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ESCOLA POLITÉCNICA DA USP 
DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA 
SISEA – LAB. DE SISTEMAS ENERGÉTICOS ALTERNATIVOS 
www.pme.poli.usp.br/sisea 
 
 
 
 
 
 
 
PPMMEE –– 22336611 PPrroocceessssooss ddee TTrraannssffeerrêênncciiaa ddee CCaalloorr 
 
Prof. Dr. José R Simões Moreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2o semestre/2014 
versão 1.4 
primeira versão: 2005 
 Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2014 
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OBSERVAÇÃO IMPORTANTE 
 
 
 
Este trabalho perfaz as Notas de Aula da disciplina de PME 
2361 - Processos de Transferência de Calor ministrada aos 
alunos do 3º ano do curso de Engenharia Mecânica da 
Escola Politécnica da USP. 
 
O conteúdo aqui apresentado trata de um resumo dos 
assuntos mais relevantes do livro texto “Fundamentos de 
Transferência de Calor e Massa” de Incropera e Witt. 
Também foram utilizados outros livros-texto sobre o 
assunto para um ou outro tópico de interesse, como é o 
caso do “Transferência de Calor” de Holman. 
 
O objetivo deste material é servir como um roteiro de 
estudo, já que tem um estilo quase topical e ilustrativo. De 
forma nenhuma substitui um livro texto, o qual é mais 
completo e deve ser consultado e estudado. 
 
 
 
 
 Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2014 
3
 
 
Prof. José R. Simões Moreira 
 
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2457667975987644 
 
 
Breve Biografia 
 
Graduado em Engenharia Mecânica pela Escola Politécnica da USP (1983), Mestre em 
Engenharia Mecânica pela mesma instituição (1989), Doutor em Engenharia Mecânica - 
Rensselaer Polytechnic Institute (1994) e Pós-Doutorado em Engenharia Mecânica na 
Universidade de Illinois em Urbana-Champaign (1999). Atualmente é Professor Associado da 
Escola Politécnica da USP, professor do programa de pós-graduação interinstitucional do 
Instituto de Eletrotécnica e Energia (IEE-USP), professor de pós-graduação do programa de 
pós-graduação em Engenharia Mecânica da EPUSP, pesquisador do CNPq - nível 2, consultor 
ad hoc da CAPES, CNPq, FAPESP, entre outros, Foi secretário de comitê técnico da ABCM, 
Avaliador in loco do Ministério da Educação. Tem experiência na área de Engenharia Térmica, 
atuando principalmente nos seguintes temas: mudança de fase líquido-vapor, uso e 
processamento de gás natural, refrigeração por absorção, tubos de vórtices, sensores bifásicos e 
sistemas alternativos de transformação da energia. Tem atuado como revisor técnico de vários 
congressos, simpósios e revistas científicas nacionais e internacionais. MInistra(ou) cursos de 
Termodinâmica, Transferência de Calor, Escoamento Compressível, Transitórios em Sistemas 
Termofluidos e Sistemas de Cogeração, Refrigeração e Uso da Energia e Máquinas e Processos 
de Conversão de Energia. Coordenou cursos de especialização e extensão na área de 
Refrigeração e Ar Condicionado, Cogeração e Refrigeração com Uso de Gás Natural, 
termelétricas, bem como vários cursos do PROMINP. Atualmente coordena um curso de 
especialização intitulado Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência Energética por 
meio do PECE da Poli desde 2011 em sua sexta edição. Tem sido professor de cursos de 
extensão universitária para profissionais da área de termelétricas, válvulas e tubulações 
indústriais, ar condicionado, tecnologia metroferroviária e energia. Tem participado de projetos 
de pesquisa de agências governamentais e empresas, destacando: Fapesp, Finep, Cnpq, 
Eletropaulo, Ipiranga, Vale, Comgas, Petrobras e Ultragaz. Foi agraciado em 2006 com a 
medalha ´Amigo da Marinha`. Foi professor visitante na UFPB em 2000 - João Pessoa e na 
UNI - Universitat Nacional de Ingenieria em 2002 (Lima - Peru). Foi cientista visitante em 
Setembro/2007 na Ecole Polytechnique Federale de Lausanne (Suiça) dentro do programa 
ERCOFTAC - ´European Research Community On Flow, Turbulence And Combustion`. 
Participou do Projeto ARCUS na área de bifásico em colaboração com a França. Foi professor 
visitante no INSA - Institut National des Sciences Appliquées em Lyon (França) em junho e 
julho de 2009. Tem desenvolvido projetos de cunho tecnológico com apoio da indústria 
(Comgas,Eletropaulo, Ipiranga, Petrobras e Vale). Possui uma patente com aplicação na área 
automobilística. É autor de mais de 100 artigos técnico-científicos, além de ser autor de um 
livro intitulado "Fundamentos e Aplicações da Psicrometria" (1999) e autor de um capítulo do 
livro "Thermal Power Plant Performance Analysis" (2012). Já orientou 13 mestres e 4 doutores, 
além de cerca de 40 trabalhos de conclusão de curso de graduação e diversas monografias de 
cursos de especialização e de extensão, bem como trabalhos de iniciação científica, totalizando 
um número superior a 80 trabalhos. Possui mais de 100 publicações, incluindo periódicos 
tecnico-científicos nacionais e internacionais. Finalmente, coordena o laboratório e grupo de 
pesquisa da EPUSP de nome SISEA - Lab. de Sistemas Energéticos Alternativos. 
 
 Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 
 
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AULA 1 - APRESENTAÇÃO 
 
1.1. INTRODUÇÃO 
 
Na EPUSP, o curso de Processos de Transferência de Calor sucede o curso de 
Termodinâmica clássica no 3º ano de Engenharia Mecânica. Assim, surge de imediato a 
seguinte pergunta entre os alunos: Qual a diferença entre “Termo” e “Transcal”? ou “há 
diferença entre elas”? 
Para desfazer essa dúvida, vamos considerar dois exemplos ilustrativos das áreas de 
aplicação de cada disciplina. Mas, antes vamos recordar um pouco das premissas da 
Termodinâmica. 
 
A Termodinâmica lida com estados de equilíbrio térmico, mecânico e químico, e é 
baseada em três leis fundamentais: 
 
- Lei Zero (“equilíbrio de temperaturas” – permite a medida de 
 temperatura e o estabelecimento de uma escala de temperatura) 
- Primeira Lei (“conservação de energia” – energia se conserva) 
- Segunda Lei (“direção em que os processos ocorrem e limites de 
 conversão de uma forma de energia em outra”) 
 
 
Dois exemplos que permitem distinguir as duas disciplinas: 
 
(a) Equilíbrio térmico – frasco na geladeira 
 
Considere um frasco fora da geladeira à temperatura ambiente. Depois, o mesmo é 
colocado dentro da geladeira, como ilustrado. Claro que, inicialmente, fG TT < 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 inicial final 
 
 
 As seguintes análises são pertinentes, cada qual, no âmbito de cada disciplina: 
 
Termodinâmica: TmcUQT ∆=∆= - fornece o calor total necessário a ser transferido do 
frasco para resfriá-lo baseado na sua massa, diferença de temperaturas e calor específico 
médios – APENAS ISTO! 
 
frasco 
ambientef TT =
Gf TT =
t∆
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Transferência de calor: responde outras questões importantes, tais como: quanto 
tempo ( )t∆ levará para que o equilíbrio térmico do frasco com seu novo ambiente 
(gabinete da geladeira), ou seja, para que Tf = TG seja alcançado? É possível reduzir (ou 
aumentar) esse tempo? 
 
Assim, a Termodinâmica não informa nada a respeito do intervalo de tempo t∆ para 
que o estado de equilíbrio da temperatura do frasco ( fT ) com a da geladeira ( GT ) seja 
atingido, embora nos informe quanto de calor seja necessário remover do frasco para 
que esse novo equilíbrio térmico ocorra. Por outro lado a disciplina de Transferência 
de Calor vai permitir estimar o tempo t∆ , bem como definir quais parâmetros podemos 
interferir para que esse tempo seja aumentado ou diminuído, segundo nossointeresse. 
 
De uma forma geral, toda vez que houver gradientes ou diferenças finitas de 
temperatura ocorrerá também uma transferência de calor. A transferência de calor pode 
ser interna a um corpo ou na superfície de contato entre uma superfície e outro corpo ou 
sistema (fluido). 
 
(b) Outro exemplo: operação de um ciclo de compressão a vapor 
 
 
TERMIDINÂMICA: cec qqw −= : não permite dimensionar os equipamentos 
(tamanho e diâmetro das serpentinas do condensador e do evaporador, por exemplo), 
apenas lida com as formas de energia envolvidas e o desempenho do equipamento, 
como o COP: 
c
e
w
q
COP = 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR: permite dimensionar os equipamentos térmicos de 
transferência de calor. Por exemplo, responde às seguintes perguntas: 
 
- Qual o tamanho do evaporador / condensador? 
- Qual o diâmetro e o comprimento dos tubos? 
- Como atingir maior / menor troca de calor? 
- Outras questões semelhantes. 
 
cw 
cq 
eq 
compressor 
válvula 
 
condensador 
evaporador 
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Problema-chave da transferência de calor: O conhecimento do fluxo de calor. 
 
O conhecimento dos mecanismos de transferência de calor permite: 
 
- Aumentar o fluxo de calor: projeto de condensadores, evaporadores, caldeiras, etc.; 
- Diminuir o fluxo de calor: Evitar ou diminuir as perdas durante o “transporte” de frio 
ou calor como, por exemplo, tubulações de vapor, tubulações de água “gelada” de 
circuitos de refrigeração; 
- Controle de temperatura: motores de combustão interna, pás de turbinas, aquecedores, 
etc. 
 
 
1.2 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
A transferência de calor ocorre de três formas, quais sejam: condução, convecção e 
radiação térmica. Abaixo se descreve cada um dos mecanismos. 
 
(a) Condução de calor 
 
- Gases, líquidos – transferência de calor dominante ocorre da região de alta 
temperatura para a de baixa temperatura pelo choque de partículas mais energéticas para 
as menos energéticas. 
- Sólidos – energia é transferência por vibração da rede (menos efetivo) e, também, por 
elétrons livres (mais efetivo), no caso de materiais bons condutores elétricos. 
Geralmente, bons condutores elétricos são bons condutores de calor e vice-versa. E 
isolantes elétricos são também isolantes térmicos (em geral). 
 
A condução, de calor é regida pela lei de Fourier (1822) 
 
 
 
 
dx
dT
Aq
x
 α 
 
 
onde: A : área perpendicular ao fluxo de calor xq 
 T : temperatura 
 
A constante de proporcionalidade α é a condutividade ou condutibilidade térmica do 
material, k, ou seja: 
2T
1T . . 
x 
sólido 
xq 
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dx
dT
kAqx = 
 
As unidades no SI das grandezas envolvidas são: 
[
x
q ] = W , 
[ A ] = 2m , 
 [T ] = K ou Co , 
[ x ] = m . 
assim, as unidades de k são: [ k ] = 
Cm
W
o
⋅
 ou 
Km
W
⋅
 
 
A condutividade térmica k é uma propriedade de transporte do material. Geralmente, os 
valores da condutividade de muitos materiais encontram-se na forma de tabela na seção 
de apêndices dos livros-texto. 
 
Necessidade do valor de (-) na expressão 
 
Dada a seguinte distribuição de temperatura: 
 
Para 12 TT > 
T2
T1
T∆
x∆
T
xx1 x2 
 
0<xq (pois o fluxo de calor flui da região de maior para a de menor temperatura. Está, 
portanto, fluindo em sentido contrário a orientação de x) 
 
Além disso, do esquema; 0
0
0
>
∆
∆



>∆
>∆
x
T
x
T
, daí tem-se que o gradiente também será 
positivo, isto é: 
 
 0>
dx
dT
 mas, como 0>k (sempre), e 0>A (sempre), concluí-se que, 
então, é preciso inserir o sinal negativo (-) na expressão da condução de calor (Lei de 
Fourier) para manter a convenção de que 0>xq 
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Se as temperaturas forem invertidas, isto é, 21 TT > , conforme próximo esquema, a 
equação da condução também exige que o sinal de (-) seja usado (verifique!!) 
 
De forma que a Lei da Condução de Calor é: 
 
 Lei de Fourier (1822) 
 
 
 
(b) Convecção de Calor 
 
A convecção de calor é baseada na Lei de resfriamento de Newton (1701) 
 
 
 
 
 
 
 
 
)( ∞− TTAq Sα 
 
Onde a proporcionalidade α é dada pelo coeficiente de transferência de calor por 
convecção, h, por vezes também chamado de coeficiente de película. De forma que: 
 
 
 
onde: 
A : Área de troca de calor; 
ST : Temperatura da superfície; 
∞T : Temperatura do fluido ao longe. 
 
- O problema central da convecção é a determinação do valor de h que depende de 
muitos fatores, entre eles: geometria de contato (área da superfície, sua rugosidade e sua 
dx
dT
kAq
x
−= 
 
)( ∞−= TThAq S
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geometria), propriedades termodinâmicas e de transportes do fluido, temperaturas 
envolvidas, velocidades. Esses são alguns dos fatores que interferem no seu valor. 
 
 
(c) Radiação Térmica 
 
A radiação térmica é a terceira forma de transferência de calor e é regida pela lei de 
Stefan – Boltzmann. Sendo que Stefan a obteve de forma empírica (1879) – e 
Boltzmann, de forma teórica (1884). 
Corpo negro – irradiador perfeito de radiação térmica 
 
 
 (para um corpo negro) 
 
 
−σ constante de Stefan – Boltzmann (5,669.10-8 W/m2 K4) 
 
Corpos reais (cinzentos) 4ATq εσ= , onde ε é a emissividade que é sempre 1≤ 
 
Mecanismo físico: Transporte de energia térmica na forma de ondas eletromagnéticas 
ou fótons, dependendo do modelo físico adotado. Não necessita de 
meio físico para se propagar. Graças a essa forma de transferência 
de calor é que existe vida na Terra devido à energia na forma de 
calor da irradiação solar que atinge nosso planeta. 
4ATq σ= 
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AULA 2 – CONDUÇÃO DE CALOR 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR 
 
Condutibilidade ou Condutividade Térmica, k 
 
Da Lei de Fourier da condução de calor, tem-se que o fluxo de calor, q, é diretamente 
proporcional ao gradiente de temperaturas, de acordo com a seguinte expressão: 
 
x
T
kq


 , onde A é a área perpendicular à direção do fluxo de calor e k é a 
condutividade térmica do material. 
 
As unidades no SI da condutividade térmica, k, do material, são: 
 
   
  
 x
T
A
q
k    
m
C
m
W
k
o
2
   
Cm
W
k
o
 ou 
Km
W
.
 
 
Sendo: 
k: propriedade (de transporte) do material que pode ser facilmente determinada de forma 
experimental. Valores tabelados de diversos materiais se encontram na seção de 
apêndice do livro texto. 
 
Exemplo de experimento laboratorial para obtenção de k 
 
q 
A 
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No experimento indicado, uma corrente elétrica é fornecida à resistência elétrica 
enrolada em torno da haste do bastão. O calor gerado por efeito joule vai ser conduzido 
dentro da haste para fora do bastão (lado direito). Mediante a instalação de sensores de 
temperatura (termopares, p. ex.), pode-se levantar o perfil da distribuição de 
temperaturas como aquele indicado no gráfico acima. Estritamente falando, esse perfil 
temperatura é linear, como vai se ver adiante. Por outro lado, o fluxo de calor fornecido 
é a própria potência elétrica IUIRq  2 . Sendo a seçãotransversal A conhecida, 
então, da lei de Fourier, determina-se a condutividade térmica do material da haste, k. 
Neste caso, 
x
T
A
q
k


 . 
 
Um aspecto importante da condução de calor é que o mecanismo da condução de calor é 
diferente dependendo do estado físico e da natureza do material. Abaixo, indicam-se os 
mecanismos físicos de transporte de acordo com o estado físico. 
 
Gases 
 
O choque molecular permite a troca de energia cinética das moléculas mais 
energéticas para as menos energéticas. A energia cinética está relacionada com a 
temperatura absoluta do gás. Quanto maior a temperatura, maior o movimento 
molecular, maior o número de choques e, portanto, mais rapidamente a energia térmica 
flui. Pode-se mostrar que. 
 
Tk  
 
Para alguns gases, a pressão moderada, k é só função de T. Assim, os dados 
tabelados para uma dada temperatura e pressão podem ser usados para outra pressão, 
desde que seja à mesma temperatura. Isso não é valido próximo do ponto critico. 
 
Líquidos 
 
Qualitativamente o mecanismo físico de transporte de calor por condução nos 
líquidos é o mesmo que o dos gases. Entretanto, a situação é consideravelmente mais 
complexa devido à menor mobilidade das moléculas. 
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Sólidos 
 
Duas maneiras básicas regem a transferência de calor por condução em sólidos: 
vibração da rede cristalina e transporte por elétrons livres. O segundo modo é o mais 
efetivo e é o preponderante em materiais metálicos. Isto explica porque, em geral, bons 
condutores de eletricidade também são bons condutores de calor. A transferência de 
calor em isolantes se dá, por meio da vibração da rede cristalina, que é menos eficiente. 
 
O gráfico abaixo ilustra qualitativamente as ordens de grandeza da condutibilidade 
térmica dos materiais. Nota-se que, em geral, a condutibilidade aumento de gases, para 
líquidos e sólidos e que os metais puros são os de maior condutividade térmica. 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR EM COORDENADAS 
CARTESIANAS 
 
 
 
 
 
 
 
Balanço de energia em um 
volume de controle elementar 
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BALANÇO DE ENERGIA (1ª LEI) 
 
 
Fluxo de Taxa de Taxa temporal Fluxo de 
calor calor de variação calor que 
que entra no + gerada = da energia + deixa o 
 que V.C. no V.C. Interna no V.C. V.C. 
 
 (I) (II) (III) (IV) 
Sejam os termos: 
 
(I) Fluxo de calor que entra no V.C. 
 
Direção x 
x
T
dAk
x
T
dzdykq xxx





 - 
Direção y 
y
T
dzdxkq yy


 
y
kqyy Direção zy
kqzz 
 
 
(II) Taxa de calor gerado 
 
dz q '''G  dydxEG
 
 
onde: '''gq = Taxa de calor gerado na unidade de volume.  3mW 
 
(III) Taxa temporal de variação da energia interna 
 
t
T
cdzdydx
t
u
m
t
U
Ear









 
  
 
onde: c = calor específico; m = massa elementar do V.C. e  a densidade. 
CkgkJ o/
 
 
(IV) Fluxo de calor que deixa o V.C. – expansão em serie de Taylor: 
 
Direção x 
x
x
qqxxdxx  )(0 2dxdx
x
q
qq xxdxx 


 
 
Direção y 
 



 dy
y
q
qq
y
ydyy 
z
T
dydxkq zz


 
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Direção z 
 



 dz
z
q
qq zzdzz 
 
 
Então, juntando os termos (I) + (II) = (III) + (IV), vem: 
 
dz
z
q
qdy
y
q
qdx
x
q
q
t
T
cdxdydzdxdydzqqqq zz
y
y
x
xGzyx











  ''' 
 + ordem superior 
simplificando os termos zyx qqq e , , vem: 
 
, ''' dz
z
q
dy
y
q
dx
x
q
t
T
cdxdydzdxdydzq z
yx
G











  
 
e, substituindo a Lei de Fourier para os termos de fluxo de calor, 
 
 
dxdydzk
z
dxdydzk
y
dxdydzk
xt
T
cdxdydzdxdydzq zyxG 
z
T
 
y
T
 
x
T
 ''' 




























 
 
Eliminando o volume de controle elementar dxdydz, temos finalmente: 
 
 
 
 
 
 
Essa é a equação geral da condução de calor. Não existe uma solução geral analítica 
para a mesma porque se trata de um problema que depende das condições inicial e de 
contorno. Por isso, ela é geralmente resolvida para diversos casos que dependem da 
geometria do problema, do tipo (regime permanente) e das condições iniciais e de 
contorno. Evidentemente, procura-se uma solução do tipo: ),,,( tzyxTT  . A seguir 
são apresentados alguns casos básicos. 
 
Casos: 
 
A) Condutividade térmica uniforme (material isotrópico) e constante (independe 
de T) 
 
kkkk zyx  
t
T
k
q
z
T
y
T
x
T g
T













1
'''
2
2
2
2
2
2
2
  
 
 
t
T
 
z
T
 
y
T
 
x
T "'
































cqk
z
k
y
k
x
Gzyx  
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onde,  = c
k
 é conhecida como difusibilidade ou difusividade térmica, cuja unidade no 
SI é: 
   
   s
m
s
s
J
mW
Kkg
J
m
kg
Km
W
c
k ²²
3






















 
 
Essa equação ainda pode ser escrita em notação mais sintética da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
onde: 
2
2
2
2
2
2
2
zyx 







 é o operador matemático chamado de Laplaciano no 
sistema cartesiano de coordenadas. 
Esta última forma de escrever a equação da condução de calor é preferível, pois, 
embora ela tenha sido deduzida para o sistema cartesiano de coordenadas, ela é 
independe do sistema de coordenadas adotado. Caso haja interesse em usar outros 
sistemas de coordenadas, basta substituir o Laplaciano do sistema de interesse, como 
exemplificado abaixo, 
 
- Cilíndrico: 
2
2
2
2
2
2 11
zrr
r
rr 
















 
 
- Esférico: 
2
2
222
2
2
2 
sen 
1
 sen 
sen 
11


 






















rrr
r
rr
 
 
B) Sem geração de calor e k uniforme e constante, 0''' Gq 
 
 
 (Eq. de Fourier) 
 
C) Regime permanente (ou estacionário) e k uniforme e constante, 0


t
T
 
 
 
 (Eq. de Poisson) 
 
 
D) Regime permanente e k constante e uniforme 
 
 (Eq. de Laplace) 
t
T
k
q
T G




1'''2 
 
 
12
t
T
T




 
 0
'''
2 
k
q
T G
 
02  T
 
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AULA 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME 
PERMANENTE SEM GERAÇÃO – PLACA OU PAREDE PLANA 
 
O caso mais simples que se pode imaginar de transferência de calor por condução é o 
caso da parede ou placa plana, em regime permanente, sem geração interna de calor e 
propriedades de transporte (condutividade térmica) constantes. Este é o caso ilustrado 
na figura abaixo onde uma parede de espessura L, cuja face esquerda é mantida a uma 
temperatura T1 enquanto que a face à direita é mantida à temperatura T2. Poderia se 
imaginar que se trata, por exemplo, de uma parede que separa dois ambientes de 
temperaturas distintas. Como se verá, a distribuição de temperaturas T(x) dentroda 
parede é linear. 
 
 
 
 
Para resolver esse caso, vamos partir da equação geral da condução de calor, deduzida 
na aula anterior, isto é: 
t
T
k
q
T G




1'''2 
 
Introduzindo as simplificações do problema, vem: 
 
 i. Não há geração interna de calor: 0 Gq 
 ii. Regime permanente: 0



t
T
 
 iii. Unidimensional:  D1 2
2
2
x

 
 
Assim, com essas condições, vem que 0
2
2

x
Td
, e a solução procurada é do tipo T(x). 
 
Para resolver essa equação considere a seguinte mudança de variáveis: 
dx
dT
 
Logo, substituindo na equação, vem que 0
dx
d
 
 
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Integrando por separação de variáveis vem: 
 
  1Cd , ou seja: 1C 
 
Mas, como foi definido 
dx
dT
  1C
dx
dT
 
Integrando a equação mais uma vez, vem: 
 
21)( CxCxT  Que é a equação de uma reta, como já antecipado. 
 
Para se obter as constantes, deve-se aplicar as condições de contorno que, nesse 
exemplo, são dadas pelas temperaturas superficiais das duas faces. Em termos 
matemáticos isso quer dizer que 
 
(A) em x = 0  1TT  
(B) e em x = L  2TT  
 
De (A): 12 TC  
e de (B): 112 TLCT   
L
TT
C 121

 
 
Assim, 
 
 
 
 
Para efeito de ilustração, suponha que 21 TT  , como mostrado na figura abaixo. 
 
Cálculo do fluxo de calor transmitido através da 
parede 
. 
Para isso, deve-se usar a Lei de Fourier, dada por: 
dx
dT
kq  
e, substituindo a distribuição de temperaturas, 
vem: 
   
L
TT
kT
L
x
TT
dx
d
kq 12112





 , ou, 
em termos de fluxo de calor por unidade de área, 
temos: 
    mW 212''
L
TT
k
q
q



 
 
Esquecendo o sinal de (-), vem 
 
 
 
 
 
112 )()( T
L
x
TTxT  
L
T
kq

'' 
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Conhecida a equação que rege do fluxo de calor através da parede, podemos: 
 
 Aumentar o fluxo de calor q”: 
. Com o uso de material bom condutor de calor, isto é com k 
. Ou, pela diminuição da espessura da parede, isto é L 
 
Ou diminuir o fluxo de calor q”: 
. Com o uso de material isolante térmico k 
. Ou, pelo aumento da espessura da parede, isto é L 
 
 
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM 
GERAÇÃO INTERNA DE CALOR – TUBO CILÍNDRICO. 
 
Este é o caso equivalente, em coordenadas cilíndricas, ao da condução de calor 
unidimensional, em regime permanente, sem geração de calor e condutividade térmica 
constante estudado acima para uma parede ou placa plana. A diferença é que sua 
aplicação é para tubos cilíndricos. 
 
 
A equação geral é da forma 
t
T
k
q
T G




1'''2 
 
 
 
Neste caso, a geometria do problema indica que se deve resolver o problema em 
coordenadas cilíndricas. Para isso, basta usar o Laplaciano correspondente, isto é: 
 
t
T
k
q
z
TT
rr
T
r
rr
G



















111 '''
2
2
2
2
2
 
 
Introduzindo as simplificações: 
 
 i. Não há geração interna de calor: 0 Gq 
 ii. Regime permanente: 0



t
T
 
 iii. Unidimensional:  D1 , que é válido para um tubo muito longo, ou 
 seja, T não depende de z, logo 02
2



z
T
 
 iv. Há uma simetria radial, T não depende de , isto é: 02
2




T
 
 
As simplificações (iii) e (iv) implicam que se trata de um problema unidimensional na 
direção radial, r. A aplicação dessas condições resulta em: 
 
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0





dr
dT
r
dr
d
, onde a solução procurada é do tipo )(rTT  
 
As condições de contorno para a ilustração indicada acima são: 
 
A superfície interna é mantida a uma temperatura constante, isto é: ii TTrr  
A superfície externa é também mantida a uma outra temperatura constante, isto é: 
ee TTrr  
 
Solução: 
 
1a Integração – separe as variáreis e integra uma vez, para resultar em: 
 
 





10 Cdrdr
dr
dT
rd  1C
dr
dT
r  
 
Integrando pela 2a vez, após separação de variáveis, vem: 
 
   21 Cr
dr
CdT 
 
 
 
 
 
Portanto, a distribuição de temperaturas no caso do tubo cilíndrico é logarítmica e não 
linear como no caso da parede plana. 
 
Determinação de 1C e 2C por meio da aplicação da condições de contorno: 
 
(A) ii TTrr   21 )ln( CrCT ii  
 
(B) ee TTrr   21 ) ln( CrCT ee  
 
Fazendo-se (A) – (B), temos que 
e
i
1
r
r
ln CTT ei  , ou 
e
i
1
r
r
ln
 ei
TT
C

 
 
Finalmente, na eq. da distribuição de temperaturas: 
 
 
 
 
 
 
Distribuição de temperatura, supondo ei TT  . 
 
  21 )ln( CrCrT  
  e
ei T
TT
rT 


e
e
i r
r
ln
r
r
ln
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Te 
Ti 
re ri 
raio 
Lei logarítmica 
T 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O fluxo de calor é obtido através da Lei de Fourier, isto é, 
dr
dT
kq  
Atenção a esse ponto, a área A é a área perpendicular ao fluxo de calor e não a área 
transversal da seção transversal. Portanto, trata-se da área da “casquinha” cilíndrica 
ilustrada abaixo. 
 
 rLA 2 (casca cilíndrica), L é o comprimento do tubo 
 
Substituindo a distribuição logarítmica de temperatura na equação de Fourier, 
21 )ln()( CrCrT  , vem: 
 
 ])ln([2 21 CrC
dr
d
rLkq   
 ou, efetuando a derivação, temos: 
 
r
kLrCq
1
2 1 
 ou, ainda: 12 kLCq  
 
Substituindo, 1C : 
 










e
i
r
r
ln
2 ie
TT
kLq 
 (W) 
 
 
O fluxo de calor total q é constante através das superfícies cilíndricas! 
Entretanto, o fluxo de calor por unidade de área ''q depende da posição radial 
 








e
i
ie
r
r
TT
rL
kL
A
q
q
ln
)(
2
2''


 
 








e
i
ie
r
r
TT
r
k
q
ln
)(''  2mW 
 
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AULA 4 – PAREDES PLANAS COMPOSTAS 
 
 
Condução unidimensional, regime permanente, sem geração de calor – paredes 
compostas. 
 
 
 
Para resolver de forma rápida e simples este problema, note que o fluxo de calor q é o 
mesmo que atravessa todas as paredes. Assim, para cada parede pode-se escrever as 
seguintes equações: 
 
- parede 1: 
1
21
1
)(
L
TT
Akq

  
Ak
qL
TT
1
1
21  
 
- parede 2: 
2
32
2
)(
L
TT
Akq

  
Ak
qL
TT
2
2
32  
 
- parede 3: 
3
43
3
)(
L
TT
Akq

  
Ak
qL
TT
3
3
43  
 
Assim, somando os termos _____________ 
de todas as paredes: 
Ak
L
qTT
i
i 41 
ou, simplesmente, 
 
R
T
q

 
 
onde o T refere-se à diferença total de temperaturas da duas faces externas e R é a 
resistência térmica da parede composta, dada por 
Ak
L
R
i
i 
 
ANALOGIA ELÉTRICA 
 
Nota-se que existe uma analogia elétrica perfeita entre fenômenos elétricos e térmicos 
de condução de calor, fazendo a seguinte correspondência: 
qi  
TU  
TÉRMICOÔHMICO
RR  
 
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Por meio de analogia elétrica, configurações mais complexas (em série e paralelo) de 
paredes podem ser resolvidas.Circuito elétrico equivalente 
 
 
Fluxo de calor que é: 
T
total
R
T
q

 
5//1 RRRRT  
com 
432//
1111
RRRR
 
 
 
 
CONDUÇÃO EM PLACA PLANA COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR 
 
Geração interna de calor pode resultar da conversão de uma forma de energia em calor. 
 
Exemplos de formas de energia convertidas em calor: 
 
1. Geração de calor devido à conversão de energia elétrica em calor 
 
2RIP  (W) 
 
Onde: P : potência elétrica transformada em calor por efeito joule(W) 
R : resistência ôhmica ( ) 
I : corrente elétrica (A) 
 
Ainda, U : diferença de potencial elétrico (V) 
 UIP  ou 
R
U
P
2
 
 
q 
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Em termos volumétricos, '''
Gq )/(
3mW , 
V
P
qG 
'''
 (W/m3), onde V : volume onde o 
calor é gerado. 
 
2. Geração de calor devido a uma reação química exotérmica )0( ''' Gq como, por 
exemplo, o calor liberado durante a cura de resinas e concreto. Já, no caso de uma 
reação endotérmica, 0''' Gq . 
 
3. Outras formas tais de geração de calor devido à absorção de radiação, nêutrons, etc... 
 
 
 
Parede (placa) plana com geração de calor uniforme (resistência elétrica plana). 
 
 Lb  
T1
T2
2b
i
 
 
 
 
 
Equação geral 
 
t
T
k
q
T G




1
'''
2 sendo que 0


t
T
 (regime permanente.) 
 0
'''
2 
k
q
T G )(xTT  
 
Condições de contorno: 
 
(1) Lx  1TT  
 
(2) Lx  2TT  
 
 
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Solução 
 Seja a seguinte mudança de variável (apenas por conveniência): 
dx
dT
 , 
Então 
k
q
dx
d G
'''


 
 
Integrando essa equação por partes, vem: 
 
 

 1
'''
Cdx
k
q
d G , mas como 1
'''
 então , Cx
k
q
dx
dT
dx
dT G  
 
Integrando novamente: 
 
 
 
 
Obs.: Trata-se de uma distribuição parabólica de temperaturas. 
 
 Como no caso da resistência elétrica '''
Gq (geração de calor) é positivo e, 
claro, k também é positiva, a constante que multiplica o termo 2x é negativa 
 parábola com a concavidade voltada para baixo. Por outro lado, se '''
Gq 
for negativo, o que pode ocorrer com processos de curas de algumas resinas 
(processos endotérmicos), então a concavidade será voltada para cima. 
 
