Lista 02-Estatistica Descritiva

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
Lista de Exercícios 02 (Cap. 06)
Estatística Descritiva
Prof.: Carlos Estêvão R. Fernandes
Disciplina: Probabilidade e Estatística
1. Os dados abaixo apresentam os resultados (em segundos) de um exercício de fuga com 26 traba-
lhadores em uma plataforma (P1) de petróleo em alto-mar.
364 356 359 363 402 364 325 364 364
353 373 370 364 356 358 325 339 362
364 369 368 359 356 340 334 348
Usando apenas uma casa decimal de precisão, responda as questões abaixo:
(a) Construa na tabela abaixo um diagrama de caule-e-folha dos dados apresentados. obj.6
(b) Determine valor médio e a mediana da amostra. Compare estes resultados. obj.5
(c) Ache um valor aproximado para o valor médio da amostra calculando a média dos centros
dos caules ponderada pelas freqüências dos respectivos caules. obj.5 e 6
(d) Calcule a média dos valores no caule com maior número de folhas. O valor encontrado pode
ser usado como aproximação de qual medida estatística dos dados coletados? Você obteve
uma boa aproximação? obj.5
(e) Em quanto podemos diminuir o maior valor observado sem mudar a mediana da amostra?
E em quanto podemos aumentá-lo sem alterar a mediana? obj.5
Caule Folhas Freqüência
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2. Com base nos dados da questão anterior, responda as questões abaixo usando apenas uma casa
decimal de precisão:
(a) Calcule o desvio padrão das observações coletadas
na plataforma P1 e compare seu resultado com o
desvio padrão dos dados obtidos numa plataforma
P2, cuja variância é s2 = 449, 9 seg2. obj.5
(b) Trace na �gura ao lado um diagrama de caixa das
observações coletadas na plataforma P1 e compare
seus resultados com o diagrama da plataforma P2,
já mostrado na �gura. obj.6
(c) Qual das duas plataformas lhe parece fornecer os
melhores resultados no teste de fuga? Explique.
obj.6
3. Os dados abaixo representam a altura (em cm) de estudantes universitários brasileiros, em uma
amostra aleatória de 40 alunos. Responda as questões a seguir, usando os dados fornecidos. Se
necessário, considere que
∑
xi = 6950cm e
∑
x2i = 1215967cm
2.
166 154 162 177 173 161 149 183 153 169
206 176 183 185 175 163 166 174 168 163
209 186 166 173 166 181 172 169 165 171
181 188 168 177 182 194 164 179 176 177
(a) Faça uma tabela da distribuição de freqüências dos dados acima com intervalos de classe de
largura 10cm (iniciando em 140cm). obj.6
(b) Ache um valor aproximado para a média da amostra calculando a média dos centros das
classes ponderada pelas freqüências das respectivas classes. Compare este resultado com
o valor médio (exato) da amostra (x̄). Repita o procedimento para o desvio padrão (s).
obj.5
(c) Construa um histograma utilizando a freqüência relativa e um grá�co de barras da
freüência acumulada. obj.6
(d) Qual a porcentagem de estudantes com altura maior ou igual a 160cm e menor que
180cm? obj.6
(e) Reconstrua o histograma dos dados utilizando a densidade com 5 intervalos de classe, sendo
dois de 10cm e outros três de largura maior de forma a acomodar todas as observações da
amostra. obj.6
(f) Como se pode determinar a porcentagem de estudantes em um determinado intervalo de
classe usando o histograma do item anterior? obj.6
(g) Determine a mediana e os quartis desta amostra e indique os outliers (se houver). obj.5
(h) Esta amostra apresenta valores discrepantes (outliers)? Se sim, quais? obj.5
(i) Construa um diagrama de caixa dos dados apresentados. obj.6
(j) Dentre os estudantes investigados, quantos têm altura fora do intervalo [x̄− s, x̄+ s], onde
x̄ e s são a média e o desvio padrão da amostra, respectivamente? obj.5
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4. A tabela abaixo apresenta o número de gols marcados em cada um dos 16 jogos da primeira
rodada da primeira fase da Copa do Mundo FIFA 2010, na África do Sul. Faça um histograma
utilizando a freqüência relativa dos dados apresentados. Qual a porcentagem de jogos com pelo
menos três gols? Qual a porcentagem de jogos com no máximo 1 gol? obj.6
Jogo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
No de gols 2 0 1 2 2 1 4 1 2 1 2 2 0 3 1 1
5. Fabricantes de chapas de aço produzem placas para a indústria automobilística. As máquinas de
corte são reguladas para produzir peças com a espessura ideal de 5mm. Placas com espessura
abaixo de 3,5mm ou acima de 7mm são consideradas fora do padrão e rejeitadas pelos compra-
dores. Para testar a qualidade das peças produzidas, uma equipe de engenheiros decidiu auditar
a fabricação de chapas, coletando, de cada fabricante, 15 peças selecionadas aleatoriamente e
medindo suas respectivas espessuras.
