Matematica financeira Uniasselvi

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2011
MateMática Financeira
Prof. Natal Dolzan Júnior
Copyright © UNIASSELVI 2011
Elaboração:
Prof. Natal Dolzan Júnior
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
 
513.93
D659m Dolzan Júnior, Natal
 Matemática financeira / Natal Dolzan Júnior.
 1ª ed. Ampliada. Indaial : UNIASSELVI, 2011.
 
 229 p. : il.
 
 Inclui bibliografia.
 ISBN 978-85-7830-395-2
 1. Matemática financeira.
 I. Centro Universitário Leonardo da Vinci. 
 Ensino a Distância. II. Título.
III
apresentação
Caro(a) acadêmico(a)!
Mais que uma tendência dos tempos atuais, a Educação a Distância tem 
tudo para se tornar uma das mais importantes formas de aprendizagem de 
todos os tempos, trazendo novas oportunidades às pessoas com dificuldades 
de locomoção que, distantes dos grandes centros de ensino, gostariam de 
estudar no momento e lugar que desejassem, no conforto de seus lares e sem 
precisar se ausentar de sua mesa de trabalho.
A Matemática Financeira é uma disciplina muito importante, tanto no 
âmbito pessoal quanto no profissional, pois a partir dela estudamos o valor 
do dinheiro no tempo. E ao falarmos de dinheiro, estamos falando de pessoas 
e também de empresas. 
Receber uma certa quantia hoje ou no futuro não é a mesma coisa. 
Para podermos analisar se é mais viável comprar um bem à vista ou a prazo, 
calcular prestações, analisar diferentes opções de investimentos, entre tantas 
outras possibilidades de análises financeiras, necessitamos de conhecimentos 
sobre Matemática Financeira. 
 
A aceleração do processo de globalização econômica alterou 
profundamente o cenário financeiro mundial. Hoje, as oscilações 
imprevisíveis do mercado exigem das pessoas e dos profissionais da área 
financeira conhecimentos profundos de Matemática Financeira, visando um 
gerenciamento eficiente das finanças pessoais e empresariais. 
Portanto, se você aproveitar bem o conteúdo desse material, poderá 
adquirir, atualizar e aumentar significativamente seu conhecimento em 
finanças. 
Mas devido à característica de autoaprendizado - e aí chamo sua 
atenção -, você necessitará de uma boa dose de motivação pessoal para ter 
sucesso.
Portanto, para se sentir no controle da situação, nada melhor do que 
ter um bom gerenciamento do seu estudo. 
Está com você iniciar, percorrer, concluir essa disciplina e pôr em prática 
tudo o que aprender. 
Desejo que você tenha um excelente estudo.
Prof. Natal Dolzan Júnior
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades 
em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o 
material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato 
mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação 
no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir 
a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
UNI
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais 
os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais 
que possuem o código QR Code, que é um código 
que permite que você acesse um conteúdo interativo 
relacionado ao tema que você está estudando. Para 
utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos 
e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar 
mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
V
VI
VII
suMário
UNIDADE 1 - APRESENTANDO A MATEMÁTICA FINANCEIRA .......................................... 1
TÓPICO 1 - APRESENTAÇÃO ............................................................................................................ 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 CONCEITOS BÁSICOS E SIMBOLOGIA ........................................................................... 3
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 6
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 7
TÓPICO 2 - REVISANDO A PORCENTAGEM ............................................................................... 9
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 9
2 CONCEITUANDO A PORCENTAGEM ......................................................................................... 9
 2.1 EXEMPLOS DE PORCENTAGEM ............................................................................................... 9
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 14
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 15
TÓPICO 3 - SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO ............................................................................... 17
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 17
2 SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO .......................................................................................... 17
 2.1 SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ..................................................................... 17
 2.2 SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA .............................................................. 18
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 20
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 21
TÓPICO 4 - A CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C .............................................................. 23
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 23
2 MODELOS DE CALCULADORA HP 12C ..................................................................................... 24
3 APRENDENDO A LIGAR E DESLIGAR A CALCULADORA .................................... 25
4 BATERIA FRACA ............................................................................................................................25
5 O TECLADO DA MÁQUINA ..................................................................................................... 25
6 TECLA DE SINAL NEGATIVO ................................................................................................ 25
7 AUMENTANDO E DIMINUINDO CASAS DECIMAIS ............................................... 25
8 PRINCIPAIS TECLAS .................................................................................................................. 26
9 REALIZANDO OS PRIMEIROS CÁLCULOS ARITMÉTICOS ................................. 27
 9.1 PREPARANDO A CALCULADORA .................................................................................. 28
 9.2 INICIANDO OS CÁLCULOS ................................................................................................ 28
 9.3 UTILIZANDO AS MEMÓRIAS ............................................................................................. 29
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................................... 31
 9.4 TECLAS DE PORCENTAGEM .............................................................................................. 32
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................................... 35
 9.5 TRABALHANDO COM DATAS ........................................................................................... 36
10 AS TECLAS DE FUNÇÕES FINANCEIRAS ...................................................................... 38
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 40
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 41
VIII
UNIDADE 2 - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ..................................................................................... 43
TÓPICO 1 - JUROS SIMPLES .............................................................................................................. 45
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 45
2 FÓRMULA PRINCIPAL ..................................................................................................................... 45
 2.1 FÓRMULAS DERIVADAS DA PRINCIPAL ............................................................................... 45
 2.2 TRANSFORMANDO A TAXA ..................................................................................................... 45
 2.3 AJUSTANDO A TAXA E O TEMPO ............................................................................................ 46
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 49
3 JURO COMERCIAL E JURO EXATO .............................................................................................. 50
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 52
 3.1 DETERMINAÇÃO DO NÚMERO EXATO DE DIAS ............................................................... 52
4 ESTUDO DAS TAXAS ........................................................................................................................ 53
 4.1 TAXAS PROPORCIONAIS ............................................................................................................ 54
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 55
 4.2 TAXAS EQUIVALENTES .............................................................................................................. 56
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 60
5 MONTANTE ......................................................................................................................................... 61
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 67
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 68
TÓPICO 2 - DESCONTO SIMPLES .................................................................................................... 71
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 71
2 CONCEITUANDO O DESCONTO SIMPLES .............................................................................. 72
3 CONCEITOS E SIMBOLOGIAS COMUNS NAS OPERAÇÕES DE DESCONTO .............. 72
4 DESCONTO COMERCIAL SIMPLES OU BANCÁRIO ............................................................. 72
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 77
5 CÁLCULO DO VALOR LÍQUIDO ................................................................................................... 78
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 79
6 CÁLCULO DO VALOR NOMINAL ................................................................................................ 80
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 82
7 CÁLCULO DA TAXA .......................................................................................................................... 83
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 85
8 CÁLCULO DO VENCIMENTO (TEMPO) ..................................................................................... 86
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 88
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 89
9 PRAZO MÉDIO OU VENCIMENTO MÉDIO .............................................................................. 90
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 93
10 O IMPOSTO SOBRE OPERAÇÕES FINANCEIRAS ................................................................. 94
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 96
11 TAXA EFETIVA .................................................................................................................................. 97
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 102
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 105
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 106
UNIDADE 3 - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA .............................................................................. 109
TÓPICO 1 - JUROS COMPOSTOS ..................................................................................................... 111
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................111
2 CÁLCULO DO VALOR FUTURO OU MONTANTE  FV ....................................................... 112
 2.1 SOLUÇÃO PELA HP 12C UTILIZANDO AS TECLAS FINANCEIRAS ............................... 113
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 116
3 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE OU CAPITAL  PV .......................................................... 117
IX
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 119
4 CÁLCULO DA TAXA  I .................................................................................................................. 120
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 122
5 CÁLCULO DO TEMPO  N ............................................................................................................ 123
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 126
6 ESTUDO DAS TAXAS ........................................................................................................................ 128
 6.1 TAXA NOMINAL ........................................................................................................................... 128
 6.2 TAXA PROPORCIONAL ............................................................................................................... 128
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 131
 6.3 TAXAS EQUIVALENTES ............................................................................................................. 132
 6.3.1 Capitalização ............................................................................................................................. 133
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 137
 6.3.2 Descapitalização ........................................................................................................................ 137
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 139
 6.4 TAXA APARENTE DE TAXA REAL ........................................................................................... 140
AUTOATUVIDADE ............................................................................................................................... 145
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 147
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 148
TÓPICO 2 - SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES ....................................................... 153
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 153
2 CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES .............................. 154
3 PRESTAÇÕES POSTECIPADAS ...................................................................................................... 155
 3.1 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE  PV ................................................................................. 155
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 158
 3.2 CÁLCULO DO VALOR DAS PRESTAÇÕES  PMT ............................................................... 159
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 162
 3.3 CÁLCULO DO NÚMERO DE PRESTAÇÕES  N .................................................................. 163
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 166
 3.4 CÁLCULO DA TAXA  I ............................................................................................................. 167
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 168
 3.5 CÁLCULO DO VALOR FUTURO OU MONTANTE  FV .................................................... 169
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 172
4 PRESTAÇÕES ANTECIPADAS ........................................................................................................ 173
 4.1 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE OU À VISTA  PV ......................................................... 174
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 176
 4.2 CÁLCULO DO VALOR DAS PRESTAÇÕES  PMT ............................................................... 177
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 179
 4.3 CÁLCULO DO NÚMERO DE PRESTAÇÕES  N .................................................................. 180
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 184
 4.4 CÁLCULO DA TAXA  I ............................................................................................................. 185
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 186
 4.5 CÁLCULO DO VALOR FUTURO OU MONTANTE  FV .................................................... 187
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 189
5 PRESTAÇÕES DIFERIDAS ............................................................................................................... 190
 5.1 CÁLCULO DO VALOR DAS PRESTAÇÕES  PMT ............................................................... 190
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 194
 5.2 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE  PV ................................................................................. 195
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 199
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 201
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 202
X
TÓPICO 3 - SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ................................................................................. 207
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 207
2 CONCEITUANDO UM SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO .......................................................... 207
3 TIPOS DE SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ................................................................................ 208
 3.1 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO OU PRICE ............................................................ 208AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 213
 3.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE ......................................................................... 214
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 217
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 218
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................ 223
1
UNIDADE 1
APRESENTANDO A MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade você será capaz de:
• compreender o que é a matemática financeira, principais siglas e simbolo-
gias aplicadas;
• entender os regimes de capitalização simples e composto;
• operar cálculos básicos na calculadora financeira HP 12C. 
Esta unidade está dividida em quatro tópicos. Em cada um deles você 
encontrará exercícios para fixação dos conceitos adquiridos no decorrer do 
estudo.
TÓPICO 1 – APRESENTAÇÃO
TÓPICO 2 – REVISANDO A PORCENTAGEM 
TÓPICO 3 – SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO
TÓPICO 4 – A CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C 
Assista ao vídeo 
desta unidade.
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
APRESENTAÇÃO
1 INTRODUÇÃO
A matemática financeira é uma disciplina fundamental em nossas vidas, 
pois através dela apreendemos a resolver cálculos financeiros diversos. 
Ela fornece instrumentos para podermos elaborar e avaliar projetos de 
investimento e ainda tomar decisões diante de alternativas financeiras e econômicas.
É muito útil no dia a dia das pessoas, quando, com os conhecimentos 
adquiridos, podemos ter um maior poder de decisão sobre como investir nossos 
próprios recursos. Também com os conhecimentos adquiridos da Matemática 
Financeira podemos calcular taxas reais cobradas em empréstimos, analisar e 
comparar diferentes taxas de investimentos, entre várias outras aplicações.
 A Matemática Financeira tem como objetivo básico estudar a evolução do 
valor do dinheiro ao longo do tempo. Receber um certo recurso hoje ou no futuro 
não é a mesma coisa, pois existem fatores importantes que devem ser considerados, 
como, por exemplo, a inflação, o risco, etc. 
Enfim, podemos afirmar que a Matemática Financeira está presente na 
maioria das operações comerciais e em todas as operações financeiras. Portanto, 
todos a utilizamos, mesmo que muitas vezes inconscientemente.
2 CONCEITOS BÁSICOS E SIMBOLOGIA
 Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro ou moeda escritural por 
determinado período de tempo, costumamos cobrar certo valor, o juro, de maneira 
que, no fim do prazo estipulado, disponhamos não só da quantia emprestada, como 
também de um acréscimo que compense a não utilização do capital financeiro, 
por nossa parte, durante o período em que foi emprestado. Portanto, juro é a 
remuneração do capital aplicado.
Palavras ou termos mais comuns utilizados na Matemática Financeira: 
UNIDADE 1 | APRESENTANDO A MATEMÁTICA FINANCEIRA
4
Capital ou Valor Presente (PV) ou (C): é a quantia monetária envolvida em uma 
transação, referenciada no valor de hoje. Também é chamado de valor presente ou 
valor atual. 
Juros (J) : Entendemos Juros como sendo a remuneração do capital e pode ser 
citado de forma simples, como sendo o aluguel pelo uso do dinheiro de outra 
pessoa ou empresa.
O detentor do capital que foi emprestado busca uma remuneração, levando 
em conta alguns fatores, como:
a) Risco: probabilidade de não receber de volta o capital, nos prazos e valores 
acertados.
b) Despesas: todas as despesas que terá de suportar, durante o prazo, inclusive de 
cobrança do empréstimo.
c) Inflação: perda do poder aquisitivo da moeda, no prazo da operação.
d) Custo de oportunidade: possibilidades alternativas de aplicação dos recursos, 
como, por exemplo: Um conhecido seu, com dificuldades financeiras, oferece 
a você um terreno, que é dele, por um valor bem menor que o valor real do 
terreno. Você não pode comprar e fazer um excelente negócio, pois emprestou 
seu dinheiro. 
Prazo ou Número de Períodos (n): é o prazo de capitalização, que pode ser expresso 
em anos, semestres, trimestres, bimestres, meses ou dias. Também chamamos de 
tempo.
Taxa de Juros (i): Taxa de juros por período de capitalização, expressa em 
porcentagem, e sempre mencionando a unidade de tempo considerada (ano, 
semestre, mês, dia). Ex.: 10% ao ano.
Quando buscamos a taxa de juros através das fórmulas, multiplicamos o resultado 
final encontrado por 100.
IMPORTANT
E
TÓPICO 1 | APRESENTAÇÃO
5
Montante ou Valor Futuro (M ou FV): É a quantidade monetária acumulada no 
final de n períodos de capitalização, com a taxa de juros i. Montante = Capital 
Inicial + Juros. O Montante também é chamado de Valor Futuro.
Prestações (PMT): São sucessões de pagamentos ou recebimentos financeiros. 
Também chamadas de anuidades ou séries de pagamentos. 
6
Maravilha! Você terminou o primeiro tópico. Deu o primeiro passo de uma 
grande caminhada. Nesse tópico você aprendeu o que é a Matemática Financeira e 
que ela estuda a evolução do dinheiro no tempo. Você também conheceu palavras 
novas, porém muito utilizadas no mercado financeiro e os seus conceitos. Palavras 
essas, como, por exemplo, o Capital, que é o valor monetário correspondente à 
data de hoje (valor à vista); Montante, que é a soma do capital mais os juros de um 
determinado período. E os juros? Bom, de uma forma simples você pode dizer que 
é uma espécie de aluguel pelo uso de um dinheiro de um terceiro. 
RESUMO DO TÓPICO 1
7
Para você entender bem os conceitos e como chegar aos resultados 
corretos, sempre que acabar algum assunto, encontrará exercícios de fixação 
em seguida.
Agora responda às questões abaixo. Vamos ver se você lembra os 
principais conceitos.
 
1 Defina a Matemática Financeira.
2 O que significa a sigla PV na Matemática Financeira?
3 Escreva o que você entende por juros.
AUTOATIVIDADE
8
9
TÓPICO 2
REVISANDO A PORCENTAGEM
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Normalmente quando os alunos e as alunas ingressam no ensino superior, 
já estudaram o tema porcentagem, porém muitos alunos e alunas aprendem ou 
passam muito rapidamente por esse assunto no Ensino Fundamental e Médio.
Nosso objetivo a seguir é revisar o tema ensinado, exemplificando a 
porcentagem, e em seguida fazer com que você exercite esse conteúdo, solucionando 
os exercícios propostos através de regras de três. 
Vamos relembrar a porcentagem então!
2 CONCEITUANDO A PORCENTAGEM
2.1 EXEMPLOS DE PORCENTAGEM
Porcentagem é o valor que encontramos quando aplicamos uma razão 
centesimal a um determinado valor. Parece complicado, mas não é, pois, na verdade, 
os cálculos são simples. 
Como o nome porcentagem já diz porcentagem (por cem ou sobre cem).
Exemplo 1: 
Calcule quanto é 10% de R$ 5.000,00.
 
O significado de 10% é 10/100, ou seja, para resolver esse cálculo, dividimos 
o valor de 10 por 100 e o resultado multiplicamos por 100.
Note que ao dividir 10 por 100 descobrirmos 0,10, que é quanto 10 partes 
representam em relação a 100 partes e multiplicamos esse valor por 5.000. 
UNIDADE 1 | APRESENTANDO A MATEMÁTICA FINANCEIRA
10
Podemos ainda encontrar o valor dos 10% de 5.000 fazendo de outra 
maneira, ou seja, podemos também dividir o valor de 5.000 por 100 e após 
multiplicar o resultado por 10.
Veja que, ao dividir o valor de 5.000 por 100, descobrimos quanto vale cada 
uma das 100 partes e multiplicamos esse valor por 10, obtendo o valor de 10 partes.
Exemplo 2:
Calculequanto é 2,5 % de R$ 10.000,00.
 
Solução 1:
 
Solução 2 :
Os exemplos que estão acima são utilizados para resolver exercícios de 
porcentagem simples.
Agora vamos mostrar outros tipos de situações envolvendo cálculos com 
porcentagem, nos precisamos usar mais nosso raciocínio aritmético.
Exemplo 3:
Uma duplicata sofreu um desconto de 12%, resultando o valor líquido de 
R$ 8.000,00. Qual era o valor inicial da duplicata (antes do desconto)?
Solução:
Não sabemos qual era o valor da duplicata antes do desconto, mas sabemos 
que ela tinha um valor que era 100%. Ou seja, 100% - 12% = 8.000,00. Logo o valor 
de 8.000 corresponde a 88% do valor da duplicata.
E para descobrir qual era o valor de 100% dessa duplicata fazemos uma 
regra de três simples:
8.000 - 88%
 X - 100%
Resolvendo a regra de três, .
TÓPICO 2 | REVISANDO A PORCENTAGEM 
11
Portanto, o valor encontrado, 9.090,91, era o valor inicial da duplicata, ou 
seja, os 100%. E, se descontamos 12% desse valor, encontramos os 8.000,00.
Muitas pessoas tentam aplicar os 12% sobre os 8.000 para encontrar o resultado, 
mas não dá certo, pois foi retirado 12% de um valor maior que 8.000 e, ao aplicar 12% sobre os 
8.000, não dá o valor correto.
Exemplo 4:
Carlos comprou uma motocicleta por R$ 10.300,00 e a revendeu por R$ 
12.000,00. De quantos por cento foi o seu lucro?
Solução:
Preço de Venda da Motocicleta  12.000
Custo da Motocicleta  10.300
Lucro na Operação  1.700 (Receita – Custo)
Podemos utilizar uma regra de três simples para descobrir o percentual de 
lucro, veja a seguir:
10.300 - 100
1.700 - x
Resolvendo a regra de três, .
Portanto, o lucro foi de 16,50% sobre o preço de custo.
Exemplo 5:
Uma pessoa vendeu uma casa por R$ 35.000,00 com um lucro de 8,5% sobre 
o preço de compra.
 
 Por quanto ela havia comprado esta casa?
Solução:
Ao vender o imóvel por 35.000,00 a pessoa recuperou os 100% referentes à 
compra do imóvel e ganhou ainda 8,5% de lucro, ou seja:
 
NOTA
UNIDADE 1 | APRESENTANDO A MATEMÁTICA FINANCEIRA
12
Logo o valor de compra do imóvel foi 32.258,06. 
Normalmente as pessoas tentam descontar 8,5% sobre o valor de 35.000,00 para 
chegar ao valor de resposta, mas não é correto e não dará certo porque os 8,5% de lucro foram 
aplicados sobre um valor menor que 35.000,00, ou seja, sobre 32.258,06.
Exemplo 6:
Um comerciante que não possuía conhecimentos de matemática comprou 
uma mercadoria por R$ 200,00. Acrescentou a esse valor 50% como margem de 
lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto na mercadoria e o comerciante 
concedeu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que teria um lucro de 
10%. Calcule se o comerciante teve lucro ou prejuízo. Qual foi esse valor?
Solução:
Custo da Mercadoria 200,00
Lucro sobre o custo (+50%)  100,00 ( 200 + 50%)
Preço de Venda da Mercadoria  300,00 ( 200 + 100)
Desconto concedido (40%)  120,00 ( 300 - 40% )
Mercadoria vendida por  180,00 ( 300 – 120 )
Portanto, o comerciante comprou a mercadoria por 200,00 e vendeu por 
180, resultando em um prejuízo de 20,00 nessa negociação.
35.000 = 100% (custo da compra) + 8,5% (lucro)
35.000 - 108,50
X - 100
DICAS
TÓPICO 2 | REVISANDO A PORCENTAGEM 
13
Como você pode perceber, é muito importante ter o domínio sobre porcentagem, 
pois, caso contrário, poderemos ter grandes prejuízos e até mesmo fechar um negócio que 
poderia ser promissor pelo fato de não sabermos calcular margens de lucro, por exemplo.
Como sugestão você pode acessar alguns sites:
<http://www.somatematica.com.br/fundam/porcent.php>.
<http://www.matematicadidatica.com.br/Porcentagem.aspx>.
<http://www.infoescola.com/matematica/porcentagem/>.
Agora é a sua vez de exercitar um pouco. Vamos fazer alguns exercícios?
DICAS
14
RESUMO DO TÓPICO 2
Agora, acredito que você já relembrou ou reaprendeu que a porcentagem 
é o valor que encontramos quando aplicamos uma razão centesimal a um 
determinado valor e que o seu cálculo é bastante simples. A essa altura você já fez 
vários exercícios, solucionando-os através da Regra de Três e deve ter percebido 
que todos esses exercícios são do nosso dia a dia. É muito importante dominar esse 
conteúdo, pois diariamente nos deparamos com situações, nas quais temos que 
conceder ou pedir algum desconto e, se não soubermos calcular direito, podemos 
ser “passados para trás” ou enganados.
15
1 Um imóvel foi vendido pelo valor de R$ 38.000,00. Ao vendê-lo por esse 
valor, o vendedor teve um prejuízo de 20% sobre o preço de compra. Qual 
foi o valor pago na compra do imóvel?
2 Quanto é 2,8% de R$ 850,00?
3 Quanto é 1,23% de R$ 50.000,00?
4 Um terreno foi vendido por R$ 8.000,00. Ao vendê-lo por esse valor, o 
vendedor teve um prejuízo de 4% sobre o valor de compra. Por quanto havia 
comprado o terreno?
5 Cláudio comprou um veículo por R$ 13.000,00. Após algum tempo vendeu 
o veículo por R$ 10.350,00. Calcule qual foi o percentual de prejuízo nessa 
negociação.
6 Um empresário que não possuía conhecimentos financeiros comprou uma 
mercadoria por R$ 400,00. Acrescentou a esse valor 50% de lucro. Certo dia, 
um cliente pediu um desconto e o comerciante concedeu um desconto de 
40% sobre o novo preço, pensando que assim teria um lucro de 10%. Calcule 
se o comerciante teve lucro ou prejuízo. Qual foi esse valor?
7 João foi até uma loja para comprar um aparelho de som que custava à vista R$ 
1.300,00. Ao chegar à loja João pediu um desconto extra e o gerente concedeu 
mais 13% de desconto sobre o preço à vista do aparelho. Quanto João pagou 
pelo aparelho de som? 
8 Uma garagem que revende veículos comprou um veículo por R$ 16.000,00 e 
o revendeu por R$ 19.600,00. Calcule a porcentagem de lucro nessa operação.
9 Uma imobiliária comprou um terreno por R$ 38.000,00 e o revendeu por R$ 
43.000,00. Calcule a porcentagem de lucro nessa negociação.
AUTOATIVIDADE
16
10 Uma duplicata sofreu um desconto de 20% e resultou em um valor líquido 
de R$ 18.000,00. Calcule o valor inicial dessa duplicata.
11 Um cliente foi até uma loja disposto a comprar uma geladeira. Chegando 
lá verificou que o preço à vista era R$ 1.399,00. O cliente pediu um desconto 
e conseguiu 10% sobre os R$ 1.399,00. Não satisfeito o cliente pediu mais 
um desconto sobre o novo preço e conseguiu mais 5% de desconto. Sabendo 
essas informações, calcule o valor que o cliente pagou nessa geladeira.
Assista ao vídeo de
resolução da questão 2
Assista ao vídeo de
resolução da questão 3
Assista ao vídeo de
resolução da questão 1
17
TÓPICO 3
SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
 Quando falamos em dinheiro, podemos estar emprestando o recurso para 
alguém ou estar pegando emprestado. Portanto, depois de certo tempo estaremos 
recebendo de volta o dinheiro que emprestamos ou pagando o recurso que 
pegamos emprestados. Mas como correm os juros? Foi negociado qual tipo de 
capitalização?
 Neste tópico você conhecerá os dois regimes de capitalização existentes e 
verá como ocorre o crescimento dos capitais e juros aplicados em cada sistema de 
capitalização.
 
 
2 SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO 
 
Quando um capital é aplicado, por vários períodos, a uma certa taxa de 
juros por período, o montante poderá crescer de acordo com duas convenções, 
chamadas de regimes ou sistemas de capitalização. Existem dois sistemas de 
capitalização: o simples (ou juros simples) e o composto (ou juros compostos). 
Abaixo, você poderá ver como funciona cada um:
2.1 SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Neste sistema, o juro gerado em cada período é constante e igual ao produto 
do capitalpela taxa. Nesse regime, não somamos os juros do período ao capital 
para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. 
Vamos a um exemplo:
Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10% ao ano 
em regime de juros simples. Calcule o montante a ser resgatado.
18
UNIDADE 1 | APRESENTANDO A MATEMÁTICA FINANCEIRA
Durante o primeiro ano, o juro gerado foi de 1.000 x 10 % = 100,00
Durante o segundo ano, o juro gerado foi de 1.000 x 10 % = 100,00
Durante o terceiro ano, o juro gerado foi de 1.000 x 10 % = 100,00 
Solução:
Dica: Note que os 10% são aplicados sempre sobre o valor de R$ 1.000,00. 
Portanto, somente o capital aplicado é que rende juros e o montante 
(capital+ juros), após 3 anos, será de R$ 1.300,00.
Ano Capital Juros do Ano Montante
 1 1.000 100 1.100
 2 1.000 100 1.200
 3 1.000 100 1.300 
2.2 SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Nesse sistema de capitalização, os juros de cada período são somados 
ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros são 
capitalizados e, consequentemente, rendem juros. Esse sistema também é 
conhecido como juros sobre juros.
 
Exemplo:
Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de juros de 
10% ao ano, em regime de juros compostos. Calcule o montante.
 
Solução:
Durante o primeiro ano, o juro gerado foi de: 1.000 x 10 % = 100,00
Durante o segundo ano, o juro gerado foi de: 1.100 x 10 % = 110,00
Durante o terceiro ano, o juro gerado foi de: 1.210 x 10 % = 121,00 
Portanto, além do capital render juros, os juros também rendem juros e, ao 
final dos 3 anos, o montante (capital + juros) acumulado será de R$ 1.331,00.
TÓPICO 3 | SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO
19
Ano Capital Juros do Ano Montante 
 1 1.000 100 1.100
 2 1.100 110 1.210
 3 1.210 121 1.331 
Note que o Capital do Ano 2 e do Ano 3 é o Montante do Período anterior.
Como você pôde perceber, existe uma grande diferença entre aplicar um 
recurso no sistema de capitalização simples ou no composto. 
DICAS
20
RESUMO DO TÓPICO 3
Parabéns. Você passou por mais uma etapa e agora sabe diferenciar cada 
um dos sistemas ou regimes de capitalização. Sabe que, no sistema de capitalização 
simples, a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial. Já no sistema de 
capitalização composta, que também é chamado de sistema de juros sobre juros, a 
taxa de juros incide sobre o capital inicial e sobre os juros também. Nesse sistema, 
a partir do segundo período, os juros somam-se ao capital e esse montante passa a 
ser o novo capital para o período seguinte. 
21
Agora vamos trabalhar um pouco. Parabéns por mais esse passo dado 
na caminhada do conhecimento da Matemática Financeira. 
 
Resolva a questão abaixo:
 
1 Diferencie a capitalização simples de capitalização composta.
AUTOATIVIDADE
22
23
TÓPICO 4
 A CALCULADORA FINANCEIRA HP12C
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Sem dúvida, a calculadora HP12 C é a calculadora financeira mais utilizada 
no mundo, além de ser uma ferramenta muito útil nos cálculos financeiros, haja 
vista a praticidade com que podemos efetuar os cálculos e obter os resultados com 
ela. Logo abaixo você poderá ver como funciona a calculadora, suas principais teclas 
e ainda exemplos de como resolver alguns cálculos. Pelo fato de ser uma excelente 
ferramenta e fundamental para podermos fazer análises financeiras pessoais e 
empresariais, sugerimos a sua aquisição. No mercado também existem outras 
calculadoras financeiras similares que têm um preço mais acessível e são boas 
para solucionar cálculos financeiros também. Em nosso Caderno de Estudos vamos 
ensinar a utilização da HP 12C bem como deixaremos no ambiente de aprendizagem 
da UNIASSELVI um programa emulador da mesma para que você baixe em seu 
computador e consiga efetuar os cálculos financeiros, pois é um de nossos objetivos 
que você consiga utilizar essa ferramenta. Entre com seu LOGIN e sua SENHA e 
baixe o programa, pois ele não funciona direto do site.
Mas caso você não possua condições de adquirir uma calculadora 
financeira, tenha em mãos pelo menos uma calculadora científica para efetuar 
os cálculos, pois também ensinamos a solucionar os exercícios deste Caderno de 
Estudos através de fórmulas.
FONTE: O AUTOR
FIGURA 1 – CALCULADORA FINANCEIRA HP12C
24
UNIDADE 1 | APRESENTANDO A MATEMÁTICA FINANCEIRA
Então vamos aprender um pouco sobre a calculadora HP 12C!
2 MODELOS DE CALCULADORA HP 12C
Atualmente, no mercado, existem 3 modelos de calculadora financeira HP 
12C, que são:
GOLD  Modelo mais comum lançado em 1981 e que atua somente na 
função RPN (Notação Polonesa Reversa), na qual, para fazer um cálculo comum, 
precisamos:
• digitar o primeiro valor 
• teclar enter 
• digitar o segundo valor 
• clicar na operação desejada ( + , - , x , ÷ )
Exemplo:
Para efetuar a multiplicação 5 x 5 na calculadora HP, faça os seguintes 
comandos:
 
5 enter 5 x 
PLATINUM  Modelo prateado lançado no ano de 2003, que opera na 
Função RPN (igual a Gold) e ainda pode ser programada para fazer cálculos na 
função algébrica, ficando seu modo de operar similar às calculadoras comuns. A 
calculadora Platinum possui quatro memórias a mais que a Gold e uma velocidade 
de processamento bem maior. No mercado existem 3 modelos de HP PLatinum: 1ª 
Edição, 2ª Edição e 3ª Edição ou Edição de Aniversário 25 anos.
PRESTIGE  Possui as mesmas funções da HP 12C Platinum, porém em 
uma modelagem toda dourada.
Em nosso Caderno de Estudos todos os exercícios resolvidos pela HP estão em 
modo RPN e com nove casas após a vírgula.
ATENCAO
TÓPICO 4 | A CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C 
25
3 APRENDENDO A LIGAR E DESLIGAR A CALCULADORA 
Para ligar a sua HP12C, pressione a tecla ON. Pressionando ON novamente, 
a calculadora será desligada. Se a calculadora não for desligada manualmente, ela 
se desligará automaticamente após alguns minutos sem uso.
4 BATERIA FRACA 
Quando ligada, a calculadora indica a condição de bateria fraca através de 
um asterisco (*) que fica piscando no canto inferior esquerdo do visor. Ocorrendo 
isso, desligue a calculadora e troque a bateria.
5 O TECLADO DA MÁQUINA 
A HP 12C possui três funções. A função primária de uma tecla é indicada 
pelos caracteres impressos em branco na face superior da mesma. As funções 
alternativas de uma tecla são indicadas pelos caracteres impressos em dourado 
acima e pelos caracteres impressos em azul abaixo na mesma tecla. Tais funções são 
acionadas pressionando a tecla de função (f ou g), antes da tecla correspondente à 
função desejada.
6 TECLA DE SINAL NEGATIVO 
 Para fazer com que o número que está no visor fique negativo, você 
deve pressionar a tecla CHS (CHange Sign = troca o sinal). Quando aparecer 
um número negativo no visor, ao se pressionar CHS remove-se o sinal negativo, 
transformando-o em positivo.
7 AUMENTANDO E DIMINUINDO CASAS DECIMAIS 
 Para aumentar as casas decimais de sua calculadora, pressione a tecla 
dourada f e, em seguida, o número correspondente às casas que você deseja. Para 
reduzir faça o mesmo. 
 
Exemplo: Para aumentar de duas casas para sete casas decimais, pressione f e o 
número 7 . Para trazer de volta as duas casas decimais, pressione f e em seguida 
o número 2 . 
26
UNIDADE 1 | APRESENTANDO A MATEMÁTICA FINANCEIRA
Mas para aprender a utilizar todas as teclas, recomendamos também ler o manual 
da calculadora, uma vez que em nossa disciplina não utilizaremos todas as teclas e funções 
da máquina.
Você verá, a seguir, as principais teclas de funções da HP12C.
8 PRINCIPAIS TECLAS 
yx => Tecla utilizada para potenciação. Ex.: 22 = 4. Na HP digitamos 2, 
precionamos em seguida a tecla ENTER , e, pressionamos novamente o número 2 
. Por fim, preciona-se a tecla yx. Atenção, há livros nos quais é possível encontrar 
esse modelo de operação desse modo: 2 ENTER 2 YX . Portanto, trata-se do 
mesmo procedimento anterior. Nós também vamos trabalhar dessa forma, quando 
você se familiarizar com a calculadora. 
 => Tecla utilizada para tirar a raiz quadrada. Ex.: Raiz de 4. Na HP 
digitamos o número 4 , em seguida a tecla azul g e, por fim, a tecla .
Digitamos o g antes, pois a função raiz está na cor azul e precisa ser pressionada 
a tecla azul antes de pressionar a raiz.
 => Tecla utilizada para gerar o inverso de um número. Ex.: Inverso de 
7. Na HP pressionamos a tecla do número 7 e, em seguida, apertamos a tecla .
(g) LN => Tecla para gerar o logaritmo natural. Ex.: Logaritmo de 7. Na Hp 
digitamos 7 g LN .
LN => Tecla para gerar o logaritmo natural. Ex.: Logaritmo de 7 . Na HP 
pressionamos a tecla do número 7 , em seguida, a tecla g e, por fim, a tecla LN .
NOTA
UNI
DICAS
TÓPICO 4 | A CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C 
27
CLx => se tivermos um número qualquer no visor e quisermos apagar, 
basta pressionar a tecla CLX .
(f) FIN => apaga os registros financeiros.
F CLX => Para apagar as memórias e registradores financeiros, estatísticos 
e álgébricos pressionamos primeiro a tecla f e, em seguida, pressionamos a tecla 
CLX . 
 => Memória rotativa que apresenta no visor os últimos 4 registros do 
ENTER.
LSTx => Recupera o último número digitado no visor. Para isso, precisamos 
pressionar a tecla g e, em seguida, a tecla LSTx .
ENTER => Separador de números. 
STO => Introduz os números nas memórias. Ex.: Introduzir o número 4 na 
memória 1. Você digita na HP o número 4 , em seguida, a tecla STO e, por fim, 
o número 1 . A HP possui as memórias 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 e .0,.1,.2,.3,.4,.5,.6,.7,.8,.9.
Outro exemplo: Você quer colocar o resultado da soma 3+3 na memória 
2. Então você primeiro faz a soma de 3+3 na HP, ou seja, digita o número 3 , em 
seguida, pressiona o ENTER , e, novamente, o número 3 , por fim, a tecla de adição 
+ . Agora que você tem o resultado no visor, e deseja colocá-lo na memória 2, basta 
digitar a tecla STO e, em seguida, pressionar número 2 .
RCL => Recupera os números das memórias. Ex.: Recuperar o número 
4 colocado na memória 1. Pressionamos na HP a tecla RCL e, em seguida, a do 
número 1 .
STO EEX => Introduz a letra C no visor da máquina. Esta letra deve estar 
sempre no visor da calculadora para termos os resultados corretos nos cálculos, 
principalmente em juros compostos. Se desejar retirar o C , basta pressionar 
novamente a tecla STO e, em seguida, a tecla EEX . Porém, convém deixar o C 
aparecendo no visor da calculadora. 
9 REALIZANDO OS PRIMEIROS CÁLCULOS ARITMÉTICOS
Agora você vai começar a operacionalizar cálculos. Primeiro os mais 
simples. Antes vamos preparar a máquina para os nossos cálculos. 
28
UNIDADE 1 | APRESENTANDO A MATEMÁTICA FINANCEIRA
9.1 PREPARANDO A CALCULADORA 
Na HP-12C você não vai encontrar a tecla = , ela opera com o sistema de 
entrada de dados RPN (Notação Polonesa Reversa), no qual introduzimos primeiro 
os dados separados pela tecla ENTER e depois as operações. Tal sistema torna os 
cálculos extensos muito mais rápidos e simples.
Primeiramente, você deve verificar quantas casas decimais a máquina está 
mostrando no visor. Para aumentar ou diminuir as casas decimais, é só pressionar 
as teclas f e, em seguida, o número correspondente às casas decimais desejadas. 
Também é interessante dar outro comando na máquina para trocar o ponto 
pela vírgula mostrado no visor, pois normalmente, quando iniciamos a calculadora, 
ela mostra em seu visor 0.00 . O correto é 0,00 . Caso a máquina fique na posição 
0.00 , é possível confundir-se quando tiver números quebrados (Ex: 1,356). Para 
deixá-la na forma correta ou mais funcional, desliga-se a máquina, e pressiona-
se a tecla do ponto (. ), inicia-se a máquina com a tecla do ponto pressionado e, 
posteriormente, solta-se a tecla ponto.
9.2 INICIANDO OS CÁLCULOS 
Agora você pode iniciar os cálculos e, para realizar uma operação aritmética, 
você deve fazer o seguinte: 
Digitar o primeiro número.
Pressionar ENTER para separar o primeiro número do segundo.
Digitar o segundo número.
Pressionar a operação desejada, ou seja, + , - , x , ou 
Exemplo 1: 
Para efetuar o cálculo 20 ÷ 2, você deverá fazer os seguintes comandos na 
calculadora:
Primeiro digitar o número 20, em seguida pressionar o ENTER, depois o 
número 2 e , por fim, pressionar a tecla de divisão . A calculadora fornecerá o 
resultado, que é 10. 
Você deve estar pensando, que maneira de cálculo diferente; Realmente 
a calculadora HP utiliza um sistema chamado de sistema RPN, onde precisamos 
digitar um valor, depois o enter para posteriormente digitar o segundo valor e por 
fim a operação desejada. 
Para limpar o visor pressione a tecla CLX.
TÓPICO 4 | A CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C 
29
Exemplo 2: 
Para efetuar o cálculo de 3+4+5 na HP 12C, é necessário digitar o número 
3 , em seguida pressionar a tecla ENTER , após digitar o número 4 , em seguida a 
tecla + , após o número 5 para, finalmente, pressionar a tecla + . A calculadora 
fornece o resultado, que é 12. 
 
