Resistencia de Materiais- Analise de Tensoes e Deformacoes

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MBA, MSc. Engº Rui Carlos Alves Macanda 
 
2016 
 
 
PREFÁ CIO 
Esta apostila possui diversas partes extraídas da apostila de Resistência dos Materiais do livro Mechanics 
of Materials- 3ªEdição – James M.Gere 
Tem como objectivos gerais, fornecer ao estudante conhecimentos básicos das propriedades mecânicas dos 
sólidos reais, com vistas à sua utilização no projeto e cálculo de estruturas. Capacitar o estudante ao 
cálculo de tensões e deformações causadas pelos esforços simples, no regime da elasticidade, bem como à 
resolução de problemas simples de dimensionamento, avaliação e verificação. 
A boa compreensão dos conceitos que envolvem a mecânicas de sólidos está intimamente ligada ao estudo 
de duas grandezas físicas: A tensão e a deformação, que serão abordadas durante todo o tempo neste 
disciplina. 
Estas duas grandezas físicas são fundamentais nos procedimentos que envolvem o cálculo de uma 
estrutura. Mas o que é uma estrutura? Estrutura é a parte resistente de uma construção e é constituída de 
diversos elementos estruturais que podem ser classificados como: barras, placas, elementos de forma 
geométrica de difícil definição, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Resistência dos Materiais, também conhecida por Mecânica dos Materiais, Mecânica dos Corpos 
Deformáveis, é uma ciência básica das engenharias. É utilizada para a projeção de todos tipos de 
estruturas, máquinas e equipamentos, visto que o projecto estrutural de qualquer edificação, máquina ou 
outro elemento qualquer consiste na sua fase inicial em fazer um estudo através do qual a estrutura em si e 
suas partes componentes são dimensionadas de forma que tenham resistência suficiente para suportar os 
esforços para as condições de uso a que serão submetidas. Este processo envolve a analise de tensões das 
partes componentes da estrutura e considerações a respeito das propriedades mecânicas dos materiais. 
A origem da resistência dos materiais remonta ao início do século XVII, época em que Galileu realizou 
experiências para estudar os efeitos de cargas em hastes e vigas feitas de vários materiais. No entanto, para 
a compreensão adequada dos fenômenos envolvidos, foi necessário estabelecer descrições experimentais 
precisas das propriedades mecânicas de materiais. Os métodos para tais descrições foram 
consideravelmente melhorados no início do século XVIII. Na época, estudos foram realizados, 
principalmente na França, baseados em aplicações da mecânica a corpos materiais, denominando-se o 
estudo de Resistência dos Materiais. Atualmente, no entanto, refere-se a esses estudos como mecânica dos 
corpos deformáveis ou simplesmente mecânica dos materiais (HIBBELER, 2004). 
Entre os diversos estudiosos e pesquisadores que colaboraram com a formação da Resistência dos 
Materiais, destacam-se: Galileo, Saint Venant, Bernouilli, Navier, Hooke, Poisson, Cauchy, Euler, 
Castigliano, Tresca, Von Mises, Lamé, entre outros. 
 
A idéia de cálculo estrutural pode ser dividida em três frentes de trabalho não independentes: 
 Fase 1 - Ante-projeto da estrutura: Nesta fase uma concepção inicial do projeto 
é criada. A estrutura pode ser um edifício, um navio, um avião, uma prótese óssea, 
uma ponte, etc. As dimensões das peças estruturais são arbitradas segundo critérios técnicos e 
empíricos. 
Fase 2 - Modelagem. Modelar um fenomeno físico é descrever seu comportamento 
através de equações matemáticas. Neste processo parte-se normalmente de um modelo que reúne as 
principais propriedades do fenómeno que se deseja modelar. No caso de estruturas, os modelos 
estruturais são cosntituídos de elementos estruturais. A partir do conhecimento do comportamento dos 
elementos estruturais e do carregamento envolvido são determinadas as deformações e tensões a que a 
estrutura está submetida. No caso de barras, uma boa parte desta tarefa pode ser realizada com o auxílio 
dos conhecimentos a serem obtidos nesta disciplina (Resistência dos Materiais) e na disciplina Análise 
Estrutural. Para outros tipos de elementos estruturais, devido á complexidade dos cálculos, serão 
necessários estudos mais aprofundados em mecânica dos sólidos e métodos numéricos que viabilizem a 
solução do problema. O método numérico mais conhecido na modelagem estrutural é o Método dos 
Elementos Finitos (MEF). 
 Fase 3 - Dimensionamento das peças. Nesta fase é necessário o conhecimento 
de questões específicas de cada material que constitui a estrutura (aço, madeira, 
alumínio, compósito, concreto, etc). Este conhecimento será adquirido em cursos 
específicos: Concreto I e II e Estruturas Metálicas (Eng. Civil). 
 
