Matemática Computacional - Aulas

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Disciplina: Matemática Computacional
Aula 1: Teoria dos Conjuntos
Apresentação
Seja bem-vindo(a) ao curso de Matemática Computacional!
Tempo de novidades, desa�os, expectativas e transformações em sua vida. Certamente, isto não é simples e você já está
percebendo o tamanho do desa�o… Será que é motivo de pânico? Claro que não, mas é hora de muito estudo e dedicação
para obtenção, compreensão e aplicação de uma série de nossos fundamentos e conceitos.
Nesta primeira aula, você compreenderá a importância da Teoria dos Conjuntos para investigação e modelagem das leis que
regem a natureza. Serão apresentados diversos conceitos associados a esta teoria, como notação, propriedades, tipos
especiais, operações elementares, conjuntos e intervalos numéricos, princípios da inclusão e da exclusão e valor absoluto de
um número. Cada um destes temas será intercalado com exemplos e exercícios, para que você possa compreender ainda
melhor a importância deles na área tecnológica.
Objetivos
Reconhecer a importância da Teoria dos Conjuntos;
Reconhecer os tipos e operações mais relevantes em conjuntos numéricos;
Identi�car os conceitos fundamentais e as propriedades associadas a intervalos numéricos e ao valor absoluto de um
número.
Introdução à Teoria dos Conjuntos - notação e propriedades
Vamos começar com uma de�nição que pode soar muito vaga. A�nal:
O que é um conjunto?
Pode ser de�nido como uma coleção não ordenada de
entidades relacionadas porque obedecem a uma
determinada regra.
O que é uma entidade?
Entidade pode ser, literalmente, qualquer coisa: números,
pessoas, formas, cidades, pedaços de texto, dentre
outras — a lista é bem ampla mesmo.
O mais importante na de�nição apresentada é que a “regra” deve estar bem de�nida. Em
outras palavras, a regra deve descrever claramente o que as entidades obedecem.
Exemplo
Vamos ver alguns exemplos de regras?
Se as entidades sobre as quais estamos falando são
esportes, por exemplo, uma regra bem de�nida é: X é arte
marcial.
No entanto, existem também regras que não são bem
de�nidas e que, portanto, não podem ser usada para
de�nir um conjunto, como X é difícil de aprender, onde X é
qualquer idioma.
Uma entidade que pertence a um determinado conjunto é chamada de elemento desse conjunto. Por exemplo, judô é um
elemento do conjunto das artes marciais.
Como representar os elementos de um conjunto?
Conjuntos
Geralmente são representados usando letras
maiúsculas: A, B, C etc.
Elementos
Geralmente são representados por meio de letras
minúsculas: a, b, c etc.
Saiba mais
Para listar os elementos de um conjunto, os colocamos entre chaves, separados por vírgulas:
S = {-2, -1, 0, 1, 2}
Os elementos de um conjunto também podem ser descritos explicitamente por meio de uma regra, como:
S = {inteiros entre -3 e 3}
A notação do construtor do conjunto pode ser usada para descrever conjuntos que são muito tediosos para listar explicitamente.
Para denotar qualquer conjunto particular, usamos alguma letra como variável.
Veja o caso a seguir:
S = {x | x é inteiro e |x| < 3}, que é equivalente a {x | x Î Z e |x| < 3}.
Diagrama de Venn
Outra maneira de se apresentar os elementos de um conjunto é por meio do Diagrama de Venn.
Segundo Brochi (2016), trata-se de uma forma grá�ca de representação de conjuntos, facilitando a resolução de problemas e
representações de operações entre conjuntos.
Desta forma, o conjunto S apresentado anteriormente pode ser representado da seguinte forma:
 Figura 1 – Representação de conjuntos com o Diagrama de Venn.
Conjuntos especiais
Para entender melhor os exemplos que serão apresentados, é necessário que você saiba alguns conceitos preliminares.
Em primeiro lugar, destacamos o conceito de subconjunto de um conjunto.
Segundo Brochi (2016), trata-se do conjunto formado somente por elementos que pertencem ao conjunto original.
Por exemplo, considere o conjunto D composto
dos dias da semana, de modo que:
D = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta,
sexta, sábado}
Assim, um subconjunto Q, composto pelos dias
da semana que começam com a letra “q”, seria
composto da seguinte forma:
Q = {quarta, quinta}
Também podemos perceber com os exemplos apresentados que existem relações entre conjuntos, bem como entre elementos e
conjuntos.
Por exemplo, os elementos de Q também fazem parte de D, mas o contrário nem
sempre é verdade.
Por sua vez, percebe-se que o elemento “sexta” não faz parte do conjunto Q, mas faz
parte do conjunto D.
Como descrever tais relações?
Clique nos botões para ver as informações.
A relação entre um elemento e um conjunto é a dita relação de pertinência.
Deste modo, diz-se que um determinado elemento pertence (Î) ou não pertence (Ï) a determinado conjunto.
Aproveitando o elemento do caso anterior, vemos que “sexta” Î D, mas “sexta” Ï Q.
Relação entre um elemento e um conjunto 
A relação entre dois conjuntos é a dita relação de inclusão.
Deste modo, diz-se que um determinado conjunto está contido (Ì) ou não está contido (Ë) a outro conjunto.
Relação entre dois conjuntos 
Além das relações de pertinência e inclusão, há outras de�nições importantes relacionadas à Teoria dos Conjuntos.
A Tabela 1 apresentada a seguir descreve algumas destas de�nições:
Conceito Definição Exemplo
Conjunto
universo
Conjunto de todos os elementos no contexto atual.
Denotado por U
U = {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Conjunto vazio
ou nulo
Conjunto que não contém elementos. Denotado por
{} ou Æ
T = {conjunto de todas as palavras em português com mais
de 100 letras} = { }
Conjunto unitário Conjunto que possui apenas um elemento A = {redes}
Conjunto finito Conjunto que possui uma quantidade limitada de
elementos
S = {-2, -1, 0, 1, 2}
Conjunto infinito Conjunto que possui uma quantidade ilimitada de
elementos
P = conjunto dos números pares = {0, 2, 4, 6, ...}
 Tabela 1 – Definições importantes da Teoria dos Conjuntos.
Por �m, é importante destacar a existência do conjunto das partes de um conjunto, que é o conjunto de todos os seus
subconjuntos.
Por exemplo, o conjunto B = {1, 2, 3} apresenta o conjunto de suas partes, representado como P(B), dado por:
P(B) = {�, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Repare que:
1
O conjunto vazio é um dos elementos do conjunto das partes de B.
2
Os elementos do conjunto das partes de B também são
conjuntos.
3
O conjunto B é um dos elementos do conjunto das partes do
próprio conjunto B.
Operações elementares em conjuntos
Podemos realizar algumas operações com conjuntos.
Dica
É importante que você guarde bem estes conceitos, pois eles serão bastante importantes na resolução de algumas situações-
problema que você vai encarar pela frente.
A Tabela 2 apresenta estas operações, cada uma delas com seu signi�cado e uma ilustração empregando o Diagrama de Venn:
Operação Definição Ilustração
União Dados dois conjuntos A e B, a sua união é um conjunto formado por todo
elemento que pertence a A ou a B ou a ambos. É denotada por “A ∪ B”
Interseção Dados dois conjuntos A e B, a sua interseção é um conjunto formado por todo
elemento de A que também pertence a B. É denotada por “A ∩ B”
Diferença Dados dois conjuntos A e B, a diferença entre eles é um conjunto formado por
todo elemento de A que não pertence a B. É denotada por “A – B”
Complementar Dados dois conjuntos A e B que A ⊂ B, definimos o complementar de A em
relação a B como o conjunto formado por todo elemento de B que não
pertence a A. É denotada por C ou ¯𝐴A
 Tabela 2 – Operações Elementares em Conjuntos.
É importante notar que a diferença não apresenta a propriedade comutativa, diferentemente
das operações de união e interseção. Isto signi�ca que, se alterarmos a ordem dos
conjuntos que estão operando, temos um novo resultado. Logo, A - B não é equivalente a B
– A.
Exemplo
Estas operações são relevantes, mas, ainda assim, há situações que demandam operações um pouco mais complexas.
Vamos vê-las no exemplo a seguir:
Um conjunto A tem 25 elementos e um conjunto B tem 15 elementos.Sabendo-se que a interseção de ambos tem 10
elementos, qual é a quantidade de elementos da união de A com B?
Situações como esta são resolvidas com apoio do Princípio da Inclusão e Exclusão.
Trata-se de um princípio bastante simples, indicando que:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Desta forma, neste exemplo, temos que n(A ∪ B) = 25 + 15 – 10 = 30 elementos.
Conjuntos e intervalos numéricos
Nesta aula, já estudamos alguns tipos de conjuntos, bem como os principais tipos de operações. No entanto, há alguns conjuntos
que recebem nomes especiais, em função de sua utilidade e emprego em diversas situações do dia a dia.
Clique nos botões para ver as informações.
Em primeiro lugar, destacamos o conjunto dos números naturais, muito útil para efetuar contagens.
O conjunto dos números naturais é representado como ℕ, de tal maneira que ℕ={0,1,2,3,4,5,...}.
conjunto dos números naturais 
Já para situações como a representação de temperaturas muito baixas ou do saldo devedor em uma conta corrente, utiliza-
se o conjunto dos números inteiros, representado por ℤ, de tal maneira que ℤ={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}.
conjunto dos números inteiros 
Por sua vez, há casos em que há a necessidade de representação de quantidades não inteiras como resultado da divisão
entre dois inteiros (por exemplo, 3 e 5). Tais casos acabam por descrever elementos do conjunto dos números racionais.
Este conjunto é representado por ℚ, de maneira que ℚ={𝑎/𝑏}, onde a pertence ao conjunto dos números inteiros e b pertence
ao conjunto dos números inteiros não nulos.
conjunto dos números racionais 
No entanto, há números que não podem ser descritos como a fração entre dois números inteiros - 𝜋,√2,√5, dentre outros.
Tais números compõem o conjunto dos números irracionais, sendo representados por Q’ (ou seja, o conjunto complementar
dos números racionais).
conjunto dos números irracionais 
Por �m, o conjunto dos números racionais e irracionais compõe o denominado conjunto dos números reais, denotado por ℝ.
conjunto dos números reais 
A Figura 2, mostrada a seguir, ilustra a relação entre os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
Podemos dizer que:
1
O conjunto dos números
inteiros contém o dos números
naturais.
2
O conjunto dos números
racionais contém o dos
números inteiros.
3
Todo número que não é
racional pertence ao
conjunto dos números
irracionais.
4
A união dos conjuntos dos
números racionais e
irracionais forma o conjunto
dos números reais.
 Figura 2 – Conjunto dos números reais (BROCHI, 2016).
Além disso, temos os intervalos numéricos. Este conceito é importante, pois permite
uma representação alternativa à notação de conjuntos, tanto de forma numérica como
grá�ca.
Esses intervalos podem ser abertos, fechados ou semiabertos.
A Tabela 3 apresenta uma ilustração destes tipos de intervalos:
Tipo Notação Conceito
Intervalo
aberto
]a, b[ = {𝑥∈ℝ⁄𝑎<𝑥<𝑏} Todo número real maior do que a e menor do que b
Intervalo
fechado
[a, b] = {𝑥∈ℝ⁄𝑎⩽𝑥⩽𝑏} Todo número real maior ou igual a a e menor ou igual a b
Intervalo
semiaberto
[a, b[ = {𝑥∈ℝ⁄𝑎⩽𝑥<𝑏} Todo número real maior ou igual a a e menor do que b
]a, b] = {𝑥∈ℝ⁄𝑎<𝑥⩽𝑏} Todo número real maior do que a e menor ou igual a b
Intervalo
infinito
[a, +∞[ = {𝑥∈ℝ⁄𝑥⩾𝑎}
]-∞, a[ = {𝑥∈ℝ⁄𝑥<𝑎}
Um intervalo pode ser fechado de um lado e ilimitado do outro ou, ainda, aberto de
um lado e ilimitado do outro
 Tabela 3 – Intervalos numéricos.
Por �m, para Brochi (2016), vale destacar que, em algumas aplicações, nos interessa apenas a distância de cada um deles até o
zero (que é a origem da reta numérica real).
Isto quer dizer que podemos não estar interessados no “sinal” do número, mas apenas na magnitude que ele representa. Essa
distância de cada número até o zero, na reta numérica, é denominada módulo ou valor absoluto desse número.
A Figura 3 mostra que o módulo de -5 é igual a 5, e que o de +3 é igual a 3:
 Figura 3 – Representação do módulo ou valor absoluto de -5 e +3. Fonte: Centro de mídias.
Atividade
1. Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 3, 5, 7, 9} e C = {6, 8}, determine A ∩ (B ∩ C):
a) {6, 8}
b) { }
c) {2, 4, 6, 8, 10}
d) {1, 3, 5, 7, 9}
e) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
2. Dados os conjuntos A = {x ∈ R / 6 ≤ x < 9} e B = {x ∈ R / 7 < x ≤ 9}, determine B – A:
a) {x = 9}
b) {x ∈ R / 6 ≤ x < 7}
c) {x ∈ R / 6 ≤ x < 9}
d) {x ∈ R / 6 ≤ x ≤ 7}
e) {x ∈ R / 7 ≤ x ≤ 9}
3. Um levantamento socioeconômico entre os habitantes de uma cidade revelou que 18% têm casa própria; 22% têm automóvel;
8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?
a) 40%
b) 32%
c) 68%
d) 60%
e) 52%
4. Assinale a alternativa que apresenta a solução para |x – 2| = 7:
a) x = -5 e x = 9
b) x = 5 e x = -9
c) x = 9
d) x = -5
e) Nenhuma das alternativas anteriores
5. (UFAL) Na �gura abaixo, têm-se representados os conjuntos A, B e C, não disjuntos:
A região sombreada representa o conjunto:
a) C – (A ∩ B)
b) (A ∩ B) - C
c) (A ∪ B) - C
d) (A ∪ B) ∪ C
e) (A ∩ B) ∩ C
Referências
BROCHI, A. L. C. Matemática aplicada à Computação. Rio de Janeiro: SESES, 2016.
Próxima aula
Teoria da Contagem;
Princípio das Casas de Pombo;
Princípio da Multiplicação;
Princípio da Adição;
Arranjo, Permutação e Combinação.
Explore mais
Na internet há muitos materiais adicionais que podem complementar e ampliar seu conhecimento acerca da interação entre
q p p p ç
Teoria dos Conjuntos. Veja algumas sugestões:
Assista aos vídeos:
Conjuntos Numéricos <https://www.youtube.com/watch?v=-AheSXxm_bE> ;
Noções de Teoria dos Conjuntos <https://www.youtube.com/watch?v=1Lt2JyhU9Ko> ;
Conjuntos Numéricos: Números Naturais e Inteiros (Aula 1 de 4) <https://www.youtube.com/watch?v=Y_mYgLkuEl4> .
https://www.youtube.com/watch?v=-AheSXxm_bE
https://www.youtube.com/watch?v=1Lt2JyhU9Ko
https://www.youtube.com/watch?v=Y_mYgLkuEl4
Disciplina: Matemática Computacional
Aula 2: Princípios de contagem
Apresentação
Nesta aula, veremos um tema da Matemática de grande relevância para o futuro pro�ssional da Tecnologia: princípios de
contagem. Assim, você revisará, estudará e aplicará operações fundamentais em estudos de caso aplicados. Dentre outros
assuntos, você terá a oportunidade de estudar temas como: Princípio das Casas de Pombo; Princípio multiplicativo; Princípio
aditivo; e Técnicas de contagem (permutação, combinação e arranjo).
Tais operações são muito importantes, não só para sua vida pro�ssional, mas também para o seu dia a dia, em situações
que vão desde a quantidade disponível de combinações de roupas no armário até a probabilidade de identi�cação de senhas
de acesso a sistemas corporativos. Assim, é necessário conhecer os fundamentos destas operações e saber aplicá-las de
modo conveniente nas diversas situações do cotidiano.
Objetivos
Identi�car e reconhecer a utilidade dos princípios da contagem: princípio das casas de pombo, princípio multiplicativo e
princípio aditivo;
Identi�car e aplicar técnicas de contagem (permutação, arranjo e combinação) na resolução de problemas.
Princípios de contagem
É interessante perceber que os princípios de contagem mais importantes são extremamente simples. Mesmo assim, é
fundamental dedicar atenção à compreensão deles, para que se possa entender como se dá sua relação com os problemas de
ordem prática, que é o nosso real objetivo.
Deste modo, vamos abordar cada um destes conceitos.
O primeiro princípio a ser abordado é o Princípio das Casas de Pombo (ou princípio das
gavetas).
Conforme exposto em Brochi (2016), em sua forma mais simples, este princípio declara que:
Se tivermos n + 1 pombos para serem colocados em n casas, então, pelo menos uma casa,
deverá conter, pelo menos, dois pombos.
Dica
Considere que temos 7 pombos e 6 casas para acomodá-los.
Caso você tente distribuir de modo uniforme os pombos nestas casas, certamente uma casa terá, pelo menos, dois pombos, ok?
Fácil, não é? Onde está, então, a importância desteprincípio?
O mais difícil reside na aplicação deste princípio!
Em particular, recomendamos que você preste bastante atenção em situações-problema deste tipo, pois o desa�o reside em
identi�car corretamente qual elemento representa a “quantidade de pombos” e qual elemento representa a “quantidade de casas”.
Exemplo
Em um depósito, há 8 caixas que contêm certo tipo de componente eletrônico. Sabese que, em cada uma delas, há, no máximo 5
peças com defeito.
Prove que há, no mínimo, duas caixas com a mesma quantidade de peças defeituosas.
Como resolver esta questão?
Observe a resolução do Exemplo 1 <galeria/aula2/docs/exemplo_1.pdf> .
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/galeria/aula2/docs/exemplo_1.pdf
Princípio multiplicativo e o princípio aditivo
Além do Princípio das Casas de Pombo, há dois outros princípios bastante simples, mas de grande utilidade prática – o princípio
multiplicativo e o princípio aditivo.
Vamos às de�nições?
Princípio multiplicativo
Se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes,
então o número de maneiras de ocorrer os eventos A ,
A , ..., A de forma sucessiva é dado por m x m x ... x
m .
i i
1
2 n 1 2
n
Princípio aditivo
Considere os conjuntos A , A , ..., A dois a dois disjuntos.
Se a quantidade de elementos de cada um deles é dada,
respectivamente, por m , m , ... , m , então a quantidade
de elementos da união A ∪ A ∪ ... ∪ A é igual a m +
m + ... + m .
1 2 n
1 2 n
1 2 n 1
2 n
Exemplo
Vamos ver estes dois novos princípios com exemplos?
Em um formulário eletrônico, os alunos de uma universidade preenchem alguns campos com informações pessoais, tais como:
sexo (masculino/feminino), estado civil (casado/solteiro/separado judicialmente/viúvo/outros) e modalidade do curso (graduação
presencial/EAD/�ex).
Um analista acadêmico deseja agrupar os usuários que forneceram respostas exatamente iguais para esses três campos.
Sendo assim, indique:
a) Quantos grupos, no máximo, podem ser formados?
b) Quantos usuários, no mínimo, devem preencher esse formulário para que haja pelo menos dois com respostas iguais?
Observe a resolução do Exemplo 2 – Princípio Multiplicativo <galeria/aula2/docs/exemplo_2.pdf> ;
Exemplo
Considere, agora, um sistema de senhas em que o usuário pode escolher uma sequência numérica qualquer de quatro ou cinco
dígitos, de 0 a 9.