Determinação das constantes 1C e 2C : 
 
Condições de contorno 
 
(1) 
21
2'''
1
2
CLC
k
Lq
T G  - temperatura da face esquerda conhecida 
(2) 
21
2'''
2
2
CLC
k
Lq
T G  - temperatura da face direita conhecida 
 
Somando (1)+(2), vem: 
 
 
2
2'''
21 2C
k
Lq
TT G 

  
k
LqTT
C G
22
2'''
21
2 

 . 
 
Substituindo em (1) ou (2), tem-se 
L
TT
C
2
12
1

 
 
Então, a distribuição final de temperaturas é: 
 
 
 
 
 
 
 
21
2'''
2
)( CxC
k
xq
xT G 

 
22
)(
2
)(
)( 2112
22''' TT
L
x
TT
k
xLq
xT G



 
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 CASOS: 
 
(A) Suponha que as duas faces estejam à mesma 
temperatura: STTT  21 . Daí, resulta que: 
 
 
 
 
 
É uma distribuição simétrica de temperaturas. A máxima temperatura, nesse caso, 
ocorre no plano central, onde 0x (note a simetria do problema). Se for o caso pouco 
comum de uma reação endotérmica, ou '''
Gq < 0, a concavidade seria voltada para abaixo 
e, no plano central, haveria a mínima temperatura. 
 
Também poderia se chegar a essa expressão usando 0
dx
dT
 
 
S
G
CMÁX
T
k
Lq
TT 
2
2'''
 
 
 O fluxo de calor (lei de Fourier) 
 
dx
dT
kAq  ou 
 
dx
dT
k
A
q
q '' , substituindo a distribuição de temperaturas, vem: 
 










 S
G T
k
xLq
dx
d
kq
2
)( 22
'''
'' , 
 
ou, simplesmente: 
 
 
No plano central (x = 0) o fluxo de calor é nulo devido à simetria do problema e das 
condições de contorno. 
 
Dessa forma, o plano central age como o caso de uma parede adiabática, 0'' q 
 
 
 
 
 
 (B) Nesse caso, suponha que a temperatura de uma das faces seja maior: 21 TT  
S
G T
k
xLq
xT 


2
)(
)(
22'''
 
'''''
Gxqq  
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Plano em que ocorre a máxima temperatura, máxT ( máxx ) 
 
Sabemos que o fluxo de calor é nulo em máxx : 
 
0
máxx
dx
dT
k ou 
 
 0
22
)()(
2
21
12
22
'''





 

TT
L
x
TTxL
k
q
dx
d G , que resulta em: 
 
0
2
)( 12
'''



L
TT
x
k
q
máx
G 
 
Cuja solução é: 
 
 
 
Substituindo-se o valor de xmáx na expressão da distribuição da temperatura, encontra-se 
o valor da máxima temperatura máxT . Tente fazer isso! 
 
PENSE: Suponha que você é um engenheiro perito e é chamado para dar um parecer 
sobre um incêndio com suspeita de ter origem no sobreaquecimento do sistema elétrico. 
Como você poderia, a partir de uma análise na fiação elétrica, inferir se houve ou não 
sobreaquecimento à luz da matéria exposta acima? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
'''
12
2
)(
G
máx
Lq
kTT
x


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AULA 5 - CONDUÇÃO DE CALOR EM CILINDROS 
MACIÇOS EM REGIME PERMANENTE COM GERAÇÃO 
INTERNA DE CALOR 
 
Nesta aula, vai se estudar o caso da geração interna 
de calor em cilindros maciços. Como exemplo de 
aplicação tem-se o calor gerado por efeito joule 
devido à passagem de corrente elétrica em fios 
elétricos, como indicado na figura ao lado. 
 
Partindo da equação geral da condução de calor: 
 0
1
'''
2 



t
T
k
q
T G

 (Regime permanente) 
 
Onde é conveniente usar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas, isto é: 
 
  
2
2
2
2
2
2 11
z
TT
rr
T
r
rr
T

















 
 
Hipóteses adicionais 
- simetria radial: 0
2
2




 (não há influência da posição angular numa seção 
 transversal) 
- o tubo é muito longo: 0
2
2



z
 (não há efeitos de borda na direção axial) 
 
Logo, trata-se de uma distribuição de temperaturas unidimensional na direção radial, ou 
seja, )(rTT  
 
Assim, introduzindo essas simplificações na equação geral da condução, vem: 
 
0
1
'''






k
q
dr
dT
r
dr
d
r
G 
 
Ou, integrando por partes: 
 
1
'''
Crdr
k
q
dr
dT
rd G 





  , ou, ainda: 1
2'''
2
C
k
rq
dr
dT
r G  
 
Integrando novamente por separação de variáveis: 
 
 
2
1
'''
2
Cdr
r
C
r
k
q
dT G 








  
 
 
 
21
2'''
ln
4
)( CrC
k
rq
rT G  
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28
* condições de contorno para obtenção das constantes C1 e C2: 
 
(1) STrrT  )( 0 a temperatura da superfície TS é conhecida 
(2) 0
0

rdr
dT
 simetria radial na linha central 
 
Isso implica dizer que o fluxo de calor é nulo na linha central e, como decorrência, 
também pode-se afirmar que a máxima temperatura máxT ocorre nessa linha. 
 
Da segunda condição de contorno, vem que: 
 
0
2
lim 1
'''
0







 r
C
k
rqG
r
 
 
Do que resulta em 01 C , para que a expressão permaneça sempre nula. 
Da primeira condição de contorno. 
 
2
2'''
4
C
k
rq
T GS  ou, k
rq
TC GS
4
2
0
'''
2  
 
Finalmente,a equação da condução de calor fica: 
 
 
 
 
 
É uma distribuição parabólica de temperatura (2º. grau) ! 
 
 
 
Sendo, S
G
máx T
k
rq
T 
4
2
0
'''
 
 
 
 
 
 
 
 
  SG Trr
k
q
T  220
'''
4
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29
 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
Considere um tubo cilíndrico longo revestido de isolamento térmico perfeito do lado 
externo. Sua superfície interna é mantida a uma temperatura constante igual a iT . 
 
Considere, ainda, que ocorre geração de calor '''
Gq uniforme. 
a) calcule a distribuição de temperaturas; 
b) determine o fluxo de calor total removido (internamente); 
c) determine a temperatura da superfície externa. 
 
 
 
Solução: 
 
Hipóteses: as mesmas que as anteriores. 
 
Eq. 0
1
'''






k
q
dr
dT
r
dr
d
r
G 
 
Condições de contorno: 
 
 (1) ii TrrT  )( (temperatura interna constante) 
 
 
(2) 0
erdr
dT
 (fluxo de calor nulo na superfície) 
 
A solução geral, como já visto, é: 
 
21
2'''
ln
4
)( CrC
k
rq
rT G  
 
Onde 1C e 2C saem das condições de contorno do problema específico: 
 
k
rq
C eG
2
2'''
1  ; 














 )ln(2
4
22'''
2 i
e
ieG
i r
r
r
k
rq
TC 
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30
i
ie
ieG T
r
r
r
rr
k
rq
rT 
















 ln2
4
)(
2
222'''
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
O fluxo de calor é: 
 
dr
dT
kAq  
 
 
)()2( rT
dr
d
rLkq  
Após substituir a distribuição de temperaturas e efetuar da derivada, vem: 
 
 22''' ieG rrq
L
q
  (W/m) 
 
A temperatura máxima é: 
 
emáx TT  
 
i
i
e
e
eieG
emáx T
r
r
r
rr
k
rq
TT 













 ln2
4 2
222'''
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OUTRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
 
Num fio de aço inoxidável de 3,2mm de diâmetro e 30cm de comprimento é aplicada 
uma tensão de 10V. O fio está mantido em um meio que está a Co95 e o coeficiente de 
transferência de calor vale CmkW o2/10 . 
Calcule a temperatura no centro do fio. A resistividade do fio e de cm70 e sua 
condutibilidade térmica vale CmW o/5,22 
 
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CT oc 267 
Solução: 
 
 
Calor gerado por unidade de volume, isto é, a potência elétrica dissipada no volume. 
R
U
RiP
2
2  ; 
A
L
R  
m 81070 
mL 3,0 , 26
232
100425,8
4
)102,3(
4
m
D
A 



  



 


2
6
8
106111,2
100425,8
3,01070
R 
kWP 830,3
106111,2
100
2




 
3,0100425,8
1083,31083,3
6
33






LAV
P
qG 
3
910587,1
m
W
qG  
hA
P
TTTThAP PP   )( 
3,0)102,3(1010
1083,3
95
33
3



P
T 
CT oP 222 
k
rq
TT oGPc
4
2
 
5,224
)106,1(10587,1
222
239




cT 
 
 
 
 
 
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RESISTÊNCIA TÉRMICA – Várias Situações 
 
 
 
- paredes planas 
 
 
R
TT
q 21

 
kA
L
R  
 
 
- circuito elétrico 
 
 
 
 
- paredes compostas 
 
 
 
- Circuito elétrico 
 
 
 
Ainda, 
 
 
 
 
onde 
432//
1111
RRRR
 
5//1 RRRREQ  
EQR
TT
q 21

 
 
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- Tubo cilíndrico 
 
 
R
TT
q ei

 ; 
kL
r
r
R i
e
2
ln 





 
 
 
 
- Tubo cilíndrico composto 
 
 
- Circuito elétrico 
 
 
 
ieq RR  
 
 
 
 
 
 
 
Para dois tubos: 
 
Lk
r
r
R
1
1
2
1
2
ln







 
Lk
r
r
R
2
2
3
2
2
ln







 
 
Lk
r
r
R
i
i
i
eq 2
ln 1 







 
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Por indução, como deve ser a resistência térmica devido à convecção de calor? 
 
 
 
Lei de convecção (Newton) 
 
)(  TThAq p e 
hA
TT
q p
1
 
onde, 
hA
1
 é a resistência térmica de convecção 
 
- Circuito elétrico 
 
 
 
Para o caso em que houver convecção em ambas as paredes: 
 
 
 
 
 
 
- Convecção em tubo cilíndrico 
 
 
 
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Tabela resumo de Resistências Térmicas 
 
 Circuito Elétrico 
Fluxo de 
Transferência 
de calor 
Resistências 
Térmicas 
Parede plana 
 
 
 
 
R
TT
q 21

 
kA
L
R  
Parede plana com 
convecção 
 
 R
TT
q 21 

 
321 RRRR 
AhkA
L
Ah
R
21
11
 
 
 
Paredes compostas 
 
 
EQR
TT
q 21

 
5//1 RRRREQ 
432//
1111
RRRR
 
Tubo cilíndrico 
 
 
R
TT
q ei

 
kL
r
r
R i
e
2
ln 





 
Tubo cilíndrico 
composto 
 
 
EQ
ei
R
TT
q

 
Lk
r
r
R
i
i
i
eq 2
ln 1 







 
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Convecção em tubo 
cilíndrico 
 
 
EQ
ei
R
TT
q

 
hAkL
r
r
R i
e
eq
1
2
ln









 
 
 
COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR U 
 
O coeficiente global de transferência de calor é definido por: 
 
totalTUAq  
 
 
Claramente, U está associado com a resistência térmica, 
 
 
- parede plana 
 
AhkAAh
R
21
111
 
 
TUA
R
T
q 

 
 
R
UA
1
 ou 
RA
U
1
 
Logo, 
 
21
11
1
hk
L
h
U

 
 
- tubo cilíndrico 
 
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Há um problema associado com a área de referência. É preciso dizer se U se refere à 
área interna do tubo, iU , ou à área externa, eU . No entanto, os dois valores são 
intercambiáveis mediante a seguinte expressão: 
 
totaliitotalee TAUTAU  
 
Logo, iiee AUAU  
U referido à área externa 
  
e
r
r
e
e
hkL
A
U
i
e 1
2
ln
1



 
U referido à área interna 
 
  
ee
ir
r
i
i
hA
A
kL
A
U
i
e


2
ln
1
 
 
 
RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO TÉRMICO 
 
As tubulações que transportam fluidos aquecidos (ou frios) devem ser isolados do meio 
ambiente a fim de restringir a perda de calor do fluido (ou frio), cuja geração implica 
em custos. Aparentemente, alguém poderia supor que a colocação pura e simples de 
camadas de isolamentos térmicos seria suficiente. Entretanto, um estudo mais 
pormenorizado mostrará a necessidade de se estabelecer um critério para realizar esta 
operação. 
 
 
  
hLrkL
TT
q
e
r
r
i
i
e
 2
1
2
ln


  
 
ou, 
 
hrk
TTL
q
e
r
r
i
i
e 1ln
)(2


 

 
 
 
Note que no denominador dessa expressão que 
o raio externo tem duas contribuições: um no 
termo de condução e a outra no termo de 
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h
k
rcrit  
convecção. De forma que, se o raio externo do isolamento aumentar por um lado ele 
diminui uma das resistências térmicas (a de convecção), enquanto que por outro ladoa 
resistência térmica de condução aumenta. Isto está ilustrado no gráfico acima e dá 
origem a um ponto de maximização. Do Cálculo, sabe-se que o máximo da 
transferência de calor ocorre em: 
 
 
  

















 
2.
1
.
1
2
1ln
)(2
0
e
rhe
rk
hrk
TTL
dr
dq
e
r
r
i
e
i
e

 
 
Assim, 
 
2
11
ee hrkr
  
 
critr é o chamado raio crítico de isolamento. 
Se o raio crítico de isolamento for originalmente menor que 
h
k
 a transferência de calor 
será aumentada pelo acréscimo de camadas de isolamento até a espessura dada pelo raio 
crítico – conforme tendência do gráfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao 
desejado de diminuir o fluxo de calor. Por outro lado, se originalmente a espessura de 
isolamento for maior que a do raio crítico, adições sucessivas de camadas isolantes vão 
de fato diminuir a perda de calor. 
Para exemplificar, considere um valor do coeficiente de transferência de calor por 
convecção de h = 
Cm
W
o2
7 (convecção natural), teste de alguns valores da 
condutividade de materiais isolantes. 
 
material  
Cm
W
ok critr (mm) 
Teflon 0,350 50,0 
Papel 0,180 25,7 
Couro 0,159 22,7 
Borracha macia 0,130 18,6 
Silicato de cálcio 0,055 7,9 
Lã de vidro 0,038 5,4 
Poliestireno expandido 0,027 3,9 
Folhas de papel e alumínio 
de vidro laminado 
0,000017 0,0024 
 
 
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Como se vê, o raio crítico é relevante para pequenos diâmetros, tais como, fios elétricos. 
 
Exercícios sugeridos do Incropera: 3.4; 3.5; 3.11; 3.32; 3.34; 3.38 
 
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AULA 6 - ALETAS OU SUPERFÍCIES ESTENDIDAS 
 
Considere uma superfície aquecida (resfriada) que se deseja trocar calor com um fluido. 
 
 
 
 
Da lei de resfriamento de Newton, vem que o fluxo de calor trocado é dado por, 
  TThAq s ,onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, A é a 
área de troca de calor e Ts e T∞ são as temperaturas da superfície do fluido (ao longe). 
Por uma simples análise, sabe-se que a transferência de calor pode ser melhorada, por 
exemplo, aumentando-se a velocidade do fluido em relação à superfície. Com isso, 
aumenta-se o valor do coeficiente de transferência de calor h e, por conseguinte, o 
fluxo de calor trocado, como dado pela expressão anterior. Porém, há um preço a pagar 
e este preço é o fato que vai se exigir a utilização de equipamentos de maior porte de 
movimentação do fluido, ou seja, maiores ventiladores (ar) ou bombas (líquidos). 
Uma forma muito empregada de se aumentar a taxa de transferência de calor consiste 
em aumentar a superfície de troca de calor com o emprego de aletas, como a ilustrada 
abaixo. 
 
 
Assim, o emprego das aletas permite uma melhora da transferência de calor pelo 
aumento da área exposta. 
 
Exemplos de aplicação de aletas: 
 
(1) camisa do cilindro de motores de combustão interna resfriados a ar (velho fusca); 
(2) motores elétricos; 
(3) condensadores; 
(4) dissipadores de componentes eletrônicos. 
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TIPOS DE ALETAS 
 
A figura abaixo indica uma série de exemplos de aletas. Evidentemente, existem 
centenas ou milhares de formas construtivas que estão, muitas das vezes, associadas ao 
processo construtivo das mesmas (extrusão, soldagem, etc). 
 
 
 
Figura 1– Diferentes tipos de superfícies aletadas, de acordo com Kreith e Bohn. (a) 
aleta longitudinal de perfil retangular; (b) tubo cilíndrico com aletas de perfil 
retangular; (c) aleta longitudinal de perfil trapezoidal; (d) aleta longitudinal de perfil 
parabólico; (e) tubo cilíndrico equipado com aleta radial; (f) tubo cilíndrico equipado 
com aleta radial com perfil cônico truncado; (g) pino cilíndrico; (h) pino cônico 
truncado; (i) pino parabólico. 
 
EQUAÇÃO GERAL DA ALETA 
 
 
 
 
Volume de controle 
elementar, C 
 
 
Hipóteses: 
 
- regime permanente; 
- temperatura uniforme na seção transversal; 
- propriedades constantes. 
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Balanço de energia 
 
































convecçãopCVdo
saiquequecalordefluxo
III
conduçãopCVo
deixaquequecalordefluxo
II
conduçãopCVno
entraquecalordefluxo
I
/../../..
 
 
(I) 
dx
dT
kAq xx  
(II) )( 2dxodx
dx
dq
qq xxdxx  expansão em serie de Taylor 
(III) )(  TThAqc 
 )(  TThPdxqc 
 
P : perímetro “molhado”, isto é, a superfície externa da aleta que se encontra em 
contato com o fluido. 
 
Substituindo-se as equações acima no balanço global de energia, vem: 
 dxTThPdxdx
dx
dq
qq xxx   )( 
0)(  TThP
dx
dqx 
 
Ou, substituindo a lei de Fourier da condução: 
 
0)( 





 TThP
dx
dT
A
dx
d
k x 
 
Sendo dTdTT    
 
0







k
hP
dx
d
A
dx
d
 Equação Geral da Aleta 
)(x  
)(xAA  
 
 
ALETA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE: RETANGULAR 
 
Do ponto de vista matemático, a equação de aleta mais simples de ser resolvida é a de 
seção transversal constante como, por exemplo, uma aleta de seção retangular ou 
circular. Assim, da equação geral para esse caso, com A = cte, vem: 
 
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43
mxmx ececx  21)( 
02
2
2
 


m
d
d
, 
kA
hP
m 2 
A solução é do tipo: , 
 
conforme solução indicada abaixo no “ lembrete de cálculo” , já que o polinômio 
característico possui duas raízes reais e distintas (m e –m). 
 
 
LEMBRETE DE CÁLCULO 
 
Solução geral de equação diferencial homogênea de a2 ordem e coeficientes constates 
 
0
2
2
 cy
dx
dy
b
dx
yd
 
 
Assume nxey  
 
Substituindo, vem 
 
nxnxnx cebmeem 2  nxe 
Obtém-se o polinômio característico 
 
02  cbnn 
 
Caso 1: 1n e 2n reais e distintos 
 
xnxn ececy 21 21  
 
Caso 2: 1n e 2n reais iguais 
 
xnxn xececy 11 21  
 
Caso 3: conjugados complexos 
 qipn 1 ; qipn 2 
 
 )]()cos([ 21 qxsencqxcey
px  
 
Onde, 
2
b
p  ; 
2
4 2bc
q

 
 
 
 
 
 
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44









 
x
kA
hP
b
mx
b e
x
ex



)(
)( 
Determinação das constantes 1c e 2c vêm das condições de contorno: 
 
a1 Condição de Contorno 
 
 






TT
TT
xpara
bb
b
 )0(
)0(
0 
 
0
2
0
1
 ececb 
 
 
 
 
 
 
A outra relação entre as condições de contorno, depende do tipo de aleta, conforme 
os casos (a), (b) e (c), abaixo estudados: 
 
(a) aleta muito longa 
 Nesse caso, admite-se que a aleta é muito longa que, do 
ponto de vista matemático, tem-se 
 
 
0  ouTTx 
 
Assim, 
 
  bmxmx
x
ccecec 2121 0lim0 


 
De forma que, a distribuição de temperaturas nesse caso é: 
 
 
 
 
 
Ou, substituindo a definição de  , vem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
bcc  21 










 

 xkA
hP
b
e
TT
TxT )(
 
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45
 
 
O fluxo de calor totaltransferido pela aleta 
 
 
O fluxo de calor total transferido pela aleta pode 
ser calculado por dois métodos: 
 
(1) aletabasecondaleta qq . (o fluxo de calor total 
transferido é igual ao fluxo de calor por condução na base da aleta) 
 
(2) dxTThPqaleta )(
0


  (o fluxo de calor total transferido é a integral do 
fluxo de calor convectivo ao longo de toda a superfície da aleta) 
 
Usando o método (1), vem: 
 
00 

x
b
x
baleta
dx
d
kA
dx
dT
kAq

 
 
Mas, cteAAb  
 
0
)(

 
x
mx
b
mx
baleta emkAe
dx
d
kAq  
kA
hP
kAq baleta  
 hPkAq baleta  ou )(  TThPkAq baleta 
 
 
Pelo outro método (2): 
 
 dxhPqaleta 


0
 ; cteP  
 dxehPq mxbaleta 


0
 
 
  bbmb
mx
b
mx
baleta hPkA
m
hP
e
m
hP
m
e
hPdxehPq 

 





 1limlimlim
0
0








 




  
 
ou, )(  TThPkAq baleta o mesmo resultado anterior! 
 
 
 
(b) caso em que a extremidade da aleta é adiabática 
(finito) 
 Nesse caso, admite-se que a transferência de calor na 
extremidade da aleta é muito pequeno. Portanto, 
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46










mLmL
mL
b
ee
e
c 1 
admite-se que é adiabático: 
 
 
 
LxLx dx
d
dx
dT



0 (extremidade adiabática), ou   021  mxmx ecec
dx
d
 
 
De onde, se obtém, 
mLmL
mL
b
ee
e
c



2 
 
Mas como bcc  21 , então: 
 
 
Logo, substituindo na equação, vem: 
mx
c
mLmL
mL
mx
c
mLmL
mL
b
e
ee
e
e
ee
e 







21


 
Ou 
 
  2/
2/)()(
mLmL
xLmxLm
b ee
ee







 ou 
 
 
 mL
xLmx
b cosh
)(cosh)( 



 
 
lembrete de funções hiperbólicas: 
 
FUNÇÃO DEFINIÇÃO DERIVADA 
senhx 
2
xx ee 
 
xcosh 
xcosh 
2
xx ee 
 
senhx 
tghx 
x
senhx
cosh
 
xh2sec 
 
O fluxo de calor total transferido pela aleta 
 
O mesmo resultado do caso anterior 
 



 

 00 cosh
)(cosh
x
b
x
aleta
mL
mxL
dx
d
kA
dx
d
kAq

 
 
)(
)cosh(
)(
m
mL
mLsenhkA b 



 
 
)(mLtghmkA b 
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     
  )(cosh
)()(cosh)(
mLsenh
mk
hmL
xLmsenh
mk
hxLmx
b 




 
 
  )()cosh(
)()(
mLsenh
mk
hmL
mLconh
mk
hmLsenh
hPkAq b


  
)(mLtghhPkAq b 
 
(c) aleta finita com perda de calor por convecção na extremidade 
 
Caso realista. 
Condição de contorno na extremidade: 
 
em 



 

)( TTh
dx
dT
kLx L
Lx
 condução na extremidade = convecção 
 
Distribuição de temperaturas 
 
 
 
 
 
 
Fluxo de calor 
 
 
 
 
 
 
Comprimento Corrigido de Aleta 
 
Em muitas situações, costuma-se usar a solução do caso (b) – extremidade adiabática – 
mesmo para os casos reais. Para isso, usa-se o artifício de “rebater” a metade da 
espessura t para cada lado da aleta e definir o chamado comprimento corrigido de aleta, 
LC. Com isso, usa-se o caso (b) de solução mais simples. 
b t
L t/2
Lc=L+t/2
 
 
2/tLLc  
 
O erro introduzido por 
essa aproximação será 
menor que 8% desde que 
5,0
k
ht
 
 
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48
AULA 7 – EFICIÊNCIA E EFETIVIDADE DE ALETAS 
 
 
Eficiência de Aleta 
 
A teoria desenvolvida na aula anterior é bastante útil para uma análise em detalhes para 
o projeto de novas configurações e geometrias de aletas. Para alguns casos simples, 
existem soluções analíticas, como foi o do caso estudado da aleta de seção transversal 
constante. Situações geométricas ou que envolvem condições de contorno mais 
complexas podem ser resolvidas mediante solução numérica da equação diferencial 
geral que governa o processo de transferência de calor na aleta. Na prática, a seleção de 
aletas para um caso específico, no entanto, geralmente usa o método da eficiência da 
aleta. Sendo que a eficiência de aleta, A , é definida por 
 
 
idealcasobasetempàestivessealetaacasootransmitidseriaquecalorfluxo
realcasoaletapotransmitidcalordefluxo
A



.
/
 
 
 
 
Pode ser utilizado o comprimento corrigido, dado por: Lc = L+ t/2 
 
Para o caso estudado na aula anterior da aleta retangular de extremidade adiabática, a 
aplicação da definição de eficiência de aleta resulta em: 
 
c
c
bc
cb
A
mL
mLtgh
hPL
mLtghhPkA )()(



 , com 
kA
hP
m  
 
Por outro lado, o perímetro molhado é dado por 
 
btbP 2)(2  (para t << b, aleta fina), sendo btA  , de onde se obtém: 
cc L
kt
h
mL
2
 
 
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49
Cálculo do Fluxo de Calor Através da Aleta 
 
Da definição de eficiência de aleta, o fluxo de calor real transferido pela aleta, qA, pode 
ser obtido por meio de maxqq AA  , onde o máximo fluxo de calor transferido, qmax, é 
aquele que ocorreria se a aleta estivesse toda à temperatura da base, isto é: 
 
bahAq max , 
 
onde Aa é a área total exposta da aleta e  TTbb 
 
 
Assim, o fluxo de calor real transferido pela aleta é: 
 
baaA hAq  
 
Note que a eficiência da aleta, a , selecionada sai de uma tabela, gráfico ou equação. 
Na página seguinte há uma série de gráficos para alguns tipos de aletas. 
 
 
Deve-se usar aleta quando: 
 
(1) h é baixo (geralmente em convecção natural em gases, como o ar atmosférico) 
 
(2) Deve-se usar um material de condutividade térmica elevado, tais como cobre e 
alumínio, por razões que veremos adiante. 
 
O alumínio é superior devido ao seu baixo custo e baixa densidade. 
 
 
 
 
Exemplo de Aplicação 
 
Em um tubo de diâmetro externo de 2,5 cm são 
instaladas aletas circulares de alumínio por um processo 
de soldagem na superfície. A espessura das aletas é de 
0,1 cm e o diâmetro externo das mesmas é de 5,5 cm, 
como ilustrado. Se a temperatura do tubo for de 100 oC 
e o coeficiente de transferência de calor for de 65 
W/m2 K, calcule o fluxo de calor transferido pela aleta. 
 
 
Solução 
 
Trata-se de aleta circular de alumínio. O valor da condutividade térmica é de 
aproximadamente 240 W/mK (obtido por consulta a uma tabela de propriedades 
termofísicas dos sólidos). Vamos calcular os parâmetros do gráfico correspondente dado 
na página 50 à frente. 
 
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50
m
t
LLmL
mt
c 0155,0
2
 015,001,0
2
)5,25,5(
 001,0




 
    255,01055,1240650155,0 1055,1001,00155,0 5,055,12123c25   PcP kAhLmtLA
 
Para o uso do gráfico, precisamos ainda da razão entre o raio externo corrido e o raio 
interno da aleta. 
 
24,2
25,1
2/1,075,22/
1
2
1
2 




r
tr
r
r c Com esses dois parâmetros no gráfico, obtemos 
%91A . Assim, o fluxo de calor trocado pela aleta é: 
, 5,177500394,06591,0 WhAq baaA   Já que a área exposta da aleta, 
vale,   . 00394,02 22122 mrrA ca   
 
Exemplo de Aplicação (cont...) 
 
Admitindo que o passo das instalações da aleta é de 1 cm, qual deve ser o fluxo de calor 
total transferido pelo tubo, se o mesmo tiver 1 m de comprimento. 
 
Solução 
 
O tubo terá 100 aletas. O fluxo de calor trocado por aleta já é conhecido do cálculo 
anterior. O fluxo de calor da porção de tubos sem aletas será: 
 
aletas. há não que em tubodo área a é onde ),( sassasa ATThAq  
 
  221 07068,0 8,7061,010010025,12)(2mcmtNLrA aTsa   
 
Assim, Wqsa 6,344)25100(07068,065  
 
O fluxo de calor trocado pelas 100 aletas será Wqca 17505,17100  
 
Finalmente, o fluxo total de calor trocado pelo tubo será 
 
Wqqq casaT 5,209417506,344  e %6,83%100
2095
1750
%  
 
Como se vê, a instalação das aletas aumenta consideravelmente a transferência de calor. 
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Ap – área de seção transversal de aleta 
 
 
 
 
Tipo Aa área total exposta da aleta 
b – largura da 
aleta 
Lc = L-corrigido 
t = espessura 
Retangular cbL2 
Triangular   2/122 )2/(2 LLb  
Parabólica   2/122 )2/(05,2 LLb  
Anular   2/121222 rrb c  
 
Fluxo de calor transmitido 
pela aleta: 
 
baahAq 
 
 TTbb
 
Aa é a área total exposta da 
aleta 
 
 
Para obter a eficiência da 
aleta, use os dados 
geométricos disponíveis e 
os indicados nos gráficos. 
Uma vez obtida a 
eficiência da aleta, calcule 
o fluxo real de calor 
através da simples 
expressão acima. 
 
Comentários: 
 
Aleta triangular (y ~ x) 
requer menos material 
(volume) para uma mesma 
dissipação de calor do que 
a aleta retangular. Contudo, 
a aleta de perfil parabólico 
é a que tem melhor índice 
de dissipação de calor por 
unidade de volume (q/V), 
mais é apenas um pouco 
superior ao perfil triangular 
e seu uso é raramente 
justificado em função de 
maior custo de produção. 
A aleta anular é usada em 
tubos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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52
Efetividade da Aleta 
 
Como visto, a eficiência de aleta é somente um procedimento de cálculo, mas não 
indica se a transferência de calor realmente aumenta ou não com a instalação de aletas. 
Claro que está informação é crucial se o engenheiro pretende decidir pela instalação de 
aletas para incrementar a transferência de calor.Tal análise só pode ser feita através da 
análise da efetividade. Para que se possa efetivamente tomar uma decisão sobre o uso 
ou não de aletas, deve-se lançar mão do método da efetividade de aleta, . 
Nesse método, compara-se o fluxo de calor devido à presença da aleta com o fluxo 
de calor caso ela não tivesse sido instalada, ou seja: 
 
bb
aleta
aletas
aleta
hA
q
q
q

 
/
 
 
 
 
 
 
 
Note que o fluxo de calor sem a aleta, q s/aleta, é o que ocorreria na base da aleta, 
conforme ilustração acima. Como regra geral, justifica-se o caso de aletas para ε > 2. 
 
 
Para aleta retangular da extremidade adiabática 
 
bb
cb
hA
mLtghhPkA



)(
 
 
Nesse caso: A = Ab e, portanto, 
kPhA
mLtgh c
/
)(
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos de Aplicação 
 
Exemplo de aplicação 1 – Uma aleta de aço inoxidável, seção circular de dimensões L 
= 5 cm e r = 1 cm é submetida a três condições de resfriamento, quais sejam: 
 
A – Água em ebulição; h = 5000 W/m2K 
B – Ar – convecção forçada; h = 100 W/m2K 
C – Ar – Convecção natural; h = 10 W/m2K 
 
Calcule a efetividade da aleta, para os seguintes dados 
 
- k aço inox = 19 W/m K 
- Comprimento corrigido: Formula 
 
 
 
Solução: 
 
kPhA
mLtgh c
/
)(
 , com 
 
h
h
kr
h
rk
rh
kA
hP
m 24,3
01,0.19
222
2



 e  2/01,005,024,3  hmLc , ou 
seja: hmLc 178,0 . 
 
No denominador tem-se: h
h
k
hr
rk
rh
kP
hA
0162,0
19.2
01,0.
22
2



. 
Substituindo estes dois resultados na expressão da efetividade, vem: 
 
h
htgh
0162,0
)178,0(
 
 
 
 
 
 
 
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54
Agora, analisando os três casos (valores diferentes de h) 
 
Caso A : h = 5000 W/m2 K 873,0
145,1
1
50000162,0
)5000178,0(

tgh
 
 
 
Caso B : h = 100 W/m2 K 833,5
162,0
945,0
1000162,0
)100178,0(

tgh
 
 
Caso C : h = 10 W/m2K 0,10
051,0
510,0
100162,0
)10178,0(

tgh
 
 
Comentário 
 
- Como visto, a colocação da aleta nem sempre melhora a transferência de calor. No 
caso A, por exemplo, a instalação de aletas pioraria a transferência de calor. Um critério 
básico é que a razão hA/Pk deve ser muito menor que 1 para justificar o uso de aletas. 
 
