MATEMATICA_PARA_NEGOCIOS

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DISCIPLINA MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
 
 
 
 
AULA 1 TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
 
 
 
Ao final desta aula você deverá: 
 
1 - Reconhecer a Teoria dos Conjuntos como importante para a matemática, tendo em vista que 
formar conjuntos de números é uma operação que está presente em vários aspectos de nosso 
cotidiano. Ela nos fornece os principais elementos para a linguagem que é aplicada em diversos 
ramos da matemática e também será útil nas relações com os conteúdos de outras disciplinas. 
 
2 - Descrever os conceitos de conjuntos, subconjuntos e operações entre conjuntos (união, 
interseção e complementação), juntamente com as regras fundamentais dessas operações. 
 
3 - Estabelecer relações, interpretar e utilizar os diferentes conjuntos numéricos 
(racionais, irracionais e reais) em contextos matemáticos, sociais e de outras áreas do 
conhecimento. 
 
4 - Identificar e utilizar valores aproximados para números racionais de maneira adequada ao 
contexto do problema ou da situação em estudo. 
 
Você terá oportunidade de desenvolver o conceito e aplicações de conjuntos dos números naturais, 
apresentando as operações de adição; subtração; multiplicação e divisão, com as suas propriedades 
de fechamento; comutativa; associativa; distributiva e elemento neutro; aplicando as regras de sinais 
nas operações de adição; subtração; multiplicação e divisão para o conjunto dos números reais. 
 
 
 
Para se trabalhar com conjuntos, são adotados símbolos que representam os 
relacionamentos entre eles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
síntese da aula 
 
Nessa aula você: 
 
- Aprendeu o conceito de conjuntos numéricos. 
- Aprendeu as operações com conjuntos numéricos. 
- Realizou exercícios que consolidaram o seu conhecimento. 
 
1 - Registro de frequência 
 
1. Sendo Np o conjunto dos números naturais pares e Ni o conjunto dos números naturais ímpares, 
efetue a operação: 
 
 
 1) N* 
 2) { 0 } 
 3) N 
 4) N+* 
 5) N-* 
 
 Resposta correta 3 
 
2. Sendo Np o conjunto dos números naturais pares e Ni o conjunto dos números naturais ímpares, 
efetue a operação: 
 
 
 
 1) N* 
 2) { 0 } 
 3) N 
 4) N+* 
 5) N-* 
 
 Resposta correta 2 
 
 
 
AULA 2 - POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, INTERVALOS NUMÉRICOS E FATORAÇÃO 
 
 
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: 
 
1 - Descrever a potenciação e a radiciação como propriedades algébricas. 
 
2 - Aplicar a fatoração em expressões algébricas. 
 
3 - Definir intervalos entre conjuntos. 
 
Nesta aula falaremos sobre a potenciação, radiciação, intervalos numéricos e fatoração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Síntese da aula 
 
 Nessa aula você aprendeu: 
 
Noções de potenciação e radiciação. 
Intervalos numéricos: aberto e fechado. 
Fatoração. 
Além disso, realizou exercícios que consolidaram o seu conhecimento. 
 
2 Registro de frequência 
 
1. Fatore (a + 1)2 + 2 (a + 1) + 1 
 
 1) a (a + 4) 
 2) (a + 1)2 
 3) (a + 2)2 
 4) (a - 2)2 
 5) (a + 1) (a + 1 + 1) 
 
 Resposta correta 3 
 
2. Fatore (x2 + 9)2 - 36x2 
 
 1) 3 (x2 - 12x2 + 3) 
 2) (x + 3)2 . (x - 3)2 
 3) (x + 3) . (x - 3) 
 4) (x - 3)2 . (x - 3)2 
 5) (x + 3)4 
 
 Resposta correta 2 
 
3. Qual o conjunto solução da inequação -7 < 3x - 1 < 2? 
 
 1) {x R | -3 < x < 1} 
 2) {x R | -5 < x < 2} 
 3) {x R | -2 < x < 2} 
 4) {x R | 1 < x < -2} 
 5) {x R | -2 < x < 1} 
 
Resposta correta 5 
 
 
AULA 3 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: 
 
1. Reconhecer as equações por meio de sentenças matemáticas de igualdade. Já as inequações, 
por meio de sentenças abertas expressas por uma desigualdade. 
 
