Lista I

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O limite 0,3 representa o volume no qual a substância começa 
a se transformar de liquido em gás. 
(C)lim 1 não cxiste, pois os limites laterais à direita eà 
esquerda em (a) e (b) são diferentes. (Em P - 100, as 
formas gasosa e líquida coexistem em equilíbrio, e a 
substância não pode ser classificada seja como gás ou como 
líquido.) 
EXERCÍCIOS 2.1 
Exeres. 1-10: Ache o limite: Exercs. 25-30: Ache cada limite, se existe: 
1 lim (3x - 1) 2 lim ( +2) (a) lim fx) (b lim fx) (c) lim fx) 
x-2 x-3 xa xa 
3 lim x 4 lim (-x) 
25 ft)-4 x4 x-3 a = 4 
5 lim 7 6 lim 100 
X+5 26 fx) +5 100 x7 a = -5 
lim 8 lim (-1) 
x-1| 27 fx) = Vx +6 +x; a = - 6 xT 
9 lim 
--1 2x + 1 
xt4 10 lim4 28 fx) - V5-2 -*; a = 
x. 
Exeres. 11-24: Use uma simplificação algébrica 
para acharo limite, se existe. 
29 fx)- a = 0 
11 (x+3)x4) 12 lim (x+ 1)x +3) 30 fx) a = 8 11 lim 
.-3 x+ 3)(r + 1) x+1 x-1 
2x-6x +X-3 
*-3 
Exeres. 31-40: Use o gráfico para determinar cada 
limite, quando existe 13 lim 14 lim- 
x3 ~2 2 
(a) lim flx) (b) lim fx) () lim r) 
-r +2r-3 16 lim 2 15 lim 
-1 2+5r-7 r-3+7r+ 12 
(d) lim f(x) (e) lim f(r) D lim f) 
K-16 17 lim k2 vx -5 
x0 0 
18 lim 
25X-25 
k4 31 
19 lim 
h)- 2 
h 
20 lim+h° -x' 
h 
0 
21 lim +8 22 lim 
h2 h-4 
h-8 
h-2 h +2 
23 lim 
-2 - 2z - 8 
Z4 24 lim2 102 + 25 
(b) Se n é um inteiro maior do que 1, determine: 
lim C(x) e lim Cx) 
40 
n 
49 A próxima figura é um gráfico das forças-g experimentadas por um astronauta durante a de-
colagem de uma nave espacial com dois lança- 
dores de foguete. (Uma força de 2g's é duas vezes 
a força da gravidade, 3g's de três vezes a força 
da gravidade etc.) Se F(t) denota a força-g aos 
minutos de vôo, determine e interpreteExercs. 41-46: Esboce o gráfico de fe ache cada 
limite se existe: (a) lim F() 
(a) lim flr) (b) lim fx) () lim flx) 
1 (b) lim F(1) e lim F) x1 
3,5 3,5 
x<l 
1 fa)= ]*-1 se (c)lim F(t) e lim F() 
se 5 I5* 
42 fx)3-x se xs 1 F() (g's) 
se x>1 
43 fx)= -1 se xs1 13-x se >1 
10 
Primeiro 
Foguete 
8 Segundo 
Foguete 
44 f(x) = se * 1 
se X=1 Nave 
Espacial 
x+1 se 
45 fu)-1 
x <1 
X =1 se Aterrissagem 
X+1 X>1 se 2 t(minutos) 
se X<1 
50 Um paciente em um hospital recebe uma dose 
inicial de 200 miligramas de um remédio. A cada 
4 horas recebe uma dose adicional de 100 mg. A 
quantidade f{t) do remédio presente na corrente 
sangüínea após t horas é exibida na figura. 
Determine e interprete lim f(t) e lim f(t). (Veja 
46 flx)- 2 
-2 se x>1 
se x =1 
47 Um país taxa em 15% a renda de um indivíduo 
até $20.000 e em 20% a renda acima daquele 
limite. 
t8 8 
a figura a seguir) (a) Determine uma função T definida por partes 
para o imposto total sobre uma renda de x 
dólares. 
S) (mg) 
b) Ache 
Tu). Tx) e lim 
x-20.000 
lim 400 
x20.000 
300 
48 Uma companhia telefônica debita 25 centavos 
pelo primeiro minuto de ligação interurbana, e 
15 centavos para cada minuto adicional. 
200 
100 
(a) Determine uma função C definida por partes 
para o custo total 
de uma ligação de x 
minutos. 