 Exemplo 3: 
Para efetuar o cálculo de (3 x 3 ) – 4 na HP 12C, deve-se primeiro digitar 
o número 3 , em seguida, pressionar a tecla ENTER , após digitar o número 3 
novamente, em seguida, a tecla X , após digitar o número 4 , para, finalmente, 
pressionar a tecla - e a calculadora fornecerá o resultado 5. 
 
 Exemplo 4: 
Se quisermos resolver um cálculo como o seguinte:
(5 x 2) – ( 2 x 3 ) = 4
Primeiro resolvemos o que está nos primeiros parênteses, depois o que está 
nos segundos parênteses e, por fim, fazemos a subtração.
5 ENTER 
2 X
2 ENTER
3 X
- => a calculadora informa o resultado da operação, que é 4. 
Observou o quadro acima? Ele mostra o procedimento do cálculo na 
máquina, ou seja, primeiro devemos digitar o número 5 , em seguida pressionar a 
tecla ENTER , digitamos o número 2 e X , pressionamos o ENTER , digitamos o 
número 2 novamente, pressionamos o ENTER novamente, digitamos o número 
3 , em seguida a tecla de multiplicação X e, por fim, a tecla de subtração - . 
Portanto, nos próximos quadros demonstrativos, vamos adotar o procedimento 
do quadro acima e você entenderá que se trata de uma sequência a ser seguida 
de digitação na HP.
9.3 UTILIZANDO AS MEMÓRIAS 
Para armazenar um número contido no visor:
1. Pressione STO
2. Introduza o número do registrador de 0 a 9 para os registradores R0 a R9 ou.0 a.9 
para os registradores R.0 a R.9.
30
UNIDADE 1 | APRESENTANDO A MATEMÁTICA FINANCEIRA
Da mesma maneira, para recuperar um número de um registrador de 
armazenamento no visor, pressione RCL , e, então, introduza o número da tecla do 
registrador em que o mesmo está armazenado. Este processo recupera o número 
no visor, porém não o apaga, sendo que o mesmo fica mantido na calculadora para 
cálculos posteriores.
 
 Exemplos:
 
1) Você fez um cálculo e o resultado que é 10 está no visor da máquina e você quer 
armazená-lo na memória 3. 
 
 Na HP digitamos a tecla STO e, em seguida apertamos, o 3 . Pronto, o 10 está 
na memória 3. Para recuperar o valor no visor, basta apertar a tecla RCL e, em seguida, 
a tecla 3 .
 
2) Efetuar a operação 3+10 e colocar o resultado na memória 2.
 
 Na HP digitamos: 
3 ENTER 10 + STO 2 => A calculadora soma 3+10 e coloca o resultado 
que é 13 na memória 2.
 
 Viu a sequência?
Primeiro digitamos o número 3, depois o ENTER , em seguida o 10, depois 
a tecla +. Temos, dessa maneira, o resultadoda soma 10 +3, ou seja, 13 e, para 
colocar na memória 2, digitamos STO e, em seguida, o número 2. 
 
3) Efetuar os cálculos 4 + 8 e colocar o resultado na memória 2. Em seguida, efetuar 
o cálculo 5+3 e colocar o resultado na memória 1. Por fim, somar os resultados 
contidos nas memórias 1 e 2 e apresentar o resultado final.
 
Você digita na HP: 
f CLX => Limpa o conteúdo que estiver nas memórias. 
4 ENTER 8 + => a calculadora apresenta o resultado da soma 4 + 8.
STO 2 => a calculadora armazena o resultado na memória 2.
5 ENTER 3 + => a calculadora apresenta o resultado de 5 + 3. 
STO 1 => a calculadora armazena o resultado na memória 1.
Para somar as memórias, digitamos:
RCL 2 => Busca o valor que foi armazenado na memória 2
ENTER => Separa os valores 
RCL 1 => Busca o valor armazenado na memória 1 
 + => a calculadora apresenta o número 20, que é a soma dos resultados.
TÓPICO 4 | A CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C 
31
Lembre-se de que para inserir um número na memória utilizamos a tecla STO 
e escolhemos uma das memórias disponíveis. Para recuperar um valor inserido em uma das 
memórias pressionamos a tecla RCL e em seguida o número da memória aonde guardamos 
o valor. 
E, por fim, para limpar as memórias pressionamos as teclas F CLX .
AUTOATIVIDADE
Vamos fixar os conhecimentos adquiridos. Agora tente resolver alguns 
exercícios propostos:
a) 25 + 18 =
b) 
c) (7 • 3) + (5 • 6) = 
d) (1 + 0,05)3 = 
e) (8 • 4) – (6 • 2) = 
f) (34 • 4) • (12 – 5) =
(6.8)
(4.2)
___
Exemplo 1: 
Para guardar o número 10 na memória 2.
Na HP pressione o número 10 e em seguida as tecla STO e o número 2.
Caso queira recuperar o número guardado na memória, limpe o visor e 
pressione as teclas RCL e em seguida o número 2. 
Exemplo 2: 
Para guardar o número 500 na memória 5:
Na HP digite o número 500 e em seguida pressione as teclas STO e o 
número 5.
Se quiser recuperar o valor, limpe o visor pressionando a tecla CLX . Em 
seguida pressione as teclas RCL e o número 5 .
Exemplo 3:
Você vende 10 pares de sapatos por R$ 50,00 cada e armazena o lucro na 
memória 4; logo em seguida você compra 3 pares para revenda por R$ 70,00 reais 
cada, desconta o investimento da memória 4 e verifica o seu saldo final da conta.
UNI
32
UNIDADE 1 | APRESENTANDO A MATEMÁTICA FINANCEIRA
9.4 TECLAS DE PORCENTAGEM
%T => Através dessa tecla, podemos calcular um percentual em relação a 
um total.
Exemplo 1: Quanto corresponde em percentual R$ 20,00 em relação a R$ 
200,00.
PRESSIONE VISOR
200 200,00 
ENTER 200,00 
20 20 
%T 10, ou seja, 10%
No caso anterior a calculadora considera o valor de 200,00 como sendo 
o 100% e verifica quanto o valor de 20,00 representa em relação aos 200,00 em 
percentual. 
Poderíamos resolver por regra de três da seguinte forma:
200 - 100 
20 - x
200. x = 20.100 
200x = 2000
x = 2000/200 = 10 % 
 Exemplo 2: 
Uma geladeira que é vendida à vista por R$ 1.799,00 tem R$ 800,00 de 
impostos embutidos no valor de venda. Quanto representam esses impostos em 
percentual sobre o preço à vista da geladeira?
Solução HP12C 
PRESSIONE VISOR
1.799 1.799 
ENTER 1.799,00 
800 800 
%T 44,47 ou seja 44,47% 
∆% => Tecla utilizada para calcular a variação em percentual entre dois 
números.
Ex.: Exemplo 1: Carlos comprou um telefone celular por R$ 300,00 e 
revendeu-o por R$ 350,00. De quantos por cento foi o lucro de Carlos na operação?
TÓPICO 4 | A CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C 
33
Solução HP12C
PRESSIONE VISOR 
300 300
ENTER 300,00 
350 350 
∆% 16,67, ou seja, 16,67 % de lucro sobre o preço de compra
No exemplo anterior, na solução pela HP, programamos a calculadora para dar a 
resposta com duas casas após a vírgula. Para isso, antes de iniciar o cálculo, pressionamos as 
teclas F e em seguida a tecla do número 2 .
Esse exercício poderia ser resolvido pela regra de três também. Veja:
Preço de custo = 300,00
Preço de venda = 350,00
Lucro na operação = 50,00
 
Regra de Três
300 - 100
50 - x
 
300. x = 50 . 100
300.x = 5.000
x = 5.000 / 300 = 16,67% 
Note que ao resolvermos o exercício pela Regra de Três, utilizamos o custo como 
o 100%, e o lucro 50,00 foi o valor comparado para descobrirmos quanto ele representa em 
relação ao custo.
DICAS
DICAS
34
UNIDADE 1 | APRESENTANDO A MATEMÁTICA FINANCEIRA
Exemplo 2: Um carro foi comprado por R$ 19.000,00 e após 2 anos foi 
vendido por R$ 17.200,00. Qual foi o valor do prejuízo nessa negociação? 
Solução HP12C
PRESSIONE VISOR 
19.000 19.000
ENTER 19.000,00 
17.200 17.200
∆% -9,47, ou seja, ao vender o veículo por R$ 17.200,00 
 ocorreu 9,47 % de prejuízo sobre o preço de compra.
% =>Tecla que calcula a porcentagem em relação a um valor. (porcentagem 
tradicional)
Exemplo 1: Quanto é 14 % de R$ 2.000,00?
Solução HP12C
PRESSIONE VISOR 
2000 2.000
ENTER 2.000,00 
14
% 280,00 
Exemplo 2: Calcule quanto é 2,75% de 5.600,00.
Solução HP12C
PRESSIONE VISOR 
5.600 5.600
ENTER 5.600,00 
2,75 2,75
% 154,00 
As calculadoras comuns possuem tecla de porcentagem para realizar esse 
cálculo. Você também pode alternativamente dividir 2,75 por 100 e o resultado, que é 0,0275, 
multiplicar por 5.600,00 que chegará ao resultado procurado.
DICAS
TÓPICO 4 | A CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C 
35
Exemplo 2: Calcule quanto é 2,75% de 5.600,00.
Solução HP12C
PRESSIONE VISOR 
5.600 5.600
ENTER 5.600,00 
2,75 2,75
% 154,00 
AUTOATIVIDADE
1 Um imóvel foi comprado por R$ 15.000,00 e revendido por R$ 21.300,00. 
Calcule a porcentagem de lucro nessa transação. 
2 Calcule em percentual quanto corresponde R$ 200,00 em relação a R$ 600,00.
3 Carlos comprou uma motocicleta por R$ 18.000,00 e a revendeu por R$ 
17.300,00. Calcule a porcentagem de prejuízo nessa transação. 
4 Sabendo que um veículo foi vendido por R$ 9.900,00 e que, ao vender por 
esse preço, o vendedor perdeu 20% em relação ao valor que havia pago na 
compra, calcule o preço que foi pago pelo veículo. 
5 Um vendedor recebe 5% de comissão sobre as vendas que efetua. Quanto 
deve receber pelas vendas de R$ 4.000, R$ 2.700 e R$ 6.500?
6 Em uma pesquisa sobre futebol foram entrevistadas 400 pessoas. Destas, 25% 
torcem pelo time x. Quantas pessoas, entre as entrevistadas, torcem pelo time x?
7 Em uma escola com 1.510 alunos, 1.006 são meninas. Qual é o percentual de 
meninas da escola?
8 Um objeto foi comprado por R$ 3.100,00 e revendido por R$ 3.472,00. 
Determine o lucro dessa operação. 
9 Uma conta de R$ 1.250,00 foi paga com atraso e sofreu uma multa de 3,5%. 
Calcule o valor pago.
10 Um veículo foi adquirido por R$ 15.000,00 e foi revendido por R$ 16.700,00. 
Calcule o percentual de lucro nesta operação.
11 Calcule quanto representa, em percentual, o valor de R$ 500,00 em relação 
a R$ 1.000,00.
Agora que você terminou os exercícios, siga em frente.
36
UNIDADE 1 | APRESENTANDO A MATEMÁTICA FINANCEIRA
 g M.DY => mês, dia e ano que é o calendário – inglês (Pressionar a tecla g e após 
o número 5
 
As funções de calendário da sua HP12C (Date e DDYS) podem ser 
trabalhadas com datas entre 15 de outubro de 1582 até 25 de novembro de 4046.
Dia-Mês-Ano => Para ativar o formato dia-mês-ano, pressione g D.MY. 
Para introduzir uma data, estando esse formato em vigor:
 
1 - Introduza o(s) dígito(s) do dia (no máximo 2 dígitos).
 
2 - Pressione a tecla do ponto decimal (. ).
 
3 - Introduza os dois dígitos do mês.
 
4 - Introduza os quatro dígitos do ano.
5 - Enter.
6 - Zero g DATE.g DATE => apresenta a data, mostra o dia da semana que caiu ou vai cair 
determinada data. 
 
 Exemplo 1:
Queremos saber em que dia da semana caiu o dia 06/04/2010.
Para saber em que dia da semana caiu o dia 06/04/2010, primeiramente 
verificamos se aparece no visor da calculadora a informação D.M.Y, caso contrário 
pressionamos as teclas g e posteriormente o número 4 . Em seguida digitamos na 
HP:
06.042010 ENTER 0 g DATE
A calculadora vai repetir a data e no final do visor aparecerá o número 2 
que significa que essa data era uma terça-feira.
9.5 TRABALHANDO COM DATAS
 
Agora você aprenderá como fazer cálculos envolvendo datas na calculadora. 
Primeiro temos que aprender a programá-la para o nosso calendário. 
 
 g D.MY => dia, mês e ano que é o calendário – português (Pressionar a tecla g e 
após o número 4). 
TÓPICO 4 | A CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C 
37
TABELA DOS DIAS DA SEMANA NA 
HP
DIA DA 
SEMANA NÚMERO HP
Segunda-feira 1
Terça-feira 2
Quarta-feira 3
Quinta-feira 4
Sexta-feira 5
Sábado 6
Domingo 7
Exemplo 2:
Uma pessoa comprou um terreno em 14 de maio de 2010 para pagamento 
em 120 dias, qual é a data de vencimento? Assuma a hipótese de que você 
normalmente expressa as datas no formato dia-mês-ano, portanto, pressione em 
sua HP as teclas g e em seguida a tecla do número 4 .
Esse comando ativa o formato dia-mês-ano para cálculos com data. O visor 
mostra a data do exemplo anterior. A data toda não é apresentada se o formato 
de apresentação em vigor é de apenas 2 dígitos decimais; caso queira aumentar 
a quantidade de dígitos, pressione a função amarela f e o número de casas que 
deseja pressionando o número correspondente. Ex.: 8 casas decimais ( f 8).
PRESSIONE VISOR
14.052010 ENTER 14,05201000
Introduza a data e insira o número de dias a ser adicionado.
PRESSIONE VISOR
120 g DATE 11.09.2010 6 
A data de vencimento é 11 de setembro de 2010, e o número 6 significa que 
esse dia era um sábado.
Exemplo 3:
Suponha que hoje é dia 11/10/2010 e você precisa saber que data era 35 dias 
antes de 11/10/2010.
Para saber em que dia da semana caiu ou cairá determinada data, veja os 
dados abaixo: 
38
UNIDADE 1 | APRESENTANDO A MATEMÁTICA FINANCEIRA
A data era 06/09/2010, uma segunda-feira.
Exemplo 4:
Você quer saber que data foi 35 dias atrás e a data de hoje é 03/05/2010.
PRESSIONE 
03.052010 ENTER 35 CHS g DATE => E a resposta será 29/03/2010, 
segunda-feira. 
Pressionando a tecla CHS após o número 35, a calculadora entende que 
tem que voltar 35 dias em relação à data informada. 
 
 g ∆DYS => apresenta o cálculo da quantidade de dias entre duas datas.
Exemplo:
Calcular a quantidade de dias existentes entre 10/03/2010 e 20/05/2010.
PRESSIONE 
10.032010 
ENTER
20.052010 
g ∆DYS RESPOSTA  71 dias 
10 AS TECLAS DE FUNÇÕES FINANCEIRAS
As teclas financeiras serão bastante utilizadas em nossos cálculos, com 
maior ênfase em capitalização composta e estaremos trabalhando nos exercícios 
na sequência do Caderno de Estudos. 
n  número de períodos
i  taxa de juros
PV  valor presente ou atual
PRESSIONE VISOR
11.102010 11.102010 
ENTER 11.102010
35 CHS - 35
g DATE 6.09.2010 1 
TÓPICO 4 | A CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C 
39
PMT  prestação ou valor do pagamento periódico
FV  valor futuro ou montante
f INT  juros simples (localizada na tecla i da HP como segunda função) 
40
RESUMO DO TÓPICO 4
Agora acredito que você já está um pouco mais familiarizado com a 
calculadora financeira. Nessa parte do Caderno de Estudos você aprendeu vários 
comandos da máquina, desde ligar e desligar até fazer os cálculos aritméticos 
de soma, subtração, multiplicação e divisão. Aprendeu também a trabalhar com 
percentuais, fazer cálculos envolvendo datas. Enfim, já está conhecendo melhor a 
HP 12C. Em relação às teclas financeiras apresentadas anteriormente, veremos sua 
utilização no decorrer do caderno.
41
AUTOATIVIDADE
Agora vamos exercitar um pouco do que você aprendeu nesse 
tópico. Lembre-se, a princípio essa calculadora parece difícil, mas você vai se 
acostumando e, quando menos perceber, já não consegue mais ficar sem ela.
1 Resolva os exercícios abaixo:
a) (20 – 3 ) • ( 3 + 5) =
b) (65 • 2) + (10 – 2 ) =
c) 
d) (8 – 3)5 =
2 Calcule a quantidade de dias existentes entre 21/01/2010 e 30/05/2010.
3 Calcule em que dia da semana caiu o dia 25/11/2010.
4 Você comprou um carro por R$ 20.000,00 e o revendeu por R$ 22.500,00. De 
quantos por cento foi sua margem de lucro no negócio?
5 Quanto representa em percentual o valor de R$ 20.000,00 em relação a R$ 
250.000,00?
6 Um telefone celular foi comprado por R$ 300,00 e vendido com um lucro de 
40% sobre o preço de custo. Por quanto foi vendido esse aparelho?
7 Carlos comprou uma máquina digital por R$ 600,00 e a vendeu a um amigo 
por R$ 500,00. Calcule o prejuízo em percentual.
8 Um cliente foi até uma loja com o objetivo de comprar uma televisão de 42 
polegadas. Na loja essa televisão possuía um preço de etiqueta X e, sobre 
esse preço de etiqueta, foi concedido um desconto de 8% para que o cliente 
levasse a televisão. Sabendo que o cliente fechou negócio com a loja e pagou 
com o desconto o valor de R$ 1299,00, calcule qual era o valor de etiqueta 
dessa televisão.
9 Calcule que data foi 34 dias depois de 13/11/2010.
10 Calcule que data foi 22 dias antes de 02/10/2010.
11 Calcule a quantidade de dias existentes entre 20/05/2010 e 30/12/2010.
42
43
UNIDADE 2
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade você será capaz de:
• compreender como funciona o sistema de capitalização simples; 
• conseguir efetuar cálculos envolvendo juros simples;
• calcular montante em juros simples; 
• ter maior domínio na calculadora financeira.
Esta unidade está dividida em dois tópicos. Neles, você encontrará exercícios 
para fixação dos conteúdos estudados.
TÓPICO 1 – JUROS SIMPLES
TÓPICO 2 – DESCONTO SIMPLES
Assista ao vídeo 
desta unidade.
44
45
TÓPICO 1
JUROS SIMPLES
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico vamos desenvolver as fórmulas básicas de juros simples 
e mostrar suas aplicações por meio de exemplos numéricos. O regime de juros 
simples é utilizado no mercado financeiro, porém com menor frequência, e com 
maior aplicabilidade nas operações de curto prazo, em função da simplicidade 
de seu cálculo. Os juros simples são proporcionais ao tempo decorrido e incidem 
apenas sobre o capital inicial. Os juros resultam do produto do capital pela taxa 
de juros e pelo número de períodos.
2 FÓRMULA PRINCIPAL
J = C · i · n
 Onde: j = Juros simples 
 C = Capital inicial ou principal (valor presente)
 n = Tempo de aplicação
 i = Taxa de juro unitária (taxa de juros dividida por 100)
2.1 FÓRMULAS DERIVADAS DA PRINCIPAL 
2.2 TRANSFORMANDO A TAXA
Ao utilizar as fórmulas apresentadas anteriormente na solução dos 
problemas, você precisará inserir as taxas na forma decimal ou unitária. Portanto, 
deverá dividir a taxa informada por 100 e o resultado encontrado deverá ser 
inserido na fórmula como taxa.
JurosC
i n
=
⋅
Jurosn
C i
=
⋅
Jurosi 100
C n
= ⋅
⋅
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
46
Exemplo: 
Se a taxa informada for 1,25%, deverá dividir 1,25/100 e o resultado 0,0125 
deverá ser inserido na fórmula.
Se você estiver utilizando sua HP, deverá aumentar as casas decimais da máquina 
pressionando a tecla f e em seguida a tecla do número 9. A calculadora passará a apresentar 
os resultados com9 casas decimais (0,000000000). Isso é importante, pois caso a máquina 
esteja com duas casas decimais somente, e se dividirmos 1,25 por 100, o resultado apresentado 
por ela será 0,01, ao invés de 0,0125.
2.3 AJUSTANDO A TAXA E O TEMPO
Ao utilizar as fórmulas de juros simples para solucionar os problemas, a 
taxa e o tempo devem ser colocados na mesma unidade de tempo. Portanto, se o 
exercício informar a taxa e o tempo em períodos diferentes, devemos transformá-
los em períodos iguais.
Nos exercícios a seguir utilizaremos o calendário comercial com os meses tendo 
30 dias e o ano 360 dias. A maioria das operações envolvendo Juros Simples são calculadas 
com juros comerciais. Portanto quando os exercícios citarem:
1 ano = 360 dias
1 mês = 30 dias
Mais tarde você aprenderá a efetuar cálculos com o Juro Exato em que os meses e os anos 
terão a quantidade de dias do calendário civil.
Exemplo 1
Tomou-se emprestada uma quantia de R$ 1.200,00 pelo prazo de 2 anos e à 
taxa de 30% ao ano. Qual o valor do juro simples a ser pago?
Solução pela fórmula
J = C • i • n
J = 1.200.0,30 • 2
J = 720
 
ATENCAO
IMPORTANT
E
TÓPICO 1 | JUROS SIMPLES
47
Na fórmula: Primeiramente devemos dividir a taxa por 100 e o resultado 
encontrado inserimos como taxa no exercício (0,30). Como a taxa e o tempo estão 
no mesmo período de tempo (ano), podemos efetuar a multiplicação dos valores e 
obter o resultado final.
Na calculadora financeira: Para efetuar o cálculo na HP pela fórmula J = 1200 
· 0,30 · 2, você deverá digitar conforme segue:
1.200 ENTER 0,30 x 2 x 
Logo mais você terá que fazer alguns exercícios!!! Lembre-se de dividir sempre a 
taxa por 100 para colocá-la na fórmula como decimal. Você deve também sempre ajustar a taxa 
e o tempo para um mesmo período de tempo. Lembre-se ainda de que, quando você busca a 
taxa como resposta, você deve multiplicar o resultado encontrado por 100, pois primeiro você 
a encontra de forma decimal e, ao multiplicar por 100, terá a taxa em percentual.
Exemplo 2
Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a uma taxa de 2% ao mês em juros 
simples e gerou juros de R$ 1.300,00. Sabendo essas informações, calcule por 
quantos meses o recurso ficou aplicado. 
Solução pela fórmula principal:
Note que na solução pela fórmula a taxa informada é mensal e a resposta 
também sai em meses. Caso tivéssemos uma taxa em ano, por exemplo, o tempo 
sairia em anos e precisaria ser ajustado para meses, conforme pede o exercício.
Solução pela HP usando a fórmula:
1.300 enter 5.000 enter 0,02 x ÷
Ao digitar o valor 1.300 e a tecla enter , a calculadora separa esse valor e 
fica à espera de um outro valor para efetuar o cálculo. Digitando em seguida 5.000 
e a tecla enter , a calculadora separa novamente esse segundo valor digitado e 
IMPORTANT
E
J C i n
1.300 5.000.0,02.n
1.300 100 n
1300 n 13
100
= ⋅ ⋅
=
= ⋅
= = meses
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
48
continua à espera de mais valores a serem digitados ou um comando de operação 
para efetuar o cálculo. 
Quando é digitado o valor 0,02 e a tecla x , a calculadora efetua a 
multiplicação do 0,02 pelo último valor digitado antes do enter , que foi 5.000, e, 
ao pressionar em seguida a tecla ÷ , a calculadora divide o primeiro valor digitado 
(1.300) pelo resultado da operação anterior (5.000 x 0,02), informando no visor 
finalmente a resposta final 13, ou seja, 13 meses.
Exemplo 3 
Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado durante 12 meses e produz juros de 
R$ 400,00. Sabendo essas informações, calcule a taxa mensal dessa aplicação.
 
Note que o problema pede como resposta uma taxa mensal, mas uma das 
informações do exercício é o tempo em meses. Utilizando o tempo em meses o 
resultado da taxa sai de forma mensal. Se o tempo fosse informado em anos, por 
exemplo, teria que ser ajustado e colocado em meses para gerar a taxa em meses.
Quando estamos calculando a taxa, devemos sempre multiplicar a resposta 
encontrada por 100 para transformar a taxa para percentual.
Solução pela HP:
400 enter 1.000 enter 12 x ÷
100 x
Exemplo 4
Um determinado capital foi aplicado durante 24 meses e a uma taxa de 
1,5% ao mês. Sabendo que os juros simples do período foram R$ 2.000,00, calcule 
o capital inicialmente aplicado.
DICAS
ao mês
J C i n
400 1.000 i 12
400 12 000 i
400 i 0,033333333.100
12.000
i 3,33%
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= =
=
TÓPICO 1 | JUROS SIMPLES
49
Solução pela HP:
2.000 enter 0,015 enter 24 x ÷
Logo em seguida você poderá praticar o que aprendeu fazendo alguns exercícios. 
Lembre-se de dividir a taxa por 100 quando ela for informada no exercício. Quando quiser 
encontrar a taxa, deve multiplicar o resultado encontrado por 100, transformando a taxa 
decimal para percentual.
Lembre-se ainda de ajustar a taxa e o tempo para um mesmo período de tempo.
AUTOATIVIDADE
1 Aplicou-se a importância de R$ 4.000,00 pelo prazo de 3 meses e à taxa de 
1,2% ao mês em juros simples. Calcule qual o valor do juro a receber.
2 Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200,00 se aplicado à 
taxa de 5% ao trimestre e durante o tempo de 4 trimestres no regime de juros 
simples.
3 Um capital de R$ 53.800,00 foi aplicado a uma taxa de 0,75% ao mês em juros 
simples. Sabendo essas informações e que o recurso foi aplicado por 2,5 
meses, calcule o valor dos juros dessa operação. 
4 Calcule qual o capital que deve ser aplicado à taxa de 1,2% ao mês em juros 
simples para que em 5 meses produza juros de R$ 400,00.
DICAS
Assista ao vídeo de
resolução da questão 4
Assista ao vídeo de
resolução da questão 3
J C i n
2.000 C 0,015 24
2.000 C 0,36
2.000 C 5.555,56
0,36
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅
= =
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
50
5 Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante 05 meses e rendeu juros de R$ 
50,00. Determine a taxa mensal dessa aplicação em juros simples.
6 Calcule por quantos meses deverá ficar aplicado um capital de R$ 1.000,00 
para render juros de R$ 150,00 sabendo-se que a taxa é de 1% ao mês no 
regime de juros simples.
7 Calcule qual o capital necessário para que em 4 meses renda juros de R$ 
1.440,00 a uma taxa de 14,4% ao ano.
8 Carlos aplicou o valor de R$ 3.200,00 e, após 8 meses, verificou que possuía 
além do capital mais R$ 500,00 de juros. Calcule a taxa mensal da aplicação. 
9 Calcule qual a taxa de aplicação mensal que faz com que o capital de R$ 
1.800,00 gere um juro de R$ 328,00, aplicado durante 2 anos.
10 Calcule qual o valor dos juros produzidos se aplicarmos um capital de R$ 
100.000,00 a uma taxa de 2,57% ao mês durante 2 anos e meio. 
11 Cláudio aplicou o valor de R$ 25.000,00 durante 3 anos e a uma taxa de 3% ao 
bimestre. Calcule o valor dos juros produzidos no regime de juros simples.
12 Calcule por quantos dias deverá ficar aplicado o capital de R$ 35.000,00 para 
gerar R$ 1.300,00 de juros se aplicado à taxa de 1,87% ao mês no regime de 
juros simples.
13 Calcule qual o capital que deverá ser aplicado para gerar juros no valor de R$ 
6.000,00 se aplicado em juros simples a uma taxa de 1,99% ao mês durante 5 anos.
Que bom que você resolveu os exercícios acima, assim você está mais preparado/a 
para seguir em frente!
3 JURO COMERCIAL E JURO EXATO
A técnica que estamos empregando no cálculo do juro simples (1 ano = 360 
dias) é a que denominamos JURO SIMPLES COMERCIAL. Entretanto, podemos 
obter o juro fazendo uso do número exato de dias do ano, 365 dias ou 366 dias, se 
for ano bissexto. Neste caso, o resultado é denominado JURO SIMPLES EXATO. 
Além disso, temos que levar em consideração o modo de obtenção 
do número de dias. Admitindoque cada mês tenha 30 dias, obtemos o tempo 
UNI
Assista ao vídeo de
resolução da questão 5
TÓPICO 1 | JUROS SIMPLES
51
3 JURO COMERCIAL E JURO EXATO
A técnica mais utilizada é a do cálculo do juro simples comercial para o número 
exato de dias, pois é a que proporciona o juro máximo em qualquer transação.
Exemplo de juro exato com tempo exato: 
Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% ao ano. 
Calcule o valor do Juro Exato resultante dessa aplicação.
Solução pela fórmula
 
Exemplo de juro comercial com tempo exato 
Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% ao ano. 
Calcule o valor do Juro Comercial resultante dessa aplicação:
Solução pela fórmula
Juro Comercial =
Juro Comercial =
Juro Comercial =
Juro Comercial =
aproximado; fazendo a contagem no calendário, obtemos o tempo exato.
Assim, tanto no juro simples exato como no juro simples comercial, o tempo 
pode ser exato ou aproximado.
IMPORTANT
E
Juro exato =
Juro exato =
Juro exato =
Juro exato =
C i n
365
10.000 0,36 40
365
144.000
365
394,52
⋅ ⋅
⋅ ⋅
C i n
360
10.000 0,36 40
360
144.000
360
400,00
⋅ ⋅
⋅ ⋅
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
52
AUTOATIVIDADE
Agora é a sua vez de exercitar!!!
1 Um capital de R$ 39.500,00 é aplicado por 65 dias e à taxa de 16% ao ano. 
Calcule o valor do juro exato e do juro comercial resultante dessa aplicação.
2 Um capital de R$ 56.400,00 é aplicado por 124 dias e à taxa de 12% ao ano. 
Calcule o valor do juro exato e do juro comercial resultante dessa aplicação.
3 Um capital de R$ 500.000,00 é aplicado por 76 dias e à taxa de 19% ao ano. 
Calcule o valor do juro exato e do juro comercial resultante dessa aplicação.
4 Um capital de R$ 7.000,00 é aplicado por 94 dias e à taxa de 22% ao ano. 
Calcule o valor do juro exato e do juro comercial resultante dessa aplicação.
3.1 DETERMINAÇÃO DO NÚMERO EXATO DE DIAS 
Podemos obter o número exato de dias entre duas datas utilizando a tabela 
de contagem de dias logo a seguir. Determine o número exato de dias de 11 de 
março a 18 de maio do mesmo ano. Procuramos na coluna relativa a dias o dia 
18 e, na linha relativa a meses, o mês de maio. Anotamos o número que se acha 
na intersecção (linha do dia 18 com a coluna do mês de maio), 138. Em seguida 
fazemos o mesmo para a data de 11 de março e encontramos 70.
O número exato de dias é dado por : 138 – 70 = 68 dias 
 
Se quisermos saber o número exato de dias de 20 de outubro a 15 de março 
do ano seguinte: inicialmente, calculamos o número de dias entre 20 de outubro e 
31 de dezembro: 365 – 293 = 72 dias , e, em seguida, somamos com os 74 dias que 
vão de 1 de janeiro até 15 de março.
72 + 74 = 146 dias 
Se for ano bissexto, somamos 1 ao número de dias (ano bissexto é divisível 
por 4), mas só se o mês de fevereiro estiver incluído na contagem. 
TÓPICO 1 | JUROS SIMPLES
53
DIAS JAN FEV MAR ABR MAIO JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 362
30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
31 31 90 151 212 243 304 365
FONTE: O autor 
QUADRO 1 – TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS
4 ESTUDO DAS TAXAS
Agora você verá exemplos e depois fará exercícios onde o tempo (n) e a 
taxa (i) estão em períodos de tempo diferentes.
Para isso é importante estudar as taxas proporcionais.
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
54
4.1 TAXAS PROPORCIONAIS
Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção 
com os tempos referentes a elas, reduzidos à mesma unidade. 
Assim, as taxas de 18% ao ano e 1,5% ao mês, por exemplo, são 
proporcionais, pois, se multiplicarmos 1,5% ao mês por 12 meses (1 ano), temos 
como resultado 18%.
Exemplos para facilitar o entendimento: 
Exemplo 1:
Calcule a taxa mensal proporcional à taxa de 30% ao ano.
Solução:
1 ano = 12 meses 
logo 30 ÷ 12 = 2,5 % ao mês
Então, se dividirmos a taxa de 30% ao ano pelos 12 meses do ano, temos 
como resultado a taxa mensal proporcional, que é 2,5% ao mês.
Exemplo 2:
Calcule a taxa mensal proporcional à taxa de 0,08% ao dia.
Solução:
1 mês = 30 dias
logo 0,08 x 30 = 2,4% ao mês 
Então, se multiplicarmos a taxa de 0,08% ao dia pelos 30 dias que há em um 
mês, temos como resultado a taxa mensal proporcional, que é 2,4 % ao mês.
Exemplo 3 : 
Calcule a taxa anual proporcional à taxa de 8% ao trimestre.
Solução:
1 ano = 4 trimestres 
logo 8 x 4 = 32% ao ano 
Então, se multiplicarmos a taxa de 8% ao trimestre pelos 4 trimestres que 
há em um ano, temos como resultado a taxa anual proporcional, que é 32% ao ano.
TÓPICO 1 | JUROS SIMPLES
55
4.1 TAXAS PROPORCIONAIS
Lembrete:
1 bimestre = 2 meses = 60 dias
1 trimestre = 3 meses = 90 dias
1 quadrimestre = 4 meses = 120 dias
1 semestre = 6 meses = 180 dias
1 ano = 12 meses = 360 dias
AUTOATIVIDADE
Agora é a sua vez de exercitar para fixar os conhecimentos adquiridos. 
Se o resultado da taxa proporcional for “quebrado”, arredonde com duas casas 
após a vírgula.
1 Calcule a taxa mensal proporcional à taxa de: 
a) 9% ao trimestre. 
b) 24% ao ano. 
c) 0,04% ao dia. 
2 Calcule a taxa anual proporcional à taxa de:
a) 1,5% ao mês. 
b) 8% ao trimestre.
c) 0,05% ao dia.
3 Calcule a taxa bimestral proporcional à taxa de:
a) 12% ao ano.
b) 6,5% ao semestre. 
c) 4% ao quadrimestre.
4 Calcule a taxa diária proporcional à taxa de:
a) 19% ao ano.
b) 4,9% ao semestre. 
c) 2,5% ao quadrimestre.
5 Calcule a taxa trimestral proporcional à taxa de 0,06% ao dia.
6 Calcule a taxa anual proporcional à taxa de 0,12% ao dia.
DICAS
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
56
Parabéns!!! Você resolveu todos os exercícios... Vamos em frente.
4.2 TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital durante 
o mesmo período, produzem o mesmo juro.
Exemplo :
Calcule o juro produzido pelo capital de R$ 2.000,00 aplicado:
a) à taxa de 4% ao mês durante 06 meses;
b) à taxa de 12% ao trimestre durante 2 trimestres.
Solução a:
J = C • i • n
J = 2.000 • 0,04 • 6
J = 480,0
Solução b:
J = C • i • n
J = 2.000 • 0,12 • 2
J = 480,0
Como os juros produzidos são iguais, podemos dizer que a taxa de 4% 
ao mês e a taxa de 12% ao trimestre são taxas equivalentes. Logo mais você terá 
alguns exercícios para resolver, nos quais, primeiramente, você deverá achar a 
taxa proporcional para depois aplicar na fórmulade juros simples para resolver 
o problema.
Quando calculamos na fórmula, utilizamos a taxa proporcional com todas as 
casas decimais.
UNI
DICAS
TÓPICO 1 | JUROS SIMPLES
57
Exemplo: 
1 Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses a uma taxa de 25% 
ao ano. Determine o juro obtido.
Solução pela fórmula:
Primeiro vamos descobrir a taxa proporcional mensal, pois o problema nos 
forneceu o dado em ano.
Taxa ano ÷ 12 = taxa mensal proporcional 
25 ÷ 12 = 2,083333333% ao mês
Legal, achamos a taxa proporcional ao mês e agora temos que dividi-la por 
100 para colocá-la na fórmula.
2,083333333 ÷ 100 = 0,020833333
Agora vamos aplicar os valores na fórmula:
J = C • i • n
J = 2.400 • 0,020833333 • 10
J = 499,9999999 ou 500,00
Solução pela calculadora HP 12C utilizando as teclas financeiras da 
calculadora:
F CLX
2400 CHS PV
25 i 
300 n 
f int visor  500,00
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
58
Na calculadora financeira deve-se digitar primeiro as teclas F e em seguida 
CLX para limpar as memórias da calculadora. Em seguida deve-se digitar o 
valor do capital, pressionar a tecla CHS para inserir o sinal negativo no valor e 
pressionar a tecla PV . Através desses comandos a máquina entende e armazena o 
capital. Digitamos em seguida a taxa em ano e pressionamos a tecla i e em seguida 
digitamos o tempo em dias e pressionamos a tecla n . A máquina vai armazenar 
a taxa e o tempo nas respectivas teclas. No final pressionamos a tecla f (segunda 
função) e em seguida a tecla i .
 Através desses comandos a máquina calcula o valor dos juros simples 
comerciais. Importante citar que não é preciso seguir essa sequência para a 
máquina efetuar os cálculos. Primeiro poderia ser digitada a taxa, o tempo e depois 
o capital para a máquina calcular o valor dos juros. Essas teclas financeiras são 
independentes e não precisam ser digitadas sequencialmente.
Solução pela calculadora HP 12C utilizando a fórmula:
25 enter 12 ÷ 100 ÷ 
2.400 X
10 x
Ao comandar na calculadora 25 enter 12 ÷ 100 ÷ , a calculadora acha a taxa 
proporcional ao mês e a divide por 100, encontrando o resultado 0,020833333. Em 
seguida, ao comandar 2.400 x , a calculadora multiplica o resultado anterior por 
2.400, encontrando e deixando no visor o valor 49,99999999. Por fim, digitamos 
na calculadora 10 x e a calculadora multiplica o resultado anterior por primeiro, 
encontrando, por fim, o valor 499,9999999 ou arredondando para duas casas após 
a vírgula 500,00.
Lembre-se de que, ao calcular na calculadora financeira utilizando a função 
financeira, deve-se lançar a taxa em mês e o tempo em dia. Como utilizamos o calendário 
comercial => 10 meses · 30 dias = 300 dias. 
Nos exercícios a seguir você perceberá que o tempo nos problemas pode estar 
em períodos, como, por exemplo: anos, meses e dias. Sugerimos que altere o tempo total 
e a taxa para dias, pois fica mais fácil para resolver. Lembre-se, estamos trabalhando com o 
calendário comercial (mês = 30 dias e ano = 360 dias).
DICAS
IMPORTANT
E
TÓPICO 1 | JUROS SIMPLES
59
Mais um exemplo para você entender melhor!!! 
1 Calcule o valor do juro correspondente se aplicarmos um capital de R$ 
18.500,00 durante 2 anos, 4 meses e 10 dias a uma taxa de 36% ao ano. 
Solução pela fórmula:
Primeiro deve-se passar a taxa anual para diária, ou seja, achar a taxa 
proporcional ao dia.
36 ÷ 360 = 0,10% ao dia 
Agora que a taxa proporcional diária foi encontrada é preciso dividir essa 
taxa por 100 para passar a taxa de percentual para decimal.
0,10 ÷ 100 = 0,001
Como a taxa já está OK , o próximo passo é ajustar o tempo para dia.
Logo,
2 anos = 720 dias 
4 meses = 120 dias
10 dias = 10 dias
Total de dias  850 dias
Agora vamos aplicar os valores na fórmula:
J = C • i • n
J = 18.500• 0,001 • 850
J = 15.725
Solução pela calculadora HP 12C utilizando as teclas financeiras da 
calculadora:
F CLx
18.500 CHS PV
36 i 
850 n 
f int visor  15.725,00
Solução pela calculadora HP 12C utilizando a fórmula:
36 enter 360 ÷ 100 ÷ 
18.500 x
850 x
Como você pode perceber, em 2 anos, 4 meses e 10 dias o capital de R$ 
18.500,00 rende somente de juros 15.725,00.
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
60
Agora é a sua vez de praticar. Que tal fazer alguns exercícios?
AUTOATIVIDADE
1 Calcule o valor do juro resultante de uma aplicação de R$ 32.500,00 a uma 
taxa de 18% ao ano durante 1 ano, 3 meses e 2 dias. 
2 Calcule o valor do juro de um capital de R$ 5.000,00 em regime de juros 
simples aplicados durante 2 anos e 4 meses e à taxa de 24% ao ano. 
3 Calcule os juros produzidos por um capital de R$ 15.000,00 se aplicado à taxa 
anual de 3,75% ao bimestre durante 6 meses. 
4 Uma aplicação de R$ 300,00 gerou juros de R$ 68,00 quando aplicada à taxa de 
3% ao mês. Calcule por quantos dias esse recurso ficou aplicado. 
5 Se Alberto investir R$ 4.000,00 durante 1 ano e 20 dias ele receberá somente 
de juros R$ 3.200,00. Sabendo essas informações, calcule a taxa diária dessa 
aplicação.
6 Calcule qual o capital que produz juros no valor de R$ 15.000,00 se aplicado à 
taxa trimestral de 3,25% durante 2 anos e 4 meses. 
7 Calcule qual a taxa mensal necessária para que um capital de R$ 50.000,00 
produza juros no valor de R$ 3.940,00 aplicados durante 2 anos e 43 dias. 
8 Calcule por quantos dias deve ser aplicado o capital de R$ 100.000,00 para 
formar juros de R$ 10.800,00 se aplicado à taxa de 1,99% ao bimestre. 
Muito bem!!! Agora que você já resolveu os exercícios, vamos continuar a matéria.
UNI
UNI
TÓPICO 1 | JUROS SIMPLES
61
5 MONTANTE
O montante é a soma do capital inicial (PV) com o juro relativo ao período 
de capitalização, ou seja, é o capital aplicado somado ao juro acumulado do período 
em que o recurso foi aplicado. 
MONTANTE = CAPITAL + JURO
Porém, existe uma fórmula para chegarmos direto ao resultado do 
montante.
Fórmula: 
M = C (1 + i • n)
Exemplos resolvidos:
Exemplo 1:
Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 
durante 15 meses e à taxa de 3% ao mês em juros simples?
Solução 1: fórmula do montante:
Observe que a taxa de juros foi informada mensal. Assim, basta apenas 
dividir por 100 e inserir o resultado encontrado na fórmula, pois o tempo está em 
meses. 
 
