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Revisão 
Matemática Básica 
PARA CONCURSOS 
 
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Operações 
Regras dos Sinais 
 
> Adição e Subtração 
 
a) Sinais iguais 
Na adição ou subtração, quando os sinais forem iguais, conserva-se o sinal e soma-se os 
números. 
 
Exemplo 
5 + 3 = 8 1 + 9 = 10 4 + 6 + 10 = 20 
- 5 - 3 = - 8 - 1 - 9 = - 10 - 4 - 6 - 10 = - 20 
 
 Soma e conserva o sinal. 
 
 
 
 
b) Sinais diferentes 
Na adição ou subtração, quando os sinais forem diferentes, conserva-se o sinal do maior 
número e subtrai-se os números. 
 
Exemplo 
5 - 3 = 2 - 4 + 6 + 10 = 12 
- 5 + 3 = - 2 4 - 6 - 10 = - 12 
 
 Subtrai e conserva o sinal do maior. 
 
 
 
 
 
> Multiplicação (×) e Divisão (÷) 
 
a) Sinais iguais 
Na multiplicação ou divisão, quando os sinis forem iguais, o produto ou a divisão, será um 
número positivo. 
 
Exemplo 
4 × 2 = 8 - 4 × - 2 = 8 
10 ÷ 2 = 5 - 10 ÷ - 2 = 5 
 
 
 Mais com mais dá mais, e menos com menos dá mais. 
 
 
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b) Sinais diferentes 
Na multiplicação ou divisão, quando os sinais forem diferentes, o produto ou a divisão, será 
um número negativo 
 
Exemplo 
4 × - 2 = - 8 10 ÷ - 2 = - 5 
- 4 × 2 = - 8 - 10 ÷ 2 = - 5 
 
 
 Mais com mais dá mais, e menos com menos dá mais. 
 
 
 
 
Sobre o Zero na Divisão 
 
 
 
Caso 1 
Quando o numerador é zero e o denominador é um número diferente de zero, o quociente 
é igual a zero. 
 
0
2
= 0 
 
 
Caso 2 
Quando o numerador é um número diferente de zero, e o denominador é zero, a divisão 
não pode ser realizada. 
 
2
0
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não pode ser realizada 
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Operações 
 
Potenciação 
 
> O que potência? 
É a multiplicação de um número qualquer por ele mesmo, repetidas vezes. 
 
𝑎𝑛= 𝑎 . 𝑎 . 𝑎 .... 𝑎 
 
Vejamos um exemplo: 
 
32 
 
 
O número da base é aquele que será multiplicados pelo número de vezes do expoente. Ou 
seja, neste exemplo teríamos: 
 
32= 3 . 3 = 9 
 
Outros exemplos 
 
23 = 2 . 2 . 2 = 8 - 23 = - 2 . - 2 . - 2 = - 8 
44 = 4 . 4 . 4 . 4 = 16 . 16 = 256 - 44 = - 4 . - 4 . - 4 . - 4 = - 16 . -16 = 256 
 
> Propriedade das potências 
 
a) Multiplicação de potências de mesma base 
Conserva-se a base e soma-se os expoentes. 
 
 
33. 32= 33 2 = 35= 3.3.3.3.3 = 9.9.3 = 243 
 
expoente 
base 
 n vezes 
+ 
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b) Divisão de mesma base 
Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes. 
 
33
32
 = 33 - 2 = 31 = 3 
 
 
c) Potência de Potência 
Conserva-se a base e multiplica-se os expoentes. 
 
(33)2= 33.2 = 36= 3.3.3.3.3.3 = 9.9.9 = 729 
 
 
d) Potência com expoente negativo 
Inverta o número da base e mude o sinal do expoente. 
 
3-2= (
1
3
)
2
 
 
 
 Para compreender essa definição, precisamos primeiro compreender como inverter 
um número. 
 
Por exemplo, como inverter o número 5? 
 
Siga esses dois passos: 
 
1° passo 
Escrever o número em forma de fração, ou seja, o número 5 ficaria 
𝟓
𝟏
 
 
2° passo 
Inverter o denominador com o numerador, ou seja, 
𝟓
𝟏
 ficaria 
𝟏
𝟓
 
 
Então qual seria o inverso do número 5? 
 
 
Resposta: 
𝟏
𝟓
 
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e) Potência com fração no expoente 
Transforme em raiz, sendo que: 
• o numerador da fração vira o expoente do radicando, 
• e o denominador da fração o índice da raiz. 
 
3 = √32
3
= √9
3
 
 
 Uma dica para decorar essa mudança de posição dos números é lembrar que o de 
cima (numerador) desce (vira expoente) e o de baixo (denominador) sai (vira índice). 
 
 
f) Expoente zero 
 Todo número elevado a zero é igual a 1 
 
-30= 1 
 
g) Expoente um: 
Todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo. 
 
-31= -3 
 
 
 
 
 
 
 
𝟐
𝟑
 
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Operações 
 
Fatoração 
 
> Números primos 
É todo número maior e diferente de 1, que só pode ser divisível por 1 ou por ele mesmo. 
 
Exemplo 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... 
 
 O único número par primo é o 2. 
 
> O que é fatoração? 
É a decomposição de um número usando fatores primos. 
 
 
> Como fatorar um número? 
O número a ser fatorado deverá ocupar a coluna da esquerda e a coluna da direita será 
preenchida com os fatores primos. 
 
Ao dividir o número pelo algarismo primo os resultados deverão ser colocados na coluna da 
direita. 
 