2. Resolver equações, sistemas de equações e inequações de 1º grau, através de expressões 
algébricas. 
 
Olá! Nesta aula, aprenderemos equações e inequações do 1º grau com e sem variáveis. 
 
EQUAÇÕES DE 1º GRAU (com uma variável) 
 
Introdução 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra 
equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". 
 
Exemplos de equações (sentenças abertas): 
 
2x + 8 = 0 
5x - 4 = 6x + 8 
3a - b - c = 0 
 
Atenção! 
 
Não são equações: 
 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta); 
x - 5 < 3 (Não é igualdade); 
82 + 35 - 7 (não é sentença aberta, nem igualdade). 
 
Equação geral do primeiro grau: 
 
ax + b = 0 
onde a e b são números conhecidos e a > 0. A solução é simples: 
subtraindo b dos dois lados, obtemos: 
ax = -b 
dividindo por a (dos dois lados), temos: 
 
 
Considere a equação 2x - 8 = 3x -10 
A letra x é a incógnita (desconhecida) da equação. 
A sentença que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e a que sucede, 2º membro. 
 
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. 
 
 
Raízes de uma equação 
 
Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados de raízes da equação. 
Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte sequência: 
 
1 - Substituir a incógnita por esse número. 
2 - Determinar o valor de cada membro da equação. 
3 - Verificar a igualdade, se ela for uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da 
equação. 
 
Nosso amigo está com dúvidas. Vamos ajudá-lo? Verifique quais dos elementos do conjunto 
A são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade! Papel, 
lápis e borracha na mão. Resolva a equação e, em seguida, marque a resposta correta no 
gabarito. 
 
 
Resolução de uma equação 
 
Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações que nos conduzem a 
equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os 
elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo: 
 
5x - 4 = 6x + 8 
 
Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro de um dado conjunto. 
 
Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de 
equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo). 
 
- Dado um conjunto A onde A = Q , resolva a equação 
 
 
MMC (4, 6) = 12 
 
 
- 9x = 10 => Multiplicador por (-1) 
9x = -10 
 
 
 
 
Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é impossível e, 
portanto, não tem solução. Logo, V = Ø. 
 
Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando a = 0 e b = 0. 
 
Sendo A = Q, considere a seguinte equação: 10 - 3x - 8 = 2 - 3x. 
 
Observe a sua resolução: 
-3x + 3x = 2 - 10 + 8 
0 . x = 0 
 
Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui infinitas 
soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação 
verdadeira, são denominadas identidades. 
 
SISTEMA LINEAR DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Uma equação do 1º grau é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Poderá 
ter mais do que 
uma incógnita. 
Um sistema de equações do 1º grau tem duas incógnitas, por exemplo, x e y; portanto, é formado 
por duas equações do 1º grau com duas incógnitas. 
 
Exemplo 
 
Seja o sistema de duas equações: 
 
2 x + 3 y = 24 
3 x - 2 y = 23 
 
Para resolver este sistema de equações, temos que obter os valores de x e de y que satisfazem 
simultaneamente ambas as equações. 
 
 
 
 
 
1 ≤ 2x + 3 < x + 5 (são duas inequações simultâneas) 
(I) 1 ≤ 2x + 3 
(II) 2x + 3 < x + 5 
 
Resolvendo (I): 1 ≤ 2x + 3 
Temos: -2x ≤ 3 – 1.....-2x ≤ 2.....2x ≥ -2....x ≥ -1 
 
Resolvendo (II): 2x + 3 < x + 5 
2x– x < 5 – 3 ... x < 2 
Logo: -1 ≤ x < 2 
 
Atenção! 
 
Ao dividirmos ambos os membros por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte. 
 
 
 
Síntese da aula 
 
Nesta aula, você aprendeu: 
- Equações. 
- Sistemas de equações. 
- Inequações de 1º grau. 
 
Além disso, realizou exercícios que consolidaram o seu conhecimento. 
 
