v
.ve determine: “
determine: — dx
determine: ~- dx
//i4.(2arcscn3x)
Vl-9x"2
j rfydetermine: — dx
c>-A-1 -x-
B)-4=2VJ
72.- Sea:y = 2‘"r5e,'3x
D)~TT2VX2
íarccos(x)- y j+ tan — ,
8 
+ are sec ~ ,
D)—- 
x.V4x-l
C)-------- ---------
2x2-10x + 13
E)-------- 1_____
4x2-10x + 13
D) (1-x2)3'2
75.- Sea: y = are tan (3 sen x) - eos -y ,
(/n3).(2arcscn3v)
A) Vl-9x2
78.- Sea f la función definida por:
A) B)
/(x) = a- . are sen x,
D)C)
E)
283.- Sea la ecuación: y = cos(xy) + y ,
DERIVACIÓN IMPLICITA
79.- Sea la ecuación: D)A)
sen y + y- l = O,y* (3k + 1 )7t, k 6 Z,
E)B)
C)
2. 0.
mine: determine:
C)B) B)A)
E) D)C)
E)
85.- Sea la ecuación: tan(x + y) + eos y - 1 = 0,
A)
A)
E)
B)
termine:
2501 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ÍÍ4 P.ACSO
IDITOklt
6
n
6
7t
5
n
6
-cos2(x + y) 
cos2(x + y) + cos y
cosy-ycosx 
sen x + sen y
eos y - sen x 
senx + xcosy
5y
sen2x
3x 
sen2 y
2x 
sen 2 y
-y. eos x 
sen x-sen y
y.cosx 
sen x- sen y
-y.sen(xy)
1 + xsen(xy) - 2y
-y.sen(xy) 
l-xsen(xy)-2y
2x.sen(x2) 
4 - eos y
3x2.sen(x2)
1 + eos y
2x.sen y 
1 + eos y
-y.cosx 
sen x + sen y
-y.sen(xy) 
l-xsen(xy) + 2y
-cos2(x+ y) 
cos2(x+ y)-sen y
-y.cosx 
sen x- eos y
cosx 
sen x- sen y
2x.sen(x2) 
1 + eos y
-sen(xy) 
1 + sen(xy) -2y
-y.sen(xy) 
l + xsen(xy)
84.- Sea la ecuación: eos (x ) - sen y + y 
dy 
dx
82.- Sea la ecuación: y sen x + eos y = 0, de- 
dx
2x.sen(x)
3 + eos y2
determine el valor de:/'(1/2).
A) — sen y
81.- Sea la ecuación: y. sen .v - x eos y + 1 = 0, 
í/y
determine: —dx
B>^ .«4.
dy 
determine: — dx
dy
determine: — dx
_5x 
D) sen y
. dydetermine: — 
dx
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E)0
80.- Sea la ecuación: sen2y - x2 + 1 = 0, deter­
gí 
dx
3 2
eos y-cosx 
sen x +sen y
cosy-ycosx 
senx + xseny
ycosx-cos y 
senx + xseny
determine:C)
C)B)A)D)
D)E)
determine:determine:
B) -V1 + >2 1-/-A)-Vl-y2 C)
A)
B) 90.- Sea la ecuación: are sen (xy) + yx = 0,
determine:C)
E) 0C) 2 D) 1B) 3A) 4
D)
REGLA DE L'HOSPITAL
E) 91.- Calcule: lím
87.- Sea la ecuación:
A)
E) 2D) IA) 3 B) 4C) D)
93.- Calcule: límlím 
i—>0E)
88.- Sea la ecuación: are eos x - -J~y = 0,
|jj^251 |Límites y Derivadas Trigonométricas
d(yx) 
dx
dy_ 
dx
¿y
dx
dy 
dx
2y
’l-2x
cos2(x + y~) 
eos2(x- y)-sen y
sec(x+ y).tan(x+ y) 
sec(x+ y).tan(x+ y)-2