Caso (A)  31,1
kP
hA
 
Caso (B)  026,0
kP
hA
 
Caso (C)  00262,0
kP
hA
 
 
- Informação importante: A aleta deve ser colocada do lado do tubo de menor 
coeficiente de transferência de calor que é também o de maior resistência térmica. 
 
Exemplo de aplicação 2 – Considerando o problema anterior, suponha que a aleta seja 
constituída de três materiais distintos e que o coeficiente de transferência de calor seja h 
= 100 W/m2 oC. Calcule a efetividade. 
Das tabelas de propriedades de transporte dos materiais, obtém-se: 
 
A – Cobre  k = 368 W/m K 
B – Aço inox  k = 19 W/m K 
C – Alumínio  k = 240 W/m K 
 
 
Solução: 
 
kkkr
h
m
4,141
01,0.
100.22
 e, portanto,  
kk
mLc
76,7
2/01,005,0
4,141
 
 
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55
No denominador, agora temos: 
kkk
hr
kP
hA
2
1
2
01,0.100
2
 
 
Substituindo ambos resultados, obtém-se: 
 
)/76,7(2 ktghk  
 
 
Caso (A): k = 368 W/m K (cobre) ε = 10,7 
 
Caso (B): k = 19 W/m K (aço inox) ε = 5,8 
 
Caso (C): k = 240 W/m K (alumínio) ε = 10,1 
 
Comentário: 
 
O material da aleta é bastante importante no que toca a efetividade de uma aleta. Deve-
se procurar usar material de elevada condutividade térmica (cobre ou alumínio). 
Geralmente, o material empregado é o alumínio por apresentar várias vantagens, tais 
como: 
 
(1) É fácil de ser trabalhado e, portanto, pode ser extrudado; 
(2) Tem custo relativamente baixo; 
(3) Possui uma densidade baixa, o que implica em menor peso final do 
equipamento; 
(4) Tem excelente condutividade térmica. 
 
Claro, que cada caso é um caso. Em algumas situações as aletas podem ser parte do 
projeto original do equipamento e serem fundidas juntamente com a peça, como ocorre 
com as carcaças de motores elétricos e os cilindros de motores resfriados a ar, por 
exemplo. Nesse caso, as aletas são feitas do mesmo material da carcaça do motor. 
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56
AULA 8 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME 
TRANSITÓRIO – SISTEMA CONCENTRADO 
 
Introdução 
 
Quando um corpo ou sistema a uma dada temperatura é bruscamente submetido a novas 
condições de temperatura no seu contorno como, por exemplo, pela sua exposição a um 
novo ambiente, certo tempo será necessário até que seja restabelecido o equilíbrio térmico. 
Exemplos práticos são aquecimento/resfriamento de processos industriais, tratamento 
térmico, entre outros. 
No esquema ilustrativo abaixo, suponha que um corpo esteja inicialmente a uma 
temperatura uniforme T0. Subitamente, ele é exposto a um ambiente que está a uma 
temperatura maior T∞2. Uma tentativa de ilustrar o processo de aquecimento do corpo está 
indicada no gráfico temporal do esquema. A forma da curva de aquecimento esperada é, de 
certa forma, até intuitiva para a maioria das pessoas, baseado na própria experiência 
pessoal. 
 
1∞T
10 ∞= TT
2∞T
2∞T
t∆ 
 
 
Uma análise mais detalhada e precisa do problema do aquecimento do exemploilustrativo acima vai, entretanto, indicar que o aquecimento do corpo não ocorre de forma 
uniforme no seu interior. Na ilustração que segue, indica-se de forma indicativa a 
temperatura na no centro Tc, e numa posição qualquer na superfície Ts. Note que as curvas 
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57
de aquecimento não são iguais. Isto indica que a variação da temperatura no corpo não é 
uniforme dentro do corpo, de uma forma geral. Esta análise que envolve o problema da 
difusão interna do calor, é um pouco complexa do ponto de vista matemático, mas pode ser 
resolvida para alguns casos de geometrias e condições de contorno simplificadas. Casos 
mais complexos podem ser resolvidas de forma numérica. Entretanto, o interesse da aula de 
hoje é numa hipótese simplificadora que funciona para um grande número de casos 
práticos. A ideia consiste em assumir que todo o corpo tenha uma única temperatura 
uniforme a cada instante, como foi ilustrado anteriormente, de forma que se despreze a não 
uniformidade da temperatura interna. Esta hipótese é chamada de sistema concentrado, 
como discutido na sequência. 
 
2∞T2∞T
 
 
 
Sistema Concentrado 
 
A hipótese é que a cada instante de tempo t, o sistema tenha uma só temperatura 
uniforme T(t). Isto ocorre em situações nas quais os sistemas (corpos) tenham sua 
resistência interna à condução desprezível face à resistência externa à troca de calor 
(geralmente convecção). 
Para conduzir essa análise, será lançado mão do esquema abaixo para o qual se realiza 
um balanço de energia, indicado a seguir. 
 
T0
∞T
q convecção
 
 
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58
 
Balança de energia 
 
 
 = 
 
 
 
 
Termo (I): 
 
dt
dT
c
dt
du
dt
du
m
dt
dU
∀=∀== ρρ 
 
m = massa do corpo; 
U = energia interna do corpo; 
u = energia interna específica do corpo; 
ρ = densidade do corpo; 
∀= volume do corpo; 
c = calor específico do corpo. 
 
Termo (II): 
 
)( ∞−−= TThAqconv 
 
h = coeficiente transferência de calor por convecção para o fluido circunvizinho; 
A = área da superfície do corpo em contato com o fluido; 
T = temperatura instantânea do corpo T = T (t); 
T∞ = temperatura ao longe do fluido. 
 
Assim, pelo esquema do balanço de energia, vem: 
 
)( ∞−−=∀ TThA
dt
dT
cρ 
 
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, cuja condição inicial é T(t=0) = T0 
 
Separando as variáveis para se realizar uma integração por partes, vem: 
 
dt
c
hA
TT
dT
∀
−
=
− ∞ ρ
 
 
Por simplicidade, seja dTdTT =⇒−= ∞ θθ , então: 
 
Taxa temporal de 
variação de energia 
interna do corpo 
(I) 
Fluxo de calor 
Trocado por 
convecção 
(II) 
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59
dt
c
hAd
∀
−=
ρθ
θ
 , ou ∫∫
= ∀
−=
t
t
dt
c
hAd
00
ρθ
θθ
θ
, do que resulta em: 
 
t
c
hA
∀
−=





ρθ
θ
0
ln . 
Finalmente, 
 
t
c
hA
e ∀
−
= ρ
θ
θ
0
 ou 
t
c
hA
e
TT
TT ∀
−
∞
∞ =
−
− ρ
0
 
 
Analogia Elétrica 
 
Essa equação resulta da solução de um sistema de primeira ordem. Soluções desse tipo 
ocorrem em diversas situações, inclusive na área de eletricidade. Existe uma analogia 
perfeita entre o problema térmico apresentado e o caso da carga e descarga de um capacitor, 
como ilustrado no esquema abaixo. 
 
 
Inicialmente o capacitor C é carregado até uma tenção elétrica V0 (chave ligada). 
Depois, a chave é aberta e o capacitor começa a se descarregar através da resistência R. 
A solução desse circuito RC paralelo é 
 
RC
t
e
V
V −
=
0
 
 
Note a Analogia 
 
Elétrica Térmica 
Tensão, V 
∞−TT 
Capacitância, C ∀cρ 
Resistência, R hA/1 
 
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60
Circuito térmico equivalente 
∀cρ hA/1
τ
∞T 
Constante de tempo do circuito elétrico, τ 
 
RC=τ 
 
A constante de tempo é uma grandeza muita prática para indicar o quão rápido o 
capacitor se carrega ou se descarrega. O valor de τ=t é o instante em que a tensão do 
sistema atingiu o valor de e-1 ~ 0,368 
 
368,0
11
0
==== −
−
e
ee
V
V τ
τ
 
 
Com isso, pode-se fazer uma análise muito interessante, como ilustrado no gráfico 
abaixo que indica a influência da tensão no capacitor para diferentes constantes de tempo. 
Quanto maior a constante de tempo, mais o sistema demora para atingir o valor de 0,368V0. 
τ
1τ 2τ 3τ 4τ 
 
Por analogia, a constante de tempo térmica é tudo o que “sobrar” no denominador do valor 
da exponencial, isto é: 
 
 
t
t
t
c
hA
ee
TT
TT τρ
−
∀
−
∞
∞ ==
−
−
0
 → 
hA
c
t
∀
=
ρ
τ 
 
Veja o gráfico ilustrativo abaixo para ver a influência da constante de tempo térmica. 
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61
tτ
∞−TT
∞−TT0
)(368,0 0 ∞−TT
 
 
Um exemplo interessante da aplicação dos conceitos de transitório térmico é o caso da 
medida de temperaturas com sensores do tipo termopar e outros. Esses sensores consistem 
de dois fios fundidos em uma extremidade que formam uma pequena “bolinha” a qual é 
exposta a um ambiente em que se deseja mediar sua temperatura. Suponha de forma 
ilustrativa, um ambiente que idealmente sua temperatura tem o comportamento ilustrado 
pela linha cheia no esquema abaixo, isto é, sua temperatura oscila entre T∞1 e T∞2, de 
período em período (onda quadrada). Agora deseja-se selecionar um sensor que acompanhe 
o mais próximo possível o seu comportamento. Três sensores de constantes térmicas 
diferentes são mostrados. Note que o sensor de maior constante térmica, 3τ , praticamente 
não “sente” as variações de temperatura, enquanto que o sensor de menor constante térmica 
acompanha melhor as variações de temperatura. Esse exemplo poderia ser o caso de um 
motor de combustão interna em que as temperaturas da câmara variam com a admissão e 
combustão dos gases. Com esse simples exemplo, mostra-se a importância da constante 
térmica. 
 
 
10 ∞−TT
∞−TT
20 ∞−TT
12 ττ < 1τ
13 ττ >
 
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62
 
A equação que rege o regime transitório concentrado pode ainda ser reescrita para se obter 
a seguinte forma 
FoBie
TT
TT 
0
−
∞
∞ =
−
−
 
Onde, Bi é o número de Biot, definido por 
k
hL
Bi = , e Fo é o número de Fourier, definido 
por 
2
L
t
Fo
α
= (trata-se de um “tempo” adimensional) 
h = coeficiente transferência de calor por convecção; 
α = difusividade térmica; 
k = condutividade térmica; 
L = comprimento característico do corpo; 
O número de Biot é uma razão entre a resistência interna à condução de calor e a resistência 
externa à convecção. 
Pode-se adotar L como sendo a razão entre o volume do corpo pela sua área exposta à troca 
de calor. 
expostaárea 
corpodoolume 
→
→
=
v
A
V
L 
Para concluir esta aula, deve-se informar o limite da aplicabilidade da hipótese de sistema 
concentrado. Mostra-se que a hipótese de sistema concentrado admite solução razoável 
desde que: 
1,0<Bi 
 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO 1 (adaptado de Incropera, ex. 5.1) 
 
Termopares são sensores muito precisos para medir temperatura. Basicamente, eles são 
formados pela junção de dois fios de materiais distintos que são soldados em suas 
extremidades, como ilustrado na figura abaixo. A junçãosoldada pode, em primeira análise, 
ser aproximada por uma pequena esfera de diâmetro D. Considere um termopar usado para 
medir uma corrente de gás quente, cujas propriedades de transporte são: k = 20 W/m K, 
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63
c = 400 J/kg K e ρ = 8500 kg/m3. Inicialmente, o termopar de D = 0,7 mm está a 25 oC e é 
inserido na corrente de gás quente a 200 oC. Quanto tempo vai ser necessário deixar o 
sensor em contato com o gás quente para que a temperatura de 199,9 oC seja indicada pelo 
instrumento? O coeficiente de transferência de calor vale 400 W/m2K. 
 
 
 
SOLUÇÃO 
Comprimento característico: m
D
A
V
L
4
3
10167,1
6
107,0
6
−
−
×=
×
=== 
Número de Biot: 3
4
10333,2
20
10167,1400 −
−
×=
××
==
k
hL
Bi 
Da expressão da temperatura, vem 76,3200
20025
2009,199
ln
10333,2
1
ln
1
3
0
=





−
−
×
−=





−
−
−=
−
∞
∞
TT
TT
Bi
Fo 
Dado que 610883,5
4008500
20
 
−×=
×
==
c
k
ρ
α e 
2L
t
Fo
α
= , vem: 
( )
s
LFo
t 4,7
10883,5
10167,176,3200
6
242
=
×
××
=
×
=
−
−
α
 
 
Comentário: note que o número de Biot satisfaz a condição de sistema concentrado 1,0<Bi . 
Um tempo relativamente longo é necessário para obter uma leitura precisa de temperatura. 
O que aconteceria com o tempo se o diâmetro do termopar fosse reduzido à metade? 
 
 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO 2 
 
Melancias são frutas muito suculentas e refrescantes no calor. Considere o caso de uma 
melancia a 25 oC que é colocada na geladeira, cujo compartimento interno está a 5 oC. Você 
acredita que o resfriamento da melancia vai ocorrer de forma uniforme, ou se, depois de 
alguns minutos, você partir a melancia, a fatia da mesma estará a temperaturas diferentes? 
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64
Para efeito de estimativas, considere que a melancia tenha 30 cm de diâmetro e suas 
propriedades termofísicas sejam as da água. Considere, também, que o coeficiente de 
transferência de calor interno do compartimento da geladeira valha h = 5 W/m2 oC. 
 
 
Solução: 
 
�á��� � 0,025	�/�°� 
Cálculo do Nº de Biot 
 
�� �
��
�
	 , sendo � �
�
�
 
 
� �
0,3
6
� 0,05�	 
 
 
D= 0,3 m 
 
�� �
�,����
�,���
� 10 
 
 
 Conclusão, a melancia não vai resfriar de forma uniforme. Isto está de acordo com sua 
experiência? 
 
 
D = 0,3 m 
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65
AULA 9 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME 
TRANSITÓRIO – SÓLIDO SEMI-INFINITO 
 
 
Fluxo de Calor num Sólido Semi-Infinito 
Na aula anterior foi estudado o caso da condução de calor transitória para sistemas 
concentrados. Aquela formulação simplificada começa a falhar quando o corpo possui 
dimensões maiores de forma que a resistência interna à condução não podem ser 
desprezadas (Bi > 0,1). Soluções analíticas existem para casos em que uma das 
dimensões é predominante e muito grande que, em termos matemáticos, é dito infinito. 
Considere o esquema abaixo de um sólido com uma superfície exposta à troca de calor 
(à esquerda) e sua dimensão se estende à direita para o infinito (daí o nome de semi-
infinito). A face exposta sobre bruscas mudanças de condição de contorno, como se 
verá. 
 
Condições de contorno 
 
(A) Temperatura constante na face exposta: 
 
 
Solução: T(x, t) 
 
Equação geral condução de calor 
 
t
T
k
q
T




1'''2 
 
Por não haver geração interna de calor, vem que 
t
T
x
T






1
2
2
, a qual é submetida as 
seguintes condições: 
 
- Condição inicial: iTxT )0,( 
- Condição de contorno: 0),0( TtT  
 
Sem apresentar detalhes da solução do problema, prova-se que a distribuição de 
temperaturas é dada por: 
 
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66









t
x
erf
TT
TT
i 20
0
, onde 
 
erf é a chamada função erro de Gauss, cuja definição é dada por: 
 






 t
x
de
t
x
erf

 

2
0
22
2
 
 
Vista em forma gráfica, esta função tem o seguinte comportamento. 
 
 
 
 
Para valores numéricos de T = T (x,t), veja a Tabela B – 2 do livro do Incropera 
e Witt. Note que o seu comportamento se parece com uma exponencial “disfarçada”. 
 
Tabela B-2 do Incropera 
 
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67
 
Fluxo de calor numa posição x e tempo t 
 
Para se obter o fluxo de calor instantâneo numa dada posição qualquer, basta aplicar a 
lei de Fourier da condução. Isto é feito substituindo a distribuição de temperaturas 
acima, na equação de Fourier, isto é: 
























 

t
x
iix de
x
TTkA
t
x
erfTTT
x
kA
x
T
kAq

 

2
0
000
22
)()
2
()( 










t
x
x
e
TTkA
t
x
i


2
)(2
40
2
, do que, finalmente, resulta em: 
 
 
t
x
i
x e
t
TTkA
q 

40
2
)( 
 
 
 
(B) Fluxo de calor constante na face exposta: 
 
Neste outro caso, estuda-se que a face exposta está submetida a um fluxo de calor 
constante, 
 
 
 
 
Partindo da equação da condução de calor 
t
T
x
T






1
2
2
, submetida as seguintes 
condições: 
 
- Condição inicial: iTxT )0,( 
- Condição de contorno: 0
0
q
x
T
kA
x





 
 
 
 
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68
A solução é: 
 














t
x
erf
kA
xq
kA
e
t
q
TT
t
x
i


 
2
1
2
0
4
0
2
 
 
NOTA: Obtenha o fluxo de calor!! 
 
 
(C) Convecção de calor na face exposta 
 
Nesse terceiro caso, analisa-se o caso em que ocorre convecção de calor na face 
exposta à esquerda. 
 
T
 
Novamente, partindo da equação da condução de calor sem geração interna, vem: 
t
T
x
T






1
2
2
, a qual é submetida às seguintes condições: 
 
- Condição inicial: T (x,o) = Ti 
- Condição de contorno:  




 TtThA
x
T
kA
x
),0(
0
 (condução interna = 
 Convecção) 
 
A solução é: 
 

































 




 k
th
t
x
erfe
t
x
erf
TiT
TT k
th
k
hx
i 


2
1
2
1
2
2
 
 
 
NOTA: Obtenha o fluxo de calor! – use a Lei de Fourier! 
 
 
 
 
 
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69
Outros casos de condução transitória de interesse 
 
Placas, chapas, cilindros e esferas são geometrias muito comuns de peças 
mecânicas. Quando o número de Biot é pequeno, basta que se use a abordagem de 
sistema concentrado. Entretanto, quando isso não ocorre, há de se resolver a equação 
geral da condução de calor. No entanto, para essas geometrias básicas, Heisler 
desenvolveu soluções gráficas, como mostrado na tabela abaixo. 
 
Tabela – convenção para uso dos diagramas de Heisler 
 
Placas cuja espessura é 
pequena em relação as outras 
dimensões 
Cilindros cujos diâmetros são 
pequenos quando comparados 
com o comprimento 
Esferas 
 
T
 
T
 
T
 
 
 
  TtrTouTtxT ),(),(  
 TTii 
 TT00 
 TTee 
Número de Biot: 
k
hL
Bi  
 
L –dimensão características (dada no gráfico) 
 
Número de Fourier, Fo (tempo adimensional), definido por 
 
22 cs
kt
L
t
Fo


 
 
Calor total trocado pelo corpo Qi 
 
iii cTTcQ    )( 
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70
 
 
 
 
 
Gráficos de Heisler para uma placa de espessura 2L. Para outras geometrias (esfera e 
cilindro): ver Apêndice D do Incropera e Witt 
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71
 
Exemplo: 
 
Uma placa de espessura de 5 cm está inicialmente a uma temperatura uniforme de 
425 ºC. Repentinamente, ambos os lados da placa são expostos à temperatura ambiente, 
T = 65 ºC com hmédio = 500 W/m2 ºC. Determinar a temperatura do plano médio da placa 
e a temperatura a 1,25 cm no interior da mesma, após 3 min. 
 
Dados: 
k = 43,2 W/mK 
α = 1,19 x 10-5 m2/s 
x
5 cm
h
 
 
Solução: 
 
2L = 5 cm = 0,05 m → L = 0,025 m 
 
1,0289,0
2,43
025,0500



k
hL
Bi 
Não se aplica a solução de sistema concentrado. Portanto, use a solução de Heisler. Para 
isso, deve-se calcular os parâmetros para os gráficos da página anterior, que são: 
 
45,3
289,0
11

Bi
 e 43,3
025,0
1801019,1
2
5
20




L
t
F

 
 
Do diagrama de Heisler (página anterior), vem: 
 
 
 
e 22745,0).65425(65  . Assim, 
CT o2270  Na linha de centro após 3 mim 
 
Do gráfico para uma posição qualquer x: 
 
45,3/1 iB 
5,0
05,0
0125,0
/ Lx 
95,0
0



 
 
95,0)65281(6595,0)( 0   TTTT 
CT o2,270 p/ min3,5,0  t
L
x
 
45,3
165,0
11

iB
 
43,30 F 
45,00 
i

 
72 
 
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AULA 10 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME 
PERMANENTE BIDIMENSIONAL 
 
 
Condução Bidimensional 
 
Até a presente aula, todos os casos estudados referiam-se à condução de calor 
unidimensional em regime permanente, ou seja, não se considerava a distribuição 
espacial da temperatura para além de uma dimensão. Evidentemente, muitos problemas 
reais são bi ou tridimensionais. Soluções analíticas existem para um número limitado de 
problemas. Os casos mais realistas devem ser resolvidos de forma numérica. Entretanto, 
neste curso introdutório é importante que o estudante tenha uma visão das soluções 
analíticas existentes e, para isso, é resolvido um problema clássico que é o método da 
separação das variáveis para uma placa retangular bidimensional. 
 
O Método da Separação de Variáveis 
 
Seja uma placa retangular, submetida às condições de contorno ilustrados, isto é, todos 
os lados estão à mesma temperatura T1, exceto o lado superior que está à T2. 
 
 
 
Placa retangular com as condições de contorno indicadas, procura-se T (x,y) 
 
Equação da condução de calor 
 
t
T
k
q
T




1'''2 
 
Hipóteses: 
 
(1) Regime permanente 
(2) Sem geração interna de calor 
(3) Bidimensional 
 
73 
 
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As hipóteses resultam em: 02  T ou 0
2
2
2
2






y
T
x
T
 
 
Condição de contorno – temperaturas dos quatro lados 
 
(1) T(0,y) = T1 
(2) T(L,y) = T1 
(3) T(x,0) = T1 
(4) T(x,b) = T2 
 
É conveniente realizar uma mudança de variáveis 
 
12
1
TT
TT


 
 
Condições de contorno na nova variável θ são: 
 
(1) θ(0,y) = 0 
(2) θ(L,y) = 0 
(3) θ(x,0) = 0 
(4) θ(x,b) = 1 
 
De onde se tem também que a variação elementar de temp. é d
TT
dT

 12
 
 
Então, 02
2
2
2






yx

 Esta é a equação da condução na nova variável. 
 
A técnica de separação das variáveis supõe que a distribuição de temperaturas 
θ(x,y), é o produto de duas outras funções X e Y as quais, por sua vez, são funções 
exclusivas apenas das variáveis do problema x e y, respectivamente, isto é: 
 
   yYxXyx ),( 
 
Assim, a derivada parcial em relação à x dessa nova função são: 
 
Primeira derivada: 
dx
dX
Y
x



 
Segunda derivada: 
2
2
2
2
dx
Xd
Y
x


 
 
 
Analogamente em relação à y: 
Segunda derivada: 
2
2
2
2
dy
Yd
X
y


 
 
 
74 
 
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Logo, substituindo essas derivadas segundas parciais na equação diferencial da 
condução, vem: 
 
0
2
2
2
2

dy
Yd
X
dx
Xd
Y 
 
ou, dividindo pelo produto XY, vem: 
2
2
2
2 11
dx
Xd
Xdy
Yd
Y
 
 
É digna de nota que na equação acima o lado esquerdo é uma função exclusiva de y 
e o lado direito, uma função exclusiva de x. No entanto, os dois lados da igualdade são 
sempre iguais. Isto implica dizer que a igualdade não pode ser nem função de x, nem de 
y, já que de outra forma não seria possível manter a igualdade sempre válida. De forma 
que a igualdade deve ser uma constante que, por conveniência matemática, se usa o 
símbolo 2 . Dessa forma, tem se: 
 
2
2
21

dx
Xd
X
 e 
 
2
2
21

dy
Yd
Y
 
 
Note que a equação diferencial parcial original deu origem às duas outras equações 
diferenciais comuns ou ordinárias, mostradas acima. As soluções dessas duas novas 
equações são bem conhecidas (lembre-se do polinômio característico) e são: 
 
  xsenCxCxX  21 cos  , e 
  yy eCeCyY  43 
 
 
De forma que, voltando à variável original,    yYxXyx ),( , a solução global é: 
 
    yy eCeCxsenCxCyx  4321 .cos,   
 
Nesse ponto, a análise se volta para cada caso especifico dado pelas condições de 
contorno. É preciso fazer isso com critério. 
 
Da 1a Condição de contorno: θ(0,y) = 0 
 
     0.0.0.cos,0 4321   yy eCeCsenCCy  
75 
 
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De onde se conclui que a única possibilidade é que 01 C 
 
Agora, da 3ª condição de contorno: θ(x,0) = 0 
 
  432 .0 CCxsenC   
 
de onde se obtém que  043 CC 43 CC  
 
Da 2ª condição de contorno: θ(L,y) = 0 
 
  )(.0 42 yy eeCLsenC   
 
mas, como simultaneamente as duas constantes não podem ser nulas, isto é: 
042 CeC , logo, deduz-se que 0)( Lsen  
 
Os possíveis λ que satisfazem essa condição são:  nL  
ou, seja 
L
n
  n = 1,2,3, ..... 
 
nota: λ = 0, resulta na solução trivial e não foi considerada. 
 
Portanto, a distribuição de temperaturas até o presente é: 
 
 
  

)(
42
2
2,
L
yn
senh
L
yn
L
yn
C
n
ee
L
x
nsenCCyx
n






















 
 
ou, seja   )()(,
L
y
nsenh
L
x
nsenCyx nn   
 
Para cada n = 1,2,3,... Existe uma solução particular θn. Daí também ter juntado as 
constantes 42 CeC num nova única constante Cn que dependem do valor de n. 
 
Então a solução geral deve ser a combinação linear de todas as possíveis soluções. 
 
  











 

 L
yn
senh
L
xn
senCyx
n
n


1
, 
 
Cn deve ser obtido da última condição de contorno: θ(x,b) = 1, isto é: 
 












 

 L
bn
senh
L
xn
senC
n
n

1
1 
 
76 
 
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A última e mais difícil tarefa é de encontrar os coeficientes Cn da série acima para 
obter a distribuição final de temperaturas. Essa tarefa é realizada usando a teoria das 
funções ortogonais, revista abaixo. 
 
REVISÃO DO CONCEITO DE FUNÇÕES ORTOGONAIS 
Um conjunto infinito de funções g1(x), g2(x), é dito ortogonal no domínio bxa  , se 
 
b
a
nm nmpdxxgxg /0)()( 
(dica: note que se parececom produto escalar de vetores: dois vetores 
 ortogonais tem o produto escalar nulo) 
Muitas funções exibem a propriedade de ortogonalidade, incluindo )(
L
x
nsen  e )cos(
L
x
n em 
Lx 0 
 
Verifica-se também, que qualquer função f(x) pode ser expressa numa série infinita de funções 
ortogonais, ou seja: 




1
)()(
m
mm xgAxf 
 
Para se obter os coeficientes Am; procede-se da seguinte forma: 
 
(1) Multiplica-se por )(xgn , ambos os lados da igualdade: 
 




1
)()()()(
m
mmnn xgAxgxfxg 
 
(2) Integra-se no intervalo de interesse: 
 
dxxgAxgdxxfxg
b
a
m
mmn
b
a
n   







1
)()()()( 
 
Usando a propriedade de ortogonalidade, ou seja 
nmsedxxgxg
b
a
nm  0)()( 
 
Pode-se eliminar a somatória, então: 
 
dxxgAdxxfxg
b
a
mm
b
a
m   )()()(
2
 
 
Finalmente, as constantes da série Am podem ser obtidas: 
 
dxxg
dxxfxg
A
b
a
m
b
a
m
m



)(
)()(
2
 
 
77 
 
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Voltando ao problema, tem-se: 
 
















1
1
n
n
L
bn
senh
L
xn
senC

 (A) 
 
Comparando com o caso acima, vemos que f(x) = 1 e que 
 
,....2,1;)( 





 n
L
xn
senxg
ortogonalfuncão
n


 
 
Logo, expandindo a função f(x) = 1, vem 
 










1
1
n
n
L
xn
senA

 
 
Assim, pode-se obter os coeficientes da série do já visto na revisão acima: 
 
n
dx
L
xn
sen
dx
L
xn
sen
A
n
L
L
n
1)1(2 1
0
2
0 



















 
 
Então, 











1
1 1)1(2
1
n
n
L
xn
sen
n


 (B) 
 
Comparando (A) com (B), vem: 
 























1
1
1
1)1(2
n
n
n
n
L
xn
sen
nL
bn
senh
L
xn
senC



 
 
Então, da igualdade das séries: 
 
 
,....3,2,1;
1)1(2 1










n
L
bn
senhn
C
n
n 

 
 
De forma que a solução final do problema é: 
 























1
1 1)1(2
),(
n
n
L
bn
senh
L
yn
senh
L
xn
sen
n
yx




 
 
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É interessante ver o gráfico desta função 
1
75.0
50.0
25.0
10.0
0
0
0
 
 
Calcule o fluxo de calor. Nesse caso, você precisa calcular qx e qx. Note que o fluxo de 
calor, nesse caso, será dado de forma vetorial, isto é: 
 
i
x
T
kqx



 e j
y
T
kqy



 . Sendo que o fluxo total de calor será yx qqq

 e o 
módulo do fluxo de calor será    22 yx qqq  em W/m2 
 
Faça os Exercícios 4.2 e 4.3 do Incropera e Witt 
 
 
Método Gráfico 
 
O método gráfico é empregado para problemas bidimensionais envolvendo condições 
de contorno adiabáticas ou isotérmicas. Exige paciência, sendo que o objetivo é 
construir uma malha formada por isotérmicas e linhas de fluxo de calor constante. 
Com a finalidade de ilustrar o método, considere uma seção quadrada, cuja superfície 
interna é mantida a T1 e a externa T2. 
 
 
(1) O primeiro passo é identificar todas as possíveis linhas de simetria do problema 
tais linhas são determinadas pela geometria e condição simétricas. 
 
 
 
79 
 
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(2) As linhas de simetria são adiabáticas, ou seja, não há fluxo de calor na direção 
perpendicular a elas. Portanto, podem ser tratados como linhas de fluxo de calor 
constante. 
 
 
(3) Traças algumas linhas de temperatura constante. Lembre-se que elas são 
perpendiculares às linhas de fluxo constante. 
 
 
 
(4) As linhas de fluxo constante devem ser desenhadas criando quadrados 
curvilíneos. Isto é feito fazendo como que as linhas de fluxo cruzem as linhas 
de temperatura constantes em ângulo reto e impondo que todos os quadrados 
tenham aproximadamente, o mesmo comprimento. 
 
 
 
 
 
(5) Quando houver um “canto” isotérmico”, a linha de fluxo cte. Deve bissectar o 
ângulo formado pelas duas superfícies 
 


 
O fluxo de calor, por unidade de espessura de material, que atravessa o quadro 
curvilíneo ilustrado é: 
 
 









l
T
lkqi (1) 
 
 
 
80 
 
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O fluxo de calor acima é o mesmo que atravessa qualquer região que esteja limitada 
pelas mesmas linhas de fluxo constantes desde T1 até T2. Então, pode-se escrever que. 
 