As divisões deverão ser efetuadas no intuito de simplificar ao máximo o número, isto é 
reduzi-lo ao número 1 
 
Exemplo 
 
240 2 
120 2 
60 2 
30 2 2.2.2.2.3.5 = 240 
15 3 
5 5 
1 
 
 
 
 
 
 
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Operações 
 
M.M.C 
 
> M.M.C – Mínimo Múltiplo Comum 
O M.M.C. entre dois ou mais números, é o menor dos múltiplos comum entre esses 
números, excluído o zero. 
 
Ou seja, é o menor número que é divisível por todos eles ao mesmo tempo. 
 
 
> Como Calcular o M.M.C 
Podemos calcular o M.M.C. fatorando os números dados, de modo que ao final tenhamos 
resto 1. 
 
Veja um exemplo do cálculo do M.M.C dos números 15, 24 e 60: 
 
 
 
15, 24, 60 2 
15, 12, 30 2 
15, 6, 15 2 
15, 3, 15 3 2.2.2.3.5 = 120 
5, 1, 5 5 Logo, o M.M.C de 15, 24, 60 é 120. 
1, 1, 1 120 
 
 
 
 
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> Quando utilizar o M.M.C nos problemas? 
Iremos usar o MMC quando a questão tiver uma ideia de: 
• Tempo; 
• Coincidência; 
• Quando alguma coisa vai acontecer novamente. 
 
Exemplo: 
 
a) O paciente “A” paciente toma um remédio de 8 em 8 horas e outro paciente “B” toma um 
remédio de 6 em 6 horas.Ambos começaram a tomar o remédio meia noite, quando eles 
tomarão esse medicamento juntos novamente? 
 
 Nesse caso para resolver é só calcular o MMC entre 6 e 8. 
 
6, 8 2 
3 ,4 2 
3, 2 2 
3, 1 3 2.2.2.3 = 24 
1, 1 24 
 Logo, o M.M.C de 6 e 8 é 24, 
ou seja, após 24 horas os remédios 
serão consumidos juntos novamente. 
Sendo assim, resposta é meia noite . 
 
 
 
b) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e 
com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro 
em 30 s. Com base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se 
reencontrarão novamente no ponto de partida, pela primeira vez? 
 
Para resolver é só tirar o MMC entre os números: 30, 36, 40 
 
30, 36, 40 2 
15 ,18, 20 2 
15, 9, 10 2 
15, 9, 5 3 2.2.2.3.3.5 = 360 segundos, ou 6 min 
5, 3, 1 
5, 1, 1 
1, 1, 1, 
3 
5 
 360 Logo, o M.M.C de 30, 36 e 40 
é 360 segundos, ou 6 min. 
Ou seja, após 6 min os ciclistas irão se 
encontrar novamente 
 
 
 
 
 
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Operações 
 
M.D.C 
 
> M.D.C – Máximo Divisor Comum 
O M.D.C. entre dois ou mais números, é o maior número que os divide exatamente. 
 
 > Como Calcular o M.D.C 
Podemos calcular o M.D.C. fatorando os números, de modo que a divisão dos fatores 
primos deve ser comum os números dados de maneira simultânea. 
 
Veja um exemplo do cálculo do M.D.C dos números 12, 18 e 30: 
 
12, 18, 30 2 
6, 9, 15 3 2.3 = 6 
2, 3, 5 6 Logo, o M.D.C de 12, 18, 30 é 6 
 
 
 Não se esqueça que para resolver MDC todos os números devem ser divididos ao 
mesmo tempo pelo fator primo. 
 
 
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entendimento: 
 
 
 
> Quando utilizar o M.M.C nos problemas? 
Iremos usar o MDC quando a questão tiver uma ideia de: 
a) Ideia de divisão 
b) Repartir em partes iguais 
c) Maior tamanho possível 
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Exemplo: 
 
a) Temos três pedaços de madeira: um pedaço tem 2 metros, outro tem 4 metros e outro 
tem 6 metros. Qual é o maior tamanho possível para repartir essas madeiras em 
pedaços iguais? 
 
 Nesse caso para resolver é só calcular o MDC entre 2, 4 e 6 
 
2, 4, 6 2 
1, 2, 3 2 
Quantidade Tamanho Logo, o M.D.C de 2, 4 e 6 é 2. 
 E portanto como a questão 
 perguntou sobre o maior tamanho 
possível resposta 2 metros. 
 
 
 
b) No primeiro dia de aula de uma escola, a professora de Matemática Ana reuniu todos 
os alunos do 6° ao 9° ano no pátio. Com a ajuda dos demais professores, Ana 
contabilizou que havia 532 meninas e 456 meninos. Ao propor uma dinâmica, a 
professora pediu aos alunos que se dividissem na maior quantidade de grupos 
possível. Os grupos deveriam ter a mesma quantidade de pessoas e a mesma 
quantidade de meninos e de meninas em ambos. Qual é o total de alunos em cada 
grupo? 
 
 Para resolver é tirarmos o MDC entre os números: 532 e 456 
 
532, 456 2 
266, 228 2 
133, 114 
7, 6 
Quantidade 
 
 
 
19 
 76 O M.D.C de 532 e 456 é 76, 
Grupos o que significa que terão 76 grupos. 
 Mas a questão perguntou 
quantidade de alunos por grupo 
 Por tanto devemos somar a coluna da esquerda 
7 + 6 = 13 alunos por grupo 
 
 
 
 
 
 
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Operações 
 
Fração 
 
> O que é fração? 
É um modo de representar as partes pelas quais um número que foi dividido. Assim, toda 
fração representa uma divisão de um número. 
 
