Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Sumário
1 Matrizes 3
1.1 Tipos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Igualdade de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Adição de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Multiplicação de Matriz por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Multiplicação de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4 Potências de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 A Álgebra de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Sistemas de Equações Lineares 41
2.1 Métodos de Resolução de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Espaços Vetoriais 55
3.1 Subespaços ou Subespaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2 Conjuntos Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3 Dependência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4 Base e Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.5 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 Transformações Lineares 101
4.1 Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear . . . . . . . . . . . . 107
4.3 Transformações Lineares Injetoras e Sobrejetoras . . . . . . . . . . . . 114
1
SUMÁRIO 1
4.4 A Matriz de uma Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.5 Matriz da Transformação Linear Composta e Matriz da Transformação
Linear Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5 Autovalores e Autovetores 133
6 Produto Interno 143
2 SUMÁRIO
Capítulo 1
Matrizes
Notas de aula da disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear, baseadas prin-
cipalmente nos livros de David Poole, Álgebra Linear e Paulo Winterle, Vetores e
Geometria Analítica. Este texto está em construção, então pode conter erros de
digitação.
O nosso objetivo não será apenas considerar uma matriz como uma tabela, para
gravar dados e informações, mas também, observar que ela associa certas matri-
zes a outras matrizes, ou seja, as matrizes podem ser pensadas como funções. Por
exemplo, considere a matriz A =
(
0 1
1 0
)
e note que ela pode ser multiplicada
pela matriz
(
1
2
)
que resulta na matriz
(
2
1
)
. Observe ainda que, em geral,(
0 1
1 0
)(
x
y
)
=
(
y
x
)
. Desta forma, podemos considerar a matriz A, como
uma função que associa a cada matriz
(
x
y
)
a matriz
(
y
x
)
, originando uma fun-
ção do conjunto de todas as matrizes 2× 1 neste mesmo conjunto.
3
4 CAPÍTULO 1. MATRIZES
1.1 Tipos de Matrizes
Definição 1.1.1: Uma matriz é uma tabela retangular de números, chamados de
elementos, termos ou ainda, entradas da matriz.
Observação 1.1.2: As entradas das matrizes abordadas nestas notas serão números
reais, mas convém ressaltar, que elas (as entradas) poderão ser tomadas em outras
estruturas algébricas, tais como corpos (como C o conjunto dos números complexos,
Zp os inteiros módulo p, p primo), ou ainda, anéis.
Exemplo 1.1.3: A =
(
1 0
0 1
)
, B =
( √
2
−3
7
)
, C =
(
−2 sen(pi
7
) 0√
3 −1 4
9
)
.
Observe que quando escrevemos uma matriz, dispomos seus elementos em linhas
e colunas.
Definição 1.1.4: A ordem de uma matriz, descreve a número de linhas e colunas
que ela tem. Uma matriz é chamada m× n quando tem m linhas e n colunas. Caso
m = n, diremos que a matriz é de ordem n.
Assim, observe que no exemplo anterior, A é uma matriz 2× 2 (pois possui duas
linhas e duas colunas), a matriz B possui ordem 2× 1 (pois tem 2 linhas e 1 coluna)
e C é uma matriz 2× 3 (com 2 linhas e 3 colunas).
Uma vez que as entradas de uma matriz são dispostas em linhas e colunas, quando
quisermos nos referir aos elementos de uma matriz, de forma geral, usaremos letras
minúsculas, com índices duplos. Ou seja, considere uma matriz A de ordem m × n.
Assim denotaremos
A = (aij)m×n =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
. · · · ...
am1 am2 am3 · · · amn
 .
Assim, a11 denota o elemento da primeira linha e da primeira coluna, a12 denota
o elemento da primeira linha e da segunda coluna e, em geral, aij denota o elemento
1.1. TIPOS DE MATRIZES 5
da i-ésima linha e j-ésimo coluna.
Exemplo 1.1.5: Considere a matriz A =
(
−
√
41
5
cos(37) −7
2 3
√
5 1
3
)
. Temos que
a11 = −
√
41
5
, a12 = cos(37), a13 = −7, a21 = 2, a22 = 3
√
5, a23 =
1
3
.
As vezes desconsideramos os índices, para não carregar a notação, e escreveremos
simplesmente, A =
(
a b
c d
)
para uma matriz genérica 2× 2.
Atenção! Uma matriz será denotada por letras maiúsculas A, B, C, X, enquanto
que seus elementos serão denotados por letras minúsculas a11, a12, a, b. Além disso,
poderemos escrever A = (aij) = [aij].
Usando a notação dos elementos conseguimos descrever matrizes conhecendo uma
expressão que determina seus elementos.
Exemplo 1.1.6: Encontre uma matriz A = (aij)3×2, com aij = i+ j. Desta forma,
A =
 a11 a12a21 a22
a31 a32
, onde a11 = 1 + 1 = 2 (pois neste caso i = 1 e j = 1), a12 =
1+ 2 = 3, a21 = 2+ 1 = 3, a22 = 2+ 2 = 4, a31 = 3+ 1 = 4 e a32 = 3+ 2 = 5. Desta
forma A =
 2 33 4
4 5
.
Exercício 1.1.7: Encontre as seguintes matrizes:
1. A = (aij)2×2 com aij = ij. R : A =
(
1 2
2 4
)
2. A = (aij)3×3 com aij = ij. R : A =
 1 1 12 4 8
3 9 27

3. A = (aij)3×2 com aij =
j
i
. R : A =
 1 212 1
1
3
2
3

6 CAPÍTULO 1. MATRIZES
Notação 1.1.8: Denotaremos por Mm×n(R) o conjunto de todas as matrizes de
ordem m× n com entradas em R, ou seja,
Mm×n(R) =
{
A = (aij)m×n : aij ∈ R, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
}
.
Se m = n, então denotaremos Mn×n(R) =Mn(R).
Exemplo 1.1.9: M2(R) =
{
A =
(
a11 a12
a21 a22
)
: a11, a12, a21, a22 ∈ R
}
é o conjunto
das matrizes de ordem 2, com entradas reais.
Agora falaremos de tipos de matrizes. São matrizes que aparecerão frequentemente
em nosso curso.
Definição 1.1.10: Umamatriz linha é uma matriz de ordem 1×n. E umamatriz
coluna é uma matriz de ordem m× 1.
Ou seja, uma matriz linha é uma matriz com apenas 1 linha, enquanto que uma
matriz coluna é uma matriz com apenas 1 coluna.
Exemplo 1.1.11: A =
(
1 −3 1
5
)
1×3
é uma matriz linha (pois possui apenas
uma linha), mas não é uma matriz coluna (pois tem mais de 1 coluna). Já a matriz
B =
(
7
−√2
)
é uma matriz coluna, pois tem 1 coluna, e não é uma matriz linha.
Note que a matriz de ordem 1, C =
(
0
)
é uma matriz linha (possui 1 linha) e
também uma matriz coluna (possui 1 coluna).
Definição 1.1.12: Uma matriz quadrada é uma matriz de ordem m × n, com
m = n.
Exemplo 1.1.13: A =
(
1
)
1×1
, B =
(
1 0
0 1
)
2×2
, C =
 1 2 30 −1 4
0 0 2

3×3
. São
exemplos de matrizes quadradas, onde o número de linhas coincide com o número de
colunas. Note que D =
(
1 5
)
1×2
não é quadrada, pois o número de linhas (1) é
diferente do número de colunas (2).
1.1. TIPOS DE MATRIZES 7
Definição 1.1.14: Os elementos da diagonal de uma matriz A = (aij)m×n, são
os elementos aij, com i = j.
Exemplo 1.1.15: Considere a matriz A =
( √
5 −1 0
0 2
3
cos(53)
)
. Temos que
a11 =
√5 e a22 =
2
3
são os elementos da diagonal. Já b11 = 4 é o elemento da
diagonal da matriz B =

4√
11
5
13
−4
.
Note que, conforme os exemplos anteriores, a matriz não precisa ser quadrada,
para ter elementos da diagonal. A coleção dos elementos da diagonal é a diagonal
da matriz.
Definição 1.1.16: Seja A = (aij) ∈ Mn(R). Dizemos que a matriz A é diagonal
se aij = 0, para todo i 6= j.
Assim uma matriz é diagonal se for quadrada e os elementos fora da diagonal são
todos nulos. Por exemplo, a matriz A =
(
1
)
é diagonal, pois satisfaz a definição, já
que não existe elemento fora da diagonal. A matriz B =
(
−1 0
0 2
)
é diagonal, pois
b12 = 0 = b21. Enquanto que a matriz C =
 −1 0 50 2 0
0 0
√
8
 não é diagonal, pois o
elemento c13 = 5 6= 0 (ou seja, existe um elemento fora da diagonal que é diferente
de 0) e a matriz D =
(
5 0 0 0
)
não é diagonal, pois não é quadrada.
Definição 1.1.17: Uma matriz A é uma matriz escalar se A for diagonal e todos
os elementos da diagonal são iguais.
Exemplo 1.1.18: A matriz A =
(
5 0
0 5
)
é escalar, pois a11 = a22 = 5. A matriz
8 CAPÍTULO 1. MATRIZES
B =
(
2
)
é escalar, com b11 = 2. A matriz B =

1
2
0 0
0 −1
2
0
0 0 1
2
 não é escalar, pois
a11 =
1
2
6= −1
2
= a22.
Definição 1.1.19: Diremos que A é a matriz identidade se A for uma matriz
escalar e o escalar na diagonal for 1.
Notação 1.1.20: Denotaremos a matriz identidade de ordem n por In.
Assim I1 =
(
1
)
, I2 =
(
1 0
0 1
)
, I3 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 são as matrizes identidade,
de ordens 1, 2 e 3, respectivamente.
Definição 1.1.21: Considere uma matriz A = (aij) ∈ Mm×n(R). Diremos que a
matriz A é a matriz nula se aij = 0, para todo i, 1 ≤ i ≤ m, e para todo j,
1 ≤ j ≤ n.
Notação 1.1.22: Denotaremos a matriz nula por 0.
Exemplo 1.1.23: As matrizes 0 =
(
0
)
, 0 =
(
0 0
0 0
)
, 0 =
(
0 0 0 0
)
,
0 =
 00
0
, 0 = ( 0 0 0
0 0 0
)
são matrizes nulas, pois todas as suas entradas são
nulas.
1.2 Igualdade de Matrizes
Falaremos agora de um conceito que, embora seja muito simples, será empregado
inúmeras vezes até o término do curso.
Definição 1.2.1: Sejam A = (aij) ∈ Mm×n(R) e B = (bij) ∈ Mr×s(R). Diremos
que A = B se m = r, n = s e aij = bij, para todo i, 1 ≤ i ≤ m, e para todo j,
1.3. OPERAÇÕES COM MATRIZES 9
1 ≤ j ≤ n.
Em outras palavras, duas matrizes são iguais se têm a mesma ordem e as en-
tradas correspondentes são iguais. Assim, as matrizes A =
(
9
2
y − 6
x+ y 2
3
)
e
B =
(
a+ b −3
0 a− b
)
são iguais, se a11 =
9
2
= a + b = b11, a12 = y − 6 = −3 = b12,
a21 = x + y = 0 = b21 e a22 =
2
3
= a − b = b22. Note que temos um sistema de
equações lineares 
a+ b = 9
2
y − 6 = −3
x+ y = 0
a− b = 2
3
.
Da segunda equação segue que y = −3 + 6 = 3 e daí da terceira equação resulta que
x = −y = −3. Por outro lado, somando as duas equações{
a+ b = 9
2
a− b = 2
3
,
temos 2a = 9
2
+ 2
3
= 27
6
+ 4
6
= 31
6
, de onde a = 31
12
. Logo b = 9
2
− 31
12
= 54
12
− 31
12
= 23
12
.
Exercício 1.2.2: Encontre os valores de a e x para que as matrizesA =
(
x2 + x 2
2 1
)
e B =
(
6 2
a2 − a 1
)
sejam iguais. R : a = −1, x = 2 ou x = −3
1.3 Operações com Matrizes
1.3.1 Adição de Matrizes
Definiremos agora a soma de duas matrizes, que não é apenas uma fórmula para somar
duas tabelas de números. Vamos introduzir uma operação no conjunto Mm×n(R).
Veremos na sequência que esta operação é muito boa, no sentido de gozar de várias
propriedades que nos permitirão, por exemplo, operar matrizes e formar equações
matriciais.
10 CAPÍTULO 1. MATRIZES
Sejam A = (aij), B = (bij) ∈ Mm×n(R). A soma A + B ∈ Mm×n(R) é definida
por
A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij).
Assim, a soma das matrizes A e B é uma matriz cujas entradas são obtidas somando-
se os elementos correspondentes das matrizes A e B. Antes de introduzir exemplos, é
interessante observer que temos notações "+" iguais, para ações diferentes na expres-
são anterior. Observe que no lado esquerdo de A+ B = (aij + bij), a notação "+" é
apenas um símbolo, para definir como somaremos duas matrizes (vale a pena ressaltar
que não é o símbolo + de soma de números reais, como estamos acostumados). Já o
lado direito, é uma matriz, onde cada entrada ij desta matriz é dada por aij + bij,
que é a soma dos números reais aij e bij.
Exemplo 1.3.1: Sejam A =
(
67 −6
cos(pi
2
) 1
)
e B =
(
−65 −4
3
√
8 sen(pi)
)
matrizes
de ordem 2. Então
A+B =
(
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
)
=
(
67− 65 −6− 4
cos(pi
2
) + 3
√
8 1 + sen(pi)
)
=
(
2 −10
0 + 2 1 + 0
)
=
(
2 −10
2 1
)
∈M2(R)
O que você pode dizer sobre B + A? Note que A + B = B + A! Diremos então
que as matrizes A e B comutam, em relação à soma. Será que a comutativa em
relação à operação soma é válida para quaisquer duas matrizes? A resposta é sim e
você consegue demonstrar o porquê?
Exercício 1.3.2: Encontre os números reais a, b, c e d, sendo que(
2
3
2
√
6 cos(pi)
sen(pi
2
) a tg(pi)
)
+
(
b − 6√
6
1
2
−cossec(pi
2
) 4
3
sec(pi)
)
=
(
3
2
c d
0 5
2
c+ 1
)
.
1.3. OPERAÇÕES COM MATRIZES 11
Exercício 1.3.3: Calcule
(
2 3
5 6
)
+
(
1
2
3
4
5
6
6
7
)
. R :
(
5
2
15
4
35
6
48
7
)
1.3.2 Multiplicação de Matriz por Escalar
Sejam A = (aij) ∈ Mm×n(R) e c ∈ R um escalar. Definimos a multiplicação do
escalar c pela matriz A como sendo a matriz cA ∈Mm×n(R) dada por
cA = c(aij) = (caij).
Ou seja, multiplicamos cada entrada da matriz A pelo escalar c.
Exemplo 1.3.4: Considere a matriz A =

1
2
e0 sen(pi
4
)
ln(1) 2
5
2−3
arctg(0) −1 (4
3
)−1
.
Para c = 0 ∈ R, temos que
0A = 0

1
2
e0 sen(pi
4
)
ln(1) 2
5
2−3
arctg(0) −1 (4
3
)−1

=
 0
1
2
0e0 0sen(pi
4
)
0ln(1) 02
5
0(2−3)
0arctg(0) 0(−1) 0(4
3
)−1

=
 0 0 00 0 0
0 0 0
 = 0.
Para c = 1 ∈ R, temos que
1A =
 1
1
2
1e0 1sen(pi
4
)
1ln(1) 12
5
1(2−3)
1arctg(0) 1(−1) 1(4
3
)−1

=

1
2
e0 sen(pi
4
)
ln(1) 2
5
2−3
arctg(0) −1 (4
3
)−1
 = A.
12 CAPÍTULO 1. MATRIZES
Para c = 2 ∈ R, temos que
2A =
 2
1
2
2e0 2sen(pi
4
)
2ln(1) 22
5
2(2−3)
2arctg(0) 2(−1) 2(4
3
)−1

=
 1 2
√
2
0 4
5
2−2
0 −2 (2
3
)−1
 ,
pois 2× 1
2
= 1, 2e0 = 2× 1 = 2, 2sen(pi
4
) = 2×
√
2
2
=
√
2, 2ln(1) = 2× 0, 2× 2
5
= 4
5
,
2(2−3) = 2 × 1
23
= 2 × 1
2×2×2 = 2 × 18 = 14 = 122 = 2−2, 2arctg(0) = 2 × 0 = 0
(arctg(y) = x se, e somente se, tg(x) = y, ou seja, a função arctg é a função inversa
da tg), 2× (−1) = −2, 2(4
3
)−1 = 2× 3
4
= 3
2
= (2
3
)−1.
Para c = 1
2
= 2−1 ∈ R, temos que
1
2
A =

1
2
1
2
1
2
e0 1
2
sen(pi
4
)
1
2
ln(1) 1
2
2
5
1
2
(2−3)
1
2
arctg(0) 1
2
(−1) 1
2
(4
3
)−1
 =

1
4
1
2
√
2
4
0 1
5
2−4
0 −1
2
(8
3
)−1
 .
Note que, no exemplo anterior 0A = 0, ou seja, multiplicando o escalar (número)
0 pela matriz A obtivemos a matriz nula 0. Será que isto é verdadeiro para qualquer
matriz A que você considere? Da mesma forma, 1A = A. Será que isto continua
válido se considerarmos outra matriz A? A resposta para as duas perguntas é sim!
Você consegue explicar o porquê?
Exercício 1.3.5: Sejam A =
(
−1 1
5
2
3
1
2
)
e B =
(
3
2
2
1 1
3
)
∈ M2(R). Calcule
1
2
A+ 1
3
B. R :
(
0 2330
4
3
13
36
)
Com a operação multiplicação por escalar, conseguimos definir o conceito de ma-
triz oposta.
Definição 1.3.6: Seja A = (aij) ∈ Mm×n(R). A matriz oposta de A, denotada
por −A, é definida por
−A = (−1)A.
1.3. OPERAÇÕES COM MATRIZES 13
Observe que a matriz oposta de A é a multiplicação do escalar −1 ∈ R pela matriz
A, isto é, −A = (−1)A = (−1)(aij) = (−aij).
Exemplo 1.3.7: Considere a matriz nula de ordem 2, a saber, 0 =
(
0 0
0 0
)
. A
matriz oposta de 0 é a própria matriz 0, pois
−0 = (−1)0 =
(
(−1)0 (−1)0
(−1)0 (−1)0
)
=
(
0 0
0 0
)
= 0.
Exemplo 1.3.8: Seja A =

−ln(2)
e
1
2
sen(3pi
2
)
cos(3pi
2
)
 ∈M4×1(R). Então
−A = (−1)A =

(−1)(−ln(2))
(−1)e 12
(−1)sen(3pi
2
)
(−1)cos(3pi
2
)
 =

ln(2)
−e 12
1
0
 ,
pois (−1)sen(3pi
2
) = (−1)(−1) = 1 e (−1)cos(3pi
2
) = (−1)0 = 0.
Com o conceito de matriz oposta (definida a partir da multiplicação da matriz por
escalar) e a operação de soma de matrizes, conseguimos definir mais uma operação
no conjunto das matrizes, a saber a diferença de duas matrizes.
Sejam A = (aij), B = (bij) ∈ Mm×n(R). A diferença A − B ∈ Mm×n(R) é
definida por
A−B = A+ (−B).
Assim A − B é a soma da matriz A com a matriz oposta da matriz B, ou seja,
A−B = A+ (−B) = (aij) + (−bij) = (aij − bij).
14 CAPÍTULO 1. MATRIZES
Exemplo 1.3.9: Sejam A =
(
1
2
−2
3
)
e B =
(
2
3
)
∈M2×1(R). Então
A−B =
(
1
2
−2
3
)
+ (−1)
(
2
3
)
=
(
1
2
− 2
−2
3
− 3
)
=
(
1
2
− 4
2
−2
3
− 9
3
)
=
(
−3
2
−11
3
)
Por outro lado,
B − A =
(
2
3
)
+ (−1)
(
1
2
−2
3
)
=
(
2− 1
2
3− (−2
3
)
)
=
(
4
2
− 1
2
9
3
+ 2
3
)
=
(
3
2
11
3
)
Podemos observar que A−B 6= B−A. Desta forma temos que a operação diferença
não é comutativa.
Mas o que você consegue dizer em relação a A− B e B − A? Note que A− B =
−(B − A), ou seja, elas são matrizes opostas! Será que isto é válido para quaisquer
matrizes? A resposta é sim e você consegue demonstrar o porquê?
Agora
A− A =
(
1
2
−2
3
)
+ (−1)
(
1
2
−2
3
)
=
(
1
2
+ (−1)1
2
−2
3
+ (−1)(−2
3
)
)
=
(
0
0
)
= 0,
1.3. OPERAÇÕES COM MATRIZES 15
ou seja, somando a matriz A com sua matriz oposta obtivemos a matriz nula. O que
você pode dizer sobre −A+A? Será que, para qualquer matriz A, teremos A−A = 0?
A resposta é sim, você consegue demonstrar o porquê?
Exercício 1.3.10: Calcule
(
1
2
1
3
1
4
1
5
)
−
(
1
6
1
7
1
8
1
9
)
. R :
(
1
3
4
21
1
8
4
45
)
Exercício 1.3.11: Calcule
(
1
2
1
3
2 3
)
−
(
(−1
2
)3 (−1
3
)3
(−2)5 (−3)3
)
. R :
(
5
8
10
27
34 30
)
1.3.3 Multiplicação de Matrizes
Sejam A = (aij) ∈ Mm×n e B = (bij) ∈ Mn×r. Então o produto C = AB = (cij) ∈
Mm×r(R) onde cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj.
Note que o elemento cij é obtido pelo produto da i-ésima linha da matriz A pela
j-ésima coluna da matriz B.
Exemplo 1.3.12: ConsideremosA =
(
1
2
√
3 −1
0 4
3
2
)
∈M2×3(R) eB =

1
5
3
4
−3
 ∈
M3×1(R). Note que é possível calcular AB, pois o número de colunas de A, coincide
com o número de linhas de B, a saber 3. Além disso, AB será uma matriz 2 × 1
(ou seja, o número de linhas da matriz A, pelo número de colunas da matriz B).
Assim AB = C =
(
c11
c21
)
, onde c11 é determinado fazendo o produto da primeira
linha de A pela primeira coluna da matriz B (observe os índices do elemento 11 ), ou
seja, c11 =
1
2
· 1
5
+
√
3 · 3
4
+ (−1) · (−3) = 1
10
+ 3 + 3
√
3
4
= 1
10
+ 30
10
+ 3
√
3
4
= 31
10
+ 3
√
3
4
.
Já c21 é determinado fazendo o produto escalar da segunda linha de A pela pri-
meira coluna da matriz B (observe os índices do elemento na posição 21 ), ou seja,
c21 = 0 · 15 + 43 · 34 + (2) · (−3) = 0 + 1− 6 = −5. Assim
AB =
(
31
10
+ 3
√
3
4
−5
)
=
(
62+15
√
3
20
−5
)
.
Note que não é possível calcular BA, pois o número de colunas da matriz B, 3, é
diferente do número de linhas da matriz A, 2. Observe que disto também podemos
16 CAPÍTULO 1. MATRIZES
concluir que AB 6= BA, ou seja, segue que o produto de matrizes não é comutativo,
em geral.
Exercício 1.3.13: Calcule
(
1
2
2 3
1
3
4 5
) 1
1
2
2 1
3
3 1
4
. R : ( 272 5370
3
25
12
)
Exercício 1.3.14: Encontre todas as matrizes que comutam com as matrizes
a) A =
(
1
2
0
0 0
)
b) A =
(
1 0
0 1
)
R : todas as matrizes 2×2
c) A =
(
0 1
0 0
)
d) A =
(
1 −1
−1 1
)
e) A =
(
1 0
0 0
)
e B =
(
0 0
0 1
)
f) A =
(
0 1
0 0
)
e B =
(
0 0
1 0
)
Exercício 1.3.15: a) Encontre uma matriz quadrada A de ordem 2, não nula, tal
que A2 = 0.
b) Encontre uma matriz quadrada A de ordem 2, A 6= I2, tal que A2 = I2.
c) Encontre matrizes A, B e C ∈M2(R) tais que AB = AC, mas B 6= C.
1.3.4 Potências de uma Matriz
Seja A ∈ Mn(R). Definimos a n-ésima potência da matriz A por An = An−1A,
para qualquer n natural maior que 0.
Convencionamos que A0 = In. E A
1 = A1−1A = A0A = InA = A, A2 = AA (a
multiplicação da matriz A por ela mesma), A3 = A2A (a multiplicação da matriz A2
pela matriz A), e assim por diante.
Exemplo 1.3.16: Seja A =
 0 1
1
2
0 0 −2
0 0 0
 ∈M3(R). Então
A2 = AA =
 0 · 0 + 1 · 0 +
1
2
· 0 0 · 1 + 1 · 0 + 1
2
· 0 0 · 1
2
+ (1) · (−2) + 1
2
· 0
0 · 0 + 0 · 0 + (−2) · 0 0 · 1 + 0 · 0 + (−2) · 0 0 · (1
2
) + 0 · (−2) + (−2) · 0
0 · 0 + 0 · 0 + 0 · 0 0 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 0 · (1
2
) + 0 · (−2) + 0 · 0
 ,
1.4. MATRIZ TRANSPOSTA 17
ou seja, A2 =
 0 0 −20 0 0
0 0 0
 .
Agora
A3 = A2A =
 0 0 −20 0 0
0 0 0

 0 1
1
2
0 0 −2
0 0 0
 =
 0 0 00 0 0
0 0 0
 .
Exercício 1.3.17: Seja A =
(
cosθ −senθ
senθ cosθ
)
. Determine A2 e A3. R : A2 =(
cos2θ −sen2θ
sen2θ cos2θ
)
, A3 =
(
cos3θ −sen3θ
sen3θ cos3θ
)
Exercício 1.3.18: Seja A =
(
0 1
−1 1
)
.
a) Calcule A2, A3, A4, A5, A6, A7.
b) Determine A1000.
c) Determine A10000.
Exercício 1.3.19: Sejam E =
 1 0 00 1 0
r 0 1
 , D =
 1 0 00 r 0
0 0 1
 e P =
 0 1 01 0 0
0 0 1
.
Encontre E100, D100 e P 100.
Exercício 1.3.20: Seja
 2 1 00 −1 2
1 3 −1
 .
a) Calcule A3 e mostre que A3 = 9A− 8I3.
b) Ache a, b e c tais que A6 = aA2 + bA+ cI3.
1.4 Matriz Transposta
Definição 1.4.1: Consideremos uma matriz A = (aij) ∈ Mm×n(R). A matriz
transposta da matriz A, denotada por AT , é uma matriz de ordem n × m dada
por AT = (bij), onde bij = aji.
18 CAPÍTULO 1. MATRIZES
Em outras palavras, as linhas da matriz transposta de A, são as colunas da matriz
A e as colunas da matriz transposta de A, são as linhas da matriz A.
Exemplo 1.4.2: Seja A =
( √
7 sec(pi
3
) −4
5
2
)
∈M1×4(R). Então
AT =

√
7
sec(pi
3
)
−4
5
2
 ∈M4×1(R).
Exemplo 1.4.3: Seja B =
 −10 ln(2)4−5 23
−3 cossec(pi
4
)
 ∈M3×2(R). Então
BT =
(
−10 4−5 −3
ln(2) 2
3
cossec(pi
4
)
)
∈M2×3(R).
Exercício 1.4.4: Sejam A =
 1 3 11 0 0
2 4 5
 e B =
 1 −12 0
−1 1
. Verifique que
(AB)T = BTAT .
Definição 1.4.5: Uma matriz quadrada A = (aij) ∈Mn×n(R) é simétrica quando
A = AT .
Ou seja, uma matriz é simétrica quando a matriz é igual a sua transposta. Disso
segue que aij = aji, para todos i e j. De fato, pois se A = (aij) for igual a sua
transposta AT = (aji), então A = (aij) = (aji)= A
T
, de onde segue que (pela
igualdade de matrizes) aij = aji, para todos i e j.
Exemplo 1.4.6: A =

cos(pi
7
) −√5 3
tg(pi
5
)
−√5 2−2 3
2
3
tg(pi
5
)
(2
3
)−1 pi
 é uma matriz simétrica, pois a12 =
−√5 = a21, a13 = 3tg(pi
5
)
= a31 e a23 =
3
2
= (2
3
)−1 = a32. Já a matriz B =( √
8 −1
2
1
2
−23
)
não é simétrica, pois a12 = −12 6= 12 = a21.
1.4. MATRIZ TRANSPOSTA 19
Note que não temos nenhuma restrição para os elementos da diagonal. Que não é
o caso das matrizes antissimétricas, que veremos na sequência.
Exercício 1.4.7: Decida se as seguintes matrizes são simétricas.
a) A =
(
0 1√
2√
2√
2
ln(2 +
√
2)
)
b) A =
 0
2
9
0
(9
2
)−1 5−3 4
sen(pi) −4 0

