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MÓDULO 5 - BINÁRIOS 
Apresentação 
Caro (a) aluno (a), seja bem vindo (a)! 
Neste módulo, vamos aprender a respeito de um tipo de sistema de forças 
denominado binário. Vejam a seguir, os exemplos de aplicações dos binários em 
nosso dia a dia: 
 
Binários tornam possível o movimento de rotação de máquinas, como mostra a 
figura 1. 
Fig.1- O binário formado pelo par de forças opostas e indicado gira o conjunto 
volante da betoneira 
 
 
Fonte: próprio autor 
Vamos começar a trabalhar? 
Bom estudo! 
 
Objetivos 
Ao final deste módulo, espera-se que você seja capaz de: 
 compreender a definição e as características do binário; 
 identificar o binário em todas as suas representações; 
 obter o momento de um binário; 
 
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 trabalhar com forças e binários atuando simultaneamente sobre um corpo 
qualquer. 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Um sistema de forças é definido por um conjunto de forças que atuam 
simultaneamente sobre um corpo. A configuração dessas forças determina os 
efeitos que elas terão sobre os corpos nos quais elas atuam, em repouso ou em 
movimento. 
 
Binários são sistemas de forças muito simples, definidos por duas forças de 
mesmo módulo, sentidos opostos e linhas de ação paralelas. 
Exemplo 1: 
 
As figuras 2(a), 2(b) e 2(c) apresentam três corpos sob a ação de binários: 
 
Fig. 2(a): O binário formado pelas forças de 200N atua sobre a plataforma 
 
Fonte: próprio autor 
 
Fig. 2(b): O binário das forças de 1000N atua sobre a seção circular 
 
 
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Fonte: próprio autor 
 
 
Fig. 2(c): Os pares de forças de 300N e de 500N constituem dois binários que atuam 
sobre o bloco 
 
 
Fonte: próprio autor 
 
Como classificamos o binário? 
O binário pertence a uma categoria de sistemas de forças denominada de forças 
coplanares não concorrentes. 
Lembre-se que as linhas de ação das duas forças opostas são paralelas, logo: 
 Elas não se interceptam e, portanto, não são forças concorrentes! 
 E, duas retas paralelas determinam um plano, logo as forças são coplanares, 
isto é, ambas se situam no mesmo plano! 
 
2. CARACTERÍSTICAS DE UM BINÁRIO 
 
Veremos a seguir, que a definição do binário, expressa na introdução, nos leva às 
características peculiares e exclusivas deste sistema de forças. 
 
Resultante de forças: 
Como as forças do binário possuem linhas de ação paralelas, módulos iguais e 
sentidos opostos, um binário nunca apresenta resultante de forças, ou seja: 
 
 
 
 
76 
 
 Atenção! 
Isto significa que um binário nunca aplica força resultante sobre o corpo no qual 
atua e, consequentemente, nunca impõe sobre ele movimento RETILÍNEO 
uniformemente acelerado, caso ele esteja livre para se deslocar. 
 
Momento total: 
Inicialmente, observe na figura 3 que, se as forças do binário fossem colineares (ou 
concorrentes), não haveria nenhum outro efeito do binário sobre um corpo, uma vez 
que a força resultante nula levaria ao momento total nulo. 
 
Fig. 3 - Forças de mesmo módulo, colineares e com sentidos opostos atuam no 
corpo. 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Mas, como as forças do binário têm linhas de ação paralelas, sempre teremos 
momento total não nulo, apesar de ser a força resultante, invariavelmente, nula! 
 
Fig. 4 – Binários sempre têm momento total não nulo. 
 
Fonte: próprio autor 
 
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Observe na figura 4 que, mesmo com força resultante nula, o fato de termos forças 
com linhas de ação paralelas faz com que o binário sempre possua momento ou 
torque. 
Isso significa que o binário sempre impõe tendência de rotação ao corpo sobre o 
qual ele atua sem, entretanto, desloca-lo em movimento de translação! 
As imagens em sequência da figura 4 são quatro fotos, em instantes diferentes, 
do movimento de rotação do corpo, sem translação. 
 
Vamos calcular agora o momento total de um binário em relação a um ponto O 
arbitrário e obter uma característica surpreendente e exclusiva do momento 
deste sistema de forças. Observe inicialmente a figura 5(a). 
 
Fig. 5 – As forças e do binário e os vetores de posição , e utilizados para 
obter o momento total em relação ao ponto arbitrário O. 
 
Fonte: Próprio autor 
 
A figura 5(a) mostra as forças de um binário genérico atuando em um corpo 
qualquer, nos pontos A e B. 
 
Atenção! 
Como as forças do binário não são concorrentes, o momento total em relação ao 
ponto O será a soma vetorial dos momentos individuais em relação a O, isto é: 
 
A figura 5(b) nos mostra que: 
 
 
 
78 
 
 
 A figura 5(c) nos permite, ainda, escrever a soma vetorial abaixo, para o triângulo 
OAB: 
 
Substituindo no momento total, obtemos: 
 
 
 
Observe que, na equação acima, as parcelas em azul se cancelam, pois podem ser 
reescritas como: 
 . 
Teremos então: 
 , ou seja: 
 . 
 
