CircuitoRC

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Modelagem de circuitos elétricos
Na figura abaixo estão representados três componentes muito importantes, presentes em vários circuitos
elétricos: o resistor, o capacitor e o indutor.
Resistor Capacitor Indutor
i(t) i(t) i(t)
v(t) v(t) v(t)
R L
C
Resistor
É um componente elétrico que se opõe à passagem de corrente elétrica. Pela lei de Ohm a tensão v(t), aplicada
nos terminais de um resistor, é proporcional à corrente elétrica i(t), ou seja,
v(t) = Ri(t) . (1)
A resistência R é medida em Ohms, cujo símbolo é a letra Ω.
Capacitor
É um componente elétrico que armazena carga elétrica. A carga armazenada q(t) é proporcional à diferença
de potencial v(t) que existe entre as placas do capacitor, ou seja,
q(t) = Cv(t) . (2)
Derivando com relação ao tempo ambos os lados da Equação (2), obtém-se uma expressão em termos da
corrente i(t), ou seja,
dq(t)
dt
= i(t) = C
dv(t)
dt
. (3)
A capacitância C é medida em Farads, cujo símbolo é a letra F .
Indutor
É uma bobina que armazena energia na forma de campo magnético. A tensão v(t) aplicada nos terminais de
um indutor é proporcional à taxa de variação da corrente i(t) que o atravessa, ou seja,
v(t) = L
di(t)
dt
. (4)
A indutância L é medida em Henrys, cujo símbolo é a letra H.
Lei de Kirchhoff das tensões ou lei das malhas
A tensão aplicada num circuito fechado é igual à soma das quedas de tensão na malha do circuito.
No exemplo do circuito com uma malha da figura abaixo tem-se que
v(t) = v1(t) + v2(t) + v3(t) . (5)
Lei de Kirchhoff das correntes ou lei dos nós
A soma das correntes que entram num nó é igual à soma das correntes que saem do nó.
No exemplo do circuito com um nó da figura abaixo tem-se que
i(t) = i1(t) + i2(t) + i3(t) . (6)
Circuito com uma malha Circuito com um nó
v t( )
v t( )
v t( )
v t( )
1 2
3
+
_
i t( ) i t( )
i t( )
i t( )
2
3
1
Exercício
a) Determine a função de transferência Vc(s)/Ve(s) do circuito elétrico abaixo.
b) Determine a resposta transitória temporal da tensão vc(t) no capacitor, quando é aplicado um degrau
unitário na tensão de entrada ve(t). Suponha R = 2kΩ e C = 1mF .
R
v t( )v t( )
i t( )
ce C
Solução
a) O circuito acima pode ser representado pela figura abaixo.
G s( )
V s( ) V s( )e
Entrada
Funçãode
transferência
Saída
c
Sendo:
Ve(s): a transformada de Laplace da tensão de entrada;
Vc(s): a transformada de Laplace da tensão de saída no capacitor e
G(s) = Vc(s)/Ve(s): a função de transferência do circuito, com condições iniciais nulas.
Pela lei de Kirchhoff das tensões tem-se que:
vc(t) +Ri(t) = ve(t) . (7)
Como a função de transferência envolve apenas as variáveis Vc(s) e Ve(s), a corrente i(t) deve ser substituída
pela Equação (3), ou seja,
vc(t) +RC
dvc(t)
dt
= ve(t) . (8)
Aplicando a transformada de Laplace tem-se que
Vc(s) +RC[sVc(s)− vc(0)] = Ve(s) . (9)
Supondo tensão inicial nula no capacitor (vc(0) = 0) obtém-se
Vc(s) +RCsVc(s) = Ve(s) =⇒ Vc(s)(1 +RCs) = Ve(s) . (10)
Portanto, a função de transferência é dada por
G(s) =
Vc(s)
Ve(s)
=
1
RCs+ 1
. (11)
2
Usando impedâncias complexas
A impedância complexa Z(s) entre os terminais do circuito elétrico da figura abaixo é igual à divisão da
transformada de Laplace da tensão V (s) pela transformada de Laplace da corrente I(s), supondo condições
iniciais nulas, ou seja,
Z(s) =
V (s)
I(s)
=⇒ V (s) = Z(s)I(s) . (12)
V s( )
I s( )
Z s( )
• Se o componente entre os terminais for uma resistência R, então
v(t) = Ri(t) =⇒ V (s) = RI(s) =⇒ Z(s) = R . (13)
• Se o componente entre os terminais for um capacitor C, com tensão inicial nula, então
i(t) = C
dv(t)
dt
=⇒ I(s) = CsV (s) =⇒ V (s) = 1
Cs
I(s) =⇒ Z(s) = 1
Cs
. (14)
• Se o componente entre os terminais for uma indutância L, com corrente inicial nula, então
v(t) = L
di(t)
dt
=⇒ V (s) = LsI(s) =⇒ Z(s) = Ls . (15)
A função de transferência G(s) = Vc(s)/Ve(s) do circuito elétrico anterior também pode ser determinada
usando impedâncias complexas.
