Conjuntos e Conjuntos Numéricos em Cálculo

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CÁLCULO - CONCEITOS
AULA 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Flavia Sucheck Mateus da Rocha
CONVERSA INICIAL
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
Em nossas aulas, abordaremos conteúdos que você estudou no ensino fundamental e médio, de
forma aprofundada para que seus estudos futuros na área de cálculo possuam os embasamentos
necessários. Nesta aula, trataremos das noções de conjuntos e de conjuntos numéricos. Alguns temas
importantes fazem parte desta aula:
Conceito de conjunto: estudaremos do que se tratam os conjuntos, como são representados
seus elementos e como verificamos suas cardinalidades;
Subconjuntos e operações com conjuntos: identificaremos o que são subconjuntos, que
relações podemos estabelecer entre conjuntos e estudaremos a união, a intersecção e a
diferença entre conjuntos;
Diagrama de Venn: representaremos as operações entre conjuntos por meio de diagramas e
resolveremos problemas com base neles;
Conjuntos numéricos: abordaremos o conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos
racionais e dos irracionais;
Intervalos numéricos: representaremos, na reta numérica, alguns subconjuntos dos números
reais.
Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de resolver problemas que envolvam
conjuntos, reconhecendo diferentes significados e representações dos números.
TEMA 1 – CONCEITO DE CONJUNTO
Quando você pensa na palavra conjunto, sem considerar o contexto da matemática, que
significado você atribui a esse termo? Se buscarmos a palavra no dicionário, encontraremos
definições que indicam que um conjunto pode ser comparado a uma reunião de itens, a um
agrupamento ou a uma coleção. Na matemática, a palavra tem esse mesmo significado. Refere-se
uma coleção de objetos distintos e bem definidos. Esses objetos são chamados de elementos ou
membros do conjunto. Os objetos podem ser: números, pessoas, outros conjuntos, entre outros.
Vejamos alguns exemplos de conjuntos:
Conjunto das regiões brasileiras;
Conjunto dos números ímpares;
Conjunto das notas musicais;
Conjunto das letras da palavra conjunto.
Como você percebeu, os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. As regiões brasileiras, por
exemplo, formam um conjunto de cinco elementos. Já os números ímpares formam um conjunto
infinito.
Um detalhe importante na definição de conjunto é que os seus elementos são distintos. Por esse
motivo, quando indicamos as letras da palavra conjunto, não elencamos com duplicidade as letras
que se repetem. Nesse caso, teríamos um conjunto com as letras c, o, n, j, u e t.
1.1 REPRESENTAÇÃO DOS CONJUNTOS
Para representar os conjuntos, usamos letras maiúsculas. Seus elementos podem ser
representados por meio de enumeração, compreensão ou de forma gráfica. Na enumeração, os
elementos são indicados dentro de chaves. Veja os exemplos a seguir:
A = {dó, ré, mi, fá, sol, lá, si};
B = {1, 3, 5, 7, 9...};
C = {c, j, n, o, t, u}.
Nesse modelo, é conveniente que deixemos os elementos ordenados, respeitando a ordem
alfabética ou numérica. Outra maneira de representar os conjuntos ocorre pela indicação da condição
ou da propriedade do conjunto. Nesse caso, é necessário compreender quais são os elementos
determinados por uma certa regra.
Veja, no exemplo a seguir, como os elementos não são elencados, mas podemos identificá-los
mesmo assim: D =  Nesse exemplo, temos um conjunto infinito que se inicia com o
número 6.
Além da chave e da condição, podemos representar os conjuntos de forma gráfica, por meio de
diagramas. Esses diagramas são conhecidos como Diagramas de Venn. Exemplo, em um conjunto F:
1.2 RELAÇÃO DO ELEMENTO COM O CONJUNTO
Em geral, usamos uma letra minúscula para indicar os elementos de um conjunto. Dizemos que
cada elemento pertence ao conjunto em questão. Indicamos essa relação com o símbolo   Para
indicar que um objeto qualquer não pertence ao conjunto, usamos o símbolo   Assim, quando
temos , lemos: “a pertence ao conjunto A”. Por outro lado,  indica que “a não pertence ao
conjunto A”.
Vejamos o seguinte exemplo: A = {1, 5, 7, 12}. Podemos afirmar que:
;
;
;
;
Um conjunto que não possui elementos é chamado de conjunto vazio. Podemos representá-lo
com o símbolo  ou com a chave vazia: {   }.
