Aula 03 Circuitos de Acoplamento Magnético Livro Fundamentos de Circuitos Elétricos 5ª Ed.

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Carreira em eletromagnetismo
circuitos de acoplamento 
magnético
Se quiser aumentar sua felicidade e prolongar sua vida, esqueça os defeitos de seu próximo... 
Esqueça as excentricidades de seus amigos e lembre-se apenas dos pontos positivos que o fizeram gostar 
deles... Apague todas as reminiscências de ontem; escreva hoje em uma folha em branco aquelas coisas 
bonitas e adoráveis.
Anônimo
13
progresso profissional
493
Eletromagnetismo é o ramo da engenharia elétrica 
(ou da física) que lida com análise e aplicação de 
campos elétricos e magnéticos. Veremos, em ele-
tromagnetismo, que a análise de circuitos elétricos 
é aplicada em baixas frequências. 
Os princípios do eletromagnetismo (EM) são 
aplicados em várias disciplinas afins, como máquinas 
elétricas, conversão de energia eletromecânica, me-
teorologia com uso de radares, sensoriamento remoto, 
comunicação via satélite, bioeletromagnetismo, com-
patibilidade e interferência eletromagnética, plasmas 
e fibra óptica. Entre os dispositivos eletromagnéticos, 
temos motores e geradores elétricos, transformado-
res, eletroímãs, levitação magnética, antenas, rada-
res, fornos de micro-ondas, antenas parabólicas de 
micro-ondas, supercondutores e eletrocardiogramas. 
O projeto desses dispositivos requer um conhecimen-
to abrangente das leis e dos princípios dessa área. 
Eletromagnetismo é considerado uma das dis-
ciplinas mais difíceis da engenharia elétrica. Uma 
razão para tal é que os fenômenos eletromagnéti-
cos são bastante abstratos. Mas, se a pessoa gostar 
de matemática e for capaz de visualizar o invisível, 
deveria considerar a possibilidade de se tornar um 
especialista em eletromagnetismo, já que poucos 
engenheiros elétricos se especializam nessa área, e 
os que se especializam são necessários na indústria 
de micro-ondas, estações de rádio/TV, laborató-
rios de pesquisa em eletromagnetismo e vários outros 
setores da comunicação. 
494 Fundamentos de circuitos elétricos 
13.1 Introdução
Os circuitos estudados até agora podem ser considerados como acoplamento 
condutivo, pois afetam o vizinho pela condução de eletricidade. Quando dois 
circuitos com ou sem contatos entre eles se afetam por meio dos campo mag-
nético gerado por um deles, diz-se que são acoplados magneticamente. 
Os transformadores são um dispositivo elétrico projetado tendo como base 
o conceito de acoplamento magnético, pois usam bobinas acopladas magne-
ticamente para transferir energia de um circuito para outro. Também são ele-
mentos de circuito fundamentais, utilizados em sistemas de geração de energia 
elétrica para elevar ou abaixar tensões ou correntes CA, assim como são usa-
dos em circuitos como receptores de rádio e televisão para finalidades como 
casamento de impedâncias, isolar uma parte de um circuito de outra e, repetin-
do, elevar ou abaixar tensões ou correntes CA.
Iniciaremos com o conceito de indutância mútua e introduziremos a con-
venção do ponto usada para determinar as polaridades das tensões de compo-
nentes acopladas indutivamente. Tomando com base o conceito de indutância 
mútua, introduziremos a seguir o elemento de circuito conhecido como trans-
formador. Consideraremos o transformador linear, o transformador ideal, o 
autotransformador ideal e o transformador trifásico. Finalmente, entre impor-
tantes aplicações, estudaremos os transformadores atuando como dispositivos 
isolantes e para casamento de impedâncias, bem como seu emprego na distri-
buição de energia elétrica.
13.2 Indutância mútua
Quando dois indutores (ou bobinas) estiverem bem próximos um do outro, o 
fluxo magnético provocado pela corrente em uma bobina se associa com a ou-
tra bobina induzindo, consequentemente, tensão nessa última. Esse fenômeno 
é conhecido como indutância mútua. 
Consideremos, primeiro, um único indutor, uma bobina com N espiras. 
