Experimento Giroscópio

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1 Introduc¸a˜o
O mecanismo utilizado no experimento e´ um girosco´pio como esse:
Figura 1: Girosco´pio
Para a ana´lise, consideraremos os eixos x, y e z como na figura 1. Pode-se perceber
que ele e´ capaz de girar quase livremente em torno do eixo vertical, do eixo horizontal e do eixo de
rotac¸a˜o do disco. Sabemos que para que este esteja em equil´ıbrio e´ necessa´rio que as resultantes
das forc¸as e dos torques atuantes sejam nulas. Logo, quando na˜o ha forc¸as externas atuando, o
momento linear e angular do girosco´pio sa˜o fixos. Se o disco esta´ girando em torno de si mesmo e
o sistema esta´ em equil´ıbrio, o momento angular aponta na direc¸a˜o do eixo y.
Ao colocarmos um peso mg em alguma das extremidades de um girosco´pio em equil´ıbrio
com o disco girando, teremos uma forc¸a peso na direc¸a˜o −z que criara´ um torque no sistema. Sobre
o torque, podemos descreveˆ-lo seguinte as duas igualdades:
~τ = ~r × ~F (1)
~τ =
d~L
dt
(2)
Onde ~F e´ a forc¸a aplicada, ~r e´ o vetor da distaˆncia entre o ponto de origem e a forc¸a, e d
~L
dt
e´ o
vetor da variac¸a˜o do momento linear em relac¸a˜o ao tempo.
1
Figura 2: Regra da ma˜o direita
Utilizando a regra da ma˜o direita e a equac¸a˜o (1), determinamos a direc¸a˜o do torque,
como mostrado na figura 2.
Pela equac¸a˜o (2), podemos ver que o torque e a variac¸a˜o do momento linear tem a
mesma direc¸a˜o, no caso, perpendicular ao eixo y. Isso dara´ origem ao movimento de precessa˜o,
onde o disco girara´ em torno do eixo z. Denominaremos por Ω a velocidade de precessa˜o.
Figura 3: Movimento de Precessa˜o
Isso encerra a ideia por tra´s da parte qualitativa do experimento. A seguir analisaremos
a teoria da parte quantitativa, e como determinar o momento de ine´rcia de duas formas diferentes.
A primeira forma de determinar I sera´ por meio da conservac¸a˜o de energia mecaˆnica
do sistema. Para calcula´-la, colocaremos um peso mg suspenso por uma corda enrolada em uma
polia junto ao disco de raio R, e o peso ficara´ a` uma altura H do cha˜o, como na figura 1 (legenda
7).
Assim, inicialmente a energia do sistema sera´ a energia potencial do peso, e ao final essa
energia sera´ convertida em energia cine´tica de rotac¸a˜o do disco e energia cine´tica de translac¸a˜o do
peso:
mgH =
Iω2
2
+
mv2
2
(3)
Como v = ωr, temos:
2
mgH =
1
2
(I +mr2)ω2 (4)
Reescrevendo a equac¸a˜o em termos do per´ıodo T = 2pi
ω
:
1
T 2
=
mgH
2pi2(I +mr2)
(5)
Logo, por meio do per´ıodo do disco apo´s ele ter sido acelerado pelo peso solto, utilizamos
a equac¸a˜o (5) para achar o momento de ine´rcia.
A segunda forma de calcular o momento de ine´rcia e´ por meio da velocidade angular de
precessa˜o. Agora, colocando o peso na extremidade oposta ao disco, como na figura 3, e utilizando
da equac¸a˜o (1), podemos ver que, se o girosco´pio gira sem atrito, apenas a direc¸a˜o do momento
angular e´ alterada. Chamando o angulo de precessa˜o de ϕ, temos que:
| d
~L
dt
|= Ldϕ
dt
= τ = mgl (6)
Como Ω = dϕ
dt
, de (2) obtemos:
Ω =
mgl
L
=
mgl
Iω
(7)
Ωω =
mgl
I
(8)
Sabe-se que Ω = 2pi
Tp
e ω = 2pi
T
. Enta˜o, substituindo em (8):
1
TTp
=
gl
4pi2I
m (9)
Portanto, calculando o per´ıodo de precessa˜o e o per´ıodo de rotac¸a˜o para va´rias massas
diferentes podemos trac¸ar uma reta de 1
TTp
sobre m cujo coeficiente angular e´ gl
4pi2I
e por meio desse
determinar I.
