3º Lista de exercícios Parte 2- Álgebra Linear

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3ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
1 – Dado o sistema linear 





tyx
yx
24
52
Determine t para que: 
a) o sistema tenha uma solução 
b) o sistema não tem solução alguma 
c) o sistema tenha infinitas soluções 
 
2 - Uma indústria química produz três tipos diferentes de produtos: A, B e C. Cada um deles é 
processado em duas máquinas, X e Y. Neste processo, cada uma das máquinas é utilizada 
durante os seguintes períodos de tempo: 
1. Uma tonelada de A requer 2 horas da máquina X e 2 horas da máquina Y. 
2. Uma tonelada de B requer 3 horas da máquina X e 2 horas da máquina Y. 
3. Uma tonelada de C requer 4 horas da máquina X e 3 horas da máquina Y. 
A máquina X está disponível 80 horas por semana, enquanto a máquina Y está disponível 60 
horas por semana. Como a administração da fábrica não quer manter as dispendiosas 
máquinas X e Y paradas, quantas toneladas de cada produto devem ser manufaturadas para 
que as máquinas sejam utilizadas de maneira ótima? 
 
3 - Uma refinaria produz combustível com baixo e com alto teor de enxofre. Cada tonelada de 
combustível com baixo teor de enxofre necessita de 5 minutos no setor de mistura e de 4 
minutos no setor de refinaria; cada tonelada de combustível com alto teor de enxofre necessita 
de 4 minutos no setor de mistura e de 2 minutos no setor de refinaria. Se o setor de mistura fica 
disponível por 3 horas e o setor de refinaria por 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de 
combustível devem ser produzidas de modo que esses dois setores não fiquem ociosos? 
 
4 – Quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada reduzida por linhas? 
a) 










100
000
001
 d) 





2310
5501
 g) 










300
210
402
 
 
b) 










000
001
010
 e) 










000
010
001
 h) 












00000
10000
02201
02031
 
 
c) 










100
000
321
 f) 










4010
3100
5001
 i) 












00000
10000
01100
03021
 
 
5 – Supondo que cada uma das matrizes do exercício anterior é a matriz ampliada de um 
sistema de equações lineares, classifique estes sistemas considerando o posto das suas 
matrizes. 
 
6 – Em cada item, suponha que a matriz ampliada de um sistema de equações lineares tenha 
sido reduzida por operações sobre linhas às seguintes formas escalonadas reduzida por linhas. 
Resolva o sistema. 
a) 










2000
3110
4001
 c) 











 
000000
241000
130100
150051
 
 
b) 











21100
41010
23001
 d) 










1000
0100
0021
 
 
 
 
 
7 – Resolva cada um dos seguintes sistemas escalonando suas matrizes ampliadas: 
a) 








10473
132
82
zyx
zyx
zyx
 d) 








123
12
232
yx
yx
yx
 g) 





032
0625
zyx
zyx
 
 
b) 








077
0252
0222
zyx
zyx
zyx
 e) 











30711
1133
0235
1523
yx
zyx
zyx
zyx
 h) 








5161112
2273
142
tzyx
tzyx
tzyx
 
 
c) 











333
142
2222
12
wx
wzyx
wzyx
wzyx
 f) 








642
963
1284
yx
yx
yx
 
 
8 – Para que valores de a o sistema abaixo não admite solução? Admite exatamente uma 
solução? Admite infinitas soluções? 
 






2144
253
432
2 azayx
zyx
zyx
 
 
9 – Sem usar lápis e papel, determinar quais dos seguintes sistemas homogêneos admitem 
soluções não-triviais: 
a) 








08723
0374
053
wzyx
wzyx
wzyx
 c) 





0
0
232221
131211
zayaxa
zayaxa
 
 
b) 








05
04
032
z
zy
zyx
 d) 





022
0
yx
yx
 
 
10 – Resolva os seguintes sistemas de equações lineares: 
a) 








0
02
032
zy
yx
zyx
 c) 














02
03
022
025
042
wzyx
zyx
wzy
zyx
wzyx
 
 
b) 





05
03
wzyx
wzyx
 d) 





042
026
zyx
zyx
 
 
11 – Para que valores de  o seguinte sistema de equações admite soluções não-triviais? 
 
 




03
03
yx
yx


 
 
12 - Uma loja vende certo componente eletrônico, que é fabricado por três marcas diferentes: 
A, B, e C. Um levantamento sobre as vendas desse componente, realizado durante três dias 
consecutivos, revelou que: 
No 17º dia, foram vendidos 2 componentes da marca A, um da marca B e um da marca C, 
resultando um total de vendas igual a R$ 150,00. 
No 2º dia, foram vendidos 4 componentes da marca A, 3 da marca B e nenhum da marca 
C, num total de R$ 240,00. 
No 3º dia, não houve vendas da marca A, mas foram vendidos 5 da marca B e 3 da marca 
C, totalizando R$ 350,00. 
Qual é o preço do componente fabricado por A? E por B? E por C? 
 
 
 
13 - Em três tipos de alimentos, verificou-se que, para cada grama dos alimentos I, II e III, 
temos a quantidade de vitaminas segundo a tabela abaixo: 
 
Alimento I II III 
Vitamina A 2 unidades 2 unidades 5 unidades 
Vitamina B 2 unidades 1 unidades 5 unidades 
Vitamina C 3 unidades Não contém 3 unidades 
 
Ache todas as quantidades possíveis dos alimentos I, II e III que forneça, simultaneamente, 11 
unidades de vitamina A, 3 de vitamina B e 20 de vitamina C. 
 
14 – Determine os valores de a e b para que o sistema abaixo seja impossível? 








bazyx
zyx
zyx
2
232
1
 
 
15 – Se   2,1 é a única solução do sistema 





3
11
aybx
byax
, encontre os valores de a e b.