O numerador de uma fração indica o número que será dividido. 
 
O denominador é o número de partes iguais pelo qual iremos dividir o numerador. 
 
 
Veja um exemplo de representação de uma fração: 
 
3
4
 
 
Neste caso o 3 (numerador) será dividido em 4 (denominador) partes iguais. 
 
> Como somar e subtrair frações 
 
a) Denominadores iguais 
Deve-se manter o denominador, e somar e/ou subtrair os numeradores. 
 
Veja o exemplo: 
3
4
 
2
4
= 
3 2
4
= 
5
4
 
 
 
Outros exemplos 
 
1
2
+ 
2
2
= 
1 + 3
2
= 
4
2
= 2 
 
1
2
+ 
4
2
 - 
3
2
= 
1 + 4 - 3
2
= 
2
2
= 1 
 
5
7
 - 
2
7
= 
5 - 2
7
= 
3
7
 
2
3
+ 
5
3
 - 
1
3
= 
2 + 5 - 1
3
= 
6
3
= 2 
 
b) Denominadores diferentes 
Deve-se reduzir as frações ao mesmo denominador, encontrando o M.M.C. 
numerador 
denominador 
+ + 
 
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E em seguida manter o denominador resultante do M.M.C, dividir pelo denominador anterior, 
e multiplicar o resultado pelo numerador. Ai então somar ou subtrair os numeradores. 
 
Veja o exemplo: 
 
 
 
 
 
3
5
 
2
4
= 
12 10
20
= 
22
20
 =
11
10
 
 
 
M.M.C dos denominadores 
5, 4 
 
2 
5 ,2 2 
5, 1 5 
1, 1 20 2.2.5 = 20 
 
 Logo, o M.M.C de 5 e 4 é 20, 
Logo, o denominador que deve 
ser utilizado é 20. 
 
 
Outros exemplos 
 
1
3
+ 
3
8
= 
8 + 9
24
= 
17
24
 
 
 
5
7
 - 
1
2
= 
10 - 7
14
= 
3
14
 
 
 
Sobre o Simplificar Fração 
 
 A simplificação de frações é uma maneira de escrever a mesma fração, mas de forma 
que os numeradores e denominadores sejam escritos com números menores. 
 
Quando simplificamos uma fração, encontramos uma fração equivalente, porém na forma 
reduzida. 
 
Normalmente as alternativas e respostas das questões trazem a forma simplificada das 
frações, por isso é muito importante saber simplificar. 
+ + :2 :2 
 
simplificando 
divide 
4 
20/5 = 4 
multiplica 
4 x 3 = 12 
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Como simplificar uma fração? 
 
Para simplificarmos uma fração, devemos olhar para os números que estão no numerador e 
no denominador e encontrar algum número inteiro que divida de forma exata os dois 
números, ou seja um divisor comum. 
 
Veja um exemplo de como simplificar: 
 
6
9
 
 
Devemos então encontrar um número que seja divisor simultâneo de 6 e 9. 
No caso de 6 e 9, seria 3. Resultando: 
 
 
6
9
 = 
2
3
 
 
Como não existe outro número que divida simultaneamente 2 e 3, dizemos então que a 
forma simplificada da fração 
𝟔
𝟗
 é 
𝟐
𝟑
 . 
 
 
 
> Como multiplicar frações 
Multiplica-se numeradores com numeradores e denominadores com denominadores, não 
esquecendo as regras dos sinais. 
 
Veja o exemplo: 
 
 
 
3
5
 𝑥 
2
4
= 
3 𝑥 2
5 𝑥 4
= 
6
20
 =
3
10
 
 
 
 
 
 
:3 
 :3 
 
simplificando 
:2 
 :2 
 
simplificando 
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Outros exemplos 
 
1
3
 𝑥 
3
8
= 
1 𝑥 3
3 𝑥 8
= 
3
24
 = 
1
8
 
 
 
-
 5
7
 𝑥
 2
 3
= - (
5
7
 𝑥 
2
1
) = - (
5 𝑥 2
7 𝑥 3
) = - (
10
21
) = -
10
21
 
 
-
 5
7
 𝑥 -
 2
 3
=
5 𝑥 2 
7 𝑥 3
=
10
21
 
 
 
> Como dividir frações 
Deve-se conservar a primeira fração e multiplicar pela segunda fração invertida. 
 
Veja o exemplo: 
 
3
5
 
2
4
= 
3 𝑥 4
5 𝑥 2
= 
12
10
 =
6
5
 
 
Outros exemplos 
 
3
5
 
3
8
= 
3 𝑥 8
5 𝑥 3
= 
24
15
 = 
8
5
 
 
 
5
7
 
2
3
= 
5 𝑥 3
7 𝑥 2
= 
15
14
 
 
 
Revisão de operações com frações 
 
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entendimento 
 
:3 
 :3 
 
÷ 
:2 
 :2 
 
simplificando 
:3 
 :3 
 
÷ 
 ÷ 
 
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> Potenciação de frações 
 
a) Expoente positivo 
 Expoente positivo eleva-se o numerador e o denominador ao expoente dado. 
 
