não

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE TIRADENTES 
ARQUITETURA E URBANISMO / ENGENHARIA CIVIL 
 
Aracaju, SE 
2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRUTURAS DE MADEIRA 
Apostila para os cursos de Engenharia Civil e Arquitetura e Urbanismo da UNIT 
Versão 02: 2018/2 
 
 
 
Prof.: Ma. Raquel Alves Cabral Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta Apostila foi desenvolvida pela Prof. Raquel Cabral com o intuito de possibilitar aos alunos 
da disciplina Estruturas de Madeira um melhor acompanhamento das aulas. 
É importante salientar que o uso desta não anula a leitura complementar dos conteúdos através 
de livros, alguns destes recomendados abaixo: 
• NBR 7190:1997 – Projeto de estruturas de madeira. 
• Caderno de projeto de telhados de estruturas de madeira. MOLITERNO, Antonio. 
• Estruturas de Madeira. PFEIL, Walter. PFEIL, Michele. 
• Coberturas em estrutura de madeira: exemplos de cálculo. CALIL, Carlito. MOLINA, 
Júlio. 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA MADEIRA ........................................................................................................... 6 
1.1 Introdução ....................................................................................................................................................... 6 
1.2 Classificação das madeiras ............................................................................................................................. 7 
1.3 Propriedades físicas da Madeira...................................................................................................................... 7 
1.4 Propriedades mecânicas da Madeira ............................................................................................................. 10 
1.5 EXERCÍCIOS – capítulo 1 ............................................................................................................................. 13 
2 Ações nas estruturas da madeira....................................................................................................................... 15 
2.1 EXERCÍCIOS – capítulo 2 ............................................................................................................................. 19 
3 Dimensionamento de elementos tracionados de madeira ............................................................................... 20 
3.1 Ligação com prego ........................................................................................................................................ 20 
3.2 Ligação com parafuso ................................................................................................................................... 21 
3.3 Ligação com conector de anel ....................................................................................................................... 21 
3.4 Para furos alinhados na direção da carga ...................................................................................................... 21 
3.5 Para furos desalinhados ................................................................................................................................ 22 
3.6 Para peças com identação ............................................................................................................................ 22 
3.7 EXERCÍCIOS – CAPÍTULO 3 ........................................................................................................................ 23 
4 DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS COMPRIMIDOS ................................................................................... 24 
4.1 Introdução ..................................................................................................................................................... 24 
4.2 Classificação das peças ................................................................................................................................ 24 
4.3 Dimensionamento de peças curtas ................................................................................................................ 25 
4.4 Dimensionamento de peças medianamente esbeltas .................................................................................... 26 
4.5 Dimensionamento de peças esbeltas ............................................................................................................ 27 
4.6 ExeRCÍCIOS – CAPÍTULO 4 ......................................................................................................................... 29 
LISTA DE EXERCÍCIOS ............................................................................................................................................... 32 
Referências Bibliográficas.......................................................................................................................................... 40 
ANEXO 1: MOMENTO DE INÉRCIA DE PEÇAS CONHECIDAS. ................................................................................ 41 
ANEXO 2: UTILIZAÇÃO DE ALGUNS TIPOS DE MADEIRA E TABELAS DA NBR 7190:1997 ................................. 42 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
6 
 
1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA MADEIRA 
 
1.1 INTRODUÇÃO 
 
No Brasil a madeira é empregada para diversos fins, tais como, em construções de igrejas, residências, depósitos 
em geral, cimbramentos, pontes (grande utilização do Eucalipto), passarelas, linhas de transmissão de energia elétrica, 
na indústria moveleira, construções rurais e, especialmente, em edificações em ambientes altamente corrosivos, como 
à beira-mar, nas indústrias químicas, curtumes etc. 
Atualmente, ainda existe no Brasil um grande preconceito em relação ao emprego da madeira. Isto se deve ao 
desconhecimento do material e à falta de projetos específicos e bem elaborados. As construções em madeira geralmente 
são idealizadas por carpinteiros que não são preparados para projetar, mas apenas para executar. Consequentemente, 
as construções de madeira são vulneráveis aos mais diversos tipos de problemas, o que gera uma mentalidade 
equivocada sobre o material. É comum se ouvir a frase absurda arraigada na sociedade: "a madeira é um material fraco". 
Isto revela um alto grau de desconhecimento, gerado pela própria sociedade. Em função disto, não se pode tomar como 
exemplo a maioria das estruturas de madeira já construídas sem projeto, pois podem fazer parte do rol de estruturas 
"contaminadas" pelo menosprezo à madeira ou procedentes de maus projetos. (GESUALDO, 2003). 
A seguir são apresentadas as principais características da madeira: 
➢ material de construção extremamente antigo 
➢ excelente relação resistência/peso 
➢ bom isolamento térmico 
➢ facilidade de fabricação de diversos produtos industrializados 
➢ sujeita a degradação biológica (por ataque de fungos) 
➢ sujeita à ação de fogo 
➢ por ser material natural apresenta defeitos – fendas, nós, etc. 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
7 
 
 
 
1.2 CLASSIFICAÇÃO DAS MADEIRAS 
 
As madeiras podem ser dividias em madeiras duras (conhecidas também como madeiras de lei) ou madeiras 
macias. Essas categorias distinguem-se pela estrutura celular dos troncos e não propriamente pela resistência. 
Por exemplo, algumas árvores duras possuem resistência menor que outras macias. 
Madeiras duras: são provenientes de árvores frondosas (dicotiledôneas,da classe Angiosperma, com folhas 
achatadas e largas), de crescimento lento, como peroba, ipê, aroeira, carvalho, etc. As madeiras duras de melhor 
qualidade são também chamadas madeiras de lei. 
Madeiras macias: são provenientes em geral das árvores coníferas (da classe Gimnosperma, com folhas em forma 
de agulhas ou escamas, e sementes agrupadas em forma de cones), de crescimento rápido, como pinheiro-do-paraná e 
pinheiro-bravo, ou pinheirinho, pinheiros europeus, norte-americanos etc. 
 
1.3 PROPRIEDADES FÍSICAS DA MADEIRA 
 
• Anisotropia: devido à orientação das células, a madeira é um material anisotrópico, apresentando três direções 
principais (radial, longitudinal e tangencial). Das direções citadas, as principais para a consideração das 
propriedades são a longitudinal e a direção perpendicular a ela. 
Material anisotrópico*: são materiais que possuem suas propriedades mecânicas dependente da direção considerada. 
PRÓS
•Excelente relação 
resistência/peso
•Facilidade de fabricação de 
diversos produtos 
industrializados
•Bom isolamento térmico
CONTRAS
•Sujeita à degradação 
biológica
•Sujeita à ação do fogo
•Apresenta inúmeros 
defeitos, como nós e fendas 
que interferem nas 
propriedades mecânicas.
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
8 
 
Figura 1: Direções consideradas na madeira 
 
• Umidade: tem grande importância sobre as propriedades da madeira. É comum as propriedades terem como 
referência uma umidade padrão de 12%. 
 Quando a madeira atinge a umidade de 12% é chamada de madeira seca ao ar - caracterizada por uma umidade 
adquirida nas condições atmosféricas local, ou seja, é a madeira que atingiu um ponto de equilíbrio com o meio ambiente. 
A ABNT NBR 7190:1997 considera o valor de 12% como referência. 
 A NBR 7190:1997 estabelece que o projeto das estruturas de madeira deve ser feito considerando o teor de 
umidade de equilíbrio da madeira, no local onde será implantada a obra. 
Tabela 1: classes de umidade da madeira 
Classe de 
umidade 
Umidade relativa do ambiente 
Uamb 
Umidade de equilíbrio da 
madeira Ueq. 
1 ≤ 65% 12% 
2 65% < Uamb. ≤ 75 % 15% 
3 75% < Uamb. ≤ 85 % 18% 
4 
Uamb > 85% durante longos 
períodos 
≥ 25% 
Fonte: NBR 7190/97 
 As classes de umidade têm por finalidade ajustar as propriedades de resistência e de rigidez da madeira em 
função das condições ambientais onde permanecerão as estruturas 
Para caracterização do material, a umidade da madeira pode ser obtida em laboratório através da seguinte 
equação: 
 
