Matemática Fundamental

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Matemática 
Fundamental
Matemática 
Fundamental
Organizado por Universidade Luterana do Brasil
Universidade Luterana do Brasil – ULBRA
Canoas, RS
2016
Tania Elisa Seibert
Obra organizada pela Universidade Luterana do Brasil. 
Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores 
a emissão de conceitos.
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida 
por qualquer meio ou forma sem prévia autorização da 
ULBRA.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei 
nº 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal.
ISBN: 
Dados técnicos do livro
Diagramação: Jonatan Souza
Revisão: Ane Sefrin Arduim
Esta disciplina tem como objetivo central revisar conteúdos da Educação Básica, que são pré-requisitos relevantes para o prosseguimento do seu 
curso.
O livro está estruturado em 10 capítulos, todos eles com a mesma 
organização, ou seja, com introdução, desenvolvimento dos conteúdos, 
exercícios resolvidos passo a passo, problemas de aplicação e atividades 
de autoavaliação. Os gabaritos das atividades estão no final do livro.
O livro-texto foi produzido em 2013 pelo professor Agostinho Iaqchan 
Homa1 e adaptado em 2016 pela professora Tania Elisa Seibert2.
1 Professor da Universidade Luterana do Brasil. Graduado em Matemática Aplica-
da à Informática (ULBRA), especialista em Educação Matemática (ULBRA), mestre 
em Ensino de Ciências e Matemática (ULBRA) e pesquisador do Grupo de Estudos 
Curriculares em Educação Matemática (GECEM) ULBRA.
2 Professora da Universidade Luterana do Brasil. Graduada em Matemática Li-
cenciatura (UNISINOS), especialista em Educação Matemática (ULBRA), mestre 
em Ensino de Ciências e Matemática (ULBRA), doutora em Ensino de Ciências e 
Matemática (ULBRA) e pesquisadora no tema Estratégias de Estudo de alunos em 
disciplinas das exatas na modalidade EAD (ULBRA).
Apresentação
 1 Conjuntos .............................................................................1
 2 Conjuntos Numéricos .........................................................33
 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica ..............................60
 4 Equações e Inequações .....................................................127
 5 Relação ............................................................................152
 6 Função e Função Polinomial do 1º grau ............................170
 7 Função Polinomial do 2º grau ...........................................223
 8 Função Exponencial e Função Logarítmica .........................251
 9 Trigonometria ...................................................................317
 10 Funções Trigonométricas ...................................................360
Sumário
Conjuntos
Capítulo 1
2 Matemática Fundamental
Introdução
Boa parte da linguagem utilizada nos vários ramos da Mate-
mática foi influenciada, durante o século XX, pela Teoria dos 
Conjuntos criada por Georg Ferdinand Ludwig Philipp Can-
tor (1845-1918), notável matemático russo que, antes dos 30 
anos, publicou seu primeiro trabalho sobre a Teoria dos Con-
juntos.
A Matemática é uma linguagem com simbologia própria. 
Para “ler” e “interpretar” informações matemáticas é muito im-
portante compreender a sua linguagem para evitaremos inter-
pretações errôneas.
Portanto, é necessário conhecer alguns dos símbolos mate-
máticos, como os que se indicam no quadro a seguir.
Símbolo Significado Símbolo Significado
igual a Pertence
diferente de não pertence
menor que Intersecção
Capítulo 1 Conjuntos 3
maior que União
menor igual está contido
maior igual Contém
existe idêntico a 
não existe Qualquer
existe um e somente um aproximadamente igual a
infinito tal que
e Equivale
ou Implica
Neste capítulo, revisa-se, em particular, alguns conceitos 
básicos sobre a Teoria dos Conjuntos.
1 Conjunto
Chama-se de conjunto um agrupamento de elementos com 
características determinadas. Como por exemplo:
E = {verão, outono, inverno, primavera} (Conjunto das 
estações do ano).
S = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, 
quinta-feira, sexta-feira, sábado} (Conjunto dos dias da se-
mana).
4 Matemática Fundamental
I = (Conjunto dos números Inteiros pares entre 
1 e 9).
Um elemento de um conjunto é todo objeto, número, 
letra, etc., que faz parte na formação de um conjunto. No con-
junto , o número 6 é um elemento desse conjunto.
Para representar conjuntos e seus elementos deve-se obe-
decer a sua notação. Os conjuntos são representados por le-
tras maiúsculas e seus elementos, entre chaves, por letras mi-
núsculas. Convém também recordar que não se devem repetir 
elementos em um conjunto e que, quando forem numéricos, 
devem ser descritos em ordem crescente.
Exemplo: dado o conjunto A formado pelos elementos a, b, 
c, d, representa-se por:
A = {a, b, c, d}.
Os conjuntos podem ser finitos, com um número determi-
nado de elementos, ou infinitos, com um número infinito de 
elementos.
Exemplo de conjunto finito: conjunto dos números Inteiros 
entre o número 2 e o número 5; conjunto dos números Inteiros 
entre o número -50 e o número 50.
Exemplo de conjunto infinito: conjunto dos números Intei-
ros pares; conjunto dos números Inteiros ímpares.
Capítulo 1 Conjuntos 5
2 Relação de pertinência
Quando um determinado elemento faz parte de um conjun-
to , tem-se que g “pertence a” P, estabelecendo, deste modo, 
uma relação de pertinência entre g e P, que é representada por 
.
Os símbolos “pertence” e “não pertence” ) são 
utilizados para relacionar elementos e conjuntos.
Exemplo:
a) Seja o conjunto o conjunto das estações do ano. 
Utilize o símbolo correto nas seguintes relações:
a) Verão ______ A
Primeiro você deve explicitar o conjunto:
E = {verão, outono, inverno, primavera}
Segundo, analisar os elementos do conjunto. O elemento 
“verão” faz parte do conjunto E. Logo, o elemento “verão” 
pertence ao conjunto “estações do ano”. Matematicamente 
representa-se por: .
b) Março _____ A
Observando os elementos do conjunto E, não se encon-
tra o elemento “março”. Matematicamente, representa-se por: 
6 Matemática Fundamental
3 Representação dos conjuntos
Representam-se conjuntos de diferentes formas, como: por ex-
tensão, por compreensão e geometricamente.
a) Por extensão, os conjuntos são representados por le-
tras maiúsculas e seus elementos, entre chaves, por 
letras minúsculas separadas por vírgulas. Exemplos:
 1) Dado o conjunto A, formado pelos elementos a, b, c, d, 
representa-se por:
A = {a, b, c, d}
 2) Dado o conjunto B, formado pelas relações trigonométri-
cas, representa-se por:
Capítulo 1 Conjuntos 7
b) Por compreensão, os conjuntos são representados 
por meio de uma propriedade que caracteriza os seus 
elementos. Exemplo:
 1) Representar, por compreensão, o conjun-
to C formado pelos números Naturais pares. 
. (Para qualquer 
elemento x tal que x é um número Natural par).
Este mesmo conjunto, por extensão, seria representado da 
seguinte forma:
C = {0, 2, 4, 6, 8, ...}.
c) Geometricamente, um conjunto pode ser representa-
do por uma linha fechada denominado diagrama de 
Venn. Verificando as relações de pertinência, no dia-
grama de Venn, tem-se:
Representa-se o conjunto A, por extensão, como: A = {a, 
b, c}. Observe as relações de pertinência: a ∈ A; c ∉ A.
8 Matemática Fundamental
4 Conjunto unitário
Define-se como conjunto unitário todo conjunto que tem so-
mente um elemento. Exemplo:
a) Conjunto formado pelos meses do ano que iniciam 
com a letra f.
M = {fevereiro}
5 Conjunto vazio
Define-se como conjunto vazio o conjunto que não tem ele-
mentos. O conjunto vazio é representado por { } ou . Exem-
plo:
a) Seja A o conjunto dos números Naturais menores que 
15 e maiores que 14, tem-se que ou 
(É um conjunto vazio, pois entre 14 e 15 não existem 
números Naturais).
6 Subconjunto
Denomina-se que o conjunto A é subconjunto de B se todos os 
elementos de A pertencerem também a B. Exemplos:
a) Seja , A é subconjunto 
de B. (Observe que todos os elementosdo conjunto A 
fazem parte do conjunto B).
Capítulo 1 Conjuntos 9
b) Seja e D = {4, 
8, 62}, D é subconjunto de C. (Observe que todos os 
elementos do conjunto D fazem parte do conjunto C).
7 Conjunto universo e conjunto verdade
Para solucionar um problema matemático que envolva con-
juntos, é necessário admitir a existência de um conjunto de-
nominado conjunto universo representado por U. Analisa-se a 
seguir uma situação envolvendo estes conceitos.
a) Considere o conjunto universo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
e a equação 2x + 1 = 5
1º) Resolva a equação:
2x + 1 = 5
2x = 5 – 1
2x = 4
x = 2
2º) Lembre-se que o conjunto A, neste exemplo, é o con-
junto universo. Para que esta equação, neste conjun-
to universo, tenha solução, o valor encontrado para x 
deve ser um elemento do conjunto universo. Podemos 
10 Matemática Fundamental
afirmar que 2 A, portanto, o conjunto {2} é o con-
junto verdade dessa equação.
b) Determine os números Inteiros ( ) que satisfazem a 
equação x² = 81.
1º) Identifique no enunciado o conjunto universo. Neste 
exemplo U = .
2º) Resolva a equação.
3º) Verifique se – 9 e 9 são elementos de U. (– 9 ∈ e 9 
∈ ).
4º) Portanto, os números – 9 e 9 satisfazem a equação. 
Logo, formam o conjunto verdade (V). Então: V = {– 9, 
9}.
c) Determine os números Naturais que satisfazem a equa-
ção x² = 25.
1º) Identifique no enunciado o conjunto universo. Neste 
exemplo, U = .
2º) Resolva a equação.
Capítulo 1 Conjuntos 11
3º) Verifique se – 5 e 5 são elementos de U. (– 5 ∉ e 5 
∈ ).
4º) Portanto, apenas 5 satisfaz a equação. Logo, V = {5}.
d) Determine os números Naturais que satisfazem a equa-
ção x + 7 = 2.
1º) Identifique no enunciado o conjunto universo. Neste 
exemplo, U = N.
2º) Resolva a equação.
x + 7 = 2
x = 2 – 7
x = - 5
3º) Verifique se (– 5) é elemento de U. (– 5 ∉ ).
4º) Portanto, (– 5) não satisfaz a equação. Logo, V = { } 
ou V = ∅
Observações:
a) Conjunto universo (U) é o conjunto de todos os valores 
que a variável pode assumir.
b) Conjunto verdade (V) é o conjunto dos valores de U, 
que tornam verdadeira a equação.
c) O conjunto verdade é um subconjunto do conjunto 
universo.
12 Matemática Fundamental
d) O conjunto verdade é também conhecido como con-
junto solução e é indicado por S.
8 Relação de inclusão
Quando A é um subconjunto de B, tem-se que . Os 
símbolos: está contido ; não está contido ; contém 
 e não contém são utilizados para as relações entre 
conjuntos. Exemplos:
a) Dados os conjuntos , 
analise as seguintes afirmações.
1) (Lê-se: A está contido em B).
Para que essa afirmação seja verdadeira é necessário com-
preender o significado do símbolo (está contido). Para que A 
esteja contido em B, todos os elementos do conjunto A devem 
fazer parte do conjunto B.
 B = 
Conclui-se que , pois todos os elementos do conjun-
to A fazem parte do B, isto é, A é um subconjunto de B.
2) (Lê-se: B está contido em A).
Para que B esteja contido em A, todos os elementos de B 
devem fazer parte de A.
B = 
Capítulo 1 Conjuntos 13
Observe que o elemento 33 do conjunto B não é elemento 
do conjunto A. Conclui-se que (Lê-se: B não está conti-
do em A), pois B não é um subconjunto de A.
3) (Lê-se: B contém em A).
Para que essa afirmação seja verdadeira, é necessário que 
no conjunto B, se encontrem todos os elementos do conjunto 
A. B contém todos os elementos de A.
B = 
Como o conjunto B contém todos os elementos do conjun-
to A, podemos dizer que esta afirmação é verdadeira.
4) (Lê-se: A está contido em C).
Para que essa afirmação seja verdadeira, é necessário que 
no conjunto C, se encontre todos os elementos do conjunto A.
Como os elementos de A não fazem parte do conjunto C à 
afirmação não é verdadeira.
Logo, A ⊄ C (Lê-se: A não está contido em C).
Observações:
a) O conjunto vazio está contido em todo e qualquer con-
junto. Então: , , .
14 Matemática Fundamental
b) Todo e qualquer conjunto está contido nele mesmo, as-
sim como todo e qualquer conjunto contém ele mesmo. 
Então: , .
9 Operações com conjuntos
Neste subcapítulo estudam-se as operações entre conjuntos. 
São elas: união, intersecção, diferença e complementar.
9.1 Operação união
A união entre dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos 
elementos pertencentes a A ou a B. Na notação matemática 
escreve-se:
Lê-se: a união entre os conjuntos A e B resulta em um con-
junto de elementos x, tal que x pertence a A ou x pertence a B.
Exemplos:
a) Dados os conjuntos e , de-
termine .
O conjunto que irá representar à solução da operação A
 B deve ser formado por todos os elementos do conjunto A 
e do conjunto B. Portanto:
Capítulo 1 Conjuntos 15
 (Lembre-se que dentro de um conjun-
to não pode haver elementos repetidos, por isso, na solução, 
o elemento 3 aparece apenas uma vez).
b) Dados os conjuntos 
e , determine .
1º) Reescreva o conjunto A.
A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} (Observe que esse conjunto é 
infinito).
2º) B é um subconjunto de A (Todos os elementos do con-
junto B pertencem ao conjunto A).
3º) = A
c) Dados os conjuntos C = { e D , 
determine 
 (Lembre-se que o símbolo representa um con-
junto vazio, isto é, um conjunto que não possui elementos).
9.1.1 Propriedades da operação união
Para quaisquer A, B e C, tem-se que:
a) (A união de um conjunto com ele mesmo 
tem como resultado o próprio conjunto).
b) (A união de um conjunto com o conjunto 
vazio tem como resultado o próprio conjunto).
c) (Analisa-se esta propriedade).
16 Matemática Fundamental
Dados os conjuntos A = {0,1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 
7, 8}, determine:
1) (Lembre-se que o conjunto resultado da operação 
união deve conter todos os elementos do conjunto A e 
do conjunto B, sem repeti-los).
 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}
2) (Lembre-se que o conjunto resultado da união 
deve conter todos os elementos do conjunto B e do con-
junto A, sem repeti-los).
Logo, = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Observe que os conjuntos resultantes na situação 1 e 2 
são iguais. Por isso, podemos afirmar que (Esta 
propriedade é chamada de comutativa).
d) (Analisa-se essa propriedade).
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7} 
e C = {7, 8, 9}, determine:
1) (Lembre-se que quando uma expressão ma-
temática contem parênteses deve-se iniciar as operações 
que estão entre eles, nesse caso ).
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} (Agora se realiza a união entre o 
conjunto resultante de com o conjunto C).
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} {7, 8, 9} =
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Capítulo 1 Conjuntos 17
 2) (Lembre-se que se deve iniciar com a opera-
ção que está entre parênteses).
 = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (Veri-
fique que os resultados da situação 1 e 2 são iguais, compro-
vando a propriedade).
 (Esta propriedade é chamada 
de associativa).
e) Se (Analisa-se esta propriedade).
 (Lê-se o conjunto A está contido no conjunto B. Re-
corde que se , significa que todos os elementos de A são 
também elementos de B).
Dados os conjuntos A = {2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
(Observe que todos os elementos de A também são elementos 
de B).
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (O conjunto da solução de 
 é igual ao conjunto B).
Por isso, podemos afirmar que se 
9.2 Operação intersecção
A intersecção entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado 
pelos elementos pertencentes ao conjunto A e ao conjunto B, 
isto é, elementos comuns entre A e B.
18 Matemática Fundamental
Matematicamente escreve-se: 
Lê-se: a intersecção entre os conjuntos A e B resultado em um 
conjunto de elementos x, tal que x pertence ao conjunto A e x 
pertence ao conjunto B.
Exemplos:
a) Dados os conjuntos e , de-
termine 
 (3 e 4 são os elementos co-
muns a A e B).
 = {3, 4}
b) Dados os conjuntos 
e determine 
A = {1, 3, 5, 7, 9, ...}
B = {3, 5, 7}
 = {3, 5, 7}
c) Dados os conjuntos e , de-
termine 
 = (Lembre-se que o símbolo representa um con-junto vazio, isto é, conjunto que não possui elementos. Além 
disso, não esqueça que o conjunto vazio é um subconjunto de 
qualquer conjunto).
Capítulo 1 Conjuntos 19
9.2.2 Propriedades da operação intersecção
Anteriormente, verificaram-se, com exemplos, as propriedades 
da operação união entre conjuntos. Neste item, apresentam-
-se as propriedades e se espera que vocês comprovem as mes-
mas, seguindo o mesmo método utilizado na operação união.
Para quaisquer conjuntos A, B e C, tem-se que:
a) (A intersecção entre um conjunto e ele mes-
mo resulta no próprio conjunto).
b) (A intersecção entre um conjunto e um con-
junto vazio, resulta no conjunto vazio).
c) (Propriedade comutativa).
d) (Propriedade associativa).
e) Se (Se A está contido em B então 
9.3 Diferença entre dois conjuntos
A diferença entre dois conjuntos A e B, é o conjunto 
formado pelos elementos pertencentes a A e não pertencentes 
a B.
Matematicamente, escreve-se: 
Lê-se: a diferença entre os conjuntos A e B resulta em um con-
junto formado por elementos x, tal que x pertence ao conjunto 
A e x não pertence ao conjunto B.
Cuidado:
20 Matemática Fundamental
, então .
Exemplos
a) Dados os conjuntos e , deter-
mine .
Lembre-se que a diferença entre os conjuntos A e B resulta 
em um conjunto formado por elementos x, tal que x pertence 
ao conjunto A e x não pertence ao conjunto B. Portanto, é ne-
cessário encontrar os elementos de A que não façam parte do 
conjunto B.
 
