Circuitos elétricos II-CORTE (1)

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Virgílio de Melo Langoni
Antonio Manoel Batista da Silva
Circuitos Elétricos II
Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central Uniube
 Langoni, Virgílio de Melo. 
L267c Circuitos elétricos II / Virgílio de Melo Langoni, Antônio 
 Manoel Batista da Silva. – Uberaba : Universidade de Uberaba, 
 2017.
 92 p. : il.
 Programa de Educação a Distância – Universidade de Uberaba.
 Inclui bibliografia. 
 ISBN 
 
 1. Circuitos elétricos. 2. Eletricidade. I. Silva, Antônio Manoel 
 Batista da. II. Universidade de Uberaba. Programa de Educação a 
 Distância. III. Título. 
 
 CDD 621.3192
© 2017 by Universidade de Uberaba
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Projeto da capa
Agência Experimental Portfólio
Edição
Universidade de Uberaba
Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário
Virgílio de Melo Langoni
Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Uberlândia 
(UFU). Graduado em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de 
Uberlândia (UFU). É docente na Universidade de Uberaba (Uniube), com 
ênfase em circuitos elétricos, magnéticos e eletrônicos.
Antonio Manoel Batista da Silva
Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Uberlândia 
(UFU). Graduado em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal 
de Uberlândia (UFU). Professor do curso de Engenharia Elétrica da 
Universidade de Uberaba (Uniube). Tem experiência na área de máquinas 
elétricas.
Sobre os autores
Sumário
Apresentação ............................................................................................................. VII
Capítulo 1 Sistemas monofásicos alternados ....................................... 1
1.1 Função senoidal e geração da onda alternada ........................................................3
1.2 Valor médio e valor eficaz .........................................................................................7
1.3 Resposta dos dispositivos básicos à tensão alternada senoidal ...........................10
1.3.1 Resistor .........................................................................................................11
1.3.2 Indutor ...........................................................................................................12
1.3.3 Capacitor .......................................................................................................13
1.4 Potência média e fator de potência ........................................................................14
1.5 Fasores e impedância complexa ............................................................................17
1.5.1 Fasor .............................................................................................................17
1.5.2 Impedância complexa ...................................................................................19
Capítulo 2 Associações de impedâncias e potência CA ..................... 25
2.1 Associação série de impedâncias ..........................................................................27
2.2 Associação paralelo de impedâncias .....................................................................32
2.3 Potência CA ............................................................................................................38
2.3.1 Circuitos resistivos ........................................................................................39
2.3.2 Potência reativa .............................................................................................40
2.3.3 Potência aparente .........................................................................................40
2.3.4 Triângulo de potências ..................................................................................41
2.4 Correção do fator de potência ................................................................................47
Capítulo 3 Sistemas alternados trifásicos equilibrados ....................... 53
3.1 Geração de tensões trifásicas ................................................................................55
3.2 Fonte de tensões trifásicas do tipo Y e do tipo ∆ ...................................................57
3.2.1 Definições ......................................................................................................59
3.2.2 Relação entre grandezas de linha e de fase ................................................60
3.2.3 Sequência de fases .......................................................................................61
3.3 Cargas trifásicas do tipo Y e do tipo ∆ ....................................................................63
3.4 Potência em sistemas trifásicos .............................................................................70
3.4.1 Potência ativa ................................................................................................71
3.4.2 Potência reativa .............................................................................................71
3.4.3 Potência aparente .........................................................................................71
3.5 Circuito monofásico equivalente para cargas equilibradas ....................................73
3.5.1 Medição de potência trifásica .......................................................................76
Neste livro enfocamos duas importantes temáticas para a sua formação 
acadêmica e profissional na área de sistemas elétricos: os sistemas 
alternados equilibrados monofásicos e trifásicos.
No primeiro momento, vamos compreender como funcionam os sistemas 
monofásicos alternados, a representação da forma de onda alternada, 
quais são suas principais características e como as tensões alternadas 
são geradas.
Veremos um capítulo sobre associação de impedâncias, quando 
entraremos na introdução dos conceitos de potência na tensão alternada. 
Conheceremos os tipos de potências existentes, como montaremos o 
triângulo de potência e aprenderemos como calcular e corrigir o fator de 
potência.
Logo em seguida, veremos um capítulo dedicado aos sistemas elétricos 
alternados trifásicos equilibrados e suas características de associações 
de impedância em delta e triângulo. E por fim apresentaremos os tipos 
de potências para o sistemas trifásicos e métodos de medição utilizando 
a técnica de dois e três watímetros.
A seguir, enumeramos os capítulos que compõem este livro. Estude-
os com muita dedicação, pois sua capacidade para desenvolver novas 
soluções em problemas vinculados à aplicação da eletricidade esta 
certamente associada aos conceitos adquiridos nesse momento.
Apresentação
VIII UNIUBE
Capítulo 1: Sistemas monofásico alternados.
Capítulo 2: Associação de impedância e potência CA.
Capítulo 3: Sistemas alternados trifásicos equilibrados.
Bons estudos!
Virgílio de Melo Langoni
Introdução
Sistemas monofásicos 
alternadosCapítulo
1
Até o presente momento, você conheceu apenas os circuitos em 
corrente contínua, ou seja, a corrente elétrica possuía apenas 
um sentido de circulação no circuito. Contudo, a maior parte dos 
equipamentos utilizados em uma indústria, a iluminação pública, 
residências (iluminação e eletrodomésticos, por exemplo) e outros, 
recebem das concessionárias de energia elétrica a corrente 
alternada. Percebe-se, portanto, a importância do estudo de 
sistemas em corrente alternada. 
Neste capítulo, o estudo irá se restringir aos sistemas chamados 
monofásicos, fi cando os sistemas trifásicos para posteriores 
estudos. Ainda, dentre os vários tipos de ondas alternadas, 
aquelas ditas senoidais são de especial interesse, uma vez que 
esse tipo de onda é a encontrada na rede elétrica residencial 
e, também, industrial. Portanto, a onda senoidal terá ênfase no 
estudo aqui proposto.
Em estudos realizados sobre capacitores e indutores, foi visto que 
suas características são evidenciadas quando ocorre variação de 
tensão (no caso dos capacitores) ou variação de corrente (no caso 
dos indutores) em seus terminais. Assim, será objeto de estudo 
mais aprofundado, neste capítulo, o comportamento daqueles 
2 UNIUBE
Ao término dos estudos propostos neste capítulo, é esperado que 
você seja capaz de:
• explicar a função senoidal, identificar suas principais 
características e aplicá-la à tensão e à corrente elétrica 
alternada senoidal;
• explicar como a tensão alternada senoidal é gerada;
• explicar e aplicar os conceitos relativos ao cálculo do valor 
médio e do valor eficaz de um sinal alternado;
• analisar e calcular a resposta dos elementos básicos 
quando submetidos à tensão (ou corrente) alternada 
senoidal;
• calcular a potência média de um sinal alternado senoidal 
quando aplicado a um dos elementos básicos e entender 
o conceito de fator de potência;
Objetivos
elementos diante da frequência com que a tensão, ou a corrente, é 
variada em seus terminais. Será visto que, assim como o resistor, 
esses elementos também se opõem à passagem de corrente 
elétrica, por eles, em um circuito, porém, são influenciados pela 
frequência do sinal aplicado ao circuito.
Outro conceito de grande importância que estudaremos é o fator 
de potência, tendo sua principal aplicação, na indústria, devido à 
característica altamente indutiva da carga industrial.
Veremos vários conceitos novos como, por exemplo, a impedância 
complexa e a notação fasorial. Você perceberá que o estudo de 
sistemas alternados exige mais atenção e dedicação do que se 
exigiu nos estudos dos sistemas contínuos.
 UNIUBE 3
1.1 Função senoidal e geração da onda alternada
1.2 Valor médio e valor eficaz
1.3 Resposta dos dispositivos básicos à tensão alternada senoidal
1.3.1 Resistor
1.3.2 Indutor
1.3.3 Capacitor
1.4 Potência média e fator de potência
1.5 Fasor e impedância complexa
1.5.1 Fasores
1.5.2 Impedância complexa
Esquema
• conceituar fasor e representar a tensão alternada na forma 
fasorial;
• conceituar impedância complexa e aplicá-la a um circuito 
elétrico.
Função senoidal e geração da onda alternada1.1
A função senoidal recebe este nome, uma vez que o seu gráfico descreve 
uma curva igual à curva da função trigonométrica seno, como pode ser 
visto, na Figura 1, a seguir.
Figura 1: Forma de onda senoidal.
Fonte: Acervo do Autor.
4 UNIUBE
A forma de onda da Figura 1 pode ser descrita segundo a função: 
( ) ( )f t A sen tω θ= ⋅ ⋅ +
Em que:
• A é a amplitude;
• ω é a velocidade angular, em rad/s;
• θ é o ângulo de fase.
 
A velocidade angular pode ser escrita da seguinte forma: 
22 f
T
πω π ⋅= ⋅ ⋅ =
Em que: 
• f é a frequência;
• T é o período da onda.
Exemplo 1 
Se uma onda senoidal possui uma velocidade angular de, 
aproximadamente, 314,16 rad/s, determine qual a sua frequência, em 
Hz, e qual o seu período, em segundos.
Resolução:
314,162 314,16 2 50
2
2 1 1 1Como:2 ou ainda 0,02 20
50
f f f Hz
f f T T s ou ms
T T f
ω π π
π
ππ
= ⋅ ⋅ → = ⋅ ⋅ → = =
⋅
⋅
⋅ ⋅ = → = = → = =
Exemplo 2 
Descreva, matematicamente, a onda mostrada, na Figura 2, a seguir.
 UNIUBE 5
Figura 2: Onda senoidal deslocada.
Fonte: Adaptado de Boylestad (2004).
Resolução:
A forma de onda mostrada possui uma amplitude igual a 5V e um ângulo 
de 30° (adiantada). Portanto, pode ser expressa da seguinte forma:
( ) ( )5 30f t sen tω ω= ⋅ + °
Atividade 1 
Indique qual o valor da velocidade angular, considerando a frequência da 
rede elétrica brasileira.
AGORA É A SUA VEZ
A geração de tensão alternada senoidal está ligada a uma classe de 
máquinas rotativas denominadas geradores. Um exemplo clássico 
dessa geração está em uma Usina Hidroelétrica (UHE), onde a força 
da água faz com que as pás das turbinas girem, girando, também, os 
eixos dos geradores, e, por meio de um processo denominado indução 
eletromagnética, a tensão alternada senoidal é gerada. 
Contudo, existem outros meios de se gerar uma tensão alternada, como, 
por exemplo, um painel solar que capta a energia do sol e, através de 
6 UNIUBE
um equipamento denominado inversor, obtém-se a tensão alternada 
desejada.
A maioria dos casos de geração de tensão alternada utiliza os geradores 
já citados. Os geradores são constituídos por duas partes principais 
(Figura 3): 
• o rotor (parte móvel), onde se encontram os polos do motor, 
responsáveis pela geração do campo magnético; 
• o estator (parte fixa), onde se encontram as espiras condutoras, ou 
enrolamentos. 
 rotor 
estator 
Figura 3: Rotor e Estator de um motor síncrono.
Fonte: (WIKIPEDIA, 2009).
A interação entre o campo magnético do rotor e os enrolamentos do 
estator dá origem à tensão alternada.
Outro meio utilizado para gerar a tensão alternada é conhecido como 
GMG – Grupo Motor-Gerador – que utiliza um motor a diesel para 
girar o eixo de um gerador. Essa técnica é normalmente utilizada, 
temporariamente, em indústrias, nos períodos de pico ou, em casos de 
falta de energia, como, por exemplo, em um hospital.
 UNIUBE 7
Valor médio e valor eficaz1.2
Por definição, o valor médio de um sinal é calculado da seguinte forma:
( )
0
1 TValor Médio f t dt
T
= ⋅ ∫
Observe que o valor médio é calculado com base no período do sinal 
em questão. Assim, para o sinal senoidal mostrado na Figura 1, tem-se:
( )
0
1 TValor Médio A sen t d t
T
ω ω= ⋅ ⋅∫
Observe que a variável de integração escolhida foi ωt, assim, pode-se 
trabalhar com ângulo, em vez de tempo. Como um período completo 
equivale a 2 radianos, tem-se:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
0 0 0
1 cos
2 2 2
 cos 2 cos 0 0
2
A AValor Médio A sen t sen t t
AValor Médio
π π π
ω ω ω
π π π ω
π
π ω
= ⋅ ∫ ⋅ = ⋅ ∫ = − ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= − ⋅ − =  ⋅ ⋅
Ou seja, o valor médio de um sinal senoidal oscilando em torno de zero, 
em um período completo, é igual a zero.
Como pode ser observado, também, o conceito de valor médio está 
relacionado à soma algébrica de áreas. Observe o exemplo, a seguir.
Exemplo 3 
Dada a forma de onda mostrada na Figura 4, determine o valor médio do 
sinal, em um período completo.
8 UNIUBE
Figura 4: Cálculo do valor médio.
Fonte: Adaptado de Boylestad (2004).
Resolução:
Como pode ser observado, o período do sinal é de 4s. Assim, procede-
se aos cálculos:
soma algébrica da área 4 1 2 1 2 1 4 1G = 0
comprimento da curva 4
A⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅= =
Atividade 2 
Dada a forma de onda da Figura 5, a seguir, determinar seu valor médio.
AGORA É A SUA VEZ
Figura 5: Sinal senoidal retificado em meia onda.
Fonte: Acervo do Autor.
 UNIUBE 9
Outro importante conceito, que relaciona um valor alternado a um valor 
constante, é conhecido como valor eficaz ou valor rms – rootmean square.
IMPORTANTE!
Por definição, o valor rms de um sinal periódico pode ser determinado a 
partir da seguinte expressão:
( ) ( )2
0
1 TValor rms ou eficaz f t dt
T
= ⋅ ∫
Para um sinal senoidal do tipo: ( ) ( )a t A sen tω= ⋅ , tem-se:
( )
( )
2
0
2
0
1
1Mudando a variável de integração para t = , tem-se: 
T
T
Valor rms a t dt
T
Valor rms a d
T
ω θ θ θ
= ⋅
= ⋅
∫
∫
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 222 2 2
0 0 0
2
1 1
2 2 2
1Pela relação trigonométrica, tem-se: 1 cos 2
2
AValor rms A sen d sen d A sen d
sen
π π π
θ θ θ θ θ θ
π π π
θ θ
 = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ 
 = ⋅ − ⋅ 
∫ ∫ ∫
( ) ( )
2 2 2
0 0 0
1 1 1Assim: 1 cos 2 cos 2
2 2 4
Valor rms A d A d d
π π π
θ θ θ θ θ
π π
 
 = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅  
 
∫ ∫ ∫
Como a integral do cosseno em um período é igual a zero, mesmo com uma frequência 
dobrada, tem-se:
1 0,707
2
Valor rms A A= ⋅ ≅ ⋅
Ou seja, o valor eficaz de uma onda senoidal é igual ao seu valor de pico 
dividido pela raiz quadrada de dois. Pode-se entender da seguinte forma: 
10 UNIUBE
Se uma fonte E, contínua, fornece certa potência P a uma carga, uma 
fonte alternada senoidal, para substituir a fonte E, deverá ter um valor de 
pico de tensão igual a 2 E⋅ para fornecer a mesma potência à carga.
Analise o exemplo, a seguir.
Exemplo 4
Se uma fonte cc, de 24V, fornece 2W a uma carga, determine os valores 
de pico da tensão e da corrente de uma fonte ca para fornecer a mesma 
potência à mesma carga.
Resolução:
3
2 83,33
24
2 2 83,33 10 117,85
:
2 2 24 34
m
m
PP V I I mA
V
I I mA
Assim
E V V
−
= ⋅ → = = =
 = ⋅ = ⋅ × =

= ⋅ = ⋅ ≅
Atividade 3 
Determine o valor rms da forma de onda mostrada na Figura 5.
AGORA É A SUA VEZ
1.3 Resposta dos dispositivos básicos à tensão alternada 
senoidal
Os diferentes dispositivos ligados a um circuito apresentam 
comportamentos diferentes quando submetidos à tensão alternada 
senoidal. Nesta etapa, será estudado o comportamento dos dispositivos 
básicos (R, L e C) quando submetidos à tensão (ou corrente) senoidal, 
observando, em especial, o seu comportamento com relação à frequência 
do sinal aplicado.
 UNIUBE 11
1.3.1 Resistor
Considerando o uso do resistor em frequências abaixo de algumas 
centenas de quilo-hertz, pode-se aplicar a lei de Ohm, ou seja:
( ) ( ) ( ) ( )m m
v t V sen t
i t I sen t I
R R R
⋅
= = = ⋅ → =
A equação anterior mostra que o valor máximo da corrente em um circuito 
puramente resistivo, com excitação senoidal, está em fase com o valor 
máximo da tensão aplicada ao circuito, ou seja, não há atraso nem 
adiantamento de fase, na corrente, em relação à tensão.
Exemplo 5 
Um circuito puramente resistivo, com R = 10Ω, é excitado por uma 
tensão senoidal do tipo: ( ) ( )24 377v t sen t Volts= ⋅ ⋅ . Determine o valor 
da corrente que irá circular pelo resistor.
Resolução:
Como o circuito é puramente resistivo, a tensão e a corrente estarão em 
fase. Assim, pode-se determinar o valor da corrente como segue:
( ) ( ) ( ) ( )24 377 2,4 377
10
v t
i t sen t sen t A
R
= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
Atividade 4 
Determine qual o valor do resistor R, em um circuito puramente resistivo, 
sabendo que a tensão em seus terminais vale ( ) ( )5v t sen t Vω= ⋅ e a 
corrente que o percorre vale ( ) ( )i t sen t Aω= . 
AGORA É A SUA VEZ
12 UNIUBE
1.3.2 Indutor
Foi visto, em estudos anteriores, que a tensão em um indutor vale:
( ) ( )LL
di t
v t L
dt
= ⋅ . Para uma corrente senoidal do tipo ( ) ( )L mi t I sen tω= ⋅ , 
em um circuito indutivo, tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
cos
Como cos 90 , tem-se: 90
O fator é conhecido como , , dada em ohms .
L m L m
L m
L
dv t L I sen t v t L I t
dt
t sen t v t L I sen t
L reatância indutiva X
ω ω ω
ω ω ω ω
ω
 = ⋅ ⋅ → = ⋅ ⋅ 
= + ° = ⋅ ⋅ ⋅ + °
⋅ Ω
Assim, a tensão no indutor pode ser escrita da seguinte forma:
( ) ( )90L L mv t X I sen tω= ⋅ ⋅ + °
Pode-se escrever ( ) ( )90L mv t V sen tω= ⋅ + ° , o que nos leva a concluir que:
m L mV X I= ⋅
Para um indutor de indutância L, a reatância indutiva, XL, é diretamente 
proporcional à frequência, f, pois:
[ ]2LX L f Lω π= ⋅ = ⋅ Ω
Outra observação importante que pode ser feita, é o fato de que em um 
indutor a tensão está adiantada de 90° em relação à corrente, ou, de forma 
equivalente, a corrente em um indutor está atrasada da tensão em 90°. 
IMPORTANTE!
Exemplo 6
Suponha que um indutor de indutância igual a 10mH esteja ligado em um 
circuito ca, cuja frequência vale 60Hz. Determine qual o valor da reatância 
indutiva apresentado pelo indutor em tal circuito.
 UNIUBE 13
Resolução:
32 2 60 10 10 3,77L LX L f L Xω π π
−= ⋅ = ⋅ → = ⋅ × ≅ Ω
Atividade 5 
Determine qual deve ser o valor da indutância de indutor, para que este 
apresente uma reatância igual a 94,2Ω, se a frequência do sinal aplicado 
vale 1kHz. 
AGORA É A SUA VEZ
1.3.3 Capacitor
Em um capacitor, a corrente pode ser determinada pela equação: 
( ) ( )CC
dv t
i t C
dt
= ⋅
Para uma tensão senoidal do tipo ( ) ( )C mv t V sen tω= ⋅ , em um circuito 
capacitivo, tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
cos cos
Como cos 90 , tem-se: 90
Pode-se observar que a amplitude da corrente vale: 
1Reorganizando, tem-se: 
1O fator 
C m m m
C m
m m
m m
di t C V sen t C V t C V t
dt
t sen t i t C V sen t
I C V
V I
C
ω ω ω ω ω
ω ω ω ω
ω
ω
ω
 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ 
= + ° = ⋅ ⋅ ⋅ + °
= ⋅ ⋅
= ⋅
⋅
[ ] é conhecido como , , dada em ohms .
Pode-se escrever, então, que: 
C
m C m
reatância capacitiva X
C
V X I
Ω
⋅
= ⋅
Para um capacitor de capacitância C, a reatância capacitiva, XC, é 
inversamente proporcional à frequência, f, pois:
14 UNIUBE
[ ]1 1
2C
X
C f Cω π
= = Ω
⋅ ⋅
Como pode ser observado, a corrente em um capacitor está adiantada 
da tensão em 90°, ou, de forma equivalente, a tensão em um capacitor 
está atrasada da corrente em 90°.
Exemplo 7
Suponha que um capacitor de capacitância igual a 10µF esteja ligado 
em um circuito ca, cuja frequência vale 60Hz. Determine qual o valor da 
reatância capacitiva, apresentado pelo capacitor, em tal circuito.
Resolução
6
1 1 1 265,26
2 2 60 10 10C C
X X
C f Cω π π −
= = → = ≅ Ω
⋅ ⋅ ⋅ ×
Atividade 6
Determine a frequência de um sinal aplicado a um circuito, sabendo que a 
reatância capacitiva apresentada por um capacitor de capacitância igual a 
1µF, ligado ao circuito, é igual a 79,6Ω.
AGORA É A SUA VEZ
Potência média e fator de potência1.4
Em um circuito submetido a uma tensão senoidal, a potência é dada por: 
[ ]p v i W= ⋅
Considere a tensão e corrente nas seguintes formas:
( ) ( ) ( ) ( )m v m iv t V sen t e i t I sen tω θ ω θ= ⋅ + = ⋅ +
 UNIUBE 15
Com base nas equações anteriores, tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )1Utilizando a relação trigonométrica cos cos , tem-se:
2
m v m i m m v ip v i V sen t I sen t V I sen t sen t
senA senB A B A B
ω θ ω θ ω θ ω θ= ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ +
 ⋅ = ⋅ − − + 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )1Utilizando a relação trigonométrica cos cos , tem-se:
2
m v m i m m v ip v i V sen t I sen t V I sen t sen t
senA senB A B A B
ω θ ω θ ω θ ω θ= ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ +
 ⋅ = ⋅ − − + 
( ) ( )
( ) ( )
1 cos cos 2
2
Logo: cos cos 2
2 2
θ θ ω θ θ
θ θ ω θ θ
 = ⋅ ⋅ ⋅ − − + + 
⋅ ⋅
= ⋅ − − ⋅ + +
m m v i v i
m m m m
v i v i
Potência média Potência com valor médio igual a zero
p V I t
V I V I
p t
 
Atenção! Observe que a potência média (primeiro termo da equação) 
não depende do tempo, ao contrário dosegundo termo da equação, que é 
dependente do tempo. 
IMPORTANTE!
A potência média pode ser escrita em função dos valores eficazes da 
tensão e da corrente, como segue:
( )cosef ef v ip V I θ θ= ⋅ ⋅ −
Chamando ( )v iθ θ− simplesmente de θ, tem-se:
( )cosef efp V I θ= ⋅ ⋅
O fator ( )cos θ é chamado de fator de potência e, como pode ser 
observado, é a diferença de fase entre a tensão e a corrente. Para um 
circuito puramente resistivo, por exemplo, a diferença de fase entre a 
tensão e a corrente é igual a zero, ou, a tensão e a corrente estão em 
fase. Portanto, a potência média valerá: ( )cos 0ef ef ef efp V I V I= ⋅ ⋅ = ⋅ . Na 
medida em que existir diferença de fase entre a tensão e a corrente, o 
fator de potência irá apresentar um valor menor do que 1.
16 UNIUBE
É comum encontrar um dos termos adiantado ou atrasado, associado ao 
fator de potência. O termo a ser utilizado será definido observando a corrente 
na carga. Caso a corrente na carga seja adiantada da tensão (característica 
capacitiva), utiliza-se o termo fator de potência adiantado; caso a corrente na 
carga esteja atrasada da tensão (característica indutiva), utiliza-se o termo 
fator de potência atrasado.
IMPORTANTE!
Exemplo 8 
Determine a potência média, em um circuito puramente indutivo, cuja 
tensão eficaz da fonte vale 48V, com uma frequência de 60Hz. Dado: L 
= 10mH.
Resolução:
( )
32 2 60 10 10 3,77
2 48 18
3,77
Como o circuito é puramente indutivo, a diferença de fase é de 90°, com a corrente
atrasada em relação à tensão. Portanto, tem-se:
2 48 18cos c
2 2
L
m
m
L
m m
X f L
VI A
X
V Ip
π π
θ
−= ⋅ = ⋅ × = Ω
⋅
= = =
⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ( )os 90 0W° =
Atividade 7 
Dado um circuito puramente capacitivo, com C = 10µF, determine a potência 
média fornecida pela fonte ao circuito. Dados: Vef = 48V e f = 60Hz.
AGORA É A SUA VEZ
 UNIUBE 17
Fasores e impedância complexa1.5
Antes dos estudos sobre fasores e impedância complexa, é recomendado 
que você recorde a respeito dos números complexos, sua representação 
e operações. 
1.5.1 Fasor
Segundo Boylestad (2004, p. 430), “o fasor é a denominação dada 
quando, na análise de circuitos elétricos, há um vetor radial girante que 
tem um módulo (comprimento) constante e uma das extremidades fixa 
na origem”. A partir dessa definição, utiliza-se o fasor para representar as 
formas de onda senoidais da tensão e, também, da corrente como segue:
( ) ( )
( ) ( )
m m
m m
v t V sen t V V
ou i t I sen t I I
ω θ θ
ω θ θ
= ± ⇒ = ∠±
= ± ⇒ = ∠±


