Capacitores: Funcionamento e Equacionamento

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ELETRICIDADE 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Felipe Neves Souza 
 
 
CONVERSA INICIAL (estrutura e objetivos da aula) 
Conforme apresentado na primeira aula, em circuitos elétricos temos os elementos 
ativos e passivos. Os elementos ativos são os que fornece energia elétrica, como as 
fontes de corrente e tensão (independente ou dependente). Já os elementos passivos 
são os que absorvem energia elétrica, como os resistores, capacitores e indutores. 
Até o momento foram apresentados os métodos de análise e teoremas aplicados aos 
circuitos puramente resistivos. Porém, a maioria dos equipamentos elétricos que 
utilizamos no nosso dia a dia contém capacitores e indutores. 
Nesta aula serão apresentados o princípio de funcionamento dos capacitores e 
indutores, a aplicação destes componentes em circuitos de primeira ordem, 
denominados RC e RL. E por fim, circuitos de segunda ordem, compostos por resistores, 
indutores e capacitores (RLC). 
TEMA 1 – CAPACITORES 
Enquanto os resistores dissipam energia elétrica, o capacitor é um elemento passivo 
que armazena energia em seu campo elétrico. Os capacitores são elementos muito 
utilizados em equipamentos eletrônicos, computadores e etc. 
1.1 Funcionamento dos capacitores 
O capacitor é constituído fisicamente por duas placas condutoras, utilizando materiais 
como alumínio, cobre, ouro, prata, etc. Estas placas são separadas por um material 
dielétrico, também chamados de isolante elétrico, como o ar, cerâmica, papel, vidro, 
mica e principalmente plásticos, como poliéster, teflon, propileno, policarbonato e 
poliestireno. 
Figura 1 - Capacitor 
 
A propriedade elétrica do capacitor é denominada capacitância, sendo medida em 
Farads (F). A capacitância é a razão entre a carga armazenada e a tensão entre os seus 
terminais e depende diretamente da sua geometria. 
A capacitância é diretamente proporcional a área do capacitor e inversamente 
proporcional à distância entre suas placas, sendo calculada da seguinte forma: 
𝐶 = 𝜖.
𝐴
𝑑
 
Onde 𝜖 é a permissividade do material, 𝐴 é a área da placa condutora e 𝑑 é a espessura 
do dielétrico ou a distância entre as placas condutoras. 
 
 
3 
Desta equação pode-se afirmar que quanto maior a área das placas e a permissividade 
do material, maior será a capacitância. Enquanto que, quanto maior a distância entre as 
placas, menor será a capacitância. 
Quando uma diferença de potencial é aplicada entre os terminais de um capacitor, uma 
carga positiva (q) é depositada em uma das placas, enquanto uma carga negativa (–q) 
é depositada na placa oposta. A quantidade de cargas positivas será sempre igual a 
quantidade de cargas negativas. Desta forma, podemos afirmar que a carga do 
capacitor é diretamente proporcional à tensão aplicada, podendo ser descrito pela 
seguinte equação: 
𝑞 = 𝐶. 𝑉 
Sendo q a carga em Coulombs (C), C a capacitância em Farads (F) e V a tensão em 
Volts (V). 
Comercialmente, encontramos diversos tipos de capacitores e com formas geométricas 
variadas, construídos com diferentes tipos de materiais. Como exemplo podemos citar 
o capacitor de poliéster, eletrolítico, cerâmico, cerâmico eletrolítico, de tântalo, de mica, 
variável, SMD, entre outros. 
Alguns destes capacitores citados possuem polaridade fixa, ou seja, possuem um polo 
positivo e outro negativo, enquanto outros modelos não possuem polaridade fixa. A 
figura a seguir apresenta a simbologia utilizada para capacitores em circuitos. O primeiro 
símbolo representa um capacitor não polarizado. Os demais representam capacitores 
polarizados, onde o sinal positivo (+) indica o ponto de maior potencial. 
Figura 3: Símbolos para capacitores 
 
Para entender melhor o funcionamento de um capacitor, assista os dois vídeos a seguir: 
https://www.youtube.com/watch?v=GpEwamRX-6M 
https://www.youtube.com/watch?v=r5UrM79CmDI 
Para complementar os estudos, recomendo que leia o seguinte material: 
http://www.eletronicadidatica.com.br/componentes/capacitor/capacitor.htm 
1.2 Equacionamento dos capacitores 
Para obtermos a relação entre tensão e corrente de um capacitor, devemos recorrer a 
equação: 𝑞 = 𝐶. 𝑉. Derivando ambos os termos, teremos: 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
=
𝑑(𝐶. 𝑣)
𝑑𝑡
 
 
 
4 
Conforme apresentado nas primeiras aulas, temos que a corrente elétrica é variação da 
carga em relação tempo, ou seja: 
𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 
Substituindo 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 por i na primeira equação e retirando a constante C da derivada, teremos 
que a relação corrente-tensão para um capacitor será dada por: 
𝑖 = 𝐶.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
Para obtermos a relação tensão-corrente, vamos reescrever esta equação da seguinte 
forma: 
𝑑𝑣 =
1
𝐶
. 𝑖. 𝑑𝑡 
Integrando ambos os lados da igualdade: 
𝑣 =
1
𝐶
 ∫ 𝑖 𝑑𝑡
𝑡
−∞
 
E portanto: 
𝑣 =
1
𝐶
 ∫ 𝑖. 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
+ 𝑣(𝑡0) 
Em que: 𝑣(t0) é a tensão do capacitor no instante de tempo 𝑡 = 0 segundos. 
A potência armazenada no capacitor pode ser obtida através da equação já 
apresentada, ficando: 
p = v. i = v. 𝐶.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
A energia armazenada no capacitor será dada pela integral da potência no tempo: 
𝜔 = ∫ 𝑝 . 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
 = ∫ 𝑣. 𝐶.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
 = 𝐶 ∫ 𝑣. 𝑑𝑣
𝑡
𝑡0
 = 
1
2
𝐶 . 𝑣² |
𝑡
𝑡0
 
