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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em 
Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística 
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 
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Aula 3 - Questões Comentadas e Resolvidas 
Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. 
Progressões Aritmética e Geométrica 
 
Vamos começar a aula resolvendo mais algumas questões das aula 1 e 2? É 
isso aí! Você deve estar preparado para tudo. Agora, é prova surpresa. Risos. 
 
Repare ainda que, apesar desta aula tratar de progressões aritmética e 
geométrica, já vimos questões sobre o tema na aula passada. Veremos mais 
algumas nesta aula também. 
 
(Técnico de Abastecimento Junior-BR Distribuidora-2010-Cesgranrio) 
1. Nos últimos anos, as reservas provadas de petróleo vêm aumentando em 
vários estados brasileiros. A tabela abaixo apresenta dados referentes ao 
Estado do Rio de Janeiro. 
 
Reservas provadas de petróleo – RJ (milhões de barris) 
2004 2009 
7.941 10.328 
Anuário Exame 2009/2010 
 
Considere que, de 2004 a 2009, as reservas provadas de petróleo do Rio de 
Janeiro tenham aumentado anualmente, formando uma progressão aritmética. 
Desse modo, a razão dessa progressão, em milhões de barris, é igual a 
 
(A) 477,4 
(B) 725,4 
(C) 1.025,0 
(D) 1.450,8 
(E) 2.387,0 
 
Resolução 
 
De acordo com a questão, as reservas provadas de petróleo do Rio de Janeiro 
aumentaram, de 2004 a 2009, formando uma progressão aritmética. Vamos 
relembrar os conceitos: 
 
Progressão Aritmética (PA) 
É toda seqüência numérica cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao 
anterior somado com um valor constante denominado razão. 
 
Exemplos: 
PA1 = (1, 5, 9, 13, 17, 21, ...) ⇒ razão = 4 (PA crescente) 
PA2 = (15,15, 15, 15, 15, 15, 15, ...) ⇒ razão = 0 (PA constante) 
PA3 = (100, 90, 80, 70, 60, 50, ...) ⇒ razão = -10 (PA decrescente) 
 
Seja a PA (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. 
De acordo com a definição: 
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a2 = a1 + 1.r 
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r 
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r 
(...) 
an = a1 + (n – 1) . r ⇒ Termo Geral da PA 
 
n ⇒ termo de ordem n (n-ésimo termo) 
r ⇒ razão 
a1 ⇒ primeiro termo 
 
Voltando à questão, teríamos: 
 
a1 (2004) = 7.941 
a2 (2005) = a1 + r = 7.941 + r 
a3 (2006) = a1 + 2.r = 7.941 + 2.r 
a4 (2007) = a1 + 3.r = 7.941 + 3.r 
a5 (2008) = a1 + 4.r = 7.941 + 4.r 
a6 (2009) = 10.328 = a1 + 5.r = 7.941 + 5.r 
 
Então, da expressão do termo 6 (2009), temos: 
 
10.328 = 7.941 + 5.r ⇒ 
⇒ 5.r = 10.328 – 7.941 ⇒ 
⇒ 5.r = 2.387 ⇒ 
⇒ r = 
2.387
5
 ⇒ 
⇒ r = 477,40 
GABARITO: A 
 
2. O consumo de energia elétrica no Brasil nunca foi tão alto. O gráfico abaixo 
apresenta o pico de consumo, medido sempre na primeira quinta-feira de 
fevereiro de cada ano, nos últimos três anos. 
 
 
 
2
 
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Se o aumento linear observado de 2008 para 2009 se mantivesse de 2009 
para 2010, o pico de consumo de energia na primeira quinta-feira de fevereiro 
seria x megawatts menor do que efetivamente foi. Conclui-se que x é igual a 
 
(A) 1.538 
(B) 3.076 
(C) 5.629 
(D) 7.401 
(E) 8.939 
 
Resolução 
 
De acordo com a questão, o cálculo do pico de energia na primeira quinta-feira 
de fevereiro de 2010 deve ser feito considerando o aumento linear de 2008 
para 2009, ou seja, considerando a mesma reta (função do primeiro grau) de 
2008 para 2009 e não a reta (função do primeiro grau) de 2009 para 2010. 
 
Nesse caso, precisamos, exatamente, determinar a reta de 2008 para 2009. 
Isso será possível, pois já conhecemos dois pontos dessa reta. Vejamos: 
 
Y (Megawatts) = a. X (ano) + b 
 
Quando Y = 60.177 megawatts, X = 2.008 ⇒ 60.177 = 2.008.a + b (I) 
Quando Y = 61.715 megawatts, X = 2.009 ⇒ 61.715 = 2.009.a + b (II) 
 
Fazendo (II) – (I), para eliminar a variável b: 
 
61.715 – 60.177 = 2.009.a + b – 2.008.a – b ⇒ 
⇒ 2.009.a – 2.008.a = 61.715 – 60.177 ⇒ 
⇒ a = 1.538 (III) 
 
Substituindo (III) em (I): 
 
60.177 = 2.008.a + b ⇒ 
⇒ 60.177 = 2.008 x 1.538 + b ⇒ 
⇒ 60.177 = 3.088.304 + b ⇒ 
⇒ b = 60.177 – 3.088.304 ⇒ 
⇒ b = – 3.028.127 
 
Portanto, a função linear que representa a variação do consumo de energia 
elétrica de 2008 para 2009 é: 
 
Y (Megawatts) = 1.538 . X(ano) – 3.028.127 
 
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Substituindo para o ano de 2010: X = 2.010 
 
Y = 1.538 x 2.010 – 3.028.127 ⇒ 
⇒ Y = 3.091.380 – 3.028.127 ⇒ 
⇒ Y = 63.253 
 
Contudo, repare que a questão que saber o valor x, que corresponde à 
diferença entre o valor do gráfico para 2010 e o valor que obtivemos 
considerando a mesma variação ocorrida de 2008 para 2009. 
 
Y (Megawatts), para o ano de 2010, no gráfico = 70.654 
Y (Megawatts) que calculamos = 63.253 
 
x = 70.654 – 63.253 = 7.401 
GABARITO: D 
 
3. Em uma pesquisa, 8.500 pessoas responderam à seguinte pergunta: “Existe 
amizade entre homem e mulher?”. Desse total, 6.035 responderam “sim, eu 
até tenho”; 2.040 responderam “não existe” e as demais responderam “sim, 
mas eu não tenho”. Escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, 
qual a probabilidade de que ela tenha respondido “sim, mas eu não tenho”? 
 
(A) 5% 
(B) 8% 
(C) 12% 
(D) 16% 
(E) 24% 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - Em uma pesquisa, 8.500 pessoas responderam à seguinte pergunta: 
“Existe amizade entre homem e mulher?”. Desse total, 6.035 
responderam “sim, eu até tenho”; 2.040 responderam “não existe” e 
as demais responderam “sim, mas eu não tenho”. 
 
Total de Pessoas = 8.500 
Responderam “Sim, eu até tenho” = 6.035 
Responderam “Não existe” = 2.040 
 
De acordo com a questão, as demais responderam “Sim, mas eu não tenho”. 
Portanto, corresponde à diferença entre o total de pessoas e as que 
responderam “Sim, eu até tenho” e “Não existe”. 
 
Responderam “Sim, mas eu não tenho” = 8.500 – 6.035 – 2.040 = 425 
 
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II - Escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, qual a 
probabilidade de que ela tenha respondido “sim, mas eu não tenho”? 
 
Repare que basta calcular o percentual das pessoas que responderam “Sim, 
mas eu não tenho” em relação ao total de pessoas: 
 
Percentual = 
425
8.500
= 0,05 = 5% 
GABARITO: A 
 
4. Um navio iniciou uma viagem com 1.970 pessoas a bordo (tripulantes e 
passageiros). Ao parar no primeiro porto, ninguém embarcou no navio e 591 
passageiros desembarcaram. Assim, o número de passageiros a bordo passou 
a corresponder ao sêxtuplo do número de tripulantes. Quantos tripulantes 
havia nesse navio? 
 
(A) 294 
(B) 261 
(C) 245 
(D) 206 
(E) 197 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - Um navio iniciou uma viagem com 1.970 pessoas a bordo 
(tripulantes e passageiros). 
 
Totalde Pessoas a Bordo (Início da Viagem) = 1.970 
 
II - Ao parar no primeiro porto, ninguém embarcou no navio e 591 
passageiros desembarcaram. 
 
Portanto, no primeiro porto, não houve embarques, mas houve 591 
desembarques: 
 
Total de Pessoas a Bordo (Primeiro Porto) = 1.970 – 591 = 1.379 
 
Rapare que o número de pessoas bordo corresponde ao número de tripulantes 
(T) mais o número de passageiros (P). Então, teremos: 
 
1.379 = T + P (I) 
 
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III - Assim, o número de passageiros a bordo passou a corresponder 
ao sêxtuplo do número de tripulantes. Quantos tripulantes havia nesse 
navio? 
 
P = 6 x T (II) 
 
Substituindo (II) em (I): 
 
⇒ 1.379 = T + 6 x T ⇒ 
⇒ 1.379 = 7 x T ⇒ 
⇒ Número de Tripulantes (T) = 
1.379
7
 = 197 
GABARITO: E 
 
(Petrobras-Nível Médio-2010-Cesgranrio) 
5. O movimento de passageiros nos aeroportos brasileiros vem aumentando 
ano a ano. No Rio de Janeiro, por exemplo, chegou a 14,9 milhões de 
passageiros em 2009, 4,5 milhões a mais do que em 2004. Supondo-se que o 
aumento anual no número de passageiros nos aeroportos cariocas, de 2004 a 
2009, tenha-se dado em progressão aritmética, qual foi, em milhões de 
passageiros, o movimento nos aeroportos cariocas registrado em 2007? 
 
(A) 14,4 
(B) 13,8 
(C) 13,1 
(D) 12,8 
(E) 12,1 
 
Resolução 
 
Repare que, novamente, temos uma questão de progressão aritmética. Vamos 
resolvê-la: 
 
Número de Passageiros (2009) = 14,9 milhões, que representa 4,5 milhões a 
mais do que em 2004. 
 
Como a questão fala para considerar que temos uma progressão aritmética 
(PA), se considerarmos que a razão da PA é r: 
 
a1 (2004) = X milhões de passageiros 
a2 (2005) = X milhões de passageiros + r 
a3 (2006) = X milhões de passageiros + 2.r 
a4 (2007) = X milhões de passageiros + 3.r 
a5 (2008) = X milhões de passageiros + 4.r 
a6 (2009) = X milhões de passageiros + 5.r 
 
 
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De acordo com a questão: 
 
a6 (2009) – a1 (2004) =4,5 milhões ⇒ 
⇒ X milhões + 5.r – X milhões = 4,5 milhões ⇒ 
⇒ 5.r = 4,5 milhões ⇒ 
⇒ r = 
4,5
5
 milhões = 0,9 milhões 
 
Tendo r, conseguimos calcular X a partir do número de passageiros em 2009: 
 
a6 (2009) = X milhões de passageiros + 5.r ⇒ 
⇒ 14,9 milhões = X+ 5.r ⇒ 
⇒ 14,9 milhões = X + 4,5 milhões ⇒ 
⇒ X = 14,9 milhões – 4,5 milhões ⇒ 
⇒ X = 10,4 milhões 
 
Tendo r e X, é possível calcular o número de passageiros em 2007: 
 
a4 (2007) = X milhões de passageiros + 3.r ⇒ 
⇒ a4 (2007) = 10,4 milhões + 3 x 0,9 milhões ⇒ 
⇒ a4 (2007) = 10,4 milhões + 2,7 milhões ⇒ 
⇒ a4 (2007) = 13,1 milhões 
GABARITO: C 
 
6. A função g(x) = 84 . x representa o gasto médio, em reais, com a compra 
de água mineral de uma família de 4 pessoas em x meses. Essa família 
pretende deixar de comprar água mineral e instalar em sua residência um 
purificador de água que custa R$ 299,90. Com o dinheiro economizado ao 
deixar de comprar água mineral, o tempo para recuperar o valor investido na 
compra do purificador ficará entre 
 
(A) dois e três meses. 
(B) três e quatro meses. 
(C) quatro e cinco meses. 
(D) cinco e seis meses. 
(E) seis e sete meses. 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - De acordo com a questão, o gasto médio, em reais, com a compra 
de água mineral de uma família de 4 pessoas em x meses é: 
 
g(x) = 84 . x 
 
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II - A família pretende comprar um purificador de água, no valor de R$ 
299,90 e a questão deseja saber o tempo necessário para recuperar o 
dinheiro investido no purificador, em virtude do dinheiro economizado 
com a compra de água. 
 
Portanto, temos que igualar a função g(x), do gasto médio, com o valor do 
purificador de água e verificar o número meses que seriam necessários para 
consumir tal valor: 
 
84 . x = 299,90 ⇒ 
⇒ x = 
299,90
84
= 3,57 
 
Ou seja, se a família comprasse água mineral, entre o terceiro e o quarto mês 
de consumo (3,57), seriam gastos R$ 299,90. 
 
Portanto, com a compra do purificador de água, entre o terceiro e o 
quarto mês a família recuperaria o dinheiro investido, pois seria o 
dinheiro que a referida família gastaria com a compra de água mineral. 
GABARITO: B 
 
7. Há alguns meses, um restaurante de Tóquio e um empresário chinês 
pagaram 175 mil dólares por um atum-rabilho, um peixe ameaçado de 
extinção usado no preparo de sushis de excelente qualidade. Se o peixe 
pesava 232 kg, qual foi, em dólares, o preço médio aproximado pago por cada 
quilograma do peixe? 
 
(A) 75,44 
(B) 132,57 
(C) 289,41 
(D) 528,67 
(E) 754,31 
 
Resolução 
 
A questão deseja saber o valor médio do quilograma do peixe. Portanto, basta 
dividir o valor total pago pelo peso total do peixe: 
 
Valor Total Pago = 175 mil dólares = 175.000 
Peso Total do Peixe = 232 kg 
 
Preço Médio por Quilograma = 
175.000
232
= 754,31 dólares 
GABARITO: E 
 
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8. Atualmente, todas as cédulas de real são retangulares e do mesmo 
tamanho, tendo 14 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. Em breve, não 
será mais assim. As novas cédulas de real continuarão a ser retangulares, mas 
passarão a ter tamanhos diferentes, dependendo de seu valor. A de dois reais, 
por exemplo, passará a medir 12,1 cm por 6,5 cm. Qual será, em cm, a 
redução no perímetro da cédula de dois reais? 
 
(A) 3,80 
(B) 4,25 
(C) 7,60 
(D) 8,25 
(E) 12,35 
 
Resolução 
 
Essa questão é geometria, assunto que veremos em aula posterior. Mas, como 
para a prova temos que saber tudo fora de ordem, vamos resolvê-la aqui. 
 
Perímetro: é a soma do comprimento de todos os lados de uma figura plana. 
 
No caso da cédula da questão, temos um retângulo de lados 12,1 cm e 6,5 cm. 
O retângulo possui lados iguais, dois a dois. 
 
Retângulo: lados iguais dois a dois (a, b) ⇒ Perímetro = 2.(a+b) 
 
 
 
 
 
 
Portanto, teríamos que o perímetro na nova cédula de dois reais seria: 
a = 12,1 cm 
b = 6,5 cm 
Perímetro (Cédula Nova) = 2 x (a + b) = 2 x (12,1 + 6,5) ⇒ 
⇒ Perímetro (Cédula Nova) = 2 x 18,6 = 37,2 cm 
 
Por outro lado, o perímetro da cédula antiga seria: 
a´= 14 cm 
b´= 6,5 cm 
Perímetro (Cédula Antiga) = 2 x (a´ + b´) = 2 x (14 + 6,5) ⇒ 
⇒ Perímetro (Cédula Antiga) = 2 x 20,5 = 41 cm 
 
Redução do perímetro: 
Perímetro (Cédula Antiga) - Perímetro (Cédula Nova) = 41 – 37,2 = 3,8 cm 
 
b b 
a 
a 
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Repare que, como a largura das cédulas nova e antiga são iguais (6,5 cm), 
bastava calcular o resultado da subtração dos comprimentos da cédula antiga 
pelacédula nova e multiplicar por 2 (dois lados iguais). Vejamos: 
 
Perímetro (Cédula Nova) = 2 x (a + b) = 2 x (12,1 + 6,5) 
Perímetro (Cédula Antiga) = 2 x (a´ + b´) = 2 x (14 + 6,5) 
 
Perímetro (Cédula Antiga) - Perímetro (Cédula Nova) = 
= 2 x 14 + 2 x 6,5 – 2 x 12,1 – 2 x 6,5 = 
= 2 x 14 – 2 x 12,1 = 
= 2 x (14 – 12,1) = 
= 2 x 1,90 = 3,8 cm 
GABARITO: A 
 
9. Em três meses, certa empresa fez 2.670 conversões de veículos para o uso 
de GNV (Gás Natural Veicular). O número de conversões realizadas no segundo 
mês superou em 210 o número de conversões realizadas no primeiro mês. No 
terceiro mês, foram feitas 90 conversões a menos que no segundo mês. 
Quantas conversões essa empresa realizou no primeiro mês? 
 
(A) 990 
(B) 900 
(C) 870 
(D) 810 
(E) 780 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - Em três meses, certa empresa fez 2.670 conversões de veículos 
para o uso de GNV (Gás Natural Veicular). 
 
Conversões do Primeiro Mês = P1 
Conversões do Segundo Mês = P2 
Conversões do Terceiro Mês = P3 
 
Total de Conversões em 3 meses = P1 + P2 + P3 = 2.670 (A) 
 
II - O número de conversões realizadas no segundo mês superou em 
210 o número de conversões realizadas no primeiro mês. No terceiro 
mês, foram feitas 90 conversões a menos que no segundo mês. 
 
Conversões do Primeiro Mês = P1 
Conversões do Segundo Mês = P2 = P1 + 210 (B) 
Conversões do Terceiro Mês = P3 = P2 – 90 (C) 
 
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Substituindo (C) em (B): 
P3 = P2 – 90 ⇒ 
⇒ P3 = P1 + 210 – 90 ⇒ 
⇒ P3 = P1 + 120 (D) 
 
III - Quantas conversões essa empresa realizou no primeiro mês? 
 
Substituindo (B) e (D) em (A): 
P2 = P1 + 210 (B) 
P3 = P1 + 120 (D) 
 
P1 + P2 + P3 = 2.670 (A) ⇒ 
⇒ P1 + P1 + 210 + P1 + 120 = 2.670 ⇒ 
⇒ 3 x P1 + 330 = 2.670 ⇒ 
⇒ 3 x P1 = 2.670 – 330 ⇒ 
⇒ 3 x P1 = 2.340 ⇒ 
⇒ P1 = 
2.340
3
⇒ 
⇒ P1 = 780 conversões 
GABARITO: E 
 
10. Certo livro de bolso de 12cm de largura e 18cm de comprimento tem 95 
páginas, mais a capa e a contracapa. A gramatura do papel utilizado para fazer 
as folhas desse livro é 75g/m2 e a do utilizado para fazer a capa e a 
contracapa, 180g/m2. Considerando-se esses dados, qual é, em gramas, a 
massa aproximada desse livro? 
 
(A) 162 
(B) 184 
(C) 226 
(D) 278 
(E) 319 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão. Essa é mais uma questão de geometria, para que 
já comecemos a nos familiarizar com o assunto. 
 
I - Certo livro de bolso de 12cm de largura e 18cm de comprimento 
tem 95 páginas, mais a capa e a contracapa. 
 
Informações referentes ao livro de bolso: 
Largura = 12 cm 
Comprimento = 18 cm 
Total de Páginas = 95 + Capa + Contracapa 
 
 
11
 
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II - A gramatura do papel utilizado para fazer as folhas desse livro é 
75g/m2 e a do utilizado para fazer a capa e a contracapa, 180g/m2. 
 
Repare que a questão informa o peso das folhas, da capa e da contracapa por 
metro quadrado (m2). Portanto, precisamos conhecer a área das folhas, da 
capa e da contracapa. 
 
Como o livro é um retângulo, temos: 
 
Retângulo: lados iguais dois a dois (a, b) ⇒ Área = a.b 
 
 
 
 
 
Para medir comprimento: metro (m) 
Quilômetro (km) = 1.000 m = 103 m 
Hectômetro (hm) = 100 m = 102 m 
Decâmetro (dam) = 10 m = 101 m 
Metro (m) = 1 m 
Decímetro (dm) = 0,1 m = 10-1 m 
Centímetro (cm) = 0,01 m = 10-2 m 
Milímetro (mm) = 0,001 m = 10-3 m 
 
Portanto, a área de cada uma das folhas, da capa e da contracapa seria: 
 
Largura = 12 cm = 12 x 10-2 m (já convertendo para metro) 
Comprimento = 18 cm = 18 x 10-2 m (já convertendo para metro) 
 
Área = Largura x Comprimento = 12 x 10-2 x 18 x 10-2 ⇒ 
 
Lembra da multiplicação das potências de mesma base? 
 
Ax . Ay = Ax+y 
 
Portanto: 10-2 x 10-2 = 10-2+(-2) = 10-4 
 
Continuando: 
⇒ Área = 216 x 10-2-2 ⇒ 
⇒ Área = 216,0 x 10-4 ⇒ 
 
Como a potência de 10 é igual a menos quatro (-4), temos que andar com a 
vírgula quatro vezes para a esquerda: 
⇒ Área = 0,0216 m2 
 
 
b b 
a 
a 
12
 
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III - Considerando-se esses dados, qual é, em gramas, a massa 
aproximada desse livro? 
 
Gramatura das Folhas do Livro = 75 g/m2 
Gramatura da Capa e da Contracapa = 180 g/m2 
 
Já calculamos que a área da folha, da capa é da contracapa é: 
Área = 0,0216 m2 
 
Para calcular o peso total do livro, temos que multiplicar o número folhas pela 
área e pela gramatura e fazer o mesmo para a capa e a contracapa. Vejamos: 
 
Peso das Folhas = 95 folhas x Área x Gramatura das Folhas ⇒ 
⇒ Peso das Folhas = 95 x 0,0216 x 75 = 153,9 gramas 
 
Peso da Capa = 1 capa x Área x Gramatura das Folhas ⇒ 
⇒ Peso da Capa = 1 x 0,0216 x 180 = 3,888 gramas 
 
Peso da Contracapa = 1 contracapa x Área x Gramatura das Folhas ⇒ 
⇒ Peso da Contracapa = 1 x 0,0216 x 180 = 3,888 gramas 
 
Peso das Folhas 153,9 
Peso da Capa 3,888 
Peso da Contracapa 3,888 
Peso Total do Livro 161,68 gramas ≈ 162 gramas 
GABARITO: A 
 
11. Um estudo em laboratório constatou que, depois de se administrar certo 
medicamento a um indivíduo, a concentração C(t) da substância ativa do 
medicamento no organismo reduz em função do tempo t, em horas, de acordo 
com a função C(t) = Ci.
0,25
1
2
t
 
 
 
, onde Ci representa a concentração inicial de 
tal substância no organismo do indivíduo ao receber a medicação. De acordo 
com essas informações, após quantas horas a concentração dessa substância 
no organismo de um indivíduo equivalerá à oitava parte da concentração inicial 
(Ci)? 
 
