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Engenharia econômica
Prof. Evandir Megliorini
1
ENGENHARIA ECONÔMICA
“Métodos e técnicas de decisão empregados na escolha 
entre alternativas de investimento tecnicamente viáveis, nas 
quais as diferenças futuras foram expressas em termos de 
dinheiro”. HESS, MARQUES, PAES, PUCCINI. Rio de Janeiro: Difel, 1978.
“A Engenharia Econômica é a técnica que possibilita 
quantificar monetariamente e avaliar economicamente 
aquelas alternativas, permitindo ao administrador a posse do 
conjunto de elementos necessários à correta tomada de 
decisões”. OLIVEIRA. São Paulo: McGraw-Hill, 1982.
“[...] a engenharia econômica envolve formular, estimar, 
avaliar os resultados econômicos, quando alternativas para 
realizar determinado propósito estão disponíveis. Outra 
maneira de definir engenharia econômica é considerá-la um 
conjunto de técnicas matemáticas que simplifica a 
comparação econômica.
BLANK, TARQUIN. Engenharia Econômica. São Paulo: McGraw Hill, 2008
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PAPEL DA ENGENHARIA ECONÔMICA 
NA TOMADA DE DECISÕES
• As técnicas e os modelos de engenharia 
econômica auxiliam as pessoas a tomar 
decisões.
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PROBLEMAS DE ENGENHARA 
ECONÔMICA
Um estudo de engenharia econômica envolve:
1. Um problema que necessita solução – exemplo: substituir 
determinada máquina
2. Diversas soluções possíveis: comprar a máquina A ou a 
máquina B
3. Avaliação de cada alternativa: maior VPL, maior TIR, 
menor payback.
4. Escolha da melhor alternativa.
4
ALTERNATIVAS
• Alternativas dizem respeito às possíveis linhas 
de ação relativamente ao processo decisório. 
Por exemplo: comprar a máquina A ou a 
máquina B.
• As alternativas possíveis precisam ser 
tecnicamente viáveis – que possam solucionar o 
problema que se apresenta.
• Nesta fase, o conhecimento técnico 
desempenha papel importante.
5
Exemplos de Engenharia 
Econômica
a) Efetuar o transporte de mercadorias com 
frota própria ou terceirizada.
b) Construir ou alugar um prédio para 
instalar a oficina.
c) Comprar um trator à vista ou à prazo.
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TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE 
(TMA)
• Para que qualquer investimento seja lucrativo, o 
investidor espera receber mais dinheiro que o 
capital investido.
– Uma justa taxa de retorno, ou retorno do 
investimento, deve ser realizável.
• As alternativas de engenharia são avaliadas em 
função do prognóstico de que uma taxa de 
retorno (TR) razoável pode ser esperado.
– Isso implica que uma taxa de retorno deve ser 
estabelecida na etapa de definição dos critérios para 
o estudo de engenharia econômica.
– Essa taxa é chamada de TAXA MÍNIMA DE 
ATRATIVIDADE. 7
ELEMENTOS PARA ESCOLHA 
DA ALTERNATIVA
• Os números usados em engenharia 
econômica dizem respeito ao que se 
espera venha a ocorrer no futuro, para 
cada alternativa em análise (portanto, são 
estimativas).
• As estimativas envolvem três elementos:
– Juros
– Taxa de juros
– Fluxo de caixa
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ENGENHARIA 
ECONÔMICA
INTRODUÇÃO
NÃO SE SOMA OU SUBTRAI QUANTIAS 
EM DINHEIRO QUE NÃO ESTEJAM NA 
MESMA DATA
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11
CONCEITOS GERAIS
1. PORCENTAGEM
2. JUROS
3. TAXAS DE JUROS
4. DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA
5. REGRAS BÁSICAS
6. CRITÉRIOS OU REGIMES DE 
CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS
12
1 - PORCENTAGEM
• A percentagem ou porcentagem significa "por cento“ 
ou seja, "a cada centena").
• Porcentagem representa uma razão com base em 
100.
– 1% significa que um Inteiro foi dividido em 100 partes iguais, 
portanto, é uma parte desse todo, calculado da seguinte 
maneira:
– 100% significa o todo:
•
 01,0=
100
1
0,1=
100
100
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1 - PORCENTAGEM
• Calcular:
• Na última década a população da cidade A
cresceu de 100 mil para 125 mil e, a população 
da cidade B passou de 40 mil para 50 mil 
habitantes. Qual das cidades teve um aumento 
populacional maior? 
14
1 - PORCENTAGEM
• Calcular:
1. João tem um salário de R$ 2.000,00. Irá 
receber um aumento de 15%. Qual o novo 
salário do João?
2. Pedro recebeu um aumento de 15% de modo 
que seu salário é de R$ 4.600,00. Qual era o 
salário de Pedro?
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2 - JUROS
A mudança de valor do dinheiro ao longo de 
determinado período é chamada de valor do dinheiro 
ao longo do tempo. Este é o conceito mais importante 
da engenharia econômica.
Receber uma quantia hoje ou no futuro não são a 
mesma coisa. Uma unidade monetária hoje é 
preferível à mesma unidade monetária amanhã.
Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por 
certo tempo envolve um sacrifício, o qual deve ser 
pago mediante uma recompensa, definido pelos 
juros.
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2 - JUROS
• Juros representam a remuneração do capital.
• São os juros que efetivamente induzem o adiamento do 
consumo, permitindo a formação de poupanças e de 
novos investimentos na economia.
• Juros é a manifestação do valor do dinheiro no tempo
• Em termos de cálculo corresponde a diferença entre 
uma quantia em dinheiro no fim e no início de um 
período de tempo.
• Juros pagos: quando alguém utiliza recursos de 
terceiros paga juros pelo seu uso.
• Juros ganhos: quando alguém que poupou, realiza um 
investimento e, recebe uma remuneração na forma de 
juros.
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3 – TAXAS DE JUROS
As taxas de juros devem ser suficientes para 
remunerar:
– O risco envolvido na operação (empréstimo 
ou aplicação)
– A perda do poder de compra do capital 
motivada pela inflação
– O capital emprestado/aplicado
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3 – TAXA DE JUROS
A taxa de juros é o coeficiente que determina o 
valor dos juros.
As taxas de juros se referem sempre a uma 
unidade de tempo – mês, semestre, ano etc. - e 
podem ser representadas equivalentemente de 
duas maneiras:
• Taxa percentual
• Taxa unitária
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3 – TAXA DE JUROS
A transformação da taxa percentual em taxa unitária se 
processa pela divisão da notação percentual por 100.
Para a transformação inversa, basta multiplicar a taxa 
unitária por 100
taxa percentual taxa unitária
1,5 % -------------------� 0,015
8 % ---------------------� 0,08
17% --------------------� 0,17
120% ------------------� 1,20
1.500 % ---------------�15,0
Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são 
efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros.
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3 – TAXA DE JUROS
Exemplo 1: um capital de $ 1.000,00 
aplicado a 20% ao ano rende de juros, ao 
final deste período:
Juros = $ 1.000,00 x (20 ÷ 100)
Juros = $ 1.000,00 x 0,20
Juros = $ 200
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3 – TAXA DE JUROS
Exemplo 2: Um investidor aplicou $ 
10.000,00 em títulos. Ao final de 1 ano, 
reembolsou $ 10.700,00.
• Nesta aplicação, os juros ganhos corresponde a 
$ 10.700,00 – 10.000,00 = 700,00
• A taxa de juros percentual é 
$ 700,00 / $ 10.000,00 x 100% = 7%
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4 – DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA
Para facilitar a representação das operações financeiras, 
costuma-se empregar o diagrama de fluxo de caixa, que 
consiste na representação gráfica da movimentação de 
recursos ao longo do tempo (entradas e saídas de caixa).
• Exemplos de entradas de caixa: Receita de vendas, 
recebimento de empréstimos, Recebimento pela venda de 
títulos etc.
• Exemplos de saídas de caixa: Custo de aquisição de ativos, 
custos operacionais, Imposto de renda etc.
• Fluxo de Caixa Líquido = Recebimento (–) Desembolsos
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4 – DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA
CONVENÇÃO
Os fluxos de caixa normalmente se desenvolvem em 
intervalos de tempo variáveis dentro de um período de 
juros. Uma hipótese simplificadora é assumida:
Convenção “fim do período”: presume-se que todos os 
fluxos de caixa ocorram no fim de um período de juros. 
Quando ocorrem diversos recebimentos e desembolsos 
dentro de determinado período de juros, considera-se 
que o fluxo de caixa líquido ocorre no fim do período de 
juros.
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4 – DIAGRAMADO FLUXO DE CAIXA
• O diagrama inclui tudo aquilo que é 
conhecido, aquilo que é estimado e aquilo 
que é necessário.
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4 – DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA
0 3
21 4 5
$ 1.000
$ 500 $ 400
$ 300
$ 400Entradas de 
Caixa (+)
Saídas de 
Caixa (-)
A linha horizontal representa a escala de tempo. O ponto Zero indica o 
momento inicial e os demais pontos representam os períodos de tempo 
(datas).
As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas (ou 
recebimentos de dinheiro), e as setas para baixo da linha indicam 
saídas (ou aplicações) de dinheiro.
Pontos de Vista
26
27
5 – REGRAS BÁSICAS
• Nas fórmulas, tanto o prazo da operação como a taxa de juros 
devem necessariamente estar expressos na mesma unidade de 
tempo.
– Exemplo: um fundo de poupança oferece juros de 2% ao mês e os 
rendimentos creditados mensalmente. Neste caso, a taxa de juros e o 
período de capitalização são coincidentes – atendem à regra.
• Se uma aplicação foi efetuada pelo prazo de um mês, mas os juros 
definidos em taxa anual, não há coincidência nos prazos, devendo-
se transformar a taxa de juro anual para o intervalo de tempo 
definido pelo prazo da operação, ou vice-versa.
• Os critérios de transformação do prazo e da taxa para a mesma 
unidade de tempo podem ser efetuada através das regras de juros 
simples (média aritmética) e de juros compostos (média 
geométrica), dependendo do regime de capitalização (simples ou 
composto).
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5 – REGRAS BÁSICAS
• SIMBOLOGIA
• P = valor ou quantidade de dinheiro em um tempo designado 
como presente ou tempo 0. P também é chamado de capital 
presente (CP), valor presente (VP), valor presente líquido 
(VPL), fluxo de caixa descontado (FCD).
• F = valor ou quantidade de dinheiro em algum tempo futuro. 
F também é chamado de valor futuro (VF) e capital futuro 
(CF).
• A = série de montantes consecutivos, iguais e em fim de 
período. A também é chamado de valor anual (VA) e valor 
anual uniforme (VAUE).
• n = número de períodos de juros: anos, meses, dias.
• i = taxa de juros ou taxa de retorno no período (porcentagem 
anual, mensal, diário).
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6 – CRITÉRIOS (OU REGIMES) DE 
CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS
• Os critérios ou regimes de capitalização 
demonstram como os juros são formados e 
sucessivamente incorporados ao capital no 
decorrer do tempo.
• São dois os regimes de capitalização:
– SIMPLES
– COMPOSTO
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6 – CRITÉRIOS (OU REGIMES) DE 
CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
É o regime segundo o qual os juros produzidos no final de cada período, 
têm sempre como base de cálculo o Capital Inicial empregado
Exemplo: Um investidor aplica $ 100,00 a juros simples durante quatro 
meses à taxa de 10% ao mês:
Mês Base de 
Cálculo
Juros Montante
0
1
2
3
4
$ 100,00
$ 100,00
$ 100,00
$ 100,00
$ 100,00
$ 0,00
$10,00
$10,00
$10,00
$10,00
$ 100,00
$ 110,00
$ 120,00
$ 130,00
$ 140,00
A incorporação dos juros ao principal ocorre em progressão aritmética
31
6 – CRITÉRIOS (OU REGIMES) DE 
CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Os juros produzidos ao final de um dado período se agregam ao capital, 
passando ambos a integrar a nova base de cálculo para o período 
subseqüente e, assim, sucessivamente.
Exemplo: Um investidor aplica $ 500,00 a juros compostos durante seis 
meses à taxa de 4% ao mês:
Mês Base de 
Cálculo
Juros Montante
0
1
2
3
4
5
6
$ 500,00
$ 500,00
$ 520,00
$ 540,80
$ 562,43
$ 584,93
$ 608,33
$ 0,00
$ 20,00
$ 20,80
$ 21,63
$ 22,50
$ 23,40
$ 24,33
$ 500,00
$ 520,00
$ 540,80
$ 562,43
$ 584,93
$ 608,33
$ 632,66
A incorporação dos juros ao principal ocorre em progressão geométrica
32
JUROS SIMPLES
33
APLICAÇÕES PRÁTICAS DOS JUROS SIMPLES
• Os juros simples têm aplicações práticas 
bastante limitadas (utilizadas em 
operações de curto prazo).
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FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES
O valor dos juros é calculado a partir da seguinte 
expressão:
J = P x i x n
J = valor dos juros expresso em unidades monetárias
P = valor ou quantidade de dinheiro
i = taxa de juros (do inglês, interest rate, taxa de juros)
n = prazo
Esta fórmula se aplica para:
n×i
J
=P
n×P
J
=i
i×P
J
=n
F = P (1 + i x n)
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JUROS SIMPLES
• EXEMPLO
Um capital de $ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao 
mês durante um trimestre. Qual o valor dos juros 
acumulados neste período?
P = $ 80.000
i = 2,5% ao mês (0,025)
n = 3 meses
J = ?
J = P x i x n
J = $ 80.000,00 x 0,025 x 3
J = $ 6.000,00
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JUROS SIMPLES
• EXEMPLO
Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de 
juros simples de 6% ao mês durante nove meses. Ao final 
deste período, calculou em $ 270.000,00 o total dos juros 
incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.
P = ?
i = 6% ao mês (0,06)
n = 9 meses
J = 270.000,00
00,000.500$=54,0
00,000.270
=9×06,0
00,000.270
=P
n×i
J
=P
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JUROS SIMPLES
EXEMPLO
Um capital de $ 40.000,00 foi aplicado num fundo de 
poupança por 11 meses, produzindo um rendimento 
financeiro de $ 9.680,00. Apurar a taxa de juros oferecida 
por esta operação.
P = $ 40.000,00
i = ?
n = 11 meses
J = $ 9.680,00
mês ao 2,2%ou ,0220=
00,000.440
00,680.9
=
11×00,000.40
00,680.9
=P
n×P
J
=i
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JUROS SIMPLES
EXEMPLO
Uma aplicação de $ 250.000,00, rendendo uma taxa de 
juros de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado 
período, juros no valor de $ 27.000,00. Calcular o prazo 
da aplicação.
P = $ 250.000,00
i = 1,8% ao mês (0,018)
n = ?
J = $ 27.000,00
meses 6=
00,500.4
00,000.27
=
018,0,×00,000.250
00,000.27
=P
i×P
J
=n
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JUROS SIMPLES
EXEMPLO
Um empréstimo de $ 3.480,00 foi resgatado 
5 meses depois pelo valor de $ 3.949,80. 
Calcular a taxa de juros simples em bases 
mensais desta operação.
i = J / P x n
i = 469,80 / 3480,00 x 5
i = 0,027 (2,7% am)
40
JUROS SIMPLES
EXEMPLO
Calculo dos juros produzidos por $ 100,00, à 
taxa de 10% ao mês, após dois meses.
J = P x i x n
J = 100,00 x 0,10 x 2
J = 20,00
41
JUROS SIMPLES
EXEMPLO
Durante quantos meses o capital de $ 
4.500,00 aplicados a 8% ao mês, produz 
juros de $ 1.440,00?
n = J / P x i
n = 1.440 / 4.500 x 0,08
n = 4 meses
42
TAXA PROPORCIONAL
TAXA PROPORCIONAL
A taxa proporcional é típica do sistema de capitalização 
linear (juros simples).
• Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas 
é igual à razão entre seus períodos de tempo. 
– Ex.: 2% → 24% = 1 mês → 12 meses. 
• Assim, a taxa de 2% ao mês é proporcional à taxa de 
24% ao ano. 
– Se a taxa é expressa em meses e queremos em ano, basta 
multiplicá-la por 12. 
– Para o inverso, taxa anual em meses, dividimos por 12.
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EXERCÍCIOS
1. Calcular o valor a ser resgatado de um aplicação de $ 
85.000,00 por:
a. 7 meses à taxa de 2,5% ao mês (R: $ 99.875,00)
b. 9 meses a taxa de 11,6% ao semestre (R: $ 
99.790,00)
c. 1 ano e 5 meses a taxa de 21% ao ano (R: 
110.287,50)
2. Determinar os juros e o valor futuro de uma aplicação de 
$ 300.000,00, por 19 meses, à taxa de 42% ao ano. 
(R: $ 499.500,00; $ 199.500,00)
3. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de:
a. 14,4% ao ano (R: 1,2%)
b. 6,8% ao quadrimestre (R: 1,7%)
c. 11,4% ao semestre (R: 1,9%)
d. 110,4% ao ano (R: 9,2%)
e. 54,72% ao biênio (R: 2,28%)
44
EXERCÍCIOS
4. Calcular a taxa trimestral proporcional a juros 
de:
a. 120% ao ano (R: 30%)
b. 3,2 % ao quadrimestre (R: 2,4%)
c. 1,5% ao mês (R: 4,5%)
5. Qual a taxa de juros mensal equivalente à taxa 
de 9% ao ano no regime de juros simples? (R: 
0,75%)
6. Quais os juros que $ 200,00, aplicados a juros 
simples, produzem durante 3 mesesà taxa de 
11% ao mês? (R: $ 66,00)
7. Quais os juros produzidos por um capital de $ 
1.200,00, aplicados à taxa de 18% ao 
semestre durante dois meses? (R: $ 72,00)
45
EXERCÍCIOS
8. Durante quantos meses o capital de $ 2.000,00, 
aplicados à taxa de 33,5% ao semestre, 
produz juros de $ 446,40? (R: 4 meses)
9. A que taxa de juros simples anual o capital de $ 
1.000,00 deve ser aplicado para que triplique 
em 5 anos? (R: 40%)
10. Em quanto tempo duplica um capital aplicado 
à taxa simples de 8% ao ano? (R: 12,5 anos)
11. Uma TV é vendida nas seguintes condições: 
- preço a vista: $ 1.800,00;
- condições a prazo: 30% de entrada e $ 
1.306,00 em 30 dias
Qual a taxa de juros simples cobrada na 
venda a prazo? (R: 3,65%)
46
EXERCÍCIOS
12. Se uma pessoa necessitar de $ 100.000,00 daqui a 10 
meses, quanto deverá depositar hoje na poupança que 
remunera à taxa linear de 12% ao ano? (R: $ 90.909,09)
13. Quais os juros produzidos por um capital de $ 
1.200,00, aplicados à taxa de 18% ao semestre durante 
dois meses?
14. Qual a taxa mensal de uma aplicação cujo valor futuro 
foi de $ 550,00, após um ano, dado um principal de $ 
250,00?
15. Durante quantos meses o capital de $ 2.000,00 deve 
permanecer aplicado a juros simples, dada uma taxa de 
juros de 2,30% ao mês, para que chegue ao valor futuro 
de $ 2.368,00?
16. A que taxa de juros simples anual o capital de $ 
1.000,00 deve ser aplicado para que triplique em 5 
anos?
47
JUROS COMPOSTOS
48
Juros Compostos
• O regime de juros compostos considera 
que os juros formados em cada período 
são acrescidos ao capital, formando, 
assim, o montante (capital + juros) do 
período.
• Este montante, por sua vez, passará a 
render juros no período seguinte formando 
um novo montante.
• E assim por diante.
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SIMBOLOGIA
• VP = Valor presente (PV = Present Value)
• VF = Valor futuro (FV = Future Value)
• i = taxa de juros
• n = período de tempo
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SOBRE O VALOR PRESENTE ....
No estudo de juros compostos, valor presente (ou 
capital), não se refere necessariamente a um valor 
expresso no momento zero. 
O valor presente pode ser apurado em qualquer data 
anterior ao valor futuro (montante).
PV FV
PV FV
0 10
0 6 10
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FÓRMULAS DE JUROS 
COMPOSTOS
VALOR FUTURO VALOR PRESENTE
FV = PV (1 + i)n e
onde
(1 + i)n = fator de capitalização (ou de valor futuro) 
[1 / (1 + i)n]= fator de descapitalização (ou de valor 
presente
])i+1(
1[xFV=PV n
52
EXEMPLO
1 Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de 
um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa 
alternativa de poupança que rende 1,7% de juros 
compostos ao mês?
FV = $ 27.500,00
n = 1 ano (12 meses)
i = 1,7% a.m.
PV = ?
1212 )017,1(
00,500.27
)017,01(
00,500.27
=
+
=PV
70,463.22
224197,1
00,500.27
==PV
ni
FVPV )1( +=
CALCULADORA HP 12C
f CLEAR FIN
27500 CHS FV
12 n
1,7 i
pressione PV
53
SOLUÇÃO COM EXCEL
54
EXEMPLO
2 Qual o valor de resgate de uma aplicação de $ 
12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à 
taxa de juros composta de 3,5% ao mês?
PV = $ 12.000,00
n = 8 meses
i = 3,5% a.m.
FV = ?
FV = PV (1 + i)n
FV = 12.000,00 x (1 + 0,035)8
FV = 12.000,00 x 1,316809
FV = $ 15.801,71
CALCULADORA HP 12C
f CLEAR FIN
12000 CHS PV
8 n
3,5 i
pressione FV
USANDO O EXCEL
55
56
EXEMPLO
3. Determinar a taxa mensal composta de juros de uma 
aplicação de $ 40.000,00 que produz um montante de $ 
43.894,63 ao final de um quadrimestre.
PV = $ 40.000,00
FV = $ 43.894,63
n = 4 meses
i = ?
FV = PV (1 + i)n
ni
PV
FV )1( += CALCULADORA HP 12Cf CLEAR FIN
40000 CHS PV
43.894,63 FV
4 n
pressione i
1
00,000.40
63,894.43 4
1
−





