fenomenos exercicios resolvidos MF_MF1_ProblemasResolvidos

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PROBLEMAS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS I 
 
3º Ano do Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades dos fluidos. Lei de Newton da viscosidade· 2 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
Prefácio 
 
Os problemas que constituem o presente documento são o resultado de uma compilação 
de enunciados utilizados ao longo dos anos como elemento de base nas aulas práticas 
da disciplina de Mecânica dos Fluidos I. A sua origem é muito diversa e perde-se no 
tempo. Alguns deles são idênticos a outros que se encontram em livros de texto, outros 
foram criados para exames em anos letivos anteriores. 
 
Os alunos têm ao seu dispor um conjunto de problemas (e as suas soluções) 
organizados segundo os temas mais importantes do programa da disciplina, que se 
procurou que estivesse livre de gralhas e cobrisse uma variedade de problemas que lhes 
facilite o estudo e compreensão da disciplina. 
 
Existe um documento independente, com a resolução de exames de anos letivos 
anteriores e problemas selecionados de entre os que constituem o presente documento. 
Nenhum destes documentos dispensa a frequência das aulas teóricas e práticas e o 
estudo da matéria através da leitura dos livros recomendados, importante para a 
compreensão dos conceitos essenciais relacionados com esta disciplina. 
 
Esta edição, do ano letivo de 2012―2013, contém pequenas correções, relativamente ao 
ano anterior. 
 
 
O corpo docente da disciplina 
 
Professores José Manuel Laginha Mestre da Palma, Álvaro Henrique Rodrigues, José 
Alexandre Costa da Silva Lopes e Carlos Alberto Veiga Rodrigues 
 
Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades dos fluidos. Lei de Newton da viscosidade· 3 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
 
Propriedades dos fluidos 
Lei de Newton da viscosidade 
 
 
Propriedades dos fluidos. Lei de Newton da viscosidade· 4 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 1 
Uma lâmina é arrastada por ação de uma força F no interior de um fluido, à distância de 
1 cm de uma parede sólida, a uma velocidade de 1,5 m s-1, produzindo-se um 
escoamento do tipo do de Couette, com gradiente longitudinal de pressões nulo. 
 
a) Esboce o perfil de velocidades a que o 
fluido fica sujeito e a distribuição da tensão 
de corte aplicada. 
b) Sendo a viscosidade dinâmica do fluido 
µ = 1,5 kg m-1s-1 e a distância que separa a 
placa da parede 1 cm, determine a tensão 
de corte aplicada ao fluido. 
 
PROBLEMA 2 
Num escoamento do tipo do de Couette com gradiente longitudinal de pressões nulo, 
determine a força necessária para fazer deslizar, a uma velocidade de 1 m/s, uma placa 
de 0,5 m2 de área sobre uma outra, fixa, sendo o espaço entre as duas, de espessura 
uniforme e igual a 1cm, preenchido por mercúrio. 
 
(A viscosidade do mercúrio, à pressão de 1 atm e a 20 °C de temperatura é de 1,5x10 -3 kg m-1 s-1, 
podendo ser considerado como um fluido Newtoniano) 
PROBLEMA 3 
Considere que os escoamentos são do tipo de Couette, com gradiente de pressões 
nulo na direção do escoamento. 
a) Qual a força necessária para deslocar uma chapa de aço (ρ = 7800 kg.m-3) de 
dimensões 2,5 m x 0,9 m e 4 mm de espessura, sobre uma película de óleo de 
densidade relativa d=0,933 e viscosidade µ = 0,26 kg m-1 s-1, de espessura 
0,4 mm, à velocidade de 15 cm.s-1? 
b) Se em lugar de óleo a película lubrificante fosse constituída por água 
(ρ = 1000 kg.m-3, µ =10-3 kg m-1s-1) qual deveria ser a sua espessura para que 
a tensão de corte aplicada ao fluido fosse a mesma que no caso anterior, para 
os mesmos 15 cm s-1 de velocidade de deslocamento? 
c) Qual a força necessária nas condições acima? 
PROBLEMA 4 
Um bloco de aço (ρ = 7800 kg m-3) de forma cilíndrica e com as dimensões indicadas 
na figura assenta numa superfície plana horizontal coberta por uma película de óleo de 
viscosidade µ =10 kg m-1 s-1. Uma força horizontal F = 80 N provoca o deslizamento do 
bloco à velocidade de 10 cm s-1 (escoamento Couette, gradiente de pressão nulo). 
 
a) Qual a espessura da película 
lubrificante sob o bloco. 
b) Admitindo que a espessura da película 
é inversamente proporcional à pressão 
reinante sob o bloco, a mesma força F 
aplicada a um outro bloco do mesmo 
material, mas com 200 mm de diâmetro 
 
 
e 5 mm de espessura (igual peso), produziria uma velocidade maior ou menor? 
Justifique. 
F
H
=
1 
c
m
Propriedades dos fluidos. Lei de Newton da viscosidade· 5 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 5 
Um bloco de forma paralelepipédica, 
cujas dimensões da base são de 
20 cm × 20 cm e que pesa 25 kgf, 
desliza ao longo de uma superfície 
inclinada 30° em relação à horizontal 
sobre uma película de óleo 
(µ=2,15×10-3 kg m-1 s-1) com uma 
espessura de 2,5×10-5 m. 
Qual a velocidade terminal que 
animará o corpo (movimento 
uniforme) considerando linear o perfil 
de velocidades do escoamento 
produzido no óleo? 
 
PROBLEMA 6 
Um cilindro de 75 mm de diâmetro e 150 mm de geratriz gira no interior de outro, fixo, 
com um diâmetro de 75,05 mm e a mesma geratriz, estando o espaço anelar entre os 
dois preenchido com um óleo de viscosidade µ=8 Po(*). 
 
 
Qual a potência dissipada por atrito viscoso se o cilindro interior girar com uma 
velocidade periférica de 1 m s-1? Considere um escoamento de Couette. 
 
PROBLEMA 7 
Um veio de 25 mm de diâmetro pode deslocar-se através de um furo, também cilíndrico, 
conforme mostra a figura. O fluido lubrificante que preenche o intervalo entre o veio e a 
parede do furo (0,3 mm) tem uma viscosidade cinemática de 8×10-4 m2 s-1 e uma 
densidade de 0,91. Considere linear a variação de velocidade no seio do óleo. 
 
a) Qual a força necessária para empurrar o veio ao longo do furo com uma velocidade 
de 3 m s-1? 
b) Qual a potência que se dissiparia por atrito viscoso se o veio girasse com uma 
velocidade de 1500 r.p.m.? 
Considere em ambos os casos linear a variação da velocidade no seio do óleo. 
 
 
0.5 m
P
Propriedades dos fluidos. Lei de Newton da viscosidade· 6 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
PROBLEMA 8 
A figura representa um viscosímetro constituído por um tambor de 50 mm de diâmetro 
encerrado numa cavidade também cilíndrica. O espaço entre as duas superfícies é 
preenchido pelo fluido cuja viscosidade se pretende medir, tendo a película uma 
espessura de 0,2 mm (esc. Couette). 
 
O motor M produz um binário 
constante de 0,05 N.m para qualquer 
velocidade entre 0 e 100 r.p.m. 
(velocidade máxima). A velocidade de 
rotação é medida por um transdutor 
montado na extremidade livre do veio, e 
do valor medido deduz-se a viscosidade 
do fluido. 
 
 
 
 
a) Calcule o mínimo valor da viscosidade que é possível medir deste modo. 
b) O método de medida poderá ser prejudicado por um eventual aquecimento do fluido 
dentro do dispositivo. Calculando a potência calorífica dissipada faça uma análise 
quantitativa do problema e diga em que casos (grandes ou pequenas viscosidades) 
ele poderá ter mais importância. 
PROBLEMA 9 
Um anel (ρ = 7800 kg m-3) desce, sob a ação do 
próprio peso, ao longo de um varão. Entre as 
superfícies do varão e do anel há uma folga radial 
∆r = 0,2 mm, preenchida por um fluido de 
viscosidade 0,01 kg.m-1.s-1 e massa volúmica 
igual a 800 kg m-3 que se escoa com um perfil de 
velocidades linear. 
 
a) Calcule a velocidade V de descida em 
movimento uniforme. 
b) Descreva, com base num movimento deste tipo, umprocesso prático de medição de 
viscosidades. 
 
 
500 mm
M
Propriedades dos fluidos. Lei de Newton da viscosidade· 7 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 10 
A figura representa de forma simplificada um dispositivo de medição de viscosidades 
constituído por dois cilindros concêntricos em que um gira dentro do outro. 
Considerando os dados abaixo indicados e que a velocidade de descida é uniforme 
desde o início do movimento, calcule a viscosidade do fluido contido entre o cilindro 
exterior e o interior. 
 
 
 
 
d=1 cm ; D=20 cm ; M=50 gr ; h=15 cm ; e=250 µm ; V=5 mm/s 
PROBLEMA 11 
Um cone sólido de ângulo 2θ e raio de base r0 roda com uma velocidade angular ω0 no 
interior de uma sede cónica. O espaço entre a sede e o cone, de espessura constante h, 
está preenchido com um fluido de massa volúmica ρ e viscosidade µ. 
 
a) Desprezando o atrito entre a base 
do cone e o ar, calcule o binário 
resistente. 
b) O dispositivo pode ser utilizado 
como medidor de viscosidades. 
 
Faça uma estimativa do erro inerente ao 
facto de a resistência oposta pelo ar ao 
movimento de rotação não ser nula. 
M
e
h
D
M
V
d
Propriedades dos fluidos. Lei de Newton da viscosidade· 8 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 12 
O dispositivo de cone e prato representado na 
figura é um dos aparelhos mais utilizados na 
medição de viscosidades. No espaço entre o prato 
fixo e o cone, girando a uma velocidade angular ω 
está contido o fluido de propriedades ρ e µ, que se 
pretende ensaiar. 
O operador pode controlar a velocidade de rotação 
e mede, por meio de um dispositivo apropriado, o 
binário resistente. 
Obtenha a expressão que, por este processo, 
permita quantificar a viscosidade do fluido. 
 
PROBLEMA 13 
No interior de um tubo escoa-se água (ρ e µ) sendo o perfil de velocidades, do tipo do 
representado na figura, dado pela expressão: 
 
V = b4m 




 D2
 4 - r
2 
 
onde b é uma constante, r a distância radial ao eixo da conduta e V a velocidade para um 
r qualquer. 
 
 
 
 
a) Qual a tensão de corte na parede 
e num ponto r = D/4? 
b) Se o perfil se mantiver ao longo de 
um comprimento L, qual a força de 
arrasto induzida pela água no 
tubo, na direção do escoamento? 
 
PROBLEMA 14 
A placa que desliza 
sobre a película de 
fluido, ver figura, tem 
uma massa m e uma 
superfície de contacto A. 
As propriedades do 
fluido são µ, viscosidade 
dinâmica e ρ, massa 
volúmica. Encontre a lei 
do movimento sob a 
forma V=f(t) e calcule a velocidade terminal que a placa atingirá 
PROBLEMA 15 
Considere o escoamento de dois fluidos Newtonianos, de massas volúmicas iguais, entre 
placas planas paralelas de dimensão “infinita”, em 
que a placa do meio se move com uma velocidade 
U. 
Sabendo que nas duas faces da placa móvel foi 
medida a mesma tensão de corte, encontre uma 
relação entre as viscosidades dos fluidos. 
2h
h
U
R
φ
ω
µ2 
µ1 
 
D 
r 
x 
Hidrostática 9 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hidrostática 
 
 
Hidrostática 10 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 16 
Considerando os dados da figura seguinte (cotas, densidades, etc.), calcule o valor da 
pressão na esfera E, e indique o resultado nas seguintes unidades: 
 
Pa , mm Hg , kgf/cm2 , m.c.a., N/m2 
 
PROBLEMA 17 
O tubo manométrico representado, com 1 cm de diâmetro, encerra numa das 
extremidades 50 mg de ar a 15 °C ( ρar=287 J/kg/K ; ρágua=1000 kg m-3). 
 
a) Nas condições da figura determine o valor da 
pressão em P. 
b) Se no ponto P estivesse a ser aplicada a 
pressão atmosférica (105 Pa), qual seria o 
desnível h0 entre os dois meniscos? 
 
 
 
h=
10
0 
cm
50
 
cm
ar
água
P
Hidrostática 11 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 18 
Um recipiente cilíndrico com o diâmetro indicado, 
contendo 1 grama de ar, é mergulhado num tanque 
com água (ρ = 1000 kg m-3) até à profundidade de 10 
m, onde a temperatura é de 15 °C. O peso próprio do 
reservatório é desprezável e a tampa pode deslocar-
se livremente na direção axial. 
a) Qual o valor do comprimento L nessa posição? 
b) Que energia foi necessário despender para 
transportar o corpo da superfície até aquela profundidade, lentamente, supondo a 
compressão isotérmica, mantendo-se a temperatura nos 15 °C? 
PROBLEMA 19 
O manómetro representado na figura contém um fluido com uma massa 
 
volúmica ρ. O tubo inclinado faz um 
ângulo θ com a horizontal e os 
diâmetros do tubo e do depósito são 
respetivamente d e D. 
 
a) Qual deverá ser a distância entre 
linhas, ∆l, na escala, para que a 
leitura seja feita diretamente em N 
m-2? 
b) Quais os parâmetros de que depende a sensibilidade de um manómetro deste tipo, 
definida como ∆l/∆(∆p)? 
PROBLEMA 20 
O manómetro da figura contém 
dois líquidos não miscíveis de 
massas específicas ρ1=850 kg m
-3
 e 
ρ2=910 kg m
-3
, sendo o diâmetro dos 
reservatórios de ordem de grandeza 
muito superior ao do tubo que os 
une. 
a) Calcule a diferença de pressões 
verificada entre os pontos A e B. 
 
b) Vê algumas vantagens neste tipo de configuração de manómetro? Quais? 
 
Hidrostática 12 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 21 
O macaco hidráulico representado é acionado por uma bomba que aspira o fluido 
hidráulico (d=0,8) de um reservatório e eleva um prato cilíndrico de peso P2=30 kgf e 
área S2=250 cm2. 
a) Calcule a pressão à saída da bomba. capaz 
de produzir no prato um impulso útil de 2000 N. 
b) O corpo cilíndrico de peso P1 e área de 
8 cm2 desloca-se livremente e funciona como 
"segurança", abrindo o retorno R quando a 
pressão atingida é de molde a elevar a sua base 
à altura de 30 cm. Calcule P1 para que o 
impulso máximo do macaco seja limitado a 500 kgf. 
PROBLEMA 22 
A figura representa um corte de um amortecedor hidráulico constituído por uma câmara 
cilíndrica com óleo (ρ = 900 kg.m-3, µ = 0,01 kg.m-1s-1), de 200 mm de altura e 100 mm de 
diâmetro, com uma haste vertical de 20 mm de diâmetro. 
Um êmbolo com 30 mm de espessura 
divide a câmara em duas partes que 
comunicam entre si externamente por um 
tubo de diâmetro muito menor que o do 
amortecedor. A velocidade de 
deslocamento do êmbolo é pois muito 
pequena, podendo ser desprezada nos 
cálculos aqui necessários. 
 
a) Admitindo que a massa da haste e do 
êmbolo é de 5 kg, calcule a diferença 
de pressões pA-pB entre os pontos A 
e B, assinalados na figura, quando a 
haste está submetida a uma força 
axial F, de baixo para cima, com a 
intensidade de 100 N. 
 
 
 
b) Para medir a diferença de pressões pA-
pB utilizou-se o manómetro de mercúrio 
(ρ=13600 kg m-3) de tubo inclinado 
figurado, em que o diâmetro do tubo é 
muito menor que o da ampola do ramo 
vertical. 
Qual deverá ser o espaçamento entre 
divisões da escala para se obter uma 
leitura direta em kPa ? 
Hidrostática 13 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 23 
A figura representa 
esquematicamente um 
macaco hidráulico de 
acionamento manual, que 
eleva o prato cilíndrico 
representado em corte. 
O peso próprio do prato é 
de 250 N e o óleo no interior 
da prensa tem de massa 
volúmica ρ = 850 kg m-3 e 
viscosidade dinâmica µ = 0,01 
kg/ms. 
 
Escreva uma equação 
representativada relação 
entre a carga exterior P (em 
Newton) atuando no prato, a 
altura H (em metro) e a 
indicação do manómetro M 
(em Pa). 
 
 
 
 
PROBLEMA 24 
Dois êmbolos (massa volúmica ρe) encerram num recipiente com a forma 
representada na figura um fluido de massa específica ρf. 
 
a) Calcule a força F necessária para 
manter os dois êmbolos na 
posição indicada na figura. 
Considere h=H. 
b) Para uma força F constante, em 
que medida o ângulo θ afeta a 
posição dos êmbolos? 
 
 
Hidrostática 14 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 25 
A figura representa um limitador de pressão constituído por um tubo vertical de 60 mm 
de diâmetro, no interior do qual se aloja um êmbolo de aço (ρ=7800 kg m-3), com as 
dimensões figuradas. O limitador é utilizado numa instalação de bombagem de óleo 
(ρ=850 kg m-3) para impedir que a pressão p a jusante da bomba B exceda o valor 
pretendido. A limitação ocorre quando o êmbolo se eleva e abre a passagem R para o 
reservatório. 
Qual deverá ser a altura (H na figura) apropriada para que a limitação de pressão 
ocorra quando p= 110 kPa (pressão absoluta)? 
 
 
PROBLEMA 26 
Considere um reservatório com água 
(ρ=103 kg m3) como o representado na figura, 
dividido em duas partes unidas por oito parafusos 
que apertam as duas flanges. 
Desprezando o peso próprio do recipiente 
calcule o esforço a que está sujeito cada parafuso 
quando o reservatório está suspenso pelo topo e 
quando assente na base. 
Nesta última situação, se não houvesse 
parafusos, manter-se-iam unidas as duas partes? 
Justifique. 
 
 
Hidrostática 15 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 27 
O nível de gasolina (d=0,68) num depósito com 30 cm de profundidade é indicado 
através do sinal de um manómetro diferencial colocado com a tomada de pressão junto 
ao fundo. 
a) Se acidentalmente tiver entrado no depósito água (ρ=1000 kg m-3), formando uma 
camada de 2 cm de espessura, qual o erro percentual, em relação ao volume total do 
depósito, quando o indicador marcar "cheio"? 
b) A sensibilidade de um sistema indicador de nível como o sugerido pode caracterizar-
se pelo quociente entre as variações correspondentes da leitura do manómetro e do nível 
de combustível no depósito 
 
S = p
H
∂
∂
 
Exprima S em função da densidade da 
gasolina utilizada, e mostre em que medida 
a presença da água no fundo afeta a 
sensibilidade do sistema. 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 28 
A figura representa uma cápsula para recolha de 
amostras de água do mar(d=1,035). A tampa 
pode rodar em torno de um eixo ao qual é 
aplicado um momento resistente por meio de 
uma mola regulável. 
Admitindo desprezável o peso da tampa, e 
supondo que o ar se encontra inicialmente à 
pressão patm=105 N m-2, qual a profundidade a 
que a amostra de água é recolhida se o momento 
resistente aplicado à mola for de 2×104 Nm? 
 
 
Hidrostática 16 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 29 
A figura representa um reservatório com a forma 
de um prisma quadrangular contendo três fluidos 
imiscíveis. 
Sabendo que o sensor A indica uma pressão 
relativa de 1,5 kPa e que pB=pC=patm, determine: 
a) As cotas dos meniscos B e C. 
b) A força hidrostática resultante exercida sobre 
uma das paredes verticais e o seu momento em 
relação à aresta da base. 
PROBLEMA 30 
Uma comporta retangular de largura B=10 m 
(normal ao plano da figura) separa duas zonas de 
um canal em que o desnível de água 
(ρ=1000 kg m-3) é ∆H=H1-H2. 
 
a) Esboce os diagramas de pressões dos 
dois lados da comporta, bem como o 
das pressões resultantes. 
b) Qual o valor da resultante das forças 
de pressão? 
 (patm=105 N/m2) 
 
PROBLEMA 31 
 
Tendo em atenção as condições da figura 
exprima em função das outras grandezas o valor de 
b necessário para que não haja escorregamento da 
parede (ρp) devido à ação da água (ρa), 
considerando-a simplesmente apoiada no 
pavimento. 
Em que condições poderá haver perigo de a 
parede tombar? 
(designe por µ o coeficiente de atrito 
parede/pavimento) 
 
PROBLEMA 32 
Ao ascender no reservatório da figura, a 
água (ρ=103 kg m-3) atinge um 
determinado nível H, acima do eixo da 
comporta, que fará com que esta abra 
automaticamente, rodando em torno do 
eixo. 
Calcule o valor de H, desprezando 
eventuais atritos no eixo de rotação e o 
peso próprio da comporta. 
 
B
C
A
2m
1,5m
1m
3m
 ar
(20°C)
 d=0,68
(gasolina)
 d=1,26
(glicerina)
z=0
Hidrostática 17 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 33 
Uma abertura circular na parede de um reservatório é fechada por um disco que 
simplesmente cabe na abertura e pode rodar em torno de um eixo que passa pelo seu 
eixo horizontal. 
 
 
a) Prove que se o nível de água 
(ρ=103 kg m-3) no reservatório 
estiver acima do topo da disco 
(situação da figura), o 
momento necessário para o 
manter na posição vertical é 
independente desse nível. 
b) Se o diâmetro do disco for de 1 m, qual o valor desse momento? 
 
PROBLEMA 34 
Desprezando os eventuais atritos 
calcule a partir de que altura de 
água (ρ=103 kg m-3) se verifica a 
abertura da comporta representada, 
obrigando à sua rotação no sentido 
dos ponteiros do relógio. 
(O peso da comporta é de 1 
tonelada, e a dimensão na direção 
normal ao plano da figura igual a 4 
m.) 
 
 
PROBLEMA 35 
A comporta da figura pesa 750 kg e tem o seu centro de gravidade a meio da distância 
L entre o eixo de rotação O e o bordo superior; tem forma retangular e a dimensão 
normal ao plano da figura é B. 
 
O fluido no reservatório é água 
(ρ=103 kg m-3). 
Encontre uma relação entre o nível da 
água, representado por h, e o ângulo da 
comporta com a horizontal, αααα, para que a 
comporta permaneça em equilíbrio. 
φφ φφ =
1 
m
α 
Hidrostática 18 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 36 
Uma conduta cilíndrica como a indicada 
retira água de um lago (ρ=103 kg m-3; 
patm=105 Pa). 
Se for fechada com uma tampa circular 
de 450 mm de diâmetro, inclinada a 45°, 
qual a força a que esta ficará sujeita? 
Caracterize convenientemente o ponto de 
aplicação da dita força. 
 
 
PROBLEMA 37 
A comporta triangular C, D, E, da figura é articulada em CD 
e pode ser aberta por uma força normal P, aplicada em E. 
O fluido do reservatório é óleo de densidade
 
dade d=0,8, estando o 
lado exterior da comporta 
em contacto com a 
atmosfera (patm=105 Pa). 
Determine a inten-
sidade e ponto de 
aplicação da resultante 
das forças de pressão 
sobre a comporta, bem 
como a intensidade da 
força P necessária para a 
abrir. 
 
Hidrostática 19 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 38 
No reservatório de água (ρ=103 kg m-3) representado a comporta C tem 2 m 
de largura (direção normal ao plano 
da figura) e está ligada por um 
sistema de articulações e roldanas a 
uma esfera de betão E, de 
densidade 2,4. 
 
a) Qual deverá ser o diâmetro 
mínimo da esfera para que a 
comporta se mantenha 
fechada? 
b) Repita o cálculo da alínea 
anterior mas considerando a 
esfera mergulhada na água. 
 
 
 
PROBLEMA 39 
Um corpo de forma prismática (visto de topo na figura) 
encontra-se imerso em 
água (ρ=1000 kg m-3 ; µ=10-3 kg/m/s) estando ligado ao 
fundo através de um suporte rígido (S). O peso do corpo 
é de 30 kgf e a sua dimensão na direção normal ao 
plano representado é de 200 mm. 
a) Localize o ponto de aplicaçãoda força que atua 
sobre a face A. 
b) Determine a solicitação a que está sujeito 
o suporte S. 
Hidrostática 20 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 40 
A figura representa um reservatório de forma cúbica dividido em duas partes 
por uma placa rígida na direção da 
sua diagonal. 
 
Caracterize a resultante das 
forças de pressão que atuam sobre 
a divisória (direção, sentido e 
intensidade) relativamente ao 
sistema de eixos da figura. 
Dados: H=h1=h2=2 m ; 
ρ1=1000 kg m-3 ; ρ2=800 kg m-3. 
 
 
PROBLEMA 41 
A figura representa um depósito de petróleo (d=0,85), aberto à atmosfera, onde existe 
uma comporta retangular de 1,5 m de altura e 1,1 m de largura. 
 
 
A comporta pesa 280 kg e pode rodar em 
torno do eixo horizontal B. No fundo do 
reservatório acumula-se também água doce 
(ρ=1000 kg m-3). 
 
a) Para a situação representada na figura, 
esboce o diagrama das pressões que 
atuam sobre a comporta. 
b) Calcule o binário resistente que deve ser 
aplicado à comporta em B para evitar a 
sua abertura. 
 
petróleo
água
30°
1.
2 
m
0.
9 
m
²h
ar
1.2 m
A
B
∆h
 
Hidrostática 21 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
36
0 
m
m
73
5 
m
m
H
E
PROBLEMA 42 
Uma campânula hemisférica é mantida no fundo do mar, cheia de ar (ρ=1,2 kg m-3) a 
uma pressão de 765 mm Hg. A 
pressão atmosférica à superfície é 
de 105 Pa e a densidade da água 
salgada 1,032. 
a) Considerando a indicação do 
manómetro de mercúrio 
(d=13,6) representado, qual a 
profundidade H a que se 
encontra a campânula? 
b) O acesso ao interior é feito 
através de uma comporta 
circular com 80 cm de 
diâmetro, podendo rodar em torno de um eixo horizontal E existente no topo 
superior. Qual a força mínima necessária para abrir a comporta? 
PROBLEMA 43 
 
 
O dique representado tem a forma de um 
quarto de círculo e um comprimento de 50 m, 
normal ao plano representado. 
Calcule as componentes horizontal e vertical 
da resultante das forças de pressão sobre o 
dique, e localize o respetivo centro de pressões. 
(ρf=1035 kg m-3 ; patm=105 Pa). 
PROBLEMA 44 
Uma comporta com a forma de um quarto de 
círculo retém água salgada (d=1,035) conforme 
mostrado esquematicamente na figura. 
Calcule a resultante das forças de pressão por 
unidade de comprimento e localize o centro de 
pressões. (patm=105 Pa) 
 
PROBLEMA 45 
Um cilindro (d=2,6) com 1 m de diâmetro e 
10 m de comprimento separa dois níveis de 
água conforme o mostrado na figura. 
Calcule as reações vertical e horizontal no 
ponto C (dlíquido=1). 
 
 
 
Hidrostática 22 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 46 
A figura representa uma comporta de forma 
cilíndrica, suscetível de rodar sem atrito em torno 
do ponto A, sustentando a água (ρ=1000 kg m-3) 
de um canal de secção retangular (4m x 2m). 
a) Faça uma representação gráfica da distribuição 
de pressões sobre a superfície da comporta. 
b) Determine o módulo da força de pressão 
exercida pela água sobre a comporta. 
c) Desprezando o peso próprio da comporta, 
determine o valor mínimo que deverá ter o peso, 
P, para a manter fechada. 
 
 
PROBLEMA 47 
Uma cuba hemisférica com um peso de 30 kN, cheia de água (ρ=103 kg m-3),
 
 
é apertada ao chão por meio de 12 
parafusos igualmente espaçados. 
 
a) Qual a força a que está sujeito cada 
um dos parafusos? 
b) Repita o cálculo considerando agora 
que na abertura é acoplado um tubo, 
também cheio de água, com 3 cm de 
diâmetro e 4 m de altura, conforme 
indica a figura. 
 (patm=105 Pa) 
 
 
 
PROBLEMA 48 
Uma esfera de 305 mm de raio e 173 kg de massa 
fecha um orifício situado no fundo de um tanque 
contendo água (H=914 mm; ρ=1000 kg m-3). 
a) Esboce o diagrama de distribuição de pressão na 
superfície da esfera. 
b) Calcule a resultante da distribuição de pressão em 
torno da superfície molhada da esfera. 
c) Calcule a força mínima necessária para remover a 
esfera do orifício, supondo que a força calculada na 
alínea a) vale 432 N e atua de baixo para cima. 
 
 
 
 
4m
H2O
A
P
2m
1m
R=4m
h
H
R=305 mm
F
Volume da
calote esférica:
 2piR2h/3
305 mm
Hidrostática 23 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 49 
O reservatório da figura é constituído por quatro partes: uma 
tampa semiesférica, um fundo plano circular e duas peças 
encurvadas que, unidas, formam o corpo cilíndrico de 1 m de 
altura. Está cheio de um líquido de densidade d=2,8, suspenso 
de um cabo, e comunica com a atmosfera através de um 
orifício (respiro) na parte superior. Considerando desprezável o 
peso do reservatório: 
 
a) Calcule o valor da pressão absoluta no fundo e a força que 
poderá ser lida no dinamómetro D. 
b) Qual o valor da força a que, devido à ação do líquido, estão 
sujeitos os parafusos que unem a tampa ao corpo do 
reservatório? E a força que atua sobre os parafusos que 
unem o fundo ao corpo? 
c) Calcule a intensidade e localize convenientemente a força 
que, ainda devido à ação do líquido, atua sobre cada uma 
das metades que constituem o corpo do reservatório. 
 
PROBLEMA 50 
O tanque cilíndrico representado na figura tem uma tampa hemisférica (superfície ABC), 
e contém propano nas fases líquida e gasosa, 50% de cada fase em volume. A pressão 
manométrica é igual a 8 bar. 
a) Represente a distribuição de pressão nas faces interior e exterior da 
superfície ABC. 
b) Calcule as resultantes, horizontal e 
vertical, das forças exercidas na superfície 
ABC. 
c) Comente a seguinte afirmação: “A força 
horizontal exercida na tampa ABC é 
totalmente independente da forma desta”. 
 
PROBLEMA 51 
Um bloco sólido, de material homogéneo, de 
massa específica ρ, flutua entre dois líquidos de 
massas específicas ρ1 e ρ2, como mostra a 
figura, verificando-se entre aquelas a seguinte 
relação: 
ρ1 < ρ < ρ2 
 
Encontre uma expressão que quantifique a altura b com que o bloco emerge do fluido 
inferior. 
 A 
2 m 
2 m 
Gás, ρ=19.5 kg/m3 
Líquido, ρ=496 kg/m3 
B 
C 
8 bar 
Equações fundamentais - formulação integral 24 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
Equações fundamentais - formulação integral 25 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações fundamentais 
Formulação integral 
 
 
Equações fundamentais - formulação integral 26 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 52 
Considere o escoamento, suposto ideal, conforme a representação esquemática da 
figura abaixo: 
 
 
 
 
Na extremidade do tubo (9) podem ser roscados três tipos de terminal, identificados 
como A, B e C. Nestas condições 
 
a) Em que zona da tubagem pode mais facilmente ser atingida a pressão de vapor? 
 Qual o tipo de terminal que mais favorece a ocorrência desse fenómeno? 
b) Supondo toda a parede da tubagem constituída pelo mesmo material, qual a zona 
mais sujeita à rotura? 
 Com qual dos de terminais seria mais provável que a rotura se verificasse? 
c) Os terminais são normalmente roscados na extremidade da tubagem. Se em vez 
desse tipo de fixação eles fossem simplesmente apoiados, analise a possibilidade de 
cada um se manter nessa posição, ou de ser "empurrado" na direção ou contra a 
direção do escoamento. 
 Sugestão: esboce os diagramas das pressões atuantes sobre cada terminal e 
analise qual a direçãoe sentido da sua resultante. 
d) Discuta a veracidade das afirmações seguintes: 
I - A altura h1 mede a pressão estática e tem sempre o mesmo valor 
independentemente do terminal que seja utilizado. 
II - A altura h2 é uma medida da pressão total do escoamento e é tanto 
maior quanto menor for a secção de saída do terminal montado na 
tubagem 
 
Equações fundamentais - formulação integral 27 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 53 
Considere um escoamento de água (ρ=103 kg m-3) num tubo vertical que integra um 
troço cónico como o que é representado na figura. 
Supondo que o perfil de velocidades numa qualquer secção transversal é 
 
 
plano, desprezando o atrito viscoso e tendo em atenção 
os seguintes dados 
 
H=2 m ; D1= 0,5 m ; D2=1 m ; m
.
 =200 kg/s 
 
a) Qual a diferença de pressão entre os extremos do 
convergente? 
b) Qual deveria ser o valor do diâmetro D1 para que 
as pressões fossem iguais à entrada e à saída do 
convergente? 
c) Obtenha expressões matemáticas para a variação 
da pressão e da velocidade na direção do 
escoamento. 
 Esboce um diagrama dessa evolução. 
PROBLEMA 54 
Um venturi é uma conduta convergente / divergente utilizada na medição de 
velocidades (caudais) em escoamentos. 
Uma vez que os diâmetros a montante e no 
estrangulamento são respetivamente D1 e 
D2=n*D1 em que n<1, sendo as pressões nessas 
secções p1 e p2 respetivamente, mostre que é 
suficiente medir ∆p=p1-p2 e conhecer a massa 
volúmica ρ do fluido para determinar a velocidade 
V do escoamento. 
 
 
PROBLEMA 55 
Ar a 20 °C (R ar = 287 J kg-1K-1) circula através de uma conduta como a figurada, sendo 
a pressão a montante do estrangulamento 6 bar. O fluido no reservatório é água (ρ=103 
kg/m3), e os diâmetros do tubo e da garganta são respetivamente 25 mm e 10 mm. 
a) Calcule qual o mínimo caudal de ar capaz de 
induzir escoamento no tubo vertical, 
provocando a pulverização da água no 
escoamento. 
b) De que modo a pressão do escoamento a 
montante do estrangulamento afeta o valor 
atrás pedido? 
Equações fundamentais - formulação integral 28 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 56 
Água (ρ=1000 kg m-3) escoa-se de um tanque, por efeito de sifão, conforme mostra a 
figura, indicando o tubo barométrico uma leitura de 8,8 m. 
 
a) Determine a máxima altura h a 
que é possível localizar a saída 
do tubo sem que ocorra a 
cavitação. 
 Nota: a pressão do vapor no 
extremo fechado do tubo 
vertical é igual à pressão de 
saturação da água à 
temperatura em questão. 
 
b) Se o diâmetro do tubo de 
descarga fosse uniforme, qual 
seria o novo valor máximo de h 
de molde a evitar que o referido 
fenómeno se verifique? 
 
 
 
PROBLEMA 57 
 
Água (ρ=1000 kg m-3) escoa-se de 
um reservatório através de um sifão 
constituído por um tubo de 25 mm de 
diâmetro, conforme é mostrado na 
figura. (patm=105 Pa). 
Calcule o caudal mássico escoado e 
o valor da pressão nos pontos 1, 2 e 3. 
 
