Lista de Exercícios_Limites

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Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Campo Mourão
Wellington José Corrêa
2a¯ Lista de Cálculo Diferencial e Integral I
Curso: Bacharelado em Ciências da Computação
DAMAT, 2015
Nome:
1 Use a definição de limite para provar que o limite dado está correto.
(a) lim
x→2
(3x− 5) = 1
(b) lim
x→5
x2 = 25
(c) lim
x→+∞
1
x
= 0
(d) lim
x→0
1
x2
= +∞
2 Use o gráfico abaixo dado de f para encontrar um número δ tal que
se |x− 1| < δ, então |f(x)− 1| < 0, 2.
0,8
1
1,2
0 0,7 1 1,1
y
x
3 Foi pedido a um torneiro mecânico que fabricasse um disco de metal circular com área de 1.000 cm2.
(a) Qual o raio do disco produzido?
(b) Se for permitido ao torneiro uma tolerância do erro de ±5 cm2 na área do disco, quão próximo do raio ideal
da parte (a) o torneiro precisa controlar o raio?
(c) Em termos da definição de ε, δ de lim
x→a
f(x), com base nos itens (a) e (b), o que são x, f(x), a e L? Qual valor
de ε é dado? Qual o valor de δ correspondente?
4 Faça um esboço do gráfico de suas respectivas funções e ache o limite indicado, se existir; caso não exista,
justifique o porquê.
(a)
f(x) =
{
−3 ; x < 0
3 ; x ≥ 0
(i) lim
x→0+
f(x) (ii) lim
x→0−
f(x) (iii) lim
x→0
f(x).
(b)
f(t) =
{
t+ 5 ; t ≤ −5
5− t ; t > −5
(i) lim
t→−5+
f(t) (ii) lim
t→−5−
f(t) (iii) lim
t→−5
f(t).
1
(c)
f(x) =
{
x2 ; x ≤ 2
8− 2x ; x > 2
(i) lim
x→2+
f(x) (ii) lim
x→2−
f(x) (iii) lim
x→2
f(x).
(d)
f(x) =

x2 − 4 ; x < 2
4 ; x = 2
4− x2 ; x > 2
(i) lim
x→2+
f(x) (ii) lim
x→2−
f(x) (iii) lim
x→2
f(x).
5 Determine o limite abaixo, caso exista.
(a) lim
x→7
x2 − 49
x− 7
(b) lim
x→ 3
2
4x2 − 9
2x+ 3
(c) lim
x→−2
x3 + 8
x+ 2
(d) lim
x→1
√
x− 1
x− 1
(e) lim
x→0
√
x+ 2−
√
2
x
(f) lim
x→0
3
√
x+ 1− 1
x
(g) lim
x→−3
√
x2 − 9
2x2 + 7x+ 3
(h) lim
x→−1
2x2 − x− 3
x3 + 2x2 + 6x+ 5
(i) lim
x→4
3x2 − 8x− 16
2x2 − 9x+ 4
(j) lim
h→0
(3 + h)−1 − 3−1
h
(k) lim
x→3
(2x+ |x− 3|)
6 Calcule, em cada situação, o seguinte limite:
(a) lim
x→3−
x+ 3
x2 − 9
(b) lim
x→0+
√
x2 + 3
3x
(c) lim
x→0+
(
1
x
− 1
x2
)
