Prévia do material em texto

ET75H - SISTEMAS DE CONTROLE 1 - Prof.: Rafael Souto
Questões Anteriores - Prova 2
Questão: Trace o gráfico do lugar das raízes do sistema de controle mostrado na Fig. 1.
Figura 1: Sistema de controle com realimentação unitária.
Questão: Considere um sistema de controle com realimentação unitária, cuja planta possa ser descrita porG(s) = 1
s2
.
a) Trace o lugar das raízes desse sistema e avalie sua estabilidade.
b) Suponha que seja acrescentado, no ramo direto, um controlador PI descrito porC(s) = K(s+1)
s
. Trace o novo
lugar das raízes do sistema e reavalie sua estabilidade.
c) Retirado o controlador PI do item anterior, suponha que um controlador PD descrito porC(s) = K(s + 1)
seja acrescentado no ramo direto. Trace o novo lugar das raízes do sistema e reavalie sua estabilidade. Determine
também para qual faixa de valores deK o sistema apresentará uma resposta subamortecida quando submetido a
uma entrada do tipo degrau.
Questão: Considere um sistema de controle com realimentação unitária, cuja função de transferência de malha aberta
seja dada por
G(s) =
s+ 6
(s+ 2)(s2 + 2s+ 2)
.
a) Trace o lugar das raízes do sistema. Em seguida, verifique para quais valores de ganho proporcionalK o sistema
permanecerá estável.
b) Suponha que dois controladores estejam disponíveis para uso neste sistema: um controlador proporcional-
derivativo do tipoGc1(s) = K(s+6) e um controlador avanço de fase do tipoGc2(s) = K s+2s+6 . A inserção de um
destes controladores no ramo direto da malha poderia tornaro sistema instável para algum valor deK? Justifique.
c) Caso não fosse tolerado sobressinal na resposta do sistema ao degrau unitário, qual destes controladores do
item anterior,Gc1(s) ouGc2(s), um projetista deveria escolher para inserir no ramo diretoda malha de controle?
Justifique.
OBS.: Para esta questão, consideretan(0, 2) ≈ 10◦.
Questão: Considere o sistema mostrado na Fig. 2.
Figura 2: Sistema de controle com realimentação unitária. Figura 3: Plano S.
a) Obtenha o tempo de acomodaçãots da resposta ao degrau unitário (para o critério de 5%).
ET75H - SISTEMAS DE CONTROLE 1 - Prof.: Rafael Souto
Questões Anteriores - Prova 2
b) projete um compensador de avanço de fase para que os pólos dominantes de malha fechada tenham coeficiente
de amortecimentoξ = 0, 5 e frequência natural não amortecidaωn = 3 rad/s, ou seja, o sistema compensado deve
possuirts = 2s.
Obs.: Para este projeto, considere as seguintes aproximações, asquais não afetarão significativamente o desempenho final
do sistema:
−
3
2
+
3
√
3
2
j ≈ 3ej120
◦
−
1
2
+
3
√
3
2
j ≈
8
3
ej100
◦ 1
2
+
3
√
3
2
j ≈
5
2
ej80
◦
3 +
3
√
3
2
j ≈
25
8
ej40
◦
−6− 3
√
3j ≈ 8ej220
◦
tan 10◦ ≈
√
3
9
tan 40◦ ≈
√
3
2
tan 50◦ ≈
2
√
3
3
tan 80◦ ≈ 3
√
3
Caso precise, utilize a Fig. 3 para auxiliá-lo no projeto.
Questão: Considere o sistema de controle de um motor DC (realimentação unitária). Suponha que a função de transfe-
rência do motor possa ser descrita por
G(s) =
1
s(s+ 0.5077)
.
Projete um compensadorC(s) de modo que o sistema compensado satisfaça os seguintes requisitos: ζ ≈ 0, 342, ωn ≈ 1
eKv ≈ 1, 55.
Questão: Considere o sistema de controle ilustrado na Fig. 4. Suponhaque a função de transferência da planta não seja
conhecida, mas que seu diagrama de Bode tenha sido obtido experimentalmente, conforme a Fig. 5.