 
 
PROBLEMA 58 
 
No fundo de um reservatório com óleo de densidade 0,87, existe 
uma camada de água (ρ =1000 kg m-3) com uma espessura de 70 
cm, que se escoa através de um furo de 1 cm de diâmetro 
existente no fundo. O reservatório tem de diâmetro 1 m. Calcule o 
tempo que levará a água a escoar-se. 
Equações fundamentais - formulação integral 29 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 59 
Considere um escoamento de ar (ρ=1,2 kg m-3, ν=1,5×10-5 m2/s) sobre uma placa plana 
de 2 m de largura. A velocidade à entrada tem o valor de 40 m/s e distribui-se 
uniformemente. Numa secção S a jusante, o perfil de velocidades obedece à lei 
u(y)=200y - 100y2 [S.I.] 
 
a) Determine o caudal mássico, m. , através 
de uma superfície paralela à placa e situada 
200 mm acima dela. 
 
b) Determine a tensão na parede para x=xs. 
 
c) A tensão na parede será mais elevada 
em x=0 ou em x=xs? Justifique. 
 
 
S40 m/s m.
y
200 mm
x
u(y)
x=0 x=xs
 
PROBLEMA 60 
 
Água (ρ=103 kg m-3) escoa-se através de um tubo 
vertical com uma saída convergente e é lançada na 
atmosfera, conforme se mostra na figura. 
 
a) Nas condições indicadas qual o caudal volúmico 
escoado? 
b) Calcule a altura h a que o jato se eleva, 
considerando o escoamento ideal. 
 
PROBLEMA 61 
A figura representa um escoamento bidimensional e estacionário de um fluido ideal, 
através de uma curva vertical, com linhas de corrente 
circulares. A distribuição de velocidades na secção 
vertical 1-2 é dada por vr=k, onde k é uma constante e r 
é o raio de curvatura. O caudal, por unidade de 
comprimento na direção normal ao plano da figura, tem 
o valor de 1000 kg/s/m. 
a) Mostre que a relação entre a velocidade média, V, na 
secção 1-2 e a velocidade no ponto 1 pode ser expressa 
por: 
 
1 2
1 2 1 1
lnr rV
V r r r
=
−
 
 
b) Determine a velocidade no ponto 2. 
c) Determine a diferença de pressões entre os pontos 1 e 2. Critique o resultado. 
g r2
r1
1
2
C
 Dados: 
 r1=1,0 m; r2=1,2 m 
ρ=1000 kg/m3 
Equações fundamentais - formulação integral 30 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 62 
 
 
Uma agulheta para extinção de 
incêndios debita um caudal de água 
(ρ=103 kg m-3) de 60 m3/h. 
Calcular a força de ligação da 
agulheta com a mangueira se as suas 
dimensões forem D1=8 cm e D2=3 
cm. 
Resolva este exercício considerando dois volumes de controlo distintos: (i) tomando 
como superfície de controlo o a face interior da agulheta e (ii) tomando como superfície 
de controlo a face exterior. 
 
 
PROBLEMA 63 
 
Dois jatos de água iguais 
sustentam em equilíbrio, à 
mesma altura, dois corpos A e 
B com a configuração mostrada 
na figura. 
Nestas condições diga, 
justificando, qual dos dois 
corpos é mais pesado. 
 
 
PROBLEMA 64 
 
 
A placa P da figura pesa 25 kgf. Um jato 
de água (ρ=103 kg m-3) com 1 cm de 
espessura e 25 cm de dimensão normal ao 
plano representado incide a meio da 
mesma. 
Qual a altura H necessária para manter 
a placa em equilíbrio com uma inclinação 
de 45° ? 
 
Equações fundamentais - formulação integral 31 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 65 
 
Um jato de água (ρ=1000 
kg m-3) com uma velocidade de 
15 m/s e uma secção tranversal 
de 0,05 m2 atinge um defletor 
montado sobre um carro 
conforme se indica na figura. 
 
a) Qual o valor da massa M 
para que o carro permaneça 
em repouso? 
b) Se a velocidade do jato de água aumentar para 20 m/s, mantendo-se o valor de M, 
qual a velocidade com que o carro se deslocará? 
 
 
PROBLEMA 66 
Um jato de ar (ρ=1,2 kg m-3) horizontal 
com uma velocidade de 50 m/s e um 
diâmetro de 20 mm incide numa calote 
esférica conforme mostra a figura. 
Calcule a força F necessária para 
contrariar a ação do jato, evitando que o 
corpo se desloque. 
 
 
 
PROBLEMA 67 
 
Determinar uma expressão para 
a força que o jato de água (ρ=103 
kg m-3) de forma retangular 
representado na figura exerce 
sobre a placa na direção k, em 
função do ângulo θ. 
Sendo de 5 cm2 a área do jato, 
qual será o valor de cada uma das 
áreas de saída? 
Equações fundamentais - formulação integral 32 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 68 
Óleo (d=0,85) escoa-se através de uma conduta 
horizontal onde está integrada a curva a 45° com re dução 
de secção representada na figura, sendo a pressão à 
entrada 1,5x105 Pa. 
 
a) Qual o caudal máximo admissível sabendo que asflanges só vedam à compressão, i. e. se p>patm? 
(patm=105 Pa). 
 
b) Calcule a resultante (vetor) das forças que a curva transmite a montante e a jusante, 
para um caudal de 500 l/min. 
 
PROBLEMA 69 
Óleo (ρ = 870 kg m-3; µ = 0,104 Pa.s) escoa-
se, em regime laminar, numa conduta 
cilíndrica com 15 mm de diâmetro. Um 
manómetro de coluna de mercúrio (d=13,55), 
ligado entre duas secções distanciadas de 1 
m, acusa um desnível de 60 mm, conforme 
indica a figura. A lei de distribuição de 
velocidade para este escoamento é do tipo: 
u(r) = k(1-r2/R2), onde u(r) é a velocidade 
num ponto à distância r do eixo, k é uma constante e R o raio da conduta. 
a) Com base num balanço de quantidade de movimento, calcule a tensão de corte na 
parede e o caudal em circulação. 
b) Calcule a velocidade num ponto da conduta distanciado de 5 mm da parede. 
PROBLEMA 70 
A figura representa (vista em planta) uma bomba centrífuga acionada por um motor 
elétrico, destinada a movimentar um caudal de água (ρ=103 kg m-3) de 10 m3/minuto. As 
ligações entre a bomba e as condutas são flexíveis para evitar 
 
 
a transmissão de vibrações a montante e a jusante. As 
pressões relativas à entrada e à saída são respetivamente 
0 e 2,5 bar, e as secções das condutas 0,05 m2 e 0,03 
m2. 
Calcule a força (vetor) global que o sistema 
bomba/motor exerce sobre os pontos em que está 
apoiado. (patm=105 Pa) 
φ15 mm
Q r
d=13,55
1 m
60 mm
Equações fundamentais - formulação integral 33 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 71 
 
Considere a 
bifurcação 
representada na figura, 
a qual faz parte de uma 
conduta horizontal em 
que se escoa água 
(ρ=103 kg m-3), sendo a 
pressão relativa na 
secção de entrada 0,68 
kgf/cm2. 
Determine qual a 
força necessária (in-
tensidade, direção e 
sentido) para manter 
fixo o acessório. 
 
 
PROBLEMA 72 
No escoamento, suposto ideal, de 
água (ρ=1000 kg.m-3) sobre o 
descarregador representado na figura, 
admite-se que nas secções 1 e 2 a 
velocidade se distribui uniformemente 
e que a pressão é igual à pressão 
hidrostática. A largura do 
descarregador é de 1 m. 
a) Represente graficamente as 
distribuições de pressão nas secções 1 e 2 e ao longo da superfície livre da água. 
b) Calcule as velocidades v1 e v2. 
c) Calcule a componente horizontal da força exercida pela água no descarregador. 
 
5m
0,7m v2
v1
Equações fundamentais - formulação integral 34 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 73 
A figura pretende representar 
esquematicamente o rotor de uma 
bomba centrífuga destinada a 
debitar um caudal de 30 litros por 
minuto, entrando a água (ρ=103 
kg m-3) no rotor segundo a direção 
axial. 
O diâmetro do rotor é de 250 mm 
e as pás são radiais no diâmetro 
exterior e têm, também na periferia, 
25 mm de altura. 
Calcule a potência transmitida ao 
rotor quando este girar a uma 
velocidade de 1000 r.p.m. 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 74 
Considere o torniquete hidráulico (ρágua=103 kg m-3) representado na figura, 
alimentado a partir de um reservatório pressurizado a uma pressão P0 constante. 
 
A conduta que sai do depósito 
tem 5 cm de diâmetro, e os 
ramos do torniquete 2 cm e 1 cm. 
 
a) Em que sentido tende o 
torniquete a rodar? 
b) Qual a pressão necessária 
para o torniquete começar a 
rodar, sabendo que o binário 
resistente, devido ao atrito no 
veio, é de 150 N m? 
c) Qual a velocidade de rotação do torniquete se o binário resistente for igual a zero? 
 
Equações fundamentais - formulação integral 35 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 75 
Água (ρ=1000 kg m-3), considerada um fluido ideal, é bombada desde um poço conforme 
mostra a figura. 
O motor de acionamento da bomba B tem uma 
potência de 10 CV e o rendimento global do motor e 
bomba é de 75 %. A conduta de pressão tem um 
diâmetro de 75 mm e a de aspiração 150 mm. Nestas 
condições 
 
a) Qual o caudal debitado pela bomba? 
b) Qual a componente horizontal da força a que está 
sujeito o suporte S, resultante da ação do 
escoamento? 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 76 
A figura representa uma instalação de bombagem de água (ρ=1000 kg m-3) entre dois 
reservatórios. (ρHg=13,6x103 kg m-3 ; patm=105 Pa ; T=15 °C) 
 
a) Calcule a potência da 
bomba B. 
b) Para o mesmo valor do 
caudal determine o valor 
máximo de H para que 
se não verifique 
cavitação. 
c) Diga se são verdadeiras 
ou falsas as afirmações 
seguintes: 
 
I - Para o mesmo valor do caudal, aumentando o diâmetro da tubagem de admissão 
da bomba, aumenta a potência necessária à bombagem e diminui o risco de 
cavitação. 
II - Para o mesmo valor do caudal, aumentando o diâmetro da conduta de descarga, 
diminui a potência necessária à bombagem, mantendo-se as mesmas 
possibilidades de cavitação. 
 
Equações fundamentais - formulação integral 36 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 77 
A figura representa esquematicamente um sistema de propulsão de barcos constituído 
por uma bomba B, acionada por um motor, que aspira água (ρ=1000 kg m-3) na proa do 
barco e a expele na popa, através de orifícios de diâmetros D=500mm e d=200mm, 
respetivamente. 
 
 
a) Desprezando as perdas por fricção nos tubos de aspiração e descarga, calcule a 
potência necessária para acionar a bomba quando o barco se encontra parado, por 
forma a produzir um caudal de 1 m3/s. 
b) Determine nas condições referidas em a) o impulso produzido por este sistema de 
propulsão. 
c) No sentido de extrair o máximo de potência do sistema referido, pensou-se em alterar 
o diâmetro D da conduta de aspiração. Analise o problema e diga qual a alteração 
que proporia. 
 
Equações fundamentais - formulação integral 37 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 78 
Na figura está representada uma turbina reversível, podendo portanto funcionar 
também como bomba em determinados períodos, elevando então a água 
(ρ€= 1000 kg m-3) da zona de descarga para a albufeira de captação. Admita que o 
escoamento é ideal, quer num quer no outro sentido do fluxo, e que em qualquer dos 
casos o rendimento de conversão é de 100%. 
a) Qual a potência debitada pela turbina, quando o caudal escoado for de 300 m3/h. 
b) Considere agora o funcionamento como bomba. Se a potência fornecida pelo motor 
de acionamento for igual à que se obtém em a), o caudal em circulação será maior 
ou menor? Justifique. 
c) Na situação de funcionamento como turbina, se a mesma fosse colocada mais 
próxima da captação, mantendo-se as restantes condições, a potência recolhida 
seria maior ou menor? E se a descarga se desse, não à profundidade indicada mas, 
por exemplo, livremente para a atmosfera, man- 
 
 
tendo-se o desnível de 33 m 
entre a superfície livre e a 
descarga, de que modo a 
potência da turbina seria 
afetada? 
Vê algum interesse em a 
descarga ser feita em 
profundidade e a turbina ser 
colocada no ponto indicado 
e não a uma cota superior? 
 
PROBLEMA 79 
A figura representa esquematicamente 
um troço de tubagem que lança um jato de 
água (ρ = 1000 kg m-3) na atmosfera 
(pa = 105 Pa). 
a) Qual o desnível h verificado no 
manómetro de mercúrio (d=13,6) quando o 
caudal escoado for de 1,5 Ls-1 ? (O ramo 
da esquerda do manómetro está em 
contacto com a atmosfera) 
b) Caracterize (intensidade, sentido e 
direção) a força exercida pela conduta 
sobre o suporte para o mesmo valor do 
caudal (não despreze o peso da água). 
 
33
00
70
0
h
φ25
φ7
5
Ligação 
flexível
V
água
 4000 
Equações fundamentais- formulação integral 38 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 80 
Gasolina (d=0,68) é bombada a um 
caudal de 0,12 m3/s conforme se indica 
na figura. Sabendo que as perdas 
verificadas entre as secções 1 e 2 
(entrada e saída) são iguais a 0,3 
V12/2, qual a diferença de pressão 
verificada entre essas secções quando 
a bomba transmite ao fluido uma 
potência de 20 kW? 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 81 
A figura representa parte de uma instalação de um sistema hídrico. O caudal de água 
(ρ=1000 kg m-3) é de 0,5 m3/s e a turbina tem uma eficiência de 90%. 
 
a) Determine a potência útil da turbina. 
Considere agora que a descarga se faz ao 
nível da turbina (Z2=0), para a 
atmosfera,z2=0, p2=patm e que a potência útil 
debitada, para o mesmo caudal, é de 100 kW. 
 
b) Considerando Z1≈Z2, determine a força a 
que está sujeito o suporte de fixação da 
turbina. 
 
 
 
 
 
 
T
0,8 m 
Hg (d=13,6)
φ=0,2 m 
φ=0,15 m 
Z 2 =0
Z 11
2 
 
 
 
g
2
1
Q=0.122 m3/s
D2=0.2 m
D1=0.1 m
Bomba
3 
m
Equações fundamentais - formulação integral 39 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 82 
Na figura está representada parte de uma instalação onde circula água, 
(ρ = 1000 kg m-3, µ = 10-3 kg m-1 s-1, psat = 2337 Pa), cuja pressão absoluta na secção 1 
é de 105 kPa. A conduta, de diâmetro 90 mm, apresenta um estrangulamento tal que, na 
secção correspondente 
ao tubo vertical I, o 
diâmetro se reduz para 
70 mm. 
Admitindo tratar-se de 
um escoamento 
ideal: 
a) Determine o 
caudal volúmico 
que flui na 
instalação quando 
hI = 50 mm. 
b) Calcule a potência que deverá ter o motor de acionamento da bomba, sabendo que 
hII = 3 m e que o rendimento do conjunto é de 70 %, se o caudal em circulação for 
de 52 m3/h. 
c) Esboce a evolução das pressões estática e dinâmica ao longo da instalação. 
d) Qual o valor mínimo do caudal volúmico suscetível de provocar a cavitação? 
 
 
 
PROBLEMA 83 
Uma bomba de água (ρ=1000 kg m-3) tem 
uma entrada e duas saídas, vide figura. As 
ligações da tubagem à bomba são flexíveis, 
pelo que os esforços devidos às forças 
mássicas e hidrodinâmicas na região da 
bomba são integralmente transmitidos ao 
suporte. As pressões indicadas são 
relativas. 
a) Determine a cota Z4. 
b) Determine caudal na secção 3. 
 
 
300 kPa
B 45,24 m3/h
1
2
3
φ40 mm
φ60 mm
φ100 mm
H2O
Z1≈Z2≈Z3=5 m 490 kPa
-69,48 kPa
Z=0
Z4
 
 
c) Determine a potência fornecida à bomba, sabendo que o rendimento desta é igual a 
85%. 
d) Sabendo que a componente vertical da força exercida pelo suporte sobre a bomba 
tem o valor de 3 kN (sentido de baixo para cima) determine o peso da bomba. 
 
 
 
Equações fundamentais - formulação integral 40 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 84 
Água escoa-se por gravidade entre dois reservatórios interligados por um sistema de 
condutas, conforme indicado na figura. 
a) Esboce qualitativamente a evolução da pressão total (ou de estagnação) 
ao longo dos pontos I, II,…,VII. 
b) Para um desnível H=20 m, constante, determine o caudal de água que flui 
entre os dois reservatórios. 
 
c) Considere uma nova condição de H (mantendo-se a cota de 50 m), para a 
qual se verifica um caudal de 450 m3/h em cada um dos ramos B e C. Determine: 
i) a pressão estática no ponto III; 
ii) a força exercida sobre a bifurcação para a manter no lugar. 
 
 
 
AB=0.005 m2 
H 
AC=0.005 m2 
AA=0.01 m2 
60º 
Água 
 
ρ=1000 kg/m3 
50 m 
I 
II III IV 
V 
VII 
VI 
Equações fundamentais - formulação diferencial 41 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações fundamentais 
Formulação diferencial 
 
 
Equações fundamentais - formulação diferencial 42 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 85 
Estabeleça a lei de distribuição de velocidades para um escoamento entre duas 
placas planas e paralelas (escoamento laminar, permanente e incompressível). 
 
PROBLEMA 86 
Considere o escoamento entre duas placas planas paralelas representado na figura. A 
placa superior move-se a uma velocidade constante U, estando a inferior fixa. A pressão 
decresce na direção do escoamento, sendo o gradiente longitudinal dp/dx constante. 
 
a) Encontre uma expressão para o perfil 
de velocidades u=f(y). 
b) Compare a evolução da tensão de corte 
verificada neste escoamento com a de 
um outro em que dp/dx é nulo. 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 87 
No escoamento bidimensional, laminar e permanente, entre duas superfícies sólidas 
horizontais, o perfil de velocidades tem a forma esboçada na figura, com a velocidade 
máxima, Um, localizada a meia distância entre as duas superfícies. 
 
a) Integrando a equação do movimento segundo Ox, exprima Um em função do 
espaçamento H, das propriedades do fluido (ρρρρ, µµµµ) e do gradiente de pressões 
x
p
∂
∂
. 
b) Será viável utilizar o teorema de Bernoulli para relacionar as pressões em dois 
pontos distintos deste escoamento? Justifique. 
 
 
U
h
H
x
y
O
mU
Equações fundamentais - formulação diferencial 43 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 88 
Um líquido de massa volúmica ρρρρ e viscosidade µµµµ, escoa-se sobre uma placa 
infinitamente larga, inclinada de um ângulo θθθθ relativamente à horizontal, por ação da 
gravidade. A espessura do líquido sobre a placa é constante e igual a h, e o escoamento 
é permanente. 
 
a) Desprezando a viscosidade do ar em 
contacto com a superfície superior do 
líquido, determinar a distribuição de 
velocidades, a velocidade média e a 
tensão de corte junto à parede. 
b) Esboce o perfil de velocidades que se 
obteria no caso de não se ter 
desprezado o atrito do líquido com o 
ar. 
 
 
 
PROBLEMA 89 
Uma correia de grande largura (plano normal ao da figura) passa por um recipiente 
contendo um líquido viscoso, de propriedades ρρρρ e µµµµ, arrastando uma 
película de fluido de espessura h que, por 
sua vez, se escoa por ação da gravidade. 
Sendo V0 a velocidade vertical da 
correia, encontre uma expressão para a 
velocidade média da película de fluido, 
admitindo que o escoamento é laminar e 
permanente. 
 
Nota: O referencial (x,y) é fixo com respeito 
a um observador exterior. 
 
 
 
PROBLEMA 90 
Um fluido de propriedades ρ e µ, newtoniano e 
incompressível, escoa-se entre duas placas planas paralelas 
conforme se mostra na figura. O escoamento é produzido 
pelo arrastamento da placa superior, que se move com uma 
velocidade 
U, e por um gradiente longitudinal de pressões ∂p/∂x, sendo 
o regime laminar e permanente. 
a) Esboce o perfil de velocidades para as situações 
∂p/∂x<o, ∂p/∂x=0 e ∂p/∂x>0. 
b) Encontre a relação que deve verificar-se entre U e ∂p/∂x para que a tensão de corte 
junto à placa fixa seja nula 
Equações fundamentais - formulação diferencial 44 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 91 
Um fluido de propriedades ρ= 900 kg m-3, µ= 9x10-2 kg/(ms) escoa-se, em regime 
laminar, entre duas placas planas paralelas e horizontais, dando origem a um perfil de 
velocidades u(y) traduzido pela expressão 
u(y) = K y (H - y) ; K constante 
 
 
 
a) Deduza uma relação entre as velocidades média e máxima deste escoamento. 
b) Estabeleça uma relação entre o parâmetro K e as outras grandezas envolvidasno 
escoamento (gradiente de pressão, propriedades do fluido, etc.). 
c) Se a transição entre o regime laminar e turbulento se verificar para um valor ReH = 
2500, e sendo H = 5 cm, qual o valor de K que corresponde a essa transição? 
 
 
 
PROBLEMA 92 
Dois fluidos imiscíveis, com a mesma massa volúmica mas diferentes densidades 
estão contidos entre duas placas planas paralelas conforme se mostra na figura. A placa 
inferior é fixa e a superior desloca-se com uma velocidade constante U, dando origem a 
um escoamento laminar e incompressível, sem gradiente de pressão na direção do 
movimento, sendo contínua a variação quer da velocidade quer da tensão de corte 
através da fronteira entre os fluidos. 
 
a) Determine o valor da velocidade na interface entre 
os dois fluidos, exprimindo o resultado em função 
de U, µ1 e µ2. 
b) Esboce o perfil de velocidades para a situação µ2 
= 2µ1. 
 Qual a relação entre as tensões de corte 
verificadas junto às placas superior e inferior? 
Comente o resultado, fundamentando a resposta 
na relação entre a tensão e o gradiente de 
velocidades em cada caso. 
 
 
 
 
 
 
H
x
y
O
mU
Equações fundamentais - formulação diferencial 45 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 93 
O campo de velocidades de um escoamento (ρ=1,2 kg m-3) bidimensional, invíscido e 
incompressível é dado por 
 
 u = 2 2
10y
x y+
 v = 2 2
10x
x y
−
+
 w = 0 
 g=(0,0,-g) 
 
Determine a componente do gradiente de pressões na direção x e calcule o seu valor no 
ponto (1,1,0). 
Transforme estas velocidades nas componentes polares (vr, vθ). O que pode representar 
este escoamento? 
 
 
 
PROBLEMA 94 
De acordo com a teoria dos escoamentos potenciais, na região de aproximação a um 
cilindro bidimensional a velocidade do fluido na linha de corrente central (y=0) é dada por 
u=U(1-R2/x2), onde R é o raio do cilindro e U a velocidade do escoamento na região não 
perturbada. 
a) Determine, para ρ=900 kg m-3, µ=0,3 Pa.s, R=50 mm, e U=2 m/s: 
a) A aceleração máxima do fluido nessa linha de 
corrente e o local, x, onde tal valor ocorre. 
b) idem, para a tensão normal τxx. 
 
 
PROBLEMA 95 
Considere um escoamento bidimensional, estacionário e incompressível de um fluido 
newtoniano, com um campo de velocidades definido por: 
 
 
u = -2xy v = y2 - x2 w = 0 
 
a) Verifique se é satisfeita a lei de conservação da massa. 
b) Determine o campo de pressões, p(x,y), sabendo que g=(0,0,-g) e p(0,0)=Po. 
 
 
 
y
x
R
U
Equações fundamentais - formulação diferencial 46 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
Análise dimensional 47 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise dimensional 
Semelhança 
 
 
Análise dimensional 48 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 96 
A perda de carga ∆∆∆∆p numa placa orifício (medidor de caudal) é função dos diâmetros 
do orifício e da conduta, d e D, da velocidade média do escoamento V, das propriedades 
do fluido, ρρρρ e µµµµ. 
Adimensionalize esta dependência utilizando o teorema de Buckingham. 
 
PROBLEMA 97 
Um rotâmetro é um dispositivo medidor de caudal, constituído por um tubo 
cónico vertical e um flutuador. A posição deste último (x) varia de 
acordo com a velocidade do fluido à entrada do tubo (U) e é por 
isso uma medida indireta do caudal escoado. Uma análise das 
variáveis em jogo mostra que x = f(dF, U, ρ, µ, γF) em que ρ e µ 
são as propriedades do fluido, dF e γF o diâmetro e o peso 
específico do flutuador, e g a aceleração da gravidade. 
Apresente a mesma relação sob a forma adimensional, 
utilizando o teorema de Buckingham. 
 
 
PROBLEMA 98 
Genericamente, a elevação de pressão ∆∆∆∆p produzida por uma bomba centrífuga 
depende das propriedades do fluido (ρρρρ , µµµµ), da velocidade de rotação n, do diâmetro do 
rotor D e do caudal volúmico V
.
 . 
 
a) Apresente essa dependência sob forma adimensional, recorrendo ao teorema de 
Buckingham. 
b) A experiência mostra que, para fluidos pouco viscosos, o comportamento de uma 
bomba centrífuga é praticamente independente da viscosidade. Tirando partido 
desse facto, mostre que a elevação de pressão ∆p de uma bomba varia 
proporcionalmente à massa volúmica ρ do fluido que nela circula, quando se mantêm 
constantes a velocidade de rotação e o caudal volúmico. 
 
PROBLEMA 99 
Um reservatório mantido a pressão constante, pint, 
descarrega para a atmosfera através de um furo de diâmetro 
d um líquido de massa específica ρρρρ e viscosidade νννν. 
 
a) Encontre uma relação adimensional entre o caudal de 
descarga, V
.
 , e os restantes parâmetros relevantes. 
b) Uma expressão vulgarmente utilizada para o cálculo do 
caudal volúmico saindo de um reservatório é V& = 0,61 
2
2
4
d gHpi . Investigue a homogeneidade dimensional 
da relação e comente a sua aplicabilidade à situação 
descrita em a). 
U
dF
x
H
D
d
p
int
Análise dimensional 49 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
PROBLEMA 100 
Um elemento da estrutura de uma ponte, com um comprimento muito superior 
às outras dimensões, tem a secção 
transversal mostrada na figura. É sabido que 
com o vento soprando a uma velocidade 
constante podem formar-se na esteira 
vórtices, emitidos de modo regular, a uma 
frequência bem definida, podendo o 
fenómeno dar origem a esforços periódicos 
importantes sobre a estrutura, pelo que é 
essencial o conhecimento daquela 
frequência 
 
 
 
Neste caso concreto as dimensões da estrutura são D=0,1 m e H=0,3 m, o vento em 
causa é de 50 km/h (ρar=1,2 kg m-3 , µar=1,8x10-5 kg/m/s), e pretende--se determinar a 
frequência ensaiando um modelo a escala reduzida num túnel de água (ρ=1000 kg m-3; 
µ=1,01x10-3 kg/m/s), sendo a dimensão Dm=20 mm. 
 
a) Determine a dimensão Hm do modelo, bem como a velocidade à qual deverá ser 
realizado o ensaio. 
b) Se a frequência de emissão de vórtices encontrada no ensaio for de 49,9 Hz, qual o 
valor esperado no protótipo? 
 
 
PROBLEMA 101 
A turbina de um gerador eólico de diâmetro D roda no ar (ρρρρ, µ) a uma velocidade 
angular ΩΩΩΩ. 
a) Encontre uma relação adimensional entre a potência captada pela turbina e as 
outras grandezas envolvidas. 
b) Suponha que a velocidade de rotação da turbina é de tal forma elevada que os 
efeitos da compressibilidade do ar não são desprezáveis. Em que medida é que 
este facto vem alterar a relação obtida na alínea anterior? 
 
Análise dimensional 50 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 102 
Pretende-se desenvolver um instrumento para medição de velocidades em 
escoamentos de ar, constituído por um cilindro com dois orifícios (1 e 2), onde é medida 
a diferença de pressões ∆∆∆∆p=p1-p2, que depende do valor da velocidade U, bem como 
das dimensões do cilindro e das propriedades do fluido. 
 
a) Adimensionalize a dependência atrás 
enunciada recorrendo ao teorema dos 
Π de Buckingham. 
b) Um destes instrumentos foi aferido num 
túnel de vento obtendo-se uma curva 
como a figurada. 
 Diga, justificando, se poderia converter 
esta curva numa outra apropriada para 
utilizar o mesmo instrumento em 
escoamentos de água. 
 
PROBLEMA 103 
A velocidade de descida de um paraquedista depende do seu peso 
(próprio+equipamento), do diâmetro do para-quedas e das propriedades do ar. 
 
a) Utilizando o teorema de Buckingham, apresente a relação entre asgrandezas 
mencionadas em forma adimensional. 
b) Pretende-se estudar em escala reduzida o comportamento de um paraquedas que 
deverá descer carregado com o peso total 1000 N. Que peso deverá ser adotado 
num modelo à escala 1:5, por forma a assegurar condições de semelhança 
dinâmica? 
 O fluido utilizado na simulação é o mesmo do caso real. 
PROBLEMA 104 
Pretende-se avaliar o caudal mássico que se escoa por gravidade de um reservatório 
de altura h, ao longo de um tubo vertical de diâmetro D e comprimento H>>h. O fluido é 
um líquido de propriedades ρ e µ. 
 
a) Identifique as grandezas que poderão influenciar o valor 
do caudal escoado e apresente a relação correspondente 
sob forma adimensional, utilizando o teorema de 
Buckingham. 
b) O problema concreto é estudar um escoamento de óleo 
(ρ=850 kg m-3 ; µ=0,01 kg/m/s) ao longo de um tubo com 
H=50 m e D=5 cm num modelo reduzido utilizando como 
fluido a água (ρ=1000 kg m-3 ; µ=0,001 kg/m/s). Qual a 
redução de escala a adotar? 
 
 
Análise dimensional 51 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
PROBLEMA 105 
Para determinar a velocidade de queda de uma esfera de alumínio (ρ=2700 kg m-3) 
com 1 cm de diâmetro mergulhada em água (ρ=1000 kg m-3 ; µ=0,001 kg/m/s) mediu-se 
a velocidade de queda de uma esfera de aço (ρ=7800 kg m-3) com 2 cm de diâmetro em 
óleo (ρ=900 kg m-3 ; µ=0,1 kg/m/s). 
Supondo desprezável a dependência dos fenómenos relativamente ao número de 
Reynolds (coeficiente de arrasto independente do Re), relacione as duas velocidades de 
queda. 
 
PROBLEMA 106 
A figura representa o corte de uma sala onde o ar é insuflado através de uma fenda 
existente junto ao teto, a uma velocidade V. 
 
a) Encontre uma relação entre o 
comprimento da zona descolada, l, e 
os restantes parâmetros relevantes. 
b) Se pretendesse estudar num modelo à 
escala 1:10 o caso de uma sala com 3 
m de pé direito em que se insufla ar 
(ρ=1,2 kg m-3 ; ν=1,51x10-5 m2/s) por 
uma fenda 
de 5 cm de altura a uma velocidade de 2,5 m/s, quais seriam a altura da fenda e a 
velocidade de ensaio apropriadas para o ensaio se o fluido utilizado fosse água 
(ρ=1000 kg m-3 ; ν=1,01x10-6 m2/s)? 
 
PROBLEMA 107 
Prove que num escoamento governado simplesmente por forças de inércia, gravidade 
e pressão, a razão dos caudais volúmicos de dois sistemas dinamicamente semelhantes 
é igual à razão dos comprimentos característicos elevada a 5/2. 
 
PROBLEMA 108 
Pretende-se saber qual a força de arrasto verificada num avião cuja velocidade é de 
600 km/h. 
Será possível ensaiar um modelo à escala 1:20 do avião num túnel de vento à mesma 
pressão e temperatura a que vai estar sujeito o protótipo com o fim de avaliar a referida 
força de arrasto? Em caso negativo sugira como poderia eventualmente ser contornado o 
problema. 
 
V
h
H
l
Análise dimensional 52 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
PROBLEMA 109 
Num modelo à escala 1:100 de um porto de mar, qual o intervalo de tempo que deverá 
corresponder ao período real de marés de 12,4 horas? 
 
 
PROBLEMA 110 
Um avião destina-se a voar a uma altitude de 3000 m, onde a pressão e a temperatura 
são respetivamente 70,2 kPa e -15 °C, à velocidade de 120 m/s. 
Um modelo à escala 1:20 é ensaiado num túnel de vento pressurizado à temperatura 
de 15 °C. 
Para que exista semelhança dinâmica quais os valores de pressão e velocidade que 
deverão ser adotados no ensaio? 
Admita que para o ar µ ∝ 
3/ 2
( 117)
T
T +
 
PROBLEMA 111 
O binário necessário para operar o leme de um submarino profundamente submerso 
deslocando-se à velocidade de 3 m/s é estudado num modelo à escala 1:20, num túnel 
de água doce. 
Num teste apropriado, o binário medido era de 8,3 Nm. Qual o binário esperado no 
submarino? 
ρ
 água slagada = 1025 kg m-3 ; ρágua doce= 1000 kg m-3; µ água slagada = µ água doce 
PROBLEMA 112 
O aumento de pressão, ∆p=p2-p1, através da expansão súbita representada na figura e 
pela qual escoa um líquido pode ser expresso como: ∆p=ƒ(A1, A2, ρ, v1), onde A1 e A2 
são 
as áreas das secções de passagem a montante e a jusante, 
ρ é a massa volúmica do fluido e v1 é a velocidade a 
montante. 
Alguns dados experimentais obtidos com A2=0,11613 m2, 
v1=1,524 m/s e utilizando água (ρ=1000 kg m-3) são dados 
na seguinte tabela: 
 
v1
A1
A2
p1 p2
 
 
A1 (m2): 0,00929 0,02323 0,03437 0,04831 0,05667 
∆p (Pa): 155,610 375,858 493,164 555,408 588,924 
a) Represente graficamente estes dados experimentais usando parâmetros 
adimensionais adequados. 
b) Para uma expansão súbita com A1=0,02323 m2 e A2=0,06637 m2, percorrida por um 
fluido (ρ=1115 kg m-3) com velocidade v1=1,143 m/s, preveja o valor de ∆p 
correspondente. 
Análise dimensional 53 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
PROBLEMA 113 
A altura (h) que atinge um líquido num tubo capilar 
depende do diâmetro do tubo (d), do peso específico do 
fluído (γ - produto da massa específica pela aceleração 
da gravidade), da tensão superficial do fluido (σ) e do 
ângulo de contacto (θ). 
 
a) Adimensionalize este problema. 
b) Se numa experiência for medido um valor de h=3 cm, 
qual será a altura atingida noutro caso semelhante em 
que a tensão superficial é a metade 
d
θ
h
 
do caso anterior e onde a massa volúmica do fluído é duas vezes superior, para um 
mesmo ângulo de contacto? 
 