2 Objetivos
O experimento tera´ uma parte qualitativa, em que o foco sera´ entender as grandezas vetoriais que
atuam no movimento do Girosco´pio; e uma parte quantitativa, em que o objetivo sera´ determinar
o momento de ine´rcia do Girosco´pio por meio do movimento de precessa˜o e por meio da lei de
conservac¸a˜o da energia mecaˆnica.
3 Materiais
• Girosco´pio;
• Discos de rotac¸a˜o;
• Dois contrapesos de 900g e um de 30g;
• Massa adicional de 150g;
3
• Motor ele´trico;
• Temporizador, ou contador;
• Cronoˆmetro digital;
• Conjunto de setas pata indicar as grandezas vetoriais;
• Trena;
• Paqu´ımetro.
4 Procedimentos
4.1 Ana´lise Qualitativa do Movimento do Girosco´pio
4.1.1 Ana´lise das Forc¸as Esta´ticas
1. Mantenha-se o disco parado;
2. Ajusta-se os contrapesos para manter o girosco´pio em equil´ıbrio;
3. Coloca-se os vetores ~Pd (Peso do disco), ~Pc (Peso do contra peso) e ~N (Forc¸a normal).
4.1.2 Ana´lise dos Torques
1. Retira-se os vetores;
2. Mantenha-se o disco parado;
3. Coloca-se uma massa adicional na posic¸a˜o (1);
4. Afixa-se o ~τ (Torque) no girosco´pio;
5. Verifica-se o que ocorre com uma massa adicional na posic¸a˜o (12);
6. Gira-se o girosco´pio em torno da posic¸a˜o(9) em ambas as direc¸o˜es;
7. Afixa-se o vetor torque e acelerac¸a˜o angular para cada caso.
4.1.3 Velocidade do Momento Angular
1. Retira-se os vetores;
2. Gira-se o disco com o motor ele´trico;
3. Coloca-se os vetores ~ω (velocidade angular) e ~L (momento linear).
4
4.1.4 Resposta Dinaˆmica do Girosco´pio aos Torques Externos
1. Retira-se os vetores;
2. Gira-se o disco no sentido anti-hora´rio quando visto de frente;
3. Segura-se o girosco´pio na posic¸a˜o (1)
4. Forc¸a-se o girosco´pio na vertical e horizontal;
5. Anota-se numa tabela o sentido das forc¸as de reac¸o˜es.
4.1.5 Movimento de Precessa˜o
1. Gira-se o disco no sentido anti-hora´rio;
2. Coloca-se a massa na posic¸a˜o (12);
3. Verifica-se onde esta´ o vetor Peso ~P , Torque ~τ , Momento Angular ~L, Velocidade Angular de
Rotac¸a˜o ~ω e Velocidade Angular de Precessa˜o ~Ω;
