Cap_3VHE_Parte1_20200402174815

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Vibração Excitada 
Harmonicamente
Prof. Willian
willian.duarte@prof.unibh.br
Introdução 
• Força externa:
• Harmônica
• Não harmônica periódica
• Não periódica
• Aleatória 
( )
0( )
i tF t F e  +=
0( ) cos( )F t F t = +
0( ) sen( )F t F t = +
Equação diferencial 
0( ) cos( )F t F t = +
Resposta de um sistema não amortecido
• Teorema: Seja xp(t) uma solução particular de uma equação
diferencial linear de 2ª ordem não-homogênea e seja xh(t) a solução da
equação diferencial homogenia correspondente. Então a solução geral
da equação diferencial é x(t)= xp(t)+ xh(t).
Resposta de um sistema não amortecido
Resposta de um sistema não amortecido
Resposta de um sistema não amortecido
Deflexão estática
Fator de amplificação
Resposta de um sistema não amortecido
Resposta de um sistema não amortecido
Resposta de um sistema não amortecido
Resposta de um sistema não amortecido
Resposta de um sistema não amortecido
Exemplo 1
Uma bomba de pistão, de 75 kg de massa, é montada no meio de uma
placa de aço de 13 mm de espessura, 500 mm de largura e 2,5 m de
comprimento, presa ao longo de duas arestas, como mostra abaixo.
Durante a operação da bomba, a placa é submetida a uma força
harmônica, F(t) = 250 cos 62.8t N. Encontre a amplitude máxima de
vibração da placa.
Exemplo 1 – Solução 
Exemplo 2
Um peso de 50 N é suspenso de
uma mola de rigidez de 4000 N /
m e está sujeito a uma força
harmônica de amplitude de 60 N e
frequência de 6 Hz. Encontre (a) a
extensão da mola devido ao peso
suspenso, (b) o deslocamento
estático da mola devido
ao máxima força aplicada e (c) a
amplitude do movimento forçado
do peso.
Resposta de um sistema amortecido
• Teorema: Seja xp(t) uma solução particular de uma equação
diferencial linear de 2ª ordem não-homogênea e seja xh(t) a solução da
equação diferencial homogenia correspondente. Então a solução geral
da equação diferencial é x(t)= xp(t)+ xh(t).
Resposta de um sistema amortecido
Resposta de um sistema amortecido
Resposta de um sistema amortecido
Resposta de um sistema amortecido
Resposta de um sistema amortecido
Resposta de um sistema amortecido
Características: 
1. Para um sistema não amortecido: 
Resposta de um sistema amortecido
2. Quanto maior o fator de amortecimento menor
será o fator de amplificação.
3. Para um força constante (r=0) a razão de
amplitude é 1.
4. A redução do fator de amplificação com o
aumento do amortecimento é mais significativo
na próximo da frequência de ressonância.
5. Quando r→∞ o fator de amplificação tende a
zero.
Resposta de um sistema amortecido
2. Quanto maior o fator de amortecimento menor
será o fator de amplificação.
3. Para um força constante (r=0) a razão de
amplitude é 1.
4. A redução do fator de amplificação com o
aumento do amortecimento é mais significativo
na próximo da frequência de ressonância.
5. Quando r→∞ o fator de amplificação tende a
zero.
6. Para fatores de amortecimento menores que
0,707 o pico do fator de amplificação acontece
na frequência natural amortecida e o valor
máximo é dado por:
Resposta de um sistema amortecido
• Teorema: Seja xp(t) uma solução particular de uma equação
diferencial linear de 2ª ordem não-homogênea e seja xh(t) a solução
da equação diferencial homogenia correspondente. Então a solução
geral da equação diferencial é x(t)= xp(t)+ xh(t).
Exemplo 3
Determine a resposta de um
sistema com um grau de liberdade
com massa de 10kg, c=20N.s/m,
k=4000 N/m, posição inicial de
0,01m e velocidade inicial nula
sob uma força externa
F=100cos(10t) N.
Exemplo 4
Um sistema massa-mola amortecedor
possui massa de 80kg. Quando uma
força constante de 50N é aplicado ao
sistema ele deforma 8mm. Em seguida a
força mostrada ao lado é aplicada ao
sistema e após alguns minutos o sistema
estabiliza e apresenta a resposta
mostrada ao lado. Determine a
frequência natural do sistema e o fator
de amortecimento.
Resposta de um sistema amortecido a um 
sistema amortecido de base
Resposta de um sistema amortecido a um 
sistema amortecido de base
Resposta de um sistema amortecido a um 
sistema amortecido de base
Resposta de um sistema amortecido a um 
sistema amortecido de base
Transmissibilidade de deslocamento
• O valor de Td é 1 quando r=0
• Para um sistema não amortecido, Td
→∞ quando r=1. (ressonância) 
• O valor de Td é 1 para todos os 
valores de ζ em r =√2.
• Os valores de Td são sempre 
menores que um para r> √2.
• O valor máximo é dado por
Força transmitida
Transmissividade de força
Movimento relativo
Movimento relativo
Exemplo 5
A Figura mostra um modelo simples de veículo a motor que pode vibrar
na direção vertical enquanto viaja por uma estrada irregular. O veículo
tem uma massa de 1200 kg. O sistema de suspensão tem uma constante
de mola de 400 kN / me uma taxa de amortecimento de z = 0,5. Se a
velocidade do veículo for 20 km/h, determine a amplitude de
deslocamento do veículo. A superfície da estrada varia senoidalmente
com uma amplitude de Y = 0,05 m e comprimento de onda de 6 m.
Exemplo 6 
Uma máquina pesada, pesando 3000 N, é suportada em uma base
resiliente. A deflexão estática da fundação devido ao peso da máquina é
de 7,5 cm. Observa-se que a máquina vibra com uma amplitude de 1 cm
quando a base da fundação é sujeita a oscilação harmônica na
frequência natural não amortecida do sistema com uma amplitude de
0,25 cm. Encontre a) constante de amortecimento da fundação, b) a
amplitude dinâmica da força na base, e c) a amplitude do deslocamento
da máquina em relação à base.