 54 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
Soluções dos exercícios de Mec. dos Fluidos I 
(6º versão) 03/07/25 
 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS – LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE 
1 
a) U
H
yyu =)( 
H
Uy µτ =)( b) 225 N/m2 
2 0.075 N 
3 a) 219.4 N b) 1.54µm c) 219.4 N 
4 a) 9.82E-5m b) igual 
5 35.6 m/s 
6 1131 W 
7 a) 286 N b) 366.7 W 
8 a) 1.96E-2 N/m.s b) pequenas viscosidades 
9 a) 176.9 m/s b) medindo a velocidade de descida 
10 1.11E-3 kg m-1 s-1 Não esquecer o momento 
resistente na base 
11 
a) 
θ
ωpiµ
hsen
rM oo
2
4
=
 
 
12 
32
3
R
Msen
piω
θµ ≈ 
13 
a) 
4
D
w
β
τ −= ;
84
DD β
τ −=





 b) LDF 2
4
βpi= 
14 












+
−−= )(exp1)( mMh
At
A
hMgtv µ
µ
; )(∞v 
15 µ1=2×µ2 
Hidrostática ( g = 9.8 m/s-2, Patm = 1 bar) 
16 1.25807x105 Pa, 945.1 mmHg, 1.283 kgf/cm2, 
12.85m.c.a 
 
17 a) 95485.7 Pa b) 96,22 cm c) retirando agua 
18 a) 5.32 cm b) 56 J 
19 1
2
2( )( )
d
D
sen gf+ −θ ρ ρ 
 
 
20 a) 240.1 Pa 
21 a) 1.96E5 Pa b) 17.2 kg 
22 a) 5265 Pa b) 0.015 m 
23 P= (M-8335.95xH)0.32pi/4-276.19 (N) 
24 a) 0 N b) não afeta 
25 0.79 m Patm=1.01325×105 Pa 
26 i. 7.7 kN ii. 3.8 kN iii. Não 
27 a) 10% b) a água não afeta a sensibilidade 
28 159.4 m 
29 a) ZB=2.725 m, ZC=1.931 m b) 
30 b) 3.14 MN 
 55 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
31 
i. µρ
ρ
L
Hb
p
a
2
2
> ii. 
L
Hb
p
a
ρ
ρ
3
3
< 
 
32 1.7 m 
33 b) 481 Nm 
34 4 m 
35 h=(7.875 x cos θ x sen2 θ / B)1/3 
36 20.6 kN, ycp= -0.68 mm Pressões absolutas 
37 41.31 kN, ycp= -96.2 mm, xcp= 0, P=13.8 kN 
38 a) 4.76 m b) 5.70 m 
39 b) ycp= -1.94 mm c) 0 b) Pressões absolutas 
40 i. 22,17 kN ycp= - 0.2357 m 
41 b) 17.25 kNm 
42 a) 9.5 m b) 2414 kgf 
43 FH= 201.5 MN, FV=259 MN 
44 F= 631.44 kN 
45 Fy=142.07 kN, Fx=-36.78 kN, Mo= 18.38 kNm 
46 b) 292 kN, c) 19.4 ton 
47 a) 444 kgf b) 4632 kgf c) 10.27 kN 
48 b) 432.5 N (de baixo para cima), c) 1263.2 N 
49 a) 134300 Pa, 641 kgf, b) 6732 N 
50 b) FH=10.08MN, FV=42.37 kN 
51 ( )
( )hb 21
2
ρρ
ρρ
−
−
=
 
 
EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS – FORMULAÇÃO INTEGRAL 
52 
53 a) 19.13 kPa, b) 0.202 m, c) 
V V
z
− =
+
−2
2
0 2
0 25
0 25
2
0 255
.
( . . )
.
pi
 
 
54 
V
P P
D D1
1 2
1 2
4
2
1
=
−
−
( )
(( / ) )ρ 
 
55 a) 2.93 l/s 
56 a) h < 0.91 m, b) h < 7 m 
57 2.17 kg/s P1=124500 Pa P2=114700Pa 
P3=90200Pa 
 
58 1122 s 
59 a) 10.24 kg/s, b) 0.0036 Pa, 
60 a) 25.2 l/s b) 8.34 m 
61 b) 4.571 m/s, c) P1-P2=-2636 Pa 
62 -105 i kgf 
63 O corpo A 
64 5 m 
65 a) 1958 kg, b) 5 m/s 
66 1.89 N 
67 a) 450×sen θ, b) αA1, (1-α)A1 com α=(1+cos θ)/2 
68 a) 40.7 kg/s, b) 142.8 i -257.4 j (N) 
69 a) 27.96 Pa , 0.321 m3/h b) 0.896 m/s 
 56 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
70 8425.9i-555.6j N 
71 1198i-5709j N 
72 b) v1=1.30 m/s, v2=9.27 m/s, c) 68.3 kN 
73 86 W 
74 b) 7.12 bar, c) 63 R.P.M. 
75 a) 56.7 l/s b) -898 i (N) 
76 a) 2.6kW, b) H< 9.7 m 
77 a) 506.6 KW b) 2988 kgf c) (ver res. aula prática) 
78 a) 27 kW b) 298.6 m3/h 
79 a) 0.329 m, b) 16.7i -32.7j (kgf) 
80 2.16 kgf/cm2 
81 a) 101.4 kW, b) (–14.15i –23.54j) kN 
82 a) 52.3 m3/h, b) 503.4 W, c) 249.3 m3/h 
83 a) 55 m, b) 135.7 m3/h, c) 33.8 kW, d) 113.5 kg 
84 b) 713 m3/h, c)-i 2.75×105 Pa, c)-ii FH=-1076N, 
FV=0 
 
Equações fundamentais - Formulação diferencial 
85 
u
dP
dx b y= − −
1
2
2 2
µ ( ) 
Eixo dos xx no centro da 
conduta. 
86 
a) u U yh
h dP
dx
y
h
y
h= − −
2
2
1µ ( ) 
b) τ µ= − −Uh
dP
dx
h
y( )
2
 
 
87 
U
dP
dx
H
m = −
1
2 4
2
µ 
 
88 
a) u h g sen yh
y
h= −
2
1
2
ρ θ
µ
 
 ( ) 
 u
h g sen
=
2
3
ρ θ
µ
 
, τ ρ θW h g sen= 
 
89 V gh0
2 3− ρ µ / ( ) 
90 
b) U dPdx
h
=
2
2µ 
 
91 
a) U Um=
2
3 , b) K
dP
dx= −
1
2µ , c) 12000 m
-1s-1 
 
92 
U
µ
µ µ
1
1 2+
 
 
93 
a) 322 )(
 100
yx
x
x
P
+
=
∂
∂ ρ
, 15 Pa/m, b) vr=0, vθ=-10/r 
 
94 a) –29.7 m/s2, –64.55 mm, b) –48 Pa, –0.050 m 
95 a) sim é satisfeita a l.c.m., b)
)
22
( 
44
22
0
yxyxPP ++−= ρ 
 
 57 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
ANÁLISE DIMENSIONAL - SEMELHANÇA 
96 ),( 2 µ
ρφ
ρ
VD
D
d
V
P
=
∆
 
 
97 )
 
,( 2U
DVD
D
x FF
F ρ
γ
µ
ρφ= 
98 
a) D P
V
D n
V
V
D
4
2
3∆
ρ φ
ρ
µ & ( & ,
&
)=
 
 
99 
a) 
&
( , , )int.V
d g
P
gd
d g d
H5
3
= φ ρ ν 
 
100 
a) fD
U
UD H
D
= φ ρµ( , ) , b) 29.6 Hz 
 
101 
a) Pot
U D
D
U
UD
ρ φ
ρ
µ3 2 = ( , )
Ω
 
 
102 
a) ∆P
U
UD
ρ φ
ρ
µ 2 = ( ) 
 
103 
a) Mg
U D
UD
ρ φ
ρ
µ2 2 = ( ) , b) (Mg)m=(Mg)P 
 
104 
a) & ( , )m
D
H
D
D g
µ φ
ρ
µ= 
3 2
2 , b) 1:5.17 
 
105 V
V
AL
Aço
.
.= 0 33 
 
106 
a) ( , )l H Vh
h h
ρφ
µ
= , b) hm= 0.005 m, Vm=1.67 
m/s 
 
107 
108 
109 1.24 h 
110 125.9 m/s, 16.3 bar 
111 162 N.m 
112 b) 326.9 Pa 
113 
a) 2 ,
h
d d
σφ θ
γ
 
=  
 
, b) 1,5 cm 
 
 
 
 58 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I 
 
 
 
 
 
 
 
1 (5 v) – A figura (dimensões em milímetros) representa um reservatório de 
combustível líquido (ρ = 800 kg/m
por uma massa M, de forma cilíndrica, 
suscetível de se elevar por ação da pressão, 
abrindo a passagem do combustível para um 
tubo de descarga D. O ar na parte superior do 
reservatório é pressurizado por um 
compressor. 
a) Calcule o valor da massa M para garantir um 
nível máximo de enchimento H
uma pressão manométrica do ar de 1,2 bar.
b) Se a tampa circular puder rodar em torno do 
eixo E (perpendicular à figura), qual o esforço 
a que estará sujeito o parafuso de fixação P, 
ainda para a situação referida na alínea anterior?
c) De que forma a altura do líquido acima da tampa afeta o esforço referido
 
2 (3 v) – Considere o escoamento entre duas placas planas, sujeito a um gradiente 
de pressão longitudinal 
processa em regime laminar e permanente e que o fluido em questão é 
Newtoniano. 
a) Encontre uma expressão para o perfil de velocidade e esboce a sua forma quando 
∂p/∂x = K, com K < 0. 
b) Determine a força necessária para arrastar uma placa 
de área A =1 m2, com uma velocidade U
uma película de óleo de espessura h
gradiente de pressão, ∂p/∂x, é igual a 
A massa específica e viscosidade do óleo são 
ρ = 900 kg/m3 e µ = 0,3
Nota: Caso não tenha respondido à alínea anterior, 
considere que o perfil de velocidade é dado por
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013
 
MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA
MECÂNICA DOS FLUIDOS I
A figura (dimensões em milímetros) representa um reservatório de 
= 800 kg/m3), provido de um limitador de nível constituído 
por uma massa M, de forma cilíndrica, 
suscetível de se elevar por ação da pressão, 
passagem do combustível para um 
tubo de descarga D. O ar na parte superior do 
reservatório é pressurizado por um 
Calcule o valor da massa M para garantir um 
nível máximo de enchimento Hmáx = 2 m e 
uma pressão manométrica do ar de 1,2 bar. 
tampa circular puder rodar em torno do 
eixo E (perpendicular à figura), qual o esforço 
a que estará sujeito o parafuso de fixação P, 
ainda para a situação referida na alínea anterior? 
De que forma a altura do líquido acima da tampa afeta o esforço referido
Considere o escoamento entre duas placas planas, sujeito a um gradiente 
de pressão longitudinal ∂p/∂x. Admita que o escoamento é incompressível, que se 
processa em regime laminar e permanente e que o fluido em questão é 
tre uma expressão para o perfil de velocidade e esboce a sua forma quando 
Determine a força necessária para arrastar uma placa 
, com uma velocidade U = 1 m/s, sobre 
uma película de óleo de espessura h = 1 cm, em que o 
∂p/∂x, é igual a -2000 Pa. 
A massa específica e viscosidade do óleo são 
0,3 kg/(m·s), respetivamente. 
Nota: Caso não tenha respondido à alínea anterior, 
considere que o perfil de velocidade é dado por 
µ2
2yhy
x
p
h
yUu −





∂
∂
−=
 
 
59 
2013 
MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
3º ANO 
MECÂNICA DOS FLUIDOS I 
Exame – 2010.01.12 
A figura (dimensões em milímetros) representa um reservatório de 
), provido de um limitador de nível constituído 
De que forma a altura do líquido acima da tampa afeta o esforço referido atrás? 
Considere o escoamento entre duas placas planas, sujeito a um gradiente 
∂p/∂x. Admita que o escoamento é incompressível, que se 
processa em regime laminar e permanente e que o fluido em questão é 
tre uma expressão para o perfil de velocidade e esboce a sua forma quando 
 60 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
3 (8 v) – A figura representa um túnel aerodinâmico (ar, ρ = 1,225 kg.m-3, 
µ = 1,789×10-5 kg.m-1.s-1), em circuito 
aberto, de secção circular, à semelhança 
de um disponível no laboratório, em que o 
ventilador instalado numa das 
extremidades assegura as condições de 
funcionamento exigidas. Na secção de 
trabalho foi colocado um objeto de forma 
irregular. Os perfis de velocidade nas 
secções 1 e 2, na saída do túnel 
(atmosfera), são os representados, tendo-se admitido desprezável o efeito das tensões 
de corte na parede do tubo/ túnel de vento.a) Determine o rendimento do conjunto ventilador/motor elétrico, sabendo que a 
potência deste último é de 4 kW. 
b) Qual a força necessária para manter fixo o objeto colocado na secção de trabalho? 
c) Determine os fluxos de massa, quantidade de movimento e energia cinética na 
saída do túnel. 
d) Determine a potência dissipada entre as secções 1 e 2. 
 
4 (4 v) – O tempo t necessário para esvaziar um determinado volume de líquido de 
um pequeno reservatório com a forma de um cilindro vertical depende de vários 
fatores, incluindo a viscosidade. Assuma que, para fluidos bastante viscosos, o 
tempo necessário para despejar 2/3 do volume inicial depende da altura inicial do 
líquido no reservatório (h), do seu diâmetro (D), da viscosidade do fluido (ν) e da 
aceleração da gravidade (g). 
Os dados da tabela seguinte foram obtidos em laboratório, para um reservatório 
com h = 45 mm, D = 60 mm. 
ν (m2/s) t (s) 
1,12×10-2 15 
1,73×10-2 23 
3,98×10-2 53 
6,22×10-2 83 
10,92×10-2 145 
a) Encontre uma relação adimensional entre as variáveis consideradas neste 
problema. 
b) b1: Utilizando os resultados obtidos em laboratório, será possível determinar o 
tempo necessário para esvaziar 2/3 do volume de um líquido com ν = 14,1×10-
2 m2/s, inicialmente à altura h = 50 mm, de um reservatório com diâmetro 
D = 80 mm? 
b2: E se a altura inicial for h = 60 mm? 
Caso alguma das respostas anteriores seja afirmativa, estime o tempo necessário 
para o esvaziamento. 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I 
 
 
 
 
 
 
 
1 (5 v) – O reservatório representado contém um líquido sob pressão e os tubos 
manométricos A1 e A2
(d=13,6), têm os seus ramos livres em 
contacto com a atmosfera. Os 
desníveis representados têm os 
seguintes valores, em milímetros:
 y1 = 550 ∆
 y2 = 500 ∆
a) Calcule a densidade do líquido 
contido no reservatório.
b) Admitindo que 
1400 kg/m3, calcule a posição da 
superfície livre dentro do 
reservatório (x=?). 
c) Para x=200 mm, ρ
e uma pré-carga da mola de 4,5
topo do reservatório sem que o limitador de pressão LP (pormenor na figura) 
abra? 
 
2 (4 v) – Considere o escoamento, com 
horizontais fixas, forçado por um gradiente de pressão 
que o escoamento se processa em regime 
permanente, laminar e incompressível, e 
que as dimensões das placas horizontais 
podem ser consideradas infinitas.
a) Indique quais os termos que podem ser 
considerados nulos na equação 
diferencial seguinte e porquê:



+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
y
u
v
x
u
u
t
uρ
b) Determine o perfil de velocidade.
c) A que distância das placas a velocidade toma um valor igual ao da velocidade 
média? 
d) Calcule a tensão viscosa junto da placa inferior (
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013
 
MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA
MECÂNICA DOS FLUIDOS I
Prova de recurso 
O reservatório representado contém um líquido sob pressão e os tubos 
, com mercúrio 
(d=13,6), têm os seus ramos livres em 
contacto com a atmosfera. Os 
desníveis representados têm os 
seguintes valores, em milímetros: 
∆h1 = 450 
∆h2 = 650 
Calcule a densidade do líquido 
contido no reservatório. 
Admitindo que ρlíq é de 
, calcule a posição da 
superfície livre dentro do 
 
ρlíq=1400 kg/m3, 
carga da mola de 4,5 N, qual o valor máximo da pressão do gás no 
topo do reservatório sem que o limitador de pressão LP (pormenor na figura) 
Considere o escoamento, com V=(u,0,0), entre duas placas planas 
horizontais fixas, forçado por um gradiente de pressão ∂p/∂x constante. Admita 
que o escoamento se processa em regime 
permanente, laminar e incompressível, e 
que as dimensões das placas horizontais 
podem ser consideradas infinitas. 
Indique quais os termos que podem ser 
considerados nulos na equação 
eguinte e porquê: 






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
++
∂
∂
−=


∂
∂
+ 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
ug
x
p
z
u
w x µρ
Determine o perfil de velocidade. 
A que distância das placas a velocidade toma um valor igual ao da velocidade 
Calcule a tensão viscosa junto da placa inferior (y=0). 
61 
2013 
MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
3º ANO 
MECÂNICA DOS FLUIDOS I 
Prova de recurso – 2010.02.05 
O reservatório representado contém um líquido sob pressão e os tubos 
qual o valor máximo da pressão do gás no 
topo do reservatório sem que o limitador de pressão LP (pormenor na figura) 
, entre duas placas planas 
constante. Admita 
 
A que distância das placas a velocidade toma um valor igual ao da velocidade 
 62 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
Nota: Caso não tenha respondido à alínea b), considere que o perfil de velocidade é 
dado por u(y) = 4·Umax (h y - y2)/h2. 
 
3 (3 v) – Admita que a potência de uma turbina hidráulica (P) depende apenas 
das propriedades do fluido ( e ), do diâmetro do rotor (D), da altura útil de 
queda (H) e do caudal (Q). 
a) Diga, justificando convenientemente, quais os grupos adimensionais mais 
importantes para a caracterização do escoamento. 
b) Pretendendo fazer-se um ensaio com um modelo da turbina à escala 1:10, 
qual deverá ser a relação entre as alturas de queda no modelo e no protótipo 
para que se verifiquem as condições de semelhança dinâmica? E qual será a 
relação entre a potência medida no ensaio e a esperada no caso real? 
Nota: Suponha que se utiliza no ensaio o mesmo fluido do caso real. 
 
 
4 (8 v) – A figura representa a extremidade de uma tubagem que descarrega para 
a atmosfera e tem na sua parte vertical um filtro para retenção de impurezas. O 
fluido é água (=1000 kg/m3; =10-3 Pa.s) e ocupa um volume total de 4000 cm3. 
a) Qual a intensidade da força, Rx de fixação da curva na direção horizontal? 
b) Determine o valor da pressão antes e 
depois do filtro. 
c) Diga qual a consequência, ou as 
consequências, da presença do filtro em 
termos da potência despendida para que 
esta instalação possa funcionar? 
Quantifique. 
d) Numa outra versão deste mesmo 
dispositivo, o filtro foi substituído por uma 
hélice acoplada a um pequeno gerador 
elétrico. 
Determine a potência disponível no eixo 
desta hélice e o rendimento deste dispositivo, sabendo que a potência elétrica 
é igual a 500 Watt e a pressão na secção de entrada é 30 kPa. 
 
 filtro 
 
área =100 cm2 
área = 60 cm2 
V=3 m/s 
Ry=270 N 
 
filtro 
 63 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
 3º ANO 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS I 
 Exame – 2011.01.18 
1 (5 v) – A figura representa uma das instalações 
experimentais usadas no laboratório, em que um corpo com 
6 faces, duas delas curvas e concêntricas, é mergulhado em 
água (ρ = 1000 kg.m-3) a profundidade (d) variável. 
L = 275 mm; H = 200 mm; D = 100 mm; B = 75 mm 
a) a1) Explique o funcionamento e objetivo da experiência 
realizada. 
a2) Desenhe na folha do enunciado a distribuição de 
pressão em todas as faces do corpo suspenso. 
b) Escreva a expressão matemática que traduz o 
equilíbrio que permite manter na posição horizontal o 
braço (L), que roda em torno do “pivot”, e em cuja 
extremidade são suspensas as massas. 
 
 
 
c) A tabela mostra uma sequência de valores relativos 
a situações de equilíbrio. Determine, recorrendo 
apenas a estes dados, a distância h′ entre o eixo 
(“pivot”) em torno do qual o braço L roda e o ponto 
de aplicação da força na face vertical (retangular 
B×D). Complete a coluna respetiva, h’ (exp), na 
tabelajunto com as figuras (pág. 3). 
d) Obtenha a expressão da distância entre o “pivot” e o ponto de aplicação da força 
(repita a alínea b), mas baseado nas expressões gerais para o caso de superfícies 
planas submersas. Determine essa distância, h’(teo), para os pontos 6 e 7, e 
preencha a tabela. 
2 (7 v) – A figura representa a colisão de dois jatos 
(água, ρ = 1000 kg.m-3) de secção circular, (1) e (2), 
que confluem para um único jato (3), todos no 
mesmo plano horizontal. 
a) Determine o caudal mássico na secção 3. 
b) Determine o ângulo θ e a velocidade do jato (3) 
que resulta da colisão de (1) e (2). 
c) Mostre que não se trata de um escoamento ideal 
e determine a potência dissipada no processo. 
Massa (g) d (mm) 
103 65 
151 80 
207 95 
225 100 
250 105 
300 118 
340 
 128 
 
1
2
N. 
3
4
5
6
7
 64 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 
3 (4 v) – A queda de pressão por unidade de comprimento, ∆pl, no escoamento de 
sangue num tubo horizontal de pequeno diâmetro é uma função do caudal 
volúmico Q, do diâmetro D do tubo e da viscosidade do sangue, µ. 
a) Efetue a análise dimensional do problema e determine os ou o número 
adimensional π relevante. 
b) A tabela mostra os resultados de um conjunto de testes em que D = 2 mm, 
µ = 0,004 Pa.s e a queda de pressão ∆p foi medida entre dois pontos afastados da 
distância l = 300 mm. 
N. Q (m3.s-1) ∆p (N.m-2) 
1 3,60×10-6 1,10×104 
2 4,91×10-6 1,50×104 
3 6,32×10-6 1,93×104 
4 7,89×10-6 2,41×104 
5 8,50×10-6 2,45×104 
6 9,79×10-6 2,99×104 
Analise estes dados com base nas conclusões da alínea a). Diga se lhe parece ter 
havido alguma anomalia que tenha decorrido durante a experiência, nomeadamente 
se algum dos pontos medidos se afasta daquilo que é esperado, devendo ser 
eliminado do conjunto de pontos ou a experiência repetida. 
c) Determine a queda de pressão por unidade de comprimento, no caso do escoamento 
num tubo de D = 3 mm, Q = 2,0×10-6 e µ = 0,006 Pa.s. 
 
 
 
4 (4 v) – Considere o escoamento vertical entre duas placas planas e paralelas, com 
gradiente de pressão ∂p/∂y=K1. Admita que o escoamento é 
incompressível, que se processa em regime laminar e permanente e que o 
fluido em questão é Newtoniano. 
a) Encontre uma expressão para o perfil de velocidade e esboce a sua forma 
quando K1 > 0. 
b) Determine uma expressão para a tensão viscosa junto da parede x=h. 
Caso não tenha respondido à alínea a), considere que o perfil de 
velocidade é dado pela expressão 
 vx=-K22μhx-x2 
 
 65 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
 3º ANO 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS I 
 Exame – 2011.01.18 
ALUNO_________________________________________________________________
___ 
IMPORTANTE: esta folha deve ser entregue juntamente com a sua 
resolução do exame. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N Massa (g) d (mm) h'(exp) h'(teo) 
1 103 65 - 
2 151 80 - 
3 207 95 - 
4 225 100 - 
5 250 105 - 
6 300 118 
7 340 128 
 66 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
 3º ANO 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS I 
 Recurso – 2011.02.11 
1 (7 v) – A figura (dimensões em milímetros) representa uma das instalações 
experimentais usadas no laboratório, em que se escoava um caudal constante de 
água (ρágua = 1000 kg m-3), fixado pela regulação de 
válvulas. 
a) Explique o funcionamento e objetivo da experiência e identifique as 
técnicas de medição utilizadas. 
b) Durante 27,4 s foram recolhidos num balde 3,2 kg de água. Utilizando 
esta informação, determine o caudal volúmico e a velocidade em cada secção, 
preenchendo a tabela 1 (di é o diâmetro da secção). 
c) Preencha as restantes colunas da tabela 1, determinando as pressões 
dinâmica e total em função da altura da coluna de água nos tubos manométricos 
ligados a cada orifício (hi) e ao tubo de Pitot (hT). 
d) Obtenha as expressões que lhe permitem determinar a velocidade e o 
caudal em qualquer das secções, em função da altura das colunas de água hi e hT. 
Utilizando estas expressões, preencha a tabela 2 para as secções 3, 4 e 6. Compare 
os resultados com os da tabela 1, justificando eventuais discrepâncias. 
e) Sabendo que pressão no ponto 1 é de 2 bar, relativamente à atmosfera; 
e1) Determine a pressão do ar encerrado na parte superior dos tubos 
manométricos. 
e2) Se estes tubos fossem abertos para a atmosfera, qual seria o valor de h1? 
f) Determine qual deveria ser a pressão total nas secções 3, 4 e 6, usando as 
medições de pressão estática e a massa de água recolhida no balde (3,2 kg em 
27,4 s), preenchendo a tabela 2. 
 67 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
2 (5 v) – A figura mostra uma instalação de 
bombagem entre um lago e um reservatório 
pressurizado (pressão manométrica: 200 kPa) em 
que se pretende transferir no mínimo 4000 litros 
de água em 10 minutos. A conduta que liga a 
bomba ao reservatório tem um diâmetro de 
50 mm. 
a) Mostre que uma bomba que fornece 2,2 kW 
assegura as condições de funcionamento desejadas. 
b) Se a pressão no interior do reservatório aumentar para 300 kPa, será que a mesma 
bomba é capaz de assegurar as condições de funcionamento pretendidas? 
c) Determine as forças na direção vertical e horizontal para suportar a curva 
assinalada, para o caso do reservatório pressurizado a 200 kPa e o caudal mínimo 
pretendido. 
 
3 (4 v) – Um fluido escoa-se no interior de um tubo, conforme figura junto. A queda 
de pressão ∆p, entre a entrada e a saída do tubo é uma função da velocidade, V, do 
raio de curvatura, R, e do diâmetro do tubo, D, e da massa volúmica do fluido, ρ. 
a) Efetue a análise dimensional do problema e determine o ou os números 
adimensionais Π relevantes. 
b) A tabela mostra o resultado de um conjunto de testes em 
que ρ=1100 kg/m3, R=150 mm e D=30 mm. 
Analise estes dados com base nas 
conclusões da alínea a) e 
identifique qualquer anomalia 
que tenha ocorrido durante a 
experiência ou na elaboração dos 
grupos adimensionais. 
 
4 (4 v) – Considere a expressão 
uy,t=U0∙e-κy∙cosωt-κy, em que κ=ω2ν 
que corresponde ao perfil de velocidade do escoamento 
laminar e incompressível de um fluido Newtoniano sobre 
uma parede horizontal oscilante (em y = 0). 
a) Determine uma expressão para a tensão viscosa junto da 
parede (τw). 
b) Prove que este escoamento ocorre sem gradiente de 
pressão longitudinal (∂p/∂x=0). 
 
Teste V 
(m/s) 
∆p 
(Pa) 
1 0,6 57,4 
2 0,9 117,5 
3 1,2 190,8 
4 1,6 311,2 
5 2,0 420,0 
 68 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
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 3º ANO 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS I 
 Exame – 2011.01.18 
ALUNO_________________________________________________________________
___ 
IMPORTANTE: esta folha deve ser entregue juntamente com a sua 
resolução do exame. 
 
Nota: As pressões são relativas à pressão do ar nos tubos manométricos. 
 
 
Tabela 1 
 
3,2 kg em 27,4 s 
Secção Li 
(mm) 
di 
(mm) 
hi 
(mm) 
hT 
(mm) 
Caudal 
(m3/h) 
Ui 
(m/s) 
Pressão 
dinâmica 
(Pa) 
Pressão 
total 
(Pa) 
1 0,0 25,0 257 260 
2 60,3 13,9 230 260 
3 68,7 11,8 204 260 
4 73,2 10,7 175 260 
5 81,1 10,0 150 260 
6 141,5 25,0 245 255 
 
Tabela 2 
 
Secção hi 
(mm) 
Ui 
(m/s) 
Caudal 
(m3/h) 
Pressão 
estática 
(Pa) 
Pressão 
total 
(Pa) 
1 257 — —— — 
2 230 — — — — 
3 204 
4 175 
5 150 — — — — 
6 245 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 (5 v) – O reservatório esquematizado na figura contém dois líquidos imiscíveis, 
água (d=1) e óleo (d=0,82), separados por uma 
placa (AB), com dimensões 0,2 ×1 m, que roda em 
torno de um eixo passando por A, perpendicular 
ao plano da figura. 
a) Esboce o diagrama das forças decorrentes da 
pressão nas faces da placa AB.
b) Admitindo a placa em equilíbrio na posição 
representada, qual a altura h?
c) Considerando agora apenas a face esquerda da 
placa AB, determine o momento em torno de A 
exercido pelas forças que nela 
 
2 (7 v) – A figura representa uma das instalações 
usada no laboratório. Um jato vertical de água 
(ρ=1000 kg/m3) emerge de uma agulheta com 
8 mm de diâmetro e incide no interior de uma 
calote esférica, diâmetro da base igual a 42
acoplada a uma 
extremidade oposta tem um prato onde são 
colocadas massas diversas.
 
1 2 3 
 
N. 
Volume 
recolhido 
[L] 
Tempo 
de 
recolha
[s] 
1 10 56,65
2 10 42,12
3 10 28,32
4 20 46,25
 
 
a) Usando as equações fundamentais apropriadas, calcule a força que o jato de 
água exerce sobre a calote, preencha a coluna 6 da tabela e compare com os 
valores medidos em laboratório (coluna 5).
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013
 
MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA
3º ANO 
MECÂNICA DOS 
Exame 
O reservatório esquematizado na figura contém dois líquidos imiscíveis, 
água (d=1) e óleo (d=0,82), separados por uma 
placa (AB), com dimensões 0,2 ×1 m, que roda em 
torno de um eixo passando por A, perpendicular 
ama das forças decorrentes da 
pressão nas faces da placa AB. 
Admitindo a placa em equilíbrio na posição 
representada, qual a altura h? 
Considerando agora apenas a face esquerda da 
placa AB, determine o momento em torno de A 
exercido pelas forças que nela atuam? 
A figura representa uma das instalações 
usada no laboratório. Um jato vertical de água 
) emerge de uma agulheta com 
mm de diâmetro e incide no interior de uma 
calote esférica, diâmetro da base igual a 42 mm, 
 haste vertical que na 
extremidade oposta tem um prato onde são 
colocadas massas diversas. 
4 5 
Tempo 
recolha 
Força 
medida 
[N] 
Força 
teórica 
[N] 
56,65 -0,98 
42,12 -1,96 
28,32 -3,92 
46,25 -5,89 
 
Usando as equações fundamentais apropriadas, calcule a força que o jato de 
água exerce sobre a calote, preencha a coluna 6 da tabela e compare com os 
valores medidos em laboratório (coluna 5). 
69 
2013 
MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
3º ANO – 2011/2012 
MECÂNICA DOS FLUIDOS I 
Exame – 2012.01.06 
O reservatório esquematizado na figura contém dois líquidos imiscíveis, 
Usando as equações fundamentais apropriadas, calcule a força que o jato de 
água exerce sobre a calote, preencha a coluna 6 da tabela e compare com os 
 70 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013 
 
 
b) De entre as medições efetuadas qual aquela que lhe suscita mais dúvidas e 
repetiria numa próxima visita ao laboratório? Justifique a sua resposta. 
c) Determine a espessura da película de água que sai da calote esférica e mostre 
que é independente da velocidade de saída do jato. 
d) Determine a potência da bomba montada na banca necessária para a 
realização destes ensaios. 
 
3 (3 v) – Considere o escoamento de água (ρ=1000 kg/m3; µ=10-3 kg/m/s) 
entre duas placas planas horizontais fixas, forçado por um gradiente de pressão 
∂p/∂x constante. Admita que o escoamento se 
processa em regime permanente, é 
monodimensional, laminar e incompressível, e que 
as dimensões das placas são muito maiores que o 
seu afastamento, h. 
e) Encontre a expressão do perfil de velocidade 
neste escoamento, justificando as simplificações 
que entender fazer às equações fundamentais. 
f) Qual o caudal escoado por unidade de largura das placas [m3/s/m], no caso 
de h=1 cm e sabendo que o gradiente imposto conduz a uma velocidade 
máxima, Umax, igual a 1 m/s? 
Caso não tenha resolvido a) considere o perfil dado pela expressão: u(y) = 4 
Umax (h y - y2)/h2. 
 
 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I 
 
 
 
4 (5 v) – O dispositivo representado na figura mede a viscosidade de um fluido, 
µ, relacionando o ângulo de torção do cilindro interior, 
angular do cilindro exterior, 
θ = f (ω, µ, K, D1, D2, l), onde K é a caraterística da mola de torção (dimensões de 
energia). 
Os dados da tabela foram obtidos na calibração do dispositivo usando
fluido de viscosidade µ
K=14 N.m, l=0,3 m, D
 
 
θθθθ 
[rad] 
0,89 
3,05 
5,52 
6,40 
 
 
a) Encontre os grupos adimensionais que permitem caraterizar os fenómenos em 
causa. 
b) Determine a viscosidade de um fluido para o qual foi medido um ângulo de 
torção de 2,75 rad quando o cilindro exterior roda a uma velocidade de 
1,5 rad/s. 
c) A calibração mencionada foi efetuada usando toda a gama de velocidade 
angular permitida pelo disposit
mínima que podem ser medidas sem o recurso a extrapolações da curva de 
calibração. 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013
 
O dispositivo representado na figura mede a viscosidade de um fluido, 
, relacionando o ângulo de torção do cilindro interior, θ, com a velocidade 
angular do cilindro exterior, ω. Assuma a dependência do ângulo de torção 
, l), onde K é a caraterística da mola de torção (dimensões de 
Os dados da tabela foram obtidos na calibração do dispositivo usando
µ=0,5 N.s/m2. 
m, D1=0,3 m e D2=0,28 m são constantes. 
ωωωω 
[rad/s] 
0,30 
1,05 
1,86 
2,14 
Encontre os grupos adimensionais que permitem caraterizar os fenómenos em 
Determine a viscosidade de um fluido para o qual foi medido um ângulo de 
rad quando o cilindro exterior roda a uma velocidade de 
A calibração mencionada foi efetuada usando toda a gama de velocidade 
angular permitida pelo dispositivo. Determine as viscosidades máxima e 
mínima que podem ser medidas sem o recurso a extrapolações da curva de 
 
71 
2013 
O dispositivo representado na figura mede a viscosidade de um fluido, 
, com a velocidade 
. Assuma a dependência do ângulo de torção 
, l), onde K é a caraterística da mola de torção (dimensões de 
Os dados da tabela foram obtidos na calibração do dispositivo usando um 
 
 
Encontre os grupos adimensionais que permitem caraterizar os fenómenos em 
Determine a viscosidade de um fluido para o qual foi medido um ângulo de 
rad quando o cilindro exterior roda a uma velocidade de 
A calibração mencionada foi efetuada usando toda a gama de velocidade 
ivo. Determine as viscosidades máxima e 
mínima que podem ser medidas sem o recurso a extrapolações da curva de 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I 
 
 
 
 
 
 
 
1 (3 v) – Uma cápsula de forma esférica, com 20 cm 
de diâmetro exterior, é utilizada para recolha de 
amostras de água do mar (d=1,03) em profundidade. 
Um orifício com 2 cm de diâmetro, coberto com uma 
membrana (tensão de rotura 
permite a entrada de água quando a membrana 
rebenta sob a ação da pressão, expulsando o ar 
contido na cápsula que é então puxada para a 
superfície. 
a) Qual o peso mínimo que deverá ter a cápsula para que, sem o auxílio de 
outros mecanismos, se afunde no mar?
Nota: despreze o peso do ar no interior da cápsula.
b) Qual a pressão de enchimento da cápsula para que a recolha da amostra 
de água ocorra à profundidade mínima de 12 m?
 
