Matemática financeira

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Matematica
Financeira
Matemática Financeira
Vila Velha (ES)
2013
Escola Superior Aberta do Brasil
Diretor Geral 
Nildo Ferreira
Diretora Acadêmica
Beatriz Christo Gobbi
Coordenadora do Núcleo de Educação a Distância
Beatriz Christo Gobbi
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Coordenador do Curso de Pedagogia EAD
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Coordenador do Curso de Sistemas de Informação EAD
David Gomes Barboza
Produção do Material Didático-Pedagógico
Delinea Tecnologia Educacional / Escola Superior Aberta do Brasil
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Apresentação
Caro estudante,
Seja bem-vindo à disciplina de Matemática Financeira. Gostaria de parabenizá-lo 
pela sua escolha em fazer este curso. No início de cada nova disciplina, é comum 
surgirem algumas dúvidas, tais como: Qual o campo de aplicação desta disciplina? 
Qual a sua utilidade prática? Que diferença esta disciplina fará em minha vida?
A disciplina Matemática Financeira tem um vasto campo de aplicação, desde 
operações de financiamento de carros e bens imóveis até crédito direto ao 
consumidor, além de ser muito útil para tomadas de decisão mais racionais. 
Poderíamos dizer que no mundo dos negócios, assim como em nossa vida privada, 
é imprescindível conhecermos um pouco dessa mecânica financeira que nos cerca 
diariamente. 
Nesta disciplina, trabalharemos com base em Assaf Neto (2009), Puccini (2011), 
Castanheira (2010, 2011), Crespo (2009) e Silva (2008, 2010). Apresentaremos 
aspectos teóricos e cálculos financeiros, entre os quais destacamos: regimes 
de capitalização, descontos, inflação e deflação e as diversas modalidades de 
empréstimos. Essas são ferramentas fundamentais na gestão financeira de qualquer 
empresa ou pessoa. 
Esperamos que, ao final desta disciplina, você tenha compreendido os conceitos 
fundamentais e práticos da Matemática Financeira, tendo condições de aprofundar-
se nos estudos dessa área. 
Bom estudo!
Objetivo
Conhecer as formas de evolução do dinheiro no tempo, a fim de desenvolver 
o raciocínio para os investimentos, utilizando instrumentos específicos e 
promovendo a conversão da linguagem financeira em linguagem universal.
Habilidades e competências
• Compreender os conceitos da Matemática Financeira.
• Capacitar para a realização de cálculos financeiros apropriados às transações 
comerciais e bancárias, de forma dinâmica e prática.
• Aplicar na prática os conceitos da Matemática Financeira.
• Efetuar cálculos envolvendo juros.
• Executar processos de desconto.
• Avaliar planos de financiamento e seus sistemas de amortização.
• Apresentar os conceitos de inflação e correção monetária.
Ementa
Conceitos básicos. Capitalização simples e composta. Desconto simples e composto. 
Inflação e deflação. Séries de pagamento. Sistemas de amortização. Operações no 
mercado financeiro. 
Sumário
1. Razão ..............................................................................................................................7
2. Grandezas direta ou inversamente proporcionais ..........................................................12
3. Regra de três simples ....................................................................................................20
4. Regra de três composta .................................................................................................24
5. Percentagem .................................................................................................................29
6. Problemas de percentagem ligados a operações comerciais .........................................34
7. Exercícios resolvidos ......................................................................................................41
8. Conceitos fundamentais da matemática financeira .......................................................48
9. Regimes de capitalização: simples e composto .............................................................54
10. Capitalização no regime de juros simples ......................................................................60
11. Cálculo do montante .....................................................................................................66
12. Exercícios resolvidos ......................................................................................................71
13. Taxas proporcionais .......................................................................................................77
14. Juro exato e juro comercial ............................................................................................83
15. Equivalência financeira .................................................................................................90
16. Exercícios resolvidos ......................................................................................................95
17. Capitalização no regime de juros compostos ...............................................................103
18. Taxas de juros no regime de juros compostos (taxa equivalente) ................................110
19. Taxa nominal e taxa efetiva.........................................................................................117
20. Taxa interna de retorno ...............................................................................................123
21. Exercícios resolvidos ....................................................................................................129
22. Conceituação de desconto ...........................................................................................135
23. Desconto racional simples ou por “dentro” ..................................................................139
24. Desconto bancário, comercial ou “por fora” .................................................................144
25. Exercícios resolvidos ....................................................................................................150
26. Desconto racional composto .......................................................................................156
27. Desconto comercial ou bancário composto .................................................................161
28. Exercícios resolvidos ....................................................................................................167
29. Comparação entre os tipos de desconto ......................................................................172
30. Exercícios resolvidos ....................................................................................................177
31. Conceito de inflação e deflação ...................................................................................185
32. Índice de preços e variação percentual de preços ........................................................190
33. Taxa de desvalorização monetária ..............................................................................196
34. Exercícios resolvidos ....................................................................................................20135. Taxa acumulada ..........................................................................................................207
36. Taxa real e taxa aparente ............................................................................................213
37. Correção monetária .....................................................................................................219
38. Exercícios resolvidos ....................................................................................................225
39. Séries de pagamento, termos postecipados ................................................................231
40. Séries de pagamentos, termos antecipados ................................................................237
41. Exercícios resolvidos ....................................................................................................244
42. Sistemas de amortização ............................................................................................251
43. Sistema de Amortização Constante (SAC) ...................................................................256
44. Sistema de Amortização Francês (SAF) .......................................................................263
45. Exercícios resolvidos ....................................................................................................268
46. Sistema Price de Amortização ou Tabela Price .............................................................276
47. Exercícios resolvidos ....................................................................................................281
48. Comparação entre os Sistemas de Amortização .........................................................288
Glossário ............................................................................................................................295
Referências ........................................................................................................................303
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1 Razão
Objetivo
Explorar os conceitos de razão. 
Nesta unidade vamos conhecer o conceito de razão sob a ótica de 
Castanheira (2011), que embasará teoricamente o conteúdo desta unidade.
Vamos iniciar nosso estudo com um exemplo. Acompanhe!
Em um determinado mês um vendedor de sapatos vendeu 200.000 pares 
e no mês seguinte vendeu 800.000 pares do mesmo sapato. 
Comparando esses dois valores, poderíamos dizer que a diferença entre 
o número de sapatos vendidos é de 600.000 pares. No entanto, essa 
diferença não nos oferece uma ideia relativa do crescimento das vendas. 
Podemos ainda dividir o número de pares de sapatos vendidos no 
segundo mês pelo número de sapatos vendidos no primeiro mês, isto é, 
800.000:200.000 que é igual a 4. Assim, podemos afirmar que as vendas 
do segundo mês foram 4 vezes maiores do que as do primeiro mês. A essa 
forma de comparação damos o nome de razão.
De acordo com Castanheira (2011) a razão entre duas grandezas de mesma espécie é 
o quociente dos números que medem essas grandezas. 
Dados dois números x e y, com y ≠ 0, chamamos de razão de x para 
y, ou simplesmente razão entre x e y, nessa ordem, ao quociente ,
x
y
 
que também pode ser indicado por x : y. O número x é chamado de 
antecedente, e y é denominado consequente. 
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Para compreendermos melhor a razão entre duas grandezas, vamos 
analisar alguns exemplos.
Exemplo 1
Estabelecer a razão de 2 horas para 45 minutos.
Solução: Como a razão é uma relação entre grandezas de mesma espécie, 
então devemos converter a grandeza que está em horas para minutos.
Sabendo que 1 hora tem 60 minutos, então 2 horas têm 120 minutos. 
Portanto, a razão será 120 8 .
45 3
=
Temos que toda razão deve ser simplificada o máximo possível até se 
encontrar a fração irredutível. 
Exemplo 2
Uma pessoa comprou uma casa por R$ 450.000,00 e a vendeu por R$ 
600.000,00. Vamos determinar a razão entre:
a. o preço de compra e o preço de venda:
Solução: 
R$ 450.000,00
0,75
R$ 600.000,00
= 
b. o preço de venda e o preço de compra:
Solução: 
R$ 600.000,00 1,3334
R$ 450.000,00
=
 
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Exemplo 3
Um carro percorre 180 km gastando 9 litros de gasolina. Qual a razão 
entre o número de quilômetros percorridos e o número de litros de 
gasolina gastos?
Solução: 
180km
20km/L
9L
=
Exemplo 4
Leandro e Henrique lavaram o carro do vovô Dorval e receberam pelo 
trabalho R$ 30,00. Leandro trabalhou duas horas, e Henrique trabalhou 
três horas. Eles concordaram em dividir os R$ 30,00 na mesma razão que 
as horas trabalhadas. Quanto cada um deve receber?
Solução: A razão das horas trabalhadas:
Leandro 2 horas 2
Henrique 3 horas 3
-
=
-
Essa proporção total é a soma de cinco partes (2 + 3 = 5). 
Logo, cada parte vale R$ 6,00 (R$ 30,00 dividido por 5).
Então, Leandro deve receber (2 × R$ 6,00 = R$ 12,00); e Henrique deve 
receber (3 × R$ 6,00 = R$ 18,00).
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Exemplo 5
O salário de Paulo é de R$ 2.000,00 e João tem um salário de R$ 
1.000,00. Qual a razão de um salário para outro (MATEMÁTICA 
DIDÁTICA, 2008)?
Solução: Salário de Paulo / Salário de João.
Então:
R$ 2.000,00
2
R$ 1.000,00
=
A razão apresentada pode ser lida como a razão de 2000 para 1000, ou 
2000 está para 1000. Essa razão é igual a 2, o que equivale a dizer que o 
salário de Paulo é o dobro do salário de João.
Resposta: Portanto a razão de um salário para outro é igual a 2. 
Exemplo 6
Eu tenho uma estatura de 1,80 m e meu filho tem apenas 80 cm de 
altura. Qual é a razão de nossas alturas (MATEMÁTICA DIDÁTICA, 
2008)?
Solução: Como uma das medidas está em metros e a outra em 
centímetros, devemos colocá-las na mesma unidade. Sabemos que 1,80 m 
é equivalente a 180 cm. Temos então a razão de 180 cm para 80 cm:
180 2,25
80
=
Resposta: 2,25 é a razão de nossas alturas.
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Para sua reflexão
Propomos a você uma pausa para refletir sobre 
uma situação, adaptada de Castanheira (2011). 
Suponhamos que você vai comprar uma casa que 
ainda não está construída. Você provavelmente 
desejará ver o desenho dessa casa, isto é, a sua 
planta. É claro que você não verá o desenho em 
tamanho real, mas sim em tamanho reduzido. 
Então, pense como é que se fez esse desenho 
e reflita sobre como o tema razão contribui no 
desenho da planta desse apartamento. 
A resposta a essa reflexão forma parte de sua 
aprendizagem e é individual, não precisando ser 
comunicada ou enviada aos tutores.
Nesta unidade estudamos o conceito de razão a partir de Castanheira 
(2011), que a define como uma relação entre grandezas de uma mesma 
espécie. Vimos também alguns exemplos da aplicação do cálculo da razão 
em nosso dia a dia. Na próxima unidade vamos aprofundar um pouco 
mais nossos conhecimentos sobre as grandezas direta ou inversamente 
proporcionais. Siga em frente!
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2 Grandezas direta ou inversamente proporcionais
Objetivo
Mostrar os conceitos fundamentais das grandezas direta ou 
inversamente proporcionais.
Na primeira unidade, aprendemos que razão é uma relação entre 
grandezas de mesma espécie. Vamos agora conhecer dois tipos de 
grandezas: as diretamente proporcionais e as inversamente proporcionais, 
a partir da concepção de Castanheira (2011). Vamos em frente!
2.1 Proporção 
Para compreendermos o que é uma proporção, vamos analisar a situação 
descrita a seguir.
Em uma determinada empresa de TV por assinatura, o diretor 
administrativo pediu um levantamento das vendas realizadas por seus 
dois vendedores, nos meses de abril e maio de 2010. Obteve o seguinte 
resultado:
MÊS/VENDEDOR A B
ABRIL 500 600
MAIO 750 900
Quadro 1 – Levantamento de vendas. 
Fonte: Elaborado pelo autor (2013).
Dessa forma, a razão das vendas do mêsde maio para as vendas do mês 
de abril entre os vendedores A e B é respectivamente: 750 900e .
500 600
 
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Se dividirmos 750 por 500 vamos obter 1,5 e se dividirmos 900 por 
600, também obteremos 1,5. Observe que as razões são iguais, e a esta 
igualdade damos o nome de proporção. Essa proporção pode ser lida da 
seguinte forma: “750 está para 500 assim como 900 está para 600”. 
De acordo com Castanheira (2011), a igualdade de duas razões denomina-se 
proporção.
Consideremos a proporção ,a c
b d
= com b e d diferentes de zero, em que 
chamamos a e d de extremos e b e c chamamos de meios. Vale a seguinte 
propriedade:
Se , então ;a c a d b c
b d
= ⋅ = ⋅ isto é, em toda proporção, o produto dos 
extremos é igual ao produto dos meios.
Propriedades das proporções
De acordo com Castanheira (2011), são três as propriedades das 
proporções. Vamos conhecê-las. 
• Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 
primeiro ou segundo, assim como a soma dos dois últimos termos 
está para o terceiro ou quarto.
oua b c d a b c d
b d a c
+ + + +
= =
• Em toda proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para 
o primeiro ou segundo, assim como a diferença dos dois últimos 
termos está para o terceiro ou quarto.
oua b c d a b c d
b d a c
- - - -
= =
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• Em toda proporção, a soma ou diferença dos antecedentes está para 
a soma ou diferença dos consequentes, assim como cada antecedente 
está para seu respectivo consequente. 
oua c a c a c a c
b d b d b d b d
+ -
= = = =
+ -
Acompanhe os exemplos a seguir, para compreender melhor este tema.
Exemplo 1 
Determine o valor de x em cada uma das proporções:
a)
b
24
5 15
5
6
) 5 3
4
x
x
=
-
=
Solução:
15 5 24
15 120
8
)
15
a
120
x
x
x
x
⋅ = ⋅
=
=
=
4 (55 ) 6 3
220 4 18
220 18 4
202 4
202 (simplificando)
4
101 ou 50 5
b
2
)
,
x
x
x
x
x
x x
⋅ - = ⋅
- =
- =
=
=
= =
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Exemplo 2 
Uma empresa pretende alocar 200 mil reais em pesquisa e propaganda, 
de modo que a razão entre as quantias seja 2 .
3
 Quais os valores alocados 
individualmente para cada ação?
Solução: Para resolver este problema começaremos determinando que:
• (x) é a quantidade alocada para pesquisa;
• (200 – x) é a quantidade alocada para propaganda.
Portanto, temos:
2
200 3
x
x
=
-
Logo,
3 2 (200 )
3 400 2
3 2 400
5 400
400
5
80
x x
x x
x x
x
x
x
⋅ = ⋅ -
= -
+ =
=
=
=
Diante disso, podemos concluir que: Foram aplicados em pesquisa 80 
mil reais e em propaganda, 120 mil reais (200 – 80 = 120).
Vamos agora entender o que são as grandezas diretamente proporcionais.
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2.2 Grandezas diretamente proporcionais
Castanheira (2011) afirma que duas grandezas são diretamente 
proporcionais quando a razão entre a medida y de uma e a 
correspondente x da outra for constante e com x ≠ 0, isto é, ,y c
x
= em 
que c é uma constante e é diferente de zero.
Para entender melhor esta definição, observe o exemplo a seguir.
Três sócios, X, Y e Z, abriram um supermercado. O primeiro investiu 
R$ 300.000,00, o segundo R$ 400.000,00 e o terceiro R$ 500.000,00. 
Após 1 ano de funcionamento, o supermercado deu um lucro de R$ 
240.000,00. Se o lucro for dividido entre os sócios de forma diretamente 
proporcional ao valor investido, quanto cada um receberá?
Solução: Vamos indicar por x, y e z os valores recebidos por cada sócio, 
respectivamente. 
Portanto:
• Sócio X – R$ x
• Sócio Y – R$ y
• Sócio Z – R$ z
Logo, temos x + y + z = 240.000.
Como o valor recebido por cada sócio é diretamente proporcional ao 
valor investido, então temos:
300.000 400.000 500.000
yx z c= = =
Atenção: c é a constante de proporcionalidade.
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Assim temos:
300.000
300.000
400.000
400.000
500.000
500.000
x c x c
y
c y c
z c z c
= → =
= → =
= → =
Como sabemos que: x + y + z = 240.000, então
300.000 400.000 500.000 240.000
1.200.000 240.000
240.000
1.200.000
1 ou 0,2
5
c c c
c
c
c c
+ + =
=
=
= =
Portanto, ao descobrirmos a constante de proporcionalidade, poderemos 
encontrar o valor que cada sócio receberá.
(300.000) (400.000) (500.000)
(300.000) (0,2) (400.000) (0,2) (500.000) (0,2)
60.000 80.000 100.000
x c y c z c
x y z
x y z
= ⋅ = ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅ = ⋅
= = =
Assim, X receberá R$ 60.000,00, Y receberá R$ 80.000,00 e Z receberá 
R$ 100.00,00.
Pense também na seguinte situação: 
Se uma máquina produz mil canetas, duas máquinas iguais nas mesmas 
condições produzirão duas mil canetas. Essa situação reflete grandezas 
diretamente proporcionais, pois quando aumenta o número de 
máquinas, aumenta o número de peças.
máquinas ↑ peças ↑
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Tudo bem até aqui? Lembre-se de que você poderá voltar ao conteúdo 
quantas vezes forem necessárias, até sentir-se seguro do conhecimento 
adquirido. Siga com atenção e conheça as grandezas inversamente 
proporcionais.
2.3 Grandezas inversamente proporcionais
Castanheira (2011) afirma ainda que duas grandezas são inversamente 
proporcionais quando o produto da medida y de uma e a correspondente 
x da outra forem constantes e diferente de zero, isto é, (y ⋅ x = c), em que 
c é uma constante diferente de zero.
Acompanhe os exemplos a seguir.
Exemplo 1 
Três máquinas levam 2 horas para produzir um lote de 1000 peças. Se o 
número de máquinas for inversamente proporcional ao número de horas 
para produzir o mesmo lote de 1000 peças, quanto tempo será necessário 
para se produzir o lote com 4 máquinas? 
Solução:
• Vamos indicar como (t) o tempo necessário para produzir o lote com 
4 máquinas.
• O enunciado nos afirma que a grandeza quantidade de máquinas e a 
grandeza tempo são inversamente proporcionais. Portanto:
3 2 4
6 4
6
4
1,5
t
t
t
t
⋅ = ⋅
=
=
=
Logo, para produzir o mesmo lote de 1000 peças com 4 máquinas, será 
necessária 1 hora e trinta minutos.
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Exemplo 2 
Se um automóvel percorrer 700 km com uma velocidade média de 100 
km/h, o trajeto será efetuado em 7 horas. Se esse automóvel percorrer 
o mesmo trajeto com uma velocidade média de 50 km/h, ele levará 
14 horas para concluí-lo. Logo, essa situação evidencia que a grandeza 
velocidade é inversamente proporcional à grandeza tempo, pois quando 
diminui a velocidade aumenta o tempo.
velociadade ↓ tempo ↑
Saiba mais
De uma forma divertida, conheça mais 
sobre proporção assistindo ao vídeo da série 
“Semelhança e Proporção”, produzido pelo 
Ministério da Educação. Clique aqui.
Para saber mais sobre as grandezas direta ou 
inversamente proporcionais, assista ao vídeo 
disponível aqui. Nele, você encontrará mais 
informações sobre esse tema.
Nesta unidade, conhecemos alguns conceitos fundamentais das grandezas 
direta ou inversamente proporcionais. Vimos que duas grandezas são 
diretamente proporcionais quando a razão entre a medida y de uma e a 
correspondente x da outra for constante, e com x diferente de zero. Já 
duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto da 
medida y de uma e a correspondente x da outra for constante e diferente 
de zero. Siga adiante com entusiasmo!
Que tal levantar e se esticar um pouco? Dê uma boa espreguiçada, tome 
um copo de água, descanse os olhos e depois volte com energia, pois a 
próxima unidade traz um tema muito interessante, a regra de três simples.
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3 Regra de três simples
Objetivo
Aplicar os conceitos fundamentais da regra de três simples.
Preparado para o estudo de mais uma unidade? Anteriormente, 
conhecemos as grandezas diretamente einversamente proporcionais. 
Nesta unidade, vamos aprofundar nossos conhecimentos por meio 
do estudo de uma regra muito valiosa: a regra de três simples. Ela nos 
ajudará a resolver problemas que envolvem os dois tipos de grandezas 
que estudamos na unidade anterior. Para tanto, teremos como referência 
a concepção de Castanheira (2011). 
A regra de três simples é muito utilizada no cotidiano e na matemática 
financeira, principalmente em juros simples, um assunto que iremos 
abordar em unidades posteriores.
A regra de três é um processo prático para resolver problemas que envolvem 
grandezas direta ou inversamente proporcionais. Esse processo consiste em:
a. reunir em uma coluna as grandezas de igual espécie e com a mesma 
unidade de medida;
b. classificar as grandezas como direta ou inversamente proporcionais;
c. obter a proporção correspondente e solucioná-la. 
Para melhor compreensão desta regra, vamos verificar alguns exemplos.
Exemplo 1 
Uma máquina, trabalhando durante 40 minutos, produz 100 peças. 
Quantas peças iguais a essas serão produzidas pela mesma máquina em 2 
horas e 30 minutos?
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Solução: Lembre-se de que as unidades devem ser iguais, por isso 
devemos transformar 2h30min, em minutos, o que será igual a 150 min. 
Consideremos: 1 hora = 60 min. 
Montando o problema, temos:
Tempo(minutos) Quantidade de peças
40 100
150 x
Observe que as grandezas deste problema são diretamente proporcionais, 
pois quando se aumenta o tempo de trabalho, aumenta-se a quantidade 
de peças produzidas.
Geralmente exemplificamos da seguinte forma:
 Tempo(minutos) Quantidade de peças
40 100
150 x
Depois desse processo, monta-se uma proporção para determinar a 
solução do problema.
40 100
150
40 150 100
40 15.000
15000
40
375
x
x
x
x
x
=
⋅ = ⋅
=
=
=
Portanto, em 2h30min serão produzidas 375 peças.
Vamos a mais um exemplo. Acompanhe!
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Exemplo 2
Para realizar um serviço de terraplanagem, 4 máquinas levam 15 dias 
para concluir o trabalho. Em quantos dias 6 máquinas iguais às primeiras 
fariam o mesmo serviço?
Solução: Montando o problema, temos a seguinte situação:
Quantidade de máquinas Tempo(dias)
4 15
6 x
Perceba que as grandezas deste problema são inversamente proporcionais, 
pois quando se aumenta o número de máquinas diminui-se o tempo de 
execução do trabalho. 
A regra é geralmente exemplificada da seguinte forma:
 Quantidade demáquinas Tempo(dias)
4 15
6 x
Agora vamos montar a proporção. É preciso inverter uma das 
razões envolvidas nesta proporção, pois quando duas grandezas são 
inversamente proporcionais, a razão de dois valores de uma delas é igual 
ao inverso da razão de dois valores correspondentes da outra.
Logo, teremos:
4
6 15
4 15 6
60 6
60
6
10
x
x
x
x
x
=
⋅ =
=
=
=
Portanto, as 6 máquinas fariam o serviço em 10 dias.
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Conhecemos a regra de três simples, que é um processo muito prático 
para resolver problemas que envolvem grandezas direta ou inversamente 
proporcionais, cujos valores podem formar uma proporção. Aprendemos 
também que é preciso um cuidado especial na hora de escrevermos 
a proporção, uma vez que, caso as grandezas sejam inversamente 
proporcionais, devemos inverter uma das razões. Na próxima unidade, 
vamos conhecer a regra de três composta. Até lá!
Fórum
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Aprendizagem da Instituição e participe do nosso 
Fórum de discussão. Lá você poderá interagir com 
seus colegas e com seu tutor de forma a ampliar, 
por meio da interação, a construção do seu 
conhecimento. Vamos lá?
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4 Regra de três composta
Objetivo
Aplicar os conceitos fundamentais da regra de três composta.
Na unidade anterior, conhecemos a regra de três simples, um processo 
prático para resolver problemas que envolvem grandezas direta ou 
inversamente proporcionais. Nesta, vamos avançar um pouco mais e 
conhecer a regra de três composta. Você sabe qual a diferença entre uma 
e outra? Vejamos quais os conceitos da regra de três composta e a sua 
diferenciação em relação à regra simples, com base em Castanheira (2011).
A regra de três composta é um processo prático utilizado na resolução de 
problemas que envolvem mais de duas grandezas, inversa ou diretamente 
proporcionais. Segundo Castanheira (2011), esse processo consiste nos 
seguintes passos:
a. reunir em colunas as grandezas de igual espécie e com a mesma 
unidade; 
b. analisar as grandezas duas a duas (em relação à que possui a 
incógnita), a fim de verificar se são direta ou inversamente 
proporcionais;
c. obter a proporção correspondente e solucioná-la.
Vamos ver alguns exemplos para entendermos melhor o funcionamento 
da regra de três composta?
Exemplo 1
Quatro operários produzem, em 10 dias, 600 peças de um determinado 
produto. Quantas peças desse mesmo produto serão produzidas por 10 
operários em 16 dias?
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Solução: Primeiramente, devemos reunir em colunas as grandezas de 
igual espécie e com a mesma unidade. 
Operários Tempo(dias) Produção(peças)
4 10 600
10 16 x
O segundo passo é analisar as grandezas duas a duas (em relação à que 
possui a incógnita), a fim de verificar se são direta ou inversamente 
proporcionais.
 Operários Produção(peças)
4 600
10 x
Na situação aqui descrita, verificamos que as grandezas relacionadas são 
diretamente proporcionais: à medida que aumentamos o número de 
operários, consequentemente aumenta a produção de peças.
 Tempo(dias) Produção(peças)
10 600
16 x
Na situação anterior, verificamos que as grandezas relacionadas são 
diretamente proporcionais: à medida que aumentamos o número de dias, 
consequentemente aumenta o número de peças produzidas.
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Podemos verificar que as grandezas envolvidas, tempo e quantidade de 
operários, são diretamente proporcionais à produção de peças. Portanto:
4 10 600
10 16
40 600
160
40 160 600
40 96.000
96.000
40
2.400
x
x
x
x
x
x
⋅ =
=
⋅ = ⋅
=
=
=
Logo, com 10 operários trabalhando, em 16 dias serão produzidas 2400 
peças. 
Exemplo 2
Dezoito operários, trabalhando 7 horas por dia, fazem determinado 
serviço em 12 dias. Em quantos dias 12 operários que trabalham 9 horas 
diárias farão serviço idêntico?
Solução: Primeiramente, devemos reunir em colunas as grandezas de 
igual espécie e com a mesma unidade.
Qtd(operários) Tempo(h) Serviço(dias)
18 7 12
12 9 x
O segundo passo é analisar as grandezas duas a duas (em relação à que 
possui a incógnita), a fim de verificar se são direta ou inversamente 
proporcionais.
 Tempo(h) Serviço(dias)
7 12
9 x
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Nessa situação, verificamos que as grandezas relacionadas são inversamente 
proporcionais: à medida que aumentamos o tempo de trabalho, 
consequentemente diminui o número de dias para executar o serviço.
Qtd (operários) Serviço (dias)
1218
12 x
Ainda verificamos na situação anterior que as grandezas relacionadas são 
inversamente proporcionais: à medida que aumentamos o número de 
operários, consequentemente diminui o número de dias para realizar o 
serviço.
Como a grandeza número de dias para realizar o serviço é inversamente proporcional às 
outras duas grandezas envolvidas, devemos inverter a razão formada por essa grandeza.
Observe na demonstração a seguir:
Qtd(operários) Tempo(h) Serviço(dias)
18 7 12
12 9 x
Qtd(operários) Tempo(h) Serviço(dias)
18 7
12 9 12
x
Após realizar o ajuste e verificar que todas as grandezas envolvidas 
(tempo e quantidade de operários) são diretamente proporcionais ao 
número de dias para realizar o serviço, então a grandeza número de dias é 
proporcional ao produto das grandezas tempo e quantidadede operários. 
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Portanto:
18 7
12 9 12
126
108 12
126 12 108
1512 108
1512
108
14
x
x
x
x
x
x
⋅ =
=
⋅ = ⋅
=
=
=
Logo, com 12 operários trabalhando 9 horas diárias, o trabalho será 
realizado em 14 dias. 
Com esses exemplos, finalizamos esta unidade. Conhecemos a regra de 
três composta. Observamos que a diferença entre a regra de três simples 
e a composta é a quantidade de grandezas envolvidas. A análise das 
grandezas na regra de três composta é realizada duas a duas (em relação 
à que possui a incógnita), a fim de verificar se são direta ou inversamente 
proporcionais. 
Agora que conhecemos tanto a regra de três simples quanto a composta, 
vamos adiante conhecer a percentagem, nosso assunto da próxima 
unidade. Vamos lá!
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5 Percentagem
Objetivo
Apresentar os conceitos fundamentais de percentagem.
Até agora, estudamos o conceito de razão, as grandezas direta ou 
inversamente proporcionais, a regra de três simples e a regra de três 
composta. Neste momento de nossos estudos, trataremos sobre 
percentagem, utilizando as contribuições de Castanheira (2011). Vamos, 
então, entender o que é um percentual.
Chamamos de percentagem toda razão ,a
b
 na qual b = 100 
(CASTANHEIRA, 2011). Essas razões centesimais, muito usadas no 
meio econômico financeiro, podem ser representadas pelo símbolo %.
Em seu livro “Noções básicas de matemática comercial e financeira”, 
Castanheira (2011) nos mostra que 1% significa que dividimos o 
inteiro em 100 partes iguais e consideramos apenas uma dessas partes. 
Representa-se da seguinte forma: 1 ,
100
 chamada de razão centesimal ou 
razão percentual, e lê-se um por cento.
Cem por cento corresponde ao todo. 
100100% 1
100
= =
Portanto, 100% equivale à unidade.
Vamos a um exemplo? 
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Um aluno acertou 9 das 12 questões de uma prova. Qual foi a sua 
percentagem de acerto?
9 750,75 0,75 75%
12 100
= → →
Exemplo 2 
Na matemática financeira, não trabalhamos com valores percentuais, 
mas sim com a sua forma unitária. Portanto, no exemplo a seguir vamos 
visualizar a conversão da forma percentual para a forma unitária.
Tabela 1 – Transformação da forma percentual para a forma unitária.
FORMA PERCENTUAL TRANSFORMAÇÃO FORMA UNITÁRIA
30%
30
100
0,30
5%
5
100
0,05
122%
122
100
1,22
Fonte: Adaptada de Castanheira (2011).
É importante ressaltar que, quando estamos resolvendo um problema 
que envolva percentagem, estamos, na verdade, efetuando um cálculo de 
proporção, como vimos na unidade 2. É que os problemas que tratam 
de percentagem são problemas que relacionam grandezas diretamente 
proporcionais.
Observe, a seguir, a resolução de alguns exercícios que envolvem a 
utilização de percentagem. 
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Exercício 1
Qual é o valor de 35% de 70?
Comentário:
No problema proposto, podemos aplicar uma regra de três simples. 
70 100
35
70 100
35
100 35 70
2450
100
24,5
x
x
x
x
x
→
→
=
⋅ = ⋅
=
=
Resposta: O valor correspondente a 35% de 70 é 24,5.
Outra forma de resolvermos este problema seria substituirmos a 
preposição “de” pelo sinal da multiplicação. Assim teremos:
35 35 70 245035% de 70 70 24,5
100 100 100
⋅
= ⋅ = = =
Para sua reflexão
No exercício resolvido anteriormente, você 
verificou que a preposição “de” foi substituída pelo 
sinal de multiplicação. Reflita sobre por que isso é 
possível. 
A resposta a essa reflexão forma parte de sua 
aprendizagem e é individual, não precisando ser 
comunicada ou enviada aos tutores.
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Exercício 2
Quantos por cento de R$ 160,00 correspondem à quantia de R$ 40,00?
Comentário: 
Novamente podemos aplicar uma regra de três simples. 
40
160 100
40
160 100
160 40 100
4000
160
25
x
x
x
x
x
→
→
=
⋅ = ⋅
=
=
Então, 40 25 25%
160 100
= =
Resposta: Quarenta reais equivalem a 25% de cento e sessenta reais.
Exercício 3
Em uma escola de Educação Básica de Santa Catarina, 35% dos alunos 
são do sexo feminino. Essa escola possui 1600 alunos no total. Quantos 
alunos do sexo masculino existem nessa escola?
Comentário:
É sempre importante em situações contextualizadas, realizar uma leitura 
bem atenciosa e efetuar a retirada dos dados do problema.
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Dados do problema:
• Total de alunos: 1600
• Percentual do sexo feminino: 35%
Portanto, concluímos que: 65% são do sexo masculino.
Logo, 65% de 1600 equivale ao número de alunos do sexo masculino 
nessa escola.
Então:
65 1600 1040
100
⋅ = 
Resposta: Nessa escola de Educação Básica, existem 1040 alunos do sexo 
masculino. 
É com esse último exemplo que encerramos esta unidade, na qual 
estudamos sobre a percentagem. De acordo com Castanheira (2011), 
percentagem é “uma parte do principal”, ou seja, uma parte do todo. 
O mesmo autor nos mostra que 1% significa que dividimos o inteiro 
em 100 partes iguais e consideramos apenas uma dessas partes. Outro 
aspecto interessante de ser relembrado é que quando estamos resolvendo 
um problema que envolva percentagem estamos, na verdade, efetuando 
um cálculo de proporção, conteúdo que vimos na unidade 2. Você 
lembra? Se sua resposta foi não, retorne àquela unidade e estude 
novamente o conteúdo proposto, pois o bom entendimento de um tema 
depende do correto entendimento do anterior. Ou seja, essa compreensão 
é fundamental para que possamos avançar para a próxima unidade, 
quando nosso foco estará direcionado para os problemas de percentagem 
ligados a operações comerciais. 
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6 Problemas de percentagem ligados a operações comerciais
Objetivo
Apresentar aplicações de percentagem em operações de compra e 
venda de mercadorias.
Na unidade anterior, conhecemos ou relembramos a definição de 
percentagem. Vamos agora conhecer alguns exemplos de percentagem em 
operações comerciais por meio da análise de situações que demonstram 
sua aplicação na área financeira. Acompanhe alguns exercícios resolvidos. 
Porém, esteja atento, pois a maneira de resolução dos problemas aqui 
propostos não é a única! 
Exercício 1
Para comprar um tênis de R$ 350,00, Rodrigo deu um cheque pré-
datado de 30 dias no valor de R$ 362,25. A taxa de juros cobrada foi de:
Solução: Neste exemplo, deparamos com uma situação de compra a 
prazo. Nesse tipo de operação financeira, é comum existir um acréscimo 
no valor final da mercadoria. Esse valor é denominado juros.
Na situação problematizada, o valor do juro é obtido através da diferença 
entre o valor final e o valor inicial da compra:
J = 362,25 - 350,00
J = 12,25
Logo, para determinarmos a taxa de juros cobrada, basta aplicarmos uma 
regra de três simples.
350 100%
12,25 x
-
-
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Portanto:
350 100
12,25
350 12,25 100
350 1225
1225
350
3,5
x
x
x
x
x
=
⋅ = ⋅
=
=
=
Resposta: A taxa de juros cobrada nesta compra foi de 3,5%.
Exercício 2
O preço da tabela de um carro é R$ 16.000,00. Pagando à vista, o 
comprador consegue um desconto de 15% e pagará pelo carro apenas: 
_____________.
Solução: Neste exemplo, temos uma situação de compra à vista, na qual 
o comprador ganha um desconto. Portanto, a primeira coisa a ser feita é 
determinar o valor do desconto através de uma simples regra de três.
1600 100%
15%x
-
-
Logo,
16000 100
15
100 16000 15
100 240000
240000
100
2400
x
x
x
x
x
=
⋅ = ⋅
=
=
=
Portanto, o valor do desconto é R$ 2.400,00.
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Resposta: Podemos concluir que o valor pago pelo carro será R$ 
16.000,00 – R$ 2.400,00, que é R$ 13.600,00.
Exercício 3
Um comerciante comprou um produto com25% de desconto sobre o 
preço do catálogo. Ele deseja marcar o preço de venda de modo que, 
dando um desconto de 25% sobre esse preço, ainda consiga um lucro de 
30% sobre o custo (UNIFESP, 2007). A porcentagem sobre o preço do 
catálogo que ele deve usar para marcar o preço de venda é:
Solução: Neste problema, deparamo-nos com uma típica situação 
comercial. Nela, o comerciante estabeleceu o percentual de lucro mínimo 
que ele deseja obter com a venda de suas mercadorias. Vale a pena 
ressaltar que o comerciante teve a preocupação de efetuar seu cálculo 
sobre o preço de catálogo, pois na situação apresentada ele ganhou um 
desconto de 25%, algo que não necessariamente se repetirá em futuras 
compras.
Portanto, para resolvermos este caso iremos equacionar o problema 
descrito:
• Preço de catálogo – x
• Preço de custo – y 
• Preço de venda – z
Observações:
• Desconto de 25% significa 75% do preço do produto.
• Aumento de 30% significa 130% do preço do produto.
Assim, teremos as seguintes equações: 
Como o comerciante ganhou 25% de desconto, então pagou 75% da 
mercadoria, por tanto: 
75
1 0
1.
0
x y⋅ =
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Como o comerciante deseja marcar o preço de venda de modo que, 
dando um desconto de 25% sobre esse preço, ainda consiga um lucro de 
30% sobre o custo, então:
75 130
100 0
2.
1 0
z y⋅ = ⋅
Substituindo y na equação 2, temos:
75 75 130
100 100 100
z x⋅ = ⋅ ⋅
Simplificando a equação, temos:
130
100
z x= ⋅
Portanto, podemos dizer que o preço de venda é 130% do preço de catálogo.
Exercício 4
Um industrial produziu 1000 peças de um produto manufaturado ao 
custo unitário de R$ 200,00. Vendeu 200 dessas peças com um lucro de 
30%. O industrial deseja obter um lucro de 40% com a venda das 1000 
peças produzidas (UNESP, 2005). Nessas condições:
a. Determine quanto lucrou o industrial, em reais, com a venda das 
200 peças. 
Solução: Primeiramente, devemos calcular o preço de custo total das 200 
peças.
(Quantidade de peças) . (Preço de custo/unidade) = Custo total
(200)⋅(R$ 200) = R$ 40.000
Para determinarmos o lucro de 30%, aplicamos uma regra de três simples.
40.000 100%
30%x
-
-
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Logo,
40.000 100
30
100 30 40.000
100 1.200.000
1.200.000
100
1.200
x
x
x
x
x
=
⋅ = ⋅
=
=
=
Portanto, com a venda de 200 peças ele obteve um lucro de R$ 
12.000,00.
b. Encontre o preço pelo qual deve ser vendida cada uma das 800 peças 
restantes para que o industrial obtenha o lucro desejado.
Solução: Primeiro devemos determinar o valor do lucro total esperado 
pelo industrial com a venda das 1000 peças.
Determinação do custo total:
(Quantidade de peças) . (Preço de custo/unidade) = Custo total
(1000)⋅(R$ 200) = R$ 200.000
Como se pretende obter um lucro de 40% com a venda das 1000 peças, 
e já possuindo o custo total das 1000 peças, que é de R$ 200.000,00, 
utilizaremos uma regra de três simples:
200.000 100%
40%x
-
-
Logo,
200.000 100
40
100 40 200.000
100 8.000.000
8.000.000
100
80.000
x
x
x
x
x
=
⋅ = ⋅
=
=
=
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Portanto, o lucro total esperado é de R$ 80.000,00.
Como já foram vendidas 200 peças, que geraram um lucro de R$ 
12.000,00, com a venda das 800 peças restantes teremos que obter um 
lucro de R$ 80.000,00 – R$ 12.000,00 = R$ 68.000,00.
Neste momento, devemos determinar o custo de produção das 800 
peças:
(Quantidade de peças) × (Preço de custo/unidade) = Custo
(800)⋅(R$ 200) = R$ 160.000
Então, a receita gerada com a venda das 800 peças deve ser de 
R$160.000 + R$ 68.000 = R$ 228.000. 
Enfim, verificamos que:
(Preço de venda) × (800 peças) = R$ 228.000,00
(Preço de venda) = R$ 228.000,00 / (800 peças)
(Preço de venda) = R$ 285,00
Resposta: O preço de venda de cada uma das 800 peças deve ser de R$ 
285,00 cada uma, para que o industrial obtenha o lucro esperado de 
40% com a venda das 1000 peças.
Nesta unidade, apresentamos algumas aplicações financeiras envolvendo 
percentagem. 
É importante que você tenha compreendido o funcionamento de 
aplicação da percentagem a partir dos problemas propostos. Na 
sequência, apresentaremos exemplos que envolvem a aplicação dos 
conceitos vistos até o momento. Vamos lá! 
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Resumo
Nestas unidades, conhecemos o conceito de razão, definido por 
Castanheira (2011) como uma relação entre grandezas de uma mesma 
espécie. Aprendemos que duas grandezas são diretamente proporcionais 
quando a razão entre a medida y de uma e a correspondente x da outra 
for constante e com x diferente de zero. E que duas grandezas são 
inversamente proporcionais quando o produto da medida y de uma e a 
correspondente x da outra for constante e diferente de zero. 
Ao estudarmos a regra de três simples e composta, constatamos que 
a diferença entre as duas é a quantidade de grandezas envolvidas. 
Estudamos ainda que a percentagem, de acordo com Castanheira 
(2011), é uma parte do principal, ou seja, uma parte do todo. Por fim, 
apresentamos algumas aplicações financeiras da percentagem relacionadas 
a operações comerciais, evidenciando a sua utilização em operações de 
descontos, acréscimos ou juros, entre outros.
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7 Exercícios resolvidos
Objetivo
Exemplificar os conceitos vistos até o presente momento.
Nas unidades anteriores vimos os conceitos de razão, regra de três simples 
e composta, porcentagem e aplicações. Nesta unidade serão apresentados 
alguns exercícios resolvidos, que contemplam esses conteúdos. 
Utilizaremos alguns exercícios adaptados do trabalho de Crespo (2009). 
Bom trabalho!
Exercício 1 
Usando o conceito de razão mostrado na unidade 1, determine: 
a. a razão entre 4 e 16;
Solução:
4 1
16 4
=
 
Logo, a razão é 1 .
4
b. a razão entre 12 e 7;
3
 + 
 
Solução: Inicialmente, faremos a razão:
12
3
7
 + 
 
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 Aplicar o MMC (mínimo múltiplo comum) para resolvermos a equação 
entre parênteses:
7 7
1 6 1 7 3 32 . Logo, a razão ficará: ou .73 3 3 7
1
+
+ = =
Aqui temos uma divisão de frações (não se esqueça de fazer a 
simplificação quando houver múltiplos do mesmo número). Neste caso 
dividiremos o 77, 1 :
7
=
7 1
3 7
×
1 1 1
3 1 3
= × =
 