Somando-se as espessuras das 15 peças coletadas, obtém-se o valor de 72mm para o lote do
fabricante 1 e 78mm para o lote do fabricante 2. Somando-se os quadrados das espessuras das
15 peças coletadas, obtém-se o valor de 368,3mm2 para o lote do fabricante 1 e 484,3mm2 para
o lote do fabricante 2. obj.5
(a) Determine a média e o desvio padrão das amostras dos fabricantes 1 e 2.
(b) Compare os resultados dos fabricantes 1 e 2, indicando qual dos dois utiliza máquinas com
maior precisão de corte, e qual deles tem máquinas mais bem reguladas para produzir peças
com a espessura ideal.
O fabricante 3 também teve amostras coletadas para auditoria e apresentou média de 5,25mm,
sendo que a variância do lote foi de 0,58mm2. Sabe-se que pelo menos (1 − 1
k2
) das amostras
encontram-se entre x̄− k s e x̄ + k s, onde k é uma constante positiva, x̄ é o valor médio e s é o
desvio padrão.
(c) Determine a porcentagem mínima de amostras dentro do padrão, no lote do fabricante 3.
(d) No lote do fabricante 4, o primeiro quartil foi de 3,5mm e o terceiro quartil foi de 7mm.
Qual a porcentagem de amostras dentro do padrão, no lote do fabricante 4?
(e) Compare os resultados dos fabricantes 3 e 4, indicando qual dos dois utiliza máquinas com
maior precisão de corte.
6. Numa indústria metalúrgica, duas máquinas são ajustadas para produzir parafusos cujo diâmetro
ideal é de 2,2mm. De cada máquina, 36 parafusos foram coletados de forma aleatória. O diagrama
de Caule-e-Folha mostrado abaixo ilustra os dados da máquina A.
Diagrama de Caule-e-Folha (Máquina A)
Caule Folhas Freqüência Freq. Relativa
18 2
19 8 0 4 9
20 3 7 4 1 3 4
21 5 2 3 2 5
22 5 3 1 5 3 7
23 2 7 5 2 5 1 3 7 1 3
24 3 3 7
25 5
Unidade dos Caules: 0,1mm
Unidade das Folhas: 0,01mm
(a) Complete o diagrama com a freqüência e freqüência relativa de cada caule. obj.6
(b) Construa um histograma da freqüência relativa dos dados da máquina A, utilizando os
seguintes intervalos de classe (em décimos de mm): 180 ` 200, 200 ` 220, 220 ` 240,
240 ` 260. obj.6
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(c) Preencha a tabela abaixo com as informações solicitadas e cons-
trua no quadro ao lado o diagrama de caixa dos dados da má-
quina A, utilizando as linhas pontilhadas como referência. obj.6
Máquina A
1◦ quartil
Mediana
3◦ quartil
Pontos discrepantes
(outliers)
Diagrama de Caixa (Máquinas A e B)
(d) O diâmetro médio dos parafusos da máquina A foi de 2,2mm e a soma dos quadrados dos
diâmetros foi de 175,32mm2. A máquina B teve desvio padrão de 0, 01mm e média igual
à sua própria mediana. Qual das duas tem maior precisão e qual tem maior exatidão na
produção de parafusos. (justi�que) obj.5
(e) Parafusos com mais de 2,35mm ou menos de 2,15mm estão fora do padrão e são descartados.