Exercício 1.4.8: Decida quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são
falsas. No primeiro caso, demonstre a afirmação, e se ocorrer a segunda situação,
construa um contra-exemplo.
a) A soma de duas matrizes simétricas sempre é uma matriz simétrica.
b) A diferença de duas matrizes simétricas sempre é uma matriz simétrica.
c) A multiplicação de um escalar por uma matriz simétrica é uma matriz simétrica.
d) O produto de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica.
e) A transposta de uma matriz simétrica é uma matriz simétrica.
Definição 1.4.9: Uma matriz quadrada A = (aij) ∈ Mn×n(R) é antissimétrica
quando AT = −A.
Se −A = (−aij) for igual a sua transposta AT = (aji), então −A = (−aij) =
(aji) = A
T
, de onde segue que (pela igualdade de matrizes) −aij = aji, para todos i e
j. Note que esta condição implica que os elementos da diagonal são todos nulos, pois
se i = j, então
−aii = aii ⇒ aii + aii = 0⇒ 2aii = 0⇒ aii = 0.
Exemplo 1.4.10: A =
 0 −2
√
2 −3
5
2
√
2 0 7
2
(5
3
)−1 −(2
7
)−1 0
 é uma matriz antissimétrica, pois
a11 = a22 = a33 = 0 e a12 = −2
√
2 = −[2√2] = −a21, a13 = −35 = −[(53)−1] = −a31 e
a23 =
7
2
= −[−(2
7
)−1] = −a32.
Por outro lado, a matriz B =
(
0 −1
5
5−1 1
)
não é antissimétrica, pois a22 = 1 6=
−1 = −a22.
20 CAPÍTULO 1. MATRIZES
Exercício 1.4.11: Decida se as matrizes são antissimétricas.
a) A =
 1 −
1
2
0
1
2
0 36
9
0 −4 0
 b) A = ( 0 0
0 0
)
c) A =
 0 1−1 0
0 0

1.5 A Álgebra de Matrizes
Agora vamos apresentar uma lista de propriedades algébricas das operações adição
de matrizes e multiplicação de escalar por matriz. Estas propriedades são muito im-
portantes, pois são elas que nos permitem fazer "contas"com matrizes. Por exemplo,
conseguiremos resolver uma equação cuja variável seja uma matriz.
Teorema 1.5.1: Propridades Algébricas da Adição de Matrizes e da Multiplicação
por Escalar
Sejam A, B, C ∈Mm×n(R) e sejam c, d ∈ R. Então
a) A+B = B + A; (comutatividade da soma)
b) A+ (B + C) = (A+B) + C; (associatividade da soma)
c) A+ 0 = A; (existe elemento neutro da soma)
d) A+ (−A) = 0; (existe elemento oposto da soma)
e) c(A+B) = cA+ cB; (distributiva)
f) (c+ d)A = cA+ dA; (distributiva)
g) c(dA) = (cd)A;
h) 1A = A.
Demonstração: a) Sejam A = (aij), B = (bij) ∈Mm×n(R). Então
A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij).
Enquanto que
B + A = (bij) + (aij) = (bij + aij).
Agora note que aij + bij = bij + aij, pois aij e bij são números reais, para todos i e j,
e a soma de números reais é comutativa. Assim
A+B = B + A.
1.5. A ÁLGEBRA DE MATRIZES 21
Por exemplo, A =
(
2 −2
3
2−1 −2
)
, B =
(
3−1 −1
2 1
3
)
∈M2×2(R). Então
A+B =
(
2 −2
3
2−1 −2
)
+
(
3−1 −1
2 1
3
)
=
(
2 + 3−1 −2
3
− 1
2−1 + 2 −2 + 1
3
)
=
(
3−1 + 2 −1− 2
3
2 + 2−1 1
3
− 2
)
=
(
3−1 −1
2 1
3
)
+
(
2 −2
3
2−1 −2
)
= B + A.
Note que as entradas são números reais que comutam com a soma.
As demais propriedades são deixadas para você fazer! Bom trabalho!
Veremos no decorrer do curso que Mm×n(R) com a soma de matrizes e multipli-
cação de escalar por matriz, satisfazendo estas oito propriedades constitui um espaço
vetorial.
Definição 1.5.2: Consideremos agora n matrizes A1, A2, ..., Ak ∈ Mm×n(R) e k
números reais c1, c2, ..., ck. A expressão
c1A1 + c2A2 + · · ·+ ckAk
é uma combinação linear das matrizes A1, A2, ..., Ak. Os escalares c1, c2, ..., ck são
chamados os coeficientes da combinação linear.
Seja A ∈Mm×n(R). Se
A = c1A1 + c2A2 + · · ·+ ckAk,
então dizemos que a matriz A é uma combinação linear das matrizes A1, A2, ..., Ak.
Exemplo 1.5.3: Considere A1 =
(
2 0
−3−1 0
)
, A2 =
(
−3
4
3−1
4−1 −2
)
e A3 =(
0 4−1
0 0
)
. A matriz B =
(
0 1
12
4−1 −2
)
é uma combinação linear de A1, A2 e
A3?
22 CAPÍTULO 1. MATRIZES
Para isto precisamos verificar se existem escalares c1, c2, c3 tal que(
0 1
12
4−1 −2
)
= c1
(
2 0
−3−1 0
)
+ c2
(
−3
4
3−1
4−1 −2
)
+ c3
(
0 4−1
0 0
)
.
O que resulta no seguinte sistema
2c1 − 34c2 = 0
1
3
c2 +
1
4
c3 =
1
12
−1
3
c1 +
1
4
c2 =
1
4
−2c2 = −2
Note que da equação 4 temos que c2 = 1. Substituindo este valor na equação 2, temos
1
3
+ 1
4
c3 =
1
12
. Multiplicando esta equação por 12, temos 4 + 3c3 = 1, que implica
que 3c3 = 1 − 4, ou seja, c3 = −1. Substituindo c2 = 1 na primeira equação, temos
2c1 − 34 = 0, de onde segue que 2c1 = 34 , ou c1 = 38 . Note que encontramos valores
numéricos para c1, c2 e c3. Mas atenção! Não verificamos a equação número 3. E
a solução de um sistema precisa satisfazer todas as equações. Então vamos verificar
a equação 3 para os valores encontrados para c1, c2 e c3.
−1
3
· 3
8
+ 1
4
· 1 = 1
4
? Note que −1
3
· 3
8
+ 1
4
· 1 = −1
8
+ 1
4
= 1
8
6= 1
4
. Portanto a equação
3 não se verifica. Assim o sistema não possui solução, ou seja, não existem c1, c2 e
c3 de modo que B = c1A1 + c2A2 + c3A3. Então a matriz B não é uma combinação
linear das matrizes A1, A2 e A3.
E a matriz C =
(
0 1
12
8−1 −2
)
é uma combinação linear de A1, A2 e A3?
Observe que quando perguntamos se uma matriz é uma combinação linear de
outras matrizes, acabamos sempre resolvendo um sistema de equações lineares. Se
tratando de um sistema de equações lineares, este pode ou não ter solução. Assim,
se o sistema de equações lineares obtido tem solução (não importando se tem apenas
uma ou infinitas), então a matriz é combinação linear das demais. Por outro lado, se
o sistema de equações lineares não possui solução, a matriz não é uma combinação
linear das demais.
1.5. A ÁLGEBRA DE MATRIZES 23
Exercício 1.5.4: Verifique se é possível escrever a matriz B como combinação linear
das outras matrizes.
a) B =
(
10 −5
34 14
)
, A1 =
(
2 4
0 1
)
, A2 =
(
1
2
−3
9 1
4
)
, A3 =
(
1 1
2
−1
2
2
)
. R : sim
b) B =
(
2
3
−2
5 1
7
)
, A1 =
(
1 0
0 0
)
, A2 =
(
0 1
0 0
)
, A3 =
(
0 0
1 0
)
, A4 =(
0 0
0 1
)
. R : sim
c)B =

5
4
5 −1
5 0 1
3
4 1
2
1
, A1 =
 1 0 10 0 12
0 0 0
, A2 =
 1 0 10 −1 0
−1
2
0 0
, A3 =
 0 1 12 0 0
0 −1 0
.
Definição 1.5.5: O conjunto gerado por um conjunto de matrizes S é o conjunto
de todas as combinações lineares dessas matrizes.
Notação 1.5.6: O conjunto gerado por S, onde S ⊆ Mm×n(R), será denotado por
ger(S) ou [S].
Exemplo 1.5.7: Determine o conjunto gerado pela matriz
(
1 0
0 0
)
. Observe que,
pela definição de conjunto gerado,
ger(S) =
{
c
(
1 0
0 0
)
: c ∈ R
}
=
{(
c 0
0 0
)
: c ∈ R
}
.
Observe que o conjunto gerado pela matriz
(
1 0
0 0
)
é o conjunto de todas as ma-
trizes 2× 2cujas entradas a12 = a21 = a22 = 0.
E qual o conjunto gerado pela matriz
(
1
2
0
0 0
)
?
Exercício 1.5.8: Determine a expressão geral do conjunto gerado pelas matrizes
a) A =
(
5
3
0
0 1
4
)
. R : conjunto das matrizes diagonais 2× 2
24 CAPÍTULO 1. MATRIZES
b) A =
(
2 0
0 3
)
. R : conjunto das matrizes diagonais 2× 2
c) A =
(
2 0
0 2
)
. R : conjunto das matrizes escalares 2× 2
d) A =
(
7
11
1
0 5
23
)
. R : conjunto das matrizes triangulares superiores 2× 2
Definição 1.5.9: Consideremos n matrizes A1, A2,...,Ak ∈ Mm×n(R). As matrizes
A1, A2,..., Ak são linearmente independentes se
c1A1 + c2A2 + · · ·+ ckAk = 0 (1.1)
implica que c1 = c2 = · · · = ck = 0. Se existir pelo menos um coeficiente não nulo,
satisfazendo
c1A1 + c2A2 + · · ·+ ckAk = 0,
então A1, A2,..., Ak são linearmente dependentes.
Observação 1.5.10: 1. Observe que o 0 que aparece na equação (1.1) é a matriz
nula de mesma ordem das matrizes A1, A2,..., Ak.
2. Observe que os escalares c1, c2,..., ck que aparecem na combinação linear (1.1)
são números reais.
3. Por conveniência costumanos abreviar o termo linearmente independente por li
e, analogamente, costumamos abreviar o termo linearmente dependente por ld.
4. A expressão (1.1) é chamada uma combinação linear nula.
5. Já observamos anteriormente que resolvendo uma conbinação linear, obtemos
um sistema de equações lineares. Agora você pode observar nos exemplos a
seguir, que resolvendo uma combinação linear nula, obtemos um sistema de
equações lineares homogêneo! Note que um sistema de equações lineares ho-
mogêneo tem sempre solução. Pode ter uma única solução, a saber a solução
trivial, ou seja, c1 = c2 = · · · = cn = 0, e neste caso o conjunto de matrizes é
1.5. A ÁLGEBRA DE MATRIZES 25
li. Por outro lado, o sistema de equações homogêneo pode ter infinitas soluções
(a trivial c1 = c2 = · · · = cn = 0 e outras soluções não triviais, ou seja, valores
não nulos para c1, c2,..., cn), neste caso o conjunto de matrizes é ld.
Exemplo 1.5.11: Decida se o conjunto de matrizes
{
A1 =
(
1 0
0 0
)
, A2 =
(
0 1
0 0
)
, A3 =
(
0 0
1 1
)}
é li ou ld?
Para responder a pergunta, devemos escrever a combinação linear nula das matri-
zes, ou seja,
c1A1 + c2A2 + c3A3 = 0.
Que pode ser reescrito como
c1
(
1 0
0 0
)
+ c2
(
0 1
0 0
)
+ c3
(
0 0
1 1
)
=
(
0 0
0 0
)
.
Multiplicando os escalares pelas matrizes, temos(
c1 0
0 0
)
+
(
0 c2
0 0
)
+
(
0 0
c3 c3
)
=
(
0 0
0 0
)
agora somando as matrizes, obtemos(
c1 c2
c3 c3
)
=
(
0 0
0 0
)
de onde segue (da igualdade de matrizes)
c1 = 0
c2 = 0
c3 = 0
,
que é um sistema de equações lineares homogêneo (veja que no lado direito do sistema
os termos independentes são todos nulos). Note que a única solução deste sistema é
a solução trivial, ou seja, c1 = c2 = c3 = 0. Portanto o conjunto de matrizes é li.
26 CAPÍTULO 1. MATRIZES
Exemplo 1.5.12: Decida se o conjunto de matrizes{
A1 =
(
1 1
0 0
)
, A2 =
(
1 0
0 0
)
, A3 =
(
0 1
0 0
)}
é li ou ld?
Novamente precisamos escrever a combinação linear nula das matrizes, ou seja,
c1A1 + c2A2 + c3A3 = 0.
Que pode ser reescrito como
c1
(
1 1
0 0
)
+ c2
(
1 0
0 0
)
+ c3
(
0 1
0 0
)
=
(
0 0
0 0
)
.
Multiplicando os escalares pelas matrizes, temos(
c1 c1
0 0
)
+
(
c2 0
0 0
)
+
(
0 c3
0 0
)
=
(
0 0
0 0
)
agora somando as matrizes, obtemos(
c1 + c2 c1 + c3
0 0
)
=
(
0 0
0 0
)
de onde segue (da igualdade de matrizes){
c1 + c2 = 0
c1 + c3 = 0
,
que é um sistema de equações lineares homogêneo. Observe que c1 = c2 = c3 = 0 é
solução! Mas observe que da equação 1, c1 = −c2 e da equação 2, c1 = −c3. Assim
veja que se c1 = 1, então c2 = c3 = −1. Então existem escalares não nulos. Logo o
conjunto é ld. E note que
1A1 + (−1)A2 + (−1)A3 = 0.
Que pode ser reescrito como
1
(
1 1
0 0
)
+ (−1)
(
1 0
0 0
)
+ (−1)
(
0 1
0 0
)
=
(
0 0
0 0
)
.
1.6. DETERMINANTES 27
Exercício 1.5.13: Determine se as matrizes dadas são linearmente independentes
ou linearmente dependentes.
a) A1 =
(
1 0
0 0
)
, A2 =
(
0 1
0 0
)
, A3 =
(
0 0
1 0
)
, A4 =
(
0 0
0 1
)
. R : li
b) A1 =
(
1 0
0 0
)
, A2 =
(
0 1
0 0
)
, A3 =
(
0 0
1 0
)
, A4 =
(
0 0
0 1
)
, A5 =(
0 0
0 0
)
. R : ld
c) A =
 0 00 0
0 0
. R : ld
d) A =
(
2
√
2
5
0 0
0 0 0
)
. R : li
e) A1 =
 1 0 30 −53 0
2 1
2
0
, A2 =
 1 5 0−3 0 −2
2 0 4
, A3 =
 0 2 3−1 0 3
2 0 −1
.
1.6 Determinantes
Nesta seção nosso objetivo é que o aluno relembre como calcular o determinante de
matrizes de ordens pequenas (1, 2, 3, 4 e 5). Não demonstraremos os teoremas enunci-
ados. Apenas ilustraremos os teoremas com exemplos, principalmente as propriedades
dos determinantes, para ressaltar a importância destas.
Seja A uma matriz quadrada, com entradas em R. O determinante de A será
denotado por det(A) ou por |A|. O determinante de uma matriz quadrada com
entradas reais será um número real, definido como segue.
Se A = (a) ∈M1(R), então det(A) = |A| = a.
Por exemplo, considere a matriz A = (−3
7
) ∈M1(R). Então det(A) = −37 .
Se A =
(
a11 a12
a21 a22
)
∈M2(R), então
det(A) = |A| =
∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
28 CAPÍTULO 1. MATRIZES
Exemplo 1.6.1: Considere A =
(
7
52
sec(5pi
6
)
cos(5pi
6
) ( 7
52
)−1
)
. Então
∣∣∣∣∣ 752 sec(5pi6 )cos(5pi
6
) ( 7
52
)−1
∣∣∣∣∣ = ( 752)( 752)−1−sec(5pi6 )cos(5pi6 ) = 1− 1cos(5pi
6
)
cos(
5pi
6
) = 1−1 = 0.
Se A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 ∈ M3(R), então det(A) pode ser determinado pela
regra de Sarrus. Que consiste em copiar as duas primeiras colunas da matriz, à
direita da matriz. A seguir, efetue os produtos dos elementos que estão nas diagonais.
Depois somamos os produtos dos elementos das diagonais da esquerda para a direita
e subtraimos os produtos dos elementos das diagonais da direita para a equerda.
Veja na ilustração
− − −
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
+ + +
Então
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.
Mas atenção! A regra de Sarrus só pode ser usada para matrizes de ordem 3.
Exemplo 1.6.2: Considere A =
 2 −1
3
4
−1
3
4 0
1 1
2
5
 ∈M3(R).
Copiando as duas primeiras colunas da matriz, à direita, temos
1.6. DETERMINANTES 29
− − −
2 −1 3
4
2 −1
−1
3
4 0 −1
3
4
1 1
2
5 1 1
2
+ + +
Assim |A| = (2)(4)(5)+(−1)(0)(1)+(3
4
)(−1
3
)(1
2
)−(3
4
)(4)(1)−(2)(0)(1
2
)−(−1)(−1
3
)(5) =
40− 1
8
− 3− 5
3
= 960−3−72−40
24
= 845
24
Outra forma de definir o determinante de matrizes de ordem 3 (ou mais) é pelo
Método de Expansão de Laplace, no qual você escolhe uma linha ou uma coluna
da matriz para fazer a expansão.
Dada A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 ∈ M3(R). A expansão de Laplace pela primeira
linha da matriz será
det(A) = a11(−1)1+1
∣∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣∣+ a12(−1)1+2
∣∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣∣+ a13(−1)1+3
∣∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣∣ ,
ou simplesmente,
det(A) = a11
∣∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣∣− a12
∣∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣∣ .
Veja que consideramos o entrada aij da linha ou coluna escolhida, multiplicamos
esta entrada por (−1)i+j e multiplicamos ainda pelo determinante da matriz que
resultaexcluindo a linha e a coluna que contém o elemento aij. Fazemos isto para
cada entrada da linha ou coluna escolhida e somamos o resultado.
Por exemplo a11
∣∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣∣ é obtido fazendo a11(−1)1+1 multiplicado pelo deter-
minante da matriz de ordem 2 obtida pela exclusão da linha 1 (note que a11 está na
30 CAPÍTULO 1. MATRIZES
linha 1) e coluna 1 (observe que a11 está na coluna 1).
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Repetimos o mesmo processo para a12 e a13.
Este processo pode ser usado para determinar determinantes de matrizes de qual-
quer ordem. Observe que sempre recaímos no cálculo de determinantes de ordem
menor. É sempre recomendado escolher uma linha ou coluna, com várias entradas
nulas, para facilitar os cálculos.
Exemplo 1.6.3: Seja A =

1 −2 0 1
2
0 4 −1 3
0 2 5 0
7 −3 1
2
1
 ∈ M4(R). O determinante de A,
fazendo a expansão de Laplace pela primeira coluna é
det(A) = 1(−1)1+1
∣∣∣∣∣∣∣
4 −1 3
2 5 0
−3 1
2
1
∣∣∣∣∣∣∣+0(−1)2+1
∣∣∣∣∣∣∣
−2 0 1
2
2 5 0
−3 1
2
1
∣∣∣∣∣∣∣+0(−1)3+1
∣∣∣∣∣∣∣
−2 0 1
2
4 −1 3
−3 1
2
1
∣∣∣∣∣∣∣+
7(−1)4+1
∣∣∣∣∣∣∣
−2 0 1
2
4 −1 3
2 5 0
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
4 −1 3
2 5 0
−3 1
2
1
∣∣∣∣∣∣∣ − 7
∣∣∣∣∣∣∣
−2 0 1
2
4 −1 3
2 5 0
∣∣∣∣∣∣∣ = 70 − 7(41) = 70 −
287 = −217.
Exercício 1.6.4: Calcule o determinante das seguintes matrizes usando a expansão
de Laplace.
a)A =

1 1
2
0 −4
2 4 −1 5
0 2 1
3
0
3 1 0 7
 b)A =
 −3 −2 85 0 −1
0 1 4
 c)A =

5 3
4
0 −1
1
2
0 0 0
0 4 −2 1
3 1 0 −2

d) A =
 cosθ senθ tgθ0 cosθ −senθ
0 senθ cosθ
 e) A =

cosθ senθ cotgθ secθ
0 cosθ senθ tgθ
0 0 cosθ −senθ
0 0 senθ cosθ

1.6. DETERMINANTES 31
Teorema 1.6.5: Propriedades dos determinantes
Sejam A,B ∈Mn(R) e c ∈ R.
a) Se A tem uma linha (coluna) toda nula, então det(A) = 0.
b) Se B é obtida de A pela troca de duas linhas (colunas), então det(B) = −det(A).
c) Se A tem duas linhas (colunas) idênticas, então det(A) = 0.
d) Se B é obtida pela multiplicação de uma linha (coluna) de A por c, então det(B) =
cdet(A).
e) Se A, B e C são idênticas, a menos pelo fato de que a i-ésima linha (coluna) de C
é a soma das i-ésimas linhas (colunas) de A e B, então det(C) = det(A) + det(B).
f) Se B difere de A por ter uma linha (coluna) que é a soma de um múltiplo de uma
linha (coluna) de A com outra coluna de A, então det(B) = det(A).
g) det(cA) = cnA.
h) det(AB) = det(A)det(B).
i) det(A) = det(AT ).
Observação 1.6.6: Em geral det(A + B) 6= det(A) + det(B). De fato, considere
A =
(
1 2
1 2
)
e B =
(
3 1
2
0 0
)
. Temos que det(A) = 0 e det(B) = 0. Por outro
lado, A+B =
(
1 + 3 2 + 1
2
1 + 0 2 + 0
)
=
(
4 5
2
1 2
)
e
det(A+B) =
∣∣∣∣∣ 4 521 2
∣∣∣∣∣ = 8− 52 = 16− 52 = 112 6= 0 = det(A) + det(B).
Vamos agora apresentar vários exemplos para ilustrar as propriedades de deter-
minantes. É importante ressaltar que não demonstraremos estas propriedades aqui e
os exemplos que faremos não demonstram as propriedades, apenas ilustram.
Exemplo 1.6.7: Para ilustrar o item (a).
32 CAPÍTULO 1. MATRIZES
Seja A =

−523
71
15
46
0
√
91√
2√
703 57
2
0 3
ln(7) e7 0 77
7
tg(350) sen(350) 0 cos(350)
 ∈M4(R). Então
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−523
71
15
46
0
√
91√
2√
703 57
2
0 3
ln(7) e7 0 77
7
tg(350) sen(350) 0 cos(350)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0,
pois todas as entradas da terceira coluna de A são 0. Fazendo expansão por La-
place na terceira coluna, temos det(A) = 0(−1)1+3
∣∣∣∣∣∣∣
√
703 57
2
3
ln(7) e7 77
7
tg(350) sen(350) cos(350)
∣∣∣∣∣∣∣ +
0(−1)2+3
∣∣∣∣∣∣∣
−523
71
15
46
√
91√
2
ln(7) e7 77
7
tg(350) sen(350) cos(350)
∣∣∣∣∣∣∣+0(−1)3+3
∣∣∣∣∣∣∣
−523
71
15
46
√
91√
2√
703 57
2
3
tg(350) sen(350) cos(350)
∣∣∣∣∣∣∣+
0(−1)4+3
∣∣∣∣∣∣∣
−523
71
15
46
√
91√
2√
703 57
2
3
ln(7) e7 77
7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
Exemplo 1.6.8: Para ilustrar o item (b).
Sejam A =
 1
1
2
5
−1
3
4 0
2 −1 3
4
 ∈ M3(R) e B =
 2 −1
3
4
−1
3
4 0
1 1
2
5
 ∈ M3(R). Observe
que a terceira linha da matriz B é a primeira linha da matriz A e a primeira linha da
matriz B é a terceira linha da matriz A.
Temos que det(A) = 3 + 0 + 5
3
− 40 + 0 + 1
8
= 72+40−960+3
24
= −845
24
. Enquanto que
det(B) = 40− 1
8
− 3− 5
3
= 960−3−72−40
24
= 845
24
.
Portanto det(B) = 845
24
= −(−845
24
) = −det(A).
Exemplo 1.6.9: Para ilustrar o item (c).
Seja A =

1
2
−√2 1
2
ln(10) e2 ln(10)
tg(71◦) −3
5
tg(71◦)
 ∈ M3(R). Observe que a terceira coluna da
matriz A é igual a sua primeira linha.
1.6. DETERMINANTES 33
Temos que det(A) = (1
2
)(e2)tg(71◦)+(−√2)ln(10)tg(71◦)+(1
2
)(3
5
)ln(10)−(1
2
)(e2)tg(71◦)−
(1
2
)(3
5
)ln(7) + (
√
2)ln(10)tg(71◦) = 0.
Exemplo 1.6.10: Para ilustrar o item (d).
Sejam A =
(
1
2
1
1
4
1
)
∈ M2(R) e B =
(
2 1
1 1
)
∈ M2(R). Observe que B =(
2 1
1 1
)
=
(
41
2
1
41
4
1
)
, ou seja, a primeira coluna da matriz B é a primeira coluna
da matriz A multiplicada por c=4.
Agora, observe que det(A) = 1
2
− 1
4
= 1
4
. Por outro lado det(B) = 2− 1 = 1.
Portanto det(B) = 1 = 4(1
4
) = 4det(A).
Exemplo 1.6.11: Para ilustrar o item (e).
Sejam A =
 1 1 00 2 54
1
2
1 −1
, B =
 1 1 00 −1 54
1
2
−1
3
−1
 e C =
 1 1 + 1 00 2− 1 54
1
2
1− 1
3
−1
 ∈
M3(R).
Observe que a segunda coluna da matriz C é a soma das segundas colunas das
matrizes A e B.
Vamos calcular os determinantes das matrizes A, B e C. Temos que det(A) =
−2 + 5
8
− 5
4
= −16+5−10
8
= −21
8
, det(B) = 1 + 5
8
+ 5
12
= 24+15+10
24
= 49
24
e det(C) =
−1 + 5
4
− 10
12
= −12+15−10
12
= − 7
12
.
Observamos que det(A) + det(B) = −21
8
+ 49
24
= −63+49
24
= −14
24
= − 7
12
= det(C).
Exemplo 1.6.12: Para ilustrar o item (f).
Sejam A =
(
1 2
3 4
)
e B =
(
1 + 2 · 3 2 + 2 · 4
3 4
)
.
Ou seja, a primeira linha da matriz B é a primeira linha da matriz A somada com
a segunda linha da matriz A multiplicada por 2.
Então, det(A) = 4−6 = −2 e det(B) = 28−30 = −2. Portanto det(A) = det(B).
Exemplo 1.6.13: Para ilustrar o item (g).
Seja A =
(
1
2
1
4
1
8
1
)
∈M2(R).
Temos que det(A) = 1
2
− 1
32
= 16−1
32
= 15
32
.
34 CAPÍTULO 1. MATRIZES
Agora observamos que se multiplicarmos a matriz A por um escalar c, por exemplo
c = 8, então cA = 8A =
(
4 2
1 8
)
e det(8A) = 32− 2 = 30.
Além disso, 82det(A) = 64(15
32
) = 30. Portanto det(8A) = 30 = 82det(A).
Exercício 1.6.14: Sejam L1, L2, L3 e L4 as linhas da matriz A e suponha que
det(A) = −3, ou seja, det