Veja o exemplo: 
 
(
3
5
)
2
= 
32
52
= 
9
25
 
 
 
Outros exemplos 
 
(
 2 
3
)
2
= 
22
32
 = 
4
9
 
 
 
(
 3 
2
)
3
= 
33
23
 = 
27
8
 
 
 
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b) Expoente negativo 
Inverte-se a fração com a mesma potência positiva. 
(
3
5
)
-2
= 
52
32
= 
25
9
 
Outros exemplos 
 
(
 2 
3
)
-2
= 
32
22
 = 
9
4
 
 
 
(
 3 
2
)
-3
= 
33
23
 = 
27
8
 
 
 
 
 
 
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c) Radiação 
Devemos extrair as raízes do numerador e do denominador. 
 
√
25
9
= 
√25
√9
= 
5
3
 
 
 
 
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Outros exemplos 
 
√
9
4
= 
√9
√4
 = 
3
2
 
 
 
√
16
42
= 
√16
√42
 = 
4
7
 
 
 
 
 
Como resolver uma raíz? 
 
 A radiciação é uma operação em que buscamos um número que satisfaz determinada 
potência. 
 
Vejamos o exemplo 
 
 
√𝟏𝟔 
 
Quando você resolve uma raiz você está buscando, como no exemplo, o número que 
elevado ao quadrado resulte em 16, ou seja, 𝒙𝟐 = 𝟏𝟔. 
 
No caso 
 
√𝟏𝟔 = 𝟒 pois 𝟒𝟐 = 𝟏𝟔 
 
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Equação e Sistemas 
 
Do 1° Grau 
 
> Equação do 1° Grau 
 
É toda equação do tipo: ax + b = 0 (com a ≠ 0) 
 
A raiz de uma equação é qualquer valor de x que satisfaça a equação. Resolver uma equação 
significa encontrar a raiz, isto é, o valor de x. As equações do 1º gráu têm sempre uma única 
raiz real. 
 
Vejamos o exemplo: 
 
5x + 10 = 0 
5x = -10 
x = - 
10
5
 
x = -2 
 
> Resolvendo Equação de 1° em 4 passos 
 
Passo 1 – Colocar no primeiro membro todos os termos que possuem incógnita. 
 
Reescreva a equação colocando todos os termos que possuem incógnita do lado esquerdo. 
 
Para tanto, utilize a seguinte regra: Trocou de lado, trocou de sinal. 
 
Observe o exemplo: 
7x + 80 = 4x - 7 
O termo 4x está do lado direito e deve ser colocado do lado esquerdo. Assim, troque 4x de 
lado trocando também seu sinal: 
7x + 80 = 4x - 7 
7x - 4x + 80 = - 7 
 
Passo 2 – Colocar no segundo membro todos os termos que não possuem incógnita. 
 
Repita o procedimento do passo anterior para transferir termos que não possuem incógnita 
do esquerdo para o direito. 
 
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No exemplo abaixo (continuação do exemplo anterior), observe que + 80 é um termo que não 
possui incógnita. Portanto, deve ser colocado no direito. 
 
Ao fazer isso, lembre-se da regra: Trocou de lado, trocou de sinal. 
 
7x - 4x + 80 = - 7 
7x - 4x = - 7 - 80 
 
 
Passo 3 – Simplificar as expressões em cada membro. 
 
Para esse passo, basta realizar as operações indicadas na equação. Para tanto, lembre-se de 
como devem ser realizadas as somas de números inteiros. 
 
7x - 4x = - 7 - 80 
3x = - 87 
Passo 4 – Isolar a incógnita no primeiro membro. 
 
Em alguns casos, como no exemplo acima, a incógnita aparece sendo multiplicada. 
 
Para isolar a incógnita, deve-se considerar a seguinte regra: Caso o número esteja 
multiplicando a incógnita, passá-lo dividindo. Caso o número esteja dividindo a incógnita, 
passá-lo multiplicando. 
 
Por exemplo: 
3x = – 87 
Observe que a incógnita x está sendo multiplicada por 3. Portanto, 3 deve passar dividindo. 
Logo, o quarto passo terá o seguinte resultado: 
3x = - 87 
x = 
- 87
𝟑
 
x = - 29 
 
Outros exemplos 
 
5x + 3 = 4x - 2 
5x - 4x = - 3 - 2 
x = - 5 
 
10x - 7 = 3x + 12 
10x - 3x = 12 + 7 
7x = 19 
x = 
19
7
 
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> Sistema do 1° Grau 
 
É todo sistema de várias equações e várias incógnitas, todas do 1º grau. Resolver um 
sistema é encontrar os valores das incógnitas. 
 
> Tipos de Resolução 
 
Existem diversas formas de se resolver sistemas, mostraremos duas mais usadas e por 
último um macete: 
 
a) Método da Adição 
 
Consiste em multiplicar uma das equações por um multiplicador de maneira que possamos 
somar as equações eliminando incógnitas. 
 
Exemplo: 
 
{
3𝑥 - 𝑦 = 14 (𝑥2)
5𝑥 + 2𝑦 = 16
 {
6𝑥 − 2𝑦 = 28 
5𝑥 + 2𝑦 = 16
 {
6𝑥 − 2𝑦 = 28 
5𝑥 + 2𝑦 = 16
 6x + 5x -2y + 2y = 28 + 16 
 6x + 5x -2y + 2y = 28 + 16 
 11x = 44 
 x = 
44
11
 
 x = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para viabilizar a eliminação de uma incógnita, devemos multiplicar uma das equações por 
uma constante para que pelo menos uma de suas incógnitas torne-se o inverso de uma das 
incógnitas da outra equação. 
 
No exemplo, multiplicaremos a primeira equação por 2. Esse valor foi escolhido para que o 
termo - y tenha como resultado - 2y, que é o inverso de 2y daoutra equação. 
Substitua x por 4 em uma das equações 
para descobrir o valor de y. 
 