 
2 (5 v) – Considere uma esferasólida, com massa 
volúmica esf, inferior à massa volúmica de um 
líquido, liq, onde está imersa. Nestas condições, 
largando a esfera de diâmetro D à profundidade H, 
ela eleva-se até uma altura h acima da superfície do 
líquido. Pretende-se estudar a altura h atingida.
a) Indique as grandezas relevantes que poderão 
influenciar a altura h e apresente a relação 
correspondente sob a forma adimensional. 
Despreze o efeito da força de resistência 
aerodinâmica no ar.
b) Pretende
com um diâmetro D = 1 cm, imersa em mercúrio (d
3 Pa.s) à profundidade H = 0,2 m. Se os testes forem feitos num modelo 
onde substituímos o mercúrio por água (
diâmetro e a massa volúmica que deverá ter a esfera? Qual a profundidade 
a que a esfera deve ser largada?
c) Em ensaios deste tipo, é possível garantir a semelhança dinâmica usando 
o mesmo líquido?
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013
 
MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA
3º ANO 
MECÂNICA DOS FLUIDOS I
Recurso 
Uma cápsula de forma esférica, com 20 cm 
de diâmetro exterior, é utilizada para recolha de 
amostras de água do mar (d=1,03) em profundidade. 
Um orifício com 2 cm de diâmetro, coberto com uma 
membrana (tensão de rotura σRot = 1,1 kgf/cm2), 
a entrada de água quando a membrana 
rebenta sob a ação da pressão, expulsando o ar 
contido na cápsula que é então puxada para a 
Qual o peso mínimo que deverá ter a cápsula para que, sem o auxílio de 
outros mecanismos, se afunde no mar? 
spreze o peso do ar no interior da cápsula. 
Qual a pressão de enchimento da cápsula para que a recolha da amostra 
de água ocorra à profundidade mínima de 12 m? 
Considere uma esfera sólida, com massa 
, inferior à massa volúmica de um 
, onde está imersa. Nestas condições, 
largando a esfera de diâmetro D à profundidade H, 
se até uma altura h acima da superfície do 
se estudar a altura h atingida. 
Indique as grandezas relevantes que poderão 
influenciar a altura h e apresente a relação 
correspondente sob a forma adimensional. 
Despreze o efeito da força de resistência 
aerodinâmica no ar. 
Pretende-se estudar o caso de uma esfera de alumínio (d = 2,7), 
com um diâmetro D = 1 cm, imersa em mercúrio (d = 13,6 e 
Pa.s) à profundidade H = 0,2 m. Se os testes forem feitos num modelo 
onde substituímos o mercúrio por água (µ = 1,01×10
diâmetro e a massa volúmica que deverá ter a esfera? Qual a profundidade 
a que a esfera deve ser largada? 
Em ensaios deste tipo, é possível garantir a semelhança dinâmica usando 
o mesmo líquido? 
 
patm
Pa
72 
2013 
MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
3º ANO – 2011/2012 
MECÂNICA DOS FLUIDOS I 
Recurso – 2012.01.31 
Qual o peso mínimo que deverá ter a cápsula para que, sem o auxílio de 
Qual a pressão de enchimento da cápsula para que a recolha da amostra 
se estudar o caso de uma esfera de alumínio (d = 2,7), 
13,6 e µ = 1,526×10-
Pa.s) à profundidade H = 0,2 m. Se os testes forem feitos num modelo 
1,01×10-3 Pa.s), qual o 
diâmetro e a massa volúmica que deverá ter a esfera? Qual a profundidade 
Em ensaios deste tipo, é possível garantir a semelhança dinâmica usando 
atm=105 
Pa 
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I 
 
 
3 (6 v) – A figura mostra 
uma instalação de 
bombagem de água 
(ρ = 1000 kg/m3 e 
pv = 3600 Pa) de um rio para 
um reservatório elevado. 
Com a bomba desligada o 
manómetro M2 indica uma 
pressão relativa igual a 
1,65 bar. As condutas de 
aspiração e de pressão têm, 
ambas, 50 mm de diâmetro.
a) Determine o caudal máximo que é possível bombear sem que ocorra 
cavitação na instalação.
b) Qual a potência da bomba necessária para bombear um caudal de 10
c) Mostre que a pressão M2 só depende da distância entre o manómetro e a 
superfície livre da água no reservatóri
 
 
4 (6 v) – A figura representa uma das instalações 
usada no laboratório. Um jato vertical de água 
(ρ=1000 kg/m3) emerge de um bucal com 8
diâmetro e incide no interior de uma calote esférica, 
diâmetro da base igual a 42
acoplada a uma haste vertical que na extremidade 
oposta tem uma plataforma onde são colocadas 
massas diversas. 
NOTA: Não despreze a distância entre a saída do jato 
e a calote. 
 
a) Recorrendo às equações fundamentais, 
obtenha as expressões matemáticas que 
relacionam as forças gravíticas exercidas 
sobre a calote com a velocidade do jato à 
saída do bucal. 
b) Considere a situação de equilíbrio, com a base da calote a 12 cm de 
distância do bucal e 6 unidades de 100 g colocadas na plataforma. 
Determine a velocidade da água na saída do bucal.
c) Determine a altura a que a plataforma se elevaria, caso retirasse 1 das 6 
unidades de 100 g (a massa total de 500 em vez dos 600 gramas).
NOTA: Caso não tenha efetuado a alínea anterior, considere a velocidade de 
saída do bucal igual a 10 m/s.
 
Problemas de Mecânica dos Fluidos I – Ano letivo 2012-2013
 
A figura mostra 
Pa) de um rio para 
um reservatório elevado. 
Com a bomba desligada o 
manómetro M2 indica uma 
pressão relativa igual a 
bar. As condutas de 
aspiração e de pressão têm, 
mm de diâmetro. 
caudal máximo que é possível bombear sem que ocorra 
cavitação na instalação. 
Qual a potência da bomba necessária para bombear um caudal de 10
Mostre que a pressão M2 só depende da distância entre o manómetro e a 
superfície livre da água no reservatório. 
A figura representa uma das instalações 
usada no laboratório. Um jato vertical de água 
) emerge de um bucal com 8 mm de 
diâmetro e incide no interior de uma calote esférica, 
diâmetro da base igual a 42 mm. A calote está 
acoplada a uma haste vertical que na extremidade 
oposta tem uma plataforma onde são colocadas 
NOTA: Não despreze a distância entre a saída do jato 
 
Recorrendo às equações fundamentais, 
obtenha as expressões matemáticas que 
relacionam as forças gravíticas exercidas 
sobre a calote com a velocidade do jato à 
saída do bucal. 
Considere a situação de equilíbrio, com a base da calote a 12 cm de 
o bucal e 6 unidades de 100 g colocadas na plataforma. 
Determine a velocidade da água na saída do bucal. 
Determine a altura a que a plataforma se elevaria, caso retirasse 1 das 6 
unidades de 100 g (a massa total de 500 em vez dos 600 gramas).
não tenha efetuado a alínea anterior, considere a velocidade de 
saída do bucal igual a 10 m/s. 
73 
2013 
caudal máximo que é possível bombear sem que ocorra 
Qual a potência da bomba necessária para bombear um caudal de 10 l/s? 
Mostre que a pressão M2 só depende da distância entre o manómetro e a 
Considere a situação de equilíbrio, com a base da calote a 12 cm de 
o bucal e 6 unidades de 100 g colocadas na plataforma. 
Determine a altura a que a plataforma se elevaria, caso retirasse 1 das 6 
unidades de 100 g (a massa total de 500 em vez dos 600 gramas). 
não tenha efetuado a alínea anterior, considere a velocidade de 
VE
RS
A˜O
6
PROBLEMAS E EXAMES RESOLVIDOS DE
MECAˆNICA DOS FLUIDOS I
Mestrado Integrado em Engenharia Mecaˆnica
Versa˜o 6
ANO LECTIVO DE 2012-2013
7 DE JANEIRO DE 2013
Jose´ M. Laginha M. Palma
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECAˆNICA
VE
RS
A˜O
6
Prefa´cio
O presente documento, com a resoluc¸a˜ode problemas e exames, e´ co-
locado ao dispor dos alunos como elemento auxiliar para o estudo da dis-
ciplina da Mecaˆnica dos Fluidos I, do Mestrado Integrado em Engenharia
Mecaˆnica, na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto.
Sobre este documento, que resultou de uma revisa˜o profunda de contri-
buic¸o˜es de alunos, abaixo identificados, e´ necessa´rio que se note o seguinte:
• Apesar do muito uso e utilidade que se espera venha a ter junto dos
alunos, este documento na˜o substitui a participac¸a˜o e frequeˆncia das
aulas, teo´ricas ou pra´ticas, nem a leitura e estudo da mate´ria a partir
dos livros recomendados.
• O detalhe da resoluc¸a˜o dos problemas vai para ale´m do que se exige
numa prova escrita de avaliac¸a˜o.
• Naqueles casos em que a resoluc¸a˜o exige explicac¸o˜es complementa-
res, para evitar resoluc¸o˜es demasiado longas, para explicac¸a˜o mais
detalhada dos conceitos envolvidos, remete-se para leitura das secc¸o˜es
relevantes dos livros recomendados.
• Apesar do cuidado com que foi produzido, este documento pode con-
ter algum erro ou gralha, que a existir passou despercebido.
• Perante alguma frase ou ca´lculo que admita tratar-se de erro ou gra-
lha, solicita-se e agradece-se que contacte de imediato qualquer mem-
bro do corpo docente da disciplina.
• Correcc¸o˜es, modificac¸o˜es, melhorias, etc. sera˜o introduzidas em edi-
c¸o˜es futuras.
• A versa˜o mais actualizada sera´ mantida na pa´gina da disciplina, acom-
panhada de uma errata que identifique as alterac¸o˜es em relac¸a˜o a
qualquer versa˜o anterior, quando ela exista.
• Pelos motivos acima, recomenda-se que perante co´pias deste docu-
mento, obtidas por fotoco´pia simples, se assegure que se trata da sua
versa˜o mais recente.
O responsa´vel da disciplina,
Jose´ Manuel Laginha Mestre da Palma
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 i
VE
RS
A˜O
6
Verso˜es anteriores
Este documento teve inı´cio no ano lectivo de 2010/2011, e foi pela pri-
meira vez disponibilizado a todos os alunos em 13 de Janeiro de 2011.
Versa˜o 2 : 14 de Novembro de 2011
Problemas: 7, 9, 10, 12, 15, 32, 33, 40, 49 e 50
Exame: 18 de Janeiro de 2011
Versa˜o 3 : 15 de Dezembro de 2011
Problemas: acrescem a` versa˜o 2, os problemas 79, 83, 86, 87, 89, 92,
99, 100, 104 e 112
Exames: acresce a` versa˜o 2, o exame (recurso) de 11 de Fevereiro de
2011
Versa˜o 5 : 13 de Dezembro de 2012
Problemas: correca˜o do problema 104.
Versa˜o 6 : 8 de Janeiro de 2013
Problemas: correc¸o˜es na manipulac¸a˜o alge´brica de problemas 40 e 87,
sem implicac¸o˜es no resultado final; inclusa˜o da resoluc¸a˜o em Matlab
no problema 104.
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 ii
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6
Agradecimentos
Este documento teve inı´cio no ano lectivo de 2010/2011, e foi pela pri-
meira vez disponibilizado a todos os alunos em 13 de Janeiro de 2011. Este
documento, juntamente com a produc¸a˜o de base de dados de perguntas no
Moodle para alunos foi o resultado da participac¸a˜o volunta´ria de alunos, cu-
jos nomes se listam aqui como forma de agradecimento e reconhecimento
do seu trabalho.
• Andre´ Pinto, Ademar Leite, Catarina Mendes, Ca´tia Martins, Ce´sar
Ferreira, Daniel Oliveira, Diogo Cabral, Francisco Figueiredo, Joa˜o
Cardoso, Jorge Sousa, Jose´ Jacinto, Jose´ Ribeiro, Karla Gonc¸alves, Mar-
celo Costa, Marieta Rocha, Pedro Pinto, Pedro Carneiro, Rafael Cor-
reia, Susana Moreira e Tiago Nunes.
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 iii
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6
Suma´rio
1 Problemas 1
1.1 Problema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Resoluc¸a˜o em Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Problema 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Resoluc¸a˜o em Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Problema 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Resoluc¸a˜o em Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Problema 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Problema 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Problema 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Problema 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Problema 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.2 Resoluc¸a˜o em Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Problema 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
iv
VE
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6
SUMA´RIO SUMA´RIO
1.9.2 Resoluc¸a˜o em Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.10 Problema 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.10.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.10.2 Resoluc¸a˜o em Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.11 Problema 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.11.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.11.2 Resoluc¸a˜o em Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.12 Problema 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.12.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.12.2 Resoluc¸a˜o em Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.13 Problema 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.13.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.14 Problema 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.14.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.15 Problema 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.15.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.16 Problema 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.16.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.17 Problema 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.17.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.18 Problema 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.18.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.18.2 Resoluc¸a˜o em Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.19 Problema 104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.19.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.19.2 Resoluc¸a˜o em Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.20 Problema 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.20.1 Resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2 Exames 69
2.1 Exame de 18 de Janeiro de 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.1.1 Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 v
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SUMA´RIO SUMA´RIO
2.1.2 Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.1.3 Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.1.4 Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2 Recurso de 11 de Fevereiro de 2011. . . . . . . . . . . . . . . 90
2.2.1 Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.2.2 Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.2.3 Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.2.4 Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 vi
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Capı´tulo 1
Problemas
1.1 Problema 7
Um veio de 25 mm de diaˆmetro pode deslocar-se atrave´s de um furo,
tambe´m cil´ındrico, conforme mostra a figura. O fluido lubrificante que pre-
enche o intervalo entre o veio e a parede do furo (0,3 mm) tem uma visco-
sidade cinema´tica de 8× 10=4 m2 s=1 e uma densidade de 0,91. Considere
linear a variac¸a˜o da velocidade no seio do o´leo.
a) Qual a forc¸a necessa´ria para empurrar o veio ao longo do furo com
uma velocidade de 3 m s=1 ?
b) Qual a poteˆncia que se dissiparia por atrito viscoso se o veio girasse
com uma velocidade de 1500 r.p.m.?
1
VE
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Problema 7
1.1.1 Resoluc¸a˜o
Alı´nea a)
Aplicando o somato´rio de forc¸as ao esquema acima, obte´m-se,
∑Fx = 0⇔ P = τA (1.1)
em que A e´ a a´rea de contacto,
A = piDl
e τ e´ a tensa˜o de corte, que de acordo com a lei de Newton da viscosidade
(simplificada),
τ = µ
du
dy
(1.2)
Porque o perfil de velocidades e´ linear no seio do o´leo, como indicado no
enunciado, obte´m-se:
Uy = Up
y
h
e,
du
dy
=
Up
h
(1.3)
porque a viscosidade cinema´tica se relaciona com a viscosidade dinaˆmica
pela equac¸a˜o,
µ = ρν (1.4)
e a equac¸a˜o (1.2), referente a` tensa˜o de corte, fazendo uso de (1.3) e (1.4),
resulta em:
τ = ρν
Up
h
que substituı´da em (1.1) se obte´m
P = piD · l ρνUp
h
Procedendo a` resoluc¸a˜o nume´rica
P = pi · 0,025 · 0,5 · 0,91× 103 · 8× 10−4 3
0,0003
= 286 N
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 2
VE
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A˜O
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Problema 7
Alı´nea b)
A poteˆncia e´ dada por,
Pot = Mω (1.5)
e sabe-se que a velocidade angular ω e´ dada por
ω =
2pin
60
em que n sa˜o rotac¸o˜es por minuto, e a velocidade tangencial de rotac¸a˜o do
veio e´
v =
2pin
60
r
Fazendo uso das mesmas hipo´teses usadas na alı´nea anterior, nomeada-
mente a de perfil de velocidade linear, o bina´rio e´ igual a
M = µ
2pin
60h
rA
que apo´s substituic¸a˜o em (1.5), resulta em
Pot = µ
2pin
60h
rA
2pin
60
r = µ
1
h
(
2pin
60
r
)2
A
donde
P = 0,728
1
0,0003
(
2 · pi · 1500
60
0,025
2
)2
· pi · 0,025 · 0,5 = 367 W
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 3
VE
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Problema 7
1.1.2 Resoluc¸a˜o em Matlab
%% Problema 7
%% Grupo I I : ano l e c t i v o 2010/2011
%
% DADOS:
densidade= 0 . 9 1 ;
nu= 8 . 0∗1 0 ˆ ( −4 ) ; % mˆ 2 / s v i s c o s i d a d e c i n e m a t i c a do o l e o
rho=densidade ∗1 0 ˆ 3 ;
l = 0 . 5 ; % m comprimento do e i x o ( a l t u r a do c i l i n d o )
D= 2 5 ; % mm d i aˆ m e t r o do e i x o ( d i aˆ m e t r o do c i l i n d o )
D = D/1000; % C o n v e r t e em SI (m)
U p = 3 ; % v e l o c i d a d e de d e s l o c a c¸ a˜ o do e i x o
h = 0 . 3 ; % i n t e r v a l o e n t r e o v e i o e a p a r e d e do f u r o
h=h/1000; % C o n v e r t e em SI (m)
omega=1500; % v e l o c i d a d e de r o t a c a o em rpm
%% R e s o l u c a o %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% a l i n e a a ) F o r c¸ a para empurrar o e i x o . . .
Area= pi∗D∗ l
mu=rho∗nu
dudy= U p/h
tau=mu∗dudy
P=Area∗mu∗dudy
% a l i n e a b ) P o t e n c i a d i s s i p a d a . . .
v=omega∗2∗pi /60∗D/2;
Pot=mu/h∗v ˆ2∗Area
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 4
VE
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A˜O
6
Problema 9
1.2 Problema 9
Um anel (ρ= 7800kg m−3) desce, sob a acc¸a˜o do pro´prio peso, ao longo
de um vara˜o. Entre o vara˜o e o anel ha´ uma folga radial ∆r = 0,2mm,
preenchida por um fluido de viscosidade 0,01 kg m=1 s=1 e massa volu´mica
igual a 800 kg m=3 que se escoa com um perfil de velocidades linear.
a) Calcule a velocidade V de descida em movimento uniforme.
b) Descreva, com base num movimento deste tipo, um processo pra´tico
de medic¸a˜o de viscosidades.
1.2.1 Resoluc¸a˜o
Alı´nea a)
O balanc¸o de forc¸as na direcc¸a˜o vertical, do movimento, e´:
Pesoanel = Fatrito
ρVg = τA (1.6)
em que ρ e V sa˜o a massa volu´mica e volume do anel, e τ e A a tensa˜o de
corte e a a´rea de contacto entre o anel e o vara˜o. De acordo com a lei de
Newton da viscosidade (simplificada),
τ = µ
dv
dr
(1.7)
Porque o perfil de velocidades e´ linear no seio do fluido, como indicado no
enunciado:
v =
V(r− D1/2)
∆r
D1/2≤ r ≤ D1/2+ ∆r (1.8)
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 5
VE
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A˜O
6
Problema 9
em que D1 e´ o diaˆmetro do vara˜o, e donde se conclui que
dv
dr
=
V
∆r
e a tensa˜o de corte (1.7), resulta em:
τ = µ
V
∆r
(1.9)
Substituindo (1.9) em (1.6), obte´m-se a equac¸a˜o (1.10) da velocidade:
ρ
�pi(D22 − D21)�L
4
g = µ
V
∆r�
piD1�L
V =
ρg∆r(D22 − D21)
4µD1
(1.10)
que entre outras, mostra que a velocidade na˜o e´ func¸a˜o da altura do anel e
da massa volu´mica do fluido.
Procedendo a` resoluc¸a˜o nume´rica
V =
7800 · 9,81 · 0,0002 [0,12 − (0,02+ 2 · 0,0002)2]
4× 0,01 (0,02+ 2 · 0,0002)
V = 179.74ms−1
Alı´nea b)
A partir da medic¸a˜o da velocidade, pode ser determinada a viscosidade do
fluido. A equac¸a˜o que estabelece esta relac¸a˜o pode ser obtida, explicitando
(1.10) em func¸a˜o da viscosidade µ
µ =
ρg∆r(D22 − D21)
4VD1
(1.11)
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 6
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Problema 9
1.2.2 Resoluc¸a˜o em Matlab
%% R e s o l u c a o do Prob lema 9 ( Mecanica dos F l u i d o s I
%% R e s o l v i d o por J o s e Lag inha Palma
%% Todos os v a l o r e s em u n i d a d e s SI %%
% DADOS:
rho = 7800 ; % massa vo lumica do ane l , kg /mˆ3
mu = 0 . 0 1 ; % v i s c o s i d a d e do f l u i d o , kg /m/ s
g = 9 . 8 1 ; % a c e l e r a c a o da g r a v i d a d e , m/ s ˆ2
L = 0 . 0 5 0 ; % a l t u r a do ane l , m
Dvarao = 0 . 0 2 0 ; % d i a m e t r o do varao , m
D2= 0 . 1 0 0 ; % d i a m e t r o e x t e r i o r do ane l , m
dr = 0 . 0 0 0 2 ; % f o l g a r a d i a l , m
D1=Dvarao+2∗dr ; % d i a m e t r o de o r i f i c i o do ane l , m
% R e s u l t a d o :
Vel=rho∗g∗dr ∗ (D2ˆ2−D1ˆ 2 ) / ( 4∗mu∗D1)
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 7
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6
Problema 10
1.3 Problema 10
A figura representa de forma simplificada um dispositivo de medic¸a˜o
de viscosidades constitu´ıdo por dois cilindros conceˆntricos em que um gira
dentro do outro.
Considerando os dados abaixo indicados e que a velocidade de descida
e´ uniforme desde o in´ıcio do movimento, calcule a viscosidade do fluido
contido entre o cilindro exterior e o interior.
d = 1× 10−2m; D = 20× 10−2 m; M = 50× 10−3 kg; h = 15× 10−2m; e =
250× 10−6m;V = 5mms−1
1.3.1 Resoluc¸a˜o
O momento MM, associado a` rotac¸a˜o provocada pelas duas massas M sus-
pensas, e´ igual ao momento resistente devido a` rotac¸a˜o do cilindro interior,
MM = Mlat + Mbase (1.12)
em que Mlat e Mbase sa˜o as contribuic¸o˜es da superfı´cie lateral e da base do
cilindro.
O momento MM e´
MM = 2 M g
d
2
= M g d (1.13)
e o momento que actua na superfı´cie lateral do cilindro
Mlat = τ A1
D
2
= µ
dVD
dr
A1
D
2
(1.14)
O cilindro roda a` mesma velocidade angular ω que o seu eixo de diaˆmetro
d, cuja velocidade tangencial Vd, igual a` velocidade V a que desce qualquer
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 8
VE
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Problema 10
uma das massas M, e´ dada por:
Vd = ω
d
2
ou seja
ω =
2Vd
d
Conhecendo a velocidade tangencial do cilindro dediaˆmetro D,
VD = ω
D
2
a a´rea A1,
A1 = piDh
e admitindo um perfil linear de velocidade entre a parede mo´vel do cilindro
interior e a parede fixa exterior, a equac¸a˜o (1.14) e´:
Mlat = µ
dVD
dr
A1
D
2
= µ
ωD/2
e
piDh
D
2
= µ
piωD3h
4 e
(1.15)
Relativamente ao momento aplicado na base do cilindro (Mbase), porque
a tensa˜o de corte varia com o raio:
Mbase =
∫
A2
τ r dA2 =
∫
A2
µ
du
dy
r dA2 =
∫ D/2
0
µ
ω r
e
r 2pir dr︸ ︷︷ ︸
dA2
= 2piµ
ω
e
∫ D/2
0
r3 dr = 2piµ
ω
e
1
4
D4
16
= µ
piωD4
32 e
(1.16)
Conhecidos os momentos MM, Mlat e Mbase, equac¸o˜es (1.13), (1.15) e (1.16),
e substituindo em (1.12), obtemos:
M g d = µ
piωD3h
4 e
+ µ
piωD4
32 e
(1.17)
que resolvida em ordem a µ
µ =
M g d4e
piω
(
D3h + D48
) (1.18)
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 9
VE
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6
Problema 10
que e´ equivalente a
µ =
32M g d e
piω(8D3h + D4)
(1.19)
e tambe´m a
µ =
32M g d e
piωD3(8h + D)
(1.20)
O resultado nume´rico e´
µ =
50× 10−3 · 9,81 · 1× 10−2 · 4 · 250× 10−6
pi · 1
[
(20× 10−2)3 · 15× 10−2 + (20× 10−2)48
]
µ =
4,905× 10−6
4,4× 10−3
µ = 1,11× 10−3 kgm−1 s−1 (1.21)
1.3.2 Resoluc¸a˜o em Matlab
%% Problema 10
%% Grupo I I I : ano l e c t i v o 2010/2011
%
% DADOS:
d = 0 . 0 1 ; % m, d i a m e t r o do e i x o
D = 20∗10ˆ ( −2) ; % m, d i aˆ m e t r o do c i l i n d o
M = 50∗10ˆ ( −3) ; % kg , massa dos p e s s o s s u s p e n s o s
h = 15∗10ˆ ( −2) ; % m, a l t u r a do c i l i n d r o
e = 250∗10ˆ (−6) ;% m e s p a c o e n t r e c i l i n d r o s
g = 9 . 8 1 ; % ms−2 a c e l e r a c a o da g r a v i d a d e
V = 0 . 0 0 5 ; % m v e l o c i d a d e l i n e a r das massas s u s p e n s a s
%% R e s o l u c a o %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% v i s c o s i d a d e
omega=2∗V/d
mu= M∗g∗d∗4∗e /( pi∗omega∗ (Dˆ3∗h+Dˆ 4 / 8 ) )
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 10
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6
Problema 12
1.4 Problema 12
O dispositivo de cone representado na figura e´ um dos aparelhos mais
utilizados na medic¸a˜o de viscosidades. No espac¸o entre o prato fixo e o cone,
girando a uma velocidade angular ω, esta´ contido o fluido, de propriedades
ρ e µ, que se pretende ensaiar.
O operador pode controlar a velocidade de rotac¸a˜o e mede, por meio de
um dispositivo apropriado, o bina´rio resistente.
Obtenha a expressa˜o que, por este processo, permita quantificar a vis-
cosidade do fluido.
1.4.1 Resoluc¸a˜o
Pela 2a Lei de Newton, sabemos que uma velocidade e´ constante se a re-
sultante das forc¸as, ou momentos, aplicadas num corpo for nula. Temos,
portanto, de calcular a viscosidade que, para uma determinada velocidade,
permita que o momento resistente devido a`s forc¸as viscosas do fluido seja
igual ao momento aplicado no corpo, mensura´vel.
Logo, precisamos de encontrar a expressa˜o que relaciona o momento
resistente com a viscosidade do fluido, em func¸a˜o da velocidade angular e
do aˆngulo θ.
Mr =
∫
A
τr dA (1.22)
Sabemos que:
τ = µ
u
h
= µ
ωr
r tanθ
= µ
ω
tanθ
(1.23)
e que:
dA = 2pirdL =
2pir
cosθ
dr (1.24)
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Problema 12
Substituindo (1.23) e (1.24) em (1.22), obtemos:
Mr =
∫ R
0
µ
ω
tanθ
r
2pir
cosθ
dr
=
∫ R
0
µω2pir2
sinθ
dr
=
µω2pi
sinθ
∫ R
0
r2 dr
= µ
ω2piR3
3sinθ
que explicitada em ordem a` viscosidade, µ
µ =
3Mr sinθ
2piωR3
(1.25)
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 12
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Problema 15
1.5 Problema 15
Considere o escoamento de dois fluidos Newtonianos, de massas
volu´micas iguais, entre placas planas paralelas de dimensa˜o infinita, em
que a placa do meio se move com uma velocidade U. Sabendo que nas duas
faces da placa mo´vel foi medida a mesma tensa˜o de corte, encontre uma
relac¸a˜o entre as viscosidades dos fluidos.
1.5.1 Resoluc¸a˜o
Alı´nea a)
Conhecida a lei de Newton da viscosidade (1.26), que estabelece a relac¸a˜o
entre a taxa de deformac¸a˜o (dU/dy), a viscosidade (µ) e a tensa˜o de corte
no fluido (τ):
τ = µ
dU
dy
(1.26)
e porque a tensa˜o de corte no fluido 1 e no fluido 2 sa˜o iguais
µ1
dU1
dy1
= µ2
dU2
dy2
Assumindo a existeˆncia de um perfil linear de velocidades (escoamento
do tipo Couette1) entre a placa separadora, mo´vel, e as duas placas fixas,
obte´m-se a relac¸a˜o abaixo:
µ1
U
2h
= µ2
U
h
µ1 = 2µ2
1Sobre o escoamento Couette, consulte-se a secc¸a˜o 6.9.2 de [Munson et al., 2010, pa´g. 311]
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Problema 32
1.6 Problema 32
Ao ascender no reservato´rio da figura, a a´gua (ρ = 103 kg m−3) atinge
um determinado n´ıvel H, acima do eixo da comporta, que fara´ com que
esta abra automaticamente, rodando em torno do eixo. Calcule o valor de
H, desprezando eventuais atritos no eixo de rotac¸a˜o e o peso pro´prio da
comporta.
1.6.1 Resoluc¸a˜o
As distribuic¸o˜es da forc¸as, associadas ao fluido, sobre as superfı´cies da
comporta sa˜o as representadas na figura:
Para que a comporta na˜o se mova, o equilı´brio de momentos relativo ao
seu eixo de rotac¸a˜o deve ser igual a zero:
ΣM = 0
ou seja,
FRA
L
2
= FRB
H
3
que se pode escrever
pCGA AA
L
2
= pCGB AB
H
3
= 0 (1.27)
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Problema 32
e em que AA e AB, as a´reas do lado A e B da pec¸a, onde a forc¸a do fluido
actua, sa˜o AA = Lb e AB = Hb.
Assim, a partir de (1.27) temos:
ρgH × Lb L
2
= ρg
H
2
× Hb H
3
simplificando,
L2 =
H2
3
e resolvendo em ordem a H
H =
√
3L2
e para L = 1 m, vem:
H =
√
3 m
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Problema 33
1.7 Problema 33
Uma abertura circular na parede de um reservato´rio e´ fechada por um
disco que simplesmente cabe na abertura e pode rodar em torno de um eixo
que passa pelo seu eixo horizontal.
a) Prove que, se o n´ıvel de a´gua (ρ= 103 kg m−3) no reservato´rio estiver
acima do topo do disco (situac¸a˜o da figura), o momento necessa´rio para o
manter na posic¸a˜o vertical e´ independente desse n´ıvel.
b) Se o diaˆmetro do disco for de 1 m, qual o valor desse momento?
1.7.1 Resoluc¸a˜o
Alı´nea a)
Sabemos que a forc¸a resultante das forc¸as de pressa˜o que actuam no disco
e´ igual a` pressa˜o que actua no seu centro de massa, multiplicada pela a´rea
do disco, e que actua no centro de pressa˜o do disco.
O momento resultante no centro de gravidade do disco e´:
MCG = ρghCG AdCP (1.28)
Em que MCG e´ o momento no centro de gravidade, hCG e´ a profundi-
dade do centro de gravidade do disco, A e´ a a´rea do disco e dCP e´ a distaˆncia
entre o centro de gravidade e o centro de pressa˜o.
Desenvolvendo (1.28), obtemos:
MCG = ρghCG AdCP
= ρghCG A
ρgsin90◦ Ixc
F
= ρghCG A
ρgsin90◦ Ixc
ρghCG A
= ρgsin90◦ Ixc
= ρgI (1.29)
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Problema 33
O momento de ine´rcia do disco, Ixc, e´ dado pela expressa˜o:
Ixc = Iyc =
piD4
64
(1.30)
Substituindo (1.30) em (1.29) obtemos a expressa˜o:
MCG = ρg
piD4
64
= CONSTANTE
Alı´nea b)
MCG = ρg
piD4
64
= 103 × 9,81× 3,14× 1
4
64
= 481Nm
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Problema 40
1.8 Problema 40
A figura representa um reservato´rio de forma cu´bica dividido em duas
partes por uma placa r´ıgida na direcc¸a˜o da sua diagonal. Caracterize a
resultante das forc¸as de pressa˜o que actuam sobre a diviso´ria (direcc¸a˜o,sentido e intensidade) relativamente ao sistema de eixos da figura.
Dados: H = h1 = h2 = 2m;ρ1 = 1000kg m−3;ρ2 = 800kg m−3
1.8.1 Resoluc¸a˜o
A intensidade das forc¸as, F1 e F2, em cada uma das faces da placa separa-
dora e´ a pressa˜o no centro de gravidade (pCG) vezes a a´rea (A) da placa:
F1 = pCG1 A
F2 = pCG2 A
e a resultante e´
FR = F1 − F2 = pCG1 A− pCG2 A (1.31)
em que pressa˜o no centro de gravidade e´ dada por
pCG1 = ρ1g h2 (1.32)
pCG2 = ρ2gh1 (1.33)
e a a´rea da placa separadora e´
A = H
√
H2 + H2 = H2
√
2 (1.34)
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Problema 40
Substituindo (1.32), (1.33) e (1.34) em (1.31), obte´m-se a forc¸a resultante FR
FR = F1 − F2 = pCG1 A− pCG2 A
= ρ1g h2H
√
2− ρ1g h2H
√
2
apo´s substituic¸a˜o nume´rica
FR = F1 − F2 = 1000 · 9,81 · 2 · 2
√
(2)− 800 · 9,81 · 2 · 2
√
(2)
= 110,99− 88,79 = 22,197× 103 N
O ponto de aplicac¸a˜o da forc¸a resultante e´ o ponto de aplicac¸a˜o de
qualquer uma das forc¸as F1 e F2, e que exige o conhecimento do centro
de presso˜es yCP
yCP = −ρgIxx sin(45)Fr
porque se trata de uma superfı´cie rectangular
Ixx =
bh3
12
=
2 · (2√2)3
12
Seja o caso da forc¸a F1
yCP1 = −ρ1g bh
3/12 sin(45)
F1
= −1000 · 9,81 · 2(2
√
2)3/12 · sin(45)
110,99× 103 = −0,236 m
e da forc¸a F2
yCP2 = −ρ2g bh
3/12 sin(45)
F1
= −800 · 9,81 · 2(2
√
2)3/12 · sin(45)
88,79× 103 = −0,236 m
A mate´ria abrangida por este exercı´cio e´ motivo da secc¸a˜o 2.8 de Munson
et al. [2010]
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Problema 40
1.8.2 Resoluc¸a˜o em Matlab
% PROBLEMA 40
% 2010−12−02 Grupo 3
% Ce´sar F e r r e i r a GIMF−MFI−DEMEc−FEUP
% Dados
g = 9 . 8 1 ; % a c e l e r a c a o da g r a v i d a d e
H=2; %m
h2=H; h1=H;
rho 1 =1000; %kg∗mˆ−3
rho 2 =800; %kg∗mˆ−3
%
%C a´ l c u l o da I n t e n s i d a d e da f o r c¸ a r e s u l t a n t e
diag=sqr t (2∗Hˆ 2 ) ; % m d i a g o n a l da f a c e do cubo
A=H∗diag ; %mˆ2 A´rea
Pcg 1= rho 1∗g∗h2 % Pa P r e s s a˜ o no c e n t r o de g r a v i d a d e
F 1=Pcg 1∗ A % N
Pcg 2=rho 2∗g∗h1 % Pa P r e s s a˜ o no c e n t r o de g r a v i d a d e
F 2=Pcg 2∗ A % N
%F o r c¸ a r e s u l t a n t e
F R=F 1 − F 2 % N
%Ponto de a p l i c a c¸ a˜ o das f o r c¸ a s
Ixx=H∗ ( diag ) ˆ3/12 % mˆ4
Y cp 1=−(rho 1∗g∗ Ixx∗ sin ( pi /4))/ F 1 % m
Y cp 2=−(rho 2∗g∗ Ixx∗ sin ( pi /4))/ F 2 % m
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Problema 49
1.9 Problema 49
O reservato´rio da figura e´ constitu´ıdo por quatro partes: uma tampa
semi-esfe´rica, um fundo plano circular e duas pec¸as encurvadas que, unidas,
formam o corpo cil´ındrico de 1 m de altura. Esta´ cheio de um l´ıquido
de densidade d=2,8, suspenso de um cabo, e comunica com a atmosfera
atrave´s de um orif´ıcio (respiro) na parte superior. Considerando despreza´vel
o peso do reservato´rio:
a) Calcule o valor da pressa˜o absoluta no fundo e a forc¸a que podera´
ser lida no dinamo´metro D.
b) Qual o valor da forc¸a a que, devido a` acc¸a˜o do l´ıquido, esta˜o sujeitos
os parafusos que unem a tampa ao corpo do reservato´rio? E a forc¸a que
actua sobre os parafusos que unem o fundo ao corpo?
c) Calcule a intensidade e localize convenientemente a forc¸a que, ainda
devido a` acc¸a˜o do l´ıquido, actua sobre cada uma das metades que consti-
tuem o corpo do reservato´rio.
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Problema 49
1.9.1 Resoluc¸a˜o
Alı´nea a)
Fazendo uso da equac¸a˜o fundamental da hidrosta´tica, a pressa˜o, absoluta,
no fundo do reservato´rio e´:
p f undo = patm + ρgh
= 100× 103 + 2,8× 103 · 9,81(1+ 0,25) = 134,335kPa
Porque, de acordo com o enunciado, e´ despreza´vel o peso do reser-
vato´rio, a forc¸a lida no dinamo´metro e´ o peso do fluido:
Fdin = mg = ρ(V1 +V2)g
em que V1 e V2 sa˜o os volumes da meia-esfera e cilindro, respectivamente
parte superior e corpo principal do reservato´rio.
Fdin = 2.8× 103
[
1
2
4
3
pi
(
d
2
)3
+ pi
(
d
2
)2
h
]
9.81 = 6,2922× 103 N
ou em kgf, igual a 6,2922× 103/9,81 = 641,4085kgf
Alı´nea b)
O balanc¸o de forc¸as num plano horizontal, perpendicular aos parafusos e´
igual a:
Fpar + Peso = pA
em que Fpar e´ a forc¸a exercida pelos parafusos que unem a tampa ao corpo
cilı´ndrico, Peso e´ o peso do lı´quido na parte superior desse plano, e pA e´ a
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Problema 49
forc¸a de pressa˜o.
Fpar + ρ
1
2
4
3
pi
(
d
2
)3
g = ρg
(
d
2
)
pi
(
d
2
)2
= −ρ1
2
4
3
pi
(
d
2
)3
g + ρg
(
d
2
)
pi
(
d
2
)2
= ρg
pi
3
(
d
2
)3
= 2,8× 103 · 9.81pi
3
(
0.5
2
)3
= 449,4441N
Os parafusos no fundo suportam a totalidade da forc¸a exercida no fundo
do reservato´rio:
Ff undo = p f undo A = ρg
(
h +
d
2
)
pid2
4
= 6,74166× 103 N
Alı´nea c)
A forc¸a resultante esta´ situada a uma distaˆncia de 23 do topo (h = H/3) e e´
igual a:
FR = ρg
(
d
2
+
h
2
)
pi
d
4
h
= 2,8× 103 · 9,81(0,25+ 0,5)pi · 0,125 · 1 = 8,09× 103 kN
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Problema 49
1.9.2 Resoluc¸a˜o em Matlab
% PROBLEMA 49
% 2011−10−30
% Dados
g = 9 . 8 1 ; % ”m/ s ˆ2” a c e l e r a c a o da g r a v i d a d e
h=1000; % ”mm” a l t u r a do c o r p o c i l i n d r i c o do r e s e r v a t o r i o
d=500; % ”mm” d i a m e t r o do r e s e r v a t o r i o
h=h/1000; d=d/1000; % c o n v e r t e ”mm” em ”m”
den = 2 . 8 ; % d e n s i d a d e
patm = 1 0 ˆ 5 ; % p r e s s a o a t m o s f e r i c a
%
% A l i n e a a ) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% P r e s s a o no fundo do r e s e r v a t o r i o
p fundo=patm+den∗10ˆ3∗g∗ ( h+d/2)
% F o r c a no dinamometro
V1=1/2∗4/3∗pi ∗ (d / 2 ) ˆ 3 ; V2=pi ∗ (d/2) ˆ2∗h ;
Peso N=den ∗1 0 ˆ3∗ (V1+V2)∗g
Peso kgf=Peso N/g
% A l i n e a b ) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% F o r c a nos p a r a f u s o s da tampa
p par=den∗10ˆ3∗g∗d/2
p e s o f l u i d o=den∗10ˆ3∗g∗V1
F par=p par∗pi∗dˆ2/4−p e s o f l u i d o
F par=den∗10ˆ3∗g∗pi /3∗(d/2) ˆ3
% F o r c a nos p a r a f u s o s do fundo
F fundo =( p fundo−patm )∗ pi∗dˆ2/4
% A l i n e a c ) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% F o r c a nas duas metades do c o r p o c i l i n d r i c o
p lado=den∗10ˆ3∗g∗ (d/2+h/2)
F lado=p lado∗d∗h
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Problema 50
1.10 Problema 50
O tanque cil´ındrico representado na figura tem uma tampa hemisfe´rica
(superf´ıcie ABC), e conte´m propano nas fases l´ıquida e gasosa, 50% de cada
fase em volume. A pressa˜o manome´trica da fase gasosa e´ igual a 8 bar.
a) Represente a distribuic¸a˜o de pressa˜o nas faces interior e exterior da
superf´ıcie ABC.
b) Calcule as resultantes, horizontal e vertical, das forc¸as exercidas na
superf´ıcie ABC.
c) Comente a seguinte afirmac¸a˜o:
A forc¸a horizontal exercida na tampa ABC e´ totalmente
independente da forma desta.
1.10.1 Resoluc¸a˜o
Alı´nea a)
Na face exterior da superfı´cie ABC e´ exercida a pressa˜o atmosfe´rica (a azul),
de igual valor ao longo do perı´metro da superfı´cie.
Na face interior de ABC, acresce a` pressa˜o atmosfe´rica, a pressa˜o de
8 bar, indicada no mano´metro. O mano´metro e´ sensı´vel a` diferenc¸a entre
a pressa˜o no interior e a pressa˜o no exterior do reservato´rio, pressa˜o rela-
tiva. Esta distribuic¸a˜o de pressa˜o na metade superior de ABC (quarto de
cı´rculo AB) e´ quase constante, porque se trata de propano na fase gasosa, e a
variac¸a˜o de pressa˜o com a profundidade pode serdesprezada. Na metade
inferior (quarto de cı´rculo BC), acresce a` pressa˜o atmosfe´rica e aos 8 bar, o
aumento da pressa˜o com o aumento da profundidade da fase lı´quida.
Em qualquer dos casos a pressa˜o e´ sempre perpendicular a` superfı´cie
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Problema 50
de contacto, ou seja na direcc¸a˜o radial da superfı´cie hemisfe´rica ABC.
Alı´nea b)
O equilı´brio de forc¸as estabelece que o somato´rio das forc¸as na direcc¸a˜o
vertical e horizontal e´ igual a zero.
∑FH = 0 ⇔ FHg − Fg + FHl − Fl = 0
FH = FHg + FHl = Fg + Fl (1.35)
∑FV = 0 ⇔ FVg + FVl −Wg −Wl = 0
FV = FVg + FVl = Wg +Wl (1.36)
Wg e Wl sa˜o os pesos das fases gasosa
Wg = ρggVolg
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Problema 50
e lı´quida
Wl = ρl gVoll
e Volg e Voll os volumes de cada uma destas fases.
As forc¸as verticais sa˜o:
FV = Wg +Wl = ρgg
1
4
4piR3
3
+ ρgg
1
4
4piR3
3
= 1,6026× 103 + 4,0763× 104 = 4,2366× 104 N
As forc¸as horizontais Fg e de Fl , aplicadas nas superfı´cies verticais de-
finidas no seio da fase gasosa e no seio da fase lı´quida, sa˜o func¸a˜o de pg e
de pl , pressa˜o nos centros de gravidade dessas superfı´cies, com a forma de
meio cı´rculo e a´rea A = piR2/2:
Fg = pg Ag = (pman + ρgghg)A (1.37)
Fl = pl Al = (pman + ρggR + ρl ghl)A (1.38)
em que hg e hl sa˜o as profundidades dos seus centros de gravidade 2 afas-
tados do eixo a distaˆncia de 4R/(3pi), donde
hg = R− 4R3pi (1.39)
hl =
4R
3pi
(1.40)
Substituindo (1.39) e (1.40) em (1.37) e (1.38):
Fg =
[
pman + ρgg
(
R− 4R
3pi
)]
piR2
2
Fl =
(
pman + ρggR + ρl g
4R
3pi
)
piR2
2
e as forc¸as horizontais (1.35) sa˜o iguais a:
FH =
[
2pman + 2ρggR + (ρl − ρg)g 4R3pi
]
piR2
2
cujo resultado nume´rico e´:
FH = 1.0053× 107 + 4,8078× 103 + 2,4930× 104
= 1,0083× 107 N
2Veja-se por exemplo, a figura 2.18 de Munson et al. [2010]
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Problema 50
Alı´nea c)
A afirmac¸a˜o e´ verdadeira, se a posic¸a˜o do centro de massa for ideˆntica.
Nesse caso as forc¸as horizontais, (1.37) e (1.38), sa˜o func¸a˜o apenas da a´rea
projectada e qualquer forma da tampa, desde que a a´rea projectada seja
ideˆntica, tera´ forc¸a horizontal ideˆntica.
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Problema 50
1.10.2 Resoluc¸a˜o em Matlab
%% Problema 50
%% Ano l e c t i v o 2010/2011
%% 2 8 / 1 2 / 2 0 1 0
% Grupo I I GIMF−MFI−DEMec−FEUP
% DADOS:
pman=8; % ” b a r ” P r e s s a˜ o manome´ tr i ca no i n t e r i o r do tanque
pman=8∗10ˆ5 ; % C o n v e r t e ” b a r ” em ”N/mˆ2”
rhog = 1 9 . 5 ; % ” kg /mˆ3” rho do g a´ s
rhol =496; % ” kg /mˆ3” rho do l ı´ q u i d o
R=2; % ”m” r a i o da c i r c u n f e r eˆ n c i a
g = 9 . 8 1 ; % ”m/ s ˆ2” a c e l e r a c¸ a˜ o da g r a v i d a d e
A=pi∗Rˆ 2 / 2 ; % ”mˆ2” a´ r e a de metade de c ı´ r c u l o
Vol =(4/3∗pi∗Rˆ 3 )∗1 / 4 ; % ”mˆ3” volume de q u a r t o de c ı´ r c u l o
% R e s o l u c¸ a˜ o
hg=R−4∗R/(3∗pi ) ; hl =4∗R/(3∗pi ) ;
% F o r c a s v e r t i c a i s
Wg=rhog∗g∗Vol % Peso do g a´ s
Wl=rhol ∗g∗Vol % Peso do l ı´ q u i d o
Fv=Wg+Wl % N
Fv=Fv/1000 % C o n v e r t e para kN
% F o r c a s h o r i z o n t a i s
% P r e s s a˜ o nas s u p e r f i c i e s v e r t i c a i s em c o n t a c t o com f a s e g a s o s a e f a s e l i q u i d a
P g=pman+rhog∗g∗hg
P l =pman+rhog∗g∗R+rhol ∗g∗hl
F g =( P g−pman)∗A
F l =( P l−pman)∗A
Fman=pman∗ (A+A)
FH1=2∗rhog∗g∗R∗A
FH2=( rhol−rhog )∗g∗4∗R/3/pi∗A
FH=Fman+F g+ F l % N
FH=Fman+FH1+FH2 % N
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 29
VE
RS
A˜O
6
Problema 79
1.11 Problema 79
A figura representa esquematicamente um troc¸o de tubagem que lanc¸a
um jacto de a´gua (ρ = 1000kg m−3) na atmosfera (patm = 1× 105Pa).
a) Qual o desn´ıvel h verificado no mano´metro de mercu´rio (d = 13,6)
quando o caudal escoado for de 1,5 L s=1 ? (O ramo da esquerda do
mano´metro esta´ em contacto com a atmosfera).
b) Caracterize (intensidade, sentido e direcc¸a˜o) a forc¸a exercida pela
conduta sobre o suporte para o mesmo valor do caudal (na˜o despreze o
peso da a´gua).
1.11.1 Resoluc¸a˜o
Alı´nea a)
Atrave´s da equac¸a˜o de energia entre os pontos 1 e 2, na saı´da da tuba-
gem e no eixo da secc¸a˜o alinhada com a tomada de pressa˜o esta´tica do
mano´metro,
p1 +
1
2
ρv21 + ρgz1 = p2 +
1
2
ρv22 + ρgz2
que resolvida em ordem a p2, vem:
p2 = p1 +
1
2
ρ(v21 − v22) + ρg(z1 − z2) (1.41)
Porque se trata de regime permanente e de acordo com o princı´pio de
conservac¸a˜o da massa, m˙= ρA1v1 = ρA2v2 = ρQ˙, onde Q˙ e´ o caudal volu´mico
v1 =
4Q
piD21
e v2 =
4Q
piD22
(1.42)
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 30
VE
RS
A˜O
6
Problema 79
o termo relativo a` energia cine´tica na equac¸a˜o (1.41) pode escrever-se
v21 − v22 =
16Q2
pi2D41
− 16Q
2
pi2D42
=
16Q2
pi2
(
1
D41
− 1
D42
)
que substituı´do em (1.41)
p2 = p1 +
8ρQ2
pi2
(
1
D41
− 1
D42
)
+ ρg(z1 − z2) (1.43)
Tambe´m, com recurso a` equac¸a˜o de energia, conclui-se que a pressa˜o no
ponto 3, no interior do mano´metro, na interface entre o mercu´rio e a a´gua,
e´ dada por3:
p3 = p2 + ρg(z2 − z3) (1.44)
pressa˜o esta que, tendo em conta o princı´pio de funcionamento de um
mano´metro em U, como o representado na figura, e´ igual a
p3 = ρHggh + patm (1.45)
igualando (1.44) e (1.45)
ρHggh + patm = p2 + ρg(z2 − z3)
que resolvida em ordem a h
h =
1
ρHgg
[−patm + p2 + ρg(z2 − z3)] (1.46)
e substituindo (1.43) em (1.46)
h=
1
ρHgg
−patm + p1 + 8ρQ
2
pi2
(
1
D41
− 1
D42
)
+ ρg(z1 − z2)︸ ︷︷ ︸
eq.(1.43)
+ρg(z2 − z3)

