AULA DE MATEMÁTICA - 3º ANO - 1º MODULO

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Ensino Médio – Professor Antonio Pereira
	
Matemática – 3º Ano – 2º Bimestre: Geometria e Medidas – Data: ......../ .........../............
Professor Antonio Pereira
Ensino Médio 
Matemática – 3º Ano
2º Bimestre: Geometria e Medidas 
Conceitos e Procedimentos de Geometria Métrica
1º Modulo – Sistema de Medidas
1. Sistema métrico decimal e unidades não convencionais. 
2. Notação científica. 
3. Algarismos significativos e técnicas de arredondamento. 
4. Estimativa e comparação de valores em notação científica e em arredondamentos. 
5. Noção de erro em medições. 
6. Conversão entre unidades compostas.
1º Modulo – Sistema de Medidas
1. Sistema métrico decimal e unidades não convencionais. 
· Unidades de medida são grandezas que compõem o sistema métrico decimal. 
· Hoje, vamos rever algumas das unidades de medida mais importantes para resolver problemas matemáticos. 
· Além disso, vamos mostrar as conversões e, ainda, vamos resolver alguns exercícios para facilitar o entendimento.
· Conheça as unidades de medida
	Grandeza
	Nome Da Unidade
	Símbolo (Si)
	Grandeza
	Nome Da Unidade
	Símbolo (Si)
	comprimento
	metro
	m
	medidas agrárias
	are
	a
	capacidade
	litro
	l
	volume
	metro cúbico
	m³
	massa
	quilograma
	kg
	tempo
	segundos
	s
	superfície/área
	metro quadrado
	m²
	
	
	
· Medidas de comprimento
· Comprimento é, talvez, a medida mais utilizada no cotidiano. 
A unidade de medida padrão: metro (m)
	Múltiplos do metro
	Unidade Padrão
	Submúltiplos do metro
	· Quilômetros → 1 km = 1000 m 
· Hectômetro → 1 hm = 100 m 
· Decâmetro → 1 dam = 10 m
	· Metro → 1 m = 1 m 
	· Decímetro → 1 dm = 0,1 m 
· Centímetro → 1 cm = 0,01 m 
· Milímetro → 1 mm = 0,001 m
· Perceba pela imagem que para uma conversão para a direita é o mesmo que multiplicar por 10. 
· Enquanto que para a esquerda é dividir por 10.
· Dessa forma, podemos entender que para multiplicar por 10 basta deslocar a vírgula para a direita uma vez, que é a quantidade de zeros. 
· Já para dividir basta deslocar a vírgula para a esquerda uma vez, a quantidade de zeros.
· Então se quisermos converter metro (m) em milímetro (mm), multiplicamos por 1000 (10 x 10 x 10), que é o mesmo que deslocar a virgula três casas à direita. 1 metro tem 1000 milímetros. 
· Se quisermos converter metros (m) em quilômetros (km), temos que dividir por 1000 (10 ÷ 10 ÷ 10), que é o mesmo que deslocar a vírgula três casas à esquerda. 1 metro equivale a 0,001 km.
Exemplos:
1) Converter 10 dam em cm: dam → m → dm → cm
10 dam = 100 m = 1.000 dm = 10.000 cm 
É o mesmo que deslocar a vírgula para a direita em três casas: 10 dam = 10.000 cm
2) Converter 320 dm em km: km ← hm ← dam ← m ← dm 
É o mesmo que deslocar a vírgula quatro casas à esquerda: 320 dm = 0,032 km
· Medidas de capacidade
· Medidas de capacidade também é muito importante no nosso cotidiano. 
· A unidade padrão para essa grandeza é o litro (l).
	Múltiplos do Litro
	Unidade Padrão
	Submúltiplos do Litro
	· Quilolitro → 1 kl = 1000 l 
· Hectolitro → 1 hl = 100 l 
· Decalitro → 1 dal = 10 l 
	· Litro → 1 l = 1 l 
	· Decilitro → 1 dl = 0,1 l 
· Centilitro → 1 cl = 0,01 l 
· Mililitro → 1 ml = 0,001 l 
· Pela imagem abaixo, veja que converter é o mesmo que dividir por 10 para a esquerda ou multiplicar por 10 para a direita. 
· Também pode se entender que essa multiplicação ou divisão é o mesmo que deslocar a vírgula uma vez de uma unidade para a outra.
Exemplo:
1) Converter 20 ml em dl 
dl ← cl ← ml
Basta deslocar a vírgula duas casas decimais à esquerda. 
20 ml = 0,20 dl 
· Medidas de massa
· A grandeza massa não é muito usual no dia a dia, mas muito comum quando nos deparamos com problemas de física. 
