Momento de Inércia e Tensões

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1a Questão
	
	
	
	Complete a frase abaixo com a alternativa que melhor se enquadra. Quanto maior _______________, ________ o esforço necessário para colocar em movimento de rotação.
		
	 
	o momento de inercia; maior;
Explicação:
O momento de inércia representa a inércia (resistência) associada à tentativa de giro de uma área, em torno de um eixo, e pode ser representado numericamente através do produto da área pelo quadrado da distância entre a área e o eixo de referência.
	2a Questão
	
	
	
	Assinale a opção que apresenta a unidade que pode ser utilizada para expressar o momento de inércia de uma superfície plana:
	 
	cm4
	3a Questão
	
	
	
	Determine o momento estático em relação ao eixo x da figura plana composta pelo quadrado (OABD) de lado 20 cm e o triângulo (BCD) de base (BD) 20 cm e altura 12 cm.
	 
	5200 cm3
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	No exemplo de uma patinadora, ao abrir ou encolher os braços em um movimento de giro, observamos que:
	 
	Quanto mais distante a área estiver do eixo de rotação, maior resistência ela oferece ao giro. Por essa razão, a patinadora, ao encolher os braços, durante o movimento de giro, aumenta a velocidade de rotação.
	 5a Questão
	
	
	
	Determine o momento estático em relação ao eixo y da figura plana composta pelo quadrado (OABD) de lado 20 cm e o triângulo (BCD) de base (BD) 20 cm e altura 12 cm.
	 
	6880 cm3
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	"Podemos entender o momento estático de uma área como o produto entre o valor do(a) _______ e o(a) _________ considerada(o) até o eixo de referência que escolhemos para determinar o momento estático." As palavras que melhor representam as lacunas que dão o sentido correto da frase são, respectivamente:
		
	 
	área ; distância do centróide da área
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Sobre o cálculo do centroide de figuras planas é correto afirmar que:
	 
	Quando uma superfície possuir um eixo de simetria, o centroide da mesma deve estar situado nesse eixo, e o momento estático de primeira ordem em relação ao eixo de simetria é nulo;
	1a Questão
	
	
	
	Considere um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa AB, base BC= 4cm e altura AC = 3cm. O momento de inércia deste triângulo (área) em relação ao eixo que passa pela base BC é dado por b.h3/12. Determine o momento de inércia deste triângulo em relação ao eixo que passa pelo vértice A e é paralelo à base. DICA: Teorema dos eixos paralelos: I = I´+ A.d^2 onde d^2 é d elevado ao quadrado
	 
	27 cm4
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação ao eixo x que passa pelo centro de gravidade. (medidas em centímetros)
 
	 
	1024 cm4
	3a Questão
	
	
	
	Analise as afirmativas. I - O raio de giração é a raiz quadrada do momento de inercia da área dividido pelo momento de inércia ao quadrado; II ¿ O momento de inércia expressa o grau de dificuldade em se alterar o estado de movimento de um corpo; III ¿ o produto de inércia mede a antissimétrica da distribuição de massa de um corpo em relação a um par de eixos e em relação ao seu baricentro. É(São) correta(s) a(s) afirmativa(s)
	 
	II e III, apenas
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considere a figura plana composta pelo quadrado (OACD) de lado 18 cm e o triângulo (ABC) de base (AC) 18 cm e altura 18 cm. Sabendo que o centroide da figura (OABCD) está na posição de coordenadas (9, 14), determine o momento inércia Iy em relação ao eixo y que passa pelo centroide da figura plana (OABCD).
	 
	11664 cm4
	5a Questão
	
	
	
	A fotoelasticidade é uma técnica experimental utilizada para a análise de tensões e deformações em peças com formas complexas. A passagem de luz polarizada através de um modelo de material fotoelástico sob tensão forma franjas luminosas escuras e claras. O espaçamento apresentado entre as franjas caracteriza a distribuição das tensões: espaçamento regular indica distribuição linear de tensões, redução do espaçamento indica concentração de tensões. Uma peça curva de seção transversal constante, com concordância circular e prolongamento, é apresentada na figura ao lado. O elemento está equilibrado por duas cargas momento M, e tem seu estado de tensões apresentado por fotoelasticidade.
Interprete a imagem e, em relação ao estado de tensões nas seções PQ e RS, o módulo de tensão normal no ponto
		
	 
	Q é maior que o módulo da tensão normal no ponto R.
	6a Questão
	
	
	
	Considere a seção reta de uma viga no plano xy. Sua área é A e o eixo y é um eixo de simetria para esta seção reta. A partir destas informações, marque a alternativa correta.
	 
	O produto de inércia I xy desta seção sempre será zero
	1a Questão
	
	
	
	Um motor rotacionando um eixo circular maciço de aço transmite 30 kW para uma engrenagem em B. A tensão de cisalhamento admissível no aço é de 42 Mpa. Qual é o diâmetro necessário do eixo se ele é operado a 4.000 rpm?
		