Pi – peso inicial da madeira 
Ps – peso seco em estufa 
( ) 100%
s
si
P
PP
U
−
=
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
9 
 
• Retração / Inchamento em função da umidade; 
• A dilatação linear na direção longitudinal é em torno de 1/3 da do aço; 
• Deterioração: biológica e fogo (tratamentos químicos); 
“Por meio de tratamentos químicos pode-se aumentar a resistência da madeira aos ataques de agentes 
biológicos e do fogo. Este tratamento em geral consiste em impregnar a madeira com preservativos químicos 
e retardadores de fogo. A escolha da espécie de madeira, a aplicação do tratamento adequado e a adoção de 
detalhes construtivos que favoreçam as condições ambientais resultam em estruturas de madeira de grande 
durabilidade.” (PFEIL). 
• Fogo: quando adequadamente projetadas e construídas, as estruturas de madeira apresentam ótimo 
desempenho sob ação do fogo. As peças robustas oxidam lentamente devido à baixa condutividade de calor, 
guardando um núcleo íntegro. 
 A resistência ao fogo é a capacidade medida em tempo para resistir à atuação do fogo plenamente 
desenvolvido, sem ocorrência do colapso da estrutura. A madeira tem um aspecto interessante em relação ao 
comportamento diante do fogo. Seu problema é a inflamabilidade. No entanto, diante de altas temperaturas 
provavelmente terá maior resistência que o aço, pois sua resistência não se altera sob altas temperaturas. 
 Assim, uma peça de madeira exposta ao fogo torna-se um combustível para a propagação das chamas 
(inflamabilidade); porém, após alguns minutos, uma camada mais externa da madeira se carboniza tornando-se um 
isolante térmico, que retém o calor, auxiliando na contenção do incêndio, evitando que toda a peça seja destruída. 
 
Figura 2: Madeira em situação de incêndio 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
10 
 
Figura 3: Madeira em situação de incêndio 
 
 
 
1.4 PROPRIEDADES MECÂNICAS DA MADEIRA 
 
As propriedades físicas e mecânicas das espécies de madeira são obtidas por meio de ensaios padronizados em 
amostras sem defeitos. No Brasil, estes ensaios são descritos na NBR 7190/1997. 
“As propriedades da madeira são condicionadas por sua estrutura anatômica, devendo distinguir-se os valores 
correspondentes à tração dos correspondentes à compressão, bem como os valores correspondentes à direção paralela 
às fibras dos correspondentes à direção normal às fibras. Devem também distinguir-se os valores correspondentes às 
diferentes classes de umidade, conforme Tabela 1 apresentada anteriormente”. (NBR 7190/97). 
• CLASSES DE RESISTÊNCIA 
Em relação à resistência, as madeiras são classificadas pela NBR 7190 em algumas classes, conforme Tabelas 2 
e 3. Estas classes padronizam as propriedades das madeiras para a escolha em projetos estruturais. 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
11 
 
Tabela 2: classes de resistência da madeira (Coníferas) 
Coníferas 
(Valores na condição-padrão de referência U = 12%) 
Classes 
fcok 
MPa 
fvk 
MPa 
Eco,m 
MPa 
C20 20 4 3500 
C25 25 5 8500 
C30 30 6 14500 
Fonte: NBR 7190/97 
 
Tabela 3: classes de resistência da madeira (Dicotiledôneas) 
Dicotiledôneas 
(Valores na condição-padrão de referência U = 12%) 
Classes 
fcok 
MPa 
fvk 
MPa 
Eco,m 
MPa 
C20 20 4 9500 
C30 30 5 14500 
C40 40 6 19500 
C60 60 8 24500 
Fonte: NBR 7190/97 
• COEFICIENTE DE MODIFICAÇÃO 
Existem ainda os coeficientes de modificação que interferem nos valores de cálculo (ou seja, de projeto) das 
propriedades da madeira. Estes coeficientes chamados de kmod variam conforme a classe de carregamento da estrutura, 
a classe de umidade, o tipo de material e a qualidade da madeira (de 1ª ou 2ª categoria). 
𝐊𝐦𝐨𝐝 = 𝐤𝐦𝐨𝐝,𝟏 . 𝐤𝐦𝐨𝐝,𝟐 . 𝐤𝐦𝐨𝐝,𝟑 
Onde: 
kmod,1: leva em conta a classe de carregamento e o tipo de material empregado, conforme Tabela 4. 
kmod,2: leva em conta a classe de umidade e o tipo de material empregado, conforme Tabela 5. 
kmod,3: leva em conta se a madeira é de primeira ou segunda categoria (para 2ª categoria kmod,3 = 0,80 e para 1ª 
categoria kmod,3 = 1,0). 
 
OBS: Segundo a NBR 7190 “não se permite classificar as madeiras como de primeira categoria apenas por meio 
de método visual”. 
 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
12 
 
Tabela 4: valores de kmod,1 
Classes de 
carregamentoTipos de madeira 
Madeira serrada 
Madeira laminada 
colada 
Madeira recompensada 
Madeira 
recomposta 
Permanente 0,60 0,30 
Longa duração 0,70 0,45 
Média duração 0,80 0,65 
Curta duração 0,90 0,90 
Instantânea 1,10 1,10 
Fonte: NBR 7190/97 
 
Tabela 5: valores de kmod,2 
Classes de 
umidade 
Madeira serrada 
Madeira laminada 
colada 
Madeira compensada 
Madeira 
recomposta 
(1) e (2) 1,0 1,0 
(3) e (4) 0,8 0,9 
Fonte: NBR 7190/97 
 
 
• VALORES DE CÁLCULO DAS RESISTÊNCIAS 
 
 O valor de cálculo (ou de projeto) de uma propriedade da madeira é obtido a partir do valor característico, através 
da expressão abaixo. 
𝐟𝐰𝐝 = 𝐤𝐦𝐨𝐝
𝐟𝐰𝐤
𝛄𝐰
 
Onde: 
fwd: valor de cálculo da propriedade 
kmod: coeficiente de modificação 
fwk: valor característico da propriedade 
γw: coeficiente de minoração das propriedades conforme Tabela 6. 
Tabela 6: coeficientes de minoração para ELU e ELS 
Compressão paralela às fibras (ELU) γwc 1,40 
Tração paralela às fibras (ELU) γwt 1,80 
Cisalhamento (ELU) γwv 1,80 
Para ELS γw 1,00 
Fonte: NBR 7190/97 
𝒇𝒘𝒌 = 𝟎, 𝟕𝟎𝒇𝒎é𝒅 
Onde: fméd.: resistência média obtida em ensaios e apresentada na NBR 7190 para as espécies investigadas em 
laboratório. Para esta propriedade consultar Anexo A desta apostila. 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
13 
 
• ESTIMATIVA DA RIGIDEZ 
Conforme item 6.4.9 da NBR 7190/97, nas verificações de segurança que dependem da rigidez da madeira, o 
módulo de elasticidade paralelamente às fibras pode ser tomado com o valor efetivo (Ec0,ef): 
𝐄𝐜𝟎,𝐞𝐟 = 𝐊𝐦𝐨𝐝𝐄𝐜𝟎,𝐦 
Ec0,m: valor médio dado na tabela do Anexo A. 
1.5 EXERCÍCIOS – CAPÍTULO 1 
 
QUESTÃO 1: Determinar os valores de cálculo para a resistência à compressão paralela às fibras e ao cisalhamento 
para a espécie Eucalipto Citriodora. Considerar madeira serrada, de segunda categoria, classe de umidade 2 e 
carregamento de longa duração. 
 
QUESTÃO 2: Determinar os valores de cálculo para a resistência à compressão paralela às fibras e ao cisalhamento 
para a espécie Maçaranduba. Considerar madeira serrada, de segunda categoria, classe de umidade 2 e carregamento 
de longa duração. 
 
QUESTÃO 3 (Calil Jr, 2003): Determinar os valores de cálculo para a resistência à compressão paralela às fibras e ao 
cisalhamento para a espécie Eucalipto Citriodora, com base nos resultados fornecidos na Tabela 1, do Anexo E, da NBR 
7190/97. Considerar madeira serrada, de segunda categoria, classe de umidade 2 e carregamento de longa duração. 
 