=i
i = 1,0235 – 1 => 0,0235 
i = 2,35%
USANDO O EXCEL
57
58
EXEMPLO
4. Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em 
certa data produz, à taxa composta de juros de 
2,4% ao mês, um montante de $ 26.596,40 em 
certa data futura. Calcular o prazo da operação.
PV = $ 22.000,00
FV = $ 26.596,40
i = 2,4% a. m.
n = ?
FV = PV (1 + i)n
ni
PV
FV )1( +=
n)024,1(
00,000.22
40,596.26
=
1,208927 = (1,024)n
Aplicando-se logaritmos, tem-se:
log 1,208927 = n x log 1,024
mesesn 8
010300,0
082400,0
024,1log
208927,1log
===
CALCULADORA HP 12C
f CLEAR FIN
22000 CHS PV
26596,40 FV
i = 2,4
pressione n
59
Logaritmo na HP 12C
Digite: 1,208927 gLN 10gLN ÷
no visor aparece o resultado = 0,0824
Digite: 1,024 gLN 10 gLN ÷
no visor aparece o resultado = 0,0103
USANDO O EXCEL
60
61
EXERCÍCIO
5. Determinar o juros pago de um empréstimo 
de $ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa 
de 4,5% ao mês.
J = ?
PV = $ 88.000,00
n = 5 meses
i = 4,5% ao mês
J = PV [(1 + i)n - 1] 
J = 88.000,00 [(1,045)5 - 1]
J = 88.000,00 (0,246182)
J = $ 21.664,02
62
EXERCÍCIOS
Juros compostos
1. Aplicou-se $ 800,00 em um banco durante quatro 
meses à taxa de 8% ao mês. Qual o montante 
final? (FV = $ 1.088,39)
2. Uma pessoa faz uma aplicação de $ 200,00 a 
juros compostos, por um ano, a qual remunera o 
capital a 1,8% ao mês. Qual o montante final? 
(FV = $ 247,74)
3. Um investidor aplica $ 2.000,00 por seis meses. 
Ao final do período, resgata o montante de $ 
2.740,00. Qual a taxa de juros mensal utilizada? 
(i = 5,4% a.m)
4. Qual a taxa trimestral composta que deve ser 
aplicado um certo capital, de modo a dobrá-lo ao 
final de 18 meses? (i = 12,25% a.t.)
63
EXERCÍCIOS
Juros compostos
5. Calcular o montante de uma aplicação financeira de 
$ 80.000,00, admitindo-se os seguintes prazos e 
taxas: a) i = 5,5% ao mês e n = 2 anos; b) i = 9% 
ao bimestre e n = 1 ano e 8 meses; c) i = 12% a. a. 
e n = 108 meses (a = $ 289.167,19; b= 189.389,09; 
c= 221.846,30)
6. Quais juros são produzidos por $ 1.000,00 durante 
cinco meses, aplicados à taxa de 3,38% ao mês? 
(J = $ 180,82)
7. Determinar os juros de uma aplicação de $ 
100.000,00 nas seguintes condições de taxa e 
prazo: a) i = 1,5% a. m. e n = 1 ano; b) i = 3,5% a. 
t. e n = 2 anos e meio; c) i = 5% a. s. e n = 3 anos; 
d) i = 4,2 % a. q. e n = 84 meses. (a = $19.561,82; 
b= 41.059,87; c= 34.009,56; d= 137.258,67)
64
EXERCÍCIOS Juros compostos
8. Uma pessoa irá necessitar de $ 12.000,00 daqui a 7 meses. 
Quanto deverá ela depositar hoje numa conta de poupança, 
para resgatar o valor desejado no prazo, admitindo uma taxa 
de juros de 3,5% ao mês? (PV = 9.431,89)
9. Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de $ 
6.600,00 que produz um montante de $ 7.385,81 ao final de 
7 meses. (i= 1,62%)
10. Em quanto tempo duplica um capital que cresce à taxa de 
juros compostos de 2,2% ao mês? (n= 32 meses)
11. Uma pessoa deve a um banco dois títulos com valores de 
resgate de $ 4.000,00 e $ 9.000,00 vencíveis, 
respectivamente, em 5 e 7 meses. Desejando antecipar a 
liquidação de toda a dívida para o momento atual (data 
zero), pede-se determinar o valor a pagar considerando um 
taxa de juros de 1,9% ao mês. (PV = $ 11.529,76)
65
EXERCÍCIOS
Juros compostos
12. Uma aplicação de $ 78.000,00 gerou um 
montante de $ 110.211,96 numa certa data. 
Sendo de 2,5% ao mês a taxa de juros 
considerada, calcular o prazo da aplicação. 
(n = 14 meses)
13) Para uma taxa de juros de 7% ao mês, 
qual das duas alternativas de pagamento 
apresenta menor custo para o devedor: a) 
pagamento integral de $ 140.000,00 a vista 
(na datazero); b) $ 30.000,00 de entrada, $ 
40.000,00 em 60 dias e $ 104.368,56 em 
120 dias. (alternativa = a)
66
TAXAS EQUIVALENTES
Dizemos que duas taxas são equivalentes 
quando são aplicadas sobre um mesmo 
capital para um mesmo intervalo de tempo 
e produzem o mesmo montante.
( ) 1001i1i tqtq ×



−+=
onde:
iq = taxa para o prazo que quero
it = taxa para o prazo que tenho
q = prazo que quero
t = prazo que tenho
TAXAS EQUIVALENTES
Exemplo:
Qual seria a taxa equivalente mensal (im) de 
uma aplicação cuja taxa anual é de 12%?
im = 0,95%
67
( ) 10010,121i 121m ×