	 
	20,55 mm
	Explicação:
	
	
	2a Questão
	
	
	
	Em uma estrutura de concreto armado formada por vigas, lajes e pilares, a força que é aplicada em uma viga, perpendicularmente ao plano de sua seção transversal, no centro de gravidade, com a mesma direção do eixo longitudinal da viga e que pode tracionar ou comprimir o elemento, é a força
	 
	Normal
	3a Questão
	
	
	
	Um eixo tubular vazado possui diâmetro interno de 3,0cm e diâmetro externo de 42mm. Ele é usado para transmitir uma potência, por meio de rotação, de 90000W as peças que estão ligadas as suas extremidades. Calcular a frequência de rotação desse eixo, em Hertz, de modo que a tensão de cisalhamento não exceda 50MPa.
	 
	26,6 Hz
	
Explicação: f = 26,6 Hz
	
	
	4a Questão
	
	
	
	Sobre o fenômeno da torção em um tubo quadrado de paredes fina de comprimento L, área média Am , espessura t e módulo de cisalhamento G, pode-se afirmar que:
	 
	A tensão de cisalhamento média diminui com o aumento da espessura de parede do tubo;
	5a Questão
	
	
	
	Um motor rotacionando um eixo circular maciço de aço transmite 30 kW para uma engrenagem em B. A tensão de cisalhamento admissível no aço é de 42 Mpa. Qual é o diâmetro necessário do eixo se ele é operado a 500 rpm?
	 
	41,1 mm
	Explicação:
	
	
	6a Questão
	
	
	
	Considere um eixo maciço e homogêneo com seção circular de raio 30 cm. Sabe-se que este eixo se encontra em equilíbrio sob a ação de um par de torques T.  Devido a ação de T, as seções internas deste eixo estão na condição de cisalhamento. Se, na periferia da seção, a tensão de cisalhamento é de 150 MPa, determine a tensão de cisalhamento, nesta mesma seção circular, a uma distância de 20 cm do centro.
		
	 
	100 MPa
Explicação:
A variação da tensão de cisalhamento é linear. Assim, 100/150 = 2/3 e, portanto, 2/3.(150) = 100MPa
	7a Questão
	
	
	
	Determinar, para a barra de latão indicada na figura, a maior tensão de cisalhamento e o ângulo de torção. Sabe-se que T=400 N.m e que G=40 GPa.
	 
	
τ=15,38MPa→θ=0,211∘
	
Explicação:
	 8a Questão
	
	
	
	A linha neutra da seção de uma peça estrutural é definida como o lugar geométrico dos pontos onde:
	 
	a tensão normal é nula;
	1a Questão
	
	
	
	Sobre o fenômeno da torção de eixos circulares não maciços marque a alternativa incorreta:
		
	 
	A tensão de cisalhamento diminui com o aumento do diâmetro interno do tubo;
	2a Questão
	
	
	
	Um motor de 20 HP (1 HP = 746 W) em cujo eixo gira a uma rotação 1.800 rpm, aciona uma máquina. Qual o torque aplicado ao eixo.
	 
	79,2 N.m
	3a Questão
	
	
	
	Sobre o fenômeno da torção de eixos maciços não circulares marque a alternativa incorreta:
		
	 
	A tensão de cisalhamento máxima ocorre no interior da seção transversal;
	4a Questão
	
	
	
	Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 1,5 m de comprimento e diâmetros interno e externo, respectivamente, iguais a 40 mm e 60 mm. Qual o maior torque que pode ser aplicado à barra circular sea tensão de cisalhamento não deve exceder 120 MPa?
	 
	4,08 KN.m
	6a Questão
	
	
	
	Sobre o fenômeno da torção em um tubo quadrado de paredes fina de comprimento L, área média Am , espessura t e módulo de cisalhamento G, pode-se afirmar que:
	 
	A tensão de cisalhamento média diminui com o aumento da espessura de parede do tubo;
	1a Questão
	
	
	
	A extremidade B da barra de alumínio gira de 0,6° pela ação do torque T. Sabendo-se que b=15 mm  e G=26 GPa, determinar a máxima tensão de cisalhamento da barra.
	
	 
	5,07 MPa
	2a Questão
	
	
	
	Para o carregamento mostrado na figura, determine o valor das reações verticais nos apoios.
	 
	RA = 13,75 kN e RC = 26,25 kN
	3a Questão
	
	
	
	Um eixo não-vazado de seção transversal circular se encontra submetido a um momento de torção. Podemos afirmar que:
		
	 
	a tensão de cisalhamento é máxima na periferia da seção circular;
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Para o carregamento mostrado na figura, determine na viga AC a posição onde o gráfico do esforço cortante tem uma descontinuidade, sabendo que a reação em A é RA = 13,75 kN.
	 
	5 m
	5a Questão
	
	
	
	A viga engastada mostrada na figura possui uma reação em A que se opõe à rotação da viga. Determine essa reação.
		
	 
	180 Nm no sentido anti-horário
	 6a Questão
	
	
	
	Para o carregamento mostrado na figura, determine o valor do momento fletor máximo na viga AC, sabendo que a reação em A é RA =  13,75 kN.
	 
