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OSVALDEMAR MARCHETTIOSVALDEMAR MARCHETTI
MMu ro su ro s
AA rr rr iimmoo
Muros de arrimoMuros de arrimo
©© 2007 Osvaldemar Marchetti 2007 Osvaldemar Marchetti
1a edição - 20071a edição - 2007
2a reimpressão - 20112a reimpressão - 2011
Editora Edgard Blücher Ltda.Editora Edgard Blücher Ltda.
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FICHA CATALOCRÁFICAFICHA CATALOCRÁFICA
MarchettMarchetti, Oi, O svaldemarsvaldemar
Muros de arrimo / Osvaldemar Marchetti -Muros de arrimo / Osvaldemar Marchetti -
II a a edição - edição - São São Paulo: Blucher, 20Paulo: Blucher, 20 07.07.
Bibliografia.Bibliografia.
Segundo Segundo NovNovo o Acordo Acordo OrtoOrto gráficográfico , , conformconform e e 5. 5. ed. ed. ISISBN BN 978-85978-85-212--212-0428-0428-22
dodo VocabuláriVocabulário Oo O rtográfico da Língua Portuguesa,rtográfico da Língua Portuguesa,
Academia Brasileira de Letras, março de 2009.Academia Brasileira de Letras, março de 2009.
1. Muros de arrimo I. Título.1. Muros de arrimo I. Título.
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1. Muros de arrimo: Engenharia civil 624.1641. Muros de arrimo: Engenharia civil 624.164
M u r o s d e  A r r im o V
PREFÁCIO
Um livro para estudantes de engenharia, arquitetura, tecnólogos e profissionais em
geral, um livro desenvolvido de forma didática, prá tica e dirigido às obras de conten-
ção de solos em edificações, estradas, ruas, encostas em regiões montanhosas.
 julho/2007
Osvaldemar Marchetti
 Engenheiro Civil
Mu ro s de A r r imo VII
N o t a s i n t r o d u t ó r i a s
1. As normas da ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) n°. 6118/2003
referente a projetos e NBR 14.931/2003 referente a obras englobam os assuntos
concreto simples, concreto armado e concreto protendido. Neste livro só aborda-
remos o concreto armado.
2. De acordo com as orientações dessas normas, a unidade principal de força é o
 N (Newton) que vale algo como 0,1 kgf.
Usaremos neste livro as novas unidades decorrentes, mas para os leitores que
estão acostumados com as velhas unidades elas aparecerão aqui e ali sempre valendo
a conversão seguinte:
1 N = 0,1 kgf  1 tfm
10 N = lkgf  l t f 
1 kN = 100 kgf  100 kgf/cm2
1 MPa = 10 kgf/cm2 lkN/m3
k (quilo) = 1.000 = 10:! 1 MPa
M (mega) = 1.000.000 = 106
G (giga) = 109
 10 kNm
= 10 kN= 1.000 kgf
= 1 kN/cm2
 100 kgf/m3
= 10 kgf/cm2 = 1.000 kN/nr = 100 tf/m2
Por razões práticas
1 kgf = 9,8 N s 10 N
VIII Mu ro s de Ar r imo
Caro leitor 
Para dialogar com o Eng. Osvaldemar Marchetti, enviar email para:
omq.mch@terra. com.br 
Curriculum do autor 
Osvaldemar Marchetti é engenheiro civil formado em 1975 na Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo. Hoje é engenheiro consultor estrutural, além de constru-
tor de obras industriais e institucionais.
8 Mu ros de A r r imo
0 mesmo exemplo anterior com solo: C  = 10 kN/nr (coesão)
 p A = K A -y-H -2 -C -yÍK Ã
 p A = 0,3495 x 18 x 5  2 x 10 x ^0,3495 = 19,63 kN/nr
 p B = -2 c 4 k  Ã  = 2 x 10 x Vo, 3495 = 11,82 kN/m2
 z c -
2C 
K =
2x10
18x^/0,3495
= 1,88 m
1.3 - E M P U X O S D E T E R R A EM M U R O S D E C O N T E N Ç Ã O — C O U L O M B
As hipóteses para o cálculo do empuxo de terra são as seguintes:
a) Solo isotrópico e homogêneo que possui atrito interno e coesão.
 b) A superfície de ruptu ra é uma superfície plana, o que não é verdadeiro, mas sim-
 plifica os cálculos.
c) As forças de atrito são distribuídas uniformemente ao longo do plano de ruptu ra
e va le/= tg (j)  ( / = coeficiente de atrito).
d) A cunha de ruptu ra é um corpo rígido.
e) Existe atrito entre o terreno e a parede do muro.
f) Ruptura é um problema em duas dimensões.