Veja que resultado surpreendente!! 
Observando a figura 6, vemos que o momento do binário, que calculamos em 
relação a um ponto arbitrário O, foi equivalente ao momento do binário em 
relação ao ponto A!! 
 
Fig. 6 – O momento do binário em relação ao ponto O corresponde ao momento do 
binário em relação ao ponto A: 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Isso se deve ao fato de que: 
 
 
79 
 
 em relação ao ponto A , mas o vetor da força já atua sobre o 
ponto A, logo, seu momento em relação a este ponto é nulo. 
Temos então: 
 
 
Atenção!! 
É muito importante que você compreenda as afirmativas que faremos a seguir! 
Note que fizemos questão de frisar que o ponto O era um ponto arbitrário, ou seja, 
não havia restrição para sua definição. O resultado obtido significa que: 
 O momento de um binário não depende da escolha do centro de 
momento, sendo sempre constante para um determinado binário. 
 Diante disso, a forma mais simples de se calcular o momento de um binário é 
utilizar como centro de momento o ponto de aplicação de uma de suas 
forças. 
Assim, só será necessário calcular o torque da outra força do binário em relação a 
este ponto, para obtermos o momento total deste sistema. 
Vamos verificar agora com exemplos numéricos, o que acabamos de demonstrar 
aqui. 
 
Exemplo 2: 
Uma barra de 8m de comprimento está submetida ao binário indicado, formado por 
um par de forças de 1200N, como mostra a figura 7. 
Determine o momento do binário em relação: a) Ao ponto A; b) Ao ponto B; c) Ao 
ponto C. 
Fig. 7 – O binário atua sobre a barra. 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Adotando a convenção do sistema cartesiano 
 
80 
 
 
Teremos: 
a) 
b) 
c) 
 
Conferimos que: o momento do binário foi o mesmo, independente do centro de 
momento escolhido, e que o cálculo em relação ao ponto C, sobre o qual atua uma 
das forças do binário, foi o mais simples. 
 
Exemplo 3: 
A peça com seção em L está submetida à ação de dois binários, conforme indicado 
na figura 8. Determine o momento total que atua sobre a peça. 
 
Fig. 8a – Dois binários atuam sobre a peça em L 
Fig. 8b – As forças que atuam em B e C podem ser representadas no ponto E 
 
 
Fonte: Próprio autorObserve que como o corpo está sujeito apenas a binários, não foi necessário 
determinar previamente (no enunciado) o centro de momento a ser utilizado. 
 
Vamos fazer nossa escolha agora! 
 
81 
 
 
Compare as figuras 8a e 8b e observe, na última, que as linhas de ação das forças 
representadas nos pontos B (300N) e C (500N) se interceptam no ponto E. 
 
Logo, essas duas forças atuam simultaneamente sobre este ponto e cada uma delas 
pertence a um dos binários existentes no problema. 
 
Isto faz do ponto E uma boa escolha para o centro de momento. 
 
Como as outras duas forças de 500N (em A) e de 300N (em D) não são 
concorrentes sobre o corpo, faremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escolha qualquer outro centro de momento e comprove que você vai obter este 
mesmo momento total! 
 
 
3. REPRESENTAÇÕES DE UM BINÁRIO 
 
Outra coisa importante que você precisa aprender sobre os binários são as formas 
sob as quais um binário pode ser indicado ou representado em problemas de 
engenharia. São elas: 
 
3.1 Através de um par de forças 
 
82 
 
 
Considere a barra de 4m de comprimento, mostrada nas figuras 9a, 9b e 9c. 
 
Fig. 9 – A barra AB está submetida ao binário de 
 
Fonte: próprio autor 
 
Temos aqui, nas figuras 9a, 9b e 9c três pares de forças distintos, todos formando 
binários e produzindo o mesmo momento total sobre a barra. 
 
Dizemos então, que as figuras 9a, 9b e 9c apresentam o mesmo binário atuando 
sobre a barra, cujo momento vale (1200Nm em torno de z, no sentido anti-
horário). 
 
O que queremos deixar claro, para você, é o seguinte: o que caracteriza um 
binário é o seu momento total, sendo irrelevante sabermos qual foi o par de forças 
responsável por ele, uma vez que a soma de forças de um binário é sempre nula. 
Por outro lado, a escolha do par de forças de um binário para obtermos um 
determinado torque é importante em projetos de engenharia que envolvem o 
dimensionamento de máquinas. 
 
3.2 Através da especificação do momento: 
 
83 
 
 
De fato, como a soma de forças de um binário é sempre nula, este sistema pode 
também ser especificado apenas pelo seu momento, sem representarmos o 
respectivo par de forças. 
 
