Teorema de Green

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Capítulo 15 / Tópicos do cálculo vetorial 1115
Entretanto, a integral de linha em relação a y é nula ao longo do segmento de reta horizontal 
C2, de modo que essa equação simplifica para
 
(8)
Para calcular a integral nessa expressão, consideramos y como uma constante e expressamos 
a reta C2 parametricamente como
x = t, y = y (x1 ≤ t ≤ x)
Correndo o risco de confundir o leitor, mas para evitar complicar a notação, usamos x como 
variável dependente nas equações paramétricas e como o ponto extremo do segmento de reta. 
Com a última interpretação de x, segue que (8) pode ser expressa como
Aplicamos, agora, a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo (Teorema 5.6.3, no Volume 
1), tratando y como uma constante, o que dá
e prova a primeira parte de (6). A prova de que ∂φ/∂y = g(x, y) pode ser obtida de maneira 
análoga unindo (x, y) a um ponto (x, y1) por um segmento de reta vertical (Exercício 39). ■
 ■ UM TESTE PARA CAMPOS VETORIAIS CONSERVATIVOS
Apesar de o Teorema 15.3.2 ser uma caracterização importante dos campos vetoriais con-
servativos, não é uma ferramenta de cálculo eficiente porque, geralmente, não é possível 
calcular a integral de trabalho em todas as curvas lisas por partes em D, como exigido nas 
partes (b) e (c). Para desenvolver um método para determinar se um campo vetorial é con-
servativo, precisamos introduzir alguns conceitos sobre curvas paramétricas e conjuntos 
conexos. Diremos que uma curva paramétrica é simples se ela não intersecta a si mesma 
entre seus pontos extremos. Uma curva paramétrica simples pode ou não ser fechada (Fi-
gura 15.3.5). Além disso, diremos que um conjunto conexo do espaço bidimensional é 
simplesmente conexo se nenhuma curva simples fechada em D envolver pontos que não 
pertençam a D. Enunciando informalmente, um conjunto conexo D é simplesmente conexo 
se não tiver buracos; um conjunto conexo com um ou mais buracos é dito multiplamente 
conexo (Figura 15.3.6).
r(a)
r(a) = r(b)
r(b)
r(b) r(a) r(a) = r(b)
Não simples e
não fechada
Fechada, mas
não simples
Simples, mas
não fechada
Simples e
fechada
Figura 15.3.5
Simplesmente
conexo
Multiplamente
conexo
Figura 15.3.6
1116 Cálculo
O seguinte teorema é a principal ferramenta para determinar se um campo vetorial no 
espaço bidimensional é conservativo.
15.3.3 TEOREMA (Teste de Campo Conservativo) Se f (x, y) e g(x, y) forem contínu-
as e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em alguma região aberta D 
e se o campo vetorial F(x, y) = f (x, y)i + g(x, y)j for conservativo em D, então
 
(9)
em cada ponto de D. Reciprocamente, se D for simplesmente conexo e (9) valer em cada 
ponto de D, então F(x, y) = f (x, y)i + g(x, y)j é conservativo.
Uma demonstração completa desse teorema requer resultados de Cálculo avançado e será 
omitida. Entretanto, não é difícil ver por que (9) vale se F for conservativo. Para isso, supo-
nha que F = ∇φ, caso em que podemos escrever as funções f e g como
 
(10)
Assim,
Contudo, as derivadas parciais mistas nessas equações são iguais (Teorema 13.3.2), logo 
segue (9).
 � Exemplo 3 Use o Teorema 15.3.3 para determinar se o campo vetorial
F(x, y) = (x + y)i + (y − x)j
é conservativo em algum conjunto aberto.
Solução Seja f (x, y) = x + y e g(x, y) = y − x. Então
Assim, não há pontos no plano xy em que se verifique a condição (9), portanto F não é con-
servativo em qualquer conjunto aberto. �
Como o campo vetorial F do Exemplo 3 não é conservativo, segue do Teorema 15.3.2 que devem existir curvas 
fechadas lisas por partes em cada conjunto aberto conexo no plano xy, nas quais
Tal curva é o círculo mostrado na Figura 15.3.7. A figura sugere que F · T < 0 em cada ponto de C (por quê?), 
de modo que 
C
 F · Tds > 0.
OBSERVAÇÃO
Uma vez estabelecido que um campo vetorial é conservativo, pode ser obtida uma fun-
ção potencial do campo integrando, primeiramente, qualquer uma das equações em (10). O 
exemplo a seguir ilustra essa afirmação.
−2 −1 0 1 2
−2
−1
0
1
2
F(x, y) = (y + x)i + (y − x)j
Vetores fora de escala
Figura 15.3.7
ADVERTÊNCIA
Em (9), o componente i de F é deri-
vado em relação a y e o componente 
j, em relação a x. É fácil inverter essa 
ordem por engano.
Capítulo 15 / Tópicos do cálculo vetorial 1117
 � Exemplo 4 Seja F(x, y) = 2xy3i + (1 + 3x2y2)j.
 (a) Mostre que F é um campo vetorial conservativo em todo o plano xy.
 (b) Determine φ integrando primeiro ∂φ/∂x.
 (c) Determine φ integrando primeiro ∂φ/∂y.
Solução (a) Como f(x, y) = 2xy3 e g(x, y) = 1 + 3x2y2, temos
portanto (9) vale em cada (x, y).
Solução (b) Como o campo F é conservativo, há uma função potencial φ tal que
 
(11)
Integrando a primeira dessas equações em relação a x (e tratando y como uma constante), 
obtemos
 
(12)
onde k(y) representa a “constante” de integração. Justifica-se tratar a constante de integração 
como uma função de y, visto que y é mantida constante no processo de integração. Para deter-
minar k(y), diferenciamos (12) em relação a y e usamos a segunda equação de (11) para obter
da qual segue que k�(y) = 1 Assim,
onde K é uma constante de integração (numérica). Substituindo em (12), obtemos
φ = x2y3 + y + K
O surgimento da constante arbitrária K nos diz que φ não é única. Para conferir os cálculos, o 
leitor pode querer verificar que ∇φ = F.
Solução (c) Integrando a segunda equação de (11) em relação a y (e tratando x como uma 
constante), temos
 
(13)
onde k(x) é a “constante” de integração. Diferenciando (13) em relação a x e usando a primei-
ra equação de (11) temos
da qual segue que k�(x) = 0 e, consequentemente, que k(x) = K, onde K é uma constante de 
integração numérica. Substituindo em (13), obtemos
φ = y + x2y3 + K
que está de acordo com a solução da parte (b). �
Também podemos usar (7) para en-
contrar uma função potencial de um 
campo conservativo. Por exemplo, 
encontre uma função potencial do 
campo vetorial do Exemplo 4 calcu-
lando (7) no segmento de reta
r(t) = t(xi) + t(y j) (0 ≤ t ≤ 1)
de (0, 0) até (x, y).
1118 Cálculo
 � Exemplo 5 Use a função potencial obtida no Exemplo 4 para calcular a integral
Solução O integrando pode ser expresso como F · dr, onde F é o campo vetorial do Exem-
plo 4. Assim, usando a Fórmula (3) e a função potencial φ = y + x2y3 + K de F, obtemos
 � Exemplo 6 Seja F(x, y) = eyi + xeyj um campo de forças no plano xy.
 (a) Verifique que o campo vetorial F é conservativo em todo o plano xy.
 (b) Determine o trabalho realizado pelo campo em uma partícula que se move de (1, 0) até 
(−1, 0) ao longo do caminho semicircular C mostrado na Figura 15.3.8.
Solução (a) Para o campo dado, temos f (x, y) = ey e g(x, y) = xey. Assim,
de modo que (9) vale em cada (x, y) e, portanto, F é conservativo em todo o plano xy.
Solução (b) Pela Fórmula (34) da Seção 15.2, o trabalho realizado pelo campo é
 