Figura 8 
1 — In t r o d u ç ã o 9
Ka =
sen"(a + (j>)
sen2a •sen(a - <5) 1+
 I  sen(0 + S) sen(0 -  J3)
sen(a - <S) •sen(a + /3)
Kp =
sen " (a - 0 )
sen2a -sen(a + 5) 1 -
I sen((p + S) ■sen(0 + (5)
sen(cc + 5) •sen(a + /})
 p A = Ka •7 • H -  2 •C  • y/KA  (ativo)
 p p = K p-y •H + 2-C •4Ê P   (passivo)
2C
0C =
10 Mu ros de A r r imo
TABELA 1.3.A — Coeficiente de empuxo ativo Ka (Coulomb)
« = 90° e (5 = 0o
<5
0 16 17 20 22
10   0,7041   0,6145   0,6122 0,6070   0,6049
12   0,6558   0,5724   0,5702   0,5650 0,5628
15   0,5888   0,5153   0,5133   0,5084   0,5062
18 0,5279   0,4640   0,4622   0,4578   0,4559
20 0,4903 0,4325   0,4309 0,4269   0,4251
22   0,4550   0,4029   0,4014   0,3978   0,3962
24 0,4217 0,3750   0,3737 0,3705   0,3690
26   0,3905   0,3487 0,3475   0,3447   0,3434
28 0,3610 0,3239   0,3228 0,3203   0,3193
30   0,3333   0,3004   0,2994   0,2973   0,2964
32   0,3073   0,2782 0,2773 0,2755 0,2748
34 0,2827 0,2571 0,2564 0,2549   0,2544
36 0,2596 0,2372   0,2366   0,2354 0,2350
38 0,2379 0,2184 0,2179   0,2169   0,2166
40 0,2174   0,2006   0,2002 0,1994   0,1992
42   0,1982   0,1837 0,1834   0,1828 0,1827
1 — In t r o d u ç ã o 21
onde:
- c 4 k c i Ka -C2 2 • p Ka2
7  (1 - Ka) 1 \  y 2 (1 - Kd) n - y - ( l - K a 2)
( 
ahm = Ka  y -zc +
v
2 p ^
TÍ-ZC 
-2 -C - 4 k  Õ
oh
hc = m
Ka y
Vamos agora mostrar, por intermédio de um exemplo, o efeito da compactação e
sua magnitude, em relação ao empuxo calculado por Rankine ou Coulomb.
Vamos considerar um rolo compactador de p = 50 kN/m
 peso total
P =
largura do cilindro
a) Efeito da compactação
a.l) Cálculo de zc: c = 0
 z =
2 p ka£ 
K - p - Ç l - K a 2) \
2x50x0,33"
7t  -18-(1-0,33 2)
= 0,465 m
22 Mu ros de A r r imo
a.2) Cálculo de shm: c = 0
<Jhm =Ka  y -zc +
2 p
n-zc
ah =25,35 kN/m2
0,33 18x0,465 +
2x 50 ^
n x  0,465 j
 b) Empuxo de terra
 pa = Ka-y H - 2 C -jKa
 pa = Ka-y H 
 E = - Ka-y H2
 2 '
Empuxo = i •K a-y - H  • H = - K a-y - H 2
2 2
Empuxo = i x 0,33x18 x H 2=2,97  H 2
Cálculo de hc
, , ahm   25,35
K a-y - hc - ahm  —>hc = -------= ------------ = 4,27 m
Ka-y 0,33x18
1 — In t r o d u ç ã o 23
c) Esforços totais no muro
AE (acréscimo de empuxo
devido à compactação)
m
x
4,27 m
1
pa = ka •y •H = 0,33 • 18 • H = 5,94 H
Figura 17 
H Ea  AE  AE/Ea
(cm) (kN/m) (kN/m) (%)
2,0 11,88 32,92 270
3,0 26,73 43,43 162
4,0 47,52 47,98 101
5,0 74,25 48,22 65
8,0 190,08 48,22 25
10,0 297,00 48,22 16
15,0 668,25 48,22 7
 para H = 2 m:
 p a = Ka - y - H = 0,3 3x1 8x2 = 11,88 kN/m2
 Ea = - - K a - y - H 2 = —x 0.33x 18 x 2 2 =11,88 kN/m
 2 2
AE =
2 + 1,535
9
 \ 
x 25,35-11, = 32,92 kN/m
2626 MMu rosu ros dede A A rr rr iimmoo
Exemplo:Exemplo:
ParaPara qo = 20qo = 20 kN/irr kN/irr  H  H == 5 m5 m
,, 2020
ho ho == —  — == 1 , 1 11 , 1 1 mm
1188
y = 18kN/m3y = 18kN/m3 (j) =(j) = 30° 30° KKa a == 0,33 0,33 c c = = 00
Ka-qo =Ka-qo = 0,33 x 20 = 0,33 x 20 = 66,6,6  kN/m kN/m22
1.6.2 1.6.2 - - EmEmpuxpuxos devidos à os devidos à água no água no solo: (solo: (N.A.) N.A.) (Ní(Nívevel d'ál d'água)gua)
Pressões verticais efetivasPressões verticais efetivas
ouou 11 == 00
ouou22  = y •jfl = y •jfl
ou3 ou3 = = y y •H•H ll + + y y •• H2 H2
Pressões Pressões horizonthorizontaisais
 p p l l = i= iíTíTa •a • oouull - - 2 2 •• C C  •  • VV ZZ aa
 p p 22 = i P a - y - m ~= i P a - y - m ~ 22 -C-Vfox-C-Vfox
 p p3 3 = = KKa a • • y • y • HHl l + + KKaa y swhy swh  H H 22-- 2 2 C •C • \\ //KaKa
Pressões hidrostáticasPressões hidrostáticas
 p p ww l l = 0= 0
 pw pw;2;2 == 00
 p?n p?n22 == h2h2
11 — — IIn t r o d u ç ã on t r o d u ç ã o 2727
Diagrama de pressõesDiagramade pressões
Exemplo:Exemplo:
Calcular o diagrama de pressão:Calcular o diagrama de pressão:
Figura 24Figura 24
MMu ro su ro s ddee A A rr rr iimmoo