(A) 4 
(B) 8 
(C) 10 
(D) 12 
(E) 16 
 
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Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - Um estudo em laboratório constatou que, depois de se administrar 
certo medicamento a um indivíduo, a concentração C(t) da substância 
ativa do medicamento no organismo reduz em função do tempo t, em 
horas, de acordo com a função C(t) = Ci.
0,25
1
2
t
 
 
 
, onde Ci representa a 
concentração inicial de tal substância no organismo do indivíduo ao 
receber a medicação. 
 
Portanto, temos uma função que representa a redução da substância ativa de 
um medicamento no organismo de um indivíduo em função do tempo: 
 
C(t) = Ci.
0,25
1
2
t
 
 
 
(A) 
Onde, 
Ci = concentração inicial da substância no organismo do indivíduo ao receber a 
medicação 
 
II - De acordo com essas informações, após quantas horas a 
concentração dessa substância no organismo de um indivíduo 
equivalerá à oitava parte da concentração inicial (Ci)? 
 
Portanto, temos que descobrir o tempo t tal que a concentração da substância 
ativa seja a oitava parte da concentração inicial: 
 
C(t) = 
8
iC (B) 
 
Substituindo (B) em (A): 
C(t) = Ci.
0,25
1
2
t
 
 
 
 ⇒⇒ 
8
iC = Ci.
0,25
1
2
t
 
 
 
 ⇒ 
 
Como temos Ci dos dois lados da igualdade, podemos simplificar: 
 
⇒ 
1
8
= 
0,25
1
2
t
 
 
 
(C) 
 
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Além disso, sabemos que: 23 = 8 
 
Portanto: 
1
8
 = 
3
3
1 1
2 2
 =  
 
(D) 
 
Substituindo (D) em (C): 
 
⇒ 
1
8
= 
0,25
1
2
t
 
 
 
⇒ 
3
1
2
 
 
 
= 
0,25
1
2
t
 
 
 
 
 
Como as bases são iguais a 
1
2
, para que a igualdade seja verdadeira, os 
expoentes também devem ser iguais: 
 
3 = 0,25.t ⇒ t = 
3
0,25
 ⇒ t = 12 horas 
GABARITO: D 
 
12. No Brasil, a maior parte dos poços produtores de petróleo e gás natural 
localiza-se no mar. São, ao todo, 8.539 poços, e o número de poços 
localizados no mar corresponde a nove vezes o número de poços localizados 
em terra, mais 749. Quantos são os poços produtores de petróleo e gás 
natural localizados em terra? 
 
(A) 779 
(B) 787 
(C) 821 
(D) 911 
(E) 932 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - No Brasil, a maior parte dos poços produtores de petróleo e gás 
natural localiza-se no mar. São, ao todo, 8.539 poços, e o número de 
poços localizados no mar corresponde a nove vezes o número de poços 
localizados em terra, mais 749. 
 
Total de Poços = 8.539 
Poços Localizados no Mar = Pm 
Poços Localizado em Terrar = Pt 
 
Pm + Pt = 8.539 (A) 
 
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Além disso, de acordo com a questão, o número de poços localizados no mar 
corresponde a nove vezes o número de poços localizados em terra, mais 749. 
 
Pm = 9 x Pt + 749 (B) 
 
II - Quantos são os poços produtores de petróleo e gás natural 
localizados em terra? 
 
Substituindo (B) em (A): 
 
Pm = 9 x Pt + 749 (B) 
 
Pm + Pt = 8.539 (A) ⇒ 
⇒ 9 x Pt + 749 + Pt = 8.539 ⇒ 
⇒ 10 x Pt = 8.539 – 749 ⇒ 
⇒ 10 x Pt = 7.790 ⇒ 
⇒ Pt = 
7.790
10
 ⇒ 
⇒ Pt = 779 
GABARITO: A 
 
13. Mil pessoas responderam a uma pesquisa sobre a frequência do uso de 
automóvel. Oitocentas e dez pessoas disseram utilizar automóvel em dias de 
semana, 880 afirmaram que utilizam automóvel nos finais de semana e 90 
disseram que não utilizam automóveis. Do total de entrevistados, quantas 
pessoas afirmaram que utilizam automóvel durante a semana e, também, nos 
fins de semana? 
 
(A) 580 
(B) 610 
(C) 690 
(D) 710 
(E) 780 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - Mil pessoas responderam a uma pesquisa sobre a frequência do uso 
de automóvel. 
 
Total de Pessoas que responderam a pesquisa = 1.000 
 
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II - Oitocentas e dez pessoas disseram utilizar automóvel em dias de 
semana, 880 afirmaram que utilizam automóvel nos finais de semana e 
90 disseram que não utilizam automóveis. 
 
Pessoas que utilizam o automóvel em dias de semana = 810 
Pessoas que utilizam o automóvel em fins de semana = 880 
Pessoas que não utilizam automóveis = 90 
 
Portanto, podemos deduzir que o número de pessoas que utilizam automóveis 
é: 
 
Total de Pessoas que responderam a pesquisa 1.000 
(-) Pessoas que não utilizam automóveis (90) 
(=) Pessoas que utilizam automóveis 910 
 
III - Do total de entrevistados, quantas pessoas afirmaram que 
utilizam automóvel durante a semana e, também, nos fins de semana? 
 
Lembra da fórmula que utilizamos na aula passada? Vamos relembrar: 
 
Número de elementos da união de dois conjuntos: 
n (P ∪ Q) = n(P) + n(Q) – n(P ∩ Q) 
 
n(P) ⇒ número de elementos de P 
n(Q) ⇒ número de elementos de Q 
n(P ∪ Q) ⇒ número de elementos de P ∪ Q (P união Q) 
n(P ∩ Q) ⇒ número de elementos de P ∩ Q (P interseção Q) 
 
Voltando a nossa questão, teríamos: 
 
n(P) = número de pessoas que utilizam o automóvel em dias de semana 
n(P) = 810 
 
n(Q) = número de pessoas que utilizam o automóvel em fins de semana 
n(Q) = 880 
 
n(P ∪ Q) = número de pessoas que utilizam automóveis = 910 
 
n(P ∩ Q) = número de pessoas que utilizam automóveis durante a semana e 
nos finais de semana 
 
n (P ∪ Q) = n(P) + n(Q) – n(P ∩ Q) ⇒ 
⇒ 910 = 810 + 880 – n(P ∩ Q) ⇒ 
⇒ n(P ∩ Q) = 810 + 880 – 910 ⇒ 
⇒ n(P ∩ Q) = 780 
GABARITO: E 
 
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14. Em calculadoras científicas, a tecla log serve para calcular logaritmos de 
base 10. Por exemplo, se digitamos 100 e, em seguida, apertamos a tecla log, 
o resultado obtido é 2. A tabela a seguir apresenta alguns resultados, com 
aproximação de três casas decimais, obtidos por Pedro ao utilizar a tecla log de 
sua calculadora científica. 
 
Número Digitado Resultado obtido após 
apertar a tecla log 
2 0,301 
3 0,477 
7 0,845 
 
Utilizando-se os valores anotados por Pedro na tabela acima, a solução da 
equação log 6 + x = log 28 é 
 
(A) 0,563 
(B) 0,669 
(C) 0,966 
(D) 1,623 
(E) 2,402 
 
Resolução 
 
Esse é uma questão em que utilizaremos as propriedades dos logaritmos. 
Vamos relembrar: 
 
1) Logaritmo do produto: logb xy = logb x + logb y. 
Exemplo: 
log3 (9.27) = log3 243 = x ⇒ 3x = 243 = 35 ⇒ x = 5 
 
ou aplicando a propriedade do logaritmo do produto: 
log3 (9.27) = log3 9 + log3 27 = log3 32 + log3 33 = 2 + 3 = 5 
 
Logo, log3 (9.27) = log3 9 + log3 27 
 
2) Logaritmo do quociente: logb 
x
y
= logb x - logb y 
Exemplo: 
log3 (
9
27
) 
(como 27 e 9 são divisíveis por 9, podemos dividir o numerador e o 
denominador por 9 sem alterar a fração) 
log3 (
9
27
) = log3 (
1
3
) = x ⇒ 3x = 
1
3
= 3-1 ⇒ x = -1 
 
 
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ou aplicando a propriedade do logaritmo do quociente: 
log3 (
9
27
) = log3 9 - log3 27 = 2 - 3 = -1 
Logo, log3 (
9
27
) = log3 9 - log3 27 
 
3) Logaritmo da potência: logb xn = n . logb x 
 
Exemplo: 
log3 32 = x ⇒ 3x = 32 ⇒ x = 2 
 
ou aplicando a propriedade do logaritmo da potência: 
log3 32 = 2 . log3 3 = 2 . 1 = 2 
 
Logo, log3 32 = 2. log3 3 
 
Nota: logb x1/n = (
1
n
) . logb x 
 
Vamos resolver a questão: 
 
log 6 + x = log 28 
 
Repare que 6 = 3 x 2 e 28 = 2 x 2 x 7 = 22 x 7 
 
log 6 + x = log 28 ⇒ 
⇒ log (3 x 2) + x = log (22 x 7) ⇒ 
 
Aplicando a propriedade do logaritmo do produto: 
⇒ log 3 + log 2 + x = log 22 + log 7 ⇒ 
 
Aplicando a propriedade do logaritmo da potência: 
⇒ log 3 + log 2 + x = 2.log 2 + log 7 ⇒ 
 
⇒ x = 2.log 2 + log 7 – log 3 – log 2 ⇒ 
⇒ x = log 2 + log 7 – log 3 ⇒ 
 
Da tabela dada, temos: 
log 2 = 0,301 
log 3 = 0,477 
log 7 = 0,845⇒ x = 0,301 + 0,845 – 0,477 ⇒ 
⇒ x = 0,669 
GABARITO: B 
 
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15. Em uma caixa há, ao todo, 130 bolas, sendo algumas brancas e as 
demais, pretas. Se 10 bolas pretas forem retiradas da caixa e 15 bolas brancas 
forem colocadas, o número de bolas pretas dentro da caixa excederá o de 
bolas brancas em 5 unidades. Quantas bolas brancas há dentro dessa caixa? 
 
(A) 40 
(B) 50 
(C) 60 
(D) 70 
(E) 80 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - Em uma caixa há, ao todo, 130 bolas, sendo algumas brancas e as 
demais, pretas. 
 
Total de Bolas na Caixa = 130 
Total de Bolas Brancas = B 
Total de Bolas Pretas = P 
 
B + P = 130 (A) 
 
II - Se 10 bolas pretas forem retiradas da caixa e 15 bolas brancas 
forem colocadas, o número de bolas pretas dentro da caixa excederá o 
de bolas brancas em 5 unidades. 
 
Se retirarmos 10 bolas pretas, ficaremos com P – 10 bolas pretas. 
P´ = P – 10 (B) 
 
Se colocarmos 15 bolas brancas, ficaremos com B + 15 bolas pretas. 
B´ = B + 15 (C) 
 
Com isso, o número de bolas pretas dentro de caixa (P´) excederá o de bolas 
brancas (B´) em 5 unidades. Portanto: 
 
P´= B´+ 5 (D) 
 
Substituindo (B) e (C) em (D): 
P´= B´ + 5 (D) ⇒ 
⇒ P – 10 = B + 15 + 5 ⇒ 
⇒ P = B + 20 + 10 ⇒ 
⇒ P = B + 30 (E) 
 
20
 
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III - Quantas bolas brancas há dentro dessa caixa? 
 
Substituindo (E) em (A): 
 
P = B + 30 (E) 
 
B + P = 130 (A) ⇒ 
⇒ B + B + 30 = 130 ⇒ 
⇒ 2.B = 130 – 30 ⇒ 
⇒ 2.B = 100 ⇒ 
⇒ B = 
100
2
 ⇒ 
⇒ B = 50 
GABARITO: B 
 
Vamos resolver as questões relativas a essa aula. 
 
(Técnico em Metrologia e Qualidade–Área: Eletrônica-Inmetro-2010-
Cespe) 
16. Um técnico é incumbido de examinar alguns lotes de instrumentos de 
medida. Em cada lote, ele separa os instrumentos descalibrados dos sem 
defeito. Em determinado lote, ele verifica que o número de instrumentos sem 
defeito, x, e o número de instrumentos descalibrados, y, são as soluções do 
sistema linear, 
 
3x + 2y = 48 
 
x + ay = 44, em que a é um número real. 
 
Sabendo-se que o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema é 
igual a 7, é correto afirmar que o número de instrumentos examinados nesse 
lote foi 
 
A 24. 
B 23. 
C 22. 
D 21. 
E 20. 
 
Resolução 
 
Para resolver a questão, precisaremos estudar os conceitos principais sobre 
resolução de sistemas lineares utilizando matrizes e determinantes. Vamos lá: 
 
 
 
21
 
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Determinantes 
Paraobterrminantedeumamatrizquadrada A (det A), de ordem n (n ≤ 
3), devemos adotar o seguinte procedimento: 
 
1)n=1.Nestasituação,rminantede A é o único elemento de A. 
A = [a11] ⇒det A = a11 
Exemplo: A = [23] ⇒ det A = 23 
 
2)n=2.Nestasituação,rminantede A será o produto dos elementos 
da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. 
 
11 12
21 22
a a
A
a a
 
 
  
 
= ⇒ det A = a11 . a22 - a12 . a21 
 
Exemplo: 
 
3 1
det 3 2 4 ( 1) 10
4 2
cos
det cos .cos . cos( )
cos
A A
x senx
B B x y senx seny x y
seny y
 
 
  
 
 
  
−
= ⇒ = × − × − =
= ⇒ = − = +
 
 
3) n = 3. Nesta situação, temos: 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
 
 
 
  
 
= 
 
det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 - a13 . a22 . a31 – 
 - a11 . a23 . a32 - a12 . a21 . a33 
 
Para memorizar esta fórmula, vamos adotar o seguinte procedimento, também 
conhecido como Regra de Sarrus para o cálculo de determinantes de ordem 3: 
 
a) Repete-se, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas 
 
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 3231 32 33
a a a a a
A a a a a a
a aa a a
 
 
 
 
 
  
 
= 
 
 
+ - 
+ – 
 
22
 
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b) Os termos precedidos do sinal “+” são obtidos multiplicando-se os 
elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal principal: 
 
a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 
 
c) Os termos precedidos do sinal “-” são obtidos multiplicando-se os elementos 
segundo as flechas situadas na direção da diagonal secundária: 
 
- a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 - a12 . a21 . a33 
 
Exemplo: 
 
1 3 4
5 2 3
1 4 2
A
 
 
 
 
  
= − 
 
1 3 4 1 3
det 5 2 3 5 2 1 2 2 3 ( 3) 1 4 5 4 4 2 1 1 ( 3) 4 3 5 2
1 4 2 1 4
det 4 9 80 8 12 30 49
A x x x x x x x x x x x x
A
 
 
 
 
  
= − = + − + − − − −
= − + − + − =
 
 
Outra forma de memorizar: 
 
I) Os termos precedidos pelo sinal “+” são obtidos multiplicando-se os 
elementos de acordo com os caminhos indicados abaixo: 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
 
 
 
 
  
 
= 
 
 
 
 
a11 x a22 x a33 
a12 x a23 x a31 
a13 x a21 x a32 
23
 
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II) Os termos precedidos pelo sinal “-” são obtidos multiplicando-se os 
elementos de acordo com os caminhos indicados abaixo: 
 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
 
 
 
 
  
 
= 
 
 
Solução de Sistemas Lineares 
Sistemas lineares são conjuntos de equações (duas ou mais) em que se deseja 
encontrar a solução, ou seja, uma solução que atende e torne todas as 
equações verdadeiras. 
 
Exemplos: 
 
S1: 2x + 6y = 4 
 x – y = 5 
 
No sistema linear S1, temos duas equações e duas incógnitas (x e y). 
 
 
S2: 2x + 3y + 3z = 4 
 x – y + z= 2 
 3x + y – 2z = 0 
 
No sistema linear S2, temos três equações e três incógnitas (x, y e z). 
 
Se um sistema linear S tiver, pelo menos, uma solução, ele será possível ou 
compatível. Caso não tenha nenhuma solução, S será impossível ou 
incompatível. 
 
Regra de Cramer 
É possível representar um sistema linear por meio de matrizes: 
 
Exemplo: 
 
S2: x + y + z = 4 (I) 
 x – y + 3z= 2 (II) 
 3x + y – 2z = 3 (III) 
 
a13 x a22 x a31 
a11 x a32 x a23 
a12 x a21 x a33 
24
 
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1 1 1 4 1. 1. 1. 4
1 1 3 2 1. 1. 3. 2
3 1 2 3 3. 1. 2. 3
x x y z
y x y z
z x y z
        
        
⇒ =        
       
                
+ +
− • = − +
− + −
 
 
Aqui, você deve estar se perguntando: Como é feita uma multiplicação de 
matrizes? Vamos explicar o procedimento logo após as definições abaixo. 
 
Primeira matriz: matriz incompleta ou dos coeficientes (formada pelos 
coeficientes das variáveis) 
 
Segunda matriz: matriz das incógnitas 
 
Ainda há a matriz completa, que é formada pelos coeficientes das variáveis e 
pelos termos independentes (termos após o sinal de igual), conforme abaixo: 
 
1 1 1 4
1 1 3 2
3 1 2 3
 
 
 
 
  
−
−
 
 
Quando o número de equações do sistema é igual ao número de variáveis, e o 
determinante da matriz incompleta é diferente de zero, o sistema é 
denominado sistema normal. 
 
Para todo sistema normal, é possível obter a sua solução por meio do 
procedimento abaixo: 
 
x = Dx/D; y = Dy/D e z = Dz/D e, assim sucessivamente, para as demais 
variáveis, se houver. No nosso caso, iremos concentrar nossas resoluções em 
sistemas normais de duas ou três variáveis. 
 
D ⇒ determinante da matriz incompleta. 
 
Dx ⇒ determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a 
coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. 
 
Dy ⇒ determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a 
coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. 
 
Dz ⇒ determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a 
coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes. 
 
25
 
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Exemplo: 
 
S2: x + y + z = 4 (I) 
 x – y + 2z= 2 (II) 
 3x + y – 2z = 3 (III) 
 
1 1 1 4
1 1 3 2
3 1 2 3
x
y
z
    
    
    
    
        
− • =
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D ⇒ determinante da matriz incompleta 
D = 1.(-1).(-2) + 1.3.3 + 1.1.1 – 1.(-1).3 – 1.1.(-2) – 1.1.3 ⇒ 
⇒ D = 2 + 9 + 1 + 3 + 2 – 3 = 14 
 
Dx ⇒ determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a 
coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. 
 
4 1 1
2 1 3
3 1 2
 
 
 
 
  
−
−
⇒ Dx = 4.(-1).(-2) + 1.3.3 + 1.2.1 – 1.(-1).3 – 2.1.(-2) – 4.1.3 
⇒Dx = 8 + 9 + 2 + 3 + 4 – 12 =14 
x = Dx/D = 14/14 ⇒ x = 1 
 
Dy ⇒ determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a 
coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. 
1 4 1
1 2 3
3 3 2
 
 
 
 
  −
⇒ Dy = 1.2.(-2) + 4.3.3 + 1.3.1 – 1.2.3 – 4.1.(-2) – 1.3.3 ⇒ 
Dy = -4 + 36 + 3 – 6 + 8 – 9 =28 
y = Dy/D = 28/14 ⇒ y = 2 
 
Matriz 
Incompleta 
ou 
Matriz 
dos 
Coeficientes 
Matriz das 
Incógnitas 
Termos 
Independentes 
26
 
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Dz ⇒determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a 
coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes. 
1 1 4
1 1 2
3 1 3
 
 
 
 
  
− ⇒ Dz = 1.(-1).3 + 1.2.3 + 4.1.1 – 4.(-1).3 – 1.1.2 – 1.1.3 ⇒ 
Dz = -3 + 6 + 4 + 12 – 2 – 3 =14 
z = D/Dz = 14/14 ⇒ z = 1 
 
Análise de um sistema: 
 
1) Sistema possível e determinado: D ≠ 0 (uma única solução). 
2) Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes Dx, 
Dy e Dz forem iguais a zero. 
3) Impossível: D = 0 e (Dx ou Dy ou Dz) forem diferentes de zero. 
 
Para fechar os conceitos, vamos verificar como é feita a multiplicação de 
matrizes: 
 
Produto de Matrizes 
Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bjk)nxp, o produto AB será uma matriz 
C = (cij)mxp, tal que 
 
cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k +....+ ain . bnk 
 
para todo i = {1, 2, 3, ..., m} e k = {1, 2, 3, ..., p}. 
 
Observações: 
 
1) O produto AB só irá existir se e somente se o número de colunas de A for 
igual ao número de linhas de B. Ou seja, A terá que ser da ordem m x n e B da 
ordem n x p. 
 
2) A matriz C, originada do produto AB, será uma matriz da ordem m x p 
(mesmo número de linhas da matriz A e mesmo número de colunas da matriz 
B). 
 
3) O elemento cik da matriz C = AB será obtido de acordo com o seguinte 
procedimento: 
 
(I) Toma-se a linha i da matriz A: ai1; ai2; ai3; ....; ain (n elementos) 
 
(II) Toma-se a coluna k da matriz B: b1k 
b2k 
b3k 
.... 
bnk (n elementos) 
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(III) Coloca-se a linha i da matriz A na “vertical”, ao lado da coluna k da matriz 
B: 
ai1 b1k 
ai2 b2k 
ai3 b3k 
.... .... 
ain bnk (n elementos) 
 
(IV) Calculam-se os n produtos dos elementos que ficaram lado a lado: 
ai1 x b1k 
ai2 x b2k 
ai3 x b3k 
.... .... 
ain x bnk 
 
(V) Somam-se esses n produtos, obtendo cik: 
cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k +....+ ain . bnk 
 
Exemplos: 
 
1) 
0 1
2 3
1 2
3 4
A
B
 
 
  
 
 
  
=
=
 
Calcular AB. 
 