4. Inverta-se o sentido de rotac¸a˜o do disco;
5. Repita-se o procedimento 3.
4.1.6 Movimento de Nutac¸a˜o
1. Coloca-se a massa na posic¸a˜o (12);
2. Acelera-se o disco;
3. Inclina-se o eixo em 30o;
4. Solta-se o disco;
5. Verifica-se seu movimento;
6. Interrompe-se o processo;
7. Repita-se 1, 2 e 3;
8. Solta-se o disco, empurrando-o na direc¸a˜o do movimento de precessa˜o;
9. Verifica-se seu movimento;
10. Interrompe-se o processo;
11. Repita-se 1, 2 e 3;
12. Solta-se o disco, empurrando-o na direc¸a˜o contra´ria ao movimento de precessa˜o;
13. Verifica-se o movimento;
14. Interrompe-se o processo;
5
15. Repita-se 1;
16. Acelera-se o disco com uma velocidade menor que das anteriores;
17. Verifica-se o movimento;
18. Interrompe-se o processo;
19. Repita-se 1 e 2;
20. Inclina-se o disco nas posic¸o˜es ±10o;
21. Solta-se o disco;
22. Verifica-se a influeˆncia do aˆngulo de inclinac¸a˜o.
4.1.7 Efeito de um Segundo Disco no Girosco´pio
1. Adiciona-se um segundo disco ao girosco´pio;
2. Gira-se os discos em sentidos opostos;
3. Aplica-se um ~τ na direc¸a˜o do eixo x;
4. Verifica-se o que ocorre;
5. Coloca-se o girosco´pio na posic¸a˜o inicial;
6. Coloca-se uma massa na posic¸a˜o (12);
7. Verifica-se o que acontece.
4.2 Ana´lise Quantitativa
4.2.1 Ca´lculo do Momento de Ine´rcia
1. Sendo a densidade do material do disco(PVC) variando de 1, 30g/cm3 a` 1, 45g/cm3;
2. Com o momento de ine´rcia dado por I =
MR2
2
;
3. Verifica-se o efeito da polia de alumı´nio nos resultados obtidos.
4.2.2 Determinac¸a˜o do Momento de Ine´rcia Usando a Lei da Conservac¸a˜o da Energia
1. Coloca-se um peso de aproximadamente 400g no suporte para pesos;
2. Amarra-se o suporte a um corda˜o;
3. Faz-se um lac¸o na ponta do corda˜o;
4. Coloca-se o lac¸o no pino da polia;
5. Com o suporte encostando no cha˜o, gira-se o disco ate´ que o suporte fique elevado a 10cm
do cha˜o;
6
6. Prepara-se o contador;
7. Solta-se o suporte;
8. Quando o suporte encosta no cha˜o, dispara-se o contador;
9. Mec¸a-se o per´ıodo;
10. Repita-se os procedimentos anteriores, subindo a posic¸a˜o do suporte em 10cm ate´ 80cm;
11. Coloca-se os dados numa tabela;
12. Faz-se um gra´fico do inversodo quadrado do per´ıodo
1
T 2
em func¸a˜o da altura h;
13. Mec¸a-se a massa dependurada;
14. Mec¸a-se o raio da polia;
15. Determina-se o momento de ine´rcia atrave´s da equac¸a˜o
1
T 2
=
mgh
2pi2(I +mr2)
;
16. Obtenha-se uma estimativa do erro do momento de ine´rcia.
4.2.3 Determinac¸a˜o do Momento de Ine´rcia Usando a Velocidade Angular de Pre-
cessa˜o
1. Gira-se o disco em alta velocidade;
2. Segura-se o eixo de rotac¸a˜o;
3. Prende-se uma massa de 150g na posic¸a˜o (12);
4. Mec¸a-se a velocidade de rotac¸a˜o do disco;
5. Solta-se o eixo e inicie o cronometro ao mesmo tempo;
6. Anota-se o tempo levado para completar
1
4
de volta;
7. Repita-se os procedimentos com massas de: 200, 250, 300 e 350 g;
8. Faz-se um gra´fico de
1
TTp
;
9. Com a equac¸a˜o
1
TTp
=
glm
4pi2I
, determina-se o momento de ine´rcia;
10. Determina-se o erro para o momento de ine´rcia.
7
Giro do Disco no Sentido Anti-Hora´rio
Forc¸a Aplicada Direc¸a˜o e Sentido Direc¸a˜o e Sentido Direc¸a˜o de Movimento da
na Extremidade (1) do Torque Aplicado da Reac¸a˜o da Extremidade do Vetor
Extremidade (12) Momento Angular
+~x −~z +~z −~z
−~x +~z −~z +~z
+~z +~x −~x +~x
−~z −~x +~x −~x
Gire no sentido +~z −~z +~z
hora´rio (visto de cima)
Gire no sentido anti- −~z +~z −~z
hora´rio (visto de cima)
Note que a variac¸a˜o de momento angular ~L tem mesmo sentido que o torque ~τ em todas
as instaˆncias. E´ portanto razoa´vel concluir que isso sempre ocorrera´.
