Geometria da Esfera

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Professor(a): Fabrício Maia
assunto: EsFEra E suas partEs
frente: MatEMática i
016.451 - 141806/19
AULAS 58 E 59
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Esfera e suas partes
Esfera é o sólido geométrico gerado pela rotação completa de 
um semicírculo em torno do seu diâmetro.
R
R
R
360º
R
x
Volume da esfera
Enchendo o recipiente cônico duas vezes com líquido e 
despejando em seguida no recipiente semiesférico, concluímos 
empiricamente que o volume da esfera é dado por:
2R 2R
R R
1
2
· volume (esfera) = 2 · volume (cone) → volume (esfera) = 4 · volume (cone) 
V V
R R
R( ) ( )esfera cone= ⋅ = ⋅
⋅
=4 4
3
4
3
2
3π π
Área da superfície esférica
B
i
Decompondo a esfera em pirâmides hexagonais cujo vértice 
é o centro da esfera e cuja base é um pedaço muito pequeno (quase 
plano) da superfície esférica, podemos concluir que:
Vi
i=
∞
∑
1
(volumes das pirâmides) = volume da esfera
Então: 
B R B R B R B R
Rn1 2 3 3
3 3 3 3
4
3
⋅
+
⋅
+
⋅
+ +
⋅
=... ,π onde B
i
 são as áreas 
das bases das pirâmides.
R B B B B
Rn
erf cie esf rica3
4
3
1 2 3 3+ + + +








=
...
sup í é
� ���� ���� π
Logo: Bi
i
=
=
∞
∑
1
 área da superfície esférica = 4 πR2
Fuso esférico
É a intersecção de uma superfície esférica com um setor diedral, 
cuja aresta contém o diâmetro da esfera.
Cálculo da área do fuso
• Seja α (a medida do diedro) dado em graus. 
α
 Então, temos:
A RF = °






α
π
360
4 2· (área do fuso).
• Seja α dado em radianos.
 Então:
A RF =






α
π
π
2
4 2· (área do fuso).
Cunha esférica
É a intersecção de uma esfera com um setor diedral, cuja aresta 
contém o diâmetro da esfera.
Cálculo do volume da cunha
• Com α dado em graus:
α
V RC =





 ⋅
α
π
360
4
3
3
º
 (volume da cunha).
• Com α dado em radianos:
V RC =





 ⋅
α
π
π
2
4
3
3 (volume da cunha).
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Módulo de estudo
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• Segmento esférico e calota esférica:
Um plano que intercepta uma esfera em mais de um 
ponto a divide em duas partes chamadas segmentos esféricos. 
A superfície esférica fica dividida em duas partes chamadas calotas 
esféricas.
A = 2πR ⋅ h V = 
1
3
 πh2 ⋅ (3R – h)
(área da calota) (volume do segmento)
e
h
R
0R
h
e
Exercícios
01. Justapondo-se as bases de dois cones retos e idênticos de altura H, 
forma-se um sólido de volume v. Admitindo-se que a área da 
superfície deste sólido é igual à área da superfície de uma esfera 
de raio H e volume V, a razão 
v
V
 vale:
A) 
11 1
4
−
 B) 
13 1
4
−
C) 
15 1
4
−
 D) 
17 1
4
−
E) 
19 1
4
−
02. Uma esfera de raio r é seccionada por n planos meridianos. 
Os volumes das respectivas cunhas esféricas contidas em uma 
semiesfera formam uma progressão aritmética de razão 
πr3
45
. 
Se o volume da menor esfera cunha for igual a 
πr3
18
, então n é 
igual a
A) 4. 
B) 3.
C) 6. 
D) 5.
E) 7.
03. Um astronauta, em sua nave espacial, consegue observar, 
em certo momento, exatamente 
1
10
 da superfície da Terra. Que 
distância ele está do nosso planeta? Considere o raio da Terra 
igual a 6.400 km.
A) 1.200 km B) 1.280 km
C) 1.600 km D) 3.200 km
E) 4.200 km
04. No desenho a seguir, em cada um dos vértices do cubo, está 
centrada uma esfera cuja medida do diâmetro é igual à medida 
da aresta do cubo.
A razão entre o volume da porção do cubo ocupado pelas esferas 
e o volume do cubo é
A) 
π
6
 B) 
π
5
C) 
π
4
 D) 
π
3
E) 
π
2
05. Os volumes de um tronco de cone, de uma esfera de raio 5 cm 
e de um cilindro de altura 11 cm formam nessa ordem uma 
progressão geométrica. O tronco de cone é obtido por rotação 
de um trapézio retângulo, de altura 4 cm e bases medindo 5 cm e 
9 cm, em torno de uma reta passando pelo lado de menor medida. 
Então, o raio da base do cilindro é, em cm, igual a
A) 2 2 B) 2 3
C) 4 D) 2 5
E) 2 6
06. Uma esfera S
1
, de raio R > 0, está inscrita num cone circular reto K. 
Outra esfera, S
2
, de raio r, com 0 < r < R, está contida no interior 
de K e é simultaneamente tangente à esfera S
1
 e à superfície 
lateral de K. O volume de K é igual a
A) 
πR
r R r
5
3 ( )
.
−
 
