numeros complexos 3

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Questão 1/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
A relação entre o preço de venda x e o lucro mensal L de um certo produto é dado pela função L(x)=−2x2+800x.
Considerando o excerto de texto dado e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébrica, determine o preço desse produto tal que o lucro seja máximo.
Nota: 10.0
	
	A
	100
	
	B
	200
Você acertou!
xv=−b2axv=−8002(−2)xv=−800−4xv=200
Livro-base, 146-168.
	
	C
	300
	
	D
	400
	
	E
	500
Questão 2/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Uma Equação do 2º Grau incompleta, com c=0, pode ser resolvida através da fatoração. Desse modo, ax2+bx pode ser escrita na forma x(ax+b).
Com base na informação acima, e nos conteúdos sobre Equações de 2º Grau do Livro-base Números complexos e equações algébricas, analise a situação a seguir e em seguida responda o que se pede:
A equação p(x)=−0,02x2+0,6x  relaciona o número de assinantes de um jornal impresso com os meses x contados a partir do seu lançamento. 
Depois de quantos meses, contados a partir do lançamento, o jornal zerou o número de assinantes?
Nota: 10.0
	
	A
	20 meses.
	
	B
	30 meses.
Você acertou!
p(x)=−0,02x2+0,6x−0,02x2+0,6x=0x(−0,02x+0,6)=0x=0  ou  −0,02x+0,6=0
Como deseja-se a quantidade de anos contados após o lançamento, descarta-se x=0. Então:
−0,02x+0,6=0−0,02x=−0,6x=0,60,02x=30.
Logo, o tempo será 30 meses.
(Livro-base p. 57)
	
	C
	40 meses.
	
	D
	50 meses.
	
	E
	60 meses.
Questão 3/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere o polinômio p(x)=x3+3x2+3x+1.
A partir do dado acima e dos conteúdos do livro base Números complexos e equações algébricas sobre raízes de polinômios, analise as seguintes asserções:
I. A forma fatorada do polinômio é p(x)=(x−1).(x−1).(x−1).
II. −1 é uma raiz de multiplicidade 3.
III. Pode-se dizer que o polinômio possui três raízes distintas, pois seu grau é 3.
IV. Dividindo-se o polinômio p(x) por x+1, obtém-se a expressão x2+2x+1.
 
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 0.0
	
	A
	I e II
	
	B
	I, II e III.
	
	C
	I, II e IV.
	
	D
	II e III.
	
	E
	II e IV.
Apenas as alternativas II e IV são corretas:
Testando as possíveis raízes a partir dos múltiplos positivos e negativos do termo independente, obtemos a primeira delas que é −1.
Se −1 é raiz, o polinômio é divisível por x+1.
Dividindo o polinômio por x+1, obtemos a expressão x2+2x+1, que ao ser igualada a zero, resulta em outras duas raízes idênticas −1.
A forma fatorada será p(x)=(x+1)(x+1)(x+1).
Logo, o polinômio possui três raízes múltiplas e −1 é identificada como uma raiz de multiplicidade 3.
Nesse caso, não há raízes distintas.
(livro-base, p. 147-151).
 
Questão 4/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Na subtração de polinômios devemos subtrair os termos de mesmo grau. 
Considerando isto e de acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas, calcule o resultado de p(x)−q(x) com p(x)=−2x4+3x3+2x e q(x)=−3x5+2x4+3x3−2.
Nota: 10.0
	
	A
	p(x)−q(x)=−3x5+6x3+2x−2
	
	B
	p(x)−q(x)=3x5−4x4+2x+2
Você acertou!
p(x)−q(x)=−2x4+3x3+2x−(−3x5+2x4+3x3−2)p(x)−q(x)=−2x4+3x3+2x+3x5−2x4−3x3+2p(x)−q(x)=3x5−4x4+2x+2
(livro-base, p. 135)
	
