aula 1

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CONTROLE CONTÍNUO 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Samuel Polato Ribas 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta disciplina serão estudados os sistemas de controle, suas 
características e aplicações. À medida que a tecnologia avança, sistemas 
inteligentes e automatizados se tornam mais comuns e presentes em nossas 
vidas. O nível de automação do qual se dispõe hoje só foi possível graças ao 
advento e à evolução de técnicas e de sistemas de controle. 
Os sistemas de controle estão presentes em aplicações residenciais, 
comerciais e principalmente industriais. Sendo a indústria a maior a absorvedora 
de engenheiros eletricistas, é importante que o estudante, que um dia virá a ser 
um profissional, possua conhecimento sólido sobre os conceitos e as aplicações 
de sistemas controlados. Além disso, analisar esses sistemas será fundamental 
para saber como se comportam e como podem ser melhorados. 
CONTEXTUALIZANDO 
Nesta aula serão estudados os conceitos básicos e os princípios de 
controle que servirão como base para todo o conhecimento a ser desenvolvido 
na disciplina e em disciplinas futuras que sejam relacionadas a controle. 
Os conceitos aqui apresentados serão expostos no tempo contínuo. 
Entretanto, são válidos para qualquer sistema de controle, seja ele contínuo ou 
discreto. Essa diferenciação entre contínuo e discreto também será abordada 
nesta aula. 
Além disso, a classificação dos sistemas de controle, sua representação 
em blocos e os tipos de sistemas também são incluídos no conteúdo a partir 
deste ponto. 
1.1 Problematizando 
Embora a evolução dos sistemas de controle torne o cotidiano mais 
simples, tais sistemas tendem a se tornar cada vez mais complexos. Porém, 
independentemente do nível de complexidade, os princípios e conceitos 
elementares são os mesmos, desde o sistema mais simples até o mais 
complexo. 
Por esse motivo, uma base sólida aliada a princípios de controle bem 
consolidados torna o entendimento de sistemas complexos mais simples, 
 
 
3 
portanto, será possível reproduzi-los, melhorá-los e aplicá-los em situações que 
deles necessitem. 
Cabe ainda ressaltar que embora o número de técnicas de controle seja 
bastante diversificado, ainda há espaço para o desenvolvimento de novas 
técnicas e aplicações. Para que seja possível desenvolver um novo controle, é 
necessário conhecer os princípios que deram origem a ele. 
Mesmo com toda a importância que os sistemas de controle têm, ainda 
há poucos profissionais que gostam deles, e menos ainda que sabem 
implementar um controlador. Por isso, embora pareça algo abstrato em um 
primeiro momento, a área de controle demanda profissionais qualificados, que 
conheçam a teoria de controle para aplicá-la em processos produtivos. 
1.2 Pesquise 
Pesquise quais os grandes nomes das teorias de controle. Laplace, 
Fourier, Nyquist, Kalman e Bode são alguns nomes que contribuíram 
significativamente com teorias que foram tomadas como referência para o 
desenvolvimento do controle. Pesquise as suas contribuições, além de outros 
nomes relevantes nesta área. 
TEMA 1 – TRANSFORMADA DE LAPLACE E FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
Um sistema linear pode ser completamente compreendido a partir de sua 
resposta ao impulso e resposta em frequência. Grande parte dos sistemas 
dinâmicos é descrita por equações diferenciais. A transformada de Laplace 
permite converter um sinal no domínio do tempo para o domínio da frequência 
no plano s. A transformada de Laplace é dada por 
      



0
dtetfsFtf st
 (1) 
O domínio s é um plano complexo no qual o eixo horizontal representa a 
parte real e o eixo vertical representa a parte imaginária, tal que 
 js 
 (2) 
 
 
4 
Assim, conhecendo-se a função f(t) e sabendo que a integral da equação 
(1) é possível, obtém-se uma função F(s), que é a transformada de Laplace de 
f(t). 
A notação “0–” no limite inferior da integral indica que, mesmo que a 
função f(t) seja descontínua em zero, é possível realizar a integração antes da 
descontinuidade, desde que a integral seja convergente. 
Assim como se pode utilizar a transformada de Laplace para converter um 
sinal no domínio do tempo para o domínio da frequência, é possível realizar a 
conversão contrária, utilizando a transformada de Laplace inversa. Essa 
transformada converte um sinal (ou uma função F(s)) no domínio da frequência 
para o domínio do tempo (f(t)). A transformada inversa de Laplace é dada por 
        tutfdsesF
j
sF
j
j
st  