Baseado apenas nos dados desta questão, qual dos dois modelos de máquina (A ou B) você
recomendaria visando uma menor proporção de parafusos descartados? (justi�que) obj.5
7. Em uma fábrica de dispositivos eletrônicos, quatro máquinas de alta precisão são usadas para
perfurar chapas de aço. A tabela abaixo apresenta os dados de diâmetro do furo (em mm) de
sete observações coletadas de cada uma das quatro máquinas, as quais foram programaspara
realizar furos de exatamente 8mm.
Observação Máquina A Máquina B Máquina C Máquina D
1 8,98 6,37 10,08 8,95
2 9,75 8,92 8,45 6,47
3 9,52 7,63 9,02 8,86
4 9,57 8,27 5,48 8,78
5 7,83 7,98 7,19 7,04
6 8,55 8,39 8,23 9,02
7 9,45 8,16 7,86 6,58
7∑
i=1
xi 63,65 55,72 56,31 55,70
7∑
i=1
x2i 581,63 447,41 465,61 451,77
Responda as questões abaixo, usando duas casas decimais de precisão em seus cálculos:
(a) Para cada conjunto de dados, faça um diagrama de pontos, indicando sua amplitude e a
localização da média. obj.5 e 6
(b) Organize as máquinas em função da variabilidade dos dados coletados em torno de sua
média (da menor para a maior). Justi�que sua resposta. obj.5
(c) Qual das quatro máquinas lhe parece mais bem ajustada para realizar a tarefa? Por que?
obj.5
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8. As mortes por acidente de carro são um grave problema da sociedade e podem gerar processos
judiciais envolvendo grandes quantias em seguros. Abaixo estão listadas as idades de 39 moto-
ristas que morreram em acidentes de carro (selecionados aleatoriamente) num certo país durante
o período de um ano.
21 32 18 38 43 73 17 66 16 26
25 42 18 42 32 48 85 35 22 22
32 89 51 25 19 29 17 85 49 17
27 35 38 23 18 52 78 24 18
(a) Qual o nível de mensuração dos dados acima? obj.4
(b) Faça um diagrama de caule-e-folha das idades dos motoristas mortos. No grá�co abaixo
(direita), faça um diagrama de caixa da amostra apresentada, destacando (se houver) os
valores dos pontos discrepantes (outliers). obj.6
(c) Preencha a tabela da distribuição de freqüências abaixo com as freqüências, freqüências
relativas e freqüências acumuladas, usando os intervalos de classe indicados. obj.6
(d) Utilizando a distribuição de freqüências acima e sem calcular o valor médio exato, obtenha
a idade média aproximada dos motoristas que morreram em acidentes de carro. Compare o
valor médio obtido com a mediana e comente. obj.5 e 6
Freq. Freq.
CLASSE Freq. Relat. (%) Acumul.
10 ` 20
20 ` 30
30 ` 40
40 ` 50
50 ` 60
60 ` 70
70 ` 80
80 ` 90
9. Ainda no contexto da questão anterior, apresenta-se na tabela abaixo a distribuição de freqüên-
cias do número de motoristas com habilitação por faixa etária. Considere que no ano em que
esta pesquisa foi realizada cerca de 600 mil mortes por acidentes de carro foram registradas
no país.
FAIXA Motoristas com
ETÁRIA habilitação (em milhões)
10 ` 20 19,8
20 ` 30 20,7
30 ` 40 28,0
40 ` 50 36,0
50 ` 60 17,6
60 ` 70 14,2
70 ` 80 10,4
80 ` 90 3,3
Se necessário, utilize nesta questão os dados da
questão anterior.