(14)
Entretanto, os cálculos envolvidos na integração ao longo de C são cansativos, de modo que é 
preferível aplicar o Teorema 15.3.1, tirando vantagem do fato de que o campo é conservativo 
e a integral é independente do caminho. Assim, escrevemos (14) como
 
(15)
Como ilustrado no Exemplo 4, podemos determinar φ integrando qualquer uma das equações
 
(16)
Vamos integrar a primeira. Obtemos
 
(17)
Diferenciando essa equação em relação a y e usando a segunda equação de (16), temos
da qual obtém-se k�(y) = 0 ou k(y) = K. Assim, por (17)
φ = xey + K
e, portanto, por (15)
W = φ(−1, 0) − φ(1, 0) = (−1)e0 − 1e0 = −2 �
−1 0 1
0
1
Vetores fora de escala
Figura 15.3.8
Na solução do Exemplo 5, observe 
que a constante K desaparece. Em 
problemas de integração futuros, mui-
tas vezes, omitiremos K nos cálculos. 
Veja o Exemplo 7 para outras manei-
ras de calcular essa integral.
Capítulo 15 / Tópicos do cálculo vetorial 1119
 ■ CAMPOS VETORIAIS CONSERVATIVOS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL
Todos os resultados desta seção têm análogos no espaço tridimensional: os Teoremas 15.3.1 
e 15.3.2 podem ser estendidos ao espaço tridimensional simplesmente adicionandouma ter-
ceira variável e modificando as hipóteses adequadamente. Por exemplo, no espaço tridimen-
sional, a Fórmula (3) torna-se
 (18)
O Teorema 15.3.3 também pode ser estendido para campos vetoriais do espaço tridi-
mensional. Deixamos como exercício provar que se F(x, y, z) = f (x, y, z)i + g(x, y, z)j + 
h(x, y, z)k for um campo conservativo, então
 (19)
isto é, rot F = 0. Reciprocamente, um campo vetorial que satisfaça essas condições em uma 
região convenientemente restrita é conservativo naquela região se f, g e h forem contínuas 
e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas na região. Alguns problemas en-
volvendo as Fórmulas (18) e (19) são dados nos exercícios de revisão ao fim deste capítulo.
 ■ CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
Se F(x, y, z) for um campo de forças conservativo com função potencial φ(x, y, z), então di-
zemos que V(x, y, z) = −φ(x, y, z) é a energia potencial do campo no ponto (x, y, z). Assim, 
pela versão do espaço tridimensional do Teorema 15.3.1, o trabalho W realizado pela força F 
em uma partícula que se move ao longo de qualquer caminho C, de um ponto (x0, y0, z0) até 
um ponto (x1, y1, z1), está relacionado à energia potencial pela equação
 
(20)
Isto é, o trabalho realizado pelo campo é o negativo da variação na energia potencial. Em 
particular, segue, do análogo no espaço tridimensional do Teorema 15.3.2, que se uma 
partícula percorre um caminho fechado liso por partes em um campo vetorial conservati-
vo, o trabalho realizado pelo campo é nulo e não há mudança na energia potencial. Dando 
um passo adiante, suponha que uma partícula de massa m se mova ao longo de uma curva 
lisa por partes qualquer (não necessariamente fechada) em um campo vetorial conserva-
tivo F, começando em (x0, y0, z0) com velocidade vi e terminado em (x1, y1, z1) com ve-
locidade vf. Se F for a única força atuando na partícula, então um argumento análogo ao 
utilizado na dedução da Equação (6) da Seção 6.6, no Volume 1, mostra que o trabalho 
realizado na partícula por F é igual à variação na energia cinética da partí-
cula. Se denotarmos por Vi a energia potencial no ponto inicial e por Vf a energia no ponto 
final, segue de (20) que
que podemos reescrever como
Essa equação diz que a energia total da partícula (energia cinética + energia potencial) não 
muda à medida que a partícula se move ao longo de um caminho em um campo vetorial 
conservativo. Esse resultado, chamado de princípio da conservação da energia, explica a 
origem do termo “campo vetorial conservativo”.
1120 Cálculo
✔ EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 15.3 (Ver página 1121 para respostas.)
 1. Se C for uma curva lisa por partes de (1, 2, 3) a (4, 5, 6), então
 2. Se C for a parte do círculo x2 + y2 = 1 com 0 ≤ x, orientada no 
sentido anti-horário, e se f (x, y) = yex, então
 3. Uma função potencial do campo vetorial
F(x, y, z) = yzi + (xz + z)j + (xy + y + 1)k
 é φ(x, y, z) = __________.
 4. Se a, b e c forem números reais não nulos tais que o campo 
vetorial x5y ai + xbycj seja conservativo, então
a = __________, b = __________, c = __________.
EXERCÍCIOS 15.3 CAS
1-6 Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, en-
contre uma função potencial do campo. ■
 1. F(x, y) = xi + yj 2. F(x, y) = 3y2i + 6xyj
 3. F(x, y) = x2yi + 5xy2j
 4. F(x, y) = ex cos yi − ex sen yj
 5. F(x, y) = (cos y + y cos x)i + (sen x − x sen y)j
 6. F(x, y) = x ln yi + y ln xj
 7. Em cada parte, calcule 
C
 2xy3 dx + (1 + 3x2y2) dy ao longo 
da curva C e compare sua resposta com o resultado obtido no 
Exemplo 5.
 (a) C é o segmento de reta de (1, 4) até (3, 1)
 (b) C consiste no segmento de reta de (1, 4) até (1, 1), seguido 
pelo segmento de reta de (1, 1) até (3, 1).
 8. (a) Mostre que a integral de linha 
C
 y sen x dx − cos x dy é 
independente do caminho.
 (b) Calcule a integral da parte (a) ao longo de reta de (0, 1) até 
(π, −1).
 (c) Calcule a integral usando o 
Teorema 15.3.1 e confirme que o valor é o mesmo que o 
obtido na parte (b).
9-14 Mostre que a integral é independente do caminho e use o Teo-
rema 15.3.1 para determinar seu valor. ■
 9. 
 10. 
 11. 
 12. 
 13. 
 14. , onde x e y são 
positivos.
15-18 Confirme que o campo de forças F é conservativo em algu-
ma região aberta conexa contendo os pontos P e Q e, então, calcule 
o trabalho realizado pelo campo de forças em uma partícula que se 
move de P até Q ao longo de uma curva lisa arbitrária na região de 
P até Q. ■
 15. F(x, y) = xy2i + x2yj; P (1, 1), Q (0, 0)
 16. F(x, y) = 2xy3i + 3x2y2j; P (−3, 0), Q (4, 1)
 17. F(x, y) = yexyi + xexyj; P (−1, 1), Q (2, 0)
 18. F(x, y) = e−y cos xi + e−y sen xj; P (π/2, 1), Q (−π/2, 0)
19-22 Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verda-
deira ou falsa. Explique sua resposta. ■
 19. Se F for um campo vetorial e existir alguma curva fechada C 
tal que 
C
 F · dr = 0, então F será conservativo.
 20. Se F(x, y) = ayi + bxj for um campo vetorial conservativo, 
então a = b.
 21. Se φ(x, y) for uma função potencial de um campo vetorial 
constante, então o gráfico de z = φ(x, y) será um plano.
 22. Se f (x, y) e g(x, y) forem funções diferenciáveis defini-
das no plano xy e se fy(x, y) = gx(x, y) em cada (x, y), en-
tão existirá alguma função φ(x, y) tal que φx(x, y) = f (x, y) e 
φy(x, y) = g(x, y).
23-24 Encontre o valor exato de 
C 
F · dr usando qualquer mé-
todo. ■
 23. F(x, y) = (ey + yex)i + (xey + ex)j
C: r(t) = sen (πt/2)i + ln t j (1 ≤ t ≤ 2)
 24. F(x, y) = 2xyi + (x2 + cos y)j
C: r(t) = t i + t cos (t/3) j (0 ≤ t ≤ π)
 25. Use a capacidade de integração numérica de um CAS ou ou-
tro recurso para aproximar o valor da integral do Exercício 23 
por integração direta. Confirme que a aproximação numérica é 
consistente com o valor exato.
 26. Use a capacidade de integração numérica de um CAS ou ou-
tro recurso para aproximar o valor da integral do Exercício 24 
por integração direta. Confirme que a aproximação numérica é 
consistente com o valor exato.
Capítulo 15 / Tópicos do cálculo vetorial 1121
27-28 O campo vetorial dado é conservativo? Explique. ■
 27. 28. 
x
y
 