 
2
11
 (3) 
onde u(t) é uma função degrau unitário, tal que 
  01  ttu
 
  00  ttu
 
(4) 
A transformada de Laplace pode ser utilizada para qualquer função f(t), 
desde que satisfaça às condições de convergência e continuidade. Entretanto, 
em sistemas de controle há alguns sinais que são mais utilizados. Esses sinais, 
suas funções e o resultado da transformada de Laplace são mostrados na 
Tabela 1. 
Como exemplo de transformada de Laplace, considere a função 
   tuAetf at
 
(5) 
Aplicando a transformada de Laplace, tem-se que 
     
 
as
A
e
as
A
dteAdtetuAesF
t
tsa
tsastat













0
00
 
(6) 
Como a função do tempo não contém uma função impulso, então é válido 
substituir o limite inferior por zero. 
 
 
5 
Tabela 1 – Sinais mais utilizados em sistemas de controle 
Descrição da função f(t) F(s) 
Impulso 
 t
 
1
 
Degrau unitário 
 tu
 
s
1
 
Rampa 
 ttu
 
2
1
s
 
Exponencial 
 tue at
 
as 
1
 
Senoide 
   tutsen 
 
22 

s
 
Cossenoide 
   tutcos
 
22 s
s
 
Fonte: Nise, 2009, p. 29. 
Em sistemas de controle, são utilizadas também as propriedades da 
transformada de Laplace. Algumas dessas propriedades (as mais relevantes 
para sistemas de controle) são apresentadas na Tabela 2. 
É valido ressaltar que o teorema do valor final da Tabela 2 só é válido para 
sistemas estáveis, ou seja, sistemas que convergem para um valor diferente de 
mais infinito ou menos infinito. 
A transformada de Laplace é a ferramenta fundamental para se obter a 
função de transferência de um sistema físico. Qualquer sistema físico (mecânico, 
elétrico, químico, por exemplo) pode ser representado por equações 
matemáticas que descrevem o seu comportamento no domínio do tempo. A 
função de transferência de qualquer sistema é definida como sendo a relação 
entre a transformada de Laplace do sinal de saída e a transformada de Laplace 
do sinal de entrada, tal que 
Tabela 2 – Propriedades da transformada de Laplace 
Descrição da propriedade Propriedade 
Linearidade 
    skFtkf 
 
Linearidade 
        sFsFtftf 2121 
 
Deslocamento no tempo 
    sFetf s 
 
Derivação de 1ª ordem  
   0fssF
dt
tdf






 
Derivação de 2ª ordem  
     0'02
2
2
fsfsFs
dt
tfd





 
 
 
6 
Integração 
 
 
s
sF
dttf
t





0
 
Teorema do valor final 
   ssFtf
s 0
lim


 
Teorema do valor inicial 
   ssFtf
s 
 lim0
 
Fonte: Nise, 2009, p. 29. 
 
 
 sX
sY
sG 
 (7) 
em que G(s) é a função de transferência, Y(s) é a transformada de Laplace do 
sinal de saída e X(s) é a transformada de Laplace do sinal de entrada. 
Vale ressaltar que diferentes sistemas físicos podem ser representados por 
uma mesma função de transferência.Se a função de transferência de um sistema é conhecida, pode-se analisar 
a resposta de diferentes sinais de entrada. 
Se a função de transferência não for conhecida, é possível determiná-la 
experimentalmente analisando a relação entre o sinal de saída e o de entrada. 
Uma função de transferência na sua forma geral pode ser expressa por 
 
       
       n
n
pspspsps
zszszszs
sG





321
321
 (8) 
As bases do denominador (p1, p2, p3,..., pn), ou seja, os valores que tornam 
a função de transferência um valor infinito, são os polos da função de 
transferência. 
As raízes do numerador, (z1, z2, z3,..., zn), ou seja, os valores que tornam 
a função de transferência igual a zero, são chamados de zeros da função de 
transferência. 
A ordem do sistema é definida pelo número de polos, ou seja, pelo maior 
grau do polinômio do denominador. Fisicamente, representa o número de 
elementos acumuladores de energia. 
TEMA 2 – FUNDAMENTOS DE SISTEMAS DE CONTROLE 
Nesta seção serão descritos os principais termos utilizados em sistemas 
de controle. Na sequência será realizada uma classificação dos sistemas de 
controle de acordo com diferentes aspectos. 
 