	C
	p(x)−q(x)=3x5−4x4+6x3+2
	
	D
	p(x)−q(x)=3x5+4x4+6x3+2x−2
	
	E
	p(x)−q(x)=−5x5+4x4+6x3+2x+2
Questão 5/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o fragmento de texto a seguir:
"Em torno do ano 1700 a.C. os babilônios utilizavam tabletes cuneiformes, nos quais escreviam e operavam com o sistema de numeração sexagesimal posicional. Problemas que recaem numa equação de 2º grau já se faziam presentes, como a questão de achar dois números conhecendo sua soma s e seu produto p."
Após essa avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele esta disponível em: RIBEIRO, D. M. A. A. Uma abordagem didática para função quadrática. Dissertação de Mestrado. Disponível em: <http://uenf.br/posgraduacao/matematica/wp-content/uploads/sites/14/2017/08/22032013Dayse-Maria-Alves-de-Andrade-Ribeiro.pdf>. Acesso em 31 jan 2018. 
Com base no fragmento de texto acima, e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre equações quadráticas, analise a seguinte situação e responda o que se pede:
O lucro L e o preço x de um certo produto é dada pela expressão L=−2x2+54x−220.
Para quais valores de x teremos o lucro igual a 84?
Nota: 0.0
	
	A
	10 e 20
	
	B
	5 e 22
	
	C
	8 e 19
	L=−2x2+54x−22084=−2x2+54x−220−2x2+54x−304=0x2−27x+152=0Δ=(−27)2−4.1.152=729−608=121x=−(−27)±√1212.1x=27±112x1=382=19x2=162=8
(livro-base pp.15-33)
	
	D
	7 e 49
	
	E
	13 e 14
Questão 6/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Observe a representação gráfica do polinômio p(x)=x3+2x2−5x−6:
Com base no gráfico acima e nos conteúdos sobre Polinômios do Livro-base Números complexos e equações algébricas, analise as seguintes afirmações:
I. −6 é a única raiz do polinômio.
II. O polinômio possui apenas três raízes.
III. −6,−3,−1 e 2 são as raízes do polinômio. 
IV. O polinômio possui apenas raízes reais.
Sobre os itens acima, é correto afirmar:
Nota: 10.0
	
	A
	Apenas a afirmativa I está correta.
	
	B
	Apenas a afirmativa II está correta.
	
	C
	Apenas a afirmativa III está correta.
	
	D
	As alternativas II e IV estão corretas.
Você acertou!
As raízes são observadas no gráfico nos pontos em que ele intercepta o eixo x.
As três raizes são números reais (-3,-1 e 2).
Livro- base p. 161.
	
	E
	As alternativas III e IV estão corretas.
Questão 7/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o fragmento de texto a seguir:
"Normalmente no estudo de polinômios tem-se interesse por suas raízes. A raiz de um polinômio P(n) é um número complexo r tal que Pn(r) = 0. Quando uma raiz se repete por m vezes, diz-se que ela é raiz de multiplicidade m. Se m = 1, diz-se, simplesmente, que ela é raiz simples."
Após essa avaliação, caso queira ler o texto completo, ele está disponível em: CAMARGO JÚNIOR, I.; BERGAMASCHI, P.R. Uma investigação sobre as raízes de polinômios e aplicação em robôs manipuladores ortogonais 3R. <https://www.researchgate.net/profile/Paulo_Bergamaschi/publication/268290512_UMA_INVESTIGACAO_SOBRE_AS_RAIZES_DE_POLINOMIOS_E_APLICACAO_EM_ROBOS_MANIPULADORES_ORTOGONAIS_3R/links/560e90d108aec422d1117ec6.pdf>. Acesso em 01 fev 2018. 
Com base no fragmento de texto acima e nos conteúdos sobre Polinômios do Livro-base Números complexos e equações algébricas sobre raízes de polinômios, classifique as afirmações abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F). Considere n (grau do polinômio) um número natural.
I. (  ) Dado um polinômio p(x), se a é raiz de p(x), então p(a)=0.
II. (   ) Se p(x) tem grau n, o polinômio terá no máximo n−1 raízes.
III. (   ) Se uma das raízes de um polinômio com coeficientes reais é um número complexo, o conjugado desse número complexo também será raiz do polinômio. 
IV. (   ) Raízes múltiplas são as raízes distintas de um determinado polinômio. 
A sequência de V ou F que preenche corretamente as lacunas acima é:
Nota: 10.0
	