Considerando que o capacitor estava descarregado no instante de tempo t=t0, teremos: 
𝜔 =
1
2
 . 𝐶. 𝑣² 
Vamos entender melhor como aplicar estas equações. Sabendo que um capacitor com 
capacitância de 10 pF é conectado a uma fonte de tensão contínua de 50 V, deseja-se 
saber qual será o valor da carga e da energia armazenadas. 
Sabendo que 𝐶 = 10 pF e 𝑣 = 50 V, a carga armazenada será calculada da seguinte 
forma: 
𝑞 = 𝐶. 𝑣 = 10. 10−9. 50 
𝑞 = 500 𝑝𝐶 
A energia armazenada será: 
𝜔 =
1
2
𝐶 𝑣² =
10. 10−9. (50)2
2
 
 
 
5 
𝜔 = 12,5 𝜇𝐽 
Neste segundo exemplo vamos considerando um capacitor de 10 µF conectado a uma 
fonte de tensão alternada 𝑣(𝑡) = 50.𝑆𝑒𝑛(2000.𝑡) V. Para determinarmos a função da 
corrente que circulará no capacitor, basta aplicar as equações: 
𝑖 = 𝐶.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 10. 10−6.
𝑑(50. 𝑆𝑒𝑛(2000. 𝑡))
𝑑𝑡
 
𝑖 = 10. 10−6. 50.2000. 𝐶𝑜𝑠(2000. 𝑡) 
𝑖 = 1. 𝐶𝑜𝑠(2000𝑡) 𝐴 
1.3 Associação de capacitores 
Assim como os resistores, os capacitores podem ser associados em série ou em 
paralelo, de forma que podemos substituir um conjunto de capacitores por um único 
equivalente. 
O cálculo da associação de capacitores em série é similar ao cálculo de resistores em 
paralelo, em que a capacitância equivalente é igual a soma dos inversos de cada uma 
das capacitâncias em série. 
Figura 4: Associação de capacitores em série 
 
= 
 
1
𝐶𝑒𝑞
=
1
𝐶1
+
1
𝐶2
+ ⋯ +
1
𝐶𝑛
 
Entretanto, o cálculo da capacitância equivalente para capacitores em paralelo será 
similar ao cálculo da resistência equivalente para resistores em série, bastando somar 
os valores de todas as capacitâncias. 
Figura 5: Associação de capacitores em paralelo 
 
= 
 
𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 + ⋯ + 𝐶𝑛 
 
 
6 
TEMA 2 – INDUTORES 
Os indutores também são elementos passivos que armazenam energia elétrica em seu 
campo magnético. Estes componentes são amplamente utilizados em circuitos elétricos, 
eletrônicos, sistemas de potência, fontes, transformadores, motores e etc. 
Qualquer material condutor de corrente elétrica possui propriedades indutivas. Para 
aumentar este efeito indutivo, este material é enrolado em formato de uma bobina 
cilíndrica formando diversas espiras. 
Um indutor está ilustradona figura a seguir, onde temos uma bobina de um fio condutor 
com N voltas. Este fio está enrolado em material com núcleo magnético de comprimento 
l e seção transversal A. 
Figura 5: Associação de capacitores em série 
 
2.1 Equacionamento dos indutores 
A propriedade de oposição a variação de corrente elétrica em indutor é chamada de 
indutância, sendo medida em Henrys (H). A indutância de um indutor irá depender das 
suas dimensões e dos materiais utilizados, sendo dada pela seguinte equação: 
𝐿 =
𝑁2. 𝜇. 𝐴
𝑙
 
Em que N é o número de espiras (voltas), 𝑙 é o comprimento do núcleo, 𝜇 é a 
permeabilidade magnética do meio e A é a área da seção transversal do núcleo. 
A relação entre tensão-corrente em um indutor será dada pela equação a seguir. Esta 
equação descreve que se uma corrente elétrica flui através de um indutor, a tensão que 
surge em seus terminais será diretamente proporcional à variação desta corrente. 
𝑣 = 𝐿.
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
A relação corrente-tensão pode ser obtida seguinte forma: 
𝑑𝑖 =
1
𝐿
. 𝑣. 𝑑𝑡 
Integrando ambos os lados da igualdade: 
𝑖 =
1
𝐿
 ∫ 𝑣(𝑡). 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
+ 𝑖(𝑡0) 
Sendo 𝑖(𝑡𝑜) a corrente total para o instante de tempo em que 𝑡 < 𝑡0. 
A potência no indutor poderá ser calculada através da relação p = v.i. 
 