x
y
 29. Seja C um círculo no domínio no plano xy de um campo 
vetorial conservativo de funções componentes contínuas. 
Explique por que devem existir pelo menos dois pontos em 
C em que o campo vetorial é normal ao círculo.
 30. O resultado do Exercício 29 permanece verdadeiro se o cír-
culo C for trocado por um quadrado? Explique.
ENFOCANDO CONCEITOS
 31. Prove: Se
F(x, y, z) = f(x, y, z)i + g(x, y, z)j + h(x, y, z)k
 for um campo conservativo e f, g e h forem contínuas e tiverem 
derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma região, 
então
 na região.
 32. Use o resultado do Exercício 31 para mostrar que a integral
 é dependente do caminho.
 33. Encontre uma função não nula h para a qual
 seja conservativo.
 34. (a) No Exemplo 3 da Seção 15.1, mostramos que
 é uma função potencial do campo de quadrado inverso 
bidimensional
 mas não explicamos como a função potencial φ(x, y) foi 
obtida. Use o Teorema 15.3.3 para mostrar que o campo 
de quadrado inverso bidimensional é conservativo em toda 
parte, exceto na origem e, então, use o método do Exem-
plo 4 para deduzir a fórmula de φ(x, y).
 (b) Use uma generalização apropriada do método do Exemplo 
4 para deduzir a função potencial
 do campo de quadrado inverso tridimensional, dado pela 
Fórmula (5) da Seção 15.1.
35-36 Use o resultado do Exercício 34(b). ■
 35. Em cada parte, encontre o trabalho realizado pelo campo de 
quadrado inverso tridimensional
 em uma partícula que se move ao longo da curva C.
 (a) C é o segmento de reta de P(1, 1, 2) para Q(3, 2, 1).
 (b) C é a curva 
 onde 0 ≤ t ≤ 1.
 (c) C é o círculo de raio 1 no plano xy centrado em (2, 0, 0) 
percorrido no sentido anti-horário.
 36. Seja 
 (a) Mostre que
 se C1 e C2 forem os trajetos semicirculares de (1, 0) até 
(−1, 0) dados por
C1: x = cos t, y = sen t (0 ≤ t ≤ π)
C2: x = cos t, y = −sen t (0 ≤ t ≤ π)
 (b) Mostre que os componentesde F satisfazem a Fórmula (9).
 (c) Os resultados das partes (a) e (b) violam o Teorema 
15.3.3? Explique.
 37. Prove o Teorema 15.3.1 se C for uma curva lisa por partes 
composta de curvas lisas C1, C2,...,Cn.
 38. Prove que (b) implica (c) no Teorema 15.3.2. [Sugestão: Con-
sidere quaisquer duas curvas orientadas lisas por partes C1 e C2 
na região desde um ponto P até um ponto Q e integre em torno 
da curva fechada consistindo em C1 e −C2.]
 39. Complete a prova do Teorema 15.3.2 mostrando que ∂φ/∂y =
g(x, y), onde φ(x, y) é a função dada em (7).
 40. Texto Descreva os vários métodos disponíveis para calcular a 
integral de um campo conservativo ao longo de uma curva lisa.
 41. Texto Discuta algumas das maneiras pelas quais é possível 
mostrar que um campo vetorial não é conservativo.
✔ RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 15.3
1. 18 2. 2 3. xyz + yz + z 4. 6; 6; 5
1122 Cálculo
15.4 TEOREMA DE GREEN
Nesta seção, discutiremos um teorema notável e bonito que expressa uma integral dupla em 
uma região plana em termos de uma integral de linha em torno de sua fronteira.
 ■ TEOREMA DE GREEN
15.4.1 TEOREMA (Teorema de Green) Seja R uma região plana simplesmente cone-
xa, cuja fronteira é uma curva C lisa por partes, fechada, simples e orientada no sentido 
anti-horário. Se f (x, y) e g(x, y) forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira 
ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo R, então
 
(1)
DEMONSTRAÇÃO Para simplificar, demonstraremos o teorema para regiões que sejam si-
multaneamente do tipo I e tipo II (ver Definição 14.2.1). Tal região é mostrada na Figura 
15.4.1. O ponto-chave da demonstração é mostrar que
 
(2–3)
x
y
C
R
x
y
R
x
y
R
g2(x)
g1(x)
h1(y)
h2(y)
ba
d
c
R como região do tipo I R como região do tipo II
Para provar (2), considere R como uma região do tipo I, e sejam C1 e C2 as curvas de 
fronteira inferior e superior, orientadas conforme a Figura 15.4.2. Então,
ou, de maneira equivalente,
 
(4)
(Esse passo ajudará a simplificar os cálculos, uma vez que C1 e −C2 são, ambas, orientadas 
da esquerda para a direita.) As curvas C1 e −C2 podem ser expressas parametricamente como
C1: x = t, y = g1(t) (a ≤ t ≤ b)
−C2: x = t, y = g2(t) (a ≤ t ≤ b)
Figura 15.4.1
x
y
R
C2
C1
ba
Figura 15.4.2
Capítulo 15 / Tópicos do cálculo vetorial 1123
Assim, podemos reescrever (4) como
Pois
A demonstração de (3) é obtida de maneira análoga, considerando R como uma região do tipo 
II. Omitimos os detalhes. ■
 � Exemplo 1 Use o Teorema de Green para calcular
ao longo do caminho triangular mostrado na Figura 15.4.3.
Solução Como f(x, y) = x2y e g(x, y) = x, segue de (1) que
Esse resultado está de acordo com o obtido no Exemplo 10 da Seção 15.2, no qual calculamos 
a integral de linha diretamente. Note como essa solução é muito mais simples. �
George Green (1793 – 1841) Matemático e físico inglês. Gre-
en abandonou a escola com pouca idade para trabalhar na pada-
ria de seu pai e, consequentemente, teve pouca educação básica 
formal. Quando seu pai abriu um moinho, o rapaz usava o apo-
sento superior como sala de estudo, e lá aprendeu Física e Ma-
temática sozinho, lendo livros de bibliotecas. Em 1828, Green 
publicou seu trabalho mais importante, An Essay on the Appli-
cation of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity 
and Magnetism (Um Ensaio sobre a Aplicação da Análise Ma-
temática às Teorias de Eletricidade e Magnetismo). Apesar do 
Teorema de Green ter aparecido naquele trabalho, o resultado 
passou praticamente despercebido, devido à pequena tiragem e 
à distribuição apenas local. Após a morte de seu pai em 1829, 
Green foi instigado por amigos a procurar educação superior. 
Em 1833, após quatro anos de estudos autodidáticos para pre-
encher lacunas de sua educação elementar, ele foi admitido na 
Universidade Caius, em Cambridge. Formou-se quatro anos 
mais tarde, com desempenho desapontador em seus exames fi-
nais – possivelmente, porque estava mais interessado na própria 
pesquisa. Depois de uma sucessão de trabalhos sobre luz e som, 
foi nomeado Membro Perse da Universidade Caius. Dois anos 
mais tarde, morreu. Em 1845, quatro anos após a sua morte, 
seu trabalho de 1828 foi publicado, e as teorias nele desenvol-
vidas por esse obscuro autodidata, filho de padeiro, ajudaram 
a desbravar o caminho das teorias modernas de eletricidade e 
magnetismo.
Forneça os detalhes da demonstra-
ção de (3).
x
y
(1, 2)
1
Figura 15.4.3
1124 Cálculo
 ■ UMA NOTAÇÃO PARA INTEGRAIS DE LINHA AO LONGO DE CURVAS 
FECHADAS SIMPLES
É prática comum denotar uma integral de linha ao longo de uma curva fechada simples por um 
sinal de integral com um círculo sobreposto. Com essa notação, a Fórmula (1) seria escrita como
Algumas vezes, acrescentamos uma seta ao círculo para indicar se a integração é no sentido 
horário ou anti-horário. Assim, se desejarmos enfatizar o sentido anti-horário da integração 
requerida pelo Teorema 15.4.1, expressamos (1) com a notação
 
