[1]matematica-1-[2015]

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1 
 
M A T E M Á T I C A 1 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 2 
CONJUNTOS NUMÉRICOS E OPERAÇÕES COM INTERVALOS REAIS _____________________________________________________________________2 
FUNÇÕES 4 
DEFINIÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM, CONTRADOMÍNIO, PARIDADE, INJEÇÃO, SOBREJEÇÃO, FUNÇÃO INVERSA E FUNÇÃO COMPOSTA. ________________________4 
DEFINIÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM, CONTRADOMÍNIO, PARIDADE, INJEÇÃO, SOBREJEÇÃO, FUNÇÃO INVERSA E FUNÇÃO COMPOSTA ________________________8 
FUNÇÃO QUADRÁTICA _______________________________________________________________________________________________ 11 
FUNÇÃO MODULAR _________________________________________________________________________________________________ 15 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS 17 
GRÁFICOS, DOMÍNIO, IMAGEM, CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS, EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS __________________________ 17 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 20 
NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS. DEFINIÇÕES DE LOGARITMO. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS. GRÁFICOS, DOMÍNIO, IMAGEM E 
CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS. __________________________________________________ 20 
TRIGONOMETRIA 26 
TRIGONOMETRIA NOS TRIÂNGULOS _______________________________________________________________________________________ 26 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. ________________________________________________________________________________________ 31 
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ____________________________________________________________________________________ 33 
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS _______________________________________________________________________________ 36 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ___________________________________________________________________________________________ 40 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS ____________________________________________________________________________________ 49 
 
 
 
 
 
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2 
Conjuntos Numéricos 
Capítulo 1 
Conjuntos Numéricos e Operações com Intervalos Reais 
 
Conjuntos Numéricos 
 
 Conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 Conjunto dos números inteiros: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 Conjunto dos números racionais: Q = { x | x = 
𝑎
𝑏
, a ∈ Z e b ∈ Z*} 
 Conjuntos dos números reais R: todos os números racionais e todos os números irracionais. 
 
Relação de inclusão entre os conjuntos numéricos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B I Z U 
Restrições aos conjuntos numéricos: 
 
Alguns sinais modificam os conjuntos numéricos, de modo a excluir deles algum tipo de 
número. São eles: 
 
* → Exclui o zero 
+ → Exclui os números negativos 
- → Exclui os números positivos 
 
Exemplos: 
IR_* é o conjunto dos números reais negativos. 
 
Intervalos Reais 
 
Sendo a, b, c e d números reais e a < b < c <d, podemos efetuar operações com os intervalos A = [a, c] e B = [b, d] representando-
os na reta real. 
 
União 
 
 
A ∪ B = [a, d] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ d} 
 
Intersecção 
 
A ∩ B = [b, c] = {x ∈ R | b ≤ x ≤ c} 
 
Diferença 
 
 
A - B = [a, b[ = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} 
 
 
 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
1- (FUNCAB) A representação correta do intervalo real definido 
por N= [2 ; 7[ , na reta real é: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
2- (USP) Depois de n dias de férias, um estudante observa que: 
 
a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde. 
b) quando chove de manhã não chove à tarde. 
c) houve 5 tardes sem chuva. 
Q 
 
N 
 
Z 
 
R 
 
R – Q 
(Conjunto dos números 
irracionais) 
 
 
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3 
d) houve 6 manhãs sem chuva. 
 
Podemos afirmar então que n é igual a: 
 
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 
 
3- (UFBA) 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 
visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses 
estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses5, 3 
visitaram também São Paulo. O número de estudantes que 
visitaram Manaus ou São Paulo foi: 
 
a) 29 b) 24 c) 11 d) 8 e) 5 
 
4- (FEI) Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma 
única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um 
famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas: 
 
a) século XIX 
b) século XX 
c) antes de 1860 
d) depois de 1830 
e) nenhuma das anteriores 
 
Pode-se garantir que a resposta correta é: 
 
a) a b) b c) c d) d e) e 
 
5- (PUC) Se A = e B = { }, então: 
 
a) A 0 B 
b) A c B = i 
c) A = B 
d) A 1 B = B 
e) B d A 
 
6- (FGV) Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de 
elementos de A 1B é 30, o número de elementos de A 1 C é 20 e 
o número de elementos de A 1 B 1 C é 15. Então o número de 
elementos de A 1 (B c C) é igual a: 
 
a) 35 b) 15 c) 50 d) 45 e) 20 
 
7- Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis 
de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a, b} } são: 
 
a) 2 ou 5 
b) 3 ou 6 
c) 1 ou 5 
d) 2 ou 6 
e) 4 ou 5 
 
8- (PUC) Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e 
{x, y, 1} são iguais. Então, podemos afirmar que: 
 
a) x = 0 e y = 5 
b) x + y = 7 
c) x = 0 e y = 1 
d) x + 2 y = 7 
e) x = y 
 
9- (UFF) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-
1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do 
homem.” Os conjuntos numéricos são, como afirma o 
matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em 
relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que: 
 
a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional. 
d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um 
número racional. 
e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre 
um número inteiro negativo. 
 
10- Sobre a teoria dos conjuntos numéricos, analise as 
afirmativas abaixo e, a seguir, assinale a alternativa correta. 
 
I. Para todo número real a ≥-1 e todo numero natural n ≥ 1 
temos que a desigualdade (1 + a)n ≥ 1+ na é válida. 
II. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, 𝛼 > 0. Então não existe n ∈ ℕ∗ de modo 
que n𝛼 > 𝛽 
III. Seja 𝐴 ⊂ ℝ, 𝐴 ≠ ∅. Se A limita do superiormente, então A 
admite supremo em ℝ . 
IV. Sejam A e B subconjuntos de ℝ tais que A∪B ≠ ∅ e, ainda, 
que todo a ∈ A é menor que todo b ∈ B. Então existe um único 
c ∈ ℝ que não é superado por nenhum a ∈ A e que não supera 
nenhum b ∈ B. 
 
a) Somente I está correta. 
b) Somente I e III estão corretas. 
c) Somente II e IV estão corretas. 
d) Somente I, III, e IV estão corretas. 
e) Somente II, III, e IV estão corretas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1E 2C 3A 4C 5A 6A 7A 8B 9D 10D 
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4 
Funções 
Capítulo 2 
Definição, Domínio, Imagem, Contradomínio, Paridade, Injeção, Sobrejeção, Função Inversa e Função Composta. 
 
Conceito de Função 
 
 Considerando dois conjuntos A e B, não-vazios, dizemos que f é uma função de A em B (ou que y é uma função de x) se, e somente se, 
para cada elemento x de A exista em correspondência um único elemento y de B. A notação de função é dada por f: A→B tal que y = f(x). 
 Na função f: A→B, tal que y = f(x), chamamos x de variável independente e y de variável dependente. 
 Zero de uma função f é todo número real x ∈ D(f) tal que f(x) = 0. 
 
PRÁTICA 
 
P1) Seja f a função de R – {1} em R definida por f(x) = 
2
𝑥−1
, calcule: 
a) f(3) + f(5) 
b) o valor de m, tal que f(m) = -3 
P2) Considere a função f: R→R, definida por f(x) = 2x–1. Determine todos os valores de m ∈ R para os quais é válida a igualdade f(m2) – 2f(m) + f(2m) = 
𝑚
2
 
P3) Responda se cada um dos esquemas abaixo define ou não uma função de A={-1, 0, 1, 2} em B={-2, -1, 0, 1, 2, 3} e justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio, Contradomínio e Imagem 
 
Dada a função f: A→B, o conjunto A é o domínio da função, indicado por D(f), o conjunto B é o contradomínio da função, indicado 
por CD(f), e o conjunto formado por todas as imagensde x é chamado de conjunto imagem da função, indicado por Im(f). 
 
B I Z U 
 
Restrições ao domínio de uma função: 
 
 Denominadores diferentes de zero. 
 Raízes de índice par devem ter radicandos não negativos (≥ 0). 
 
 
PRÁTICA 
 
P4) Determine o domínio de cada função a seguir: 
a) f(x) = √𝑥 + 4 
b) f(x) = 
10𝑥−3
𝑥2−9
 
c) f(x) = 
5𝑥
𝑥3− 4𝑥
 - 
2
√𝑥 + 1
 
d) f(x) = √𝑥4 + 𝑥2 + 3 
e) f(x) = 
1
√𝑥+ √6+ √4
3
 
 
Gráfico de uma Função 
 
O gráfico de uma função é representado em um plano cartesiano, que é o plano determinado pelo sistema de eixos ortogonais 
x (eixo horizontal chamado eixo das abscissas) e y (eixo vertical chamado eixo das ordenadas), que o dividem em quatro 
regiões chamadas quadrantes. Todo ponto P do plano cartesiano é representado por meio de um par ordenado (x, y), em 
que x e y são números denominados coordenadas do ponto P(x, y). 
 
 
Para construir o gráfico de uma função, representam-se no plano cartesiano todos os pares ordenados (x, f(x)) tais que x ∈ D(f). 
 
-1 
 
0 
 
1 
 
2 
 
-2 
-1 
0 
1 
3 
2 
 
-1 
 
0 
 
1 
 
2 
 
-1 
 
0 
 
1 
 
2 
 
-1 
 
0 
 
1 
 
2 
 
-2 
-1 
0 
1 
3 
2 
 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
A B 
 
A B 
A B 
 
A B 
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5 
PRÁTICA 
 
P5) Quais dos gráficos abaixo representam funções de R em R? Explique. 
 
 
Análise de Gráficos de Funções 
 
 Uma função f é crescente em um intervalo do domínio se, e somente se, para quaisquer valores x1 e x2 desse intervalo, com 
x1<x2, tem-se f(x1)<f(x2). 
 Uma função f é decrescente em um intervalo do domínio se, e somente se, para quaisquer valores x1 e x2 desse intervalo, 
com x1 < x2, tem-se f(x1)>f(x2). 
 Se uma função f tem determinado ym ∈ Im(f) tal que não existe y ∈ Im(f) maior que ym, dizemos que ym é o valor máximo da função 
f. 
 Se uma função f tem determinado ym ∈ Im(f) tal que não existe y ∈ Im(f) menor que ym, dizemos que ym é o valor mínimo da função 
f. 
 Se, em um intervalo do domínio de uma função, os pontos do gráfico estão acima do eixo x, ou seja, tem ordenada positiva 
(y>0), dizemos que a função é positiva nesse intervalo. 
 Se, em um intervalo do domínio de uma função, os pontos do gráfico estão abaixo do eixo x, ou seja, têm ordenada negativa 
(y<0), dizemos que a função é negativa nesse intervalo. 
 
PRÁTICA 
 
P6) Determine a imagem de cada uma das funções representadas pelos gráficos abaixo: 
 
 
 
 
 
P7) O gráfico abaixo representa uma função f definida em um subconjunto de R. Determine: 
a) o domínio da função. 
b) o conjunto imagem da função. 
c) os valores de f(-1), f(0) e f(3) 
d) em que intervalo(s) f é crescente. 
e) em que intervalo(s) f é decrescente. 
f) existe f(-50)? Qual seria o seu “palpite” para esse valor? 
 
 
 
 
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6 
Paridade 
 
 Uma função f: A→B é denominada função par se, para todo x∈A, f(x) = f(-x). 
 A função par tem seu gráfico simétrico em relação ao eixo y. 
 Uma função f: A→B é denominada função ímpar se, para todos x∈A, f(-x) = -f(x). 
 A função ímpar tem seu gráfico simétrico em relação a origem. 
 
PRÁTICA 
 
P8) Assinale P se a função é par, I se a função é ímpar e O se a função é par nem ímpar. 
a) f(x)=4 
b) f(x)=2x 
c) f(x)=3x + 5 
d) f(x)=3x² 
e) f(x)=x³ 
f) f(x)=
3
𝑥
 
 
 
Injeção e Sobrejeção 
 
 Uma função f: A→B é sobrejetora quando, para qualquer y ∈ B, sempre temos x ∈ A, tal que f(x) = y, ou seja, Im(f) = B. 
 Uma função f: A→B é injetora se, para quaisquer x1 e x2 da A, com x1 ≠ x2, temos f(x1) ≠ f(x2). 
 Uma função f: A→B será bijetora se for, ao mesmo tempo, sobrejetora e injetora. 
 
Função Inversa 
 
Dada uma função bijetora f:A→B, chamamos de função inversa de f a função f-1:B→A, tal que, para todo (x, y) ∈ f, há (y, x) ∈ f-1. 
Os gráficos de f e f-1 são simétricos em relação à reta y=x, ou seja, à bissetriz dos quadrantes ímpares. 
 
Para obter a lei da função inversa, trocamos x por y e y por x. Em seguida, expressamos y em função de x. 
 
PRÁTICA 
 
P9) Determine a lei que define a função inversa de cada função de R em R. 
a) f(x) = 
𝑥+5
3
 
b) f(x) = x³ + 1 
c) p(x) = √2𝑥
5
 
d) h(x) = x² + 2x 
 
Função Composta 
 
Sejam f: A→B e g: B→C. A função composta de g com f é a função g ° f: A→C, tal que (g ° f) (x) = g(f(x)), para x∈A. 
 
 
 
PRÁTICA 
 
P10) Considere as funções reais f, g e h definidas por: 
a) f(x) = 2x + 1 
b) g(x) = 5x + 9 
c) h(x) = 6x² 
P11) Determine as leis que definem: 
a) fº(gºh) 
b) (fºg)ºh 
 Sejam f e g funções reais tais que g(x) = - 4x + 2 e g(f(x)) = -12x – 18. Obtenha f(x). 
 Sabendo que f(x) = 3x + 5 e g(f(x)) = 3x + 3, obtenha g(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
1-(UFBA) Se f (g (x)) = 5x - 2 e f (x) = 5x + 4, então g(x) é 
igual a: 
 
a) x - 2 
b) x - 6 
c) x - 6/5 
d) 5x - 2 
e) 5x + 2 
 
2- (UEFS) Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x2 
+ 1) = - 2x2 + 2, para todo x ÎR, pode-se afirmar que b/a é igual a 
 
a) 2 b) 3/2 c) ½ d) -1/3 e) -3 
 
3- (UCSal) O maior valor assumido pela função y = 2 - ½x - 2½é: 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
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7 
4- (UCSal) O gráfico da função f de R em R, dada por f(x) = ½1 
- x½- 2, intercepta o eixo das abcissas nos pontos (a,b) e (c,d). 
Nestas condições o valor de d + c - b - a é: 
 
a) 4 b) -4 c) 5 d) -5 e) 0 
 
5- (UFBA) Se f (g (x) ) = 5x - 2 e f (x) = 5x + 4 , então g(x) é 
igual a: 
 
a) x - 2 
b) x - 6 
c) x - 6/5 
d) 5x - 2 
e) 5x + 2 
 
6- (UEFS) Uma função real é tal que f(x). f(y) = f(x + y), f(1) = 
3 e f(Ö3) = 4. O valor de f(2 + Ö3) é: 
 
a) 18 b) 24 c) 36 d) 42 e) 48 
 
7- (UCSal) Seja f uma função de N em N , tal que f(0) = -1 , f(1) = 1 
e f(n-2) = f(n) . f(n-1), se n 2. O conjunto imagem de f é: 
 
a) N 
b) N - {0} 
c) {-2,-1,0,1,2} 
d) {-1,0,1} 
e) {-1,1} 
 
8 - (UCSal) Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. 
Se o ponto (-1, 8) pertence ao gráfico dessa função, então: 
 
a) o seu valor máximo é 1,25 
b) o seu valor mínimo é 1,25 
c) o seu valor máximo é 0,25 
d) o seu valor mínimo é 12,5 
e) o seu valor máximo é 12,5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1C 2D 3B 4A 5C 6C 7E 8E 
 
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8 
Funções Afins 
Capítulo 3 
Definição, Domínio, Imagem, Contradomínio, Paridade, Injeção, Sobrejeção, Função Inversa e Função Composta. 
 
Definição 
 
Toda função de R em R do tipo f(x)=ax+b, com a, b ∈ R, é uma função afim. 
 
 Se a = 0, a função f(x)=b é chamada função constante. 
 Se a ≠ 0, a função f(x)=ab + b é chamada função polinomial do 1º grau. 
 Se a ≠ 0 e b= 0, a função f(x)=ax é chamada função linear. 
 Se a = 1 e b= 0, a função f(x)=x é chamada função identidade. 
 
Gráfico 
 
O gráfico de uma função afim f(x)=ax+b é uma reta. 
 
 O coeficiente de x(a) é chamado de coeficiente angular da reta. 
 O termo constante (b) é chamado de coeficiente linear da reta. 
 
O gráfico de uma função constante é uma reta paralela do eixo x. 
 
 
 
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é uma reta oblíqua aos eixos x e y. 
 
 
 
O zero de uma função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b é dado por x = -
𝑏
𝑎
 e corresponde à raiz da equação ax + b = 0. No gráfico, o 
zero é a abscissa do ponto em que a reta intercepta o eixo x. 
 
Dada uma função afim f(x) = ax + b, a reta que a representa intercepta o eixo y no ponto (0, b). 
 
PRÁTICA 
 
P1) Construa o gráfico da função real f(x) = y = 2x – 1 
P2) Uma função linear f é tal que f(1) = 5. Determine a lei que define f. 
 
 
Crescimento e Decrescimento 
 
Se f: R -> R, definida por f(x) = ax + b: 
 
f é crescente quando a > 0; 
fé decrescente quando a < 0. 
 
 
 
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9 
PRÁTICA 
 
P3) Discuta, em função de m, a “variação” (crescente, decrescente ou constante) da função y = m (x – 1) + 3 – x. 
 
 
Sinal 
 
Sinais da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b. 
 
 
 
PRÁTICA 
 
P4) Estude o sinal da função f(x) = (2x -1)² - (2x + 2)² - 3. 
 
 
Inequações 
 
Inequações apresentadas por duas desigualdades ou por meio de um sistema de inequações são chamadas inequações 
simultâneas. 
 