	68,75 kNm
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Suponha uma viga de 4m de comprimento apoiadas em suas extremidades A e B. Sobre esta viga existe um carregamento de 5kN/m. Considere o ponto M, médio de AB. Neste ponto os valores do momento fletor e esforço cortante atuantes na seção valem, respectivamente:
 
		
	 
	10kN.m e 0kN
Explicação:
No ponto M, o momento fletor é máximo e o esforço cortante igual a zero. Mmáximo = q.L2/8
Mmáximo = q.L2/8 = 5.(4)2/8 = 10kN.m e V = 0 kN
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Em uma estrutura de concreto armado formada por vigas, lajes e pilares, a força que é aplicada em uma viga, perpendicularmente ao plano de sua seção transversal, no centro de gravidade, com a mesma direção do eixo longitudinal da viga e que pode tracionar ou comprimir o elemento, é a força
		
	 
	Normal
	 1a Questão
	
	
	
	Uma coluna com rótulas nas extremidades, de comprimento L, momento de inércia da seção transversal igual a I e módulo de elasticidade E, tem carga crítica vertical Pcr e apresenta comportamento, em relação à flambagem, segundo a teoria de Euler. Sobre tal coluna, é incorreto afirmar:
	 
	Caso o comprimento L seja reduzido à metade, o valor da carga crítica Pcr duplica.
	2a Questão
	
	
	
	Para o perfil da figura, determine a tensão de cisalhamento máxima, sabendo que a viga está submetida a um esforço cortante de 145,05 kN e as dimensões estão em cm.
Dados: I = 9 . 10-5 m4 ;  
	 
	25 MPa
	3a Questão
	
	
	
	Considere uma viga reta, homogênea e de seção transversal constrante, inicialmente na posição horizontal. A seção transversal em cada extremidade é vertical, ou seja, cada elemento longitudinal possui, inicialmente, o mesmo comprimento. A via é fletida única e exclusivamente pela aplicação de momentos fletores, e a ação pode ser considerada elástica. Para essa situação, com as hipóteses consideradas, analise as afirmações a seguir. I- Qualquer seção plana da viga, antes da flexão, permanece plana após essa flexão. II - Existem elementos longitudinais da viga que não sofrem deformação, ou seja, alteração em seu comprimento. III - Todos os elementos longitudinais da viga encontram-se submetidos a tensões de tração. Está correto o que se afirma em:
	 
	I e II
	4a Questão
	
	
	
	Para o perfil da figura, determine a tensão máxima, sabendo que a viga está submetida a um momento de 201,6 kNm e as dimensões estão em cm.
Dados: I = 9 . 10-5 m4 ; 
	 
	280 MPa
	5a Questão
	
	
	
	Suponha um eixo cilíndrico homogêneo preso em uma extremidade. Um torque T é aplicado ao mesmo e, em consequência, as seções retas estão submetidas ao cisalhamento. Escolhendo-se aleatoriamente uma seção, determinam-se os valores de tensão de cisalhamento: 100 MPa; 50 MPa e 0. Com relação às posições dos pontos, na seção reta, sujeitos a estes valores é verdade que:
	 
	Um destes pontos é o centro e os demais afastados deste. O de 100 MPa mais afastado que o de 50MPa
	
Explicação:
A variação da tensão de cisalhamento ao longo do raio é linear, sendo zero neste ponto. Assim, o ponto de 100 MPa está mais afastado do centro do que o ponto de 50 MPa
	
	
	6a Questão
	
	
	
	Uma viga de eixo reto tem seção transversal retangular, com altura h e largura b, e é constituída de material homogêneo. A viga está solicitada à flexão simples. Considerando um trecho dx da viga, o diagrama das tensões normais que atua nesse trecho é representado por:
	 
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Márcio é engenheiro calculista e necessita projetar uma viga bi-apoiada de 7 metros de comprimento e que apresente deflexão máxima "v" no ponto médio igual a 3,0 mm.
Sabendo-se que o material deve apresentar momento de inécia "I" igual a 0,001 m4 e carregamento constante distribuído "w" igual a 10kN/m, obtenha aproximadamente o valor do módulo de elasticidade "E" do material da viga.
OBS: v=5wL4/384EI  ("w" é o carregamento).
	 
	104 MPa
Explicação:
v=5wL4/384EI → 3,0 x 10-3=5 x 10 x 103 x 74 / (384 x E x 10-3) →  E =5 x 10 x 103 x 74 / (384 x 10-3) x 3,0 x 10-3→ E= 104 MPa aproximadamente.
	2a Questão
	
	
	
	Seja uma haste horizontal AB de seção reta circular apoiada em suas extremidades A e B. Considere que seu diâmetro vale 50 mm e o seu comprimento AB vale 5 m. Sobre esta haste existe uma distribuição uniforme ao longo de seu comprimento tal que q seja igual a 400 N/m. Determine a tensão de flexão máxima.
Dados: I=pi.(R4)/4   Mmáximo = q.l2/8     Tensão = M.R/I
	 
	102 MPa
Explicação:
Mmáximo = q.l2/8 = 400.25/8 = 1250 N.m
Tensão = M.R/pi.(R4)/4 
Tensão = M/pi.(R3)/4 
Tensão = 1250/3,14.(0,0253)/4 
Tensão = 102 MPa
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Em uma construção, necessita-se apoiar sobre uma viga biapoiada de 5 metros de comprimento, um objeto de 500kg.
A equipe de projeto, forneceu as seguintes informações sobre o material.
E=16GPa (módulo de elasticidade)
I=  0,002 m4 (momento de inércia calculado em torno do eixo neutro da viga).
Deflexão máxima no ponto médio da viga: v=wL3/48EI ("w" é o carregamento).
 