QUESTÃO 4 (Calil Jr, 2003): Determinar os valores de cálculo para a resistência à compressão paralela às fibras e ao 
cisalhamento, bem como o valor efetivo do módulo de elasticidade na direção paralela às fibras para a classe C60 
(dicotiledônea). Considerar madeira serrada, de segunda categoria, classe de umidade 2 e carregamento de longa 
duração. 
 
QUESTÃO 5 (PFEIL, 2003): Determinar a tensão resistente de projeto à tração paralela às fibras, sabendo-se que em 
um projeto será utilizada madeira serrada de pinho-do-paraná e o local da construção tem umidade relativa do ar média 
de 80%. 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
14 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
15 
 
2 AÇÕES NAS ESTRUTURAS DA MADEIRA 
 
• HIPÓTESES DE SEGURANÇA 
 
Tabela 7: Estados Limites 
Estados Limites 
Estado Limite Último (ELU) Estado Limite de Serviço (ELS) 
Estados que determinam a paralisação, no todo ou em parte, do uso 
da estrutura: 
 Ruptura ou deformação plástica excessiva dos materiais; 
 Perda do equilíbrio, global ou parcial, admitida a estrutura 
como corpo rígido 
Estados que causam efeitos estruturais que não respeitam as 
condições especificadas para o uso normal da construção, ou que são 
indícios de comprometimento de sua durabilidade: 
 Deformações excessivas 
 Vibrações de amplitude excessiva 
• AÇÕES 
As ações são as causas que provocam os esforços ou deformações nas estruturas (NBR 8681): 
 
Nas estruturas correntes de madeira, devem ser consideradas as seguintes ações, além das que possam surgir 
em casos especiais: cargas permanentes, cargas acidentais e ação do vento. 
Cargas permanentes Cargas variáveis Vento 
 Peso próprio 
 Peso das partes fixas 
não estruturais 
 NBR 6120 
 Devem estar dispostas na posição 
mais desfavorável 
 Devem ser consideradas de longa 
duração 
 NBR 6123 
 Na combinação de ações de longa duração em 
que o vento representa a ação variável principal, 
as solicitações devidas à ação do vento serão 
multiplicadas por 0,75. 
• Apresentam pequena variação durante praticamente toda a vida da construçãoPermanentes
• Apresentam variação significativa durante a vida da estruturaVariáveis
• Apresentam duração extremamente curta, com baixa probabilidade de ocorrência, durante a
vida da estrutura
Excepcionais
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
16 
 
• CARREGAMENTOS 
Um carregamento é especificado pelo conjunto das ações que tem probabilidade não desprezível de atuação 
simultânea. 
Em cada tipo de carregamento, as ações devem ser combinadas de diferentes maneiras, a fim de se determinar 
os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura. 
A NBR 7190 apresenta classes de carregamento definidas pela duração acumulada prevista para a ação variável 
tomada como principal na combinação, conforme Tabela 8. 
 
Tabela 8: Classes de carregamento 
Classe de carregamento 
Ação variável principal da combinação 
Duração acumulada 
Ordem de grandeza da duração 
acumulada da ação 
característica 
Permanente Permanente Vida útil da construção 
Longa duração Longa duração Mais de seis meses 
Média duração Média duração Uma semana a seis meses 
Curta duração Curta duração Menos de uma semana 
Duração instantânea Duração instantânea Muito curta 
Fonte: NBR 7190/97 
 
 Carregamento normal 
o Inclui apenas as ações decorrentes do uso previsto para a construção. 
o Sua classe é de longa duração e deve sempre ser considerada na verificação do ELU e ELS; 
o As ações de curta e média duração terão seus valores atuantes reduzidos; 
 Carregamento especial 
o Estão incluídas as ações variáveis de natureza ou intensidade especiais; 
o Exemplo: transporte de um equipamento especial sobre uma ponte, que supere o 
carregamento do trem-tipo considerado. 
 Carregamento excepcional 
o Na existência de ações com efeitos catastróficos, o carregamento é definido como excepcional; 
o Carregamento de duração instantânea; 
o Exemplo: terremoto; 
 Carregamento de construção 
o Os procedimentos podem levar a estados limites últimos; 
o Exemplo: içamento de uma treliça 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
17 
 
• COMBINAÇÕES DE AÇÕES 
Combinações para Estado Limite Último (ELU) 
 
1) Combinações últimas normais 
𝐹𝑑 = ∑ 𝛾𝑔𝑖𝐹𝑔𝑖
𝑚𝑖=1
+ 𝛾𝑞1𝐹𝑞1 + ∑(𝛾𝑞𝑗𝜓0𝑗𝐹𝑞𝑗)
𝑛
𝑗=2
 
2) Combinações últimas especiais ou de construção 
𝐹𝑑 = ∑ 𝛾𝑔𝑖𝐹𝐺𝑖
𝑚
𝑖=1
+ 𝛾𝑞1𝐹𝑄1 + ∑(𝛾𝑞𝑗𝜓0𝑗,𝑒𝑓𝐹𝑄𝑗)
𝑛
𝑗=2
 
3) Combinações últimas excepcionais 
𝐹𝑑 = ∑ 𝛾𝑔𝑖𝐹𝐺𝑖
𝑚
𝑖=1
+ 𝐹𝑄,𝑒𝑥𝑐 + ∑(𝛾𝑞𝑗𝜓0𝑗,𝑒𝑓𝐹𝑄𝑗)
𝑛
𝑗=1
 
 
Combinações para Estado Limite de Serviço (ELS) 
 
1) Combinações de longa duração 
𝐹𝑠𝑒𝑟 = ∑ 𝐹𝐺𝑖
𝑚
𝑖=1
+ ∑ 𝜓2𝑗𝐹𝑄𝑗
𝑛
𝑗=1
 
2) Combinações de média duração 
𝐹𝑠𝑒𝑟 = ∑ 𝐹𝐺𝑖
𝑚
𝑖=1
+ 𝜓1𝐹𝑄1 + ∑ 𝜓2𝑗𝐹𝑄𝑗
𝑛
𝑗=2
 
3) Combinações de curta duração 
𝐹𝑠𝑒𝑟 = ∑ 𝐹𝐺𝑖
𝑚
𝑖=1
+ 𝐹𝑄1 + ∑ 𝜓1𝑗𝐹𝑄𝑗
𝑛
𝑗=2
 
 
 Os coeficientes para combinações de ações, dispostos na NBR 7190/97, são apresentados nas Tabelas 9, 10, 
11, 12 e 13. 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
18 
 
Tabela 9: Ações permanentes de pequena variabilidade 
Combinações 
Para efeitos 
Desfavoráveis Favoráveis 
Normais γg = 1,30 γg = 1,00 
Especiais ou de 
construção 
γg = 1,20 γg = 1,00 
Excepcionais γg = 1,10 γg = 1,00 
Fonte: NBR 7190/97 
 
Ação permanente de pequena variabilidade: peso da madeira 
classificada estruturalmente, cuja densidade tenha coeficiente de 
variação não superior a 10%; 
 
Tabela 10: Ações permanentes de grande variabilidade 
Combinações 
Para efeitos 
Desfavoráveis Favoráveis 
Normais γg = 1,40 γg = 0,90 
Especiais ou de 
construção 
γg = 1,30 γg = 0,90 
Excepcionais γg = 1,20 γg = 0,90 
Fonte: NBR 7190/97 
 
Ação permanente de grande variabilidade: 
quando o peso próprio da estrutura não supera 75% da 
totalidade dos pesos permanentes. 
 