(d) lim
x→0−
2− 4x3
5x2 + 3x3
(e) lim
x→−2+
6x2 + x− 2
2x2 + 3x− 2
(f) lim
x→2−
x− 2
2−
√
4x− x2
7 Ache as asśıntotas verticais e horizontais do gráfico das funções abaixo e faça seu esboço em cada caso.
(a) f(x) =
2x+ 1
x− 3
(b) g(x) = 1 +
1
x2
(c) h(x) =
1
x2 + 5x− 6
(d) k(x) =
2√
x2 − 4
8 Encontre, em cada peculiaridade, o seguinte limite:
(a) lim
x→+∞
3x+ 4√
2x2 − 5
(b) lim
x→+∞
x√
x2 + 1
(c) lim
x→−∞
4x3 + 2x2 − 9
8x3 + x+ 2
(d) lim
x→−∞
(
3x+
1
x2
)
(e) lim
x→+∞
(
2
x2
− 15x
)
(f) lim
x→−∞
√
x2 + 4
x+ 4
(g) lim
x→+∞
(
√
x+ 1−
√
x)
9 Encontre os limites.
(a) lim
x→0+
e1/x
(b) lim
x→0−
e1/x
(c) lim
x→+∞
1− ex
1 + ex
(d) lim
x→+∞
ex + e−x
ex − e−x
(e) lim
x→1−
ln(1− x)
(f) lim
x→π/2−
ln(tg x)
(g) lim
x→+∞
ln(2x)
ln(3x)
(h) lim
x→+∞
ln(x2 − 1)− ln(x− 1)
2
10 No decorrer do nosso curso, você será capaz de mostrar o seguinte limite:
lim
x→±∞
(
1 +
1
x
)x
= e . (1)
Admita por um momento a veracidade deste fato para calcular os limites abaixo:
(a) lim
x→+∞
(
1− 1
x
)−x
(b) lim
x→−∞
(
x− 1
x
)x
(c) lim
x→0−
(1 + 2x)3/x
11 Dar em cada situação, os pontos onde as seguintes funções são descont́ınuas.
(a) f(x) =
|x|
x
(b) f(x) =
1
x
(c) f(x) =
x+ 1
x2 − 1
(d)
f(x) =

2x+ 1 se x ≤ −2
x− 2 se − 2 < x ≤ 2
2− x se 2 < x
12 Determine os valores de x, nos quais a função dada é cont́ınua.
(a)
f(x) =
{
3x− 1 se x > 2
4− x2 se 2 ≤ x
(b)
f(x) =
{
2x− 3 se x ≤ 1
x2 se 1 < x
(c) h(x) =
x+ 1
2x+ 5
13 Calcule os seguintes limites, quando eles existirem.
(a) lim
x→0
sen 4x
x
(b) lim
x→0
sen3 x
x2
(c) lim
x→0
1− cosx
x
(d) lim
x→0
1− cosx
1 + senx
(e) lim
x→π
2
1− senx
π
2 − x
(f) lim
x→π+
senx
x− π
.
(g) lim
x→0
sen(senx)
x
(h) lim
x→0
x2 + 3x
senx
(i) lim
x→0
tg x
2x
(j) lim
x→+∞
arcsen
(
x
1− 2x
)
14 Mediante o Teorema do “Sandúıche”, encontre os seguintes limites:
(a) lim
x→0
x cos
1
x
.
(b) lim
x→3
g(x) , se |g(x) + 4| < 2(3− x)4 , para todo x.
15 Uma função g de domı́nio A é dita limitada se |g(x)| ≤M, para todo x ∈ A.
Considere f e g duas funções com mesmo domı́nio tais que lim
x→a
f(x) = 0 e g é limitada. Prove que
lim
x→a
[f(x) · g(x)] = 0 .
16 Dada g(x) =
{
1 ;x < 0
−1 ;x ≥ 0
, calcule lim
x→0
[x2 · g(x)].
3
17 Ache os valores das constantes a e b que tornam cont́ınua a função f em (−∞,+∞) e faça o esboço do
gráfico de f . 
2x+ 1 ; x ≤ 3
ax+ b ; 3 < x < 5
x2 + 2 ; x ≥ 5
18 A porcentagem p de poluição particulada que pode ser removida das chaminés de uma planta industrial
gastando C dólares é dada por p =
100C
7300 + C
. Encontre a porcentagem de poluição que poderia ser removida
se o gasto C pudesse crescer ilimitadamente. É posśıvel remover 100% da poluição? Explique.