O cálculo de uma estrutura depende de três critérios: 
 Estabilidade: Toda estrutura deverá atender ás equações universais de equilíbrio 
estático. 
 Resistência: Toda estrutura deverá resistir ás tensões internas geradas pelas ações solicitantes. 
 Rigidez: Além de resistir ás tensões internas geradas pelas ações solicitantes, as 
Estruturas não podem se deformar excessivamente. 
 
A Resistência dos Materiais é uma ciência desenvolvida a partir de ensaios experimentais 
e de análises teóricas. 
Os ensaios ou testes experimentais, em laboratórios, visam determinar as características 
físicas dos materiais, tais como as propriedades de resistência e rigidez, usando corpos de 
prova de dimensões adequadas. 
As análises teóricas determinam o comportamento mecânico das peças em modelos matemáticos 
idealizados, que devem ter razoável correlação com a realidade. Algumas hipóteses e pressupostos são 
admitidos nestas deduções e são eles: 
1. Continuidade Física: A matéria apresenta uma estrutura continua, ou seja, são desconsiderados todos 
os vazios e porosidades. 
2. Homogeneidade: O material apresenta as mesmas características mecânicas, elasticidade e de 
resistência em todos os pontos. 
3. Isotropia: O material apresenta as mesmas características mecânicas elásticas em todas as direções. 
Ex: As madeiras apresentam, nas direções das fíbras, características mecânicas e resistentes distintas 
daquelas em direção perpendicular e portanto não é considerada um material isótropo. 
4. Equilíbrio: Se uma estrutura está em equilíbrio, cada uma de suas partes também está em 
equilíbrio. 
5. Pequenas Deformações: As deformações são muito pequenas quando comparadas com as dimensões 
da estrutura. 
6. Saint-Venant: Sistemas de forças estaticamente equivalentes causam efeitos idênticos em pontos 
suficientemente afastados da região de aplicação das cargas. 
7. Seções planas: A seção transversal, após a deformação, permanece plana e normal á linha média 
(eixo deformado). 
8. Conservação das áreas: A seção transversal, após a deforma»ção, conserva as suas dimensões 
primitivas. 
9. Lei de Hooke: A força aplicada é proporcional ao deslocamento. F = kd (1.1) 
onde: F é a força aplicada; k é a constante elástica de rigidez e d é o deslocamento; 
10. Princípio da Superposição de efeitos: Os efeitos causados por um sistema de forças externas são a 
soma dos efeitos produzidos por cada força considerada agindo isoladamente e independente das 
outras. 
 
 
 
Considere um o corpo seccionado, submetido à forças externas F1 e F2 e à 
forças internas ΔF atuantes em áreas infinitesimais ΔA, Fig.2.1. 
 
Figura 2.1. Esforços externos e internos num corpo seccionado 
A tensão normal à face seccionada é por definição da forma: 
 
A
F
A
xxx



 0
lim 
e, as tensões de cisalhamento que atuam na face seccionada são por definição da 
forma: 
 
dA
dF
A
F y
xy
y
A
xy 





0
lim ; 
 
dA
dF
A
F z
xz
z
A
xz 





0
lim 
O primeiro índice da tensão de cisalhamento indica o eixo que é perpendicular 
à face onde atua a tensão e o segundo indica a direção da tensão. 
 
Considere um elemento infinitesimal de dimensões Δx, Δy e Δz com todas as 
tensões que atuam sobre ele, Fig. 2.2.
O tensorde tensões é uma matriz de dimensão (3x3) onde são colocadas 
todas as tensões atuantes num elemento infinitesimal: 
 























zzyzx
yzyyx
xzxyx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx






Pode se demonstrar que o tensor de tens~oes é simétrico, isto é: ηyx = ηxy , ηzx = ηxz , ηyz = ηzy. 
 
 
 
Consideremos uma barra sem peso e em equilíbrio, sujeita à duas forças P 
(tração ou compressão) em suas extremidades. 
 
