Prévia do material em texto

@Prof.eduardo.mat 
 
Prof: Eduardo Goudart 
 
 Relações Trigonométricas num triângulo retângulo: 
 
 
 
𝑆𝑒𝑛 𝛼 =
𝑎
𝑐
 , 𝐶𝑜𝑠 𝛼 =
𝑏
𝑐
, 𝑇𝑔 𝛼 =
𝑎
𝑏
 
 
𝑆𝑒𝑛 𝛽 =
𝑏
𝑐
 , 𝐶𝑜𝑠 𝛽 =
𝑎
𝑐
, 𝑇𝑔 𝛽 =
𝑏
𝑎
 
 
De forma geral: SOH CAH TOA 
 
𝑆𝑒𝑛 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 , 𝐶𝑜𝑠 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
𝑇𝑔 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 
 
 
Obs.: Observando o triângulo acima temos que 
 
 𝛼 + 𝛽 + 90º = 180º ∴ 𝛼 + 𝛽 = 90º 
 
Ou seja, 𝛼 𝑒 𝛽 são ângulos complementares, agora observe que 𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 𝐶𝑜𝑠 𝛽 e que 𝑆𝑒𝑛 𝛽 = 𝐶𝑜𝑠 𝛼. 
Isso sempre irá acontecer quando tivermos dois ângulos complementares. 
 
. Exemplo 1: Se a + b = 90º e sen a = k – 3, podemos afirmar que cos b é igual a: 
 
a) k – 1 
b) k – 3 a + b = 90 -> Sen a = Cos b também Sem b = Cos a 
c) k Sem a = k – 3, Cos b = Sem a = k – 3 
d) 0 
e) -1 
 
 
. Exemplo 2: Sabendo que 𝑆𝑒𝑛 𝛼 =
1
2
, calcule o valor de x na figura abaixo. 
 
Resolução: 
 
 𝑆𝑒𝑛𝛼 =
1
2
=
8
𝐻𝑖𝑝
 
 
 Hip² = x² + 8² -> Hip² = 64 + x² 
 𝐻𝑖𝑝 = √64 + 𝑥² 
 𝑆𝑒𝑛𝛼 =
1
2
=
8
√64+𝑥²
 
 √64 + 𝑥² = 16 → 64 + 𝑥2 = 196 
 64 + x² = 196 
 X² = 132 
a) 4 𝑥 = √132 = √4.33 = √4. √33 = 2. √33 
b)16 
c) 8 
d) 2√33 
e) √3 
 
 
 
 
 
. Exemplo 3: O cosseno do menor ângulo interno de um triângulo retângulo é √3/2. Se a 
medida da hipotenusa desse triângulo é 4 unidades, então é verdade que um dos catetos 
desse triângulo mede, na mesma unidade, 
a) 1 𝐶𝑜𝑠 𝛼 =
𝐶𝑂
4
=
√3
2
 𝐶𝑂 =
4√3
2
= 2√3 
b) √3 4² = (2√3)² + x² 16 = 12 + x² 
c) 2 4 = x² 2 = x 
d) 3 
e) √3/3 
 
. Exemplo 4: Na figura a seguir, o segmento BD é perpendicular ao segmento AC. 
AC = AD + DC, AB = 100 
AD -> Adjacente a 40º 𝐶𝑜𝑠 40 =
𝐴𝐷
𝐴𝐵
=
766
1000
=
𝐴𝐷
100
 
AD = 76,6 
DC -> Oposto a 52º, 𝑆𝑒𝑛 52 =
𝐷𝐶
𝐵𝐶
, 𝑇𝑔 52 =
𝐷𝐶 
𝐵𝐷
 
𝑆𝑒𝑛 40º =
643
1000
=
𝐵𝐷
100
 -> BD = 64,3 
𝑇𝑔 52º =
1280
1000
=
𝐷𝐶
64,3
 -> 
64,3.1280
1000
= 𝐷𝐶 -> 
82304
1000
= 𝐷𝐶 -> DC = 82,304 
 
 
Se AB = 100m, um valor aproximado para o segmento DC é: 
a) 76m. 
b) 62m. 
c) 68m. 
d) 82m. 
e) 90m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Exemplo 5: A plateia de um teatro, vista de cima para baixo, ocupa o retângulo ABCD da 
figura a seguir, e o palco é adjacente ao lado BC. As medidas do retângulo são AB = 15m e BC 
= 20m. 
𝐶𝑜𝑠𝛼 =
𝐴𝐵
𝐴𝐶
→
15
𝐴𝐶
 
AC² = 20² + 15º -> AC² = 400 + 225 -> AC² = 625, AC = 25 
Catetos: 3.5 e 4.5, Hip: 5.5 = 25 
𝐶𝑜𝑠𝛼 =
𝐴𝐵
𝐴𝐶
→
15
𝐴𝐶
=
15
25
=
3
5
= 0.6 
 
 
 
Um fotógrafo que ficará no canto A da plateia deseja fotografar o palco inteiro e, para isso, 
deve conhecer o ângulo da figura para escolher a lente de abertura adequada. 
O cosseno do ângulo da figura acima é: 
a) 0,5 
b) 0,6 
c) 0,75 
d) 0,8 
e) 1,33 
 
 
- Ângulos Notáveis: 
 
Ângulos Seno Cosseno Tangente 
 30º 1
2
 √3
2
 
√3
3
 
45º √2
2
 
√2
2
 
1 
60º √3
2
 
1
2
 √3 
 
 
 
. Exemplo 6: Duas ferrovias se cruzam segundo um ângulo de 30°. Em km, a distância entre 
um terminal de cargas que se encontra numa das ferrovias, a 4 km do cruzamento, e a outra 
ferrovia, é igual a: 
a) 2√3 d -> oposta a 30º, Sem ou Tg 
b) 2 𝑡𝑔30º =
√3
3
=
𝑑
4
→ 𝑑 = 
4√3
3
 
c) 8 
d) 
4√3
3
 
e) √3 
 
 
 
 
 
 
. Exemplo 7: Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, 
conforme mostra a figura adiante. Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um 
ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60°. Quantos metros ela 
deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que possa 
enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30°? 
 
 
 
𝑡𝑔 30 =
𝐻
𝑥+90
=
√3
3
 
𝑡𝑔 60 =
𝐻
90
= √3 → 𝐻 = 90√3 
90√3
𝑥+90
=
√3
3
→
90
𝑥+90
=
1
3
→ 180 = 𝑥 + 90 ∴
𝑥 = 90 
 
 
 
a) 150 
b) 180 
c) 270 
d) 300 
e) 310 
 
. Exemplo 8: Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento forma 
um ângulo de 120° com a margem do rio. Sendo a largura do rio 60 m, a distância, em metros, 
percorrida pelo barco foi de. 
 
𝑆𝑒𝑛 60º =
√3
2
=
60
𝑥
→ √3𝑥 =
120 → 𝑥 =
120
√3
.
√3
√3
=
120√3
3
=
40√3 
 
 
 
 
 
 
a) 40√2 
b) 40√3 
c) 45√3 
d) 50√3 
e) 60√2