 (5)
 ■ DETERMINAÇÃO DO TRABALHO USANDO O TEOREMA DE GREEN
Segue, da Fórmula (26) da Seção 15.2, que a integral do lado esquerdo de (5) é o trabalho rea-
lizado pelo campo de forças F(x, y) = f (x, y)i + g(x, y)j em uma partícula que se move no sen-
tido anti-horário ao longo da curva fechada simples C. No caso em que esse campo vetorial for 
conservativo, segue do Teorema 15.3.2 que o integrando da integral dupla do lado direito de 
(5) é nulo, de modo que o trabalho realizado pelo campo é nulo, como esperado. Para campos 
vetoriais que não são conservativos, em geral é mais eficiente calcular o trabalho ao longo de 
curvas fechadas simples usando o Teorema de Green do que parametrizando a curva.
 � Exemplo 2 Encontre o trabalho realizado pelo campo de forças
F(x, y) = (ex − y3)i + (cos y + x3)j
em uma partícula que percorre uma vez o círculo x2 + y2 = 1 no sentido anti-horário (Figura 
15.4.4).
Solução O trabalho W realizado pelo campo é
 ■ DETERMINAÇÃO DE ÁREAS USANDO O TEOREMA DE GREEN
O Teorema de Green leva a algumas fórmulas novas para a área A de uma região R que satis-
faça as condições do teorema. Duas de tais fórmulas podem ser obtidas como segue:
−1 0 1
−1
0
1
Figura 15.4.4
Capítulo 15 / Tópicos do cálculo vetorial 1125
Pode-se obter uma terceira fórmula somando essas duas equações. Assim, temos as três fór-
mulas seguintes que expressam a área A de uma região R em termos de integrais de linha ao 
longo da fronteira:
 
(6)
 � Exemplo 3 Use uma integral de linha para calcular a área envolvida pela elipse
Solução A elipse, com orientação no sentido anti-horário, pode ser representada parame-
tricamente por
x = a cos t, y = b sen t (0 ≤ t ≤ 2π)
Se denotarmos essa curva por C, então, pela terceira fórmula em (6), a área A envolvida pela 
elipse é
 
�
 ■ O TEOREMA DE GREEN PARA REGIÕES MULTIPLAMENTE CONEXAS
Lembre que uma região plana é dita simplesmente conexa se não tiver buracos e é dita mul-
tiplamente conexa se tiver um ou mais buracos (ver Figura 15.3.6). No início desta seção, 
enunciamos o Teorema de Green para integração no sentido anti-horário ao longo da fron-
teira de uma região simplesmente conexa R (Teorema 15.4.1). Nosso próximo objetivo é 
estender esse teorema para regiões multiplamente conexas. Para isso, precisamos que a re-
gião fique à esquerda quando qualquer porção da fronteira é percorrida no sentido de sua 
orientação. Isso implica que a curva da fronteira externa da região é orientada no sentido 
anti-horário e que as curvas da fronteira que envolvem buracos têm orientação no sentido ho-
rário (Figura 15.4.5a). Se todas as porções da fronteira de uma região multiplamente conexa 
R forem orientadas desse modo, então dizemos que a fronteira de R tem orientação positiva.
Vamos, agora, deduzir uma versão do Teorema de Green que se aplica a regiões multi-
plamente conexas com fronteira orientada positivamente. Para simplificar, vamos considerar 
uma região multiplamente conexa R com um buraco e suporque f (x, y) e g(x, y) tenham de-
rivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo R. Como 
mostrado na Figura 15.4.5b, dividimos R em duas regiões, R� e R�, introduzindo dois “cortes” 
em R. Os cortes são mostrados como segmentos de reta, mas quaisquer curvas lisas por partes 
servem. Supondo que f e g satisfaçam as hipóteses do Teorema de Green em R (e, portanto, 
em R� e R�), podemos aplicar o teorema a R� e R� para obter
R
(a)
R′
(b)
R′′
C2
C1
C1
C2
Figura 15.4.5
Apesar de a terceira fórmula em (6) 
parecer mais complicada do que as 
outras duas, ela leva frequentemen-
te a integrações mais simples. Cada 
uma oferece vantagens em certas si-
tuações.
1126 Cálculo
Entretanto, as duas integrais de linha são tomadas em sentidos opostos ao longo dos cortes e, 
portanto, cancelam-se, deixando somente as contribuições ao longo de C1 e C2. Assim,
 
 (7)
que é uma extensão do Teorema de Green para uma região multiplamente conexa com um 
buraco. Observe que a integral ao longo da fronteira externa é tomada no sentido anti-horá-
rio, e a integral em torno do buraco é tomada no sentido horário. Mais geralmente, se R for 
uma região multiplamente conexa com n buracos, então o análogo de (7) envolve a soma de 
n + 1 integrais, uma tomada no sentido anti-horário em torno da fronteira externa e as demais 
tomadas no sentido horário em torno dos buracos.
 � Exemplo 4 Calcule a integral
se C for uma curva simples fechada lisa por partes orientada no sentido anti-horário, de modo 
que (a) C não envolva a origem e (b) C envolva a origem.
Solução (a) Sejam
 
(8)
de modo que
se x e y não forem nulas. Assim, se C não envolver a origem, temos
 