−+=
68
EXERCÍCIOS
(taxas equivalentes)
1. Qual a taxa de juros mensal equivalente a 60% ao ano? 
(3,99% a.m)
2. Qual a taxa de juros semestral equivalente à taxa de 2% 
ao mês? (12,6% a.s.)
3. Determine as taxas mensais equivalentes às seguintes 
taxas: a) 150% ao ano; b) 0,03% ao dia; c) 30% ao 
trimestre. (a = 7,93% a.m.; b= 0,9% a.m.; c= 9,13% a.m.)
4. Verificar se as taxas de juros de 13,789317% a.t. e 
35,177214% para 7 meses são equivalentes. (são 
equivalentes)
5. Calcular a taxa equivalente a 34% ao ano para os 
seguintes prazos: a) 1 mês; b) 1 quadrimestre; c) 5 
meses; d) 10 meses. (a= 2,47% a.m.; b= 10,25% a.q.; c= 
12,97% por 5 meses.; d= 27,63% por 10 meses)
SÉRIES UNIFORMES
Valor Presente e Valor Futuro
69
Série Uniforme
VP
VF
0 1 2 3 4 5 6 7
70
Sucessão de recebimentos, desembolsos ou 
prestações, de mesmo valor, que ocorrem em 
períodos regulares.
VALOR PRESENTE
• CALCULAR O VALOR PRESENTE DE DUAS 
ALTERNATIVAS POSSÍVEIS PARA A AQUISIÇÃO DE UM 
EQUIPAMENTO
• Custo do Dinheiro: 3% ao mês.
• Fornecedor A (valor total do equipamento = $ 6.500,00)
30% no pedido
30% na entrega (após 6 meses)
Saldo em 4 parcelas iguais a partir do 7º mês 
• Fornecedor B (valor total do equipamento = $ 6.700,00)
20% no pedido
40% na entrega (após 6 meses)
40% 120 dias após a entrega
71
FLUXOS DE CAIXA
FORN. A FORN. B
0 1.950 1.340
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 1.950 2.680
7 650 0
8 650 0
9 650 0
10 650 2.680
TOTAL 6.500 6.700 72
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
55,606.5
03,01
650
03,01
650
03,01
650
03,01
650
03,01
19501950)( 109876
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+=
VP
AVP
VALOR PRESENTE
( ) ( )
60,578.5
03,01
2680
03,01
26801340)( 106
=
+
+
+
+=
VP
BVP
73
74,534.7
650)03,01(650)03,01(650)03,01(1950)03,01(1950)( 23410
=
++×++×++×++×=
VF
AVF
VALOR FUTURO
20,497.7
2680)03,01(2680)03,01(1340)( 410
=
++×++×=
VF
BVF
74
ANÁLISE DO VALOR PRESENTE
CAP. 5 DO LIVRO DO BLANK E TARQUIN
• Um montante futuro que é convertido em 
seu valor atual equivalente tem um valor 
presente (VP) sempre menor que do que 
o fluxo de caixa real.
• Por isso, os montantes de valor presente, 
quase sempre, são chamados de fluxos 
de caixa descontados (FCD). 
Similarmente, a taxa de juros é chamada 
de taxa de desconto.
75
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
• Através da equivalência de capitais 
podemos comparar valores para diversas 
datas de vencimento.
• Assim, sempre que quisermos comparar 
diferentes alternativas, teremos que 
compará-los em uma mesma data, 
normalmente, na data ZERO, ou seja, a 
Valor Presente, utilizando-se o conceito 
da capitalização composta.
76
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
• O método do valor presente é popular 
porque as estimativas futuras (custos e 
receitas) são transformados em $ 
equivalentes agora, ou seja, todos os 
fluxos de caixa futuros são convertidos em 
$ no momento atual.
• Isso torna fácil determinar a vantagem 
econômica de uma alternativa em relação 
à outra.
77
CATEGORIAS DE PROJETOS
• Mutuamente exclusivo: somente um dos projetos
viáveis pode ser selecionado para análise econômica.
Cada projeto viável é uma alternativa. Ex: Aquisição
de uma nova máquina, com duas máquinas que
atendem às exigências. Escolhendo uma delas,
automaticamente, exclui-se a outra.
• Independente: mais de um projeto viável pode ser
selecionado para análise econômica. Ex: Aquisição de
uma novo forno e a aquisição de um novo carro. A
aceitação de um deles não implica a exclusão do
outro.
78
FLUXOS DE CAIXA
• Os fluxos de caixa determinam se as 
alternativas se baseiam em receitas ou em 
serviços. 
• RECEITAS: cada alternativa gera estimativas 
de fluxo de caixa que são custos (ou 
desembolsos) e receitas (ou recebimentos) 
e, possivelmente, economias.
• SERVIÇOS: cada alternativa tem somente 
estimativas de custos no fluxo de caixa.
79
VALOR PRESENTE DE ALTERNATIVAS COM 
CICLOS DE VIDA IGUAIS
• Em se tratando de alternativas que 
possuem ciclo de vida iguais, a 
comparação do VP das alternativas é 
imediata.
• Em caso de projetos mutuamente 
exclusivos, escolhe-se aquele de VP 
maior (quando são avaliadas receitas) ou 
VP menor (quando são avaliados somente 
desembolsos).
80
VALOR PRESENTE DE ALTERNATIVAS COM 
CICLOS DE VIDA IGUAIS
• Exemplo de projetos mutuamente exclusivos:
VP 1 VP 2 Escolha
($1.500) ($ 500) VP2
($ 500) 1.000 VP2
$ 2.500 ($ 500) VP1
$ 2.500 $ 1.500 VP1
81
VALOR PRESENTE DE ALTERNATIVAS 
COM CICLOS DE VIDA IGUAIS
• Exemplo: Realize uma análise do valor presente 
para máquinas que fazem serviços idênticos, 
cujos custos são apresentados a seguir, se a TMA 
é de 10% ao ano. Espera-se que as receitas de 
todas as três alternativas sejam iguais. A máquina 
1 é movida a eletricidade, a máquina 2 é movida a 
óleo e, a máquina 3 é movida a energia solar.
Máq. 1 Máq. 2 Máq. 3
Custo de aquisição $ -2.500 -3.500 -6.000
Custo operacional anual $ -900 -700 -50
Valor recuperado $ 200 350 100
Ciclo de vida 5 anos 5 anos 5 anos 82
VALOR PRESENTE DE ALTERNATIVAS COM 
CICLOS DE VIDA IGUAIS
- 2.500 - 900 - 900 - 900 - 900 - 900
200
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
788.5
10,01
200
10,01
900
10,01
900
10,01
900
10,01
900
10,01
900500.2)1.( 554321
−=






+
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+−=
VP
máqVP
MÁQUINA 1 – ENERGIA ELÉTRICA
83
VALOR PRESENTE DE ALTERNATIVAS COM 
CICLOS DE VIDA IGUAIS
- 3.500 - 700 - 700 - 700 - 700 - 700
350
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
936.5
10,01
350
10,01
700
10,01
700
10,01
700
10,01
700
10,01
700500.3)2.( 554321
−=






+
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+−=
VP
máqVP
MÁQUINA 2 – GÁS
84
VALOR PRESENTE DE ALTERNATIVAS COM 
CICLOS DE VIDA IGUAIS
- 6.500 - 50 - 50 - 50 - 50 - 50
100
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
127.6
10,01
100
10,01
50
10,01
50
10,01
50
10,01
50
10,01
50000.6)3.( 554321
−=






+
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+−=
VP
máqVP
MÁQUINA 3 – ENERGIA SOLAR
85
VALOR PRESENTE DE ALTERNATIVAS COM 
CICLOS DE VIDA IGUAIS
• VP máquina 1 = ($ 5.788)
• VP máquina 2 = ($ 5.936)
• VP máquina 3 = ($ 6.127)
• A máquina 1 movida a eletricidade é 
escolhida, pois seu VP de custos é o menor.
86
VALOR PRESENTE DE ALTERNATIVAS COM 
CICLOS DE VIDA DIFERENTES
• Em relação ao procedimento anterior, há uma 
exceção: O VP DAS ALTERNATIVAS DEVE SER 
COMPARADO AO LONGO DO MESMO 
NÚMERO DE ANOS E ENCERRAR-SE AO 
MESMO TEMPO.
• Para isso, utilize o MMC (Mínimo Múltiplo 
Comum) de seus ciclos de vida
• Com o critério MMC, os fluxos de caixa de todas 
as alternativas se estendem automaticamente 
para o mesmo intervalo de tempo.
– Por exemplo, alternativas com expectativa de vida de 
2 e 3 anos são comparados ao longo de um intervalo 
de 6 anos.87
VALOR PRESENTE DE ALTERNATIVAS 
COM CICLOS DE VIDA DIFERENTES
• Exemplo: um engenheiro de projetos foi 
designado para implantar um novo 
escritório em uma cidade. Duas opções de 
arrendamento são disponíveis.
Localização A Localização B
Custo de aquisição $ -15.000 -18.000
Custo anual de arrendamento $ -3.500 -3.100
Retorno do depósito $ 1.000 2.000
Prazo de arrendamento 6 anos 9 anos
88
VALOR PRESENTE DE ALTERNATIVAS 
COM CICLOS DE VIDA DIFERENTES
MMC = 18 anos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
VP (A) ? $ 1.000 $ 1.000 $ 1.000
$ 3.500 $ 3.500 $ 3.500
$ 15.000 $ 15.000 $ 15.000
VP (B) ? $ 2.000 $ 2.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
$ 3.100 $ 3.100
$ 18.000 $ 18.000 89
VALOR PRESENTE DE 
ALTERNATIVAS COM CICLOS DE 
VIDA DIFERENTES
• MMC = 18 anos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
VP (A) ? $ 1.000 $ 1.000 $ 1.000
$ 3.500 $ 3.500 $ 3.500$ 15.000 $ 15.000 $ 15.000
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
036.45)(
15,01
500.2
15,01
500.3
15,01
500.3
15,01
500.3
15,01
500.3
15,01
500.3
15,01
500.17
15,01
500.3
15,01
500.3
15,01
500.3
15,01
500.3
15,01
500.3
15,01
500.17
15,01
500.3
15,01
500.3
15,01
500.3
15,01
500.3
15,01
500.3000.15)(
181716151413
121110987
654321
−=



+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−



+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+−=
AVP
AVP
90
VALOR PRESENTE DE ALTERNATIVAS COM 
CICLOS DE VIDA DIFERENTES
MMC = 18 anos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
VP (B) ? $ 2.000 $ 2.000 
$ 3.100 $ 3.100
$ 18.000 $ 18.000
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
384.41)(
15,01
100.1
15,01
100.3
15,01
100.3
15,01
100.3
15,01
100.3
15,01
100.3
15,01
100.3
15,01
100.3
15,01
100.3
15,01
100.19
15,01
100.3
15,01
100.3
15,01
100.3
15,01
100.3
15,01
100.3
15,01
100.3
15,01
100.3
15,01
100.3000.18)(
181716151413
121110987
654321
−=



