Problemas de Termodinâmica

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Pedro Alves 
mrphalves@gmail.com 
 
 
 
 
1. No método de Rüchhardt para medir 𝜸 =
𝑪𝒑
𝑪𝒗
 do ar, usa-se um grande frasco com 
um gargalo cilíndrico estreito de raio a , aberto para a atmosfera ( P0 = Pressão 
atmosférica), no qual se ajusta uma bolinha metálica de raio a e massa m. Na 
posição de equilíbrio O da bolinha, o volume de ar abaixo dela no frasco é V, 
como mostra a figura ao lado. Mostre que a partícula executa um movimento 
harmônico simples e calcule o período de oscilação em função de a, m, V, P0 e 𝜸 
 
2. Um mol de um gás ideal é aquecido de tal maneira que sua capacidade térmica 
molar é 2R. Durante o aquecimento, o volume do gás é dobrado, por qual fator irá 
mudar sua temperatura? 
 
3. Considere um cilindro hermeticamente vedado e com paredes adiabáticas, fechado em 
ambas as extremidades e dividido em duas partes por um êmbolo com paredes adiabáticas 
e que pode mover-se livremente sem atrito. Inicialmente o volume, a pressão e a 
temperatura do gás ideal em ambas as partes do cilindro são V0, P0, T0, respectivamente. No 
lado direito do cilindro é colocada uma resistência, utilizada para aquecer lentamente o gás 
até que a pressão atinja 64P0/27. Considere a capacidade calorífica 𝑪𝒗 independente da 
temperatura e que 𝜸 =
𝑪𝒑
𝑪𝒗
= 𝟏, 𝟓. Encontre as seguintes quantidades abaixo em função de 
V0, P0, T0. 
 
a) Variação de entropia do gás situado na parte esquerda do cilindro. 
b) O volume final do lado esquerdo. 
c) A temperatura final do lado esquerdo. 
d) A temperatura final do lado direito. 
e) O trabalho realizado sobre o gás do lado esquerdo. 
 
4. Um gás ideal, cujo expoente de Poisson é 𝜸, passa por um ciclo termodinâmico que 
consiste de dois processos isocóricos e dois isobáricos. Encontre a eficiência desse ciclo, 
sabendo que a temperatura cresce K vezes tanto no aquecimento isocórico como na 
expansão isobárica. 
 
 
 
 
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5. Um gás ideal ocupa inicialmente um volume V1 e encontra-se a uma temperatura T1. 
Através de uma transformação adiabática reversível, ele passa para um estado final de 
equilíbrio em que ocupa um volume V2 a uma temperatura T2. Determine a variação de 
energia interna por mol do gás em função de V1, T1, V2, T2 e R, onde R é a constante 
universal dos gases ideais 
 
6. Um recipiente termicamente isolado tem uma parede interna, provida de uma válvula, 
que o divide em duas partes de volume igual V. Um dos lados contém gás ideal à 
pressão P e temperatura T. O outro lado está vazio. Ao abrirmos a válvula, 
o gás expande-se ocupando o outro lado também. Explique o que ocorre com a pressão 
e a temperatura do gás ao realizar a expansão. 
 
7. Um recipiente isolado contém um gás de massa molar M e coeficiente de Poisson 
(Cp/Cv= 𝜸) que se move com velocidade v. Ache a variação de temperatura do gás após 
o recipiente parar. Considere que todo a energia cinética se converte em calor e é usada 
para aquecer o gás. 
 
8. Dois recipientes idênticos são conectados por um tubo com uma válvula que deixa 
o gás passar de um recipiente para outro se a diferença de pressão for maior ou igual a 
1,10 atm. Inicialmente um dos recipientes está vazio (Vácuo) enquanto o outro contém 
um gás ideal a temperatura T1 = 27 °C e pressão P1 = 1,00 atm. Ambos os recipientes são 
aquecidos até uma temperatura T2 = 107 °C. Qual o aumento de pressão do recipiente 
que estava vazio inicialmente? 
 