M = C • (1 + i • n)
M = 28.000 • (1 + 0,03 • 15)
M = 28.000 • (1 + 0,45)
M = 28.000 • 1,45
M = 40.600,00
 
Solução 2: fórmula dos juros simples:
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
62
J = C • i • n
J = 28.000 • 0,03 • 15
J = 12.600
Após encontrar o valor dos juros, soma-se este ao valor do capital e o 
resultado será o montante.
Montante = Capital + Juros
Montante = 28.000 + 12.600
Montante = 40.600
Solução pela HP 12C. Fórmula dos juros simples:
3 enter
100 
÷
28000 x
15 x Visor  12.600,00
Após, é só somar o valor encontrado com o capital, ou seja,
12.600 enter 
28.000 + Visor  40.600,00 
 
Exemplo 2:
Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 14.800,00 
daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juros simples?
 
Solução pela fórmula do montante:
Dados fornecidos no problema: 
Montante = 14.800,00
n = 18 meses
i = 48% ao ano 
 
Observação:
Primeiro é preciso encontrar a taxa proporcional mensal, pois o problema 
informou a taxa anual e o tempo em meses. Então, o correto é dividir a taxa de 48% 
por 12 meses e encontramos a taxa mensal proporcional.
 48 ÷ 12 = 4% ao mês  Essa é a taxa proporcional em mês.
TÓPICO 1 | JUROS SIMPLES
63
4 ÷ 100 = 0,04  Essa é a taxa mensal dividida por 100 para inserir na 
fórmula.Agora, aplicando os dados na fórmula,
M = C • (1 + i • n)
14.800 = C • (1 + 0,04 • 18)
14.800 = C • (1 + 0,72)
14.800 = C • 1,72
Não foi utilizada a fórmula dos juros simples (J = C · i · n), pois não foi informado 
o valor do capital e também não foi informado o valor dos juros. Portanto, existiriam duas 
variáveis em aberto.
ERRO COMUM  Note que na fórmula o valor que estava multiplicando dentro 
dos parênteses passou para o outro lado com a função inversa, ou seja, dividindo. Muitas 
pessoas erram esse cálculo por não saber utilizar direito o que aprenderam na matemática 
básica: “Se um valor está multiplicando de um lado, ele passará para o outro lado dividindo”.
Nesse caso, pela HP só podemos resolver pela fórmula, ou seja:
4 enter 
100 ÷
18 x
1 +
enter
14800
X ><Y
÷
IMPORTANT
E
IMPORTANT
E
14.800C 8.604,65
1,72
= =
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
64
Primeiro é preciso dividir a taxa 4% por 100 e em seguida resolver o que está 
dentro dos parênteses, ou seja, multiplicar 0,04 por 18 e em seguida somar 1 ao resultado 
da multiplicação anterior. Posteriormente deve-se pressionar a tecla enter para separar esse 
resultado anterior do próximo valor digitado a ser 14.800. Em seguida deve-se pressionar a 
tecla para a troca da posição de valores digitado, pois, caso contrário, seria dividido1,725 por 
14.800. Ao pressionar a tecla x><Y a calculadora altera a ordem dos valores digitados e, por fim, 
deve-se pressionar a tecla de divisão para obter o resultado final da operação.
Exemplo 3:
Calcule por quantos meses deve ser aplicado o capital de R$ 8.000,00 a uma 
taxa de juros de 16% ao ano para obter um montante de R$ 8.320,00. 
Solução pela fórmula do montante: 
Como o problema pede para calcular o tempo em meses, é recomendável 
que você divida a taxa fornecida em ano por 12, pois assim é encontrada a taxa 
mensal proporcional.
16 ÷ 12 = 1,333333333% ao mês.
1,333333333 ÷ 100 = 0,013333333
Ou seja, 3 meses.
DICAS
M C (1 i n)
8.320 8.000 (1 0,01333333 n)
8.320 (1 0,013333333 n)
8.000
1,04 1 0,013333333 n
1,04 1 0,013333333 n
0,04 0,013333333 n
0,04n 3
0,013333333
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
= + ⋅
= + ⋅
− = ⋅
= ⋅
= =
TÓPICO 1 | JUROS SIMPLES
65
Solução do mesmo exemplo pela fórmula dos juros simples: 
Como o valor dos juros é a diferença entre o capital aplicado e o montante, 
e neste exercício são informados esses dois valores (Capital e Montante), ao fazer 
a subtração (8.320 – 8.000), pode-se obter o valor dos juros. Achando o valor dos 
juros (320) pode-se, assim, utilizar a fórmula dos juros simples para resolver esse 
cálculo, pois é mais fácil. Veja a seguir:
Calculando o valor dos juros: 
J = M – C 
J = 8320 – 8000
J = 320 
Em seguida deve-se aplicar os dados na fórmula dos juros simples:
Caso fosse inserida na fórmula a taxa anual, a resposta do tempo sairia também 
em anos (0,25) e no final do cálculo seria preciso multiplicar esta resposta de 0,25 por 12 para 
encontrar o tempo em meses correspondentes, ou seja, 0,25 anos x 12 = 3 meses. 
Note que o valor do capital 8.000 estava multiplicando e foi passado para o outro 
lado dividindo. Depois o número 1, que estava somando, passou também para o outro lado 
subtraindo e, por fim, o valor 0,013333333, que estava multiplicando, passou para o outro lado 
dividindo, onde foi encontrado, no final, o valor de 3 meses.
IMPORTANT
E
DICAS
J C i n
320 8.000 0,01333333 n
320 106,6666666 n
320n 3
106,6666666
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅
= = meses
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
66
Como sugestão indicamos a leitura das páginas 19 a 31 do Livro MATEMÁTICA 
FINANCEIRA FUNDAMENTAL, escrito por Udibert Reinoldo Bauer, Editora Atlas, Edição 2003 . 
Acredito que ajudará a solidificar mais o conhecimento adquirido.
DICAS
67
RESUMO DO TÓPICO 1
Parabéns, acadêmico/a!
Você avançou mais uma etapa do Caderno de Estudos. Nesse tópico você 
aprendeu que os Juros Simples, como o nome diz, são realmente simples para 
calcular. Você estudou que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, 
não incidindo sobre os juros. Também apresentamos maneiras de como calcular o 
capital, a taxa e o tempo, exercitando bastante os conhecimentos adquiridos.
Em seguida exercitamos cálculos envolvendo o montante, que nada mais é 
do que a soma do capital com os juros do período de aplicação.
Enfim, você está uma “fera” em juros simples!
Parabéns mais uma vez !!!
68
AUTOATIVIDADE
Faça os exercícios a seguir. São atividades que envolvem todo o 
conteúdo desse tópico.
1 Calcule durante quantos meses uma aplicação de R$ 200.000,00 rende um 
montante de R$ 240.000,00 se aplicada em juros simples e a taxa for 2,5% ao 
mês.
2 Calcule em quantos meses uma aplicação de R$ 26.250,00 pode gerar um 
montante de R$ 44.031,00 considerando uma taxa de 30% ao ano, em juros 
simples.
3 Determine o valor do capital inicial que, aplicado a uma taxa de 27 % ao ano 
em juros simples, acumulou em 3 anos, 2 meses e 20 dias um montante de 
R$ 586.432,00.
4 Determine qual o capital que, aplicado durante 20 trimestres e a uma taxa de 
3% ao mês em juros simples, rende R$ 62.640,00 de juros.
5 Calcule a que taxa anual deve ser aplicado o capital de R$ 48.500,00 para que 
acumule em 1 ano e 2 meses um montante de R$ 65.475,00, em juros simples.
6 Uma pessoa aplicou o capital de R$ 21.000,00 em um banco; em 3 meses 
retirou o montante de R$ 22.575,00. Sabendo essas informações, calcule qual 
a taxa de juro mensal dessa aplicação, em juros simples.
7 Calcule qual a quantidade de dias necessários para que um capital de R$ 
96.480,00 renda juros de R$ 79.375.00 se aplicado à taxa de 25% ao ano, em 
juros simples.
8 Calcule qual é a taxa mensal que faz com que um capital de R$ 6.600,00 renda 
juros simples de R$ 1.090,32 durante 7 meses.
9 Calcule qual capital produz R$ 18.000,00 de juros simples se for aplicado a 
uma taxa de 3% ao mês durante 60 dias. 
10 Calcule a taxa semestral que faz com que um capital de R$ 8.225,00 produza 
um montante de R$ 10.495,00 durante 240 dias.
11 Um capital de R$ 300.000,00 é aplicado por 66 dias à taxa de 19% ao ano. 
Calcule o valor do juro exato e do juro comercial resultante dessa aplicação.
69
12 Calcule a taxa mensal proporcional à taxa de 36% ao ano.
13 Calcule qual o capital inicial que gera um montante de R$ 123.400,00 se 
aplicado durante 24 meses a uma taxa trimestral de 5,3%, em juros simples.
14 Se aplicarmos um capital de R$ 6.800,00 durante 12,5 meses, retiramos o 
montante de R$ 7.645,30. Calcule a taxa bimestral de juros.
15 Calcule qual será o montante se aplicarmos o capital de R$ 27.650,00 a uma 
taxa de 1,45% ao trimestre durante 300 dias.
16 Calcule qual será o capital necessário para formar o montante de R$ 
227.000,00 se for aplicado a uma taxa de 1,90% ao mês e durante 2 anos e 7 
meses.
17 Calcule por quantos meses deverá ficar aplicado o capital de R$ 55.000,00 
para produzir juros de R$ 6.100,00 se aplicado a uma taxa de 1,25% ao mês.
18 Calcule qual será o montante se aplicarmos o capital de R$ 39.900,00 a uma 
taxa de 2,02% ao bimestre durante 9 meses.
Assista ao vídeo de
resolução da questão 1
70
71
TÓPICO 2
DESCONTO SIMPLES
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
A ideia de desconto normalmente está associada a algum abatimento dado 
a um valor monetário, em determinadas situações. Assim, por exemplo, quando 
uma compra é feita em grande quantidade, é comum o vendedor conceder algum 
desconto no preço do produto.
No comércio também é comum o vendedor conceder um prazo para o 
pagamento. Caso o comprador queira pagar à vista, geralmente é concedido um 
desconto sobre o preço oferecido.
Mas, nesse Caderno de Estudos, você vai estudar uma outra situação 
envolvendo o desconto, pois,quando uma empresa vende um produto a prazo, ela 
pode emitir uma duplicata contra o comprador, o que lhe dará o direito de receber 
do comprador em data futura, porém determinada, o valor combinado. Caso a 
empresa vendedora necessite de dinheiro antes da data do recebimento do título, 
poderá procurar uma instituição financeira e fazer uma operação de desconto, ou 
seja, de antecipação do valor que receberia no futuro.
Exemplificando de uma maneira mais fácil, uma outra situação de desconto 
seria a seguinte:
Carlos vai até uma loja comprar um aparelho de som e, como não tem 
dinheiro à vista para a compra do bem, emite um cheque pré-datado para 30 dias. 
A loja que vendeu o produto precisaria esperar os 30 dias para depositar o cheque 
e receber o valor referente à venda do aparelho de som. Mas, caso a loja precise do 
dinheiro antes dos 30 dias, ela pode levar esse cheque até um banco ou factoring e 
efetuar uma operação de desconto. O banco ou a factoring fica com o “cheque pré” 
e desconta algum valor (juro) do valor do cheque e repassa um valor menor para a 
loja. A esse juro cobrado pelo banco ou factoring chamamos de desconto. Portanto, 
esse é um exemplo de uma operação de desconto.
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
72
2 CONCEITUANDO O DESCONTO SIMPLES
3 CONCEITOS E SIMBOLOGIAS COMUNS NAS 
OPERAÇÕES DE DESCONTO
Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre 
o valor nominal (do título no vencimento) e o valor atual. Portanto, o desconto é 
igual ao valor futuro do título menos o valor líquido recebido. 
Atualmente as empresas recorrem às instituições financeiras para efetuar 
operações de desconto de duplicatas, notas promissórias, cheques (pré-datados) 
e ainda ocorrem muitas operações de desconto de valores a receber em cartões de 
crédito.
Logo a seguir você aprenderá as principais palavras envolvidas nas 
operações de desconto e seus conceitos.
• Valor nominal (valor futuro ou de face): valor de face é o valor que consta no 
documento, representando o valor que deve ser pago na data de seu vencimento. 
É representado nas fórmulas pela letra “N”.
• Dia de vencimento: é o dia fixado no título para pagamento (ou recebimento).
• Valor líquido (valor atual): é o valor recebido pelo cliente após a operação de 
desconto ser realizada. Corresponde à diferença entre o valor do título menos o 
valor descontado. É representado nas fórmulas pelas letras “VL”.
• Tempo ou prazo: é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia 
o título e o de seu vencimento. É representado nas fórmulas pela letra “n”.
4 DESCONTO COMERCIAL SIMPLES OU BANCÁRIO
Ao falarmos em desconto, há livros que trazem o desconto comercial e 
o desconto racional, mas em nosso Caderno de Estudos vamos tratar apenas do 
desconto bancário, pois é o mais utilizado.
 
Chamamos de desconto comercial o desconto equivalente aos juros simples, 
produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e a 
uma taxa fixada.
Você vai ver que o cálculo do desconto é bem parecido com o cálculo dos 
juros simples visto anteriormente.
Fórmula principal do desconto comercial simples:
TÓPICO 2 | DESCONTO SIMPLES
73
4 DESCONTO COMERCIAL SIMPLES OU BANCÁRIO
d = N • i • n 
d = valor do desconto comercial 
N = valor nominal do título 
n = tempo 
i = taxa de desconto
A taxa deve ser sempre dividida por 100 para colocar na fórmula; devem ser 
colocados a taxa e o tempo na mesma unidade, como nos cálculos de juros simples, ou seja, se 
colocar taxa diária, o tempo deve ser colocado em dias; se colocar a taxa em mês, o tempo deve 
acompanhar esta unidade.
Nos exercícios desse tópico, quando for necessário calcular a diferença de dias entre duas datas, 
utilize a tabela de contagem de dias que foi apresentada no início do estudo dos juros simples.
 Exemplo 1: 
1 Uma empresa emitiu uma duplicata com valor nominal de R$ 8.000,00 e 
com vencimento para 3 de novembro de 2010. No dia 16 de agosto de 2010, efetuou 
uma operação de desconto do título. O banco aplicou uma taxa de 2% ao mês de 
desconto bancário. Sabendo dessas informações, determine o valor do desconto.
Solução:
desconto = ?
Valor nominal = 8.000,00
Taxa mensal = 2% ao mês
Tempo: temos que calcular a diferença de dias entre as duas datas.
Pelas informações extraídas da tabela de contagem de dias
03/11  307
16/08  228
Quantidade de dias entre as duas datas  307 – 228 = 79 dias
Calculando os dias entre as duas datas pela HP 12C 
Primeiro deve-se verificar se a informação DMY consta no visor da 
calculadora. No caso de essas letras não aparecerem no visor da calculadora, deve-
se pressionar a tecla g e em seguida a tecla do número 4. 
DICAS
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
74
PRESSIONE VISOR
03.112010 enter 16.082010 g ∆DYS 79
Em seguida deve-se encontrar a taxa diária proporcional, pois o tempo está 
em dias. 
 2 ÷ 100 ÷ 30 = 0,000666667
Agora vamos aplicar os dados na fórmula do desconto:
d = N • i • n)
d = 8.000 • 0,000666666 • 79
d = 421,3
Solução pela fórmula na calculadora financeira:
2 enter 30 ÷ 100 ÷
8.000 x
79 x
Solução pelas teclas financeiras da HP 12C
f CLX
8000 CHS PV
24 i  2% x 12 meses = 24% taxa ano
79 n 
f int (segunda função do i ) 
Visor  421,33
Depois de digitar o dia na HP com duas casas decimais deve-se pressionar a tecla 
ponto, depois pressionamos os meses com duas casas decimais e em seguida o ano com 4 
casas decimais. A tecla ∆DYS está localizada como segunda função na tecla EEX , por esse 
motivo digitamos a tecla g antes da tecla ∆DYS .
DICAS
TÓPICO 2 | DESCONTO SIMPLES
75
Lembre-se: tanto nos juros simples como no desconto simples a taxa deve estar 
em ano e o tempo em dia. Por isso no exemplo anterior multiplicamos a taxa de 2% ao mês 
por 12 que resultou numa taxa anual de 24%.
Exemplo 2:
Um título com valor nominal de R$ 6.000,00 foi descontado em um banco, 
faltando 45 dias para o seu vencimento. Sabendo que a taxa de desconto comercial 
simples foi 2,1% ao mês, calcule o valor do desconto.
Solução pela fórmula:
N = 6.000 
n = 45 dias 
i = 2,1 % ao mês 
Como a taxa está em mês e o tempo em dias é preciso achar a taxa 
proporcional ao dia. Vamos fazer isso agora!!!
2,1% ao mês ÷ 30 dias = 0,07% ao dia ÷ 100 = 0,0007
Agora vamos inserir os dados na fórmula:
d = N • i • n
d = 6.000 • 0,0007 • 45
d = 189,00
A taxa foi dividida por 30 para achar a taxa diária proporcional, pois o tempo está 
em dias. Em seguida o resultado ainda foi dividido por 100 para transformar a taxa em decimal.
DICAS
DICAS
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
76
Esse exercício também poderia ser resolvido deixando o tempo em mês e a 
taxa em mês também. Nesse caso a solução ficaria assim:
d = N • i • n
d = 6.000 • 0,021 • 1,5
d = 189,00
Note que a letra “n” na fórmula foi substituída por 1,5 que é o resultado do 
tempo em meses.
 45 dias dividido por 30 dias = 1,5 meses 
Solução pela fórmula na calculadora financeira:
2,1 enter 100 ÷
6.000 x
1,5 x
Solução pela calculadora HP 12C: 
f CLX 
6000 CHS PV
45 n
25,20 i  2,1% ao mês x 12 meses = 25,20% que é a taxa em ano.
f int
Não se esqueça de limpar as memórias da calculadora sempre que iniciar um 
novo cálculo e através dos comandos f e CLX .
Caso você não tenha baixado o programa emulador da HP, no tópico anterior 
existe uma tabela para contagem de dias entre duas datas. Reveja para calcular a diferença de 
dias entre as datas.
DICAS
IMPORTANT
E
TÓPICO 2 | DESCONTO SIMPLES
77
AUTOATIVIDADE
Vamos exercitar um pouco!!!
1 Uma duplicata cujo valor nominal é R$ 2.200,00 foi descontada 3 meses antes 
de seu vencimento e a uma taxa de 30%ao ano. Calcule qual foi o valor do 
desconto.
2 Um título cujo valor nominal é R$ 8.400,00 e com vencimento em 18/10/2010 
é descontado em 20/07/2010. Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, 
calcule qual o valor do desconto.
3 Determine o valor do desconto de uma duplicata com valor nominal de 
R$ 3.000,00 descontada a uma taxa de 30% ao ano, 75 dias antes de seu 
vencimento. 
4 Determine o valor do desconto comercial de um título com valor nominal de 
R$ 4.600,00 que foi descontado 6 meses antes do vencimento e a uma taxa 
bimestral de 1,95%. 
5 Determine o valor do desconto de um título com valor nominal de R$ 15.235,86 
descontado à taxa de 3% ao trimestre, 90 dias antes do vencimento.
6 Carlos levou um cheque pré-datado com valor nominal de R$ 1.500,00 
em 18/12/2010 ao Banco BBC para desconto. Sabendo que o cheque tinha 
vencimento em 10/01/2011 e que a taxa cobrada de desconto comercial 
simples foi 1,95% ao mês, calcule o valor do desconto. 
Conseguiu resolver todos os exercícios? Não é tão difícil assim, é???
Agora você vai conhecer uma outra fórmula utilizada no desconto.
UNI
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
78
5 CÁLCULO DO VALOR LÍQUIDO
É calculado pela diferença entre o valor nominal (bruto) e o valor do 
desconto bancário. Podemos calcular o desconto e depois diminuir deste o valor 
nominal que acharemos, o valor líquido, ou, para chegarmos diretamente ao 
resultado, utilizamos a fórmula logo a seguir.
VL = N • (1 – i • n)
Exemplo:
Uma empresa emitiu uma duplicata com valor nominal de R$ 8.000,00 e 
com vencimento em 3 de novembro de 2010. No dia 16 de agosto de 2010 descontou 
o título em um banco que cobra taxa de 2% ao mês de desconto bancário. Sabendo 
essas informações, calcule o valor líquido recebido.
Solução pela fórmula: 
Primeiro é preciso calcular a quantidade de dias entre a data do desconto e 
a data do vencimento do título, utilizando a tabela para contagem de dias:
Pelas informações extraídas da tabela de contagem de dias
03/11  307
16/08  228
Quantidade de dias entre as duas datas  307 – 228 = 79 dias
Cálculo dos dias na HP 12C
16.082010 ENTER 03.112010 g ∆DYS  visor 79 dias 
Transformando a taxa mensal para diária:
2 ÷ 100 ÷ 30 = 0,000666667
Aplicando os dados na fórmula:
VL = N • (1 – i • n)
VL = 8.000 • (1 – 0,000666667 • 79)
VL = 8.000 • (1 – 0,052666693)
VL = 8.000 • 0,947333307
VL = 7.578,67
TÓPICO 2 | DESCONTO SIMPLES
79
5 CÁLCULO DO VALOR LÍQUIDO Solução pela fórmula utilizando a HP 12C
2 enter
100 ÷
30 ÷
79 X
1 –
CHS 
8.000 X 
Primeiro divide-se a taxa de 2% por 100 e por 30, e descobrimos a taxa 
diária correspondente. Em seguida multiplicamos o resultado encontrado por 79 
e o novo resultado é diminuído de 1, para posteriormente multiplicar o resultado 
por 8.000.
 
Esse mesmo exercício poderia ser resolvido pela fórmula do desconto visto 
anteriormente. Veja em seguida:
d = N • i • n
d = 8.000 • 0,000666667 • 79
d = 421,33
Depois que você descobriu o valor do desconto basta diminuir do valor 
nominal e pronto, descobriu o valor líquido.
VL = Valor Nominal – desconto
VL = 8.000 – 421,33
VL = 7.578,67 
AUTOATIVIDADE
Agora é a sua vez de praticar mais um pouco. Vamos lá!
 
1 Uma empresa descontou uma duplicata com valor nominal de R$ 16.000,00 
no Banco Delta, faltando 80 dias para o seu vencimento. Sabendo que o banco 
cobra taxa de 2,45% ao mês de desconto bancário, calcule o valor líquido 
recebido.
2 A Empresa BBC descontou um título com valor nominal de R$ 3.400,00 no 
Banco Delta faltando 46 dias para o seu vencimento. Sabendo que o banco 
cobra uma taxa de 2,67% ao bimestre para descontar este título, calcule o 
valor líquido recebido.
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
80
3 Um título com valor nominal de R$ 5.789,00 foi descontado a uma taxa 
de 1,89% ao mês, faltando 39 dias para o seu vencimento. Sabendo essas 
informações, calcule o valor líquido recebido.
Conseguiu resolver estas questões? Acho que não foi difícil assim, não é? Caso 
você tenha tido dificuldade, recomendo voltar algumas páginas e rever o conteúdo.
Agora vamos ver como calcular o valor nominal do título! 
6 CÁLCULO DO VALOR NOMINAL
O valor nominal é o valor do título no vencimento e pode ser calculado 
utilizando uma das duas fórmulas a seguir:
a) Caso o exercício forneça o valor líquido:
 
b) Caso o problema forneça o valor do desconto bancário:
Exemplo 1:
Uma empresa emitiu uma duplicata com vencimento em 3 de novembro 
de 2010. No dia 16 de agosto de 2010 descontou o título em um banco que cobrava 
taxa de 2% ao mês de desconto comercial simples, recebendo o valor líquido de R$ 
7.578,67. Sabendo essas informações, calcule o valor nominal do título. 
Solução pela fórmula:
N = ? 
A = 7.578,67 
i = 2% ao mês 
n = 79 dias 
UNI
Valor líquidoN
1 (i n)
 
=  
− ⋅ 
dN
i n
 
=  
⋅ 
TÓPICO 2 | DESCONTO SIMPLES
81
Transformação da taxa mensal para taxa proporcional diária
2 ÷ 30 = 0,066666667% ao dia 
Para inserir na fórmula deve-se ainda dividir a taxa por 100, lembra?
0,0666666667 ÷ 100 = 0,000666667
Agora, deve-se inserir os dados na fórmula. Note que utilizamos a fórmula 
a seguir, pois uma das informações do problema é o valor líquido. Se uma das 
informações fosse o valor do desconto, seria utilizada a outra fórmula.
Exemplo 2:
Uma empresa emitiu um título com vencimento em 3 de novembro de 
2010. No dia 16 de agosto de 2010 descontou o título em um banco que cobrava 
taxa de 2% ao mês de desconto comercial simples. O valor do desconto foi R$ 
421,33. Sabendo essas informações, calcule o valor nominal do título.
Solução pela fórmula:
N = ? 
d = 421,33
i = 2% ao mês
n = 79 dias
Transformação da taxa mensal em diária e a divisão por 100:
2 ÷ 30 ÷ 100 = 0,000666667
Valor líquidoN
1 (i n)
7.578,67N
1 (0,000666667 79)
7.578,67N
1 0,052666667
7.578,67N
0,947333333
N 8.000,00
 
=  
− ⋅ 
 
=  
− ⋅ 
 
=  
− 
 
=  
 
=
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
82
Solução pela HP 12C utilizando a fórmula:
Após ter feito a divisão da taxa 2% por 30 e por 100 e sabendo que o resultado 
é 0,000666667 pode-se dar os comandos abaixo na calculadora para solucionar o 
problema:
421,33 enter
0,000666667 enter
79 x 
÷
AUTOATIVIDADE
Agora exercite o que você aprendeu !!!
1 A Empresa BBC descontou um título no Banco Delta faltando 46 dias para o 
seu vencimento. Sabendo que o banco cobrou uma taxa de 2,34% ao bimestre 
para descontar o título e que o valor do desconto foi 1.357,00, calcule o valor 
nominal desse título.
2 Uma duplicata foi descontada no Banco Cofre Forte faltando 87 dias para o 
seu vencimento. Sabendo que o banco cobrou uma taxa de 1,69% ao mês para 
descontar a duplicata e que o valor do desconto foi 1.800,00, calcule o valor 
nominal dessa duplicata.
3 Um cheque pré-datado foi descontado no Banco Alfa faltando 55 dias para o 
seu vencimento. Sabendo que o banco cobrou uma taxa de 1,78% ao mês para 
descontar o cheque e que o valor líquido recebido foi 1.999,00, calcule qual era 
o valor nominal desse cheque.
dN
i n
421,33N
0,000666667 79
421,33N
0,052666667
N 7.999,94
=
⋅
=
⋅
=
=
TÓPICO 2 | DESCONTO SIMPLES
83
A seguir você vai descobrir como calcular a taxa de desconto, mas recomendo 
que, se estiver um pouco cansado(a), levante-se, dê uma esticadinha e volte logo mais.
7 CÁLCULO DA TAXA
Para calcular a taxa pode-se utilizar uma das fórmulas a seguir. Quando é 
feito o cálculo da taxa utilizando a fórmula, é preciso sempre multiplicar a resposta 
final por 100 para transformar a taxa em percentual.
O cálculo da taxa é feito utilizando uma das duas fórmulas que seguem:
a) Casoo exercício forneça o valor líquido:
VL = N • (1 – i • n)
b) Caso o problema forneça o valor do desconto bancário:
d = N • i • n
Exemplo 1: 
Uma empresa emitiu uma duplicata com o valor nominal de 8.000,00 e com 
vencimento em 3 de novembro de 2010. No dia 16 de agosto de 2010 descontou 
esse título em um banco. O valor do desconto foi de R$ 421,33. Sabendo essas 
informações, calcule a taxa mensal desse desconto.
Solução pela fórmula:
N = 8000,00 
d = 421,33 
n = 79 
i = Calcular a taxa mensal. 
Deve-se utilizar a fórmula d = N • i • n para resolver o exercício, pois uma 
das informações do problema foi o valor do desconto.
UNI
d N i n
421,33 8.000 i 79
421,33 632.000 i
421,33i 0,000666661
632.000
i 0,000666661 100 0,066666139% ao dia
0,066666139% 30 1,999984177% ao mês
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅
= =
= ⋅ =
⋅ =
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
84
Na solução do exercício foi utilizado o tempo em dias (79). Assim, a taxa sai de forma 
diária. Como o problema pedia a taxa mensal, como resposta multiplicamos a taxa dia encontrada 
por 100 para transformá-la em percentual e depois por 30 dias para transformá-la mensal.
Quando o exercício pede a taxa, pode-se arredondar a taxa para duas casas decimais após a 
vírgula. No caso do exemplo anterior a resposta arredondada ficaria 2% ao mês.
Solução pela HP 12C utilizando a fórmula:
421,33 enter
8.000 enter
79 x
÷
100 x
30 x
Exemplo 2: 
Uma empresa emitiu uma duplicata com o valor nominal de 8.000,00 e 79 
dias para o seu vencimento. Sabendo que o valor líquido recebido foi R$ 7.578,67, 
calcule a taxa mensal dessa operação de desconto.
Solução pela fórmula:
N= 8.000
VL = 7.578,67
N = 79 dias
i = ? mensal
Inserindo os dados na fórmula:
UNI
VL N (1 (i n)
7.578,67 8.000 (1 (i 79)
7.578,67 1 (i 79)
8.0000
0,947333750 1 i 79
0,052666250 i 79
0,052666250i 0,000666661
79
i 0,000666661 100 0,066666139% ao dia
i 0,066666139 30 1,999984177% ao mês
= ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅
= − ⋅
− = ⋅
− = − ⋅
−
= =
−
= ⋅ =
= ⋅ =
TÓPICO 2 | DESCONTO SIMPLES
85
Note que o valor de 8.000 estava multiplicando de um lado da fórmula e passou 
para o outro lado dividindo. Depois o 1, que estava somando de um lado, passou para o outro 
lado subtraindo, e por fim o 79 que estava multiplicando de um lado da fórmula passou ao 
outro lado dividindo.
Para não precisar fazer esse cálculo tão complexo, pode ser feito o que é demonstrado a seguir: 
Caso o exercício forneça como informação o Valor Nominal e o Valor Líquido, a diferença 
entre esses dois valores será o valor do desconto e a solução se dará conforme no exemplo 1.
desconto = Valor Nominal – Valor Líquido
desconto = 8.000 – 7.578,67
desconto = 421,33
Após encontrar o valor do desconto, o exercício pode ser solucionado 
utilizando os passos do exemplo 1, que acabamos de ver.
AUTOATIVIDADE
Agora é a sua vez de exercitar!
1 Um cheque pré-datado com valor nominal de R$ 3.000,00 foi descontado no 
Banco Alfa, faltando 80 dias para o seu vencimento. Sabendo que o valor do 
desconto foi R$ 430,00, calcule qual foi a taxa mensal dessa operação.
2 Um cheque pré-datado com valor nominal de R$ 8.000,00 foi descontado no 
Banco Alfa, faltando 50 dias para o seu vencimento. Sabendo que o valor 
líquido recebido foi R$ 1.030,00, calcule qual foi a taxa mensal dessa operação.
3 Uma duplicata de R$ 7.000,00 foi descontada no Banco Alfa faltando 34 
dias para o seu vencimento. Sabendo que o valor do desconto foi R$ 820,00, 
calcule qual foi a taxa mensal dessa operação.
Agora você aprenderá como é feito o cálculo do vencimento. Vamos lá!!!
DICAS
UNI
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
86
8 CÁLCULO DO VENCIMENTO (TEMPO)
Para calcular o tempo podemos utilizar uma das duas fórmulas que seguem: 
a) Caso o exercício forneça o valor líquido:
VL = N • (1 – i • n)
b) Caso o problema forneça o valor do desconto bancário:
d = N • i • n
Exemplo 1:
Uma empresa descontou uma duplicata com valor nominal de R$ 8.000,00 
e o valor do desconto foi R$ 421,33. Sabendo que a taxa de desconto cobrada foi 2% 
ao mês, calcule quantos dias faltavam para o seu vencimento.
Solução pela fórmula:
N = 8.000
i = 2% ao mês
d = 421,33
n = ? dias
Arredondando o tempo para duas casas decimais = 79 dias
Note que foi utilizada a taxa do desconto, pois uma das informações era o valor 
do desconto.
DICAS
d N i n
421,33 8.000 0,000666667 n
421,33 5,333333334 n
421,33n 78,99937499
5,333333334
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅
= =
TÓPICO 2 | DESCONTO SIMPLES
87
8 CÁLCULO DO VENCIMENTO (TEMPO)
Solução pela HP 12C utilizando a fórmula:
Considerando a taxa transformada para dia, ou seja, dividida por 30 e por 
100 (2 ÷ 30 ÷ 100).
421,33 enter
8.000 enter
0,000666667 x
÷
Exemplo 2:
Uma empresa descontou uma duplicata com valor nominal de R$ 8.000,00 
e o valor líquido recebido foi R$ 7.578,67. Sabendo que a taxa de desconto cobrada 
foi 2% ao mês, calcule quantos dias faltavam para o seu vencimento.
Solução pela fórmula:
N = 8.000
i = 2% ao mês
VL = 7.578,67
n = ? dias
Transformando a taxa mensal para diária:
2 ÷ 30 ÷ 100 = 0,000666667
Arredondando o valor para duas casas decimais = 79 dias.
VL N (1 (i n)
7.578,67 8.000 1 (0,000666667 n)
7.578,67 1 (0,000666667 n)
8.000
0,947333750 1 0,000666667 n
0,947333750 1 0,000666667 n
0,052666250 0,000666667 n
0,052666250n 78,99933550
0,000666667
= ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅
= − ⋅
= − ⋅
− = − ⋅
− = − ⋅
−
= =
−
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
88
Para não precisar fazer esse cálculo tão complexo, pode ser feito o que é 
demonstrado a seguir:
Caso o exercício forneça como informação o valor nominal e o valor líquido, a diferença entre 
esses dois valores será o valor do desconto e a solução se dará conforme no exemplo 1. 
desconto = Valor Nominal – Valor Líquido
desconto = 8.000 – 7.578,67
desconto = 421,33
Encontrando o valor do desconto, o exercício pode ser resolvido seguindo a solução do exemplo 1.
AUTOATIVIDADE
Agora é a sua vez de praticar... Vamos lá!
1 Uma empresa descontou uma duplicata com valor nominal de R$ 14.000,00 e 
o valor do desconto foi R$ 1.430,00. Sabendo que a taxa de desconto cobrada 
foi 1,54% ao mês, calcule quantos dias faltavam para o seu vencimento.
2 Uma empresa descontou uma duplicata com valor nominal de R$ 2.600,00. O 
valor líquido recebido foi R$ 2.312,00. Sabendo que a taxa de desconto cobrada 
foi 1,60% ao mês, calcule quantos dias faltavam para o seu vencimento.
3 Uma empresa descontou um cheque pré-datado com valor nominal de R$ 
4.600,00 e o valor líquido recebido foi R$ 3.812,00. Sabendo que a taxa de 
desconto cobrada foi 2,14% ao mês, calcule quantos dias faltavam para o seu 
vencimento.
4 Uma empresa descontou uma duplicata com valor nominal de R$ 9.900,00. 
O valor do desconto foi R$ 1.600,00. Sabendo que a taxa de desconto cobrada 
foi 1,87% ao mês, calcule quantos dias faltavam para o seu vencimento.
Conseguiu resolver os exercícios? Que bom, mais adiante você terá uma outra 
atividade!
DICAS
UNI
TÓPICO 2 | DESCONTO SIMPLES
89
AUTOATIVIDADE
Agora vamos exercitar mais um pouco do que aprendemos: 
1 Calcule qual será o valor do desconto bancário cobrado se uma duplicata de R$ 
22.000,00 for descontada faltando 3 meses para o seu vencimento e a uma taxa 
de desconto comercial simples de 15% ao ano.
2 Uma nota promissória com valor nominal de R$ 86.000,00 foi descontada 3 
meses e 15 dias antes do vencimento e com uma taxa de desconto comercial 
simples de 12% ao ano. Sabendo essas informações, calcule qual o valor líquido 
recebido.
3 Uma duplicata com valor nominal de R$ 18.000,00 foi descontada em um banco 
2 meses antes do vencimento e a uma taxa de desconto comercial simples de 
2,5% ao mês.Sabendo essas informações, calcule o valor do desconto.
4 Um cheque pré-datado com valor nominal de R$ 100.000,00 foi descontado 70 
dias antes de seu vencimento. A taxa desse desconto comercial simples é igual 
a 25% ao ano. Calcule o valor líquido recebido.
5 Uma duplicata com valor nominal de R$ 8.000,00 foi descontada e gerou um 
valor líquido de R$ 7.500,00. Sabendo que a taxa desse desconto comercial 
simples utilizada foi de 2,2% ao mês, obtenha a quantidade de dias que 
faltavam para o vencimento da duplicata. 
6 Uma duplicata foi descontada e gerou um valor líquido de R$ 234.375,00. 
Sabendo que quando foi descontada faltavam 50 dias para o seu vencimento e 
que a taxa desse desconto comercial simples foi 45% ao ano, calcule qual o seu 
valor nominal. 
7 Ao descontar um título de R$ 3.600,00 observo que o valor do desconto foi de 
R$ 486,00. Sabendo que quando foi descontado faltavam 90 dias para o seu 
vencimento, calcule qual a taxa mensal desse desconto comercial simples.
8 Uma operação de desconto foi realizada e o valor nominal de um título era 
R$ 4.800,00. Já o valor líquido recebido foi R$ 4.380,00. Sabendo que a taxa 
bancária do desconto comercial simples foi 3,5% ao mês, calcule quantos dias 
faltavam para o vencimento desse título quando foi descontado.
9 Qual é o valor do desconto bancário simples em que foi efetuado o desconto de 
uma duplicata com valor nominal de R$ 120.000,00, descontada 6 meses antes 
do vencimento e a uma taxa de 15% ao ano?
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
90
10 Uma nota promissória com valor nominal de R$ 286.000,00 foi descontada 
115 dias antes do vencimento e com uma taxa de desconto comercial simples 
de 12% ao ano. Calcule qual foi o valor líquido recebido.
11 Uma duplicata com valor nominal de R$ 68.500,00 foi descontada em um 
banco 2 meses antes do vencimento. Sabendo que a taxa de desconto comercial 
simples foi 4,5% ao mês, calcule o valor do desconto.
12 Um cheque pré-datado com valor nominal de R$ 425.000,00 foi descontado 70 
dias antes de seu vencimento e com uma taxa de desconto comercial simples 
igual a 35% ao ano. Calcule o valor líquido recebido.
13 Uma duplicata com valor nominal de R$ 10.000,00 foi descontada faltando 
65 dias para o seu vencimento. Sabendo que o valor líquido recebido foi R$ 
9.430,00, calcule a taxa mensal dessa operação de desconto comercial simples.
14 Uma duplicata de R$ 5.000,00 foi descontada faltando 89 dias para o seu 
vencimento. Sabendo que o valor líquido recebido foi R$ 4.560,00, calcule qual 
a taxa mensal desse desconto comercial simples.
Agora que você exercitou bastante poderá seguir em frente, pois está mais 
preparado/a. Mas, caso você já esteja estudando há mais de uma hora, dê uma volta, descanse 
um pouco e retome os estudos mais tarde.
9 PRAZO MÉDIO OU VENCIMENTO MÉDIO
Para conhecer o prazo médio é necessário calcular a média ponderada 
dos descontos através do prazo e valores nominais dos títulos apresentados para 
desconto.
De posse do prazo médio, os cálculos de descontos com vários títulos 
podem ser simplificados, ou seja, ao invés de fazer o cálculo do desconto de título 
por título, é calculado o prazo médio e efetuado um cálculo de desconto para todos 
os títulos ao mesmo tempo. Somam-se os valores nominais dos títulos e é feito o 
cálculo como se fosse um desconto de título com esse valor total. Em seguida você 
aprenderá a calcular apenas o prazo médio e, mais à frente, fará exercícios mais 
complexos em que são descontados vários títulos. 
Exemplo 1:
UNI
TÓPICO 2 | DESCONTO SIMPLES
91
Calcule o prazo médio das três duplicatas relacionadas:
R$ 2.000,00 com vencimento em 15 dias.
R$ 18.000,00 com vencimento em 27 dias.
R$ 32.000,00 com vencimento em 31 dias.
Na calculadora convencional, calculamos o prazo médio com a seguinte 
fórmula. 
Multiplicamos o valor nominal do título 1 pelo seu prazo em dias. Em seguida, 
fazemos o mesmo com o valor nominal do título 2 vezes seu prazo e assim sucessivamente 
até o término dos títulos. No final obtemos o prazo médio, dividindo o resultado da linha de 
cima da fórmula pelo resultado encontrado na soma dos valores nominais dos títulos. O prazo 
médio é calculado em dias.
Solução pela fórmula:
UNI
Valor Nominal1 dias) (Valor Nominal2 dias) (Valor Nominal3 dias) ...Prazo médio
Valor Nominal1 + Valor Nominal2 + Valor Nominal3 + ...
 ⋅ + ⋅ + ⋅ + 
=  
 