Barra prismática: Membro estrutural reto, tendo a mesma seção transversal ao 
longo de seu comprimento. 
Carga axial: carga direcionada ao longo do eixo do membro. 
Seção Transversal: É a seção tomada perpendicularmente ao eixo longitudinal da barra. 
 
Hipóteses: 
1- A barra permanece reta antes e depois da carga ser aplicada. A seção 
transversal deve permanecer plana durante a deformação. 
Obs. 1: As linhas horizontais e verticais da grade inscrita na barra deformam-se 
uniformemente quando a barra está submetida a carga. 
Obs. 2: Desconsiderar as regiões da barra próximas a sua extremidade, pois as 
cargas externas podem provocar distorções localizadas. 
2- P deve ser aplicada ao longo do eixo do centróide da seção transversal. 
Material deve ser homogêneo e isotrópico. 
Material homogêneo: Mesmas propriedades físicas e mecânicas em todo o seu volume. 
Material Isotrópico: Possui essas mesmas propriedades em todas as direções. 
 
    APdAdF  ; A
P
 
Tensão normal média em qualquer ponto da área da seção transversal 
P – Resultante da força normal interna, aplicada no centróide da área da seção transversal. P é determinada 
pelo método das seções e pelas equações de equilíbrio. 
A- Área da seção transversal da barra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão Normal que atua na direção perpendicular à seção transversal da peça e pode ser de compressão 
 e de tração 

A
P
 

 
Tensão de Cisalhamento ( corte) que atua tangencialmente à seção transversal. 

A
P
  
 
 
Os conceitos fundamentais de tensão e deformação podem ser ilustradas considerando uma barra 
prismática carregada axialmente por forças P na suas extremidades como mostra a figura 1.1 
Considere se uma barra carregada nas extremidades por forças axiais P, que produzem alongamento 
uniforme ou tração na barra. Sob ação dessas forças originam se esforços internos no interior da barra. 
Considere se um corte imaginário na seção m-m, normal a seu eixo. Removendo se, por exemplo, a parte 
direita do corpo, os esforços internos na seção considerada (m-m) transformam se em esforços externos. 
 
Fig. 1.1 Barra prismática em tração 
Para investigar a tensão e alongamento nesta barrra, considera-se na figura 1.1 b) e c) duas vistas 
mostrando a barra de comprimento L antes da carga e a outra mostrando a barra deformada depois da 
carga. A tensão interior produzida na barra pelas cargas axiais é exposta se imaginarmos que um corte na 
seção mm. 
Para que não se altere o equilíbrio, estes esforços devem ser equivalentes à resultante, também axial, de 
intensidade P. 
Quando estas forças são distribuídas perpendiculares e uniformemente sobre toda a seção transversal, 
recebem o nome de tensão normal ζ. 
 
Da lei de Hooke: 
  E ; 
AE
P
E


 
O alongamento por unidade de comprimento, denominado deformação específica, representado pela letra 
grega ε (epsilon), é dado pela seguinte equação: 
 
L

 
 
 
Onde:ε- deformaçào específica; δ- alongamento ou encurtamento;L- comprimento total da barra. 
O alongamento total de uma barra submetida a uma força axial é designado pela letra grega δ (delta). 
 
 
 
AE
PL
 
Exercicio: O navio é impulsionado pelo eixo da hélice, feito de aço A-36 e com 8 m de comprimento 
medido da hélice ao mancal de encosto D do motor. Se esse eixo possuir diâmetro 400 mm e espessura da 
parede 50 mm, qual será sua contraçào axial quando a hélice exercer uma força de 5kN sobre ele? Os 
apoios B e C são mancais. 
 
 
 
Dados: 
D=400 mm=0,4m 
D=400 mm-(2.50mm)=300mm=0,3m 
Módulo de elasticidade para o aço A-36 E=200.10
9
 Pa
 
P=-5kN e L=8m 
Solução:O deslocamento do ponto A pode ser determinado por: 
AE
PL
 
 
4
)( 22 dD
A



 então m
mN
E
dD
LP
A
6
9
22
3
22
10.3638
10.200
4
)3,04,0(14,3
8*10.5
4
)(
. 