+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−



+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+−=
BVP
BVP
91
VALOR PRESENTE DE ALTERNATIVAS 
COM CICLOS DE VIDA DIFERENTES
• VP (A) = ($ 45.036)
• VP (B) = ($ 41.384)
• A localização de B é escolhida, uma vez 
que custa menos em termos de VP; ou 
seja, o montante do VP de B é 
numericamente maior do que o VP de A.
92
ANÁLISE DO VALOR FUTURO
• O valor futuro (VF) de uma alternativa 
pode ser determinado por meio dos fluxos 
de caixa, calculando-se o montante do 
valor futuro ou multiplicando-se o 
montante de VP pelo fator P/F, à TMA 
estabelecida.
• Portanto, o VF é uma extensão do valor 
presente.
93
ANÁLISE DO VALOR FUTURO
Exemplo: Um conglomerado britânico de distribuição de alimentos 
comprou uma rede de mercearias canadenses por $ 75 milhões, há 
3 anos. Houve um prejuízo líquido de $ 10 milhões no fim do ano 1, 
ano em que passaram a ser os proprietários. O fluxo líquido está 
aumentando a um gradiente aritmético de (+) $ 5 milhões ao ano, a 
começar do segundo ano, e espera-se que esse padrão prossiga no 
futuro previsível.
Devido ao substancial financiamento com capital de terceiros, 
utilizado para comprar a rede canadense, o quadro de diretores 
internacionais espera uma TMA de 25% ao ano em qualquer venda.94
ANÁLISE DO VALOR FUTURO
a. O conglomerado britânico recebeu, 
recentemente, uma oferta de $ 159,5 
milhões de uma empresa francesa que 
deseja se instalar no Canadá. Utilize a 
análise de VF para determinar se a TMA 
será realizada a esse preço.
b. Se o conglomerado britânico continuar a ser 
proprietário da rede, qual preço de venda 
deve ser obtido no fim de 5 anos para que a 
TMA possa ser atingida?
95
ANÁLISE DO VALOR FUTURO
Resposta de A
$ 75
$ 10
$ 5
$ 159,5
( ) ( ) ( )[ ]
86,8)(
5,159)25,01(5)25,01(10)25,01(75)( 123
−=
++×++×−++×−=
AVF
AVF
A TMA de 25% não será realizada se a oferta de 
$ 159,5 milhões for aceita.
0 1 2 3
96
ANÁLISE DO VALOR FUTURO
Resposta de A
$ 75
$ 10
$ 5
VF = ?
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
81,246)(
10)25,01(5)25,01(5)25,01(10)25,01(75)( 1345
−=
++×++×−++×−++×−=
BVF
BVF
A oferta deve ser, no mínimo, de $ 246,81 
milhões para que a TMA seja atingida.
$ 5
$ 10
97
5.8 A Lennon Hearth Products produz anteparos para lareira, equipados com 
porta de vidro, com dois tipos de suporte para a montagem de sua estrutura. 
Um suporte em forma de L, utilizado para lareiras relativamente pequenas, e 
um suporte em forma de U, utilizado para todas as outras. A empresa inclui 
ambos os suportes na caixa do produto, e o comprador se desfaz daquele 
que não é necessário. O custo desses dois suportes, com os parafusos e 
outras peças é de $ 3.50. Se a estrutura do anteparo para lareiras for 
redesenhada, um único suporte universal poderá ser utilizado e custará $ 
1.20. Entretanto, a readaptação das ferramentas custará $ 6.000. Além disso, 
as reduções de estoques corresponderão a outros $ 8.000. Se a empresa 
vende 1.200 unidades de lareira por ano, ela deve manter os suportes 
antigos ou deve passar a utilizar os novos? Suponha que a empresa utilize 
uma taxa de juros de 15% ao ano e que queira recuperar seu investimento 
em 5 anos. Utilize o método do valor presente. (atenção: analise a redução 
do estoque).
R: VP situação atual: - 14.079; VP situação proposta: - 10.827
98
5.9 Dois métodos podem ser utilizados para produzir buchas. 
O método A custa $ 80.000, inicialmente, e terá um valor 
recuperado de $ 15.000 depois de 3 anos. O custo 
operacional com esse método será de $ 30.000 ao ano. O 
método B terá um custo de aquisição de $ 120.000, um custo 
operacional de $ 8.000, ao ano, e um valor recuperado de $ 
40.000, depois do terceiro ano de operação. A uma taxa de 
juros de 12% ao ano, qual método deve ser utilizado com 
base em uma análise do valor presente?
R: Método A: VP = - 141.379; Método B: VP = - 110.744
99
100
5.10 As vendas de água engarrafada nos Estados Unidos 
totalizaram 16,3 galões (61,7 litros) por pessoa em 2004. A 
Evian Natural Spring Water custa $ 0,40 por garrafa. Uma 
empresa municipal de abastecimento de água fornece água 
nas torneiras a $ 2,10 por 1.000 galões (3.785,41 litros). Se a 
média das pessoas, diariamente, bebe 2 garrafas de água ou 
utiliza 5 galões (18,92 litros) de água recebida na torneira, 
quais são os montantes de valor presente para uma pessoa 
que bebe água engarrafada e para outra que bebe água de 
torneira, durante 1 ano? Utilize a taxa de juros de 6% ao ano,capitalizada mensalmente.
R: Garrafas = - 279,09; Torneira = - 3,66
5.11 Um pacote de software criado pela Navarro & 
Associates pode ser utilizado para analisar e projetar 
torres estaiadas de três lados e torres auto-sustentadas de 
três e quatro lados. Uma licença de único usuário custa $ 
4.000 por ano. Uma licença local (site license) tem um 
custo único de $ 15.000. Uma empresa de consultoria em 
assuntos de engenharia estrutural está tentando decidir 
qual das duas alternativas assumir: comprar uma licença 
de único usuário agora e uma a cada ano, durante 4 anos 
(o que proporcionará 5 anos de serviço); ou, como 
segunda opção, comprar uma licença local agora. 
Determine qual estratégia deve ser adotada, a uma taxa 
de juros de 12% ao ano, para um período de planejamento 
de 5 anos. Utilize o método do valor presente para fazer a 
avaliação.
R: Licença de um usuário: - 16.148 101
Velocidade
Variável
Velocidade 
Dupla
Custo de aquisição, $ - 250.000 - 224.000
Custo operacional anual, $/Ano - 231.000 - 235.000
Revisão geral no ano 3, $ --- - 26.000
Revisão geral no ano 4, $ -140.000 ---
Valor recuperado, $ 50.000 10.000
Vida útil, em anos 6 6
5.12 Uma empresa que produz transdutores de pressão 
elétrica amplificada está tentando decidir qual das 
máquinas apresentadas a seguir deve comprar. Compare-
as, com base em seus valores atuais, utilizando uma taxa 
de juros de 15% ao ano.
Transdutor: qualquer dispositivo capaz de transformar um tipo de sinal 
em outro tipo, com o objetivo de transformar uma forma de energia em 
outra.
R: V. Var.: - 1.182.645; V. Dupla: - 1.126.126
102
5.13 A NASA está considerando dois tipos de material 
para serem utilizados em um veículo espacial. Os custos 
são apresentados a seguir. Qual deles deve ser 
selecionado, com base em uma comparação do valor 
presente, a uma taxa de juros de 10% ao ano?
R: JX = - 463.329; KZ = - 306.926
Material 
JX
Material 
KZ
Custo de aquisição, $ - 205.000 - 235.000
Custo de manutenção, $/Ano - 29.000 - 27.000
Valor recuperado, $ 2.000 20.000
Vida útil, em anos 2 4 103
5.14 Dois processos podem ser utilizados para produzir 
um polímero que reduz a perda por fricção em motores. O 
processo K terá um custo de aquisição de $ 160.000, um 
custo operacional de $ 7.000, por trimestre, e um valor 
recuperado de $ 40.000 depois de seu segundo ano de 
vida. O processo L terá um custo de aquisição de $ 
210.000, um custo operacional de $ 5.000, por trimestre, 
e um valor recuperado de $ 26.000, em seu quarto ano 
de vida. Qual processo deve ser selecionado, com base 
em uma análise do valor presente, a uma taxa de juros de 
8% ao ano, capitalizada trimestralmente?
R: K = - 328.957; L = - 259.087
104
5.15 Dois métodos estão sob consideração para a produção 
da caixa de um sensor de fotoionização portatil de materiais 
perigosos. Uma caixa plástica exigirá um investimento inicial 
de $ 75.000 e terá um custo operacional anual de $ 27.000, 
sem nenhum valor recuperado depois de 2 anos. Uma caixa 
de alumínio exigirá um investimento de $ 125.000 e terá 
custos anuais de $ 12.000. Parte do equipamento pode ser 
vendida por $ 30.000, depois de seu terceiro ano de vida. 
Com base em uma análise do valor presente e a uma taxa de 
juros de 10% ao ano, qual caixa deve ser utilizada?
R: Plástica = - 305.802; Alumínio = - 231.704
105
5.16 Três diferentes planos foram apresentados ao GAO pelo 
gerente de uma instalação de alta tecnologia para operar 
uma fábrica de produção de armas de pequeno porte. O 
plano A envolve contratos renováveis de 1 ano, com 
pagamentos de $ 1 milhão no início de cada ano. O plano B 
indica um contrato de 2 anos, com exigência de 4 
pagamentos de $ 600.000, sendo o primeiro efetuado agora 
e os outros três em intervalos de 6 meses. O plano C é um 
contrato de 3 anos, que determina um pagamento de $ 1,5 
milhão agora e outro pagamento de $ 0,5 milhão daqui a 2 
anos. Supondo que o GAO pudesse renovar qualquer um 
dos planos sob as mesmas condições, se o desejasse, qual 
plano é o melhor, com base em uma análise do valor 
presente, a uma taxa de juros de 6% ao ano, capitalizada 
semestralmente?
R: A = - 5.212.364; B = - 6.165.036; C = - 3.578.056
GAO = General Accouting Office (órgão de controle dos gastos do governo norte 
americano
106
107
5.17 Uma estação de amostragem da qualidade do ar, 
localizada em um ponto distante, pode ser alimentada por 
baterias solares ou estendendo-se uma rede elétrica até o 
local, para receber e utilizar energia elétrica convencional. 
As baterias solares custarão $ 12.600 para serem 
instaladas e terão uma vida útil de 4 anos, sem nenhum 
valor recuperado. Espera-se que os custos anuais de 
inspeção, limpeza etc, sejam de $ 1.400. Uma nova rede 
elétrica custará $ 11.000 para ser instalada e espera-se 
que os custos de consumo de energia sejam de $ 800 ao 
ano. Uma vez que o projeto de amostragem da qualidade 
do ar se encerrará em 4 anos, considera-se que o valor 
recuperado da rede elétrica seja zero. Com base em uma 
análise do valor futuro e a uma taxa de juros de 10% ao 
ano, qual alternativa deve ser selecionada?
R: Solar = - 24.944; Elétrica = - 19.818
108
5.19 Uma pequena empresa de mineração de carvão a céu 
aberto está tentando decidir se deve comprar ou alugar 
uma nova escavadeira hidráulica clamshell. Se for 
comprada, a escavadeira custará $ 150.000, e espera-se 
que ela tenha um valor recuperado de $ 65.000 em 6 anos. 
Uma alternativa é a empresa alugar uma escavadeira 
clamshell por $ 30.000 ao ano, mas o pagamento do 
aluguel terá de ser efetuado no início de cada ano. Se a 
escavadeira for comprada, ela será alugada a outras 
empresas mineradoras sempre que for possível, sendo 
essa uma atividade da qual se espera obter receitas de $ 
12.000 ao ano. Se a taxa mínima de atratividade da 
empresa é de 15% ao ano, com base em uma análise do 
valor futuro, a escavadeira clamshell deve ser comprada ou 
alugada ?
R: Comprar = - 176.915; Alugar = - 302.004
109
5.20 Três tipos de broca podem ser utilizados em 
determinada operação de manufatura. Uma broca de aço 
inoxidável de alta velocidade (HSS) pode ser comprada pelo 
preço mais barato, mas tem uma vida útil menor do que as 
brocas de óxido de ouro ou de nitreto de titânio. As brocas 
HSS custarão $ 3.500 e terão uma durabilidade de 3 meses, 
sob as condições em que serão utilizadas. O custo 
operacional dessas brocas será de $ 2.000 por mês. As 
brocas de óxido de ouro custarão $ 6.500 e terão uma 
durabilidade de 6 meses, com um custo operacional de $ 
1.500 por mês. As brocas de nitreto de titânio custarão $ 
7.000 e terão uma durabilidade de 6 meses, com um custo 
operacional de $ 1.200 ao mês. Com base em uma análise 
do valor futuro, e a uma taxa de juros de 12% ao ano, 
capitalizada mesalmente, qual tipo de broca deve ser 
utilizado?
R: Inox = - 19.593; Ouro = - 16.095; Titâneo = - 14.781
110
5.21 A empresa El Paso Eletric está considerando duas alternativas para 
cumprir as normas estaduais referentes ao controle de poluição em uma de 
suas usinas geradoras de energia elétrica. Essa usina, em particular, está 
localizada nos arredores da cidade e a uma curta distância de Juarez, no 
México. A usina produz, atualmente, uma quantidade excessiva de compostos 
orgânicos voláteis (VOCs) e óxidos de nitrogênio. Dois planos foram propostos 
para cumprir as normas estaduais. O plano A envolve substituir os queimadores 
e mudá-los de óleo combustível para gás natural. O custo da operação será de 
$ 300.000, inicialmente, mais $ 900.000, por ano, pelo custo do combustível. O 
plano B envolve ir ao México e construir dutos de gás para as muitas olarias “de 
fundo quintal”, que agora utilizam madeira, pneus e outras matérias residuais 
combustíveispara queimar os tijolos. A idéia que embasa o plano B é que, ao 
reduzir a poluição provocada por partículas em suspensão, responsável pela 
fumaça em El Paso, haveria um benefício mais amplo para os cidadãos norte-
americanos do que aquele que seria obtido pelo plano A. O custo inicial do 
plano B será de $ 1,2 milhão para a instalação dos dutos de gás. Além disso, a 
companhia elétrica subsidiaria o custo do gás para os oleiros, até um valor de $ 
200.000 ao ano. A monitoração extra da qualidade do ar, associada a esse 
plano, custará um adicional de $ 150.000 por ano. Para um período de projeto 
de 10 anos, nenhum valor será recuperado para ambos os planos. Com base 
em uma análise do valor futuro, a uma taxa de juros de 12% ao ano, qual dos 
planos deve ser selecionado?
R: A = - 16.725.616; B = - 9.869.075
FÓRMULAS 
SÉRIES UNIFORMES
VALOR PRESENTE
11114.079VP
15,0)15,01(
1)15,01(4.200- VP
5.8 exercício do solução
)1(
1)1(
5
5
−=






×+
−+
×=






×+
−+
×=
ii
iAVP
n
n
FÓRMULAS 
SÉRIES UNIFORMES
VALOR FUTURO
11224.944 - VF
6.497 - 18.448- VF
10,0
1)10,01(400.1)10,01(12.600- VF
Solar Bateria - 5.17 exercício do solução
1)1(
4
4
=
+=





 −+
×++×=





 −+
×=
i
iAVF
n
Série Gradiente
O diagrama de fluxo de um fluxo 
gradiente pode ser representado:
113
FÓRMULAS








−
−+
×=








+
−−+
=
n
i
i
i
GF
ii
niiGP
n
n
n
1)1(
FUTURO VALOR
)1(
1)1(
PRESENTE VALOR
2
114
Exemplo 1
Três municípios vizinhos da Flórida concordaram em 
fazer uma combinação de recursos de impostos já 
designados para a reforma de pontes conservadas 
pelos municípios. 
Em uma reunião, os engenheiros estimaram que um 
total de $ 500.000 será depositado no fim do ano em 
uma conta destinada ao reparo de pontes velhas, 
possivelmente, inseguras, em todos os três municípios. 
Além disso, estimaram que os depósitos terão um 
aumento de $ 100.000 por ano durante 9 anos a partir 
de então, e depois cessarão. 
Determine o valor presente equivalente se os fundos 
municipais renderem juros a uma taxa de 5% ao ano.
115
Solução do Exemplo 1
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
P ?
Sequência de fluxos de 
caixa com um gradiente 
convencional
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
116
Solução do Exemplo 1
(com o emprego de equação do VP)
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
P ?
476,19
544,22
604,69
658,16
705,17
746,21
781,75
812,21
837,99
859,48
7.026,06
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
117
Solução do Exemplo 1
(com o emprego da equação da série gradiente)
• Para este caso dois cálculos devem ser 
feitos e somados:
– O primeiro para o valor presente do montante 
básico (note que os $ 500 pode ser tratado 
como uma série uniforme)
– O segundo para o valor presente do gradiente
Assim, temos o diagrama do fluxo de caixa 
decomposto:
118
Solução do Exemplo 1
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
P ?
Diagrama do fluxo de caixa 
decomposto
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119
Solução do Exemplo 1
060.026.7
200.165.3860.860.3
)05,01(05,0
05,010(1)05,01(100
05,0)05,01(
1)05,01(500
)1(
1)1(
)1(
1)1(
102
10
10
10
2
=
+=






+
×−−+
+





×+
−+
=






+
−−+
+





×+
−+
=
VP
VP
VP
ii
niiG
ii
iAVP
n
n
n
n
120
Ainda sobre o Exemplo 1
Qual o valor futuro desta série:
O valor presente foi de $ 7.026,06
Usando a fórmula: VF = VP (1 + i)n 
VF = 7.026,06 x (1 + 0,05) 10
VF = 11.445,75
121
Ainda sobre o Exemplo 1
(com o emprego da equação do VF)
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
775,66
886,47
984.97
1.072,08
1.148,65
1.215,51
1.273,38
1.323,00
1.365,00
1.400,00
11.445,73VF =
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
122
Ainda sobre o Exemplo 1
(com o emprego da equação da série gradiente)
73,445.11
79,155.595,288.6
10
05,0
1)05,01(
05,0
100
05,0
1)05,01(500
1)1(1)1(
1010
=
+=