19 A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteria é aproximada pela
função
T (x) =
5x2
x2 + 4
onde T (x) é medido em bilhões de dólares e x é o número de meses do filme em cartaz. Qual a arrecadação do
filme a longo prazo?
20 A quantidade de oxigênio em um lago t dias após despejarem detritos orgânicos é de f(t) = 100
(
t2 + 10t+ 100
t2 + 20t+ 100
)
por cento do seu ńıvel original.
(a) Mostre que f(0) = 100 e f(10) = 75.
(b) Use o teorema do valor intermediário para concluir que houve um instante em que a quantidade de oxigênio
no lago foi de 80%.
(c) Em quais instantes a quantidade de oxigênio foi de 80%.
21 Um monge tibetano deixa o monastério às 7:00 horas da manhã e segue sua caminhada usual para o topo
da montanha chegando lá às 7:00 horas da noite. Ele medita no topo da montanha durante a noite. Na manhã
seguinte, ele parte do topo da montanha às 7:00 horas da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao
monastério às 7:00 horas da noite. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe um ponto no
caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas.
22 Use o teorema do valor intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação cos x = x3.
23 Existe um número a tal que lim
x→−2
3x2 + ax+ a+ 3
x2 + x− 2
exista? Em caso afirmativo, encontre a e o valor do
limite.
24 Faça o que se pede:
(a) O que há de errado com a equação
x2 + x− 6
x− 2
= x+ 3 ?
(b) Em vista de (a), explique por que a equação lim
x→2
x2 + x− 6
x− 2
= lim
x→2
(x+ 3) .
25 Se lim
x→
f(x)− 8
x− 1
= 10, encontre lim
x→1
f(x).
4
26 A função maior inteiro é definida por [[x]] = o maior inteiro que é menor ou igual a x. Por exemplo, [[4]] =
4, [[4, 8]] = 4, [[π]] = 3, [[
√
2]] = 1, [[−1/2]] = −1.
(a) Esboce o gráfico da função y = [[x]].
(b) Verifique se lim
x→3
[[x]] existe.
(c) Se n for um inteiro, calcule lim
x→n−
[[x]] e lim
x→n+
[[x]].
27 Analise com deleite os gráficos a seguir, para determinar lim
x→c−
f(x), lim
x→c+
f(x), lim
x→c
f(x) nos valores de c
indicados, se tais valores existem. E ainda, diga para quais valores de c a função é cont́ınua.
(a)
0 2
c= 2
y = f(x)
(b)
x
y
0 2
c= 0; 2
y = f(x)
− 1
2
x
y
0 2
c = −5
2
; 0; 1; 2.
y = f(x)
− 5
2
−2
−1
1
•
(c)
x
y
0
•
◦
•12
1
2 3
y = f(x)
c = 0; 2; 3;
Sucesso!!!
5
Respostas
1 (a) δ = ε/3 (b) δ = min{1, ε/11} (c) N = 1/ε (d) δ = 1/
√
M
3 (a) Como A = π r2 e A = 1000cm2, facilmente chegamos que r =
√
1000
π
≈ 17, 84212 cm.
(b) Resolvendo a desigualdade |A− 1000| ≤ 5, obtemos que 17, 7966 ≤ r ≤ 17, 8858. Subtraindo estes valores do
valor de r do item (a), resulta que o torneiro precisa considerar a menos de 0, 04455 do raio ideal.
(c) Temos que x é o raio, f(x) é a área, a é o raio do item (a), isto é, a =
√
1000
π
, o valor de L é 1000. O valor
de ε dado é 5 e o valor de δ é aproximadamente 0, 04455.
4 (a) (i) 3; (ii) − 3; (iii) @ .
3
3
0 x
y
(b) (i) 10; (ii) 0; (iii)@ .
-5
5
0 x
y(c) (i) 4; (ii) 4; (iii) 4 .