Quantas senhas diferentes podem ser geradas, neste caso?
Observe a resolução do Exemplo 3 – Princípio Aditivo <galeria/aula2/docs/exemplo_3.pdf> .
Os princípios estudados até aqui servem de fundamento para algumas das principais técnicas de contagem: a permutação, a
combinação e o arranjo.
Vamos apresentar alguns exemplos ilustrativos do emprego de cada uma delas, como forma de introduzir as respectivas
de�nições.
Exemplo
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/galeria/aula2/docs/exemplo_2.pdf
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/galeria/aula2/docs/exemplo_3.pdf
Suponha que um campeonato de Matemática apresenta, em sua rodada �nal, três competidoras: Juliana, Alice e Esther.
Considerando que não há a possibilidade de empate, de quantas formas diferentes elas poderão ocupar as três primeiras
posições no concurso?
Observe a resolução do Exemplo 4 <galeria/aula2/docs/exemplo_4.pdf> .
De maneira geral, se tivéssemos n competidoras, o raciocínio seria o mesmo, de sorte que a quantidade de formas diferentes
seria dada por n. (n-1). (n-2). … . 2. 1 – expressão esta conhecida como n fatorial (representada por n!).
Este tipo de contagem é denominada de permutação e representada por P .
Logo, a de�nição de permutação descreve que:
n
A permutação de n elementos é dada por P = 1 x 2 x 3 x … x n = n!n
Exemplo
No exemplo anterior, os 3 elementos (Juliana, Alice e Esther) são diferentes. No entanto, há casos de permutação em que existem
elementos iguais. Veja:
Apresente a quantidade de anagramas da palavra “AULA”:
Observe a resolução do Exemplo 5 <galeria/aula2/docs/exemplo_5.pdf> .
O caso do Exemplo 5 ilustra o conceito de permutação com repetição, de�nido a seguir:
A permutação de n elementos com n , n , …, n repetições de elementos é dada por 1 2 k
=P
,  , ... n1 n2 nk
n
n!
!  ! ...  !n1 n2 nk
Exemplo
Agora, vamos ver outro tipo bastante comum de problemas associados à contagem: determinar a quantidade de sequências
diferentes que podemos escolher p elementos de um conjunto de tamanho n, em que p < n.
Vamos começar?
Um concurso de programação de computadores promovido pela universidade possui 6 equipes participantes. De quantas formas
diferentes podem ser ocupadas as 3 primeiras posições do concurso?
Observe a resolução do Exemplo 6 <galeria/aula2/docs/exemplo_6.pdf> .
Estas dicas ilustram a de�nição de arranjo, apresentada a seguir:
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/galeria/aula2/docs/exemplo_4.pdf
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/galeria/aula2/docs/exemplo_5.pdf
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/galeria/aula2/docs/exemplo_6.pdf
Um arranjo de n elementos tomados p a p, indicada por A , é dada porn,p
=An,p
n!
(n−p)!
O detalhe importante de um arranjo é perceber que a ordem de escolha dos elementos tomados faz toda a diferença no resultado
�nal. No entanto, existem situações em que a ordem dos elementos não é relevante.
Exemplo
Um sorteio de 3 computadores promovido pela universidade possui 6 turmas participantes (numeradas de 1 a 6), sendo que cada
turma sorteada recebe um computador. De quantas formas diferentes pode sair o resultado do sorteio?
Observe a resolução do Exemplo 7 <galeria/aula2/docs/exemplo_7.pdf> .
Neste caso, vemos um exemplo da técnica de combinação, de�nida a seguir:
Uma combinação de n elementos tomados p a p, indicada por C , é dada porn,p
=Cn,p
n!
p!(n−p)!
Atividade
1. O antigo sistema de emplacamento de veículos no Brasil considerava uma sequência de 2 letras seguida de outra de 4
algarismos numéricos. Sem considerar nenhum tipo de restrição quanto à sequência formada, quantas placas diferentes podiam
ser obtidas nesse sistema?
a) 6.760.000
b) 3.276.000
c) 3.407.000
d) 6.500.000
e) Nenhuma das alternativas anteriores
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/galeria/aula2/docs/exemplo_7.pdf
2. Um professor de matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 30 alunos. Como são dois livros
diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação?
a) 870
b) 435
c) 1.740
d) 900
e) 600
3. Um professor de matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 30 alunos.
Como são dois exemplares de um mesmo livro, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação?
a) 870
b) 435
c) 1.740
d) 900
e) 600
4. Um sistema computacional possui 4 unidades de entrada/saída e 3 processadores. Qualquer uma das unidades de
entrada/saída pode ser conectada a qualquer um dos processadores. De quantas formas diferentes podem ser feitas tais
conexões?
a) 5
b) 4
c) 6
d) 12
e) 16
5. Em uma escola, há 5 professores de Física e 4 de Matemática. Uma comissão de quatro membros deve ser formada com
esses professores e a única condição imposta é que, pelo menos, um dos membros seja professor de Matemática.
a) 3024
b) 3019
c) 126
d) 121
e) Nenhuma das alternativas anteriores
Referências
BROCHI, A. L. C. Matemática aplicada à Computação. Rio de Janeiro: SESES, 2016.
Próxima aula
Relações;
Pares ordenados;
Relações binárias, propriedades e fechos;
Ordens parciais;
Relações de equivalência.
Explore mais
Assista aos seguintes vídeos:
Princípio Fundamental da Contagem - Parte I <https://www.youtube.com/watch?v=XyQ302OVdlE> ;
Princípio Fundamental da Contagem - Parte II <https://www.youtube.com/watch?v=zDlNYWeKN9E> ;
Princípio da casa dos pombos <https://www.youtube.com/watch?v=UsrhjzxVaaY> .
https://www.youtube.com/watch?v=XyQ302OVdlE
https://www.youtube.com/watch?v=zDlNYWeKN9E
https://www.youtube.com/watch?v=UsrhjzxVaaY
Disciplina: Matemática Computacional
Aula 3: Relações
Apresentação
Nesta aula, veremos um tema de grande relevância parao futuro pro�ssional da área da Tecnologia: Relações. Portanto,
revisaremos, estudaremos e aplicaremos os principais conceitos relacionados em estudos de caso que lhe permitam
vislumbrar aplicações e usos em sua vida pro�ssional.
Dentre outros assuntos, estudaremos produto cartesiano, pares ordenados, relações binárias, propriedades e fechos, ordens
parciais e relações de equivalência.
Objetivos
Identi�car e aplicar os conceitos de pares ordenados e ordens parciais;
Reconhecer exemplos de relações binárias e de equivalência.
Produto cartesiano e pares ordenados
Uma forma muito utilizada de representação da relação entre dois conjuntos é o denominado produto cartesiano. Vamos ver uma
de�nição de produto cartesiano, extraída de Brochi (2016).
Considere dois conjuntos A e B. O produto cartesiano A x B, nesta ordem, é formado por
todas as possibilidades de associação entre elementos desses dois conjuntos.
Como representar o produto cartesiano entre dois conjuntos? A melhor forma que você pode utilizar é o emprego dos
denominados pares ordenados. Assim, considere a seguinte situação:
Dois conjuntos A e B;
Um elemento x pertencente ao conjunto A;
Um elemento y pertencente ao conjunto B.
Assim, o produto cartesiano A x B é de�nido como o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), tais que 𝑥∈𝐴e𝑦∈𝐵.
Exemplo
Entendeu a ideia? Vamos a um exemplo para ver se você compreendeu mesmo.
Exemplo 1:
Sejam os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e}. O produto cartesiano A x B é representado por todos os pares ordenados (x, y) tais que
𝑥∈𝐴 e 𝑦∈𝐵. Deste modo, temos que o conjunto A x B é de�nido como {(a, d), (b, d), (c, d), (a, e), (b, e), (c, e)}.
Alguns comentários importantes:
1 A ordem dos elementos do conjunto A x B pode ser alterada, mas a alteração da ordem dos elementos do
par ordenado acaba determinando um novo elemento do conjunto A x B;
2 O produto cartesiano pode ser representado com a notação algébrica de conjunto, ou seja, A x B = {(x, y)/
𝑥∈𝐴e𝑦∈𝐵}.
Podemos ter produtos cartesianos associando quaisquer tipos de elementos – cores, formas, frutas, �ores, o que seja. Em
particular, o produto cartesiano que se refere a conjuntos numéricos apresenta, como facilidade adicional, a possibilidade de uma
representação grá�ca.
Neste caso particular, cada um dos elementos do produto cartesiano pode ser
representado como um ponto, e o conjunto de pontos obtido fornece o denominado
plano cartesiano.
Você pode escolher qualquer forma de representação, mas é importante perceber que, tradicionalmente, os valores de x estão
dispostos no eixo horizontal (eixo x), que é também conhecido como eixo das abscissas.
Por sua vez, os valores de y são usualmente localizados no eixo vertical (eixo y), denominado eixo das ordenadas.
Exemplo
Que tal ver a aplicação deste conceito em um novo exemplo, extraído de Brochi (2016)?
Exemplo 2 <galeria/aula3/docs/exemplo_2.pdf> .
Com estas de�nições em mente, estamos preparados para conhecer (ou rever) outros conceitos: relações binárias, propriedades
e fechos.
Relações binárias, propriedades e fechos
Vamos começar com a de�nição de relação binária entre dois conjuntos:
Uma relação entre dois conjuntos não vazios quaisquer A e B (ou relação binária entre A e B)
é um subconjunto do produto cartesiano A x B, de�nido por uma propriedade especí�ca.
Esta relação pode ser expressa de diversas formas. Dentre as formas algébricas, podemos utilizar:
∀𝑥∈𝐴,∀𝑦∈𝐵: propriedade que de�ne a relação entre x e y, de modo que (𝑥,𝑦)∈𝑅;
(x, y) / propriedade que de�ne a relação entre x e y, de modo que (𝑥,𝑦)∈𝑅;
R = {(x , y ), (x , y ), …, (x , y )};
x R y: x ~ y.
(Aqui, o sinal “~” expressa qualquer sinal, fórmula ou propriedade matemática.)
Conforme exposto em Brochi (2016):
1 1 2 2 n n
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/galeria/aula3/docs/exemplo_2.pdf

Em uma relação R de A em B, o conjunto dos valores x A que estão associados a
valores y B é denominado domínio da relação e denotamos por D (R). E os valores y
que estão associados a valores x compõem o conjunto que denominamos imagem da
relação e denotamos por Im (R). O conjunto B, que contém a imagem da relação é
denominado contradomínio da relação e é denotado por CD (R).
Brochi, 2016.
∈
∈
Exemplo 3
Considere os conjuntos A = {-1, 0, 2} e B = {1, 2, 3, 4}. Apresente a relação x R y: x = y.
Neste exemplo, temos que:
D(R) = {-1, 0, 2};
CD (R) = {1, 2, 3, 4};
Im (R) = {2} → isto se dá pois é o único elemento y ∈ B que está associado a um elemento x ∈ A;
Logo, temos que x R y = {(2, 2)}.
Podemos ainda utilizar outro tipo de representação grá�ca de relações binárias, que é o de diagramas (conforme visto na aula 1),
utilizando �echas que indicam os elementos que se relacionam e o “sentido” da relação.
Veja esta representação na Figura 2:
Uma relação entre dois conjuntos pode atender a um rol de propriedades. A Tabela 1 indicada a seguir apresenta as principais
propriedades e suas de�nições:
Tabela 1 – Propriedades das relações
 Figura 2 – Diagrama de representação da relação R = {(x,y)/ x = y}
Propriedade Definição
Reflexiva Para todo x A, conseguimos encontrar x R x, isto é, todo valor x relaciona-se com si próprio.
Simétrica Para todo par ordenado (x, y) de uma relação R, tivemos também o par ordenado (y, x).
Antissimétrica Para todos os elementos x e y do conjunto A, se os pares ordenados (x, y) e (y, x) pertencem à R, então concluímos
que x = y.
Transitiva Quando x, y e z são elementos do conjunto A, se (x, y) e (y, z) são elementos dessa relação, então (x, z) também o é.
∈
Exemplo
Vamos ver alguns exemplos de relações? Será que elas atendem a algumas destas propriedades?
Exemplo 4, 5 e 6 <galeria/aula3/docs/exemplos_4_5_6.pdf> .
Após você ter estudado e identi�cado as principais propriedades das relações, �ca mais fácil compreender a de�nição de fecho
ou fechamento de uma relação. É o que faremos agora.
Conforme expresso em Brochi (2016), dada uma relação R em um conjunto A, temos que uma relação R*, também em A, é um
fecho de R em relação a uma propriedade P (que pode ser re�exiva, simétrica ou transitiva) se forem observadas as três
condições seguintes:
Por exemplo, seja A = {1, 2, 3} e R a relação de�nida em A por {(1, 1), (1, 2), (2, 3)}. O fecho re�exivo é dado por R* = R È {(2, 2), (3,
3)} = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}.
Por �m, é tempo de tratar de duas de�nições relevantes no estudo de relações: a ordem parcial e a relação de equivalência.
Vamos lá?
1 R* tem a propriedade P.
2 R R* (R é um subconjunto próprio de R*, isto é, R está contida em R*, mas não é igual a R).⊆
3 R* é um subconjunto de qualquer outra relação em A que inclui R e tem a propriedade P (logo, R* é a
“menor” relação possível com tais características).
Uma ordem parcial de um conjunto não vazio A é qualquer relação R em A que seja re�exiva,
antissimétrica e transitiva.
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/galeria/aula3/docs/exemplos_4_5_6.pdf
Como exemplo de uma ordem parcial de A, considere R como a relação em A = {0, 1, 2} tal que x R y : x ≤ y.
Podemos, então, escrever: R = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2), (2, 2)}.
Esta é uma relação re�exiva, pois para todo x A, temos (x, x) R;
É também antissimétrica, pois, para qualquer par ordenado (x, y) que considerarmos, com x diferente de y, não existe (y, x);
A propriedade transitiva também se veri�ca, pois sempre que x relaciona-se com y e este relaciona-se com z, vemos que x
relaciona-se com z. O exemplo em que isso acontece nesta relação é com os pares ordenados (0, 1), (1, 2) e (0, 2), nessa
ordem;
Como a relação R é re�exiva, antissimétrica e transitiva em relação ao conjunto A, então dizemos que ela é uma ordem
parcial em A.
Já a relação de equivalência tem sua de�nição apresentada a seguir:
∈ ∈
Uma relação R em um conjunto A é considerada uma relação de equivalência se ela for
re�exiva, simétrica e transitiva em A.
Conforme exposto em Brochi (2016), vemos o conjunto �nito A= {1, 2, 3, 4} e a relação
R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)} de�nida sobre A.
Neste caso, temos que:
1
R é uma relação reflexiva, pois para todo x A, temos (x, x) R.∈ ∈
2
R é também uma relação simétrica, pois além dos pares
ordenados com coordenadas iguais, temos: (1, 2) e (2, 1); (3, 4)
e (4, 3).
3
R também é transitiva, pois sempre que se observa as relações
x R y e y R z, temos também a relação x R z.
4
Portanto, R é uma relação de equivalência em A.
Exemplos práticos
Existem diversas situações do dia a dia que se referem à relação entre duas ou mais variáveis.
Por exemplo:
1. O preço pago em um
posto de combustíveis
tem relação com a
quantidade solicitada
no abastecimento.
2. O valor pago na tarifa
de energia elétrica tem
relação com o consumo
mensal de cada
assinante, residencial
ou comercial.
3. O valor pago de IPVA
tem relação com o valor
do carro.
Comentário
Existem também inúmeros casos em que a relação se dá entre mais de duas variáveis, como o valor de uma compra em um
supermercado, que depende não só da quantidade de itens de um determinado produto mas também da escolha do consumidor,
em casos nos quais há mais de uma marca em oferta para um mesmo produto.
No entanto, as situações em que elementos de dois conjuntos se relacionam já são bastante úteis e retratam uma boa
quantidade de situações observadas na natureza e no dia a dia.
Deste modo, é necessário que você conheça os fundamentos de relações, para aplicá-los de modo conveniente nas diversas
situações do cotidiano.
Atividade
1. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {-2, -1, 0, 1, 2}, além da relação R = {(x, y) / x + y = 0, x A, y B}, indique o conjunto-
imagem de R.
∈ ∈
a) Im (R) = {-2, -1, 0, 1, 2}
b) Im (R) = {0, 1, 2}
c) Im (R) = {-2, -1}
d) Im (R) = {-2, -1, 0}
e) Im (R) = {0, 1}
2. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {-2, -1, 0, 1, 2}, além da relação R = {(x, y) / x + y = 0, x A, y A, y A, y B}, indique
o contradomínio de R:
∈ ∈ ∈ ∈
a) CD (R) = {-2, -1, 0, 1, 2}
b) CD (R) = {0, 1, 2}
c) CD (R) = {-2, -1}
d) CD (R) = {-2, -1, 0}
e) CD (R) = {0, 1}
3. Dada a relação “x R y: x + y é par” sobre o conjunto dos números naturais, assinale a alternativa que lista TODAS as
propriedades que ela satisfaz:
a) Reflexiva e simétrica
b) Reflexiva e antissimétrica
c) Simétrica e transitiva
d) Antissimétrica e transitiva
e) Reflexiva, simétrica e transitiva
4. Considere o conjunto A = {1, 2, 3} e a relação R = {(x, y) A/ x é múltiplo de y}. Assinale a alternativa que apresenta o fecho
re�exivo de R:
∈
a) R
b) R È {(1, 1)}
c) R È {(1, 1), (2, 2)}
d) R È {(3, 1)}
e) R È {(3, 3)}
5. Considere o conjunto A = {1, 2, 3} e a relação R = {(x, y) A/ x é múltiplo de y}. Assinale a alternativa que apresenta o fecho
simétrico de R:
∈
a) R
b) R È {(1, 1)}
c) R È {(1, 2), (1, 3)}
d) R È {(1, 2)}
e) R È {(1, 3)}
Referências
BROCHI, A. L. C. Matemática aplicada à Computação. Rio de Janeiro: SESES, 2016.
Próxima aula
Funções;
Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras;
Funções compostas, funções inversas, funções do 1º e do 2º grau;
Funções polinomiais: raízes e grá�cos.
Explore mais
Assista aos seguintes vídeos:
“Relações e funções” <https://www.youtube.com/watch?v=0TfH7xgcQ0I> ;
“Relação de equivalência” <https://www.youtube.com/watch?v=RmxRgoef_C8> .
https://www.youtube.com/watch?v=0TfH7xgcQ0I
https://www.youtube.com/watch?v=RmxRgoef_C8
/
Disciplina: Matemática Computacional
Aula 4: Funções
/
Apresentação
O tema da aula de hoje é o conceito de função. Assim, dentre outros assuntos, você terá a oportunidade de estudar: funções
sobrejetoras, injetoras e bijetoras; composição de funções; função inversa; funções do primeiro e do segundo grau e seus
grá�cos; funções polinomiais: raízes e grá�cos.
O conceito de função, mais do que presente em um curso da área de tecnologia, faz parte de nosso cotidiano. Em cada caso,
vemos que há uma lei de formação que relaciona os elementos de dois conjuntos (consumo e quilometragem, tempo e
complexidade, quantidade de itens e valor de compra), ou seja, existe uma função matemática.