· A massa de um corpo corresponde à medida de partículas que compõem esse corpo.
· A unidade padrão da medida de massa é o grama (g)
	Múltiplos do Grama
	Unidade Padrão
	Submúltiplos do Grama
	· Quilograma → 1 kg = 1000 g 
· Hectograma → 1 hg = 100 g 
· Decagrama → 1 dag = 10 g 
	· Grama → 1 g = 1 g 
	· Decigrama → 1 dg = 0,1 g 
· Centigrama → 1 cg = 0,01 g 
· Miligrama → 1 mg = 0,001 g 
· Uma tonelada (1t) equivale a 1.000 kg. 
· Dizemos que 1.000 kg corresponde a 1 tonelada  
1 t = 1.000 kg 
· Assim, devemos dividir a quantidade de kg por 1.000, que é o mesmo que deslocar a vírgula três casas decimais à esquerda.
Exemplos:
1) Converter 32 g em hg: hg ← dag ← g
Deveremos deslocar a vírgula duas casas decimais para a esquerda. 
32 g = 0,32 hg 
2) Converter 782 kg em toneladas: 
Logo, 782 kg = 0,782t
· Medidas de superfície ou área
· Medidas de superfície ou área também está presente no nosso dia a dia. 
· A unidade de medida padrão é: metro quadrado (m²)
	Múltiplos do Grama
	Unidade Padrão
	Submúltiplos do Grama
	· 1 km² → 1.000.000 m² = 106 m² 
· 1 hm² → 10.000 m² = 104 m² 
· 1 dam² → 100 m² = 102 m² 
	· m² → 1 m² = 1 m² 
	· 1 dm² → 0,01 m² = 10-2 m² 
· 1 cm² → 0,0001 m² = 10-4 m² 
· 1 mm² → 0,000001 m² = 10-6 m² 
· Medidas agrárias
· As medidas agrarias são aquelas que envolve a medida de superfície de um terreno.
· Os fazendeiros e donos de terras devem conhecer essas unidades de medida muito bem e, aqui, você também vai entender. 
· A unidade de medida padrão é o are indicado pela letra (a)
· Sabendo que 1 a = 1 dam², podemos estabelecer uma relação entre are e outras medidas de superfície. 
· Hectare (ha) = 1 hm² (100 m x 100 m) ou (10m x 1000m) ou (1m x 10.000m) igual a 10.000m² 
· Centiare (ca) = 1 m² 
Exemplos:
1) Converter 3,2 hm² em m²: hm² → dam² → m²
3,2 hm² = 320 dam² = 32.000 m² 
É o mesmo que deslocar a vírgula quatro casas decimais à direita, pois as unidades são quadradas.
2) Converter 48,6 dm² em m²: m² ← dm² 
Deveremos deslocar a vírgula duas casas decimais à esquerda. 
48,6 dm² = 0,486 m² 
3) Converter 21,7 ha (hectare) em km²: km² ← hm² 
21,7 ha = 21,7 hm² 
Deveremos deslocar a vírgula duas casas decimais à esquerda.
21,7 ha = 21,7 hm² = 0,217 km² 
· Medidas de volume
Quem nunca quis saber quanto cabe em uma caixa d’água, por exemplo. 
Para essa grandeza utilizamos a unidade de medida padrão: metro cúbico (m³)
	Múltiplos do Grama
	Unidade Padrão
	Submúltiplos do Grama
	· 1 km³ = 109 m³ 
· 1 hm³ = 106 m³ 
· 1 dam³ = 103 m³ 
	· m³ → 1 m³ = 1 m³ 
	· 1 dm³ = 10-3 m³ (equivale a 1 litro) 
· 1 cm³ = 10-6 m³ 
· 1 mm³ = 10-9 m³ 
Exemplos:
Converta 2.578 mm³ em dm³: dm³ ← cm³ ← mm³ 
2.578 mm³ = 2,578 cm³ = 0,002578 dm³ 
Na prática, é o mesmo que deslocar a vírgula seis casas decimais para esquerda.
Converta 28,3 m³ em dm³: m³ → dm³ 
Deveremos deslocar a vírgula três casas decimais para a direita.
28,3 m³ = 28.300 dm³ 
· Medidas de tempo
· A unidade de medida de tempo é uma das mais importantes utilizadas na física e também no nosso dia a dia. 
· No sistema internacional de medidas (SI), a medida de tempo é o segundo (s).
· Dessa forma, em muitos casos é preciso converter de horas para segundos, de minutos para segundos ou vice-versa.