A notação fasorial pode ser indicada de várias formas. A mais comum é 
por meio de um ponto ( ) A 

 ou, em bibliografias, através de uma letra 
em negrito ( A = Am∠±θ ). Observe o exemplo, a seguir.
Exemplo 9
Converta a expressão ( ) ( )10 45v t sen tω= + ° para a forma fasorial.
Resolução
10 45mV V V Vθ= ∠± → = ∠ °
 
Um benefício do uso de fasores pode ser observado quando da adição 
de formas de ondas senoidais, como mostra o exemplo, a seguir.
18 UNIUBE
Exemplo 10 
Dadas as tensões ( ) ( ) ( ) ( )1 210 45 e 15 15v t sen t v t sen tω ω= + ° = + ° , 
determine a soma ( ) ( )1 2v t v t .
Resolução
Uma forma de se resolver este problema, seria somar algebricamente 
ponto a ponto as duas tensões. Contudo, este método seria bastante 
cansativo. Assim, a utilização de fasores aparece como um método 
alternativo para solucionar este problema. Pode-se escrever:
( ) ( )
( ) ( )
1 1
2 2
10 45 7,07 45
15 15 10,61 15
v t sen t V V
v t sen t V V
ω
ω
= + ° → = ∠ °
= + ° → = ∠ °


A forma fasorial corresponde à forma polar de um número complexo. 
Portanto, para que seja realizada a adição das duas formas de onda, 
basta que seja feita a conversão da forma polar, para a forma retangular:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 2
2 1
2 2
7,07cos 45 5 7,07 45 5
5 5 10,25 2,75
10,61cos 15 10,25 10,61 15 2,75
5 5 10,25 2,75 5 10,25 5 2,75 15,25 7,75
Passando para a forma polar(fasorial): 15,25 7,75
X Y sen
V j e V j
X Y sen
V j j j j
V tg −
= ° = = ° =  = + = +
= ° = = ° = 
= + + + = + + + = +
= + ∠

1 7,75
15,25
17,11 26,94V
 
 
 
⇒ = ∠ °

No exemplo 10, os fasores foram trabalhados utilizando-se os valores 
rms das tensões no domínio do tempo. Essa prática é comum, já que 
nos manuseios matemáticos, na maioria das vezes, utilizam-se os valores 
rms da tensão e da corrente.
Outra observação quanto à álgebra com ondas senoidais na forma 
fasorial está relacionada à frequência das ondas. Para que operações 
 UNIUBE 19
algébricas fasoriais sejam realizadas com sinais senoidais, as frequências 
das ondas devem ser iguais. Fique atento!
Atividade 8
Determine a soma das seguintes formas de onda de corrente.
( ) ( ) ( ) ( )1 25 60 8 20i t sen t e i t sen tω ω= − ° = + °
AGORA É A SUA VEZ
1.5.2 Impedância complexa
Quando se trata de circuitos elétricos em corrente contínua, o resistor 
faz o papel de elemento que “dificulta” a passagem da corrente elétrica, 
uma vez que o indutor se comporta como um curto-circuito e o capacitor 
como um circuito aberto. Em circuitos de corrente alternada, no entanto, 
os três elementos (R, L e C) desempenham o papel de limitar a corrente 
no circuito.
Foram objetos de estudo, neste capítulo, as respostas características 
dos elementos básicos quando submetidos à corrente alternada senoidal 
e, também, a representação fasorial. Estes dois conceitos serão, agora, 
utilizados para descrever o que é conhecido como impedância complexa (Z).
NOTA: 
Como será visto, a representação da impedância complexa é semelhante 
à representação fasorial, contudo, o termo fasor é reservado a grandezas 
que variam no tempo, o que não é o caso da impedância.
1.5.2.1 Elementos resistivos
Como foi visto, em elementos resistivos não há defasagem entre a tensão 
e a corrente. Assim, para uma tensão do tipo ( ) ( )mv t V sen tω= ⋅ aplicada 
20 UNIUBE
em um circuito puramente resistivo, a corrente no circuito será do tipo 
( ) ( )mi t I sen tω= ⋅ . Convertendo a tensão e a corrente para a forma 
fasorial, tem-se a seguinte relação:
( ) ( ) ( ) ( )0 0m mv t V sen t V V e i t I sen t I Iω ω= ⋅ → = ∠ ° = ⋅ → = ∠ °
 
Como em um circuito puramente resistivo, não há diferença de fase entre 
a tensão e a corrente, isso implica que o ângulo da impedância resultante 
é igual a 0º.
[ ]Logo, pela lei de Ohm, tem-se: 0 0
Lembrando que e são valores rms.
R
V VR Z
I I
V I
= ∠ ° ⇒ = ∠ ° Ω
Observe que a unidade da impedância também é o ohm [Ω].
Exemplo 11
Determine o valor da impedância de um circuito puramente resistivo, 
quando submetido a uma tensão 8,5 0V V= ∠ °

 e percorrido por uma 
corrente 2 0ºI A= <

.
Resolução
8,50 0 4,25 0
2R
VZ
I
= ∠ ° = ∠ ° = Ω∠ °
1.5.2.2 Elementos indutivos
Para circuitos puramente indutivos, foi visto que a reatância indutiva é 
dada por LX Lω= ⋅ e, ainda, que a corrente está atrasada, da tensão, 
em 90°. Assim, para uma tensão do tipo ( ) ( )mv t V sen tω= ⋅ , pela lei de 
Ohm, tem-se: 
( )0 0 L
L L L
V VI
X X
θ
θ
∠ °
= = ∠ °−
∠

 UNIUBE 21
Como a corrente está atrasada da tensão em 90°, a diferença (0° - θL) 
deve ser igual a -90°, o que resulta em:
[ ]90 90L L LZ Xθ = ° → = ∠ ° Ω
Exemplo 12
Determine a corrente em um circuito puramente indutivo, sabendo que 
a tensão aplicada vale ( ) ( )17 377v t sen t V= ⋅ e a indutância é igual a 
10mH.
Resolução:
( ) ( )
17 377
12 0º
2
Fasorialsen tv t V
⋅ ⋅
= → = <

( ) ( )
( ) ( )
3
17 377 12 0
377 10 10 3,77 3,77 90
12 0 90 3,18 90 ou 4,5 377 90
3,77
Fasorial
Fasorial
L L
v tsen t V
X L Z
I I A i t sen t A
ω −
= ⋅ ⋅ → = ∠ °
= ⋅ = ⋅ × = Ω → = Ω∠ °
= ∠ °− ° → = ∠− ° = ⋅ ⋅ − °

 
1.5.2.3 Elementos capacitivos
Para circuitos puramente capacitivos, foi visto que a reatância capacitiva 
é dada por 1CX Cω
=
⋅
 e, ainda, que a corrente está adiantada da tensão 
em 90°. Assim, para uma tensão do tipo ( ) ( )mv t V sen tω= ⋅ , pela lei de 
Ohm, tem-se:
( )0 0 C
C C C
V VI
X X
θ
θ
∠ °
= = ∠ °−
∠

Como a corrente está adiantada da tensão em 90°, a diferença (0° - θC) 
deve ser igual a +90°, o que resulta em:
[ ]90 90C C CZ Xθ = − ° → = ∠− ° Ω
22 UNIUBE
Exemplo 13 
Determine a corrente em um circuito puramente capacitivo, sabendo que 
a tensão aplicada vale ( ) ( )17 377v t sen t V= ⋅ e a capacitância é igual a 
10µF.
Resposta
( ) ( )
6
17 377 12 0º
1 1 265,25 3,77
377 10 10
Fasorial
C
v t sen t V
X
Cω −
= ⋅ ⋅ → = <
= − = = Ω = Ω
⋅ ⋅ ×

( )
( ) ( )
Passando para a forma fasorial, tem-se: 265,25 90
12 0 90 45,24 90 ou
265,25
63,98 377 90
CZ
I I mA
i t m sen t A
= Ω∠− °
= ∠ °− − ° → = ∠+ °
= ⋅ ⋅ + °
 
As três grandezas – resistência, reatância indutiva e reatância capacitiva 
– podem agora ser representadas no plano complexo, como pode ser 
visto na Figura 6, a seguir.
Figura 6: Diagrama de impedâncias.
Fonte: Adaptado de Boylestad (2004).
 UNIUBE 23
Considerando um número complexo na forma retangular Z=A+jB, tem-se:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
 Para o resistor: cos 0 0 0
 0
 Para o indutor: cos 90 0 90
 0
 Para o capacitor: cos 90 0 90
 0
R R
R
L L L L L
L L L
C C C C C
C C C
A R R e B R sen
Z R j R
A X e B X sen X
Z jX jX
A X e B X sen X
Z j X jX
• = ⋅ ° = = ⋅ ° =
= + =
• = ⋅ ° = = ⋅ ° =
= + =
• = ⋅ − ° = = ⋅ − ° = −
= + − = −
Atividade 9
Analise os dados em cada caso, a seguir, e escreva a impedância associada 
na forma retangular.
Circuito puramente indutivo, 5 0 e 1 90V V I A= ∠ ° = ∠− °
 
Circuito puramente capacitivo, 15 0 e 10 90V V I mA= ∠ ° = ∠+ °
 
Circuito puramente resistivo, 10 0 e 10 0V V I mA= ∠ ° = ∠ °
 
AGORA É A SUA VEZ
Resumo
Neste capítulo, estudamos o sinal alternado senoidal, sua geração e 
suas características. Dois valores relacionados a um sinal de tensão 
(ou corrente) serão definidos aqui para o sinal senoidal: o Valor Médio 
e o Valor Eficaz. Uma vez estudados estes tópicos, vimos a análise 
das respostas dos elementos básicos (R, L e C) quando submetidos 
ao sinal alternado senoidal e às definições da potência média e do fator 
de potência de um circuito ac. Por fim, estudamos uma ferramenta de 
grande utilidade nos estudos de circuitos elétricos em corrente alternada, 
chamada de fasor, e finalizamos o capítulo com a definição da impedância 
complexa.
24 UNIUBE
Referências
BOYLESTAD, R.L. Introdução à análise de circuitos. 10. ed. São Paulo: Prentice 
Hall, 2004.
WIKIPÉDIA.Motor de indução . Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Motor_
de_indu%C3%A7%C3%A3o> . Acesso em: 2 jun. 2009.
Virgílio de Melo Langoni
Introdução
Associações de 
impedâncias e potência CA
Capítulo
2
No capítulo “Sistemas monofásicos alternados”, foram estudados 
o sinal alternado senoidal, suas características e a análise de 
circuitos elétricos monofásicos submetidos ao sinal alternado 
senoidal. Dentre os assuntos abordados, a representação da 
tensão ou corrente alternada senoidal na forma fasorial, assim 
como a representação dos elementos de circuito (R, L e C) como 
impedâncias complexas, mereceram um destaque especial. Saber 
esse conteúdo é extremamente importante para compreender 
os assuntos que serão aqui trabalhados. Indicamos que você 
recordasse os conceitos envolvendo números complexos, 
incluindo sua manipulação algébrica. É muito importante que 
nenhuma dúvida sobre esse assunto tenha restado. 
Neste capítulo, serão abordados os circuitos em série e em 
paralelo formados pelos elementos R, L e C, ou pela combinação 
deles. Você irá perceber que trabalhando com os conceitos de 
fasores e de impedância complexa, a análise dos circuitos em 
corrente alternada será semelhante à utilizada na análise de 
circuitos em corrente contínua, podendo ser utilizados teoremas de 
circuitos como, por exemplo, o Teorema de Thévenin ou o Teorema 
de Norton.
26 UNIUBE
Após o estudo deste capítulo, você deverá estar apto(a) a:
• identificar um circuito com impedâncias ligadas em série e 
calcular a impedância equivalente da ligação série;
• aplicar a regra do divisor de tensão em circuitos com 
impedâncias ligadas em série;
• identificar um circuito com impedâncias ligadas em paralelo e 
calcular a impedância equivalente da ligação paralela;
• conhecer o conceito de admitância e utilizá-lo na 
determinação da impedância total de uma ligação paralela 
de impedâncias;
• aplicar a regra do divisor de corrente em circuitos com 
impedâncias ligadas em paralelo;
• utilizar os conceitos de potência ativa, potência reativa e 
potência aparente;
• utilizar as potências envolvidas em um circuito para desenhar 
o triângulo de potências;
Objetivos
Após o estudo dos circuitos contendo resistor e elementos 
armazenadores de energia (L e C), será apresentado o conceito de 
potência ca. A potência ca é a potência relacionada aos circuitos 
de corrente alternada, sendo formada por dois tipos de potências: 
a potência ativa e a potência reativa. O resultado da soma vetorial 
dessas duas potências é chamado de potência aparente.
Por fim, será mostrada a técnica de correção do fator de 
potência que se mostra útil, por exemplo, em circuitos industriais, 
aumentando a eficiência das linhas de transmissão de energia, 
diminuindo custos quanto à instalação elétrica na indústria e, 
ainda, evitando multas aplicadas pelas concessionárias de energia 
elétrica.
 UNIUBE 27
• compreender a importância da correção do fator de potência 
e aplicar os conceitos vistos a um circuito qualquer.
2.1 Associação série de impedâncias
2.2 Associação paralelo de impedâncias
2.3 Potência CA
2.3.1 Circuitos resistivos
2.3.2 Potência reativa
2.3.3 Potência aparente
2.3.4 Triângulo de potências
2.4 Correção do fator de potência
Esquema
Associação série de impedâncias2.1
Em circuitos de corrente contínua, foi estudado o caso em que resistores 
eram associados em série (mesma corrente), formando a configuração 
em série de resistores. Neste tópico, você irá estudar o caso em que 
impedâncias são associadas em série. Lembrando que a excitação 
aplicada ao circuito é, agora, alternada senoidal, e serão aplicados os 
conceitos de fasores e manipulação algébrica de números complexos na 
análise dos circuitos. Observe o circuito da Figura 1, a seguir.
Figura 1: Associação em série de impedâncias.
Fonte: Adaptada de Boylestad (2004).
28 UNIUBE
No circuito mostrado na Figura 1, Z1, Z2 até Zn são impedâncias 
complexas associadas em série. A impedância ZT é a impedância total 
do circuito e I é a corrente que percorre as impedâncias. A impedância 
total do circuito é determinada pela soma das impedâncias individuais, 
ou seja:
1 2 3T nZ Z Z Z Z= + + + +
Observe o Exemplo 1, a seguir.
Exemplo 1
Dado o circuito da Figura 2, determine a impedância total do circuito.
Figura 2: Uma associação em série de impedâncias.
Fonte: Acervo do Autor.
Resolução:
Como se trata de uma associação em série de impedâncias, a impedância 
total é determinada pela soma das impedâncias individuais.
12 6 18 36TZ = + + = Ω
Atividade 1: Dado o circuito da Figura 3, determine sua impedância.
AGORA É A SUA VEZ
 UNIUBE 29
Figura 3: Circuito de uma associação em série RLC.
Fonte: Acervo do Autor.
Quando era analisadaa relação de ângulos entre a tensão e a corrente 
em circuitos puros, ou seja, em circuitos contendo apenas resistores, 
capacitores ou indutores, observou-se que o ângulo de defasagem era 
de 0º, -90º ou 90º, respectivamente, que era justamente o ângulo da 
impedância em questão. Agora, com a associação de elementos, na 
maioria dos casos, esses ângulos serão alterados. Observe o exemplo 
2, a seguir.
Exemplo 2
Dado o circuito da Figura 4, determine a impedância total do circuito 
e desenhe o diagrama de fasores que deverá conter a tensão total do 
circuito e a corrente do circuito.
Figura 4: Circuito RLC série.
Fonte: Acervo do Autor.
30 UNIUBE
Resolução:
Primeiramente, deve-se determinar o valor da impedância total do 
circuito.
0º 10 0º
90º 90º 377 20 90º 7,54 90º
1 190º 90º 90º 2,65 90º
377 1
11,13 26,06º
R R
L L L L
C C C C
T R L C T
Z R Z
Z X Z L m Z
Z X Z Z
C m
Z Z Z Z Z
ω
ω
= ∠ → = Ω∠
= ∠ → = ∠ = ⋅ ∠ → = Ω∠
= ∠− → = ∠− = ∠− → = Ω∠−
⋅
= + + → = Ω∠
Logo após, converte-se a tensão do domínio do tempo para o domínio 
do fasor e, então, determina-se a corrente do circuito.
( )Domínio do tempo: 17 377 Domínio do fasor: 12 0ºe sen t E V= ⋅ → = ∠