1.3 CARDINALIDADE DE UM CONJUNTO
Define-se a cardinalidade de um conjunto A como o número de elementos que pertencem ao
conjunto A: card (A), o(A) ou, ainda, n(A). Exemplos:
Seja o conjunto A = {1, 0, 3, 7}, então n(A) = 4, pois o conjunto A possui quatro elementos;
Seja B = {3, 33, 333, 3333, 33333}, então card (B) = 5, pois o conjunto B possui cinco elementos.
TEMA 2 – SUBCONJUNTOS E OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Neste tema, estudaremos os subconjuntos e três operações com conjuntos: a união, a
intersecção e a diferença.
2.1 SUBCONJUNTOS
Em algumas situações, é possível que os mesmos elementos façam parte de mais de um
conjunto ao mesmo tempo. Imagine, por exemplo, o conjunto dos seres vivos. Agora, considere o
conjunto dos animais. Se você analisar o elemento cachorro, conseguirá dizer que ele pertence aos
dois conjuntos, tanto o de seres vivos como o de animais. Se você continuar escolhendo animais para
analisar, perceberá que todos também são seres vivos. Em casos como esses, podemos identificar
subconjuntos.
Dizemos que B é um subconjunto de A se todos os elementos de B também são elementos de A.
Nesse caso, B está contido em A :
Na situação hipotética anterior, o conjunto dos animais é um subconjunto do conjunto de seres
vivos, pois todos os elementos do conjunto dos animais também pertencem ao conjunto dos seres
vivos. Quando um conjunto não está contido em outro, usamos o símbolo 
2.2 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Dados dois conjuntos quaisquer, podemos obter um terceiro conjunto resultante de uma
operação. Vamos estudar três operações entre conjuntos, consideradas elementares.
A união entre dois conjuntos A e B resulta em um terceiro conjunto que contém todos os
elementos de A e B, chamado de  Exemplo: dados os conjuntos  e ,
Importante: .
A intersecção entre dois conjuntos A e B resulta em um terceiro conjunto que contém apenas os
elementos em comum entre A e B, chamado de Exemplo: dados os conjuntos  e 
,
Importante: .
A diferença entre os conjuntos A e B, tal que , resulta em um terceiro conjunto que contém
apenas os elementos de A que não estão em B. Exemplo: dados os conjuntos   e 
,
;
.
Importante: .
TEMA 3 – DIAGRAMA DE VENN
É possível que representemos as operações entre conjuntos por meio de diagramas. Isso nos
auxilia a resolver problemas com conjuntos. Nos diagramas, devemos representar graficamente as
intersecções entre os conjuntos. Sejam dois conjuntos A e B, representados nos diagramas a seguir:
Devemos escrever os elementos que são comuns aos conjuntos no espaço de intersecção das
curvas fechadas. Exemplo: dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}, vamos representar esses conjuntos
por meio de diagramas:
A intersecção entre os conjuntos A e B forma o conjunto {3, 4}. A união entre os dois conjuntos
culmina no conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Preste atenção no que podemos observar no diagrama: o
conjunto A tem quatro elementos, o conjunto B também tem quatro elementos. A quantidade de
elementos do conjunto  é igual a seis. Ou seja, a cardinalidade do conjunto  não é obtida
apenas com a soma das cardinalidades dos conjuntos A e B.
Essa informação é muito importante para resolução de problemas que envolvam conjuntos,
fazendo uso dos diagramas de Venn. Representamos, no diagrama, a cardinalidade de cada conjunto,
ou seja, a quantidade de elementos que aquele conjunto possui. Mas não podemos esquecer que o
que é comum aos conjuntos fica registrado nos campos de intersecção. Vejamos um exemplo, para
melhor compreensão.
Uma turma foi entrevistada para saber quantos alunos gostavam de chocolate preto e quantos
gostavam de chocolate branco. Vinte e oito alunos disseram que gostavam de chocolate preto e 18
disseram que gostavam de chocolate branco. Sabe-se, ainda, que 17 alunosdisseram que gostavam
dos dois tipos de chocolate. Quantos alunos há na sala? Vamos chamar o conjunto de alunos que
gostam de chocolate preto de A e dos que gostam de chocolate preto, de B. Logo:
n(A) = 28;
n(B) = 18;
n = 17.
Queremos saber a quantidade de alunos no total, por isso queremos saber a cardinalidade do
conjunto  Não devemos apenas somar 28 + 18, pois precisamos levar em conta a intersecção.