 
7 
Conforme já mencionado, o indutor é projetado para armazenar energia em seu campo 
magnético. Esta energia pode ser calculada através da integral da potência do indutor 
no tempo. Desta forma temos que: 
𝜔 = ∫ 𝑝. 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
= ∫ 𝐿. (
𝑑𝑖
𝑑𝑡
) . 𝑖 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
= 𝐿 ∫ 𝑖.
𝑑𝑡
𝑑𝑡
. 𝑑𝑖
𝑡
𝑡0
= 𝐿 ∫ 𝑖. 𝑑𝑖
𝑡
𝑡0
 
𝜔 =
1
2
. 𝐿. 𝑖2.
𝑑𝑣
𝑉𝑆 − 𝑣
 
Considerando que o indutor estava inicialmente carregado, esta equação pode ser 
simplificada: 
𝜔 =
1
2
. 𝐶. 𝑣² 
Considerando que uma corrente 𝑖 = 10 𝑡 𝑒−5𝑡 flui através de indutor de 0,1 H, podemos 
determinar a energia armazenada utilizando a equação anterior. 
Primeiramente precisamos determinar a tensão no indutor: 
𝑣 = 𝐿.
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
A derivada da corrente será: 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 10 . 𝑒−5𝑡 + 𝑡(−5). 𝑒−5𝑡 = 10. 𝑒−5𝑡 − 5. 𝑡. 𝑒−5𝑡 
Substituindo: 
𝑣 = 10
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 → 𝑣 = 𝑒−5𝑡 − 0,5. 𝑡 𝑒−5𝑡 𝑉 
Por fim, a energia armazenada será: 
𝜔 =
1
2
. 𝐿. 𝑖2 =
1
2
. (0,1). (10 𝑡 𝑒−5𝑡)² 
𝜔 = 5. 𝑡2. 𝑒−10𝑡 𝐽 
2.2 Associação de indutores 
Assim como os resistores e capacitores, podemos substituir um circuito composto por 
indutores associados em série ou paralelo por um único indutor equivalente. 
O cálculo da indutância equivalente para um circuito com indutores em série é similar 
ao cálculo da equivalência de resistores em série ou capacitores em paralelo, bastando 
somar todos os elementos: 
Figura 6: Associação de indutores em série 
 
= 
 
𝐿𝑒𝑞 = 𝐿1 + 𝐿2 + ⋯ + 𝐿𝑛 
 
 
8 
A obtenção do valor da indutância equivalente de um circuito com indutores em paralelo 
é similar ao cálculo da equivalência de resistores em paralelo ou capacitores em série. 
Neste caso, o inverso da indutância equivalente será igual a somatória dos inversos de 
cada um dos elementos em paralelo. 
Figura 6: Associação de indutores em paralelo 
 
= 
 
1
𝐿𝑒𝑞
=
1
𝐿1
+
1
𝐿2
+ ⋯ +
1
𝐿𝑛
 
TEMA 3 – CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM (RC) 
Tendo conhecimento do princípio de funcionamento e da relação corrente-tensão dos 
três elementos passivos (resistores, capacitores e indutores), podemos dar início à 
análise de circuitos que envolvam uma combinação destes elementos. O primeiro 
circuito a ser apresentado será o composto por um resistor e um capacitor, chamado de 
circuito RC. Este circuito apesar de simples, possui diversas aplicações em soluções 
eletrônicas. 
Em circuitos puramente resistivos, quando aplicado as leis de kirchhoff eram obtidas 
equações algébricas. Agora ao aplicar as leis de kirchhoff em circuitos RC, iremos obter 
equações diferencias de primeira ordem, por isso este circuito é dito como um circuito 
de primeira ordem. 
Como os capacitores armazenam energia em seu campo elétrico, quando eles são 
utilizados em circuitos temos dois casos a observar. O primeiro é quando o capacitor 
está inicialmente carregado e a alimentação do circuito será proveniente desta carga 
armazenada, este caso é chamado de resposta natural. O segundo caso ocorre quando 
o capacitor está inicialmente descarregado e a energia do circuito é proveniente de uma 
fonte externa, realizando a carga deste capacitor, este caso é chamado de resposta 
forçada. 
3.1 Circuito RC sem fonte (resposta natural) 
Para entendermos melhor este conceito, considere um circuito em que um capacitor 
ficou conectado por um longo período de tempo e a fonte de tensão ou corrente foi 
removida de forma repentina. Neste instante, a energia que estava armazenada no 
capacitor será fornecida para o resistor. Este circuito está ilustrado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
9 
Figura 7: Circuito RC sem fonte 
 
A tensão inicial do capacitor será: 
𝑣(0) = 𝑉0 
A energia armazenada inicialmente no capacitor é obtida por: 
𝜔0 =
1
2
. 𝐶. (𝑉0)² 
Se aplicarmos a LCK ao nó do circuito, teremos: 
𝑖𝐶 + 𝑖𝑅 = 0 
A corrente do capacitor é dada por: 
𝑖𝐶 = 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
Substituindo na equação teremos: 
𝐶.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
𝑣
𝑅
= 0 
Esta equação pode ser reescrita da seguinte forma: 
1
𝑣
 . 𝑑𝑣 = −
1
𝑅𝐶
 𝑑𝑡 
A resolução passo a passo pode ser observada no livro texto da disciplina onde obteve-
se a seguinte equação de tensão: 
𝑣(𝑡) = 𝑉0. 𝑒
−𝑡 𝑅𝐶⁄ 
A partir desta equação podemos observar que a tensão do circuito terá um 
comportamento no qual diminuirá exponencialmente ao longo do tempo. Como esta 
resposta se deve a energia armazenada no capacitor e do circuito em que ele se 
encontra conectado, ela é denominada resposta natural de um circuito RC. 
A figura a seguir ilustra a resposta natural de um circuito RC, onde podemos observar 
que para o instante de tempo t < 0 segundos, a condição inicial é obedecida, após este 
instante a tensão decaíra. A velocidade com que a tensão diminui está expressa em 
termos da constante de tempo do circuito (𝜏). 
 
