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1 
 
 
EMC/UFG 
Circuitos Elétricos 2 
5
a 
Lista de Exercícios: Acoplamento magnético de indutores 
Professor Enes – Site: www.emc.ufg.br 
E-mails: enes.gm@gmail.com; enes@ufg.br 
 
A) Tensões e correntes em indutores acoplados / método das malhas 
01) No circuito da figura mostrada a seguir, a entrada é a fonte de tensão, )(tvs , e a saída é a 
tensão no indutor de 5H, )(tvo (o ≡ output). Determine a tensão de saída no indutor de 5H, 
)(tvo , no regime estacionário. 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Vtvo )903cos(210
0 . 
02) (Dorf & Svoboda, 7
a
 edição, P11.9-4)Determine a tensão 2V̂ no circuito da figura. 
 
Resposta: VV 02 7,298,24
ˆ  . 
03) Sabendo-se que o circuito da figura está em regime permanente senoidal com os valores 
indicados, determine: 
(a) a potência média fornecida pela fonte de tensão; 
(b) a impedância de entrada, )(inZ , vista pela fonte de tensão. 
 
 
 
 
 
Respostas: (a) watts2,36 ; (b)  99,003,1)( jZin  . 
Vttvs )453cos(2390)(
0 
.
.


)(tvo H5 
H4 
39 
55k 
 
Vttvs )100cos(12)(  
1i 2i 
mH20 mH10 
mH5 
8 
1 
http://www.emc.ufg.br/
mailto:enes.gm@gmail.com
mailto:enes@ufg.br
 
2 
 
mHM 8 
Fm10 
1 mH20 1 
mH20 
)(ti 
)(2 tv )(1 tv 
04) A fonte de corrente fornece energia para o circuito composto de indutores acoplados e 
uma carga capacitiva no enrolamento 2, conforme ilustra a figura a seguir. A frequência da 
fonte é 1.000 rad/s. 
 
 
 
 
(a) Determine a potência aparente entregue pela fonte. 
(b) Determine a potência dissipada na resistência e a potência reativa dos indutores acoplados. 
Respostas: (a) VA92,16 (b) W8,0 e var9,17 (sendo –1var no capacitor). 
05) Para o circuito da figura, determine )(ti . As duas fontes operam a 100 rad/s, 
ttv cos10)(1  e )(10)(2 tsentv  ambas em volts. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Atti )3,6100cos(11)( 0 . 
06) Determine a tensão 0V̂ para o circuito mostrado na figura seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: V08,1965,5  . 
 
 
3j 
5j 
1j 
5 
10 
)(020 0 V 


0V̂ 
A1000cos2 tis  
10 
mH20 
F125 
mH10 
mH5 
 
3 
 
07) Determine para o circuito mostrado na figura a tensão 0V̂ . 
 
 
 
 
 
Resposta: V4 . 
08) No circuito da figura, determine as correntes de malha, 
1i e 2i , como indicadas. As 
indutâncias mútuas são 3mH e 1mH indicadas pelas setas. Entre as indutâncias 4mH e 6mH 
não há interação magnética. 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: )97,311000cos(722,1 01  ti A; )03,131000cos(015,1
0
2  ti A. 
09) (Adaptado de Dorf & Svoboda, 7
a
 ed., pág. 515) Determine no circuito da figura as 
tensões nos indutores, 1V̂ , 2V̂ , 3V̂ e 4V̂ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: VV
0
1 84,24425,6
ˆ  ; VV
0
2 64,19479,16
ˆ  ; 
VV 03 97,21006,2
ˆ 
; VV
0
4 68,7880,1
ˆ  . 
5 
5 
5 
A0452  
A0451 A
0903 
5j 
4j 
1j 
2j 5,0j 
1j 
1V̂ 
3V̂ 
4V̂ 
2V̂ 
3j 
5j 1j 
2j 
)(020 0 V 0V̂ 
1j 
 1j 
mH4 mH6 
mH8 
VttvS )1000cos(45)(  
12 
18 2i 1
i 
mH1 
mH3 
 