3 - Registro de frequência 
 
1. Calcule o valor de x na equação 2x + 10 = 0 
 
 1) 10 
 2) 5 
 3) -5 
 4) -10 
 5) 8 
 
 Resposta correta 3 
 
2. Se x - y = 2 (x – y) , sendo x dependente de y, então y = : 
 
 1) 2x 
 2) 4x 
 3) x/2 
 4) x 
 5) 3x 
 
 Resposta correta 4 
 
 
AULA 4 RAZÃO, PROPORÇÃO E OPERAÇÕES COM PORCENTAGEM 
 
Ao final desta aula você deverá: 
 
1. Comparar quantidades através de razões. 
 
2. Identificar as propriedades fundamentais das proporções. 
 
3. Demonstrar as grandezas diretamente e inversamente proporcionais. 
 
4. Aplicar cálculos de porcentagem em situações-problema. 
 
Nesta aula falaremos sobre: Razão e proporção, Grandezas diretamente e inversamente 
proporcionais e Operações com porcentagens. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Síntese da aula 
 
Nessa aula você aprendeu: 
 
- Razão e proporção; 
- Grandezas diretamente e inversamente proporcionais; 
- Operações com porcentagens. 
 
Além disso, realizou exercícios que consolidaram o seu conhecimento. 
 
4 - Registro de frequência 
 
1. Indique a razão correta entre 2 e 4: 
 
 1) 2 
 2) 1/2 
 3) 4 
 4) 8 
 5) 6 
 
 Resposta correta 2 
 
2. Em uma determinada cidade constatou-se que entre cinco crianças, duas possuem olhos Azuis. A 
razão entre o número de crianças que não possuem olhos azuis e número total de crianças é: 
 
 1) 2/5 
 2) 4/5 
 3) 5/5 
 4) 1/5 
 5) 3/5 
 
 Resposta correta 5 
 
3. O preço de uma TV LCD é R$1.500,00. Uma loja resolve dar um desconto de 12%. Qual será 
então o preço à vista da TV? 
 
 1) R$ 1.240,00 
 2) R$ 1.320,00 
 3) R$ 1.420,00 
 4) R$ 1.380,00 
 5) R$ 1.260,00 
 
 Resposta correta 2 
 
4. Calcule 100% de 80: 
 
 1) 800 
 2) 120 
 3) 180 
 4) 80 
 5) 280 
 
 Resposta correta 4 
 
AULA 5 FUNÇÃO CUSTO: CUSTO FIXO, CUSTO VARIÁVEL E CUSTO NO GRÁFICO 
 
Ao final desta aula você deverá: 
 
1- Reconhecer o custo para a determinação do preço de venda. 
 
2- Diferenciar custo fixo e variável. 
 
3- Descrever a função custo. 
 
4- Representar a função custo de primeiro grau no plano cartesiano. 
 
Função Custo: Custo Fixo, Custo, Variável, Custo no Gráfico. 
 
5.1 CUSTOS 
 
Conhecer custo é uma condição essencial para administrar uma empresa, seja ela de pequeno, 
médio ou grande porte. 
Em um mercado altamente competitivo, o conhecimento e a arte de administrar são fatores 
determinantes de sucesso de uma empresa. 
 
 
Numa empresa apura seus custos com vistas: 
 
 
Quando falamos de custos, não se apuram somente custos de utilidades físicas (bens, 
mercadorias, etc.), mas também custos de serviços (fretes, seguros, etc.). Porém, os custos 
somente ocorrem quando houver consumo ou venda. 
 
O dinheiro gasto na compra de uma máquina não é um custo, mas um investimento. O desgaste da 
máquina em função do uso é um custo, porque existe o “consumo”, a deterioração da máquina. 
Quando uma máquina é adquirida, não há nenhum custo envolvido na transação. 
 
O total pago pela máquina é classificado como ativo fixo, porque esta máquina tem uma vida útil 
estimada de 10 (dez) anos. Pode-se dizer que, ao final de cada ano, 1/10 (um décimo) desta 
máquina, ou valor, gastou-se e, ao final do primeiro ano, apenas 9/10 (nove décimos) do valor da 
máquina permanecem contribuindo para as operações da empresa. O reconhecimento deste fato 
implica no reconhecimento do respectivo custo, que no caso chama-se custo de depreciação das 
máquinas e equipamentos ou, simplesmente, depreciação. 
 
Os três componentes básicos do custo são: 
1 - Valor das matérias-primas ou mercadorias adquiridas. 
2 - O valor dos serviços (trabalhos) prestados por pessoas físicas (empresários ou empregados). 
3 - Valor dos serviços prestados por outras empresas como, por exemplo, empresas de transporte, 
empresas fornecedoras de força e luz, empresas de seguros, bancos, etc. 
 