Portanto: 12 0º 1,08 26,06º
11,13 26,06ºT
EI A
Z
∠
= = = ∠−
∠


Logo, o diagrama de fasores fica:
Figura 5: Diagrama de fasores resultante.
Fonte: Acervo do Autor.
Poderiam também ser determinadas as tensões sobre cada elemento, 
utilizando-se a lei de Ohm, ou seja:
R R L L C CV I Z V I Z V I Z= ⋅ = ⋅ = ⋅
     
Aplicando as equações anteriores ao exemplo 2, obtém-se:
 UNIUBE 31
1,08 26,06º 10 0º 10,8 26,06º
1,08 26,06º 7,54 90º 8,14 63,94º
1,08 26,06º 2,65 90º 2,86 116,06º
R
L
C
V V
V V
V V
= ∠− ⋅ ∠ = ∠−
= ∠− ⋅ ∠ = ∠
= ∠− ⋅ ∠− = ∠−



Outra forma de obter a tensão sobre os elementos do circuito é por meio 
da aplicação da regra dos divisores de tensão. Novamente, tomando o 
Exemplo 2, tem-se:
10 0º 12 0º 10,8 26,06º
11,13 26,06º
7,54 90º 12 0º 8,13 63,94º
11,13 26,06º
2,65 90º 12 0º 2,86 116,06º
11,13 26,06º
R
L
C
V V
V V
V V
∠
= ⋅ ∠ = ∠−
∠
∠
= ⋅ ∠ = ∠
∠
∠−
= ⋅ ∠ = ∠−
∠



Agora, resolva a Atividade 2 proposta, a seguir.
Atividade 2: Dado o circuito da Figura 6, determine a queda de tensão 
sobre cada elemento do circuito e desenhe o diagrama de fasores que deve 
conter a tensão total, a queda de tensão sobre cada elemento e a corrente 
do circuito.
AGORA É A SUA VEZ
Figura 6: Circuito RL série.
Fonte: Acervo do Autor.
32 UNIUBE
Neste ponto, você pode estar se perguntando: E o fator de 
potência como fica agora? 
Lembrando-se do que vimos antes, nos circuitos puros, o fator de 
potência podia ser apenas 1 ou 0, agora, como você mesmo pode 
comprovar, o fator de potência, dependendo do circuito, poderá ter 
um valor qualquer entre 0 e 1. Tomando o resultado do Exemplo 2, 
tem-se que:
( ) ( )cos cos cos 0º 26,06º 0,9v iFp Fpθ θ θ  = = − → = − − ≅ 
Uma resposta completa pode ser dada acrescentando atrasado ou 
adiantado ao valor do fator de potência. Assim, analisando os resultados 
obtidos no exemplo, percebe-se que a corrente está atrasada da tensão 
por um ângulo de 26,06º, o que dá como resposta um fator de potência 
de 0,9 atrasado.
Lembre-se de que os cálculos agora são realizados entre fasores e a 
impedância complexa, que pode estar ou na forma retangular ou na forma polar.
IMPORTANTE!
Associação paralelo de impedâncias2.2
Na associação em paralelo de impedâncias (mesma tensão), aplicam-
se os mesmos conceitos vistos em corrente contínua, lembrando de 
trabalhar com fasores e impedâncias. Observe o circuito da Figura 7, 
a seguir.
 UNIUBE 33
Figura 7: Associação em paralelo de impedâncias.
Fonte: Acervo do Autor.
Assim como em uma associação paralela de resistores, a impedância 
total resultante de uma associação paralela de impedâncias pode ser 
determinada como:
1 2
1 1 1 1
T nZ Z Z Z
= + + +
O inverso de uma impedância recebe o nome de admitância e é 
simbolizada pela letra Y. Portanto, para a soma anterior, tem-se:
1 2T nY Y Y Y= + + +
A unidade da grandeza admitância é o Siemens (S).
Durante as manipulações algébricas com admitâncias, trabalha-se com o 
inverso da reatância, que também recebe um nome particular. O inverso 
da reatância é chamado de susceptância, representada pela letra B e 
também dada em Siemens.
1 [ ]B S
X
=
Observe o Exemplo 3, a seguir.
34 UNIUBE
Exemplo 3
Determine a impedância total do circuito mostrado na Figura 8, a seguir.
Figura 8: Circuito de impedâncias em paralelo.
Fonte: Acervo do Autor.
Resolução: 
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 0,175 5,71
10 20 40 TT T
Z
Z Z Z Z Z
= + + → = + + = → = Ω
No exemplo anterior, a admitância total vale 0,175 S, que é o inverso da 
impedância total. 
Exercício 3: Dado o circuito da Figura 9, determine sua admitância e sua 
impedância total.
AGORA É A SUA VEZ
Figura 9: Circuito RLC em associação paralela.
Fonte: Acervo do Autor.
 UNIUBE 35
Poderia também ser determinada a corrente sobre cada elemento, 
utilizando a lei de Ohm, ou seja:
R L C
R L C
E E EI I I
Z Z Z
= = =
  
  
Ainda, como no caso da associação em série de impedâncias, adaptando-
se para a associação em paralelo de impedâncias, pode-se aplicar a 
regra do divisor de corrente para se obter a corrente em cada elemento 
do circuito.
Observe o Exemplo 4, a seguir.
Exemplo 4
Dado o circuito da Figura 10, a seguir, determine a corrente em cada 
elemento do circuito e desenhe o diagrama de admitâncias.
Figura 10: Circuito de elementos.
Fonte: Acervo do Autor.
Resolução:
Como o valor da tensão da fonte foi dado, pode-se aplicar a lei de Ohm 
diretamente a cada elemento. Para fins de comparação, será aplicada 
também a regra do divisor de corrente.
36 UNIUBE
Pela lei de Ohm:
3,54 0º 0,354 0º
10 0º
3,54 0º 0,295 90º
12 90º
3,54 0º 0,708 90º
5 90º
R
L
C
I A
I A
I A
∠
= = ∠
∠
∠
= = ∠−
∠
∠
= = ∠
∠−



Pela regra do divisor de corrente:
1 1 1 1 0,1 0º 0,083 90º 0,2 90º
10 0º 12 90º 5 90º
0,153 49,4º 6,51 49,4º
3,54 0º 0,544 49,4º
6,51 49,4º
R L C
T T
T Y Y Y
T T
T
Y Y
Z
Y S ou Z
I A
= = + + → = ∠ + ∠− + ∠
∠ ∠ ∠−
= ∠ = Ω∠−
∠
= = ∠
∠−

  
6,51 49,4º 0,544 49,4º 0,354 0º
10 0º
6,51 49,4º 0,544 49,4º 0,295 90º
12 90º
6,51 49,4º 0,544 49,4º 0,708 90º
5 90º
R
L
C
I A A
I A A
I A A
Ω∠−
= ⋅ ∠ = ∠
∠
Ω∠−
= ⋅ ∠ = ∠−
∠
Ω∠−
= ⋅ ∠ = ∠
∠−



O diagrama de admitâncias é ilustrado na Figura 11, a seguir.
 UNIUBE 37
Figura 11: Diagrama de admitâncias para o 
circuito do exemplo 4
Fonte: Acervo do Autor
Agora, resolva a Atividade 4 proposta, a seguir.
Atividade 4: Dado o circuito da Figura 12, a seguir, determine o valor da 
admitância total e o valor da corrente em cada elemento do circuito. Desenhe 
o diagrama de fasores contendo a tensão total, a corrente total e a corrente 
em cada elemento do circuito.
AGORA É A SUA VEZ
38 UNIUBE
Figura 12: Circuito em paralelo RLC.
Fonte: Acervo do Autor.
Potência CA2.3
A definição de potência fornecida a uma carga a qualquer instante de 
tempo é dada por:
p v i= ⋅ (I)
Como se trata de um estudo em que a tensão e a corrente são senoidais, 
pode-se considerar um caso geral em que a tensão e a corrente valem, 
respectivamente:
( ) ( )m mv V sen t e i I sen tω θ ω= ⋅ + = ⋅ (II)
Substituindo as expressões de II na equação I, tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1: cos cos
2
cos cos
2
2 2
cos cos 2 cos cos2
2
m m m m
m m
ef ef
ef ef
p V sen t I sen t V I sen t sen t
Identidade sen sen
V Ip t t t t
V I
p t V I t
ω θ ω ω θ ω
α β α β α β
ω θ ω ω θ ω
θ ω θ θ ω θ
= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ +
 ⋅ = ⋅ − − + 
⋅
 = ⋅ + − − + + 
⋅ ⋅ ⋅
   = ⋅ − + = ⋅ ⋅ − +   
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1: cos cos
2
cos cos
2
2 2
cos cos 2 cos cos 2
2
m m m m
m m
ef ef
ef ef
p V sen t I sen t V I sen t sen t
Identidade sen sen
V Ip t t t t
V I
p t V I t
ω θ ω ω θ ω
α β α β α β
ω θ ω ω θ ω
θ ω θ θ ω θ
= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ +
 ⋅ = ⋅ − − + 
⋅
 = ⋅ + − − + + 
⋅ ⋅ ⋅
   = ⋅ − + = ⋅ ⋅ − +   
 UNIUBE 39
2.3.1 Circuitos resistivos
Como visto no capítulo “Sistemas Monofásicos Alternados”, em um 
circuito puramente resistivo, não há defasagem entre a tensão e 
a corrente, ou seja, 0ºθ = . Assim, substituindo na equação III 
encontrada, tem-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos 0º cos 0º cos 2 0º 2R ef ef ef ef ef efp V I V I t V I sen sen tω ω= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
( )cos 2R ef ef ef efp V I V I tω= ⋅ − ⋅ ⋅ (IV)
O primeiro termo da equação IV representa a potência média e o 
segundo termo é um cosseno, que tem uma frequência igual ao dobro 
da frequência da tensão ou da corrente. Como não há defasagem 
entre a tensão e a corrente, o produto dessas duas grandezas sempre 
será positivo, ou seja, estará acima do eixo, o que indica que toda a 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
: cos cos cos
cos cos cos 2 2
cos 1 cos 2 2
ef ef
ef ef ef ef
Identidade sen sen
p V I t sen sen t
p V I t V I sen sen t
α β α β α β
θ θ ω θ ω
θ ω θ ω
+ = −
 = ⋅ ⋅ − + 
 = ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
cos cos cos 2 2
v ou i v ou i
ef ef ef ef ef ef
f f f fPotência Média Valor de Pico Valor de Pico
p V I V I t V I sen sen tθ θ ω θ ω
= ⋅ = ⋅
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
 