5x + 2y = 16 
5.4 + 2y = 16 
20 + 2y = 16 
2y = -20 + 16 
2y = -4 
y = 
−4
2
 
y = -2 
 
 
 
 
 
Soma das equações. 
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Assim, é possível somar as duas, eliminando a incógnita y nesse processo. 
 
 
 Assista a este vídeo on-line (necessário estar conectado à internet) para auxiliar no 
entendimento: 
 
 
 
 
 
b) Método da Substituição 
Consiste em isolar uma incógnita em uma das equações, determinando seu valor em 
função da outra incógnita, e substituir na outra equação. 
 
Exemplo 
 
 {
𝑥 + 𝑦 = 10
𝑥 + 2𝑦 = 17
 
 
x + y = 10 
x = 10 - y 
 
x + 2y = 17 
10 - y + 2y = 17 
y = 7 
 
 
x + 2y = 17 
x + 2.7 = 17 
x = 3 
 
 
 
 
 
Escolha uma equação e Isole uma das 
incógnitas, no caso o x. 
Substitua na outra equação o termo 
isolado, no caso x foi substituido por 
 10 - y. 
Substitua o valor encontrado de y para 
calcular o x. No caso substituiu y por 7. 
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entendimento: 
 
 
 
 
 
 
c) Método de setas esse é o melhor macete para resolver sistemas de forma rápida! 
 
 
 Assista a este vídeo on-line (necessário estar conectado à internet) para auxiliar no 
entendimento: 
 
 
 
 
 
 
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https://www.youtube.com/embed/C_-b3fEagKg?feature=oembed
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Equação 
 
Do 2° Grau 
 
> Método aplicando Bhaskara 
A fórmula de Bhaskara é um cálculo matemático para determinar as raízes de uma função 
de segundo grau por meio de seus coeficientes. 
 
Veja a fórmula abaixo: 
 
 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
 
> Como aplicar a fórmula 
Para que a explicação fique mais didática irei disponibilizar um vídeo onde se ensina a 
aplicação da fórmula. 
 
 
 
 
 
 
 
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https://www.youtube.com/embed/4K-IMGYOITU?feature=oembed
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> Macete para resolver Sem Bhaskara 
Apesar do método convencional para resolução de equações de segundo grau é por meio da 
fórmula de Bhaskara, destacarei neste material um macete para resolução mais rápida sem a 
necessidade da aplicação da fórmula. 
 
> Vídeo explicativo do Macete 
A explicação por meio do vídeo irá facilitar o entendimento, e aplicação. 
 
 
 
 
Exemplo aplicando o Macete 
 
a) 5x² + 4x – 1 = 0 A = 5 B = 4 C = - 1 
 
 
 - = √9 = 3 
 
 
 
 
 
 
 
−2 ± 3 
5
 = 
1
5
 , - 1 
 
 
 
 
 
 
-5 4 
Divida por dois e inverta o sinal de B. 
Eleve ao quadrado 
A.C 
A 
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Razão e Proporção 
 
Teoria e Prática 
 
 
> O que é razão? 
 
Razão é uma fração, ou seja, sempre que falamos em razão devemos pensar em uma fração. 
 
Veja um exemplo: 
𝐴
𝐵
 
> O que é proporção? 
Proporção é uma igualdade de razões duas ou mais razões. 
 
Veja o exemplo: 
 
𝐴
𝐵
 = 
𝐶
𝐷
 = 
𝐸
𝐹
 .. 
 
 
 
> Como resolver problemas de razão e proporção. 
 
 
a) Primeiramente, prestar atenção nas ordens em que os dados do problema são 
dados. O primeiro dado da razão sempre fica em cima na fração, o segundo dado 
sempre fica embaixo 
 
Veja um exemplo: 
 
Em uma sala de aula temos 50 alunos, 30 são meninas e 20 são meninos, qual a razão entre 
o número de meninas e o total de alunos? 
 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑛𝑎𝑠
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑢𝑛𝑜𝑠
 = 
30
50
 = 
3
5
 𝑜𝑢 0,6 
 
 
b) Quando o problema tratar de proporção existe uma propriedade que deve ser 
lembrada, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, mais conhecido 
também como multiplicação em cruz. 
 
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𝐴
𝐵
 = 
𝐶
𝐷
 𝐴. 𝐷 = 𝐶. 𝐵 
 
Veja um exemplo prático: 
 
A razão entre a altura de um prédio e a medida da sua sombra, em determinada hora do dia, 
é de 15 para 5. Se a sombra medir 4 metros, qual a altura do prédio? 
 
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟é𝑑𝑖𝑜
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑎
 
15
5
 =
𝑥
4
 15.4 = 5. 𝑥 
 60 = 5x 
 12 = x 
 
Resposta 12 metros. 
 
 
c) Quando o problema nos traz uma soma e uma razão devemos trabalhar com o K 
(chamado de constante de proporcionalidade) para achar a solução. 
 
Vejamos um exemplo: 
 
Em supermercado os guichês A e B atenderam em um dia 56 pessoas no total. Sabendo que 
a razão entre o número de pessoas que foram atendidas no guichê A e no B foi de 4 para 3, 
então o número de pessoas atendidas no guichê A foi de? 
 
 
A + B = 56 
 Soma e uma razão, coloca o k para achar a solução! 
𝐴
𝐵
 = 
4𝑘
3𝑘
 
 
 
4k + 3k = 56 A = 4k B = 3k A + B = 56 
 7k = 56 A = 4 . 8 B = 3 .8 32 + 24 = 56 
 k = 8 A = 32 B = 24 
 
Resposta o guichê A atendeu 32 pessoas. 
 