a) a) PresPressões sões verticais verticais efetivaefetivass
      Q      Q II      I      I = 20 kN/m= 20 kN/m22
<<jnjn22 == p p22 ==  p p 11++  y  y 11 hh 11==20 20 + 18x+ 18x1,1,8 8 = 5= 522,, 4 kN/m4 kN/m11
==PP 33 = = P2P2 ++((.7.72 ~ 7a2 ~ 7a )) '' ^̂22 = 52,4 + = 52,4 + (20(20 -- 1100 )) xx ll = 62,4 kN/m= 62,4 kN/m22
I    I    
I    I    
 b    b   
= p= p 33 + (y + (y 33 -- ya) •ya) •hhQQ= 62,4 += 62,4 + ((2200 -- 1100 )) xx 22 ,4 = ,4 = 8686,4,4 kNkN//mm22
== p- p- = P= P44 + ( + (7744 “  “ 77««) ) •• == 8866,4 + (19,4 + (19 -- 1100 )) xx ll ,5 = 99,9,5 = 99,9 kN/mkN/m22
CoefiCoeficientciente e de de empuxoempuxo ititivo ivo (Ranki(Rankine)ne)
solosolo 11 :: $ = $ = 32°->K32°->Kaiai = 0,3073= 0,3073
solosolo 22 :: $ $ = = 3Q3Q °^K°^K a2a2 = 0,3333= 0,3333
aa/0,7041/0,7041solo 3:solo 3: 00 = = 1100 °->Kas°->Kas = = 0,7041 0,7041 ee  yjK yjKa3a3 == = 0,8391= 0,8391
solo 4:solo 4: <<p= p= 2200°-°-**KKaaii = = 0,4903 0,4903 ee VVKKa4a4 == Vo, 4903Vo, 4903 = 0,7002= 0,7002
c) c) EmpEmpuxos uxos horizontais horizontais do do sosololo
Solo 1:Solo 1:
KKaaxx •p •pj j = 0,3073 = 0,3073 x 20 x 20 = 6,14= 6,146 6 kN/mkN/m22
Kax-p2Kax-p2 = = 0,30,3 07073x3x5252 ,4 = 1,4 = 166,1,102 02 kN/kN/mm22
Solo 2:Solo 2:
KKaa22 •• p p 22 = 0,3333 x 52,4 = 17,465 kN/m = 0,3333 x 52,4 = 17,465 kN/m22
Ka.,Ka.,••  p,, p,,= 0,3333 x = 0,3333 x 62,4 = 20,798 62,4 = 20,798 kN/mkN/m22
Solo 3:Solo 3:
33- 2 - 2 ••CC33 • • ^̂ = 0,704= 0,7041 x 62,4 - 1 x 62,4 - 2 2 x 20 x 0x 20 x 0,8391 = 10,37 ,8391 = 10,37 kN/mkN/m22
KaKa., ., pp4 4 - - 22-C-C33 = = 0,7041 0,7041 xx 86,486,4  -  - 2 2 x 20 x 20 x 0,8x 0,8391 = 27,27 391 = 27,27 kN/mkN/m22
Solo 4:Solo 4:
iiffaa44 •p•p44 - - 2 2 ■■CC44 ■ ■77 ^̂ 77 " " = 0,= 0,494903 03 xx 8866,4 - ,4 - 2 2 x 20 x 0,x 20 x 0,7002 = 147002 = 14,35 ,35 kN/mkN/m22
Ka4 p5Ka4 p5 -  - 2 • 2 • CC44 ■ ■ = = 00,,4499003 3 x x 9 9 ,9 9 ,9 -9 -2 x 22 x 20 x 00 x 0,,7 0 07 0 02 = 2 = 2200,,997 k7 kNN//mm22
1 — In t r o d u ç ã o 29
d) Pressões hidrostáticas
 pw l = 0
 pw2= 0
= ya -h2 = 10-1 = 10 kN /nr
 pw4 = pw3 + y a h3 -  10 + 10x2,4 = 34 kN/rrD
 pwb - pw4 + ya •h4 = 34 +10 x 1,5 = 49 kN /nr 
Diagrama de pressões:
Solo Água
Fig u ra 25
30 Mu ros de A r r imo
1.6.3 - Cargas concentradas
As pressões laterais, usando a Teoria da Elasticidade e com testes de Spangler e
Wickle (1956), são apresentadas a seguir:
Exemplo:
V = 100 kN
x = mH
Figura 27 
1 — In t r o d u ç ã o 31
a) Para m =  0,3 -> x = 0,3 •4 = 1,2 m usaremos a equação para m  < 0,4
7  0,28-7 t z2
n = 0,2-$ a h =
7i = 0 ,4 -i a h =
n  = 0,6  —>oh =
n = 0,8 - 7 oh =
77-= 1,0  —>oh =
 H 2 (0,16 + n 2f 
0,28-100 0,2 2
42 (0,16 + 0 ,2 2) 3
0,28-100 0,42
42 (0,16+0,42)3
0,28-100 0 ,62
42 (0,16 + 0,6 2 ) 3
0,28-100 0,8 2
42 (0,16 + 0 ,8 2 ) 3
0,28-100 l2
42 (0.16 + 1 2 ) 3
= 8,55 kN/m1
= 4,48 kN/nr
= 2,19 kN/m2
= 1,12 kN/m2
Diagrama de pressões:
Figura 28 
32 Mu ros de A r r imo
 b) Para m  = 0,5 -> x  = 0,5 •4 = 2,0 m usaremos a fórmula m  > 0,4
 para n = 0,2 -*<jh =
 para n = 0 ,4 o h -
 para n  = 0 ,6  —>ah  =
 para n  = 0 ,8  —>o h =
 para ?&= 1 ,0 -» oh =
1,77-7 m 2 •??2
 H 2 (w 2 + % 2 ) 3
1,77-100 0,52 -0,22
42 (0,52 + 0 ,2 2 ) 3 "
1,77-100 0,52 -0,42
4“ (0,52 +0,42 ) 3 "
1,77-100 0,52 -0 ,6 2
42 (0,52 +0,62 ) 2 ’
1,77-100 0,52 -0,82
42 (0,52 +0,82) 3 ’
1,77-100 0,52 -l2
42 (0,52 + l 2 ) 3
- = 4,38 kN/m
 — = 1,99 kNZm*
Diagrama de pressões:
Figura 29
2 — MUROS DE ARRIMO
2.1 - MUROS DE ARRIMO POR GRAVIDADE
a) Construção de alvenaria de pedra ou concreto ciclópico
° Pré-dimensionamento
2 — Mu r o s de A r r imo 41
0 Tipos em alvenaria e concreto ciclópico
Figu ra 39
42 Mu ros de A r r imo
 b) Construção em concreto ciclópico
° Pré-dimensionamento