9. Uma bolha de gás, inicialmente com pressão interna P0 e volume V0, é mantida em 
equilíbrio estático dentro de um lado cuja densidade é p. Num dado instante, a bolha é 
levemente perturbada e inicia um movimento acelerado. Considerando que a 
temperatura da bolha é praticamente constante e que a aceleração da gravidade é g, 
determine a energia cinética da mesma quando ela subir uma pequena altura h. 
Desconsidere efeitos de tensão superficial e, se necessário, utilize (1 + 𝑥)𝑛 = 1 +
𝑛𝑥
1!
 
se |x|<< 1 
 
10. Um recipiente de volume = 30L contém um gás ideal a temperatura 273K. Depois uma 
porção de gás foi retirada e a pressão no recipiente diminuiu em 0,78 atm. Sabendo que 
a temperatura durante todo o processo se manteve constante, ache a massa retirada 
do gás. A densidade do gás nas condições normais de temperatura e pressão é p = 
1,3g/l. 
 
 
 
 
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11. Um cilindro cheio de gás tem área da seção reta igual a 10cm² e é fechado por um 
êmbolo pesado e móvel. O cilindro começa a subir com aceleração 2g. A temperatura 
do gás é mantida constante o volume sob o êmbolo fica 2/3 do original. Ache a massa M 
do êmbolo. Considere a pressão externa igual a 10^5 N/m 
 
12. Um certo corpo de peso P0 (no ar) apresenta um peso aparente P1 quando imerso em 
um líquido a temperatura T1. Quando o líquido é levado a temperatura T2, o mesmo 
corpo apresenta um peso aparente P2. Sendo β o coeficiente de expansão volumétrica 
do material que constitui o corpo, determine o coeficiente de expansão volumétrica do 
líquido. 
 
13. Determine a velocidade V com a qual um gás ideal flui através de um pequeno orifício 
localizado em uma das paredes laterais de um cilindro adiabático. Assuma que o gás flui 
apenas de dentro para fora do cilindro. Dados: T = Temperatura do gás no interior do 
cilindro. M = Massa molar do gás e Cp/Cv = γ = (Coeficiente de Poisson). Dica: 
Hidrodinâmica 
 
 
 
 
14. Encontre as capacidades caloríficas Cp e Cv de uma mistura gasosa contendo 7g de 
nitrogênio e 20g de argônio. Considere o comportamento ideal para ambos os gases. 
Dado: (γN = 1,4 e γAr = 1,67) 
 
15. Um mol de um gás ideal se expande de forma que sua pressão varia com a temperatura 
de acordo com a relação P = αV, onde α é uma constante. Se o volume final do gás é N 
vezes maior que o inicial, determine a variação de energia interna sofrida pelo gás assim 
como sua capacidade calorífica molar. Considere que a razão entre os calores 
específicos do gás é γ. 
 
16. Considere a situação mostrada na figura onde as molas estão inicialmente distendidas 
de d e a área do pistão é A. Na ocasião de uma das molas se romper, calcule a pressão 
final em cada comportamento assim como a variação de energia interna. Assuma que as 
paredes e o pistão do cilindro são isolantes perfeitos. 
 
 
 
 
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17. Uma parte de um cilindro é preenchida com um mol de um gás ideal monoatômico a 
uma pressão P0 e temperatura T0. Um pistão de massa desprezível separa o gás da outra 
parte do cilindro, evacuada, onde há uma mola na sua posição relaxada ligada a ele e a 
outra parede do cilindro. O cilindro é termicamente isolado, e o pistão, que estava 
inicialmente preso ao cilindro, é solto. Após atingir o equilíbrio, o volume ocupado pelo 
gás é o dobro do original. Desprezando a capacidade térmica do cilindro, do pistão e da 
mola, ache a temperatura e a pressão do gás no novo equilíbrio. 
 
 
18. Um cilindro com paredes termicamente isoladas contém duas espécies de gás 
monoatômicos, separadas por uma parede, cujascaracterísticas (pressão, volume e 
temperatura) estão indicadas na figura abaixo. Determine estas características quando a 
parede é retirada e os gases se misturam, porém sem interagir. 
 
 
19. Para um gás ideal, mostre que o calor específico molecular a volume constante (Cv) e a 
pressão constante (CP) estão relacionados pela seguinte relação: 
 CP = Cv + kB, onde kB é a constante de Boltzman. 
 
20. Considere um gás ideal monoatômicos a temperatura e pressão respectivas de T0 = 
300K e p0 = 10^5 Pa. Um laser pulsado é focalizado na amostra de gás e transfere a esta 
uma energia E para um pequeno volume V em 10−9segundos. Se não há aumento de 
volume durante este curto período de tempo, mostre que a pressão varia de Δp = (γ-1)
𝐄
𝐕
 
e a temperatura aumenta em ΔT = 
𝑻𝟎
𝑷𝟎
(γ-1)
𝐄
𝐕
, onde γ = CP/ Cv. 
 