 
 
 
 
 
Exercício 2 :A barra rígida BDE rígido é suportada por dois elementos AB e CD. O elemento AB é 
feito em alumínio (E = 70 GPa) e tem uma área de secção transversal de 500 mm
2
. O elemento CD é de 
aço (E = 200 GPa) e tem uma área de secção transversal de 600 mm
2
. Para uma força de 30 kN aplicada 
na extremidade da barra BDE, determine o deslocamento: 
a) do ponto B, 
b) ponto D, 
c) ponto E. 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descolamento do ponto D: 
BB′ = BH 
DD′ HD 
0.514 mm = 200 mm− x 
0.300 mm x 
x = 73.7 mm 
EE′ 
= 
HE 
DD′ HD 
δ E 
= 
400 + 73.7mm 
0.300 mm 73.7 mm 
 
δ E = 1.928 mm 
 
δ E = 1.928 mm ↓ 
 
 
 
As relações entre tensões e deformações para um determinado material são encontradas por meio de 
ensaios de tração. Nestes ensaios são medidos os alongamentos δ, correspondentes aos acréscimos de carga 
axial P, que se aplicarem à barra, até a ruptura do corpo de prova. 
 
 
Figura 3 - Máquina de ensaio. 
 
 
Figura 2 - Corpo de prova de aço típico com extensômetro instalado. 
 
 
É o gráfico obtido através dos resultados do ensaio, podem-se calcular vários valores de tensão e 
deformação correspondente no corpo de prova, como se fosse uma tabela de tensões e deformações 
correspondentes e depois basta se plotar o gráfico. 
Tensão nominal ou de engenharia: Determina-se com os dados registrados, dividindo-se a carga aplicada 
P pela área da seção transversal inicial do corpo de prova Ao. 
 
0A
P
 
Deformação nominal ou de engenharia: É obtida da leitura do extensômetro, ou dividindo-se a variação 
do comprimento de referência, δ, pelo comprimento de referência inicial Lo. 
 
0L

  
O diagrama tensão-deformação é o gráfico dos correspondentes valores de ζ e ε, onde o eixo das ordenadas 
representa as tensões ζ e o eixo das abcissas representa as deformações ε. É importante ressaltar que dois 
diagramas de dois corpos- de-prova de um mesmo material não são exatamente idênticos, pois os 
resultados dependem de várias variáveis como, composição do material, imperfeições microscópicas, 
fabricação, velocidade de aplicação da carga e temperatura do ensaio. A Fig. 4.5 apresenta um diagrama 
tensão-deformação de um aço usualmente utilizado na engenharia, no qual pode-se distinguir diferentes 
regiões. 
 
O comportamento do corpo-de-prova pode ser de diferentes formas, dependendo da intensidade da carga 
aplicada e do seu grau de deformação. 
Comportamento elástico: Quando o corpo-de-prova retorna à sua forma original quando a carga aplicada 
é removida. O material é considerado linearmente elástico até o limite superior da tensão, chamado de 
limite de proporcionalidade, ζP. Até esse limite de proporcionalidade, a lei de Hooke, que relaciona a 
tensão ζ com a deformação ε pelo módulo de elasticidade E do material é válida: 
 E (4.8) 
 O material pode ainda se comportar elasticamente até o limite elástico, mesmo se exceder ligeiramente 
este limite de proporcionalidade. Neste caso porém, o comportamento não é mais linear. 
Escoamento: Um leve aumento na tensão, acima do limite elástico, resultará numa acomodação do material 
causando uma deformação permanente. A tensão que causa o escoamento é chamada de tensãode 
escoamento, ζE. Neste caso, mesmo se a carga for removida, o corpo-de-prova continuará deformado. O 
corpo-de-prova poderá continuar a se alongar mesmo sem qualquer aumento de carga. Nesta região, o 
material é denominado perfeitamente plástico. Deformação específica por endurecimento: Se ao término 
do escoamento, uma carga adicional for aplicada ao corpo-de-prova, a tensão continuará a aumentar com a 
deformação específica continuamente até atingir um valor de tensão máxima, referida por tensão última, 
ζr. Durante a execução do ensaio nesta região, enquanto o corpo-de-prova é alongado, sua área da seção 
transversal diminui ao longo de seu comprimento nominal, até o ponto que a deformação corresponda a 
tensão última. 
Estricção: Ao atingir a tensão última, a área da seção transversal começa a diminuir em uma região 
localizada do corpo-de-prova, e não mais ao longo do seu comprimento nominal. Este fenômeno é causado 
pelo deslizamento de planos no interior do material e as deformações reais produzidas pela tensão 
cisalhante. Uma vez que a área da seção transversal diminui constantemente, esta área só pode sustentar 
uma carga menor. Assim, o diagrama tensão-deformação tende a curvar-se para baixo até a ruptura do 
corpo-de-prova com uma tensão de ruptura, ζrup. 
 