Assim, nesta quarta aula, trataremos de funções, conceitos associados e principais tipos, associados a exemplos para que
você não só entenda esse importante tema da matemática, mas também seja capaz de aplicá-lo em situações-problema
associadas aos diversos ramos da tecnologia.
Objetivos
Identi�car e compreender os conceitos associados aos principais tipos de funções: sobrejetoras, injetoras e bijetoras;
Descrever o conceito de funções compostas e inversas;
Explicar os principais tipos de funções polinomiais: as funções de 1o e 2o graus.
/
Razão e proporção
Já de início, vamos ver a de�nição de função:
Considere dois conjuntos A e B. Dizemos que f é uma função de A em B (escrevemos f : A →
B) se, para todo elemento x ∈ A, há um único elemento y ∈ B.
Nessa de�nição, vemos que a função f apresenta a relação entre duas grandezas, x e y. Tais grandezas são denominadas
variáveis. Em especial, a variável x é denominada variável independente, enquanto a variável y, por apresentar um resultado que
depende da lei de formação f e do valor da variável x, é conhecida como variável dependente.
Saiba mais
Normalmente, indicamos uma função da forma f(x) (lê-se: f de x ou uma função de x). De modo alternativo, podemos utilizar y (ou
outra letra qualquer) no lugar de f(x). Dependendo do caso, podemos substituir as letras y e f por outras formas, de acordo com a
grandeza representada (velocidade, consumo, preço etc.).
Aqui em funções, os conceitos de domínio, contradomínio e imagem são idênticos ao que vimos na aula de relações. Logo,
existem os termos domínio da função (D(f)), contradomínio da função (CD(f)) e imagem da função (Im(f)).
Em especial, o termo “imagem” pode ser utilizado para representar a associação individual com um elemento do domínio, de
acordo com a lei de formação da função.
Exemplo
/
Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {—1, 2, 5, 8, 11, 14, 17}, e a função y = f(x) tal que y = 3x — 1, com x ∈ A e y ∈ B. Neste
caso, temos:
D(f) = A = {0, 1, 2, 3, 4}
CD(f) = B = {—1, 2, 5, 8, 11, 14, 17}
Im(f) = {—1, 2, 5, 8, 11}
Em particular, temos que “11” é a imagem de “4”, pois 3 ∙ 4 — 1 = 7.
Além dessa forma algébrica, podemos representar a função f(x) utilizando diagramas, como indicado na �gura ao lado.
 Representação da função f(x) = {x ∈ A e y ∈ B/ y = 3x — 1} com diagramas.
Você pode perceber que há grande semelhança com a de�nição de relação que vimos na aula anterior. No entanto, há algumas
características peculiares ao conceito de função.
Atenção
Todos os elementos do conjunto A devem se relacionar com elementos do conjunto B; e
Cada elemento de A está associado a um único elemento de B.
Logo, nem toda relação é uma função.
Veja dois exemplos que contextualizam a a�rmação acima destacada:
/
Clique nos botões para ver as informações.
A relação y = x + 3 de�nida nos conjuntos A = {—1, 0, 2} e B = {1, 2, 3, 4} com x ∈ A e y ∈ B não é uma função, já que o
elemento 2 do conjunto A não se relaciona com nenhum elemento do conjunto B, pois (2) + 3 = 7, que não pertence ao
conjunto B.
Exemplo 1 
2
2
A relação , dados os conjuntos A = {0, 1, 4} e B = {—2, 0, 1, 2, 3} com x ∈ A e y ∈ B também não é uma função, pois
o elemento 4 do conjunto A se relaciona com dois elementos do conjunto B, —2 e +2, a partir do emprego da lei de formação
indicada.
Exemplo 2 
y= ± x√
Comentário
Quanto ao contradomínio, não há essa preocupação. No entanto, o comportamento do conjunto B pode variar caso a caso: há
situações em que todos os elementos de CD (f) estão associados a elementos de D(f). Em outros casos, cada elemento de CD (f)
está associado a um único elemento de D(f). Assim, dependendo do caso, podemos classi�car as funções em injetora,
sobrejetora ou bijetora.
Uma função f de A em B é denominada sobrejetora (ou sobrejetiva) quando todo elemento do conjunto B é imagem de,pelo
menos, um elemento do conjunto A, ou seja, quando CD(f) = Im(f).
Exemplo
Dados os conjuntos A = {—3, —2, —1, 0, 1, 2, 3} e B = {—3, —2, 1, 6}, considere a função f: A → B tal que f(x) = x — 3. Temos que:
f(—3) = (—3) — 3 = 9 — 3 = 6
f(—2) = (—2) — 3 = 4 — 3 = 1
f(—1) = (—1) — 3 = 1 — 3 = —2
f(0) = (0) — 3 = 0 — 3 = —3
f(1) = (1) — 3 = 1 — 3 = —2
f(2) = (2) — 3 = 4 — 3 = 1
f(3) = (3) — 3 = 9 — 3 = 6
f(3) = (3) — 3 = 9 — 3 = 6
Vemos que todos os elementos de B estão associados a, pelo menos, um elemento de A. Assim, temos que esta função é
sobrejetora.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
/
Uma função f de A em B é denominada injetora (ou injetiva) quando cada elemento da sua imagem tem uma única associação
com elemento do domínio, ou seja, se para quaisquer dois elementos distintos de seu domínio correspondem dois elementos
distintos de sua imagem.
Exemplo
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {—3, —2, 1, 6, 13}, considere a função f: A → B tal que f(x) = x — 3. Temos que:
f(0) = (0) — 3 = 0 — 3 = —3
f(1) = (1) — 3 = 1 — 3 = —2
f(2) = (2) — 3 = 4 — 3 = 1
f(3) = (3) — 3 = 9 — 3 = 6
Vemos aqui que o conjunto imagem Im(f) é dado por {—3, —2, 1, 6} e que cada um destes elementos está associado a
apenas um elemento do conjunto domínio D(f). Logo, temos que esta função é injetora.
2
2
2
2
2
Uma função f de A em B é denominada bijetora (ou bijetiva) quando todo elemento do conjunto B é imagem de um único
elemento do conjunto A, ou seja, quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Exemplo
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {—3, —2, 1, 6}, considere a função f: A → B tal que f(x) = x — 3. Temos que:
f(0) = (0) — 3 = 0 — 3 = —3
f(1) = (1) — 3 = 1 — 3 = —2
f(2) = (2) — 3 = 4 — 3 = 1
f(3) = (3) — 3 = 9 — 3 = 6
Todos os elementos do conjunto B são imagem de um único elemento do conjunto A, ou seja, a função é sobrejetiva e
injetiva ao mesmo tempo. Logo, essa função é um exemplo de função bijetiva.
2
2
2
2
2
/
Função inversa e função composta
Agora podemos ver dois tipos especiais de emprego de funções: inversa e composta.
Funções Inversas
Uma aplicação clássica de função em mecânica é o cálculo da distância percorrida por um móvel em determinado intervalo de
tempo a uma velocidade constante.
Chamando de s a distância percorrida, v a velocidade empregada e t o intervalo de tempo, temos que s = v · t. No entanto,
podemos fazer o cálculo inverso, ou seja, o tempo t gasto para percorrer determinada distância s. Basta isolar a variável t, de
modo a obter t = s/v.
Assim, vemos que as funções s = v · t e t = s/v são denominadas funções inversas.
Segundo Brochi (2016), qualquer par (x,y) que pertença à primeira é tal que o par (y, x) pertence à segunda. Logo, o que é domínio
em uma função é imagem em sua inversa, e vice-versa. A notação que utilizamos para determinar a função inversa de f é f .—1
Atenção
Um ponto interessante para notar é que uma função f admite função inversa f quando ela é bijetora (todo elemento do
contradomínio está associado a um único elemento do domínio).
—1
Funções Compostas
Considere uma empresa cujo faturamento f é dependente da receita r obtida, de acordo com a lei de formação f(r) = 0,9 ∙ r +
1 000.
No entanto, a receita obtida, por sua vez, é também dependente de outra variável, o preço p, de modo que podemos representar da
forma r(p) = 0,8 ∙ p. Ou seja, a função receita é, na verdade, uma variável independente da função faturamento.
Desse modo, temos que o faturamento poderia ser expresso diretamente como uma função do preço, digamos, sob a expressão
g(p), que relaciona o faturamento f ao preço p, pois f(r) = 0,9 ∙ r + 1 000, mas r pode ser substituída por 0,8 ∙ p.
Logo, f(r) é, em verdade, f(r(p)) = 0,9 ∙ (0,8 ∙ p) + 1 000. Assim, g(p) = 0,72 ∙ p + 1 000. Fizemos a composição das funções de
faturamento e receita, gerando uma função composta g(p) que equivale à função f(r(p)) (em notação alternativa, (f o r)
(p), em que a letra o indica composição de funções).
1
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/aula4.html
/
Funções do primeiro e do segundo graus e seus grá�cos
Para �nalizar este estudo, veremos dois tipos de funções que apresentam uma grande quantidade de aplicações: a função do 1º
grau e a função do 2º grau. Vamos às de�nições:
Uma função f na variável x, tal que f: R → R, é denominada função do primeiro grau se pode
ser escrita na forma f (x) = ax + b (ou y = ax + b), em que a e b são valores reais quaisquer,
com a ≠ 0.
Comentário
Temos aqui que a constante real a é denominada coe�ciente angular (ou de inclinação) da função. Ela é sempre o valor
(coe�ciente) que multiplica a variável independente x. Já a constante b é denominada coe�ciente linear da função, e é sempre o
valor que aparece isolado, isto é, não multiplica a variável independente.
Veja um exemplo de função do 1º grau:
Exemplo
Considere a função f(x) = 3x + 3. Aqui, temos:
x: incógnita, valor variável ou, simplesmente, variável.
f(x): regra de transformação do valor da variável x de interesse. Em outras palavras, trata-se de uma função na variável x.
Neste caso, para cada valor de x de interesse, a regra de transformação – ou melhor, a função – retorna um valor equivalente
ao triplo de x (3x) acrescido de 3 unidades (3x + 3).
Você pode calcular, para cada valor de x, um valor para a função f(x), como nos casos a seguir:
x f(x)
2 3 ∙ (2) + 3 = 6 + 3 = 9
4 3 ∙ (4) + 3 = 12 + 3 = 15
—1 3 ∙ (—1) + 3 = —3 + 3 = 0
/
O grá�co da função de primeiro grau é sempre uma reta, e o “sinal” do coe�ciente angular determina se ela será crescente (a > 0)
ou decrescente (a < 0). Já o coe�ciente linear b indica o ponto (valor) no qual a reta, que é o grá�co da função de primeiro grau,
cruza o eixo vertical y. Observe abaixo, o grá�co da função f(x) = 3x + 3.
Uma função do primeiro grau é sempre bijetora, pois ela é injetora e sobrejetora.
Como todos os elementos do contradomínio participam da relação (o conjunto imagem é igual ao contradomínio), concluímos
que ela é sobrejetora. Além disso, sempre que x1 ≠ x2, temos f (x1) ≠ f (x2), o que nos leva a concluir que ela é injetora (cada valor
de y está associado a um único valor de x).
Dois pontos que, geralmente, são importantes nas aplicações de funções são raiz e intercepto.
 Gráfico da função linear f(x) = 3x + 3
1
Raiz
A raiz de uma função é o valor (ou os valores) de x para o qual
(ou para os quais) a função se anula.
2
Intercepto
O intercepto de uma função é o ponto de interseção do seu
grá�co com o eixo y. Neste caso, temos que a raiz é x = —1 e o
intercepto é dado pelo par ordenado (0, 3).
Já a função do segundo grau apresenta a seguinte de�nição (BROCHI, 2016):
Denominamos função do segundo grau, na variável x, toda função f: R → R que pode ser
escrita na forma f (x) = ax2 + bx + c (ou y = ax + bx + c) em que a, b e c são valores reais
quaisquer, com a ≠ 0.
2
/
É importante notar que:
O único coe�ciente que não pode ser nulo é a. Caso isso aconteça, a função deixa de ser do segundo grau.
O grá�co de uma função do 2º grau tem o formato de uma parábola, cuja concavidade pode ser para cima (quando a > 0) ou
para baixo (quando a < 0).
Alguns outros pontos importantes:
Clique nos botões para ver as informações.
Valor de x em que y assume o valor 0. Uma função do segundo grau pode ter ou não raízes. Além disso, o encontro da
parábola pode se dar em um único ponto ou em dois.
Raiz 
Ponto de interseção de uma função com o eixo vertical y, ou seja, é o ponto da função em que x = 0.
Intercepto 
Dado por b — 4ac. O sinal do discriminante indica o número de raízes da equação.
Δ > 0: 2 raízes distintas
Δ = 0: 1 raiz dupla
Δ < 0: nenhuma raiz
Discriminante (Δ) 
2
ponto mais baixo da parábola, quando a concavidade é voltada para cima (a > 0), ou o ponto mais alto, quando a
concavidade é voltada para baixo (a < 0). E, em relação ao eixo vertical que passa sobre o vértice, a parábola apresenta
simetria. É representado pelo par ordenado .
Vérticeda parábola 
( , − )−b
2a
Δ
4a
De acordo com a fórmula de Bhaskara, temos que as raízes de uma equação do 2º grau são dadas por
=x1,2
−b± Δ√
2a
/
Veja ao lado o grá�co da função y = x — 5x + 6.
Perceba que, aplicando a fórmula de Bhaskara indicada, a
função apresenta duas raízes (x = 2 e x = 3), o intercepto é o
ponto (0, 6) e o vértice é dado por x = 2,5 e y = —0,25. O
domínio de uma função quadrática é composto por todos os
números reais.
Com relação à imagem, é preciso considerar que a coordenada
y a limita. Se a concavidade da parábola é voltada para cima,
então o conjunto-imagem é dado por Im (f) = [y , [. Quando a
concavidade é voltada para baixo, temos Im (f) = [ , y [. No
caso da função apresentada neste exemplo, temos Im (f) = [–
0,25, [.
2
v
v
∞
—∞
v
∞
 Gráfico da função do 2º grau f(x) = y = x2 — 5x + 6.
Atividade
1. Quanto à função f(x) = 3 + x, assinale a ÚNICA alternativa certa:
a) função é injetora e seu gráfico é representado por uma reta.
b) A função é injetora e seu gráfico é representado por uma parábola.
c) A função é sobrejetora e seu gráfico é representado por uma reta.
d) A função é sobrejetora e seu gráfico é representado por uma parábola.
e) A função é bijetora e seu gráfico é representado por uma reta.
2. Em uma fábrica, existe o custo �xo de R$50,00 para a produção de peças, mais um custo variável de R$5,00 por unidade
produzida. Sabendo-se que o dono da empresa destinou, no máximo, R$1000,00 para custear a produção, calcule o número
máximo de peças unitárias (x) que podem ser produzidas, sem ultrapassar o orçamento estipulado.
a) 200 peças
b) 20 peças
c) 190 peças
d) 100 peças
e) 10 peças
/
3. O lucro L (em milhares de reais) referente à produção e comercialização de uma quantidade de x toneladas de certo produto é
dado pela função L = —x + 30x — 125. Qual é a quantidade que deve ser produzida e comercializada para que o lucro seja
máximo?
2
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
Notas
Função Composta 1
É interessante notar que a função composta não é comutativa.
Referências
BROCHI, A. L. C. Matemática aplicada à Computação. Rio de Janeiro: SESES, 2016.
Próxima aula
Cálculo proposicional;
De�nições, principais procedimentos para resolução de problemas associados à linguagem natural e simbólica;
Proposições simples e compostas.
Explore mais
Assista aos seguintes vídeos:
Funções sobrejetoras e injetoras <https://www.youtube.com/watch?v=8ror_qymvlo> ;
Introdução às funções inversas <https://pt.khanacademy.org/math/algebra2/manipulating-functions/introduction-to-
inverses-of-functions/v/introduction-to-function-inverses> ;
O que é uma função? <https://pt.khanacademy.org/math/algebra/algebra-functions/evaluating-functions/v/what-is-a-
function> ;
Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora <https://www.youtube.com/watch?v=zv6m9ww3Jfs> ;
Matemática – Aula 17 – Função polinomial do 1o grau <https://www.youtube.com/watch?v=Vkxrhm_UcJU> .
https://www.youtube.com/watch?v=8ror_qymvlo
https://pt.khanacademy.org/math/algebra2/manipulating-functions/introduction-to-inverses-of-functions/v/introduction-to-function-inverses
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/algebra-functions/evaluating-functions/v/what-is-a-function
https://www.youtube.com/watch?v=zv6m9ww3Jfs
https://www.youtube.com/watch?v=Vkxrhm_UcJU
Disciplina: Matemática Computacional
Aula 5: Fundamentos de cálculo proposicional
Apresentação
Estudaremos as diferenças entre as lógicas natural e simbólica. Em seguida, serão identi�cadas e representadas as
proposições simples e compostas. Por �m, veremos os principais conectivos empregados em proposições compostas,
veri�cando como se dá a aplicação destes conceitos em casos típicos da área de Tecnologia.
Objetivos
Diferenciar as lógicas natural e simbólica;
Identi�car e representar proposições simples e compostas;
Listar os principais conectivos empregados em proposições compostas.
Lógica
De acordo com o dicionário Aurélio, a palavra lógica apresenta vários signi�cados, dentre os quais se destacam:
Naturalmente, todas essas de�nições são válidas, mas a
última é a que mais se alinha ao sentido de nosso estudo, não
só nesta aula, mas até o �nal do curso de Matemática
Computacional. Em particular, �caremos com a seguinte
de�nição de lógica matemática:
O estudo de lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o
raciocínio correto do incorreto.
Fonte: Portal UFV <ftp://ftp.ufv.br/dma/Listas%20Antigas/logica.PDF> .
ftp://ftp.ufv.br/dma/Listas%20Antigas/logica.PDF
Conforme descrito em Brochi (2016), a lógica matemática permite expressar a forma do pensamento com base em
proposições que dão suporte a demonstrações e argumentos. Assim, é possível não só procurar, mas também demonstrar a
verdade.
Vemos que as proposições são o elemento básico para procurar a verdade e se chegar a conclusões. Não são construídas de
qualquer forma — na verdade, deve-se seguir um conjunto de regras (ou formalismos) para se demonstrar a verdade (as
chamadas deduções), conforme previsto na área da lógica matemática denominada cálculo proposicional.
 O conceito do cérebro humano. O hemisfério criativo direito versus o hemisfério lógico esquerdo. Fonte: Shutterstock Por Triff.
Raciocínio e lógica: linguagem natural e linguagem simbólica
Muitas vezes, as pessoas estão interessadas somente nos resultados obtidos, sem se preocupar com os processos para
obtenção dos resultados, não é mesmo? No entanto, é fundamental que o processo de raciocínio esteja correto.
Por isso, é preciso sempre se perguntar: será que a conclusão alcançada realmente deriva das premissas usadas ou
pressupostas? Tudo bem se as premissas fornecem base ou boas provas para a conclusão.
Raciocínio Correto
Logo, o raciocínio é correto se a a�rmação da
verdade das premissas garante a a�rmação
de que a conclusão também é verdadeira.

Raciocínio Incorreto
No entanto, se não há como dar essa garantia
a partir das premissas, o raciocínio é
incorreto.
E justamente a questão principal da lógica matemática e, em particular, do cálculo
proposicional é a distinção entre o raciocínio correto e o incorreto.