(2.000 15) (18.000 27) (32.000 31)Prazo médio
2.000 18.000 32.000
(30.000) (486.000) (922.000)Prazo médio
52.000
1.508.000Prazo médio 29 dias
52.000
 ⋅ + ⋅ + ⋅ 
=  
+ + 
 + + 
=  
 
 
= = 
 
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
92
Solução pela calculadora financeira HP 12C:
f CLX 
15 ENTER 2.000 ∑+ A tecla ∑+ está localizada na tecla que fica do lado 
esquerdo da tecla +.
27 ENTER 18.000 ∑+
31 ENTER 32.000 ∑+ 
g xw A tecla XW está localizada como segunda 
função na tecla do número 6.
Visor  29
Exemplo 2:
Calcule o prazo médio dos seguintes títulos:
 VALOR PRAZO 
 75.000,00 90 dias 
 83.000,00 120 dias 
 41.500,00 180 dias 
 20.000,00 60 dias 
Solução pela fórmula:
Solução pela calculadora financeira HP 12C:
Antes de iniciar o cálculo do prazo médio na HP, é preciso zerar os registradores 
financeiros da HP comandando a tecla f e em seguida a tecla CLX .
UNI
(75.000 90) (83.000 120) (41.500 180) (20.000 60)Prazo médio
75.000 83.000 41.500 20.000
(6.750.000) (9.960.000) (7.470.000) (1200.000Prazo médio
219.500
25.380.000Prazo médio
219.500
 ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ 
=  
+ + + 
 + + + 
=  
 
 
= = 
 
115,63 dias
TÓPICO 2 | DESCONTO SIMPLES
93
f CLX 
90 ENTER 75.000 ∑+ A tecla ∑+ está localizada na tecla que fica 
 do lado esquerdo da tecla +.
120 ENTER 83.000 ∑+
180 ENTER 41.500 ∑+ 
 60 ENTER 20.000 ∑+ 
g xw A tecla XW está localizada como 
 segunda função na tecla do número 6.
Visor  115,63 
O prazo médio pode ser arredondado para duas casas após a vírgula. No 
exemplo anterior, caso a sua HP esteja com 9 casas após a vírgula, o resultado desse cálculo 
é apresentado assim no visor da calculadora: 115,6264237. Para arredondar o resultado, basta 
comandar em sua calculadora as teclas f e em seguida a tecla do número 2 – a máquina 
arredonda o resultado para você. Em seguida comande novamente as teclas f e a tecla do 
número 9 para voltar a deixar a máquina com 9 casas decimais após a vírgula.
Agora é a sua vez de exercitar o cálculo do prazo médio! 
AUTOATIVIDADE
1 Calcule o prazo médio dos seguintes títulos:
 VALOR PRAZO
 300,00 25 dias
 200,00 48 dias 
 500,00 60 dias
 450,00 38 dias 
2 Calcule o prazo médio dos seguintes títulos:
 VALOR PRAZO
 900,00 75 dias
 700,00 78 dias 
 800,00 90 dias
 500,00 68 dias
UNI
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
94
3 Calcule o prazo médio dos títulos que seguem:
 VALOR PRAZO
 10.000,00 20 dias
 10.950,00 58 dias 
 8.000,00 18 dias
 5.000,00 39 dias
4 Calcule o prazo médio dos seguintes títulos:
 VALOR PRAZO
 4.000,00 12 dias
 7.950,00 83 dias 
 3.260,00 34 dias
 3.185,00 15 dias
Agora que você está craque em prazo médio, podemos seguir com nosso 
assunto...
Em seguida apresentamos um imposto que ésempre cobrado pelo governo 
federal nas Operações de Desconto de Títulos. Esse imposto chama-se IOF – 
Imposto sobre Operações Financeiras. 
Está a fim de conhecer melhor como funciona a cobrança desse imposto? 
Então vamos em frente!!!
10 O IMPOSTO SOBRE OPERAÇÕES FINANCEIRAS
O Imposto sobre Operações Financeiras é um imposto cobrado pelo governo 
sobre a maioria das operações de crédito e, entre elas, a de desconto. A taxa desse 
imposto atualmente é 0,0041% ao dia limitado a 1,5% ao ano. Para calcular o valor 
do IOF, diminuímos o valor do desconto do valor nominal do título. Assim, esse 
imposto é calculado sobre a diferença entre o valor do título e o valor do desconto 
bancário.
Então, para poder calcular o IOF, primeiro é preciso calcular o valor do 
desconto.
 
Fórmula do IOF
IOF = {(Valor Nominal – desconto) • 0,000041 • prazo em dias}
Exemplo 1: 
UNI
TÓPICO 2 | DESCONTO SIMPLES
95
Uma duplicata com valor nominal de R$ 1.800,00 foi descontada faltando 93 dias 
para o seu vencimento e a uma taxa de desconto bancário simples de 6% ao mês. Sabendo 
que nessa operação houve incidência de IOF com taxa de 0,0041% ao dia, calcule o valor 
do IOF cobrado na operação. 
Solução pela fórmula:
Dados que são informados:
N = R$ 1.800,00
n = 93 dias 
i = 6% ao mês 
 
Transformação da taxa mensal para taxa diária:
6 ÷ 30 = 0,20% ao dia 
Divisão da taxa por 100 para mudar de percentual para decimal:
0,20 ÷ 100 = 0,002
Calculando o valor do desconto:
d = N • i • n
d = 1.800 • 0,002 • 93
d = 334,80
Agora que foi descoberto o valor do desconto, é possível calcular o valor do 
Imposto sobre Operações Financeiras.
IOF = {(Valor Nominal – desconto) • 0,000041 • prazo em dias}
IOF = {(1.800 – 334,80) • 0,000041 • 93}
IOF = {(1.465,20) • 0,000041 • 93}
IOF = R$ 5,59
Note que a taxa do IOF é 0,0041% ao dia, mas, para colocar na fórmula, é preciso 
dividir essa taxa por 100. Na fórmula do IOF, esta taxa já está dividida por 100.
Exemplo 2:
Uma duplicata com valor nominal de R$ 8.000,00 foi descontada faltando 
38 dias para o seu vencimento a uma taxa de desconto bancário simples de 1,99% 
ao mês. Sabendo que nessa operação houve incidência de IOF em que a taxa é de 
0,0041% ao dia, calcule o valor do IOF cobrado na operação. 
Solução pela fórmula:
UNI
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
96
Dados que são informados:
N = R$ 8.000,00
n = 38 dias 
i = 1,99% ao mês 
 
Transformação da taxa mensal para taxa diária:
1,99 ÷ 30 = 0,066333333% ao dia 
Divisão da taxa por 100 para mudar de percentual para decimal:
0,066333333 ÷ 100 = 0,000663333
Calculando o valor do desconto:
d = N • i • n
d = 8.000 • 0,000663333 • 38
d = 201,65
Calculando o valor do IOF:
IOF = {(Valor Nominal – desconto) • 0,000041 • prazo em dias}
IOF = {(8.000 – 201,65) • 0,000041 • 38}
IOF = {(7.798,35) • 0,000041 • 38}
IOF = R$ 12,15
Agora, como de costume, vamos praticar um pouco mais realizando os 
exercícios que seguem.
AUTOATIVIDADE
1 Uma duplicata com valor nominal de R$ 8.000,00 foi descontada faltando 38 
dias para o seu vencimento e a uma taxa de desconto bancário simples de 
1,99% ao mês. Sabendo que nessa operação houve incidência de IOF e que a 
taxa foi de 0,0041% ao dia, calcule o valor do IOF cobrado na operação. 
2 A Empresa SolMaior descontou uma duplicata com valor nominal de R$ 2.030,00 
no Banco Creditudo faltando 38 dias para o seu vencimento e a uma taxa de 
desconto bancário simples de 1,59% ao mês. Sabendo que nessa operação houve 
incidência de IOF e a taxa foi de 0,0041% ao dia, calcule o valor do IOF cobrado na 
operação.
3 A empresa CCA descontou uma duplicata com valor nominal de R$ 6.000,00 
no Banco BBC faltando 38 dias para o seu vencimento e a uma taxa de 
desconto bancário simples de 1,09% ao mês. Sabendo que nessa operação 
houve incidência de IOF e a taxa foi de 0,0041% ao dia, calcule o valor do IOF 
cobrado na operação.
TÓPICO 2 | DESCONTO SIMPLES
97
Agora que você já exercitou bastante o IOF, você vai aprender a calcular a taxa efetiva.
11 TAXA EFETIVA
É a taxa real ou o custo real de uma operação de desconto. Essa taxa é 
denominada taxa de juro efetiva. Para o cálculo da taxa efetiva é levado em 
consideração o Imposto sobre Operações Financeiras, outras tarifas bancárias, 
enfim todas as despesas que o cliente teve para fazer a operação de desconto. Aqui 
vamos analisar a taxa efetiva de forma mensal para facilitar a comparação entre a 
taxa ofertada pela instituição financeira, ou factoring, e o custo real para o cliente .
Normalmente, como os bancos informam suas taxas de desconto de forma 
mensal, calculamos também a taxa efetiva de forma mensal, pois fica mais fácil 
visualizar a diferença entre a taxa informada pelo banco e a taxa real da operação.
Exemplo 1  Com um título apenas:
Um título com valor nominal de R$ 4.800,00 foi descontada à taxa de 3,5% 
ao mês faltando 90 dias para o seu vencimento. Sabendo que o banco que efetuou 
o desconto, além da taxa de juros, cobrou uma tarifa de abertura de crédito de R$ 
70,00 e que nessa operação houve tributação de IOF e a taxa foi de 0,0041% ao dia, 
calcule a taxa efetiva mensal para o cliente que efetuou o desconto.
Solução pela fórmula: 
Transformação da taxa mensal em diária e a divisão por 100:
 3,5÷30÷100 = 0,001166667
Em seguida é possível calcular o valor do desconto:
d = N • i • n
d = 4.800 • 0,001166667 • 90
d = R$ 504,00
UNI
Valor NominalTaxa Efetiva 1 100
Valor Líquido
   = − ⋅  
   
Valor Nominal 1 100
Valor Líquido
Taxa Efetiva Mensal 30
dias
   − ⋅  
   = ⋅{ }
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
98
Depois que foi calculado o valor do desconto, você deve calcular o IOF, 
pois o exercício informa que houve tributação de IOF.
IOF = {(Valor Nominal – desconto) • 0,000041 • prazo em dias}
IOF = {(4.800 – 504) • 0,000041 • 90}
IOF = {(4.296) • 0,000041 • 90}
IOF = R$ 15,85
Calculado o valor do IOF, o próximo passo é calcular o valor líquido, ou 
seja, quanto sobrou para o cliente que efetuou o desconto. Nesse exemplo existe 
um item que não havia aparecido nos exemplos e exercícios anteriores, que é a 
tarifa bancária. A tarifa bancária é uma tarifa cobrada pelo banco ou factoring que 
efetua o desconto. Portanto, quando existe uma operação de desconto é comum o 
banco ou a factoring cobrar esse valor, além dos juros que já cobram na operação. 
O IOF é um imposto que também é cobrado pelos bancos e factorings, mas 
não fica para eles, pois o repassam ao governo federal.
Cálculo do valor líquido:
Quando na operação de desconto houver a tributação de IOF e/ou Tarifa 
bancária (TAC), deve ser utilizada a fórmula a seguir:
Valor Líquido = Valor Nominal – desconto – Iof – Tarifa Bancária
Valor Líquido = 4.800 – 504 – 15,85 – 70
Valor Líquido = R$ 4.210,15
A outra fórmula do valor líquido que foi vista no começo do assunto desconto, 
só deve ser utilizada nos exercícios mais simples nos quais não existe a cobrança do IOF e/ou 
tarifa bancária, pois essa fórmula não os considera.
Depois de calculado o valor líquido, é possível calcular a Taxa Efetiva 
Mensal.
UNI
Valor Nominal 1 100
Valor Líquido
Taxa Efetiva Mensal 30
dias
   − ⋅  
   = ⋅{ }
4.800,00 1 100
4.210,15
Taxa Efetiva Mensal 30
90
  
− ⋅  
  = ⋅{ }
TÓPICO 2 | DESCONTO SIMPLES
99
Note que no corpo do exercício o banco informava que a taxa cobrada era 3,5% 
ao mês, porém, ao ser calculada a taxa efetiva mensal (custo real em percentual), podemos 
verificar que a taxa é 4,67%, isto porque o cálculo da taxa efetiva leva em consideração todos 
os custos bancários.
A resposta da taxa efetiva pode sercolocada com duas casas decimais após a vírgula.
A seguir demonstraremos um exemplo bem completo de exercício de desconto, 
ou seja, um exemplo envolvendo o desconto de vários títulos ao mesmo tempo, em que 
primeiro é preciso calcular o prazo médio, depois o valor do desconto, depois o valor do 
imposto sobre operações financeiras, o valor líquido recebido e por fim a taxa efetiva mensal, 
exatamente como ocorre no mercado financeiro atualmente.
Exemplo 2  Desconto envolvendo vários títulos:
Exemplo:
Uma empresa descontou em uma determinada data 4 duplicatas no Banco 
ABC. Esse banco que efetuou o desconto informou que cobra uma taxa de 3% ao 
mês de desconto comercial simples. Sabendo que o banco cobrou uma tarifa de R$ 
45,00 para efetuar o desconto e que nessa operação houve tributação do Imposto 
sobre Operações Financeiras na taxa de 0,0041% ao dia, calcule:
UNI
DICAS
{ }(1,140101897 1) 100
Taxa Efetiva Mensal 30
90
(0,140101897 100)Taxa Efetiva Mensal 30
90
14,01018970Taxa Efetiva Mensal 30
90
Taxa Efetiva Mensal 0,155668774 30
Taxa Efetiva Mensal 4,67%
− ⋅
= ⋅
⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
{
{
{
{
}
}
}
}
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
100
a) O valor do desconto. 
b) O valor do IOF cobrado na operação.
c) O valor líquido da operação.
d) A taxa efetiva mensal:
Relação dos títulos:
Valor Dias para seu vencimento
18.000,00 80
8.450,00 40 
7.630,00 45
5.380,00 32
Solução pela fórmula: 
Como existe mais de um título precisamos primeiro calcular o prazo médio 
dos títulos. Você ainda lembra como é feito o cálculo?
Solução pela fórmula:
Solução pela calculadora financeira HP 12C:
Antes de iniciar o cálculo do prazo médio na HP, é preciso zerar os registradores 
financeiros da HP comandando a tecla f e em seguida a tecla CLX .
UNI
(18.000 80) (8.450 40) (7.630 45) (5.380 32)Prazo médio
18.000 8.450 7.630 5.380
(1.440 000) (338.000) (343.350) (172.160)Prazo médio
39.460
2.293.510Prazo médio 58,12 dias
39.460
 ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ 
=  
= = = 
 ⋅ + + ⋅ 
=  
 
 
= = 
 
TÓPICO 2 | DESCONTO SIMPLES
101
f CLX 
80 ENTER 18.000 ∑+ A tecla ∑+ está localizada na tecla 
 que fica do lado esquerdo da tecla + .
40 ENTER 8.450 ∑+
45 ENTER 7.630 ∑+ 
32 ENTER 5.380 ∑+ 
g xw A tecla XW está localizada como segunda 
 função na tecla do número 6.
Visor  58,12 dias
A partir do momento em que encontramos o prazo médio de 58,12 dias, esse 
dado passa a ser o n de tempo do exercício e a soma dos títulos passa a ser o valor nominal. 
Daí em diante utilizamos sempre o n como 58,12 e o N como 39.460,00, esquecendo os 
valores individuais dos títulos.
Transformação da taxa mensal em diária e a divisão por 100:
 3 ÷ 30 ÷ 100 = 0,001
Em seguida é possível calcular o valor do desconto:
d = N • i • n
d = 39.460 • 0,001 • 58,12
d = R$ 2.293,41
Note que utilizamos como valor nominal o resultado da soma dos títulos e o 
tempo, como o prazo médio.
Depois que foi calculado o valor do desconto, você deve calcular o IOF, 
pois o exercício informa que houve tributação de IOF.
IOF = {(Valor Nominal – desconto) • 0,000041 • prazo em dias}
IOF = {(39.460 – 2.293,41) • 0,000041 • 58,12}
IOF = {(37.166,59) • 0,000041 • 58,12}
IOF = R$ 88,56
ATENCAO
ATENCAO
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
102
Cálculo do valor líquido:
Quando na operação de desconto houver a tributação de IOF e/ou tarifa 
bancária (TAC), deve ser utilizada a seguinte fórmula:
Valor Líquido = Valor Nominal – desconto – Iof – Tarifa Bancária
Valor Líquido = 39.460 – 2.293,41 – 88,56 – 45
Valor Líquido = R$ 37.033,03
Depois de calculado o valor líquido é possível calcular a taxa efetiva mensal.
AUTOATIVIDADE
Agora é sua vez, faça os seguintes exercícios para fixar os conhecimentos 
adquiridos: 
1 Em uma determinada data a empresa TERRA NOSTRA enviou um lote de 
cheques pré-datados para desconto no Banco ALFA. Sabendo que o banco 
cobra uma taxa de desconto comercial simples de 2,5% ao mês, uma tarifa de 
( ){ }
Valor Nominal 1 100
Valor Líquido
Taxa Efetiva Mensal 30
dias
39.460,00 1 100
37.033,03
Taxa Efetiva Mensal 30
58,12
1,065535280 1 100
Taxa Efetiva Mensal 30
58,12
Taxa Ef
   − ⋅  
   = ⋅
  
− ⋅  
  = ⋅
− ⋅
= ⋅
( )0,065535280 100
etiva Mensal 30
58,12
6,553528000Taxa Efetiva Mensal 30
58,12
Taxa Efetiva Mensal 0,112758569 30
Taxa Efetiva Mensal 3,38%
⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
{
{
{
{
{
{
}
}
}
}
}
}
TÓPICO 2 | DESCONTO SIMPLES
103
contrato no valor de R$ 30,00 para efetuar o desconto e que nesta operação 
existe a incidência de IOF, cuja taxa é de 0,0041% ao dia, calcule:
a) O prazo médio dos títulos.
b) O valor líquido recebido pela empresa.
c) A taxa efetiva mensal desta operação para a empresa. 
 
Valor Dias para o seu vencimento 
R$ 300,00 35
R$ 648,00 43
R$ 585,00 56
R$ 332,00 19 
2 Em uma determinada data a empresa Cosmos, precisando de recursos 
imediatos, enviou 3 duplicatas para serem descontadas na factoring Credijá. 
Sabendo que esta factoring cobra uma taxa de desconto comercial simples de 
4,5% ao mês, uma taxa de contrato no valor de R$ 50,00 para efetuar o desconto 
e que, nesta operação, existe a incidência de IOF, cuja taxa é de 0,0041% ao dia, 
calcule:
a) O prazo médio dos títulos.
b) O valor do imposto sobre operações financeiras.
c) O valor líquido recebido.
d) A taxa efetiva mensal.
3 Em um título com valor nominal de R$ 5.900,00 foi descontada a taxa de 1,85% ao 
mês faltando 75 dias para o seu vencimento. Sabendo que o banco que efetuou 
o desconto além da taxa de juros cobrou uma tarifa de abertura de crédito de R$ 
100,00, e que nessa operação houve tributação de IOF e a taxa foi de 0,0041% ao 
dia, calcule o valor do desconto, o valor do IOF da operação, o valor líquido e a 
taxa efetiva mensal para o cliente que efetuou o desconto.
4 Em um título com valor nominal de R$ 28.000,00 foi descontada a taxa de 2,15% 
ao mês faltando 41dias para o seu vencimento. Sabendo que o banco que efetuou 
o desconto, além da taxa de juros, cobrou uma tarifa de abertura de crédito de R$ 
140,00 e que nessa operação houve tributação de IOF e que a taxa foi de 0,0041% 
ao dia, calcule o valor do desconto, o valor do IOF da operação, o valor líquido e a 
taxa efetiva mensal para o cliente que efetuou o desconto.
Valor Dias para o vencimento
R$ 250,30 24
R$ 320,60 65
R$ 385,20 88
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
104
UFA!!! Esses exercícios deram trabalho, não é? Mas agora você já sabe efetuar 
todos os cálculos de descontos de títulos.
UNI
105
RESUMO DO TÓPICO 2
Você iniciou seus estudos neste tópico aprendendo palavras novas, como 
valor nominal, que é o valor do título no seu vencimento, e também como proceder 
para calculá-lo. Pôde também calcular o valor líquido de um título. Em seguida 
aprendemos a calcular a taxa, o tempo e o prazo médio dos títulos que é utilizado 
quando o objetivo é calcular o desconto de vários títulos ao mesmo tempo.
Com a taxa efetiva, pôde-se comparar qual a taxa real ou o custo real de uma 
operação de desconto em relação à taxa informada pela instituição financeira. E a 
essa altura, acredito que você já esteja bem mais familiarizado com a calculadora 
HP 12C.
106
AUTOATIVIDADE
1 Foi descontada a taxa de 4% ao mês de um título com valor nominal de R$ 
8.300,00, faltando65 dias para seu vencimento. Sabendo essas informações, 
calcule o valor do desconto.
2 Um título com valor nominal de R$ 5.250,00 foi descontado faltando 45 dias 
para seu vencimento. Sabendo que o valor líquido recebido foi R$ 4.800,00, 
calcule a taxa mensal de desconto.
3 Carlos descontou um título em que recebeu líquido o valor de R$ 10.900,00. 
Sabendo que a taxa de desconto foi 3,35% ao mês e que faltavam 73 dias para 
o vencimento do título, calcule o valor nominal deste título.
4 Uma nota promissória foi descontada a uma taxa anual de 24%. Sabendo 
que o valor nominal era de R$ 6.280,00 e que o valor líquido recebido foi R$ 
5.800,00, calcule quantos dias faltavam para o vencimento do título.
5 A empresa Lua Nova enviou uma relação de cheques para desconto no banco 
ALFA em uma determinada data. Sabendo que o banco cobra uma taxa de 
desconto comercial simples de 3,5% ao mês, uma taxa de contrato no valor 
de R$ 50,00 para efetuar o desconto e que nesta operação existe a incidência 
de IOF, cuja taxa é de 0,0041% ao dia, calcule:
a) O prazo médio dos títulos.
b) O valor do desconto.
c) O valor líquido recebido pela empresa.
d) A taxa efetiva mensal desta operação.
 
 Valor Dias para seus vencimento 
 R$ 180,00 55
 R$ 438,00 66
 R$ 545,00 77
 R$ 821,00 44
6 Uma duplicata foi descontada e gerou um valor líquido de R$ 344.355,00. 
Sabendo que, quando foi descontada, faltavam 60 dias para o seu vencimento 
e que a taxa desse desconto comercial simples foi 5% ao mês, calcule o seu 
valor nominal. 
7 Ao descontar um título de R$ 6.500,00 observamos que o valor do desconto 
foi de R$ 886,00. Sabendo-se que quando foi descontado faltavam 2 meses 
para o seu vencimento, calcule qual a taxa mensal desse desconto comercial 
simples.
107
8 Uma operação de desconto foi realizada e o valor nominal de um título era 
R$ 8.900,00. Já o valor líquido recebido foi R$ 8.500,00. Sabendo-se que a taxa 
bancária de desconto comercial simples foi 3,5% ao mês, calcule quantos 
dias faltavam para o vencimento desse título quando foi descontado.
9 Uma duplicata com valor nominal de R$ 12.000,00 foi descontada faltando 
68 dias para o seu vencimento, a uma taxa de desconto bancário simples 
de 1,99% ao mês. Sabendo-se que nessa operação houve incidência de IOF e 
que a taxa foi de 0,0041% ao dia, calcule o IOF cobrado nesta operação. 
10 A Empresa Maioral descontou uma duplicata com valor nominal de R$ 
6.660,00 no Banco Creditudo, faltando 98 dias para o seu vencimento e a 
uma taxa de desconto bancário simples de 1,59% ao mês. Sabendo-se que 
nessa operação houve incidência de IOF e que a taxa foi de 0,0041% ao dia, 
calcule o valor do IOF cobrado nesta operação. 
11 Em um título com valor nominal de R$ 18.800,00 foi descontada a taxa de 
1,65% ao mês, faltando 45 dias para o seu vencimento. Sabendo-se que o 
banco que efetuou o desconto, além da taxa de juros, cobrou uma tarifa de 
abertura de crédito de R$ 170,00 e que nessa operação houve tributação de 
IOF e que a taxa foi de 0,0041% ao dia, calcule a taxa efetiva mensal para o 
cliente que efetuou o desconto.
12 Determine o valor do desconto de uma duplicata com valor nominal de 
R$ 8.500,00 descontada a uma taxa de 20% ao ano, 35 dias antes de seu 
vencimento. 
13 Determine o valor do desconto comercial de um título com valor nominal 
de R$ 4.600,00 que foi descontado 6 meses antes do vencimento a uma taxa 
de 1,95% ao mês. 
14 Determine o valor do desconto de um título com valor nominal de R$ 
65.656,65 descontado à taxa de 3% ao bimestre, 20 dias antes do vencimento.
108
109
UNIDADE 3
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade, você será capaz de:
• compreender como funciona o regime de capitalização composta; 
• conseguir efetuar cálculos envolvendo juros compostos, prestações e 
amortização;
• dominar boa parte das funções da calculadora financeira. 
Esta unidade está dividida em três tópicos. Neles, você encontrará exercícios 
para fixação dos conceitos adquiridos.
TÓPICO 1 – JUROS COMPOSTOS
TÓPICO 2 – SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
TÓPICO 3 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Assista ao vídeo 
desta unidade.
110
111
TÓPICO 1
JUROS COMPOSTOS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Você já estudou o regime de capitalização simples, no qual o juro produzido 
por um capital é sempre o mesmo, qualquer que seja o período de tempo, pois 
ele é sempre calculado sempre sobre o capital inicial. No regime de Capitalização 
Simples, os Juros não geravam novos juros.
Agora você estudará o Regime de Capitalização Composta, que é o regime 
ou sistema mais utilizado atualmente. Nesse regime o juro, a partir do segundo 
período, é calculado sobre o montante do período anterior. Diante disso, podemos 
dizer que neste regime os juros também rendem juros.
 
Os juros compostos são popularmente chamados de juros sobre juros, ou 
regime de juros sobre juros. 
Se o período de capitalização for mês, dizemos que é capitalização mensal; 
se o período de capitalização for dia, dizemos que a capitalização é diária, e assim 
por diante. 
Assim, um capital de R$ 500,00 aplicado à taxa de 3% ao mês tem a seguinte 
evolução no regime de juros compostos:
Mês Juro Montante
0 - 500,00
1 500,00 . 0,03 . 1 515,00
2 515,00 . 0,03 . 1 530,45
3 530,45 . 0,03 . 1 546,36
Note a evolução do capital com os juros. Se fossem juros simples teríamos, no 
final do mês 3, um montante de R$ 545,00; em juros compostos o montante é R$ 546,36.
IMPORTANT
E
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
112
2 CÁLCULO DO VALOR FUTURO OU MONTANTE  FV
Através da fórmula do montante calculamos o capital mais os juros 
acumulados de um investimento ou empréstimo. Se quisermos somente os juros, 
aplicamos a mesma fórmula que segue e, no final, descontamos o capital (PV).
Fórmula: 
FV = PV • (1 + i)n
FV = Montante ou Valor Futuro; 
PV = Capital ou Valor Presente; 
i = taxa; 
n = período(s) de capitalização(ões) ou tempo. 
O fator ( 1 + i )n é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação 
de capital.
No regime de Juros Compostos o tempo deve ser lançado conforme a taxa, ou seja, se a taxa 
estiver em mês, o tempo deve ser colocado em meses também. Isso deve ser seguido, pois 
nesse sistema, como os juros rendem juros, ao lançar a taxa e o tempo em períodos diferentes, 
o resultado não sairá certo.
Exemplo 1:
Calcule o montante que será produzido se aplicarmos o capital de R$ 
2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês em Juros Compostos, durante o tempo de 2 
meses.
Solução pela fórmula:
FV = PV • (1 + i)n
FV = 2.000 • (1 + 0,05)2
FV = 2.000 • 1,1025
FV = 2.205,00
Note que como a taxa foi fornecida em meses e o tempo também, não houve 
necessidade de ajuste. Somente foi preciso dividir a taxa por 100 para tirar da forma percentual 
e colocar na fórmula como decimal.
DICAS
IMPORTANT
E
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
113
Solução pela fórmula (função algébrica) na calculadora financeira HP 12C:
5 ENTER
100 ÷
1 + 
2 yX
2.000 X
Primeiro deve-se dividir a taxa por 100. Depois é preciso somar 1 ao 0,05 para, 
posteriormente, elevar a 2 e, por fim, esse último resultado, multiplicar pelo capital para obter 
o montante, ou seja, o capital mais os juros.
2.1 SOLUÇÃO PELA HP 12C UTILIZANDO AS TECLAS 
FINANCEIRAS
Antes de efetuar o cálculo na sua HP, você precisa colocar a letra C no visor 
da sua calculadora financeira. Essa letra aparecendo no visor fará com que sua 
calculadora “saiba” que todo o período lançado na tecla n será aplicado em juroscompostos.
Para inserir a letra C no visor da calculadora, pressione a tecla STO e em 
seguida a tecla EEX . Caso sua calculadora não tenha a letra C no visor e você 
esteja efetuando um cálculo de juros compostos através das teclas financeiras, o 
resultado diverge do correto somente nos casos em que o tempo está “quebrado”, 
ou seja, com várias casas decimais após a vírgula.
Por exemplo, se a taxa estivesse em meses, teríamos que colocar o tempo 
em meses na calculadora para resolvermos corretamente o cálculo. Supondo que o 
tempo fosse 48 dias e quiséssemos passar esse tempo em dias para mês, teríamos 
que dividir 48 dias por 30 dias, que é a quantidade de dias que tem um mês, o que 
resultaria em 1,6 meses. 
Se fosse lançado 1,6 na tecla n da calculadora, sem que a letra C esteja no 
visor, a resposta não sai correta, pois a calculadora efetua o cálculo da seguinte 
forma: 
O valor que está anterior à vírgula, ou seja, o número 1, a calculadora 
entende como juros compostos e o valor posterior à vírgula, o 6, como juros 
simples, gerando um resultado divergente do correto.
DICAS
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
114
Estando a calculadora com a letra C no visor, ela interpreta todo o período 
lançado na letra n como juros compostos. Portanto, deixe sempre a letra C no visor 
da máquina em todos os cálculos. 
Outra informação importante para você:
No visor da calculadora também devem aparecer as letras D.MY, que 
significa que está sendo usado o calendário brasileiro no cálculo de datas. Assim, 
quando você efetuar algum cálculo envolvendo datas, a calculadora não gera 
mensagem de erro. 
Para inserir o D.MY no visor da máquina pressione a tecla g e em seguida 
a tecla do número 4 .
Se precisar retirar o D.MY deve pressionar a tecla g , em seguida a tecla do 
número 5 . Ao comandar essas teclas, a calculadora retira o D.MY do visor e fica 
preparada para efetuar cálculos envolvendo datas pelo sistema americano, ou seja, 
mês/dia/ano.
Mas você pode deixar sempre a sua calculadora com o D.MY no visor que 
não atrapalha em nada; aliás, ela fica preparada para cálculos com datas conforme 
o nosso calendário.
Na HP não será mais utilizado o tempo em dia e a taxa em ano, como na 
capitalização simples. Veja a seguir:
f CLX  Comando para limpar as memórias e registradores. 
2000 CHS PV  Capital inserido com o CHS que deixa ele negativo.
2 n  Tempo lançado em meses.
5 i  Taxa lançada de forma mensal.
FV  No visor aparecerá 2.205,00, que é a resposta correta. 
Agora, nos juros compostos, o tempo deve ser lançado conforme o tempo 
da taxa.
Fazendo o cálculo anterior pela parte financeira da calculadora não há necessidade 
de fazer a digitação fiel como apresentado. Como essas teclas financeiras são independentes, 
os dados podem ser digitados de maneira aleatória.
Como é demonstrado a seguir:
DICAS
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
115
 f CLX 
 5 i
 2 n 
2.000 CHS PV 
FV 
 
Exemplo 2:
Calcule o montante que será gerado se aplicarmos o capital de R$ 5.000,00 
a uma taxa de 1,5% ao mês em juros compostos, durante o tempo de 2 anos. 
Solução pela fórmula:
FV = PV • (1 + i)n
FV = 5.000 • (1 + 0,015)24
FV = 5.000 • 1,429502812
FV = 7.147,51
Note que, como a taxa foi fornecida em meses e o tempo em anos, houve a 
necessidade de ajuste, em que foi modificado o tempo de 2 anos para 24 meses, ou seja, 2 
anos x 12 meses = 24 meses. Na fórmula também a taxa foi dividida por 100 para tirar da forma 
percentual e colocar de forma decimal.
Importante:
Solução pela fórmula na calculadora financeira HP 12C:
1,5 ENTER
100 ÷
1 + 
24 yX
5.000 X
Primeiro deve-se dividir a taxa por 100, depois é preciso somar 1 ao 0,015 para, 
posteriormente, elevar a 24 e, por fim, esse último resultado, multiplicar pelo capital para obter 
o montante, ou seja, o capital mais os juros.
IMPORTANT
E
DICAS
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
116
Solução pela HP 12C utilizando as teclas financeiras:
f CLX  Comando para limpar as memórias e registradores. 
5.000 CHS PV  Capital inserido com o CHS que deixa ele negativo.
24 n  Tempo lançado em meses.
1,5 i  Taxa lançada de forma mensal.
FV  No visor aparecerá 7.147,51, que é a resposta correta. 
 