I) Primeira linha de “A” (na vertical) x Primeira coluna de “B”: 
0 x 1 = 0 
1 x 3 = 3 
c11 = a11 . b11 + a12 . b21 = 0 x 1 + 1 x 3 = 3 
 
II) Primeira linha de “A” (na vertical) x Segunda coluna de “B”: 
0 x 2 = 0 
1 x 4 = 4 
c12 = a11 . b12 + a12 . b22 = 0 x 2 + 1 x 4 = 4 
III) Segunda linha de “A” (na vertical) x Primeira coluna de “B”: 
2 x 1 = 2 
3 x 3 = 9 
c21 = a21 . b11 + a22 . b21 = 2 x 1 + 3 x 3 = 11 
 
IV) Segunda linha de “A” (na vertical) x Segunda coluna de “B”: 
2 x 2 = 4 
3 x 4 = 12 
c22 = a21 . b12 + a22 . b22 = 2 x 2 + 3 x 4 = 16 
 
28
 
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3 4
11 16
AB C
 
 
  
= = 
 
2) 
0 1
2 3
1 2
3 4
A
B
 
 
  
 
 
  
=
=
 
 
Calcular BA. 
 
I) Primeira linha de “B” (na vertical) x Primeira coluna de “A”: 
1 x 0 = 0 
2 x 2 = 4 
c11 = b11 . a11 + b12 . a21 = 1 x 0 + 2 x 2 = 4 
 
II) Primeira linha de “B” (na vertical) x Segunda coluna de “A”: 
1 x 1 = 1 
2 x 3 = 6 
c12 = b11 . a12 + b12 . a22 = 1 x 1 + 2 x 3 = 7 
 
III) Segunda linha de “B” (na vertical) x Primeira coluna de “A”: 
3 x 0 = 0 
4 x 2 = 8 
c21 = b21 . a11 + b22 . a21 = 3 x 0 + 4 x 2 = 8 
 
IV) Segunda linha de “B” (na vertical) x Segunda coluna de “A”: 
3 x 1 = 3 
4 x 3 = 12 
c22 = b21 . a12 + b22 . a22 = 3 x 1 + 4 x 3 = 15 
 
4 7
8 15
BA C
 
 
  
= = 
 
Portanto, percebe-se que AB é diferente de BA. 
 
ATENÇÃO!!! A multiplicação de matrizes não possui a propriedade 
comutativa. 
 
29
 
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3) 
A = 
0 1 1
1 0 2
1 2 0
 
 
 
  
 
 
A2 = A . A = 
0 1 1
1 0 2
1 2 0
 
 
 
  
.
01 1
1 0 2
1 2 0
 
 
 
  
 
 
Vamos fazer a multiplicação das matrizes (A.A): 
 
I) Primeira linha de “A” (na vertical) x Primeira coluna de “A”: 
 
0 x 0 = 0 
1 x 1 = 1 
1 x 1 = 1 
c11 = a11 . a11 + a12 . a21 + a13 . a31 = 0 x 0 + 1 x 1 + 1 x 1 = 2 
 
II) Primeira linha de “A” (na vertical) x Segunda coluna de “A”: 
 
0 x 1 = 0 
1 x 0 = 0 
1 x 2 = 2 
c12 = a11 . a12 + a12 . a22 + a13 . a32 = 0 x 1 + 1 x 0 + 1 x 2 = 2 
 
III) Primeira linha de “A” (na vertical) x Terceira coluna de “A”: 
 
0 x 1 = 0 
1 x 2 = 2 
1 x 0 = 0 
c13 = a11 . a13 + a12 . a23 + a13 . a33 = 0 x 1 + 1 x 2 + 1 x 0 = 2 
 
IV) Segunda linha de “A” (na vertical) x Primeira coluna de “A”: 
 
1 x 0 = 0 
0 x 1 = 0 
2 x 1 = 1 
c21 = a21 . a11 + a22 . a21 + a23 . a31 = 1 x 0 + 0 x 1 + 2 x 1 = 2 
 
30
 
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V) Segunda linha de “A” (na vertical) x Segunda coluna de “A”: 
 
1 x 1 = 1 
0 x 0 = 0 
2 x 2 = 4 
c22 = a21 . a12 + a22 . a22 + a23 . a32 = 1 x 1 + 0 x 0 + 2 x 2 = 5 
 
VI) Segunda linha de “A” (na vertical) x Terceira coluna de “A”: 
 
1 x 1 = 1 
0 x 2 = 0 
2 x 0 = 0 
c23 = a21 . a13 + a22 . a23 + a23 . a33 = 1 x 1 + 0 x 2 + 2 x 0 = 1 
 
VII) Terceira linha de “A” (na vertical) x Primeira coluna de “A”: 
 
1 x 0 = 0 
2 x 1 = 2 
0 x 1 = 0 
c31 = a31 . a11 + a32 . a21 + a33 . a31 = 1 x 0 + 2 x 1 + 0 x 1 = 2 
 
VIII) Terceira linha de “A” (na vertical) x Segunda coluna de “A”: 
 
1 x 1 = 1 
2 x 0 = 0 
0 x 2 = 0 
c32 = a31 . a12 + a32 . a22 + a33 . a32 = 1 x 1 + 2 x 0 + 0 x 2 = 1 
 
IX) Terceira linha de “A” (na vertical) x Terceira coluna de “A”: 
 
1 x 1 = 1 
2 x 2 = 4 
0 x 0 = 0 
c33 = a31 . a13 + a32 . a23 + a33 . a33 = 1 x 1 + 2 x 2 + 0 x 0 = 5 
 
Portanto, a matriz A2 ficou da seguinte forma: 
 
A2 = A . A = 
0 1 1
1 0 2
1 2 0
 
 
 
  
.
0 1 1
1 0 2
1 2 0
 
 
 
  
 = 
2 2 2
2 5 1
2 1 5
 
 
 
  
 
 
31
 
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Vamos à resolução da questão: 
 
I - Um técnico é incumbido de examinar alguns lotes de instrumentos 
de medida. Em cada lote, ele separa os instrumentos descalibrados dos 
sem defeito. Em determinado lote, ele verifica que o número de 
instrumentos sem defeito, x, e o número de instrumentos 
descalibrados, y, são as soluções do sistema linear, 
 
3x + 2y = 48 
 
x + ay = 44, em que a é um número real. 
 
Portanto, temos que: 
 
x = número de instrumentos sem defeito 
y = número de instrumentos descalibrados 
 
IISabendosequerminantedamatrizdoscoeficientesdesse
sistema é igual a 7, é correto afirmar que o número de instrumentos 
examinados nesse lote foi... 
 
A questão deseja saber o número de instrumentos examinados no lote. Para 
isso, precisamos descobrir os valores de x e de y. 
 
Contudo, antes disso, temos que achar o valor de a e, para calculá-lo, foi dada 
a seguinte informação: ...o determinante da matriz dos coeficientes 
desse sistema é igual a 7... 
 
Vamos montar a matriz de coeficientes: 
 
Na primeira equação, temos: 3x + 2y = 48. Logo, o coeficiente de x é 3 e o 
coeficiente de y é 2. 
 
Na segunda equação, temos: x + ay = 44. Logo, o coeficiente de x é 1 e o 
coeficiente de y é a. 
 
Deacordocomaquestãorminantedamatrizdecoeficientesabaixoé
igual a 7. 
 
Matriz de Coeficientes = 
3 2
1 a
 
 
 
 
Na matriz, temos: 
 
a11 = 3 
a12 = 2 
a21 = 1 
a22 = a 
32
 
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rminanteseria:a 11.a22 – a12.a21 = 7 
 
Determinante = 3 . a – 1 . 2 = 7 ⇒ 3a – 2 = 7 ⇒ 3a = 7 + 2 ⇒ 
⇒ 3a = 9 ⇒ a = 
9
3
 ⇒ a = 3 
 
Como temos o valor de a, já podemos calcular os valores de x e y. Vamos ao 
nosso sistema: 
 
3x + 2y = 48 
 
x + ay = 44 ⇒ x + 3y = 44 
 
Já que começamos a utilizar determinantes, vamos achar a solução do sistema 
também por meio de determinantes (Regra de Cramer). 
x = x
D
D
 
y = 
yD
D
 
 
D ⇒ determinante da matriz incompleta. 
 
Matriz Incompleta ou de Coeficientes = 
3 2
1 3
 
 
 
 
Determinante da Matriz Incompleta = D = 7 (dado da questão) 
 
Dx ⇒ determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a 
coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. 
 
Portanto, temos que substituir, na matriz incompleta, os coeficientes de x (3 e 
1) pelos termos independentes (48 e 44). 
 
Matriz “X” = 
48 2
44 3
 
 
 
 
Na matriz, temos: 
a11 = 48 
a12 = 2 
a21 = 44 
a22 = 3 
 
rminanteseria:a 11.a22 – a12.a21 
Determinante da Matriz “X” = Dx = 48 x 3 – 2 x 44 = 144 – 88 = 56 
 
33
 
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Portanto, x é igual a: 
x = 
56
8
7
xD
D
= = 
 
Dy ⇒ determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a 
coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. 
 
Portanto, temos que substituir, na matriz incompleta, os coeficientes de y (2 e 
3) pelos termos independentes (48 e 44). 
 
Matriz “Y” = 
3 48
1 44
 
 
 
 
 
Na matriz, temos: 
a11 = 3 
a12 = 48 
a21 = 1 
a22 = 44 
 
rminanteseria:a 11.a22 – a12.a21 
Determinante da Matriz “Y” = Dy = 3 x 44 – 48 x 1 = 132 – 48 = 84 
 
Portanto, y é igual a: 
y = 
84
12
7
yD
D
= = 
 
Número de instrumentos examinados no lote = x + y ⇒ 
⇒ Número de instrumentos examinados no lote = 8 + 12 = 20 
GABARITO: E 
 
(Administrativa-MPS-2010-Cespe) 
Considere que x = x0 e y = y0 seja a solução do sistema de equações lineares 
 
x + 2y = 10 
 
3x – y = 2. Nesse caso, 
 
17 se x0 e y0 forem os dois primeiros termos de uma progressão geométrica 
crescente, então o terceiro termo dessa progressão será igual a 8. 
 
Resolução 
 
E aí? Agora que você aprendeu a Regra de Cramer, você quer resolver o 
sistema por ela ou pelo método que utilizamos até então (substituição)? 
Vamos fazer pelos dois métodos. 
34
 
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x + 2y = 10 ⇒ x = 10 – 2y (I) 
3x – y =2 (II) 
 
Substituindo (I) em (II): 
3x – y = 2 ⇒ 
⇒ 3.(10 – 2y) – y = 2 ⇒ 
⇒ 3 . 10 – 3 . 2y – y = 2 ⇒ 
⇒ 30 – 6y – y = 2 ⇒ 
⇒ 30 – 2 = 6y + y ⇒ 
⇒ 7y = 28 ⇒ 
⇒ y = 
28
7
 ⇒ 
⇒ y = 4 (III) 
 
Substituindo (III) em (I): 
x = 10 – 2y (I) ⇒ 
⇒ x = 10 – 2 . 4 ⇒ 
⇒ x = 10 – 8 ⇒ 
⇒ x = 2 
 
Vamos, agora, resolver pela Regra de Cramer: 
 
x + 2y = 10 
 
3x – y = 2 
 
x = x
D
D
 
y = 
yD
D
 
 
D ⇒ determinante da matriz incompleta. 
 
Matriz Incompleta ou de Coeficientes = 
1 2
3 1
 
 − 
 
Na matriz, temos: 
a11 = 1 
a12 = 2 
a21 = 3 
a22 =–1 
 
rminanteseria:a 11.a22 – a12.a21 
Determinante da Matriz de Coefientes = D = 1 x (–1) – 2 x 3 = –1 – 6 = –7 
 
35
 
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Dx ⇒ determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a 
coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. 
 
Portanto, temos que substituir, na matriz incompleta, os coeficientes de x (1 e 
3) pelos termos independentes (10 e 2). 
 
Matriz “X” = 
10 2
2 1
 
 − 
 
Na matriz, temos: 
a11 = 10 
a12 = 2 
a21 = 2 
a22 = –1 
 
rminanteseria:a 11.a22 – a12.a21 
Determinante da Matriz “X” = Dx = 10 x (–1) – 2 x 2 = –10 – 4 = –14 
 
Portanto, x é igual a: 
x = 
14
2
7
xD
D
−
= =
−
 
 
Dy ⇒ determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a 
coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. 
 
Portanto, temos que substituir, na matriz incompleta, os coeficientes de y (2 e 
–1) pelos termos independentes (10 e 2). 
 
Matriz “Y” = 
1 10
3 2
 
 
 
 
 
Na matriz, temos: 
a11 = 1 
a12 = 10 
a21 = 3 
a22 = 2 
 
rminanteseria:a 11.a22 – a12.a21 
Determinante da Matriz “Y” = Dy = 1 x 2 – 10 x 3 = 2 – 30 = –28 
 
Portanto, y é igual a: 
y = 
28
4
7
yD
D
−
= =
−
 
 
36
 
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Agora, vamos ver o que o item pede: se x0 e y0 forem os dois primeiros 
termos de uma progressão geométrica crescente, então o terceiro 
termo dessa progressão será igual a 8. 
 
Vamos relembrar os conceitos de progressão geométrica. 
 
Progressão Geométrica (PG) 
É toda seqüência numérica cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao 
anterior multiplicado por um valor constante denominado razão (q). 
 
Exemplos: 
PG1 = (1, 3, 9, 27, 81,...) ⇒ razão = 3 (PG crescente) 
PG2 = (15,15, 15, 15, 15, ...) ⇒ razão = 1 (PG constante ou estacionária) 
PG3 = (128, 64, 32, 16, 8, 4, ...) ⇒ razão = 1/2 (PG decrescente) 
PG4 = (1, -3, 9, -27, 81,...) ⇒ razão = -3 (PG alternante) 
 
Seja a PG (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. 
De acordo com a definição: 
a2 = a1 . q 
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2 
a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3 
(...) 
an = a1 . qn-1 ⇒ Termo Geral da PG 
n ⇒ termo de ordem n (n-ésimo termo) 
q ⇒ razão 
a1 ⇒ primeiro termo 
 
Exemplo: Determine o milésimo termo da PG abaixo. 
PA = (1, 3, 9, 27, 81, ...) 
a1= 1 
q = 3/1 = 3 
a1000 (n = 1.000) = a1 .qn-1 = 1.31000-1 = 3999 
 
Considere: 
aj ⇒ termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA 
ak ⇒ termo de ordem k (k-ésimo termo) da PA 
 aj = ak . q(j-k) 
 
Exemplo: Se numa PG, o segundo termo é 3 e o sexto termo é 243, qual a 
sua razão? 
a2 = 3 
a6 = 243 
 a6 = a2 . q6-2 ⇒ 243 = 3 . q4 ⇒ 
⇒ 81 = q4 ⇒ q = 3 
 
37
 
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Propriedades: 
 
I. Cada termo (a partir do segundo) é a média geométrica dos termos vizinhos 
deste. 
Exemplo: 
PG: (x, y, z) ⇒ y = .x z 
Sabe-se que: x = y/q e z = y . q ⇒ 2. . .
y
x z y q y y
q
= = = 
II. O produto dos termos eqüidistantes dos extremos é constante. 
Exemplo: 
PG : (m, n, r, s, t) ⇒ m . t = n . s = r . r = r2 
 
Soma dos n primeiros termos de uma PG 
Considere a seguinte PG = (a1, a2, a3, ..., an-1, an) 
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an = 1
.(1 )
, 1
1
na q
q
q
−
≠
−
 
 
Exemplo: Calcule a soma dos 200 primeiros termos da PG abaixo. 
PA= (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1.024, ... ) 
Sn = 
200
2001.(1 ) 1.(1 2 ) 2 1
1 1 2
na q
q
− −
= = −
− −
 
 
Nota: 
1) Se q = 1 ⇒ Sn = n.a1 
2) Se 0 < q < 1 e a PG for crescente e infinita: Sn (n muito grande) = 1
1
a
q−
 
3) ( )1.
n
n nP a a= ⇒ produto dos n primeiros termos de uma PG. 
 
Voltando à questão, sabemos: 
 
x = 2 
y = 4 
 
Portanto, se eles são os dois primeiros termos de uma progressão geométrica 
(PG) (a1 = x = 2 e a2 = y = 4), a razão dessa progressão será: 
 
q = 2
1
4
2
2
a y
a x
= = = 
 
O terceiro termo da PG será: a3 = a2 . q = 4 . 2 = 8 
GABARITO: Certo 
 
38
 
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18 x0 + y0 = 5. 
 
Resolução 
 
x = 2 
y = 4 
 
Portanto: x + y = 2 + 4 = 6 
GABARITO: Errado 
 
(Técnico em Metrologia e Qualidade–Área: Metrologia-Inmetro-2010-
Cespe) 
19. Três técnicos executaram a calibração de 54 instrumentos de medição. Os 
números de instrumentos calibrados por cada um dos técnicos podem ser 
dispostos em ordem crescente de modo a constituir três termos de uma 
progressão aritmética. Adicionando-se 3 ao maior termo dessa progressão, ela 
se transforma em uma progressão geométrica. Acerca dessa situação, assinale 
a opção correta. 
 
A A razão da progressão aritmética é inferior a 5. 
B A razão da progressão geométrica é superior a 2. 
C Um dos técnicos calibrou menos que 13 instrumentos. 
D Um dos técnicos calibrou mais que 25 instrumentos. 
E Um dos técnicos calibrou um número ímpar de instrumentos. 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - Três técnicos executaram a calibração de 54 instrumentos de 
medição. Os números de instrumentos calibrados por cada um dos 
técnicos podem ser dispostos em ordem crescente de modo a 
constituir três termos de uma progressão aritmética. 
 
Total de Calibrações = 54 
 
De acordo com a questão, o número de instrumentos calibrados por cada um 
dos técnicos forma uma progressão aritmética (PA). 
 
Número de Instrumentos Calibrados pelo Técnico 1 = T1 
Número de Instrumentos Calibrados pelo Técnico 2 = T2 
Número de Instrumentos Calibrados pelo Técnico 3 = T3 
 
Se os números formam um PA, considerando que a razão da PA será r, 
teremos: 
 
T2 = T1 + r 
T3 = T2 + r = T1 + r + r = T1 + 2r 
39
 
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Portanto, a soma dos três termos da PA (total de calibrações) será: 
 
T1 + T2 + T3 = Total de Calibrações = 54 ⇒ 
⇒ T1 + T1 + r + T1 + 2r = 54 ⇒ 
⇒ 3T1 + 3r = 54 ⇒ 
⇒ 3.(T1 + r) = 54 ⇒ 
⇒ T1 + r = 
54
3
 ⇒ 
⇒ T1 + r = 18 (repare que T1 + r = T2) 
 
Portanto, teremos: 
 
T1 = 18 – r 
T2 = 18 
T3 = 18 + r 
 
III - Adicionando-se 3 ao maior termo dessa progressão, ela se 
transforma em uma progressão geométrica. 
 
Se somarmos 3 ao valor de T3, transformaremos a progressão aritmética (PA) 
em progressão geométrica (PG). 
 
Termos da PG: 
T1= 18 – r 
T2 = 18 
T3´= T3 + 3 = 18 + r + 3 = 21 + r 
 
Se os termos acima formam um PG, considerando que a razão da PG será q, 
teremos: 
T2 = 18 = T1.q ⇒ T1 = 
18
q
 
T3´= T3 + 3 = T2.q ⇒ T3´= 18.q 
 
Nessa situação, o total dos termos passou a ser 57 (os 54 anteriores mais os 3somados ao T3, que originaram T3´). 
 
T1 + T2 + T3´ = 57 ⇒ 
⇒ 
18
q
 + 18 + 18.q = 57 ⇒ 
⇒ 
18
q
 + 18q = 57 – 18 ⇒ 
⇒ 
18
q
 + 18q = 39 
40
 
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Se multiplicarmos os dois lados da igual por q: 
 
⇒ 
18
q
.q + 18q.q = 39.q ⇒ 
⇒18 + 18q2 = 39q ⇒ 
⇒18q2 – 39q + 18 = 0 
 
Simplificando por 3 (dividindo tudo por 3): 
⇒6q2 – 13q + 6 = 0 
 
Portanto, temos uma equação do segundo grau em q. Vamos calcular as 
raízes: 
 
6q2 – 13q + 6 = 0 
 
a = 6 
b = –13 
c = 6 
 
q = 
22 ( 13) ( 13) 4 6 64
2 2 6
b b ac
a
− − ± − − × ×− ± −
=
×
⇒ 
⇒q = 
13 169 144 13 25 13 5
12 12 12
± − ± ±
= = 
 
Portanto, as raízes da equação serão: 
 
q1 =
13 5 18 3
12 12 2
+
= = 
 
q2 =
13 5 8 2
12 12 3
−
= = 
 
Como a questão fala que o número de instrumentos calibrados foi colocado em 
ordem crescente para chegar na PA, e, depois, na PG, não há sentido em falar 
em uma razão q menor que 1, pois os termos seriam decrescentes. 
 
Portanto, a razão da PG é q = 
3
2
. 
 
41
 
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Termos da PA: 
 
T1 = 
18
q
 = 
18 2
18 6 2
3 3
2
= × = × ⇒ T1 = 12 
T2 = 18 
T3 + 3 = 18.q ⇒ T3 =18 x 
3
2
 – 3 = 9 x 3 – 3 = 27 – 3 ⇒ T3 = 24 
 
Portanto, a razão da PA será: 
 
r = T2 – T1 = 18 – 12 ⇒ r = 6 
ou 
r = T3 – T2 = 24 – 18 = 6 
 
Vamos analisar as alternativas: 
 
A A razão da progressão aritmética é inferior a 5. 
r = 6 > 5. A alternativa está incorreta. 
 
B A razão da progressão geométrica é superior a 2. 
q = 
3
2
 = 1,5 < 2. A alternativa está incorreta. 
C Um dos técnicos calibrou menos que 13 instrumentos. 
Um dos técnicos calibrou 12 instrumentos, que é menos que 13. A alternativa 
está correta. 
 
D Um dos técnicos calibrou mais que 25 instrumentos. 
Um dos técnicos calibrou 24 instrumentos, que é menos que 25. A alternativa 
está incorreta. 
 
E Um dos técnicos calibrou um número ímpar de instrumentos. 
Todos os técnicos calibraram números pares de instrumentos (12, 18 e 24). A 
alternativa está incorreta. 
GABARITO: C 
 
42
 
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(Administrativa-MPS-2010-Cespe) 
Três números reais estão em progressão aritmética de razão 3 e dois termos 
dessa progressão são as raízes da equação x2 – 2x – 8 = 0. Nesse caso, é 
correto afirmar que 
 
20 o produto dos termos dessa progressão é um número real positivo. 
 
Resolução 
 
De acordo com a questão, temos três números reais em progressão aritmética 
de razão 3. 
 