 = {3, 4} (Observe que os elementos 3 e 4 perten-
cem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Já o ele-
mento 5 pertence tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B).
b) Dados os conjuntos e , deter-
mine B - A.
Lembre-se que a diferença entre os conjuntos B e A resulta 
em um conjunto formado por elementos x, tal que x pertence 
ao conjunto B e x não pertence ao conjunto A. Portanto, tem-
-se que encontrar elementos em B que não façam parte do 
conjunto A.
 ,
c) Dados os conjuntos e
, determine A – B.
Capítulo 1 Conjuntos 21
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}
 (Encontrar elementos em A que não façam parte do 
conjunto B. Observe que todos os elementos de A não fazem 
parte de B).
Logo, = A.
d) Dados os conjuntos e
 determine A – B.
A = {4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {7, 8, 9, 10, 11}
A – B = {4, 5, 6} (Encontrar elementos em A que não fa-
çam parte do conjunto B).
e) Dados os conjuntos e
determine B – A.
A = {4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {7, 8, 9, 10, 11}
B – A = {10, 11} (Encontrar elementos em B que não fa-
çam parte do A).
9.3.1 Propriedades da diferença entre conjuntos
Para quaisquer A, B e C, tem-se que:
a) A - A ∅
b) A - ∅ = A 
c) ∅ - A = ∅
d) Se 
22 Matemática Fundamental
e) Se 
Observações:
1) Para , todo e qualquer elemento pertencente a A 
também pertence a B.
 2) Para todo e qualquer elemento pertencente a A não 
pertence a B; denomina-se então que A e B são conjuntos 
disjuntos, isto é, conjuntos disjuntos são aqueles que não 
possuem elementos comuns.
9.4 Complementar de dois conjuntos
Para dois conjuntos A e B, o complementar de A em B, para 
, é o conjunto formado pela diferença .
Cuidado:
Complementar de A em B escreve-se como = B – A
Complementar de B em A escreve-se como = A – B
Exemplos
Capítulo 1 Conjuntos 23
a) Dados os conjuntos e , 
determine 
 (Complementar de A em B, que é igual a B – A).
 = B – A (Elementos de B que não pertencem a A).
 = {1, 2, 6}
b) Para e 
, determine 
. (Elementos de B que não pertencem a A).
 , ou seja, 
Observação
a) Quando a indicação do complementar é em relação 
ao conjunto Universo, utiliza-se o símbolo ou .
24 Matemática Fundamental
Referências
BAYER, Arno et al. Matemática Tópicos Básicos. Canoas: 
ULBRA, 1999.
DEMANA, Franklin et al. Pré-Cálculo. São Paulo: Pearson, 
2009.
FERNANDEZ, Vicente Paz e YOUSSEF, Antônio Nicolau. Mate-
mática para o 2º grau. São Paulo: Scipione, 1992.
GIOVANI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto. Matemáti-
ca Completa. São Paulo: FTD, 2005.
MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática – Temas e Me-
tas; Conjuntos Numéricos e Funções. São Paulo: Atual, 
1986.
Teoria dos Conjuntos. Disponível em:
< http://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjun-
tos/>. Acesso em 07 jul 2015.
Atividades
 1) Dados os conjunto , 
determine:
Capítulo 1 Conjuntos 25
a) (União: todos os elementos de A e B, sem 
repetição de elementos).
b) 
 = {a, b, c, e}
 {a, b, c, e} {c, d, e}
 {c, e}
c) B – C (Diferença entre dois conjuntos).
Lembre-se: a solução é composta por todos os elementos 
que pertencem ao conjunto B e não pertencem ao conjunto C
d) C - B
Lembre-se: a solução é composta por todos os elementos 
que pertencem ao conjunto C e não pertencem ao conjunto B.
 2) Dados os conjunto , 
classifique as afirmações em V ou F:
a) (O conjunto {a, e} está contido no 
conjunto solução da união entre os conjuntos A e C, 
isto é, todos os elementos de {a, e} devem também ser 
26 Matemática Fundamental
elementos de . Se isto for verdadeiro o conjunto 
{a, e} é um subconjunto de {a, b, c, e}).
Primeiro realiza-se a operação 
 = {a, b, c, e}
 Portanto, {a, e} está contido em . 
Logo, a afirmação é verdadeira.
b) (O conjunto C contém o conjunto B, isto é, to-
dos os elementos de B devem fazer parte do conjunto 
C).
Logo, isto afirmação é falsa.
c) C}
Esta afirmação é verdadeira. Lembre-se que o conjunto va-
zio é subconjunto de qualquer conjunto.
d) 
 = {c, d, e} = {a, b, c, e}
 = {c, d, e} {a, b, c, e}
O conjunto {c, d, e} não contém o conjunto {a, b, c, e}. 
Logo, a afirmação é falsa.
3) Considerando que A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A ∩ 
B = {4, 5} e A – B = {1, 2, 3}, determine o conjunto B. 
Capítulo 1 Conjuntos 27
Para melhor entendimento da questão, utiliza-se o Diagra-
ma de Venn.
 (Cuidado! Os elementos 4 e 5 pertencem 
ao conjunto A e ao conjunto B)
A – B = {1, 2, 3} (Cuidado! Os elementos 1, 2 e 3 perten-
cem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B).
 (Observe todos os elementos 
resultantes da operação união entre os conjuntos A e B e si-
nalize os elementos que já estão no diagrama de Venn. O 
conjunto B é formado por todos os elementos que não estão 
no conjunto A).
 Logo, B = {4, 5, 6, 7, 8}
4) Considerando os conjuntos descritos abaixo:
T = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2}
B = {2, 3, 4}
C = {4, 5} determine (T – A) (B 
(T – A) (Elementos que pertencem ao conjunto T e não per-
tencem ao conjunto A).
28 Matemática Fundamental
(T – A) = {0, 3, 4, 5, 6}
(B {2, 3, 4, 5}
(T – A) (B = {0, 3, 4, 5, 6} {2, 3, 4, 5} = {3, 4, 5}
 5) Todos os funcionários de uma empresa foram vacinados. 
80 % deles contra H1N1 e 60 % contra hepatite. Calcule 
a porcentagem de funcionários que tomaram as duas va-
cinas.
Chama-se de:
x o percentual de funcionários que tomaram as duas vaci-
nas (intersecção entre os dois conjuntos).
A o conjunto de funcionários vacinados contra H1N1 (80 %).
B o conjunto de funcionários vacinados contra hepatite (60 %).
(80 – x) os funcionários que tomaram apenas a vacina con-
tra H1N1.
(60 – x) os funcionários que tomaram apenas a vacina con-
tra hepatite.
Lembre-se que o total deve ser de 100 %.
Represente os dados no Diagrama de Venn:
Capítulo 1 Conjuntos 29
Resolva o problema:
(80 – x) + x + (60 – x) = 100
140 – x = 100
-x = 100 – 140
- x = - 40
X = 40
Portanto, 40 % dos funcionários tomaram as duas vacinas.
Recapitulando
A Teoria dos Conjuntos foi formulada no fim do século XIX pelo 
matemático russo Georg Cantor. Um mesmo conjunto pode 
ser “escrito” de diferentes formas:
a) Enumerando seus elementos entre chaves, separados 
por vírgulas:
A = {-1, 0, 1}
30 Matemática Fundamental
b) Indicando, entre chaves, uma propriedade que caracte-
rize cada um de seus elementos:
c) Por meio de uma figura fechada, dentro da qual se 
escreve seus elementos (Diagrama de Venn).
No próximo capítulo, amplia-se o estudo deste conteúdo, 
pois ira-se introduz os conceitos deconjuntos numéricos e in-
tervalos na reta dos reais.
Atividades
 1) Enumere os números Inteiros entre – 2 e 8.
 2) Enumere os números Inteiros positivos de – 8 a – 1.
 3) Enumere todos os números Inteiros negativos maiores que -5.
 4) Enumere todos os números Inteiros positivos maiores que 
7 ou iguais a 7.
Capítulo 1 Conjuntos 31
 5) Dados os conjunto , 
determine:
a) b) c) 
 6) Três alunos, X, Y e Z, concorreram à presidência do Grê-
mio Estudantil da sua escola. Para escolher o presidente, 
cada aluno matriculado na escola votou apenas em dois 
candidatos. O resultado da eleição foi o seguinte: 100 
votos para X e Y, 80 votos para Y e Z e 20 votos para X e 
Z. Analisando esses dados, é possível afirmar que:
A) venceu X, com 120 votos.
B) venceu X, com 140 votos.
C) os candidatos X e Y empataram em primeiro lugar.
D) venceu Y, com 140 votos.
E) venceu Y, com 180 votos.
 7) Numa prova de matemática de duas questões, 35 alunos 
acertaram somente uma questão, 31 acertaram a primei-
ra, 8 acertaram as duas e 40 erraram a segunda questão. 
Então, o número de alunos que fizeram essa prova foi:
A) 43 B) 48 C) 52 D) 56 E) 60
 8) (ENEM) No dia 17 de Maio próximo passado, houve uma 
campanha de doação de sangue em uma Universidade. 
Sabemos que o sangue das pessoas pode ser classificado 
em quatro tipos quanto a antígenos. Uma pesquisa feita 
com um grupo de 100 alunos da Universidade constatou 
que 42 deles têm o antígeno A, 36 têm o antígeno B e 12 
32 Matemática Fundamental
o antígeno AB. Sendo assim, podemos afirmar que o nú-
mero de alunos cujo sangue tem o antígeno O é:
A) 20 alunos B) 26 alunos C) 34 alunos
D) 35 alunos E) 36 alunos
 9) Os dados meteorológicos mostraram que em x dias:
a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
b) quando chove de manhã não chove à tarde;
c) houve 5 tardes sem chuva;
d) houve 6 manhãs sem chuva.
Com essas informações é possível afirmar que x é igual a:
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
 10) De 35 pessoas de um grupo de idosos, 16 conhecem Flo-
rianópolis; 16, Porto Alegre e 11, Curitiba. Desses ido-
sos, 5 conhecem Florianópolis e Curitiba 5, 3 conhecem 
também Porto Alegre. O número de idosos que conhecem 
Florianópolis ou Porto Alegre é de:
A) 29 B) 24 C) 11 D) 8 E) 5
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Capítulo ?
Conjuntos Numéricos
Capítulo 2
34 Matemática Fundamental
Introdução
A concepção do conjunto numérico pode ser compreendida a 
partir da compreensão de um conjunto. A construção de todos 
os conjuntos numéricos parte de números Naturais utilizados 
apenas para contar, até os números Complexos que possuem 
vasta aplicabilidade nas engenharias, nas produções quími-
cas, entre outras áreas.
Este capítulo trata do estudo dos Conjuntos Numéricos e 
dos Intervalos Numéricos no conjunto dos números Reais.
1 Conjunto dos números Naturais
Num determinado momento da História, os homens sentiram 
necessidade de contar objetos, animais, pessoas, etc. Essa 
necessidade fez com que os homens criassem uma forma de 
representar essas contagens. Por volta de 4.000 a C, algumas 
comunidades primitivas transformaram-se em cidades. Várias 
atividades foram surgindo, graças ao desenvolvimento do co-
mércio. Era o fim da pré-história e o início da história.
Para o homem primitivo, contar significava fazer correspon-
dências. Durante a caçada, por exemplo, para cada animal 
que conseguia abater, o caçador fazia uma marca em um pe-
daço de madeira, fazendo assim uma correspondência entre 
dois conjuntos.
Grandes progressos aconteceram na Matemática com o 
surgimento dos números no Egito. Também os romanos cria-
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 35
ram a sua forma de expressar os números, suprindo, dessa 
maneira, a necessidade que surgiu com o comércio e as habi-
tações. Cada povo desenvolveu seus símbolos matemáticos e 
seu sistema de numeração.
Utilizam-se, atualmente, símbolos numéricos chamados de 
indo-arábicos. São esses números, criados pelos matemáticos 
da Índia, divulgados para outros povos pelo árabe al-Khowa-
rizmi, que constituem o nosso sistema de numeração decimal, 
por isso conhecido como algarismos indo-arábicos.
O conjunto dos Números Naturais, cuja notação é , é 
representado como:
 , conjunto dos Números Naturais.
, conjunto dos Números Naturais 
sem o zero.
2 Conjunto dos números Inteiros
O símbolo do conjunto dos números Inteiros é o , inicial da 
palavra alemã “Zahlen”, que significa números. O conjunto 
dos números Inteiros é representado como:
 (Números Inteiros 
negativos, o número zero e os Números Inteiros positivos).
 (Conjunto dos números Inteiros não 
negativos).
36 Matemática Fundamental
 (Conjunto dos números Intei-
ros não positivos).
 (Conjunto dos nú-
meros Inteiros sem o zero).
3 Conjunto dos números Racionais
O conjunto dos números Racionais abrange todos os Inteiros, 
decimais finitos e dízimas periódicas. Sua notação é , e con-
tém qualquer número que possa ser escrito como a razão de 
dois números Inteiros, na forma , onde , isto é:
 (Lê-se: a dividido por b tal que 
a e b pertencem ao conjunto dos números Inteiros e b diferen-
te de zero).
Obs.:
a) O número decimal 0,25, pode ser escrito na notação 
 , , por isso é um número Racional.
b) A dízima periódica 0,33333333... é um número Ra-
cional, pois pode ser representada por sua fração ge-
ratriz que é . Lembre-se que dízima periódica é uma 
sequência que se repete infinitamente.
c) O número Racional representa o Inteiro 2. Logo, 
qualquer número Inteiro pode ser representado na for-
ma de um número Racional. Dessa maneira, podemos 
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 37
estabelecer algumas relações entre os conjuntos nu-
méricos, tais como:
 (O conjunto dos números Naturais está contido no 
conjunto dos números Inteiros).
 (O conjunto dos números Inteiros está contido no 
conjunto dos números Racionais).
 (O conjunto dos números Naturais está contido no 
conjunto dos números Racionais).
4 Conjunto dos números Irracionais
No século VI, Pitágoras, um matemático, descobriu a relação 
entre as medidas de um triângulo retângulo. Mais tarde, esta 
relação foi chamada de Teorema de Pitágoras. Aplicando este 
teorema, Pitágoras chegou a números do tipo . Como só 
eram conhecidos os números Naturais e Racionais positivos, 
ele não conseguia descobrir o valor que correspondesse a esse 
resultado, pois é impossível por tentativas. Com isso, surgem 
os números Irracionais. Exemplos:
2 = 1,4142135623730950488016887242097...
π = 3,1415926535897932384626433832795...
Portanto, os números Irracionais, cuja notação é , são 
aqueles que não podem ser representados na forma fracioná-
ria, ou seja, sua notação decimal não tem uma dízima periódi-
38 Matemática Fundamental
ca, isto é, a parte decimal não tem uma sequência de números 
que se repete.
5 Conjunto dos números Reais
A união do conjunto dos números Racionais com o conjunto 
dos números Irracionais resulta num conjunto numérico cha-
mado de conjunto dos números Reais, cuja notação é . O 
conjunto dos Números Reais contém vários subconjuntos (Na-
turais, Inteiros, Racionais e Irracionais), representados no dia-
grama de Venn:
Observações:
a) (A união entre o conjunto dos números 
Racionais e dos Irracionais resulta no conjunto dos nú-
meros Reais).
b) (A intersecção entre o conjunto dos núme-
ros Racionais e dos Irracionais tem como resultado um 
conjunto vazio, isto é, um conjunto sem elementos).
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 39
6 Conjunto dos números Complexos
O conjunto dos números Complexos, cuja notação é , é for-
mado pelos números escritos na forma retangular , para 
 e , sendo relativo à parte real e relativo 
à parte imaginária. É representado como
Exemplos:
a) Para , tem-se:
 (Pode-se escrever (– 9) como: 
[(-1) . 9]
 (Aplicando a propriedade da radiciação 
)
 (Lembre-se que )
Logo, para a parte real , tem-se que e para a parte 
imaginária tem-se que .
Para , tem-se:
 x (Lembre-se que )
5i
40 Matemática FundamentalPortanto, para um número Real qualquer tal que, 
, e , tem-se que é um número Complexo com a 
parte real e a parte imaginária .
Observação:
a) (O conjunto dos números Reais está contido no 
conjunto dos números Complexos).
7 Reta orientada e intervalos numéricos
Pode-se representar o conjunto dos números Reais associan-
do-se cada número x ∈ a um ponto de uma reta r. Assim, 
convenciona-se uma origem O, associando-se a ela o zero, 
adotando-se uma unidade e um sentido positivo para esta 
reta, tem-se aquela que se denomina reta orientada.
Portanto, o conjunto dos números Reais é graficamente re-
presentado por uma reta de maneira que, considerando-se a 
reta real e os números representados por e tem-se que, se 
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 41
 está esquerda de então , com a direita de então 
.
Considerando-se a reta real e a marcação do número Real 
zero com o valor 0, tem-se para o número Real a esquerda 
de 0, ou seja, que é um Real negativo e, para um 
número Real a direita de 0, ou seja, que é um nú-
mero Real positivo.
O conjunto dos números Reais é ordenado, por isso pode-
-se comparar dois números reais iguais ou não iguais, com os 
sinais de igualdade ou desigualdade (maior que, menor que).
Notação:
a) x > 3 (x é maior que 3).
b) x ≥ - .
c) – 2 < x ≤ 6 (x é maior que – 2 e menor ou igual a 6).
d) os números reais entre (– 3) e (– 0,8) 
e) os números reais maiores ou iguais a zero (
f) os números reais maiores que zero 
42 Matemática Fundamental
As desigualdades definem intervalos sobre a reta real, que 
podem ser limitados (intervalos fechados) ou ilimitados (inter-
valos abertos).
7.1 Intervalos numéricos na reta dos 
números Reais
Existem diferentes tipos de intervalos numéricos. Este é o tópi-
co de estudo neste subcapítulo. O estudo dos intervalos é de 
extrema importância, pois servirá de base para determinar o 
domínio e a imagem de diferentes funções.
7.1.1 Intervalos limitados
Entre os diferentes tipos de intervalos limitados existem os que 
são fechados ou abertos.
a) Intervalo fechado
Um intervalo é fechado quando for composto por números 
reais maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b. Algebri-
camente, representa-se por: ou . Na 
reta numérica dos reais é representado da seguinte forma:
Observe as representações:
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 43
Na reta Conjunto Intervalo
Essas três representações tem o mesmo significado mate-
mático, isto é, esse intervalo é formado por todos os números 
Reais maiores ou igual a – 2 e menores ou igual a 5.
b) Intervalo aberto
Um intervalo é aberto quando for composto por números 
Reais maiores que a e menores que b. Algebricamente, é re-
presentado por: ou ou . Na 
reta numérica dos reais é representado da seguinte forma:
Observe as representações:
Na reta Conjunto Intervalo
Essas três representações têm o mesmo significado mate-
mático, isto é, este intervalo é formado por todos os números 
reais maiores que – 2 e menores que 5.
c) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita
Um intervalo é fechado à esquerda e aberto à direita 
quando for formado por números Reais maiores ou iguais 
a a e menores que b. Algebricamente, é representado por: 
44 Matemática Fundamental
 ou ou . Na reta numérica dos 
Reais é representado da seguinte forma:
Observe as representações:
Na reta Conjunto Intervalo
Essas três representações têm o mesmo significado mate-
mático, isto é, esse intervalo é formado por todos os números 
reais maiores ou igual a – 2 e menores que 5.
d) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita
Um intervalo é aberto à esquerda e fechado à direi-
ta quando for composto por números reais maiores que a e 
menores ou igual a b. Algebricamente é representado por: 
 ou ou . Na reta numérica dos 
Reais é representado da seguinte forma
Observe as representações:
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 45
Na reta Conjunto Intervalo
Essas três representações têm o mesmo significado mate-
mático, isto é, esse intervalo é formado por todos os números 
reais maiores que – 2 e menores ou igual a 5.
7.1.2 Intervalos ilimitados
São intervalos formados por semirretas ou pela própria reta 
dos Números Reais.
a) Menores que 
a.1) Aberto em a
Algébricamente, é representado por ou 
 ou . Na reta numérica é representado por:
Observe as representações:
Na reta Conjunto Intervalo
Essas três representações têm o mesmo significado mate-
mático, isto é, este intervalo é formado por todos os números 
reais menores que 3.
46 Matemática Fundamental
a.2) Fechado em a
Algébricamente, é representado por ou 
 ou . Na reta numérica é representado por:
Observe as representações:
Na reta Conjunto Intervalo
Essas três representações têm o mesmo significado mate-
mático, isto é, esse intervalo é formado por todos os números 
reais menores e iguais a 3.
b) Maiores que a
b.1) Aberto em a
Algébricamente é representado ou 
ou . Na reta numérica é representado por:
Observe as representações:
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 47
Na reta Conjunto Intervalo
.
Essas três representações têm o mesmo significado mate-
mático, isto é, este intervalo é formado por todos os números 
Reais maiores que 3.
b.2) Fechado em a
Algébricamente é representado por ou 
 ou . Na reta numérica é representado por:
Observe as representações:
Na reta Conjunto Intervalo
.
Essas três representações têm o mesmo significado mate-
mático, isto é, esse intervalo é formado por todos os números 
reais maiores ou igual a 3.
Observação:
a) A reta numérica dos números Reais também pode ser 
representada sob a forma de conjunto e de intervalo.
48 Matemática Fundamental
Na reta Conjunto Intervalo
 R
8 Operações com intervalos no conjunto 
dos números Reais
Este subcapítulo é dedicado ao estudo das operações com in-
tervalos nos números Reais.
8.1 Operação União
Para a operação de união, tem-se que todos os elementos 
dos conjuntos fazem parte do conjunto solução. O mesmo se 
procede quando se trabalha com intervalos. Porém, é muito 
importante cuidar dos extremos dos intervalos, isto é, observar 
se o intervalo é fechado (inclui o extremo) ou se é aberto (ex-
clui o extremo). Exemplos:
a) Considerando os intervalos , 
determine 
1º passo: represente cada um dos intervalos em uma reta 
numérica. Faça um traço vertical para assinalar o primeiro e o 
último número (de A ou B) e identifique o resultado.
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 49
2º passo: na reta numérica com a representação de , 
observe o primeiro e o último elemento. Cuide também se o 
intervalo é aberto (bolinha aberta) ou se é fechado (bolinha 
fechada).
3º passo: Registre o resultado:
ou 
b) Dados os conjuntos A = , determine 
.
 = } ou 
c) Dados os intervalos A = [-1, 2] e B = , determine 
50 Matemática Fundamental
Para resolver este exercício, representa-se de outra forma 
os intervalos A e B. Observe que se representa com verde o 
intervalo A e amarelo o intervalo B. Observe também “as boli-
nhas fechadas ou abertas”.
Identifique na reta as “bolinhas”. A primeira e a última, pois 
estas definem . Portanto, = } 
ou .
8.2 Operação Intersecção
Na operação de intersecção, o conjunto solução é formado 
pelos elementos em comum aos conjuntos. Exemplo:
a) Dados os intervalos A = [-1, 2] e B = , determine 
Observe que se representa com verde o intervalo A e ama-
relo o intervalo B. Observe também “as bolinhas fechadas ou 
abertas”.
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 51
Identifique na reta a parte dos intervalos que está pintada 
tanto de verde quanto de amarelo. Essa é a parte comum aos 
dois intervalos. A primeira e a última “bolinha” da parte comum 
são as que definem . Portanto, = 
} ou .
b) Dado os intervalos A = e B = , determine 
.
 = } ou 
Referências
BAYER, Arno (org.). Matemática: tópicos básicos. Canoas/
RS: ULBRA, 2013.
52 Matemática Fundamental
SEIBERT, T. E. Dimensão Profissional I. Canoas/RS: ULBRA, 
2013.
Teoria dos Conjuntos. Disponível em:< http://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjun-
tos/>. Acesso em 07 jul 2015.
Atividades
 1) Dados os intervalos A = e B = , determine 
.
Represente na reta numérica o intervalo A:
Em outra reta numérica represente o intervalo B:
Em uma terceira reta, destaque o intervalo que representa 
:
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 53
Lembre-se que o intervalo resultado da operação união 
deve conter todos os elementos de A e de B. Cuidado com os 
sinais de intervalo aberto ou fechado. Logo: 
 2) Dados os intervalos A = e B = , determine B – A:
Represente os intervalos em retas conforme exemplo do 
exercício anterior. Lembre-se que o resultado de B – A é o 
intervalo formado por todos os elementos de B que não fazem 
parte de A. Observe que, no intervalo A, o extremo em 1 é 
aberto e, portanto, o número 1 não faz parte do intervalo A.
B – A = 
3) Escreva por compreensão o intervalo A = 
54 Matemática Fundamental
Observe que o intervalo é aberto à esquerda e fechado à 
direita. Lembre que quando o intervalo for fechado deve-se 
utilizar também o sinal de igual.
}
4) Represente algebricamente o:
Observe que o intervalo à esquerda é fechado e à direita é 
aberta (bolinha fechada e bolinha aberta).
 ou 
 5) Represente na reta numérica o intervalo 
O intervalo, tanto à esquerda quanto à direita, é aberto 
(observe os sinais). Na reta numérica é representado por uma 
“bolinha aberta”.
6) Represente geometricamente 
Cuidado com os intervalos infinitos. Lembre que tanto no 
infinito negativo quanto no infinito positivo o intervalo é aberto.
 7) Dados os conjuntos A = e B = 
, determine A B.
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 55
Represente o conjunto A na reta numérica:
Represente o conjunto B na reta numérica:
Represente a união na reta numérica:
Lembre-se que o conjunto procurado é formado por to-
dos os elementos do conjunto A ou do conjunto B. Logo: 
 8) Dados os conjuntos A = e B = 
, determinar .
Represente o conjunto A na reta numérica:
56 Matemática Fundamental
Represente o conjunto B na reta numérica:
Represente a intersecção na reta numérica:
Lembre-se que o conjunto procurado é o conjunto de todos 
os elementos que pertence a A e a B ao mesmo tempo. Logo: 
9) Sendo A = e B = , determine A – B.
Lembre-se que o conjunto A – B é formado por todos os 
elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Caso en-
contre dificuldade, represente os intervalos na reta numérica.
A – B = 
10) Sendo A = e B = , determine B – A
Lembre-se que o conjunto B – A é formado por todos os 
elementos de B que não pertencem a A. Logo: B – A = .
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 57
Recapitulando
Lembre-se da notação dos conjuntos Numéricos:
a) o conjunto dos Números Naturais:
b) o conjunto dos números Inteiros:
c) o conjunto dos números Racionais:
d) o conjunto dos números Irracionais (
e) o conjunto dos números Reais
R = 
f) o conjunto dos números Complexos
58 Matemática Fundamental
O próximo capítulo do livro trata de alguns tópicos do En-
sino Fundamental, que são pré-requisitos para o estudo das 
funções.
Atividades
 1) Represente na reta numérica os seguintes intervalos:
a) b) }
c) d) 
e) } f) 
 2) Escreva por compreensão os intervalos:
a) b) 
 3) Para os intervalos 
, determine e 
escreva em forma de intervalo o resultado das operações:
a) b) 
c) d) 
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 59
 4) Efetue as operações com os conjuntos numéricos:
 b) 
c) =
 5) Dados A = , B = e E = , calcule:
a) A – B b) B – A c) A – E 
d) E – B
 6) Dados A = , B = [-5, 5] e E = , calcule:
a) A B E b) A B E c) (A B) E
 7) Represente o intervalo na reta dos números Reais.
 8) Determine o intervalo que está representado na forma 
geométrica.
 9) Classifique em racional (Q) ou irracional (Q’) os números 
Reais dados:
a) 6,020000 b) 1,666666
c) 0,01001000100001... d) 0,93875679383431...
e) f) 
 10) Dados os conjunto , de-
termine:
a) b) c) 
Tópicos de Álgebra da 
Educação Básica
Capítulo 3
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 61
Introdução
Segundo Baumgart (1997), a origem da palavra “Álgebra” não 
se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a pa-
lavra “aritmética”, que deriva do grego arithmos (“número”). 
Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às ve-
zes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-
-jabr w’al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 
pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi. 
Esse trabalho de álgebra é com frequência citado, abreviada-
mente, como Al-jabr. Uma tradução literal do título completo 
do livro é a “ciência da restauração (ou reunião) e redução”, 
mas matematicamente seria melhor “ciência da transposição 
e cancelamento”- ou, conforme Boher, “a transposição de ter-
mos subtraídos para o outro membro da equação” e “o cance-
lamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos 
da equação”.
Neste capítulo do livro, além do estudo de alguns tópicos 
da Álgebra da Educação Básica, revisam-se os conceitos en-
volvidos nas operações de potenciação e radiciação.
1 Potenciação
Na Matemática, existem diferentes formas de representar uma 
mesma situação. Por exemplo, uma adição de parcelas iguais 
pode ser representada por uma multiplicação.
3 + 3 + 3 + 3 = 4 x 3
62 Matemática Fundamental
(-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = 6 x (-1)
Quando se trata de multiplicação de fatores iguais, pode-
-se representar a operação por uma potenciação. Observe:
2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25
3 . 3 = 32
(-5) . (-5) . (-5) . (-5) = (-5)4
a . a . a . a . a . a = a6
Portanto, sendo um número Real e um número 
Inteiro , para tem-se o produto do fator multipli-
cado por ele mesmo vezes, ou seja:
Nomeia-se a como sendo a base, n o expoente, an a po-
tência e a operação de potenciação. Exemplos:
a) 2³ = 2 . 2 . 2 = 8
b) (-3)² = (-3) . (-3) = 9 (Cuidado com o sinal do número. 
Ele também está elevado ao quadrado, porque está en-
tre parênteses).
c) – 3² = - (3) . (3) = - 9 (Cuidado com o sinal do número. 
Ele não deve ser elevado ao quadrado, porque não está 
entre parênteses).
d) (-3)³ = (-3) . (-3) . (-3) = -27
e) (0,25)² = (0,25) . (0,25) = 0,0625
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 63
f) = 
Observações:
a) (Lê-se: a elevado ao ex-
poente zero é igual a 1 para qualquer que seja a per-
tencente ao conjunto dos números Reais e a diferente de 
zero). Exemplos:
1) 30 = 1 2) 3) = 1 4) =1
b) para (Lê-se: a elevado ao expoente um 
é igual a a para qualquer que seja a pertencente ao 
conjunto dos números Reais). Por definição considera-
-se a¹ = a, pois não há um produto3 com único fator. 
Exemplos:
1) 31 = 3 2) 3) = 4) = 
1.1 Propriedades da potenciação
Trabalhar com operações que envolvem a potenciação se tor-
na mais fácil quando se conhece algumas regras e proprieda-
des. Este é o objetivo deste subcapítulo.
a) Propriedade 1
Analisando a multiplicação entre potências de mesma base:
1) 34 . 3² = (Lembre-se que 34 = 3 . 3 . 3 . 3)
(3 . 3 . 3 . 3) . (3 . 3) = 36
2) 
64 Matemática Fundamental
 . . . = 
Portanto, na multiplicação de potências de mesma base, 
conserva-se a base e adicionam-se os expoentes. De forma 
generalizada, pode-se escrever:
Importante:
Pode-se entender a noção de potência a-n para n Inteiro 
(positivo ou negativo), mantendo a propriedade 1, ou seja:
1 = a0 = a-n + n = a-n . an
Portanto, a potência a-n = 
Outra forma de entender:
25 = 32
24 = 16
23 = 8
2² = 4
2¹ = 2
20 = 1 (Observe em todos os resultados a divisão por dois).
2-1 = 0,5 = 
2-2 = 0,25 = 
2-3 = 0,125 = 
Logo: 
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 65
b) Propriedade 2
Analisando a divisão entre potências de mesma base:
57 : 53 = 
57 : 53 = (Simplificando).
57 : 53 = 5 . 5. 5. 5 = 54 = 57 - 3
Portanto, na divisão de potências de mesma base, conser-
va-se a base e subtraem-se os expoentes. De formagenerali-
zada pode-se escrever: , .
Observe:
72 : 75 = 
c) Propriedade 3
Analisando potência de potência:
 = 2³ . 2³ . 2³ . 2³ = 23 + 3 + 3 + 3 = 212 = 24 . 3 (Lembre-
-se que o expoente indica quanto vezes a base é multiplicada 
por ela mesma. Neste exemplo a base é 23 e o expoente é 4).
Portanto, na potência de potência, conserva-se a base e 
multiplicam-se os expoentes. De forma generalizada pode-se 
escrever: 
Cuidado:
= = 1,41 x 1073
Portanto, . Logo, 
66 Matemática Fundamental
d) Propriedade 4
Analisando potência de um produto de dois ou mais fatores:
 = 
 = (2 . 2 . 2 . 2) . (3 . 3 . 3 . 3)
 = 24 . 34
Portanto, a potência de um produto de dois ou mais fatores 
pode ser calculada elevando-se cada termo do produto ao 
mesmo expoente. De forma generalizada, pode-se escrever: 
e) Propriedade 5
Analisando a potência de um quociente de dois números a 
um expoente natural:
Portanto, a potência de um quociente de dois números a 
um expoente natural pode ser calculada elevando-se cada ter-
mo do quociente ao mesmo expoente. De forma generalizada 
pode-se escrever: 
Cuidado:
 (Lembre-se que ).
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 67
1.2 Potências de base 10
As potências de base 10 são muito utilizadas na Física e na 
Química quando se trabalha com grandezas micro ou ma-
croscópicas.
Observe algumas potências de base 10:
10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1 000
104 = 10 000
105 = 100 000
Portanto, o expoente da base 10 corresponde ao número 
de zeros da potência resultante, quando o expoente é um nú-
mero Natural.
Quando o expoente é um número Inteiro negativo proce-
de-se da seguinte forma:
68 Matemática Fundamental
Portanto, o número que está no expoente, sem o sinal, indi-
ca o número de casas decimais4 da potência resultante.
Observação:
Um número está escrito na notação científica quando apa-
recer como a multiplicação de dois números Reais, em que:
a) um dos fatores é um número a pertencente ao intervalo 
;
b) o outro fator é uma potência de base dez: a . 10n, 1 
a < 10.
Exemplos:
7,28 . 1012 = 7,28 . 1 000 000 000 000 = 7 280 000 
000 000
3,002 . 10-5 = 3,002 . 0,00001 = 0,00003002
2 Radiciação no conjunto dos números 
Reais
Lembre-se que a radiciação é a operação inversa da potencia-
ção. Observe:
8² = 8 x 8 = 64 e = 8
5³ = 5 . 5 . 5 = 123 e = 5
Portanto, define-se a radiciação como: Sendo e dois 
números pertencentes aos Reais e um número 
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 69
Natural , denomina-se raiz enésima de o número 
que elevado a resulta no número . Isto é: 
, para: radicando; raiz; índice; radical; ope-
ração: radiciação. Exemplos:
Atenção:
a) No conjunto dos números Reais, se o radicando é um 
número negativo e o índice do radical é um número 
par, a raiz não é definida. Porém, no conjunto dos nú-
meros Complexos a raiz é definida.
b) Se o índice do radical for um número ímpar, a raiz é 
sempre definida.
 
2.1 Propriedades dos radicais
Assim como na potenciação, neste subcapítulo estudam-se as 
propriedades da radiciação.
a) Propriedade 1
O radical de uma potência qualquer, quando é definido, 
pode ser obtido como uma potência fracionária. Isto significa 
que para todo radical tem-se: .
Exemplos:
70 Matemática Fundamental
Como consequência, tem-se que: . Observe:
 = (Simplificando p).
 = 
 = (Simplificando 5).
Atenção:
Logo, pode-se afirmar que 
b) Propriedade 2
Observe o exemplo:
= = 10
Outra forma de realizar o mesmo cálculo:
 . = 5 . 2 = 10 (Como o resultado é o mesmo do 
anterior pode-se afirmar que)
= . 
De forma geral, escreve-se que: (Observe 
que para aplicar essa propriedade os índices dos radicais de-
vem ser iguais).
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 71
Cuidado: em caso de índice par, os radicandos devem ser 
positivos.
c) Propriedade 3
Observe o exemplo:
= 2 (O número 8 é resultado da divisão 64 : 8)
Outra forma de realizar o mesmo cálculo:
De forma geral escreve-se que: 
Cuidado: em caso de índice par, os radicandos devem ser 
positivos.
d) Propriedade 4
O radical de outro radical é obtido por meio de um terceiro 
radical, cujo índice é o produto dos índices dos radicais dados, 
isto é: .
Exemplos:
a) = b) 
Cuidado: em caso de índice par, os radicandos devem ser 
positivos.
Importante:
 1) Um número que multiplica um radical pode ser introduzido 
no radical, desde que fique elevado ao índice.
72 Matemática Fundamental
Exemplo:
5 . = 10 (Introduzindo 5 no radical).
2) 
2.2 Radicais semelhantes
Os radicais são semelhantes quando têm o mesmo índice e o 
mesmo radicando, como por exemplo, os seguintes radicais:
a) (São radicais semelhantes porque tem o 
mesmo índice e o mesmo radicando).
b) (Não são radicais semelhantes porque têm di-
ferentes índices).
De forma geral pode-se dizer que 
são semelhantes, pois possuem o mesmo índice e o mesmo ra-
dicando.
2.3 Operações com radicais: adição e subtração
A operação da adição ou da subtração de radicais é definida 
somente para radicais semelhantes. Exemplo:
a) 
(7 + 4 – 3) = 
De forma geral, pode-se escrever:
a) 
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 73
b) 
2.4 Operações com radicais: multiplicação e 
divisão
A operação da multiplicação ou da divisão é definida somente 
para radicais com o mesmo índice. Exemplos:
a) 
b) 
c) 
De forma geral, diz-se que:
a) 
b) 
Atenção:
Para multiplicar ou dividir radicais com índices diferentes, 
transforma-se os radicais em um mesmo índice.
 (Índices diferentes – escrever na forma fracionária)
 (Frações de denominadores diferentes – utilize equi-
valência entre frações e escreva-as com frações de mesmo de-
nominador).
 e (Mínimo múltiplo comum (mmc) entre 3 e 4 é 12. 
Divide 12 pelo denominador e multiplique o resultado pelo 
numerador. Faça isso para cada uma das frações).
 e (Reescreva as raízes).
74 Matemática Fundamental
 = 
 (Agora realize a multiplicação).
 . = 
2.5 Simplificação de radicais
Observe com atenção os exemplos:
a) (64 = 43, porque 4 . 4 . 4 = 64)
 = (Aplicando a propriedade da potenciação am . 
an = am + n)
 (Aplicando a propriedade da radiação 
. ).
 = (Aplicando a propriedade ).
 = 4. 2 = 8
b) (Decompondo 120 em fatores pri-
mos encontra-se 2²x2x3x5).
 (Aplicando as propriedades).
 = 2
Logo:
 2
c) (Decompondo 8 e 32 em fato-
res primos).
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 75
 = 
 = . 
. = + 
 + =
d) 
2.6 Racionalização de denominadores
Para uma fração cujo denominador é um número Irracional, 
na forma de um radical, racionalizar o denominador é a ope-
ração de conversão do denominador Irracional em um de-
nominador Racional, através do produto do numerador e do 
denominador por um fator tal que o denominador torne-se um 
número Racional. Exemplos:
1) 
 (Multiplicar numerador e denominador de 
pelo denominador desta fração).
 (Aplicando no denominador a propriedade da 
multiplicação de radicais de mesmo índice ).
76 Matemática Fundamental
 = (Lembre que = 3)
 = 
Logo: = (Utilize calculadora e teste este resultado).
2) 
 . = 
 = (Simplifique o 8 do numerador com o 2 do de-
nominador).
 = 
Logo: (Utilize calculadora e teste este resultado).
3) 
 (Simplifique ).
 (Simplifique o 6 do numerador com o 6 
do denominador).
Logo: (Utilize calculadora e teste este resultado).
Observações:
a) Para denominador o fator é , tem-se:
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 77
Exemplo:
1) (Observe que no denominador tem-se )
 (Observe que se multiplica pelo fator é . 
Neste exemplo n = 5 e m = 3, Logo, n – m = 3).
 (Observe que no denominador, na multipli-
cação dos radicandos, utiliza-se a propriedade da potencia-
ção (am . an = am + n), isto é: 7² . 7³ = 72+3 = 75).
Logo: (Utilize calculadora e teste este resultado).
b) Para os denominadores os fatores são , 
isto é:
1) 
Exemplo:
a) (Observe que no denominador tem-se uma adição).
 (Por ter-seuma adição no denominador multipli-
ca-se o numerador e o denominador pelo fator )
7. (Multiplicação que 
deve ser realizada no numerador).
 (Resultado no numerador).
78 Matemática Fundamental
 = (Multiplicação no denomina-
dor – Produto da soma pela diferença de dois termos: 
)
 = (Resolvendo o produto 
da soma pela diferença de dois termos).
16 – 5 = 11(Resultado no denominador).
Reescrevendo com os resultados encontrados no numera-
dor e no denominador:
b) (Observe que no denominador tem-se uma subtra-
ção).
 (Por ter-se uma subtração no denomi-
nador multiplica-se o numerador e o denominador pelo fator 
)
 (Multiplicação que deve ser realiza-
da no numerador).
 (Resultado no numerador).
 = (Multiplicação no denomina-
dor – Produto da soma pela diferença de dois termos: 
).
 = (Resolvendo o produto 
da soma pela diferença de dois termos).
4 – 3 = 1(Resultado no denominador).
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 79
Reescrevendo com os resultados encontrados no numera-
dor e no denominador:
 (Fatorando ).
 (Fator comum em evidência).
3 Monômio: conceitos e operações
Este subcapítulo tem como objetivo a abordagem de conceitos 
algébricos que são fundamentais no processo de aprendiza-
gem de funções.
3.1 Monômios
Denomina-se de monômio ou termo algébrico toda a expres-
são algébrica determinada por apenas um número Real, uma 
variável ou pelo produto de números e variáveis. Por exemplo, 
para , o coeficiente numérico é o número Inteiro (-3) e a 
parte literal xy². No quadro a seguir outros exemplos:
Monômio Coeficiente numérico Parte literal
1
-1
-5
80 Matemática Fundamental
Observações:
a) Monômios semelhantes são aqueles que possuem a 
mesma parte literal, como por exemplo, os monômios 
, que, por possuírem a mesma parte literal 
(x²) são chamados de monômios semelhantes.
b) Monômio nulo é o monômio cujo coeficiente numérico 
é igual a 0, como, por exemplo, o termo algébrico 0x², 
que tem como coeficiente numérico o número zero.
c) Todo número Real é um monômio, como por exemplo 
, pois .
3.1.1 Operações com monômios
Definido o que é monômio, estuda-se, neste subcapítulo, os 
procedimentos envolvidos nas operações entre monômios.
a) Adição e subtração
As operações de adição ou de subtração de monômios 
são definidas somente para monômios semelhantes, isto 
é, para monômios com a mesma parte literal. De modo sim-
plificado diz-se que na adição e na subtração de monômios 
semelhantes, conserva-se a parte literal e opera-se com a par-
te numérica.
Exemplos:
1) = (Observe que o coeficiente do primeiro x² é 
1 e por isso, “não aparece”).
 = (1 + 4)x²
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 81
 
2) = (Observe a parte literal e perceba que 
é a mesma em todos os monômios. Identifique os coefi-
cientes numéricos. Só depois disso realize a operação).
 = (3 – 2 + 6)xy
 