L1
L2
L3
L4
 = −3. Determine:
a) det

L1 − L2
L2
L1 + L2 − 3L4
L1 + L3
 R : −9 b) det

L1 − L2
L1 − 2L2 − L4
L1 + 2L2 − 4L3 − 2L4
L1 − L2 + L3 − L4
 R : −3
c) det

L2
L3
L4
L1
 d) det

L1 − L2
L2 − L1
L3 + L4
L3 − L4

1.7 Matriz Inversa
Consideremos as matrizes A =
(
1 2
3 4
)
∈ M2(R) e B =
(
1
2
)
∈ M2×1(R). Pode-
mos nos perguntar se existe uma matriz X =
(
x
y
)
satisfazendo(
1 2
3 4
)(
x
y
)
=
(
1
2
)
.
Observe que gostaríamos de resolver uma equação matricial (ou seja, envolvendo
matrizes). Podemos fazer um paralelo com uma equação com coeficientes reais, por
exemplo,
2x = 3.
Para resolver esta equação, podemos simplesmente,multiplicar ambos os lados da
equação, por 2−1 = 1
2
. Assim,
2−1(2x) = 2−13 ⇒ (2−12)x = 2−13 ⇒ 1x = 3
2
⇒ x = 3
2
.
1.7. MATRIZ INVERSA 35
Observe que na primeira passagem, usamos a associatividade da multiplicação de
números reais, e na segunda passagem, temos que 2−1 é o inverso multiplicativo de
2, ou seja, 2−12 = 1. Veja que multiplicando o coeficiente de x (no caso 2) pelo seu
inverso multiplicativo (no caso 2−1 = 1
2
) conseguimos "isolar" x (seu coeficiente agora
é 1).
Então, no caso da equação matricial que estamos tentando resolver, será que existe
uma matriz A−1 =
(
a b
c d
)
tal que
(
a b
c d
)(
1 2
3 4
)
=
(
1 0
0 1
)
? Notemos
que neste caso, a matriz identidade de ordem 2, está fazendo o papel de 1 ∈ R.
Veja que no caso afirmativo, teremos(
a b
c d
)[(
1 2
3 4
)(
x
y
)]
=
(
a b
c d
)(
1
2
)
⇒
[(
a b
c d
)(
1 2
3 4
)](
x
y
)
=
(
a b
c d
)(
1
2
)
⇒
(
1 0
0 0
)(
x
y
)
=
(
a b
c d
)(
1
2
)
⇒
(
x
y
)
=
(
a b
c d
)(
1
2
)
que é a solução procurada.
Vamos agora definir esta matriz e ver quando que ela existe.
Definição 1.7.1: Considere a matriz A ∈ Mn(R). A matriz inversa de A é uma
matriz de ordem n, denotada por A−1, tal que
AA−1 = In e A−1A = In.
Se existe A−1, a matriz A será chamada inversível.
Teorema 1.7.2: Considere a matriz A ∈ Mn(R). A matriz A é inversível se, e
somente se, det(A) 6= 0.
Não faremos a demonstração deste teorema. Observe que o Teorema nos fornece
uma forma rápida de determinar se uma matriz é ou não é inversível, basta calcular
o seu determinante. Se det(A) = 0, então a matriz é inversível e de det(A) 6= 0, então
a matriz não é inversível.
36 CAPÍTULO 1. MATRIZES
Exemplo 1.7.3: Amatriz A =
(
1 2
3 4
)
é inversível, pois det(A) = 4−6 = −2 6= 0.
Mas, se sabemos que uma matriz A é inversível (sabendo que seu determinante
é não nulo), então é possível determinar A−1? A resposta é sim, e existem vários
métodos para encontrar A−1. Veremos neste texto o Método de Gauss-Jordan.
Não descreveremos o Método em geral, apenas o ilustraremos com exemplos.
Antes de começarmos com o exemplo, vamos definir as operações elementares com
as linhas, que usaremos no Método.
Definição 1.7.4: As seguintes operações elementares com as linhas podem ser
realizadas em uma matriz:
1) Trocar duas linhas.
2) Multiplicar uma linha por uma constante não nula.
3) Somar um múltiplo de uma linha com outra linha.
Exemplo 1.7.5: Considere a matriz A =

1
2
1
4
1
8√
2 3 15
4 0 −1
 ∈ M3(R). Podemos
permutar duas linhas da matriz A, por exemplo linha 1 e linha 2. Assim obteremos
A
′
=

√
2 3 15
1
2
1
4
1
8
4 0 −1
.
Podemos multiplicar uma linha por um número não nulo, por exemplo podemos
multiplicar a linha 1 por 8. Então A
′′
=
 8 ·
1
2
8 · 1
4
8 · 1
8√
2 3 15
4 0 −1
 =
 4 2 1√2 3 15
4 0 −1
.
Podemos também, por exemplo, multiplicar a linha 1 por -8 e somar com a linha
3, obtendo assim A
′′′
=
 −4 −2 −1√2 3 15
4− 4 0− 2 −1− 1
 =
 −4 −2 −1√2 3 15
0 −2 −2
.
Exemplo 1.7.6: Considere a matriz A =
 1 2 00 −1 3
−1 −2 1
 ∈M3(R).
O Método de Gauss-Jordan consiste em escrever a matriz identidade ao lado da
1.7. MATRIZ INVERSA 37
matriz A.  1 2 0 | 1 0 00 −1 3 | 0 1 0
−1 −2 1 | 0 0 1

Agora realizamos operações elementares nas linhas desta matriz, até que na es-
querda (da matriz com traços) apareça a matriz identidade de ordem 3, e a matriz
que surgirá na direita será a matriz inversa A−1. 1 2 0 | 1 0 00 −1 3 | 0 1 0
−1 −2 1 | 0 0 1

Nosso objetivo será zerar os termos abaixo da diagonal, e depois acima da diagonal.
Vamos zerar os termos nesta ordem: a21, a31, a32, a23, a13 e por último a12. Como
a21 já é 0, vamos zerar a31. Para isto, vamos substituir a linha 3, por linha 1 somada
com a linha 3.  1 2 0 | 1 0 00 −1 3 | 0 1 0
1− 1 2− 2 0 + 1 | 1 + 0 0 + 0 0 + 1

ou seja  1 2 0 | 1 0 00 −1 3 | 0 1 0
0 0 1 | 1 0 1

Observe que o elemento a32 também já foi zerado, então vamos zerar os elementos
acima da diagonal, a saber a23. Para isto, vamos substituir a linha 2, pela linha 2
somada com a linha 3 multiplicada por (-3) (isto é, L2+ (−3)L3, se L2 for a segunda
linha da matriz e L3 for a terceira linha da matriz) 1 2 0 | 1 0 0(−3)0 + 0 (−3)0 + (−1) (−3)1 + 3 | (−3)1 + 0 (−3)0 + 1 (−3)1 + 0
0 0 1 | 1 0 1

de onde  1 2 0 | 1 0 00 −1 0 | −3 1 −3
0 0 1 | 1 0 1

38 CAPÍTULO 1. MATRIZES
Agora vamos multiplicar a linha 2 por −1. 1 2 0 | 1 0 0(−1)0 (−1)(−1) (−1)0 | (−1)(−3) (−1)1 (−1)(−3)
0 0 1 | 1 0 1

de onde segue que  1 2 0 | 1 0 00 1 0 | 3 −1 3
0 0 1 | 1 0 1

Observe que resta apenas o elemento a12 para zerar. Vamos substituir a linha 1,
por linha 1 somada com a linha 2 multiplicada por (-2) (ou seja, L1 + (−2)L2) (−2)0 + 1 (−2)1 + 2 (−2)0 + 0 | (−2)3 + 1 (−2)(−1) + 0 (−2)3 + 00 1 0 | 3 −1 3
0 0 1 | 1 0 1

de onde temos  1 0 0 | −5 2 −60 1 0 | 3 −1 3
0 0 1 | 1 0 1

Note que a matriz de ordem 3 que obtemos do lado esquerdo é a matriz identidade,
portanto a matriz de ordem 3 do lado direito é a matriz inversa da matriz A. Assim
A−1 =
 −5 2 −63 −1 3
1 0 1
 .
Para verificar se o resultado é verdadeiro, podemos calcular AA−1 e A−1A e veri-
ficar se obteremos a matriz identidade de ordem 3.
Exercício 1.7.7: Decida se as seguintes matrizes são inversíveis. Encontre as inver-
sas quando existirem.
a) A1 =
 1 2 34 5 6
7 8 9
 b) A2 =

1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
10

c) A3 =
 1 2 41 3 9
1 4 16
 d) A4 =
 1
1
2
1
4
1 1
3
1
9
1 1
4
1
16

1.7. MATRIZ INVERSA 39
e) A5 =
 1 0 00 2 0
0 0 3
 f) A6 =
 1 2 30 4 5
0 0 6

g) A7 =

1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
 h) A8 =
 2
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
7
9
8
10
9

40 CAPÍTULO 1. MATRIZES
Capítulo 2
Sistemas de Equações Lineares
Definição 2.0.1: Uma equação linear com n variáveis x1, x2,..., xn é uma equação
que pode ser escrita na forma
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b (2.1)
onde os coeficientes a1, a2,..., an e o termo independente b são constantes (nú-
meros reais).
Observação 2.0.2: Convém observar que se tivermos duas ou três variáveis, escre-
veremos simplesmente x e y, ao invés de x1 e x2, e x, y e z, ao invés de x1, x2 e
x3.
Exemplo 2.0.3: 1) x + y = 1 é uma equação linear (observe que x + y = 1 é a
equação de uma reta em R2);
2) 2x+3y+ z = 2 é uma equação linear (observe que 2x+3y+ z = 2 é a equação de
um plano em R3);
3) x1 + x3 = x5 − 7x6 + 1 é uma equação linear;
4) x+ (sen(59◦))y = 1 é uma equação linear;
5) x2 = y não é uma equação linear, pois a variável x possui uma potência diferente
de 1;
6) xy + y = 1 não é uma equação linear, pois temos um produto das variáveis x e y;
7) x1 + 2
x2 +
√
x3 = x4 não é uma equação linear;
41
42 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
8) x+ sen(y) = 1 não é uma equação linear;
Uma solução de uma equação linear como (2.1) é uma n-upla (s1, s2, ..., sn) cujas
coordenadas satisfazem a equação (2.1) quando substituimos
x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn.
Por exemplo, uma solução da equação linear x+ y = 1 é um par ordenado (1, 0),
de modo que, substituindo x por 1 e y por 0, a equação é satisfeita, ou seja, 1+0 = 1.
Observe que o par ordenado (−1, 2) também é solução, pois −1 + 2 = 1.
Definição 2.0.4: Um sistema de equações lineares é um conjunto finito de
equações lineares,cada uma com as mesmas variáveis.
Por exemplo um sistema com m equações lineares e n variáveis, pode ser escrito
da seguinte forma 
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
· · ·
am1x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = bm
. (2.2)
Exemplo 2.0.5:
{
x+ y = 0
y = 1
é um sistema de equações lineares.
Definição 2.0.6: Uma solução com n variáveis é uma n-upla que é simultanea-
mente solução de cada uma das equações do sistema.
Exemplo 2.0.7: (−1, 1) é uma solução do sistema de equações lineares
{
x+ y = 0
y = 1
,
pois (−1) + 1 = 0 (ou seja, (−1, 1) é solução da primeira equação) e 1 = 1 (isto é,
(−1, 1) é solução da segunda equação).
Definição 2.0.8: O conjunto solução de um sistema de equações lineares é o
conjunto de todas as soluções do sistema
Ao processo de encontrar o conjunto solução de uma sistema de equações lineares,
43
chamaremos de resolver o sistema de equações lineares.
Definição 2.0.9: Um sistema de equações lineares homogêneo é um sistema
de equações lineares onde o termo constante de cada equação é 0.
Ou seja, um sistema de equações lineares da seguinte forma
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
· · ·
am1x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
.
Exemplo 2.0.10: A equação linear x+ y = 1 tem infinitas soluções (a saber todos
os pontos sobre a reta dada pela equação). Você consegue esboçar esta reta? Observe
a figura abaixo.
x
y
y = 1− x0−1 1
1
2
Podemos escrever o conjunto solução
S = {(x, y) : y = 1− x} = {(x, 1− x) : x ∈ R}.
Exercício 2.0.11: Encontre uma solução e o conjunto solução das equações (esboce
geometricamente)
a) x+ 2y = 1 b) x− y − 3 = 0 c) 2x− y = 2
Exemplo 2.0.12: Considere a equação linear x + 2y + 3z = 6. Podemos escrever
x = 6−2y−3z, então para cada valor atribuido para y e z, obtemos um valor para x.
Por exemplo, se y = 0 e z = 1, então x = 6− 2(0)− 3(1) = 3, e assim (3, 0, 1) é uma
solução da equação linear. Desta forma, a equação linear possui infinitas soluções. O
conjunto solução da equação é
S = {(x, y, z) : x = 6− 2y − 3z} = {(6− 2y − 3z, y, z) : y, z ∈ R}.
44 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Vale a pena observar, que conjunto solução desta equação linear é formado por todos
os pontos do plano dado por esta equação. (Estudaremos estas equações, quando
estudarmos planos.)
Exercício 2.0.13: Encontre uma solução e o conjunto solução das equações
a) x+ 2y + z = 1 b) 2x+ 2y + 2z = 8 c) x− y − z − 1 = 0
Exemplo 2.0.14: Resolva o sistema de equações lineares{
x+ y = 3
x− y = 1 .
Pelos exemplos anteriores, a solução da primeira equação é dada por todos os
pontos da reta de equação x + y = 3. Enquanto que o conjunto solução da segunda
equação é o conjunto de pontos da reta de equação x − y = 1. Como a solução do
sistema deve ser tanto uma solução da primeira equação, quanto da segunda equação,
a solução do sistema será um ponto na primeira reta e na segunda reta, logo na
interseção das retas.
Observe a figura.
x
y
y = 3− x
y = x− 1
0−1 1 2 3
−2
−1
1
2
3
4
Desta forma, o conjunto solução deste sistema, geometricamente, é dado por S =
{(2, 1)}.
45
Outra forma de encontrar a solução é resolvendo o sistema, por exemplo por
substituição. Da primeira equação temos que x = 3 − y. Substituindo na segunda
equação, obtemos (3 − y) − y = 1 ⇒ 3 − 2y = 1 ⇒ −2y = −2 ⇒ y = 1. Então
x = 3−1 = 2. Portanto a solução do sistema de equações lineares é (2, 1). Observe que
esta é a única solução do sistema. Logo o conjunto solução do sistema é S = {(2, 1)}.
Pela posição relativa de retas no plano, sabemos que dadas duas retas, elas podem
ter um único ponto de interseção (como aconteceu no exemplo acima), podem ter
infinitos pontos de interseção (o que acontece por exemplo com as seguintes retas
x+ y = 1 e 2x+ 2y = 2)
x
y
y = 1− x 2y = 2− 2x0−1 1
1
2
ou nenhum ponto de interseção (o que ocorre com as retas x+ y = 1 e x+ y = 2, que
levaria a um absurdo da forma 1 = x+ y = 2).
x
y
y = 1− x
y = 2− x0−1 1 2
−1
1
2
3
Assim podemos ter as seguintes situações: um sistema com uma única solução,
com infinitas soluções ou com nenhuma solução. Além disso, dado qualquer sistema
de equações lineares teremos uma, e somente uma, das situações acima.
46 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Definição 2.0.15: Um sistema impossível é um sistema de equações lineares que
não tem nenhuma solução. Um sistema possível determinado é um sistema de
equações lineares que tem uma única solução. E um sistema possível indetermi-
nado é um sistema de equações lineares que tem infinitas soluções.
Exercício 2.0.16: Encontre uma solução e o conjunto solução dos sistemas de equa-
ções lineares (esboce geometricamente)
a)
{
x+ y = 2
x− y = 4 b)
{
x+ y = 2
x+ y = 4
c)
{
x+ y = 3
3x+ 3y = 9
d)
{
2x+ 3y = 1
3x− 2y = 2 e)
{
2x+ y = 5
3x− 5y = −7
Definição 2.0.17: Dois sistemas lineares são equivalentes quando têm os mesmos
conjuntos solução.
Nosso objetivo será transformar o sistema dado em um sistema equivalente que
seja mais fácil de resolver.
No nosso texto, um sistema fácil de resolver, seria um sistema da forma

x− y + z = 1
y − 3z = 5
7z = 14
.
Este será um sistema fácil de resolver, pois podemos encontrar a solução, obtendo
o valor de z = 2 prontamente, na terceira equação, e então substituindo este valor na
segunda equação e obtendo o valor de y = 5 + 3(2) = 11. E substituindo os valores
de y e z já encontrados, na primeira equação, obtemos o valor de x = 1 + y − z =
1 + 11− 2 = 10. Assim a solução deste sistema é (10, 11, 2).
Antes de introduzirmos um método que consiga transformar o sistema que deseja-
mos resolver, em um sistema equivalente mais fácil de resolver, vamos falar do conceito
de matriz completa ou matriz ampliada do sistema, um conceito muito usado.
Para definir este conceito, faremos uso de um exemplo para ilustrar a situação:
2.1. MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS 47
Considere o sistema 
x− y + 2z = 5
3x− 2y = 7
2x− y + z = 1
.
Podemos reescrever este sistema em uma formato de matrizes da seguinte forma: 1 −1 23 −2 0
2 −1 1

 xy
z
 =
 57
1
 ,
chamado um sistema matricial.
Amatriz
 1 −1 23 −2 0
2 −1 1
 é chamada amatriz dos coeficientes. A matriz
 xy
z

é chamada a matriz das variáveis e a matriz
 57
1
 é chamada a matriz dos
termos independentes.
E a matriz
 1 −1 2 | 53 −2 0 | 7
2 −1 1 | 1
 formada pelos coeficientes e termos independentes
é chamada matriz ampliada ou matriz completa do sistema.
2.1 Métodos de Resolução de Sistemas
Existem vários métodos e formas de resolver um sistema. Vamos usar neste texto o
Método de Eliminação de Gauss, que consiste em:
1. Escrever a matriz completa do sistema de equações lineares.
2. Usar operações elementares com as linhas para reduzir a matriz completa a uma
matriz mais simples (esta matriz mais simples será chamada matriz na forma
escalonada ou matriz na forma escada).
3. Resolve o sistema equivalente.
48 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Convém ressaltar que usando as operações elementares com as linhas na matriz
ampliada, obtemos outra matriz (na forma escada) e escrevendo este sistema, ele é
equivalente ao sistema original.
As operações elementares, que aparecem no item (2) são as operações elencadas
em (1.7.4).
O processo de aplicar operações elementares com linhas para transformar uma
matriz em uma outra matriz (matriz escalonada) é chamado escalonamento.
Vamos agora ilustrar o Método de eliminação de Gauss com os seguintes
Exemplo 2.1.1: Encontre o conjunto solução do sistema
x− y + z = 0
−x+ 3y + z = 53x+ y + 7z = 2
.
Vamos encontrar a solução do sistema de equações lineares usando o Método de
Eliminação de Gauss.
Passo 1) Escrever a matriz completa do sistema de equações lineares.
 1 −1 1 | 0−1 3 1 | 5
3 1 7 | 2

Passo 2) Usar as operações elementares com as linhas na matriz ampliada.
Nosso objetivo será zerar as entradas a21, a31 e a32 da matriz ampliada, nesta ordem.
(Ou seja, pretendemos zerar os termos abaixo da diagonal). Começamos zerando a21.
Para isto, vamos substitiur a linha 2 (linha que contém o elemento a21) por: linha 1
somada com linha 2 (resumindo: L1 +L2, sendo L1 a linha 1 e L2 a linha 2). Assim
obteremos  1 −1 1 | 01− 1 −1 + 3 1 + 1 | 0 + 5
3 1 7 | 2

2.1. MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS 49
ou seja  1 −1 1 | 00 2 2 | 5
3 1 7 | 2

Agora, vamos zerar a entrada a31. A fim de conseguir isto, vamos substituir a linha
3 (linha que contém o elemento a31) por: multiplicamos (-3) pela linha 1 e somamos
este resultado com a linha 3, ou sinteticamente, (−3)L1 + L3. Então 1 −1 1 | 00 2 2 | 5
(−3)1 + 3 (−3)(−1) + 1 (−3)1 + 7 | (−3)0 + 2

de onde temos que  1 −1 1 | 00 2 2 | 5
0 4 4 | 2

Observe que para zerar os termos que estão abaixo da posição a11, sempre multi-
plicamos a linha 1 por um número conveniente e somamos com a linha que contém o
elemento que desejamos zerar.
Resta agora zerar o termo a32. Para fazer isso vamos multiplicar (-2) pela linha 2
e somar este resultado com a linha 3, isto é, (−2)L2 + L3. Portanto 1 −1 1 | 00 2 2 | 5
0 (−2)2 + 4 (−2)2 + 4 | (−2)5 + 2

que implica  1 −1 1 | 00 2 2 | 5
0 0 0 | −8

Note que para zerar os termos que estão abaixo da posição a22, sempre multipli-
camos a linha 2 por um número conveniente e somamos com a linha que contém o
elemento que desejamos zerar.
Veja que a matriz resultante tem um formato que lembra uma "escada". Esta
matriz é chamada matriz na forma escada ou escalonada.
50 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Agora escrevemos o sistema de equações lineares
x− y + z = 0
0x+ 2y + 2z = 5
0x+ 0y + 0z = −8
,
ou simplesmente 
x− y + z = 0
2y + 2z = 5
0 = −8
.
Passo 3) Resolver o sistema equivalente.
Começamos a resolução de baixo para cima, ou pela última equação, 0 = 8. Mas
observe que não existem x, y e z de modo que 0 = 8 (é um absurdo). Portanto o
sistema não tem solução.
Exemplo 2.1.2: Encontre o conjunto solução do sistema
x− y + z = 0
−x+ 3y + z = 5
3x+ y + 7z = 10
.
Vamos encontrar a solução do sistema de equações lineares usando o Método de
Eliminação de Gauss.
Passo 1) Escrever a matriz completa do sistema de equações lineares. 1 −1 1 | 0−1 3 1 | 5
3 1 7 | 10

Passo 2) Usar as operações elementares com as linhas na matriz ampliada.
Nosso objetivo será zerar as entradas a21, a31 e a32 da matriz ampliada, nesta ordem.
(Ou seja, pretendemos zerar os termos abaixo da diagonal). Começamos zerando a21.
Para isto, vamos substitiur a linha 2 (linha que contém o elemento a21) pela seguinte
combinação: linha 1 somada com linha 2 (resumindo: L1 + L2, sendo L1 a linha 1 e
L2 a linha 2). Assim obteremos 1 −1 1 | 01− 1 −1 + 3 1 + 1 | 0 + 5
3 1 7 | 10

2.1. MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS 51
ou seja  1 −1 1 | 00 2 2 | 5
3 1 7 | 10

Agora, vamos zerar a entrada a31. A fim de conseguir isto, vamos substituir a
linha 3 (linha que contém o elemento a31) da seguinte forma: multiplicamos (-3) pela
linha 1 e somamos este resultado com a linha 3, ou sinteticamente, (−3)L1 + L3.
Então  1 −1 1 | 00 2 2 | 5
(−3)1 + 3 (−3)(−1) + 1 (−3)1 + 7 | (−3)0 + 10

de onde temos que  1 −1 1 | 00 2 2 | 5
0 4 4 | 10

Observe que para zerar os termos que estão abaixo da posição a11, sempre multi-
plicamos a linha 1 por um número conveniente e somamos com a linha que contém o
elemento que desejamos zerar.
Resta agora zerar o termo a32. Para fazer isso vamos multiplicar (-2) pela linha 2
e somar este resultado com a linha 3, isto é, (−2)L2 + L3. Portanto 1 −1 1 | 00 2 2 | 5
0 (−2)2 + 4 (−2)2 + 4 | (−2)5 + 10

que implica  1 −1 1 | 00 2 2 | 5
0 0 0 | 0

Note que para zerar os termos que estão abaixo da posição a22, sempre multipli-
camos a linha 2 por um número conveniente e somamos com a linha que contém o
elemento que desejamos zerar.
Veja que a matriz resultante tem um formato que lembra uma "escada". Esta
matriz é chamada matriz na forma escada ou escalonada.
52 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Agora escrevemos o sistema de equações lineares
x− y + z = 0
0x+ 2y + 2z = 5
0x+ 0y + 0z = 0
,
ou simplesmente 
x− y + z = 0
2y + 2z = 5
0 = 0
.
Passo 3) Resolver o sistema equivalente.
Começamos a resolução de baixo para cima, ou pela última equação, 0 = 0, que
sempre é verdadeira. Da equação 2 temos z = 5−2y
2
. Substituindo este valor na
equação 1, obtemos x = y − z = y − 5−2y
2
= 2y−5+2y
2
= 4y−5
2
.
Então observe que para cada valor de y em R, teremos valores para x e z. Ou
seja, o sistema tem infinitas soluções.
S =
{
(x, y, z) : x =
4y − 5
2
e z =
5− 2y
2
}
=
{(4y − 5
2
, y,
5− 2y
2
)
: y ∈ R
}
.
Exemplo 2.1.3: Para que valor(es) de k, se houver, o sistema{
x+ ky = 1
kx+ y = 1
terá
a) nenhuma solução
b) uma única solução
c) infinitas soluções.
Vamos usar o Método de Eliminação de Gauss.
Passo 1) Escrever a matriz ampliada do sistema de equações lineares(
1 k | 1
k 1 | 1
)
Passo 2) Usar operações elementares com as linhas.
Nosso objetivo será zerar o elemento a22. Para isto vamos fazer (−k)L1 + L2. Como
2.1. MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS 53
vamos multiplicar a linha 1 por k e k pode ser 0, para efetuarmos a operação nas
linhas precisamos supor que k 6= 0.(
1 k | 1
(−k)1 + k (−k)k + 1 | (−k)1 + 1
)
,
ou seja, (
1 k | 1
0 1− k2 | 1− k
)
Agora escrevendo o sistema equivalente{
x+ ky = 1
(1− k2)y = 1− k
Passo 3) Resolver o sistema equivalente. Começamos com a segunda equação
(1− k2)y = 1− k.
◦ Se 1− k2 6= 0⇔ (1− k)(1 + k) 6= 0⇔ k 6= 1 e k 6= −1
Então y = 1−k
1−k2 =
1−k
(1−k)(1+k) =
1
1+k
. Daí segue da primeira equação que x = 1− ky =
1 − k( 1
1+k
) = 1+k−k
1+k
= 1
1+k
. Assim S = {(x, y) : x = y = 1
1+k
} = {( 1
1+k
, 1
1+k
)} é a
única solução do sistema.
◦ Se 1− k2 = 0⇔ (1− k)(1 + k) = 0⇔ k = 1 ou k = −1
a) k = −1
Então (1− (−1)2)y = 1− (−1)⇒ (1− 1)y = 2⇒ 0y = 2⇒ 0 = 2 que é um absurdo,
ou seja, não existe x e y satisfazendo 0 = 2. Portanto não existe solução.
b) k = 1
Então (1 − (1)2)y = 1 − (1) ⇒ (1 − 1)y = 0 ⇒ 0y = 0 ⇒ 0 = 0 que sempre é
verdadeiro. Daí da equação 1, temos x + y = 1 ⇒ y = 1 − x. Assim o sistema tem
infinitas soluções, a saber,
S = {(x, y) : y = 1− x} = {(x, 1− x) : x ∈ R}.
Resta agora analisar o sistema se k = 0.
Neste caso o sistema de equações lineares se reduz a{
x = 1
y = 1
.
Ou seja possui uma única solução S = {(1, 1)}.
54 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Exercício 2.1.4: Encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas.
a)

x+ 2y − 3z = 9
2x− y + z = 0
4x− y + z = 4
R : S = {(2, 5, 1)}
b)

x− 3y − 2z = 0
−x+ 2y + z = 0
2x+ 4y + 6z = 0
R : S = {(x, x,−x) : x ∈ R}
c)

w + x+ 2y + z = 1
w − x− y + z = 0
x+ y = −1
w + x+ z = 2
R : S = ∅
d)

x+ y + z = 1
x− y + 2z = 2
x+ 6y + 3z = 3
e)
{
x+ y + z + w − t = 0
x− y − z + 2w − t = 0 R : infinitas soluções
f)
{
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 = 2 R : infinitas soluções
g)