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21. Um gás perfeito realiza o processo representado na figura. No processo ab o fluxo de 
calor para o sistema é 600 J. Determine, em joules, o trabalho no processo ab e a 
variação de energia interna. Mostre que se trata de um gás monoatômicos. Determine, 
em função da constante molar dos perfeitos, R, a capacidade térmica média no 
processo ab. 
 
22. Um tubo cilíndrico longo de comprimento L e secção A, com gás ideal no seu interior a 
uma dada temperatura, encontra-se na posição horizontal. No interior do tubo existe 
um pistão de massa m que divide o tubo em duas partes cada um contendo n moles e 
estando a pressão P, como mostra a figura. Se este pistão for deslocado da posição de 
equilíbrio vai oscilar em torno deste ponto. Calcule a frequência de oscilação do pistão 
para pequenas oscilações. Nota: Despreze o atrito entre o pistão e o tubo e considere 
que a temperatura se mantem constante 
 
 
 
23. “n” moles de um gás ideal diatômico passam pelas transformações termodinâmicas 
reversíveis indicadas no diagrama pressão (p) vs. volume (V) mostrado a seguir. O 
processo AB é isotérmico e ocorre à temperatura TAB. O processo BC é descrito no 
diagrama por uma semicircunferência com diâmetro paralelo ao eixo V. São conhecidos 
os volumes VA, VB e VC. A constante universal dos gases é denotada por R. Nos itens a 
seguir, expresse as suas respostas em função de n, R e, quando necessário, dos 
parâmetros conhecidos VA, VB, VC e TAB. 
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a) Calcule o trabalho realizado pelo gás no processo BC. 
b) Calcule a variação de entropia do gás no processo CA. 
[Dado: As variações de entropia de n moles de um gás ideal 
durante processos isotérmicos e isobáricos são dadas 
respectivamente por: 
∆𝑺𝒊𝒔𝒐𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒄𝒐 = 2,3.n.R.log10(Vf/Vi) e ∆𝑺𝒊𝒔𝒐𝒃á𝒓𝒊𝒄𝒐= 2,3 n 
Cp.log10(Tf/Ti), 
 
 onde Cp é o calor específico molar à pressão constante, e Vi, Vf, 
Ti e Tf denotam os volumes e temperaturas iniciais e finais.] 
 
24. Em uma região de inverno rigoroso, um tanque com água é deixado aberto ao ar livre 
até que se forme sobre a superfície da água uma camada de gelo com espessura igual a 
5 cm. O ar acima da água está a –10°C. Calcule a taxa de formação de gelo (em cm/h) 
sobre a superfície inferior da camada de gelo. Considere a condutividade térmica, a 
densidade e o calor de fusão do gelo como sendo 0,0040 cal/s.cm°C, 0,92 g/cm³ e 
80cal/g, respectivamente. Assuma que nenhuma quantidade de calor deixa ou passa 
para a água através das paredes do tanque. 
 
25. Há um copo de água em contato com o ambiente, e ambos se encontram a uma 
temperatura T0. Mostre, usando o conceito de entropia (e a segunda lei da 
termodinâmica), que não é natural ver a água do copo variar sua temperatura e resolver 
se manter em equilíbrio a uma temperatura diferente de T0. 
Dicas: A variação de entropia associada à variação de temperatura de uma massa m de 
um corpo com calor específico c, que vai de uma temperatura T0 até T é:
 
Você pode usar também a desigualdade ln(1 + x) < x, para todo x > 1 e diferente de 0. 
 
26. Dois corpos em contato térmico se encontram isolados do resto do universo. Eles 
possuem massas e calores específicos m1, c1 e m2, c2, com os índices (1, 2) se referindo a 
cada corpo. Se ambos estão na mesma temperatura T0, mostre que não é esperado que 
eles troquem calor e se equilibrem (termicamente) em temperaturas diferentes. 
Dica: use (1 + 𝑥)𝑛 = 1 +
𝑛𝑥
1!
 , se |x|<< 1 
 
 
 
 
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27. Nebulosas são formações parecidas com nuvens, compostas exclusivamente por gás 
Hidrogênio. Um astrônomo mediu o diâmetro de uma nebulosa, encontrando 45 anos-
luz e sua temperatura em 7500 K e uma densidade de apenas 80 átomos por m³. A 
temperatura foi obtida a partir da análise do comprimento de onda da luz observada na 
Terra. Com os dados obtidos pelo astrônomo, faça uma estimativa da pressão do gás 
hidrogênio no interior da Nebulosa, considerando-o como ideal. 
 