3) 2xy – 4x²y = (Observe as partes literais e perceba que 
elas não são iguais, portanto, os monômios não são 
semelhantes. Logo, não podemos realizar a operação). 
Portanto:
2xy – 4x²y = 2xy – 4x²y
4) 4x²y³ - 5xy³ + 8x²y³ = (Observe com atenção as partes 
literais para identificar os monômios semelhantes).
4x²y³ - 5xy³ + 8x²y³ = (Opere apenas com os monômios 
semelhantes).
4x²y³ - 5xy³ + 8x²y³ = (4 + 8)x²y³ - 5xy³
(4 + 8)x²y³ - 5xy³ = 12 x²y³ - 5xy³ Logo:
4x²y³ - 5xy³ + 8x²y³ = 12 x²y³ - 5xy³
5) (Primeiro observe que todos os monô-
mios são semelhantes. Depois observe as diferentes for-
mas que podem ser escritos monômios com coeficientes 
numéricos racionais. Agora realize as operações envol-
vendo frações).
82 Matemática Fundamental
 = (As frações estão destacadas em ver-
melho).
 (Na adição ou subtração de frações com deno-
minadores diferentes, precisa-se encontrar o Mínimo Múltiplo 
Comum – MMC, dos denominadores, decompondo-os em fa-
tores primos).
2, 3, 4 2 (Decompor em fatores primos – Só utilizar números primos1).
1, 3, 2 2 (Dividir novamente por dois).
1, 3, 1 3 (Dividir por três).
1, 1, 1 (Agora multiplicar os fatores primos: 2 x 2 x 3 = 12).
Logo, mmc(2, 3, 4) = 12
Retomando o cálculo:
(Deve-se dividir o mmc por cada um dos deno-
minadores. O resultado da divisão deve ser multiplicado pelo 
numerador).
 (12: 2 = 6; 6 x 1 = 6).
 (12: 3 = 4; 4 x 2 = 8).
 (12: 4 = 3; 3 x 3 = 9).
Reescrevendo:
 (Adição e subtração de frações com mesmo 
denominador conserva-se o denominador e opera-se com os 
numeradores). Logo:
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 83
b) Multiplicação
Na operação de multiplicação entre monômios realiza-se 
primeiramente a multiplicação entre os coeficientes numéricos 
e Logo, após a multiplicação entre as partes literais. Na parte 
literal aplica-se a propriedade da potência am . an = am+n. 
Exemplos:
1) (Primeiro opere com os coeficientes numé-
ricos).
 (Depois dos coeficientes numéricos opere 
com a parte literal).
 (Aplica-se a propriedade da potenciação de 
mesma base: am . an = am+n). Logo:
2) (Lembre-se: opere primeira-
mente com os coeficientes numéricos e depois com a 
parte literal. Na parte liberal aplique a propriedade da 
multiplicação de bases iguais, isto é, conserve a base e 
some os expoentes).
 (Coeficiente numérico).
 (Parte literal). Logo:
84 Matemática Fundamental
3) (Inicia-se com os coeficientes numé-
ricos. Lembre-se que na multiplicação de frações não é 
necessário realizar o mmc, basta multiplicar numerador 
por numerador e denominador por denominador).
 (Agora, simplifique o resultado, isto é, 
divida o numerador e o denominador pelo mesmo número, 
até encontrar a fração irredutível1).
 = (Divisão por dois).
 (Na parte literal aplica-se a proprieda-
de am . an = am+n).
c) Divisão
Na operação de divisão entre monômios realiza-se primei-
ramente a divisão entre os coeficientes numéricos e Logo, após 
a divisão entre as partes literais. Na parte literal aplica-se a 
propriedade da potência am : an = am-n.
Exemplos:
1) (Pode-se escrever esta mesma divisão 
como ).
15 : (Divisão entre os coeficientes numéricos).
2) (Escrevendo de outra forma para auxiliar no enten-
dimento).
1 Chama-se de Fração irredutível aquela em que não é mais possível realizar sim-
plificações.
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 85
 (Reescrevendo).
 (Simplificando).
 =
Logo: 
Observação:
a) Para dividir frações pode-se utilizar um método prático. 
Lembre-se, também, que na divisão não é necessário 
realizar o mmc entre denominadores. Observe:
1) (Reescreve-se trocando a divisão pela multiplicação 
e inverte-se a segunda fração).
Logo: 
d) Potenciação
Na operação de potenciação de monômios, realiza-se pri-
meiramente a potenciação do coeficiente numérico e Logo, 
após a potenciação da parte literal. Na parte literal, aplica-se 
a propriedade da potência .
Exemplos:
1) (Aplicando a regra ).
86 Matemática Fundamental
2) (Primeiro trabalha-se com o coeficiente nu-
mérico).
 = 9 (Agora com a parte literal).
 = x² Logo:
3) (É preciso atenção).
 = (Aplicam-se as re-
gras: = e depois ).
e) Radiciação
A operação da radiciação segue as propriedades dos radi-
cais, por isso é muito importante que estudem o material com-
plementar da operação radiação, que faz parte da unidade 1. 
Analisa-se alguns exemplos:
1) (Lembre-se que: ).
 .
 (Simplifique as frações).
 Logo:
 
2) (Lembre-se que: ).
 = .
 (Simplifique as frações).
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 87
Observação:
 (Fatorando 16 encontra-se: 16 = ).
 = 2 
4 Polinômios
Um monômio ou uma soma de monômios é chamado de po-
linômio.
Observações:
a) Todo monômio é considerado um polinômio.
b) Os monômios integrantes de um polinômio são chama-
dos de termos do polinômio.
Exemplos:
a) é um polinômio de um termo ou um monômio.
b) é um polinômio de dois termos ou um binômio.
c) é um polinômio de três termos ou um 
trinômio.
d) é um polinômio de quatro termos e 
assim sucessivamente.
88 Matemática Fundamental4.1 Operações com polinômios
Para operar com polinômios utiliza-se, muitas vezes, conceitos 
estudados sobre monômios.
a) Adição e subtração
A operação da adição e da subtração de polinômios são 
realizadas operando somente os termos semelhantes, isto é, 
termos com a mesma parte literal. Exemplos:
1) = (Reconhecer os termos seme-
lhantes)
, logo:
 =
2) 
 5x + y
 5x + y
3) 
 = 2a + 2
4) (Cuidado! 
. É necessário multiplicar os 
termos que estão dentro dos parênteses por (-1)).
 - 4
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 89
5) 
f) 
6) Sejam os polinômios A(x) = 2x³ - 5x + 4 e B(x) = - 3x³ 
+ 2x² - 8, determine:
A(x) + B(x) =
(2x³ - 5x + 4) + (- 3x³ + 2x² - 8) =
2x³ - 3x³ + 2x² - 5x + 4 – 8 =
- x³ + 2x² - 5x – 4
7) Sejam os polinômios A(x) = 2x³ - 5x + 4 e B(x) = - 3x³ 
+ 2x² - 8, determine:
A(x) – B(x) = A(x) + 
(2x³ - 5x + 4) + (3x³ - 2x² + 8) =
2x³ + 3x³ - 2x² - 5x +4 + 8 =
5x³ - 2x² - 5x + 12
Observação:
a) Na adição a soma de dois ou mais polinômios é um 
polinômio cujos termos são a soma algébrica dos ter-
mos semelhantes (mesma parte literal).
90 Matemática Fundamental
b) Na subtração a diferença de dois ou mais polinômios 
é o polinômio que se obtém adicionando um polinô-
mio ao oposto do outro:
A(x) – B(x) = A(x) + 
b) Produto de monômio por polinômio
Observe com atenção os exemplos. Lembre-se das proprie-
dades da potenciação. Exemplos:
1) (Multiplique o monômio x por cada 
um dos termos do polinômio que está entre parênteses).
2) 
3) 
4) Determine a área de um retângulo, cuja base é maior 
que a altura em 2m.
1º) Represente o problema com um desenho:
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 91
2º) Represente a multiplicação por um desenho:
 , Logo, a área do retângulo é igual a (x² 
+ 2x) m².
Portanto, dado um monômio e um polinô-
mio , para o produto 
.
c) Produto de polinômio por polinômio
A multiplicação com polinômio (com dois ou mais monô-
mios) pode ser realizada de três formas:
a) Multiplicação de monômio com polinômio. 
b) Multiplicação de número Natural com polinômio.
c) Multiplicação de polinômio com polinômio. 
As multiplicações serão efetuadas utilizando a proprieda-
de: an . am = a n + m 
Exemplos:
1) (x + 3) (x² + 5) (Desmembra-se o primeiro binômio para 
depois multiplicar).
x(x² + 5) + 3(x² + 5) =
92 Matemática Fundamental
x³ + 5x + 3x² + 15 = (Como não possui termos seme-
lhantes, esta é a resposta).
x³ + 3x² + 5x + 15 (Escrita levando em conta os expoentes 
– do maior ao menor).
2) 
a(c – d + e) + b(c – d + e) =
3) =
2 
4) Sejam os polinômios A(x) = 2x³ - 5x + 4 e B(x) = - 3x³ 
+ 2x² - 8 determine:
A(x) . B(x) =
(2x³ - 5x + 4) . (- 3x³ + 2x² - 8) =
- 6x6 + 4x5 – 16x³ + 15x4 – 10x³ + 40x – 12x³ + 8x² - 32 =
- 6x6 + 4x5 + 15x4 – 16x³ – 10x³ – 12x³ + 8x² + 40x – 32 =
- 6x6 + 4x5 + 15x4 – 38x³ + 8x² + 40x – 32
Portanto, dados os polinômios 
e , , o produto 
=
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 93
Observação:
a) Na multiplicação, o produto de dois polinômios é um 
polinômio que se obtém multiplicando-se cada termo 
do primeiro polinômio por todos os termos do segundo 
e adicionando-se os termos semelhantes dos produtos 
obtidos. Lembre-se que na multiplicação de potências 
de mesma base conserva-se a base e somam-se os ex-
poentes.
d) Divisão de polinômio por polinômio
Realiza-se a divisão de polinômios através da divisão entre 
os coeficientes numéricos e da divisão de potências de mesma 
base. Na divisão de potências de mesma base utiliza-se a pro-
priedade an : am = a n – m.
Efetuar uma divisão de um polinômio P(x) pelo polinômio 
B(x) é, por definição, achar um par de polinômios Q(x) e um 
polinômio R(x), de tal maneira que:
P(x) B(x) . Q(x) + R(x) ( .
Denomina-se:
P(x): dividendo; B(x): divisor; Q(x): quociente; R(x): resto.
Na divisão o grau de R(x) < grau B(x) ou R(x) 0
Observe que a definição de divisão exige que o grau do 
resto seja menor que o grau do divisor ou, então, que o resto 
seja nulo. Quando R(x) = 0, a divisão é exata.
94 Matemática Fundamental
Representa-se esta divisão da seguinte forma:
, onde P(x) = Q(x) . B(x) + R(x)
Observe a divisão 489 : 21:
489 = 21 . 23 + 6 (6 < 21)
Esta divisão também pode ser feita na forma polinomial:
489 = 4 . 10² + 8 . 10¹ + 9 . 100
21 = 2 . 10¹ + 1 . 100
Com os polinômios realiza-se o mesmo algoritmo. Por 
exemplo:
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 95
1) Dividir P(x) = 4x² + 8x + 9 por D(x) = 2x + 1.
2) Determine o resto da divisão de P(x) = x² + 4x + 9 pelo 
binômio do 1º grau B(x) = x – 1.
3) Para , tem-se:
96 Matemática Fundamental
d) Para , tem-se:
5 Produtos Notáveis
Alguns produtos entre polinômio apresentam um padrão, uma 
regularidade em seus resultados. Por esse motivo são chama-
dos de produtos notáveis.
5.1 Quadrado de uma soma indicada
a) Dado um quadrado de lado medindo (x + a) cm, de-
termine a sua área.
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 97
Calculando a área (A = b x h) de cada uma das partes que 
resultaram da divisão do quadrado, tem-se:
, logo:
 
Pode-se também encontrar o resultado por multiplicação 
de polinômios:
 =
x(x + a) + a(x + a) = x² + ax + ax + a² (Adição de mo-
nômios semelhantes).
x² + ax + ax + a² = x² + 2ax + a²
b) =
 =
98 Matemática Fundamental
 y² + 3y + 3y + 9 (Adição de monô-
mios semelhantes).
y² + 3y + 3y + 9 = y² + 6y + 9
Observe o padrão encontrado:
1º termo 
da soma
2º termo 
da soma
Quadrado 
do 1º 
termo
Dobro do 
produto do 1º 
pelo 2º termo
Quadrado 
do 2º 
termo
c) (Aplicando a regra do produto notável)
 = 25x² + 40x + 16
5.2 Quadrado de uma diferença indicada
a) 
a (a – b) – b(a – b) = 
 = 
b) 
 = 
O padrão encontrado nesta multiplicação é: 
c) (Aplicando a regra do produto notável)
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 99
 = 9x² - 30x + 25
5.3 Produto de uma soma indicada por uma 
diferença indicada
a) 
 =
a (a – b) + b(a – b) = 
 
b) 
O padrão encontrado nesta multiplicação é: 
c) (Aplicando a regra do produto notável)
 = 9x² - 16
5.4 Cubo de uma soma indicada
a) (Primeiro resolve-se 
 (Regra do produto notável (a + b)²)
100 Matemática Fundamental
 x(x² + 10x + 25) + 5(x² + 10x + 25) =
x³ + 10x² + 25x + 5x² + 50x + 125 = x³ + 15x² + 75x 
+ 125
b) (Desmembra-se desta for-
ma para facilitar o cálculo).
 (Regra do produto notável)
(a + b) . 
O padrão encontrado no cubo de uma soma é: 
c) (Aplicando a regra do produto notável)
 =
8x³ + 3 . 4x² . 5 + 3 . 2x . 25 + 125 =
8x³ + 60x² + 150x + 125
5.5 Cubo de uma diferença indicada
a) (Primeiro, resolve-se 
 (Regra do produto notável (a - b)²)
 x(x² - 10x + 25) - 5(x² - 10x + 
25) =
x³ - 10x² + 25x - 5x² + 50x - 125 = x³ - 15x² + 75x - 125
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 101
b) (Desmembra-se desta for-
ma para facilitar o cálculo).
 (Regra do produto notável)
(a - b) . 
O padrão encontrado no cubo de uma diferença é: 
c) (Aplicando a regra do produto notável).
 =
8x³ - 3 . 4x² . 5 + 3 . 2x . 25 - 125 = 8x³ - 60x² + 150x - 125
6 Fatoração de expressões algébricas
A fatoração de expressões algébricas consiste na representa-
ção de uma expressão algébrica na forma de produto entre 
duas ou mais expressões algébricas. Tem por objetivo repre-
sentar a soma polinomial de números e incógnitas através do 
produto de termos. Para a fatoração de expressões algébricas 
utilizam-se diferentes métodos.
6.1 Fator comum
Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse primeiro 
caso de fatoração, todos os monômios da expressão algébrica 
devem ter pelo menos algum termo em comum.
102 Matemática Fundamental
A fatoração é feita colocando o termo comum em evidên-
cia. Devem-se seguir os seguintes passos:
1º) Identificar o maior fator comum em todos os termos da 
expressão algébrica.
2º) Dividir cada termo da expressão algébrica pelo fator 
comum.
3º) Representar a expressão pelo produtodo fator comum 
e o quociente da divisão.
Exemplos:
a) Fatorar a expressão algébrica 
1º) Identificar o fator comum em todos os termos da ex-
pressão algébrica.
Fator comum entre os números 6, 12, 15 (Identificar o 
maior número que divide 6, 12 e 15. Neste exemplo, o maior 
número é 3).
6, 12, 15
3, 6, 15
3, 3, 15
1, 1, 5
1, 1, 1
2 (Não dividiu todos os números)
2 (Não dividiu todos os números)
3 (Dividiu todos os números)
5 (Não dividiu todos os números)
Logo, o fator comum dos coeficientes numéricos é 3.
Fator comum entre as partes literais.
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 103
x, x³, x² (Primeiro, observar se a variável – letra – aparece 
em todos os termos. Segundo optar pelo menor expoente. Por-
tanto, o fator comum da parte literal, deste exemplo, é x).
Então, o fator comum que será colocado em evidência é 3x.
2º) Dividir cada termo da expressão algébrica pelo fator 
comum.
3º) Representar a expressão pelo produto do fator comum 
e os quocientes das divisões.
 = 
Para verificar se a resposta está correta, pode-se realizar a 
multiplicação:
 = 
b) Fatorar a expressão algébrica 
1º) Identificar o fator comum em todos os termos da ex-
pressão algébrica.
104 Matemática Fundamental
Fator comum entre os números 20, 4, 12 (Identificar o 
maior número que divide 20, 4, 12. Neste exemplo, o maior 
número é 4).
20, 4, 12
10, 2, 6
5, 1, 3
5, 1, 1
1, 1, 1
2 (Dividiu todos os números)
2 (Dividiu todos os números)
3 (Não dividiu todos os números)
5 (Não dividiu todos os números)
Logo, o fator comum dos coeficientes numéricos 2 x 2 = 4
Fator comum entre as partes literais.
 (Primeiro observar se as variáveis – letras – 
aparecem em todos os termos. A letra x está presente em todos 
os termos, então é um fator comum. A letra y não aparece em 
todos os termos, então não é fator comum. Segundo, identifi-
car o menor expoente de x, que neste exemplo é 2. Portanto, o 
fator comum da parte literal é x²).
Então, o fator comum que será colocado em evidência é 4x².
2º) Dividir cada termo da expressão algébrica pelo fator 
comum.
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 105
3º) Representar a expressão pelo produto do fator comum 
e o quociente da divisão.
 = 4x²(5y – xy² + 3)
6.2 Fatoração por agrupamento
Para trabalhar com este tipo de fatoração (fatoração por agru-
pamento) deve-se seguir dois passos.
1º) Separa-se em grupos de termos de modo que haja pelo 
menos um fator comum em cada grupo.
2º) Aplica-se o método do fator comum em cada agrupa-
mento de termos.
3º) Reescrever a nova fatoração.
Exemplos:
a) 
1º) Separa-se em grupos de termos de modo que haja pelo 
menos um fator comum em cada grupo (Separar os 
termos com o coeficiente a e depois os termos com 
coeficiente b).
2º) Aplica-se o método do fator comum em cada agrupa-
mento de termos.
106 Matemática Fundamental
) (A fatoração de dois grupos separa-
damente, deve gerar um fator comum para nova fatoração.
Neste exemplo, o novo fator comum é (x + y).
3º) Reescrever a nova fatoração.
 = )
) = 
b) 
1º) Separa-se em grupos de termos, de modo que haja 
pelo menos um fator comum em cada grupo.
2º) Aplica-se o método do fator comum em cada agrupa-
mento de termos.
 (A fatoração de dois grupos sepa-
radamente deve gerar um fator comum para nova fatoração. 
Neste exemplo, o novo fator comum é ).
3º) Reescrever a nova fatoração.
 + 
 + Logo:
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 107
6.3 Trinômio quadrado perfeito (TQP)
Quando um polinômio se apresenta na forma 
, para P e Q dois polinômios quaisquer, en-
tão: .
Para trabalhar com esse caso de fatoração, deve-se seguir 
os seguintes passos:
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo.
2º) Determinar a raiz quadrada do terceiro termo.
3º) Verificar se:
a) Para representa-se a expressão pelo quadra-
do da soma das raízes.
b) Para representa-se a expressão pelo quadra-
do da diferença das raízes.
Exemplos:
a) x² + 6x + 9
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo.
2º) Determinar a raiz quadrada do terceiro termo.
3º) Verificar se: 
Neste exemplo, 2PQ = 6x (Portanto, > 0).
108 Matemática Fundamental
Então, representa-se a expressão pelo quadrado da soma 
das raízes. Logo:
b) x² -10x + 25
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo.
2º) Determinar a raiz quadrada do terceiro termo.
3º) Verificar se: 
Neste exemplo, 2PQ = (Portanto, < 0).
Então, representa-se a expressão pelo quadrado da dife-
rença das raízes. Logo:
c) 4x² - 20x + 25
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo.
2º) Determinar a raiz quadrada do terceiro termo.
3º) Verificar se: 
Neste exemplo, 2PQ = (Portanto, < 0).
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 109
Então, representa-se a expressão pelo quadrado da dife-
rença das raízes. Logo:
6.4 Diferença de dois quadrados
Quando o polinômio de apresenta na forma , para P 
e Q dois polinômios quaisquer então .
Para trabalhar com esse caso de fatoração, devem-se se-
guir os seguintes passos:
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo.
2º) Determinar a raiz quadrada do terceiro termo.
3º) Representar a expressão pelo produto das raízes.
Exemplos:
a) x² - 36 =
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo.
2º) Determinar a raiz quadrada do segundo termo.
3º) Representar a expressão pelo produto das raízes.
b) 
110 Matemática Fundamental
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo.
2º) Determinar a raiz quadrada do segundo termo.
3º) Representar a expressão pelo produto das raízes.
6.5 Soma de dois cubos
Observe que x3 + y3 é uma expressão algébrica de dois ter-
mos, onde os dois estão elevados ao cubo e somados. Assim, 
pode-se concluir que x3 + y3 é uma forma geral da soma de 
dois cubos onde x e y poderão assumir qualquer valor real. 
Esse tipo de fatoração é o caminho inverso do seguinte desen-
volvimento:
 (Opera-se 
com os termos semelhantes).
Logo, pode-se afirmar que:
 = 
Exemplos:
a) b³ + 1 000 (Neste exemplo, o primeiro termo é b e o 
segundo termo é 1 000).
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 111
1º) Extrair a raiz cúbica do primeiro termo:
2º) Extrair a raiz cúbica do segundo termo:
3º) Substituir na forma (Neste exem-
plo, x = b e y = 10).
b³ + 1 000 = (b + 10) (b² - 10b + 100)
b) 8c³ + 27 (Neste exemplo, o primeiro termo é c e o 
segundo termo é 27).
1º) Extrair a raiz cúbica do primeiro termo:
2º) Extrair a raiz cúbica do segundo termo:
3º) Substituir na forma (Neste exem-
plo, x = 2c e y = 3).
8c³ + 27 = (2c + 3) (4c² - 6c + 9)
6.6 Diferença de dois cubos
O raciocínio é o mesmo que na soma de dois cubos. Observe 
que x3 - y3 é uma expressão algébrica de dois termos, onde os 
dois estão elevados ao cubo e subtraídos. Assim, pode-se con-
cluir que x3 - y3 é uma forma geral da diferença de dois cubos 
112 Matemática Fundamental
onde x e y poderão assumir qualquer valor real. Esse tipo de 
fatoração é o caminho inverso do seguinte desenvolvimento:
 
 
 (Opera-se com 
os termos semelhantes).
Logo, pode-se afirmar que:
 = 
Exemplos:
a) b³ - 1 000 (Neste exemplo, o primeiro termo é b e o 
segundo termo é 1 000).
1º) Extrair a raiz cúbica do primeiro termo:
2º) Extrair a raiz cúbica do segundo termo:
3º) Substituir na forma (Neste exem-
plo, x = b e y = 10).
b³ - 1 000 = (b - 10) (b² + 10b + 100)
b) 8c³ - 27 (Neste exemplo, o primeiro termo é c e o segun-
do termo é 27).
1º) Extrair a raiz cúbica do primeiro termo:
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 113
2º) Extrair a raiz cúbica do segundo termo:
3º) Substituir na forma (Neste exem-
plo, x = 2c e y = 3).
8c³ - 27 = (2c - 3) (4c² + 6c + 9)
7 Simplificação de frações algébricas
Para simplificar frações algébricas, em muitos casos, a fatora-
ção é fundamental. Exemplos:
a) (Fator comum em evidência e sim-
plificação do x).
b) (Diferença de dois quadrados e 
simplificação de (b – 5)).
c) (TQP e simplificaçãode 
(x-5)).
d) (Soma de dois 
cubos e simplificação de (2c + 3)).
Observação:
Podemos escrever uma equação na forma fatorada: a(x – 
x’) (x – x”) ... Por exemplo:
114 Matemática Fundamental
a) Escreva na forma fatorada a equação x² - 5x + 6 = 0. 
Aplicando a fórmula de Báskara encontra-se as raízes: x’ 
= 2 e x” = 3. Escrevendo na forma fatorada:
x² - 5x + 6 = a(x – x’) (x – x”) = 1 (x – 2) (x – 3), portanto:
x² - 5x + 6 = (x – 2) (x – 3) = 0
b) Simplifique
As raízes de x² + 7x + 10 = 0, são: x’ = -5 e x” = - 2 
(Aplique Báskara).
Escrevendo na forma fatorada: (x + 5) (x + 2).
8 Binômio de Newton
A potência da forma , em que a e b R e n é cha-
mada de Binômio de Newton. Observe o desenvolvimento de 
algumas potências na forma , quando:
n = 0 tem-se: = 1
n = 1 tem-se: = 1a + 1b
n = 2 tem-se: = 
n = 3 tem-se: = 
n = 4 tem-se: = 
.
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 115
.
.
n = n, tem-se: 
Observações:
a) Dados os números Naturais n e p, n p o número 
é chamado de número binomial n sobre p.
b) Lembre-se que: 
c) Lembre-se que o símbolo !, na Matemática, significa fa-
torial. O fatorial de um número Natural n, representado 
por n!, é o produto de todos os Inteiros positivos meno-
res ou iguais a n. Por exemplo:
8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40 320
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
3! = 3 x 2 x 1 = 6
2! = 2 x 1 = 2
1! = 1
0! = 1
d) O número fatorial n! pode ser escrito de diferentes for-
mas, como por exemplo:
116 Matemática Fundamental
n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3)!
e) Divisão de fatoriais (“Abrir” o maior número fatorial até 
encontrar o menor).
f) Calcular números binomiais: 
g) Os resultados desses números binomiais formam o Tri-
ângulo de Pascal, descrito a seguir.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
E assim sucessivamente. Observe que os números bino-
miais de uma potência de n = 3, formam a quarta linha do 
Triângulo de Pascal (a primeira linha é chamada de zero, pois 
representa um potência de n = 0). A construção do triângulo 
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 117
de Pascal é facilmente realizada tomando-se a primeira e a úl-
tima coluna de cada linha como “1”, e utilizando-se a relação 
de Stifel para as demais colunas, ou seja, a soma de 2 termos 
consecutivos em uma mesma linha é igual ao termo da linha 
seguinte da mesma coluna da segunda parcela.
Nº da 
linha
0 1 2 3 ... n - 1 n
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
.
.
.
n – 1 1 n – 1 ... ... n - 1 1
n 1 N n 1
h) Observa-se que para desenvolver , pode-se usar 
o coeficiente do termo , dado pelo triângulo 
de Pascal, para a linha e a coluna, como no exem-
plo:
Exemplos:
118 Matemática Fundamental
a) Desenvolva a expressão 
2) Desenvolva a expressão 
Referências
BAUMGART, J. K. Tópicos de História da Matemática: Álge-
bra. São Paulo: Atual, 1997.
BAYER, A. (org.) Matemática: tópicos básicos. Canoas, RS: 
ULBRA, 2013.
DANTE, L. R. Tudo é matemática. 7ª série. São Paulo: Ática, 
2005.
DANTE, L. R. Matemática: ensino médio. v. único. São Pau-
lo: Ática, 2005.
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 119
Atividades
 1) Represente na forma a x 10n (notação científica), com 1 
a < 10, os seguintes números:
a) 720.000.000 (Lembre que a deve ser maior ou igual a 
1 e menor que 10).
Para este número, tem-se que a é igual a 7,2.
Pode-se escrever 720.000.000 como 7,2 x 100.000.000. 
Logo:
720.000.000 = 7,2 x 108
b) 0,0005 = = 
Aplicando a propriedade , tem-se:
0,0005 = 5 x 10-4
2) Simplifique a expressão 
 (Fator comum)
 (Simplificando)
3) Determine o valor da expressão 
 (Observe que os 
índices das raízes são iguais).
120 Matemática Fundamental
 (Multiplicação)
 = 
4) Determine a expressão algébrica que representa o volu-
me do paralelepípedo da figura.
Volume do paralelepípedo = a . b. c
 (Multiplicação de a . 3a)
5) Dados P(x) = 5x³ - 13x² + 41x – 25 e Q(x) = x² - 2x + 
7, determine o quociente e o resto da divisão de P(x) por 
Q(x)
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 121
Portanto, o quociente é 5x – 3 e o resto é igual a -4.
6) Dados P(x) = x³ + 4 e Q(x) = x – 1, determine o quo-
ciente e o resto da divisão de P(x) por Q(x).
Cuidado com P(x), pois ele é um polinômio incompleto. 
Antes de realizar a divisão é necessário completar o polinômio.
Logo, o quociente é x² + x + 1 e o resto é 3.
7) Simplifique a expressão 
 (Fatoração - TQP)
 (Fatoração: fator comum em evidência)
 (Simplificação)
8) Calcule o perímetro e a área do retângulo da figura.
122 Matemática Fundamental
a) Perímetro (soma das medidas de todos os lados).
 (Lembre-
-se que para adicionar os termos devem ser semelhantes).
P = 22 cm
b) Área (área do retângulo é igual a base x altura
Área (área do retângulo é igual a base x altu
 cm²
9) Determine a forma mais simples de escrever a expressão 
Decompondo:
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 123
Substituindo:
 (Resolvendo as 
multiplicações)
 (Dividindo por 
10) Simplifique a expressão 
 (Fatoração 
por agrupamento)
 (Simplificando)
Recapitulando
Os produtos notáveis facilitam, reduzem o tempo e agilizam 
alguns processos. São uma ferramenta que possibilitam o de-
senvolvimento de alguns cálculos de forma mais ágil. São eles:
a) O quadrado da soma de dois termos
(a + b)2 = a² + 2ab + b²
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado 
do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro ter-
mo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
b) O quadrado da diferença de dois termos
124 Matemática Fundamental
(a - b)2 = a² - 2ab + b²
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadra-
do do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro 
termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
c) O produto da soma pela diferença de dois termos
(a + b) . (a – b) = a² - b²
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual 
ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segun-
do termo.
d) O cubo da soma de dois termos
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro 
termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro ter-
mo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo 
pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo.
e) O cubo da diferença de dois termos
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do 
primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do 
primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do 
primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do 
segundo termo.
No próximo capítulo, aborda-se a resolução de equações 
e inequações do 1º e do 2º grau.
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 125
Atividades
1) Efetue as operações com monômios.
a) b) =
c) = d) =
e) = f) 2xy² - 7xy + 3xy =
2) Efetue as operações com polinômios.
a) (r + 5) (r – 3) = b) (x – 7)² =
c) (b² - 5) (b² + 5) = d) =
e) (15x² + 2x – 8) : (5x + 4) =
f) 
3) Fatore as expressões algébricas a seguir:
a) 16x² - 72xy + 81y² = b) 6x²y² - 9x²y + 15xy² =
c) ab + 3b – 7a – 21 = d) t² - 81 =
e) 27x³ + 1 = f) x³ - 64
4) Sendo P(x) = 3x4 + 2x³ + x – 1 e Q(x) = 5x4 + 3x + 7, 
calcular:
a) P(x) + Q(x) = b) P(x) – Q(x) =
5) Sendo Q(x) = 5x² - 3x + 2 e L(x) = 4x – 6, calcular:
a) 3Q(x) = b) Q(x) . L(x) =
126 Matemática Fundamental
6) Determine o termo central (ou termo médio) no desenvolvi-
mento de .
7) R epresente na forma a x 10n (notação científica), com 1 
a < 10, a velocidade da luz que é igual a 300.000.000 
m/s.
8) Qual é a expressão equivalente a com denominador 
racional?
9) A fórmula matemática pode ser utilizada para 
determinar a velocidade V, em km/h, de um carro que dei-
xou no chão uma marca de pneus de distância d, em metro 
e por isso, é utilizada pela polícia técnica para determinar a 
velocidade de um carro após um acidente. Qual era a ve-
locidadede um carro que, no acidente, deixou uma marca 
de pneus de comprimento de 20 metros?
10) Desenvolva o binômio .
Equações e Inequações
Capítulo 4
128 Matemática Fundamental
Introdução
Báskara nasceu em 1114 na cidade de Vijayapura, na Índia. 
Também era conhecido como Bhaskaracharya. Foi um dos 
mais importantes matemáticos do século XII, graças aos seus 
avanços em álgebra, no estudo de equações e na compreen-
são do sistema numérico – avanços esses que os matemáticos 
europeus levariam séculos ainda para atingir. Suas coleções 
mais conhecidas são: Lilavati, que trata de aritmética, e o Bija-
ganita, que discorre sobre álgebra e contém vários problemas 
sobre equações lineares e quadráticas com soluções feitas em 
prosa, progressões aritméticas e geométricas, radicais e ternas 
pitagóricas, entre outros tópicos; Siddhantasiromani, dividido 
em duas partes: uma sobre matemática astronômica e outra 
sobre a esfera.
Fonte: http://raulcienciasexatas.blogspot.com.br/2012/01/grandes-matematicos.html
O objetivo deste capítulo é o estudo das equações e ine-
quações de primeiro e segundo grau.
Capítulo 4 Equações e Inequações 129
1 Equações do 1º grau
Toda equação do tipo é uma equação do 1º grau 
onde: são números Reais e . O maior expoente da 
incógnita nesta equação é 1. Exemplos:
a) 
b) 
A solução de uma equação é o valor para o qual a equa-
ção é verdadeira. O valor numérico da equação é o valor da 
incógnita que satisfaz a igualdade. Exemplo:
a) Para provar que é uma solução da equação 
, deve-se substituir o valor na equa-
ção e encontrar como resultado zero.
. Logo, é raiz da equação.
Para resolver uma equação do 1º grau deve-se utilizar os 
princípios aditivo e multiplicativo, definidos como:
a) Princípio aditivo: quando se adiciona um mesmo nú-
mero aos dois membros de uma equação obtêm-se 
uma nova equação de mesmo valor que a primeira.
130 Matemática Fundamental
b) Princípio multiplicativo: quando se multiplica um mesmo 
número aos dois membros de uma equação obtêm-se uma 
nova equação de mesmo valor que a primeira.
 Uma equação de 1º grau pode ser “comparada” com 
uma balança de dois pratos em equilíbrio.
Fonte: http://www.objetivo.br/ConteudoOnline/mp/
Expressando-se a situação apresentada na balança tem-se: 
750 + x = 3x + 100. Aplicam-se os dois princípios (aditivo e 
multiplicativo) para resolvê-la.
750 + x = 3x + 100
750 -100 + x = 3x + 100 - 100 Princípio aditivo: eliminar “100”
650 + x = 3x
650 + x – x = 3x – x Princípio aditivo: eliminar “x”
650 = 2x
 
Princípio multiplicativo: eliminar “2”
325 = x Raiz da equação; solução da equação.
Verificando se a solução encontrada está correta:
Capítulo 4 Equações e Inequações 131
750 + x = 3x + 100 (Substituindo x pelo valor encontrado, 
isto é, x = 325)
750 + 325 = 3. 325 + 100
1 075 = 1075, Logo, a resolução está correta.
Considere o conjunto Universo os números Reais. Deter-
mine o conjunto verdade da equação ou o conjunto solução 
resolvendo a equação utilizando os princípios aditivo e multi-
plicativo. Exemplos:
1) Dado U = R, resolva as equações:
a) x + 5 = 12
 
Subtrair “5” dos dois lados da equação.
 