 
 
 
 
 
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Outros exemplos 
 
a) Em cada tose de 304 ml de certo medicamento contém soro e analgésico, na 
proporção de 14 para 5. Então em cada tose podemos dizer que contem quantos ml 
de soro e quantos ml de analgésico? 
 
Analgésico + Soro = 304ml 
 Soma e razão, coloca o k para achar a solução! 
𝑆𝑜𝑟𝑜
𝐴𝑛𝑎𝑙𝑔é𝑠𝑖𝑐𝑜
 = 
14𝑘
5𝑘
 
 
 
 
14k + 5k = 304 Soro = 14k Analgésico = 5k Soro + Analgésico = 304 
 19k = 304 S = 14 . 16 A = 5 .16 224 + 80 = 304 
 k = 16 S = 224 A = 80 
 
Resposta: Soro 224ml e 80ml analgésico. 
 
> Inversamente Proporcional 
Inversamente proporcionais é quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual 
ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª. 
 
Veja o exemplo: 
 
Dividir o número 72 em três partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 12. 
 
72 = 
1𝑘
3
 + 
1𝑘
4
 + 
1𝑘
12
 
 
72 = 
4𝑘 + 3𝑘 + 𝑘
12
 
 
72 = 
8𝑘
12
 
 
𝑘 = 108 
 
𝑘
3
 = 
108
3
 = 36𝑘
4
 = 
108
4
 = 27 
 
𝑘
12
 = 108
12
 = 9 
3, 4, 12 2 
 3, 2 , 6 2 
 3, 1 , 3 3 
 1, 1, 1 m.m.c = 2.2.3 = 12 
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entendimento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Regra de 3 
 
Simples 
 
> O que é Regra de 3 Simples 
 
A regra de três é uma ferramenta matemática que pode ser aplicada em diversos problemas 
do dia a dia. 
 
Utilizamos a regra de três quando temos duas grandezas em que a variação no valor de uma 
provoca a variação no valor da outra na mesma proporção, ou seja, as grandezas variam na 
mesma razão. 
 
A relação entre elas pode ser: 
 
• diretamente proporcional, quando uma aumenta a outra também aumenta na 
mesma proporção ou; 
 
• inversamente proporcional, quando uma aumenta a outra diminui na mesma 
proporção. 
 
 
> Como Calcular 
 
a) Regra de 3 simples diretamente proporcional 
 
Para encontrar o valor de x, basta utilizar os conhecimentos provenientes das equações ou 
usar a propriedade fundamental das proporções: o produto dos extremos é igual ao produto 
dos meios. 
 
Essa propriedade também é conhecida como “multiplicação cruzada” 
 
Veja o exemplo: 
 
Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60m² de parede. Quantos litros de tintas 
serão necessários para pintar 450 m², nas mesmas condições? 
 
Litros de tinta M² 
18 60 Quanto maior a parede, maior a parede 
x 450 mais litros de tinta serão necessários. 
 
60x = 18 . 450 
 x = 135 
 
Resposta: 135 litros de tinta. 
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b) Regra de 3 simples inversamente proporcional 
 
Quando as grandezas forem inversamente proporcionais, uma das razões, ou seja, um lado 
da proporção deve ser invertido, e depois aplicado a multiplicação cruzada. 
 
Veja o exemplo: 
 
Márcia leu um livro em 4 dias, lendo 15 páginas por dia. Se tivesse lido 6 páginas por dia, em 
quanto tempo ela leria o mesmo livro? 
 
Dias Páginas por dia 
4 15 Quanto maior o número de páginas lida no dia, 
x 6 menor o número de das para ler o livro. 
 
 
Dias Páginas por dia 
4 6 Inverte uma das razões 
x 15 
 
 
4.15 = 6x 
 60 = 6x 
 x = 10 
 
Resposta: 10 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Regra de 3 
 
Composta 
 
> O que é Regra de 3 Composta 
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou 
inversamente proporcionais 
 
 
> Como resolver problemas 
 
a) Método Tradicional 
Verifique a relação diretamente e indiretamente que consta na questão, invertendo as razões 
da inversamente proporcionais e mantendo as razões das diretamente proporcionais, esse 
método é aquele em que utilizamos setas. 
 
Veja o exemplo sendo aplicado em um problema: 
 
 Assista a este vídeo on-line (necessário estar conectado à internet) para auxiliar no 
entendimento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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> Revisão das Regras de 3 e suas aplicações: 
 
 Assista a este vídeo on-line (necessário estar conectado à internet) para auxiliar no 
entendimento: 
 
 
 
 
 
> Macete da Regra de 3 Composta 
Utilizando este macete, você não precisa fazer o jogo das setas. 
 
Veja como aplicar: 
 
 Assista a este vídeo on-line (necessário estar conectado à internet) para auxiliar no 
entendimento: 
 
 
 
 
 
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https://www.youtube.com/embed/qVhQ7UoR08E?feature=oembed
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Porcentagem 
 
% 
 
 
> O que é porcentagem? 
 
É toda razão cujo denominador é igual a 100. 
 
Veja o exemplo: 
 
6
100
 = 6% logo 0,06 = 6% 
 
Podemos concluir então que 6% pode ser uma fração ou um número decimal. 
 