c) Verificação dos esforços no concreto ciclópico
0 Concreto ciclópico (concreto simples)
 fc k=  15 MPa
y = 2,2 kN/m3 (peso específico)
° Tensões resistentes de cálculo (tração)
 fc td  = = — = 0,75 MPa
 yc 1,68
70  = 1,4-1,2 = 1,68
 fc tkM  = 0,7 fc tm  = 0,7- (0,3 •15273) = 1,27 MPa
° Tensões resistentes de cálculo de compressão
fibra extrema à compressão = 0,85 ■ fc d  = 0,1
15
1,68
= 7,59 MPa = a cRd 
fibra extrema à tração = 0 ,85 • fc td  = 0 ,85 •0,75 = 0,64 MPa = o
ctRd 
2 — Mu r o s de A r r imo 43
° Tensões de cisalhamento resistente de cálculo
 zrd  = 0,3- fc td  -0 ,3 -0 ,75 = 0,225 MPa
onde:
 z wd = -< zrd 
2   -b-h
 zwd = 1 ,5 - 'S(- < 0,225 MPa = zrd 
 b-h
2.2 - MUROS DE ARRIMO DE FLEXÃO
a) Pré-dimensionamento: (concreto armado)
Figura 41
44 Mu ros de A r r imo
 b) Pré-dimensionamento: (concreto armado)
a) Pré-dimensionamento: (concreto armado)
46 Mu ros de A r r imo
2.5 - MUROS DE ARRIMO ATIRANTADOS
Figura 45 - L: comprimento do Grout (ancoragem); D: diâmetro médio (ancoragem)
2 — Mu r o s de A r r imo 47
2.6 - OUTROS TIPOS DE MUROS
a) Muro de arrimo fogueira
Pré-moldados de concreto armado e terra (crib-waü])
Figura 46 
48 Mu ros de A r r imo
 b) Muro estaqueado
Estacas   Estacas   Estacas
3 — Esta bil idade do s Muros 49
3 — ESTABILIDADE DOS MUROS
3.1 - DESLIZAMENTO (ESCORREGAMENTO )
Figura 48 
solo: 0 ,c ,7
C' = 0,5c a 0,67c
/ = 0,67tg a tg(j)
 Ep = - - y - Hp2 -Kp
2
 Ea = - - Y -H 2-Ka
9
(empuxo passivo)
(empuxo ativo)
 Ev = Ea sen /3
 Eh = Ea  • cos /3
Pc = peso do muro de concreto
Ps = peso do solo em (abcd)
52 Mu ros de A r r imo
 _ V Mo _ V  6 Mo
° 2 ~ S w ~ S ir  
Pc + Ps + Ev 6 Mo
 No caso de a2 < 0 faremos o cálculo da tensão (máxima) como material não-
-resistente à tração:
onde:
e =
 Mo
~V~
b
c = — e
9,
(7l = m 1
 N_
C 
onde:
c/b < 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
m -1 0,6665 0,6665 0,665 0,64 0,585 0,5
4 — Pr o j e t o de Mu r o s de A r r imo 53
4 — PROJETO DE MUROS DE ARRIMO
4.1 - PROJETO DE MURO DE ARRIMO DE GRAVIDADE
Figu ra 51
a) Pré-dimensionamento
Base:
í40% = 0,4 x 670 = 268 cm
(40% a 70%//) =  \  70% = 0,7 x 670 = 469 cm
[adotaremos = 305 cm
Topo:
(30 cm ou 8%//) =
30 cm
<8% // = 0,08 x 670 = 53,6 cm
adotaremos = 45 cm
Lado da base:
(12% a 15%//) =
12%// = 0,12x670 = 80,4 cm
<14%// = 0,15 x 670 = 100,5 cm
adotaremos = 90 cm
54 Mu ros de A r r imo
Inclinação e xterna ao talude:
(1:10 a 1:15) -> adotaremos (1:12)
 b) Cálculo do empuxo (Rankine)
P = 10° -> 0 - 32° -» Ka = 0,321
 Ea = - y H '2 •Ka = -  x 18 x 72 x 0,321 = 141,56 kN/m
2 2
 H ' = 670 + 30 = 700 cm
 Eh = Ea  •cos p = 141,56 •coslO0 = 139,40 kN/m2
 Ev = Ea  •sen/3 = 141,56 •senl0° = 24,58 kN/m2
c) Verificação ao escorregamento
Parte do
muro e
do solo
Peso
(kN/m)
N.
Braço parte do muro
(e)
M >ento
 / (kN 'm)
© 6 a 8 x 5,8 x 0,5 X 22 = 30,62 - x 0 ,48 + 0,42 = 0,74 m3 X 0,74 = 44,86
(0,45 X 5,8 X 22 = 57,42
0 45
0,42 + 0,48 + - i— = 1,125 m
2
57,42 X 1,125 = 64,60
1,55 X 5,8 X 0,5 X 22 = 98,99 0,42 + 0,48 + 0,45 + — = 1,86 m
3
98,89 X 1,86 = 184,10
©
(0,15 + 1,7 1,7x3)
I —— -—— x 5 ,8 + - i— — x 18= 101,16 ~ 2,38 m 101,16 x 2,38 = 240,76
© 0,9 X 3,05 X 22 = 60,40 1,525 m 60,4 X 1,525 = 92,11
Empuxo
(Ev)
24,58
0,42 + 0,48 + 0,45 + 0,17 =
2,52 m
24,58 X 2,52 = 61,94
Total 373,17 M-|R = 688,37 kNm/m
 para 0.9 tg# =
0,90 X tg 36° = 0,65 — solo da base
FR = 373,17 X 0,65 = 242,56 kN/m (força resistente)
Fator de segurança contra escorregamento:
4 — Pr o j e t o de Mu r o s de A r r imo 55
 para 0,67 tg0 = 0,67 • tg 36° = 0,49 — solo de base
FR _  373,17x0,49 _ 182,85
 Eh ~ 139,40 “ 13 9,40" ;
d) Verificação ao tombamento
Momento atuante:
 M, = E h — = 139,40 x - = 325,26 kN/m
i a 3 3
Momento resistente:
 M.