Logo, a razão entre 1 12 e 7 é .
3 3
 + 
 
Exercício 2 
Escreva os produtos 11 x 20 = 10 x 22 sob a forma de uma proporção.
Solução: Sabemos, pela recíproca da propriedade fundamental, que:
10 0,9090
11
20 0,9090
22
=
=
Logo, a proporção é 10 20 .
11 22
=
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Exercício 3 
A importância de R$ 588,00 foi dividida entre três pessoas. Sabendo que 
a parte da primeira está para a segunda assim como 5 está para 7, e que a 
parte da segunda está para a terceira assim como 7 está para 9, determine 
as três partes (CRESPO, 2009).
Solução: Consideremos a primeira pessoa como a, a segunda pessoa 
como b e a terceira pessoa como c.
Sabemos que as três juntas ganharam R$ 588,00, então a + b + c = 588
O exercício afirma que a está para b assim como 5 está para 7, logo a 
razão 5 ,
7
a
b
= e b está para c assim como 7 está para 9, sendo a razão 7 .
9
b
c
=
Como temos três incógnitas (a, b e c), isolaremos a e c em função de b. 
Observe:
5 57 5 7 5
7 7
a ba b a b a
b
= → × = × → = → =
Note que a foi isolado. Repetimos para c:
7 97 9 7 9
9 7
b bc b c b c
c
= → × = × → = → =
Como a + b + c = 588, substituímos os valores de a e c pelos encontrados 
anteriormente: 5 9588 588
7 7
b ba b c b+ + = → + + =
 
Fazendo o MMC, temos: 
5 7 9
7
b b b+ + 4116
7
=
 
www.esab.edu.br 44
Logo:
5 7 9 4116
21 4116
4116
21
196
b b b
b
b
b
+ + =
==
=
Obtivemos o valor de b, agora nos resta substituir b nas igualdades 
obtidas anteriormente.
5 5 196 140 e
7 7
9 9 196 252
7 7
ba a a
bc c a
×
= → = → =
×
= → = → =
 
Logo, a = R$ 140,00, b = R$ 196,00 e c = R$ 252,00.
Exercício 4 
Verifique se são diretamente proporcionais as sequências de números 
6, 9, 12, 15 e 2, 3, 4, 5. Defina a razão de proporcionalidade entre elas 
(CRESPO, 2009).
Solução: Temos:
6 9 12 15 3
2 3 4 5
= = = =
Essas grandezas são diretamente proporcionais, já que, aumentando uma 
das grandezas, há o aumento da outra (6 aumentou para 9 assim como 2 
aumentou para 3), e o fator de proporcionalidade entre eles é 3.
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Exercício 5
Defina se são inversamente proporcionais as sequências de números a 
seguir (CRESPO, 2009).
a. (2, 3, 6, 10) e (45, 30, 15, 9).
Solução: Temos: 2 x 45 = 3 x 30 = 6 x 15 = 10 x 9 = 90
Logo, são inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade 
entre eles é 90.
b. (2, 5, 8) e (40, 30, 20).
Como: 2 × 40 ≠ 5 × 30 ≠ 8 × 20
Logo, não são inversamente proporcionais.
Exercício 6
Em um navio com tripulação de 800 marinheiros há comida para 45 
dias. Quanto tempo irão durar os alimentos se o navio receber mais 100 
marinheiros? (CRESPO, 2009)
Solução: Primeiramente, observe que esta regra de três é inversa, pois ao 
aumentarmos o número de marinheiros os dias de estocagem da comida 
diminuirão.
Assim, temos que montar a regra de três.
800 45–
– x900
Marinheiros Dias de comida
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Como esta regra é inversa, invertemos os valores das colunas:
800 x–
– 45900
Marinheiros Dias de comida
900 800 45
900 36000
36000
900
40
x
x
x
x
× = ×
=
=
=
Dessa forma, com o aumento de 100 marinheiros, os alimentos irão 
durar 40 dias.
Exercício 7
Uma loja fez a seguinte promoção: “Compre à vista e ganhe 7% de 
desconto.” Com base nessa informação, quanto pagará, à vista, um 
cliente cuja compra nessa loja resultou no total de R$ 1800,00?
Solução: Considerando que os R$ 1800,00 equivalem a 100%, e 
aplicando uma regra de três simples, resolvemos assim:
1800 100%
7%x
-
-
Logo,
100 1800 7
12600
100
126
x
x
x
× = ×
=
=
O desconto recebido foi de R$ 126,00. Assim, o cliente pagou R$ 
1800,00 – R$ 126,00 = R$ 1674,00.
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Exercício 8
Um terreno foi comprado por R$ 55.000,00 e vendido por R$ 
63.250,00. Quanto foi o percentual de lucro sobre o preço da compra?
Solução:
55.000 100%
63.250 x
-
-
Resolvendo, temos:
55.000 63.250 100
6.325.000
55.000
115
x
x
x
× = ×
=
=
Assim, diminuindo 115% (percentagem final) de 100% (percentagem 
inicial) temos um lucro de 15% sobre o custo.
Vimos nesta unidade a resolução de exercícios sobre razão, proporção, 
regra de três simples e composta. Junto com os exercícios de percentagem, 
eles darão a você condições de acompanhar as próximas unidades, que 
tratarão de conceitos de juros, taxa, prazo, montante e fluxo de caixa.
Estudo complementar
Caro estudante, acesso o link, clicando aqui e veja 
um glossário que conceitua os principais termos 
da disciplina de matemática financeira.
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8 Conceitos fundamentais da matemática financeira
Objetivo
Apresentar os conceitos de juros, capital, taxa, prazo ou tempo, 
montante e diagrama de fluxo de caixa.
Caro aluno, os conceitos de razão, proporção e percentagem, vistos 
anteriormente, serão ferramentas importantes nesta e nas próximas 
unidades. Nesta unidade introduziremos os conceitos de juros, capital, 
taxa, prazo ou tempo, montante e diagrama de fluxo de caixa, que são de 
vital importância para o estudo da matemática financeira. Utilizaremos as 
principais ideias de Puccini (2011) e Assaf Neto (2009) sobre o assunto. 
No final desta unidade, você perceberá que o valor do dinheiro no 
tempo e os juros são conceitos imprescindíveis para o desenvolvimento e 
entendimento da matemática financeira. Vamos lá?
8.1 Juros
Existe uma vasta obra bibliográfica sobre o tema matemática financeira 
no Brasil, afinal, nosso país passou por diversos planos econômicos, 
várias modalidades de regime cambial, sem contar que no ano de 1993 
chegamos à taxa anual de inflação de 2.477%, a maior da história, 
segundo a revista “Veja” (Edição Especial de 40 anos). Dessa forma, 
várias teorias e interpretações sobre juros podem ser encontradas: aluguel 
pelo uso do capital de terceiro, recompensa ou remuneração do capital. 
De acordo com Puccini (2011), definem-se juros como a remuneração 
do capital, a qualquer título. Assim, são válidas as seguintes expressões 
como conceitos de juros:
a. remuneração do capital empregado em atividades produtivas;
b. custo do capital de terceiros;
c. remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas 
aplicado.
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Dica
É comum, no início do estudo da matemática 
financeira, você confundir o conceito de juros, com 
taxa de juros. Juro é um valor monetário, ou seja, 
um valor em reais (no Brasil). Se você emprestar 
um valor de R$ 100,00 para um colega, e depois 
de um período ele lhe pagar R$ 105,00, os R$ 5,00 
pagos a mais serão os juros. Contudo, você verá 
que seu dinheiro aumentou em uma taxa de 5%. 
Notou a diferença?
8.2 Capital
Provavelmente você já deve ter ouvido algum conhecido comentar que 
precisa de capital para abrir uma empresa ou que está descapitalizado. 
Ambas as situações envolvem o conceito de capital. 
Conforme Silva (2010), capital é o valor aplicado por meio de alguma 
operação financeira, ou seja, é uma quantidade em dinheiro disponível 
em determinada data para ser aplicado em uma operação financeira. O 
capital inicial aplicado ou tomado emprestado no tempo atual (presente) 
pode ser chamado de valor presente, valor principal ou valor atual. 
8.3 Taxa de juros
Como falamos anteriormente, a taxa de juros é o valor percentual 
aplicado ao capital. É a razão entre os juros recebidos (ou pagos) e o 
capital inicial (SILVA, 2010). Segundo Assaf Neto (2009), as taxas de 
juros se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano 
etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa 
percentual e taxa unitária.
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Por exemplo, um capital de R$ 1000,00 aplicado a 10% ao ano rende, 
de juros, ao final de um ano:
Note que podemos resolver de duas formas
1. Usando uma calculadora simples (forma percentual):
Digitando na calculadora o valor de R$ 1000,00 e multiplicando por 
10%, teremos o equivalente aos juros recebidos no período. Veja:
juros 1000 10%
juros R$ 100,00
= ×
=
2. Sem o uso da calculadora (forma unitária):
Nesse caso, sem o uso da calculadora, multiplicaremos o valor de R$ 
1000,00 por 10 (notação percentual) e dividiremos por 100. Esse 
processo transforma o número que estava na notação percentual para a 
unitária. Observe.
10juros 1000
100
juros 1000 0,10
juros R$ 100,00
= ×
= ×
=
Isso nos remete ao conceito de taxa unitária. Vejamos a definição 
apresentada por Assaf Neto (2009, p. 2) para esse conceito. 
A taxa unitária centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de cada 
unidade de capital em certo período de tempo. A transformação da taxa percentual 
em unitária se processa simplesmente pela divisão da notação em percentual por 
100. Para a transformação inversa, basta multiplicar a taxa unitária por 100.
Nas fórmulas de matemática financeira, todos os cálculos são feitos 
utilizando-se a taxa unitária. Então, divida o valor da taxa por 100, já que 
a maioria dos exercícios aqui apresentados estará na forma percentual. 
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8.4 Prazo ou tempo
O prazo ou período é o tempo pelo qual o capital é aplicado. É o prazo de 
duração doinvestimento ou empréstimo, expresso em qualquer unidade 
de tempo (dias, semanas, meses, anos etc.), conforme Silva (2010). 
Nas fórmulas de matemática financeira, o prazo e a taxa de juros devem 
estar expressos na mesma unidade de tempo. Vamos a um exemplo. Uma 
modalidade de investimento oferecida por uma instituição financeira 
oferece uma taxa de juros de 2% ao mês e os rendimentos são creditados 
mensalmente. Nesse caso, o prazo referido e a taxa estão na mesma 
unidade de tempo. 
Uma das maiores dificuldades encontradas no início do estudo 
da matemática financeira ocorre no momento de fazer as diversas 
transformações para adequar os períodos à taxa. 
Veja um exemplo em que o período está em anos, meses e dias, e será 
adequado a uma taxa trimestral.
Quantos trimestres possuem 6 anos, 4 meses e 22 dias? 
Solução: 1 (um) trimestre tem 3 meses, assim vamos resolver os anos 
e meses juntos, descobrindo o total de meses equivalente a 6 anos e 4 
meses. 
Segue: como 6 anos equivalem a 6 anos X 12 meses, ou seja, 72 meses, 
somando 72 com os 4 meses, temos 76 meses. Dividimos 76 por 3, o 
que nos dá 25,33 (valor arredondado) trimestres. Agora faltam os dias, 
um trimestre tem 90 dias, 3 meses X 30 dias. Assim, dividindo 22 por 90 
temos 0,25 (valor arredondado). 
Somando tudo, temos aproximadamente 25,58 trimestres. 
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8.5 Montante
Quando um capital é aplicado a certa taxa, por um determinado 
período, ele vai render juros. Um determinado capital, quando aplicado 
a uma taxa periódica de juro por determinado tempo, produz um valor 
denominado montante (ASSAF NETO, 2009). 
Por exemplo, se você aplicar o valor de R$ 1000,00 (capital) a uma taxa 
de 10% ao ano, por 1 ano (período), esse valor renderá no período juros 
de R$ 100,00. 
Acompanhe: 
10juros 1000
100
juros R$ 100,00
= ×
=
O montante final é justamente o valor do capital, R$ 1000,00, somado 
ao valor dos juros, R$100,00. No caso, R$ 1100,00.
8.6 Diagrama de fluxo de caixa
A matemática financeira preocupa-se com o valor do dinheiro no tempo. 
Esses movimentos monetários são identificados temporalmente através de 
um conjunto de entradas e saídas de caixa definido como fluxo de caixa. 
Assaf Neto (2009) afirma que o fluxo de caixa é de grande utilidade para 
as operações da matemática financeira, permitindo que se visualize no 
tempo o que ocorre com o capital.
O fluxo de caixa pode ser representado esquematicamente, como mostra 
a Figura 1:
Entradas
de caixa (+)
Saídas
de caixa (−)
Tempo
Figura 1 – Representação do fluxo de caixa.
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
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A escala de tempo é registrada pela linha horizontal, ou seja, o período 
relacionado na operação. O ponto zero, ou data zero, indica o momento 
inicial, os demais pontos representam os períodos de tempo.
As setas na vertical, orientadas para cima, representam as entradas 
(recebimentos), e as setas orientadas para baixo representam as saídas 
(aplicações) de dinheiro.
Terminamos mais uma unidade. Você deu mais um passo no 
entendimento da matemática financeira. Aqui vimos que a matemática 
financeira estuda a evolução do dinheiro no tempo. Você conheceu 
novos conceitos, como: capital, montante, juros e taxa de juros. A partir 
de agora essas palavras farão parte do seu cotidiano, serão mencionadas 
frequentemente. O tratamento matemático desses conceitos será 
explorado nas próximas unidades. A seguir, veremos a diferença entre o 
sistema de capitalização simples e o composto. 
Tarefa dissertativa
Caro estudante, convidamos você a acessar o 
Ambiente Virtual de Aprendizagem e realizar a 
tarefa dissertativa.
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9 Regimes de capitalização: simples e composto
Objetivo
Classificar e identificar os regimes de capitalização.
Na unidade anterior, nos apoderamos de novos conceitos e novos termos 
que serão mencionados frequentemente a partir de agora. Nesta unidade 
conheceremos os dois sistemas de capitalização estudados na matemática 
financeira: o sistema de capitalização simples e o sistema de capitalização 
composto. Para nos auxiliar a compreender esses sistemas, traremos o 
trabalho de Assaf Neto (2009).
Como o próprio nome demonstra, o sistema de capitalização simples é 
mais intuitivo e provavelmente de mais fácil assimilação. Já o composto é 
o sistema utilizado no Brasil na maioria das operações financeiras. 
9.1 Sistema de capitalização simples
Nesse sistema a taxa de juros incide sobre o capital, e matematicamente 
dizemos que a taxa tem um comportamento linear. Assaf (2009) afirma 
que o regime de capitalização simples comporta-se como se fosse uma 
progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo 
do tempo.
Assim, o montante cresce o mesmo valor a cada período. Vejamos um 
exemplo sugerido por Assaf Neto (2009). 
Admita um empréstimo de R$ 1000,00 pelo prazo de 5 anos, pagando-
se juros simples à razão de 10% ao ano. Acompanhe a Tabela 2:
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Tabela 2 – Comportamento dos juros simples sobre capital.
Ano
Saldo no 
início de 
cada ano($)
Juros apurados 
a cada ano ($)
Saldo devedor 
ao final de 
cada ano ($)
Crescimento 
anual do saldo 
devedor
Início do 1° ano xx xx 1.000,00 xx
Final do 1° ano 1.000,00 1.000,00 x 0,10 = 100,00 1.100,00 100,00
Final do 2° ano 1.100,00 1.000,00 x 0,10 = 100,00 1.200,00 100,00
Final do 3° ano 1.200,00 1.000,00 x 0,10 = 100,00 1.300,00 100,00
Final do 4° ano 1.300,00 1.000,00 x 0,10 = 100,00 1.400,00 100,00
Final do 5° ano 1.400,00 1.000,00 x 0,10 = 100,00 1.500,00 100,00
Fonte: Assaf Neto (2009, p. 3).
Poucas são as operações financeiras realizadas com o sistema de 
capitalização simples. O sistema bancário brasileiro é um dos mais 
desenvolvidos do mundo. Com períodos de inflação que chegaram a 
mais de 1000% ao ano, ele desenvolveu-se muito, o que abriu espaço 
para o uso mais frequente da capitalização composta para operações a 
longo prazo. 
No Brasil, os juros simples são utilizados principalmente para:
• cálculo do Imposto sobre Operações Financeiras (IOF);
• cálculo de mora em caso de atraso de obrigação pecuniária;
• operações e negócios entre empresas e consumidores fora do 
mercado bancário.
O uso dos juros simples ocorre principalmente em operações de curto 
prazo, como as citadas anteriormente.
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Para sua reflexão
Caro estudante, você já pensou porquê o Sistema 
de Capitalização Simples é geralmente utilizado 
em países que possuem baixos índices de inflação? 
E no caso do Brasil? Por que esse Sistema não é o 
mais adequado?
A resposta a essa reflexão forma parte de sua 
aprendizagem e é individual, não precisando ser 
comunicada ou enviada aos tutores.
9.2 Sistema de capitalização composto
Nesse sistema, a taxa de juros não incide somente sobre o capital, como 
ocorre na capitalização simples. A taxa incide sobre o capital somado 
aos juros acumulados, esse é um comportamento exponencial da taxa 
em um período de tempo. A cada período são incorporados ao capital 
não só os juros do período, mas também os juros dos juros acumulados, 
ou seja, os juros do montante anterior. Conforme Assaf Neto (2009), 
esse é um comportamento equivalente a uma Progressão Geométrica 
(PG), e nele os juros incidem sempre sobre o saldo apurado no início do 
período correspondente. Ainda usando o exemplo de Assaf (2009), veja 
os resultados expostos na Tabela 3:
Tabela 3 – Comportamento dos juros compostos sobre capital.
Ano
Saldo no início 
de cada ano($)
Juros apurados 
a cada ano ($)
Saldo devedor ao 
final de cada ano ($)
Início do 1° ano xx xx 1.000,00
Final do 1° ano 1.000,00 1.000,00 x 0,10 = 100,00 1.100,00
Final do 2° ano 1.100,00 1.100,00 x 0,10 = 110,00 1.210,00
Final do 3° ano 1.210,00 1.210,00 x 0,10= 121,00 1.331,00
Final do 4° ano 1.331,00 1.331,00 x 0,10 = 133,10 1.464,00
Final do 5° ano 1.464,10 1.464,10 x 0,10 = 146,41 1.610,51
Fonte: Assaf Neto (2009, p. 4).
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No regime composto existe uma capitalização dos juros, não só do capital 
inicial, o que é popularmente chamado de juros sobre juros. Um ótimo 
exemplo para ilustrar esta situação é o cartão de crédito. Quando deixamos 
de pagar o valor total da fatura e pagamos o valor mínimo, o que ocorre 
com nossa dívida é um efeito “bola de neve”. Ou seja, a cada mês ela 
aumenta mais. Primeiramente, isso ocorre devido às taxas mensais, que são 
altíssimas, em segundo lugar pelo efeito da capitalização composta. Veja o 
exemplo do cartão com os dados apresentados na Tabela 4:
Tabela 4 – Fatura do cartão de crédito.
Fatura do Cartão de Crédito
Total da Fatura: 
R$ 670,25
Pagamento Mínimo: 
R$ 100,54
Encargos
IOF/dia:
 0,0041%
Taxa de Juros Anual: 
170,28%
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
Analisando o exemplo
Temos aqui uma fatura de cartão de crédito. No caso, o usuário do cartão 
é bastante prudente, note que ele paga o valor total da fatura, o campo 
de encargos + IOF está zerado. Mas vamos considerar, para fins didáticos, 
que ele pague o valor mínimo da fatura, R$ 100,54, e não o valor total, 
R$ 670,25. Acompanhe o cálculo dos encargos, caso ele financiasse o 
valor restante durante 60 dias, considerando a capitalização composta e a 
taxa de 14,19% a.m.
Vamos lá: O valor total da fatura é R$ 670,25. Menos o pagamento do 
valor mínimo, R$ 100,54, restam R$ 569,71 (valor financiado).
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Primeiro mês:
valor financiado × taxa de juros × tempo = valor dos juros
14,19$569,71 1(mês) $80.84
100
valor financiado × taxa diária × período = valor do IOF
IOF $569,71 0,000041 30 $0,70
× × =
⇒ × × =
 
(o IOF é cobrado diariamente)
Encargos + IOF = R$ 81,54
Capital + encargos = R$ 651,25
Segundo mês:
Lembre-se de que consideramos, para fins didáticos, que ele não pagou 
nada da fatura no período de 60 dias. Agora os encargos serão cobrados 
sobre o valor total, no caso R$ 651,25, ou seja, além do valor inicial 
financiado, a taxa incide sobre os juros acumulados no primeiro mês.
Logo:
valor financiado × taxa de juros × tempo = valor dos juros
14,19$ 651,25 1(mês) $92, 41
100
valor financiado × taxa diária × período = valor do IOF
IOF $ 651,25 0,000041 30 $0,80
× × =
⇒ × × =
O valor do IOF é cobrado diariamente, e se você notar a taxa é 0,0041% 
a.d. (no cálculo ela foi dividida por 100, passando para o valor unitário).
Encargos + IOF = R$ 93,21
Capital + encargos = R$ 744,46
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Esse é o valor que deverá ser pago após 60 dias.
Nesta unidade observamos o comportamento dos sistemas de 
capitalização simples e composto. Você pôde comparar através de 
exemplos a diferença no montante final quando um valor inicial é 
capitalizado a juro simples e a juro composto. Na próxima unidade 
teremos mais exemplos práticos, e com certeza você vai ficar mais 
familiarizado com o assunto. Preparado?
Atividade
Chegou a hora de você testar seus conhecimentos 
em relação às unidades 1 a 9. Para isso, dirija-se 
ao Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) e 
responda às questões. Além de revisar o conteúdo, 
você estará se preparando para a prova. Bom 
trabalho!
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10 Capitalização no regime de juros simples
Objetivo
Resolver problemas envolvendo juros simples.
Considerando que já estudamos anteriormente os sistemas de 
capitalização simples e composto, esta unidade será voltada à resolução 
de exercícios envolvendo o regime de capitalização simples. É de seu 
conhecimento que nesse regime de capitalização a taxa de juros incide 
somente sobre o valor presente (capital inicial), de forma linear. A taxa de 
juros não incide sobre os juros acumulados mais o capital, como ocorre 
no regime de capitalização composto, conforme destaca Silva (2010). 
Apresentaremos exercícios com nível crescente de dificuldade, mas 
colocados de forma clara para a sua compreensão. Antes, porém, vamos 
às fórmulas de juros simples. 
Fórmulas de juros simples
J = C × i × n
Em que:
J ⇒ valor dos juros expresso em unidades monetárias (R$);
C ⇒ capital, valor inicial expresso em unidades monetárias (R$);
i ⇒ taxa de juros, expressa em sua forma unitária;
n ⇒ prazo ou período.
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Lembre-se: 
• Quando i é expresso sob a forma de taxa unitária, ou seja, de uma fração 
decimal (por exemplo: 14% = 0,14; 7% = 0,07; 1,25% = 0,0125). 
• Devemos manter sempre coerentes o prazo (n) com a taxa de juros (i), em 
relação à unidade de tempo.
Esta é uma fórmula básica, com ela podemos calcular, além do valor dos 
juros, o capital, a taxa e o período, conceitos que estudamos na unidade 8.
J J JC i n
i n C n C i
= = =
× × ×
Vejamos alguns exemplos envolvendo a aplicação dessas fórmulas.
Exercício 1
Um capital de R$ 1000,00 foi aplicado durante 6 meses, com uma taxa 
de 12% a.a. Qual o valor dos juros produzidos nesse período?
Solução: Antes de começar, devemos observar se a taxa e o período estão 
na mesma unidade de tempo. Note que, no caso em questão, a taxa está 
em anos e o período em meses. Procure sempre adequar o período à taxa.
Assim: 
1 ano 12 meses
ano 6 mesesx
-
-
 
Resolvendo a regra de três simples, temos:
12 6
6
12
0,5 ano
x
x
x
=
=
=
 
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Agora aplicamos a fórmula dos juros.
121000 0,5
100
$ 60,00
J C i n
J
J
= × ×
= × ×
=
 
Não esqueça que os juros devem sempre ser expressos em valores 
monetários.
Exercício 2
Qual o valor do capital que, colocado à taxa de 5,5% a.a. produz R$ 99,00 
de juros em 72 meses?
Solução: Aqui novamente temos taxa e período em unidades diferentes, 
desta vez seremos mais rápidos, já sabemos que para passar o período 
de meses para ano basta dividir o valor por 12 (doze). Veja o exercício 
anterior.
Logo:
99
5,5 72
100 12
JC
i n
C
=
×
=
×
 
Uma pequena pausa agora, pois aqui temos duas situações a serem 
analisadas. Note que no denominador (embaixo de 99,00) realizamos 
duas operações:
1. Dividimos a taxa de 5,5% a.a. por 100; lembre-se de que a taxa deve 
estar na forma unitária (veja unidade 8).
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2. Dividimos 72 por 12; a partir de agora, faremos dessa forma para 
passar o período de mês para ano. Mas sempre que você tiver 
dificuldade, retorne ao exercício 1 desta unidade, pois ali realizamos 
o cálculo usando a regra de três.
Assim:
99
0,55 6
99
0,33
$300,00
C
C
C
=
×
=
=
 
Exercício 3
Manoel atrasou 25 dias no pagamento de uma prestação de R$ 250,00. 
Para quanto foi a prestação, se a taxa de juros de mora é de 0,18% ao dia, 
mais multa de 2% sobre o seu valor?
Solução: Note que esse exercício é um pouco mais elaborado. Vimos na 
unidade 9 que a cobrança de juros de mora é uma das poucas aplicações 
de juros simples no Brasil. Vamos primeiro calcular o valor dos juros e 
depois somar ao valor da multa de 2%. Observe que o período e a taxa 
estão na mesma unidade de tempo. 
Aplicando a fórmula dos juros, temos:
0,18250 25
100
$11,25
J C i n
J
J
= × ×
= × ×
=
 
Na segunda linha, dividimos a taxa por 100, para converter à forma 
unitária. 
Agora que temos o valor dos juros, vamos calcular a multa.
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2Multa 250
100
Multa $5,00
= ×
=
 
O valor total da prestação, paga 25 dias após o vencimento, será de:
valor total = valor inicial + juros + multa 
valor total = 250,00 + 11,25 + 5,00 
valor total = R$ 266,25
Exercício 4
Uma prestação de R$ 350,00 foi paga com atraso de alguns dias. Sobre 
o valor, foi cobrada multade 2% e juros de 0,18% ao dia. Considerando 
que o valor pago foi de R$ 369,60, de quantos dias foi o atraso?
Solução: Nesse exercício, o raciocínio é o mesmo do anterior, contudo 
não temos o período (quantidade de dias em atraso).
Primeiro vamos diminuir, do valor total pago, a multa, para depois 
aplicar a fórmula dos juros e encontrar o período. 
2Multa 350,00
100
Multa $ 7,00
= ×
=
 
Para saber o valor dos juros cobrados, diminuiremos do valor total pago a 
multa e o valor de R$ 350,00, o restante são os juros pagos.
Juros = Valor total – multa – valor inicial 
Juros = 369,60 –7,00 –350,00 
Juros = R$12,60 
Aplicando a fórmula dos juros, encontraremos o período.
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12,60
0,18350
100
12,60
0,63
20 dias
Jn
C i
n
n
n
=
×
=
×
=
=
 
Note que a taxa está expressa em dias, logo, o período encontrado deve 
estar na mesma unidade.
Nesta unidade resolvemos alguns exercícios utilizando o conceito de 
juros no regime de capitalização simples. Mas ainda não acabou. Na 
unidade 12 você encontrará exercícios resolvidos sobre cálculo do 
montante, nosso próximo assunto a ser estudado. Até lá! 
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11 Cálculo do montante
Objetivo
Resolver problemas envolvendo cálculo do montante.
Agora que aprendemos, nas unidades anteriores, como calcular o juro, 
que é um valor monetário, gerado pela incidência de uma taxa sobre 
certo capital, nos concentraremos no cálculo do valor do montante. 
Você verá a resolução detalhada de exercícios envolvendo o cálculo do 
montante. Para isso, veremos aqui alguns exercícios trazidos do trabalho 
de Puccini (2011). Eles serão colocados de forma simplificada, para 
que você perceba, ao longo da unidade, as várias formas de aplicação 
envolvendo o montante.
Como vimos na unidade 8, o montante é a soma do capital com os juros 
produzidos em determinado período.
Veja:
M = C + J
J = C × i × n
Logo:
M = C + C × i × n
Colocando o capital (C) em evidência, temos a seguinte fórmula:
M = C × (1 + in)
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Essa é a fórmula do montante, e será usada a partir de agora em nossos 
exercícios. Note que a demonstração anterior foi apenas a dedução da 
fórmula do montante. Nos exercícios você usará a fórmula final, 
M = C × (1 + in).
Em que:
M ⇒ valor do montante expresso em unidades monetárias (R$);
C ⇒ capital, valor inicial expresso em unidades monetárias (R$);
i ⇒ taxa de juros, expressa em sua forma unitária;
n ⇒ prazo ou período.
Veja alguns exemplos.
Exercício 1
Qual o valor do montante gerado por um capital de R$ 1500,00, 
aplicado durante 60 meses, a uma taxa de 6,5% a.a.?
Solução: Lembre-se de que temos de adequar o período à taxa. Usando a 
fórmula do montante, temos:
( )1
6,5 601500 1
100 12
M C in
M
= × +
  = × + ×    
 
Dentro dos parênteses, temos a taxa dividida por 100 (forma unitária) e 
o período dividido por 12 (conversão para anos).
M = 1500 × (1 + 0,065 × 5)
M = 1500 × (1 + 0,325)
M = 1500 × 1,325
M = R$ 1987,50
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O valor do montante gerado foi de R$ 1987,50.
Exercício 2
Qual o valor do capital que, colocado à taxa de 5,5% a.a., produz R$ 
3660,00 de montante em 4 anos?
Solução: Nesse exercício, temos a taxa e o período na mesma unidade, 
assim, aplicaremos a fórmula do montante, não esquecendo de converter 
a taxa para a forma unitária. Vimos na unidade 8 que para isso devemos 
dividir a taxa na forma percentual por 100.
 ( )
( )
( )
1
5,53660 1 4
100
3660 1 0,22
3660 1,22
M C in
C
C
C
= × +
 = × + × 
 
= × +
= ×
Agora, isolando o capital (C), segue:
3660
1,22
$3000,00
C
C
=
=
 
O valor do capital inicial é R$ 3000,00.
Exercício 3
Após fazer acordo na empresa onde trabalhava, Dona Maria recebeu 
R$ 20.000,00. Como Dona Maria é uma senhora bastante cautelosa, 
não tinha dívidas a quitar, logo, decidiu investir, pensando em sua 
aposentadoria. Procurando seu gerente no banco, ela foi instruída a 
investir seu dinheiro em uma aplicação que tivesse liquidez e ao mesmo 
tempo não oferecesse risco. Fez uma aplicação à taxa de juros simples de 
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3,65% ao semestre, durante 10 anos. Qual será o valor a ser resgatado na 
data do vencimento da aplicação?
Solução: Antes de começar a resolver o exercício, note que esta é uma 
situação hipotética, já que no Brasil nenhuma instituição financeira 
ofereceria uma aplicação a juros simples. Essa taxa semestral assemelha-
se à taxa da poupança se fosse capitalizada a juros compostos. Contudo, 
para fins didáticos, vamos considerá-la.
Como nos exercícios anteriores, primeiro vamos adequar o período à 
taxa, no caso a taxa é semestral, e o período é de 10 anos, ou seja, 20 
semestres. Aplicando a fórmula do montante, temos:
 ( )
( )
( )
1
3,6520.000 1 20
100
20.000 1 0,73
20.000 1,73
$34.600,00
M C in
M
M
M
M
= × +
 = × + × 
 
= × +
= ×
=
Exercício 4
Calcule o número de meses necessários para um capital dobrar de 
valor, com uma taxa de juros de 2% ao mês, no regime de juros simples 
(PUCCINI, 2011).
Solução: Consideremos que o capital inicial seja C, depois de um 
período n, quando ele dobrar de valor o montante será 2C. (Note que 
você poderia escolher um valor qualquer para o capital, por exemplo R$ 
100,00, o montante seria R$ 200,00, contudo, resolveremos de forma 
literal.) Aplicando a fórmula do montante, temos:
(1 )
como 2 , segue
22 1
100
M C in
M C
C C n
= × +
=
 = × + × 
 
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Eliminando o capital (C) dos dois lados da equação, temos:
2 = (1 + 0,02n)
2 -1 = 0,02n
1 = 0,02n 
Isolando o período (n), segue:
1
0,02
50 meses
n
n
=
=
 
O período necessário é de 50 meses.
Chegamos ao fim de mais uma unidade, onde resolvemos alguns 
exercícios utilizando a fórmula do montante, no regime de capitalização 
simples. Você pôde perceber o quanto é importante adequar o período 
à taxa e teve a oportunidade de ver passo a passo essas conversões. 
Na próxima unidade, você encontrará mais exercícios resolvidos, 
contemplando cálculos com juros simples e montante. Preparado?
Estudo complementar
Caro estudante, assista o vídeo clicando aqui e 
acompanhe alguns exemplos sobre capitalização 
no regime de juros simples, para o cálculos dos 
juros e taxa de juros. 
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12 Exercícios resolvidos
Objetivo
Exemplificar os conceitos vistos até o presente momento.
Após resolvermos alguns exercícios utilizando a fórmula do montante, 
nesta unidade vamos rever os conceitos de juros simples e montante 
através de alguns exercícios resolvidos de Puccini (2011), Assaf Neto 
(2009) e Crespo (2009). Os exercícios serão distribuídos em nível 
crescente de dificuldade para seu melhor entendimento. Esteja atento!
Exercício 1
Calcule o valor do principal que deve ser aplicado com uma taxa de juros 
de 1,5% ao mês, para produzir um montante de R$ 10.000,00 no prazo 
de dois semestres, no regime de juros simples (PUCCINI, 2011).
Solução: Na unidade 8, vimos que o termo “valor do principal” refere-
se ao capital (C). No caso descrito, a taxa está ao mês, e o período em 
semestres. Dois semestres equivalem a 12 meses, já que 1 (um) semestre 
tem 6 meses.
Aplicando a fórmula do montante, temos:
 (1 )
1,510.000 1 12
100
M C in
C
= × +
 = × + × 
 
Até aqui, convertemos a taxa para o valor unitário (1,5 dividido por 
100), e o período de semestre para mês.
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10.000 = C × (1 + 0,18)
10.000 = C × (1,18)
Agora, isolando o capital (C), segue:
10.000
1,18
$8.474,58
C
C
=
=
 
Assim, temos que o valor do principal (capital) a ser aplicado é de R$ 
8.474,58.Exercício 2
Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira R$ 18.000,00, 
resgatando R$ 21.456,00 quatro meses depois. Calcule a taxa mensal de 
juros simples auferida nesta aplicação (ASSAF, 2009).
Solução: Aplicando a fórmula do montante temos:
M = C × (1 + in)
21.456,00 = 18.000,00 × (1 + i × 4)
Note que o período está expresso em meses, assim a taxa também será 
encontrada em meses. Segue:
21.456,00 1 4
18.000,00
1,192 1 4
0,192 4
i
i
i
= +
- =
=
 Isolando a taxa (i), temos:
4 0,192
0,192
4
0,048
i
i
i
=
=
=
 
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Multiplicando por 100, para converter a taxa à forma percentual:
i = 0,048 × 100
i = 4,8% ao mês. 
Exercício 3
Uma aplicação de R$ 400.000,00 em letras de câmbio, pelo prazo de 
180 dias, obteve o rendimento de R$ 60.000,00. Qual a taxa anual 
correspondente a essa aplicação? (CRESPO, 2009).
Solução: Nesse exercício, poderíamos optar por usar a fórmula do 
montante ou a dos juros. Iremos resolver das duas formas, já que o objetivo 
é seu aprendizado. Contudo, em outra situação, opte por uma das formas 
para resolver.
1ª opção:
Usando a fórmula do montante, primeiro somaremos o capital inicial aos 
juros.
M = C + J
M = 400.000,00 + 60.000,00
M = R$ 460.000,00
 
Tendo o valor do montante, segue:
(1 )
180460.000,00 400.000,00 1
360
M C in
i
= × +
 = × + × 
 
Note que o período foi convertido para ano (1 ano comercial tem 360 
dias), logo, dividindo 180 por 360, teremos 0,5 ano.
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460.000,00 (1 0,5 )
400.000,00
1,15 1 0,5
1,15 1 0,5
0,15 0,5
0,15
0,5
0,30
i
i
i
i
i
i
= +
= +
- =
=
=
=
 
Multiplicando a taxa por 100, teremos o valor de 30% ao ano.
2ª opção:
Usando a fórmula dos juros. O exercício afirma que os juros foram de R$ 
60.000,00, logo:
18060.000,00 400.000,00
360
60.000,00 0,5
400.000,00
0,15 0,5
0,15
0,5
0,30
J C i n
i
i
i
i
i
= × ×
= × ×
=
=
=
=
 
Multiplicando a taxa por 100, teremos o valor de 30% ao ano.
Aparentemente, este último exercício foi resolvido de duas formas 
diferentes. Contudo, os conceitos de juros e montante são interligados. 
Você deve entender que sempre que falamos de montante, estamos nos 
referindo ao valor do principal mais os juros. Logo, as duas formas de 
resolver o exercício partem do mesmo princípio. 
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Nesta unidade você teve a oportunidade de ver a resolução de alguns 
exercícios envolvendo o conceito de montante na capitalização simples. 
Você deve ter percebido que os conceitos são acumulativos, à medida 
que nossos estudos avançam, mais elaborados e próximos da realidade se 
tornam os exemplos. 
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Resumo
Na unidade 8, introduzimos os conceitos de juros, capital, taxa, prazo ou 
tempo, montante e diagrama de fluxo de caixa, que são de vital importância 
para o estudo da matemática financeira. Utilizamos para isso as principais 
ideias de Puccini (2011) e Assaf Neto (2009) sobre esses assuntos. 
Na unidade 9, vimos dois sistemas de capitalização estudados na 
matemática financeira: o sistema de capitalização simples e o sistema 
de capitalização composto. O sistema de capitalização simples é mais 
intuitivo e provavelmente de mais fácil assimilação, enquanto que o 
composto é o sistema utilizado no Brasil na maioria das operações 
financeiras. Constatamos que no regime de capitalização simples, a taxa 
de juros incide somente sobre o valor presente (capital inicial) de forma 
linear. Ou seja, a taxa de juros não incide sobre os juros acumulados 
mais o capital, isso ocorre no regime de capitalização composto, como 
enfatizado por Silva (2010). 
Nas unidades 10, 11 e 12, demos um tratamento matemático aos conceitos 
de juro e montante. Percebemos a importância de adequar o período à taxa 
e acompanhamos passo a passo essa conversão. Deduzimos a fórmula do 
montante e resolvemos exercícios relacionados a esses assuntos.
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13 Taxas proporcionais
Objetivo
Transformar taxas e juros na capitalização simples.
Caro acadêmico, nas unidades anteriores vimos que na aplicação das 
fórmulas da matemática financeira, devemos sempre adequar o período 
à taxa de juros. Nesta unidade iremos tratar da taxa proporcional. Para 
isso vamos nos reportar à unidade 2, na qual falamos do conceito de 
proporcionalidade, e iremos nos apoiar nas principais ideias dos trabalhos 
de Assaf Neto (2009) e Puccini (2011). A aplicação da taxa proporcional 
é bastante comum em operações utilizando o regime de juro simples. 
Vimos, na unidade 9, que o regime de juros simples no Brasil é utilizado 
principalmente em operações de curto prazo, como cálculo de juros de 
mora e desconto bancário.
É importante saber que uma operação financeira possui dois prazos, um 
refere-se ao prazo da taxa de juros, o outro ao prazo de capitalização dos 
juros. Veja o exemplo proposto por Assaf Neto (2009): 
Exemplo: Sabe-se que a Caderneta de Poupança paga aos seus 
depositantes uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual é agregada 
(capitalizada) ao valor total, todo mês, através de um percentual 
proporcional de 0,5% ao mês. Temos aqui, então, dois prazos: prazo da 
taxa (ano) e prazo de capitalização (mês).
Em seguida, veremos alguns exemplos de taxa e a forma correta de fazer 
sua leitura: (Atenção: os valores das taxas não têm relação uns com os 
outros, são valores colocados de forma aleatória, para ilustrar o exemplo).
www.esab.edu.br 78
12% a.a. ⇒ doze por cento ao ano; 
13% a.s. ⇒ treze por cento ao semestre; 
4% a.q. ⇒ quatro por cento ao quadrimestre; 
15% a.t. ⇒ quinze por cento ao trimestre; 
6% a.b. ⇒ seis por cento ao bimentre; 
7% a.m. ⇒ sete por cento ao mês; 
8% a.d. ⇒ oito por cento ao dia.
Vale destacar que essas são as formas mais comuns em que a taxa 
pode ser expressa. Agora, para entendermos melhor a aplicação da 
taxa proporcional, considere um empréstimo feito em uma instituição 
financeira. A taxa auferida foi de 12% ao ano, contudo, os juros vão 
incidir semestralmente sobre o principal. Note que o prazo da taxa (ao 
ano) e a frequência de capitalização não coincidem, ou seja, a taxa é 
dada em anos, mas a incidência dos juros é semestral. Devemos então 
adequar a taxa à frequência de capitalização. Para isso, podemos pensar 
da seguinte forma:
Se 12% representa a taxa ao ano, em 6 meses (semestralmente) temos que:
12% 12 meses
6 mesesx
-
-
Logo:
= ×
=
=
12 6 12
72
12
6%
x
x
x
Essa é a taxa proporcional, ou seja, 12% ao ano, proporcional a 6% ao 
semestre.
Para Puccini (2011), taxas proporcionais são taxas de juros referenciadas 
a unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas ao mesmo 
principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante 
acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples. 
www.esab.edu.br 79
Logo, para calcular uma taxa proporcional usamos:
1 1
2 2
i n
i n
=
Em que:
i1 e i2 ⇒ são taxas proporcionais, expressas em porcentagem;
n1 e n2 ⇒ são períodos relacionados à taxa, devem ser expressos na 
mesma unidade de tempo.
Para entender melhor, observe os exemplos a seguir.
Exemplo 1
Considere uma situação na qual é apresentada uma taxa de 72% a.a. 
Calcule a taxa de juros semestral proporcional a essa taxa.
Solução: Sabemos que para calcularmos a taxa proporcional devemos usar 
a relação:
1 1
2 2
i n
i n
=
Para resolvermos essa questão, devemos lembrar que 1 ano tem 12 meses 
e 1 semestre tem 6 meses.
www.esab.edu.br 80
Dessa forma, 
=
=
=
=
=
=
1
1
2
2
1 1
2 2
2
72%
12 meses
6 meses
?
72 12
6
i
n
n
i
i n
i n
i
Isolando o i2, que representa a taxa proporcional do semestre is : 
 × =×
×
=
=
72 6 12
72 6
12
36% . .
s
s
s
i
i
i a s
Dessa forma, temos que a taxa de 72% ao ano proporcional ao semestre é 
de 36%.
Exemplo 2
Qual taxa semestral é proporcional a uma taxa de 12% ao quadrimestre?
Solução: Como já vimos, para calcular a taxa de juros proporcional, 
devemos utilizar a relação:
 