 
 
> Como resolver problemas de Porcentagem 
 
Vamos estudar alguns exemplos: 
 
Veja os exemplos: 
 
a) Se uma mercadoria custa R$ 200,00 e vai ser aumentada em 5% qual o seu novo 
valor? 
 
 Valor da mercadoria 
 200,00 
 X 
Percentual 
100% 
105% 
 
Faça a multiplicação cruzada: 
200 . 105 = 100x 
 2 .105 = x 
 210 = x 
 
Resposta: 210, 00 reais é o novo valor. 
 
 
 
 
 
 
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b) Certa empresa demite 20% de seus 8000 empregados num determinado mês. No mês 
seguinte, há nova demissão de 10%. Qual o número de empregados restantes? 
 
1ª Etapa 
Demissão de 20% dos trabalhadores, ou seja, sobrou 80% (100%-20%) 
 
 Número de Empregados 
 8000 
 X 
Percentual % 
100 
80 
Faça a multiplicação cruzada: 
8000 . 80 = 100x 
 6400 = x 
 
Número de empregados restantes após o primeiro mês de demissão é 6400 
 
2ª Etapa 
Demissão de 10% dos trabalhadores restantes após a 1ª demissão, ou seja, sobrou 90% (100% - 10%) 
 
 Número de Empregados 
 6400 
 X 
Percentual % 
100 
90 
 
Faça a multiplicação cruzada: 
6400 . 90 = 100x 
 640 . 90 = x 
 5760 = x 
 
Resposta: Após as 2 demissões consecutivas, o número de empregados restante é de 
5760. 
 
c) Com a chegada da entressafra, período em que não há colheita, o preço do quilograma 
de cebola sofreu dois aumentos sucessivos de 20% e 30%, passando a custar R$ 5,46. 
O preço do quilograma de cebola anterior aos acréscimos era de: 
 
1ª Etapa 
Temos o valor após o 2° aumento é de 5,46, por tanto iniciamos com esses dados para encontrar o valor antes 
do 2° aumento. 
 
 Valor da cebola 
 5,46 
 X 
Percentual % 
130 
100 
 
Faça a multiplicação cruzada: 
5,46 . 100 = 130x 
 546 = 130x 
 4,20 = x 
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Encontramos que 4,20 é o valor que tínhamos antes do segundo aumento 
2ª Etapa 
Sabemos que valor após o 1° aumento é de 4,20 agora iremos encontra o valor antes do 1° aumento: 
 
 Valor da cebola 
 4,20 
 X 
Percentual% 
120 
100 
 
Faça a multiplicação cruzada: 
4,20 . 100 = 120x 
 420 = 120x 
 3,5 = x 
 
Encontramos que 3,50 é o valor que tínhamos antes do primeiro aumento. 
 
d) Um torcedor de um time de futebol do estado do Ceará comprou uma camisa do seu 
time por 80 reais. Uma semana depois, a loja aumentou seus preços em 30%, mas 
como as vendas não estavam correspondendo, resolveu fazer uma liquidação, 
colocando um desconto de 30% em todos os seus produtos. Se o mesmo torcedor 
voltasse a mesma loja depois desse aumento e do sucessivo desconto compraria a 
mesma camisa por: 
 
1ª Etapa 
Sabemos que a loja aumentou 30% em cima do valor de 80,00 pago, logo: 
 
 Valor da camisa 
 80 
 X 
Percentual % 
100 
130 
Faça a multiplicação cruzada: 
80 . 130 = 100x 
 8 . 13 = x 
 104 = x 
 
Encontramos após o aumento de 30% a camisa passou a ser vendida por 104,00 
 
2ª Etapa 
Sabemos que a loja deu um desconto de 30% em cima do valor de 104,00 pago, logo: 
 
 Valor da camisa 
 104 
 X 
Percentual % 
100 
70 
 
Faça a multiplicação cruzada: 
70 . 104 = 100x 
 728 = 10x 
 72,8 = x 
Encontramos após o desconto de 30% a camisa passou a ser vendida por 72,80 
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Outros exemplos 
 
 Assista a este vídeo on-line (necessário estar conectado à internet) para auxiliar no 
entendimento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Juros 
 
Simples e Composto 
 
> O que é Juros Simples? 
 
Juros simples é uma remuneração dada a alguém pela aplicação de seu capital em um 
determinando período. Esse regime de juros é calculado aplicando uma taxa em relação ao 
capital aplicado inicialmente. 
 
> Como calcular Juros Simples? 
 
Para se calcular juros utilizamos uma fórmula. A fórmula para ser aplicada ao juro simples é: 
 
𝑱 = 𝑪 . 𝒊 . 𝒕 
 
C = Capital - é o valor aplicado; 
J = Juros - é o acréscimo que recebe pelo valor aplicado; 
t = Tempo - o tempo que é dado para receber o valor aplicado de volta mais os juros; 
i = Taxa - taxa aplicada, em porcentagem, que determina a quantidade de juros incidente 
sobre o capital inicial. 
 
 Observações importante para utilizar a fórmula de maneira correta: 
 
 1) A taxa i deve ser colocada na forma decimal, ou fracionária. 
 Exemplo: se a taxa for 5%, então i = 0,05, que é a divisão de 5 por 100, ou 
5
100
 . 
 
 2) A taxa e o tempo devem está nas mesmas unidades. 
 Exemplo: se a taxa for 3% ao mês, o tempo também deve ser representado em meses. 
 Dessa forma, se o tempo t estiver em ano, converta-o em meses. 
 
 
 
> O que é Montante? 
 
É o Capital acrescido dos Juros. 
 
> Como calcular o Montante? 
 