PRÁTICA 
 
P5) Resolva, em R, as seguintes inequações: 
a) 2 – x < 3x + 2 < 4x + 1 
b) 3x + 2 ≥ 5x -2 
 4x – 1 > 3x -4 
 3 – 2x < x - 6 
P6) Sendo f e g funções na variável real x, chamamos de inequação-produto as sentenças expressas por: 
a) f(x) • g(x) > 0 b) f(x) • g(x) < 0 c) f(x) • g(x) ≥ 0 d) f(x) • g(x) ≤ 0 
P7) Resolva, em R, a seguinte inequação: (5 – 3x) (7 – 2x) (1 – 4x) ≤ 0 
P8) Sendo f e g funções na variável real x, com g(x) ≠ 0, chamamos de inequação-quociente as sentenças expressas por: 
a) 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 > 0 b) 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 < 0 c) 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 ≥ 0 d) 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 ≤ 0 
P9) Resolva, em R, as seguintes inequações. 
a) 
(1−2𝑥)(3+4𝑥)
(4−𝑥)
 > 0 
b) 
1
𝑥−4
 < 
2
𝑥+3
 
P10) Determine o domínio da função f definida por f(x) = √3𝑥 − 5 + 2 √
𝑥+3
𝑥−2
 + x² 
 
 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
 
1- (ENEM) Certo vendedor tem seu salário mensal calculado da 
seguinte maneira: ele ganha um valor fixo de R$ 750,00, mais uma 
comissão de R$ 3,00 para cada produto vendido. Caso ele venda 
mais de 100 produtos, sua comissão passa a ser de R$ 9,00 para 
cada produto vendido, a partir do 101o produto vendido. 
 
Com essas informações, o gráfico que melhor representa a 
relação entre salário e o número de produtos vendidos é 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
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10 
 
2- (ESCOLA NAVAL) A função real ƒ, de variável real, é definida 
por f(x)=In(x5+x3+x). Podemos afirmar que a equação da reta 
normal ao gráfico da função inversa ƒ–1 no ponto (In3,ƒ–1(In3) é 
 
a) y–3x+ 3In3= 1 
b) 3y–x+ In3= 3 
c) y+ 3x–In27= 1 
d) 3y+ x–In3= –3 
e) y+ 3x–In3=3 
 
3- (ESCOLA NAVAL) Considere a função real f, de variável real, 
definida por Se g é a função inversa 
de f, então g"(1) vale 
 
a) 1 
b) 0, 5 
c) 0,125 
d) 0, 25 
e) 0 
 
4- (AOCP) Seja f: R+ → R dada por f(x) = vx e g: R → R+ dada 
por g(x) = x² + 1. A função composta (g o f)(x) é dada 
 
a) √x2 + 1 
b) x+1 
c) √x2 + 1 
d) √x2 
e) x2 + 1 
 
5- Sabendo que p(x) = – x4+11x3–38x2+52x–24 tem uma raiz 
dupla x=2, o domínio de definição da função f(x)=In(p(x)) é: 
 
a) {xє IR; x ≠ 2 e x ≠ 3} 
b) {x є IR; 2 < x < 3} 
c) {x є IR; 1 < x < 6} 
d) {x є IR; x < -1 ou x > 7} 
e) {x є IR; 1 < x < 2 ou 2 < x < 6} 
 
6- A função f: R em R , definida por f(x) = x2 : 
 
a) é inversível e sua inversa é f -1 
b) é inversível e sua inversa é f -1(x) = - 
c) não é inversível 
d) é injetora 
e) é bijetora 
 
7- (UCSal) Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto 
dos números reais, dadas por f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. 
Nestas condições, g(-1) é igual a: 
 
a) -5 
b) -4 
c) 0 
d) 4 
e) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1E 2C 3C 4B 5E 6C 7D 
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11 
Função Quadrática 
Capítulo 4 
Função Quadrática. 
 
Definição 
 
Toda função de R em R do tipo f(x) = ax²+bx+c, com a, b, c ∈ R e a ≠ 0, é uma função quadrática. 
 
Os números reais a, b, c são os coeficientes da função quadrática f(x)= ax²+bx+c. 
 
Os zeros da função quadrática f(x) = ax²+bx+c são as raízes reais da equação do 2º grau ax²+bx+c=0. 
 
B I Z U 
A fórmula de Bhaskara: x = 
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 onde o discriminante ∆ é igual a b² - 4ac 
 
Gráfico 
 
O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola. 
 
 
 
A parábola que corresponde à função quadrática f(x)=ax²+bx+c pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo: 
 
 
 
As coordenadas do ponto em que a parábola, correspondente à função quadrática f(x)= ax²+bx+c, intercepta o eixo y são (0, c). 
 
Os zeros de uma função quadrática são as abscissas dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x. 
 
A função quadrática: 
 
 Tem dois zeros reais distintos se ∆>0; então a parábola correspondente tangencia o eixo x em dois pontos; 
 Tem um zero real duplo se ∆=0; então a parábola correspondente tangencia o eixo x; 
 Não tem zeros reais se ∆<0; então a parábola não tem ponto em comum com o eixo x. 
 
B I Z U 
Soma e Produto das raízes de uma equação do 2º grau do tipo ax²+bx+c=0. 
 
x1+x2=-b/a 
x1•x2=c/a 
 
Forma fatorada de uma equação do 2º grau 
 
a(x–x1) (x–x2)=0 
 
PRÁTICA 
 
P1) Construa o gráfico de cada uma das funções a seguir. 
a) y = x² + 3x 
b) y = x² - 2x + 4 
 
Vértice 
 
As coordenadas do vértice de uma parábola, cuja lei da função é f(x)=ax²+bx+c, são dadas por: 
 
xv = - 
𝑏
2𝑎
 e yv = - 
∆
4𝑎
 
 
Dois pontos da parábola de ordenadas iguais estão à mesma distância da reta perpendicular ao eixo x que passa pelo vértice (xv, 
yv) dessa parábola. Essa reta é chamada eixo de simetria. 
 
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12 
 
 
PRÁTICA 
 
P2) Determine o valor de m na função real f(x) = mx² + (m – 1) x + (m + 2) para que o valor máximo de f seja 2. 
P3) Entre todos os retângulos de perímetro 20cm, determine o de área máxima. 
 
 
Imagem 
 
A ordenada do vértice da parábola corresponde ao valor máximo ou valor mínimo da função quadrática e permite determinar o 
conjunto imagem dessa função 
 
 
 
PRÁTICA 
 
P4) Determine a imagem da função y=
1
2
x²+x+1. 
Seja f:R→R uma função do 2º grau cujo gráfico é dado a seguir. Qual é a expressão de f? 
 
 
Sinal 
 
Sinais da função quadrática f(x)=ax²+bx+c 
 
 
 
Inequações 
 
Inequação do 2º grau na incógnita x é toda inequação que pode ser reduzida a uma desigualdade em que o primeiro membro é um 
polinômio do tipo ax²+bx+c (com a≠0) e o segundo membro é zero. 
Para resolver inequações-produto e inequações-quociente que envolvam funções quadráticas, precisamos estudar o sinal das funções. 
 
Resolva, em R, as inequações: 
 
a) √2 x > x² 
b) 3x² - 7x + 2 ≥ 0 
 4x – 1 ≥ 0 
c) 0 ≤ x² - 3x + 2 ≤ 6 
d) (1 – 4x²) (2x² + 3x) ≥ 0 
e) 4x³ - 12 x² - x + 3 ≤ 0 
f) 
𝑥²+2𝑥
𝑥²+5𝑥+6
 ≥ 0 
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13 
 
PRÁTICA 
 
P5) (FGU-SP) O lucro mensal de uma empresa é dado por L=-x²+30x–5, sendo x a quantidade mensal vendida. Entre que 
valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195? 
P6) Determine m∈R para que x²+(2m+3)x+(m²+3)≥0 para todo x real. 
P7) Determine o domínio da função real f(x) = √
2𝑥−1
𝑥²−4
 
 
 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
1- Observe o gráfico da função quadrática a seguir. 
 
 
 
Sobre essa função, é possível afirmar que 
 
a) Δ > 0 
b) Δ < 0 
c) Δ = 0 
d) a < 0 
e) a = 0 
 
2-(ESPP) Com relação à função quadrática f(x) = ax2 + bx + 
c, é correto afirmar que: 
 
a) O ponto de máximo é dado pela maior raiz da função. 
b) Se b2 – 4ac < 0 então a função não possui ponto de máximo e 
nem ponto de mínimo. 
c) Se o coeficiente de x for igual a zero pode ser que a função não 
tenha raízes reais 
d) As coordenadas do ponto mínimo da função são (- b⁄a, 
- Δ⁄2a) para a > 0. 
 
3-(CESPE) 
 
 
Considerando as tabelas acima, que apresentam, 
respectivamente, o peso e a estatura da criança A, desde o 
nascimento (0 ano) até o 3.o ano de vida, bem como o peso da 
criança B, desde o nascimento (0 ano) até o 2.º ano de vida, 
julgue os itens a seguir. 
 
Considere que, no plano cartesiano xOy, a variável x seja o 
tempo, em anos, e a variável y seja a altura, em centímetros. 
Considere, ainda, que exista uma função quadrática y = f(x) 
= ax2 + bx + c, cujo gráfico passa pelos pontos (x, y) 
correspondentes às alturas no nascimento no 1.º, 2.º e 3.º 
anos de vida da criança A. Em face dessas informações,é 
correto afirmar que |
𝑏
𝑎
| < 10. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
4- (CESGRANRIO) Considere a função quadrática f: R → R, 
cujo gráfico é mostrado a seguir. 
 
 
 
Para se obterem os zeros da função acima, basta resolver-
se a equação do segundo grau 
 
a) x2 - 2x + 6 = 0 
b) − 
𝑥2
4
+ 𝑥 + 3 = 0 
c) −𝑥2 +
3
2
𝑥 + 3 = 0 
d) -x2 + 2x - 6 = 0 
e) -2x2 + 3x + 6 = 0 
 
5-(FUNDATEC) A trajetória de uma bola, em um chute a gol, 
pode ser descrita por uma função quadrática. Supondo que 
sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada 
por h = - t² + 4t, temos que a altura máxima atingida pela 
bola é: 
 
a) 4m. 
b) 2m. 
c) 3m. 
d) 2,5m. 
e) 1,5m. 
 
6- (CESGRANRIO) A raiz da função f(x) = 2x - 8 é também 
raiz da função quadrática g(x) = ax2 + bx + c. 
 
Se o vértice da parábola, gráfico da função g(x), é o ponto 
V(-1, -25), a soma a + b + c é igual a 
 
a) - 25 
b) - 24 
c) - 23 
d) - 22 
e)- 21 
 
7- (CESPE) O modelo de regressão quadrática Y=a+bX+cX2+𝜀 deve 
ser ajustado aos dados da seguinte tabela. 
 
 
 
Nesse caso, é correto afirmar que as equações normais são 
dadas por 
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14 
 
em que n representa o tamanho da amostra. 
 
( ) Certo ( )Errado 
 
8- (FCC) Uma indústria fabrica determinada peça e consegue 
vender todas as unidades produzidas. Um modelo foi 
elaborado para estimar o lucro (y), em R$ 1.000,00, em 
função da quantidade de peças produzidas (x), sendo o 
modelo uma função quadrática tal que y = -0,25x2 + 20x. 
Conforme o modelo, existe uma quantidade produzida xm 
tal que o lucro atinge o seu valor máximo. O valor deste lucro 
máximo é igual a 
 
a) R$ 200.000,00 
b) R$ 400.000,00 
c) R$ 600.000,00 
d) R$ 800.000,00 
e) R$ 900.000,00 
 
9- (FCC) O lucro total anual (y), em unidades monetárias, de 
uma empresa fabricante de um produto é descrito por uma função 
quadrática y = ax2+ bx + c, sendo x o número de unidades 
produzidas e vendidas do produto no respectivo período (a, b e c 
são os parâmetros da função quadrática). Sabe-se que a curva 
correspondente passa pelos pontos (0, -100), (16, 60) e (20, 90). 
O valor do lucro total anual máximo, em unidades monetárias, 
atingido pela empresa é de 
 
a) 128. 
b) 146. 
c) 188. 
d) 196. 
e) 216. 
 
10- (CESPE) 
 
 
A figura acima mostra uma criança em um carrinho que se move 
com velocidade constante Vox, em um plano horizontal. Durante 
o movimento do carrinho, a criança joga uma bola para cima com 
velocidade inicial igual a Voy’ No referencial da criança, a origem 
do sistema de eixos coordenados está fixa ao carrinho. Para o 
observador externo, a origem dos sistemas de eixos coordenados 
é identificada por 0 na figura e está fixo ao solo. Desprezando o 
atrito com o ar e considerando a aceleração da gravidade igual a 
g, julgue os itens de 03 a 08, acerca da situação apresentada. 
 
Do ponto de vista de um observador externo, considerando- 
se um referencial fixo ao solo, é correto afirmar que a bola 
descreve um movimento parabólico de subida e descida, 
descrito por uma função quadrática genérica do tipo y(x) = a 
+ bx + cx2 , em que a, b, c pertencem ao conjunto dos 
números reais. 
 
( )Certo ( )Errado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1A 2C 3E 4B 5A 6E 7C 8B 9C 10C 
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15 
Função Modular 
Capítulo 5 
Função Modular 
 
Definição 
 
Algumas funções são de uma forma que y é uma função de x, definida por mais de uma sentença. Usa-se uma sentença ou outra 
dependendo do intervalo em que o valor de x se enquadra. 
 
PRÁTICA 
P1) Construa o gráfico das seguintes funções reais: 
a) y = f(x) = 1, se x < 0 
 x + 1, se x ≥ 0 
b) y = g(x) = 1 – x, se x ≤ 1 
 2, se 1 < x ≤ 2 
 x² - 2, se x > 2 
 
 
Módulo de um número 
 
Dado um número real x, chama-se módulo ou valor absoluto de x, e se indica com |x|, o número real não negativo tal que: 
 
|x| = x, se x ≥ 0 OU |x| = -x, se x < 0 
 
Isso significa que: 
 
I - O módulo de um número não negativo é igual ao próprio número; 
II - O módulo de um número real negativo é igual ao oposto desse número; 
III – O módulo de um número real qualquer é sempre maior ou igual a zero: |x| ≥ 0; ∀ x 
 
PRÁTICA 
P2) Determine o valor aproximado de |3 – 𝜋|. 
P3) Simplifique a fração E = 
|𝑥−1|
𝑥−1
. 
 
 
Função modular 
 
Chama-se função modular a função f de R em R dada pela lei f(x) = |x| utilizando o conceito de módulo: 
 
f(x) = x, se x ≥ 0 
 -x, se x < 0 
 
PRÁTICA 
P4) Construa o gráfico da função modular e determine sua imagem. 
 
 
Funções compostas com a modular 
 
PRÁTICA 
P5) Construa o gráfico das seguintes funções reais. 
a) f(x) = |x² - 4| 
b) h(x) = |x| -1 
c) g(x) = |2x -1| + x – 2 
d) f(x) = |x² - 1| - 2 
 
 
Equações modulares 
 
De modo geral, sendo k um número positivo, temos: 
 
|x| = k => x = k ou x = -k 
 
PRÁTICA 
P6) Resolva em R: 
a) |3x -1| = 2 
b) |2x – 1| = |x + 3| 
c) |2x + 3| = x + 2 
d) |x|³ - 7|x|² + 6 |x| = 0 
e) 2 |x – 1|² - 3 |x – 1| - 2 = 0 
 
 
Inequações modulares 
 
De modo geral, sendo k um número real positivo, temos: 
 
|x| < k => -k < x < k 
|x| > k => x < - k ou x > k 
 
PRÁTICA 
P7) Resolva em R: 
a) |x – 1| < 4 
b) |2x – 3| > 7 
c) |2x – 1| ≥ x + 1 
d) 1 < |x – 1| ≤ 3 
e) |x² - 3x – 4| ≤ 6 
P8) Determine o domínio da função real definida por f(x) = 
|𝑥−3|
√1−|𝑥|
. 
 
 
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16 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
 
1- Dada a função real modular f(x) = 8 + (|4k – 3| – 7) x, em 
que k é real. Todos os valores de k para que a função dada seja 
decrescente pertencem ao conjunto 
 
a) k > 2,5 d) –1 < k < 2,5 
b) k < –1 e) k < –1 ou k > 2,5 
c) –2,5 < k < -1 
 
2- (UFSC) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a 
soma dos itens corretos. 
Considere a função f : IR → IR dada por f(x)=|2x+5|. 
Determine a soma dos números associados às proposições CORRETAS. 
 
01. f é injetora. 
02. O valor mínimo assumido por f é zero. 
04. O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0,5). 
08. O gráfico de f é uma reta. 
16. f é uma função par. 
 
Soma ( ) 
 
3- (UFBA) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses 
a soma dos itens corretos. 
 
Considerando-se a função real f(x)=x2 - 3|x|, é verdade: 
 
 
(01) A imagem da função f é [-3, +∞[. 
(02) A função f é bijetora, se x∈]- ∞, -2] e f(x) ∈ [-2,+ ∞ [. 
(04) A função f é crescente, para todo x ≥ 0. 
(08) O gráfico da função f intercepta os eixos coordenados em 
três pontos. 
(16) Para todo x∈{-1, 4}, tem-se f(x) = 4. 
(32) O gráfico da função f é 
 
Soma ( ) 
 
4-. (UFPE) Na figura a seguir temos o gráfico de uma função f(x) 
definida no intervalo fechado [-4, 4]. Com respeito à função 
g(x)=f(|x|) é incorreto afirmar: 
 
 
 
a) O ponto (-4, -2) pertence ao gráfico de g. 
b) O gráfico de g é simétrico com relação ao eixo 0y das ordenadas. 
c) g(x) se anula para x igual a -3, -1, 1 e 3. 
d) g(-x) = g(x) para todo x no intervalo [-4, 4]. 
e) g(x) ≥ 0 para todo x no intervalo [-4, 4]. 
 