4 
 
B) Transformador ideal e reflexão de impedância 
10) Considere o circuito elétrico com transformador ideal da figura. Seja Zinput,1 a impedância 
vista do lado do enrolamento 1. Para 5n , sendo 12 NNn  , e uma tensão aplicada no 
lado do enrolamento 1, 31 100
ˆ V volts, e  2502502 jZ , determine 1Î , 2Î , 2V̂ e 
Zinput,1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta:  10101,input jZ ; AI
0
1 1525
ˆ  . 
11) Encontre 1V̂ , 2V̂ , 1Î e para o circuito da figura para 3n e  45902 jZ . O 
transformador é ideal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: VV
0
1 6,2618,11
ˆ  ; VV
0
2 6,2654,33
ˆ  ; AI
0
1 01
ˆ  . 
12) No circuito da figura o objetivo é obter a transferência máxima de potência da fonte para a 
carga a qual é representada pela impedância  15102 jZ . Encontre 1V̂ , 2V̂ , 1Î e 
2Î para 2n . O transformador é ideal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A condição de máxima transferência de potência neste caso é 01 R ; 
2
2
1
n
X
X  . 
 
 
V0012
 
ideal 
2Î 1Î n:1 
n:1 
 521 jZ 


1V̂ 


2V̂ 2
Z 
ideal 
Zinput,1 2
Z 
 


1V̂ 


2V̂ 
2Î 1Î n:1 
n:1 
n:1 
n:1 
n:1 
n:1 
1Î 2Î 


2V̂ 


1V̂ 2
Z V0010 
111 jXRZ  
 
5 
 
 
13) Determine a impedância abZ no circuito da figura para  5,12 jZL . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta:  68 jZab . 
14) Utiliza-se um transformador ideal para representar um transformador que conecta a saída 
de um amplificador estéreo, cuja tensão éVF, a um alto-falante estéreo, como mostrado na 
figura. Encontre o número de espiras do secundário, 2N , quando  8CR e  72FR se 
desejarmos atingir a máxima transferência de potência para a carga se 3001 N . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) No fornecimento de energia elétrica a propriedades rurais é comum que a rede de média 
tensão (isto é, uma de suas fases) conecte-se no lado primário de um transformador 
monofásico redutor de tensão (step-down) dotado do enrolamento secundário com uma 
derivação central como mostra a figura. Neste caso, para fins didáticos, tal transformador é 
representado por um transformador ideal. Dessa forma, o consumidor disporá de dois níveis 
nominais de tensão, permitindo suprir dois tipos de cargas monofásicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No esquema da figura, as cargas de 20 requerem 220V (rms) e a de 5 requer 440V (rms). 
(a) Determine a relação de espiras (n) do transformador necessária para fornecer a tensão 
n:1 
Rede 
de 
média 
tensão 
A 
N 
a 
n 
b 
5 
20 
ideal 


anV̂ 


nbV̂ 


kV
3
8,13
20 
ideal 
amplificador 
FR 
CR FV
LZ abZ
1:50 25:1 a 
b 
ideal ideal 
 
6 
 
secundária de 440V. (b) Admitindo-se que as cargas indicadas no circuito correspondem à 
maior corrente de demanda, determine a capacidade mínima de potência aparente do 
transformador para que este possa atender o consumidor. (c) Escreva na forma fasorial as 
tensões disponíveis no secundário. 
Respostas: 
(a) 0552,0
440
3
13800
n . Isto quer dizer que se o enrolamento secundário possuir 9 espiras, o 
enrolamento primário deverá ter 163 espiras. 
(b) kVAS
nomT
45 
(c) VVan
00220ˆ  ; VVnb
00220ˆ  ; VVbn
0180220ˆ  ; VVab
00440ˆ  . Portanto, o 
consumidor poderá utilizar equipamentos de tensões nominais de 220V e 440V. 
 