Tabela 11: Ações permanentes indiretas 
Combinações 
Para efeitos 
Desfavoráveis Favoráveis 
Normais γg = 1,20 γg = 0,0 
Especiais ou de 
construção 
γg = 1,20 γg = 0,0 
Excepcionais γg = 0,0 γg = 0,0 
Fonte: NBR 7190/97 
Tabela 12: Ações variáveis 
Combinações 
Ações variáveis em geral, 
incluídas as cargas 
acidentais móveis 
Efeitos da 
temperatura 
Normais γq = 1,40 γq = 1,2 
Especiais ou 
de construção 
γq = 1,20 γq = 1,0 
Excepcionais γq = 1,0 γq = 0,0 
 
Fonte: NBR 7190/97 
 
Tabela 13: Fatores de combinação e utilização 
Ações em estruturas correntes Ψ0 Ψ1 Ψ2 
Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 0,5 0,3 
Pressão dinâmica do vento 0,5 0,2 0,0 
Cargas acidentais em edifícios Ψ0 Ψ1 Ψ2 
Locais em que não há predominância de equipamentos fixos, nem de elevadas 
concentrações de pessoas 
0,4 0,3 0,2 
Locais onde há predominância de equipamentos fixos, ou de elevadas 
concentrações de pessoas 
0,7 0,6 0,4 
Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,80 0,7 0,6 
Fonte: NBR 7190/97 
 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
19 
 
2.1 EXERCÍCIOS – CAPÍTULO 2 
 
QUESTÃO 1 (PFEIL, 2003). Uma treliça de cobertura em madeira está sujeita aos seguintes carregamentos verticais 
distribuídos por unidade de comprimento (valor positivo indica carga no sentido gravitacional). 
Peso próprio + peso da cobertura: G = 0,80 kN/m 
Carga acidental: Q = 1,50 kN/m 
Vento V1 (sobrepressão): V1 = 1,30 kN/m 
Vento V2 (sucção): V2 = - 1,80 kN/m 
Calcular as ações combinadas para o projeto no estado limite último de acordo com a NBR 7190. 
 
QUESTÃO 2 (Calil Jr, 2003). Uma treliça utilizada na estrutura de cobertura de um galpão industrial está sujeita à ação 
permanente (peso próprio e outras sobrecargas permanentes), à ação do vento (sobrepressão e sucção) e a uma 
sobrecarga. 
Uma barra da mencionada treliça está submetida aos esforços normais originados das mencionadas ações: 
 Npp = - 5 kN (compressão devida ao peso próprio) 
 Np = -12 kN (compressão devida às demais cargas permanentes) 
 Nq1 = 14 kN (tração devido ao vento de sucção) 
 Nq2 = -12,5 kN (compressão devida ao vento de sobrepressão) 
 Nq3 = -6 kN (compressão devida à sobrecarga) 
Calcular as ações combinadas para o projeto no estado limite último de acordo com a NBR 7190. 
 
 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
20 
 
3 DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS TRACIONADOS DE MADEIRA 
A madeira tem boa resistência à tração na direção paralela às fibras, podendo ser eficientemente utilizada como 
peça sujeita à tração axial. O ponto crítico para dimensionamento fica nas emendas ou ligações de extremidade das 
peças. O esforço resistente de tração é igual à área líquida multiplicada pela tensão resistente à tração. (PFEIL, 2003). 
 CONDIÇÃO DE SEGURANÇA 
Para peças tracionadas com esforço paralelo às fibras: 
𝝈td =
𝑵𝒅
𝑨𝒏
≤ 𝒇td 
σtd – valor de cálculo da tensão atuante de tração 
Nd – valor de cálculo do esforço de tração 
An - área líquida da seção transversal 
ftd – valor de cálculo da resistência à tração paralela às fibras 
 
 ÁREA LÍQUIDA 
 
A área líquida é obtida deduzindo-se da área bruta Ag da seção transversal as áreas projetadas dos furos ou 
entalhes executados na madeira para instalação dos elementos de ligação. 
 
 
 
 
3.1 LIGAÇÃO COM PREGO 
 
A área a ser subtraída é igual ao diâmetro do prego vezes a largura da peça. 
 
𝐴𝑛 = 𝐴𝑔 − bd𝑝 
Ligação com prego
Ligação com parafuso
Ligação com conector de anel
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
21 
 
3.2 LIGAÇÃO COM PARAFUSO 
A área a ser descontada é igual ao diâmetro do furo d’ vezes a largura b da peça: 
 
Fonte: PFEIL, 2003 
 
𝐴𝑛 = 𝐴𝑔 − bd
′ 
 
3.3 LIGAÇÃO COM CONECTOR DE ANEL 
A área a ser descontada da seção é a área projetada do entalhe na madeira para instalação do anel mais a parcela 
não sobreposta da área projetada do furo para o parafuso. 
 
Fonte: PFEIL, 2003 
 
𝐴𝑛 = 𝐴𝑔 − Dt − (𝑏 − 𝑡)𝑑
′ 
3.4 PARA FUROS ALINHADOS NA DIREÇÃO DA CARGA 
A seção útil é obtida na seção normal BB’; 
Diâmetro do furo: d’ 
Largura da peça: b 
 
Fonte: PFEIL, 2003 
 
𝐴𝑛 = 𝐴𝑔 − 2bd
′ 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
22 
 
3.5 PARA FUROS DESALINHADOS 
 
 
Fonte: PFEIL, 2003 
 
Se: 
S < 4d: 𝑨𝒏 = 𝑨𝒈 − 2bd
′ 
S > 4d: 𝑨𝒏 = 𝑨𝒈 − bd
′ 
 
3.6 PARA PEÇAS COM IDENTAÇÃO 
 
A área líquida é obtida deduzindo-se a área correspondente à profundidade cortada. 
A distância “a” deve ser suficiente para redistribuir as tensões de tração na largura total da peça, de modo a se 
poder contar com a largura total na região dos conectores. 
 
Fonte: PFEIL, 2003 
𝒂 ≥ 𝒄
𝒇𝒕𝒅
𝒇𝝂𝒅
 
 
 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
23 
 
3.7 EXERCÍCIOS – CAPÍTULO 3 
 
QUESTÃO 1 (PFEIL, 2003). Um pendural de Pinho-do-Paraná de segunda categoria usado em ambiente de classe3 
de umidade, está ligado por parafusos de 25 mm a duas talas laterais metálicas. 
O pendural está sujeito aos seguintes esforços de tração, oriundos de ações de construção (cargas de média duração): 
 Carga permanente: Ng = 15 kN 
 Carga variável: Nq = 10 kN 
Verificar a segurança do pendural em tração paralela às fibras. 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
24 
 
4 DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS COMPRIMIDOS 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
 
As peças comprimidas podem estar presentes em barras de treliças ou pilares, por exemplo. 
As seções podem ser simples ou compostas (quando formadas pela união de mais de uma seção simples). 
Os esforços que surgem podem ser: 
• Compressão simples: quando o efeito de flambagem puder ser desconsiderado; 
• Flexo-compressão: quando a carga aplicada possui excentricidade ou quando há aplicação de cargas 
transversais em conjunto com as cargas axiais. 
 
4.2 CLASSIFICAÇÃO DAS PEÇAS 
 
As peças de madeira podem ser classificadas em função do seu índice de esbeltez (λ), calculado pela equação 
abaixo: 
𝝀 =
𝒍𝟎
𝒓
 
Sendo “r” o raio de giração da peça: 
𝒊 = √
𝑰
𝑨
 
I: momento de inércia (para o cálculo do momento de inércia de algumas seções conhecidas, consultar Anexo 1). 
A: área da seção transversal 
L0 é comprimento de flambagem do elemento. Para peças de madeiras tem-se que o comprimento de 
flambagem é igual ao comprimento da peça, com uma única exceção: peças engastadas (Figura ao 
lado). Nesse último caso Lo = 2L. 
 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
25 
 
A partir do índice de esbeltez as peças podem ser classificadas de acordo com a Tabela 14. 
 
Tabela 14: classificação das peças comprimidas 
Peças curtas λ ≤ 40 
Peças medianamente esbeltas 40 < λ ≤ 80 
Peças esbeltas λ > 80 
 
Figura 4: Classificação das peças de madeira de acordo com a esbeltez 
 
Fonte: PACHECO 
 
Cada tipo de peça, apresentada na Tabela 14, possui um comportamento diante da flexão e com isto um método de 
dimensionamento específico tendo como referência a NBR 7190:1997. 
• Peças curtas: não sofrem instabilidade geométrica e sua ruptura, portanto, é controlada pelo esmagamento das 
fibras do material constituinte do elemento estrutural. 
• Peças medianamente esbeltas: devem ser avaliadas quanto a efeitos de flambagem. 
• Peças esbeltas: neste caso, os efeitos devido à instabilidade geométrica (flambagem) são ainda mais intensos. 
Os procedimentos de cálculo para cada tipo de peça comprimida serão apresentados nos itens a seguir. 
4.3 DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS CURTAS 
 
Para as peças curtas não é preciso considerar redução de resistência à compressão devida ao processo de 
flambagem, ou seja, neste caso a resistência da coluna curta é igual à resistência da seção mais solicitada. 
𝜎c0,d =
𝑁𝑑
𝐴
≤ 𝑓c0,d 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
26 
 
Onde: 
σc0,d – valor de cálculo da tensão de compressão atuante 
Nd – valor de cálculo do esforço normal de compressão 
A – área da seção transversal 
fc0,d – valor de cálculo da resistência à compressão paralela. 
 