V = {7}
b) 
 
Subtrair “6” dos dois lados da equação.
 
Multiplicar por (-1)
 
c) 
132 Matemática Fundamental
Multiplicar por “2” 
 
Adicionar “12”
 
Subtrair “3x”
 
 
2 Inequações do 1º grau ou Inequações 
lineares
Usa-se desigualdade para descrever, por exemplo, a ordem 
dos números sobre a reta dos números Reais. A definição de 
uma inequação linear em x pode ser escrita na forma:
; ; ; 
As desigualdades possuem propriedades que devem ser 
observadas quando resolvê-las. São elas:
a) Princípio aditivo: quando se adiciona um mesmo número 
aos dois membros de uma desigualdade, obtêm-se uma 
nova desigualdade de mesmo sentido que a primeira.
b) Princípio multiplicativo:
 1) Quando se multiplica ou se divide os dois membros de 
uma desigualdade por um mesmo número positivo, ob-
Capítulo 4 Equações e Inequações 133
têm-se uma nova desigualdade de mesmo sentido que a 
primeira.
 2) Quando se multiplica ou se divide os dois membros de 
uma desigualdade por um mesmo número negativo, ob-
têm-se uma nova desigualdade com sentido invertido.
Resolver uma inequação em significa encontrar todos os 
valores de para os quais a inequação é verdadeira. Uma 
solução de uma inequação em é um valor de que satisfaz 
a desigualdade. O conjunto de todas as soluções de uma ine-
quação é o que se chama de conjunto verdade ou conjunto 
solução. O conjunto das soluções de uma inequação linear 
forma um intervalo de números Reais. Exemplos:
1) Dado U = R, resolva as inequações:
a) 
 
Resolver os parênteses
 
Operar com os termos semelhantes
 
Subtrair 3x
 
 
Subtrair 6
 
 
Dividir por 2
 
 ou 
134 Matemática Fundamental
b) 
 
Multiplicar por 3
 
 
Subtrair 5
 
 
Dividir por 2
 
 ou 
c) 
 
Subtrair 7
 
 
Dividir por 2
 
 
Multiplicar por (-1). Cuidado! 
Inverter o sinal de desigualdade.
 ou 
Capítulo 4 Equações e Inequações 135
4 Resolução de equações do 2º grau
Denomina-se de equação do 2º grau toda equação na forma 
 para os coeficientes com . 
Exemplos:
Equação Coeficiente 
a
Coeficiente 
b
Coeficiente 
c
Classificação
1 - 8 15
Completa a, b e c 
 
1 0 0 Incompleta
 
-1 1 0 Incompleta
2 0 -49 Incompleta
Para resolver uma equação completa do 2º grau, usa-se a 
fórmula de Báskara:
 ou 
Exemplos
a) Considerando , resolva a equação 
.
136 Matemática Fundamental
Logo, 
b) Considerando , resolva a equação: 
Logo, 
Capítulo 4 Equações e Inequações 137
Para resolver equações incompletas não é necessário utili-
zar a fórmula de Báskara. Observe os exemplos (considerando 
.
a) Equação do tipo 
Resolva a equação 
Logo, 
Obs.: a resposta em R que sempre anula a equação do 
tipo é , Logo, .
b) Equação do tipo 
Fatorando-se a equação, tem-se:
Resolva a equação 
 (Fator comum em evidência. Depois separe 
o produto em duas parcelas: 2x e (x + 5). Iguale as duas a 
zero e as resolva separadamente).
138 Matemática Fundamental
Logo, 
c) Equação do tipo 
Isolando-se a incógnita, tem-se: 
Resolva a equação 
Logo, 
Obs.: toda equação do 2º grau, cujo U= , tal que o dis-
criminante é menor que zero ( ), não tem so-
lução pertencente ao conjunto dos números Reais, como no 
seguinte exemplo.
Considerando o U= , e resolvendo a equação , 
tem-se:
como não é definido no conjuntos dos números 
Reais, , ou seja, .
Capítulo 4 Equações e Inequações 139
5 Resolução de inequações do 2º grau
São inequações as desigualdades envolven-
do o trinômio do 2º grau escrito nas formas: 
.
O sinal de , depende do discriminante (
 e do sinal do coeficiente . Analisa-se, a seguir, 
todas essas situações.
a) e a > 0
Resolva a inequação 
e a > 0.
, log 
Encontre as raízes de (Aplique Báskara).
 ou . Represente o resultado:
 (Intervalo no qual a função é )
b) e a > 0
140 Matemática Fundamental
Resolva a inequação 
, Logo, 
Encontre as raízes de (Aplique Báskara)
 Represente o resultado:
(Sempre que o gráfico da função tangencia o 
eixo x).
c) e a < 0
Resolva a inequação 
 e a < 0
Capítulo 4 Equações e Inequações 141
Encontre as raízes de (Aplique Báskara)
 Represente o resultado:
Lembre-se que neste exemplo trabalha-se com uma ine-
quação do tipo 0, Logo, tem-se que encontrar os valores 
nos quais a função é negativa.
d) e a > 0
Resolva a inequação 
. Como , não se tem raízes reais. Represente o 
resultado
142 Matemática Fundamental
Busca-se o intervalo de f(x) , isto é, o intervalo no qual 
a função é negativa. Como nessa situação a função é toda 
positiva, conclui-se que: Resumindo tem-se:
Fonte: http://www.infoescola.com/matematica/inequacao-do-segundo-grau .
http://www.infoescola.com/matematica/inequacao-do-segundo-grau
Capítulo 4 Equações e Inequações 143
Referências
BAYER, A. (org.) Matemática: tópicos básicos. Canoas, RS: 
ULBRA, 2013.DANTE, L. R. Tudo é matemática. 7ª série. São Paulo: Ática, 
2005.
DANTE, L. R. Matemática: ensino médio. v. único. São Pau-
lo: Ática, 2005.
Exercícios resolvidos
 1) A soma de um número com o seu triplo e sua metade é 
igual a 49. Qual é esse número?
Número desconhecido: x Seu triplo: 3x S u a 
metade: 
 = 45
 = 45
Multiplicar por 2.
 = 90
 
Dividir por 9.
 
144 Matemática Fundamental
2) O dobro de um número, diminuído de sua quinta parte, 
é igual a esse número aumentado de uma unidade.
 Multiplicar por 5.
 
 Adicionar (-5x) nos dois membros.
 Dividir por 4.
 
3) Ana e João têm juntos 48 anos. A idade de João é da 
idade de Ana. Qual é a idade da Ana?
Idade da Ana: x Idade de João: 
 Multiplicar por 5.
 
 Dividir por 8.
 
4) Resolva a inequação . Considere o 
U=
Capítulo 4 Equações e Inequações 145
 Multiplicar
 Adicionar (-2x) dos dois lados
 
 Adicionar (-3) dos dois lados
 
 Dividir por 5
 Cuidado com a incógnita negativa
 
5) Resolva a inequação . Considere o U=
 
Diminuir x dos dois lados
 
Adicionar (-1) dos dois lados
 
6) Resolva a inequação Considere 
o U= .
 
Multiplicar os binômios.
 
 Aplicar 
 
146 Matemática Fundamental
 
 
 
 
 
Representar a solução graficamente:
Portanto, a solução é: 
7) Determine o número que multiplicado por seu triplo é 
igual a 432.
Número: x Seu triplo: 3x
 Igualar a zero.
 Dividir por 3.
 Aplicar operação inversa da potência.
 
Capítulo 4 Equações e Inequações 147
 Testar.
 
 
Logo, os números são 12 e (-12).
8) A base de um triângulo é o dobro da sua altura. Quan-
to medem os referidos elementos do triângulo se a sua 
área for de 64 m²?
Altura: x Base: 2x Área do triângulo = 
 
Substituir os dados do problema na fórmula
 
Simplificar
 
 Operação inversa da potência
 
 
Cuidado: como x representa a medida do 
lado ele não pode ser negativo.
148 Matemática Fundamental
Logo, a altura mede 8 m e a base 16 m.
9) Um número é o triplo do outro e o produto dos dois é 
75. Determine os dois números, sabendo que ambos 
são positivos.
 
 
 
 
 
Cuidado que o número tem que ser positivo.
Logo, o número é 5.
10) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 5 cm e os 
catetos estão representados pelas expressões 
e . Quanto mede o perímetro do triângulo?
Para resolver este problema, precisa-se aplicar o Teorema 
de Pitágoras, que diz: (Hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)².
 
Resolva as potências.
 
Opere com os termos semelhantes.
 
Adicionar (-5) em ambos os lados.
 
Dividir por 5.
 
Inverso da potência.
Capítulo 4 Equações e Inequações 149
 
 
Testando o resultado 
 
Medida de um dos catetos.
 = 2 + 2
Medida do outro cateto.
Testando o resultado 
 
Cuidado: medida do lado do 
triângulo não pode ser negativa.
Lembrando que perímetro é a adição das medidas dos três 
lados do triângulo, tem-se:
Recapitulando
Lembre-se que:
a) Toda equação deve possuir: sinal de igualdade, primeiro 
e segundo membro e uma ou mais incógnitas. A resolu-
ção de uma equação é, basicamente, estabelecer uma 
igualdade entre duas expressões. Dependendo do tipo 
de equação tem-se um método de resolução.
150 Matemática Fundamental
b) Uma inequação pode ser definida como uma desigual-
dade entre duas expressões matemáticas, cujo objetivo 
é determinar os valores das variáveis que satisfazem a 
desigualdade.
No próximo capítulo, estudam-se os conceitos matemáti-
cos envolvidos no conteúdo de “relações matemáticas”.
Atividades
1) Resolva os problemas:
a) A soma de dois números Naturais consecutivos é igual 
a 215. Quais são os números?
b) Um avô repartiu entre seus três netos a quantia de R$ 
465,00. O neto mais velho recebeu R$ 30,00 a mais 
que o neto mais novo, e o neto do meio recebeu R$ 
15,00 a mais que o neto mais novo. Quanto cada 
neto recebeu?
c) Num pátio, há bicicletas e carros num total de 20 veí-
culos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e 
de carros
d) Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de 
bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o 
número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a 
quantidade de bolas brancas?
 2) Considere o U= , resolva as inequações a seguir.
Capítulo 4 Equações e Inequações 151
a) 
b) 
c) 
d) 
3) Considere o U= e resolva as equações a seguir.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 4) Sendo U = e resolva as seguintes inequações.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Relação
Capítulo 5
Capítulo 5 Relação 153
Introdução
Para compreender uma função, é necessário que se compre-
enda o que é uma relação. Porém, para a compreensão de 
relação necessitam-se de outros conceitos, como o de par or-
denado, produto cartesiano e relação binária.
1 Par ordenado
Denomina-se par todo conjunto formado por 2 elementos. 
Tem-se então que {1, 2}, {2, 1}, {3, 2}, {2, 3} são pares 
de modo que {1, 2}={2, 1} e {3, 2}={2, 3}, ou seja a or-
dem dos elementos do conjunto não influencia na definição 
do mesmo.
Determinadas situações necessitam que seja considerada a 
ordem dos elementos. Quando se diz que um terreno tem as 
dimensões de 10 m de frente e 20 m de comprimento, diz-se 
que o terreno mede 10 x 20, ou seja, a primeira informação é 
referente à dimensão frontal do terreno, e a segunda refere-se 
ao comprimento. A informação 20 x 10 significa que o terreno 
tem 20 m de frente e 10 de comprimento.
Na Matemática, nas situações em que são utilizadas duas 
informações em conjunto, onde a ordem é importante, faz-se 
uso do par ordenado (a, b) para designar o elemento que tem 
as informações a e b, e cuja ordem é relevante, de modo que:
. Dessa maneira, para 
, tem-se que , como no exemplo:
154 Matemática Fundamental
, para x e y as coordenadas 
do ponto no plano cartesiano.
2 Plano cartesiano
Criado por René Descartes, o plano cartesiano consiste em 
dois eixos perpendiculares, sendo o horizontal chamado de eixo 
das abscissas e o vertical de eixo das ordenadas. O plano car-
tesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar 
pontos num determinado espaço. As disposições dos eixos no 
plano formam quatro quadrantes, mostrados na figura a seguir:
O encontro dos eixos é chamado de origem. Cada ponto 
do plano cartesiano é formado por um par ordenado (x , y), 
onde x: abscissa e y: ordenada. Observe a representação dos 
pontos no gráfico a seguir:
Capítulo 5 Relação 155
Refazer imagem
O sistema de coordenadas cartesianas possui inúmeras 
aplicações, desde a construção de um simples gráfico até os 
trabalhos relacionados à cartografia, localizações geográficas, 
pontos estratégicos de bases militares, localizações no espaço 
aéreo, terrestre e marítimo
3 Produto cartesiano
Sejam A e B conjuntos não vazios. O conjunto de pares orde-
nados (x, y) que pode ser formado, tal que x pertence a A e y 
pertence a B, denomina-se produto cartesiano de A e B.
Notação: .
156 Matemática Fundamental
Note que todos os elementos de A estão relacionados com 
todos os elementos de B, como nos exemplos:
1) Para , o produto cartesiano de 
A em B é dado por:
2) Para , o produto cartesiano de 
B em A é dado por:
4 Relação Binária
Dados os conjuntos A, B, denomina-se relação binária de A em B 
todo subconjunto R de , de maneira que , de modo que 
R é o conjunto composto dos pares ordenados tal que e 
, onde x e y estão associados entre si mediante um critério de 
relacionamento ou seja, 
. Exemplos:
1) Para e tem-se que:
 
(Estes são todos os pares possíveis do produto cartesiano A x B).
a) Para , composto pelos pares ordenados de tal 
que , ou seja: (Dentre todos os pares formados, 
escolhe-se os que obedecem à lei de formação desta 
relação, ou seja, todos os pares em que x = y).
Capítulo 5 Relação 157
, tem-se .
b) Para de composto pelos pares ordenados tal 
que , ou seja: (Dentre todos os pares formados, 
escolhe-se os que obedecem à lei de formação desta 
relação, ou seja, todos os pares em que x y).
 tem-se:
5 Gráfico de uma relação
Oplano cartesiano é representado por duas retas Reais orien-
tadas (eixos), perpendiculares entre si, com a sua intersecção 
denominada Origem. O eixo horizontal é denominado eixos 
das abscissas e o eixo vertical é denominado eixo das orde-
nadas.
A representação gráfica de uma relação é realizada pela 
marcação dos pares ordenados no plano cartesia-
no, de modo que corresponde às coordenadas de um 
ponto no plano, para representado nas abscissas e nas or-
denadas. A origem é representada pelo par ordenado , 
ou seja, e . Exemplos:
1) Para a relação , 
tem-se a representação gráfica dada por: (Observe cada 
um dos pares da relação R representados no gráfico).
158 Matemática Fundamental
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
x
y
2) Para a relação tem-
-se a representação gráfica dada por: (Observe que x 
é aberto em 1 e fechado em 3, enquanto y é fechado 
em 2 e aberto em 4. (Por isso, no gráfico, no contorno 
do quadrado hachurado, utiliza-se tracejados e linhas 
contínuas).
Capítulo 5 Relação 159
3) Para a relação 
tem-se a representação gráfica dada por: (Outra vez 
tome cuidado com “aberto” e “fechado”).
6 Domínio e Imagem
Seja R uma relação em , ou seja, 
denomina-se Domínio de R o conjunto de todos os valores 
de x dos pares ordenados da relação R.
Seja R uma relação em , ou seja, 
denomina-se Imagem de R o conjunto de todos os valores 
de y dos pares ordenados da relação R. Exemplos:
a) Para , determine o 
Domínio e a Imagem da relação.
 (Todos os valores de x, sem repetir os ele-
mentos do conjunto).
160 Matemática Fundamental
 (Todos os valores de x, sem repetir os elemen-
tos do conjunto).
b) Para a relação W dada pelo gráfico, determine o domí-
nio e a imagem. (Cuidado com as linhas fechadas e as 
tracejadas).
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
x
y
 ou 
 ou 
c) Para a relação H dada pelo gráfico, determine o domínio 
e a imagem. (Outra vez tome cuidado com o aberto ou 
fechado).
Capítulo 5 Relação 161
−1.0 −0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
−0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
y
 ou 
 ou 
d) Para a relação I dada pelo gráfico, determine o domínio 
e a imagem.
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
y
162 Matemática Fundamental
 ou (Observe no gráfi-
co o primeiro ponto e o último ponto no eixo x).
 ou (Observe no gráfi-
co o primeiro ponto e o último ponto no eixo x).
Referências
BAYER, A. (org.) Matemática: tópicos básicos. Canoas, RS: 
ULBRA, 2013.
DANTE, L. R. Tudo é matemática. 7ª série. São Paulo: Ática, 
2005.
DANTE, L. R. Matemática: ensino médio. v. único. São Pau-
lo: Ática, 2005.
Exercícios resolvidos
1) Determine o domínio e a imagem do gráfico.
Capítulo 5 Relação 163
 ou (Cuide a bolinha fechada)
 ou 
2) Dado o conjunto A = {1, 2, 3}, encontre os pares orde-
nados relativos a operação A².
Lembre que A² = A x A
A² = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (3, 1), (3, 
2), (3, 3)}
3) Para , o produto cartesiano de A 
em B é dado por:
A x B = {(1, -2), (1, 2), (2, -2), (2, 2), (3, -2), (3, 2)}
4) Dados os conjuntos A = {1, 2} e B = {3, 5, 7}, repre-
sente no plano o produto cartesiano de A x B.
Representação por diagrama:
A x B = {(1,3), (1,5), (1,7), (2,3), (2,5), (2,7)}
Representação no plano cartesiano:
164 Matemática Fundamental
5) Determine o domínio e a imagem do gráfico.
Dom: 
Im: 
6) Dados os conjuntos A={a,b,c} e B={1,2,3,4}, pode-se 
construir a relação R em A×B que está apresentada no 
gráfico.
Capítulo 5 Relação 165
Explicite a relação apresentada.
A x B = {(a, 1), (a, 4), (b, 3), (c, 2)}
7) Sendo A = {1, 2} e B = {1, 3, 4}, determine a relação 
formada pelos pares ordenados em que o primeiro ele-
mento é menor que o segundo elemento.
Cuidado com o enunciado do problema. Escolha apenas 
os pares ordenados que obedecem à condição dada no pro-
blema.
R = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
8) Sendo A = {1, 2} e B = {1, 3, 4}, determine o número 
de pares ordenados da relação A x B.
Para determinar o número de pares ordenados da relação, 
basta multiplicar o número de elementos do conjunto A pelo 
número de elementos do conjunto B. Logo: 2 x 3 = 6
A x B = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4)}
9) Para R = {(2, 0), (2, 4), (2, 7), (4, 0), (4, 4), (4, 7)}, de-
termine o domínio e a imagem da relação.
D = {2, 4}
166 Matemática Fundamental
Im = {0, 4, 7}
10) Sendo A = {1, 2} e B = {1, 3, 4}, determine R, com-
posto pelos pares ordenados A x B, tal que x = y - 2.
A x B = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4)}
Apenas estes dois pares ordenados obedecem à relação x 
= y – 2. Logo:
R = {(1, 3), (2, 4)}
Recapitulando
Lembre-se que:
a) O domínio de uma relação é o subconjunto de elemen-
tos de A, formado pelos primeiros componentes dos pa-
res ordenados que pertencem à relação.
b) A imagem de uma relação é o subconjunto de elementos 
de B, formado pelos segundos componentes dos pares 
ordenados que pertençam à relação.
No próximo capítulo, inicia-se o estudo das funções.
Atividades
 1) Para , determine o produto carte-
siano de A em A.
Capítulo 5 Relação 167
 2) Para , determine o produto carte-
siano de B em B.
 3) Dados os gráficos, determine o Domínio e a Imagem.
a)
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
y
b)
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
y
c)
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
x
y
d)
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
x
y
4) Sejam os conjuntos A={1,2,3} e B={1,3,4,5} de nú-
meros Reais e a relação definida por R={(x,y) ∈ A x B: y 
= 2x-1}, qual dos gráficos cartesianos abaixo represen-
ta a relação R?
168 Matemática Fundamental
a) b)
 
c) d)
 
5) Sejam A = {2,4,6,8}, B = {1,3,5,7} e a relação R em 
A × B apresentada pelo seu gráfico cartesiano.
Capítulo 5 Relação 169
Identifique se cada afirmação é V (verdadeira) ou F (falsa).
A)(2,1) pertence à relação R. B)(3,2) pertence à relação R.
C)(4,3) pertence à relação R. D)(5,6) pertence à relação R.
E)(8,7) pertence à relação R.
??????????
Capítulo ?
Função e Função 
Polinomial do 1º grau
Capítulo 6
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 171
Introdução
Em várias situações do cotidiano, depara-se com a necessi-
dade de relacionarem-se duas grandezas. Por exemplo, ao se 
colocar uma chaleira com água no fogo e, se for feito o acom-
panhamento da temperatura da água, verifica-se que, com o 
passar do tempo, a temperatura da água aumenta. Logo, se 
tem uma relação entre a temperatura da água e o tempo, ou 
seja, a temperatura da água pode ser determinada em função 
do tempo.
Em uma viagem de carro, a distância percorrida, ou os 
quilômetros rodados, aumentam conforme passa o tempo da 
viagem, estabelece-se então a relação entre quilômetros per-
corridos e o tempo, ou seja, a distância percorrida pode ser 
determinada em função do tempo.
Um alpinista, ao subir uma montanha, verifica que a tem-
peratura diminui conforme a altura em que se encontra. Logo, 
se pode estabelecer uma relação entre altura e temperatura, ou 
seja, pode-se determinar a temperatura em função da altura.
Na Geometria, também se relacionam grandezas, como, 
por exemplo, a medida dos lados de um triângulo equilátero 
com o seu perímetro. Sabe-se que o perímetro é calculado 
pela adição da medida de todos os lados de um polígono. 
Como o triângulo equilátero tem lados congruentes, pode-se 
dizer que: P = 3l.
Deste modo, a noção intuitiva de função é a relação de 
duas grandezas, de maneira que o valor de uma delas pode 
ser determinado em função do valor da outra.
172 Matemática Fundamental
1 Função
Considere dois conjuntos, A e B, não vazios, diz-se que f é uma 
função de A em B (ou que y é umafunção de x) se, e somente 
se, para cada elemento x de A existe em correspondência um 
único elemento y de B. Representa-se assim: (lê-se 
“função de A em B”).
a) Para as relações , para o critério 
de relacionamento entre e , tem-se que:
Esta relação é uma 
função, pois para cada 
 existe um 
. Note que existem 
elementos em B que 
“sobram” na relação. 
Isso não impede que 
seja uma função.
Esta relação é uma 
função, pois para cada 
 existe um 
. Note que para cada 
elemento de A se tem 
somente uma seta 
partindo do mesmo.
Esta relação não é 
uma função, pois 
alguns se 
relacionam com mais 
de um . Note 
que para x = 2 se tem 
y = 2 e y = 4.
b) Para as relações , para o crité-
rio de relacionamento entre e , tem-se que:
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 173
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
x
y
A relação é função, 
pois para cada 
existe um .
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
x
y
A relação é função, 
pois para cada 
existe um .
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
x
y
A relação não é função, 
pois para cada se 
tem dois . No ponto 
, tem-se 
e . Note que para 
todos os valores de se 
tem dois valores em , 
logo, não é uma função.
O critério de relacionamento geralmente é uma sentença 
aberta que expressa a lei, ou regra, mediante a qual 
para um dado valor , determina-se um valor de tal que 
, isto é, a relação .
Notação: para se representar uma função , definida em 
A com imagem em B de acordo com a lei de correspondência 
, usa-se:
ou
Exemplos:
a) Seja e a função e 
174 Matemática Fundamental
Observe que o conjunto A tem poucos elementos e, por 
isso, é possível representar por extensão o conjunto dos pares 
ordenados que pertença a função de em , para e 
. Logo: .
Esse conjunto de pares ordenados foi formado da seguinte 
maneira:
Elementos de A (valor de x) Par ordenado (x, y)
0 y = 0 + 1 = 1 (0, 1)
1 y = 1 + 1 = 2 (1, 2)
2 y = 2 + 1 = 3 (2, 3)
3 y = 3 + 1 = 4 (3, 4)
4 y = 4 + 1 = 5 (4, 5)
5 y = 5 + 1 = 6 (5, 6)
6 y = 6 + 1 = 7 (6, 7)
O Domínio e a Imagem são dados por:
 (Todos os valores de x).
 (Todos os valores de y).
A representação da função f(x) no plano cartesiano é dada 
pelo gráfico:
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 175
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
x
y
Observação:
No gráfico da representação de f(x), note que apenas fo-
ram “marcados” os pontos que representam o par ordenado 
(sem uni-los). Isso se deve ao fato de trabalhar-se, nesse exem-
plo, com o conjunto dos números Naturais. Isto é, com uma 
grandeza discreta.
b) Para a mesma função de em , para e 
com , um intervalo fechado, dado por 
, tem-se que: , 
Como o conjunto A é um subconjunto dos Reais, o mesmo 
tem infinitos elementos, não sendo possível representar a fun-
ção por extensão como no exemplo anterior. No plano carte-
siano a função é representada pelo gráfico:
176 Matemática Fundamental
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
x
y
Para função , tem-se que os conjuntos Domínio e Ima-
gem são, respectivamente, dados por 
e .
Observação:
Neste gráfico, os pontos foram unidos, isto é, traçou-se 
uma reta, ligando-os. Lembre-se que, neste exemplo, traba-
lhou-se no conjunto dos números Reais e, portanto, com gran-
dezas contínuas.
2 Características das funções
A análise matemática das características das funções permite 
uma compreensão do comportamento das grandezas repre-
sentadas pelas mesmas. Por exemplo, para uma chaleira com 
água no fogo por um determinado período de tempo, pode-se 
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 177
determinar uma função que relaciona a temperatura da água 
e o tempo, de maneira que se possam realizar análises sobre o 
comportamento da temperatura. No caso, podem-se afirmar, 
com base na experiência empírica do dia a dia, que a tempe-
ratura aumentará com o passar do tempo.
Para um experimento onde se coloca um recipiente com 
água a 25ºC em um congelador tem-se que, com o passar do 
tempo, a temperatura da água diminuirá até 0ºC, a água mu-
dará do estado líquido para o sólido, e depois a temperatura 
continuará diminuindo até -5ºC (temperatura mínima média 
para um congelador residencial).
Dessa maneira, as características de uma função de em 
, , são determinadas pela 
análise dos valores de y para um dado valor .
2.1 Intervalo para função crescente e 
decrescente
Considerando que para cada valor de x tem-se um valor cor-
respondente para y, definido por . Adotando-se uma 
variação crescente de em um dado intervalo , tem-se 
a noção intuitiva de que a função é:
a) crescente no intervalo [ , se os valores de y também 
são crescentes no dado intervalo;
b) decrescente no intervalo [ se os valores de y de-
crescem no dado intervalo.
178 Matemática Fundamental
Definindo, tem-se:
a) para de em , definida por , é crescente quando 
 no intervalo [ para tal 
que .
b) para de em , definida por , é decres-
cente quando no intervalo [ para 
 tal que .
Exemplos:
a) Dada a função f(x) representada no gráfico a seguir, ana-
lise o intervalo onde a função é crescente e decrescente.
−2 −1 1 2 3 4 5 6
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Observe a tabela:
x y x y
-2 -3 3 2
-1 -2 4 1
0 -1 5 0
1 0 6 -1
2 1
3 2
Observe o gráfico e a tabela:
Tem-se que a função é crescente no 
intervalo 
e decrescente no intervalo 
.
No intervalo 
, os valores 
de x e y crescem, portanto, a função é 
crescente nesse intervalo.
No intervalo 
, os valores de x crescem e os de y 
decrescem, logo a função é decrescente 
nesse intervalo.
O ponto (3, 2) é chamado de ponto de 
inflexão.
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 179
2.2 Raiz da função
Denomina-se raiz ou zero da função, todo número para o qual 
, ou seja, o conjunto de valores de para .
Observe o exemplo do gráfico:
−2 −1 1 2 3 4 5 6
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
O gráfico corta o eixo do x em dois pontos: e (5 , 0). 
Esses pontos estão sobre o eixo da abscissa e, portanto, tem-se 
os valores de y = 0, Logo, as raízes da função são dadas pelo 
conjunto solução, ou conjunto verdade, .
Algebricamente, o(s) valor(es) da(s) raiz(es), são determina-
dos pela solução da equação f(x) = 0.
Exemplos:
a) Determine a raiz ou zero da função . (A raiz 
é determinada pela solução de , ou seja, é ne-
cessário substituir f(x) por zero e depois determinar o va-
lor de x).
180 Matemática Fundamental
Logo, o conjunto verdade é 
b) Para a raiz é determinada pela solu-
ção de , ou seja:
 