 
7 
 Planta: é o equipamento ou parte do sistema a ser controlado. 
 Processo: é a operação a ser controlada na planta. 
 Entrada: é a referência ou set point do sistema de controle. É onde se 
estabelece o nível desejado do sinal de saída. 
 Saída: é a variável que desejamos controlar. O sistema de controle atua 
buscando igualar o sinal de entrada ao sinal de saída. 
 Erro: é a diferença entre o sinal de entrada e o sinal de saída. Idealmente, 
o erro deve ser nulo em regime permanente. 
 Sistema em malha aberta: é um sistema onde a ação de controle 
independe do sinal de saída. Além disso, não há o monitoramento da 
variável de saída, e esta é sensível a fenômenos indesejáveis no 
processo. 
 Sistema em malha fechada: também chamado de sistema realimentador, 
a ação de controle depende do sinal de saída. 
 Perturbações: são alterações no sistema que tendem a modificar o valor 
da saída. 
A partir deste ponto, será realizada uma classificação dos sistemas de 
controle, baseados em diferentes aspectos. 
 Sistema linear e não linear: um sistema linear é representado por 
equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. 
 Sistemas invariantes e variantes no tempo: em um sistema invariante no 
tempo, os seus parâmetros não sofrem alteração com o passar do tempo, 
ou seja, a resposta do sistema a uma determinada entrada é 
independente do momento em que ela foi aplicada. Já em sistemas 
variantes no tempo existe variação de seus parâmetros. Como exemplo, 
podemos citar o controle de voo de um avião com piloto automático. À 
medida que o avião se desloca, há o consumo de combustível, portanto 
há variação na massa total do avião, o que exige que o sistema de 
controle seja adequado a essa variação. 
 Sistemas contínuos e discretos: em sistemas contínuos, todas as 
variáveis do sistema são conhecidas em qualquer instante de tempo. 
Esses tipos de sistemas de controle são chamados de analógicos. Em 
sistemas discretos, pelo menos uma variável não é conhecida em todos 
os instantes de tempo. Esses tipos de sistema são chamados de digitais. 
 
 
8 
 Número de entradas e saídas: um sistema pode ter apenas uma variável 
de entrada e uma variável de saída. Nesse caso, tem-se um sistema 
SISO, do inglês Single Input – Single Output (uma entrada e uma saída). 
Um sistema também pode ser classificado como MIMO, do inglês, Multiple 
Input – Multiple Output (múltiplas entradas e múltiplas saídas), onde tem-
se mais de uma entrada e mais de uma saída. 
 Controle clássico e controle moderno: é como são chamados os sistemas 
de controle que possuem como características serem SISO, contínuo, 
invariante no tempo, linear. Além disso, toda a análise é feita no domínio 
da frequência. Já no controle moderno, os sistemas podem ser MIMO, 
variantes no tempo, discretos e não lineares. Entretanto, os sistemas de 
controle moderno também podem possuir as características de controle 
clássico. O grande diferencial é que sua análise é feita diretamente no 
domínio do tempo, porém utilizando técnicas de análise mais complexas 
que no controle clássico. 
Os sistemas e as técnicas de análise que serão estudadas na disciplina 
de Controle Contínuo sob todos os aspectos referem-se aos controles clássicos. 
TEMA 3 – DIAGRAMA DE BLOCOS 
O diagrama de blocos é uma representação gráfica da função 
desempenhada por cada elemento dentro de um sistema de controle e do fluxo 
de sinais entre eles. 
Cada bloco representa uma função de transferência, e o fluxo de sinais 
indica o sentido dos sinais que interliga os blocos. A Figura 1 mostra um exemplo 
de um bloco com o fluxo de sinais. 
Figura 1 – Exemplo de bloco 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
O somador, representado por um círculo com uma cruz, é o símbolo que 
indica uma operação de soma. A soma pode ser positiva (adição) ou negativa 
(subtração), conforme mostrado na Figura 2. 
 