Para isso, utilizamos formas diferentes de representação, em estudos planos e 
tridimensionais. 
 
3.2.1 Em problemas bidimensionais: 
 
Observe novamente a barra AB de 4m na figura 10. Como sabemos que, em 
problemas planos, o momento só possui a direção de Z, é usual neste caso, a 
indicação apenas do módulo do momento e seu respectivo sentido de rotação. 
 
Fig. 10 – O binário de 1200Nm, no sentido anti-horário ou atua sobre a 
barra. 
 
Fonte: Próprio autor 
 
A indicação gráfica pode aparecer em qualquer posição sobre a barra, 
pois, lembre-se de que, o momento de um binário não depende da escolha do centro 
de momento. 
 
84 
 
 
3.2.2 Em problemas tridimensionais: 
 
Considerando que, em problemas tridimensionais, o momento pode ter qualquer 
direção, o momento de um binário, neste caso, deve ser representado pelo seu 
respectivo vetor . 
 
E ainda, como o momento de um binário não depende da escolha do centro de 
momento, este vetor torna-se agora um vetor livre, podendo ser representado 
sobre qualquer ponto do corpo, onde o binário atue. Confira isso na figura 11. 
 
Fig. 11 – O binário de atua sobre a barra AB 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Depois de aprendermos as formas possíveis de representarmos um binário, vamos 
começar a trabalhar com sistemas que envolvem binários atuando em um corpo 
juntamente com outras forças. 
 
Exemplo 4: 
 
85 
 
Alguns tipos de apoios ou conexões produzem binários nas estruturas sobre as 
quais atuam, para impedir que elas girem em torno de um ou mais eixos. 
 
Veja o poste ABC e a placa de sinalização mostrados na figura 12a. 
Indicamos por p o peso da seção AB do poste e por P o peso da seção BC do poste, 
juntamente com o peso da placa de sinalização. 
O peso P (seção BC + placa) possui momento em relação ao ponto A, na base do 
poste, em virtude da alavanca existente entre a linha de ação de P e o ponto A. 
 
A figura 12b mostra as reações produzidas pelo apoio sobre a base do poste (ponto 
A) para impedir a movimentação do mesmo. 
Além da força normal N, temos também a atuação do binário de momento M, que 
impede a rotação do poste devido ao torque de P em relação ao ponto A. 
 
Fig. 12 - A imobilização do poste de sinalização exige a ação de um binário. 
 
Fonte: Próprio autor 
As forças que atuam no poste P, p e N formam um sistema bidimensional de forças 
e o binário M foi representado em conformidade com a figura 10. 
 
 
86 
 
Exemplo 5: 
A seção retangular da figura 13 está submetida à ação das forças e do binário 
indicados. 
 
Fig. 13 – Forças e o binário atuam sobre a seção retangular 
 
Fonte: Próprio autor 
 
a) Determine a força resultante que atua sobre a seção indicada. 
Trata-se de um problema bidimensional, onde temos forças horizontais e verticais e 
devemos nos lembrar de que, a soma de forças de um binário é sempre nula. 
 
Sendo assim, o binário não contribui para a força resultante. 
Teremos então: 
 
 
 
Equivalentemente, em linguagem vetorial temos: 
 , com 
 . 
 
b) Determine o momento total do sistema em relação ao ponto A. 
O momento total do sistema em relação ao ponto A será dado por: 
 
 
87 
 
 
Inicialmente, vamos observar na figura 14, quais forças têm momento em relação ao 
ponto A. 
 
Fig. 14 – As linhas de ação das forças de 200N, 309N e 500N passam por A, 
logo, não têm momento em relação ao ponto A. 
Fonte: próprio autor 
 
Adotando a convenção do sistema cartesiano, temos: 
 
 e, 
 . 
 , ou 
 (em torno de z). 
 
Lembre-se!! 
Lembre-se de que o torque de um binário não depende do centro de momento. 
Logo, qualquer que fosse o ponto em relação ao qual calculássemos o momento do 
sistema, o momento do binário permaneceria inalterado! 
 
É importante destacar que, se você optar por calcular o momento total em relação 
ao ponto A, através do determinante, deve observar que: 
 
 
88 
 
As forças de 300N e 951N são concorrentes no ponto B, como vemos na figura 15: 
 
Fig. 15 – Duas versões equivalentes do sistema de forças sobre a seção retangular 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Observando a figura 15, teremos: 
 e 
 
 
 e 
 
 
 Atenção! 
Todo momento é sempre um vetor, logo, o momento do binário em um problema 
plano é um vetor na direção de Z, que deve ser escrito em conformidade com a 
convenção de sinal do sistema cartesiano. 
 
 
Exemplo 6: 
Vimos no exemplo 3 que a peça em L abaixo está submetida a dois binários que 
produzem sobre ela o momento total igual a 
 
89 
 
 
 
Represente este momento total, ou o binário total equivalente, que atua sobre a 
peça. 
 
