Aula_03_-_Desconto_Simples

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DESCONTO SIMPLES
Professor: Jorge H. N. Viana
Contato: jorgeviana@ccsa.ufpb.br
Referência: Capítulo 4 do Assaf (2017)
CONTEÚDO
• Introdução.
• Desconto por Dentro.
• Desconto por Fora:
 Taxa Efetiva;
 Vários Títulos.
INTRODUÇÃO
• Quando falamos de desconto queremos entender operações do seguinte tipo:
“Uma empresa que produz cimentos (Tabajara Cimentos) tem a receber de um
construtora (Tupi Construções) R$ 100.000,00 daqui a três meses. A Tabajara
Cimentos leva esta dívida (título) até a o Banco Potiguar e pede um dinheiro
em troca dessa dívida.”
• O Banco Potiguar vai entregar R$ 100.000,00 a Tabajara Cimentos?
 Resposta: Não, pois o banco só vai receber os R$ 100.000,00 da Tupi Construções
daqui a três meses.
• Quanto de fato o Banco irá entregar a Tabajara Cimentos?
 Resposta: Vai depender do método usado.
INTRODUÇÃO
• Tanto sob o regime de juros simples quanto sob o regime de juros compostos
existem duas forma de se processar o desconto:
1. Desconto por dentro (racional): incide sobre o capital inicial (valor
presente) da dívida.
2. Desconto por fora (bancário, comercial): incide sobre o montante final
(valor furto) da dívida.
INTRODUÇÃO
• A operação de liquidar uma dívida antes de seu prazo de vencimento em geral
envolve um desconto pelo adiantamento do capital.
• Nas operações de desconto o valor a ser pago (dívida) costuma ser chamado de
valor nominal (N). Corresponde ao montante (M) de uma operação de
capitalização.
• Por seu turno, o desconto (D) corresponde ao volume de juros que deixou de
ser pago devido a antecipação do pagamento.
• Assim, temos que:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 − 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜
DESCONTO POR DENTRO
• Quando do estudo do regime de capitalização com juros simples, tínhamos as
seguintes fórmulas:
 Valor dos juros:
𝐽 = 𝐶 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
 Montante:
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 ∗ 𝑛
• No método de desconto por dentro utilizamos exatamente as mesmas fórmulas,
apenas modificando a notação:
 Desconto:
𝐷𝑟 = 𝑉𝑟 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
 Valor Nominal:
𝑁 = 𝑉𝑟(1 + 𝑖 ∗ 𝑛)
DESCONTO POR DENTRO
• Valor Descontado:
𝑉𝑟 =
𝑁
1 + 𝑖 ∗ 𝑛
• Podemos ainda encontrar uma fórmula alternativa para o desconto, que não depende
do capital inicial.
𝑉𝑟 = 𝑁 − 𝐷𝑟
𝑁
1 + 𝑖 ∗ 𝑛
= 𝑁 − 𝐷𝑟
𝐷𝑟 = 𝑁 −
𝑁
1 + 𝑖 ∗ 𝑛
𝐷𝑟 =
𝑁 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
1 + 𝑖 ∗ 𝑛
DESCONTO POR DENTRO
• Exemplo Ilustrativo - Parte I: A Tabajara Cimentos tem a receber da Tupi
Construções R$ 100.000,00 daqui a três meses. A Tabajara Cimentos leva
esta dívida até a o Banco Potiguar e pede um dinheiro em troca dessa dívida.
Supondo que o Banco Potiguar usa o sistema de desconto simples racional,
com uma taxa de desconto de 4% a.m., responda:
a) Qual o valor que a Tabajara Cimentos receberá em troca da dívida?
b) Qual o valor do desconto nesta operação?