De acordo com sua natureza, os custos classificam-se em Custos Fixos e Custos Variáveis. 
 
São aqueles que ocorrem em função da manutenção da produção, independente da quantidade que 
venha a ser produzida dentro da capacidade instalada. 
 
Exemplos desses custos são o custo de aluguel, os salários do pessoal administrativo, honorários 
pagos ao escritório de contabilidade e a depreciação. Assim, tanto faz produzir zero ou dez 
toneladas de produto, os custos fixos permanecerão os mesmos. Por exemplo, o aluguel pago para 
a utilização de um ponto comercial, independentemente do fato da empresa estar produzindo ou 
parada, ou de estar produzindo maior ou menor quantidade de bens ou serviços. 
 
 
Espera-se que, quanto mais próximo do volume máximo de produção, menor seja o custo unitário 
produzido, devido à economia de escala proporcionada. 
 
Veja o gráfico. Observe que a reta do custo fixo unitário não começa no zero, mas na primeira 
unidade produzida, pois nesse volume de produção é ela que absorve todo o custo. 
 
 
Atividades proposta: 
 
Uma indústria apresentou, num determinado mês, um custo fixo de R$15.000,00. Nesse mesmo 
mês, a indústria produziu uma quantidade de 3.000 produtos. Qual foi o custo fixo unitário daquele 
produto naquele mês? 
 
Custo fixo unitário = custo fixo/quantidade de itens produzidos. 
Custo fixo unitário = R$15.000,00/3.000 = R$5,00. 
 
Custos Variáveis 
 
São aqueles que aumentam ou diminuem, conforme o volume de produção. São exemplos desse 
comportamento os custos da matéria-prima (quanto mais se produz, maior a necessidade, portanto 
maior o custo) e da energia elétrica (quanto mais se produz, maior o número de máquinas e 
equipamentos elétricos, consequentemente maiores o consumo e o custo). A representação gráfica 
do custo variável total é: 
 
Em razão do comportamento dos custos variáveis, espera-se que cada unidade produzida tenha o 
mesmo custo. No gráfico a seguir, temos uma representação para o custo variável unitário. 
 
Observe que a reta do custo variável unitário não inicia no zero, mas em uma unidade, pois na 
quantidade zero não ocorrem custos variáveis. 
 
 
Quando se vende um produto, o custo do material aplicado será sempre o mesmo por produto 
vendido. Daí dizer-se que o custo variável é fixo por unidade vendida. Porém, quando dizemos que 
pagamos R$2.000,00 pelo aluguel da empresa (custo fixo), se vendermos 1.000 unidades, o custo 
fixo por unidade será de R$2,00. 
 
Se aumentarmos as vendas para 1.250 unidades, o custo fixo por unidade será de R$1,60 (2.000 
divididos por 1.250). Daí dizer-se que o custo fixo unitário é variável por unidade vendida. 
 
Custo total 
 
É a soma dos custos fixos mais os variáveis. A sua representação gráfica é: 
 
Atenção: Uma indústria, que produz apenas um tipo de produto, gasta mensalmente R$3.000,00 
com aluguel da fábrica e R$500,00 com o contador. O custo unitário de produção é de R$20,00, 
supondo computados todos os fatores de produção. Se num determinado mês o custo total da 
indústria foi de R$15.500,00, qual a quantidade de produtos fabricados? 
 
Custo total = Custo fixo + Custo variável 
15.500 = (3.000 + 500) + (20 x) 
sendo x a quantidade de produtos fabricados 
15.500 = 3.500 + 20x 
20x = 12.000 
x = 12.000/20 
x = 600 
 
Função Custo 
A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa, indústria ou loja, naprodução ou aquisição de algum produto. Como vimos, o custo possui duas parcelas: uma fixa e 
outra variável. Podemos representar uma função custo usando a seguinte expressão: 
C(x) = Cf + Cv 
Onde Cf: custo fixo e Cv: custo variável 
 
Função Receita 
A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma entidade, dependendo do número de 
vendas de determinado produto. 
R(x) = px , onde p: preço de mercado e x: nº de mercadorias vendidas. 
 
Função Lucro 
A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro oriundo da subtração entre a função 
receita e a função custo. 
L(x) = R(x) – C(x) 
 
Vamos testar o conhecimento! 
 
Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores automotivos. O custo fixo mensal de 
R$950,00 inclui conta de energia elétrica, de água, impostos, salários, etc. Existe também um custo 
variável que depende da quantidade de pistões produzidos, sendo a unidade R$41,00. Considerando 
que o valor de venda de cada pistão no mercado seja equivalente a R$120,00, monte as Funções 
Custo, Receita e Lucro. Calcule o valor do lucro líquido na venda de 1.000 pistões e quantas peças, 
no mínimo, precisam ser vendidas para que se tenha lucro. 
 
Uma indústria de sapatos tem um custo fixo de R$ 150.000,00 por mês. Se cada par de sapato 
produzido tem um custo de R$ 20,00 e o preço de venda é de R$ 50,00, quantos pares de sapatos a 
indústria deve produzir para ter um lucro de R$ 30.000,00 por mês? A partir de quantos pares de 
sapatos haverá lucro? 
 
Função Custo total mensal: 
C(x) = 950 + 41x 
Função Receita 
R(x) = 120x 
Função Lucro 
L(x) = 120x – (950 + 41x) 
Lucro líquido na produção de 1000 pistões 
L(1000) = 120*1.000 – (950 + 41 * 1.000) 
L(1000) = 120.000 – 950 + 41.000 
L(1000) = 120.000 – 41.950 
L(1000) = 78.050 
 
O lucro líquido na produção de 1000 pistões será de R$78.050,00. 
Para que se tenha lucro, é preciso que a receita seja maior que o custo. 
R(x) > C(x) 
120x > 950 + 41x 
120x – 41x > 950 
79x > 950 
x > 950 / 79 
x > 12 
Para ter lucro, é preciso vender acima de 12 peças. 
 
Lucro = Receita – Custo 
Seja x → a quantidade de pares de sapatos produzidos e vendidos 
30.000 = 50 x – (150.000 + 20 x) 
30.000 = 50 x – 150.000 – 20 x → 30.000 +150.000 = 30 x → x = 6.000 
Agora vamos analisar: a partir de quantos pares de sapatos haverá lucro: 
Ou seja, o lucro será zero: 0 = 50 x – (150.000 + 20x) 
0 = 50 x – 150.000 – 20 x → 150.000 = 30 x → x = 5.000 
 
Síntese da aula 
 
Nessa aula você aprendeu: 
 
• Função Custo: 
 
• Custo Fixo; 
 
• Custo Variável; 
 
• Custo no Gráfico; 
 
• Custo Médio. 
 
5 - Registro de frequência 
 
1. Os custos de uma empresam resultam de uma combinação de uma série de fatores. Assinale 
aquele fator que NÃO faz dessa combinação: eles: 
 
 1) a capacitação tecnológica e produtiva relativa a processos 
 2) fornecedores 
 3) produtos e gestão 
 4) nível de atualização da estrutura organizacional 
 5) qualificação da mão de obra 
 
 Resposta correta 2 
 
2. Uma indústria de autopeças tem um custo fixo de R$ 10.000,00 por mês. Se cada peça produzida 
no mês tem um custo de R$ 12,00 e a indústria produz naquele mês 1.000 peças, qual será o custo 
total do mês? 
 
 1) R$ 12.000,00 
 2) R$ 10.000,00 
 3) R$ 11.000,00 
 4) R$ 20.000,00 
 5) R$ 22.000,00 
 
 Resposta correta 5 
 
3. Em uma indústria, o custo fixo para fabricação de um determinado produto é R$10.000,00 e o 
custo total do mês foi de R$ 90.000,00. Quantas unidades do produto foram produzidas no mês, se o 
custo de produção de cada produto foi de R$ 40,00? 
 
 1) 5.000 
 2) 2.000 
 3) 8.000 
 4) 10.000 
 5) 2.500 
 
Resposta correta 2 
 
AULA 6 FUNÇÃO LINEAR 
 
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: 
 
1. Reconhecer a forma genérica da função linear. 
2. Saber a diferença entre o coeficiente angular e o coeficiente linear. 
3. Diferenciar variável independente de variável dependente. 
4. Conhecer a forma dos pares ordenados x e y. 
5. Saber representar a função linear no plano cartesiano, demonstrando se a função é crescente ou 
decrescente. 
 
O conceito de função nos transporta à teoria dos conjuntos: quando existirem dois conjuntos com 
algum tipo de associação entre eles, ocorre uma função sempre que houver uma correspondência 
de qualquer elemento de um conjunto a um elemento do outro conjunto. 
 