1 R
 M.1 a
688,37
325,26
= 2,12 >1,5 (O.K.)
e) Cálculo das tensões na base
 H  /3
Mo = -P s •(es - 0,5b) + Pc( 0,5b - ec) + Ev(0 ,5b - ev)  + Eh
~à
0,5b = 0,5 x 3,05 = 1,525-^0 ,50 = 1,525 m
 Mo = -101,16 x (2,38 - 1,525)+30,62(1,525-0,74)+57,42 x (1,525 -1,125)+
+98,99x (1,525 -1,86) + 60,40(1,525 -1,525 ) + 24,58 x (1,525 - 2,52)
( 7 \ 
+139,40 x = -86,49 + 24,03 + 22,96 + (-33,12) + 0 + (-2 4,45 ) + 325,:
 Mo = 228,19 kNm/m
S = lx6 = b = 3,05 m2
, b2 3,052 , „ ,
w  = 1 x — = -------= 1,55 n r 
6 6
= 3+1,1/ 228,19 = = 269,57 kN/m2
1 3,05 1,55
<7, = 122,35-147,21 = -24,86 kN/m2
66 Mu ros de A r r imo
c) Tensões na seção 4
P M 
<7 = — ± —
S W 
S = B x l = B = 2,48 m2
w = lx —   = ̂ - = 1,025 m 3
6 6
ct = 287192± 175189 = 0
2,48 1,025
<7, = 120,53 + 171,60 = 292,13 kN/m2 = 0,292 MPa
compressão
<7, = 120,53-171,60 = - 51,07 kN/m2 = - 0,051 MPa
tração
C7j =0,292 MPa
(jld = 1,4 x 0,292 = 0,409 MPa (acfíd = 7,59 MPa
cr2 =-0 ,051 MPa
o 2d = 1,4 x ( - 0,051) = - 0,0714 MPa (c ctRd = 0,64 MPa
d) Tensões de cisalhamento
Twd = _ 1,5x1,4x105,87
bh  1x2,48
Twd = 0,08964 MPa (vrd = 0,225 MPa
= 89,64 kN/m2 = 0,08964 MPa
g) Armação mínima de retração
Da tabela de armadura mínima de retração, adotaremos -» <p12,5 c/15.
Abertura de fissura w r <>0,3 mm.
4 — Pr o j e t o de Mu r o s de A r r imo 67
Figura 62
68 Mu ros de A r r imo
4.2 - PROJETO DE MURO DE ARRIMO DE FLEXÃO
 base
(40% a 70%) í40%// = 0 ,4x 550 = 220 cm
[70%// = 0,7 x 550 = 385 cm
adotaremos 385 cm
topo: 20 cm
seção mais solicitada:
f8% // = 0,08 x 550 = 44 cm
[10%// - 0,1 x 550 = 55 cm
adotaremos 45 cm
4 — Pr o j et o de Mu r o s de A r r jmo 69
 b) Cálculo do empuxo: Rankine (Tabela 1.2.A) terra :
 p = 0° (j) = 28° Ka = 0,361 y= 18 kN/m3
 Ea = - - y - H 2-Ka = - x 18 x 5,52 x 0,361 = 98,28 kN/m
2 2
i í = 5,5 m  p = 0
Carga distribuída
Ka • q = 0,361 X 25 = 9,03 kN/m2 Ka •y • H = 0,361 X 18 X 5,5 = 35,74 kN/m2
(O.K.) (O.K.)
Figura 64
 Ea  = (K a • /• # )• — = 35,74x M = 98,28 kN/m
2 2
4 — 4 — PPrr o j eo j et ot o ddee MMu r o su r o s ddee A A r r imorr imo 9595
ArmaçãArmação a o a cortante:cortante: (fck (fck  = 25 MPa) = 25 MPa)
V V  = 56,89  = 56,89 kN/mkN/m Vd =Vd = 1,4 x 56,89 = 79,65  1,4 x 56,89 = 79,65 kNkN
5 5 2828
vvrd rd  = 320 KPa = 320 KPa k =k = 1,61,6-0,2-0,284842 2 = = 1,1,313158 58 p p == ---- ---- ^̂   ----  ---- = 0,001875= 0,001875
100x28,42100x28,42
VRd.,VRd., = [3= [320 x 20 x 1,1,3131,5,58 8 x (1,2 + 40 x (1,2 + 40 x 0,0x 0,001801875)75)] x 1 ] x 1 x 0,284x 0,2842 = 152,5 2 = 152,5 kN >kN >
 Não  Não é é prprececiso iso ararmmar ar a a cisacisalhalhamementonto..