(9)
na região simplesmente conexa envolvida por C e, portanto, a integral é nula pelo Teorema 
de Green.
Solução (b) Ao contrário da situação na parte (a), não podemos aplicar o Teorema de 
Green diretamente, porque as funções f(x, y) e g(x, y) em (8) são descontínuas na origem. 
Nossos problemas complicam-se mais ainda pelo fato de que não temos uma curva específica 
C que possamos parametrizar para calcular a integral. Nossa estratégia para contornar esses 
problemas será substituir C por uma curva específica que produza o mesmo valor para a in-
tegral e, então, usar essa curva para o cálculo. Para obter tal curva, vamos aplicar o Teorema 
de Green para regiões multiplamente conexas a uma região que não contenha a origem. Com 
essa finalidade, construímos um círculo Ca com orientação no sentido horário, centrado na 
origem e com raio a suficientemente pequeno para que fique dentro da região envolvida por 
C (Figura 15.4.6). Isso cria uma região multiplamente conexa R, cujas curvas de fronteira C e 
Ca têm as orientações requeridas pela Fórmula (7) e de modo que no interior de R as funções 
f(x, y) e g(x, y) em (8) satisfazem as hipóteses do Teorema de Green (a origem está fora de R). 
Assim, por (7) e (9) segue que
Dessa equação, obtemos
Ca
C
R
x
y
Figura 15.4.6
Capítulo 15 / Tópicos do cálculo vetorial 1127
que pode ser reescrita como
No entanto, Ca tem orientação no sentido horário, portanto −Ca tem orientação no sentido 
anti-horário. Mostramos, assim, que a integral original pode ser calculada integrando no sen-
tido anti-horário em torno de um círculo de raio a, centrado na origem e que fica no interior 
da região envolvida por C. Tal círculo pode ser expresso parametricamente como x = a cos t, 
y = a sen t (0 ≤ t ≤ 2π); portanto,
✔ EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 15.4 (Ver página 1129 para respostas.)
 1. Se C for o quadrado de vértices (±1, ±1) orientado no sentido 
anti-horário, então
 2. Se C for o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1) orientado 
no sentido anti-horário, então
 3. Se C for o círculo unitário centrado na origem e orientado no 
sentido anti-horário, então
 4. Qual região R e qual escolha de funções f (x, y) e g(x, y) nos per-
mitem usar a Fórmula (1) do Teorema 15.4.1 para afirmar que
EXERCÍCIOS 15.4 CAS
1-2 Calcule a integral de linha usando o Teorema de Green e verifi-
que a resposta calculando-a diretamente. ■
 1. onde C é o quadrado de vértices (0, 0), 
(1, 0), (1, 1) e (0, 1) orientado no sentido anti-horário.
 2. onde C é o círculo unitário orientado no senti-
do anti-horário.
3-13 Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada 
exercício, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-
-horário. ■
 3. onde C é o retângulo limitado por x = −2, 
x = 4, y = 1 e y = 2.
 4. onde C é o círculo x2 + y2 = 9.
 5. onde C é o quadrado de vértices 
(0, 0), (π/2, 0), (π/2, π/2) e (0, π/2).
 6. onde C é o círculo x2 + (y + 1)2 = 1.
 7. onde C é o círculo x2 + y2 = 4.
 8. onde C é a fronteira da região 
compreendida por y = x2 e y = x.
 9. onde C é o triângulo de vértices 
(0, 0), (2, 0) e (0, 4).
 10. onde C é a fronteira da região no primeiro 
quadrante compreendida pelos eixos coordenados e o círculo 
x2 + y2 = 16.
 11. onde C é o quadrado de vértices 
(0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1).
1128 Cálculo
 12. onde C é o triângulo de 
vértices (0, 0), (3, 3) e (0, 3).
 13. onde C é a fronteira da região com-
preendida por y = x2 e x = y2.
 14. Seja C a fronteira da região delimitada por y = x2 e y = 2x. Su-
pondo que C esteja orientada no sentido anti-horário, calcule 
as integrais seguintes usando o Teorema de Green:
 (a) (b) 
15-18 Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é ver-
dadeira ou falsa. Explique sua resposta. (Nos Exercícios 16 a 18, 
suponha que C seja uma curva fechada simples lisa orientada no 
sentido anti-horário.) ■
 15. O Teorema de Green nos permite substituir qualquer integral 
de linha por uma integral dupla.
 16. Se
 então ∂g/∂x = ∂f/∂y em todos os pontos da região delimitada 
por C.
 17. Sempre vale que
 18. Sempre vale que
 19. Use um CAS para verificar o Teorema de Green calculando 
ambas as integrais da equação
 onde
 (a) C é o círculo x2 + y2 = 1;
 (b) C é a fronteira da região compreendida por y = x2 e x = y2.
 20. No Exemplo 3, usamos o Teorema de Green para obter a área 
de uma elipse. Calcule essa área usando a primeira e depois a 
segunda fórmula de (6).
 21. Use uma integral de linha para encontrar a área da região en-
volvida pelo astroide
x = a cos3 φ, y = a sen3 φ (0 ≤ φ ≤ 2π)
 22. Use uma integral de linha para encontrar a área do triângulo de 
vértices (0, 0), (a, 0) e (0, b), onde a > 0 e b > 0.
 23. Use a fórmula
 para encontrar a área da região varrida pela reta da origem 
até a elipse x = a cos t, y = b sen t se t variar de t = 0 a 
t = t0 (0 ≤ t0 ≤ 2π).
 24. Use a fórmula
 para encontrar a área da região varrida pela reta da origem até 
a hipérbole x = a cosh t, y = b senh t se t variar de t = 0 a 
t = t0 (t0 ≥ 0).
 25. Suponha que F(x, y) = f(x, y)i + g(x, y)j seja um campo 
vetorial cujas funções componentes f e g tenham deriva-
das parciais de primeira ordem contínuas. Seja C uma cur-
va lisa por partes, simples e fechada, orientada no sentido 
anti-horário, que é a fronteira de uma região R contida no 
domínio de F. Podemos interpretar F como um campo ve-
torial no espaço tridimensional escrevendo-o como
F(x, y, z) = f (x, y)i + g(x, y)j + 0k
 Com essa convenção, explique por que
 26. Suponha que F(x, y) = f(x, y)i + g(x, y)j seja um campo ve-
torial no plano xy e que f e g tenham derivadas parciais de 
primeira ordem contínuas, com fy = gx em toda parte. Use o 
Teorema de Green para explicar por que
 onde C1 e C2 são as curvas orientadas na figura a seguir. 
(Compare esse resultado com os Teoremas 15.3.2 e 15.3.3.)
x
y
C2
C1
 Figura Ex-26
 27. Suponha que f(x) e g(x) sejam funções contínuas com 
g(x) ≤ f (x). Seja R a região delimitada pelos gráficos de f e 
de g e pelas retas verticais x = a e x = b. Seja C a fronteira 
de R orientada no sentido anti-horário. Qual é a fórmula 
conhecida que resulta da aplicação do Teorema de Green à 
integral 
C
(−y) dx?
 28. Na figura a seguir, C é uma curva lisa orientada de P(x0, y0) 
a Q(x1, y1),contida dentro do retângulo de vértices na ori-
gem e Q e fora do retângulo de vértices na origem e P.
 (a) Qual região na figura tem área 
C
 x dy?
 (b) Qual região na figura tem área 
C
 y dx?
 (c) Expresse 
C
 x dy + 
C
 y dx em termos das coordenadas 
de P e Q.
ENFOCANDO CONCEITOS
Capítulo 15 / Tópicos do cálculo vetorial 1129
 (d) Interprete o resultado de (c) em termos do Teorema 
Fundamental de Integrais de Linha.
 (e) Interprete o resultado de (c) em termos de integração 
por partes.
x
y
C
y0
x0 x1
y1
P(x0, y0)
Q(x1, y1)
 Figura Ex-28
29-30 Use o Teorema de Green para determinar o trabalho reali-
zado pelo campo de forças F em uma partícula que se move ao lon-
go do caminho especificado. ■
 29. a partícula começa em (5, 0), 
percorre o semicírculo superior x2 + y2 = 25 e retorna ao seu 
ponto de partida ao longo do eixo x.
 30. a partícula percorre uma vez, no sen-
tido anti-horário, a curva fechada dada pelas equações y = 0, 
x = 2 e y = x3/4.
 31. Calcule onde C é a cardioide
r = a (1 + cos θ) (0 ≤ θ ≤ 2π)
 32. Seja R uma região do plano com área A, cuja fronteira é uma 
curva fechada simples lisa por partes C. Use o Teorema de 
Green para provar que o centroide de R é dado por
33-36 Use o resultado do Exercício 32 para encontrar o centroide 
da região. ■
 
33.
 