 
N
TT
T 12

 (2) 
 
 
 
Onde N é o numero de incrementos de temperatura entre T1 e T2. (no exemplo N = 5). 
Assim, de (1) 
 
N
TT
kqi
)( 12  (3) 
 
O fluxo de calor total, q, é a soma de todos os M “Faixas” formadas por duas linhas 
adjacentes de fluxo de calor (no exercício M = 5) 
 
)( 12
1
TTk
N
M
qq
M
i
i  

 
 
Define-se a razão M/N como o fator de forma do sistema, assim: 
 
)(5 12 TTkq  
 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 
 
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81
AULA 11 – SOLUÇÃO NUMÉRICA DEFERENÇAS FINITAS 
 
 
Como se viu, a solução da equação da condução de calor em muitas situações é bastante 
complexa e, verdadeiramente, na maioria dos casos práticos não existe nem solução 
analítica. Nesse caso, lança-se mão de métodos numéricos. Há uma grande variedade de 
métodos disponíveis na literatura, mas vamos nos ater a apenas um dos métodos: o das 
diferenças finitas. 
A idéia consiste em dividir a região que está sendo examinadas em pontos discretos ou 
pontos nodais, e aplicar um balanço de energia para cada ponto nodal, conforme ilustrado 
abaixo. Assim, transforma-se o meio contínuo em que se dá a transferência de calor em um 
meio discreto formado por uma matriz de pontos com propriedades que “concentram” as 
informações do meio contínuo original. Veja a figura abaixo. Após a discretização do meio 
contínuo, considere o ponto nodal (m,n) indicado na figura abaixo, tendo como vizinhos os 
pontos nodais (m-1,n) à esquerda, (m+1,n) à direita, (m,n-1) abaixo e (m,n+1) acima. A 
distância entre os pontos nodais é x e y, nas duas direções principais. 
 
 
m,n
 
 
 
x
m,n
m+1,nm-1,n
m,n+1
m,n-1
y,n
x,m
Pontos Nodais
 
 
 
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82
A equação da condução de calor 0
2
2
2
2






y
T
x
T
 pode assim ser discretizada: 
 
x
TT
x
T nmnm
nm 



 

)( ,1,
,
2
1
 (Primeira derivada na direção x – face esquerda) 
 
x
TT
x
T nmnm
nm 



 

)( ,,1
,
2
1
 (Primeira derivada na direção x – face direita) 
Assim, 
 
x
x
T
x
T
x
T nmnm








  ,2
1
,
2
1
2
2
 (Segunda derivada na direção x – centro) 
 
Ou, ainda, após substituição das primeiras derivadas: 2
,,1,1
,
2
2
)(
2
x
TTT
x
T nmnmnm
nm




 
 
 
 
Analogamente, na direção y: 2
,1,1,
,
2
2
)(
2
y
TTT
y
T nmnmnm
nm




 
 
 
Assim, a equação da condução de calor diferencial pode ser aproximada por uma equação 
algébrica, 
 
 






2
2
2
2
y
T
x
T
04 ,1,1,,1,1   nmnmnmnmnm TTTTT se Δx = Δy 
 
 
A equação acima é a forma da equação do calor em diferenças finitas. Note que a 
temperatura nodal Tm,n representa a média aritmética das quatro temperaturas da sua 
redondeza. 
 
 
 
 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 
 
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O que acontece nas regiões de contorno do problema? 
 
 
Suponhamos que haja convecção, conforme ilustrado. Um nó (à direita) se situa sobre a 
superfície ou contorno do meio. 
 
T
 
 
Procede-se a um balanço de energia para o ponto (m,n) em questão 
 
)(
)(
2
)(
2
)(
,
1,,1,,,1,

 








 TTyh
y
TTx
k
y
TTx
k
x
TT
yk nm
nmnmnmnmnmnm
 
 
se Δx = Δy 
 
0)2(
2
1
2 1,1,,1, 









 nmnmnmnm TTTT
k
x
h
k
x
hT 
 
Para outras condições de contorno, equações semelhantes podem ser escritas. 
 
Por exemplo, um canto superior à direita: 
 
T
 
 
 
0)(212 1,,1, 









 nmnmnm TTT
k
x
h
k
x
hT 
 
Ver tabela 4.2 (Incropera) ou Tabela 3.2 Holman para outras condições e geometrias. 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 
 
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Tabela 4.2 do Incropera. 
 
 
 
Uma vez que as equações de todos os pontos nodais foram estabelecidas, obtém-se um 
sistema de N equações por N incógnitas do tipo (N=m.n): 
 
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85
NNNNNN
NN
NN
cTaTaTa
cTaTaTa
cTaTaTa



...
....
....
....
...
...
2211
22222121
11212111
 
 
Ou, em notação simplificada, vem: 
 
][]].[[ CTA  
 
Estudar exemplo resolvido 4.3 (Incropera) 
 
Uma técnica antiga de solução manual de sistemas lineares de equações é o chamado 
método da relação. Nesta técnica, a equação nodal é, primeiramente, igualada a zero: 
 
0...2211  nnmnmm cTaTaTa 
Em seguida é igualada a um resíduo e depois segue-se o procedimento de solução: 
 
1 – Admite-se uma distribuição inicial de temperatura; 
2 – O valor do resíduo em cada ponto nodal é calculado; 
3 – “Relaxar” o maior resíduo encontrado para zero (ou próximo) mudando a temperatura 
do ponto nodal correspondente; 
4 – Recalcular os resíduos para esta nova temperatura; 
5 – Continuar o processo 3 – 4 até que todos os resíduos sejam nulos ou próximos de zero. 
 
Hoje em dia, há muitos programas de computador e até de calculadoras que resolvem um 
sistema linear de equações por diversas técnicas. Basta selecionar um deles. Por exemplo, o 
método de eliminação gaussiana. 
 
Exemplo Resolvido 
 
Uma placa retangular é submetida às condições de contorno ilustradas na figura. Pede-se 
calcular a distribuição de temperatura nos pontos nodais mostrados, dados que: 
 
h = 200 W/m2 ºC 
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T = 20 ºC 
k = 10 W/m ºC 
 x =  y = 10 cm 
 
 
20T C  
 
 
 
OBS: Observar a simetria do problema (nós com o mesmo número) 
 
Solução: 
 
Pontos nodais interiores (1-4) - vale a seguinte equação: 
 
04 ,1,1,,1,1   NMNMNMNMNM TTTTT 
 
Portanto, 
 
042:4
01004:3
010042:2
0)100(24:1
7432
6431
421
321




TTTTnó
TTTTnó
TTTnó
TTTnó
 
 
Ponto nodal 5 (canto) – vale a seguinte equação 
 
0)(2 ,1, 









 fixonmnm TTT
k
x
h
k
x
hT 
 
nó 5: 0)100(20
10
1,0200
2
10
1,0200
65 









TT , ou 
 
01404 65  TT 
 
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Pontos nodais com convecção (6 – 7) – vale a seguinte equação: 
 
  02
2
1
2 ,1,11,, 









 nmnmnmnm TTTT
k
x
h
k
x
hT 
 
nó 6:   02
2
1
20
10
1,0200
2
10
1,0200
7536 









TTTT , ou 
 
  02
2
1
20
10
1,0200
2
10
1,0200
7536 









TTTT , ou ainda, 
 
040
2
1
4
2
1
7653  TTTT 
 
nó 7: 0)22(
2
1
404 647  TTT , ou 
 
0404 764  TTT 
Em forma de Matriz temos: 


















































































40
40
140
0
100
100
200
4101000
2
1
4
2
1
0100
0140000
1004210
0101401
0001042
0000114
7
6
5
4
3
2
1
T
T
T
T
T
T
T
 
 
Solução do sistema pelo método de eliminação gaussiana 
 
CT
CT
CT
CT
CT
CT
CT







7,36
8,38
7,44
2,68
3,74
2,87
4,90
7
6
5
4
3
2
1







 
 
 
 
 
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88
AULA 12 – INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE 
CALOR CONVECTIVA 
 
Lei de Resfriamento de Newton 
 
Já vimos que a transferência de calor por convecção é regida pela simples de lei de 
resfriamento de Newton, dada por: 
 
)(  TTAhq S 
onde, 
 
Ts, T∞ – temperatura da superfície aquecida e do fluido ao longe; 
A – área de troca de calor, isto é, a área de contato do fluido com a superfície; 
h = coeficiente de transferência de calor por convecção. 
 
O problema fundamental da transferência de calor por convecção é a determinação do 
valor d h para o problema em análise. Nota-se que a expressão da transferência de calor 
é consideravelmente mais simples que a da condução. No presente caso, basta resolver 
uma equação algébrica simples para que o fluxo de calor seja obtido desde que, claro, se 
conheça o valor de h, enquanto que no segundo caso, exige-se a solução da equação 
diferencial da condução de calor. Essa aparente simplicidade é, no entanto, enganosa, 
pois na verdade, em geral, h é função de um grande número de variáveis, tais como as 
propriedades de transporte do fluido (viscosidade, densidade, condutividade térmica), 
velocidade do fluido, geometria de contato, entre outras. Nessa e nas demais aulas, 
serão apresentados expressões e métodos de obtenção daquela grandeza para diversas 
condições de interesse prático. Mas, antes, vamos apresentar os números adimensionais 
que controlam a transferência de calor convectiva. 
 
Análise Dimensional 
 
A análise dimensional é um método de reduzir o número de variáveis de um problema 
para um conjunto menor de variáveis, as quais não possuem dimensão física, isto, 
tratam-se de números adimensionais. Alguns adimensionais que o aluno já deve estar 
familiarizado a essa altura são o número de Reynolds na Mecânica dos Fluidos, os 
números de Biot e de Fourier. 
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89
A maior limitação da análise dimensional é que ela não fornece qualquer informação 
sobre a natureza do fenômeno. Todas as variações que influenciam devem ser 
conhecidas de antemão. Por isso deve se ter uma compreensão física preliminar correta 
do problema em análise. 
O primeiro passo da aplicação do método consiste na determinação das dimensões 
primárias. Todas as grandezas que influenciam no problema devem ser escritas em 
função destas grandezas. Por exemplo, considere o sistema primário de grandezas 
MLtT, onde: 
Comprimento L 
Tempo t 
Massa M 
Temperatura T 
 
Nesse sistema de grandezas primárias, por exemplo, a grandeza força tem as seguintes 
dimensões: 
Força ML/t2 
 
O mesmo pode ser feito para outras grandezas de interesse: 
 
Condutividade térmica ML/t3T 
Calor ML2/t2 
Velocidade L/t 
Densidade M/L3 
Velocidade M/Lt 
Calor específico a pressão constante L2/t2T 
Coeficiente De transmissão de calor M/t3T 
 
 
Teorema dos Πou de Buckingham 
 
Esse teorema permite obter o número de adimensionais independentes de um problema. 
É dadopor: 
M = N – P 
Onde, 
M – número de grupos adimensionais independentes; 
N – número de variáveis físicas dos problemas; 
P – número de dimensões primárias; 
Sendo  um adimensional genérico, pode-se escrever, então: 
 0),...,( 21 mF  
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90
Para exemplificar, considere um fenômeno físico de 5 variáveis e três dimensões 
primarias. Logo, 
M = 5-3 = 2, de onde se obtém: 
0),( 21 F ou 
pode-se escrever um adimensional como função do outro da seguinte forma. 
)( 21  f 
Essa relação funcional pode ser teórica ou experimental, obtida em laboratório, como 
indicado no gráfico abaixo. Note que seria necessário se realizar experimentos com 
apenas uma variável (grupo adimensional 2) e observar a dependência de 1. Com isso, 
reduz-se drasticamente o número de experimentos. Caso contrário, seria necessário 
fazer experimentos envolvendo as 5 variáveis originais do problema. 
 
1
2
erimentalcurvaf exp)( 2
 
 
 
Outro exemplo, seria o caso de um fenômeno descrito por 3 grupos adimensionais. 
Nesse caso, tem-se: 
0),,( 321 F , ou ),( 321  f 
 
Pode-se, assim, planejar experimentos laboratoriais mantendo 3 constantes, e variando 
2, observando como 1 varia, como ilustrado no gráfico abaixo. 
 
2
tesconsdecurvas tan31
 
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91
Adimensionais da transferência de calor por convecção forçada 
 
Considere o escoamento cruzado em um tubo aquecido, como ilustrado na figura 
abaixo. 
 
D
 
Sabe-se de antemão que as grandezas que interferem na transferência de calor são: 
 
 
 Variáveis Eq. Dimensional 
D Diâmetro do Tubo L 
k Condutividade térmica do fluido ML/t3T 
V Velocidade do fluido L/t 
ρ Densidade do fluido M/L3 
μ Viscosidade do fluido M/Lt 
CP Calor especifico a pressão constante L2/t2T 
h Coef. de transferência de calor M/t3T 
 
Portanto, há N = 7 grandezas e P = 4 dimensões primárias, do que resulta em: 
 
M = 7 – 4 = 3 (3 grupos adimensionais) 
 
Seja um grupo adimensional genérico do tipo: 
 
gf
p
edcba hcVKD   
 
Substituindo as equações dimensionais de cada grandeza, vem: 
 
gfedcb
a
Tt
M
Tt
L
Lt
M
L
M
t
L
Tt
ML
L 




































32
2
33
 
 
ou, após rearranjo, vem: 
 
    gfbgfecbfedcbagedb TtLM  32323 
 
Por se tratar de um adimensional, todos os expoentes devem ser nulos, isto é: 
 
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92











0
0323
023
0
gfb
gfecb
fedcba
gedb
 
 
Há um sistema de 7 incógnitas e 4 equações. Portanto, o sistema está indefinido. O 
método pressupõe que se assumam alguns valores para os expoentes. Aqui é um ponto 
crítico do método, pois há de se fornecer valores com critérios. Por exemplo, 
 
(A) – Como h é uma grandeza que nos interessa, vamos assumir o seguinte conjunto de 
valores 





0
1
dc
g
 
 
Assim, pode-se resolver a equação do grupo adimensional, resultando em: 
 
a = 1 
b = -1 
e = f = 0 
 
Esse primeiro grupo adimensional recebe o nome de número de Nusselt, definido por: 
 
Nu
k
Dh
1 
 
(B) – Agora vamos eliminar h e assumir outros valores 
 








0
1
0
f
a
g
 
 
(para não aparecer h) 
 
 A solução do sistema fornece: 
 
b = 0 
c = d = 1 
e = -1 
 
De onde resulta o outro grupo adimensional relevante ao problema que é o número de 
Reynolds, dado por: 
 
D
VD
Re2  

 
 
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93
(C) - Finalmente, vamos assumir os seguintes valores 
 
 e = f =1 
 b = -1 
 
Daí resulta, o terceiro e último número adimensional que recebe o nome de número de 
Prandtl. 
Pr3 
k
cp 
Então, há uma função do tipo 
 
0),,( 321 F ou 0),,( PrReDNuF . 
 
Isolando o número de Nusselt, vem: 
 
),( PrReDfNu  
 
Assim, os dados experimentais podem ser correlacionados com as 3 variáveis (os 
grupos adimensionais) ao invés de sete (as grandezas que interferem no fenômeno). 
Vimos, então, que: 
),( PrRe DfNu  
Diversos experimentos realizados com ar, óleo e água mostraram que existe uma ótima 
correlação envolvendo estes três adimensionais, conforme ilustrado no gráfico abaixo. 
Note que, ar, água e óleo apresentam propriedades de transporte bastante distintas e, no 
entanto, os coeficientes de transferência de calor nesses três fluidos podem ser 
correlacionados por meio dos números adimensionais. Isto também indica que, uma vez 
obtida a expressão que rege a transferência de calor, nos sentimos à vontade para usar 
com outros fluidos, caso não existam dados experimentais de laboratório disponíveis. 
10 1001
1
3,0Pr
Nu
4,03,0 RePr82,0Nu
água
óleo
ar
3<ReD<100
10
0,01
Re
 
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94
AULA 13 – CAMADA LIMITE LAMINAR SOBRE UMA 
PLACA OU SUPERFICIE PLANA 
 
Na aula passada vimos que a transferência de calor no escoamento externo sobre uma 
superfície resulta na existência de 3 números adimensionais que controlam o fenômeno. 
Essas grandezas são o número de Nusselt, Nu, o de Reynolds, Re, e o de Prandtl, Pr. De 
forma que existe uma relação do tipo Nu = f(Re, Pr), a qual pode ser obtida de forma 
experimental ou analítica em algumas poucas situações. 
Na aula de hoje apresentar-se-á uma situação particular em que esta relação pode ser 
obtida de forma analítica e exata. Para isso, serão apresentadas as equações diferenciais 
que regem a transferência de calor em escoamento sobre uma superfície plana em 
regime laminar. Depois será indicada a solução dessas equações. Para começar o estudo, 
considere o escoamento de um fluido sobre uma superfície ou placa plana, conforme 
ilustrado. Admita que o fluido tenha um perfil uniforme de velocidades (retangular) 
antes de atingir a placa. Quando o mesmo atinge a borda de ataque, o atrito viscoso vai 
desacelerar as porções de fluido adjacentes à placa, dando início a uma camada limite 
laminar que cresce em espessura à medida que o fluido escoa ao longo da superfície. 
Note que esta camada limite laminar vai crescer continuamente até que instabilidades 
vão induzir a uma transição de regime para dar início ao regime turbulento, se a 
extremidade da placa (borda de fuga) não for antes atingida. Admite que a transição 
ocorra para a seguinte condição 5105Re ×>= ∞
µ
ρxu
xtransição (às vezes também se usa 
3 ×105), onde x é a distância a partir do início da placa (borda de ataque). 
∞u
 
 
 
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95
 
No regime laminar, o fluido escoa como se fossem “lâminas” deslizantes, sendo que a 
tensão de cisalhamento (originária do atrito entre essas camadas) é dada por 
dy
du
µτ = 
para um fluido newtoniano (como o ar, água e óleo). Essa condição e geometria de 
escoamento permitem uma solução exata, comose verá a seguir. 
 
Equações da continuidade e quantidade de movimento na camada limite laminar 
 
Hipóteses principais: 
 
- Fluido incompressível 
- Regime permanente 
- Pressão constante na direção perpendicular à placa 
- Propriedades constantes 
- Força de cisalhamento na direção y constante 
 
Considere um elemento diferencial de fluido dentro da camada limite laminar (CLL), 
como indicado. 
 
 
 
Equação da continuidade ou da conservação de massa. 
 
dydx
x
u
u )(
∂
∂
+ρ
dxdy
y
v
v )(
∂
∂
+ρ
vdxρ
udyρ
 
 
Como entrasai mm && = , então substituindo os termos, vem: 
dydx
x
u
udxdy
y
v
vvdxudy )()(
∂
∂
++
∂
∂
+=+ ρρρρ . Simplificando, tem-se 
0=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
u
 ou 0=VDiv
v
 
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96
Onde Div é o gradiente, 
y
j
x
iDiv
∂
∂
+
∂
∂
=
rr
. 
 
Equação da conservação da quantidade de movimento 
 
Da 2ª lei de Newton, tem-se que 
 
=∑ extF Variação do fluxo da quantidade de movimento 
 
Balanço de forças na direção x. 
 
Forças externas (pressão e atrito – gravidade desprezível) 
dxdy
y
)(
∂
∂
+
τ
τ
dxτ
pdy
dydx
x
p
p )(
∂
∂
+
 
 
dydx
x
p
pdxdxdy
y
pdyFx )()( ∂
∂
+−−
∂
∂
++=∑ τ
τ
τ 
 
ou, simplificando, dxdy
x
p
dxdy
y
Fx ∂
∂
−
∂
∂
=∑
τ
 
 
Mas, por ser um fluido newtoniano, tem-se 
y
u
∂
∂
= µτ que, substituindo, em. 
 
dxdy
x
p
dxdy
y
u
Fx ∂
∂
−
∂
∂
=∑ 2
2
µ 
 
Agora, vamos calcular o fluxo de quantidade de movimento (direção x) 
 
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97
dxdy
y
u
udy
y
v
v ))((
∂
∂
+
∂
∂
+ρ
vudxρ
dydx
x
u
u 2)(
∂
∂
+ρdyu2ρ
 
 
 
Juntando todos os termos, tem-se a seguinte expressão: 
 
superior ordem de termos2
)( 
)(2
))(()(
2
222
22
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=−
∂
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
++−
∂
∂
+
∂
∂
+=
=−
∂
∂
+
∂
∂
++−
∂
∂
+
dxdy
y
v
udxdy
y
u
vdxdy
x
u
u
uvdxdxdy
y
u
y
v
dxdy
y
v
udxdy
y
u
vvudxdyudydx
x
u
dxdy
x
u
udyu
uvdxdxdy
y
u
udy
y
v
vdyudydx
x
u
u
ρρρ
ρρ
ρρρρρρρ
ρρρρ
 
 
Ainda é possível simplificar esta equação para obter 
 
dxdy
y
v
x
u
udxdy
y
u
v
x
u
u
decontinuida
43421
0
)()(
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= ρρ
 dxdy
x
u
v
x
u
u )(
∂
∂
+
∂
∂
= ρ 
 
Portanto, agora podemos juntar os termos de resultante das forças externas com a 
variação do fluxo da quantidade de movimento, resultando na seguinte equação: 
 
x
p
y
u
y
u
v
x
u
u
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
)( µρ 
 
Equação da conservação da energia, ou primeira lei da termodinâmica 
 
- Condução na direção x desprezível 
- Energia cinética desprezível face à entalpia 
 
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98
dxdy
y
u
udy
y
v
v ))((
∂
∂
+
∂
∂
+ρ
dydx
x
u
u 2)(
∂
∂
+ρ
dxdy
y
u
u )
)(
(
∂
∂
+
τ
τ )(
2
2
dy
y
T
y
T
kdx
∂
∂
+
∂
∂
−
dx
dy
y
T
kdx
∂
∂
−dxuτvhdxρ
uhdyρ
 
 
Potência (térmica) líquida das forças viscosas 
 
dydx
y
u
uu
y
dydx
y
u
dxudxdy
y
u
u 





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=−





∂
∂
+
)()( τ
τ
τ
τ 
 
Conservação de energia: 
 












=










+












 tempode unidade na
 ldiferencia controle
 de volumeo deixa
 que energia de fluxo
 tempode unidade
 na realizado
líquido trabalho
 tempode unidade na
 ldiferencia controle
 de volumeno entra
 que energia de fluxo
 
 
Agora, vamos tratar cada termo em particular 
 
Fluxo de energia que entra 
 
Entalpia + Condução de calor (note que a condução na direção x é desprezível) 
 
y
T
kdxuhdyvhdx
∂
∂
−+ ρρ 
 
Trabalho na unidade de tempo (potência térmica gerada pelas forças viscosas) 
 
dxdy
y
u
u
y 






∂
∂
∂
∂
µ 
 
Fluxo de energia que entra 
 
)())(())((
2
2
dy
y
T
y
T
kdxdydx
x
h
hdx
x
u
udxdy
y
h
hdy
y
v
v
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
+ ρρ 
 
Desprezado os termos de ordem superior 
dydy
x
h
hdy
x
u
u ))((
∂
∂
+
∂
∂
+ρ
dydy
y
h
hdy
y
u
u ))((
∂
∂
+
∂
∂
+ρ
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99
 
dxdy
x
u
kdxdy
y
v
hdxdy
y
h
vdxdy
x
u
hdxdy
x
h
udydx
y
u
u
y 2
2
00
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
+− ρρρρµ 
2
2
0
)(
x
u
k
y
v
x
u
h
x
h
v
x
h
u
y
u
u
y
decontinuida
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=
43421
ρρρµ 
Com Tch p∂=∂ e substituindo todos os termos na equação de balanço, resulta na forma 
diferencial da equação da energia para a camada limite laminar, dada abaixo: 
 






∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
u
yy
T
k
y
T
vc
x
T
uc pp µρρ 2
2
 
 
 
Em geral a potência térmica gerada pelas forças viscosas (último termo) é desprezível 
face ao termo da condução de calor e de transporte convectivo de energia (entalpia). 
Isso ocorre a baixas velocidades. Assim, a equação da energia pode ser simplificada 
para: 
 
2
2
y
T
y
T
v
x
T
u
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
α 
 
Retornando agora à equação da conservação da quantidade de movimento. Se o 
escoamento se der à pressão constante, aquela equação pode ainda ser reescrita como: 
 
2
2
y
u
y
u
v
x
u
u
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
υ 
 
onde, 
ρ
µ
υ = é a viscosidade cinemática 
 
Comparando as duas equações acima, nota-se que quando αυ = , ou seja, 1Pr ==
α
υ
 
corresponde ao caso em que a distribuição da temperatura é idêntica a distribuição de 
velocidades, o que ocorre com as maiorias dos gases, já que 1Pr65,0 << . 
 
Em resumo, as três equações diferenciais que regem a transferência de calor na camada 
limite laminar são: 
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100
 
 
Conservação de massa 
0=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
u
 
 
 
Conservação da quantidade de movimento 
direção x 
x
p
y
u
y
u
v
x
u
u
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
)( µρ 
2
2
y
u
y
u
v
x
u
u
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
υ Pressão constante 
 
Conservação de energia 2
2
y
T
y
T
v
x
T
u
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
α 
 
 
Ver solução das camadas limites laminares hidrodinâmica e térmico no apêndice B do 
Holman e item 7.2 do Incropera. Solução de Blasius. 
 
 
 
 
Os principais resultados da solução dessas equações diferenciais são os seguintes: 
 
Espessura da camada limite hidrodinâmica (CLH): 
x
x
Re
5
=δ ; 
 
Coeficiente local de atrito local: 
2/1
, Re664,0
−= xxfc ; 
 
Coeficiente local de atrito médio desde a borda de ataque: 
2/1
0
,, Re328,1*2
1 −===
=∫ Lf
L
xfLf Lx
CdxC
L
c ; 
 
Razão entre as espessuras das camadas limites hidrodinâmica (CLH) e térmica (CLT): 
3/1Pr=
tδ
δ
; 
 
Número de Nusselt local: ≤≤= Pr6,0PrRe332,0 3/12/1xxNu 50 
 
Número de Nusselt médio: 3/1
2/1
0
PrRe664,0*2
1
L
L
LxxL NudxNu
L
uN ∫ === = . 
 
Definição do coeficiente de atrito: 
2/
2
∞
=
u
c sf
ρ
τ
, sτ tensão de cisalhamento na parede 
 
 
Os gráficos abaixo indicam o comportamento das camadas limites. Note que o número 
de Prandtl desempenha um papel importante no crescimento relativo das CLT e CLH. 
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101
∞∞Tu ,
)1(Pr <Tδ
)1(Pr == Tδδ
)1(Pr >Tδ
 
 
C.L.T C.L.H
 
 
 
Temos as seguintes relações: 
x
C xf
1
, ∝ , e 
x
h xf
1
, ∝ . 
 
TS 
T∞ u∞ 
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102
AULA 14 – CAMADA LIMITE LAMINAR – SOLUÇÃO 
INTEGRAL OU APROXIMADA DE VON KARMAN 
 
 
Na aula passada, vimos as equações diferenciais da camada limite laminar. Os 
resultados da solução clássica de Blasius foram apresentados. A solução per si não foi 
discutida, uma vez que o livro-texto apresenta em detalhes o procedimento de solução 
para o aluno mais interessado. Nesta aula, vamos ver uma solução aproximada baseada 
no método integral, também conhecida como solução de von Karman. 
Neste caso, define-se um volume de controle diferencial apenas na direção x do 
escoamento, enquanto que a altura H do mesmo se estende para além da camada limite, 
isto é, δ>H , conforme ilustrado na figura abaixo. 
 
 
Leis de conservação na camada limite laminar no elemento diferencial acima: 
 
Balanço de massa 
 
Fluxo mássico na face 1 – A: ∫
H
udy
0
ρ 
 
Fluxo mássico na face 2 – A: dxudy
dx
d
udy
HH








+ ∫∫
00
ρρ 
Fluxo mássico na face A – A: dxudy
dx
d
H








∫
0
ρ 
 
Balanço de fluxo de quantidade de movimento na direção x 
 
Fluxo de Q. M. na Face 1 – A: ∫
H
dyu
0
2ρ 
 
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103
Fluxo de Q. M. na Face 2 – A: dxdyu
dx
d
dyu
HH








+ ∫∫
0
2
0
2 ρρ 
 
 
 Fluxo de Q. M. na Face A – A: dxudy
dx
d
u
H








∫∞
0
ρ 
 
Fluxo líquido de quantidade de movimento para fora do volume de controle 
 
(face 2-A) – (face A – A) – (face 1 – A) = 
 
Fluxo liquido de Q. M. = dxudy
dx
d
udxdyu
dx
d
HH








−







∫∫ ∞
00
2 ρρ 
 
Lembrando da regra do produto de diferenciação que: 
 
)()()( αββααβ ddd += ou 
)()()( αβαββα ddd −= 
 
Fazendo ∞= uα 
 ∫=
H
udy
0
ρβ , vem 
 
dx
dx
du
udydxudyu
dx
d
dxudy
dx
d
u
HHH
∞
∞∞ 







−







=







∫∫∫
000
ρρρ 
 dxudy
dx
du
dxudyu
dx
d
HH








−







= ∫∫ ∞∞
00
ρρ 
 
Agora, substituindo na expressão do fluxo líquido de Q. M, vem: 
 
dxudy
dx
du
dxudyu
dx
d
dxdyu
dx
d
MQfluxo
HHH








+







−







= ∫∫∫ ∞∞
000
2.. ρρρ 
 
Os dois primeiros termos da integral podem ser reunidos para obter a seguinte forma 
mais compacta: 
 
dxudy
dx
du
dxudyuu
dx
d
MQfluxo
HH








+







−= ∫∫ ∞∞
00
)(.. ρρ 
 
Agora, vamos obter a resultante das forças externas. No presente caso, só vamos 
considerar as forças de pressão e de atrito. 
 
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104
- força resultante da pressão: dx
dx
dP
H− 
 
- força de cisalhamento na parede: -dx
0=
∂
∂
−=
y
p
y
u
dxµτ 
 
 
 
Finalmente, a equação integral da camada limite laminar hidrodinâmica pode agora ser 
escrita (2ª lei de Newton): 
 
dxudy
dx
du
dxudyuudx
dx
dP
H
y
u
dx
HH
y






+





−=−
∂
∂
− ∫∫ ∞∞
= 000
)( ρρµ 
 
Se a pressão for constante ao longo do escoamento, como ocorre com o escoamento 
sobre uma superfície plana (no caso do escoamento dentro de um canal ou tubo, essa 
hipótese não vale): 0=
dx
dP
 
 
Essa hipótese de P = cte. Também implica em que a velocidade ao longe também seja 
constante, já que, fora da camada limite, é valida a eq. de Bernoulli, ou 
cte
uP
=+ ∞
2ρ
 
 
De forma que, na forma diferencial: 00
2
2
=⇒=+ ∞
∞∞ du
duudP
ρ
 
Assim, a equação da conservação da Q. M. se resume a: 






−=
∂
∂
− ∫ ∞
=
H
y
udyuu
dx
dp
y
u
00
)(ρµ 
 
Mas como H > δ a velocidade é constante u = u∞, então: 
 
00
)(
=
∞ ∂
∂
=





−∫
y
y
u
udyuu
dx
d
µρ
δ
 
 
Esta é a forma final da equação da conservação da Q.M., válida para o escoamento 
laminar sobre uma superfície ou placa plana. Até o presente momento, o 
equacionamento é exato, pois nenhuma aproximação foi empregada. A questão é: se 
conhecermos o perfil de velocidades u(y), então, a equação acima pode ser integrada. 
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105
Daí, pode se obter, entre outras coisas, a lei de crescimento da camada limite laminar 
hidrodinâmica, isto é, a espessura da camada limite laminar numa posição x a partir da 
borda de ataque. δ(x). 
A solução aproximada, objeto desta análise, começa quando se admite um perfil de 
velocidades na direção perpendicular ao escoamento, isto é, u(y). Claro que a adoção 
desse perfil deve seguir certos critérios. Pense: Se você tivesse que admitir tal perfil de 
velocidades, provavelmente faria o mesmo que o apresentado aqui. Isto é, você imporia 
um polinômio de grau tal que as condições de contorno do perfil de velocidades fossem 
satisfeitas. Certo? Pois é exatamente isso é que é feito. Então, primeiro passemos a 
analisar as condições de contorno do problema, que são: 
0/0
/0
/
0/0
2
2
==
∂
∂
==
∂
∂
==
==
∞
yp
y
u
yp
y
u
ypuu
ypu
δ
δ
 
 
As três primeiras condições de contorno são simples e de dedução direta. A primeira 
informa que a velocidade na superfície da placa é nula (princípio de não-
escorregamento); a segundo diz que fora da CL a velocidade é a da corrente fluida e a 
terceira diz que a transição entre a CL e a corrente livre é “suave”, daí a derivada ser 
nula. A última c.c. é um pouco mais difícil de perceber. Há de se analisar a equação 
diferencial da conservação da quantidade de movimento da camada limite laminar (aula 
anterior que requer que essa condição seja nula sobre a superfície da placa). Como são 
quatro as condições de contorno, uma distribuição que satisfaz estas condições de 
contorno é um polinômio do 3º grau, dado por: 
 
3
4
2
321)( yCyCyCCyu +++= 
 
Daí, aplicando as c.c. para se obterem as constantes C1 a C4, tem-se o perfil aproximado 
de velocidades: 
3
2
1
2
3)(





−=
∞ δδ
yy
u
yu
 
 
Introduzindo-o na eq. da Q. M., vem: 
 
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106
00
33
2
2
1
2
3
2
1
2
3
1
=
∞ ∂
∂
=





















−












+−∫
y
y
u
dy
yyyy
dx
d
u µ
δδδδ
ρ
δ
 
Do que resulta, após algum trabalho: 
 
δ
µ
δρ ∞∞ =




 u
u
dx
d
2
3
280
39 2
 
 
Integrado essa equação, lembrando que para x = 0 � δ = 0 (a CL começa na borda de 
ataque): 
 
∞
=
u
vx
x 64,4)(δ , ou 
x
x
x
Re
64,4)(
=
δ
 
 
Lembrando da aula anterior que solução exata (Blasius) fornecia: 
x
x
x
Re
5)(
=
δ
 
 Ver Holman Apêndice B ou Incropera 
 
Considerando as aproximações realizadas, o resultado aproximado é bastante razoável. 
 