4.4 DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS MEDIANAMENTE ESBELTAS 
 
Para as peças medianamente esbeltas, com índice de esbeltez entre 40 e 80, tem-se: 
▪ A resistência é afetada pela ocorrência de flambagem; 
▪ Mesmo uma coluna sob efeito de uma carga centrada fica sujeita à flexocompressão devido às imperfeições 
geométricas; 
▪ O efeito das imperfeições geométricas é considerado através de uma excentricidade acidental; 
▪ Deve ser verificada a condição de estabilidade; 
 
 Para este tipo de peça, a estabilidade é verificada se for respeitada a seguinte equação: 
𝜎Nd
𝑓c0,d
+
𝜎Md
𝑓c0,d
≤ 1 
 σNd – valor de cálculo da tensão de compressão devida à força normal de compressão (Nd); 
 σMd – valor de cálculo da tensão de compressão devida ao momento fletor de segunda ordem (Md); 
 
 
 
 
 
 
▪ FE: carga crítica de Euller 
𝐹𝐸 =
𝜋2𝐸c0,ef𝐼
𝐿0
2 
 
 






−
=
dE
E
1dd
NF
F
eNM
Excentricidade de primeira ordem amplificada 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
27 
 
▪ ea – excentricidade acidental mínima devido às imperfeições geométricas das peças; 
𝑒𝑎 =
𝐿0
300
 
▪ ei – excentricidade inicial decorrente dos valores de cálculo do momento fletor e do esforço normal. Não deve 
ser menor que h/30, sendo h a altura da peça referente ao plano de verificação da estabilidade; 
𝑒𝑖 =
𝑀1d
𝑁𝑑
 
▪ e1 – excentricidade de primeira ordem; 
𝑒1 = 𝑒𝑖 + 𝑒𝑎 
 
 
 
 
Na expressão acima percebe-se que a tensão referente ao momento fletor nunca será nula pois, como pode ser 
visto na expressão mesmo que não haja uma excentricidade inicial, ei, haverá sempre uma excentricidade acidental, ea, 
exigida por norma. 
Verifica-se que, na expressão do momento fletor, Md, para diferenças pequenas entre a carga axial (Nd) e a carga 
crítica (FE), há a tendência correta de se produzir altos valores para este momento fletor. Em contrapartida, estando o 
valor de carga afastado da carga crítica, não há problemas de instabilidade, o que resulta num momento fletor menor. 
4.5 DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS ESBELTAS 
 A estabilidade é verificada com a mesma equação das peças medianamente esbeltas: 
𝝈Nd
𝒇c0,d
+
𝝈Md
𝒇c0,d
≤ 𝟏 
Neste caso a diferença é que há um aumento na excentricidade de 1ª ordem resultante de um valor que considera 
a fluência da madeira: 
𝑀𝑑 = 𝑁𝑑 ⋅ 𝑒1,ef ⋅ (
𝐹𝐸
𝐹𝐸 − 𝑁𝑑
) 
 
𝑒1,ef = 𝑒1 + 𝑒𝑐 = 𝑒𝑖 + 𝑒𝑎 + 𝑒𝑐 
 






−
=
dE
E
1dd
NF
F
eNM
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
28 
 
A excentricidade suplementar ec considera a fluência na madeira. Tal excentricidade teria a função de considerar 
desalinhamentos no elemento estrutural que seriam produzidos pelo comportamento viscoelástico da madeira, ou 
seja, devido à sua fluência, o que tende a ser potencializado por variações de umidade do ambiente e na própria 
madeira (PACHECO). 
𝑒𝑐 = (𝑒ig + 𝑒𝑎) {exp {
𝜑[𝑁gk + (𝜓1 + 𝜓2)𝑁qk]
𝐹𝐸 − [𝑁gk + (𝜓1 + 𝜓2)𝑁qk]
} − 1} 
 Onde: 
▪ Ngk e Nqk – valores característicos da força normal devidos à carga permanentes e variáveis 
▪ φ – coeficiente de fluência (Tabela 15) 
 
Tabela 15: Coeficiente de fluência 
Classes de carregamento 
Classes de umidade 
(1) e (2) (3) e (4) 
Permanente ou longa duração 0,80 2,00 
Média duração 0,30 1,00 
Curta duração 0,10 0,50 
 Fonte: NBR 7190 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
29 
 
4.6 EXERCÍCIOS – CAPÍTULO 4 
 
QUESTÃO 01 (Calil Jr, 2003). Verifique se uma barra de treliçade L0 = 133 cm, com seção transversal de 2x(3x12) cm, 
é suficiente para resistir a uma solicitação de: 
 
Carga permanente: -675 daN 
Vento de pressão: -294 daN 
Considerar Madeira dicotiledônea de classe C60. 
 
 
 
QUESTÃO 02 (Calil Jr, 2003). Verifique se uma barra de treliça de L0 = 169 cm, 
com seção transversal de 2x(6x12) cm, é suficiente para resistir a uma 
solicitação de: 
 
Carga permanente: -7097 daN 
Vento de pressão: -3148 daN 
Considerar Madeira dicotiledônea de classe C60. 
 
 
 
QUESTÃO 03 (PFEIL, 2003). Uma coluna de Eucalipto Citriodora, com diâmetro nominal de 16 cm, está sujeita aos 
seguintes esforços axiais de compressão: 
• Ng = 42 kN (carga permanente) 
• Nq = 45 kN (carga variável de utilização) 
• Considere: classe de umidade 2 e madeira de segunda categoria 
• Verifique a segurança da coluna no estado limite último para dois valores de comprimento de flambagem: 
a) 3 m 
b) 4 m. 
 
QUESTÃO 04 (PFEIL, 2003). Uma coluna de madeira laminada de 
seção I tem comprimento de flambagem igual a 8,50 m nas duas 
direções perpendiculares a seu eixo. 
Verificar a segurança da coluna nas seguintes condições: 
• Madeira: ipê 
• Classe de umidade: 3 
• Esforço normal de cálculo: Nd = 260 kN (carregamento de 
longa duração) 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
30 
 
QUESTÃO 05. Dimensionar um pilar de seção quadrada com a madeira Quarubarana para suportar uma carga de 15 tf, 
sendo 10 tf de carga permanente e 5 tf de carga acidental. Sabendo-se que funcionará como bi-rotulada e que seu 
comprimento são 3 metros. A madeira utilizada será serrada, classe de umidade 3 e de 2ª categoria. Para a seção 
transversal usar um valor inteiro em centímetros para o lado do quadrado. 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
31 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
32 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1. Determinar os valores de cálculo para a resistência à compressão paralela às fibras e ao cisalhamento para a espécie 
Canafistula. Considerar madeira serrada, de segunda categoria, classe de umidade 2 e carregamento de longa 
duração. 
 
Resposta: 
fc0d: (0,7 x 1,0 x 0,8) x (0,7 x 52) / 1,40 = 14,56 MPa 
fvd: (0,7 x 1,0 x 0,8) x (0,7 x 11,1) / 1,80 = 2,42 MPa 
 
2. Determinar os valores de cálculo das resistências para o Jatobá (Hymenaea spp), uma espécie de madeira muito 
empregada na construção de pontes, sob ação de cargas de longa duração, em ambiente seco ou parcialmente 
úmido, para estruturas construídas com madeira de 2ª categoria. 
 