Fig. 16 – Dois binários atuamsobre a peça e produzem um binário total equivalente 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Temos aqui um problema tridimensional, para o qual devemos utilizar a 
representação vetorial do binário total ou momento total calculado. 
 
Lembrando novamente que o momento de um binário não depende do centro de 
momento, o momento total obtido ou suas componentes podem ser representados 
sobre qualquer ponto do corpo. 
Temos que: 
 . 
 
Apresentamos, na figura 17, duas versões equivalentes desta representação. 
 
Fig. 17 – Duas representações do binário total 
 
 
90 
 
 
Fonte: Próprio autor 
 
A primeira representação mostra o momento (ou binário) total sobre o ponto E, 
utilizado como centro de momento, no exemplo 3. 
 
Já a segunda, apresenta as componentes dos binários representadas em pontos 
diferentes do corpo. 
 
Exemplo 7: 
Duas forças e dois binários atuam sobre a plataforma retangular da figura 18. 
Determine o momento total do sistema em relação ao ponto O. 
 
Fig. 18 – Forças (em azul) e binários (em vermelho) atuam na plataforma 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Teremos novamente: 
 
91 
 
 
Como as forças não são concorrentes, o momento total das forças será a soma 
vetorial dos momentos individuais: 
 
Teremos e portanto: 
 
 
De forma semelhante, teremos para a força de 900N: 
 e 
Logo: 
 
Portanto: 
 
 
Quanto aos binários, temos a representação vetorial dos mesmos, que é a forma 
prevista para problemas tridimensionais. 
 
Lembrando que seus momentos independem do ponto em relação ao qual o torque 
é calculado, escreveremos: 
 
 
O momento total do sistema em relação ao ponto O será então: 
 
 
 
 
 
 
92 
 
Este resultado mostra que o sistema de forças que atua sobre a plataforma produz 
sobre ela tendência de rotação em torno dos três eixos cartesianos. 
 
4. SISTEMAS EQUIVALENTES DE FORÇAS 
 
O estudo de um sistema de forças não concorrentes deve ser feito através da 
construção de sistemas equivalentes de forças. 
Tais sistemas ou representações são versões mais simples e equivalentes, do 
sistema original a ser estudado. 
 
São versões mais simples, porque nos proporcionam a visão do que acontece em 
um ponto específico do corpo, como consequência de todas as forças atuantes 
sobre ele. 
São versões equivalentes, porque reproduzem sobre o corpo os mesmos efeitos 
físicos do sistema original. 
 
A possibilidade de “enxergarmos” o que acontece em um ponto de um corpo, em 
decorrência das diferentes forças que atuam sobre ele, é muito relevante para o 
desenvolvimento de projetos de engenharia. 
 
Os efeitos físicos de um sistema de forças sobre o corpo no qual ele atua são: 
 A imposição de força resultante ao corpo: 
 A produção de momento ou torque em relação a um ponto escolhido do 
corpo: 
 
A partir deste ponto, faremos uma análise detalhada de sistemas de forças não 
concorrentes, suas representações equivalentes e as informações que cada uma 
delas fornece sobre o sistema original. 
 
Os binários serão fundamentais no estudo de tais sistemas de forças, porque nos 
auxiliarão na descrição dos efeitos produzidos e na obtenção dos respectivos 
sistemas ou representações equivalentes. 
 
 
93 
 
TOME NOTA! 
Duas representações de um sistema de forças serão equivalentes se possuírem 
simultaneamente: 
 O mesmo vetor de força resultante, isto é, ambas possuem com mesmo 
módulo, direção e sentido e, 
 O mesmo momento em relação ao mesmo ponto escolhido do corpo. 
 
4.1 Forças coplanares não concorrentes 
Forças coplanares não concorrentes produzem os seguintes efeitos sobre os corpos 
onde atuam: 
 A força resultante imposta ao corpo: 
 
 O momento total em relação a um ponto previamente escolhido do corpo: 
 
 
Exemplo 8: 
A barra AB de 4m de comprimento está submetida ao sistema de forças indicado na 
figura 19. 
a) Obtenha o sistema equivalente no ponto A. 
b) Obtenha o sistema equivalente no ponto B. 
Figura 19 – Três forças e um binário atuam sobre a barra AB 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Uma dúvida recorrente entre os estudantes é sobre a solução do problema de 
equilíbrio do corpo em estudo. O equilíbrio dos corpos rígidos é essencial em 
 
94 
 
engenharia e seu estudo é amplo e ostensivo, mas não é nosso objeto de trabalho 
aqui. 
 
 Atenção! 
É importante você compreender que o nosso objetivo é apenas analisar os 
efeitos deste sistema, isto é, deste carregamento, sobre a barra. 
 