 
Materiais Dúcteis – Qualquer Material que possa ser submetido a grandes deformações antes da ruptura é 
chamado de material dúctil. O aço doce é um exemplo. Os engenheiros escolhem materiais dúcteis para o 
projeto por que são capazes de absorver choque ou energia e, quando sobrecarregados, exibem, em geral, 
grande deformação antes de falhar. 
Materiais Frágeis – São materiais que possuem pouco, ou nenhum escoamento. Exemplo: Concreto. 
 
Como visto no Diagrama Tensão Deformação, quando um corpo é carregado o material tende a se 
deformar e quando é descarregado, a deformação sofrida durante o carregamento desaparecerá parcial ou 
completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a retornar à forma original é denominada 
elasticidade. 
Um material é chamado de linear-elátisco se a tensão for proporcional a deformação dentro da região 
elástica. Essa condição é denominada Lei de Hooke e o declive da curva é chamado de módulo de 
elasticidade E. 
E é a constante de proporcionalidade, módulo de elasticidade ou módulo de Young, nome derivado de 
Thomas Young que explicou a Lei em 1807. 
A relação linear da função tensão deformação foi apresentada por Robert HOOKE em1676 e é conhecida 
por LEI DE HOOKE, definida como: 
  E 
Onde: 
E- modulo de elasticidade; 
ε- deformaçào específica; 
A lei de Hooke é válida para a fase elástica dos materiais. Alguns valores de E são mostrados na tabela 
abaixo. 
Tabela- 
Material Peso específico 
3/ mkN 
Módulo de elasticidade 
GPa 
Aço 78,5 200 a 210 
Aluminio 26,9 70 a 80 
Bronze 83,2 98 
Cobre 88,8 120 
Ferro fundido 77,7 100 
Madeira 0,6 a 1,2 8 a 12 
 
 
 
 
Dentro das aplicações da engenharia, a determinação de tensões não é o objetivo final, mas um passo 
necessário no desenvolvimento de dois dos mais importantes estudos. 
1. A análise de estruturas e máquinas para prever o comportamento sob condições de carga específicas. 
2. O projeto de estruturas e máquinas tomando em consideração aspectos econômicos e de segurança. 
Na engenharia importante consideração refere se a capacidade do objeto projetado suportar e transmitir 
cargas. Objetos que suportam ou transmitem cargas podem ser edificações, máquinas, aviões, veiculos, 
navios etc. Para a simplicidade considera se estes objetos como estruturas. 
Se a falha estrutural deve ser evitada, então as cargas que a estrutura deve na realidade suportar ou 
transmitir devem ser maiores do que as requeridas em serviço, e a habilidade da estrutura resistir a cargas 
chama se resistência. O racio entre a resistencia real e a requerida é o coeficiente de segurança. 
O coeficiente de segurança depende de varios factores de entre eles: consistência da qualidade do material; 
durabilidade do material; comportamento elástico do material; espécie de carga(estáticas, dinamicas ou 
repetidas) e de solicitações; tipo de estrutura e importância dos elementos estruturais; precisão na 
avaliação dos esforços e seus modos de actuarem sobre os elementos etc. 
A incorporação do coeficiente de segurança nos calculos de engenharia não é tarefa facil de realizar, 
porque ambos resistência e falha estrutural tem varios significados. 
O projeto podera obter o coeficiente de segurança por norma ou determina-lo em circunstâncias 
apresentadas. 
 
Tipo de carregamento Materiais dúteis Materiais frágeis 
Estático 1,5 a 2,5 5 a 6 
Intermitente 3 a 3,5 7 a 8 
Alternado 4 a 4,5 10 a 12 
Choque 5 a 7 15 a 20 
 
Na prática actual existem varios métodos de determinar o coeficeinte de segurança. 
1. Estabelecimento da tensão admissível aplicando o coeficiente de segurança em respeito a tensão 
última (roptura) 


 radm  
Onde admissiveltensaoadm  ; repturadetensaor  ; 
segurancadeecoeficient  
2. Estabelecimento do coeficiiente de segurança tomando em consideração o carregamento último 
(carga de roptura) em relação ao caregamento de serviço (carga admissivel) 
adm
u
P
P
 