	A
	V - F - V - F
Você acertou!
As afirmativas I e III são verdadeiras, pois "se α é uma raiz, ela satisfaz a equação, ou seja p(α)=0" e "se um polinômio tiver como raiz um número imaginário, então ele também terá como raiz o conjugado desse número imaginário".
As afirmativas II e IV são falsas, pois "o número de raízes de uma equação polinomial é igual ao número de seu maior grau" e  "raízes que são iguais" são chamadas de raízes múltiplas (livro-base, p. 148-150). 
	
	B
	F - V - F - V
	
	C
	V - V - V - F
	
	D
	F - F - V - V
	
	E
	V - F - F - F
Questão 8/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas e sabendo que p(x)=q(x) onde p(x)=22x3+7x2−6 e q(x)=(3m−15)x3+7x2−6, calcule o valor de m.
Nota: 10.0
	
	A
	m=73
	
	B
	m=223
	
	C
	m=373
Você acertou!
Para resposta ser considerada válida, o aluno deverá calcular da seguinte forma:
3m−15=223m=22+153m=37m=373
(livro-base, p. 131)
	
	D
	m=133
	
	E
	m=2215
Questão 9/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
De acordocom o livro-base Números complexos e equações algébricas resolva a situação dada abaixo.
Um cavalo salta sobre um obstáculo cujo movimento, nesse salto, é descrito pela expressão y=−0,2x2+x onde as unidades de medida são dadas em metros. Com base nessa afirmação, determine a distância entre o ponto inicial e o ponto final do salto do cavalo.
Nota: 10.0
	
	A
	3 metros
	
	B
	4 metros
	
	C
	5 metros
Você acertou!
Para resposta ser considerada válida, o aluno deverá responder:
A distância entre o ponto inicial e o ponto final do salto corresponde à distância entre as raízes da função y=−0,2x2+x.
Podemos utilizar a fórmula quadrática ou fatorarmos a expressão y=−0,2x2+x que corresponde a x(−0,2x+1).
Fazendo x(−0,2x+1)=0, temos
x=0
ou
−0,2x+1=0
−0,2x=−1
0,2x=1
x=10,2
x=5
Logo, as raízes são x1=0 e x2=5. A distância d entre elas é dada por d=5−0 d onde d=5.
(livro-base, p. 24-28)
	
	D
	6 metros
	
	E
	7 metros
Questão 10/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o seguinte fragmento de texto:
"Dizemos que p(x) é divisível por g(x) quando o resto da divisão r(x) é igual a zero. E ainda, se p(x) é divisível por (x−a), então p(a)=0".
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão. 
Considerando o dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébrica, sobre raízes de polinômios, calcule o valor de k presente no polinômio:
 
p(x)=−x3+4x2−2x+k , sabendo que este polinômio é divisível por g(x)=x−3.
Nota: 10.0
	
	A
	k=−2
	
	B
	k=2
	
	C
	k=3
	
	D
	k=−3
Você acertou!
Conforme o enunciado, se p(x) é divisível por (x−a), então p(a)=0. Temos aqui que p(x) é divisível por (x−3), então p(3)=0. 
Com isto,  −x3+4x2−2x+k=0 e, substituindo x por 3, temos:
−(3)3+4(3)2−2(3)+k=0
−27+36+6+k=0
3+k=0
k=−3
(livro-base, p. 147-168).
	
	E
	k=4