0
y
x
2
4
(d) (i) 0; (ii) 0; (iii) 0
0
y
x
2
4 •
5 (a) 14
(b) 0
(c) 12
(d)
1
2
(e)
1
2
√
2
(f)
1
3
(g)
√
6
5
(h) −1
(i)
16
7
(j) −1
9
(k) 6
6 (a) −∞
(b) +∞
(c) −∞
(d) +∞
(e) −∞
(f) −∞
6
7 (a) Asśıntota horizontal y = 2; asśıntota vertical:
x = 3.
0
y
x
x = 3
y = 2
−12
−13
y = f(x)
(b) Asśıntota horizontal: y = 1; asśıntota vertical:
x = 0
0
y
x
y = 1
y = g(x)
(c) Asśıntota horizontal: y = 0; asśıntotas verticais:
x = 1, x = −6.
0
y
x
y = h(x)
x = 1x = −6
−16
(d) Asśıntota horizontal: y = 0; asśıntotas horizontais:
x = ±2.
0
y
x
y = k(x)
x = 2x = −2
8 (a) 3
√
2
2
(b) 1
(c)
1
2
(d) −∞
(e) −∞
(f) −1
(g) 0
9 (a) +∞
(b) 0
(c) 1
(d) 1
(e) −∞
(f) +∞
(g) 1
(h) +∞
10 (a) e (faça t = −x) (b) 1
e
(faça t = −x) (c) e6 (faça t = −1/(2x))
11 (a) x = 0
(b) x = 0
(c) x = ±1
(d) x = −2
7
12 (a) R \ {2} (b) R \ {1} (c) R \
{
−5
2
}
13 (a) 4
(b) 0
(c) 0
(d) 0
(e) 0
(f) −1
(g) 1
(h) 3
(i) 12
(j) −π6
14 (a) 0 (b) −4
15 Sugestão: Use definição de valor absoluto e o Teorema do Sandúıche.
16 Sugestão: Use o exerćıcio anterior.
17 a = 10 , b = −23
18 100%. Não, para p se aproximar 100% (como um limite) seriam necessários aumentos ilimitados de gastos, o
que é imposśıvel.
19 5 bilhões de dólares.
20 (c) 3,82 dias.
21 Considere u(t) a distância do monge ao monastério como uma função do tempo no primeiro dia e d(t) a
distância do monge ao monastério como uma função do tempo no segundo dia. Ainda denote D como sendo a
distância do monastério ao topo da montanha. Por fim, considere a função (u− d)(t) definida no intervalo [0, 12]
a valores na sua imagem, a saber [0, D]. Disto, é só aplicar o teorema do valor intermediário.
22 Sugestão: Defina f(x) = cos x− x3.
23 15; -1.
24 (a) A equação só é válida se x 6= 2. (b) Neste caso, note que x → 2, logo, sendo admisśıvel a referida simpli-
ficação.
25 Sugestão: Inicie com o seguinte limite: lim
x→
[f(x)−8]. Multiplique e divida este limite por um fator conveniente
de modo que você use a hipótese fornecida. A resposta almejada é lim
x→1
f(x) = 8.
26 (a)
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
0
y = [[x]]
8
(b) Não existe.
(c) lim
x→n−
[[x]] = n− 1 e lim
x→n+
[[x]] = n .
27 (a) c = 2 : +∞, −∞, não existe; não é cont́ınua.
(b) c = 0 : −1
2
, −1
2
, −1
2
; cont́ınua; c = 2 : −2, 0, não existe; não é cont́ınua.
(c) c = −5
2
: 0, 0, 0; cont́ınua; c = 0 : −1, −2, não existe; não é cont́ınua. c = 1 : 0, 0, 0; cont́ınua; c = 2 : 1, 0,
não existe; não é cont́ınua.
(d) c = 0 : 2, 2, 2; cont́ınua; c = 2 : 2, 2, 2; não é cont́ınua; c = 3 : −∞, +∞, não existe; não é cont́ınua.
9