A partir do conhecimento do efeito produzido por ele em um ou mais pontos da 
barra, isto é, de acordo com os esforços impostos pelo carregamento nesses pontos, 
o equilíbrio da barra será obtido através da escolha do apoio mais adequado, com 
as características desejáveis, visando à correta execução do projeto de engenharia 
do qual ela faz parte. 
 
Dividiremos nossa análise em duas etapas. 
1ª etapa: Levantamento dos efeitos do sistema 
2ª etapa: Simplificação do sistema 
 
1ª Etapa: Levantamento dos efeitos do sistema 
Os efeitos que as três forças e o binário têm sobre a barra são: a produção de uma 
força resultante e de torque em relação a um ponto qualquer a ser escolhido. 
a) Obter a força resultante sobre a barra 
Como só temos forças verticais, escrevemos: 
 
Ou, em linguagem vetorial: 
 
 
b) Obter o momento total em relação ao ponto O 
Adotando a convenção de sinal do sistema cartesiano 
 
 
 
Teremos: 
 
 
95 
 
 
 
Ou, em linguagem vetorial: 
 
2ª etapa: Simplificação do sistema 
Agora sabemos que o sistema de forças atua sobre a barra com uma força vertical, 
dirigida para baixo, de 900N e produz uma tendência de rotação de 1000N.m, em 
torno do ponto A, no sentido horário. 
 
De posse dessas informações, estamos aptos a construir a primeira versão mais 
simples do sistema de forças, isto é, o primeiro sistema equivalente ao original. 
Construir a representação equivalente no ponto A significa responder à seguinte 
pergunta: 
 
Se sustentarmos a barra apenas no ponto A, qual será o efeito que sentiremos 
neste ponto, como consequência da atuação das três forças e do binário 
existentes? 
Como indicam as figuras 20 e 21: 
 Sentiremos no ponto A, o efeito da força resultante, vertical, dirigida para 
baixo, de 900N. 
Figura 20 – O efeito da força resultante sobre o ponto A da barra 
 
Fonte: Próprio autor 
 E sentiremos também o efeito do torque em relação ao ponto A, de 
1000Nm, no sentido horário, devido à configuração do sistema original: 
 
Figura 21 – O binário descreve o momento do sistema em relação ao ponto A 
 
96 
 
 
Fonte: Próprio autor 
Atenção! 
A introdução deste binário garante a existência de sem alterar a força 
resultante do sistema. 
Lembre-se! Binários sempre têm . 
 
A representação dos dois efeitos simultâneos, atuantes sobre a barra, constitui o 
que chamamos de representação equivalente no ponto A ou sistema 
equivalente no ponto A, cuja configuração é exibida na figura 22. 
 
Figura 22 – Osistema equivalente no ponto A 
 
Fonte: Próprio autor 
 
Observe que temos agora um sistema de forças bem mais simples e equivalente ao 
da figura 19, que nos mostra o que ocorre sobre um único apoio no ponto A, como 
consequência das três forças e do binário (de 600Nm) que atuam sobre a barra. 
Para que você possa compreender bem a 3ª etapa da análise de um sistema de 
forças não concorrentes como este, vamos, antes, construir outro sistema 
equivalente, mas agora na outra extremidade, no ponto B. 
Isto significa que vamos ter uma visão dos efeitos do sistema original (fig.3) sobre o 
ponto B. 
Já conhecemos a força resultante do sistema, , mas vamos precisar do 
momento total do sistema em relação ao ponto B. 
 
 
97 
 
Dissemos que a figura 22 é uma versão verdadeira do sistema original, mostrado na 
figura 19, não foi? 
Pois bem, se isso estiver correto, o momento em relação ao ponto B deve ser o 
mesmo, se calculado sobre o sistema original ou sobre sua representação 
equivalente em A. 
Vale a pena destacar, que este é um recurso que você sempre pode utilizar, para 
verificar se um sistema equivalente obtido está ou não correto. 
Vamos ver o cálculo de usando o sistema original, mostrado na figura 23. 
 
Figura 23 – Três forças e o binário produzem momento em relação ao ponto B 
 
Fonte: Próprio autor 
 
 
Ou 
Cálculo de usando agora o sistema equivalente da figura 24. 
 
Figura 24 – O sistema equivalente em A também possui . 
 
Fonte: Próprio autor 
 
 
 
98 
 
Construímos na figura 25 o sistema equivalente no ponto B: 
 
Figura 25 – Esta representação mostra os efeitos do sistema de forças sobre o 
ponto B 
 
Fonte: Próprio autor 
 
A figura 25 nos mostra outra representação equivalente, também bastante 
simples, do sistema original. 
 
Ela nos informa que o ponto B está sujeito ao efeito da mesma força resultante 
de 900N e de um momento anti-horário, em torno de z, de 2600Nm. 
 
Estes são os esforços que o sistema impõe ao ponto B e que serão 
necessariamente enfrentados, por um apoio utilizado para sustentar a barra apenas 
por este ponto. 
 
Observe, na figura 26, as duas versões simplificadas e equivalentes, que acabamos 
de obter. 
 