5.1.5 Movimento de Precessa˜o
Girando o girosco´pio no sentido anti-hora´rio tendo refereˆncia a visa˜o frontal, e adicionando uma
massa na posic¸a˜o (12) e pegando esta como refereˆncia, o ~P esta´ no sentido −~z, o ~τ esta´ no sentido
de −~x, olhando-se o disco de frente, o ~L esta´ na direc¸a˜o ~y, a ~ω esta´ no sentido de ~y, e olhando-se
de cima a ~Ω esta´ no sentido anti-hora´rio. Colocando-se a massa em (1) inverte-se o sentido de ~Ω.
Agora o girosco´pio tendo rotac¸a˜o inversa da anterior, e adicionando uma massa na
posic¸a˜o (12) e pegando esta como refereˆncia, o ~P esta´ no sentido de −~z, o ~τ esta´ no sentido de ~x,
olhando-se o disco de frente, o ~L esta´ na direc¸a˜o −~y, a ~ω esta´ no sentido −~y, e olhando-se de cima
a ~Ω esta´ no sentido hora´rio. Colocando-se massa em (1) inverte-se o sentido de ~Ω.
Notou-se que quando diminu´ıa ~ω do disco , a ~Ω aumentava.
11
5.1.6 Movimento de Nutac¸a˜o
Com o disco girando no sentido hora´rio, e com uma massa na posic¸a˜o (12), inclinou-se
o girosco´pio em 30o e este foi solto com o cuidado para na˜o aplicar um torque indesejado, notou-se
que o movimento de nutac¸a˜o descrito em (12), asemelhou-se com o da figura A.
Repedindo-se o processo mas com um leve empurra˜o no sentido da velocidade de pre-
cessa˜o, o movimento de nutac¸a˜o asemelhou-se com a figura C, o que faz sentido, pois seria um
movimento igual a A com uma perturbac¸a˜o. O mesmo ocorreu quando o empurra˜o era no sentido
contra´rio a da velocidade de precessa˜o.
Agora quando diminuiu-se a velocidade angular do disco, o movimento de nutac¸a˜o
assemelhou-se com a figura B, isso faz sentido pois a velocidade de precessa˜o aumentou, tornando
mais longo o movimento de nutac¸a˜o.
Com a velocidade angular do disco igual a dos primeiros movimentos, verificou-se que
para uma inclinac¸a˜o inicial ±10o, na˜o interferiu no tipo de movimento de nutac¸a˜o, mas sim na
amplitude do movimento.
5.1.7 O Efeito de um Segundo Disco no Girosco´pio
Adicionou-se um segundo disco, deixando o sistema em equil´ıbrio, com os discos girando em
sentidos opostos, aplicou-se um torque na direc¸a˜o do eixo x e o girosco´pio adquiriu um movimento
de precessa˜o no eixo xy (plano horizontal). Com o girosco´pio parado adicionou-se um peso na
posic¸a˜o (1) e o girosco´pio comec¸ou um movimento de precessa˜o no eixo yz (plano vertical).
Esse resultado faz sentido, pois como cada disco tem momento angular igual em sentidos
opostos, isso faz com que o sistema tenha momento angular nulo. Enta˜o o observado foi coerente
com um girosco´pio sem momento angular.
