Lista 03

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1 
 
 
 
 
 
1. Determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental. 
 
a) f(x) = sen(5x) b) f(x) = cos(2πx) c) f(x) = x
2
 d) f(x) = sen(2πx/L) 
 
 
2. Para cada função a seguir esboce seu gráfico para alguns valores de n. Observando este gráfico 
determine se a função é periódica. Caso seja determine seu período fundamental. 
 
a) f�x) = �0, 2n − 1 ≤ x < 2n1, 2n ≤ x < 2n + 1� n = 0, ±1, ±2, … 
 
b) f�x) = ��−1)�, 2n − 1 ≤ x < 2n1, 2n ≤ x < 2n + 1� n = 0, ±1, ±2, … 
 
 
3. Para cada função periódica a seguir esboce seu gráfico em um intervalo de três períodos e encontre a 
sua representação em série de Fourier. 
 
a) f�x) = �−1, −2 ≤ x < 01, 0 ≤ x < 2 � b) f�x) = x, −1 ≤ x < 1 c) f�x) = � x + 2, −2 ≤ x < 02 − 2x, 0 ≤ x < 2 � 
 f(x + 4) = f(x) f(x + 2) = f(x) f(x + 4) = f(x) 
 
 
4. Suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original. Esboce seu 
gráfico em um intervalo de três períodos e encontre a série de Fourier da função estendida. 
 
a) f�x) = �0, −π ≤ x < 0x, 0 ≤ x < π� b) f�x) = �
0, −π ≤ x < −π/21, −π/2 ≤ x < π/20, π/2 ≤ x < π � c) f�x) = �
0, −1 ≤ x < 0x�, 0 ≤ x < 1 � 
 
 
5. Dada uma função f em um intervalo de comprimento L. Esboce os gráficos das extensões par e ímpar 
de f de período 2L. 
 
a) f�x) = �x, 0 ≤ x < 21, 2 ≤ x < 3� b) f�x) = 2 − x, 0 ≤ x < 2 
 
c) f�x) = x − 3, 0 ≤ x < 4 �) f�x) = �0, 0 ≤ x < 11, 1 ≤ x < 2� 
 
 
6. Encontre a série de Fourier indicada para a função dada. 
 
a) f�x) = �1, 0 ≤ x < 10, 1 ≤ x < 2� Série em cossenos, período 4 
 
b) f�x) = �x, 0 ≤ x < 11, 1 ≤ x < 2� Série em senos, período 4 
 c) f�x) = 1, 0 ≤ x < π Série em cossenos, período 2π 
 d) f�x) = 1, 0 ≤ x < π Série em senos, período 2π 
 
 
Professora: Denise da Rosa Araujo 
Disciplina: Matemática Aplicada Lista 3 
2 
 
Respostas: 
 
1. a) Função periódica com período T = 2π/5; b) Função periódica com período T = 1; 
c) Não é função periódica; d) Função periódica com período T = L 
2. a) Função periódica com período T = 2; b) Função periódica com período T = 4 
 
 
 
 
 
 
 
3. a) 
 + 2nπ ,1 − cos�nπ)- sen .nπx2 /
0
�12
 ou 4π + 12k − 1 sen 5�2k − 1)πx2 6
0
712
 
 
b) 
 + −2nπ cos�nπ) sen�nπx) ou −2π + �−1)
�
n sen�nπx)
0
�12
0
�12
 
 
c) 
f�x) = 12 + + � 6n�π� ,1 − cos�nπ)- cos .nπx2 / + 2nπ cos�nπ) sen .nπx2 /9
0
�12
 
ou 
f�x) = 12 + 12π� + 1�2k − 1)� cos :�2k − 1)πx2 ;
0
712
+ 2π + �−1)
�
n sen .nπx2 /
0
�12
 
4. a) 
 
f�x) = π4 + + : 1πn� ,cos�nπ) − 1- cos�nx) − 1n cos�nπ) sen�nx);
0
�12
 
ou 
f�x) = π4 + + : −2π�2n − 1)� cos,�2n − 1)x- − �−1)
�
n sen�nx);
0
�12
 
b) 
f�x) = 12 + + 2nπ sen .nπ2 / cos�nx)
0
�12
 
 
c) 
f�x) = 16 + + � 2n�π� cos�nπ) cos�nπx) + :−1nπ cos�nπ) + 2n<π< cos�nπ) − 2n<π<; sen�nπx)9
0
�12
 
ou 
f�x) = 16 + + = 2n�π� �−1)� cos�nπx) + 5�−1)
�>2
nπ + 2n<π< �−1)� − 2n<π<6 sen�nπx)?
0
�12
 
 
 
 
3 
 
 
5. a) Extensão par Extensão ímpar b) Extensão par Extensão ímpar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Extensão par Extensão ímpar d) Extensão par Extensão ímpar 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. a) 
f�x) = 12 + + 2nπ sen .nπ2 / cos .nπx2 /
0
�12
 
b) 
f�x) = + : 4n�π� sen .nπ2 / − 2nπ cos�nπ); sen .nπx2 /
0
�12
 
ou 
f�x) = + 5 4n�π� sen .nπ2 / − 2�−1)
�
nπ 6 sen .nπx2 /
0
�12
 
c) f(x) = 1 
d) 
f�x) = + −2nπ ,cos�nπ) − 1- sen�nx)
0
�12
 ou f�x) = + 4�2n − 1)π sen,�2n − 1)x-
0
�12