1 1
2 2
i n
i n
=
Nesse caso, devemos levar em consideração que 1 quadrimestre tem 4 
meses e 1 semestre tem 6 meses.
www.esab.edu.br 81
Substituindo esses dados e a taxa de 12% ao quadrimestre na relação, 
temos que:
=
× = ×
×
=
=
12 4
6
isolando ,
12 6 4
12 6
4
18% a.s.
s
s
s
s
s
i
i
i
i
i
Então a taxa de juros semestral proporcional a 12% ao quadrimestre é 
de 18%.
Exemplo 3
Se uma taxa é apresentada como 9% ao trimestre, calcule a taxa de juros 
semestral proporcional a ela.
Solução: Novamente utilizaremos a relação de taxa e período 1 1
2 2
i n
i n
= 
para calcular a taxa de juros proporcional.
Agora precisamos lembrar que 1 trimestre tem 3 meses e 1 semestre, 6 meses.
Substituindo na relação anterior, temos que:
=
× = ×
×
=
=
9 3
6
isolando ,
9 6 3
9 6
3
18% a.s.
s
s
s
s
i
i
i
i
i
www.esab.edu.br 82
Portanto, 18% a.s. representa a taxa de juros semestral proporcional a 
9% ao trimestre.
Exemplo 4
Calcule qual a taxa de juros semestral proporcional a 2% ao mês.
Solução: Agora procuramos a taxa de 6 meses proporcional a 2% ao 
mês. Logo:
i1 = 2% 
n1 = 1 mês 
n2 = 6 meses 
i2 = ? 
Então: 
=
=
× = ×
×
=
=
1 1
2 2
2 1
6
isolando ,
2 6 1
2 6
1
12% a.s.
s
s
s
s
s
i n
i n
i
i
i
i
i
Nesta unidade vimos a aplicação da taxa proporcional. Essa taxa é 
utilizada, segundo Puccini (2011), quando no regime de capitalização 
simples um mesmo capital é aplicado com unidades de tempo diferentes, 
em um mesmo prazo, gerando um mesmo montante. Essa será uma 
ferramenta bastante utilizada na resolução de exercícios envolvendo a 
capitalização no sistema de juros simples. Na próxima unidade, falaremos 
de juro exato e comercial, e lá teremos mais uma oportunidade de utilizar 
a taxa proporcional, vista nesta unidade.
www.esab.edu.br 83
14 Juro exato e juro comercial
Objetivo
Identificar e calcular os tipos de juros simples, exato e comercial.
Nesta unidade, usando algumas ideias de Puccini (2011) e Assaf 
Neto (2009), vamos tratar de juro exato e comercial. Note que o 
conhecimento adquirido neste caderno é acumulativo, ou seja, uma 
unidade é diretamente ligada a outra, logo, a ideia de taxa proporcional, 
vista na unidade 13, também será aplicada neste momento. 
No estudo da Matemática Financeira, várias são as aplicações e exercícios 
propostos em que o período relacionado é dado de forma que não existe 
a necessidade de contar o intervalo entre duas datas. Mas sabemos que 
em uma aplicação real, isso não ocorre. Em uma aplicação de 6 meses, 
por exemplo, não consideramos os meses com 31 dias, trabalhamos com 
o ano comercial. Para facilitar nossos estudos, iremos diferenciar o ano 
comercial do ano civil. 
Assaf Neto (2009) diz que é comum, em operações de curto prazo, ter o 
prazo definido em número de dias. Nesses casos, o número de dias pode 
ser calculado de duas maneiras:
a. pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente do ano civil (365 dias) 
– o juro apurado dessa maneira denomina-se juro exato; 
b. pelo ano comercial, que admite o mês com 30 dias e o ano com 
360 dias. Tem-se, por esse critério, a apuração do denominado juro 
comercial, ou ordinário.
Devemos tomar alguns cuidados antes de calcular os juros produzidos 
em certo período, usando o juro exato:
www.esab.edu.br 84
1. Devemos converter o período para dias; quando o período está em 
meses ou anos, por exemplo, fica difícil de visualizar a quantidade 
exata de dias.
2. A taxa de juros também deve ser convertida para dias. Para fazer isso 
deve-se dividir a taxa por 365 dias (ano civil). Note que para isso 
a taxa deve ser expressa em anos, ou seja, uma taxa de 24% ao ano 
convertida para uma taxa no juro exato fica como segue:
24% a.a.
0,065753% ao dia
365
=
 
Assim, o juro exato é calculado quando convertemos uma taxa anual 
para dias usando o ano civil e utilizamos o período na mesma unidade de 
tempo, em dias exatos.
Agora vamos acompanhar um exemplo proposto por Assaf Neto (2009):
Uma taxa de 12% ao ano equivale, pelos critérios enunciados, à taxa 
diária de:
Juro exato
12% 0,032876% ao dia
365dias
=
Juro comercial
12% 0,033333% ao dia
360 dias
=
Que tal alguns exemplos? Vejamos:
www.esab.edu.br 85
Exemplo 1
Imagine uma situação na qual um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado 
à taxa de juros de 24% a.a., pelo prazo de 150 dias. Com base nessa 
informação, calcule qual será o juro dessa aplicação, considerando:
a. juro comercial;
b. juro exato.
Solução: Na letra a, temos uma aplicação simples da fórmula do juro 
(conforme visto na unidade 10), contudo, temos de ficar atentos às 
unidades de tempo da taxa e do período. No caso, vamos dividir a taxa 
por 360 (ano comercial), que é justamente o que difere da letra b, em 
que vamos calcular o juro exato.
Logo:
a. Vimos na unidade 10 as fórmulas de juros simples. Para calcular o juro 
comercial vamos considerar o ano comercial, que contém 360 dias:
= × ×
= × ×
=
0,242.500 150
360
$ 250,00
J C i n
J
J R
 
Você pode estar se perguntando: mas por que a taxa já está na forma 
unitária, se nas unidades anteriores os cálculos sempre acompanhavam a 
conversão, 
24 0,24
100
= (forma unitária)? Pois bem, optamos por deixá-
la assim para não poluir a resolução. Portanto, fique atento, pois nesta 
unidade usaremos a taxa já na forma unitária. 
www.esab.edu.br 86
b. Para encontrarmos o juro exato, vamos calcular com base no ano 
civil. Dessa forma, temos que:
= × ×
= × ×
=
0,242.500 150
365
$246,57
J C i n
J
J R
No juro exato, a taxa anual deve ser dividida por 365 (ano civil). Logo, 
os cálculos são realizados usando-se a taxa e o período em dias.
Exemplo 2
Um capital de R$ 6.000,00 rendeu juros de R$ 500,00. Considerando 
que a taxa incidente sobre o capital é de 24% a.a., e que a aplicação 
teve início em 5 de abril de 20XX, qual a data final do investimento, 
considerando-se o juro exato?
Solução: Para encontrar a data final do investimento, devemos 
primeiramente (usando a fórmula dos juros) encontrar o período da 
aplicação. Como vamos considerar o juro exato para os cálculos, a taxa 
deve estar em dias, ou seja, dividimos a taxa por 365. 
Segue:
$500,00
$ 6.000,00
0,24
365
?
J R
C R
i
n
=
=
=
=
www.esab.edu.br 87
Logo: 
= × ×
= × ×
= ×
=
≅
0,24500 6.000
365
500 3,94520
500
3,94520
127 dias
J C i n
n
n
n
n
 
Note que a taxa anual foi dividida por 365, condição que diferencia 
o juro comercial do exato. Agora que sabemos a quantidade de dias 
da aplicação, temos que contar o dia final em questão. Usando um 
calendário, poderíamos contar os dias até chegar à data correta. Porém, 
contar 127 dias não é uma tarefa agradável, não é mesmo? Então 
podemos usar uma Tabela de Contagem de Dias do Ano Civil. Trata-se 
de uma tabela encontrada em Crespo (2009) e em outros livros da área. 
Tabela 5 –Tabela de Contagem de Dias do Ano Civil.
Cálculo para contagem de dias
(Investimentos e Juros)
Exemplo: Quantos dias decorrem de 14 de fevereiro a 5 de maio do mesmo ano? Em frente ao 
nº 14 do mês de fevereiro, encontra-se o nº 45; em frente ao nº 5 do mês de maio encontra-se 
o nº 125. A diferença entre os dois números (125 – 45) é igual a 80, quesão os dias decorridos 
entre as duas datas.
D
ia
s 
do
 m
ês
Ja
ne
ir
o
Fe
ve
re
ir
o
M
ar
ço
A
br
il
M
ai
o
Ju
nh
o
Ju
lh
o
A
go
st
o
Se
te
m
br
o
O
ut
ub
ro
N
ov
em
br
o
D
ez
em
br
o
D
ia
s 
do
 m
ês
1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 1
2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 2
3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 3
4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 4
5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 5
6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 6
7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 7
www.esab.edu.br 88
8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 8
9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9
10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10
11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 11
12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 12
13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 13
14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 14
15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 15
16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 16
17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 17
18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 18
19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 19
20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 20
21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 21
22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 22
23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 23
24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 24
25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 25
26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 26
27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 27
28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 28
29 29 - 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 29
30 30 - 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 30
31 31 - 90 - 151 - 212 243 - 304 - 365 31
Fonte: <www.joinville.udesc.br>.
Veja como funciona:
Na Tabela, o dia 5 de março corresponde ao fator 64 (ou seja, 64º dia do 
ano), logo:
 fator + nº de dias = fator
64 + 127 = 191
 
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O fator 64 somado à quantidade de dias encontrada, que corresponde a 
127, gera outro fator que, na tabela, corresponde a uma data. No caso, a 
data final da aplicação. Essa data é o dia 10 de julho de 20XX.
Nesta unidade, mostramos a diferença entre o juro comercial e o juro 
exato. Vimos que para calcular o juro exato devemos sempre dividir a 
taxa anual por 365 dias, além de usar a quantidade de dias exatos no 
período. Já no cálculo do juro comercial, devemos dividir a taxa anual 
por 360 dias. Na próxima unidade iremos trabalhar a Equivalência 
financeira, que fará uso de conceitos como montante, capital, taxa de 
juros e outros, vistos nas unidades anteriores.
Para sua reflexão
Caro estudante, você já refletiu sobre as vantagens 
e desvantagens do juro comercial e do juro exato? 
Em que situação você, como administrador, teria 
preferência por cada um deles? 
A resposta a essa reflexão forma parte de sua 
aprendizagem e é individual, não precisando ser 
comunicada ou enviada aos tutores.
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15 Equivalência financeira
Objetivo
Compreender o conceito de equivalência de capitais.
Caro acadêmico, na unidade anterior você aprendeu sobre o juro exato, 
que tem uma vasta aplicação em problemas de cobrança de juros de 
mora. Nesta unidade iremos, com base em Assaf Neto (2009), tratar do 
conceito de equivalência financeira. Vamos lá!
Na matemática financeira, são diversas as operações em que existe a 
necessidade de prorrogar ou antecipar os referidos prazos. Podemos 
querer substituir um título por outro, ou ainda determinar a melhor 
forma de pagamento: à vista ou a prazo. Assaf Neto (2009) afirma que 
o problema da equivalência financeira constitui-se no raciocínio básico 
da matemática financeira. Para tanto, só é possível comparar ou somar 
quantias em dinheiro se elas estiverem na mesma data. 
Conceitualmente, dois ou mais capitais apresentados em datas diferentes 
dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem 
resultados iguais em uma mesma data (ASSAF NETO, 2009, p. 10).
Para podermos comparar dois valores em datas diferentes temos que ter 
uma data como base. Essa data é comumente chamada de data focal, 
data de referência ou data de avaliação. É a data usada como referencial 
dos valores apreciados em datas diferentes. 
Assaf Neto (2009) destaca que, como resultado das distorções produzidas 
pelo fracionamento do prazo, a equivalência de capitais em juros simples 
é dependente da data de comparação escolhida (data focal).
Vamos a um exemplo? 
www.esab.edu.br 91
Imagine que você tem a possibilidade de receber o valor de R$ 500.00,00 
daqui a 10 meses. Contudo, você recebe a proposta de trocar esse valor 
para 10 meses, por R$ 227.272,72 na data de hoje. Como decidir se a 
troca é vantajosa? Esses valores são equivalentes? Para a decisão, admita 
uma taxa de juros de 12% a.m.
Solução: Esse é um exemplo simplista, contudo, expõe claramente a 
ideia de equivalência financeira. Aqui, para fins didáticos, usaremos a 
representação do fluxo de caixa, vista na unidade 8. 
meses
em 10 meses
R$ 227.272,72
R$ 500.000,00
0 10
 
( )
Data 0
500.000,00
1 0,12 10
C =
+ ×
Figura 2 – Representação do fluxo de caixa (equivalência financeira).
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
No caso descrito, aplicando a fórmula do montante, vista na unidade 
11, temos:
1. Considerando o capital:
M = C × (1 + i × n)
M = 227.272,72 × (1 + 0,12 × 10)
M = R$ 500.000,00 
www.esab.edu.br 92
2. Considerando o montante:
= × + ×
= × + ×
=
+ ×
=
(1 )
500.000,00 (1 0,12 10)
500.000,00
(1 0,12 10)
R$ 227.272,72
M C i n
C
C
C
 
O que nos faz concluir que R$ 500.000,00 daqui a 10 meses, a uma taxa de 
juros de 12% a.m., equivalem a R$ 227.272,72 recebidos na data de hoje.
Agora vamos formalizar a ideia do exemplo anterior usando uma equação 
que permite igualar diferentes capitais, em datas diferentes, com uma 
mesma data focal, considerando previamente uma taxa de juros.
( ) ( ) ( ) ( )
31 2
1 2 3
...
1 1 1 1
n
n
C CC C
V
i n i n i n i n
= + + + +
+ × + × + × + ×
 
Em que:
V ⇒ Valor atual em uma data preestabelecida (data focal), considerando 
uma taxa de juros i.
C1, C2 ... Cn ⇒ Valor a ser apreciado, em um período n qualquer, 
considerando uma taxa de juros i.
n1, n2 ... nn ⇒ Prazo ou período em que certo valor é apreciado, dado na 
mesma unidade de tempo da taxa de juros. 
Note que o índice n que aparece subscrito em Cn, nn nos dá a ideia de 
infinitos valores.
Que tal mais um exemplo? Vejamos:
www.esab.edu.br 93
Dona Maria vai receber dentro de 1 ano o valor de R$ 25.000,00, 
referente a uma herança deixada por sua tia. Contudo, ela precisa quitar 
uma dívida que vencerá no prazo de 6 meses. Percebendo o impasse, ou 
seja, ela terá o dinheiro em 12 meses, mas necessitará dele em 6 meses, 
ela faz uma proposta a sua amiga. Troca o dinheiro que receberá daqui a 
12 meses, pelo valor de R$ 14.000,00 para ela (Dona Maria) receber em 
6 meses. Esse é um bom negócio para a amiga, considerando uma taxa de 
juros simples de 12% a.m.?
Solução: Vamos escolher como data focal o período de 6 meses, ou seja, 
vamos comparar os dois valores no período de seis meses. Sabemos que a 
amiga vai disponibilizar a Dona Maria R$ 14.000,00 em 6 meses, agora 
temos que avaliar quanto R$ 25.000,00 vale no mesmo período. Veja o 
fluxo de caixa:
meses
R$ 25.000,00
?
0 6 12
Figura 3 – Representação do fluxo de caixa (equivalência financeira).
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
Aplicando a equação, temos:
=
+ ×
=
+ ×
=
(1 )
25.000,00
(1 0,126)
$14.534,88
CV
i n
V
V R
 
www.esab.edu.br 94
Note que usamos como data focal o período de 6 meses, logo, de 12 para 
6 a diferença foi de 6 meses, período usado para efetuar o cálculo. Assim, 
o valor presente, referente ao total de R$ 25.000,00 a uma taxa de 12% 
a.m., na data focal 6, equivale a R$ 14.534,88, R$ 534,88 a mais que o 
valor proposto por Dona Maria. Assim, sem considerar outras aplicações 
financeiras, o negócio é vantajoso para a amiga de Dona Maria.
Nesta unidade falamos da equivalência financeira, que, segundo Assaf 
(2009), constitui-se no raciocínio básico da matemática financeira. 
Vimos que só é possível comparar ou somar quantias em dinheiro se 
elas estiverem na mesma data. Na próxima unidade resolveremos alguns 
exercícios aplicando os conceitos de taxa proporcional e equivalência 
financeira. Bom trabalho.
www.esab.edu.br 95
16 Exercícios resolvidos
Objetivo
Exemplificar os conceitos vistos até o presente momento.
Nesta unidade iremos exemplificar algumas definições vistas até o 
momento. Através de exemplos propostos por Crespo (2009) e Assaf 
(2009), trabalharemos os conceitos de taxa proporcional, juro exato, juro 
comercial e equivalência financeira.
Bom trabalho!
Exercício 1
Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% 
ao ano. Determine o juro obtido (CRESPO, 2009).
Solução: Nesse exercício precisamos aplicar o conceito de taxa 
proporcional, ou seja, iremos converter a taxa para mês, já que o período 
é de 10 meses. A ideia de taxa proporcional aparecerá como uma 
ferramenta na resolução de exercícios, no regime de capitalização simples.
Temos:
C = R$ 2.400,00 
n = 10 meses 
i = 25% a.a. 
J = ? 
www.esab.edu.br 96
Primeiro vamos converter a taxa: 
Vimos na unidade 13 que para isso utilizamos a relação:
1 1
2 2
i n
i n
=
Sendo que:
i1 = 25% 
n1 = 12 meses 
n2 = 1 mês 
i2 = ?
=
= ×
=
=
=
=
2
2
2
2
25 12
1
25 12
25
12
2,084% a.m.
Passando para forma unitária
2,084
100
0,0208 a.m.
i
i
i
i
i
i
Aplicando na fórmula dos juros, vista na unidade 10, temos:
J = C × i × n
J = 2.400 × 0,0208 × 10
J = R$ 500,00
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Exercício 2
Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 
do mesmo ano. Sabendo-se que a taxa foi de 45% a.a., qual o juro total 
pago? Considerar o juro exato para os cálculos (CRESPO, 2009, adaptado).
Solução: Como vamos considerar o juro exato para os cálculos, a taxa 
deve estar em dias, ou seja, dividimos a taxa por 365, e o período deve 
estar dias exatos. Para encontrar a quantidade de dias exatos, vamos usar 
novamente a Tabela de Contagem de Dias do Ano Civil, que se encontra 
na unidade 14.
A data de 25/11 corresponde ao fator 329 (329 dias), e a data 20/07 ao 
fator 201. Subtraindo os dois, temos:
329 - 201 = 128 dias 
Agora que temos a quantidade exata de dias, segue:
C = R$ 8.500,00 
n = 128 dias 
i = 45% a.a. 
Aplicando a fórmula de juros vista na unidade 10, e dividindo a taxa na 
forma unitária por 365 (ano civil), temos:
= × ×
= × ×
=
0,458.500 128
365
$ 1.341,37
J C i n
J
J R
 
Temos, então, que o juro total pago foi de R$ 1.341,37 para um 
empréstimo de R$ 8.500, no período de 128 dias a uma taxa de 45% a.a.
www.esab.edu.br 98
Exercício 3
Suponhamos que você queira substituir um título de R$ 5.000,00, 
vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses. Sabendo 
que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3,5% a.m., qual o valor 
do novo título (CRESPO, 2009)?
Solução: Temos aqui um exercício de equivalência financeira. Logo, 
iremos aplicar a equação vista na unidade 15, para poder igualar as duas 
situações propostas no exercício. Para que exista a equivalência financeira, 
temos que comparar os valores em uma mesma data focal, 0.
Igualando os dois valores:
( ) ( )
=
=
+ × + ×
1 2
1 2
1 21 1
V V
C C
i n i n
Sendo:
C1 = R$ 5.000 
n1 = 3 meses 
n2 = 5 meses 
i = 0,035 
C2 = ?
www.esab.edu.br 99
Aplicando esses dados na equação de equivalência:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
+ × + ×
=
+ +
=
× = ×
= ×
=
=
2
2
2
2
2
2
2
5.000
1 0,035 3 1 0,035 5
5.000
1 0,105 1 0,175
5.000
1,105 1,175
5.000 1,175 1,105
5.875 1,105
5.875
1,105
$ 5.316,74
C
C
C
C
C
C
C R
Exercício 4
Um título com valor nominal de R$ 7.200,00 vence em 120 dias. Para 
uma taxa de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se para calcular o valor 
desse título (ASSAF, 2009): 
a. hoje;
b. dois meses antes de seu vencimento;
c. um mês após seu vencimento. 
Solução: Esse é um exercício de equivalência financeira, iremos aplicar a 
equação vista na unidade 15, calculando os respectivos valores nas datas 
focais desejadas.
www.esab.edu.br 100
meses
?
? ?
Hoje
Data focal: 0
2
Data focal: 2
4
Data focal: 4
5
Data focal: 5
R$ 7.200,00
Figura 4 – Representação do fluxo de caixa (equivalência financeira).
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
a. Data focal 0 (hoje)
( )
=
+ ×
=
=
=
=
 + × 
 
=
+
=
=
1
Sendo:
$ 7.200,00
0,312
12
4 meses
7.200,00
0,3121 4
12
7.200,00
(1 0,104)
7.200,00
(1,104)
$ 6.521,74
CV
i n
C R
i
n
V
V
V
V R
Portanto, o valor do título hoje é R$ 6.521,74.
www.esab.edu.br 101
b. Data focal 2
=
+ ×
=
 + × 
 
=
+
=
=
(1 )
7.200,00
0,3121 2
12
7.200,00
(1 0,052)
7.200,00
(1,052)
R$ 6.844,11
CV
i n
V
V
V
V
Portanto, dois meses antes de vencer, o título tem o valor de R$ 6.844,11.
c. Data focal 5
Note que a data focal 5 está 1 mês além de vencimento, logo:
= × + ×
 = × + × 
 
= × +
= ×
=
(1 )
0.3127.200,00 1 1
12
7.200,00 (1 0,026)
7.200,00 (1,026)
R$ 7.387,20
V C i n
V
V
V
V
 
Note que a equação usada agora ficou um pouco diferente, na data 
focal 0 e 2, descapitalizamos o valor do título, já na data focal 5, que é 
posterior à data focal 4, capitalizamos o valor do título. Isso explica a 
equação parecer a equação do montante, já que sugere a mesma ideia 
www.esab.edu.br 102
de crescimento do capital. Dessa forma, calculamos que 1 mês após seu 
vencimento o título tem o valor de R$7.387,20.
Nesta unidade vimos alguns exercícios resolvidos de taxa proporcional, 
juro exato e equivalência financeira.
Na próxima unidade iremos tratar matematicamente, ou seja, conhecer a 
modelagem matemática do regime de capitalização composta. Vamos lá?
www.esab.edu.br 103
17 Capitalização no regime de juros compostos
Objetivo
Conhecer a modelagem matemática do regime de capitalização 
composta e calcular montante, juro, capital, taxa e prazo.
Nas unidades 9 e 10, tratamos matematicamente os conceitos de juro e 
montante, no sistema de capitalização simples. Nas unidades seguintes, 
aplicamos esses conceitos usando, principalmente, as ideias de Puccini 
(2011), Assaf Neto (2009) e Crespo (2009). Agora, iremos tratar 
matematicamente o regime de capitalização composta, ou seja, conhecer 
a modelagem matemática desse tipo de regime. Para isso, vamos utilizar 
as principais ideias de Silva (2008) e Assaf Neto (2009).
Antes de iniciarmos o estudo dessa unidade, é importante que você 
entenda o que é regime de capitalização composta, ou simplesmente 
juros compostos. Vamos lá?
Para Silva (2008), no regime de juros compostos a taxa de juros incide 
sobre o montante acumulado ao final do período anterior, ou seja, 
ocorrerá a incidência de juros sobre juros. Assaf (2009), por sua vez, 
afirma que o regime de capitalização composta incorpora ao capital não 
somente os juros referentesa cada período, mas também os juros sobre os 
juros acumulados até o momento anterior, o que é um comportamento 
exponencial, equivalente a uma PG – progressão geométrica. 
Agora iremos tratar matematicamente a ideia de capitalização composta. 
O que apresentaremos é a dedução da fórmula do montante. Iremos 
simular uma aplicação no regime de capitalização composto, a cada 
período. É importante salientar que nos cálculos futuros você usará 
somente a fórmula geral, apresentada no final da dedução. Preparado?
www.esab.edu.br 104
Montante no regime de juros compostos
Como visto anteriormente, no regime de juros compostos, a taxa de 
juros incide sobre os juros acumulados. Assim, em uma simulação de um 
capital C aplicado em um período n, com uma taxa i, teremos:
⇒ = × +1 0 (1 )C C i
o1 período
(lembre-se de que a taxa de juros incide sobre os juros acumulados)
( )
( ) ( ) ( )
⇒ = × +
= × + × + ⇒ = × +
2 1
1
2
2 0 2 0
1
Substituindo o valor de na segunda expressão, temos:
1 1 1
C C i
C
C C i i C C i
o2 período
( )
( ) ( ) ( )
⇒ = × +
= × + × + ⇒ = × +
3 2
2
2 3
3 0 3 0
1
Substituindo o valor de como anteriormente, temos:
1 1 1
C C i
C
C C i i C C i
o3 período
( )
( ) ( ) ( )
⇒ = × +
= × + × + ⇒ = × +
4 3
3 4
4 0 4 0
1
Mais uma vez, temos:
1 1 1
C C i
C C i i C C i
o4 período
Generalizando o raciocínio para n períodos:
( )0 1 com
n
n nC C i C M= × + =
Aqui, entenda um período como um mês, por exemplo. Dessa forma, a 
cada mês incide uma taxa mensal, e o montante gerado é capitalizado no 
mês seguinte, e assim sucessivamente. 
www.esab.edu.br 105
Assim, obtemos a fórmula do montante para o regime de capitalização 
composto:
( )1 nM C i= × + 
Em que:
M ⇒ valor do montante expresso em unidades monetárias (R$);
C ⇒ capital, valor inicial expresso em unidades monetárias (R$);
i ⇒ taxa de juros, expressa em sua forma unitária;
n ⇒ prazo ou período.
Quando comparamos o regime de capitalização simples com o 
composto, concluímos que do ponto de vista do investidor o regime 
composto é mais vantajoso. Contudo, quando o período é fracionado, 
isso não ocorre. O gráfico a seguir permite compararmos os montantes 
nas duas formas de capitalização. Note que a curva dos juros compostos 
nem sempre supera a curva dos juros simples. Somente depois de um 
período inteiro o sistema composto supera o simples. Isso nos leva a 
concluir que, para períodos fracionados, na parte não inteira, é mais 
vantajosa uma aplicação a juros simples.
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Montante (M)
Tempo (t)
Figura 5 – Representação do montante em função do período
(regime de capitalização simples e composto).
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1
Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado à taxa de 12% a.a., durante 
2 anos e 6 meses. A partir dessa informação, calcule o montante final, 
considerando juros compostos.
Solução: Note que a fórmula do montante parece muito com a do 
regime de capitalização simples, contudo, o período fica como expoente, 
elevando (1 + i) na referida potência. Nesse caso, a taxa e o período não 
estão na mesma unidade, teremos que converter o período para anos, 
sendo que 2 anos e 6 meses equivalem a 2,5 anos.
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Logo:
( )
( )
( )
2,5
2,5
1
1.000 1 0,12
1.000 1,12
1.000 1,32753
R$ 1.327,53
nM C i
M
M
M
M
= × +
= × +
= ×
= ×
=
 
Portanto, R$ 1.000,00 aplicados por 2,5 anos a uma taxa de 12% a.a. 
resultam no montante de R$ 1.327,53.
Estudo complementar
Caro estudante, diversas vezes em sua vida 
profissional precisará fazer as operações 
matemáticas em calculadoras financeiras. 
Clicando aqui você pode acessar um material 
que explica como usar a calculadora HP 12C para 
diversas operações matemáticas.
Exemplo 2
Determine a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$ 
40.000,00 que produz um montante de R$ 43.894,63 ao final de um 
quadrimestre (ASSAF NETO, 2009).
Solução: Usando a fórmula do montante vista anteriormente, 
encontraremos a taxa. Perceba que, para tanto, teremos de usar mais 
recursos matemáticos. Sabemos que 1 quadrimestre equivale a 4 meses, 
logo teremos 4(1 ) .i+ Para tirarmos a taxa i dos parênteses, teremos que 
tirar a raiz 4a dos dois lados da expressão. 
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Dados tirados do problema:
R$ 43.894,63
R$ 40.000,00
4 meses
?
M
C
n
i
=
=
=
=
 
Logo:
( )
( )
( )
( )
( ) //
= × +
= × +
= +
= +
= +
+ =
= -
=
4
4
4
44 4
1
43.894,63 40.000 1
43.894,63 1
40.000
1,097366 1
1,097366 1
1 1,0235
1,0235 1
0,0235
nM C i
i
i
i
i
i
i
i
Em porcentagem:
0,0235 100
2,35% a.m.
i
i
= ×
=
Encontramos, então, que a taxa mensal é de 2,35%. Vale destacar que 
vimos como trabalhar a raiz 4ª utilizando a calculadora científica na 
Unidade 2 da disciplina de Matemática Financeira. 
Nesta unidade avaliamos matematicamente o comportamento do 
montante no regime de capitalização composta, vimos que a taxa de 
juros incide não só sobre o capital inicial, mas também sobre os juros 
acumulados anteriormente. Na próxima unidade iremos tratar da 
taxa equivalente, uma ferramenta de grande utilidade na matemática 
financeira. Segundo Assaf (2009), no regime de capitalização simples, 
a taxa proporcional, vista na unidade 13, é a própria taxa equivalente. 
Vemos que o mesmo não ocorre no regime de capitalização composto.
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Tarefa dissertativa
Caro estudante, convidamos você a acessar o 
Ambiente Virtual de Aprendizagem e realizar a 
tarefa dissertativa.
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18 Taxas de juros no regime de juros compostos (taxa equivalente)
Objetivo
Calcular taxa equivalente.
Nesta unidade, veremos a aplicação da taxa equivalente com base 
nos trabalhos de Assaf Neto (2009) e Silva (2008). Sempre que uma 
taxa no regime de juros compostos não coincidir com sua frequência 
de capitalização, deveremos encontrar a taxa equivalente, que terá 
necessariamente a mesma unidade do período, e a frequência de 
capitalização. É importante destacar que a taxa equivalente é um 
complemento do conceito de montante visto na unidade anterior. 
E como sabemos se duas taxas são equivalentes? Para Assaf Neto (2009), 
elas são equivalentes quando promovem a igualdade dos montantes 
de um mesmo capital ao final de certo período de tempo. Silva (2008) 
afirma que duas taxas em períodos diferentes de tempo são equivalentes 
quando, a partir de um mesmo principal, resultam no mesmo montante 
no fim do prazo da operação, no regime de juros compostos. Essas ideias 
levam-nos a concluir que:
( )
1 2
1 2
1 2
1 2 com 1 substituindo temos:
(1 ) (1 )
(1 ) (1 )
(1 ) (1 )
n
n n
eq
n n
eq
n n
eq
M M M C i
C i C i
C i C i
i i
= = × +
× + = × +
× + = × +/ /
+ = +
Como o objetivo é isolar ,eqi que corresponde à taxa equivalente, vamos 
aplicar 1n (raiz de 1 )n dos dois lados da expressão.
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11 21 (1 ) (1 )nn nn eqi i+ = +
Aplicando a propriedade da radiciação, anulamos os índices n1 (raiz 
e expoente) do lado esquerdo. Do lado direito, aplicando a mesma 
propriedade, temos:
Propriedade de radiciação:
=
n
nm mx x 
Exemplo numérico:
5
5 55 532 2 2 2⇒ ⇒ ⇒
 
Assim, depois de aplicar a propriedade da radiciação nos dois lados 
da expressão, chegamos à fórmula que usaremos para encontrar a taxa 
equivalente a uma outra taxa, em um período n qualquer: 
+ = +
= + -
1 (1 )
(1 ) 1
eq
eq
i i
i i
Para que você entenda o que significa cada item da equação, preste 
atenção na explicação que virá a seguir:
eqi ⇒ Taxaequivalente, em um período n qualquer;
i ⇒ Taxa em um período n qualquer que deve ser convertida na taxa 
equivalente;
1n ⇒ Período em que se encontra a taxa i;
2n ⇒ Período da taxa equivalente, que deve estar na mesma unidade da 
taxa i.
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Agora, para fixarmos esse conteúdo, vamos resolver alguns exemplos 
propostos por Crespo (2009) e Assaf Neto (2009). Vamos lá?
Exemplo 1
Calcule a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano (CRESPO, 2009).
Solução: Temos uma taxa de 30% a.a., usaremos como período 12 
meses. A taxa equivalente requerida é trimestral, logo usaremos como 
período 3 meses. Segue:
1
2(1 ) 1
n
n
eqi i= + -
Em n1, substituímos o período da taxa equivalente, já em n2 substituímos 
o período da taxa que temos, ou seja, a que vai ser transformada. 
3
12
1
4
(1 0,30) 1
(1,30) 1
eq
eq
i
i
= + -
= -
Como vimos anteriormente, ( )
1
441,30 equivale a 1,30.
4 1,30 1
1,06778 1
0,06778 100
6,78% a.t.
eq
eq
eq
eq
i
i
i
i
= -
= -
= ×
=
Ou seja, uma taxa de 30% a.a., equivale a uma taxa de 6,78% a.t.
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Exemplo 2 
Considere que um investidor deseja ganhar o equivalente a 18% a.a. 
em certa aplicação financeira. Calcule a taxa de juros que deverá exigir 
se esta aplicação tiver os seguintes prazos de capitalização: (Adaptado 
ASSAF NETO, 2009):
a. 1 mês;
b. 1 trimestre;
c. 7 meses.
Solução:
a. Primeiro vamos definir os períodos e colocá-los na mesma unidade 
de tempo. Como 1 ano corresponde a 12 meses, teremos n1 = 1 mês 
e n2 = 12 meses.
Lembre-se de que em n1 substituímos o período da taxa equivalente, já 
em n2 substituímos o período da taxa que temos, ou seja, a que vai ser 
transformada.
1
2
1
12
1
12
12
(1 ) 1
(1 0,18) 1
(1,18) 1
1,18 1
1,01388 1
0,01388 100
1,39% a.m.
n
n
eq
eq
eq
eq
eq
eq
eq
i i
i
i
i
i
i
i
= + -
= + -
= -
= -
= -
= ×
=
b. Novamente vamos definir os períodos: temos n1 = 3 meses e n2 = 
12 meses. Lembre-se de que em n1, substitui-se o período da taxa 
equivalente, já em n2 substitui-se o período da taxa que se tem, ou 
seja, a que vai ser transformada.
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1
2
3
12
1
4
4
(1 ) 1
(1 0,18) 1
(1,18) 1
1,18 1
1,04224 1
0,04224 100
4,22% . .
n
n
eq
eq
eq
eq
eq
eq
eq
i i
i
i
i
i
i
i a t
= + -
= + -
= -
= -
= -
= ×
=
Calculamos, assim, que 18% a.a. equivale a 4,22% a.t.
c. Vamos definir os períodos: temos n1 = 7 meses e n2 = 12 meses. 
Novamente lembre-se de que em n1 substituímos o período da taxa 
equivalente, e em n2 substituímos o período da taxa que temos, ou 
seja, a que será transformada.
1
2
7
12
7
12
712
(1 ) 1
(1 0,18) 1
(1,18) 1
1,18 1
1,10136 1
0,10136 100
10,14% p / 7 meses
n
n
eq
eq
eq
eq
eq
eq
eq
i i
i
i
i
i
i
i
= + -
= + -
= -
= -
= -
= ×
=
Nesse caso, vimos que 18% a.a. equivale a 10,14% para 7 meses.
Nesta unidade estudamos a taxa equivalente, que, de acordo com Assaf 
Neto (2009), são duas taxas que promovem a igualdade dos montantes 
de um mesmo capital ao final de certo período de tempo. Na próxima 
unidade continuaremos nossos estudos sobre taxas. Usando as ideias de 
Assaf Neto (2009) e Crespo (2009), falaremos de taxa nominal e efetiva.
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Atividade
Chegou a hora de você testar seus conhecimentos 
em relação às unidades 10 a 18. Para isso, dirija-
se ao Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) e 
responda às questões. Além de revisar o conteúdo, 
você estará se preparando para a prova. Bom 
trabalho!
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Resumo
Caro acadêmico, na unidade 13 vimos, com base em Puccini (2011), 
que as taxas proporcionais são taxas de juros referenciadas a unidades de 
tempo diferentes que, ao serem aplicadas ao mesmo principal durante 
um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final 
daquele prazo, no regime de juros simples. Na unidade 14 conhecemos 
o conceito de juro exato e comercial que, segundo Assaf Neto (2009), 
é comum em operações de curto prazo, em que o prazo é definido em 
número de dias. Nesses casos, o número de dias pode ser calculado pelo 
tempo exato, utilizando-se efetivamente do ano civil (365 dias). O juro 
apurado dessa maneira denomina-se juro exato; ou pelo ano comercial, 
o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Tem-se, por esse 
critério, a apuração do denominado juro comercial, ou ordinário. 
Vimos, na unidade 15, a equivalência financeira, que constitui-se no 
raciocínio básico da matemática financeira (ASSAF NETO, 2009). 
Tivemos a oportunidade de acompanhar alguns exercícios sobre taxa 
proporcional, juro exato, juro comercial e equivalência financeira. 
Descrevemos matematicamente o comportamento do regime de 
capitalização composto, na unidade 17. No regime de juros compostos, 
a taxa de juros incide sobre o montante acumulado ao final do período 
anterior, ou seja, ocorrerá a incidência de juros sobre juros (SILVA, 2008). 
Por fim, na unidade 18 vimos a aplicação da taxa equivalente, uma taxa 
que promove a igualdade dos montantes de um mesmo capital ao final 
de certo período de tempo (ASSAF NETO, 2009).
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19 Taxa nominal e taxa efetiva
Objetivo
Identificar taxas de juros nominais e efetivas.
Na unidade anterior, aprendemos a calcular a taxa equivalente. 
Concluímos que duas taxas em períodos diferentes de tempo são 
equivalentes quando um mesmo capital resulta em um mesmo montante 
no fim do prazo da operação, no regime de juros compostos. Nesta 
unidade, iremos continuar nossos estudos referentes às diversas taxas 
encontradas na matemática financeira. Estudaremos a taxa nominal e a 
taxa efetiva. Para tanto, estaremos embasados em Assaf Neto (2009) e 
Puccini (2011). Vamos lá!
19. 1 Taxa nominal
Quando você faz uma aplicação financeira ou contrata um serviço 
bancário, um empréstimo ou financiamento, por exemplo, geralmente a 
taxa de juros é dada na forma de taxa nominal. Afinal, o que é essa taxa?
Podemos entender por taxa nominal aquela em que a unidade de referência 
de seu tempo não coincide com a unidade de tempo da frequência 
de capitalização, ou seja, ela pode ser dada em anos e a frequência de 
capitalização pode ser mensal. Assaf Neto (2009, p. 22) diz que
[...] se uma taxa de juro é nominal, geralmente é admitido que o prazo de 
capitalização dos juros (ou seja, período de formação e incorporação dos juros ao 
principal) não é o mesmo daquele definido para taxa de juros. [...] Os prazos não são 
coincidentes. O prazo de capitalização é de um mês e o prazo a que se refere a taxa de 
juros igual a um ano [...]. 
www.esab.edu.br 118
É importante destacar que a capitalização de uma taxa nominal ocorre 
usando a ideia de juros proporcionais simples, vista na unidade 13, de 
forma que uma taxa nominal de 24% ao ano é igual, ou equivalente, a 
uma taxa de 2% ao mês. A utilidade da taxa nominal é apenas indicar o 
custo ou rentabilidade da operação e não é utilizada em nenhum cálculo 
financeiro sem antes ser transformada para taxa efetiva.
Saiba mais
A taxa nominal é dada em período diferente da 
frequência de capitalização, o que dificulta a 
percepção da dimensão exata do custo de uma 
operação financeira. Por isso, desde maio de 2008, 
as instituições financeiras têm a obrigação de 
informar a taxa efetiva (custo real) em todas as 
operações financeiras, incluindo o Imposto sobre 
Operações Financeiras (IOF). Para saber mais, leia 
o Artigo 3o do Decreto nº 5.903/06, disponível 
clicando aqui.
19.2 Taxa efetiva
Imagine que você faça um investimento de R$ 1.000,00 a uma taxa de 
10% ao mês, no regime decapitalização composto, durante 3 meses. 
Acompanhe os cálculos a seguir. (1 )nM C i= × + Vamos encontrar aqui 
o valor do montante em 3 meses.
3
3
1.000 (1 0,10)
1.000 (1,10)
1.000 1,331
$ 1.331,00
M
M
M
M
= × +
= ×
= ×
=
www.esab.edu.br 119
O valor acumulado, com uma taxa de 10% a.m., foi de R$ 1.331,00. 
Contudo, pode-se constatar, com uma regra de três simples, que o valor 
do capital aumentou:
$ 1.000,00 100%
$ 1.331,00
Assim:
1.000 1.331 100
133.100
1.000
133,10%
x
x
x
x
-
-
= ×
=
=
Ou seja, o aumento foi de 133,10%. Essa foi a taxa efetiva para essa 
aplicação no período de três meses.
Segundo Assaf Neto (2009), a taxa efetiva de juros é a taxa apurada 
durante todo o prazo n sendo formada exponencialmente por meio 
dos períodos de capitalização. Assim, podemos concluir que a taxa 
efetiva é a taxa no regime composto considerada em todo o período de 
capitalização. Veja a seguir a dedução da taxa efetiva.
Consideremos um mesmo capital C que gerará um mesmo montante M 
no final de um período n assim: 1 2 como: (1 )
nM M M C i= = × +
Aqui, consideramos o montante acumulado, incidindo a taxa de juros 
(por exemplo, mês a mês) igual ao montante final e considerando um 
único período, acompanhe:
www.esab.edu.br 120
1
1
1
1
(1 ) (1 )
(1 ) (1 )
1 (1 )
Logo:
(1 ) (1 )
(1 ) (1 )
1 (1 )
Logo:
(1 ) 1
q
ef
q
ef
q
ef
q
ef
q
ef
q
ef
q
ef
C i C i
C i C i
i i
C i C i
C i C i
i i
i i
× + = × +
× + = × +/ /
+ = +
× + = × +
× + = × +/ /
+ = +
= + -
Em que:
q ⇒ é o número de períodos de capitalização dos juros;
i ⇒ é a taxa usada na capitalização dos juros, ela coincide com a 
frequência de capitalização;
efi ⇒ é a taxa efetiva. 
Agora, vamos ver alguns exemplos aplicando a taxa nominal e efetiva.
Exemplo 1
Imaginemos que você está procurando uma instituição financeira para 
investir uma quantia de dinheiro. Ao chegar a uma instituição, você 
é informado que a aplicação terá uma taxa de 2% a.m., capitalizada 
mensalmente durante um ano. Assim, a taxa efetiva de juros será:
(1 ) 1
Em que:
0,02
12 meses
q
efi i
i
q
= + -
=
=
www.esab.edu.br 121
Solução:
12
12
(1 0,02) 1
(1,02) 1
1,2682 1
0,2682 100
26,82% a.a.
ef
ef
ef
ef
ef
i
i
i
i
i
= + -
= -
= -
= ×
=
Logo, a taxa efetiva da operação no período foi de 26,82% a.a.
Exemplo 2
A caderneta de poupança paga juros anuais de 6% com capitalização 
mensal à base de 0,5%. Como podemos calcular a rentabilidade efetiva 
dessa aplicação financeira (ASSAF NETO, 2009)? 
Solução: A taxa de 6% a.a. é uma taxa nominal. Note que ela é dada 
em anos e não coincide com a frequência de capitalização, que é mensal. 
Assim, 
6 0,5% a.m.
12
= em 12 meses, teremos:
12
12
(1 ) 1
(1 0,005) 1
(1,005) 1
1,06167 1
0,06167 100
6,167% a.a.
q
ef
ef
ef
ef
ef
ef
i i
i
i
i
i
i
= + -
= + -
= -
= -
= ×
=
Você deve estar se perguntando: Por que uma taxa de 0,5 % a.m. 
resulta em uma taxa efetiva de 6,167% a.a.? Lembre-se de que estamos 
considerando o regime de capitalização composto, juros sobre juros, não 
o regime de capitalização simples! Veja. 
www.esab.edu.br 122
Considere o capital de R$ 1.000,00 aplicado durante um ano à taxa de 
0,5% a.m.
12
(1 )
1.000 (1 0,005)
1.000 1,06167
$ 1.061,67
nM C i
M
M
M
= × +
= × +
= ×
=
 