5- (UFRS) Identifique os gráficos que correspondem a y=logx e 
y=|logx|, nesta ordem. 
 
a) I e II b) I e III c) I e IV d) II e III e) V e IV 
 
 
6- (UFF) Considere o sistema {
𝑦 > |𝑥|
𝑦 ≤ 2
 
A região do plano que melhor representa a solução do sistema é: 
 
 
7- (FUVEST) O módulo | x | de um número real x é definido por 
| x | = x, se x ≥ 0, e | x | = - x, se x < 0. 
 
Das alternativas a seguir, a que melhor representa o gráfico da 
função f(x)=x.|x|-2x+2 é: 
 
 
 
8- (MACKENZIE) Na figura 1, temos o esboço do gráfico de uma 
função f, de IR em IR. O melhor esboço gráfico da função 
g(x)=f(|x|) é: 
 
 
9- (UFES) 
 
 
O gráfico acima representa a função 
 
a) f(x) = | | x | - 1| 
b) f(x) = |x - 1| + |x + 1| - 2 
c) f(x) = | | x | + 2| - 3 
d) f(x) = |x - 1| 
e) f(x) = | | x | + 1| - 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1D 2(02+04=06) 3(32) 4E 5C6B 7E 8E 9A 
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17 
Funções Exponenciais 
Capítulo 6 
Gráficos, Domínio, Imagem, Características das Funções Exponenciais, Equações e Inequações Exponenciais. 
 
Potenciação 
 
Dados um número real a e um número natural n, com n ≥ 2, a potência de base a e expoente n é indicada por 𝑎𝑛 e é o produto de 
n fatores iguais a a: 
 
an: = a∙a∙a∙...∙a 
 
n fatores 
 
 Se n = 1, temos a¹ = a 
 Se n = 0, definimos a0 = 1 
 
Propriedades das potências 
 
Propriedades das potências de expoente natural (com a e b reais e m e n naturais não-nulos): 
 
 am∙an = am+n 
 
𝑎𝑚
𝑎𝑛
 = am-n (a≠0 e m>n) 
 (a∙b)m = am∙bm 
 (
𝑎
𝑏
)
𝑚
= 
𝑎𝑚
𝑏𝑚
(𝑏 ≠ 0) 
 (am) n = am∙n 
 
O inverso de an é a-n = 
1
𝑎𝑛
, com (a≠0) 
 
PRÁTICA 
P1) Calcule o valor de: 
a) y = [3−1 − (−3)−1]-1 
b) m = [
2−1−(−2)−1
(
1
2
)
−1 ]
−2
 
P2) Simplifique a expressão 
2𝑛+4+2𝑛+2+2𝑛−1
2𝑛−1+2𝑛+1
 
 
 
Raiz n-ésima (enésima) aritmética 
 
A raiz enésima de a, um número real não-negativo, é definida como o número b, real e não-negativo, tal que bn=a, em que n é 
natural e n ≥ 1, e escreve-se: 
 
√𝑎
𝑛
 = b  bn =a e b≥0 
 
O símbolo √ é conhecido por radical, a é o radicando e n é o índice. 
 
Propriedades da radiciação 
 
Propriedades da raiz enésima de a (com a e b reais, m inteiro, n e p naturais e não-nulos): 
 
 √𝑎 ∙ b
𝑛
 = √𝑎
𝑛
 ∙ √𝑏
𝑛
 
 √
𝑎
𝑏
𝑛
 = 
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 (b≠0) 
 ( √𝑎
𝑛
)
𝑚
 = √𝑎𝑚
𝑛
 
 √ √𝑎
𝑝𝑛
 = √𝑎
𝑛∙p
 
 √𝑎𝑚∙p
𝑛∙p
 = √𝑎𝑚
𝑛
 
 
Dados um número real positivo a e um número racional 
𝑝
𝑞
 (em que p, q 𝜖 Z e q ≥ 2), definimos: 𝑎
𝑝
𝑞 = √𝑎𝑝
𝑎
 
 
PRÁTICA 
P3) Calcule o valor de √25 − 16
2
 + √0
16
 - √27
3
 
P4) Simplifique 
√16
3 + √54
3
√125
3 
P5) Efetue √√12
2
+ 2
3
∙ √√12
2
− 2
3
 
P6) Simplifique √𝑥 √𝑥√𝑥
34
2
 
P7) Efetue 10000,6 
 
 
A Função Exponencial 
 
Uma função f: R → 𝑅+
∗ é chamada de função exponencial quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(𝑥) = ax, 
para todo x ≠ R. 
 
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18 
Gráfico da função exponencial f(x) = ax: 
 
Função crescente (a>1) 
 
Função decrescente (0 < a < 1) 
 
 
B I Z U 
O número de Euler (e). 
 O número e é um número irracional utilizado em diversas aplicações de diferentes áreas do 
conhecimento. 
 O valor de e = 2,7182818284... é obtido fazendo-se n tender ao infinito na expressão (1 + 
1
𝑛
)
𝑛
. 
 
Propriedades: 
 
I. O gráfico de qualquer função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1. 
II. Se a>1, então a função f(𝑥)= ax é crescente. Portanto , dados os reais 𝑥1 < 𝑥2 temos: 
Se 𝑥1 < 𝑥2 então 𝑎
𝑥1 < 𝑎𝑥2 
 
Sinais iguais 
III. Se 0 < a < 1, então a função f(𝑥) = ax é decrescente. Portanto, dados os reais 𝑥1 e 𝑥2, temos: 
Se 𝑥1 < 𝑥2 então 𝑎
𝑥1 > 𝑎𝑥2 
 
Sinais diferentes 
IV. Para todo a > 0 e a ≠ 1, temos: 
Se 𝑎𝑥1 = 𝑎𝑥2 , então 𝑥1 = 𝑥2 
V. O conjunto imagem da função exponencial y= ax é Im = {y ∈ R / y >0} = 𝑅+
∗ 
 
PRÁTICA 
 
P8) Construa o gráfico das seguintes funções reais. 
a) f(𝑥) = (
1
3
)
𝑥
 
b) f(𝑥) = 2x - 3 
c) f(𝑥) = 2∙2x + 1 
d) A função dada por y = 4∙(m-2)x é crescente. Determine m. 
 
 
Equações exponenciais 
 
Equações que têm a incógnita no expoente são denominadas equações exponenciais. 
 
PRÁTICA 
 
P9) Resolva, em R, as seguintes equações 
a) 8x = 32 
b) (√2
6
)
𝑥
 = 0,5 
c) (3𝑥)𝑥+1 = 729 
d) 22𝑥+1 ∙ 43𝑥+1 = 8𝑥−1 
e) 83𝑥 = √32𝑥
3
 ÷ 4𝑥−1 
f) 3𝑥−1 - 3x + 3x+1 + 3x+2 = 306 
g) 4x + 6x = 2∙9x 
 
 
Inequações exponenciais 
 
Quando a>1, a relação de desigualdade entre as potências se mantém entre os expoentes: 
𝑎𝑥2 > 𝑎𝑥1 → 𝑥2 > 𝑥1 
 
Sinal mantido 
 
Quando 0 < a < 1, a relação de desigualdade entre as potências se inverte entre os expoentes: 
𝑎𝑥2 > 𝑎𝑥1 → 𝑥2 < 𝑥1 
 
Sinal invertido 
PRÁTICA 
 
P10) Resolva, em R, as seguintes inequações em R: 
a) 2x > 64 
b) (
1
3
)
𝑥
 ≤ 27 
c) (√2
2
)
𝑥
 ≥ 4√2
2
 
d) (0,56)2𝑥+3 > 1 
e) (2𝑥)𝑥+1 ≤ 64 
f) (
1
3𝑥
) ∙ 91+2𝑥−𝑥
2
 ≥ (
1
27
)
𝑥−1
 
g) 52𝑥+2 - 5𝑥+3 > 5𝑥 - 5 
h) 7𝑥 - 6 ≥ 71−𝑥 
i) 𝑒2x - 𝑒𝑥+1 - 𝑒𝑥 + e < 0 
 
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19 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
1- (FUMARC) Com o objetivo de diversificar sua renda, um 
produtor rural decidiu construir um tanque para criar tilápias. 
Colocou, inicialmente, 1.000 tilápias e, descuidadamente, deixou 
cair também 8 piabas. Suponha que o aumento das populações 
de piabas e tilápias ocorre segundo as leis P(t)=P010t e 
T(t)=T20/font>2t, respectivamente, em que P0 é a população inicial 
de piabas, T0 é a população inicial de tilápias e t o número de anos 
contados a partir do ano inicial. O tempo, em anos, em que o 
número de piabas será igual ao número de tilápias é 
 
a) 3 b) 6 c) 12 d) 18 
 
2- (CESPE) Tendo em vista que, em determinado mês de 31 
dias, a precipitação pluvial média diária em uma localidade é 
representada, em mm, pela função 𝑃(𝑡) = 25𝑒 −(𝑡−16)
2 , para t de 
1 a 31, julgue os itens subsequentes. 
 
A precipitação pluvial média não excedeu 30 mm nesse mês. 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
3- (CESPE) Em um sítio arqueológico, foram encontrados ossos 
de animais e um perito foi incumbido de fazer a datação das 
ossadas. Sabe-se que a quantidade de carbono 14, após a morte 
do animal, varia segundo a lei Q(t)=Q(0) e-0,00012t, em que e é 
a base do logaritmo natural, Q(0) é a quantidade de carbono 14 
existente no corpo do animal no instante da morte e Q(t) é a 
quantidade de carbono 14 t anos depois da morte. Com base 
nessas informações e considerando -2,4 e 0,05 como valores 
aproximados de ln (0,09) e e-3, respectivamente, julgue os itens 
que se seguem. 
 
Suponha que, ao examinar uma ossada, o perito tenha verificado 
que o animal morreu há 25.000 anos. Nesse caso, a quantidade de 
carbono 14 existente nessa ossada, no instante do exame, era 
superior a 4% da quantidade no instante da morte. 
 
( ) Certo ( )Errado 
 
4- (CESPE) Suponha que quatro cliente – B3,B4,B5 e B6 -, pertencentes 
às categorias descritas nas respectivas células (de B3 a B6) da tabela 
da figura do texto V, tomem emprestado R$6.000,00, R$2.000,00, 
R$1.000,00 e R$2.000,00, respectivamente de acordo com as taxas 
de juros para pessoas físicas apresentadas. 
 
A figura abaixo representa os gráficos das funções f3(x) = 6.000 x 
(1,0205)x, f4(x) = 2.000 x (1,072)x, f5(x) = 1.000 x (1,079)x, f6(x) = 
2.000 x (1,083)x. 
 
Células (de B3 a B6) da tabela da figura do texto V : 
 
Com base nessas informações, julgue os seguintes itens. 
A função dada por g(x) = f4(x) / f5(x) é decrescente. 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
5- (CESPE) Considere que o tamanho da população mundial 
feminina possa ser expresso, em bilhões de habitantes, pela 
função P(T)=6(1 – e-0,02T) + 3, em que T=0 representa o ano de 
2008, T=1, o ano de 2009, e assim por diante. Com base nesse 
modelo, julgue o item. 
 
Tomando 1,7 como valor aproximado para ℓn 6, é correto afirmar 
que em 2093 a população mundial feminina será igual a 8 bilhões 
de habitantes 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
6- (CESPE) Considerando o texto da questão acima julgue o item. 
 
Considerando que o tamanho da população masculina mundial 
seja sempre inferior ao da feminina, tem-se que a população 
mundial será sempre inferior a 18 bilhões de habitantes. 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
7- (CESPE) Segundo o texto, os cortes nas propostas 
orçamentárias apresentadas em 2004, 2005 e 2006 pelo DECEA 
ocorreram em dois momentos: no orçamento e na liberação 
efetiva do dinheiro. Suponha que esses cortes foram, em cada 
um desses momentos e a cada ano, respectivamente, de 20% da 
proposta orçamentária e de 15% na liberação efetiva do dinheiro. 
Considere, ainda, que a proposta orçamentária de determinado 
ano coincida com o valor total realmente liberado no ano anterior, 
e que, em 2003, o valor liberado foi de X reais. Tendo emvista 
essas informações, julgue os seguintes itens. 
O gráfico mostrado abaixo representa corretamente o histórico 
das liberações, de acordo com as informações apresentadas. 
 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
8- A Lei do Resfriamento de Newton estabelece que a temperatura 
T de um objeto, colocado há t minutos em um ambiente com 
temperatura constante Ta, é dada por T = Ta+C.ekt, onde C e k 
são constantes, e as temperaturas T e Ta são medidas em graus 
Celsius. Considere que um objeto, cuja temperatura inicial é de 
24o C, é colocado em um ambiente de temperatura constante de 
18o que, após 15 minutos, a temperatura do objeto é de 21oC. A 
temperatura desse objeto 30 minutos após ter sido colocado no 
citado ambiente é, em graus Celsius, de 
 
a) 18,0 b) 18,5 c) 18,7 d) 19,0 e) 19,5 
 
9- A quantidade de números inteiros impares que pertencem ao 
intervalo que satisfaz a inequação exponencial (
1
2
)
𝑥2−8𝑥+5
> 4 é de 
 
a) um número impar. 
b) dois números impares. 
c) três números impares. 
d) quatro números impares. 
e) cinco números impares. 
 
10- (ESAF) Considere a função real de variável real f(t)=e 𝜆𝑡, 
onde 𝜆 > 0, e a função real de variável real g(t)=(1+ 𝑟)t, 𝑟 > 0. 
Fazendo f(t)=g(t), qual a relação decorrente entre 𝑟 e 𝜆 
 
a) 𝑟 = 𝜆/4 
b) 𝑟 = √𝜆 
c) 𝑟 = 𝜆 
d) 𝑟 = log 𝜆 
e) 𝑟 = e 𝜆-1 
 
GABARITO 
1A 2C 3C 4C 5C 6C 7C 8E 9B 10E 
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20 
Função Logarítmica 
Capítulo 7 
Noções Fundamentais de Funções Logarítmicas. Definições de Logaritmo. Propriedades Operatórias. Gráficos, Domínio, 
Imagem e Características da Função Logarítmica. Equações e Inequações Logarítmicas. 
 
Definição 
 
Considere o seguinte questionamento: “A que número x se deve elevar o número 2 pra se obter 8?” 
 
Matematicamente, temos: 2x = 8. Para resolvermos esta situação, utilizamos o artifício da equação exponencial. 
 
2x = 8 → 2x = 2³ → x=3. 
 
Esse valor 3 denomina-se logaritmo do número 8 na base 2 e é representado por 𝑙𝑜𝑔2 8 = 3. 
 
Daí, podemos definir que: 
 
Dados os números reais positivos a e b, com a ≠ 1, se b = 𝑎𝑐, então o expoente c chama-se logaritmo de b na base a, então o 
expoente c chama-se logaritmo de b na base a, ou seja, 𝑙𝑜𝑔𝑎 b = c  a
c = b. 
 
Na expressão, 𝑙𝑜𝑔𝑎 b = c, temos que: 
 
 a é a base do logaritmo. 
 b é o logaritmando. 
 c é o logaritmo. 
 
Exemplos: 
 𝑙𝑜𝑔3 81 = 4  3
4 = 81 
 𝑙𝑜𝑔8 1 = 0  8
0 = 1 
 𝑙𝑜𝑔2 128 = 7  2
7 = 128 
 
PRÁTICA 
P1) calcule o valor de 𝑙𝑜𝑔16 0,25. 
P2) calcule o valor do número real A sabendo que: A= 𝑙𝑜𝑔10 0,001 + 𝑙𝑜𝑔2 
1
16
. 
 
 
Condição de existência 𝒍𝒐𝒈𝒂 b = c. 
 
A existência desse logaritmo depende das seguintes condições: 
 
 b deve ser um número positivo (b>0) 
 a deve ser um número positivo e diferente de 1. (a>0 e a ≠ 1). 
 
PRÁTICA 
 
P3) Determine os valores reais de x para os quais existe 𝑙𝑜𝑔2 (x-3). 
P4) Determine o conjunto dos valores reais de x para os quais existe 𝑙𝑜𝑔(𝑥−2) (𝑥
2 − 4𝑥 − 5). 
 
 
B I Z U 
 
O sistema de logaritmos mais usuais é o sistema de logaritmos decimais, que é de base 10. Daí, a omissão da base 
de um logaritmo indica que ele é de base 10. Exemplo: 𝑙𝑜𝑔1012 = 𝑙𝑜𝑔 12. 
 
Consequência da definição 
 
1° O logaritmo de 1, em qualquer base, é igual a zero. 
 𝑙𝑜𝑔𝑎 1 = 0, pois 𝑎
0 = 1, qualquer que seja a>0 e a ≠ 1. 
2° O logaritmo da base, qualquer que seja, é igual a 1. 
 𝑙𝑜𝑔𝑎 a = 1, pois a¹ = a, para todo a>0 e a ≠ 1. 
3° A potência de base a e expoente 𝑙𝑜𝑔𝑎 b é igual b. 
 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 b = b. Justificativa: 𝑙𝑜𝑔𝑎 b = x  𝑎
𝑥 = b. 
 Substituindo x na última igualdade: 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 b = b 
4° Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais. 
 𝑙𝑜𝑔𝑎 x = 𝑙𝑜𝑔𝑎 y  x=y 
 
PRÁTICA 
P5) Calcule o valor de 2𝑙𝑜𝑔5 10 .𝑙𝑜𝑔25 . 
P6) Calcule o valor de x tal que 𝑙𝑜𝑔10(x-2) = 𝑙𝑜𝑔109 
P7) Qual é o valor de 81+𝑙𝑜𝑔23 ? 
 
 
Propriedades operatórias dos logaritmos 
 
1° Propriedade: logaritmo de um produto. 
 