1
1
x
y
y = x3
y = x
 
34.
 
a
a
x
y
 
35.
 
x
y
−a a
a
 
36.
 
x
y
(a, b)
 37. Encontre uma curva fechada simples C com orientação anti-
-horário que maximize o valor de
 e explique seu raciocínio.
 38. (a) Seja C o segmento de reta do ponto (a, b) até o ponto 
(c, d). Mostre que
 (b) Use o resultado da parte (a) para mostrar que a área A de 
um triângulo de vértices (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3), percor-
rido no sentido anti-horário, é
 (c) Determine uma fórmula para a área de um polígono de 
vértices sucessivos (x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn), percorridos 
no sentido anti-horário.
 (d) Use o resultado da parte (c) para calcular a área do quadri-
látero de vértices (0, 0), (3, 4), (−2, 2), (−1, 0).
39-40 Calcule a integral 
C
 F · dr, onde C é a fronteira da região 
R e C é orientada de modo que a região fique à esquerda quando a 
fronteira é percorrida no sentido de sua orientação. ■
 39. F(x, y) = (x2 + y)i + (4x − cos y)j; C é a fronteira da região 
R que está no interior do quadrado de vértices (0, 0), (5, 0), 
(5, 5), (0, 5), mas está fora do retângulo de vértices (1, 1), (3, 
1), (3, 2), (1, 2).
 40. F(x, y) = (e−x + 3y)i + x j; C é a fronteira da região R entre os 
círculos x2 + y2 = 16 e x2 − 2x + y2 = 3.
 41. Texto Discuta o papel do Teorema Fundamental do Cálculo 
na prova do Teorema de Green.
 42. Texto Use a Internet ou outras fontes para obter informações 
sobre planímetros e, então, escreva um parágrafo que descreva 
a relação entre esses aparelhos e o Teorema de Green.
✔ RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 15.4
1. 8 2. 3. 2π 4. R é a região x2 + y2 ≤ 1 (0 ≤ x, 0 ≤ y) e f (x, y) = −y2, g(x, y) = x2.
1130 Cálculo
15.5 INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE
Em seções anteriores, consideramos quatro tipos de integrais – integrais em intervalos, integrais 
duplas em regiões bidimensionais, integrais triplas em sólidos tridimensionais e integrais de 
linha ao longo de curvas nos espaços bi e tridimensionais. Nesta seção, discutiremos integrais 
em superfícies no espaço tridimensional. Tais integrais ocorrem em problemas envolvendo 
fluxo fluido e de calor, eletricidade, magnetismo, massa e centro de gravidade.
 ■ DEFINIÇÃO DE UMA INTEGRAL DE SUPERFÍCIE
Nesta seção, definiremos o que significa integrar uma função f(x, y, z) em uma superfície 
paramétrica lisa σ. Para motivar a definição, consideraremos o problema de encontrar a mas-
sa de uma lâmina curva cuja função densidade (massa por unidade de área) seja conhecida. 
Lembre que, na Seção 6.7, no Volume 1, definimos uma lâmina como um objeto achatado 
idealizado que é suficientemente fino para poder ser considerado como uma região plana bi-
dimensional. Analogamente, uma lâmina curva é um objeto idealizado que é suficientemente 
fino para poder ser considerado como uma superfície no espaço tridimensional. Uma lâmina 
curva pode parecer uma chapa encurvada, como na Figura 15.5.1, ou englobar uma região 
tridimensional, como a casca de um ovo. Modelaremos a lâmina curva por uma superfície 
paramétrica lisa σ. Dado um ponto (x, y, z) de σ, vamos denotar por f(x, y, z) o valor corres-
pondente da função densidade. Para calcular a massa da lâmina, procedemos como segue:
 • Como mostra a Figura 15.5.2, dividimos σ em n pequenas porções σ1, σ2,..., σn com 
áreas �S1, �S2, . . . , �Sn, respectivamente. Seja um ponto amostral da 
k-ésima porção e �Mk a massa dessa porção.
 • Se as dimensões de σk forem muito pequenas, então o valor de f não irá variar muito ao 
longo da k-ésima porção, e podemos aproximar f nessa porção pelo valor 
Segue que a massa da k-ésima porção pode ser aproximada por
 • A massa M de toda a lâmina pode, então, ser aproximada por
 
(1)
 • Utilizaremos a notação n→� para indicar o processo de aumentar n de tal forma que a 
dimensão máxima de cada porção tenda a 0. É plausível que o erro em (1) vá tender a 0 
quando n→� e que o valor exato de M seja dado por
 
(2)
O limite em (2) é muito parecido com o limite usado para definir massa de um arame fino 
[Fórmula (2) da Seção 15.2]. Por analogia com a Definição 15.2.1, apresentamos a definição 
seguinte.
15.5.1 DEFINIÇÃO Se σ for uma superfície paramétrica lisa, então a integral de super-
fície de f (x, y, z) em σ é
 
(3)
desde que esse limite exista e não dependa da maneira como sejam feitas as subdivisões 
de σ e de como os pontos amostrais sejam escolhidos.
A espessura de uma lâmina
curva é desprezível.
Figura 15.5.1
(x*k, y*k, z*k )
Área ∆ Sk
�
�k
Figura 15.5.2
Capítulo 15 / Tópicos do cálculo vetorial 1131
Pode ser mostrado que se f for contínua, então existe a integral de f em σ.
Pela Definição 15.5.1 e por (2) vemos que se σ modelar uma lâmina e se f (x, y, z) for a 
função densidade da lâmina, então a massa M da lâmina é dada por
 
(4)
Ou seja, para obter a massa de uma lâmina, integramos a função densidade na superfície lisa 
que modela a lâmina.
Note que se σ for uma superfície lisa de área de superfície S e se f for identicamente 1, 
então segue imediatamente da Definição 15.5.1 que
 
(5)
 ■ CÁLCULO DE INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE
Há vários procedimentos para calcular integrais de superfície que dependem de como a su-
perfície σ é representada. O seguinte teorema oferece um método de cálculo da integral de 
superfície quando σ é representada parametricamente.
15.5.2 TEOREMA Seja σ uma superfície paramétrica lisa de equação vetorial
r = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k
onde (u, v) varia em uma região R do plano uv. Se f(x, y, z) for contínua em σ, então
 
(6)
Para motivar esse resultado, suponha que o domínio dos parâmetros R seja subdividi-
do como na Figura 14.4.14 e suponha que o ponto em (3) corresponda aos valo-
res dos parâmetros e Se usarmos a Fórmula (11) da Seção 14.4 para aproximar �Sk, 
e supondo que os erros de aproximação tendam para zero quando n → +�, então segue de 
(3) que
que sugere a Fórmula (6).
Embora o Teorema 15.5.2 tenha sido enunciado para superfícies paramétricas lisas, a 
Fórmula (6) permanece válida mesmo se permitirmos que ∂r/∂u × ∂r/∂v seja igual a 0 na 
fronteira de R.
Explique como usar a Fórmula (6) 
para confirmar a Fórmula (5).
1132 Cálculo
 � Exemplo 1 Calcule a integral de superfície na esfera x2 + y2 + z2 = 1.
Solução Como no Exemplo 11 da Seção 14.4 (com a = 1), a esfera é o gráfico da função 
vetorial
 r(φ, θ) = sen φ cos θi + sen φ sen θj + cos φk (0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π) (7)
e
Pelo componente i de r, o integrando da integral de superfície pode ser dado em termos de φ e 
θ como x2 = sen2 φ cos2 θ. Assim, segue de (6), com φ e θ no lugar de u e v e R como a região 
retangular do plano φθ determinada pelas desigualdades de (7), queSeção 7.3, no Volume 1
Seção 7.3, no Volume 1
 ■ INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE EM z = g (x, y), y = g (x, z) E x = g (y, z)
No caso em que σ for da forma z = g(x, y), podemos tomar x = u e y = v como parâmetros e 
expressar a equação da superfície como
r = ui + v j + g(u, v)k
caso em que obtemos
(verifique). Assim, segue de (6) que
Observe que, nessa fórmula, a região R fica no plano xy porque os parâmetros são x e y. Ge-
ometricamente, essa região é a projeção de σ no plano xy. O seguinte teorema resume esse 
resultado e dá fórmulas análogas para as integrais de superfície em superfícies da forma 
y = g(x, z) e x = g(y, z).
Explique por que a função r(φ, θ) 
dada em (7) deixa de ser lisa em seu 
domínio.
Capítulo 15 / Tópicos do cálculo vetorial 1133
15.5.3 TEOREMA
 (a) Sejam σ uma superfície com equação z = g(x, y) e R sua projeção no plano xy. Se g 
tiver derivadas parciais de primeira ordem contínuas em R e f(x, y, z) for contínua 
em σ, então
 