Identifique a opção que mais se aproxima da deflexão máxima no ponto médio da viga em questão.
	 
	0,41 mm
Explicação:
A questão já nos forneceu a expressão do deslocamento (deflexão) máxima da viga em seu ponto médio, basta substituir os dados.
v=wL3/48EI → v=500 x 10 x 53 / 48 x 16 x 109 x 2 x 10-3 → v= 0,41mm aproximadamente.
	4a Questão
	
	
	
	Após a aplicação de uma carga axial de tração de 60 kN em uma barra de aço, com módulo de elasticidade longitudinal de 200 GPa, comprimento de 1,0 m e área da seção transversal de 10 cm2, o alongamento produzido na barra, em mm, é
	 
	0,3
Explicação: σ = F/A → σ = 60 kN/10 cm2 = 6 kN/cm2 = 60 MPa σ = E.ε → 60 MPa = 200.103 MPa. (∆L/L) → ∆L = 3.10-4 m ∆L = 0,3 mm
	 5a Questão
	
	
	
	Um engenheiro necessita projetar uma viga bi-apoiada de 5 metros de comprimento e que apresente deflexão máxima "v" no ponto médio igual a 1mm.
Sabendo-se que o material deve apresentar momento de inércia "I" igual a 0,003 m4 e carregamento constante concentrado "w" igual a 200kN, obtenha entre os materiais da tabela a seguir o mais adequado ao projeto.
OBS: v=wL3/48EI ("w" é o carregamento).
	Material
	Módulo de Elasticidade (GPa)
	Liga Inoxidável 304
	193
	Liga Inoxidável PH
	204
	Ferro Cinzento
	100
	Ferro Dúctil
	174
	Alumínio
	70
	 
	Ferro Dúctil
Explicação:
Devemos calcular o módulo de elasticidade do material. v=wL3/48EI → 1,0 x 10-3=200 x 10 x 53 / 48 x E x 3,0 x 10-3 → E= 173,6 MPa.
	6aQuestão
	
	
	
	Um modelo dos esforços de flexão composta, no plano horizontal de um reservatório de concreto armado de planta-baixa quadrada e duplamente simétrica, é apresentado esquematicamente na figura a seguir por meio do diagrama de momentos fletores em uma das suas paredes. Na figura, p é a pressão hidrostática no plano de análise, a é o comprimento da parede de eixo a eixo, h é a espessura das paredes (h << A), M1 M2 são os momentos fletores, respectivamente, no meio da parede nas suas extremidades, e N é o esforço normal aproximado existente em cada parede.
Considerando o reservatório cheio de água, verifica-se que, na direção longitudinal da parede, os pontos Q, R e S ilustrados na figura estão submetidos às seguintes tensões normais:
	 
	Q [compressão] - R [tração] - S [tração]
	 1a Questão
	
	
	
	As figuras mostradas nas opções a seguir mostram duas situações em que esforços são aplicados a uma viga. A parte esquerda da igualdade presente em cada opção representa a aplicação combinada de um esforço normal e um momento fletor e a parte direita representa a aplicação de uma única carga.
Com base na teoria estudada em "flexão composta reta", assinale a opção em que a igualdade está CORRETA:
	 
	
Explicação:
O momento aplicado e a força normal aplicada no eixo centróide provocam tensões trativas acima do eixo centróide e tensões compressivas abaixo do eixo centróide, condição que é reproduzida pela aplicação de uma única força normal longitudinal deslocada em relação ao eixo centróide do corpo e abaixo do mesmo.
	2a Questão
	
	
	
	Ao estudarmos o tema "flexão composta reta", vemos que os esforços combinados de uma tensão longitudinal normal e de um momento fletor em uma viga podem ser reproduzidos pela aplicação excêntrica de uma força longitudinal normal, considerando o eixo centróide como referência.
Nas opções a seguir, que mostram uma viga de perfil H, identique aquela que representa estados de tensão possivelmente EQUIVALENTES.
	 
	
	
Explicação:
O momento aplicado e a força normal aplicada no eixo centróide provocam tensões trativas abaixo do eixo centróide e tensões compressivas acima do eixo centróide, condição que é reproduzida pela aplicação de uma única força normal longitudinal deslocada em relação ao eixo centróide do corpo e acima do mesmo.
	3a Questão
	
	
	
	A seção reta de uma viga, que foi projetada para receber cabos de aço protendidos no orifício indicado em "B", está representada na figura a seguir. Os cabos protendidos são utilizados como um recurso para aliviar as tensões na parte inferior da viga e podem provocar no máximo força longitudinal normal de compressão igual a 1.000 kN no ponto de sua aplicação. A estrutura apresenta área da seção reta tranversal igual a 4.000 cm2 e momento de inércia igual a 800.000cm4.
 