Sejam 0<a≠1 , b > 0 e c>0. 
𝑙𝑜𝑔𝑎 (b.c) = 𝑙𝑜𝑔𝑎b + 𝑙𝑜𝑔𝑎 c 
 
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21 
Exemplo: 
𝑙𝑜𝑔518 = 𝑙𝑜𝑔5(2.9) = 𝑙𝑜𝑔52 + 𝑙𝑜𝑔59 
𝑙𝑜𝑔2(4.8) = 𝑙𝑜𝑔24 + 𝑙𝑜𝑔28 = 2 + 3 = 5 
 
B I Z U 
 
Numa mesma base, o logaritmo do produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos de 
cada um desses números. 
 
 
2° Propriedade: logaritmo de um quociente. 
 
Sejam 0<a ≠ 1 , b> 0 , c>0 
 
Exemplos: 
𝑙𝑜𝑔3 (
9
3
) = 𝑙𝑜𝑔3 9 - 𝑙𝑜𝑔3 3 = 2-1 = 1. 
𝑙𝑜𝑔2 (
16
4
) = 𝑙𝑜𝑔2 16 - 𝑙𝑜𝑔2 4 = 4 - 2 = 2 
 
B I Z U 
 
Numa mesma base, o logaritmo do quociente de dois números positivos é igual à diferença entre os 
logaritmos desses números. 
 
3° Propriedade: logaritmo de uma potência. 
 
Sejam 0<a ≠ 1, b > 0 e r ∈ R. 
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
𝑟 = r ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎b . 
 
Exemplos: 
𝑙𝑜𝑔9 9
3 = 3 𝑙𝑜𝑔9 9 = 3 ∙ 1 = 3 
𝑙𝑜𝑔5 √3
2
 = 𝑙𝑜𝑔5 3
1
2 = 
1
2
 ∙ 𝑙𝑜𝑔53 
 
B I Z U 
 
Numa mesma base, o logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo 
logaritmo da base da potência. 
 
4° Propriedade: mudança de base. 
 
Sejam 0 < a ≠ 1 , 0<c ≠ 1 e b > 0. 
 
Para escrever o 𝑙𝑜𝑔𝑎 b usando logaritmos na base c, realizamos a mudança de base: 
 
𝑙𝑜𝑔𝑎 b = 
𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎
 . 
 
Exemplos: 
𝑙𝑜𝑔75 = 
𝑙𝑜𝑔25
𝑙𝑜𝑔27
 (mudança para base 2) 
𝑙𝑜𝑔525 = 
𝑙𝑜𝑔2525
𝑙𝑜𝑔255
 = 
1
1
2
 = 2. 
 
PRÁTICA 
 
P8) Calcule o valor de 𝑙𝑜𝑔𝑏 
𝑥2
√𝑦
3 , sabendo que 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥 = -2 e 𝑙𝑜𝑔𝑏y = 3 
P9) Sendo log8 = a e 𝑙𝑜𝑔3 = b , calcule 𝑙𝑜𝑔2 e log √18
3
 em função de a e b. 
P10) Sendo 𝑙𝑜𝑔𝑎2 = 20 e 𝑙𝑜𝑔𝑎5 = 30, calcule o valor de 𝑙𝑜𝑔𝑎100. 
P11) Calcule o valor de 𝑙𝑜𝑔10072, sabendo que 𝑙𝑜𝑔102 = a e 𝑙𝑜𝑔103 = b 
 
 
Função logarítmica. 
 
Definição. 
 
Dado um número real a (0<a ≠ 1), chama-se função logarítmica de base a função f: 𝑅+
∗ → R tal que f(x) = 𝑙𝑜𝑔𝑎x. 
 
Exemplos: 
 f(x) = 𝑙𝑜𝑔2x, g(x) = 𝑙𝑜𝑔10x, h(x) =2 + 𝑙𝑜𝑔2x. 
 O domínio de uma função logarítmica são os reais positivos. 
 A imagem de uma função logarítmica são os reais. 
 
PRÁTICA 
 
P12) Descubra o domínio da função f(x) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥−1)(3-x). 
P13) Determine o domínio da função f(x) = 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥
2 + 𝑥 − 12). 
 
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22 
Gráfico 
 
Seja f(x) = 𝑙𝑜𝑔𝑎x com 0 < a ≠ 1, x > 0. 
 
Para criarmos o gráfico da função logarítmica, temos que levar em consideração duas hipóteses: 
 
 Se a base é maior do que 1 (a > 1), então a função é crescente. 
 
f(x) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 x 
Y = 𝑙𝑜𝑔𝑎 x 
D = 𝑅+
∗ 
Im = R 
 
 
y 
 
 
 
 
 
 
 
x 
1 
 
Análise do gráfico 
 
 A função assume valores positivos (f(x) > 0) quando x > 1. 
 A função assume valores negativos (f(x) < 0) quando 0 < x < 1. 
 A função é nula (f(x) = 0) quando x=1. 
 
Se a base está entre 0 e 1 (0 < a < 1), então a função é decrescente. 
 
f(x) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 x D = 𝑅+
∗ 
y = 𝑙𝑜𝑔𝑎 x Im = R 
 
 
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
 
1 
 
 
Análise do gráfico 
 
 A função assume valores positivos (f(x) > 0 quando 0 < x < 1. 
 A função assume valores negativos (f(x) < 0) quando x > 1. 
 A função é nula (f(x) = 0) quando x = 1. 
 
B I Z U 
 
De modo feral, o gráfico da função y= 𝑙𝑜𝑔𝑎 x tem as seguintes características: 
 Está todo a direita do eixo y. 
 Corta o eixo x no ponto (1,0). 
 
PRÁTICA 
 
P14) Construa o gráfico das seguintes funções: 
a) f(x) = 𝑙𝑜𝑔3x 
b) f(x) = 𝑙𝑜𝑔1
3
 x 
 
 
Equações logarítmicas 
 
Equações logarítmicas são aquelas que envolvem igualdade e variável a qual está envolvida no logaritmando ou na base do logaritmo. 
 
Vamos ver como são resolvidos os quatro tipos de equações logarítmicas. Suponha 0 < a ≠ 1. 
 
1° Equações redutíveis a uma igualdade entre dois logaritmos de mesma base: 
𝑙𝑜𝑔𝑎 f(x) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 g(x) → f(x) = g(x). 
 
Deve-se verificar a condição de existênciade f(x) e g(x), ou seja, f(x) > 0 e g(x) > 0. 
 
2° Equações redutíveis a uma igualdade entre um logaritmo e um número. 
𝑙𝑜𝑔𝑎 f(x) = r → 𝑎
𝑟 = f(x) 
 
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23 
Deve-se verificar a condição de existência de f(x), ou seja, f(x) > 0 
 
3° Equações que são resolvidas por meio de mudança de incógnita. 
 
Exemplo: 
Vamos resolver a equação (𝑙𝑜𝑔3𝑥)
2 - 2𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 3. 
 
Faça 𝑙𝑜𝑔3𝑥 = y 
 
y² - 2y = 3 
y² - 2y – 3 = 0 Condição de existência 
∆ = (-2)² - 4∙1∙(-3) = 16 x > 0 
 
𝑦1 = 3 
Y = 
2 ±4
2
 
𝑦2 = -1 
 
Para y = 3, temos: 𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 3 → 3³ = x → x = 27 
Para y = -1, temos: 𝑙𝑜𝑔3𝑥 = -1 → 3
−1 = x → x = 
1
3
 
 
Os valores obtidos para x estão dentro da condição de existência do logaritmo inicial. Portanto, 
 
S = { 27 , 
1
3
 } 
 
4° Equações que envolvem utilização de propriedades ou de mudança de base. 
 
Exemplo: 
Vamos resolver a equação 
𝑙𝑜𝑔33𝑥
𝑙𝑜𝑔3𝑥²
 = 2 
 
Condição de existência 
 
x > 0 e x ≠ 1 
 
𝑙𝑜𝑔33+ 𝑙𝑜𝑔3𝑥
2∙𝑙𝑜𝑔3𝑥
 = 2 
 
1 + 𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 2∙2∙𝑙𝑜𝑔3𝑥 
 
1 = 4∙𝑙𝑜𝑔3𝑥 - 𝑙𝑜𝑔3𝑥 
 
3∙ 𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 1 
3 ∙ 𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 1 
 
𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 
1
3
  3
1
3 = x → x √3¹
3
 
 
S = {√3
3
} 
 
PRÁTICA 
 
P15) Resolva a equação 𝑙𝑜𝑔3(3 – x) = 𝑙𝑜𝑔3(3x + 7) 
P16) Resolva a equação 𝑙𝑜𝑔2(2x – 5) = 𝑙𝑜𝑔23 
P17) Resolva a equação 𝑙𝑜𝑔5(2x – 3) = 2 
P18) Resolva a equação = 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥
2 + 𝑥 − 4) = 3 
P19) Resolva a equação 𝑙𝑜𝑔²(x + 1) – 𝑙𝑜𝑔(x + 1) = 0 
P20) 𝑙𝑜𝑔5𝑥 - 2∙𝑙𝑜𝑔𝑥5 = -1 
 
 
Inequações logarítmicas 
 
Inequações logarítmicas são aquelas que envolvem uma desigualdade (>, <, ≥, ≤) e variável a qual está envolvida no logaritmo 
ou na base logaritmo. 
 
Veremos, a seguir, duas propriedades importantes que são úteis na resolução de uma inequação logarítmica, a partir do gráfico da 
função y = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 
 
O sentido da desigualdade se conserva. O sentido da desigualdade se inverte. 
 
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24 
Agora, vamos ver como são resolvidos os três tipos de inequações logarítmicas: 
 
1° Inequações redutíveis a uma desigualdade entre logaritmos de mesma base. 
 
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) < 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑔(𝑥) 
 
Aqui, há dois casos a considerar: 
 
 Se a > 1 → f(x) < g(x) e f(x) > 0 e g(x) > 0 
 Se 0 < a < 1 → f(x) > g(x) e f(x) > 0 e g(x) > 0 
 
2° Inequações redutíveis a uma desigualdade entre um logaritmo e um número real. 
 
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓(𝑥) > 𝑟  𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓(𝑥) > 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎
𝑟 
 
Aqui, há dois casos a considerar: 
 
 Se a > 1 → f(x) > 𝑎𝑟 e f(x) > 0 
 Se 0 < a < 1 → f(x) > 𝑎𝑟 e f(x) > 0 
3° Inequações que são resolvidas por meio de uma mudança de incógnita. 
 
Exemplo: 
Vamos resolver a inequação 2∙(𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥)² - 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 > 6 
Condição de existência. 
 
x > 0 
 
Faça 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 = 𝑦 
 
2𝑦² − 𝑦 > 6 ⟹ 2𝑦² − 𝑦 − 6 > 0 ⟹ 2𝑦² − 𝑦 − 6 = 0 
∆ = (−1)2 − 4 ∙ 2 ∙ (−6) ⟹ ∆ = 49 
 
 𝑦1 = 2 
𝑦 = 
1 ±7
4
 
𝑦2 = −
3
2
 
 
+ + 
 
 
 
−3
2
 - 
2𝑦² − 𝑦 − 6 > 0 → 𝑦 < −
3
2
 𝑜𝑢 𝑦 > 2 
 
Mas, 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 
𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 < −
3
2
 
𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 < 𝑙𝑜𝑔1
2
 (
1
2
)
−
3
2
 
𝑥 > (
1
2
)
−
3
2
 
𝑥 > √8
2
 
𝑥 > 2√2
2
 
Mas, 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 
𝑙𝑜𝑔1
2
> 2 
𝑙𝑜𝑔1
2
> 𝑙𝑜𝑔1
2
(
1
2
)
2
 
𝑥 < (
1
2
)
2
 
𝑥 < 
1
4
 
 
As soluções devem estar de acordo com a condição de existência. 
 
x> 
 
x> 0 
 
x<
1
4
 
 
0 
 
S = {𝑥 ∈ 𝑅 / 0 < 𝑥 <
1
4
 𝑜𝑢 𝑥 > 2√2
2
} 
 
B I Z U 
 
Verifique que 
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥² ≠ (𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥)² 
 
PRÁTICA 
 
P21) Resolva a inequação 𝑙𝑜𝑔3(2𝑥 − 5) < 𝑙𝑜𝑔3𝑥 
P22) Resolva a inequação 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥² < 𝑙𝑜𝑔1
2
(𝑥 + 2) 
P23) Resolva a inequação 𝑙𝑜𝑔2(2𝑥 − 1) < 4 
 
 
Sistema de equações logarítmicas 
 
De modo geral, o sistema de equações é resolvido aplicando-se as propriedades operatórias dos logaritmos. 
 
2√2 
 
2√2 
 
1
4
 
 
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25 
Exemplo: 
Vamos resolver o sistema de equações 
 
𝑙𝑜𝑔10𝑥 - 𝑙𝑜𝑔10𝑦 = 𝑙𝑜𝑔102 
4𝑥−𝑦 = 16 
 
𝑙𝑜𝑔10𝑥 − 𝑙𝑜𝑔10𝑦 = 𝑙𝑜𝑔102 
𝑙𝑜𝑔10 (
𝑥
𝑦
) = 𝑙𝑜𝑔102 
𝑥
𝑦
 = 2 
𝑥 = 2𝑦 (I) 
4𝑥−𝑦 = 16 
(22)𝑥−𝑦 = 24 
22𝑥−2𝑦 = 24 
2𝑥 − 2𝑦 = 4 (II) 
 
Substituindo (I) em (II), temos: 
 
2𝑥 − 𝑥 = 4 
 
𝑥 = 4 
 
Para descobrir o valor de y, substituindo o valor de x em (I) ou (II) 
 
𝑥 = 2𝑦 
4 = 2𝑦 
𝑦 = 2 
S = {(4, 2 )} 
 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
 
1- (TJ-PR) Suponha que o tempo necessário para se tomar uma 
decisão esteja relacionado com o número de escolhas de que se 
dispõe. Nesse caso, um modelo matemático que fornece o tempo 
de reação R, em segundos, em função do número de escolhas N, 
é dado pela expressão: R=0,17+0,44 log(N) 
 
De acordo com esse modelo, quando o número de escolhas for 
reduzido de 100 para 10, qual será o percentual de diminuição no 
tempo de reação, aproximadamente? 
 
a) 26%. b) 42%. c) 55%. d) 88%. 
 
2- (CESGRANRIO) Considerem-se as funções logarítmicas f(x) 
= log4 x e g(x) = log2 x, ambas de domínio ℝ+
∙ . Calculando-se 
f(72) - g(3), o valor encontrado será de 
 
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0 
 
3- (CESGRANRIO) Considere as funções g (x) = log2 x e h (x) 
= logb x , ambas de domínio R*+. Se h (5) = 
1
2
, então g (b + 9) é 
um número real compreendido entre 
 
a) 5 e 6 
b) 4 e 5 
c) 3 e 4 
d) 2 e 3 
e) 1 e 2 
 
4- (CESGRANRIO) Se y=log81(
1
27
) e x ∈ lR+ são tais que xy = 8 , 
então x é igual a 
 
a) 1⁄16 
b) 1⁄2 
c) log38 
d) 2 
e) 16 
 
5- (CEPRJ) A figura abaixo mostra um trapézio retângulo que 
tem dois vértices sobre o eixo X e dois vértices sobre o gráfico da 
função Y = log(10x2) 
 
 
 
A área desse trapézio é, aproximadamente: 
 
a) 10,2 b) 12,5 c) 15,6 d) 17,7 e) 19,8 
 
6- (CESGRANRIO) Sendo a função f(x) = 2. log5(3x/4) , em que 
x é um número real positivo, f(17) é um número real 
compreendido entre 
 
a) 1 e 2 
b) 2 e 3 
c) 3 e 4 
d) 4 e 5 
e) 5 e 6 
 
7- (CESPE) O movimento de uma partícula é descrito, em 
metros, pela função R(t) = ln t - 
2
𝑡
, para t > 0, em que t é o tempo, 
em segundos. 
Com relação a esse movimento, julgue os seguintes itens. 
No instante t = 2 s, a velocidade da partícula será igual a 1 m/s. 
( )CERTO ( )ERRADO 
 
8- (CONSULPLAN) A equação n(t) = 20 + 15log125(t + 5) 
representa uma estimativa sobre o número de funcionários de 
uma Agência dos Correios de uma certa cidade, em função de seu 
tempo de vida, em que n(t) é o número de funcionários no t- 
enésimo ano de existência dessa empresa(t = 0, 1, 2...). Quantos 
funcionários essa Agência possuía quando foi fundada? 
 
a) 105 b) 11 c) 45 d) 65 e) 25 
 
9- (CESGRANRIO) Quando os alunos perguntaram ao professor 
qual era a sua idade, ele respondeu: “Se considerarmos as 
funções f(x) = 1 + log3 x e g(x) = log2 x, e a igualdade g(i) = 
f(243), i corresponderá à minha idade, em anos.” Quantos anos 
tem o professor? 
 
a) 32 
b) 48 
c) 56 
d) 60 
e) 64 
 
GABARITO 
1B 2B 3A 4A 5C 6C 7C 8E 9E 
 
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26 
Trigonometria 
Capítulo 8 
Trigonometria nos Triângulos 
 
Introdução 
 
A palavra trigonometria nos remete ao estudo puro e simples das medidas dos lados, ângulos e outros elementos dos triângulos. 
 
Neste capítulo, o estudo se restringirá aos triângulos retângulos, logo convém lembrarmos alguns conceitos. 
 
Todo triângulo retângulo, além do ângulo reto, possui dois ângulos agudos cuja soma é 90°. 
 
Seja o triângulo ABC da figura, retângulo em A. 
 
 
A = 90° 
 
�̂� + �̂� = 90° 
 
Cada lado manterá correspondência com o vértice oposto a ele. Por exemplo, o lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ será chamado lado a (Poe ser oposto ao 
vértice A), e assim por diante. 
 
O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo é denominado hipotenusa, e aos outros dois lados, opostos aos ângulos 
agudos, são os catetos.Razões trigonométricas 
 
Num triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é dado pelo quociente (razão) entre o cateto oposto a esse ângulo e a 
hipotenusa. 
 
 
 
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝑥
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
No triângulo, temos: 
 
𝑠𝑒𝑛�̂� = 
𝑏
𝑎
 
𝑠𝑒𝑛�̂� = 
𝑐
𝑎
 
 
 
B I Z U 
 
O termo adjacente é equivalente à junto, próximo, vizinho. 
 