Chamamos de inferência o processo pelo qual se chega a uma conclusão. Em lógica, o importante é examinar a forma da
inferência, a �m de veri�car se é justi�cável chegar à determinada conclusão.
Dica
Estratégias como divagação, associações de ideias e imaginação são recursos válidos para o pensamento, mas inadequadas
para apresentar conclusões corretas sob a ótica da lógica matemática. Para se atender a esse rigor matemático no processo de
inferência, é importante identi�car a forma correta de expressar o raciocínio — premissas ou conclusões.
Como descrito em Brochi (2016), utilizamos uma linguagem
diferente da que estamos acostumados no dia a dia — a dita
linguagem natural. Isso acontece porque, na linguagem
natural, há muitos casos de ambiguidade em que uma mesma
sentença pode conter mais do que um signi�cado. Isso não
pode ocorrer com as sentenças utilizadas na lógica
matemática.
Por esse motivo, utilizamos uma linguagem simbólica para
representar o raciocínio que analisaremos ao longo do restante
do curso. O objetivo aqui é fazer com que apenas uma
interpretação seja permitida e considerada, para que não haja
dúvida sobre o que está sendo a�rmado.
 Fórmulas Matemáticas. Fonte: Shutterstock por Erik Svoboda.
Diferença entre estas as
formas de linguagem
Vamos ver a diferença entre estas as formas de linguagem;
Linguagem Natural, Linguagem Simbólica, Linguagem Formal
e Silogismos:
 Fonte: Shutterstock.
Clique nos botões para ver as informações.
Ao comer sua papinha, Juliana deixou cair um pouco no babador. Suas primas, vendo tudo, disseram: “Cuidado, Juju! Você
deixou cair quase tudo!”. Naturalmente, trata-se de um exagero — embora isso possa ocorrer com alguns bebês.
O objetivo das primas de Juliana não foi o de chegar a uma conclusão lógica após avaliar a massa de papinha que caiu na
roupa de Juliana (indicando que superou um limiar de, digamos,90% do que estava no prato de comida). Trata-se apenas de
uma forma de dizer que a quantidade de papinha que Juliana deixou escorrer não foi pouca.
Linguagem Natural 
Por sua vez, na lógica matemática, não há exageros ou possibilidades. Aqui, só se pode apresentar uma conclusão quando
se tem certeza. Vamos ver uma apresentação de raciocínio empregando a linguagem simbólica:
Se Juliana não comer sua papinha, então não poderá passear na praça.
De acordo com a lógica matemática, podemos utilizar a linguagem simbólica para representar a frase anterior “se p, então q”,
onde p representa a proposição “Se Juliana não comer sua papinha” e q representa a proposição “então não poderá passear na
praça”.
Repare que só podemos chegar a uma conclusão: se Juliana não comer, então não poderá passear na praça. E se ela comer
a papinha? Não sabemos, pois o exemplo não discrimina o que vai acontecer — passear na praça ou não. Em outras
palavras, o raciocínio descrito somente será falso se Juliana não comer sua papinha e, ainda assim, passear na praça. Esse
exemplo ilustra que a lógica matemática é considerada dedutiva (BROCHI, 2016).
ATENÇÃO: O argumento dedutivo é aquele cuja conclusão é inferida necessariamente a partir de suas premissas. Nele,
existe uma ligação entre as premissas e a conclusão, de modo que só se pode chegar a determinada conclusão, não a
outras, sem que se diga mais na conclusão do que foi dito nas premissas.
Linguagem Simbólica 
Além disso, a lógica matemática é formal. Vejamos.
Juliana é um bebê.
Todo bebê come papinha.
Então, Juliana come papinha.
Se considerarmos que as duas primeiras frases (“Juliana é um bebê” e “Todo bebê come papinha”) são verdadeiras, não há
como negar que a terceira frase (“Juliana come papinha”) também é verdadeira, mesmo que não sejamos pediatras para
con�rmar as duas frases iniciais.
ATENÇÃO: É por isso que dizemos que a linguagem é formal: ela se preocupa com a forma do pensamento, e não com o
conteúdo.
Linguagem Formal 
Podemos substituir os termos “Juliana”, “bebê” e “come papinha” por A, B e C, respectivamente, e ainda assim chegar à
mesma conclusão. Veja:
A é B.
Todo B faz C.
Então, A faz C.
Conforme descrito em Brochi (2016), raciocínios como o apresentado no último exemplo são conhecidos por silogismos.
ATENÇÃO: Um silogismo tem as seguintes propriedades:
Possui duas sentenças (premissas), que servem como ponto de partida para a dedução — ou seja, dessas sentenças
decorre outra, que é a conclusão.
Tanto as premissas como a conclusão são sentenças com sujeito e predicado. A vinculação se dá por certas palavras
que chamamos palavras lógicas. Exemplos de palavras lógicas são: todos, existe algum, ou, se...então, não, é. Outros
são chamados de conectivos, outros de quanti�cadores.
Silogismos 
Proposições simples e compostas
Em primeiro lugar, precisamos de�nir o que é uma proposição.
Proposição é um conceito primitivo que apresenta as seguintes características:
1. Deve ser a�rmativa;
2. Apresentar pensamento de sentido completo;
3. Pode ser escrita tanto na forma simbólica como na linguagem natural;
4. Pode ser classi�cada em verdadeira ou falsa.
Há diversas sentenças que não podem ser classi�cadas como proposições. E outras inúmeras sentenças que podem ser
classi�cadas como proposições, pois atendem aos quatro requisitos listados na de�nição anterior.
Vejamos a seguir exemplos daquilo que pode ou não ser uma preposição:
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“Você estudou?” — trata-se de uma sentença interrogativa, e não a�rmativa.
“O quadrado de x é igual a 9” — trata-se de uma sentença aberta; não é possível obter seu sentido completo sem a
informação do valor de x, de modo que não se pode determinar se é verdadeira ou falsa.
“Que assunto interessante!” — é uma sentença exclamativa, que não pode ser descrita em linguagem simbólica.
Não Proposição 
Por outro lado, inúmeras sentenças podem ser classi�cadas como proposições, pois atendem aos quatro requisitos listados
na de�nição anterior:
S1 — “Campinas é uma cidade de São Paulo.”
S2 — “O Brasil é um país europeu.”
S3 — “Se João é aluno de Exatas, então está matriculado no curso de Tecnologia de Redes de Computadores ou é aluno de Engenharia
Elétrica.”
ATENÇÃO: Podemos perceber diversos aspectos interessantes nestas três últimas sentenças:
Todas são declarativas (ou a�rmativas) e apresentam sentido completo.
Todas podem ser classi�cadas como verdadeiras ou falsas (ou “1” e “0”, respectivamente). Por exemplo, S1 é verdadeira (“1”)
e S2 é falsa (“0”). A sentença S3 só pode ser avaliada por alguém que conheça João.
Todas podem ser escritas na forma simbólica.
S1 e S2 apresentam uma única proposição — logo, são denominadas proposições simples, representadas por letras
minúsculas.
S3 é uma proposição composta, visto que pode ser separada em três proposições simples interligadas com o emprego de
conectivos:
p: João é aluno de Exatas.
q: João está matriculado no curso de Tecnologia de Redes de Computadores.
r: João é aluno de Engenharia Elétrica.
Desse modo, S3 pode ser expressa de forma simbólica como 𝑝→(𝑞∨𝑟) (leia-se: “se p, então q ou r”).
Proposição 
Conforme descrito em Brochi (2016), no cálculo proposicional, cada proposição
simples é também chamada de átomo. Por sua vez, uma sentença em que são
combinadas proposições simples (átomos) através do uso de conectivos é
denominada de sentença atômica.
Para �nalizar essa investigação sobre a de�nição e os tipos de proposições, é importante saber que existem dois princípios que
consideramos no estudo da lógica matemática. Eles são bastante simples, mas relevantes no estudo e de aplicação geral.
Princípio da não contradição
Uma proposição não pode ser
simultaneamente verdadeira e falsa. 
Princípio do terceiro excluído
Toda proposição ou é só verdadeira, ou só
falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso.
Atenção
Com esses dois princípios, esteja certo de que toda proposição que consideramos será sempre verdadeira ou falsa. Não há
espaço para “talvez”. Além disso, nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Conectivos
Na gramática das linguagens naturais, duas sentenças (mais
precisamente, duas orações) podem ser unidas por uma
conjunção para formar uma sentença composta (o dito
período composto), trazendo, dentre outros conceitos, ideias:
adversativas (mas, porém, contudo),
aditivas (e),
alternativas (ou),
conclusivas (então),
explicativas (pois),
Pensando agora em lógica matemática, vemos que algumas dessas conjunções gramaticais também são aplicadas. Veja a seguir
dois exemplos:
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Considere as seguintes sentenças:
S1: Juliana estuda Matemática.
S2: Rafaela estuda Matemática.
S3: Juliana estuda Matemática e Rafaela estuda Matemática.
S4: Juliana estuda Matemática, então Rafaela estuda Matemática.
Em linguagem natural, vemos que as palavras "e" e "então" nas sentenças S3 e S4 são conjunções que unem as sentenças
(S1) e (S2) para formar as sentenças compostas (S3) e (S4).
Já em linguagem simbólica, temos que o "e" utilizado em (S3) é um conectivo lógico, pois o valor verdade de (S3) é
determinado por (S1) e (S2): não faria sentido a�rmar (S1) e (S2) e negar (S3).
No entanto, a palavra "então" em (S4) não pode ser considerada um conectivo lógico, pois é possível que (S1) e (S2) sejam
verdadeiras e, mesmo assim, negar (S4).
Exemplo 1 
Rafaela pode ter estudado matemática porque deseja aprender cálculo proposicional, e não porque Juliana estuda
matemática. Desse modo, vemos que várias palavras e expressões representam conectivos lógicos. A lista a seguir
apresenta os mais usados:
"ou" (disjunção) ( ∨ )
"ou...ou" (disjunção exclusiva) ( ∨ )
"se...então" (condicional) ( → )
"se e somente se" (bicondicional) ( ↔ )
"não" (negação), que também expressa um conectivo lógico, mesmo sendo aplicada a uma única sentença (~)
Como estamos tratando de linguagem simbólica, você deve ter percebido que cada um desses conectivosé representado
por um símbolo. Esses símbolos são chamados conectivos ou operadores lógicos.
Por ora, é importante que você já saiba disso, pois podemos chegar a conclusões muito interessantes a partir das regras de
comportamento (as denominadas tabelas-verdade) de cada um desses conectivos. Eles permitem que novas fórmulas bem-
formadas sejam construídas ao juntar outras fórmulas bem-formadas usando conectivos lógicas — um assunto para uma
próxima aula.
Exemplo 2 
Atividade
1. Assinale a ÚNICA alternativa que NÃO representa uma característica de proposições:
a) Deve ser afirmativa.
b) Apresenta pensamento de sentido completo.
c) Pode ser escrita na forma simbólica.
d) Pode ser classificada como verdadeira ou falsa.
e) Somente pode ser escrita em linguagem natural.
2. Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta corretamente as características da lógica matemática:
a) Dedutiva e formal
b) Indutiva e formal
c) Dedutiva e informal
d) Indutiva e informal
e) Nenhuma das alternativas anteriores
3. Assinale a ÚNICA alternativa INCORRETA:
a) De acordo com o princípio da não contradição, uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa.
b) De acordo com o princípio do terceiro excluído, toda proposição ou é só verdadeira, ou só falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso.
c) Cada proposição simples é também denominada de átomo.
d) A proposição composta é constituída de proposições simples, as quais são interligadas com o emprego de conectivos.
e) Uma sentença em que são combinadas proposições simples (átomos) através do uso de conectivos é denominada de sentença
composta.
4. Assinale a ÚNICA correlação CORRETA na lista apresentada a seguir:
a) "e" (disjunção) ()
b) "ou" (disjunção exclusiva) ()
c) "ou...ou" (conjunção) ()
d) "se...então" (condicional) ()
e) "se e somente se" (bicondicional) ()
5. Assinale a ÚNICA interpretação CORRETA da proposição composta p→(q∧r):
a) Se p, então q
b) q e r se e somente se p
c) Se p, então nem q nem r
d) Se p, então q ou r
e) Se p, então q e r
Notas
Função Composta 1
É interessante notar que a função composta não é comutativa.
Referências
Dicionário Aurélio. Verbete “lógica”. Disponível em: < https:// dicionariodoaurelio .com /logica
<https://dicionariodoaurelio.com/logica> >. Acesso em: 18 jan. 2019.
Universidade Federal de Viçosa. Introdução à lógica matemática. Disponível em: < ftp:// ftp .ufv .br /dma/ Listas%20Antigas
/logica .PDF <ftp://ftp.ufv.br/dma/Listas%20Antigas/logica.PDF> >. Acesso em: 18 jan. 2019.
BROCHI, A. L. C. Matemática aplicada à Computação. Rio de Janeiro: SESES, 2016.
Próxima aula
Construção de tabelas-verdade;
Ordem de precedência dos conectivos;
Álgebra de Boole aplicada à construção de tabelas-verdade;
Conceitos de tautologia, contradição, contingência e implicação lógica.
Explore mais
Certamente, há materiais adicionais que podem complementar e ampliar seu conhecimento sobre cálculo proposicional,
motivando-o ainda mais para os novos desa�os que virão. Veja algumas sugestões:
“Noções de lógica matemática”: https:// www .pucsp .br /~logica /Proposicional .htm
<https://www.pucsp.br/~logica/Proposicional.htm> .
“Cálculo proposicional”: https:// www .conhecimentogeral .inf .br /calculo _proposicional/
<https://www.conhecimentogeral.inf.br/calculo_proposicional/> .
“Fundamentos matemáticos da computação”: https:// www .youtube .com/ watch?v= THieoMyTrLs
<https://www youtube com/watch?v=THieoMyTrLs>
https://dicionariodoaurelio.com/logica
ftp://ftp.ufv.br/dma/Listas%20Antigas/logica.PDF
https://www.pucsp.br/~logica/Proposicional.htm
https://www.conhecimentogeral.inf.br/calculo_proposicional/
https://www.youtube.com/watch?v=THieoMyTrLs
<https://www.youtube.com/watch?v=THieoMyTrLs> .
“Lógica e matemática discreta: Aula 2 – Lógica”: https:// www .youtube .com/watch?v= EElh5FJ7FhI
<https://www.youtube.com/watch?v=EElh5FJ7FhI> .
https://www.youtube.com/watch?v=THieoMyTrLs
https://www.youtube.com/watch?v=EElh5FJ7FhI
Disciplina: Matemática Computacional
Aula 6: Cálculo proposicional - tabelas-verdade
Apresentação
Hoje continuaremos nosso aprendizado de lógica matemática a partir de um tema de grande importância: tabelas-verdade.
Dentre outros assuntos, você terá a oportunidade de estudar temas como:
Tabelas-verdade; interpretação; ordem de precedência dos conectivos;
Álgebra de Boole aplicada à construção de tabelas verdade; e
Tautologia, Contradição e contingência.
Objetivos
Rever os principais conceitos de tabelas-verdade;
Descrever os métodos para resolução de problemas envolvendo interpretação e ordem de precedência de conectivos;
Aplicar a álgebra de Boole na construção de tabelas-verdade e na identi�cação de tautologias, contradições e
contingências.
Por que este tema é importante?
 Torcedora do Flamengo | Fonte: Freepik <https://br.freepik.com/fotos-
gratis/mulher-alegre-com-bracos-levantados_1977081.htm>
Considere a seguinte proposição composta:
Como vimos na Aula 5, nós nos deparamos aqui com uma proposição
composta que contém duas proposições simples:
Com base no princípio do terceiro excluído, estudado na aula passada,
temos que cada uma das proposições simples apresentadas (aqui, p e q)
só pode ser verdadeira ou falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso.
Juliana tem menos de 20 anos de idade e é torcedora do Flamengo.
p – Juliana tem menos de 20 anos de idade.
q – Juliana é torcedora do Flamengo.
No entanto, e a proposição composta 𝑝∧𝑞 aqui apresentada? Como saber se é verdadeira ou falsa?
Para fazer essa análise (também conhecida como análise veritativa), devemos analisar todas as situações possíveis, a partir das
opções de cada uma das proposições simples.
Veri�que as combinações existentes na Tabela 1 apresentada a seguir:
Tabela 1 – Tabela-verdade da proposição composta 𝒑∧𝒒
p q 𝑝∧𝑞
V V V
V F F
F V F
F F F
https://br.freepik.com/fotos-gratis/mulher-alegre-com-bracos-levantados_1977081.htm
Negação Conjunção Disjunção Disjunção Exclusiva Condicional Bicondicional
Podemos extrair informações importantes de uma tabela-verdade:
1. A tabela-verdade é importante para avaliar o caráter veritativo de proposições compostas.
2. Como são duas proposições e cada uma delas tem duas opções, pelo princípio do terceiro excluído, a tabela-verdade
apresenta 2 = 4 opções. Uma proposição composta de n proposições simples distintas apresenta, assim, 2 opções.
3. A terceira coluna apresenta o valor da proposição composta 𝑝∧𝑞. Assim, vemos que a proposição estudada só é
verdadeira se as duas proposições simples (p: Juliana tem menos de 20 anos de idade e q: Juliana é torcedora do Flamengo)
forem verdadeiras. Em qualquer outro caso, a proposição é falsa.
Há inúmeros exemplos adicionais de situações que envolvem o emprego do conceito de tabela-verdade. No entanto, as
ilustrações mostradas no parágrafo anterior são su�cientes para que se possa identi�car a importância de conhecer e aplicar os
fundamentos de lógica matemática nas diversas situações do cotidiano.
2 n
Tabelas-verdade, interpretação e ordem de precedência dos
conectivos
Veremos agora a interpretação e a tabela-verdade dos principais conectivos do cálculo proposicional, de acordo com a lista
proposta em Brochi (2016).
Negação
O conectivo “não é verdade que” serve de pre�xo a uma
proposição para formar uma nova, chamada de negação da
primeira. Sua notação é dada por ~p ou ¬p (lê-se: “não é
verdade que p” ou “é falso que p”). Dentre os principais
conectivos, é o único que não conecta duas proposições,
mas modi�ca uma proposição, obtendo outra proposição.
Exemplo
Considere a proposição p: “Juliana é torcedora do
Flamengo”. Logo, ~p indica que “Juliana não é torcedora do
Flamengo”.
Sua tabela-verdade é dada por:
p ~p
V F
F V
Conjunção
A conjunção de duas proposições p e q é uma proposição que só é verdadeira quando V(p) = V(q) = 1, ou seja, ambas as
proposições simples são verdadeiras. Nos demais casos, ela é falsa. Sua notação é p ∧ q (lê-se: “p e q”).
Exemplo
Considere as proposições: p: “O número4 é natural” e q: “O
número 4 é racional”. A conjunção de p e q, nesse caso, será
dada por p ∧ q: “O número 4 é natural e racional”. Observe
que p ∧ q é considerada verdadeira, pois o número 4 é um
número natural e também é racional (todo número natural é
também racional).
Sua tabela-verdade é dada por:
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Disjunção
A disjunção (ou disjunção inclusiva) de duas proposições p e q é uma proposição que somente é falsa se V(p) = V(q) = 0, ou
seja, se as proposições p e q forem falsas. Caso contrário, a disjunção é verdadeira. Sua notação é expressa por p Ú q (lê-se:
“p ou q”).