Exercícios: 
Problema 1.3.1Um cilindro de ferro deve suportar uma carga de compressão de P=580 kN. A tensão de 
roptura para compressão do material a usar é de MPar 240 .Pretende se projectar um cilindro com 
um orifíco com espessura da parede de t=25 mm e o coeficiente de segurança 0.3 em relação a 
resistencia de roptura. Determine o diametro exterior minimo requerido do cilindro. 
Solução: 
A tensão admissível de compressão é igual a tensão de roptura dividida pelo coeficiente de segurança. 
 MPa
MPar
adm 80
0.3
240



 
A area da secção transversal A pode ser determinada: 
 
23
3
10.25,7
80
10.580
mm
MPa
kNP
A
adm


 
A área transversal do cilindro com orifício é: 
 )(
4
)(
4
22
tdt
tdd
A 

 

 
Em qu d é o diametro exterior do cilindro e d-2t é o diametro interior. Resolvendo para d e substituindo 
t=25mm e A=7250mm, temos 
 mm
t
A
td 3,117
 
Problema 1.3.2 Uma barra rectangular de ferro com a secção transversal de 10x40mm suporta uma 
carga P e é conectada ao suporte por meio de um pino com diâmetro de 15mm. A tensão admissivel para a 
barra em tração e o pino em cisalhamento é MPaadm 120 e MPaadm 60 respectivamente. Qual é a 
carga maxima admissivel P? 
Solução: 
A tensão de tração na bara rectangular deve ser calculada usando a área da seção transversal por onde 
passa o orificio do pino. Esta área é 
 
2250)10)(1540( mmmmmmmmA  
Assim a carga admissivel P1 dbaseada na tração é 
 kNmmMPaAP adm 30)250)(120(.
2
1  
Este calculo não considera a concentração de tensões devido a presença do orificio. 
Em seguida calculamos a carga admissivel baseada em cisalhamento do pino. O pino está em duplo corte e 
tende a cortar se em duas seções transversais; assim a carga total que pode ser suportada é 
 kNmmMPaAP adm 2,21)15(
4
2)60(2 22 

