Prévia do material em texto

Material complementar_Aula 1 
1) Em uma indústria há 5.200 funcionários. Desses 1.300 trabalham como 
operadores de máquina. 
Qual é a razão entre os funcionários que são operadores de máquina e o total 
de funcionários? 
𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑠
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠
=
1.300
5.200
 
Simplificando a razão, ou seja, buscando um valor que divida ao mesmo tempo 
1.300 e 5.200, obtemos: 
1.300(: 1.300)
5.200(: 1.300)
=
1
4
 
 
Logo, a razão entre os funcionários que são operadores de máquina e o total é 
1
4
. 
 
2) Se duas razões são iguais, então elas formam uma proporção. Sabendo disso, 
analise as seguintes razões e verifique se elas formam ou não uma proporção: 
a) 
6
9
 e 
4
6
 
− Uma possibilidade é simplificar as razões, visto que é possível analisar que elas 
não estão em sua forma irredutível: 
Para realizar a simplificação é necessário ver um mesmo valor que divida tanto 
o antecedente quanto o consequente. 
Para a primeira razão vê-se que 6 e 9 podem ser divididos por 3, desse modo: 
6
9
=
2
3
 
Analisando a segunda razão nota-se que 4 e 6 podem ser divididos por 2, 
assim: 
4
6
=
2
3
 
Observe que as duas razões após as simplificações ficaram iguais, logo temos 
uma proporção: 
2
3
=
2
3
 
− Outra possibilidade é escrever as razões 
6
9
 e 
4
6
 na forma decimal: 
6
9
= 0,6666 … 
4
6
= 0,6666 … 
Logo, 0,6666 … = 0,6666 … o que mostra que as razões são proporcionais. 
 
✓ OBSERVAÇÃO: como as razões são proporcionais elas satisfazem a 
propriedade fundamental das proporções: “Em toda proporção, o produto dos 
extremos é igual ao produto dos meios”: 
6
9
=
4
6
 
6 ∙ 6 = 4 ∙ 9 
36 = 36 
 
b) 
5
4
 e 
7
6
 
− As razões estão em suas formas irredutíveis, visto que não é possível 
simplifica-las. Desse modo, é possível ver que as razões não formam uma 
proporção, ou seja, 
5
4
≠
7
6
. 
− Escrevendo as razões na forma decimal: 
5
4
= 1,25 
7
6
= 1,166 … 
Logo, 1,25 ≠ 1,166 
 
c) 
4
12
 e 
5
20
 
− Simplificando as razões para deixa-las em sua forma irredutível. 
Para a primeira razão vê-se que 4 e 12 podem ser divididos por 4, desse modo: 
4
12
=
1
3
 
Analisando a segunda razão nota-se que 5 e 20 podem ser divididos por 5, 
assim: 
5
20
=
1
4
 
Observe que as duas razões após as simplificações não ficaram iguais, logo 
não temos uma proporção: 
1
3
≠
1
4
 
− Outra possibilidade é escrever as razões 
4
12
 e 
5
20
 na forma decimal: 
4
12
= 0,3333 … 
5
20
= 0,25 
Logo, 0,3333 … ≠ 0,25 o que mostra que as razões não são proporcionais. 
 
d) 
10
20
 e 
3
6
 
− Simplificando as razões para deixa-las em sua forma irredutível. 
Para a primeira razão vê-se que 10 e 20 podem ser divididos por 10, desse 
modo: 
10
20
=
1
2
 
Analisando a segunda razão nota-se que 3 e 6 podem ser divididos por 3, 
assim: 
3
6
=
1
2
 
Observe que as duas razões após as simplificações ficaram iguais, logo temos 
uma proporção: 
1
2
=
1
2
 
− Outra possibilidade é escrever as razões 
10
20
 e 
3
6
 na forma decimal: 
10
20
= 0,5 
3
6
= 0,5 
Logo, 0,5 = 0,5 o que mostra que as razões são proporcionais. 
 
3) Márcio e Larissa tiveram o mesmo aproveitamento em um concurso. Márcio 
respondeu a 30 questões e acertou 24. Larissa respondeu a 35 questões. 
Quantas questões Larissa acertou? 
Podemos escrever a seguinte razão: 
𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡õ𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠
𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠
 
Márcio: 
30
24
 
Larissa: 
35
𝑥
 
Temos que Márcio e Larissa tiveram o mesmo aproveitamento: 
30
24
=
35
𝑥
 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções: 
30𝑥 = 24 ∙ 35 
30𝑥 = 840 
𝑥 =
840
30
 
𝑥 = 28 
Logo, Larissa acertou a 28 questões. 
 