Dois dos números da progressão são as raízes da equação x2 – 2x – 8 = 0. 
Portanto, vamos calcular as raízes: 
 
a = 1 
b = –2 
c = –8 
 
x = 
22 ( 2) ( 2) 4 1 ( 8)4
2 2 1
b b ac
a
− − ± − − × × −− ± −
=
×
⇒ 
⇒x = 
2 4 32 2 36 2 6
2 2 2
± + ± ±
= = 
 
Portanto, as raízes da equação serão: 
 
x1 =
2 6 8
4
2 2
+
= = 
 
x2 =
2 6 4
2
2 2
− −
= = − 
 
Se a razão da PA é 3, os termos são crescentes. Além disso, repare que a 
diferença entre os valores das raízes é 6 (4 – (–2) = 4 + 2 = 6). Portanto, as 
raízes são os primeiro e terceiro termos da PA, pois a diferença entre eles é 
duas vezes o valor da razão. 
 
Portanto, teríamos: 
 
T1 = –2 (valor encontrado como raíz da equação) 
T2 = T1 + r = –2 + 3 = 1 
T3 = T2 + r = 1 + 3 = 4 (valor encontrado como raiz da equação) 
 
Produto dos Termos = (–2) x 1 x 4 = –8 (número real negativo) 
GABARITO: Errado 
43
 
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21 a soma dos termos dessa progressão é superior a 4 e inferior a 8. 
 
Resolução 
 
Soma dos Termos = – 2 + 1 + 4 = 3 (é inferior a 4 e inferior a 8) 
GABARITO: Errado 
 
(Polícia Militar-ES-2010-Cespe) 
Considerando que os tempos de serviço, em anos, de 3 servidores públicos 
estejam em progressão geométrica e tenham média aritmética igual a 7 anos, 
e sabendo que a média geométrica entre o menor e o maior tempo de serviço 
é 6 anos, julgue os itens seguintes. 
 
22 O menor tempo de serviço é igual a 30% do maior tempo de serviço. 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - Considerando que os tempos de serviço, em anos, de 3 servidores 
públicos estejam em progressão geométrica... 
 
Os tempos de serviço de 3 servidores públicos estão em progressão 
geométrica. Vamos chamar de T1, T2 e T3. 
 
Considerando que a razão da progressão geométrica é q, teríamos: 
 
T2 = T1.q 
T3 = T2.q 
 
II - ...e tenham média aritmética igual a 7 anos,... 
 
Média Aritmética = 1 2 3
3
T T T+ +
 = 7 ⇒ 
T1 + T2 +T3 = 3 x 7 ⇒ T1 + T2 +T3 = 21 (A) 
 
III - ..e sabendo que a média geométrica entre o menor e o maior 
tempo de serviço é 6 anos. 
 
A média geométrica entre dois números a e b é obtida da seguinte forma: 
 
Média Geométrica = .a b 
 
44
 
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No nosso caso, teremos: 
 
Média Geométrica = 6 = 
1 3
.T T 
Já sabemos que T3 = T1.q2. 
⇒ 6 = 2
1 1
. .T T q ⇒ 
⇒ 6 = 2 2
1
.T q ⇒ 
⇒ 6 = 2
1
( . )T q ⇒ 
⇒ 6 = T1.q (que é igual ao termo T2) 
 
Portanto, a média geométrica de T1 e T3 é igual a T2. 
 
Generalizando, a média geométrica de Tn-1 e Tn+1 é igual a Tn (considerando 
que Tn-1, Tn e Tn+1) são termos de uma progressão geométrica. 
 
Além disso, temos: 
T1 = 2
T
q
 = 
6
q
 
T2 = 6 
 
T3 = T2.q = 6.q 
 
Substituindo os valores em (A): 
T1 + T2 +T3 = 21 (A) ⇒ 
6
q
 + 6 +6.q = 21 ⇒ 
 
Se multiplicarmos os dois lados por q a igualdade não se altera: 
⇒ 
6
q
.q + 6.q +6.q.q= 21.q ⇒ 
⇒ 6+ 6.q +6.q2 = 21.q ⇒ 
⇒ 6.q2 +6.q – 21.q + 6 = 0 ⇒ 
⇒ 6.q2 – 15.q + 6 = 0 ⇒ 
 
Simplificando por 3: 
⇒ 2.q2 – 5.q + 2 = 0 
 
a = 2 
b = –5 
c = 2 
 
q = 
22 ( 5) ( 5) 4 2 24
2 2 2
b b ac
a
− − ± − − × ×− ± −
=
×
⇒ 
45
 
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⇒q = 
5 25 16 5 9 5 3
4 4 4
± − ± ±
= = 
 
Portanto, as raízes da equação serão: 
 
q1 =
5 3 8
2
4 4
+
= = 
 
q2 =
5 3 2 1
4 4 2
−
= = 
 
Aqui, tanto faz considerarmos q igual a 2 ou igual a 
1
2
, tendo em vista que a 
única diferença será obter uma PG crescente ou decrescente, pois os termos 
terão os mesmos valores. Vejamos: 
 
A) q = 2 
 
T2 = 6 
 
T1 = 2
T
q
 = 
6
3
2
= 
T3 = T2.q = 6 x 2 =12 
 
Termos da PG: 3, 6, 12 
 
B) q = 
1
2
 
 
T2 = 6 
 
T1 = 2
T
q
 = 
6 2
6 12
1 1
2
= × = 
T3 = T2.q = 6 x 
1
2
 = 3 
 
Termos da PG: 12, 6, 3 
 
46
 
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Analisando o item: 
 
IV - O menor tempo de serviço é igual a 30% do maior tempo de 
serviço. 
 
Menor Tempo de Serviço = 3 anos 
Maior Tempo de Serviço = 12 anos 
 
Menor Tempo de Serviço/Maior Tempo de Serviço = 
3 1
0,25 25%
12 4
= = = 
 
Ou seja, o menor tempo de serviço é igual a 25% do maior tempo de 
serviço. 
GABARITO: Errado 
 
23 Se os tempos de serviço estiverem em ordem crescente, a razão da 
progressão geométrica será inferior a 2,5. 
 
Resolução 
 
Se os tempos de serviço estiverem em ordem crescente, teremos: 
 
T1 = 3 
T2 = 6 
T3 = 12 
Portanto, a razão da PG será 2, que é inferior a 2,5. 
GABARITO: Certo 
 
24 O maior tempo de serviço é superior a 10 anos. 
 
Resolução 
 
O maior tempo de serviço é 12 anos sendo, portanto, superior a 10 
anos. 
GABARITO: Certo 
 
(Professor-Secretaria de Educação do Estado da Bahia-2010-Cespe) 
25. Em uma atividade, a professora de geografia solicitou que os estudantes 
observassem a variação da população de um município, que cresceu à taxa 
constante de 20% ao ano, a partir de 2007, quando a população atingiu 
50.000 habitantes. O objetivo da atividade era que eles calculassem a 
população do município ao fim de cada um dos três anos subsequentes, a 
partir daquele ano, analisando o resultado obtido. Nesse caso, os estudantes 
deveriam concluir que a sequência numérica correspondente à população 
desse município para os anos de 2008, 2009 e 2010 representa uma 
progressão 
 
47
 
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A aritmética de razão 1,2. 
B geométrica de razão 1,2. 
C aritmética de razão 0,02. 
D geométrica de razão 0,02. 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - Em uma atividade, a professora de geografia solicitou que os 
estudantes observassem a variação da população de um município, 
que cresceu à taxa constante de 20% ao ano, a partir de 2007, quando 
a população atingiu 50.000 habitantes. 
 
Variação da população em um município: 
 
Aumento a uma taxa constante de 20% ao ano, a partir de 2007. 
População em 2007 = 50.000 habitantes 
 
II - O objetivo da atividade era que eles calculassem a população do 
município ao fim de cada um dos três anos subsequentes, a partir 
daquele ano, analisando o resultado obtido. Nesse caso, os estudantes 
deveriam concluir que a sequência numérica correspondente à 
população desse município para os anos de 2008, 2009 e 2010 
representa uma progressão... 
 
A população em 2008 será 20% maior que a de 2007: 
População em 2008 = População em 2007 + 20% x População em 2007 ⇒ 
⇒ População em 2008 = População em 2007 + 0,20 x População em 2007 ⇒ 
⇒ População em 2008 = 1,20 x População em 2007 
 
A população em 2009 será 20% maior que a de 2008: 
População em 2009 = População em 2008 + 20% x População em 2008 ⇒ 
⇒ População em 2009 = População em 2008 + 0,20 x População em 2008 ⇒ 
⇒ População em 2009 = 1,20 x População em 2008 
 
A população em 2010 será 20% maior que a de 2009: 
População em 2010 = População em 2009 + 20% x População em 2009 ⇒ 
⇒ População em 2010 = População em 2009 + 0,20 x População em 2009 ⇒ 
⇒ População em 2010 = 1,20 x População em 2009 
 
Portanto, temos uma progressão geométrica de razão 1,20. 
GABARITO: B 
 
48
 
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26.(AFRFB-2009-Esaf) Com relação ao sistema, 
 
1
2 1
1
3 2 2
x y z
x y z
z x y
+ + =
− +
= =
+ +
 
 
onde 3 z + 2 ≠ 0 e 2 x + y ≠ 0 , pode-se, com certeza, afirmar que: 
 
a) é impossível. 
b) é indeterminado. 
c) possui determinante igual a 4. 
d) possui apenas a solução trivial. 
e) é homogêneo. 
 
Resolução 
 
Temos um sistema de três equações e três incógnitas, tendo em vista que a 
segunda equação pode ser dividida em duas. Vejamos: 
 
1
2
1 2 3 2 2 3 2
3 2
1
1 1 2 2 1
2
x y z
x y
x y z x y z
z
z
z x y x y z
x y
+ + =
−
= ⇒ − = + ⇒ − − =
+
+
= ⇒ + = + ⇒ + − =
+
 
 
Sistema: 
 
x + y + z = 1 
2x – y – 3z = 2 
2x + y – z = 1 
 
Calculandorminanteformadopeloscoeficientesdex,yez:
 
1 1 1
2 1 3 ( 1).( 1).1 1.( 3).2 1.2.1 1.( 1).2 2.1.( 1) 1.1.( 3)
2 1 1
1 1 1
2 1 3 1 6 2 2 2 3 4
2 1 1
D
D
= − − = − − + − + − − − − − −
−
= − − = − + + + + =
−
 
(alternativa “c”) 
 
49
 
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Análise de um sistema: 
 
1) Sistema possível e determinado: D ≠ 0 (uma única solução) 
2) Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes Dx, Dy e Dz 
forem iguais a zero. 
3) Impossível: D = 0 e (Dx ou Dy ou Dz) forem diferentes de zero. 
 
Logo, como D ≠ 0, o sistema é possível e determinado. Com isso, eliminamos 
as alternativas “a” e “b”. 
 
A solução trivial seria: x = y = z = 0, que não é solução do sistema. Logo, o 
sistema não possui a solução trivial. 
 
Sistema linear Homogêneo: os termos independentes de todas as equações 
são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, 
que é a solução identicamente nula. No caso no sistema da questão, os termos 
independentes não são nulos. Portanto, eliminamos a alternativa “e”. 
GABARITO: C 
 
27.(Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Seja uma matriz 
quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz 
por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por –3, o 
determinante da matriz fica: 
 
a) Multiplicado por –1. 
b) Multiplicado por –16/81. 
c) Multiplicado por 2/3. 
d) Multiplicado por 16/81. 
e) Multiplicado por –2/3. 
 
Resolução 
 
Repare que a questão pede o determinante de uma matriz 4 x 4. Aí, você 
poderia indagar: os professores ficaram malucos, pois aprendi apenas o 
procedimento de cálculo das matrizes quadradas de ordem 1 (1 x 1), ordem 2 
(2 x 2) e de ordem 3 (3 x 3). E aí? Como fazer? 
 
Bom esta questão envolve as propriedades dos determinantes, que são 
aplicáveis a quaisquer matrizes quadradas, independentemente da ordem. 
 
Vamos relembrar a propriedade que será utilizada na questão: 
Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A, por um número 
k, o determinante na nova matriz A´ será o produto de k pelo 
determinante de A: det A´= k . det A. Também vale para a divisão por 
k: det A´= (1/k) . det A. 
 
Consideramos a matriz 4 x 4 igual Aerminantede A igual a: det(A) 
 
50
 
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I. Linha 2 da matriz Amultiplicadapor2:logo,onovrminanteserá:Novrminante=2xdet(A)
 
II. Linha 3 da matriz Adivididapor3:logo,onovrminanteserá:
Novrminante=2xdet(A)x(
1
3
−
) = (
2
3
−
) x det(A) 
 
Vamos aproveitar a questão e relembrar as propriedades dos determinantes 
que podem ser cobradas em provas. 
 
I) det A = det At 
Onde, At é a matriz transposta. 
Exemplo: 
1 2 1 4
4 3 2 3
det 3 1 ( 2) 4 3 8 11
det 1 3 4 ( 2) 3 8 11
tA A
A
tA
−   
= ⇒ =   −   
= × − − × = + =
= × − × − = + =
 
 
II) Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma 
matriz A, de ordem n, forem todos nulos, então det A = 0. 
Exemplo: 
0 4 2
0 8 7
0 6 5
det 0 8 5 4 7 0 0 6 2 2 8 0 0 6 7 0 4 5 0
A
A
 
 =  
  
= × × + × × + × × − × × − × × − × × =
 
 
III) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A, por um 
número k,rminantenanovamatriz A´ será o produto de k pelo 
determinante de A. det A´= k . det A. Também é válida para divisão 
por um número k. Neste caso, teríamos: det A´= (1/k) . det A. 
Exemplo: 
2 1
4 3
det 3 2 1 4 2
2( 1)
2 2 1 4 1
´
4 2 3 8 3
det ´ 4 3 1 8 4 2 2
A
A
k coluna
A
A x
 
=  
 
= × − × =
=
×   
= =   ×   
= × − × = =
 
 
51
 
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Nota: Como conseqüência da propriedade acima, se multiplicarmos 
toda a matriz por um número k, det (kA) = kn . det A, onde n é a ordem 
da matriz quadrada A. 
Exemplo: 
2
, 2
2 1
4 3
det 3 2 1 4 2
4 2
´ 2.
8 6
det ´ 4 6 2 8 24 16 8 2 2
nA
A
A A
A
 
= 
  
 
 
  
=
= × − × =
= =
= × − × = − = = ×
 
 
IV) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2). Se trocarmos 
de posição duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas), 
obteremos uma nova matriz A´, tal que: det A´= - det A. 
Exemplo: 
1 4 2
2 8 7
3 6 5
det 1 8 5 4 7 3 2 6 2 2 8 3 1 6 7 2 4 5
det 40 84 24 48 42 40 18
1 4 2
´ 3 6 5
2 8 7
det ´ 1 6 7 3 8 2 4 5 2 2 6 2 1 8 5 3 4 7
det ´ 42 48 40 24 40 84 18
A
A
A
A
A
A
 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
=
= × × + × × + × × − × × − × × − × × ⇒
⇒ = + + − − − =
=
= × × + × × + × × − × × − × × − × × ⇒
⇒ = + + − − − = −
 
 
V) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas 
filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos 
respectivamente iguais. Portanto, det A = 0. 
Exemplo: 
1 4 1
2 1 2
3 6 3
det 1 1 3 4 2 3 2 6 1 1 1 3 1 2 6 2 4 3
det 3 24 12 3 12 24 0
A
A
A
 
 
 
 
  
=
= × × + × × + × × − × × − × × − × × ⇒
⇒ = + + − − − =
 
 
52
 
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VI) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui 
duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por 
elementos respectivamente proporcionais. Portanto, det A = 0. 
Exemplo: 
,
1 4 1
2 8 2 2 2 1
3 6 1
det 1 8 1 4 2 3 2 6 1 1 8 3 1 2 6 2 4 1
det 8 24 12 24 12 8 0
A linha linha
A
A
 
 
 
 
  
= = ×
= × × + × × + × × − × × − × × − × × ⇒
⇒ = + + − − − =
 
 
VII) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui 
uma fila que é uma combinação linear das outras filas. Portanto, det A 
= 0. 
Exemplo: 
,
1 2 1
2 5 3 3 2 1 2
4 9 5
det 1 5 5 2 3 4 2 9 1 1 5 4 1 3 9 2 2 5
det 25 24 18 20 27 20 0
A linha xlinha linha
A
A
 
 
 
 
  
= = +
= × × + × × + × × − × × − × × − × × ⇒
⇒ = + + − − − =
 
 
VIII) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui 
todos elementos acima ou abaixo da diagonal principal iguais a zero. 
Neste caso, o determinante de A é o produto dos elementos dessa 
diagonal. 
Exemplo: 
1 0 0
2 5 0
4 9 5
det 1 5 5 0 0 4 2 9 0 0 5 4 1 0 9 2 0 5 det 1 5 5 25
A
A A
 
 
 
 
  
=
= × × + × × + × × − × × − × × − × × ⇒ = × × =
 
53
 
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IX) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui 
todos elementos acima ou abaixo da diagonal secundária iguais a zero. 
Neste caso, o determinante de A é o produto dos elementos dessa 
diagonal (secundária) multiplicado por: (-1)n.(n-1)/2, onde n é a ordem da 
matriz quadrada. 
Exemplo: 
3.(3 1)
2
1 4 2
2 5 0
4 0 0
det 1 5 0 4 0 4 2 0 ( 2) ( 2) 5 4 1 0 0 2 4 0 det 2 5 4 40
det ( 1) ( 2) 5 4 40
A
A A
ou
A
−
 
 
 
 
  
−
=
= × × + × × + × × − − − × × − × × − × × ⇒ = × × =
= − × − × × =
 
X) Teorema de Binet: Sejam A e B matrizes quadradas de mesma 
ordem n. det (AB) = det (A).det(B). 
 
Exemplo: 
2 0
2 1
det 2 1 0 2 2
1 2
3 4
det 1 4 3 2 2
det det 2 ( 2) 4
2 0 1 2 2 1 0 3 2 2 0 4 2 4
. .
2 1 3 4 2 1 1 3 2 2 1 4 5 8
det 2 8 5 4 16 20 4
A
A
B
B
A B
AB
AB
 
 
  
 
 
  
       
       
              
=
= × − × =
=
= × − × = −
× = × − = −
× + × × + ×
= = =
× + × × + ×
= × − × = − = −
 
Nota: Como A . A-1 = In, pela propriedade acima, temos: 
 
det(A.A-1)= det(In) ⇒det A . det A-1 = 1 ⇒ 
 
⇒ det A-1 = 1/det A 
⇒ rminantedamatrizinversaéoinversodrminantedamatriz.
⇒ uma outra conseqüência é que uma matriz somente terá matriz inversa se 
o seu determinante for diferente de zero. 
GABARITO: E 
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28.(ANA-2009-Esaf) rminantedamatriz
2 1 0
4 2
B a b c
a b c
 
 
 
 
  
=
+ +
 
a) 2bc + c - a 
b) 2b - c 
c) a + b + c 
d) 6 + a + b + c 
e) 0 
 
Resolução 
 
Determinante de uma matriz de ordem 3: 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
 
 
 
  
 
= 
 
det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 - a13 . a22 . a31 – 
 - a11 . a23 . a32 - a12 . a21 . a33 
 
Para memorizar esta fórmula, vamos adotar o seguinte procedimento, também 
conhecido como Regra de Sarrus para o cálculo de determinantes de ordem 3: 
 
a) Repete-se, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas 
 
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 3231 32 33
a a a a a
A a a a a a
a aa a a
 
 
 
 
 
  
 
= 
 
 
 
b) Os termos precedidos do sinal “+” são obtidos multiplicando-se os 
elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal principal: 
 
a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 
+ – 
 
55
 
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c) Os termos precedidos do sinal “-”são obtidos multiplicando-se os elementos 
segundo as flechas situadas na direção da diagonal secundária: 
 
- a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 - a12 . a21 . a33 
 
Exemplo: 
 
1 3 4
5 2 3
1 4 2
A
 
 
 
 
  
= − 
 
1 3 4 1 3
det 5 2 3 5 2 1 2 2 3 ( 3) 1 4 5 4 4 2 1 1 ( 3) 4 3 5 2
1 4 2 1 4
det 4 9 80 8 12 30 49
A x x x x x x x x x x x x
A
 
 
 
 
  
= − = + − + − − − −
= − + − + − =
 
 
Outra forma de memorizar: 
 
I) Os termos precedidos pelo sinal “+” são obtidos multiplicando-se os 
elementos de acordo com os caminhos indicados abaixo: 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
 
 
 
 
  
 
= 
 
 
 
 
II) Os termos precedidos pelo sinal “-” são obtidos multiplicando-se os 
elementos de acordo com os caminhos indicados abaixo: 
 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
 
 
 
 
  
 
= 
 
a11 x a22 x a33 
a12 x a23 x a31 
a13 x a21 x a32 
a13 x a22 x a31 
a11 x a32 x a23 
a12 x a21 x a33 
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Cálculodrminantedeumamatrizdeordem3:
 
2 1 0 2 1
4 2 4 2
B a b c a b
a b c a b
 
 
 
 
  
=
+ + + +
 
 
det B = 2.b.c + 1.c.(4+a) + 0.a.(2+b) – 0.b.(4+a) – 2.c.(2+b) – 1.a.c ⇒ 
⇒ det B = 2bc + 4c + ca – 4c – 2bc – ac = 2bc – 2bc + 4c – 4c + ca – ca 
⇒ det B = 0 
GABARITO: E 
 
29.(Técnico de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Genericamente, 
qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por zij, onde “i” 
representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz 
A = (aij), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes X = 
(xij) e Y=(yij). Sabendo-se que (xij) = i1/2 e que yij = (i-j)2, então a potência 
dada por (a22)a12erminantedamatrizXsão,respectivamente,iguaisa:
 
) 2 2
) 2 0
) 2 1
)2 0
) 2 0
a e
b e
c e
d e
e e
−
−
 
 
Resolução 
 
Vamos estudar os conceitos: 
 
Uma matriz representa um conjunto de elementos representados em linhas e 
colunas. Cada elemento da matriz está associado a uma posição, que é 
identificada da seguinte forma: 
 
m = número de linhas da matriz 
n = número de colunas da matriz 
aij = elemento da matriz. 
 
O índice i indica a linha e o índice j indica a coluna às quais o elemento 
pertence. 
 
a11 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 1. 
a12 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 2. 
a13 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 3. 
a14 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 4. 
57
 
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(...) 
a31 = representa o elemento localizado linha 3 e na coluna 1. 
a32 = representa o elemento localizado linha 3 e na coluna 2. 
a33 = representa o elemento localizado linha 3 e na coluna 3. 
a34 = representa o elemento localizado linha 3 e na coluna 4. 
(...) 
amn = representa o elemento localizado linha m e na coluna n. 
 