Figura 26 – Os efeitos do sistema de forças sobre as extremidades A e B da barra 
 
Fonte: Próprio autor 
 
 
99 
 
Comparando as duas representações, vemos que o momento total do sistema 
passa de horário em relação ao ponto A, para anti-horário em relação a B. 
 
Isso sugere que, se construirmos outras representações equivalentes em 
sucessivos pontos sobre a barra, de A para B, vamos observar: 
 A redução gradual do módulo do momento horário do sistema 
 E, a partir de certo ponto, o aparecimento de momento anti-horário, com 
módulo crescente, até o limite de 2600Nm, obtido em relação a B. 
 A existência de um ponto P, entre A e B, onde ocorre a inversão do 
sentido do momento total do sistema e, para o qual temos . 
 
A representação equivalente neste ponto P corresponde à versão mais simples do 
nosso sistema de forças. 
 
Como , este é o único ponto da barra sujeito apenas à força resultante. 
Isso torna o ponto P, um ponto estratégico na engenharia, porque é a única posição 
sobre a barra em torno da qual não há tendência de rotação. 
Isto significa que, se este ponto puder ser utilizado para a sustentação da barra, isso 
pode ser feito com um apoio mais simples, isto é, com uma estrutura mais esbelta. 
 
Veja, na figura 27, o movimento previsto para a barra, sob a ação do sistema de 
forças, se ela não for devidamente imobilizada por um apoio adequado. 
Representamos, em cada ponto, a força resultante e o respectivo momento total do 
sistema em relação a cada um desses pontos. 
 A força resultante igual a não se altera 
 Entre os pontos A e P, é horário e com módulo decrescente; 
 Em P, ; 
 Entre P e B, é anti-horário e com módulo crescente. 
 
À medida que o ponto de aplicação do apoio se desloca de A para B, vemos na 
figura 27, de forma qualitativa, o sistema equivalente sobre este ponto. 
 
 
 
100 
 
 
 
 
Fig. 27 – Sistemas equivalentes em 7 posições sobre a barra 
A figura 28 mostra as três representações equivalentes, que obtivemos 
quantitativamente neste exemplo. 
 
Fig. 28 – O sistema original e seus equivalentes em A e B 
 
 
101 
 
TODAS possuem: 
 Mesma força resultante: 
 Mesmo momento em relação ao ponto A: 
 Mesmo momento em relação ao ponto B: 
 Mesmo momento em relação ao ponto P: 
 
Exemplo 9: 
Quatro forças e um binário atuam sobre o tubo ABCD, como mostra a figura 29. 
a) Obtenha o sistema equivalente no ponto C 
b) Obtenha o sistema equivalente no ponto A 
 
Fig. 29 – Sistema de forças do exemplo 9 
 
a) Sistema equivalente em C 
Força resultante do sistema: 
Temos forças horizontais e verticais, logo: 
 , com 
Observando os sinais das componentes, determinamos a orientação da força 
resultante, que é exibida na figura 30: 
 
Fig. 30 – Especificações da força resultante 
 
102 
 
Observação: A força resultante é uma força no plano e, portanto, precisa de duas 
informações para que seja completamente especificada: as duas componentes ou 
seu módulo e um ângulo (com a horizontal ou com a vertical). 
 
Momento total em relação ao ponto C: 
Adotando a convenção de sinal do sistema cartesiano, teremos: 
 
 
Observando na figura 29 que as forças de 250N e 125N têm suas linhas de ação 
passando por C, teremos: 
 
 e portanto: 
 ou . 
 
Atenção! 
Lembre-se que, se você for calcular através do produto vetorial, deve notar que: 
 As forças de 150N e de 425N são concorrentes no ponto A e podem ser 
inseridas no mesmo determinante; 
 O momento do binário deve ser escrito na forma vetorial como 
 . 
 
 
 
 
 
 
Sistema equivalente no ponto C 
O sistema de forças original impõe ao ponto C, a força resultante, 
 e o torque anti-horário de . 
 
Este fato é representado no sistema equivalente da figura 31. 
 
103 
 
 
Figura 31 – O efeito do sistema de forças original sobre o ponto C 
 
b) Sistema equivalente em A 
Já sabemos que , com , mas 
devemos obter o momento total em relação ao ponto A. 
 
Momento total em relação ao ponto A. 
Lembramos que isso pode ser obtido tanto através do sistema original (fig. 32), 
como no sistema equivalente da figura 31. 
Tomando o sistema original teremos: 
 
Fig. 32 – O sistema original do exemplo 2 
 
Adotando a convenção de sinal do sistema cartesiano, teremos: 
 
 
104 
 
Observe na figura 32, que as forças de 150N e 425N têm suas linhas de ação 
passando por A e não possuem torque em relação a este ponto. 
Logo teremos: 
 
 e portanto: 
 ou . 
 