4) Luiz recebe R$ 2.500,00 de salário e desse dinheiro usou R$ 260,00 para pagar 
o condomínio de seu apartamento. 
Qual a porcentagem que Luiz usou de seu salário para pagar o condomínio? 
− Podemos escrever a seguinte razão: 
260
2.500
. 
Fazendo a divisão obtemos 0,104. Em seguida, multiplicando 0,104 por 100 
temos 10,4%. 
− Ou organizando os dados em uma tabela e fazendo uso propriedade 
fundamental das proporções: 
 R$ Porcentagem (%) 
Salário 2.500 100 
Condomínio 260 x 
2.500
260
=
100
𝑥
 
2.500𝑥 = 100 ∙ 260 
𝑥 =
26.000
2.500
 
𝑥 = 10,4% 
Logo, Luiz usou 10,4% de seu salário para pagar o condomínio. 
 
5) (Instituto Ânima Sociesc - 2017 - Câmara de Guaramirim - SC - Auxiliar 
Administrativo) Marcelo trabalha em uma empresa automobilística e seu chefe 
o informou que receberá um aumento no salário de 5%. Sabendo que o salário 
de Marcelo é R$ 3.500,00, qual será o novo salário após o aumento? 
a) R$ 3.550,00. 
b) R$ 3.575,00. 
c) R$ 3.675,00. 
d) R$ 3.600,00. 
e) R$ 3.625,00. 
− Calculando 5% de 3.500: 
5
100
∙ 3.500 = 175 
Como é questionado o novo salário após o aumento: 
𝑅$ 3.500,00 + 𝑅$ 175,00 = 𝑅$ 3.675,00 
Logo, Marcelo receberá R$ 3.675,00. 
− Outra forma de determinar o novo salário é considerar que como teve um 
aumento teremos: 100% + 5% = 105%. 
Assim, calculando 105% de 3.500: 
105
100
∙ 3.500 = 3.675 
Obtemos que o novo salário de Marcelo será de R$ 3.675,00. 
 
6) Para preparar bolos, uma confeitaria utiliza 5 tipos de massa, 5 de recheio e 5 
de cobertura. 
Utilizando um tipo de massa, um de recheio e um de cobertura, quantos bolos 
diferentes essa confeitaria pode preparar? 
53 = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125 
Logo, podem ser preparados 125 bolos. 
 
7) Em uma análise microscópica foram coletados os seguintes dados: 0, 000012 
e 0,00046. Qual a indicação respectiva destes dados em notação científica? 
a) 1,2.10-7 e 4,6.10 -4. 
b) 1,2.10 7 e 4,6.10 4. 
c) 12.10-7 e 46.10 -4. 
d) 12.10 7 e 46.10 4. 
e) 0,12.10-7 e 0,46.10 -4. 
Como os números apresentados são pequenos deve-se deslocar a vírgula para 
a direita até o primeiro algarismo significativo. Desse modo, os valores dados 
escritos em notação científica são 1,2.10-7 e 4,6.10 -4. 
 
8) O número 967.000, em notação científica, corresponde a: 
A notação científica consiste em um número x, tal que 1 < x < 10 multiplicado 
por uma potência de base 10. 
Como o número apresentado é grande deve-se deslocar a vírgula até o 
primeiro algarismo, ou seja, o 9. Desse modo, o número apresentado em 
notação científica é 9,67 ∙ 105. 
 
9) Determine o conjunto verdade das equações exponenciais: 
a) 2𝑥 = 64 
Primeiro devemos igualar as bases, visto que “Se duas potências de mesma 
base são iguais, então os seus expoentes também são”. Desse modo, usando 
a decomposição em fatores primos: 
64 2 
32 2 
16 2 
 8 2 
 4 2 
 2 2 
 1 26 
2𝑥 = 26 
Logo, 𝑥 = 6 
𝑉 = {6} 
b) 9𝑥 =
1
3
 
1
3
 pode ser escrito como 3−1, pois “Dada uma potência x – y, com x e y reais, o 
seu resultado é igual ao inverso de x elevado a y”. 
Agora é necessário deixar as bases iguais. Decompondo 9 em fatores primos: 
9 3 
3 3 
1 32 
 (32)𝑥 = 3−1 
 
 
 
 
 
32𝑥 = 3−1 
2𝑥 = −1 
𝑥 = −
1
2
 
𝑉 = {−
1
2
} 
 
10) Calcule os seguintes logaritmos: 
a) log3 81 
Para determinar o logaritmo faz-se: 
log3 81 = 𝑥 
Aplicando a definição: “log𝑏 𝑎 = 𝑐 ⇔ 𝑏
𝑐 = 𝑎”: 
 
log3 81 = 𝑥 
 
3𝑥 = 81 
Decompondo em fatores primos o 81, para deixa-lo na base 3: 
813 
27 3 
9 3 
3 3 
1 34 
Logo, 3𝑥 = 81 → 3𝑥 = 34 
𝑥 = 4 
Aplicando a seguinte 
propriedade: “conserva a 
base e multiplica os 
expoentes”, visto que temos 
potência de potência. 
3 elevado a 𝑥 
é igual a 81 
Desse modo, log3 81 = 4 
 
b) log16 √8
3
 
Para determinar o logaritmo faz-se: 
log16 √8
3
= 𝑥 
Aplicando a definição: “log𝑏 𝑎 = 𝑐 ⇔ 𝑏
𝑐 = 𝑎”: 
16𝑥 = √8
3
 