(8)
 (b) Sejam σ uma superfície com equação y = g(x, z) e R sua projeção no plano xz. Se g 
tiver derivadas parciais de primeira ordem contínuas em R e f(x, y, z) for contínua 
em σ, então
 
(9)
 (c) Sejam σ uma superfície com equação x = g(y, z) e R sua projeção no plano yz. Se g 
tiver derivadas parciais de primeira ordem contínuas em R e f(x, y, z) for contínua 
em σ, então
 
(10)
 � Exemplo 2 Calcule a integral de superfície
onde σ é a parte do plano x + y + z = 1 que fica no primeiro octante.
Solução A equação do plano pode ser escrita como
z = 1 − x − y
Consequentemente, podemos aplicar a Fórmula (8) com z = g(x, y) = 1 − x − y e f (x, y, z) 
= xz. Temos
portanto, (8) é dado por
 
(11)
As Fórmulas (9) e (10) podem ser ob-
tidas a partir da Fórmula (8). Explique 
como.
1134 Cálculo
onde R é a projeção de σ no plano xy (Figura 15.5.3). Reescrevendo a integral dupla em (11) 
como uma integral iterada, obtemos
 � Exemplo 3 Calcule a integral de superfície
onde σ é a parte do cone compreendida pelos planos z = 1 e z = 2 (Figura 
15.5.4).
Solução Vamos aplicar a Fórmula (8) com
Assim,
de modo que
(verifique), e portanto (8) dá
y
x
z
z = 2
1 2R
z = √x2 + y2 z = 1
Figura 15.5.4
(1, 0, 0)
(0, 1, 0)
(0, 0, 1)
x + y + z = 1
y = 1 − xR
y
x
z
Figura 15.5.3
Capítulo 15 / Tópicos do cálculo vetorial 1135
onde R é o anel compreendido por x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4 (Figura 15.5.4). Usando coorde-
nadas polares para calcular essa integral dupla no anel R, obtemos
7.3,
 
�
 � Exemplo 4 Suponha que uma lâmina curva σ com densidade constante δ(x, y, z) = δ0 
seja a porção do paraboloide z = x2 + y2 abaixo do plano z = 1 (Figura 15.5.5). Determine a 
massa da lâmina.
Solução Como z = g (x, y) = x2 + y2, segue que
Portanto
 