A representação de uma matriz, então, ficaria do seguinte modo: 
 
a11 a12 a13 ... a1n 
 
a21 a22 a23 ... a2n 
 
a31 a32 a33 ... a3n 
 
... ... ... ... ... 
am1 am2 am3 ... amn 
 
 
Adição de Matrizes 
Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, a soma A + B será uma matriz 
C = (cij)mxn, tal que cij = aij + bij, para todo i = {1, 2, 3, ..., m} e j = {1, 2, 3, 
..., n}. Ou seja, a soma de duas matrizes A e B de ordem m x n será uma 
matriz C de mesma ordem em que cada elemento será a soma dos elementos 
correspondentes das matrizes A e B. 
 
Só é possível somar matrizes de mesmo número de linhas e mesmo 
número de colunas. 
 
Exemplo: 
 
1 2 2 0 1 2 2 0 3 2
3 4 4 5 3 4 4 5 7 9
       
       
              
+ +
+ = =
+ +
 
 
1 4 1 4 3
2 3 2 3 5
3 1 3 1 2
       
       
       
       
              
− − −
+ = + =
− −
 
 
Vamos à resolução da questão: 
 
A = (aij), de terceira ordem 
A = X + Y 
 
X = (xij) 
⇒Representação de uma matriz de m linhas e 
n colunas 
58
 
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Y=(yij) 
xij = i1/2 
yij = (i-j)2 
 
I – Cálculo da (a22)a12: 
 
Como a matriz A é soma das matrizes X e Y, cada elemento de A corresponde 
à soma dos elementos correspondentes de X e Y. Logo: 
 
a22 = x22 + y22 
x22 (i=2) = i1/2 = 21/2 
y22 (i=2;j=2) = (i-j)2 = (2-2)2 = 02 = 0 
a22 = x22 + y22 = 21/2 + 0 = 21/2 
 
a12 = x12 + y12 
x12 (i=1) = i1/2 = 11/2 = 1 
y12 (i=1;j=2) = (i-j)2 = (1-2)2 = (-1)2 = 1 
a12 = x12 + y12 = 1 + 1 = 2 
 
(a22)a12 = (21/2)2 = 2 
 
II–CálculodrminantedamatrizX:comoAédeordem3eéoresultado
da soma de X e Y, tanto X quanto Y também possuem ordem 3. 
 
Matriz X: 
1ª linha (i=1): x11 = x12 = x13 = 11/2 = 1; 
2ª linha (i=2): x21 = x22 = x23 = 2(1/2); e 
3ª linha (i=3): x31 = x32 = x23 = 3(1/2). 
 
Vamos relembrar outra propriedade dos determinantes: Seja A uma matriz 
de ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas filas paralelas (duas 
linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente 
proporcionais. Portanto, det A = 0. 
 
Logo, como a linha 2 da matriz X é proporcional a linha 1: 
Linha 2 = 2(1/2) x Linha 1 
 
Então, det (X) = 0 
GABARITO: D 
 
59
 
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30.(Técnico de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Considerando o 
sistema de equações lineares, 
 
x1 – x2 = 2 
2x1 + px2 = q 
 
pode-se corretamente afirmar que: 
 
a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível. 
b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. 
d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível. 
 
Resolução 
 
De acordo com a Regra de Cramer, temos: 
D ⇒ determinante da matriz incompleta. 
 
Dx ⇒ determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a 
coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. 
 
Dy ⇒ determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a 
coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. 
 
Sistema possível e determinado: D ≠ 0 (uma única solução) 
 
Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes Dx e Dy 
forem iguais a zero. 
 
Impossível: D = 0 e (Dx ou Dy) forem diferentes de zero. 
 
Escrevendo o sistema em forma de matriz, teríamos: 
 
1
2
1 1 2
.
2
x
xp q
    
    
        
−
= 
 
D = 1.p – (-1) x 2 = p + 2 
 
rminanteDdamatrizincompletaserázeroquando:
D = p + 2 = 0 ⇒ p = -2 
 
2 1
2 ( 1). 2D p q p qx
q p
− 
⇒ = − − = + 
 
 
Dx = 0, quando: 2p + q = 0 => p = -q/2 ou q = -2p 
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1 2
1. 2.2 4
2
D q qy
q
 
⇒ = − = − 
 
 
 
Dy = 0, quando: q – 4 = 0 ⇒ q = 4 
 
Portanto, teremos: 
 
I – Sistema possível e determinado: D ≠ 0 ⇒ p ≠ -2 
 
II – Sistema possível e indeterminado: D = 0, ou seja, p = -2 e Dx e Dy forem 
iguais a zero. 
 
Dy = 0, quando q = 4. 
Para p = -2 e q = 4, temos: Dx = 2p + q = 2 x (-2) + 4 = 0. Logo, o 
sistema será possível e indeterminado para p = -2 e q = 4. 
 
III – Sistema impossível: D = 0, ou seja, p = -2 e; 
 Dx≠ 0 ⇒ Dx = 2p + q = 2 x (-2) + q ≠ 0 ⇒ q ≠ 4 
 Dy≠ 0 ⇒ q – 4 ≠ 0 ⇒ q ≠ 4 
GABARITO: A 
 
31.(Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Qualquer elemento 
de uma matriz X pode ser representado por xij, onde i representa a linha e j a 
coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de 
terceira ordem, constrói-se a matriz B(bij), também de terceira ordem, dada 
por: Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o 
determinante da matriz B é igual a: 
 
11 31 12 32 13 33
21 21 22 22 23 23
31 11 32 12 33 13
b a b a b a
b a b a b a
b a b a b a
= = = 
 = = = 
 = = = 
 
 
a) 50 
b) -50 
c) 0 
d) -100 
e) 100 
 
Resolução 
 
Mais uma questão de propriedade de determinantes: repare que a linha 1 da 
matriz B corresponde a linha 3 da matriz A, e vice-versa. A linha 2 de ambas 
61
 
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as matrizes, A e B, são iguais. Ou seja, houve a troca de duas linhas (3 e 1), 
da matriz A para a matriz B. 
 
Logo, temos que utilizar a seguinte propriedade: Seja A uma matriz de 
ordem n (maior ou igual a 2). Se trocarmos de posição duas filas 
paralelas (duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz 
A´, tal que: det A´= - det A. 
 
Portanto, na questão , teremos: det (B) = - det (A) = - 100 
GABARITO: D 
 
32.(Analista de Planejamento e Orçamento-MPOG-2008-Esaf) Uma 
matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida 
multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o 
determinante da matriz B é igual a: 
 
a) 10-6 
b) 105 
c) 1010 
d) 106 
e) 103 
 
Resolução 
 
Matriz X (quinta ordem ⇒ n=5) ⇒ Det (X) = 10 
 
Matriz B = 10 x Matriz X 
 
Propriedade a ser aplicada: se multiplicarmos toda a matriz por um 
número k, det (kA) = kn . det A, onde n é a ordem da matriz quadrada 
A. 
 
Portanto, det (B) = 105 x det (A) = 105 x 10 = 106 
GABARITO: D 
 
33.(Auditor-Fiscal da Receita Estadual-MG–2005-Esaf) A, B e C são 
matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matriz 
identidade. A matriz C é igual ao produto A Z B, onde Z é também uma matriz 
quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a: 
 
a) A-1 B C 
b) A C-1 B-1 
c) A-1 C B-1 
d) A B C-1 
e) C-1 B-1 A-1 
 
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Resolução 
 
Vamos estudar alguns conceitos: 
 
Matriz Inversível 
Uma matriz quadrada A, de ordem n, será inversível se existir uma matriz B tal 
que: AB = BA = In (matriz identidade). 
 
Esta matriz B também é quadrada, de ordem n, é única e é conhecida como 
matriz inversa, sendo representada por A-1. 
 
Caso a matriz quadrada A não tenha matriz inversível, ela é denominada 
matriz singular. 
 
Exemplo: Qual é a matriz inversa da matriz abaixo? 
 
2
1
3 7
5 11
3 7 1 0
5 11 0 1
1 03 5 7 11
0 13 5 7 11
A
a b
A A I
c d
a b a b
c d c d
 
 
  
     − ⇒      
         
   
   
     
=
× = = ⇒
+ +
⇒ =
+ +
 
 
3a + 5b = 1 (I) 
7a + 11b = 0 ⇒ a = -11b/7 (II) 
 
Substituindo (II) em (I): 
⇒ 3 x (-11b/7) + 5b = 1 ⇒ (-33 + 35)b = 7 ⇒ b = 7/2 (III) 
 
Substituindo (III) em (II): 
⇒ a = -11 x (7/2)/7 = - 11/2 
 
3c + 5d = 0 ⇒ c = -5d/3 (IV) 
7c + 11d = 1 (V) 
 
Substituindo (IV) em (V): 
⇒ 7 x (-5d/3) + 11d = 1 ⇒ (-35 + 33)d = 3 => d = -3/2 (VI) 
 
Substituindo (VI) em (IV): 
⇒ c = -5 x (-3/2)/3 = 5/2 
 
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1
11 7
2 2
5 3
2 2
A
 
 
−  
 
 
 
−
=
−
 
 
Caso a matriz quadrada A não tenha matriz inversível, ela é denominada 
matriz singular. Logo, uma matriz não singular é uma matriz que possui matriz 
inversa. 
 
Matriz Unidade (ou matriz identidade) de ordem n (In): é toda matriz 
diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1. 
 
Da questão, temos: C = A.Z.B e queremos isolar Z. 
 
Para isso, precisamos lembrar uma propriedade das matrizes: A . A-1 = In, ou 
seja, a multiplicação da matriz pela sua inversa é igual a matriz 
identidade, que, por sua vez, é um elemento neutro na multiplicação. 
 
Voltando a questão: C = A.Z.B ⇒ A.Z.B = C (I) 
 
Multiplicando (I) por A-1, do lado de A (matriz inversa de A): 
A-1.A.Z.B = A-1.C ⇒ In .Z.B = A-1.C ⇒ Z.B = A-1.C (II) 
 
Multiplicando (II) por B-1, do lado de B (matriz inversa de B): 
Z.B.B-1 = A-1.C.B-1 ⇒ Z.In = A-1.C.B-1 ⇒ Z = A-1.C.B-1 
 
Nota: temos que multiplicar do lado certo, pois a multiplicação de 
matrizes não é comutativa, ou seja, AB é diferente de BA. É claro que 
isto não vale para a multiplicação da matriz pela sua inversa, pois: 
 A . A-1 = A-1.A = In. 
GABARITO: C 
 
34.(Analista de Planejamento e Orçamento-MPOG-2005-Esaf) O menor 
complementar de um elemento genérico xijdeumamatrizXérminante
que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. 
Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das 
matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij) = (i+j)2 e que bij = i2 , 
então o menor complementar do elemento y23 é igual a: 
 
a) 0 
b) -8 
c) -80 
d) 8 
e) 80 
 
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Resolução 
 
Y = (yij), de terceira ordem 
Y = A + B 
 
A = (aij) ⇒ aij = (i+j)2 
B=(bij) ⇒ bij = i2 
 
I – Repare que a questão explica o que é menor complementar e pede o menor 
complementar de y23: 
 
Menor complementar: O menor complementar de um elemento genérico xij 
deumamatrizXérminantequeseobtémsuprimindoalinhaeacoluna
em que esse elemento se localiza. 
 
Logo, para achar o menor complementar de y23, devemos, inicialmente, 
suprimir a linha 2 e a coluna 3 da matriz Y. Veja abaixo: 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
y y y
y y y
y y y
 
 
 
 
 
 
  
 
Apartirdaí,temosqueacharrminantedamatriz:D 23 = 
11 12
31 32
y y
y y
 
 
 
  
 
Det (D23) = y11.y32 - y12.y31 
 
II – Cálculo da y11, y12, y31 e y32,: 
Como a matriz Y é soma das matrizes A e B, cada elemento de Y corresponde 
à soma dos elementoscorrespondentes de A e B. Logo: 
 
y11 = a11 + b11 
a11 (i=1;j=1) = (i+j)2= (1+1)2 = 22 = 4 
b11 (i=1) = i2 = 12 = 1 
y11 = a11 + b11 = 4 + 1 = 5 
 
y12 = a12 + b12 
a12 (i=1;j=2) = (i+j)2= (1+2)2 = 32 = 9 
b12 (i=1) = i2 = 12 = 1 
y12 = a12 + b12 = 9 + 1 = 10 
 
y31 = a31 + b31 
a31 (i=3;j=1) = (i+j)2= (3+1)2 = 42 = 16 
b31 (i=3) = 32 = 9 
y31 = a31 + b31 = 16 + 9 = 25 
65
 
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y32 = a32 + b32 
a32 (i=3;j=2) = (i+j)2= (3+2)2 = 52 = 25 
b32 (i=3) = 32 = 9 
y32 = a32 + b32 = 25 + 9 = 34 
 
III – Cálculo do menor complementar de y23: 
Det (D23) = y11.y32 - y12.y31 = 5 x 34 – 10 x 25 = 170 – 250 = -80 
GABARITO: C 
 
35.(Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) Considere duas 
matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a 
terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda 
e à primeira colunas da matriz A.Sabendosequerminantede A é igual 
a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a: 
 
a) –x-6 
b) –x6 
c) x3 
d) –1 
e) 1 
 
Resolução 
 
A e B ⇒ matrizes quadradas de terceira ordem 
Coluna 1 da Matriz B = Coluna 3 da Matriz A 
Coluna 2 da Matriz B = Coluna 2 da Matriz A 
Coluna 3 da Matriz B = Coluna 1 da Matriz A 
Det (A) = x3 
 
Mais uma questão de propriedade de determinantes: repare que a coluna 1 da 
matriz B corresponde a coluna 3 da matriz A, e vice-versa. A coluna 2 de 
ambas as matrizes, A e B, são iguais. Ou seja, houve a troca de duas colunas 
(3 e 1), da matriz A para a matriz B. 
 
Logo, temos que utilizar a seguinte propriedade: Seja A uma matriz de 
ordem n (maior ou igual a 2). Se trocarmos de posição duas filas 
paralelas (duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz 
A´, tal que: det A´= - det A. 
 
Portanto, na questão , teremos: det (B) = - det (A) = - x3 
 
A questão pede para a calcular o produto entre os determinantes de A e B: 
Produto = det (B) x det (A) = x3 . (-x3) = -x6 
GABARITO: B 
 
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36.(Analista Administrativo-MPU-2004-Esaf) Com relação ao sistema 
 
ax –y = 0 
x + 2a = 0, de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema 
 
a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. 
b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. 
c) tem solução não trivial para um único valor real de a. 
d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. 
e) é impossível para qualquer valor real de a. 
 
Resolução 
 
Primeiramente, temos que esclarecer o que seria, um sistema linear 
homogêneo, uma solução trivial e uma solução não trivial: 
 
Sistema linear Homogêneo: os termos independentes de todas as equações 
são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução 
trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear 
homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir 
somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da 
trivial. 
 
Exemplo de sistema linear homogêneo: 
 
2x - 3y + z = 0 
3x + 5y + 7z = 0 
x + 2y + 3z = 0 
 
Solução Trivial: seria, simplesmente, admitir como solução x = 0, y = 0, z = 
0, etc. 
 
No caso do exemplo acima: se x = y = z = 0, teríamos: 
 
2x - 3y + z = 0 ⇒ 2 . 0 – 3 . 0 + 0 = 0 ⇒ 0 = 0 (ok) 
3x + 5y + 7z = 0 ⇒ 3 . 0 + 5 . 0 + 7 . 0 = 0 ⇒ 0 = 0 (ok) 
x + 2y + 3z = 0 ⇒ 0 + 2 . 0 + 3 . 0 = 0 ⇒ 0 = 0 (ok) 
 
Em relação à questão teríamos: 
ax – y = 0 ⇒ a . 0 – 0 = 0 ⇒0 = 0 (ok) 
x + 2a = 0 ⇒ 0 - 2.a = 0 ⇒ 0 = 2a (falso). Só seria verdadeiro se a = 0. 
 
Poderíamos, então, concluir o sistema da questão não admite solução trivial, 
exceto, quando a = 0. 
 
Solução Não Trivial: seria a outra solução possível e determinada para x e y 
diferentes de zero. 
 
67
 
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No caso do sistema, teríamos: 
x + 2a = 0 ⇒ x = -2a 
ax – y = 0 ⇒ y = ax = a.(-2a) ⇒ y = -2a2 
 
Portanto, teremos uma solução não trivial para uma infinidade de valores de 
“a”. Somente se “a” = 0 é que a solução seria trivial. 
GABARITO: A 
 
37.(Analista Administrativo-MPU-2004-Esaf) Sabendo-se que a matriz 
1 1
1
0 1
A e que n e n
 
 
  
= ∈Ν ≥ ,entãorminantedamatriz
An– An-1 é igual a: 
 
a) 1 
b) -1 
c) 0 
d) n 
e) n-1 
 
Resolução 
 
Para resolver a questão, vamos ter que encontrar alguma regra de formação: 
1
2
2 3
3 4
.
.
1 1
0 1
1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2
. .
0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1
1 2 1 1 1 1 2 0 1 1 2 1 1 3
.
0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1
1 3
0 1
A
A A A
A A A
A A A
 
 
  
       
= =       
              
       
= =       
              
 
 
  
=
× + × × + ×
= =
× + × × + ×
× + × × + ×
= =
× + × × + ×
= =
1
1
....
1 1 1 1 3 0 1 1 3 1 1 4
.
0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1
1 1
0 1
1
0 1
1 1 1 0 11 1 ( 1)
0 1 0 1 0 00 1 1
n
n
n n
n
A
n
A
n n n n
A A
−
−
     
= =     
          
 
 
  
 
 
  
      
− = − = =      
            
× + × × + ×
× + × × + ×
−
=
=
− − − −
−
 
Det (An – An-1) = 0x0 – 1x0 = 0 
GABARITO: C 
 
68
 
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38.(Analista de Finanças e Controle-CGU-2004-Esaf) Genericamente, 
qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde “i” 
representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz 
X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) 
e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos 
elementos x31 e x13 é igual a: 
 
a) 16 
b) 18 
c) 26 
d) 65 
e) 169 
 
Resolução 
 
X = (xij), de terceira ordem 
X = A + B 
 
A=(aij) ⇒ aij = i2 
B = (bij) ⇒ bij = (i-j)2 
 
I – Cálculo da x13 e x31: 
 
Como a matriz X é soma das matrizes A e B, cada elemento de X corresponde 
à soma dos elementos correspondentes de A e B. Logo: 
 
x13 = a13 + b13 
a13 (i=1) = i2= 12 = 1 
b13 (i=1;j=3) = (i-j)2 = (1-3)2 = (-2)2 = 4 
x13 = a13 + b13 = 1 + 4 = 5 
 
x31 = a31 + b31 
a31 (i=3) = 32 = 9 
b31 (i=3;j=1) = (i-j)2= (3-1)2 = 22 = 4 
x31 = a31 + b31 = 9 + 4 = 13 
 
II – Cálculo de x13.x31: x13.x31 = 5 x 13 = 65 
GABARITO: D 
69
 
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39.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Dada a matriz
1 1
1X
 
 
  
e 
sabendoquerminantedesuamatrizinversaéiguala1/2,entãoovalor
de X é iguala: 
 
a) -1 
b) 0 
c) 1/2 
d) 1 
e) 2 
 
Resolução 
 
Mais uma questão de propriedades determinantes: 
det(A.A-1)= det(In) ⇒ det A . det A-1 = 1 ⇒ det A-1 = 1/det A 
⇒ rminantedamatrizinversaéoinversodrminanteda
matriz. 
 
1 1
1X
 
 
  
= A 
det (A) = 1 – X 
 
det (A-1) = 1/2 
 
det (A-1) = 1/det (A) ⇒ 1/2 = 1/(1-X) ⇒ 1 – X = 2 ⇒ X = -1 
GABARITO: A 
 
40.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) A função composta de duas 
funções f(x) e g(x) é definida como (g o f) (x) = g[f(x)]. Sejam as funções f(x) 
= sen2 (x -1) e g(x) = x - 1. Então, (f o g) (2) é igual a: 
 
a) f (-1) 
b) f (2) 
c) g (0) 
d) g (2) 
e) f (1) 
 
Resolução 
 
Como me pediram mais questões de função composta, segue aí mais uma. 
 
Temos que: (g o f) (x) = g[f(x)] 
f(x) = sen2 (x -1) 
g(x) = x – 1 
 
70
 
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Cuidado! Repare que a questão explica a função (g o f) (x) = g[f(x)], mas 
pede a função (f o g) (inverteu o f com o g). 
(f o g) (2) = f[g(2)] 
 
g(2) = 2 – 1 = 1 
f[g(2)] = sen2 (g(2) – 1) = sen2 (1 – 1) = sen2 0 = 0 (veremos em aula 
posterior que sen 0 = 0). 
 