-sec(x+ y). tan(x+ y) 
sec(x + y).tan(x- y)
-sec(x + y).tan(x+ y) 
sec x + y. tan(x + y) - 2y
- sec(x + y2). tan(x + y) 
sec(x + y2). tan(x + y) - 2 y
-y.sec2(xy) 
x.sec2(xy)-3y2
-y.sec2(xy) 
x.sec2(xy)-3y2
-y-sec;(xy) 
x.sec2(xy) + 3y2
-2y
T^2
2y 
'2x-1
x - sen(trx) 
x-f-sen(nx)
-cos2(x-y) 
eos2(x +y)-sen y
5x2-2x 
sen3x
E) Vfil-2y/2-x2
89.- Sea la ecuación: are eos y - x + 1 = 0,
-y2.sec2(xy)x.sec2(xy)-3y2
-sec(x+ y).tan(x + y) 
sec(x+ y).tan(x + y) - 2 y
sen(2cos9)
2cos9
Cl—— ’l + ndy 
determine: -r- dx
-cos(x + y) 
cos(x+ y)-sen y
86.- Sea la ecuación: sec (x + y) - y2 + 1 = 0,
tan (xy) - y3 = 0,
d)TT“1 + Tt
Al — 1-71 B)l+n
C)’3 d>5
A) |
-y3.sec2(xy) 
x.sec2(xy)-3y2
1-71
1 - 7t
92.- Calcule: lím
0-»S
C)5
B) - 4 C) -3A) -5 D) -2 A) 72 C)-73E)-l
E)-V7D) 295.- Calcule: lím
E)
C)2ti D) 3n E) 5itA) 4n B) 7t
E) OA) 2 B)5 C) 3 D) 1
E)
1 - tanx
C)
C) -2V2A)-77 B) -75
D)-73 E)-7ó
E)5A)1 B) 2 C) 3 D) 4
x/l + senx - Vl-senx
108.- Calcule:
E)5D) 4B) 2 C) 3A) 1
252 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ¿Si RACSO
I O I T O K B I
1 - cos8x 
sen8x
3x-2sen4x
6x-7sen5x
4 
n
1 
2
2 
7t
96.- Calcule: lím 
x-»0
3'
71
1 - senx - cosx
1 + scnx - cosx
senx-sen2x 
sen3x
lím ----------- ---------------------x—»o (l + x-cos(ox)][sec(ax)]
x-3x
1 - 2cosx
O2 -16 
(0 + 4) ■ scn(TtO)
sen(l-x2) 
PTl
Hi] 
i-V7
106.- Calcule: lím
x—>— senx-cosx 
4
97.- Calcule: lím 
0->4
102.- Calcule: lím
X-»j 
b)7ó
101.- Calcule: lím 
x-*o
100.- Calcule: lím 
x-tO
105.- Calcule: lím 
x—>0
104.- Calcule: lím 
' x-*0
103.- Calcule: lím
5 7
1 Ht)
C>Í E
c>t
D)¿ E)
______x2______ 
sen(7x2 + 4 - 2)
D)f E)J
94.- Calcule: lím 
.r-»0
99.- Calcule: lím
,r-»0
98.- Calcule: lím
1-íi
senx
B)-j e>-5
b>4
C)1
A)|
C)á
C)^
E)¿A) 29 B) ¡9
Bi­
ll
B)^
C)| D)f
107.-Calcule: lím cos2x + cosx 
x-»s tan2x+tanx«I °>2
D)5 E)B) 2A) O B)
117.- Calcule: lím
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 E)
2tanx - arcsenx
senx
A)-l B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
n -2arccosx
x
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
E)
A) 0 B) 1 C) 3 E) 5D) 4
x.senx
D) 3
E)
114.- Calcule: lím
E)A) 2 B) 1
122.- Calcule: lím
D) 3 E)
A) B) C)
D) E)
B) C) D) E)
Límites y Derivadas Trigonométricas 253
3
8
5
2
3
8
3
4
2
9
1 
4
1 
2
1 
6
9
1 
4
a
2
l-cos4x