· 1 hora (h) = 3600 segundos (s)
· 1 minuto (min) = 60 segundos (s)
· 1 hora (h) = 60 minutos (min)
· 1 dia = 24 horas (h)
Pela imagem percebemos que para converter de horas para minutos, horas para segundos e ao contrário também, basta multiplicar ou dividir por 60.
Exemplos:
	1) Converter 3 horas para segundos 
3 x 60 x 60 = 10800 segundos
2) Converter 3 horas para minutos 
3 x 60 = 180 minutos
3) Converter 3600 segundas para horas 
10800 ÷ 60 ÷ 60 = 3 horas
	4) Converter 180 minutos para horas 
180 ÷ 60 = 3 horas
5) Converter 10800 segundos para minutos 
10800 ÷ 60 = 180 minutos
6) Converter 180 minutos para segundos 
180 x 60 = 10800 segundos
· Unidades de medidas de ângulos (radianos). 
· Consideramos o Grau como a unidade de medida de ângulos mais usual em nosso cotidiano. 
· Nos estudos relacionados ao círculo trigonométrico trabalhamos com outra unidade de medida de ângulos, o radiano. 
· Existe uma relação entre as medidas em grau e as medidas em radianos. 
· Vamos demonstrar tal relação baseando em algumas definições do círculo trigonométrico.· Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde, em graus, a 360º e em radianos, 2π, pois no caso de medida de ângulo, o valor de π (pi) passa a ser referente a 180º. 
· Dessa forma, se temos um ângulo na unidade grau podemos transformá-lo para a unidade radiano e vice-versa por meio da aplicação de uma simples regra de três.
	Exemplo 1 
Transformar 60º em radianos.
	Exemplo 2 
Transformar 110º em radianos
 
	Exemplo 3
	Exemplo 4 
· No círculo trigonométrico existem alguns ângulos notáveis, isto é, valores que estão presentes com maior frequência em situações problemas. 
· A tabela a seguir relaciona as unidades de medida, graus e radianos.
 
2. Notação científica. 
· A notação científica é uma forma de escrever números usando potência de 10. 
· É utilizada para reduzir a escrita de números que apresentam muitos algarismos.
· Números muito pequenos ou muito grandes são frequentemente encontrados nas ciências em geral e escrever em notação científica facilita fazer comparações e cálculos.
· Um número em notação científica apresenta o seguinte formato:
N . 10n
Sendo,
· N um número real igual ou maior que 1 e menor que 10;
· n um número inteiro.
Exemplos:
a) 6 590 000 000 000 000 = 6,59 . 10 15 b) 0, 000000000016 = 1,6 . 10 - 11
· Transformar um número em notação científica
· Veja abaixo como transformar os números em notação científica de forma prática:
1º Passo: Escrever o número na forma decimal, com apenas um algarismo diferente de 0 na frente da vírgula.
2º Passo: Colocar no expoente da potência de 10 o número de casas decimais que tivemos que "andar" com a vírgula. Se ao andar com a vírgula o valor do número diminuiu, o expoente ficará positivo, se aumentou o expoente ficará negativo.
3º Passo: Escrever o produto do número pela potência de 10.
Exemplos:
1) Transformar o número 32 000 em notação científica.
· Primeiro "andar" com a vírgula, colocando-a entre o 3 e o 2, pois desta forma ficaremos apenas com o algarismo 3 antes da vírgula;
· Para colocar a vírgula nesta posição verificamos que tivemos que "andar" 4 casas decimais, visto que nos números inteiros a vírgula se encontra no final do número. Neste caso o 4 será o expoente da potência de 10.
· Escrevendo em notação científica: 3,2 . 104 
2) A massa de um elétron é de aproximadamente 0,000000000000000000000000000911 g. Transforme esse valor para notação científica.
· Primeiro "andar" com a vírgula, colocando-a entre o 9 e o 1, pois desta forma ficaremos apenas com o algarismo 9 (que é o primeiro algarismo diferente de 0) antes da vírgula;
· Para colocar a vírgula nesta posição "andamos" 28 casas decimais. É necessário lembrar que ao colocar a vírgula depois do 9, o número ficou com um valor maior, então para não modificar seu valor o expoente ficará negativo;
· Escrevendo a massa do elétron em notação científica: 9,11 . 10 - 28 g
· Operações com notação científica
Para fazer operações entre números escritos em notação científica é importante revisar as operações com potenciação.
· Multiplicação: A multiplicação de números na forma de notação científica é feita multiplicando os números, repetindo a base 10 e somando os expoentes.