B) 
2
3
5πR
r R r( )
.
−
C) 
πR
r R r
5
( )
.
−
 
D) 
4
3
5πR
r R r( )
.
−
E) 
5
3
5πR
r R r( )
.
−
07. Em um plano, estão situados uma circunferência de raio 2 cm 
e um ponto P que dista 2 2 cm do centro de . Considere 
os segmentos PA e PB tangentes a nos ponto A e B, 
respectivamente. Ao girar a região fechada delimitada pelos 
segmentos PA e PB e pelo arco menor AB em torno de um eixo 
passando pelo centro de e perpendicular ao segmento PA , 
obtém-se um sólido de revolução. Determine:
A) a área total da superfície do sólido.
B) o volume do sólido.
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Módulo de estudo
08. As superfícies de duas esferas se interceptam ortogonalmente (isto 
é, em cada ponto da intersecção os respectivos planos tangentes 
são perpendiculares). Sabendo que os raios destas esferas medem 
2
3
2
cm e cm, respectivamente, calcule
A) a distância entre os centros das duas esferas.
B) a área da superfície do sólido obtido pela intersecção das duas 
esferas.
09. Os quatro vértices de um tetraedro regular, de volume 
8
3
 cm3, 
encontram-se nos vértices de um cubo. Cada vértice do cubo é 
centro de uma esfera de 1 cm de raio.
Calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas.
10. A circunferência inscrita num triângulo equilátero com lados de 
6 cm de comprimento é a interseção de uma esfera de raio igual 
a 4 cm com o plano do triângulo. Então, a distância do centro da 
esfera aos vértices do triângulo é (em cm)
A) 3 3 B) 6
C) 5 D) 4
E) 2 5
11. Considere a região do plano cartesiano xy definida pela 
desigualdade x2 + 4x + y2 – 4y – 8 ≤ 0.
Quando esta região rodar um ângulo de 
π
6
 radianos em torno 
da reta x + y = 0, ela irá gerar um sólido de superfície externa 
total com área igual a 
A) 128
3
π
 
B) 128
4
π
C) 128
5
π
 
D) 128
6
π
E) 128
7
π
12. A angioplastia é um procedimento médico caracterizado pela 
inserção de um cateter em uma veia ou artéria com o enchimento 
de um pequeno balão esférico localizado na ponta desse cateter. 
Considerando que, num procedimento de angioplastia, o raio inicial 
do balão seja desprezível e aumente a uma taxa constante de 
0,5 mm/s até que o volume seja igual a 500 mm3, então o tempo, 
em segundos, que o balão leva para atingir esse volume é
A) 10 
B) 10
5
3
π
C) 10
2
3
π
 
D) 10 3 π
E) 10
3
3
π
13. Uma fábrica de embalagens resolveu produzir um copo no formato 
de tronco de cone circular reto, com diâmetros superior e inferior 
de 6 cm e 4 cm, respectivamente. A parte central do fundo do 
copo é côncava, em formato de semiesfera, com 1,5 cm de raio, 
como indica a figura a seguir.
Considerando-se o exposto, desenvolva a expressão que o fornece 
o volume do tronco de cone em função da altura e dos raios das 
bases e calcule a altura aproximada desse copo para que ele tenha 
capacidade de 157 mL.
Dados: π = 3,14.
14. Na fotografia a seguir, observam-se duas bolhas de sabão unidas.
Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede 
de contato entre elas é plana, conforme ilustra o esquema:
Considerando duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio R, 
unidas de tal modo que a distância entre seus centros A e B é 
igual ao raio R. A parede de contato dessas bolhas é um círculo 
cuja área tem a seguinte medida:
A) 
πR2
2
 B) 
3
2
2πR
C) 
3
4
2πR
 D) 
4
3
2πR
E) 
5
3
2πR
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Módulo de estudo
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15. Uma esfera confeccionada em aço é usada em um rolamento de 
motor de um navio da Marinha do Brasil. Se o raio da esfera mede 
3 5 3 5 3.... ,cm, então seu volume vale
A) 45 · 10–3 π dm3
B) 0,45 · 10–3 π dm3
C) 60 · 10–3 π dm3
D) 0,15 · 103 π dm3
E) 60 · 103 π dm3
Resoluções
01 02 03 04 05
DC C A B
06 07 08 09 10
B * * * C
11 12 13 14 15
A E * C C
* 07: A) 20
3π cm
 B) 
8
3
3π cm
 08: A) 
5
2
cm
 B) 
17
5
2π cm
 09: 
4 6
3
3( )−[ ]π cm
 14: h = 8,25 cm
Anotações
SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): ??????? – AUTOR(A): FABRÍCIO MAIA
naldo/REV.: Camilla