  
 (III)
Considerações importantes:
1. no estudo da potência CA, será utilizada a equação III encontrada e 
duas novas potências (aparente e reativa) serão introduzidas; 
2. inicialmente, serão estudados circuitos puros, contendo apenas um 
tipo de elemento de circuito; 
3. em seguida, serão estudados os casos em que há mais de um tipo 
de elemento no circuito; 
4. o estudo realizado sobre a potência CA servirá de base para 
posterior estudo da correção do fator de potência.
40 UNIUBE
potência fornecida a um resistor é dissipada em forma de calor. O termo 
( )cosef efV I θ⋅ ⋅ é chamado de potência ativa (P) e é dada em Watt (W).
( )cosef efP V I θ= ⋅ ⋅
2.3.2 Potência reativa
Nos circuitos puramente indutivos ou puramente capacitivos, a defasagem 
entre a tensão e a corrente é de ±90º. Considerando ambos os circuitos 
e substituindo o ângulo de defasagem na equação III, tem-se:
• Para o caso indutivo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos 90º cos 90º cos 2 90º 2L ef ef ef ef ef efp V I V I t V I sen sen tω ω= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
( )2L ef efp V I sen tω= ⋅ ⋅
• Para o caso capacitivo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos 90º cos 90º cos 2 90º 2C ef ef ef ef ef efp V I V I t V I sen sen tω ω= ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −
( )2C ef efp V I sen tω= − ⋅ ⋅
Analisando a equação III, o termo ( ) ( )2ef efV I sen sen tθ ω⋅ ⋅ corresponde à 
energia trocada entre a fonte e a carga e, por meio de uma análise gráfica, 
observa-se que esse termo tem um valor médio nulo. O valor máximo 
da energia trocada corresponde a ( )ef efV I sen θ⋅ ⋅ , em que θ é o ângulo 
da defasagem entre a tensão e a corrente. A parcela ( )ef efV I sen θ⋅ ⋅ é 
chamada de potência reativa (Q) e é dada em Volt-Ampère-Reativo (VAR).
( )ef efQ V I sen θ= ⋅ ⋅
2.3.3 Potência aparente
Uma vez definidas as potências ativa e reativa, define-se a potência 
aparente (S) como sendo a soma vetorial das outras duas potências, ou seja:
 UNIUBE 41
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2 2 2 2 2 2cos cosef ef ef ef ef ef
ef ef
S P Q V I V I sen V I sen
S V I
θ θ θ θ    = + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ +     
= ⋅
A potência aparente é dada em Volt-Ampère (VA). Com base na expressão 
definida para a potência aparente, pode-se redefinir as expressões 
para as potências ativa e reativa anteriormente encontradas, ou seja:
Para a potência ativa: ( )cosP S θ= ⋅
Para a potência reativa: ( )Q S sen θ= ⋅
2.3.4 Triângulo de potências
No item 2.3.3, as potências foram relacionadas de forma vetorial. 
O triângulo de potências é uma forma gráfica de visualizar a relação 
entre as três potências. Considerando como primeiro caso uma carga 
indutiva, ou seja, LZ R jX= + , ter-se-á uma potência aparente da forma: 
LS P jQ= +
Graficamente, pode-se ilustrar a potência aparente como mostrado na 
Figura 13, a seguir.
Figura 13: Triângulo de potências para carga indutiva.
Fonte: Acervo do Autor.
Considerando, agora, o caso de uma carga capacitiva, ou seja, 
CZ R jX= − , a potência aparente fica:
42 UNIUBE
Figura 14: Triângulo de potências para carga capacitiva.
Fonte: Acervo do Autor.
Lembrando que o fator de potência (Fp) é definido como sendo o cosseno 
do ângulo θ, conclui-se que:
( )cos cateto adjacente potência ativa PFp Fp
hipotenusa potência aparente S
θ= = = ⇒ =
Exemplo 5
Analise o circuito da Figura 15, a seguir, e calcule as potências ativa, reativa e 
aparente. Desenhe o triângulo de potências para as potências encontradas.
Figura 15: Circuito RL série.
Fonte: Acervo do Autor.
CS P jQ= −
Graficamente, pode-se ilustrar a potência aparente como mostrado na 
Figura 14, a seguir.
 UNIUBE 43
Resolução:
Primeiramente, será determinada a corrente do circuito e, posteriormente, 
as potências envolvidas.
10 15 18,03 56,31º 56,31º
10 0º 0,55 56,31º
18,03 56,31º
Z j Z
EI A
Z
θ= + → = Ω∠ ⇒ =
∠
= = = ∠−
∠


A potência aparente é da forma: LS P jQ= +
A potência ativa vale: ( )22 0,55 10 3,025P I R W= ⋅ = ⋅ =
A potência reativa vale: ( )22 0,55 15 4,54LQ I X VAR= ⋅ = ⋅ =
Logo, a potência aparente vale: 3,025 4,54 5,46 56,32ºS j S VA= + → = ∠
O triângulo de potência fica como ilustrado na Figura 16, a seguir.
Figura 16: Triângulo de potências para o circuito dado.
Fonte: Acervo do Autor.
Para fixar os conceitos vistos até o momento sobre a potência CA e sobre 
o triângulo de potência, resolva a Atividade 5, proposta, a seguir.
44 UNIUBE
Atividade 5: 
Dado o circuito da Figura 17, desenhar o triângulo de potências 
correspondente ao circuito.
AGORA É A SUA VEZ
Figura 17: Circuito para determinar o triângulo de potências correspondente.
Fonte: Acervo do Autor.
O Exemplo 6, a seguir, ilustra o caso em que se deseja determinar o total 
das potências ativa, reativa e aparente em um dado circuito.
Exemplo 6
Dado o circuito da Figura 18, determine o total das potências ativa, reativa 
e aparente e, também, o fator de potência do circuito.
Figura 18: Circuito de potências.
Fonte: Acervo do Autor.
 UNIUBE 45
Resolução:
A resolução deste exemplo tem início com a determinação da corrente 
em cada ramo do circuito e posterior determinação da potência relativa 
a cada elemento do circuito.
48 0ºEI
Z Z
∠
= =


- Impedância do primeiro ramo paralelo:
1 15 8 9,43 58ºZ j ou Z= + Ω = Ω∠
- Impedância do segundo ramo paralelo: 
2 24 12 12,65 71,56ºZ j ou Z= − Ω = Ω∠−
- A impedância equivalente dos dois ramos paralelos resulta em:
 1 2/ / 11,92 2,18 12,12 10,4ºeq eqZ Z Z j ou Z= = + Ω = Ω∠
- A impedância total Z vale:
( )10 11,92 2,18 21,92 2,18 22,03 5,68ºZ j j ou Z= + + = + Ω = Ω∠
48 0º 2,18 5,68º
22,03 5,68º
I A∠∴ = = ∠−
∠

- A corrente 1I

 vale: 1
12,12 10,4º 2,18 5,68º 2,8 53,28º
9,43 58º
I A∠= ⋅ ∠− = ∠−
∠

- A corrente 2I

 vale: 2
12,12 10,4º2,18 5,68º 2,1 76,28º
12,65 71,56º
I A∠= ⋅ ∠ − = ∠
∠−

Agora, procede-se ao cálculo das potências
- em R1: ( )
22
1 1 2,18 10 47,52P I R W= ⋅ = ⋅ =
- em R2: ( )
22
2 1 2 2,8 5 39,2P I R W= ⋅ = ⋅ =
46 UNIUBE
- em L: ( )221 2,8 8 62,72L LQ I X VAR= ⋅ = ⋅ =
- em R3: ( )
22
3 2 3 2,1 4 17,64P I R W= ⋅ = ⋅ =
- em C: ( )222 2,1 12 52,92C CQ I X VAR= ⋅ = ⋅ =
De posse dos valores das potências em cada ramo do circuito, procede-
se ao cálculo das potências totais.
Ramo Potência Ativa (W) Potência Reativa (VAR) Potência Aparente (VA)
1 47,52 0 47,52
2 39,2 62,72 (L) 73,96
3 17,64 52,92 (C) 55,78
104,36 9,8 (L) 104,82
O fator de potência pode ser calculado da seguinte maneira:
104,36cos 0,995
104,82
T
T
P WFp
S VA
θ= = = =
De acordo com o valor do fator de potência, tem-se um ângulo de, 
aproximadamente:
 