Note que, ao final de um ano, o valor aplicado aumentou 6,167%, ou 
seja, a taxa efetiva foi de 6,167% a.a.
Nesta unidade, vimos a diferença entre taxa nominal e taxa efetiva. Por 
meio de exemplos, aprendemos a calcular a rentabilidade anual de uma 
operação financeira usando a taxa efetiva. Na próxima unidade, iremos ter 
uma ideia inicial da taxa interna de retorno. Como o termo taxa interna de 
retorno é amplamente utilizado no mercado financeiro, fique atento! 
Fórum
Caro estudante, dirija-se ao Ambiente Virtual de 
Aprendizagem da Instituição e participe do nosso 
Fórum de discussão. Lá você poderá interagir com 
seus colegas e com seu tutor de forma a ampliar, 
por meio da interação, a construção do seu 
conhecimento. Vamos lá?
www.esab.edu.br 123
20 Taxa interna de retorno
Objetivo
Calcular a taxa interna de retorno.
Na unidade anterior, diferenciamos taxa nominal de taxa efetiva e, por meio 
de exemplos, vimos a sua aplicação. Nesta unidade, teremos a oportunidade 
de estudar um dos conceitos mais utilizados no mercado financeiro: a Taxa 
Interna de Retorno (TIR), ou Internal Rate of Return (IRR).
A taxa interna de retorno, como sugere o nome, tem como uma de suas 
utilidades o cálculo da taxa de rentabilidade de uma aplicação. Além 
disso, podemos calcular o custo de um empréstimo ou financiamento. 
Aqui, usaremos a ideia de equivalência, a qual estudamos na unidade 15. 
Assaf Neto (2009, p. 28) afirma que
[...] a taxa interna de retorno é a taxa de juros que iguala, numa única data, os fluxos 
de entrada e saída de caixa produzidos por uma aplicação financeira (aplicação ou 
capitação) [...] é a taxa de juros que, se utilizada para descontar um fluxo de caixa, 
produz um resultado nulo [...].
Matematicamente, a taxa interna de retorno é a taxa hipotética de 
desconto que anula o VPL, valor presente líquido, ou seja, é aquele valor 
de i (na equação usaremos TIR) que satisfaz a seguinte equação:
- + + +
+ +
+ + + =
+ +
1 2
3
(1 TIR) (1 TIR)
... 0
(1 TIR) (1 TIR)n
R RI
R R
 
www.esab.edu.br 124
Em que: 
I ⇒ é o investimento inicial; 
R ⇒ é o fluxo de caixa no n-ésimo período (prestações); 
TIR ⇒ é a taxa interna de retorno. 
Em nossos exemplos, consideraremos fluxos de caixa com poucos 
períodos, já que o cálculo da taxa interna de retorno pode ser feito 
somente por meio de tentativas e erros, através de uma ferramenta 
matemática chamada interpolação. É importante salientar que, 
mesmo em livros de matemática financeira, a taxa interna de retorno é 
encontrada com o auxílio de calculadoras ou programas. Nesse caso, a 
interpolação de dados nunca será feita manualmente.
Na análise de um investimento, utilizando o método da taxa interna de 
retorno, devemos sempre considerar outra taxa para comparação, a taxa 
de mercado, por exemplo. Assim, a taxa interna de retorno deve ser maior 
que a taxa de mercado para que a aplicação em questão seja lucrativa.
Para sua reflexão
Caro estudante, reflita sobre a importância de 
comparar a taxa interna de retorno com outra 
taxa. Por que precisamos fazer essa comparação?
A resposta a essa reflexão forma parte de sua 
aprendizagem e é individual, não precisando ser 
comunicada ou enviada aos tutores.
Para que possamos entender melhor sobre esse assunto, vejamos agora 
alguns exemplos resolvidos propostos por Assaf Neto (2009). 
www.esab.edu.br 125
Exemplo 1
Admita uma aplicação de R$ 360.000,00, que produz um montante de 
R$ 387.680,60, ao final de 3 meses. A taxa de juros que iguala a entrada 
de caixa (resgate de aplicação), no mês 3, com a saída de caixa (aplicação 
financeira) de R$ 360.000,00, na data zero, constitui-se, efetivamente, 
na IRR da operação. Ou seja, em sua rentabilidade. 
Graficamente:
3 meses (n)
M = $ 387.680,60
C = $ 360.000,00
Figura 6 – Representação do fluxo de caixa (taxa interna de retorno).
Fonte: Adaptada de Assaf Neto (2009).
Sendo:
3
3
3
(1 )
temos:
387.680,60 360.000,00 (1 )
387.680,60 (1 )
360.000,00
1,076891 (1 )
nM C i
i
i
i
= × +
= × +
= +
= +
www.esab.edu.br 126
Aplicando a raiz cúbica dos dois lados da expressão, temos:
1,076891 (1 )
1,076891 (1 )
1 1,076891
1 1,02501,0250 1
0,0250 100
2,5% a.m.
= +
= +
+ =
+ =
= -
= ×
Essa é a taxa que iguala o fluxo e o caixa em qualquer data focal. Assim, a 
taxa de 2,5% a.m. é a taxa interna de retorno da aplicação. 
Exemplo 2
Para um empréstimo de R$ 11.500,00, um banco exige o pagamento 
de duas prestações mensais e consecutivas de R$ 6.000,00 cada. Como 
podemos determinar o custo mensal da operação?
Solução::
meses
1 2
$ 11.500,00
$ 6.000,00 $ 6.000,00
Figura 7 – Representação do fluxo de caixa (taxa interna de retorno).
Fonte: Assaf Neto (2009, p. 29).
www.esab.edu.br 127
Perceba que a taxa de juros que iguala, em uma mesma data, os valores 
do fluxo de caixa é o custo mensal da operação. Note que, nesse caso, 
iremos usar a ideia de equivalência financeira, vista na unidade 15. 
Contudo, consideraremos o regime de capitalização composto, não o 
simples, como vimos nesta unidade. Assim, a fórmula aplicada é bastante 
parecida. Porém, cuidado! Como vimos na unidade 9, existe bastante 
diferença entre o regime de capitalização simples e o composto. A partir 
de agora, a fim de simplificar nosso trabalho, representaremos a taxa 
interna de retorno com i. Assim, trocamos o termo TIR da equação 
anterior por i.
Desse modo, retomando o exemplo e considerando a data focal 0, temos:
1 2
1 2
0
(1 ) (1 )
Sendo que:
$11.500
$ 6.000
(1 ) (1 )
6.000 6.00011.500
(1 ) (1 )
n n
R RI
i i
I
R
R RI
i i
i i
- + + =
+ +
=
=
= +
+ +
= +
+ +
Para calcular essa taxa, como falamos anteriormente, usaremos o 
método da interpolação, de tentativa e erro. Logo, com o auxílio de uma 
calculadora financeira ou de algum programa que o faça, temos a taxa 
de 2,885% a.m. Essa é a taxa que, aplicada ao fluxo de caixa, chega ao 
valor de R$ 11.500,00, ou seja, anula o fluxo de caixa. Colocando a taxa 
de 2,885% na equação a seguir, chegaremos ao valor do empréstimo de 
R$11.500. Veja o cálculo a seguir.
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= +
+ +
= +
+ +
= +
= +
= +
=
1 2
1 2
(1 ) (1 )
6.000 6.000
(1 0,02885) (1 0,02885)
6.000 6.000
(1,02885) (1,02885)
6.000 6.000
1,02885 1,05853
5.831,75 5.668,25
$11.500,00
n n
R RV
i i
V
V
V
V
V
 
Este último cálculo comprova que a taxa de 2,885% a.m. zera o fluxo 
de caixa.
Nesta unidade, estudamos a taxa interna de retorno. Segundo Assaf Neto 
(2009), esta constitui-se em um dos mais importantes instrumentos de 
avaliação da matemática financeira. Vimos que para fluxos de caixa com 
grande número de períodos, é necessário o uso de alguma ferramenta 
para fazer o cálculo. Contudo, os exemplos apresentados mostraram sua 
aplicação. Na próxima unidade, iremos conhecer a ideia de desconto, 
uma modalidade de operação financeira bastante usada pelas instituições 
financeiras, para clientes pessoas físicas ou jurídicas.
www.esab.edu.br 129
21 Exercícios resolvidos
Objetivo
Exemplificar os conceitos vistos até o presente momento.
Na unidade anterior, aprendemos a calcular a taxa interna de retorno e 
acompanhamos alguns exemplos desse cálculo. Nesta unidade, por meio 
de exemplos propostos por Assaf Neto (2009) e Silva (2008), iremos 
rever a ideia de capitalização composta, vista na unidade 17, bem como 
as taxas equivalente, nominal e efetiva. Bom trabalho!
Exercício 1
Capitalizar as seguintes taxas (ASSAF NETO, 2009):
a. 2,3% ao mês para um ano; 
b. 0,14% ao dia para 23 dias; 
c. 7,45% ao semestre para um ano;
d. 6,75% ao semestre para um ano; 
e. 1,87% equivalente a 20 dias para um ano.
Solução: Vamos aplicar o conceito de taxa equivalente. De acordo 
com Silva (2008), duas taxas em períodos diferentes de tempo são 
equivalentes quando, a partir de um mesmo valor principal, resultam no 
mesmo montante no fim do prazo da operação.
a. Vamos converter a taxa de 2,3% a.m. para ano. Lembre-se de 
colocar os períodos na mesma unidade. Lembre-se de que em n1 
substitui-se o período da taxa equivalente, já em n2, o período da 
taxa que temos, ou seja, a que vai ser transformada. Segue:
www.esab.edu.br 130
A taxa de 2,3% a.m. equivale a uma taxa de 31,37% a.a.
b. Vamos converter a taxa de 0,14% a.d. para 23 dias. Lembre-se de que 
em n1 substitui-se o período da taxa equivalente, já em n2 , o período 
da taxa que temos, ou seja, a que vai ser transformada. Logo:
1
2
23
1
23
1
23
(1 ) 1
0,141 1
100
(1 0,0014) 1
(1,0014) 1
1,03270 1
0,03270 100
3,27% para 23 dias.
n
n
eq
eq
eq
eq
eq
eq
eq
i i
i
i
i
i
i
i
= + -
 = + - 
 
= + -
= -
= -
= ×
=
www.esab.edu.br 131
A taxa diária de 0,14% equivale a uma taxa de 3,27% para 23 dias.
c. Converteremos a taxa de 7,45% a.t., para ano. Como um trimestre 
tem 3 meses e um ano 12 meses, segue: 
1
2
12
3
4
4
(1 ) 1
7,451 1
100
(1 0,0745) 1
(1,0745) 1
1,3329 1
0,3329 100
33,29% a.a.
n
n
eq
eq
eq
eq
eq
eq
eq
i i
i
i
i
i
i
i
= + -
 = + - 
 
= + -
= -
= -
= ×
=
 
Conclui-se que a taxa de 7,45 a.t. equivale a uma taxa de 33,29% a.a.
d. Converteremos a taxa de 6,75% a.s., para ano. Como um semestre 
tem 6 meses e um ano tem 12 meses, segue: 
1
2
12
6
2
2
(1 ) 1
6,751 1
100
(1 0,0675) 1
(1,0675) 1
1,1396 1
0,1396 100
13,96% . .
n
n
eq
eq
eq
eq
eq
eq
eq
i i
i
i
i
i
i
i a a
= + -
 = + - 
 
= + -
= -
= -
= ×
=
www.esab.edu.br 132
Calculamos que a taxa diária de 6,75% a.s. equivale a uma taxa de 
13,96% a.a.
e. Vamos converter a taxa de 1,87% referente a 20 dias para ano, ou 
seja, 360 dias. Segue:
1
2
360
20
18
1
18
(1 ) 1
0,01871 1
100
(1 0,0187) 1
(1,0187) 1
1,3958 1
0,3958 100
39,58% a.a.
n
n
eq
eq
eq
eq
eq
eq
eq
i i
i
i
i
i
i
i
= + -
 = + - 
 
= + -
= -
= -
= ×
=
 
Logo, calculamos que a taxa de 1,87% para 20 dias equivale a uma taxa 
de 39,58% a.a.
Exercício 2
Uma aplicação financeira promete pagar 42% ao ano de juros. Sendo 
o prazo de aplicação de um mês, determine a sua rentabilidade efetiva, 
considerando os juros de 42% a.a. (ASSAF NETO, 2009).
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a. Taxa efetiva
b. Taxa nominal
Solução::
a. Taxa efetiva: encontrando a taxa equivalente ao mês, teremos a 
rentabilidade mensal. Logo:
1
2
1
12
1
12
12
(1 ) 1
(1 0, 42) 1
(1, 42) 1
1, 42 1
1,02965 1
0,02965 100
2,97% a.m.
n
n
eq
eq
eq
eq
eq
eq
eq
i i
i
i
i
i
i
i
= + -
= + -
= -
= -
= -
= ×
=
Convertendo essa taxa novamente a uma taxa anual, teremos a taxa 
efetiva anual de 42% a.a.
b. Taxa nominal: sendo uma taxa nominal a taxa mensal, será a taxa 
proporcional mensal. Logo:
42
12
3,5% a.m.
i
i
=
=
 
www.esab.edu.br 134
Lembre-se! Quando a taxa for nominal em anos, a taxa nominal mensal é 
dada pela taxa proporcional simples mensal.
Agora, aplicando a fórmula da taxa efetiva, temos:
12
12
(1 ) 1
(1 0,035) 1
(1,035) 1
1,5110 1
0,5110 100
51,10% a.a.
q
ef
ef
ef
ef
ef
ef
i i
i
i
i
i
i
= + -
= + -
= -
= -
= ×
=
Logo, a taxa nominal de 42% a.a. equivale a uma taxa efetiva anual de 
51,10% a.a.
Nesta unidade, tivemos a oportunidade de rever os conceitos de taxa 
equivalente, nominal e efetiva, bem como a ideia proposta no regime 
de capitalização de juros compostos aplicados em exercícios. Na 
próxima unidade, iremos trabalhar o conceito de desconto e as diversas 
formas de aplicá-lo.
www.esab.edu.br 135
22 Conceituação de desconto
Objetivo
Apresentar o conceito de desconto.
Naunidade anterior, resolvemos alguns exercícios que ajudarão a 
aprimorar e fixar o estudo das taxas equivalente, nominal e efetiva. Nesta 
unidade, vamos apresentar o conceito de desconto. A partir das ideias 
apresentadas por Assaf Neto (2009) e Crespo (2009), vamos ver como 
e onde podemos aplicar o desconto. O conhecimento e domínio das 
diversas modalidades de taxas apresentadas na matemática financeira 
facilitará a aplicação do conceito de desconto, bem como facilitará uma 
análise de investimento de uma aplicação de curto ou longo prazo, ou até 
mesmo de um simples financiamento de automóvel.
A princípio, apresentaremos a ideia de desconto sem tratá-la 
matematicamente. A operação de se liquidar um título antes de seu 
vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo 
pagamento antecipado. Dessa maneira, o desconto pode ser entendido 
como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor 
atualizado, em n períodos antes de seu vencimento (ASSAF NETO, 
2009). Nas unidades seguintes, teremos a oportunidade de conhecer a 
modelagem matemática envolvida nesse conceito. 
O desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor 
nominal e o atual (CRESPO, 2009).
Vamos compreender melhor esse conceito? Considere uma empresa que 
possua um compromisso financeiro com vencimento em 12 meses. Esse 
compromisso financeiro é comumente chamado de título. O valor desse 
título é chamado de valor nominal, que, em outras palavras, representa 
www.esab.edu.br 136
o próprio montante (aspecto estudado anteriormente). Como o valor 
do título com vencimento em uma data futura é, na prática, um valor 
futuro, podemos relacionar o valor nominal com o valor do montante. 
Logo, no final dos 12 meses, o valor a ser pago é o valor nominal. Para 
fins didáticos, vamos considerar o valor hipotético de R$ 7.000,00. 
Contudo, se ocorrer uma antecipação do pagamento, o título receberá 
um desconto, um prêmio pela antecipação. Consideraremos o valor 
do desconto igual a R$ 500,00. Como, neste exemplo, os valores se 
apresentam de forma aleatória, nenhuma taxa de juros será considerada.
A diferença entre os dois valores é chamada de valor descontado. Nesse 
caso, temos:
Valor Descontado Valor Nominal Desconto 
Valor Descontado $ 7.000,00 $ 500,00
Valor Descontado $ 6.500,00
= -
= -
=
 
O valor descontado também é chamado de valor atual. Veja a 
representação a seguir:
meses
Desconto de $ 500,00
0
$ 7.000,00
$ 6.500,00
Figura 8 – Representação de uma operação de desconto.
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
Uma operação de desconto pode ser realizada no regime de capitalização 
simples e no composto. Contudo, o primeiro é frequentemente aplicado 
em operações de curto prazo. O regime de capitalização composto é 
utilizado em operações de longo prazo.
www.esab.edu.br 137
Vejamos, a seguir, os títulos de crédito mais utilizados nas operações de 
desconto, segundo Crespo (2009). 
• Nota promissória: é o título mais utilizado entre pessoas físicas, ou 
ainda entre uma pessoa física e uma jurídica. É um comprovante 
da aplicação de certo capital, com um prazo definido para o 
vencimento. Uma nota promissória em branco pode ser comprada 
em uma papelaria. Ao assiná-la com um valor definido e uma data, 
você estará formalizando uma promessa de pagamento futuro.
• Duplicata: título emitido por pessoa jurídica a uma pessoa física ou 
jurídica. A duplicata é um compromisso de pagamento, decorrente 
de uma compra de mercadoria ou prestação de serviço. 
• Letra de câmbio: também é um comprovante de uma aplicação 
de capital, contudo é um título emitido em nome de determinada 
instituição financeira, ou seja, é um título ao portador.
Saiba que chamamos de desconto comercial o desconto feito sobre o 
valor nominal. Já o desconto feito sobre o valor atual é chamado de 
desconto racional. O desconto racional é mais intuitivo e podemos usar o 
conceito de montante para operá-lo. 
Veja o exemplo a seguir. 
João tomou emprestado de um amigo o valor de R$ 1.000,00, para 
pagamento em 6 meses. Contudo, conseguiu economizar dinheiro e 
adiantou o pagamento em 3 meses. Considerando uma taxa de juros 
simples de 5% a.m., a que desconto ele terá direito com o adiantamento 
da dívida?
Solução: Vamos considerar aqui o desconto racional e analisaremos do 
ponto de vista do amigo de João. Ele tem hoje o valor de R$ 1.000,00 
à sua disposição e optou por fazer uma aplicação, ou seja, emprestá-lo 
a João com uma taxa de juros de 5% a.m. É importante comentar que, 
desconsiderando o risco da operação, essa é uma taxa bastante atrativa. 
Hoje, R$ 1.000,00 é o capital C e o valor recebido daqui a seis meses é o 
Montante M. Logo:
www.esab.edu.br 138
(1 )
em 6 meses
1.000 (1 0,05 6)
1.000 1,30
1.300,00
M C i n
M
M
M
= × + ×
⇒
= × + ×
= ×
=
 
Perceba que no desconto escreveríamos que o valor nominal é R$ 1.300,00.
Considerando agora que a dívida fosse adiantada 3 meses, o amigo de 
João iria aplicar seu dinheiro somente 3 meses, segue:
em 3 meses
1.000 (1 0,05 3)
1.000 1,15
1.150,00
M
M
M
⇒
= × + ×
= ×
=
Concluímos que João pagará R$ 150,00 a menos, como prêmio por 
ter adiantado a dívida. Considerando a ideia de desconto o valor de R$ 
150,00 é o desconto; já os R$ 1.150,00 representam o valor descontado. 
Aqui, ainda não tratamos matematicamente o conceito de desconto, 
usamos um exemplo para melhorar o entendimento dos termos que 
usaremos a partir daqui. 
Vimos, nesta unidade, o conceito de desconto por meio das concepções 
de Crespo (2009) e Assaf Neto (2009). Vimos que o desconto pode ser 
feito no regime de capitalização simples e composto, na forma comercial 
e racional. Nas próximas unidades, iremos tratar matematicamente todas 
as modalidades de desconto. A seguir, iremos tratar do desconto racional 
simples, também conhecido como desconto por dentro.
www.esab.edu.br 139
23 Desconto racional simples ou por “dentro”
Objetivo
Apresentar o conceito de desconto racional simples e efetuar os 
seus cálculos.
Na unidade anterior, conhecemos o conceito de desconto e concluímos 
que o desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, entendido 
como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor 
atualizado, em n períodos antes de seu vencimento. Nesta unidade, 
ainda falaremos de desconto. Contudo, iremos tratar de uma única 
modalidade, o desconto racional simples, que comumente é chamado de 
desconto por dentro. Aqui, iremos tratar matematicamente esse conceito 
e, por meio da resolução de alguns exemplos práticos, mostraremos a sua 
aplicação. Preparado?
Conforme Silva (2008), o desconto racional pode ser calculado no 
regime de capitalização simples, de forma que a taxa incida sobre o valor 
presente. Logo:
r rD N V= -
Em que: 
Dr ⇒ Desconto racional: é a quantia a ser abatida do valor nominal;
N ⇒ Valor nominal: é o valor do título, um valor futuro a receber depois 
de determinado prazo;
Vr ⇒ Valor descontado, ou valor atual: é a diferença entre o valor 
nominal e o desconto. 
www.esab.edu.br 140
Como no desconto racional a taxa incide sobre o valor presente (capital), 
temos:
rD C i n= × ×
Como visto anteriormente, no desconto racional, a taxa incide sobre 
o valor atual (capital). Mas na maior parte dos problemas e exemplos 
práticos, o valor nominal é o que aparece no enunciado. Desse modo, 
teremos que deduzir uma fórmula para o desconto racional simples, 
usando (em função) o valor nominal. Logo:
(1 )
(1 )
isolando 
(1 )
r
r
r
M C i n
N V i n
V
NV
i n
= × + ×
↓ ↓
= × + ×
=
+ ×
 
Agora, usando a expressão ,r rD N V= - temos:
(1 )
r r
r
D N V
ND N
i n
= -
= -
+ ×
Tirando o MMC (mínimo múltiplo comum) dolado direito da expressão:
(1 )
(1 )
(1 )
r
r
ND N
i n
N i n ND
i n
= -
+ ×
× + × -
=
+ ×
www.esab.edu.br 141
Aplicando a propriedade distributiva da matemática:
(1 )
(1 )
(1 )
(1 )
r
r
r
N i n ND
i n
N N i n ND
i n
N N i n ND
i n
× + × -
=
+ ×
+ × × -
=
+ ×
+ × × -
=
+ ×
Assim, a fórmula do desconto racional, considerando o valor nominal, é:
(1 )r
N i nD
i n
× ×
=
+ ×
Estas são as duas fórmulas usadas na resolução de exercícios de desconto, 
na modalidade desconto racional regime de capitalização simples:
Valor do desconto Valor descontado ou atual
(1 ) (1 )r r
N i n ND V
i n i n
× ×
= =
+ × + ×
 
Em que:
Dr ⇒ Desconto racional: é a quantia a ser abatida do valor nominal, é 
um valor monetário (R$);
N ⇒ Valor nominal: é o valor do título, um valor futuro a receber depois 
de determinado prazo, é um valor monetário (R$);
Vr ⇒ Valor descontado, ou valor atual: é a diferença entre o valor 
nominal e o desconto, é um valor monetário (R$); 
i ⇒ Taxa de desconto, apresentada em porcentagem (%): deve ser usada 
na forma unitária.
n ⇒ Prazo ou período: o período deve coincidir com o período da taxa.
www.esab.edu.br 142
Agora, vamos ver um exemplo da aplicação do desconto racional.
Exemplo 1
Considere um título de R$ 5.000,00 com vencimento em 24 meses, no 
qual serão adiantados 4 meses do seu vencimento. Sendo de 36% a.a. a 
taxa nominal de juros corrente, pede-se para calcular o desconto racional 
e o valor descontado dessa operação.
Solução::
24 meses (n)
M = $ 5.000,00
Valor Descontado
 3636% . 3% . .
12
a a a m⇒ ⇒
Figura 9 – Representação da operação de desconto.
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
Cálculo do desconto:
(1 )
5.000 0,03 4
1 0,03 4
5.000 0,03 4
1 0,03 4
600
1,12
$ 535,71
r
r
r
r
r
N i nD
i n
D
D
D
D
× ×
=
+ ×
× ×
=
+ ×
× ×
=
+ ×
=
=
www.esab.edu.br 143
Para encontrarmos o valor descontado ou atual, podemos proceder de 
duas formas, como você pode ver a seguir.
1ª opção
Como:
isolando 
5.000,00 535,71
$ 4.464,28
r r
r
r r
r
r
D N V
V
V N D
V
V
= -
= -
= -
=
2ª opção
Segue:
(1 )
5.000
1 0,03 4
5.000
1,12
$ 4.464,28
r
r
r
r
NV
i n
V
V
V
=
+ ×
=
+ ×
=
=
Note que a primeira opção é mais intuitiva, já a segunda pode ser usada 
quando temos somente o valor nominal.
Nesta unidade, tratamos exclusivamente do desconto racional simples 
– em que a taxa incide sobre o valor atual –, deduzimos as fórmulas 
do desconto e do valor descontado (valor atual). Na próxima unidade, 
utilizando as ideias propostas por Assaf Neto (2009) e Crespo (2009), 
iremos tratar matematicamente do desconto comercial simples. Até lá!
www.esab.edu.br 144
24 Desconto bancário, comercial ou “por fora”
Objetivo
Relacionar o conceito de desconto comercial simples e efetuar os seus 
cálculos.
Caro estudante, na unidade anterior, vimos o conceito de desconto 
racional, também chamado de desconto “por dentro”, no qual a taxa 
de juros incide sobre o valor do capital, resultando em um desconto 
menor do que no desconto comercial. Nesta unidade, iremos conhecer 
a modelagem matemática no conceito de desconto comercial, também 
chamado de desconto “por fora”. Para isso, esta unidade se fundamenta 
nas ideias de Puccini (2011) e Assaf Neto (2009). 
No regime de capitalização simples, os descontos de cada período são 
obtidos pela aplicação da taxa de desconto i sempre sobre valor futuro, 
ou valor nominal, fazendo com que os descontos tenham o mesmo valor 
em todos os períodos (PUCCINI, 2011).
Como no desconto “por fora” a taxa de juros incide sobre o valor nominal, 
ou seja, sobre o valor a ser resgatado, gera um custo maior ao tomador do 
recurso. É importante destacar que esse tipo de desconto é amplamente 
usado por instituições financeiras, em operações de curto prazo.
Assim, sendo o desconto comercial aplicado ao valor nominal, temos:
cD N i n= × ×
www.esab.edu.br 145
Em que:
Dc ⇒ Desconto racional: é a quantia a ser abatida do valor nominal;
N ⇒ Valor nominal: é o valor do título, um valor futuro a receber depois 
de determinado prazo, é um valor monetário(R$);
i ⇒ Taxa de desconto, apresentada em porcentagem (%): deve ser usada 
na forma unitária.
n ⇒ Prazo ou período: o período deve coincidir com o período da taxa.
Como visto na unidade 22, o valor descontado ou atual é obtido pela 
diferença do valor nominal do desconto, então temos:
c cV N D= -
 
Vamos agora deduzir a fórmula do valor descontado, ou valor atual, do 
desconto comercial no regime de capitalização simples.
( )
substituindo a fórmula do desconto comercial vista anteriormente, temos:
Colocando em evidência
1
c c
c
c
V N D
V N N i n
N
V N i n
= -
= - × ×
= × - ×
Estas são as duas fórmulas usadas na resolução de exercícios de desconto, 
na modalidade desconto comercial no regime de capitalização simples:
( )
Valor do desconto Valor descontado ou atual
1c cD N i n V N i n= × × = × - ×
www.esab.edu.br 146
Em que:
Dc ⇒ Desconto racional: é a quantia a ser abatida do valor nominal, 
corresponde a um valor monetário (R$); 
N ⇒ Valor nominal: é o valor do título, um valor futuro a receber depois 
de determinado prazo, corresponde a um valor monetário (R$);
Vc ⇒ Valor descontado, ou valor atual: é a diferença entre o valor 
nominal e o desconto, é um valor monetário(R$); 
i ⇒ Taxa de desconto, apresentada em porcentagem (%): deve ser usada 
na forma unitária.
n ⇒ Prazo ou período: o período deve coincidir com o período da taxa.
Vamos a um exemplo, note que o exemplo usado é exatamente igual ao 
exemplo feito no desconto racional simples. Assim, você poderá avaliar a 
diferença entre os dois descontos com maior facilidade.
Exemplo 1
Considere um título de R$ 5.000,00 com vencimento em 24 meses, no 
qual serão adiantados 4 meses do seu vencimento. Sendo de 36% a.a. a 
taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto comercial e o 
valor descontado dessa operação.
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Solução::
24 meses (n)
M = $ 5.000,00
Valor Descontado
 3636% . 3% . .
12
a a a m⇒ ⇒
Figura 10 – Representação da operação de desconto.
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
Vamos ao cálculo do desconto. 
A taxa de juros vai incidir diretamente sobre o valor nominal, resultando em 
um valor maior de desconto, aumentado o custo para o tomador do recurso.
Logo:
5.000 0,03 4
$ 600,00
c
c
c
D N i n
D
D
= × ×
= × ×
=
Para encontrar o valor descontado ou atual comercial, podemos proceder 
de duas formas.
1ª opção
Como:
isolando 
5.000,00 600,00
$ 4.400,00
c c
c
c c
r
r
D N V
V
V N D
V
V
= -
= -
= -
=
www.esab.edu.br 148
2ª opção
Segue:
(1 )
5.000,00 (1 0,03 4)
5.000,00 (1 0,12)
5.000,00 (0,88)
$ 4.400,00
c
c
c
c
c
V N i n
V
V
V
V
= × - ×
= × - ×
= × -
= ×
=
Na primeira opção, aplicamos a ideia geral de desconto. Na segunda 
opção, essa ideia pode ser usada quando temos somente o valor nominal. 
Agora, vamos comparar os dois descontos. Na unidade anterior, 
calculamos o valor do desconto racional. Nessa situação, chegamos ao 
valor de R$ 535,71. Já no desconto comercial, o valor foi de R$ 600,00. 
Por fim, destacamos que na prática o desconto comercial é mais utilizado 
do que o racional.
Nesta unidade, vimos como se comporta matematicamente o desconto 
comercial simples: no desconto comercial, a taxa incide sobre o valor 
nominal, resultando em um desconto maior do que o encontrado no 
desconto racional. Na próximaunidade, iremos resolver alguns exercícios 
para maior entendimento dos conceitos vistos até o momento.
www.esab.edu.br 149
Resumo
Na unidade 19, vimos o conceito de taxa nominal, que é uma taxa 
apresentada com o prazo de capitalização dos juros (ou seja, período 
de formação e incorporação dos juros ao principal) diferente daquele 
definido para taxa de juros. Geralmente, essa taxa é dada em anos 
e a frequência de capitalização é mensal. Tratamos, ainda, da taxa 
efetiva, que é a taxa apurada durante todo o prazo n e que é formada 
exponencialmente através dos períodos de capitalização. Concluímos 
que a taxa nominal não é usada em cálculos financeiros, antes de 
transformada em taxa efetiva. 
Estudamos a taxa interna de retorno na unidade 20. Vimos que, segundo 
Assaf Neto (2009), a taxa de retorno constitui-se em um dos mais 
importantes instrumentos de avaliação da matemática financeira. Na 
unidade 21, você teve a oportunidade de ver alguns exemplos sobre juros 
compostos. Dedicamos as unidades seguintes ao estudo do desconto, 
operação usada em larga escala pelas instituições financeiras. Na unidade 
22, conhecemos o conceito de desconto. Na unidade 23, conhecemos o 
desconto racional (por dentro) e, na unidade 24, o desconto comercial 
(por fora). Tivemos a oportunidade de deduzir ambas as fórmulas para 
o regime de capitalização simples, calculamos o desconto comercial 
racional e comercial, bem como o valor atual, ou valor descontado dos 
dois tipos de desconto.
www.esab.edu.br 150
25 Exercícios resolvidos
Objetivo
Exemplificar os conceitos vistos até o presente momento.
Na unidade anterior, falamos do desconto comercial, ou desconto por 
fora. Concluímos que, diferentemente do desconto racional, em que 
a taxa de juros incide sobre o valor do capital, no desconto comercial 
a taxa de juros incide sobre o valor nominal, ou valor futuro. Vimos 
ainda que o desconto racional é menor que o desconto comercial, e essa 
modalidade de desconto é a mais utilizada pelas instituições financeiras. 
Nesta unidade, iremos apresentar alguns exercícios resolvidos envolvendo 
ideias encontradas nas unidades anteriores, resolveremos exercícios de 
taxa nominal, taxa efetiva, taxa interna de retorno e desconto racional e 
comercial. Preparados?
Exercício 1 
Uma instituição oferece uma aplicação que rende uma taxa de juros de 
24% ao ano. Contudo, a frequência de capitalização é mensal, ou seja, 
a taxa de juros incide sobre o capital mensalmente. Pergunta-se: Qual a 
taxa de juros mensal e qual a taxa efetiva anual dessa aplicação?
Solução:
Como a taxa apresentada é uma taxa que difere da frequência de 
capitalização, podemos concluir que essa é uma taxa nominal e, assim 
como vimos na unidade 19, vamos encontrar a taxa proporcional mensal.
Portanto, a taxa mensal é 24 2% a.m.
12
= 
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A taxa efetiva em um ano será encontrada usando a fórmula da taxa 
efetiva, também vista na unidade 19. Segue:
(1 ) 1
Sendo
2% 0,02
12 meses
q
efi i
i
q
= + -
= =
=
12
12
(1 0,02) 1
(1,02) 1
1,2682 1
0,2682 100
26,82% a.a.
ef
ef
ef
ef
ef
i
i
i
i
i
= + -
= -
= -
= ×
=
Assim, uma taxa mensal de 2%, incidindo sobre um capital no regime de 
capitalização composto, tem uma taxa efetiva anual de juros de 26,82% a.a.
Exercício 2
Dona Maria recebeu uma herança, e como costuma ler muito sobre 
educação financeira, resolveu garantir o seu futuro. Vai aplicar grande 
parte do seu novo capital. Mas ela pretende fazer uma viagem pelo 
mundo por cinco anos. Fez uma pesquisa e percebeu que precisaria de 
certa quantia, a cada ano, para realizar sua aventura. Além de concluir 
que precisa de R$ 100.000,00 a cada ano, Dona Maria vai aplicar um 
capital para resgatar, a cada ano, o valor pretendido. Considerando uma 
taxa interna de retorno anual de 12,68%, calcule o valor do depósito 
inicial que deverá ser feito por ela para resgatar R$ 100.000,00 a cada 
ano, nos cinco anos de viagem.
Solução:
Vamos usar agora um conceito visto na unidade 20: a taxa interna de 
retorno. Segundo Assaf Neto (2009), é a taxa que iguala, em uma única 
data, os fluxos de entrada e saída de caixa produzidos por uma aplicação 
financeira. 
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Como Dona Maria irá resgatar R$ 100.000,00 a cada ano, iremos 
encontrar o valor atual que permite fazer esses resgates. Logo:
- + + +
+ +
+ + + =
+ +
1 2
3
(1 TIR) (1 TIR)
... 0
(1 TIR) (1 TIR)n
R RI
R R
Nessa fórmula:
I é o valor da aplicação inicial;
R é o valor resgatado a cada ano = R$ 100.000,00;
TIR é a taxa interna de retorno anual = 12,68% = 0,1268.
Colocando I para o outro lado da igualdade, temos:
- + + + +
+ + +
+ +
+ +
1 2 3
4 5
(1 TIR) (1 TIR) (1 TIR)
(1 TIR) (1 TIR)
R R RI
R R
Perceba que a equação possui cinco termos no lado direito da igualdade. 
Isso é porque Dona Maria pretende resgatar R$ 100.000,00 a cada cinco 
anos de viagem.
www.esab.edu.br 153
Aplicando os valores na equação, temos:
= + + +
+ + +
+ +
+ +
= + + +
+ +
= +
1 2 3
4 5
1 2 3
4 5
100.000 100.000 100.000
(1 0,1268) (1 0,1268) (1 0,1268)
100.000 100.000
(1 0,1268) (1 0,1268)
100.000 100.000 100.000
(1,1268) (1,1268) (1,1268)
100.000 100.000
(1,1268) (1,1268)
100.000
1,1268
I
I
I + +
+ +
= + + +
+ +
=
100.000 100.000
1,2697 1,4306
100.000 100.000
1,6120 1,8165
88.746,90 78.758,76 69.900,74
62.034,74 55.050,92
$ 354.492,06
I
I
O valor que Dona Maria terá que depositar para resgatar R$ 100.000,00 
a cada ano, com uma aplicação que oferece uma taxa interna de retorno 
de 12,68% a.a., é R$ 354.492,06. 
Dica
Em exercícios como este, em que temos muitos 
valores calculados, deve-se tomar cuidado com os 
arredondamentos. Fazendo-os somente no final 
da conta, você diminui o seu erro propagado.
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Exercício 3
Considere que um banco desconta um título de valor nominal de R$ 
26.000,00, 90 dias antes de seu vencimento. Nessa operação, o banco 
cobra 2% ao mês de taxa de desconto. Calcule:
a. O valor do desconto e o valor descontado (valor atual), considerando 
a modalidade de desconto racional por dentro.
Solução:
Iremos aplicar primeiro a fórmula do valor atual no desconto racional, 
visto na unidade 23. Posteriormente, precisaremos subtrair o valor 
encontrado do valor nominal para encontrar o valor do desconto. Note 
que poderíamos encontrar primeiro o valor do desconto racional e 
subtraí-lo do valor nominal. A taxa foi dada em meses, logo teremos que 
converter 90 dias para 3 meses (1 mês tem 30 dias). Segue:
(1 )r
NV
i n
=
+ ×
Sendo
( )
$ 26.000
0,02
3 meses
26.000
1 0,02 3
26.000
1 0,02 3
26.000
1,06
$ 24.528,30
r
r
r
r
N
i
n
V
V
V
V
=
=
=
=
+ ×
=
+ ×
=
=
www.esab.edu.br 155
Como: 
26.000,00 24.528,30
$ 1.471,70
r r
r
r
D N V
D
D
= -
= -
=
Assim, o desconto racional foi de R$ 1.471,70 e o valor atual racional foi 
de R$ 24.528,30.
b. O valor do desconto e o valor líquido liberado ao cliente, 
considerando o desconto comercial ou “por fora”. 
Iremos aplicar a fórmula do desconto comercial, que foi estudada na 
unidade 24. Nesta aplicação da taxa de desconto, i incidirá sobre o 
valor futuro, ou valor nominal, fazendo com que os descontos tenham o 
mesmo valor em todos os períodos (PUCCINI, 2011).
Segue:
26.000 0,02 3
$ 1.560,00
c
c
c
D N i n
D
D
= × ×
= × ×
=
 