4) 4) CálculCálculo o do do concontrafotraforte: rte: (20(20 XX variável)variável)
qq = 1 = 1,13 ,13 - - PP i i •• £ £   = 1,13  = 1,13 XX 39,5639,56 XX 3,7 = 165,4 kN/m3,7 = 165,4 kN/m
P i =P i = Ka Ka y H y H == 0,333 0,333 XX 1818 XX 6,6 = 39,56 kN/m26,6 = 39,56 kN/m2
 M M == 66,,6x6x^̂116655,,4 4 xx MM = 1= 1,,20200,80,8kNkNmm (20x440)(20x440)
d d  =  = 44 44 00 -5 -5 = = 43435 cm5 cm
Af Af = 1.200,8 = 1.200,8 kNmkNm K K 6 6 ==
1100° x 0,2x° x 0,2x4,354,35^̂
11..200,8200,8
= 315= 315 kkS =S = 0,327 0,327
,, 0 0,327 0 0,327 1.220,8 n 1.220,8 n no no 2/2/
 A A S S  =  = —— --—— xx --------- --------- = = 9,02 cm 9,02 cm /m/m
1100 4,354,35
0,150,15
AA SS ^ ^ = = x x 20 20 x x 44440 0 = = 1313,2 ,2 cmcm“ “ 707016 16 mmmm
9696 MMu rosu ros dede A A rr rr iimmoo
Cisalhamento (ver anexo):Cisalhamento (ver anexo):
V V  = 165,4 x = 165,4 x ^ ^ == 545,82  545,82 kNkN Vd =Vd = 1,4  1,4 x 545,8x 545,82 = 764,15 2 = 764,15 kNkN
VVRRdd* = 4.339 x 0,2 x 4,35 * = 4.339 x 0,2 x 4,35 = 3.774= 3.774,9 ,9 kNkN
Vco =Vco = 767  767 x 0,2 x 4,35 = x 0,2 x 4,35 = 667,39 667,39 kNkN
Vsw =Vsw = 764, 764,15 15 - - 667,29 = 96,86kN667,29 = 96,86kN
 A ASSww   96,86  96,86
S S   0,9x4,35x43,5  0,9x4,35x43,5
= = 0,0,56 cn56 cn r/mr/m
 A ASSww
S S 
0,10x20 = 0,10x20 = 2 cn2 cn r/mr/m
adotaremos 010 c/25 (2 ramos)adotaremos 010 c/25 (2 ramos)
Armadura de peleArmadura de pele
AASS' ' , , = = —— xx 220 0 x x 4,34,35 5 = = 8,8,70 70 cm2cm2//ffacacee
 p* p* 101000
AASS, , =, , = -—-— - - == 22 cncn r/m r/m á8á8c/c/2020 p prriie e 44 g5g5
5) 5) CálcCálculo ulo das das tentensõesões s no no sosololo
PP = = carga carga vertical vertical totaltotal
 j>  j> 33 = = áráreaea
(j =(j = — ± -— — ± -—  M M ==   momento atuante  momento atuante
S S ww õõ ..
iviv = = ------ ------   (modelo de resistência)  (modelo de resistência)
66
P P == 2.188,69 kN 2.188,69 kN
A A = 4= 4,9 x 3,7 = 18,13 m,9 x 3,7 = 18,13 m 22
3,7 3,7 x x 44,9,92 2 33
w w - - — — ------------ - - —  — = 14,80 = 14,80 mm
66
4 — 4 — PPr o j e t or o j e t o ddee MMu r o su r o s ddee A A r r imorr imo 9797
 Mg  Mg ==1.1.25256,6,41 + 41 + 33 x (2,45 - 33 x (2,45 - 0,6) + 61,0,6) + 61,05 x (2,45 - 05 x (2,45 - 0,766) +0,766) +
+ 6+ 66 6 x (2,45 - x (2,45 - 2,23) 2,23) +1.758,24 x (+1.758,24 x (2,45 - 2,45 - 3,3,11 ))
 M Maa = = 1.434,1.434,78 78 -1.1-1.14242,85 ,85 = 2= 291,93 kNm91,93 kNm
PP ,,  M M '' '' 
<<7 7 == — — ±±   ----  ----
S S WW  J  J 
2.1882.188,69 ,69 291 291 9393
(7(7 == ------ ------ —  — ±± ---- ---- —  — = 120,72 = 120,72 ±19±19,72,72
18,1318,13 14,814,8
<<7711= 120,72 + = 120,72 + 19,72 = 140,419,72 = 140,45 5 kNkN/m2 = 1,40 k/m2 = 1,40 kgf/cgf/cm2m2
<r2 = 120,72-19,72 = 101 kN/m2 = 1,01 kgfitam2<r2 = 120,72-19,72 = 101 kN/m2 = 1,01 kgfitam2
((JJll <2<2 kgkg^c^cmm2 2 (O.K.)(O.K.)
9898 MMu rosu ros ddee A A rr rr iimmoo
6) 6) CálculCálculo o da da fundaçfundação:ão: £ £  = 40 cm; = 40 cm; d d --  40 -  40 - 5 = 5 = 35 cm35 cm
((1144001144 55 -- 11 00 11 )) ^ ^ = = 113344 881111[[NNffttnn**
■■! 4! 4,,99
CálCálculculo do momeo do momento no balanço nto no balanço (0 e (0 e 11))
 M  M 1= 11= 13344,,881 1 x x — — + + ((114400,,45 45 -134,-134,81) x 81) x A A = 3= 333,,995 k5 kNNmm
2 2 33
ou aproximadamenteou aproximadamente
134,81 134,81 + + 140,45 140,45 0,7" 0,7" ..