Agora, nos juros compostos o tempo deve ser lançado conforme o período 
de tempo da taxa.
AUTOATIVIDADE
Agora é a sua vez, exercite um pouco!!!
1 Uma pessoa investe o capital de R$ 5.000,00 a uma taxa de juros compostos de 
3% ao mês, pelo prazo de 10 meses. Calcule o montante resgatado ao final 
dos 10 meses.
2 Calcule o montante gerado se pegarmos o capital de R$ 20.000,00 e aplicarmos 
à taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses.
3 Qual é o montante resultante de uma aplicação de R$ 50.000,00 a juros 
compostos, pelo prazo de 2 anos a uma taxa de 2% ao mês?
4 Um capital de R$ 8.000,00 foi aplicado a juros compostos durante um ano e 
meio a uma taxa de 2,5% ao mês. Calcule o montante resgatado no período. 
 
5 Calcule o montante resgatado se aplicarmos o capital de R$ 8.200,00 por um 
período de 60 dias a uma taxa de juros compostos de 1,5% ao mês.
6 Calcule o montante produzido pela aplicação de um capital de R$ 75.000,00 
aplicado a uma taxa de 2,75% ao mês em juros compostos, por 48 dias.
 
7 Qual é o montante produzido pela aplicação de R$ 12.000,00 após um período 
de aplicação de 4 anos a uma taxa de 2% ao mês em juros compostos? 
8 Um capital de R$ 89.300,00 foi aplicado em 01/03/2011 até 29/09/2011 a 
uma taxa de 1,34% ao mês. Sabendo essas informações, calcule o montante 
resgatado.
9 Uma aplicação de R$ 100.000,00 foi efetuada de 05/03/2011até 30/10/2011 a 
uma taxa de 1,12% ao mês no regime de juros compostos. Sabendo essas 
informações, calcule o valor resgatado no final do período.
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
117
Agora que você já exercitou o valor futuro, vamos estudar o capital. Mas caso 
você já esteja estudando há mais de uma hora, dê uma paradinha, descanse e volte depois, 
mais tranquilo.
3 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE OU CAPITAL  PV
O cálculo para descobrir o valor do capital ou valor presente é efetuado 
quando o objetivo é descobrir o valor inicial que foi aplicado, ou seja, o exercício 
informa o valor do montante (valor futuro), a taxa e o tempo decorrido e é preciso 
descontar os juros do período para encontrar o valor inicial.
 
Fórmula para encontrar o valor do capital: 
FV = PV • (1 + i)n
Perceba que a fórmula é a mesma utilizada para calcular o montante.
Exemplo 1: 
Calcule o capital inicial que, aplicado durante 05 meses e a uma taxa de 3% 
ao mês em juros compostos, produz o montante de R$ 4.058,00. 
Solução pela fórmula:
DICAS
UNI
( )
( )
n
5
FV PV 1 i
4.058 PV 1 0,03
4.058 PV 1,159274074
4.058PV 3.500,47
1,159274074
= ⋅ +
= ⋅ +
= ⋅
= =
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
118
Solução pela HP 12C através da função financeira 
F CLX  Comando de limpeza de memórias 
4058 CHS FV  Montante sendo lançado no FV com sinal negativo (CHS) 
5 n  Número de meses lançado no N
3 i  Taxa mensal lançada no I
PV Visor  3.500,47
Agora o valor informado é o FV e, por último, buscamos o PV, que é o capital.
Para elevar um número a um expoente positivo na HP fazemos assim:Exemplo: (1,03)5  1,03 enter 5 Yx  1,159274074
Exemplo 2: 
Calcule o capital que, aplicado durante 2 anos a uma taxa de 1,12% ao mês 
em juros compostos, produz o montante de R$ 200.000,00.
Solução pela fórmula:
Note que, como a taxa foi informada de forma mensal, o tempo foi alterado para 
meses também e, portanto, 2 anos são 24 meses.
F CLX  Comando de limpeza de memórias 
200.000 CHS FV  Montante sendo lançado no FV com sinal negativo (CHS)
24 n  Número de meses lançado no N
1,12 i  Taxa mensal lançada no I
PV Visor  153.087,78
IMPORTANT
E
UNI
Solução pela HP 12C através da função financeira
( )
( )
n
24
FV PV 1 i
200.000 PV 1 0,0112
200.000 PV 1,306439981
200.000PV 153.087,78
1,306439981
= ⋅ +
= ⋅ +
= ⋅
= =
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
119
AUTOATIVIDADE
Exercite um pouco o que aprendeu...
1 Sabendo que um capital aplicado à taxa de 2,2% ao mês, durante 4 meses, 
rendeu um montante de R$ 79.000,00, calcule qual foi o valor do capital 
aplicado no regime de juros compostos.
2 Determine qual capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês 
durante o tempo de 2 anos e 3 meses, rendeu um montante de R$ 19.752,00.
3 Calcule qual capital será necessário para formar um montante de R$ 50.000,00 
daqui a 24 meses, sabendo que a taxa de aplicação é de 4% ao bimestre em 
juros compostos. 
4 João aplicou um capital em um banco que remunera a aplicação a uma taxa 
de 1,25% ao mês em juros compostos. Após 13 meses, formava um montante 
de R$ 63.000,00. Sabendo esses dados, calcule o valor aplicado inicialmente.
5 Sabendo que uma aplicação foi efetuada em 01/03/2010 e que em 15/11/2010 
foi resgatado o montante de R$ 45.280,36, calcule o capital aplicado. Sabe-se 
que a taxa mensal de aplicação foi de 1,28% ao mês, em juros compostos.
6 Um cliente do Banco Fomento efetuou uma aplicação e, passados 2 anos e 
5 meses, retirou o montante de R$ 50.000,00. Calcule o valor inicialmente 
aplicado, sabendo que a taxa mensal dessa aplicação foi de 1,48% ao mês, em 
juros compostos.
7 Calcule o capital que produz um montante de R$ 6.300,00 se a taxa de 
aplicação for de 1,28% ao bimestre e o tempo de aplicação 12 meses. 
8 Simão aplicou uma determinada quantia em um banco que remunera 
a aplicação a uma taxa de 1,03% ao mês em juros compostos. Após 3 anos 
formava um montante de R$ 201.201,00. Calcule o valor aplicado inicialmente.
9 Uma aplicação foi efetuada em uma determinada data e, passados 5 anos, foi 
retirado o montante de R$ 30.000,00. Calcule o capital aplicado, sabendo que 
a taxa mensal de aplicação foi de 0,68% ao mês, em juros compostos.
10 O Banco Fomento informa que está pagando uma taxa de 1,07% ao mês 
em suas aplicações. Supondo que você aplique o valor de R$ 100.000,00 
nesse banco por um período de 2,5 anos, que montante vai retirar ao final do 
período de aplicação?
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
120
Agora que você terminou os exercícios de montante, aprenderá como calcular a 
taxa. Vamos lá, então!!!
4 CÁLCULO DA TAXA  I
Utiliza-se o cálculo da taxa para saber qual é a taxa que está sendo paga em 
uma aplicação financeira ou a taxa que está sendo cobrada em um empréstimo, 
por exemplo.
Agora, nos exercícios será o valor do capital, o valor futuro, o tempo. E 
você ainda vai calcular a taxa do período. 
Fórmula para o cálculo da taxa:
Ajuste sempre o tempo em função da taxa. Se a taxa for pedida em mês, ajuste 
o tempo para mês; se pedir a taxa em ano, passe o tempo para ano, e assim sucessivamente.
Exemplo 1:
O capital de R$ 1.000,00 produziu um montante de R$ 1.331,00 durante 3 
meses. Calcule a taxa de aplicação mensal em juros compostos.
UNI
ATENCAO
( ){ }
{ }
1
N
1
3
0,333333333
FVi 1 100
PV
1.331i 1 100
1.000
i 1,331 1 100
i 1,10 1 100
i 0,10 100
i 10% ao mês
 
  = − ⋅  
   
 
  = − ⋅  
   
= − ⋅
= − ⋅
= ⋅
=
1
NFVi 1 100
PV
 
  = − ⋅  
   
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
121
4 CÁLCULO DA TAXA  I
Note que o resultado 0,10 foi multiplicado por 100 para transformar a taxa em 
percentual. Portanto, sempre multiplique o resultado encontrado por 100 quando estiver 
calculando a taxa.
Outra coisa: se o exercício pedir a taxa em mês, deve colocar o tempo mês no exercício.
Solução utilizando a calculadora HP 12C através das teclas financeiras:
 
F CLX  Comando para limpar as memórias
1331 FV  Valor do montante lançado no FV
1000 CHS PV  Valor do capital lançado no PV com sinal negativo
3 n  Tempo lançado no N
i  Visor 10, ou seja, 10% ao mês 
 
E para resolver na HP pela fórmula deve-se comandar assim:
1.331 ENTER
1.000 ÷
3 1/X YX
1 –
100 X
Primeiro divide-se o valor do FV pelo valor do PV e, em seguida, digita-se o valor 
do expoente (3). Ao pressionar a tecla 1/x a calculadora faz o seguinte cálculo: divide 1 pelo 
valor que foi digitado anteriormente, ou seja, o número 3. Seguindo o cálculo, é digitada a tecla 
de expoente Yx . Em seguida é diminuído o número 1 do resultado encontrado e multiplicado, 
o resultado, por 100.
Exemplo 2:
O capital de R$ 5.000,00 produziu um montante de R$ 6.400,00 durante 2 
anos. Calcule a taxa de aplicação anual em juros compostos.
UNI
DICAS
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
122
Solução utilizando a calculadora HP 12C através das teclas financeiras:
 
F CLX  Comando para limpar as memórias
6.400 CHS FV  Valor do montante lançado no FV
5.000 PV  Valor do capital lançado no PV com sinal negativo
2 n  Tempo em ano lançado no N
i  Visor 13,14 
Como o exercício pedia a taxa em ano, o tempo foi inserido em ano para chegar 
ao resultado anual.
AUTOATIVIDADE
Agora é sua vez!!! Exercite um pouco.
1 Uma pessoa recebe uma proposta de investir hoje a quantia de R$ 12.000,00 
para receber o montante de R$ 16.127,00 daqui a 10 meses. Calcule a taxa 
mensal desse investimento no regime de juros compostos.
2 Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses e 
rendeu o montante de R$ 23.774,00. Determine a taxa mensal dessa aplicação 
no regime de juros compostos.
3 O capital de R$ 12.000,00 foi aplicado durante 8 meses e elevou-se no final desse 
prazo ao montante de R$ 15.559,00. Calcule a taxa de juros mensal dessa aplicação.
IMPORTANT
E
( ){ }
{ }
1
N
1
2
0,5
FVi 1 100
PV
6.400i 1 100
5.000
i 1,28 1 100
i 1,131370850 1 100
i 0,131370850 100
i 13,13708499 % ao ano
arredondado = 13,14% ao ano
 
  = − ⋅  
   
 
  = − ⋅  
   
= − ⋅
= − ⋅
= ⋅
=
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
123
4 Um cliente aplicou o valor de R$ 40.000,00 em uma aplicação bancária e após 
2,5 anos recebeu o montante de R$ 55.222,44. Calcule a taxa mensal dessa 
aplicação em juros compostos. 
5 Um capital de R$ 22.250,00 ficou aplicado durante 180 dias. Sabe-se que o 
montante resgatado foi R$ 25.250,00. Calcule a taxa mensal de aplicação em 
juros compostos.
6 Sabendo que uma aplicação de R$ 18.000,00 gerou um montante de R$ 
21.835,58 durante 6 bimestres, calcule a taxa mensal dessa aplicação.
7 Calcule a taxa mensal que faz com que um capital de R$ 4.300,00 gere um 
montante de 5.800,00 durante 6 trimestres. 
8 O capital de R$ 200.000,00 foi aplicado durante 3 anos. Sabe-se que o montante 
resgatado foi R$ 222.500,00. Calcule a taxa mensal de aplicação em juros 
compostos.
9 Sabendo que uma aplicação de R$ 40.000,00 gerou um montante de R$ 
60.000,00 durante 8 trimestres, calcule a taxa mensal dessa aplicação.
10 Calcule a taxa anual que faz com que um capital de R$ 90.000,00 gere um 
montante de 99.800,00 durante 36 meses.Que bom que você fez os exercícios! Assim você está mais preparado para seguir 
em frente... Vamos lá!!!
O cálculo do tempo é utilizado para calcular a quantidade de dias, meses, 
bimestres, trimestres, semestres ou anos, por exemplo, em que um determinado 
capital deverá ficar aplicado ou emprestado para gerar um determinado montante, 
e a uma taxa também determinada.
Agora você calculará o tempo e, para isso, fará uso dos logaritmos quando 
utilizar as fórmulas.
 Você utilizará o Logaritmo Natural (LN) para poder resolver os exercícios.
 Na calculadora científica o LN fica ao lado da tecla LOG.
5 CÁLCULO DO TEMPO  N
UNI
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
124
 Na HP 12C a função utilizada para cálculo dos logaritmos (LN) está 
localizada na tecla %T e a função LN é utilizada pressionando antes da tecla 
%T a tecla g .
Fórmula para o cálculo do tempo:
Exemplo 1:
Calcule em quantos meses uma aplicação de R$ 1.000,00 produz um 
montante de R$ 3.000,00 se a taxa de juros for 4,8% ao mês, em juros compostos.
Utilizando a calculadora financeira HP 12C através das teclas financeiras:
F CLX  Comando para limpar as memórias
3.000 FV  Valor do Montante lançado no FV
1000 CHS PV  Valor do Capital lançado no PV com sinal negativo
4,8 i  Taxa lançada no i 
n  Visor 24, ou seja, 24 meses
( )
FVIn
PVn
In 1 i
   
      =   +     
( )
( )
( )
( )
FVIn
PVn
In 1 i
3.000In
1.000n
In 1 0,048
In 3
n
In 1,048
1,0986122289n
0,046883586
n 23,43 meses
   
      =   +     
   
      =   +     
   =       
  
=   
  
=
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
125
A HP 12C sempre arredonda a resposta para o próximo período inteiro. Para ela 
não existe tempo “quebrado” ou meses quebrados. No exemplo, a resposta pela fórmula é 23,43 
meses, mas para a calculadora será 24 meses.
Solução utilizando a HP12c pela fórmula:
3000 ENTER
1000 ÷
g Ln
enter
1,048 g Ln 
÷
Primeiro é dividido o Montante pelo Capital e diante desse resultado já aplicamos 
o Logaritmo Natural; digita-se após 1,048 e as teclas g Ln para descobrir o segundo logaritmo 
e pressionamos a tecla dividido, onde a máquina divide os dois valores, mostrando a resposta 
final, ou seja, o tempo.
Exemplo 2:
Calcule em quantos dias um capital de R$ 20.000,00 produz um montante 
de R$ 24.500,00 se a taxa de juros for 1,02% ao mês em juros compostos.
Solução pela fórmula:
IMPORTANT
E
DICAS
( )
( )
FVIn
PVn
In 1 i
24.000In
20.000n
In 1 0,0102
   
      =   +     
   
      =   +     
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
126
Porém, como o exercício pede a resposta em dias, é preciso multiplicar o 
resultado encontrado por 30 para achar o total de dias.
Logo 20 x 30 = 600 dias
Solução pela calculadora financeira HP 12C através das teclas financeiras:
F CLX  Comando para limpar as memórias
20.000 CHS PV  Valor do Capital lançado no PV com sinal negativo
24.500 FV  Montante lançado no FV
1,02 i  Taxa lançada no i em meses
n  Visor 20, ou seja, 20 meses
30 X Visor  600, ou seja, multiplicando 20 por 30 dias para 
 achar o tempo em dias. 
A taxa deve ser inserida da maneira como é informada no exercício, assim o 
tempo vai sair no mesmo período da taxa e, se preciso for, no final é feito o ajuste do tempo.
AUTOATIVIDADE
1 Um capital de R$ 40.000,00 foi aplicado a 2% ao mês em juros compostos 
e produziu um montante de R$ 58.396,40. Calcule por quantos meses esse 
capital ficou aplicado. 
2 Uma pessoa aplicou o capital de R$ 500.000,00 e após algum tempo recebeu 
o montante de R$ 606.627,10. Sabendo que a taxa foi 2,2% ao mês em juros 
compostos, calcule por quantos meses o capital ficou aplicado.
3 Por quantos meses ficou aplicado um capital de R$ 1.200,00 para formar um 
montante de R$ 3.200,00 se aplicado a uma taxa de 1,59% ao mês em juros 
compostos?
DICAS
( )
( )
In 1,225
n
In 1,0102
0,202940844n
0,010148331
n 20 meses
   =       
  
=   
  
=
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
127
4 Um capital de R$ 450,00 foi aplicado à taxa de 1,52% ao mês em juros 
compostos e rendeu um montante de 1.282,01. Calcule por quantos meses 
este capital ficou aplicado.
5 Um capital de R$ 6.535,00 foi aplicado a uma taxa de juros de 1,28% ao mês 
em juros compostos, em que gerou um montante de R$ 8.325,45. Sabendo 
essas informações, calcule por quantos meses esse capital ficou aplicado.
6 Carlos vendeu seu veículo por R$ 45.000,00 e aplicou o dinheiro em um banco, 
recebendo uma taxa mensal de 1,38% ao mês por determinado período. 
Sabendo ainda que após esse período resgatou o montante de R$ 56.435,00, 
calcule por quantos meses ficou aplicado esse recurso.
7 Um capital de R$ 100.000,00 foi aplicado a uma taxa de 1,12% ao mês em juros 
compostos e rendeu um montante de R$ 112.300,00. Calcule por quantos 
meses este capital ficou aplicado.
8 Um capital de R$ 1.035,00 foi aplicado a uma taxa de juros de 0,88% ao mês 
em juros compostos, onde gerou um montante de R$ 1.120,00. Sabendo essas 
informações, calcule por quantos dias esse capital ficou aplicado.
9 Saul vendeu sua casa por R$ 154.000,00 e aplicou o dinheiro em um banco, 
recebendo uma taxa mensal de 0,67% ao mês. Sabendo ainda que após esse 
período Saul resgatou o montante de R$ 165.340,00, calcule por quantos dias 
ficou aplicado esse recurso.
Já que você terminou de resolver mais estes exercícios, descanse um pouco e volte 
a estudar mais tarde! Quando você voltar, vamos dar sequência à matéria e estudar as taxas.
Bom, até agora você aprendeu como calcular o FV depois o PV, em seguida 
a taxa e por fim o tempo. Mas sempre você calculava com a taxa informada, sem 
alterá-la, e mexia no tempo quando era preciso. Agora você aprenderá a alterar o 
período de tempo das taxas, ou seja, passá-las de mês para dia, de mês para ano e 
outros tempos mais.
É importante salientar que, em juros compostos, não é correto ajustar a taxa 
por proporcionalidade, ou seja, passar um taxa de 12% ao ano para uma taxa de 1% 
ao mês. Logo mais você aprenderá a mudar uma taxa de um período para outro. 
UNI
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
128
6 ESTUDO DAS TAXAS
6.1 TAXA NOMINAL
Até agora, você vinha ajustando o tempo em função da taxa. E ainda 
trabalhava na maioria dos exemplos e exercícios com a taxa sendo fornecida 
em mês. Agora você vai aprender outros tipos de taxas e a fazer mudanças nos 
períodos de tempo da taxa. 
É uma taxa apresentada em tempo diferente do período de capitalização, 
servindo apenas para saber, através da proporcionalidade de taxas, qual é a taxa 
aplicada ao capital no período de capitalização.
A taxa nominal é, em geral, uma taxa anual.
Exemplo: 
Juros de 48% ao ano, capitalizados semestralmente.
Juros de 36% ao ano, capitalizados mensalmente.
6.2 TAXA PROPORCIONAL
A proporcionalidade das taxas é realizada como se estivéssemos tratando 
de juros simples.
De posse da taxa nominal, podemos calcular a taxa proporcional. 
De posse da taxa nominal, é dividida pelo número de capitalizações do 
período. 
Exemplo 1:
Se tivermos uma taxa nominal de 24% ao ano, capitalizada trimestralmente:
Solução:
Um ano tem 4 trimestres, então dividimos a taxa anual por 4 e temos a taxa 
trimestral proporcional, que é 6% ao trimestre.
Exemplo 2:
Se tivermos uma taxa nominal de 36% ao ano, capitalizada bimestralmente: 
Solução:
Um ano tem 6 bimestres. Dividimos a taxa anual por 6 e temos a taxa 
bimestral proporcional, que é 6% ao bimestre.
Exemplo 3:
Se tivermos uma taxa nominalde 30% ao ano, capitalizada mensalmente: 
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
129
6 ESTUDO DAS TAXAS
6.1 TAXA NOMINAL
6.2 TAXA PROPORCIONAL
Solução:
Um ano tem 12 meses, então dividimos a taxa anual por 12 e temos a taxa 
mensal proporcional, que é 2,5% ao mês.
Exemplo 4:
Se tivermos uma taxa nominal de 25% ao ano, capitalizada mensalmente: 
Solução:
Um ano tem 12 meses, então dividimos a taxa anual por 12 e temos a taxa 
mensal proporcional, que é 2,083333333% ao mês.
Agora você aprenderá como resolver um exercício completo envolvendo 
taxa proporcional. Veja o exemplo a seguir:
 
Exemplo 1:
Calcule o montante que será gerado se aplicarmos um capital de R$ 5.000,00 
por 2 anos, com uma taxa de juros de 24% ao ano, capitalizados trimestralmente, 
em juros compostos.
Solução pela fórmula:
PV = 5.000
i = 24% ao ano, capitalizado trimestralmente 
n = 2 anos
FV= ? 
O primeiro passo é ajustar a taxa, ou seja, o exercício fornece uma taxa 
nominal. É preciso achar a taxa proporcional em trimestre. 
Um ano tem 4 trimestres. Se dividir a taxa anual de 24% por 4 trimestres 
você encontrará a taxa trimestral proporcional:
 24 ÷ 4 = 6% ao trimestre
Depois que foi encontrada a taxa proporcional, é preciso ajustar o tempo 
para trimestres também. 
Então, em um período de 2 anos existem quantos trimestres?
Se em um ano existem 4 trimestres, logo, em 2 anos serão 8 trimestres, 
certo?
 
Então os dados ficaram assim:
Capital  5.000,00
Tempo 8 trimestres
Taxa  6% ao trimestre
Montante ?
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
130
Agora é possível aplicar na fórmula e descobrir o valor do montante.
Solução pela fórmula:
FV = PV • (1 + i)n
FV = 5.000 • (1 + 0,06)8
FV = 5.000 • 1,593848075
FV = 7.969,24
Solução pela HP 12C, utilizando as teclas financeiras:
Exemplo 2:
Calcule o montante que será gerado se aplicamos um capital de R$ 25.000,00 
por 3 anos, com uma taxa de juros compostos de 24 % ao ano, capitalizados 
mensalmente. 
Solução pela fórmula:
PV = 25.000
i = 24% ao ano, capitalizado bimestralmente 
n = 3 anos
FV=? 
O primeiro passo é ajustar a taxa, ou seja, o exercício fornece uma taxa 
nominal e é preciso achar a taxa proporcional ao mês. 
 
Um ano tem 12 meses, então, se dividir a taxa anual de 24% por 12 meses, 
você encontrará a taxa mensal proporcional;
 24 ÷ 12 = 2% ao mês
Depois que foi encontrada a taxa proporcional, é preciso ajustar o tempo 
para mês também.
Então, em um período de 3 anos existem quantos meses?
Se em um ano existem 12 meses, logo, em 3 anos serão 36 meses, certo?
 
Então os dados ficaram assim:
Capital  25.000,00
Tempo 36 meses
Taxa  2% ao mês
f CLX  Comando para limpar as memórias e registradores. 
5.000 CHS PV  Capital inserido com o CHS que deixa ele negativo.
8 n  Tempo lançado em trimestres.
6 i  Taxa lançada de forma trimestral.
FV  No visor aparecerá 7.969,24, que é a resposta correta
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
131
Montante ?
Agora é possível aplicar na fórmula e descobrir o valor do montante. 
Solução pela fórmula:
FV = PV • (1 + i)n
FV = 25.000 • (1 + 0,02)36 
FV = 25.000 • 2,039887344
FV = 50.997,18 
Solução pela HP 12C utilizando as teclas financeiras:
f CLX  Comando para limpar as memórias e registradores. 
25.000 CHS PV  Capital inserido com o CHS que deixa ele negativo.
36 n  Tempo lançado em meses.
2 i  Taxa lançada de forma mensal.
FV  No visor aparecerá 50.997,18 que é a resposta correta. 
Agora você exercitará um pouco esse conhecimento.
AUTOATIVIDADE
1 Um banco emprestou o valor de R$ 35.000,00 para o cliente devolver em uma 
única parcela em dois anos. Sabendo que o banco cobra taxa nominal de 
36% ao ano, com capitalização trimestral em juros compostos, calcule qual o 
montante a ser devolvido pelo cliente ao final dos dois anos.
2 O valor de R$ 10.000,00 foi aplicado a uma taxa nominal de 30% ao ano, 
com capitalização mensal, durante um ano. Sabendo esses dados, calcule o 
montante resgatado em juros compostos.
3 O capital de R$ 18.000,00 foi aplicado durante 2 anos à taxa nominal de 20% 
ao ano, com capitalização bimestral em juros compostos. Calcule o montante 
gerado.
4 Um banco faz empréstimos à taxa nominal de 5% ao ano, mas adotando 
capitalização semestral, em juros compostos. Sabendo essas informações, 
calcule qual será o montante pago por um empréstimo de R$ 10.000,00 a ser 
devolvido em 36 meses.
5 Um capital de R$ 1.000,00 foi emprestado por 3 anos a uma taxa nominal de 
10% ao ano, com capitalização semestral. Calcule o montante da operação ao 
final do período.
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
132
6 O valor de R$ 100.000,00 foi aplicado a uma taxa nominal de 40% ao ano, 
com capitalização mensal, durante um ano. Sabendo esses dados, calcule o 
montante resgatado em juros compostos.
7 O capital de R$ 180.000,00 foi aplicado durante 5 anos à taxa nominal de 12% 
ao ano, com capitalização bimestral em juros compostos. Calcule o montante 
gerado.
Foi difícil? Acho que não, certo? Só precisa bastante atenção nos ajustes da taxa 
e do tempo.
As taxas nominais e proporcionais que você estava estudando são pouco utilizadas atualmente. 
Normalmente as taxas já são fornecidas em meses. Mas é importante esse conhecimento. 
A seguir você aprenderá a mudar as taxas de período através da capitalização e descapitalização 
de taxas.
6.3 TAXAS EQUIVALENTES
Taxas equivalentes são aquelas que, referindo-se a períodos de tempo de 
capitalização diferentes, fazem com que um mesmo capital produza o mesmo 
montante durante o mesmo tempo. 
No mercado financeiro é comum a aplicação das taxas equivalentes para 
comparar diferentes opções de investimentos. Existem taxas que são fornecidas 
anuais e precisamos passá-las para meses para comparar com outras opções. 
É o caso de algumas aplicações financeiras em CDB (Certificado de Depósito 
Bancário), por exemplo, em que sua taxa é fornecida de forma anual. Também 
existem algumas aplicações cuja rentabilidade está lastreada por CDI (Certificado 
de Depósito Interbancário), em que também é preciso passar a taxa para mês para 
ver essa rentabilidade e comparar com a rentabilidade de uma poupança, por 
exemplo, para ver o que está rendendo mais em determinado momento. 
Para o cálculo das taxas equivalentes são utilizadas as fórmulas da 
capitalização e também da descapitalização.
Mas, o que é uma capitalização de taxa e uma descapitalização de taxa?
Bom, a capitalização de uma taxa é o procedimento utilizado para encontrar 
uma taxa equivalente referente a um período maior em relação à taxa que temos.
Por exemplo:
Sabendo que a taxa mensal é 0,6%, calcule a taxa equivalente ao ano. 
UNI
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
133
Note que no exemplo foi informada uma taxa de 0,6% ao mês e está 
solicitando a taxa equivalente em ano, ou seja, em um período maior do que o 
que foi informado (mês). Para solucionar esse exercício é utilizado o processo de 
capitalização de taxa.
Se fosse em juros simples, seria somente multiplicar 0,6% por 12 e seria 
encontrada a taxa em ano.
Mas em juros compostos não pode ser feito assim.
Já a descapitalização de uma taxa é o procedimento contrário ao da 
capitalização, ou seja, é informada uma taxa em um período e o que se busca é 
uma taxa equivalente em um período menor.
Por exemplo:
Sabendo que a taxa anual é 7,44% ao ano, calcular a taxa equivalente ao 
mês. 
Note que no exemplo acima foi informada uma taxa de 7,44% ao ano e está 
solicitando a taxa equivalente em mês, ou seja, em um período menor do que o 
que foi informado (ano). Para solucionar esse exercício é utilizado o processo de 
descapitalizaçãode taxa.
Se fosse em juros simples, seria somente dividir 7,44% por 12 e seria 
encontrada a taxa em mês.
Mas em juros compostos não pode ser feito assim.
Acredito que esse negócio de capitalização e descapitalização ainda deve 
estar um pouco confuso, certo?
Então vamos trabalhar isso melhor e separadamente.
Primeiro você vai exercitar a capitalização e depois a descapitalização. 
Vamos lá!!!
6.3.1 Capitalização 
O processo de capitalização de uma taxa é utilizado quando possuímos 
uma taxa referente a um período de tempo menor e o objetivo é achar uma taxa 
equivalente referente a um período maior do que a que foi informada.
Fórmula da Capitalização:
Ic = {(1 + i)n – 1} • 100
Exemplo 1:
Calcular a taxa anual equivalente a uma taxa de 2% ao mês. 
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
134
Solução pela fórmula:
Ic = {(1 + i)n – 1} • 100
Ic = {(1 + 0,02)12 – 1} • 100
Ic = {(1,002)12 – 1} • 100
Ic = {1,268241795 – 1} • 100
Ic = 0,268241795 • 100
Ic = 26,82417950% ao ano
O Ic significa a taxa capitalizada. O expoente 12 foi utilizado porque foi 
informada uma taxa em mês e foi pedida em ano. O expoente é encontrado em 
relação ao tempo da taxa informada e o tempo da taxa procurada. Nesse caso, para 
descobrir o expoente foi feita a seguinte pergunta: Quantos meses tem um ano? E 
a resposta foi 12. 
E na HP? Bom, como não foi informado um capital, para poder calcular 
pela função financeira é utilizado um capital fictício, que é o 100.
Ah, aumente as casas decimais de sua calculadora para 9 casas. Dê os 
comandos a seguir:
Pressione a tecla F e em seguida a tecla do número 9 .
Solução pela calculadora HP 12C, pelas teclas financeiras:
F CLX
100 CHS PV  Capital fictício com sinal negativo
2 i  Taxa informada em mês
12 n  Tempo entre a taxa informada e a procurada
FV  Montante apresentado no visor 126,82417950 
100 –  Retirando o valor 100, o resultado é a taxa 
 equivalente em ano, ou seja, 26,82417950% ao ano. 
Inserimos o 100 como capital fictício, a taxa que temos no i e no n os 
períodos de capitalização. Buscamos o FV e no final retiramos o 100 do capital.
Solução pela calculadora HP12c pela fórmula:
Caso queira efetuar o cálculo pela fórmula em sua HP, faça conforme 
apresentamos a seguir: 
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
135
2 ENTER
100 ÷
1 +
12 YX 
1 –
100 X Visor da calculadora  26,82417950 ou 26,82417950% ao ano. 
Exemplo 2:
Calcular a taxa mensal equivalente a uma taxa de 0,3% ao dia. 
Solução pela fórmula:
Ic = {(1 + i)n – 1} • 100
Ic = {(1 + 0,003)30 – 1} • 100
Ic = {(1,003)12 – 1} • 100
Ic = {1,094026875 – 1} • 100
Ic = 0,094026875 • 100
Ic = 9,402687500% ao mês
Foi utilizado como expoente o 30, porque foi informada uma taxa em 
dia e foi pedida em mês. O expoente é encontrado em relação ao tempo da taxa 
informada e o tempo da taxa procurada. Nesse caso, para descobrir o expoente foi 
feita a seguinte pergunta. Quantos dias tem um mês? E a resposta foi 30. 
Solução pela calculadora HP 12C pelas teclas financeiras:
F CLX
100 CHS PV  Capital fictício com sinal negativo
0,3 i  Taxa informada em dia
30 n  Tempo entre a taxa informada e a procurada
FV  Montante apresentado no visor 109,402687500 
100 –  Retirando o valor 100, o resultado é a taxa 
 equivalente em mês, ou seja, 9,402687500 % ao mês. 
Inserimos o 100 como capital fictício, a taxa que temos no i e no n os períodos 
de capitalização. Buscamos o FV e no final retiramos o 100 do capital.
Solução pela calculadora HP 12C pela fórmula:
Caso queira efetuar o cálculo pela fórmula em sua HP, faça conforme 
apresentamos no modelo a seguir: 
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
136
0,3 ENTER
100 ÷
1 +
30 YX 
1 –
100 X Visor da calculadora  9,402687500 ou 9,402687500% ao mês. 
Exemplo 3:
Calcular a taxa semestral equivalente a uma taxa de 0,75% ao mês. 
Solução pela fórmula:
Ic = {(1 + i)n – 1} • 100
Ic = {(1 + 0,0075)6 – 1} • 100
Ic = {(1,0075)6 – 1} • 100
Ic = {1,045852235 – 1} • 100
Ic = 0,045852235 • 100
Ic = 4,585223500% ao semestre
O expoente 6 foi utilizado porque foi informada uma taxa em mês e foi 
pedida em semestre. O expoente é encontrado em relação ao tempo da taxa 
informada e o tempo da taxa procurada. Nesse caso, para descobrir o expoente 
foi feita a seguinte pergunta: Quantos meses tem um semestre? E a resposta foi 6. 
Solução pela calculadora HP 12C, pelas teclas financeiras:
F CLX
100 CHS PV  Capital fictício com sinal negativo
0,75 i  Taxa informada em mês
6 n  Tempo entre a taxa informada e a procurada
FV  Montante apresentado no visor 104,585223500 
100 –  Retirando o valor 100, o resultado é a taxa 
 equivalente em ano, ou seja, 4,585223500% ao semestre. 
Solução pela calculadora HP 12C pela fórmula:
Caso queira efetuar o cálculo pela fórmula em sua HP, faça conforme 
apresentamos no seguinte modelo: 
0,75 ENTER
100 ÷
1 +
6 YX 
1 –
100 X Visor da calculadora  4,585223500% ao semestre. 
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
137
AUTOATIVIDADE
Agora é sua vez!!! Vamos praticar?
1 Calcule a taxa mensal equivalente a uma taxa de 0,05% ao dia. 
2 Calcule a taxa trimestral equivalente a uma taxa de 1,3% ao mês. 
3 Calcule a taxa anual equivalente a uma taxa de 1,34% ao bimestre. 
4 Calcule a taxa semestral equivalente a uma taxa de 0,89% ao mês.
5 Calcule a taxa trimestral equivalente a uma taxa de 0,03% ao dia. 
6 Calcule a taxa semestral equivalente a uma taxa de 0,02% ao dia. 
7 Calcule a taxa semestral equivalente a uma taxa de 2,24% ao bimestre. 
8 Calcule a taxa anual equivalente a uma taxa de 3,45% ao trimestre. 
9 Calcule a taxa semestral equivalente a uma taxa de 3,99% ao trimestre. 
10 Calcule a taxa anual equivalente à taxa de 0,06% ao dia.
Parabéns por ter terminado os exercícios de capitalização. Agora você já sabe 
capitalizar taxas e assim já pode seguir em frente. Certamente ficará mais fácil para entender 
como é o processo de descapitalização de uma taxa.
6.3.2 Descapitalização
O processo de descapitalização de uma taxa é utilizado quando possuímos 
uma taxa referente a um período de tempo e o objetivo é achar uma taxa equivalente 
referente a um período menor do que o que foi informado.
Fórmula da Descapitalização:
Id = {(1 + i)1/n – 1} • 100
Exemplo 1:
UNI
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
138
Calcule a taxa mensal equivalente a uma taxa de 26,8241795% ao ano. 
Solução pela fórmula:
Id = {(1 + 0,268241795)1/12 – 1} • 100
Id = {(1 + 0,268241795)0,083333333 – 1} • 100
Id = {(1,268241795)0,083333333 – 1} • 100
Id = {1,02 – 1} • 100
Id = 0,02 • 100
Id = 2% ao mês
O Id significa a taxa descapitalizada. O expoente 12 foi utilizado porque 
foi informada uma taxa em ano e foi pedida em mês. O expoente é encontrado 
em relação ao tempo da taxa informada e o tempo da taxa procurada. Nesse caso, 
para descobrir o expoente foi feita a seguinte pergunta: Quantos meses tem um 
ano? E a resposta foi 12. Como na fórmula o expoente é dividido por 1, ficou 1/12= 
0,083333333. 
E na HP? Bom, como na capitalização, no exemplo da descapitalização 
também não foi informado um capital. Para poder calcular pela função financeira 
é utilizado um capital fictício, que é o 100.
Solução pela calculadora HP 12C, pelas teclas financeiras:
F CLX
100 CHS PV  Capital fictício com sinal negativo
26,8241795 i  Taxa informada em ano
12 1/x n  Tempo entre a taxa informada e a 
 procurada e a divisão por 1
FV  Montante apresentado no visor 102,00 
100 –  Retirando o valor 100, o resultado é a taxa 
 equivalente em mês, ou seja, 2% ao mês.
A tecla 1/x na calculadora é utilizada para dividiro número 1 pelo número 
digitado anteriormente no visor. 
Exemplo:
Para dividir 1 por 10 na calculadora financeira na forma tradicional é pressionado na HP
1 enter 10 ÷
A calculadora apresentará como resultado 0,10.
Mas se quiser utilizar a tecla 1/x como atalho para efetuar o cálculo na HP é só pressionar o 
número 10 e em seguida pressionar a tecla 1/x e a calculadora mostra o resultado de 1 dividido 
por 10.
DICAS
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
139
Uma segunda maneira para solucionar o mesmo exemplo pela HP, 
utilizando também as teclas financeiras da calculadora, é:
F CLX  Comando para limpar as memórias e registradores 
 financeiros
100 CHS PV  Capital fictício de 100 lançado no PV com sinal 
 negativo.
126,82417950 FV  O valor de 100 + a taxa ano informada
12 n  Tempo entre a taxa informada e a taxa procurada
i  visor 1,999 ou, arredondando, 2% ao mês 
Inserimos o 100 como capital fictício no PV e 100 + a taxa no FV. No n colocamos 
o período de descapitalização, nesse caso 12, pois de ano para mês descapitaliza-se 12 períodos. 
Se fosse descapitalização de mês para dia o n seria 30, de bimestre para mês 2 e assim por diante.
É possível solucionar o exemplo ainda pela calculadora HP 12C através da 
fórmula:
26,82417950 ENTER
100 ÷
1 +
12 1/x YX 
1 –
100 X VISOR  1,999 ou 2% ao mês 
Em seguida você encontrará alguns exercícios de descapitalização. 
AUTOATIVIDADE
1 Determine a taxa diária equivalente a uma taxa de 1,23% ao mês.
2 Determine a taxa semestral equivalente a 45% ao ano.
3 Calcule a taxa trimestral equivalente a uma taxa de 14% ao ano.
4 Calcule a taxa bimestral equivalente a uma taxa de 8% ao semestre.
DICAS
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
140
5 Dada a taxa de juros de 10% ao ano, determine a taxa diária equivalente. 
6 Qual a diária equivalente à taxa de 4% ao bimestre?
7 Calcule a taxa mensal equivalente a uma taxa de 60% ao ano.
 