 
 Camada Limite Térmica Laminar 
 
Uma vez resolvido o problema hidrodinâmico acima, agora pode-se resolver o problema 
térmico. O objetivo é o cálculo do coeficiente de transferência de calor, h. Note que 
junto à superfície todo calor transferido da mesma para o fluido se dá por condução de 
calor e depois este fluxo de calor vai para o fluido. De forma, que pode-se igualar os 
dois termos da seguinte maneira: 
0
)(
=
∞ ∂
∂
−=−
y
p
y
T
kTTh , ou 
 
∞
=
−
∂
∂
−
=
TT
yT
k
h
p
y 0
 
 
Assim, para se obter o coeficiente de transferência de calor é preciso conhecer a 
distribuição de temperaturas T(y). De forma semelhante ao que foi feito para o caso 
hidrodinâmico, pode-se aplicar as seguintes c.c. para a distribuição de temperaturas: 
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107
 
Condições de contorno 
 
0/0
/
/0
0/
2
2
==
∂
∂
==
==
∂
∂
==
∞
yp
y
T
ypTT
yp
y
T
ypTT
t
t
p
δ
δ
 
 
Método integral (aproximado) 
 
tδ δ
∞u
∞T
cteTp =
 
 
Considere a figura acima, em que o aquecimento da superfície começa a partir de um 
ponto x0, a partir da borda de ataque. De forma análoga ao caso hidrodinâmico, 
desenvolvendo um balanço de energia num V.C. de espessura maior que δ, vem: 
(ver Holmam) 
00
2
0
)(
=
∞ ∂
∂
=














+





− ∫∫
y
H
p
H
y
T
dy
dy
du
c
udyTT
dx
d
α
ρ
µ
 
 
Admitindo uma distribuição polinomial de grau 3 para a distribuição de temperaturas e 
aplicando as c.c., vai se obter a seguinte curva aproximada: 
3
2
1
2
3)()(






−=
−
−
=
∞∞ ttp
p yy
TT
TyTy
δδθ
θ
 
 
(o mesmo que o de velocidades, pois as c.c. são as mesmas) 
Desprezando o termo de dissipação viscosa, obtém-se a seguinte relação entre as 
espessuras de camadas limites: 
 
3/1
4/3
03/1 1Pr
026,1
1













−= −
x
xt
δ
δ
 
 
Se a placa for aquecida ou resfriada desde a borda, x0 = 0, temos 
 
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108
3/1Pr
026,1
1 −=
δ
δ t 
 
No desenvolvimento admitiu-se δt < δ o que é razoável para gases e líquidos 
11
11
/Pr
<>
≈≈
δδ t
 
Finalmente, agora, podemos calcular o h, por substituição da distribuição de 
velocidades, calculada junto à parede 
 






==
−
−−
=
−
∂
∂
−
=
∞
∞
∞
=
tttp
p
p
y
x
kk
TT
TTk
TT
y
T
k
h
δ
δ
δδδ 2
3
2
3
2
3
)(
)(0
, ou 
3/1
4/3
0
3/1
1
Pr026,1
2
3
−














−=
x
xk
hx δ
, ou ainda 
 
3/1
4/3
0
2/1
3/1 1Pr332,0
−
∞














−





=
x
x
x
u
khx ν
 
 
Lembrando da definição do número de Nusselt, 
k
xh
Nu xx = , vem: 
3/1
4/3
02/13/1 1RePr332,0
−













−=
x
x
Nu xx 
 
As equações anteriores são para valores locais. 
 
O coeficiente médio de transferência de calor será, se x0 = 0: 
 
L
x
dxu
L
dxh
h
LL
x
L
∫∫ 




==
∞
0
2/1
2/1
3/1
0
Pr332,0
ν
, ou 
 
2/
Pr332,0 2/1
2/1
3/1
L
L
u
hL






=
∞
ν
, ou finamente: 
 
LxL h
L
u
h =
∞ =













×= 2Pr332,02
2/1
3/1
ν
 
 
Analogamente, para esse caso: 
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109
LxL Nu
k
Lh
uN === 2 
 
Quando a diferença de temperatura do fluido e da placa for substancial, as 
propriedades de transporte do fluido devem ser avaliadas á temperatura de película, Tf 
 
2
∞+=
TT
T
p
f 
E se o fluxo de calor for uniforme ao longo da placa, tem-se: 
 
3/12/1 PrRe453,0 LL
k
hL
Nu == 
Ver exercícios resolvidos do Holmam 5.4 e 5.5 
 
Exemplo resolvido (extraído do livro de Pitts e Sissom) 
 
Num processo farmacêutico, óleo de rícino (mamona) a 40ºC escoa sobre uma placa 
aquecida muito larga de 6 m de comprimento, com velocidade de 0,06 m/s. Para uma 
temperatura de 90ºC. Determine: 
 
(a) a espessura da camada limite hidrodinâmica δ ao final da placa 
(b) a espessura da camada limite térmica δt no final da placa 
(c) o coeficiente de transferência de calor local e médio ao final da placa 
(d) o fluxo de calor total transferido da superfície aquecida. 
 
São dados: 
Propriedades calculadas a CT f
065
2
9040
=
+
= 
α = 7,38×10-8 ms/s 
fk = 0,213 W/m
oC 
ν = 6,5×10-5 m2/s 
ρ = 9,57×102 kg/m3 
µ = 6,22×10-2 N.s/m2 
pC = 3016 
Ck
J
g
o
 
 
 
 
CTp °= 90
∞u
∞T
 
Solução 
 
Verificação se o escoamento é laminar ai final da placa 
 
)105(Re5538
105,6
606,0
Re 5
5
×<=
×
×
==
−
∞
transiçãoL
Lu
ν
 
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110
 
Método Exato Método Aproximado 
a) 
x
x Re
5
=
δ
; x = L = 6m 
m40,0
5538
65
=
×
=δ 
x
x Re
64,4
=
δ
; x = L = 6m 
m37,0
5538
664,4
=
×
=δ 
b) 
3/1
8
5
3/13/1 881
1038,7
105,6
)/(Pr −−
−
−− =





×
×
=== αν
δ
δ t 
mt 042,0
881
4,0
3/1
==δ 
3/1Pr
026,1
1 −=
δ
δ t 
mt 037,0
881
37,0
026,1
1
3/1
==δ 
c) 2/1
3/1Pr332,0 




= ∞
L
u
khx ν
 
Cm
W
hx
°
=






××
××=
−
2
2/1
5
3/1
4,8
6105,6
06,0
)881(213,0332,0
 
Cm
W
hh LxL °
=×== = 28,164,822 
2/1
3/1Pr332,0 




= ∞
L
u
khx ν
 
Obs*: Tanto a solução exata como a 
aproximada leva a constante ao 
mesmo valor de 0,332 
Cm
W
hx °
=
2
4,8 
Cm
W
hh LxL °
=×== = 28,164,822 
d) )( ∞−= TThAq s 
⇒
m
W
TTLh
L
q
s
p
5040
)4090(68,16)(
=
−××=−= ∞
 
)( ∞−= TThAq s 
⇒
m
W
TTLh
L
q
s
p
5040
)4090(68,16)(
=
−××=−= ∞
 
 
 
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111
AULA 15 – ANALOGIA DE TRANSFERÊNCIA DE 
CALOR E DE ATRITO – REYNOLDS-COLBURN E 
CAMADA LIMITE TURBULENTA E TRANSFERÊNCIA 
DE CALOR EM ESCOAMENTO EXTERNO 
 
2.5 – Analogia de Reynolds – Colburn 
 
Como visto nas aulas anteriores, a transferência de calor e de quantidade de movimento 
(atrito superficial) são regidas por equações diferenciais análogas. Na verdade, esta 
analogia entre os dois fenômenos é muito útil e será explorada nesta aula. Essa é a 
chamada analogia de Reynolds-Colburn que, portanto, relaciona o atrito superficial com 
a transferência de calor. Qual a sua utilidade? Bem, em geral dados de medição 
laboratorial de atrito superficial podem ser empregados para estimativas do coeficiente 
de transferência de calor. Isto é uma grande vantagem, pois, pelo menos no passado, os 
dados de atrito eram bem mais abundantes que os de transferência de calor. 
Por definição, o coeficiente de atrito é dado por: 
 
2
2
∞
=
u
C
p
f
ρ
τ
 
 
Mas, por outro lado, para um fluido newtoniano (todos os que vamos lidar neste curso), 
a tensão de cisalhamento na parede é: 
 
0=
∂
∂
=
y
p
y
u
µτ 
 
Usando o perfil de velocidades desenvolvido na aula 14, ou seja: 
3
2
1
2
3





−=
∞ δδ
yy
u
u
, 
temos que a derivada junto à parede resulta em: 
δ
∞
=
=
∂
∂ u
y
u
y
2
3
0
 
 
Por outro lado, usando o resultado da solução integral ou aproximada da espessura da 
camada limite, isto é, 
x
x Re
64,4
=
δ
 que, mediante substituição na definição da tensão de 
cisalhamento na parede, resulta em: 
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112
x
uu x
p
Re
323,0
2
3 ∞∞ ==
µ
δ
µτ 
 
Substituindo este resultado na equação da definição do coeficiente de atrito, vem: 
 
x
xfx
xu
uC
Re
323,0Re
323,0
2 2
==
∞
∞
ρ
µ
 
 
Por outro lado, da aula anterior, chegou-se à seguinte expressão para o número de 
Nusselt,
2/13/1 RePr332,0 xxNu = que, mediante algum rearranjo pode ser escrito como: 
2/13/2 RePr332,0
PrRe
−−= x
St
x
x
x
Nu
321
, onde Stx 
∞
=
uc
h
p
x
ρ
 é o número de Stanton. Então, 
reescrevendo de forma compacta: 
 
x
xSt
Re
332,0
Pr 3/2 = 
 
Comparandoas duas equações anteriores em destaque, notamos que eles são iguais a 
menos de uma diferença de cerca de 3% no valor da constante, então, esquecendo desta 
pequena diferença podemos igualar as duas expressões para obter: 
 
2
Pr 3/2
fx
x
c
St = 
 
Esta é a chamada analogia de Reynolds-Colburn. Ela relaciona o coeficiente de atrito 
com a transferência de calor em escoamento laminar sobre uma placa plana. Dessa 
forma, a transferência de calor pode ser determinada a partir das medidas da força de 
arrasto sobre a placa. Ela também pode ser aplicada para regime turbulento (que será 
visto adiante) sobre uma placa plana e modificada para escoamento turbulento no 
interior de tubos. Ela é válida tanto para valores locais, como para valores médios. 
______________________________________________________________________ 
Exemplo resolvido – continuação do anterior 
 
Calcule a força de arrasto sobre a placa do exemplo anterior (aula 14). 
 
 
Sabe-se que 3/2Pr
2
tS
C f = 
 
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113
Por outro lado, 5
2
1070,9
06,030161057,9
8,16 −
∞
×=
×××
==
uc
h
tS
p
L
ρ
 
 
Assim da analogia, podemos obter 23/25 1078,1881107,92 −− ×=×××=fC , de forma 
que a tensão de cisalhamento na superfície é: 
 
2
2
222
1007,3
2
)06,0(9571078,1
2 m
Nu
C fp
−
−
∞ ×=
×××
==
ρ
τ 
 
Finalmente, a força de atrito por unidade de comprimento é: 
 
m
N
L
L
F
p
p
184,061007,3 2 =××=×= −τ 
______________________________________________________________________ 
 
 
 
Camada Limite Turbulenta 
 
A transferência de calor convectiva na camada limite turbulenta é fenomenologicamente 
diferente da que ocorre na camada limite laminar. Para entender o mecanismo da 
transferência de calor na camada limite turbulenta, considere que a mesma possui três 
subcamadas, como ilustrado no esquema abaixo: 
 
 
 
A CLT é subdividida em: 
- Subcamada laminar – semelhante ao escoamento laminar – ação molecular 
- Camada amortecedora – efeitos moleculares ainda são sentidas 
- Turbulento – misturas macroscópicas de fluido 
 
Para entender os mecanismos turbulentos, considere o exercício de observar o 
comportamento da velocidade local, o que é ilustrado no gráfico temporal abaixo. 
u
 
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114
 
Do gráfico ilustrado, depreende -se que a velocidade instantânea, u, flutua 
consideravelmente em torno de um valor médio, u . Este fato de flutuação da 
velocidade local em conjunção com a flutuação de outras grandezas, embora possa 
parecer irrelevante, é o que introduz as maiores dificuldades do perfeito 
equacionamento do problema turbulento. Para analisar o problema, costuma-se dividir a 
velocidade instantânea em dois componentes: um valor médio e outro de flutuação, 
como indicado: 
velocidade na direção paralela: 'uuu += 
 
velocidade na direção transversal: 'vvv += 
 
pressão: { { {
fluctuacàomedio
táneoins
valor
PPP '
tan
+= 
Em todos os casos, uma barra sobre a grandeza indica um valor médio e uma apóstrofe, 
valor de flutuação. Os termos de flutuação são responsáveis pelo surgimento de forças 
aparentes que são chamadas de tensões aparentes de Reynolds, as quais devem ser 
consideradas na análise. 
Para se ter uma visão fenomenológica das tensões aparentes, considere a ilustração da 
camada limite turbulenta abaixo. Diferentemente do caso laminar em que o fluido se 
“desliza” sobre a superfície, no caso turbulento há misturas macroscópicas de “porções” 
de fluido. No exemplo ilustrado, uma “porção” de fluido (1) está se movimentando para 
cima levando consigo sua velocidade (quantidade de movimento) e energia interna 
(transferência de calor). Evidentemente, uma “porção” correspondente (2) desce para 
ocupar o lugar da outra. Isso é o que dá origem às flutuações. Do ponto de vista de 
modelagem matemática, essas “simples” movimentações do fluido dentro da camada 
limite dão origem às maiores dificuldades de modelagem. 
 
 
 
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115
Uma análise mais detalhada do problema da transferência de calor turbulenta foge do 
escopo deste curso. Assim, referira-se a uma literatura mais específica para uma análise 
mais profunda. No entanto, abaixo se mostra os passos principais da modelagem. 
O primeiro passo é escrever as equações de conservação (massa e quantidade de 
movimento) – aula 13. Em seguida, substituem-se os valores instantâneos pelos termos 
correspondentes de média e flutuação, isto é, 'uuu += , 'vvv += e 'PPP += . Em 
seguida, realiza-se uma integral sobre um período de tempo longo o suficiente, isto é, 
realiza-se uma média temporal. Ao final, vai se obter a seguinte equação diferencial: 
 






−
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
''
1
uv
y
u
yx
P
y
u
v
x
u
u υ
ρ
 
No processo de obtenção desta equação, admitiu-se que a média temporal das flutuações 
e suas derivadas são nulas. Com isso surgiram termos que envolvem a média temporal 
do produto das flutuações (últimos dois termos à direita). Aqui reside grande parte do 
problema da turbulência que é justamente se estabelecer modelos para estimar estes 
valores não desprezíveis. Estes termos dão origem às chamadas tensões aparentes de 
Reynolds que têm um tratamento à parte e não vamos nos preocupar aqui. 
 
O importante é saber que existem dois regimes de transferência de calor: laminar e 
turbulento. Também existe uma região de transição entre os dois regimes. Expressões 
apropriadas para cada regime em separado e em combinação estão indicadas na tabela 
7.9 do Incropera e Witt. 
 
Local : 318,0 PrRe0296,0 xxNu = 60Pr6,010Re
8 ≤≤≤x 
Médio : ( ) 318,0 Pr871Re037,0 −= LLNu 810Re ≤L 
2,0Re37,0 −= x
x
δ 810Re ≤L 
Nota: outras expressões ver livro-texto – ou tabela ao final desta aula. 
 
As propriedades de transporte são avaliadas à temperatura de mistura (média 
entre superfície e ao longe). Reynolds crítico = 5 ×105 
 
 
 
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116
______________________________________________________________________ 
Exemplo resolvido (Holman 5-7) 
Ar a 20oC e 1 atm escoa sobre uma placa plana a 35 m/s. A placa tem 75 cm de 
comprimento e é mantida a 60ºC. Calcule o fluxo de calor transferido da placa. 
Propriedades avaliadas à CT °=
+
= 40
2
6020
 
Ckg
kJ
c p °
= 007,1 
3
128,1
m
kg
=ρ 7,0Pr = 
Cm
W
k
°
= 02723,0 
ms
kg
x 510007,2 −=µ 
610475,1Re x
VL
L == µ
ρ
 
2055)871Re037,0(Pr
8,03/1 =−== LL
k
Lh
Nu 
CmWNu
L
k
h L °== 2/6,74 
WTTAhq s 2238)2060.(1.75,0.6,74)( =−=−= ∞ 
______________________________________________________________________ 
 
Escoamento Cruzado sobre Cilindros e Tubos 
 
No caso do escoamento externo cruzado sobre cilindros e tubos, análise se torna mais 
complexa. O número de Nusselt local, dado em função do ângulo de incidência θ, isto é, 
Nu(θ), é fortemente influenciado pelo efeito do descolamento da camada limite. 
A figura ao lado indica o que acontece com o 
número local de Nusselt. Para ReD ≤ 105, o 
número de Nusselt decresce como conseqüência 
do crescimento da camada limite laminar (CLL) 
até cerca de 80o. Após este ponto, o escoamento 
se descola da superfície destruindo a CLL e 
gerando um sistema de vórtices e mistura que 
melhora a transferência de calor (aumento de 
Nu(θ). Para ReD > 105, ocorre a transição e 
formação da camada limite turbulenta(CLT). Na 
fase de transição (80o a 100o) ocorre a melhora 
da transferência de calor. Uma vez iniciada a 
CLT, novamente se verifica a diminuição do 
coeficiente local de transferência de calor devido 
ao crescimento da CLT para, em torno de 140o, 
descolar o escoamento da superfície que destrói 
a CLT para, então, gerar o sistema de vórtices e 
mistura que volta a melhorar a transferência de 
calor. No caso turbulento há, portanto, dois 
mínimos. 
 
 
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117
Embora do ponto de vista de melhoria da transferência de calor possa ser importante 
analisar os efeitos locais do número de Nusselt, do ponto de vista do engenheiro e de 
outros usuários é mais proveitoso que se tenha uma expressão para a transferência de 
calor média. Assim, uma expressão bastante antiga tem ainda sido usada, trata-se da 
correlação empírica de Hilpert, dada por: 
 
3
1
PrRemDD C
k
Dh
Nu == 
onde, D é o diâmetro do tubo. As constantes C e m são dadas na tabela abaixo como 
função do número de Reynolds. 
 
ReD C m 
0,4 – 4 0,989 0,330 
4 – 40 0,911 0,385 
40 – 4.000 0,683 0,466 
4.000 – 40000 0,193 0,618 
40.000 – 400.000 0,027 0,805 
 
No caso de escoamento cruzado de um gás sobre outras seções transversais, a mesma 
expresssão de Hipert pode ser usada, tendo outras constantes C e m como indicado na 
próxima tabela (Jakob, 1949). 
 
 
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118
 
Para o escoamento cruzado de outros fluidos sobre cilindros circulares, uma expressão 
mais atual bastante usada é devida a Zhukauskas, dada por 
 
4/1
Pr
Pr
PrRe 





=
s
nm
DD CNu válida para 





<<
<<
610Re1
500Pr7,0
D
, 
 
onde as constantes C e m são obtidas da tabela abaixo. Todas às propriedades são 
avaliadas à T∞, exceto Prs que é avaliado na temperatura de superfície (parede). Se 
Pr ≤ 10, use n = 0,37 e, se Pr > 10, use n = 0,36. 
 
ReD C m 
1 – 40 0,75 0,4 
40 – 1.000 0,51 0,5 
1.000 – 2×105 0,26 0,6 
2×105 – 106 0,076 0,7 
 
____________________________________________________________ 
 
Escoamento sobre Banco de Tubos 
 
Escoamento cruzado sobre um banco de tubos é muito comum em trocadores de calor. 
Um dos fluidos escoa perpendicularmente aos tubos, enquanto que o outro circula 
internamente. No arranjo abaixo, apresentam-se dois arranjos típicos. O primeiro é 
chamado de arranjo em linha e o outro de arranjo desalinhado ou em quicôncio. 
Arranjos em linha ou quicôncio 
 
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119
Existem várias expressões práticas para a transferência de calor sobre banco de tubos. 
Para o ar, pode se usar a expressão de Grimison, que também pode ser modificada para 
outros fluidos, como discutido em Incropera (Seção 7.6). Mais recentemente, 
Zhukauskas apresentou a seguinte expressão: 
4/1
36,0
max,
Pr
Pr
PrRe 





=
s
m
DD CNu 
válida para 










<<
<<
≥
6
max, 10.2Re1000
500Pr7,0
20
D
LN
 
 
onde, NL é o número de fileiras de tubos e todas as propriedades, exceto Prs (que é 
avaliada à temperatura da superfície dos tubos) são avaliadas à temperatura média entre 
a entrada e a saída do fluido e as constantes C e m estão listadas na tabela abaixo. 
Configuração ReD,max C m 
Alinhada 10-102 0,80 0,40 
Em quicôncio 10-102 0,90 0,40 
Alinhada 
Em quicôncio 
102-103 Aproximado como um único 
102-103 cilíndro (isolado) 
Alinhada 
(ST/SL>0,7)a 
103-2×105 0,27 0,63 
Em quicôncio 
(ST/SL<2) 
103-2×105 0,35(ST/SL)1/5 0,60 
Em quicôncio 
(ST/SL>2) 
103-2×105 0,40 0,60 
Alinhada 2x105-2×106 0,021 0,84 
Em quicôncio 2x105-2×106 0,022 0,84 
a Para ST/SL>0,7 a transferência de calor é ineficiente, e tubos alinhados não deveriam ser utilizados. 
 
Se o número de fileiras de tubos for inferior a 20, isto é, NL < 20, então deve-se corrigir 
a expressão acima, multiplicando o resultado obtido por uma constante C2, conforme 
expressão abaixo e valores dados na segunda tabela abaixo. 
20
2
20 ≥<
=
LL N
D
N
D NuCNu 
 
Tabela com o fator de correção C2 para NL<20 (ReD>10
3) 
NL 1 2 3 4 5 7 10 13 16 
Alinhada 0,70 0,80 0,86 0,90 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99 
Em quicôncio 0,64 0,76 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99 
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120
O número de Reynolds ReD,max é calculado para a velocidade máxima do fluido que 
percorre o banco de tubos. No arranjo em linha, a velocidade máxima ocorre em 
V
DS
S
V
T
T
−
=max , onde as grandezas podem ser vistas na figura anterior. No arranjo em 
quicôncio ou desalinhado, a velocidade máxima pode ocorrer em duas regiões, 
conforme ilustrado na figura anterior. Vmax ocorrerá na seção A2 se a seguinte condição 
for satisfeita )()(2 DSDS TD −<− que, após uma análise trigonométrica simples, se 
obtém a seguinte condição equivalente 
22
21
2
2 DSSSS TTLD
+
<














+= . Se isso 
acontecer, então: V
DS
S
V
D
T
)(2
max −
= . Caso essa condição não seja satisfeita, então, a 
velocidade máxima ocorre em A1 e, portanto, usa-se novamente V
DS
S
V
T
T
−
=max . 
 
Tabelas- resumo com as equações (Incropera & Witt) 
 
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121
 
 
______________________________________________________________________ 
Exercício de Aplicação 
Verifica-se um escoamento de ar a uma velocidade de 4 m/s e temperatura de 30°C. 
Neste escoamento de ar é colocada uma fina placa plana, paralelamente ao mesmo, de 
25 cm de comprimento e 1 m de largura. A temperatura da placa é de 60°C. 
Posteriormente, a placa é enrolada (no sentido do comprimento) formando um cilindro 
sobre o qual o escoamento de ar vai se dar de forma cruzada. Todas as demais 
condições são mantidas. Pede-se: 
(a) Em qual caso a troca de calor é maior. 
(b) Qual o fluxo de calor trocado em ambos os casos. 
(c) Analisar se sempre há maior troca de calor numa dada configuração do que na 
outra, independentemente do comprimento e velocidade do ar. Justifique sua 
resposta através de um memorial de cálculo. 
 
 
 
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122
Solução 
Propriedades do ar à C
TT
T
p °=
+
= ∞ 45
2
 
ν = 1,68 x 10-5 m2/s 
k = 2,69 x 10-2 W/mK 
Pr = 0,706 
 
Placa 
CTp °= 60
smu /4=∞
CT °=∞ 30
 
 
critL x
Lu
Re1095,5
1068,1
25,04
Re 4
5
<≅
×
×
==
−
∞
ν
 5105×= 
 
2,144)706,0()1095,5(664,0PrRe664,0 3/12/143/1
2/1 =××== xNu LL 
Assim CmW
L
kNu
h L °=
×
== 2/56,15
25,0
02697,02,144
 
 
Cilindro 
 
CTs °= 60
∞∞ Tu ,
 
 
πD = L � D = 0,25/π = 0,0796 m 
 
Assim, 4
5
10895,1
1068,1
0796,04
Re ×=
×
×
=
−D
 
 
Usando a expressão de Hilpert (a mais simples) (Eq. 7.55b) 
 
3/1PrRe mDD CNu = p/ReD=1,895×10
4 C = 0,193 
 m = 0,618 
Assim, 63,75)706,0()10895,1(193,0 3/1618,04 =×××=DNu 
de forma que: KmW
D
kNu
h
D
D
2/63,25
0796,0
02697,063,75
=
×
== 
a) A transferência de calor é maior no caso do cilindro pois LD hh > e a área de troca de 
calor é a mesma. 
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123
b) 
Placa 
 
WQ
TTAhQ
placa
ppplaca
7,116
3025,056,15
)(
=
××
−= ∞
 
Cilindro 
 
WQ
TTAhQ
cil
pccil
2,192
3025,063,25
)(
=
××
−= ∞
 
 
c) Porção laminar 5, 105Re ×=Lcrit 
Note que 51059,1Re/ReRe ×=⇒= DLD π sendo equivalente ao crítico. 
 
3/12/1 PrRe
664,0
LL
L
k
h
×
= (A) 
 
m
D
m
DD C
L
k
C
D
k
h Re
Pr
RePr
3/1
3/1 π== (B) 
Portanto de (A), 
2/1
3/1
Re664,0
Pr
L
Lh
L
k
= , que, pode ser subst. em (B), para obter 
L
m
D
D
L
m
D
D hC
hC
h 5,0
2/1
Re669,2
Re664,0
Re −==
π
π
 
 
Ou 5,0Re669,2 −= mD
L
D
C
h
h
 para o caso laminar na placa 
 
 
Porção laminar-turbulenta ReL> Recrit =5×105 
 
3/18,0 Pr)871Re037,0( −×= LLNu (Eq. 7.41 p/camada limite mista) 
 
De donde 3/18,0 Pr)871Re037,0( −×= L
L
k
Lh
 e 
871Re037,0
Pr
8,0
3/1
−
=
L
Lh
L
k
 (C) 
 
sub. em (B), vem 
871Re037,0
Re
8,0 −
=
L
L
m
D
D
hC
h
π
 
 
Subs. ReL = πReD, vem: 
871Re037,0
Re
8,0 −
=
L
m
D
L
D C
h
h π
 
 
Finalmente para o caso laminar e turbulento na placa 
 
871Re037,0
Re
8,0 −
=
L
m
D
L
D C
h
h π
 
 
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124
Os diversos valores de C e m da expressão de Hilpert foram substituídos nas expressões 
das razões entre os coeficientes de transferência de calor e aparecem na tabela abaixo e, 
em forma gráfica. Evidentemente, a transferência de calor será sempre maior no caso do 
cilindro (na faixa de validade das expressões) 
 
 
ReD C m hD/hL 
regime 
4 0,898 0,33 2,09 laminar 
40 0,911 0,385 1,59 “ 
4000 0,683 0,466 1,38 “ 
40000 0,193 0,618 1,8 “ 
159000 0,027 0,805 2,78 “ 
200000 0,027 0,805 2,15 lam-turb 
400000 0,027 0,805 1,43 “ 
 
 
 
 
 
L
D
h
h 
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
1 10 100 1000 10000 100000 1000000
 
ReD 
 
 
 
 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 125 
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 AULA 16 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO INTERIOR 
DE TUBOS E DUTOS - LAMINAR 
 
 
 
Considerações hidrodinâmicas do Escoamento 
 
Desenvolvimento da camada limite laminar 
 
 
xe – comprimento de entrada 
 
x > xe – escoamento plenamente desenvolvido 
 
O número de Reynolds agora deve ser baseado no diâmetro do tubo (ou duto), isto é: 
µ
ρ Du
D =Re 
Onde, u – velocidade média 
 
O caso laminar vai ocorrer para 2300Re <D e, nesse caso, o comprimento de entrada 
se estende até D
e
D
x
Re05,0≈ 
 
No caso turbulento, dá-se início ao desenvolvimento da camada limite laminar, porém, 
essa camada limite sofre uma transição para camada limite turbulenta, como indicado na 
figura abaixo. 
 
 
 
Nesse caso, Dxe 10≈ . O número de Reynolds vai indicar se o escoamento é turbulento. 
Isto vai ocorrer para 4000Re >D . Entre 2300 e 4000 ocorre transição laminar-
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 126 
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turbulento. Para efeitos práticos, porém, pode-se assumir escoamento turbulento a partir 
de 2300. 
TEMPERATURA MEDIA DE MISTURA 
 
No caso do escoamento interno, existe um problema de referenciar a transferência de 
calor. Para exemplificar essa dificuldade, considere os escoamentos externos e internos 
ilustrados abaixo. No primeiro caso, o cálculo da transferência de calor se dá levando 
em consideração a temperatura da superfície, Ts, de do fluido ao longe, T∞, a qual é 
constante. Isso já não ocorre no caso do escoamento no interior. Não existe uma 
temperatura ao longe, T∞, para efetuar o cálculo da troca térmica. O que se usa é uma 
temperatura média Tm. Só que não pode ser uma temperatura média aritmética simples, 
pelos motivos expostos abaixo. Há de ser uma temperatura efetiva que represente a 
temperatura do fluido na seção. Esta é a chamada temperatura média de mistura ou de 
copo. 
 
{
)(
cte
s TThAq ∞−=
∞T
sT 
 
 
)( ms TThAq −=
sT 
 
 
Para entender como se obter a temperatura média de mistura, considere os seguintes 
perfis de temperatura e velocidade em um fluido sendo aquecido: 
 
sT
cT
 
 
Note que as maiores temperaturas ocorrem junto à parede porém, nessa região é onde 
ocorrem as menores velocidades. Assim, a média aritmética simples ∫= TdAATm
1
 não 
representa a temperatura efetiva da seção. Para obter a temperatura efetiva da seção, 
considere um exercício mental em que uma porção do fluido é colocado dentro de um 
copo. Há de se concordar que a temperatura efetiva é a temperatura de equilíbrio 
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daquela porção de fluido. Certo? Sim, isto está correto e daí o nome alternativo de 
temperatura de copo “cup” que significa literalmente “caneca” no vernáculo original). 
mequilibrio TT =
 
 
Para determinar essa temperatura, considere o fluxo entálpico, hE& , na seção transversal 
dado por: ∫∫ ==
A
h uhdAmhdE
0
ρ&& . 
Assim, pode-se definir a entalpia média, hm, na seção transversal por: 
mh
A
m hmEuhdA
m
h &&
&
=⇒= ∫
0
1
ρ 
 
Mas, sabendo que mpm Tch = , então: ∫=
A
P
P
m TdAuC
mC
T
0
1
ρ
&
 
Se CP= cte., vem que ∫=
A
m uTdA
m
T
0
1
ρ
&
 
Mas, por definição a vazão mássica na seção transversal é dada por ∫=
A
udAm
0
ρ& 
Assim, chega-se na expressão da definição da temperatura média de mistura ou 
temperatura de copo, qual seja: 
∫
∫
=
A
A
m
udA
uTdA
T
0
0
ρ
ρ
 
 
Para o caso do duto circular a área da seção transversal é dada por 
rdrdArA ππ 22 =⇒= que, substituindo na expressão acima, resulta em: 
∫
∫
=
r
r
m
urdr
uTrdr
T
0
0
ρ
ρ
 (Válida para tubo circular) 
 
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Além do mais, se ρ= cte, vem 
∫
∫
=
R
R
m
urdr
uTrdr
T
0
0 (válida para tubo circular) 
Transferência de Calor no Escoamento Laminar no Interior de Duto 
 
Conhecida a expressão para o cálculo da temperatura média de mistura, pode-se 
determinar a transferência de calor, caso sejam conhecidas as distribuições de 
velocidade e temperatura na seção transversal, isto é, u(r) e T(r). O caso laminar fornece 
tais expressões, como veremos a seguir. Considere o perfil laminar de velocidades 
ilustrado abaixo. No diagrama à direita, tem-se um balanço de forças para o elemento de 
fluido. 
 