Como:
26.000,00 1.560,00
$ 24.440,00
c c
c
c
V N D
V
V
= -
= -
=
Concluímos que o desconto comercial foi de R$ 1.560,00 e o valor atual 
foi de R$ 24.440,00.
Caro acadêmico, nesta unidade apresentamos alguns exercícios resolvidospara aprimorar seu aprendizado. Na próxima unidade, usando as ideias 
de Puccini (2011) e Assaf Neto (2009), iremos tratar do desconto 
racional no regime de capitalização composto.
www.esab.edu.br 156
26 Desconto racional composto
Objetivo
Apresentar o conceito de desconto racional composto e efetuar 
cálculos de desconto racional composto.
Caro acadêmico, na unidade anterior apresentamos alguns exercícios 
resolvidos, abordando assuntos vistos até o momento – como taxa 
nominal, taxa efetiva, taxa interna de retorno e o desconto racional e 
comercial no regime de capitalização simples. Nesta unidade, falaremos 
do desconto racional no regime de capitalização composto. A partir das 
ideais de Puccini (2011) e Assaf Neto (2009), iremos demonstrar como 
podemos chegar à fórmula do desconto racional composto e aplicá-la. 
O desconto racional no regime de capitalização composto segue a ideia 
apresentada na unidade 17, em que são incorporados ao capital não 
somente os juros referentes a cada período mas também os juros sobre os 
juros acumulados até o momento (ASSAF NETO, 2009). 
Assim, partindo da fórmula do montante nesse regime, temos:
( )
( )
1
1
n
n
r
M C i
N V i
= × +
↓ ↓
= × +
Como visto anteriormente, o montante é um valor monetário futuro, 
como o valor nominal, e o capital é o valor presente que se compara ao 
valor descontado, ou valor atual, no desconto. Dessa forma, observe a 
expressão para o valor atual no desconto racional composto, isolando Vr:
( )1r n
NV
i
=
+
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Note que essa expressão lembra a que utilizamos quando apresentamos 
o conceito de taxa interna de retorno na unidade 20. Em ambos os 
conceitos, usa-se a ideia de trazer um valor para uma determinada data 
focal. A modelagem matemática é a mesma, contudo o que difere é o 
enredo em que o conceito é aplicado. 
A matemática financeira é fundamentada no conceito inicial de acumulação de 
capital, ou formação do montante, seja no regime de capitalização simples, seja no 
composto. Todas as fórmulas, direta ou indiretamente, partem desse conceito.
Agora, vamos demonstrar a fórmula do desconto racional composto. 
Sabemos que:
r rD N V= -
Substituindo em ,
(1 )r rn
NV D
i
=
+
 temos que: 
(1 )r n
ND N
i
= -
+
Colocando o valor nominal em evidência, segue:
11
(1 )r n
D N
i
 = × - + 
Estas são as duas fórmulas usadas na resolução de exercícios de desconto, 
na modalidade desconto racional regime de capitalização composto:
Valor do desconto Valor descontado ou atual
11
(1 ) (1 )r rn n
ND N V
i i
 = × - = + + 
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Em que:
Dr ⇒ Desconto racional: é a quantia a ser abatida do valor nominal.
N ⇒ Valor nominal: é o valor do título, um valor futuro a receber depois 
de determinado prazo, é um valor monetário (R$).
Vr ⇒ Valor descontado, ou valor atual: é a diferença entre o valor 
nominal e o desconto, é um valor monetário (R$). 
i ⇒ Taxa de desconto: apresentada em porcentagem (%), deve ser usada 
na forma unitária.
n ⇒ Prazo ou período: deve coincidir com o período da taxa.
Vejamos, a seguir, um exemplo proposto por Puccini (2011).
Exemplo 
O montante de R$ 1.000,00, colocado no final do 4º mês do diagrama 
indicado na Figura 11, deve ser capitalizado e descontado com taxa de 
1% ao mês, no regime de capitalização composto.
meses
1 2 3 4 5 6 7
$ 1.000,00$ ? $ ?
Figura 11 – Fluxo de Caixa.
Fonte: Adaptada de Puccini (2011).
www.esab.edu.br 159
Considerando essa situação, determine:
a. O valor acumulado no final do 7º mês pela capitalização do 
montante de R$ 1.000,00, indicado no diagrama.
Solução:
Como a taxa está em conformidade com o período, iremos aplicar o 
conceito de montante composto visto na unidade 17. Segue:
3
(1 )
1.000 (1 0,01)
nM C i
M
= × +
= × +
Note que o período usado foi de três meses, que é a diferença entre o 7º 
e o 4º mês.
31.000 (1,01)
1000 1,0303
$ 1.030,30
M
M
M
= ×
= ×
=
Portanto, o valor acumulado no final do 7º mês é de R$ 1.030,30.
b. O valor que deve ser investido no final do 1º mês para se obter o 
montante de R$ 1.000,00 indicado no diagrama.
Solução:
Vamos aplicar o conceito de desconto racional no regime de capitalização 
composto, já que iremos encontrar o valor atual na data focal 
correspondente ao 1º mês. Então, temos:
=
+
=
+ 3
(1 )
1.000
(1 0,01)
r n
r
NV
i
V
www.esab.edu.br 160
O período usado nesta situação também foi de 3 meses, que é a diferença 
entre o 4º e o 1º mês. Temos:
3
1.000
(1,01)
1.000
1,0303
$ 970,59
r
r
r
V
V
V
=
=
=
Assim, o valor descontado, ou seja, o valor que deverá ser aplicado no 1º 
mês para ter o montante de R$ 1.000,00 no 4º mês, é de R$ 970,59.
Nesta unidade tratamos do desconto racional composto. Vimos que a ideia 
inicial da capitalização composta foi mantida, demonstramos as fórmulas 
do desconto por dentro no regime de capitalização composto e a do valor 
atual. Na próxima unidade, falaremos do desconto “por fora” no regime 
de capitalização composto. Essa modalidade de desconto é utilizada pelas 
instituições financeiras para operações de desconto a longo prazo.
Tarefa dissertativa
Caro estudante, convidamos você a acessar o 
Ambiente Virtual de Aprendizagem e realizar a 
tarefa dissertativa.
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27 Desconto comercial ou bancário composto
Objetivo
Mostrar o conceito de desconto comercial composto e efetuar cálculos 
de desconto comercial composto.
Na unidade anterior, vimos o desconto racional no regime de 
capitalização composto. Nesta unidade, vamos apresentar o desconto 
comercial composto a partir do trabalho de Assaf Neto (2009). 
Primeiramente, destacamos que o desconto comercial no regime 
de capitalização composto é utilizado pelas instituições financeiras, 
principalmente em operações de longo prazo. 
Assaf Neto (2009) diz que o desconto comercial composto caracteriza-se 
pela incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o valor nominal do 
título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos obtidos em 
períodos anteriores.
Vamos agora demonstrar a fórmula do desconto comercial composto. 
Considere uma taxa de desconto i incidindo sobre o valor nominal N, 
como: Vc = N ‒ Dc e Dc = N × i × n
Substituindo o desconto comercial Dc da 1ª equação, temos no 1º período:
1
1
1
1
(com 1)
(1 )
c c
c
c
c
V N D
V N N i n n
V N N i
V N i
= -
= - × × =
= - ×
= × -
www.esab.edu.br 162
Agora, o valor atual Vc1 é o novo valor nominal no 2º período. Tal 
procedimento, de fazer desconto sobre desconto, é o que caracteriza o 
desconto comercial composto. Assim, a taxa irá incidir sobre N (1‒ i ), logo:
2
2 1
2 1 1
2
(lembre que consideramos )
(1 ) (1 )
c c
c c
c c c
c
V N D
V N N i N V
V V V i
V N i N i i
= -
= - × =
= - ×
= × - - × - ×
Aplicando a propriedade distributiva da matemática, segue:
2
2
2
2
2
2
2
(1 ) (1 )
(1 ) (1 )
( )
2
c
c
c
c
c
V N i N i i
V N i N i i
V N Ni N Ni i
V N Ni Ni Ni
V N Ni Ni
= × - - × - ×
= × - - × - ×
= - - - ×
= - - +
= - +
Em seguida, vamos colocar N em evidência:
2
2
2
2
2
(1 2 )
c
c
V N Ni Ni
V N i i
= - +
= × - +
Note que 1 ‒ 2i + i2 é um produto notável como (a ‒ b)2 = a2 ‒ 2ab + b2. 
Assim, podemos afirmar que 1 ‒ 2i + i2 = (1 ‒ i)2, logo:
( )22
2
2
1 2
(1 )
c
c
V N i i
V N i
= × - +
= × -
Depois, vamos considerar que a taxa incida pela 3ª vez sobre o valor 
nominal, ou seja, consideremos um 3º período. O novo valor nominal será 
Vc2 O valor descontado anteriormente será o novo valor nominal, assim:
www.esab.edu.br163
= -
= - × =
= - ×
= × - - × - ×
= × - + - × - + ×
 
 
2 2
3
3 2
3 2 2
2 2
3
2 2
3
(como )
(1 ) (1 )
(1 2 ) (1 2 )
Produtonotável Produtonotável
c c
c c
c c
c c c
c
V V
c
V N D
V N N i V N
V V V i
V N i N i i
V N i i N i i i
Multiplicando termo a termo, temos:
2 2
3
2 2 3
3
2 2 3
3
2 3
3
2 ( 2 )
2 ( 2 )
2 2
3 3
c
c
c
c
V N Ni Ni N Ni Ni i
V N Ni Ni Ni Ni Ni
V N Ni Ni Ni Ni Ni
V N Ni Ni Ni
= - + - - + ×
= - + - - +
= - + - + -
= - + -
Colocando N em evidência:
2 3
3 (1 3 3 )cV N i i i= × - + -
Como 2 31 3 3i i i- + - é um produto notável, e o cubo da soma de dois 
termos nos dá ³ ³ 3 ² ) ² ³( 3 ,a ab b aba b= + ++ + podemos afirmar 
que: 
2 3 3
3
3
1 3 3 (1 ) , logo:
(1 )c
i i i i
V N i
- + - = -
= × -
Note que para o primeiro período encontramos 1 (1 );cV N i= × - para o 
segundo período, 22 (1 ) ;cV N i= × - e para o terceiro, 
3
3 (1 ) .cV N i= × - 
Dessa forma, vamos generalizar para infinitos períodos, ou seja, no 
enésimo período, temos:
(1 )ncV N i= × -
www.esab.edu.br 164
Sabemos que:
c cD N V= - 
Assim, substituindo o valor atual e colocando o valor nominal em 
evidência, temos:
(1 )
1 (1 )
n
c
n
c
D N N i
D N i
= - × -
 = × - - 
Estas são as duas fórmulas usadas na resolução de exercícios de desconto 
comercial no regime de capitalização composto:
Valor do desconto Valor descontado ou atual
(1 ) 1 (1 )n nc cV N i D N i = × - = × - - 
Em que:
Dc ⇒ Desconto comercial: é a quantia a ser abatida do valor nominal.
N ⇒ Valor nominal: é o valor do título, um valor futuro a receber depois 
de determinado prazo, é um valor monetário (R$).
Vc ⇒ Valor descontado, ou valor atual: é a diferença entre o valor 
nominal e o desconto, é um valor monetário (R$). 
i ⇒ Taxa de desconto: apresentada em porcentagem (%), deve ser usada 
na forma unitária.
n ⇒ Prazo ou período: o período deve coincidir com o período da taxa.
Estudo complementar
Caro estudante, agora que você já conhece os 
descontos racional e comercial, assista o vídeo 
clicando aqui e aprenda um pouco mais sobre 
esses descontos.
www.esab.edu.br 165
Vejamos, agora, um exemplo proposto por Assaf Neto (2009). 
Exemplo 
Um título foi descontado à taxa de 3% a.m. cinco meses antes de seu 
vencimento. Sabe-se que essa operação produziu um desconto de R$ 
39.000,00. Admitindo o conceito de desconto composto “por fora”, 
vamos calcular o valor nominal do título.
Solução:
Essa é uma aplicação simples do desconto comercial no regime de 
capitalização composto, visto que as aplicações reais dessa modalidade 
são pouco encontradas. 
Neste caso, a taxa de desconto e o período coincidem. Logo, aplicando a 
fórmula de desconto, temos:
 1 (1 )ncD N i = × - - 
Sendo que:
[ ]
5
5
$39.000,00
0,03
5 meses
39.000 1 (1 0,03)
39.000 1 (0,97)
39.000 1 0,8587
39.000 0,1413
39.000
0,1413
$ 276.008, 49
cD
i
n
N
N
N
N
N
N
=
=
=
 = × - - 
 = × - 
= × -
= ×
=
=
www.esab.edu.br 166
Dessa forma, descobrimos que o valor do título que foi antecipado 5 
meses, gerando um desconto de R$ 39.000,00, era de R$ 276.008,49.
Nesta unidade vimos o desconto comercial composto, segundo Assaf 
Neto (2009), o qual se caracteriza pela incidência sucessiva da taxa de 
desconto sobre o valor nominal, que é deduzido, em cada período, dos 
descontos obtidos em períodos anteriores. Vimos, ainda, que o desconto 
comercial composto tem pouca aplicação na prática, e aparece com 
mais frequência em operações de longo prazo. Na próxima unidade, 
iremos apresentar alguns exercícios resolvidos sobre desconto racional e 
comercial no regime simples e composto.
Atividade
Chegou a hora de você testar seus conhecimentos 
em relação às unidades 19 a 27. Para isso, dirija-
se ao Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) e 
responda às questões. Além de revisar o conteúdo, 
você estará se preparando para a prova. Bom 
trabalho!
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28 Exercícios resolvidos
Objetivo
Exemplificar os conceitos vistos até o presente momento.
Caro acadêmico, na unidade anterior estudamos a modelagem 
matemática do desconto comercial no regime de capitalização composto. 
Nesta unidade, iremos apresentar alguns exercícios contemplando o 
desconto racional e comercial no regime de capitalização composto a 
partir das ideias de Crespo (2009) e Assaf Neto (2009). 
Exercício 1
Um título de valor nominal de R$ 35.000,00 é negociado mediante 
uma operação de desconto composto “por fora” três meses antes de seu 
vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% ao mês. Pede-se 
determinar o valor do desconto e o valor descontado (ASSAF NETO, 2009).
Solução:
Primeiramente, vamos descobrir o valor do desconto. Para isso, 
aplicaremos a fórmula do desconto comercial composto – a taxa e o 
período estão em conformidade –, assim:
1 (1 )ncD N i = × - - 
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Sendo que:
[ ]
3
3
$ 35.000,00
0,05
3 meses
35.000 1 (1 0,05)
35.000 1 (0,95)
35.000 1 0,8573
35.000 0,142625
$ 4.991,88
c
c
c
c
c
N
i
n
D
D
D
D
D
=
=
=
 = × - - 
 = × - 
= × -
= ×
=
O valor do desconto foi de R$ 4.991,88.
Agora vamos descobrir o valor descontado. Para calcularmos esse valor, 
vamos usar a fórmula do valor atual, tema abordado na unidade 27. Temos:
(1 )ncV N i= × -
Sendo:
3
3
$ 35.000,00
0,05
3 meses
35.000 (1 0,05)
35.000 (0,95)
35.000 0,857375
$ 30.008,12
c
c
c
c
N
i
n
V
V
V
V
=
=
=
= × -
= ×
= ×
=
O valor atual (ou descontado) de um valor nominal de R$ 35.000,00, a 
uma taxa de 5% ao mês, antecipando 3 meses, é de R$ 30.008,12.
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Exercício 2
Um título, para ser pago daqui a 12 meses, foi descontado 5 meses antes 
de seu vencimento. O valor nominal do título é de R$ 42.000,00 e a taxa 
de desconto de 3,5% ao mês. Atente para o fluxo de caixa, a seguir, e 
calcule o valor líquido liberado nesta operação, considerando o desconto 
“por fora” e “por dentro” (ASSAF NETO, 2009).
12 meses
0 7 12
N = $ 42.000,00Vr
Figura 12 – Fluxo de caixa.
Fonte: Adaptada de Assaf Neto (2009).
Vamos começar a resolução deste exercício calculando o desconto 
racional (por dentro). 
Note que o intervalo entre 7 e 12 meses é um período de 5 meses. Por 
isso, aplicamos a fórmula do valor atual racional composto, vista na 
unidade 26, assim:
5
5
(1 )
42.000
(1 0,035)
42.000
(1,035)
42.000
1,187686
42.000
1,187686
$ 35.362,87
r n
r
r
r
r
r
NV
i
V
V
V
V
V
=
-
=
+
=
=
=
=
www.esab.edu.br 170
O valor atual no desconto racional é de R$ 35.362,87.
Agora vamos calcular o desconto comercial (por fora).
Aplicando a fórmula do desconto comercial composto, estudada na 
unidade 27, temos:
5
5
(1 )
42.000 (1 0,035)
42.000 (0,965)
42.000 0,836828
$ 35.146,80
n
c
c
c
c
c
V N i
V
V
V
V
= × -
= × -
= ×
= ×
=
O valor atual comercial foi de R$ 35.146,80, menor que o valor 
descontado atual. Como vimos anteriormente, o desconto comercial é 
sempre maior que o racional.
Exercício 3
Dona Maria resolveu ajudar um amigo adiantando o valor de um título 
que ele receberia em quatro meses. Para não perder dinheiro, fez uma 
operação de desconto. Calcule o valor do desconto racional desse título, 
com valor nominal de R$ 12.000,00, descontado 4 meses antes de seu 
vencimento, à taxa de 2,5% ao mês (ASSAF NETO, 2009).
Solução: 
Aqui vamos aplicar a fórmula do desconto racionalno regime de 
capitalização composto, que foi vista na unidade 26. A taxa está na 
mesma unidade de tempo do período, 2,5% ao mês. Seguem os dados 
do problema:
$12.000,00
4 meses
2,5% a.m.
?r
N
n
i
D
=
=
=
=
 
www.esab.edu.br 171
4
4
11
(1 )
112.000 1
(1 0,025)
112.000 1
(1,025)
112.000 1
1,103813
12.000 (1 0,905950)
12.000 0,0940493
$ 1.128,59
r n
r
r
r
r
r
r
D N
i
D
D
D
D
D
D
 = × - - 
 = × - + 
 = × - 
 
 = × - 
 
= × -
= ×
=
No regime de capitalização composto, o valor do desconto racional de 
um título com valor nominal de R$ 12.000,00, a uma taxa mensal de 
2,5% e com antecipação de 4 meses, é R$ 1.128,59.
Caro aluno, nesta unidade resolvemos alguns exercícios sobre desconto 
comercial e racional no regime de capitalização composto. Como 
comentamos anteriormente, a aplicação prática do desconto composto 
é bastante rara. Contudo, conseguimos contemplar exemplos que irão 
ajudá-lo no entendimento dessa modalidade de desconto. Na próxima 
unidade, iremos tratar das diferenças entre esses dois tipos de desconto, 
com atenção especial à taxa efetiva no desconto comercial, que é uma das 
características mais importantes para diferenciar o desconto comercial do 
racional. Até lá!
www.esab.edu.br 172
29 Comparação entre os tipos de desconto
Objetivo
Comparar os tipos de desconto e gerar uma interpretação dos 
resultados obtidos.
Caro aluno, na unidade anterior, apresentamos alguns exercícios 
resolvidos a fim de aprimorar seu aprendizado e rever os conceitos vistos 
até o momento. Nesta unidade iremos comparar as duas modalidades de 
desconto, o racional e o comercial. Para isso, utilizaremos as principais 
ideias de Assaf Neto (2009). Daremos ênfase ao desconto no regime de 
capitalização simples, já que, como vimos nas unidades anteriores, o 
desconto composto tem raríssimas aplicações práticas. 
No desconto racional, a taxa incide sobre o valor inicial, ou seja, sobre 
o valor do capital; já no desconto comercial, a taxa incide sobre o valor 
nominal, gerando um custo maior ao tomador do recurso (ASSAF 
NETO, 2009).
A fim de comparar as duas formas de efetuar o desconto, vamos 
considerar o pagamento de um título com valor nominal de R$ 
1.000,00, período de 30 dias (um mês), e taxa de 10% a.m. Assim, 
vejamos qual o valor atual em cada modalidade de desconto. 
Para calcular o desconto racional, temos:
$ 1.000,00
1 mês
10% a.m. forma unitária, 0,1 a.m.
?r
N
n
i
V
=
=
= ⇒
=
 
www.esab.edu.br 173
Aplicando a fórmula do valor atual racional, temos:
(1 )
1.000
(1 0,10 1)
1.000
(0,10)
$ 909,09
r
r
r
r
NV
i n
V
V
V
=
+ ×
=
+ ×
=
=
 
O valor do desconto racional simples foi de R$ 909,09.
Já para o cálculo do desconto comercial, temos:
$ 1.000,00
1 mês
10% a.m. forma unitária, 0,1 a.m.
?c
N
n
i
V
=
=
= ⇒
=
Segue:
(1 )
1.000 (1 0,10 1)
1.000 (0,90)
$ 900,00
c
c
c
c
V N i n
V
V
V
= × - ×
= × - ×
= ×
=
 
Note que o valor resgatado no desconto comercial é menor que no 
desconto racional. Nos dois casos, a taxa de desconto foi de 10% a.m. 
O que acontecerá se fizermos o processo inverso, ou seja, capitalizarmos 
os dois valores atuais para voltarmos ao valor nominal de R$ 1.000,00? 
Vamos conferir!
www.esab.edu.br 174
Primeiro caso – Capitalização do valor atual encontrado no 
desconto racional. Neste caso, o valor atual será o capital, sendo que 
consideraremos a mesma taxa e o mesmo período do exemplo anterior. 
Então, temos: 
(1 )
909,09 (1 0,10 1)
909,09 1,10
$ 999,99 ou seja,
$ 1.000,00
M C i n
M
M
M
M
= × + ×
= × + ×
= ×
=
=
 
Note que o valor do montante foi R$ 1.000,00, ou seja, no desconto 
racional a taxa efetiva tem o mesmo valor da taxa de desconto. Agora, 
vejamos o que ocorre no desconto comercial.
Segundo caso – Capitalização do valor atual encontrado no desconto 
comercial. Para este cálculo, temos:
(1 )
900,00 (1 0,10 1)
900,00 1,10
$ 990,00
M C i n
M
M
M
= × + ×
= × + ×
= ×
=
Neste caso, você pode observar que o valor atual, quando capitalizado na 
mesma taxa e período, resulta no valor nominal de R$1.000,00, o que 
nos faz concluir que a taxa efetiva não tem o mesmo valor que a taxa de 
desconto. Desta forma, torna-se imprescindível a pergunta: Qual a taxa 
efetiva em uma operação de desconto comercial de 30 dias, com uma 
taxa de 10% a.m.?
www.esab.edu.br 175
Para demostrar a fórmula da taxa efetiva de desconto, vamos considerar 
as duas fórmulas a seguir:
(1 )
(1 ) isolando
(1 )
c
c
M C i n
VF VP
V
V N i n N N
i n
VP VF
= × + ×
↓ ↓
= × + × ⇒ =
+ ×
↓ ↓
Considerando um mesmo valor futuro, ou seja, M = N, temos:
=
/
× + × =/
+ ×
+ × =
+ ×
(1 )
(1 )
11
(1 )
c
M N
V
C i n
i n
i n
i n
Do lado esquerdo da expressão, iremos considerar i como ,efi o período 
como n = 1, e como ,cC V= (lembre-se de que cV corresponde ao 
valor atual, o qual, caso seja capitalizado, gera um valor equivalente ao 
montante, ou seja, podemos aplicar em cV a ideia de capital inicial) eles 
foram anulados, segue:
+ × =
+ ×
= -
+ ×
11 1
(1 )
1 1
(1 )
ef
ef
i
i n
i
i n
www.esab.edu.br 176
Multiplicando todos os termos por (1 – i × n), temos:
( ) × + ×× - × = - × + ×
+ ×
× + × = - + ×/ /
1 (1 )1 1 (1 )
(1 )
(1 ) 1 1
ef
ef
i ni i n i n
i n
i i n i n
Desse modo, a fórmula para encontrar a taxa efetiva de desconto por 
fora, ou taxa implícita, conhecendo a taxa de desconto e o período, é:
1ef
i ni
i n
×
=
- ×
Em que:
ief ⇒ Taxa efetiva ou taxa implícita (%);
i ⇒ Taxa de desconto comercial (%);
n ⇒ Prazo ou período, o qual deve coincidir com o período da taxa de 
desconto.
Assim, segundo Assaf Neto (2009), a operação de desconto “por fora” 
a uma determinada taxa i, e a um prazo n, implica a existência de uma 
taxa implícita, a qual chamamos de ,efi apurada para esse mesmo prazo, 
a qual é calculada segundo os critérios do desconto racional (por dentro). 
Nesta unidade, vimos a principal diferença entre o desconto racional e 
comercial, a partir de alguns exemplos. O desconto comercial sugere uma 
taxa implícita de juros, que é calculada conhecendo a taxa de desconto 
e o período com a fórmula: .
1ef
i ni
i n
×
=
- ×
 Na próxima unidade, 
iremos apresentar alguns exercícios resolvidos com um grau maior 
de complexidade, envolvendo situações de desconto comercial com 
cobrança de taxa de serviço e Imposto sobre Operação Financeira (IOF). 
Vamos lá!
www.esab.edu.br 177
30 Exercícios resolvidos
Objetivo
Exemplificar as diferenças entre os tipos de desconto.
Na unidade anterior, diferenciamos desconto comercial de desconto 
racional, conhecemos a taxa implícita em uma operação de desconto 
comercial e demonstramos sua fórmula. 
Nesta unidade, resolveremos exercícios sobre desconto racional no regime 
de capitalização simples e desconto comercial. Daremos maior ênfase aos 
exercícios de desconto comercial com taxa efetiva. 
Exercício 1
Um título no valor de R$ 22.000,00 é descontado dois meses antes de seu 
vencimento. O conceito usado na operação é de desconto “por fora”, sendo 
a taxa de desconto considerada de 48% ao ano. Pede-se calcular a taxa 
efetiva mensal composta de juros dessa operação (ASSAF NETO, 2009).
Solução:
Essa é uma aplicação da fórmula da taxa efetiva no desconto comercial, 
vista na unidade 29. A taxa de desconto está determinada em ano, logo 
teremos de convertê-la para mês, 48 4% a.m.
12
=
www.esab.edu.br 178
Fórmula da taxa efetiva:
×
=
- ×
×
=
- ×
=
1
0,04 2
1 0,042
0,0869 ou 8,69% ao bimestre
ef
ef
ef
i ni
i n
i
i
A taxa efetiva foi encontrada para o período de dois meses, ou seja, um 
bimestre. Assim, encontraremos a taxa equivalente mensal. Se necessário, 
relembre a aplicação da fórmula da taxa equivalente, apresentada na 
unidade 18:
1
2
1
2
1
2
(1 ) 1
(1 0,0869) 1
(1,0869) 1
1,0869 1
1,04254 1
0,04254 100
4,254% a.m.
n
n
eq
eq
eq
eq
eq
eq
eq
i i
i
i
i
i
i
i
= + -
= + -
= -
= -
= -
= ×
=
A taxa efetiva composta de juros desta operação, sendo a taxa de 
desconto considerada de 48% ao ano é de 4,254% a.m.
www.esab.edu.br 179
Exercício 2
Um banco oferece um empréstimo com taxa efetiva de 4,7% a.m. para 
um prazo de 40 dias. Nessa alternativa, o pagamento do principal, 
acrescido dos juros, é efetuado ao final do período contratado.
O banco deseja oferecer esse mesmo empréstimo, porém mediante uma 
operação de desconto, cobrando uma taxa antecipada “por fora”. Qual 
deve ser a taxa de desconto mensal de forma que o custo efetivo da 
operação não se altere (ASSAF NETO, 2009)?
Solução:
Vamos aplicar a fórmula da taxa efetiva, vista na unidade 29, contudo, 
teremos que colocar a taxa de desconto em evidência. A taxa efetiva é de 
4,7% a.m., logo teremos que encontrar a taxa equivalente para 40 dias – 
em n1 substitui-se o período da taxa equivalente; já em n2, o período da 
taxa que temos, ou seja, a que vai ser transformada. 
Vejamos:
= + -
= + -
= -
= -
= -
= ×
=
1
2
40
30
4
3
43
(1 ) 1
(1 0,047) 1
(1,047) 1
1,047 1
1,06315 1
0,06315 100
6,315% para 40 dias.
n
n
eq
eq
eq
eq
eq
eq
eq
i i
i
i
i
i
i
i
Agora, usando a fórmula da taxa efetiva, vamos isolar a taxa de desconto 
i e encontrá-la para 40 dias, assim:
www.esab.edu.br 180
1
Sendo 1 :
0,06315
1
0,06315 (1 )
ef
i ni
i n
n
i
i
i i
×
=
- ×
=
=
-
× - =
Aplicando a propriedade distributiva da matemática, temos:
- =
= +
=
=
= ×
=
0,06315 0,06315
0,06315 0,06315
0,06315 1,06315
0,06315
1,06315
0,05939 100
5,939% para 40 dias
i i
i i
i
i
i
i
 
Usando o conceito de taxa proporcional, temos:
=
× = ×
×
=
=
=
mês
mês
mês
mês
mês
5,939 40
30
40 30 5,939
30 5,939
40
178,17
40
4,454% a.m.
i
i
i
i
i
 
A taxa de desconto que gera uma taxa efetiva mensal de 4,7% é 4,454% a.m.
www.esab.edu.br 181
Exercício 3
Calcule o valor máximo que uma pessoa deve pagar por um título de valor 
nominal de R$ 82.000,00, com vencimento para 110 dias, se ela deseja 
ganhar 5% ao mês (usar desconto racional) (ASSAF NETO, 2009).
Solução:
Neste exercício, iremos aplicar o conceito de desconto racional, visto na 
unidade 23. Como nesse desconto não se caracteriza a taxa efetiva, a taxa 
em questão é a própria taxa de desconto i, logo:
1r
NV
i n
=
+ ×
Sendo que:
$ 82.000,00
0,05
110
30
82.000
1101 0,05
30
82.000
1 0,1833
82.000
1,1833
$ 69.297,72
r
r
r
r
N
i
n
V
V
V
V
=
=
=
=
+ ×
=
+
=
=
 
O valor pago pelo título para ter uma rentabilidade de 5% a.m. é 
R$69.297,72.
www.esab.edu.br 182
Exercício 4
Uma duplicata de R$ 2.000,00, com vencimento de 45 dias, foi 
descontada no critério do desconto comercial simples, com uma taxa de 
6% a.m. A instituição financeira cobra uma taxa de serviço de R$ 2,50, 
para esse tipo de desconto, e o Imposto sobre Operações Financeiras 
(IOF) é de 0,0041% a.d. Calcule o valor líquido creditado na conta do 
cliente.
Solução:
Esse é um exercício mais complexo, contudo mais próximo da realidade. 
Para resolvê-lo, vamos utilizar a fórmula do desconto comercial simples, 
a qual você estudou na unidade 24. O valor do IOF é sempre cobrado 
sobre o valor descontado, ou seja, sobre o valor atual. Assim, temos:
cD N i n= × ×
Sendo:
2.000
0,06
45
30
452.000 0,06
30
$ 180,00
( ) 0,000041 45 (dias)
(2.000 180) 0,000041 45 (dias)
1.820 0,000041 45 (dias)
$ 3,36
Total de despesas tarifa
Total de despesas 180,00 3,36
c
c
c
c
N
i
n
D
D
IOF N D
IOF
IOF
IOF
D IOF
=
=
=
= × ×
=
= - × ×
= - × ×
= × ×
=
= + +
= + 2,50
Total de despesas $ 185,86
+
=
 
www.esab.edu.br 183
Então, o valor creditado em conta será:
2.000,00 185,86
$ 1.814,14
c
c
V
V
= -
=
 
Considerando o valor da tarifa e IOF, o valor atual será de R$ 1.814,14.
Nesta unidade, apresentamos exercícios resolvidos de desconto comercial 
e de desconto racional. Por meio de exemplos práticos, você observou a 
aplicação da taxa efetiva para o desconto por fora. Na próxima unidade, a 
partir das concepções de Crespo (2009) e Assaf Neto (2009), iremos falar 
de inflação e deflação.
www.esab.edu.br 184
Resumo
Nestas últimas seis unidades, trabalhamos a ideia de desconto no regime 
de capitalização composto. Aplicando os conceitos vistos até o momento, 
resolvemos exemplos práticos e que se aproximam do cotidiano que o 
aguarda no mercado de trabalho.
Na unidade 25, resolvemos exercícios envolvendo as ideias de taxa nominal, 
taxa efetiva, taxa interna de retorno e desconto racional e comercial. 
Vimos, na unidade 26, como obter o desconto racional no regime de 
capitalização composto. A partir das ideais de Puccini (2011) e Assaf 
Neto (2009), demonstramos a fórmula do desconto racional composto e 
a aplicamos em alguns exemplos práticos. 
Na unidade 27, estudamos o desconto “por fora” no regime de 
capitalização composto, pois essa modalidade de desconto é utilizada 
pelas instituições financeiras para operações de desconto a longo prazo. 
Na unidade 28, resolvemos exercícios de desconto comercial e 
racional no regime composto. Já na unidade 29, comparamos as duas 
modalidades de desconto, o racional e o comercial, e entendemos a 
aplicação da taxa efetiva para o desconto comercial. 
Na unidade 30, por fim, resolvemos exercícios mais complexos sobre as 
duas modalidades de desconto, comercial e racional.
www.esab.edu.br 185
31 Conceito de inflação e deflação
Objetivo
Apresentar o conceito de inflação e deflação.
Na unidade anterior, apresentamos exercícios resolvidos sobre desconto 
comercial e racional. Nesta unidade, apresentaremos o conceito de 
inflação, discutiremos o que é a taxa de inflação, como ela ocorre e no 
que influencia esse fenômeno que assombrou o Brasil durante anos. 
Por meio de ideias de Assaf Neto (2009), iremos tratar dos conceitos 
de inflação e deflação, discutiremos os seus processos de formação e sua 
influências na economia. 
Se você tem menos de 20 anos de idade, não deve ter conhecido uma 
maquininha de remarcar preço. Na década de 1980, essa máquina foi 
uma personagem presente nos corredores dos supermercados, em que os 
preços dos produtos chegavam a ser remarcados mais de uma vez por dia. 
Imagine você ir ao supermercado e comprar um produto com mais de 
cinco etiquetas de preço, uma sobre a outra, ou seja, o mesmo produto 
tinha aumentado de preço cinco vezes. Esse aumento ensandecido dos 
preços criou situações inusitadas. Imagine um pai de família que recebia 
o seu salário e tinha que, literalmente, correr ao supermercado para fazer 
as compras do mês, já que no outro dia os preços aumentariam e ele 
compraria uma quantidade menor de mercadorias. Veja na Figura 13 um 
artigo de revista que exemplifica a situação brasileira em 1986. 
www.esab.edu.br 186
Figura 13 – Inflação em 1986.
Fonte: Revista Época (2013, ed. 777). 
Segundo Assaf Neto (2009), o processo inflacionário de uma economia 
pode ser entendido como a elevação generalizada dos vários bense 
serviços. Esse processo inflacionário ocasiona perda na capacidade de 
compra. Desse modo, a cada mês o dinheiro perde valor (poder de 
compra). Diversas são as causas do processo inflacionário da economia. 
Tecnicamente, a inflação ocorre pelo lado dos custos ou da demanda, ou 
ainda, pela influência dos dois. 
A inflação de custos ocorre pelo aumento das taxas de juros, de salários etc., que 
ocasiona um aumento no custo da produção. A inflação de demanda ocorre pelo 
aumento da demanda, ou seja, a capacidade de pagamento fica em um patamar mais 
elevado em relação ao crescimento da economia.
Imagine um determinado bairro de sua cidade, em que os terrenos têm um 
valor que representa a realidade da região. Uma grande rede de shopping 
centers divulga que, em breve, irá realizar um enorme empreendimento 
no local. Logo, os preços dos terrenos irão aumentar de valor. Isso é um 
processo inflacionário, em virtude do aumento de demanda. A procura por 
terrenos próximos ao novo empreendimento crescerá e, consequentemente, 
aumentará a demanda pelos terrenos do bairro. 
www.esab.edu.br 187
Quando a inflação começa a aumentar e aponta um aumento fora do 
esperado pelos órgãos reguladores da economia, estes atuam de forma 
a manter o equilíbrio dos preços. Para isso, recorrem a políticas que 
reduzem a demanda agregada aos bens e serviços e desencorajam o 
consumo e o investimento privado. Um exemplo claro está na Figura 
13, que ilustra um período em que o preço dos produtos foi congelado. 
Ocorrem ainda intervenções sobre o câmbio, os salários, as taxas de 
juros ou até o aumento da taxa Selic. Até a metade de 2013, o valor da 
taxa Selic (Sistema Especial de Liquidação e Custódia) foi o menor da 
história: de 7,25%.
Estudo complementar
Futuro administrador: você sabia que o Banco 
Central do Brasil disponibiliza a cada trimestre 
um Relatório de Inflação do país? Sugerimos que 
acesse o Relatório de março/2013, clicando aqui e 
veja como a taxa Selic a inflação se influenciam.
A taxa Selic, também chamada de taxa base, é uma taxa de juros 
estabelecida pelo Comitê de Política Monetária (COPOM) do Banco 
Central do Brasil, que rege os negócios de compra e venda de títulos 
públicos. Ela é calculada usando como referência a taxa média ponderada 
dos juros praticados pelas instituições financeiras. Em termos de inflação, 
a meta do Governo para o ano de 2013 é ficar no intervalo de 2,5 a 
6,5%. Contudo, a atual conjuntura econômica mostra que a inflação 
tende a manter-se no teto da meta, com risco constante de estourá-la. 
A taxa de inflação tem um comportamento similar ao regime de 
capitalização composto, ou seja, tem um comportamento exponencial. 
Assim, o aumento de preço sobre um bem ou serviço é incorporado a 
acréscimos aferidos em períodos anteriores.
www.esab.edu.br 188
Assaf Neto (2009) exemplifica considerando 2,8%, 1,4% e 3%, 
respectivamente, as taxas de inflação dos três primeiros meses de um ano. 
Um ativo de R$ 12.000,00 no início do ano, se corrigido plenamente 
pela inflação da economia, considerando a ideia de montante vista na 
unidade 12, em que ( )1 ,nM C i= × + apresentaria os seguintes valores 
ao final do trimestre:
2 mês 12.000,00 1,028 $12.336,00o → × =
Como o processo inflacionário tem um comportamento exponencial, a 
taxa de inflação do 2º mês incidirá sobre o valor anterior, acrescido dos 
juros do período anterior, como mostrado a seguir.
2 mês 12.336,00 1,014 $12.508,70
3 mês 12.508,70 1,030 $12.883,96
o
o
→ × =
→ × =
No trimestre, temos:
1
(1 )
12.883,96 12.000,00 (1 )
nM C i
i
= × -
= × +
Nesse caso, consideramos o período igual a 1 trimestre para encontrar a 
taxa efetiva nos três meses. Nas próximas unidades, teremos condições de 
calcular a taxa acumulada da inflação que, no caso, teria o mesmo valor 
da taxa efetiva. Assim:
112.883,96 (1 )
12.000,00
1,07366 1
1,07366 1
0,07366 100
7,366% no trimestre.
i
i
i
i
i
= +
= +
= -
= ×
=
www.esab.edu.br 189
Em sentido oposto, quando ocorre uma baixa predominante dos preços 
de mercado dos bens e serviços, temos o fenômeno definido por deflação 
(ASSAF NETO, 2009). No Brasil, o fenômeno da deflação não é 
observado, pois a economia brasileira é caracterizada, na maior parte do 
tempo, por altas taxas de inflação.
Nesta unidade, falamos de inflação e deflação e vimos que a taxa de 
inflação tem um comportamento exponencial e ocorre devido ao 
aumento de demanda dos bens e serviços, ou aumento de custo da 
produção. Na próxima unidade, trabalharemos com índice de preços 
e variação percentual de preços, e veremos também o quanto eles são 
importantes no momento de diagnosticar o cenário econômico de 
determinado período.
Fórum
Caro estudante, dirija-se ao Ambiente Virtual de 
Aprendizagem da instituição e participe do nosso 
Fórum de discussão. Lá você poderá interagir com 
seus colegas e com seu tutor de forma a ampliar, 
por meio da interação, a construção do seu 
conhecimento. Vamos lá?
www.esab.edu.br 190
32 Índice de preços e variação percentual de preços
Objetivo
Determinar índices de preços e variação percentual de preços (taxa de 
inflação).
Caro acadêmico, na unidade anterior falamos de inflação e deflação, 
as definimos e discutimos suas influências na economia. Nesta 
unidade, iremos falar dos diversos índices econômicos que temos 
à nossa disposição. Ainda veremos que mesmo pequenas variações 
nesses índices produzem um impacto relevante sobre as taxas e os 
juros, e aprenderemos, também, a como chegar à taxa de inflação de 
determinado período por meio deles. Assaf Neto (2009) fundamenta as 
concepções teóricas apresentadas.
Primeiramente, vamos entender o que são índices de preços. Assaf Neto 
(2009) diz que um índice de preços é resultante de um procedimento 
estatístico o qual permite, entre outras aplicações, medir as variações nos 
níveis gerais de preços de um período para o outro. 
Um índice de preços é gerado por uma instituição de pesquisa. No Brasil, 
os principais índices utilizados são os fornecidos por instituições com 
credibilidade, entre elas: Fundação Getúlio Vargas (FGV), Universidade 
de São Paulo (USP), e o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística 
(IBGE). Os principais índices considerados são:
• IGPM/FGV (Índice Geral de Preços do Mercado/Fundação 
Getúlio Vargas);
• IGP-DI/FGV (Índice Geral de Preços – Disponibilidade Interna);
• IPC-Fipe/USP (Índice de Preços ao Consumidor);
• IPA/FGV (Índice de Preço por Atacado); 
• INPC/Fund. IBGE (Índice Nacional de Preços ao Consumidor).
www.esab.edu.br 191
Estudo complementar
Caro estudante, para aprofundar seus 
conhecimentos sobre os índices de preços, veja o 
documento disponibilizado pelo Banco Central do 
Brasil, que foi elaborado para responder uma série 
de perguntas mais frequentes sobre os índices de 
preços no país. Inclusive, esse documento mostra 
como esses índices são calculados. Acesse o link, 
clicando aqui. 
A seguir, apresentaremos os valores do Índice de Preços ao Consumidor 
(IPC). Esse índice mede a variação de preços de um conjunto de bens 
e serviços, considerando famílias que possuem um nível de renda 
situado entre 1 e 33 salários mínimos mensais. É uma pesquisa realizada 
diariamente nas principais capitais do País. A Tabela 6 contém alguns 
índices (divididos por região).
Tabela 6 – Valores do Índice de Preços ao Consumidor.
Zona Sul I
março de 2013 359,77
fevereiro de 2013 354,98
janeiro de 2013 351,17
dezembro de 2012 346,90
novembro de 2012 341,86
outubro de 2012 338,48
Fonte: <http://www.fipe.org.br>. 
Observando a variação desses índices, podemos constatar a evolução de 
preços da economia em determinado período. Apesar de se aproximarem 
da realidade, esses dados são hipotéticos. Para fins didáticos, considereo 
primeiro trimestre de 2013, em que o índice acumulado do Índice Geral 
de Preços do Mercado (IGPM) é usado principalmente para regular o 
aumento da energia elétrica e para os reajustes de aluguel. Para o cálculo 
da inflação nesse período, é utilizada a variação entre o índice acumulado 
de Dez/2012 e Mar/2013. Acompanhe: 
www.esab.edu.br 192
índice mar/2013
inflação 1 trimestre 1
índice dez/2012
1238,17inflação 1 trimestre 1
1227,83
o
o
= -
= -
inflação 1º trimestre = 1,0084213 – 1 
inflação 1º trimestre = 0,0084213 x 100 
inflação 1º trimestre = 0,84213% a.t. 
Temos o valor de 0,84213% a.t., ou seja, os preços da energia elétrica e 
contratos de aluguéis variaram 0,84213% no 1º trimestre de 2013.
Considerando o exemplo anterior, a taxa de inflação, a partir de um 
índice de preço, pode ser medida usando a seguinte expressão:
1n
n t
p
i
p -
= -
 