Ao ser posicionada, a viga ficará submetida a tensões trativas na parte inferior, sendo o valor máximo no ponto "A" igual a 15,25 kN/cm2.
Considerando o contexto anterior e a figura a seguir, determine aproximadamente a excetrincidade "e" dos cabos protendidos para que o estado de tensão trativa seja anulado.
Tensão provocada pelos cabos protendidos: =N/A ± N.e.yo/I
Onde:
- N: esforço normal provocado pelo cabo protendido
- A: área da seção transversal
- I: momento de inércia da seção em relação ao centroide
- yo: distância do bordo considerado até o centroide
	 
	100 cm
Explicação:
Os cabos protendidos deverão anular a tensão de tração que surge quando a viga é posicionada na estrutura maior da qual faz parte. Desta forma, os cabos deverão produzir uma tensão de 15,25kN/cm2, porém de compressão e não de tração.
Tensão provocada pelos cabos protendidos: =N/A + N.e.yo/I  15,25=1.000/4.000 + (1.000 . e . 120)/800.000  15,25 = 0,25+12.e/80  15,00=0,15e  e=15,00/0,15 = 100cm
	4a Questão
	
	
	
	Considere uma barra bi-apoiada da figura a seguir submetida a um momento fletor. Tem-se que abaixo da linha neutra, a barra encontra-se submetida a tensões trativas e acima da mesma, a tensões compressivas.
 
 
Utilizando como base a teoria da "flexão composta reta", assinale a opção CORRETA.
	 
	A aplicação de uma força longitudinal normal abaixo do eixo longitudinal centróide minimiza as tensões de tração nessa região.
	Explicação:
A tensão de tração abaixo do eixo centróide é minimizada com a aplicação de uma força longitudinal normal abaixo do referido eixo, criando o efeito de um momento fletor devido a sua excentricidade em relação ao centróide. A tensão criada é dada por:
=N/A ± N.e.yo/I
Onde:
- N: esforço normal provocado pelo cabo protendido
- A: área da seção transversal
- I: momento de inércia da seção em relação ao centroide
- yo: distância do bordo considerado até o centroide
	
	
	5a Questão
	
	
	
	A figura a seguir mostra a seção reta transversal de uma viga que possui momento de inércia "I" igual a 700.000 cm4, área da seção reta transversal "A" igual a 2.500cm2 e cujo centróide "C" situa-se a 50cm da base. Nessa viga, é aplicado um momento fletor que cria tensão de compresão na superfície indicada pelo ponto 'A" igual a 12kN/cm2 e tensão de tração indicada no ponto "B" igual a 3,0kN/cm2. Sabendo-se que no orifício "D" serão alojados cabos de aço protendidos que gerarão tensões compressivas na parte inferior da estrutura, determine o valor aproximado da força normal longitudinal provocada por esses cabos de tal forma a anular as tensões trativas no ponto "B".
Tensão provocada pelos cabos protendidos: =N/A ± N.e.yo/I
Onde:
- N: esforço normal provocado pelo cabo protendido
- A: área da seção transversal
- I: momento de inércia da seção em relação ao centroide
- yo: distância do bordo considerado até o centroide
	 
	1.200 kN
Explicação:
Os cabos protendidos deverão anular a tensão de tração que surge quando a viga é posicionada na estrutura maior da qual faz parte. Desta forma, os cabos deverão produzir uma tensão de 3,0kN/cm2, porém de compressão e não de tração.
Tensão provocada pelos cabos protendidos: =N/A + N.e.yo/I  3,0=N/2.500 + (N . 30 . 50)/700.000  3,0 = N.(1/2.500+1.500/700.000)  3,0=N.(0,0004+0,0021)  N=3,0/0,0025 = 1.200 kN.
	6a Questão
	
	
	
	Uma carga centrada P deve ser suportada por uma barra de aço AB de 1 m de comprimento, bi-rotulada e com seção retangular de 30 mm x d. Sabendo-se que σe = 250 MPa e E = 200 GPa, determinar a menor dimensão d da seção transversal que pode ser usada, quando P = 60 kN.
	 
	37,4mm
	7a Questão
	
	
	
	Uma barra de aço de seção transversal retangular está submetida a dois momentos fletores iguais e opostos atuando no plano vertical de simetria da barra da figura.
Determine o valor do momento fletor M que provoca um escoamento na barra. Considere σE=248 MPa.
	 