Resposta: 
fc0d: (0,7 x 1,0 x 0,8) x (0,7 x 93,3) / 1,40 = 26,12 MPa 
fvd: (0,7 x 1,0 x 0,8) x (0,7 x 15,7) / 1,80 = 3,42 MPa 
ft0 d: (0,7 x 1,0 x 0,8) x (0,7 x 157,5) / 1,80 = 34,3 MPa 
ft90d: (0,7 x 1,0 x 0,8) x (0,7 x 3,2) / 1,80 = 0,70 MPa 
Ec0,ef. = 0,56 x 23607 = 13219,92 MPa 
 
3. A treliça apresentada na figura abaixo está submetida a carregamentos permanentes e variáveis causados pelo 
efeito do vento. Os esforços causados nas barras por esses carregamentos estão indicados na Tabela. Determinar 
os esforços de cálculo para o estado limite último, na situação mais crítica (tração ou compressão axiais) em cada 
uma das barras. 
 
 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
33 
 
Barra 
Ação 
permanente 
- N 
Ação variável 
(vento 
sobrepressão) 
- N 
Ação variável 
(vento 
sucção) - N 
Comb 1: Ação 
permanente + 
vento 
sobrepressão 
- N 
Comb 1: Ação 
permanente 
+ vento 
sucção - N 
Situação crítica - N 
Tração (+) 
Compressão 
(-) 
1-2 -26490 -12670 67310 
1-10 23860 12350 -65580 
3-4 -21560 -11290 59940 
4-5 -18300 -9650 51260 
4-11 4040 2340 -12430 
4-12 -3500 -1970 10410 
5-12 5070 2850 -15130 
5-13 0 0 0 
12-13 14010 6620 -35220 
 
Resposta: 
Barra 
Ação 
permanente 
- N 
Ação variável 
(vento 
sobrepressão) 
- N 
Ação variável 
(vento 
sucção) - N 
Comb 1: Ação 
permanente + 
vento 
sobrepressão 
- N 
Comb 1: Ação 
permanente 
+ vento 
sucção - N 
Situação crítica - N 
Tração (+) 
Compressão 
(-) 
1-2 -26490 -12670 67310 -50389,5 46834,5 46834,5 -50389,5 
1-10 23860 12350 -65580 46371,5 -47385 46371,5 -47385 
3-4 -21560 -11290 59940 -42038,5 43533 43533 -42038,5 
4-5 -18300 -9650 51260 -35752,5 37353 37353 -35752,5 
4-11 4040 2340 -12430 8113 -9415,5 8113 -9415,5 
4-12 -3500 -1970 10410 -6968,5 7780,5 7780,5 -6968,5 
5-12 5070 2850 -15130 10090,5 -11323,5 10090,5 -11323,5 
5-13 0 0 0 0 0 0 0 
12-13 14010 6620 -35220 265165 -24372 26565 -24372 
 
4. Uma treliça utilizada na estrutura de cobertura de um galpão industrial está sujeita à ação permanente (peso próprio 
e outras cargas permanentes), à ação do vento (sobrepressão e sucção) e a uma sobrecarga. 
Uma barra da mencionada treliça está submetida aos esforços normais originados das mencionadas ações: 
Npp = - 5 kN (compressão devida ao peso próprio) 
Np = -12 kN (compressão devida às demais cargas permanentes) 
Nq1 = 14 kN (tração devido ao vento de sucção) 
Nq2 = -12,5 kN (compressão devida ao vento de sobrepressão) 
Nq3 = -6 kN (compressão devida à sobrecarga) 
Calcular a combinação para ELU (combinação normal de longa duração). 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
34 
 
Resposta: 
Comb 1 (sobrecarga principal) 
Sd = 1,4 x (-5-12) + 1,4 x (-6) + 1,4 x 0,5 x (-12,5) = -40,95 kN 
Comb 2 (vento 2 principal) 
Sd = 1,4 x (-5-12) + 1,4 x 0,75 x (-12,5) + 1,4 x 0,4 x (-6) = -40,29 kN 
Comb 3 (PP + Vento 1 ) 
Sd = 0,9 x (-5-12) + 1,4 x 0,75 x 14 = -0,60 kN 
 
5. Verificar uma barra de Sucupira com seção transversal 6 cm x 16 cm solicitada pelas seguintes forças de tração 
axial: 
• Ação permanente de grande variabilidade: = 24 kN 
• Sobrecarga = 13 kN 
• Ação do vento = 7 kN 
Considerar umidade relativa do ambiente igual a 75% e carregamento de longa duração. 
 
Resposta: 
Ft0d = 0,56 x 0,7 x 123,4 / 1,80 = 26,87 MPa 
Nd = 1,4 x 24 + 1,4 x 13 x 1,4 x 0,5 x 7 = 56,7 kN 
Nd = 1,4 x 24 + 1,4 x 0,75 x 7 x 1,4 x 0,4 x 13 = 48,23 kN 
σd = 56,7 / (6x16) = 0,59 kN/cm² = 5,9 MPa 
ok! 
 
6. (RETIRADO DE PFEIL). Um pendural de Pinho-do-Paraná de segunda categoria usado em ambiente de classe 3 de 
umidade, está ligado por parafusos de 25 mm a duas talas laterais metálicas. 
O pendural está sujeito aos seguintes esforços de tração, oriundos de ações de construção (cargas de média 
duração): 
Carga permanente: Ng = 15 kN 
Carga variável: Nq = 10 kN 
Verificar a segurança do pendural em tração paralela às fibras. 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
35 
 
Resposta: 
Ft0d = 0,80 x 0,80 x 0,80 x 0,70 (93,10) / 1,80 =18,54 MPa 
Nd = 1,3 x 15 + 1,2 x 10 = 31,5 kN 
σd = 31,5 / (3,8 x 20 – 2 x 2,7 x 3,8) = 0,57 kN/cm² = 5,7 MPa 
OK! 
 
7. Determinar a força máxima que pode ser aplicada aplicada na barra tracionada de uma tesoura de madeira. 
Considerar madeira conífera pertencente a classe de resistência C30, carregamento de longa duração, madeira 
serrada de 1ª categoria e classe de umidade 1. O diâmetro dos parafusos é de 10 mm. O carregamento está 
aplicado nas duas peças com dimensões 10 x 2,5 cm. Dimensões indicadas na figura em cm. 
 
Resposta: 
Ft0d = 0,7 x 1,0 x 1,0 x 30 / 1,8 = 11,67 MPa 
N = 1,17 x 2 x (10x2,5 – 2 x 1,2 x 2,5) = 44,46 kN 
 
8. Uma caixa d’água pesando constantemente 40 kN (considerar como carga permanente) será suportada por 4 pés 
feitos de peças de madeira com as fibras no sentido vertical. Dimensione os pés. 
 
Dados: 
Madeira: Ipê 
Classe de umidade 2 
Carregamento de longa duração 
2ª Categoria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
36 
 
• Sd = 40/4 x 1,4 = 14 kN 
• Madeira Ipê 
• Fco = 76 Mpa 
• kmod 1 = 0,70 
• kmod 2 = 1,0 
• kmod 3 = 0,80 
• kmod = 0,56 
• fcod = 0,56 X 0,7 X 76 / 1,4 = 21,28 Mpa 
• fcod = 2,13 kN/cm² 
 
• Admitindo-se peça curta e quadrada 
• Sd/A < fcod 
• 14/A < 2,13 kN/cm² 
• 14/A = 2,13 kN/cm² 
• A = 6,57 cm² 
• Admitindo-se seção quadrada 
• b = 2,6 cm 
• determinação do comprimento para 
que a peça seja curta: 
• L/(raiz(bxb³/12)/(b²)) = 40 
• Lmáx = 30 cm 
• Resposta: o pé seria uma peça quadrada de 
lado 2,6 cm e comprimento máximo igual a 30 
cm. 
 