2x+ y = 2
x− 2y = 3
3x+ 3y = 1
R : S = ∅
h)

w + x+ 2y + z = 1
w − x− y + z = 0
w + x+ z = 2
R : infinitas soluções
Exercício 2.1.5: Para que valor(es) de k, se houver, o sistematerá
a) nenhuma solução
b) uma única solução
c) infinitas soluções.
1)
{
kx+ 2y = 3
2x− 4y = −6 2)

x+ y + kz = 1
x+ ky + z = 1
kx+ y + z = −2
3)

x+ 2y − 2z − t = 1
2x− 2y − 2z − 3t = −1
2x− 2y − z − 5t = 9
3x− y + z − kt = 0
4)

x+ y + kz = 0
kx+ y − z = 2− k
x+ ky − z = −k
Capítulo 3
Espaços Vetoriais
Os espaços vetoriais são os domínios e contradomínios das funções na Álgebra Linear
(estas funções chamaremos de transformações lineares).
Já conhecemos espaços vetoriais. O conjunto Mm×n(R) com soma de matrizes
e multiplicação de escalar por matriz é um exemplo muito importante de espaço
vetorial. Da mesma forma, os vetores com soma de vetores e multiplicação de escalar
por vetor é um espaço vetorial, tão importante quanto o anterior. Nosso objetivo será
generalizar as propriedades das operações nos conjuntos citados anteriormente. E
veremos que mais conjuntos que nos são familiares são exemplos de espaços vetoriais.
Assim, vale a pena observar que, embora introduziremos um conceito completamente
novo aqui, seus exemplos são os conjuntos que já estamos acostumados a manipular.
Definição 3.0.1: Considere um conjunto não vazio V com duas operações, chama-
das adição e multiplicação por escalar. Assim, dados u, v ∈ V , a soma de u e v,
denotada por u+ v, é tal que u+ v ∈ V , e se c ∈ R e v ∈ V , o múltiplo escalar de v
por c é cv ∈ V . Se são verdadeiros (os seguintes axiomas)
1) u+ v = v + u (comutativa);
2) (u+ v) + w = u+ (v + w) (associativa);
3) Existe um elemento 0 em V , chamado vetor nulo, tal que u + 0 = u (existência
de vetor nulo);
4) Para cada u ∈ V , existe um elemento −u ∈ V (chamado vetor oposto ) tal que
u+ (−u) = 0 (existência de vetor oposto ou inverso aditivo);
55
56 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
5) c(v + w) = cv + cw (distributiva);
6) (c+ d)v = cv + dv (distributiva);
7) c(dv) = (cd)v;
8) 1v = v
para todos u, v e w em V e c, d ∈ R, então V é chamado espaço vetorial e seus
elementos são chamados vetores.
Observação 3.0.2: 1) Observe que tanto a soma de dois elementos de V tem que
pertencer a V e a multiplicação de escalar por elemento de V também deve pertencer
a V .
2) Os escalares em nossos exemplos em geral serão números reais, daí diremos também
que V é um espaço vetorial real. Mas os escalares podem ser tomados em C e daí
diremos que V é um espaço vetorial complexo. Ou ainda os escalares podem ser
tomados em conjuntos mais gerais chamados corpos (Zp, p primo, Q,...) ou anéis de
divisão.
3) Os vetores nulo e oposto são únicos.
Exemplo 3.0.3: V = Rn, para n ≥ 1. Já vimos que em V = Rn podemos definir a
operação soma da seguinte forma, dados u = [u1, u2, ..., un], v = [v1, v2, ..., vn] ∈ Rn,
temos
u+ v = [u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn] ∈ Rn.
Além disso, também podemos definir a multiplicação de escalar por vetor, dado
c ∈ R e v = [v1, v2, ..., vn] ∈ Rn, temos
cv = [cv1, cv2, ..., cvn] ∈ Rn.
Todas as oito propriedades da definição de espaço vetorial podem ser verifica-
das. De fato, sejam u = [u1, u2, ..., un], v = [v1, v2, ..., vn], w = [w1, w2, ..., wn] ∈ Rn e
c, d ∈ R. Então
1) Desejamos verificar que u+ v = v + u. Agora
u+ v = [u1, u2, ..., un] + [v1, v2, ..., vn] = [u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn]. (3.1)
57
Enquanto que
v + u = [v1, v2, ..., vn] + [u1, u2, ..., un] = [v1 + u1, v2 + u2, ..., vn + un]. (3.2)
Agora observe que (3.1) e (3.2) são iguais, pois em cada coordenada ui+ vi = vi+ui,
para todo i, 1 ≤ i ≤ n, pois vale a comutatividade da soma dos números reais.
Portanto u+ v = v + u.
2) Neste item, desejamos mostrar que (u+ v) + w = u+ (v + w). Mas
(u+ v) + w = [u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn] + [w1, w2, ..., wn]
= [(u1 + v1) + w1, (u2 + v2) + w2, ..., (un + vn) + wn].
Por outro lado
u+ (v + w) = [u1, u2, ..., un] + [v1 + w1, v2 + w2, ..., vn + wn]
= [u1 + (v1 + w1), u2 + (v2 + w2), ..., un + (vn + wn)].
Novamente vemos que as expressões são iguais, pois em cada coordenada (ui + vi) +
wi = ui + (vi + wi), para todo i, 1 ≤ i ≤ n, pois vale a associatividade da soma dos
números reais. Portanto (u+ v) + w = u+ (v + w).
3) Queremos mostrar que, existe um vetor nulo, denotado por 0 ∈ Rn tal que
0 + v = v, para todo v ∈ Rn.
Seja 0 = [a1, a2, ..., an] ∈ Rn tal que 0 + v = v, isto é,
[a1, a2, ..., an] + [v1, v2, ..., vn] = [v1, v2, ..., vn].
Então
[a1 + v1, a2 + v2, ..., an + vn] = [v1, v2, ..., vn].
De onde segue que 
a1 + v1 = v1
a2 + v2 = v2
· · ·
an + vn = vn
que é um sistema de equações lineares nas variáveis a1, a2, ..., an, cuja solução é a1 =
v1 − v1 = 0, a2 = v2 − v2 = 0, ..., an = vn − vn = 0.
58 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Assim existe vetor nulo em Rn, a saber, o vetor 0 = [0, 0, ..., 0].
4) Seja v = [v1, v2, ..., vn] ∈ Rn. Queremos mostrar que existe vetor oposto,
denotado por −v ∈ Rn, de modo que
v + (−v) = 0.
Considere −v = [b1, b2, ..., bn] ∈ Rn tal que v + (−v) = 0, ou seja,
[b1, b2, ..., bn] + [v1, v2, ..., vn] = [0, 0, ..., 0].
Assim
[b1 + v1, b2 + v2, ..., bn + vn] = [v1, v2, ..., vn].
De onde obtemos o seguinte sistema de equações lineares
b1 + v1 = 0
b2 + v2 = 0
· · ·
bn + vn = 0
.
Obtemos então que b1 = −v1, b2 = −v2, ..., bn = −vn. Dessa forma podemos
concluir que −v = [−v1,−v2, ...,−vn] ∈ Rn.
5) Nosso objetivo neste item é demonstrar que c(v + w) = cv + cw. Note que
c(v + w) = c[v1 + w1, v2 + w2, ..., vn + wn] = [c(v1 + w1), c(v2 + w2), ..., c(vn + wn)].
Por outro lado temos
cv + cw = [cv1, cv2, ..., cvn] + [cw1, cw2, ..., cwn] = [cv1 + cw1, cv2 + cw2, ..., cvn + cwn].
Observe que as duas expressões são as mesmas pois em cada coordenada c(vi +
wi) = cvi + cwi, para todo i, 1 ≤ i ≤ n, pois vale a distributiva em R. Portanto
c(v + w) = cv + cw.
As propriedades 6, 7 e 8 são verdadeiras e são deixadas para você praticar!
Desta forma Rn com as operações soma e multiplicação de escalar por vetor é um
espaço vetorial real.
59
Exemplo 3.0.4: Considere V =Mm×n(R). Já definimos as operações soma e mul-
tiplicação de escalar por matriz no Capítulo 1 (Matrizes). A saber, dadas A =
(aij), B = (bij) ∈Mm×n(R),
A+B = (aij + bij) ∈Mm×n(R).
E, dados A = (aij) ∈Mm×n(R) e c ∈ R, temos
cA = c(aij) = (caij) ∈Mm×n(R).
Também no Capítulo 1, já vimos que as 8 itens da definição de espaço vetorial
são verificadas. Portanto Mm×n(R) é um espaço vetorial real.
Exemplo 3.0.5: Seja V = Pn(R) o conjunto de todos os polinômios de grau menor
do que ou igual a n. Consideremos dois polinômios p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn,
q(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bnxn ∈ Pn(R). Definimos a soma de p(x) e q(x) por
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ · · ·+ (an + bn)xn ∈ Pn(R).
Considerando c ∈ R e p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ Pn(R), definimos a multi-
plicação do escalar c pelo polinômio p(x) como
cp(x) = (ca0) + (ca1)x+ · · ·+ (can)xn ∈ Pn(R).
Podemos demonstrar que as oito propriedades da definição de espaço vetorial são
verificadas. De fato, sejam p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn, q(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bnxn
e r(x) = c0 + c1x+ · · ·+ cnxn ∈ Pn(R) e sejam α e β ∈ R.
1) Vamos mostrar que p(x) + q(x) = q(x) + p(x). Por um lado
p(x) + q(x) = (a0 + a1x+ · · ·+ anxn) + (b0 + b1x+ · · ·+ bnxn)
= (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ · · ·+ (an + bn)xn.
Por outro lado
q(x) + p(x) = (b0 + b1x+ · · ·+ bnxn) + (a0 + a1x+ · · ·+ anxn)
= (b0 + a0) + (b1 + a1)x+ · · ·+ (bn + an)xn.
60 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Observe que os dois polinômios são iguais, pois os seus respectivos coeficientes são
iguais, ou seja, ai + bi = bi + ai, para todo i, 1 ≤ i ≤ n, pois vale a comutatividade
da soma de números reais. Portanto p(x) + q(x) = q(x) + p(x).
2) Desejamos mostrar que (p(x) + q(x)) + r(x) = p(x) + (q(x) + r(x)). Temos que
(p(x) + q(x)) + r(x) =
= [(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) + (b0 + b1x+· · ·+ bnxn)] + (c0 + c1x+ · · ·+ cnxn)
= [(a0 + b0) + (a1 + b1)x+ · · ·+ (an + bn)xn] + (c0 + c1x+ · · ·+ cnxn)
= [(a0 + b0) + c0] + [(a1 + b1) + c1]x+ · · ·+ [(an + bn) + cn]xn.
Enquanto que
p(x) + (q(x) + r(x)) =
= (a0 + a1x+ · · ·+ anxn) + [(b0 + b1x+ · · ·+ bnxn) + (c0 + c1x+ · · ·+ cnxn)]
= (a0 + a1x+ · · ·+ anxn) + [(b0 + c0) + (b1 + c1)x+ · · ·+ (bn + cn)xn)]
= [a0 + (b0 + c0)] + [a1 + (b1 + c1)]x+ · · ·+ [an + (bn + cn)]xn.
Novamente, pela associatividade dos números reais, temos que (ai+ bi)+ci = ai+
(bi+ci), para todo i, 1 ≤ i ≤ n. Desse modo os respectivos coeficientes dos polinômios
acima são iguais e portanto os polinômios são iguais. Assim (p(x) + q(x)) + r(x) =
p(x) + (q(x) + r(x)).
3) Queremos mostrar que, existe um vetor nulo, denotado por 0 = 0(x) ∈ Pn(R)
tal que 0 + p(x) = p(x), para todo p(x) ∈ Pn(R).
Seja 0 = l0 + l1x+ · · ·+ lnxn ∈ Pn(R) tal que 0 + p(x) = p(x), isto é,
(l0 + l1x+ · · ·+ lnxn) + (a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn.
Assim
(l0 + a0) + (l1 + a1)x+ · · ·+ (ln + an)xn = a0 + a1x+ · · ·+ anxn.
Da igualdade dos polinômios surge
l0 + a0 = a0
l1 + a1 = a1
· · ·
ln + an = an
61
que é um sistema de equações lineares nas variáveis l0, l1, ..., ln, cuja solução é l0 =
a0 − a0 = 0, l1 = a1 − a1 = 0, ..., ln = an − an = 0.
Assim existe vetor nulo em Pn(R), a saber, o polinômio nulo 0(x) = 0+0x+ · · ·+
0xn.
4) Seja p(x) = a0+a1x+ · · ·+anxn ∈ Pn(R). Desejamos mostrar que existe vetor
oposto, denotado por −p(x) ∈ Pn(R), de modo que
p(x) + (−p(x)) = 0.
Considere −p(x) = l0 + l1x + · · · + lnxn ∈ Pn(R) tal que p(x) + (−p(x)) = 0, ou
seja,
(l0 + l1x+ · · ·+ lnxn) + (a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = 0 + 0x+ · · ·+ 0xn.
Assim
(l0 + a0) + (l1 + a1)x+ · · ·+ (ln + an)xn = 0 + 0x+ · · ·+ 0xn.
Igualando os polinômios, obtemos o seguinte sistema de equações lineares
l0 + a0 = 0
l1 + a1 = 0
· · ·
ln + an = 0
.
Obtemos então que l0 = −a0, l1 = −a1, ..., ln = −an. Dessa forma podemos
concluir que −p(x) = l0 + l1x+ · · ·+ lnxn = −a0 − a1x− · · · − anxn ∈ Pn(R).
As demais propriedades são deixadas como exercício. Pratique!
Portanto Pn(R) com as operações soma de polinômios e multiplicação de escalar
por polinômio é um espaço vetorial real.
Vale a pena observar que embora os exemplos anteriores Rn, Mm×n(R) e Pn(R)
têm estruturas distintas, as demonstrações das propriedades são muito similares, veja
que sempre recaímos no uso das propriedades de somas de números reais.
Exemplo 3.0.6: Considere F = {f : R→ R : f é função}. Desejamos definir uma
operação soma e uma operação multiplicação de escalar por função a fim de tornar F
62 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
com estas operações em um espaço vetorial real. Consideremos f, g ∈ F , definimos
f + g ∈ F por
(f + g)(x) = f(x) + g(x), para todo x ∈ R.
Além disso, dado c ∈ R, definimos cf ∈ F da seguinte forma
(cf)(x) = cf(x), para todo x ∈ R.
Observe que estamos dizendo qual é a imagem das funções f + g e cg. Assim, a
imagem da função f + g é a soma das imagens das funções f e g. E a imagem da
multiplicação de um escalar pela função f é a multiplicação do escalar pela imagem
da f . Lembre que toda função tem um domínio, um contradomínio e uma imagem.
Precisamos agora verificar as oito propriedades da definição de espaço vetorial.
Sejam f, g, h ∈ F e c, d ∈ R.
1) Primeiramente desejamos mostrar que f + g = g + f . A fim de mostrar que
estas duas funções f + g e g+f são iguais, precisamos mostrar que elas têm o mesmo
domínio, o mesmo contradomínio e a mesma imagem. O domínio e o contradomínio
de f + g e g+ f são R (pela definição da soma). Assim resta demonstrar que f + g e
g+ f têm a mesma imagem, ou seja, precisamos mostrar que (f + g)(x) = (g+ f)(x),
para todo x ∈ R.
Agora pela definição, temos que
(f + g)(x) = f(x) + g(x) e (g + f)(x) = g(x) + f(x).
Agora observe que f(x) + g(x) = g(x) + f(x), pois f(x) e g(x) são as imagens das
funções f e g, logo são números reais, e lembre que vale a comutatividade da soma
de números reais. Então
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x).
Portanto (f + g)(x) = (g + f)(x), para todo x ∈ R, de onde concluímos que
f + g = g + f.
2) Vamos agora mostrar que (f + g) + h = f + (g+ h). Novamente, para mostrar
que estas duas funções (f + g) + h e f + (g+ h) são iguais, devemos mostrar que elas
63
têm o mesmo domínio, o mesmo contradomínio e a mesma imagem. O domínio e o
contradomínio de (f+g)+h e f+(g+h) são R (pela definição da soma). Assim resta
demonstrar que (f + g) + h e f + (g + h) têm a mesma imagem, ou seja, precisamos
mostrar que [(f + g) + h](x) = [f + (g + h)](x), para todo x ∈ R.
Agora pela definição, temos que
[(f + g) + h](x) = (f + g)(x) + h(x) = [f(x) + g(x)] + h(x),
enquanto que
[f + (g + h)](x) = f(x) + (g + h)(x) = f(x) + [g(x) + h(x)].
Agora observe que [f(x)+ g(x)]+h(x) = f(x)+ [g(x)+h(x)], pois f(x) e g(x) são as
imagens das funções f e g, logo são números reais, e vale a associatividade da soma
de números reais. Então
[(f + g) + h](x) = [f + (g + h)](x),
para todo x ∈ R. Portanto (f + g) + h = f + (g + h).
3) Desejamos mostrar que existe um vetor nulo 0 ∈ F , tal que
0 + f = f,
para toda f ∈ F . Se as funções 0 + f e f são iguais, então
(0 + f)(x) = f(x), para todo x ∈ R⇒
0(x) + f(x) = f(x), para todo x ∈ R⇒
0(x) = f(x)− f(x), para todo x ∈ R⇒
0(x) = 0, para todo x ∈ R.
Portanto existe vetor nulo 0 ∈ F , a saber a função nula 0 : R→ R, 0(x) = 0, para
todo x ∈ R.
4) Seja f ∈ F . Precisamos mostrar que existe o vetor oposto −f ∈ F , satisfazendo
f + (−f) = 0. Novamente, da igualdade de funções segue que
(f + (−f))(x) = 0(x), para todo x ∈ R⇒
f(x) + (−f)(x) = 0, para todo x ∈ R⇒
(−f)(x) = −f(x), para todo x ∈ R.
64 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Portanto existe vetor oposto, −f ∈ F , dada por (−f)(x) = −f(x).
5) Precisamos mostrar que
c(f + g) = cf + cg.
Para mostrar que as funções c(f+g) e cf+cg são iguais, precisamos mostrar que elas
têm o mesmo domínio, mesmo contradomínio e mesma imagem. Mas pela definição de
soma de funções e multiplicação de escalar por função, temos que ambas têm mesmo
domínio (R) e mesmo contradomínio (R). Assim resta mostrar que elas têm a mesma
imagem, ou seja, que
(c(f + g))(x) = (cf + cg)(x), para todo x ∈ R.
Pela definição de soma de funções e multiplicação de escalar por função segue que
(c(f + g))(x) = c(f + g)(x) = c[f(x) + g(x)], para todo x ∈ R.
Por outro lado
(cf + cg)(x) = (cf)(x) + (cg)(x) = cf(x) + cg(x), para todo x ∈ R.
Agora observemos que
c[f(x) + g(x)] = cf(x) + cg(x), para todo x ∈ R,
pois c, f(x), g(x) ∈ R e vale a distributiva da soma e multiplicação em R. Assim
(c(f + g))(x) = (c(f + g))(x), para todo x ∈ R,
e portanto
c(f + g) = cf + cg.
6) Devemos mostrar que
(c+ d)f = cf + df.
Para demonstrar que as funções (c + d)f e cf + df são iguais, precisamos mostrar
que elas têm o mesmo domínio, mesmo contradomínio e mesma imagem. Mas pela
definição de soma de funções e multiplicação de escalar por função, sabemos que
65
ambas têm mesmo domínio (R) e mesmo contradomínio (R). Assim resta mostrar
que elas têm a mesma imagem, ou seja, que
((c+ d)f)(x) = (cf + df)(x), para todo x ∈ R.
Pela definição de soma de funções e multiplicação de escalar por função segue que
((c+ d)f)(x) = (c+ d)f(x), para todo x ∈ R.
Por outro lado
(cf + df)(x) = (cf)(x) + (df)(x) = cf(x) + df(x), para todo x ∈ R.
Agora observemos que
(c+ d)f(x) = cf(x) + df(x), para todo x ∈ R,
pois c, d, f(x) ∈ R e vale a distributiva da soma e multiplicação em R. Assim
((c+ d)f)(x) = (cf + df)(x), para todo x ∈ R,
e portanto
(c+ d)f = cf + df.
7) Vamos mostrar agora que c(df) = (cd)f . Para demonstrar que as funções
c(df) e (cd)f são iguais, precisamos mostrar que elas têm o mesmo domínio, mesmocontradomínio e mesma imagem. Mas pela definição de soma de funções e multipli-
cação de escalar por função, sabemos que ambas têm mesmo domínio (R) e mesmo
contradomínio (R). Assim resta mostrar que elas têm a mesma imagem, isto é, que
(c(df))(x) = ((cd)f)(x), para todo x ∈ R.
Pela definição de soma de funções e multiplicação de escalar por função temos que
(c(df))(x) = c(df)(x) = c[df(x)], para todo x ∈ R.
Por outro lado
((cd)f)(x) = (cd)f(x), para todo x ∈ R.
66 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Notemos que
c[df(x)] = (cd)f(x), para todo x ∈ R,
uma vez que c, d, f(x) ∈ R e vale a associatividade da multiplicação em R. Então
(c(df))(x) = ((cd)f)(x), para todo x ∈ R,
e portanto
c(df) = (cd)f.
8) E por último devemos mostrar que 1f = f , para toda f ∈ F . Novamente
devemos mostrar uma igualdade de funções. Pelas mesmas razões dos itens anteriores,
estas funções têm mesmo domínio e contradomínio. Assim resta mostrar que
(1f)(x) = f(x), , para todo x ∈ R.
Mas, (1f)(x) = 1f(x) = f(x), para todo x ∈ R, já que 1, f(x) ∈ R e 1 é o elemento
neutro multiplicativo. Portanto 1f = f , para toda f ∈ F .
Portanto F com as operações soma de funções e multiplicação de escalar por
função é um espaço vetorial real.
Nos dois exemplos que seguem, abordaremos um importante espaço vetorial: o es-
paço dos números complexos. Veremos que conseguimos definir uma soma de números
complexos e uma multiplicação de complexo por escalares reais, com estas operações
C será um espaço vetorial real. Mas veremos também que podemos definir uma mul-
tiplicação de complexos por escalares complexos, o que garante uma estrutura de
espaço vetorial complexo em C.
Exemplo 3.0.7: Seja V = C = {a+ bi : a, b ∈ R} o conjunto dos números comple-
xos. Sejam z = a+ bi e w = c+ di ∈ C. Definimos
z + w = (a+ c) + (b+ d)i ∈ C.
Além disso, dado α ∈ R, definimos
αz = (αa) + (αb)i ∈ C.
67
Vamos agora demonstrar que as oito propriedades da definição de espaço vetorial
são verificadas para estas operações. De fato, sejam z = a+bi, w = c+di z1 = a1+b1i,
z2 = a2 + b2i e z3 = a3 + b3i ∈ C e sejam α, β ∈ R.
1) Como nos demais exemplos, começamos demonstrando que
z1 + z2 = z2 + z1.
Temos que
z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i)
= (a1 + a2) + (b1 + b2)i
= (a2 + a1) + (b2 + b1)i
= (a2 + b2i) + (a1 + b1i) = z2 + z1,
onde a terceira igualdade segue da comutatividade da soma de números reais.
2) Neste item, devemos mostrar que
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).
Agora
[z1 + z2] + z3 = [(a1 + b1i) + (a2 + b2i)] + (a3 + b3i)
= [(a1 + a2) + (b1 + b2)i] + (a3 + b3i)
= [(a1 + a2) + a3] + [(b1 + b2) + b3]i
= [a1 + (a2 + a3)] + [b1 + (b2 + b3)]i
= (a1 + b1i) + [(a2 + b2i) + (a3 + b3i)] = z1 + [z2 + z3)],
onde a quarta igualdade segue da associatividade da soma de números reais.
3) Agora precisamos mostrar que existe o vetor nulo 0 ∈ C, tal que
0 + z = z,
para todo z ∈ C. Suponha que 0 = x+ yi ∈ C, então da igualdade 0 + z = z temos
0 + z = z ⇒ (x+ yi) + (a+ bi) = a+ bi
⇒ (x+ a) + (y + b)i = a+ bi.
68 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Agora da igualdade de números complexos, segue que
{
x+ a = a
y + b = b
, de onde segue
que x = a− a = 0 e y = b− b = 0. Assim
0 = x+ yi = 0 + 0i ∈ C,
ou seja o vetor nulo é o número complexo nulo.
4) Seja z = a+ bi ∈ C. Queremos mostrar que existe um vetor oposto −z ∈ C tal
que
z + (−z) = 0.
Suponha que −z = x+ yi ∈ C. Agora
z + (−z) = 0 ⇒ (a+ bi) + (x+ yi) = 0 = 0 + 0i
⇒ (a+ x) + (b+ y)i = a+ bi.
Pela igualdade de números complexos, temos que
{
a+ x = 0
b+ y = 0
, de onde segue que
x = −a e y = −b. Dessa forma
−z = x+ yi = −a− bi ∈ C,
ou seja o vetor nulo é o número complexo chamado inverso aditivo ou elemento
oposto.
5) Desejamos mostrar que
α(z + w) = αz + αw.
α(z + w) = α[(a+ bi) + (c+ di)] = α[(a+ c) + (b+ d)i]
= α(a+ c) + α(b+ d)i = (αa+ αc) + (αb+ αd)i
= (αa+ αc) + (αbi+ αdi) = (αa+ αbi) + (αc+ αdi)
= α(a+ bi) + α(c+ di) = αz + αw.
Como desejávamos demonstrar. Observe que usamos multiplicação de escalar real
por número complexo e distributiva de números reais.
69
A demais três propriedades são deixadas para você praticar. Vamos trabalhar!?
Assim C com as operações soma de números complexos e multiplicação de escalar
real por número complexo é um espaço vetorial real.
Exemplo 3.0.8: Consideremos novamente V = C o conjunto dos números comple-
xos. Sejam z = a+ bi e w = c+ di ∈ C. Definimos
z + w = (a+ c) + (b+ d)i ∈ C.
Além disso, dado α = x+ yi ∈ C, definimos
αz = (x+ yi)(a+ bi) = (xa− yb) + (xb+ ya) ∈ C.
Observe que agora estamos multiplicando escalares complexos por números com-
plexos. Isso é possível pois em C conseguimos multiplicar números complexos.
Vamos agora demonstrar que as oito propriedades da definição de espaço vetorial
são verificadas para estas operações. De fato, sejam z = a + bi, w = c + di ∈ C e
sejam α = x+ yi, β = m+ ni ∈ C.
Observe que como a soma de números complexos é exatamente a mesma do exem-
plo anterior, as quatro primeiras propriedades da definição de espaço vetorial já foram
demonstradas no exemplo anterior. Assim, basta demonstrarmos as propriedades 5,
6, 7 e 8.
5) Queremos demonstrar que
α(z + w) = αz + αw.
Temos que
α(z + w) = (x+ yi)[(a+ bi) + (c+ di)] = (x+ yi)[(a+ c) + (b+ d)i]
= [x(a+ c)− y(b+ d)] + [x(b+ d) + y(a+ c)]i
= [xa+ xc− yb− yd] + [xb+ xd+ ya+ yc]i.
Usamos soma de números complexos (na segunda igualdade), multiplicação de com-
plexos (na terceira igualdade) e distributiva em R.
70 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Por outro lado
αz + αw = (x+ yi)(a+ bi) + (x+ yi)(c+ di)
= [(xa− yb) + (xb+ ya)i] + [(xc− yd) + (xd+ yc)i]
= [(xa− yb) + (xc− yd)] + [(xb+ ya) + (xd+ yc)]i.
Note que, na segunda igualdade, multiplicamos os números complexos e, na terceira
igualdade, somamos os números complexos. Agora observamos que as duas expressões
são iguais (basta associá-los). Portanto
α(z + w) = αz + αw.
6) Queremos mostrar que
(α + β)z = αz + βz.
Por um lado
(α + β)z = [(x+ yi) + (m+ ni)](a+ bi) = [(x+m) + (y + n)i](a+ bi)
= [(x+m)a− (y + n)b] + [(x+m)b+ (y + n)a]i
= [xa+ma− yb− nb] + [xb+mb+ ya+ na]i.
Primeiramente somamos números complexos (na segunda igualdade), após multipli-
camos os números complexos (na terceira igualdade) e usamos distributiva em R.
Enquanto que
αz + βz = (x+ yi)(a+ bi) + (m+ ni)(a+ bi)
= [(xa− yb) + (xb+ ya)i] + [(ma− nb) + (mb+ na)i]
= [(xa− yb) + (ma− nb)] + [(xb+ ya) + (mb+ na)]i.
Note que, na segunda igualdade, multiplicamos os números complexos e, na terceira
igualdade, somamos os números complexos. Agora observamos que as duas expressões
são iguais (basta associá-los). Portanto
(α + β)z = αz + βz.
71
7) Agora desejamos mostrar que
(αβ)z = α(βz).
Por um lado
(αβ)z = [(x+ yi)(m+ ni)](a+ bi) = [(xm− yn) + (xn+ ym)i](a+ bi)
= [(xm− yn)a− (xn+ ym)b] + [(xm− yn)b+ (xn+ ym)a]i
= [xma− yna− xnb− ymb] + [xmb− ynb+ xna+ yma]i.
Na segunda igualdade multiplicamos os números complexos α e β, na terceira igual-
dade também multiplicamos números complexos e usamos distributiva em R.
Enquanto que
α(βz) = (x+ yi)[(m+ ni)(a+ bi)]
= (x+ yi)[(ma− nb) + (mb+ na)i]
= [x(ma− nb)− y(mb+ na)] + [x(mb+ na) + y(ma− nb)]i
= [xma− xnb− ymb− yna] + [xmb+ xna+ yma− ynb]i.