Exemplos:
a) 1,4 . 10 3 x 3,1 . 10 2 = (1,4 x 3,1) . 10 (3 + 2) = 4,34 . 10 5
b) 2,5 . 10 - 8 x 2,3 . 10 6 = (2,5 x 2,3) . 10 ( - 8 + 6) = 5,75 . 10 - 2
· Divisão: Para dividir números na forma de notação científica devemos dividir os números, repetir a base 10 e subtrair os expoentes.
Exemplos:
a) 9,42 . 10 5 : 1,2 . 10 2 = (9,42 : 1,2) . 10 (5 - 2) = 7,85 . 10 3
b) 8,64 . 10 - 3 : 3,2 . 10 6 = (8,64 : 3,2) . 10 ( - 3 - 6) = 2,7 . 10 – 9
· Soma e Subtração: Para efetuar a soma ou a subtração com números em notação científica devemos somar ou subtrair os números e repetir a potência de 10. Por isso, para fazer essas operações, é necessário que as potências de 10 apresentem o mesmo expoente.
Exemplos:
a) 3,3 . 10 8 + 4,8 . 10 8 = (3,3 + 4,8) . 10 8 = 8,1 . 10 8
b) 6,4 . 10 3 - 8,3 . 10 3 = (6,4 - 8,3) . 10 3 = - 1,9 . 10 3
3. Algarismos significativos e técnicas de arredondamento. 
· Arredondamento
· Nas operações com algarismos significativos às vezes precisamos diminuir a precisão de uma medida, a fim de trabalhar com um menor número de casas decimais e, para tal, fazemos o arredondamento da medida que poderá seguir a seguinte regra:
· Se o algarismo a ser eliminado for maior ou igual a 5, arredondamos para cima o algarismo que ficou.
· Se o algarismo a ser eliminado for menor que 5, o algarismo que ficar não se altera.
· Adição e Subtração
· Na adição e subtração de algarismos significativos o resultado deve conter o mesmo número de casas decimais da parcela que contiver o menor número delas, desprezando as demais e fazendo o arredondamento.
Exemplos: Expresse a soma das medidas efetuadas com algarismos significativos.
Observe que os algarismos em vermelho são duvidosos.
· Multiplicação e Divisão
· Na multiplicação e divisão, o resultado deve ficar com a quantidade de algarismos significativos do fator que possuir a menor quantidade de algarismos significativos, podendo ainda acrescentar mais um algarismo no resultado, pois as regras para operações com algarismos significativos não são rigorosas.
Exemplos: Suponha que medíssemos a área de um retângulo usando as duas réguas citadas nos exemplos acima e encontrássemos paras as medidas o seguinte:
Largura: 8,9cm (régua A)
Comprimento: 10,75 cm (régua B)
Área = 8,9 cm x 10,75 cm = 95,675 cm2. Seguindo a regra, teríamos área =96 cm2 ou 95,7 cm2 que também é aceitável. Observe que ao abandonarmos casas decimais, foi aplicado o critério de arredondamento.
4. Estimativa e comparação de valores em notação científica e em arredondamentos. 
· Muitas vezes não interessa ao físico o valor exato de uma grandeza mas sim o seu valor aproximado. 
· Assim, eles definem o que chamam de ordem de grandeza de um número. Essa ordem de grandeza é a potência de dez mais próxima do número.
· Consideremos, por exemplo, o número 850. A potência de dez imediatamente inferior a ele é 100 e a potência de dez imediatamente superior é 1000, isto é: 100 < 850 < 1000 ou 102 < 850 < 103
· Mas, o número 850 está mais próximo de 1000 do que de 100. Assim dizemos que: "a ordem de grandeza de 850 é 1000" ou "a ordem de grandeza de 850 é 103".
· Regra para obter a ordem de grandeza
Para obtermos a ordem de grandeza de um número N, primeiramente escrevemos na notação científica:
N = x . 10n, Onde n é inteiro e 1 x < 10
Em seguida procedemos do seguinte modo:
1) Se x < 5,5 fazemos a aproximação x ≅ 1
2) Se x > 5,5 fazemos a aproximação x ≅ 10
3) Se x = 5,5 é indiferente fazer x ≅ 1 ou x ≅ 10
	Exemplo: Obtenha a ordem de grandeza do número 27428.
Resolução
Temos: 27428 = 2,7428 . 104
Como 2,7428 < 5,5 , fazemos a aproximação 2,7428 ≅ 1
Assim: 
Portanto, a ordem de grandeza de 27428 é 104
	Exemplo: Obtenha a ordem de grandeza do número 0,00754.