porque p1 = patm
h =
1
ρHgg
[
8ρQ2
pi2
(
1
D41
− 1
D42
)
+ ρg(z1 − z3)
]
h =
8ρQ2
ρHggpi2
(
1
D41
− 1
D42
)
+
ρ
ρHg
(z1 − z3)
de cuja resoluc¸a˜o nume´rica resulta
h=
8 · 103 · (1,5× 103)2
13,6× 103 · 9.81 · pi2
(
1
0,0254
− 1
0,0754
)
+
103
13,6× 103 (4− 0) = 0,2941m
3Trata-se de aplicac¸a˜o da equac¸a˜o de energia, Bernoulli, em direcc¸a˜o perpendicular a`s
linhas de corrente. Recomenda-se o estudo do Exemplo 3.18, na pa´gina 130 de Munson
et al. [2010], onde encontra todas as hipo´teses simplificativas, ou condic¸o˜es, em que esta
equac¸a˜o e´ va´lida.
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 31
VE
RS
A˜O
6
Problema 79
Alı´nea b)
O teorema de transporte de Reynolds aplicado a` quantidade de movimento:
Σ~Fext =
d
dt
∫
cv
ρdV +
∫
cs
ρ~V(~V.~n)dA (1.47)
que, em regime permanente, porque d(...)/dt = 0, se reduz a:
Σ~Fext =
∫
cs
ρ~V(~V.~n)dA (1.48)
Considerando o volume de controlo, representado a vermelho, na figura
a equac¸a˜o vectorial (1.48) para cada uma das direcc¸o˜es, x e y, sera´:
• Direcc¸a˜o x (horizontal)
ΣFextx =
∫
cs
ρ~V(~V.~n)dA
∣∣∣∣
x
(p4 − patm)A4 − FSx = ρv4(−v4)A4
(p4 − patm)A4 − FSx = −v4m˙
que, resolvida em ordem a FSx,
FSx = (p4 − patm)A4 + v4m˙
A velocidade v4, na secc¸a˜o 4, e´ igual a` velocidade em 2, porque o
diaˆmetro da tubagem se mante´m constante; por esta raza˜o e porque
z4 = z2 a pressa˜o em 4 e´ tambe´m igual a` pressa˜o em 2. A velocidade
v2(= v4) na tubagem e´, de acordo com (1.42), igual a 0,3395 m s−1, e a
pressa˜o p4, de acordo com (1.43), e´ igual a 1,3238× 105 Pa, a compo-
nente horizontal da forc¸a no suporte e´
FSx = (p4− patm)A2 + v4m˙ = 143.0310+ 0.5093= 143,5403N (1.49)
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 32
VE
RS
A˜O
6
Problema 79
• Direcc¸a˜o y (vertical)ΣFexty =
∫
cs
ρ~V(~V.~n)dA
∣∣∣∣
y
FSy − Pesoag = ρv1(v1)A1
FSy − Pesoag = v1m˙
que, resolvida em ordem a FSy,
FSy = Pesoag + v1m˙ = magg + v1m˙ = ρVagg + v1m˙
em que o volume da a´gua e´ o volume da tubagem de secc¸a˜o circular
de comprimento L
FSy = ρ
piD22
4
Lg + v1m˙
Substituindo os valores (v1 = 3,0558ms−1) e L = 7,3m:
FSy = 316,3765+ 4,5837 = 320,9602N (1.50)
Conhecidas as componentes em x e y, equac¸o˜es (1.49) e (1.50), podemos
determinar a intensidade da forc¸a
FS =
√
F2Sx + F
2
Sy = 351,5953N
e o aˆngulo
θ = tg−1(FSy/FSy) = 1,1503rad = 65,9048◦
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 33
VE
RS
A˜O
6
Problema 79
1.11.2 Resoluc¸a˜o em Matlab
% Problema 79
% Dados −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
rho= 1000 ; % massa vo lumica da agua
d = 1 3 . 6 ; % d e n s i d a d e do m e r c u r i o
z3= 0 ; z2 =700; z1=z2 +3300; % a l t u r a em ”mm”
D1= 2 5 ; D2=75; % d i a m e t r o s em ”mm”
L1= 4000 ; L2=z1−z2 ; % compr imentos em ”mm”
% c o n v e r t e ”mm” em ”m”
D1=D1/1000; D2=D2/1000; z1=z1 /1000; z2=z2 /1000;
L1=L1 /1000; L2=L2 /1000;
p1= 1 ∗ 1 0 ˆ ( 5 ) ; patm=p1 ; % p r e s s a o em ”Pa”
Q = 1 . 5 ; % c a u d a l vo lumico em ” l / s ”
Q = Q/1000; % c o n v e r t e ” l / s ” em ”mˆ 3 / s ”
g= 9 . 8 1 ; % a c e l e r a c a o da g r a v i d a d e ”m/ s ˆ2”
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
% R e s o l u c a o
% a l i n e a a )
rho Hg= rho∗ d ; % massa vo lumica do m e r c u r i o
p2=p1 + rho∗8∗Qˆ2/ pi ˆ2∗ (1/D1ˆ2 − 1/D2 ˆ 2 ) + rho∗g∗ ( z1−z2 )
p 2 r e l =p2−p1
p3 = p2 + rho∗g∗ ( z2−z3 )
h=(p3−p1 ) / ( d∗rho∗g )
h=8∗rho∗Qˆ2 /( rho Hg∗g∗pi ˆ 2 )∗ ( 1 /D1ˆ2 − 1/D2ˆ 2 ) + rho/rho Hg ∗ ( z1−z3 )
% a l i n e a b )
v2=Q/( pi∗D2ˆ2/4) % v e l o c i d a d e na s e c c a o 2
m=rho∗Q ; % c a u d a l m a s s i c o
% f o r c a na d i r e c c a o x
flux qmx=v2∗m
A2=pi∗D2ˆ 2 / 4 ;
FPres =(p2−patm )∗A2
FSx=FPres+flux qmx
FSx kgf=FSx/g
% f o r c a na d i r e c c a o y
v1=Q/( pi∗D1ˆ2/4) % v e l o c i d a d e na s e c c a o 1
L=L1+L2 ;
Peso ag=rho∗A2∗L∗g
flux qmy=v1∗m
FSy=Peso ag+flux qmy
FSy kgf=FSy/g
% i n t e n s i d a d e
Fmod=sqr t ( FSx ˆ2+ FSy ˆ 2 )
Fmod kgf=Fmod/g
ang=atan ( FSy/FSx )
ang deg=ang∗180/ pi
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 34
VE
RS
A˜O
6
Problema 83
1.12 Problema 83
Uma bomba de a´gua (ρ= 103 kg m−3) tem uma entrada e duas sa´ıdas,
vide figura. As ligac¸o˜es da tubagem a` bomba sa˜o flex´ıveis, pelo que os
esforc¸os devidos a`s forc¸as ma´ssicas e hidrodinaˆmicas na regia˜o da bomba sa˜o
integralmente transmitidos ao suporte. As presso˜es indicadas sa˜o relativas.
a) Determine a cota z4.
b) Determine caudal na secc¸a˜o 3.
c) Determine a poteˆncia fornecida a` bomba, sabendo que o rendimento
desta e´ igual a 85%.
d) Sabendo que a componente vertical da forc¸a exercida pelo suporte
sobre a bomba tem o valor de 3 kN (sentido de baixo para cima) determine
o peso da bomba.
1.12.1 Resoluc¸a˜o
Alı´nea a)
A equac¸a˜o de energia entre os pontos 3 e 4 e´ dada por:
p3 +
1
2
ρv23 + ρgz3 = p4 +
1
2
ρv24 + ρgz4
que resolvida em ordem a z4, e porque v4 = 0, resulta em
z4 =
p3 − p4
ρg
+
v23
2g
+ z3 (1.51)
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 35
VE
RS
A˜O
6
Problema 83
onde v3 e´ desconhecido, mas pode ser determinado, com base no balanc¸o
de massa num volume de controlo centrado na bomba
m˙1 = m˙2 + m˙3
o caudal ma´ssico que entra em 1, m˙1, e´ a soma dos caudais ma´ssicos que
saem em 2 e 3, m˙2 e m˙3.
ρA1v1 = ρA2v2 + ρA3v3
A1v1 = A2v2 + A3v3
A3v3 = A2v2 − A1v1
v3 =
A2v2 − A1v1
A3
v3 =
Q˙2 − A1v1
A3
(1.52)
A velocidade em 1 e´ determinada atrave´s da equac¸a˜o de energia entre os
pontos 0 e 1
p0 +
1
2
ρv20 + ρgz0 = p1 +
1
2
ρv21 + ρgz1
que resolvida em ordem a v1 e porque v0 = 0,
v1 =
√
2(p0 − p1)
ρ
+ 2g(z0 − z1) (1.53)
Substituindo (1.53) em (1.52)
v3 =
Q˙2 − A1
√
2(p0−p1)
ρ + 2g(z0 − z1)
A3
(1.54)
e (1.54) em (1.51), obte´m-se
z4 =
p3 − p4
ρg
+
{[
Q˙2 − A1
√
2(p0 − p1)/ρ+ 2g(z0 − z1)
]
/A3
}2
2g
+ z3
cujo resultado nume´rico e´ z4 = 63,98m. Outros resultados nume´ricos sa˜o
v1 = 6,4ms−1 e v3 = 13,31ms−1.
Alı´nea b)
O caudal na secc¸a˜o 3 e´
Q3 = v3 A3 = 0,0376m3 s−1 = 135,49m3 h−1
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 36
VE
RS
A˜O
6
Problema 83
Alı´nea c)
O balanc¸o energe´tico e´:
Q˙ + W˙ =∑
Ent
m
(
u +
p
ρ
+
v2
2
+ gz
)
−∑
Sai
m
(
u +
p
ρ
+
v2
2
+ gz
)
Porque na˜o ha´ trocas de calor, Q˙ = 0, e z1 ≈ z2 ≈ z3, e considerando fluido
ideal, a energia interna, u, pode ser desprezada,
W˙ = m˙2
(
p2
ρ
+
v22
2
)
+ m˙3
(
p3
ρ
+
v23
2
)
− m˙1
(
p1
ρ
+
V21
2
)
= 2,8638× 104 W
Porque o rendimento e´
η =
W˙u
W˙elec
em que W˙elec e´ a poteˆncia ele´ctrica a fornecer a` bomba
W˙elec = 3,3692× 104 W
Alı´nea d)
Pelo Teorema de Transporte de Reynolds em regime permanente∫
s
ρ~V~V ·~ndA =∑ ~FExt
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 37
VE
RS
A˜O
6
Problema 83
Porque se trata apenas da direcc¸a˜o vertical
ρv23A3 = Fs − Fp − Peso
que resolvida em ordem ao Peso da bomba:
Peso = Fs − ρv23A3 − p3A3 = 113,56kg
1.12.2 Resoluc¸a˜o em Matlab
% Problema 83
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Dados−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
rho =1000; % massa vo lumica da agua
z1 =5; z2 =5; z3 =5; % a l t u r a
d1 = 0 . 1 0 0 ; d2 = 0 . 0 4 0 ; d3 = 0 . 0 6 0 ; % d i a m e t r o
p1 =−69.48∗10ˆ3; p2 =300∗10ˆ3 ; p3 =490∗10ˆ3 ; % p r e s s a o
Q2= 4 5 . 2 4 / 6 0 ˆ 2 ; % c a u d a l vo lumico em 2 [mˆ 3 / s ]
g = 9 . 8 1 ; % a c e l e r a c a o da g r a v i d a d e [m/ s ˆ 2 ]
rend = 0 . 8 5 ; % r e n d i m e n t o da bomba
F =3∗10ˆ3 ; % f o r c a do s u p o r t e s o b r e a bomba [N]
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
% R e s o l u c a o
% a l i n e a a
A1=pi ∗ ( d1 / 2 ) ˆ 2 ; A2=pi ∗ ( d2 / 2 ) ˆ 2 ; A3=pi ∗ ( d3 / 2 ) ˆ 2 ;
v1a=−2∗rho∗g∗z1
v1b=−2∗p1
v1=sqr t (2/ rho∗(−p1−rho∗g∗z1 ) ) %v e l o c i d a d e em 1 [m/ s ]
v3 =(A1∗v1−Q2)/A3 %v e l o c i d a d e em 3 [m/ s ]
z4=p3/( rho∗g)+1/(2∗g )∗v3 ˆ2+ z3 %R e s u l t a d o f i n a l
%−− a l i n e a b −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Q3=v3∗A3
Q3 m3h=Q3∗3600
%−− a l i n e a c −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
v2=Q2/A2 ; % v e l o c i d a d e em 2 [m/ s ]
m1=rho∗v1∗A1 ; m2=rho∗Q2 ; m3=rho∗v3∗A3 ; % c a u d a l m a s s i c o em 1 ,2 e 3
W=m2∗ ( p2/rho +( v2 ˆ2/2) )+m3∗ ( p3/rho+v3ˆ2/2)−m1∗ ( p1/rho+v1 ˆ2/2)
Wf=W/rend % p o t e n c i a e l e c t r i c a
%−− a l i n e a d −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Peso=F−(p3∗A3)−rho∗v3 ˆ2∗A3
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 38
VE
RS
A˜O
6
Problema 86
1.13 Problema 86
Considere o escoamento entre duas placas planas paralelas representadas
na figura. A placa superior move-se a uma velocidade constante U, estando
a inferior fixa. A pressa˜o decresce na direcc¸a˜o do escoamento, sendo o
gradiente longitudinal dp/dx constante.
a) Encontre uma expressa˜o para o perfil de velocidades u = f (y).
b) Compare a evoluc¸a˜o da tensa˜o de corte verificada neste escoamento
com a de um outro em que dp/dx e´ nulo.
1.13.1 Resoluc¸a˜o
Alı´nea a)
A equac¸a˜o da conservac¸a˜o da massa para escoamento tri-dimensional, em
regime permanente, de fluido incompressı´vel, e´ dada por:
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
= 0,
que neste caso se reduz a
∂u
∂x
= 0 (1.55)
Porque admitimos que as placas sa˜o infinitamente longas nas direcc¸o˜es lon-
gitudinal e transversal (x e z), em que as componentes de velocidadeem
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 39
VE
RS
A˜O
6
Problema 86
qualquer uma destas direcc¸o˜es e´ zero, e logo as suas derivadas sera˜o zero
tambe´m.
Pela conservac¸a˜o da quantidade de movimento em fluido Newtoniano,
isto e´ equac¸a˜o de Navier-Stokes, regime permanente, temos:
�
�
�
���
0
u
∂u
∂x︸︷︷︸
1
+
�
�
�
�
��
0
v
∂u
∂y︸︷︷︸
2
+
�
�
�
���
0
w
∂u
∂z︸︷︷︸
3
= −1
ρ
∂p
∂x
+
µ
ρ