16) Dado o circuito da figura, se a tensão da fonte vale VVS 20
ˆ  determine: (a) as correntes 
1Î e 2Î ; (b) a tensão 2V̂ ; (c) a impedância de entrada, Z . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Z=2Ω. 
17) (Adaptado do livro do Dorf & Svoboda, 7
a
 edição) Determine )(2 ti e )(2 tv no circuito da 
figura para n = 1/5. Observe que )(2 ti não entra no terminal assinalado com um ponto e o 
transformador é ideal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Atti )10cos(455,0)(2  ;
 
Vttv )711,510cos(914,0)( 02  . 
 
C) Indutores acoplados formando transformadores lineares ou não (coeficiente k) 
18) Sabendo-se que o circuito da figura está em regime permanente senoidal com os valores 
indicados, determine: 
(a) a potência média fornecida pela fonte de tensão; 
 

2
5
 5 
Z 
1:2 


2V̂ 
2Î 1Î 
SV̂ 

3
2
 


1V̂ 
5 
 
7 
 
(b) a impedância de entrada, )(inZ , vista pela fonte de tensão. 
 
 
 
 
 
Observe que, nas condições do enunciado, tem-se o comportamento de um transformador 
linear para os indutores acoplados. Sendo n = 0,5 = √L2/√L1; V1 = 2V2, embora para as 
correntes I1 e I2 a razão I1/I2=−√L2/√L1 não se sustente por causa da impedância do 
secundário. Por isso, você deve solucionar o exercício pelo método exato (ou seja, sem 
considerar as aproximações para as correntes). 
Respostas: (a) P = 71,427W 
 (b) 
0002,0008,1)(inZ 
19)Seja o circuito com acoplamento magnético sem perdas mostrado na figura. Para 
reatâncias 1X e 2X iguais a 2Ω e 128Ω, respectivamente, coeficiente de acoplamento k = 1,e 
carga igual a Z2, determine: 
(a) 1Î , 2Î , 1V̂ e 2V̂ ; 
(b) a impedância vista da fonte localizada no primário (ou seja, no lado 1); 
(c) a potência complexa absorvida por Z2 e a perda de potência em watts para transmitir 
energia da fonte à carga (considere que a tensão da fonte possui unidade em valor eficaz). 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
(a) AI 01 16,3903,1200ˆ  
 AI 02 41,3750,146ˆ  
 VV 01 54,056,91ˆ  ; VV
0
2 54,050,732
ˆ  
(b)  0
1
62,380763,0inZ 
(c) VAS 02 87,3656,311.107  e WPtransmitir 200.7 
Vttvs 100cos12)(  
1i 2i 
mH4 mH16 
mH8 
m2 
1 
 342 jZ 
 005,0005,0 j 
rmsVVS
00100ˆ  
1Î 2Î 
 
8 
 
20) Considere o exercício precedente. Refaça os cálculos supondo que o transformador linear 
converta as tensões e correntes de modo ideal, de acordo com as seguintes expressões (válidas 
para o esquema mostrado na figura anterior): 
2
1
2
1
ˆ
ˆ
L
L
V
V

 
e 
1
2
2
1
ˆ
ˆ
L
L
I
I
 . 
21) (extraído do Dorf & Svoboda, 7ª edição) Determine a energia total armazenada no circuito 
da figura no instante 0t se o enrolamento secundário (a) está aberto; (b) está em curto-
circuito; (c) está ligado aos terminais de uma resistência de 7 . 
Respostas: (a) 15J; (b) 0J; (c) 5J. 
 