l-cos3x
arcsen5x
arctanx
,, 3sen 2x 
1-ío x.tan4x
x.sen(sen2'x) 
l-cos(sen4x)
1 -cos3x 
tarrxx2-2x + 1
1 + cos(tcx)
sen2x-sen(x2)
7
cos(mx) -cos(zix)
7
n2 -m2
2
n2 -m2
4
n2 -m2
8
■J3-J2 + cosx 
sen23x
n2 - m2 
6
C) a2 D) 3a E) a
115.- Calcule: lím
.<->0
116.- Calcule: lím
x->0
112.- Calcule: lint 
x—»0
119.- Calcule: lím 
x—>0
111.- Calcule: lím
x—>0
110.- Calcule: lím 
x—>0
109.- Calcule: lím 
x-X)
118.- Calcule: lím 
x—>0
123.- Calcule: lím-5
cosx-eos 2x 
x-»o sen2x+ 2sen2x-2senx
A) y
sec2x-2tanx
1 + cos4x
C) — M16
A)^
A) 100
n~ - m2
3
C) -y7 7t2A) 4-' n2
1-Vcosx 
x2
113.- Calcule: lím
x—>0
120.- Calcule: lím 
x->0
121.- Calcule: lím 
x->0
B) 51
Q-|
B)-|
B) A7l2
C>-1
3 2D) -4- E) 'tí2 'ti2
0-1
A)|
B)Í
A)i
A)|
c)|
E)|
A)^
D)|
B>i
c)i
A)|
C)i D)|
A)^
C)|B)i
C)108 D)U4 E) 128
72
128
3
7t2
A) -1 B) -2 C)-3 D) -4 E)-5
133.- Calcule:
A)-6 B) -5 C) -4 D) -2 E) -1
E)
134.- Calcule:E)
C) 1B)
A)-2 B)-l E) 2 A) e
APLICACIONES DE LA DERIVADA
129.- Calcule: lím
C) E)
E)
B) OA)-l D) 2 E) 3
,2x ,3x A) x - 2 B) x + 4 = y C)x + 3=yy131.- Calcule:
D) x + 9 = y E)x + 2=y
A) 4 B) 3 E) O
132.- Calcule:
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos racso BDITOK1»1-^254
tanx
1 -V1+ tanx
determine el valor de x en 
tome su mínimo valor.
137.- Determine la ecuación de la recta tangente 
a la curva: y = sen x + 2 en el punto (0; 2)
1 
2
1 
8'
1 
2
124.- Calcule: lím
X—MI
lím
-v—*0
18
n
5
16 135.- Calcule:
lím (1 + 3 tan2x)' 
x-»0
B) e5 C) e2 D) e3 E) e3/4
col^.v
2cosx-2 + x2 
3?
lan(l + cosx) 
cos(tanx) -1
tanr-senx
A) e2 B) e
128.- Calcule: lím 
x—>0
126.- Calcule: lím 
x-X)
125.- Calcule: lím
A->0
A) 26
138.- Determine la ecuación de la recta tan- 
ir
gente a la curva: y = are tan x - — en el punto: 
d;0)
lím —----- -
x-X) sen2x-sen3x
C)2 D)1
136.- Sea/ la función definida por:
/(x) = sen2x- ^x- 1,
para que/
l-cos(l-cosx) 
x-»o ' x4
(-V-A3)2
(sen3x)(sen5x)
130.- Calcule: lím (1 + eos x). (1 + cot x) 
A—
C) 1
D)f
B)|
B)j
B)y
A)|
D)-i
D>n
C)fA>?
C)— '13
C) - c'8
x - tanx
127.- Calcule: lím ----------x-x> x-senx
C)0 D)1
lím (1 + eos x)3secx
x->|
C) e3 D) e4 E) e"2
..2A) 3
lím cot 2x. cot í —■ - x |x-X) \2 /
B)| C)| D)|
D)|
E) — ' 18
A)lo
A) B)
QC)
Montacarga
E)
y
y
143.- Se desea cercar un lote rectangular que 
a nnn A¿* l-.