 
Comparando os valores das duas cargas P, vemos que o pino suporta maior carga, e é a carga máxima 
admissivel. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grandezas e unidades derivadas de SI – Sistema Internacional de Unidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grandezas eunidades derivadas de SI – Sistema Internacional de Unidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cantoneiras com abas iguais 
 h Peso Área to Jx=Jy Wx=Wy ix=iy iz. mim Xg 
Bitola (cm) (kg/m) (cm²) (cm) (cm
4
) (cm³) (cm) (cm) (cm) 
1/2 x 1/8 1,270 0,55 0,70 0,317 0,10 0,11 0,37 0,25 0,43 
5/8 x 1/8 1,588 0,71 0,90 0,317 0,20 0,19 0,47 0,32 0,51 
3/4 x 1/8 1,905 0,87 1,11 0,317 0,36 0,27 0,57 0,38 0,59 
7/8 x 1/8 2,220 1,04 1,32 0,317 0,58 0,38 0,66 0,46 0,66 
1 x 1/8 2,540 1,19 1,48 0,317 0,83 0,49 0,79 0,48 0,76 
1 x 3/16 2,540 1,73 2,19 0,476 1,25 0,66 0,76 0,48 0,81 
1 x 1/4 2,540 2,22 2,84 0,635 1,66 0,98 0,76 0,48 0,86 
1.1/4 x 1/8 3,175 1,50 1,93 0,317 1,67 0,82 0,97 0,64 0,89 
1.1/4 x 3/16 3,175 2,20 2,77 0,476 2,50 1,15 0,97 0,61 0,97 
1.1/4 x 1/4 3,175 2,86 3,62 0,635 3,33 1,47 0,94 0,61 1,02 
1.1/2 x 1/8 3,810 1,83 2,32 0,317 3,33 1,15 1,17 0,76 1,07 
1.1/2 x 3/16 3,810 2,68 3,42 0,476 4,58 1,64 1,17 0,74 1,12 
1.1/2 x 1/4 3,810 3,48 4,45 0,635 5,83 2,13 1,15 0,74 1,19 
1.3/4 x 1/8 4,445 2,14 2,71 0,317 5,41 1,64 1,40 0,89 1,22 
1.3/4 x 3/16 4,445 3,15 4,00 0,476 7,50 2,30 1,37 0,89 1,30 
1.3/4 x 1/4 4,445 4,12 5,22 0,635 9,57 3,13 1,35 0,86 1,35 
2 x 1/8 5,080 2,46 3,10 0,317 7,91 2,13 1,60 1,02 1,40 
2 x 3/16 5,080 3,63 4,58 0,476 11,70 3,13 1,58 1,02 1,45 
2 x 1/4 5,080 4,74 6,06 0,635 14,60 4,10 1,55 0,99 1,50 
2 x 5/16 5,080 5,83 7,42 0,794 17,50 4,91 1,53 0,99 1,55 
2 x 3/8 5,080 6,99 8,76 0,952 20,00 5,73 1,50 0,99 1,63 
2.1/2 x 3/16 6,350 4,57 5,80 0,476 23,00 4,91 1,98 1,24 1,75 
2.1/2 x 1/4 6,350 6,10 7,67 0,635 29,00 6,40 1,96 1,24 1,83 
2.1/2 x 5/16 6,350 7,44 9,48 0,794 35,00 7,87 1,93 1,24 1,88 
2.1/2 x 3/8 6,350 8,78 11,16 0,952 41,00 9,35 1,91 1,22 1,93 
3 x 3/16 7,620 5,52 7,03 0,476 40,00 7,21 2,39 1,50 2,08 
3 x 1/4 7,620 7,29 9,29 0,635 50,00 9,50 2,36 1,50 2,13 
3 x 5/16 7,620 9,07 11,48 0,794 62,00 11,60 2,34 1,50 2,21 
3 x 3/8 7,620 10,71 13,61 0,952 75,00 13,60 2,31 1,47 2,26 
3 x 1/2 7,620 14,00 17,74 1,270 91,00 18,00 2,29 1,47 2,36 
3.1/2 x 1/4 8,890 8,56 10,90 0,635 83,70 13,00 2,77 1,76 2,46 
3.1/2 x 5/16 8,890 10,59 13,50 0,794 102,00 16,00 2,75 1,75 2,52 
3.1/2 x 3/8 8,890 12,58 16,00 0,952 121,00 19,20 2,75 1,75 2,58 
4 x 1/4 10,160 9,81 12,51 0,635 125,00 16,40 3,17 2,00 2,77 
4 x 5/16 10,160 12,19 15,48 0,794 154,00 21,30 3,15 2,00 2,84 
4 x 3/8 10,160 14,57 18,45 0,952 183,00 24,60 3,12 2,00 2,90 
4 x 7/16 10,160 16,80 21,35 1,111 208,00 29,50 3,12 1,98 2,95 
4 x 1/2 10,160 19,03 24,19 1,270 233,00 32,80 3,10 1,98 3,00 
5 x 5/16 12,700 15,31 19,50 0,794 308,00 33,40 3,97 2,53 3,47 
5 x 3/8 12,700 18,30 23,29 0,952 362,00 39,50 3,94 2,51 3,53 
5 x 1/2 12,700 24,10 30,64 1,270 470,00 52,50 3,91 2,49 3,63 
5 x 5/8 12,700 29,80 37,80 1,588 566,00 64,00 3,86 2,46 3,76 
 
Dimensões c Peso Área Ix Iy Wx Wy ix iy 
ix 
Xg Yg 
min 
 
pol mm mm kg/m mm² mm
4 
mm
4 
mm
3 
mm
3 
mm mm mm mm mm 
 
 89 14,3 7,29 929 749.000 325.000 12.300 6.700 28,4 18,9 13,7 15,5 28,2 
3 1/3 x 2 ½ x 15,9 9,08 1.148 916.000 391.000 15.300 8.200 28,2 18,5 13,7 16,3 29,0 
 64 17,5 10,71 1.361 1.082.000 458.000 18.200 9.700 28,2 18,3 13,7 16,8 29,5 
 
 102 17,5 10,71 1.348 1.415.000 708.000 20.200 12.500 32,4 22,9 16,5 19,3 32,0 
4 x 3 
X 12,1 12,65 1.600 1.665.000 791.000 24.000 14.100 32,3 22,2 16,3 19,8 32,5 
 
20,6 14,58 1.852 1.873.000 916.000 27.100 16.400 31,8 22,2 16,3 20,3 33,0 
 
 76 22,2 16,52 2.097 2.081.000 999.000 30.500 18.200 31,5 21,8 16,3 21,1 33,8 
 
 102 15,9 9,08 1.168 1.207.000 874.000 16.600 13.300 32,1 27,4 18,5 23,1 29,5 
 17,5 11,46 1.452 1.498.000 1.082.000 20.800 16.500 32,1 27,3 18,5 23,6 30,0 
4 x 3½ X 19,1 13,54 1.723 1.748.000 1.249.000 24.500 19.300 31,9 26,9 18,5 24,4 30,7 
 20,6 15,77 1.994 1.998.000 1.415.000 28.200 22.100 31,7 26,6 18,3 24,9 31,2 
 89 22,2 17,71 2.258 2.206.000 1.582.000 31.400 24.900 31,3 26,5 18,3 25,4 31,8 
 