 
 
Sugestão: Utilize a expressão da energia armazenada para dois indutores acoplados. 
22) Determine para o circuito as correntes e as tensões indicadas se as reatâncias próprias dos 
indutores acoplados são iguais a 1j e os coeficientes de acoplamento são unitários, ou seja, 
1k . 
Respostas: 
34ˆ1 jV  ; 36
ˆ
1 jI  ; 34
ˆ
2 jV  ; jI  3
ˆ
2 ; 
21ˆ3 jV  ; 21
ˆ
4 jI  ; 21
ˆ
4 jV  
23) Exemplo literal: mostrar uma correlação entre transformadores linear e ideal. Este 
exercício é importante do ponto de vista conceitual, para se entender a relação entre o modelo 
linear e o modelo ideal. Portanto, vale a pena estudar sua resolução com atenção. 
 
Considere o circuito da figura. A indutância própria de cada enrolamento é proporcional ao 
quadrado do seu número de espiras, isto é, 211 NL  e 
2
22 NL  . Portanto, a razão de voltas, 
2V̂ 1V̂ 3V̂ 4V̂ 
V0010 
1 1 
1 
1Î 2Î 4Î 
fonte de 
corrente  Attis 5cos10)(  H3,0 H2,1 
H6,0 
2i 1i 
 
9 
 
n, é calculada pela seguinte expressão: 
1
2
1
2
L
L
N
N
n 

. O coeficiente de acoplamento, k, é 
definido pela expressão: 
21LL
M
k

 . Dessas expressões decorrem que 
nkM
L 11  e 
k
n
M
L
2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Demonstre para o circuito da figura que as expressões a seguir são válidas 
independentemente da carga: 
2221
ˆ11ˆ
1ˆ I
k
MjV
nk
V 





 
; 221
ˆˆ1ˆ I
k
n
V
Mj
I 
 
(b) Para 1k tem-se o que se chama acoplamento perfeito. Nessa condição, determine as 
relações para 1V̂ e 1Î para enrolamento secundário em curto-circuito e para enrolamento 
secundário em aberto. Em qual desses casos se tem o transformador linear? 
 
Solução passo a passo: 
(a) Após chegar às expressões do enunciado, opera-se um pouco mais com as expressões da 
tensão e da corrente. Procedendo assim, conseguimos obter as seguintes expressões: 
  12121 ˆ1ˆˆ IkLjV
n
k
V  
; 22
1
21
ˆˆ1ˆ I
k
n
V
n
k
Lkj
I 







 
A partir dessas expressões pode-se escrever um circuito equivalente de dois indutores 
acoplados, válido para o caso genérico0 <k ≤ 1 e n como definido anteriormente, como 
ilustrado a seguir: 
 
 
 
 
 
Na teoria de transformadores, a componente da corrente em derivação, 






 2
1
2
ˆ1ˆ V
n
k
Lkj
Im

, é designada por corrente de magnetização. 
(b) Considerando k = 1: 
  12121 ˆ1ˆˆ IkLjV
n
k
V   21
ˆ1ˆ V
n
V  ; 
22
1
21
ˆˆ1ˆ I
k
n
V
n
k
Lkj
I 







2
1
21
ˆ1ˆ1ˆ In
Lj
V
n
I 
 


1V̂ 
1Î 2Î 
2L 1L 
M 


2V̂


2V̂n
k 
2Îk
n
k
n:1
1
2 Lkj 
)1( 21 kLj  
 
10 
 
Por definição, o transformador ideal tem material no núcleo com permeabilidade µ infinita. 
Isto faz com que L1 tenda ao infinito. Consequentemente: 
22
1
21
ˆˆ1ˆ I
k
n
V
n
k
Lkj
I 







212
1
21
ˆ0ˆˆ
1ˆ1ˆ InIIn
Lj
V
n
I 
 
21
ˆ1ˆ V
n
V  ; 21
ˆˆ InI  
Conclui-se, portanto, que admitidas as suposições anteriores no transformador linear, tal 
dispositivo comporta-se como um transformador ideal. Nessas condições, o circuito do 
transformador se resume ao que está mostrado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
n:1
n
V2
ˆ