Lembre-se que, se você for calcular através do produto vetorial, deve notar que: 
 As forças de 250N e de 125N são concorrentes no ponto C e podem ser 
inseridas no mesmo determinante; 
 O momento do binário deve ser escrito na forma vetorial como 
 .O sistema equivalente da figura 31 fornece o mesmo resultado. 
Verifique! 
 
Sistema equivalente no ponto A 
O sistema de forças original impõe ao ponto A, apenas a força resultante, 
 . 
Este fato é representado no sistema equivalente da figura 33. 
 
 
Fig. 33 – O sistema original e sua representação equivalente em A 
 
 
105 
 
Exemplo 10: 
Verifique se o sistema da figura 34 é ou não uma representação equivalente do 
sistema original do exemplo 2 (figura 32). 
 
Fig. 34 – Sistema de forças do exemplo 10 
 
Vimos que, se duas representações de um sistema de forças forem equivalentes, 
ambas devem possuir: 
 O mesmo vetor de força resultante, isto é, com mesmo módulo, direção e 
sentido e, 
 O mesmo momento em relação ao mesmo ponto escolhido do corpo. 
 
Sistema do exemplo 10: 
Facilmente vemos que a força resultante é a mesma já obtida e 
que no sistema da figura 34 elas são concorrentes no ponto B. 
Devemos agora obter o momento total em relação a um ponto qualquer, para 
verificarmos a segunda condição. 
Podemos escolher aqui o ponto B, para centro de momento. 
Neste caso, usando a mesma convenção de sinal teremos: 
 
 ou . 
Sistema original: 
 
106 
 
As forças de 425N e de 250N são concorrentes no ponto B (fig. 32) e não possuem 
torque em relação ao este ponto. 
Logo: 
 
 
Ou 
 
Concluímos que o sistema dado neste exemplo não é uma representação 
equivalente do sistema original, porque ambos possuem momentos diferentes em 
relação ao ponto B, não cumprindo a segunda exigência para a equivalência. 
Verifique que as representações já obtidas no exemplo 9, exibidas nas figuras 31 e 
33, também possuem torque horário de ou . 
 
4.2 Forças não concorrentes no espaço 
Forças não concorrentes no espaço produzem os seguintes efeitos sobre os corpos 
onde atuam: 
 A força resultante imposta ao corpo pode ter até três componentes: 
 
 O momento total em relação a um ponto previamente escolhido do corpo 
possuirá pelo menos duas componentes: 
 
Exemplo 11: 
Quatro colunas exercem as forças verticais indicadas sobre a plataforma, como 
vemos na figura 35. 
Determine e descreva o sistema equivalente no ponto O. 
O diagrama de forças correspondente é mostrado na figura 36. 
 
Força resultante 
 
Temos resultante vertical e dirigida para baixo. 
 
107 
 
 
Fig. 35 – Sistema do exemplo 11. 
 
 
Fig. 35 – Diagrama de forças do sistema do exemplo 11 
 
 Momento total em relação ao ponto O 
 
Como as forças não são concorrentes, faremos: 
 
Inicialmente, temos que , pois a força de está localizada sobre o 
ponto O. 
 
108 
 
A figura 35 fornece as informações necessárias para o cálculo dos momentos das 
outras forças em relação à origem. 
Veja a seguir: 
Para a força de temos : 
 
 
 
 
 
Temos com : 
 
 
 
 
 
Temos também com : 
 
 
 
 
 
Efetuando a soma vetorial dos momentos individuais, obtemos o momento total do 
sistema em relação ao ponto O como: 
 
 
 
Observe que existem dois eixos de rotação possíveis no problema, pois, a 
plataforma tende a girar simultaneamente em torno de X e em torno de Y, no 
torque em relação ao ponto O. 
 
Sistema equivalente em O 
 
Fig. 36 – Os efeitos do sistema sobre o ponto O 
 
109 
 
Este sistema equivalente, mostrado na figura 36, informa que o ponto O está 
submetido à força vertical de e aos torques em relação ao eixo X de 
 e em relação ao eixo Y de . 
 
Atenção! 
Observe que os binários adicionados ao ponto O, na figura 6, estão representados 
na forma dos vetores e . 
Lembramos que a representação vetorial dos binários deve ser sempre utilizada 
no estudo de sistemas tridimensionais de forças, porque especificam com clareza os 
torques existentes. 
 
Exemplo 12: 
Quatro forças atuam sobre a plataforma de raio igual a 3m, como mostra a figura 37. 
Sabendo que essa peça, parte de um projeto de engenharia, deverá ser sustentada 
pelo centro, no ponto O, determine o sistema equivalente neste ponto e explique o 
resultado. 
 