48 12 16 20 t(horas) 
Podem-se formular definições formais para limites laterais 
Para o limite à direita x a' substituímos a condição 
0<- al<ò na Definição (2.4) por a <x <a+ö. Em termos 
na Definição (2.5) alternativa, restringimos x à metade direita 
(a, a + d) do intervalo (a - d, a + d). Da mesma forma, para o 
limite à esquerda x -a substituímos 0 < |x- a < ð em (2.4) 
por a - 8 <x<a. Isto equivale a restringir x à metade esquerda 
(a - ô, a) do intervalo (a - 8, a + ð) em (2.5). 
EXERCÍCIoS 2.2 
13 lim 5x = 15 14 lim (-4x) = -20 Exercs. 1-2: Expressea condição de limite na forma 
(a) da Definição (2.4) e (b) da Definição Alternativa 
(2.5). 
x3 x5 
15 lim (2x + 1) = -5 16 lim (5x - 3) = 7 
x2 
1 lim ) = K 2 lim ft) = M 
I C 
17 lim (10 - 9x) = 64 18 lim (15 - 8x) = -17 
x4 X -6 
Exercs. 3-6: Expresse a condição de limite lateral 
em forma semelhante (a) à da Definição (2.4)e 
(b) à da Definição Alternativa (2.5). 
19 lim (3-5x) -0 20 lim (9-x) 8 
x6 x> 6 
3 lim glx) = C 4 lim h(2) = L 21 lim 5 =5 22 lim 3 =3 
x3 x5 
P Z a 
23 lim c=c para todos os números reais aec 
5 lim fe = N 6 lim s(x) = D 
24 lim (nx + b) = ma + b para todos os números reais 
Exercs. 7-12: Para lim fx) = Lee dados, use 
o gráfico de f para achar o maior ô, tal que se 
0<-d< 8, então fx) -L| <e. 
xa 
m, b, e aa 
Exercs. 25-30: Use o método gráfico ilustrado no 
Exemplo 2 para verificar o limite para a > 0. 4x-9 
X- 
lim 
3/2 2r-6; e 
= 0,01 
25 limx =a 26 lim (t+ 1) -d.l 
X-a 
8 lim -4; = 0,1 27 lim=" 28 lim = a 
9 lim x = 16; ¬ = 0,1 
x4 
29 lim v = Va 30 lim =va 
a 
10 lim = 27; E = 0,011 
x3 Exercs. 31-38: Use o método ilustrado nos Exem 
plos 3 e 4 para mostrar que o limite não existe 11 lim -4; = 0,1 
x 6 
31 lim -3 
3- 3 
2 lim +2 
+2 
12 lim Vx = 3; = 0,1 X27 
33 lim +3 2x- 10 34 lim 
Exercs. 13-24: Use a Definição (2.4) para provar que o limite existe. 
-5 5 
35 lim 7 36 lim 
4 X -
EXERCICIOS 2.3 
4x- 6x+ 3 
Exercs. 1-48: Use os teoremas so- 20 
bre limites para determinar o limite, 
im 
quando existe. 
1/2 16xr +8x - 7 h 0 
39 limt-2 
1 - 1 
2x+5x 3 
1 lim 15 
xv2 
21 lim 
- 1/2 6r - 7x + 2 
x- 7x + 10 
40 lim 
-64 x 
2 lim 2 22 lim 2 
8 1 5 x2 2 
3 lim x 41 lim v2 (3v - 4)9 - v) 
23 lim *-2 
x-2 r-2) 
x-2 3 
4 lim x 42 lim v3kF+4 V3k++2 
2x3 . 3 k2 24 lim 
5 lim (3x - 4) x-2 *+ Sx + 6 43 lim (V-25 +3) 
x5 
X4 
x+8 25 lim 
6 lim (-3x + 1) -2 x* - 16 
44 lim xV9-? x-2 
26 lim -16 
x16 Vx -4 
X3 
7 lim S 
-2 4x + 3 45 lim-3 
27 limL/a)-(1/2) 
x-2 
X3 - 3 
2x 1 8 lim 3x+1 x2 
46 lim X+ 10 
x+3 28 
x-3 
lim (1/x) +(1/3) 9 lim (-2x + 5 
x-10"V(x + 10) 
x1 
47 limt V2r- 10O 
x+3 10 lim (3x -1 29 lim -
x>-2 
48 lim - 16 
x4 X+4 
11 lim (3x 9100 
30 lim V x3 
x1 
12 lim (4x - 1)S0 Exercs. 49-52: Determine cada li- 
31 lim 2Vx 
+ 3/2 
X165 
1/2 
mite, se existir: 
13 lim (3x -2x+7) 
(a) lim fx) (b) lim flx)2 
32 lim 163 
-8 4-x/3 
Xa 
14 lim (5x - 9x - 8) (c) lim f(x) 
a x4 
15 lim ( +3)(x - 4) 
33 lim Vr-5x -4 49 fx) = VS - x; a = 5 
x4 
50 f(x) = V8- x"; a = 2 
34 lim Vx- 4x+1I 16 lim (3 + 4(7t -9) 2 
51 fl)= V-1; a = 1 I-3 
35 lim 2+5-3 
x-1 
17 lim (x - 3,1416) 52 ftr) = ; a= -8 
7 x3 
Exercs. 53-56: Seja n um inteiro 
arbitrário. Esboce o gráfico de fe 
determine lim flx) e lim f{x). 