9. Uma barra vertical quadrada (20 x 20) cm² serve de apoio em um sistema de sustentação da carga vertical de uma 
parede. Verifique se suportará o carregamento. Dados: 
Carga permanente: 38 kN 
Carga acidental: 68 kN 
Vento: 45 kN 
Madeira: ipê 
Classe de umidade 2 
Carregamento de longa 
duração 
2ª categoria 
 
 
Resposta: 
• Sd1 = 1,4x38 + 1,4x68 + 1,4x0,5x45 
• Sd1 = 179,9 kN 
• Sd2 = 1,4x38 + 1,4x0,75x45 + 1,4x0,4x68 
• Sd2 = 138,53 kN 
• Madeira ipê 
• fco = 76 MPa 
• kmod 1 = 0,70 
• kmod 2 = 1,0 
• kmod 3 = 0,80 
• kmod = 0,56 
• fcod = 0,56 x 0,7 x 76 / 1,4 = 21,28 MPa 
• fcod = 2,13 kn/cm² 
• Ecoef = 18011 x 0,56 = 10086,16 MPa 
• Verificação da peça 
• I = 13333,33 cm4 
• A = 400 cm² 
• R = 5,77 cm 
• λ = 50,26 -> peça medianamente 
esbelta 
• Fe = 1578,2 kN 
• ea = 0,97 cm > h/30 ok! 
• e1 = 0,97 cm 
• Md = 196,95 kN.cm 
• σnd = 0,45 kN/cm² 
• σmd = 0,15 kN/cm² 
• 0,28 < 1,0 ok! 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
37 
 
10. Verificar a seção útil da barra tracionada da figura abaixo cuja madeira é ipê. Os parafusos da ligação são de 19 mm. 
Considerar carregamento de longa duração, classe de umidade 2 e madeira de 2ª categoria. Caso a peça não atenda 
propor uma nova seção. 
As cargas aplicadas são: 
PP: 120 kN 
G2: 60 kN 
Q: 140 kN 
V1: 50 kN 
 
 
Resposta: 
• Sd1 = 1,4x(120 +60)+ 1,4x140 + 1,4x0,5x50 
• Sd1 = 483 kN 
• Sd2 = 1,4x(120 +60)+ 1,4x0,75x50 + 
1,4x0,4x140 
• Sd2 = 382,9 kN 
• Madeira Ipê 
• fto = 96,8 MPa 
• Kmod 1 = 0,70 
• Kmod 2 = 1,0 
• Kmod 3 = 0,80 
• Kmod = 0,56 
• ftod = 0,56 x 0,7 x 96,8 / 1,8 = 21,08 
MPa 
• ftod = 2,11 kN/cm² 
• Ecoef = 18011 x 0,56 = 10086,16 
MPa 
 
• An = 20x5 – 5x2,1x5 = 47,5 cm² 
• Verificação: 
• 483/47,5 = 10,17 < 2,11 kN/cm² 
• Não passa! 
• Nova área: 
• Anec. = 483/2,11 = 228,9 cm² 
• 228,9 = 20xt – 5x2,1xt 
• t = 24,1 cm = 25 cm 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
38 
 
11. Um pendural de Ipê de segunda categoria usado em ambiente de classe 2 de umidade, está ligado com três 
parafusos de  19 mm, colocados em linha e perpendicular ao sentido dos esforços, a duas talas laterais metálicas. 
O pendural está sujeito aos seguintes esforços de tração, oriundos de cargas de longa duração: 
Ng (carga de gravidade) = 55 kN 
Nq (carga variável) = 45 kN 
Nv (vento) = 15 kN 
Dimensionar uma seção retangular para o pendural em relação à tração paralela às fibras. 
 
Resposta: 
• Sd1 = 1,4x(55)+ 1,4x45 + 1,4x0,5x15 
• Sd1 = 150,05 kN 
• Sd2 = 1,4x(55)+ 1,4x0,75x15 + 1,4x0,4x45 
• Sd2 = 117,95 kN 
• Madeira Ipê 
• fto = 96,8 MPa 
• Kmod 1 = 0,70 
• Kmod 2 = 1,0 
• Kmod 3 = 0,80 
• Kmod = 0,56 
• ftod = 0,56 x 0,7 x 96,8 / 1,8 = 21,08 MPa 
• ftod = 2,11 kN/cm² 
• Ecoef = 18011 x 0,56 = 10086,16 MPa 
 
• Área necessária: 
• Anec. = 150,05/2,11 = 71,11 cm² 
• 71,11 = bx5 – 3x2,1x5 
• b = 20,52 cm = 21 cm 
 
 
12. Verificar a condição de segurança da barra de madeira maciça, submetida à compressão simples, indicada nas 
figuras. 
 
Cargas: 
Permanente: 35 kN 
Variável: 45 kN 
Madeira: Ipê 
Classe de umidade 2 
Carregamento de longa duração 
2ª Categoria 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
39 
 
Resposta: 
• Sd1 = 1,4x(35)+ 1,4x45 
• Sd1 = 112 kN 
• Madeira Ipê 
• fco = 76 MPa 
• Kmod 1 = 0,70 
• Kmod 2 = 1,0 
• Kmod 3 = 0,80 
• Kmod = 0,56 
• fcod = 0,56 x 0,7 x 76 / 1,4 = 21,28 
MPa 
• fcod = 2,13 kN/cm² 
 
• Ix = Iy = 7500 cm4 
• A = 300 cm² 
• r = 5 cm 
• λ = 36 -> Peça curta! 
• Verificação: 
• 112/300 < 2,13 kN/cm² 
• 0,37 < 2,13 kN/cm² 
 
RESPOSTA: a peça atende às solicitações de projeto 
(0,37 kN/cm² < 2,13 kN/cm²) 
 
 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
40 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
• NBR 7190:1997 – Projeto de estruturas de madeira. 
• Notas de aula de Estruturas de Madeira. GESUALDO, A. R. Francisco. 
• Caderno de projeto de telhados de estruturas de madeira. MOLITERNO, Antonio. 
• Estruturas de Madeira. PFEIL, Walter. PFEIL, Michele. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
41 
 
 
 
ANEXO 1: MOMENTO DE INÉRCIA DE PEÇAS CONHECIDAS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Tiradentes 
Engenharia Civil / Arquitetura e Urbanismo 
Estruturas de Aço e Madeira 
Período: 2018/2 
Prof. Ma. Raquel Cabral 
raquel.alves@souunit.com.br 
 
 
42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO 2: UTILIZAÇÃO DE ALGUNS TIPOS DE MADEIRA E TABELAS DA NBR 7190:1997 
FONTE: PROF. SUSIENE E NBR 7190:1997 
UNIT - CURSO:
DISCIPLINA: PROFESSORA: 
 