Como f[g(2)] = f(1), pois g(2) = 1, temos: (f o g) (2) = f(1) 
GABARITO: E 
41.(Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A matriz S = sij, de 
terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e 
B=(bij). Sabendo-se que (aij ) = i2+j2 e que bij = 2 i j, então: a soma dos 
elementos s31 e s13 é igual a: 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 24 
e) 32 
 
Resolução 
 
S = (sij), de terceira ordem 
X = A + B 
A=(aij) ⇒ aij = i2+j2 
B = (bij) ⇒ bij = 2 i j 
 
I – Cálculo da s13 e s31: 
Como a matriz S é soma das matrizes A e B, cada elemento de S corresponde 
à soma dos elementos correspondentes de A e B. Logo: 
 
s13 = a13 + b13 
a13 (i=1;j=3) = i2+j2 = 12 + 32 = 1 + 9 = 10 
b13 (i=1;j=3) = 2 i j = 2 x 1 x 3 = 6 
s13 = a13 + b13 = 10 + 6 = 16 
 
s31 = a31 + b31 
a31 (i=3;j=1) = i2+j2 = 32 + 12 = 9 + 1 = 10 
b31 (i=3;j=1) = 2 i j = 2 x 3 x 1 = 6 
s31 = a31 + b31 = 10 + 6 = 16 
 
II – Cálculo de s13 + s31: s13 + s31 = 16 + 16 = 32 
GABARITO: E 
 
71
 
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42.(Analista-Serpro-2001-Esaf) Genericamente, qualquer elemento de uma 
matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna 
em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a 
matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que 
(aij) = i2+j2 e que bij = (i+j)2, então a razão entre os elementos s31 e s13 é 
igual a: 
 
a) 1/5 
b) 2/5 
c) 3/5 
d) 4/5 
e) 1 
 
Resolução 
 
S = (sij), de terceira ordem 
X = A + B 
A=(aij) ⇒ aij = i2+j2 
B = (bij) ⇒ bij = (i+j)2 
 
I – Cálculo da s13 e s31: 
Como a matriz S é soma das matrizes A e B, cada elemento de S corresponde 
à soma dos elementos correspondentes de A e B. Logo: 
 
s13 = a13 + b13 
a13 (i=1;j=3) = i2+j2 = 12 + 32 = 1 + 9 = 10 
b13 (i=1;j=3) = (i+j)2= (1+3)2= 42 = 16 
s13 = a13 + b13 = 10 + 16 = 26 
 
s31 = a31 + b31 
a31 (i=3;j=1) = i2+j2 = 32 + 12 = 9 + 1 = 10 
b31 (i=3;j=1) = (i+j)2= (3+1)2= 42 = 16 
s31 = a31 + b31 = 10 + 16 = 26 
 
II – Cálculo de s31/s31: s31/s13 = 26/26 = 1 
GABARITO: E 
43.(Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) Uma matriz 
quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que 
a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3 Z tem 
determinante igual a 
a) 1/3 
b) 3 
c) 9 
d) 27 
e) 81 
 
72
 
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Resolução 
 
Matriz X (n = 3) ⇒ det (X) = 3 
Matriz Z = Transposta da Matriz X 
Mais uma propriedade importante dos determinantes: det A = det At 
Logo, det (X) = det (Xt) (transposta de X) = det (Z) = 3 
Matriz Y = 3 . Matriz Z 
 
Propriedade a ser aplicada: se multiplicarmos toda a matriz por um 
número k, det (kA) = kn . det A, onde n é a ordem da matriz quadrada 
A. 
Matrizes quadradas de ordem 3 ⇒ n = 3 
det (Y) = 33 x det (Z) = 33 x 3 = 81 
GABARITO: E 
 
44.(Analista de Finanças e Controle-STN-1997-Esaf) Considerando-se as 
matrizes 
2 4 1 1
3 1 1 2
A B
   
   
      
= = 
a soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida como 
produto da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a: 
 
a) –10 
b) -2 
c) 1 
d) 2 
e) 10 
 
Resolução 
 
I – Determinação da Matriz Transposta de A: 
2 4
3 1
2 3
4 1
A
tA
 
 
  
 
 
  
=
=
 
 
Matriz transposta de A 
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II – Determinação da Matriz Inversa de B: 
1 1
11 11
1 2
12 12
2 1
21 21
2 2
22 22
1 1
1 2
:
det 1 2 1 1 2 1 1
2 ( 1) 2 2
1 ( 1) 1 1
1 ( 1) 1 1
1 ( 1) 1 1
2 1
(´ )
1 1
2 1
( )
1 1
2 11 11
det 1 1 1
B
Solução
B
D B
D B
D B
D B
B cofatores
B adjunta
B B
B
 
 
  
+
+
+
+
 
 
  
 
 
  
=
= × − × = − =
= ⇒ = − × =
= ⇒ = − × = −
= ⇒ = − × = −
= ⇒ = − × =
−
=
−
−
=
−
−− = × = ×
−
 
 
  
 
Outra solução para a inversa de B: 
 
Resolvendo por B.B-1 = I, teríamos 
1
1 1 1 0
.
1 2 0 1
n
x y
B B I
w z
−
    
    
        
= = = 
 
x + w = 1 (I) 
y + z = 0 => y = -z (II) 
x + 2w = 0 => x = -2w (III) 
y + 2z = 1 (IV) 
 
(III) em (I) => -2w + w = 1 => w = -1 e x = -2w = 2 
(II) em (IV) => -z + 2z = 1 => z = 1 e y = -1 
 
1
2 1
1 1
B−
 
 
  
−
=
−
 
74
 
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III – Cálculo de At.B-1 
 
1
1
2 2 3 ( 1) 2 ( 1) 3 12 3 2 1
. .
4 2 1 ( 1) 4 ( 1) 1 14 1 1 1
1 1
.
7 3
t
t
A B
A B
−
−
    
    
         
 
 
  
× + × − × − + ×−
= = =
× + × − × − + ×−
=
−
 
 
Soma dos elementos da diagonal principal de At.B-1 = 1 – 3 = -2 
GABARITO: B 
 
45.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Administração e 
Previdência Social-Maranhão-2009-FCC) O sistema linear de variáveis reais 
x, y dado por 
 
k.x + y = 3 
-2x + 4y = 
1
3
 
 
será representado no plano cartesiano por um par de retas concorrentes 
apenas se 
 
(A) k = 
1
2
 
(B) k = 
1
2
− 
(C) k 2≠ − 
 
(D) k 
1
2
≠ − 
 
(E) k 
1
2
≠ 
 
Resolução 
 
Sistema linear: 
 
k.x + y = 3 
-2x + 4y = 
1
3
 
 
75
 
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Não vimos geometria ainda, mas retas concorrentes são retas que se cruzam 
em um ponto. Ou seja, o sistema acima deverá possuir uma única solução, que 
é justamente o ponto onde as retas se cruzam. 
 
De acordo com a Regra de Cramer, temos: 
 
D ⇒ determinante da matriz incompleta. 
Dx ⇒ determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a 
coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. 
Dy ⇒ determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a 
coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. 
 
Sistema possível e determinado: D ≠ 0 (uma única solução) 
 
Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes Dx e Dy 
forem iguais a zero. 
 
Impossível: D = 0 e (Dx ou Dy) forem diferentes de zero. 
 
Escrevendo o sistema em forma de matriz, teríamos: 
3
1
. 1
2 4
3
k x
y
 
     =     −   
 
 
D = 4.k – (-2) x 1 = 4k + 2 
 
O sistema terá uma solução única quando o determinante D da matriz 
incompleta for diferente de zero: 
D = 4k + 2 ≠ 0 ⇒ 4k ≠ - 2 ⇒ k ≠ 
2
4
− ⇒ k ≠ 
1
2
− 
GABARITO: D 
 
46.(Matemática-Metrô-SP-2008-FCC) Sabe-se que A, B e C são matrizes 
não nulas e de tipos m × n, p × q e r × s, respectivamente. Assim sendo, a 
matriz A . (B2 + C) poderá ser calculada se, e somente se, 
 
(A) A for uma matriz quadrada. 
(B) B e C forem matrizes quadradas. 
(C) n = p = q = r = s 
(D) p = r e m = q = s 
(E) m = s e p = q = r 
 
76
 
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Resolução 
 
Vamos fazer por partes. 
 
I) Sabemos que B é uma matriz p x q. Portanto, se fizermos B x B, teremos: 
 
Bpxq x Bpxq = (B2)pxq, pois, na multiplicação de matrizes, a matriz do resultado 
será uma matriz com o número de linhas da primeira matriz e com o número 
de colunas da segunda matriz. Além disso, para que consigamos multiplicar as 
matrizes, é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual 
ao número de linhas da segunda matriz. 
 
Portanto, o número de colunas da primeira matriz B (q) deve ser igual ao 
número de linhas da segunda matriz B (p). Logo, temos: p = q 
 
II) Agora, vamos fazer B2 + C. Para fazer a adição de matrizes, é necessário 
que as matrizes possuam o mesmo número de linhas e o mesmo número de 
colunas. Portanto, se a matriz B2 é uma matriz de p linhas e q colunas e a 
matriz C é uma matriz de r linhas e s colunas, temos que: 
 
p = r (número de linhas de B é igual ao número de linhas de C) 
q = s (número de colunas de B é igual ao número de colunas de C) 
 
Como, de (I), sabemos que p = q: p = q = r = s 
 
III) Finalmente, temos outra multiplicação: A . (B2 + C). Na multiplicação de 
matrizes, a matriz do resultado será uma matriz com o número de linhas da 
primeira matriz e com o número de colunas da segunda matriz. Além disso, 
para que consigamos multiplicar as matrizes, é necessário que o número de 
colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. 
 
Portanto, como A é uma matriz com m linhas e n colunas e B2 + C é uma 
matriz de p = r linhas e q = s colunas, temos que: 
 
Número de colunas de A = Número de linhas de B2 + C ⇒ 
⇒ n = p = r 
Como, de (I), sabemos que p = q: n = p = q = r = s 
GABARITO: C 
 
 
77
 
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47.(Matemática-Metrô-SP-2008-FCC) Se uma matriz quadrada M é igual à 
sua inversa M−1,então,rminantedeMé
 
(A) impossível de ser calculado, por falta de dados. 
(B) igual a 1 ou a –1. 
(C) um número primo. 
(D) um número compreendido entre –1 e 1. 
(E) é um número maior que 1 ou menor que –1. 
Resolução 
 
Sabemos, das propriedades dos determinantes, que: 
det A . det A-1 = 1 
 
Portanto, se a matriz quadrada M é igual a sua inversa M-1, então seus 
determinantes são iguais (matrizes iguais, determinantes iguais): 
 
det M = det M-1 
 
Da propriedade acima: det M . det M-1 = 1 
 
Como os determinantes são iguais, podemos substituir det M-1 por det M: 
 
det M . det M = 1 ⇒ det2 M = 1 ⇒ 
⇒ det M = 1± ⇒ det M = 1± 
GABARITO: B 
 
78
 
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48.(Matemática-Metrô-SP-2008-FCC) Sejam X e Y matrizes de M2×3 (R), 
tais que: X – Y = A e 3X + Y = B. Se: 
 
A = 
1 0 2
4 1 3
− 
 − 
 e B = 
3 2 0
2 1 1
 
 − − 
, então X + Y é igual a 
 
 
79
 
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Resolução 
 
Temos as seguintes relações: 
X – Y = A (I) 
3X + Y = B (II) 
 
Se fizermos (I) + (II): 
X – Y + 3X + Y = A + B ⇒ 
⇒ 4X = A + B ⇒ 
⇒ X = 
1
4
.(A + B) 
 
Voltando as nossas relações originais: 
X – Y = A (I) 
3X + Y = B (II) 
 
Se multiplicarmos (I) por 3: 3.(X – Y) = 3.A ⇒ 3X – 3Y = 3A (III) 
Fazendo (II) – (III): 
3X + Y = B (II) 
3X – 3Y = 3A (III) 
 
3X + Y – (3X – 3Y) = B – 3A ⇒ 3X + Y – 3X + 3Y = B – 3A ⇒ 
⇒ 4Y = B – 3A ⇒ Y = 
1
4
.(B – 3A) 
 
Repare que fiz algumas “artimanhas” (multiplicando as equações) para achar X 
e Y, mas você pode, simplesmente, utilizar o método da substituição. 
Vejamos: 
 
X – Y = A ⇒ X = A + Y (I) 
3X + Y = B (II) 
 
Substituindo (I) em (II): 
3.(A + Y) + Y = B ⇒ 3A + 3Y + Y = B ⇒ 4Y = B – 3A ⇒ Y = 
1
4
.(B – 3A) 
Substituindo o valor encontrado de Y em (I): 
X = A + Y ⇒ X = A + 
1
4
.(B – 3A) ⇒ igualando os denominadores: 
 
X = 
4 3
4
A B A+ −
 ⇒ X = 
4
A B+
 = 
1
4
.(A + B) 
 
80
 
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Como a questão pede X + Y: 
X + Y = 
1
4
.(A + B) + 
1
4
.(B – 3A) 
 
Repare que podemos colocar o 
1
4
 em evidência: 
X + Y = 
1
4
.(A + B + B – 3A) = 
1
4
.(2B – 2A) = 
1
2
.(B – A) 
 
Calculando B – A: 
 
A = 
1 0 2
4 1 3
− 
 − 
 e B = 
3 2 0
2 1 1
 
 − − 
 
 
B – A = 
3 2 0
2 1 1
 
 − − 
– 
1 0 2
4 1 3
− 
 − 
 = 
3 ( 1) 2 0 0 2
2 4 1 1 1 ( 3)
− − − − 
 − − − − − − 
= 
B – A = 
4 2 2
6 2 4
− 
 − − 
 
 
Portanto: 
X + Y = 
1
2
.(B – A) = 
1
2
.
4 2 2
6 2 4
− 
 − − 
=
4 2 2
2 2 2
6 2 4
2 2 2
− 
 
 
− − 
  
 
X + Y = 
1
2
.(B – A) =
2 1 1
3 1 2
− 
 − − 
 
GABARITO: D 
 
81
 
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49.(Matemática-Metrô-SP-2008-FCC) Considere os trechos de linhas de 
trens metropolitanos (L1, L2, L3, e L4) ligando três estações (1, 2 e 3), 
conforme é mostrado no esquema abaixo. 
 
 
 
As informações contidas no esquema podem ser representadas por uma matriz 
A = (aij)3x3, em que aij corresponde ao número de trechos que ligam 
diretamente a estação i à estação j, ou seja: 
 
 
 
Se é provado que cada elemento de A2 representa o número de opções de 
viajar entre duas estações quaisquer passando exatamente por uma única 
estação, considerando-se distintas as direções opostas sobre uma mesma 
linha, então, neste caso, o número de opções para, partindo da estação 2, 
voltar-se à estação 2 é 
 
(A) 0 
(B) 2 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
Resolução 
 
E aí? Confuso(a)? Vamos por partes então. Repare que, inicialmente, a questão 
“fala” em A2, que representa o número de opções de viajar entre duas 
estações quaisquer passando exatamente por uma única estação. Portanto, 
vamos calcular A2. 
 
A2 = A . A = 
0 1 1
1 0 2
1 2 0
 
 
 
  
.
0 1 1
1 0 2
1 2 0
 
 
 
  
 
82
 
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Vamos fazer a multiplicação das matrizes (A.A): 
 
I) Primeira linha de “A” (na vertical) x Primeira coluna de “A”: 
 
0 x 0 = 0 
1 x 1 = 1 
1 x 1 = 1 
c11 = a11 . a11 + a12 . a21 + a13 . a31 = 0 x 0 + 1 x 1 + 1 x 1 = 2 
 
II) Primeira linha de “A” (na vertical) x Segunda coluna de “A”: 
 
0 x 1 = 0 
1 x 0 = 0 
1 x 2 = 2 
c12 = a11 . a12 + a12 . a22 + a13 . a32 = 0 x 1 + 1 x 0 + 1 x 2 = 2 
 
III) Primeira linha de “A” (na vertical) x Terceira coluna de “A”: 
 
0 x 1 = 0 
1 x 2 = 2 
1 x 0 = 0 
c13 = a11 . a13 + a12 . a23 + a13 . a33 = 0 x 1 + 1 x 2 + 1 x 0 = 2 
 
IV) Segunda linha de “A” (na vertical) x Primeira coluna de “A”: 
 
1 x 0 = 0 
0 x 1 = 0 
2 x 1 = 1 
c21 = a21 . a11 + a22 . a21 + a23 . a31 = 1 x 0 + 0 x 1 + 2 x 1 = 2 
 
V) Segunda linha de “A” (na vertical) x Segunda coluna de “A”: 
 
1 x 1 = 1 
0 x 0 = 0 
2 x 2 = 4 
c22 = a21 . a12 + a22 . a22 + a23 . a32 = 1 x 1 + 0 x 0 + 2 x 2 = 5 
 
VI) Segunda linha de “A” (na vertical) x Terceira coluna de “A”: 
 
1 x 1 = 1 
0 x 2 = 0 
2 x 0 = 0 
c23 = a21 . a13 + a22 . a23 + a23 . a33 = 1 x 1 + 0 x 2 + 2 x 0 = 1 
 
83
 
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VII) Terceira linha de “A” (na vertical) x Primeira coluna de “A”: 
 
1 x 0 = 0 
2 x 1 = 2 
0 x 1 = 0 
c31 = a31 . a11 + a32 . a21 + a33 . a31 = 1 x 0 + 2 x 1 + 0 x 1 = 2 
 
VIII) Terceira linha de “A” (na vertical) x Segunda coluna de “A”: 
 
1 x 1 = 1 
2 x 0 = 0 
0 x 2 = 0 
c32 = a31 . a12 + a32 . a22 + a33 . a32 = 1 x 1 + 2 x 0 + 0 x 2 = 1 
 
IX) Terceira linha de “A” (na vertical) x Terceira coluna de “A”: 
 
1 x 1 = 1 
2 x 2 = 4 
0 x 0 = 0 
c33 = a31 . a13 + a32 . a23 + a33 . a33 = 1 x 1 + 2 x 2 + 0 x 0 = 5 
 
Portanto, a matriz A2 ficou da seguinte forma: 
 
A2 = A . A = 
0 1 1
1 0 2
1 2 0
 
 
 
  
.
0 1 1
1 0 2
1 2 0
 
 
 
  
 = 
2 2 2
2 5 1
2 1 5
 
 
 
  
 
 
Novamente, a questão estabelece que A2, que representa o número de opções 
de viajar entre duas estações quaisquer passando exatamente por uma única 
estação e pede o número de opções para, partindo da estação 2, voltar-se à 
estação 2. Portanto é justamente o termo c22 = 5, já que o índice i (i = 2) 
representa a estação de origem e o índice j (j = 2) representa a estação de 
destino. 
GABARITO: C 
 
84
 
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(Petrobras-Nível Médio-2010-Cesgranrio) 
Utilize as informações e o gráfico abaixo para responder às questões 
de nos 50 e 51. 
 
Desde 2005, a venda de azeite nos países em desenvolvimento só faz 
aumentar. O gráfico abaixo apresenta dados referentes aos quatro maiores 
mercados emergentes, Brasil, Rússia, Índia e China. 
 
50 Considere que a estimativa apresentada na reportagem se cumpra e que, 
de 2005 a 2010, o consumo de azeite na Rússia tenha aumentado anualmente, 
formando uma progressão aritmética. Qual é, em toneladas, a razão dessa PA? 
 
(A) 1.400 
(B) 1.500 
(C) 1.800 
(D) 2.000 
(E) 2.500 
 
Resolução 
 
De acordo com a questão, o consumo de azeite, na Rússia, de 2005 a 2010, 
forma uma progressão aritmética. Portanto, teremos: 
 
Consumo em 2005 = C1 = 9.000 
Consumo em 2006 = C2 = C1 + r 
Consumo em 2007 = C3 = C1 + 2r 
Consumo em 2008 = C4 = C1 + 3r 
Consumo em 2009 = C5 = C1 + 4r 
 
Consumo em 2010 = C6 = 18.000 = C1 + 5r ⇒ 
⇒ 18.000 = 9.000 + 5.r ⇒ 
⇒ 5.r = 18.000 – 9.000 ⇒ 
⇒ 5.r = 9.000 ⇒ 
85
 
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⇒ r = 
9.000
5
 ⇒ 
⇒ r = 1.800 
GABARITO: C 
 
51 Em relação ao consumo de 2005, a estimativa de 2010 prevê, na Índia, um 
aumento no consumo de azeite de 
 
(A) 700% 
(B) 650% 
(C) 450% 
(D) 350% 
(E) 200% 
 
Resolução 
 
Índia: 
Consumo em 2005 = 2.000 
Consumo em 2010 = 9.000 
 
Aumento de 2005 a 2010 = 9.000 – 2.000 = 7.000 
 
Percentual de Aumento = 
9.000 2.000
2.000
−
 = 3,50 = 350% 
GABARITO: D 
 
52.(Aneel-2006-Esaf) Uma progressão aritmética é uma seqüência de 
números a1, a2, a3,...., an, cuja lei de formação de cada um dos termos desta 
seqüência é dada por uma soma, conforme representação a seguir: 
 
a2 = a1 + r, a3 = a2 + r, a4 = a3 + r, ........an = an-1 + r, 
 
onde r é uma constante, denominada razão da progressão aritmética. Uma 
progressão geométrica é uma seqüência de números g1, g2, g3,......., gn, cuja 
lei de formação de cada um dos termos desta seqüência é dada por um 
produto, conforme representação a seguir: 
 
g2 = g1 * q, g3 = g2 * q, g4 = g3 * q,.....gn = gn-1*q, 
 
onde q é uma constante, denominada razão da progressão geométrica. Os 
números A, B e 10 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Os 
números 1, A e B formam, nesta ordem, uma progressão geométrica. Com 
estas informações, pode-se afirmar que um possível valor para o produto entre 
r e q é igual a: 
 
86
 
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a) -12 
b) -15 
c) 10 
d) 12 
e) 8 
 
Resolução 
 
PA ={A, B, 10} 
B = A + r (I) 
10 = B + r (II) 
(II) – (I) ⇒ 10 – B = B – A ⇒ A = 2.B – 10 (III) 
 
PG = {1, A, B} 
A = 1.q ⇒ A = q (IV) 
B = A.q ⇒ B = q.q = q2 (V) 
 
Substituindo (IV) e (V) em (III) ⇒ q = 2.q2 – 10 ⇒ 2q2 – q – 10 = 0 
 
Equação do segundo grau: 
a = 2 
b = -1 
c = -10 
 
22
1
2
1 ( 1) 4.2.( 10)4. . 1 81
2. 2.2 4
1 9
4
10 5
4 2
8
2
4
b b a c
q
a
q
q
q
± − − −− ± − ±
= = = ⇒
±
⇒ == =
−
= = −
 
 
Para que q1 = 5/2: 
A = q1 = 5/2 
B = (q1)2 = 25/4 
PA = {A, B, 10} 
B = A + r ⇒ 25/4 = 5/2 + r ⇒ r = 25/4 – 5/2 = 15/4 
Produto: r.q1 = (15/4) x (5/2) = 75/8 
 
87
 
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Para que q2 = -2: 
A = q2 = -2 
B = (q2)2 = 4 
PA = {A, B, 10} 
B = A + r ⇒ 4 = -2 + r ⇒ r = 6 
Produto: r.q2 = 6.(-2) = -12 
GABARITO: A 
 
Vamos resolver mais algumas questões das aulas anteriores. Mais uma prova 
surpresa! 
53.(TTN-1998-Esaf) Se 
3 9y x
a
y ax
− =
−
, sendo axy ≠ , o valor da razão 
y
x
, para 
a > 9, é igual a 
a) (a – 9) 
b) (a – 3) 
c) (a + 3) 
d) (a + 9) 
e) a2 
 
Resolução 
 
3 9y x
a
y ax
− =
−
 
 
Vamos “multiplicar em cruz”: 
2
2
3 9 .( ) 3 9
9 3
y x a y ax y x ay a x
a x x ay y
⇒ − = − ⇒ − = − ⇒
⇒ − = −
 
Beleza até aqui? Bom a questão pede o valor da razão 
y
x
. Repare que, do lado 
esquerdo da igualdade temos dois termos com x. Então, é possível “isolar” o x 
ou colocá-lo em evidência. Veja: 
 
a2x – 9x = x.(a2 – 9) 
 
Do mesmo modo, do lado direito da igualdade, temos dois termos com y. 
Então, é possível “isolar” o y ou colocá-lo em evidência. Veja: 
 
ay – 3y = y.(a – 3) 
 
Portanto, teríamos: 
2
2
9 3
.( 9) .( 3)
a x x ay y
x a y a
− = − ⇒
⇒ − = −
 
88
 
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Como queremos 
y
x
, vamos dividir os dois lados da igualdade por x: 
2 2
2
1 1
.( 9) .( 3) .( 9). .( 3).
( 9) .( 3)
x a y a x a y a
x x
y
a a
x
⇒ − = − ⇒ − = − ⇒
⇒ − = −
 
 
Agora, passando (a – 3) para o outro lado da igualdade (como ele está 
multiplicando do lado direito, ao passar para o lado esquerdo, deve ir 
dividindo): 
2
2
2
( 9) .( 3)
( 9)
( 3)
( 9)
( 3)
y
a a
x
a y
a x
y a
x a
⇒ − = − ⇒
−
⇒ = ⇒
−
−
⇒ =
−
 
 
E agora, o “pulo do gato”! Relembrando de nossa aula, temos: 
 
(x2 – a2) = (x + a).(x – a) 
 
Atenção, guarde a relação acima, pois sempre aparece em prova! 
 