(a) Converta a distribuição de freqüências dada em uma distri-
buição de freqüência relativa. Ao comparar esta população de
motoristas com a de um outro país, qual a vantagem de se
utilizar a freqüência relativa? obj.6
(b) Se você trabalhasse numa companhia de seguros e fosse res-
ponsável por estabelecer os preços das apólices, como você
classi�caria o valor cobrado (do mais caro para o mais ba-
rato) em função das categorias de idade? Por que? Lembre-se:
o seguro é mais caro para idades mais propensas a acidentes fatais.
obj.5
(c) Faça um grá�co que permita identi�car claramente as catego-
rias de idade mais propensas a acidentes fatais. obj.6
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10. No quadro abaixo estão listadas as idades de 29 pessoas (selecionadas aleatoriamente) que foram
contaminadas pela Dengue Hemorrágica no Estado do Ceará no último ano.
46 1 65 3 33
11 16 63 1 7 66
52 28 13 60 16 34
20 55 6 15 2 22
56 3 59 25 68 31
(a) Preencha a distribuição de freqüências da tabela abaixo e trace um histograma para a freqüência
relativa dos dados. obj.5 e 6
Freq. Freq.
CLASSE Freq. Relat. (%) Acumulada
0 ` 10
10 ` 20
20 ` 30
30 ` 40
40 ` 50
50 ` 60
60 ` 70
(b) Determine a mediana e os quartis dos dados observados e trace um diagrama de caixa (boxplot)
da amostra. Não esqueça de indicar se há valores discrepantes (apresente o critério utilizado para
determinar tais valores, se houver). obj.5
(c) A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências da idade da população cearense (habitantes
no estado). Com base nas informações abaixo, ache um valor aproximado para a idade média do
cidadão cearense. obj.6
FAIXA Número de
ETÁRIA habitantes (×1000)
0 ` 10 900
10 ` 20 1500
20 ` 30 1200
30 ` 40 900
40 ` 50 600
50 ` 60 600
60 ` 70 300
(d) Sabe-se que no ano em questão houve 3 mil casos de Dengue Hemorrágica no Estado do Ceará.
Considere ainda que a distribuição de freqüências do item (a) é válida para toda a população de
pessoas contaminadas pela Dengue Hemorrágica no estado. Uma vez declarada a idade de uma
pessoa, qual a chance dessa pessoa contrair a doença? Apresente os cálculos dessa probabilidade
pra cada faixa etária e aponte a faixa mais provável. Mostre seus resultados não em porcentagem
mas em número de �casos de Dengue Hemorrágica para cada cem mil habitantes� (×100.000). obj.5
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11. Para consertar um aparelho, você deve chamar uma empresa de assistência técnica e, para
decidir quem chamar, você recorre a informações deixadas por seu antecessor a respeito do
tempo de serviço de duas �rmas diferentes (F1 e F2). Com base em consertos executados no
passado, ele montou os diagramas de caixa mostrados abaixo (tempo de serviço em min.). Com
base nestas informações responda:
(a) Se ambas as �rmas alegam fazer o serviço em 1h, qual
delas dá maior exatidão ao cliente? obj.6
(b) Se seu chefe quer que o gerador esteja em funcionamento
dentro de no máximo 1,5 hora, qual �rma você escolherá
para fazer o serviço de forma a maximizar suas chances
de manter seu emprego? Justi�que sua resposta. obj.6
12. Os dados abaixo se referem as notas �nais de 20 alunos selecionados aleatoriamente de uma
turma da disciplina de Probabilidade e Estatística:
6,9 0,9 9,0 7,4 6,9 8,9 8,1 4,2 9,4 8,9
7,6 4,2 9,7 7,0 1,8 9,7 9,3 7,6 7,0 7,0
Determine os quartis da amostra (1o, 2o e 3o), identi�que os pontos discrepantes (se houver) e trace
o diagrama de caixa (box-plot) da amostra e assinale verdadeiro ou falso entre as alternativas abaixo:
obj.5 e 6
( ) A amplitude interquartil é maior que 2 e há dois outliers inferiores
( ) A amplitude interquartil é maior que 2 e não há outliers
( ) A amplitude interquartil é menor que 2 e há dois outliers
( ) A mediana é 7,5 e há dois outliers: 0,9 e 9,7
( ) O primeiro quartil é 6,9 e há apenas um outliers inferior: 0,9
( ) O terceiro quartil é 9,3 e não há outliers superiores
( ) A mediana é 5,3, o segundo quartil é 7,08 e não há outliers
13. Os dados abaixo representam a altura (em cm) de estudantes de um certo curso de graduação
do Centro de Tecnologia da UFC, obtidos a partir de uma amostragem aleatória. Responda as
questões a seguir, usando os dados fornecidos∗.