lim x- G) 36 lim 7 
X + 
19 lim s-1 
S4 2s 9 
4- V16+ h 
lim 37 53 fx) = (-1" se n sx<n+ 
h-0 h 
EXERCÍCIOS 2.4 
Exercs. 1-10: Para a flx) dada, expresse cada um dos 
seguintes limites como o, -o ou NE (não existe): 21 lim 8+ 
x(x + 1) 
22 lim 4x-3 
--Vr+1 (a) lim fx) (b) lim fx) (c)lim f«) 
a xa t a 
23 lim sen x 24 lim cos x 
5 x 1 f)--4 a 4 x -4 Exercs. 25-26: Investigue o limite, fazendo 
X= 10" para n = 1, 2, 3 e 4. 
2 fc)4-x a = 4 
1 
25 lim 1 26 lim vr sen 
X 
3 flx) = (2+5)3 a = -
Exercs. 27-36: Ache as assíntotas verticais e hori-
zontais do gráfico de f. 
4 fx)= 7x +3 
a 
27 fo)2-4 
5x 28 fx) 4- 
3x 
5 fx)= 8 a =-8 
(r+ 8) 22 
29 flx) 3x 30 fx) 2+1
3ax2 9 
6 Sx)- (2r-9) a- 1 31 fx) +-6x 32 f)- 
2x 7 fu)=?-x-2 a =-1 
33 fx)- *+3r+2 
+2x -3 
34 f-25 
4x 
8 flu)=24r+3 a = 1 
V16- X+4 35 f) 16 36 flx) = 
4 x 
9 fx)= ( -3* 
a = 3 
Exercs. 37-40: Uma função f satisfaz as condições 
indicadas. Esboce um gráfico de f, supondo que ele 
não corte uma assíntota horizontal. 10 fu)y+ 1? a =-1 
(r+1)2 
37 lim f(x) = 1; lim fr) = 1; 
Exercs. 11-24: Determine o limite, se 
existir. 
lim flr) = oo 
52-3x+1 
2x+4x-7 
3a-x+ 11 
12 
x 
lim
ór + 2-7 
lim fr) = - o; 
3 x3 11 lim 
x 
38 lim f(x) = - 1; lim fx) = - 1; 
(3x+ 4) (x - 1) 
14 x lim (2x + 7) (x +2) 
- 00 
13 lim+3x 13 lim 4-7x lim f(r) = - o 
2 
lim flr) = o; 
2x- x+3 22 3 16 lim 15 lim 39 lim f(r) = - 2; lim flu) - 2: 
x 4x"+ 5x 
+2 
18 lim x - 1 -2x lim f(x) = co; lim f()= o; 17 lim 
x 3 x 22- 3 
3+x +1 
-5 
lim fr) - o lim fx)- 19 lim 2- 
x+3 
20 lim 
- I - I 
x 
X -- 
Exercs. 11-18: Classifique as descontinuidades de 
fcomo removíveis,tipo salto, ou infinitas. 
1 
I1 fr)--1 se xe< 1 14-x se xz 1 
se xsT 12 f)-3-x 
13 ft)-+3 se x* -2 
Se x -2 
14 fx)= -se x1 
se x = 1 
8 A 
x+1 se x<1 
15 fx)-1 
+1 
se X= 1 
se x>1 
se x < 1 
16 fx) =1 se X = 1 
x-2 se x>1 
17 f)-xr" sen cos 
C18 fu)- sen (ré- 1) 
(- 1) 
Exercs. 19-22: Mostre que f é contínua em a. 
19 fx)-v2r -5+ 3x; a=4 
20 f)- VF+2: 
a-5 
21 ft)- 3 +7- 10 
22 flx)- 2+ 1 a-8 
Exeres. 23-30: Explique por que f nao é continua 
em a. 