Portanto, na nossa questão, teríamos: 
a2 – 9 = a2 – 32 = (a + 3).(a – 3). 
 
Substituindo na igualdade: 
2( 9) ( 3)( 3)
3
( 3) ( 3)
y a a a
a
x a a
− + −
⇒ = = = +
− −
 
Repare que é possível “cortar” o (a – 3) do numerador com o (a – 3) do 
denominador. 
GABARITO: C 
 
89
 
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54.(Analista de Finanças e Controle-STN-1997-Esaf) Tomam-se os 
inteiros entre 1 e 100, inclusive, e constroem-se duas listas. Na lista D são 
colocados todos os inteiros divisíveis por 2 e, na lista T, são colocados todos os 
inteiros divisiveis por 3. O número de inteiros entre 1 e 100, inclusive, que são 
divisíveis por 2 e que não são divisíveis por 3 é igual a: 
 
a) 22 
b) 24 
c) 26 
d) 28 
e) 34 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão. 
 
I) Tomam-se os inteiros entre 1 e 100, inclusive...: chamarei de U o conjunto 
dos inteiro de 1 a 100, inclusive. 
U = inteiros de 1 a 100, inclusive = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 100} 
 
...e constroem-se duas listas. 
 
II) Na lista D são colocados todos os inteiros divisíveis por 2: os inteiros 
divisíveis por 2 são todos os números pares (chamarei de D). 
 
D (inteiros divisíveis por 2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...., 100} 
Número de elementos de D = 50 elementos (metade dos números de 1 a 100) 
 
III) Na lista T, são colocados todos os inteiros divisíveis por 3: um número será 
divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for 
divisível por 3 (são os múltiplos de 3 de 1 a 100). 
 
T (inteiros divisíveis por 3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,..., 99} 
 
A questão pede o número de inteiros entre 1 e 100, inclusive, que são 
divisíveis por 2 e que não são divisíveis por 3. 
 
IV) Para ficar mais fácil, vamos construir T´, que é o conjunto dos números 
inteiros divisíveis por 2 e por 3, ou seja, são os números pares da lista T (dos 
divisíveis por 3): 
 
T´(inteiros divisíveis por 2 e por 3) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 
66, 72, 78, 84, 90, 96} 
Número de elementos de T´= 16 elementos 
 
V) Portanto, o número de inteiros, de 1 a 100, divisíveis por 2 e não divisíveis 
por 3 é justamente o resultado da diferença do número inteiros divisíveis por 2 
(D) e o número de inteiros divisíveis por 2 e por 3 (T´). 
90
 
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Número de inteiros entre 1 e 100 divisíveis por 2 e não divisíveis por 3: 
N = 50 – 16 = 34 elementos 
GABARITO: E 
 
55.(Auxiliar Judiciário-Área: Judiciária-TRF/2R-2007-FCC) Certo dia, em 
uma Unidade do Tribunal Regional Federal, um auxiliar judiciário observou que 
o número de pessoas atendidas no período da tarde excedera o das atendidas 
pela manhã em 30 unidades. Se a razão entre a quantidade de pessoas 
atendidas no período da manhã e a quantidade de pessoas atendida no período 
da tarde era 
3
5
, então é correto afirmar que, nesse dia, foram atendidas 
 
(A) 130 pessoas. 
(B) 48 pessoas pela manhã. 
(C) 78 pessoas à tarde. 
(D) 46 pessoas pela manhã. 
(E) 75 pessoas à tarde. 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
Número de pessoas atendidas no período da tarde = T 
Número de pessoas atendidas no período da manhã = M 
 
 
De acordo com a questão: O número de pessoas atendidas no período da tarde 
excedera o das atendidas pela manhã em 30 unidades. 
 
T = M + 30 (I) 
 
Ainda de acordo com a questão: A razão entre a quantidade de pessoas 
atendidas no período da manhã e a quantidade de pessoas atendida no período 
da tarde era 
3
5
 
3 5
.
5 3
M
T M
T
= ⇒ = (II) 
 
91
 
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Substituindo (II) em (I): 
5
30 . 30
3
5 5 3
. 30 . . 30
3 3 3
5 3 2
. 30 . 30
3 3
3
30. 15 3 45
2
T M M M
M M M M
M M
M M M
= + ⇒ = + ⇒
⇒ − = ⇒ − = ⇒
−
⇒ = ⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ = × ⇒ =
 
 
T = M + 30 = 45 + 30 ⇒ T = 75 
GABARITO: E 
 
56.(Auxiliar Judiciário-Área: Judiciária-TRF/2R-2007-FCC) Calculando 
os 38% de vinte e cinco milésimos obtém-se 
 
(A) 95 décimos de milésimos. 
(B) 19 milésimos. 
(C) 95 milésimos. 
(D) 19 centésimos. 
(E) 95 centésimos. 
 
Resolução 
 
Mais uma questão de frações! 
 
38% = 
38
100
 
 
Vinte e cinco milésimos = 
25
1.000
(se é milésimos, temos 1.000 no 
denominador). 
38% de vinte e cinco milésimos é igual a: 
 
38% x vinte cinco milésimo 
= 
38
100
 x 
25
1.000
 = 
38 25 38 25 25 38
100 1.000 100 1.000 25 4 1.000
× ×
= ÷ =
× × ×
 
 
Se dividirmos 38 por 4, o resultado será 9,5 com resto 0. 
38 9,5
4 1.000 1.000
=
×92
 
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Ou seja, em “português” seria 9,5 (nove vírgula cinco) milésimos, mas não há 
esta resposta. 
 
Contudo nas alternativas, há 95 (noventa cinco). Para obtermos 95, devemos 
multiplicar o numerador por 10. Para não alterar a proporcionalidade da fração 
devemos multiplicar o denominador também por 10. Vejamos: 
38 9,5 10 95
0,0095
4 1.000 1.000 10 10.000
= × = =
×
 
 
Em “português”, falaríamos noventa e cinco décimos de milésimos. 
GABARITO: A 
 
57.(Professor de Matemática-SESI/SP-2004-FCC) Simplificando a fração 
2
2
4 2
( 1)( 4 4)
x x
x x x
− + +
− + +
, na qual x ≠ 1 e x ≠ −2 obtém-se 
 
(A) 
1
1x −
 
(B) 
1
2x +
 
(C) 
2
1
x
x
+
−
 
(D) x − 1 
(E) x + 2 
 
Resolução 
 
Mais uma questão de simplificação de frações. Relembrando: 
 
(a2 – b2) = (a + b).(a – b) 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
 
Na questão temos: 
(x2 – 4) = x2 – 22 = (x + 2).(x – 2) 
x2 + 4x + 4 = x2 + 2. 2x + 22 = (x + 2)2 
Substituindo na expressão: 
 
2
2 2
4 2 ( 2).( 2) ( 2)
( 1)( 4 4) ( 1).( 2)
x x x x x
x x x x x
− + + + − + +
=
− + + − +
 
 
93
 
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Repare que, como os dois termos do numerador possuem (x + 2), podemos 
colocá-lo em evidência: 
 
[ ] [ ]
2 2 2 2
( 2). ( 2) 1 ( 2). 2 1( 2).( 2) ( 2) ( 2).( 1)
( 1).( 2) ( 1).( 2) ( 1).( 2) ( 1).( 2)
x x x xx x x x x
x x x x x x x x
+ − + + − ++ − + + + −
= = =
− + − + − + − +
 
Portanto, podemos simplificar o numerador com o denominador “cortando” o 
(x + 2) e o (x – 1): 
 
2
( 2).( 1) ( 1) 1
( 1).( 2) ( 1).( 2) 2
x x x
x x x x x
+ − −
= =
− + − + +
 
GABARITO: B 
 
58.(CEFET/PA-Cespe-2003) Com os algarismos a, b e c, escolhidos no 
conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}, forma-se o número natural N = abcabc. 
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes: 
 
I – O número N pode ser escrito como N = 100.000a + 10.000b + 100c. 
II – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número par. 
III – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número primo. 
IV – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número divisível por 
7. 
V – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número divisível por 
11. 
 
A quantidade de itens certos é igual a: 
 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
 
Resolução 
 
Mais uma questão para ser decifrada. 
 
Com os algarismos a, b e c, escolhidos no conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}, 
forma-se o número natural N = abcabc. 
 
Vamos analisar os itens: 
 
I – O número N pode ser escrito como N = 100.000a + 10.000b + 100c. 
 
Como N é um número decimal e é igual a abcabc, pode ser representado por: 
Algarismos da direita para a esquerda: 
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c = Algarismo de ordem 0. Representa as unidades. Será multiplicado por 100. 
b = Algarismo de ordem 1. Representa as dezenas. Será multiplicado por 101. 
a = Algarismo de ordem 2. Representa as centenas. Será multiplicado por 102. 
c = Algarismo de ordem 3. Representa os milhares. Será multiplicado por 103. 
b = Algarismo de ordem 4. Representa as dezenas de milhares. Será 
multiplicado por 104. 
a = Algarismo de ordem 5. Representa as centenas de milhares. Será 
multiplicado por 105. 
 
Portanto, o número N = abcabc, na base decimal, é representado por: 
abcabc = a x 105 + b x 104 + c x 103 + a x 102 + b x 101 + c x 100 ⇒ 
⇒ abcabc = a x 100.000 + b x 10.000 + c x 1.000 + a x 100 + b x 10 + c 
⇒ abcabc = 100.000a + 10.000b + 1.000c + 100a + 10b + c ⇒ 
⇒ abcabc = (100.000 + 100)a + (10.000 + 10)b + (1.000 + 1)c ⇒ 
⇒ abcabc = 100.100a + 10.010b + 1.001c 
O item está ERRADO. 
 
II – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número par. 
O item está ERRADO, pois somente se c for um número par (2, 4, 6 ou 8), o 
número N = abcabc será par. 
 
III – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número primo. 
Os números primos são divisíveis por eles mesmos e por 1. Contudo, se c for 
par (2, 4, 6 ou 8), além de N = abcabc ser divisível por ele mesmo e por 1, 
também será divisível, pelo menos, por 2. Portanto, o item está ERRADO. 
 
IV – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número divisível por 
7. 
Do item I, chegamos ao resultado que: 
N = abcabc = 100.100a + 10.010b + 1.001c 
 
Repare que todos os termos são divisíveis por 1.001 (sei que é difícil, mas 
temos que ficar atentos a todos os detalhes na hora da prova). Veja: 
 
100.100 = 100 x 1.001 
10.010 = 10 x 1.001 
1.001 = 1 x 1.001 
 
Portanto, podemos colocar o 1.001 em evidência: 
N = abcabc = 100.100a + 10.010b + 1.001c ⇒ 
⇒ N = 100 x 1.001 x a + 10 x 1.001 x b + 1.001 x c ⇒ 
⇒ N = 1.001 x (100a + 10b + c) 
Ou seja, N pode ser representado pela multiplicação de dois fatores: 1.001 e 
(100a + 10b + c). 
 
Portanto, se verificarmos que 1.001 é divisível por 7, então o número N será 
divisível por 7, independentemente do valores de a, b e c. 
 
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1.001 : 7 = 143 com resto 0. Portanto, N é divisível por 7, 
independentemente dos valores de a, b e c. O item está CORRETO. 
 
V – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número divisível por 
11. 
 
Faremos a mesma análise do item anterior. Se verificarmos que 1.001 é 
divisível por 11, então o número N será divisível por 11, independentemente 
do valores de a, b e c. 
 
1.001 : 11 = 91 com resto 0. Portanto, N é divisível por 11, 
independentemente dos valores de a, b e c. O item está CORRETO. 
 
Há dois itens corretos. 
GABARITO: B 
 
59.(CEFET/PA-Cespe-2003) Para enviar uma mensagem de Belém-PA para 
Brasília-DF, via fax, uma empresa de telecomunicações cobra R$ 1,20 pela 
primeira página e R$ 0,80 para cada página adicional, completa ou não. 
Sabendo-se que, nessas condições, um empresário gastou R$ 12,40 para 
enviar um documento de Belém para Brasília, é correto afirmar que o número 
de páginas que esse documento contém é igual a: 
 
(A) 11 
(B) 13 
(C) 15 
(D) 17 
(E) 19 
 
Resolução 
 
A cobrança da empresa de telecomunicações, para que seja enviado um fax, é: 
Primeira Página = R$ 1,20 
Página Adicional (completa ou não) = R$ 0,80 
 
Portanto, considerando que o empresário irá enviar X páginas de fax, teríamos 
a seguinte expressão: 
 
Valor Gasto = 1,20 x 1 + 0,80 x (X – 1) 
Repare que multiplico R$ 1,20 por 1 (que corresponde à primeira página) e R$ 
0,80 por (X – 1) (que correspondem às páginas seguintes, da 2 em diante, ou 
seja, o total de páginas menos a primeira página). 
 
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Como o empresário gastou R$ 12,40, teríamos: 
 
12,40 = 1,20 x 1 + 0,80 x (X – 1) ⇒ 
⇒ 12,40 = 1,20 + 0,80X – 0,80 ⇒ 
⇒ 12,40 = 1,20 – 0,08 + 0,80X ⇒ 
⇒ 12,40 = 0,40 + 0,80X ⇒ 
⇒ 0,80X = 12,40 – 0,40 ⇒ 
⇒ 0,80X = 12 ⇒ 
⇒ X = 
12 12 10 10
12 3 3 5
80,8 8 2
10
= = × = × = × ⇒ X = 15 páginas 
Repare que: 
 
I) 0,8 = 
8
10
 
II) 12 e 8 são divisíveis por 4. Por isso, simplifiquei a expressão: 12 dividido 
por 4 é igual a 3 e 8 dividido por 4 é igual a 2. 
GABARITO: C 
 
60.(CEFET/PA-Cespe-2003) Assinale a opção que corresponde ao número 
0,064: 
(A) 
2
1
800
 
 
 
 
 
 (B) 
2
1
80
 
 
 
 
(C) 
3
1
800
 
 
 
 
(D) 
3
8
10
 
 
 
 
(E) 
3
2
5
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
0,064 = 
64
1.000
(fração decimal: três algarismo após o zero corresponde ao 
número de zeros que terá o denominador, que é uma potência de 10). 
 
Se fatorarmos o numerador e o denominador: 
64 2 
32 2 
16 
8 
4 
2 
1 
2 
2 
2 
2 
Fatoração de 64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26 
 
1.000 2 
500 2 
250 
125 
25 
5 
1 
2 
5 
5 
5 
Fatoração de 1.000 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 = 23 x 53 
 
Portanto, nossa fração ficaria da seguinte forma: 
0,064 = 
36 6 3 3
3 3 3 3
64 2 2 2 2
1.000 2 5 5 5 5
−  = = = =  ×  
 
GABARITO: E 
 
61.(CEFET/PA-Cespe-2003) Marcos e Pedro receberam, no início de abril, 
mesadas de valores iguais. No final do mês, Marcos havia gastado 
4
5
 de sua 
mesada e Pedro 
5
6
 da sua. Sabendo que Marcos ficou com R$ 10,00 a mais 
que Pedro, o valor da mesada recebida por cada um deles é: 
 
(A) inferior a R$ 240,00. 
(B) superior a R$ 240,00 e inferior a R$ 280,00. 
(C) superior a R$ 280,00 e inferior a R$ 320,00. 
(D) superior a R$ 320,00 e inferior a R$ 360,00. 
(E) superior a R$ 360,00. 
 
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Resolução 
 
De acordo com a questão, Marcos e Pedro receberam, no início de abril, 
mesadas de valores iguais. Vamos denominar o valor da mesada como sendo 
M. 
No final do mês, Marcos havia gasto quatro quintos (
4
5
) de sua mesada. 
Portanto, no final do mês, Marcos ainda tinha 
1
5
 da mesada. Veja: 
Valor que sobrou no final do mês (Marcos) = 
 
4 5 4 5 4 1
. . . . .
5 5 5 5 5
M M M M M M
−
− = − = = 
Por outro lado, no final do mês, Pedro havia gasto quatro quintos (
5
6
) de sua 
mesada. Portanto, no final do mês, Pedro ainda tinha 
1
6
 da mesada. Veja: 
Valor que sobrou no final do mês (Pedro) = 
 
5 6 5 6 5 1
. . . . .
6 6 6 6 6
M M M M M M
−
− = − = = 
 
Ainda de acordo com a questão: Marcos ficou com R$ 10,00 a mais que Pedro, 
o valor da mesada recebida. 
1 1
. . 10
5 6
M M− = 
 
Repare que o mmc (5,6) = 5 x 2 x 3 = 30. Portanto, teríamos: 
1 1 1 6 1 5
. . 10 . . . . 10
5 6 5 6 6 5
6 5 1
. 10 . 10 10 30
30 30
300
M M M M
M M M
M
− = ⇒ − = ⇒
−
⇒ = ⇒ = ⇒ = × ⇒
⇒ =
 
GABARITO: C 
 
Abraços e até a próxima aula, 
 
Bons estudos, 
 
Moraes Junior 
moraesjunior@pontodosconcursos.com.br 
 
Alexandre Lima 
ablima@ablima.pro.br 
99
 
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Questões Comentadas e Resolvidas Nesta Aula 
 
(Técnico de Abastecimento Junior-BR Distribuidora-2010-Cesgranrio) 
1. Nos últimos anos, as reservas provadas de petróleo vêm aumentando em 
vários estados brasileiros. A tabela abaixo apresenta dados referentes ao 
Estado do Rio de Janeiro. 
 
Reservas provadas de petróleo – RJ (milhões de barris) 
2004 2009 
7.941 10.328 
Anuário Exame 2009/2010 
 
Considere que, de 2004 a 2009, as reservas provadas de petróleo do Rio de 
Janeiro tenham aumentado anualmente, formando uma progressão aritmética. 
Desse modo, a razão dessa progressão, em milhões de barris, é igual a 
 
(A) 477,4 
(B) 725,4 
(C) 1.025,0 
(D) 1.450,8 
(E) 2.387,0 
 
2. O consumo de energia elétrica no Brasil nunca foi tão alto. O gráfico abaixo 
apresenta o pico de consumo, medido sempre na primeira quinta-feira de 
fevereiro de cada ano, nos últimos três anos. 
 
 
 
Se o aumento linear observado de 2008 para 2009 se mantivesse de 2009 
para 2010, o pico de consumo de energia na primeira quinta-feira de fevereiro 
seria x megawatts menor do que efetivamente foi. Conclui-se que x é igual a 
 
100
 
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(A) 1.538 
(B) 3.076 
(C) 5.629 
(D) 7.401 
(E) 8.939 
 
3. Em uma pesquisa, 8.500 pessoas responderam à seguinte pergunta: “Existe 
amizade entre homem e mulher?”. Desse total, 6.035 responderam “sim, eu 
até tenho”; 2.040 responderam “não existe” e as demais responderam “sim, 
mas eu não tenho”. Escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, 
qual a probabilidade de que ela tenha respondido “sim, mas eu não tenho”? 
 
(A) 5% 
(B) 8% 
(C) 12% 
(D) 16% 
(E) 24% 
 
4. Um navio iniciou uma viagem com 1.970 pessoas a bordo (tripulantes e 
passageiros). Ao parar no primeiro porto, ninguém embarcou no navio e 591 
passageiros desembarcaram. Assim, o número de passageiros a bordo passou 
a corresponder ao sêxtuplo do número de tripulantes. Quantos tripulantes 
havia nesse navio? 
 
(A) 294 
(B) 261 
(C) 245 
(D) 206 
(E) 197 
 
(Petrobras-Nível Médio-2010-Cesgranrio) 
5. O movimento de passageiros nos aeroportos brasileiros vem aumentando 
ano a ano. No Rio de Janeiro, por exemplo, chegou a 14,9 milhões de 
passageiros em 2009, 4,5 milhões a mais do que em 2004. Supondo-se que o 
aumento anual no número de passageiros nos aeroportos cariocas, de 2004 a 
2009, tenha-se dado em progressão aritmética, qual foi, em milhões de 
passageiros, o movimento nos aeroportos cariocas registrado em 2007? 
 
(A) 14,4 
(B) 13,8 
(C) 13,1 
(D) 12,8 
(E) 12,1 
 
101
 
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6. A função g(x) = 84 . x representa o gasto médio, em reais, com a compra 
de água mineral de uma família de 4 pessoas em x meses. Essa família 
pretende deixar de comprar água mineral e instalar em sua residência um 
purificador de água que custa R$ 299,90. Com o dinheiro economizado ao 
deixar de comprar água mineral, o tempo para recuperar o valor investido na 
compra do purificador ficará entre 
 
(A) dois e três meses. 
(B) três e quatro meses. 
(C) quatro e cinco meses. 
(D) cinco e seis meses. 
(E) seis e sete meses. 
 
7. Há alguns meses, um restaurante de Tóquio e um empresário chinês 
pagaram 175 mil dólares por um atum-rabilho, um peixe ameaçado de 
extinção usado no preparo de sushis de excelentequalidade. Se o peixe 
pesava 232 kg, qual foi, em dólares, o preço médio aproximado pago por cada 
quilograma do peixe? 
 
(A) 75,44 
(B) 132,57 
(C) 289,41 
(D) 528,67 
(E) 754,31 
 
8. Atualmente, todas as cédulas de real são retangulares e do mesmo 
tamanho, tendo 14 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. Em breve, não 
será mais assim. As novas cédulas de real continuarão a ser retangulares, mas 
passarão a ter tamanhos diferentes, dependendo de seu valor. A de dois reais, 
por exemplo, passará a medir 12,1 cm por 6,5 cm. Qual será, em cm, a 
redução no perímetro da cédula de dois reais? 
 
(A) 3,80 
(B) 4,25 
(C) 7,60 
(D) 8,25 
(E) 12,35 
 
102
 
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9. Em três meses, certa empresa fez 2.670 conversões de veículos para o uso 
de GNV (Gás Natural Veicular). O número de conversões realizadas no segundo 
mês superou em 210 o número de conversões realizadas no primeiro mês. No 
terceiro mês, foram feitas 90 conversões a menos que no segundo mês. 
Quantas conversões essa empresa realizou no primeiro mês? 
 