 
)2( rdxπτ
2)( rdpp π+)( 2rp π
 
 
 
Um balanço de força, resulta em: )2(2 rdxdpr πτπ −= , ou dx
dr
du
rdp µ2−= ou ainda: 
dr
dx
dpr
du
µ2
−= 
Integrando na direção radial. Note que a pressão estática é a mesma na seção 
transversal, isto é, p≠ p(r), vem que C
dx
dpr
u +−=
µ4
2
 
A constante C é determinada da condição de parede, isto é, 
 
u = 0 
r = r0 
dx
dpr
C
µ4
. 20= 
 
Assim, )(
4
1
)( 220 rr
dx
dp
ru −=
µ
 
 
Velocidade no centro do tubo, u0: 
dx
dpr
u
µ4
2
0
0 −= 
Finalmente, dividindo uma expressão pela outra, tem-se: 
2
0
2
0
1
)(
r
r
u
ru
−= O perfil de velocidade é parabólico (2º grau)!! 
r0 
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Admitindo-se fluxo de calor constante na parede do tubo: 0=
dx
dq p 
 
Um balanço de energia para o elemento de fluido anterior resulta em: 
 
x
T
r
T
r
rr ∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
αµ
11
 
 
Como o fluxo de calor e constante ao longo do tubo, então: cte
x
T
=
∂
∂
 
 
Por outro lado, porsimetria no centro do tubo, sabe-se que 0
0
=
∂
∂
=rr
T
 e, na parede do 
tubo cteq
r
T
k p
rr
==
∂
∂
= 0
 
 
Entrando com estas c.c na equação acima e integrando, resulta no seguinte perfil 
laminar de temperaturas: 
 














−





∂
∂
+=
4
0
2
0
2
00
0 4
1
4
1
)(
r
r
r
rru
x
T
TrT
α
 
 
Finalmente, pode-se agora introduzir os perfis de velocidade, u(r) e temperatura, T(r), 
na equação da definição da temperatura média de mistura ∫∫=
00
00
rr
m urdruTrdrT 
Após algum esforço, se obtém 
x
Tru
TTm ∂
∂
+=
α
2
00
0 96
7
 (para fluxo de calor constante na 
parede). 
Para se poder calcular a transferência de calor, ainda é preciso obter a temperatura de 
parede (r = r0). Isto é prontamente obtido da expressão de T(r), que resulta em: 
x
T
ruTTp ∂
∂
+= 2000 16
31
α
 (fluxo de calor constante) 
 
Agora, finalmente, o coeficiente de transferência de calor laminar em tubo circular com 
propriedades constantes e escoamento plenamente desenvolvido pode ser calculado, a 
partir da sua própria definição: 
 
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0
)(
rr
mp
r
T
kATThAq
=∂
∂
=−= , ou ( )
mp
rr
TT
r
T
k
h
−
∂
∂
= = 0 
 
 
Substituindo as expressões, vem: 










∂
∂
−−
∂
∂
+






















−





∂
∂
+
∂
∂
= =
44 344 21444 3444 21
mP TT
rr
x
Tru
T
x
T
ruT
r
r
r
rru
x
T
T
r
k
h
αα
α
2
00
0
2
000
4
0
2
0
2
00
0
96
7
16
31
4
1
4
1
0 
 
Após se efetuar os cálculos, vai-se chegar a 
D
k
h 364,4= ou, 364,4=DNu . Este é um 
resultado notável, pois o número de Nusselt para escoamento laminar plenamente 
desenvolvido, propriedades constantes, submetido a um fluxo de calor constante não 
depende do número de Reynolds ou de qualquer outro parâmetro! Se os cálculos forem 
efetuados para temperatura de parede constante, vai-se obter 66,3=DNu . 
Trabalhos teóricos também foram realizados para outras geometrias e seus valores são 
apresentados na tabela abaixo. O fator de atrito também é apresentado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos problemas práticos, as propriedades devem ser calculadas à média entre as 
temperaturas médias de saída e entrada, isto é: 
2
msme
m
TT
T
−
= quando as diferenças de 
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temperatura não são significativas. Em caso diferenças significativas, deve-se empregar 
o conceito de diferença média logarítmica de temperatura, DMLT, visto adiante. 
 
Quando os tubos são curtos, deve-se considerar que o escoamento ainda não está 
plenamente desenvolvido e deve-se usar a expressão corrigida. O gráfico abaixo ilustra 
como o número de Nusselt varia, começando da entrada, até que o escoamento se torne 
plenamente desenvolvido. 
Relação para tubo curto: 
[ ] 3/2PrRe)/(04,01
PrRe)/(0668,0
66,3
D
D
D
LD
LD
Nu
+
+= 
 
 
Veja livro para correlações que consideram o comprimento de entrada. 
 
 
 
 
DETERMINAÇÃO DE Tm AO LONGO DO COMPRIMENTO DO TUBO 
 
Em muitas situações, estamos mais interessados em determinar como a temperatura 
média de mistura varia não na seção transversal, mas sim ao longo do tubo. Isto é 
obtido, mediante um balanço de energia, conforme ilustrado na figura abaixo. É válida 
para qualquer regime de escoamento, pois decorre de uma análise da Primeira Lei da 
Termodinâmica. Note que, nesta seção, h refere-se à entalpia específica e não ao 
coeficiente convectivo de calor. 
dx
dxxhm +&
xhm&
pdAq"
 
Expansão em serie de Taylor da entalpia, vem ...++=+ dx
dx
dh
hh xxdxx 
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Mas, pela 1ª lei, temos: pxdxx dAqhmhm "+=+ && , que substituindo a expansão, já 
desprezando os termos de ordem superior, tem-se 
px
x
dxx dAqhmdx
dx
dh
hm "+=





++ && 
ou, simplesmente p
x dAq
dx
dh
m "=& : Ap = área em contato com o fluido. 
Mas, por outro lado PdxdA = ;onde P é o chamado perímetro molhado. 
 
De forma que Pdxqdx
dx
dh
m x "=& 
Ou, ainda, Pq
dx
dh
m x "=& . Assumindo cteCpdTCdhouTch PPmp === / , , tem-se 
dx
dT
Cm
dx
dT
AuCPq mP
m
P
&== ρ" 
 
Dois casos podem ser analisados para ser determinar Tm que dependem da condição de 
contorno na parede. 
 
(I) Fluxo de calor constante na parede. cteq" = 
 
Integrando a equação, vem ctex
AuC
Pq
xT
P
m += ρ
"
)( 
 
Para x = 0, Tm = Te, de forma que e
P
m Tx
AuC
Pq
xT +=
ρ
"
)( 
 
 
(II) Temperatura de parede constante Tp = cte 
 
Nesse caso, )(" mpxx TThq −= que, substituindo na expressão Tm, vem 
dx
dT
CmTTPh mPmpx &=− )( 
Ou, dx
cm
Ph
TT
dT
p
x
mp
m
&
=
−
, cuja integração resulta em ctex
Cm
Ph
TT
P
c
mp +=−
&
)ln( 
 
Para x = 0, Tm = Te, de forma que 





−=
−
−
P
c
ep
mp
Cm
Pxh
TT
xTT
&
exp
)(
 
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T Tp
Te
Tm
h
h
 
Fluxo de calor constante na superfície 
T
x
Tp
Te
 
Temperatura de parede constante 
 
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134
AULA 17 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO INTERIOR 
DE DUTOS - TURBULENTO 
 
 
Transferência de Calor no Escoamento Turbulento em Dutos – Analogia de 
Reynolds-Colburn 
 
 
 
 
No caso laminar, a condução de calor é dada por 
dr
dT
k
A
q
−= , ou 
dr
dT
cA
q
p
α
ρ
−= 
 
No caso de escoamento turbulento, define-se uma expressão semelhante do tipo 
 
( )
dr
dT
cA
q
H
p
εα
ρ
+−= 
 
εH - é a chamada difusividade térmica turbilhonar 
 
Analogamente à tensão de cisalhamento, pode-se escrever 
 
dr
du
dr
du
m )( ενρ
τ
µτ +=⇒= 
onde, εm - viscosidade turbilhonar 
 
Hipótese: Admitindo que o calor e quantidade de movimento sejam transportado numa 
mesma taxa, ou εH = εm e ν = α, o que significa que Pr = 1. Então, dividindo as 
equações anteriores, vem: 
 
du
dT
Ac
q
p
−=
τ
 ou dTdu
Ac
q
p
−=
τ
 
 
Outra hipótese a ser adotada é que a razão entre o fluxo de calor por unidade de área e o 
cisalhamento seja constante na seção transversal, o que permite escrever que o que 
ocorre na parede, também ocorre dentro do escoamento, isto é: 
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135
 
ppP
p
P AC
q
AC
q
ττ
= ou dTdu
AC
q
ppP
p −=
τ
 
 
As condições de contorno do problema são: 
 u = 0 , T = Tp 
 u = um , T = Tm 
 
De forma, que é possível integrar a equação: ∫∫ −=
m
p
m T
T
u
pPp
p
dTdu
CA
q
0τ
 
 
que resulta em mpm
pPp
p
TTu
CA
q
−=
τ
 
mas, por outro lado, o fluxo de calor convectivo é dado por )( mppp TThAq −= . Agora 
igualando as duas expressões, tem-se: 
mpm
ppp
mpp
TTu
cA
TThA
−=
−
τ
)(
 que resulta em p
p
m
c
hu
τ= (A) 
 
Por outro lado, o equilíbrio de forças no elemento de fluido, resulta em: 
LrrP p 0
2
0 2πτπ =∆ , ou P
L
r
p ∆= 2
0τ 
 
Lrp 02πτ
pτ
2
0)( rPP π∆+
2
0rPπ
 
 
Mas da mecânica dos fluidos, 
2
2
0
mu
d
L
fP ρ=∆ , onde f = fator de atrito (sai do 
diagrama de Moody ou expressão de ajuste – Colebrook, Churchil, entre outras) 
Assim, comparando as duas expressões, vem 2
8 mp
u
f
ρτ = (B) 
 
Finalmente, pode-se concluir a analogia igualando as equações (A) e (B). Assim:2
8 mp
m u
f
C
hu
ρ= 
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136
Agora é de interesse que se façam aparecer os adimensionais que controlam o 
fenômeno. Para isso, algumas manipulações serão necessárias, começando por 
rearranjar a equação acima, para obter: 
ρ
ρ 8
f
uC
h
mp
= 
Agora, conveniente, esta expressão é multiplicada e dividida por algumas grandezas, 
conforme indicado abaixo: 
 
8
1
0
0 f
udC
k
k
hd
mp
=


















 ν
νρ
 
que, pode ainda ser manipulada para obter: 
8/
1
/
1
0
0 f
udk
hd
m
=

















ναν
 
Finalmente, os grupos adimensionais são substituídos: 
8RePr
fNu
D
D = , ou 
8
f
St = 
 
Esta é a analogia de Reynolds para escoamento turbulento em tubos. Ela está de acordo 
com dados experimentais para gases ( Pr ~ 1). Com base em dados experimentais 
Colburn recomenda que a relação acima seja multiplicada por Pr2/3 para Pr > 0,5 (até 
100) 
8RePr 31
fNu
D
D = , ou 
8
Pr 32
f
St = 
 
Na faixa de Reynolds entre 2 ×104, para tubos lisos, f pode ser relacionado da seguinte 
forma 
2,0Re184,0 −= Df . 
Então, obtém-se a famosa expressão de Dittus-Bolter (ligeiramente modificada) 
 
3/18,0 PrRe023,0 DDNu = 
 
Na prática, sugere-se que o expoente do número de Prandtl seja do tipo 
 
n
DDNu PrRe023,0
8,0= 
onde, 
n = 0,3 se o fluido estiver sendo resfriado 
n = 0,4 se o fluido estiver sendo aquecido 
 
 
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137
Para tubos rugosos, usar o diagrama de Moody, como mostrado abaixo, para obter f. 
 
 
 
Ou uma expressão de correlação, como por exemplo a expressão de Churchill ou 
Colebrook: 
Expressão de Churchill: 
( )
121
5,1
12
1
Re
8
8








+
+





=
BA
f
D
 
onde 
( ) ( )
16
9,0 27,0Re7
1
ln457,2














+
=
D
A
D ε
 
e 
16
Re
530.37






=
D
B 
Esta expressão tem a vantagem de ajustar de forma suave a transição laminar-turbulento 
 
Expressão de Colebrook: 





+−=
2/12/1 Re
51,2
7,3
/
log0,2
1
f
D
f D
ε
 
 
 
 
 
Ver tabela de correlações para outras 
configurações 
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138
 
Outras correlações (tubo liso),válidas para a região de entrada 
 
 0,5 < Pr < 1,5 













+−=
3/2
5/25/4 1Pr)100(Re0214,0
L
D
Nu DD 
 0,5 < Pr < 1,5 













+−=
3/2
5/287,0 1Pr)280(Re012,0
L
D
Nu DD 
 
CORREÇÃO DEVIDO A PROPRIEDADES VARIAVEIS 
 
(A) Laminar 
 
As propriedades são calculadas a temperatura de mistura. Acontece que algumas 
propriedades dependem fortemente da temperatura como, por exemplo, a viscosidade da 
água: 
 
µ (T = 25°C) ~ 8,90 x 10-4 kg/ms 
µ (T = 30°C) ~ 7,98 x 10-4 kg/ms 
 
Em 5ºC ocorre uma variação em torno de 10%. 
 
Assim, segue-se que a seguinte expressão seja utilizada para levar este efeito em 
consideração. 
 
n
p
m
cor NuNu 







=
µ
µ
 
 
µm = viscosidade à temperatura da mistura. 
µp = viscosidade à temperatura da parede 
Se o fluido for em gás n = 0 (sem correções) Para 0,5 < Tm / Tp < 2,0 
 
(B) Turbulento 
 
n
p
m
cor
T
T
NuNu 







= 
 
T – temperatura absoluta 
n = 0 (resfriamento de gases) 
n = 0,45 para fases sendo aquecidos (n = 0,15 p/ Co2) 
 
se 0,5 < Tm / Tp < 2,0 
 
Líquidos 
11,0
Pr
Pr








=
p
m
cor NuNu 
 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 
 
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139
 
 
 
 
Exemplos resolvidos 
 
(1) Ar escoa pelo interior de um duto de 5cm de diâmetro. A velocidade do ar é 30m/s e 
sua temperatura é 15ºC. O comprimento aquecido do tubo é 0,6m com temperatura de 
parede, Tp = 38ºC. Suponha que o escoamento seja plenamente desenvolvido. Obtenha a 
transferência de calor e a temperatura de saída do ar. 
 
CTp °= 38
 
 
Calcule as propriedades à temperatura média 
2
se
m
TT
T
+
= 
 
Dittus Boelter: 4,08,0 PrRe023,0 DDNu = (1) 
 
Balanço de energia: )()( espmp TTCmTTAh −=− & (2) 
 
Note que há duas equações e duas incógnitas (Ts e h) 
 
Esses tipos de problema devem normalmente serem resolvidos de forma iterativa, 
conforme esquema abaixo. Primeiro admite-se uma temperatura de saída, calculam-se 
todas as grandezas envolvidas e depois faz-se a verificação se corresponde ao resultado 
da segunda equação. Caso contrário, admite-se uma nova temp. de saída. 
h
 
 
Ts = 21ºC ⇒ Tm = 18ºC 
 
Tabela A.5 (Holman) A.4 (Incropera) – Interpolação 
 
ρ = 1,2191 kg/m3 γ = 14,58 x 10-6 m2/s Pr = 0,72 
cp = 1,0056 kJ/kg°C k = 0,02554 W/m°C 
 
5
6
10029,1
1058,14
05,030
Re x
x
xVD
D === −ν
 turbulento !!!! 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 
 
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140
34,206)72,0()5^10029,1(023,0PrRe023,0 4,08,04,08,0 === xNu DD 
Cm
W
D
kNu
h
D
°
===
2
4,105
05,0
02554,0*34,206
 
 
De (2)
 
( ) ( ) C
x
TT
mc
hA
TT mp
p
es °=−×
×××
+=−+= 7,171838
100056,1072,0
6,005,04,105
15
3
π
 
 
Não confere!! Portanto, nova iteração é necessária 
 
Assumindo agora Ts = 18ºC 
 
Logo, Tm = 16,5ºC, assim: 
 
ρ = 1,2262 kg/m3 µ = 14,40 x 10-6 m2/s Pr = 0,711 
cp = 1,0056 kJ/kg°C k = 0,02542 W/m°C 
 
51004,1Re xD = skgm /072,0=& CmWh °=
2/27,105 
CTs °≅ 95,17 OK! Agora, confere 
 
Realizando os cálculos pedidos. Pela lei de resfriamento 
 
WTTAhq mps 3,213)5,1638(6,005,027,105)( =−××××=−= π 
 
Pela 1ª. Lei 
WTTcmq esp 2,217)1518(6,1005072,0)( =−××=−= & 
 
As diferenças se justificam em função das aproximações usadas e no cálculo das 
propriedades. 
 
 
(2) Água passa em tubo de 2cm de diâmetro dotado de uma velocidade média de 1 m/s. 
A água entra no tubo a 20ºC e o deixa a 60ºC. A superfície interna do tubo é mantida a 
90ºC. Determine o coeficiente médio de convecção de calor, sabendo que o tubo é 
longo. Calcule, também, o fluxo de calor transferido por unidade de área de tubo. 
 
Solução 
 
As propriedades termofísicas da água serão calculadas à média das temperaturas de 
misturas da entrada e saída, isto é, a 40ºC. 
 
ρ = 992,3 kg/m3 k = 0,6286 W/m°C cp = 4,174 kJ/kg°C 
µ = 6,531 x 10-4 kg/ms Pr = 4,34 
 
 
O número de Reynolds do escoamento é 
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141
 
4
4
10039,3
10531,6
3,99202,01
Re ×=
×
××
== −µ
ρVD
D 
O escoamento é turbulento e o número médio de Nusselt é obtido usando a equação de 
Dittus-Bolter, vem. 
 
4,08,0 PrRe023,0
D
DNu = 
 
Assim, ( ) 5,15934,410039,3023,0 4,08,04 =×=DNu 
 
As propriedades termofísicas da água são dependentes da temperatura, e uma correção 
deveria ser realizada para o número de Nusselt obtido com a hipótese de propriedades 
constantes. O número de Prandtl da água a 90oC vale 1,97. 
 
0,174
97,1
34,4
5,159
Pr
Pr
11,011,0
=





=





=
P
m
cor NuNu 
O coeficiente médio de transferência de calor é 
 
Cm
W
D
kNu
h
cor
°
=
×
==
2
1,5468
02,0
6286,00,174
 
 
 
( ) 2/4,27340901,5468)(" mkWTThq p =−=−= 
 
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142
DIFERENÇA MÉDIA LOGARÍTMICA DE TEMPERATURA – DMLT 
 
 
No exemplo anterior de paredede tubo constante, a temperatura de mistura do fluido 
varia de forma exponencial entre a entrada e saída. Assim, os cálculos realizados acima 
foram aproximados apenas, pois usamos uma temperatura média representativa do 
fluido que foi simplesmente a média aritmética entre a temp. de mistura de entrada e 
saída. No entanto, prova-se (veja Incropera 8.3.3) que nestes casos deve-se usar a 
diferença média logarítmica de temperatura, DMLT, definida por: 
 
 
( )es
es
TT
TT
DMLT
∆∆
∆−∆
=
ln
 
 
onde, sps TTT −=∆ e epe TTT −=∆ 
 
T
x
Tp
Te
 
 
Assim, a lei de resfriamento de Newton adequadamente aplicada é DMLTAhq ××= 
 
Refazendo o exercício, vem: 
( )
CDMLT o2,47
7030ln
7030
=
−
= - compare com CT o50= 
 
Assim, 2/1,2582,471,5468)(" mkWDMLThq =×== 
 
Como última informação, perceba que se as diferenças de temperatura entre a entrada e 
saída não forem muito grandes, a DMLT vai tender a diferença entre a temperatura de 
parede e a média entre as temperaturas de mistura de entrada e saída. A DMTL será 
estudada detalhadamente na próxima aula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 
 
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143
Outro exemplo de Aplicação 
 
Um tubo de um aquecedor solar é exposto a uma radiação térmica uniforme e constante 
de 1000 W/m por meio de um concentrador. O diâmetro do tubo é de 60mm. 
 
1) se a água entra no tubo a skgm /01,0=& e Tm,1 = 20°C. Qual o 
comprimento do tubo necessário para a temperatura de saída alcançar Tm,2 
= 80°C? 
2) Qual a temperatura superficial do tubo na saída? 
 
Solução 
 
skgm /01,0=
CTm °= 201
CTm °= 802
 
 
1) 1º Lei TCmQ p∆= && , com DLqQ π"&& = e, portanto, TCmDLq p∆= && π" 
De forma que: 
Dq
TCm
L
p
π"&
& ∆
= , ou m
x
xx
L 31,13
06,0100
60418101,0
==
π
 
2) )(" 2,2, mps TThq −=& ou 2,2,
"
m
s
p T
h
q
T +=
&
 
 
Precisamos, agora, fazer uma estimativa de h 
 
Regime de escoamento – cálculo do número de Reynolds: 
µπρνπν D
m
D
DmDum
D
&& 44
Re
2
=== 
da tabela 2680 /10352 mNsC
−
° ×=µ , então 
2300603
1035206,0
01,04
Re
6
<=
×××
×
= −πD
 - Laminar !! 
 
Como se trata de fluxo de calor constante na parede, tem-se 364,4==
k
Dh
NuD 
Assim, 
D
k
h
364,4
= mas CmWk C °=° /670,080 
Logo, CmW
x
h °== 2/73,48
06,0
67,0364,4
 
 
Finalmente, CTp °=+= 5,1008073,48
1000
2, 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 144 
 
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AULA 18 – TROCADORES DE CALOR – MÉTODO DA 
DIFERENÇA MÉDIA LOGARÍTMICA DE 
TEMPERATURA – DMLT 
 
 
O principal objetivo no projeto térmico de trocadores de calor é a determinação da área 
superficial necessária para transferir o calor numa determinada razão, conhecidas as 
vazões e as temperaturas dos fluidos. Este trabalho é facilitado pelo uso do coeficiente 
global de transmissão de calor, U. 
 
TAUq ∆⋅⋅= 
 
Onde T∆ é uma diferença média efetiva da temperatura para todo o trocador de calor 
que será discutida adiante. Onde U pode ser definido em função da soma das 
resistências térmicas. Para as configurações usuais mais encontradas, temos: 
 
Paredes plana: 
1
1/ / 1/i o
U
q L k q
=
+ +
 
Parede cilíndrica: 
1
/ [ ln( / ) / ] 1/o o i i o o i o
U
r rq r r r k q
=
+ +
, ( TAUq oo ∆⋅⋅= ) 
 
1
1/ [ ln( / ) / ] / /i i i i o i o o
U
q r r r k r r q
=
+ +
, TAUq ii ∆⋅⋅= 
 
Onde os índices i e o representam as superfícies interna e externa, respectivamente. 
A tabela a seguir fornece valores aproximados de U para alguns fluidos utilizados em 
trocadores de calor. As faixas relativamente largas de U resultam da diversidade dos 
materiais empregados e das condições do escoamento, bem como da configuração 
geométrica. 
 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 145 
 
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Fluido (U – W/m²K) 
Óleo para óleo 170-312 
Orgânico para orgânico 57-340 
Vapor para 
 Soluções aquosas 567-3400 
 Óleo combustível, pesado 57-170 
 Óleo combustível, leve 170-340 
 Gases 28-284 
 Água 993-3.400 
Água para 
 Álcool 284-850 
 Salmoura 567-1.135 
 Ar comprimido 57-170 
 Álcool condensado 255-680 
 Amônia condensado 850-1.420 
 Freon 12 condensado 454-850 
 Óleo condensado 227-567 
 Gasolina 340-510 
 Óleo lubrificante 113-340 
 
As figuras abaixo mostram alguns tipos de trocadores de calor. 
 
 
 
 
 
 
 Corrente paralela Contra-corrente 
 
 
 
 
 Corrente cruzada Corrente cruzada 
 
 
 
 
 
 Casco e tubo 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 146 
 
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 Trocador de placas 
 
O TROCADOR DE CALOR DE CORRENTES PARALELAS 
Antes de serem efetuados os cálculos da transferência de calor, é necessário definir o 
termo T∆ . Seja, por exemplo, um trocador de calor de correntes paralelas, cujos perfis 
de temperatura estão mostrados na seguinte figura. 
 
 
Para a figura acima considerar que: 
1. U é constante ao longo de todo o trocador. 
2. O sistema é adiabático; ocorre troca de calor somente entre os dois fluidos. 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 147 
 
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3. As temperaturas de ambos os fluidos são constantes numa dada seção transversal e 
podem ser representadas pela temperatura de mistura. 
4. Os calores específicos dos fluidos são constantes. 
Com base nestas hipóteses, a troca de calor entre os fluidos quente (q) e frio (f) para 
uma espessura infinitesimal dx é: 
( )q fdq U T T dA= − 
 
onde dA é a área elementar de troca de calor. O fluxo de energia recebida pelo fluido 
frio é igual à fornecida pelo fluido quente, isto é, 
 
qqqfff dTcmdTcmdq && −== 
 
onde m& é o fluxo mássico e c é o calor específico. Da equação anterior resulta: 
 
1 1
( )q f
q q f f
d T T dq
m c m c
 
− = − +  
 & &
 
 
Substituindo dq da equação de conservação, resulta: 
 
( ) 1 1
( )
q f
q f q q f f
d T T
U dA
T T m c m c
 −
= − +  −  & &
 
 
Cuja integração é igual a 
 
2
1
1 1
ln
q q f f
T
UA
T m c m c
 ∆
= − +  ∆  & &
 
 
onde, 1 qe feT T T∆ = − e 2 qs fsT T T∆ = − , como indicado no gráfico de distribuição de 
temperaturas anterior. Por meio de um balanço de energia em cada fluido, 
 
( ) ( )q q f fqe qs fs fe
q q
m c m c
T T T T
= =
− −
& & 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 148 
 
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Substituindo-se estas expressões na equação anterior: 
 
2
1
( ) ( )
ln qe qs fs fe
T T T TT
UA
T q
− + −∆
= −
∆
 
Ou: 
( )12
12
ln TT
TT
UAq
∆∆
∆−∆
= 
 
Comparando-se este resultado com a primeira equação, nota-se que 
 
( )
DMLT
TT
TT
T ≡
∆∆
∆−∆
=∆
12
12
ln
 
 
Esta diferença média efetiva de temperatura é chamada de diferença média logarítmica 
de temperatura (DMLT). 
 
O TROCADOR DE CALOR EM CONTRA-CORRENTE 
 
 
 
As distribuições de temperaturas nos fluidos quente e frio associadas a um trocador de 
calor com escoamento em contracorrente estão mostradas na figura acima. 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 149 
 
____________________________ 
www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2014Note que a temperatura de saída de fluido frio (Tfs) pode ser maior que a temperatura de 
saída de fluido quente (Tqs). 
De forma similar que para o caso de correntes paralelas pode-se demonstrar o DMLT 
para o caso contra-corrente a taxa de transferência por conservação de energia 
infinitesimal e convectivo são respectivamente: 
 
q q q f f fdq m c dT m c dT= − = −& & e ( )q fdq U T T dA= − 
Subtraindo o segundo e terceiro termos da equação de conservação infinitesimal e 
substituindo a segunda equação juntamente com a equação de conservação, tem-se 
 
1 2 1 21 1( ) ( ) q q f fq f q f
q q f f
T T T T
d T T dq U T T dA
m c m c q q
  − − 
− = − − = − − −       & &
 
ou 
1 1 2 2
( )
( ) ( )
( )
q f
q f q f
q f
d T T U
T T T T dA
T T q
−
 = − − − − −
 
Substituindo a equação anterior em termos das seções 1 e 2 do gráfico acima: 
 
( )
1 2
( )
( )q f
q f
d T U
T T dA
T q
−
−
∆
= − ∆ −∆
∆
 
 
Integrando a equação acima, obtém-se: 
ATT
q
U
T
T
)(ln 21
1
2 ∆−∆−=





∆
∆
 
ou 
DMLTAUq ⋅⋅= onde 
( )12
12
ln TT
TT
DMLT
∆∆
∆−∆
= 
Onde 1 qe fsT T T∆ = − e 2 qs feT T T∆ = − 
 
Para as mesmas temperaturas de entrada e saída, a DMLT em contra-corrente é maior 
que para corrente paralela, dessa forma, admitindo o mesmo U, a área necessária para 
uma determinada taxa de transferência de calor é menor para um trocador em 
contracorrente. 
Stanhaus
Destacar
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 150 
 
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Exemplo resolvido (do Incropera): 
 
Um trocador de calor bitubular (tubos concêntricos) com configuração em 
contracorrente é utilizado para resfriar o óleo lubrificante do motor de uma grande 
turbina a gás industrial. A vazão da água de resfriamento do tubo interno (Di = 25 mm) é 
de 0,2 kg/s, enquanto a vazão do óleo através da região anular (De = 45 mm) é de 
0,1 kg/s. O óleo e a água entram a temperaturas de 100 °C e 30 °C, respectivamente. O 
coeficiente de transferência de calor por convecção na região anular (do óleo) é de 
38,4 W/m²K. Qual deve ser o comprimento do trocador se a temperatura de saída do 
óleo deve ser de 60°C? 
 
Solução 
Considerações: 
• Perda de calor para a vizinhança desprezível. 
• Mudanças nas energias cinética e potencial desprezíveis. 
• Propriedades constantes. 
• Resistência térmica na parede do tubo e efeitos da deposição desprezíveis. 
• Condições de escoamento completamente desenvolvidas na água e no óleo (U 
independente de x). 
 
 
Propriedades do óleo de motor novo ( qT = 80 °C) 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 151 
 
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cp = 2.131 J/kg-K; µ = 0,0325 N.s/m²; k = 0,138 W/m K. 
Propriedades da água ( ≈cT 35 °C) , primeira aproximação! 
cp = 4.178 J/kg K; µ = 0,000725 N.s/m²; k = 0,625 W/m K; Pr = 4,85. 
 