Fig. 37 – Sistema do exemplo 12 
Força resultante 
Temos 
 
Momento total em relação ao ponto O 
O par de forças de forma um binário e, como tal, não contribui para a soma 
das forças, mas contribui para o momento total do sistema. 
Logo, devemos obter: 
 
110 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que o momento de um binário não depende do centro de momento, ou 
seja, é constante. 
Calculando o momento do binário em relação ao ponto A, por exemplo, teremos: 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
Sistema equivalente no ponto O 
A figura 38 exibe o sistema ou representação equivalente no centro da plataforma. 
 
 
Fig. 38 – Vemos à direita os efeitos que as forças originais impõem ao ponto O. 
 
Um apoio único no ponto O estará sujeito à força resultante de 2200N, vertical, para 
baixo e aos dois eixos de rotação produzidos pelo sistema, nas direções de X e de Z 
simultaneamente. 
 
 
111 
 
Observações: 
Sistemas de forças não concorrentes no espaço podem gerar situações como 
vimos neste exemplo 5. 
a) Este momento que surge, na mesma direção da força resultante, aqui igual a 
 , é denominado momento torçor do sistema. 
Este nome se deve ao fato de que ele produz a torção do corpo no qual ele atua, 
fazendo-o girar em torno da direção da resultante, como mostra a figura 39. 
 
Fig. 39 – O momento torçor cria um eixo de rotação na direção da força resultante 
 
Além de possuir a mesma direção da força resultante, ele é proveniente da ação de 
um binário que atua sobre o sistema. 
Observe na solução deste exemplo, que a origem da componente do 
momento total foi a presença do binário. 
 
b) Por outro lado, o momento obtido na direção do eixo X, isto é, a componente 
igual a é uma componente de momento perpendicular à força 
resultante obtida . 
Este momento recebe o nome de momento fletor do sistema. 
Este momento faz o corpo girar em torno de um eixo perpendicular à direção da 
resultante, como mostra a figura 40. 
 
112 
 
 
Fig. 40 – O momento fletor cria no corpo um eixo de rotação perpendicular à 
resultante. 
 
c) Momento torçor é um recurso muito utilizado em projetos de engenharia 
mecânica. 
Um exemplo corriqueiro do uso do momento torçor é o funcionamento de uma 
furadeira, como vemos na figura 41. 
A furadeira é um equipamento que funciona com força e momento alinhados. 
O motor da furadeira gira a broca, gerando um momento na direção da mesma. 
Para fazermos um furo na parede, empurramos a ferramenta com uma única força, 
portanto, uma força resultante, na direção da broca. 
 
 
Fig.41 - e atuam sobre a broca da furadeira 
 
 
113 
 
 
Exemplo 13: 
Duas forças verticais, de 2000N e 600N atuam sobre a plataforma com peso de 
200N. 
Determine o sistema equivalente no ponto P e explique o resultado obtido. 
 
Fig. 42 – O sistema de forças do exemplo 13 
 
Força resultante 
 
 
Momento total em relação ao ponto P 
 
 
 
 
 
 
 , onde 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
 , com 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
 , com 
 
 
 . 
 
 
 
114 
 
 
Concluímos que o ponto P da plataforma está submetido apenas ao efeito da força 
resultante, uma vez que o torque do sistema em relação a este ponto é nulo. 
A figura 43 mostra este sistema ou representação equivalente. 
 
Fig. 43 – A plataforma não pode girar em torno do ponto P, porque apenas a 
resultante atua neste ponto. 
 
 
5. SÍNTESE 
 
Neste módulo, aprendemos sobre o binário. Vimos que é um sistema de forças que 
não possui força resultante, mas sempre possui momento, isto é, o binário sempre 
impõe tendência de rotação a um corpo. 
 
Vimos também que o momento de um binário não depende do ponto em relação ao 
qual ele é calculado e as formas sob as quais podemos representa-lo. 
 
E, finalmente, obtivemos informações de sistemas de forças não concorrentes no 
plano e sistemas de forças não concorrentes no espaço. 
Construímos sistemas equivalentes ou representações equivalentes destes 
sistemas de forças. 
Tais representações equivalentes foram obtidas com auxílio dos binários e nos 
mostraram o efeito que um sistema de forças não concorrentes (plano ou 
tridimensional) exerce sobre um determinado ponto do corpo no qual atuam. 
 
115 
 
Agora, avalie se você conseguiu assimilar bem todos eles, pois, caso contrário, é 
importante que você retorne ao texto, para rever os tópicos que não ficaram claros. 
 
 
5. REFERÊNCIAS 
 
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: 
estática. 5.ed. rev. São Paulo: Makron Books, c1991. 
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R.; EISENBERG, E. R. Mecânica Vetorial para 
Engenheiros: estática. 7.ed. Rio de Janeiro: McGrawHill, c2006. 
HIBBELER, R.C. Estática: Mecânica para engenharia. 10.ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, c2005. 
HIBBELER, R.C. Estática: Mecânica para engenharia. 12.ed. São Paulo: 
Pearson, 2011. 
SHAMES, I. H. Estática: Mecânica para engenharia. 4.ed. São Paulo: 
Prentice Hall, 2002.