Resolução
Temos: 0,00754 = 7,54 . 10-3
Como, 7,54 > 5,5 fazemos a aproximação: 7,54 ≅ 10
Assim:
Portanto, a ordem de grandeza do número 0,00754 é 
Exemplo: Obtenha o valor aproximado do volume de uma gota d´água formada por um conta-gotas desses usados em remédios para o nariz.
Resolução: Neste caso temos que partir de uma situação que seja fácil de realizar. Por exemplo podemos pegar uma seringa de injeção, a qual está graduada em mililitros (mL), isto é, centímetros cúbicos.
Tiramos o êmbolo, tampamos o bico com um dedo e vamos colocando as gotas d´água dentro da seringa até completar 1 cm3. Se você fizer esse experimento, verificará que em 1 cm3 cabem aproximadamente 20 gotas:
Portanto o volume V de uma gota é aproximadamente:
 
A ordem de grandeza desse volume é 10-2.
5. Noção de erro em medições. 
· Ao realizar medições físicas, é importante ter em mente que as medições obtidas não são completamente precisas, pois estão associadas à incertezas. Assim, para analisar os dados de medição, precisamos entender a naturezados erros associados às medidas.
· Uma medição perfeita, isto é, sem erros, só pode existir se um sistema de medição perfeito existir e a grandeza sob medição (denominada mensurando) tiver um valor único, perfeitamente definido e estável. Apenas neste caso ideal o resultado de uma medição pode ser expresso por um número e uma unidade de medição apenas.
· Sabe-se que não existem sistemas de medição perfeitos. Aspectos tecnológicos forçam que qualquer sistema de medição construído resulte imperfeito: suas dimensões, forma geométrica, material, propriedades elétricas, ópticas, pneumáticas, etc., não correspondem exatamente à ideal. 
· Por ser um conceito idealizado os erros de medição não podem ser conhecidos exatamente. O que se faz é estimar o erro de medição através da diferença entre o valor medido de uma grandeza e um valor de referência convencionado.
· Erro de medição. 
· Se o erro de medição fosse perfeitamente conhecido, este poderia ser corrigido e sua influência completamente anulada da medição. A componente sistemática do erro de medição pode ser suficientemente bem estimada, porém não a componente aleatória. Assim, não é possível compensar totalmente o erro. O conhecimento aproximado do erro sistemático e a caracterização da parcela aleatória é sempre desejável, pois isto torna possível sua correção parcial e a delimitação da faixa de incerteza ainda presente no resultado de uma medição.
· 
· Como o erro de medição é a diferença entre o valor medido de uma grandeza e um valor de referência, é possível expressá-lo matematicamente através da equação abaixo:
E = I – VV
Onde E é o erro de medição, I a indicação do sistema de medição, e VV o valor verdadeiro do mensurando.
· O valor de E também é conhecido como erro absoluto. Por exemplo, quando a massa de um objeto é medida e o valor obtido é 1 kg, um erro de +2 g pode ser negligenciado, mas o mesmo erro de +2 g se torna muito significativo ao medir uma massa de 10 g. Assim, pode-se mencionar que, para o mesmo valor de erro, sua distribuição se torna significativa quando a quantidade que está sendo medida é pequena.
· Portanto, a porcentagem de erro às vezes é conhecida como erro relativo. O erro relativo é expresso como a razão entre o erro e o valor real da quantidade a ser medida. A exatidão de um instrumento também pode ser expressa como % de erro, então:
Erro (%) = (E / VV) x 100 = [(I – VV)/VV] x 100
· O conceito de “erro de medição” pode ser utilizado:
· Quando existe um único valor de referência, o que ocorre se uma calibração for realizada por meio de um padrão de medição com um valor medido cuja incerteza de medição é desprezável, ou se um valor convencional for fornecido; nestes casos, o erro de medição é conhecido;
· Caso se suponha que um mensurando é representado por um único valor verdadeiro ou um conjunto de valores verdadeiros de amplitude desprezável; neste caso, o erro de medição é desconhecido.
· Tradicionalmente, um erro é visto como tendo dois componentes, a saber, um componente aleatório e um componente sistemático.
· O erro grosseiro é, geralmente, decorrente de mau uso ou mau funcionamento do sistema de medição. Pode, por exemplo, ocorrer em função de leitura errônea, operação indevida ou dano do sistema de medição. Seu valor é totalmente imprevisível, porém geralmente sua existência é facilmente detectável. Sua aparição pode ser resumida a casos muito esporádicos, desde que o trabalho de medição seja feito com consciência. Seu valor será considerado nulo neste texto.
· Tipos de erros de medição
Erro sistemático
· O erro sistemático é a componente do erro de medição que, em medições repetidas, permanece constante ou varia de maneira previsível. Esses tipos de erros são controláveis tanto em magnitude quanto em direção e podem ser avaliados e minimizados se forem feitos esforços para analisá-los.