Quando a corrente i flui através da bobina, é produzido um fluxo magnético f 
em torno dela (Figura 13.1). De acordo com a lei de Faraday, a tensão v induzida 
James Clerk Maxwell (1831-1879), formado em matemática pela Cambridge 
University, Maxwell escreveu, em 1865, um artigo memorável no qual ele uni-
ficou matematicamente as leis de Faraday e de Ampère. Essa relação entre os 
campos elétrico e magnético serviu como base para o que, mais tarde, foi deno-
minado ondas e campos eletromagnéticos, um importante campo de estudo da 
engenharia elétrica. O Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) 
usa uma representação gráfica desse princípio em seu logotipo, no qual uma seta 
em linha reta representa corrente e uma seta em linha curva representa o campo 
eletromagnético. Essa relação é comumente conhecida como a regra da mão di-
reita. Maxwell foi um cientista e teórico muito ativo. Ele é mais conhecido pelas 
“equações de Maxwell”. O maxwell, unidade de fluxo magnético, recebeu esse 
nome em sua homenagem.
© Bettmann/Corbis.
i(t) v
+� f
Figura 13.1 Fluxo magnético 
produzido por uma única bobina com 
N espiras.
 Capítulo 13  circuitos de acoplamento magnético 495
na bobina é proporcional ao número de espiras N e à velocidade de variação do 
fluxo magnético f; isto é,
 (13.1)
Porém, o fluxo f é produzido pela corrente i de modo que qualquer variação 
em f é provocada por uma variação na corrente. Logo, a Equação (13.1) pode 
ser escrita como segue
 (13.2)
ou
 (13.3)
que é a relação tensão-corrente para o indutor. Das Equações (13.2) e (13.3), a 
indutância L do indutor é dada, portanto, por
 (13.4)
Essa indutância é comumente denominada autoindutância, pois ela relaciona a 
tensão induzida em uma bobina por uma corrente variável no tempo na mesma 
bobina.
Consideremos agora duas bobinas com autoindutâncias L1 e L2 que estão 
bem próximas uma da outra (Figura 13.2). A bobina 1 tem N1 espiras, enquanto 
a bobina 2 tem N2 espiras. Para simplificar, suporemos que não passe corrente 
pelo segundo indutor. O fluxo magnético f1 emanando da bobina 1 tem dois 
componentes: um componente f11 que atravessa apenas a bobina 1 e o outro com-
ponente f12 se associa com ambas as bobinas. Portanto,
 (13.5)
Embora as duas bobinas estejam fisicamente separadas, diz-se que elas estão 
magneticamente acopladas. Já que todo o fluxo f1 atravessa a bobina 1, a 
tensão induzida na bobina 1 é
 (13.6)
Apenas o fluxo f12 atravessa a bobina 2, de modo que a tensão induzida na 
bobina 2 seja
 (13.7)
Repetindo, já que os fluxos são provocados pela corrente i1 fluindo na bobina 
1, a Equação (13.6) pode ser escrita como
 (13.8)
onde L1 = N1 df1/di1 é a autoindutância da bobina 1. De forma similar, a Equa-
ção (13.7) pode ser escrita como
 (13.9)
i1(t) v1
+� v2+�f11 f12L1 L2
N1 espiras N2 espiras
Figura 13.2 Indutância mútua M21 da 
bobina 2 em relação à bobina 1.
496 Fundamentos de circuitos elétricos 
onde
 (13.10)
M21 é conhecida como a indutância mútua da bobina 2 em relação à bobina 1. 
O subscrito 21 indica que a indutância M21 relaciona a tensão induzida na bo-
bina 2 com a corrente na bobina 1. Portanto, a tensão mútua no circuito aberto 
(ou tensão induzida) na bobina 2 é 
 v2 M21 
di1
dt
 (13.11)
Suponha que, agora, façamos a corrente i2 fluir pela bobina 2, enquanto 
na bobina 1 não há passagem de corrente (Figura 13.3). O fluxo magnético f2 
emanando da bobina 2 compreende o fluxo f22 que atravessa apenas a bobina 
2 e o fluxo f21 que atravessa ambas as bobinas. Portanto,
 (13.12)
Todo fluxo f2 atravessa a bobina 2, de modo que a tensão induzida na bobina 
2 seja
 (13.13)
Onde L2 = N2 df2/di2 é a autoindutância da bobina 2. Como apenas o fluxo f21 
atravessa a bobina 1, a tensão induzida na bobina 1 é
 (13.14)
onde
 (13.15)
que é a indutância mútua da bobina 1 em relação à bobina 2. Portanto, a 
tensão mútua de circuito aberto na bobina1 é
 v1 M12 
di2
dt
 (13.16)
Veremos, na próxima seção, que M12 e M21 são iguais; isto é,
 (13.17)
e daremos o nome de M para a indutância mútua entre as duas bobinas. Assim 
como, para a autoindutância L, a indutância M é medida em henrys (H). Tenha 
em mente que o acoplamento mútuo existe apenas quando os indutores ou 
bobinas estiverem próximos entre si e os circuitos forem alimentados pelas 
fontes variáveis com o tempo. Recordamos que, em CC, os indutores atuam 
como curtos-circuitos.