1cos (0,995) 5,37ºθ −= ≅
A Figura 19 ilustra o triângulo de potências relativo ao circuito da Figura 18.
Figura 19: Triângulo de potências para o circuito do Exemplo 6.
Fonte: Acervo do Autor.
5,37º
 UNIUBE 47
Correção do fator de potência2.4
No meio industrial, as cargas têm uma característica preponderantemente 
indutiva devido ao grande número de motores instalados. Considerando 
que cada carga é uma impedância do tipo LZ R jX= + , o fator de 
potência será menor do que a unidade e atrasado. 
Analisando do ponto de vista de uma indústria como um todo, se o fator 
de potência for baixo (< 0,92), a indústria poderá ser multada devido 
às condições de fornecimento de energia elétrica estipuladas pelas 
concessionárias de energia. Quando o fator de potência é baixo, significa 
que uma quantidade relativa de potência reativa está sendo trocada entre 
a fonte e a carga. Observe o triângulo de potências da Figura 20.
Figura 20: Triângulo de potências com correção do fator de potência.
Fonte: Adaptado de Boylestad (2004).
Pode-se observar, na Figura 20, que uma potência reativa menor 
resultará em uma potência aparente menor, o que produz um menor 
ângulo de defasagem (maior fator de potência).
As formas mais comuns de se fazer a correção do fator de potência são 
através do uso de capacitores (bancos de capacitores) ligados em paralelo 
às cargas ou ligados em paralelo ao transformador na subestação. 
SAIBA MAIS
48 UNIUBE
Neste estudo, será considerado o caso em que a ligação será realizada 
em paralelo às cargas. Observe o Exemplo 7, a seguir.
Exemplo 7
Dado o circuito da Figura 21, determine o valor do elemento capacitivo 
que deverá ser inserido em paralelo às cargas tal que o fator de potência 
do circuito aumente para 0,92.
Figura 21: Circuito de cargas.
Fonte: Acervo do Autor.
Resolução:
Primeiramente, serão determinados os valores das potências ativa e 
reativa da carga indutiva.
( ) ( )
( )
1
15 0,7 ( ) 15 0,7 10,5
cos 0,7 cos 0,7 45,6º
15 45,6º 10,72L
S kVA e Fp atrasado P k kW
Q k sen kVAR
θ θ −
= = → = ⋅ =
= → = =
= ⋅ =
As potências totais são:
- potência ativa: 5 10,5 15,5KW kW kW+ = ;
- potência reativa: 0 10,72 10,72 kVAR kVAR+ = ;
- potência aparente: ( ) ( )2 215,5 10,72 18,84k k kVA+ = .
 UNIUBE 49
O triângulo de potências fica como ilustrado na Figura 22, a seguir.
Figura 22: Triângulo de potências para o circuito da Figura 21.
Fonte: Acervo do Autor.
Como o fator de potência desejado é de 0,92, o ângulo θ’ correspondente 
será de:
( )1' cos 0,92 23,07ºθ −= =
Como ( )
'
' 3tan ' tan 23,07º 15,5 10 6,6L L
T
Q Q kVAR
P
θ = → = ⋅ × = e ainda:
( ) ( )2 2' 15,5 6,6 16,85TS k k kVA= + =
Para o novo ângulo, tem-se um novo triângulo de potências, como 
ilustrado na Figura 23.
Figura 23: Triângulo de potências para o fator de potências desejado.
Fonte: Acervo do Autor.
34,67ºθ =
1
15,5cos 0,8227
18,84
cos (0,8227) 34,67º
kVAR
kVA
θ
−
= =
=
50 UNIUBE
Por meio da diferença 'L LQ Q− , chega-se ao valor do elemento capacitivo 
que fará com que o fator de potência aumente para 0,92.
( )
'
22
10,72 6,6 4,12
1000 14,12 242,72
4,12 2
1 1 11
2 2 60 242,72
C L L
C C
C
C
Q Q Q K k kVAR
Ek X X
X k f C
C C F
f X
π
µ
π π
= − = − =
= → = = Ω → =
⋅
= = → ≅
⋅ ⋅
De acordo com os cálculos, um capacitor de 11µF ligado em paralelo ao 
circuito fará com que o fator de potência do circuito aumente para 0,92.
Agora, para fixar os conceitos estudados, você deverá resolver a Atividade 
6 proposta, a seguir.
Atividade 6: Dado o circuito da Figura 24, a seguir, determine:
a) o triângulo de potências para o circuito;
b) o fator de potência do circuito;
c) o valor de um capacitor tal que ligado em paralelo com a carga RL, 
aumente o fator de potência para 0,95;
d) o novo triângulo de potências.
AGORA É A SUA VEZ
Figura 24: Circuito Atividade 6.
Fonte: Acervo do Autor.
 UNIUBE 51
Resumo
Neste capítulo, estudamos as associações entre impedâncias, ou 
seja, a associação série de impedâncias e a associação paralela de 
impedâncias. Após o estudo das associações de impedâncias, vimos a 
potência associada aos circuitos de corrente alternada (potência CA) e, 
por fim, uma introdução ao estudo de um tópico de grande importância, 
a correção do fator de potência.
Referências
BOYLESTAD, R.L. Introdução à análise de circuitos. 10. ed. São Paulo: Prentice 
Hall, 2004.
Antônio Manoel Batista da Silva
Introdução
Sistemas alternados 
trifásicos equilibrados
Capítulo
3
Grandes quantidades de energia são geradas nas usinas 
hidroelétricas e transmitidas por intermédio de linhas de 
transmissão para os centros consumidores, constituídos 
basicamente de cidades, nas quais estão presentes unidades 
residenciais, comerciais e industriais. Sendo a maior parte dessa 
energia consumida nas unidades industriais.
Tanto no processo de geração de energia como no consumo 
dessa mesma energia nos sistemas industriais e outros, se faz 
necessário a utilização de sistemas trifásicos, ou seja, usam-se 
três fases. O uso de um sistema trifásico se justifi ca pelo fato de 
que grandes geradores trifásicos apresentam inúmeras vantagens 
sobre geradores monofásicos, entre as quais se destacam: 
melhores rendimentos, menor volume, peso e custo. 
Tensões trifásicas implicam a transmissão de energia em linhas 
de transmissão trifásicas. Nessas linhas, então, as torres serão de 
menores dimensões, pois os esforços mecânicos serão menores, 
implicando em linhas com estruturas mais delgadas. As cargas 
industriais são constituídas de motores que, em sua maioria, são 
trifásicos. Isso porque também os motores elétricos trifásicos 
apresentam inúmeras vantagens em relação aos monofásicos. 
54 UNIUBE
Após os estudos propostos neste capítulo, esperamos que você 
esteja apto(a) a:
• identificar os circuitos elétricos trifásicos alimentados com 
fontes de tensões senoidais;
• diferenciar conexões em estrela e triângulo;
• diferenciar tensões e correntes de linha e de fase;
• calcular grandezas de um sistema alternado trifásico;
• calcular potência trifásica em seus três tipos: aparente, ativa 
e reativa. 
Objetivos
Melhor rendimento, menor peso, volume e consequente menor 
custo. Outro aspecto que merece destaque é o fato de que 
motores de indução trifásicos apresentam naturalmente torque 
de partida, ao contrário de motores de indução monofásicos que 
necessitam de métodos especiais de partida.
3.1 Geração de tensões trifásicas
3.2 Fonte de tensões trifásicas do tipo Y e do tipo ∆
3.2.1 Definições
3.2.2 Relação entre grandezas de linha e de fase
3.2.3 Sequência de fases
3.3 Cargas trifásicas do tipo Y e do tipo ∆
3.4 Potência em sistemas trifásicos
3.4.1 Potência ativa
3.4.2 Potência reativa
3.4.3 Potência aparente
3.5 Circuito monofásicoequivalente para cargas equilibradas
3.5.1 Medição de potência trifásica
Esquema
 UNIUBE 55
Geração de tensões trifásicas3.1
A maioria das tensões trifásicas geradas no mundo são geralmente 
obtidas em geradores síncronos trifásicos. Essas máquinas elétricas têm 
dois enrolamentos. O enrolamento de campo, alimentado em corrente 
contínua, conduz a corrente de campo. Essa corrente produz o campo 
magnético necessário para a máquina operar. O outro enrolamento é o 
enrolamento de armadura, que conduz a corrente de carga da máquina. 
Tal enrolamento é um enrolamento trifásico, e em cada uma das fases é 
gerada tensão alternada, defasadas umas das outras de 120o. De fato, 
ao circular corrente contínua no enrolamento do rotor, cria-se um campo 
magnético (polaridade N e S). Como esse enrolamento está no rotor 
e este gira devido à ação de uma máquina primária (turbina), produz-
se, então, um campo magnético girante. Esse campo, ao passar pelas 
bobinas do estator, induz nelas tensões alternadas, que podem ser 
descritas pelas seguintes equações:
0
0
( ) ( )
( ) ( 120 )
( ) ( 240 )
an MAX
bn MAX
cn MAX
e t E sen wt
e t E sen wt
e t E sen wt
=
= −
= −
Como essas ondas estão defasadas de 120o umas das outras, a qualquer 
instante t, a soma das três tensões é igual a zero. Isso pode ser verificado 
na Figura 1, a seguir, na qual as três tensões estão representadas.
IMPORTANTE!
56 UNIUBE
Figura 1: Formas de onda das tensões trifásicas senoidais.
Essas tensões, chamadas de tensões de fase, são senoidais e podem 
ser representadas pelos seguintes fasores:
0
120
240
AN AN
BN BN
CN CN
E E
E E
E E
•
•
•
= ∠
= ∠−
= ∠−



O módulo, dessas tensões de fase, é seu valor eficaz, sendo calculado 
pela expressão: 
2
MAX
F
EE =
Tendo EF como tensão de fase, como o sistema é equilibrado?
F AN BN CNE E E E= = =
De fato, como se trata de um sistema trifásico equilibrado, a amplitude 
das tensões de cada fase tem o mesmo módulo, entretanto, essas 
tensões estão defasadas de 120o umas das outras. Veja no diagrama 
fasorial, a seguir, a representação dessa afirmação.
 UNIUBE 57
Figura 2: Diagrama fasorial das tensões de fase.
Assim, pode-se verificar com facilidade que a soma das tensões de fase 
se iguala a zero.
Veja a demonstração:
 
0
0 120 240
,
cos(0 ) (0 ) cos(120 ) (120 ) cos(240 ) (240 ) 0
0,5 0,866 0,5 0,866 0
0 0 ( )
AN BN CN
O O O
AN BN BN
AN BN CN F
O O O O O O
F F F F F F
F F F F F
E E E
E E E
como E E E E tem se
E jE sen E jE sen E jE sen
E E j E E j E
cqd
• • •
+ + =
∠ + ∠ + ∠
= = = −
+ + + + + =
− + − − =
=
como
0
0 120 240
,
cos(0 ) (0 ) cos(120 ) (120 ) cos(240 ) (240 ) 0
0,5 0,866 0,5 0,866 0
0 0 ( )
AN BN CN
O O O
AN BN BN
AN BN CN F
O O O O O O
F F F F F F
F F F F F
E E E
E E E
como E E E E tem se
E jE sen E jE sen E jE sen
E E j E E j E
cqd
• • •
+ + =
∠ + ∠ + ∠
= = = −
+ + + + + =
− + − − =
=
 tem-se0
0 120 240
,
cos(0 ) (0 ) cos(120 ) (120 ) cos(240 ) (240 ) 0
0,5 0,866 0,5 0,866 0
0 0 ( )
AN BN CN
O O O
AN BN BN
AN BN CN F
O O O O O O
F F F F F F
F F F F F
E E E
E E E
como E E E E tem se
E jE sen E jE sen E jE sen
E E j E E j E
cqd
• • •
+ + =
∠ + ∠ + ∠
= = = −
+ + + + + =
− + − − =
=
Fonte de tensões trifásicas do tipo Y e do tipo ∆3.2
Quando o enrolamento da fonte trifásica de energia é conectado conforme 
Figura 3, a seguir, tem-se uma fonte trifásica do tipo Y. Nota-se que nesse 
tipo de conexão existe um ponto comum entre as bobinas do sistema. 
Esse ponto é chamado de neutro. Por ser um sistema trifásico, tem-se 
um sistema a três fios, sendo que cada uma das fases, por intermédio 
58 UNIUBE
dessas linhas (fios), são conectadas à carga. Se há conexão da fonte à 
carga também pelo neutro, o sistema é dito ser a quatro fios.
Figura 3: Fonte trifásica do tipo Y.
Fonte: Adaptado pelo autor de Boylestad (2004, p. 660).
Quando o enrolamento da fonte trifásica de energia é conectado conforme 
Figura 4, a seguir, tem-se uma fonte trifásica do tipo ∆. Nota-se que, 
nesse tipo de conexão, não existe um ponto comum entre as bobinas do 
sistema, portanto não se tem o ponto chamado de neutro.
Figura 4: Fonte trifásica do tipo delta.
Fonte: Adaptado pelo autor de Boylestad (2004, p. 665).
Assim, o sistema trifásico alimentado por esse tipo de conexão de fonte 
só pode ser um sistema trifásico a três fios, sendo que cada uma das 
 UNIUBE 59
fases é conectada à carga por intermédio de fios condutores, que são 
chamados de linhas.
3.2.1 Definições
Tensão de fase
Tensão de fase é a diferença de tensão entre a fase e o neutro. 
Quando a carga ou a fonte está ligada em estrela, é fácil observá-la, 
devido à presença do neutro. Veja a situação mostrada na Figura 
4(a). Para a fase a, a tensão eAN é a tensão de fase. Para a fase 
b, a tensão eBN é a tensão de fase, e assim por diante. Quando a 
conexão está em ∆, a fase é cada lado do triângulo. Assim, EAN é 
a própria tensão EAB, como mostra a Figura 4(b). Em termos de 
módulo, sua notação é VF.
Corrente de fase
Corrente de fase é a corrente que circula da fase para o neutro na 
carga ou do neutro para a fase no gerador. Da mesma maneira, 
quando a carga ou a fonte está ligada em estrela, é fácil observá-la, 
devido à presença do neutro. Observe, ainda, a Figura 3. Para a fase 
a, a corrente IAN é a corrente de fase, e assim por diante. Quando 
a conexão está em ∆, como dito anteriormente, a fase é cada lado 
do triângulo. Assim, IBA é a corrente de fase, e assim por diante. Em 
termos de módulo, sua notação é IF.
Tensão de linha
Tensão de linha é a diferença de tensão entre uma linha e outra. É 
conhecida como tensão fase-fase. Assim, as tensões EAB, EBC e ECA 
são tensões de linha. Em termos de módulo, sua notação é VL.
Corrente de linha
Corrente de linha é a corrente que circula na linha entre a fonte 
trifásica e a carga trifásica. Assim, as correntes IAa, IBb e ICc são 
correntes de linha. Outras notações mais comuns são Ia, Ib e Ic. Em 
termos de módulo, sua notação é IL.
60 UNIUBE
3.2.2 Relação entre grandezas de linha e de fase
Pode-se colocar no mesmo diagrama as grandezas de linha e de fase, 
conforme mostra o diagrama fasorial apresentado na Figura 5, que 
associa tensões de linha e tensão de fase, para uma estrutura, ligadas 
em estrela. 
Figura 5: Diagrama fasorial envolvendo grandezas de linha 
e de fase.
Fonte: Adaptado pelo autor de Boylestad (2004, p. 660).
Note que a soma do fasor EAN com o fasor ENB resulta no fasor EAB. 
Observe que o ângulo formado entre EAB e EAN é de 30o. Por outro lado, 
o ângulo entre EAB e ENB também é de 30o.
Assim, o ângulo entre EAN e ENB é de 120o. Aplicando a lei dos cossenos, 
tem-se o seguinte resultado:
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 cos(120 )
3
3
o
L F F F F
L F F F
L F
L F
V V V V V
V V V V
V V
V V
= + −
= + +
=
=
 UNIUBE 61
Como a estrutura está em estrela, a corrente de linha é igual à corrente de 
fase, posto que a corrente que circula na linha é a mesma que circula na fase.
L FI I=
Se a estrutura estiver conectada em ∆, as tensões de linha e de fase são 
as mesmas, já que a diferença de potencial que está sobre a fase (cada 
lado do triângulo) é a mesma que está entre as linhas. Assim:
L FV V=
Visto que as correntes de linha e de fase se relacionam pelo fator 3, assim,
3L FI I=
Portanto, o módulo da corrente de linha é igual ao módulo da corrente 
de fase multiplicada por 3.
3.2.3 Sequência de fases
As tensões senoidais podem ser representadas pelos seus fasores 
representativos, que, por serem números complexos, têmmódulo e 
ângulo girando na velocidade w, no sentido anti-horário, conforme mostra 
a Figura 6, a seguir.
Figura 6: Sequência de fase a partir do diagrama das 
tensões de fase.
Fonte: Adaptado pelo autor de Boylestad (2004, p. 661).
62 UNIUBE
Em relação a um ponto fixo P, ao girar, o diagrama fasorial produz uma 
certa sequência de fase. Se, ao girar, passa pelo ponto fixo, a tensão eAN, 
depois eBN e, finalmente, eCN, como mostra a Figura 6, então a sequência 
de fase é abc. Pode ser que o contrário aconteça. Ou seja, o diagrama 
fasorial ao girar faça com que, pelo ponto fixo P, passe a tensão eAN, 
depois a tensão eCN e, finalmente, a tensão eBN. Nesse caso, a sequência 
de fase é acb, também conhecida como sequência cba.
A sequência de fase pode ser obtida pelo diagrama fasorial envolvendo 
as grandezas de linha. Se, ao girar, passa pelo ponto fixo, a tensão Eab, 
depois Ebc e, finalmente, Eca, como mostra a Figura 7, então a sequência 
de fase é abc.
Figura 7: Sequência de fase a partir das tensões de linha.
Fonte: Adaptado pelo autor de Boylestad (2004, p. 661). 
Pode ser que, da mesma maneira, o contrário aconteça. Ou seja, 
o diagrama fasorial ao girar faça com que, pelo ponto fixo P, passe a 
tensão Eab, depois a tensão Eca e, finalmente, a tensão Ebc. Nesse caso, 
a sequência de fase é acb. 
 UNIUBE 63
Cargas trifásicas do tipo Y e do tipo ∆3.3
Assim como as fontes, as cargas dos sistemas trifásicos podem ser do 
tipo Y ou do tipo ∆. Ou seja, as cargas trifásicas podem ser ligadas em 
estrela ou triângulo. Essas cargas são motores trifásicos, conjunto de 
lâmpadas constituindo uma carga trifásica, fornos de indução, conjunto 
de residências alimentadas por um transformador de distribuição, entre 
outras. Em um sistema no qual a carga está ligada em Y e é equilibrada, 
a corrente de neutro é igual a zero. Diz-se que a carga é equilibrada se 
as impedâncias das três fases são iguais, em módulo e ângulo. 
Ou seja: 
an bn cn FZ Z Z Z
• • • •
= = =
Exemplo 1
Seja um sistema trifásico Y-Y, como mostrado na Figura 8, cujas tensões 
de fase são:
( ) 2127 (2 )
( ) 2 127 (2 120 )
( ) 2 127 (2 240 )
an
o
bn
o
cn
e t sen ft V
e t sen ft V
e t sen ft V
π
π
π
=
= −
= −
Figura 8: Cargas trifásicas em estrela.
Fonte: Adaptado pelo autor de Boylestad (2004, p. 663). 
64 UNIUBE
Pede-se:
a) determine a sequência de fase do sistema;
b) determine os fasores das tensões de fase na carga;
c) determine os fasores das tensões de linha na carga;
d) determine os fasores das correntes de fase na carga;
e) determine os fasores das correntes de linha na carga;
f) determine o módulo das correntes de fase e de linha na carga;
g) determine o módulo da corrente de neutro;
h) trace o diagrama fasorial envolvendo as tensões de linha e de fase 
na carga.
Resolução:
a) Como o ângulo da tensão ean = 0o, da tensão ebn = –120º e ecn = 
–240º, então a sequência de fase é abc.
b) EAN está em paralelo Van, portanto, essas tensões são iguais.
Cálculo do módulo das tensões de fase
 