12
5.2 Ana´lise Quantitativa
5.2.1 Ca´lculo do Momento de Ine´rcia
Dados:
• Raio do disco a menos raio do eixo: Rd = (12, 260± 0, 003)cm
• Diaˆmetro do eixo: d = (0, 950± 0, 003)cm
• Raio do eixo: r = d
2
= (0, 475± 0, 002)cm
• Raio do disco: R = Rd + r = (12, 735± 0, 005)cm
• Altura do disco: h = (2, 225± 0, 003)cm
• Densidade volume´trica do disco: µ = (1, 38± 0, 07) g
cm3
Consideraremos o momento de ine´rcia do girosco´pio com relac¸a˜o ao eixo perpendicular
ao disco que passa por seu centro igual ao do disco, que e´ dado por:
I =
MR2
2
Pore´m, desconhecemos a massa do disco, por isso fazemos o ca´lculo:
M = µV
V = hpiR2
=⇒ M = µhpiR2
∴ I = µhpiR
4
2
e
∆I = I(
∆µ
µ
+
∆h
h
+ 4
∆R
R
)
Efetuando os ca´lculos obtemos:
I = (127± 8) · 103gcm2
13
5.2.2 Momento de Ine´rcia a partir da Conservac¸a˜o de Energia
Dados:
Alturas e Per´ıodos
(H ± 0, 05)cm (T ± 0, 1)ms
1 80 357,8
2 70 382.7
3 60 408.5
4 50 450.3
5 40 502,2
6 30 569,7
7 20 724,8
8 10 984,9
• Massa do peso utilizado para rotacionar o disco: m = (266, 56± 0, 1)g
Temos que:
1
T 2
=
mg
2pi2(I +mr2)
H
Fazendo a regressa˜o linear do gra´fico de 1
T 2
vs H podemos calcular I a partir do coeficiente angular
α:
1
T 2
(H) = (0, 062± 0, 1) + (0, 097± 0, 002)H
α =
mg
2pi2(I +mr2)
∴ I = mg
2pi2α
−mr2
14
e
∆I = I
∆m
m
+ 2mr∆r +
mg
2pi2α2
∆α
Efetuando os ca´lculos obtemos:
I = (123± 2) · 103gcm2
5.2.3 Momento de Ine´rcia a partir da Velocidade Angular de Precessa˜o
Dados:
Massas e Per´ıodos de Rotac¸a˜o e Precessa˜o
(m± 0, 1)g (T ± 0, 01)ms (Tp ± 0, 26)s
151,6 73,40 35,22
212,5 59,10 26,70
262,2 60,83 20,42
311,9 68,91 17,58
361,5 63,71 13,69
• Distaˆncia do torque aplicado ao eixo de rotac¸a˜o : l = 18, 75± 0, 05cm
O erro de Tp foi estimado utilizando o erro instrumental de 0, 01s e o tempo de reac¸a˜o
me´dio de 0, 25s.
Temos que:
1
TTp
=
gl
4pi2I
m
Fazendo a regressa˜o linear do gra´fico de 1
TTp
vs m podemos calcular I a partir do coe-
ficiente angular α:
15
1
TTp
(m) = (−0, 1± 0, 1) + (0, 0033± 0, 0005)m
α =
gl
4pi2I
∴ I = gl
4pi2α
e
∆I = I(
∆l
l
+
∆α
α
)
Efetuando os ca´lculos:
I = (141± 22) · 103gcm2
5.3 Questo˜es Complementares e Pontos Adicionais
Questo˜es:
1. Imagine que os treˆs eixos apresentem atrito significativo. Descreva como o movimento do
girosco´pio e´ afetado pelo atrito nos rolamentos de cada um dos eixos.
A presenc¸a de atrito significativo nos eixos gera um momento que se opo˜e ao seu momento de
rotac¸a˜o, como consequeˆncia disso a energia mecaˆnica do sistema na˜o e´ conservada, ou seja,
16
supondo que o atrito seja de relevaˆncia, sua influeˆncia seria na velocidade fazendo com que
haja uma acelerac¸a˜o negativa fazendo com que os discos do girosco´pio fossem perdendo sua
velocidade de uma forma mais ra´pida do que sem atrito.