TTAABBEELLAA CCOOMM OOSS VVAALLOORREESS MMÉÉDDIIOOSS UUSSUUAAIISS DDEE RREESSIISSTTÊÊNNCCIIAA EE RRIIGGIIDDEEZZAA 1122%% DDEE UUMMIIDDAADDEE
DDEE AALLGGUUMMAASS MMAADDEEIIRRAASS UUTTIILLIIZZAADDAASS EEMM EESSTTRRUUTTUURRAASS DDEE TTEELLHHAADDOO
Fontes: (1) Site do IPT/SP - Instituto de Pesquisas Tecnológicas do Estado de SP: 
(http://www.ipt.br/consultas_online/informacoes_sobre_madeira/busca)
(2) Site do IPEF - Instituto de Pesquisas e Estudos Florestais: 
(http://www.ipef.br/publicacoes/scientia/nr65/cap10.pdf)
(3) NBR 7190/1997 – “Projeto de Estruturas de Madeira”: (Anexo E - Valores médios usuais de resistência e 
rigidez de algumas madeiras nativas e de florestamento)
Nome científico
(Espécie da 
Madeira)
Nome comum
Usos em 
Estrutura de 
Telhado
Valores médios usuais de resistência e rigidez
a 12% de Umidade
( ap) 
kgf/m3
(fc0)
MPa
(ft0)
MPa
(fv0)
MPa
(Ec0)
MPa
Anadenanthera 
cacrocarpa Angico-bravo Caibros, vigas 1050 94,7 123 26,2 25113
Andira spp Cafearana Ripas, caibros, vigas 677 59,1 84 10,2 14185
Apuleia leiocarpa Garapa Roraima Caibros, vigas 892 78,4 108,0 11,9 18359
Aspidosperma 
desmanthum Araracanga Caibros, vigas 800 67,9 88,2 12,7 18944
Astronium Muiracatiara Caibros, vigas, tesouras 970 82,4 107 23,9 19195
Bagassa 
guianensis Tatajuba
Caibros, vigas, 
tesouras 940 79,5 78,8 12,2 19583
Bertholletia 
excelsa Castanheira Ripas 750 58,3 75,7 11,5 13948
Brosimum 
paraense Muirapiranga
Caibros, vigas, 
tesouras 800 71,3 92,6 13,4 16236
Buchenavia 
huberi Tanibuca
Ripas, caibros, 
vigas 948 91,2 118,5 18 21357
Calophyllum sp Jacareúba Ripas 804 51 68 16,4 13029
Caryocar glabrum Piquiarana Caibros, vigas 850 53,7 69,8 16,5 17982
Caryocar villosum Piquiá Caibros, vigas 930 94,2 122,4 22 20757
Cássia ferruginea Canafístula Ripas, caibros, vigas 871 52 85 18,5 14613
Cedrelinga 
catenaeformis Cedrorana Ripas 520 46,6 62 7,2 14274
Clarisia racemosa Oiticica amarela Ripas 756 69,9 82,5 10,6 14719
Copaifera spp Copaíba Ripas 695 54,5 71 14,6 14012
Cordia goeldiana Freijó Ripas 590 50,2 65,3 11,4 18255
Cordia trichotoma Louro-pardo Ripas 780 70,1 91 14,5 21962
Couratari spp Tauari Ripas 610 51 66,2 8,5 11768
Dinizia excelsa Angelim-vermelho
Ripas, caibros, 
vigas 1170 76,7 104,9 11,3 16694
Diplotropis spp Sucupira Caibros, vigas, tesouras 1106 95,2 123,4 11,8 21724
Dipterys odorata Champagne Caibros, vigas 1090 93,2 133,5 10,7 23002
Endopleura uchi Uxi Caibros, vigas 930 81,5 105,9 20,3 21163
Enterolobium 
schomburgki
Cambuí-
sucupira
Caibros, vigas, 
tesouras 790 55,9 72,6 17,9 17122
Erisma uncinatum Cedrinho Ripas 544 46 59,7 10,1 15045
Eucalyptus 
citriodora
Eucalipto 
Citriodora Caibros, vigas 999 62 123,6 10,7 18421
Eucalyptus 
grandis
Eucalipto 
Grandis Ripas 640 40,3 70,2 7,0 12813
UNIT - CURSO:
DISCIPLINA: PROFESSORA: 
 
((CCOONNTTIINNUUAAÇÇÃÃOO))
TTAABBEELLAA CCOOMM OOSS VVAALLOORREESS MMÉÉDDIIOOSS UUSSUUAAIISS DDEE RREESSIISSTTÊÊNNCCIIAA EE RRIIGGIIDDEEZZ AA 1122%% DDEE UUMMIIDDAADDEE
DDEE AALLGGUUMMAASS MMAADDEEIIRRAASS UUTTIILLIIZZAADDAASS EEMM EESSTTRRUUTTUURRAASS DDEE TTEELLHHAADDOO
Nome científico
(Espécie da 
Madeira)
Nome comum
Usos em 
Estrutura de 
Telhado
Valores médios usuais de resistência e rigidez
a 12% de Umidade
( ap) 
kgf/m3
(fc0)
MPa
(ft0)
MPa
(fv0)
MPa
(Ec0)
MPa
Eucalyptus 
saligna
Eucalipto 
Saligna
Ripas, caibros, 
vigas 731 46,8 95,5 8,2 14933
Euxylophora 
paraensis Pau-amarelo
Caibros, vigas, 
tesouras 810 69,4 90,1 17,8 15254
Goupia glabra Cupiúba Ripas, caibros, vigas 838 54,4 62,1 10,4 13627
Hymenaea spp Jatobá Caibros, vigas, tesouras 1074 93,3 157,5 15,7 23607
Hymenolobium 
petraeum Angelim-pedra
Ripas, caibros, 
vigas 694 59,8 75,5 8,8 12912
Hymenolobium
spp Angelim-ferro
Ripas, caibros, 
vigas 1170 79,5 117,8 11,8 20827
Lecythis lurida Jarana Caibros, vigas 930 82,5 107,1 23 30127
Lecythis spp Sapucaia Ripas, caibros, vigas 880 58,4 75,9 16,6 15350
Licania spp Caraipé Caibros, vigas 1010 89,3 115,9 19,9 36800
Maclura tinctoria Amoreira Caibros, vigas 880 90 116,9 20,3 17612
Manilkara spp Maçaranduba Caibros, vigas, tesouras 1143 82,9 138,5 14,9 22733
Mezilaurus itauba Itaúba Caibros, vigas, tesouras 908 69 104 18,8 17443
Micropholis 
venulosa Curupixá Ripas 790 64,9 84,3 14,4 15472
Mimosa scabrella Bracatinga Ripas 670 52,8 68,5 19,5 22226
Myrocarpus sp Cabriúva-parda Ripas, caibros, vigas 910 70,3 91,4 20,4 19034
Myroxylon 
balsamum
Cabriúva-
vermelha Caibros, vigas 950 77,5 100,6 23,4 18301
Nectandra rubra Louro-vermelho Ripas 770 54 70,1 12,9 21729
Ocotea spp Imbuia Caibros, vigas 684 56,5 111,9 9,0 14185
Parapiptadenia 
rigida
Angico-
vermelho Caibros, vigas 850 58 75,3 20,5 14370
Paratecoma 
peroba
Peroba-de-
campos
Ripas, caibros, 
vigas 730 58,9 76,4 15,3 14652
Peltogyne spp Pau-roxo Caibros, vigas, tesouras 890 91,7 119,1 21,3 26499
Peltophorum 
vogelianum Guarucaia
Ripas, caibros, 
vigas 919 62,4 70,9 15,5 17212
Pinus elliottii Pinus-eliote Ripas 480 34,3 44,6 10,8 13883
Piptadenia 
macrocarpa Angico-preto
Ripas, caibros, 
vigas 888 73 110 24,5 15375
Planchonella 
pachycarpa Goiabão Caibros, vigas 938 74 119 18,1 18717
Platonia insignis Bacuri Caibros, vigas 820 53,9 70 12,7 19315
Platymiscium ulei Macacaúba Caibros, vigas, tesouras 940 121 157,1 18,9 27282
Qualea spp Mandioqueira Ripas 856 71,4 89,1 10,6 18971
Ruizterania 
albiflora
Canela-
mandioca Ripas 650 61,6 80 15,1 22259
UNIT - CURSO:
DISCIPLINA: PROFESSORA: 
 
((CCOONNTTIINNUUAAÇÇÃÃOO))
TTAABBEELLAA CCOOMM OOSS VVAALLOORREESS MMÉÉDDIIOOSS UUSSUUAAIISS DDEE RREESSIISSTTÊÊNNCCIIAA EE RRIIGGIIDDEEZZ AA 1122%% DDEE UUMMIIDDAADDEE
DDEE AALLGGUUMMAASS MMAADDEEIIRRAASS UUTTIILLIIZZAADDAASS EEMM EESSTTRRUUTTUURRAASS DDEE TTEELLHHAADDOO
Nome científico
(Espécie da 
Madeira)
Nome comum
Usos em 
Estrutura de 
Telhado
Valores médios usuais de resistência e rigidez
a 12% de Umidade
( ap) 
kgf/m3
(fc0)
MPa
(ft0)
MPa
(fv0)
MPa
(Ec0)
MPa
Sebastiania 
commersoniana Branquilho Caibros 810 49 88 16 13813
Tabebuia 
serratifolia Ipê Caibros, vigas 1068 76,0 96,8 13,1 18011
Tachigali 
myrmecophila Tachi Ripas 1050 88 111 20,9 19901
Vochysia spp Quaruba Ripas 801 56 120,2 8,2 16224
Votaireopsis 
araroba Angelim-araroba
Ripas, caibros, 
vigas 688 50,5 69,2 7,1 12876
Votairea fusca Angelim-amargoso
Ripas, caibros, 
vigas 772 60 75 16 15940
Votairea sp Angelim-saia Ripas, caibros, vigas 764 63 101 14,6 24081
TABELAS DA NBR 7190:1997 – Projeto de Estruturas de Madeira 
Prof. Raquel Cabral