(A) 990 
(B) 900 
(C) 870 
(D) 810 
(E) 780 
 
10. Certo livro de bolso de 12cm de largura e 18cm de comprimento tem 95 
páginas, mais a capa e a contracapa. A gramatura do papel utilizado para fazer 
as folhas desse livro é 75g/m2 e a do utilizado para fazer a capa e a 
contracapa, 180g/m2. Considerando-se esses dados, qual é, em gramas, a 
massa aproximada desse livro? 
 
(A) 162 
(B) 184 
(C) 226 
(D) 278 
(E) 319 
 
11. Um estudo em laboratório constatou que, depois de se administrar certo 
medicamento a um indivíduo, a concentração C(t) da substância ativa do 
medicamento no organismo reduz em função do tempo t, em horas, de acordo 
com a função C(t) = Ci.
0,25
1
2
t
 
 
 
, onde Ci representa a concentração inicial de 
tal substância no organismo do indivíduo ao receber a medicação. De acordo 
com essas informações, após quantas horas a concentração dessa substância 
no organismo de um indivíduo equivalerá à oitava parte da concentração inicial 
(Ci)? 
 
(A) 4 
(B) 8 
(C) 10 
(D) 12 
(E) 16 
 
103
 
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12. No Brasil, a maior parte dos poços produtores de petróleo e gás natural 
localiza-se no mar. São, ao todo, 8.539 poços, e o número de poços 
localizados no mar corresponde a nove vezes o número de poços localizados 
em terra, mais 749. Quantos são os poços produtores de petróleo e gás 
natural localizados em terra? 
 
(A) 779 
(B) 787 
(C) 821 
(D) 911 
(E) 932 
 
13. Mil pessoas responderam a uma pesquisa sobre a frequência do uso de 
automóvel. Oitocentas e dez pessoas disseram utilizar automóvel em dias de 
semana, 880 afirmaram que utilizam automóvel nos finais de semana e 90 
disseram que não utilizam automóveis. Do total de entrevistados, quantas 
pessoas afirmaram que utilizam automóvel durante a semana e, também, nos 
fins de semana? 
 
(A) 580 
(B) 610 
(C) 690 
(D) 710 
(E) 780 
 
14. Em calculadoras científicas, a tecla log serve para calcular logaritmos de 
base 10. Por exemplo, se digitamos 100 e, em seguida, apertamos a tecla log, 
o resultado obtido é 2. A tabela a seguir apresenta alguns resultados, com 
aproximação de três casas decimais, obtidos por Pedro ao utilizar a tecla log de 
sua calculadora científica. 
 
Número Digitado Resultado obtido após 
apertar a tecla log 
2 0,301 
3 0,477 
7 0,845 
 
Utilizando-se os valores anotados por Pedro na tabela acima, a solução da 
equação log 6 + x = log 28 é 
 
(A) 0,563 
(B) 0,669 
(C) 0,966 
(D) 1,623 
(E) 2,402 
 
104
 
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15. Em uma caixa há, ao todo, 130 bolas, sendo algumas brancas e as 
demais, pretas. Se 10 bolas pretas forem retiradas da caixa e 15 bolas brancas 
forem colocadas, o número de bolas pretas dentro da caixa excederá o de 
bolas brancas em 5 unidades. Quantas bolas brancas há dentro dessa caixa? 
 
(A) 40 
(B) 50 
(C) 60 
(D) 70 
(E) 80 
 
(Técnico em Metrologia e Qualidade–Área: Eletrônica-Inmetro-2010-
Cespe) 
16. Um técnico é incumbido de examinar alguns lotes de instrumentos de 
medida. Em cada lote, ele separa os instrumentos descalibrados dos sem 
defeito. Em determinado lote, ele verifica que o número de instrumentos sem 
defeito, x, e o número de instrumentos descalibrados, y, são as soluções do 
sistema linear, 
 
3x + 2y = 48 
 
x + ay = 44, em que a é um número real. 
 
Sabendo-se que o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema é 
igual a 7, é correto afirmar que o número de instrumentos examinados nesse 
lote foi 
 
A 24. 
B 23. 
C 22. 
D 21. 
E 20. 
 
(Administrativa-MPS-2010-Cespe) 
Considere que x = x0 e y = y0 seja a solução do sistema de equações lineares 
 
x + 2y = 10 
 
3x – y = 2. Nesse caso, 
 
17 se x0 e y0 forem os dois primeiros termos de uma progressão geométrica 
crescente, então o terceiro termo dessa progressão será igual a 8. 
 
18 x0 + y0 = 5. 
 
105
 
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(Técnico em Metrologia e Qualidade–Área: Metrologia-Inmetro-2010-
Cespe) 
19. Três técnicos executaram a calibração de 54 instrumentos de medição. Os 
números de instrumentos calibrados por cada um dos técnicos podem ser 
dispostos em ordem crescente de modo a constituir três termos de uma 
progressão aritmética. Adicionando-se 3 ao maior termo dessa progressão, ela 
se transforma em uma progressão geométrica. Acerca dessa situação, assinale 
a opção correta. 
 
A A razão da progressão aritmética é inferior a 5. 
B A razão da progressão geométrica é superior a 2. 
C Um dos técnicos calibrou menos que 13 instrumentos. 
D Um dos técnicos calibrou mais que 25 instrumentos. 
E Um dos técnicos calibrou um número ímpar de instrumentos. 
 
(Administrativa-MPS-2010-Cespe) 
Três números reais estão em progressão aritmética de razão 3 e dois termos 
dessa progressão são as raízes da equação x2 – 2x – 8 = 0. Nesse caso, é 
correto afirmar que 
 
20 o produto dos termos dessa progressão é um número real positivo. 
 
21 a soma dos termos dessa progressão é superior a 4 e inferior a 8. 
 
(Polícia Militar-ES-2010-Cespe) 
Considerando que os tempos de serviço, em anos, de 3 servidores públicos 
estejam em progressão geométrica e tenham média aritmética igual a 7 anos, 
e sabendo que a média geométrica entre o menor e o maior tempo de serviço 
é 6 anos, julgue os itens seguintes. 
 
22 O menor tempo de serviço é igual a 30% do maior tempo de serviço. 
 
 
23 Se os tempos de serviço estiverem em ordem crescente, a razão da 
progressão geométrica será inferior a 2,5. 
 
24 O maior tempo de serviço é superior a 10 anos. 
 
(Professor-Secretaria de Educação do Estado da Bahia-2010-Cespe) 
25. Em uma atividade, a professora de geografia solicitou que os estudantes 
observassem a variação da população de um município, que cresceu à taxa 
constante de 20% ao ano, a partir de 2007,quando a população atingiu 
50.000 habitantes. O objetivo da atividade era que eles calculassem a 
população do município ao fim de cada um dos três anos subsequentes, a 
partir daquele ano, analisando o resultado obtido. Nesse caso, os estudantes 
deveriam concluir que a sequência numérica correspondente à população 
desse município para os anos de 2008, 2009 e 2010 representa uma 
progressão 
106
 
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A aritmética de razão 1,2. 
B geométrica de razão 1,2. 
C aritmética de razão 0,02. 
D geométrica de razão 0,02. 
 
26.(AFRFB-2009-Esaf) Com relação ao sistema, 
 
1
2 1
1
3 2 2
x y z
x y z
z x y
+ + =
− +
= =
+ +
 
 
onde 3 z + 2 ≠ 0 e 2 x + y ≠ 0 , pode-se, com certeza, afirmar que: 
 
a) é impossível. 
b) é indeterminado. 
c) possui determinante igual a 4. 
d) possui apenas a solução trivial. 
e) é homogêneo. 
 
27.(Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Seja uma matriz 
quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz 
por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por –3, o 
determinante da matriz fica: 
 
a) Multiplicado por –1. 
b) Multiplicado por –16/81. 
c) Multiplicado por 2/3. 
d) Multiplicado por 16/81. 
e) Multiplicado por –2/3. 
 
28.(ANA-2009-Esaf) rminantedamatriz
2 1 0
4 2
B a b c
a b c
 
 
 
 
  
=
+ +
 
a) 2bc + c - a 
b) 2b - c 
c) a + b + c 
d) 6 + a + b + c 
e) 0 
 
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29.(Técnico de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Genericamente, 
qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por zij, onde “i” 
representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz 
A = (aij), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes X = 
(xij) e Y=(yij). Sabendo-se que (xij) = i1/2 e que yij = (i-j)2, então a potência 
dada por (a22)a12erminantedamatrizXsão,respectivamente,iguaisa:
 
) 2 2
) 2 0
) 2 1
)2 0
) 2 0
a e
b e
c e
d e
e e
−
−
 
 
30.(Técnico de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Considerando o 
sistema de equações lineares, 
 
x1 – x2 = 2 
2x1 + px2 = q 
 
pode-se corretamente afirmar que: 
 
a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível. 
b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. 
d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível. 
 
31.(Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Qualquer elemento 
de uma matriz X pode ser representado por xij, onde i representa a linha e j a 
coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de 
terceira ordem, constrói-se a matriz B(bij), também de terceira ordem, dada 
por: Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o 
determinante da matriz B é igual a: 
 
11 31 12 32 13 33
21 21 22 22 23 23
31 11 32 12 33 13
b a b a b a
b a b a b a
b a b a b a
= = = 
 = = = 
 = = = 
 
 
a) 50 
b) -50 
c) 0 
d) -100 
e) 100 
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32.(Analista de Planejamento e Orçamento-MPOG-2008-Esaf) Uma 
matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida 
multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o 
determinante da matriz B é igual a: 
 
a) 10-6 
b) 105 
c) 1010 
d) 106 
e) 103 
 
33.(Auditor-Fiscal da Receita Estadual-MG–2005-Esaf) A, B e C são 
matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matriz 
identidade. A matriz C é igual ao produto A Z B, onde Z é também uma matriz 
quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a: 
 
a) A-1 B C 
b) A C-1 B-1 
c) A-1 C B-1 
d) A B C-1 
e) C-1 B-1 A-1 
 
34.(Analista de Planejamento e Orçamento-MPOG-2005-Esaf) O menor 
complementar de um elemento genérico xijdeumamatrizXérminante
que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. 
Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das 
matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij) = (i+j)2 e que bij = i2 , 
então o menor complementar do elemento y23 é igual a: 
 
a) 0 
b) -8 
c) -80 
d) 8 
e) 80 
 
35.(Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) Considere duas 
matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a 
terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda 
e à primeira colunas da matriz A.Sabendosequerminantede A é igual 
a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a: 
 
a) –x-6 
b) –x6 
c) x3 
d) –1 
e) 1 
 
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36.(Analista Administrativo-MPU-2004-Esaf) Com relação ao sistema 
 
ax –y = 0 
x + 2a = 0, de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema 
 
a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. 
b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. 
c) tem solução não trivial para um único valor real de a. 
d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. 
e) é impossível para qualquer valor real de a. 
 
 
37.(Analista Administrativo-MPU-2004-Esaf) Sabendo-se que a matriz 
1 1
1
0 1
A e que n e n
 
 
  
= ∈Ν ≥ ,entãorminantedamatriz
An– An-1 é igual a: 
 
a) 1 
b) -1 
c) 0 
d) n 
e) n-1 
 
38.(Analista de Finanças e Controle-CGU-2004-Esaf) Genericamente, 
qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde “i” 
representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz 
X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) 
e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos 
elementos x31 e x13 é igual a: 
 
a) 16 
b) 18 
c) 26 
d) 65 
e) 169 
 
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39.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Dada a matriz
1 1
1X
 
 
  
e 
sabendoquerminantedesuamatrizinversaéiguala1/2,entãoovalor
de X é igual a: 
 
a) -1 
b) 0 
c) 1/2 
d) 1 
e) 2 
 
40.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) A função composta de duas 
funções f(x) e g(x) é definida como (g o f) (x) = g[f(x)]. Sejam as funções f(x) 
= sen2 (x -1) e g(x) = x - 1. Então, (f o g) (2) é igual a: 
 
a) f (-1) 
b) f (2) 
c) g (0) 
d) g (2) 
e) f (1) 
 
41.(Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A matriz S = sij, de 
terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e 
B=(bij). Sabendo-se que (aij ) = i2+j2 e que bij = 2 i j, então: a soma dos 
elementos s31 e s13 éigual a: 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 24 
e) 32 
 
42.(Analista-Serpro-2001-Esaf) Genericamente, qualquer elemento de uma 
matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna 
em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a 
matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que 
(aij) = i2+j2 e que bij = (i+j)2, então a razão entre os elementos s31 e s13 é 
igual a: 
 
a) 1/5 
b) 2/5 
c) 3/5 
d) 4/5 
e) 1 
 
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43.(Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) Uma matriz 
quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que 
a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3 Z tem 
determinante igual a 
a) 1/3 
b) 3 
c) 9 
d) 27 
e) 81 
 
44.(Analista de Finanças e Controle-STN-1997-Esaf) Considerando-se as 
matrizes 
2 4 1 1
3 1 1 2
A B
   
   
      
= = 
a soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida como 
produto da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a: 
 
a) –10 
b) -2 
c) 1 
d) 2 
e) 10 
 
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45.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Administração e 
Previdência Social-Maranhão-2009-FCC) O sistema linear de variáveis reais 
x, y dado por 
 
k.x + y = 3 
-2x + 4y = 
1
3
 
será representado no plano cartesiano por um par de retas concorrentes 
apenas se 
 
(A) k = 
1
2
 
(B) k = 
1
2
− 
(C) k 2≠ − 
 
(D) k 
1
2
≠ − 
(E) k 
1
2
≠ 
46.(Matemática-Metrô-SP-2008-FCC) Sabe-se que A, B e C são matrizes 
não nulas e de tipos m × n, p × q e r × s, respectivamente. Assim sendo, a 
matriz A . (B2 + C) poderá ser calculada se, e somente se, 
 
(A) A for uma matriz quadrada. 
(B) B e C forem matrizes quadradas. 
(C) n = p = q = r = s 
(D) p = r e m = q = s 
(E) m = s e p = q = r 
 
47.(Matemática-Metrô-SP-2008-FCC) Se uma matriz quadrada M é igual à 
sua inversa M−1,então,rminantedeMé
 
(A) impossível de ser calculado, por falta de dados. 
(B) igual a 1 ou a –1. 
(C) um número primo. 
(D) um número compreendido entre –1 e 1. 
(E) é um número maior que 1 ou menor que –1. 
 
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48.(Matemática-Metrô-SP-2008-FCC) Sejam X e Y matrizes de M2×3 (R), 
tais que: X – Y = A e 3X + Y = B. Se: 
 
A = 
1 0 2
4 1 3
− 
 − 
 e B = 
3 2 0
2 1 1
 
 − − 
, então X + Y é igual a 
 
 
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49.(Matemática-Metrô-SP-2008-FCC) Considere os trechos de linhas de 
trens metropolitanos (L1, L2, L3, e L4) ligando três estações (1, 2 e 3), 
conforme é mostrado no esquema abaixo. 
 
 
 
As informações contidas no esquema podem ser representadas por uma matriz 
A = (aij)3x3, em que aij corresponde ao número de trechos que ligam 
diretamente a estação i à estação j, ou seja: 
 
 
 
Se é provado que cada elemento de A2 representa o número de opções de 
viajar entre duas estações quaisquer passando exatamente por uma única 
estação, considerando-se distintas as direções opostas sobre uma mesma 
linha, então, neste caso, o número de opções para, partindo da estação 2, 
voltar-se à estação 2 é 
 
(A) 0 
(B) 2 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
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(Petrobras-Nível Médio-2010-Cesgranrio) 
Utilize as informações e o gráfico abaixo para responder às questões 
de nos 50 e 51. 
 
Desde 2005, a venda de azeite nos países em desenvolvimento só faz 
aumentar. O gráfico abaixo apresenta dados referentes aos quatro maiores 
mercados emergentes, Brasil, Rússia, Índia e China. 
 
50 Considere que a estimativa apresentada na reportagem se cumpra e que, 
de 2005 a 2010, o consumo de azeite na Rússia tenha aumentado anualmente, 
formando uma progressão aritmética. Qual é, em toneladas, a razão dessa PA? 
 
(A) 1.400 
(B) 1.500 
(C) 1.800 
(D) 2.000 
(E) 2.500 
 
51 Em relação ao consumo de 2005, a estimativa de 2010 prevê, na Índia, um 
aumento no consumo de azeite de 
 
(A) 700% 
(B) 650% 
(C) 450% 
(D) 350% 
(E) 200% 
 
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52.(Aneel-2006-Esaf) Uma progressão aritmética é uma seqüência de 
números a1, a2, a3,...., an, cuja lei de formação de cada um dos termos desta 
seqüência é dada por uma soma, conforme representação a seguir: 
 
a2 = a1 + r, a3 = a2 + r, a4 = a3 + r, ........an = an-1 + r, 
 
onde r é uma constante, denominada razão da progressão aritmética. Uma 
progressão geométrica é uma seqüência de números g1, g2, g3,......., gn, cuja 
lei de formação de cada um dos termos desta seqüência é dada por um 
produto, conforme representação a seguir: 
 
g2 = g1 * q, g3 = g2 * q, g4 = g3 * q,.....gn = gn-1*q, 
 
onde q é uma constante, denominada razão da progressão geométrica. Os 
números A, B e 10 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Os 
números 1, A e B formam, nesta ordem, uma progressão geométrica. Com 
estas informações, pode-se afirmar que um possível valor para o produto entre 
r e q é igual a: 
 
a) -12 
b) -15 
c) 10 
d) 12 
e) 8 
53.(TTN-1998-Esaf) Se 
3 9y x
a
y ax
− =
−
, sendo axy ≠ , o valor da razão 
y
x
, para 
a > 9, é igual a 
a) (a – 9) 
b) (a – 3) 
c) (a + 3) 
d) (a + 9) 
e) a2 
 
54.(Analista de Finanças e Controle-STN-1997-Esaf) Tomam-se os 
inteiros entre 1 e 100, inclusive, e constroem-se duas listas. Na lista D são 
colocados todos os inteiros divisíveis por 2 e, na lista T, são colocados todos os 
inteiros divisiveis por 3. O número de inteiros entre 1 e 100, inclusive, que são 
divisíveis por 2 e que não são divisíveis por 3 é igual a: 
 
a) 22 
b) 24 
c) 26 
d) 28 
e) 34 
 
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55.(Auxiliar Judiciário-Área: Judiciária-TRF/2R-2007-FCC) Certo dia, em 
uma Unidade do Tribunal Regional Federal, um auxiliar judiciário observou que 
o número de pessoas atendidas no período da tarde excedera o das atendidas 
pela manhã em 30 unidades. Se a razão entre a quantidade de pessoas 
atendidas no período da manhã e a quantidade de pessoas atendidano período 
da tarde era 
3
5
, então é correto afirmar que, nesse dia, foram atendidas 
 
(A) 130 pessoas. 
(B) 48 pessoas pela manhã. 
(C) 78 pessoas à tarde. 
(D) 46 pessoas pela manhã. 
(E) 75 pessoas à tarde. 
 
56.(Auxiliar Judiciário-Área: Judiciária-TRF/2R-2007-FCC) Calculando 
os 38% de vinte e cinco milésimos obtém-se 
 
(A) 95 décimos de milésimos. 
(B) 19 milésimos. 
(C) 95 milésimos. 
(D) 19 centésimos. 
(E) 95 centésimos. 
 
57.(Professor de Matemática-SESI/SP-2004-FCC) Simplificando a fração 
2
2
4 2
( 1)( 4 4)
x x
x x x
− + +
− + +
, na qual x ≠ 1 e x ≠ −2 obtém-se 
 
(A) 
1
1x −
 
(B) 
1
2x +
 
(C) 
2
1
x
x
+
−
 
(D) x − 1 
(E) x + 2 
 
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58.(CEFET/PA-Cespe-2003) Com os algarismos a, b e c, escolhidos no 
conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}, forma-se o número natural N = abcabc. 
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes: 
 
I – O número N pode ser escrito como N = 100.000a + 10.000b + 100c. 
II – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número par. 
III – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número primo. 
IV – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número divisível por 
7. 
V – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número divisível por 
11. 
 
A quantidade de itens certos é igual a: 
 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
 
59.(CEFET/PA-Cespe-2003) Para enviar uma mensagem de Belém-PA para 
Brasília-DF, via fax, uma empresa de telecomunicações cobra R$ 1,20 pela 
primeira página e R$ 0,80 para cada página adicional, completa ou não. 
Sabendo-se que, nessas condições, um empresário gastou R$ 12,40 para 
enviar um documento de Belém para Brasília, é correto afirmar que o número 
de páginas que esse documento contém é igual a: 
 
(A) 11 
(B) 13 
(C) 15 
(D) 17 
(E) 19 
 
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60.(CEFET/PA-Cespe-2003) Assinale a opção que corresponde ao número 
0,064: 
(A) 
2
1
800
 
 
 
 
 
 (B) 
2
1
80
 
 
 
 
(C) 
3
1
800
 
 
 
 
(D) 
3
8
10
 
 
 
 
(E) 
3
2
5
 
 
 
 
 
61.(CEFET/PA-Cespe-2003) Marcos e Pedro receberam, no início de abril, 
mesadas de valores iguais. No final do mês, Marcos havia gastado 
4
5
 de sua 
mesada e Pedro 
5
6
 da sua. Sabendo que Marcos ficou com R$ 10,00 a mais 
que Pedro, o valor da mesada recebida por cada um deles é: 
 
(A) inferior a R$ 240,00. 
(B) superior a R$ 240,00 e inferior a R$ 280,00. 
(C) superior a R$ 280,00 e inferior a R$ 320,00. 
(D) superior a R$ 320,00 e inferior a R$ 360,00. 
(E) superior a R$ 360,00. 
 
120
 
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GABARITO: 
 
1 – A 11 – D 21 – Errado 31 – D 41 – E 51 – D 61 – C 
2 – D 12 – A 22 – Errado 32 – D 42 – E 52 – A 
3 – A 13 – E 23 – Certo 33 – C 43 – E 53 – C 
4 – E 14 – B 24 – Certo 34 – C 44 – B 54 – E 
5 – C 15 – B 25 – B 35 – B 45 – D 55 – E 
6 – B 16 – E 26 – C 36 – A 46 – C 56 – A 
7 – E 17 – Certo 27 – E 37 – C 47 – B 57 – B 
8 – A 18 – Errado 28 – E 38 – D 48 – D 58 – B 
9 – E 19 – C 29 – D 39 – A 49 – C 59 – C 
10 – A 20 – Errado 30 – A 40 – E 50 – C 60 – E 
 
Bibliografia 
 
Moraes Junior, Alexandre Lima. Raciocínio Lógico, incluindo Matemática, 
Matemática Financeira e Estatística. Editora Método. Rio de Janeiro. 2010. 
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