2127 127
2F F
Cálculodomódulo das tensões de fase
V V V= ⇒ =
Portanto, as tensões de fase são:
 
tan , :
127 0
127 120
127 240
o
an
o
bn
o
cn
Por to as tensões de fase são
V V
V V
V V
•
•
•
= ∠
= ∠−
= ∠−
c) Cálculo do módulo da tensão de linha.
3
3 .127
3 .127
219,97
L F
L
L
L
V V
V
V
V V
=
=
=
=
3
3 .127
3 .127
219,97
L F
L
L
L
V V
V
V
V V
=
=
=
=
 UNIUBE 65
Observando a Figura 8, nota-se que, na sequência de fase abc, a tensão 
de linha está adiantada de 30º em relação à tensão de fase. Assim, as 
tensões de linha são:
219,97 30
219,97 90
219,97 210
O
AB
O
BC
O
CA
V V
V V
V V
•
•
•
= ∠
= ∠−
= ∠−
d) Cálculo da impedância por fase:
 
3 4
5 53,13
an bn cn F
F
o
F
Z Z Z Z
Z j
Z
• • • •
•
•
= = =
= +
= ∠ Ω
Cálculo das correntes de fase:
 
an
an
an
Cálculo das correntes de fase
VI
Z
•
•
•=
127 0 25,4 53,13
5 53,13
25,4 173,13
25,4 293,13
, .
, ,
o
o
an ano
o
bn
o
cn
I I A
I A
I A
Como o sistemaé equilibrado o módulo da corrente é o mesmo para as três fases
Quanto aos ângulos devido a sequência de fase abc após obter o ângulo
• •
•
•
∠
= ⇒ = ∠−
∠
= ∠−
= ∠−
, dim 120
240 .
o
o
da corrente da fase a basta dele inuir para obter oângulo da fase b
e depois para obter o da fase c
Como o sistema é equilibado, o módulo da corrente é o mesmo para as 
três fases. Quanto aos ângulos, devido a sequência de fase abc, após 
obter o ângulo da corrente da fase a, basta dele diminuir 120o para obter 
o ângulo da fase b e depois 240o para obter o da fase c.
e) A carga está conectada em estrela, então as correntes de linha são 
iguais às correntes de fase.
66 UNIUBE
 
,
25,4 53,13
25,4 173,13
25,4 293,13
a an
b bn
c cn
o
a
o
b
o
c
I I
I I
I I
Assim
I A
I A
I A
• •
• •
• •
•
•
•
=
=
=
= ∠−
= ∠−
= ∠−
Assim,
 
,
25,4 53,13
25,4 173,13
25,4 293,13
a an
b bn
c cn
o
a
o
b
o
c
I I
I I
I I
Assim
I A
I A
I A
• •
• •
• •
•
•
•
=
=
=
= ∠−
= ∠−
= ∠−
f) Os módulos das correntes de linha são iguais aos das correntes de fase.
 25,4L FI I A= =
g) Cálculo da corrente de neutro.
 
25,4 0 25,4 120 25,4 240
25,4 0 12,7 22 12,7 22
0 0
0 0
0
N an bn cn
o o o
N
N
N
o
N
N
I I I I
I
I j j j
I j
I A
Módulo da corrente de neutro
I A
• • • •
•
•
•
•
= + +
= ∠ + ∠− + ∠−
= + − − − +
= +
= ∠
=
Módulo da corrente de neutro
 
25,4 0 25,4 120 25,4 240
25,4 0 12,7 22 12,7 22
0 0
0 0
0
N an bn cn
o o o
N
N
N
o
N
N
I I I I
I
I j j j
I j
I A
Módulo da corrente de neutro
I A
• • • •
•
•
•
•
= + +
= ∠ + ∠− + ∠−
= + − − − +
= +
= ∠
=
 UNIUBE 67
h) Diagrama fasorial envolvendo as tensões de linha e tensões de fase:
 
Exemplo 2
Seja o sistema trifásico, mostrado na Figura 9, cujas tensões de linha são:
382 30
382 150
382 270
O
AB
O
BC
O
CA
E V
E V
E V
•
•
•
= ∠
= ∠
= ∠
Figura 9: Carga trifásica ligada em delta.
Fonte: Adaptado pelo autor de Boylestad (2004, p. 664). 
Sistema trifásico a 
três fios.
Sequência de fase 
acb
68 UNIUBE
Resolução:
a) Como o ângulo da tensão EAB = 30o, da tensão EBC = 150º e ECA 
= 270º, então a sequência de fase é acb.
b) As tensões de linha da fonte são iguais às tensões de linha na carga.
 
382 30
382 150
382 270
O
AB
O
BC
O
CA
V V
V V
V V
•
•
•
= ∠
= ∠
= ∠
c) As tensões de linha são iguais às tensões de fase na carga, pois a 
carga está conectada em ∆.
 
382 30
382 150
382 270
O
AB
O
BC
O
CA
V V
V V
V V
•
•
•
= ∠
= ∠
= ∠
d) Cálculo das correntes de fase.
Como o sistema é equibrado:
Pede-se:
a) determine a sequência de fase do sistema;
b) determine os fasores das tensões de linha na carga;
c) determine os fasores das tensões de fase na carga;
d) determine os fasores das correntes de fase na carga;
e) determine os fasores das correntes de linha na carga;
f) trace o diagrama fasorial envolvendo as tensões e corrente de fase 
na carga.
 UNIUBE 69
 
6 8
10 53,13
ab bc ca F
F
o
F
Como o sistema é equilibrado
Z Z Z Z
Z j
Z
• • • •
•
•
= = =
= + Ω
=∠ Ω
 
382 30
10 53,13
38 23,13
38 96,87
38 216,87
o
ab
ab o
ab
o
ab
o
bc
o
ca
VI
Z
I A
I A
I A
•
•
•
•
•
•
∠
= =
∠
= ∠−
= ∠
= ∠
e) Cálculo das correntes de linha.
 
38 23,13 38 216,87
34,95 14,9271 ( 30,399 22,8)
65,35 7,87
65,82 6,9
65,82 126,9
65,82 246,9
a ab ca
o o
a
a
a
o
a
o
b
o
c
I I I
I
I j j
I j A
I A
I A
I A
• • •
•
•
•
•
•
•
= −
= ∠− − ∠
= − − − −
= +
= ∠
= ∠
= ∠
Outra maneira de encontrar as correntes de linha:
Cálculo do módulo
3
3 .38
65,82
L F
L
L
I I
I
I A
=
=
=
70 UNIUBE
Determinação do ângulo:
Sequência de acb implica que a corrente de linha está 30º adiantada em 
relação à corrente de fase. Assim, 
65,82 6,9
65,82 126,9
65,82 246,9
o
a
o
b
o
c
I A
I A
I A
•
•
•
= ∠
= ∠
= ∠
f) Diagrama fasorial:
Potência em sistemas trifásicos3.4
Os sistemas elétricos alimentado com tensão alternada, seja ele 
monofásico ou trifásico, apresentam três tipos de potência. São elas: 
potência ativa, potência reativa e potência aparente. A potência ativa é 
aquela que realiza trabalho. A potência reativa está relacionada à potência 
necessária para produzir o campo magnético para o funcionamento de 
equipamentos, como motores e transformadores. A potência aparente 
é a soma vetorial desses dois tipos de potência anteriormente citadas. 
Vejamos, com mais detalhes, cada uma dessas potências.
 UNIUBE 71
3.4.1 Potência ativa
A potência ativa trifásica pode ser calculada utilizando as grandezas de 
fase. Como o sistema é trifásico, ou seja, possui três fases, basta calcular 
a potência de uma fase e multiplicar o resultado por três. Assim, tem-se: 
3 cosF FP V I φ=
No entanto, se for utilizar as grandezas de linha, quais sejam, tensões e 
correntes de linha, é fácil demonstrar que: 
3 cosL LP V I φ=
3.4.2 Potência reativa
A potência reativa trifásica, seguindo o mesmo raciocínio anterior, pode 
ser calculada pela expressão abaixo, utilizando-se das grandezas de fase. 
3 F FQ V I senφ=
Para calcular tal potência, utilizando-se das grandezas de linha, tem-se 
a seguinte expressão: 
3 L LQ V I senφ=
3.4.3 Potência aparente
A potência aparente trifásica calculada utilizando as grandezas de fase 
será:
3 F FS V I=
Utilizando-se das grandezas de linha, tensões e correntes de linha é fácil 
verificar que: 
3 L LS V I=
72 UNIUBE
Demonstração
Conforme anteriormente descrito, a potência ativa trifásica pode 
ser calculada utilizando as grandezas de fase conforme a seguinte 
expressão:
3 cosF FP V I φ=
Considerando uma carga ligada em estrela, sabe-se que 
3
L
F F L
VV e I I= = , assim,
3 cos
3
33 cos
3 3
tan
3 3 cos 3 cos
3
L
L
L
L
L
L L L
VP I
Racionalizando
VP I
Por to
VP I P V I
φ
φ
φ φ
=
=
= ⇒ =
Racionalizando:
 