162, 175, 173, 181, 198, 175, 166, 173, 166
∗Se necessário, considere que
∑
x2i = 274.429cm
2.
(a) Determine a mediana e os quartis dos dados observados pelo síndico. obj.5
(b) Desenhe o diagrama de caixa (box plot) da amostra observada, destacando os outliers, se
houver. obj.5 e 6
(c) Calcule o desvio padrão da amostra. obj.5
(d) Se a média de altura dos alunos de Eng. Ambiental é de 168cm com desvio padrão de
22cm, e a média de altura dos alunos de Eng. de Petróleo é de 173cm com desvio padrão
de 16cm, o que é mais improvável de ocorrer: um aluno de Eng. Ambiental ter menos de
157cm de altura ou um aluno de Eng. de Petróleo ter mais de 181cm de altura? Justi�que
a sua resposta. obj.5
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(e) Dados de altura obtidos a partir de uma amostra de alunos de outra Unidade Acadêmica da
UFC resultaram no histograma de frequência relativa apresentado abaixo. Ache um valor
aproximado para o valor médio de altura dos alunosdesta Unidade Acadêmica com base no
histograma.
obj.5 e 6
(f) Dentre os diagramas de caule-e-folha apresentados abaixo, qual corresponde aos dados uti-
lizados no histograma do item anterior? obj.6
(A)
Caule Folhas
15 7
16 0244567889
17 001334556779
18 01124568
19 38
20 1
(B)
Caule Folhas
16 4667888
17 00112233334455567778899
18 0011112344467789
19 0238
(C)
Caule Folhas
15
16 013457789
17 00111123444677
18 002338
19 2257
20 0
14. Os dados abaixo representam a altura (em cm) de estudantes de um certo curso de graduação
do Centro de Tecnologia da UFC, obtidos a partir de uma amostragem aleatória. Responda as
questões a seguir, usando os dados fornecidos.
173, 161, 143, 175, 163, 166, 166, 181, 172
(a) Determine a mediana e os quartis dos dados observados pelo síndico. obj.5
(b) Determine se há na amostra observada valores que podem ser considerados discrepantes dos
demais (outliers). Caso haja, indique-os. obj.5
(c) Desenhe o diagrama de caixa (box plot) da amostra observada. obj.6
(d) Calcule o desvio padrão∗ da amostra. obj.5 ∗Se necessário, considere que
∑
x2i = 250.950cm
2.
15. Um condomínio residencial consiste de quatro prédios de seis andares com três apartamentos em
cada andar, totalizando 72 apartamentos. A �m de realizar um estudo sobre o consumo de água
no condomínio, o síndico decide realizar uma amostragem que o permita obter 12 amostras do
consumo mensal de água (referente ao mês corrente). Assuma que as 12 amostras observadas
pelo síndico tiveram os seguintes valores (em m3), de acordo com a fatura da companhia local
de água e esgoto∗:
6, 7, 7, 9, 8, 9, 8, 15, 6, 4, 10, 8
∗ os contadores faturam a cada 1m3 consumido (não há contagem de frações de m3)
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(a) Os dados observados se classi�cam como: (mais de um item pode estar correto) obj.4
( ) Discretos
( ) Contínuos
( ) Nível nominal
( ) Nível ordinal
( ) Nível intervalar
( ) Nível racional
(b) Determine a mediana e os quartis dos dados observados pelo síndico. obj.5
(c) Determine se há na amostra observada valores que podem ser considerados discrepantes dos
demais (outliers). Caso haja, indique-os. obj.5
(d) Desenhe o diagrama de caixa (box plot) da amostra observada. obj.6
(e) Sabendo que a soma dos quadrados dos dados observados é igual a 865, calcule o desvio
padrão da amostra (
∑
x2i = 865). obj.5
16. A �m de avaliar o rendimento de biocombustíveis na geração de energia elétrica, pesquisadores
selecionaram dois grupos de amostras de biodiesel para testes de laboratório em um grupo mo-
togerador. O primeiro grupo era formado por amostras de combustíveis derivados da mamona,
enquanto as amostras do segundo grupos eram derivadas da soja. Os ensaios consistiam em
abastecer o motor com uma quantidade �xa de combustível e utilizá-lo para acionar o gerador
de energia, carregado com uma resistência elétrica também �xa. O motor é então acionado e o
tempo de funcionamento é medido até que o combustível acabe, encerrando o teste.