Note que, na segunda igualdade, multiplicamos os números complexos, na terceira
igualdade, novamente multiplicamos os números complexos e por fim usamos a dis-
tributiva em R. Agora observamos que as duas expressões são iguais. Portanto
(αβ)z = α(βz).
8) Finalmente, resta mostrar que 1z = z.
Mas
1z = (1 + 0i)(a+ bi) = (1a− 0b) + (1b+ 0a)i = a+ bi = z.
Portanto C com a soma de números complexos e multiplicação de escalar complexo
por número complexo é um espaço vetorial complexo.
Exemplo 3.0.9: Considere os conjuntosV = Cn, V = Pn(C), V = Mm×n(C). Po-
demos definir nestes conjuntos multiplicações de escalares complexos por seus vetores,
e desta forma, estes são exemplos de espaços vetoriais complexos.
72 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Exemplo 3.0.10: Seja V = Z o conjunto dos números inteiros com soma de números
inteiros e multiplicação de escalar real por número inteiro. Este conjunto com estas
operações não é um espaço vetorial, pois dado c = 1
2
∈ R e v = 1 ∈ Z, temos que
cv = 1
2
1 = 1
2
não é um número inteiro. Assim cv /∈ Z.
Exemplo 3.0.11: Seja V = R2 e sejam u = [a, b] ∈ R2, v = [x, y] ∈ R2 e c ∈ R.
Defina
u+ v = [a+ x, b+ y],
ou seja a soma usual de vetores em R2. E por outro lado, defina a multiplicação de
escalar real c por vetor da seguinte forma
cv = [ca, 0].
V = R2 com estas operações não é um espaço vetorial, pois falha a propriedade
8. De fato, vamos fazer um contraexemplo. Considere v = [1, 1] ∈ R2, temos
1v = 1[1, 1] = [1 · 1, 0] = [1, 0] 6= [1, 1] = v.
Teorema 3.0.12: Seja V um espaço vetorial. Sejam v ∈ V e c um escalar.
a) 0v = 0;
b) c0 = 0;
c) (−1)v = −v;
d) Se cv = 0, então c = 0 ou v = 0.
3.1 Subespaços ou Subespaços Vetoriais
Definição 3.1.1: Seja V um espaço vetorial e sejaW um subconjunto de V ,W ⊆ V .
W é um subespaço vetorial de V se W é um espaço vetorial com os mesmos
escalares, a mesma adição e a mesma multiplicação por escalar que V .
Se W é um subespaço vetorial de V , podemos dizer simplesmente que W é um
subespaço de V .
3.1. SUBESPAÇOS OU SUBESPAÇOS VETORIAIS 73
Teorema 3.1.2: Definição Alternativa de Subespaço
Seja V um espaço vetorial e sejaW um subconjunto de V ,W ⊆ V . W é um subespaço
de V se, e somente se,
i) 0 ∈ W ;
ii) Se u, v ∈ W , então u+ v ∈ W ;
iii) Se v ∈ W e c é um escalar, então cv ∈ W .
Dessa forma, para verificarmos que um subconjunto de V é um subespaço, basta
verificarmos os três itens do Teorema (3.1.2). Veja que isto é mais fácil de fazer, do que
usarmos a definição de subespaço (3.1.1), uma vez que para verificarmos a definição,
precisamos mostrar que W é um espaço vetorial, ou seja, precisamos mostrar que as
operações de V são fechadas em W e ainda mostrar as oito propriedades da definição
de espaço vetorial.
Exemplo 3.1.3: Seja V = R2. Considere W = {[x, y] : y = 2x} ⊆ V . Vamos
mostrar que W é um subespaço de V . Observe que W é uma reta no plano que passa
pela origem.
x
f(x) y = 2x
0−1 1
−2
−1
1
2
Vamos demonstrar as três propriedades do Teorema (3.1.2).
i) Desejamos mostrar que 0 = [0, 0] ∈ W . Mas observe que 0 = [0, 0] = [0, 2 ·
0] ∈ W , pois a segunda coordenada dos elementos de W são o dobro da primeira
coordenada.
74 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
ii) Sejam u = [a, 2a], v = [b, 2b] ∈ W . Precisamos mostrar que u + v ∈ W . Mas
u+ v = [a, 2a] + [b, 2b] = [a+ b, 2a+ 2b] = [a+ b, 2(a+ b)] ∈ W , pois os elementos de
W são da forma [x, 2x], ou seja, a segunda coordenada do vetor é o dobro da primeira
coordenada.
iii) Sejam v = [b, 2b] ∈ W e c ∈ R. Gostaríamos de mostrar que cv ∈ W .
Agora cv = c[b, 2b] = [cb, c(2b)] = [cb, 2(cb)], pela associativa da multiplicação em R.
Observamos que cv = [cb, 2(cb)] ∈ W , pois a segunda coordenada do vetor cv é 2(cb),
ou seja, o dobro da primeira coordenada cb.
Portanto W é um subespaço de R2.
Exemplo 3.1.4: Seja V = R2. Considere W = {[x, y] : y = 2x + 1} ⊆ V . Neste
casoW não é um subespaço de V . Observe queW é uma reta no plano que não passa
pela origem.
Observe que 0 = [0, 0] 6= [0, 1] = [0, 2 · 0 + 1] ∈ W , pois os elementos de W são da
forma [x, 2x+1] (a segunda coordenada dos elementos de W é duas vezes a primeira
coordenada mais 1, o que não ocorre com o vetor nulo).
Como a primeira condição não é satisfeita, concluímos queW não é um subespaço
de R2.
Geometricamente é claro que 0 /∈ W , observe a figura
x
f(x) y = 2x+ 1
0−1 1
−2
−1
1
2
3
3.1. SUBESPAÇOS OU SUBESPAÇOS VETORIAIS 75
Exemplo 3.1.5: Seja V = R3. Considere W = {[x, y, z] : x + y + z = 0} ⊆ V .
Vamos mostrar que W é um subespaço de V . Observe que W é um plano, em R3,
que passa pela origem.
Figura
Vamos verificar as três propriedades do Teorema (3.1.2).
i) Desejamos mostrar que 0 = [0, 0, 0] ∈ W . Mas observe que 0 = [0, 0, 0], é tal
que a soma de suas coordenadas 0 + 0 + 0 é 0, satisfazendo a propriedade que define
os elementos de W . Portanto [0, 0, 0] ∈ W .
ii) Sejam u = [a, b, c], v = [x, y, z] ∈ W . Então a + b + c = 0 e x + y + z = 0.
Precisamos mostrar que u+v ∈ W . Mas u+v = [a, b, c]+[x, y, z] = [a+x, b+y, c+z]
e (a+x)+(b+y)+(c+z) = (a+b+c)+(x+y+z) = 0+0 = 0. Portanto u+v ∈ W .
iii) Sejam v = [a, b, c] ∈ W e α ∈ R. Então a+ b+ c = 0. Gostaríamos de mostrar
que αv ∈ W . Agora αv = α[a, b, c] = [αa, αb, αc] e αa + αb + αc = α(a + b + c) =
α · 0 = 0. Então αv ∈ W .
Portanto W é um subespaço de R3.
Exemplo 3.1.6: Seja V = M2(R) e seja W = {A ∈ V : det(A) = 1}. Vamos
investigar se W é um subespaço de V .
Inicialmente, precisamos verificar se 0 =
(
0 0
0 0
)
∈ W . Mas observe que
det(0) = det
(
0 0
0 0
)
= 0 6= 1, portanto 0 =
(
0 0
0 0
)
/∈ W . Assim W não é
um subespaço de V .
Exemplo 3.1.7: Seja V = M2(R) e seja W = {A ∈ V : det(A) = 0}. Vamos
investigar se W é um subespaço de V .
Inicialmente, observe que det(0) = det
(
0 0
0 0
)
= 0, portanto 0 =
(
0 0
0 0
)
∈
W .
Agora sejam A,B ∈ W . Então det(A) = 0 e det(B) = 0. Precisamos verificar se
A+B ∈ W , ou seja, se det(A+B) = 0. Mas em geral det(A+B) 6= det(A)+det(B).
Vamos então tentar encontrar um contraexemplo, que não satisfaça o item (ii). Tome
76 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
A =
(
1 1
0 0
)
e B =
(
0 0
1 −1
)
. Observe que A,B ∈ W , pois det(A) = 0 e
det(B) = 0. Mas A + B =
(
1 1
1 −1
)
/∈ W , pois det(A + B) = det
(
1 1
1 −1
)
=
−1− 1 = −2 6= 0.
Assim W não é um subespaço de V .
Exercício 3.1.8: Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços de V .
1. W =
{( a b
c d
)
: a = b = c = d
}
, V =M2(R);
2. W = {[x, y] : y = x2}, V = R2;
3. W =
{( a b
c d
)
: a+ b+ c = d
}
, V =M2(R);
4. W = {[x, y] : y = ex}, V = R2;
5. W = {a+ bx+ cx2 : a+ 2b+ 3c = 0}, V = P2(R),
6. W = {[x, y, z] : x+ 2y + 3z = 1}, V = R3;
7. W = {f ∈ F : f(0) = 0}, V = F ;
8. W =
{( a b
c d
)
: a ≥ 0
}
, V =M2(R);
9. W =
{( a b
c d
)
: det(A) = det(AT )
}
, V =M2(R);
10. W =
{( a b
c d
)
: det(AT ) = 0
}
, V =M2(R);
11. W = {a+ bi : a+ b = 1}, V = C;
12. W = {a+ bx+ cx2 : a+ c = b}, V = P2(R),
13. W = {a+ bi : a+ b = 0}, V = C;
14. W = {f ∈ F : f(−x) = f(x)}, V = F ;
3.2. CONJUNTOS GERADORES 77
3.2 Conjuntos Geradores
Introduziremos agora o importante conceito de conjuntos geradores. Neste texto
trabalhamos basicamente com espaços vetoriais de dimensão finita. Assim a ideia de
conjunto gerador é que ele é um subconjunto finito de vetores de um espaço vetorial,
a partir do qual é possível obter qualquer outro deste mesmo espaço vetorial (a partir
de uma combinação linear).
Definição 3.2.1: Seja V um espaço vetorial. Consideremos S = {v1, v2, ..., vn} ⊆
V . O conjunto gerado por v1, v2, ..., vn é o conjunto das combinações lineares de
v1, v2, ..., vn.
Denotamos o conjunto gerado por v1, v2, ..., vn por ger(v1, v2, ..., vn) = ger(S).
Assim
ger(v1, v2, ..., vn) = ger(S) = {c1v1+c2v2+· · ·+cnvn : ci são escalares,∀ i, 1 ≤ i ≤ n}.
Definição 3.2.2: Seja V um espaço vetorial. Consideremos S = {v1, v2, ..., vn} ⊆ V .
S é um conjunto de geradores de V se V = ger(S). Dizemos também que V é
gerado por S.
Teorema 3.2.3: Seja V um espaço vetorial. Consideremos S = {v1, v2, ..., vn} ⊆ V .
O conjunto ger(S) é um subespaço vetorial de V .
Seja V um espaço vetorial. Consideremos S = {v1, v2, ..., vn} ⊆ V. Pelo Teorema
anterior, ger(S) é um subespaço vetorial de V . Dessa forma constumamos chamar
ger(S) de subespaço gerado por S.
Convencionamos que se S = ∅, então ger(∅) = {0}, ou seja, o conjunto gerado
pelo conjunto vazio é o subespaço nulo.
Exemplo 3.2.4: Seja V = R2. Considere S = {[1, 0]}. Então
ger([1, 0]) = ger(S) = {c[1, 0] : c ∈ R} = {[c, 0] : c ∈ R} = {[x, 0] : x ∈ R}.
Ou seja, o subespaço gerado pelo vetor [1, 0] é o eixo x em R2. Observe que obtemos
a reta, ou seja, o eixo x, cuja direção é dada pelo vetor [1, 0].
78 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Exemplo 3.2.5: Seja V = R2. Considere S = {[1, 1]}. Então
ger(S) = ger([1, 1]) = {c[1, 1] : c ∈ R} = {[c, c] : c ∈ R} = {[x, x] : x ∈ R}.
Ou seja, o subespaço gerado pelo vetor [1, 1] é reta y = x em R2. Observe que obtemos
a reta cuja direção é dada pelo vetor [1, 1].
Exemplo 3.2.6: Seja V = R2. Considere S = {[1, 0], [0, 1]}. Então
ger(S) = ger([1, 0], [0, 1]) = {x[1, 0] + y[0, 1] : x, y ∈ R} = {[x, y] : x, y ∈ R} = R2.
Ou seja, o subespaço gerado pelos vetores [1, 0] e [0, 1] é todo R2. Assim R2 é gerado
por [1, 0] e [0, 1]. Isto significa que qualquer vetor de R2 pode ser escrito como uma
combinação linear dos vetores [1, 0] e [0, 1]. Ou seja,
[a, b] = [a, 0] + [0, b] = a[1, 0] + b[0, 1],
para qualquer a, b ∈ R.
Exemplo 3.2.7: Seja V = R2. Considere S = {[1, 0], [1, 1]}. Então
ger(S) = ger([1, 0], [1, 1]) = {x[1, 0]+y[1, 1] : x, y ∈ R} = {[x+y, y] : x, y ∈ R} = R2?
Para verificar a última igualdade, precisamos mostrar que dado [a, b] ∈ R2 qualquer,
[a, b] = [x+ y, y] = x[1, 0] + y[1, 1].
Ou seja, precisamos verificar que qualquer vetor [a, b] se escreve como combinação
linear de [1, 0] e [1, 1]. Agora de [a, b] = [x+ y, y], temos que{
x+ y = a
y = b
Daí y = b e x = a− y = a− b. Logo
[a, b] = (a− b)[1, 0] + b[1, 1].
Assim [a, b] é combinação linear dos vetores [1, 0] e [1, 1]. Portanto ger([1, 0], [1, 1]) =
R2.
3.2. CONJUNTOS GERADORES 79
Exemplo 3.2.8: Seja V = P2(R). Sejam p(x) = 1 + x + x2 e q(x) = 1 − x2 em
P2(R). Determine se r(x) = 3 + x− x2 ∈ ger(p(x), q(x)). A fim de verificarmos isto,
precisamos verificar se existem a, b ∈ R tal que
r(x) = ap(x) + bq(x).
Agora
3 + x− x2 = a(1 + x+ x2) + b(1− x2)⇒ 3 + x− x2 = (a+ b) + ax+ (a− b)x2
De onde segue que 
a+ b = 3
a = 1
a− b = −1
Se a = 1, então da primeira equação temos que b = 3 − 1 = 2. E lembre
que precisamos verificar se a terceira equação é satifeita com estes valores. Assim
a− b = 1− 2 = −1. Portanto o sistema tem solução e
3 + x− x2 = 1(1 + x+ x2) + 2(1− x2).
Exercício 3.2.9: Determine o subespaço gerado por
1) S = {[1, 0]} em R2;
2) S = {[1
2
, 0]} em R2;
3) S = {[1, 0, 0], [0, 1, 0]} em R3;
4) S = {[0, 1]} em R2;
5) S = {[0, 0, 0], [0, 1, 0]} em R3;
6) S = {[1, 1], [1,−1]} em R2;
7) S = {[1, 1], [1,−1], [−1, 1]} em R2;
8) S = {[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]} em R3;
9) S =
{( 1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
em M2(R);
10) S =
{( 1 0
0 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
em M2(R);
11) S =
{( 1 0
0 0
)
,
(
0 0
0 1
)
,
(
0 1
1 0
)}
em M2(R);
80 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
12) S = {1, i} em C;
13) S = {1 + i, 1− i} em C;
14) S = {1 + i, 1− i, 1} em C;
15) S = {1} em C;
16) S = {i} em C;
17) S = {1, 1 + x, 1 + x+ x2} em P2(R);
18) S = {1, x, x2} em P2(R);
Verifique se os seguintes vetores pertencem ou não aos subespaços gerados.
1) p(x) = 1 + 2x− 5x2, ger(1, x, x2);
2) p(x) = 1 + 2x− 5x2, ger(1, 1 + x, 1 + x+ x2);
3) p(x) = 1 + 2x− 5x2, ger(1 + x, 1 + x+ x2);
4) z = 1 + 2i, ger(1, 1− i);
5) z = 1 + 2i, ger(1 + 3i);
6) z = 2 + 6i, ger(1 + 3i);
7) v = [1, 2, 3], ger([1, 1, 0][1, 0, 0]);
8) A =
(
1 −2
4 2
)
, ger
(( 1 0
0 1
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
))
;
9) A =
(
3 −1
5 7
)
, ger
(( 1 2
−1 0
)
,
(
0 3
4 2
)
,
(
−4 −1
1 2
)
,
(
−2 1
−5 26
25
))
;
3.3 Dependência Linear
Definição 3.3.1: Seja V um espaço vetorial. Seja {v1, v2, ..., vn} um subconjunto
de vetores de V . Dizemos que {v1, v2, ..., vn} é linearmente dependente se existem
escalares c1, c2, ..., cn, não todos nulos, tais que
c1v1 + c2v2 + · · ·+ cnvn = 0.
Definição 3.3.2: Seja V um espaço vetorial. Seja {v1, v2, ..., vn} um subconjunto
de vetores de V . Dizemos que o conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} é linearmente
independente se
c1v1 + c2v2 + · · ·+ cnvn = 0
implica que c1 = 0, c2 = 0,..., cn = 0.
3.3. DEPENDÊNCIA LINEAR 81
Diremos simplesmente que {v1, v2, ..., vn} é ld se o subconjunto de vetores {v1, v2, ..., vn}
for linearmente dependente. E diremos que {v1, v2, ..., vn} é li se o subconjunto de
vetores for linearmente independente.
Exemplo 3.3.3: Seja V = R2. Considere em V o seguinte subconjunto de vetores
{[1, 0], [1, 1]}. A fim de sabermos se o subconjunto de vetores é li ou ld, vamos escrever
a combinação nula dos vetores, ou seja,
a[1, 0] + b[1, 1] = [0, 0].
Daí segue que [a, 0] + [b, b] = [0, 0], ou ainda, [a + b, b] = [0, 0]. De onde temos que
a+ b = 0 e b = 0. Então a = 0 e b = 0. Portanto {[1, 0], [1, 1]} é li.
Exemplo 3.3.4: Seja V = R2. Considere em V o seguinte subconjunto de vetores
{[1, 1], [2, 2]}. A fim de sabermos se o subconjunto de vetores é li ou ld, vamos escrever
a combinação nula dos vetores, ou seja,
a[1, 1] + b[2, 2] = [0, 0].
Daí segue que [a, a]+ [2b, 2b] = [0, 0], ou ainda, [a+2b, a+2b] = [0, 0]. De onde temos
que
{
a+ 2b = 0
a+ 2b = 0
. Então a = −2b. Assim, fazendo b = 1 6= 0, temos a = −2 6= 0.
Então existem escalares não nulos tal que
−2[1, 1] + 1[2, 2] = [0, 0].
Portanto {[1, 1], [2, 2]} é ld.
Observe que neste caso
−2[1, 1] + 1[2, 2] = [0, 0]⇒ 1[2, 2] = −2[1, 1].
Ou seja, podemos escrever o vetor [2, 2] como combinação linear do vetor [1, 1]. Isto
vale em geral conforme podemos observar no próximo Teorema.
Notemos ainda, que neste exemplo os vetores [1, 1] e [2, 2] têm a mesma direção,
ou ainda, são paralelos. Em geral, quaisquer vetores em Rn paralelos, são linearmente
dependentes.
82 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Teorema 3.3.5: Seja V um espaço vetorial. Consideremos um subconjunto de
vetores {v1, v2, ..., vn} de V . O conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} é ld se, e somente
se, pelo menos um dos vetores pode ser expresso como combinação linear dos demais.
Exemplo 3.3.6: Seja V =M2(R). Consideremos o seguinte subconjunto de matri-
zes
{( 1 1
0 0
)
,
(
0 0
−1 2
)
,
(
2 2
2 −4
)
,
(
0 0
0 1
)}
. Se escrevermos a combina-
ção linear nula destas matrizes temos
a
(
1 1
0 0
)
+ b
(
0 0
−1 2
)
+ c
(
2 2
2 −4
)
+ d
(
0 0
0 1
)
=
(
0 0
0 0
)
de onde temos(
a a
0 0
)
+
(
0 0
−b 2b
)
+
(
2c 2c
2c −4c
)
+
(
0 0
0 d
)
=
(
0 0
0 0
)
.
Logo (
a+ 2c a+ 2c
−b+ 2c 2b− 4c+ d
)
=
(
0 0
0 0
)
.
De onde segue que 
a+ 2c = 0
a+ 2c = 0
−b+ 2c = 0
2b− 4c+ d = 0
Daí a = −2c, b = 2c e d = 4c − 2b = 4c − 2(2c) = 0. Assim fazendo c = 1 6= 0,
a = −2 6= 0, b = 2 6= 0 temos
−2
(
1 1
0 0
)
+ 2
(
0 0
−1 2
)
+ 1
(
2 2
2 −4
)
+ 0
(
0 0
0 1
)
=
(
0 0
0 0
)
.
Portanto observe que(
2 2
2 −4
)
= −2
(
1 1
0 0
)
+ 2
(
0 0
−1 2
)
+ 0
(
0 0
0 1
)
.
Mas vale a pena ressaltar que a matriz
(
0 0
0 1
)
não se escreve como combinação
linear das três demais. De fato, suponha que(
0 0
0 1
)
= a
(
1 1
0 0
)
+ b
(
0 0
−1 2
)
+ c
(
2 2
2 −4
)
.
3.3. DEPENDÊNCIA LINEAR 83
Daí (
0 0
0 1
)
=
(
a a
0 0
)
+
(
0 0
−b 2b
)
+
(
2c 2c
2c −4c
)
.Somando as matrizes à esquerda(
0 0
0 1
)
=
(
a+ 2c a+ 2c
−b+ 2c 2b− 4c
)
.
Igualando as matrizes 
a+ 2c = 0
a+ 2c = 0
−b+ 2c = 0
2b− 4c = 1
.
Observe que, das equações 3 e 4, temos 0 = −b + 2c = −1
2
(2b − 4c) = −1
2
(1) = −1
2
,
mas isto é um absurdo, portanto o sistema não tem solução, ou seja, a matriz não se
escreve como uma combinação linear das demais.
Assim atenção! Observe que pelo menos um vetor do subconjunto se escreve
como uma combinação linear dos demais, se o conjunto de vetores é ld. Mas isto não
significa que todos serão expressos como combinações lineares dos demais.
Convencionaremos que o conjunto vazio é li. (Isto pode ser demonstrado, mas não
é nosso objetivo no momento.)
Exemplo 3.3.7: Vamos agora demonstrar que o subconjunto {1+x+x2, 2−x, 3+
2x2} de P2(R) é um subsconjunto li. De fato, consider a seguinte combinação linear
nula
a(1 + x+ x2) + b(2− x) + c(3 + 2x2) = 0 + 0x+ 0x2.
Disto segue que
a+ ax+ ax2 + 2b− bx+ 3c+ 2cx2 = 0 + 0x+ 0x2.
Então
(a+ 2b+ 3c) + (a− b)x+ (a+ 2c)x2 = 0 + 0x+ 0x2.
84 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Pela igualdade de polinômios obtemos o seguinte sistema de equações lineares
a+ 2b+ 3c = 0
a− b = 0
a+ 2c = 0
.
Daí b = a e a = −2c. Substituindo na primeira equação obtemos −2c− 4c+ 3c = 0.
Assim −3c = 0. Portanto c = 0. De onde decorre que a = 0 e b = 0. Portanto o
subconjunto é li.
Exemplo 3.3.8: O subconjunto {sen(x), cos(x)} de F é li.
Exercício 3.3.9: Decida se os seguintes subconjuntos são li ou lds.
1. {[1, 1], [1,−1]} de R2; R:li
2. {1 + 3i, 2− i, 4i} de C; R:ld
3. {[1, 1,−2], [−1,−3, 0], [5,−7,−1]} de R3; R:li
4. {1, sen(x), cos(x)} de F ; R:li
5. {[1, 1,−2], [−1,−3, 0], [5,−7,−1], [1, 0, 0]} de R3; R:ld
6. {1, 1 + x, 1 + x+ x2} de P2(R); R:li
7.
{( 1 0
0 0
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
1 1
1 0
)
,
(
1 1
1 1
)}
de M2(R); R:li
8. {1 + i, 1− i} de C; R:li
9. {1, 1 + x, 1 + x+ x2, x2} de P2(R); R:ld
10. {1, sen2(x), cos2(x)} de F ; R:ld
11.
{( 0 0
0 0
)}
em M2(R); R:ld
3.4. BASE E DIMENSÃO 85
3.4 Base e Dimensão
Definição 3.4.1: Seja V um espaço vetorial. Consideremos B um subconjunto de
V . B é uma base de V se B gera V e B é li.
À exceção do espaço vetorial F , das funções da reta na reta, trabalharemos neste
texto, apenas com espaços vetoriais que têm finitos elementos em suas bases.
Teorema 3.4.2: Todo espaço vetorial V tem uma base.
Teorema 3.4.3: Seja V um espaço vetorial que tem uma base com n elementos.
Então toda base para V tem exatamente n vetores.
Definição 3.4.4: Seja V um espaço vetorial. A dimensão de V , denotada dim(V ),
é o número de vetores em uma base para V . Dizemos que V tem dimensão infinita,
dim(V ) =∞, se não existe base de V com um número finito de elementos.
Exemplo 3.4.5: Seja V = R. Vamos mostrar que B = {1} é uma base de R. A
fim de mostrar isto, precisamos mostrar que B é um conjunto li e que B gera R.
Consideramos a combinação linear nula do vetor 1, ou seja,
c1 = 0.
Como c1 = c, temos que c = c1 = 0. Ou seja, B é li. Por outro lado, precisamos
mostrar que B gera R, ou seja, precisamos mostrar que todo número real x pode
ser escrito como combinação linear do número real 1. Podemos reformular isto na
seguinte pergunta: existe um número real c tal que
x = c1?
A resposta é sim, existe, tome c = x, note que x = x1. Logo qualquer x ∈ R é escrito
como uma combinação linear do vetor 1. Portanto B gera R.
Assim temos que B é uma base de R. B = {1} é chamada a base canônica de
R.
Pelo definição de dimensão e pelo Teorema anterior temos que dimR = 1. (Observe
que o conjunto B contém 1 vetor).
86 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Exercício 3.4.6: 1. Mostre que B = {2} é uma base de R.
2. Mostre que B = {−1} é uma base de R.
3. B = {0} é uma base de R?
4. B = {1, 2} é uma base de R?
5. B = {0,−1} é uma base de R?
Exemplo 3.4.7: Considere o espaço vetorial V = R2. Vamos mostrar que o con-
junto
B = {[1, 0], [0, 1]}
é uma base de R2.
Primeiramente vamos mostrar que B = {[1, 0], [0, 1]} é li. Para isto, escreveremos
a combinação linear nula dos vetores do conjunto
a[1, 0] + b[0, 1] = [0, 0].
Desta equação segue que [a, 0] + [0, b] = [0, 0] ⇒ [a, b] = [0, 0]. Igualando os dois
vetores, temos que a = 0 e b = 0. Isto significa que B é li.
Resta mostrar agora que B gera R2. Seja v = [x, y] ∈ R2 arbitrário. Existem
escalares a, b ∈ R tais que
[x, y] = a[1, 0] + b[0, 1]?
Em outras palavras, estamos perguntando se um vetor [x, y] qualquer de R2 se escreve
como uma combinação linear dos vetores [1, 0] e [0, 1]. Mas [x, y] = a[1, 0] + b[0, 1]⇒
[x, y] = [a, 0] + [0, b]⇒ [x, y] = [a, b]. Agora da igualdade de vetores, segue que a = x
e b = y. Então existem escalares, a saber a = x ∈ R e b = y ∈ R tais que
[x, y] = x[1, 0] + y[0, 1].
Assim B gera R2.
Portanto B é uma base de R2, chamada a base canônica de R2.
Como B tem dois vetores, segue que dimR2 = 2.
3.4. BASE E DIMENSÃO 87
Exercício 3.4.8: 1. Mostre que B = {[1, 1], [1,−1]} é uma base de R2.
2. B = {[1, 2], [2, 1]} é uma base de R2?
3. B = {[0, 0]} é uma base de R2?
4. B = {[1, 0]} é uma base de R2?
5. B = {[1, 0], [0, 1], [0, 0]} é uma base de R2?
6. B = {[1, 0], [0, 1], [1,−2]} é uma base de R2?
Exemplo 3.4.9: Considere o espaço vetorial V = R3. Vamos mostrar que o con-
junto
B = {[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]}
é uma base de R3.
Primeiramente vamos mostrar que B = {[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]} é li. Para isto,
escreveremos a combinação linear nula dos vetores do conjunto
a[1, 0, 0] + b[0, 1, 0] + c[0, 0, 1] = [0, 0, 0].
Desta equação segue que [a, 0, 0] + [0, b, 0] + [0, 0, c] = [0, 0, 0] ⇒ [a, b, c] = [0, 0, 0].
Igualando os dois vetores, temos que a = 0, b = 0 e c = 0. Isto significa que B é li.
Resta mostrar agora que B gera R3. Seja v = [x, y, z] ∈ R3 arbitrário. Existem
escalares a, b, c ∈ R tais que
[x, y, z] = a[1, 0, 0] + b[0, 1, 0] + c[0, 0, 1]?
Em outras palavras, estamos perguntando se um vetor [x, y, z] qualquer de R3 se
escreve como uma combinação linear dos vetores [1, 0, 0], [0, 1, 0] e [0, 0, 1]. Mas
[x, y, z] = a[1, 0, 0] + b[0, 1, 0] + c[0, 0, 1] ⇒ [x, y, z] = [a, 0, 0] + [0, b, 0] + [0, 0, c] ⇒
[x, y, z] = [a, b, c]. Agora da igualdade de vetores, segue que a = x, b = y e c = z.
Então existem escalares, a saber a = x ∈ R, b = y ∈ R e c = z ∈ R tais que
[x, y, z] = x[1, 0, 0] + y[0, 1, 0] + z[0, 0, 1].
88 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Assim B gera R3.
Portanto B é uma base de R3, chamada a base canônica de R3.
Como B tem três vetores, segue que dimR3 = 3.
Exercício 3.4.10: 1. Mostre que B = {[1, 1, 1], [1,−1, 1], [1,−1,−1]} é uma base
de R3.
2. B = {[1, 1, 0], [0, 1, 1]} é uma base de R3?
3. B = {[0, 0, 0]} é uma base de R3?
4. B = {[1, 0, 0]} é uma base de R3?
5. B = {[1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1]} é uma base de R3?
6. B = {[1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1], [1, 0,−2]} é uma base de R3?
A base canônica de Rn é B = {[1, 0, ..., 0], [0, 1, ..., 0], ..., [0, 0, ..., 1]}, com n
vetores tendo 1 em uma entrada e 0 nas demais. Assim dimRn = n.
Exemplo 3.4.11: Considere V =M2(R). Vamos mostrar que
B =
{(
1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
é uma base de V .
Vamos mostrar primeiramente que B é um conjunto li. Para isto escrevemos a
seguinte combinação linear nula
a
(
1 0
0 0
)
+ b
(
0 1
0 0
)
+ c
(
0 0
1 0
)
+ d
(
0 0
0 1
)
=
(
0 0
0 0
)
.
Multiplicando os escalares pelas matrizes temos(
a 0
0 0
)
+
(
0 b
0 0
)
+
(
0 0
c 0
)
+
(
0 0
0 d
)
=
(
0 0
0 0
)
.
Somando as matrizes do lado esquerdo obtemos(
a b
c d
)
=
(
0 0
0 0
)
.
3.4. BASE E DIMENSÃO 89Igualando as matrizes acima, temos que

