1ª Lista Integrais

Prévia do material em texto

Universidade Estadual do Piauí
Campus Toquarto Neto
Centro de Tecnologia e Urbanismo
Acadêmico(a): RA:
Curso Engenharia Civil Período: 26/09/2019
Disciplina Cálculo II Nota da Avaliação:
Professor M.e Rafael Emanuel Costa
Lista de Exercícios - Técnicas de Integração Rúbrica do Professor
Orientações gerais:
Resolver as questões e tirar suas dúvidas na aula de exercício.
1. Calcule as seguintes primitivas:
(a)
∫
−senθdθ
(b)
∫ −3
x dx
(c)
∫
7eydy
(d)
∫
x4 + 1dx
(e)
∫
πxlnπdx
(f)
∫
1√
1−x2dx
(g)
∫
2
5dx
(h)
∫
2x4− 4
√
xdx
2. Mostre que se a função é par(f(x) = f(−x)) então
∫ a
−a f(x)dx = 2
∫ a
0 f(x)dx, e se a função
for ímpar(f(x) = −f(−x)) então
∫ a
−a f(x)dx = 0
3. A função erro dada por
erf(x) =
2√
π
∫ x
0
e−t
2
dt
é muito usada em probabilidade, estatística e engenharia.
(a) Mostre que
∫ b
a e
−t2 = 12π[erf(b)− erf(a)].
(b) Mostre que a função ex
2
erf(x) satisfaz a equação diferencial y′ = 2xy + 2/
√
π.
4. Calcule a integral.
(a)
∫
cos2xdx
(b)
∫ 3π/2
0
|senx|dx
(c)
∫ 1
1
2
√
2x− 1dx
(d)
∫
cos2xdx
(e)
∫ 1
0
10x − x10dx
(f)
∫ 2
−1
x− 2|x|dx
(g)
∫ 2
1
e1/x
x2
dx
(h)
∫ π/2
0
cosx sen( senx)dx
(i)
∫ e4
e
dx
x
√
lnx
dx
(j)
∫ 4
0
x√
1 + 2x
dx
(k)
∫ 1/2
0
arcsinx√
1− x2
dx
(l)
∫ 64
1
1 + 3
√
x√
x
dx
(m)
∫
(x− 1)7dx
(n)
∫ 0
−1
e−xdx
(o)
∫ 1
0
e−tsenhtdt
(p)
∫ 1
0
xe−x
2
dx
(q)
∫ 1/√3
0
t2 − 1
t4 − 1
dx
(r)
∫ 1
−1
1
1 + x2
dx
Página 1 / 2
5. Veri�que, por derivação, que a fórmula está correta.
(a)
∫
x√
x2 + 1
dx =
√
x2 + 1 + C
(b)
∫
cos3dx = senx− 1
3
sen3x+ C
(c)
∫
x√
a+ bx
dx =
2
3b2
(bx− 2a)
√
a+ bx+ C
6. A função velocidade (em metros por segundo) é dada para uma partícula movendo-se ao
longo de uma reta. Encontre (a) o deslocamento e (b) a distância percorrida pela partícula
durante o intervalo de tempo dado.
i) v(t) = 3t− 5 0 ≤ t ≤ 3 ii) v(t) = t2 − 2t− 8 1 ≤ t ≤ 6
7. A função aceleração (emm/s) e a velocidade inicial são dadas para uma partícula movendo-
se ao longo de uma reta. Encontre (a) a velocidade no instante t e (b) a distância percorrida
durante o intervalo de tempo dado.
i) v(t) = t+4, v(0) = 5 0 ≤ t ≤ 10 ii) v(t) = 2t+3 v(0) = −4 0 ≤ t ≤ 3
8. Calcule as integrais.
(a)
∫
x cos5xdx
(b)
∫
ln 3
√
xdx
(c)
∫
t2senβtdt
(d)
∫
e−θ cos2θdθ
(e)
∫
(lnx)2dx
(f)
∫
xe2x
(1 + 2x)2
dx
(g)
∫
xtg2xdx
(h)
∫ 1
0
x coshxdx
(i)
∫ 2
1
x4(lnx)2dx
(j)
∫ t
1
es sen(t− s)ds
(k)
∫
r3
4 + r2
dr
(l)
∫ 2π
0
t2 sen(2t)dt
9. Use integração por partes para demonstrar a fórmula de redução.
(a)
∫
(lnx)ndx = x(lnx)n − n
∫
(lnx)n−1dx
(b)
∫
xnexdx = xnex − n
∫
xn−1exdx
(c)
∫
tgnxdx =
tgn−1
n− 1
−
∫
tgn−2xdx (n 6= 1)
10. Use o exercício anterior para encontrar.
(a)
∫
(lnx)3dx (b)
∫
x4exdx
11. Uma partícula que se move ao longo de uma reta tem velocidade igual a v(t) = t2e−t metros
por segundo após t segundos. Qual a distância que essa partícula percorrerá durante os
primeiros t segundos?
Bons estudos!!
Página 2 / 2