 
 
 
 
 
10 
Figura 8: Resposta natural de um circuito RC 
 
 
A constante de tempo, representada pela letra grega tau (𝜏), representa o tempo 
necessário para que a resposta desse circuito decaia 36,8% do seu valor inicial e, ou 
por um fator de 1/e. 
Para calcularmos o valor da constante de tempo, devemos saber em qual instante de 
tempo a tensão terá diminuído até 36,8% do seu valor inicial, o que acontece no tempo 
𝑡 = 𝜏: 
𝑣(𝑡=𝜏) = 0,368. 𝑉0 =
1
𝑒
 . 𝑉0 = 𝑒
−1. 𝑉0 
Se substituirmos na equação anterior: 
𝑒−1. 𝑉0 = 𝑉0. 𝑒
−𝜏 𝑅𝐶⁄ 
Portanto, para o circuito RC tempo que: 
𝜏 = 𝑅. 𝐶 
Podemos reescrever a equação da tensão para o circuito RC sem: 
𝑣(𝑡) = 𝑉0. 𝑒
−𝑡 𝜏⁄ 
Analisando a razão entre a tensão do capacitor em diferentes instantes de tempo e a 
tensão inicial, obteremos a seguinte tabela: 
Tabela 1 - Valores de 𝑣(𝑡) = 𝑉0. 𝑒
−𝑡 𝜏⁄ . 
𝒕 
𝒗(𝒕)
𝑽𝟎
 
𝜏 0,36788 
2𝜏 0,13534 
3𝜏 0,04979 
4𝜏 0,01832 
5𝜏 0,00674 
A partir desta tabela é possível observar que para no instante de tempo 5𝜏 (cinco 
constantes de tempo), a tensão será menor do que 1% do valor da tensão inicial. Desta 
forma, podemos dizer que o capacitor está completamente descarregado após o período 
de tempo maior ou igual a cinco constantes de tempo (5𝜏). 
 
𝒗(𝒕) = 𝑽𝟎𝒆
−𝒕 𝑹𝑪⁄ 
 
 
11 
Na figura a abaixo estão se ilustradasas tensões de circuitos RC com constantes de 
tempo diferentes. 
Figura 9: Comportamento da tensão para diferentes constantes de tempo 
 
 
3.2 Circuito RC com fonte (resposta forçada) 
No circuito RC da figura abaixo temos representado uma chave aberta que será fechada 
no instante de tempo t = 0 segundos. Para qualquer instante de tempo t < 0 podemos 
considerar que o circuito se encontra aberto e, portanto, não há passagem de corrente 
elétrica. A partir do instante em que a chave for fechada, todos os elementos serão 
conectados em série. 
Figura 10: Circuito RC com fonte 
 
Quando a chave for fechada, a fonte de tensão contínua será subitamente ligada ao 
circuito. Esta condição pode ser modelada por uma função degrau. Na figura a seguir 
encontra-se ilustrada uma função degrau para uma fonte de tensão ou corrente, as quais 
partem de zero ao valor máximo em 𝑡 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
12 
Figura 11: Função degrau 
 
 Para calcularmos a resposta forçada do circuito correspondente ao degrau aplicado, 
vamos aplicar a LTK na malha: 
𝑉𝑆 = 𝑅. 𝑖(𝑡) + 𝑣 
A tensão do capacitor será dada por: 
𝑣 =
1
𝐶
 ∫ 𝑖 . 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
+ 𝑣(𝑡0) 
Desta forma: 
𝑉𝑆 = 𝑅. 𝑖(𝑡) +
1
𝐶
 ∫ 𝑖. 𝑑𝑡 + 𝑣(𝑡0)
𝑡
𝑡0
 
A resolução completa desta equação pode ser verificada nos livros da bibliografia 
básica, onde chegou-se que: 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑆 + (𝑉0 − 𝑉𝑆). 𝑒
−𝑡 𝑅𝐶⁄ 
Portanto, para qualquer instante de tempo menor do que zero (chave aberta), a tensão 
do capacitor será igual a sua carga inicial V0. 
𝑣(𝑡) = 𝑉0 
E para qualquer instante de tempo maior do que zero (chave fechada), a tensão do 
capacitor será dada por 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑆 + (𝑉0 − 𝑉𝑆). 𝑒
−𝑡 𝑅𝐶⁄ , 
Esta é conhecida como resposta completa de um circuito RC a uma função degrau. A 
figura a seguir apresenta esta resposta para um circuito com um capacitor inicialmente 
carregado. 
Figura 12: Resposta completa do circuito RC com um capacitor inicialmente 
carregado 
 
 
 
13 
Considerando que o capacitor deste circuito está inicialmente descarregado, ou seja, 
𝑉0 = 0, logo temos que para qualquer instante de tempo menor do que zero: 
𝑣(𝑡) = 0 
E para qualquer instante de tempo t > 0: 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑆. (1 − 𝑒
−𝑡 𝑅𝐶⁄ ), 
A corrente que flui através do capacitor é obtida a partir da equação 𝑖 = 𝑑𝑣/𝑑𝑡: 
𝑖(𝑡) = 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝐶
𝑅𝐶
. 𝑉𝑆 . 𝑒
−𝑡 𝑅𝐶⁄ 
Então: 
𝑖(𝑡) =
𝑉𝑆
𝑅
 . 𝑒−𝑡 𝑅𝐶⁄ 
A figura a seguir apresenta a tensão do capacitor (VC) e a tensão do resistor (VR) ao 
longo do tempo. 
Figura 12: Resposta para um circuito com um capacitor inicialmente descarregado 
 
A partir deste gráfico, podemos observar que conforme o capacitor está carregando, a 
tensão sobre o resistor diminui exponencialmente, até que após cinco constantes de 
tempo, o capacitor atinge a tensão máxima e tensão no resistor é nula. 
Para a carga do capacitor, a constante de tempo representa o período de tempo em que 
ele irá atingir 63,2% da tensão máxima. 
3.3 Equação geral 
Examinando a equação obtida para a resposta ao degrau em um circuito RC com o 
capacitor inicialmente carregado, observamos que esta possui duas componentes, 
podendo reescreve-la da seguinte forma: 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑆 + (𝑉0 − 𝑉𝑆). 𝑒
−𝑡 𝑅𝐶⁄ 
𝑣 = 𝑣𝑓 + 𝑣𝑛 
Em que: 
𝑣𝑓 = 𝑉𝑆 
𝑣𝑛 = (𝑉0 − 𝑉𝑆). 𝑒
−𝑡 𝜏⁄ 
 