M, M, == ---- ---- - ---------------------  - - —  — x —x —— — = 33,72 = 33,72 kNm/mkNm/m
11 22 22
Cálculo do momento entre (1 e 2)Cálculo do momento entre (1 e 2)
Cálculo na direção dos contrafortesCálculo na direção dos contrafortes
 M  M  =  = ((131344,,81 81 -11-11 8,8) x8,8) x -- ^̂ -- 1188,2,26 kN6 kNmm//mm
1122
 M  M ==
 p£  p£ 
~Í2~Í2
vv t t  33 T T 
 M  M = = — — == -(134,81 -1 -(134,81 -11188,8,8) x -) x -2— = -21,92 2— = -21,92 kNkNm/m/mm
1010 1100
Cálculo da armaçãoCálculo da armação
 M Ml l == 33,72 kNm/m 33,72 kNm/m K K 6 6 ==
1100° ° xlxlx0x0 ,3,35"5"
33,7233,72
= 363,28= 363,28
0,0,327 327 3333,7,72 2 oo ii r 2/ r 2/ . . 2/2/
AS = — AS = — ----------xx ------- ------- = = 3,15 3,15 cm cm /m /m ASA ASA = = 6 6 cm cm /m/m
110 0 00,,335 5 11XX11111111
1f1f))5 5 yy ll yy ()()
M = 18,26 kNm/mM = 18,26 kNm/m KK 6 = 6 = —— — — LL AA AA _ _ = 67= 67q q  kkS =S =
’ 18,26’ 18,26
„„0 0 0,325 0,325 18,26 18,26 lf7 lf7 2/2/
AS =AS = ------- -------x x —— —— = = 11,,7 c7 cm m /m/m
10 0,3510 0,35
1n5 1n5 v v 11 yy íí I 352I 352
 X  X  = 21,92 kNm/m = 21,92 kNm/m K K 6 6 = = ’’ - - = = 555588 kkS =S =
’ 21,92’ 21,92
,, 0 0 0,326 0,326 2121,9,92 2 OAOA, 2/ , 2/ ,, 2/ 2/ 
AS = — AS = — ----------x x ——--— — = = 2,02,04 4 cm cm /m /m ASmASmíín n = = 6 6 cm cm /m/m
10 0,3510 0,35
kkS =S = 0,327 0,327
0,3250,325
0,3260,326
010 c/12,5010 c/12,5
4 — 4 — PPr o j e t or o j e t o ddee MMu r o su r o s ddee A A r r imorr imo 9999
CortanteCortante :fck = 25:fck = 25 MPaMPa
V V  =  = 1144QQ’4o ’4o + lo+ lo44>>81 x 0,7 81 x 0,7 = 96= 96,34 ,34 kN/mkN/m Vd =Vd = 1,4 x 96,34 = 135kN 1,4 x 96,34 = 135kN
 L LÃÃ
TrTrd d = = 0,0,32 32 MMPPa a = = 33220 0 KKPPa a = = ll ,, 66 -- d d = = 1,61,6 -0,3-0,3 5 5 = = l,l, 225m5m
6,256,25
PPtt == = 0,00178= 0,00178
11 110000xx3355
VRdlVRdl = [32= [320 x 1,25(1,2 + 0 x 1,25(1,2 + 40 40 x 0x 0,00,0017178)] x 1 8)] x 1 x 0,35 = 178 x 0,35 = 178 kN >kN > Vd Vd   (O.K.)  (O.K.)
 Não  Não é é prprececiso iso ararmmar ar a a cicisalsalhahamementnto.o.
7) 7) CálcuCálculo lo da da viga viga da da fundfundaçãoação
FlexãoFlexão
0 0 1515
 A  A SS f f == — —— — xx 4400xx770 0 = 4,= 4,2 2 cmcm2 2 3016 m3016 mmmrnnrnn 1010q q  Y Y 
PelePele
0 0 1515
 A AS S -- = = ——— — x x 40 40 x x 70 70 = = 2,8 cm2,8 cm2 2 608 608 mmmm
rmrmn n 11000 0 ^̂CortanteCortante
 A ASSjj^ ^ =0,=0, 1 1 X X 40 40 = = 4 4 cm2cm2/m /m 01010 0 c/c/2020
100 Mu ros de A r r imo
8) Detalhes da armação
a) Armação da laje de fundação
Figura 83
4 — Pr o j et o de Mu r o s de A r r imo 101
 b) Armação do contraforte
Figura 84
Mu ros de A r r imo102
c) Armação da cortina
Figura 85
122 Mu ros de A r r imo
Pronto, nesse caso já existe o k3  e poderiamos dimensionar nossa viga. Sucede
que, nesse momento arquitetônico (sempre os arquitetos), não podemos alterar a
seção da nossa viga, que deve ser de 20 X 60 cm.
Como fazer? A seção 20 X 60 cm, com armadura simples, não dá. Uma ideia é
enriquecer a viga, ou seja, colocar em cima e embaixo um material mais nobre que o
concreto, ou seja, colocar o aço.
Como calcular esse aço adicional, ou seja, como calcular essa viga? É o que ve-
remos daqui por diante.
Primeiramente, verifiquemos o k&limite para esse concreto e aço.
O k-Qlimite é 36, ou seja, até um certo Momento Fletor, a viga podería ser sim-
 plesm ente armada. A fórmula do kf>é:
 M 
5 — A nexos 123
() momento limite que re sulta de /q5lnn= 36 é:
 Mf =
lim
bw - d - 10; = 0,2x0,57xl0 =
36
Esse é o maior momento a que uma seção simplesmente armada pode resistir. O
valor de § é 0,5. (ver Tabela A).
Temos um momento, que atua na seção que vale 200 kNm, e o momento limite
da seção simplesmente armada é M  = 180,5 kNm. Temos pois uma diferença de mo-
mentos que a seção simplesmente arm ada não pode absorver, que é AM = 200  180,5
= 19,5 kNm.
A arm adura inferior total (As) é calculada pela fórmula:
*3
A = —— 
s 10
, *7 W 
d  10 d 
 No nosso caso:
, 0,403 180,5 0,358 19,5 1on_ s
 Ac =— -----x ----- — + — -----x —— = 13,99 cm
s 10 0,57 10 0,57
A área de aço, de 13,99 cm2, é a área de aço para colocar na parte inferior da viga 
armadura tracionada (ver Tabela Mãe = 3025 mm).
A armadura superior será calculada pela fórmula:
0,358 19,5 , 00 2
 A' = — -----x —— = 1,22 cm
s 10 0,57
Fácil não? 2o10 mm ------A's
Seção da viga
30025 mm------As
124 Mu ros de A r r imo
DIMENSIONAMENTO DE VIGAS TSIMPLESM ENTE ARMADAS
Seja a viga T a seguir:
b = 180-
 Na seção T, é fundam ental saber-se onde está a linha neutra.