· O erro sistemático, assim como o erro aleatório, não pode ser eliminado, porém ele também, frequentemente, pode ser reduzido.
· Se um erro sistemático se origina de um efeito reconhecido de uma grandeza de influência em um resultado de medição, o efeito pode ser quantificado e, se for significativo com relação à exatidão requerida da medição, uma correção ou fator de correção pode ser aplicado para compensar o efeito.
· Desconsiderando o erro grosseiro, e assumindo que um número suficientemente grande de medições foi efetuado, a influência do erro aleatório no valor médio das medições tende a ser desprezível. Sendo assim, o valor médio de um número grande de medidas efetuadas repetidamente estará predominantemente afetado pelo erro sistemático. Logo, para um dado valor do mensurando, o Es poderia ser determinado pela equação abaixo, se fosse considerado um número infinito de medições:
Es = Iinf – VV
· Onde Es é o erro sistemático, Iinf a média de infinitas indicações do sistema de medição, e VV o valor verdadeiro de um mensurando.
· Na prática não se dispõe de infinitas medições para determinar o erro sistemático de um sistema de medição, porém sim um número restrito de medições.
· Além disso, o valor verdadeiro é desconhecido, então usa-se o chamado valor convencional (VC), isto é, o valor conhecido com erro considerado aceitável para o processo de medição.
· A estimativa do erro sistemático da indicação de um instrumento de medição é também denominada tendência de medição, ou seja, a tendência de medição é a estimativa de um erro sistemático. Com isso, a equação acima pode ser usada para obter uma estimativa do erro sistemático:
Td = I – VC
Onde Td é a tendência de medição, I a média das indicações, e VC o valor convencional do mensurando.
· Alternativamente, o parâmetro correção (C) pode ser utilizado para compensação de um efeito sistemático estimado. A correção é numericamente igual à tendência de medição, porém seu sinal é invertido, isto é:
C = – Td
· O termo “correção” lembra a sua utilização típica, quando, normalmente, é adicionado à indicação para “corrigir” os efeitos do erro sistemático. A correção é frequentemente utilizada em certificados de calibração.
Erro aleatório
· Quando uma medição é repetida diversas vezes, nas mesmas condições, observam-se variações nos valores obtidos. Em relação ao valor médio, nota-se que estas variações ocorrem de forma imprevisível, tanto para valores acima do valor médio, quanto para abaixo. Este efeito é provocado pelo erro aleatório. De fato, geralmente, o erro aleatório pode ser modelado como tendo distribuição aproximadamente normal com média zero. Na prática, sua média tende a zero à medida que aumenta-se o número de dados observados, uma vez que este tende a distribuir-se simetricamente em valores positivos e negativos.
· O erro aleatório presumivelmente se origina de variações temporais ou espaciais, estocásticas ou imprevisíveis, de grandezas de influência. Os efeitos de tais variações são a causa de variações em observações repetidas do mensurando. Embora não seja possível compensar o erro aleatório de um resultado de medição, ele pode geralmente ser reduzido aumentando-se o número de observações; sua esperança ou valor esperado é zero.
· Os erros aleatórios fornecem uma medida de desvios aleatórios quando medições de uma quantidade física são realizadas repetidamente. Quando uma série de medições repetidas é feita em um componente em condições semelhantes, os valores ou resultados das medições variam. As causas específicas para essas variações não podem ser determinadas, pois essas variações são imprevisíveis e incontroláveis e são de natureza aleatória, podendo ser positivos ou negativos. Os erros aleatórios se espalham em torno de um valor médio e quando essas medidas repetidas são plotadas, elas seguem uma distribuição normal ou gaussiana, permitindo sua avaliação estatística para determinação de seu valor médio e desvio padrão. Se n medições forem feitas usando um instrumento, denotado por I1, I2, I3,…, In, a média aritmética será dada como:
I = I1 + I2 + I3 + … + In) / n
· O erro aleatório é igual à diferença entre o erro de medição e o errosistemático, e é obtido subtraindo-se o valor de cada indicação da média das indicações:
Eai = Ii – I
Onde Eai é o erro aleatório da i-ésima indicação, Ii o valor da i-ésima indicação individual, e I a média das indicações.
· O valor instantâneo do erro aleatório tem pouco ou nenhum sentido prático, uma vez que é sempre variável e imprevisível. A caracterização do erro aleatório é efetuada através de procedimentos estatísticos. Sobre um conjunto finito de valores de indicações obtidas nas mesmas condições e do mesmo mensurando, determina-se o desvio padrão experimental, que, de certa forma, está associado à dispersão provocada pelo erro aleatório.