PRÁTICA 
 
P1) São dadas as medidas dos catetos de um triângulo retângulo: 6cm e 8cm. Calcule o valor do seno de cada ângulo agudo 
desse triângulo. 
Num triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é dado pela razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a 
hipotenusa. 
 
 
 
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑥
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
No triângulo, temos: 
 
𝑐𝑜𝑠�̂� = 
𝑐
𝑎
 
𝑐𝑜𝑠�̂� = 
𝑏
𝑎
 
Agora, fazendo uma relação entre seno e cosseno no triângulo ABC. Temos que: 
𝑠𝑒𝑛�̂� = 
𝑏
𝑎
= 𝑐𝑜𝑠�̂� 
𝑠𝑒𝑛�̂� = 
𝑐
𝑎
= 𝑐𝑜𝑠�̂� 
Os ângulos B e C são complementares, ou seja, B + C = 90°. 
Daí vale a seguinte propriedade: 
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(90° − 𝑥) ou 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(90° − 𝑥) 
 
P2) Um barco atravessa um rio de 80m de largura, seguindo uma direção que forma 70° com a margem de partida. Qual é 
a distância percorrida pelo barco? Quantos metros, em relação ao ponto de partida, ele se desloca rio abaixo? Sabendo que 
sen70° = 0,94. 
Num triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é dada pela razão entre o cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente. 
 
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27 
 
 
𝑡𝑔𝑥 = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝑥
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑥
 
 
 
 
Note que 𝑡𝑔�̂� = 
𝑏
𝑐
 e 𝑡𝑔�̂� = 
𝑐
𝑏
 são inversas uma da outra. Usando o fato de que �̂� + �̂� = 90°, podemos afirmar que: 
 
𝑡𝑔𝑥 = 
1
𝑡𝑔(90−𝑥)
 
 
 
 
Relações fundamentais 
 
Seja o triângulo retângulo ABC ao lado. Pelo teorema de Pitágoras, a² = b² + c². Dividindo ambos os membros por a², é verificar que: 
 
 
 
(𝑠𝑒𝑛�̂�)² + (𝑐𝑜𝑠�̂�)² = 1 ou 
(𝑠𝑒𝑛�̂�)² + (𝑐𝑜𝑠�̂�)² = 1 
 
 
 
 
De maneira geral, podemos escrever, para um ângulo x qualquer: 
 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠² 𝑥 1 
 
Seja o triângulo ABC retângulo. É fácil verificar que 𝑡𝑔�̂� = 
𝑏
𝑐
. Dividindo ambos os membros por a, obteremos 𝑡𝑔�̂� = 
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎
, o que significa 𝑡𝑔�̂� = 
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑐𝑜𝑠�̂�
. 
 
De modo geral, podemos escrever 𝑡𝑔𝑥 = 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 , para todo ângulo agudo x. 
 
PRÁTICA 
 
P3) Seja x um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo. Sabendo que 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 
24
25
, calcule 𝑡𝑔𝑥. 
 
 
Ângulos notáveis 
 
Os ângulos 30°,45° e 60° são considerados ângulos notáveis, pois aparecem com freqüência em muitos problemas. Utilizando 
triângulos eqüiláteros e retângulos isósceles é fácil verificar os senos, cossenos e tangentes desses ângulos notáveis. A memorização 
da tabela abaixo é de suma importância, uma vez que facilita demasiadamente na resolução dos problemas. A grande característica 
dessa tabela é que não apresenta números na forma decimal. 
 
 30° 45° 60° 
𝑠𝑒𝑛 
1
2
 
√2
2
2
 
√3
2
2
 
𝑐𝑜𝑠 √
3
2
2
 
√2
2
2
 
1
2
 
𝑡𝑔 √
3
2
3
 1 √3
2
 
 
PRÁTICA 
 
P4) Seja o retângulo ABC ao lado. Determine sua área e o perímetro do triângulo ABC. 
 
Determine os ângulos agudos do triângulo de catetos 6cm e 6√3
2
cm. 
 
 
Trigonometria em triângulos quaisquer - Introdução. 
 
Ampliaremos, um pouco mais, as ferramentas utilizadas para resolução de triângulos. Sairemos de um caso particular (triângulo 
retângulo) e entraremos em triângulos quaisquer (acutângulos e obtusângulos). As ferramentas lei dos senos e lei dos cossenos 
nos permitirá obter lados e ângulos de triângulos quaisquer. 
 
B I Z U 
Dois ângulos são suplementares quando sua soma é igual a 180°. 
 
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28 
Seno e cosseno de ângulos obtusos 
 
Precisaremos, em alguns momentos, obter valores de senos e cossenos de ângulos obtusos. Como esse assunto ainda não foi 
estudado, aprenderemos neste momento apenas como lidar com eles na prática. 
 
Inicialmente, é necessário saber que: 
 
 𝑠𝑒𝑛90° = 1 𝑒 𝑐𝑜𝑠90° = 0 
 
 Senos dos ângulos obtusos são exatamente iguais aos senos dos suplementares desses ângulos: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (180° − 𝑥) 
 
 Cossenos de ângulos obtusos são opostos aos cossenos dos suplementares desses ângulos: 
 
cos 𝑥 = − cos(180° − 𝑥) 
 
PRÁTICA 
P5) Obtenha o valor de: 
a) sen 135º b) sen 135º c) sen 135º d) sen 135º 
 
B I Z U 
Os triângulos podem ser classificados como: 
 
 triângulo acutângulo: possui ângulos internos agudos (0° < x < 90°). 
 triângulo obtusângulo: possui um ângulo obtuso (90° < x < 180°). 
 triângulo retângulo: possui um ângulo reto x = 90° 
 
Lei dos senos 
 
Em todo retângulo (acutângulo, retângulo e obtusângulo), os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. 
 
Seja o triângulo acutângulo ABC. 
 
É fácil verificar que 
 
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
= 
𝑏
𝑠𝑒𝑛�̂�
= 
𝑐
𝑠𝑒𝑛�̂�
 
 
 
PRÁTICA 
 
P6) Dado o triângulo da figura, calcule x e y. 
 
P7) No triângulo seguinte, AC = 4m, BC = 3m e 𝛽 = 60°. Calcule 𝑠𝑒𝑛 𝛼. 
 
 
Lei dos cossenos 
 
Em todo triângulo, o quadrado de qualquer um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois, diminuída do dobro do 
produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado. 
Seja o triângulo acutângulo ABC. 
Pelas relações métricas e trigonométricas, podemos provar que: 
 
 
𝑎² = 𝑏² + 𝑐² − 2. 𝑏. 𝑐. cos �̂� 
𝑏² = 𝑎² + 𝑐² − 2. 𝑎. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠�̂� 
𝑐² = 𝑎² + 𝑏² − 2. 𝑎. 𝑏. 𝑐𝑜𝑠�̂� 
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29 
 
PRÁTICA 
 
P8) Calcule o valor de x em cada caso: 
a) 
b) 
P9) Determine o terceiro lado de um triângulo, sabendo que entre os lados de 4 cm e 6 cm forma-se um ângulo cujo cosseno é 
√3
2
2
 . 
 
 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
 
1 - (UNIRIO) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do 
maior ângulo interno desse triângulo vale: 
 
a) 11 / 24 
b) - 11 / 24 
c) 3 / 8 
d) - 3 / 8 
e) - 3 / 10 
 
2- (UEMG) Na figura, abaixo, um fazendeiro (F) dista 600 m da base 
da montanha (ponto B). A medida do ângulo é igual a 30º. 
 
Ao calcular a altura da montanha, em metros, o fazendeiro 
encontrou a medida correspondente a 
 
a) 200√3 
b) 100 √2 
c) 150√3 
d) 250√2 
 
3- (UEMG) Observe a tirinha abaixo: 
 
 
 
Os personagens da turma da Mônica sobem uma rampa 
empurrando um carrinho. 
 
Supondo que o triângulo demonstrativo da rampa seja retângulo, 
de altura igual a 2 metros, e que essa rampa forme um ângulo de 
60° com o solo, a distância percorrida pelo carrinho até o ponto 
mais alto da rampa foi de: 
 
a)
3√2
6
m b) 
4√3
3
m c) 
√2
2
m d) 1m 
 
4- (UDESC) No site http://www.denatran.gov.br/publicacoes/download/minuta_contran/Arquivo%206.pdf 
(acesso em: 23/06/2012) encontra-se o posicionamento adequado da sinalização 
semafórica, tanto para semáforos de coluna simples como para semáforos 
projetados sobre a via, conforme mostra a Figura 1. 
 
Para que o motorista de um veículo, ao parar, possa visualizar as 
luzes do semáforo, o grupo focal deve ser visto sob um ângulo de 
20°, conforme mostra a Figura2. 
 
Considerando tg(20°)=0,36, determine os valores que faltam 
para completar a Tabela 1. 
 
Analise as proposições em relação às informações obtidas na 
Tabela 1, e assinale (V) para verdadeira e (F) para falsa. 
 
( ) Para o semáforo de coluna simples, D é aproximadamente 4,5 m. 
( ) Para o semáforo projetado sobre a via, H é aproximadamente 
4,2 m. 
( ) A altura H do semáforo projetado sobre a via é 
aproximadamente 3,1 m maior que a altura H do semáforo de 
coluna simples. 
 
Assinale a alternativa correta, de cima para baixo. 
 
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/43627_pre.jpg
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/43627_pre.jpg
http://www.denatran.gov.br/publicacoes/download/minuta_contran/Arquivo%206.pdf
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30 
a)F – V – V 
b) V – F – V 
c) F – V – F 
d) V – V – F 
e) F – F – V 
 
GABARITO: B 
 
5- (UNICAMP) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos 
isósceles semelhantes de bases 2a e a, respectivamente, e o 
ângulo CÂB= 30º. Portanto, o comprimento do segmento CE é: 
 
 
 
a)√
5
3
𝑎
 b) √
8
3
𝑎
 c) √
7
3
𝑎
 d)√2
𝑎
 
 
GABARITO: D 
 
6- (USP) 
 
 
Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a 
Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente, 
entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que em Assuã, cidade 
localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, 
um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu 
investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em 
Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, 
em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão 
vertical apresentava sombra e determinou o ângulo θ entre as 
direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do 
raio da Terra, obtido a partir de θ e da distância entre Alexandria 
e Assuã foi de, aproximadamente, 7500 km. O mês em que foram 
realizadas as observações e o valor aproximado de θ são 
 
 
 
a) junho; 7º. 
b) dezembro; 7º. 
c) junho; 23º. 
d) dezembro; 23º. 
e) junho; 0,3º. 
 
GABARITO: A 
 
7- (UNICAMP) O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo 
e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, 
respectivamente, por S (φ) / T (φ), podemos afirmar que a 
razão S (φ) / T (φ), quando φ = π / 2 radianos, é 
 
a) π / 2. b) 2π. c) π. d) π / 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1B 2A 3B 4B 5D 6A 7A 
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/43593_pos.jpg
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/43593_pos.jpg
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/44017_pos.jpg
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/44017_pos.jpg
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/43599_pre.jpg
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/43599_pre.jpg
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31 
Trigonometria 
Capítulo 9 
Identidades Trigonométricas 
 
Relações fundamentais 
 
No estudo das funções trigonométricas, verificamos minuciosamente todas as relações fundamentais. Essas relações serão úteis ao 
estudo de identidades trigonométricas. 
 
Surgem as relações fundamentais com os seus respectivos domínios: 
 
𝑠𝑒𝑛²𝑥 + 𝑐𝑜𝑠²𝑥 = 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ∈ 𝑅. 
 
𝑡𝑔 𝑥 = 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠ 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋. 
 
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = 
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠ 𝑘𝜋. 
 
sec 𝑥 = 
1
cos 𝑥
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋. 
 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠ 𝑘𝜋. 
 
PRÁTICA 
 
P1) Sendo 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −
1
4
, 𝑐𝑜𝑚 𝜋 < 𝑥 <
3𝜋
2
, determine 𝑡𝑔𝑥. 
P2) Simplifique a expressão 𝑦 =
sec 𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥
1−𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥
 
 
 
Relações decorrentes 
 
A partir das relações fundamentais, podemos chegar a outras relações que serão úteis para o estudo desse capítulo. 
 
Seguem as relações decorrentes com os seus respectivos domínios: 
 
𝑡𝑔²𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐²𝑥, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠ 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋. 
 
𝑐𝑜𝑡𝑔²𝑥 + 1 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐²𝑥, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠ 𝑘𝜋. 
 
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = 
1
𝑡𝑔 𝑥
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 𝑒 𝑥 ≠ 𝜋 + 𝑘𝜋. 
 
PRÁTICA 
 
P3) Dado 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 
√2
2
2
, calcule o valor da expressão 𝐴 = 
𝑠𝑒𝑐²𝑥−1
𝑡𝑔²𝑥+1
. 
P4) Para 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 
1
2
, qual é o valor da expressão: 
𝑦 = 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 ∙ sec 𝑥
+ sec 𝑥 ? 
 
 
Identidade trigonométrica 
 
Uma igualdade envolvendo funções trigonométricas que se verifica para todos os valores do domínio de tais funções é uma 
identidade trigonométrica. 
 
Assim, por exemplo, a igualdade cos 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥, assim respeitados os domínios das funções, é uma identidade 
trigonométrica, pois, independe dos valores de x, ela se verifica. 
 
cos 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
= 
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
= 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
 
Para demonstrar que a igualdade é uma identidade, há vários caminhos. Indicaremos na sequência três procedimentos de verificação. 
 
1° tomaremos um dos membros da igualdade – geralmente o mais complexo – e, através de métodos algébricos e outras 
identidades já estabelecidas, transformá-lo no outro membro da igualdade. 
 
Exemplo: 
Verifique se a igualdade represente uma identidade trigonométrica. 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ sec 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥. 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ sec 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ 
1
cos 𝑥
= 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
= 𝑡𝑔𝑥 
 
Logo, a igualdade represente uma identidade trigonométrica. 
 
2° Quando os dois membros da identidade proposta forem extensos ou complicados, aconselhamos simplificar, em separado, 
cada um dos termos, tentando encontrar uma identificação entre eles. 
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32 
 
Exemplo: 
Verifique se a igualdade representa uma identidade trigonométrica. 
 
sec 𝑥 (1−𝑠𝑒𝑛𝑥∙𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑠𝑒𝑛𝑥
= 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑥
cos 𝑥
 
 
Tomando o 1° membro, temos: 
 
sec 𝑥 (1−𝑠𝑒𝑛𝑥∙𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑠𝑒𝑛 𝑥
=
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
∙(1−𝑠𝑒𝑛𝑥∙cos 𝑥)
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 =
1−𝑠𝑒𝑛 𝑥∙cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙cos 𝑥
 
 
Tomando o 2° membro, temos: 
 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥−cos 𝑥
cos 𝑥
= 
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
−cos 𝑥
cos 𝑥
=
1−cos 𝑥∙𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 
cos 𝑥
=
1−𝑐𝑜𝑠𝑥∙𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙cos 𝑥
. 
 
Esta expressão é equivalente àquela obtida no 1° membro, o que verifica a identidade. 
 
3° Uma alternativa pode ser a utilização de um fato bastante conhecido: se duas funções f e g são idênticas, a diferença f – g é 
nula. 
 
Exemplo: 
Verifique se a igualdade representa uma identidade trigonométrica. 
 
cos 𝑥
1+𝑠𝑒𝑛𝑥
= 
1−𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 
 
cos 𝑥
1+𝑠𝑒𝑛𝑥
− 
1−𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
= 
𝑐𝑜𝑠²𝑥−(1−𝑠𝑒𝑛𝑥)∙(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)
(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)∙cos 𝑥
= 
𝑐𝑜𝑠²𝑥−(1+𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑥−𝑠𝑒𝑛2𝑥)
(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)∙𝑐𝑜𝑠𝑥
= 
𝑐𝑜𝑠²𝑥−1+𝑠𝑒𝑛²𝑥
(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)∙cos 𝑥
= 
(𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑠𝑒𝑛2𝑥)−1
(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)∙𝑐𝑜𝑠𝑥
=
1−1
(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)∙cos 𝑥
= 0 . Logo, a 
igualdade representa uma identidade trigonométrica. 
 
PRÁTICA 
 
P5) Verifique se as igualdades representam identidades trigonométricas. 
a) (1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) ∙ (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) = 𝑠𝑒𝑛²𝑥 
b) 
𝑠𝑒𝑛 𝑥+𝑡𝑔𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥
= 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ 𝑡𝑔 𝑥 
c) 
sec 𝑥−cos 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑥 
= 𝑡𝑔³𝑥 
d) 𝑐𝑜𝑠²𝑥 + 𝑡𝑔²𝑥 = 𝑠𝑒𝑐²𝑥 − 𝑠𝑒𝑛²𝑥 
 
 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
 
1-(AFA) A expressão 2tgx1+tg2x é idêntica a: 
 
a) cos2x b) 2cosx c) sen2x d) 2senx 
 
2- (UERGS) Se 0°< x < 90°, a expressão equivalente a (tan2x 
+1)⋅ cos2x é 
 
a) 0. 
b) sec2x . 
c) sen2x . 
d) sen2x + cos2x . 
e) sen(2x). 
 
3- (UNESP) Se x e y são dois arcos complementares, então 
podemos afirmar que A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2 é igual 
a: 
 
a) 0 b) ½ c) 3/2 d) 1 e) 2 
 
4- (UCS) Um estudante de Engenharia, em uma atividade 
prática, teve que obter um valor numérico aproximado da 
expressão 2 + 3sen(5x) , em que x é a medida de um ângulo 
entre 0 e 36 graus. Qual dos seguintes valores tem condições de 
estar certo? 
 
a) 0,089] 
b) 1,089 
c) 4,089 
d) 5,089 
e) 17,089 
 
5- (UDESC) A soma de todos os valores de satisfazem 
a equação cos2(2x ) - sen2(x) = cos6(x) é igual a: 
 
a) 𝜋 
b) 2 𝜋 
c) 5 𝜋 
d) 3 𝜋 
e) 4 𝜋 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1C 2D 3E 4C 5C 
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33 
Trigonometria 
Capítulo 10 
Transformações Trigonométricas 
 
Introdução 
 
Agora, vamos estudar a forma de calcular o seno da soma de dois arcos [sen(a+b)], o cosseno da diferença de dois arcos [cos(a-b)], etc. 
Por exemplo, como são conhecidos os valores de sen 45°, sen 30°, cos 45°, cos 30°, etc. Podemos, em função deles, obter sen 75°, cos 
15°, tg 105°, etc. 
 