Em que:
i ⇒ taxa de inflação obtida a partir de um índice de preços;
nP ⇒ índice de preços utilizado na data de determinação, para obtenção 
da taxa de inflação;
n tP - ⇒ índice de preços, do período anterior, utilizado para obtenção da 
taxa de inflação.
Acompanhe o exemplo proposto por Assaf Neto (2009), no qual o 
autor transcreve alguns valores divulgados do IGP-di e do INPC (Índice 
Nacional de Preço ao Consumidor). 
www.esab.edu.br 193
 Dez/X2 Jun/X3 Nov/X3 Dez/X3
IGP-di 100,00 708,38 1.353,79 1.576,56
INPC 5,9341 43,4599 83,9349 100,00
Com base nesses resultados, pede-se:
a. Calcule a taxa de inflação medida pelo IGP e INPC para os 
seguintes períodos de 19X3: ano, 1º semestre e mês de dezembro.
Solução: 
Taxa de inflação
• Ano
1 1
IGP-DI (Dez./X3) INPC (Dez./X3)
1 1
IGP-DI (Dez./X2) INPC (Dez./X2)
1.576,56 100,001 1
100,00 5,9341
14,7656 15,8517
1.476,56% no ano 1.585,17% n
n n
n t n t
P P
I I
P P
I I
I I
I I
I I
- -
= - = -
= - = -
= - = -
= =
= =
Considerando o IGP - DI Considerando o INPC
o ano
www.esab.edu.br 194
• 1º semestre
1 1
IGP-DI (Jun./X3) INPC (Jun./X3)
1 1
IGP-DI (Dez./X2) INPC (Dez./X2)
708,38 43,45991 1
100,00 5,9341
6,0838 6,3237
608,38% no semestre 632,37% no s
n n
n t n t
P P
I I
P P
I I
I I
I I
I I
- -
= - = -
= - = -
= - = -
= =
= =
Considerando o IGP - DI Considerando o INPC
emestre
• mês de dezembro
1 1
IGP-DI (Dez./X3) INPC (Dez./X3)
1 1
IGP-DI (Nov./X3) INPC (Nov./X3)
1.576,56 100,001 1
1.353,79 83,9343
0,164552 0,1914
16,468% em dezembro 19,
n n
n t n t
P P
I I
P P
I I
I I
I I
I I
- -
= - = -
= - = -
= - = -
= =
= =
Considerando o IGP - DI Considerando o INPC
14% em dezembro
b. Um bem que custava R$ 5.000,00 no início do ano, quanto deve 
valer no final desse ano se for corrigido pela variação do IGP e 
INPC?
www.esab.edu.br 195
Solução: 
Valor corrigido do imóvel
1.576,56 100,00$ 5.000 $78.828,00 $ 5.000 $84.258,80
100,00 5,9341
× = × =
 IGP - DI INPC
c. Admitindo que o proprietário tenha vendido esse imóvel no final do 
ano por R$ 90.000,00, determine o lucro auferido.
Solução:
Lucro pela venda do imóvel
O lucro pode ser medido considerando o ganho nominal, que é a 
diferença entre o valor de venda e o de compra do imóvel, e o real, que 
considera a variação da inflação. Nesse caso, iremos considerar a variação 
da inflação usando os dois índices IGP-DI e INPC. O valor de venda foi 
R$ 90.000,00, maior que os valores corrigidos pela inflação. Assim:
90.000,00 78.828,00 $ 11.172,00
90.000,00 84.258,80 $ 5.741,20
- =
- =
Pelo IGP - DI
Pelo INPC
Note que, considerando somente o valor de compra e venda, não 
teremos o lucro que reflete a realidade, já que no período não podemos 
desconsiderar a inflação.
Com esse exemplo concluímos mais uma unidade, na qual apresentamos 
os índices econômicos usados para medir a variação dos preços dos 
bens e serviços, os quais refletem a inflação ou deflação do período. 
Aprendemos a calcular a taxa de inflação de determinado período usando 
um índice de preços, bem como interpretar os resultados desses cálculos. 
Na próxima unidade, aprenderemos a calcular a taxa de desvalorização 
monetária. Para isso, os conceitos de inflação e o tratamento matemático 
dado aos índices de preços serão de suma importância.
www.esab.edu.br 196
33 Taxa de desvalorização monetária
Objetivo
Determinar a taxa de desvalorização da moeda.
Nesta unidade, a partir do trabalho de Assaf Neto (2009), mostraremos 
como chegar à taxa de desvalorização monetária. Em um processo 
inflacionário, a cada período a moeda perde poder de compra. 
Mostraremos a expressão que calcula a taxa de desvalorização da moeda 
e a aplicaremos em exemplos práticos. Na unidade anterior, mostramos 
como chegar à taxa de inflação considerando um índice de preços. Vimos 
que mesmo uma pequena variação em um índice de preços produz um 
impacto relevante sobre as taxas de juros.
Se você já foi comprar pão na padaria ou lanche na escola deve ter 
percebido, em algum período, um processo inflacionário. Por exemplo, 
se há algum tempo o valor de R$ 2,00 era suficiente para fazer um lanche 
na escola, hoje, dependendo da região, isso não é mais possível, ou seja, 
você compra menos com os mesmos R$ 2,00. Isso caracteriza uma 
desvalorização monetária. 
Assaf Neto (2009) diz que, enquanto a inflação representa uma elevação nos 
níveis de preços, a Taxa de Desvalorização da Moeda (TDM) mede a queda 
do poder de compra da moeda causada por esses aumentos de preços.
Imagine uma situação em que ocorra um aumento de 200% no preço de 
um determinado bem ou serviço. Vamos considerar que em sua cidade 
exista um grupo teatral que, ao iniciar suas apresentações, cobrava R$ 
10,00 por ingresso. O tempo passou, o grupo ficou famoso e cada vez 
mais pessoas passaram a procurar seus espetáculos. Podemos afirmar 
que existiu um aumento na demanda, caracterizando um processo 
inflacionário. Dessa forma, uma família de quatro pessoas investia, antes 
do aumento, R$ 40,00 para assistir ao espetáculo. Agora, com R$ 40,00, 
quantos podem assisti-lo? Acompanhe o raciocínio a seguir. 
www.esab.edu.br 197
Valor do ingresso: R$ 10,00 antes do aumento
se R$ 10,00 100%
200%
R$ 20,00
x
x
-
-
=
Como ocorreu um aumento de 200%, segue: R$ 10,00 + R$ 20,00 = 
R$ 30,00
Assim, com o dinheiro que a família inicialmente investia para comprar 
quatro ingressos, hoje compra-se um ingresso e sobra o suficiente para 
comprar o equivalente a 1/3 de ingresso. Logo:
1 1 41 ingresso + do ingresso 1+
3 3 3
Segue:
4 ingressos 100%
4 do ingresso
3
44 100
3
400
12
33,333%
x
x
x
x
→ =
→
→
= ×
=
=
Concluímos que com R$ 40,00 a família compra, após a maior 
procura pelos espetáculos, somente 33,333% dos ingressos que podia 
comprar antes do aumento. Assim, a redução do poder de compra foi 
de 66,666%. Podemos afirmar que o poder de compra da família em 
questão diminuiu 66,66% em relação aos ingressos para o espetáculo do 
grupo teatral. 
www.esab.edu.br 198
Para esse caso, ou para diferentes taxas de inflação, a taxa de desvalorização 
da moeda (TDM) pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
TDM
1
I
I
=
+
Em que:
TDM ⇒ representa a taxa de desvalorização da moeda e é apresentada 
em porcentagem (%);
I ⇒ é a taxa de inflação no período considerado (deve ser usada na 
forma unitária).
Vamos agora atentar a alguns exemplos para maior compreensão 
desses conceitos.
Exemplo 1
Um chefe de família que tem um salário de R$ 1.500,00 gasta 20% de 
sua renda nas compras de supermercado. No 1º semestre de determinado 
ano, a taxa de inflação foi de 7%. Com base nesses dados:
a. Qual foi adesvalorização monetária auferida no período?
b. Para que o poder de compra permaneça inalterado, qual deve ser o 
valor do reajuste salarial nesse período e o valor do novo salário?
www.esab.edu.br 199
Solução:
a. Para encontrar o valor da TDM, aplicamos a fórmula:
TDM
1
0,07TDM
1 0,07
0,07TDM
1,07
TDM 0,06542 100
TDM 6,5420% no semestre
I
I
=
+
=
+
=
= ×
=
b. Para que o poder de compra permaneça inalterado, o reajuste salarial 
deve ser igual ao valor da inflação no período, assim:
R$ 1.500,00 1,07 R$ 1.605,00× =
Logo, para que o poder de compra permaneça inalterado, o salário deve 
ser reajustado para R$ 1.605,00.
Exemplo 2
Em determinado ano, a taxa de inflação auferida foi de 6,5% ao ano, 
contudo, uma empresa reajustou os salários dos funcionários em 12%. 
Qual foi o ganho real, levando em conta a taxa de inflação no período 
considerado e o salário-base de R$ 1.400,00?
Solução: Sabemos que, a fim de não se perder o poder de compra, o 
valor do reajuste salarial deve ser o mesmo da taxa de inflação. Contudo, 
neste exemplo, o reajuste salarial foi maior que o da inflação, assim:
Cálculo do reajuste salarial, considerando a taxa de inflação:
R$ 1.400,00 × 1,075= R$ 1.505,00
www.esab.edu.br 200
Cálculo do reajuste salarial, considerando o aumento dado pela empresa:
R$ 1.400,00 × 1,10= R$ 1.540,00
Assim:
1.540,00Ganho real = 1
1.505,00
Ganho real = 1,023255 1
Ganho real = 0,023255 100
Ganho real = 2,3255%
-
-
×
O ganho real de aumento salarial foi de 2,3255% no período considerado. 
Nesta unidade, aprendemos a calcular a taxa de desvalorização da moeda 
(TDM) através de exemplos práticos, e vimos a sua aplicação. Na 
próxima unidade, iremos apresentar alguns exercícios resolvidos, a fim de 
melhorar sua compreensão do conceito de inflação, de índices de preços 
e da TDM. Preparado?
www.esab.edu.br 201
34 Exercícios resolvidos
Objetivo
Exemplificar os conceitos vistos até o presente momento.
Na unidade anterior, falamos da taxa de desvalorização monetária e 
mostramos a expressão que torna mais simples a sua obtenção. Nesta 
unidade, apresentaremos alguns exercícios resolvidos sobre a taxa de 
inflação, os índices econômicos e a taxa de desvalorização monetária. 
Acompanhe-os com atenção, pois esses temas são de suma importância 
para o entendimento do cenário econômico. 
Exercício 1
Partindo de Assaf Neto (2009), os índices gerais de preços (IGP) 
referentes aos três primeiros meses de determinado ano foram:
Dez./X8 – 107,325
Jan./X9 – 108,785
Fev./X9 – 110,039
Mar./X9 – 112,035
Considerando esses valores, calcule:
a. As taxas de inflação dos meses de janeiro, fevereiro e março.
www.esab.edu.br 202
Solução: Como vimos na unidade 32, para calcular a taxa de inflação de 
janeiro, temos que ter à mão os índices de preço dos meses de dezembro 
e janeiro. Já para calcular a taxa do mês de fevereiro, os índices de janeiro 
e fevereiro, e assim sucessivamente. Vamos aplicar aqui a expressão que 
calcula a taxa de inflação partindo de um índice de preços.
Taxa de inflação de janeiro:
1
IGP (Jan./X9)
1
IGP (Dez./X8)
108,785 1
107,325
1,01360 1
0,01360 100
1,36% em janeiro
n
n i
P
I
P
I
I
I
I
I
-
= -
= -
= -
= -
= ×
=
Taxa de inflação de fevereiro:
1
IGP (Fev./X9)
1
IGP (Jan./X9)
110,039 1
108,785
1,011527 1
0,011527 100
1,15% em fevereiro
n
n i
P
I
P
I
I
I
I
I
-
= -
= -
= -
= -
= ×
=
www.esab.edu.br 203
Taxa de inflação de março:
1
IGP(Mar./X9)
1
IGP(Fev./X9)
112,035 1
110,039
1,0181390 1
0,018139 100
1,81% em março
n
n t
P
I
P
I
I
I
I
I
-
= -
= -
= -
= -
= ×
=
b. A taxa de desvalorização da moeda dos meses citados anteriormente.
Solução: Para calcular a desvalorização da moeda, usaremos as taxas 
de inflação calculadas no item anterior, aplicando a expressão que 
estudamos na unidade 33. Assim, teremos:
TDM de janeiro:
TDM
1
0,0136TDM
1 0,0136
0,0136TDM
1,0136
TDM 0,01341 100
TDM 1,34% em janeiro
I
I
=
+
=
+
=
= ×
=
www.esab.edu.br 204
TDM de fevereiro:
TDM
1
0,0115TDM
1 0,0115
0,0115TDM
1,0115
TDM 0,01136 100
TDM 1,14% em fevereiro
I
I
=
+
=
+
=
= ×
=
TDM de março:
TDM
1
0,018139TDM
1 0,018139
0,018139TDM
1,018139
TDM 0,001781 100
TDM 1,78% em março
I
I
=
+
=
+
=
= ×
=
 
Exercício 2
Dona Maria, querendo ter uma vida mais saudável, comprou uma 
bicicleta para ir até o trabalho. Pagou à vista R$ 250,00 pela bicicleta, 
efetuando a compra em dezembro. Contudo, em março do ano seguinte, 
sua empresa mudou-se para a rua de sua casa e Dona Maria resolveu 
vender a bicicleta. Vendeu para seu sobrinho, João, que lhe ofereceu os 
mesmos R$ 250,00 pagos em março, argumentando que ela não teve 
www.esab.edu.br 205
prejuízo algum, já que lhe pagou o mesmo valor que ela investiu. Você 
concorda com o argumento de João? Justifique a sua resposta, usando as 
ideias discutidas nas unidades 31,32 e 33. 
Solução: Vimos que, em virtude da taxa de inflação, existe uma 
desvalorização da moeda, e que até mesmo pequenas oscilações nos 
índices de preços resultam em variações nas taxas de juros e inflação. 
Contudo, para poder aferir valor a essa desvalorização, necessitamos 
de algum índice econômico para poder calcular a taxa de inflação do 
período e a TDM, taxa de desvalorização da moeda. É certo que Dona 
Maria não conseguirá adquirir a mesma quantidade de um determinado 
bem ou serviço com os mesmos R$ 250,00, já que se passaram 3 meses. 
Para a obtenção da taxa de inflação, vamos considerar o IPC fornecido 
na Tabela 6, apresentada na unidade 32, na qual o IPC de dezembro 
de 2012 foi de 346,90 e o de março de 2013, 359,77. Com esses dois 
índices, podemos calcular a taxa de inflação e a taxa de desvalorização da 
moeda, comprovando que o argumento de João não é válido.
Taxa de inflação no período:
 1
IPC (Mar./13)
IPC(Dez./12)
359,77 1
346,90
1,03710 1
0,03710 100
3,71% no período
n
n t
P
I
P
I
I
I
I
I
-
= -
=
= -
= -
= ×
=
 
www.esab.edu.br 206
TDM no período:
TDM
1
0,0371TDM
1 0,0371
0,0371TDM
1,0371
TDM 0,03577 100
TDM 3,577%
I
I
=
+
=
+
=
= ×
=
Assim, para que Dona Maria não tivesse prejuízo algum, o valor que 
João deveria pagar era o valor da bicicleta acrescido da inflação do 
período, considerando a ideia de montante vista na unidade 12, em que 
( )1 ,nM C i= × + temos: 
R$ 250,00 (1 0,0371) R$ 259,27
R$ 250,00 1,0371 R$ 259,27
× + =
× =
Concluímos, então, que Dona Maria teve prejuízo de 3,57% na venda 
da bicicleta.
Nesta unidade, apresentamos alguns exercícios resolvidos e suas 
aplicações práticas a fim de aprimorar seu conhecimento referente aos 
temas vistos até o momento. Na próxima unidade, continuaremos nossos 
estudos relacionados à inflação e deflação e aprenderemos a calcular a 
taxa acumulada, ferramenta muito utilizada na matemática financeira.
www.esab.edu.br 207
35 Taxa acumulada
Objetivo
Determinar a taxa acumulada.
Na unidade anterior, resolvemos alguns exercícios envolvendo os 
conceitos de inflação, de índice de preços e de taxa de desvalorização 
da moeda. Nesta unidade, apresentaremos a taxa acumulada, uma 
ferramenta importante no estudo da matemática financeira. Teremos 
como base teórica o trabalho de Assaf Neto (2009).
Nas unidades anteriores, discutimos ideias referentes à taxa de inflação e 
trabalhamos, em alguns exemplos, com taxas mensais ou trimestrais de 
inflação. Agora, vamos ver um exemplo para aprendermos o conceito 
de taxa acumulada. Considere uma situação naqual a taxa de inflação é 
apresentada a cada mês, ou seja, janeiro 2,75%, fevereiro 2,55% e março 
2,32%. Qual seria a taxa de desvalorização da moeda, considerando todo o 
trimestre? Perceba que teríamos uma desvalorização sobre a outra, e assim 
sucessivamente. Segundo Assaf Neto (2009), o comportamento da inflação 
se processa de maneira exponencial, ocorrendo aumento de preço em um 
valor que já incorpora acréscimos apurados em períodos anteriores. 
Na unidade 33, discutimos um exemplo que ilustra bem essa situação 
– o exemplo dos ingressos para o teatro, você se lembra? Contudo, 
considerando um trimestre, teríamos que fazer aquele cálculo três vezes. 
Outro exemplo que pode ilustrar a questão da taxa acumulada é uma 
aplicação que tem uma taxa a cada período. Por exemplo: uma aplicação 
de R$ 1.000,00 rende a taxa de 2,40% no primeiro mês, 2,60% no 
segundo e 2,80% no terceiro. Nesse caso, qual seria o montante no final 
dos três meses?
www.esab.edu.br 208
Acompanhe o raciocínio:
= × + →
→ = × +
= ×
=
1
1
1
(1 ) a cada mês
1 mês 1.000,00 (1 0,024)
1.000,00 (1,024)
1.024,00
o
M C i
M
M
M
No segundo mês, o montante anterior será o novo capital, segue:
→ = × +
= ×
=
→ = × +
= ×
=
2
2
2
3
3
3
2 mês 1.024,00 (1 0,026)
1.024,00 (1,026)
1.050,62
3 mês 1.050,62 (1 0,028)
1.050,62 (1,028)
1.080,04
o
o
M
M
M
M
M
M
No final dos três meses, o montante acumulado foi de R$ 1.080,04.
Note que, se colocarmos todas as taxas na mesma expressão e o capital 
em evidência, chegaremos ao mesmo resultado. Usamos esse raciocínio 
para deduzir a fórmula do montante, na unidade 17. Porém, lá a taxa era 
a mesma a cada período, conforme segue: 
1º mês 2º mês 3º mês(1 ) (1 ) (1 )
1.000,00 (1 0,024) (1 0,026) (1 0,028)
M C i i i
M
= × + × + × +
= × + × + × +
Como sabemos, a ordem dos fatores não altera o produto. Desse modo, 
vamos primeiramente realizar o produto dos três parênteses.
www.esab.edu.br 209
= × + × + × +
= × × ×
= ×
=
1.000,00 (1 0,024) (1 0,026) (1 0,028)
1.000,00 (1,024) (1,026) (1,028)
1.000,00 1,08004
$ 1.080,04
M
M
M
M
Chegamos ao montante acumulado nos três meses.
Agora vamos generalizar esse resultado, considerando que existe uma taxa 
equivalente, a qual promove a igualdade dos montantes de um mesmo 
capital ao final de certo período de tempo. Conforme Assaf Neto (2009, 
p. 20): 1 2M M=
acumulada 1º mês 2º mês 3º mês
acumulada 1º mês 2º mês 3º mês
acumulada 1º mês 2º mês 3º mês
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1
n
n
n
C i C i i i i
i i i i i
i i i i i
× + = × + × + × + × × +
+ = + × + × + × × +
 = + × + × + × × + - 



Em que: acumuladai → taxa acumulada, apresentada em porcentagem (%). 
Nos cálculos, deve ser usada na forma unitária e em alguns momentos 
poderá aparecer representada somente por i;
ni ⇒ a taxa apresentada em qualquer período. Na expressão, significa 
que podemos trabalhar com infinitas taxas.
Assim, para o cálculo da taxa acumulada, usamos a expressão:
[ ]ac 1º mês 2º mês 3º mês(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1ni i i i i= + × + × + × × + -
Assaf Neto (2009) apresenta alguns exemplos sobre taxa acumulada.
www.esab.edu.br 210
Exemplo 1
A taxa de inflação verificada nos quatro primeiros meses de determinado 
ano é apresentada a seguir. 
jan.
fev.
mar.
abr.
0,92%
0,35%
0,53% (deflação)
1,01%
I
I
I
I
=
=
= -
=
Pede-se: determinar a taxa acumulada de inflação no quadrimestre e a 
equivalente mensal.
Solução: Para encontrar a taxa acumulada, aplicaremos a fórmula vista 
anteriormente. Contudo, devemos atentar à taxa de inflação de março – 
como ela corresponde a uma deflação, deve ser colocada na fórmula com 
o sinal negativo. Segue:
[ ]
[ ]
[ ]
ac 1º mês 2º mês 3º mês 4º mês
ac
ac
ac
ac
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1
(1 0,0092) (1 0,0035) (1 0,0053) (1 0,0101) 1
(1,0092) (1,0035) (0,9947) (1,0101) 1
1,0175 1
1,75% ao quadrimestre
i i i i i
i
i
i
i
= + × + × + × + -
= + × + × - × + -
= × × × -
= -
=
A taxa equivalente mensal será encontrada com a fórmula da taxa 
equivalente, a qual apresentamos na unidade 18.
www.esab.edu.br 211
= + -
= + -
1
2
aq
1
4
aq
(1 ) 1
(1 0,0175) 1
n
ni i
i
Como vimos anteriormente, em 1n usamos o período desejado (no caso, 
um mês); em 2 ,n o período que temos (período dado) – no caso, um 
quadrimestre tem 4 meses. Assim:
1
4
aq
4
aq
aq
aq
aq
(1,0175) 1
1,0175 1
1,004346 1
0,004346 100
0, 44% ao mês.
i
i
i
i
i
= -
= -
= -
= ×
=
A taxa equivalente ao mês será de 0,44%.
Exemplo 2
A inflação de certo mês atingiu 3,94%. Tendo esse mês 20 dias úteis, 
determine a taxa de inflação por dia útil.
Solução: Aplicaremos a fórmula da taxa acumulada, contudo temos a taxa 
acumulada. Então, vamos calcular a taxa diária, que é a mesma a cada dia. 
www.esab.edu.br 212
Logo:
20
ac diária
20
diária
20
diária
20
diária
2020 20
diária
20
diária
20
diária
diária
diária
diária
(1 ) 1
0,0394 (1 ) 1
0,0394 1 (1 )
1,0394 (1 )
1,0394 (1 )
1 1,0394
1,0394 1
1,0019340 1
0,001934 100
0,1934% p
i i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
= + -
= + -
+ = +
= +
= +
+ =
= -
= -
= ×
= or dia útil
A taxa de inflação por dia útil foi de 0,1934%.
Nesta unidade, falamos da taxa acumulada, uma ferramenta que 
utilizaremos em vários exercícios ao longo da disciplina e em situações 
do cotidiano. Em alguns contratos, a indexação pode ser feita com uma 
taxa fixa mais uma variável (poupança + 0,5%), por exemplo. Aplicando 
a ideia de taxa acumulada, é possível encontrar uma única taxa. Na 
próxima unidade, discutiremos a taxa aparente através das ideias de 
Crespo (2009) e Assaf Neto (2009).
Tarefa dissertativa
Caro estudante, convidamos você a acessar o 
Ambiente Virtual de Aprendizagem e realizar a 
tarefa dissertativa. 
www.esab.edu.br 213
36 Taxa real e taxa aparente
Objetivo
Determinar a taxa real e a taxa aparente.
Na unidade anterior, falamos da taxa acumulada. Essa nova ferramenta 
permitirá a você resolver problemas práticos envolvendo o conceito de 
inflação e deflação. Nesta unidade, iremos tratar da taxa real e da taxa 
aparente: a primeira remete a um ganho livre dos efeitos inflacionários; 
enquanto a segunda é aquela adotada em operações financeiras, 
incluindo os efeitos inflacionários. Iremos utilizar o trabalho de Crespo 
(2009) e Assaf Neto (2009) para tratar desse assunto. 
Em uma operação financeira, quando não apuramos os efeitos 
inflacionários, estamos considerando a taxa aparente. Crespo (2009, p. 
136) denomina taxa aparente como: 
[...] aquela que vigora nas operações financeiras. Quando não há inflação, a taxa 
aparente é igual a real, porém, quando há inflação a taxa aparente é formada por dois 
componentes: um correspondente à inflação e outro correspondente ao juro real.
Em outras palavras, podemos dizer que considerar a taxa aparente é 
desconsiderar os efeitos da inflação. Imagine que você compre um imóvel 
hoje, no valor de R$ 50.000,00, e o venda depois de dois anos por R$ 
55.000,00. Aparentemente, você teve um lucro de 10%, ou seja, o valor 
de venda teve um acréscimo de 10%. Contudo, no período de dois 
anos, ocorreu um processo inflacionário e, consequentemente, o que 
se comprava com R$ 50.000,00 há dois anos não pode ser comprado 
hoje por esse mesmo valor. Considerando o mesmo exemplo: quando 
você comprou esse imóvel, sonhava em comprar futuramente um imóvel 
maior, que na época custava R$ 100.000,00. Será que ele não aumentou 
de preço nesse período?www.esab.edu.br 214
Essa discussão nos remete a falar de taxa aparente e taxa real. Para fins 
didáticos, vamos considerar uma taxa de inflação anual média de 5% ao 
ano. Em dois anos, teríamos uma taxa acumulada de 10,25%. Note que 
a taxa de inflação acumulada ultrapassou seus ganhos em 0,25%, ou seja, 
o que antes parecia lucro, agora parece prejuízo. 
O objetivo do cálculo da taxa real é o de expurgar a indexação da taxa total 
(aparente), de maneira a expressar o juro real. (ASSAF NETO, 2009, p. 66)
No Brasil, umas das aplicações mais comuns é a da poupança. Mas essa 
aplicação torna-se pouco atrativa quando vista pela ótica da taxa real. Se 
considerarmos uma taxa média de 0,55% ao mês, em 12 meses, teremos 
uma taxa acumulada de 6,80% ao ano, um pouco mais que a inflação 
registrada no ano de 2012 – que foi de aproximadamente 5,84% no ano. 
Qual seria o ganho real, considerando a taxa de inflação e a da poupança, 
de uma aplicação de R$ 1.000,00 por um ano? Acompanhe o raciocínio:
Valor corrigido pela inflação
R$ 1.000 × 1,0584 = R$ 1.058,40
Valor corrigido pela poupança
R$ 1.000 × 1,0680 = R$ 1.068,00
Dessa forma, o ganho real seria:
1.068,00Ganho real = 1
1.058,40
Ganho real = 1,009070 1
Ganho real = 0,009070 100
Ganho real = 0,9070% no ano.
-
-
×
www.esab.edu.br 215
Tomando como referência o exemplo anterior, a fórmula para calcular a 
taxa real é a seguinte:
1 taxa aparente ( )Taxa real ( ) = 1
1 taxa de inflação ( )
i
r
I
+
-
+
Partindo dessa expressão, podemos calcular a taxa aparente e a taxa de 
inflação. Para tanto, podemos utilizar a expressão de cálculo proposta por 
Fisher (1930 apud ASSAF NETO, 2009, p. 66), conhecida como “efeito 
Fisher”. Veja:
(1 ) (1 ) 1i r I= + × + -
Para facilitar a assimilação dos conceitos de taxa real e taxa aparente, 
vamos a alguns exemplos.
Exemplo 1
A taxa nominal de juros explicitada em um empréstimo é de 42% ao 
ano. Tendo ocorrido uma variação de 18% nos índices de preços nesse 
mesmo período, determine a taxa real anual de juros do empréstimo 
(ASSAF NETO, 2009). 
Solução: Nesse exemplo, a taxa nominal é a taxa aparente. Aplicando a 
fórmula para o cálculo da taxa real, encontraremos a taxa real anual de 
juros. Segue:
1 taxa aparente ( )Taxa real ( )= 1
1 taxa de inflação ( )
1 0, 42 1
1 0,18
1, 42 1
1,18
1,2033 1
0,2033 100
20,33% no ano.
i
r
I
r
r
r
r
r
+
-
+
+
= -
+
= -
= -
= ×
=
A taxa real anual de juros foi de 20,33% a.a.
www.esab.edu.br 216
Exemplo 2
Determine a variação real do poder aquisitivo de um assalariado que 
obtém, em determinado semestre, um reajuste salarial de 12%, admitindo 
que a inflação do período tenha atingido (ASSAF NETO, 2009): 
a. 8%
Solução: Vamos aplicar a expressão para o cálculo da taxa real. Logo, 
teremos:
1 1
1
1 0,12 1
1 0,08
1,12 1
1,08
1,03703 1
0,03703 100
3,7%
ir
I
r
r
r
r
r
+
= -
+
+
= -
+
= -
= -
= ×
=
O ganho real foi de 3,7% no período.
b. 12%
Solução: Aplicando a expressão da taxa real, temos:
 1 1
1
1 0,12 1
1 0,12
1,12 1
1,12
zero
ir
I
r
r
r
+
= -
+
+
= -
+
= -
=
www.esab.edu.br 217
No caso, o aumento foi o mesmo da taxa de inflação, ou seja, não 
ocorreu ganho ou perda de poder de compra.
c. 20%
Solução: Ao aplicarmos a expressão da taxa real, temos:
1 1
1
1 0,12 1
1 0,20
1,12 1
1,20
0,93333 1
0,06666 100
6,67
ir
I
r
r
r
r
r
+
= -
+
+
= -
+
= -
= -
= - ×
= -
Com uma taxa de inflação de 20%, o salário em questão perdeu 6,67% 
no seu poder de compra.
Nesta unidade, apresentamos a taxa real e a taxa aparente, mostramos as 
expressões que permitem calcular os seus valores e as aplicamos em alguns 
exemplos práticos. Na próxima unidade, por meio de ideias de Assaf Neto 
(2009) e Crespo (2009), trataremos do conceito de correção monetária.
Atividade
Chegou a hora de você testar seus conhecimentos 
em relação às unidades 28 a 36. Para isso, dirija-
se ao Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) e 
responda às questões. Além de revisar o conteúdo, 
você estará se preparando para a prova. Bom 
trabalho!
www.esab.edu.br 218
Resumo
Na unidade 31, apresentamos o conceito de inflação e deflação, 
discutimos a taxa de inflação e qual é sua influência na economia. Na 
unidade 32, falamos dos índices de preços, citamos os principais índices 
usados no Brasil e suas respectivas instituições. Vimos que mesmo uma 
pequena variação em um índice de preços produz um impacto relevante 
sobre as taxas de juros. 
A taxa de desvalorização monetária (TDM) foi contemplada na unidade 
33 e concluímos que em um processo inflacionário a moeda perde poder 
de compra a cada período. Mostramos a expressão que calcula a taxa 
de desvalorização da moeda e a aplicamos em exemplos práticos. Na 
unidade 34, a fim de aprimorar seu entendimento referente aos assuntos 
vistos até aquele momento, foram apresentados exercícios resolvidos. 
Na unidade 35, apresentamos a taxa acumulada, uma ferramenta 
importante no estudo da matemática financeira. Na unidade 36, falamos 
da taxa real e taxa aparente. Segundo Assaf Neto (2009), o objetivo do 
cálculo da taxa real é o de expurgar a indexação da taxa total (aparente), 
de maneira a expressar o juro real.
www.esab.edu.br 219
37 Correção monetária
Objetivo
Corrigir valores monetários.
Olá, estudante! Na unidade anterior tratamos da taxa real e da taxa 
aparente, que, em conjunto com a correção monetária, tornam possível 
uma avaliação profícua ao relacionar valores monetários em dois ou mais 
períodos em condições de inflação. Nesta unidade trataremos da correção 
monetária, que consiste em corrigir ou atualizar valores com base na taxa 
de inflação de determinado período. Falaremos também do processo de 
indexação e desindexação dos valores monetários, que é intrínseco ao 
tema em questão. Teremos como principal aporte teórico o trabalho de 
Assaf Neto (2009).
Correção monetária significa a atualização monetária de um valor, que 
pode ser feita usando um índice ou uma taxa de correção. Segundo Assaf 
Neto (2009, p. 63),
Os ajustes para se conhecer a evolução real dos valores monetários em inflação se 
processam mediante indexações (inflacionamento) e desindexações (deflacionamentos) 
dos valores nominais, os quais se processam por meio de índices de preços. 
Na literatura da área, você encontrará o termo valores nominais, que se refere 
a um ganho aparente, determinado somente sobre a evolução dos preços, e 
não por uma valorização real (considerando a inflação do período).
Saiba que a indexação é a atualização dos valores nominais, ou seja, a 
correção dos valores nominais de forma que seu poder de compra seja 
mantido em uma data posterior. Já a desindexação faz o caminho contrário 
no processo de atualização dos valores nominais: mantém seu poder de 
compra em uma data anterior, ou seja, tendo um valor em certa data, a 
desindexação mostra qual era seu poder de compra em uma data anterior. 
www.esab.edu.br 220
Em outras palavras, podemos dizer que a correção monetária consiste em 
manter o poder aquisitivo do dinheiro. 
Imagine que você comprou um terreno por R$ 50.000,00 e, dois anos 
depois, o vendeu pelo valor de R$ 70.000,00. Se considerarmos somente 
o valor de compra e venda, podemos afirmar que você teve um lucro de 
40% nessa venda. Observe:
70.000,00Ganho Aparente 1
50.000,00
Ganho Aparente 1, 4 1
Ganho Aparente 0, 4 100
Ganho Aparente 40% no período
= -
= -
= ×
=
Aparentemente, o ganho foi de 40%. Contudo, em dois anos, o valor 
dos bens e serviços também aumentaram, ou seja, R$ 70.000,00 não tem 
o mesmo poder aquisitivo que tinha na data em que você comprou o 
imóvel.Vamos considerar que, no período, a taxa de inflação foi de 35%. 
Sendo assim, faz-se necessário conhecer o ganho real dessa operação de 
venda. Vamos expressar os valores monetários em moeda representativa de 
poder de compra de um mesmo momento, segundo Assaf Neto (2009).
Vamos indexar os referidos valores para a data da venda, considerando a 
taxa de inflação do período. 
Segue:
Valor de venda (data da venda)
1
Valor de compra (corrigido para a data da venda)
70.000,00 1
50.000,00 1,35
r
r
= -
= -
×
www.esab.edu.br 221
Consideramos que, neste momento, você já entenda que ao multiplicar 
50.000,00 1,35× estamos incidindo a taxa de 35% sobre 50.000,00 
no período n considerado. Aplicamos aqui, de forma mais rápida e 
simplificada, a fórmula do montante vista na unidade 17. Acompanhe o 
cálculo:
150.000,00 (1 0,35)
50.000,00 1,35
R$ 67.500,00
× +
×
Assim:
70.000,00 1
50.000,00 1,35
70.000,00 1
67.500,00
1,03704 1
0,03704 100
3,70% no período
r
r
r
r
r
= -
×
= -
= -
= ×
=
Considerando a inflação no período, o ganho real foi de 3,70%, bem 
diferente dos 40% calculados anteriormente. 
Ao fazermos a desindexação do valor de venda, ou seja, convertendo 
o valor de venda em moeda representativa de poder de compra no 
momento da compra do terreno, chegaremos à mesma conclusão. Assim, 
podemos calcular a rentabilidade real por meio da fórmula proposta por 
Assaf Neto (2009), em que dividiremos o valor de venda do imóvel por 
1,35 a fim de desindexá-lo, ou seja, ver o quanto 70.000,00 valeria na 
data da compra. Logo:
www.esab.edu.br 222
Valor de venda (corrigido para a data da compra)
1
Valor de compra (data da compra)
70.000,00 1,35 1
50.000,00
51.851,85 1
50.000,00
1,03704 1
0,03704 100
3,70% no período
r
r
r
r
r
r
= -
÷
= -
= -
= -
= ×
=
Usando a indexação ou desindexação dos valores monetários, concluímos 
que o referido negócio gerou um lucro relativamente pequeno, 3,70% 
em dois anos.
Veja agora o exemplo proposto por Assaf Neto (2009, p. 69) para o 
cálculo do ganho real.
Exemplo: Suponha que uma pessoa adquiriu, no início de determinado 
ano, um imóvel por R$ 60.000,00 e o vendeu por R$ 85.320,00 
após dois anos. Sendo de 31,1% a inflação desse biênio, determine a 
rentabilidade nominal e a real anual produzida na operação.
www.esab.edu.br 223
Solução: 
Rentabilidade Nominal (aparente)
Valor de venda
1
Valor de compra
85.320,00rent. nominal ( ) 1
60.000,00
1, 42200 1
0, 4220 100
42,20% ao biênio
i
i
i
i
i
= -
= -
= -
= ×
=
Taxa equivalente ao ano:
1
2
1
2
(1 ) 1
(1 0422) 1
1, 422 1
0,1925 100
19,25% a.a.
n
n
eq
eq
eq
eq
eq
i i
i
i
i
i
= + -
= + -
= -
= ×
=
Rentabilidade real
Valor de venda (data da venda)
1
Valor de compra (corrigido para a data da venda)
85.320,00rent.real ( ) 1
60.000,00 1,311
85.320,00 1
78.660,00
1,08467 1
0,08467 100
8, 47% ao biênio
r
r
r
r
r
i
= -
= -
×
= -
= -
= ×
=
www.esab.edu.br 224
Taxa equivalente ao ano:
1
2
1
2
(1 ) 1
(1 0,08467) 1
1,08467 1
0,04147 100
4,15% a.a.
n
n
eq
eq
eq
eq
eq
i i
i
i
i
i
= + -
= + -
= -
= ×
=
O ganho real foi de 4,15% ao ano.
Caro acadêmico, nesta unidade abordamos a correção monetária, que usa 
os processos de indexação e de desindexação dos valores monetários para 
expressar esses valores em moeda representativa de poder de compra de um 
mesmo momento. Na próxima unidade, apresentaremos alguns exercícios 
resolvidos referentes à taxa real, à taxa aparente e à correção monetária.
Estudo complementar
Caro estudante, você sabia que a Correção 
Monetária está instituída na forma de lei? A 
Lei n. 6.899, de 8 de abril de 1981 “Determina 
a aplicação da correção monetária nos débitos 
oriundos de decisão judicial e dá outras 
providências”. Veja essa Lei na íntegra, clicando 
aqui.
www.esab.edu.br 225
38 Exercícios resolvidos
Objetivo
Exemplificar os conceitos vistos até o presente momento.
Na unidade anterior, trabalhamos a ideia de correção monetária e 
aplicamos os conceitos discutidos (rentabilidade nominal e real) em 
exemplos práticos. Nesta unidade iremos resolver alguns exercícios 
propostos por Assaf Neto (2009), referentes à taxa real, à taxa aparente e 
à correção monetária. Vamos lá!
Exercício 1
Qual é o custo real mensal de uma operação de financiamento por cinco 
meses, sabendo-se que os juros nominais cobrados atingem 2,8% ao mês 
e a inflação de todo o período é de 12%? (ASSAF NETO, 2009)
Solução:
Vamos aplicar a fórmula da taxa real, vista na unidade 36. Note que a 
taxa aparente é chamada de taxa nominal, como definido anteriormente 
(dependendo da bibliografia, a taxa aparente é chamada de taxa 
nominal). A taxa aparente é mensal, portanto temos de encontrar a taxa 
equivalente para cinco meses antes de aplicar a fórmula. Segue:
1
2
5
(1 ) 1
(1 0,028) 1
1,14806 1
0,14806 100
14,81% em cinco meses
n
n
eq
eq
eq
eq
eq
i i
i
i
i
i
= + -
= + -
= -
= ×
=
www.esab.edu.br 226
Aplicando a fórmula da taxa real, temos:
1 1
1
1 0,1481 1
1 0,12
1,1481 1
1,12
1,025 1
0,025 100
2,5%
ir
I
r
r
r
r
r
+
= -
+
+
= -
+
= -
= -
= ×
=
A taxa real da aplicação foi de 2,5% em cinco meses.
Exercício 2 
Um imóvel foi adquirido por R$ 3.000,00 em determinada data, sendo 
vendido por R$ 30.000.00 quatro anos depois. Sendo a taxa de inflação 
equivalente, em cada um desses anos, a 100%, determine a rentabilidade 
nominal e real anual dessa operação (ASSAF NETO, 2009).
Solução: Para a resolução deste exercício, aplicaremos os conceitos de 
correção monetária e taxa real, conforme vimos nas unidades 37 e 36. A 
inflação dada é anual, logo, teremos de encontrar a taxa acumulada em 4 
anos. Segue:
www.esab.edu.br 227
Rentabilidade nominal (aparente)
Valor de venda
1
Valor de compra
30.000,00rent. nominal ( ) 1
3.000,00
10 1
9 100
900% em quatro anos
i
i
i
i
i
= -
= -
= -
= ×
=
Podemos, então, calcular a taxa nominal anual:
1
2
1
4
4
(1 ) 1
(1 9) 1
10 1
1,77828 1
0,77828 100
77,83% a.a.
n
n
eq
eq
eq
eq
eq
eq
i i
i
i
i
i
i
= + -
= + -
= -
= -
= ×
=
A rentabilidade nominal (aparente) anual mensal foi de 77,83%.
Para calcular a rentabilidade real usamos a fórmula da taxa real vista na 
unidade 36. A taxa de inflação é de 100% a.a., substituindo na fórmula 
da rentabilidade aparente anual encontrada anteriormente. Note que a 
taxa de inflação na fórmula vale 1, ou seja, 
www.esab.edu.br 228
100% 1 (Forma unitária). Segue:
100
1 1
1
1 0,77827 1
1 1
1,7783 1
2
0,88913 1
0,11086 100
11,09% a.a.
ir
I
r
r
r
r
r
=
+
= -
+
+
= -
+
= -
= -
= - ×
= -
A rentabilidade real anual foi de – 11,09%, o que representa um prejuízo 
de 11,09 % no período.
Exercício 3 
Em determinado período, a variação cambial do dólar foi de 15%, 
enquanto a inflação da economia atingiu 17,5%. Admitindo que uma 
dívida em dólar esteja sujeita a juros de 16% no período, mais variação 
cambial, determine o custo real da operação em dólar em relação à 
inflação da economia (ASSAF NETO, 2009).
www.esab.edu.br 229
Solução:
Vamos aplicar aqui a fórmula da taxa real, vista na unidade 36. Contudo, 
a taxa nominal tem uma parte prefixada em 16% e outra parte indexada 
pelo dólar. Assim, aplicando a fórmula da taxa acumulada vista na 
unidade 35, teremos:
(1 0,15) (1 0,16)
(1,15) (1
(1 ) (1 ) 1
1
1
1,3340 1
0,3340 100
33, 40% no perío6
o
,1 )
d
i i i
i
i
i
i
i
= + × + -
= × -
= × -
= -
+ +
= ×
=
Aplicando a fórmula da taxa real, temos:
1 1
1
1 0,3340 1
1 0,175
1,3340 1
1,175
1,1353 1
0,1353 100
13,53% no período
ir
I
r
r
r
r
r
+
= -
+
+
= -
+
= -
= -
= ×
=
A taxa real da aplicação foi de 13,53% no período.
www.esab.edu.br 230
Caro acadêmico, nesta unidade apresentamos a resolução de alguns 
exercícios propostos por Assaf Neto (2009), contemplando os assuntos 
estudados nas unidades 35, 36 e 37, a saber, taxa acumulada, taxa 
real, taxa aparente e correção monetária. Considerando que o cenário 
econômico atual aponta para um aumento da taxa de inflação, mesmo 
que esse aumento seja contido, a compreensão e o estudo desses 
conceitos devem estar presentes no cotidiano de qualquer empresa. 
Na próxima unidade, estudaremos as séries de pagamentos postecipados. 
Demonstraremos sua fórmula, bem como apresentaremos exemplos 
práticos. Bom estudo!
www.esab.edu.br 231
39 Séries de pagamento, termos postecipados
Objetivo
Discutir e trabalhar séries uniformes de termos postecipados.
Na unidade anterior, resolvemos alguns exercícios propostos por Assaf 
Neto (2009). Neste momento de nossos estudos vamos utilizar os 
trabalhos de Puccini (2011) e Crespo (2009) como base teórica para 
falarmos de séries de pagamentos, que se dividem em antecipadas e 
postecipadas. Por meio de exemplos práticos, nesta unidade vamos 
aplicar as séries de pagamento postecipadas e, na próxima unidade, 
as séries antecipadas. O estudo das séries de pagamento são de suma 
importância na matemática financeira, pois consiste em um dos tópicos 
de maior aplicação em operações financeiras. 
Para o estudo das séries de pagamento, vamos considerar o mesmo valor 
para as prestações, segundo Puccini (2011). O fato de as prestações terem 
o mesmo valor permite a obtenção de fórmulas simplificadas para a 
capitalização e o desconto de parcelas, mediante a utilização da expressão 
para a soma dos termos de uma progressão geométrica (PG).
Considere uma série de depósitos iguais, a fim de acumular um montante 
M, no final de um período n. Esse montante será a soma dos montantes 
calculados para cada prestação, ao logo desse período. Para facilitar a 
compreensão, vamos adotar um valor de prestação para, posteriormente, 
deduzir a fórmula que calcula o montante acumulado ao final de um 
determinado período.
O fluxo de caixa a seguir representa uma situação em que vários 
depósitos iguais irão se acumular ao longo de um período n, gerando um 
montante M. Estudamos o fluxo de caixa na unidade 8.
www.esab.edu.br 232
0 2 3 41
Montante
100,00 100,00 100,00 100,00
Figura 14 – Fluxo de caixa.
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
Para fins didáticos, vamos considerar que Dona Maria realiza quatro 
depósitos iguais, no valor de R$ 100,00, com uma taxa de juros igual 
a 5% ao mês, conforme a Figura 14. O primeiro depósito será feito 
no final do primeiro período, ou seja, depois de trinta dias; o segundo 
depósito após sessenta dias, e assim sucessivamente. Essa modalidade 
de operação financeira é chamada de série de pagamento postecipada 
(feita ao final do período). Crespo (2009) chama essa modalidade de 
renda imediata, enfatizando que ela ocorre quando o vencimento do 
primeiro termo acontece no fim do primeiro período a contar da data 
zero, isto é, da data de assinatura do contrato.
Como a operação tem quatro meses, o primeiro depósito será 
capitalizado durante n – 1 períodos (3 meses), o segundo n – 2 (2 
meses), o terceiro capitalizado em um mês e o último, como é aplicado 
exatamente no dia em que se retira o montante, não terá nenhum 
rendimento. Acompanhe o cálculo a seguir.
Montante acumulado para cada prestação: 
3
1 1
2
2 2
1
3 3
0
4 1
 100 (1 0,05) 100 1,15762 $ 115,76
100 (1 0,05) 100 1,10250 $ 110,25
100 (1 0,05) 100 1,10500 $ 105,00
100 (1 0,05) 100 1,00000 $ 100,00
M M
M M
M M
M M
= × + → = × →
= × + → = × →
= × + → = × →
= × + → = × →
 
www.esab.edu.br 233
Dessa forma, podemos concluir que o montante de quatro aplicações 
iguais e consecutivas, a uma taxa de 5% a.m., é a soma de cada montante 
gerado pela capitalização de cada prestação ao longo dos quatro meses. 
Portanto, teremos:
1 2 3 4
115,76 110,25 105,00 100,00
$ 431,01
M M M M M
M
M
= + + +
= + + +
=
 