a = 0
b = 0
c = 0
d = 0
e portanto B é li.
Resta mostrar agora que B gera V . Para isto precisamos mostrar que qualquer
matriz quadrada de ordem 2 se escreve como uma combinação linear das matrizes de
B. Ou seja, precisamos mostrar que existem escalares a, b, c e d tais que
a
(
1 0
0 0
)
+ b
(
0 1
0 0
)
+ c
(
0 0
1 0
)
+ d
(
0 0
0 1
)
=
(
x y
z w
)
.
Novamente, multiplicando as matrizes do lado esquerdo pelos escalares e depois as
somando, temos que (
a b
c d
)
=
(
x y
z w
)
.
Daí segue que

a = x
b = y
c = z
d = w
. Assim, note que existem os escalares a fim de que a matriz
(
x y
z w
)
se exprima como uma combinação linear das matrizes de B. Portanto B
gera M2(R).
Dessa forma podemos concluir que B é uma base deM2(R), chamada base canô-
nica de M2(R).
Como B contém 4 vetores, dimM2(R) = 4.
Exemplo 3.4.12: Em geral a dimensão deMm×n(R) émn. E uma base deste espaço
vetorial é constituída por matrizes com 1 em uma das entradas e 0 nas demais. Ou
seja, dimM3×2(R) = 6 e uma base de M2×3(R) é
B =
{ 1 00 0
0 0
 ,
 0 10 0
0 0
 ,
 0 01 0
0 0
 ,
 0 00 1
0 0
 ,
 0 00 0
1 0
 ,
 0 00 0
0 1
}.
Vamos demonstrar!?
90 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Exercício 3.4.13: 1. Mostre que B =
{(
1 1
1 1
)
,
(
1 1
1 0
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
1 0
0 0
)}
é uma base de M2(R).
2. B =
{(
1 2
−1 0
)
,
(
−1 1
6 5
)
,
(
−3 4
1 2
)
,
(
7 1
2
−3 1
)}
é uma base de
M2(R)?
3. B =
{(
1 4
−2 5
)
,
(
−7 1
−3 −1
)
,
(
0 2
−1 4
)
,
(
7 −3
2 −5
)
,
(
0 −1
−3 0
)}
é
uma base de M2(R)?
4. B =
{(
1 2
−2 1
)
,
(
−2 1
1 2
)
,
(
0 1
−1 3
)}
é uma base de M2(R)?
Exemplo 3.4.14: Considere V = P2(R). Vamos mostrar que B = {1, 1+x, 1+x+
x2} é uma base de V = P2(R).
Inicialmente, vamos mostrar que B = {1, 1+x, 1+x+x2} é um conjunto li. Para
isto, começamos escrevendo a combinação linear nula dos vetores de B
a1 + b(1 + x) + c(1 + x+ x2) = 0 + 0x+ 0x2.
Agora a1+b(1+x)+c(1+x+x2) = 0+0x+0x2 ⇒ (a+b+c)+(b+c)x+cx2 = 0+0x+0x2.
Pela igualdade de polinômios obtemos o seguinte sistema
a+ b+ c = 0
b+ c = 0
c = 0
.
Observe que fazendo uma substituição de baixo para cima, temos que c = 0, de onde
segue que b = −c = −0 = 0 e por consequência a = −b − c = −0 − 0 = 0. Desta
forma, a = b = c = 0, de onde concluímos que B é li.
Resta mostrar então que B gera V = P2(R). A fim de mostrar isto, vamos
considerar um polinômio p(x) = a + bx + cx2 qualquer em V = P2(R). Precisamos
verificar se p(x) pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores de B. Ou
seja, precisamos investigar se existem escalares reais α, β e γ tais que
a+ bx+ cx2 = α1 + β(1 + x) + γ(1 + x+ x2).
3.4. BASE E DIMENSÃO 91
Somando os polinômios do lado direito temos
a+ bx+ cx2 = (α + β + γ) + (β + γ)x+ γ(x2).
Agora da igualdade de polinômios segue que
α + β + γ = a
β + γ = b
γ = c
.
Da terceira equação segue imediatamente que γ = c. Substituindo este valor na
segunda equação no dá β = b − γ = b − c. Finalmente substituindo estes valores na
primeira equação nos resulta α = a− (β + γ) = a− b. Desta forma temos que
a+ bx+ cx2 = (a− b)1 + (b− c)(1 + x) + (c)(1 + x+ x2).
Portanto V = P2(R).
Portanto B é uma base de V = P2(R). Assim dimP2(R) = 3, uma vez que temos
três polinômios no conjunto B.
A base canônica de P2(R) é {1, x, x2}.
Exercício 3.4.15: 1. Mostre que {1, x, x2} é uma base de P2(R).
2. Decida se {1 + x− x2, 1− x+ x2,−1− x− x2} é uma base de P2(R).
3. Decida se {1 + x+ x2} é uma base de P2(R).
4. Decida se {1, x, x2, x3} é uma base de P2(R).
Exemplo 3.4.16: Considere V = C como um espaço vetorial real. Vamos mostrar
que neste caso
B = {1, i}
é uma base de C, chamada a base canônica de C.
Para verificar que B é li, escrevemos a combinação linear nula dos elementos de
B.
a1 + bi = 0 + 0i, a, b ∈ R.
92 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Note que os escalares que tomamos são números reais, pois estamos considerando
C como um espaço vetorial real. Da igualdade de números complexos temos que{
a = 0
b = 0
portanto B é li.
Seja x + yi ∈ C qualquer. Existem a, b ∈ R (novamente observe que os escalares
são reais) tais que
x+ yi = a1 + bi?
Novamente da igualdade de números complexos segue que x = a e y = b, ou seja,
x+ yi = x1 + yi.
Então B gera C.
Portanto B é base de C (C considerado como um espaço vetorial real). Portanto
dimRC = 2. Note que indicamos R na dimensão de C, uma vez que haverá diferença
entre a dimensão de C como um espaço vetorial real e como um espaço vetorial
complexo.
Exemplo 3.4.17: Considere V = C como um espaço vetorial complexo. Vamos
mostrar que neste caso
B = {1}
é uma base de C, chamada a base canônica de C.
Para verificar que B é li, escrevemos a combinação linear nula dos elementos de
B.
z1 = 0 + 0i, z ∈ C.
Note que agora os escalares que tomamos são números complexos, pois estamos con-
siderando C como um espaço vetorial complexo. Como z ∈ C, temos que z = a + bi
e z1 = 0 + 0i ⇒ (a + bi)1 = 0 + 0i ⇒ a + bi = 0 + 0i de onde segue que
{
a = 0
b = 0
portanto z = 0 + 0i = 0, de onde temos que B é li.
Seja x + yi ∈ C qualquer. Existem z = a + bi ∈ C (observe que os escalares são
complexos) tais que
x+ yi = z1 = (a+ bi)1 = a+ bi?
3.4. BASE E DIMENSÃO 93
Novamente da igualdade de números complexos segue que x = a e y = b, ou seja,
x+ yi = (x+ yi)1.
Então B gera C.
Portanto B é base de C (C considerado como um espaço vetorial complexo). Por-
tanto dimCC = 1. Note que indicamos C na dimensão de C, uma vez que há diferença
entre a dimensão de C como um espaço vetorial real e como um espaço vetorial com-
plexo.
Exercício 3.4.18: 1. B = {1 + i, 1 − i} é base de C como um espaço vetorial
real?
2. B = {1 + i, 1− i} é base de C como um espaço vetorial complexo?
3. B = {i} é base de C como um espaço vetorial real?
4. B = {i} é base de C como um espaço vetorial complexo?
5. B = {1, i, 1 + i} é base de C como um espaço vetorial real?
6. B = {1, i, 1 + i} é base de C como um espaço vetorial complexo?
Como todo subespaço vetorial é também um espaço vetorial (definição (3.1.1)),
segue que cada subespaço vetorial tem uma base. Pretendemos agora aprender a
determinar uma base de subespaços vetoriais.
Exemplo 3.4.19: Encontre uma base para o subespaço W = {[x, 2x] : x ∈ R}.
A fim de determinar uma base para W , consideremos um elemento qualquer em
W . Assim, seja [x, 2x] ∈ W , x ∈ R. Note que podemos escrever
[x, 2x] = x[1, 2], x ∈ R.
Assim observe que todo elemento de W pode ser escrito como uma combinação linear
do vetor [1, 2]. Desta forma, todo vetor deW pertence ao subespaço gerado por [1, 2].
Portanto
W ⊆ ger([1, 2]).
94 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Por outro lado, como [1, 2] ∈ W e W é um subespaço vetorial, segue que
ger([1, 2]) ⊆ W.
Portanto
W = ger([1, 2]).
Dessa forma [1, 2] gera W . Assim note que se mostrarmos que [1, 2] é li, termos
que B = {[1, 2]} é uma base de W . Mas um vetor não nulo sempre é li. Portanto
B = {[1, 2]} é uma base de W . E assim sabemos também que dimW = 1.
Exemplo 3.4.20: Encontre uma base para o subespaço W = {[x, y, z] ∈ R3 : z =
2x− y}.
A fim de determinar uma base para W , consideremos um elemento qualquer em
W . Assim, seja [x, y, z] ∈ W , logo z = 2x− y. Note que podemos escrever
[x, y, z] = [x, y, 2x− y] = [x, 0, 2x] + [0, y,−y] = x[1, 0, 2] + y[0, 1,−1].
Assim observe que todo elemento de W pode ser escrito como uma combinação linear
dos vetores [1, 0, 2] e [0, 1,−1]. Desta forma, todo vetorde W pertence ao subespaço
gerado por [1, 0, 2] e [0, 1,−1]. Portanto
W ⊆ ger([1, 0, 2], [0, 1,−1]).
Por outro lado, como [1, 0, 2] e [0, 1,−1] ∈ W e W é um subespaço vetorial, segue que
ger([1, 0, 2], [0, 1,−1]) ⊆ W.
Portanto
W = ger([1, 0, 2], [0, 1,−1]).
Dessa forma [1, 0, 2] e [0, 1,−1] geraW . Assim note que se mostrarmos que [1, 0, 2]
e [0, 1,−1] são lis, termos que B = {[1, 0, 2], [0, 1,−1]} é uma base deW . Assim vamos
escrever a combinação linear nula com os vetores
a[1, 0, 2] + b[0, 1,−1] = [0, 0, 0].
3.4. BASE E DIMENSÃO 95
Agora a[1, 0, 2]+b[0, 1,−1] = [0, 0, 0]⇒ [a, 0, 2a]+[0, b,−b] = [0, 0, 0]⇒ [a, b, 2a−b] =
[0, 0, 0]⇒ a = 0, b = 0, 2a− b = 0. Então B é li.
Portanto B = {[1, 0, 2], [0, 1,−1]} é uma base de W . E assim sabemos também
que dimW = 2.
Exercício 3.4.21: Encontre uma base para os seguintes subespaços de Rn.
1. W = {[x, x] : x ∈ R};
2. W = {[x, 3x] : x ∈ R};
3. W = {[x, y] ∈ R2 : x+ y = 0};
4. W = {[x, y, x+ y] : x, y ∈ R};
5. W = {[x, y, 2x− 3y] : x, y ∈ R};
6. W = {[x, y, z] ∈ R3 : x+ y + z = 0};
7. W = {[x, y, z, w] ∈ R4 : x+ y = 0 e z + w = 0};
8. W = {[x, y, z, w, t] ∈ R5 : x+ y = 0, z + w = 0 e t = y};
Exemplo 3.4.22: Encontre uma base para o subespaçoW = {a+bx+cx2 ∈ P2(R) :
a+ b+ c = 0}.
Embora que neste exemplo estejamos trabalhando com polinômios, ao invés de
vetores em R2, como no exemplo anterior, o procedimento de encontrar uma base
para W será o mesmo. Ou seja, consideramos um polinômio qualquer em W . Assim,
seja p(x) = a + bx + cx2 ∈ W , logo a + b + c = 0, ou seja, c = −a− b, por exemplo.
Assim podemos reescrever p(x) como
p(x) = a+ bx+ (−a− b)x2 ∈ W.
Daí
a+ bx+ (−a− b)x2 = (a− ax2) + (bx− bx2) = a(1− x2) + b(x− x2).
96 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Ou seja, mostramos que todo polinômio deW se escreve como uma combinação linear
dos polinômios 1− x2 e x− x2. Portanto
W = ger(1− x2, x− x2).
Assim, B = {1− x2, x− x2} é uma base de W , se mostrarmos que B é li.
A fim de mostrarmos isto, consideremos a seguinte combinação linear nula.
a(1− x2) + b(x− x2) = 0 + 0x+ 0x2.
Mas a(1− x2) + b(x− x2) = 0+ 0x+0x2 ⇒ (a− ax2) + (bx− bx2) = 0+ 0x+0x2 ⇒
a + bx + (−a − b)x2 = 0 + 0x + 0x2 ⇒ a = 0, b = 0,−a − b = 0. Logo B é li. E
portanto B é uma base de W . Logo dimW = 2.
Exercício 3.4.23: Encontre uma base para os seguintes subespaços de Pn(R).
1. W = {a+ bx ∈ P1(R) : a+ b = 0};
2. W = {a+ bx+ c2 ∈ P2(R) : c = a+ b};
3. W = {a+ bx+ c2 ∈ P2(R) : a+ 2b+ 3c = 0};
4. W = {a+ bx+ c2 + dx3 ∈ P3(R) : a+ 2b+ 3c = 0}.
Exemplo 3.4.24: Encontre uma base para o subespaço
W =
{(
a b
a+ b a− b
)
: a, b ∈ R
}
.
Consideramos uma matriz qualquer de W . Assim seja(
a b
a+ b a− b
)
=
(
a 0
a a
)
+
(
0 b
b b
)
= a
(
1 0
1 1
)
+ b
(
0 1
1 1
)
Portanto W = ger
((
1 0
1 1
)
,
(
0 1
1 1
))
.
A fim de mostrar que B =
{(
1 0
1 1
)
,
(
0 1
1 1
)}
é uma base deW , precisamos
mostrar que B é li.
3.5. COORDENADAS 97
Dessa forma, vamos escrever a combinação linear nula
a
(
1 0
1 1
)
+ b
(
0 1
1 1
)
=
(
0 0
0 0
)
.
Disso segue que (
a 0
a a
)
+
(
0 b
b b
)
=
(
0 0
0 0
)
.
Somando as matrizes temos(
a b
a+ b a+ b
)
=
(
0 0
0 0
)
.
Igualando as matrizes obtemos a = 0, b = 0, a+ b = 0, a+ b = 0. Portanto B é li.
Assim concluímos que B é uma base de W e assim, dimW = 2.
Exercício 3.4.25: Encontre uma base para os seguintes subespaços de Mm×n(R).
1. W =
{(
a 0
0 b
)
: a, b ∈ R
}
;(conjunto das matrizes diagonais de ordem 2)
2. W =
{(
a b
b c
)
: a, b, c ∈ R
}
;(conjunto das matrizes simétricas de ordem 2)
3. W =
{(
0 a
−a 0
)
: a ∈ R
}
;(conjunto das matrizes antissimétricas de ordem
2)
4. W =
{(
a 0
0 a
)
: a ∈ R
}
;(conjunto das matrizes escalares de ordem 2)
5. W =
{(
a −b
a− b b
)
: a, b ∈ R
}
.
3.5 Coordenadas
Vamos agora introduzir o importante conceito de coordenadas de um vetor, em relação
à uma base. Este conceito é muito relevante, pois em certas situações é importante
conhecer as coordenadas em uma base particular.
98 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Teorema 3.5.1: Seja V um espaço vetorial. Seja B uma base de V . Considere
v ∈ V . Existe uma única maneira de escrever v como uma combinação linear de
vetores da base B.
Definição 3.5.2: Seja V um espaço vetorial e seja B = {v1, v2, ..., vn} uma base
de V . Considere v ∈ V , v = c1v1 + c2v2 + · · · + cnvn. Então c1, c2, ..., cn são as
coordenadas de v relativas à base B e
[v]B =