28. A equação de estado de Van der Waals foi proposta para corrigir a equação do gás ideal 
no regime em que a atração entre as moléculas não pode ser mais desprezada. A 
equação de Van der Waals (para 1 mol de gás) é escrita como: 
onde p é a pressão do gás, V o volume, T a temperatura e R a 
constante universal dos gases ideais. A e B são constantes que 
dependem do gás. 
 
a) Determine as unidades das constantes A e B no Sistema Internacional. 
b) Reescreva a equação de Van der Waals na condição em que V >> B. 
c) Sabendo que em 1 mol de gás temos NA = 6 . 𝟏𝟎𝟐𝟑 moléculas e considerando que 
cada molécula pode ser aproximada por uma esfera de diâmetro d, faça uma estimativa 
do valor do parâmetro B (volume real de 1 mol de moléculas do gás) para o gás 
Nitrogênio sabendo que d = 6.𝟏𝟎−𝟏𝟎m. 
d) Faça a razão B/Videal para o Nitrogênio (use o valor B do item c), onde Videal é o 
volume de 1 mol de gás ideal nas condições normais de temperatura e pressão. 
 
29. O diagrama abaixo representa um ciclo realizado por um gás ideal num diagrama de 
entropia S contra temperatura T. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) Esboce o ciclo dado num diagrama de pressão P contra volume V; 
 b) Determine o rendimento do ciclo. 
 
 
 
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30. Sejam XM e XD as frações molares correspondentes à quantidade de um gás ideal 
monoatômico e diatômico, respectivamente, que compõem uma mistura gasosa não 
reagente. Sabendo que a pressão e volume inicial da mistura são, respectivamente, P0 e 
V0, determine a pressão P em função do volume V da mistura quando esta é submetida 
a uma expansão adiabática reversível. Obs.: A fração molar de um constituinte da 
mistura é a razão entre o número de mols deste constituinte e o número de mols total 
da mistura. 
 
31. A figura seguinte mostra um sistema de três barras de cobre de 20 cm de comprimento 
e 5 mm² de área de seção transversal. As extremidades das barras estão ligadas num 
ponto A comum. As outras extremidades estão colocadascada uma em um banho de 
água fervendo (B), um banho de álcool fervendo (C) e um banho de gelo fundente (D). 
Sabendo que a condutividade térmica do cobre é k = 400 W/m.k, que a temperatura de 
ebulição do álcool é 80°C e que o calor de fusão do gelo é cerca de 300 J/g, determine: 
a) A temperatura no ponto A; 
b) A quantidade de gelo que derrete por minuto. 
 
 
 
 
32. Uma arma dispara um projétil de chumbo (calor específico CPb = 0,031cal/g°C) de massa 
20 g, que se move de encontro a um grande bloco de gelo fundente (calor latente de 
fusão L = 80 cal/g). No impacto, o projétil tem sua velocidade reduzida de 100 m/s para 
0 m/s, entrando em equilíbrio térmico com o gelo. Não havendo dissipação de energia, 
ocorre a fusão de 2,25 g de gelo. Qual era a temperatura do projétil no momento do 
impacto? 
 
33. Um cometa de 500 toneladas de gelo precipita-se sobre a Terra em rota de colisão 
frontal (ou seja, ao longo de uma linha que passa pelo centro da Terra). Ao penetrar na 
atmosfera, a cerca de 100Km de altura, a velocidade do cometa é de 10 km/s. Calcule a 
fração da energia mecânica do cometa que seria dissipada para fundir completamente o 
cometa. Suponha que a temperatura inicial do cometa seja de 0°C e considere constante 
a aceleração gravitacional g = 10m/s². 
 
 
 
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34. Aquecendo-se lentamente 2 mols de um gás perfeito ele passa do estado P0, V0 ao 
estado 3P0, 3V0 Se o gráfico da pressão versus volume é uma reta, a dependência da 
temperatura com o volume e o trabalho realizado pelo gás nesse processo serão? 
 