3 23 fx)-
a =-2 x2 
Cap. 2 Limites de funções 109 
x-9 se x3 
25 f(x)=x-3 
4 
X-1 43 f)- 44 fl)- a3 
se X3 
45 fx)X + 9| 
X+9 
46 f) +1 
x-9 se x-3 
26 fx)- x+3 a-3 
5 47 f)-? 2 Se X = -3 
4x 7 
(x+ 3) (+ 2x 8) 
48 f(x)= 27 f(x)= se x»3 
0 se X = 3 
a = 3 
-3 se x3 St)- V-9 V25- 49 flx)= 28 fx)= X -3 a = 3 - 4 
se x = 3 
50 fx)= V9 -r 
-6 Sen x se X 00 
C 29 fx)=. a = 0 
se X = 0 
51 f(x) = tan 2x 52 f(x) cot 
1- coS Xse X*0 
53 flx) cscx 54 f(x) = sec 3x a= 0 30 f)- 
Se x = 0 
Exercs. 55-58: Verifique o teorema do valor inter- 
mediário (2.26) para f no intervalo indicado [a, b] 
mostrando que se f(a) s wsf(b), então flc) = w 
para algum c em [a, b]. 
Exercs. 31-34: Determine todos os múmeros para os 
quais fédescontínua. 
5 
32 f)= 2-4x 12 
55 flx) = r'+1; [-1, 2] 31 f +x -6 
56 fr)= [0,2] 
x - 1 
33 fo)+x -2 x-4 34 f)2-x- 12 
57 flu) x - x; [1, 31| 
Exercs. 35-38: Mostre que f é contínua no intervalo 
dado. 
58 fx)- 2-x* -2,-1 
59 Se f) = x' - 5x+ 7x - 9, use o teorema do va- 
lor intermediário (2.26) para provar que existe 
um número real a tal que f(a)- 100. 
35 fx)-Vr-4; 14, 8]; 38 flx)-,(1,3) 
36 fu)- V16-x; (-, 16) 
60 Prove que a equação - 3- 2r - ttl - 0 
tem uma solugão entre 0 e l. 37 fx) (0, o), 
Exercs. 39-54: Ache todos os valores para os quais 
Jé contínua. 
C)61 Em modelos de queda livre, costuma-se supor que 
a aceleraçào gravitacional g constante 
9,8 m/seg. Na verdade, g varia com a altitude. 
Se é a latitude (em graus), então: 
-9 
3x-5 39 flx) 2-x -3 
40 f)--3 
g(0)-9,78049(1 +0,005264 sen e+0,000024 sen' 8). 
é uma formula que aproxima 8 42 fo)V-4 41 fx)= V2r -3+x 
110 Cáiculo con Geometria Analítica Cap. 2 
Use o teorema do valor intermediário para mos- 
irar que 8 - 9,8 cm algum ponto entre 
as lati-
tudes 35° e 40°. 
onde h é a altitude (em metros, acima do nível 
do mar). Use o teorema do valor intermediário 
para mostrar que a água ferve a 98°C a uma al- 
titude entre 4.000c 4.500 metros. 
C62 A temperatura T (em °C) na qual a água ferve 
é dada aproximadamente pela fórmula 
Th) - 100.862 0,0415 Vh + 431,03 
2.6 EXERcÍCIOS DE REVISÃO 
Exercs. 1-26: Ache cada limite, se existir. 25 lim - 26 lim -1 
IVx -1 
1 lim 5x + 11 6 7x 2 lim 
t-3 Vx +1 x-2 (3 + 2x)* Exercs. 27-32: Esboce o gráfico da funçãof definida 
por partes e, para o valor a indicado, determine cada 
limite, se existir. 3 lim (2x - V4+) 4 lim (x-V16-2)
-2 x- 4 
(a) lim fx) (b) lim f(x) (c) im fx)
2x+X-6 6 lim -x- 10 
x-2 -x- 2 
5 lim xa a 
x3/2 4x - 4x -3 
27 t)- se Xs52 a = 2 
x- 16 x>2 Se 7 lim 8 lim 
x~2 -x-2 X-5 
X-3" 
10 lim La)- (1/5) 
x - 5 
se xs 2 28 fl)-4-2x se x>2 9 lim a = 2 x5 
II lim `r- 
1 
1/2 2x - 1 
12 lim 5 se x< -3 
29 f)-2 x2 a = -3 
se xz -3 
14 im -V2 
x~2 * -2 
3-x 13 lim 
x-3|3-x| 
se r ss -
15 lim +h' - a4 
h 0 
(2+h)3-2-3 30 fr)=? 16 lim a= -5 
4+ k0 se x>-3 
17 lim V 18 lim (V5 - 2x - x) Se x 3 31 f)-2 5/2 Se =1 a 1 
(2x-5) (3x + 1) 2a lim 2x t+ 11 se > >1 19 lim 
(X+ 7) (4x - 9) Vr +T 
6-7x se 0 32 fr)- 
2 
21 lim 22 lim A-100 
(3+ 2x V+100 Se =0 
33 Use a Definigào (2.4) para provar que lin (Sx- 21) = 9 
23 lim 24 lm 
2/3 4-92 3/5x - 3