Figura 4: Sistema de controle com realimentação unitária.
−20
0
20
40
60
80
100
M
ag
ni
tu
de
 (
dB
)
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
−90
−45
0
P
ha
se
 (
de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figura 5: Diagrama de Bode da planta.
a) Determine o erro estacionário do sistema para uma entrada emrampa unitária.
b) Projete um controlador atraso de fase com ganho unitário, isto é,Gc(s) =
s+ 1
T
s+ 1
βT
, β > 1, a ser inserido no ramo
direto, de modo que o erro estacionário do sistema para uma entrada em rampa unitária seja de 0,01.
c) Desenhe a aproximação assintótica para o diagrama de Bode dafunção de transferência de malha aberta após a
inserção do controlador.
Questão: Desenhe o diagrama de Bode da seguinte função de transferência de malha aberta. Determine um valor
aproximado para a margem de fase e para a margem de ganho.
G(s) = 105
s+ 10
(s+ 100)(s+ 1000)
(1)
ET75H - SISTEMAS DE CONTROLE 1 - Prof.: Rafael Souto
Questões Anteriores - Prova 2
Questão: Considere uma planta qualquer descrita por
G(s) = 0.01
(s+ 104)2
(s+ 10)(s+ 103)
e os seguintes controladores
CPD(s) = 10
−3(s+ 103), CPI(s) =
(s+ 10)
s
e CPID(s) = 10
−4 s
2 + 1010s+ 104
s
.
a) Esboce a aproximação assintótica do diagrama de Bode deG(s) e determine sua margem de fase e sua margem
de ganho.
b) Determine qual dos controladores disponíveis (CPD,CPI ouCPID) faz com que a margem de fase deC(s)G(s)
se mantenha a mesma deG(s). Justifique sua resposta.
Questão: Considere um sistema de controle com realimentação unitária, cuja função de transferência de malha aberta
seja dada por
G(s) =
s+ 6
(s+ 2)(s2 + 2s+ 2)
.
Determine a função de transferênciaGc(s) = K
(s+Z)2
s
de um controlador PID sintonizado para esse sistema pelo se-
gundo método de Ziegler-Nichols.
OBS.: Para esta questão, considereπ ≈ 3.
Questão: Considere o sistema descrito por
[
ẋ1
ẋ2
]
=
[
0 6
1 −5
] [
x1
x2
]
+
[
1
1
]
u
y =
[
0 1
]
[
x1
x2
]
.
a) O sistema é estável? Justifique.
b) O sistema é controlável? Justifique.
c) O sistema é observável? Justifique.
Questão: Considere os seguintes sistemas:
a) O sistema 1 é controlável? O sistema 2 é controlável? Justifique.
b) Para o(s) sistema(s) em que você afirmou ser controlável no item anterior, determine a matriz de ganhoK de
realimentação de estado para que os pólos de malha fechada sejam alocados ems = −4 e s = −2 utilizando um
controle de realimentação de estado do tipou = −Kx.
Questão: Considere um sistema descrito pelas seguintes equações
ẋ1 = x2
ẋ2 = 6x1 + x2 + 4u
y = x1
a) Classifique esse sistema quanto à estabilidade, controlabilidade e observabilidade.
b) Projete um controlador por realimentação de estados,u = −Kx, tal que os pólos de malha fechada desse
sistema se situem em−1± j.
ET75H - SISTEMAS DE CONTROLE 1 - Prof.: Rafael Souto
Questões Anteriores - Prova 2
Questão: Considere o seguinte sistema de controle.
ẋ =
[
1 1
0 −1
]
x+
[
α
β
]
u
y =
[
1 0
0 1
]
x
a) Esse sistema é estável? Justifique.
b) Escolha algum valor para as constantesα eβ, de modo que o sistema seja controlável.
c) Considerando a escolha realizada no item anterior e uma realimentação de estados do tipou = −Kx, projete a
matriz de ganhosK para que os pólos do sistema em malha fechada sejam alocados em −2± j2.