 
Aplique Báskara para solucionar a 
equação de 2º grau
Encontre os valores de .
Logo, o conjunto solução ou conjunto 
verdade é .
2.3 Intervalo para função positiva e negativa 
(sinais da função)
Considerando que para cada valor de tem-se um valor cor-
respondente para , definido por , o estudo dos sinais 
da função significa determinar se ou se em 
um dado intervalo [ . Logo, tem-se que a função é:
a) Positiva (+) no intervalo [ , se , ou seja, 
 para variando no intervalo [ ;
b) Negativa (-) no intervalo [ , se , ou seja, 
 para variando no intervalo .
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 181
Exemplo:
a) Dada a função f(x) = 0 representada pelo gráfico, de-
termine os intervalos onde a função é positiva e nega-
tiva.
−2 −1 1 2 3 4 5 6
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Para resolver este problema, precisa-se testar valores.
a) “Analisa-se” os pontos assinalados no gráfico:
182 Matemática Fundamental
x Y
-2 -3
-1 -2
0 -1
1 0
2 1
3 2
4 1
5 0
6 -1
Os valores em y negativos indicam que neste 
intervalo de x a função é negativa. Portanto, a 
função é negativa para o intervalo:
Os valores em y positivos indicam que 
neste intervalo de x a função é positiva. 
Portanto, a funçãoé positiva para o intervalo 
.
Nos valores de y = 0 a função não é nem 
negativa, nem positiva.
Algebricamente, pode-se determinar o intervalo no qual a 
função é positiva solucionando a inequação , e nega-
tiva solucionando a inequação . Exemplos:
a) Para a função é positiva para , 
ou seja,
 Logo, o conjunto verdade é 
b) Para a função é negativa para , 
ou seja,
 Logo, o conjunto verdade é 
c) Para a função dada pelo gráfico a seguir, determine as 
características da função:
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 183
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Obs.: note que a função segue até a “borda” da imagem, 
isso denota a ideia de que a mesma continua para o infito, ou 
seja, a função continua para e para .
 1) Determine as raízes ou zeros da função (raízes ou zero da 
função são os pontos em que y = 0, ou seja, pontos que 
estão sobre o eixo das abscissas).
, Logo, 
 2) Determine o intervalo onde a função é crescente.
A função é crescente no intervalo 
 3) Determine o intervalo onde a função é decrescente.
A função é decrescente no intervalo 
 4) Determine o intervalo onde a f(x) é positiva. Observe no 
gráfico ou faça uma tabela com valores dos pontos carte-
sianos.
184 Matemática Fundamental
A f(x) é positiva no intervalo para 
 5) Determine o intervalo onde a f(x) é negativa. Observe no 
gráfico ou faça uma tabela com valores dos pontos carte-
sianos.
A f(x) é negativa no intervalo para 
 6) Determine o intervalo onde a f(x) é crescente e positiva.
Este intervalo é determinado pela intersecção do intervalo 
no qual a função é crescente e do intervalo no qual a função 
é positiva.
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 185
Portanto, a função é crescente e positiva no intervalo 
}
 7) Determine o intervalo onde a f(x) é crescente e negativa.
Esse intervalo é determinado pela intersecção do intervalo 
no qual a função é crescente e do intervalo no qual a função 
é negativa.
 
A função é crescente e negativa no intervalo .
186 Matemática Fundamental
3 Função Constante
A função , definida no conjunto dos Reais, tal que para todo e 
qualquer se tem associado um, e somente um, número Real 
constante , ou seja, para com , tem-se que 
, é denominada como função constante.
Como exemplo, tem-se a função onde, pela 
regra de relação, verifica-se que para ; 
; , Logo, para qualquer valor 
de tem-se que .
Exemplos:
 1) Analisando as características da função exemplo 
para , tem-se:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
x
y
a) Para qualquer valor de tem-se que , Logo, 
b) Raízes: como não se tem um ponto no qual , 
tem-se que o conjunto solução, ou conjunto verdade é 
vazio, 
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 187
c) Intervalo no qual a função é crescente: para qualquer 
intervalo de , não tem variação crescente, en-
tão não existe intervalo onde a função seja crescente, 
Logo, o conjunto verdade é vazio, 
d) Intervalo no qual a função é decrescente: para qual-
quer intervalo de , não tem variação decres-
cente, então não existe intervalo onde a função seja 
decrescente, Logo, o conjunto verdade é vazio, 
e) ou o intervalo no qual a função é positiva: 
para qualquer valor de tem-se , Logo, , 
ou seja, o conjunto verdade é o domínio da função, 
.
f) ou o intervalo no qual a função é negativa: 
para qualquer valor de tem-se , Logo, , 
ou seja, o conjunto verdade é vazio, 
 2) Analisando as características da função exemplo 
para , tem-se:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
x
y
a) Para qualquer valor de tem-se que , Logo, 
188 Matemática Fundamental
b) Raízes: como não se tem um ponto no qual , 
tem-se que o conjunto solução, ou conjunto verdade é 
vazio, 
c) Intervalo no qual a função é crescente: para qualquer 
intervalo de , não tem variação crescente, en-
tão não existe intervalo onde a função seja crescente, 
Logo, o conjunto verdade é vazio, 
d) Intervalo no qual a função é crescente: para qualquer 
intervalo de , não tem variação decrescente, en-
tão não existe intervalo onde a função seja decrescen-
te, Logo, o conjunto verdade é vazio, 
e) ou o intervalo no qual a função é positiva; para 
qualquer valor de tem-se , Logo, , ou 
seja, o conjunto verdade é vazio, f) ou 
o intervalo no qual a função é negativa; para qualquer 
valor de tem-se , Logo, , ou seja, o 
conjunto verdade é o domínio da função, 
4 Função Polinomial de 1° Grau
As funções na forma 
 são denomina-
das funções polinomiais de grau .
Para , tem-se com é denomi-
nada como função polinomial do 1º grau.
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 189
Dentre as funções de 1º grau, têm-se algumas com carac-
terísticas próprias. Esse é o objeto de estudo a seguir.
4.1 Função identidade
A função polinomial de 1° grau , para 
 é denominada como função identidade.
A função identidade de em , tal que para todo e qual-
quer se tem associado o próprio , ou seja, para com 
 tem-se , representando graficamente a função, 
, verifica-se que ; 
; , logo, para qualquer valor de tem-se que 
.
Exemplo:
 1) Analisando as características da função para 
 (Domínio nos Reais):
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
x
y
190 Matemática Fundamental
a) Para qualquer valor de tem-se que , Logo, 
, ou seja, 
b) Raízes: para as raízes determinadas quando 
e para , logo se tem que o conjunto 
solução, ou conjunto verdade é 
c) Intervalo no qual a função é crescente: pela definição, 
se no intervalo [ , com e 
, tem-se que a função é crescente no intervalo 
[ . Como a função é crescente em todo o Domí-
nio, o conjunto solução, ou conjunto verdade é 
d) Intervalo no qual a função é decrescente: pela de-
finição, se no intervalo [ , com 
 e , tem-se que a função é decres-
cente no intervalo [ . Como a função não dimi-
nui em nenhum intervalo, o conjunto verdade é vazio, 
V= .
e) Intervalo no qual a função é positiva: é determi-
nado pela solução da inequação , para 
 logo, o conjunto verdade é 
.
f) Intervalo no qual a função é negativa: é determi-
nado pela solução da inequação , para 
 logo, o conjunto verdade é 
.
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 191
4.2 Função linear
A função polinomial de 1° grau , para 
 é denominada como função. Portanto, f(x) = 
ax. Uma função linear corta o plano cartesiano na origem, isto 
é, no ponto (0, 0).
Exemplos:
 1) a > 0
a) D = R
b) Im = R
c) Raiz: S = {0}
c) A função é crescente para todo x R.
d) A função é positiva no intervalo .
e) A função é negativa no intervalo .
 2) a < 0
192 Matemática Fundamental
a) D = R
b) Im = R
c) Raiz: S = {0}
c) A função é decrescente para todo x R.
d) A função é positiva no intervalo 
e) A função é negativa no intervalo .
4.3 Função afim
A função polinomial de 1° grau , para 
é denominada como função afim.
Por convenção, adota-se e , então 
. Denomina-se como coeficiente angular da fun-
ção e b como coeficiente linear da função. Portanto:
Seja e dois pontos da função 
 , tem-se que:
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 193
Subtraindo membro a membro, tem-se que:
Desse modo para , se:
a) então para 
a função crescente.
b) então para 
a função decrescente.
Graficamente, a função de 1º grau em é representada 
por uma reta que intercepta o eixo da ordenadas no ponto 
 ou seja, para 
194 Matemática Fundamental
Para de em , ou seja, com tem-se como 
Imagem o conjunto dos números Reais, de modo que 
qualquer número Real , no eixo das abscissas, tem um núme-
ro Real y, correspondente no eixo das ordenadas.
Exemplos
 1) Dada a função , analisa-se:
a) O gráfico da função:
−1.5 −1.0 −0.5 0.5 1.0 1.5
−1.0
−0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
y
b) Para qualquer valor de tem-se um correspondente 
tal que , logo, , ou seja, .
c) Para as raízes determinadas quando , com 
 
 
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 195
Logo, tem-se que o conjunto solução, ou conjunto verdade 
é . Observe no gráficoo ponto onde a reta intercepta 
o eixo do x.
d) Intervalo no qual a função é crescente: pela definição, 
se no intervalo [ , com 
e , tem-se que a função é crescente no interva-
lo [ . Para , , logo a função é crescen-
te em todo o Domínio, então o conjunto solução, ou 
conjunto verdade é o Domínio, 
e) Intervalo no qual a função é decrescente: pela defi-
nição, se no intervalo , com 
 e , tem-se que a função é decres-
cente no intervalo . Como a função é crescente 
em todo o Domínio, então o conjunto verdade é vazio, 
V= .
f) ou o intervalo no qual a função é positiva, 
é determinado pela solução da inequação , 
com 
Logo, o conjunto verdade é 
g) ou o intervalo no qual a função é negativa, 
é determinado pela solução da inequação , 
para 
196 Matemática Fundamental
 
Logo, o conjunto verdade é 
 2) Dada a função , analisa-se:
a) O gráfico da função:
−0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
−1.0
−0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
y
b) Para qualquer valor de tem-se um correspondente 
tal que , Logo, , ou seja, .
c) Para as raízes determinadas quando , para d
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 197
Logo, tem-se que o conjunto solução, ou conjunto verdade 
é
Observe no gráfico o ponto onde a reta inter-
cepta o eixo do x.
d) Intervalo no qual a função é decrescente: pela defi-
nição, se no intervalo , com 
 e , tem-se que a função é decres-
cente no intervalo . Para , , logo 
a função é decrescente em todo o Domínio, então o 
conjunto solução, ou conjunto verdade é o Domínio, 
.
e) Intervalo no qual a função é crescente: pela definição, 
se aumenta no intervalo , com 
 e , tem-se que a função é crescente 
no intervalo . Como a função é decrescente em 
todo o Domínio, o conjunto verdade é vazio, V= .
f) ou o intervalo no qual a função é positiva, 
é determinado pela solução da inequação , 
com 
198 Matemática Fundamental
Logo, o conjunto verdade é .
g) ou o intervalo no qual a função é negativa, 
é determinado pela solução da inequação , com 
Logo, o conjunto verdade é .
Observações:
a) Quando se tem uma função afim, o seu gráfico é sem-
pre uma reta não perpendicular ao eixo x, e que não 
passa pela origem. Já o gráfico da função linear tam-
bém é sempre uma reta não perpendicular ao eixo x, 
porém passa pela origem do plano cartesiano.
b) O coeficiente de x (a) é chamado de coeficiente angu-
lar e está ligado à inclinação da reta em relação ao 
eixo Ox.
c) O termo constante (b) é chamado de coeficiente linear. 
Para x = 0, tem-se y = a . 0 + b = b. Assim, o coe-
ficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta 
corta o eixo Oy.
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 199
d) Quando não é dado explicitamente o domínio D de 
f, deve-se subentender que D é formado por todos os 
números reais que podem ser colocados no lugar de 
x na lei de correspondência y = f(x), de modo que, 
efetuados os cálculos, resulte um y real.
e) Uma relação matemática entre duas grandezas x e y 
é uma função quando para cada valor atribuído a x 
existe, em correspondência, um único valor de y. Diz-
-se que y é uma função de x e escreve-se y = f(x).
Referências
JACKSON, R. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. 
v. 1. São Paulo: Scipione, 2010.
LOGEN, A. Matemática: uma atividade humana. Ensino Mé-
dio. v.1. Curitiba: Base, 2003.
Atividades
 1) A tabela abaixo relaciona duas grandezas variáveis: a me-
dida do comprimento do lado de um pentágono regular 
(l) e o seu perímetro (P). Lembre-se que um pentágono 
regular tem cinco lados de mesma medida.
a) Complete-a:
200 Matemática Fundamental
Lado (cm) 0 0,5 1 1,6 3,5 4,8 6 10
Perímetro (cm)
b) Observe os dados da tabela, descubra qual é o pa-
drão e escreva a fórmula que dá o perímetro (P) em 
função da medida do lado (l).
c) Se l = 11,75 cm, qual é o valor de P?
d) Se P(l) = 21,3 cm, determine o valor de l.
 1) a)
Lado (cm) 0 0,5 1 1,6 3,5 3,8 6 10
Perímetro 
(cm)
0 2,5 5 8 17,5 19 30 50
b) P(l) = 5l (O perímetro de um pentágono regular é a 
soma das medidas dos seus cinco lados. Como todos 
têm a mesma medida, pode-se determinar o perímetro 
multiplicando o valor do lado por 5).
c) Como se tem a lei de formação P(l) = 5l, utiliza-se a 
mesma para responder essa questão.
 P(l) = 5l
 P(11,75) = 5 . 11,75
 P = 58,75 cm
d) Se P(l) = 21,3 cm, determine o valor de l.
 P(l) = 5l
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 201
 21,3 = 5l
 
 l = 4,26 cm
 2) O estoque de minério de ferro de uma usina é hoje de 4 
000 toneladas. A previsão é que sejam utilizadas 500 des-
sas toneladas mensalmente na fabricação de lingotes de 
aço. Supondo que não haja reposição de estoque, com-
plete a tabela seguinte e depois responda:
Meses 0 1 2 3 4
Estoque (t) 4 000
a) Determine uma sentença matemática relacionando o 
estoque (E) ao número de meses (n).
b) Quantos meses serão necessários para terminar o es-
toque da usina?
 1º passo: preencher a tabela.
x meses (n) 0 1 2 3 4
y estoque (E) 4 000 3 500 3 000 2 500 2 000
a) Determine uma sentença matemática relacionando o 
estoque (E) ao número de meses (n).
 Quando x = 0, tem-se que y = 4 000. Logo, o gráfico 
não passa pela origem. Portanto, está-se trabalhando 
com uma função afim, cuja lei de formação geral é f(x) 
= ax + b.
202 Matemática Fundamental
 Deve-se, agora, determinar o coeficiente angular a e o 
coeficiente linear b.
 Para determinar o coeficiente angular, pode-se proce-
der de diferentes formas:
 1ª) Escolher dois pontos quaisquer na tabela. Por 
exemplo, P1 (1, 3500) e P2 (3, 2500).
 Tem-se que a lei de formação geral é f(x) = ax + b ou 
y = ax + b
 Substituindo P1 (1, 3500) em y = ax + b, tem-se:
 3500 = a.1 + b (I)
 Substituindo P2 (3, 2500) em y = ax + b, tem-se:
 2500 = a.3 + b (II)
 Resolvendo o sistema formado pelas equações I e II, 
tem-se:
 
 Isolando b na equação I, tem-se:
 b = 3500 – a
 Isolando b na equação II, tem-se:
 b = 2500 – 3a
 Utilizando comparação tem-se:
 3500 – a = 2500 – 3a
 3500 – 2500 = -3a + a
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 203
 1000 = -2 a
 a = - 500 (Observe que a < 0, portanto, a função é 
decrescente. A também é a taxa de variação da fun-
ção, pois a cada mês que passa são consumidos 500 
kg de minério).
 Agora, deve-se substituir o valor encontrado para a, 
em uma das equações anteriores para determinar o 
valor de b (coeficiente linear).
 b = 3500 – (500)
 b = 4000 (b corresponde ao estoque inicial da indús-
tria, ou seja, quando x = 0, y = 4000).
Logo:
 E(n) = -500n + 4000
 2ª) Lembrar que o coeficiente angular pode ser deter-
minado por:
 
 Substituindo os valores de P1 (1, 3500) e P2 (3, 2500) 
na fórmula, tem-se:
 
 
 
 Conhecendo a, um ponto qualquer e a lei de forma-
ção geral, pode-se determinar o valor de b.
204 Matemática Fundamental
 a = - 500; P1 (1, 3500); y = ax + b
 y = ax + b (Substituindo: a, x e y)
 3500 = (-500) . 1 + b
 3500 + 500 = b
 b = 4000
 E(n) = -500n + 4000
 3ª) Pode-se também analisar e compreender as infor-
mações dadas do problema, e encontrar a solução ou 
parte dela por compreensão:
 Sabendo que o coeficiente linear é o ponto onde o 
gráfico da reta corta o eixo y (0, y), ao observar-se a 
tabela pode-se identificar o valor de b, pois o proble-
ma diz que o estoque inicial é de 4000. Logo, b = 
4000.
 Também o problema informa que a cada mês a in-
dústria consome 500 toneladas do estoque. Isto é, o 
estoque diminui 500 kg a cada mês. Então, a variação 
do estoque é de 500 t, por isso, a = -500. Logo, a lei 
de formação é: E(n) = -500n + 4000.
b) Quantos meses serão necessários para terminar o es-
toque da usina?
 Quando o estoque terminar, tem-se E(n) = 0. Substi-
tuindo na lei de formação:
 E(n) = -500n + 4000
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 205
 0 = -500n + 4000
 - 4000 = - 500n
 
 n = 8 meses
 3) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de 
R$ 36,00 mais um custo variável de R$ 0,90 por unidade 
produzida.Sendo x o número de unidades produzidas:
a) Escreva a lei da função que fornece o custo total y de 
x peças.
b) A lei de formação corresponde à de uma função afim? 
Justifique.
c) Calcule o custo de 100 peças.
d) Qual é o número máximo de peças que podem ser 
fabricadas com R$ 195,20?
a)
X y
0 36
1 36 + 1 . 0,90
2 36 + 2 . 0,90
3 36 + 3 . 0,90
...
X 36 + x . 0,90
f(x) = 0,90x + 36 ou y = 0,90x + 36
206 Matemática Fundamental
b) A lei de formação corresponde à de uma função afim? 
Justifique.
 Sim, pois o maior expoente da incógnita é 1 e 
.
c) Calcule o custo de 100 peças. (Lembre-se que o custo 
está representado por y ou f(x) no problema).
 f(x) = 0,90x + 36
 f(100) = 0,90 . 100 + 36
 f(100) = 90 + 36
 f(100) = 126
d) Qual é o número máximo de peças que podem ser 
fabricadas com R$ 195,20?
 f(x) = 0,90x + 36
 195,20 = 0,90x + 36
 195,20 – 36 = 0,90x
 159,20 = 0,90x
 
 x = 176,888... Cuidado: o nº de peças é uma gran-
deza discreta (inteiros). Portanto, a indústria não pode 
fabricar número “quebrado” de peças. Como o pro-
blema pede o número máximo, não se pode arredon-
dar para “mais”, portanto, a resposta correta é 176 
peças.
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 207
 4) Observe o gráfico e responda:
a) Qual a lei de formação da função?
b) A lei de formação e o gráfico correspondem a de uma 
função afim?
c) Essa função é crescente ou decrescente?
d) Qual o domínio dessa função?
e) E a sua imagem?
f) Qual o valor do seu coeficiente angular?
g) E do coeficiente linear?
a) Qual a lei de formação da função?
 Deve-se identificar pontos no gráfico. Inicia-se pelo 
ponto no qual x = 0, pois o valor de y neste ponto 
208 Matemática Fundamental
corresponde ao coeficiente linear: (0, -1). Portanto, b 
= -1.
 Agora, identifique mais um ponto: (1, 1).
 A lei de formação geral é: y = ax + b. Substituem-se 
os valores:
 y = ax + b
 1 = a . 1 + (-1)
 1 + 1 = a
 a = 2
 y = ax + b
 y = 2a - 1
b) A lei de formação e o gráfico correspondem a de uma 
função afim?
 Sim. Na lei o maior expoente de x é 1 e e .
c) Essa função é crescente ou decrescente?
 Como a = 2, então a > 0. Se a > 0, então a função 
é crescente.
d) Qual o domínio dessa função? D = 
e) E a sua imagem? Im = 
f) Qual o valor do seu coeficiente angular? a = 2
g) E do coeficiente linear? b = -1
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 209
 5) A fórmula C = 2 π r permite-nos calcular o comprimento 
C de uma circunferência, em função da medida r do raio. 
A medida r pode ser dada em função de C.
a) Neste caso, qual é a variável dependente e qual a va-
riável independente?
b) Como ficaria a lei de formação dessa função?
c) Qual seu domínio e sua imagem?
d) Essa função é crescente ou decrescente?
e) Qual o seu coeficiente angular? E linear?
a) Neste caso, qual é a variável dependente e qual a va-
riável independente?
 A variável independente é r (raio) e a dependente é C 
(comprimento da circunferência).
b) Como ficaria a lei de formação dessa função?
 C(r) = 2 π r
c) Qual seu domínio e sua imagem?
 D = (não existe raio negativo)
d) Essa função é crescente ou decrescente?
 Im = 
e) Qual o seu coeficiente angular? E linear?
 a = 2 π e b = 0 (não se tem um termo independente, 
por isso b = 0). A função é linear.
210 Matemática Fundamental
 6) Observe o gráfico e responda:
a) Qual a lei de formação da função?
b) Essa função é crescente ou decrescente?
c) Qual o domínio e a imagem?
d) Qual o valor do seu coeficiente angular?
e) Qual o valor do coeficiente linear?
a) Qual a lei de formação da função?
 Como o gráfico corta o plano na origem e é uma reta, 
tem-se uma função linear, pois b = 0
 A lei de formação é, portanto: f(x) = ax
 Ponto do gráfico: (-1, -2)
 f(x) = ax
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 211
 -2 = a(-1)
 a = 2
 f(x) = 2x
b) Essa função é crescente ou decrescente?
 a > 0, Logo, a função é crescente.
c) Qual o domínio e a imagem?
 D = R e Im = R
d) Qual o valor do seu coeficiente angular?
 a = 2
e) E do coeficiente linear?
 b = 0
 7) Os valores de um conjunto x estão ligados aos valores de 
um conjunto y por uma função com a seguinte operação: 
x 1y
4
+= . Calcule:
a) O valor de y correspondente a x = 0.
b) O valor de y correspondente a x = -5.
c) O valor de x correspondente a y = 0.
d) f(8)
e) f(-9)
212 Matemática Fundamental
 Os valores de um conjunto x estão ligados aos valores 
de um conjunto y por uma função com a seguinte ope-
ração: . Calcule:
a) o valor de y correspondente a x = 0.
 
 
 
b) o valor de y correspondente a x = -5.
 
 
 
 
c) o valor de x correspondente a y = 0
 
 
 0 . 4 = x + 1
 0 = x + 1
 -1 = x 
d) f(8)
 (Reescrevendo. Lembre-se que y = f(x))
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 213
 
 
 
e) f(-9)
 (Reescrevendo. Lembre-se que y = f(x))
 
 
 
 
 8) Marcelo é vendedor em uma empresa. Seu salário mensal 
é a soma de duas parcelas. Uma parcela é fixa e igual a 
R$ 500,00 e a outra é variável, dependendo das vendas 
que realizar calculada sobre 10 % do total vendido.
a) Complete a tabela:
Total de vendas (R$) Salário mensal (R$)
1 000,00
2 000,00
4 000,00
10 000,00
...
X
214 Matemática Fundamental
b) Determine a sentença matemática que relaciona o to-
tal de vendas (T) ao salário mensal (S).
c) O salário mensal pode ser expresso por qualquer nú-
mero Real ou há restrições? Quais?
a) Complete a tabela:
Total de vendas (R$) Salário mensal (R$)
0 500
1 000,00 500 + 10 % 1000
2 000,00 500 + 10 % 2000
4 000,00 500 + 10 % 4000
10 000,00 500 + 10 % 10000
...
X 500 + 10 % x
b) Determine uma sentença matemática relacionando o 
total de vendas (T) ao salário mensal (S).
 Cuidado! Não se pode fazer cálculos utilizando o sím-
bolo de %. Lembre-se que 10 % = .
 Logo: 10 % = 0,1
 Portanto, a sentença matemática é: T(S) = 0,1x + 500
c) O salário mensal pode ser expresso por qualquer nú-
mero Real ou há restrições? Quais?
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 215
 Não pode ser expresso por qualquer número já que o 
menor salário do funcionário é 500. O salário só pode 
ser expresso no intervalo .
 9) Um automóvel parte de uma cidade A, situada no quilô-
metro 120 de uma estrada, em direção à cidade B, situa-
da no quilômetro 520. A velocidade do automóvel pode 
ser considerada aproximadamente constante e igual a 80 
km/h durante todo o trajeto.
a) Complete a tabela seguinte com a posição do auto-
móvel depois de decorrido alguns intervalos de tempo.
Tempo (h) 0 ¼ ½ 1 2 2,5
Posição(km)
b) Determine a sentença matemática que relaciona a po-
sição P ao tempo t.
c) Quanto tempo será necessário para que o automóvel 
faça todo percurso entre A e B?
d) É correto dizer que o domínio da função é o conjunto 
dos números reais? Justifique.
a) Complete a tabela seguinte com a posição do auto-
móvel depois de decorrido alguns intervalos de tempo.
Tempo (h) 0 ¼ ½ 1 2 2,5
Posição (km) 120 140 160 200 280 320
b) Determine a sentença matemática que relaciona a po-
sição P ao tempo t.
216 Matemática Fundamental
 P(t) = 80t + 120
c) Quanto tempo será necessário para que o automóvel 
faça todo percurso entre A e B?
 P(t) = 80t + 120
 520 = 80t + 120
 520 – 120 = 80t
 400 = 80t
 
 t= 5h
d) É correto dizer que o domínio da função é o conjunto 
dos números Reais? Justifique.
 Não, pois existem restrições como, por exemplo, tem-
po negativo.
 10) (ENEM) Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao 
Maracanã 90.000 torcedores. Três portões foram abertos 
às 12 horas e até às 15 horas entrou um número constante 
de pessoas por minuto. A partir desse horário, abriram-se 
mais 3 portões e o fluxo constante de pessoas aumentou. 
Os pontos que definem o número de pessoas dentro do 
estádio em função do horário de entrada estão contidos 
no gráfico a seguir:
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 217
 Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o re-
lógioestava marcando 15 horas., enquanto o núme-
ro de torcedores (45000) está na segunda função do 
gráfico. Como é uma função polinomial de 1º grau, 
pode-se resolver o problema com regra de três.
Horário (em horas – 
intervalo)
Nº de torcedores (que 
ingressaram no intervalo 
dado)
2 (entre 15h e 17h) 60000 
X 15000
0,5h = 30 min
Logo, 15h30 min
218 Matemática Fundamental
Recapitulando
A função é definida como uma lei ou regra que associa cada 
elemento de um conjunto a um único elemento de um con-
junto B. O conjunto A é chamado de domínio da função, en-
quanto que o conjunto B é denominado de contradomínio da 
função. Com essa definição, pode-se dizer que função é um 
tipo de dependência, isto é, um valor depende do outro.
Matematicamente, pode-se dizer que função é uma rela-
ção de dois valores, por exemplo: f(x) = y, sendo que x e y são 
valores, onde x é o domínio da função (a função está depen-
dendo dele) e y é um valor que depende do valor de x, sendo 
a imagem da função.
No próximo capítulo, estuda-se a função quadrática.
Atividades
 1) Classifique a relações dadas como para funções ou não 
funções.
a)
x
y
b)
x
y
c)
x
y
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 219
 2) Para a função dada no gráfico, determine a raiz e o inter-
valo para crescente.
−1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 3) Para a função dada no gráfico, determine o intervalo para
e o intervalo em que a função crescente.
−2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
 4) Para a função dada no gráfico, determine o intervalo para 
intervalo para e o intervalo para decres-
cente.
220 Matemática Fundamental
−2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 5) Para a função dada no gráfico, determine as raízes e o 
intervalo no qual a função é decrescente.
−2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 6) Determine a lei de formação da função representada no 
gráfico a seguir.
Capítulo 6 Função e Função Polinomial do 1º grau 221
 7) Considere dois barris de 200 litros cada. Um tem água até 
a sua metade e o outro tem 80 litros. Para encher o barril 
que está com água até a metade, utiliza-se uma torneira 
que escoa 20 litros de água por minuto; para encher o 
outro barril, utiliza-se uma torneira que escoa 40 litros por 
minuto. Ao encher os dois ao mesmo tempo, qual trans-
bordará primeiro?
 8) Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de 
R$ 16,00 mais um custo variável de R$ 1,50 por unidade 
produzida. Sendo x o número de peças unitárias produzi-
das, determine:
a) A lei da função que fornece o custo da produção de x 
peças.
b) Calcule o custo de produção de 400 peças.
 9) No Brasil, as temperaturas são medidas em graus Celsius. 
Nos Estados Unidos, elas são medidas em outra escala: 
em graus Fahrenheit. Pode-se relacionar a escala america-
na com a que se usa aqui por meio da função: y = (9/5)
222 Matemática Fundamental
x + 32, onde x é a temperatura em graus Celsius e y é a 
temperatura em graus Fahrenheit. Se na escala Celsius a 
água ferve a 100 graus, calcule na escala Fahrenheit a 
temperatura que a água ferve.
 10) Determine a equação da reta que passa pelos pontos (-1 , 
0) e (0 , -2).
Capítulo 7
Função Polinomial do 2º 
grau
224 Matemática Fundamental
Introdução
A função polinomial de 2º grau é também conhecida como 
função quadrática. A curva que representa esta função é co-
nhecida como parábola. Esta curva surge constantemente no 
cotidiano das pessoas e no estudo de problemas do âmbito da 
Astronomia, da Física e de outras ciências, como, por exem-
plo, no estudo do lançamento de projéteis, nas Engenharias 
na construção de pontes penseis, nos faróis de carro e nas 
antenas parabólicas.
Neste capítulo, abordam-se conceitos matemáticos envol-
vidos no estudo desta função.
1 Definição
Para a função polinomial 
, para , 
 e tem-se que é 
uma função polinomial do 2º grau.
Por convenção adota-se e , então 
, para e .
Graficamente a função de 2º grau em é representada 
por uma curva denominada de parábola.
a) Para a concavidade de parábola é volta-
da para cima com vértice dado pelo ponto mínimo 
 tem-se que 
Capítulo 7 Função Polinomial do 2º grau 225
b) Para a concavidade de parábola é voltada 
para baixo com vértice dado pelo ponto máximo 
 tem-se que .
Analisam-se, a seguir, alguns exemplos:
a) 
 1) O gráfico desta função é dado pela curva
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
b) O domínio da função: (todos os valores que x 
pode assumir)
c) = (Ponto do vértice, isto é, neste exem-
plo, ponto onde a função deixa de ser decrescente e 
passa a ser crescente).
d) A imagem da função: (todos os 
valores que y pode assumir).
226 Matemática Fundamental
 2) .
a) O gráfico desta função é dado pela curva.
b) O domínio da função: (Todos os valores que x 
pode assumir).
c) = (Ponto do vértice, isto é, neste exemplo, 
ponto onde a função deixa de ser crescente e passa a 
ser decrescente).
d) A imagem da função: (Todos os 
valores que y pode assumir).
Capítulo 7 Função Polinomial do 2º grau 227
2 Raízes ou zeros da função quadrática 
Dado , para e tem-se que 
. Analisam-se, a seguir, os diferentes casos: , 
 e .
a) Se , a função tem duas raízes reais e distintas.
b) Se , a função tem duas raízes reais e iguais.
228 Matemática Fundamental
c) Se , a função não tem raízes reais.
As raízes da função quadrática são determina-
das em para e quando e . Logo, 
Exemplos:
a) Determine as raízes da função 
.
 