C) - 3x = yA) -5x = y B)-4x = y 0475A) 1175 B) 9 75
D) - 2x = y E)- E) 20 75D)5 75
E) OiíC) 2« D) 1«A) 4« B) 3«
C)273«B) 7a/5ha) 75 u
D) 3 75 u
Límites y Derivadas Trigonométricas 255
139.- Determine la ecuación de la recta normal 
a la curva: y = 2 sen x - 3 en el punto: (0; -3)
142.- Un bloque de peso “P” se cuelga de una 
cuerda que pasa por una polea, tal como se 
muestra en la figura y a una altura de 20 m. 
sobre la superficie del suelo. El otro extremo 
es tirado por un montacargas que está a una 
altura de 2 m del suelo. Si el montacargas se 
aleja a una velocidad de 9 m/s-, ¿a qué veloci-
tiene 4 000 m~ de superficie, uno de cuyos la­
dos está definido por la ribera de un río recto. 
Si no se necesita cercar por el lado que da al 
río: ¿qué dimensiones requiere la menor can­
tidad de cerca? .
1 
2
E) 5 75 h
141,- El perímetro de un sector circular es 
8», determine el valor de su radio para que el 
área del sector circular sea máximo.
144.- Una estatua de 6 m de altura tiene su 
base 2 m arriba del nivel del ojo de un obser­
vador. ¿A qué distancia de la estatua debe co­
locarse el observador para que el ángulo 
subtendido desde su ojo por la estatua sea 
máxima?.
dad sube el peso cuando está a una altura de 6 
m del suelo?
Q-|x-2 = y D)-|x-3
A) - 7 x - 36
^x
9V5 .A) m/s m 675 ,B) m/s C) m/s
D) m/s c, 275 , E) — m/s
140.- Determine la ecuación de la recta nor- 
rt
mal a la curva: y = are tan (x +1) -~en el 
punto: (0; 0)
D) |x- | =ylx. 6X
lx. 4X
lx=v2 '
7 =y
4 =y
I=y
lx. 3X
- 1 =y
2 y
B)-|x-3=y
E) -| x - 3 = y
CONSTRUCCIÓN DE UNA COLMENA
senO
h
0
s
■ La solución de esta ecuación es:
eos 0 = 1/73 oseaO 54,74°
2561 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ¿SI racso 
IDITOlll
tlAjRIGONOMg^
I 
X
1 - V3cos0 
senO
y es independiente del ángulo 0. Por 
otra parte, el área superficial de la celda, vie­
ne dada por:
dependiente del ángulo 0. El ángulo que 
hace mínima el área (y, por tanto, la cantidad 
de material requerida) se determina resol­
viendo la siguiente ecuación obtenida luego 
de derivar la expresión anterior:
l
l
l
l
l
I
t 
l 
l 
I 
I 
l
I 
l 
I 
I 
i 
I
Cada celda tiene una base hexagonal y 
tres caras superiores rómbicas que se cortan 
con la altura de la celda formando un ángulo 
0. El volumen de cada celda viene dado por 
la siguiente expresión:
Celda hexagonal 
utilizada en la 
construcción de 
una colmena
Las abejas construyen sus colmenas con 
cera pura, que solo pueden producir las obre­
ras. Ambos lados de la colmena constan de 
celdas hexagonales geométricamente per­
fectas y se construyen de forma tal que la 
cantidad de material requerida es la mínima 
posible. Hay unos 5 millones de colonias de 
abejas en los Estados Unidos que producen 
en el orden de 125 millones de kilogramos 
de miel cada año.
V = ^-s2h
dS = 3s_ 
dO 2
S = 6hs+2¿-[^-cos0
^^NUESTRA NATURALEZA
Las abejas construyen sus 
compartimentos de almacenamiento en for­
ma de celdillas hexagonales.
-
a /
PARTE 2
C O L 
üzz
PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA
V COMO RESOLVERLOS
üa ;
— «•
/
RESOliUíílON 0E:
V „ri>
PKOBMAS
>'■'
®¿
T 1
-0 = 2ít + x
x - -2n - 0
3x + 20° - x + 40° = 90°
-(X-4OT
2x = 30°
3x + 20°
-5x = 50°
'X KACSO 
BD1TOIII
TÍTf' 258 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos.