 
14 
Onde 𝑣𝑓 é a resposta forçada do circuito, pois ela ocorre devido a uma força externa ao 
circuito, proveniente de uma fonte de tensão ou corrente. Ela representa a condição 
forçada que o circuito deve assumir devido a uma excitação da entrada. A resposta 
forçada também é conhecida como regime permanente, pois o circuito tende a 
permanecer no mesmo estado após ter sido excitado. 
Por outro lado, 𝑣𝑛 é a resposta natural do circuito, conforme visto anteriormente, parte 
desta resposta decairá para quase zero após o cinco constantes de tempo. Esta 
resposta também é chamada de transitória, devido a ser uma resposta que irá acabar 
com ao tempo. 
Podemos concluir que a resposta completa do circuito é a somatória da resposta natural 
e da resposta forçada, sendo reescrita conforme indicado abaixo: 
𝑣(𝑡) = 𝑣(∞) + [𝑣(0) − 𝑣(∞)]. 𝑒−𝑡 𝜏⁄ 
Em que 𝑣(0) é a tensão inicial do capacitor e 𝑣(∞) é a tensão do capacitor após cinco 
constantes de tempo. 
Com essa equação geral, ao invés de precisarmos calcular todas as derivadas conforme 
demonstrado, podemos determinar a resposta ao degrau de um circuito RC de forma 
sistemática. 
O mesmo se aplica para a equação de corrente do circuito RC, onde: 
𝑖(𝑡) = 𝑖(∞) + [𝑖(0) − 𝑖(∞)]. 𝑒−𝑡 𝜏⁄ 
Em que 𝑖(0) é a corrente inicial do capacitor e 𝑖(∞) é a corrente do capacitor após cinco 
constantes de tempo. 
 
TEMA 4 – CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM (RL) 
Neste tema iremos abordar o funcionamento de um circuito composto por um resistor e 
um indutor. 
O método de análise de circuitos RL é similar ao dos circuitos RC, apresentado 
anteriormente. Veremos que o circuito RL também é caracterizado por uma equação 
diferencial de primeira ordem. 
Assim com o capacitor, o indutor também é capaz de armazenar energia elétrica e 
quando utilizados em circuitos, a energia do circuito poderá ser fornecida por uma fonte 
externa ou pela energia armazenada no campo magnético deste indutor. 
4.1 Circuito RL sem fonte (resposta natural) 
Para entender a resposta natural de um circuito RL, vamos considerar a situação de um 
circuito RL em que a fonte é removida repentinamente. A energia que havia sido 
armazenada no indutor será fornecida para o resistor, conforme indicado na figura. O 
indutor e o resistor ilustrados podem ser uma associação de diversos resistores. 
 
 
 
 
 
 
15 
Figura 13: Circuito RL sem fonte 
 
A corrente inicial no indutor será: 𝑖(0) = 𝐼0 
Enquanto a energia armazenada neste indutor será dada por: 
𝜔0 =
1
2
. 𝐿. (𝐼0)² 
Aplicando a LCK na malha, teremos: 
𝑣𝑅 + 𝑣𝐿 = 0 
Conforme visto anteriormente, a tensão em um indutor é obtida pela equação: 
𝑣𝐿 = 𝐿.
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
Substituindo na equação anterior: 
𝐿.
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅. 𝑖 = 0 
A resolução completa desta equação pode ser verificada no livro indicado na bibliografia 
básica, onde chegou-se a: 
𝑖(𝑡) = 𝐼0. 𝑒
−𝑡𝑅 𝐿⁄ 
A partir desta equação, podemos observar que o comportamento da corrente do circuito 
RC sem fonte apresenta um decaimento exponencial. Como o comportamento desta 
resposta deve-se a uma excitação externa (fonte de tensão ou de corrente), ela é 
denominada resposta natural de um circuito RL, sendo ilustrada na figura abaixo. 
Figura 14: Resposta natural de um circuito RC 
 
 
 
𝒊(𝒕) = 𝑰𝟎. 𝒆
−𝒕𝑹 𝑳⁄ 
 
 
16 
Observa-se que a condição inicial é obedecida para o instante de tempo t < 0, e que em 
seguida, ocorre a diminuição da corrente de acordo com a constante de tempo do 
circuito. 
A obtenção da constante de tempo para o circuito RL é similar ao do circuito RC, onde 
temos que a constante de tempo será dada por: 
𝜏 =
𝐿
𝑅
 
A equação da corrente pode ser reescrita: 
𝑖(𝑡) = 𝐼0. 𝑒
−𝑡 𝜏⁄ 
As correntes de um circuito RL para diferentes valores de constantes de tempo estão 
apresentadas na figura a seguir, onde novamente vemos que, quanto maior a constante 
de tempo, maior será o tempo de decaimento. 
Figura 15: Correntes de um circuito RL para diferentes constantes de tempo 
 