Sabemos que o valor encontrado é a soma de cada montante, gerado 
pela capitalização de cada prestação ao longo dos quatro meses. Como 
a primeira prestação (depósito) foi feita ao final do primeiro mês, 
chamamos essa operação de série de pagamento postecipada. 
Vamos agora escrever a expressão 1 2 3 4 ,M M M M M= + + + colocando 
a prestação em evidência. Segue:
3 2
1 0
3 2 1 0
100 (1 0,05) 100 (1 0,05)
100 (1 0,05) 100 (1 0,05)
100 (1,05) (1,05) (1,05) (1,05)
M
M
= × + + × + +
+ × + + × +
= × × × ×
Observe que a série 0 1 2 3(1,05) (1,05) (1,05) (1,05)× × × representa a soma 
de uma PG de razão 1,05. Aplicando a fórmula da soma dos termos de 
uma PG, temos:
1 1
1
1
Em que:
1 termo da série
razão da PG
número de termos da PG
n
PG
o
a q a
S
q
a
q
n
× -
=
-
⇒
⇒
⇒
 
www.esab.edu.br 234
Veja que utilizaremos alguns conhecimentos adquiridos no Ensino 
Médio. Contudo, não fique aflito, falaremos de soma dos termos de uma 
PG somente para deduzir a fórmula de acumulação de capital, para uma 
série de pagamento postecipada.
Assim, considerando 01 1, 1,05, 4,(1,05)a q n= = = = temos:
41 1100,00
1,05 1
1 1,2115 1100,00
0,05
0,2115100,00
0,05
100,00 4,3101
$ 431,
(1,05
01
)S
S
S
S
S
× -
= ×
-
× -
= ×
= ×
= ×
=
 
Desse modo, chegamos ao valor do montante correspondente à aplicação 
de quatro prestações iguais (depósitos feitos por Dona Maria), sem 
calcular o montante para cada prestação individualmente. Usando o 
exemplo como referência, podemos escrever:
(1 ) 1niM R
i
+ -
= ×
 
Em que:
M ⇒ montante acumulado com a capitalização das prestações, 
apresentado em valores monetários (R$);
R ⇒ valor de cada prestação igual, apresentada em valores monetários 
(R$);
i ⇒ taxa apresentada em (%), deve ser usada na forma unitária;
www.esab.edu.br 235
n ⇒ número de prestações.
A fórmula encontrada anteriormente nos dá o montante acumulado, 
sendo que os valores das prestações, da taxa e do número de prestações 
são iguais. Agora vamos mostrar a fórmula que nos dá o capital inicial 
nessas condições. 
Sabemos que:
(1 ) 1(1 ) e
n
n iM C i M R
i
+ -
= × + = ×
Logo, substituindo na equação encontrada anteriormente, temos:
(1 ) 1(1 )
n
n
M
iC i R
i
+ -
× + = ×

Isolando o capital C , temos a fórmula que nos fornece o capital inicial, 
considerando prestações ou resgates iguais.
(1 ) 1
(1 )
n
n
iC R
i i
+ -
= ×
+ ×
Em que:
C ⇒ capital inicial, apresentado em valores monetários (R$);
R ⇒ valor de cada prestação igual, ou resgate, apresentada em valores 
monetários (R$);
i ⇒ taxa, apresentada em (%), deve ser usada na forma unitária;
n ⇒ número de prestações.
Através dessas duas relações demonstradas anteriormente, você poderá 
resolver problemas envolvendo séries de pagamentos postecipados em 
www.esab.edu.br 236
duas situações: envolvendo o montante e as prestações ou envolvendo o 
valor do capital para certo número de prestações iguais. 
Nesta unidade, por meio de um exemplo prático, chegamos à expressão 
que calcula, tendo o valor e o número de prestações iguais, o montante 
acumulado. Depois, substituindo nessa expressão a fórmula do 
montante, vista na unidade 17, mostramos a expressão que calcula o 
capital inicial,tendo o valor e o número de prestações iguais. 
Na próxima unidade, usando a mesma ideia de capitalização do valor das 
prestações, vamos mostrar as expressões que calculam o montante e o 
capital para séries de pagamentos uniformes, com termos antecipados.
Saiba mais
Reveja a ideia de Progressão Geométrica (PG) e 
soma dos seus termos clicando aqui. 
www.esab.edu.br 237
40 Séries de pagamentos, termos antecipados
Objetivo
Discutir e trabalhar séries uniformes de termos antecipados e 
diferenciar as duas modalidades de pagamentos.
Na unidade anterior, discutimos a ideia de séries de pagamentos 
uniformes postecipados, nas quais a primeira prestação (depósito) é feita 
no final do primeiro mês. Nesta unidade, utilizaremos o trabalho de 
Crespo (2009) para usar a mesma ideia, contudo, no caso dos termos 
antecipados, a primeira prestação é paga no início do primeiro período, 
não ao final, como nos pagamentos postecipados. Essa modalidade na 
qual o pagamento é feito no início do período é chamada de série de 
pagamento com termos antecipados. 
Crespo (2009) diz que na renda antecipada depositamos, no início do 
período, n parcelas iguais a R a uma taxa unitária i, referida a mesma 
unidade do período constante.
Para facilitar sua compreensão, vamos considerar o exemplo anterior, 
assim ficará mais fácil observarmos no que diferem as duas modalidades 
de séries de pagamentos.
Sendo assim, Dona Maria realiza quatro depósitos iguais no valor de 
R$100,00, com uma taxa de juros igual a 5% ao mês. O primeiro 
depósito será feito no início do primeiro período, ou seja, no primeiro 
dia, o segundo após trinta dias, e assim sucessivamente. Como a operação 
dura quatro meses, o primeiro depósito será capitalizado durante n 
períodos (4 meses), o segundo n – 1 (3 meses), o terceiro capitalizado 
em dois meses e o último, como é aplicado no início do último mês, 
será capitalizado em trinta dias. Note que a diferença básica entre a série 
de pagamento postecipada e antecipada está no período em que cada 
prestação vai ser capitalizada. Acompanhe o cálculo a seguir:
www.esab.edu.br 238
Montante acumulado para cada prestação: 
4
1 1
3
2 2
2
3 3
1
4 1
 100 (1 0,05) 100 1,21550 $ 121,55
100 (1 0,05) 100 1,15762 $ 115,76
100 (1 0,05) 100 1,10250 $ 110,25
100 (1 0,05) 100 1,10500 $ 105,00
M M
M M
M M
M M
= × + → = × →
= × + → = × →
= × + → = × →
= × + → = × →
 
Podemos concluir que o montante de quatro aplicações iguais e 
consecutivas a uma taxa de 5% a.m., em termos antecipados (prestações 
pagas no início de cada período), é a soma de cada montante, gerado pela 
capitalização de cada prestação ao longo dos quatro meses, conforme segue:
1 2 3 4
121,55 115,76 110,25 105,00
$ 452,56
M M M M M
M
M
= + + +
= + + +
=
 
Sabemos que o valor encontrado é a soma de cada montante, gerado 
pela capitalização de cada prestação, ao longo dos quatro meses. Como 
a primeira prestação (depósito) foi feita no início do primeiro mês, 
chamamos essa operação de série de pagamento antecipada. 
Vamos agora escrever a expressão 1 2 3 4 ,M M M M M= + + + colocando 
a prestação em evidência:
4 3
2 1
4 3 2 1
100 (1 0,05) 100 (1 0,05)
100 (1 0,05) 100 (1 0,05)
100 (1,05) (1,05) (1,05) (1,05)
M
M
= × + + × + +
+ × + + × +
= × × × ×
Como feito anteriormente, a série 1 2 3 4(1,05) (1,05) (1,05) (1,05)× × × 
representa a soma de uma progressão geométrica, de razão 1,05, logo:
1 1
1
n
PG
a q a
S
q
× -
=
-
www.esab.edu.br 239
Em que:
1 1 termo da série
razão da PG
número de termos da PG
oa
q
n
⇒
⇒
⇒
Assim, considerando 11 (1,05) 1, 1,05, 4,a q n= = = = temos:
41,05 (1,05) 1100,00
1,05 1
1,05 1,2155 1100,00
0,05
1,2763 1100,00
0,05
0,2763100,00
0,05
100,00 5,5260
$ 552,60
S
S
S
S
S
S
× -
= ×
-
× -
= ×
-
= ×
= ×
= ×
=
 
Esse é o valor do montante, correspondente à aplicação de 4 prestações 
iguais (depósitos feitos por Dona Maria), aplicando a ideia da soma dos 
termos de uma PG, ou seja, sem calcular o montante para cada prestação 
individualmente. Usando o exemplo como referência, podemos escrever:
(1 ) 1(1 )
niM R i
i
 + -
= × + ×  
 
 
Em que:
M ⇒ montante acumulado com a capitalização das prestações, 
apresentado em valores monetários (R$);
R ⇒ valor de cada prestação igual, apresentada em valores monetários (R$);
www.esab.edu.br 240
i ⇒ taxa, apresentada em (%), deve ser usada na forma unitária;
n ⇒ número de prestações.
Como feito na unidade anterior, vamos mostrar a fórmula que nos 
fornece o capital inicial, com os valores das prestações, da taxa e do 
número de prestações iguais.
Sabemos que:
(1 ) 1(1 ) e (1 )
n
n iM C i M R i
i
 + -
= × + = × + ×  
 
Substituindo na equação do montante acumulado, temos:
(1 ) 1(1 ) (1 )
n
n
M
iC i R i
i
 + -
× + = × + ×  
 
Isolando o capital, apresentamos a fórmula que calcula o capital inicial, 
sendo que o valor das prestações é igual ou o capital possui iguais valores 
de resgates.
(1 ) 1(1 )
(1 )
n
n
iC R i
i i
 + -
= × + ×  + × 
Em que:
C ⇒ capital inicial, apresentado em valores monetários (R$);
R ⇒ valor de cada prestação igual, ou resgate, apresentada em valores 
monetários (R$);
i ⇒ taxa, apresentada em (%), deve ser usada na forma unitária;
n ⇒ número de prestações.
www.esab.edu.br 241
Vamos agora, por meio de um exemplo prático, aplicar a ideia de séries 
de pagamentos com termos postecipados e antecipados.
Exemplo
O filho de Dona Maria, que se chama Marivaldo, vai casar com Patrícia. 
A data do casamento está marcada para daqui a 6 meses. Eles já possuem 
casa própria, menos os móveis, e esperam conseguir com os presentes de 
casamento as louças, as roupas de cama e banho etc. Patrícia considera 
prudente deixar tudo pronto trinta dias antes do casamento. Como 
Marivaldo é um rapaz esperto, quer comprar tudo à vista. Desse modo, 
concluiu que tem cinco meses para guardar dinheiro para mobiliar sua 
casa nova. Depois de fazer o orçamento da mobília, viu que gastaria R$ 
10.000,00 à vista. Considerando o conceito de séries de pagamentos com 
termos postecipados e antecipados, calcule o valor dos depósitos que 
Marivaldo e Patrícia deverão fazer a cada mês, a fim de acumular, em 5 
meses, o valor de R$ 10.000,00, a uma taxa de 2% ao mês.
Solução:
Com termos postecipados
Temos:
$ 10.000,00
?
2% a.m.
5
(1 ) 1n
M
R
i
n
iM R
i
=
=
=
=
+ -
= ×
 
www.esab.edu.br 242
Assim:
5(1 0,02) 110.000,00
0,02
1,10408 110.000,00
0,02
0,1040810.000,00
0,02
10.000,00 5,20404
R
R
R
R
+ -
= ×
-
= ×
= ×
= ×
 
Isolando R, temos:
10.000,00
5,20404
$ 1.921,58
R
R
=
=
Considerando termos postecipados, cada depósito será de R$ 1.921,58.
Para o cálculo dos termos antecipados, temos:
$ 10.000,00
?
2% a.m.
5
(1 ) 1(1 )
n
M
R
i
n
iM R i
i
=
=
=
=
+ -
= × + ×
www.esab.edu.br 243
5(1 0,02) 110.000,00 (1 0,02)
0,02
1,10408 110.000,00 (1,02)
0,02
0,1040810.000,00 (1,02)
0,02
10.000,00 (1,02) 5,20404
10.000,00 5,30812
R
R
R
R
R
+ -
= × + ×
-
= × ×
= × ×
= × ×
= ×
Isolando R, temos:
10.000,00
5,30812
$ 1.883,91
R
R
=
=
Considerando a série de pagamentos antecipados, os depósitos mensais 
serão de R$ 1.883,91.
Fazendo uma comparação entre as duas modalidades, nas séries de 
pagamento uniformes postecipados, a primeira prestação (depósito) 
é capitalizada a partir do final do primeiro mês (ou período), assim a 
última prestação não é capitalizada. Já nas séries de pagamento uniformes 
antecipadas,a prestação ou (depósito) é capitalizada a partir do início do 
primeiro mês, resultando em um montante maior do que o acumulado 
nas séries de pagamento uniformes postecipados.
Nesta unidade, vimos a expressão que calcula o montante e o capital 
inicial, considerando a série de pagamentos antecipados. Por meio de 
um exemplo prático, diferenciamos as duas modalidades estudadas, ou 
seja, as séries de pagamentos antecipados e postecipados. Na próxima 
unidade, resolveremos exercícios envolvendo esses conceitos.
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41 Exercícios resolvidos
Objetivo
Exemplificar os conceitos vistos até o presente momento.
Nas unidades anteriores, trabalhamos as séries de pagamentos 
uniformes, com termos postecipados e antecipados. Nesta unidade 
resolveremos exercícios propostos por Puccini (2011). Os exercícios 
irão contemplar os conceitos vistos até o momento, a fim de melhorar 
seu entendimento a respeito das séries uniformes de pagamentos com 
termos postecipados e antecipados.
Exercício 1 
Determine o valor do investimento necessário para garantir um 
recebimento anual de R$ 10.000,00 no final de cada um dos próximos 
oito anos, sabendo-se que esse investimento é remunerado a uma taxa 
efetiva de 10% ao ano, no regime de juros compostos (PUCCINI, 2011).
Solução:
Dado:
$10.000,00
?
10% a.a. 0,1 a.m.
8
R
C
i
n
=
=
= →
=
 
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Usaremos a fórmula do capital inicial com termos postecipados, vista na 
unidade 39. Segue:
8
8
8
8
(1 ) 1
(1 )
(1 0,1) 110.000,00
(1 0,1) 0,1
(1,1) 110.000,00
(1,1) 0,1
2,143589 110.000,00
2,143589 0,1
1,14358910.000,00
0,2143589
10.000,00 5,334926
$ 53.349,26
n
n
iC R
i i
C
C
C
C
C
C
+ -
= ×
+ ×
+ -
= ×
+ ×
-
= ×
×
-
= ×
×
= ×
= ×
=
O valor do capital aplicado a fim de resgatar R$ 10.000,00 em cada um 
dos oito anos será de R$ 53.349,26.
Exercício 2 
Um investidor efetuou quatro depósitos consecutivos de R$ 5.000,00, 
em uma caderneta de poupança no final de cada trimestre. Considerando 
uma rentabilidade efetiva trimestral dessa caderneta de poupança de 
3,262%, calcular o saldo acumulado por esse investidor imediatamente 
após a efetivação do último depósito trimestral (PUCCINI, 2011).
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Solução:
Dado:
$ 5.000,00
?
3,262% a.t. 0,03262 a.t.
4
R
M
i
n
=
=
= →
=
Usaremos a fórmula do montante acumulado com termos postecipados, 
vista na unidade 39, conforme segue:
4
4
4
(1 ) 1
(1 0,3262) 15.000,00
0,03262
(1,03262) 15.000,00
0,03262
(1,03262) 15.000,00
0,03262
niM R
i
M
M
M
+ -
= ×
+ -
= ×
-
= ×
-
= ×
1,137004 15.000,00
0,03262
0,1370045.000,00
0,03262
5.000,00 4,20001
$ 21.000,05
M
M
M
M
-
= ×
= ×
= ×
=
O montante acumulado ao final dos quatro trimestres, considerando 
uma taxa efetiva de 3,262% a.t., foi de R$ 21.000,05.
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Exercício 3 
Uma loja de eletrodomésticos oferece seu Plano de Natal, no qual as 
vendas de dezembro podem ser financiadas com o 1º pagamento só 
ocorrendo em abril. A taxa de juros efetiva cobrada nesse financiamento 
é de 2,5% ao mês no regime de juros compostos, e os cálculos são feitos 
considerando que os meses têm trinta dias. Um cliente realizou uma 
compra em 15 de dezembro, no valor de R$ 1.000,00 e deseja pagá-la 
em quatro prestações mensais, iguais e consecutivas. Determine o valor 
dessas prestações mensais, considerando as seguintes hipóteses:
a. Pagamento da 1ª prestação ocorrendo em janeiro.
b. Pagamento da 1ª prestação só em abril, aproveitando a oferta de 
Plano de Natal (PUCCINI, 2011).
Solução: 
a. Primeira prestação em janeiro.
Dado:
?
$ 1.000,00
1,5% a.m. 0,01 a.m.
4
R
C
i
n
=
=
= →
=
Usaremos a fórmula do capital inicial com termos postecipados, vista na 
unidade 39. Veja a seguir:
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4
4
4
4
(1 ) 1
(1 )
(1 0,015) 11.000,00
(1 0,015) 0,015
(1,015) 11.000,00
(1,015) 0,015
1,061363 11.000,00
1,061363 0,015
n
n
iC R
i i
R
R
R
+ -
= ×
+ ×
+ -
= ×
+ ×
-
= ×
×
-
= ×
×
0,0613631.000,00
1,061363 0,015
0,0613631.000,00
0,015920
1.000,00 3,854460
1.000,00
3,854460
$ 259, 44
R
R
R
R
R
= ×
×
= ×
= ×
=
=
O valor da prestação para pagamento em janeiro é de R$ 259,44.
b. Primeira prestação em abril.
Dado:
?
$ 1.000,00
1,5% a.m. 0,01 a.m.
Carência 3 meses (até março)
4
R
C
i
n
=
=
= →
=
=
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Primeiramente, vamos capitalizar o principal durante 3 meses para obter 
o saldo do financiamento no mês de março. Aplicaremos a fórmula do 
montante, vista na unidade 17, para atualizar o valor principal até a data 
do primeiro pagamento. Então, temos:
3
3
1.000,00 (1 0,015)
1.000,00 (1,015)
1.000,00 1,045678
1.045,68
M
M
M
M
= × +
= ×
= ×
=
Esse é o valor que será considerado como o valor principal, para 
encontrar o valor das prestações.
Usaremos a fórmula do capital inicial com termos postecipados, vista na 
unidade 39. Segue:
4
4
4
4
(1 ) 1
(1 )
(1 0,015) 11.045,67
(1 0,015) 0,015
(1,015) 11.045,67
(1,015) 0,015
1,061363 11.045,67
1,061363 0,015
n
n
iC R
i i
R
R
R
+ -
= ×
+ ×
+ -
= ×
+ ×
-
= ×
×
-
= ×
×
0,0613631.045,67
1,061363 0,015
0,0613631.045,67
0,015920
1.045,67 3,854460
1.045,67
3,854460
$ 271,29
R
R
R
R
R
= ×
×
= ×
= ×
=
=
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Este é o valor da prestação para pagamento em abril.
Nesta unidade resolvemos exercícios propostos por Puccini (2011), 
a fim de melhorar seu entendimento sobre séries de pagamentos 
uniformes. A seguir, abordaremos os sistemas de amortização, citaremos 
as modalidades mais usadas pelas instituições financeiras e chamaremos a 
atenção para as diferenças entre eles. 
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42 Sistemas de amortização
Objetivo
Conhecer os principais termos empregados nas operações de 
empréstimos e financiamentos.
Na unidade anterior resolvemos alguns exercícios, aplicando os conceitos 
vistos até o momento nas séries de pagamentos uniformes. Nesta unidade 
trataremos dos sistemas de amortização. Iremos citar as principais 
modalidades de amortização de empréstimo, bem como discutir as ideias 
contidas em cada modalidade, a partir de Assaf Neto (2009).
Primeiramente, você deve saber que os sistemas de amortização são 
usados pelas instituições financeiras principalmente em operações de 
empréstimo de longo prazo, envolvendo pagamentos periódicos do valor 
principal (capital inicial) e encargos financeiros. 
No estudo dos sistemas de amortização usaremos o regime de 
capitalização de juros compostos, como visto anteriormente, pois para 
operações de longo prazo esse regime oferece ferramentas mais profícuas. 
Segundo Assaf Neto (2009), existem diversas maneiras de amortizar uma 
dívida, devendo as condições de cada operação serem estabelecidas em 
contrato firmado entre o credor (mutuante) e o devedor (mutuário).
Consideraremos pagamentos com ou sem carência. Na carência, 
não há o pagamento do principal, ou seja, amortização da dívida: 
pagam-se somente os juros referentes ao prazo de carência. A seguir, 
apresentaremos os sistemas de amortização, sendo que alguns deles serão 
estudados mais profundamente nas próximas unidades. 
• Sistema de Amortização Constante (SAC): bastante usado no sistema 
financeiro brasileiro, grande parte dos financiamentos imobiliários 
usam esse sistema de amortização, em que a amortização é constante. 
www.esab.edu.br 252
• Sistema de Prestação Constante (SPC): também conhecido por 
Sistema de AmortizaçãoFrancês (SAF), mais conhecido no Brasil 
como Sistema Price, ou simplesmente Tabela Price.
• Sistema de Amortização Americano (SAA): pouco usado pelas 
instituições financeiras no Brasil.
Saiba que os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos 
definem a forma como um empréstimo é pago, ou seja, definem a 
forma como o principal e os encargos financeiros são restituídos à 
instituição financeira. 
Se você já conversou com um gerente de banco sobre algum empréstimo 
ou financiamento, deve ter notado que existem alguns termos que 
são empregados nesse meio, ou seja, nas operações de empréstimos 
e financiamentos. A seguir, conceituaremos os principais termos 
encontrados nessas situações.
Encargos financeiros 
Assaf Neto (2009) diz que representam os juros da operação, 
caracterizando-se como custo para o devedor e retorno para o credor. 
Esses encargos podem ser cobrados de forma prefixada ou pós-fixada. O 
que diferencia as duas formas é a correção dos valores pagos. Quando é 
feito de forma prefixada, tem-se uma expectativa em relação ao cenário 
econômico, quando se opta por ter uma verificação posterior de um 
determinado índice, usa-se a correção pós-fixada.
Na correção pós-fixada existe uma divisão dos encargos: uma parte serão 
os juros, a outra a correção monetária. Assim, a taxa de juros apresentada 
em uma operação pós-fixada fica acima da taxa de inflação. Na prefixada 
não ocorre essa divisão da taxa de juros, a taxa é única, e espera-se que ela 
supere a inflação do período e gere retorno à instituição financeira.
Amortização
Esta, sem dúvida, será a palavra mais mencionada nesta e nas próximas 
unidades. Ela refere-se ao pagamento da dívida, do valor tomado emprestado. 
www.esab.edu.br 253
Para Assaf Neto (2009), refere-se exclusivamente ao pagamento do principal, 
que é efetuado, geralmente, mediante parcelas periódicas. Com a entrada do 
Plano Real no Brasil, as taxas de inflação ficaram mais controladas, dando 
oportunidade para as pessoas tomarem empréstimos de longo prazo, o 
que ocorre com os financiamentos de automóveis, por exemplo. Contudo, 
o tomador do crédito não tem noção da forma como será pago esse 
empréstimo, apenas que serão 60 parcelas iguais, por exemplo. 
Assim, em situações de quitação, nas quais o empréstimo é pago em sua 
totalidade antes do prazo previsto, o devedor geralmente toma um susto, 
já que grande parte do valor pago até aquele momento foi destinada 
ao pagamento dos juros, e uma parte menor à amortização da dívida. 
Geralmente em financiamentos desse tipo, no início do contrato, grande 
parte da prestação é usada para pagar somente os juros, uma parte bem 
pequena é destinada ao pagamento do principal, logo, não é vantajoso se 
desfazer do bem financiado no início do contrato.
Saldo devedor 
De acordo com Assaf Neto (2009), representa o valor do principal da 
dívida, é o valor que resta a ser pago do principal em certo período, 
depois da dedução dos valores pagos, ou seja, amortizados. No exemplo 
anterior, falamos do financiamento do automóvel e concluímos que não 
é vantajoso desfazer-se do bem logo no início do contrato, pois o saldo 
devedor ainda é muito alto, bem próximo do valor emprestado. 
Prestação
É o compromisso, geralmente mensal, assumido pelo tomador do 
empréstimo. No valor da prestação está o valor amortizado a cada 
período e o valor dos encargos financeiros (ASSAF NETO, 2009).
Usaremos a ideia a seguir em todos os sistemas de amortização estudados:
 Prestação = Amortização + Encargos Financeiros
www.esab.edu.br 254
Carência
Você já deve ter visto alguma propaganda de lojas de automóveis que 
dizia: leve agora e pague somente depois do carnaval, nessa frase está 
contido o conceito de carência. Na carência, ocorre uma postergação na 
data do pagamento do principal. Imagine que você financie um carro em 
60 vezes, com pagamentos mensais. 
Geralmente, o pagamento da primeira parcela é agendado para trinta 
dias após a data da compra, contudo, em uma promoção de carnaval, 
por exemplo, pode-se começar a pagar depois de 60 dias. O valor dos 
encargos gerados nesses 30 dias de carência acabam embutidos no valor 
das prestações, o que as torna mais altas. Eventualmente, em uma linha 
de crédito de capital de giro, por exemplo, quando existe carência o valor 
dos juros pode ser pago durante o período de carência. 
Para Assaf Neto (2009), muitas operações de financiamento preveem um 
diferimento na data convencional do início dos pagamentos. 
Para o estudo de cada um dos sistemas de amortização SAC, SPC, SAA 
apresentaremos uma tabela (planilha financeira) que relaciona os diversos 
fluxos de pagamentos e recebimentos. Veja o exemplo:
Tabela 7 – Planilha Financeira.
Períodos
 (meses)
Saldo Devedor
($)
Amortização
($)
Juros 
($)
Prestação
($)
         
         
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
Podemos perceber pelo modelo dessa tabela que serão apresentados a cada 
período o saldo devedor, o valor amortizado, os juros e o valor da prestação. 
Nesta unidade abordamos os principais termos usados no estudo dos 
sistemas de amortização. Na próxima unidade falaremos do Sistema de 
Amortização Constante, um dos mais usados no Brasil. Quase todos 
os financiamentos feitos pelo Programa Minha Casa Minha Vida, do 
Governo Federal, são feitos com base nesse Sistema de Amortização.
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Resumo
Vimos que a correção monetária consiste em corrigir ou atualizar valores, 
com base na taxa da inflação de determinado período. Assaf Neto (2009) 
diz que os ajustes para se conhecer a evolução real dos valores monetários 
em inflação se processam mediante indexações (inflacionamento) e 
desindexações (deflacionamentos) dos valores nominais, os quais se dão 
por meio de índices de preços. 
Na unidade 38, resolvemos exercícios referentes à taxa real, taxa aparente 
e correção monetária e através dessas aplicações práticas oportunizamos o 
aprimoramento do seu aprendizado em relação a esses tópicos. 
Na unidade 39 e 40, tratamos das séries uniformes de pagamento 
postecipados e antecipados, respectivamente, diferenciando-os. Vimos 
que, ao optar pela série de pagamento antecipada, a primeira parcela 
de um empréstimo é feita logo no início do período, sendo essa parcela 
capitalizada durante todo o período do empréstimo. Demonstramos as 
fórmulas para acumulação do montante e a fórmula que nos fornece o 
capital inicial para ter-se uma quantidade de retiradas iguais e constantes 
em determinado período. Também resolvemos exercícios referentes às 
séries de pagamentos uniformes. 
Contemplamos, igualmente, os principais termos encontrados no estudo 
dos sistemas de amortização e conhecemos os principais sistemas que 
serão estudados nas próximas unidades.
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43 Sistema de Amortização Constante (SAC)
Objetivo
Conhecer as expressões genéricas de cálculo de cada parcela da 
planilha SAC.
Na unidade anterior falamos dos principais sistemas de amortização 
utilizados no sistema bancário brasileiro. Apresentamos ainda os 
principais termos usados nesses sistemas de amortização de empréstimos. 
Nesta unidade, através das ideias de Assaf Neto (2009), iremos tratar do 
Sistema de Amortização Constante (SAC), discutiremos sua modelagem 
matemática bem como simularemos empréstimos fundamentados nesse 
sistema de amortização. 
O Sistema de Amortização Constante (SAC) é um dos mais usados pelas 
instituições financeiras no Brasil, a maioria dos créditos imobiliários 
concedidos pela Caixa Econômica Federal (CEF), por exemplo, usam 
esse sistema de amortização. É utilizado também por outras instituições 
não só para crédito imobiliário mas também em outras modalidades de 
empréstimos.
Como o próprio nome sugere, no Sistema de Amortização Constante 
(SAC), a amortização é constante, ou seja,a cada mês um mesmo valor 
é amortizado do valor principal. Note que só a amortização é constante, 
o valor das prestações pode ser diferente a cada mês. Segundo Assaf Neto 
(2009), os juros incidem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce 
após o pagamento de cada amortização, assumindo valores decrescentes 
em cada período. Como a cada período o valor principal diminui 
(lembrando que a amortização é a mesma), o valor dos juros também 
decresce, resultando em uma prestação decrescente, que obedece a uma 
Progressão Aritmética (PA). O valor da prestação considera a expressão 
vista na unidade 42. Prestação = Amortização + Encargos Financeiros, ou 
seja, o valor da amortização somado ao valor dos juros está subsumido no 
valor das prestações. 
www.esab.edu.br 257
O valor das amortizações no Sistema de Amortização Constante é 
calculado usando a expressão:
=
CAmort
n
Em que:
Amort ⇒ valor da amortização (R$);
C ⇒ valor do empréstimo ou principal (R$);
n ⇒ número de prestações (meses, anos etc.).
Os juros incidem sobre o saldo devedor, que como vimos é decrescente. 
Considerando a primeira prestação, podemos calcular os juros usando a 
expressão:
J = C x i
Em que:
J ⇒ valor dos juros (R$);
C ⇒ valor do empréstimo ou principal (R$);
i ⇒ taxa de juros (%). Deve ter a mesma frequência de capitalização das 
prestações, ou seja: se a prestação vence a cada mês, a taxa deve estar ao 
mês. Para fazer o cálculo pela expressão, ela deve estar na forma unitária.
Contudo, a cada período o valor do saldo devedor diminui à razão de 
.C
n
 Assim podemos dizer que no período seguinte o saldo devedor será 
www.esab.edu.br 258
- .CC
n
 Dessa forma, no segundo período podemos escrever a expressão 
dos juros da seguinte forma:

 
 = - × 
 
 amortização
CJ C i
n
Multiplicando cada membro de dentro dos parênteses por n e depois 
colocando C em evidência temos:
×
× = × -
C nJ n C n
n
( )
( )
 
× 
 
× = × - ×
= × - ×1
i
J n C n C i
CJ n i
n
Assim, demonstramos a expressão para calcular o valor dos juros no 
segundo período, ou seja, segunda prestação. 
( )= × - ×2 1
CJ n i
n
Seguindo o mesmo raciocínio para a terceira e quarta prestação, 
substituindo C por - × - ×2 e 3C CC C
n n
 respectivamente na equação 
J = C x i, temos:
( ) ( )= × - × = × - ×3 42 , 3
C CJ n i J n i
n n
e assim sucessivamente.
www.esab.edu.br 259
Contudo, precisamos de uma expressão que calcule o valor dos juros em 
qualquer período t . Para isso, acompanhe a demonstração a seguir. 
Note que quando mostramos a expressão para a 2ª, 3ª e 4ª prestação, na 
2ª prestação ( )= × - ×2 1
CJ n i
n
 e na 3ª prestação ( )= × - ×3 2 ,
CJ n i
n
 ou 
seja, em 2J usamos (n – 1), em 3J usamos (n – 2). Se considerarmos t o 
número da prestação, em tJ usamos (n – (t – 1)). 
Assim para um período qualquer t , temos:
( )( )
( )
= × - - ×
= × - + ×
1
1
t
t
CJ n t i
n
CJ n t i
n
Em que:
J ⇒ valor dos juros (R$);
C ⇒ valor do empréstimo ou principal (R$);
i ⇒ taxa de juros (%);
n ⇒ número de prestações (meses, anos etc.);
t ⇒ período em que será calculado o valor da prestação, por exemplo, na 
sétima prestação t = 7.
Agora vamos acompanhar um exemplo para aplicar os conceitos que 
vimos nesta unidade.
Exemplo: João foi ao banco para ver a possibilidade de financiar um 
terreno. Ele pretende fazer um financiamento curto, de apenas 6 meses. 
Considerando que o valor do terreno é R$ 36.000,00 e o banco oferece 
uma taxa de 1% ao mês, construa uma planilha usando o SAC que 
mostre o saldo devedor, a amortização, o valor dos juros e das prestações 
para os 6 meses.
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Solução: Primeiro, vamos calcular o valor das amortizações usando a 
expressão:
=
CAmort
n
Logo:
=
=
36.000,00
6
6.000,00
Amort
Amort
No primeiro período, o saldo devedor será de R$ 36.000,00. Portanto, 
teremos:

= ×
= ×
=
 
36.000 0,01
$360,00
forma unitária
J C i
J
J R
Esse é o valor dos juros da primeira prestação: R$ 360,00.
A primeira prestação será calculada através da expressão:
Prestação = Amortização + Encargos Financeiros
Ou seja:
Prestação = Amort + Juros
Prestação = 6.000+360,00
Prestação = R$ 6.360,00
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Na segunda prestação em que o saldo devedor é 36.000 – 6.000 = R$ 
30.000,00, temos:

= ×
= ×
=
 
 
30.000 0,01
$300,00
forma unitária
J Saldo Devedor i
J
J R
DG: Favor separar forma unitária. 
Valor da 2ª prestação:
Prestação = Amort + Juros
Prestação = 6.000+3000
Prestação = R$ 6.300,00
E assim deve ser feito para todos os meses do período.
Agora acompanhe a tabela. 
Tabela 8 − Sistema de Amortização Constante.
Período 
(meses)
Saldo Devedor 
(R$)
Amortização 
(R$)
Juros 
(R$)
Prestação 
(R$)
0 36.000,00   - -
1 30.000,00 6.000,00 360,00 6.360,00
2 24.000,00 6.000,00 300,00 6.300,00
3 18.000,00 6.000,00 240,00 6.240,00
4 12.000,00 6.000,00 180,00 6.180,00
5 6.000,00 6.000,00 120,00 6.120,00
6 0,00 6.000,00 60,00 6.060,00
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
www.esab.edu.br 262
Um empréstimo usando o Sistema de Amortização Constante (SAC) 
pode ser feito sem carência, quando a amortização é feita a partir do 1º 
período, ou com carência. Assaf Neto (2009) diz que um empréstimo 
que considera um período de carência pode ser pago de acordo com as 
três situações a seguir:
a. os juros são pagos durante a carência;
b. os juros são capitalizados e pagos totalmente no vencimento da 
primeira amortização;
c. os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor gerando um 
fluxo de amortizações de maior valor.
A forma de pagamento com carência é a mais utilizada pelas instituições 
financeiras, por isso, em nossos estudos consideraremos somente a 
carência com os juros pagos em cada período. 
Nesta unidade falamos do Sistema de Amortização Constante e 
demostramos as expressões para o cálculo das prestações e dos juros. Na 
próxima unidade iremos tratar do Sistema de Amortização Francês.
Saiba mais
Caro estudante, para relembrar o que é uma 
Progressão Aritmética (PA) e suas principais 
características, você pode assistir ao vídeo clicando 
aqui. 
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44 Sistema de Amortização Francês (SAF)
Objetivo
Conhecer Sistema de Amortização Francês.
Na unidade anterior, demostramos as expressões que serão usadas para 
o cálculo das prestações e juros no Sistema de Amortização Constante. 
Nesta unidade, com base nos trabalhos de Castanheira (2010) e Assaf 
Neto (2009), iremos falar do Sistema de Amortização Francês, que 
também é chamado de Sistema de Prestações Constantes (SPC). 
No Sistema de Amortização Francês a taxa de juros também incide 
sobre o saldo devedor, contudo, as amortizações não são constantes, pelo 
contrário, nesse sistema o valor das prestações é que é constante. Para 
Castanheira (2010), esse sistema adota o critério de rendas imediatas, 
ou seja, a amortização ocorre em parcelas periódicas, iguais e sucessivas, 
com o primeiro pagamento ao fim do primeiro período contratado. Em 
nossos estudos da unidade 39, chamamos rendas imediatas de séries de 
pagamentos com termos postecipados.
O Sistema de Amortização Francês tem larga aplicação no mercado 
financeiro brasileiro e, diferentemente do Sistema de Amortização 
Constante (SAC), o valor das prestações tem o mesmo valor a cada 
período, ou seja, é periódico e sucessivo. Assaf Neto (2009) diz que como 
os juros são calculados sobre o valor do saldo devedor, as amortizações 
assumem valores crescentes.
Na unidade 39, vimos como encontrar o valor do capital inicialtendo o 
valor das prestações (depósitos) iguais. Nesta unidade usaremos a mesma 
expressão, contudo, colocaremos em evidência o valor das prestações. 
Acompanhe o raciocínio. 
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Sabemos que:
( )
( )
( )
( )
- -
= ×
+ ×
+ ×
= ×
+ -
1 1
1
Colocando em evidência temos:
1
1 1
n
n
n
n
i
C R
i i
R
i i
R C
i
Em que:
C ⇒ capital inicial, apresentado em valores monetários (R$);
R ⇒ valor de cada prestação igual, apresentada em valores monetários 
(R$);
i ⇒ taxa, apresentada em (%), deve ser usada na forma unitária;
n ⇒ número de prestações.
Como vimos, as amortizações assumem valores crescentes, e os juros 
incidem também sobre o valor do saldo devedor. Assim, para calcular o 
valor das amortizações, procedemos de modo inverso ao do sistema SAC. 
Tendo o valor das prestações (calculada com a expressão anterior), 
subtraímos o valor dos juros a cada período, resultando no valor da 
amortização, ou seja, 
Amort = Prestação – Juros
Agora vamos acompanhar um exemplo de aplicação do Sistema de 
Amortização Francês.
Exemplo: Dona Maria resolveu comprar um sítio. Com esse fim, 
procurou uma imobiliária para ver os sítios à venda e seus respectivos 
valores. Chegando à imobiliária encontra o sítio dos seus sonhos e 
mesmo vendo somente as fotos, ela decide comprá-lo. O valor do sítio é 
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R$ 90.000,00 e ela pode financiá-lo em até 2 anos. Considerando uma 
taxa de juros de 2% ao mês, construa uma planilha com o valor das 
prestações e amortizações mensais dessa operação de crédito imobiliário, 
considerando o SAF.
Solução: Primeiro com o auxílio da expressão vista anteriormente, vamos 
calcular o valor das prestações mensais. Lembre-se de que esse valor será 
o mesmo em todo o período considerado.
Sabemos que:
( )
( )
( )
( )
+ ×
= ×
+ -
+ ×
= ×
+ -
×
= ×
-
= ×
= ×
=
24
24
1
1 1
1 0,02 0,02
90.000,00
1 0,02 1
1,608437 0,0290.000,00
1,608437 1
0,032168790.000,00
0,608437
90.000,00 0,0528711
$4.758,40
n
n
i i
R C
i
R
R
R
R
R R
O valor de cada prestação será de R$ 4.758,40. Como nas unidades 
anteriores, pedimos que você tome cuidado com os arredondamentos.
O valor dos juros deve ser calculado em 2% sobre o valor do saldo 
devedor.
Agora, tendo o valor das prestações, iremos construir a planilha e, a cada 
período, subtrair o valor dos juros (Amort = Prestação – Juros), a fim de 
encontrar o valor das amortizações. 
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Acompanhe a planilha a seguir.
Tabela 9 − Sistema de Amortização Francês.
Período 
(meses)
Saldo Devedor 
(R$)
Amortização 
(R$)
Juros 
(R$)
Prestação 
(R$)
0 90.000,00      
1 87.041,60 2.958,40 1800,00 4.758,40
2 84.024,03 3.017,57 1740,83 4.758,40
3 80.946,11 3.077,92 1680,48 4.758,40
4 77.806,63 3.139,48 1618,92 4.758,40
5 74.604,37 3.202,27 1556,13 4.758,40
6 71.338,05 3.266,31 1492,09 4.758,40
7 68.006,41 3.331,64 1426,76 4.758,40
8 64.608,14 3.398,27 1360,13 4.758,40
9 61.141,90 3.466,24 1292,16 4.758,40
10 57.606,34 3.535,56 1222,84 4.758,40
11 54.000,07 3.606,27 1152,13 4.758,40
12 50.321,67 3.678,40 1080,00 4.758,40
13 46.569,70 3.751,97 1006,43 4.758,40
14 42.742,69 3.827,01 931,39 4.758,40
15 38.839,14 3.903,55 854,85 4.758,40
16 34.857,52 3.981,62 776,78 4.758,40
17 30.796,27 4.061,25 697,15 4.758,40
18 26.653,80 4.142,47 615,93 4.758,40
19 22.428,48 4.225,32 533,08 4.758,40
20 18.118,65 4.309,83 448,57 4.758,40
21 13.722,62 4.396,03 362,37 4.758,40
22 9.238,67 4.483,95 274,45 4.758,40
23 4.665,04 4.573,63 184,77 4.758,40
24 -0,06 4.665,10 93,30 4.758,40
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
Note que ao final da planilha, temos um valor de R$ 0,06 negativo: é 
comum em financiamentos de longo prazo o ajuste de valores no final 
da operação. Isso ocorre devido aos arredondamentos que ocorrem 
ao longo do plano. Para melhor entendimento do assunto, refaça a 
tabela calculando todos os valores usando uma calculadora. Dessa 
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forma, você terá a oportunidade de tirar suas dúvidas e acompanhar o 
comportamento de todo o sistema de amortização.
Nesta unidade, discutimos o Sistema de Amortização Francês (SAF) e 
identificamos algumas diferenças em relação ao Sistema de Amortização 
Constante (SAC). Na próxima unidade, através de exercícios resolvidos 
passo a passo, iremos apresentar algumas planilhas usando o Sistema de 
Amortização Constante e o Sistema de Amortização Francês.
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45 Exercícios resolvidos
Objetivo
Exemplificar os conceitos vistos.
Na unidade anterior falamos do Sistema de Amortização Francês (SAF), 
que também é chamado de Sistema de Prestações Constantes (SPC), e 
vimos que ele tem larga aplicação no mercado financeiro brasileiro. 
Nesta unidade, resolveremos exercícios passo a passo usando aquelas 
expressões, e através de planilhas você terá a oportunidade de 
acompanhar a aplicação dos conceitos vistos nas unidades 43 e 44: 
Sistema de Amortização Constante e Sistema de Amortização Francês, 
respectivamente.
Exercício 1
Uma empresa fez um empréstimo de R$ 240.000,00 para ser pago em 
12 meses. Considerando que operação financeira não tem carência e a 
taxa de juros é de 2,5% ao mês, construa a planilha de amortização da 
operação usando o Sistema de Amortização Constante. 
Solução: Como visto na unidade 43, vamos calcular o valor das 
amortizações usando a expressão:
=
CAmort
n
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Logo:
=
=
240.000,00
12
20.000,00
Amort
Amort
A cada período, o valor de R$ 20.000,00 será amortizado do saldo 
devedor. Agora, munidos do valor da amortização, podemos começar 
a calcular os valores para o preenchimento da planilha. Note que na 
unidade 43 investimos bastante no cálculo dos juros em qualquer 
período t. Entretanto, ao usarmos uma planilha para os cálculos, 
facilitamos nosso trabalho, já que basta aplicar a taxa (nesse caso, 0,025) 
sobre o saldo devedor.
No primeiro período o saldo devedor será de R$ 240.000,00. Portanto, 
teremos:

= ×
= ×
=
 
240.000 0,025
$6.000,00
forma unitária
J C i
J
J R
Este é o valor dos juros da primeira prestação: R$ 6.000,00.
A primeira prestação será calculada através da seguinte expressão:
Prestação = Amortização + Encargos Financeiros 
Ou seja:
Prestação = Amort + Juros
Prestação = 20.000+6.000
Prestação = R$ 26.000,00
Na segunda prestação, em que o saldo devedor é 240.000 – 20.000 = R$ 
220.000,00, temos:
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
 
 
220.000 0,025
$5.500,00
forma unitária
J Saldo Devedor i
J
J R
= ×
= ×
=
Valor da 2ª prestação:
Prestação = Amort + Juros
Prestação = 20.000+5.500
Prestação = R$ 25.500,00
Agora acompanhe a planilha e lembre-se de que a taxa de juros 
incide sobre o valor do saldo devedor. E o valor do saldo devedor do 
período atual é o valor do saldo devedor anterior, subtraído o valor da 
amortização. Segue:
Tabela 10 − SAC sem carência.
Período 
(meses)
Saldo Devedor 
(R$)
Amortização 
(R$)
Juros 
(R$)
Prestação 
(R$)
0 240.000,00 - - -
1 220.000,00 20.000,00 6000,00 26.000,00
2 200.000,00 20.000,00 5500,00 25.500,00
3 180.000,00 20.000,00 5000,00 25.000,00
4 160.000,00 20.000,00 4500,00 24.500,00
5 140.000,00 20.000,00 4000,00 24.000,00
6 120.000,00 20.000,00 3500,00 23.500,00
7 100.000,00 20.000,00 3000,00 23.000,00
8 80.000,00 20.000,00 2500,00 22.500,00
9 60.000,00 20.000,00 2000,00 22.000,00
10 40.000,00 20.000,00 1500,00 21.500,00
11 20.000,00 20.000,00 1000,00 21.000,00
12 0 20.000,00 500,0020.500,00
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
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Exercício 2
Considere o empréstimo anterior, porém desta vez imagine que você não 
tem a planilha com todos os valores disponíveis. Calcule o valor da 10ª 
prestação. 
Solução: Vimos na unidade 43 que a prestação é dada por: 
Prestação = Amortização + Encargos Financeiros. 
Assim, precisamos calcular o valor dos juros e somar ao valor da 
amortização. Segue:
= × - + ×
= × - + ×
= × ×
= ×
10
10
10
10
( 1)
240.000 (12 10 1) 0,025
12
20.000 (3) 0,025
60.000 0,025
$1.500,00
J n t i
J R
Prestação = Amort + Juros
Prestação = 20.000+1.500
Prestação = R$ 21.500,00
Dessa forma, podemos calcular que o valor da 10ª prestação é de R$ 
21.500,00.
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Exercício 3
Agora, simule o empréstimo de R$ 240.000,00 para ser pago em 12 
meses. Considerando que a operação tenha um período de carência de 
3 meses, a taxa de juros seja de 2,5% ao mês, e os juros sejam pagos a 
cada mês. Construa a planilha de amortização, usando o Sistema de 
Amortização Constante (SAC) desta operação.
Solução: Como visto na unidade 43, vamos calcular o valor das 
amortizações usando a expressão:
=
CAmort
n
 
Logo:
=
=
240.000,00
12
20.000,00
Amort
Amort
Nesta operação, nos primeiros 3 meses serão pagos somente o valor dos 
juros, as amortizações acontecerão a partir do 4º mês. Assim, para os 3 
primeiros meses:

= ×
= ×
=
 
240.000 0,025
$6.000,00
forma unitária
J C i
J
J R
Nos 3 primeiros meses serão pagos somente o valor de R$ 6.000,00 a 
cada mês, referente aos juros do período.
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No 4º mês, teremos a primeira amortização. Logo:
Prestação = Amort + Juros
Prestação = 20.000+6.000
Prestação = R$ 26.000,00
Agora acompanhe a planilha e lembre-se de que a taxa de juros incide 
sobre o valor do saldo devedor, que decrescerá a partir do 4º mês.
Tabela 11 − SAC com carência.
Período 
(meses)
Saldo Devedor 
(R$)
Amortização 
(R$)
Juros 
(R$)
Prestação 
(R$)
0 240.000,00 - - -
1 240.000,00 - 6000,00 6000,00
2 240.000,00 - 6000,00 6000,00
3 240.000,00 - 6000,00 6000,00
4 220.000,00 20.000,00 6000,00 26.000,00
5 200.000,00 20.000,00 5500,00 25.500,00
6 180.000,00 20.000,00 5000,00 25.000,00
7 160.000,00 20.000,00 4500,00 24.500,00
8 140.000,00 20.000,00 4000,00 24.000,00
9 120.000,00 20.000,00 3500,00 23.500,00
10 100.000,00 20.000,00 3000,00 23.000,00
11 80.000,00 20.000,00 2500,00 22.500,00
12 60.000,00 20.000,00 2000,00 22.000,00
13 40.000,00 20.000,00 1500,00 21.500,00
14 20.000,00 20.000,00 1000,00 21.000,00
15 0 20.000,00 500,00 20.500,00
Total  - 240.000,00 57,000,00 297.000,00
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
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Exercício 4
Faça a planilha de amortizações considerando o Sistema de Amortização 
Francês (SAF) para um empréstimo de R$ 240.000,00 em 12 meses. 
Considerando uma taxa de 2,5% ao mês.
Solução: Primeiro iremos calcular o valor das prestações, usando a 
expressão para o cálculo da prestação para séries de pagamentos com 
termos postecipados. Assim:
( )
( )
( )
( )
+ ×
= ×
+ -
+ ×
= ×
+ -
×
= ×
-
= ×
= ×
=
12
12
1
1 1
1 0,025 0,025
240.000
1 0,025 1
1,3448889 0,025240.000
1,3448889 1
0,0336222240.000
0,3448889
240.000 0,0974871
$23.396,91
n
n
i i
R C
i
R
R
R
R
R R
Neste caso, temos o valor da prestação fixo. Calculamos o valor dos juros, 
incidindo a taxa sobre o saldo devedor e depois calculamos o valor de 
cada amortização, usando: 
Amort = Prestação - Juros
Acompanhe a tabela a seguir. 
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Tabela 12 − Sistema de Amortização Francês.
Período 
(meses)
Saldo Devedor
(R$)
Amortização 
(R$)
Juros 
(R$)
Prestação 
(R$)
0 240.000,00 - - -
1 222.603,09 17.396,91 6000,00 23.396,91
2 204.771,26 17.831,83 5565,08 23.396,91
3 186.493,63 18.277,63 5119,28 23.396,91
4 167.759,06 18.734,57 4662,34 23.396,91
5 148.556,13 19.202,93 4193,98 23.396,91
6 128.873,12 19.683,01 3713,90 23.396,91
7 108.698,04 20.175,08 3221,83 23.396,91
8 88.018,58 20.679,46 2717,45 23.396,91
9 66.822,13 21.196,45 2200,46 23.396,91
10 45.095,77 21.726,36 1670,55 23.396,91
11 22.826,25 22.269,52 1127,39 23.396,91
12 0,00 22.826,25 570,66 23.396,91
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
Nesta unidade, vimos passo a passo a resolução de exercícios sobre o 
Sistema de Amortização Constante e o Sistema de Amortização Francês. 
Através de planilhas, podemos analisar o comportamento dos juros e 
das prestações, em casos com ou sem carência. Na próxima unidade 
iremos tratar da tabela Price, que é um caso particular do Sistema de 
Amortização Francês. 
www.esab.edu.br 276
46 Sistema Price de Amortização ou Tabela Price
Objetivo
Conhecer o Sistema Price de Amortização ou Tabela Price.
Na unidade anterior conhecemos o Sistema de Amortização Francês 
(SAF) e vimos que nesse sistema adota-se o critério das anuidades com 
termos postecipados, ou seja, a amortização ocorre em pagamentos 
periódicos, iguais e sucessivos, com a primeira parcela ao fim do primeiro 
período contratado. Mostramos que o comportamento desse sistema 
de amortização difere do Sistema de Amortização Constante (SAC), no 
que se refere às prestações. Enquanto no SAC, as prestações diminuem 
obedecendo a uma Progressão Aritmética (PA), no SAF as prestações 
são iguais, e as amortizações são crescentes. Nesta unidade, por meio 
das ideias de Puccini (2011), trataremos da Tabela Price (lê-se ‘praice’), 
que é um caso particular do Sistema de Amortização Francês, e que tem 
o mesmo comportamento, ou seja, as prestações também são iguais e 
sucessivas. 
A Tabela Price tem larga aceitação no mercado financeiro. Para Puccini 
(2011), sua grande característica consiste em ter uma taxa nominal como 
elemento de entrada para obtenção dos fatores. Contudo, esses fatores 
são calculados com a taxa efetiva, proveniente da taxa nominal, tendo 
como referência o número de períodos de capitalização.
Em nossos estudos na unidade 19, tratamos da diferença entre a taxa 
nominal e a taxa efetiva . Para melhor compreender a Tabela Price, é 
interessante que você retorne a essa unidade e reveja esses conceitos. 
A maioria dos autores não deixa claro por que a Tabela Price é um caso 
particular do SAF, contudo, ela tem algumas características importantes:
www.esab.edu.br 277
a. a taxa de juros contratada é apresentada em temos nominais, 
enquanto a frequência de capitalização é mensal e a taxa é dada em 
termos anuais;
b. como dito anteriormente, as prestações têm período menor que o 
apresentado na taxa. Na maioria dos casos, as amortizações são feitas 
mensalmente; 
c. no cálculo é utilizada a taxa proporcional ao período de referência da 
prestação, calculada a partir da taxa nominal.
Lembre-se de que em nossos estudos vimos o conceito de taxa 
proporcional na unidade 13. 
Por exemplo, se em um financiamento usando a Tabela Price a taxa 
nominal for de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, teremos uma 
taxa mensal de 1% ao mês. Como vimos na unidade 13, teremos:
=
=
=
=
1 1
2 2
1
1
1
1
12 12
12
12
1% . .
i n
i n
i
i
i a m
Contudo, a taxa efetiva, que é a taxa apurada durante todo o prazo n 
(sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização), 
será calculada considerando uma taxa de 1% a.m. capitalizada 
mensalmente, o que resultará, segundo a unidade 19, em:
( )
( )
( )
= + -
= + -
= -
= -
= ×
=
12
12
1 1
1 0,01 1
1,01 1
1,1268 1
0,1268100
12,68% .
q
ef
ef
ef
ef
ef
ef
i i
i
i
i
i
i a a
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Uma taxa efetiva de 12,68% ao ano.
Vamos acompanhar um exemplo de aplicação da Tabela Price:
Exemplo 1
Uma instituição financeira empresta o valor de R$ 200.000,00, entregues 
no ato e sem prazo de carência. Considerando uma taxa de 12% ao ano, 
a Tabela Price e que o prazo de pagamento é de 12 meses, construa a 
tabela de amortizações.
Solução: Como temos uma Tabela Price, a taxa de 12% a.a. é uma taxa 
nominal. Portanto, temos que encontrar a taxa proporcional ao mês para 
podermos calcular o valor das prestações.
Assim:
=
=
=
=
1 1
2 2
1
1
1
1
12 12
12
12
1% . .
i n
i n
i
i
i a m
www.esab.edu.br 279
Tendo o valor da taxa mensal, encontramos o valor das prestações usando 
a expressão vista na unidade 44, segue:
( )
( )
( )
( )
+ ×
= ×
+ -
+ ×
= ×
+ -
×
= ×
-
= ×
= ×
=
12
12
1
1 1
1 0,01 0,01
200.000
1 0,01 1
1,12682503 0,01200.000
1,12682503 1
0,01126825200.000
0,12682503
200.000 0,08884879
$17.769,76
n
n
i i
R C
i
R
R
R
R
R R
Os juros incidem sobre o saldo devedor, acompanhe a planilha.
Tabela 13 −Tabela Price.
Período 
(meses)
Saldo Devedor 
(R$)
Amortização 
(R$)
Juros 
(R$)
Prestação 
(R$)
0 200.000,00      
1 184.230,24 15.769,76 2.000,00 17.769,76
2 168.302,78 15.927,46 1.842,30 17.769,76
3 152.216,05 16.086,73 1.683,03 17.769,76
4 135.968,45 16.247,60 1.522,16 17.769,76
5 119.558,37 16.410,08 1.359,68 17.769,76
6 102.984,19 16.574,18 1.195,58 17.769,76
7 86.244,27 16.739,92 1.029,84 17.769,76
8 69.336,95 16.907,32 862,44 17.769,76
9 52.260,56 17.076,39 693,37 17.769,76
10 35.013,41 17.247,15 522,61 17.769,76
11 17.593,78 17.419,63 350,13 17.769,76
12 -0,04 17.593,82 175,94 17.769,76
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
www.esab.edu.br 280
Note que ao final da planilha, temos um valor de R$ 0,04 negativo: é 
comum em financiamentos de longo prazo o ajuste de valores no final da 
operação. Isso ocorre devido aos arredondamentos que ocorrem ao longo 
do plano.
Nesta unidade, discutimos o Sistema Price de Amortização (SPA), 
ou Tabela Price. Vimos que ele é um caso particular do Sistema de 
Amortização Francês (SAF). Tivemos a oportunidade de rever conceitos 
importantes, como taxa nominal, taxa proporcional e taxa efetiva. Na 
próxima unidade, através de exercícios resolvidos passo a passo, iremos 
apresentar algumas planilhas usando o Sistema de Amortização Constante 
(SAC), o SAF e a Tabela Price. 
www.esab.edu.br 281
47 Exercícios resolvidos
Objetivo
Exemplificar os conceitos vistos.
Na unidade anterior falamos do Sistema Price de Amortização (SPA), ou 
Tabela Price. Apresentamos suas principais características e através de um 
exemplo prático vimos sua aplicação. 
Nesta unidade, resolveremos exercícios passo a passo, aplicando os 
conceitos vistos até o momento.
Exercício 1
Uma empresa do ramo têxtil obtém um financiamento de R$ 300.000,00. 
Contudo, a instituição financeira oferece as seguintes condições:
a. taxa de juros nominal de 8% ao ano, com pagamentos semestrais; 
b. amortização feita de acordo com a Tabela Price, com pagamentos 
semestrais;
c. prazo de amortização de 5 anos (12 semestres);
d. prazo de carência de 1 ano, como juros pagos a cada semestre.
Construa a planilha de financiamento.
Solução: Note que a taxa de juros é dada em termos anuais, mas a 
frequência de capitalização é semestral. Portanto, teremos que encontrar 
a taxa proporcional, tal como segue:
www.esab.edu.br 282
=
=
×
=
=
=
1 1
2 2
1
1
1
1
6
8 12
8 6
12
48
12
4% . .
i n
i n
i
i
i
i a s
Agora temos que encontrar o valor da prestação, usando a expressão vista 
na unidade 44. Temos:
( )
( )
( )
( )
+ ×
= ×
+ -
+ ×
= ×
+ -
×
= ×
-
= ×
= ×
=
10
10
1
1 1
1 0,04 0,04
300.000
1 0,04 1
1,48024428 0,04300.000
1,48024428 1
0,05920977300.000
0,48024428
300.000 0,12329094
$36.987,28
n
n
i i
R C
i
R
R
R
R
R R
Note que o período considerado para o valor da prestação foi n = 10, 
isto se deve ao prazo de carência de um ano (ou seja, dois semestres), 
restando, dessa forma, apenas dez semestres dos 12 considerados no 
empréstimo.
A operação tem carência de 1 ano, em que os juros serão pagos a cada 
semestre. Portanto, note que na tabela nos primeiros 2 semestres não 
acontece amortização. A taxa de juros de 0,04 a.s incide sobre o saldo 
devedor, na carência, e como nada foi amortizado, a taxa incide sobre o 
valor total tomado emprestado. Assim, a primeira amortização se dará no 
terceiro semestre. Acompanhe a planilha a seguir.
www.esab.edu.br 283
Tabela 14 −Tabela Price.
Período 
(semestres)
Saldo Devedor 
(R$)
Amortização 
(R$)
Juros 
(R$)
Prestação 
(R$)
0 300000,00      
1     12000,00 12000,00
2     12000,00 12000,00
3 275012,72 24987,28 12000,00 36987,28
4 249025,95 25986,77 11000,51 36987,28
5 221999,71 27026,24 9961,04 36987,28
6 193892,42 28107,29 8879,99 36987,28
7 164660,83 29231,58 7755,70 36987,28
8 134259,98 30400,85 6586,43 36987,28
9 102643,10 31616,88 5370,40 36987,28
10 69761,54 32881,56 4105,72 36987,28
11 35564,72 34196,82 2790,46 36987,28
12 0,03 35564,69 1422,59 36987,28
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
Note que, ao final da planilha, temos um valor de R$ 0,03 negativo: é 
comum em financiamentos de longo prazo o ajuste de valores no final da 
operação. Isso ocorre devido aos arredondamentos que ocorrem ao longo 
do plano.
Exercício 2
Um empréstimo de R$ 120.000,00 será saldado em 360 amortizações 
mensais, pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC). Tendo sido 
contratado com taxa nominal de 6 % ao ano, qual é o valor da 15ª prestação?
Solução: Como se trata do SAC, podemos calcular o valor da prestação 
considerando as expressões ( )= = × - + × e 1t
C CAmort J n t i
n n
 vistas 
na unidade 43.
www.esab.edu.br 284
Para sabermos o valor da prestação em determinado mês, devemos 
conhecer o valor dos juros cobrados naquele mês e o valor da 
amortização, que é a mesma a cada mês. Portanto:
Prestação = Amortização + Encargos Financeiros
A taxa de juros é de 6% ao ano. Como a taxa é nominal, a taxa 
proporcional é:
=
=
=
=
1 1
2 2
1
1
1
1
6 12
6
12
0,5% . .
i n
i n
i
i
i a m
O valor das amortizações mensais será:
=
=
=
120.000
360
$333,33
CAmort
n
Amort
Amort R
O valor dos juros na 15ª parcela incide sobre o saldo devedor na 15ª 
parcela. O saldo devedor é o valor total tomado emprestado, subtraído de 
14 amortizações, iguais e sucessivas. Assim, usando a expressão vista na 
unidade 43, segue:
( )
( )
= × - + ×
= × - + ×
= × ×
=
15
15
15
120.000,00 360 15 1 0,005
360
333,33 346 0,005
$576,67
t
CJ n t i i
n
J
J
J R
www.esab.edu.br 285
Outra forma de encontrar os juros seria incidir a taxa sobre o valor do 
saldo devedor. Esse é um método menos elegante, contudo resolve o 
problema. Segue:
Saldo devedor = 120.000,00 – (333,33x14)
Saldo devedor = 120.000,00 – 4.666,62
Saldo devedor = R$ 115.333,38
Como os juros são calculados sobre o saldo devedor, temos:
Juros = 115.333,38 x 0,005
Juros = R$ 576,67
Assim o valor da prestação na 15ª parcela será de:
Prestação = Amortização + Encargos Financeiros
Prestação = 333,33 + 576,67
Prestação = R$ 910,00
O valor da prestação na 15ª será de R$ 910,00.
Esse é um exemplobastante realista, pois o valor da taxa é usado pelo 
sistema habitacional da Caixa Econômica Federal; o período de trinta 
anos também é possível. Apresentaremos a planilha dos dois primeiros 
anos dessa operação. Note como as amortizações são pequenas em 
relação aos juros pagos.
www.esab.edu.br 286
Tabela 15 − Tabela SAC.
Período 
(meses)
Saldo Devedor 
(R$)
Amortização 
(R$)
Juros 
(R$)
Prestação 
(R$)
0 120000,00      
1 119666,67 333,33 600,00 933,33
2 119333,33 333,33 598,33 931,67
3 119000,00 333,33 596,67 930,00
4 118666,67 333,33 595,00 928,33
5 118333,33 333,33 593,33 926,67
6 118000,00 333,33 591,67 925,00
7 117666,67 333,33 590,00 923,33
8 117333,33 333,33 588,33 921,67
9 117000,00 333,33 586,67 920,00
10 116666,67 333,33 585,00 918,33
11 116333,33 333,33 583,33 916,67
12 116000,00 333,33 581,67 915,00
13 115666,67 333,33 580,00 913,33
14 115333,33 333,33 578,33 911,67
15 115000,00 333,33 576,67 910,00
16 114666,67 333,33 575,00 908,33
17 114333,33 333,33 573,33 906,67
18 114000,00 333,33 571,67 905,00
19 113666,67 333,33 570,00 903,33
20 113333,33 333,33 568,33 901,67
21 113000,00 333,33 566,67 900,00
22 112666,67 333,33 565,00 898,33
23 112333,33 333,33 563,33 896,67
24 112000,00 333,33 561,67 895,00
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
www.esab.edu.br 287
Nesta unidade vimos passo a passo a resolução de exercícios sobre a 
Tabela Price e ainda um exemplo usando o Sistema de Amortização 
Constante, em que os valores estão bem próximos dos financiamentos 
feitos pela Caixa Econômica Federal. Dessa forma, oportunizamos a 
você uma experiência prática referente a um financiamento habitacional. 
Na próxima unidade, iremos tratar das diferenças entre os sistemas de 
amortização vistos até o momento comparando-os.
Tarefa dissertativa
Caro estudante, convidamos voc. a acessar o 
Ambiente Virtual de Aprendizagem e realizar a 
tarefa dissertativa.
www.esab.edu.br 288
48 Comparação entre os Sistemas de Amortização 
Objetivo
Comparar os sistemas de amortização SAC e Price.
Caro estudante, na unidade anterior resolvemos passo a passo exercícios 
com aplicações da tabela Price e do Sistema de Amortização Constante 
(SAC), construímos planilhas mostrando os juros cobrados e as 
respectivas amortizações. Nesta unidade, trataremos das diferenças entre 
os principais sistemas estudados até o momento, no que se refere aos 
juros pagos em cada sistema. 
No momento de contratar um financiamento, é comum ficar em 
dúvida entre fazer a operação no SAC ou na Tabela Price. Contudo, 
mostraremos aqui através de uma simulação qual é o valor dos juros 
pagos em um mesmo financiamento, com o mesmo período e taxa, no 
SAC e na Tabela Price.
É importante salientar que existem ainda outros sistemas de amortização 
e que a instituição financeira pode estipular a forma de pagamento de um 
financiamento ou empréstimo. Aqui, citamos e discutimos os sistemas 
de amortização mais comuns encontrados no mercado financeiro. 
Castanheira (2010) lembra que, como determina a Lei nº 8.078/90 que 
dispõe sobre o Código de Defesa do Consumidor, a forma de aplicação 
de juros deve ser definida no contrato entre as partes. 
No mercado financeiro brasileiro, os sistemas de amortização mais 
utilizados são o Sistema de Amortização Constante e a Tabela Price. 
Assim, faremos uma simulação em que um crédito de R$ 100.000,00 
será pago no período de 24 meses, com uma taxa de 2,5% ao mês, na 
Tabela Price e no SAC. Faremos as duas planilhas bem como a soma dos 
juros pagos ao final de cada operação. 
www.esab.edu.br 289
Simulação no Sistema de Amortização Constante
Primeiro calcularemos o valor das amortizações, que no caso são iguais e 
sucessivas.
=
=
=
100.000
24
$4.166,67
CAmort
n
Amort
Amort R
Agora acompanhe a planilha.
Tabela 16 − Tabela SAC.
Período 
(meses)
Saldo Devedor 
(R$)
Amortização 
(R$)
Juros 
(R$)
Prestação 
(R$)
0 100000,00      
1 95833,33 4166,67 2500,00 6666,67
2 91666,67 4166,67 2395,83 6562,50
3 87500,00 4166,67 2291,67 6458,34
4 83333,33 4166,67 2187,50 6354,17
5 79166,67 4166,67 2083,33 6250,00
6 75000,00 4166,67 1979,17 6145,84
7 70833,33 4166,67 1875,00 6041,67
8 66666,67 4166,67 1770,83 5937,50
9 62500,00 4166,67 1666,67 5833,34
10 58333,33 4166,67 1562,50 5729,17
11 54166,67 4166,67 1458,33 5625,00
12 50000,00 4166,67 1354,17 5520,84
13 45833,33 4166,67 1250,00 5416,67
14 41666,67 4166,67 1145,83 5312,50
15 37500,00 4166,67 1041,67 5208,34
16 33333,33 4166,67 937,50 5104,17
17 29166,67 4166,67 833,33 5000,00
18 25000,00 4166,67 729,17 4895,84
19 20833,33 4166,67 625,00 4791,67
www.esab.edu.br 290
20 16666,67 4166,67 520,83 4687,50
21 12500,00 4166,67 416,67 4583,33
22 8333,33 4166,67 312,50 4479,17
23 4166,67 4166,67 208,33 4375,00
24 0,00 4166,67 104,17 4270,84
Total     31250,00  
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
No Sistema de Amortização Constante, o valor dos juros pagos foi de R$ 
31.250,00. Vamos agora acompanhar como esse mesmo crédito de R$ 
100.000,00 fica na Tabela Price.
Simulação na Tabela Price
Primeiro calcularemos o valor das prestações, usando a expressão 
mostrada na unidade 44, tal como apresentamos a seguir:
Agora acompanhe a planilha.
www.esab.edu.br 291
Tabela 17 − Tabela Price.
Período 
(meses)
Saldo Devedor 
(R$)
Amortização 
(R$)
Juros 
(R$)
Prestação 
(R$)
0 100000,00      
1 96908,72 3091,28 2500,00 5591,28
2 93740,16 3168,56 2422,72 5591,28
3 90492,38 3247,78 2343,50 5591,28
4 87163,41 3328,97 2262,31 5591,28
5 83751,22 3412,19 2179,09 5591,28
6 80253,72 3497,50 2093,78 5591,28
7 76668,78 3584,94 2006,34 5591,28
8 72994,22 3674,56 1916,72 5591,28
9 69227,80 3766,42 1824,86 5591,28
10 65367,21 3860,59 1730,69 5591,28
11 61410,11 3957,10 1634,18 5591,28
12 57354,08 4056,03 1535,25 5591,28
13 53196,65 4157,43 1433,85 5591,28
14 48935,29 4261,36 1329,92 5591,28
15 44567,39 4367,90 1223,38 5591,28
16 40090,29 4477,10 1114,18 5591,28
17 35501,27 4589,02 1002,26 5591,28
18 30797,52 4703,75 887,53 5591,28
19 25976,18 4821,34 769,94 5591,28
20 21034,30 4941,88 649,40 5591,28
21 15968,88 5065,42 525,86 5591,28
22 10776,82 5192,06 399,22 5591,28
23 5454,96 5321,86 269,42 5591,28
24 0,05 5454,91 136,37 5591,28
Total     34190,79  
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
Na Tabela Price os juros pagos são de R$ 34.190,79.
Note que a soma dos juros pagos na Tabela Price de R$ 34.190,79 
é maior do que no Sistema de Amortização Constante, que é de R$ 
31.250,00, contudo essa não é a única análise a ser feita. No SAC as 
www.esab.edu.br 292
amortizações são sempre iguais, já na Tabela Price, no início elas são 
bem menores, o que nos faz concluir que desfazer-se do bem no meio do 
plano não é vantajoso nesse sistema. 
Em maio de 1979, o extinto Banco Nacional de Habitação (BNH) criou 
o Sistema de Amortização Misto (SAM). Conforme Castanheira (2010), 
o SAM é um plano de pagamentos composto por prestações cujos 
valores são resultantes da média aritmética das prestações no Sistema 
de Amortização Francês (SAF) e no Sistema de Amortização Constante 
(SAC), correspondentes aos respectivos prazos.
Estudo complementar
Caro estudante, acesse a dissertação de mestrado 
de Vitor Henrique Geist, clicando aqui, se direcione 
até o terceiro capítulo e veja como esses Sistemas 
de Amortização são aplicados ao Financiamento 
Habitacional.
Outro sistema pouco comum é o Sistema de Amortização Americano 
(SAA). Silva (2008) diz que nessesistema o financiamento é liquidado 
através de pagamentos periódicos de juros e amortização única do principal 
no vencimento. Acompanhe o exemplo a seguir, no qual o valor de 
R$100.000,00 é pago em 6 meses, com uma taxa de 1,5% ao mês no SAA.
Tabela 18 − Sistema de Amortização Americano.
Período 
(meses)
Saldo Devedor 
(R$)
Amortização 
(R$)
Juros 
(R$)
Prestação 
(R$)
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 1.500,00 1.500,00
2 100.000,00 - 1.500,00 1.500,00
3 100.000,00 - 1.500,00 1.500,00
4 100.000,00 - 1.500,00 1.500,00
5 100.000,00 - 1.500,00 1.500,00
6 -  100.000,00 1.500,00 101.500,00
Fonte: Elaborada pelo autor (2013).
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Na prática, os sistemas de amortização utilizados no mercado financeiro 
brasileiro têm correção monetária a partir de índices pré ou pós-fixados. 
Assim, a escolha entre um sistema de amortização ou outro deve levar em 
consideração além dos fatores mostrados em nossos estudos, os diversos 
serviços oferecidos pela instituição financeira que você escolheu.
Nesta unidade, comparamos o Sistema de Amortização Constante (SAC) 
e a Tabela Price. Falamos também do Sistema de Amortização Misto 
(SAM) e do Sistema de Amortização Americano (SAA), os quais são 
pouco utilizados no mercado financeiro brasileiro.
Caro estudante, você chegou ao fim da disciplina Matemática Financeira. 
Oportunizamos a você o contato com os conceitos mais importantes 
da matemática financeira e mostramos sua aplicação. Parabéns por esta 
conquista, esperamos que você faça bom uso desses conceitos e desejamos 
a você êxito nos próximos desafios que estão por vir. 
Um abraço e muito sucesso!
Atividade
Chegou a hora de você testar seus conhecimentos 
em relação às unidades 37 a 48. Para isso, dirija-
se ao Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) e 
responda às questões. Além de revisar o conteúdo, 
você estará se preparando para a prova. Bom 
trabalho!
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Resumo
Na unidade 43, fundamentados em Assaf Neto (2009), tratamos do 
Sistema de Amortização Constante (SAC). Vimos que como o próprio 
nome sugere, nesse tipo de sistema a amortização é constante, ou seja, a 
cada mês um mesmo valor é amortizado do valor principal. Note que só 
a amortização é constante, o valor das prestações modifica-se a cada mês. 
Discutimos sua modelagem matemática, e simulamos empréstimos com 
base nesse sistema de amortização. 
Na unidade 44 falamos do Sistema de Amortização Francês (SAF), que 
também é chamado de Sistema de Prestações Constantes (SPC). Vimos 
que a taxa de juros também incide sobre o saldo devedor, contudo as 
amortizações não são constantes: elas são crescentes e nesse sistema é o 
valor das prestações que é constante. 
Na unidade 45, através de exercícios resolvidos passo a passo, 
apresentamos algumas planilhas usando o SAC e o Sistema de 
Amortização Francês. Falamos do caso especial do SAF na unidade 46 e 
mostramos que a Tabela Price usa uma taxa nominal como elemento de 
entrada para obtenção dos fatores. Contudo, esses fatores são calculados 
com a taxa efetiva, proveniente da taxa nominal, tendo como referência o 
número de períodos de capitalização.
Resolvemos mais exercícios na unidade 47, comparamos o Sistema 
de Amortização Constante e a Tabela Price, e falamos brevemente do 
Sistema de Amortização Misto (SAM) e do Sistema de Amortização 
Americano (SAA), os quais são pouco utilizados no mercado financeiro 
brasileiro.
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Glossário
Banco Nacional de Habitação (BNH)
Era uma empresa pública do Brasil destinada a fazer financiamentos 
imobiliários. R
Biênio
No contexto, refere-se a um período de dois anos. R
Caixa Econômica Federal
É uma instituição financeira, uma empresa pública do Brasil ligada ao 
Ministério da Fazenda. R
Calculadora financeira
É uma calculadora que tem funções exclusivas para cálculos financeiros. 
No mercado, a mais procurada é a Hp 12C, que trabalha tanto com 
juros simples como com juros compostos. É possível ainda você baixar 
em seu computador um simulador dessa calculadora. R
Carência
É um período de tempo situado após a realização de um empréstimo e 
antes de sua amortização. R
Cenário econômico
É um processo de análise de possíveis eventos futuros, considerando 
alternativas para possíveis resultados. No contexto, o cenário econômico 
define os índices de preços. R
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Custo
É o valor dos insumos utilizados na fabricação de um determinado 
produto. R
Custo da produção
Gasto econômico que representa a fabricação de um produto ou a 
prestação de um serviço. Nesse custo, podemos incluir despesas com 
salários, matéria-prima etc. R
Demanda
Em economia, demanda, ou procura, é a quantidade de um bem ou 
serviço que os consumidores desejam adquirir por um preço definido em 
um dado mercado, durante uma unidade de tempo. R
Desconto
Em finanças, chama-se desconto a diferença entre o Valor Nominal de 
um título (Valor Futuro) “VF” e o Valor Presente ou Atual “VP” desse 
mesmo título [D = VF – VP]. De forma bem simplificada poderíamos 
dizer que desconto é a diferença entre o valor informado pelo vendedor e 
o valor pago pelo comprador. R
Desconto bancário
É uma operação destinada principalmente a empresas (pessoas jurídicas) 
nas quais ocorre o adiantamento de crédito de terceiros a seus clientes, no 
caso a empresa que é cliente do banco. Grosso modo, a empresa vende a 
prazo e o banco adianta esse dinheiro, através da troca de cheque ou título. 
R 
Educação financeira
Tem como objetivo principal introduzir bons hábitos financeiros na 
vida das pessoas. Dessa forma, as famílias (de baixa renda ou não) que 
aplicarem tais conhecimentos poderão viver em melhores condições de 
vida e proporcionar um futuro melhor para os filhos. R
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Ensandecido
Enlouquecido, endoidecido. No contexto, é o comportamento fora do 
normal por conta dos altos índices da inflação. R
Erro propagado
Para calcular o erro propagado, existem diversas formulações, porém, no 
contexto, trata-se do erro que ocorre se fizermos vários arredondamentos. 
Note que, se você arredondar o valor 0,3456756434 para duas casas 
decimais depois da vírgula, terá 0,34, e todo o resto será desconsiderado. 
Quando isso ocorre diversas vezes, temos um aumento do erro propagado. 
R 
Fracionamento
Refere-se à divisão de um período inteiro. Considere uma taxa 
anual, com frequência de capitalização anual, o período de 6 meses é 
fracionado, equivale a 0,5 ano. Já se a frequência de capitalização for 
mensal, para ser fracionado, o período estaria em dias, por exemplo. R
Frequência de capitalização
Uma taxa pode ter seu período ao ano, contudo essa taxa pode incidir 
sobre o capital mensalmente. No Brasil, a maioria das modalidades de 
empréstimo têm frequência de capitalização mensal. R
Imposto sobre Operações Financeiras (IOF)
Imposto que incide sobre operações de crédito, câmbio e seguros. 
É o substituto da extinta CPMF (Contribuição Provisória sobre 
Movimentação ou Transmissão de Valores e de Créditos e Direitos de 
Natureza Financeira). R
IBGE
O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística - IBGE se constitui 
no principal provedor de dados e informações do País, que atendem às 
necessidades dos mais diversos segmentos da sociedade civil, bem como 
dos órgãos das esferas governamentais federal, estadual e municipal. R
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Indexação
É um sistema de reajuste de preços, com base em índices oficiais de 
variação dos preços. R
Inflação
Elevação generalizada dos preços dos diversos bens e serviços. Ocasiona a 
perda do poder aquisitivo. R
Interpolação
Na matemática, interpolação é o método que permite, por meio de um 
conjunto já conhecido de dados,construir um novo conjunto de dados. 
No contexto, interpolar seria testar valores de taxas contidas no conjunto 
dos números reais até chegar a um valor que anulasse o fluxo de caixa. R
Juro
É a remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro. R
Juros de mora
É a taxa percentual sobre o atraso do pagamento de um título. R
Letras de câmbio
É uma espécie de título de crédito, representa uma obrigação pecuniária, 
uma dívida a ser saldada em dinheiro. R
Liquidado
Saldado, pago, quitado. R
Liquidez
Uma aplicação tem liquidez quando a empresa ou pessoa física pode 
resgatar o valor aplicado mais os rendimentos facilmente, em um curto 
período de tempo, se necessário. R
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Lucro
Interesse, proveito que se tira de uma operação comercial, industrial etc. 
Ganho que se obtém de qualquer especulação, depois de descontadas as 
despesas. R
Manufaturado
Processo ou trabalho de fazer artigos ou quaisquer produtos à mão ou 
com maquinaria; especialmente quando prosseguido sistematicamente e 
com divisão do trabalho. R
Modelagem matemática
Descreve matematicamente um fenômeno, por exemplo, na forma de 
equações. R
Obrigação pecuniária
É a obrigação de entregar dinheiro, saldar dívida em dinheiro. R
Orçamento
Organização financeira que pode ser individual, familiar, empresarial ou 
governamental. Envolve as despesas e receitas de um certo período. R
Pessoa física
No contexto – ou seja, como cliente de uma instituição financeira –, 
é uma pessoa que possui CPF (Cadastro de Pessoa Física), que declara 
imposto de renda quando sua renda passa da mínima estipulada pelo 
Governo Federal para declaração. Teoricamente, toda pessoa que possui 
um CPF é uma pessoa física. R
Pessoa jurídica
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No contexto, é uma figura que tem direitos e deveres de ordem civil. 
Pode ser formada por pessoas naturais, por uma sociedade, por bens ou 
ainda por um conjunto de empresas. Diferentemente de uma pessoa 
física, não tem um CPF, mas sim um CNPJ (Cadastro Nacional de 
Pessoa Jurídica). As pessoas jurídicas são de direito público, interno ou 
externo, e de direito privado. R
Plano econômico
É uma intervenção do Estado, sobre a economia, influenciando 
diretamente nos bens e serviços voltados à sociedade. Um plano 
econômico benéfico atua positivamente na distribuição de riqueza, na 
estabilidade de preços e no crescimento da economia. R
Postecipados
O que é feito depois de um prazo estabelecido. R
Postergação
Sinônimo de adiar. Algo predeterminado para uma data específica que 
teve de ser transferido para uma data posterior. R
Profícuas
Adjetivo que significa eficiência, utilidade, aproveitável etc. Ex.: João foi 
muito profícuo na execução daquele projeto. R
Progressão geométrica
É uma sequência numérica que aumenta a partir do segundo número, 
de acordo com um fator, que chamamos de razão. Na progressão 
geométrica, o próximo número da sequência é o anterior multiplicado 
pela razão, assim ele vai aumentando de forma exponencial. R
Prudente
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O mesmo que cauteloso, cuidadoso. R
Quitação
No contexto, refere-se ao pagamento total do financiamento ou 
empréstimo, de forma antecipada. R
Receita
O total das somas de dinheiro que uma pessoa natural ou jurídica recebe 
dentro de certo espaço de tempo, relativamente aos seus negócios, 
proventos ou rendas. Resultado das vendas à vista realizadas em 
determinado período financeiro (dia, mês ou ano). Quantia recebida. 
R
Regime cambial
É um instrumento do sistema monetário internacional. Possui a função 
de facilitar as transações comerciais entre países. Existem várias formas de 
regimes cambiais, os mais utilizados são os câmbios fixo e o flutuante. R
Subsumido
O mesmo que incluído ou aplicado. R
Título
Título de crédito é o documento que formaliza uma obrigação financeira. 
R 
Valor líquido
No contexto empregado, é o valor final incluindo tarifas e impostos, 
depois de todos os descontos. R
Valor monetário
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Valor sob a forma de dinheiro em moeda corrente. R
Valor nominal
Valor de resgate, ou simplesmente o valor de um título. R
Valor presente líquido
É um método de análise de investimento, tem como finalidade mensurar, 
em termos de valor presente, o impacto dos eventos futuros, ou seja, 
valor das prestações ou valores de cada período associados a um projeto 
ou alternativa de investimento. R
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Referências
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10. ed. São Paulo: 
Atlas, 2009.
CASTANHEIRA, N. P. Noções básicas de matemática comercial e financeira. 
3. ed. Curitiba: Ibpex, 2011.
______. Matemática financeira aplicada. Curitiba: Ibpex, 2010.
CRESPO, A. A. Matemática comercial e financeira fácil. 11. ed. São Paulo: 
Saraiva, 2009.
MATEMÁTICA DIDÁTICA. Exercícios porcentagem. 2008. Disponível em: 
<http://www.matematicadidatica.com.br/PorcentagemExercicios.aspx>. Acesso 
em: 19 mar. 2013.
______. Exercícios resolvidos – proporção. 2008. Disponível em: <http://www.
matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx>. Acesso em: 19 mar. 2013.
______. Razão. 2008. Disponível em: <http://www.matematicadidatica.com.br/
Razao.aspx>. Acesso em: 19 mar. 2013.
PUCCINI, A. L. Matemática financeira, objetiva e aplicada. 6. ed. São Paulo: 
Saraiva, 2011.
SILVA, A. L. C. Matemática financeira aplicada. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2008.
______. Matemática financeira aplicada. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2010.
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