Fórmulas da adição de dois arcos 
 
Cosseno da soma de dois arcos 
 
Sejam a e bdois arcos do ciclo trigonométrico. 
O cosseno da soma desses dois arcos é dada por: cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 ∙ cos 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏 
 
Exemplo: 
Vamos calcular o cosseno de 75°. 
 
cos 75° = cos(45° + 30°) = cos 45° ∙ cos 30° − 𝑠𝑒𝑛 45° ∙ 𝑠𝑒𝑛 30° 
 
cos 75° =
√2
2
2
∙
√3
2
2
−
√2
2
2
∙
1
2
=
√6
2
4
−
√2
2
4
=
√6
2
− √2
2
4
 
 
PRÁTICA 
P1) Determine o valor da sec 105°. 
 
 
Seno da soma de dois arcos 
 
Sejam a e b dois arcos do ciclo trigonométrico. 
O seno da soma desses dois arcos é dada por: 𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑏 ∙ cos 𝑎 
 
Exemplo: 
Vamos calcular o valor de sen(105°). 
 
𝑠𝑒𝑛(105°) = 𝑠𝑒𝑛(60° + 45°) = 𝑠𝑒𝑛 60° ∙ cos 45° + 𝑠𝑒𝑛 45° ∙ cos 60° 
 
𝑠𝑒𝑛(105°) =
√3
2
2
∙
√2
2
2
+
√2
2
2
∙
1
2
=
√6
2
4
+
√2
2
4
=
√6
2
+ √2
2
4
 
 
PRÁTICA 
P2) Determine o produto sec 75°∙ cossec 75°. 
 
 
Tangente da soma de dois arcos 
 
Sejam a e b dois arcos do ciclo trigonométrico. 
A tangente da soma de dois arcos é dada por: 𝑡𝑔(𝑎 + 𝑏) =
𝑡𝑔 𝑎+𝑡𝑔 𝑏
1−𝑡𝑔 𝑎∙𝑡𝑔 𝑏
, válida para 𝑎 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑏 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 𝑒 𝑎 + 𝑏 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍. 
 
Exemplo: 
Vamos calcular o valor da tg 60° 
𝑡𝑔(60°) = 𝑡𝑔(30° + 30°) = 
𝑡𝑔 30° + 𝑡𝑔 30°
1 − 𝑡𝑔 30° ∙ 𝑡𝑔30°
=
√3
2
3
+
√3
2
3
1 −
√3
2
3
∙
√3
2
3
=
2√3
2
3
1 −
1
3
=
2√3
2
3
2
3
=
2√3
2
3
∙
3
2
= √3
2
 
 
PRÁTICA 
P3) Determine o valor da tg 120°. 
 
 
Fórmula da subtração de dois arcos 
 
Cosseno da diferença de dois arcos 
 
Sejam a e b dois arcos do ciclo trigonométrico. 
O cosseno da diferença desses dois arcos é dado por: cos(𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 ∙ cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏 
Exemplo: 
Vamos calcular cos 15° 
 
cos(15°) = cos(45° − 30°) = cos 45° ∙ cos 30° + 𝑠𝑒𝑛 45° ∙ 𝑠𝑒𝑛 30° 
 
cos(15°) =
√2
2
2
∙
√3
2
2
+
√2
2
2
∙
1
2
=
√6
2
4
+
√2
2
4
=
√6
2
+ √2
2
4
 
 
PRÁTICA 
P4) Determine o valor de cos 135°. 
 
 
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34 
Seno da diferença de dois arcos 
 
Sejam a e b dois arcos do ciclo trigonométrico. 
O seno da diferença desses dois arcos é dado por: 𝑠𝑒𝑛(𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ cos 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛𝑏 ∙ cos 𝑎 
 
Exemplo: 
Vamos determinar o valor de sen15°. 
 
𝑠𝑒𝑛 15° = 𝑠𝑒𝑛(45° − 30°) = 𝑠𝑒𝑛 45° ∙ cos 30° − 𝑠𝑒𝑛30° ∙ cos 45° 
 
𝑠𝑒𝑛 15° =
√2
2
2
∙
√3
2
2
−
1
2
∙
√2
2
2
=
√6
2
4
−
√2
2
4
=
√6
2
− √2
2
4
 
 
PRÁTICA 
P5) Dados 𝑠𝑒𝑛 𝑎 =
4
5
 𝑒 cos 𝑏 =
2
3
, 𝑐𝑜𝑚 0 < 𝑎 <
𝜋
2
 𝑒 0 < 𝑏 <
𝜋
2
. Determine o valor de sen(a-b). 
 
 
Tangente da diferença de dois arcos 
 
Sejam a e b dois arcos do ciclo trigonométrico tais que 𝑎 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑏 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 𝑒 𝑎 − 𝑏 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍. 
A tangente da diferença desses dois arcos é dada por: 𝑡𝑔(𝑎 − 𝑏) =
𝑡𝑔 𝑎−𝑡𝑔 𝑏
1+𝑡𝑔 𝑎∙𝑡𝑔 𝑏
 
Exemplo: 
Vamos determinar o valor de tg 15° 
𝑡𝑔 15° = 𝑡𝑔(45° − 30°) =
𝑡𝑔 45° − 𝑡𝑔 30°
1 + 𝑡𝑔 45° ∙ 𝑡𝑔 30°
=
1 −
√3
2
3
1 + 1 ∙
√3
2
3
=
3 − √3
2
3
3 + √3
2
3
=
3 − √3
2
3
∙
3 + √3
2
3
=
3 − √3
2
3 + √3
2
∙
3 − √3
2
3 − √3
2
=
9 − 3√3
2
− 3√3
2
+ √9
2
9 − 3
=
12 − 6√3
2
6
= 2 − √3
2
 
 
PRÁTICA 
P6) Calcule tg b, sabendo que 𝑡𝑔(𝑎 − 𝑏) = √3
2
 𝑒 𝑡𝑔 𝑎 = 1 
 
 
Fórmulas de multiplicação 
 
Cosseno de um arco duplo 
 
Seja a um arco do ciclo trigonométrico. 
O cosseno do arco duplo 2ª é dada por cos 2𝑎 = cos(𝑎 + 𝑎) = cos 𝑎 ∙ cos 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠² 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛² 𝑎 
cos 2𝑎 = 𝑐𝑜𝑠² 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛² 𝑎 
 
PRÁTICA 
P7) Dada 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 
5
2
, calcule cos 2x. 
 
 
Seno de um arco duplo 
 
Seja a um arco do ciclo trigonométrico. 
O seno do arco duplo 2a é dado por 𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑎) = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ cos 𝑎 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ cos 𝑎 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ cos 𝑎 
𝑠𝑒𝑛 2𝑎 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ cos 𝑎 
 
PRÁTICA 
P8) Sendo 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 
5
6
 𝑒 cos 𝑥 < 0, obtenha sen2x. 
 
 
Tangente de um arco duplo 
 
Seja a um arco do ciclo trigonométrico tal que 𝑎 ≠
𝑘𝜋
4
, 𝑘 ∈ 𝑍. 
A tangente do arco duplo 2ª é dada por: 𝑡𝑔(𝑎 + 𝑎) =
𝑡𝑔 𝑎+𝑡𝑔 𝑎
1−𝑡𝑔 𝑎∙𝑡𝑔 𝑎
=
2∙𝑡𝑔 𝑎
1−𝑡𝑔² 𝑎
 
 
𝑡𝑔 2𝑎 =
2 ∙ 𝑡𝑔 𝑎
1 − 𝑡𝑔² 𝑎
 
 
PRÁTICA 
P9) Sendo 𝑡𝑔 𝑚 = 
3
4
, determine o valor de tg 2m. 
 
 
Fórmulas de transformação em produtos 
 
Transformações de somas e diferenças de cossenos 
 
Sejam p e q dois arcos do ciclo trigonométrico. 
A soma dos cossenos desses dois arcos é dada por: cos 𝑝 + cos 𝑞 = 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠
𝑝+𝑞
2
∙ 𝑐𝑜𝑠
𝑝−𝑞
2
 
 
A diferença dos cossenos desses dois arcos é dada por: cos 𝑝 − cos 𝑞 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝑝+𝑞
2
∙ 𝑠𝑒𝑛
𝑝−𝑞
2
 
 
PRÁTICA 
P10) Fatore a expressão 𝑦 = cos 15° + cos 25°. 
P11) Fatore a expressão 𝑦 = cos 15° − cos 25°. 
 
 
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35 
Transformações de somas e diferenças de senos 
 
Sejam p e q dois arcos do ciclo trigonométrico. 
A soma dos senos desses dois arcos é dada por: sen 𝑝 + sen 𝑞 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝑝+𝑞
2
∙ 𝑐𝑜𝑠
𝑝−𝑞
2
 
 
A diferença dos senos desses dois arcos é dada por: sen 𝑝 − sen 𝑞 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝑝−𝑞
2
∙ 𝑐𝑜𝑠
𝑝+𝑞
2
 
 
PRÁTICA 
P12) Fatore a expressão 𝑦 = sen 40° + cos 40°. 
 
 
Transformações de somas e diferenças de tangentes 
 
Sejam p e q dois arcos do ciclo trigonométrico. 
A soma das tangentes desses dois arcos é dada por: 𝑡𝑔 𝑝 + 𝑡𝑔 𝑞 = 
𝑠𝑒𝑛(𝑝+𝑞)
cos 𝑝 ∙cos 𝑞
 
 
A diferença das tangentes desses dois arcos é dada por: 𝑡𝑔 𝑝 − 𝑡𝑔 𝑞 = 
𝑠𝑒𝑛(𝑝−𝑞)
cos 𝑝 ∙cos 𝑞
 
 
PRÁTICA 
P13) Fatore a expressão 𝑦 = 𝑡𝑔 50° + 𝑡𝑔 40°. 
 
 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
 
1-(FUVEST) Se tgØ=2, então o valor de cos2Ø/(1 + sen2Ø) é: 
 
a) -3 b) -1/3 c) 1/3 d) 2/3 e) 3/4 
 
2- (MACKENZIE) Se cos(a) 15º e cos 75º formam, nessa ordem, 
uma progressão aritmética, o valor de cos(a) é: 
 
a) 
√2
3
 b) 
√26
3
 c) 
√32
4
 d) 
√62
4
 e) 
√2
4
 
 
3- (MACKENZIE) A expressão cos(𝑎2 − 2𝑏2) . cos(𝑏2) − 𝑠𝑒𝑛(𝑎2 −
2𝑏2). 𝑠𝑒𝑛(𝑏2) é igual a: 
 
a) cos (𝑎2 + 𝑏2) 
b) 𝑠𝑒𝑛(𝑏2) 
c) cos (𝑎2) 
d) 𝑠𝑒𝑛[(𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏)] 
e) cos [(𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏)] 
 
4- (UERJ) Um esqueitista treina em três rampas planas de 
mesmo comprimento a, mas com inclinações diferentes. As 
figuras abaixo representam as trajetórias retilíneas AB = CD = 
EF, contidas nas retas de maior declive de cada rampa. 
 
 
 
Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E 
são, respectivamente, h1, h2 e h3, conclui-se que h1 + h2 é igual a: 
 
a) h3√3 b) h3√2 c) 2h3 d) h3 
 
5- (ITA) Sendo [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] o contradomínio da função arcoseno e [0, 𝜋] 
o contradomínio da função arcocosseno, assinale o valor de 
cos (
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛3
5
+
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠4
5
). 
 
a)1/√12 b)7/25 c)4/15 d)1/2√5 
 
6- (MACKENZIE) A expressão cos(a2 − 2b2) ⋅ cos(b2) − sen(a2 − 
2b2)⋅ sen(b2) é igual a 
 
a) cos(a2 + b2) 
b) sen (b2) 
c) cos(a2) 
d) sen[(a + b) ⋅ (a − b)] 
e) cos[(a + b) ⋅ (a − b)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1B 2D 3E 4C 5B 6E 
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/43082_pre.jpg
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/43082_pre.jpg
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36 
Trigonometria 
Capítulo 11 
Equações e Inequações Trigonométricas 
 
Equações Trigonométricas - Introdução 
 
As equações trigonométricas são representadas por uma igualdade e deve possuir uma incógnita, que aparece nas medidas dos 
arcos ou dos ângulos de funções trigonométricas. 
 
2 cos 𝑥 = √3
2
 é uma equação trigonométrica. 
 
2𝑥 = cos
𝜋
3
 não é uma equação trigonométrica. 
 
Para que possamos resolver as equações trigonométricas, é preciso chegar sempre a equações do tipo sen x = a, cos x = a ou tg x 
= a. Essas igualdades nos permitirão obter os valores de, x a partir do conhecimento dos valores de a. 
 
B I Z U 
 
Quando não for explicitado o conjunto universo, devemos considerar U = R. 
 
Resolução de equações da forma sen x = sen a 
 
Para que x e a possuam o mesmo seno, basta que as suas extremidadescoincidam ou sejam simétricas 
em relação ao eixo dos senos. Nessas condições, sendo K ∈ Z, podemos dizer que a + 2𝑘𝜋 e (𝜋-a) + 
2𝑘𝜋 possuem o mesmo seno. 
 
Portanto, a solução é da seguinte forma: 
 
S = { 𝑥 𝜖 𝑅 / 𝑥 = 𝑎 + 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = (𝜋 − 𝑎) + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 } 
 
PRÁTICA 
P1) Resolva a equação 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
5
, sendo U = R. 
P2) Resolva a equação 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = −
1
2
, com 𝑥 ∈ [0,2𝜋]. 
P3) Resolva a equação 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 =
√3
2
2
, U = R. 
 
 
Resolução de equações da forma cos x = cos a 
 
Para que x e a possuam o mesmo cosseno, basta que suas extremidades coincidem ou sejam simétricas em relação ao eixo dos cossenos. 
Nessas condições, sendo 𝑘 ∈ 𝑍, podemos dizer que a + 2𝑘𝜋 e -a + 2𝑘𝜋 possuem o mesmo cosseno. 
 
 
Portanto, a solução é da seguinte forma: S = { 𝑥 𝜖 𝑅 / 𝑥 = ±𝑎 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 } 
 
PRÁTICA 
P4) Resolva a equação 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (−
𝜋
3
). 
P5) Resolva a equação cos 𝑥 = 
√3
2
2
, sendo U = [0,2𝜋]. 
P6) Resolva a equação cos 3𝑥 = 1, sendo U = [0,2𝜋[. 
 
 
Resolução de equações da forma tg x = tg a 
 
Para que x e a possuem a mesma tangente, basta que as suas extremidades coincidam ou sejam simétricas em relação ao centro do ciclo. 
 
 
 
Portanto, a solução é da seguinte forma: S = { 𝑥 𝜖 𝑅 / 𝑥 = 𝑎 + 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = (𝑎 + 𝜋) + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 } 
De forma equivalente, podemos escrever: S = { 𝑥 𝜖 𝑅 / 𝑥 = 𝑎 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍} 
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37 
Resolução de equações por meio de outros artifícios 
 
Há infinitos artifícios algébricos que podem ser utilizadas para resolução de equações trigonométricas. Não detalharemos cada um deles por 
meio de teoria o que foge ao escape dessa apostila. Indicaremos alguns desses artifícios e ao aplicaremos por meio de exercícios de sala. 
 
Artifícios mais utilizados: 
 
 Multiplicação por um mesmo número real não nulo. 
 Divisão por um mesmo número real não nulo. 
 Elevação ao quadrado de ambos os membros. 
 Mudança de variável. 
 Fatoração algébrica. 
 
Inequações Trigonométricas - Introdução 
 
As inequações trigonométricas são representadas por uma desigualdade e deve possuir uma incógnita, que aparece nas medidas 
dos arcos ou dos ângulos de funções trigonométricas. 
 
2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 > 1 é uma inequação trigonométrica. 
 
3𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
4
 não é uma inequação trigonométrica. 
 
Na resolução de inequações trigonométricas, é imprescindível a construção de uma figura para cada uma delas. 
 
Resolução de inequações da forma 𝒔𝒆𝒏 𝒙 > 𝒂 
 
Vamos resolver a inequação 𝑠𝑒𝑛 𝑥 >
1
2
. 
 
Sobre o eixo dos senos, marcamos o ponto 
1
2
 e por esse ponto traçamos uma reta horizontal valores 
de. Os x procurados situam-se acima da reta horizontal. 
 
S={𝑥 𝜖 𝑅 / 
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 < 𝑥 <
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 𝜖 𝑅} 
 
PRÁTICA 
P14) Resolva a inequação 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≥
√2
2
2
. 
P15) Resolva a inequação 𝑠𝑒𝑛 𝑥 > 0, sendo 𝑈 = [0,2𝜋] 
 
Resolução de inequações da forma 𝒔𝒆𝒏 𝒙 < 𝒂 
 
Vamos resolver a inequação 𝑠𝑒𝑛 𝑥 < −
√3
2
2
 
 
Marcamos sobre o eixo dos senos o ponto −
√3
2
2
 do ciclo e por esse ponto traçamos uma reta horizontal, abaixo da qual encontram-
se os pontos procurados. 
 
 
S={ 𝑥 𝜖 𝑅 / 
4𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 < 𝑥 <
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋, 𝑧 𝜖 𝑍} 
 
PRÁTICA 
P16) Resolva a inequação 𝑠𝑒𝑛 𝑥 < 0.. 
P17) Resolva a inequação 𝑠𝑒𝑛 𝑥 < −
√2
2
2
. 
 