As funções são utilizadas em diversos setores da economia, por exemplo, nos valores pagos em um 
determinado período de um curso. O valor a ser pago vai depender da quantidade de disciplinas em 
que o aluno está matriculado. Imagine x o valor por disciplina e y o valor total a ser pago no período. 
Então, temos: y = f(x). 
 
Y = número de disciplinas . x 
 
Exemplo: 
f(x) = 5x – 3 , onde a = 5 e b = -3 
 
f(x) = -2x – 7 , onde a = -2 e b = 7 
 
f(x) = x/3 + 2/5 , onde a = 1/3 e b = 2/5 
 
f(x) = 11x , onde a = 11 e b = 0 
 
 
 
 
 
 
 
Plano cartesiano 
Como podemos observar, uma reta real é uma reta orientada ou um eixo que cada ponto está 
associado a um único número real e vice-versa. O ponto 0 (zero) do eixo é chamado origem. 
Portanto, qualquer ponto à direita de 0, o número será positivo. Quando estiver à esquerda, o 
número será negativo. Quando coincidir com o 0, será nulo. 
 
 
 
Vamos imaginar um número P = -3. Teremos OP = -3. 
 
Agora vamos praticar: 
Para P = -1 teremos OP = -1 
Para P = +2 teremos OP = +2 
 
Consideremos num plano....de dois eixos, x e y, perpendiculares em 0, um ponto A pertencente a ..., 
existem apenas duas retas, r e s, que passam por A de modo que r // y e s // x. (Note que // significa 
paralela). 
 
 
Eixos: 
 
x = eixo das abscissas 
 
y = eixo das ordenadas 
 
= plano cartesiano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, você pode notar que o plano cartesiano fica dividido em quatro quadrantes: 
 
 
 
Atividades Proposta 
 
Representação gráfica das funções Crescente e Decrescente 
 
O gráfico de uma função de 1° grau, y = ax + b, com a = 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. 
 
Exemplo: 
Construir o gráfico da função y = 3x - 1 
Para x = 0 ... y = 3 . 0 – 1 = -1, portanto, um ponto é (0, -1) 
Para y = 0, temos 0 = 3x – 1.... x = 1/3 então outro ponto é (1/3, 0). 
 
Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então, que a função y 
= 3x – 1 é crescente. 
 
Construir o gráfico para a função y = -2x + 3 
 
 
Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y diminuem. Dizemos, então, que a função y = -2x + 3 
é decrescente. 
 
Variação de sinal da Função de 1° Grau 
 
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x, em que y é positivo, os valores de x em 
que y é zero e os valores de x em que y é negativo. 
 
Consideremos uma função y = ax + b e vamos estudar seu sinal. 
Sabemos que essa função se anula para x = -b/a (raiz). Há dois casos possíveis: 
 
Função Crescente 
 
1°) a > 0 (função crescente) 
y > 0 ....ax + b > 0 .... x > -b/a 
y < 0 ....ax + b < 0 .... x < -b/a 
 
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz. 
 
Função Decrescente 
 
 
2°) a < 0 (função decrescente) 
y > 0 .... ax + b > 0 ....x < -b/a 
 
y < 0 ....ax + b < 0 .... x > -b/a 
 
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz. 
 
6 - Registro de frequência 
 
1. 2. Em um plano cartesiano, são dados os seguintes pontos: 
A(2,3), B(-3,2. Assinale a alternativa correta. 
 1) “A” está no 1º quadrante e “B” no 2º quadrante. 
 2) “A” está no 2º quadrante e “B” no 3º quadrante. 
 3) “A” está no 3º quadrante e “B” no 4º quadrante. 
 4) “A” está no 1º quadrante e “B”no 3º quadrante. 
 5) “A” está no 1º quadrante e “B” no 3º quadrante. 
 Resposta correta 1 
2. Em um plano cartesiano, se uma reta corta o eixo x no ponto 1/4 e o eixo y no ponto -2, indica que a função 
correspondente a essa reta é: 
 1) y = 4x + 1 
 2) y = x – 1/4 
 3) y = 4x + 1/4 
 4) y = 4x – 1/4 
 5) y = 4x - 1 
 Resposta correta 5 
 
AULA 7 - FUNÇÃO RECEITA; FUNÇÃO LUCRO; PONTO DE EQUILÍBRIO 
 
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: 
 
1. Descrever a função receita. 
2. Determinar o preço de venda, incluídos os custos e a margem de lucro. 
3. Representar no gráfico a função receita. 
4. Descrever a função lucro. 
5. Representar no gráfico a função lucro. 
6. Calcular quantidade de vendas para atingir o ponto de equilíbrio. 
7. Representar no gráfico o ponto de equilíbrio. 
 