�
�
�
�
��
0
∂2u
∂x2︸︷︷︸
4
+
∂2u
∂y2
+
�
�
�
�
��
0
∂2u
∂z2︸︷︷︸
5
−
�
�
��7
0
gx︸︷︷︸
6
Os termos convectivos (1, 2 e 3) sa˜o nulos pela mesma raza˜o usada na
equac¸a˜o da continuidade; devido a` dimensa˜o infinita, o escoamento evo-
lui para a situac¸a˜o designada de escoamento completamente desenvolvido, sem
variac¸a˜o de velocidade u nas direcc¸o˜es x e z, e com v e w igual a zero. Se
as primeiras derivadas ∂u/∂x e ∂u/∂z sa˜o zero, as segundas tambe´m o sa˜o
e por isso os termos difusivos 4 e 5 sa˜o iguais a zero. O termo 6, relativo a`
forc¸a de gravidade, e´ zero, porque o eixo dos x e´ o horizontal, e a equac¸a˜o
reduz-se a:
0 = −1
ρ
∂ρ
∂x
+
µ
ρ
∂2u
∂y2
∂2u
∂y2
=
1
µ
∂p
∂x
A velocidade u e´ apenas func¸a˜o de y, assim como a pressa˜o e´ func¸a˜o apenas
de x e a equac¸a˜o diferencial que rege este problema e´:
d2u
dy2
=
1
µ
dp
dx
(1.56)
em que as condic¸o˜es de fronteira sa˜o:
u|y=0 = 0; (1.57)
u|y=h = U. (1.58)
A primeira integrac¸a˜o em ordem a y da equac¸a˜o (1.56) da´-nos:
du
dy
=
dp
dx
1
µ
y + C1
que integrada de novo em y resulta em:
u =
dp
dx
1
µ
y2
2
+ C1y + C2 (1.59)
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 40
VE
RS
A˜O
6
Problema 86
Para determinac¸a˜o das constantes de integrac¸a˜o, a partir da condic¸a˜o de
fronteira (1.57) conclui-se que C2 deve ser igual a zero:
0 =
dp
dx
1
µ
02
2
+ C10+ C2 ⇒ C2 = 0
e fazendo uso da segunda condic¸a˜o de fronteira (1.58),
U =
dp
dx
1
µ
h2
2
+ C1h + 0 ⇒ C1 = Uh −
1
µ
dp
dx
h
2
Finalmente
u =
dp
dx
1
µ
y2
2
+
Uy
h
− 1
µ
dp
dx
h
2
y
ou, numa forma final, mais compacta,
u =
1
2µ
dp
dx
(y2 − hy) + Uy
h
(1.60)
Alı´nea b)
A tensa˜o de corte para fluido Newtoniano e´:
τ = µ
dU
dy
,
ou seja, fazendo uso de (1.60),
τ =
1
2
dp
dx
(2y− h) + µU
h
que no caso de dp/dx = 0, se reduz a:
τ = µ
U
h
com valor constante na direcc¸a˜o perpendicular a`s superfı´cies das placas.
No escoamento do enunciado a tensa˜o de corte varia linearmente com
y, com os valores em cada uma das superfı´cies dados por:
se y = 0 =⇒ τ = −1
2
dp
dx
h + µ
U
h
se y = h =⇒ τ = 1
2
dp
dx
h + µ
U
h
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 41
VE
RS
A˜O
6
Problema 86
Sugesta˜o para trabalho adicional
1. Esboce o perfil de velocidade para o caso de dp/dx = 0, e para valores
crescentes de dp/dx < 0 e dp/dx > 0.
2. Idem, mas para o perfil de tensa˜o de corte.
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 42
VE
RS
A˜O
6
Problema 87
1.14 Problema 87
No escoamento bidimensional, laminar e permanente, entre duas su-
perf´ıcies so´lidas horizontais, o perfil de velocidades tem a forma esboc¸ada
na figura, com a velocidade ma´xima, Um, localizada a meia distaˆncia entre
as duas superf´ıcies.
a) Integrando a equac¸a˜o do movimento segundo Ox, exprima Um em
func¸a˜o do espac¸amento H, das propriedades do fluido (ρ, µ) e do gradiente
de presso˜es ∂P/∂x.
b) Sera´ via´vel utilizar o teorema de Bernoulli para relacionar as presso˜es
em dois pontos distintos deste escoamento? Justifique.
1.14.1 Resoluc¸a˜o
Alı´nea a)
A equac¸a˜o de conservac¸a˜o da quantidade de movimento de um fluido
Newtoniano, na direcc¸a˜o do escoamento e´ dada por
u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
+ w
∂u
∂z
= −1
ρ
∂P
∂x
+
µ
ρ
(
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
)− gx
que apo´s simplificac¸a˜o4 resulta em:
0 = −1
ρ
∂P
∂x
+
µ
ρ
∂2u
∂y2
Porque a pressa˜o e a velocidade dependem apenas de x e de y
1
ρ
dP
dx
=
µ
ρ
d2u
dy2
(1.61)
em que as condic¸o˜es de fronteira sa˜o:
u|y=0 = 0; (1.62)
u|y=H = 0 (1.63)
Integrando (1.61),
du
dy
=
dP
dx
y
µ
+ C1
4Ver problema 86, na pa´gina 39.
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 43
VE
RS
A˜O
6
Problema 87
e integrando, de novo,
u =
dP
dx
y2
2µ
+ yC1 + C2 (1.64)
As duas constantes sa˜o determinadas a partir das condic¸o˜es (1.62) e
(1.63).
Condica˜o (1.62) : 0 =
dP
dx
0
2µ
+ 0C1 + C2 (1.65)
Condicao (1.63) : 0 =
dP
dx
H2
2µ
+ HC1 + C2 (1.66)
donde se conclui que C2 = 0 e C1 =− dPdx H2µ , que apo´s substituic¸a˜o em (1.64)
u =
dP
dx
1
2µ
(y2 − yH)
Um e´ a velocidade em y = H/2, a meia distaˆncia entre as placas,
Um(≡Uy=H/2) = −dPdx
H2
8µ
Alı´nea b)
Na˜o e´ via´vel utilizar o teorema de Bernoulli. Para isso, seria necessa´rio que
se tratasse de um fluido invı´scido ou ideal, ou seja sem viscosidade.
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 44
VE
RS
A˜O
6
Problema 89
1.15 Problema 89
Uma correia de grande largura (plano normal ao da figura) passa por um
recipiente contendo um l´ıquido viscoso, de propriedades ρ e µ, arrastando
uma pel´ıcula de fluido de espessura h que, por sua vez, se escoa por acc¸a˜o
da gravidade.
Sendo V0 a velocidade vertical da correia, encontre uma expressa˜o para
a velocidade me´dia da pel´ıcula de fluido, admitindo que o escoamento e´
laminar e permanente.
Nota: O referencial (x,y) e´ fixo com respeito a um observador exterior.
1.15.1 Resoluc¸a˜o
O vector velocidade e´ dado por ~V = (u,v,w), mas porque o movimento
ocorre segundo y, pode ser reduzido a ~V = (0,v,0) e apenas a equac¸a˜o da
conservac¸a˜o de quantidade de movimento na direcc¸a˜o y e´
∂v
∂t
+ u
∂v
∂x
+ v
∂v
∂y
+w
∂v
∂z
=−1
ρ
∂p
∂y
+
µ
ρ
(
∂2v
∂x2
+
∂2v
∂y2
+
∂2v
∂z2
)
+ gy (1.67)
Porque:
• u = w = 0, concluı´-se que u∂v/∂x = 0 e w∂v/∂z = 0
• o escoamento e´ completamente desenvolvido em y e ∂2u/∂x2 = 0;
• a dimensa˜o transversal da correia e´ infinita e ∂2w/∂z2 = 0
• a pressa˜o e´ uniforme, ∂p/∂y = 0
• a forc¸a gravı´tica g tem o sentido oposto ao eixo dos y, gy = −g.
• e´ um escoamento em regime permanente, ∂v/∂t = 0.
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RS
A˜O
6
Problema 89
A equac¸a˜o (1.67) reduz-se a:
d2v
dx2
=
ρg
µ
(1.68)
em que as condic¸o˜es de fronteira sa˜o:
dv
dx
∣∣∣∣
x=h
= 0 (1.69)
v(x)|x=0 = V0 (1.70)
Integrando uma vez,
dv
dx
=
ρg
µ
x + C1
e apo´s nova integrac¸a˜o
v(x) =
ρg
µ
x2
2
+ C1x + C2 (1.71)
A partir das condic¸o˜es de fronteira
Condica˜o (1.69) : 0 =
ρgh
µ
+ C1
Condicao (1.70) : V0 =
ρg
µ
02
2
+ C10+ C2
sa˜o determinadas as constantes
C1 = −ρgh
µ
e C2 = V0
que, apo´s substituic¸a˜o em (1.71)
v(x) =
ρg
µ
x2
2
− ρgh
µ
x +V0
=
ρg
µ
(
x2
2
− hx
)
+V0 (1.72)
Logo:
v¯ =
1
h
{∫ h
0
[
ρg
µ
(
x2
2
− hx
)
+V0
]
dx
}
=
1
h
[
ρg
µ
(
1
2
x3
3
+ h
x2
2
)
+V0x
]∣∣∣∣h
0
=
ρg
hµ
(
h3
6
− h
3
2
)
+V0
= V0 − ρgh
2
3µ
(1.73)
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A˜O
6
Problema 92
1.16 Problema 92
Dois fluidos imisc´ıveis, com a mesma massa volu´mica mas diferentes
densidades esta˜o contidos entre duas placas planas paralelas conforme se
mostra na figura. A placa inferior e´ fixa ea superior desloca-se com uma
velocidade constante U, dando origem a um escoamento laminar e in-
compress´ıvel, sem gradiente de pressa˜o na direcc¸a˜o do movimento, sendo
cont´ınua a variac¸a˜o quer da velocidade quer da tensa˜o de corte atrave´s da
fronteira entre os fluidos.
a) Determine o valor da velocidade na interface entre os dois fluidos,
exprimindo o resultado em func¸a˜o de U, µ1 e µ2.
b) Esboce o perfil de velocidades para a situac¸a˜o µ2 = 2µ1.
Qual a relac¸a˜o entre as tenso˜es de corte verificadas junto a`s placas superior
e inferior? Comente o resultado, fundamentando a resposta na relac¸a˜o entre
a tensa˜o e o gradiente de velocidades em cada caso.
1.16.1 Resoluc¸a˜o
Alı´nea a)
O vector velocidade e´ dado por
~V = (u,v,w)
que, deve satisfazer a equac¸a˜o de conservac¸a˜o de massa, ou continuidade,
que no caso de escoamento incompressı´vel, e´ igual a:
∂u
∂x
+
∂v
dy
+
∂w
∂z
= 0 (1.74)
Mas, porque so´ ha´ movimento no eixo dos x e as componentes v e w do
vector velocidade sa˜o nulas
~V = (u,0,0)
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A˜O
6
Problema 92
a equac¸a˜o de conservac¸a˜o da massa (1.74) e´ dada apenas por:
du
dx
= 0
A equac¸a˜o da conservac¸a˜o da quantidade de movimento, para fluido
Newtoniano, e´:
u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
+ w
∂u
∂z
= −1
ρ
∂P
∂x
+ ν
(
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
)
+ gx (1.75)
Fazendo uso das mesmas hipo´teses que nos permitiram simplificar a equac¸a˜o
da continuidade, porque na˜o existe gradiente de pressa˜o nem forc¸as gravı´ticas
segundo o eixo dos x, a equac¸a˜o (1.75) reduz-se a:
µ
d2u
dy2
= 0 (1.76)
NOTA: para uma descric¸a˜o mais detalhada das hipo´teses que nos permi-
tiram simplificar a equac¸a˜o (1.75), recomenda-se o estudo da resoluc¸a˜o do
Problema 86, na pa´gina 39.
Procedendo a` integrac¸a˜o de (1.76),
du
dy
= Constantea
e apo´s segunda integrac¸a˜o resulta em:
u = Constanteay + Constanteb
Esta equac¸a˜o e´ va´lida nas duas regio˜es, relativa a cada um dos fluidos,
donde:
u1 = C1 y + C2 h ≤y ≤ 2h (1.77)
u2 = C3 y + C4 0≤y ≤ h (1.78)
Na superfı´cie de cada uma das placas, as condic¸o˜es de fronteira sa˜o:
u2|y=0 = 0 (1.79)
u1|y=2h = U (1.80)
e na interface dos dois fluidos,
u1|y=h = u2|y=h (1.81)
τ1|y=h = τ2|y=h ≡ µ1 du1dy
∣∣∣∣
y=h
= µ2
du2
dy
∣∣∣∣
y=h
(1.82)
As duas equac¸o˜es (1.77) e (1.78), juntamente com as quatro condic¸o˜es de
fronteira (1.79) a (1.82), constituem a formulac¸a˜o matema´tica completa do
problema. As condic¸o˜es de fronteira (1.81) e (1.82) asseguram a continui-
dade do perfil de velocidade e do perfil da tensa˜o de corte na interface entre
os dois fluidos.
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A˜O
6
Problema 92
Determinac¸a˜o das constantes
As quatro constantes sa˜o determinadas a partir das condic¸o˜es (1.79) a (1.82).
Condica˜o (1.79) : 0 = C30+ C4 (1.83)
Condicao (1.80) : U = C1 2h + C2 (1.84)
Condicao (1.81) : C1 h + C2 = C3 h + C4 (1.85)
Condicao (1.82) : µ1C1 = µ2C3 (1.86)
A partir da equac¸a˜o (1.87) conclui-se que:
C4 = 0 (1.87)
as treˆs equac¸o˜es (1.84), (1.85) e (1.86) conduzem a` determinac¸a˜o das cons-
tantes C1, C2 e C3
C1 =
U
h
µ2
µ1 + µ2
(1.88)
C2 = U
µ1 − µ2
µ1 + µ2
(1.89)
C3 =
U
h
µ1
µ1 + µ2
(1.90)
que apo´s substituic¸a˜o em (1.77) em (1.78), resulta:
u1 = U
µ2
µ1 + µ2
y
h
+U
µ1 − µ2
µ1 + µ2
(1.91)
u2 = U
µ1
µ1 + µ2
y
h
(1.92)
qualquer uma destas equac¸o˜es nos permite determinar o valor da veloci-
dade na interface entre os dois fluidos, igual a:
u1|y=h = U µ2µ1 + µ2
h
h
+U
µ1 − µ2
µ1 + µ2
= U
µ1
µ1 + µ2
u2|y=h = U µ1µ1 + µ2
h
h
= U
µ1
µ1 + µ2
Alı´nea b)
Para µ2 = 2µ1, as equac¸o˜es (1.91) e (1.92) simplificam-se, e o perfil de velo-
cidades e´:
u1 = U
2
3
y
h
−U 1
3
h ≤y ≤ 2h
u2 = U
1
3
y
h
0≤y ≤ h
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 49
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RS
A˜O
6
Problema 92
Figura 1.1: Perfil de velocidades
A relac¸a˜o entre as tenso˜es de corte junto a`s placas, y = 0 e y = 2h, e´
τ2|y=0
τ1|y=2h =
µ2
du2
dy
∣∣∣
y=0
µ1
du1
dy
∣∣∣
y=2h
=
µ2
U
3h
µ1
2U
3h
=
µ2
2µ1
que no caso de µ1 = 2µ2, vem
τ2|y=0
τ1|y=2h = 1
A tensa˜o de corte na placa inferior, em y = 0, e´ ideˆntica a` tensa˜o de
corte na placa superior, y = 2h. Esta igualdade das tenso˜es de corte ocorre,
porque apesar da viscosidade do fluido 1 ser 2× a do viscosidade do fluido
2, a relac¸a˜o entre os gradientes de velocidade dos fluidos 1 e 2 e´ a inversa
da que ocorre no caso das viscosidades. Veja que:
du2
dy
∣∣∣∣
y=0
=
U
3h
e
du1
dy
∣∣∣∣
y=2h
=
2U
3h
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 50
VE
RS
A˜O
6
Problema 99
1.17 Problema 99
Um reservato´rio mantido a pressa˜o constante, Pint, descarrega para a
atmosfera atrave´s de um furo de diaˆmetro d um l´ıquido de massa espec´ıfica
ρ e viscosidade ν.
a) Encontre uma relac¸a˜o adimensional entre o caudal de descarga, V˙, e
os restantes paraˆmetros relevantes.
b) Uma expressa˜o vulgarmente utilizada para o ca´lculo do caudal
volu´mico saindo de um reservato´rio e´
V˙ = 0,61
pid2
4
√
2gH .
Investigue a homogeneidade dimensional da relac¸a˜o e comente a sua apli-
cabilidade a` situac¸a˜o descrita em a).
1.17.1 Resoluc¸a˜o
Alı´nea a)
De acordo com o enunciado, os paraˆmetros relevantes sa˜o, Pint, a pressa˜o
interna no reservato´rio, d, o diaˆmetro do furo de escape, ρ, massa volu´mica
do fluido, e ν, a viscosidade cinema´tica do fluido. Outros paraˆmetros a con-
siderar sa˜o H, a altura entre os orifı´cios de estrada e saı´da do reservato´rio,
e g, forc¸a da gravidade, uma vez que existe variac¸a˜o vertical da cota z.
Estas 7 varı´a´veis (k = 7) recorrem a`s 3 dimenso˜es de refereˆncia M, L e T
(r = 3), donde se conclui que, baseado no Teorema de Buckingham,
Π = k− r = 7− 3 = 4 ,
sera˜o necessa´rios 4 nu´meros adimensionais Π para descrever as relac¸o˜es
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 51
VE
RS
A˜O
6
Problema 99
entre elas. Para cada uma das dimenso˜es de refereˆncia, M, L e T e´ ne-
cessa´rio associar uma varia´vel que na˜o dependa das outras duas.
Procura-se a relac¸a˜o entre a varia´vel independente V˙ e as varia´veis de-
pendentes Pint,d,ρ,ν, H e g, em que as dimenso˜es de cada uma delas sa˜o:
• [V˙] = L3T−1
• [Pint] = ML−1T−2
• [H] = L
• [d] = L
• [ρ] = ML−3
• [ν] = L2T−1
• [g] = LT−2
Escolhamos enta˜o as 3 varia´veis que sera˜o usadas para adimensionali-
zar as restantes:
• L→ H
• M→ ρ
• T→ g
O primeiro Π, resultado da adimensionalizac¸a˜o de V˙ sera´:
Π1 = V˙Haρbgc (1.93)
ou, em termos dimensionais,
L3T−1 La (ML−3)b (LT−2)c = L0L0T0
L :
T :
M :

3+ a− 3b + c = 0
−1− 2c = 0
b = 0.
⇒

a = −5/2
b = 0
c = −1/2.
e conhecidos os expoentes de (1.93), o paraˆmetro adimensional esta´ com-
pletamente definido:
Π1 = V˙ H−5/2 g−1/2 =
V˙√
H5g
(1.94)
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 52
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RS
A˜O
6
Problema 99
Outro dos Π′s e´ definido a partir da pressa˜o, Pint:
Π2 = PintHaρbgc (1.95)
e repetindo os procedimentos usados atra´s,
(ML−1T−2) (L)a (ML−3)b(LT−2)c = L0 L0 T0
M :
L :
T :

1+ b = 0
−1+ a− 3b + c = 0
−2− 2c = 0.
⇒

a = −1
b = −1
c = −1.
resulta:
Π2 = PintH−1ρ−1g−1 =
Pint
Hρg
(1.96)
O terceiro Π e´ baseado na adimensionalizac¸a˜o de d:
Π3 = dHaρbgc (1.97)
L (L)a (ML−3)b (LT−2)c = L0 L0 T0
L :
M :
T :

1+ a− 3b− 2c = 0
b = 0
−2c = 0.
⇒

a = −1
b = 0
c = 0.
Π3 = dH−1 =
d
H
(1.98)
Finalmente o u´ltimoΠ:
Π4 = νHaρbgc (1.99)
(L2T−1) (L)a (ML−3)b (LT−2)c = L0 L0 T0 (1.100)
L :
T :
M :

2+ a− 3b + c = 0
−1− 2c = 0
b = 0.
⇒

a = −3/2
b = 0
c = −1/2.
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VE
RS
A˜O
6
Problema 99
donde resulta:
Π4 = νH−3/2g−1/2 =
ν√
H3g
(1.101)
Concluindo:
Π1 = Φ(Π2,Π3,Π4) ⇒ V˙√
H5g
= φ
(
Pint
Hρg
,
d
H
,
ν√
H3g
)
(1.102)
Nota final: Este resultado difere do das soluc¸o˜es, porque aqui foi es-
colhida para a dimensa˜o L a varia´vel H, em vez da varia´vel d. Ambas as
soluc¸o˜es esta˜o correctas.
Alı´nea b)
A equac¸a˜o
V˙ = 0,61
pid2
4
√
2gH (1.103)
e´ dimensionalmente homoge´nea
[V˙] = 0,61
[
pid2
4
]
[
√
2gH]
L3T−1 = L2
(
LT−2 L
)1/2
L3T−1 = L3T−1
Sobre a aplicabilidade desta equac¸a˜o a` situac¸a˜o anterior, comec¸amos por
aumentar a sua semelhanc¸a com a por no´s obtida (1.102), escrevendo (1.103)
numa forma tambe´m adimensional
V˙√
H5g
=
1√
H5g
(
0,61
pid2
4
√
2gH
)
V˙√
H5g
= 0,61
pi
4
d2
H2
√
2gH
Hg
V˙√
H5g
= 0,61
pi
4
d2
H2
√
2
daqui pode ver-se que (1.103) e´ uma versa˜o simplificada de (1.102), que
na˜o considera variac¸o˜es da propriedade do fluido ou da pressa˜o interna no
reservato´rio.
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 54
VE
RS
A˜O
6
Problema 100
1.18 Problema 100
Considere-se um elemento da estrutura de uma ponte, com um com-
primento, dimensa˜o perpendicular ao plano do papel, muito superior a`s
dimenso˜es H e D da secc¸a˜o transversal, na figura. E´ sabido que com o
vento soprando a uma velocidade constante podem formar-se na esteira
vo´rtices, emitidos de modo regular, a uma frequeˆncia bem definida. Este
feno´meno pode originar esforc¸os perio´dicos importantes sobre a estrutura,
pelo que e´ essencial o conhecimento da frequeˆncia de desprendimento de
vo´rtices.
Neste caso concreto as dimenso˜es da estrutura sa˜o D = 0,1m e
H = 0,3m, a velocidade do vento em causa e´ igual a 50 km h=1
(ρar = 1,2kg m−3,µar = 1,8× 10−5 kg m−1 s−1), e pretende-se determinar
a frequeˆncia real ensaiando um modelo a escala reduzida (Dm = 20mm)
num tu´nel de a´gua (ρ = 103 kg m−3,µ = 1,01× 10−3 kg m−1 s−1).
a) Determine as dimenso˜es Hm do modelo, bem como a velocidade a`
qual devera´ ser realizado o ensaio.
b) Se a frequeˆncia de desprendimento de vo´rtices encontrada no ensaio
for de 49,9 Hz, qual o valor esperado no proto´tipo?
1.18.1 Resoluc¸a˜o
A resoluc¸a˜o esta´ organizada em duas partes (I e II) relativas a` adimensi-
onalizac¸a˜o e a` semelhanc¸a. Tratam-se de dois assuntos que esta˜o forte-
mente interligados e constituem um capı´tulo u´nico na maioria dos livros de
texto sobre Mecaˆnica dos Fluidos. A identificac¸a˜o destas duas partes faz-se
por razo˜es pedago´gicas, com o objectivo de distinguir a determinac¸a˜o dos
nu´meros adimensionais (adimensionalizac¸a˜o) das regras a respeitar para
assegurar a semelhanc¸a entre casos reais e modelos. Os modelos que pre-
tendem replicar os feno´menos fı´sicos reais em condic¸o˜es que apesar de na˜o
serem iguais, sa˜o iguais quando referidas em paraˆmetros adimensionais,
ou seja, sa˜o semelhantes.
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Problema 100
Parte I: Adimensionalizac¸a˜o
Alı´nea a)
Da leitura do enunciado resultam as varia´veis f , D, H,v,ρ e µ, cujas di-
menso˜es ba´sicas sa˜o as seguintes:
• [ f ] = T−1
• [D] = L
• [H] = L
• [v] = LT−1
• [ρ] = ML−3
• [µ] = ML−1T−1
Temos uma relac¸a˜o
f = F (D, H,v,ρ,µ) (1.104)
entre 6 varia´veis (k = 6), que no seu conjunto recorrem a 3 dimenso˜es de re-
fereˆncia, M, L e T (r = 3) em que, de acordo com o teorema de Buckingham,
k− r = 6− 3 = 3
a relac¸a˜o entre elas pode ser descrita de uma forma mais simples, com base
em apenas 3 varia´veis, 3 nu´meros adimensionais Π,
Π1 = Φ(Π2,Π3) (1.105)
NOTA 1
Neste problema usa-se uma te´cnica expedita para determinar os
nu´meros adimensionais, em que na˜o e´ necessa´ria a resoluc¸a˜o de qual-
quer sistema de equac¸o˜es, como e´ o caso da te´cnica de 8 passos, uti-
lizada por exemplo na resoluc¸a˜o dos problemas 99 e 104, pa´ginas 51
e 61, cuja leitura se aconselha. Sa˜o duas te´cnicas alternativas, em que
a usada nesta resoluc¸a˜o normalmente exige menos tempo, mas exige
mais cuidado durante a resoluc¸a˜o, porque e´ mais facil cometer qual-
quer erro.
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Problema 100
De entre as 6 varia´veis que descrevem o feno´meno, escolhemos H, v e
ρ como as 3 varia´veis de refereˆncia; isto e´, aquelas que sera˜o usadas para
adimensionalizar as restantes, f , µ e D. H, v e ρ foram escolhidas porque
entre si na˜o constituem um grupo adimensional e no seu conjunto recorrem
a`s 3 dimenso˜es M, L e T. Para uma explicac¸a˜o mais pormenorizada sobre
esta questa˜o e outras suscitadas por este problema, recomenda-se a leitura
da secc¸a˜o 7.4 de Munson et al. [2010].
Π1 : adimensionalizac¸a˜o da frequeˆncia de desprendimento de vo´rtices ( f )
Para adimensionalizar a frequeˆncia f , porque ela depende de T−1 ha´
que recorrer a` velocidade v, porque essa e´ a u´nica varia´vel de entre as
3 de refereˆncia que depende da dimensa˜o tempo T[
f
v
]
=
T−1
LT−1
= L−1
mas a divisa˜o de f por v eliminou a dependeˆncia de T, mas criou uma
varia´vel que ainda na˜o e´ adimensional e depende agora da dimensa˜o
comprimento, L. De entre as outras varia´veis, H ou ρ, a que podemos
recorrer, e´ H que deve ser usada (ver nota abaixo),[
f
v
]
[H] = (L−1)(L) = 1
e o nu´mero adimensional Π1 e´ definido por:
Π1 =
f H
v
(1.106)
NOTA 2
1. A combinac¸a˜o de varia´veis que contitui o nu´mero adi-
mensional Π1 obtido acima (1.106) e´ designada nu´mero de
Strouhal. Para uma explicac¸a˜o mais detalhada sobre este
nu´mero adimensional, incluindo o seu significado fı´sico
recomenda-se a leitura da secc¸a˜o 7.6 de Munson et al. [2010],
pa´gina 349.
2. A utilizac¸a˜o de ρ em vez de H poderia eliminar a de-
pendeˆncia de L, mas criaria uma dependeˆncia em M, que
na˜o poderia ser eliminada[
f
v
]
[ρ] = (L−1)(ML−3)−1/3 = M−1/3
porque nenhuma das outras 3 varia´veis de refereˆncia de-
pende de M.
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Problema 100
Π2 : adimensionalizac¸a˜o da viscosidade dinaˆmica (µ)
Para adimensionalizar µ e eliminar a sua dependeˆncia de M, divida-
se µ por ρ[
µ
ρ
]
=
ML−1T−1
ML−3
= L2T−1
e para eliminar a dependeˆncia de µ/ρ em T, divida-se por v[
µ
ρ
][
1
v
]
= L2T−1
1
LT−1
= L
cuja dependeˆncia de L pode ser eliminada, atrave´s da divisa˜o por H[
µ
ρv
][
1
H
]
= L
1
L
= 1
e
Π2 =
µ
ρvH
(1.107)
NOTA 3
1. Porque o nu´mero adimensional Π2 obtido acima (1.107) e´ o
inverso do nu´mero de Reynolds, porventura o nu´mero adi-
mensional mais comum em Mecaˆnica dos Fluidos, redefini-
mos o Π2
Π2 =
ρvH
µ
(1.108)
2. Esta operac¸a˜o em nada afecta a independeˆncia que e´ exigida
entre os nu´meros adimensionais determinados.
3. Para uma explicac¸a˜o mais detalhada sobre o nu´mero de Rey-
nolds, incluindo o seu significado fı´sico recomenda-se a lei-
tura da secc¸a˜o 7.6 de Munson et al. [2010], pa´gina 348.
Π3 : adimensionalizac¸a˜o da altura da secc¸a˜o (D)
A u´ltima varia´vel a adimensionalizar e´ D, que depende unicamente
da dimensa˜o L e por isso nos leva facilmente a concluir que
Π3 =
D
H
(1.109)
A relac¸a˜o adimensional equivalente a (1.105) e´ dada por
Π1 = Φ(Π2,Π3) ⇐⇒ f Hv = Φ
(
ρvH
µ
,
D
H
)
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Problema 100
ParteII: Semelhanc¸a Para assegurar a semelhanc¸a entre modelo e caso
real, os nu´meros adimensionais de modelo e caso real teˆm que ser iguais.
Como e´ dada a dimensa˜o Dm e e´ pedida a dimensa˜o Hm e so´ o termo Π3 e´
que relaciona essas duas varia´veis, da imposic¸a˜o da condic¸a˜o de semelhanc¸a
entre os Π3 do modelo e do caso real
Π3m =Π3r ⇐⇒ DmHm =
Dr
Hr
resulta o valor de Hm
Hm =
DmHr
Dr
=
0.02 · 0.3
0.1
= 0,06m
A condic¸a˜o de semelhanc¸a dos termos Π2
Π2m =Π2r ⇐⇒ ρmvmHm
µm
=
ρrvr Hr
µr
estabelece a velocidade a` qual o ensaio deve ser realizado
vm =
ρrvr Hr
µr
· µm
ρmHm
=
1.2 · 50 · 0.3
1.8× 10−5 ·
1,01× 10−3
103 · 0.06 = 16,83kmh
−1
O ensaio deve ser realizado a` velocidade de 16,83 km h−1, com um mo-
delo de altura H igual a 0,06 m
Alı´nea b)
Como o termo Π1 e´ o u´nico que tem a varia´vel frequeˆncia, a partir da
condic¸a˜o de semelhanc¸a do Π1
Π1m =Π1r ⇐⇒ fmHmvm =
fr Hr
vr
conhecida a frequeˆncia medida em laborato´rio, fm, e´ possı´vel conhecer a
frequeˆncia do caso real
fr =
fmHm
vm
· vr
Hr
=
49.9 · 0.06
16.83
· 50
0.3
= 29,6Hz
Nestas condic¸o˜es, e´ esperada uma frequeˆncia de emissa˜o de vo´rtices de
29,6 Hz, no caso real.
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Problema 100
1.18.2 Resoluc¸a˜o em Matlab
% Problema 100
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Dados−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
rho m = 1 0 ˆ 3 ; % massa vo lumica da agua
mu m=1.01∗10ˆ ( −3) ; % v i s c o s i d a d e da agua
rho r = 1 . 2 ; % massa vo lumica do ar
mu r =1 .8∗10ˆ ( −5) ; % v i s c o s i d a d e do ar
vr =50; % v e l o c i d a d e ”50 km / h”
Hr = 0 . 3 ; Dr = 0 . 1 ; % d i m e n s o e s r e a i s
Dm= 0 . 0 2 ; % dimensao do modelo
fm = 4 9 . 9 ; % f r e q u e n c i a do modelo
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
% R e s o l u c a o
% a l i n e a a
Hm=Dm∗Hr/Dr
vm=rho r ∗vr∗Hr/mu r∗mu m/( rho m∗Hm)
%−− a l i n e a b −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
f r =fm∗Hm/vm∗vr/Hr
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Problema 104
1.19 Problema 104
Pretende-se avaliar o caudal ma´ssico que se escoa por gravidade de um
reservato´rio de altura h, ao longo de um tubo vertical de diaˆmetro D e
comprimento H >> h. O fluido e´ um l´ıquido de propriedades ρ e µ.
a) Identifique as grandezas que podera˜o influenciar o valor do caudal
escoado e apresente a relac¸a˜o correspondente sob a forma adimensional,
utilizando o teorema de Buckingham.
b) O problema concreto e´ estudar um escoamento de o´leo
ρ = 850kg m−3,µ = 0,01kg m−1 s−1
ao longo de um tubo com H = 50m e D = 5cm num modelo reduzido
utilizando como fluido a a´gua
ρ = 1000kg m−3 , µ = 0,001kg m−1 s−1 .
Qual a reduc¸a˜o de escala a adoptar?
c) O caudal de a´gua de 1 litro por cada 10 minutos foi o resultado
das medic¸o˜es em laborato´rio, no modelo reduzido. Determine o caudal no
modelo real.
1.19.1 Resoluc¸a˜o
Alı´nea a)
As varia´veis relevantes para a ana´lise sa˜o m˙, D, H,ρ, g,µ, cujas dimenso˜es
sa˜o:
• [m˙]−MT−1
• [D]− L
• [H]− L
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Problema 104
• [ρ]−ML−3
• [g]− LT−2
• [µ]−ML−1T−1
Temos uma relac¸a˜o entre 6 varia´veis (k = 6), que recorrem a treˆs di-
menso˜es de refereˆncia (r = 3), e de acordo com o Teorema de Buckingham
k− r = 6− 3 = 3
e´ equivalente a uma outra relac¸a˜o entre treˆs varia´veis, grupos adimensio-
nais, Π.
As treˆs varia´veis escolhidas para adimensionalizar as restantes sa˜o: ρ,
µ e D.
Π1: adimensionaliac¸a˜o do caudal, m˙, varia´vel principal
Usando as varia´veis ρ, µ e D, a adimensionalizac¸a˜o de m˙ sera´
Π1 = m˙ρaµbDc
que em termos adimensionais e´
M0L0T0 = (MT−1)(ML−3)a(ML−1T−1)b(L)c
em que a determinac¸a˜o dos expoentes a, b e c se efectua a partir da
resoluc¸a˜o do sistema de treˆs equac¸o˜es
M :
L :
T :

1+ a + b = 0
−3a− b + c = 0
−1− b = 0
⇒

a = 0
b = −1
c = −1
e Π1 e´ dado por
Π1 =
m˙
µD
(1.110)
Π2: adimensionalizac¸a˜o da acelerac¸a˜o da gravidade, g
Π2 = gρaµbDc
que em termos adimensionais e´
M0L0T0 = (LT−2)(ML−3)a(ML−1T−1)b(L)c
donde resulta o sistema de treˆs equac¸o˜es
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Problema 104
M :
L :
T :

a + b = 0
1− 3a− b + c = 0
−2− b = 0
⇒

a = 2
b = −2
c = 3
que permite definir
Π2 =
gρ2D3
µ2
(1.111)
Π3: adimensionalizac¸a˜o do comprimento do tubo, H
Π3 = HρaµbDc
que em termos adimensionais e´
M0L0T0 = (L)(ML−3)a(ML−1T−1)b(L)c
e o sistema de treˆs equac¸o˜es e´
M :
L :
T :

a + b = 0
1− 3a− b + c = 0
b = 0
⇒

a = 0
b = 0
c = −1
Π3 =
H
D
(1.112)
A soluc¸a˜o adimensional e´ dada por:
Π1 = φ(Π2,Π3)⇔
(
m˙
µD
)
= φ
(
gρ2D3
µ2
,
H
D
)
Alı´nea b)
O Π que pode resolver a questa˜o e´ o Π2. Sabemos que o seu valor tem que
ser igual no modelo e no caso real, quer se use o´leo ou a´gua, assim:
Π2r = Π2m(
gρ2D3
µ2
)
m
=
(
gρ2D3
µ2
)
r
Dm =
[(
gρ2D3
µ2
)
r
(
µ2
gρ2
)
m
] 1
3
Dm =
[(
ρ
µ
)
r
(
µ
ρ
)
m
] 2
3
D
Dm =
(
850
0,01
0,001
1000
) 2
3
× 5 = 0,967cm
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Problema 104
A reduc¸a˜o de escala e´ Dr/Dm = 5,17.
O comprimento do tubo no modelo reduzido sera´:
Π3m = Π3r(
H
D
)
m
=
(
H
D
)
r
Hm = Dm
(
H
D
)
r
Hm = Hr
Dm
Dr
= 50
1
5,17
= 9,67m
Alı´nea c)
Uma vez assegurada a igualdade dos Π2 e Π3, o Π1 no modelo e no caso
real sera˜o iguais:
Π1r = Π1m(
m˙
µD
)
r
=
(
m˙
µD
)
m
m˙r =
(µD)r
(µD)m
m˙m
m˙r =
0.01× 5
0.001× 0.967 m˙m
m˙r = 51.73 m˙m
O caudal no caso real sera´ 51,73 litros em cada 10 minutos.
Note-se que a relac¸a˜o geome´trica entre os diaˆmetros e´ diferente, 10×
inferior a` relac¸a˜o entre caudais.
Sugesta˜o para trabalho futuro
1. Se as varia´veis de refereˆncia forem ρ, g e D quais os nu´meros adimen-
sionais?
2. Com base nesses nu´meros adimensionais, qual a reduc¸a˜o de escala a
adoptar?
3. Comente o resultado obtido na alı´nea anterior e compare-o com o
obtido na resoluc¸a˜o.
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Problema 104
1.19.2 Resoluc¸a˜o em Matlab
% PROBLEMA 104
% Dados
g = 9 . 8 1 ; % a c e l e r a c a o da g r a v i d a d e
H r =50; % m
D r= 5 ; % cm
rho ag =1000; rh o o l =850; % kg∗mˆ−3
mu ag = 0 . 0 0 1 ; mu ol = 0 . 0 1 ; % kg∗mˆ−1∗ s ˆ−1
m m = 1 . 0 ;% 1 l i t r o / 1 0 min
%
%C a´ l c u l o do d i aˆ m e t r o do tubo no mode lo
Scale D = ( r h o o l/mu ol∗mu ag/rho ag ) ˆ ( 2 / 3 )
D m= Scale D∗D r
D r a t i o=D r/D m
%C a´ l c u l o da a l t u r a do tubo no mode lo
H m= H r/D r∗D m
H rat io=H r/H m
%C a´ l c u l o do c a u d a l no c a s o r e a l
Scale m = ( mu ol∗D r )/ ( mu ag∗D m)
m r= Scale m∗m m
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Problema 112
1.20 Problema 112
O aumento de pressa˜o, ∆p = p2 − p1, atrave´s da expansa˜o su´bita re-
presentada na figura
e pela qual escoa um l´ıquido pode ser expresso como: ∆p =
f (A1, A2,ρ,v1) onde A1 e A2 sa˜o as a´reas das secc¸o˜es de passagem a
montante e a jusante, ρ e´ a massa volu´mica do fluido e v1 e´ a velocidade
a montante.
Alguns dados experimentais obtidos com A2 = 0,11613m, v1 =
1,524ms−1 e utilizando a´gua (ρ = 1000kg m−3) sa˜o dados na seguinte ta-
bela:
A1 (m2) 0,00929 0,02323 0,03437 0,04831 0,05667
∆p (Pa) 155,610 375,858 493,164 555,408 588,924
a) Representegraficamente estes dados experimentais usando
paraˆmetros adimensionais adequados.
b) Para uma expansa˜o su´bita com A1 = 0,02323m e A2 = 0,06637m,
percorrida por um fluido (ρ = 1115kg m−3) com velocidade v1 =
1,143ms−1, preveja o valor de ∆p correspondente.
1.20.1 Resoluc¸a˜o
Alı´nea a)
As varia´veis relevantes, tal como resulta da leitura do enunciado, sa˜o∆p, A1, A2,ρ,
e v1, cujas dimenso˜es ba´sicas sa˜o:
• [∆p] = F/A = MLT−2L−2 = ML−1T−2
• [A1] = L2
• [A2] = L2
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Problema 112
• [v1] = LT−1
• [ρ] = ML−3
Temos uma relac¸a˜o entre 5 varia´veis (k = 5), que recorrem a treˆs di-
menso˜es de refereˆncia (r = 3), e de acordo com o Teorema de Buckingham
k− r = 5− 3 = 2
e´ equivalente a uma outra relac¸a˜o entre duas varia´veis, grupos adimensio-
nais, Π.
Usando as varia´veis ρ, A1 e v1, a adimensionalizac¸a˜o de ∆p sera´
Π1 = ∆pρa Ab1 v
c
1
que em termos adimensionais e´
M0L0T0 = (ML−1T−2)(ML−3)a(L2)b(LT−1)c
em que a determinac¸a˜o dos expoentes a, b e c se efectua a partir da resoluc¸a˜o
do sistema de treˆs equac¸o˜es
M :
L :
T :