Exemplo
Considere as proposições: p: “O número 4 é natural” e q: “O
número 4 é irracional”. A disjunção de p e q, nesse caso, será
dada por p Ú q: “O número 4 é natural ou irracional”. Observe
que p Ú q é considerada verdadeira, pois o número 4 é um
número natural, embora não seja irracional (todo número
natural é também racional; logo, a segunda proposição é
falsa).
Sua tabela-verdade é dada por:
p q p Ú q
V V V
V F V
F V V
F F F
Disjunção Exclusiva
A disjunção exclusiva entre duas proposições p e q é uma proposição verdadeira somente quando seus valores lógicos forem
diferentes (ou seja, V (p) ≠ V (q)) e falsa quando seus valores lógicos forem iguais (isto é, V (p) = V (q)). Sua notação é dada
por p ∨ q (lê-se: “p ou q, mas não ambos”).
A única diferença entre a disjunção inclusiva e a disjunção exclusiva é que a primeira é considerada verdadeira também
quando as duas proposições que a compõem são verdadeiras, e a segunda, nesse caso, é considerada falsa. Na linguagem
natural, geralmente, diferenciamos uma da outra com a repetição do termo “ou”.
Exemplo
Considere as proposições p: “Juliana estudou Matemática” e
q: “Juliana estudou Física”. A disjunção exclusiva de p e q,
nesse caso, será dada por p ∨ q: “Ou Juliana estudou
Matemática ou Juliana estudou Física”.
Observe que p ∨ q é considerada verdadeira se Juliana tiver
estudado uma das duas disciplinas, Física ou Matemática,
pois, se ela estudou as duas, a proposição é falsa.
Sua tabela-verdade é dada por:
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Condicional
Quando duas proposições estão conectadas de tal forma
que há uma relação de implicação entre elas, dizemos que
elas formam uma terceira proposição que tem a forma de
um condicional. Dadas as proposições p e q, o condicional p
→ q é falso somente quando V (p) = 1 e V (q) = 0, e é
verdadeiro nos demais casos. Sua notação é dada por p → q
(lê-se: “Se p então q”).
Nesse conectivo, a proposição p recebe o nome de
antecedente e q de consequente. A proposição composta
por duas proposições simples conectadas pelo condicional
indica que se o antecedente ocorre (é verdadeiro), então o
consequente também tem que ocorrer.
Exemplo
Considere as proposições p: “Juliana estudou Matemática” e
q: “Juliana entendeu o conceito de Lógica Matemática”. A
condicional de p e q, nesse caso, será dada por p → q: “Se
Juliana estudou Matemática, então entendeu o conceito de
Lógica Matemática”.
Sua tabela-verdade é dada por:
p ~p p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Bicondicional
Dadas duas proposições p e q, o bicondicional p ↔ q é uma proposição verdadeira quando V (p) = V (q) e falsa quando V (p) ≠
V (q). Notação: p ↔ q (lê-se: “p se, e somente se, q”).
Assim, considere “p se, e somente se, q” como sendo uma conjunção dos condicionais “se p então q” e “se q então p”. Dessa
forma, o bicondicional será verdadeiro somente quando p e q forem ambos verdadeiros.
Exemplo
Considere as proposições p: “Juliana estudou Matemática” e
q: “Juliana entendeu o conceito de Lógica Matemática”. A
bicondicional de p e q, nesse caso, será dada por p ↔ q:
“Juliana entendeu o conceito de Lógica Matemática se e
somente se estudou Matemática”.
Nesse caso, só se dirá a verdade em duas situações: (I) se
Juliana tiver estudado Matemática e entendido o conceito de
Lógica Matemática e (II) se não tiver estudado Matemática e
não tiver entendido o conceito de Lógica Matemática. A
diferença agora é que não é possível o cenário “ela não
estudar Matemática e entender Lógica Matemática” (ao
contrário do que ocorria no caso do condicional).
Sua tabela-verdade é dada por:
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V V
F F V
Comentário
Em todos os casos anteriores, por uma questão de simplicidade, vimos proposições com apenas um conectivo. No entanto, no
mundo real, há proposições compostas com diversas proposições simples, o que pode trazer dúvidas acerca da ordem correta de
leitura e resolução.
É importante que você saiba, desde já, a ordem de precedência dos conectivos, indicada a seguir:
1. Negação;
2. Conjunção e disjunção (a que aparecer primeiro);
3. Condicional;
4. Bicondicional.
Essa ordem só não será seguida quando, na composição da proposição, ocorrer o uso de parênteses, colchetes e/ou chaves.
Exemplo
Veja que em ∼q ∧ r a negação de q é a primeira operação a ser executada. O seu resultado é um elemento da disjunção com a
proposição r. Já se tivermos a proposição ∼(q ∧ r), vemos que a negação é de toda a conjunção “q ∧ r”. Logo, executamos
primeiramente a disjunção (q ∧ r); em seguida, aplicamos o operador de negação ao resultado anterior.
Tautologia, contradição e contingência
É possível fazer inúmeras combinações de proposições simples e, com isso, gerar novas proposições compostas.
No entanto, curiosamente, há proposições compostas que sempre assumem o valor verdadeiro ou falso (V ou F, 1 ou 0),
independentemente da veracidade de suas proposições simples componentes.
Conforme descrito em Brochi (2016), as proposições compostas podem ser classi�cadas em:
1
Tautologia
Quando é sempre verdadeira.
2
Contradição
Quando é sempre falsa.
3
Contingência
Quando seu valor depende dos valores das proposições que a
compõem.
Vamos identi�car esses conceitos por meio de exemplos?
Exemplo 1
Considere a proposição (p ∧ q) ∨ (~p) ∨ (~q):
p q (p ∧ q) (~p) (p ∧ q) v (~p) (~q) (p ∧ q) v (~p) v (~q)
V V V F V F V
V F F F F V V
F V F V V F V
F F F V V V V
Pelos resultados da coluna da direita, trata-se de uma tautologia, pois, independentemente dos valores lógicos das proposições p
e q, a proposição (p ∧ q) v (~p) v (~q) é sempre verdadeira.
Exemplo 2
Considere a proposição (p ∨ q) ∧ ((~p) ∧ (~q)):
p q (p v q) (~p) (~q) ((~p) ∧ (~q)) (p v q) ∧ ((~p) ∧ (~q)))
V V V F F F F
V F V F V F F
F V V V F F F
F F F V V V F
Trata-se de uma contradição, pois, independentemente dos valores lógicos das proposições p e q, a proposição (p Ú q) ∧ ((~p) ∧
(~q)) é sempre falsa.
Todas as tabelas-verdade apresentadas para os conectivos fundamentais apresentam valores verdadeiros ou falsos, dependendo
das proposições simples p e q. Dessa forma, podemos dizer que todas elas são contingências.
Álgebra de Boole aplicada à construção de tabelas-verdade
Conforme descrito por Güntzel (2018), em 1854, George Boole introduziu o formalismo que até hoje se usa para o tratamento
sistemático da lógica, a chamada álgebra booleana. Diferentemente da álgebra ordinária dos reais, onde as variáveis podem
assumir quaisquer valores em um conjunto in�nito, as variáveis booleanas só podem assumir um número �nito de valores.
Atenção
Em particular, na álgebra booleana de dois valores, cada variável pode assumir um dentre dois valores possíveis, os quais podem
ser denotados por [F,V] (falso ou verdadeiro), também indicados como 0 e 1, respectivamente.
Assim, podemos descrever completamente as funções booleanas utilizando tabelas, indicando todas as combinações de valores
que as variáveis de entrada podem assumir, bem como as saídas que lhes são correspondentes.
Na álgebra de Boole, há três operações ou funções básicas.
Vejamos na Tabela 2 as principais operações:
Tabela 2 – Operações da Álgebra Booleana
Operação Adição Multiplicação Complementação
Símbolo + ∙ ---
Equivalência OU lógico E lógico NÃO lógico
Exemplo p + q p ∙ q ¯𝑝 ou p’
Operação Adição
Símbolo +
Equivalência OU lógico
Exemplo p + q
Operação Multiplicação
Símbolo∙
Equivalência E lógico
Exemplo p ∙ q
Operação Complementação
Símbolo ---
Equivalência NÃO lógico
Exemplo ¯𝑝 ou p’
Essa compatibilidade entre as aplicações da álgebra booleana no estudo dos interruptores e os conectivos lógicos nos permite
estender os resultados obtidos na lógica matemática aos operadores que acabamos de ver (soma lógica, multiplicação lógica e
complementação). Desse modo, é possível “reescrever” as regras de equivalência apresentadas nesta aula para os operadores da
álgebra booleana.
Tabela 3 - Propriedades dos Operadores da Álgebra Booleana
Identificador Propriedade
P1 (x’)’ = x (complementar do complementar)
P2 x + y = y + x (comutativa)
P3 x · y = y · x (comutativa)
P4 x · (y · z) = (x · y) · z (associativa)
P5 x + (y + z) = (x + y) + z (associativa)
P6 x + x = x (idempotência)
P7 x · x = x (idempotência)
P8 x · (y + z) = (x · y) + (x · z) (distributiva)
P9 x + (y · z) = (x + y) · (x + z) (distributiva)
P10 (x + y)’ = x’ · y’ (complementar da soma)
P11 (x · y)’ = x’ + y’ (complementar da multiplicação)
P12 x + 1 = 1
P13 x + 0 = x
P14 x + x’ = 1
P15 x · 1 = x
P16 x · 0 = 0
P17 x · x’ = 0
A Tabela 3 apresenta as propriedades dos operadores da álgebra booleana.
Exemplo
Resolva a expressão x · y + x · y’ + z:
Aplicando a propriedade distributiva (P8), temos:
x · (y + y’) + z
No entanto, de acordo com P14, temos que:
y + y’ = 1
Logo, a expressão se torna:
x · 1 + z
De acordo com P15,
x · 1 = x
Logo, a expressão se torna:
x + z
Atividades
1. Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta a denominação CORRETA de uma proposição composta que é sempre verdadeira:
a) Tautologia
b) Contradição
c) Contingência
d) Implicação
e) Condicional
2. “Se Rafaela ler dez páginas por dia de um livro, então ela completará a leitura em 30 dias.” Essa proposição é um exemplo de
qual operador lógico?
a) Negação
b) Conjunção
c) Disjunção
d) Condicional
e) Bicondicional
3. A proposição (p v ~ (p ∧ q)) é um exemplo de:
a) Tautologia
b) Contradição
c) Contingência
d) Implicação
e) Condicional
4. A proposição (p ∨ q) ∧ (~p ∧ ~q) é um exemplo de:
a) Tautologia
b) Contradição
c) Contingência
d) Implicação
e) Condicional
5. Apresente o resultado da simpli�cação da expressão (p + q) ∙ (p + r):
a) p ∙ q
b) p + q ∙ r
c) p ∙ q + r
d) p ∙ r + q
e) nenhuma das opções anteriores
Notas
Referências
BROCHI, A. L. C. Matemática aplicada à computação. Rio de Janeiro: SESES, 2016.
GÜNTZEL, J. L. A. Álgebra booleana e circuitos lógicos. Disponível em: http://www.inf.ufsc.br/~j.guntzel/isd/isd2.pdf
<http://www.inf.ufsc.br/~j.guntzel/isd/isd2.pdf> . Acesso em: 18 Jan. 2019.
Próximos passos
Equivalência lógica;
Conceitos fundamentais das leis de equivalência;
Principais de�nições associadas a argumentos e a regras de inferência.
Explore mais
Conectivos e tabelas verdade <https://www.youtube.com/watch?v=qx2jGsfawhY> ;
Tautologia, contradição e contingência <https://www.youtube.com/watch?v=YgZMLuF9hNo> ;
Primeiros passos: Álgebra booleana <https://www.youtube.com/watch?v=mYv71G-lpZw> ;
Tautologia contradição <https://www.youtube.com/watch?v=HQMGYa8zQJw> ;
http://www.inf.ufsc.br/~j.guntzel/isd/isd2.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=qx2jGsfawhY
https://www.youtube.com/watch?v=YgZMLuF9hNo
https://www.youtube.com/watch?v=mYv71G-lpZw
https://www.youtube.com/watch?v=HQMGYa8zQJw
Fundamentos matemáticos da computação: Lógica proposicional <https://www.youtube.com/watch?
v=THieoMyTrLs&t=51s> .
https://www.youtube.com/watch?v=THieoMyTrLs&t=51s
Disciplina: Matemática Computacional
Aula 7: Implicação e equivalência lógicas
Apresentação
A partir de agora, trataremos de um tema extremamente relevante: equivalência lógica. Traduzir sentenças descritas em uma
linguagem natural, como o português, para expressões lógicas é uma parte importante da especi�cação de sistemas
computacionais (hardware e software).
Essas expressões podem ser utilizadas em diversas áreas de interesse do pro�ssional da área tecnológica, como inteligência
arti�cial, projetos de circuito lógico, teoria de autômatos e computabilidade, bancos de dados relacionais e sistemas
distribuídos, dentre outros.
Os pro�ssionais que fazem a especi�cação de tais sistemas computacionais devem se preocupar em traduzir as sentenças
expressas numa linguagem natural em uma especi�cação precisa e de forma não ambígua, como base para o
desenvolvimento do sistema.
Objetivos
De�nir implicação e equivalência lógicas;
Identi�car os conceitos de argumento e regras de inferência;
Aplicar as principais leis de equivalência em situações-problema.
Implicação e equivalência lógicas
As expressões matemáticas (numéricas e/ou algébricas) podem, muitas vezes, ser substituídas por sentenças equivalentes mais
simples. Exemplo:
x + 3x + 3x + 1 é equivalente a (x + 1)3 2 3
De igual modo, as expressões lógicas podem ser substituídas por sentenças equivalentes mais simples, compostas por menos
proposições e conectivos, o que traz grande facilidade não só na interpretação, mas principalmente em sua utilização.
Conforme descrito em Brochi (2016), uma relação de equivalência é uma relação de
bi-implicação, ou seja, duas proposições p e q são equivalentes se p implica q e se q
implica p.
No entanto, um engano comum é a confusão entre os conceitos de equivalência e implicação.
A relação de implicação entre duas sentenças signi�ca que elas não são exatamente equivalentes, mas que a ocorrência de uma
implica a ocorrência da outra.
Atenção
É importante que você consiga diferenciar as sentenças equivalentes daquelas que apresentam uma relação de implicação.
Para começar a entender esta diferença, vamos ver algumas de�nições (BROCHI, 2016):
Proposições
independentes
Duas proposições são denominadas independentes
quando, em suas tabelas-verdade, ocorrem as
quatro alternativas: FF, FV, VF, VV.
Proposições dependentes
Duas proposições são dependentes quando, em
suas tabelas-verdade, uma ou mais alternativas não
ocorrem.
Exemplo
Duas proposições simples p e q quaisquer são independentes, pois as quatro
combinações aparecem em sua tabela-verdade:
p q
V F
V V
F F
F V
p q q → p
V F V
V V V
F F V
F V F
Exemplo
Já as proposições p e q → p são dependentes, pois não
acontece a opção “q é verdadeira e p é falsa”. Em casos de
dependência, essa relação pode ser de implicação ou de bi-
implicação.
Exemplo
Nas relações de implicação, como p ⇒ q (lê-se: “p implica q”), se p é verdadeira, então q também é, ou seja, o condicional p → q é
verdadeiro, o que signi�ca dizer que não ocorre o caso VF.
Nesse caso, não podemos dizer que as proposições p e q são equivalentes, pois a ocorrência de p implica q, mas isso também
não signi�ca dizer que a ocorrência de q implica p.
Considere as sentenças abertas 
p: “x + 3 = 5” e q: “x = 2”
Se considerarmos, nesse caso, o condicional p → q, podemos
concluir que ele é verdadeiro. Quando isso ocorre, dizemos que
p implica q, que representamos na forma p ⇒ q.
Por sua vez, dizer que p implica q (p ⇒ q) não signi�ca que,
necessariamente, q implica p (q ⇒ p), ou seja, não quer dizer
que as duas proposições são equivalentes.
Desse modo, uma equivalência lógica entre duas proposições p e q é uma bi-implicação
entre tais proposições, isto é, p implica q e q implica p. Uma proposição p é equivalente a
uma proposição q (isto é, p ⇔ q) quando não ocorre VF e nem FV na combinação das
tabelas-verdade de ambas. Isso signi�ca dizer que suas tabelas-verdade são iguais.
Também podemos a�rmar que p equivale a q se, e somente se, o bicondicional p ↔ q for uma tautologia.
Exemplo
Vamos analisar a relação: (𝑝∨𝑞)∧¬𝑝→ q.
p q p ∨ q ~p (𝑝∨𝑞)∧¬𝑝 (𝑝∨𝑞)∧¬𝑝 → q
V V V F F V
V F V F F V
F V V V V V
F F F V F V
p V V F F
q V F V F
p ∨ q V V V F
~p F F V V
(𝑝∨𝑞)∧¬𝑝 F F V F
(𝑝∨𝑞)∧¬𝑝 → q V V V V
Comentário
Note que quando as premissas p ∨ q e ~p são verdadeiras, a conclusão q também o é. Isso equivale a mostrar que o condicional
(p∨q)∧¬p → q é uma tautologia (é sempre verdadeiro).Logo, as proposições e (p∨q)∧¬p q são equivalentes.
Argumentos e regras de inferência
 Estudante pensando | Fonte: Pixabay
<https://pixabay.com/pt/photos/pensamento-pessoa-pessoa-que-pensa-
2681494/>
Considere a seguinte proposição composta:
Um argumento válido é uma sequência de proposições
p1, p2, ..., pn, pn + 1, n ∈ N,
na qual sempre que as premissas p1, p2, ..., pn são verdadeiras, a
conclusão pn+1 também é verdadeira, isto é, a conjunção das premissas
implica a conclusão.
Uma implicação é bastante utilizada na de�nição de argumentos válidos. No entanto, o que
é um “argumento válido”?
Também podemos a�rmar que p equivale a q se, e somente se, o bicondicional p ↔ q for uma tautologia.
Exemplo
Conforme descrito em Brochi (2016), um argumento válido pode ser representado por: 
p1 ∧ p2 ∧ ... ∧ pn ⇒ pn+1
ou
p1, p2, ... , pn ⇒ pn+1
ou, ainda
p1
p2
.
.
.
pn____________
pn+1
Atenção
A veri�cação da validade de um argumento pode ser feita através do uso de tabela-verdade ou da utilização de regras de
inferência. O último exemplo que vimos na seção anterior traz uma veri�cação da validade de um argumento com base no
emprego de tabela-verdade. Embora seja uma ideia simples e e�caz, ela traz um problema embutido: o uso da tabela-verdade
torna-se menos viável à medida que o número de proposições simples envolvidas na análise aumenta.
Imagine um argumento em que as
premissas têm sete proposições
simples envolvidas.
A tabela-verdade, nesse caso, terá 2 =
128 linhas.
7 Desse modo, é importante que você
utilize uma alternativa mais viável e
apropriada para a análise da validade de
argumentos: a utilização das regras de
inferência.