3 cos
3
33 cos
3 3
tan
3 3 cos 3 cos
3
L
L
L
L
L
L L L
VP I
Racionalizando
VP I
Por to
VP I P V I
φ
φ
φ φ
=
=
= ⇒ =
Portanto,
3 cos
3
33 cos
3 3
tan
3 3 cos 3 cos
3
L
L
L
L
L
L L L
VP I
Racionalizando
VP I
Por to
VP I P V I
φ
φ
φ φ
=
=
= ⇒ =
Adotando esse procedimento, pode-se demonstrar essa mesma 
expressão considerando a carga ligada em triângulo, posto nessa 
condição, 
3
L
F F L
II e V V= = . Da mesma maneira, pode-se demonstrar 
as expressões para o cálculo da potência reativa e aparente, estando a 
carga em estrela ou em triângulo.
Exemplo 3
Calcule a potência ativa em KW, solicitada por uma carga constituída por 
um motor de indução trifásico, cuja impedância por fase é 8 12FZ j
•
= + Ω . 
Esse motor, conectado em Y, é alimentado em 60 Hz, com as seguintes 
tensões de linha:
 UNIUBE 73
220 0
220 120
220 240
O
AB
O
BC
O
CA
V V
V V
V V
•
•
•
= ∠
= ∠−
= ∠−
Resolução:
 220LV V=
Carga ligada em estrela:
220 127,02
3F F
V V V= ⇒ =
Impedância por fase:
8 12
14,42 56,31
F
o
F
Z j
Z
•
•
= + Ω
= ∠ Ω
Corrente por fase:
127,02 30 8,81 86,31
14,42 56,31
o
o
an anI I A
• •∠ −
= ⇒ = ∠−
∠
Módulo:
8,81FI A=
Potência ativa:
3.127,02. 8,81 . cos(56,31 )
1,86
oP
P KW
=
=
Circuito monofásico equivalente para cargas equilibradas3.5
Cargas trifásicas equilibradas conectadas em estrela (Y) ou em triângulo 
(∆) são equivalentes. Assim, é possível transformar uma carga trifásica 
74 UNIUBE
de ∆ para estrela e vice-versa. Nesse momento, o interesse maior é 
na transformação de ∆ para Y, pois a carga em estrela possibilita o 
cálculo mais direto de suas grandezas elétricas. O circuito monofásico 
equivalente é, de fato, uma fase do circuito trifásico conectado em estrela. 
A amplitude da tensão do circuito é o módulo da tensão de fase e o 
ângulo de fase igual a zero. O ângulo da corrente de linha será referido 
ao ângulo da tensão que está na referência. Assim, as correntes de linha 
Ia,Ib,Ic estarão atrasadas ou avançadas em relação às tensões de fase, 
com um ângulo de fase que tem o mesmo valor do ângulo da impedância 
de fase. No entanto, esse ângulo tem sinal invertido em relação ao da 
impedância.
Exemplo 4
Um sistema elétrico trifásico a três condutores, sequência de fase abc, 
60 Hz, 440 V, alimenta uma carga em triângulo, constituída por três 
impedâncias iguais de 5 5Z j
•
= + Ω .
Calcule a potência ativa, reativa e aparente consumida por essa carga.
Resolução:
Para o cálculo das potências ativa, reativa e aparente, há a necessidade 
apenas dos valores eficazes das tensões e da corrente, e do ângulo de 
defasagem entre a tensão e a corrente. Portanto, podemos utilizar o 
circuito monofásico equivalente para obter essas grandezas:
 
5 5
7,07 45o
Z j
Z
•
∆
•
∆
= + Ω
= ∠ Ω
 UNIUBE 75
 
3
7,07 45
3
2,36 45
Y
o
Y
o
Y
ZZ
Z
Z
•
•
∆
•
•
=
∠ Ω
=
= ∠ Ω
Tensão de fase:
 
0
0
0
440 254.03
3
254,03 0
2,35 45
108,1 45
F F
F
F
V V V
I
I A
•
•
= ⇒ =
∠
=
∠
= ∠−
,
Potência ativa:
 
3 cos
3.254.108,1cos(45 )
58245,94
F F
o
P V I
P
P W
φ=
=
=
Potência reativa:
 
3
3.254.108,1 (45 )
58245,94
F F
o
R
Q V I sen
Q sen
Q KVA
φ=
=
=
.
.
76 UNIUBE
3.5.1 Medição de potência trifásica
Sabe-se que os instrumentos de medição de potência são os watímetros, 
que podem ser monofásicos ou trifásicos. Assim, pode-se medir a 
potência consumida por um circuito trifásico de diversas maneiras, 
conforme os tipos de instrumentos de medição de potência disponível. 
• Watímetro trifásico
Se um watímetro trifásico estiver disponível, basta conectá-lo ao circuito 
de que se deseja medir a potência consumida. É útil relembrar que os 
watímetros são dispositivos que possuem duas bobinas. Uma, é a bobina 
de tensão que deve ser conectada em paralelo com a carga, e a outra 
é a bobina de corrente que deve ser conectada em série com ela. Os 
watímetros trifásicos naturalmente possuem três bobinas de tensão e 
três bobinas de corrente. As bobinas de tensão captam a tensão, e as de 
corrente, captam as correntes de linha da carga trifásica. Isso possibilita a 
medição da potência. Vale também relembrar que os watímetros medem 
a potência ativa que um circuito consome.
• Método dos três watímetros
Uma carga trifásica ligada em estrela (tipo Y) ou em triângulo (tipo ∆), 
equilibrada ou desequibrada, pode ter sua potência consumida e medida 
utilizando três watímetrosmonofásicos. Os watímetros são ligados, 
conforme é mostrado nas figuras 10 e 11, para cargas em estrela e em 
triângulo, respectivamente. 
Potência aparente:
 
3
3.254.108,1
82372.2
F FS V I
S
S KVA
=
=
= .
 UNIUBE 77
Figura 10: Método dos três watímetros.
Fonte: Adaptado pelo autor de Boylestad 
(2004, p. 670).
Note que cada watímetro mede a potência consumida em uma fase. 
Observe também que, conforme dito anteriormente, as bobinas de tensão 
estão em paralelo com a impedância de cada fase e que a bobina de 
corrente está em série com a mesma impedância, captando, assim, a 
corrente de fase.
Figura 11: Método dos três watímetros.
Fonte: Adaptado pelo autor de Boylestad (2004, p. 670).
Para obter a potência ativa total consumida pela carga trifásica, temos 
que somar os valores lidos nos três watímetros.
78 UNIUBE
 PT = P1 + P2 + P3
 PT é a potência total consumida pela carga
 P1, P2, P3 são as potências consumidas por cada fase
Se a carga trifásica for equilibrada, ou seja, a impedância das três fases 
são iguais e as tensões aplicadas possuem o mesmo módulo e estão 
defasadas umas das outras em 120º, pode-se medir apenas uma fase e 
multiplicar a leitura por três, para obter a potência total.
• Método dos dois watímetros
Da mesma maneira que nos casos anteriores, uma carga trifásica ligada 
em estrela (tipo Y) ou em triângulo (tipo ∆), equilibrada ou desequibrada, 
pode ter sua potência consumida e medida utilizando dois watímetros 
monofásicos. Para isso, os watímetros devem ser conectados como 
mostrado na Figura 12. 
Figura 12: Método dos dois watímetros.
Fonte: Adaptado pelo autor de Boylestad (2004, p. 671). 
Carga conectada 
em estrela ou 
triângulo
 UNIUBE 79
Note que as bobinas de corrente estão conectadas em série às fases a e 
b e a fase c é usada com referência para as bobinas de tensão. Assim, o 
primeiro watímetro está com sua bobina de tensão entre as linhas a e c, 
e o segundo watímetro apresenta sua bobina de tensão conectada entre 
as linhas b e c. A potência total fornecida à carga é a soma algébrica das 
leituras dos dois watímetros, para uma carga equilibrada. 
IMPORTANTE!
Determinação da potência total
Chamando de Pa a maior leitura e Pb a menor leitura, a potência ativa total 
será PT = Pa + Pb, se o fator de potência da carga for maior do que 0.5, 
sendo nessa situação a relação Pb/Pa positiva. Por outro lado, se o fator 
de potência for menor do que 0.5, a relação Pb/Pa será negativa, assim 
a potência ativa total será PT = Pa - Pb. 
Outro jeito de determinar se a potência total será a soma ou a diferença 
entre as leituras obtidas [leitura maior (Pa) e leitura menor (Pb)] é por meio 
de realização do seguinte procedimento:
• Em primeiro lugar, verifique se a leitura dos dois watímetros é 
positiva. Se um dos watímetros ou os dois estiverem apresentando 
leituras negativas, inverta a ligação da bobina de corrente para que 
as indicações sejam ambas positivas.
• Em seguida, verifique qual das três linhas é a linha de referência 
para as bobinas de tensão. 
• Desconete o fio da bobina de tensão do watímetro de menor leitura 
que está ligada à linha de referência. Conecte esse fio à linha da 
bobina de corrente do watímetro que apresentava a maior leitura. 
80 UNIUBE
Se a leitura obtida for negativa, a potência total é a diferença entre as 
leituras. Caso contrário, ou seja, se a leitura for positiva, a potência total 
será a soma das leituras. 
IMPORTANTE!
Em um circuito trifásico equilibrado é possível calcular o fator de potência, 
de posse das leituras das potências de cada watímetro no método dos 
dois watímetros.
3 cos( )
, os( )
3
T a b L L
a b
L L
P P P V I
P PAssim C
V I
φ
φ
= ± =
±
=Assim,3 cos( )
, os( )
3
T a b L L
a b
L L
P P P V I
P PAssim C
V I
φ
φ
= ± =
±
=
Exemplo 5
Considere a carga trifásica equilibrada ligada em triângulo, conforme 
Figura 13, alimentada por tensões senoidais, em 60 Hz, representadas 
pelos fasores:
440 0
440 120
440 240
O
AB
O
BC
O
CA
E V
E V
E V
•
•
•
= ∠
= ∠
= ∠
 UNIUBE 81
Figura 13: Representação para Exemplo 5.
Fonte: Adaptado pelo autor de Boylestad (2004, p. 671). 
Pede-se:
a) determine as correntes de fase;
b) determine as correntes de linha;
c) determine as leituras dos dois watímetros;
d) calcule a potência ativa total consumida pela carga pelo método dos 
dois watímetros;
e) calcule a potência ativa total utilizando as grandezas de linha e 
compare com o item d.
Resolução:
a) Impedância por fase
 
0
0
12 14
18,44 49,4
440 0 23,86 49,4
18,44 49,4
F
o
F
ab
oab ab
ab
Z j
Z
Corrente de fase
V A
Z
I I
•
•
•
• •
•
= + Ω
= ∠ Ω
∠
= = ⇒ = ∠−
∠
Corrente de fase
 
0
0
12 14
18,44 49,4
440 0 23,86 49,4
18,44 49,4
F
o
F
ab
oab ab
ab
Z j
Z
Corrente de fase
V A
Z
I I
•
•
•
• •
•
= + Ω
= ∠ Ω
∠
= = ⇒ = ∠−
∠
82 UNIUBE
Sequência de fase cba em:
 
0
0
0
23,86 49,4
23,86 70,6
23,86 190,6
ab
bc
ca
A
A
A
I
I
I
•
•
•
= ∠ −
= ∠
= ∠
b) Cálculo das correntes
 
0 023,86 49,4 23,86 190,6
15,53 18,11 ( 23,45 4,39)
38,98 13,72
41,32 19,4
a ab ca
a
a
a
o
a
j j
j
A
I I I
I
I
I
I
• • •
•
•
•
•
= −
= ∠− − ∠
= − − − −
= −
= ∠−
Para uma sequência de fase acb:
 
41,32 19,4
41,32 100,6
41,32 220,6
o
a
o
b
o
c
A
A
A
I
I
I
•
•
•
= ∠ −
= ∠
= ∠
c) Cálculo das potências
 
1
1
1
0
0
2
0
2
2
cos
440 . 41,32 . cos(19,4)
17148,54
440 120 180
440 300
cos
440 . 41,32 . cos(300 220,6 )
3344,38
Vab
ab a Ia
o
cb
cb
Vcb
cb c Ic
o
P V I
P
P W
V
V V
P V I
P
P W
φ
φ
•
•
=
=
=
= ∠ +
= ∠
=
= −
=
.
.
 UNIUBE 83
Resumo
Neste capítulo, estudamos os aspectos fundamentais dos circuitos 
elétricos trifásicos equilibrados. Iniciamos com o estudo da geração 
trifásica de tensão e os tipos de geradores trifásicos no que se refere 
à ligação de seus enrolamentos. São eles: o gerador do tipo Y e o 
gerador do tipo ∆. Foram definidas as grandezas elétricas, tensões e 
correntes de fase e de linha e as relações existentes entre as grandezas 
de fase e de linha. Foi definida, ainda, a sequência de fase, que pode 
ser abc ou acb. Em seguida, tratamos das cargas elétricas trifásicas, 
que também podem ser conectadas em Y ou em ∆. Na parte final do 
capítulo, abordamos o estudo da potência trifásica. Abordamos também 
o item circuito monofásico equivalente, que possibilita determinar com 
facilidade o módulo da tensão e da corrente em um sistema elétrico 
equilibrado.Tratamos do cálculo da potência aparente, ativa e reativa, 
além da medição de potência ativa, com destaque para medição de 
potência trifásica utilizando o método dos dois watímetros.
Referências
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos elétricos. 8. ed. Rio de 
Janeiro: Pearson Education, 2006.
EDMINISTER, A. J. Circuitos elétricos. 2. ed. São Paulo: Pearson Education, 1991. 
d) Potência total
 
1 2
17148,54 3344,38
20492,92
T
T
T
P P P
P
P W
= +
= +
=
e) Cálculo da potência ativa utilizando as grandezas de linha
 
3 cos
3.440 . 41,32cos(49,4)
20496,92
T L L
T
T
P V I
P
P W
φ=
=
=
. .
.
.