 
9 
Figura 2 – Somador negativo (a) e positivo (b) 
 
(a) (b) 
Outro elemento importante para compreender os diagramas de blocos é 
o ponto de ramificação de um sinal, que será a entrada de dois ou mais blocos, 
conforme mostrado na Figura 3. 
Figura 3 – Exemplo de ponto de ramificação 
 
Na Figura 3 nota-se que o sinal de entrada dos blocos G1(s) e G2(s) é o 
sinal a. Percebe-se ainda que o sinal de saída dos blocos são aG1(s) e aG2(s), 
ou seja, o sinal de saída de um bloco é igual ao sinal de entrada multiplicado 
pela função de transferência do bloco. 
É válido ressaltar ainda que não é possível realizar a junção direta de dois 
sinais. Para unir dois sinais é obrigatória a utilização de um somador, conforme 
mostrado na Figura 2. 
Existem sistemas de controle complexos que envolvem várias funções de 
transferência. Nesses casos, há certa complexidade em analisar o diagrama de 
blocos para determinar como o sistema irá se comportar. Por isso a redução do 
diagrama de blocos torna a análise mais simples e viável. 
Com esse objetivo, há algumas técnicas que podem ser utilizadas, 
dependendo de como os blocos estão interligados. A seguir veremos como os 
blocos devem estar interligados para que seja possível a redução e como ela 
deve ser feita. 
 
 
 
10 
3.1 Blocos em série 
Quando há dois ou mais blocos em série, deve-se multiplicar a função de 
transferência de cada um deles. O sinal de saída será o resultado da 
multiplicação das funções de transferência multiplicado pelo sinal de entrada. 
A Figura 4 apresenta a ligação de dois blocos em série. Além disso, ela 
mostra qual é o resultado da associação e qual o sinal de saída. 
Figura 4 – Associação de blocos em série 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Analisando a Figura 4, note que não há alteração no sinal de saída Y. Em 
ambos os casos, Y = S1G1(s)G2(s), ou seja, após a associação, não deve haver 
alteração no sinal de saída. Ele deve permanecer o mesmo de antes da 
associação. 
3.2 Blocos em paralelo 
Quando os blocos estão associados em paralelo, deve-se somar a função 
de transferência de ambos. O sinal de entrada deve ser o mesmo, e a saída dos 
blocos deve ser direcionada para o mesmo somador, conforme mostrado na 
Figura 5. 
Perceba que, mesmo após a associação, o sinal de saída não se altera. 
Além disso, o sinal de entrada continua o mesmo para os blocos antes e depois 
da associação. 
3.3 Mudança do ponto de derivação 
Essa técnica é utilizada para alterar o ponto de derivaçãode um diagrama 
em blocos quando não é possível realizar nenhuma associação. Quando se 
 
 
11 
realiza a mudança do ponto de derivação, é importante que o sinal de saída não 
sofra alteração, assim como nos casos da associação em série e paralelo. 
Figura 5 – Associação de blocos em paralelo 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Há duas possibilidades nesse caso: alterar o ponto de derivação da 
entrada do bloco para a saída, como na Figura 6, ou alterar o ponto de derivação 
da saída do bloco para a entrada, como na Figura 7. 
Figura 6 – Mudança do ponto de derivação da entrada para a saída do diagrama 
de blocos em paralelo 
 
 
 