Veja a lista de regras de inferência:
https://pixabay.com/pt/photos/pensamento-pessoa-pessoa-que-pensa-2681494/
Nome Regra
União 𝑝,𝑞⇒𝑝∧𝑞
Modus ponens 𝑝→𝑞,𝑝⇒𝑞
Modus tollens 𝑝→𝑞,¬𝑞⇒¬𝑝
Adição 𝑝⇒𝑝∨𝑞
Simplificação 𝑝∧𝑞⇒𝑝
Silogismo hipotético 𝑝→𝑞,𝑞→𝑟⇒𝑝→𝑟
Silogismo disjuntivo 𝑝∨𝑞,¬𝑝⇒𝑞
Simplificação disjuntiva 𝑝∨𝑟,𝑝∨¬𝑟⇒𝑝
Contrapositiva 𝑝→𝑞⇒¬𝑞→¬𝑝
Dessa forma, você pode aplicar um dos principais usos de um
cálculo proposicional — a determinação de relações de
implicação lógica entre fórmulas proposicionais.
Essas relações são determinadas em termos das regras de
transformação disponíveis, descritas na tabela anterior, de
modo que, com a correta aplicação de uma sequência de
regras, você consegue facilmente alcançar o que chamamos
de “derivação” ou “demonstração”.
No exemplo a seguir, você verá como uma demonstração em cálculo proposicional é apresentada como uma sequência de linhas
enumeradas. Em cada linha, você verá uma única fórmula, seguida por uma razão ou justi�cativa para introduzir tal fórmula.
Assim, cada premissa do argumento, também conhecida como “hipótese do argumento”, é listada no começo da sequência, até
que se chegue à conclusão na última linha. Desse modo, uma demonstração logicamente completa requer que cada linha seja
uma consequência das anteriores, a partir de uma aplicação correta de uma ou mais regras de inferência.
Exemplo
Considere as hipóteses:
H1: “Se você �zer um suco de laranja,
então terminarei o programa”;
H2: “Se você não �zer um suco de laranja,
então vou estudar”;
H3: “Se eu estudar, então acordarei me sentindo bem.”
Prove que essas hipóteses nos levam a esta conclusão: “Se
eu não terminar o programa, então acordarei me sentindo
bem.”
Comentário:
Transforme o texto em linguagem simbólica, de modo que:
p: você �zer um suco de laranja;
q: terminarei o programa
r: vou estudar
s: acordarei me sentindo bem
p → q, ~p → r, r → s
Solução:
1. Dado que p → q, então ~q → ~p (contrapositiva)
2. Se ~q → ~p e ~p → r, então ~q → r (silogismo hipotético)
3. Se ~q → r e r → s, então ~q → s (silogismo hipotético)
Regras de equivalência
Regras de inferência, como visto anteriormente, não são equivalências lógicas, pois deve haver uma bi-implicação entre duas
proposições para que se possa dizer que existe uma equivalência lógica.
No entanto, como nas regras de inferência, há regras de equivalência:
Nome Regra
Dupla negação ¬(¬A)⇒A
Leis comutativas A∧B⇒B∧A
A∨B⇒B∨A
Leis associativas A∧(B∧C)⇒(A∧B)∧C
A∨(B∨C)⇒(A∨B)∨C
Leis idempotentes A∧A⇒A
A∨A⇒A
Leis distributivas A∧(B∨C)⇒(A∧B)∨(A∧C)
A∨(B∧C)⇒(A∨B)∧(A∨C)
Leis de De Morgan ¬(A∨B)⇔¬A∧¬B
¬(A∧B)⇔¬A∨¬B
Eliminação de condicionais (A→B)⇒¬(A∧¬B)
¬(A→B)⇒A∨¬B
Eliminação de bicondicionais A ↔ B⇔(A∧B)∨(¬A∧¬B)
A ↔ B⇔(¬A∨B)∧(¬B∨A)
Tautologias e contradições A ∧ V ⇔ A
A ∧ F ⇔ F
A ∧ ~ A ⇔ F
A ∨ V ⇔ V
A ∨ F ⇔ A
A ∨ ~ A ⇔ V
É possível aplicar, assim, um dos principais usos de um cálculo proposicional — a
determinação de relações de equivalência lógica entre fórmulas proposicionais.1
Nos dois exemplos a seguir, veremos como uma demonstração em cálculo proposicional é apresentada como uma sequência de
linhas enumeradas. Em cada linha há uma única fórmula, seguida por uma razão ou justi�cativa para introduzir tal fórmula.
Novamente, veremos demonstrações logicamente completas, em que cada linha é uma consequência das anteriores, a partir de
uma aplicação correta de uma ou mais regras de equivalência.
Exemplo 1
Mostre que p ∧ (r ∨ s ∨ t) ⇔ (p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (p ∧ t) 
p ∧ (r ∨ s ∨ t) ⇔
p ∧ (r ∨ (s ∨ t)) ⇔ (associativa em s ∨ t)
(p∧ r) ∨ (p ∧ (s ∨ t)) ⇔ (distributiva)
(p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (p ∧ t) (distributiva)
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/aula7.html
Exemplo 2
Mostre que p ∧ q → r ⇔ p → (q → r) 
p ∧ q → r ⇔
~(p ∧ q) ∨ r ⇔ (reescrita da condicional)
~p ∨ ~q ∨ r ⇔ (De Morgan)
~p ∨ (~q ∨ r) ⇔ (associativa)
~p ∨ ( q → r) ⇔ (reescrita da condicional)
p → (q → r) (reescrita da condicional)
Atividades
1. Considere as sentenças: p - “Juliana é bonita”; e q - “Juliana é charmosa”. Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta, em
linguagem simbólica, a proposição composta “Se Juliana é bonita, então ela é charmosa”.
a) p v q
b) p → q
c) p ∧ q
d) p ⇔ q
e) p ↔ q
2. Considere as sentenças: p - “Juliana é bonita” e q - “Juliana é charmosa”. Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta, em
linguagem simbólica, a proposição composta “Juliana é bonita se e somente se é charmosa”.
a) p v q
b) p → q
c) p ∧ q
d) p ⇔ q
e) p ↔ q
3. Dadas as proposições p - “Juliana joga basquete”, q - “Alice joga vôlei” e r - “Esther pratica natação”, escreva na linguagem usual
a proposição r → q:
a) Juliana joga basquete ou Esther pratica natação.
b) Juliana joga basquete e Esther pratica natação.
c) Juliana joga basquete se e somente se Esther pratica natação.
d) Se Esther pratica natação, então Juliana joga basquete.
e) Se Juliana joga basquete, então Esther pratica natação.
4. Apresente a negação da frase “Se Juliana passar em Física, então se formará” em linguagem natural:
DICA: Faça a tabela-verdade.
a) Se Juliana não passar em Física, então não se formará.
b) Se Juliana não passar em Física, então se formará.
c) Se Juliana passar em Física, então não se formará.
d) Juliana passa em Física e não se forma.
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
5. Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta uma proposição equivalente a p ∧ (p v q):
DICA: Faça a tabela-verdade.
a) p
b) ~p
c) q
d) ~q
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
Notas
Relações 1
Essas relações também são determinadas em termos das regras de transformação disponíveis, descritas na tabela anterior, para
você facilmente alcançar a “demonstração” desejada.
Referências
BROCHI, A. L. C. Matemática aplicada à computação. Rio de Janeiro: Editora SESES, 2016.
Próximos passos
Aplicações das de�nições e tipos estudados nesta aula 7 no estudo de predicados e quanti�cadores;
Conceitos como conjunto universo e conjunto verdade de sentenças abertas;
Negação de proposições com quanti�cadores.
Explore mais
Certamente, há materiais adicionais que podem complementar e ampliar seu conhecimento sobre regras de implicação e
equivalência lógicas, motivando-o ainda mais para os novos desa�os que virão. Assim, segue uma lista de sites na internet para
que você os consultedepois:
Regras de inferência <https://www.youtube.com/watch?v=2cWtiTy5Lwc>
Implicação lógica <https://www.youtube.com/watch?v=fznE8CEZgD4>
Implicação lógica 2 <https://www.youtube.com/watch?v=EFuKV66_Ogs>
Raciocínio lógico: Equivalência lógica <https://www.youtube.com/watch?v=kEjTiK139fo>
https://www.youtube.com/watch?v=2cWtiTy5Lwc
https://www.youtube.com/watch?v=fznE8CEZgD4
https://www.youtube.com/watch?v=EFuKV66_Ogs
https://www.youtube.com/watch?v=kEjTiK139fo
Disciplina: Matemática Computacional
Aula 8: Predicados e quanti�cadores
Apresentação
Como visto na aula anterior, o pro�ssional de engenharia se depara com vetores em várias situações do dia a dia, calculando
esforços sobre corpos, forças e campos eletromagnéticos ou mesmo simulando situações que envolvam otimizações de
recursos, dentre outros exemplos.
No entanto, veremos nesta aula que tais conceitos não são su�cientes para ilustrar todas as situações-problema existentes
em lógica matemática e que, por seu caráter aplicado, se mostram relevantes na representação de eventos e raciocínios do
dia a dia.
Objetivos
Conceituar predicados e quanti�cadores;
Identi�car as formas de representação de predicados e quanti�cadores;
Aplicar os conceitos de predicados e quanti�cadores em situações-problema de lógica matemática.
Sentença aberta, o denominado predicado
 Fonte: Pixabay <https://pixabay.com/pt/illustrations/pagar-d%C3%ADgito-n%C3%BAmero-preenchimento-1036469/>
Uma proposição é a�rmativa, apresenta um pensamento de sentido completo e pode ser classi�cada como verdadeira ou falsa:
“Juliana é linda” é um exemplo de proposição. No entanto, além disso, há outros conceitos de largo emprego em engenharia e que
envolvem sentenças abertas, as quais não contemplam essas características.
Por exemplo, “x é par” não apresenta um raciocínio de sentido completo, tampouco pode ser descrita como verdadeira ou falsa,
enquanto não sabemos o valor de x: 2, 3, ¾ ou o que seja. Aqui, vemos um exemplo de sentença aberta, o denominado predicado.
Assim, começaremos o estudo do cálculo de predicados na modelagem e resolução de operações com sentenças abertas.
Abordaremos a de�nição de predicados, sua diferenciação quanto a proposições, as de�nições de conjunto universo e conjunto
verdade, bem como a de�nição e exemplos de quanti�cadores.
De�nição de predicados
Qual é a diferença entre os conceitos de proposição e predicado?
https://pixabay.com/pt/illustrations/pagar-d%C3%ADgito-n%C3%BAmero-preenchimento-1036469/
Proposições
Vimos na Aula 5 que proposição é toda sentença declarativa que pode ser classi�cada como verdadeira ou falsa.
Quando se a�rma, por exemplo, que “—7 é um número inteiro”, é possível veri�car que se trata de uma a�rmação verdadeira.
Mesmo em proposições como “Rafaela é atleta”, ainda que não a conheçamos, pode-se supor que alguém, em algum lugar, a
conheça e possa dizer se ela é realmente atleta ou não.
Então, as sentenças “—7 é um número inteiro” e “Rafaela é atleta” são proposições.
No entanto, há sentenças que, inicialmente, não podem ser classi�cadas como verdadeiras ou falsas. Isso ocorre quando nos
referimos a um conjunto de números ou coleção de pessoas ou elementos, e não a um valor ou a alguém especi�camente.
Predicados
Reformulando as duas sentenças apresentadas anteriormente, não é possível a�rmar se “x é um número natural” ou se “x é
atleta”, pois não temos como avaliar a veracidade dessas sentenças.
Assim, as sentenças “x é um número natural” e “x é atleta” são denominadas sentenças abertas, as quais também denominamos
de predicados. Nesses dois predicados, vemos que a letra x (pode ser utilizada qualquer outra) representa a variável do predicado.
Também representamos, de forma geral, um predicado por qualquer letra maiúscula do nosso alfabeto. Se a variável envolvida é
representada por x, então o predicado pode ser indicado por P (x).
Além disso, é crucial contar com mais dois conceitos, muito úteis no estudo de cálculo de predicados:
1
Conjunto universo
Representa o conjunto de possibilidades lógicas que a variável
x pode assumir em uma sentença aberta. O conjunto universo
é representado como Ux ou, simplesmente, U.
2
Conjunto verdade
Representa o conjunto que contém o(s) elemento(s) que, ao
substituir(em) a variável x, torna(m) a sentença verdadeira. Por
sua vez, a notação utilizada para representar este conjunto é
Vx ou V.
Exemplo
Em primeiro lugar, considere a sentença “x + 4 < 6”. Trata-se de uma sentença aberta ou predicado, pois envolve a variável x.
Assim, a determinação de seu valor lógico depende dos valores que são atribuídos a x. Podemos representá-la na forma: P(x): x +
4 < 6.
Possibilidade 1
Considerando U = N, o conjunto verdade será dado por V = {0,1}, pois dentre os números naturais somente o “0” e o “1” satisfazem
P (x).
Agora que você já identi�cou que se trata de um predicado, precisamos de�nir o conjunto de valores que o tornam verdadeiro, ou
seja, seu conjunto verdade V. No entanto, para determinar seu conjunto verdade é preciso, antes, de�nir o conjunto universo U.
Vamos analisar duas possibilidades:
Possibilidade 2
Considerando U = N, o conjunto verdade será dado por V = {0,1}, pois dentre os números naturais somente o “0” e o “1” satisfazem
P (x).
Temos a sentença x2 + 5x + 6. Se o conjunto universo for U = R, temos que V = {—2, —3}. No entanto, se U for o conjunto dos
números naturais, temos que V é o conjunto vazio, pois não haverá elementos do conjunto universo que satisfaçam à sentença.
Quanti�cadores
É comum encontrar expressões tais como “tudo”, “todo”, “para todo”, “qualquer que seja”, “existe”, “existe um único”, dentre outras,
para indicar a extensão do emprego de um predicado, expressando uma ideia da quantidade de valores que pertencem ao
conjunto-verdade de uma sentença aberta. Essas expressões são denominadas de quanti�cadores.
Atenção
Dentre os diferentes tipos que existem, é importante conhecer os dois tipos mais utilizados de quanti�cadores, que são:
Universal (para todo, todo, qualquer que seja);
Existencial (existe, existe um único).
O quanti�cador universal é expresso pelo símbolo “∀”. É utilizado para exprimir o fato de que, para todo x em um dado conjunto-
universo, a sentença P (x) é verdadeira. Simbolicamente, temos “∀x, P (x)”.
Exemplo
A sentença “Todo número inteiro é racional” pode ser escrita, na linguagem simbólica, como ∀x, x ∈ Z → x ∈ Q (lê-se: “para todo x
pertencente a Z, temos x pertencente a Q” ou “qualquer que seja x pertencente a Z, temos x pertencente a Q”).
Outras formas de expressar esse predicado são:
P (x): x ∈ Q
(∀x ∈ Z)(P (x))
O conjunto universo dessa sentença é o conjunto dos números inteiros (U = Z). Essa sentença aberta é verdadeira para todos os
valores do conjunto universo, pois para qualquer valor inteiro que atribuirmos a x, teremos satisfeita a condição P (x): x ∈ Q.
Sabemos que os números inteiros são também números racionais.
Assim, concluímos que o conjunto verdade dessa sentença quanti�cada é V = Z. Daí, você pode já observar um ponto
interessante: as sentenças quanti�cadas com o quanti�cador universal são verdadeiras somente quando o conjunto universo e o
conjunto verdade são iguais.
Exemplo
O quanti�cador universal é utilizado quando queremos nos referir a todos os elementos de um conjunto. Se a�rmarmos que “todo
número natural ímpar não é múltiplo de 2”, podemos reescrever essa a�rmação de outra forma:
Seja a um número natural ímpar;
Logo, a pode ser escrito na forma 2n + 1, sendo que n é natural, isto é, para todo a pertencente aos naturais, a = 2n + 1.
Para simpli�car a notação, podemos substituir o termo todo por ∀, o qual possui o mesmo signi�cado, podendo ainda ser lido
como “qualquer que seja” ou “para cada”. Logo, podemos expressar essa a�rmação como 𝑛∈ℕ,∀𝑎,𝑎 í𝑚𝑝𝑎𝑟,𝑎=2∙𝑛+1.
Exemplo
Seja n um número natural qualquer. Podemos a�rmar que ∀𝑛∈ℕ,𝑛∙0=0∙𝑛=0. A a�rmação apresentada em linguagem simbólica
ilustra que, independentemente do número natural que escolhermos,o seu produto com zero resultará em zero.
Já o quanti�cador existencial é utilizado para expressar que a proposição P (x) é verdadeira não para todos, mas para um ou
mais elementos de um dado conjunto.
Sentenças abertas como “existe x tal que P (x)”, “existe pelo menos um x tal que P (x)” ou, ainda, “para algum x ocorre P (x)” podem
ser escritas, na forma simbólica, como: ∃x, P (x). Veja os exemplos a seguir.
Atenção
O quanti�cador universal é expresso pelo símbolo “∃”, que pode ser lido como “existe pelo menos um”.
Exemplo 1
Considere a sentença: “∃x, 5x + 15 = 0”, com U = Z. Ela é
verdadeira, pois, para x = −3, a equação “5x + 15 = 0” é
verdadeira. Portanto, existe um valor de x que satisfaz a
condição apresentada, isto é, que faz a sentença quanti�cada
ser verdadeira.
Neste exemplo, em particular, o conjunto verdade é V = {—3}.
Por sinal, se o conjunto verdade fosse vazio, nós teríamos uma
sentença quanti�cada falsa.
Por outro lado, considere novamente a sentença: “∃x, 5x + 15 =
0”, mas com U = N.
Observe que, nesse caso, a sentença quanti�cada é falsa, pois
o único valor real que satisfaz a condição apresentada é o “—
3”, que não é um elemento pertencente ao universo, pois não é
um número natural. Temos, portanto, V = ∅.
Exemplo 2
Existe pelo menos um número natural n que, subtraído de seu
cubo, resulta em 0, isto é, ∃𝑛∈ℕ,𝑛^3−𝑛=0.
Será que a a�rmação anterior é válida para qualquer valor de
n? A resposta é: não. Se escolhermos o valor de 2 para n,
teremos 23 — 2 = 8 — 2 = 6. Logo, vemos que nem todos os
valores de n fazem com que a sentença resulte em zero.
Os únicos valores básicos para que a igualdade seja verdadeira
são n = 1 e n = 0. Por sinal, existe ainda o valor de n —1, mas
nós não o consideramos parte do conjunto verdade porque —1
não pertence ao conjunto dos números naturais.
Atenção
Quando a condição P (x) refere-se a valores numéricos e o conjunto universo não é explicitado, deve-se considerar o conjunto
universo U como o conjunto dos números reais R.
Exemplo
Seja P (x) = x + 8 ≥ 10. Vamos determinar o conjunto verdade de cada uma das sentenças apresentadas a seguir:
a) ∃x,P(x)
b) ∀x,P(x)
No caso da letra a), como não foi de�nido o conjunto universo, consideramos U = R. Dessa forma, a sentença P (x) tem como
conjunto verdade V = [2, ∞[. Como V é um conjunto não vazio, concluímos que a sentença quanti�cada do item (a) é verdadeira,
pois existe pelo menos um valor (na verdade, um conjunto in�nito de valores) que faz a sentença aberta ser verdadeira.
Já no caso da letra b), como V ≠ U, concluímos que a sentença quanti�cada é falsa, pois nem todos os elementos do universo
satisfazem a condição P(x) indicada no exemplo.
Representação de quanti�cadores como conjunções ou
disjunções
Para �nalizar esta aula, é importante saber que sentenças quanti�cadas também podem ser expressas através da disjunção ou
conjunção de proposições:
A sentença quanti�cada universal “∀x, P (x)”, considerando como conjunto universo U = {a1, a2, ... , an}, é equivalente à conjunção
P (a1) ∧ P (a2) ∧ ... ∧ P (an).