	338,3 kN.cm
Explicação:
	1a Questão
	
	
	
	A expressão a seguir nos permite calcular o estado de tensões em uma determinada seção transversal retangular de um pilar, determinando se o mesmo encontra-se sob compressão ou tração ou mesmo em estado nulo quando uma força longitudinal normal deslocada dos eixos centróides é aplicada.
=±N/A ± N.ey.x/Iy ± N.ex.y/Ix
Com base na tabela a seguir, que revela o estado de tensões da área do pilar, determine os vértices submetidos a compressão.
	Vértice
	N/A
	N.ey.x/Iy
	N.ex.y/Ix
	A
	-40
	-40
	20
	B
	-40
	40
	20
	C
	-40
	-40
	-20
	D
	-40
	40
	20
	 
	A e C
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	A expressão a seguir nos permite calcular o estado de tensões em uma determinada seção de um pilar, determinando se o mesmo encontra-se sob compressão ou tração ou mesmo em estado nulo
Uma força longitudinal normal deslocada dos eixos centróides provoca na seção reta de um pilar diversos estados de tensão, descritos pela expessão =±N/A ± N.ey.x/Iy ± N.ex.y/Ix, na qual tem-se os seguintes termos:
- N: esforço normal.
- A: área da seção transversal
- Ix e Iy: momentos de inércia da seção em relação aos eixos x e y
- x e y: distâncias em relação aos eixos x e y do ponto de aplicação da carga considerada.Considerando a tabela a seguir e os vértices A, B, C e D de uma seção reta retangular de uma pilar, determinar qual das opções oferece vértices que estão submetidos a tensões trativas.
	Vértice
	N/A
	N.ey.x/Iy
	N.ex.y/Ix
	A
	-40
	-25
	15
	B
	-40
	25
	15
	C
	-40
	-25
	-15
	D
	-40
	25
	15
	 
	Nenhum dos vértices.
	3a Questão
	
	
	
	O projeto prevê que o eixo de transmissão AB de um automóvel será um tubo de parede fina. O motor transmite 125kW quando o eixo está girando a uma frequência de 1500 rpm. Determine a espessura mínima da parede do eixo se o diâmetro externo for 62,5 mm. A tensão de cisalhamento admissível do material é 50 MPa.
Dados: Pot = T.w       w = 2pi.f       J=pi.(R4 ¿ r4)/2      Tensão de cisalhamento = T.R/J
		
	 
	3,0 mm
Explicação:
f = 1500/60 25 Hz
Pot = T. w ⇒ 125.000 = T.2pi.25
T = 796,2 N.m
J = pi.(31,254 - x4).10-12/2
Tensão = T.R/J ⇒ 50.106 = 796,2 . 31,25.10-3/ pi.(31,254 - x4).10-12/2
796,2 . 31,25.10-3.=2,5.pi .(31,254 - x4).10-12. .107 
796,2 . 31,25.102./(2,5.pi) =(31,254 - x4)
x = 28,25 mm
T = 31,25 - 28,25 = 3,00 mm 
	4a Questão
	
	
	
	Sabendo que o momento mostrado atua em um plano vertical, determine a tensão no Ponto A.
	 
	-61.6 MPa
	5a Questão
	
	
	
	Sabendo que o momento mostrado atua em um plano vertical, determine a tensão no Ponto B.
	 
	91.7 MPa
	6a Questão
	
	
	
	O pilar mostrado na figura em corte está submetido a uma força longitudinal normal fora dos eixos centróides x e y, gerando o efeito de momentos em relação a esses eixos. O estado de tensões é complexo, originando regiões submetidas a tensões compressivas, trativas e nulas, calculadas pela expressão: =±N/A ± N.ey.x/Iy ± N.ex.y/Ix
Com base na tabela a seguir, que revela o estado de tensões da área, determine o ponto em que as tensões compressivas são máximas em módulo.
	Vértice
	N/A
	N.ey.x/Iy
	N.ex.y/Ix
	A
	-60
	40
	30
	B
	-60
	-40
	30
	C
	-60
	-40
	-30
	D
	-60
	40
	-30
	 
	C
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	Considere uma viga homogênea e de seção retangular de largura b e altura h.  Suponha que este elemento estrutural esteja sob um carregamento tal que em uma dada seção o esforço cortante seja igual a V.  A distribuição da tensão de cisalhamento nesta seção transversal:
	 
	Varia de maneira parabólica com a altura sendo seu máximo na metade da altura.
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Considere uma viga de madeira cuja seção reta é um retângulo de dimensões: altura 125 mm e base 100 mm. Sob dado carregamento, o esforço cortante na seção é igual a 4kN. Determine o valor de tensão máxima e seu ponto de aplicação, em relação à base da seção reta.
		
	 
	0,48 MPa e 62,5 mm
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Uma estrutura necessita de uma barra de comprimento "L" esbelta sob força compressiva de 30 kN. Considerando os dados relativos a mesma a seguir, determine aproximadamente o maior comprimento que a barra deve ter para não sofrer flambagem.
Carga crítica para ocorrência de flambagem: Pcr = π2.E.I/(kL)2
Módulo de Elasticidade (E)= 12GPa
Momento de Inércia (I)=40 cm4
Fator de comprimento efetivo (k)=0,5
π= 3,1416
	 
	250 cm
Explicação:
Como a tensão compressiva é fixa, fazemos Pcr = 30 kN.
Pcr = π2.E.I/(kL)2  30 . 103= π2.12.109.40.10-8/(0,5. L)2   30 . 103= 47.374,32/(0,5. L)2  30 . 103= 47.374,32/0,25. L2  L2 = 6,32  L=2,52 m ou 252 cm.
	2a Questão
	