 127 19,1 12,95 1.652 2.747.000 1.124.000 31.700 16.600 40,8 26,1 19,3 21,3 40,4 
 20,6 15,48 1.968 3.247.000 1.332.000 37.700 19.800 40,6 26,0 19,3 21,8 40,9 
 X 22,2 17,86 2.277 3.704.000 1.498.000 43.300 22.500 40,3 25,7 19,3 22,4 41,4 
5 x 3½ 
 23,8 20,24 2.581 4.162.000 1.662.000 49.100 25.300 40,2 25,4 19,1 23,1 42,2 
89 
 
22,62 2.884 4.579.000 1.831.000 54.300 28.000 39,8 25,3 19,1 23,6 42,7 
 
 27 25 3.174 4.995.000 1.998.000 59.600 30.800 39,7 25,1 19,1 24,1 43,2 
 27,23 3.465 5.411.000 2.164.000 65.000 33.600 39,5 25,0 19,1 24,6 43,7 
 
 30,2 29,47 3.748 5.786.000 2.331.000 70.100 36.700 39,3 24,9 19,1 25,4 44,5 
 
 152 22,2 18,3 2.329 5.619.000 2.040.000 54.700 26.100 49,1 29,6 22,4 23,9 49,3 
 23,8 21,28 2.697 6.452.000 2.331.000 63.100 30.000 48,9 29,4 22,1 24,4 49,8 
 
 X 25,4 24,11 3.065 7.242.000 2.622.000 71.300 34.100 48,6 29,2 22,1 25,1 50,5 
6 x 4 27 26,94 3.426 8.033.000 2.872.000 79.600 37.600 48,4 29,0 22,1 25,7 51,1 
 
 102 28,6 29,76 3.781 8.782.000 3.122.000 87.500 41.200 48,2 28,7 21,8 26,2 51,6 
 32,44 4.129 9.490.000 3.371.000 95.200 44.900 47,9 28,6 21,8 26,9 52,3 
 
 31,7 35,12 4.477 10.198.000 3.621.000 102.800 48.500 47,7 28,4 21,8 27,4 52,8 
 
 178 25,4 26,64 3.387 11.113.000 2.705.000 95.400 34.400 57,3 28,3 22,1 23,4 61,5 
 27 29,76 3.794 12.320.000 2.997.000 106.200 38.400 57,0 28,1 22,1 23,9 62,0 
 
7 x 4 X 28,6 32,89 4.187 13.486.000 3.247.000 116.800 41.800 56,8 27,8 21,8 24,4 62,5 
 36,01 4.574 14.610.000 3.538.000 127.300 46.000 56,5 27,8 21,8 25,1 63,2 
 
 102 31,7 38,99 4.961 15.733.000 3.788.000 137.800 49.600 56,3 27,8 21,8 25,7 63,8 
 
 203 25,4 29,17 3.710 16.025.000 2.789.000 122.900 34.800 65,7 27,4 21,8 21,8 72,6 
 27 32,59 4.148 17.815.000 3.080.000 137.200 38.700 65,5 27,2 21,8 22,4 73,2 
 
 X 28,6 36,01 4.587 19.521.000 3.371.000 151.200 42.700 65,2 27,1 21,8 23,1 73,9 
 39,44 5.019 21.228.000 3.621.000 165.100 46.200 65,0 26,9 21,6 23,6 74,4 
 
8 x 4 102 31,7 42,71 5.445 22.851.000 3.913.000 178.400 50.200 64,8 26,8 21,6 24,1 74,9 
 46,13 5.865 24.433.000 4.162.000 191.900 54.000 64,5 26,6 21,6 24,9 75,7 
 
 34,9 49,26 6.277 25.973.000 4.370.000 204.800 57.000 64,3 26,4 21,6 25,4 76,2 
 52,53 6.690 27.513.000 4.620.000 217.800 60.700 64,1 26,3 21,6 25,9 76,7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38,1 55,66 7.097 28.970.000 4.828.000 230.800 64.100 63,9 26,1 21,6 26,7 77,5