−
−+
×+








−+
×=








−
−+
×+








−+
×=
FV
VF
VF
n
i
i
i
G
i
iAVF
nn
123
Exemplo 2
$ 100
$ 120
$ 140
$ 160
$ 180
P ?
Qual o valor atual do fluxo de caixa a seguir, com 
juros de 10% por período?
$ 250
124
SOLUÇÃO do Exemplo 2
• Observe que este fluxo pode ser 
decomposto em:
1. Uma série uniforme de $ 100
2. Uma série gradiente de $ 20
3. Um montante de $ 50
125
SOLUÇÃO do Exemplo 2
43,657
22,2868,19353,435
)10,01(
50
)10,01(10,0
10,06(1)10,01(20
10,0)10,01(
1)10,01(100
)1()1(
1)1(
)1(
1)1(
662
6
6
6
2
=
++=
+
+





+
×−−+
+





×+
−+
=
+
+





+
−−+
+





×+
−+
=
VP
VP
VP
i
F
ii
niiG
ii
iAVP
nn
n
n
n
126
Exercícios
1.Uma pessoa comprou um automóvel novo e quer 
economizar o suficiente para pagar a manutenção 
do carro durante os cinco primeiros anos. Estima-se 
que o custo de manutenção de um carro seja:
Ano 1 = $ 120; Ano 2 = $ 150; Ano 3 = $ 180; Ano 4 
= $ 210; Ano 5 = 240.
Suponha que os custos de manutenção devam ser 
pagos ao fim de cada ano e que o banco pague a 
taxa de juros de 5%. Quanto deve ser depositado no 
banco agora?
R= 766,65
127
Exercícios
2. Uma empresa apresenta a seguinte previsão de produção para os 
próximos cinco anos:
Ano 1 = 100 unidades; Ano 2 = 110 unidades; Ano 3 = 120 unidades; 
Ano 4 = 130 unidades; Ano 5 = 140 unidades
Uma melhoria de processo recentemente introduzida ocasionará uma 
redução de perdas, resultando numa economia de matéria-prima de $ 
5,00 por unidade produzida, proporcionando os seguintes incrementos 
no lucro:
Ano 1 = $ 500
Ano 2 = $ 550
Ano 3 = $ 600
Ano 4 = $ 650
Ano 5 = $ 700
Determine os benefícios desta melhoria, em termos de valor presente, 
considerando que a empresa remunera o seu capital a juros de 12% ao 
ano.
Resposta: 2.122.24 128
Exercícios
3. Uma máquina que sofre aperfeiçoamento 
contínuos provoca uma redução de custos 
de $ 10.000 no 1º ano, $ 20.000 no 2º ano, 
$ 30.000 no 3º ano, $ 40.000 no 4º ano, e $ 
50.000 no 5º ano. Considerando uma taxa 
de juros de 5% ao ano, determine o valor 
presente destas economias.
• R: 125.663,94
129
Exercício
4. A Amazon está considerando a compra de um 
sofisticado sistema de computador para “medir o 
volume” de livros, de acordo com as suas 
dimensões – altura, comprimento e largura -, a fim 
de que o tamanho de caixa usado seja apropriado 
para embarque. Isso economizará material de 
embalagem, papelão e mão de obra. Se as 
economias forem $ 150.000 no primeiro ano, $ 
160.000 no segundo ano e de valores crescentes de 
$ 10.000 a cada ano, durante 8 anos, qual é o valor 
presente do sistema, a uma taxa de juros de 15% ao 
ano?
R: 797.905
130
Análise de investimentos
bibliografia
MEGLIORINI, E.; VALLIM, M. A. Administração 
financeira.Uma abordagem brasileira. Pearson 
Prentice Hall, 2008.
GITMAN, L. J. Principios de administração 
financeira. São Paulo: Harbra, 1997.
131
Taxa mínima de atratividade 
• A TMA (Taxa Mínima de Atratividade) 
consiste na taxa mínima de retorno que 
cada projeto deve proporcionar para 
remunerar o capital nele investido. 
• Ver, na sequencia, o custo marginal 
ponderado de capital.
132
Fontes de recursos
• As fontes de recursos que as empresas têm a 
disposição para financiar seus projetos de 
investimentos podem ser oriundas de capital 
próprio ou capital de terceiros
• Capital de Terceiros
– Empréstimos bancários
– Emissão de títulos de dívidas (debêntures)
• Capital Próprio
– Emissão de novas ações ordinárias
– Emissão de novas ações preferenciais
– Lucros retidos (lucros não distribuídos aos acionistas)
133
Simbologia
Ke = custo de empréstimo
Kd = custo de debêntures
Kao = custo de ações ordinárias
Knao = custo de novas ações ordinárias
Kap = custo de ações preferenciais
Knap = custo de novas ações preferenciais
Klr = custo de lucros retidos
134
Empréstimos bancários
Para exemplificar, consideremos que uma empresa efetuou um 
empréstimo junto ao Banco ABCD no valor de $ 200.000,00, 
sobre o qual incide juros de 20% ao ano. A alíquota de Imposto 
de Renda desta empresa é de 40%. Assim, temos:
Juros pagos: 200.000 x 20% = 40.000,00
Juros líquidos = 40.000 x (1 – 0,40)
Juros líquidos = 24.000
Observa-se que a taxa efetiva de juros desta empresa é de 12% 
ao ano (24.000 / 200.000). Essa taxa corresponde ao custo do 
empréstimo e pode ser calculada da seguinte maneira:
Ke = J x ( 1 – IR)
Ke = 20% x (1 – 0,40)
Ke = 12%
135
Debêntures
Os juros pagos às debêntures são dedutíveis 
da base de cálculo do Imposto de Renda das 
empresas, da mesma forma que o 
financiamento bancário.
A forma de se calcular o custo das 
debêntures é semelhante ao cálculo dos 
juros.
Vamos chamar o custo das debêntures de Kd.
136
Custo de novas ações ordinárias 
e de novas ações preferenciais
Para determinar o custo das novas ações, utilizamos a seguinte 
fórmula derivada da expressão de Gordon e Shapiro:
onde:
K = custo das novas ações 
– Knao = custo de novas ações ordinárias
– Knap = custo de novas ações preferenciais
D1 = dividendo por ação esperado ao final do ano 1
VL = valor líquido recebido pela venda da nova ação
g = taxa anual esperada de crescimento dos dividendos
137
Custo de novas ações ordinárias 
e de novas ações preferenciais
Vamos considerar que a empresa Rio Pequeno S.A. 
pretenda lançar novas ações ordinárias, que terão valor de 
emissão de R$ 20,00 cada. O dividendo previsto para o 
próximo ano é de R$ 3,00 por ação. Os dividendos 
distribuídos pela empresa têm crescido à taxa média anual 
de 3,5% nos últimos anos – espera-se que essa taxa de 
crescimento continue pelos próximos anos.
Empregando a fórmula, tem-se:
138
Custo dos lucros retidos
Os lucros retidos constituem a parcela do lucro da 
empresa não distribuída aos acionistas.
Os lucros retidos não são gratuitos para a empresa 
e, por isso, devem ser remunerados. Nesse sentido, 
eles são tratados como equivalentes ao ingresso de 
recursos mediante a emissão de novas ações, mas 
sem incorrer em gastos como taxas, comissões, 
corretagens etc. 
No cálculo do custo dos lucros retidos, Klr, é 
utilizado a mesma equação das ações ordinárias 
existentes, de modo que Klr = Kao.
139
Custo marginal ponderado de capital (CMgPC)
• O CMgPC é o custo total associado aos novos financiamentos obtido 
pela empresa. Esse custo é relevante nas decisões de investimentos 
uma vez que se espera que a empresa invista em ativos que 
proporcionem taxas de retornos acima de seu custo marginal 
ponderado de capital.
• Consideremos que a empresa Rio Pequeno S.A. tem a possibilidade 
de expandir suas operações e, para isso, precisa investir na 
aquisição de novas máquinas, na ampliação do prédio industrial etc. 
Os recursos necessários serão obtidos por meio de empréstimos e 
da emissão de novas ações — ordinárias e preferenciais —, cuja 
captação, segundo definições da diretoria da empresa, será feita da 
seguinte forma:
empréstimos: 35% do montante de recursos necessários; 
ações ordinárias: 45% do montante de recursos necessários;
ações preferenciais: 20% do montante de recursos necessários.
• Cálculos efetuados (conforme descrito anteriormente) determinaram 
os seguintes custos para cada uma dessas fontes:
empréstimos = 15,5%
ações ordinárias = 20%
ações preferenciais = 17%
140
Custo marginal ponderado de capital 
(CMgPC)
O custo marginal ponderado de capital será 20,30%.
Projetos que proporcionem retornos abaixo de 
20,30%, a princípio, não deveriam ser implementados.
Proporção
de cada
fonte
Custo
de
Cada
fonte
Custo
Ponderado
Empréstimos 35,00% 17,00% 5,95%
Ações ordinárias 45,00% 23,00% 10,35%
Ações preferenciais 20,00% 20,00% 4,00%
TOTAIS e CMgPC 100,00% 20,30%
141
Fluxo de caixa
• Os fluxos de caixa dos projetos de investimentos 
incluem as seguintes variáveis:
• Investimento inicial: corresponde ao montante 
líquido de recursos a ser aplicado na 
implementação do projeto. Para se obter esse
montante, são considerados:
– o valor de aquisição do novo ativo, acrescido dos 
custos com sua instalação;
– o recebimento, se houver, pela venda de ativos 
antigos (em caso de substituição de ativos);
– mudanças, se houver, no capital de giro da empresa 
(exemplo: aumento de estoques, duplicatas a receber 
etc.).
142
Fluxo de caixa
• Entradas de caixa: são as entradas de caixa 
incrementais, após os impostos, proporcionadas pelos 
projetos ao longo de sua vida útil. Essas entradas 
correspondem à diferença entre as receitas 
operacionais (que são as receitas decorrentes da 
venda dos produtos ou serviços proporcionados pelo 
projeto) e os custos e despesas operacionais (que 
correspondem aos custos e despesas decorrentes do 
funcionamento normal do projeto).
• Fluxo de caixa residual: corresponde à receita gerada 
para a empresa pela venda do ativo ao final da vida 
útil do projeto, independentemente do estado em que 
se encontra. 
143
Fluxo de caixa
• Exemplo: Projeto Gama.
• Para aumentar a capacidade de produção, A 
empresa ABC S.A. necessita adquirir uma nova 
máquina. São estimados:
• Investimento inicial: R$ 180.000,00
• Entradas de caixa: 1º ano: R$ 25.400,00; 2º ano: 
R$ 43.275,00; 3º ano: R$ 82.600,00; 4º ano: R$ 
64.725,00; 5º ano: R$ 60.700,00.
• Fluxo de caixa residual: Esta máquina deverá ser 
vendida por R$ 54.000,00 ao final do 5º ano.
144
Métodos de avaliação de 
investimentos 
• Em geral, as empresas não dispõem de recursos 
suficientes para implementar todos os projetos 
considerados viáveis (os recursos são limitados). 
Assim, vários métodos de avaliação permitem 
classificar os projetos a fim de auxiliar o processo 
decisório.
• Entre os métodos de avaliação, há aquele que 
possibilita conhecer o tempo necessário para 
recuperação do investimento, representado pelo 
pay-back, e aqueles que descontam os fluxos de 
caixa, dentre os quais, os mais utilizados são o 
valor presente líquido e a taxa interna de retorno.
145
Pay-back
• O pay-back— ou prazo de retorno —
representa o tempo necessário (anos, meses e 
dias) para recuperar o investimento inicial.
Ano Fluxo de Fluxo
caixa acumulado
R$ R$
0 -180.000 -180.000
1 25.400 -154.600
2 43.275 -111.325
3 82.600 -28.725
4 64.725 36.000
5 114.700 150.700
Observe que o 
valor do 
investimento inicial 
seria recuperado 
durante o quarto 
ano.
146
Pay-back descontado
• Para exemplificar, consideremos que a Empresa Rio 
Grande S.A. deseja determinar o pay-back descontado 
do projetoJ e que sua TMA seja de 15% ao ano. O fluxo 
de caixa nominal e o fluxo de caixa descontado são:
Ano
Fluxo de caixa 
nominal
Fluxo de caixa 
descontado
Do ano Acumulado Do ano Acumulado
R$ R$ R$ R$
0 -72.700 -72.700 -72.700 -72.700
1 14.375 -58.325 12.500 -60.200
2 23.805 -34.520 18.000 -42.200
3 30.600 -3.920 20.120 -22.080
4 38.618 34.698 22.080 -0
5 48.272 82.970 24.000 24.000147
Valor presente líquido
• O VPL (Valor Presente Líquido) ou o NPV 
(Net Present Value) é a diferença entre o 
valor descontado do fluxo de caixa para a 
data do investimento inicial (I.I.) e o valor 
do investimento inicial de um projeto. 
• Veja a representação gráfica:
148
Valor presente líquido
149
Valor presente líquido
• O VPL pode ser calculado por meio da 
seguinte equação:
nk
FCn
k
FC
k
FC
k
FCIIVPL
)1(
...
)1(
3
)1(
2
)1(
1
.. 321 +
++
+
+
+
+
+
+−=
150
Valor presente líquido
• Para exemplificar, consideremos que a empresa Rio Grande 
S.A. decidirá, com base no VPL, entre dois projetos 
mutuamente excludentes, A e B, cujos fluxos de caixa são 
apresentados no quadro a seguir. O custo de capital para 
esses projetos é de 18% ao ano.
Ano Projeto A PROJETO B
R$ R$
0 -140.000 -180.000
1 40.000 50.000
2 40.000 55.000
3 45.000 60.000
4 45.000 65.000
5 50.000 70.000
6 60.000 70.000
151
Valor presente líquido
• Calculando o VPL de cada projeto:
654321 )18,01(
000.60
)18,01(
000.50
)18,01(
000.45
)18,01(
000.45
)18,01(
000.40
)18,01(
000.40000.140
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+−=AVPL
= – 140.000 + 157.306
= R$ 17.306,00
654321 )18,01(
000.70
)18,01(
000.70
)18,01(
000.65
)18,01(
000.60
)18,01(
000.55
)18,01(
000.50000.180
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+−=BVPL
= – 180.000 + 208.445
= R$ 28.445,00
Embora os projetos A e B tenham VPLs positivos, por se tratar 
de projetos mutuamente excludentes, a empresa Rio Grande 
S.A. deve optar pelo Projeto B, pois apresenta VPL maior. 152
USO DO EXCEL
• O investimento de VPL começa um 
período antes da data do fluxo de caixa de 
valor1 e termina com o último fluxo de 
caixa na lista. O cálculo de VPL baseia-se 
em fluxos e caixa futuros. Se o seu 
primeiro fluxo de caixa ocorrer no início do 
primeiro período, o primeiro valor deverá 
ser incluído ao resultado VPL, e não nos 
valores de argumentos.
153
USO DO EXCEL (VPL DO 
PROJETO A)
A próxima etapa é somar o Investimento Inicial (célula B3).
O argumento da função é: =VPL(B11;B4:B9)+B3
154
Taxa interna de retorno 
• A TIR (Taxa Interna de Retorno) ou IRR (Internal Rate of
Return) é uma taxa de desconto que iguala o valor presente 
do fluxo de caixa ao valor do investimento inicial de um 
projeto. Se utilizarmos a TIR para descontar o fluxo de caixa, 
o VPL de um projeto se iguala a zero.
• A taxa interna de retorno pode ser calculada com o emprego 
da seguinte equação:
• Além disso, ela pode ser calculada de forma manual ou com 
o emprego de uma calculadora financeira. 
• Um projeto somente é atrativo quando sua TIR for maior ou 
igual a seu custo de capital. Quando um projeto apresenta 
TIR menor que seu custo de capital, ele deixa de ser 
atrativo.
155
Taxa interna de retorno 
• Para exemplificar, consideremos que a empresa Rio 
Grande S.A., decidirá, com base na TIR, entre dois 
projetos mutuamente excludentes, X e Y, cujos fluxos de 
caixa são apresentados no quadro a seguir. O custo de 
capital para esses projetos é de 22% ao ano.
Ano Projeto X Projeto Y
caixa caixa
0 -180.000 -150.000
1 50.000 30.000
2 60.000 50.000
3 70.000 70.000
4 80.000 90.000
5 90.000 110.000 156
Taxa interna de retorno 
• Utilizando a calculadora financeira HP12C para 
calcular a TIR.
Projeto X Projeto Y
f clear FIN
180.000 CHS g CF0
50.000 g CFj
60.000 g CFj
70.000 g CFj
80.000 g CFj
90.000 g CFj
f IRR→ 24,14%
f clear FIN
150.000 CHS g CF0
30.000 g CFj
50.000 g CFj
70.000 g CFj
90.000 g CFj
110.000 g CFj
f IRR→ 28,78% 157
TIR – USO DO EXCEL –
PROJETO X
158
Taxa interna de retorno 
• Fazendo o cálculo manual
• Inicialmente, por tentativa e erro, devem-se encontrar duas taxas 
que forneçam valores presentes líquidos próximo de zero, porém, 
com sinais opostos. Vamos utilizar o fluxo de caixa do Projeto X.
• 1ª tentativa, utilizando a taxa de desconto de 20%: VPL = $ 
18.591,82
• 2ª tentativa, utilizando a taxa de desconto de 21%: VPL = $ 
13.835,78
• 3ª tentativa, utilizando a taxa de desconto de 22%: VPL = $ 
9.256,69
• 4ª tentativa, utilizando a taxa de desconto de 23%: VPL = $ 
4.846,12
• 5ª tentativa, utilizando a taxa de desconto de 24%: VPL = $ 
596,13
• 6ª tentativa, utilizando a taxa de desconto de 25%: VPL = ($ 
3.500,80)
• A TIR situa-se entre 24% e 25%. São os mais próximos de zero, 
com sinais opostos. 159
Taxa interna de retorno 
Fórmula:
%14,24
13,596)25,0(80,500.3)24,0(
80,500.3
25,0
13,596
24,0
=
×−=×−
−
=
−
i
ii
ii
160
VPL ou TIR? 
• O uso do VPL implicitamente supõe que as 
entradas intermediárias de caixa são
reaplicadas ao custo de capital da empresa. 
• A TIR supõe que são reaplicadas à taxa por
ela especificada.
• Em geral, os administradores financeiros preferem
usar a TIR por causa de sua preferência por taxas
de retorno.
161
Exercícios
• 22. A empresa Paranapiacaba S.A. tem um período de pay-
back máximo aceitável de cinco anos. Ela está analisando a 
compra de uma nova máquina e deve escolher uma dentre 
três alternativas. Os investimentos iniciais e os fluxos de caixa 
estimados para cada uma delas estão disponíveis na tabela a 
seguir. Calcule o período de pay-back para cada máquina e 
indique qual delas a empresa deve comprar.
 