Em linguagem simbólica, escrevemos:
∀x, P (x) ⇔ P (a1) ∧ P (a2) ∧ ... ∧ P (an)
A sentença quanti�cada existencial “∃x, P (x)”, considerando como conjunto universo U = {a1, a2, ... , an}, é equivalente à
disjunção P (a1) ∨ P(a2) ∨ ... ∨ P (an).
Em linguagem simbólica, escrevemos:
∃x, P (x) ⇔ P (a1) ∨ P (a2) ∨ ... ∨ P (an)
Atividades
1. A de�nição “conjunto de possibilidades lógicas que a variável x pode assumir em uma sentença aberta” se refere ao conceito
de:
a) Conjunto verdade
b) Conjunto universo
c) Conjunto variável
d) Conjunto aberto
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
2. Veja as seguintes sentenças abertas:
P(x): x − 5x + 6 = 0
Q(x): x + 4 <= 0
U = R
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta corretamente a sequência de valores lógicos para:
∀x, P(x)
∃x, P (x)
∀x, Q (x)
2
a) F – F – F
b) V – V – V
c) F – V – F
d) V – V – F
e) F – V – V
3. Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta a negação da sentença “Para todo y, existe x tal que x + y = 1”:
a) Existe ao menos um valor de y, tal que, para ao menos um valor de x, o valor de x + y é diferente de 1.
b) Existe ao menos um valor de y, tal que, para todo x, o valor de x + y é diferente de 1.
c) Existe ao menos um valor de y, tal que, para todo x, o valor de x + y é igual a 1.
d) Para todos os valores de x e y, o valor de x + y é diferente de 1.
e) Nenhuma das alternativas anteriores
4. A de�nição “conjunto que contém o(s) elemento(s) que, ao substituir(em) a variável x, torna(m) a sentença verdadeira” se refere
ao conceito de:
a) Conjunto verdade
b) Conjunto universo
c) Conjunto variável
d) Conjunto aberto
e) Nenhuma das alternativas anteriores
Notas
Referências
BROCHI, A. L. C. Matemática aplicada à computação. Rio de Janeiro: Editora SESES, 2016. 200p.
Próximos passos
Variáveis livres e ligadas;
Negação e alcance do escopo de quanti�cadores, enfatizando suas principais de�nições e representação;
Representação de situações do cotidiano;
Informações relevantes expressas por meio de quanti�cadores.
Explore mais
Certamente, há materiais adicionais que podem complementar e ampliar seu conhecimento sobre predicados e quanti�cadores,
motivando-o ainda mais para os novos desa�os que virão. Assim, segue uma lista de sites na internet para que você os consulte
depois:
Lógica e matemática discreta: Aula 7 - Quanti�cadores e funções <https://www.youtube.com/watch?v=ENptMNeiDTQ> ;
Matemática discreta – 03 <http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/Mat_Disc_Parte03.pdf> ;
Lógica de proposições quanti�cadas: cálculo de predicados
<https://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_2ProposicoesQuanti�cadas.pdf> ;
https://www.youtube.com/watch?v=ENptMNeiDTQ
http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/Mat_Disc_Parte03.pdf
https://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_2ProposicoesQuantificadas.pdf
Disciplina: Matemática Computacional
Aula 9: Cálculo de predicados
Apresentação
Nesta aula, prosseguiremos com o estudo de cálculo dos predicados, investigando outros temas de grande importância,
como variáveis livres e ligadas, alcance do quanti�cador e negação de fórmulas quanti�cadas.
Objetivos
Apontar as principais formas de negação de quanti�cadores;
Identi�car variáveis livres e ligadas e o alcance de quanti�cadores;
Relacionar as principais regras de inferência no cálculo de predicados.
O pro�ssional da área de tecnologia se depara com esses
temas a todo instante.
De acordo com o cálculo proposicional, é possível a�rmar que
“2 é um número natural”. No entanto, não temos como avaliar
a veracidade de uma sentença como “x é um número natural”,
pois, nesse caso, nos referimos a um conjunto de números,
não a um valor especí�co, dando origem ao denominado
predicado.
No entanto, algumas perguntas persistem:
Essa variável x pode assumir qualquer valor?
Podemos aplicar expressões de quanti�cação a essa sentença (todo, existe ao menos um, ...)?
Podemos aplicar expressões de negação da quanti�cação (nenhum, existe ao menos um que não, ...)?
Negação de quanti�cadores
Na aula passada, vimos o conceito de quanti�cadores e seus tipos principais, sempre nos valendo de formas a�rmativas de
expressão por meio de sentenças abertas, os ditos predicados. No entanto, é importante que você saiba desde já que também é
possível representar a negação de sentenças quanti�cadas.
Veja a seguir alguns exemplos:
Clique nos botões para ver as informações.
Considere que o conjunto universo de nosso estudo é o conjunto A de todos os alunos da Estácio. Agora, considere x ∈ A. A
sentença quanti�cada “∀x, x é estudante de Direito” nos diz que “todo aluno da Estácio é estudante de Direito”. Já a sentença
quanti�cada “∃x, x é estudante de Direito” signi�ca que “existe pelo menos um aluno da Estácio que é estudante de Direito”.
Com base no que você estudou na Aula 8, percebe que aqui temos sentenças diferentes: a primeira só pode ser considerada
verdadeira se seu conjunto verdade for igual ao conjuntouniverso, ou seja, se todo aluno da Estácio for estudante de Direito;
já a segunda será verdadeira se, pelo menos, um aluno da Estácio for estudante de Direito.
Agora vamos considerar a negação da primeira sentença “todo aluno da Estácio é estudante de Direito”. Ela pode ser
representada por ~(∀x, x é estudante de Direito), e, na linguagem natural, pode ser expressa como “nem todo aluno da
Estácio é estudante de Direito” ou “não é verdade que todo aluno da Estácio é estudante de Direito”.
Em outras palavras, utilizando a linguagem simbólica, perceba que a negação ~(∀x, x é estudante de Direito) não é
equivalente à ∀x, e x não é estudante de Direito.
Já com base na linguagem natural, não é difícil perceber que “não é verdade que todo aluno da Estácio é estudante de
Direito” não signi�ca que “todo aluno da Estácio não é estudante de Direito”. Essas sentenças têm sentidos bem diferentes.
Por outro lado, compare as sentenças abertas ou predicados “todo aluno da Estácio é estudante de Direito” e sua negação
“nem todo aluno da Estácio é estudante de Direito” (ou “não é verdade que todo aluno da Estácio é estudante de Direito”).
Note que a negação apresentada pode ser entendida como “existe pelo menos um aluno da Estácio que não é estudante de
Direito”.
Este exemplo nos dá uma bela ilustração de que a negação de uma sentença quanti�cada com o quanti�cador universal
corresponde, em verdade, a uma outra sentença aberta em que o quanti�cador existencial é aplicado em uma sentença em
que a condição é negada.
Na linguagem simbólica, podemos escrever:
~(∀x, x é estudante de Direito) ⇔ ∃x, x não é estudante de Direito.
Se denotarmos por P(x) a sentença “é estudante de Direito”, temos:
~(∀x, P(x)) ⇔ ∃x, ~P(x)
Exemplo 1 
Atenção
Um aspecto muito importante a ser observado é que negar uma sentença com quanti�cador universal (como é o caso de nosso
primeiro exemplo) não é equivalente a negar simplesmente a sentença aberta.
Vejamos, agora, que quando negamos uma sentença quanti�cada como o quanti�cador existencial, algo semelhante ocorre.
Vamos considerar a sentença quanti�cada “∃x, x é estudante de Direito”, isto é, “existe pelo menos um aluno da Estácio que é
estudante de Direito”.
Sua negação, na linguagem natural, pode ser dada por “não existe nenhum aluno da Estácio que seja estudante de Direito”
ou, de forma equivalente, “qualquer que seja o aluno da Estácio, ele não é estudante de Direito”.
Veja que, agora, podemos concluir que:
~(∃x, x é estudante de Direito) ⇔ "∀x, x não é estudante de Direito" ou ~(∃x, P(x)) ⇔ ∀x, ~P(x).
Outro aspecto muito interessante dos dois exemplos apresentados aqui é que eles nos ajudam a comprovar as propriedades
referentes às negações de sentenças quanti�cadas com base na aplicação de certas leis de equivalência.
Exemplo 2 
Considere a sentença aberta P (x) e o seu conjunto universo U = {a , a , a , ... , a }. A sentença quanti�cada "∀x, P(x)" equivale,
como já vimos, à conjunção P (a ) ∧ P (a ) ∧ ... ∧ P(a ). Podemos, então, escrever que:
∀x, P(x) ⇔ P(a ) ∧ P(a ) ∧ ... ∧ P(a )
Dessa forma, podemos expressar sua negação na forma:
~(∀x, P(x)) ⇔ ~ (P(a ) ∧ P(a ) ∧ ... ∧ P(a ))
Aplicando uma das leis de De Morgan (que refere-se à negação de uma conjunção), podemos escrever:
~(∀x, P(x)) ⇔ ~P (a ) ∨ ~P (a ) ∨ ... ∨ ~P (a )
Exemplo 3 
1 2 3 n
1 2 n
1 2 n
1 2 n
1 2 n
Atenção
Observe que a disjunção ~P (a ) ∨ ~P (a ) ∨ ... ∨ ~P (a ) é verdadeira se a condição P (x) não ocorrer pelo menos para um
elemento do conjunto universo, ou seja, se não existe nem ao menos um elemento do universo em que ocorre P(x).
Isso nos leva a concluir que essa disjunção equivale a ∀x, ~P(x). Logo, colocando essa equivalência de forma geral, saiba que
podemos escrever:
~(∀x, P(x)) ⇔ ∃x, ~P(x)
1 2 n
Considere x como “morador do Rio de Janeiro” e P(x) como “torcedor do Flamengo”. Assim, uma expressão como:
“Todo morador do Rio de Janeiro é torcedor do Flamengo”
tem sua forma negada como:
“Existe morador do Rio de Janeiro que não é torcedor do Flamengo”.
De igual modo, podemos analisar um exemplo que apresente a negação de uma sentença quanti�cada com o quanti�cador
existencial.
Exemplo 4 
Considere a sentença aberta P(x) e o seu conjunto universo U = {a , a , ... , a }. Como vimos na aula passada, a sentença
quanti�cada ∃x, P(x) equivale à disjunção P(a ) ∨ P(a ) ∨ ... ∨ P(a ). Logo, podemos escrever que:
∃x, P(x) ⇔ P(a ) ∨ P(a ) ∨ ... ∨ P(a )
Assim, podemos expressar a negação desta equivalência lógica na forma:
~(∃x, P(x)) ⇔ ~ (P(a ) ∨ P(a ) ∨ ... ∨ P(a ))
Com base no que aprendemos na Aula 7, vamos aplicar uma das leis de De Morgan, a qual trata da negação de uma
conjunção.
Nós podemos reescrever a sentença aberta, indicando que ~(∃x, P(x)) ⇔ ~P(a ) ∧ ~P(a ) ∧ ... ∧ ~P(a ).
Vê-se, portanto, que a conjunção ~P(a ) ∧ ~P(a ) ∧ ... ∧ ~P(a ) é verdadeira se a condição P(x) não ocorrer para nenhum
elemento do conjunto universo, ou seja, qualquer que seja o elemento considerado do conjunto universo, P(x) não ocorre.
Isso nos leva a concluir que essa conjunção equivale à ∀x, ~P(x).
Portanto, de forma geral, podemos representar a negação do quanti�cador existencial como:
~(∃x, P(x)) ⇔ ∀x, ~P(x)
 
Exemplo 5 
1 2 n
1 2 n
1 2 n
1 2 n
1 2 n
1 2 n
Considere x como “morador do Rio de Janeiro” e P(x) como “torcedor do Flamengo”. Assim, uma expressão como:
“Existe morador do Rio de Janeiro que é torcedor do Flamengo”
tem sua forma negada como:
“Todo morador do Rio de Janeiro não é torcedor do Flamengo”.
Exemplo 6 
Alcance do quanti�cador
Os exemplos 5 e 6 do tópico anterior nos permitem entender alguns conceitos adicionais associados.
Um deles é o de alcance de um quanti�cador, condição P(x) que se associa ao quanti�cador.
Exemplo:
Considere as sentenças:
a) ∀x ∈ R, x + 4 < 0;
b) ∃x, ∀y, (x - y) ∈ R
No item (a), o alcance do quanti�cador universal é “x + 4 < 0”.
Já no item (b), há dois quanti�cadores — o primeiro é universal,
enquanto o segundo é existencial.
Desse modo, podemos ler a sentença “∃x, ∀y, (x — y) ∈ R”
como “existe x, tal que para todo y, a diferença x — y é um valor
real”. Nesse caso, o alcance do quanti�cador existencial é “∀y,
(x — y) ∈ R”. Já o alcance do quanti�cador universal é “(x — y) ∈
R”.
Variáveis livres e ligadas
Outro conceito bastante relevante é o de variáveis livres e ligadas. Veja a seguir alguns exemplos:
Clique nos botões para ver as informações.
Considere as seguintes sentenças abertas:
1. Todo roedor é mamífero.
2. Existe um ser humano que é pigmeu.
3. Para todo ser humano x existe um ser humano y tal que y é pai de x.
Considerando todos os seres humanos como conjunto universo dos predicados descritos no parágrafo anterior, é possível
de�nir os seguintes predicados em linguagem simbólica: roedor(x), pigmeu(x), mamífero(x), pai(x,y).
Valendo-se do cálculo de predicados, podemos descrever esses enunciados da seguinte forma:
1. ∀x(roedor(x) → mamífero(x))
2. ∃x, pigmeu(x)
3. ∀x,∃y, pai(x,y)
A partir desses exemplos, você pode entender que a variável ligada está associada a um quanti�cador e aparece dentro do
escopo desse quanti�cador.
Exemplo 1 
Em um o escopo de “∀” é x(roedor(x) → mamífero(x)). Em 3, o escopo de “∀” é ∃y, pai(x,y). Por sua vez, a variável é dita livre
quando não está associada a nenhum quanti�cador. Por exemplo, em ∀x, p(x,y), “y” é uma variável livre.
Conforme destacado por Bravo (2018), expressões podem ser construídas combinando-se predicados com quanti�cadores,
símbolos de agrupamento (parênteses ou colchetes) e os conectivos lógicos da lógica proposicional.
Exemplo 2 
Atenção
No entanto, tal combinação não pode ser feita de qualquer maneira, pois uma expressão tem de obedecer a regras de sintaxe
para ser considerada uma fórmula bem-formulada (FBF). Assim, temos que fórmulas bem-formuladas contendo predicados e
quanti�cadores são chamadas de FBFs predicadas.
Considere que a variável x pertence ao conjunto universo dos animais:
Se H é fórmula, então (¬H) tambémé uma fórmula: Por exemplo, se roedor(x) é uma fórmula, então (¬roedor(x))
também é uma fórmula;
Se H e G são fórmulas, então (H v G) também é fórmula: Por exemplo, se roedor(x) e mamífero(x) são fórmulas, então
roedor(x) v mamífero(x) também é fórmula;
Se H e G são fórmulas, então (H ∧ G) também é fórmula: Por exemplo, se roedor(x) e mamífero(x) são fórmulas, então
roedor(x) ∧ mamífero(x) também é fórmula;
Se H e G são fórmulas, então (H → G) também é fórmula: Por exemplo, se roedor(x) e mamífero(x) são fórmulas, então
roedor(x) → mamífero(x) também é fórmula;
Se H e G são fórmulas, então (H ↔ G) também é fórmula: Por exemplo, se roedor(x) e mamífero(x) são fórmulas, então
roedor(x) ↔ mamífero(x) também é fórmula;
Se H é fórmula e x variável, então ∀x,(H(x)) e ∃x,(H(x)) são fórmulas: Por exemplo, se roedor(x) é uma fórmula, então ∀x,
(roedor(x)) e ∃x,(roedor(x)) também são fórmulas.
Exemplo 3 
Sabemos que um argumento pode ser representado em forma simbólica como P1∧P2∧P3∧…∧Pn → Q, no qual as FBFs são
construídas a partir de predicados e quanti�cadores, assim como de conectivos lógicos e símbolos de agrupamento.
Portanto, para ser um argumento válido, Q tem de ser uma consequência lógica de P1, P2,…, Pn, baseada apenas na estrutura
interna do argumento, não na veracidade ou falsidade de Q em qualquer interpretação particular.
Em outras palavras, a FBF P1∧P2∧P3∧…∧Pn → Q tem que ser válida (verdadeira) em todas as interpretações possíveis.
Atenção
É importante que você utilize o sistema de regras de dedução para construir uma sequência de demonstração que parta das
hipóteses e chegue à conclusão. As regras devem preservar os valores lógicos, de modo que, se em alguma interpretação todas
as hipóteses forem verdadeiras, então a conclusão também será verdadeira com aquela interpretação.
A abordagem geral para provar esses argumentos compreende três etapas, a saber:
1
Retirar os quanti�cadores;
2
Manipular as FBFS sem os quanti�cadores;
3
Colocá-los no lugar.
Regras de inferência para cálculo de predicados
No entanto, você pode se perguntar: como retirar e inserir quanti�cadores? Utilize as novas regras de inferência para cálculo de
predicados, conforme indicado a seguir:
De Podemos deduzir
Nome da
regra Restrições sobre o uso
∀x
(P(x))
P(t), onde t é uma variável ou um símbolo
constante.
Particularização
universal (PU)
Se t for uma variável, não deve estar dentro do escopo de um
quantificador para t.
∃x
(P(x))
P(t), onde t é uma variável ou um símbolo
constante não utilizado anteriormente na
sequência de demonstração.
Particularização
existencial (PE)
É necessário que seja a primeira regra a usar t.
P(x) ∀x (P(x)) Generalização
universal (GU)
P(x) não pode ter sido deduzida de nenhuma hipótese na qual
x é uma variável livre nem pode ter sido deduzida, através de
PE, de uma FBF na qual x é uma variável livre.
P(x)
ou
P(a)
∃x (P(x)) Generalização
existencial (GE)
Para ir de P(a) a ∃x (P(x)), x não pode aparecer em P(a).
De ∀x (P(x))
Podemos deduzir P(t), onde t é uma variável ou um símbolo constante.
Nome da regra Particularização universal (PU)
Restrições sobre o uso Se t for uma variável, não deve estar dentro do escopo de um quantificador para t.
De ∃x (P(x))
Podemos deduzir P(t), onde t é uma variável ou um símbolo constante não utilizado anteriormente na sequência de
demonstração.
Nome da regra Particularização existencial (PE)
Restrições sobre o
uso
É necessário que seja a primeira regra a usar t.
De P(x)
Podemos
deduzir
∀x (P(x))
Nome da
regra
Generalização universal (GU)
Restrições
sobre o uso
P(x) não pode ter sido deduzida de nenhuma hipótese na qual x é uma variável livre nem pode ter sido deduzida,
através de PE, de uma FBF na qual x é uma variável livre.
De P(x) ou P(a)
Podemos deduzir ∃x (P(x))
Nome da regra Generalização existencial (GE)
Restrições sobre o uso Para ir de P(a) a ∃x (P(x)), x não pode aparecer em P(a).
Exemplo
Como exemplo de aplicação das regras de inferência indicadas na tabela, veja a demonstração do argumento ∀x [ P(x) → R(x)] ∧
¬R(y) → ¬P(y)
1. ∀x [P(x) → R(x)] (por hipótese do enunciado).