Dos dois casos indicados nas Figuras 13.2 e 13.3, concluímos que há in-
dutância mútua se for induzida uma tensão através de uma corrente variável no 
v1
+� v2+� i2(t)f22f21L1 L2
N1 espiras N2 espiras
Figura 13.3 Indutância mútua M12 
da bobina 1 em relação à bobina 2.
 Capítulo 13  circuitos de acoplamento magnético 497
tempo em outro circuito. É propriedade de um indutor gerar tensão em reação 
a uma corrente variável no tempo em outro indutor próximo a ele. Portanto,
Indutância mútua é a capacidade de um indutor induzir tensão em um 
indutor vizinho e essa grandeza é medida em henrys (H).
Embora a indutância mútua M seja sempre um valor positivo, a tensão 
mútua M di/dt pode ser negativa ou positiva, da mesma forma que acontece 
com a tensão induzida L di/dt. Entretanto, diferentemente da tensão induzida 
L di/dt, cuja polaridade é determinada pelo sentido de referência da corrente e 
pela polaridade de referência da tensão (de acordo com a regra dos sinais), a 
polaridade da tensão mútua M di/dt não é fácil de ser determinada, pois qua-
tro terminais estão envolvidos. A escolha da polaridade para M di/dt é feita 
examinando-se a orientação ou maneira particular em que ambas as bobinas 
são enroladas fisicamente e aplicando a lei de Lenz em conjunto com a regra 
da mão direita. Já que não é conveniente mostrarmos os detalhes construtivos 
das bobinas em um esquema elétrico, aplicamos a convenção do ponto em 
análise de circuitos. Por essa regra, um ponto colocado no circuito em uma 
extremidade de cada uma das duas bobinas acopladas magneticamente indi-
ca o sentido do fluxo magnético se a corrente entrar pelo terminal da bobina 
marcado com um ponto. Isso é ilustrado na Figura 13.4. Dado um circuito, 
os pontos já estão situados ao lado das bobinas de modo que não precisamos 
nos preocupar em como inseri-los. Os pontos são usados com a convenção do 
ponto para determinar a polaridade da tensão mútua. A convenção do ponto 
afirma o seguinte:
se uma corrente entra pelo terminal da bobina marcado com um ponto, a 
polaridade de referência da tensão mútua na segunda bobina é positiva no 
terminal da segunda bobina marcado com um ponto.
i1
f21
f11 f22
f12
v1
+� i2
Bobina 1 Bobina 2
v2
+�
Figura 13.4 Ilustração da convenção do ponto.
De modo alternativo,
se uma corrente sai do terminal da bobina marcado com um ponto, a po-
laridade de referência da tensão mútua na segunda bobina é negativa no 
terminal marcado com um ponto na segunda bobina.
Portanto, a polaridade de referência da tensão mútua depende do sentido de re-
ferência da corrente indutora e dos pontos das bobinas acopladas. A aplicação 
da convenção do ponto é ilustrada nos quatro pares de bobinas mutuamente 
acopladas na Figura 13.5. Para as bobinas acopladas na Figura 13.5a, o sinal 
da tensão mútua v2 é determinado pela polaridade de referência para e pelo 
+�Mi1 v2 = M di1dt
(a)
+�Mi1 v2 = –M di1dt
v1 = –M
di2
dt
(b)
+� M
(c)
(d)
i2
v1 = M
di2
dt
+� M i2
Figura 13.5 Exemplos ilustrando 
como aplicar a convenção do ponto.
498 Fundamentos de circuitos elétricos 
sentido de i1. Como i1 entra pelo terminal marcado com um ponto na bobina 
1 e v2 é positiva no terminal marcado com um ponto na bobina 2, a tensão mútua 
é + M di/dt. Para as bobinas na Figura 13.5b, a corrente i1 entra pelo terminal 
pontuado da bobina 1 e v2 é negativa no terminal marcado com um ponto na 
2. Logo, a tensão mútua é –M di1/dt. O mesmo raciocínio se aplica às bobinas 
nas Figuras 13.5c e 13.5d. 