8 Calcule a taxa diária equivalente a uma taxa de 9% ao trimestre.
9 Calcule a taxa semestral equivalente a uma taxa de 24% ao ano.
Parabéns por ter vencido mais essa etapa!!!
Parabéns!!! Você venceu mais esta etapa. 
Se você quiser aprofundar seus conhecimentos em juros compostos, recomendamos a leitura 
do livro MATEMÁTICA FINANCEIRA, cujos autores são Washington Franco Mathias e José Maria 
Gomes, Editora Atlas, 3a edição.
Agora você vai estudar e aprender o que é uma taxa aparente e o que é uma taxa real.
6.4 TAXA APARENTE DE TAXA REAL
A taxa aparente é a taxa nominal que vigora em uma operação financeira. 
Já a taxa real é a taxa encontrada após a retirada ou expurgo da inflação. 
Caso a taxa aparente não tenha sido informada, a fórmula para o seu 
cálculo é:
Já a fórmula para o cálculo da taxa real é:
Exemplo:
Uma aplicação de R$ 1.000,00 teve um rendimento de R$ 345,00 em 1 ano. 
Se a inflação do período foi de 30%, calcule a rentabilidade aparente e real da 
aplicação.
UNI
JurosTaxa aparente 100
Aplicação Inicial
   = ⋅  
   
1 taxa aparenteTaxa real 100
taxa inflação
  + 
= ⋅  
  
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
141
Parabéns por ter vencido mais essa etapa!!!
6.4 TAXA APARENTE DE TAXA REAL
Solução pela fórmula:
PV = 1.000,00
Inflação = 30%
Rendimento(Juros) = 345,00 
Ir(real) = ? 
Iap(apar) = ?
Taxa Aparente:
De posse da taxa aparente é possível calcular a taxa real:
Note que as taxas de inflação 30% foram divididas por 100 na fórmula.
UNI
1 taxa aparenteTaxa Real 100
taxa inflação
  + 
= ⋅  
  
JurosTaxa Aparente 100
Aplicação Inicial
   = ⋅  
   
345Taxa Aparente 100
1.000,00
  
= ⋅  
  
Taxa Aparente 0,345.100 34,50%= =
{ }
1 0,345Taxa Real 1 100
1 0,30
1,345Taxa Real 1 100
1,30
Taxa Real 1,034615385 1 100
Taxa Real 0,034615385 100 3,46%
  + 
= − ⋅  +  
  
= − ⋅  
  
=  −  ⋅ 
= ⋅ =
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
142
Solução pela calculadora financeira HP 12C:
Para descobrir a taxa aparente:
1.000  valor inicial
ENTER 
345  valor do juro (rendimento) 
%T  A resposta é a taxa aparente 34,50% 
Em seguida para descobrir a taxa real:
130  100+ taxa da inflação
ENTER 
134,5  100+ taxa aparente
∆%  O resultado é 3,46% que é a taxa real da operação. 
Exemplo 2:
Carlos aplicou o valor de R$ 50.000,00 a juros compostos no Banco Delta. 
Sabendo que o valor ficou aplicado de 03/03/2010 a 10/12/2010, que a taxa aparente 
de aplicação do período foi 1,30% ao mês e que a inflação do período da aplicação 
foi 2,40%, calcule:
a) O montante resgatado. 
b) a taxa aparente e a taxa real dessa aplicação no período.
Solução pela fórmula:
PV = 50.000,00
Inflação = 2,40%
Rendimento (Juros) = ? 
Ir(real) = ? 
I aparente mensal = 1,30% ao mês
Cálculo do tempo de aplicação: 03/03/2010 a 10/12/2010
Pela tabela de contagem de dias (diferença entre as datas) 
10/12/2010 344
03/03/2010  62
Total de dias  282 dias
Como a taxa está em mês, o tempo deve ser passado para mês:
282/360 9,40 meses
Cálculo do Montante
FV = PV • (1 + i)n
FV = 50.000 • (1 + 0,013)9,40
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
143
FV = 50.000 • 1,129090586
FV = 56.454,53
Logo, se o valor aplicado foi R$ 50.000 e o montante resgatado foi R$ 
56.345,53, o valor dos juros é a diferença entre os dois valores.
Juros = Montante – Capital Inicial 
Juros = 56.454,53 – 50.000,00
Juros = 6.454,53
Cálculo da taxa aparente:
TaxaAparente = 0,129090586 • 100 = 12,90905860% ou arredondando 12,91%
De posse da taxa aparente é possível calcular a taxa real:
Taxa Real = {[1,102636719 – 1] • 100
Taxa Real = 0,103636719 • 100 = 10,26367190% ou arredondando 10,26% no 
período.
JurosTaxa Aparente 100
Aplicação Inicial
   = ⋅  
   
6.454,53Taxa Aparente 100
50.000,00
  
= ⋅  
  
1 0,1291Taxa Real 1 100
1 0,0240
1,1291Taxa Real 1 100
1,0240
  + 
= − ⋅  +  
  
= − ⋅  
  
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
144
Solução pela calculadora financeira HP 12C:
Para descobrir os dias:
03.032010
Enter
10.122010
g 
EEX  visor 282 ou seja 282 dias 
 
Cálculo do montante:
50.000 CHS PV
1,30 I
9,40 N
FV  Visor 56.454,53
Cálculo dos juros:
56.454,53  Montante
Enter
50.000,00  Capital Inicial
–  Visor 6.454,53 = Juros
Cálculo da taxa aparente:
50.000  valor Inicial
ENTER 
6.454,53  valor do juro (rendimento) 
%T  A resposta é a taxa aparente 12,91% 
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
145
AUTOATIVIDADE
Agora é a sua vez de praticar!!!
1 Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado e após 8 meses gerou juros de R$ 
96,80. Sabendo que a inflação do período foi 2,5%, calcule a taxa aparente e a 
taxa real dessa aplicação.
2 Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado e gerou um rendimento de R$ 650,00 
em 10 meses. Sabendo que a inflação no mesmo período foi 2,7%, calcule a 
taxa aparente e a taxa real do período. 
3 O valor de R$ 100.000,00 foi aplicado a juros compostos no Banco Mafra. 
Sabendo que o valor ficou aplicado de 01/05/2010 a 30/11/2010 e sabendo 
ainda que a taxa aparente do período foi 1,5% ao mês e que a inflação do 
mesmo período da aplicação foi 1,20%, calcule:
a) O montante resgatado. 
b) A taxa aparente e a taxa real dessa aplicação no período.
4 Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado e gerou um rendimento de R$ 987,00 
em 14 meses. Sabendo que a inflação no mesmo período foi 3,7%, calcule a 
taxa aparente e a taxa real do período. 
5 O valor de R$ 200.000,00 foi aplicado a juros compostos no Banco Mafra. 
Sabendo que ovalor ficou aplicado por 180 dias e sabendo ainda que a taxa 
aparente do período foi 1,12% ao mês e que a inflação do mesmo período da 
aplicação foi 1,09%, calcule:
Cálculo da taxa real:
102  100 + taxa da inflação
ENTER 
112,91  100 + taxa aparente
∆%  O resultado 10,70% é a taxa real da operação ou 
 ganho real no período de 282 dias. 
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
146
a) O montante resgatado. 
b) O taxa aparente e a taxa real dessa aplicação no período.
147
Maravilha! Que bom que você chegou até aqui! Foi um grande avanço. 
Com certeza, você aprendeu muita coisa legal neste tópico. Vamos rever:
• Você aprendeu que juros compostos também são conhecidos como regime de 
juros sobre juros. 
• Aprendeu também que montante é a soma do capital com os juros do período. 
• Compreendeu como calcular o capital ou valor presente, calcular o tempo e a 
taxa em juros compostos.
• Aprendeu a capitalizar e descapitalizar taxas, através das taxas equivalentes. 
• E, por fim, compreendeu que a taxa real é a taxa nominal menos os efeitos 
inflacionários.
Enfim, a essa altura, você já está “expert” em juros compostos.
RESUMO DO TÓPICO 1
148
1 Calcule o montante de uma aplicação de R$ 50.000,00 a juros compostos, 
pelo prazo de 6 meses e a uma taxa de 2% ao mês.
2 Obtenha o montante das aplicações abaixo:
Capital (R$) taxa prazo 
a) 80.000,00 3,6% ao mês 2 anos 
b) 65.000,00 3% ao mês 12 meses 
c) 35.000,00 7% ao trimestre 18 meses 
3 João aplicou em 28.03.2010 a quantia de R$ 16.200,00 em um fundo de renda 
fixa. Passados dois anos, João foi retirar o seu montante. Sabendo que o 
fundo rendeu uma taxa de 1,35% ao mês, calcule o valor retirado. 
4 Uma pessoa aplicou R$ 40.000,00 em uma aplicação a juros compostos e a 
uma taxa de 2,6% ao mês. Qual será o montante a ser resgatado daqui a 
seis meses? 
5 Calcule o capital que, aplicado a uma taxa de 10% ao ano, a juros compostos 
durante 9 anos, produz um montante de R$ 175.000,00.
6 Alberto aplicou R$ 6.000,00 a juros compostos e à taxa de 2% ao trimestre em 
juros compostos. Sabendo que o valor ficou aplicado por 19 meses, calcule 
qual é o montante. 
7 Durante quantos meses um capital de R$ 5.000,00 deve ser aplicado a juros 
compostos e a uma taxa de 1,8% ao mês, para gerar um montante de R$ 
5.767,00?
AUTOATIVIDADE
Assista ao vídeo de
resolução da questão 1
149
8 Calcule o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 sob as seguintes 
hipóteses:
 taxa prazo
 a) 20% ao ano 5 anos 
 b) 5% ao semestre 3 anos e meio 
 c) 2,5% ao mês 1 ano 
9 Apliquei uma determinada quantia e após 3 anos e 3 meses de aplicação 
possuía o montante de R$ 75.000,00. Sabendo que a aplicação rendeu uma 
taxa de 1,23% ao mês em juros compostos, calcule o valor aplicado no início 
dessa aplicação. 
10 Calcule o montante de uma aplicação de R$ 85.000,00 aplicado a juros 
compostos, pelo prazo de 3 anos e a uma taxa de 1,2% ao mês em juros 
compostos.
 
11 Um capital de R$ 17.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 1 ano e 
meio e a uma taxa de 3,5% ao mês em juros compostos. Calcule o montante 
obtido ao final da aplicação.
12 Que capital aplicado a juros compostos durante 2 anos e 4 meses e a 
uma taxa de 10% ao mês produz um montante de R$ 175.000,00 em juros 
compostos?
13 Alberto aplicou R$ 16.000,00 a juros compostos durante um ano e a uma 
taxa de 1,2% ao mês. Qual o montante ao final do período?
14 Carlos aplicou R$ 1.800,00 em uma aplicação do Banco Alfa e após 2,5 anos 
retirou o montante de R$ 3.000,00. Calcule a taxa de aplicação mensal em 
juros compostos. 
15 Um capital de R$ 28.000,00 foi aplicado à taxa de 1,32% ao mês e após 
algum tempo foi resgatado o montante de R$ 31.328,75. Sabendo essas 
informações, calcule por quantos meses esse recurso ficou aplicado.
150
16 Durante quantos meses um capital de R$ 15.000,00 deve ser aplicado a 
juros compostos e a uma taxa de 1,8% ao mês para gerar um montante de 
R$ 16.767,00 em juros compostos?
17 Durante quantos meses um capital de R$ 6.750,00 deve ser aplicado para 
render um montante de R$ 8.850,00, sabendo que a taxa mensal de aplicação 
é de 1,55% no regime de juros compostos?
18 A que taxa mensal deve ser aplicado o capital de R$ 3.000,00 para gerar 
um montante de R$ 5.500,00 após 12 meses de aplicação no regime de juros 
compostos?
19 Após 24 meses de aplicação, João resgatou o montante de R$ 28.000,00 
de seu fundo de investimento. Sabendo que a taxa de rentabilidade desse 
fundo era 1,10% ao mês no regime de juros compostos, calcule qual foi o 
capital aplicado no fundo.
20 Calcule a taxa mensal equivalente às taxas a seguir, em juros compostos:
a) 13% ao ano.
b) 4% ao trimestre.
c) 12% ao semestre.
d) 5 % ao bimestre.
21 Um investidor aplicou a importância de R$ 25.000,00 em uma instituição 
que pagava uma taxa de 3% ao mês no regime de juros compostos. Após 
um certo período de tempo o investidor retirou o montante de R$ 35.644,02. 
Calcule por quantos meses o dinheiro ficou aplicado.
22 Uma aplicação de R$ 10.000,00 teve um rendimento de R$ 1.640,00 em 14 
meses. Se a inflação do período foi de 3,4%, calcule a rentabilidade aparente 
e real da aplicação.
23 Uma aplicação de R$ 4.200,00 teve um rendimento de R$ 1.043,45 em 2 
anos. Se a inflação do período foi de 10%, calcule a rentabilidade aparente 
e real da aplicação. 
24 Determine a taxa diária equivalente a uma taxa de 1,87% ao mês em juros 
compostos. 
151
Parabéns por ter feito todos esses exercícios. Sabemos que é um pouco cansativo, 
mas é muito importante fazê-los, para fixar bem os conhecimentos adquiridos.
Agora que terminou, dê uma paradinha, beba uma água, descanse um pouco e volte a estudar 
quando estiver mais relaxado.
Em seguida você estudará o assunto Prestações.
E por falar em prestações, podemos afirmar que a grande maioria das pessoas já fez ou fará, 
durante a vida, alguma compra em que pagará prestações mensais. Afinal, quem nunca fez 
uma “prestaçãozinha” durante sua vida?
Principalmente no Brasil, a população adora comprar bens a prazo e, na maioria das vezes, não 
analisa qual a taxa de juros que está sendo cobrada nesses parcelamentos. O que as pessoas 
analisam é se as prestações “cabem” no seu bolso. 
O correto é fazer uma programação de compra, poupar primeiro para comprar o bem à vista 
e poder “barganhar” o preço ou, na pior das hipóteses, parcelar, mas na menor quantidade de 
prestações possível, para pagar menos juros no total. Quando os parcelamentos são feitos em 
24 ou 36 vezes, é comum o valor total pago ser duas vezes ou mais o valor financiado.
25 Determine a taxa semestral equivalente à taxa de 56,8% ao ano em juros 
compostos. 
26 Carlão vendeu sua casa por R$ 254.000,00 e aplicou o recurso em um banco, 
recebendo uma taxa mensal de 0,87% ao mês. Sabendo ainda que após esse 
período Carlão resgatou o montante de R$ 295.340,00, calcule por quantos 
dias ficou aplicado esse recurso em juros compostos.
UNI
152
153
TÓPICO 2
SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Nos estudos anteriores você viu que o capital era pago ou recebido de uma 
única vez. Agora você estudará o pagamento ou recebimento do capital através de 
uma sequência de pagamentos ou recebimentos.
Esse assunto é muito interessante e importante, pois acreditamos que a 
maioria das pessoas adquire seus bens, principalmente os mais caros, como casas, 
carros, eletrodomésticos em geral, fazendo prestações mensais.
Como existem muitos modelos de prestações, nesse Caderno de Estudos 
você aprenderá a calcular apenasos principais modelos e os mais utilizados.
Você verá a seguir as prestações, que são, simultaneamente:
TEMPORÁRIAS  com tempo determinado.
CONSTANTES  onde todas as parcelas serão iguais.
IMEDIATAS E POSTECIPADAS  prestações com entrada no ato e sem entrada 
no ato.
PERIÓDICAS  intervalo igual entre as parcelas.
E, ainda, que a taxa de juros seja referida ao mesmo período dos termos.
Na parte final deste Cadernos de Estudos você encontrará outros modelos 
que julgamos importantes também, porém menos comuns.
154
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
2 CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES DE PAGAMENTOS OU 
PRESTAÇÕES 
As prestações podem ter várias classificações. Então vamos a elas: 
 
a) QUANTO AO PRAZO:
 
• Temporárias: Duração limitada. A maioria das prestações tem duração limitada. 
Como exemplo, citamos a compra de um automóvel em prestações que têm 
prazo para terminar.
• Perpétuas: Duração ilimitada, que é o caso dos aluguéis, por exemplo. Enquanto 
a pessoa viver em uma casa alugada, pagará uma prestação (que é o aluguel). 
Outros exemplos são o plano de saúde e o seguro de vida. 
b) QUANTO AO VALOR DAS PRESTAÇÕES:
• Constante: Todos os termos iguais. Esse modelo é mais comum, onde as 
prestações têm o mesmo valor mensal. Como exceção temos o consórcio, em que 
as parcelas vão aumentando, e o financiamento da casa própria, no qual, pelo 
modelo praticado pela Caixa Econômica Federal, as prestações vão reduzindo 
com o passar do tempo.
• Variável: Termos não iguais entre si. É o caso citado há pouco, da casa própria da 
Caixa e consórcios, além de alguns outros.
 
c) QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU RECEBIMENTO:
• Imediatas: Prestações vencendo a partir do primeiro período (sem carência), e 
estas ainda dividem-se em:
 Antecipadas: a primeira parcela é paga no ato da compra (início do intervalo) e, 
como exemplo, podemos citar a compra de uma televisão em 1+9 prestações de 
140,00. Note que existe uma entrada no ato do negócio. 
 Postecipadas: onde a primeira parcela é negociada para pagamento no fim 
do intervalo, ou seja, 30 dias após a compra e, como exemplo, podemos citar 
a compra de uma televisão em 0+10 prestações de 140,00. Note que não existe 
pagamento no ato do negócio e a primeira prestação vence em 30 dias.
 Diferidas: prestações exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro 
período. Existe uma carência para os pagamentos das prestações. Atualmente 
é bem comum encontrarmos esse modelo de prestações e, como exemplo, 
podemos citar a compra de um automóvel novo, na qual o cliente começa a 
pagar a primeira prestação em 90 dias e depois as demais de 30 em 30 dias.
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
155
d) QUANTO À PERIODICIDADE:
• Periódicas: todos os períodos são iguais. Pagamento de prestações todos os meses.
• Não periódicas: os períodos não são iguais entre si. Menos comuns atualmente. 
Antigamente eram mais aplicadas. 
Bem, agora que você leu a classificação das anuidades, você vai aprender a 
calcular os modelos mais utilizados no comércio atualmente. Principalmente os 
modelos em que as prestações são mensais, com o mesmo valor, e, ainda, alguns 
modelos sem e com entrada no ato. 
Você vai estudar primeiro o modelo em que o cliente não paga entrada 
no ato da aquisição do produto ou mercadoria. São as prestações que chamamos 
de postecipadas, pois o cliente paga a primeira prestação em 30 dias e as demais 
também de 30 em 30 dias. 
Vamos lá, então!!!
3 PRESTAÇÕES POSTECIPADAS
Entendemos por prestações postecipadas as prestações que serão pagas 
pelos clientes em 30 dias após a realização do negócio ou operação. O cliente vai 
até à loja, compra o produto ou mercadoria, parcela a compra em prestações e 
começa a pagar em 30 dias. 
Para quem for utilizar a HP 12C para efetuar os cálculos através das teclas 
financeiras, deve pressionar a tecla g e em seguida a tecla de número 8 . Comandando essas 
teclas, você estará acionando o modo END na calculadora, ou seja, através desse comando a 
HP entenderá que são prestações sem entrada.
3.1 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE  PV 
O cálculo do valor presente é utilizado para encontrar o valor atual em 
relação a uma compra parcelada, ou seja, os juros são retirados do valor das 
prestações a pagar.
 
Fórmula:
IMPORTANT
E
( ) n1 1 i
PV PMT
i
− − +
 = ⋅
 
 
156
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Onde:
PV = Valor presente ou valor à vista 
PMT = valor das prestações 
i = taxa
n = quantidade de prestações 
 
Exemplo 1:
João comprou um carro usado. Vai pagar em 24 prestações mensais e iguais 
de R$ 626,24 sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao 
da compra, e o vendedor afirmou que está cobrando uma taxa de juros compostos 
de 2% ao mês no parcelamento. Sabendo essas informações, calcule qual deveria 
ser o valor do carro à vista.
Solução pela fórmula:
PV = 626,24 • 18,91392561
PV = 11.844,66
Note que na fórmula a taxa de 2% é dividida por 100 e somada ao número 1. 
Em seguida, o resultado encontrado é elevado a -24.
Para elevar (1,02)-24 na sua HP comande conforme segue:
Primeiro deixe a HP com todas as casa decimais, comandando f 9 .
Agora que a calculadora está com 9 casas após a vírgula, faça conforme segue:
1,02 enter
24 CHS Yx
Visor  0,621721488
DICAS
( )
( )
n
24
1 1 i
PV PMT
i
1 1 0,02
PV 626,24
0,02
1 0,621721488PV 626,24
0,02
0,378278512PV 626,24
0,02
−
−
 − +
 = ⋅
 
 
 − +
 = ⋅
 
 
 − 
= ⋅  
 
 
= ⋅  
 
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
157
Solução pela HP 12C através da função financeira:
 
g 8  ativando o modo end, sem entrada 
f CLX  limpando as memórias e registradores 
 financeiros
626,24 CHS PMT  valor das prestações lançadas no PMT com sinal 
 negativo
24 n  número de prestações lançado no n 
2 i  taxa laçada no i
PV  Visor 11.844,66 
Note que na HP você utilizou uma nova tecla, o PMT. Nessa tecla você 
insere ou busca o valor das prestações. Lembre-se de que as teclas financeiras são 
independentes, ou seja, você não precisa seguir a ordem informada. 
 
Exemplo 2:
Um forno elétrico foi adquirido de forma parcelada. O cliente vai pagar 
12 prestações mensais e iguais de R$ 55,87 sem entrada. Sabendo que a loja que 
vendeu o bem opera com uma taxa de 1,99% ao mês, calcule qual deveria ser o 
valor do forno à vista.
Solução pela fórmula:
PV = 55,87 • 10,58183889
PV = 591,21
( )
( )
n
12
1 1 i
PV PMT
i
1 1 0,0199
PV 55,87
0,0199
1 0,789421406PV 55,87
0,0199
0,210578594PV 55,87
0,0199
−
−
 − +
 = ⋅
 
 
 − +
 = ⋅
 
 
 − 
= ⋅  
 
 
= ⋅  
 
158
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Solução pela HP 12C através das teclas financeiras: 
 
g 8  ativando o modo end, sem entrada 
f CLX  limpando as memórias e registradores 
 financeiros
55,87 CHS PMT  valor das prestações lançadas no PMT com sinal 
 negativo
12 n  número de prestações lançado no n 
1,99 i  taxa laçada no i
PV  Visor 591,21 que é o valor presente ou à vista.
AUTOATIVIDADE
Agora é a sua vez de exercitar um pouco!
Ao ler os exercícios, você verá que são situações que ocorrem em nosso dia a 
dia.
 
1 Um eletrodoméstico é vendido a prazo em 4 prestações mensais e iguais de 
R$ 550,00, vencendo a primeira prestação um mês após a compra. Sabendo 
que a loja opera com uma taxa de juros de 5% ao mês, calcule qual o seu 
preço à vista.
2 A empresa Piano 10 contratouempréstimo em uma instituição financeira. 
Deverá pagar 15 prestações mensais de R$ 8.000,00 cada, vencendo a primeira 
um mês após a contratação da operação. Sabendo que a taxa utilizada para 
o cálculo foi 2% ao mês, calcule o valor do empréstimo contratado pela 
empresa.
Note que na fórmula a taxa de 1,99% é dividida por 100 e somada ao número 1. 
Em seguida, o resultado encontrado é elevado a -12.
Para elevar (1,0199)-12 na sua HP comande conforme segue:
1,0199 enter
12 CHS Yx
Visor  0,789421406
UNI
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
159
3 Um televisor pode ser adquirido em 10 parcelas mensais e iguais de R$ 238,00, sem 
entrada. A loja informou que a taxa praticada é de 3,8% ao mês. Sabendo essas 
informações, calcule o valor do aparelho à vista. 
4 Um terreno é vendido em 24 prestações mensais e iguais de R$ 15.000,00, 
sendo a primeira paga dentro de 30 dias e assim sucessivamente. Se a taxa de 
juros cobrada no parcelamento é de 4% ao mês, calcule o valor à vista desse 
terreno. 
5 Qual é o preço à vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de R$ 
300,00, sendo a primeira paga um mês após a compra, se as taxas e prazos a 
seguir forem considerados: 
a) 3% ao mês – 24 meses 
b) 4% ao mês – 36 meses 
c) 5% ao mês – 12 meses 
6 Uma geladeira duplex foi adquirida de forma parcelada em 18 prestações 
mensais, fixas e sem entrada, no valor de R$ 150,30. Sabendo que a loja que 
vendeu o bem opera com uma taxa de 1,58% ao mês, calcule o valor da 
geladeira à vista.
Agora que você fez todos os exercícios de valor presente, você vai aprender a 
calcular o valor das prestações.
3.2 CÁLCULO DO VALOR DAS PRESTAÇÕES  PMT
Agora você vai aprender como calcular o valor das prestações, ou seja, serão 
fornecidas as informações do preço à vista, da taxa, da quantidade de prestações. 
O objetivo será calcular o valor da prestação mensal a ser paga.
Fórmula:
UNI
( ) n1 1 i
PV PMT
i
− − +
 = ⋅
 
 
160
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Na fórmula correta temos que isolar o PMT. Aqui, preferimos não alterar, para 
facilitar o seu aprendizado. Usando a mesma fórmula para calcular o PV e o PMT fica mais fácil 
para entender. Caso contrário, teríamos que criar mais uma fórmula.
Exemplo 1:
Um terreno que custa R$ 101.000,00 à vista pode ser adquirido em 60 
prestações mensais e fixas, sendo a primeira paga um mês após a compra. Sabendo 
que o parcelamento foi efetuado com uma taxa de 1,99% ao mês, calcule o valor 
das prestações.
Solução pela fórmula:
Solução pela calculadora HP12c utilizando as teclas financeiras: 
f CLX  limpeza das memórias e registradores
101.000,00 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal negativo
60 n  número de prestações lançado no n
1,99 I  taxa lançada no I 
PMT Visor  2.898,53 que é o valor das 60 prestações.
IMPORTANT
E
( ) 601 1 0,0199
101.000 PMT
0,0199
1 0,306580475101.000 PMT
0,0199
0,693419525101.000 PMT
0,0199
101.000 PMT 34,84520226
101.000PMT 2.898,53
34,84520226
− − +
 = ⋅
 
 
 − 
= ⋅  
 
 
= ⋅  
 
= ⋅   
= =
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
161
Solução pela calculadora HP12c utilizando as teclas financeiras: 
f CLX  limpeza das memórias e registradores
101.000,00 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal negativo
60 n  número de prestações lançado no n
1,99 I  taxa lançada no I 
PMT Visor  2.898,53 que é o valor das 60 prestações.
Nesse tipo de cálculo é muito importante sempre zerar as memórias da máquina 
antes de iniciá-los.
Note que agora é fornecido o valor à vista que é lançado no PV e, por fim, busca-se o PMT, que 
é o valor das prestações.
Exemplo 2:
Um automóvel novo custa à vista R$ 53.400,00 e pode ser adquirido em 
36 prestações mensais e iguais, sendo a primeira paga um mês após a compra. 
Sabendo que o parcelamento foi efetuado com uma taxa de 1,30% ao mês, calcule 
o valor das prestações.
Solução pela fórmula:
Solução pela HP12c utilizando as teclas financeiras:
f CLX  limpeza das memórias e registradores
53.400 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal negativo
36 n  número de prestações lançado no n
1,3 I  taxa lançada no I 
PM Visor  1.866,86, que é o valor a ser pago nas 36 prestações
UNI
( ) 361 1 0,0130
53.400 PMT
0,0130
1 0,062814508753.400 PMT
0,0130
0,37185491353.400 PMT
0,0130
53.400 PMT 28,60422411
− − +
 = ⋅
 
 
 − 
= ⋅  
 
 
= ⋅  
 
= ⋅   
53.400 1.866,86
28,60422411
= =PMT
162
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
AUTOATIVIDADE
Agora é a sua vez, exercite um pouco!!! 
Com certeza, é um assunto legal e muito importante para você.
 
1 Um automóvel é vendido à vista por R$ 10.000,00, mas pode ser financiado 
em 12 prestações mensais, iguais e sem entrada, com a taxa de juros de 2,2% 
ao mês. Sabendo essas informações, obtenha o valor de cada prestação.
2 Uma máquina é vendida por R$ 30.000,00 à vista ou a prazo em 5 prestações 
mensais iguais, sem entrada. Calcule o valor das prestações se a taxa de juros 
praticada for de 7% ao mês.
3 Um automóvel é vendido por R$ 16.000,00 à vista, mas pode ser financiado 
a uma taxa de 2,5% ao mês. Calcule o valor das prestações nas seguintes 
condições de financiamento:
a) 12 prestações mensais iguais sem entrada.
b) 18 prestações mensais iguais sem entrada.
c) 24 prestações mensais iguais sem entrada.
4 Um ventilador é vendido à vista por R$ 90,00, mas pode ser financiado em 12 
prestações mensais, iguais e sem entrada, com taxa de juros de 2,05% ao mês. 
Sabendo essas informações, obtenha o valor das prestações.
5 Uma calculadora financeira HP 12C é vendida à vista por R$ 210,00 ou a 
prazo em 8 prestações mensais, iguais, sem entrada. Calcule o valor das 
prestações se a taxa de juros praticada for de 1,80% ao mês.
6 Uma bicicleta elétrica é vendida à vista por R$ 1.900,00, mas pode ser 
comprada em 18 prestações mensais, fixas e sem entrada, com uma taxa de 
parcelamento de 2,5% ao mês. Calcule o valor das prestações na compra a 
prazo.
Foram poucos exercícios, mas todos os produtos envolvidos são do nosso dia a 
dia e a maioria das pessoas compra-os de forma parcelada. No final desse tópico você terá a 
oportunidade de fazer mais algumas atividades para calcular o valor das prestações.
Vamos em frente!
UNI
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
163
3.3 CÁLCULO DO NÚMERO DE PRESTAÇÕES  N
O objetivo agora é calcular a quantidade de prestações que deverão ser 
pagas no caso de compras parceladas.
Agora as informações que serão fornecidas são: o valor à vista, o valor das 
prestações e a taxa de parcelamento. 
Fórmula:
Exemplo:
Um terreno que custa à vista R$ 50.000,00 foi vendido em parcelas mensais, 
iguais e sem entrada, no valor de R$ 2.000,00. Sabendo que a taxa cobrada no 
parcelamento é de 2% ao mês, calcule o número de prestações negociadas.
Solução pela fórmula:
n = –35,00278878, ou seja, 35 prestações
( )
PVLn 1 i
PMT
n
Ln 1 i
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
( )
( )
( )
( )
( )
PVLn 1 i
PMT
n
Ln 1 i
50.000Ln 1 0,02
2.000
n
Ln 1 0,02
Ln 1 25 0,02
n
Ln 1,02
Ln 1 0,50
n
Ln 1,02
Ln 0,50n
Ln 1,02
Ln 0,6941471n
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
  − ⋅  =  
  
  −   =  
  
 
=  
 
−
=
81
Ln 0,019802627
 
 
 
164
UNIDADE3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Lembra que no cálculo do tempo em juros compostos você utilizou o Logaritmo 
Natural para efetuar os cálculos? No cálculo do número de prestações você precisa utilizar a 
mesma função. 
Veja: na fórmula, calculamos o Ln de 0,50 e de 1,02. No final do cálculo temos que desconsiderar 
a resposta negativa, pois fizemos aqui uma adaptação na fórmula para ela ficar mais fácil de 
resolver, e no final é só considerar positiva sua resposta.
Solução pela HP 12C através da teclas financeiras:
f CLX  limpeza das memórias e registradores
50.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
2 I  taxa lançada no I 
2.000 PMT  valor das prestações lançadas no PMT
n Visor  35, que é o número de prestações 
 que devem ser negociadas.
A calculadora financeira HP 12C arredonda sempre para cima o resultado quando 
a resposta a ser encontrada é o número de prestações. Para a calculadora HP 12C não existe 
tempo “quebrado”. Você poderá encontrar resultados na fórmula que aparecem com casas 
após a vírgula, como, por exemplo: 5,77 prestações, mas na HP 12C, ao utilizar as teclas 
financeiras, ela apresenta a resposta como 6 prestações, pois ninguém pagaria 5,77 prestações.
Vamos a outro exemplo.
Exemplo 2:
Um automóvel que custa à vista R$ 30.000,00 foi vendido em parcelas 
mensais, iguais e sem entrada, no valor de R$ 700,00. Sabendo que a taxa cobrada 
no parcelamento é de 1,50% ao mês, calcule o número de prestações negociadas. 
IMPORTANT
E
IMPORTANT
E
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
165
Solução pela fórmula:
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C
f CLX  limpeza das memórias e registradores
30.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
1,5 I  taxa lançada no I 
700 PMT  valor das prestações lançadas no PMT
n Visor  70, que é o número de prestações que 
 devem ser negociadas.
( )
( )
( )
( )
( )
PVLn 1 i
PMT
n
Ln 1 i
30.000Ln 1 0,0150
700
n
Ln 1 0,0150
Ln 1 42,85714286 0,0150
n
Ln 1,0150
Ln 1 0,642857143
n
Ln 1,0150
Ln 0,357142n
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
  − ⋅  =  
  
  −   =  
  
=
857
Ln 1,0150
Ln 1,029619417n
Ln 0,014888612
n 69,15482673, ou seja, arredondando 70 prestações
 
 
 
 − 
=  
 
= −
166
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
AUTOATIVIDADE
1 Uma loja vende uma geladeira frost free à vista por R$ 1.800,00, mas também 
pode ser adquirida a prazo, com prestações mensais, iguais e sem entrada. 
Calcule quantas prestações serão negociadas, se o cliente optar por uma 
prestação mensal de R$ 430,00, sabendo ainda que a loja opera uma taxa de 
juros de 4% ao mês.
 
2 Um terreno é vendido à vista por R$ 47.500,00 ou em prestações mensais, 
fixas e sem entrada, no valor de R$ 1.500,00. Calcule o número de prestações 
que devem ser pagas na compra a prazo, sabendo que a taxa de juros é de 
2,5% ao mês. 
3 Carlos comprou uma filmadora que custava à vista R$ 2.200,00 em prestações 
mensais, fixas e sem entrada, no valor de R$ 257,77, vencendo a primeira 30 dias 
após a compra. Sabendo que a loja opera com uma taxa de financiamento de 
2,99% ao mês, calcule quantas prestações serão negociadas na compra a prazo.
4 Uma loja vende uma aparelho de som à vista por R$ 2.400,00, mas que também 
pode ser adquirido a prazo, com prestações mensais, iguais e sem entrada no 
ato. Calcule quantas prestações deverão ser negociadas na compra a prazo, 
se o cliente optar por uma prestação mensal de R$ 430,00, sabendo que a loja 
cobra uma taxa de juros de 4% ao mês. 
5 Uma casa é vendida por uma imobiliária à vista por R$ 47.500,00 ou em prestações 
mensais, fixas e sem entrada, no valor de R$ 1.000,00 direto com a imobiliária. 
Calcule o número de prestações que devem ser pagas na compra a prazo, sabendo 
que a taxa de juros é de 1,5% ao mês. 
6 Uma mesa de cozinha que custava à vista R$ 2.200,00 foi adquirida em 
prestações mensais, fixas e sem entrada, no valor de R$ 80,00, vencendo a 
primeira 30 dias após a compra. Sabendo que a loja que vende a mesa opera 
com uma taxa de financiamento de 0,99% ao mês, calcule quantas prestações 
serão negociadas na compra a prazo.
Legal, você avançou bastante em prestações. Já aprendeu a calcular o valor à 
vista, o valor das prestações e a quantidade de prestações. Agora, sugerimos que você pare um 
pouco, relaxe, beba uma água e volte quando estiver mais descansado.
A seguir você aprenderá a calcular as taxas cobradas nos empréstimos e nos parcelamentos 
de bens nas lojas. 
Vamos lá, então!!!
UNI
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
167
3.4 CÁLCULO DA TAXA  I 
O cálculo da taxa é bem mais trabalhoso quando feito pela fórmula, porém 
é muito importante saber calcular. Pela calculadora financeira, o cálculo é bem 
fácil, mas pela fórmula é trabalhoso porque temos que inserir taxas aleatórias até 
achar a taxa correta da operação.
Fórmula:
Exemplo:
Um terreno que custa à vista R$ 50.000,00 será parcelado em 60 prestações 
mensais, fixas e sem entrada, no valor de R$ 1.112,22, sendo a primeira paga um 
mês após a compra. Calcule qual é a taxa de juros mensal no caso de parcelamento 
em 60 prestações. 
Solução pela fórmula:
A partir de agora, é preciso colocar taxas aleatórias no i até encontrar do 
lado esquerdo da fórmula o resultado 44,95513478. Aí significa que a taxa que foi 
inserida está correta.
A taxa correta dessa operação é 1%. Para encurtar o cálculo do valor, vamos 
lançá-la para continuar o desenvolvimento do cálculo acima.
( ) n1 1 i PV
i PMT
−  − +     =        
( ) n1 1 i PV
i PMT
−  − +     =        
( )
( )
60
60
1 1 i 50.000
i 1.112,22
1 1 i
44,95513478
i
−
−
  − +     =        
  − +   =     
  
( )
( )
60
60
1 1 i
44,95513478
i
1 1 0,01
44,95513478
0,01
1 0,550449616 44,95513478
0,01
0,449550384 44,95513478
0,01
−
−
  − +   =     
  
  − +   =     
  
  − 
=      
  
  
=      
  
44,95503841 = 44,95513478
168
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Perceba que na fórmula foi efetuada a divisão do valor à vista (presente) 
pelo valor da prestação. Ao encontrar o resultado dessa divisão, devem ser 
inseridas taxas aleatórias, substituindo as duas letras i da fórmula até acertar a 
taxa cujo cálculo do lado esquerdo da fórmula dê o resultado igual ao lado direito. 
Perceba que é bastante trabalhoso.
O resultado não saiu exatamente igual nas últimas casas, por termos 
utilizado a taxa de 1%, sendo que a taxa que daria o resultado exato seria 0,999% 
ao mês.
 