, ( )q p q qe qsq m c T T= −& 
0,1 2131 (100 60) 8.524q W= × × − = 
 
A temperatura de saída da água é: 
,
fs fe
f p f
q
T T
m c
= +
&
 
8524
30 40,2
0, 2 4178fs
T = + =
×
°C 
 
Por tanto a primeira aproximação de fT = 35 °C foi uma boa escolha. 
A DMLT é igual a: 
( )
( )
C
TT
TT
TTTT
DMLT
feqs
fsqe
feqsfsqe °=






−
=








−
−
−−−
= 2,43
30
98,5
ln
308,59
ln
)()(
 
 
O coeficiente de transferência global é dado por: 
 
1/U= 1/hi + 1/he 
 
Para o escoamento da água através do tubo, 
4 4 0,2
Re 14.050
0,025 0,000725
c
D
e
m
Dπ µ π
×
= = =
× ×
&
 (Turbulento) 
9085,414050023,0PrRe023,0 4,05/44,05/4 =⋅⋅== DDNu 
 
Assim: 
KmW
D
k
Nuh
i
Di ²/250.2025,0
625,0
90 === 
 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 152 
 
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Por tanto o coeficiente global de transferência de calor é: 
KmWU ²/8,37
4,38/1250.2/1
1
=
+
= 
 
A área necessária para a troca de calor é de: 
DMLTU
q
A
⋅
= 
E o comprimento será de: 
 
m
DMLTUD
q
L
i
5,66
2,438,37025,0
524.8
=
⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅
=
ππ
 
 
 
O MÉTODO F 
 
Para trocadores de calor mais complexos, como os multitubulares, diversos passes na 
carcaça ou correntes cruzadas, a determinação da diferença média efetiva de 
temperatura é tão difícil que o procedimento usual é modificar a equação acima através 
de um fator de correção F, resultando em: 
 
DMLTFAUq ⋅⋅⋅= 
 
Onde DMLT é aquela para um trocador de calor de tubo duplo em contracorrente com 
as mesmas temperaturas de entrada e saída da configuração mais complicada. As figuras 
a seguir fornecem os fatores de correção para diversas configurações. Nestas figuras, a 
notação (T, t) representa as temperaturas das duas correntes de fluido, pois não importa 
se o fluido quente escoa nos tubos ou na carcaça. 
 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 153 
 
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Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 154 
 
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Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 155 
 
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AULA 19 – TROCADORES DE CALOR – MÉTODO DA 
EFETIVIDADE - NUT 
 
 
Se mais de uma das temperaturas de entrada ou saída do trocador de calor for 
desconhecida, o método DMLT é muito trabalhoso, necessitando de um método 
iterativo de tentativa e erro. Um outro método introduz uma definição da efetividade de 
um trocador de calor: 
 
máx
real
q
q
possívelcalordetrocamáxima
realcalordetroca
=≡ε 
 
Onde a máxima troca de calor possível é aquela que resultaria se um dos fluidos 
sofresse uma variação de temperatura igual à máxima diferença de temperatura possível 
(a temperatura de entrada do fluido quente menos a temperatura de entrada do fluido 
frio). Este método emprega a efetividade ε para eliminar a temperatura de descarga 
desconhecida e fornece a solução para a efetividade em termos de outros parâmetros 
conhecidos (m& , c, A e U). 
Fazendo cmC &= , 
 
( ) ( )real q qe qs f fs feq C T T C T T= − = − 
 
Que indica que a energia térmica perdida pelo fluido quente é a energia térmica recebida 
pelo fluido frio. A máxima troca de calor ocorre quando o fluido de menor C sofre a 
maior variação de temperatura possível, isto é, 
 
min ( )máx qe feq C T T= − 
 
Esta troca de calor seria conseguida num trocador de calor de contracorrente de área 
infinita, Combinando as equações acima obtém-se: 
 
min ( )real qe feq C T Tε= − 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 156 
 
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Trocador de Calor de Correntes Paralelas 
Considerar o trocador de calor simples de correntes paralelas como a figura abaixo com 
as seguintes hipóteses: 
 
 
 
1. U é constante ao longo de todo o trocador. 
2. O sistema é adiabático; ocorre troca de calor somente entre os dois fluidos. 
3. As temperaturas de ambos os fluidos são constantes numa dada seção transversal e 
podem ser representadas pela temperatura de mistura. 
4. Os calores específicos dos fluidos são constantes. 
Notar que são as mesmas hipóteses adoptadas para o cálculo de DMLT. 
Combinando as equações acima, são obtidas duas expressões para a efetividade: 
 
min min
( ) ( )
( ) ( )
q qe qs f fs fe
qe fe qe fe
C T T C T T
C T T C T T
ε
− −
= =
− −
 
 
Como o valor mínimo de C pode ocorrer tanto para o fluido quente quanto para o fluido 
frio, existem dois valorespossíveis para a efetividade: 
 
:
qe qs
q f q
qe fe
T T
C C
T T
ε
−
< =
−
 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 157 
 
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:
fs fe
q f f
qe fe
T T
C C
T T
ε
−
> =
−
 
 
Onde os índices em ε indicam o fluido que tem o valor mínimo de C. Para um TC 
muito grande ( ∞→A ) 
 
 
 
Retomando a equação da DMLT, esta pode ser escrita em função de C da seguinte 
maneira: 
 
2
1
1 1
ln
q q f f
T
UA
T m c m c
 ∆
= − +  ∆  & &
, (eq. da DMLT) 
 
1 1
ln
qs fs
qe fe q f
T T
UA
T T C C
 −
= − +  −  
 
 
Ou 
 
1
q
q f
CUA
C Cqs fs
qe fe
T T
e
T T
 
−  + 
 
 
−
=
−
 
 
Se considerado que o fluido quente tem o valor mínimo de C, a partir da equação da 
efetividade: 
 
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feqe
fefs
feqe
fsqs
feqe
feqe
feqe
qsfsfsfefeqe
esqe
qsqe
q
TT
TT
TT
TT
TT
TT
TT
TTTTTT
TT
TT
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−−++−
=
−
−
=ε 
 
qq
real
f
real
feqe
fsqs
feqe
fefs
feqe
fsqs
q
C
q
C
q
TT
TT
TT
TT
TT
TT
ε
ε −
−
−
−=
−
−
−
−
−
−= 11 
Rearranjando, 
 
feqe
fsqs
f
q
q
TT
TT
C
C
−
−
−=







+ 11ε 
ou 
 
1
1
1 /
q
q f
CUA
C C
q
q f
e
C C
ε
 
−  +  
 −
=
+
 
 
Se o fluido frio tem o valor mínimo de C: 
 
qf
C
C
C
UA
c
CC
e q
f
f
/1
1
1
+
−
=








+−
ε 
 
Ou generalizando: 
 
máx
C
C
C
UA
CC
e máx
/1
1
min
1 min
min
+
−
=






+−
ε 
 
Denomina-se Número de Unidades de Transferência (NUT), ao agrupamento: 
 
minC
AU
NUT
⋅
= 
Então temos para um T.C de corrente paralela: 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 159 
 
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máx
C
C
NUT
CC
e máx
/1
1
min
1 min
+
−
=






+−
ε 
 
 Notar que, para um evaporador ou condensador, C = Cmin/Cmáx=0, porque um dos 
fluidos permanece numa temperatura constante, tornando seu calor específico efetivo 
infinito. 
 
Outras Configurações 
Expressões para a efetividade de outras configurações estão na seguinte tabela, onde 
C = Cmin/Cmáx. 
 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 160 
 
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Exemplo 
 
Uma fluxo de água de 0,75 kg/s entra num TC de tubo duplo, em contra-corrente, numa 
temperatura de 38 °C. A água é aquecida por um fluxo de óleo de 1,51 kg/s (cp=1,88 
kJ/kgK) que entra no TC a 116 °C. Para uma área de 13 m² e U=340 W/m²K determinar 
o calor total transferido. 
 
Solução: 
 
Cágua = 0,75 . 4184 = 3138 J/sK 
Cóleo = 1,51 . 1880 = 2838,8 J/sK 
Cmin = Cóleo 
 
logo, 
 
NUT = UA/Cmin = 340 (13)/2838,8 = 1,56 
 
C = Cmin/Cmax = 2838,8/3138 = 0,905 
 
Da expressão ou do gráfico do TC em tubo duplo, em contra-corrente: 
 
(1 ) 1,56(0,89 1)
(1 ) 1,56(0,89 1)
1 1
0,63
1 1 0,89
NUT C
NUT C
e e
C e e
ε
− − −
− − −
− −
= = =
− × − ×
 
 
kWqqreal 5,139)38116(8,283863,0max =−⋅== ε 
 
As temperaturas de saída das correntes quente e fria são obtidas da equação de 
conservação de energia: 
 
C
C
q
TT
óleo
real
qeqs °=−=−= 8,66
8,2838
139500
116 
C
C
q
TT
água
real
fefs °=+=+= 4,82
3138
139500
38 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 162 
 
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Correntes paralelas 
 
Considere o mesmo TC mas as correntes são paralelas. 
 
( )
( )fq
CCNUT
q
CC
e fq
/1
1
/1
+
−
=
+−
ε =0,50 
 
kWqreal 3,110= 
 
C
C
q
TT
óleo
real
qeqs °=−= 1,77 
CT fs °= 3,73 
 
 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 
 
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163
AULA 20 – CONVECÇÃO NATURAL OU LIVRE 
 
Nos dois casos anteriormente estudados, convecção interna e externa, havia o 
movimento forçado do fluido em relação à superfície de troca de calor. Esse movimento 
forçado poderia ser causado por um agente externo como uma bomba, um ventilador, ou 
outra máquina de fluxo. A gravidade desempenhava pouco ou nenhum efeito sobre a 
transferência de calor nesses casos. No entanto, quando o fluido se encontra em repouso 
e em contato com uma superfície aquecida é fato conhecido que haverá transferência de 
calor da superfície para o fluido. O raciocínio recíproco também é verdadeiro no 
resfriamento da superfície. Nesse caso o número de Reynolds é nulo e a maioria das 
correlações desenvolvidas não se aplicariam. Assim, o movimento do fluido vai ocorrer 
como resultado de outro fenômeno, originário da diferença de densidade resultante de 
gradientes de temperatura. Para se entender melhor esse aspecto, considere uma 
superfície vertical em contato com um fluido em repouso. As camadas em contato com 
a superfície aquecida também vão se aquecer e, como conseqüência, haverá uma 
diferença de empuxo gravitacional entre as porções aquecidas e as adjacentes menos 
aquecidas. Assim, as porções aquecidas sobem, enquanto que as menos aquecidas 
tomam seu lugar dando origem às correntes de convecção. Camadas limites térmicas e 
hidrodinâmicas também são estabelecidas, como ilustrado abaixo. No caso da C L H, as 
condições de contorno do problema exigem que a velocidade seja nula junto à superfície 
e na camada limite, como ilustrado. 
 
 
Equações diferenciais 
 
 
 
Quantidade de movimento 
 
2
2
y
u
g
x
p
y
u
v
x
u
u
∂
∂
+−
∂
∂
−=





∂
∂
+
∂
∂
µρρ 
 
 
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164
Mas, g
x
p
∞−=∂
∂
ρ , de forma que substituindo na equação da QM, vem 
 
2
2
)(
y
u
g
y
u
v
x
u
u
∂
∂
+−=





∂
∂
+
∂
∂
∞ µρρρ 
 
Mas o coeficiente de expansão voluntária, β , pode ser escrito como: 
 






−
−
≅





∂
∂
−=
∞
∞
TTT p
ρρ
ρ
ρ
ρ
β
11
, ou )( ∞∞ −≅− TTβρρρ (aproximação de 
Boussinesq), logo, 
 
2
2
)(
y
u
TTg
y
u
v
x
u
u
∂
∂
+−=
∂
∂
+
∂
∂
∞ υβ 
 
 
Note que para gás perfeito, ][K 
11 1-
TRT
P
TP
RT
T pp
GP =





∂
∂
−=





∂
∂
−=
ρ
ρ
β 
 
A equação da Energia: 2
2
y
T
y
T
v
x
T
u
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
α 
 
Contrariamente à solução das camadas limites hidrodinâmicas e térmicas laminares da 
convecção forçada, as equações da conservação da quantidade de movimento e da 
energia não podem ser resolvidas separadamente, pois o termo de empuxo 
( )∞−TTgβ acopla estas duas equações. Não se pretende avançar na discussão da 
solução dessas camadas limites e sugere-se a leitura da Seção 9,4 do livro do Incropera, 
como ponto de partida para aquele aluno mais interessado. A partir desse ponto, lança-
se mão de correlações empíricas, obtidas em experimentos de laboratório. 
 
O primeiro passo para a análise empírica é a definição de um novo grupo adimensional 
chamado número de Grashof, Gr, por 
 
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165
2
3)(
ν
β
xTT
gGr sx
∞−= 
 
Este adimensional representa a relação entre as forças de empuxo e as forças viscosasna 
convecção natural. Ele desempenha papel semelhante ao do número de Reynolds na 
convecção forçada. Assim, a solução das equações da quantidade de movimento e 
energia podem ser escritas da forma 
Pr),(GrfNu = 
 
A solução aproximada para a placa vertical isotérmica em convecção natural laminar, 
resulta em: 
4/14/12/1 Pr)952,0(Pr508,0 xx GrNu
−+= 
 
e o valor médio de Nusselt 
 
Lxx
L
xL NuGrdxNu
L
uN =
− =+== ∫ 3
4
Pr)952,0(Pr677,0
1 4/14/12/1
0
 
Assim, como ocorre com a convecção forçada, também existe a transição de camadas 
limites de laminar para turbulenta na placa vertical, o valor normalmente aceito é 
910Pr ≅critGr 
 
 
Relações Empíricas 
 
Diversas condições de transferência de calor por convecção natural podem ser 
relacionada da seguinte forma. 
 
,Pr)( mm CRaGrCuN =×= 
 
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166
sendo as propriedades calculadas a temperatura de película, Tf, que é a média entre a 
temperatura da superfície e do fluido. O produto Gr.Pr é chamada de número de 
Rayleigh 
( )
α
β
v
LTTg
GrRa s
3
Pr. ∞
−
== 
 
 
a) Superfícies Isotérmicas - Convecção natural em cilindros e placas 
 
 
Geometria Ra C m obs 
4/1
35
LGrL
D
> Cilindros e placas verticais 
104 – 109 0,59 ¼ Laminar 
109 – 1013 0,10 1/3 Turbulento 
 Cilindros horizontais 104 – 109 0,53 ¼ Laminar 
109 – 1012 0,13 1/3 Turbulento 
 
b) Fluxo de calor constante 
 
Grashof modificado: Gr* 
2
4
* .
ν
β
k
xqg
NuGrGr Bxx == 
 
Laminar, placa vertical: ( ) 5/1* Pr.60,0 xx GrNu = 11*5 1010 << xGr 
 
Turbulento, placa vertical: ( ) 4/1* Pr.17,0 xx GrNu = 16*13 10Pr10.2 << xGr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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167
Sumário de correlações (Incropera) 
 
 
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168
____________________________________________________________________ 
Exemplo sugerido 
 
Com base em muitos dados experimentais indicados no gráfico abaixo (extraído de 
Kreith & Bohn), estabeleça sua própria correlação experimental de )(RafNuD = para 
cilindros horizontais. 
 
 
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169
Espaços Confinados 
 
 
Um caso comum de convecção natural é o de duas paredes 
verticais isotérmicas, conforme ilustrado ao lado, separadas 
por uma distância δ. A figura seguinte mostra os perfis de 
velocidade e temperatura que podem ocorrer, de acordo com 
MacGregor e Emery. Na figura, o número de Grashof é baseado 
na distância δ entre as placas: 
 
2
3
21 )(
ν
δ
βδ
TT
gGr
−
= 
 
 
 
 
Os regimes de escoamento estão indicados no gráfico acima. As correntes de convecção 
dimimuen com o número de Grashof e, para números de Grashof muito baixos, o calor é 
transferido sobretudo por condução de calor. Outros regimes de convecção também 
existem, dependendo do número de Grashof, como ilustrado. O número de Nusselt é 
 L 
δ 
T1 T2 
21 TT >
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170
expresso em função da distância das placas, isto é: 
k
h
Nu
δ
δ = . Conforme indicado por 
Kreith, algumas correlações empíricas podem ser empregadas: 
 
 
Grδ - número de Grashof baseado na distância δ entre as placas. 
 
 
No caso de espaço confinado horizontal há duas situações a serem consideradas. Não 
haverá convecção se a temperatura da placa superior for maior que a da placa inferior e 
a transferência de calor se dará por condução. Já no caso recíproco, isto é, temperatura 
da placa inferior maior que a da placa superior, haverá convecção. Para número de 
Grashof baseado na distância δ entre as placas, Grδ, inferior a 1700 haverá a formação 
de células hexagonais de convecção conhecidas como células de Bernard, como 
ilustrado. O padrão das células é destruído pela turbulência para Grδ ∼ 50000. 
 
 
Segundo Holman há uma certa discordância entre autores, mas a convecção em espaços 
confinados podem ser expressas através de uma expressão geral do tipo: 
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171
( )
m
n L
GrC
k
h
Nu 




==
δ
δ
δδ Pr 
C, m e n são dadas na tabela a seguir. L é a dimensão característica da placa. Holman 
adverte que deve-se usar essa expressão na ausência de uma expressão mais específica. 
 
 
 
CONVECÇÃO MISTA 
 
Até o presente os casos de convecção natural e forçada foram tratados separadamente. 
Claro que a natureza não está preocupada com nossas classificações. De forma que 
existem determinadas situações em que os dois efeitos são significativos que é chamada 
de convecção mista. Considera-se que a convecção mista ocorra quando 1Re/ 2 ≈LLGr . 
As duas formas de convecção podem ser agrupadas em três categorias gerais: (a) 
escoamento paralelo se dá quando os movimentos induzidos pelas duas formas de 
convecção estão na mesma direção (exemplo de uma placa aquecida com movimento 
forçado ascendente de ar); : (b) escoamento oposto se dá quando os movimentos 
induzidos pelas duas formas de convecção estão em direções opostas (exemplo de uma 
placa aquecida com movimento forçado descendente de ar); : (c) escoamento 
transversal é exemplificado pelo movimento forçado cruzado sobre um cilindro 
aquecido, por exemplo. É padrão considerar que o número de Nusselt misto seja 
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172
resultante da combinação dos números de Nusselt da convecção forçada, NuF, e natural, 
NuN, segundo a seguinte expressão: 
 
n
N
n
F
n NuNuNu ±= 
 
onde o expoente n é adotado como 3, embora 3,5 e 4 também sejam adotados para 
escoamentos transversais sobre placas horizontais e cilindros (e esferas), 
respectivamente. O sinal de (+) se aplica para escoamentos paralelos e transversais, 
enquanto que o sinal de (-), para escoamentos opostos. 
 
 
 
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173
Exemplo 
 
Em um determinado experimento de laboratório, uma pequena esfera de cobre de 1 cm 
de diâmetro é mantida aquecida atingindo uma temperatura de superfície constante de 
TS = 69 oC e é circundada por água a T∞ = 25 oC. Determine o fluxo de calor total em 
watts transferido da pequena esfera para a água sob duas situações: 
(a) a água está em repouso; 
(b) a água se movimenta com uma velocidade U∞ = 0,04 m/s; 
(c) a partir de que velocidade da água a convecção natural poderia ser desprezada? 
 
 Obs.: para o item (b) considere a transferência de calor combinada de convecção natural (livre) e 
forçada. Para isso, verifique se a condição em que os dois efeitos são significativos dado por GrD ≈ReD2 e 
use a expressão Nu3 = NuF3 + NuN3, onde, NuN é o número de Nusselt calculado como se houvesse apenas 
convecção natural e NuF se houvesse apenas convecção forçada. Todos os números de Nusselt são 
baseados no diâmetro da esfera. 
 
Solução 
(a) Propriedades da água a C
TT
T sf °=
+
=
+
= ∞ 47
2
2569
2
 
mKWksmxK /627,0/1082,5/0004366,0 27 ===−νβ 
smxKkgJcp /10515,1)7,0(84,3Pr/4182
27−=>== α 
 
( ) 116
77
33
101014,2
1051,11082,5
01,0)2569(0004366,081,9
<=
⋅
−⋅⋅
=
−
= −−
∞ x
xxv
DTTg
Ra s
α
β
 
 
22
84,3
469,0
1
)1014,2(589,0
2
Pr
469,0
1
589,0
2
9/416/9
4/16
9/416/9
4/1
=














+
⋅
+=













+
+=
xRa
NuN 
KmW
D
k
Nuh NN
2/1379
01,0
627,0
22 === 
 
2
22
0000785,0
4
01,0
4
m
D
As =
⋅
==
ππ
 
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174
( ) ( ) WTTAhq ssNN 76,425690000785,01379 =−⋅⋅=−= ∞ 
 
(b) 
( )
556398
)1082,5(
01,0)2569(0004366,081,9
27
3
2
3
=
−⋅⋅
=
−
= −
∞
xv
DTTg
Gr sD
β
 
 
687
1082,5
01,004,0
Re
7
=
⋅
== −
∞
xv
DU
D 
 
121,1
687
556398
Re 22
≈==
D
DGr 
 
mskgxmskgx s /10400/10557
66 −− == µµ 
( ) ( )
25,0
4,05,05,0
25,0
4,03/25,0
400
557
84,368706,06874,02PrRe06,0Re4,02 




⋅+⋅+=





++=
s
DDFNu µ
µ
28,30=FNu 
 
74,33
333
=⇒+= NuNuNuNu NF 
 
KmW
D
k
Nuh 2/2115
01,0
627,0
74,33 === 
 
( ) ( ) WTThAq ss 308,725690000785,02115 =−⋅⋅=−= ∞ 
 
(c) 
1
Re2
<<
D
DGr � 001,0
Re2
=
D
DGr (critério) 
001,0
Re 1 DD
GrDU
== ∞
ν
 
sm
xGr
D
U D /434,0
01,0
556398
01,0
1082,5
01,0
7
1 ===
−
∞
ν
 (ou maior) 
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175
AULA 21 – INTRODUÇÃO À RADIAÇÃO TÉRMICA 
 
 
A radiação térmica é a terceira e última forma de transferência de calor existente. Das 
três formas, é a mais interessante e intrigante, pois é por causa da radiação térmica que o 
planeta Terra é aquecido pelo Sol e, como conseqüência, vida existe em nosso planeta. 
Mais intrigante ainda, é que todos os corpos emitem radiação térmica, pois a ocorrência 
da mesma depende tão somente da temperatura absoluta do corpo, mais precisamente de 
sua temperatura absoluta elevada à quarta potência. Assim, tudo que está em volta de 
nós nesse exato momento está emitindo radiação térmica. Finalmente, diferentemente 
dos outros dois modos de transferência de calor, a radiação térmica não precisa de um 
meio material para ocorrer. Assim, é como o calor chega do Sol ao planeta Terra 
atravessando o vácuo. 
 Não se conhece completamente o mecanismo físico do transporte de energia pela 
radiação térmica (e por radiação, de uma forma mais ampla). Em determinadas 
experiências de laboratório, a energia radiante é considerada como transportada por 
ondas eletromagnéticas e, em outros experimentos, como sendo transportada por fótons. 
É a chamada dualidade onda-partícula. No entanto, sabe-se que ela viaja a velocidade 
constante da luz independente do modelo físico considerado. A energia associada a cada 
fóton é hν, onde h é a constante de Planck, que vale h = 6,625.10-34 Js. E a freqüência, 
ν, está relacionado com o comprimento de onda, λ, por: 
 
c = λ ν, 
 
onde c é a velocidade da luz que vale c = 3×108 m/s. Uma unidade corrente do 
comprimento de onda é o Angstron que vale mA 10
o 
10 1 −= . Um submúltiplo de λ é o 
micrômetro, ou µm que vale 1 µm = 10-6 m. 
Classificam-se os fenômenos de radiação pelo seu comprimento de onda (ou 
freqüência). Claro que a radiação e seu comprimento de onda característico, ou 
comprimentos de onda, dependem de como a radiação foi produzida. Como nos informa 
Kreith, por exemplo, elétrons de alta freqüência quando bombardeiam uma superfície 
metálica produzem raios X, enquanto que certos cristais podem ser excitados para 
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176
produzirem ondas de rádio em grandes comprimentos de onda. Entretanto, a radiação 
térmica é aquela que é produzida por um corpo em virtude tão somente da sua 
temperatura absoluta. O esquema a seguir ilustra os diversos tipos de radiação. 
 
 
(a) espectro de radiação eletromagnética e as diversas denominações de 
acordo com sua faixa; (b) detalhe da radiação térmica na faixa de 
comprimento de ondas mais relevante, com detalhe para a região visível. 
(Kreith e Bohn, 2003). 
 
 
Radiação gama – é uma forma de radiação de alta freqüência (baixos comprimentos 
de onda) que é emitida por materiais radioativos e pelo Sol. Encontra aplicações na 
medicina (tratamento de radioterapia) e na conservação de alimentos. 
Raios X – sua origem se dá no movimento dos elétrons e seus arranjos eletrônicos. 
Essa forma de radiação é empregada para obtenção de radiografia e análise de estrutura 
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177
cristalina dos materiais. Gases da alta atmosfera absorvem os raios produzidos pelo Sol. 
 Radiação ultravioleta – faixa de radiação compreendida entre 0,01 e 0,4 µm e que é 
produzida pelas reações nucleares do sol. A camada de ozônio da atmosfera terrestre 
absorve esse tipo de radiação nociva aos seres vivos (câncer de pele). 
 Radiação visível (luz): é a faixa da radiação que somos capazes de “enxergar” e está 
compreendida entre os comprimentos de onda 0,4 e 0,70 µm. 
 
 
A luz “branca” do sol é a combinação de várias “cores” (ilustração do Wikipedia). 
 
Radiação infravermelha - faixa de radiação compreendida entre 0,7 e 1000 µm. 
Também pode ser chamada de radiação térmica. Entretanto, como será visto, a radiação 
térmica é contínua para todos os comprimentos e de e não se situa em uma faixa 
específica apenas. 
 
Microondas – faixa de radiação de se estende para além dos 1000 µm. 
 
Ondas de rádio – faixa de freqüência usada para radio e telecomunicações de 
comprimento de onda superiores a 1 m. 
 
Corpo Negro 
 
Já foi informado que a radiação térmica é a radiação emitida por um corpo em virtude 
tão somente da sua temperatura. A pergunta natural seguinte é: dois corpos à mesma 
temperatura (digamos 300 K) emitem a mesma quantidade de radiação? A resposta é: 
não! Então, a outra pergunta que deveria vir a seguir é: Existe, então, algum corpo que 
naquela temperatura (suponhamos ainda os 300 K) emita a maior quantidade possível 
de radiação térmica? A resposta é: sim! Esse corpo idealizado é chamado de corpo 
negro. O adjetivo negro não tem nada a ver com a cor que percebemos do corpo (ou a 
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178
ausência de cor). O brilhante sol, por exemplo, é um corpo com características próximas 
de um corpo negro. Assim, um corpo negro, ou irradiador ideal, é um corpo que emite 
e também absorve, a uma dada temperatura, a máxima quantidade possível de radiação 
térmica em qualquer comprimento de onda. Assim, o corpo negro se torna uma 
idealização para efeito de cálculos, pois que, dada uma temperatura, sabe-se que ele vai 
emitir (e também absorver) a maior quantidade de radiação térmica. De forma que os 
corpos reais podem ser comparados com o corpo negro para saber o quanto eles emitem 
(e absorvem) radiação térmica. Isso pelo fato de que é possível calcular a radiação 
térmica emitida pelo corpo negro, como se verá a seguir. 
É possível calcular o quanto um corpo negro emite de radiação térmica para uma dada 
temperatura e comprimento de onda por unidade de área de superfície do corpo. Essa 
quantidade é definida como poder emissivo espectral ou monocromático, Enλ, onde o 
índice “n” se refere ao corpo negro e, “λ”, ao fato de ser espectral (para um 
comprimento de onda do espectro). As unidades de Enλ são W/m2µm. Planck mostrou 
que o poder emissivo espectraldo corpo negro se distribui seguindo a seguinte 
expressão: 
,
)1( /5
1
2 −
=
TCn
e
C
E λλ λ
 
 
onde: C1 = 3,7415×108 W(µm)4/m2 = 3,7415×10-16 W.m2 
 C2 = 1,4388×104 µm.K = 1,4388×10-2 m.K 
 
A expressão da lei de Planck permite extrair algumas informações bastante relevantes 
sobre a radiação térmica, destacando-se: 
 
(1) – A radiação térmica de corpo negro (poder emissivo espectral, Enλ) é 
contínua no comprimento de onda. Isto é, trata-se de uma grandeza que se 
distribui desde λ = 0 até o maior comprimento de onda possível (∞); 
(2) – A um dado comprimento de onda, λ, Enλ aumenta com a temperatura; 
(3) – A região espectral na qual a radiação se concentra depende da 
temperatura, sendo que comparativamente a radiação se concentra em 
menores comprimentos de onda; 
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179
(4) – Uma fração significativa da radiação emitida pelo sol, do qual pode ser 
aproximado por um corpo negro a 5800 K, se encontra na região visível 
(0,35 a 0,75 µm). 
 
As observações acima podem ser melhor compreendidas observando a expressão de 
Planck no gráfico di-log a seguir que tem o poder emissivo espectral no eixo das 
coordenadas e o comprimento de onda no eixo das abscissas. Os pontos de máximo 
poder emissivo espectral estão unidos por uma linha pontilhada, chamada de lei de 
deslocamento de Wien, dada por: 
 
⇒=





−∂
∂
=


∂
∂
0
)1( /5
1
2
T
TC
T
n
e
CE
λ
λ
λλλ
 
KmT .10898,2 3max
−×=λ lei de deslocamento de Wien 
 
 
 
Uma vez que se conhece a distribuição espectral da radiação de corpo negro (poder 
emissivo espectral), é possível calcular o poder emissivo total de corpo negro, En, isto é, 
a radiação térmica total emitida em todos os comprimentos de onda para uma dada 
temperatura. Para isso, basta integrar o poder emissivo espectral. Assim: 
po
de
r 
em
is
si
vo
 e
sp
ec
tr
al
, 
E
n
λ W
/m
2 µ
m
 
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180
⇒
−
== ∫∫
∞∞
λ
λ
λ λλ d
e
C
dEE
TCnn
0
/5
1
0 )1(
2
 
4TEn σ= 
 
Esta é a chamada lei de Stefan-Boltzmann da radiação e σ = 5,669×10-8 W/m2K4 é a 
constante de Stefan-Boltzamann. 
Supondo que o Sol seja um corpo negro a 5800 K, qual é o seu poder emissivo total? De 
acordo com a lei de S-B, o seu poder emissivo é: 
./64/104,6580010669,55800 227484 mMWmWEsol =×=××=×=
−σ Então, o Sol 
lança no espaço a inimaginável quantia de 64 MW por metro quadrado da sua 
superfície! Isto significa que em cerca de 15 m2 de superfície solar há uma emissão 
energética equivalente a uma usina termelétrica de 1 GW. A pergunta seguinte é: quanto 
de radiação térmica solar atinge o planeta Terra? Nesse caso, a emissão total do sol é 
solsolsol AEQ ×= . Esta quantia é irradiada para todo o espaço e deverá atingir a 
superfície que contém a órbita da Terra, Aterra. Nota: não se trata da área da superfície da 
Terra, mas da superfície esférica (aproximada) que engloba a órbita do movimento da 
Terra. Assim, 
onde ,.
2






×=⇒××==
terra
sol
solterraterraterrasolsolsol
R
R
EqAqAEconstQ 
Rsol é o raio do sol (7×105 km); Rsol é o raio da esfera aproximada que contém a órbita 
da Terra (150×106 km) e qterra é o fluxo de calor que chega por unidade de área na esfera 
que contém a órbita da terra. Assim, 
./ 1400
150
7,0
000.000.64 2
22
mW
R
R
Eq
terra
sol
solterra ≈




×=





×= 
Então, chega-se cerca de 1400 W/m2 de fluxo de calor solar irradiante na região do 
espaço onde se encontra a Terra. Claro que a parte que chega na superfície da Terra é 
menor que essa quantia, pois depende da latitude da região e da época do ano, além 
desse valor também ser atenuado devido às absorções de radiação da atmosfera. 
A fração de radiação térmica emitida por um corpo negro no intervalo de comprimento 
de onda [0-λ1], isto é,F[0-λ1], vale 
 
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181
4
0
/5
1
0
]0[
)(
)1( 2
,1
1 T
d
e
c
E
E
F
TC
n
n
⋅
−
==
∫
−
− σ
λ
λ
λ
λ
λ
λ 
 
Os valores de F[0-λ1], são mostrados na tabela seguinte. Se for preciso calcular a fração 
de radiação emitida no intervalo λ1 - λ2, ou seja, dentro de uma janela espectral, então: 
- 
F[λ1-λ2] = F[0-λ2] - F[0-λ1] 
 
 
.103×Kµ 
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182
Exemplo: 
 
A radiação solar tem aproximadamente a mesma distribuição espectral que um corpo 
negro irradiante ideal a uma temperatura de 5800 K. Determine a quantidade de 
radiação solar que está na região visível (use 0,4 a 0,7 µm) 
Usando a tabela acima, vem 
4919,0406058007,07,00
1245,0232058004,04,00
]7,00[2
]4,00[1
=⇒=×=→≤≤
=⇒=×=→≤≤
−
−
FT
FT
λλ
λλ
 
 
A fração de radiação no faixa visível é F[0,4-0,7] = 0,4919 – 0,1245 = 0,3674 
 
En = 0,3674×64,16×10-6 = 23,57×106 W/m2 
 
36,74 % da radiação térmica solar é emitida na faixa do visível! 
 
Outro exemplo (extraído de Kreith e Bohn, 2003): 
 
Vidro de sílica transmite 92% da radiação solar incidente na faixa de comprimentos de 
onda compreendida entre 0,35 e 2,7 µm (portanto, engloba todo o espectro visível) e é 
opaco para comprimentos de onda fora dessa faixa. Calcule a porcentagem de radiação 
solar que o vidro vai transmitir. 
 
Pra a faixa de comprimentos de onda indicada, tem-se 
( )
( )
97,01566058007,270,20
067,02320580035,035,00
]7,20[2
]35,00[1
=⇒=×=→≤≤
=⇒=×=→≤≤
−
−
FmKT
FmKT
tabela
tabela
µλλ
µλλ
 
 
Assim, F[0,35-2,7] = 0,97 – 0,067 = 0,903. Isto significa que 90,3% da radiação solar 
incidente atinge o vidro e 0,903×0,92=0,83, ou 83% dessa radiação incidente será 
transmitida pelo vidro. 
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AULA 22 – PROPRIEDADES DA RADIAÇÃO TÉRMICA 
 
Propriedades da Radiação 
Quando energia radiante incide a superfície de um material, parte da radiação térmica 
vai ser refletida, parte absorvida e parte será transmitida, conforme diagrama ilustrativo 
abaixo. 
 
Sendo, 
ρ – refletividade ou fração de energia radiante que é refletida da superfície; 
α – absortividade ou fração de energia radiante que é absorvida pela superfície; 
τ – transmissividade ou fração de energia radiante que é transmitida através da superfície; 
 
De forma que: ρ + α + τ = 1 
 
Essas propriedades também podem ser espectrais, ou seja: 
 
1=++ λλλ τρα 
Ex: na aula passada 
 
 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 184 
 
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Muitos corpos sólidos não transmitem radiação térmica, ou seja τ = 0. Para estes casos 
de corpos opacos à radiação térmica, tem-se: 
ρ + α = 1 
A radiação térmica emitida por uma superfície varia em função da natureza da 
superfície e da direção. Entretanto, é uma boa hipótese assumir que a radiação térmica é 
difusa, ou seja, a emissão da radiação se dá uniformemente em todas as direções. 
 