 Máq. 1 Máq. 2 Máq. 3 
 R$ R$ R$ 
Investimento. Inicial 70.000,00 60.000,00 70.000,00 
Fluxo de Caixa ano 1 15.000,00 10.000,00 6.000,00 
Fluxo de Caixa ano 2 15.000,00 11.000,00 8.000,00 
Fluxo de Caixa ano 3 15.000,00 12.000,00 12.000,00 
Fluxo de Caixa ano 4 15.000,00 13.000,00 15.000,00 
Fluxo de Caixa ano 5 15.000,00 14.000,00 20.000,00 
Fluxo de Caixa ano 6 15.000,00 15.000,00 25.000,00 
Fluxo de Caixa ano 7 15.000,00 16.000,00 30.000,00 
 
162
• 23. Calcule o pay-back descontado de 
cada projeto do Exercício 22, 
considerando:
– a) 5% ao ano de custo de capital
– b) 10% ao ano de custo de capital
– c) 15% ao ano de custo de capital
• 24. Determine, com base nos dados dos 
exercícios 22 e 23, o VPL e a TIR de cada 
máquina.
163
Exercício
Ano
Fluxo de Fluxo Fluxo de Fluxo
caixa acumulado caixa acumulado
R$ R$ R$ R$
0 -120.000 -120.000 -140.000 -140.000
1 40.000 -80.000 20.000 -120.000
2 40.000 -40.000 30.000 -90.000
3 40.000 0 40.000 -50.000
4 40.000 40.000 50.000 0
5 40.000 80.000 60.000 60.000
6 40.000 120.000 80.000 140.000
7 40.000 160.000 100.000 240.000
8 40.000 200.000 120.000 360.000
Projeto M Projeto N
Analise o pay-back destes dois projetos. 164
25. São dados os seguintes fluxos de caixa 
para três projetos mutuamente excludentes:
Ano Projeto 1 
(R$) 
Projeto 2 
(R$) 
Projeto 3 
(R$) 
0 (300.000,00) (300.000,00) (300.000,00) 
1 100.000,00 50.000,00 150.000,00 
2 100.000,00 80.000,00 120.000,00 
3 100.000,00 110.000,00 90.000,00 
4 100.000,00 140.000,00 60.000,00 
5 100.000,00 170.000,00 30.000,00 
 
Calcule o VPL de cada projeto, utilizando, para isso, 18% ao 
ano como taxa de desconto.
Ordene os projetos pelo VPL.
Calcule a TIR de cada projeto.
Ordene os projetos pela TIR.
Compare e analise as ordens dos projetos obtidas nos itens 
“b” e “d”.
165
• 26. Retorne ao exercício 25 e calcule o 
VPL, utilizando, agora, 20% ao ano como 
taxa de desconto. Ordeneos projetos pelo 
VPL, compare com a ordem obtida no 
exercício anterior e comente.
166
Ano Projeto R Projeto S
Fluxo de Fluxo de
caixa caixa
R$ R$
0 -110.000 -110.000
1 50.000 15.000
2 50.000 50.000
3 50.000 95.000
Exercício
Pede-se:
1. Calcule a TIR destes projetos
2. Calcule o VPL considerando 12% a Taxa Mínima de Atratividade
3. Calcule o VPL considerando 16% a Taxa Mínima de Atratividade
Com base nos resultados encontrados em 1, 2 e 3, qual destes 
projetos você recomendaria ser aprovado?
167
TIRM
TAXA INTERNA DE RETORNO 
MODIFICADA
168
TIRM
A TIR modificada (ou TIRM) é uma forma 
alterada da taxa interna de retorno que 
procura corrigir problemas como raízes 
múltiplas enfrentados pelo cálculo da TIR.
169
TIRM
• Para calcular a TIRM, inicialmente, os valores de 
cada fluxo de caixa (exceto do ano zero) devem 
ser capitalizados para a data final do projeto, 
empregando seu custo de capital. 
• Feito isso, o próximo passo é encontrar a taxa de 
desconto que iguala esse montante capitalizado 
com o valor do investimento inicial.
• Para exemplificar, consideremos os projetos P e 
Q da empresa Rio Grande S.A., para os quais a 
empresa tem um custo de capital de 18% e cujas 
TIRs são 25,75% e 20,76%, respectivamente. 
• Os fluxos de caixa são:
170
TIRM
171
Para o projeto P, capitalizando seus fluxos de caixa a 18%, 
temos um montante de R$ 548.931,00 ao final do quinto ano. 
 
 60.000 70.000 80.000 90.000 100.000 
-200.000 
 
 
 
 
 
 
 
200.000 
VPL = –200.000 + 200.000 
VPL = 0 
 
100.000 
106.200 
111.392 
115.012 
116.327 
548.931 
 
 0 1 2 3 4 5 
FV = PV (1 + i)n
ni
PV
FV )1( +=
1
000.200
931.548 5
1
−





=i
i = 22,38% 172
Para o projeto Q, capitalizando seus fluxos de caixa a 18%, 
temos um montante de R$ 608.108,00 ao final do quinto ano. 
FV = PV (1 + i)n
ni
PV
FV )1( +=
1
000.250
108.608 5
1
−





=i
i = 19,46%
 
 85.000 85.000 85.000 85.000 85.000 
-250.000 
 
 
 
 
 
 
 
250.000 
VPL = –250.000 + 250.000 
VPL = 0 
 85.000 
100.300 
118.354 
139.658 
164.796 
608.108 
 
 0 1 2 3 4 5 
173
EXERCÍCIOS
• Calcular a TIRM dos Exercícios da seção 
anterior.
174
DEPRECIAÇÃO
175
Depreciação
• Conceitos
– Depreciação Real
– Depreciação Contábil
176
Depreciação
• Depreciação como integrante dos 
custos de produção
177
Depreciação
• Métodos de depreciação
– Método da linha reta ou método linear
– Método da soma dos dígitos
– Método exponencial ou método da taxa 
constante
– Método de unidades produzidas
178
Método da linha reta ou método linear
• Por este método, o valor depreciável é dividido pela vida útil 
estimada, o que determina a quota de depreciação.
• A Instrução Normativa SRF nº 162, de 31 de dezembro de 
1998, da Receita Federal, fixa prazos de vida útil e taxas de 
depreciação (ver no site: 
http://www.receita.fazenda.gov.br/Legislacao/ins/Ant2001/199
8/in16298.htm).
• De forma resumida, o número de anos, para turnos de 8 
horas, é:
Edifícios: 25 anos (4% ao ano)
Máquinas e equipamentos: 10 anos (10% ao ano)
Instalações: 10 anos (10% ao ano)
Móveis e utensílios: 10 anos (10% ao ano)
Veículos: 5 anos (20% ao ano)
179
Método da linha reta ou método linear
O cálculo da depreciação por este método é 
representado por:
Onde,
Da = Depreciação anual; Va = Valor do 
ativo; Vr = Valor residual; N = Vida útil
 
N
VrVaDa −=
180
Método da linha reta ou método linear
Exemplo: O custo de aquisição de uma máquina foi $ 30.000,00 (inclui 
fornecedor e instalações). Sua vida útil é de 5 anos. O valor residual é 
estimado em $ 6.000,00. 
Calcular a Depreciação anual e montar uma planilha de depreciação. 
800.4
5
000.6000.30
=
−
=
Da
Da
 
Período Depreciação Depreciação Valor
(ano) anual acumulada residual
0 30000
1 4800 4800 25200
2 4800 9600 20400
3 4800 14400 15600
4 4800 19200 10800
5 4800 24000 6000
 
181
Método da soma dos dígitos
Por este método o valor da depreciação anual 
é decrescente. O cálculo da depreciação por 
este método é representado por:
Onde
Dn = depreciação para o ano n; N = vida útil; n
= ano corrente; Sd = Soma dos dígitos; Va = 
Valor do ativo; Vr = Valor residual
 )()1( VrVa
Sd
nNDn −×−−=
182
Método da soma dos dígitos
Exemplo: O custo de aquisição de uma máquina foi $ 
30.000,00 (inclui fornecedor e instalações). Sua vida útil é 
de 5 anos. O valor residual é estimado em $ 6.000,00.
Calcular a Depreciação anual e montar uma planilha de 
depreciação.
Sd: 1+2+3+4+5 = 15
Para o ano 1, temos:
Para o ano 2, temos:
 
000.81
)000.6000.30(
15
)11(51
=
−×
−−
=
D
D
 
400.62
)000.6000.30(
15
)12(52
=
−×
−−
=
D
D
183
Método da soma dos dígitos
Período Depreciação Depreciação Valor
(ano) anual acumulada residual
0 30000
1 8000 8000 22000
2 6400 14400 15600
3 4800 19200 10800
4 3200 22400 7600
5 1600 24000 6000
184
Método exponencial ou método 
da taxa constante
• Por este método considera-se que os ativos possuem capacidade 
de contribuir com a geração de renda maior nos anos iniciais de sua 
vida útil. Essa capacidade decresce com o uso, chegando, ao final 
de sua vida a ser utilizado apenas como equipamento de reservas 
para eventualidades.
• O ativo é depreciado mediante uma taxa fixa aplicada sobre o valor 
não depreciado ao final do período anterior.
• Esta taxa pode ser determinada com o emprego da seguinte 
equação:
• Onde,
• Td = taxa de depreciação; Vr = Valor residual; Va = Valor do ativo; 
N = vida útil do ativo
• Observa-se por esta equação, que se o valor residual for nulo, a 
taxa obtida será igual a unidade, não possuindo significado prático.
N
Va
VrTd −=1
185
Método exponencial ou método da taxa 
constante
• Exemplo: O custo de aquisição de uma máquina foi $ 
30.000,00 (inclui fornecedor e instalações). Sua vida útil 
é de 5 anos. O valor residual é estimado em $ 6.000,00.
• Calcular a Depreciação anual e montar uma planilha de 
depreciação. 
27522,0
5
000.30
000.61
=
−=
Td
Td
Período Depreciação Depreciação Valor
(ano) anual acumulada residual
0 30.000,00
1 8.256,60 8.256,60 21.743,40
2 5.984,22 14.240,82 15.759,18
3 4.337,24 18.578,06 11.421,94
4 3.143,55 21.721,61 8.278,39
5 2.278,38 23.999,99 6.000,01
186
Método de unidades produzidas
• Por este método estima-se o total de 
unidades que devem ser produzidas pelo 
bem a ser depreciado e a depreciação 
anual é expressa da seguinte maneira:






×=
bem do útil vidaa durante estimadas unid. de nr.
n"" ano no produzidas unid. nr.de
 residual) valor - ativo do(valor anual Depr.
187
Método de unidades produzidas
Exemplo: 
Custo de um ativo: $ 24.000,00
Valor residual: não há
Número de unidades estimadas durante a vida útil: 
15.000
Número de unidades produzidas no ano X: 3.000
 
4.800,00 $anual oDepreciaçã
15.000
3.00024.000,00anual oDepreciaçã
=
×=
188
Exercícios 
• Um equipamento custou $ 200.000,00 e tem vida útil estimada de 6 
anos e valor residual de $ 8.000,00. Determine o valor de 
depreciação anual e monte uma planilha de depreciação pelos 
métodos:
– Da linha reta
– Da soma dos dígitos
– Exponencial
• Calcule a taxa constante dedepreciação, o valor anual da 
depreciação e elabore uma planilha de depreciação para uma 
máquina adquirida por $ 30.000,00, cujo valor residual ao final de 4 
anos é de $ 4.000,00.
• A Cia. Alpha adquiriu uma máquina por $ 45.000,00. Sua vida útil é 
estimada em 5 anos e o valor residual é considerado nulo. Elabore 
planilhas de depreciação por cada um dos métodos possíveis.
• Um equipamento foi adquirido por $ 60.000,00. São estimados os 
seguintes volumes de produção: 1º ano = 4.000 u; 2º ano = 5.000 u; 
3º ano = 6.000 u; 4º ano = 6.000 u; 5º ano = 3.500 u; 6º ano = 2.000 
u; 7º ano = 1.500 u. Calcule o valor da depreciação anual e elabore 
uma planilha de depreciação. Não há valor residual. 189
Depreciação e Imposto de Renda
Conforme Instrução Normativa SRF nº 162, de 31 de dezembro de 1998 da 
Receita Federal, a quota de depreciação a ser registrada como custo ou 
despesa é determinada mediante aplicação de uma taxa anual sobre o custo 
de aquisição dos bens depreciáveis (ver taxas e prazos de depreciação no 
site: 
http://www.receita.fazenda.gov.br/legislacao/ins/ant2001/1998/in16298.htm). 
Por esse procedimento a depreciação assume um valor constante para os 
itens do ativo imobilizado pelo período em que estiverem em uso. 
Entretanto, as empresas poderão, para efeito de apuração de custos e 
despesas, adotar outros métodos de depreciação que melhor reflita o padrão 
de uso de cada um dos ativos. 
Conforme art. 57 da Lei 4.506/1964 podem ser objeto de depreciação todos 
os bens físicos sujeitos a desgaste pelo uso ou por causas naturais, ou 
obsolescência normal, inclusive edifícios e construções. Ainda, conforme a 
Lei, não será admitida quota de depreciação referente a: a) terrenos, salvo 
em relação aos melhoramentos ou construções; b) prédios ou construções 
não alugados nem utilizados pelo proprietário na produção dos seus 
rendimentos, ou destinados à revenda; c) os bens que normalmente 
aumentam de valor com o tempo, como obras de arte ou antiguidades.
190
Depreciação e Imposto de Renda
• A título de exemplo de cálculo da depreciação e 
sua influência no Imposto de Renda, admitimos 
que a Estamparia SBC Ltda. adquiriu uma nova 
máquina no valor de R$ 102.000,00. Esta 
máquina se enquadra na Referência NCM 8462 
da Instrução Normativa SRF nº 162, cujo prazo de 
vida útil é de 10 anos. 
• Neste caso a taxa anual de depreciação desta 
máquina é de 10%. 
• Cálculo:
• Valor da máquina: R$ 102.000,00
• Taxa anual de depreciação: 10%
• Valor da Depreciação anual: R$ 102.000,00 x 
10% = R$ 10.200,00
191
Depreciação e Imposto de Renda
• Agora, para refletir o padrão de uso desta máquina a 
empresa considera que o melhor método de depreciação é o 
método das unidades produzidas. Conforme estudos da 
engenharia de produção e de acordo com o fabricante, tal 
máquina tem expectativa de gerar produção correspondente 
a 30.000 unidades durante sua vida útil econômica estimada 
de 5 anos. Não há expectativa de valor residual para essa 
máquina. No primeiro ano de uso, a produção desta máquina 
foi de 6.000 unidades.
• Cálculo:
• Valor da máquina: R$ 102.000,00
• Produção estimada durante a vida útil econômica: 30.000 
unidades
• Valor da Depreciação no ano: (unidades produzidas no ano ÷
unidades previstas de produção x valor da máquina) = (6.000 
÷ 30.000) x R$ 102.000,00 = R$ 20.400,00
192
Depreciação e Imposto de Renda
• Nos custos de produção do ano, a empresa irá 
apropriar a título de depreciação R$ 20.400,00 e não 
R$ 10.200,00.
• Admitimos que toda a produção do ano tenha sido 
vendida no próprio ano. Isso implica que o Custo dos 
Produtos Vendidos constante da D.R.E. está R$ 
10.200,00 mais alto em relação ao valor aceito pelo 
fisco. 
• Neste caso, a D.R.E. apresenta um Lucro Antes da 
Contribuição Social e do Imposto de Renda menor. 
Portanto, para se adequar ao Fisco, os R$ 10.200,00 
devem ser adicionados ao lucro contábil. 
• Em situações nas quais a produção for reduzida e o 
custo da depreciação for menor que o valor aceito 
pelo fisco, procede-se de forma contrária quanto ao 
ajuste da diferença.
193
Investimento de Capital
194
Investimentos de Capital
• Os investimentos mais comuns são 
aqueles relacionados aos Ativos 
Imobilizados ao qual se acrescentam os 
ativos intangíveis. 
195
Investimentos de Capital
• Há muitos motivos para que as empresas 
realizem esses investimentos, que vão desde o 
aumento de sua participação no mercado por 
meio da oferta de uma quantidade maior de 
produtos — incluindo os novos produtos — até a 
expansão para novos mercados e o 
desenvolvimento do mercado externo.
• Em geral, os investimentos de longo prazo 
representam gastos substanciais de recursos, e 
para obtê-los as empresas recorrem a novos 
empréstimos, à emissão de debêntures e de 
novas ações ordinárias e preferenciais e, também, 
aos lucros retidos.
196
Investimentos de Capital
• As decisões de investimentos 
normalmente estão subordinadas ao 
planejamento estratégico e associadas ao 
crescimento da empresa ou à 
consolidação de sua posição competitiva. 
197
Investimentos de Capital
• Visto sob a perspectiva do objetivo das 
empresas os investimentos em novos 
projetos que proporcionarem retorno 
superior ao custo do capital empregado, 
tem o potencial de alavancar 
positivamente o valor da empresa, e 
consequentemente, contribuem para 
aumentar a riqueza dos proprietários.
198
Investimentos de Capital
• Em geral, o montante de recursos 
necessários para implementar as propostas 
viáveis de investimentos, costumam exceder 
o montante de recursos disponíveis ou que a 
empresa possa captar. 
• Neste caso, há que ser feito escolhas. 
• Estudos de viabilidade econômico-financeira 
costumam subsidiar os gestores no processo 
de escolha das alternativas que mais 
contribuirão para que a empresa atinja seus 
objetivos.
199
Fluxo de caixa de um projeto de 
investimento
• O fluxo de caixa de um projeto de investimento é 
um instrumento que reúne um conjunto de dados 
monetários correspondentes aos recursos que 
serão aplicados, as receitas, os custos e 
despesas e a influência tributária. 
• Com isso, permite-se determinar a rentabilidade e 
a viabilidade econômico-financeira do projeto. 
• Desse modo, constitui-se no principal instrumento 
utilizado para decisão de investir ou não. 
200
Fluxo de caixa de um projeto de 
investimento
• O fluxo de caixa de um projeto é 
denominado de fluxo de caixa incremental. 
• Um fluxo de caixa incremental corresponde 
a variação provocada no fluxo de caixa da 
empresa após a aceitação de um projeto, 
ou seja, é a diferença entre a situação atual 
da empresa e a situação decorrente da 
decisão de implementar o projeto.
201
ANO: 0 1 2 3 4 Ano .. n
Demanda
1. Receita
2. Custos e Despesas
3 = (1-2) LAJIR
4. Juros sobre Financiamento
5= (3-4) Lucro Antes da Cont. Social e o Imp. de Renda
6. Contribuição Social e Imposto de Renda 
7 = (5-6) Lucro Após a Cont. Social e o Imp. de Renda
8. Depreciação
9. Recuperação do Invest. em Capital de Giro
10. Fluxo de Caixa Residual
11. Amortização de Empréstimo
12= (7+8+9+10-11) ENTRADAS LÍQUIDAS DE CAIXA
13. Valor Líquido de Aquisição dos Bens do Projeto
14. Instalações
15. Benefício da Máquina Antiga
16. Capital de Giro
17. Outros
18=(13+14+15+16+17) INVESTIMENTO INICIAL
202
INVESTIMENTO INICIAL
• O investimento inicial refere-se ao montante 
de gastos que serão incorridos para 
implantar o projeto, ou seja, deixá-lo em 
condições de uso. 
– Deve-se considerar o valor líquido de impostos 
recuperáveis que incidem sobre os bens 
adquiridos . Incluem:
– O ICMS é recuperável em uma empresa que seja 
contribuinte deste imposto. 
• Em alguns casos, é permitidaa dedução do PIS e 
da COFINS. 
203
INVESTIMENTO INICIAL
• Em se tratando de substituição de bens do 
ativo imobilizado, as consequências 
financeiras devem ser tratadas no fluxo de 
caixa, juntamente com os demais itens que 
compõem o investimento inicial. 
• São consequências financeiras, os ganhos 
ou perdas de capital, remoção do bem que 
está sendo baixado do ativo imobilizado e 
demais gastos relacionados à sua retirada.
204
INVESTIMENTO INICIAL
• O artigo 418 do Decreto 3.000/1999 diz: 
• Serão classificados como ganhos ou 
perdas de capital, e computados na 
determinação do lucro real, os resultados 
na alienação, na desapropriação, na baixa 
por perecimento, extinção, desgaste, 
obsolescência ou exaustão, ou na 
liquidação de bens do ativo permanente. 
205
INVESTIMENTO INICIAL
• O parágrafo 1º deste artigo diz: 
• Ressalvadas as disposições especiais, a 
determinação do ganho ou perda de 
capital terá por base o valor contábil do 
bem, assim entendido o que estiver 
registrado na escrituração do contribuinte 
e diminuído, se for o caso, da 
depreciação, amortização ou exaustão 
acumulada.
206
INVESTIMENTO INICIAL
• Sendo a empresa tributada com base no 
lucro presumido, o ganho de capital é 
acrescido à base de cálculo do lucro 
presumido, conforme determina o Artigo 521 
do Decreto 3.000/1999. 
• O cálculo do ganho de capital, de acordo 
com parágrafo primeiro deste artigo, 
corresponde a diferença positiva verificada 
entre o valor da alienação e o respectivo 
valor contábil.
207
Exemplo de um projeto de 
investimento
• A Fábrica de Calhas V. Grande é especializada na 
fabricação, colocação e manutenção de calhas, rufos, coifas 
e dutos de ventilação de aço galvanizado. Sua carteira de 
clientes é constituída de pequenos construtores residenciais.
• A direção da empresa vislumbra a possibilidade de aumentar 
sua participação de mercado, fornecendo calhas para as 
grandes redes varejistas de materiais para construção.
• Na fábrica há espaço físico disponível para a instalação de 
uma nova Guilhotina automática. Não há necessidade de 
adequação da rede de energia elétrica. Também, no 
almoxarifado há espaço disponível para estocar mais matéria 
prima (bobinas de aço galvanizado) e produtos acabados.
208
Exemplo de um projeto de 
investimento
Os seguintes dados servirão para elaborar o fluxo de 
caixa deste projeto:
Investimento Inicial
• Preço CIF da Guilhotina Automática Modelo X-300, 
fabricante G-MAX: R$ 42.000,00. Neste valor inclui 
ICMS de 17%. Esta máquina será financiada em 5 
anos, pelo SAC (Sistema de Amortização Constante) 
junto ao Banco ABC que possui uma linha de crédito 
com juros de 7% ao ano e carência de 2 anos. Os 
juros incidem sobre o período de carência. O 
pagamento relativo a amortizações e juros ocorrerá ao 
final de cada ano. (O valor a ser financiado 
corresponde ao valor da máquina sem impostos).
209
Exemplo de um projeto de 
investimento
• Capital de Giro: R$ 8.000,00 correspondentes ao 
incremento de estoque de bobinas de aço galvanizado 
e do investimento em contas a receber. Este valor 
será financiado com capital dos proprietários, cujo 
custo de oportunidade é de 10% ao ano.
• Horizonte temporal do projeto: 8 anos.
• Produção estimada em 42.000 metros lineares, sendo 
3.000 metros lineares no primeiro ano; 4.000 metros 
lineares no segundo ano, 5.000 metros lineares no 
terceiro e, 6.000 metros lineares do quarto ao oitavo 
ano.
• Preço de Venda: R$ 15,50 o metro linear de calha. 
Sobre este valor incide 17% de ICMS.
210
Exemplo de um projeto de 
investimento