Trabalhoso, não é?
Mas pela calculadora financeira é bem fácil..... Vamos ver!!!
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C
f CLX  limpeza das memórias e registradores
50.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
1.112,22 PMT  valor das prestações lançadas no PMT
60 n  número de prestações lançadas no n
I  visor 1, ou seja, 1% ao mês
 
Em algumas calculadoras financeiras a resposta demora um pouco mais 
para aparecer no visor, mas é bem mais rápido do que fazer na fórmula.
AUTOATIVIDADE
Vamos lá, pratique alguns exercícios de cálculo da taxa... 
1 Uma televisão de 50 polegadas foi comprada em 18 prestações mensais, fixas 
e sem entrada, no valor de R$ 199,00, vencendo a primeira 30 dias após a 
compra.Sabendo que o preço à vista do bem era R$ 2.800,00, calcule a taxa 
mensal desse parcelamento.
2 João comprou uma casa que custava à vista R$ 68.000,00, financiada 
diretamente com a imobiliária em 60 parcelas mensais, fixas e sem entrada, 
no valor de R$ 1.500,00. Sabendo que a primeira prestação vencia 30 dias 
após a compra, calcule qual a taxa mensal de juros desse financiamento. 
3 Um freezer que custa à vista R$ 890,00 pode ser adquirido em 12 prestações 
mensais, fixas e sem entrada, no valor de R$ 87,82, vencendo a primeira 30 
dias após a compra. Calcule a taxa de juros mensal da compra a prazo.
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
169
4 Um cavalo manga larga foi comprado em 12 prestações mensais, fixas e sem 
entrada, no valor de R$ 500,00, vencendo a primeira prestação em 30 dias 
após a compra. Sabendo que o preço à vista do cavalo era R$ 4.000,00, calcule 
a taxa mensal inserida nesse parcelamento.
 
5 Um fusca 1969, uma relíquia para colecionador, que custava à vista R$ 
9.000,00, foi adquirido de forma parcelada em 8 parcelas mensais, fixas e sem 
entrada, no valor de R$ 1.500,00. Sabendo que a primeira prestação vencia 30 
dias após a compra, calcule qual é a taxa mensal de juros desse parcelamento. 
6 Um secador de cabelo que custava à vista R$ 290,00 foi comprado em 15 
prestações de R$ 29,00. Sabendo que as prestações são mensais, fixas e sem 
entrada, calcule a taxa mensal de juros inserida nesse parcelamento.
Seguindo nossos estudos, vamos aprender a calcular o valor futuro.
3.5 CÁLCULO DO VALOR FUTURO OU MONTANTE  FV
O cálculo do valor futuro é utilizado quando o objetivo é descobrir qual 
será o valor acumulado que uma determinada pessoa ou empresa terá ao final 
de certo período, se aplicar mensalmente um determinado valor, recebendo uma 
determinada taxa de juros na aplicação. 
Fórmula:
Exemplo 1:
Uma pessoa resolve que dentro de 30 dias começará a depositar 
mensalmente, em uma caderneta de poupança, o valor de R$ 500,00. Sabendo que 
ela fará esse mesmo depósito durante 12 meses e que o banco paga uma taxa de 
juros de 0,58% ao mês na aplicação, calcule quanto essa pessoa terá acumulado no 
instante que efetuar o último depósito.
Solução pela fórmula:
PMT = 500,00 
n = 12 
i = 0,58% 
UNI
( )n1 i 1
FV PMT
i
 + −
 = ⋅
 
 
170
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
FV =?
Portanto, aplicando mensalmente R$ 500,00 durante 12 meses consecutivos e 
a uma taxa de juros de 0,58% ao mês, o aplicador terá no final do prazo o valor total 
de R$ 6.195,15.
Esse tipo de cálculo é muito útil quando queremos programar uma compra 
futura e nos programamos para isso. 
Note que o expoente da fórmula, no caso do cálculo do valor futuro, é positivo.
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C
f CLX  limpeza das memórias e registradores
500 PMT  valor do investimento mensal lançado no PMT
12 n  número de depósitos mensais lançada no n
0,58 I  taxa da aplicação mensal lançado no i
FV  Visor 6.195,15, que é o valor acumulado em 12 
 meses.
DICAS
( )
( )
n
12
1 i 1
FV PMT
i
1 0,0058 1
FV 500
0,0058
1,071863730 1FV 500
0,0058
0,071863730FV 500
0,0058
FV 500 12,39029828 6.195,15
 + −
 = ⋅
 
 
 + −
 = ⋅
 
 
 − 
= ⋅  
 
 
= ⋅  
 
= ⋅ =
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
171
É muito importante zerar as memórias antes de efetuar o cálculo, porque nesse 
exercício não foi utilizada a tecla PV e, caso não seja comandado f clx no início, essa tecla 
fica com valores registrados da operação passada e mostra um resultado que não é o correto. 
Exemplo 2:
Roberto está determinado a comprar um terreno para construir 
sua casa própria em 3 anos. Ele decidiu que dentro de 30 dias começará a 
depositar mensalmente em uma aplicação financeira o valor de R$ 1.000,00. 
Sabendo que ele fará esse mesmo depósito durante 36 meses e que o banco 
paga uma taxa de juros de 0,73% ao mês na aplicação, calcule quanto Roberto 
terá acumulado no instante em que efetuar o último depósito.
Solução pela fórmula:
PMT = 1.000,00 
n = 36 
i = 0,73% 
FV =?
Portanto, caso Roberto aplique mensalmente R$ 1.000,00 e faça esse 
investimento durante 36 meses consecutivos e a uma taxa de juros de 0,73% ao 
mês, ele terá no final do prazo o valor total de R$ 41.003,52.
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C
DICAS
( )
( )
n
36
1 i 1
FV PMT
i
1 0,0073 1
FV 1.000
0,0073
1,299325681 1FV 1.000
0,0073
0,299325681FV 1.000
0,0073
FV 1.000 41,00351795 41.003,52
 + −
 = ⋅
 
 
 + −
 = ⋅
 
 
 − 
= ⋅  
 
 
= ⋅  
 
= ⋅ =
172
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
f CLX  limpeza das memórias e registradores
1.000 PMT  valor do investimento mensal lançado no PMT
36 n  número de depósitos mensais lançado no n
0,73 I  taxa da aplicação mensal lançada no i
FV  Visor 41.003,52, que é o valor acumulado em 36 
 meses.
Agora é a sua vez de mostrar que entendeu o cálculo de valor futuro. Vamos 
lá, então, praticar?
AUTOATIVIDADE
1 Calcule qual será o montante que um poupador acumulará caso ele comece 
a aplicar dentro de 30 dias o valor de R$ 1.500,00, e faça esse mesmo depósito 
durante 10 meses consecutivos, recebendo uma taxa de 1,5% nessa aplicação. 
2 Uma pessoa vai depositar mensalmente a quantia de R$ 350,00 em uma 
aplicação financeira que remunera à taxa de 2,1% ao mês. Sabendo que ela 
começará a efetuar seus depósitos em 30 dias e fará essa mesma aplicação 
durante 24 meses consecutivos, calcule qual será o montante no instante do 
último depósito. 
3 Mário está decidido a trocar de carro dentro de 3 anos. Ele decidiu que dentro 
de 30 dias começará a depositar mensalmente em um banco o valor de R$ 
400,00. Sabendo que ele fará esse mesmo depósito mensal durante 2 anos e 
que o banco paga uma taxa de juros de 0,61% ao mês na aplicação, calcule 
quanto Mário terá acumulado no instante em que efetuar o último depósito.
4 Calcule qual será o montante que um aplicador acumulará se ele aplicar 
dentro de 30 dias o valor de R$ 900,00 e fizer esse mesmo depósito durante 
15 meses consecutivos, recebendo uma taxa de 1,02% nessa aplicação.
5 Uma pessoa vai depositar mensalmente a quantia de R$ 900,00 em uma 
aplicação financeira que remunera à taxa de 1,05% ao mês. Sabendo que ela 
começará a efetuar seus depósitos em 30 dias e fará essa mesma aplicação 
durante 48 meses consecutivos, calcule qual será o montante após o período 
de rendimento do último depósito.
6 Lúcia está decidida que vai comprar uma televisão nova de 50 polegadas 
daqui a 2 anos. Ela decidiu que dentro de 30 dias começará a guardar 
mensalmente em um banco o valor de R$ 300,00, para que dentro de 2 anos 
tenha o valor suficiente para a compra do bem. Sabendo que ela fará esse 
depósito mensal durante 24 meses e que o banco paga uma taxa de juros de 
0,56% ao mês na aplicação, calcule quanto a Lúcia terá acumulado após o 
período de rendimento do último depósito.
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
173
Caro/a aluno/a, você avançou bastante em seus estudos. Fez todos os exercícios 
propostos de prestações sem entrada. O próximo passo é estudar as prestações com uma entrada 
no ato. Mas você vai ver que é um assunto fácil, principalmente se você possui a calculadora 
financeira.
Caso esteja cansado/a, pare um pouco, beba aquela “aguinha gelada” e volte a estudar logo mais.
4 PRESTAÇÕES ANTECIPADAS
Uma prestação é antecipada quando o pagamento ou recebimento é 
efetuado no início do período, ou seja, existe uma entrada no ato do negócio. No 
momento da negociação é paga a primeira prestação eas demais ocorrem de 30 em 
30 dias e no mesmo valor da entrada.
Ocorre muito no comércio varejista de eletrodomésticos em geral: grandes 
lojas vendem seus produtos a prazo, porém com uma entrada no ato. 
Aqui, nesse Caderno de Estudos, você vai estudar as prestações antecipadas 
que mais ocorrem, que é o modelo com valores fixos e mensais (periódicos). 
Se você estiver utilizando a calculadora financeira HP 12C, através das teclas 
financeiras, agora você deve acionar a função BEGIN no visor da calculadora.
Para que isso ocorra você deve pressionar a tecla g e em seguida a tecla de Número 7 . 
Após pressionar as teclas, aparecerá a palavra Begin no visor de sua calculadora.
Você deve nesse momento estar se perguntando: Mas para que serve o Begin?
Com o Begin aparecendo no Visor, a calculadora “entende” que existe uma entrada no ato do 
negócio e que essa entrada tem o mesmo valor das demais prestações a serem pagas.
Portanto, se você digitar o número 10 e inserir na tecla n com o Begin aparecendo no visor, a 
calculadora “entenderá” que trata-se de uma entrada mais 9 prestações mensais.
Se pressionar o número 12, a calculadora ‘entenderá” que é 1+11, e assim por diante.
Se precisar retirar o Begin do visor da calculadora é só pressionar a tecla g e em seguida a tecla 
de número 8 .
DICAS
ATENCAO
174
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
4.1 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE OU À VISTA  PV 
Utiliza-se esse tipo de cálculo quando o objetivo é achar o valor presente 
de uma série de prestações, na qual ocorreu uma entrada no ato de mesmo valor 
das prestações.
 
Fórmula:
Como você pode perceber, a fórmula para o cálculo do PV é bem parecida 
com a do cálculo do PV sem entrada. O que difere é a multiplicação por (1+ i) no 
final da fórmula. 
Exemplo 1: 
Determine o valor presente de uma série de 6 prestações de R$ 20.000,00 
mensais e iguais, sendo a primeira paga no ato da compra, e sabendo ainda que a 
taxa desse parcelamento é 5% ao mês.
Solução pela fórmula:
Portanto, se a pessoa tiver que pagar 6 prestações de R$ 20.000,00, nas quais 
foi embutida uma taxa de 5% ao mês, equivale a R$ 106.689,53 trazendo a valor 
presente.
( ) ( )
n
1 1 i
PV PMT 1 i
i
−  − +  = ⋅ ⋅ + 
    
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
n
6
1 1 i
PV PMT 1 i
i
1 1 0,05
PV 20.000 1 0,05
0,05
1 0,746215397PV 20.000 1,05
0,05
0,253784603 20.000 1,05
0,05
PV 20.000 5,075692060 1,0
−
−
  − +  = ⋅ ⋅ + 
    
  − +  = ⋅ ⋅ + 
    
  − 
= ⋅ ⋅  
  
  
= ⋅ ⋅  
  
= ⋅ ⋅ 5
PV 106.589,53=
PV
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
175
4.1 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE OU À VISTA  PV Solução pela HP 12c utilizando as teclas financeiras: 
Como se trata de uma prestação antecipada, ou seja, será dada uma 
parcela como entrada no ato da contratação do negócio, precisamos informar isso 
à calculadora HP 12C, pressionando as teclas g e em seguida BEG que é a segunda 
função localizada na tecla de número 7 . No visor da calculadora aparecerá a 
palavra BEGIN . Agora a calculadora está preparada para esse tipo de cálculo. 
Para tirar o BEGIN do visor basta pressionar as teclas g e o número 8 (END) em 
seguida.
g 7  ativando o modo Begin, com entrada no ato 
f CLX  limpando as memórias e registradores 
 financeiros
20.000 CHS PMT  valor das prestações lançadas no PMT com sinal 
 negativo
6 n  número de prestações lançado no n 
5 i  taxa laçada no i
PV  Visor 106.589,53
Você não precisa digitar g 7 em cada cálculo, pois como estamos falando em 
prestações com entrada no ato, você vai fazer vários exercícios todos com entrada. Então, uma 
vez acionado o Begin, ele fica no visor até que você comande g 8 para voltar às prestações 
sem entrada.
Exemplo 2:
Um produto está sendo ofertado em uma loja em 14 prestações mensais e 
fixas no valor de R$ 400,00, porém com uma entrada no ato. Sabendo que a loja que 
está vendendo o produto cobra uma taxa de 2% ao mês nos parcelamentos, calcule 
o valor presente desse produto.
Solução pela fórmula:
DICAS
( ) ( )
n
1 1 i
PV PMT 1 i
i
−  − +  = ⋅ ⋅ + 
    
176
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Portanto, ao descontarmos a taxa de juros de 2% ao mês, o preço desse 
produto à vista deve ser R$ 4.939,35. 
Solução pela HP 12C utilizando as teclas financeiras: 
Considerando o Begin no visor da calculadora
f CLX  limpando as memórias e registradores 
 financeiros
400 CHS PMT  valor das prestações lançadas no PMT com sinal 
 negativo
14 n  número de prestações lançado no n 
2 i  taxa laçada no i
PV  Visor 4.939,35 
AUTOATIVIDADE
Agora é a sua vez de exercitar um pouco!!!
1 Um automóvel novo está sendo ofertado em 36 parcelas mensais e fixas no valor 
de R$ 594,48, sendo a primeira paga no ato da compra. Sabendo que a financeira 
cobra uma taxa de 2,2% ao mês, calcule qual o preço do veículo à vista.
2 Uma casa está sendo vendida em 60 prestações mensais e fixas no valor de R$ 
658,50, sendo a primeira prestação paga no ato da compra. Sabendo que este 
parcelamento foi calculado com taxa mensal de 1,5% ao mês, calcule o preço 
à vista desse imóvel.
Assista ao vídeo de
resolução da questão 1
( ) ( )
( )
( )
14
1 1 0,02
PV 400 1 0,02
0,02
1 0,757875025PV 400 1,02
0,02
0,242124975PV 400 1,02
0,02
PV 400 12,10624877 1,02
PV 4.939,35
−  − +  = ⋅ ⋅ + 
    
  − 
= ⋅ ⋅  
  
  
= ⋅ ⋅  
  
= ⋅ ⋅
=
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
177
3 Carlos entrou em uma loja de eletrodomésticos e viu a seguinte promoção: 
“Televisor de 42 polegadas em 10 parcelas de R$ 130,97 (1+9)”. Sabendo que 
a loja opera com uma taxa de juros de 2% ao mês, calcule qual o preço à vista 
do televisor.
4 A loja Casa da Tia está vendendo uma geladeira frost free em 18 parcelas 
mensais e fixas no valor de R$ 200,00 com a primeira parcela a ser paga 
no ato da compra. Sabendo que a loja cobra uma taxa de 2,02% ao mês no 
parcelamento, calcule qual é o preço da geladeira à vista.
5 Uma imobiliária está vendendo um terreno em 60 prestações mensais e fixas 
no valor de R$ 450,00 com a primeira prestação a ser paga no ato da compra. 
Sabendo que a imobiliária faz seus parcelamentos com uma taxa mensal de 
1,56% ao mês, calcule o preço à vista desse terreno.
6 Uma lancha nova está sendo vendida em 36 prestações mensais e fixas no 
valor de 2.240,00, com uma prestação a ser paga no ato do negócio. Sabendo 
que a loja que vende a lancha opera com uma taxa de juros de 0,99% ao mês, 
calcule qual é o preço à vista dessa lancha.
Agora vamos calcular o valor das prestações com uma entrada no ato.
4.2 CÁLCULO DO VALOR DAS PRESTAÇÕES  PMT
Agora você aprenderá como calcular o valor das prestações com uma 
entrada no ato, ou seja, serão fornecidas as informações do preço à vista, da taxa, 
da quantidade de prestações e o objetivo será calcular o valor da prestação mensal 
a ser paga.
Fórmula:
Exemplo 1:
Um terreno que custa à vista R$ 101.000,00 pode ser adquirido em 60 
prestações mensais e fixas, e a primeira prestação deve ser paga no ato do negócio. 
Sabendo que o parcelamento foi efetuado com uma taxa de 1,99% ao mês, calcule 
o valor das prestações.
UNI
( ) ( )
n
1 1 i
PV PMT 1 i
i
− − +
 = ⋅ ⋅ +
 
 
178
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Solução pela fórmula:
Soluçãoutilizando as teclas financeiras da HP 12C 
Considerando o Begin aparecendo no Visor
f CLX  limpeza das memórias e registradores
101.513,84 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
60 n  número de prestações lançado no n
1,99 I  taxa lançada no I 
PMT Visor  2.841,98, que é o valor das 60 prestações. 
Exemplo 2:
Uma Ferrari nova custa à vista R$ 700.000,00, mas pode ser adquirida em 
60 prestações mensais e fixas, sendo a primeira paga no ato do negócio. Sabendo 
que se o cliente optar pela compra parcelada será cobrada uma taxa de juros 1,23% 
ao mês no parcelamento, calcule o valor das prestações.
( ) ( )
( )
( )
60
1 1 0,0199
101.000 PMT 1 0,0199
0,0199
1 0,306580475101.000 PMT 1,0199
0,0199
0,693419525101.000 PMT 1,0199
0,0199
101.000 34,84520226 1,0199
101.000 PMT 35.53862178
PMT
− − +
 = ⋅ ⋅ +
 
 
 − 
= ⋅ ⋅ 
 
 
= ⋅ ⋅ 
 
= ⋅   ⋅ 
= ⋅
101.000 2.841,98
35,53862178
= =
PMT
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
179
Solução pela fórmula:
Portanto, caso o cliente opte por comprar a Ferrari em 60 prestações, deverá 
pagar 60 prestações de R$ 16.363,62.
 
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C:
Considerando o Begin aparecendo no Visor
f CLX  limpeza das memórias e registradores
700.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
60 n  número de prestações lançado no n
1,23 I  taxa lançada no I 
PMT Visor  16.363,62
AUTOATIVIDADE
Faça alguns exercícios para entender melhor e gravar a sequência na 
HP.
1 Uma máquina de lavar roupa nova custa à vista R$ 1.199,00. Pode ser 
adquirida em 12 prestações mensais, porém com a primeira prestação sendo 
paga no ato da compra. Sabendo que neste parcelamento foi adicionada taxa 
de juros de 1,5% ao mês, calcule o valor das prestações. 
2 Um aparelho de DVD está sendo vendido por uma loja à vista por R$ 399,00, 
mas pode ser comprado em 24 prestações mensais e fixas, porém com a 
( ) ( )
( )
( )
60
1 1 0,0123
700.000 PMT 1 0,0123
0,0123
1 0,480226132700.000 PMT 1,0123
0,0123
0,519773868700.000 PMT 1,0123
0,0123
700.000 PMT 42,25803803 1,0123
700.000 PMT 42.77781190
 
− − +
 = ⋅ ⋅ +
 
 
 − 
= ⋅ ⋅ 
 
 
= ⋅ ⋅ 
 
= ⋅   ⋅ 
= ⋅
=
700.000 16.363,62
42,77781190
=PMT
180
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
primeira no ato da compra. Sabendo que a loja opera com uma taxa de juros 
de 1,5% ao mês, calcule o valor das prestações. 
3 Uma máquina para roçar grama, nova, custa à vista R$ 480,00 e pode ser 
adquirida em 18 prestações mensais, porém com a primeira prestação sendo 
paga no ato da compra. Sabendo que no caso da compra parcelada será 
adicionada uma taxa de juros de 1,5% ao mês, calcule o valor das prestações. 
4 Um circulador de ar novo está sendo ofertado pela Loja Pedreira, à vista, por 
R$ 199,00, mas pode ser comprado em 24 prestações mensais e fixas, porém 
com a primeira prestação sendo paga no ato da compra. Sabendo que a loja 
opera com uma taxa de juros de 1,06% ao mês no caso de compra parcelada, 
calcule o valor das prestações.
5 A Loja Usadão vende uma condicionador de ar usado à vista por R$ 799,00, 
mas este equipamento pode ser comprado em 11 prestações mensais e fixas, 
porém com a primeira prestação sendo paga no ato da compra. Sabendo 
que a Loja Usadão opera com uma taxa de juros de 0,77 % ao mês no caso de 
compra parcelada, calcule o valor das prestações mensais.
Acho que não foi difícil calcular as prestações. E é muito importante saber calcular 
as prestações, pois de vez em quando vendemos algo ou compramos alguma coisa a prazo.
4.3 CÁLCULO DO NÚMERO DE PRESTAÇÕES  N 
Para o cálculo do tempo ou número de prestações com entrada no ato, deve 
ser utilizado o Logaritmo natural (Ln). O objetivo agora é calcular a quantidade 
de prestações que deverão ser pagas no caso de compras parceladas.
Agora, as informações que serão fornecidas são: o valor à vista, o valor das 
prestações e a taxa de parcelamento. 
Fórmula:
UNI
( )
( )
PVLn 1 i
PMT 1 i
n
Ln 1 i
   
 − ⋅   ⋅ +     =  
+ 
 
  
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
181
4.3 CÁLCULO DO NÚMERO DE PRESTAÇÕES  N 
Exemplo 1:
Um terreno que custa à vista R$ 50.000,00 foi vendido em parcelas mensais, 
iguais, a R$ 2.000,00, porém com uma prestação sendo paga no ato do negócio. 
Sabendo que a taxa cobrada no parcelamento é de 2% ao mês, calcule o número de 
prestações negociadas.
Solução pela fórmula:
( )
( )
( )
( )
( )
PVLn 1 i
PMT 1 i
n
Ln 1 i
50.000Ln 1 0,02
2.000 1 0,02
n
Ln 1 0,02
50.000Ln 1 0,02
2.040
n
Ln 1 0,02
Ln 1 24,50980392
n
   
 − ⋅   ⋅ +     =  
+ 
 
  
   
 − ⋅   ⋅ +     =  
+ 
 
  
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
−
=
( )
( )
( )
0,02
Ln 1,02
Ln 1 0,490196078
n
Ln 1,02
Ln 0,509803922n
Ln 1,02
Ln 0,673729095n
Ln 0,019802627
n 34,022220748, ou seja, 35 prestações
  ⋅  
 
  
  −   =  
  
 
=  
 
 − 
=  
 
= −
182
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Lembra que no cálculo do número de prestações a HP arredonda para cima o tempo? 
Veja: na fórmula a resposta é 34,02 prestações, mas na HP ela arredonda para o próximo 
período inteiro.
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C
Considerando o Begin acionado e aparecendo no visor
f CLX  limpeza das memórias e registradores
50.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
2 I  taxa lançada no I 
2.000 PMT  valor das prestações lançadas no PMT
n Visor  35, que é o número de prestações que 
 devem ser negociadas. 
Exemplo 2:
Um automóvel que custa à vista R$ 30.000,00 foi vendido em parcelas 
mensais, iguais no valor de R$ 700,00, com a primeira prestação paga no ato da 
compra. Sabendo que a taxa cobrada no parcelamento é de 1,50% ao mês, calcule o 
número de prestações negociadas. 
Solução pela fórmula: 
IMPORTANT
E
( )
( )
PVLn 1 i
PMT 1 i
n
Ln 1 i
   
 − ⋅   ⋅ +     =  
+ 
 
  
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
183
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C:
Considerando que o Begin está aparecendo no visor da calculadora
f CLX  limpeza das memórias e registradores
30.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
1,5 I  taxa lançada no I 
700 PMT  valor das prestações lançadas no PMT
n Visor  68, que é o número de prestações que 
 devem ser negociadas. 
Como você pode perceber, pela calculadora científica é bastante trabalhoso 
resolver esses problemas envolvendo prestações. Já pela HP 12C ou outra 
calculadora financeira, fica bem mais fácil, pois pressionamos algumas teclas e 
temos prontamente a resposta.
( )
( )
( )
( )
( )
30.000Ln 1 0,0150
700 1 0,0150
n
Ln 1 0,0150
30.000Ln 1 0,0150
710,50
n
Ln 1 0,0150
Ln 1 42,22378607 0,0150
n
Ln 1,0150
Ln 1 0,633356791
n
   
 − ⋅   ⋅ +     =  
+ 
 
  
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
  − ⋅  =  
  
 −
=
( )Ln 1,0150
Ln 0,366643209n
Ln 1,0150
Ln 1,003366087n
Ln 0,014888612
n 67,39151064, ou seja, arredondando 68 prestações
   
 
  
 
=  
 
 − 
=  
 
= −
184
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTAAUTOATIVIDADE
1 Cláudio comprou uma bicicleta de presente para sua esposa. Sabendo que o 
preço da bicicleta à vista era R$ 450,00 e que ele optou por comprar em prestações 
mensais e fixas no valor de R$ 80,27, com a primeira prestação sendo paga no 
ato do negócio, e sabendo ainda que a taxa de juros mensal para o parcelamento 
foi de 2,80% ao mês, calcule quantas prestações foram negociadas na compra a 
prazo.
2 Uma loja oferece a seguinte promoção aos clientes: “DVD à vista por R$ 
299,00 ou em prestações mensais e fixas no valor de R$ 30,00, sendo a primeira 
prestação paga no ato da compra”. Sabendo que a taxa para parcelamento 
desta loja é 1,99%, calcule o número de parcelas que foram negociadas na 
compra a prazo.
3 Uma concessionária está vendendo um automóvel à vista por R$ 18.000,00, 
porém como alternativa o cliente pode adquirir o veículo em parcelas mensais 
e fixas no valor de R$ 724,00, com a primeira parcela paga no ato da compra. 
Sabendo que a loja aplica uma taxa de 2,30% ao mês em seus financiamentos, 
calcule quantas parcelas deverão ser negociadas na compra a prazo.
4 Uma loja está vendendo um parafusadeira elétrica por R$ 300,00 à vista ou 
em prestações mensais e fixas no valor de R$ 24,90, com a primeira prestação 
no ato da compra. Sabendo que a taxa para parcelamento desta loja é 1,99%, 
calcule o número de parcelas que foram negociadas na compra a prazo.
5 Uma concessionária está vendendo uma moto de 250 cilindradas à vista 
por R$ 8.000,00, porém como alternativa o cliente pode adquirir a moto em 
parcelas mensais e fixas no valor de R$ 500,00. A primeira parcela deve ser 
paga no ato da compra. Sabendo que a loja aplica uma taxa de 2,30% ao 
mês em seus financiamentos, calcule quantas parcelas deverão negociadas 
na compra a prazo.
Fico feliz em ver você se dedicando nos exercícios!!! Continue assim e você terá 
um excelente aproveitamento nas avaliações da disciplina. 
Caso esteja um pouco cansado/a, pare um pouco, descanse e volte mais tarde.
UNI
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
185
4.4 CÁLCULO DA TAXA  I 
Como foi visto anteriormente, no cálculo da taxa em prestações postecipadas, 
é possível encontrar facilmente a taxa pela calculadora financeira, mas através da 
calculadora científica e trabalhando por fórmula fica mais trabalhoso para encontrar 
a taxa, pois são feitos cálculos inserindo taxas aleatórias até encontrar a taxa correta.
Aqui no cálculo da taxa em prestações antecipadas também ocorre a mesma 
situação. O que muda é a fórmula, devido à entrada no ato.
Fórmula:
Exemplo:
Um terreno que custa à vista R$ 50.000,00 será parcelado em 60 prestações 
mensais e fixas no valor de R$ 1.112,22, sendo a primeira prestação paga no 
ato do negócio. Sabendo esses dados, calcule qual é a taxa de juros mensal no 
parcelamento em 60 prestações.
Solução pela fórmula:
A partir de agora é preciso colocar taxas aleatórias no i até encontrar do 
lado esquerdo da fórmula. Quando o resultado do lado esquerdo for o mesmo que 
o do lado direito, significa que a taxa inserida é a correta.
Como já fizemos o cálculo através da HP 12C, sabemos que a taxa correta 
é 1,037954383% ao mês. Vamos inserir a taxa de 1,04% ao mês (arredondada) para 
finalizar o exercício, mas caso não soubéssemos a taxa correta, ficaríamos “chutando” 
taxas até chegar na resposta certa.
( )
( )
n
1 1 i PV
i PMT 1 i
−    − +   =  
   ⋅ +    
( )
( )
( )
( )
n
60
1 1 i PV
i PMT 1 i
1 1 i 50.000
i 1.112,22 1 i
−
−
    − +   =  
   ⋅ +    
    − +   =  
   ⋅ +    
( )
( )
( )
60
1 1 0,0104 50.000
0,0104 1.112,22 1 0,0104
1 0,537526336 50.000
0,0104 1.123,787088
0,462473664 44,49241367
0,0104
44,46862154 44,49241367
−    − +   =  
   ⋅ +    
  −   
=    
    
  
=      
  
 =    
186
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
O resultado não saiu exatamente igual nas últimas casas porque utilizamos 
a taxa de 1,04%. A taxa que daria o resultado exato seria 1,037954383$ ao mês.
Trabalhoso, não é? 
Mas pela calculadora financeira é bem fácil..... Vamos ver!!!
 
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C:
Considerando o Begin no visor da calculadora
f CLX  limpeza das memórias e registradores
50.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
1.112,22 PMT  valor das prestações lançadas no PMT
60 n  número de prestações lançadas no n
I  visor 1,037954383 ou seja 1,04% ao mês 
 com duas casas decimais.
Em algumas calculadoras financeiras a resposta demora um pouco mais 
para aparecer no visor, mas é bem mais rápido do que fazer na fórmula.
Só lembrando que estamos trabalhando com prestações com entrada no ato, e a 
HP precisa estar com a informação BEGIN no seu visor. Caso não esteja, pressione as teclas g 
e em seguida a tecla do número 7 para ativar o Begin.
AUTOATIVIDADE
Agora é a sua vez de exercitar!!!
1 Uma loja de automóveis está vendendo um automóvel à vista por R$ 35.000,00, 
porém o cliente pode financiá-lo o mesmo em 36 prestações mensais e fixas 
no valor de R$ 1.366,60, com a primeira prestação a pagar no ato da compra. 
Calcule a taxa mensal cobrada na compra em 36 prestações.
2 Um terreno que custa à vista R$ 18.300,00 pode ser adquirido de forma 
parcelada com uma entrada de R$ 1.063,70 e mais 19 parcelas mensais de 
R$ 1.063,70. Calcule a taxa mensal desse parcelamento na compra em 20 
prestações (1+19).
IMPORTANT
E
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
187
3 Uma loja vende um vestido de noiva à vista por R$ 3.000,00 e a noiva pode 
parcelar este vestido em 24 prestações mensais e fixas no valor de R$ 150,00, com 
a primeira prestação a pagar no ato da compra. Calcule a taxa mensal cobrada na 
compra em 24 prestações.
4 Uma loja vende uma bicicleta infantil à vista por R$ 399,00. O cliente pode 
financiar esta bicicleta em 12 prestações mensais e fixas no valor de R$ 40,00, 
com a primeira prestação a pagar no ato da compra. Calcule a taxa mensal 
cobrada na compra em 12 prestações.
4.5 CÁLCULO DO VALOR FUTURO OU MONTANTE  FV
O cálculo do valor futuro é utilizado quando o objetivo é descobrir qual 
será o valor acumulado que uma determinada pessoa ou empresa terá ao final 
de certo período, se aplicar mensalmente um determinado valor, recebendo uma 
determinada taxa de juros na aplicação. 
Você já fez exercícios de cálculo do valor futuro nas prestações postecipadas, 
e aqui é bem parecido. O que muda é que a pessoa já começa com os depósitos no 
ato. 
Fórmula: 
Exemplo 1:
Uma pessoa resolve hoje e começa a depositar mensalmente em uma 
caderneta de poupança o valor de R$ 500,00. Sabendo que ela fará esse mesmo 
depósito num total de 12 meses (considerando o de hoje) e que o banco paga 
uma taxa de juros de 0,58% ao mês na aplicação, calcule quanto essa pessoa terá 
acumulado no instante em que efetuar o último depósito. 
Solução pela fórmula:
PMT = 500,00 
n = 12 
i = 0,58% 
FV =?
( ) ( )
n
1 i 1
FV PMT 1 i
i
 + −
 = ⋅ ⋅ +
 
 
188
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Portanto, aplicando mensalmente R$ 500,00 durante 12 meses consecutivos 
(contando a entrada) e a uma taxa de juros de 0,58% ao mês, o aplicador terá no 
final do prazo o valor total de R$ 6.231,08.
Esse tipo de cálculo é muito útil quando queremos programar uma compra 
futura e nos programamos para isso. 
Note que o expoente da fórmula no caso do cálculo do valor futuro é positivo.
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C
Considerando o Begin no visor da calculadora  G BEG 
f CLX  limpeza das memórias e registradores
500 PMT CHS valor do investimento mensal lançado no PMT
12 n  número de depósitos mensais lançado no n
0,58 I  taxa da aplicação mensal lançada no i
FV  Visor 6.231,08, que é o valor acumulado em 
 12 meses.
DICAS
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
n
12
1 i 1
FV PMT 1 i
i
1 0,0058 1
FV 500 1 0,0058
0,0058
1,071863730 1FV 500 1,0058
0,0058
0,071863730FV 500 1,0058
0,0058
FV 500 12,39029828 1,0058 6.231,08
 + −
 = ⋅ ⋅ +
 
 
 + −
 = ⋅ ⋅ +
 
 
 − 
= ⋅ ⋅ 
 
 
= ⋅ ⋅ 
 
= ⋅ ⋅ =
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
189
É muito importante zerar as memórias antes de efetuar o cálculo, porque nesse 
exercício não foi utilizada a tecla PV e, caso não seja comandado f clx no início, essa tecla 
fica com valores registrados da operação passada e mostra um resultado que não é o correto. 
AUTOATIVIDADE
Pratique um pouco!!!
1 Calcule qual será o montante que um poupador acumulará caso comece a 
aplicar hoje o valor de R$ 1.500,00 e faça esse mesmo depósito por mais 10 
meses consecutivos (1+10), recebendo uma taxa de 1,5% nessa aplicação.
2 Uma pessoa resolveu hoje e já começou a depositar a quantia de R$ 350,00 
em uma aplicação financeira que remunera à taxa de 1,1% ao mês. Sabendo 
que fará essa mesma aplicação durante 24 meses consecutivos (1+23), calcule 
qual será o montante no instante do último depósito.
Que bom que você fez os exercícios propostos.
Parabéns!!!
Agora você vai aprender um novo modelo de prestações; são as prestações 
com carência, em que o cliente ganha um prazo de carência para começar a pagar 
suas prestações.
Atualmente esse modelo é bastante utilizado nas redes varejistas e em 
concessionárias de veículos, que fazem vários anúncios de compra de bens onde a 
primeira prestação inicia em 60 ou até 90 dias após a aquisição do bem.
DICAS
UNI
190
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Agora você deve retirar o Begin do visor de sua calculadora financeira, pois esses 
cálculos não têm entrada no ato. Para retirar o Begin, pressione na HP 12C a letra g e em 
seguida pressione a tecla do número 8 .
5 PRESTAÇÕES DIFERIDAS 
Prestações diferidas são aquelas em que existe um prazo de carência maior 
que 30 dias para o início do pagamento das prestações mensais.
5.1 CÁLCULO DO VALOR DAS PRESTAÇÕES  PMT
Fórmula:
Através da fórmula, no lugar da letra n com sinal positivo é lançado o 
período sem pagamento de prestações (carência) e na letra n com sinal negativo o 
número de prestações.
Exemplo 1: 
Um veículo que custa à vista o valor de R$ 55.000,00 será parcelado 12 
prestações mensais e iguais, sendo a primeira prestação paga no décimo mês após 
a compra do bem e a uma taxa de 2% ao mês. Sabendo essas informações e que 
a concessionária do veículo efetua seus parcelamentos no regime de juros sobre 
juros, calcule o valor das prestações. 
Solução através da fórmula:
DICAS
( )
( )
n
n
PV 1 i
PMT
1 1 i
i
−
 
 
 ⋅ + =
  − +
  
  
  
( )
( )
n
n
PV 1 i
PMT
1 1 i
i
−
 
 
 ⋅ + =
  − +
  
  
  