Resolução de inequações da forma 𝐜𝐨𝐬 𝒙 > 𝒂 
 
 
Vamos resolver a inequação cos 𝑥 > 𝑠𝑒𝑛 𝑥 < 0.
1
2
 
 
Marcamos sobre o eixo dos cossenos o ponto 
1
2
 do ciclo trigonométrico e por ele traçamos uma 
reta vertical à direita da qual encontramos, no ciclo, os pontos desejados. 
 
S={𝑥 ∈ 𝑅 / 2𝑘𝜋 < 𝑥 <
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 
5𝜋
3
< (𝑘 + 1) ∙ 2𝜋, 𝑘 𝜖 𝑍} 
 
 
 
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38 
PRÁTICA 
P18) Resolva a inequação cos 𝑥 ≥
√2
2
2
. 
P19) Resolva a inequação cos 𝑥 ≥ 1. 
P20) Resolução de inequações da formacos 𝑥 < 𝑎 . 
 
Vamos resolver a inequação cos 𝑥 ≥
√2
2
2
.. 
 
Marcamos sobre o eixo dos cossenos o ponto 
√3
2
2
 do ciclo trigonométrico e, por ele traçamos uma reta vertical, à esquerda da qual 
encontramos, no ciclo, os pontos desejados. 
 
 
S={ 𝑥 𝜖 𝑅 / 
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 < 𝑥 <
11𝜋
6
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 𝜖 𝑍} 
 
PRÁTICA 
P21) Resolva a inequação cos 𝑥 <
√2
2
2
 , sendo 𝑈 = [0,2𝜋] 
P22) Resolva a inequação 𝑠𝑒𝑛 𝑥 > cos 𝑥, sendo 𝑈 = [0,2𝜋]. 
 
Resolução de inequações da forma 𝒕𝒈 𝒙 > 𝒂 
 
Vamos resolver a inequação 𝑡𝑔 𝑥 ≥ 1. 
 
Marcamos sobre o eixo das tangentes o ponto 1; unimos esse ponto ao centro do ciclo prolongamos o segmento obtido até que ele 
intercepte novamente o ciclo. Para que 𝑡𝑔 𝑥 ≥ 1, devemos ter: 
 
S={ 𝑥 𝜖 𝑅 / 
𝜋
4
+ 𝑘𝜋 ≤ 𝑥 <
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 𝜖 𝑍} 
 
PRÁTICA 
 
P23) Resolva a inequação 𝑡𝑔 𝑥 ≥ −√3
2
 
P24) Resolva a inequação 𝑡𝑔 𝑥 > 1 
 
 
Resolução de inequações da forma 𝒕𝒈 𝒙 < 𝑎. 
 
Vamos resolver a inequação 𝑡𝑔 𝑥 <
√3
2
3
. 
 
Marcamos sobre o eixo das tangentes o ponto 
√3
2
3
; unimos esse ponto ao centro do ciclo e prolongamos o segmento obtido até que 
ele intercepte novamente o ciclo. Para que 𝑡𝑔 𝑥 <
√3
2
3
, devemos ter: S={𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑘𝜋 ≤ 𝑥 <
𝜋
6
+ 𝑘𝜋 𝑜𝑢
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 < 𝑥 < (𝑘 + 1)𝜋, 𝑘 𝜖 𝑍} 
 
 
PRÁTICA 
P25) Resolver a inequação 𝑡𝑔 𝑥 < 1. 
P26) Resolver a inequação 𝑡𝑔 𝑥 < √3
2
 
 
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39 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
1- (ITA) O intervalo I ⊂ R que contém todas as soluções da 
inequação arctan [(1 + x)/2] + arctan [(1 - x)/2] ≥ 𝜋/6 é 
 
a) [-1, 4]. 
b) [-3, 1]. 
c) [-2, 3]. 
d) [0, 5]. 
e) [4, 6]. 
 
2- (CESGRANRIO) O número de raízes reais da equação (3/2)+ 
cosx = 0é: 
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) maior do que 3 
 
3- (FATEC) O conjunto solução da equação 2cos2x + cosx – 1 = 0 é 
 
a) (𝜋/3, 𝜋 , 5 𝜋/3) 
b) (𝜋/6, 𝜋 , 5 𝜋/6) 
c) (𝜋/3, 𝜋/6, 𝜋) 
d) (𝜋/6, 𝜋 /3, 𝜋 , 2𝜋/3, 5 𝜋/3) 
e) (𝜋/3, 2𝜋 /3, 𝜋 , 4𝜋/3, 5 𝜋/3, 2 𝜋) 
 
4- (FGV) No intervalo [0,2 𝜋], a equação trigonométrica sem 2x 
= sen x tem raízes cuja soma vale: 
 
a) 𝜋 
b) 2 𝜋 
c) 3 𝜋 
d) 4 𝜋 
e) 5 𝜋 
 
5- (FUVEST) O dobro de um seno deum ângulo 𝜃, 0< 𝜃 < 𝜋/2, é 
igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Logo, o valor de seu 
cosseno é: 
 
a) 2/3 
b) (√3)/2 
c) (√2)/2 
d) 1/2 
e) (√3)/3 
 
6- (PUC) Assinale o valor de 𝜃 para o qual sem 2 𝜃 = tg 𝜃. 
 
a) 𝜋/2 
b) 𝜋/3 
c) 2𝜋/3 
d) 4 𝜋/3 
e) 3 𝜋/4 
7- (PUC) Os ângulos (em graus) 𝜃 entre 0° e 360° para os quais 
sem 𝜃= cos 𝜃 são: 
 
a) 45° e 90° 
b) 45° e 225° 
c) 180° e 360° 
d) 45°, 90° e 180° 
e) 90°, 180° e 270° 
8- (PUC) O conjunto solução da equação sem(x) – cos(x) = 0 
em [0;2 𝜋], é 
 
a) { } 
b) {0} 
c) {- 𝜋/4, 𝜋/4} 
d) { 𝜋/4, 3 𝜋/4} 
e) { 𝜋/4, 5 𝜋/4} 
9- (UFRRJ) O número de soluções da equação 2cos2x – 3 cosx – 
2 = 0 no intervalo [0, 𝜋] é 
 
a) 1 
b) 0 
c) 2 
d) 4 
e) 3 
 
10- (UFSM) a soma das raízes da equação cos2x + cosx = 0, no 
intervalo 0<x < 2𝜋 é 
 
a) 𝜋 
b) 4 𝜋 
c) 3 𝜋 
d) 7 𝜋/2 
e) 5 𝜋/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1C 2A 3A 4E 5B 6E 7B 8E 9A 10C 
 
 
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40 
Trigonometria 
Capítulo 12 
Funções Trigonométricas 
 
Trigonometria no ciclo - Conceitos básicos 
 
 
Os pontos A e B da figura dividem a circunferência em duas partes. Cada uma dessas partes é denominada 
arco da circunferência. Ou simplesmente arco. 
 
 
Os pontos A e B são chamados extremidades dos arcos. 
 
 
 
Para distinguir um arco do outro, podemos considerar um ponto em cada um deles, conforme a figura: 
 
Agora, vejamos dois casos particulares: 
 
1° Se A e B são simétricos em relação ao centro O, o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é um diâmetro e cada um dos arcos iguais é uma 
semicircunferência. 
 
2° Se os pontos A e B coincidem, eles determinam na circunferência o arco nulo ou arco de uma volta. 
 
 
Considere uma circunferência de centro O e os pontosA e B pertencentes a ela tal que determinamos o ângulo central A�̂�B e o arco . 
A medida de um arco de circunferência é a medida do ângulo central correspondente. 
 
 A medida de é 𝛼. 
 A medida de é 𝛼 
 
 
 
B I Z U 
Verifique visualmente que a medida de um arco não representa a medida do comprimento desse arco. 
Os arcos. Os arcos AB e CD possuem a mesma medida AC, porém não têm o mesmo comprimento. 
 
 
 
 
Unidades de medida de arcos e ângulos 
 
Para medir os arcos e ângulos utilizamos o grau e o radiano. 
 
 Grau 
 
Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, cada uma dessas partes é um arco de 1°(lê-se um grau). 
Isso significa que a circunferência possui 360°. 
 
 
Lembre-se que a medida em graus de um arco é igual à medida em graus do ângulo central correspondente. 
 
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41 
 Radiano 
 
É o arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que a contém. Indicamos. 
Abreviadamente por rad. 
 
Na figura, a medida do arco é 1 rad. 
 
 
 
Em geral, para se determinar a medida de um arco em radiano (𝛼), basta dividir o comprimento do arco (𝑙) pela medida do 
raio da circunferência que o contém (r). 
 
𝛼 = 𝑚𝑒𝑑 ( ) = 
𝑙
𝑟
 
 
Como o comprimento da circunferência é C = 2𝜋𝑟, a medida, em radianos, da circunferência toda é: 
 
𝛼 = 
𝐶
𝑟
= 
2𝜋𝑟
𝑟
= 2𝜋 
 
Daí, 2𝜋 𝑟𝑎𝑑. É equivalente à 360°. 
 
 
PRÁTICA 
 
P1) Expresse 300° em radiano. 
As rodas de uma bicicleta têm 60 cm de diâmetro. 
a) Qual é o comprimento da circunferência de roda? 
b). Quantas voltas dará cada roda num percurso de 94,2 m? 
Use 𝜋 = 3,14. 
P2) Determine a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 8h 20min. 
 
 
Ciclo trigonométrico 
 
Vamos fixar dois eixos ortogonais cruzando-se em O. 
 
A circunferência orientada de centro na origem (O) do sistema, de raio unitário (r = 1) e cujo sentido positivo é o anti-horário, é 
denominada ciclo trigonométrico. 
 
Sobre essa circunferência vamos marcar os arcos trigonométricos que têm: 
 
 Origem no ponto A (1,0) 
 Medidas algébricas positivas, se marcadas no sentido anti-horário, e negativas, se marcados no sentido horário. 
 
Os eixos do sistema cartesiano dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes iguais, que são chamadas quadrantes, 
numeradas a partir do ponto A, no sentido anti-horário. 
 
Observe na figura as extremidades dos quadrantes do ciclo trigonométrico, em graus e em radianos. 
 
 
 
Cada arco trigonométrico tem como extremidade um único ponto na circunferência. É comum indicar o arco apenas por esse ponto, 
isto é, a cada número real x podemos associar um único ponto na circunferência. Esse ponto é chamado imagem de x no ciclo. 
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42 
 
 Ponto P é a imagem do número positivo 
9𝜋
4
. 
 Ponto A é a imagem do número positivo 2𝜋. 
 
PRÁTICA 
 
P3) Construa um ciclo trigonométrico e marque os pontos correspondentes aos números reais 
𝜋
2
,
3𝜋
4
,
5𝜋
4
,
3𝜋
2
,
7𝜋
4
. 
P4) Identifique a qual quadrante pertence o ponto associado a cada número real abaixo? 
a) 
3𝜋
5
 b) 
5𝜋
3
 c) 
7𝜋
6
 d) −
5𝜋
3
 e) −
𝜋
6
 f) 
16𝜋
9
 
 
 
B I Z U 
Como o ciclo trigonométrico tem raio unitário (r = 1), a medida de qualquer arco, em radianos, é 
numericamente igual ao comprimento do arco. 
 
Arcos Côngruos 
 
Tomemos um número real x cujo comprimento ultrapassa uma volta completa no ciclo trigonométrico. Por exemplo, 𝑥 = 
5𝜋
2
. 
Desmembrando-o convenientemente, temos: 
 
𝑥 = 
5𝜋
2
= 
4𝜋
2
+ 
𝜋
2
= 2𝜋 + 
𝜋
2
, onde 2𝜋 + 
𝜋
2
 é 
 
 
 
 
Dizemos que o ponto B é a imagem geométrica do número 
5𝜋
2
, o qual é imagem também do número 
𝜋
2
. 
 
Existem outros infinitos números reais maiores que 2𝜋 e que possuem a mesma imagem B. Dentre eles estão: 
 
9𝜋
2
,
13𝜋
2
,
17𝜋
2
,
21𝜋
2
, … 
 
 
 
 
 
 
 
Generalizando, podemos escrever que todos os números da forma 
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, com k ∈ Z, possuem a mesma imagem B. Substituindo 
K por qualquer valor inteiro, obteremos arcos côngruos a 
5𝜋
2
. Fazendo: 
𝑘 = −2 → 
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 =
𝜋
2
+ 2 ∙ (−2) ∙ 𝜋 = −
7𝜋
2
 
𝑘 = −1 → 
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 =
𝜋
2
+ 2 ∙ (−1) ∙ 𝜋 = −
3𝜋
2
 
𝑘 = 0 → 
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 =
𝜋
2
+ 2 ∙ (0) ∙ 𝜋 =
𝜋
2
 
𝑘 = 1 → 
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 =
𝜋
2
+ 2 ∙ (1) ∙ 𝜋 = 
5𝜋
2
 
𝑘 = 2 → 
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 =
𝜋
2
+ 2 ∙ (2) ∙ 𝜋 = 
9𝜋
2
 
𝑘 = 3 → 
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 =
𝜋
2
+ 2 ∙ (3) ∙ 𝜋 = 
13𝜋
2
 
 
Todos os arcos de origem A e extremidade B apresentam como medidas, em radianos, os números obtidos acima e são chamados 
arcos côngruos entre si. 
 
Arcos côngruos: … , −
7𝜋
2
, −
3𝜋
2
,
𝜋
2
,
5𝜋
2
,
9𝜋
2
,
13𝜋
2
, … 
 
No exemplo acima, o arco 
𝜋
2
 é chamado primeira determinação positiva dos arcos da forma 
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, k ∈ Z, pois, sendo o único representante 
desses arcos que encontra na 1ª volta, retrata o menos valor positivo que a expressão 
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 assume. 
 
PRÁTICA 
 
P5) Escreva a expressão geral dos arcos 
9𝜋
4
,
17𝜋
4
, −
7𝜋
4
, −
23𝜋
4
, … 
P6) Escreva a expressão geral dos arcos de extremidade P. 
percurso de 1 volta 
percurso de 
1
4
 de volta. 
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43 
 
P7) Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral do arco côngruo a 1550°. 
 
 
Função seno - Introdução 
 
Seja x um ângulo agudo, de tal forma que o arco correspondente a ele possua extremidade P. Na figura, o raio 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ é unitário. 
O ponto P é a projeção ortogonal de P sobre o eixo vertical e 𝑃2 é a projeção ortogonal de P sobre o eixo horizontal. 
Observe que os triângulos 𝑃1OP e PO𝑃2 são congruentes. 
 
 
 
Noção de seno 
 
No triângulo PO𝑃2 da figura anterior, podemos escrever 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
𝑃𝑃2
𝑂𝑃
 e, conseqüentemente, 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑂𝑃2. 
Assim, para encontrar o seno de um ângulo, basta projetar ortogonalmente sua extremidade sobre o eixo vertical e medir a distância 
entre essa projeção e o centro O do ciclo, sempre levando em consideração a orientação do eixo (para cima). 
 
B I Z U 
Daqui em diante, o eixo vertical será denominado eixo dos senos. 
 
Sinal da função seno 
 
Definição 
 
Dado um número real x, podemos associar a ele o valor do seno de um ângulo de x radianos ou de um arco de x rad. 
 
O domínio dessa função é os reais. 
O contradomínio dessa função é os reais. 
O conjunto imagem dessa função é o intervalo: [-1,+1] 
A imagem da função seno é positiva no 1° e 2° quadrantes. 
A imagem da função seno é negativa no 3° e 4° quadrantes. 
 
Simetria no estudo do seno 
 
Usando a simetria, podemos relacionar o seno de um arco de qualquer quadrante com os valores do primeiro quadrante. 
 
 Redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante. 
 
x e (180° − x) têm senos iguais 
 
𝑠𝑒𝑛 (180° − 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 OU 𝑠𝑒𝑛( 𝜋 − 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante. 
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44 
 
x e (180°+ x) têm os senos simétricos. 
 
𝑠𝑒𝑛 (180° + 𝑥) = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 OU 𝑠𝑒𝑛 (𝜋 − 𝑥) = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante. 
 
Os arcos x e (360° − 𝑥) têm senos simétricos. 
 
𝑠𝑒𝑛 (360° − 𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 OU 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋 − 𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
B I Z U 
A função seno é ímpar, ou seja, 𝑠𝑒𝑛 (−𝑥) = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
PRÁTICA 
P8) Calcule o valor de 𝑠𝑒𝑛 780°. 
P9) Calcule o valor de 𝑠𝑒𝑛 
5𝜋
6
rad. 
P10) Obtenha os valores reais de m para que se possa ter 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 
2−𝑀
3
. 
P11) Calcule o valor da expressão 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝜋 + 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 + ⋯ + 𝑠𝑒𝑛 15𝜋. 
 
 
B I Z U 
Dois números são simétricos (opostos) se possuem o mesmo módulo . 
 
Função cosseno - Noção de cosseno 
 
Na figura, utilizando o triangulo retângulo 𝑂𝑃𝑃2, podemos escrever cos 𝑥 =
𝑂𝑃2
𝑂𝑃
. Como 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ é unitário, temos que cos 𝑥 = 𝑂𝑃2. 
 
 
Dessa forma, para encontrarmoso cosseno de um ângulo, basta projetar ortogonalmente a extremidade do arco correspondente 
sobre o eixo horizontal e medir a distância entre essa projeção e o centro O do ciclo, sempre levando em conta a orientação do eixo 
(para a direita). 
 
PRÁTICA 
 
P12) Represente no ciclo trigonométrico e determine o valor de cos 60°. 
Para o caso de ângulo fora do 1° quadrante, o procedimento é análogo ao apresentado na figura anterior. Na figura abaixo, sejam x, y e z 
ângulos do 2°, 3° e 4° quadrantes, respectivamente. Projetando suas extremidades, obtemos, respectivamente, os pontos X, Y e Z. Daí, 
cos 𝑥 = 𝑂𝑋 (𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) 
cos 𝑦 = 𝑂𝑌 (𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) 
 
cos 𝑧 = 𝑂𝑍 (𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜) 
 
 
B I Z U 
Daqui em diante, o eixo horizontal será denominado eixo dos cossenos. 
 