Representando isso graficamente, temos:
A deve ter o total de 28 alunos, assim como B deve ter 18 alunos no total. Quando incluirmos a
intersecção, devemos diminuir esse valor de 28 e de 18:
Assim, podemos concluir que a turma tem 29 alunos (11 + 17 + 1). Logo, 
Vejamos, agora uma situação com três conjuntos. Alguns clientes de um mercado foram
entrevistados para saber se gostavam dos temperos de uma marca, dos quais:
120 clientes disseram que gostavam do tempero A;
80 clientes gostavam do tempero B;
70 clientes gostavam do tempero C;
35 clientes gostavam de A e de B;
42 clientes gostavam de A e C;
30 clientes gostavam de B e C;
18 clientes gostavam dos três temperos;
12 clientes entrevistados não gostavam de nenhum dos três temperos.
Vamos começar indicando a intersecção e os clientes que não gostavam de nenhum dos
temperos:
Para indicar as intersecções de A e B, A e C e B e C, devemos levar em consideração a quantidade
de 18 já indicada. Temos que:
.
Considere que devemos subtrair 18 desses números para completar o diagrama:
Para finalizar o diagrama, devemos considerar a quantidade total que deve estar em cada
conjunto: em A, em B e em C. No conjunto A, por exemplo, são 120 pessoas. Devemos descontar as
que já estão elencadas no conjunto A = 17 + 18 + 24. Ou seja, descontamos de 120 o valor de 59,
resultando em 61. Fazemos o mesmo para os conjuntos B e C:
Somando todos os valores, constatamos que o total de entrevistados foi de 193 clientes.
TEMA 4 – CONJUNTOS NUMÉRICOS
Ao longo da sua história, o homem foi desenvolvendo técnicas e criando artefatos para melhorar
sua sobrevivência. Uma das criações humanas foi o número e com ele o processo de contagem. A
necessidade de contar deu origem ao primeiro conjunto de números que conhecemos.
4.1 NÚMEROS NATURAIS
Os números que usamos para contar formam o conjunto dos números naturais . Não há um
consenso, na literatura, sobre a inclusão do zero nesse conjunto. Nesse texto, consideraremos que o
zero faz parte do conjunto dos naturais. Assim:
.
Podemos indicar o  conjunto sem zero, incluindo um asterisco ao lado da letra 
.
4.2 NÚMEROS INTEIROS
A noção de dívida, as temperaturas abaixo de zero, os andares abaixo do térreo são exemplos de
situações que demandam outros tipos de números. Assim, expandimos o conjunto dos naturais
acrescentando os opostos desses números, para formarmos o conjunto dos números inteiros 
.
Perceba que o conjunto dos naturais é um subconjunto dos inteiros:
Ambos os conjuntos são infinitos.
4.3 NÚMEROS RACIONAIS
Assim como, em algum momento da história, houve a necessidade de certas subtrações que
resultavam nos números negativos, algumas divisões não resultam em números inteiros. Por esse
motivo, uma nova necessidade faz com que surja o conjunto dos números racionais 
Esse conjunto é formado por números que são escritos da seguinte forma:
.
Todo número que possa ser escrito em forma de fração de inteiros, com o denominador
diferente de zero, é um número racional. Nesse caso, o conjunto dos inteiros está todo contido nos
racionais, já que qualquer inteiro pode ser escrito na forma de fração.
Veja:
;
;
;
Os números decimais também são racionais, desde que possam ser escritos na forma de fração.
Para saber se um decimal é racional, devemos observar as suas casas decimais: se forem finitas ou se
formarem uma dízima periódica, então esse decimal será um número racional. Exemplos: 0,25;
1,3333333; 0,4; 5,23232323...
4.4 NÚMEROS IRRACIONAIS
Os números decimais que possuem casas decimais infinitas, sem dízima periódica, formam o
conjunto dos números irracionais  Como exemplo, temos o número Algumas raízes também
resultam em números irracionais, mas não podemos dizer que toda raiz é irracional:  é um número
racional (também inteiro e natural); , por sua vez, é um número irracional.
4.5 NÚMEROS REAIS
A união do conjunto dos números racionais com o dos irracionais forma o conjunto dos
números reais :
Assim, o conjunto dos números reais contém os naturais, os inteiros e os racionais, além dos
irracionais:
TEMA 5 – INTERVALOS
Os números reais podem ser escritos em uma reta numérica. Em alguns casos, para resolver
alguns problemas, pode ser necessário limitar uma parte dessa reta, para nossa solução. Considere,
por exemplo, que você está visualizando um quadrado e sabe que sua área é menor que 16 cm².