4.2 Circuito RL com fonte (resposta forçada) 
O circuito abaixo apresenta um circuito em série composto por uma fonte de tensão, um 
resistor e um indutor. Neste circuito está indicado a presença de uma chave, que quando 
foracionada, o circuito será abruptamente ligado. A resposta do circuito a essa conexão 
abrupta é chamada de resposta ao degrau. 
A tensão da fonte é indicada por VS, enquanto a tensão inicial no indutor é 𝑣(0) = 𝑉0 
O circuito da figura a seguir representa esta conexão súbita de uma fonte de tensão por 
meio de uma chave que pode abrir ou fechar o circuito. A tensão da fonte é constante e 
possui um valor de 𝑉𝑆. A tensão 𝑣 nos terminais do capacitor é o que desejamos estudar 
e a tensão inicial do capacitor é 𝑣(0) = 𝑉0. 
Figura 16: Circuito RL com fonte 
 
 
 
17 
Assim como para capacitores, ao invés de trabalharmos com equações diferenciais, 
podemos utilizar a equação geral para determinar a corrente deste indutor. Esta corrente 
será composta pela somatória da resposta forçada e resposta natural. 
𝑖 = 𝑖𝑛 + 𝑖𝑓 
Resultando em: 
𝒊 =
𝑽𝑺
𝑹
+ (𝑰𝟎 −
𝑽𝑺
𝑹
) 𝒆−𝒕 𝝉⁄ 
A figura abaixo apresenta a corrente para este circuito RL, considerando o indutor 
inicialmente carregado (a), onde observamos que a energia armazenada foi sendo 
liberada até que a corrente estabilizou após cinco constantes de tempo. Para o indutor 
inicialmente descarregado (b), o indutor acumulou energia até que atingiu a corrente 
máxima após cinco constantes de tempo. 
 
Figura 17: Corrente para um circuito RL com o indutor inicialmente carregado (a) e 
corrente para um circuito RL com o indutor inicialmente descarregado (b). 
 
 
(a) (b) 
 
Para a carga do indutor, a constante de tempo representa o período de tempo em que 
ele irá atingir 63,2% da tensão máxima. 
 4.3 Equação geral 
Assim como para o circuito RC, ao invés de precisarmos calcular todas as derivadas 
conforme demonstrado, podemos determinar a resposta ao degrau de um circuito RC 
de forma sistemática utilizando as equações gerais, sendo: 
𝑣(𝑡) = 𝑣(∞) + [𝑣(0) − 𝑣(∞)]. 𝑒−𝑡 𝜏⁄ 
𝑖(𝑡) = 𝑖(∞) + [𝑖(0) − 𝑖(∞)]. 𝑒−𝑡 𝜏⁄ 
Em que 𝑖(0) é a corrente inicial do indutor, 𝑣(∞) é a corrente do indutor após cinco 
constantes de tempo, 𝑣(0) é a tensão inicial do indutor e 𝑣(∞) é a tensão do indutor 
após cinco constantes de tempo. 
 
 
 
18 
TEMA 5 – CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM (RLC) 
Agora que entendemos o funcionamento dos circuitos com dois elementos passivos, RC 
e RL, vamos estudar os circuitos com três elementos passivos, sendo eles: resistores, 
indutores e capacitores, também chamado de circuito RLC. Estes elementos podem ser 
conectados em série ou em paralelo, os dois casos serão apresentados a seguir. 
A equação que rege o comportamento de um circuito RLC é uma equação diferencial 
de segunda ordem, por isso estes circuitos são chamados de circuitos de segunda 
ordem. 
5.1 RLC série sem fonte (Resposta natural) 
A figura a seguir ilustra um circuito RLC série, o qual é excitado pela energia inicialmente 
armazenada no capacitor (V0) e no indutor (I0). 
Figura 18: Circuito RLC série sem fonte 
 
No instante inicial de tempo t =0 segundos, a tensão do capacitor e a corrente do indutor 
serão respectivamente: 
𝑣(0) =
1
𝐶
∫ 𝑖. 𝑑𝑡
0
−∞
= 𝑉0 
𝑖(0) = 𝐼0 
Ao aplicar a LTK na malha, teremos: 
𝑅 . 𝑖 + 𝐿.
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
1
𝐶
∫ 𝑖. 𝑑𝑡
𝑡
−∞
= 0 
Com o intuito de eliminar a integral da equação, iremos derivar está equação, resultando 
em: 
𝑑2𝑖
𝑑𝑡2
+
𝑅
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
𝑖
𝐿. 𝐶
= 0 
Portanto, o comportamento do circuito RLC série sem fonte pode ser expresso por essa 
equação diferencial de segunda ordem, visto que há uma segunda derivada. Para 
resolver esta equação é necessário ter as condições iniciais do circuito, como o valor da 
corrente inicial e a sua derivada ou então, o valor da sua tensão inicial e a sua derivada. 
A solução desta equação diferencial encontra-se apresentada no livro de referência da 
disciplina, onde foi obtida a equação auxiliar ou equação característica: 
𝑆² +
𝑅
𝐿
𝑆 +
1
𝐿. 𝐶
= 0 
 
 
19 
Esta é uma equação quadrática e possui duas soluções, indicadas como S1 e S2. Para 
resolve-a basta aplicar a fórmula de Bháskara. As raízes serão dadas por: 
𝑆1 = −
𝑅
2. 𝐿
+ √(
𝑅
2. 𝑙
)
2
−
1
𝐿. 𝐶
 
𝑆2 = −
𝑅
2. 𝐿
− √(
𝑅
2. 𝑙
)
2
−
1
𝐿. 𝐶
 
Podemos apresentar estas equações de forma mais simples, sendo: 
𝑆1 = −𝛼 + √𝛼² − 𝜔0² 
𝑆2 = −𝛼 − √𝛼² − 𝜔0² 
Onde, 
𝛼 =
𝑅
2. 𝐿
 