• Custos de Produção: 
• Matéria-prima (Bobina de aço galvanizado): Preço CIF de R$ 
6.000,00 por tonelada. Neste valor inclui 17% de ICMS. Cada 
tonelada propicia a fabricação de 1.000 metros lineares de calha.
• Energia Elétrica: Estimado o custo de R$ 500,00, para cada duas 
toneladas de chapas consumidas.
• Mão de obra: contratação de um funcionário com salário de R$ 
13.200,00 anuais. Os encargos sociais e trabalhistas da empresa 
representam 80% dos salários.
• A depreciação será calculada com base na quantidade produzida. 
Cálculo da depreciação anual: [(Valor do Ativo – Valor Residual) ÷
Produção Estimada durante o horizonte temporal do projeto] x 
Produção Anual Estimada
• Manutenção da Máquina: R$ 800,00 anuais, a partir do 4º ano.
211
Exemplo de um projeto de 
investimento
• Despesas comerciais: compreende as comissões 
sobre vendas. A Fábrica de Calhas V. Grande estima 
pagar 7,5% da receita líquida em comissões aos 
representantes comerciais.
• Ao final do 8º ano a máquina será substituída. A 
receita líquida de venda é estimada em R$ 10.000,00. 
Não haverá gastos com remoção.
• Imposto de Renda: a empresa é tributada pelo lucro 
real. Para fins de tributação, a depreciação desta 
máquina se enquadra na Referência NCM 8462 da 
Instrução Normativa SRF nº 162, cujo prazo de vida 
útil é de 10 anos. Neste caso a taxa anual de 
depreciação desta máquina é de 10%.
212
Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6 Ano 7 Ano 8
Demanda (metros 
lineares) 3.000 4.000 5.000 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000
Receita Bruta 46.500,00 62.000,0077.500,0093.000,0093.000,0093.000,0093.000,00 93.000,00
(-) ICMS -7.905,00
-
10.540,00
-
13.175,00
-
15.810,00
-
15.810,00
-
15.810,00
-
15.810,00
-
15.810,00
Receita Líquida 38.595,00 51.460,0064.325,0077.190,0077.190,0077.190,0077.190,00 77.190,00
(-) Custos e 
Despesas
Matéria Prima
-
14.940,00
-
19.920,00
-
24.900,00
-
29.880,00
-
29.880,00
-
29.880,00
-
29.880,00
-
29.880,00
Mão de obra direta
-
23.760,00
-
23.760,00
-
23.760,00
-
23.760,00
-
23.760,00
-
23.760,00
-
23.760,00
-
23.760,00
Energia Elétrica -750,00 -1.000,00 -1.250,00 -1.500,00 -1.500,00 -1.500,00 -1.500,00 -1.500,00
Manutenção -800,00 -800,00 -800,00 -800,00 -800,00
Depreciação -1.775,71 -2.367,62 -2.959,52 -3.551,43 -3.551,43 -3.551,43 -3.551,43 -3.551,43
Comissões -2.894,63 -3.859,50 -4.824,38 -5.789,25 -5.789,25 -5.789,25 -5.789,25 -5.789,25
Total
-
44.120,34
-
50.907,12
-
57.693,90
-
65.280,68
-
65.280,68
-
65.280,68
-
65.280,68
-
65.280,68
LAJIR -5.525,34 552,88 6.631,10 11.909,32 11.909,3211.909,32 11.909,32 11.909,32
(-) Juros -2.440,20 -2.440,20 -2.440,20 -1.952,16 -1.464,12 -976,08 -488,04 0,00
Lucro Antes da C.S. 
e do I.R. -7.965,54 -1.887,32 4.190,90 9.957,1610.445,2010.933,24 11.421,28 11.909,32
213
Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6 Ano 7 Ano 8
Lucro Antes da C.S. 
e do I.R. -7.965,54 -1.887,32 4.190,90 9.957,16 10.445,2010.933,24 11.421,28 11.909,32
Imposto de Renda e 
Contr. Social 3.289,78 1.021,94 -1.245,90 -3.407,68 -3.573,61 -3.739,55 -3.905,48 -5.100,94
Lucro Após a C. S. e 
o I.R. -4.675,76 -865,38 2.945,00 6.549,48 6.871,59 7.193,69 7.515,80 6.808,39
(+) Depreciação 1.775,71 2.367,62 2.959,52 3.551,43 3.551,43 3.551,43 3.551,43 3.551,43
(-) Amortização de 
Empréstimo 0,00 0,00 -6.972,00 -6.972,00 -6.972,00 -6.972,00 -6.972,00 0,00
(+) Valor Residual 
(Venda da Máquina) 10.000,00
(+) Recuperação do 
Capital de Giro 0,00
ENTRADAS 
LÍQUIDAS DE CAIXA -2.900,04 1.502,24 -1.067,48 3.128,91 3.451,02 3.773,12 4.095,2320.359,82
INVESTIMENTO 
INICIAL
Aquisição da 
máquina 34.860,00
Capital de giro 8.000,00
Total 42.860,00 214
Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6 Ano 7 Ano 8
Lucro Antes da C.S. e do I.R. -7.965,54 -1.887,32 4.190,90 9.957,16 10.445,20 10.933,24 11.421,28 11.909,32
(+) Depreciação Qtd. Prod. 1.775,71 2.367,62 2.959,52 3.551,43 3.551,43 3.551,43 3.551,43 3.551,43
(-) Depreciação Linear -3.486,00 -3.486,00 -3.486,00 -3.486,00 -3.486,00 -3.486,00 -3.486,00 -3.486,00
Lucro Real -9.675,83 -3.005,70 3.664,4310.022,59 10.510,63 10.998,67 11.486,71 11.974,75
Ganho de Capital 3.028,00
Base de Cálculo da C.S. e I.R. -9.675,83 -3.005,70 3.664,43 10.022,59 10.510,63 10.998,67 11.486,71 15.002,75
Imposto de Renda (15%) -1.451,37 -450,86 549,66 1.503,39 1.576,59 1.649,80 1.723,01 2.250,41
Imposto de Renda (10%) -967,58 -300,57 366,44 1.002,26 1.051,06 1.099,87 1.148,67 1.500,28
Contribuição Social (9%) -870,82 -270,51 329,80 902,03 945,96 989,88 1.033,80 1.350,25
IR + CS -3.289,78 -1.021,94 1.245,90 3.407,68 3.573,61 3.739,55 3.905,48 5.100,94
CÁLCULO DO IMPOSTO DE RENDA E DA CONTR. 
SOCIAL
215
CÁLCULO DO GANHO DE CAPITAL
Valor Ativado desta Máquina 34.860,00
(-) Depr. Acumulada (método linear) -27.888,00
Saldo a Depreciar (Valor Contábil) 6.972,00
Receita Líquida 10.000,00
(-) Valor Contábil -6.972,00
Ganho de Capital 3.028,00
CÁLCULO DO GANHO DE CAPITAL
216
Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de 
Retorno (TIR) do Fluxo de Caixa dos Proprietários
• Em finanças, esse fluxo de caixa é denominado Fluxo 
de Caixa do Acionista, uma vez que representa o fluxo 
de caixa remanescente do projeto, depois de 
realizadas as obrigações financeiras relativas a juros 
e amortização do financiamento. 
– Ou seja, mostra o montante de recursos a ser 
gerado que não estará comprometido com outros 
credores que não os proprietários da empresa.
• Para se determinar o Valor Presente Líquido deste 
fluxo de caixa, o mesmo deve ser descontado por 
uma taxa que reflita o custo de capital dos 
proprietários.
217
Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de 
Retorno (TIR) do Fluxo de Caixa dos Proprietários
• O custo de capital dos proprietários 
corresponde à remuneração que esses 
proprietários desejam para o seu capital 
aplicado na empresa. 
• Por ora, denominamos esta remuneração por 
custo de oportunidade dos proprietários. 
• O valor investido neste projeto, pelos 
proprietários, é de R$ 8.000,00, com custo 
de oportunidade de 10% ao ano.
218
Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de 
Retorno (TIR) do Fluxo de Caixa dos Proprietários
• Assim, com base no fluxo de caixa o VPL 
do projeto é R$ 7.812,34 e, a TIR, 20,1%.
8)10,01(
82,359.20
7)10,01(
23,095.4
6)10,01(
12,773.3
5)10,01(
02,451.3
4)10,01(
91,128.3
3)10,01(
48,067.1
2)10,01(
24,502.1
1)10,01(
04,900.200,000.8
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−+
+
+
+
−+−=VPL
8)1(
82,359.20
7)1(
23,095.4
6)1(
12,773.3
5)1(
02,451.3
4)1(
91,128.3
3)1(
48,067.1
2)1(
24,502.1
1)1(
04,900.200,000.80
TIRTIRTIRTIRTIRTIRTIRTIR +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−+
+
+
+
−+−=
219
Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de 
Retorno (TIR) do Fluxo de Caixa da Empresa
• Este fluxo de caixa corresponde ao fluxo de 
caixa operacional do projeto, com o qual se 
remunera os fornecedores de capital, tanto 
capital dos proprietários como capital de 
terceiros. 
• Portanto, não é afetado pelo pagamento de 
juros e amortização de dívidas. Pode ser 
obtido de duas maneiras: 
• Partindo-se do fluxo de caixa dos 
proprietários
220
Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de 
Retorno (TIR) do Fluxo de Caixa da Empresa
Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6 Ano 7 Ano 8
Fluxo de Caixa dos 
Proprietários -2.900,04 1.502,24-1.067,48 3.128,91 3.451,02 3.773,12 4.095,23 20.359,82
(+) Juros 2.440,20 2.440,20 2.440,20 1.952,16 1.464,12 976,08 488,04 0,00
(-) Benefício do I.R. e C.S. 
(Juros x 34%) -829,67 -829,67 -829,67 -663,73 -497,80 -331,87 -165,93 0,00
(+) Amortização de 
Empréstimo 0,00 0,00 6.972,00 6.972,00 6.972,00 6.972,00 6.972,00 0,00
Fluxo de Caixa Operacional -1.289,51 3.112,77 7.515,05 11.389,34 11.389,34 11.389,34 11.389,34 20.359,82
221
Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna 
de Retorno (TIR) do Fluxo de Caixa da 
Empresa
• Utilizando-se o mesmo fluxo de caixa dos 
proprietários, porém, excluindo-se os juros 
e a amortização do empréstimo.
222
Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6 Ano 7 Ano 8
LAJIR -5.525,34 552,88 6.631,10 11.909,32 11.909,32 11.909,32 11.909,32 11.909,32
(-) Juros
Lucro Antes da 
C.S. e do I.R. -5.525,34 552,88 6.631,10 11.909,32 11.909,32 11.909,32 11.909,32 11.909,32
Imposto de Renda 
e Contr. Social 2.460,11 192,27 -2.075,57 -4.071,42 -4.071,42 -4.071,42 -4.071,42 -5.100,94
Lucro Após a C. S. 
e o I.R. -3.065,23 745,15 4.555,53 7.837,91 7.837,91 7.837,91 7.837,91 6.808,39
(+) Depreciação 1.775,71 2.367,62 2.959,52 3.551,43 3.551,43 3.551,43 3.551,43 3.551,43
(-) Amortização de 
Empréstimo
(+) Valor Residual 
(Venda da 
Máquina) 10.000,00
(+) Recuperação do 
Capital de Giro 0,00
ENTRADAS 
LÍQUIDAS DE 
CAIXA -1.289,51 3.112,77 7.515,05 11.389,34 11.389,34 11.389,34 11.389,3420.359,82
INVESTIMENTO 
INICIAL
Aquisição da 
máquina 34.860,00
Capital de giro 8.000,00
Total 42.860,00
223
Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna 
de Retorno (TIR) do Fluxo de Caixa da 
Empresa
• Para se determinar o Valor Presente Líquido deste fluxo de caixa, o 
mesmo deve ser descontado por uma taxa que reflita o Custo 
Médio Ponderado de Capital (CMPC), próprio e de terceiros, que 
financiam o projeto. 
• O custo do capital próprio foi estabelecido em 10% e o custo do 
capital de terceiros corresponde à taxa de juros incidente sobre o 
financiamento.
• Como a Fábrica de Calhas V. Grande é tributada pelo lucro real, os 
juros pagos são deduzidos da base de cálculo do Imposto de 
Renda e da Contribuição Social da empresa. Assim, o custo do 
capital de terceiros é calculado da seguinte maneira:
• Custo do capital de terceiros (juros) = 7% ao ano
• Alíquota do Imposto de Renda mais Contribuição Social = 34%
• Custo do capital de terceiros após o efeito fiscal = 7% x (1 –
34%) = 4,62%
224
Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna 
de Retorno (TIR) do Fluxo de Caixa da 
Empresa
• Conhecendo o custo do capital próprio e do 
capital de terceiros, formulamos a equação do 
Custo Médio Ponderado de Capital:
• Com base no fluxo de caixa do Quadro 11.8 
ou Quadro 11.9, o VPL do projeto é R$ 
11.992,60 e, a TIR, 10,4%.
%63,5
%62,400,860.3400,000.8
00,860.34%1000,860.3400,000.8
00,000.8
=
×
+
+×
+
=
CMPC
CMPC
225
Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna 
de Retorno (TIR) do Fluxo de Caixa da 
Empresa
8)0563,01(
82,359.20
7)0563,01(
34,389.11
6)0563,01(
34,389.11
5)0563,01(
34,389.11
4)0563,01(
34,389.11
3)0563,01(
05,515.7
2)0563,01(
77,112.3
1)0563,01(
51,289.100,860.42
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−+−=VPL
8)1(
82,359.20
7)1(
34,389.11
6)1(
34,389.11
5)1(
34,389.11
4)1(
34,389.11
3)1(
05,515.7
2)1(
77,112.3
1)1(
51,289.100,860.420
TIRTIRTIRTIRTIRTIRTIRTIR +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−+−=
226
EXERCÍCIO
Uma empresa está considerando a possibilidade de lançar um novo produto 
no mercado. A instalação da nova linha requererá um gasto de $ 55.000,00 
para investimentos fixos e $ 5.000,00 para capital de giro.
Estima-se uma vida econômica, para o projeto, de 10 anos. A empresa espera 
vender uma produção anual de 5.000 toneladas a um preço de $ 10,00/ton. Os 
custos operacionais anuais foram estimados em $ 35.000,00 (não inclui a 
depreciação). A alíquota do Imposto de Renda desta empresa é de 35%.
O projeto será financiado inteiramente por capital próprio, cuja taxa de 
retorno, após os impostos, é de 10% ao ano.
Pede-se:
• A. Verifique a atratividade do projeto.
• B. Verifique a sensibilidade do projeto para uma variação negativa de – 15% 
no preço de venda.
• C. Verifique a sensibilidade do projeto para um acréscimo de + 20% no 
valor do investimento fixo.
• Avaliar oresultado de cada uma das solicitações.
• OBS: 
• A depreciação dos investimentos fixos será realizada pelo método da linha 
reta, em 10 anos. 
• Ao final de 10 anos, será recuperado o investimento de $ 5.000,00 em 
capital de giro. 227