35. O ciclo Diesel, representado na figura abaixo, corresponde ao que ocorre num motor 
Diesel de quatro tempos: o trecho AB representa a compressão adiabática da mistura 
de ar e vapor de óleo Diesel; BC representa o aquecimento à pressão constante, 
permitindo que o combustível injetado se inflame sem necessidade de uma centelha de 
ignição; CD é a expansão adiabática dos gases aquecidos movendo o pistão e DA 
simboliza a queda de pressão associada à exaustão dos gases da combustão. A mistura é 
tratada como um gás ideal de coeficiente adiabático. Considerando que TA, TB, TC, TD, 
representam as temperaturas, respectivamente, nos pontos A, B, C, D mostre que o 
rendimento do ciclo Diesel é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
36. No plano pXV as isotermas T, T + ΔT, T + 2ΔT... e as adiabáticas S, S + ΔS, S + 2ΔS... formam um 
quadriculado mostrado na figura pelas áreas sombreadas. Mostre que todas essas áreas são 
iguais. 
 Dica: Ciclo de Carnot (Temperatura x 
Entropia) 
 
 
 
 
 
 
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37. Um mol de gás perfeito está contido em um cilindro de secção S fechado por um pistão 
móvel, ligado a uma mola de constante elástica k. Inicialmente, o gás está na pressão 
atmosférica P0 e temperatura T0, e o comprimento do trecho do cilindro ocupado pelo 
gás é L0, com a mola não estando deformada. O sistema gás-mola é aquecido e o pistão 
se desloca de uma distância x. Denotando a constante de gás por R, a nova temperatura 
do gás é? 
 
 
 
38. Demonstre que duas adiabáticas nunca podem se cortar. Dica: Supondo que isto fosse 
possível, complete um ciclo com uma isoterma e mostre que a 2ª lei da termodinâmica 
seria violada se tal ciclo existisse. 
 
39. Um gás ideal de coeficiente adiabático γ é submetido ao ciclo ABCA da figura abaixo, 
onde AB é um segmento de reta. 
 
a) Calcule o rendimento. 
b) Mostre que ele é menor do que o rendimento de um ciclo de Carnot operando entre 
as mesmas temperaturas extremas. 
 
 
 
40. O ciclo de Joule, representado na figura ao lado, onde AB 
e CD são adiabática, é uma idealização do que ocorre numa 
turbina a gás: BC e DA representam respectivamente 
aquecimento e resfriamento a pressão constante. r = PB/PA 
é a taxa de compressão. Calcule o rendimento do ciclo 
Joule em função de r e γ. 
 
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41. Um quilograma de gelo é removido de um congelador a -15oC e aquecido, até 
converter-se totalmente em vapor, a 100oC. Qual é a variação de entropia deste 
sistema? O calor específico do gelo é de 0,6 cal/g.oC, o calor latente de fusão do gelo é 
de 79,6 cal/g, e o calor latente de vaporização da água é de 539,6 cal/g. 
 
42. Numa máquina térmica, o agente é um gás ideal de coeficiente adiabático γ, que 
executa o ciclo abaixo, onde BC é uma adiabática e CA uma isoterma. Calcule o 
rendimento em função de r e γ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43. Um pistão de massa m divide gás Hélio em duas partes, uma num volume V1, pressão P1 
e temperatura T1 e a outra num volume V2, pressão P2 e temperatura T2. O pistão é 
liberado, sabendo que não há atrito, ache a máxima velocidade adquirida pelo corpo. 
 
 
 
 
 
44. 20g de hélio, encerradas em um cilindro por um pistão, muito lentamente passa do 
estado com volume V1 = 32 L e pressão P1 = 4,1 atm, ao estado com volume V2 = 9 L e P2 
= 15,5 atm. Qual é a maior temperatura atingida pelo gás nesse processo, se no gráfico 
da dependência da pressão em relação ao volume do gás, o processo é representado 
por uma linha reta? 
 
45. Ao longo de um cordão de peso desprezível de comprimento L0 desliza uma arruela. A 
força de atrito, que atua entre o cordão e arruela, é constante e igual a f, O coeficiente 
de elasticidade do cordão é conhecido e igual a k. Encontre a quantidade de calor 
desprendida Q. 
 
Espero que tenham gostado! Abraços. No caso de alguma dúvida: 
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