■ ■ ¡¡
1J
01.- Graficamos los ángulos en sentido antihorario.
De esta nueva figura podemos establecer que:
02.- Graficamos los ángulos en sentido antihorario.
De esta nueva figura podemos establecer que:
a + a - x = 360°
03.- Graficando los ángulos en sentido antihorario, podemos establecer que:
3x + 20° - (x -40°) = 90° B
04.- Graficando los ángulos en un mismo sentido (antihorario), se propone que:
10° + 40° - 5x - 10° = 90°
Despejando "x":
x = 2a - 360°
x = 15°
X = -10°
Sistemasde Medida
Angular 
40° /
rCAP.1- 1 I
108
(90-3x)°
-2x = 3(20 + y) -5y? .3x°
y + x = 60°
120“Pero: 180° = nrad
60°;'y-(-x),
-(5-llx)'Pero: 9o o 108 27x°
(2) en (1): 27x° - (5 - llx) 180°
Efectuando: 30x° - 5 + llx° = 200° 41x = 205 x = 5
Pero: 9° < > 108 x°
nrad < > 180°
En (•): Xo-
lOx - 9y = 2 400
2591Sistemas de Medida Angular
9y
10
90
' 10
= 240
10x-9y
10
5y® < >
07.- Al graficar los ángulos en sentido antihorario tendremos: 
27x° - (5 - llx)8 = 180°
=180°
— rad 
3
n rad x + y - 60 . jgQo
2n
— rad = 120°
„ 2n
08.- De la figura: x° - y8 + — rad = 360° ...(*)
Q°
(5 - llx)8 = (5 -llx)8 . . . .(2)
108
y8=y8-108
+ 120° = 360°
x + y = rad
M= ——20 + y
06.- Siendo AC una línea recta, graficamos todos los ángulos en un mismo sentido.
Se observa que: y - (-x) = 60°
05.- De la figura: (90 - 3x)° - 5y® = 180° , y además 9° < >
(y) =* 9°O-(3x)°-
-2x - 3 y = 60
M= y
e = x - x2 x2 - x + 9 = O09.- Como:
Para que la ecuación tenga solución, el discriminante de la solución general debe ser tal que:
1 - 40 > 0
Luego de la figura original se establece que: a + 9 -
Y para que 9 sea máximo sustituimos los valores encontrados:
a = 4,2832 rada = 2n - 2
(A) correctoPor lo tanto: 10a + 99 = 0
180P - an = 0 (B) correcto
200P + 9n = 0 (C) correcto
De (B) + (C): 380P - an + 9 n => 380P = n(a + 0 ) ....0 (D) correcto
.-. 900P = n(99 + 5a).... (E) incorrecto
CONVERSIONES
11.- Recordemos: 9° o 108 => M = M = 9
12.- Convirtiendo los ángulos a y P a grados sexagesimales tendremos:
a = 0,5236 rad
27°25'P = 27°27' 9
6 < P < aPor lo tanto se observa que:
fcl 260 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
-0
10
-9
10
20P 
tt
ct
a
7
<x
■9
0,5236.180
. 3,1416
1
®máx “ 4
180° í
tirad \
— - 2 I rad = 2nrad
2 I
) = 30°
1 en
_ 20P
71
1 1 
a + — - — + 2 = 2n4 4
9o
P = 30850m = 308y^50’.m 1* JL 60'' 100m ’ 10s ' Io
-9 20P
10 = n
(1 + 2 + .... + 2005)s 9°
(1 + 2 + ....+ 2005)° ■ 10' 10
1
X=2
10.- Los números a, -9 y p que representan la medida de un mismo ángulo en los 
sistemas sexagesimal, centesimal y radial, y en el mismo sentido se relacionan por:
13.-
/5\' Í5\' ti rad U = • 180°Luego:
Pero: Tirad = 180° =>
Pero: Io < > 60' 0,6° = 36'
=> A = 3 B = 36
Luego: M = M = 5
15.- Por dato: rad < > x°y'z" Pero: nrad < > 180°
Pero: 1°< > 60'
Pero: 1' o 60'' => = 31"
x°y'z" x = 2, y = 36 , z = 31 (x + y-z)° = 7°
Complemento de (x + y - z) 90° - 7° =
Como: Io < > 60' => 1,98° < > (l,98)(60') < >118,8' 37,98° = 36° + 108' + 10,8'
Luego: 37,98° = 36° + 108' + 648"
Sistemas de Medida Angular
16.-Nuestra estrategia consistirá en convertir los grados a minutos y segundos 
sexagesimales. Para tal efecto hacemos:
Tirad
50
37,98° = 36° +1,98°
83°
= 444 rad
®
14.- Por dato: rad < > A°B'
1°15' o rad
” t>",d -
Luego: rad = 2°36'31" =
1°15'= 1°+(!)'= g)‘
^md = 2° + 36'+g)
36-2(3) _ 30
36-10(3) “ 6
Asimismo: 1' < > 60" =» 10,8' < > (10,8)(60") < > 648"
Luego: rad = 3° + 36' = 3°36' = A°B'
9o < > 10® 36° < > 40®También:
80" < > 250s 648" < > 2000s
A = 4 B = 2 M = 12
17.- Nuestra estrategia consistirá en convertir todos los grados en minutos sexagesimales.
Luego:
27°27'21"
9°<> 10®Pero:
21 "< > 65sAsimismo:
=> 27°27'21" = 30®50m65s 27°27'21"
„ ,LL —g —m s
27°27'21" o 30®50 65 = n0 be de a = 3,b = 5,c = 0,d = 6, e = 5
Luego: M =
1° 1° = 3600"
e = 16°15'36" = 16° + 15' + 36"Entonces: 0 = 16° +
0 = (16 + 0,25 + 0,01)°
Pero también: n rad = 180°
0 = 0,2836
262 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
18.- La estrategia que utilizaremos consiste en transformar minutos y segundos a grados 
sexagesimales. Para ello requerimos establecer las siguientes equivalencias:
4
1
100
2000’;
20”
r
4
1°
100
16,26x3,14
180
5+6+5+5
3 + 0 + 2.2
1°+ 3’ 
3'
= 30® + 50m + 65s
= 60'
<>AB® B0m
27' < > 50m
27' < > 50m
60’
=> 15'= T
108' < > 200m
) rad
=> 37,98° = 40® + 200m'---- •
2B
De donde reconocemos que:
37,98° < > 42820m
=> 27° < > 30®
0 = 16,26°
^)í
0 = 16,26° . ’/ 
loU
Como: 2° < > 120' =>
3600"
=> 36 = --------
100
M = 3
o
45”.
rad 36°15'45” = 0,6326 rad
20.- De la condición: x°y'z" = a°b'c" + c°a'b" + b°c'a"
Y según la condición: .r°y'z" = 63°63'63"
Asimismo recordamos que: 1° 60' ; 1' = 60” ; Io = 3600”
Entonces:
x°y'z” = 64°4'3" 64 ; y = 4 ; z = 3x
W = W = 20
MEDIDAS DE ÁNGULOS RELACIONADOS
C
SR = RcReemplazando en la condición:
Ordenando las potencias convenientemente y simplificando:
(l|0) = (K^)
Sistemas de Medida Angular
180R
7t
180R 
21.- Recordemos: S = -------
7t
200R
71
z°y'z" = 63° + 60' + 4' + 3"
1"
2880 + 20 + 1
80
64-4
3
(967)(3,14)
4800
1°
3600"-(i)"-
x°y'z" = 63° + 63' + + 3" =>
'T*
í2901) 
-3615,45
Entonces: 36°15'45" = 36° + 15' + 45” => 36°15'45” = 36° + +(so)
1°19.- Del ejercicio anterior se sabe que: 15'.