Nesta aula estudaremos a função de receita, a determinação de preços de vendas, as funções do lucro, os gráficos e 
suas representações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nessa aula, você aprendeu: 
 
 - Função Receita 
 - Função Lucro 
 - Ponto de Equilíbrio 
 - Função Crescente e Decrescente 
 
7 - Registro de freqüência 
 
1. O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que o preço de 
fábrica é R$7.500,00 e que, depois de seis anos de uso, é R$1.200,00, seu valor, após quatro anos de uso é: 
 1) R$2.100,00 
 2) R$2.400,00 
 3) R$3.150,00 
 4) R$3.300,00 
 5) R$3.750,00 
Resposta correta 4 
2. Uma empresa pretende produzir um determinado produto e vender a R$80,00 cada. Caso não venda unidade alguma, 
a Receita será 0; se forem vendidas 100.000 unidades, qual será a receita? 
 1) R$8.000,00 
 2) R$800.00,00 
 3) R$80.000.00,00 
 4) R$180.000.00,00 
 5) R$8.000.00,00 
Resposta correta 5 
3. O ponto de equilíbrio é o ponto onde: 
 1) a oferta é igual à demanda. 
 2) a oferta é maior que a demanda. 
 3) a oferta é menor que a demanda. 
 4) a oferta e a demanda são indeterminadas. 
 5) há oferta, mas não há demanda. 
Resposta correta 1 
AULA 8 - RECEITA QUADRÁTICA, FUNÇÃO LUCRO QUADRÁTICA, FUNÇÃO QUADRÁTICA E INEQUAÇÕES DO 
2º GRAU 
Ao final desta aula, você será capaz de: 
1. Reconhecer a função quadrática como uma parábola. 
2. Saber elaborar a representação gráfica da curva da função quadrática. 
3. Resolver função quadrática e inequação de 2º grau. 
4. Descrever a função lucro quadrática. 
5.Interpretar o gráfico da função lucro quadrática. 
 
Sejam bem-vindos! Nesta aula, estudaremos a receita quadrática, além da função lucro quadrática e as inequações do 
2º grau. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8- Registro de freqüência 
 
1. Determine as raízes reais da seguinte função: 3x2 – 7x + 2: 
 1) 1 e 2 
 2) 2/3 e 3 
 3) 3 e 7 
 4) 2 e 3 
 5) 2 e 1/3 
Resposta correta 5 
2. Determine as raízes reais da seguinte função: x – 2x2 
 1) 1 e 0 
 2) 0 e ½ 
 3) ½ e 1 
 4) 0 e -½ 
 5) ½ e -½ 
Resposta correta 2 
3. Determine os zeros reais da função: x4 – 5x2 + 4 
 1) –2 e 2 
 2) –2 , 1 e 3 
 3) –1 , –2 , 2 e 3 
 4) –1 , –2 , 1 e 2 
 5) 1 , –1 , 2 e –3 
Resposta correta 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 9 LIMITES DE UMA FUNÇÃO 
 
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: 
 
Saber calcular o limite de uma função com base nas propriedades da soma, do produto e do quociente de 
funções. 
 
Olá a todos! 
Nesta aula, você prenderá a calcular o limite com base nas propriedades da soma, do produto e do quociente 
de funções. 
 
Noção intuitiva de limites 
 
Limite de função em um ponto 
 
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x) quando x está próximo de um ponto p. 
Dizer que o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L, podemos dizer que à medida que x 
se aproxima de p os valores da função aproximam-se do número L. 
 
 
Como se comportam os valores da função y = 3x + 5 quando x se aproxima do ponto p = 4? 
 
 
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x) quando x está próximo de um ponto p. 
Dizer que o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L, podemos dizer que à medida que 
x se aproxima de p os valores da função aproximam-se do número L. 
 
 
 
Seja a função f(x)=2x+1. 
 