	
	
	Em um aparato mecânico, é necessário se projetar uma viga de 2,0 m de comprimento e momento de inércia igual a 50 cm4, que não sofra flambagem quando submetida a um esforço compressivo de 40 kN e fator de comprimento efetivo igual a 0,5. Considerando a tensão crítica para flambagem igual a Pcr = π2.E.I/(kL)2 e a tabela a seguir, em que "E" é o módulo de elasticidade dos materiais designados por X1, X2, X3, X4 e X5, determine o material que melhor se adequa ao projeto.
OBS:
E= módulo de Elasticidade
I = momento de Inércia
k = fator de comprimento efetivo
L = comprimento da viga.
π= 3,1416
	Material
	Módulo de Elasticidade "E" (GPa)
	X1
	16
	X2
	20
	X3
	39
	X4
	8
	X5
	40
 
	 
	X4
Explicação:
Como a tensão compressiva é fixa, fazemos Pcr = 40 kN.
Pcr = π2.E.I/(kL)2  40 . 103= π2.E.50.10-8/(0,5. 2,0)2   40 . 103= 493,48.E. 10-8/(1,0)2  40 . 103= 493,48.E. 10-8  E = 40 . 103 / 493,48. 10-8  E=0,0081 . 1011 = 8,1 . 109 = 8,1 GPa.
	3a Questão
	
	
	
	Uma  coluna retangular de madeira de 4 m de comprimento tem seção reta 50 mm x 100 mm e está posicionada verticalmente. Qual a carga crítica, considerando que as extremidades estejam presas por pinos. Emadeira = 11 x 103 MPa. Não ocorre escoamento.
	 
	7,1 kN
Explicação:
P crítica = (3,14)2 E.I / [(KL)2]
P crítica = (3,14)2 11.103.(100.503/12) / [(1.4000)2] = 7,1 kN
	4a Questão
	
	
	
	Uma barra horizontal sofre flambagem como mostrado na figura. Sabendo-se que para ocorrer tal flexão transversal é necessária a aplicação de uma força de compressão axial mínima, dada por Pcr = π2.E.I/(kL)2, obtenha o valor aproximado da mesma utilizando os dados a seguir:
Módulo de Elasticidade (E)= 15GPa
Momento de Inércia (I)=60 cm4
Fator de comprimento efetivo (k)=0,5
Comprimento da barra (L) = 2,0 m ou 200 cm
π= 3,1416
	 
	89 kN
Explicação:
Pcr = π2.E.I/(kL)2= π2.15.109.60.10-8/(0,5. 2,0)2 = 8.882,68 . 10 = 88,8 kN
Observe que o momento de inércia foi expresso em cm e devemos convertê-lo para metros, ou seja, I=60 cm4= 60 . 10-8 m4.
	5a Questão
	
	
	
	Uma haste de 12,5m de comprimento é feita de uma barra de aço de 25 mm de diâmetro. Determine a carga crítica de flambagem, se as extremidades estiverem presas a apoios:
Dados: E=  210 ,103 MPa, K = 0,5 e I = pi.r4/4
	 
	102 kN
Explicação:
P crítico = (3,14)2 E.I / [(KL)2]
P crítico = (3,14)2 210.109.(3,14.(0,0125)4/4) / [(0,5.12,5)2]= 102 kN
	6a Questão
	
	
	
	Flambagem é um fenômeno que ocorre com barras esbeltas submetidas a esforços de compreesão axial. Nesse contexto, a barra pode sofrer flexão transversal, como mostra a figura a seguir.
 
 
Sabendo-se que para ocorrer flexão é necessário a aplicação de uma determinada carga crítica de compressão, Pcr = π2.E.I/(kL)2, determine aproximadamente a tensão correspondente a essa carga crítica para a barra com as carcterísticas a seguir:
Módulo de Elasticidade (E)= 20GPa
Momento de Inércia (I)=54 cm4
Fator de comprimento efetivo (k)=0,5
Comprimento da barra (L) = 3,50 m ou 350 cm
Área da Seção reta da barra = 40 cm2
π = 3,1416
	 
	8,7 MPa
Explicação:
Pcr = π2.E.I/(kL)2= π2.20.109.54.10-8/(0,5. 3,50)2 = 0,3480 . 105 = 34,80 kN
Observe que o momento de inércia foi expresso em cm e devemos convertê-lo para metros, ou seja, I=54cm4= 54 . 10-8 m4.
cr = Pcr /A = 34,80 . 103/(40 . 10-4)=8,7 . 106 = 8,7 MPa.
Não se esqueça de converter as unidades para metro, ou seja, A=40cm2=40 . 10-4 m2.
	7a Questão
	
	
	
	Uma barra homogênea de comprimento L = 1,0 m e seção reta quadrada, de lado 2,0 cm, está submetida a uma tração de 200kN. O material da barra possui módulo de elasticidade de 200GPa. Qual o valor da deformação da barra, considerando que se encontra no regime elástico?
	 