Irradiação 
 
A taxa de radiação que atinge uma dada superfície, G. Ela pode ser monocromática Gλ, 
ou total, G. De forma que: 
∫
∞
=
0
λλdGG 
 
Lei de Kirchoff – Relação entre Emissividade e Absortividade 
Considere um grande recipiente isotérmico com temperatura superficial Tsup, que se 
comporta como uma cavidadenegra com poder emissivo En (que é função da 
temperatura Tsup). Agora, coloca-se um corpo no seu interior que está em equilíbrio 
térmico com a cavidade. Esse corpo recebe uma irradiação G = En 
 
 
 
No equilíbrio, tem-se que a radiação térmica total emitida pelo corpo, isto é, o produto 
do seu poder emissivo total pela sua área, EA, deve ser igual à irradiação, G, absorvida 
pelo corpo, isto é: 
 
EA = αGA 
 
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ou 
 
EA = αEnA 
 
Agora dividindo uma expressão pela outra, obtém-se: 
 
E/En = α 
 
O que significa dizer que a relação entre o poder emissivo do corpo, E, e o poder de um 
corpo negro idêntico, En, é igual à absortividade do corpo, α. Mas, por outro lado esta é 
a própria definição da emissividade do corpo, ε: 
 
ε = E/En 
 
então α = ε 
 
A igualdade acima é a chamada lei de Kirchoff. 
 
As emissividades e absortividades são propriedades medidas dos materiais. Na 
realidade, a emissividade de um corpo varia com a temperatura e o comprimento de 
onda. Pode-se definir a emissividade monocromática como sendo a razão entre os 
poderes emissivos monocromáticos do corpo e do corpo negro, à mesma temperatura. 
 
ελ = Eλ/Enλ 
De forma que pode-se definir a emissividade total, da seguinte forma: 
 
4
0
0
0
..
T
dE
dE
dE
E
E
n
n
n
n σ
λε
λ
λε
ε
λλ
λ
λλ ∫
∫
∫
∞
∞
∞
=== 
 
A emissividade é uma propriedade do material e do seu acabamento superficial, além da 
temperatura. Como exemplo, veja a emissividade do alumínio. A emissividade de 
superfícies de alumínio altamente polido varia de 0,04 a 300K a 0,06 a 600K. No 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 186 
 
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entanto, é mais sentida a variação da emissividade para o caso do acabamento 
superficial. A título de exemplo, a 300K, a emissividade vale 0,03 para alumínio 
altamente polido, vale 0,05 para folhas brilhantes e 0,84 para superfície anodizada. 
Dados mais completos de emissividade encontram-se na seção de apêndices do livro-
texto. Na figura seguinte mostra-se a variação da emissividade em função da 
temperatura. 
 
 
 
Corpo Cinzento 
Um corpo cuja emissividade e absortividade da sua superfície são independentes do 
comprimento de onda e direção é chamado de corpo cinzento. Na prática, os corpos 
reais são aproximados por corpos cinzentos. Exceto em caso de estudos mais 
detalhados. De forma que, para o corpo cinzento, é válida a seguinte relação: 
 
ε = ελ = constante e α = αλ = constante 
 
O gráfico abaixo ilustra os poderes emissivos de três corpos. Lembrando que a 
emissividade é a razão entre o poder emissivo do corpo e a do corpo negro à mesma 
temperatura, pode ver que o corpo real tem um espectro de emissividade 
monocromática que depende de vários fatores como natureza da superfície, incluindo o 
material e acabamento e tem um padrão geral como ilustrado (em azul). O corpo negro é 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 187 
 
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aquele que possui emissividade unitária (total e monocromática) e seu poder emissivo 
espectral segue a lei de Stefan-Boltzmann. O corpo cinzento nada mais que é o corpo 
que possui emissividade constante para todos os comprimentos de onda (ilustrado em 
vermelho), sendo menor que a unidade. 
)( mµλ
 
 
Mostra-se na figura seguinte a variação da absortância ou emissividade monocromática, 
com o comprimento de onda para isolantes elétricos. A emissividade espectral pode ser 
medida em laboratório. 
 
 
 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 188 
 
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Radiosidade – Quantidade de radiação que deixa um corpo 
 
refletida
G
radiosidades
G
Eb
G G
 
A radiosidade consiste nas parcelas de reflexão da radiação Gρ e da radiação própria 
emitida nEε . Trata-se, portanto, do fluxo total de radiação que deixa a superfície de um 
corpo, ou seja: 
GEJ n ρε += [W/m
2] 
 
Exemplo 1 
Uma rodovia asfaltada recebe 600 W/m2 de irradiação solar num certo dia de verão. A 
temperatura efetiva do céu vale 270 K. Uma brisa leve do ar a 30ºC passa pela rodovia 
com um coeficiente de transferência de calor h = 5 W/m2 ºC. Assuma que nenhum calor 
seja transmitido para o solo. A absortividade do asfalto para a radiação solar vale 0,93, 
enquanto que a emissividade média da superfície asfáltica vale 0,13. Determine a 
temperatura de equilíbrio do asfalto. 
Solução 
"convq
"soloq 
1º Lei: 
εEn 
εEn 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 189 
 
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 = 
 
 
nasoloconvcéucéusolsolceúsol EqqGGGG ερρ ++++=+ "" && 
 
{ na
nulo
soloconvceúceúsolsol EqqGG
ceúsol
ερρ
αα
++=−+− "")1()1( &&
4342143421
 
 
( ) 044 =−−−+ ∞ aaacéuceúsolsol TTThTG σεσαα 
 
( ) 01067,513,015,30352701067,513,060093,0 4848 =×××−−−×××+× −− aa TT 
 
após solução dessa equação polinomial do quarto grau, obtém-se a temperatura do 
asfalto igual a 389 K ou 115,8 oC. 
 
Troca de Calor por Radiação Térmica entre duas Superfícies Paralelas Infinitas 
 
T1
J1 J2
T2
 
 
Fluxo líquido de calor trocado entre as duas superfícies: 
A
JJ
AJAJQ
/1
21
221121
−
=−=− já que A1 = A2 = A 
 
No caso de superfícies negras, tem-se que: ε1 = ε2 = 1 e α1 = α2 = 1 (corpo negro), 
já que τ1 = ρ1 = 0. De forma que 
)( 42
4
1
21 TT
A
Q
−=− σ 
 
taxa de energia 
que entra no V.C. 
taxa de energia 
que deixa o V.C 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 190 
 
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Se o corpo for cinzento e opaco, G sendo a irradiação, pode-se obter a radiosidade J da 
superfície de acordo com: 
J = εEn + ρG = εEn + (1-ε)G 
 
onde foi usado o fato de que ρ = 1-ε = 1- α 
De forma que isolando a irradiação, a mesma pode ser escrita como 
ε
ε
−
−
=
1
nEJG 
Olhando somente para uma superfície, pode-se estabelecer que a taxa líquida de calor 
transferido da superfície é dada pela diferença entre a radiosidade, J e a irradiação, G da 
mesma, isto é: 
 
A
JE
JE
AEJ
JAGJAQ nn
n
εεε
ε
ε
ε
/)1(
)(
11
)(
−
−
=−
−
=











−
−
−=−= (a) 
 
Mas, a taxa de calor cedida por uma superfície deve ser igual à recebida pela outra que, 
no caso de placas paralelas e infinitas, é: 
 
A
JE
A
JE
Q nn
22
22
11
11
/)1(/)1( εεεε −
−
−=
−
−
= (b) 
As equações (a) e (b) apresentam duas incógnitas, quais sejam J1 e J2, uma vez que as 
temperaturas das superfícies e, portanto, seus poderes emissivos de corpo negro, 
juntamente com as emissividades e área são dados conhecidos. As duas radiosidades 
podem ser obtidas por meio das soluções simultâneas destas equações. Entretanto, antes 
de prosseguir nessa linha, note a analogia elétrica: 
 
1
1
1
A
ε
ε
− 1
A
2
2
1
A
ε
ε
−
 
 
De forma que o fluxo de calor total, Q, que “circula” pelo circuito é dado por: 
 
( )
2211
4
2
4
1
2
2
1
1
21
111 RRR
TT
AAA
EE
Q nn
++
−
=
−
++
−
−
=
−
σ
ε
ε
ε
ε
 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 191 
 
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Onde existem “resistências” entre os potenciaisJ e En. Têm-se as resistências 
“superficiais”, ou seja, aquelas que contêm apenas propriedades das superfícies 
(emissividade e área) que, no exemplo, são R1 e R2, dadas por: 
 
 
1
 geral forma deou 
1
 
1
2
2
1
1
1
1
ii
i
i
A
R
A
Re
A
R
ε
ε
ε
ε
ε
ε −
=
−
=
−
= 
 
Note que essas resistências superficiais são localizadas entre o poder emissivo de corpo 
negro, En, e a radiosidade da superfície de interesse, J. A outra resistência é a 
resistência “espacial” que indica a posição relativa das superfícies. Mais será dito sobre 
essa resistência quando for incluído o conceito de fator de forma a frente. Para esse 
caso, trata-se apenas do inverso da área das superfícies. (Nota: claro que a área infinita é 
só uma aproximação, caso contrário não há sentido.) 
 
 
1
21
A
R =− 
 
Exemplo 2 
Determine as radiosidades e o fluxo de calor trocado entre duas superfícies cinzentas e 
opacas mantidas a 400 K e 300 K, respectivamente. As emissividades valem 0,5 e há 
vácuo entre elas. 
 
 
 
 
 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 192 
 
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Solução 
 
 1
5,0
5,0
 
1
1
1
1 ==
−
=
ε
ε
AR 
 12 =AR 
 
3
 
111
AAAA
RT =++= 
 
/3
)( 42
4
121
21
A
TT
R
EE
Q
T
nn −=
−
=
σ
 
 
3
)300400(1067,5 44821 −⋅=
−
A
Q
 
 /75,330 22121 mW
A
Q
q == 
2
1
2
21111
1
11
21 /77,1120 75,330400 mWJqRAEJ
AR
JE
q n
n =⇒−=⋅⋅−=⇒
−
= σ
2
2
2
21222 /62,790 75,330300 mWJqRAEJ n =⇒+=⋅⋅−= σ 
 
 
 
 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 
 
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193
AULA 23 – FATORES DE FORMA DE RADIAÇÃO 
TÉRMICA 
 
 
Considere o caso de duas superfícies negras quaisquer que trocam calor por radiação 
térmica entre si. Suponha que as mesmas possuam orientação espacial qualquer como 
indicado na figura abaixo 
1 1cosdA φ
1,2 1 1F J A
1φ
2φ
 
Primeiramente considere a troca térmica de calor por radiação entre os dois elementos 
de área indicados, dA1 e dA2. Os elementos são unidos por um raio vetor r que formam 
ângulos φ1 e φ2 com as respectivas normais. 
Define-se a Intensidade de radiação do corpo negro, In, como sendo a energia de 
radiação térmica emitida por unidade de área, na unidade de tempo, para um ângulo 
sólido unitário numa dada direção especificada, como indicado na figura abaixo. 
ndA
Direção da intensidade
de radiação
2
r
dA
dw n=
1φ
1dA
normal
Energia que deixa dA1
na direção do ângulo 
1=IbdA1cos 1
projecção
 
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194
 
Assim, a energia que deixa dA1 na direção φ1, é dwdAIdAE nn ⋅⋅⋅= 111 cosφ que 
representa a radiação térmica que chega em algum elemento de área dAn a uma distancia 
r de A1. Mas, 2r
dA
dw n= , onde, dAn é o elemento de área projetada sobre o raio vetor. 
Então: 
211111
coscos
r
dA
dAIdwdAIdAE nnnn ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= φφ 
ndA
φrd
φrsen ψ
1φ
φd
1dA 
Por outro lado, tendo a figura acima em mente pode se escrever a seguinte relação 
trigonométrica: φψφ rddsenrdAn ⋅⋅⋅= . De forma que, substituindo-a na expressão 
anterior, vem: 
ψφ
φ
φ dd
r
senr
dAIdAE nn 2
2
11 cos ⋅⋅⋅= 
Integrando em todas as direções, vem 
ψφφφ
π π
ddsendAIdAE nn ∫ ∫ ⋅⋅⋅=
2
0
2/
0
11 cos , ou nn IE π= 
 
Voltando ao problema, projetando dA2 na direção radial, vem: 
 
22 cosφ⋅= dAdAn 
 
Assim o fluxo de energia radiante que deixa A1, atinge A2 é dado por: 
122
2
1
1 2
1
21
cos
cos dAdA
r
E
dQ
A A
n ⋅⋅= ∫ ∫∫ −
φ
φ
π
 
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195
 
E o fluxo de energia radiante que deixa A2 e atinge A1, é: 
212
1
2
2 1
2
12
cos
cos dAdA
r
E
dQ
A A
n ⋅⋅⋅= ∫ ∫∫ −
φ
φ
π
 
 
e o fluxo liquido de energia radiante trocado entre as duas superfícies é: 
 
4444 34444 21
212121
2
2
1
1
2
21
21)(21
coscos
)(
FAFA
A A
nnliq dAdA
r
EEQ
=
− ∫ ∫ ⋅
⋅
−=
π
φφ
 
Note que a integral dupla se refere à tão somente um problema trigonométrico que 
considera a posição relativa entre as duas superfícies, bem como as suas dimensões. 
Trata-se, portanto, de um problema de “forma geométrica”. O cálculo dessas integrais 
foi realizado para uma série de condições e são os chamados “fatores de forma de 
radiação”. Os fatores de forma estão tabelados ou dispostos em forma gráfica para 
diversas situações. O fator de forma Fij deve ser entendido como a fração de energia 
radiante que deixa a superfície i e atinge a superfície j. Claro que o fator de forma é 
sempre menor ou igual à unidade. 
Também como a ordem de integração não importa, pode-se estabelecer a chamada “lei 
da reciprocidade” entre os fatores de forma, ou seja: 
212121
FAFA = 
 
A transferência liquida de calor por radiação entre as duas superfícies é 
 
)()( 2121221121)(21 nnnnliq EEFAEEFAQ −=−=− 
 
A lei da reciprocidade, portanto, pode ser escrita para duas superfícies m e n quaisquer 
como 
nmnmnm FAFA = 
 
 
Fatores de Forma para alguma situações (outras situações – ver livro-texto) 
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196
Quando as superfícies formam um invólucro fechado, então: 
0≠−iiF 1
1
=∑
=
−
N
j
jiF
 
1... ,13,12,11,1 =++++ nFFFF 
Essa é a chamada “Lei de Fechamento”. Se a superfície de interesse i for plana ou 
convexa, então Fii =0. 
 
 
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197
 
 
 
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198
 
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199
 
 
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200
 
EXEMPLO: Determine o Fator de forma F1,2 e F2,2 para a configuração mostrada na 
figura abaixo de dois tubos concentricos. 
 
Em particular, como toda radiação que deixa a superfície interna 1 atinge 
necessariamente a superfície externa 2, temos que F1,2 =1. O mesmo não pode ser dito a 
respeito da radiação que deixa a superfície 2. A partir da lei de fechamento temos: 
12221 =+ FF então: 
212,2 1 FF −= 
Mas, pela lei da reciprocidade 
2
1
2
1
21
2
1
12122211 1
D
D
LD
LD
F
A
A
FFAFA =∝==⇒= −−−− π
π
 
Assim, 
2
1
2,2 1
D
D
F −= 
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201
EXEMPLO: Determine o fator de forma F1,2 para a configuração mostrada na figura 
abaixo. 
 
 
 
Solução: 
31213,21 −−− += FFF � 43421
gráfico
FFF 313,2121 −−− −= 
 
15,02
5,0
1
;2
5,0
1
: 3,213,21 =⇒==== −− F
X
Y
X
Z
F 
 
12,02
5,0
1
;1
5,0
5,0
: 2121 =⇒==== −− F
X
Y
X
Z
F 
 
%)3(03,012,015,031 ouF =−=− 
Isto significa que apenas 3% da radiação que deixa a superfície 1 atinge a 
superfície 3. 
 
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202
Taxaliquida de calor trocada entre duas superfícies negras: 
 
221,2112,1)(21 AEFAEFQ nnliq −=− 
 
Estudar exercícios 9.6 e 9.7 
 
Troca de Calor Entre duas Superfícies Cinzentas 
 
1 1J A
2 2J A
1,2 1 1F J A
2,1 2 2F J A
 
221,2112,1)(21 JAFJAFQ liq −=− 
 
Pela lei de reciprocidade 1,222,11 FAFA = 
 
122
21
211
21
)(21 /1/1 −−
−
−
=
−
=
FA
JJ
FA
JJ
Q liq 
 
O termo jii FA ,/1 forma uma resistência espacial entre as superfícies. Mas, tem-se 
também que 
 
11
1
11
1 1
A
JE
Q n
ε
ε−
−
= é a taxa líquida de transferência de calor que deixa a sup. 1. 
11
1
1
1
A
R
ε
ε−
= é a resistência da superfície 1. 
 
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203
22
2
22
2 1
A
JE
Q n
ε
ε−
−
= é a taxa líquida de transferência de calor que deixa a sup. 2. 
22
2
2
1
A
R
ε
ε−
= é a resistência da superfície 2. 
 
De forma que: 
 
22
2
21111
1
4
2
4
121
)(21 111
)(
AFAA
TT
R
EE
Q nnliq
ε
ε
ε
ε
σ
−
++
−
−
=
−
=
−
− ∑
 
 
1
1
1
A
ε
ε
− 1
A
2
2
1
A
ε
ε
−
4
1Tσ 42Tσ
 
 
EXEMPLO 
Uma pequena lata é formada por dois discos paralelos que são conectados por uma 
superfície cilíndrica como mostra na figura abaixo. Determine a fração de energia 
radiante que deixa a superfície cilíndrica e atinge a sua própria. 
 
 
 
Solução: 
Áreas 
 
23
22
21 10854.74
1,0
4
m
D
AA −⋅==== ππ 
 
121
1
FA
 
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204
23
3 1071,1505,01,0 mDLA
−⋅=⋅⋅== ππ 
 
2,31,33,33,32,31,3 11 FFFFFF −−=⇒=++ 
 
Vamos avaliar 2,31,3 FeF 
 
F3,1: 
 
3,111,33 FAFA = , também 12,13,1 =+ FF 
 
mas da figura 1
5
5
1
==
r
L
 e 12 =
L
r
 � 38,02,1 ≅F 
 
logo 62,038,013,1 =−=F � 31,062,01071,15
1085,7
3
3
3,1
3
1
1,3 =⋅
⋅
==
−
−
F
A
A
F 
 
F3,2: 
 
11,23,2 =+ FF e 1,22,1 FF = 
 
logo 62,038,0111 2,11,23,2 =−=−=−= FFF 
 
31,062,0
1071,15
1085,7
3
3
3,2
3
2
2,3 =⋅
⋅
==
−
−
F
A
A
F 
 
38,031,031,01 3,33,3 =⇒−−= FF 
 
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205
Transferência de calor por radiação térmica entre três superfícies que formam um 
involucro fechado 
 
 
Analise elétrica: 
 
 
 
33
3
3
22
2
2
11
1
1
1
;
1
;
1
A
R
A
R
A
R
ε
ε
ε
ε
ε
ε −
=
−
=
−
= 
311
31
322
32
211
21
1
;
1
;
1
−
−
−
−
−
− ===
FA
R
FA
R
FA
R 
 
Nó 1: 31121 −− += QQQ 
 
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206
Nó 2: 032212 =++ −− QQQ 
Nó 3: 32313 −− += QQQ 
 
mas, 
 
1
11
1
R
EJ
Q n
−
= , 
2
22
2
R
EJ
Q n
−
= , 
3
33
3
R
EJ
Q n
−
= 
e 
31
31
31
−
−
−
=
R
JJ
Q , 
32
32
32
−
−
−
=
R
JJ
Q , 
21
12
21
−
−
−
=
R
JJ
Q 
 
O sistema acima tem 9 equações e 9 incógnitas. 
 
Comentário: 
 
Define-se uma superfície não-condutora reirradiante como uma superfície adiabática, ou 
seja, não transporta calor com o meio. Por exemplo no esquema anterior se a superfície 
2 é não condutora reirradiante, então Q2 = 0 � J2 = En2. 
 
 
EXEMPLO 
A tampa do invólucro descrito no exemplo anterior é mantida a uma temperatura 
uniforme de 250°C (523,2 K), enquanto que a superfície inferior é mantida a uma 
temperatura de 60°C (332,2 K). A superfície que junta os dois discos é não condutora – 
reirradiante. A emissividade das três superfícies vale 0,6. Determine a taxa de calor 
transferido por radiação entre a tampa e o fundo e estime a temperatura da superfície 
não condutora – reirradiante. 
 
Solução. 
O circuito de radiação para a determinação do calor transferido por radiação entre as 
superfícies do invólucro esta mostrado na Fig. E9-9a. Os valores dos fatores de forma 
podem ser obtidos do cálculo já realizado acima. Os valores da resistência para o 
circuito são 
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207
 
 
2
3
11
1 /188,84
)10854,7(6,0
6,011
m
A
=
⋅
−
=
−
−ε
ε
 
 
2
3
22
2 /188,84
)10854,7(6,0
6,011
m
A
=
⋅
−
=
−
−ε
ε
 
 
2
3
3,223,11
/14,205
)62,0)(10854,7(
111
m
FAFA
=
⋅
== − 
 
4
11 TEn σ=
1J
2J
11
11
Aε
ε−
211
1
−⋅FA
22
21
Aε
ε−
4
22 TEn σ=
322
1
−⋅FA
311
1
−⋅FA 1
J
2J
88,84
4)2,333(σ
4)2,523(σ
4,205
1,335
4,205
88,84
1J
2J
88,84
4)2,333(σ
4)2,523(σ
6,184
88,84
 
 
Os valores das resistências estão mostrados na figura E9-9b. o circuito obtido usando 
uma resistência equivalente para as resistências conectadas em paralelo esta mostrado 
na Fig. E9-9c. A resistência equivalente é 
 
2/16,184
1,3358,410
)1,335(8,410
mRe =+
= 
 
A taxa de calor transferido entre as superfícies da tampa e o fundo é determinado 
usando 
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208
∑
−
=−
R
EE
Q nnliq
21
)(21 
 
A soma das resistências entre as duas superfícies é 
 
2/14,35488,846,18488,84 mR =++=∑ 
 
A taxa de calor transferido é 
 
[ ]
WQ liq 02,104,354
2,3332,5231067,5 448
)(21 =
−⋅
=
−
− 
 
As radiosidades, J1 e J2, podem ser determinadas por 
 
[ ]111
11
)(21 /)1( A
JE
Q nliq εε−
−
=− 
 
ou 
 
88,84
)2,523(1067,5
2,10 1
48 J−⋅
=
−
 
 
42
1 /398.3 KmWJ = 
 
e 
 
[ ]222
22
)(21 /)1( A
EJ
Q nliq εε−
−
=− 
 
O que dá J2 = 1.549 W/m2K4. O valor de J3, que é igual a 43Tσ , é obtido usando 
 
42
3132
312321
3
31
31
32
23 /5,2473 KmW
RR
RJRJ
J
R
JJ
R
JJ
=
+
+
=⇒
−
=
−
−−
−−
−−
 
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209
4
33 TJ σ= � T3 = 457,0 K (183,8°C) 
 
Comentário 
 
Uma parte da taxa total de calor transferido entre a tampa e o fundo acontece 
diretamente entre as duas superfícies, enquanto que o restante do calor é trocado com a 
superfície não condutora – reirradiante antes de alcançar a tampa ou o fundo. 
A taxa de transferência direta é 
 
W
FA
JJ
QD 5,51,335
14593398
)/1( 2,11
21 =
−
=
−
= 
 
E a indireta é 
 
W
FAFA
JJ
QID 5,44,2054,205
15493398
)/1()/1( 3,223,11
21 =
+
−
=
+
−
= 
 
 
EXEMPLO 
Determine a taxa de transferência de calor de uma esfera pequena aquecida instalada em 
um cilindro fechado em vácuo, como indicado na figura abaixo. A esfera tem 10cm de 
diâmetro com uma emissividade de 0,8 e é mantida a uma temperatura uniforme de 
300°C (572,2 K). A superfície interna do cilindro, cuja área é de 0,5m2, tem uma 
emissividade de 0,2 e é mantida a uma temperatura uniforme de 20°C (293,2 K). 
 
1
2
1nE 1J 2J
11
11
Aε
ε−
211
1
−⋅FA 22
21
Aε
ε−
2,05,0
8,0031,0
2
2
2
1
2
1
==
==
ε
ε
mA
mA
2nE
 
Esfera inserida em uma cavidade cilíndrica fechada. 
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210
 
Solução 
O circuito de radiação equivalente está mostrada na figura anterior. A área da esfera 
pode ser rapidamente calculada e vale 0,031m2. O fator de forma de radiação é F1,2 = 1, 
já que toda a radiação emitida pela esfera vai atingir a superfície internado cilindro. A 
taxa de transferência de calor é obtida através de 
 
[ ]
[ ]
W
AFAA
TT
R
EE
Q nnliq
0,118
32,48
2,2932,5731067,5
)5,0(2,0/)2,01()1(031,0/1)031,0(8,0/)8,01(
2,2932,5731067,5
/)1(/1/)1(
)(
448
448
222121111
4
2
4
121
)(21
=
−⋅
=
−++−
−⋅
=
−++−
−
=
−
=
−
−
− ∑ εεεε
σ
 
 
 
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211
COEFICIENTE COMBINADO DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
Na maioria dos problemas de engenharia e da natureza, os fenômenos de transferência 
de calor por radiação e convecção ocorrem simultaneamente, razão pela qual torna-se 
interessante determinar um coeficiente de transferência de calor por radiação baseado na 
condutância térmica, ou seja no coeficiente global de transferência de calor por radiação 
ζ. Assim definindo-se uma equação equivalente à transferência de calor por convecção, 
tem-se: 
 
TAhq rr ∆⋅⋅= 
 
onde 
T
TT
T
EE
h nnr ∆
−
=
∆
−
=
)()( 42
4
121 ζσζ (25) 
 
TAhq rr ∆⋅⋅= 
 
TAh
R
TT
R
EE
q r
totaltotal
nn
r ∆⋅⋅=
−
=
−
=
)( 42
4
121 σ 
 
total
r
RA
TT
h
⋅
−
=
)( 42
4
1σ 
 
fluxos de calor total q combinado que radiação qr e convecção qc 
 
TAhhqqq crcr ∆⋅+=+= )( 
 
ou 
TAhq ∆⋅⋅= 
 
onde cr hhh += é o coeficiente combinado de transferência de calor. 
 
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212
Blindagem de radiação 
 
Uma maneira de reduzir a transferência de calor por radiação entre duas superfícies é 
meio do emprego de materiais altamente refletivos, isto é de baixa emissividade ε. Um 
método alternativo é a utilização de blindagens de radiação entre as superfícies de 
transferência de calor. Estas blindagens não fornecem ou removem calor do sistema, 
mas apenas introduzem uma resistência no circuito térmico. 
Considere dois planos paralelos e infinitos para ε1= ε2= ε, temos: 
 
1
)1(
2
)( 42
4
1
+
−
−
=
ε
ε
σ TT
A
q
 
Aq / Aq /
 
Radiação entre planos paralelos infinitos com e sem blindagem de radiação 
Agora, considere a introdução de um terceiro plano 3entre os planos originais. Assim o 
calor transferido neste caso será calculado a considerando a entrada dessas nova 
resistências. 
 
1nE 1J 3J
1
11
ε
ε−
31
1
−F 3
31
ε
ε−
2nE
'
3J
2J
32
1
−F 2
21
ε
ε−
3nE
3
31
ε
ε−
 
Circuito elétrico analógico da radiação para dois planos paralelos separados por 
uma blindagem de radiação formada por um terceiro plano 3 
 
Como a blindagem não fornece ou retira calor do sistema. O calor transferido entre a 
placa 1, a blindagem e a placa 2 será: 
 
Plano de 
blindagem 
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213
A
q
A
q
A
q
==
−− 2331
 
 
1
)1(
2
)(
1
)1(
2
)( 42
4
3
4
3
4
1
+
−
−
=
+
−
−
=
ε
ε
σ
ε
ε
σ TTTT
A
q
 
 
Obtendo-se 
 
2/)( 42
4
1
4
3 TTT += 
 
( )
1
)1(
2
)(2/1 43
4
1
+
−
−
=
ε
ε
σ TT
A
q
 
 
Portanto, tem-se que a blindagem reduz à metade o fluxo de calor inicial (desde que 
todas as superfícies tenham a mesma emissividade ε). 
 
blindagemsblindagemc A
q
A
q
// 2
1
= 
No caso da introdução do n planos de blindagem entre as duas superfícies ou sinais 1 e 
2, tem-se que a redução do fluxo de calor será: 
""/""/ 1
1
nblindagnsnblindaenc A
q
nA
q
+
= 
 
 
Efeito da radiação na medida da temperatura 
 
Quando um termômetro é colocado em uma corrente do gás para medir a temperatura 
do escoamento, a temperatura indicada pelo sensor é determinada pelo balanço global 
de energia neste elemento. 
Considere o sensor mostrado na figura abaixo. A temperatura do gás é T∞, a temperatura 
de radiação da superfície envolvente é Ts e a temperatura indicada pelo termômetro é Tt. 
 
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214
∞Th, AT
sT
 
 
Elemento sensor da temperatura de um escoamento 
 
 
Admitindo que Tt seja maior que Ts, então a energia será transferida por convecção para 
o termômetro e então dissipada por radiação para a superfície envolvente. Portanto, o 
balanço de energia pode ser escrito como: 
 
)()( 44 stt TTATThA −=−∞ σε 
 
onde A é a área superficial do sensor e ε a sua emissividade. A equação anterior foi 
obtida considerando-se que a superfície envolvente seja muito grande. 
Supondo que a parede esteja a 200 °C e a temperatura indicada pelo elemento sensor é 
de 450 °C. sendo o coeficiente de transmissão de calor por convecção entre o gás e o 
termopar igual a 150 W/m2 °C, calcular a temperatura real do gás. 
 
)()( 44 parTTTTc TTATTAhq −⋅⋅=−⋅⋅= ∞ σε 
 
)( 44 parT
c
T TT
h
TT −
⋅
+=∞
σε
 
)473723(
150
1067,58,0
723 44
8
−
⋅⋅
+=
−
∞T 
 
CouKT °=∞ 3,5175,790 
 
Tt 
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215
EXEMPLO 
 
Um tubo de diâmetro D1 = 20 cm transporta um líquido criogênico que está a 77 K. 
Para evitar perdas de calor, este tubo está inserido dentro de um tubo maior com 
D2 = 50 cm e T2 = 300 K, o espaço entre eles está evacuado. Pede-se o ganho de calor 
pelo tubo criogênico. Dados ε1 = 0,02 e ε2 = 0,02. 
Após a aula de transf. de calor, um aluno sugeriu inserir um terceiro tubo com D3 = 35 
cm entre os dois anteriores afirmando que haveria uma diminuição do ganho de calor. 
Sendo ε3 = 0,03. Verifique se isto é verdade e, em caso positivo, qual seria a 
diminuição. 
 
 
 
Solução: 
 
a) circuito analógico com os dois tubos ou alguns. 
 
1nE 1J 2J
11
11
Aε
ε−
211
1
−⋅FA 22
21
Aε
ε−
2nE
 
 
121 =−F 
 
eq
nn
R
EE
q 21
−
= 
 
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216
L
L
D
D
LD
D
D
A
AFAA
Req
6,948
50
20
04,0
04,01
1
02,0
02,01
02,0
1
1
1
11
1
1
111
111
2
1
2
2
1
1
1
2
1
2
2
1
1
1
22
2
21111
1
=





 −
++
−
⋅⋅
=





 −
++
−
⋅⋅
=





 −
++
−
=
−
++
−
=
−
π
ε
ε
ε
ε
π
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
 
 
[ ]
mW
L
q
/482,0
7,536.1
773001067,5 448
=
−⋅
=
−
 
 
b) circuito analógico com a introdução do terceiro tubo de blindagem. 
 
1bE 1J 3J
11
11
Aε
ε−
311
1
−FA 33
31
ε
ε
A
−
2bE
'
3J
2J
323
1
−FA 22
21
ε
ε
A
−
3bE
33
31
ε
ε
A
−
 
 
131 =−F 
123 =−F 
 
eq
nn
R
EE
q 21
−
= 
 
1nE 2nE 3nE 
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217
L
L
D
D
D
D
LD
D
D
D
D
D
D
A
Req
7,536.1
50
20
04,0
04,01
35
20
03,0
)03,01(
2
02,0
02,01
02,0
1
1)1(
21
11
1
1
)1(
2
1
111
2
1
2
2
3
1
3
3
1
1
1
2
1
2
2
3
1
3
1
3
3
1
1
1
=





 −
+
−
+
−
⋅⋅
=





 −
+
−
++
−
⋅⋅
=





 −
++
−
++
−
=
π
ε
ε
ε
ε
ε
ε
π
ε
ε
ε
ε
ε
ε
 
 
[ ]
mW
L
q
/298,0
7,536.1
773001067,5 448
=
−⋅
=
−
 
 
o ganho diminui em torno de 
482,0
298,0482,0 −
 
 
 38,3 %