• Respostas:
a) 𝑉𝑟 =
𝑁
1+𝑖∗𝑁
=
100.000,00
1+0,04∗3
= 𝑅$ 89.285,71
DESCONTO POR DENTRO
b) I) Método “Na Tora”:
𝐷𝑟 =
𝑁 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
1 + 𝑖 ∗ 𝑛
=
100000 ∗ 0,04 ∗ 3
1 + 0,04 ∗ 3
= 𝑅$ 10.714,29
II) Método Eficiente:
𝐷𝑟 = 𝑁 − 𝑉𝑟 = 100.000,00 − 89285,71 = 𝑅$ 10.714,29
DESCONTO POR DENTRO
• Exemplo 1: Um título é descontado num banco 3 meses antes de seu
vencimento. A taxa de desconto definida pelo banco é de 3,3% ao mês. Sendo
de $ 25.000,00 o valor nominal deste título, e sabendo-se que a instituição
financeira trabalha com o sistema de desconto “por dentro”, calcule o valor do
desconto cobrado pelo banco e o valor descontado do título liberado ao cliente.
• Exemplo 2: Qual é o valor do desconto racional simples que um banco aplica
sobre duplicatas, no valor de R$ 2.750.000,00, 63 dias antes do vencimento, à
taxa de desconto bancário simples de 7% ao mês?
DESCONTO POR DENTRO
• Exemplo 3: A sua empresa pretende descontar um título de valor nominal
igual a $ 20.000,00. O título vence daqui a dois meses e meio. A taxa de
desconto simples por dentro mensal é de 4%. Calcule
a) O valor do desconto simples por dentro embutido na operação;
b) O respectivo valor presente descontado a ser recebido hoje.
DESCONTO POR FORA
• No método por fora, ou bancário, ou comercial, o desconto é calculado com
base no valor nominal, ao invés do capital inicial. A fórmulas passam então a
serem dadas por:
 Desconto
𝐷𝑓 = 𝑁 ∗ 𝑑 ∗ 𝑛
 Valor Descontado:
𝑉𝑓 = 𝑁(1 − 𝑑 ∗ 𝑛)
Onde: 𝑑 é a taxa de desconto utilizada.
OBS.: A identidade 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐 = 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑵𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍 − 𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒐 continua
válida.
DESCONTO POR FORA
• Exemplo Ilustrativo - Parte II : A Tabajara Cimentos tem a receber da Tupi
Construções R$ 100.000,00 daqui a três meses. A Tabajara Cimentos leva
esta dívida até a o Banco Potiguar e pede um dinheiro em troca dessa dívida.
Supondo que o Banco Potiguar usa o sistema de desconto simples
bancário, com uma taxa de desconto de 4% a.m., responda:
a) Qual o valor que a Tabajara Cimentos receberá em troca da dívida?
b) Qual o valor do desconto nesta operação?
• Respostas:
a) 𝑉𝑓 = 𝑁 1 − 𝑑 ∗ 𝑛 = 100000 ∗ 1 − 0,04 ∗ 3 = 𝑅$ 88.000,00
DESCONTO POR FORA
b) I) Método “Na Tora”:
𝐷𝑓 = 𝑁 ∗ 𝑑 ∗ 𝑛 = 100000 ∗ 0,04 ∗ 3 = 𝑅$ 12.000,00
II) Método Eficiente:
𝐷𝑓 = 𝑁 − 𝑉𝑓 = 100.000,00 − 88.000,00 = 𝑅$ 12.000,00
OBS.: Note que os valores dos descontos por fora são sempre maiores do que os valores
dos descontos por dentro.
DESCONTO POR FORA
• Exemplo 4: Um título é descontado num banco 3 meses antes de seu
vencimento. A taxa de desconto definida pelo banco é de 3,3% ao mês. Sendo
de $ 25.000,00 o valor nominal deste título, e sabendo-se que a instituição
financeira trabalha com o sistema de desconto “por fora”, calcule o valor do
desconto e o valor descontado do título liberado ao cliente.
• Exemplo 5: Um título de valor nominal de $ 41.000,00 é descontado
comercialmente 4 meses antes de ser pago. A taxa de desconto adotada atinge
2,5% ao mês. Calcular o valor liberado, o valor do desconto e a taxa efetiva de
juros desta operação.