√8
3
= 2, pois decompondo em fatores primos: 
8 2 
4 2 
2 2 
1 23 
√8
3
= √23
3
= 2 
Voltando ao cálculo do logaritmo: 
16𝑥 = 2 
Igualando as bases para obter o valor de 𝑥: 
16 2 
8 2 
4 2 
2 2 
1 24 
(24)𝑥 = 2 
24𝑥 = 2 
4𝑥 = 1 
𝑥 =
1
4
 
Logo, log16 √8
3
=
1
4
 
 
 
 
 
 
 
Quando o expoente não está 
explicito, ele é igual a 1 
Regra de três simples 
1) (IADES – 2018) Uma equipe formada por assistentes administrativos de um 
órgão público, trabalhando 5 horas por dia, realizou um certo trabalho 
administrativo em 32 dias. Se o número de horas diárias de serviço fosse 
aumentado para 8, nas mesmas condições de dificuldade, em quantos dias 
essa equipe de assistentes faria o mesmo trabalho? 
a) 8. 
b) 16. 
c) 14. 
d) 10. 
e) 20. 
 
Nessa questão temos horas de trabalho por dia e quantidade de dias 
trabalhados, assim: 
Horas Dias 
5 32 
8 x 
 
• O primeiro passo é colocar a seta para baixo na coluna que está a incógnita 
(x): 
Horas Dias 
5 32 
8 x 
 
• O segundo passo é determinar se essas grandezas são diretamente ou 
inversamente proporcionais, para isso pode-se fazer a seguinte pergunta: 
Se aumentar a quantidade de horas de trabalho a quantidade de dias para a 
equipe fazer o trabalho aumenta ou diminui? A resposta é diminui, logo a 
grandeza é inversamente proporcional. Assim a outra seta será para cima: 
Horas Dias 
5 32 
8 x 
 
• O terceiro passo é resolver a situação, como é inversamente proporcional é 
possível resolver de duas formas: 
− Inverter os termos, ou seja, o que está em baixo vai para cima e do cima vai 
para baixo, e depois só multiplicar cruzado (propriedade fundamental das 
proporções): 
5
8
=
32
𝑥
 
8
5
=
32
𝑥
 
8𝑥 = 160 
𝑥 = 20 
 
OBSERVAÇÃO: É possível inverter qualquer uma das razões, veja: 
5
8
=
𝑥
32
 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções: 
8𝑥 = 160 
𝑥 = 20 
 
Veja que a resposta é a mesma! 
 
− Multiplicar reto sem inverter os termos: 
5
8
=
32
𝑥
 
8𝑥 = 160 
𝑥 = 20 
 
Nos casos apresentados de resolução de grandezas inversamente 
proporcionais observe que obtivemos o mesmo valor, ou seja, 20 dias de 
trabalho. 
ATENÇÃO: é importante não confundir as formas de resolver: se escolher 
inverter os termos precisa multiplicar cruzado e se não inverter os termos 
multiplica reto! 
 
2) (UEM – 2017) Ciro usou 84 litros de leite para produzir 28 queijos, todos com o 
mesmo peso. Quantos litros de leite Ciro precisará para produzir 36 desses 
queijos? 
Sem inverter os termos da 
razão que não tem o x 
Com os termos invertidos 
da razão que não tem o x 
 
Com os termos invertidos 
da razão que tem o x 
 
Sem inverter os termos de 
nenhuma razão 
a) 98. 
b) 102. 
c) 108. 
d) 116. 
e) 126. 
 
Nessa questão temos litros de leite e quantidade de queijo, assim: 
Litros de leite Quantidade de queijo 
84 28 
x 36 
 
• O primeiro passo é colocar a seta para baixo na coluna que está a incógnita 
(x): 
Litros de leite Quantidade de queijo 
84 28 
x 36 
 
• O segundo passo é determinar se essas grandezas são diretamente ou 
inversamente proporcionais, para isso pode-se fazer a seguinte pergunta: 
Se aumentar a quantidade de queijos a quantidade de litros de leite necessária 
aumenta ou diminui? A resposta é aumenta, logo a grandeza é diretamente 
proporcional. Assim a outra seta será para baixo: 
Litros de leite Quantidade de queijo 
84 28 
x 36 
 
• O terceiro passo é resolver a situação, como é diretamente proporcional é só 
multiplicar cruzado (propriedade fundamental das proporções): 
84
𝑥
=
28
36
 
28𝑥 = 3.024 
𝑥 = 108 
 
Logo, Ciro precisará de 108 litros de leite.