c1
c2
.
.
.
cn

Exemplo 3.5.3: Considere o vetor v = [5, 1] ∈ R2. Então sabemos que 5 e 1 são as
coordenadas do vetor v. Mas observe que estas são as coordenadas de v em relação à
base canônica B = {[1, 0], [0, 1]} de R2. De fato, pois
[5, 1] = [5, 0] + [0, 1] = 5[1, 0] + 1[0, 1].
Assim observe que
[[5, 1]]B =
[
5
1
]
.
Então as coordenadas de um vetor, são as coordenadas deste vetor em relação à base
canônica. Em outras palavras, são os coeficientes de v, na combinação linear de v em
relação à base canônica.
x
y
0 1 2 3 4 5
1
2
Agora, quais são as coordenadas de v = [5, 1] em relação à base C = {[1, 1], [1,−1]}.
A fim de determinarmos isto, escrevemos
[5, 1] = a[1, 1] + b[1,−1].
3.5. COORDENADAS 99
Assim [5, 1] = [a, a] + [b,−b] = [a+ b, a− b]. Logo{
a+ b = 5
a− b = 1 .
Resolvendo o sistema encontramos a = 3 e b = 2.
Dessa forma
[5, 1] = 3[1, 1] + 2[1,−1].
Portanto [[5, 1]]C =
[
3
2
]
.
Geometricamente temos
x
y
0 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
Exercício 3.5.4: Encontre as coordenadas dos vetores nas seguintes bases.
1. v = [3,−6], B = {[1, 1], [1, 2]}
2. v = [3,−6], B = {[1,−1], [−1, 2]}
3. v = [1,−2, 3], B = {[1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1]}
4. v = [1,−2, 3], B = {[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]}
5. p(x) = 1 + 4x− x2, B = {1, 1 + x, 1 + x+ x2}
100 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
6. p(x) = 1 + 4x− x2, B = {1, 1− x, 1− x− x2}
7. p(x) = 1 + 4x− x2, B = {1, x, x2}
8. z = 1 + 5i, B = {1, i}
9. z = 1 + 5i, B = {1, 1 + i}
10. z = 1 + 5i, B = {1 + i, 1− i}
11. A =
(
1 3
5 −4
)
, B =
{( 1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
12. A =
(
1 3
5 −4
)
, B =
{( 1 0
0 0
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
1 1
1 0
)
,
(
1 1
1 1
)}
Capítulo 4
Transformações Lineares
4.1 Transformações Lineares
Agora vamos introduzir a importante noção de funções entre espaços vetoriais. Como
estas funções lidam com as operações de soma e multiplicação de escalar por vetor
destes conjuntos.
Definição 4.1.1: Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T : V → W
satisfazendo
i) T (u+ v) = T (u) + T (v);
ii) T (cv) = cT (v),
para quaisquer u, v ∈ V e para qualquer escalar c, é chamada uma transformação
linear.
Exemplo 4.1.2: Vamos verificar que T : R → R dada por T (x) = 2x é uma
transformação linear.
De fato, para demonstrarmos isto, precisamos verificar as condições (i) e (ii) são
satisfeitas para T .
Sejam x, y ∈ R. Então T (x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y, pela distributiva em R.
Por outro lado T (x) + T (y) = 2x+ 2y.
Portanto T (x+ y) = 2x+ 2y = T (x) + T (y).
Para verificar (ii), consideremos um vetor x ∈ R e um escalar α ∈ R. Então
101
102 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
T (αx) = 2(αx), enquanto que αT (x) = α(2x). Agora note que 2(αx) = α(2x), pois
vale a associatividade da multiplicação de números reais. Portanto T (αx) = αT (x).
Dessa forma os dois itens da definição são satisfeitos e portanto T é uma trans-
formação linear.
Observação 4.1.3: Toda transformação linear associa(ou "leva") o vetor nulo (do
espaço vetorial V ) ao vetor nulo (do espaço vetorial W ), ou seja, T (0V ) = 0W . Com
efeito, T (0) = T (0+0) = T (0)+T (0), pois 0 é o vetor nulo e T é uma transformação
linear. Então T (0) = T (0) + T (0), ou ainda, T (0) + 0W = T (0) + T (0). Assim,
somando o vetor −T (0) em ambos os lados, obtemos que 0W = T (0).
Assim, se T (0) 6= 0, então a aplicação T não é uma transformação linear.
Exemplo 4.1.4: Verifique se T : R → R dada por T (x) = 2x + 1 é uma transfor-
mação linear. Observe que T (0) = 2 · 0 + 1 = 1 6= 0, dessa forma T (0) 6= 0, portanto
T não é uma transformação linear, pela observação anterior.
Exemplo 4.1.5: Verifique se T : R2 → R3 dada por T ([x, y]) = [2x, 0, y] é uma
transformação linear.
Note que T ([0, 0]) = [2 · 0, 0, 0] = [0, 0, 0], ou seja, T (0) = 0. Assim nada podemos
concluir. Precisamos verificar os dois itens da definição de transformação linear.
Sejam [x, y], [a, b] ∈ R2. Então
T ([x, y] + [a, b]) = T ([x+ a, y + b]) = [2(x+ a), 0, y + b].
Por outro lado,
T ([x, y]) + T ([a, b]) = [2x, 0, y] + [2a, 0, b] = [2x+ 2a, 0, y + b].
Note que 2(x+ a) = 2x+ 2a, pela distributiva. Portanto
T ([x, y] + [a, b]) = T ([x, y]) + T ([a, b]),
verificando o item (i).
Consideremos agora [x, y] ∈ R2 e α ∈ R. Temos que
T (α[x, y]) = T ([αx, αy]) = [2(αx), 0, αy].
4.1. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 103
Enquanto que
αT ([x, y]) = αT ([x, y]) = α[2x, 0, y] = [α(2x), α0, αy].
Observe que 2(αx) = α(2x), pela associativa e comutativa da multiplicação em
R. Então
T (α[x, y]) = αT ([x, y]).
Portanto T é uma transformação linear.
Exercício 4.1.6: Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares.
1. T : R→ R, dada por T (x) = x
2
;
2. T : R→ R, dada por T (x) = 2x+ 1;
3. T : R→ R, dada por T (x) = 1;
4. T : R→ R, dada por T (x) = 0;
5. T : R2 → R, dada por T ([x, y]) = x+ y;
6. T : R3 → R, dada por T ([x, y, z]) = x+ y + z + 2;
7. T : R→ R2, dada por T (x) = [x, 5x];
8. T : R→ R3, dada por T (x) = [x, 0, x
2
];
9. T : C→ R2, dada por T (a+ bi) = [a, b];
10. T : R→ C, dada por T (x) = x+ xi;
11. T :M2(R)→ R, dada por T (A) = tr(A) (tr
(
a b
c d
)
= a+ d);
12. T :M2(R)→ R, dada por T (A) = det(A);
13. T :M2(R)→M2(R), dada por T (A) = AT (AT matriz transposta);
14. T : P2(R)→M2(R), dada por T (a+ bx+ cx2) =
(
a b
0 c
)
;
104 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
15. T : P1(R)→ C, dada por T (a+ bx) = a+ bi;
16. T : P1(R)→ P1(R), dada por T (a+ bx) = b+ ax;
17. T : P1(R)→ P1(R), dada por T (a+ bx) = (a+ 1) + (b− 1)x;
18. T : F → R, dada por T (f) = f(0).
Exemplo 4.1.7: Sejam V eW espaços vetoriais. Considere a aplicação T : V → W
dada por T (v) = 0W , em outras palavras, T associa cada vetor v ∈ V ao vetor nulo
(deW ). Vamos mostrar que T é uma transformação linear. Esta transformação linear
será chamada a transformação nula.
Sejam v, w ∈ V e α um escalar. Então
T (v + w) = 0 = 0 + 0 = T (v) + T (w).
Por outro lado,
T (αv) = 0 = α0 = αT (v).
Portanto T é uma transformação linear.
Exemplo 4.1.8: Seja V um espaço vetorial. Considere a aplicação T : V → V
dada por T (v) = v, em outras palavras, T associa cada vetor v ∈ V ao próprio vetor.
Vamos mostrar que T é uma transformação linear. Esta transformação linear será
chamada a transformação identidade. Denotamos T = IdV .
Sejam v, w ∈ V e α um escalar. Então
T (v + w) = v + w = T (v) + T (w).
Por outro lado,
T (αv) = αv = αT (v).
Portanto T é uma transformação linear.
Definição 4.1.9: Seja V um espaço vetorial. Um operador linear é uma trans-
formação linear T : V → V .
4.1. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 105
Na sequência enunciaremos algumas propriedades das transformações lineares.
Teorema 4.1.10: Seja T : V → W uma transformação linear. Então
i) T (−v) = −T (v), para qualquer v ∈ V ;
ii) T (u− v) = T (u)− T (v), para quaisquer u, v ∈ V .
Observamos que as duas condições dadas na definição de transformação linear, a
saber (i) e (ii), poderiam ser resumidas em apenas uma condição
T (cu+ dv) = cT (u) + dT (v).
Assim, podemos dizer que uma transformação linear associa (ou "leva") combinações
lineares a combinações lineares. De fato, observamos que a expressão cu+ dv é uma
conbinação linear, em V , dos vetores u e v. Enquanto que cT (u) + dT (v) é uma
combinação linear dos vetores T (u) e T (v), em W .
Esta condição, nos permitirá encontrar transformações lineares, conhecendo os
valores de uma transformação linear em uma base do espaço vetorial.
Exemplo 4.1.11: Determine uma transformação linear T : R2 → R tal que T ([1, 0]) =
1 e T ([0, 1]) = 2. Determine T ([3,−2]). Nosso objetivo é encontrar T ([x, y]), para
qualquer [x, y] ∈ R2. Agora note que B = {[1, 0], [0, 1]} é uma base de R2. (Ob-
serve que formamos o conjunto B considerando os vetores [1, 0] e [0, 1], vetores cujas
imagens conhecemos pelo enunciado, ou seja, T ([1, 0]) = 1 e T ([0, 1]) = 2.)
Agora um vetor arbitrário [x, y] em R2, pode ser escrito como uma combinação
linear dos vetores de B = {[1, 0], [0, 1]}, uma vez que B é uma base de R2. Assim
[x, y] = a[1, 0] + b[0, 1].
Igualando a expressão anterior, obtemos que a = x e b = y. Assim
[x, y] = x[1, 0] + y[0, 1].
E daí aplicando T em ambos os lados da igualdade temos
T [x, y] = T (x[1, 0] + y[0, 1]).
106 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Como T é uma transformação linear T leva combinações lineares em combinações
lineares, logo
T [x, y] = xT ([1, 0]) + yT ([0, 1]) = x1 + y2 = x+ 2y.
Portanto T ([x, y]) = x + 2y, para todo [x, y] ∈ R2. E agora, T ([3,−2]) = 3 +
2(−2) = −1.(Note que basta substituir x = 3 e y = −2 na expressão geral encontrada
para T ).
Exemplo 4.1.12: Determine uma transformação linear T : R3 → P2(R) sabendo
que T ([1, 0, 0]) = 1 + x, T ([1, 1, 0]) = x − x2 e T ([1, 1, 1]) = x. Determine também
T ([1, 2,−1]).
Observe que se considerarmos os vetores onde estamos aplicando T , ou seja,
[1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1] formam uma base de R3. Desta forma para obtermos T ([x, y, z]),
para qualquer [x, y, z] ∈ R3, vamos inicialmente considerar um vetor qualquer [x, y, z]
e com o fato de B = {[1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1]} ser uma base de R3, podemos escrever
[x, y, z] como uma combinação linear dos vetores [1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1]. Ou seja,
[a, b, c] = α[1, 0, 0] + β[1, 1, 0] + γ[1, 1, 1].
Agora precisamos determinar a, b e c em função de x, y e z. Em outras palavras,
precisamos resolver o sistema 
α + β + γ = a
β + γ = b
γ = c
.
Resolvendo o sistema, obtemos γ = c, β = b− γ = b− c e, por fim, α = a− (β+ γ) =
a− b. Dessa forma,
[x, y, z] = (a− b)[1, 0, 0] + (b− c)[1, 1, 0] + c[1, 1, 1].
Agora vamos aplicar T na igualdade obtida. Assim
T ([x, y, z]) = T ((a− b)[1, 0, 0] + (b− c)[1, 1, 0] + c[1, 1, 1]).
4.2. NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 107
Uma vez que T é uma transformação linear
T ([x, y, z]) = (a− b)T ([1, 0, 0]) + (b− c)T ([1, 1, 0]) + cT ([1, 1, 1]).
Agora substituindo as imagens fornecidas no enunciado, temos
T ([x, y, z]) = (a− b)(1 + x) + (b− c)(x− x2) + cx = (a− b) + ax+ (c− b)x2.
Logo T ([1, 2,−1]) = −1 + 2x− 3x2.
Exercício 4.1.13: 1) Determine transformações lineares sabendo que:
a) T : R2 → R2, onde T ([1, 0]) = [0, 1] e T ([0, 1]) = [1, 0];
b) T : R2 → R3, onde T ([1, 0]) = [−2, 1, 0] e T ([1, 1]) = [1, 2, 3];
c) T : R3 → R2, onde T ([1, 0, 2]) = [0, 1], T ([0,−1, 1]) = [1, 0] e T ([−3, 1, 1]);
d) T : R2 → P2, onde T ([1,−2]) = 1 + x e T ([2, 1]) = x− 2x2;
e) T : P1 → R, onde T (1) = 1 e T (x) = −1;
f) T : P2 →M2×3(R), onde T (5+x) =
(
1 0 2
0 −1 0
)
, T (1−2x+x2) =
(
0 3 0
0 4 0
)
e T (2x− 3x2) =
(
0 −1 1
−3 0 −1
)
;
g) T : M2×2 → C, onde T (
(
3 0
0 0
)
) = 1, T (
(
0 −1
0 0
)
) = 2i, T (
(
0 0
−1 0
)
) =
1 + i e T (
(
00
0 2
)
) = 1− i.
3) É possível determinar uma transformação linear T : C→ R2, sendo que T (1) =
[1, 1], T (i) = [1, 0] e T (5 + 3i) = [8,−5]? É possível determinar uma transformação
linear T : C→ R2, sendo que T (1) = [1, 1], T (i) = [1, 0] e T (5 + 3i) = [8, 5]?
4) É possível determinar uma transformação linear T : R2 → R, sendo que
T ([1, 1]) = 3, T ([1,−1]) = 1 e T ([0, 2]) = 0?
4.2 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear
Definição 4.2.1: Seja T : V → W uma transformação linear. O núcleo de T ou
kernel de T , denotado por ker(T ), é o conjunto de todos os vetores de V que são
108 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
levados por T em 0 de W , ou seja,
ker(T ) = {v ∈ V : T (v) = 0}.
Definição 4.2.2: A imagem de T , denotada por im(T ), é o conjunto de todos os
vetores de W que são imagens de vetores de V através de T , isto é,
im(T ) = {T (v) : v ∈ V } = {w ∈ W : w = T (v), para algum v ∈ V }.
Exemplo 4.2.3: Considere a transformação linear T : R→ R, dada por T (x) = 2x.
Vamos determinar ker(T ) e im(T ).
ker(T ) = {v ∈ R : T (v) = 2v = 0} = {v ∈ R : v = 0} = {0}.
Enquanto que
im(T ) = {w ∈ R : w = T (v) = 2v, para algum v ∈ V }.
Agora note que w = T (v) = 2v ⇒ v = w
2
, ou seja, para todo w ∈ R, existe um v ∈ R,
a saber v = w
2
∈ R, tal que T (v) = T (w
2
) = 2w
2
= w. Portanto
im(T ) = {w ∈ R : w = T (v) = 2v, para algum v ∈ V } = R.
Exemplo 4.2.4: Seja T = R3 → R2 uma transformação linear, dada por
T ([x, y, z]) = [x+ y, 0].
Vamos determinar ker(T ) e im(T ).
ker(T ) = {[x, y, z] ∈ R3 : T ([x, y, z]) = [x+ y, 0] = [0, 0]}.
Agora [x+ y, 0] = [0, 0], implica que x+ y = 0, ou seja, y = −x. Assim
ker(T ) = {[x, y, z] : y = −x} = {[x,−x, z] : x, z ∈ R}.
Enquanto que
im(T ) = {[a, b] ∈ R2 : [a, b] = T ([x, y, z]) = [x+ y, 0], para algum [x, y, z] ∈ R3}.
Note que [a, b] = [x+ y, 0], implica que{
x+ y = a
0 = b
.
4.2. NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 109
Teorema 4.2.5: Seja T : V → W uma transformação linear. Então ker(T ) é um
subespaço de V e im(T ) é um subespaço de W .
Definição 4.2.6: A nulidade de T é a dimensão de ker(T ). O posto de T é a
dimensão da im(T ).
Teorema 4.2.7: Teorema do Núcleo e da Imagem Seja T : V → W uma
transformação linear. Então
dimV = dimker(T ) + dim im(T ).
Exemplo 4.2.8: Determine o núcleo, a imagem, a nulidade e o posto da transfor-
mação linear T : R2 → R, dada por T ([x, y]) = x+ y.
Resolução: Pela definição dó núcleo de T , temos
ker(T ) = {[x, y] ∈ R2 : x+ y = 0}.
Agora a condição x+ y = 0 nos diz que y = −x. Assim o núcleo de T é formado
por vetores [x, y] em R2, com a condição que y = −x. Assim
ker(T ) = {[x, y] ∈ R2 : y = −x} = {[x,−x] : x ∈ R}.
Para determinar a nulidade de T , por definição, devemos determinar a dimensão
do núcleo de T . Assim precisamos encontrar uma base para o subespaço
ker(T ) = {[x,−x] : x ∈ R}.
Seja [x,−x] ∈ ker(T ) um vetor arbitrário. Então
[x,−x] = x[1,−1],
de modo que [1,−1] gera ker(T ), ou seja,
ker(T ) = ger([1,−1]).
Além disso, como um vetor não nulo é sempre linearmente independente, temos
que [1,−1] é linearmente independente. Então B = {[1,−1]} é uma base de ker(T ).
110 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Portanto dimker(T ) = 1.
O Teorema do Núcleo e da Imagem 4.2.7 nos afirma que
dimR2 = dimker(t) + dim im(T ),
assim dim im(T ) = dimR2 − dimker(t) = 2− 1 = 1.
Dessa forma sabemos que o posto de T é 1, sem termos determinado a imagem.
Isso ilustra a importância do Teorema do Núcleo e da Imagem.
Mas, vamos agora determinar a imagem, usando a definição.
im(T ) = {z ∈ R : z = T ([x, y])}.
Vamos mostrar que im(T ) = R, ou seja, vamos demonstrar que a imagem da
transformação linear é todo o contradomínio. Isto é, desejamos mostrar que para
todo z ∈ R, existe um vetor [x, y] ∈ R2, tal que z = T ([x, y]). Como T ([x, y]) = x+ y
(regra da transformação), queremos determinar x, y ∈ R tal que x + y = z. Agora
observe que isto se trata de uma equação linear, nas variáveis x e y. E note que esta
equação linear tem infinitas soluções y = z − x. Assim [x, z − x] ∈ R2 é tal que
T ([x, z − x]) = x+ (z − x) = z.
Portanto im(T ) = R. E daí segue que o posto de T é
dim im(T ) = dimR = 1.
Exemplo 4.2.9: Determine o núcleo, a imagem, a nulidade e o posto da transfor-
mação linear T :M2(R)→ P2(R), dada por T (
(
a b
c d
)
) = (a+ d) + (a+ b)x.
Resolução: Pela definição do núcleo da transformação temos que
ker(T ) =
{( a b
c d
)
: T (
(
a b
c d
)
) = 0 + 0x+ 0x2
}
.
Agora
T (
(
a b
c d
)
) = 0 + 0x+ 0x2
4.2. NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 111
implica que
(a+ d) + (a+ b)x = 0 + 0x+ 0x2.
Igualando os dois polinômios, segue que{
a+ d = 0
a+ b = 0
,
logo d = −a e b = −a. Portanto
ker(T ) =
{( a b
c d
)
: d = −a e b = −a
}
=
{( a −a
c −a
)
: a, c ∈ R
}
.
Para determinarmos a nulidade de T precisamos determinar dimker(T ). Assim,
vamos encontrar uma base de ker(T ). Seja
(
a −a
c −a
)
um elemento arbitrário de
ker(T ). Agora(
a −a
c −a
)
=
(
a −a
0 −a
)
+
(
0 0
c 0
)
= a
(
1 −1
0 −1
)
+ c
(
0 0
1 0
)
de modo que
{( 1 −1
0 −1
)
,
(
0 0
1 0
)}
gera ker(T ).
Vamos verificar que estas duas matrizes são linearmente independentes. De fato,
consideremos a seguinte combinação linear nula
x
(
1 −1
0 −1
)
+ y
(
0 0
1 0
)
=
(
0 0
0 0
)
que implica que (
x −x
0 −x
)
+
(
0 0
y 0
)
=
(
0 0
0 0
)
somando as matrizes do lado esquerdo obtemos(
x −x
y −x
)
=
(
0 0
0 0
)
finalmente igualando as matrizes teremos
x = 0
−x = 0
−x = 0
y = 0
,
112 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
de onde segue claramente que x = 0 e y = 0. Assim sendo, as matrizes são linearmente
independentes e portanto
{( 1 −1
0 −1
)
,
(
0 0
1 0
)}
é uma base de ker(T ). Então a
nulidade de T é
dimker(T ) = 2.
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem 4.2.7, temos que
dim im(T ) = dimM2(R)− dimker(T ) = 4− 2 = 2.
Portanto o posto de T é 2.
Pela definição da imagem de T , temos que
im(T ) = {α + βx+ γx2 : α + βx+ γx2 = (a+ d) + (a+ b)x}.
Pela igualdade de polinômios, temos que
a+ d = α
a+ b = β
0 = γ
,
de onde podemos concluir que
im(T ) 6= P2(R).
Podemos observar que
im(T ) = {α + βx : α, β ∈ R}.
Exercício 4.2.10: Determine o núcleo, a imagem, a nulidade e o posto das seguintes
transformações lineares.
1. T : R→ R, dada por T (a) = 2a, 0 ∈ ker(T )? 1 ∈ ker(T )?
2. T : R3 → R, dada por T ([a, b, c]) = a+ b+ c, 0 ∈ im(T )? 2 ∈ im(T )?
3. T : R3 → R2, dada por T ([a, b, c]) = [a + b, c], [2,−2, 0] ∈ ker(T )? [2,−2, 2] ∈
ker(T )?,
4.2. NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 113
4. T : R3 → R2, dada por T ([a, b, c]) = [a, c], [1,−1] ∈ im(T )? [0, 2] ∈ im(T )?
5. T : R→ R2, dada por T (a) = [a, 0],
1 ∈ ker(T )? [0,−1] ∈ im(T )? [1, 0] ∈ im(T )?
6. T : R→ R2, dada por T (a) = [a, a],
0 ∈ ker(T )? [0,−1] ∈ im(T )? [1, 1] ∈ im(T )?
7. T :M2(R)→ R2, dada por T (
(
a b
c d
)
) = [a+ b, c+ d],(
1 −1
−2 2
)
∈ ker(T )? [1,−1] ∈ im(T )? [1, 0] ∈ im(T )?
8. T :M2(R)→ R, dada por T (
(
a b
c d
)
) = a+ d,(
2 −1
0 −2
)
∈ ker(T )? 1 ∈ im(T )? √2 ∈ im(T )?
9. T :M2(R)→ R2, dada por T (
(
a b
c d
)
) = [b, c],(
0 1
2 0
)
∈ ker(T )?
(
3 0
0 2
)
∈ ker(T )? [1, 0] ∈ im(T )?
10. T : C→M2(R), dada por T (a+ bi) =
(
a 0
0 b
)
,(
0 1
2 0
)
∈ im(T )?
(
3 0
0 2
)
∈ im(T )? 1− i ∈ ker(T )?
11. T : C→M2(R), dada por T (a+ bi) =
(
0 a
b 0
)
,(
0 1
2 0
)
∈ im(T )?
(
3 0
0 2
)
∈ im(T )? 1− i ∈ ker(T )?
12. T : C→ P2(R), dada por T (a+ bi) = a+bx,
1− i ∈ ker(T )? 1 + x ∈ im(T )? 1 + x2 ∈ im(T )?
13. T : R2 → P2(R), dada por T ([a, b]) = a+ bx2,
[1,−1] ∈ ker(T )? 1 + x ∈ im(T )? 1 + x2 ∈ im(T )?
114 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
14. T : P2(R)→ C, dada por T (a+ bx+ cx2) = a+ bi
4.3 Transformações Lineares Injetoras e Sobrejeto-
ras
Definição 4.3.1: Uma transformação linear T : V → W é injetora se para todos
u, v ∈ V ,
T (u) = T (v) implica u = v.
Observação 4.3.2: A condição
T (u) = T (v) implica u = v,
equivale também a dizer que
u 6= v ⇒ T (u) 6= T (v).
Definição 4.3.3: Uma transformação linear T : V → W é sobrejetora se
im(T ) = W.
Observação 4.3.4: Em outras palavras, uma transformação linear T : V → W é
sobrejetora se para todo w ∈ W , existe v ∈ V tal que
T (v) = w.
Ou ainda, todo elemento do contradomínio W é imagem de um elemento do do-
mínio V .
Vamos explorar estes conceitos geometricamente, a partir de diagramas de Venn.
V
Wu
v
w
T (u)
T (v)
T (w)
4.3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES INJETORAS E SOBREJETORAS 115
representa uma T : V → W injetora.
V
Wu
v
w
T (u)
T (v)
T (w)
representa uma T : V → W não injetora, pois T (u) = T (v), mas u 6= v.
V
Wu
v
w
z
T (u) = T (v)
T (w)
T (z)
representa uma T : V → W sobrejetora, todo elemento de W é imagem de um
elemento do domínio.
V
Wu
v
w
z
x
T (u) = T (v)
T (w) = T (z)
representa uma T : V → W não sobrejetora, pois para o elemento x de W não existe
um elemento a ∈ V , tal que x = T (a).
116 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Exemplo 4.3.5: Verifique pela definição, se T : R2 → R3, dada por T ([x, y]) =
[2x, 0, 3x+ y] é injetora e sobrejetora.
Resolução: Considere [x, y], [a, b] ∈ R2 (ou seja, considere dois vetores u e v no
domínio V = R2) tais que T ([x, y]) = T ([a, b]). Então (pela regra da transformação)
temos que
[2x, 0, 3x+ y] = [2a, 0, 3a+ b].
Pela igualdade de vetores em R2 segue que
2x = 2a
0 = 0
3x+ y = 3a+ b
,
que implica que 
2/x = 2/a
0 = 0
3x+ y = 3a+ b
,
de onde temos que x = a. Logo, da terceira equação segue que
3x+ y = 3a+ b⇒ 3x+ y = 3x+ b⇒ 3x///+ y = 3x///+ b⇒ y = b.
Assim, temos que x = a e y = b. Logo
[x, y] = [a, b].
Portanto, mostramos que
T ([x, y]) = T ([a, b])⇒ [x, y] = [a, b],
para quaisquer [x, y], [a, b] ∈ V = R2, de onde segue que T é injetora.
Por outro lado, para mostrarmos que T é sobrejetora, devemos mostrar que
im(T ) = W = R3, ou seja, que para todo vetor [a, b, c] ∈ W = R3, existe um ve-
tor [x, y] ∈ V = R2, tal que
T ([x, y]) = [a, b, c].
Agora
T ([x, y]) = [a, b, c]⇒ [2x, 0, 3x+ y] = [a, b, c],
4.3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES INJETORAS E SOBREJETORAS 117
que resulta em 
2x = a
0 = b
3x+ y = c
,
ou seja, devemos ter b = 0. Assim perceba que nem todo vetor de R3 é imagem de
alguém, pois isso só acontece para vetores com a segunda coordenada nula (0). Desta
forma, se escolhermos um vetor, como por exemplo [0, 1, 0] ∈ W = R3, não existe
vetor [a, b] ∈ R2, tal que
T ([a, b]) = [0, 1, 0],
pois
T ([a, b]) = [0, 1, 0]⇒ [2a, 0, 3a+ b] = [0, 1, 0]⇒
2a = 0
0 = 1
3a+ b = 0
,
que é um sistema impossível, pois a segunda equação 0 = 1 nunca tem solução!
Portanto [0, 1, 0] 6= T ([a, b]), para qualquer [a, b] ∈ V = R2.
Logo podemos concluir que T não é sobrejetora.
Vamos agora enunciar um importantíssomo Teorema, que facilita mostrar quando
uma transformação linear é ou não injetora. Vale ressaltar, que o Teorema só pode
ser usado para transformações lineares e não funções em geral.
Teorema 4.3.6: Seja T : V → W uma transformação linear. T é injetora se, e
somente se, ker(T ) = {0}.
Vamos voltar ao exemplo anterior.
Exemplo 4.3.7: Considere a transformação linear T : R2 → R3, dada por T ([x, y]) =
[2x, 0, 3x+ y]. Verifique se T é injetora.
Resolução: Já mostramos no exemplo anterior que T é injetora. Vamos agora
encontrar o núcleo de T , para mostrarmos que T é injetora a partir do Teroma
anterior.
118 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
ker(T ) = {[x, y] ∈ R2 : T ([x, y]) = [0, 0, 0]}.
Agora
T ([x, y]) = [0, 0, 0]⇒ [2x, 0, 3x+ y] = [0, 0, 0]⇒
2x = 0
0 = 0
3x+ y = 0
,
de onde segue que x = 0 e y = 0. Portanto
ker(T ) = {[x, y] ∈ R2 : x = 0 e y = 0} = {[0, 0]}.
Assim o núcleo possui apenas o vetor nulo. Dessa forma, pelo Teorema 4.3.6,
concluímos que T é injetora.
Teorema 4.3.8: Seja T : V → W uma transformação linear, com dimV = dimW .
T é injetora se, e somente se, T é sobrejetora.
Exemplo 4.3.9: Seja T : R2 → R2, dada por T ([x, y]) = [y, x− y]. Mostre que T é
injetora e sobrejetora.
Resolução:
Pelo Teorema 4.3.6, afim de mostrarmos que T é injetora, basta mostrarmos que
ker(T ) = {0}. Assim vamos encontrar o núcleo de T .
ker(T ) = {[x, y] ∈ R2 : T ([x, y]) = [0, 0]}.
Mas
T ([x, y]) = [0, 0]⇒ [y, x− y] = [0, 0]⇒
{
y = 0
x− y = 0 ,
de onde segue que x = y = 0.
Portanto
ker(T ) = {[x, y] ∈ R2 : T ([x, y]) = [0, 0]} = {[x, y] ∈ R2 : x = y = 0} = {[0, 0]}.
4.3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES INJETORAS E SOBREJETORAS 119
Então T é injetora e como dimV = dimR2 = 2 = dimR2 = dimW , temos pelo
Teorema 4.3.8, que T é também sobrejetora.
Você pode verfificar se T é sobrejetora, mostrando que im(T ) = R2 ou usando o
Teorema do Núcleo e da Imagem 4.2.7, mostrando que dim im(T ) = dimR2. É um
bom exercício para você praticar!
Exemplo 4.3.10: Seja T : M2(R) → P2(R), dada por T (
(
a b
c d
)
) = a + (a +
b)x+ (c+ d)x2 + (c− d)x3. Mostre que T é injetora e sobrejetora.
Resolução:
Vamos novamente mostrar que ker(T ) = {0}, logo pelo Teorema 4.3.6, segue que
T é injetora. Assim vamos encontrar o núcleo de T .
ker(T ) =
{( a b
c d
)
: T (
(
a b
c d
)
) = 0 + 0x+ 0x2 + 0x3
}
.
Agora
T (
(
a b
c d
)
) = 0+0x+0x2+0x3 ⇒ a+(a+b)x+(c+d)x2+(c−d)x3 = 0+0x+0x2+0x3 ⇒