2. Analise a equac¸a˜o (3) e inclua um termo referente ao trabalho realizado pela forc¸a de atrito.
Como o gra´fico de 1
T 2
vs H e´ afetado pela presenc¸a de um termo de atrito nos rolamentos do
disco?
Considerando a existeˆncia de uma forc¸a de atrito na˜o desprez´ıvel, no balanc¸o de energia,
parte da energia potencial e´ convertida em trabalho da forc¸a de atrito, que pode ser escrito
como o produto do momento gerado pelo aˆngulo girado (θ = H
R
) pelo disco. Como parte
da energia potencial foi convertida em trabalho (houve dissipac¸a˜o) a energia mecaˆnica do
sistema na˜o se conserva, gerando alterac¸o˜es no gra´fico.
Chamando esse momento de p, a fo´rmula (3) fica:
mgH =
Iω2
2
+
mv2
2
+ pθ
Pontos Adicionais:
1. O que foi poss´ıvelconcluir sobre a direc¸a˜o de movimentac¸a˜o do girosco´pio quando sujeito a
torques externos?
No caso em que na˜o ha´ um peso na extremidade exercendo um torque constante, ou seja,
quando na˜o ha´ movimento de precessa˜o no girosco´pio e ele se encontra em equil´ıbrio e com
o disco girando, a direc¸a˜o da movimentac¸a˜o do girosco´pio e´ a mesma do torque externo
aplicado, que e´ perpendicular a` forc¸a aplicada. Isso e´ mostrado pelas tabelas da sessa˜o
5.1.4.
No caso em que ha´ movimento de precessa˜o, um torque externo causara´ o movimento de
nutac¸a˜o, que foi analisado com mais cuidado na sessa˜o 5.1.6.
2. Os valores do momento de ine´rcia medidos foram compara´veis com o momento de ine´rcia
calculado? A diferenc¸a, em termos percentuais, foi de quanto? Os valores medidos foram
maiores ou menores que o calculado? Existe alguma justificativa para que os valores
tivessem sido maiores ou menores?
Os valores do momento de ine´rcia foram compara´veis ao esperado com o erro percentual do
calculado a partir da conservac¸a˜o de energia igual a 8, 66% e a do calculado a partir da
velocidade angular de precessa˜o igual a 11, 02%.
Os valores medidos foram maiores do que o calculado devido a desconsiderac¸a˜o do
momento de ine´rcia da polia no ca´lculo (4.2.1 (3)) do I esperado e da desconsiderac¸a˜o do
atrito no ca´lculo dos demais.
3. Os gra´ficos mostram retas que cortam a origem (considerando-se as respectivas margens de
erro)? Se na˜o, que fatores poderiam ter influenciado para que isso na˜o ocorresse?
Os coeficientes angulares das retas sa˜o aproximadamente iguais a 0. O coeficiente da reta
1
T 2
(H) tem um valor mais longe do esperado, devido ao poss´ıvel “escorregamento” do fio. O
coeficiente da reta 1
TTp
(m) e´ 0 dentro da margem de erro.
17
6 Conclusa˜o
Foi poss´ıvel observar o comportamento do girosco´pio quando sujeito a diferentes forc¸as em suas
extremidades e movimentos/rotac¸o˜es, e como esses se relacionam com o torque, movimento de
precessa˜o, movimento de nutac¸a˜o, momento angular e sua variac¸a˜o, velocidade angular, o
movimento da extremidade oposta e como esses conceitos esta˜o relacionados.
Conseguimos tambe´m aproximar o valor do momento de ine´rcia do disco a partir de
seu ca´lculo teo´rico, tido como correto, da conservac¸a˜o de energia e da velocidade angular de
precessa˜o. Podendo averiguar que ambos modos produzem resultados razoa´veis e que a
conservac¸a˜o de energia tem resultados mais pro´ximos dos reais, devido a menor influencia do
atrito nessa instaˆncia.
18