Capítulo 7 Função Polinomial do 2º grau 229
Logo, a raiz da função é dada para , isso significa que 
a parábola tangencia o eixo x no ponto (1,0).
b) Determine as raízes da função 
 
230 Matemática Fundamental
Logo, as raízes da função são e , isso significa 
que a parábola corta o eixo x nos pontos (-1,0) e (3,0).
3 Vértice da parábola
Sendo o vértice representado pela intersecção do eixo de simetria 
com a própria parábola, tem-se: . 
Logo o vértice é dado pelo ponto:
Pelos gráficos, identifica-se que no vértice da parábola há 
a mudança de comportamento da curva da função, entre de-
crescente e crescente, Logo, pela concavidade da parábola e 
o vértice da função tem-se que as características de crescente 
ou decrescente e da imagem.
Capítulo 7 Função Polinomial do 2º grau 231
Observe:
, a concavidade da função é voltada para 
cima, sendo o vértice o ponto de mínimo da função. Logo 
a função é decrescente para e crescente para , 
com . Exemplo:
 1) Analisando o gráfico, determine:
a) Sobre o valor de a: como a concavidade da parábola 
é voltada para cima pode-se afirmar que a > 0.
b) Domínio: D = R
c) Ponto do vértice: = (Ponto de mínimo).
d) Imagem: Im = 
e) Intervalo no qual a função é crescente: 
f) Intervalo no qual a função é decrescente: 
232 Matemática Fundamental
b) , a concavidade da função é voltada para bai-
xo, sendo o vértice o ponto de máximo da função, 
Logo, a função é crescente para e decrescente 
para , com . Exemplo:
 1) Analisando o gráfico, determine:
a) Sobre o valor de a: como a concavidade da parábola 
é voltada para baixo, pode-se afirmar que a < 0.
b) Domínio: D = R.
c) Ponto do vértice: = (Ponto de máximo).
d) Imagem: Im = 
e) Intervalo no qual a função é crescente: .
f) Intervalo no qual a função é decrescente: .
Capítulo 7 Função Polinomial do 2º grau 233
4 Sinal da função
Analisam-se, neste subcapítulo, os sinais da função quadrá-
tica, isto é os sinais em que a função é negativa ou positiva, 
ou o intervalo na qual ou . Na resolução de 
inequações do 2º grau estas questões que já foram aborda-
das, portanto, apresenta-se a seguir apenas um resumo das 
diferentes possibilidades.
a) Positivo 
 1) se então , 
para as raízes da função;
 2) se então , para 
as raízes da função;
 3) se então 
b) Negativo 
 1) se então , para 
as raízes da função;
 2) se então , 
para as raízes da função;
 3) se então 
234 Matemática Fundamental
5 Simetria daparábola
O eixo de simetria da parábola é a reta paralela ao eixo y que 
passa pelo vértice. Logo, para todo ponto , tal que a 
variação da função ( , tem-se um ponto 
tal que e ou seja:
m
Exemplos
 1) Analise o gráfico e responda as questões propostas:
a) Ponto do vértice: .
b) Eixo de simetria: x = 1
c) Pontos simétricos:
c.1) Para e = (1, 0), tem-se:
Capítulo 7 Função Polinomial do 2º grau 235
, 
O ponto (3,4) é simétrico ao ponto (-1,4)
c.2) Para e = (1, 0), tem-se:
, 
O ponto (0,1) é simétrico ao ponto (2,1).
 2) Analise as características da função 
para .
a) Construa o gráfico:
b) Vértice da parábola:
 , tem-se a = -1, b = 2 e c = 3
236 Matemática Fundamental
Para 
Logo, o ponto do vértice é (1, 4).
c) Imagem (observe o gráfico).-
.
d) Raízes:
Para , com 
 tem-se
 =
 
 (Observe as raízes no gráfico).
e) Para . Logo, a função tem duas raízes (calcula-
das no item c).
Capítulo 7 Função Polinomial do 2º grau 237
f) Intervalo no qual a função é crescente
Para , logo tem-se que o intervalo para fun-
ção crescente é dada por:
 (Identifique no gráfico este intervalo).
g) Intervalo no qual a função é decrescente.
Para , logo se tem que o intervalo para função 
decrescente é dada por:
 (Identifique no gráfico este intervalo).
h) Intervalo no qual a função é positiva:
Como então para , logo 
se tem que a solução para função é positiva é dada por 
 (Observe no gráfico).
i) Intervalo no qual a função é negativa:
Como então para , logo 
se tem que a solução para função negativa é dada por 
 (Observe no gráfico).
 3) Analise as características da função exemplo 
 para 
a) Construa o gráfico:
238 Matemática Fundamental
b) Determine o vértice da parábola da função 
 .
Para 
c) Imagem: (Observe 
no gráfico).
d) Raízes
Para , com , 
tem-se que:
, portanto, a função não tem raízes em Logo, se 
tem que .
e) Intervalo no qual a função é crescente:
Capítulo 7 Função Polinomial do 2º grau 239
Para , logo tem-se que o intervalo para fun-
ção crescente é dada por e decrescente 
no intervalo , dado por:
.
f) Intervalo no qual a função é decrescente:
Para e então para todo , logo 
tem-se que o intervalo para função positiva é dada por 
e o intervalo para função negativa é dado por .
Sugestão de atividade
Utilize um software gráfico qualquer e determine as caracterís-
ticas das funções quadráticas. O anexo deste livro é um tuto-
rial sobre o software Graphmática, que pode ser utilizado para 
resolver esta atividade.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
240 Matemática Fundamental
Referências
JACKSON, R. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. 
v. 1. São Paulo: Scipione, 2010.
LOGEN, A. Matemática: uma atividade humana. Ensino Mé-
dio. v.1. Curitiba: Base, 2003.
Atividades
 1) O número de diagonais (d) de um polígono convexo é 
dado em função do número de lados (n) desse polígono. A 
fórmula matemática que relaciona o número de diagonais 
de um polígono convexo com o número de lados desse 
polígono é: 
a) Essa fórmula corresponde a uma função quadrática? 
Justifique.
b) Calcule o número de diagonais em um decágono con-
vexo.
c) Calcule o número de lados de um polígono convexo 
que tem 20 diagonais.
a) Essa fórmula indica função quadrática? Justifique.
 Operando na fórmula, tem-se:
 . Como o maior expoente de n é 2, a fórmu-
la indica uma função quadrática.
Capítulo 7 Função Polinomial do 2º grau 241
b) Calcule o número de diagonais em um decágono con-
vexo.
 Decágono é um polígono com 10 lados. Logo:
 
 
 Logo, um decágono tem 35 diagonais.
c) Calcule o número de lados de um polígono convexo 
que tem 20 diagonais.
 
 
 
 (Aplicando Báskara e calculando as 
raízes).
 e (Como o número de lados de um 
polígono não pode ser um número negativo, a única 
resposta que responde este problema é n = 8).
 Logo, o polígono é um octógono.
 2) Determine a lei da função da área de um quadrado em 
relação à medida dos lados.
x (lado) 0 1 2 3 4 5 ... l
y (área) 0 1 4 9 16 25 ... l²
242 Matemática Fundamental
Logo: A(l) = l²
 3) Observe o gráfico:
a) Quais são os zeros dessa função?
b) O gráfico corresponde a uma função linear?
c) Para quais valores de x a função é crescente? E decres-
cente?
a) Quais são os zeros dessa função?
 e 
b) O gráfico corresponde a uma função linear?
 Não, como o gráfico é uma parábola corresponde a 
uma função quadrática.
Capítulo 7 Função Polinomial do 2º grau 243
c) Para quais valores de x a função é crescente? E decres-
cente?
 Crescente: 
 Decrescente: 
 4) Desprezando a resistência do ar, um corpo cai e percorre, 
nas proximidades da superfície terrestre, os valores aproxi-
mados de distância mostrados na tabela:
Tempo (s) 0 1 2 3
Distância (m) 0 5 20 45
 Determine a sentença matemática que relaciona a dis-
tância d ao tempo t.
 (encontre a resposta logicamente)
 5) O custo C, em reais, para se produzir n unidades de de-
terminado produto é dado por: C = 2510 - 100n + n². 
Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o 
custo mínimo?
 Para encontrar o custo mínimo, precisa-se determinar 
o ponto de mínimo, isto é, o vértice da parábola:
 
 
 Agora, na fórmula C = 2510 - 100n + n², identifique 
quem ocupa “o lugar” de y e de x (variável dependen-
244 Matemática Fundamental
te e independente). O problema pede o número de 
unidades que devem ser produzidas para se obter o 
custo mínimo. O número de unidades (n) está ocupan-
do “o lugar de x”, por isso a resposta deste problema 
é o x do vértice, ou seja, 50 unidades.
 6) Uma empresa produz, por dia, x unidades de certo pro-
duto, e pode comercializar a um preço de R$ 100,00 a 
unidade. Se x unidades são produzidas a cada dia, o custo 
total, em reais, da produção diária é igual a x² + 20x + 
700. Portanto, para que a empresa tenha lucro diário de 
R$ 900,00, qual deve ser o número de unidades produzi-
das e vendidas por dia? 
Função receita: y = 100x
Função custo: y = x² + 20x + 700
Função lucro = função receita – função custo
Lucro diário de R$ 900,00
 Como o problema se refere à quantidade máxima pro-
dutos, que neste problema está representado por x, 
deve-se calcular o .
Capítulo 7 Função Polinomial do 2º grau 245
 
 Logo, o número de unidades que deve ser produzida e 
vendida é 40.
 7) Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em dire-
ção ao solo. Sua altura h em relação ao solo, t segundos 
após o lançamento, é dada pela expressão h = –25t² + 
625. Após quantos segundos do lançamento a bola atin-
girá o solo?
 Quando a bola atingir o solo, sua posição será igual 
a zero, ou seja, h(t) = 0
 h(t) = –25t² + 625
 0 = –25t² + 625
 25t² = 625
 
 
 
 (O tempo não pode ser negativo)
 Logo, a bola levará 5 segundos para atingir o solo.
 8) A trajetória de uma bala de canhão foi representada no 
plano cartesiano por , com uma unidade repre-
sentando um quilômetro. Determine a altura máxima que 
a bala atingiu. A altura, neste problema, é representada 
246 Matemática Fundamental
pela letra y. Como o problema pede a altura máxima, é 
necessário determinar o .
 0,0625 km = 62,5 m
Logo, a altura máxima atingida pelo projétil foi de 62,5 m.
 9) A trajetória de uma jato d’água descreve uma parábola. 
Sabendo que sua altura (h), em metros e tempo (t), em se-
gundos, seja dada por , para um tem-
po de 2 segundos a altura em metros equivale a:
Logo, a altura para um tempo de 2 s é de 10 m.
Capítulo 7 Função Polinomial do 2º grau 247
 10) Calcule o valor de m na equação 3x² - mx -8 = 0 de modo 
que uma de suas raízes seja 2.
 Como 2 é uma das raízes da equação pode-se afirmar 
que f(2) = 0. Logo:
 f(x) = 3x² - mx - 8
 f(2) = 3(2)² - m(2) – 8
 0 = 12 – 2m – 8
 - 4 = - 2m
 m = 2
Recapitulando
a) Quando se tem uma função quadrática, ou seja, com 
y igual a um polinômio de 2º grau da forma ax² + bx 
+ c, com a ≠ 0, o gráfico é uma curva chamada pa-
rábola.
b) A parábola é uma figura que apresenta simetria axial.
c) No gráfico da funçãoquadrática, o eixo de simetria da 
parábola é sempre perpendicular ao eixo x.
d) O encontro da parábola com seu eixo de simetria é 
seu vértice.
e) A parábola corta o eixo x nas raízes do polinômio de 
2º grau.
248 Matemática Fundamental
f) Quando a > 0, a concavidade da parábola é voltada 
para cima; quando a < 0, a concavidade é voltada 
para baixo.
No próximo capítulo, estudam-se as funções exponenciais 
e logarítmicas.
Atividades
 1) Analise as características da função exemplo 
para 
a) Construa o gráfico.
b) Determine o vértice da parábola da função .
c) Determine a imagem.
d) Determine os zeros da função.
e) Determine o intervalo no qual a função é crescente:
f) Intervalo no qual a função é decrescente:
 2) Determine o sinal da função quadrática f(x) = x² + x – 6.
 3) Dada a função f(x) = 2x² + 3x + 4, determine, quando 
existirem, os valores de x cujas imagens pela função f são 
negativas.
 4) Dada a função y = 2x² - 8, determine o domínio e a ima-
gem da função.
Capítulo 7 Função Polinomial do 2º grau 249
 5) Em um campeonato de futebol, cada clube vai jogar duas 
vezes com outro, em turno e returno. Assim, o número p 
de partidas do campeonato é dado em função do número 
n de clubes participantes. Qual a lei de formação dessa 
função?
 6) O movimento de um projétil, lançado para cima vertical-
mente, é descrito pela equação . Onde 
y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos 
após o lançamento. Determine a altura máxima atingida e 
o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde.
 7) Assinale a alternativa correta:
a) O gráfico da função y = x² + 2x não intercepta o eixo 
y.
b) O gráfico da função y = x² + 3x + 5 possui concavi-
dade para baixo.
c) O gráfico da função y = 5x – 7 é decrescente.
d) A equação x² + 25 = 0 possui duas raízes reais e di-
ferentes.
e) A soma das raízes da função y = x² – 3x – 10 é igual 
a 3.
 8) Da função quadrática f(x) = -2x² + 4x – 9, pede-se as 
coordenadas do vértice do gráfico.
a) V = (-7, 1) b) V = (1, -7)
c) V = (0, 1) d) V = (-7, 0)
250 Matemática Fundamental
e) V = (0, 0)
 9) Sabendo que uma das raízes da função quadrática é igual 
a (-2) e que a mesma obtém seu valor máximo quando x 
= 5, determine o valor da outra raiz dessa função.
 a) 3 b) 7 
c) 10
 d) 12 e) 15
 10) O vértice da parábola que corresponde à função 
 corresponde a letra:
a) (-2, 2) b) (-2, 0) c) (-2, 2)
d) (2, -2) e) (2, 2)
Capítulo 8
Função Exponencial e 
Função Logarítmica
252 Matemática Fundamental
Introdução
A principal característica de uma Função Exponencial é a va-
riável no expoente. Essa função tem diversas aplicações, entre 
elas nos cálculos relacionados aos juros compostos na Mate-
mática Financeira, pois ocorre acumulação de capital durante 
o período da aplicação. Da mesma forma, a Função Loga-
rítmica possui várias aplicações na Matemática e em outras 
áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Me-
dicina, entre outras. Aborda-se, neste capítulo, o estudo das 
Funções Exponenciais e Logarítmicas.
1 Equações Exponenciais
A equação exponencial é uma equação cuja incógnita encon-
tra-se no expoente, como nos exemplos: e 
A solução da equação exponencial pode ser encontrada de 
diferentes formas, como se estuda a seguir:
a) Decomposição dos termos em uma mesma base.
 1) (Decompor 8 na base 2 para igualar as bases).
 (Desconsiderar as bases igualando somente os 
expoentes).
 
 , Logo, 
 2) (Decompor 9 na base 3).
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 253
 (Aplicar a propriedade ).
 (Desconsiderar as bases igualando somente os 
expoentes).
 
, Logo, 
 3) (As bases já são iguais, portanto, igualar somen-
te os expoentes).
, logo, 
 4) (Decompor 9 e 27 na base 3).
 , Logo, V = 
 5) 
 , logo V = 
254 Matemática Fundamental
 6) 
 , logo V = 
 7) (Lembre-se que a0 = 1)
 , logo, V = 
 8) 
 
 (Aplicando Báskara)
 , logo, V = 
b) Substituição do termo por , para a incógnita e 
 a base e uma incógnita qualquer.
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 255
 1) (Lembre-se que: e 
. Aplicar essas propriedades e reescrever a 
equação).
 (Lembre-se que 3-1 = )
 (Substituir )
 (mmc)
 (Voltando à condição 
 (Substituindo m pelo valor encontrado. Nesse exem-
plo, m = 3).
, logo, 
 2) (Lembre-se que: e 
. Aplicar essas propriedades e reescrever a 
equação).
 
(Substituir )
 (mmc)
256 Matemática Fundamental
 (Voltando à condição 
, logo, 
 3) 
 (Substituir )
 (mmc)
 (Voltando à condição 
, logo, 
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 257
2 Inequações exponenciais
Inequação exponencial é uma desigualdade entre expressões 
cuja incógnita encontra-se no expoente, como por exemplo 
. A solução da inequação exponencial 
pode ser realizada através dos mesmos métodos da equação 
exponencial. A seguir alguns exemplos de resolução.
 1) 
 2) 
 (Cuidado: sinal da incógnita negativo. Não se es-
queça de inverter o sinal da desigualdade).
 3) (Substituir 
 (Aplicando Báskara)
258 Matemática Fundamental
 e (Voltando para )
x > 1
3 Função Exponencial
Para a função na forma , para = base tal 
que denomina-se a como uma fun-
ção exponencial. Exemplos de funções exponenciais: , 
e 
Graficamente a função exponencial, em tem as 
seguintes formas:
 1) Para a > 1 (Lembre-se que a é a base)
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 259
x
y
Função crescente
 2) Para 
x
y
Função decrescente
260 Matemática Fundamental
3.1 Características da função exponencial
As funções exponenciais têm algumas características:
 1) Características da função exponencial na sua forma geral 
a) Sobre as raízes ou zeros da função exponencial: não 
tem raiz.
b) Sobre o domínio: ;
c) Sobre a imagem: .
d) Para a função é crescente para todo o domínio.
e) Para a função é decrescente para todo o 
domínio.
f) : positiva para todo o domínio.
g) : não existe parte negativa, portanto: 
, logo 
 2) Características da função exponencial na forma 
a > 0 
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 261
x
y
 
x
y
a) Sobre as raízes: a função exponencial tem raiz em 
. Exemplo:
0 = 
4 = 
b) Sobre o domínio: 
c) Para a função é crescente para todo o domínio.
d) Para 1 a função é decrescente para todo o 
domínio
e) Positiva no intervalo, para:
e.1) para logo 
;
262 Matemática Fundamental
e.2) para logo 
.
f) Negativa no intervalo, para:
f.1) para logo 
;
f.2) para logo 
.
Atividade sugerida
Utilize um software gráfico para responder a seguinte questão:
Observe o gráfico das funções f(x)=2x, f1(x)=2
x+1, 
f2(x)=2
x+2 e f3(x)=2
x+3. O que ocorre com f1(x), f2(x), f3(x) em 
relação a f(x)=2x?
Resposta:
As funções f1(x), f2(x) e f3(x) é a função f(x)=2
x transladada ver-
ticalmente por 1, 2 e 3 unidades, respectivamente.
Atividades
 1) Esboce os gráficos e analise as características das funções:
a) b) c)
1a) Gráfico de 
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 263
Domínio: R Imagem: Raiz: V = 
Intervalo onde a função é crescente: R
Intervalo onde a função é decrescente: nunca é decrescen-
te - V = 
Intervalo no qual a função é positiva: R
Intervalo no qual a função é negativa: nunca é negativa, 
portanto, V = .
b) Gráfico de 
264 Matemática Fundamental
Domínio: Imagem: Raiz: V = 
 Intervalo onde a função é crescente: nunca é crescente, 
portanto, V = .
Intervalo onde a função é decrescente: 
Intervalo no qual a função é positiva: 
 Intervalo no qual a função é negativa: nunca é negativa, 
portanto, V = .
c) Gráfico de 
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 265
Domínio: R Imagem: Raiz: V {1}
Intervalo onde a função é crescente: R
Intervalo onde a função é decrescente: 
Intervalo no qual a função é positiva: 
Intervalo no qual a função é negativa: 
 2) O número de bactérias em um meio duplica de hora em 
hora. Se, inicialmente,existem 8 bactérias no meio, deter-
mine o número de bactérias no fim de 10 horas.
No tempo t = 0, o número de bactérias é igual a 8.
 No tempo t = 1, o número de bactérias é dado por 8.2 = 
16.
 No tempo t = 2, o número de bactérias é dado por 8.2.2 
= 32.
266 Matemática Fundamental
 Assim, no tempo t = x, o número de bactérias é dada por 
 Logo, no tempo desejado, ou seja, ao fim de 10 horas, o 
número de bactérias será:
n = 20.000.000.000.000 de bactérias
 3) Sob certas condições, o número de bactérias B de uma 
cultura, em função do tempo t, medido em horas, é dado 
por . Determine o número de bactérias após 5 
dias da hora zero.
 5 dias após o início da hora zero representam um total de 
5. 24 = 120 horas.
Portanto:
 
 
 = 1024
Logo, o número de bactérias após 5h será 1024.
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 267
 4) Uma certa substância se decompõe aproximadamente se-
gundo a lei , em que K é uma constante, 
t indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quantidade 
da substância, em gramas, no instante t. Considerando 
os dados desse processo de decomposição mostrados no 
gráfico, determine os valores de K e de a.
Representação gráfica:
A função exponencial passa pelos pontos 
(a, 512) e (0, 2048).
Substituindo esses pontos na função, tem-se:
 (Substituir os valores do ponto (0, 2048) na 
função).
2048
k = 2048 (Substituir o valor de k na função).
268 Matemática Fundamental
 (Substituir os valores do ponto (a, 512) 
na função).
 5) O montante M é a quantia a ser recebida após a aplica-
ção de um capital C, a uma taxa i, durante certo tempo t. 
No regime de juros compostos, esse montante é calculado 
pela relação . Considere um capital de R$ 
10.000 aplicado a uma taxa de 12% ao ano durante 4 
anos. Qual seria o montante ao final dessa aplicação?
 (Fórmula do montante no regime de juros 
compostos; montante é a soma entre o capital aplicado e 
os juros recebidos).
 (Transforme a taxa de 12% para nú-
mero decimal: )
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 269
Logo, o montante será de R$ .
 6) Em determinada cidade, o número de habitantes é dado 
pela função H, sendo , em que k é constante 
e r, que é o raio de distância a partir do centro dessa cida-
de, é positivo e dado em quilômetro. Sabendo que existem 
12.288 habitantes num raio de 4 km contados desde o 
centro, quantos habitantes há em um raio de 6 km?
Observe os dados do problema:
 Raio de 4 km → população 12288. Pode-se escrever esta 
informação como sendo um ponto cartesiano: (4, 12288).
 Para encontrar a constante k, basta substituir este ponto na 
função:
O próximo passo é substituir o valor de k na função.
270 Matemática Fundamental
 A pergunta do problema é quantos habitantes há em um 
raio de 6 km, logo:
r = 6.
Portanto, haverá 786.432 habitantes em um raio de 6 km.
 7) Encontre a solução da inequação exponencial 
 (Observe que o valor da base é 5, portanto é 
maior que 1).
 (Simplifique as bases)
Logo, 
 8) Encontre o conjunto solução da inequação 
 (Observe a base: , portanto é ne-
cessário inverter o sinal da inequação).
 (Simplifique as bases)
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 271
Logo, 
 9) Uma certa substância se decompõe aproximadamente se-
gundo a lei , em que K é uma constante, 
t indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quantidade 
da substância, em gramas, no instante t. Considerando 
os dados desse processo de decomposição mostrados no 
gráfico, determine os valores de K e de a.
 Observe que a função exponencial , passa 
pelos pontos (a, 512) e (0, 2048). Substitua os valores des-
tes pontos na função:
272 Matemática Fundamental
Logo, k = 2048 (Substitua o valor de k na função)
 (Substitua os valor do ponto (a, 512) 
na função).
 (Simplifique a fração).
 (Lembre que ).
 (Simplifique as bases).
 10) (Unit – SE) Uma determinada máquina industrial se depre-
cia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, 
é dado por , em que V0 representa o valor 
de compra da máquina. Se, após 10 anos, a máquina es-
tiver valendo R$ 12 000,00, determine o seu valor no dia 
da compra.
Tem-se que V(10) = 12 000
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 273
Portanto, o preço inicial da máquina foi de R$ 48 000,00.
4 Logaritmo
O desenvolvimento dos logaritmos nasceu da necessidade de 
simplificação de alguns cálculos matemáticos, principalmente 
por conta do desenvolvimento da Astronomia e da expansão 
do comércio causada pelas grandes navegações. Uma maior 
intensidade nesse desenvolvimento se deu entre os séculos XVI 
e XVII e os logaritmos surgiram como meios de cálculos, que 
transformavam complexas operações de multiplicação e divi-
são em simples operações de adição e subtração. O inventor 
dos logaritmos foi o escocês John Neper (1550-1617), em-
bora não tenha sido apenas dele a criação desse conceito. 
Com exemplos, identifica-se a necessidade do logaritmo para 
resolver algumas equações exponenciais. Observe a resolução 
de algumas equações exponenciais:
a) 
 
 , logo, 
b) 
 
274 Matemática Fundamental
 , logo, 
c) 
 
 , logo, 
d) 
 
 , logo, 
e) 
Observe que não podemos escrever o número 5 com uma 
potência de base 2. Para resolver esse tipo de equação estuda-
-se o conceito de logaritmo.
Denomina-se logaritmo de um número , para 
em uma base , o número , para , 
tal que , se, e somente se:
, para:
logaritmando ou antilogaritmo
base ou sistema
logaritmo.
Observações:
a) Quando a base não é especifica-
da, , tem-se que , logo, 
. O logaritmo é chamado de de-
cimal.
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 275
b) Para uma base , onde 
, denominado como número de 
Euler, tem-se que . O 
logaritmo é chamado de natural.
Exemplos (Lembre-se que: ).
a) (Substituir os valores na fórmula 
).
 
 
 , Logo, . Portanto, 4 é o logaritmo de 16 
na base 2.
b) (Substituir os valores na fórmula 
).
 
