EE_Aula_8

Prévia do material em texto

Estática nas Estruturas – Aula 8
São Paulo
Slide 2
1. Torção
Sumário
Slide 3
Torção - Introdução
Exemplos de componentes 
submetidos a esforço de torção.
Chave de fenda
Eixo de 
turbina
Eixo 
cardan
Chave de 
roda
Slide 4
Torção – Parâmetros Gerais
Torque
Ângulo 
de torção
Deformação de 
cisalhamento
Torção pura: toda seção 
transvesal é submetida ao 
mesmo torque T.
Ângulo de torção varia ao 
longo do comprimento L.
( 0) 0
( )
x
x L

 
 
 
[ Rad ]
Slide 5
Torção – Deformação Máxima
max
max
ds rd
dx dx
r


 
 

d
b
b’
ds
r
Deformação de 
cisalhamento Razão de torção
Vista da seção 
transversal 
deformada.
Importante: a máxima deformação de cisalhamento é 
obtida na superfície do eixo.
[ Rad/m ]
[ Rad ]
Slide 6
max
max
r
r
 

  

 
max
Torção – Deformação no interior da barra
A deformação de cisalhamento 
varia linearmente com o raio “r”.
Generalizando a equação.
ρ
0 ≤ ρ ≤ r
r

Slide 7
Torção – Deformação no interior da barra
max 2
min 1
r
r
 
 


Para eixos vazados.
Eixos vazados são mais eficientes para suportar carga de
cisalhamento já que a máxima deformação/tensão estão
na superfície externa e não no centro do eixo.
Slide 8
G 
r 
maxG
r
   
Torção – Tensão
Lei de Hooke ao 
cisalhamento.
max Gr 
Deformação de 
cisalhamento
Tensão de cisalhamento máxima
Tensão de cisalhamento ao 
longo da seção transversal
ρ
Slide 9
2max
dM F
dM dA
dM dA
r







2max
max
A
A
p
T dM
T dA
r
T I
r








max
r

 
Torção – Tensão
Como relacionar tensão de cisalhamento e torque aplicado T ?
Momento 
polar de 
inércia
p/ círculo
max
p
Tr
I
 
Equação da 
torção
Elemento 
infinitesimal de área
4 4( )
32
p e iI d d

 
p/ círculo vazado
Slide 10
max Gr 
max
p
Tr
I
 
p
T
GI
 
Torção – Ângulo de torção
p
TL
GI
 
L 
Razão de 
torção
[ Rad/m ]
Para barra em 
torção pura
Ângulo de torção
[ Rad ]
Combinando 
as equações!
Slide 11
Exercício 1
Uma barra de aço sólida de seção transversal circular tem diâmetro d = 40 mm,
comprimento L = 1,3 m e módulo de elasticidade ao cisalhamento G = 80 GPa.
A barra está submetida a um torque T agindo nas extremidades.
a) Sabendo que T = 340 Nm, qual é a tensão de cisalhamento máxima na barra?
Qual é o ângulo de torção entre as extremidades?
b) Se a tensão de cisalhamento admissível é de 42 MPa e o ângulo de torção
admissível é de 2,5º, qual é o torque máximo permitido?
Respostas:Respostas:
27,1
1,26º
528adm
MPa
T Nm





Slide 12
Exercício 2
O tubo mostrado tem um diâmetro interno de 80 mm e um diâmetro externo de
100 mm. Se uma de suas extremidades é torcida contra o suporte A através de uma
chave em B, determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no material nas
paredes interna e externa ao longo da região central do tubo quando as forças de
80 N forem aplicadas à chave.
Respostas:
0,345
0,276
e
i
MPa
MPa




Slide 13
Torção – Não uniforme
Torção Não uniforme Torção Pura
≠
i) Barra prismática (seção transversal 
uniforme);
ii) Único torque T aplicado.
i) Barra não necessariamente prismática;
ii) Mais de um torque T aplicado.
Slide 14
Torção – Não uniforme
Estratégia para 
resolver problemas de 
torção não uniforme
Dividir o problema em n segmentos em
que a seção transversal da barra seja
constante e submetida a torção pura.
Com isso, pode-se aplicar as equações
apresentadas anteriormente.
1 1
i
n n
i i
i
i i i p
T L
G I
 
 
  
Para obter o ângulo de torção, 
deve-se somar o ângulo obtido para 
cada segmento de barra.
ATENÇÃO
Slide 15
Torção – Não uniforme
Convenção de sinal 
de momento / torque
+ -
Slide 16
Exercício 3
Um eixo sólido de 30 mm de diâmetro gira livremente em mancais nos pontos A e E.
O eixo é acionado pela engrenagem em C que aplica um torque T2 de 450 Nm na
direção ilustrada na figura. As engrenagens em B e D são giradas pelo eixo e têm
torques resistentes T1 = 275 Nm e T3 = 175 Nm, respectivamente. Os segmentos
LBC e LCD têm comprimentos de 500 e 400 mm, respectivamente. G = 80 GPa.
Determine a tensão de cisalhamento máxima em cada parte do eixo e o ângulo de
torção entre as engrenagens B e D.
Respostas:
51,9
33,0
0,0106
BC
CD
MPa
MPa
rad





 
Slide 17
Exercício 4
As engrenagens solidárias ao eixo de aço com extremidade fixa estão sujeitas aos
torques indicados. Se o módulo de elasticidade ao cisalhamento é G = 80 GPa e o
eixo tem um diâmetro de 14 mm, determine o deslocamento do dente P na
engrenagem A (100 mm de raio). O eixo pode girar livremente em relação ao
mancal B.
Resposta:
21,2d mm
Slide 18
Para o Lar
• Ler Seções 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 do livro: 
Mecânica dos Materiais (James M. Gere e Barry J. Goodno) 7ª Ed.
• Lista de exercícios
3.2-1, 3.2-2, 3.3-2, 3.3-3, 3.3-4, 3.3-5, 3.3-7, 3.4-3 e 3.4-7.
Mecânica dos Materiais (James M. Gere e Barry J. Goodno) 7ª Ed.