DESCONTO POR FORA – TAXA EFETIVA
• Exemplo Ilustrativo – Parte III: A Tabajara Cimentos tem a receber da Tupi
Construções R$ 100.000,00 daqui a três meses. A Tabajara Cimentos leva
esta dívida até a o Banco Potiguar e pede um dinheiro em troca dessa dívida.
Supondo que o Banco Potiguar usa uma taxa de desconto de 4% a.m.,
responda:
a) Capitalizando o valor descontado pelo desconto simples racional (𝑽𝒓) pelos três
meses, a taxa de 4% a.m. chegamos ao valor final de R$ 100.000,00?
89.285,71 ∗ 1 + 0,04 ∗ 3 = 𝑅$ 100.000,00
b) Capitalizando o valor descontado pelo desconto simples bancário (𝑽𝒇) pelos
três meses, a taxa de 4% a.m. chegamos ao valor final de R$ 100.000,00?
88000 ∗ 1 + 0,04 ∗ 3 = 𝑅$ 98.560,00
DESCONTO POR FORA – TAXA EFETIVA
c) Qual taxa de juros garantiria que ao capitalizar 𝑉𝑓 por três meses geraria o valor
nominal?
88000 ∗ 1 + 𝑖 ∗ 3 = 100000
1 + 𝑖 ∗ 3 =
100000
88000
𝑖 ∗ 3 =
100000
88000
− 1
3 ∗ 𝑖 =
100000 − 88000
88000
=
12000
88000
𝑖 =
12000
88000 ∗ 3
= 0,04545
DESCONTO POR FORA – TAXA EFETIVA
• A taxa de juros efetiva da operação é maior do que a da taxa de desconto,
quando este é realizado pelo método por fora.
• O valor da taxa efetiva é dado pelo método de desconto por dentro:
𝑖 =
𝐷𝑓
𝑉𝑓 ∗ 𝑛
DESCONTO POR FORA – TAXA EFETIVA
• Exemplo 6: Um título com valor de resgate de $1.000,00, com 80 dias a
decorrer até seu vencimento, está sendo negociado a juros simples, com uma
taxa de desconto bancário de 15,00% a.a. Calcule:
a) O valor do desconto simples; 
b) A rentabilidade mensal desse título, até seu vencimento.
• Exemplo7: Um banco desconta um título de valor nominal de $ 16.000,00, 80
dias antes do vencimento. Nesta operação o banco cobra 39% de taxa de
desconto ao ano e 2% de “despesa administrativa”. Calcule o valor líquido
liberado ao cliente e o valor do desconto.
DESCONTO POR FORA – VÁRIOS TÍTULOS
• Como fica o nosso problema de achar a taxa de juros efetiva, no desconto por
fora quando vários títulos foram descontados de uma vez?
DESCONTO POR FORA – VÁRIOS TÍTULOS
• O problema aqui é qual 𝑛 utilizar. Nestes casos, via de regra, usa-se a média
ponderada dos prazos de antecipação:
ത𝑛 =
5000 ∗ 50 + 9000 ∗ 70 + 8000 ∗ 820 + (4000 ∗ 60)
5000 + 9000 + 8000 + 4000
= 68,3 𝑑𝑖𝑎𝑠
ത𝑛 = 2,2767 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
• Finalmente, supondo que o valor descontado foi de 23600, a taxa de juros
efetiva seria:
𝑖 =
2400
23600 ∗ 2,2767
→ 𝑖 = 4,47% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠
DESCONTO POR FORA – VÁRIOS TÍTULOS
• Exemplo 8: Uma empresa apresenta num banco três duplicatas no valor
nominal de $ 9000, $ 52000, e $ 73000. Respectivamente, as duplicatas foram
descontadas 27 dias, 46 dias e 108 dias antes do vencimento. Sendo de 17,5%
ao ano a taxa de desconto, calcule o valor descontado, o valor do desconto e a
taxa efetiva mensal de juros.