	2,5mm
	1a Questão
	
	
	
	Uma haste cilíndrica maciça está submetida a um momento de torção pura. Pode-se afirmar que, no regime elástico:
	 
	a tensão de cisalhamento máxima ocorre na periferia da haste e tem uma variação linear;
	 2a Questão
	
	
	
	Uma viga constituirá parte de uma estrutura maior e deverá ter carga admissível igual a 9.000 kN, área igual a 150.000 mm2 e índice de esbeltez igual a 140. Escolha entre os materiais da tabela a seguir o mais adequado.
OBS: ADM = 12π2.E/23(kL/r)2  e  π= 3,1416
 
	Material
	Módulo de Elasticidade (GPa)
	X1
	350
	X2
	230
	X3
	520
	X3
	810
	X5
	400
		
	 
	X2
Explicação:
Tensão, de uma forma geral, é igual a razão entre força e área, ou seja, ADM = PADM/A  ADM = 9.000. 103/150.000 . 10-6 = 0,060 . 109 = 6,0 . 106 = 6,0 MPa
Considerando a expressão fornecida no enunciado, tem-se ADM = 12π2.E/23(kL/r)2  6,0. 106= 12π2.E/23.(140)2  6,0. 106 = 2,6.10-5.E  E = 6,0 109 / 2,6.10-5 = 2,31 . 1011 = 231 GPa.
	3a Questão
	
	
	
	Ao projetarmos uma estrutura, devemos ter mente que existe uma carga admissível para a qual a viga projetada não sofre flambagem. Em algumas situações, essa tensão admissível é fornecida pela expressão ADM = 12π2.E/23(kL/r)2, em que E é o módulo de elasticidade, (kL/r) é índice de esbeltez adaptado.
Considerando o exposto, qual seria o impacto na tensão admissível se aumentássemos o comprimento de uma viga em 10%, mantendo-se contante os outros parâmetros?
	 
	Diminuiria em 17% aproximadamente.
Explicação:
Um aumento de 10% em L é equivalente a multiplicar esse parâmetro por 1,1, ou seja, 1,1L.
Considerando a expressão fornecida no enunciado, tem-se ADM = 12π2.E/23(k1,1L/r)2  ADM = 12π2.E/23(k1,1L/r)2  ADM = 12π2.E/23(k1,1L/r)2 . (1,1)2  ADM = 12π2.E/23(kL/r)2. 1,21  ADM = 0,83. (12π2.E/23(kL/r)2), ou seja, a nova tensão equivale a 0,83 da anterior ou 83%, o que corresponde a uma diminuição de 17%.
	4a Questão
	
	
	
	Em um projeto, consideramos o fator de segurança para obter a tensão admissível a ser utilizada em uma determinada estrutura, dada por ADM=e/FS, em que e é a tensão de escoamento e FS é o fator de segurança.
Entre os elementos que podem prejudicar a segurança da maioria dos projetos, podemos citar os itens a seguir, com EXCEÇÂO de:
	 
	Variação na curvatura do planeta na região em que a estrutura será erguida.
Explicação:
A curvatura da Terra é um parâmetro importante para projetos de dimensões gigantescas, como edifícios muito altos (centenas de andares) ou pontes muito longas, por exemplo. Porém, para a grande maioria dos projetos não constitui parâmetro de relevância.
	5a Questão
	
	
	
	Considere uma barra bi-rotulada de índice de esbeltez, (kL/r), igual a 130, módulo de elasticidade igual a 200GPa e área da seção reta igual a 140.000 mm2, obtenha a carga aproximada admissível à estrutura para que a mesma não sofra flambagem, sabendo que a expressão da tensão admissível é dada por ADM = 12π2.E/23(kL/r)2
OBS: Adote π= 3,1416
	 
	8.540 kN
Explicação:
ADM = 12π2.E/23(kL/r)2  ADM = 12π2.200.109/23.(130)2   ADM = 23.687,16. 109/388.700  ADM = 0,061. 109 Pa
Como a tensão é dada PADM = ADM . A  PADM = 0,061. 109. 140.000 . 10-6  PADM = 0,854 . 107 = 8.540 kN
	6a Questão
	
	
	
	Ao projetarmos uma viga, devemos nos utilizar da expressão que fornece a tensão admissível, dada por ADM = 12π2.E/23(kL/r)2 , em que em que E é o módulo de elasticidade e (kL/r) é índice de esbeltez adaptado.
Considerando o exposto, o que aconteceria a tensão admissível se dobrássemos o raio de giração "r" de uma viga adotada?
	 
	A tensão admissível seria 4 vezes a tensão anterior.
Explicação:
Dobrar ¿r¿ significa adotar ¿2r¿ na express
Considerando a expressão fornecida no enunciado, tem-se ADM = 12π2.E/23(kL/r)2  ADM = 12π2.E/23(kL/2r)2 ADM = 12π2.E/23(kL/r)2.(1/2)2  ADM = 12π2.E/23(kL/r)2.  ADM = 4. (12π2.E/23(kL/r)2), ou seja, a nova tensão equivale a 4 vezes a anterior.