(12)
onde R é a região circular envolvida por x2 + y2 = 1. Para calcular (12), usamos coordenadas 
polares:
✔ EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 15.5 (Ver página 1138 para respostas.)
 1. Considere a integral de superfície σ f (x, y, z) dS.
 (a) Se σ for uma superfície paramétrica de equação vetorial
r = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k
 então calculamos a integral trocando dS por __________.
 (b) se σ for o gráfico de uma função z = g(x, y) com derivadas 
parciais de primeira ordem contínuas, então calculamos a 
integral trocando dS por __________.
 2. Se σ for a região triangular de vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e 
(0, 0, 1), então
 3. Se σ for a esfera de raio 2 centrada na origem, então
 4. Se f(x, y, z) for a função densidade de massa de uma lâmina 
curva σ, então a massa de σ é dada pela integral __________.
Calcule a integral no Exemplo 3 com 
a ajuda da Fórmula (6) e a parame-
trização 
r = �r cos θ, r sen θ, r�
 (1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π)
y
x
z
z = 1
R
x2 + y2 = 1
z = x2 + y2
σ
Figura 15.5.5
1136 Cálculo
EXERCÍCIOS 15.5 CAS
1-8 Calcule a integral de superfície
 1. f (x, y, z) = z2; σ é a porção do cone entre os pla-
nos z = 1 e z = 2.
 2. f (x, y, z) = xy; σ é a porção do plano x + y + z = 1 que fica no 
primeiro octante.
 3. f (x, y, z) = x2y; σ é a porção do cilindro x2 + z2 = 1 entre os 
planos y = 0, y = 1 e acima do plano xy.
 4. f (x, y, z) = (x2 + y2)z; σ é a porção da esfera x2 + y2 + z2 = 4 
acima do plano z = 1.
 5. f (x, y, z) = x − y − z; σ é a porção do plano x + y = 1 no pri-
meiro octante entre z = 0 e z = 1.
 6. f (x, y, z) = x + y; σ é a porção do plano z = 6 − 2x − 3y no 
primeiro octante.
 7. f (x, y, z) = x + y + z; σ é a superfície do cubo definido pelas 
desigualdades 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1. [Sugestão: In-
tegre em cada face separadamente.]
 8. f (x, y, z) = x2 + y2; σ é a superfície da esfera x2 + y2 + z2 = a2.
9-12 Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verda-
deira ou falsa. Explique sua resposta. ■
 9. Se f (x, y, z) ≥ 0 em σ, então
 10. Se σ tiver área de superfície S e se
 então f (x, y, z) será identicamente igual a 1 em σ.
 11. Se σ modelar uma lâmina curva e se f(x, y, z) for a função den-
sidade da lâmina, então
 representará a densidade total da lâmina.
 12. Se σ for a porção do plano z = c acima de uma região R do pla-
no xy, então
 com qualquer função f contínua em σ.
13-14 O cálculo de uma integral de superfície resulta, às vezes, em 
uma integral imprópria. Quando isso ocorre, podemos tentar deter-
minar o valor da integral usando um limite apropriado ou tentar outro 
método. Nestes exercícios, exploramos ambas as abordagens. ■
 13. Considere a integral de f (x, y, z) = z + 1 no hemisfério supe-
rior 
 (a) Explique por que o cálculo dessa integral de superfície re-
sulta em uma integral imprópria se for utilizado (8).
 (b) Use (8) para calcular a integral de f na superfície 
 Tome o 
limite desse resultado quando r→1− para determinar a in-
tegral de f em σ.
 (c) Parametrize σ usando coordenadas esféricas e calcule a 
integral de f em σ usando (6). Verifique que sua resposta 
confere com o resultado de (b).
 14. Considere a integral de no cone 
 (a) Explique por que o cálculo dessa integral de superfície re-
sulta em uma integral imprópria se for utilizado (8).
 (b) Use (8) para calcular a integral de f na superfície 
 Tome o limi-
te desse resultado quando r→1+ para determinar a integral 
de f em σ.
 (c) Parametrize σ usando coordenadas esféricas e calcule a 
integral de f em σ usando (6). Verifique que sua resposta 
confere com o res ultado de (b).
15-18 Para calcular uma integral de superfície sem utilizar uma 
parametrização da superfície podemos, em alguns casos, usar 
a Definição 15.5.1, junto com algumas considerações de sime-
tria. Nestes exercícios, σ denota a esfera unitária centrada na 
origem. ■
 15. (a) Explique por que é possível subdividir σ em porções 
e escolher um ponto amostral tal que (i) 
a área de cada porção é tão pequena quanto se queira 
e (ii) para cada ponto amostral existe um 
ponto amostral tal que
xk = −xj, yk = yj, zk = zj
 e com �Sk = �Sj.
 (b) Use a Definição 15.5.1, o resultado em (a) e o fato de 
que a integral de superfície existe para funções contí-
nuas para provar que vale com qualquer 
inteiro n positivo ímpar.
 16. Use o argumento no Exercício 15 para provar que se f(x) 
for uma função contínua e ímpar de x e se g(y, z) for uma 
função contínua, então
 17. (a) Explique por que
ENFOCANDO CONCEITOS
Capítulo 15 / Tópicos do cálculo vetorial 1137
 (b) Conclua de (a) que
 (c) Use (b) para calcular
 sem efetuar uma integração.
 18. Use os resultados dos Exercícios 16 e 17 para calcular
 sem efetuar uma integração.
19-20 Monte, mas não calcule, uma integral iterada igual à integral 
de superfície dada projetando σ no (a) plano xy, (b) plano yz (c) e 
plano xz. ■
 19. onde σ é a porção do plano 2x + 3y + 4z = 12 no 
primeiro octante.
 20. onde σ é a porção da esfera x2 + y2 + z2 = a2 no 
primeiro octante.
 21. Use um CAS para confirmar que as três integrais obtidas no 
Exercício 19 são iguais e calcule o valor exato da integral de 
superfície.
 22. Tente confirmar com um CAS que as três integrais obtidas no 
Exercício20 são iguais. Se não conseguir, qual é a dificuldade?
23-24 Monte, mas não calcule, duas integrais iteradas diferentes 
iguais à integral dada. ■
 23. onde σ é a porção da superfície y2 = x entre os 
planos z = 0, z = 4, y = 1 e y = 2.
 24. onde σ é a porção do cilindro x2 + y2 = a2 no pri-
meiro octante entre os planos x = 0, x = 9, z = y e z = 2y.
 25. Use um CAS para confirmar que as duas integrais obtidas no 
Exercício 23 são iguais e calcule o valor exato da integral de 
superfície.
 26. Use um CAS para determinar o valor da integral de superfície
 na porção σ do paraboloide elíptico z = 5 − 3x2 − 2y2 que fica 
acima do plano xy.
27-28 Encontre a massa da lâmina com densidade constante δ0. ■
 27. A lâmina que é a porção do cilindro circular x2 + z2 = 4 que fica 
diretamente acima do retângulo R = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 4} 
no plano xy.
 28. A lâmina que é a porção do paraboloide 2z = x2 + y2 dentro do 
cilindro x2 + y2 = 8.
 29. Encontre a massa da lâmina que é a porção da superfície 
y2 = 4 − z entre os planos x = 0, x = 3, y = 0 e y = 3 se a den-
sidade for δ(x, y, z) = y.
 30. Encontre a massa da lâmina que é a porção do cone 
 entre os planos z = 1 e z = 4 se a densidade for 
δ(x, y, z) = x2z.
 31. Se uma lâmina curva tem densidade constante δ0, que relação 
deve existir entre sua massa e a área de superfície? Explique 
seu raciocínio.
 32. Mostre que se a densidade da lâmina x2 + y2 + z2 = a2, em 
cada ponto, for igual à distância entre esse ponto e o plano xy, 
a massa da lâmina é 2πa3.
33-34 O centroide de uma superfície σ é definido por
Encontre o centroide da superfície nestes exercícios. ■
 33. A porção do paraboloide abaixo do plano 
z = 4.
 34. A porção da esfera x2 + y2 + z2 = 4 acima do plano z = 1.
35-38 Calcule a integral σ f (x, y, z) dS na superfície σ representa-
da pela função vetorial r(u, v). ■
 35. f (x, y, z) = xyz; r(u, v) = u cos vi + u sen vj + 3uk 
(1 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ π/2)
 36. r(u, v) = 2 cos vi + uj + 2 sen vk
(1 ≤ u ≤ 3, 0 ≤ v ≤ 2π)
 37. 
r(u, v) = u cos vi + u sen vj + u2k (0 ≤ u ≤ sen v, 0 ≤ v ≤ π)
 38. f(x, y, z) = e−z;
r(u, v) = 2 sen u cos vi + 2 sen u sen vj + 2 cos uk
(0 ≤ u ≤ π/2, 0 ≤ v ≤ 2π)
 39. Use um CAS para aproximar a massa da lâmina cur-
va que fica acima da região no plano xy en-
volvida por x2 + y2 = 9, sabendo-se que a densidade é 
1138 Cálculo
15.6 APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE; FLUXO
Nesta seção, discutiremos aplicações das integrais de superfície a campos vetoriais 
associados com fluxos fluidos e forças eletrostáticas. Porém, as ideias que desenvolveremos 
serão de natureza geral e também aplicáveis a outros tipos de campos vetoriais.
 ■ CAMPOS DE FLUIDOS
Trataremos, nesta seção, de campos vetoriais no espaço tridimensional que envolvam algum 
tipo de “fluxo” – o fluxo de um fluido ou o fluxo de partículas carregadas em um campo 
eletrostático, por exemplo. No caso de fluxo fluido, o campo vetorial F(x, y, z) representa a 
velocidade de uma partícula fluida no ponto (x, y, z), e as partículas do fluido fluem ao longo 
de “correntes” tangenciais aos vetores velocidade (Figura 15.6.1a). No caso de um campo 
eletrostático, F(x, y, z) é a força que o campo exerce em uma pequena unidade de carga po-
sitiva no ponto (x, y, z), e tais cargas aceleram ao longo de “linhas elétricas” tangenciais aos 
vetores da força (Figuras 15.6.1b e 15.6.1c).
 ■ SUPERFÍCIES ORIENTADAS
Nosso principal objetivo, nesta seção, é estudar os fluxos de campos vetoriais através de 
superfícies permeáveis colocadas no campo. Para essa finalidade, precisamos considerar al-
gumas ideias básicas acerca de superfícies. A maioria das superfícies que encontramos nas 
aplicações tem dois lados – uma esfera tem um lado externo e um lado interno e um plano 
horizontal infinito tem um lado superior e um lado inferior, por exemplo. Existem, no en-
tanto, superfícies matemáticas com apenas um lado. Por exemplo, a Figura 15.6.2a mostra a 
construção de uma superfície chamada de faixa de Möbius [em homenagem ao matemático 
alemão August Möbius (1790-1868)]. A faixa de Möbius tem um só lado, no sentido de que 
um inseto pode percorrer toda a superfície sem cruzar uma borda (Figura 15.6.2b). Em con-
 40. A superfície σ mostrada na figura a seguir, chamada faixa de 
Möbius, é representada pelas equações paramétricas
x = (5 + u cos (v/2)) cos v
y = (5 + u cos (v/2)) sen v
z = u sen (v/2)
 onde −1 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2π
 (a) Use um CAS para gerar uma cópia razoável dessa superfí-
cie.
 (b) Use um CAS para aproximar a localização do centroide de 
σ (veja a definição que precede o Exercício 33).
x y
z
Figura Ex-40
 41. Texto Discuta as semelhanças e as diferenças entre as defini-
ções de uma integral de superfície e de uma integral dupla.
 42. Texto Suponha que uma superfície σ no espaço tridimensio-
nal e uma função f (x, y, z) sejam descritas geometricamente. 
Por exemplo, σ poderia ser uma esfera de raio 1 centrada na 
origem e f (x, y, z) poderia ser a distância do ponto (x, y, z) ao 
eixo z. Como o leitor descreveria para um colega um procedi-
mento para calcular integral de superfície de f em σ?
✔ RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 15.5
1. (a) (b) 2. 3. 64π 4.