 
 
 , logo, . Portanto, -2 é o logaritmo de 
 na base 7.
c) 
 
 
 (Decompor 9).
276 Matemática Fundamental
 
 
 
 
 
 , logo, . Portanto, é o logaritmo de 
na base 9.
d) 
 (Por definição o número a deve ser positivo e 
diferente de 1)
 
 5, logo, , já que a não pode ser negativo.
e) 
 
 
 , logo, .
f) Determinar o valor do número Natural A sabendo que 
 (Resolver separadamente os lo-
garitmos)
 
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 277
 (Utilizar potência de base 10)
 
 
 
 
 
 
 
 (Substituir os valores encontra-
dos)
 
 , Logo, .
g) Determinar o valor do número Natural A sabendo que 
:
 (Resolver separadamente os 
logaritmos)
 
 
 
 
 
278 Matemática Fundamental
 (Substituir os valores encontrados)
 , logo, .
4.1 Condições de existência de logaritmos
Quando se trabalha com logaritmos é necessário que se ob-
serve as condições de existência dos mesmos, isto é, , 
depende das seguintes condições:
a) N deve ser um número positivo, logo, N > 0.
b) A base deve ser um número positivo e diferente de 1, 
logo, a > 0 e a 1.
Exemplos
a) Determine os valores reais de x para os quais existe o 
.
1º) Analise a base (a): a = 2, Logo, a é > 0 e 1
2º) Analise o logaritmando (N). Lembre-se que N > 0
 > 0 (Outra vez trabalha-se com inequações).
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 279
x – 3 > 0
x > 3, logo 
b) Determine o conjunto dos valores reais de x para os 
quais é possível determinar
. Pelas condições de existência:
1º) Base
 (Lembre-se também que a base deve ser diferente de 
1).
2º) Logaritmando
Encontre as raízes por Báskara:
e 
Observe o sinal de a: a > 0, logo, a concavidade é voltada 
para cima:
Represente graficamente e encontre os intervalos onde a 
função é positiva.
280 Matemática Fundamental
Logo: ou (x < - 1 ou x > 5)
Tem-se, portanto, as seguintes restrições:
Logo, o conjunto é (Pode-se representar to-
das as restrições em retas numéricas e realizar a união dos 
conjuntos).4.2 Propriedade dos logaritmos
No quadro a seguir, descrevem-se as propriedades dos loga-
ritmos, que são consequências da definição.
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 281
Nº Exemplo Propriedade Condições
1
 
 
para todo a > 0 e a 
2
 
 
para todo a > 0 e a 
 
3
 
para todo a > 0 e a 
 e para todo n.
282 Matemática Fundamental
4
Substituindo y
 
(Propriedade 3)
 
para todo a > 0 e a 
 e N > 0
5
 
para todo a > 0 e a 
 e x > 0 e y >0.
4.3 Propriedades operatórias dos logaritmos
Além das propriedades do quadro anterior, têm-se também as 
propriedades operatórias dos logaritmos. Apresentam-se essas 
propriedades no quadro a seguir:
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 283
Nº Exemplo Propriedade
1
 
= A
= A
 Logo:
 
Logaritmo de um produto
Em uma mesma base, o 
logaritmo do produto de 
dois números positivos 
é igual à soma dos 
logaritmos de cada um 
desses números.
284 Matemática Fundamental
2
 , portanto: 
 , Logo, 
 , portanto, 
Logo:
Logaritmo de um 
quociente
Numa mesma base, o 
logaritmo do quociente 
de dois números positivos 
é igual à diferença dos 
logaritmos de cada um 
desses números.
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 285
3
 =
Observe que:
Logo:
 
Logaritmo de uma 
potência
Observe:
Numa mesma base, 
o logaritmo de uma 
potência de base positiva 
é igual ao produto do 
expoente pelo logaritmo 
da base da potência.
286 Matemática Fundamental
4 Observe:
Calcula-se separadamente:
Substituindo:
3 
Mudança de base
Essa propriedade é muito 
utilizada nas calculadoras 
científicas. Lembre-se que 
a calculadora só trabalha 
com log (base 10) e ln 
(base e). Portanto, se 
se quiser encontrar, por 
exemplo, o , aplica-
se a mudança de base:
 
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 287
Exemplos:
a) Dados e , determine .
 =
 , logo, 
b) Dados e , determine 
log 12.
 (Como o exercício pede para determinar 
o log 12, deve-se decompor 12 em 2 x 6, já que esses fo-
ram os dados fornecidos).
 = 
 , logo: = 
c) Dados e , determine 
log 36.
 (Para determinar o log 36, deve-se decom-
por 36 em 6²).
288 Matemática Fundamental
d) Dados , determine . (Perceber que 
se pode representar 5, pela divisão de 10 por 2).
 
.
Atividades
 1) Se e , então é igual a:
 (Substui-se ).
 (a . a³ = a4).
 = x (Substituir os valores de c).
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 289
 = x (Aplicar a propriedade logaritmo da potên-
cia)
 (Lembre-se que: .
16 . 1 = 16, Logo, = 16
 2) Dados , e , calcule .
 (Aplicar as propriedades 
operatórias).
 (Substituir os valores).
 3) Sendo .
 = (Aplicar as propriedades operató-
rias).
 (Aplicar as propriedades opera-
tórias).
 (Aplicar as propriedades 
operatórias).
 , logo: (Substituir os valores).
 =
 4) Sendo , calcule .
(Aplicar as propriedades operatórias).
 (Aplicar as propriedades operatórias).
290 Matemática Fundamental
 (Aplicar as propriedades operató-
rias).
 = (Aplicar as propriedades 
operatórias).
 , logo, (Substituir por valo-
res fornecidos pelo exercício).
 5) Resolva a seguintes equação 
x² - 6x + 9 – 9 = 0
x² - 6x = 0 (Resolver a equação do segundo grau).
 
Condições de existência da base (b >0 e b )
b> 0
x – 3 > 0
x > 3
b
x – 3 
 x , portanto, x > 3 e x (Condições de existência do 
logaritmo).
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 291
 Valores de x encontrados na resolução da equação do 2º 
grau: 
 Analisando as condições de existências e os valores de 
, tem-se:
V = , pois 6 é x > 3 e x .
 Observação: a outra raiz encontrada na solução da equa-
ção do segundo grau (x = 0) não faz parte do conjunto 
solução, pois 0 é menor que 3.
 6) Resolva a equação 
Condições de existência do logaritmando (N > 0)
 (Comparar a solução da equação com a solução 
da condição de existência). Logo,
 7) Resolver a equação 
 (Aplicar as propriedades)
292 Matemática Fundamental
 (Por se ter apenas um termo em cada 
lado da equação e os dois termos ter em comum , 
pode-se simplificar).
Condição de existência do logaritmando
 (Analisar as duas respostas, a da equação e a da 
condição de existência). Logo:
V = {3}
 8) Determine o valor de sabendo que 
.
 Para resolver esse exercício é necessário utilizar as proprie-
dades dos logaritmos. Deve-se encontrar uma forma de, 
partindo do 45, chegar-se a 5. Por isso, utiliza-se .
 (Aplique a propriedade do logaritmo de 
um quociente)
 (Resolva 
)
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 293
 9) Determine o valor da expressão .
 10) Determine o valor de 
Aplicando uma das propriedades do logaritmo, tem-se:
Logo: 
294 Matemática Fundamental
5 Logaritmo Natural
Os logaritmos naturais são logaritmos representados pela 
base “e” que é um número Irracional denominado de constan-
te ou número de Euler equivalente a (e=2,71828..). Matema-
ticamente, representa-se o logaritmo natural por: 
Todas as propriedades estudadas para logaritmos até ago-
ra também são aplicadas no estudo dos logaritmos naturais. 
Observe a seguinte situação:
a) = 
b) 
Perceba que mesmo tendo valores diferentes para as dife-
rentes bases, o resultado da razão (divisão) é o mesmo.
6 Função Logarítmica
A função logarítmica apresenta diversas aplicações. Entre 
elas, destacam-se as diferentes escalas, como:
 Â Escala Richter, utilizada nos cálculos de estudo das mag-
nitudes de um terremoto;
 Â Escala Decibel, para cálculo da quantidade de decibéis 
de um som;
 Â Escala de pH, com grande utilização na Química.
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 295
 Â Escala de magnitude aparente: utilizada na Astronomia 
para calcular o brilho de uma estrela.
Para a função na forma , para 
= base tal que:
 , denomina-se a como uma fun-
ção logarítmica de base .
Observe os seguintes exemplos:
a) (Base do logaritmo é igual a 2, portanto, 
 1) Gráfico da função
x
y
 2) Domínio: 
 3) Imagem: 
 4) A raiz da função:
296 Matemática Fundamental
 5) A função é crescente em todo o seu domínio.
 6) A função é negativa no intervalo 
 7) A função é positiva no intervalo 
b) (Base do logaritmo é igual a , portanto, 
 1) Gráfico da função
x
y
2) Domínio: 
3) Imagem: 
4) A raiz da função:
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 297
 4) A função é decrescente em todo o seu domínio.
 5) A função é negativa no intervalo 
 6) A função é positiva no intervalo 
Portanto, as características da função logarítmica, , 
são:
a) Pela condição de existência 
, , logo:
 e .
b) Raiz: a função logarítmica tem uma raiz para .
c) Imagem: para qualquer no Domínio existe um y cor-
respondente nos Reais, logo:
.
d) Crescente: para a função é crescente para todo 
o Domínio, ou seja, ;
e) Decrescente: para a função é decrescente 
para todo o Domínio, ou seja, ;
298 Matemática Fundamental
f) Positiva ou negativa:
 para:
 , a função é crescente, logo, a função é positiva para 
;
 , a função é decrescente, logo, a função é posi-
tiva para ;
f.2) para
 , a função é crescente, logo, a função é negativa 
para ;
 , a função é decrescente, logo, a função é ne-
gativa para .
c) Analisa-se as característica da função 
 1) Gráfico da função
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 299
 2) Pela condição de existência 
Base = 10, logo, base > 0
Logaritmando:
Logo, .
 3) .
 4) Raiz:
 , Logo, V = (Observe a raiz no gráfico)
 5) Para , a função é crescente para 
todo o Domínio, então:
 e não é decrescente para nenhum inter-
valo de 
 6) Como a função é crescente é positiva, , para 
, logo:
 V= ; e negativa, para , Logo, 
.
300 Matemática Fundamental
d) Analisa-se a função logarítmica natural f(x) = ln x.
 1) Gráfico
 2) Domínio 
 3) Imagem: 
 4) A raiz da função:
 5) A função é crescente em todo o seu domínio.
 6) A função é negativa no intervalo .7) A função é positiva no intervalo .
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 301
Observação
a) A definição de função logarítmica mostra que a função 
logarítmica natural f(x) = ln x e a função exponencial 
natural g(x) = , são funções inversas uma da outra. 
Isso significa que seus gráficos são reflexões um do ou-
tro em relação à reta y = x, conforme gráfico a seguir.
b) O domínio da função logarítmica natural f(x) = ln x é 
o conjuntos dos números Reais positivos. Portanto, o 
valor de y só pode ser calculado para valores de x > 0.
c) As funções f(x) = ln x e g(x) = são inversas uma da 
outra, então o domínio de f(x)=ln x é igual à imagem 
de g(x) = e a imagem de f(x) = ln x é igual ao do-
mínio de g(x) = .
Retoma-se agora a situação apresentada no início deste 
capítulo em relação à resolução de equações exponenciais.
302 Matemática Fundamental
a) 
, logo, 
b) 
, logo, 
c) 
, logo, 
Porém, para resolver a equação , não foi possível 
com os conceitos estudados até então. Agora, conhecendo-se 
o logaritmo, é possível resolvê-la. Lembre que, como a divisão 
e a multiplicação são operações inversas, logaritmo e expo-
nencial também são.
 (Lembre-se do conceito de equação como “Balança 
de dois pratos”).
 (Aplicando log dos dois lados da equação, 
mantêm-se o equilíbrio).
 (Utilizar a calculadora para obter os valores de 
log5 e log 2).
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 303
3
6.1 Aplicações das Funções Logarítmicas e 
Exponenciais
As funções logarítmicas e exponenciais são aplicadas para re-
solver problemas, com aplicação em diferentes áreas, como as 
que se apresentam a seguir.
 1) Um comerciante aplicou a importância de R$ 500,00 em 
uma agência que paga juros mensais de 3,5% no regime 
de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o 
montante será de R$ 3 500,00?
n = 56,56 meses
n = 4a 8m 17d
304 Matemática Fundamental
 2) Em uma cidade, a taxa de crescimento populacional é de 
aproximadamente 3 % ao ano. Em quantos anos, a popu-
lação dessa cidade irá dobrar se a taxa de crescimento se 
mantiver?
População inicial = 
População final = 2 
Taxa de crescimento anual: 3% = 0,03 (i)
Tempo = n
2 
 = 23,44 anos = 23a 5m 10d
 3) Determine o tempo que leva para que 1 000g de cer-
ta substância radioativa, que se desintegra a uma taxa 
de 2% ao ano, se reduza a 200 g, segundo a função: 
, em que Q é a massa (em gramas) da subs-
tância, r é a taxa e t é o tempo em anos.
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 305
ln 
ln (Lembrar que ln e = 1)
ln 
 = 80a 5m 20d
Referências
História dos Logaritmos. Disponível em: <http://www.infoes-
cola.com/matematica/historia-dos-logaritmos>. Acesso 
em 29 jul. 2015.
JACKSON, R. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. 
v. 1. São Paulo: Scipione, 2010.
Logaritmo Natural. Disponível em: http://www.infoescola.com/
matematica/logaritmo-natural/>. Acesso em 31 jul. 2015.
LOGEN, A. Matemática: uma atividade humana. Ensino Mé-
dio. v.1. Curitiba: Base, 2003.
306 Matemática Fundamental
Exercícios resolvidos
 1) As funções f e g, representam o número de ratos e o nú-
mero de habitantes de uma certa cidade em função do 
tempo t (em anos), respectivamente, num período de 0 a 
5 anos. Suponha que no tempo inicial (t=0) existam nesta 
cidade 100 000 ratos e 7 000 habitantes, que o número 
de ratos dobra a cada ano e que a população humana 
cresce 2 000 habitantes por ano. Encontre:
a) As expressões matemáticas das funções f e g.
b) O número de ratos que haverá por habitante, após 5 
anos.
a) Podem-se encontrar as funções f e g da seguinte for-
ma:
Função f
 (Lembre-se que o número 
de ratos dobra a cada ano)
...
Função g
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 307
 (Lembre-se que o núme-
ro de humanos cresce 2 000 habitantes por ano).
...
b) Para resolver este item, calcula-se o quociente 
para t = 5.
 Logo, em 5 anos o número de ratos será de 40 por habi-
tante.
 2) Resolva a equação exponencial 
 (Simplifique 
 (Simplifique as bases)
 3) Determine a solução da equação 
 (Aplique as propriedades)
308 Matemática Fundamental
Substituindo: 
 (Multiplicando por 5)
Voltando à igualdade:
Logo: S={1}
 4) Uma pesquisa realizada em certa região identificou que 
a população P de cresce segundo a lei de formação 
, em que t representa o tempo em anos. Para 
que a população atinja uma quantidade de 1280 milhares 
de habitantes, será necessário um tempo de x anos. Deter-
mine o valor natural de x.
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 309
 5) Sabendo que log 2 = x e que log 6 = y, escreva log 576 
em função de x e y.
 (Reescrevendo o logaritmo)
 6) O gráfico da figura a seguir descreve o comportamento de 
uma função logarítmica na base a. Determine o valor da 
base a.
Lei de formação geral do logaritmo
310 Matemática Fundamental
Encontre pontos cartesianos no gráfico: (4, -2) e (1, 0). 
Substitua um dos pontos na função.
 (Lembre-se das condições de existência para a 
base).
Logo, .
 7) A produção de uma empresa vem decrescendo ano a ano. 
Num certo ano, ela produziu mil unidades de um deter-
minado produto. A partir desta data, a produção anual 
passou a seguir a lei descrita por: y = 1000 . (0,9)x. O 
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 311
número de unidades produzidas no segundo ano desse 
período recessivo foi de:
y = 1000 . (0,9)x
y = 1000 . (0,9)2
y = 1000 . 0,81
y = 810
 8) Suponha que um geógrafo tenha aproximado a popula-
ção de uma certa cidade ao longo do tempo pela fun-
ção p(t) = 12000 + 240t, em que t é o tempo, em anos, 
transcorrido desde o dia 1 de Janeiro de 2010. Imagine, 
agora, que o mesmo geógrafo queira determinar, aproxi-
madamente, quando a população dessa cidade irá atingir 
13.000.
p(t) = 12000 + 240t
13000 = 12000 + 240t
13000 – 12000 = 240t’
1000 = 240t
t = 4,16... anos
Logo: 2010 + 4 = 2014
Portanto, irá atingir 13 000 habitantes em 2014.
 9) Supondo que, em 2003, o PIB (produto interno bruto) de 
um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB cres-
cer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do 
312 Matemática Fundamental
país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 
1,80.
 bilhões
 10) Preocupados com a variação da temperatura média da 
Terra, uma equipe de pesquisadores começou a medi-la 
em 1870. Já em 1880 os cientistas constaram uma va-
riação de 0,01ºC acima daquela registrada em 1870. A 
função com t(x) em ºC e x em anos, 
descreve uma estimativa para o aumento da temperatura 
média da Terra (em relação àquela registrada em 1870) 
no ano (1880 + x), . Com base na função, determi-
ne em que ano a temperatura média da Terra terá aumen-
tado 3ºC. (Use 
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 313
 
 (
Substituir x = 164 em (1880 + x)
1880 + 164 = 2044
Portanto, em 2044 a temperatura média da Terra terá au-
mentado 3ºC.
314 Matemática Fundamental
Recapitulando
a) Uma função é chamada de exponencial quando a va-
riável se encontra no expoente de um número Real, 
sendo que esse número precisa ser maior que zero e 
diferente de um. Podemos explicitar tal condição usan-
do a seguinte definição geral: f: R→R tal que y = ax, 
sendo que a > 0 e a ≠ 1.
b) Uma função logarítmica é definida pela lei de forma-
ção f(x) = , com a ≠ 1, a > 0 e x > 0.
No próximo capítulo, estudam-se os conceitos básicos de 
Trigonometria.
Atividades
 1) Resolva as equações exponenciais
a) b) 
c) d) 
e) f) 
 2) Resolva as inequações exponenciais:
a) b) c) 
 3) A função exponencial dada por é:
a) Decrescente b) Nula c) Constante
Capítulo 8 Função Exponencial e Função Logarítmica 315
d) Crescente e) Negativa
 4) Determine a propriedade que é sempre válida:
a) log (a . b) = log a . log b
b) log (a + b) = log a + log b
c) log m . a = m . log a
d) log am = log m . a
e) log am = m . log a
 5) Sobre o gráfico da função real f(x) = x2 – 2, a alternativa 
corretaé:
a) Intercepta o eixo dos x no ponto (1, 0);
b) Intercepta o eixo dos x no ponto (0, 1);
c) Intercepta o eixo dos x no ponto (2, 0);
d) Intercepta o eixo dos x no ponto (0, -2);
e) Não intercepta o eixo dos x.
 6) Utilizando a condição de existência determine o domínio 
das funções:
a) 
b) 
c) 
 7) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra 
a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t 
316 Matemática Fundamental
horas é dado pela função . Nessas condi-
ções, pode-se afirmar que a população será de 51.200 
bactérias depois de que período de tempo?
 8) Sendo ; ; ; calcule:
a) b) c) 
d) e) f) 
 9) Qual é o tempo necessário para que um capital inicial 
empregado à taxa de 2% ao mês de juros compostos, que 
são capitalizados mensalmente, dobre de valor? 
 10) O ouvido humano pode perceber uma extensa faixa de in-
tensidades de ondas sonoras (som), desde cerca 10 -12 w/
m2 ( que se toma usualmente como o limiar de audição) 
até cerca de 1w/m2 (que provoca a sensação de dor na 
maioria das pessoas). Em virtude da enorme faixa de inten-
sidades a que o ouvido é sensível e também em virtude de 
a sensação psicológica da intensidade sonora não variar 
diretamente com a intensidade, mas com melhor aproxi-
mação, com o logaritmo da intensidade (Lei de Weber-
-Fechner), usa-se uma escala logarítmica para descrever 
o nível de intensidade de uma onda sonora. O nível de 
intensidade G medido em decibéis (db) se define por G = 
10 log (I / 10 -12), onde I é a intensidade do som. Calcule 
nessa escala, o limiar de audição dolorosa, em decibéis.
Capítulo 9
Trigonometria
318 Matemática Fundamental
Introdução
A trigonometria é um ramo da Matemática que estuda as rela-
ções entre os comprimentos dos lados e ângulos do triângulo 
retângulo. As primeiras aplicações estavam ligadas à Topo-
grafia e Astronomia, atualmente é utilizada nos mais diversos 
campos do conhecimento humano.
1 Trigonometria do triângulo retângulo
Antes de iniciar o estudo da trigonometria do triângulo retân-
gulo define-se o triângulo retângulo.
Um triângulo é formado por três lados e possui um ân-
gulo reto e dois ângulos agudos complementares. O maior 
lado é chamado de hipotenusa e outros dois lados de catetos.
A, B e C são os vértices do triângulo; a sua hipotenusa; b 
e c seus catetos.
Lembre-se que no triângulo retângulo pode-se aplicar o 
Teorema de Pitágoras.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
Capítulo 9 Trigonometria 319
O Teorema de Pitágoras talvez seja o mais importante te-
orema de toda a matemática. Com ele, pode-se descobrir 
a medida de um lado de um triângulo retângulo a partir da 
medida de seus outros dois lados. Pitágoras disse: a soma dos 
quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Portanto: a² = b² + c²
Exemplo:
Determine o segmento desconhecido no triângulo retângu-
lo da figura.
a² = b² + c²
10² = 8² + x²
100 = 64 + x²
36 = x² (Cuidado! Medidas de lados não são negativas).
x = 6
Considere agora o triângulo retângulo ABC:
 1) Em um triângulo retângulo chama-se de hipotenusa o lado 
oposto ao ângulo reto e os outros lados de cateto.
320 Matemática Fundamental
 2) Em relação aos ângulos internos, têm-se:
ângulo interno do 
triângulo retângulo
ângulo interno do 
triângulo retângulo 
 cateto oposto (co) ao 
ângulo 
 cateto oposto (co) ao 
ângulo 
 cateto adjacente (ca) ao 
ângulo 
 cateto adjacente (ca) 
ao ângulo 
 hipotenusa (h) hipotenusa (h)
A hipotenusa é o segmento oposto ao ângulo de 90°; o 
cateto oposto é o segmento oposto ao ângulo de referência; 
o cateto adjacente o segmento adjacente ao ângulo de refe-
rência, e que não é a hipotenusa.
Capítulo 9 Trigonometria 321
2 Razões trigonométricas
Observa-se, na figura a seguir, o triângulo retângulo com os 
ângulos internos de 30°, 60° e 90°. A hipotenusa desse tri-
ângulo é o segmento de reta ; o cateto oposto ao ângulo 
de 30º é o segmento de reta e o cateto adjacente a esse 
ângulo é o segmento de reta .
As medidas dos lados desse triângulo são:
 = 5,8 cm = 2,9 cm = 5 cm
As razões entre esses lados são:
322 Matemática Fundamental
A essas razões chama-se de seno, cosseno, tangente, 
cossecante, secante e cotangente.
Em relação ao ângulo de 30°, é chamado de cateto 
oposto. Logo:
a razão , é chamada de seno de um 
ângulo.
a razão , é chamada de cossecante de 
um ângulo.
Consequentemente, o valor da cossecante de um ângulo é 
o inverso do valor do seno deste mesmo ângulo.
Em relação ao ângulo de 30°, é chamado de cateto 
adjacente. Logo:
a razão , é chamada de cosseno de 
um ângulo.
a razão , é chamada de secante de 
um ângulo.
Consequentemente, o valor da secante de um ângulo é o 
inverso do valor do cosseno desse mesmo ângulo.
Ainda em relação ao ângulo de 30º, pode-se afirmar que:
A razão é chamada de tangente de 
um ângulo.
A razão é chamada de cotangente 
de um ângulo.
Capítulo 9 Trigonometria 323
Consequentemente, o valor da cotangente de um ângulo é 
o inverso do valor da tangente desse mesmo ângulo.
Resumindo
Exemplos
324 Matemática Fundamental
â = x
co = 12 cm
ca = 9 cm
h = 15 cm
Capítulo 9 Trigonometria 325
 (calculadora cos-1)
â = 53,13° (53°7’48”)
 4) Suponha que a rampa do Palácio do Planalto, em Brasília, 
forma com o solo um triângulo retângulo de vértices A, 
B e C, conforme a figura. Se sua inclinação com relação 
ao solo é constante de 26° e a distância de sua base no 
ponto B até o ponto C é de 9 m, determine a distância do 
ponto A ao ponto C (Considere: sen 26° = 0,438; cos 
26° = 0,899 e tan 26° = 0,488).
â = 26° ca = 9 m co = x
326 Matemática Fundamental
 5) Para determinar a altura de um prédio, um estudante ob-
serva que, ao se posicionar a 50 metros dele (conforme 
ilustrado na figura abaixo), o ângulo formado entre o pon-
to mais alto do prédio e a linha horizontal é de 60°. Se a 
altura do ponto de medição é de 1 metro, o valor mais 
próximo da altura do prédio, em metros, é:
â = 60° ca = 50 m co = x
Atenção: acrescente 1 m à resposta (altura do estudante).
Capítulo 9 Trigonometria 327
86,6 + 1 = 87,6 m
Portanto, a altura do prédio é de 87,6 m.
3 Arcos notáveis
Este subcapítulo tem como objetivo determinar o valor exato 
das razões trigonométricas dos chamados arcos notáveis (30°, 
45° e 60°).
a) Determine o valor do seno, do cosseno e da tangente 
de 45°
1º passo: desenha-se um quadrado de lado L e traça-se 
uma de suas diagonais.
2º passo: determina-se a medida da diagonal (x) do qua-
drado.
328 Matemática Fundamental
Aplica-se o Teorema de Pitágoras:
x² = L² + L²
x² = 2L²
x = 
x = L
3º passo: determinam-se as razões trigonométricas do ân-
gulo de 45°.
Portanto:
sen 45° = ; cos 45° = ; tg 45° = 1.
b) Determine o valor do seno, do cosseno e da tangente 
de 30°.
Capítulo 9 Trigonometria 329
1º passo: desenha-se um triângulo equilátero de lado L e 
traça-se a sua altura.
2º passo: trabalha-se com o triângulo retângulo em desta-
que na figura anterior e determina-se o valor de x.
Aplica-se o Teorema de Pitágoras:
L² = x² + 
L² = x² + 
330 Matemática Fundamental
L² - = x²
 = x²
x² = 
x = 
x = 
3º passo: determinam-se as razões trigonométricas do ân-
gulo de 30°.
Portanto:
 cos 30° = ; tg 30° = .
c) Determine o valor do seno, do cosseno e da tangente 
de 60°.
No mesmo triângulo retângulo da questão anterior deter-
minam-se as razões para o ângulo de 60°.
Capítulo 9 Trigonometria 331
Portanto:
 cos 60° = ; tg 60° = .
Tabela de valores das razões trigonométricas dos arcos no-
táveis
30° 45° 60°
sen
cos
tg 1
332 Matemática Fundamental
Utilize esta tabela de valores para os ângulos notáveis, 
conforme exemplo a seguir:
Determine o valor de x (em cm).
â = 30°
co = 15
ca = x
 (Racionalize)
Capítulo 9 Trigonometria 333
 (Simplifique)
 cm
4 Unidade de ângulo
Grau é a medida do ângulo para da circunferência, 
ou seja, do ângulo reto.
Radiano é a medida doângulo central ( correspondente 
a um arco de circunferência de comprimento igual ao 
raio (s).
O ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro da 
circunferência, e os lados são as extremidades do arco cor-
respondente. Um arco de 60°, por exemplo, corresponde a 
334 Matemática Fundamental
um ângulo central de 60°. Portanto, a medida de um arco de 
circunferência é a medida do ângulo central.
Quando o comprimento do arco for o mesmo que o com-
primento do raio, tem-se que o ângulo central equivale a 1 
rad.
Como o comprimento de uma circunferência é obtido por 
, então a medida do arco de uma volta será x rad, onde:
Medida do arco Comprimento do arco
1 rad R
X
 
Assim, a medida de um arco de uma volta é igual a 
Logo: 
Como se sabe, o comprimento de uma circunferência é 2
r. Então “cabem” em uma circunferência 2 arcos de com-
primento igual ao raio, o que equivale dizer que 360° cor-
Capítulo 9 Trigonometria 335
responde a 2 rad e 1 rad corresponde a ou 1 rad = 
57,29577951° = 57° 17’ 44,81”.
Utilizando essa proporção, podem-se converter radianos 
em graus e graus em radianos.
Exemplos
 1) Qual a medida, em radianos, dos ângulos:
a) Raso 
1 ângulo raso = 180°
Utilizando a proporção: 180° = rad
Logo, a medida de um ângulo raso em radianos é rad.
b) Reto 
1 ângulo reto = 90°
Utilizando a proporção: 180° = rad, tem-se:
336 Matemática Fundamental
180° - rad
90° - x (Regra de três)
180° . x = 90° . rad
 (Simplificar a unidade grau com a unidade 
grau e 90 com 180)
x = 
Logo, a medida de um ângulo reto em radianos é rad.
 2) Um atleta percorre dois terços de uma pista circular, cor-
rendo sobre a linha de uma circunferência. Determine a 
medida do arco percorrido em grau e em radianos.
 Uma circunferência completa tem um arco de 360° ou 2
rad.
de 360° = 240°
de 2 rad = rad
Então 240° correspondem a rad.
 3) Uma roda-gigante tem raio igual a 8m. Utilizando = 
3,14, determine quanto percorre, em metros, uma pessoa 
que deu:
a) Uma volta 
c = 2 r (comprimento de uma circunferência com raio r)
c = 2 . 3,14 . 8
c = 50,24 m
Capítulo 9 Trigonometria 337
b) Dez voltas 
Se em uma volta a pessoa percorre 50,24 m em dez voltas, 
ela percorre 502,4m. 
 4) O raio de uma circunferência é de 6 cm. Calcule o com-
primento do arco dessa circunferência, sabendo que o ân-
gulo central mede 120° (use = 3,14).
c = 2 r
c = 2 . 3,14 . 6
 c = 37,68 cm (arco de uma volta completa que correspon-
de a 360°)
 37,68 – 360° (Regra de três ou perceber que 120º é a 
terça parte de 360°)
x - 120°
37,68 . 120° = 360° . x
x = 
x = 12,56 cm
5 Relações trigonométricas de um 
triângulo qualquer
Observe a notação que se utiliza no triângulo qualquer a se-
guir:
338 Matemática Fundamental
Utilizando esse triângulo como exemplo, estuda-se a Lei 
dos Senos, Lei dos Cossenos e o Teorema das Áreas para um 
triângulo qualquer.
5.1 Lei dos Senos
A Lei dos Senos estabelece a relação entre a medida de um 
lado do triângulo e o seno do ângulo oposto a esse lado. Para 
um triângulo ABC, de lados a, b, c, pode-se escrever:
Capítulo 9 Trigonometria 339
Exemplos:
 1) Dados: = 60° e = 12 cm, determine a medida da 
hipotenusa do triângulo da figura.
Dados do problema (adaptando a notação deste problema 
para a notação adotada na definição da Lei dos Senos).
 = 90°
 = 60°
 = c = 12 cm
Hipotenusa = a
340 Matemática Fundamental
Logo, a medida da hipotenusa do triângulo é .
 2) Determine o valor de x:
Primeiro: determine o valor do ângulo oposto ao lado de 
medida 5:
Lembre que a soma das medidas dos ângulos internos de 
um triângulo qualquer equivale a 180°.
Logo, o valor desse ângulo é de 60°.
Capítulo 9 Trigonometria 341
 = 
5.2 Lei dos Cossenos
Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c.
Para esse triângulo, pode-se escrever:
 