Se esta cortar a mesa, a viga não é  viga T e sim uma viga de seção retangular, já
que, acima dela, temos uma seção retangular de concreto trabalhando à compressão,
abaixo dela temos uma seção de concreto, que não é levada em conta. Vejamos os
esquemas:
l.° Caso: Essa não é uma viga T e sim uma viga retangular, pois:
 x  < h f 
t  x . hf 
£=-7 < A = - f
d J d 
132 Mu ros de A r r imo
, b-dz -105 7 l,8 x 0,572 xlO5 , , nQ , n 0_ , 10 ,= 0,8x0,25
k ,= ----------- =K =-------- = 64,98 ç = 0,25 = — = 0.1(5 0,8f ’
6  M 6 900 * b< 57 =0,20
0,8 § > §■=> estamos na condição de viga T (2.° caso).
Observamos que o cálculo de £, supondo a viga retangular, só serviu para veri-
ficar se a viga funciona como retangular ou não. Daqui por diante, passaremos ao
dimensionamento.
l.° Passo:
Cálculo de §. Por razões teóricas, adotaremos: I = ff/0,8.
 z _ _£/_ ( diagrama retangular | = _ÍL  = 0,219
’ 05g [ no concreto ) 0,8 0,8
com | = 0,219 » Tabela A > fc6 = 71,8.
Entrando com | na tabela A, resulta A:fi; = 71,8 e /c3/ = 0,353.
k, =6 f 
( ò  ó M.)dL 10r 
M , "
M , = j
(b- bu.)• d 2 •105 _ ( 1 ,8 0,2)x0,572 xlO 5 _ 
71,8
= 724 kNm
Sendo:  Mf  = 724 kNm (momento das abas)
 MW= M -M f 
 Mw = 900  724 = 176 kNm (momento da alma)
b .- d 2 -10E
k   w
 M.
0 ,2 x0 ,572 x l 0 ^ 92
6 1176
5 — A nexos 133
Entramos na Tabela A => k:]= 0,403. O cálculo da armadura será:
 M f  V  M 
A ==k„ J + 3 
w
S 
à f d  10 d 
 A -
0,353 724 0,403 176
=— -----X + — ------ X
S 
10 0,57 10 0,57
 As = 57,28 cm 2 (12 0 25mm)
Vamos aplicar esses resultados na nossa viga T.
Estamos na condição de Momento Fletor extremamente alto para esta seção,
resultando em uma área de aço muito grande. Em face disso, temos aço demais para
alojar em uma pequena área. Tivemos de colocar aço em posições mais altas e, com
isso, alterase a nossa suposição de que o centro de gravidade do aço estivesse a 57
cm 0d ) da extremidade superior da aba. No caso presente, como temos camadas de
aço fora da distância de 57 cm, deveriamos considerar uma outra distância dreab di-
gamos, cerca de 49,5 cm d real =49,5 cm e recalcular a viga.
Fica, pois, clara uma coisa: a altura útil de uma viga (d) é a distância da borda
comprimida da viga ao centro de gravidade da arm adura tracionada.
134 Mu ros de A r r imo
5.5 - D IMENSIONAMENTO DE VIGAS AO CISALHAMENTO
Vimos que as vigas, ao sofrerem a ação de uma carga vertical, sofrem a possibili-
dade de suas lamelas escorregarem umas sobre as outras. Ao fazer a experiência com
folhas de papel, os grampos aumentavam a resistência da viga de folhas.
 Numa viga de concreto armado, quem interliga as lamelas? A armadura de tra-
ção não é. A eventual armadura de compressão, também não. Quem aguenta, então?
São os estribos. Para explicar melhor esses fenômenos, muitas vezes associase uma
viga em trabalho a uma treliça, para uma comparação de fenômenos e de elementos
resistentes.
Em detalhe, um trecho da treliça
de compressão no banzo superior
de compressão no banzo inclinado
normal de tração no banzo vertical
normal de tração no banzo inferior 
5 — A nexos 139
o Cálculo da armadura de susp ensão da viga apoiada sobre viga
© As cargas da viga 2 chegam à região inferior cie Fb sendo necessário suspender
a carga.
° Região para alojamento da armadura de suspensão:
° Na planta, no caso da viga em balanço, temos:
Viga 2
140 Mu ros de A r r imo
° Carga a ser suspensa:
a)
Viga 2
Rsusp = 0
Viga 1
Viga 1
Viga 2
sendo  R 2d  a carga da viga 2, na viga 1.
A armadura de suspensão será calculada por:
Aço CA-50
 f yd  = 43,5 kN/cm2
 Não devemos somar a arm adura de cisalhamento, mas devemos adotar a ma:
das duas na região de alojamento da armadura de suspensão.
5 — A nexos 141
Exemplo: Seja a viga abaixo, calcular a armadura para a força cortan te de 150 kN.
 f ck = 20 MPa Aço CA-50  f d. = 20 MPa
 f cd = 14,28 MPa
bw = 20 cm = 0,2 m
7 = 150 kN Vsd = 150 x 1,4 = 210 kN
 f yd = 4,350 kgPcm2 = 4,35 tPcm2 = 43,5 kN/cm2
1) Cálculo de VR2:
VRd2 = 3,548 x 0,2 x 0,57 = 404,47 kN > Vsd   (O.K.)
2) Cálculo de Vco\ 
Vco = 66 3x 0,2 x0 ,57 = 75,58 kN
3) Cálculo da armadura A sw:
Vsd = Vco + Vsu, -> = 210 - 75,58 = 134,42 kN
V, 134,42
s 0,9 -d -f yd   0,9x0,57x43,5
= 6,02 cm2/m -> Tabela 8: 0 8 mm c/16 cm
 A , = 0,09x20 = 1,8 cm 7msw
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