1+ a = 0
−1− 3a + 2b + c = 0
−2− c = 0
⇒

a = −1
b = 0
c = −2
e Π1 e´ dado por
Π1 =
∆P
ρv21
(1.113)
combinac¸a˜o de varia´veis, designada de nu´mero de Euler.
De entre as varia´veis ainda na˜o utilizadas, apenas resta A2, donde, re-
petindo o procedimento acima,
Π2 = A2 ρa Ab1 v
c
1
que em termos adimensionais e´
M0L0T0 = (L2)(ML−3)a(L2)b(LT−1)c
M :
L :
T :

a = 0
2− 3a + 2b + c = 0
−c = 0
⇒

a = 0
b = −1
c = 0
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Problema 112
e Π2 sera´:
Π2 =
A2
A1
(1.114)
Note-se que a resoluc¸a˜o deste sistema era desnecessa´ria, porque da simples
observac¸a˜o das varia´veis disponı´veis conclui-se que para adimensionalizar
A2, bastaria dividir A2 por A1.
A representac¸a˜o da Tabela 1.1 em varia´veis adimensionais Π1 e Π2 na
forma tabular ou gra´fica resulta nas Tabela 1.1 e Figura 1.2.
Π2 = A2/A1 12,5 5 3,38 2,4 2,05
Π1 = ∆p/ρv21 [×10−2] 6,7 16,18 21,23 23,91 25,36
Tabela 1.1: Dados experimentais em varia´veis adimensionais Π1 e Π2
Figura 1.2: Dados experimentais ttt em varia´veis adimensionais Π1 e Π2
Alı´nea b)
Para uma nova expansa˜o su´bita com as a´reas A1 = 0,02323m e A2 = 0,06637m,
o nu´mero adimensional Π2 sera´
A2
A1
=
0,06637
0,02323
= 2,86
a que, pelo gra´fico, corresponde o valor de Π1 =
∆p
ρv21
≈ 22,5 × 10−2 que
resolvido em ordem a ∆p se obte´m:
∆p = 22,5× 10−2 ρv21
= 22,5× 10−2 × 1115× 1,1432
= 327,75Pa
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 68
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Capı´tulo 2
Exames
69
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CAPI´TULO 2. EXAMES
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 70
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Exame de 18 de Janeiro de 2011
2.1 Exame de 18 de Janeiro de 2011
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Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 71
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Exame de 18 de Janeiro de 2011
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Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 72
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Exame de 18 de Janeiro de 2011
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Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 73
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Exame de 18 de Janeiro de 2011
2.1.1 Problema 1
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 74
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Exame de 18 de Janeiro de 2011
Alı´nea a)
O ensaio experimental consiste na medic¸a˜o da altura de a´gua no reser-
vato´rio que mante´m na horizontal o brac¸o L. Este brac¸o tem suspenso numa
das suas extremidades massas de valores diversos. Sa˜o registadas sequeˆn-
cias de valores (pares) massa suspensa versus altura da superfı´cie vertical
submersa.
O objectivo e´ constatar o aumento da forc¸a de pressa˜o na face BD com
o nı´vel da a´gua no reservato´rio, e a parte submersa de BD aumenta. O ob-
jectivo e´ conhecida esta forc¸a, determinar experimentalmente o seu ponto
de aplicac¸a˜o.
Devido a` forma circular do corpo, com o centro no pivot (eixo em torno
do qual o brac¸o L roda), as forc¸as de pressa˜o nas superfı´cies curvas na˜o
contribuem para o equilı´brio. A influeˆncia do peso do corpo foi elimi-
nada atrave´s do equilı´brio da barra L (antes de iniciar o ensaio e com o
reservato´rio vazio, sem a´gua) usando o contrapeso na extremidade oposta
aquela onde as massas foram suspensas.
Alı´nea b)
O brac¸o L mante´m-se na posic¸a˜o horizontal, em equilı´brio, se o momento
das forc¸as em torno do seu eixo de rotac¸a˜o (pivot) for zero:
Peso L = Fcg h′
porque Fcg = pcg A,
mg L = pcg A h′
e porque pcg = ρghcg,
mg L = ρ g hcg A h′ .
O resultado final e´:
m L = ρhcg A h′ (2.1)
Alı´nea c)
Resolvendo a equac¸a˜o (2.1) em ordem a h′ vem:
h′ =
m L
ρhcg A
(2.2)
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 75
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Exame de 18 de Janeiro de 2011
Aqui ha´ que considerar duas situac¸o˜es, que dependem da superfı´cie es-
tar parcial ou totalmente submersa. No caso de parcialmente submersa,
quando d < D:
A = Bd (2.3)
hcg = d/2 (2.4)
e apo´s substituic¸a˜o de (2.3) e (2.4) em (2.2) sera´:
h′ =
2m L
ρBd2
se d < D (2.5)
No caso de totalmente submersa, quando d > D:
A = BD (2.6)
hcg = d− D/2 (2.7)
e apo´s substituic¸a˜o de (2.6) e (2.7) em (2.2) sera´:
h′ =
m L
ρBD(d− D/2) se d > D (2.8)
As equac¸o˜es (2.5) e (2.8) permitem assim a determinac¸a˜o de h′ (e do
centro de pressa˜o) por via experimental, e para efeito de distinguir da
alı´nea seguinte, passamos a designar o h′ determinado por qualquer destas
equac¸o˜es por h′exp.
NOTA 1
1. Como seria de esperar, quando d = D as equac¸o˜es (2.5) e (2.8) sa˜o
ideˆnticas.
2. O ponto de aplicac¸a˜o da forc¸a Fcg e´ o designado centro de
presso˜es; aqui em func¸a˜o da distaˆncia ao eixo de rotac¸a˜o do brac¸o
L, em vez de em relac¸a˜o ao centro de gravidade da superfı´cie sub-
mersa.
Alı´nea d)
A posic¸a˜o ycp do centro de presso˜es da forc¸a na superfı´cie vertical, em
relac¸a˜o ao centro de gravidade, e´ dada por:
ycp = −ρ gsinθ Ixxpcg A
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 76
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Exame de 18 de Janeiro de 2011
N. Massa (g) d (mm) h′exp (mm) h′teo (mm)
1 103 65 178,78 / eq. (2.5) -
2 151 80 173,02 / eq. (2.5) -
3 207 95 168,21 / eq. (2.5) -
4 225 100 165,00 / eq. (2.5) -
5 250 105 166,67 / eq. (2.5) -
6 300 118 161,76 / eq. (2.8) 162,25 / eq. (2.10)
7 340 128 159,83 / eq. (2.8) 160,68 / eq. (2.10)
porque1
Ixx =
BD3
12
e
pcg = ρg(d− D/2)
ycp = − ρ gsinθBD
3/12
ρg(d− D/2)BD
ycp = − sinθD
2
12(d− D/2)
porque θ = 900 e sinθ = 1,
ycp = − D
2
12(d− D/2) (2.9)
porque
h′ = hcg − ycp
e
hcg = H − D/2
h′ = H − D/2+ D
2
12(d− D/2) (2.10)
Ao h′ determinado por esta equac¸a˜o, passamos a designar por h′teo, pelo
mesmo motivo que designa´mos h′exp o h′ na equac¸a˜o (2.8).
1Veja-se por exemplo, a figura 2.18a de Munson et al. [2010].
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 77
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Exame de 18 de Janeiro de 2011
Resoluc¸a˜o em Matlab
%% Ano l e c t i v o 2010/2011
%% Exame de 18 de J a n e i r o de 2011
%% Problema 1
%%
% DADOS:
% Dimensoes em ”mm”
D=100; B=75; % Al tu ra e l a r g u r a da s u p e r f i c i e v e r t i c a l
H=200; L=275; % Comprimento do b r a c o e d i s t a n c i a a s u p e r f i c i e
% Conversao de ”mm” em ”m”
D=D/1000; B=B/1000; H=H/1000; L=L/1000;
rho =1000; % kg /mˆ3 massa vo lumica da agua
g = 9 . 8 1 ; % m/ s ˆ2 a c e l e r a c¸ a˜ o da g r a v i d a d e
% Dados e x p e r i m e n t a i s ( p a r c i a l m e n t e submerso ) %%% d < D %%%
m=[49 103 151 207 225] ; % massas
d=[44 65 80 95 100] ; % a l t u r a da s u p e r f i c i e submersa
m=m/1000 ; % c o n v e r s a o de ” gr ” em ” kg ”
d=d/1000 ; % c o n v e r s a o de ”mm” em ”m”
%%R e s o l u c¸ a˜ o
Area= B∗d ; % a r e a da s u p e r f i c i e v e r t i c a l submersa
h cg=d/2; % p r o f u n d i d a d e do c e n t r o de g r a v i d a d e
F cg=rho∗g∗Area .∗ h cg % f o r c a na s u p e r f i c i e submersa
h l l e x p =g∗L∗m./ F cg ;
h l l t e o r =H−d/3 ;
h l l e x p = h l l e x p ∗1000 % c o n v e r s a o de ”m” em ”mm”
h l l t e o r = h l l t e o r ∗1000 % c o n v e r s a o de ”m” em ”mm”
% Dados e x p e r i m e n t a i s ( t o t a l m e n t e submerso ) %%% d > D %%%
m=[225 250 300 340 400 475 555] ;
d=[100 105 118 128 143 160 180] ;
m=m/1000 ; % c o n v e r s a o de ” gr ” em ” kg ”
d=d/1000 ; % c o n v e r s a o de ”mm” em ”m”
%%R e s o l u c¸ a˜ o
Area= B∗D; % a r e a da s u p e r f i c i e v e r t i c a l submersa
h cg=d−D/2; % p r o f u n d i d a d e do c e n t r o de g r a v i d a d e
F cg=rho∗g∗Area .∗ h cg % f o r c a na s u p e r f i c i e submersa
h l l e x p =g∗L∗m./ F cg ;
h l l t e o r =H−D/2+Dˆ 2 . / ( 1 2∗ ( d−D/2 ) ) ;
h l l e x p = h l l e x p ∗1000 % c o n v e r s a o de ”m” em ”mm”
h l l t e o r = h l l t e o r ∗1000 % c o n v e r s a o de ”m” em ”mm”
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Exame de 18 de Janeiro de 2011
2.1.2 Problema 2
Alı´nea a)
Considerando o Teorema de Transporte de Reynolds,
DBSYS
Dt
=
∂
∂t
∫
CV
ρbdV +
∫
CS
ρb~V ·~ndA,
aplicado a` conservac¸a˜o de massa: B = m, b = 1,
• DBSYS
Dt
=
Dm
Dt
= 0
• regime permanente: ∂
∂t
= 0.
Ou seja:∫
CS
ρ~V ·~ndA = 0
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Exame de 18 de Janeiro de 2011
Considerando as secc¸o˜es 1, 2 e 3 mono-dimensionais,∫
CS
ρ~V ·~ndA = 0⇔
ρ(~V1 · ~n1)A1 + ρ(~V2 · ~n2)A2 + ρ(~V3 · ~n3)A3 = 0⇔
ρ(−V1)A1 + ρ(−V2)A2 + ρ(V3)A3 = 0⇔
ρV3A3 = ρV1A1 + ρV2A2⇔
m˙3 = m˙1 + m˙2⇔
m˙3 = 1000 · 4 · pi · (0,10)
2
4
+ 1000 · 6 · pi · (0,12)
2
4
⇔
m˙3 = 31,42+ 67,86⇔ m˙3 = 99,27kgs−1
Alı´nea b)
Considerando novamente o Teorema de Transporte de Reynolds,
D~BSYS
Dt
=
∂
∂t
∫
CV
ρbdV +
∫
CS
ρb~V ·~ndA
aplicado a` conservac¸a˜o de quantidade de movimento: ~B = m~V,~b = ~V,
• D
~BSYS
Dt
=
Dm~V
Dt
= ∑~Fext (Segunda Lei de Newton).
• Regime permanente: ∂
∂t
= 0.
Desprezando o peso da a´gua contida no interior do volume de controlo e
considerando que a pressa˜o atmosfe´rica actua sobre toda a superfı´cie de
controlo, ∑~Fext =~0. Ou seja:∫
CS
ρ~V ~V ·~ndA = 0.
Considerando, primeiro, a componente segundo o eixo dos xx e que as
secc¸o˜es 1, 2 e 3 mono-dimensionais,∫
CS
ρVx ~V ·~ndA = 0⇔ ρV2(~V2 · ~n2)A2 + ρV3x(~V3 · ~n3)A3 = 0
⇔ ρV2(−V2)A2 + ρ(V3 cosθ)(V3)A3 = 0
⇔ (ρV3A3)V3 cosθ = (ρV2A2)V2
⇔ m˙3V3 cosθ = m˙2V2
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Exame de 18 de Janeiro de 2011
Considerando, agora, a componente segundo o eixo dosyy,∫
CS
ρVy ~V ·~ndA = 0⇔ ρV1~V1 · ~n1A1 + ρV3y ~V3 · ~n3A3 = 0⇔
⇔ ρV1(−V1)A1 + ρ(V3 sinθ)(V3)A3 = 0⇔
⇔ (ρV3A3)V3 sinθ = (ρV1A1)V1⇔
⇔ m˙3V3 sinθ = m˙1V1
Fazendo o quociente das duas componentes,
m˙3V3 sinθ
m˙3V3 cosθ
=
m˙1V1
m˙2V2
⇔ sinθ
cosθ
=
m˙1V1
m˙2V2
⇔ tanθ = m˙1V1
m˙2V2
⇔ tanθ = 31,42 · 4
67,86 · 6
⇔ tanθ = 0,309
⇔ θ = 17,15◦
Considerando novamente uma das expresso˜es componentes (por exemplo,
yy),
m˙3V3 sinθ = m˙1V1⇔ V3 = m˙1V1m˙3 sinθ
⇔ V3 = 31,42 · 499,27 · sin17,15
⇔ V3 = 4,29ms−1
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Exame de 18 de Janeiro de 2011
Alı´nea c)
Considerando a equac¸a˜o da energia, obtida do Teorema de Transporte de
Reynolds,
∂
∂t
∫
CV
ρedV +
∫
CS
ρ
(
u +
p
ρ
+
V2
2
+ gz
)
~V ·~ndA = Q˙net in + W˙shaft net in
• Regime permanente: ∂
∂t
= 0.
• A pressa˜o atmosfe´rica actua em toda a superfı´cie de controlo, os ter-
mos devidos a` pressa˜o cancelam-se.
• Dado que todos os pontos esta˜o no mesmo plano horizontal, na˜o ha´
variac¸o˜es de energia potencial.
• Considerando a colisa˜o dos jactos adiaba´tica (sem transfereˆncia de
calor), Q˙net in = 0.
• Na˜o ha´ qualquer transfereˆncia de trabalho “no veio” atrave´s da su-
perfı´cie de controlo, W˙shaft net in = 0.
Assim sendo,∫
CS
ρ
(
u +
V2
2
)
~V ·~ndA = 0
de onde se conclui que qualquer perda de energia cine´tica que ocorra na
colisa˜o dos jactos sera´ tranformada em energia interna. Este processo e´ em
tudo ideˆntico ao que ocorre com o atrito viscoso de um fluido sobre uma
parede so´lida, que causa um aumento da energia interna (i.e. temperatura)
do fluido. Assim sendo, ha´ que determinar a variac¸a˜o de energia interna
que ocorre na colisa˜o dos dois jactos:∫
CS
ρ
(
u +
V2
2
)
~V ·~ndA = 0
que expandindo
ρ
(
u1 +
V21
2
)
(~V1 · ~n1)A1+
ρ
(
u2 +
V22
2
)
(~V2 · ~n2)A2+ρ
(
u3 +
V23
2
)
(~V3 · ~n3)A3 = 0
como
ρA1~V1 · ~n1 = −m˙1
ρA2~V2 · ~n2 = −m˙2
ρA3~V3 · ~n3 = +m˙3 = m˙1 + m˙2
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 82
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Exame de 18 de Janeiro de 2011
obtemos
−m˙1
(
u1 +
V21
2
)
− m˙2
(
u2 +
V22
2
)
+ (m˙1 + m˙2)
(
u3 +
V23
2
)
= 0
que reagrupando, permite-nos obter a taxa de variac¸a˜o da energia interna,
m˙1 (u3 − u1) + m˙2 (u3 − u2) = m˙1
(
V21
2
− V
2
3
2
)
+ m˙2
(
V22
2
− V
2
3
2
)
= 31.42
(
42
2
− 4.29
2
2
)
+ 67.86
(
62
2
− 4.29
2
2
)
= 558,33W
Resoluc¸a˜o em Matlab
%% Ano l e c t i v o 2010/2011
%% Exame de 18 de J a n e i r o de 2011
%% Problema 2
% DADOS
v1 =4.0 ; % m/ s v e l o c i d a d e em 1
v2 =6.0 ; % m/ s v e l o c i d a d e em 2
D1= 0 . 1 ; % m d i a m e t r o em 1
D2= 0 . 1 2 ; % m d i a m e t r o em 2
rho =1000; % kg /mˆ3 massa vo lumica da agua
%%R e s o l u c¸ a˜ o
% a l i n e a a )
A1=pi∗D1ˆ 2 / 4 ; A2=pi∗D2ˆ 2 / 4 ;
m1=rho∗v1∗A1
m2=rho∗v2∗A2
m3=m1+m2
% a l i n e a b )
VelArea= ( v1 ˆ2∗A1) / ( v2 ˆ2∗A2)
t h e t a r a d = atan ( ( v1 ˆ2∗A1) / ( v2 ˆ2∗A2 ) )
theta deg= t h e t a r a d ∗180/ pi
v3=v2 ˆ2∗D2ˆ 2/ ( cos ( t h e t a r a d ) ∗ ( v1∗D1ˆ2+ v2∗D2 ˆ 2 ) )
% a l i n e a c )
d i s s =rho∗pi /8∗(D1ˆ2∗v1 ∗ ( v3ˆ2−v1 ˆ2 )+D2ˆ2∗v2 ∗ ( v3ˆ2−v2 ˆ 2 ) )
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 83
VE
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6
Exame de 18 de Janeiro de 2011
2.1.3 Problema 3
Alı´nea a)
Podemos determinar as dimenso˜es das varia´veis relevantes
[∆pl ] = ML−2T−2
[D] = L
[µ] = ML−1T−1
[Q] = L3T−1
Pelo teorema deΠ de Buckingham, concluı´mos que apenas existe um paraˆ-
metro adimensional. Note-se que no enunciado e´ referido de modo bem
claro que ∆pl e´ uma diferenc¸a de pressa˜o por unidade de comprimento.
Escolhemos como varia´veis de refereˆncia D, Q e µ e varia´vel depen-
dente ∆pl ,
[∆pl ] [D]
a [µ]b [Q]c = 1(
ML−2T−2
)
La
(
ML−1T−1
)b(
L3T−1
)c
= 1 (2.11)
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 84
VE
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A˜O
6
Exame de 18 de Janeiro de 2011
que origina o sistema de equac¸o˜es,
M :
T :
L :

1+ b = 0
−2+ a− b + 3c = 0
−2− b− c = 0
⇒

a = −1
b = −1
c = 4
O paraˆmetro adimensional e´,
Π1 =
∆pl D4
µQ
.
Note-se que como apenas ha´ um u´nico paraˆmetro adimensional indepen-
dente, podemos concluir que
∆pl D4
µQ
= const.
NOTA 2
Um erro frequente nos exames foi identificar esta constante com o va-
lor 1 (talvez por ma´ interpretac¸a˜o da equac¸a˜o 2.11). Conforme vamos
verificar na alı´nea b) o valor desta constante ronda os 40.728.
Alı´nea b)
Reproduzindo a tabela em dados dimensionais, parte integrante do enun-
ciado, em termos adimensionais podemos constatar de imediato uma ano-
malia no 5o ponto.
N. Q[m3s−1] ∆p [Nm−2] ∆pl [Nm−3] Π1
1 3,60× 10−6 1,10× 104 3,67× 104 40,74
2 4,91× 10−6 1,50× 104 5,00× 104 40,73
3 6,32× 10−6 1,93× 104 6,43× 104 40,71
4 7,89× 10−6 2,41× 104 8,03× 104 40,73
5 8,50× 10−6 2,45× 104 8,17× 104 38,43
6 9,79× 10−6 2,99× 104 9,97× 104 40,72
Alı´nea c)
Para um tubo com D = 3mm, Q = 2,0× 10−6 ms−3 e µ = 0,006kgm−1 s−1
a queda de pressa˜o por unidade de comprimento devera´ ser dada por,
∆pl = 40,728 · 2× 10
−6 · 0,006
0,0034
= 6,034× 103 Nm−3
Note-se que usamos para valor de Π1 o valor me´dio das medic¸o˜es aceites
(excluindo a quinta).
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 85
VE
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Exame de 18 de Janeiro de 2011
Resoluc¸a˜o em Matlab
%% Ano l e c t i v o 2010/2011
%% Exame de 18 de J a n e i r o de 2011
%% Problema 3
%%
% DADOS
L=300 ; % mmm comprimento do tubo
D=2 ; % mm Diametro do tubo
visco = 0 . 0 0 4 ; % N s /mˆ2 v i s c o s i d a d e d inamica do f l u i d o
L=L/1000; D=D/1000; % C o n v e r t e ”mm” em ”m”
% V a l o r e s e x p e r i m e n t a i s
Q=[3 .60∗10ˆ ( −6) 4 .91∗10ˆ (−6) 6 .32∗10ˆ (−6) 7 .89∗10ˆ (−6) 8 .50∗10ˆ (−6) 9 .79∗10ˆ ( −6 ) ] % mˆ 3 / s
Dp= [ 1 . 1 0∗1 0 ˆ 4 1 . 5 0∗1 0 ˆ 4 1 . 9 3∗1 0 ˆ 4 2 . 4 1∗1 0 ˆ 4 2 . 4 5∗1 0 ˆ 4 2 . 9 9∗1 0 ˆ 4 ]
% N/mˆ2
%%R e s o l u c¸ a˜ o
% a l i n e a b )
P i 1 = Dp./Q.∗Dˆ4/ visco/L
% a l i n e a c )
Db= 0 . 0 0 3 ; Qb=2∗10ˆ(−6) ; v i s c o b =0.002
Dpp= P i 1 ∗Qb∗Dbˆ4/ v i s c o b/L
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 86
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Exame de 18 de Janeiro de 2011
2.1.4 Problema 4
Alı´nea a)
A equac¸a˜o de transporte de quantidade de movimento na direcc¸a˜o y:
ρ
(
∂v
∂t
+ u
∂v
∂x
+ v
∂v
∂y
+ w
∂v
∂z
)
= −∂p
∂y
+ ρgy + µ
(
∂2v
∂x2
+
∂2v
∂y2
+
∂2v
∂z2
)
• Regime permanente: ∂v/∂t = 0;
• Escoamento incompressı´vel: ρ= const.⇒ ∂u/∂x+ ∂v/∂y+ ∂w/∂z =
0;
• Escoamento bidimensional: w = 0; ∂/∂z = 0;
• Escoamento desenvolvido: u = 0.
Equac¸a˜o da continuidade:
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
= 0⇒ ∂v
∂y
= 0
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 87
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Exame de 18 de Janeiro de 2011
ρ
(
∂v
∂t
+ u
∂v
∂x
+ v
∂v
∂y
+ w
∂v
∂z
)
= −∂p
∂y
+ ρgy + µ
(
∂2v
∂x2
+
∂2v
∂y2
+
∂2v
∂z2
)
⇔
0 = −K1 − ρg + µ∂
2v
∂x2
⇔
µ
∂2v
∂x2
= K1 + ρg ⇔
∂2v
∂x2
=
K1 + ρg
µ
⇔
∂v
∂x
=
K1 + ρg
µ
· x + C1 ⇔
v =
K1 + ρg
2µ
· x2 + C1 · x + C2
Condic¸o˜es de fronteira:
• v(x = 0) = 0⇔ C2 = 0.
• v(h) = 0
v(h) = 0⇔K1 + ρg
2µ
· h2 + C1 · h = 0
C1 = −K1 + ρg2µ · h
Logo a velocidade e´ dada por,
v(x) = −K1 + ρg
2µ
· (h · x− x2).
Alı´nea b)
A tensa˜o de corte e´ dada por,
τw = µ
∂v
∂x
como,
∂v
∂x
= −K1 + ρg
2µ
· (h− 2x)
logo
τw(x) = −K1 + ρg2 (h− 2x)
que em x = h vale
τw(x) = (K1 + ρg)
h
2
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Exame de 18 de Janeiro de 2011
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Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
2.2 Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
Recurso de Mecânica dos Fluidos I 11 de Fevereiro de 2011 Ano lectivo 2010/2011 
 
 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
 3º ANO 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS I 
 Recurso – 2011.02.11 
 
 
1 (7 v) – A figura (dimensões em milímetros) representa uma das instalações 
experimentais usadas no laboratório, em que se escoava um caudal constante de água 
(ρágua = 1000 kg m-3), fixado pela regulação de válvulas. 
a) Explique o funcionamento e objectivo da experiência e identifique as técnicas de 
medição utilizadas. 
b) Durante 27,4 s foram recolhidos num balde 3,2 kg de água. Utilizando esta 
informação, determine o caudal volúmico e a velocidade em cada secção, 
preenchendo a tabela 1 (di é o diâmetro da secção). 
c) Preencha as restantes colunas da tabela 1, determinando as pressões dinâmica e 
total em função da altura da coluna de água nos tubos manométricos ligados a 
cada orifício (hi) e ao tubo de Pitot (hT). 
d) Obtenha as expressões que lhe permitem determinar a velocidade e o caudal em 
qualquer das secções, em função da altura das colunas de água hi e hT. Utilizando 
estas expressões, preencha a tabela 2 para as secções 3, 4 e 6. Compare os 
resultados com os da tabela 1, justificando eventuais discrepâncias. 
e) Sabendo que pressão no ponto 1 é de 2 bar, relativamente à atmosfera; 
e1) Determine a pressão do ar encerrado na parte superior dos tubos manométricos. 
e2) Se estes tubos fossem abertos para a atmosfera, qual seria o valor de h1? 
f) Determine qual deveria ser a pressão total nas secções 3, 4 e 6, usando as medições 
de pressão estática e a massa de água recolhida no balde (3,2 kg em 27,4 s), 
preenchendo a tabela 2. 
 
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 90
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Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
Recurso de Mecânica dos Fluidos I 11 de Fevereiro de 2011 Ano lectivo 2010/2011 
 
2 (5 v) – A figura mostra uma instalação de 
bombagem entre um lago e um reservatório 
pressurizado (pressão manométrica: 200 kPa) 
em que se pretende transferir no mínimo 4000 
litros de água em 10 minutos. A conduta que 
liga a bomba ao reservatório tem um diâmetro 
de 50 mm. 
a) Mostre que uma bomba que fornece 2,2 kW 
assegura as condições de funcionamento desejadas. 
b) Se a pressão no interior do reservatório aumentar para 300 kPa, será que a mesma 
bomba é capaz de assegurar as condições de funcionamento pretendidas? 
c) Determine as forças na direcção vertical e horizontal para suportar a curva 
assinalada, para o caso do reservatório pressurizado a 200 kPa e o caudal mínimo 
pretendido. 
 
3 (4 v) – Um fluido escoa-se no interior de um tubo, conforme figura junto. A queda de 
pressão ∆p, entre a entrada e a saída do tubo é uma função da velocidade V, do raio 
de curvatura R e do diâmetro do tubo D e da massa volúmica do fluido ρ. 
a) Efectue a análise dimensional do problema e determine o ou os números 
adimensionais Π relevantes. 
b) A tabela mostra o resultado de um conjunto de testes 
em que ρ=1100 kg/m3, R=150 mm e D=30 mm. 
Analise estes dados com 
base nas conclusões da 
alínea a) e identifique 
qualquer anomalia que 
tenha ocorrido durante a 
experiência ou na 
elaboração dos grupos 
adimensionais. 
 
4 (4 v) – Considere a expressão 
���, �� = �	 ∙ ��
� ∙ cos��� − ��� , em que � = � ��� 
que corresponde ao perfil de velocidade do escoamento 
laminar e incompressível de um fluido Newtoniano sobre 
uma parede horizontal oscilante (em y = 0). 
a) Determine uma expressão para a tensão viscosa junto da 
parede (τw). 
b) Prove que este escoamento ocorre sem gradiente de 
pressão longitudinal (∂p/∂x=0). 
 
Teste V 
(m/s) 
∆p 
(Pa) 
1 0,6 57,4 
2 0,9 117,5 
3 1,2 190,8 
4 1,6 311,2 
5 2,0 420,0 
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 91
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Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
Recurso de Mecânica dos Fluidos I 11 de Fevereiro de 2011 Ano lectivo 2010/2011 
 
 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
 3º ANO 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS I 
 Exame – 2011.01.18 
ALUNO____________________________________________________________________ 
IMPORTANTE: esta folha deve ser entregue juntamente com a sua 
resolução do exame. 
 
Nota: As pressões são relativas à pressão do ar nos tubos manométricos. 
 