2. ¬R(y) (por hipótese do enunciado).
3. P(y) → R(y) (aplicação da regra de inferência da particularização universal na sentença 1).
4. ¬P(y) (aplicação da regra modus tollens nas sentenças 2 e 3).
Atividades
1. Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta a NEGAÇÃO da sentença “∃x ∈ R, x – 1 = 0”:2
a) ∀x ∈ R, x — 1 ≠ 02
b) ∃x ∈ R, x — 1 ≠ 02
c) ∀x ∈ R, x — 1 = 02
d) ∃x ∈ R, x — 1 = 02
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
2. Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta a NEGAÇÃO da sentença “∀x ∈ R, x + 2 > 0”:
a) ∀x ∈ R, x + 2 < 0
b) ∃x ∈ R, x + 2 ≤ 0
c) ∀x ∈ R, x + 2 ≥ 0
d) ∃x ∈ R, x + 2 = 0
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
3. (SEGEP-MA) Sabe-se que um executivo é honesto se, e somente se, pratica exercícios físicos. João é um executivo, e é
sedentário. Pode-se, então, concluir que:
a) Todo executivo é desonesto.
b) Todo executivo pratica exercícios físicos.
c) João não é um executivo honesto.
d) Todo executivo é honesto.
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
4. (EMSERH) Uma escola de dança oferece aulas de zumba, samba, sapateado, forró e frevo. Todas as professoras de zumba
são, também, professoras de samba, mas nenhuma professora de samba é professora de sapateado.
Todas as professoras de forró são, também, professoras de frevo, e algumas professoras de frevo são, também, professoras de
sapateado.
Sabe-se que nenhuma professora de frevo é professora de samba, e, como as aulas de samba, forró e sapateado não têm
nenhuma professora em comum, então:
a) Todo executivo é desonesto.
b) Todo executivo pratica exercícios físicos.
c) João não é um executivo honesto.
d) Todo executivo é honesto.
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
4. Preocupados em reestruturar as atividades oferecidas pelo centro esportivo da cidade, os dirigentes �zeram uma pesquisa
sobre a preferência dos usuários aos esportes oferecidos.
Notou-se que todos os praticantes de caminhada também faziam ioga, mas nenhum dos alunos de ioga praticava natação.
Todos os alunos de spinning eram também praticantes de pilates e alguns dos que praticavam pilates faziam natação.
Como nenhum dos alunos de pilates praticava ioga e nenhum dos que faziam spinning praticava natação, conclui-se que:
a) Pelo menos um praticante de spinning faz ioga.
b) Pelo menos um praticante de caminhada faz natação.
c) Nenhum praticante de spinning faz caminhada.
d) Todos os praticantes de pilates também praticam spinning.
e) Todos os frequentadores de ioga também fazem pilates.
Notas
Referências
BRAVO, Raquel S. F. Lógica de predicados. Disponível em: http://www2.ic.uff.br/~ueverton/�les/aulasFMC/Aula%2014.pdf
<http://www2.ic.uff.br/~ueverton/�les/aulasFMC/Aula%2014.pdf> . Acesso em: 25 Jan. 2019.
BROCHI, A. L. C. Matemática aplicada à computação. Rio de Janeiro: Editora SESES, 2016.
http://www2.ic.uff.br/~ueverton/files/aulasFMC/Aula%2014.pdf
Próximos passos
Erro permanente para sistemas com realimentação unitária;
Tipo de um sistema;
Erro permanente para sistemas com realimentação não unitária.
Explore mais
Certamente, há materiais adicionais que podem complementar e ampliar seu conhecimento sobre predicados e quanti�cadores,
motivando-o ainda mais para os novos desa�os que virão. Assim, segue uma lista de sites na internet para que você os consulte
depois:
Leia o texto “Lógica de proposições quanti�cadas: cálculo de predicados
<https://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_2ProposicoesQuanti�cadas.pdf> ”.
Assista também ao vídeo “Lógica e matemática discreta (Aula 7): quanti�cadores e funções
<https://www.youtube.com/watch?v=ENptMNeiDTQ&t=24s> ”.
https://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_2ProposicoesQuantificadas.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=ENptMNeiDTQ&t=24s
Disciplina: Matemática Computacional
Aula 10: Métodos de demonstração
Apresentação
Hoje continuaremos nosso estudo sobre lógica matemática. Até aqui, utilizamosferramentas bastante úteis para analisar a
veracidade de argumentos — tabelas-verdade, regras de inferência ou regras de equivalência. No entanto, quando o número
de proposições cresce, a montagem e a análise dos argumentos �cam mais difíceis. E o que fazer nestes casos?
Recomenda-se o emprego de técnicas de demonstração. Conforme discriminado em Brochi (2016), demonstração ou prova
é o processo de raciocínio lógico-dedutivo no qual, assumindo-se uma hipótese como verdadeira, deduz-se uma tese
(resultado) através do uso de argumentos.
A grande vantagem que temos é a agilidade no processo de validação, que pode ser feita de várias formas — os
denominados métodos de demonstração.
Objetivos
Indicar os principais métodos de demonstração: direta, contradição, condicional e por indução;
Exempli�car as diversas formas de demonstrar os teoremas;
Aplicar as técnicas de demonstração em situações-problema típicas de lógica matemática.
Métodos de demonstração
Conforme descrito em Brochi (2016), trata-se das técnicas de prova de teoremas.
1
Teorema
Uma a�rmação que pode ser demonstrada como verdadeira,
por meio de outras a�rmações que já foram provadas, como
outros teoremas ou os axiomas.
2
Axíoma
É considerado uma verdade inquestionável e universalmente
válida. É, muitas vezes, utilizado como princípio na construção
de uma teoria ou como base no processo de argumentação.
Há diversas formas de construção desse processo de argumentação que permitem a prova de um teorema: direta, contradição,
condicional e por indução. A partir de agora, começaremos a analisar cada uma delas.
Demonstração por prova direta
Trata-se da técnica de veri�cação da veracidade de argumentos com base na aplicação de regras de inferência. Conforme
descrito em Brochi (2016), considera-se que uma proposição Q é formalmente dedutível do conjunto P de premissas p , p , ... , p
se, e somente se, p , p , ... , p , Q for um argumento válido. Se a proposição Q é formalmente dedutível, ela é denominada teorema.
1 2 n
1 2 n
Exemplo
Dadas as premissas:
vamos provar que p ≠ 0.
Em primeiro lugar, vamos escrever as proposições na forma simbólica. Assim, temos as seguintes sentenças:
Portanto, queremos provar “p” dadas as premissas:
Para tal, podemos empregar a regra de inferência modus tollens, conforme explicado a seguir:
1) se p = 0 então p = q; 2) se p = q então q = r;
3) p ≠ r,
a: “p ≠ 0”; b: “p = q”;
c: “p = r”.
1. ~a → b (premissa) 2. b → c (premissa)
3. ~ c (premissa)
4. ~b (modus tollens em 2 e 3) 5. a (modus tollens em 1 e 4) → ou seja, dadas as premissas
indicadas, realmente temos que p ≠ 0.
Exemplo
Vejamos outro caso de emprego, conhecido como o teorema da desigualdade das
médias. De acordo com esse teorema, dados p e q como números reais não negativos,
temos que:
√𝑝𝑞 ≤ 𝑝 + 𝑞 2
Vamos agora demonstrar sua validade
empregando a demonstração por prova
direta. Para tal, vamos considerar que:
( 𝑝 − 𝑞 )² ≥ 0
Se nós somarmos 4pq aos dois lados, temos que:
𝑝² + 2𝑝𝑞 + 𝑞² ≥ 4𝑝𝑞
Expandido o binômio, temos que:
𝑝² − 2 𝑝𝑞 + 𝑞² ≥ 0
Fazendo agora a fatoração, você pode perceber que:
( 𝑝 + 𝑞 )² ≥ 4𝑝𝑞
Ora, se extrairmos a raiz quadrada nos
dois lados da inequação anterior, vemos
que:
( 𝑝 + 𝑞 ) ≥ 2√𝑝𝑞
Passando o fator 2 para o outro lado da inequação, chegamos à demonstração
esperada, pois vemos que:
( ( 𝑝 + 𝑞 ) )2 ≥ √𝑝𝑞
Demonstração indireta ou por contradição
Uma forma comum de provar um teorema é assumir que o teorema é falso e então mostrar que tal suposição leva a uma
consequência falsa, chamada contradição.
Essa técnica é bastante útil, pois às vezes é mais fácil provar uma a�rmação da forma “se H então C” provando-se a a�rmação
equivalente a partir de sua contradição, ou seja, “se não C então não H”.
Exemplo
Seja U um conjunto in�nito, e seja S um subconjunto �nito de U. Seja T o complemento de S em relação a U. Então T é in�nito.
Para provar esse teorema com base no método da contradição, suponha que T seja �nito (ou seja, negamos a tese).
Como sabemos, a partir da de�nição do complemento de um conjunto complemento, os conjuntos S e T são disjuntos e𝑈=𝑇∪𝑆.
Ora, se os conjuntos T e S são �nitos, então seu conjunto-união (que por de�nição no enunciado é o conjunto-universo U) deve ser
�nito.
No entanto, por hipótese, U é in�nito! Então U seria ao mesmo tempo �nito e in�nito, o que é um absurdo (uma contradição). Com
base nessa análise, vemos que nossa hipótese inicial não pode ser verdadeira e que, portanto, T é in�nito — ou seja, provamos a
tese.
Exemplo
Dadas as premissas:
Prove que, se x é par, então x também é par.
Para provar esse teorema, vamos considerar as proposições p: “x² é par” e q: “x é par”. Nosso objetivo é provar que o condicional
“p → q” é verdadeiro ou que “p ⇒ q”. Então, pelo método da contradição (também conhecido como redução ao absurdo), vamos
supor que q é uma proposição falsa.
Partiremos das premissas “p” e “~q”. A premissa “~q” pode ser escrita como “x não é par” ou, de modo equivalente, “x é ímpar”.
Sendo assim, dizemos que existe um inteiro k tal que o número x pode ser escrito na forma x = 2k + 1.
Portanto, temos:
x² = (2k + 1)²
x² = 4k² + 4k + 1
x² = 2 ∙ (2k² + 2k) + 1
Agora, considerando um valor c tal que c = (2k² + 2k), podemos concluir que c é um número par, pois (2k2 + 2k) são pares. Desse
modo, a soma deles também é um número par. Temos então x² = 2c + 1, o que nos leva a concluir que x² é ímpar.
No entanto, essa conclusão contradiz a proposição p: “x² é par”. Logo, por redução ao absurdo, concluímos que a proposição ~q:
“x é ímpar” é falsa e que, portanto, a proposição q: “x é par” é verdadeira.
Vamos ver um novo exemplo, agora aproveitando o caso estudado quando vimos a demonstração por prova direta.
2
Exemplo
Vamos utilizar o método de demonstração indireta para provar o teorema da desigualdade das médias.
Conforme vimos, de acordo com esse teorema, dados p e q como números reais não
negativos, temos que:
√𝑝𝑞 ≤ ( 𝑝 + 𝑞 ) 2
Para tal, vamos considerar que:
√𝑝𝑞 > ( 𝑝 + 𝑞 ) 2
Então, elevando ambas as partes da inequação ao quadrado, temos que:
𝑝𝑞 > ( 𝑝² + 2𝑝𝑞 + 𝑞² )4
Multiplicando ambos os termos por 4,
vemos que:
4𝑝𝑞 > 𝑝² + 2𝑝𝑞 + 𝑞²
Subtraindo ambos os lados da inequação por 4pq, temos que:
0 > 𝑝² − 2𝑝𝑞 + 𝑞²
A expressão à direita na inequação
anterior representa um produto notável, o
qual pode ser expresso como:
0 > (𝑝 − 𝑞)²
Tal conclusão é uma redução ao absurdo, pois não existe um quadrado de um número
real que seja negativo. Logo, a hipótese é inválida e provamos que, na verdade,
( ( 𝑝 + 𝑞 ) )2 ≥ √𝑝𝑞
Comentário
Outra forma indireta de demonstração refere-se a um método aplicável em argumentos cuja conclusão tem a forma condicional
“p → q”.
Nesse caso, de forma semelhante ao método de demonstração indireta (contradição ou redução ao absurdo), devemos supor que
“∼(p → q)” verdadeira — ou seja, a negação da conclusão.
Em seguida, partindo das premissas dadas (hipótese) e da premissa provisória, que é a negação da conclusão (tese), devemos
aplicar as regras necessárias até se chegar a uma contradição. Dessa forma, concluímos pela veracidade da conclusão.
Exemplo
Para demonstrar a validade do argumento ~p → q, q → ~r,𝑟∨𝑠, ~s → p, precisamos, em primeiro lugar, considerar, além das três
premissas originais (~p→q, q →~r e 𝑟∨𝑠), uma quarta premissa adicional (~s). Com base nessas quatro premissas, vemos que é
possível chegar aos seguintes argumentos:
Ordem Argumento Fundamento
1 r Silogismo disjuntivo de 𝑟∨𝑠 e ~s
2 ~p → r Silogismo hipotético de ~p → q e q → ~r
3 r → p Contraposição do argumento ~p → r
4 p Modus ponens de r e r → p
Ordem 1
Argumento r
Fundamento Silogismo disjuntivo de 𝑟∨𝑠 e ~s
Ordem 2
Argumento ~p → r
Fundamento Silogismo hipotético de ~p → q e q → ~r
Ordem 3
Argumento r → p
Fundamento Contraposição do argumento ~p → r
Ordem 4
Argumento p
Fundamento Modus ponens de r e r → p
Demonstração por indução
Como última técnica,vemos agora um método de demonstração para provar propriedades que são verdadeiras para um conjunto
ordenado de elementos.
Exemplo
Imagine uma longa �la de cartas de baralho dispostas em sequência e considere as duas declarações seguintes como fatos
verdadeiros:
1 A primeira carta de baralho da fila cairá;
2 Se uma carta do baralho cair, a próxima carta também cairá.
Note que essas duas a�rmações são su�cientes para demonstrar que é verdadeira a conclusão “todas as cartas de baralho da �la
cairão”, independentemente da quantidade n de cartas.
Essa pequena história traz, apesar de sua simplicidade, a ilustração de um método poderoso de demonstração, cujo emprego é
bastante disseminado, sendo utilizadas áreas tão distintas como teoria dos números, geometria, análise combinatória, dentre
outras.
Conforme descrito por Dias (2018), se pudermos provar que valem as duas condições...
C1: P(n0) é verdadeira (ou seja, vale a propriedade para n0);
C2: É verdadeira a implicação P(n) → P(n + 1) para todo n ≥ n0
... então podemos a�rmar que a propriedade P(n) é verdadeira para todo n ≥ n0.
No uso prático, para provar um teorema por indução (de acordo com esse método, também denominado de princípio de indução
�nita), devemos assim mostrar que as duas condições do princípio apresentado anteriormente estão satisfeitas. Isso nos garante
a validade da propriedade para a in�nidade de casos aos quais o teorema faça referência.
No caso da segunda condição, como uma implicação só é falsa se sua premissa for verdadeira e a conclusão falsa, basta excluir
essa possibilidade para termos a validade da implicação desejada.
Assim, o que normalmente se faz é tomar um k genérico qualquer maior ou igual a n e, admitindo que P(k) seja verdadeiro,
mostrar que necessariamente P(k + 1) também deve ser verdadeiro.
Desse modo, se você �zer também a prova de que vale a propriedade para o primeiro natural n , o princípio da indução nos
garante a validade da propriedade em todos os casos a�rmados.
Ou seja, temos aqui que a aplicação do método de demonstração por indução se baseia em duas etapas: a primeira é
denominada base e a segundo passo indutivo.
0
0
A base refere-se à etapa em que se mostra que o enunciado (conclusão) vale para n =
1. Já o passo de indução é a etapa em que se prova que se o enunciado vale para n =
k, então vale também para n = k + 1.
Exemplo
Vamos demonstrar, por indução, a validade da fórmula abaixo para todo número pertencente ao conjunto dos números naturais.
1² + 2² + 3²+ ... + 𝑛² = 𝑛( 𝑛 + 1 )( 2𝑛 + 1 )6
1. 01
Em primeiro lugar, é preciso veri�car se ela é válida para n = 1:
1² = 1 ( 1 + 1 ) ( 2 ∙ 1 + 1 )6 = ( 1 ∙ 2 ∙ 3 )6 = 1
1. 02
Considere que a fórmula é válida para n = k.
1. 03
Teste sua validade para n = k + 1
1² + 2² + 3²+ ... + 𝑘²+ ( 𝑘 + 1 )² = 𝑘 ( 𝑘 + 1 ) ( 2𝑘 + 1 )6 + ( 𝑘 + 1 )²
1² + 2² + 3² + ... + 𝑘² + ( 𝑘 + 1 )² = ( 𝑘 ( 𝑘 + 1 ) ( 2𝑘 + 1 ) + 6 ∙ ( 𝑘 + 1 )² )6
1² + 2² + 3² + ... + 𝑘² + ( 𝑘 + 1 )² = ( 𝑘 + 1 ) [ 𝑘 ( 2𝑘 + 1 ) + 6 ∙ ( 𝑘 + 1 ) ]6
1² + 2² + 3²+ ... + 𝑘² + ( 𝑘 + 1 )² = ( 𝑘 + 1 ) ( 2𝑘² + 𝑘 + 6 𝑘 + 6 )6
1² + 2² + 3² + ... + 𝑘² + ( 𝑘 + 1 )² = ( 𝑘 + 1 ) [ ( 𝑘 + 1 ) + 1 ] [ 2 ( 𝑘 + 1 ) + 1 ]6
Ou seja, de acordo com o indicado na fórmula. Desse modo, fica demonstrada a validade da fórmula para k + 1.
Atividades
1. Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o conceito de�nido por “a�rmação que pode ser demonstrada como verdadeira, por
meio de outras a�rmações que já foram provadas”:
a) Teorema
b) Axioma
c) Demonstração
d) Prova
e) Tese
2. Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o conceito de�nido por “verdade inquestionável e universalmente válida”:
a) Teorema
b) Axioma
c) Demonstração
d) Prova
e) Tese
3. Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o conceito de�nido por “processo de raciocínio lógico-dedutivo no qual, assumindo-
se uma hipótese como verdadeira, deduz-se uma tese (resultado) através do uso de argumentos”:
a) Teorema
b) Axioma
c) Demonstração
d) Hipótese
e) Tese
4. Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta corretamente os dois passos do princípio da indução �nita:
a) Teorema e axioma
b) Indução e dedução
c) Apresentação e demonstração
d) Base e passo indutivo
e) Hipótese e tese
5. Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o método de demonstração que traz a base para a técnica de demonstração
condicional:
a) Demonstração direta
b) Demonstração indireta
c) Demonstração por indução
d) Demonstração por dedução
e) Nenhuma das alternativas anteriores
NotasReferências
BROCHI, A. L. C. Matemática aplicada à computação. Rio de Janeiro: Editora SESES, 2016.
DIAS, D. P. Indução �nita. Disponível em: https://www.ime.usp.br/~brolezzi/disciplinas/20141/mat1513/tge.pdf
<https://www.ime.usp.br/~brolezzi/disciplinas/20141/mat1513/tge.pdf> . Acesso em: 25 Jan. 2019.
https://www.ime.usp.br/~brolezzi/disciplinas/20141/mat1513/tge.pdf
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