· O desvio padrão é uma medida de dispersão de um conjunto de leituras. Isso pode ser determinado usando o desvio médio quadrático das leituras dos números observados, que é dado pela seguinte equação:
s = raiz{[1/(n-1) x [(I1 – I)2 + (I2 – I)2 + … + (In – I)2]}
· O desvio-padrão experimental da média aritmética ou média de uma série de observações não é o erro aleatório da média, embora ele assim seja designado em algumas publicações. Ele é, em vez disso, uma medida da incerteza da média devida a efeitos aleatórios. O valor exato do erro na média, que se origina destes efeitos, não pode ser conhecido.
· A intensidade do erro aleatório de um mesmo sistema de medição pode variar ao longo da sua faixa de medição, com o tempo, com as variações das grandezas de influência, dentre outros fatores. A forma como o erro aleatório se manifesta ao longo da faixa de medição depende de cada sistema de medição, sendo de difícil previsão.
· Erros aleatórios podem ser minimizados calculando a média de um grande número de observações. Como a precisão está intimamente associada à repetibilidade do processo de medição, um instrumento é mais preciso do que outro quando apresentar um menor erro aleatório e melhor repetibilidade, pois os erros aleatórios limitam a precisão do instrumento.
Relação entre erros sistemáticos e aleatórios com valor medido.
6. Conversão entre unidades compostas.
· Quantidades físicas com unidades compostas
· Ao descrever sumariamente algumas quantidades físicas, constatamos que todas podem ser expressas através das unidades básicas. Existem portanto ligações entre todas essas quantidades físicas que se podem verificar com a ajuda das suas unidades respectivas. 
· O conhecimento destas últimas torna-se assim uma indispensável ferramenta para uma melhor compreensão das formulações de resultados físicos teóricos e experimentais e para adquirir uma maior intuição no estudo da Física.
· Velocidade
· O movimento e a velocidade de um corpo P, indicado por vp, são referentes ao referencial escolhido que convém ser inercial para a observação ser objetiva.
· O vetor velocidade de um corpo contém informação sobre o seu movimento, nomeadamente sobre o valor da sua velocidade e tem as seguintes características:
· A sua direção é a mesma que a da tangente à trajetória do corpo;
· O seu sentido está em acordo com o sentido do movimento;
· A sua intensidade é o valor da velocidade do corpo naquele instante de tempo.
· Se considerarmos o corpo P, o seu vetor velocidade vp, ao longo da sua trajetória vai ter as suas características ilustradas na figura.
· Quantidade de movimento
· Por definição, se m é a massa total de um sistema de corpos ou partículas e, se é a velocidade do seu centro de massa, a quantidade de movimento do sistema P é uma grandeza vectorial que contém informação sobre a dinâmica do sistema. 
· Esse vector corresponde ao produto da massa total do sistema de partículas pelo vector velocidade do centro de massa do sistema:
· As unidades correspondentes são:
· P em (quilogramas metros por segundo);
· m em kg;
· Vcm em (unidade de velocidade: metros por segundo).
· Trata-se de uma grandeza aditiva: a quantidade de movimento ou momento linear de um sistema é igual à soma vectorial das quantidades de movimento das suas diferentes partes. 
· O valor da quantidade de movimento de todo o sistema é igual à intensidade do vector resultante dessa soma vectorial.
· Força mecânica
· Diz-se que os efeitos de uma ação mecânica exercida por um corpo A sobre um corpo B (A–>B), são devidos à força exercida por A sobre B, designada por FAB.
· De acordo com a segunda lei de Newton, a intensidade de uma força mecânica é fruto do produto entre uma massa e uma aceleração, mais especificamente, entre a massa m do corpo sobre o qual se exerce a força, e a aceleração a provocada pela força no corpo.
· F em Newtons (símbolo N); 
· m em Quilogramas (símbolo kg);
· a em FAB (unidade de aceleração: metros por segundo ao quadrado). 
Assim, m/s²
· A intensidade de uma força mecânica é medida através de um dispositivo graduado em Newtons que funciona com uma mola: o dinamómetro.
· Momento de uma força
· O momento de uma força F, em relação a um ponto de um eixo, exercida num ponto (por exemplo, o momento da força exercida por uma mão num ponto de uma porta em relação ao eixo de rotação da porta), cuja posição é descrita por um vetor posição r, é uma grandeza vetorial que se obtém através do produto vetorial entre o vetor posição e o vetor força: 
· O momento de uma força em relação a um eixo é uma grandeza escalar que consiste na projeção, sobre o eixo de rotação, do momento de uma força em relação a um ponto. 