 
12 
Figura 7 – Mudança do ponto de derivação da saída para a entrada do diagrama 
de blocos em paralelo 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Note que em ambos os casos de mudança do ponto de derivação não há 
alteração das saídas e das entradas. Antes e após a mudança, os sinais de 
entrada e de saída continuam os mesmos. 
De forma geral, a associação de blocos pode simplificar ou alterar o 
diagrama em questão, porém sem alterar o número de saídas e o sinal de cada 
uma delas. 
TEMA 4 – SISTEMAS EM MALHA ABERTA 
Os sistemas em malha aberta são os mais simples encontrados dentre os 
sistemas de controle. Por esse motivo, possuem vantagens como serem mais 
baratos e mais fáceis de serem implementados, além de não necessitarem ter a 
saída monitorada. Porém, apresentam desvantagens significativas, como serem 
sensíveis a variações de parâmetros da planta, serem susceptíveis a 
perturbações no sistema e sua saída ser completamente dependente da entrada. 
Um sistema de controle em malha aberta é composto basicamente de um 
sinal de entrada, um atuador e a planta em si. Um exemplo de sistema em malha 
aberta com as partes que o constituem é apresentado na Figura 8. 
Figura 8 – Sistema em malha aberta 
 
 
Note que o sistema da Figura 8 tem a sua saída definida exclusivamente 
pelo sinal de entrada. Se houver qualquer ação que interfira na saída da planta, 
ela não será corrigida pelo atuador, diferentemente do sistema em malha 
fechada, como veremos na sequência. 
 
 
13 
Com a tecnologia e o nível de desenvolvimento dos sistemas de controle 
atuais, dificilmente haverá um sistema que atue em malha aberta. Mesmo sendo 
mais barato e mais simples, a precisão e rapidez de que grande parte dos 
processos necessita hoje exigem que a operação seja com sistemas de 
monitoramento e em malha fechada. 
Para chegar à função de transferência que representa um sistema em 
malha aberta, basta aplicar as técnicas de simplificação apresentadas 
anteriormente. Após o sistema ser reduzido a um único bloco, tem-se a função 
de transferência entre o sinal de entrada e o de saída. 
Como exemplo, considere o diagrama de blocos da Figura 9. 
Figura 9 – Exemplo de sistema em malha aberta 
 
Nota-se, no diagrama de blocos da Figura 9, que se trata de um sistema 
com dois blocos que podem ser associados em paralelo (G1(s) + G2(s)) e o 
resultado em série com o bloco G3(s) resultando em (G1(s)+G2(s))G3(s). Assim, 
o sistema da Figura 9 pode ser reduzido ao sistema em malha aberta mostrado 
na Figura 10. 
Figura 10 – Exemplo de redução de diagrama de blocos em malha aberta 
 
É clara a semelhança entre o sistema da Figura 8 e o da Figura 10. No 
caso da Figura 10, considera-se que o atuador está contido na função de 
transferência que representa o único bloco do diagrama. 
TEMA 5 – SISTEMAS EM MALHA FECHADA 
Os sistemas em malha fechada, também chamados de sistemas 
realimentados ou sistema realimentador, é um sistema onde a ação de controle 
 
 
14 
depende do sinal de saída. Um exemplo de sistema em malha fechada é 
mostrado na Figura 11. 
Figura 11 – Sistema em malha fechada 
 
 
Pela Figura 11, percebe-se que o sinal de entrada agora recebe um nome 
específico, sendo chamado de referência ou set-point. Nesse tipo de sistema, 
deseja-se que a saída seja igual ao valor da referência. Para isso é utilizado um 
somador negativo que faz a comparação com o sinal de realimentação, 
proveniente de um sensor que faz a medição da grandeza de saída. Em função 
da diferença entre a referência e a realimentação, o atuador age sobre a planta 
para minimizar a diferença entre o sinal de saída e o sinal de referência. 
Tendo em vista que a grande maioria dos sistemas é analisado em malha 
fechada, deve-se conhecer os sinais disponíveis em cada um dos pontos do 
diagrama de blocos. Portanto, a Figura 12 mostra um diagrama em malha 
fechada indicando o sinal disponível em cada ponto. 
Figura 12 – Sinais de um sistema em malha fechada 
 
Na Figura 12, os sinais e as funções representam: 
 R(s): o sinal de referência ou set-point 
 E(s): o sinal de erro 
 C(s): a função de transferência do compensador ou do atuador 
 U(s): o sinal de controle ou ação de controle 
 