A Figura 13.6 mostra a convenção do ponto para bobinas acopladas em 
série. Para as bobinas indicadas na Figura 13.6a, a indutância total é
 L L1 L2 2M (Conexão em série aditiva) (13.18)
Para as bobinas na Figura 13.6b,
 L L1 L2 2M (Conexão em série subtrativa) (13.19)
Agora que já sabemos como determinar a polaridade da tensão mútua, 
estamos prontos para analisar circuitos envolvendo indutância mútua. Como 
primeiro exemplo, consideremos o circuito da Figura 13.7. Aplicar a LKT na 
bobina 1 resulta em
 (13.20a)
Para a bobina 2, a LKT fornece
 (13.20b)
Podemos escrever a Equação (13.20) no domínio da frequência como segue
 (13.21a)
 (13.21b)
Como segundo exemplo, considere o circuito da Figura 13.8. Analisemos este 
no domínio da frequência. Aplicando a LKT na bobina 1, obtemos
 (13.22a)
Para a bobina 2, a LKT resulta em
 (13.22b)
As Equações (13.21) e (13.22) são resolvidas da maneira usual para determinar 
as correntes.
v1 v2
R1 R2
+� L1 L2i1 i2M +�
(a) 
V ZL
Z1
+� jvL1 jvL2I1 I2jvM
(b)
Figura 13.7 (a) Análise no domínio do tempo de um circuito contendo bobinas acopladas; (b) análise 
no domínio da frequência de um circuito contendo bobinas acopladas.
Figura 13.6 Convenção do ponto 
para bobinas em série; o sinal indica 
a polaridade da tensão mútua: (a) 
conexão série aditiva; (b) conexão 
série subtrativa.
i i
L1 L2
M
(�)
(a)
i i
L1 L 2
M
(�)
(b)
 Capítulo 13  circuitos de acoplamento magnético 499
Uma das coisas mais importantes para garantir a solução de problemas 
com precisão é a capacidade de verificar cada etapa durante o processo de so-
lução e fazer que suposições, tidas como verdadeiras, possam ser verificadas. 
Muitas vezes, resolver circuitos mutuamente acoplados requer que executemos 
duas ou mais etapas feitas de uma só vez sobre os sinais e os valores das ten-
sões mutuamente induzidas.
A experiência tem mostrado que, se dividirmos em etapas a solução para 
a determinação de valor e sinal de um problema, as decisões são mais fáceis 
de serem rastreadas. Sugerimos que o modelo (Figura 13.8b) seja usado na 
análise de circuitos contendo um circuito acoplado mutuamente como mostra 
a Figura 13.8a: 
L1
jwL1 jwL2
jwMI2 jwMI1
L2I1 I2
M
(a) (b) (c)
jwL1 jwL2
jwMI2 jwMI1+��+
Figura 13.8 Modelo que torna mais fácil a análise de circuitos mutuamente acoplados.
Observe que não incluímos os sinais no modelo. O motivo para isso é 
que primeiro determinamos os valores das tensões induzidas e, em seguida, 
determinamos os sinais apropriados. É evidente que, I1 induz uma tensão na 
segunda bobina representada pelo valor jvI1, e I2 induz uma tensão de jvI2 
na primeira bobina. Uma vez que temos os valores, usamos em seguida os dois 
circuitos para determinar os sinais corretos para as fontes dependentes como 
mostra a Figura 13.8c.
Uma vez que I1 entra em L1 pelo lado do ponto, ela induz uma tensão em L2 
que tenta forçar uma corrente que sai pela extremidade do ponto em L2, o que 
significa que a fonte deve ter um sinal + no lado superior e um sinal – no lado 
inferior, como mostra a Figura 13.8c. I2 sai pela extremidade do ponto de L2 sig-
nificando que ela induz uma tensão em L1 que tenta forçar uma corrente que entra 
pela extremidade do ponto em L1, o que requer uma fonte dependente que tem 
um sinal + no lado inferior e um sinal – no lado superior, como mostra a Figura 
13.8c. Agora tudo o que temos a fazer é analisar um circuito com duas fontes de-
pendentes. Esse processo sempre nos faz verificar cada uma de nossas suposições.
Nesse nível introdutório não estamos preocupados com a determinação 
das indutâncias mútuas das bobinas e das colocações dos pontos nelas. Assim 
como ocorre para R, L e C, o cálculo de M envolveriaa aplicação da teoria do 
eletromagnetismo às propriedades físicas reais das bobinas. Neste livro, vamos 
supor que a indutância mútua e a colocação dos pontos sejam os “dados” do 
problema de circuitos, assim como os componentes R, L e C.
EXEMPLO 13.1
Calcule as correntes fasoriais I1 e I2 no circuito da Figura 13.9.