342 Matemática Fundamental
 
Em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado 
é igual à soma dos quadrados dos demais lados, menos duas 
vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo formado 
por eles.
Observação:
Para o triângulo retângulo com tem-se:
 (Como 
EXEMPLOS
Observação: certifique-se que a calculadora usada esteja 
em graus antes de executar os cálculos.
a) Dois lados de um triângulo medem 6 m e 10 m e for-
mam entre si um ângulo de 120°. Determinar a medi-
da do terceiro lado.
Representando geometricamente a situação apresentada 
no problema:
Capítulo 9 Trigonometria 343
Aplicando a lei dos cossenos para encontrar o valor de x:
 (Neste exercício, por se tratar da medida de um 
lado, o único valor que responde o exercício é 14). Logo:
O lado do triângulo mede 14 cm.
2) Determine a distância, em quilômetros, entre os pontos B 
e C, mostrados na figura, sabendo que o ângulo A mede 60°.
344 Matemática Fundamental
5.3 Teorema da área de um triângulo qualquer
Neste teorema, a área do triângulo é dada em função da me-
dida dos lados que se conhece e do ângulo entre esses lados.
Essa expressão é denominada de Teorema das Áreas: “A 
área do triângulo é igual ao semiproduto das medidas de dois 
lados pelo sendo do ângulo formado por esses lados”.
Exemplos:
 1) Qual é a área de um triângulo ABC onde c = 2 cm, b = 
3 cm e  = 60°.
Capítulo 9 Trigonometria 345
 cm²
 2) Determine a área do triângulo (medido em m) sabendo 
que o ângulo C mede 30°.
346 Matemática Fundamental
 m²
Referências
GUELLI, O. Contando a história da Matemática: dando 
corda na Trigonometria. São Paulo: Ática, 1993.
LEDUR, B. S.; ENRICONI, M. H. S.; SEIBERT, T. E. A trigono-
metria por meio da construção de conceitos. São Leo-
poldo: UNISINOS, 2001.
LEI DOS SENOS E COSSENOS. Disponível em: <http://www.
infoescola.com/trigonometria/lei-dos-senos-e-dos-cosse-
nos/>. Acesso em 02 ago. 2015.
LIMA, E. L. et al. A matemática no ensino médio. v. 1. Rio 
de Janeiro: SBM, 1996.
SEIBERT, T. E. Dimensão profissional II. Canoas/RS: ULBRA, 
2014.
Atividades
 1) Determine a altura do poste da figura.
Capítulo 9 Trigonometria 347
Logo, a altura do poste é de aproximadamente 6,02 m.
 2) Determine o comprimento da escada da figura.
348 Matemática Fundamental
Logo, o comprimento da escada é de 160 cm ou 1,6 m.
 3) Em certa hora do dia, os raios do Sol incidem sobre um 
local plano com uma inclinação de 60° em relação à hori-
zontal. Determine o comprimento da sombra de uma cons-
trução de 6 m de altura nesse momento.
Capítulo 9 Trigonometria 349
Logo, o comprimento da sombra é de m.
 4) Um foguete é lançado sob um ângulo de 30°. A que altura 
se encontra depois de percorrer 12 km em linha reta?
350 Matemática Fundamental
Logo, a altura em que o foguete se encontra é de 6 km.
 5) Em um triângulo ABC, tem-se as seguintes medidas: AB = 
6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do 
ângulo A.
1º passo: construir o triângulo com as medidas fornecidas 
no exercício.
2º passo: aplicar a lei dos cossenos.
Tem-se que: a = 7, b = 6 e c = 5
Capítulo 9 Trigonometria 351
Logo, 
 6) Determine o valor de x no triângulo a seguir.
352 Matemática Fundamental
 m
 7) Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da 
figura a seguir.
Tem-se que: a = 7, b = 6 e c = 5
Capítulo 9 Trigonometria 353
Logo, a medida da maior diagonal é cm.
 8) Determine a medida do segmento a.
354 Matemática Fundamental
 cm
 9) Dois lados de um triângulo medem 10 cm e 20 cm e for-
mam entre si um ângulo de 30º. Qual a área desse triân-
gulo?
Capítulo 9 Trigonometria 355
 10) Em um triângulo retângulo, determine a hipotenusa, sa-
bendo que um dos catetos mede 3 cm e o outro mede 
cm.
Recapitulando
a) Lembre-se que as razões trigonométricas são aplica-
das ao triângulo retângulo, ou seja, ao triângulo que 
possui um ângulo retângulo medindo 90°.
356 Matemática Fundamental
b) Sobre as razões trigonométricas:
 
 
No próximo capítulo, contemplam-se outros conceitos en-
volvidos no estudo da Trigonometria.Atividades
 1) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8 cm e 6 cm, 
respectivamente, e o ângulo A vale 30°. Quanto vale o 
seno do ângulo B?
 2) Determine o valor de x.
Capítulo 9 Trigonometria 357
 3) Determine o valor da área do triângulo da figura.
 4) Determine a distância x indicada na figura.
358 Matemática Fundamental
 5) Na figura abaixo, calcule o valor de x
 6) Sabendo que as medidas do ângulo  = 45° e = 120°, 
determine o valor de x.
 7) Utilizando a proporção rad = 180°, preencha a tabela 
a seguir:
Grau Radiano Grau Radiano Grau Radiano
30°
315°
45° 240° 225°
270° 150° 210°
Capítulo 9 Trigonometria 359
 8) Uma rampa lisa de 10 m de comprimento faz ângulo de 
30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe essa 
rampa inteira eleva-se quantos metros verticalmente?
 9) Em um triângulo isósceles, a base mede 6 cm e o ângulo 
oposto à base mede 120°. Calcule a medida dos lados 
congruentes do triângulo.
 10) Num triângulo ABC, tem-se  = 60°, a = e b = 3. 
Determine o lado c.
Capítulo 10
Funções Trigonométricas
Capítulo 10 Funções Trigonométricas 361
Introdução
As funções trigonométricas são importantes no estudo dos tri-
ângulos e na modelagem de fenômenos periódicos. Podem 
ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo 
retângulo em função de um ângulo ou como razões de coor-
denadas de pontos no círculo unitário.
1 Circunferência Trigonométrica
A circunferência trigonométrica é uma circunferência orienta-
da, de raio unitário, na qual se adota um sentido de percurso 
para os arcos, a partir de um ponto de referência, denomina-
do origem dos arcos. Na Matemática, adotou-se o sentido 
anti-horário como positivo.
Para o centro da circunferência coincidindo com a origem 
do sistema cartesiano ortogonal são obtidas quatro regiões 
denominadas quadrantes.
362 Matemática Fundamental
No quadro a seguir, a distribuição dos ângulos dentro dos 
quadrantes.
1º 
quadrante
2º quadrante 3º quadrante 4º 
quadrante
0 < â < 90° 90° < â < 
180°
180° < â < 
270°
270° < â < 
360°
2 Arcos côngruos
Toda vez que o ponto da circunferência, final do arco iniciado 
em (1, 0), é o mesmo para dois arcos diferentes (por exemplo, 
Capítulo 10 Funções Trigonométricas 363
0 e 2 ), chama-se esses arcos de arcos côngruos ou con-
gruentes. Portanto, todos os arcos côngruos diferem entre si de 
um múltiplo de 2 , que é o comprimento de cada volta.
Exemplos:
 1) Determine o menor arco não negativo côngruo ao arco 
de 1320°, ou seja, a 1ª determinação do arco de 1320°. 
Descubra também a que quadrante pertence o arco.
Para resolver esse problema necessita-se dividir o arco por 
360°.
 1360 360
- 1080
3 
 240 
1320º = 240° + 3 . 360°
Logo, o arco mede 240° e pertence ao 3° quadrante.
Generaliza-se como: â = 
 2) Determine o menor arco não negativo côngruo ao arco 
de -1640°, ou seja, a 1ª determinação do arco de 1320°. 
Descubra também a que quadrante pertence o arco.
 1640 360 - 1640° = -200 – 4. 360°
- 1440
4 
360° - 200° = 160°
364 Matemática Fundamental
 200 
Logo, –1640° é côngruo de 160° e pertence ao 2° qua-
drante.
3 Relações trigonométricas
Chamam-se de relações trigonométricas as relações definidas 
no ciclo trigonométrico para um arco x.
Lembre-se que:
 
 
Observe o triângulo retângulo destacado na figura a se-
guir. Lembre-se que o raio do ciclo trigonométrico é unitário (1 
unidade de comprimento = 1 uc).
Capítulo 10 Funções Trigonométricas 365
a) No triângulo destacado, aplica-se o Teorema de Pitá-
goras:
 (Hipotenusa do triângulo é o raio 
da circunferência trigonométrica de raio unitário, Logo, hi-
potenusa é igual a 1).
 (Relação Fundamental da Trigonome-
tria).
b) Partindo da relação fundamental, dividem-se todos os 
termos por :
 (Simplificar e substituir).
c) Partindo da relação fundamental, dividem-se todos os 
termos por :
366 Matemática Fundamental
 (Simplificar e substituir).
Exemplos
 1) Dado o valor de , determi-
ne o valor das demais funções trigonométricas. (Cuidar 
a) Determinar o valor de cos x:
Capítulo 10 Funções Trigonométricas 367
(Cuidar: 
Logo, .
b) Determinar o valor da tg x.
 (Simplificar o 2).
(Racionalizar).
(Tangente no 4º quadrante é negativa).
c) Determinar o valor da ctg x.
 (Racionalizar).
(Simplificar o 3).
368 Matemática Fundamental
 (Cotangente no 4º quadrante é negativa).
d) Determinar o valor da csc x:
 (Cossecante no 4º quadrante é negativa).
Logo, csc x = -2
e) Determinar o valor da sec x:
 
 (Secante no 4º quadrante é positiva).
Capítulo 10 Funções Trigonométricas 369
 (Racionalizar)
4 Função Seno
Para cada arco existe um único número Real y que é o seu 
seno, ficando, portanto, definida a função seno f: x y. O grá-
fico da função seno é chamado de senóide. A seguir, o gráfico 
da função f(x) = sen x e a sua análise.
−π −3π/4 −π/2 −π/4 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π 9π/4 5π/2 11π/4 3π
−1
1
x
y
a) O domínio da função y = sen x é o conjunto dos Nú-
meros Reais, isto é, D = IR e CD = IR.
b) A imagem da função y = sen x é o intervalo [-1, 1], isto 
é, -1 sen x 1.
c) Toda vez que se soma 2 a um determinado valor de 
x, a função seno assume o mesmo valor. Como 2 é 
370 Matemática Fundamental
o menor número positivo para o qual isso acontece, o 
período da função y = sen x é p = 2 (função perió-
dica em ).
d) Tem amplitude (metade da diferença entre as ordena-
das máxima e mínima dos pontos do gráfico) igual a 
1.
e) A função seno é ímpar, pois, sen (-x) = - sen x.
f) Variação de y = sen x. (Utiliza-se para crescente: 
cresc. e para decrescente: decresc.) e sinal da função. 
(Utiliza-se para positiva: pos e negativa: neg).
X 0 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q
Y 0 cresc 1 decresc 0 decres -1 cresc 0
pos pos neg neg
g) O seno é positivo para os arcos com extremidades no 
1º ou no 2º quadrante e negativo para aqueles com 
extremidades no 3º ou 4º quadrantes.
Capítulo 10 Funções Trigonométricas 371
h) Na figura, o segmento Oy’ que mede sen x, é a projeção 
do segmento OM sobre o eixo OY.
5 Função Cosseno
Para cada arco existe um único número Real y que é o seu 
cosseno, ficando, portanto, definida a função cosseno f: x y. 
Essa função pode ser indicada por y = cos x ou f(x) = cos x. O 
gráfico da função cosseno é chamado de cossenoide. A seguir, 
o gráfico da função f(x) = cos x e a sua análise.
−π −3π/4 −π/2 −π/4 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π 9π/4 5π/2 11π/4 3π
−1
1
x
y
a) O domínio da função y = cos x é o conjunto dos Nú-
meros Reais, isto é, D = R.
b) A imagem da função y = cos x é o intervalo [-1, 1], isto 
é, -1 cos x 1.
372 Matemática Fundamental
c) Toda vez que se soma 2 a um determinado valor de 
x, a função cosseno assume o mesmo valor. Como 2 
é o menor número positivo para o qual isso acontece, 
o período da função y = cos x é p = 2 (função perió-
dica em ).
d) Tem amplitude (metade da diferença entre as ordena-
das máxima e mínima dos pontos do gráfico) igual a 
1.
e) A função cosseno é par, pois, cos x = cos (- x).
f) Variação de y = sen x. (Utiliza-se para crescente: 
cresc. e para decrescente: decresc.) e sinal da função. 
(Utiliza-se para positiva: pos e negativa: neg).
X 0 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q
Y 1 decresc 0 decresc -1 cres 0 cresc 1
pos neg neg pos
g) O cosseno é positivo para os arcos com extremidades 
no 1º ou no 4º quadrante e negativo para aqueles 
com extremidades no 2º ou 3º quadrantes.
Capítulo 10 Funções Trigonométricas 373
h) O segmento Ox, que mede cos x, é a projeção do 
segmento OM sobre o eixo horizontal OX.
6 Função Tangente
Todo número Real x + kx (k ) pode ser considerado 
como a medida, em radianos, de um determinado arco . A 
seguir, o gráfico da função f(x) = tg x e a análise do gráfico.
374 Matemática Fundamental
a) O domínio dessa função é D = 
b) A imagem da função y = tg x é o conjunto dos Núme-
ros Reais (Im = IR).
c) A função tangente é periódica, pois os valores da tan-
gente serepetem periodicamente de em rad. Seu 
período é o menor valor positivo de kx, ou seja, p = .
d) A função tangente é ímpar, pois, - tg x = tg (- x).
e) Variação de y = tg x. (crescente: cresc; decrescente: 
decresc; positiva: pos; negativa: neg.).
X 0 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q
Y 0 cresc cresc 0 Cresc cresc 0
pos neg Pos neg
f) A tangente é positiva para os arcos com extremidades 
no 1º ou no 3º quadrante, e negativa para aqueles 
Capítulo 10 Funções Trigonométricas 375
com extremidades no 2º ou 4º quadrante. A tangente 
é uma função crescente exceto nos pontos x = k x, k 
Inteiro, onde a função não existe.
g) O segmento AT mede a tan x.
7 Função Cotangente
Define-se a função cotangente como a inversa da tangente: 
cotg , para todo .
376 Matemática Fundamental
a) O domínio dessa função é D = 
.
b) Im = IR.
c) p = . [cot x = cot (x + ) = cot (x + ) = … = cot 
(x + )].
d) A função cotangente é ímpar, pois, - cot x = cot (- x).
e) Variação de y = cot x.
X 0 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q
Y Decresc Decresc Decresc Decresc
pos neg pos neg
f) A cotangente é positiva para os arcos com extremi-
dades no 1º ou no 3º quadrantes, e negativa para 
aqueles com extremidades no 2º ou 4º quadrantes.
Capítulo 10 Funções Trigonométricas 377
g) O segmento Os’ mede a cot x.
8 Função Cossecante
Define-se a função cossecante de x, que se indica cossec x ou 
csc x, por:
 , para todo x Real, x kx, onde k Z.
378 Matemática Fundamental
a) D = , com k Z.
b) Im = ou ]- , -1] [1, +
[.
c) p = 2 .
d) Função ímpar: csc (-x) = - csc x
e) A cossecante é positiva para os arcos com extremi-
dades no 1º ou no 2º quadrantes, e, negativa para 
aqueles com extremidades no 3º ou 4º quadrantes.
f) Variação de y = csc x.
Capítulo 10 Funções Trigonométricas 379
X 0 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q
Y Decresc Cresc Cresc Decresc
pos pos neg neg
g) O segmento OU mede a cossec x.
9 Função Secante
Define-se a função secante de x, que se indica sec x, por:
 , para todo 
380 Matemática Fundamental
a) Domínio: 
b) Im = ou ]- , -1] [1, +
[.
c) p = 2 .
d) Função par: sec (-x) = sec x.
e) A secante é positiva para os arcos com extremidades 
no 1º ou no 4º quadrantes, e negativa para aqueles 
com extremidades no 2º ou 3º quadrantes.
f) Variação de y = sec x. (Utiliza-se para crescente: cresc. 
e para decrescente: decresc.).
Capítulo 10 Funções Trigonométricas 381
X 0 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q
Y dresc dresc decresc decresc
pos neg neg pos
g) O segmento OV mede a sec x.
Referências
LEDUR, B. S.; ENRICONI, M. H.; SEIBERT, T. E. A trigonome-
tria por meio da construção de conceitos. São Leopol-
do/RS: UNISINOS, 2001.
LIMA, E. L. et al. A Matemática no Ensino Médio. v. 1. Rio 
de Janeiro: SBM, 1996.
SEIBERT, T. E. Dimensão Profissional II. Canoas/RS: Ulbra, 
2014.
382 Matemática Fundamental
Atividades
 1) Analise a função y = 2 sen x
a) O domínio da função é o conjunto dos Números Reais, 
isto é, D = R.
b) A imagem da função é o intervalo [-2, 2], isto é, -2 
sen x 2.
c) O período p = 2 .
d) Amplitude = 2
 2) Analise a função y = sen x
Capítulo 10 Funções Trigonométricas 383
a) O domínio da função é o conjunto dos Números Reais, 
isto é, D=R.
b) A imagem da função é o intervalo , isto é, 
 sen x .
c) O período p = 2 .
d) Amplitude = .
Na função y = a sen x, o coeficiente a interfere na imagem de 
forma diretamente proporcional, e também na amplitude.
Observação:
Para valores de x maiores que 2 ou menores que zero, o 
seno de x assume os valores da 1ª volta. Assim, a função seno 
é periódica, pois para todo:
x IR: sen x = sen (x + 2 sen (x + 4 ... = sen (x 
+ k , k .
384 Matemática Fundamental
 3) Analise a função y = - sen x. Compare com o gráfico de y 
= sen x
No gráfico da função y = sen x, o valor do (sen ) é 1, en-
quanto na função y = (- sen x), o valor do (– sen ) é -1. O 
domínio, a imagem e o período são os mesmos nas duas 
funções.
 4) Analise a função y = sen 2x
Capítulo 10 Funções Trigonométricas 385
a) O domínio da função é o conjunto dos Números Reais, 
isto é, D = R.
b) A imagem da função é o intervalo [-1, 1], isto é, -1 
sen x 1.
c) p = .
 5) Analise a função y = sen .
a) O domínio da função é o conjunto dos Números Reais, 
isto é, D = R.
b) A imagem é o intervalo [-1, 1], isto é: -1 sen x 1.
c) p = .
Na função y = sen bx, o coeficiente b interfere apenas no perí-
odo, e de forma inversamente proporcional.
 6) Analise a função y = 1 + sen x
386 Matemática Fundamental
a) O domínio da função é o conjunto dos Números Reais, 
isto é, D = R.
b) A imagem da função é o intervalo [0, 2], isto é, 0 
sen x 2. (deslocamento da função, em relação a y = 
sen x, no eixo y, no sentido positivo em 1).
c) p = .
 7) Analise a função y = -2 + sen x
a) O domínio da função é o conjunto dos Números Reais, 
isto é, D = R.
Capítulo 10 Funções Trigonométricas 387
b) A imagem da função y é o intervalo [-1, -3], isto é, -1 
 sen x -3. (deslocamento da função, em relação a 
y = sen x, no eixo y, no sentido negativo em - 2)
c) p = .
Na função y = c + sen x, o coeficiente c interfere apenas na 
imagem. Note que y = c + sen x sofre translado, ponto a ponto, 
c unidades para cima ou para baixo, modificando os valores da 
imagem.
 8) Analise a função y = sen 
a) O domínio da função é o conjunto dos Números Reais, 
isto é, D = R.
b) A imagem é o intervalo [-1, 1], isto é, -1 sen x 1.
c) p = .
388 Matemática Fundamental
A função y = sen apresenta mesmo domínio, ima-
gem, período e amplitude que a função y = sen x, mas o 
gráfico sofre translação (deslocamento de para a esquer-
da).
 9) A expressão , com , é igual a:
 (Substituindo)
 (No numerador tem-se um produto notá-
vel que deve ser fatorado)
 (Simplificar)
Logo:
 10) Determine o valor de , sabendo que e 
que x pertence ao 1º quadrante.
a) Determinar cos x
Capítulo 10 Funções Trigonométricas 389
 (Cuidado: x ∈ ao 1º quadrante. Cosseno no 
1º quadrante é positivo).
b) Secante de x
Substituindo:
A = 
A = 
390 Matemática Fundamental
A = 
A = 1
Recapitulando
Lembre-se que:
 
 
 
Atividades
 1) Determine o período da função y = sen 5x.
 2) Qual a função determinada no gráfico a seguir.
Capítulo 10 Funções Trigonométricas 391
A) y = 1 + cos x. B) y = 1 - sen x. C) y = sen (-2x).
D) y = cos (-2x). E) y = - cos x.
 3) A letra que corresponde à função do gráfico a seguir é:
A) y = 2 sen x B) y = sen (2x) C) y = sen x + 2
D) y = sen E) y = sen (4x)
 4) Sendo , com , determine tg x.
 5) Sendo , com , determine cos x.
 6) Calcule o valor de .
 7) Determine o período e a imagem da função f(x) = 3 + cos 
x.
392 Matemática Fundamental
 8) O gráfico a seguir corresponde ao da função descrita na 
letra ___.
a) sen x b) 2 sen c) 2 sen x
d) 2 sen 2x e) sen 2x
 9) Sabendo que e que < x < , pode-se afirmar 
que:
a) cotg x = b) sec x = c) cos x = 
d) sen x = e) cos x = 
 10) Se um ângulo é igual ao seu complemento, então o seno 
desse ângulo é igual a:
a) b) c) 
d) 1 e) – 1
Gabaritos 393
Gabarito
Capítulo 1:
1) {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 2) { }
3) { - 4, -3, -2, 1} 4) {7, 8, 9, 10, ...}
5) a) {a, b, c, d, e} b) = {c, e} c) = {d}
6) e 7) letra e
8) c 9) letra c
10) a
Capítulo 2
1) Refazer as imagens
2) a) } b) }
3) a) = b) 
c) d) 
4) a) b) R c) 
5) a) b) c) d) 
6) a) b) c) 
394 Gabaritos
7)
8) 
9) a) Q b) Q c) Q’ d) Q’ e) Q’ f) Q
10) a) {a, b, c, d, e} b) = {c, e} c) = {d}
Capítulo 3
1a) b) c ) 
-18x 
d) e) f ) 
-4xy
2a) r² + 2r – 15 b) x² = 14 x + 49 c) b4 – 25
d) 2x³ + 3x² - 2x + 1 e) 3x – 2 f) x² - 
3 e resto 2x - 1
3a) b) 3xy(2xy – 3x + 5y) c) (a + 3) (b – 
7)
d) (t + 9) (t – 9) e) (3x + 1) (9x² - 3x + 1) f) (x – 4) (x² + 4x + 16)
4a) 8x4 + 2x³ + 4x + 6 b) -2x4 + 2x³ - 2x – 8
5a) 15x² - 9x + 6 b) 20x³ - 42x² + 26x - 12
6) – 540x³ 7) 3 x 108 m/s 8) 
9) 
10) x5+ 15x4 + 90x³ + 270x² + 405x + 243
Gabaritos 395
Capítulo 4
1a) Os números são 107 e 108. 
b) O neto mais velho recebeu R$ 170,00, o do meio R$ 155,00 e o mais 
novo R$ 140,00.
c) Existem 12 bicicletas e 8 carros.
d) R$ 73,00 para cada uma das duas primeiras e R$ 292,00 para a ter-
ceira pessoa.
2a) b) 
c) d) 
3a) V = {0} b) V = 
c) V = d) V = 
e) V = f) V = 
4a) b ) 
c) d) 
e) 
Capítulo 5
1) 
396 Gabaritos
3a)
 ou 
 ou 
 
b)
 ou 
 ou 
 
c)
 ou 
 ou 
d)
 ou 
 ou 
4) a 5) V, F, V, F, V
Capítulo 6
1a) Função b) Não é função c) Não é função
2) A raiz da função é x = 1. A função é crescente no intervalor .
3) A no intervalo . A f(x) é crescente no intervalo 
.
4) no intervalo e decrescente no intervalo 
.
5) Raízes S = {1, 3}. A função é decrescente no intervalo .
6) f(x) = 
7) O barril que tem 80 litros.
8) a) f(x) = 1,5x + 16
Gabaritos 397
b) O custo para produzir 400 peças será de R$ 616,00.
9) 212 graus Fahrenheit.
10) y = -2x – 2
Capítulo 7
1a) Gráfico
b) Determine o vértice da parábola da função:
Para 
Vértice (2, 1) (Observe que observando o gráfico é possível encontrar o 
ponto cartesiano que corresponde ao vértice).
c) Imagem: 
d) Raízes
Observe no gráfico ou aplique Báskara para encontrar as raízes.
398 Gabaritos
S = {1, 3}
e) Intervalo no qual a função é crescente:
f) Intervalo no qual a função é decrescente:
2) 
3) Não existe valor Real de x em que a função f é negativa.
4) Df = R; Imf = 5) P(n) = n² - 
n
6) Altura = 250 m; tempo = 2,5s
7) e 8) b
9) d 10) e
Capítulo 8
1a) V = {3} b) V = 
c) V = d) V = 
e) V = f) V = 
2a) b ) 
c) 
3) d 4) e 5) a
6) 1a) x > - 4 b) c) 
Gabaritos 399
7) 1 dia e 3 horas
8) a) b) c) d)3 e) 
 f)
9) 35 meses 10) 120 decibéis.
Capítulo 9
1) 2) x = 
3) 4) 70 m
5) 100 6) 122,5 m
7)
Grau Radiano Grau Radiano Grau Radiano
30º 135º 300º
90º 210º 315º
45º 240º 225º
270º 150º 210º
8) 5 m 9) cm
10) c = 1 ou c = 2
400 Gabaritos
Capítulo 10
1) 2) c
3) a 4) 
5) 6) 
7) e Im = 8) b
9) c 10) b
Anexo – Tutorial do Graphmática
O Graphmática é um aplicativo que trabalha com duas di-
mensões, sendo capaz de representar graficamente funções de 
qualquer grau, funções exponenciais, logarítmicas, trigonomé-
tricas, hiperbólicas, etc. Também é útil no Cálculo Diferencial 
e Integral: hachura áreas para ilustrar integrais, desenha gráfi-
cos de derivadas e cria gráficos de equações diferenciais ordi-
nárias. Possibilita, assim, aplicações diversas em matemática. 
O Graphmática é versátil, uma vez que possibilita, em trigo-
nometria, trabalhar com o ângulo em graus ou em radianos. 
Além disso, os gráficos podem ser representados com coor-
denadas cartesianas ou em polares, facilitando a criação de 
figuras que envolvam funções trigonométricas. É permitida a 
construção por parâmetros (retas paramétricas, por exemplo), 
e inequações são representadas muito facilmente.
O download do software está disponível no site:
Gabaritos 401
http://graphmatica.exerciciosdematematica.net
Um tutorial completo do Grahmática pode ser encontrado 
no site:
http://www.graphmatica.com/user/GuiaDoUsuario-Gra-
phmaticav2003p.pdf
Atenção: Funções trigonométricas
Antes de iniciar o trabalho configure o Graphmática para 
trabalhar com Trigonometria.
OPÇÕES. PAPEL DO GRÁFICO. TRIGONOMÉTRICO. 
CORES.
402 Gabaritos
Exemplo: y = csc x
Gabaritos 403
Pesquisar na ajuda os operadores do Graphmatica – Ope-
radores e outras dicas.
Operador Significado
= equals sign
< > strict inequality
<= (≤), >= (≥) less than or equal, greater than or equal
+ Addition
- Subtraction
*, ×, · Multiplication
/, ÷ Division
% or mod modulo (remainder after integer division)
^ or ** or 
0123456789
Exponentiation
| |
Absolute value of expression between “|” 
characters
404 Gabaritos
[( )] Parentheses1
; (semicolon)
Separate halves of a parametric equation 
or clauses in a piecewise-defined function
‘ (single quote) Make rest of the equation a comment
{m, n} Specify domain2
{(m, n]}
Specify domain exclusive of m and inclusive 
of n
Chama-se atenção para os operadores trigonométricos do 
Graphmática:
Para seno digite sin (y = sin x).
Para cosseno digite cos (y = cos x).
Para tangente digite tan (y = tan x).
Para cosecante digite csc (y = csc x).
Para secante digite sec x (y = sec x).
Para cotangente digite cot (y = cot x).
Function Meaning
Abs absolute value (same as | | operator)
acos, asec arc cosine (inverse cosine), arc secant 
asin, acsc arc sine, arc cosecant
atan, acot arc tangent, arc cotangente
Ceiling least integer greater than the argument
Cos Cosine
Gabaritos 405
Cosh hyperbolic cosine
Cot cotangent (1/tan x)
Csc cosecant (1/sin x)
cubert, cube root
Exp Euler’s number to the given power
fourthrt, fourth root
Floor
synonym for int (greatest integer less than or 
equal to the argument)
gamma, 
The statistical function , defined by the 
recurrence relation 
gammaln , 
The natural logarithm of the gamma function. 
This may be used to prevent overflow when the 
desired expression is actually something like 
gamma(x)/e^x.
Int greatest integer ([x] notation not supported)
ln, log natural logarithm, logarithm base 10
max(a,b) maximum (greater of the two arguments)
min(a,b) minimum (lesser of the two arguments)
Rand
pseudo-random (time-based) number between 
0 and arg
Sin Sine
Sinh hyperbolic sine
Sec secant (1/cos x)
Sign -1 for x < 0, 0 for x = 0, 1 for x > 0
406 Gabaritos
sqrt (sqr, √) square root
Step
Heaviside step function: step(x) = 0, for x < 0, 
1/2 for x = 0, 1 for x > 0
sum, 
Perform summation of a sequence or convergent 
infinite series. Detailed description and examples. 
Tan Tangente
Tanh hyperbolic tangente
Truncate
truncate towards zero (ceiling for x < 0, floor for 
x >= 0)
Variables Usage
x, y rectangular coordinates
r, t r and in polar coordinates
x, y, t x and y as functions of t in parametric form
t, x, dx dif-eq mode, solves first order ODE*
x, y, dy (alternate notation)
d2x, d3x... or higher order ODEs**
t,x,y,z,w,dx...dw systems of ODEs
t,x1...x4,dx1...dx4 (alternate notation)
(using proper subscripts)
a, b, c, j, k user-settable free variables
1 São chamados de números primos todos os números que tem dois divisores: o 
número 1 e o próprio número. Conjunto dos números primos P = {2, 3, 5, 7, 11, 
13, 17, 19, ...}.
	Conjuntos
	Conjuntos Numéricos
	Tópicos de Álgebra da Educação Básica
	Equações e Inequações
	Relação
	Função e Função Polinomial do 1º grau
	Função Polinomial do 2º grau
	Função Exponencial e Função Logarítmica
	Trigonometria
	Funções Trigonométricas