 
15 
 G(s): a função de transferência da planta 
 Y(s): o sinal de saída 
 H(s): a função de transferência do sensor 
 B(s): o sinal de realimentação 
O sistema básico de um sistema em malha fechada consiste em fazer com 
que o sinal de saída, Y(s), seja igual ao sinal de referência R(s). Isso é feito por 
meio do sinal de erro, E(s). Com base nesse sinal, o atuador, C(s), sabe como 
deve ser o sinal de controle, U(s), para que após passar pela planta, G(s), resulte 
na saída desejada. 
Note ainda que o sinal de saída, Y(s), é monitorado por um sensor, aqui 
representado por H(s). O sinal de saída do sensor, B(s), é um reflexo do sinal de 
saída. A cada novo sinal de realimentação, um novo sinal de erro é gerado, o 
que resulta em uma nova saída, que é novamente amostrada pelo sensor, e esse 
ciclo se repete infinitamente. 
O objetivo é fazer com que o sinal Y(s) seja igual ao sinal R(s). Quando 
isso ocorrer, o sinal E(s) será igual a zero. 
Um sistema em malha fechada também é um diagrama de blocos e, 
portanto, sujeito às técnicas de redução. Entretanto, na forma como se encontra, 
na Figura 12, não é possível reduzi-lo a um único bloco utilizando apenas as 
associações série, paralelo e mudança do ponto de derivação. Entretanto, a 
Figura 12 nos fornece alguns conceitos indispensáveis para o entendimento de 
sistemas de controle. 
5.1 Função de transferência direta (FTD) 
É a função de transferência dada pela relação entre o sinal de saída e o 
sinal de erro. 
Note que, na Figura 12, os blocos C(s) e G(s) podem ser associados em 
série, o que resulta em 
     sGsCsGP 
 (9) 
Portanto, pelo conceito da FTD, tem-se que 
 
 
 sG
sE
sY
FTD P
 (10) 
 
 
16 
5.2 Função de transferência de malha aberta (FTMA) 
É a relação entre o sinal de realimentação e o sinal de erro, ou seja, 
 
 
   sHsG
sE
sB
FTMA P
 (11) 
5.3 Função de transferência de malha fechada (FTMF) 
É a relação entre o sinal de saída e o sinal de referência, ou seja, a função 
de transferência de malha fechada reduz um sistema em malha fechada a um 
único bloco, tendo como entrada o sinal de referência e como saída o sinal de 
saída original. 
Para obter a FTMF, considerando o sistema da Figura 12, com C(s) e G(s) 
reduzidos a GP(s), tem-se que 
 
 
   
 
 sG
sY
sEsG
sE
sY
P
P 
 (12) 
Nota-se ainda que 
     sBsRsE 
 (13) 
E como 
     sYsHsB 
 (14) 
se a equação (14) for substituída na equação (13), tem-se 
       sYsHsRsE 
 (15) 
Agora, igualando as equações (12) e (15), e manipulando-as 
matematicamente, tem-se que 
          sYsHsRsGsY P 
 (16) 
Trabalhando a equação (16) matematicamente,chega-se a 
 
 
17 
 
 
 
   sHsG
sG
sR
sY
P
P


1
 (17) 
A equação (17) descreve matematicamente a definição da FTMF, ou seja, 
a relação entre o sinal de saída Y(s) e o sinal de referência R(s). 
Ela ainda pode ser reescrita como sendo 
FTMA
FTD
FTMF


1
 (18) 
Perceba ainda que se a função que descreve R(s) for conhecida, é 
possível determinar a saída Y(s) do sistema em malha fechada, fazendo 
 
   
   sHsG
sGsR
sY
P
P


1
 (19) 
NA PRÁTICA 
Busque exemplos de aplicações de sistemas de controle em diferentes 
áreas – por exemplo, aplicações em processos elétricos, mecânicos, químicos e 
térmicos. Com isso, será possível ter uma breve perspectiva da ampla aplicação 
de sistemas de controle. 
FINALIZANDO 
Os sistemas de controle se tornam cada vez mais indispensáveis em 
sistemas industriais dos mais variados segmentos. Para entendê-los de maneira 
correta, os conceitos aprendidos nesta aula são de extrema importância. A sua 
compreensão, juntamente com as ferramentas disponíveis para analisá-los, é 
uma das etapas mais importantes para o desenvolvimento de novas técnicas. 
 
 
 
18 
REFERÊNCIAS 
NISE, N. S. Engenharia de sistemas de controle. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2009. 
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson, 
2010.