𝜔0 =
1
√𝐿. 𝐶
 
As raízes 𝑆1 e 𝑆2 são chamadas de frequências naturais, medidas em Nepers por 
segundo pois elas estão associadas com a resposta natural do circuito. A variável 𝜔0 é 
chamada de frequência de ressonância ou estritamente de frequência natural não-
amortecida, expressa em radianos por segundo (𝑟𝑎𝑑/𝑠). A variável 𝛼 é a frequência 
neperiana ou fator de amortecimento, expresso em nepers por segundo. 
A equação característica pode ser reescrita em função de 𝛼 e 𝜔0. 
𝑆2 + 2. 𝛼. 𝑆 + 𝜔0² = 0 
Os valores das raízes obtidas satisfazem a equação diferencial dada. Assim obtemos: 
𝑖1 = 𝐴1. 𝑒
𝑆1𝑡 
𝑖2 = 𝐴2. 𝑒
𝑆2𝑡 
Sendo as constantes 𝐴1 e 𝐴2 determinadas a partir condições iniciais do circuito. 
Como a equação diferencial é uma equação linear, qualquer combinação linear das suas 
soluções distintas 𝑖1 e 𝑖2 também será uma solução da equação diferencial. A solução 
completa requer a combinação linear entre 𝑖1 e 𝑖2, e a resposta natural de um circuito 
RLC série será: 
𝑖(𝑡) = 𝐴1. 𝑒
𝑆1𝑡 + 𝐴2 . 𝑒
𝑆2𝑡 
A partir das raízes da equação característica, podemos obter três tipos de soluções: 
1. Se 𝛼 > 𝜔0, a resposta será superamortecido. 
Quando 𝛼 > 𝜔0 as raízes da equação serão reais e diferentes, isso ocorre 
quando: 
𝐶 >
4. 𝐿
𝑅2
 
 A corrente do circuito será dada por: 
 
 
20 
𝑖(𝑡) = 𝐴1. 𝑒
𝑆1𝑡 + 𝐴2 . 𝑒
𝑆2𝑡 
A qual decai e se aproxima de zero com o aumento de 𝑡. 
2. Se α = ω0, a resposta será criticamente amortecido. 
Quando α = ω0, a solução terá raízes reais e iguais, isso ocorre quando: 
 
𝐶 =
4. 𝐿
𝑅2
 
Para este caso, a solução será: 
𝑖(𝑡) = 𝐴1. 𝑒
−𝛼𝑡 + 𝐴2. 𝑡. 𝑒
−𝛼𝑡 
Ou então, 
𝑖(𝑡) = (𝐴1 + 𝐴2. 𝑡). 𝑒
−𝛼𝑡 
 
3. Se 𝛼 < 𝜔0, teremos a resposta subamortecida. 
Para 𝛼 < 𝜔0, as raízes serão imaginárias, isso ocorre quando: 
𝐶 <
4. 𝐿
𝑅2
 
As raízes serão dadas por: 
𝑆1 = −𝛼 + √−(𝜔0
2 − 𝛼2) = −𝛼 + 𝑗𝜔𝑑 
𝑆2 = −𝛼 − √−(𝜔0
2 − 𝛼2) = −𝛼 − 𝑗𝜔𝑑 
Em que 
𝑗 = √−1 
𝜔𝑑 = √𝜔0² − 𝛼² 
Sendo 𝜔𝑑 chamada de frequência amortecida. 
A resposta natural será: 
𝑖(𝑡) = (𝐴1. 𝑒
𝑗𝜔𝑑𝑡 + 𝐴2. 𝑒
−𝑗𝜔𝑑𝑡). 𝑒−𝛼𝑡 
Aplicando a identidade de Euler: 
𝑒±𝑗𝜃 = 𝐶𝑜𝑠(𝜃) ± 𝑗 𝑆𝑒𝑛(𝜃) 
A resposta será: 
𝑖(𝑡) = [(K1 + 𝐾2). 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑑 . 𝑡) + 𝑗(𝐾1 − 𝐾2). 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑑 . 𝑡)]. 𝑒
−𝛼𝑡 
Ou de forma simplificada: 
𝑖(𝑡) = [𝐴1. 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑑 . 𝑡) + 𝐴2. 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑑 . 𝑡)]. 𝑒
−𝛼𝑡 
Para todos os casos, as constantes 𝐴1 e 𝐴2 devem determinadas a partir condições 
iniciais do circuito. 
Na figura a seguir encontram-se ilustrados os três tipos de resposta (superamortecido, 
criticamente amortecido e subamorterido). 
 
 
 
 
21 
Figura 19: Respostas superamortecida, criticamente amortecida e subamortecedia 
 
 
5.2 Paralelo 
A figura a seguir ilustra um o circuito RLC paralelo. Assim como o circuito anterior, a 
excitação dos elementos se dará pela energia inicialmente armazenada no capacitor 
(𝑉0) e no indutor (𝐼0). 
Figura 20: Circuito RLC série sem fonte 
 
No instante de tempo inicial, em que t = 0 segundos, a corrente do indutor e a tensão 
no capacitor serão, respectivamente: 
𝑖(0) =
1
𝐿
∫𝑣. 𝑑𝑡
0
−∞
= 𝐼0 
𝑣(0) = 𝑉0 
Como os três elementos estão em paralelo, eles possuem a mesma tensão 𝑣. Se 
aplicarmos a LCK ao nó superior, teremos: 
𝑣
𝑅
+
1
𝐿
∫ 𝑣 𝑑𝑡
𝑡
−∞
+ 𝐶.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 0 
Com o intuito de remover a integral desta equação, vamos deriva-la: 
𝑑2𝑣
𝑑𝑡2
+
1
𝑅. 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
𝑣
𝐿. 𝐶
= 0 
A partir desta equação diferencial de segunda ordem, vamos obter a seguinte equação 
característica: 
𝑆2 +
1
𝑅. 𝐶
. 𝑆 +
1
𝐿. 𝐶
= 0 
 