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
191
Note que utilizamos no lugar da letra n o numero 9, pois o cliente começa a pagar 
prestações no décimo mês. Portanto, ele tem 9 meses de carência e o tempo de carência que 
é lançado no local do n.
Já no expoente n negativo foi inserido o número 12, pois serão 12 prestações que o cliente vai 
pagar no total, começando a primeira no décimo mês após a compra do carro.
Solução através da calculadora HP 12C pelas teclas financeiras:
Serão feitos dois cálculos pela HP para chegar ao resultado final.
No primeiro cálculo é feita a atualização do valor do veículo no tempo em 
que não existirá pagamento de prestações (carência).
f CLX  limpeza das memórias e registradores
55.000 CHS PV  valor do veículo à vista 
9 n  tempo de carência – não há pagamento de 
 prestações
2 I  taxa do parcelamento 
FV  Visor 65.730,09, que é o valor do bem atualizado 
 ao final da carência. 
DICAS
( )
( )
( )
9
12
55.000 1 0,02
PMT
1 1 0,02
0,02
55.000 1,195092569
PMT
1 0,788493176
0,02
65.730,09PMT
0,211506824
0,02
65.730,09PMT
10,57534120
PMT 6.215,
−
 
 
 ⋅ + =
  − +
  
  
  
 
 ⋅
 =
  − 
  
  
 
 
 =
  
  
  
 
=  
 
= 41
192
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Ao descobrir esse novo valor do automóvel, ele passa a ser o valor lançado 
no PV como novo valor à vista do veículo, e aí é possível descobrir o valor das 
prestações.
f CLX  limpeza das memórias e registradores
65.730,09 CHS PV  novo valor do veículo à vista 
12 n  número de parcelas ou prestações
2 I  taxa do parcelamento 
PMT  Visor 6.215,41, que é o valor das 12 
 prestações a serem pagas.
Apesar de o cliente ter uma carência de 9 meses para começar a pagar as 
prestações, os juros desse período de carência são calculados e embutidos nas 12 prestações 
que o cliente vai pagar, iniciando no décimo mês após a aquisição do carro.
Veja mais um exemplo a seguir.
Exemplo 2: 
Um terreno custa à vista o valor de R$ 100.000,00, mas, como opção, o 
cliente pode comprar de maneira parcelada em 60 prestações mensais e iguais, 
sendo a primeira prestação paga no quarto mês após a compra do bem. Sabendo 
que a taxa do parcelamento é 1% ao mês no sistema de juros compostos, calcule o 
valor das prestações na compra em 60 prestações.
Solução através da fórmula:
DICAS
( )
( )
n
n
PV 1 i
PMT
1 1 i
i
−
 
 
 ⋅ + =
  − +
  
  
  
( )
( )
( )
3
60
100.000 1 0,01
PMT
1 1 0,01
0,01
100.000 1,030301000
PMT
1 0,550449616
0,01
103.030,10PMT
0,449550384
0,01
103.030,10PMT
44,95503841
PMT 2.
−
 
 
 ⋅ + =
  − +
  
  
  
 
 ⋅
 =
  − 
  
  
 
 
 =
  
  
  
 
=  
 
= 291,85
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
193
Note que utilizamos no lugar da letra n o número 3, pois o cliente começará a 
pagar prestações no quarto mês. Portanto, ele tem 3 meses de carência e o tempo de carência 
que é lançado no local do n.
Já no expoente n negativo foi inserido o número 60, pois serão 60 prestações que o cliente vai 
pagar no total, começando a primeira no quarto mês após a compra do carro.
Solução através da calculadora HP12c pelas teclas financeiras:
No primeiro cálculo é feita a atualização do valor do terreno.
f CLX  limpeza das memórias e registradores
100.000 CHS PV  valor do terreno 
3 n  tempo de carência – não há pagamento de 
 prestações
1 I  taxa do parcelamento 
FV  Visor 103.030,10, que é o valor do terreno 
 atualizado ao final da carência. 
Ao descobrir o novo valor do terreno, ele passa a ser o valor lançado no PV 
como novo valor à vista, e aí é possível descobrir o valor das prestações. 
f CLX  limpeza das memórias e registradores
103.030,10 CHS PV  novo valor do veículo à vista 
60 n  número de parcelas ou prestações
1 I  taxa do parcelamento 
PMT  Visor 2.291,85 que é o valor das 60 
 prestações a serem pagas.
DICAS
( )
( )
( )
3
60
100.000 1 0,01
PMT
1 1 0,01
0,01
100.000 1,030301000
PMT
1 0,550449616
0,01
103.030,10PMT
0,449550384
0,01
103.030,10PMT
44,95503841
PMT 2.
−
 
 
 ⋅ + =
  − +
  
  
  
 
 ⋅
 =
  − 
  
  
 
 
 =
  
  
  
 
=  
 
= 291,85
194
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTAApesar de o cliente ter uma carência de três meses para começar a pagar as 
prestações, os juros desse período de carência são calculados e embutidos nas 60 prestações 
que o cliente vai pagar, iniciando no quarto mês após a aquisição do terreno.
Agora é a sua vez de praticar um pouco!!!
1 Uma pessoa foi até uma loja para adquirir um televisor novo. Sabendo que o 
preço à vista do televisor era R$ 2.399,00, mas, como opção, o cliente poderia 
adquirir o mesmo televisor de forma parcelada em 24 prestações mensais 
e fixas, com a primeira prestação iniciando somente no terceiro mês após a 
compra, e sabendo ainda que a loja trabalha com uma taxa de juros de 1% 
nos parcelamentos, calcule o valor das 24 prestações. 
2 Uma geladeira nova custa à vista R$ 999,00, mas, como opção, o cliente 
poderia adquirir essa mesma geladeira de forma parcelada em 12 prestações 
mensais e fixas, com a primeira prestação iniciando somente no quarto mês 
após a compra. Sabendo ainda que a loja trabalha com uma taxa de juros de 
1,5% nos parcelamentos, calcule o valor das 12 prestações. 
3 Uma cama box nova custa à vista R$ 2.199,00, mas, como opção, o cliente 
pode adquirir a mesma cama de forma parcelada em 16 prestações mensais 
e fixas, com a primeira prestação iniciando somente no sexto mês após a 
compra. Sabendo ainda que a loja trabalha com uma taxa de juros de 1,55% 
nos parcelamentos, calcule o valor das 16 prestações. 
4 Um sofá novo custa à vista R$ 1.799,00, mas, como opção, o cliente pode adquirir o 
mesmo sofá de forma parcelada em 18 prestações mensais e fixas, com a primeira 
prestação iniciando somente no quinto mês após a compra. Sabendo ainda que a 
loja trabalha com uma taxa de juros de 1,2% nos parcelamentos, calcule o valor das 
18 prestações.
AUTOATIVIDADE
DICAS
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
195
Que bom que você fez esses exercícios, agora você vai aprender como calcular o 
valor atual em prestações com carência.
5.2 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE  PV 
Através do cálculo do valor presente é possível descontar os juros embutidos 
nas prestações e trazer esses valores para o valor atual, portanto, descobrindo qual 
é ou deveria ser o valor presente ou à vista de determinado bem. 
Fórmula:
Onde o n positivo = carência ou tempo sem pagamento de prestações e o n 
negativo é o número de prestações negociadas.
Exemplo 1:
Sabendo que Carlos vendeu sua casa e receberá como pagamento 60 
prestações mensais e fixas no valor de 1.250.00, e que a primeira prestação será 
paga no décimo mês após a realização do negócio, e sabendo que foi negociada, 
nesse parcelamento, uma taxa de juros compostos de 1,5 % ao mês, calcule o valor 
à vista desse imóvel. 
UNI
( )
( )
n
n
1 1 i
PMT
i
PV
1 i
−  − +  ⋅
  
  =
 +
 
 
 
196
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Solução pela calculadora financeira HP 12C através das teclas financeiras:
No primeiro cálculo são retirados os juros das prestações até o momento da 
carência.
f CLX  limpeza das memórias e registradores
1.250 CHS PMT  valor das prestações 
60 n  número de prestações
1,5 I  taxa do parcelamento 
PV Visor 49.225,34, que é o valor do atualizado não 
 considerando (descontando) os juros da carência ainda. 
Solução pela fórmula:
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
60
9
9
1 1 i
PMT
i
PV
1 i
1 1 0,015
1.250
0,015
PV
1 0,015
1 0,4092959671.250
0,015PV
1 0,015
0,5907040331.250
0,015PV
1,143389975
−
−
  − +  ⋅
  
  =
 +
 
 
 
  − +  ⋅
  
  =
 +
 
 
 
  − 
⋅  
  =
 +
 
 
  
⋅  
 =

( )1.250 39,38026889
PV
1,143389975
49.225,34PV
1,143389975
PV 43.052,10



 
 

 ⋅
=  
  
 
=  
 
=
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
197
O valor encontrado é o valor da casa no nono mês e o próximo passo é 
retirar esse juro desse período para encontrar o valor à vista da casa.
f CLX  limpeza das memórias e registradores
49.225,34 CHS FV  Valor da casa no 9º. mês 
9 n  Período de carência
1,5 I  taxa do parcelamento 
PV  Visor 43.052,10, que é o valor presente da 
 casa ou à vista.
No segundo cálculo não é utilizada a tecla PMT na calculadora, pois no período 
de carência não há pagamento de prestação. Somente é utilizado o valor futuro, para descobrir 
o valor presente.
Veja outro exemplo para entender melhor!!!
Exemplo 2:
Um cliente foi até uma concessionária para comprar seu carro novo. 
Sabendo que o veículo novo pode ser comprado em 48 prestações mensais e fixas 
no valor de R$ 1.320,00, com a primeira prestação a ser paga no terceiro mês após 
a realização do negócio, e sabendo ainda que foi negociada, nesse parcelamento, 
uma taxa de juros compostos de 0,99 % ao mês, calcule o valor à vista desse veículo.
Solução pela fórmula:
DICAS
( )
( )
( )
( )
n
n
48
2
1 1 i
PMT
i
PV
1 i
1 1 0,0099
1.320
0,0099
PV
1 0,0099
−
−
  − +  ⋅
  
  =
 +
 
 
 
  − +  ⋅
  
  =
 +
 
 
 
198
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Solução pela calculadora financeira HP 12C através das teclas financeiras:
No primeiro cálculo são retirados os juros das prestações até o momento da 
carência.
f CLX  limpeza das memórias e registradores
1.320 CHS PV  valor das prestações 
48 n  número de prestações
0,99 I  taxa do parcelamento 
PV  Visor 50.237,95, que é o valor do atualizado do 
 veículo não considerando (descontando) os juros 
 da carência ainda. 
( )
1 0,6232153401.320
0,0099PV
1,019898010
0,3767846601.320
0,0099PV
1,019898010
1.320 38,05905661
PV
1,019898101
50.237,95PV
1,019898101
PV 49.257,82
  − 
⋅  
  =
 
 
 
  
⋅  
  =
 
 
 
 ⋅
=  
  
 
=  
 
=
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
199
É muito importante ler o exercício por completo para saber quantas prestações 
o cliente vai pagar e qual vai ser o período de carência, ou seja, por quantos meses o cliente 
ficará sem pagar as prestações.
AUTOATIVIDADE
Agora exercite um pouco!!!
1 Um cliente foi até uma concessionária para comprar seu carro novo. Sabendo 
que o veículo novo pode ser comprado em 36 prestações mensais e fixas no 
valor de R$ 800,00, com a primeira prestação a ser paga no quarto mês após a 
realização do negócio, e sabendo ainda que foi negociada, nesse parcelamento, 
uma taxa de juros compostos de 1% ao mês, calcule o valor à vista desse veículo.
2 Um casal foi até uma loja para comprar um aparelho de som novo. Sabendo que 
o som novo pode ser comprado em 24 prestações mensais e fixas no valor de 
R$ 99,00, com a primeira prestação a ser paga no quinto mês após a realização 
do negócio, e sabendo ainda que foi negociada, nesse parcelamento, uma taxa 
de juros compostos de 1% ao mês, calcule o valor à vista desse aparelho de 
som.
O valor encontrado é o valor do carro no segundo mês e o próximo passo é 
retirar esse juro desse período para encontrar o valor à vista.
f CLX  limpeza das memórias e registradores
50.237,95 CHS FV  Valor do carro 2º. mês 
2 n  Período de carência
0,99 I  taxa do parcelamento 
PV  Visor 49.257,82, que é o valor presente do 
 carro ou à vista.
DICAS
Assista ao vídeo de
resolução da questão 1
200
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
3 Juvenal foi até uma loja para comprar um par de sapatos novos. Sabendo que 
o sapato novo pode ser comprado em 6 prestações mensais e fixas no valor de 
R$ 79,90, com a primeiraprestação a ser paga no terceiro mês após a realização 
do negócio, e sabendo ainda que foi negociada, nesse parcelamento, uma taxa 
de juros compostos de 2% ao mês, calcule o valor à vista desse par de sapatos.
4 Maria foi até uma loja para comprar um jogo de panelas novo. Sabendo que 
o jogo de panelas pode ser comprado em 12 prestações mensais e fixas no 
valor de R$ 49,90, com a primeira prestação a ser paga no quarto mês após a 
realização do negócio, e sabendo ainda que foi negociada, nesse parcelamento, 
uma taxa de juros compostos de 1,34% ao mês, calcule o valor à vista desse jogo 
de panelas.
201
Caro/a acadêmico/a! 
Primeiro quero parabenizar você por ter chegado até aqui com seus 
estudos. Sei das dificuldades que as pessoas enfrentam ao fazer cálculos, pois a 
maioria delas não gosta muito da matemática, acha-a difícil e complicada, mas é 
uma disciplina de fundamental importância em nossas vidas.
Neste tópico você aprendeu a calcular as prestações com entrada, prestações 
sem entrada e ainda prestações com carência. Todos esses modelos são muito 
utilizados em nosso dia a dia.
Caso quiséssemos, poderíamos estudar muito mais modelos de prestações, 
mas com menos importância no dia a dia das pessoas e, como o tempo da disciplina 
não é tão grande assim, temos que nos limitar aos modelos mais utilizados 
atualmente.
Você aprendeu ainda a calcular qual é a taxa cobrada ou embutida nas 
prestações e, também, trazer a valor presente uma sequência de prestações.
Enfim, muitas novidades que, acredito, vão servir muito em sua vida 
pessoal, profissional ou em ambas.
RESUMO DO TÓPICO 2
202
AUTOATIVIDADE
1 Um microcomputador é vendido à vista por R$ 2.500,00, ou então em 4 
prestações mensais iguais, sendo que a primeira dada como entrada. Calcule 
o valor das prestações sabendo que a taxa de juros praticada é 5,6 % ao mês.
 
2 Um terreno é vendido à vista por R$ 130.000,00 ou a prazo em 12 prestações 
mensais e iguais, sendo a primeira no ato da compra. Qual o valor de cada 
prestação sabendo que a taxa de juros é de 3% ao mês?
3 Um veículo é vendido à vista por R$ 8.000,00, mas pode ser financiado em 24 
parcelas mensais e iguais, sendo a primeira paga no ato da compra. Calcule 
o valor da prestações sabendo que a taxa de juros aplicada ao financiamento 
é de 2,3% ao mês.
4 Compramos uma televisão em 4 prestações mensais e iguais a R$ 300,00 
cada, sem entrada, iniciando a primeira um mês após a compra. Sabendo 
que a loja trabalha com juros compostos de 3% ao mês, qual deveria ser o 
preço à vista dessa TV?
 
5 Calcule o valor das prestações a serem pagas pela compra de uma geladeira 
cujo preço à vista é de R$ 1.200,00, sendo que como alternativa a loja vende 
esta geladeira em 12 prestações mensais e fixas, iniciando a primeira no ato 
da compra e aplicando no parcelamento uma taxa de juros de 2% ao mês. 
6 Um automóvel é vendido por R$ 25.000,00 à vista, mas pode ser adquirido 
a prazo e em prestações mensais e fixas no valor de R$ 885,71, a juros de 
3% ao mês. Sabendo que as prestações vencem a partir do mês seguinte ao 
da compra, pede-se para calcular o número de prestações que deverão ser 
negociadas.
7 Uma revenda de automóveis vende um carro à vista por R$ 50.000,00. Qual é 
a prestação mensal que o cliente deve pagar se o carro for financiado em 24 
203
prestações mensais e fixas, sem entrada no ato, e com uma taxa de juros de 
3% ao mês no parcelamento?
8 João está conversando com um amigo e conta-lhe que fez o melhor negócio 
do mundo, pois comprou uma motocicleta, cujo valor à vista era R$ 16.000,00, 
mas financiou em prestações mensais e fixas de R$ 526,06, sem dar entrada 
alguma. João achou que o negócio fora bom porque, apesar de o vendedor 
dizer que a taxa de juros era de 2,3% ao mês, o valor das prestações era baixo. 
Seu amigo lhe perguntou em quantas prestações comprara e João respondeu 
que não sabia. Calcule o número de prestações para ajudar o João.
9 Uma loja oferece em seu tabloide de ofertas um televisor por 24 prestações 
mensais e fixas no valor de R$ 149,90, ocorrendo o primeiro pagamento 
apenas no quarto mês após a compra. Qual deveria ser o preço à vista desse 
televisor, uma vez que a taxa de juros praticada pela loja é 2,5% ao mês?
10 Uma loja vende um vestido de noiva à vista por R$ 4.000,00 e a noiva pode 
parcelar a compra em 24 prestações mensais e fixas no valor de R$ 350,00, 
com a primeira prestação a ser paga no ato da compra. Calcule a taxa mensal 
cobrada na compra em 24 prestações.
11 Uma loja vende uma bicicleta infantil à vista por R$ 299,00. O cliente pode 
financiar a bicicleta em 18 prestações mensais e fixas no valor de R$ 30,00, 
com a primeira prestação a ser paga no ato da compra. Calcule a taxa mensal 
cobrada na compra em 18 prestações.
12 Um automóvel é vendido à vista por R$ 40.000,00, mas pode ser financiado 
em 36 prestações mensais, iguais e sem entrada, com taxa de juros de 2,01% 
ao mês. Sabendo essas informações, obtenha o valor de cada prestação.
13 Um torno é vendido por R$ 20.000,00 à vista ou a prazo em 25 prestações 
mensais iguais, sem entrada. Calcule o valor das prestações se a taxa de 
juros praticada for de 2% ao mês.
204
14 Uma loja vende uma geladeira frost free à vista por R$ 2.300,00. Esta geladeira 
também pode ser adquirida a prazo, com prestações mensais, iguais e sem 
entrada no ato. Calcule quantas prestações serão negociadas, se o cliente 
optar por uma prestação mensal de R$ 300,00, sabendo ainda que a loja 
opera uma taxa de juros de 2% ao mês.
15 Um terreno é vendido à vista por R$ 67.500,00 ou em prestações mensais, 
fixas e sem entrada no valor de R$ 2.000,00. Calcule o número de prestações 
que devem ser pagas na compra a prazo, sabendo que a taxa de juros é de 
1,5 % ao mês. 
16 Aristides está decidido a trocar de carro dentro de 3 anos. Ele decidiu que 
dentro de 30 dias começará a depositar mensalmente em um banco o valor 
de R$ 600,00. Sabendo que ele fará esse mesmo depósito mensal durante 2 
anos, e que o banco paga uma taxa de juros de 0,71% ao mês na aplicação, 
calcule quanto o Aristides terá acumulado no instante em que efetuar o 
último depósito.
17 Calcule qual será o montante que um aplicador acumulará se ele começar a 
aplicar dentro de 30 dias o valor de R$ 1.000,00, e fazer esse mesmo depósito 
durante 15 meses consecutivos recebendo uma taxa de 1,02% nessa aplicação.
18 Uma concessionária está vendendo um automóvel à vista por R$ 32.000,00, 
porém como alternativa o cliente pode adquirir o veículo em parcelas mensais 
e fixas no valor de R$ 924,00, com a primeira parcela paga no ato da compra. 
Sabendo que a loja aplica uma taxa de 1,30% ao mês em seus financiamentos, 
calcule quantas parcelas deverão ser negociadas na compra a prazo.
19 Um cliente foi até uma loja náutica para comprar seu iate novo. Sabendo que 
o iate novo pode ser comprado em 60 prestações mensais e fixas no valor 
de R$ 4.900,00, porém a primeira prestação será paga no quarto mês após a 
realização do negócio, e sabendo ainda que foi negociada nesse parcelamento 
uma taxa de juros compostos de 1% ao mês, calcule o valor à vista desse iate. 
20 Um casal foi até uma loja para comprar uma esteira elétrica. Sabendo que a 
esteira nova pode ser comprada em 24 prestações mensais e fixas no valor de 
205
R$ 60,00, com a primeira prestação a ser paga no quinto mês após a realização 
do negócio, e sabendo ainda que foi negociada, nesse parcelamento, uma 
taxa de juros compostos de 1,86% ao mês, calcule o valor à vista dessa esteira.
21 Uma cama box casal nova custa à vista R$ 1.999,00. Como opção, o cliente 
pode adquirir esta cama de forma parcelada, em 12 prestações mensais 
e fixas, com a primeira prestação iniciando somente no quarto mês após a 
compra. Sabendo ainda que a lojatrabalha com uma taxa de juros de 1,5% 
nos parcelamentos, calcule o valor das 12 prestações dessa cama box. 
22 Uma mesa de centro nova custa à vista R$ 2.199,00. Como opção, o cliente 
pode adquirir a mesma mesa de forma parcelada, em 18 prestações mensais 
e fixas, com a primeira prestação iniciando somente no sexto mês após a 
compra. Sabendo ainda que a loja trabalha com uma taxa de juros de 1,05% 
nos parcelamentos, calcule o valor das 18 prestações.
206
207
TÓPICO 3
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
2 CONCEITUANDO UM SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Neste tópico estudaremos o tema Sistemas de Amortização. Normalmente 
as pessoas ou empresas contraem empréstimos ou financiamentos de longo prazo 
sem saber qual o sistema ou tipo de amortização que está sendo utilizado para a 
quitação de sua dívida.
Existem muitos sistemas de amortização de empréstimos ou financiamentos. 
Em nosso Caderno de Estudos vamos demonstrar apenas os dois mais utilizados 
no Brasil.
O Sistema de Amortização de Empréstimo é o processo de extinção ou 
liquidação de um empréstimo ou financiamento através de pagamentos periódicos, 
ou seja, através das prestações.
Traduzindo em um português mais simples: um sistema de amortização 
nada mais é do que um plano escolhido para a liquidação de um financiamento. 
As prestações são compostas de uma parcela do capital mais juros e encargos 
financeiros. 
A seguir elencamos algumas palavras comuns nos sistemas de amortização:
• Prestação  é a soma de uma parcela do capital mais os juros e encargos devidos, 
pagos periodicamente, para abater/amortizar o saldo devedor. 
• Taxa de juros é a taxa contratada entre as partes. 
• Amortização  é a parcela do capital que está sendo abatida, reduzindo o capital 
financiado.
• Saldo devedor  é o valor devido do capital atualizado periodicamente. 
• Prazo de amortização  é o prazo negociado para o pagamento total do 
empréstimo ou financiamento, descontado o prazo de carência.
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
208
• Prazo de carência  é o prazo em que não existe pagamento de prestação, ou 
seja, não existe a amortização do capital. Os juros podem ser pagos ou não no 
período de carência, dependendo de como foi negociado o contrato.
• Prazo do empréstimo ou financiamento  é o prazo total do empréstimo 
ou financiamento, composto pelo período de carência mais o período de 
amortização.
• Credor  é o que concede o empréstimo ou financiamento.
• Devedor  é quem pegou emprestado o recurso.
3 TIPOS DE SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
3.1 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO OU PRICE
Existem vários sistemas de amortização, mas em nosso Caderno de Estudos 
você vai conhecer os mais utilizados no Brasil, que são:
• Sistema Francês de Amortização ou Price
• Sistema de Amortização Constante (SAC)
Também vamos estudar somente os sistemas de amortização sem carência 
e sem índice de correção.
Vamos conhecê-los, então!!!
Consiste em um sistema de amortização em que as prestações são iguais 
e periódicas durante todo o período do financiamento. Caracteriza-se por um 
processo de amortização crescente, pois os juros são calculados sobre o saldo 
devedor e a parcela de amortização resulta da diferença entre a prestação e os 
juros do período.
Vamos ver um exemplo:
A empresa Terra Nova contratou um empréstimo no Banco CrediForte 
para a compra de uma máquina. Sabendo-se que o valor do empréstimo foi R$ 
50.000,00, a empresa pagará 12 prestações mensais e fixas, vencendo a primeira 
um mês após a liberação do crédito. Sabendo-se ainda que o banco trabalha com 
uma taxa de 2% ao mês em seus empréstimos e que operou com o Sistema Price de 
Amortização, calcule o valor das prestações e elabore a planilha de amortização. 
TÓPICO 3 | SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
209
Solução através da fórmula para cálculo das prestações:
Solução pela Calculadora HP 12C através das teclas financeiras:
f CLX  limpeza das memórias e registradores
50.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
12 n  número de prestações lançado no n
2 I  taxa lançada no I 
PMT Visor  4.727,98, que é o valor a ser pago nas 12 
 prestações. 
Depois de ter calculado o valor das prestações, é possível elaborar a planilha 
de amortização.
Vamos montar a planilha, então:
Dados: 
Empréstimo  50.000,00
Prazo  12 meses
Taxa  2% ao mês
Prestação 4.727,98
( )
( )
( )
n
12
1 1 i
PV PMT
i
1 1 0,02
50.000 PMT
0,02
1 0,788493176
50.000 PMT
0,02
0,21150682450.000 PMT
0,02
50.000 PMT 10,57534122
50.000PMT 4.727,979832
10,57534122
PMT 4.727,98
−
−
 − +
 = ⋅
 
 
 − +
 = ⋅
 
 
 −
= ⋅  
  
 
= ⋅  
 
= ⋅
= =
=
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
210

 Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
 0,00 0,00 0,00 50.000,00
 4.727,98 1.000,00 3.727,98 46.272,02
 4.727,98 925,44 3.802,54 42.469,48
 4.727,98 849,39 3.878,59 38.590,89
 4.727,98 771,82 3.956,16 34.634,73
 4.727,98 692,69 4.035,29 30.599,44
 4.727,98 611,99 4.115,99 26.483,45
 4.727,98 529,67 4.198,31 22.285,14
 4.727,98 445,7 4.282,28 18.002,82
 4.727,98 360,06 4.367,92 13.634,94
 4.727,98 272,7 4.455,28 9.179,66
 4.727,98 183,59 4.544,39 4.645,27
 4.727,98 92,71 4.635,27 0
 56.735,76 6735,76 50000,00 -
 
FONTE: O autor
Você monta a planilha com as informações a seguir e os campos prazo, 
prestação, juros e amortização ficam zerados no mês ( 0 - zero), pois nesse mês foi 
pego o empréstimo. O saldo devedor é o valor contratado de empréstimo.
Sistema de Amortização Francês
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00 50.000,00
QUADRO 1 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS
TÓPICO 3 | SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
211
Em seguida você vai preencher o mês 1 e o valor que você calculou de 
prestação anteriormente.
Sistema de Amortização Francês
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 0,00 0,00 0,00 50.000,00
1 4.727,98
Para calcular o valor dos juros é só aplicar a taxa, no caso dessa operação 
2% sobre o valor do empréstimo (saldo devedor anterior), ou seja, 2% em cima de 
50.000,00, que é R$ 1.000,00.
A parcela de amortização você obtém subtraindo o valor das prestação do 
valor dos juros, ou seja, 4.727,98 – 1.000,00 = 3.727,98.
O novo saldo devedor é obtido pela diferença entre o saldo devedor anterior 
e a amortização, ou seja, 50.000,00 – 3.727,98= 46.272,02
E a sua planilha vai ficar assim:
Sistema de Amortização Francês
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00 50.000,00
1 4.727,98 1.000,00 3.727,98 46.272,02
Em seguida você preenche o prazo 2 e a prestação, que é a mesma sempre, 
4.727,98. Depois calcula os juros de 2% sobre o saldo devedor do período 1, ou seja, 
2% sobre 46.272,02, que é 925,44.
Novamente calcula a prestação menos os juros, ou seja, 4.727,98 – 925,44 
e obtém como resposta 3.802,54, que é o novo valor da amortização do mês 2. 
Depois você subtrai o valor do saldo anterior dessa amortização, ou seja, 46.272,02 
– 3.802,54, encontrando o novo saldo devedor, que é 42.469,48.
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
212
Sistema de Amortização Francês
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00 50.000,00
1 4.727,98 1.000,00 3.727,98 46.272,02
2 4.727,98 925,44 3.802,54 42.469,48
3 4.727,98 849,39 3.878,59 38.590,89
4 4.727,98 771,82 3.956,16 34.634,73
Na sequência é só seguir essa linha de raciocínio até chegar no saldo 
devedor 0(zero) ao quitar a parcela 12 do empréstimo.
Agora que você aprendeu manualmente, vamos aprender a fazer os cálculos 
pela HP.
Vamos rever pela HP.
Solução pela calculadora HP 12C:
f CLX  limpeza das memórias e registradores50.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
12 n  número de prestações lançado no n
2 I  taxa lançada no I 
PMT Visor  4.727,98, que é o valor a ser pago nas 
 12 prestações 
Ao encontrar o valor das prestações, faça os seguintes comandos na 
calculadora:
1 f amort  1.000,00 = juros do 1º. mês
X<>Y  3.727,98 = amortização do 1º. mês
RCL PV  -46.272,02 = saldo devedor ao final do 1º. mês
1 f amort  925,44 = juros do 2º. mês
X<>Y  3.802,54 = amortização do 2º. mês
RCL PV  -42.469,48 = saldo devedor ao final do 2º. mês
1 f amort  849,39 = juros do 3º. mês
X<>Y  3.878,59 = amortização do 3º. mês
RCL PV  -38.590,89 = saldo devedor ao final do 3º. mês
1 f amort  771,82 = juros do 4º. mês
X<>Y  3.956,16 = amortização do 4º. mês
RCL PV  -34.634,73 = saldo devedor ao final do 4º. mês
E assim você vai seguindo até o saldo devedor ficar zerado, ou seja, quando 
pressionar o RCL PV e aparecer 0 (zero) no visor da HP.
TÓPICO 3 | SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
213
AUTOATIVIDADE
Agora é a sua vez de testar se compreendeu o assunto.
1 Carlos Alberto adquiriu um terreno no valor de R$ 30.000,00, financiando 
esse valor no Banco Crédito, ao qual pagará 12 prestações mensais e fixas, 
iniciando a primeira 30 dias após a contratação do empréstimo. Sabendo 
essas informações e que o banco aplicou uma taxa de 2,5% ao mês no 
parcelamento por meio do Sistema Francês de Amortização, calcule o valor 
das prestações e elabore a planilha de amortização.
Sistema de Amortização Francês
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
 A tecla amort está localizada na HP como segunda função da tecla N . 
DICAS
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
214
2 Um cliente financiou uma motocicleta no valor de R$ 12.000,00 no Banco 
Alfa. Pagará 10 prestações mensais e fixas, iniciando a primeira 30 dias 
após a contratação do empréstimo. Sabendo essas informações e ainda que 
o banco aplicou uma taxa de 1,78% ao mês no parcelamento por meio do 
Sistema Francês de Amortização, calcule o valor das prestações e elabore a 
planilha de amortização.
Sistema de Amortização Francês
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Agora que você exercitou o Sistema Francês de Amortização, verá como 
funciona o Sistema de Amortização Constante. 
3.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
O Sistema de Amortização Constante também é um sistema de amortização 
muito utilizado no Brasil, principalmente nos financiamentos de longo prazo.
Como o próprio nome diz, nesse plano existe uma amortização sempre 
igual, que é calculada dividindo o valor contratado pelo número de meses do 
financiamento. Portanto, como nesse sistema as amortizações são constantes, as 
prestações são decrescentes.
TÓPICO 3 | SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
215
Vamos a um exemplo:
A empresa Terra Nova contratou um empréstimo no Banco CrediForte para 
a compra de uma máquina. Sabendo que o valor do empréstimo foi R$ 50.000,00, a 
empresa pagará 12 prestações mensais e fixas, vencendo a primeira um mês após 
a liberação do crédito, e que o banco trabalha com uma taxa de 2% ao mês em seus 
empréstimos e operou com o Sistema de Amortização Constante, calcule o valor 
das prestações e elabore a planilha de amortização. 
Solução:
Portanto, o valor da amortização já foi descoberto. O próximo passo é 
elaborar a Planilha de Amortização.
Sistema de Amortização Constante
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00 50.000,00
1 5.166,67 1.000,00 4.166,67 45.833,33
2 5.083,34 916,67 4.166,67 41.666,66
3 5.000,00 833,33 4.166,67 37.499,99
4 4.916,67 750,00 4.166,67 33.333,32
5 4.833,34 666,57 4.166,67 29.166,65
6 4.750,00 583,33 4.166,67 24.999,98
7 4.666,67 500,00 4.166,67 20.833,31
8 4.583,34 416,67 4.166,67 16.666,64
9 4.500,00 333,33 4.166,67 12.499,97
10 4.416,67 250,00 4.166,67 8.333,30
11 4.333.34 166,67 4.166,67 4.166,63
12 4.250,00 83,33 4.166,67 0,00
TOTAL 52.166,70 6499,90 xxxxx Xxxxxxx
FONTE: O autor 
QUADRO 2 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
Valor do EmpréstimoAmortização
número de meses
50.000Amortização 4.166,67
12
=
= =
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
216
Veja que a coluna da amortização foi toda preenchida com o valor 4.166,67, 
pois a amortização é sempre a mesma em todos os meses. Para preencher a coluna 
saldo devedor, o cálculo é pegar o saldo devedor anterior e descontar a amortização, 
ou seja, no mês 0 o saldo devedor é R$ 50.000,00; já no mês 1, pega-se o saldo 
devedor anterior R$ 50.000,00 menos o valor da amortização R$ 4.166,67, que dá 
o resultado R$ 45.833,33, que é o novo saldo devedor do mês 1. Para calcular o 
saldo devedor do mês 2, pega-se o saldo devedor do mês 1 (R$45.833,33) e subtrai-
se a parcela de amortização (R$ 4.166,67), gerando o novo saldo devedor 2 (R$ 
41.666,67).
E procede-se descontando desta maneira até o final.
Para calcular os juros, basta aplicar a taxa de 2% sobre os valores que você 
calculou na coluna saldo devedor. O juro do mês 1 foi calculado aplicando 2% 
sobre o valor de R$ 50.000,00. O juro do mês 2 foi calculado aplicando 2% sobre o 
saldo devedor do mês 1, e assim sucessivamente.
 
E, para calcular o valor da prestação, basta somar a parcela de amortização 
ao juro do mês.
A prestação do mês 1 foi calculada somando a parcela de amortização (R$ 
4.166,67) ao juro do mês (R$ 1.000,00), formando a prestação do mês, R$ 5.166,67. 
A parcela do mês 2 foi calculada somando a parcela de amortização (R$ 4.166,67) 
ao juro do mês (R$ 916,67), formando a prestação do mês, R$ 5.083,34.
 
Nesse tipo de cálculo não é utilizada a calculadora financeira para 
solucionar, pois as prestações mudam constantemente. 
217
RESUMO DO TÓPICO 3
Caro/a acadêmico/a! 
Primeiro quero parabenizar você novamente, pois sabemos que o nosso 
caderno é extenso e trabalhoso, mas pode ter a certeza de que valerá a pena o 
seu esforço. Nesse tópico aprendemos a calcular os dois principais sistemas de 
amortização de empréstimos utilizados no Brasil.
Primeiramente estudamos o Sistema Francês de Amortização, no qual 
as prestações são iguais até o final do empréstimo, que tem como vantagem, 
caso comparado ao Sistema de Amortização Constante, justamente o fato de as 
prestações serem iguais e menores no início do que as do Sistema de Amortização 
Constante (SAC).
 
Já a desvantagem do Sistema Francês consiste na demora em começar a 
diminuir o saldo devedor se comparado ao SAC. No Sistema de Amortização 
Constante, as amortizações são constantes (iguais) até o final do empréstimo, tendo 
esse plano como vantagem em relação ao Sistema Francês, ou Price, a redução mais 
rápida do saldo devedor. A desvantagem é o fato de as prestações iniciarem mais 
altas do que no sistema Price.
Caso quiséssemos, poderíamos estudar muito mais modelos de amortização, 
mas com menos aplicabilidade no dia a dia das pessoas.
Bom, aproveito também a oportunidade para agradecer-lhe por ter 
se dedicado nos estudos da Matemática Financeira. Imagino que muitos dos 
assuntos que você estudou foram novidades para você. Espero ter contribuído no 
enriquecimento dos seus conhecimentos financeiros.
Desejo a você muito sucesso!!!
Um grande abraço,
Prof. Natal Dolzan Júnior
218
AUTOATIVIDADE
1 Uma empresa contratou um empréstimo no Banco Alfa para a compra de um 
caminhão. Sabendo que o valor do empréstimo foi R$ 80.000,00, a empresa 
pagará 9 prestações mensais e fixas, vencendo a primeira um mês após a 
liberação do crédito, e sabendo ainda que o banco trabalha com uma taxa de 
1% ao mês em seus empréstimos e que operou como Sistema de Amortização 
Constante, calcule o valor das prestações e elabore a planilha de amortização.
2 A empresa Mais Conta contratou um empréstimo no Banco Alfa para a compra 
de um terreno. Sabendo que o valor do empréstimo foi de R$ 30.000,00, a 
empresa pagará 9 prestações mensais e fixas, vencendo a primeira um mês 
após a liberação do crédito. Sabendo ainda que o banco trabalha com uma 
taxa de 1,33% ao mês em seus empréstimos e que operou com o Sistema de 
Amortização Constante, calcule o valor das prestações e elabore a planilha 
de amortização.
Sistema de Amortização Constante
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
 
219
3 Carlos Augusto contratou um empréstimo no Banco Beta para a compra de 
um sítio. Sabendo que o valor do empréstimo foi R$ 90.000,00, Carlos pagará 
12 prestações mensais e fixas, vencendo a primeira um mês após a liberação 
do crédito. Sabendo ainda que o banco trabalha com uma taxa de 1% ao mês 
em seus empréstimos e que operou com o Sistema de Amortização Constante, 
calcule o valor das prestações e elabore a planilha de amortização.
Sistema de Amortização Constante
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
 
220
Sistema de Amortização Constante
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
 
221
Que bom que você conseguiu fazer esses exercícios. Eles dão um trabalho, não é? 
Mas é muito importante saber efetuar esses cálculos, pois poucas pessoas sabem ou têm esse 
conhecimento que você acabou de adquirir.
UNI
222
223
REFERÊNCIAS
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 8. ed. São 
Paulo: Atlas, 2003. 
BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática financeira fundamental. São Paulo: 
Atlas, 2003.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. 13. ed. São 
Paulo: Saraiva, 1999.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, Jose Nicolau. Matemática financeira. 6. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2007.
KUHNEN, Osmar Leonardo. Matemática financeira comercial. Blumenau: 
Odorizzi, 2006.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira objetiva e aplicada. 6. ed. 
São Paulo: Saraiva, 1999. 
224
ANOTAÇÕES
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