Definindo a impedância no resistor como Z1 = R e a impedância no capacitor como Z2 = 1/Cs, o circuito
pode ser representado de acordo com a figura abaixo.
V s( ) V s( )
Z
Z
I s( )
e c
1
2
Pela lei de Kirchhoff das tensões tem-se que
Z1I(s) + Z2I(s) = Ve(s) . (16)
Isolando a transformada de Laplace da corrente I(s) tem-se que
I(s)(Z1 + Z2) = Ve(s) =⇒ I(s) = Ve(s)
Z1 + Z2
. (17)
A transformada de Laplace da tensão no capacitor Vc(s) é dada por
Vc(s) = Z2I(s) = Z2
Ve(s)
Z1 + Z2
. (18)
Portanto, a função de transferência do circuito é
G(s) =
Vc(s)
Ve(s)
=
Z2
Z1 + Z2
=
1
Cs
R+ 1Cs
=
1
Cs
RCs+1
Cs
=
1
RCs+ 1
. (19)
3
b) Supondo R = 2kΩ e C = 1mF , a função de transferência resulta como
G(s) =
Vc(s)
Ve(s)
=
1
2000.0,001s+ 1
=
1
2s+ 1
. (20)
Como a entrada é do tipo degrau unitário, então, Ve(s) = 1/s. Logo,
Vc(s) =
1
2s+ 1
Ve(s) =
1
(2s+ 1)s
. (21)
Para obter a resposta transitória da tensão vc(t) no capacitor basta determinar a função inversa de Vc(s).
Para isso, pode-se usar o método da expansão em frações parciais, que consiste em expandir a função Vc(s) na
soma de frações que podem ser identificadas na tabela de transformadas de Laplace. Da tabela tem-se que
L[A ] = A
s
e L[e−at ] = 1
s + a
. (22)
Para usar as funções tabeladas (22) é necessário que Vc(s) esteja no mesmo formato. Assim,
Vc(s) =
1
(2s+ 1)s
.
0,5
0,5
=
0,5
(s+ 0,5)s
. (23)
Expandindo Vc(s) na soma de frações parciais de acordo com as funções tabeladas (22) tem-se que
Vc(s) =
A
s
+B
1
s+ 0,5
=
0,5
(s+ 0,5)s
. (24)
Os coeficientes A e B podem ser calculados do seguinte modo:
A = [sVc(s)]s=0 =
[
s
0,5
(s+ 0,5)s
]
s=0
=
[
0,5
s+ 0,5
]
s=0
=
0,5
0 + 0,5
=
0,5
0,5
= 1 . (25)
B = [(s+ 0,5)Vc(s)]s=−0,5 =
[
(s+ 0,5)
0,5
(s+ 0,5)s
]
s=−0,5
=
[
0,5
s
]
s=−0,5
=
0,5
−0,5 = −1 . (26)
Logo,
Vc(s) =
1
s
− 1
s+ 0,5
. (27)
Sendo a = 0,5 na função exponencial, resulta a resposta transitória
vc(t) = 1− e−0,5t , para t ≥ 0 . (28)
O gráfico da resposta transitória da tensão vc(t) no capacitor é apresentado na figura abaixo. Neste gráfico
verifica-se que para t→∞, a tensão no capacitor fica igual à tensão da fonte, ou seja, vc(∞)→ 1.
t
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
v
c
(t
)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Outro modo de calcular os coeficientes A e B é por meio da resolução de um sistema de equações, ou seja,
Vc(s) =
A
s
+
B
s+ 0,5
=
As+ 0,5A+Bs
s(s+ 0,5)
(29)
=
(A+B)s+ 0,5A
s(s+ 0,5)
=
0,5
s(s+ 0,5)
. (30)
Comparando-se os os coeficientes do numerador da equação (30) resulta o sistema:{
0,5A = 0,5
A+B = 0
(31)
cuja solução é {
A = 1
B = −A = −1 (32)
4