a = 0
a+ b = 0
c+ d = 0
c− d = 0
,
de onde segue que
a = b = c = d = 0.
Assim
ker(T ) =
{( a b
c d
)
: a = b = c = d = 0
}
=
{( 0 0
0 0
)}
.
Portanto T é injetora. Como dimV = dimM2(R) = 4 = dimP3(R) = dimW ,
temos pelo Teorema 4.3.8 que T é sobrejetora.
120 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Você pode verfificar se T é sobrejetora, mostrando que im(T ) = P3(R) ou usando
o Teorema do Núcleo e da Imagem 4.2.7, mostrando que dim im(T ) = dimP3(R). É
um bom exercício para você praticar!
Definição 4.3.11: Uma transformação linear T : V → W é um isomorfismo
quando é injetora e sobrejetora. Se V e W são dois espaços vetoriais tais que existe
um isomorfismo de V em W , então dizemos que V é isomorfo a W e denotamos por
V ' W
Exemplo 4.3.12: Mostre que a transformação linear
T : R2 → P1(R),
dada por T ([a, b]) = a+ (a+ b)x é um isomorfismo.
Resolução:
Devemos mostrar que T é injetora e sobrejetora. Como dimR2 = dimP1(R), pelo
Teorema 4.3.8 basta mostrar que T é injetora, ou mostrar que T é sobrejetora.
Vamos mostrar que T é injetora. Pelo Teorema 4.3.6 basta mostrar que ker(T ) =
{0}. Assim, vamos determinar o núcleo de T .
ker(T ) = {[a, b] : T ([a, b]) = 0 + 0x}.
Agora
T ([a, b]) = 0 + 0x⇒ a+ (a+ b)x = 0 + 0x⇒
{
a = 0
a+ b = 0
,
de onde segue que a = b = 0.
Portanto
ker(T ) = {[a, b] ∈ R2 : T ([a, b]) = 0 + 0x} = {[a, b] ∈ R2 : a = b = 0} = {[0, 0]},
de onde segue que T é injetora. E como observamos anteriormente, temos que T
também será sobrejetora e portanto um isomorfismo.
Teorema 4.3.13: Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita. V é isomorfo
a W se, e somente se, dimV = dimW .
4.3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES INJETORAS E SOBREJETORAS 121
Observação 4.3.14: Note que o que o Teorema anterior está afirmando é que se
dimV = dimW , então V ' W . Isto significa que existe, pelo menos uma transfor-mação linear T : V → W que é injetora e sobrejetora. Dizer que V ' W não significa
que cada T : V → W é um isomorfismo.
Teorema 4.3.15: Uma transformação linear T : V → W é inversível se, e somente
se, T é isomorfismo.
Lembre que T : V → W é inversível se for uma bijeção (ou seja, se T for injetora
e sobrejetora). Neste caso, existe S = T−1 : W → V tal que
T ◦ S = IdW e S ◦ T = IdV ,
onde
IdW : W → W,
é tal que IdW (w) = w, para todo w ∈ W .
Diremos então que S = T−1 é a inversa de T .
Exemplo 4.3.16: Sejam T : R2 → C, dada por T ([a, b]) = a+(a+b)i e S : C→ R2,
dada por S(a + bi) = [a, b − a] transformações lineares. Mostre que T é inversível e
que S é a inversa de T .
Resolução:
(S ◦ T )([a, b]) = S(a+ (a+ b)i) = [a, (a+ b)− a] = [a, b] = IdR2([a, b]),
para qualquer [a, b] ∈ R2. Enquanto que
(T ◦ S)(a+ bi) = T ([a, b− a]) = a+ (a+ b− a)i = a+ bi = IdC(a+ bi),
para qualquer a+ bi ∈ C. Então
S ◦ T = Id e T ◦ S = Id.
Portanto T é inversível e é um isomorfismo, pelo Teorema 4.3.15.
122 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Exercício 4.3.17: 1. Determine se as transformações lineares abaixo são injeto-
ras e/ou sobrejetoras.
(a) T : R→ R, dada por T (a) = 2a
(b) T : R3 → R, dada por T ([a, b, c]) = a+ b+ c
(c) T : R3 → R2, dada por T ([a, b, c]) = [a+ b, c]
(d) T : R3 → R2, dada por T ([a, b, c]) = [a, c]
(e) T : R→ R2, dada por T (a) = [a, 0]
(f) T : R→ R2, dada por T (a) = [a, a]
(g) T :M2(R)→ R2, dada por T (
(
a b
c d
)
) = [a+ b, c+ d]
(h) T :M2(R)→ R, dada por T (
(
a b
c d
)
) = a+ d
(i) T :M2(R)→ R2, dada por T (
(
a b
c d
)
) = [b, c]
(j) T : C→M2(R), dada por T (a+ bi) =
(
a 0
0 b
)
(k) T : C→M2(R), dada por T (a+ bi) =
(
0 a
b 0
)
(l) T : C→ P2(R), dada por T (a+ bi) = a+ bx
(m) T : R2 → P2(R), dada por T ([a, b]) = a+ bx2
(n) T : P2(R)→ C, dada por T (a+ bx+ cx2) = a+ bi
2. Decida se as seguintes transformações lineares são isomorfismos
(a) T : R2 → R3, dada por T ([a, b]) = [a, b, 0]
(b) T : M2(R) → P3(R), dada por T (
(
a b
c d
)
) = a + b + (a − b)x + (c +
2d)x2 + (c− d)x3
3. Decida se as seguintes transformações lineares são inversas
4.4. A MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 123
(a) T : R2 → C, dada por T ([a, b]) = (a − b) + bi, S : C → R2, dada por
S(a+ bi) = [(a− b), b]
(b) T : R2 → C, dada por T ([a, b]) = (a − b) + bi, S : C → R2, dada por
S(a+ bi) = [(a+ b), b]
(c) T : R2 → C, dada por T ([a, b]) = a+ bi, S : C→ R2, dada por S(a+ bi) =
[a, b]
(d) T : M2(R) → R4, dada por T (
(
a b
c d
)
) = [d, c, b, a], S : R4 → M2(R),
dada por S([a, b, c, d]) =
(
d c
b a
)
(e) T : P2(R)→ R3, dada por T (a+bx+cx2) = [a, a+b, b+c], S : R3 → P2(R),
dada por S([a, b, c]) = a+ (b− a)x+ (c− b+ a)x2
(f) T :M2×1(R)→ R2, dada por T (
(
a
b
)
) = [a, b], S : R2 →M2×1(R), dada
por S([a, b]) =
(
a
b
)
4.4 A Matriz de uma Transformação Linear
Considere a matriz
A =
(
1 2
3 4
)
∈M2(R)
e considere o vetor X = [x, y] ∈ R2. Com base no exercício 3f, vamos fazer um abuso
de notação e escrever o vetor X = [x, y] como uma matriz coluna X =
(
x
y
)
. Desse
modo, podemos multiplicar A e X. De fato,
AX =
(
1 2
3 4
)(
x
y
)
=
(
1x+ 2y
3x+ 4y
)
= Y.
Assim, note que a matriz A associa a cada vetor [x, y] ∈ R2 o vetor [x+ 2y, 3x+
4y] ∈ R2. Logo a matriz A podemos associar à transformação linear T : R2 → R2,
dada por T ([x, y]) = [x+ 2y, 3x+ 4y].
124 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Aha! Veja que bacana, isso pode ser feito com qualquer matriz. Agora você pode
se perguntar o seguinte: Será que dada uma transformação linear, eu consigo associar
a ela uma matriz?
A resposta é sim, porém, esta matriz vai depender de uma base B do domínio
e uma base C do contradomínio. Chamaremos esta matriz a matriz de T em
relação às bases B e C, e denotaremos por [T ]C←B. Vamos ver como faremos isto
no exemplo a seguir.
Exemplo 4.4.1: Seja T : R3 → R2 a transformação linear definida por
T ([x, y, z]) = [x− 2y, x+ y − 3z]
e sejam B = {[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]} base de R3 e C = {[1, 0], [1, 1]} base de R2.
Encontre a matriz de T em relação às bases B e C.
Resolução:
Passo 1 : Vamos calcular T nos vetores da base B do domínio R3.
T ([1, 0, 0]) = [1, 1]
T ([0, 1, 0]) = [−2, 1]
T ([0, 0, 1]) = [0,−3]
Passo 2 : Vamos escrever os vetores obtidos como combinação linear dos vetores
na base C do contradomínio R2.
T ([1, 0, 0]) = [1, 1] = a11[1, 0] + a21[1, 1]
T ([0, 1, 0]) = [−2, 1] = a12[1, 0] + a22[1, 1]
T ([0, 0, 1]) = [0,−3] = a13[1, 0] + a23[1, 1]
Da primeira combinação linear temos que{
a11 + a21 = 1
a21 = 1
,
de onde a21 = 1 e a11 = 0.
4.4. A MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 125
Da segunda combinação linear temos que{
a12 + a22 = −2
a22 = 1
,
de onde a22 = 1 e a12 = −3.
Da terceira combinação linear temos que{
a13 + a23 = 0
a23 = −3
,
de onde a23 = −3 e a13 = 3.
Assim
T ([1, 0, 0]) = [1, 1] = 0[1, 0] + 1[1, 1]
T ([0, 1, 0]) = [−2, 1] = −3[1, 0] + 1[1, 1]
T ([0, 0, 1]) = [0,−3] = 3[1, 0] +−3[1, 1]
Passo 3 : Escrever a matriz com as coordenadas aij (ou seja, os coeficientes da
combinação linear) (
a11 a12 a13
a21 a22 a23
)
=
(
0 −3 3
1 1 −3
)
Esta matriz é a matriz da transformação linear T em relação às bases B e C.
Portanto
[T ]C←B =
(
0 −3 3
1 1 −3
)
.
Observação 4.4.2: 1. Observe que os coeficientes da combinação linear são dis-
postos na coluna da matriz.
2. Note que a ordem da matriz obtida é 2× 3. Note a relação com a dimensão do
domínio dimR3 = 3 e dimensão do contradomínio dimR2 = 2.
3. A matriz da transformação T em relação às bases B e C fornece uma relação
entre as coordenadas [v]B de um vetor v na base B e as coordenadas [T (v)]C da
imagem de v na base C. A relação é
[T ]C←B[v]B = [T (v)]C .
126 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
4. Caso B = C, escrevemos simplesmente
[T ]C←B = [T ]B,
e 4.1 pode ser reescrito como
[T ]B[v]B = [T (v)]B.
Exemplo 4.4.3: Seja T :M2(R)→ P2(R) dada por
T (
(
a b
c d
)
) = (a+ b) + cx+ dx2.
Determine a matriz [T ]C←B de T em relação às bases
B = {
(
1 0
0 0
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
1 1
0 1
)
,
(
1 1
1 1
)
} e C = {1, x, x2}.
Encontre [T (
(
1 1
1 1
)
)]C .
Resolução:
Passo 1 : Vamos calcular T nos vetores da base B do domínio M2(R).
T (
(
1 0
0 0
)
) = 1
T (
(
1 1
0 0
)
) = 2
T (
(
1 1
0 1
)
) = 2 + x
T (
(
1 1
1 1
)
) = 2 + x+ x2
Passo 2 : Vamos escrever os vetores obtidos como combinação linear dos vetores
na base C do contradomínio P2(R).
T (
(
1 0
0 0
)
) = 1 = a111 + a21x+ a31x
2
4.4. A MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 127
T (
(
1 1
0 0
)
) = 2 = a121 + a22x+ a32x
2
T (
(
1 1
0 1
)
) = 2 + x = a131 + a23x+ a33x
2
T (
(
1 1
1 1
)
) = 2 + x+ x2 = a141 + a24x+ a34x
2
Como C é a base canônica de P2(R), conseguimos determinar aij sem montar os
sistemas lineares (veja se isto é claro para você!). E assim
T (
(
1 0
0 0
)
) = 1 = 1 · 1 + 0x+ 0x2
T (
(
1 1
0 0
)
) = 2 = 2 · 1 + 0x+ 0x2
T (
(
1 1
0 1
)
) = 2 + x = 2 · 1 + 1x+ 0x2
T (
(
1 1
1 1
)
) = 2 + x+ x2 = 2 · 1 + 1x+ 1x2
Passo 3: Vamos montar a matriz com as coordenadas encontradas (lembrando de
dispor as coordenadas de cada combinação linear nas colunas)
[T ]C←B =
 1 2 2 20 0 1 1
0 0 0 1

3×4
.
Vamos encontrar [T (
(
1 1
1 1
)
)]C .
Note que(
1 1
1 1
)
= 0
(
1 0
0 0
)
+ 0
(
1 1
0 0
)
+ 0
(
1 1
0 1
)
+ 1
(
1 1
1 1
)
,
logo
[v]B =

0
0
0
1
 .
128 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕESLINEARES
Pela relação 4.1
[T (
(
1 1
1 1
)
)]C = [T ]C←B[v]B =
 1 2 2 20 0 1 1
0 0 0 1


0
0
0
1
 =
 21
1
 .
Exemplo 4.4.4: Matriz mudança de base
Seja V = R2 e Id : R2→R2 a transformação identidade Id([a, b]) = [a, b], para
qualquer [a, b] ∈ R2. Encontre [Id]C←B en relação às bases B = {[1, 0], [0, 1]} e
C = {[1, 1], [1, 0]}.
Resolução:
Passo 1: Calcular Id nos vetores da base B.
Id([1, 0]) = [1, 0]
Id([0, 1]) = [0, 1].
Passo 2: Escrever os vetores obtidos como combinação linear dos vetores na base
C.
Id([1, 0]) = [1, 0] = a11[1, 1] + a21[1, 0]
Id([0, 1]) = [0, 1] = a12[1, 1] + a22[1, 0].
Passo 3: Escrever a matriz das coordenadas
[Id]C←B =
(
0 1
1 −1
)
Observação 4.4.5: 1. A matriz
[Id]C←B =
(
0 1
1 −1
)
é chamada de matriz de mudança de base de B para C.
4.5. MATRIZ DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR COMPOSTA EMATRIZ DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR INVERSA129
2. Vamos denotar a matriz de mudança de base de B para C por MC←B.
3. Dado um vetor v ∈ V , temos que
[v]C =MC←B[v]B.
4. A matriz de mudança de base de B para C é inversível e
(MC←B)−1 =MB←C
4.5 Matriz da Transformação Linear Composta e Ma-
triz da Transformação Linear Inversa
Teorema 4.5.1: Sejam U , V e W espaços vetoriais com bases B, C e D, respecti-
vamente. Sejam T : U → V e S : V → W transformações lineares. Então
[S ◦ T ]D←B = [S]D←C [T ]C←B.
Teorema 4.5.2: Sejam U e V espaços vetoriais com mesma dimensão e com bases
B e C, respectivamente. Seja T : U → V transformação linear. Então
([T ]c←B)−1 = [T−1]B←C .
Exemplo 4.5.3: Considere T : P1(R)→ C, dada por T (a+ bx) = a+ (a− b)i. T é
inversível?
Resolução: Consideremos as bases canônicas B = {1, x} de P1(R) e C = {1, i} de
C. Vamos encontrar [T ]C←B.
Agora
T (1) = 1 + i = 1 · 1 + 1i,
T (x) = −i = 0 · 1− 1i.
Logo
[T ]C←B =
(
1 0
1 −1
)
.
130 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Observe que [T ]C←B =
(
1 0
1 −1
)
é inversível, pois det([T ]C←B) = −1 6= 0.
Assim pelo Teorema 4.5.2 T é inversível e
[T−1]B←C = ([T ]C←B)−1 =
(
1 0
1 −1
)−1
=
(
1 0
1 −1
)
.
Exercício 4.5.4: 1. Determine [T ]C←B.
(a) T : R3 → R, dada por T ([a, b, c]) = a+b+c, B = {[1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1]},
C = {2}
(b) T : R3 → R2, dada por T ([a, b, c]) = [a+b, c], B = {[1, 0, 0], [0, 1, 1], [1, 1, 1]},
C = {[1, 1], [1,−1]}
(c) T : R3 → R2, dada por T ([a, b, c]) = [a, c], B = {[1, 0, 0], [0, 1, 1], [1, 1, 1]},
C = {[1, 1], [1,−1]}, [T ([3,−1, 8])]C =?
(d) T : R→ R2, dada por T (a) = [a, 0], B = {3}, C = {[1, 2], [2,−1]}
(e) T : R→ R2, dada por T (a) = [a, a], B = {3}, C = {[1, 2], [2,−1]}
(f) T : R3 → R4, dada por T ([a, b, c]) = [a, a + b, a + b + c,−a− b− c], B, C
bases canônicas, [T ([1, 7,−5])]C =?
(g) T :M2(R)→ R2, dada por T
((
a b
c d
))
= [a+ b, c+ d],
B =
{(
1 0
0 0
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
1 1
1 0
)
,
(
1 1
1 1
)}
, C = {[1, 1], [1, 0]}
(h) T :M2(R)→ R, dada por T (
(
a b
c d
)
) = a+ d,
B =
{(
1 0
0 0
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
1 1
1 0
)
,
(
1 1
1 1
)}
, C = {1},
[T (
(
9 5
−7 2
)
)]C =?
(i) T :M2(R)→ R3, dada por T (
(
a b
c d
)
) = [a+ d, b, c],
4.5. MATRIZ DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR COMPOSTA EMATRIZ DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR INVERSA131
B =
{(
1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
,
C = {[1, 1, 1], [1, 1, 0], [1, 0, 0]},
[
T (
(
1 3
−2 4
)
)
]
C
=?
(j) T : C→M2(R), dada por T (a+ bi) =
(
a 0
0 b
)
, B = {1, i},
C =
{(
1 0
0 0
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
1 1
1 0
)
,
(
1 1
1 1
)}
,
[T (1 + 2i)]C =?
(k) T : P3(R) → M2(R), dada por T (a + bx + cx2 + dx3) =
(
c a+ b
b c+ d
)
,
B = {1, x, x2, x3}, C base canônica
(l) T : C→ P2(R), dada por T (a+bi) = a+(b−a)x+(a+b)x2, B = {1, 1+i},
C base canônica
(m) T : R2 → P2(R), dada por T ([a, b]) = a + bx2, B = {[1, 0], [1, 2]}, C =
{1, 1 + x, 1 + x+ x2}
(n) T : P2(R)→ C, dada por T (a+bx+cx2) = a+bi, B = {1, 1+x, 1+x+x2},
C = {1 + i, 1− i}, [T (4 + 5x− 2x2)]C =?
2. Encontre a matriz de mudança de base de B para C.
(a) B = {[1, 0], [1, 1]}, C = {[1, 2], [−2, 1]}, [7,−4]B =?, [7,−4]C =?
(b) B = {1, 1− i}, C = {1 + i, 1− i}, [2− 3i]B =?, [2− 3i]C =?
(c) B = {1, x, x2}, C = {1, 1+x, 1+x+x2}, [1+2x+3x2]B =?, [1+2x+3x2]C =
?
(d) B =
{(
1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)
},
C = {
(
1 1
1 1
)
,
(
1 1
1 0
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
1 0
0 0
)}
,
[(
5 3
−2 10
)]
B
=
?,
[(
5 3
−2 10
)]
C
=?
132 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Capítulo 5
Autovalores e Autovetores
Definição 5.0.1: Seja V um espaço vetorial e seja T um operador linear. Um vetor
v ∈ V (v 6= 0) é um autovetor de T ou vetor próprio de T se existe um escalar
λ tal que
T (v) = λv.
Neste caso, λ é um autovalor de T associado a v ou valor próprio de T
associado a v.
Exemplo 5.0.2: Considere o operador linear
T : R2 → R2,
dado por T ([x, y]) = [y, x]. Determine os autovalores e autovetores de T .
Resolução: O operador associa o vetor [1, 3] ao vetor [3, 1]. Geometricamente
x
y
0−1 1 2 3
−1
1
2
3
x
y
0−1 1 2 3
−1
1
2
3
133
134 CAPÍTULO 5. AUTOVALORES E AUTOVETORES
Queremos encontrar vetores 0 6= [x, y] ∈ R2 e λ ∈ R, tais que
T ([x, y]) = λ[x, y].
Agora
T ([x, y]) = λ[x, y]⇒ [y, x] = λ[x, y]⇒{
y = λx
x = λy
.
Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos
x = λ(λx)⇒ x = λ2x.
Se x 6= 0, temos que
x = λ2x⇒ λ2 = 1⇒ λ = 1 ou λ = −1.
Assim para x 6= 0 e y 6= 0 (pois x = λy) temos os seguintes casos:
Caso 1: λ = 1
Neste caso
T ([x, y]) = λ[x, y]⇒ T ([x, y]) = [x, y]⇒ [y, x] = [x, y]⇒{
y = x
x = y
.
Portanto v = [x, x], x 6= 0, são os autovetores associados ao autovalor λ = 1. Geome-
tricamente
x
y
y = x
0−2 −1 1 2
−2
−1
1
2
135
Caso 2: λ = −1
Neste caso
T ([x, y]) = λ[x, y]⇒ T ([x, y]) = −[x, y]⇒ [y, x] = −[x, y]⇒{
y = −x
x = −y .
Portanto v = [x,−x], x 6= 0, são os autovetores associados ao autovalor λ = −1.
Geometricamente
x
y
y = −x
0−2 −1 1 2
−2
−1
1
2
Definição 5.0.3: Fixado λ, o conjunto
V (λ) = {v ∈ V : T (v) = λv}
é chamado autoespaço de λ.
Observação 5.0.4: 1. V (λ) é um subespaço de V .
2. V (λ) é também chamado de subespaço próprio de λ, autosubespaço de λ
ou subespaço associado ao autovalor λ
Nosso objetivo agora é encontrar um processo efetivo para encontrar, se possível,
os autovalores de um operador linear. Para isto começamos com a seguinte definição.
Definição 5.0.5: Considere a matriz A = (aij)n×n. O polinômio característico
de A é o polinômio de grau n dado por
pλ(A) = det(A− λIn)
136 CAPÍTULO 5. AUTOVALORES E AUTOVETORES
onde In é a matriz identidade de ordem n.
Exemplo 5.0.6: Seja A =
(
0 1
1 0
)
. Determine o polinômio característico de A.
Resolução: Pela definição, o polinômio característico de A é dado por
pλ(A) = det
((
0 1
1 0
)
− λ
(
1 0
0 1
))
= det
((
−λ 1
1 −λ
))
.
Portanto
pλ(A) = λ
2 − 1.
Definição 5.0.7: Sejam V um espaço vetorial e T : V → V um operador linear.
Chamaremos polinômio característico de T ao polinômio característico de uma
matriz de T em relação a qualquer base de V .
Exemplo 5.0.8: Considere o operador linear T : R2 → R2, dado por T ([x, y]) =
[y, x]. Determine o polinômio característico de T .
Resolução: Para encontrar o polinômio característico de T , pela definição, precisa-
mos encontrar o polinômio característico de uma matriz de T , em relação a qualquerbase se V .
Assim sendo, vamos encontrar a matriz de T em relação à base canônica de R2.
Desta forma, seja B = {[1, 0], [0, 1]} a base canônica de R2. Calcule
T ([1, 0]) = [0, 1] = 0[1, 0] + 1[0, 1]
T ([0, 1]) = [1, 0] = 1[1, 0] + 0[0, 1].
Portanto
[T ]B =
(
0 1
1 0
)
.
Pela definição, o polinômio característico de T é dado por
pλ(T ) = pλ([T ]B) = det
((
0 1
1 0
)
− λ
(
1 0
0 1
))
= det
((
−λ 1
1 −λ
))
.
137
Portanto
pλ(T ) = λ
2 − 1.
Proposição 5.0.9: Seja T um operador linear de um espaço vetorial V . Então os
autovalores de T são as raízes do polinômio característico.
Exemplo 5.0.10: Considere o operador linear T : R2 → R2, dado por T ([x, y]) =
[y, x]. Determine os autovalores de T .
Resolução: Já vimos que o polinômio característico de T é dado por
pλ(T ) = λ
2 − 1.
Assim pela proposição anterior, os autovalores de T são as raizes de pλ(T ) = λ
2−1.
Logo pλ(T ) = λ
2 − 1 = 0, de onde temos que λ = 1 ou λ = −1.
Portanto os autovalores de T são λ = 1 ou λ = −1.
Exemplo 5.0.11: Considere o operador linear T : R2 → R2, dado por T ([x, y]) =
[−y, x]. Determine os autovalores de T .
Resolução:
Passo 1: Vamos encontrar a matriz de T em relação à base canônica de R2. Desta
forma, seja B = {[1, 0], [0, 1]} a base canônica de R2. Calcule
T ([1, 0]) = [0, 1] = 0[1, 0] + 1[0, 1]
T ([0, 1]) = [−1, 0] = −1[1, 0] + 0[0, 1].
Portanto
[T ]B =
(
0 1
−1 0
)
.
Passo 2: Enontrar o polinômio característico de T . Este é dado por
pλ(T ) = pλ([T ]B) = det
((
0 1
−1 0
)
− λ
(
1 0
0 1
))
= det
((
−λ 1
−1 −λ
))
.
138 CAPÍTULO 5. AUTOVALORES E AUTOVETORES
Portanto
pλ(T ) = λ
2 + 1.
Passo 3: Encontrar os zeros do polinômio característico, que são os autovalores
de T .
pλ(T ) = λ
2 + 1 = 0
que não possui solução em R.
Portanto não existem autovalores (em R).
Mas observe que λ2 + 1 = 0, possui duas soluções em C, a saber, λ = i e λ = −i.
Assim sendo vamos reescrever o exemplo anterior, sobre C.
Exemplo 5.0.12: Considere o operador linear T : C2 → C2, dado por T ([x, y]) =
[−y, x]. Determine os autovalores e os autovetores de T . (Observe que C2 é um espaço
vetorial complexo.)
Resolução:
Passo 1: Vamos encontrar a matriz de T em relação à base canônica de C2. Desta
forma, seja B = {[1, 0], [0, 1]} a base canônica de C2. Calcule
T ([1, 0]) = [0, 1] = 0[1, 0] + 1[0, 1]
T ([0, 1]) = [−1, 0] = −1[1, 0] + 0[0, 1].
Portanto
[T ]B =
(
0 1
−1 0
)
.
Passo 2: Enontrar o polinômio característico de T . Este é dado por
pλ(T ) = pλ([T ]B) = det
((
0 1
−1 0
)
− λ
(
1 0
0 1
))
= det
((
−λ 1
−1 −λ
))
.
Portanto
pλ(T ) = λ
2 + 1.
Passo 3: Encontrar os zeros do polinômio característico, que são os autovalores
de T .
pλ(T ) = λ
2 + 1 = 0
139
de onde segue que λ = i ou λ = −i. (Observe que os escalares são números comple-
xos).
Portanto os autovalores de T são λ = i ou λ = −i.
Passo 4: Determinar os autovetores de T .
Caso 1: λ = i
Queremos vetores [x, y] 6= 0, em C2, tais que
T ([x, y]) = i[x, y]⇒ [−y, x] = [ix, iy]⇒{
−y = ix
x = iy
Observe que a equação −y = ix multiplicada por i, resulta em
−iy = i2x = −x⇒ x = iy
que é a segunda equação.
Assim note que as duas equações do sistema obtido, são iguais a menos de uma
multiplicação por escalar. Logo os autovalores de T associados ao autovalor λ = i são
[x, y], com y = −ix, x 6= 0
ou ainda
[x,−ix], x 6= 0
e o autoespaço de λ = i é
V (i) = {[x,−ix] : x ∈ C}.
Caso 2: λ = −i
Queremos vetores [x, y] 6= 0 em C2, tais que
T ([x, y]) = −i[x, y]⇒ [−y, x] = [−ix,−iy]⇒{
−y = −ix
x = −iy
Observe que a equação −y = −ix multiplicada por i, resulta em
−iy = −i2x = x⇒ x = −iy
140 CAPÍTULO 5. AUTOVALORES E AUTOVETORES
que é a segunda equação.
Assim note que as duas equações do sistema obtido, são iguais a menos de uma
multiplicação por escalar. Logo os autovalores de T associados ao autovalor λ = −i
são
[x, y], com y = ix, x 6= 0
ou ainda
[x, ix], x 6= 0
e o autoespaço de λ = −i é
V (−i) = {[x, ix] : x ∈ C}.
Definição 5.0.13: Seja A ∈Mn(R). Os autovalores da matriz A são os escalares λ
tais que
Av = λv.
Exemplo 5.0.14: Encontre os autovalores e os autovetores da matriz
A =
 3 0 −40 3 5
0 0 −1
 .
Resolução:
Definição 5.0.15: Seja V um espaço vetorial. Um operador linear T : V → V é
diagonalizável se existe uma base de V formada por autovetores de T .
Definição 5.0.16: Amultiplicidade geométrica de um autovalor λ é a dimensão
do autoespaço V (λ). Amultiplicidade algébrica de um autovalor λ é a quantidade
de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico.
Teorema 5.0.17: Seja V um espaço vetorial. Um operador linear T : V → V é
diagonalizável se, e somente se, a multiplicidade algébrica de cada autovalor é igual
a sua multiplicidade geométrica.
141
Teorema 5.0.18: Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Um operador linear
T : V → V é diagonalizável se, e somente se, a união das bases dos autoespaços de
T contém n vetores.
Exemplo 5.0.19: Considere o operador T : R2 → R2, dado por T ([x, y]) = [y, x].
Decida se T é diagonalizável.
Resolução:
Exemplo 5.0.20: Considere o operador T : R2 → R2, dado por T ([x, y]) = [x+y, y].
Decida se T é diagonalizável.
Resolução:
Exemplo 5.0.21: Considere o operador T : R4 → R4, cuja matriz em relação à
base canônica é A =

2 1 0 0
0 2 0 0
0 0 1 1
0 0 4 −2
 . Decida se T é diagonalizável.
Resolução:
Exercício 5.0.22: Considere o operador T : V → V , cuja matriz em relação à
base canônica é dada abaixo. Encontre o polinômio característico, os autovalores, os
autovetores, os autoespaços, a multiplicidade algébrica, a multiplicidade geométrica
e decida se T é diagonalizável.
1. A =
(
0 4
−1 5
)
2. A =
(
4 −2
5 −7
)
3. A =
(
1 2
2 1
)
142 CAPÍTULO 5. AUTOVALORES E AUTOVETORES
4. A =
 1 0 10 1 1
1 1 0

5. A =
 1 0 23 −1 3
2 0 1

6. A =
 1 −1 −10 2 0
−1 −1 1

7. A =

4 0 1 0
0 4 1 1
0 0 1 2
0 0 3 0

8. A =

2 1 1 0
0 1 4 5
0 0 3 1
0 0 0 2

Capítulo 6
Produto Interno
143
Índice Remissivo
associativa, 20, 55
associatividade, 20
autoespaço, 135
autosubespaço, 135
autovalor, 133
autovetor, 133
base, 85
canônica de C, 91, 92
canônica de P2(R), 91
canônica de R, 85
canônica de R2, 86
canônica de R3, 88
canônica de Rn, 88
canônica de M2(R), 89
coeficientes, 21, 41
combinação linear, 21
combinação linear nula, 24
comutativa, 10, 20, 55
comutatividade, 20
conjunto de geradores de um espaço veto-
rial, 77
conjunto gerado, 23, 77
conjunto solução, 42
coordenadas de v relativas à base B, 98
diagonal da matriz, 7
diagonalizável, 140, 141
diferença de matrizes, 13
dimensão, 85
dimensão infinita, 85
distributiva, 20, 56
elemento neutro, 20
elemento oposto, 20, 68
elementos
de uma matriz, 4
elementos da diagonal, 7
entradas
de uma matriz, 4
equação
linear, 41
escalonamento, 48
espaço vetorial, 56
complexo, 56
gerado por um conjunto, 77
real, 56
existência de vetor nulo, 55
existência de vetor oposto ou inverso adi-
tivo, 55
Expansão de Laplace, 29
144
ÍNDICE REMISSIVO 145
função nula, 63
igualdade de matrizes, 9
inverso aditivo, 55, 68
isomorfismo, 120
isomorfo, 120
ld, 81
li, 81
linearmente dependente, 80
linearmente dependentes
matrizes, 24
linearmente independente, 80
linearmente independentes
matrizes, 24
matriz, 4
ampliada, 47
antissimétrica, 19
coluna, 6
completa, 47
da transformação, 124
das variáveis, 47
diagonal,7
dos coeficientes, 47
dos termos independentes, 47
escalar, 7
identidade, 8
inversa, 35
inversível, 35
linha, 6
nula, 8
oposta, 13
quadrada, 6
simétrica, 18
transposta, 17
matriz de mudança de base, 128
multiplicação de escalar por matriz, 11
multiplicação de escalar por vetor, 56
multiplicação de matrizes, 15
multiplicidade
algébrica, 140
geométrica, 140
método de eliminação de Gauss, 47
Método de Gauss-Jordan, 36
nulidade, 109
número complexo
nulo, 68
operador linear, 104
operação soma, 56
ordem
de uma matriz, 4
polinômio característico
de um operador, 136
de uma matriz, 135
posto, 109
potência de matriz, 16
regra de Sarrus, 28
sistema
impossível, 46
146 ÍNDICE REMISSIVO
matricial, 47
possível determinado, 46
possível indeterminado, 46
sistema de equações lineares, 42
sistema de equações lineares homogêneo,
43
sistemas
equivalentes, 46
solução
de um sistema de equações lineares,
42
de uma equação linear, 42
soma
de matrizes, 10
soma usual, 72
subespaço, 72
gerado, 77
vetorial, 72
subespaço associado ao autovalor, 135
subespaço próprio, 135
termo independente, 41
termos
de uma matriz, 4
transformação identidade, 104
transformação linear, 101
bijetora, 121
injetora, 114
inversa, 121
inversível, 121
sobrejetora, 114
transformação nula, 104
valor próprio, 133
vetor
nulo, 55
oposto, 55
vetor oposto, 55
vetor próprio, 133
vetores, 56