V 12 :� j4 :+� j5 : j6 :I1 I2j3 :12 �q
(a) 
12 :� j4 :+� j5
j3I2
j6
j3I1
12 �q I1 I2
(b)
+��+
Figura 13.9 Esquema para o Exemplo 13.1.
500 Fundamentos de circuitos elétricos 
Solução: Para a bobina 1, a LKT resulta em
12 ( j4 j5)I1 j3I2 0
ou
 j I1 j3I2 12 (13.1.1)
Para a bobina 2, a LKT resulta em
j3I1 (12 j6)I2 0
ou
 
I1 
(12 j6)I2
j3 (2 j4)I2 (13.1.2)
Substituindo essa última na Equação (13.1.1), obtemos
( j2 4 j3)I2 (4 j)I2 12
ou
 I2 
12
4 j 2,91l14,04 A (13.1.3)
A partir das Equações (13.1.2) e (13.1.3),
 13,01l 49,39 A
 I1 (2 j4)I2 (4,472l 63,43 )(2,91l14,04 )
Determine a tensão Vo no circuito da Figura 13.10.
V 10 Ω
4 Ω
+
−
j8 Ω j5 ΩI1 I2
j1 Ω
Vo
+
−
200 45°
Figura 13.10 Esquema para o Problema prático 13.1.
Resposta: 20l 135 V.
Calcule as correntes de malha no circuito da Figura 13.11.
V 5 :4 : j8 :+� j6 : j2 :I1 I2� j3 :100 0q
Figura 13.11 Esquema para o Exemplo 13.2.
Solução: O segredo para analisar um circuito com acoplamento magnético é co-
nhecer a polaridade da tensão mútua. Precisamos aplicar a regra do ponto. Na Figura 
13.11, suponha que a bobina 1 seja aquela cuja reatância é 6  e a bobina 2 seja 
aquela cuja reatância é 8 . Para descobrir a polaridade da tensão mútua na bobina 
1 devido à corrente I2, observamos que I2 sai do terminal marcado com um ponto da 
bobina 2. Já que estamos aplicando a LKT no sentido horário, isso implica tensão 
mútua negativa, isto é – j2I2.
PROBLEMA PRÁTICO 13.1
EXEMPLO 13.2
 Capítulo 13  circuitos de acoplamento magnético 501
 De forma alternativa, talvez fosse melhor descobrir a tensão mútua redesenhando a 
parte relevante do circuito, conforme nos mostra a Figura 13.12a, na qual fica claro que 
a tensão mútua é V1 = – j2I2.
 Portanto, para a malha 1 da Figura 13.11, a LKT fornece
100 I1(4 j3 j6) j6I2 j2I2 0
ou
 100 (4 j3)I1 j8I2 (13.2.1)
De forma similar, para descobrirmos a tensão mútua na bobina 2 em razão da corrente 
I1, consideremos a parte relevante do circuito, conforme apontado na Figura 13.12b. 
Aplicar a convenção do ponto nos fornece a tensão mútua como V2 = – j2I1. Da mesma 
forma, a corrente I2 enxerga as duas bobinas acopladas como em série na Figura 13.11; 
já que ela deixa os terminais pontuados em ambas as bobinas, a Equação (13.18) se 
aplica. Portanto, para a malha 2 da Figura 13.11, a LKT dá
0 2 j I1 j6I1 ( j6 j8 j2 2 5)I2
ou
 0 j8I1 (5 j18)I2 (13.2.2)
Colocando as Equações (13.2.1) e (13.2.2) na forma matricial, obtemos
c 100
0
d c 4 j3 j8j8 5 j18 d c
I1
I2
d
Os determinantes são
 ¢2
4 j3 100
j8 0 j800
 ¢1
100 j8
0 5 j18 100(5 j18)
 ¢
4 j3
j8
j8
5 j18 30 j87
Portanto, obtemos as correntes de malha como segue
 I2
¢2
¢
j800
30 j87
800l90
92,03l71 8,693
l19 A
 I1
¢1
¢
100(5 j18)
30 j87
1.868,2l74,5
92,03l71 20,3
l3,5 A
PROBLEMA PRÁTICO 13.2Determine as correntes fasoriais I1 e I2 no circuito da Figura 13.13.
V
5 Ω j2 Ω
+
−
j6 Ω
j3 Ω
I1 I2 − j4 Ω100 60°
Figura 13.13 Esquema para o Problema prático 13.2.
Resposta: , I2 26,83l86,57 A.I1 17,889l86,57 A
Figura 13.12 Esquema para o 
Exemplo 13.2 mostrando a polaridade 
das tensões induzidas.
I2I1
j6
j8 j2(I1–I2)
j2I2 �+ +