𝑴 = 𝑪 + 𝑱 
Podemos também obter o montante, conhecendo apenas o capital, a taxa e o tempo, sem 
necessitar do cálculo dos juros. 
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Para isso basta fazer uma unificação das duas fórmulas até agora conhecidas: 
 
𝑴 = 𝑪 (𝟏 + 𝒊 . 𝒕) 
 
 
> Resolvendo problemas de Juros Simples. 
 
Vamos ver algumas aplicações da fórmula: 
 
a) Um jovem que trabalha com artes gráficas decidiu comprar um computador para que 
pudesse desenvolver melhor suas atividades. Ao decidir pela configuração que precisava 
constatou que seriam necessários R$2.490,00 para adquirir o seu computador à vista. 
Como isso estava totalmente fora do seu orçamento resolveu negociar a compra do 
equipamento a prazo, o que só foi possível mediante acréscimo de juros de 30% ao ano, 
aplicado ao valor à vista por oito meses. O pagamento foi feito em oito prestações 
mensais iguais, qual o valor de cada parcela? 
Calculando o valor do acréscimo: 
𝐽 = 𝐶 . 𝑖 . 𝑡 onde: 
• J: o valor dos juros a ser determinado 
• C: R$2.490,00 (valor do capital aplicado) 
• i: 30% a.a. (taxa percentual anual) 
• t: 8 meses (período de aplicação) 
Nas fórmulas de matemática financeira, tanto o prazo da operação (t) como a taxa (i) 
devem, necessariamente, está expressos na mesma unidade de tempo. 
Assim, transformando a taxa percentual anual, em taxa percentual mensal, temos: 
 t = (30% a.a.) ÷ 12 meses = 2,5% a.m. 
Então, temos que: 
𝐽 = 𝐶 . 𝑖 . 𝑡 
𝐽 = 2490 .
2,5 
100
. 8 
𝐽 = 498,00 
 
O Montante a ser pago no final do período da aplicação, ou seja, o capital empregado mais a 
rentabilidade adquirida será de: 
𝑀 = 𝐶 + 𝐽 
𝑀 = 2490 + 498 
𝑀 = 2988 
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De acordo com o enunciado, o pagamento foi feito em oito prestações mensais iguais, 
então, cada prestação terá um valor de: 
2988 dividido por 8 meses, por tanto cada parcela tem o valor de 373,50. 
b) Uma compra pela internet foi realizada e dividida em 12 vezes com juros de 2% ao mês. 
Sabendo que o produto custaria R$ 200,10 a vista, qual o valor final (Montante) do 
produto após o pagamento das 12 parcelas com o acréscimo dos juros? 
Temos os seguintes dados: 
• Tempo: 12 meses. 
• Taxa: 2% = 0,02. 
• Capital: 200,10. 
Queremos saber o montante, ou seja, o capital mais os juros. Primeiro vamos calcular os 
juros: 
J = C . i . t 
J = 200,10 . 0,02 . 12 = 48,02 
Agora que já sabemos os juros, vamos calcular o montante final: 
M = C + J 
M = 200,10 + 48,02 = 248,12 
Portanto, o valor final do produto será de R$ 248,12. 
Outros exemplos 
 
 Assista a este vídeo on-line (necessário estar conectado à internet) para auxiliar no 
entendimento: 
 
 
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> O que é Juros Composto? 
Os juros compostos são aplicados no capital inicial mais os juros dos meses anteriores, isto é, 
a partir do segundo mês a rentabilidade é calculada sobre o capital inicial mais os juros dos 
meses anteriores. 
> Como calcular Juros Composto? 
O cálculo somente dos juros, ou seja, o rendimento que a aplicação obteve, é obtido pela 
seguinte fórmula: 
𝑱 = 𝑴 - 𝑪 
Onde 
J são os juros; 
M é o montante que pode ser calculado pela fórmula do montante acima; 
C é o capital ou valor inicial aplicado. 
> Como calcular Montante no Juros Composto? 
Para simplificar, obtemos a fórmula a seguir que representa o montante, ou seja, o valor final 
com o capital mais os juros aplicados: 
𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊)𝒕 
Onde: 
M = montante final obtido na aplicação, ou seja, o saldo após a aplicação do juros; 
i = taxa de juros aplicada, em porcentagem; 
C = capital ou valor inicial aplicado; 
t = tempo total da aplicação. 
 
> Resolvendo problemas de Juros Composto. 
 
a) Considere o capital de R$ 10.000,00 aplicados na poupança durante 12 meses, com 
taxa de juros compostos de 6% ao ano. Calcule o rendimento deste capital no período 
especificado. 
Dados do problema: 
• Capital: R$10.000,00 
• Tempo: 12 meses 
• Taxa: 6% = 0,06 ao ano 
(lembre-se que a taxa de juros e o tempo devem está na mesma unidade de tempo). 
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A taxa foi dada em anos, e por tanto devemos utilizar o tempo em anos. 
 t = 12 meses = 1 ano 
Logo, devemos utilizar ao invés de 12 meses, 1 ano, na fórmula ficando assim: 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡 
𝑀 = 10.000(1 + 0,06)1 
𝑀 = 10.600 
Para calcular os juros devemos subtrair o montante pelo capital: 
J = M – C 
J = 10600 – 10000 
J = 600,00 
Portanto, o rendimento a uma taxa de juros compostos de 6% ao ano durante 12 meses (1 
ano), é de, aproximadamente, R$ 600,00. 
Outros exemplos 
 
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entendimento 
 
 
 
 
 
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