Você sabe que a medida do lado desse quadrado é um número real, mas pode limitar uma faixa de
números possíveis para essa medida. Podemos indicar que o lado desse quadrado será maior que 0
(já que não existe medida negativa) e menor que 4 (uma vez que um lado com medida maior que 4
resultaria em uma área maior que 16). Nesse caso, a medida estaria compreendida no intervalo de
números reais entre 0 e 4. Então, temos que:
Intervalos são subconjuntos do conjunto dos números reais (R).
A distância entre dois pontos quaisquer sobre a reta real representa um intervalo numérico.
Podemos representar os intervalos de forma gráfica, na reta numérica, por descrição ou notação.
Veja o exemplo de um intervalo representado graficamente:
Esse intervalo pode ser descrito da seguinte forma: Ou, por notação: [ -1, 2].
5.1 INTERVALO FECHADO OU INTERVALO ABERTO
Quando os extremos fazem parte de um intervalo destacado, dizemos que esse intervalo é
fechado e usamos colchetes para representá-lo. Um intervalo pode ser parcialmente fechado, com
apenas uma das suas extremidades abertas. Isso significa que apenas um dos extremos pertence ao
intervalo. Exemplo: seja o intervalo  
No exemplo,  e , bem como todos os infinitos números compreendidos entre -2 e 1
pertencem ao intervalo. Logo, o intervalo   pode ser escrito como . Ou,
por notação: ]-2, 1] ou (-2, 1]. Para representar que um intervalo é aberto, usamos parênteses; ou
então colchetes, estes virados para o seu lado de fora. Se nenhum dos extremos pertence a um
intervalo dado, ele é aberto. Exemplo: seja o intervalo  
.
Nesse caso,  e Podemos escrever o intervalo como .
Ou, por notação: ]-2, 1[ ou (-2, 1).
5.2 INTERVALO TENDENDO AO INFINITO
Também podemos indicar intervalos que tendam ao infinito, para a direita ou para a esquerda.
Exemplo:
Podemos escrever o intervalo, por descrição: . Já por notação: [-2, + ¥ [ ou [-2, +
¥).
NA PRÁTICA
Uma pesquisa realizada com clientes de uma empresa de televisão por assinatura revelou a quais
canais esses clientes assistiam, entre três opções: A, B e C. Um mesmo cliente poderia responder que
assistia a nenhum, a um, a dois ou aos três canais. Os resultados foram os seguintes:
80 clientes assistem ao canal A;
75 clientes assistem ao canal B;
60 clientes assistem ao canal C;
30 clientes assistem aos canais A e B;
40 clientes assistem aos canais A e C;
30 clientes assistem aos canais B e C;
2 clientes não assistem a nenhum dos três canais.
Sabendo que 120 clientes foram entrevistados, responda: quantos clientes assistem aos três
canais A, B e C?
Para responder à questão, usaremos o diagrama de Venn, lembrando que desejamos encontrar a
intersecção entre A, B e C. Chamando essa intersecção de x, deveremos subtrair x dos valores das
intersecções A e B, A e C e B e C:
Observe que, no diagrama que indica o conjunto A, já temos: . Esses valores
devem ser subtraídos de 80, que é a totalidade de A. Assim, falta acrescentar em A: 
 O total de elementos de B é 75. No diagrama
de B já temos: Logo, falta acrescentar em B: 
 Em C, temos 60 elementos, no total. Já consta
no diagrama de C: Então, temos que falta acrescentar em C: 
A soma de todos essesvalores deve ser igual à totalidade de clientes, que é 120. Assim: 
;
;
Descobrimos, desse modo, que 13 clientes assistem aos três canais: A, B e C.
FINALIZANDO
Nesta aula, estudamos os conjuntos, especialmente os conjuntos numéricos. Veja alguns
lembretes finais sobre cada tema:
Conjuntos: deve-se recordar que elemento pertence e conjunto está contido .
Diagrama de Venn: deve-se iniciar sempre com a intersecção e descontar o valor das demais
intersecções e conjuntos.
Conjuntos numéricos: deve-se compreender quais são os subconjuntos e diferenciar racionais
de irracionais.
Intervalos: deve-se considerar que podem ser abertos ou fechados.