 
Tabela 1 
 
3,2 kg em 27,4 s 
Secção Li 
(mm) 
di 
(mm) 
hi 
(mm) 
hT 
(mm) 
Caudal 
(m3/h) 
Ui 
(m/s) 
Pressão 
dinâmica 
(Pa) 
Pressão 
total 
(Pa) 
1 0,0 25,0 257 260 
2 60,3 13,9 230 260 
3 68,7 11,8 204 260 
4 73,2 10,7 175 260 
5 81,1 10,0 150 260 
6 141,5 25,0 245 255 
 
Tabela 2 
 
Secção hi 
(mm) 
Ui 
(m/s) 
Caudal 
(m3/h) 
Pressão 
estática 
(Pa) 
Pressão 
total 
(Pa) 
1 257 — — — — 
2 230 — — — — 
3 204 
4 175 
5 150 — — — — 
6 245 
 
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 92
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Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
2.2.1 Problema 1
Alı´nea a)
A experieˆncia consistiu na medic¸a˜o da altura da coluna de a´gua em tubos
piezome´tricos (pressa˜o esta´tica) ligados em diversos pontos na superfı´cie
de uma tubagem com um tubo de Venturi. O objectivo deste trabalho foi
constatar a variac¸a˜o da pressa˜o com a variac¸a˜o da secc¸a˜o da tubagem (a´rea
de passagem da a´gua, velocidade do fluido) e a validade do teorema de
Bernoulli.
Foram registados valores da altura da coluna de lı´quido para valores
diversos do caudal de a´gua na instalac¸a˜o. A medic¸a˜o de pressa˜o fez-se
por tomadas de pressa˜o esta´tica (orifı´cios na parede da tubagem) e uma
tomada de pressa˜o total, tubo de Pitot, tubo meta´lico que se deslocou ao
longo do eixo da tubagem. O caudal de a´gua foi medido com um balde,
onde se recolheu a a´gua durante um tempo determinado com recurso a
crono´metro. A massa de a´gua foi determinada atrave´s de uma balanc¸a
digital.
Palavras-chave: tubo de Pitot, tubo de Venturi, pressa˜o esta´tica, pressa˜o
dinaˆmica, pressa˜o total, caudal, velocidade, equac¸a˜o de Bernoulli.
Alı´nea b)
Conhecida a massa de a´gua e o tempo que demorou a recolhe-la, condic¸o˜es
do ensaio, o fluxo ma´ssico e´:
m˙exp =
massa
tempo
=
3,20
27,40
= 0,117kgs−1 , (2.12)
ou em m3/hora, tal como e´ pedido na tabela,
Qexp = m˙exp
3600
ρ
= 0,42m3 h−1 (2.13)
Este valor e´ igual para todas as secc¸o˜es, porque as medic¸o˜es de pressa˜o
so´ foram efectuadas depois de a altura da coluna de a´gua nos tubos pie-
zome´tricos ter estabilizado. Isto era uma indicac¸a˜o de que o escoamento
da a´gua ocorria em regime permanente, ou seja em condic¸o˜es de caudal
constante.
A velocidade, em m/s, em cada secc¸a˜o e´ dada por:
Ui =
Qexp
Ai
=
Qexp/3600
pi d2i /4
(2.14)
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 93
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Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
Alı´nea c)
Pressa˜o total: A pressa˜o total pTi foi medida pelo tubo de Pitot deslocado
ao longo do eixo da tubagem, e o valor registado foi aquele na coluna 5 da
Tabela 1 do enunciado, em termos de m.c.a. (metros de coluna de a´gua).
Pressa˜o dinaˆmica: A pressa˜o medida em cada um dos 6 orifı´cios na pa-
rede da tubagem, coluna 4 da Tabela 1, e´ a designada pressa˜o esta´tica, pEsti .
A pressa˜o dinaˆmica pDini e´ uma varia´vel que na˜o foi medida directamente,
mas pode ser obtida a partir da diferenc¸a entre as pressa˜o total e a pressa˜oesta´tica.
pDini = pTi − pEsti
em que o ı´ndice i se refere a qualquer das secc¸o˜es 1 a 6, onde existem to-
madas de pressa˜o esta´tica, e o ı´ndice T se refere a` tomada de pressa˜o total,
tubo de Pitot. As presso˜es pTi e pEsti sa˜o conhecidas, a partir da leitura dos
mano´metros respectivos,
pEsti = ρghEsti + par (2.15)
pTi = ρghTi + par (2.16)
em que par e´ a pressa˜o do ar encerrado na extremidade dos tubos ma-
nome´tricos. Recorrendo a`s equac¸o˜es (2.15) e (2.16) e usando como exemplo,
os valores na secc¸a˜o 3 da tubagem, a pressa˜o dinaˆmica e´,
pDin3 = ρg(hT3 − h3) = 9810 · (0,260− 0,204) = 549,4Nm−2
No caso da pressa˜o total, trata-se apenas de todos os valores na co-
luna 5, depois de convertidos em metro, serem multiplicados pela cons-
tante
ρg = 1000 · 9,81 = 9810kgm−2 s−2
como seja por exemplo, o caso da pressa˜o total na secc¸a˜o 3,
pT3 = ρghT3 = 9810 · 0,260 = 2550,6Nm−2
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 94
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Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
Tabela 2.1: Resultados das alı´neas a), b) e c)
Dados experimentais Valores calculados
Coluna 1 2 3 4 5 6 7 8
Secc¸a˜o Li di hi hT Qexp Ui pDin pTexp
(mm) (mm) (mm) (mm) (m3 h−1) (m s−1) (m3 h−1) (N m−2)
eq. (2.13) eq. (2.19) eq. (2.21)
1 0,00 25,00 257 260 0,42 0,24 29,43 2550,6
2 60,30 13,90 230 260 0,42 0,77 294,30 2550,6
3 68,70 11,80 204 260 0,42 1,07 549,36 2550,6
4 73,20 10,70 175 260 0,42 1,23 833,85 2550,6
5 81,10 10,00 150 260 0,42 1,49 1079,10 2550,6
6 141,50 25,00 245 255 0,42 0,24 98,10 2501,6
NOTA 1
1. Qualquer dos valores de pressa˜o sa˜o relativos a` pressa˜o do ar en-
cerrado no topo dos tubos manome´tricos, tal como esta´ escrito na
pa´gina 3 do enunciado.
2. A pressa˜o dinaˆmica na˜o e´ mais do que o termo de energia cine´tica
na equac¸a˜o de Bernoulli (2.17),
pDini ≡
1
2
ρU2i
e alguns alunos determinaram esta pressa˜o deste modo, a partir
do conhecimento da velocidade em cada secc¸a˜o, determinada na
alı´nea b). No entanto esta na˜o era a resoluc¸a˜o pedida. O texto na
alı´nea c), que passamos a transcrever, era muito claro:
... determinando as presso˜es dinaˆmica e total em func¸a˜o da
altura da coluna de a´gua nos tubos manome´trico ligados a
cada orifı´cio (hi) e ao tubo de Pitot (hT).
Alı´nea d)
Atrave´s da aplicac¸a˜o da equac¸a˜o de Bernoulli ao longo de uma linha de
corrente no eixo da tubagem:
pi +
1
2
ρU2i = pTi +
1
2
ρU2Ti (2.17)
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 95
VE
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6
Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
Porque a velocidade na extremidade do tubo de Pitot era zero (ponto de
estagnac¸a˜o), UTi = 0 e a equac¸a˜o (2.17) resolvida em ordem a Ui sera´:
Ui =
√
2
ρ
(pTi − pi) (2.18)
Apo´s substituic¸a˜o de (2.15) e (2.16) em (2.18) obte´m-se:
Ui =
√
2g (hTi − hi) (2.19)
e o caudal volu´mico, em m3/s, usando o princı´pio de conservac¸a˜o da massa
e porque se trata de massa volu´mica constante,
Qi = Ui pid2i /4 (2.20)
Os valores da velocidade nas secc¸o˜es 3, 4 e 6, de acordo com as equac¸o˜es
(2.18) e (2.20) sa˜o os seguintes:
U3 =
√
2g (hT − h3) =
√
2 · 9,81(0,260− 0,204) = 1,05ms−1
U4 =
√
2g (hT − h4) =
√
2 · 9,81(0,260− 0,175) = 1,29ms−1
U6 =
√
2g (hT − h6) =
√
2 · 9,81(0,255− 0,250) = 0,44ms−1
e o caudal em m3 h−1,
QVi = Uipid
2
i /4 · 3600 (2.21)
que apo´s substituic¸a˜o dos valores nume´ricos:
Q3 = U3 · pi d23/4 · 3600 = 1,048 · pi · 0,01182/4 · 3600 = 0,413m3 h−1
Q4 = U4 · pi d24/4 · 3600 = 1,291 · pi · 0,01072/4 · 3600 = 0,418m3 h−1
Q6 = U6 · pi d26/4 · 3600 = 0,443 · pi · 0,02502/4 · 3600 = 0,783m3 h−1
As discrepaˆncias entre estes valores e os obtidos na alı´nea b) (Tabela 1)
sa˜o devidos a` hipo´tese de fluido ideal (desprezar os efeitos de viscosidade)
na derivac¸a˜o das equac¸o˜es (2.19) e (2.20).
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Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
NOTA 2
1. Na proposta de resoluc¸a˜o na˜o e´ feita qualquer refereˆncia a erros
experimentais. Apesar de eles estarem presentes, sempre, qual-
quer justificac¸a˜o de diferenc¸as a erros sem que a quantificac¸a˜o
desses erros tenha sido realizada, e´ incorrecta.
2. A quantificac¸a˜o de erros experimentais faz parte de outras disci-
plinas como seja por exemplo Me´todos Experimenatais em Enge-
nharia Te´rmica (EM0053), e por isso e´ ignorada aqui.
Alı´nea e1)
A pressa˜o esta´tica num ponto no eixo2 e´ dada por (2.15), donde se pode
obter a pressa˜o do ar
par = p1 − ρghEsti (2.22)
que determinado com base nos valores medidos na secc¸a˜o 1 e´
par = 2× 105 − 1000 · 9,81 · 0,257 = 197478,83 Nm−2
NOTA 3
1. Porventura notou que quando na˜o passava a´gua na instalac¸a˜o ex-
perimental, quando a va´lvula de saı´da estava fechada, a altura da
a´gua nos tubos manome´tricos era constante. Logo que abriu a
va´lvula, o escoamento se estabeleceu e a velocidade da a´gua na
tubagem foi diferente de zero, a altura da a´gua nos tubos ma-
nome´tricos (a pressa˜o esta´tica na secc¸a˜o) diminui. Isto aconte-
ceu na proporc¸a˜o do quadrado da velocidade, mas a pressa˜o total
manteve-se.
2. Em momento algum foi preciso conhecer a pressa˜o do ar no inte-
rior dos tubos manome´tricos para determinar o caudal ou a velo-
cidade da a´gua no interior da tubagem.
3. O dispositivo experimental com os tubos manome´tricos fechados
com ar no seu interior, destina-se a evitar que a a´gua nos tubos
suba demasiado e dificulte a sua leitura.
2Recomenda-se a leitura das pa´ginas 100 a 105 de Munson et al. [2010], para explicac¸a˜o
de que em condic¸o˜es a pressa˜o medida atrave´s do orifı´cio na parede da tubagem e´ a pressa˜o
no eixo da tubagem.
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Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
Alı´nea e2)
Caso os tubos estivessem abertos para a atmosfera, a coluna de a´gua no
mano´metro seria igual a pressa˜o do ar, expressa em m.c.a (metros de coluna
de a´gua), acrescida da altura da a´gua medida em cada uma das secc¸o˜es:
har =
par
ρ g
+ h1
fazendo uso de (2.22),
har =
pT1 − ρgh1
ρ g
+ h1
har =
p1
ρ g
(2.23)
cujo resultado nume´rico, igual para todas as secc¸o˜es, e´:
har =
2× 105
103 · 9,81 = 20,39 m.c.a
Alı´nea f)
A pressa˜o esta´tica e´
pEsti = ρghEsti (2.24)
A pressa˜o total calculada, teo´rica, obtida com recurso ao teorema de
Bernoulli, e´
pTteo = pEsti +
1
2
ρ
(
Qexp
pi d2i /4
)2
(2.25)
que, de novo usando a secc¸a˜o 3 como exemplo, e´:
pTteo = 2001,240+
1
2
1000
(
0,4204/3600
pi (11,80/1000)2/4
)2
= 2571,484Nm−2 (2.26)
NOTA 4
1. Os valores de pressa˜o sa˜o relativos a` pressa˜o no ponto 1, que se
diz ser ela relativa a` pressa˜o atmosfe´rica.
2. Estas presso˜es sa˜o elas tambe´m relativas a` pressa˜o atmosfe´rica.
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Tabela 2.2: Resultados das alı´neas d) e f)
Dado experimental Valores calculados
Coluna 1 2 3 4 5
Secc¸a˜o hi Ui Qexp pEst pTteo
(mm) (m s−1) (m3 h−1) (m3 h−1) (N m−2)
eq. (2.13) eq. (2.19) eq. (2.21) eq. (2.25)
1 257 — — — —
2 230 — — — —
3 204 1,048 0,413 2001,24 2571,48
4 175 1,291 0,418 1716,75 2560,19
5 150 — — — —
6 245 0,443 0,783 2403,45 2431,75
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Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
Resoluc¸a˜o em Matlab
%% Ano l e c t i v o 2010/2011
%% Recurso de 11 de F e v e r e i r o de 2011
%% Problema 1 ( Ventur i / l a b o r a t o r i o )
%%
% DADOS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% C o n s t a n t e s
rho =1000; % kg /mˆ3 massa vo lumica da agua
g = 9 . 8 1 ; % m/ s ˆ2 a c e l e r a c¸ a˜ o da g r a v i d a d e% Geomet r i a / Dimensoes em ”mm”
L = [ 0 . 0 6 0 . 3 6 8 . 7 7 3 . 2 8 1 . 1 1 4 1 . 5 ] ; % d i s t a n c i a
d= [ 2 5 . 0 1 3 . 9 1 1 . 8 1 0 . 7 1 0 . 0 2 5 . 0 ] ; % d i a m e t r o
L=L/1000; d=d/1000; % Conversao de ”mm” em ”m”
%
% V a l o r e s med idos
massa = 3 . 2 0 ; % em ” kg ”
tempo= 2 7 . 4 0 ; % em ” segundos ”
% A l t u r a s da c o l u n a de agua em ”mm”
% h e s t = [ 2 6 0 . 0 230 .0 155 .0 105 .0 4 5 . 0 140 .0 ] ;% a l t u r a
h e s t = [ 2 5 7 . 0 230 .0 204 .0 175 .0 150 .0 2 4 5 . 0 ] ; % a l t u r a
h t o t = [ 2 6 0 . 0 260 .0 260 .0 260 .0 260 .0 2 5 5 . 0 ] ; % a l t u r a t o t a l
% Conversao de ”mm” para ”m”
h e s t = h e s t /1000; h t o t = h t o t /1000;
% P r e s s a o em 1 em ” b a r ” e c o n v e r t e p a t a ”Pa”
p1 =2; p1=p1 ∗1 0 ˆ 5 ;
%
% RESOLUCAO %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% a l i n e a b )
% Caudal e x p e r i m e n t a l e v e l o c i d a d e
Qm exp=massa/tempo % Caudal m a´ s s i c o ” kg / s e g ”
Qv exp=Qm exp/rho % Caudal vo l u´mi co ”mˆ 3 / s e g ”
Qv exp m3h=Qv exp∗3600 % Caudal vo l u´mi co ”mˆ 3 / h”
Area=pi∗d . ˆ 2 / 4
Vel exp=Qv exp . / ( pi∗d . ˆ 2 / 4 )
%
% a l i n e a c )
% P r e s s a o d in aˆmi ca e p r e s s a o t o t a l
p din=rho∗g∗ ( h to t−h e s t ) % ”Pa”
p t o t =rho∗g∗ h t o t % ”Pa”%
% a l i n e a d )
Vel=sqr t (2∗g∗ ( h to t−h e s t ) )
Vel d2=sqr t (2∗g∗ ( h to t−h est−d/ 2) )
Qv=Area .∗ Vel ;
Qv d2=Area .∗ Vel d2 ;
Qv d2 m3h=Qv d2∗3600
Qv m3h=Qv∗3600
% a l i n e a e1 )
% P r e s s a o do ar nos t u b o s manometr i co s
p ar=p1−rho∗g∗ h e s t ( 1 )
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%
% a l i n e a e2 )
% Al tu ra a que a agua s u b i r i a nos t u b o s manometr ico ,
% s e e s t e s e s t i v e s s e m a b e r t o s
h ar ab=p ar /( rho∗g)+ h e s t ( 1 )
% a l i n e a f )
p es t ex p= h e s t ∗rho∗g
p t o t t e o =p es t ex p +1/2∗rho∗Vel exp . ˆ 2
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2.2.2 Problema 2
Recurso de Mecânica dos Fluidos I 11 de Fevereiro de 2011 Ano lectivo 2010/2011 
 
2 (5 v) – A figura mostra uma instalação de 
bombagem entre um lago e um reservatório 
pressurizado (pressão manométrica: 200 kPa) 
em que se pretende transferir no mínimo 4000 
litros de água em 10 minutos. A conduta que 
liga a bomba ao reservatório tem um diâmetro 
de 50 mm. 
a) Mostre que uma bomba que fornece 2,2 kW 
assegura as condições de funcionamento desejadas. 
b) Se a pressão no interior do reservatório aumentar para 300 kPa, será que a mesma 
bomba é capaz de assegurar as condições de funcionamento pretendidas? 
c) Determine as forças na direcção vertical e horizontal para suportar a curva 
assinalada, para o caso do reservatório pressurizado a 200 kPa e o caudal mínimo 
pretendido. 
 
3 (4 v) – Um fluido escoa-se no interior de um tubo, conforme figura junto. A queda de 
pressão ∆p, entre a entrada e a saída do tubo é uma função da velocidade V, do raio 
de curvatura R e do diâmetro do tubo D e da massa volúmica do fluido ρ. 
a) Efectue a análise dimensional do problema e determine o ou os números 
adimensionais Π relevantes. 
b) A tabela mostra o resultado de um conjunto de testes 
em que ρ=1100 kg/m3, R=150 mm e D=30 mm. 
Analise estes dados com 
base nas conclusões da 
alínea a) e identifique 
qualquer anomalia que 
tenha ocorrido durante a 
experiência ou na 
elaboração dos grupos 
adimensionais. 
 
4 (4 v) – Considere a expressão 
���, �� = �	 ∙ ��
� ∙ cos��� − ��� , em que � = � ��� 
que corresponde ao perfil de velocidade do escoamento 
laminar e incompressível de um fluido Newtoniano sobre 
uma parede horizontal oscilante (em y = 0). 
a) Determine uma expressão para a tensão viscosa junto da 
parede (τw). 
b) Prove que este escoamento ocorre sem gradiente de 
pressão longitudinal (∂p/∂x=0). 
 
Teste V 
(m/s) 
∆p 
(Pa) 
1 0,6 57,4 
2 0,9 117,5 
3 1,2 190,8 
4 1,6 311,2 
5 2,0 420,0 
Alı´nea a)
Considerando a equac¸a˜o de conservac¸a˜o de energia mecaˆnica, aplicada en-
tre a superfı´cie do lago (ponto 1) e a entrada do tanque (ponto 4):
p1
ρ
+
1
2
V21 + gz1 =
p4
ρ
+
1
2
V24 + gz4 + ws (2.27)
NOTA 5
Note que na˜o deve considerar no segundo membro o ponto 5, na in-
terface ar/a´gua do reservato´rio. Na entrada do reservato´rio (ponto 4),
toda a energia cine´tica da a´gua e´ dissipada por efeitos viscosos. Este
efeito na˜o e´ contabilizado na expressa˜o (2.27), que assume que o fluido
pode ser considerado invı´scido, ou seja, que o efeito da viscosidade e´
despreza´vel.
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Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
A pressa˜o na superfı´cie do lago (p1) e´ conhecida (pressa˜o atmosfe´rica)
e a velocidade pode ser desprezada (V1 ≈ 0). E´ conhecido que a pressa˜o
na entrada do tanque (p4) e´ a pressa˜o que existiria no mesmo local se na˜o
existisse velocidade (“pressa˜o do ambiente”). Assim sendo, podemos deter-
minar p4 assumindo uma distribuic¸a˜o hidrosta´tica da pressa˜o no interior
do reservato´rio e tomando como refereˆncia um ponto na interface a´gua/ar
(p5):
p4 = p5 + ρg(z5 − z4)
A velocidade na entrada do reservato´rio (V4) pode ser calculada a partir
do caudal volu´mico:
Q = V4A4⇔ V4 = QA4
Finalmente, o trabalho ao veio (ws) esta´ relacionado com a poteˆncia da
bomba e com o caudal ma´ssico que a atravessa, tendo o sinal negativo por-
que se trata de energia que e´ recebida pelo sistema e coloca´mos este termo
no segundo membro da equac¸a˜o:
W˙B = −m˙ws⇔ W˙B = −m˙ws
⇔ W˙B = −ρQws
⇔ ws = −W˙B
ρQ
Substituindo em (2.27):
p1
ρ
+ gz1 =
p5 + ρg(z5 − z4)
ρ
+
1
2
(
Q
A4
)2
+ gz4 − W˙B
ρQ
⇔
⇔ p1
ρ
+ gz1 =
p5
ρ
+
1
2
(
Q
A4
)2
+ gz5 − W˙B
ρQ
⇔
⇔W˙B
ρQ
=
p5 − p1
ρ
+
1
2
(
Q
A4
)2
+ g(z5 − z1)⇔
⇔W˙B
Q
= p5 − p1︸ ︷︷ ︸
1
+
1
2
ρ
(
Q
A4
)2
︸ ︷︷ ︸
2
+ρg(z5 − z1)︸ ︷︷ ︸
3
(2.28)
Repare que, de acordo com (2.28), a poteˆncia da bomba e´ utilizada para:
• vencer a diferenc¸a de presso˜es esta´ticas entre as superfı´cies do lago e
do reservato´rio (termo 1);
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Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
• acelerar o fluido, cuja energia cine´tica (termo 2) e´ perdida na entrada
do reservato´rio (dissipac¸a˜o viscosa) ;
• vencer a diferenc¸a de altura entre a superfı´cie do lago e o reservato´rio
(termo 3).
Resolvendo (2.28) numericamente, com
p5 − p1 = 200 kPa
z5 − z1 = 6 m
ρ = 1000 kg/m3
A4 =
pi · (50× 10−3)2
4
= 1,96× 10−3 m2
W˙B = 2,2 kW
obtemos
Q = 8,22× 10−3 m3/s = 493,2 l/min (2.29)
Conclusa˜o: uma bomba capaz de fornecer 2,2 kW satisfaz as condic¸o˜es
de funcionamento pretendidas de 4000 litros de a´gua em 10 minutos.
NOTA 6
• Uma vez que na˜o se pergunta qual o caudal que a bomba fara´
circular, apenas se e´ capaz de garantir o mı´nimo pretendido, a
resposta a este problema poderia ser obtida de outra forma:
partindo de (2.28), determinava-se a poteˆncia da bomba ne-
cessa´ria para fazer circular o caudal volu´mico mı´nimo pre-
tendido (400 l/min), obtendo-se W˙B = 1,76 kW. Sendo a
poteˆncia da bomba em questa˜o superior, concluı´a-se que sa-
tisfazia as condic¸o˜es de funcionamento pretendidas.
Alı´nea b)
Esta alı´nea resolve-se de modo ideˆntico a` alı´nea a). Deste modo, pode-
mos partir de (2.28) e resolver novamente numericamente, mas desta vez
considerando p5 − p1 = 300 kPa (todos os outros paraˆmetros permanecem
iguais). Assim sendo, obtemos
Q = 6,05× 10−3 m3/s = 363,0 l/min(2.30)
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Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
Conclusa˜o: uma bomba capaz de fornecer 2,2 kW na˜o satisfaz as condi-
c¸o˜es de funcionamento pretendidas quando a pressa˜o manome´trica no in-
terior do reservato´rio sobe para 300 kPa, uma vez que fara´ circular apenas
363 l/min de a´gua do lago para o reservato´rio, em vez dos 400 l/min pre-
tendidos.
NOTA 7
• Novamente, seria possı´vel determinar a poteˆncia da bomba ne-
cessa´ria para fazer circular o caudal volu´mico mı´nimo preten-
dido (400 l/min), obtendo-se W˙B = 2,43 kW. Sendo a poteˆncia
da bomba em questa˜o inferior, concluı´a-se que na˜o satisfazia as
condic¸o˜es de funcionamento pretendidas quando a pressa˜o ma-
nome´trica no interior do reservato´rio sobe para 300 kPa.
Alı´nea c)
Figura 2.1: Esquema das forc¸as no volume de controlo
Consideremos um volume de controlo entre 2 e 3 e o Teorema de Trans-
porte de Reynolds,
DBSYS
Dt
=
∂
∂t
∫
CV
ρbdV +
∫
CS
ρb~V ·~ndA (2.31)
aplicado a` conservac¸a˜o de quantidade de movimento: B = m~V, b = ~V,
• DBSYS
Dt
=
Dm~V
Dt
= ∑~Fext (Segunda Lei de Newton).
• Regime permanente: ∂
∂t
= 0.
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Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
Desprezando o peso da a´gua e da tubagem contidos no interior do vo-
lume de controlo, notamos que a pressa˜o atmosfe´rica actua sobre toda a
superfı´cie exterior da conduta. O seu efeito pode ser contabilizado conside-
rando presso˜es relativas, alia´s como temos vindo a fazer na resoluc¸a˜o deste
exercı´cio. Deste modo, os somato´rios das forc¸as exteriores que actuam nas
direcc¸o˜es x e y sa˜o:
• ∑Fextx = p2A2 − Fx
• ∑Fexty = Fy − p3A3
Note que a resultante da forc¸a de pressa˜o na secc¸a˜o 2 tem o sentido do
eixo dos xx (positivo) enquanto na secc¸a˜o 3 tem o sentido contra´rio ao do
eixo dos yy (negativo). As presso˜es p2 e p3 podem ser determinadas usando
o Teorema de Bernoulli:
p2 +
1
2
ρV22 + ρgz2 = p4 +
1
2
ρV24 + ρgz4
Uma vez que entre 2 e 4 na˜o ha´ variac¸a˜o de secc¸a˜o (diaˆmetro), V2 = V4.
A pressa˜o p4 ja´ foi obtida anteriormente. Assim sendo,
p2 + ρgz2 = p5 + ρg(z5 − z4) + ρgz4⇔ p2 = p5 + ρg(z5 − z2)
⇔ p2 = 200× 103 + 1000 · 9,81 · 3
⇔ p2 = 229430 Pa
NOTA 8
• Embora se obtivesse o mesmo resultado considerando uma
variac¸a˜o hidrosta´tica da pressa˜o entre 5 e 2 ou entre 4 e 2, tal e´
incorrecto, uma vez que o fluido esta´ em movimento entre 2 e 4.
• O valor obtido e´ uma pressa˜o relativa, visto que foi calculado a
partir da pressa˜o relativa no ponto 4.
Desprezando a diferenc¸a de altura entre as secc¸o˜es 2 e 3, e ja´ que na˜o
ha´ variac¸a˜o de secc¸a˜o da conduta (V3−V2), o teorema de Bernoulli permite
concluir que p3 = p2 = 229430 Pa.
Fazendo agora o balanc¸o dos fluxos que atravessam a fronteira do vo-
lume de controlo e considerando, primeiro, a componente segundo o eixo
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 106
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Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
dos xx,∫
CS
ρVx ~V ·~ndA = ρV2(~V2 · ~n2)A2
= ρV2(−V2)A2
= −ρV22 A2
uma vez que a velocidade na secc¸a˜o 3 na˜o tem componente segundo x. A
velocidade V2 e´ obtida do caudal volu´mico,
V2 =
Q
A2
=
400 · 10−3/60
pi · (50× 10−3)2/4
= 3.40 m/s
De modo ideˆntico, para a componente segundo o eixo dos yy,∫
CS
ρVy ~V ·~ndA = ρV3(~V3 · ~n3)A3
= ρV3(V3)A3
= ρV23 A3
uma vez que a velocidade na secc¸a˜o 2 na˜o tem componente segundo y.
Como ja´ referimos, porque na˜o ha´ variac¸a˜o de secc¸a˜o entre 2 e 3, V3 = V2 =
3,40 m/s.
Voltando ao Teorema de Transporte de Reynolds, equac¸a˜o (2.31):
∑Fextx =
∫
CS
ρVx ~V ·~ndA⇔ p2A2 − Fx = −ρV22 A2
⇔ Fx = (p2 + ρV22 )A2
⇔ Fx = (258860+ 1000 · 3,402) · pi · (50× 10
−3)2
4
⇔ Fx = 473,12 N
E, para a direcc¸a˜o y,
∑Fexty =
∫
CS
ρVy ~V ·~ndA⇔ Fy − p3A3 = ρV23 A3
⇔ Fy = (p3 + ρV23 )A3
⇔ Fx = (258860+ 1000 · 3,402) · pi · (50× 10
−3)2
4
⇔ Fx = 473,12 N
Como ambos os valores teˆm sinal positivo, os sentidos sa˜o os indicados na
figura 2.1.
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Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
2.2.3 Problema 3
Recurso de Mecânica dos Fluidos I 11 de Fevereiro de 2011 Ano lectivo 2010/2011 
 
2 (5 v) – A figura mostra uma instalação de 
bombagem entre um lago e um reservatório 
pressurizado (pressão manométrica: 200 kPa) 
em que se pretende transferir no mínimo 4000 
litros de água em 10 minutos. A conduta que 
liga a bomba ao reservatório tem um diâmetro 
de 50 mm. 
a) Mostre que uma bomba que fornece 2,2 kW 
assegura as condições de funcionamento desejadas. 
b) Se a pressão no interior do reservatório aumentar para 300 kPa, será que a mesma 
bomba é capaz de assegurar as condições de funcionamento pretendidas? 
c) Determine as forças na direcção vertical e horizontal para suportar a curva 
assinalada, para o caso do reservatório pressurizado a 200 kPa e o caudal mínimo 
pretendido. 
 
3 (4 v) – Um fluido escoa-se no interior de um tubo, conforme figura junto. A queda de 
pressão ∆p, entre a entrada e a saída do tubo é uma função da velocidade V, do raio 
de curvatura R e do diâmetro do tubo D e da massa volúmica do fluido ρ. 
a) Efectue a análise dimensional do problema e determine o ou os números 
adimensionais Π relevantes. 
b) A tabela mostra o resultado de um conjunto de testes 
em que ρ=1100 kg/m3, R=150 mm e D=30 mm. 
Analise estes dados com 
base nas conclusões da 
alínea a) e identifique 
qualquer anomalia que 
tenha ocorrido durante a 
experiência ou na 
elaboração dos grupos 
adimensionais. 
 
4 (4 v) – Considere a expressão 
���, �� = �	 ∙ ��
� ∙ cos��� − ��� , em que � = � ��� 
que corresponde ao perfil de velocidade do escoamento 
laminar e incompressível de um fluido Newtoniano sobre 
uma parede horizontal oscilante (em y = 0). 
a) Determine uma expressão para a tensão viscosa junto da 
parede (τw). 
b) Prove que este escoamento ocorre sem gradiente de 
pressão longitudinal (∂p/∂x=0). 
 
Teste V 
(m/s) 
∆p 
(Pa) 
1 0,6 57,4 
2 0,9 117,5 
3 1,2 190,8 
4 1,6 311,2 
5 2,0 420,0 
Alı´nea a)
As dimenso˜es das 5 varia´veis propostas como relevantes para o problema
fı´sico sa˜o
[∆p] = ML−1T−2
[V] = LT−1
[R] = L
[D] = L
[ρ] = ML−3
das quais escolhemos V, D e ρ como as 3 varia´veis de refereˆncia. Para
efeito de adimensionalizac¸a˜o, e de acordo com o teorema de Buckingham, a
relac¸a˜o entres estas 5 varia´veis e´ equivalente a uma relac¸a˜o entre 2 paraˆme-
tros adimensionais (Π1,Π2).
O primeiro paraˆmetro adimensional devera´ ser obtido por adimensi-
onalizac¸a˜o de ∆p
Π1 = ∆pVaDbρc ,
em que os coeficientes a, b e c sa˜o determinados do modo seguinte:
ML−1T−2(LT−1)a(L)b(ML−3)c = 0
M :
T :
L :

c + 1 = 0
−a− 2 = 0
a + b− 3c− 1 = 0
⇒

c = −1
a = −2
b = 0
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 108
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Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
de que resulta
Π1 =
∆p
V2ρ
.
O segundo paraˆmetro adimensional Π2 pode ser obtido por observac¸a˜o
simples; trata-se de adimensionalizar D, que depende uma u´nica dimensa˜o
(L) e D e´ de entre as varia´veis de refereˆncia a que depende apenas de L.
Π2 =
R
D
.
E a relac¸a˜o entre os paraˆmetros Π e´ dada por:
∆p
V2ρ
= φ
(
R
D
)
(2.32)
onde φ e´ uma func¸a˜o desconhecida, acerca da qual na˜o sabemos nada.
Alı´nea b)
Os dados experimentais na forma adimensional sa˜o
Teste V ∆p Π1 Π2
(m s−1) (Pa)
1 0,6 57,4 0,145 5
2 0,9 117,5 0,132 5
3 1,2 190,8 0,120 5
4 1,6 311,2 0,111 5
5 2,0 420,0 0,096 5
Como o valorde Π2 e´ constante em todas as medidas, de acordo com
(2.32), concluı´mos que Π1 tambe´m deveria ser constante. Isto na˜o esta´ de
acordo com a tabela que evidencia uma variac¸a˜o bem pronunciada de Π1
((0.145 − 0.096)/0.096=52%), donde se conclui que a hipo´tese inicial do
problema ser descrito por apenas estas cinco varia´veis na˜o esta´ correcta.
Nomeadamente, sabemos que a viscosidade tambe´m devera´ ser uma gran-
deza relevante neste problema, o que imediatamente faz intervir um ter-
ceiro paraˆmetro adimensional com o qual ja´ estamos bem familiarizados: o
nu´mero de Reynolds.
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 109
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Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
2.2.4 Problema 4
Recurso de Mecânica dos Fluidos I 11 de Fevereiro de 2011 Ano lectivo 2010/2011 
 
2 (5 v) – A figura mostra uma instalação de 
bombagem entre um lago e um reservatório 
pressurizado (pressão manométrica: 200 kPa) 
em que se pretende transferir no mínimo 4000 
litros de água em 10 minutos. A conduta que 
liga a bomba ao reservatório tem um diâmetro 
de 50 mm. 
a) Mostre que uma bomba que fornece 2,2 kW 
assegura as condições de funcionamento desejadas. 
b) Se a pressão no interior do reservatório aumentar para 300 kPa, será que a mesma 
bomba é capaz de assegurar as condições de funcionamento pretendidas? 
c) Determine as forças na direcção vertical e horizontal para suportar a curva 
assinalada, para o caso do reservatório pressurizado a 200 kPa e o caudal mínimo 
pretendido. 
 
3 (4 v) – Um fluido escoa-se no interior de um tubo, conforme figura junto. A queda de 
pressão ∆p, entre a entrada e a saída do tubo é uma função da velocidade V, do raio 
de curvatura R e do diâmetro do tubo D e da massa volúmica do fluido ρ. 
a) Efectue a análise dimensional do problema e determine o ou os números 
adimensionais Π relevantes. 
b) A tabela mostra o resultado de um conjunto de testes 
em que ρ=1100 kg/m3, R=150 mm e D=30 mm. 
Analise estes dados com 
base nas conclusões da 
alínea a) e identifique 
qualquer anomalia que 
tenha ocorrido durante a 
experiência ou na 
elaboração dos grupos 
adimensionais. 
 
4 (4 v) – Considere a expressão 
���, �� = �	 ∙ ��
� ∙ cos��� − ��� , em que � = � ��� 
que corresponde ao perfil de velocidade do escoamento 
laminar e incompressível de um fluido Newtoniano sobre 
uma parede horizontal oscilante (em y = 0). 
a) Determine uma expressão para a tensão viscosa junto da 
parede (τw). 
b) Prove que este escoamento ocorre sem gradiente de 
pressão longitudinal (∂p/∂x=0). 
 
Teste V 
(m/s) 
∆p 
(Pa) 
1 0,6 57,4 
2 0,9 117,5 
3 1,2 190,8 
4 1,6 311,2 
5 2,0 420,0 
Alı´nea a)
A tensa˜o viscosa e´ dada por
τw(y) = µ
du(y)
dy
= µU0κe−κy [sin (ωt− κy)− cos (ωt− κy)]
junto a` parede (y = 0)
τw|y=0 = µU0κe−κy [sin (ωt)− cos (ωt)]
=
√
2U0κ sin
(
ωt− pi
4
)
Alı´nea b)
Considerando a equac¸a˜o de Navier-Stokes apenas na direcc¸a˜o x, porque
a equac¸a˜o que nos e´ dada depende apenas da componente da velocidade
nesta direcc¸a˜o,
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
+ w
∂u
∂z
= −1
ρ
∂p
∂x
+ gx + ν
(
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
)
e a equac¸a˜o da continuidade
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
= 0
podemos verificar as condic¸o˜es nas quais o campo de velocidades e´ soluc¸a˜o.
Porque u = u(y, t), v = 0, w = 0 e gx = 0, as equac¸o˜es acima reduzem-se a,
∂u
∂t
= −1
ρ
∂p
∂x
+ ν
∂2u
∂y2
(2.33)
0 = 0
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Recurso de 11 de Fevereiro de 2011
Conhecido o perfil de velocidades, conforme enunciado,
u(y, t) = U0 · e−κy · cos (ωt− κy) ,
as diferentes parcelas da equac¸a˜o (2.33) sa˜o
∂u
∂t
= −U0ωe−κy sin (ωt− κy)
µ
∂2u
∂y2
= −2U0κ2νe−κy sin (ωt− κy)
Como κ2 = ω/(2ν) concluı´mos que
∂p
∂x
= 0
que era o resultado pedido no enunciado.
Mecaˆnica dos Fluidos I (Versa˜o 6) // Ano lectivo 2012-2013 111
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Refereˆncias Bibliogra´ficas
B. R. Munson, D. F. Young, T. H. Okiishi, and W. W. Huebsch. Fundamentals
of Fluid Mechanics. John Wiley & Sons, Inc., 6 edition, 2010. ISBN 978-0-
470-39881-4.
112
	Exercícios
	Resoluções