Definição 
 
Dado um número real x, podemos associar a ele o valor do cosseno de um ângulo de 𝑥 𝑟𝑎𝑑, ou de arco de 𝑥 𝑟𝑎𝑑. 
 
O domínio dessa função é os reais. 
O contradomínio dessa função é os reais. 
O conjunto imagem dessa função e o intervalo [-1,+1] 
A imagem da função cosseno é positiva no 1° e 4° quadrantes. 
A imagem da função cosseno é negativa no 2° e 3° quadrantes. 
 
 
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45 
Simetria no estudo do cosseno 
 
Usando a simetria, podemos relacionar o cosseno de um arco de qualquer quadrante com os valores do 1° quadrante. 
 
 Redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante. 
 
Os arcos X e (180° − x) têm cossenos simétricos. 
 
cos(180° − 𝑥) = − cos 𝑥 OU cos(π − x) = − cos x 
 
 Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante. 
 
Os arcos (180 + 𝑥) e x têm cossenos. 
 
cos(180° + 𝑥) = − cos 𝑥 OU x e (π + x) = − cos x 
 
 Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante. 
 
Os arcos x e (360° − 𝑥) têm cossenos iguais. 
 
cos(360° − 𝑥) = cos 𝑥 OU cos(2𝜋 − 𝑥) = cos 𝑥 
 
PRÁTICA 
P13) Calcule o valor de cos 150°. 
P14)Calcule o valor de cos 240°. 
P15) Quais os valores de 𝛼 para que se tenha cos 𝑥 =
2𝛼−3
4
 ? 
P16) Calcule o valor da expressão 𝑦 = cos 𝜋 + cos 2𝜋 + ⋯ + cos 10𝜋. 
 
 
Função tangente - Noção de tangente 
 
Considere na circunferência trigonométrica a reta t, tangente à circunferência no ponto A, com a mesma orientação do eixo y. 
Considere um arco AB de medida x no círculo trigonométrico 
 
Da semelhança de triângulos, vem que ∆𝑂𝐴𝑇 ~ ∆𝑂𝑅𝑃. 
 
Daí, 
𝑃𝑅
𝑂𝑅
=
𝐴𝑇
𝑂𝐴
 →
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
=
𝐴𝑇
1
 
Como 
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 𝑡𝑔𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑡𝑔𝑥 = 𝐴𝑇 > 0 
 
PRÁTICA 
 
P17) Represente no ciclo trigonométrico e determine o valor de 𝑡𝑔 60°. 
 
 
B I Z U 
Daqui em diante, o eixo paralelo ao eixo dos senos e tangente ao ciclo pelo ponto A será denominado 
eixo das tangentes. 
 
Definição 
 
Dado um número real 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 𝜖 𝑍, podemos associar a ele o valor da tangente de um ângulo de x 𝑟𝑎𝑑, ou de um arco x 𝑟𝑎𝑑. 
 
 
 
A = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 𝜖 𝑍} 
 
O domínio dessa função é D = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 𝜖 𝑍} 
O contradomínio dessa função é os reais. 
O conjunto imagem dessa função é os reais. 
A imagem da função tangente é positiva no 1° e 3° quadrantes. 
A imagem da função tangente é negativa no 2° e 4° quadrantes. 
 
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46 
Simetria no estudo da tangente 
 
Usando a simetria, podemos relacionar a tangente de um arco qualquer quadrante com valores do primeiro quadrante. 
 
 Redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante. 
 
Os arcos (180° − 𝑥) e x têm tangentes simétricas. 
 
𝑡𝑔(180° − 𝑥) = −𝑡𝑔𝑥 OU 𝑡𝑔(𝜋 − 𝑥) = −𝑡𝑔 𝑥 
 
 Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante. 
 
Os arcos (180° + 𝑥) e x têm tangentes iguais. 
 
𝑡𝑔(180° + 𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥 OU 𝑡𝑔(𝜋 − 𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥. 
 
 Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante. 
 
Os arcos (360° − 𝑥)𝑒 𝑥 têm tangentes simétricas. 
 
𝑡𝑔 (360° − 𝑥) = − 𝑡𝑔 𝑥 OU 𝑡𝑔 (2𝜋 − 𝑥) = − 𝑡𝑔 𝑥. 
 
B I Z U 
A função tangente é ímpar, ou seja, 𝑡𝑔(−𝑥) = −𝑡𝑔 𝑥, ∀ 𝑥 ∈ 𝐷. 
 
PRÁTICA 
P18) Calcule o valor de 𝑡𝑔 150° 
P19) Calcule o valor de 𝑡𝑔 240° 
P20) Calcule o parâmetro M, de modo que exista o arco x tal que 𝑡𝑔 𝑥 = 
𝑚+5
𝑚
 𝑒 𝑥 ∈ ]270°, 360°[. 
P21) Determine o domínio da função 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥 + 60°). 
 
 
Função cotangente - Noção de cotangente 
 
Considere na circunferência trigonométrica a reta t, tangente à circunferência no ponto B, com a mesma orientação do eixo X. 
Considere o arco AP de medida x no ciclo trigonométrico. 
 
 
PRÁTICA 
P22) Represente no ciclo trigonométrico e determine o valor de 𝑐𝑜𝑡𝑔 60°. 
 
 
B I Z U 
Daqui em diante, o eixo paralelo ao eixo dos cossenos e tangente ao ciclo pelo ponto B, que é 
extremidade do arco 
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑, será denominado eixo cotangente 
 
Definição 
 
Chamamos de função cotangente a função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑜𝑢 𝑓(𝑥) =
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ∈ 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≠ 0. 
 
 
A imagem da função cotangente é positiva nos 1° e 3° quadrantes. 
A imagem da função cotangente é negativa nos 2° e 4° quadrantes. 
 
PRÁTICA 
P23) Calcule o valor de 𝑐𝑜𝑡𝑔 150°. 
P24) Calcule o valor de 𝑐𝑜𝑡𝑔 240°. 
P25) Determine o domínio da função 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔 (𝑥 +
𝜋
2
). 
P26) Sendo x um arco do 2° quadrante, qual é o sinal da expressão 𝑦 =
𝑡𝑔𝑥∙𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥+
𝜋
2
)
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥∙𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥+𝜋)
. 
 
 
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47 
Função secante - Noção de secante 
 
Seja x um arco do 1° quadrante e de extremidade P. Considere na circunferência trigonométrica a reta t, tangente à circunferência 
no ponto P, que intercepta o eixo dos cossenos no ponto S. 
 
No triângulo retângulo OSP, podemos afirmar que: 
 
cos 𝑥 =
𝑂𝑃
𝑂𝑆
=
1
𝑂𝑆
. 
cos 𝑥 =
1
𝑂𝑆
 → 𝑂𝑆 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
. 
 
A relação 
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
 será chamada de secante de x. 
Daí, sec 𝑥 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 𝑂𝑆̅̅̅̅ > 0. 
 
PRÁTICA 
P27) Represente no ciclo trigonométrico e determine o valor da sec 60°. 
 
 
Definição 
 
Chamamos de função secante a função definida por 𝑓(𝑥) = sec 𝑥 𝑜𝑢 𝑓(𝑥) =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
, para todo 𝑥 ∈ 𝑅 tal que cos 𝑥 ≠ 0. 
O domínio dessa função é D= {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑐𝑜𝑚 𝑘 ∈ 𝑍}. 
A imagem dessa função é Im= {𝑦 ∈ 𝑅 / 𝑦 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑦 ≥ +1}. 
Sinais da função secante. 
 
A imagem da função secante é positiva nos 1° e 4° quadrantes. 
A imagem da função secante é negativa nos 2° e 3° quadrantes. 
 
PRÁTICA 
P28) Calcule o valor de sec 150°. 
P29) Calcule o valor de sec 240°. 
P30)Determine o domínio da função 𝑓(𝑥) = sec (𝑥 +
𝜋
8
). 
P31) Sendo x um arco do 3° quadrante qual é o sinal da expressão 𝑦 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥∙cos 𝑥∙sec 𝑥
𝑡𝑔 𝑥∙sec(𝑥+𝜋)
. 
 
 
Função cossecante - Noção de cossecante 
 
Seja x um arco do 1° quadrante e de extremidade P. Considere na circunferência trigonométrica a reta t, tangente à circunferência 
trigonométrica no ponto P, que intercepta o eixo dos senos no ponto C. 
 
No triângulo retângulo COP, podemos afirmar que: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
𝑂𝑃̅̅ ̅̅
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
=
1
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
1
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
 → 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ =
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
. 
A relação 
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
 será chamada cossecante de x. 
Daí, 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
= 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ > 0. 
 
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48 
PRÁTICA 
P32) Represente no ciclo trigonométrico e determine o valor de 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 60°. 
 
 
Definição 
 
Chamamos de função cossecante a função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑜𝑢 𝑓(𝑥) =
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ∈ 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≠ 0. 
O domínio dessa função é D= {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑐𝑜𝑚 𝑘 ∈ 𝑍}. 
A imagem dessa função é Im={𝑦 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑦 ≥ +1}. 
Sinais da função cossecante. 
 
A imagem da função cossecante é positiva nos 1° e 2° quadrantes. 
A imagem da função cossecante é negativa nos 3° e 4° quadrantes. 
 
PRÁTICA 
P33) Calcule o valor de 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 150°. 
P34) Calcule o valor de 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 240°. 
P35) Determine o domínio da função 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑥(𝑥 −
𝜋
2
). 
P36) Sendo x um arco do 3° quadrante, qual é o sinal da expressão 𝑦 =
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 ∙𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 (𝑥−𝜋)
sec (𝑥+
𝜋
2
)∙𝑡𝑔(𝑥−𝜋/2)
. 
 
 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
1- (VUNESP) Certa função f(x) é representada pelo gráfico em 
coordenadas cartesianas a seguir, onde os pontos A (p/2, 0) e B 
(p, 2) pertencem ao gráfico de f(x). 
 
A função f(x) pode ser expressa por 
 
a) f(x) = sen 2x + 2. d) f(x) = cos 2x + 1. 
b) f(x) = cos 3x + 2. e) f(x) = sen x + 1. 
c) f(x) = sen 3x + 3. 
 
2- (CESGRANRIO) Considere as funções f(x) 2cosx e g(x) 1+ 4 
cos x , ambas de domínio real. No intervalo [0; 2𝜋 ] , um dos 
valores de x que satisfaz a igualdade f(x) g(x) é 
 
a) 𝜋 ⁄ 6 b) 𝜋 ⁄ 3 c) 2 𝜋 ⁄ 3 d) 5 𝜋 ⁄ 6 e) 5 𝜋 ⁄ 3 
 
3- (FIP) A função 𝑔(𝑥) =
2 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥
 intercepta o gráfico da função 
f (x) = 3 tg x em qual ponto? 
 
a) 𝑥 =
𝜋
6
 b) 𝑥 =
𝜋
3
 c) 𝑥 =
𝜋
4
 d) 𝑥 =
𝜋
2
 e) 𝑥 = 𝜋 
 
4- (FIP) Dada a função f (x) = sen x - cos x , quantos zeros tem 
a função no intervalo [0; 3𝜋]? 
 
a) nenhum d) três 
b) um e) quatro 
c) dois 
 
5- (CESPE) Acerca da função f(x)=arctg x, que é a função 
inversa de g(x)=tg x, para −
𝜋
2
< 𝑥
𝜋
2
, julgue os itens a seguir. 
A reta 𝑦 = −
𝜋
2
é uma assíntota horizontal ao gráfico de f. 
 
( )Certo ( )Errado 
 
6- (CESGRANRIO) Qual o gráfico que melhor representa a 
função de IR em IR definida por (x)=3.sen ( 2x + p/3 )? 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
7- (FIP) Dada a função f (x) = 2 + 3sen(7x) , quais são o período 
e a imagem de f(x) ? 
 
a) Período = 7 𝜋 e Imagem = [-3 ; 2] 
b) Período = 
3𝜋
7
 e Imagem = [-1 ; 1] 
c) Período = 
7𝜋
3
 e Imagem = [-3 ; 3] 
d) Período = 
2𝜋
7
 e Imagem = [-1 ; 5] 
e) Período = 
2𝜋
3
 e Imagem = [-7 ; 7] 
 
8- (CESGRANRIO) O período da função x=3sen [ 
1
2
 (t+ 𝜋 )], onde t 
é a variável independente e assume qualquer valor real, é 
 
a) 4 𝜋 b) 4 c) 
𝜋
4
 d) 4+ 𝜋 
 
GABARITO 
1D 2C 3A 4D 5C 6C 7D 8A 
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49 
Trigonometria 
Capítulo 13 
Funções Trigonométricas Inversas 
 
Função arco-seno 
 
A função arco-seno nada mais é do que a função inversa da função seno: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥. Todavia, para que a função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 tenha inversa, 
ela deve ser bijetora, ou seja, sobrejetora e injetora. O domínio da função seno é os reais, o que torna ela não injetora. Por exemplo: 
 
𝑥1 =
𝜋
6
 ≠ 𝑥2 =
5𝜋
6
→ 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) 
 
Esse fato mostra que 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 não é injetora e, conseqüentemente, não é bijetora. 
Daí, faremos uma restrição no domínio da função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 para torná-la bijetora e, conseqüentemente, invisível, considere o 
domínio da função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 como seque: 𝐷 = [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] 
A função inversa de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 é definida por: 𝑓−1(𝑥) = 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥  𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 𝑥 e –
𝜋
2
≤ 𝑦 ≤
𝜋
2
 
A função f(x) associa a cada arco correspondente (𝑑𝑒 –
𝜋
2
 𝑎 
𝜋
2
) o valor do seno ( de -1 até 1). 
A função 𝑓−1(𝑥) associa a cada valor do seno (-1 a +1) o arco correspondente (𝑑𝑒 –
𝜋
2
 𝑎 
𝜋
2
). 
Segue abaixo os gráficos das funções 𝑓(𝑥) e 𝑓−1(𝑥). 
 
O gráfico de 𝑓−1 é simétrico ao gráfico de 𝑓 em relação à bissetriz do 1º e do 3º quadrantes. 
 
PRÁTICA 
P1) Seja 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥. Calcule o valor de 𝑓 (
√3
2
2
). Determine cos (𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
1
3
). 
 
 
Função arco-cosseno 
 
Do mesmo modo, a função arco-cosseno nada mais é do que a função inversa da função cosseno: 𝑓(𝑥) = cos 𝑥. Faremos uma restrição 
na função 𝑓 a fim de torná-la bijetora e, conseqüentemente, invisível. 
 
Considere o domínio da função 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 como segue: 𝐷 = [0, 𝜋] 
 
A função inversa de 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 é definida por 𝑓−1(𝑥) = 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑥  cos 𝑦 = 𝑥 e 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋. 
A função 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 associa cada arco correspondente (de 0 a 𝜋) ao valor do cosseno (de -1 até +1). 
 
Segue abaixo os gráficos das funções 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑓−1(𝑥). 
 
 
PRÁTICA 
P2) Seja 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑥 . Calcule o valor de 𝑓(0). Determine cos (𝑎𝑟𝑐 cos
1
2
). 
 
 
1.1. Função arco-tangente. 
 
Seguindo o mesmo raciocínio, a função arco-tangente é a inversa da função 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥. Para que ela se torne invisível, é necessário 
transformá-la em injetora; novamente é necessário restringir o domínio. 
 
Considere o domínio da função 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥 como segue: 𝐷 = ]−
𝜋
2
,
𝜋
2
[ 
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50 
 
A função inversa de 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥 é definida por: 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥  𝑡𝑔 𝑦 = 𝑥 e –
𝜋
2
≤ 𝑦 ≤
𝜋
2
. 
 
A função 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥 associa cada arco correspondente (𝑑𝑒 –
𝜋
2
 𝑎 
𝜋
2
) ao valor da tangente (de -∞ a +∞). 
 
A função 𝑓−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 associa a cada valor da tangente (qualquer número real) o arco correspondente (𝑑𝑒 –
𝜋
2
 𝑎 
𝜋
2
, excluindo os 
extremos). 
 
Segue abaixo os gráficos das funções 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑓−1(𝑥). 
 
 
 
PRÁTICA 
P3) Descubra o valor de A tal que A = 3 ∙ 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 √3
2
. 
P4) Descubra o valor de B tal que B = 𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔√2
2
). 
 
 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
 
1- (ITA) seja S= {𝑥 ∈ ℝ| 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (
𝑒−𝑥−𝑒𝑥
2
) + 𝑎𝑟𝑐 cos (
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2
) =
𝜋
2
}. Então, 
 
a) S = ∅ 
b) S = {0} 
c) S = ℝ∗\{0} 
d) S = ℝ∗ 
e) S = ℝ 
 
2- (ITA) Considere os contradomínios das funções arco-seno e arco-
cosseno como sendo [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] e [0, 𝜋], respectivamente. Com respeito À 
função 𝑓: [−1,1] → [−
𝜋
2
,
3𝜋
2
], 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 + arccos 𝑥, temos que: 
 
a) f é não-crescente e ímpar. 
b) f não é par nem ímpar. 
c) f é sobrejetora. 
d) f é injetora. 
e) f é constante 
 
3- (ITA) Considere as funções 
 
a) 6/25 
b) 7/25 
c) 1/3 
d) 2/5 
e) 5/12 
 
4 -(MACKENZIE) O valor da  
















3
22
arcsentg
é: 
a) 2 
b) 
3
2 
c) 23 
d) 22 
e) 
2
23 
 
5- (FCMSC) Se 







 

2
3
.3 arcsen , então cos2 é: 
a) –1 b) 
2
1
 c) 0 d)
2
1
 
e) 1 
 
6- (FCMSC) O intervalo RI  que contém todas as soluções da 
inequação 
62
1
arctan
2
1
arctan




 xx
 é: 
 
a) [-1,4] 
b) [-3,1] 
c) [-2,3] 
d) [0,5] 
e) [4,6] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1B 2E 3C 4D 5E 6C