(a) Qual é o nível de mensuração dos dados coletados pelos pesquisadores? obj.4
(b) Tal como descrita acima, a pesquisa realizada pelos pesquisadores se trata de um estudo
estatístico de que tipo? obj.1
Suponha que os dados coletados correspondem aos valores apresentados na tabela abaixo
(em horas) e calcule o que se pede nos itens a seguir:
Tipo de combustível Dados
Biodiesel de mamona 2,5 3,0 2,2 3,5 5,1 4,7
Biodiesel de soja 3,6 3,4 2,8 4,5 3,8 2,9
(c) Determine o valor médio de ambas as amostras e decida qual das duas apresentou maior
duração média. obj.5
(d) Sabendo que o desvio padrão da amostra derivada da soja é de 0,63h, calcule o desvio padrão
da amostra da mamona e decida qual das duas apresentou maior variabilidade (a soma dos
quadrados das amostras da mamona é de 80,44). obj.5
17. A temperatura máxima em Aquiraz durante o mês de Novembro nos últimos 50 anos foi em
média de 35◦C com desvio padrão de 3◦C. Já em Brasília foi em média de 38◦C com desvio
padrão de 5◦C. Assim, concluímos que a situação mais improvável é que tenhamos no próximo
mês de Novembro a temperatura máxima: obj.5
(a) acima de 40◦C em Aquiraz
(b) maior que 45◦C em Brasília
(c) de até 32◦C em Aquiraz
(d) de até 32◦C em Brasília
(e) Todas as situações anteriores são equiprováveis
pois as temperaturas são uniformemente distri-
buídas.
Os dados observados nesta questão podem ser classi�cados como: obj.4
(a) Qualitativos e numéricos, logo de nível ordinal
(b) Quantitativos de nível intervalar
(c) Quantitativos de nível racional
(d) Qualitativos e não-numéricos, logo de nível no-
minal
(e) Quantitativos e não-numéricos, logo de nível or-
dinal
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18. Numa pesquisa sobre o trânsito, investiga-se o número de acidentes em certa cidade.
Para tanto, ao longo de vários dias, anotam-se as quantidades de acidentes registrados
diariamente pela autoridade de trânsito da cidade.
(a) Utilizando os dados obtidos foi calculado o número médio de acidentes por dia e seu
desvio padrão. Se o desvio padrão obtido foi igual a zero, qual das seguintes opções
deve ser verdadeira? obj.5
( ) Não houve acidentes em nenhuma das cidades estudadas.
( ) O desvio padrão foi calculado incorretamente.
( ) Na maioria das cidades estudadas foi menor que a média.
( ) O número de acidentes em todas as cidades estudadas foi o mesmo.
(b) Após realizar este estudo em duas cidades, A e B, observou-se que a distribuição de
probabilidade dos acidentes era a mesma em ambas as cidades, sendo que na cidade
A o número médio de acidentes por dia foi de 43,8 e o desvio padrão de 9,4 acidentes.
Na cidade B, a média foi de 18 acidentes por dia com desvio padrão de 3,5. Considere
os eventos abaixo e assinale a opção verdadeira. obj.5
Evento 1: {menos de 25 acidentes na cidade A}
Evento 2: {mais de 25 acidentes na cidade B}
( ) O evento 1 é mais provável que o 2.
( ) O evento 2 é mais provável que o 1.
( ) Ambos os eventos (1 e 2) são igualmente prováveis.
( ) Os dados fornecidos não são su�cientes para a�rmar qual dos dois eventos é mais pro-
vável.
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