Como se comportam os valores da função f(x) quando x se aproxima do ponto p = 1? 
Vamos atribuir a x valores que se aproximam de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda 
(valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y ou f(x): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades dos limites 
 
 
b) Como se comportam os valores da função y = (x+4).(x2 – 2x) quando x se aproxima do ponto 
x=3? 
 
Lembramos que, pela propriedade do limite do produto de funções, o resultado é o produto dos 
limites das funções. 
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=3: 
 
(x+4) se aproxima de 7; 
 
(x2 – 2x) se aproxima de 3; 
 
Portanto, o limite da função y = (x+4).(x2 – 2x) estará se aproximando do produto dos limites de 
(x+4) e de (x2 – 2x) no ponto p=3, ou seja, será igual a: 7.3 = 21 
 
 
Exércicio 
 
 
Nesta aula você estudou: 
- Calcular o limite com base nas propriedades da soma, do produto e do quociente de funções. 
 
9 - Registro de frequência 
 
1. Como se comportam os valores da função y = x2 – 2x + 1 quando x se aproxima do ponto p = 3? 
 
 1) 2 
 2) 4 
 3) 3 
 4) 5 
 5) 1 
 
Resposta correta 2 
 
2. Calcular o limite da função 
 
com o auxílio de uma tabela de valores à esquerda e à direita do ponto p=3. 
 
 1) 9 
 2) 3 
 3) 0 
 4) 1 
 5) 6 
 
Reposta correta 5 
AULA 10 DERIVADAS 
 
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: 
 
1. Analisar e resolver as técnicas de derivação para aumentar o conhecimento do aluno. 
 
Olá a todos! 
Veremos nesta aula algumas técnicas de derivação como: Derivada da Função Potência, Derivada 
de uma Constante, Derivada de uma Constante Multiplicada por uma Função, Derivada de uma 
Soma, Derivada do Produto e Derivada do Quociente. 
 
Derivada da Função Potência 
 
Em Física, ela é usada para o estudo dos movimentos 
 
Em Economia, Administração e Logística, é usada na determinação de máximos e mínimos de 
gráficos e funções e no cálculo de taxas de variações. 
 
 
 
Derivada de uma função 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da Derivada em um Ponto 
 
Calcular o valor da derivada de y = 3x2 + 10x – 50 no ponto p = 0,8 e interprete o resultado obtido. 
 
y = 3x2+ 10x – 50 no ponto p=0,8 
 
Cálculo da função derivada: y’= 6x + 10 
Cálculo do valor da função derivada no ponto p=0,8: 
y’ (0,8)=6(0,8) + 10 = 14,8 
Interpretação: 
no ponto p=0,8 a tendência da função y=3x2+10x–50 é crescer 14,8. 
 
 
Se o custo de um produto em função da quantidade produzida é dado por: CT = q3 –3q2 + 100q + 
1000, deve-se calcular a tendência à variação do custo com a quantidade, relativa ao valor do custo 
quando a quantidade é de 50 unidades. 
 
 
Para calcularmos a tendência à variação quando a quantidade for exatamente no ponto de 
quantidade igual a 50, teremos que calcular primeiro a derivada da função custo em relação à 
quantidade. 
CT’ = 3q2 –6q + 100 
 
 
 
 
 
 
 
Exércico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 - Registro de freqüência 
 
 
 
Considerações Finais 
 
Parabéns! Você terminou esta disciplina! 
 
Aprender no mundo virtual é gratificante! 
 
Muito obrigadopela sua companhia! Com certeza, todos nós crescemos um pouco mais ao longo do 
estudo desta disciplina: crescemos como estudantes, progredimos como professores, mas 
principalmente, como pessoas! 
 
E isso é muito bom, não é? 
 
Seria muito importante, você relembrar a caminhada realizada! E, quem sabe, você não se 
entretenha com aquele conteúdo mais apreciado ou descubra questões novas que fugiram à sua 
percepção? 
 
Envie sua opinião sobre a disciplina pela Central de Mensagens . Ela é muito importante para 
todos nós – professores que realizam a tutoria, professores que estruturaram a disciplina, 
profissionais responsáveis pelo layout e acessibilidade da mesma. 
 
Somente com sua opinião, poderemos melhorar cada vez mais nosso atendimento àqueles que são 
nossa meta mais importante no ato de educar – os alunos! Assim, você está colaborando com um 
processo que é cada vez mais necessário e inevitável em nossa sociedade – a inclusão digital.