· A figura seguinte representa a porta citada no exemplo e, ao lado, o esquema geométrico da força e da distância ao eixo:
· Define-se o momento de uma força F, M, em relação a um eixo de rotação, como o produto do módulo da força pela distância entre o seu ponto de aplicação e o eixo e pelo seno do ângulo (que não tem unidade) formado entre a direção da força e a distância referida:
As unidades em jogo são: 
· M em N.m; 
· F em N; 
· d em m.
· Trabalho de uma força
· Uma força, como grandeza vectorial, é constante se a sua direção, o seu sentido e o seu valor são constantes.
· O trabalho de uma força constante aquando de um deslocamento muito pequeno do seu ponto de aplicação, é o produto interno entre a força e o deslocamento:
ou 
· A figura seguinte ilustra essa definição:
· Se o ângulo α for inferior a 90º (ou agudo): cos α > 0, W > 0, o trabalho da força designa-se frequentemente como motor.
· Da mesma maneira, se o ângulo α for superior a 90º (ou obtuso): cos α < 0, W < 0, o trabalho da força designa-se por resistente.
Se α = 90º = π/2: cos α = 0, W = 0.
Em que: 
· W está expresso em Joules (J); 
· F em Newtons (N); 
· AB em metros (m). 
Assim: 1 J = 1 N.m
· Energia cinética
· A energia cinética de um ponto material de massa m (ou de um sistema de massa total M cujo centro de massa se comporta como um ponto material), animado com uma velocidade v, num instante de tempo t, tem por expressão (para velocidades muito inferiores à da luz):
· Para velocidades da ordem da velocidade da luz c:
que corresponde a mesma relação entre as unidades básicas de medida e em que m0 designa a massa do corpo em repouso.
· Verificamos que quando o corpo está em repouso, ou seja, quando p = 0, obtemos a famosa equação de Einstein:
que mostra que um corpo em repouso possui energia, também designada pela correspondência entre a massa e a energia.
· A energia exprime-se em Joules, cujo símbolo é J, existindo uma correspondência com a unidade de electrão-volt, e V para grandes valores de energias ou altas energias.
· E em J (Joules);
· m em Kg (Quilogramas);
· v em (metros por segundo);
Assim, 
Este enunciado refere-se aos três problemas seguintes.
Se compararmos a idade do planeta Terra, avaliada em quatro e meio bilhões de anos, com a de uma pessoa de 45 anos, então, quando começaram a florescer os primeiros vegetais, a Terra já teria 42 anos. Ela só conviveu com o homem moderno nas últimas quatro horas e, há cerca de uma hora, viu-o começar a plantar e a colher. Há menos de um minuto percebeu o ruído de máquinas e de indústrias e, como denuncia uma ONG de defesa do meio ambiente, foram nessesúltimos sessenta segundos que se produziu todo o lixo do planeta!
O texto acima, ao estabelecer um paralelo entre a idade da Terra e a de uma pessoa, pretende mostrar que:
(A) a agricultura surgiu logo em seguida aos vegetais, perturbando desde então seu desenvolvimento.
(B) o ser humano só se tornou moderno ao dominar a agricultura e a indústria, em suma, ao poluir.
(C) desde o surgimento da Terra, são devidas ao ser humano todas as transformações e perturbações.
(D) o surgimento do ser humano e da poluição é cerca de dez vezes mais recente que o do nosso planeta.
(E) a industrialização tem sido um processo vertiginoso, sem precedentes em termos de dano ambiental.
Resolução:
De acordo com o texto, foi com o advento da industrialização que o processo de degradação ambiental ficou mais intenso. Letra E.
- O texto permite concluir que a agricultura começou a ser praticada há cerca de:
(A) 365 anos.            
(B) 460 anos.
(C) 900 anos.
(D) 10.000 anos.
(E) 460.000 anos.
Resolução:
De acordo com o texto, temos:
4,5 bilhões de anos ------------------- 45 anos
x anos ------------------------------------ 1 hora
x = 10.000 anos
Letra D.
- Na teoria do Big Bang, o Universo surgiu há cerca de 15 bilhões de anos, a partir da explosão e expansão de uma densíssima gota. De acordo com a escala proposta no texto, essa teoria situaria o início do Universo há cerca de:
(A) 100 anos.           
(B) 150 anos.
(C) 1.000 anos.
(D) 1.500 anos.
(E) 2.000 anos.
Resolução:
De acordo com o texto temos:
45 bilhões de anos ----------------- 45 anos
15 bilhões de anos ----------------- x anos
x = 150 anos
Letra B
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