nrad _ 
' 180° ~
.K 200R
= R ”
,x°y'z" = (a + b + c)°(a + b + c)'(n + b + c)"
=> 36°15'45” =
Convirtiendo grados sexagesimales a radianes, por el criterio del factor unidad tenemos:
Se observa potencias iguales, entonces:
M = RM = M =Luego:
9
x = 2rrDe la condición tenemos: 9
Convirtiendo los grados sexagesimales a radianes, tendremos:
(a + b)(« - b) = a2 - b2
W =Entonces:
-13 ...(*)En donde al aplicar la identidad, obtenemos: W =
Además se sabe que: =>
W= ^2(19)-13 =725 W = 5
24.- Efectuando las operaciones en cada paréntesis, tendremos:
1 +
r: : 264 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
23.- Recordando la identidad algebraica:
(<i + b)2 + (« - b)2 = 2(«2 + b2)
S
9
S = 9k
C = 10k
C_
10
n
S
n rad
' 180°
)
2(C + S) 
c-s
'(Jc-Js)2 + (Je+Jsy 
(Je? -(Vs)2
«-(?)■
22.- Los números S y C están relacionados por: = 
n x + —
!—13
£ =k
10
Reemplazando en (*): W = ^2
B-J5-Í
S " (,+¿) (1 + C + 1 crtr)
■|it = 9x + =>
S = 2n + |
(10k + 9fc) 
10fc-9Jt
x+f
= "|q => 10x +
180 = 
7t
1
C + 2
1
C + l
De donde obtenemos:
Pero: S = 9k , C = lOk S = (9Jt)°
De la condición: 2
Reemplazando (1) en (2) y simplificando:
C = 52
C =
Media armónica:
Y según condición del problema:
Reemplazando y simplificando:
...(2)Además se sabe que:
Reemplazando (2) en (1):
... (1)
F¿jH 265|Sistemas de Medida Angular
1
10)t
c
26.- Sean S y C los números que representan los grados de un ángulo en el sistema 
sexagesimal y centesimal, entonces se tendrá que:
27.- Se sabe que los números que representan los grados en los tres sistemas de medición 
angular se relacionan por:
n
S
2 SC 
S+C
c = i4o |
Ma =
(52)(280)
104
126-22
280
n 
18(380)
19 nC
2 ’ 10 C “ 5 ' 200 + 52
S“ (íó)
= 36. (VSC)2 => S + C =
- -[H]-1
180— + 200— = => R7t - io
| = 5R + 52 . .. (2)
R ~ 6840 rad
~ 200 R
c= —¡TC_ 180 R n
25.- Los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, 
centesimal y radial, se relacionan por: S = ; R = ... (1)
Ma = 36(Mg)2
2 2SC 
1.1"S+C s + c
Media geométrica: Mg = -JSC
S = 180 S. ; C = 200 — n
= 1 => k=
i...(l)
9 1 22
-C--.-C = 52
1
18
R
7t
C + 3S = R2 ... (2)Según condición del problema:
Reemplazando (1) en (2):
Simplificando: R = 20
En los cuales:
y se relacionan: (S = 9.« a C = 1O.«)10
(•) Reemplazamos según el dato: 3 600 S + 100.C = 367 400
Simplificando: 36.S + C = 3 674 => 36(9«) + (lOn) = 3 674
Resolviendo: a = 11 => S = 99
(*) En la fórmula general de conversión:
Se obtiene:
100.C ... (ii)
TO = 9 ...(¡¡i)- Relación entre S y C:
f iT- ! 266 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■^jiRACSO
ID1TO11I
S: Número de grados sexagesimales
G Número de grados centesimales
S
180
= R
71
En el dato reemplazamos (i) y (ii): (60.S) . (100.C) =
740 £ = 
7t 7C
28.- Para un mismo ángulo, representamos:
- El número de segundos sexagesimales: 3 600 . S ... (i)
- El número de minutos centesimales: 100 . C ... (ii)
„ 117t
R= -2Ó-
(n + b)2 +8rtb 
18.<7.b
200£
29.- Como en el caso anterior, representamos:
- El número de minutos sexagesimales: 60.S ... (i)
- En número de minutos centesimales:
R- 180
s c
9 - 10
Efectuando:
(í*Ms,=
Siendo: a > 0 a b > 0
De