 
22 
As raízes da equação característica serão: 
𝑆1 = −
1
2. 𝑅. 𝐶
+ √(
1
2. 𝑅. 𝐶
)
2
−
1
𝐿. 𝐶
 
𝑆2 = −
1
2. 𝑅. 𝐶
− √(
1
2. 𝑅. 𝐶
)
2
−
1
𝐿. 𝐶
 
Podemos simplificar estas equações da seguinte forma: 
𝑆1 = −𝛼 + √𝛼2 − 𝜔0
2 
𝑆2 = −𝛼 − √𝛼² − 𝜔0² 
Sendo: 
𝛼 =
1
2. 𝑅. 𝐶
 
𝜔0 =
1
√𝐿. 𝐶
 
Os nomes dos termos 𝛼 e 𝝎𝟎 são os mesmos que foram apresentados para o circuito 
RLC série, frequência neperiana ou fator de amortecimento e frequência de ressonância 
ou estritamente de frequência natural não-amortecida, respectivamente., 
Novamente, existem três possíveis soluções, dependendo se 𝛼 > 𝜔0, 𝛼 = 𝜔0 ou 
𝛼 < 𝜔0. 
1. Se 𝛼 > 𝜔0, teremos o caso superamortecido. 
Quando 𝛼 > 𝜔0 as raízes serão reais e diferentes. Isso ocorre quando: 
𝐿 > 4. 𝑅2. 𝐶 
A resposta será dada por: 
𝑣(𝑡) = 𝐴1. 𝑒
𝑆1𝑡 + 𝐴2. 𝑒
𝑆2𝑡 
 A qual decai e se aproxima de zero com o aumento de 𝑡. 
 
2. Se α = ω0, teremos o caso criticamente amortecido. 
Quando α = ω0, as raízes serão reais e iguais. Isso ocorre quando: 
𝐿 = 4. 𝑅2. 𝐶 
Para este caso, a solução será: 
𝑣(𝑡) = 𝐴1. 𝑒
−𝛼𝑡 + 𝐴2. 𝑡. 𝑒
−𝛼𝑡 
Ou então: 
𝑣(𝑡) = (𝐴1 + 𝐴2. 𝑡). 𝑒
−𝛼𝑡 
3. Se 𝛼 < 𝜔0, teremos o caso subamortecido. 
Para 𝛼 < 𝜔0, as raízes podem serão complexas. Isso ocorre quando: 
𝐿 < 4. 𝑅2. 𝐶 
As raízes serão dadas por: 
 
 
23 
𝑆1 = −𝛼 + √−(𝜔0
2 − 𝛼2) = −𝛼 + 𝑗𝜔𝑑 
𝑆2 = −𝛼 − √−(𝜔0
2 − 𝛼2) = −𝛼 − 𝑗𝜔𝑑 
Em que, 𝑗 = √−1 e 𝜔𝑑 = √𝜔0² − 𝛼², a qual é chamada de frequência 
amortecida. 
A resposta será: 
𝑣(𝑡) = [𝐴1. 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑑 . 𝑡) + 𝐴2. 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑑 . 𝑡)]. 𝑒
−𝛼𝑡 
Para todos os casos, as constantes 𝐴1 e 𝐴2 devem determinadas a partir condições 
iniciais do circuito. 
5.3 Circuito RLC série e paralelo com fonte (resposta forçada) 
Considere os circuitos RLC série (a) e paralelo (b) com uma fonte que foi conectada ao 
circuito abruptamente. Vimos que esta conexão abrupta é conhecida como resposta ao 
degrau. 
Figura 21: Circuito RLC série (a) e paralelo (b) com fonte 
 
 
(a) (b) 
Assim como para os circuitos RC e RL, as respostas ao degrau para o circuito RLC série 
e paralelo, serão respectivamente: 
𝑣(𝑡) = 𝑣𝑛(𝑡) + 𝑣𝑓(𝑡) 
𝑖(𝑡) = 𝑖𝑛(𝑡) + 𝑖𝑓(𝑡) 
Onde a resposta forçada do circuito RLC série é o regime permanente, ou valor final de 
𝑣(𝑡). No circuito da figura anterior, o valor da tensão final do capacitor será o valor da 
fonte 𝑉𝑆, logo: 
𝑣𝑓(𝑡) = 𝑣(∞) = 𝑉𝑆 
Enquanto a resposta natural será obtida conforme apresentado anteriormente. 
Entretanto, para o circuito RLC paralelo, o valor final da corrente será a corrente total 
sobre o indutor, IS, logo: 
𝑖𝑓(𝑡) = 𝑖(∞) = 𝐼𝑆 
A resposta natural será obtida conforme apresentado anteriormente. 
 
 
 
24 
 
 
FINALIZANDO 
Nesta aula, foram apresentados dois novos componentes que são largamente 
utilizados no nosso dia-a-dia, os capacitores e os indutores. Além disso, vimos 
como realizar associações destes componentes e também foram apresentados 
circuitos que utilizam mais de um componente (RC e RL) e os circuitos que 
utilizam três componentes (RLC) ligados em série e em paralelo. 
Estes assuntos são fundamentais para a continuidade do nosso curso e o 
conhecimento adquirido será utilizado no decorrer da graduação. 
É muito importante que você não fique com dúvidas a respeito deste assunto. 
Continue estudando e aumentando o seu conhecimento não só com esta aula, 
mas praticando exercícios do livro texto. 
REFERÊNCIAS 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M, N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 
5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. 12ª ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2012. 
NILSSON.J.W.; Riedel,S.A. Circuitos elétricos. 10ª ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2015.